Calculo Vectorial 3Ed _Bento Jesus Caraca -1960

~BENTO DE JESUS CARAÇA

CÁLCULO VECTORIAL I 3.A EDIÇÃO

LISBOA

1 9 6

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Composto • Impresso na TIPOGRARIA MATEMÁTICA, LDA. R. Dl6rlo de Noticies, 134, 1."-Esq. TKLEl'ONE

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BENTO DE JESUS CARAÇA

CÁLCULO VECTORIAL J.A EDIÇÃO

LISBOA

1 9 6

o

OBRAS DE MATEMÁTICA DO MESMO AUTOR

Lições de Algebra e Análise, Vol. 1- 1935, 1945 e 1956. Lições de Algebra e Análise, Vol. 11 - 1940, 1954 e 1957. Interpolação e Integração Numérica - 1933 {esgotado). Cálculo Vectorial - 1937, 1957 e 1960. Conceilos Fundamentais da Mate mática, I Parte - Junho 1941, Agosto 1941, 1942, 1944 e 1946. Conceitos Fundamentais da Matemática, 11 Parte- 1942 e 1944. Conceifos Fundamentais da Malemática, I, 11 e III Partes - 1951, 1952 e 1958.

A primeira ediçtlo desta obra apa1·eceu em 1937 e constitui a primeira das publicações do Núcleo de .Matemática, Fisica e Quim?·ca, congregação de antigos bolseiros no estrangeiro do Instituto de Alta Cultu1·a.

A 2.a ediçao deve a revis11o das suas provas aos Ex.mot S1·s. Drs. Alfredo da Gosta Mú·anda e Augusto de Macedo Sá da Gosta.

A revisao das p1·ovas desta 3 .4 ed1'çao foi feita pelos E x.'" 0' Srs. Drs. Alfredo da Costa Mtranda, Jaime da G1·uz Campos Fert·eira e Joaquim José Paes Motaes.

Para todos a expressao sincera do maior agradecimento.

J. M. G. Lisboa, Junho de 1960.

•

. CITAÇÕES As referências a números de fórmulas, parágrafos e capítulos são dadas em tipos e corpos diferentes, de acordo com os segui ntes exemp:os: Pág. 118, linha 10: f2. 9) -+ parágrafo 9 do capitulo II. Pág. 82, linha 17: [1 . 7, 45)]-+ fórmula 45) do parágrafo 7 do capítulo I. Dentro de cada parágrafo, a referência a uma fórmula do mesmo parágrafo faz-se pela simples indicação do seu número. Exemplo: Pág. 1181 linha 20: (50)] - fórmula 50) do mesmo parágrafo.

TÁBUA DE MATÉRIAS Pdg.

Capitulo 1.0

-

.Álgeln-a Vectorio!

I. Fundamento!! . II. Produtos e operadores. III. !\fomentos Bibliografia. Exercícios • Capítulo 2. 0 - .Álgebra Teti80I'Üll I. Transformações lineares II. Álgebra tensorial • Bibliografia . Exercícios • Capítulo 3.0 - Análise Vectorial I. Infinitésimos. • II. Derivação ordinária • III. Aplicações geométricas IV. Derivação tensorial e derivação dirigida

Bibliografia. Exercícios

.

Capítulo 4. 0 - Teon·a do. Cantpos • I. Operadores diferenciais II. Fluxo e circulação . Resumo • Bibliografia. Exercícios . Indice de nomes . Indice alfabético de matérias •

1

1 59

72 77 77 79 79 114

123 123 125 125 135 167 186 189 190

193 193 21:>

240

242 242

245 241

,

Cap. I. I.

1. 1.

Algebra Vectorial.

FUNDAMENTOS. Histórica.

