Calculo Vectorial: Examen Final y Solucionario 2009-2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

P.A. 2009II

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

Ma. 15/12/2009

EXAMEN FINAL CALCULO VECTORIAL PROBLEMA 1

Use

un

cambio 2 y − x

∫∫ ( x + y) e

de

variables

para

evaluar

la

siguiente

integral

dA , en donde  D es el paralelogramo de vértices (-1,1),

 D

(0, 0), (2,1), y (1,2). Solución

u

= 2 y − x,

v =  x +  y,

u

= 0,

u

v = 3, v

∂ (u, v) = −3, ∂ ( x, y )

=3

=3

1 ∂( x, y) =− 3 ∂ (u, v) 3 3

∫∫ 

( x + y ) e 2 y − x dA =

1 u − ∫ ∫  v e 0 0

 D

3

du dv

= 3 (e 3 − 1) 2

PROBLEMA 2

Evalúe la integral

∫ 

tan −

C 

1

  y  dx + ln( x 2 + y 2 )dy      x  

, donde C  es la frontera de

la región definida por las desigualdades en coordenadas polares 1 ≤ r  ≤ 4; 0≤ θ  ≤ π /2. Solución

P ( x, y ) = tan −

  y   ,      x  





1



−

 

=

Q ( x,  y )

= ln ( x 2 + y 2 )

  + 

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∫ 

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 x   y  dx + ln( x 2 +  y 2 ) dy = dA   ∫∫  2 2  x      R  x +  y

tan −1 

C 

π  / 2  y     2 2 −1 ( )dy = ∫ dx  x  y tan + ln +    ∫ C    x   0

∫ 

4

∫ cosθ dr d θ 1

  y  dx + ln( x 2 +  y 2 )dy = 3    x    

tan −1 

C 

PROBLEMA 3

Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas  F ( x, y , z ) = ( x −  z ) i

+ ( y −  x ) j + ( z − y ) k

al mover una partícula a lo largo de la curva C descrita por.

 r (t ) = ( t ,

− t 2 , t ) ;

1 ≤ t  ≤ 2

Solución

rot F rot F = (-1, -1, -1);  F es un campo vectorial no conservativo. co nservativo. 2

2

 F( r  r(t)) = (0, - t  - t , t + t  )  F ( r (t )) ⋅ r ′ (t ) dt = (2t 

3

∫ 

+ 3t 2 + t )dt 

2

∫ 

W  =  F ⋅ d  r =  F ( r (t )) ⋅ r ′(t ) dt  = C 

1

2

∫ (2t  + 3t  + t )dt  3

2

1

W = 16. PROBLEMA 4

Evalúe la integral

∫ (−  y

2

dx + z dy

C 

vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 3).

+  x dz ) donde C  es el triángulo con

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rot F rot  F = (-1, -1, 2 y);  F es un campo vectorial no conservativo, y la curva C  es cerrada. usamos el Teorema de Stokes

∫ (− y

2

dx + z dy

C 

+  x dz )= ∫∫ rot  F . N dS S

donde S es el plano 3 x + 3 y +  z – 3 = 0 que pasa por los vértices del triángulo.

∫ (− y

2

dx + z dy

C 

∫ (− y

+  x dz )= ∫∫ rot  F . N dS = ∫∫ (2  y − 6)dA S

1

2

dx + z dy

+  x dz )= ∫

R

1− y

∫ 

( 2 y − 6) dx dy

0

C 

0

=−

8 3

PROBLEMA 5

Calcular el flujo del campo vectorial  F ( x, y, z ) = ( sen ( y +  z ) − x 2 ) i

+ cos( x +  z ) j + tan ( x +  y ) k

sobre la superficie S que es la frontera del sólido Q acotado por el elipsoide

( x − 1)2 4

+

Solución

Teorema de la divergencia div F = -2 x

Coordenadas esféricas modificadas

 x − 1 = 2 ρ senφ cos θ

= 3ρ senφ senθ  z = 4 ρ cos φ  y

 y

2

9

+

z

2

16

=1

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∫∫  F ⋅ N dS = ∫∫∫ div F dV  S

Q

∫∫  F ⋅ N dS = ∫∫∫ (−2 x) dV  S

Q

∫∫ 

 F ⋅ N dS

S

2π π 1

= −48 ∫ ∫ ∫ (1 + 2ρ senφ cosθ ) ρ 2 senφ d ρ d φ d θ 0 0 0

∫∫  F ⋅ N dS = − 64π S