O cálculo vectorial é de constituição relativamente recente e anda ligado, na sua origem, à procura duma possível representação g~ométrica dos números imaginários. Por isso, os vectores aparecem, considerados como linhas dirigidas, na obra de C. Wessel, Essai sur la rep?'éllentation de la direction (1797) e de J. A rgand, E.1sai sur ume maniere de t·eprésenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques ( 1~06) . Com a pu blicaçào das obras de G. 13 ~llavitis sobre as eqoipolências (a partir de 1832) da Atudehnung.~leltt·e de H. Grassmann (a partir de 1844) e dos trabalhos de W. Hamilton sobre os Quaterniões (a partir de 184.}), pode considerar-se fechado o primeiro ciclo, o ciclo preparatório, da história do Cúlculo Vecto1·ial. Deve·se principalmente a J. W. Gibbs e O. Heaviside (ambos na segunda metade do século xu) a estruturação deste ramo das ciências matemáticas com a forma que hoje apresenta. Define-se ainda hoje, frequentemente, vector como um segmento de recta orientado, tomando-o, portanto, como uma entidade de carácter geométrico, como o era para os iniciadores do cálculo vectorial. Mas os modernos pontos de vista sobre este corpo de doutrina não se compadecem com tal critério fundamental- há que, a partir do conceito geométri..:o de segmento orientado, deduzir outro, de carácter analítico, que fará., propriamente, o objecto de estudo do ramo de Análise que designamo!! por Cálculo Vectorial. É essa orientação, seguida, por exemplo, por M. LagallyVektor-Rechnttng, a adoptada nos parágrafos seguintes. CALCULO VECTORUL

1

2

CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL

1. 2.

Segmento orientado. Translacção.

Definições. Consideremos uma recta R) e a partir dum ponto arbitrário O, fixemos sobre ela um sentido positivo e um sentido negativo (fig. 1). A coa venção da existência de sentidos opostos numa mesma recta é fundamental em tudo que vai seguir-se. Ela permite-nos, a A B partir de cada segmento ou porção Flg. 1 da recta, definido por dois pontos A e B, distinguir dois segmentos dirigidos ou orientados - o segmento de A para B, origem A e extremidade B, que representaremos por A B, e o segmento de B para A, origem lJ e extre· midade A, que representaremos por B A. Um segmento dirigido ou 01·ientado é, por consequência definido por dois pontos quaisquer do espaço, A e B, e pela adjunção do conceito de ordem a que se sujeitam esses dois pontos. Dois segmentos dirigidos que diferem um do outro apenas pela ordem dos pontos que os definem, dizem-se opostos: o segmento dirigido B A é o oposto do segmento dirigido A B. Chama-se módulo dum segmento orientado A B à distância, em valor absoluto, dos dois pontos A e B; representá-lo-amos por modA B. Atribuamos a modA B o sinal + ou o sinal - , conforme o sentido de A para B coincidir ou não com o sentido positivo da recta sobre a qual existe A B; ao número assim obtido dá-se o nome de medida algébrica de A B e representá-lo-em os por med A B; tem-se portanto med A B = +modA B conforme o sentido de A B for positivo ou negativo, em relação ao eixo sobre o qual se encontra:

1)

med A B =

+ mod A B +- A B { - mo•.bA B - A B .J

tem sentido positivo ·.1 • tem senttuO negatwo.

Qualquer que seja o sinal do sentido de AB, é sempre verdade que 2)

med A B = - med B A •

Dá.se o nome de translacçlto a todo o movimento dum corpo no espaço tal que as posições inicial e final de cada um dos seus pontos definem segmentos orientados paralelos e com as mesmas medidas algébricas (igualdade de módulos e de sentidos).

PARÁGRAFO 2

Uma translacção fica conhecida portanto desde que se conheça o segmento orientado definido pelas posições inicial e final dum dos pontos do corpo cons iderado; as posições finais dos outros pontos são determinadas por segmentos orientados paralelos e de medidas algébricas iguais ao primeiro. Este facto vem chamar a atenção para o papel importante que desem· penha a existência de segmentos orienFlg. 2 tados nas condições indicadas, a que chamaremos segmentos equipolentes. Dois segmentos equipolentes A B e A' B' (fig. 2) são portanto tais que os quatro pontos A, B, A', B', definem um paralelogramo, a não ser que A B e A' B ' existam sobre a mesma recta; neste caso a equipolência é definida simplesmente pela concordância de sentidos e igualdade de módulos. Sempre que nos quisermos referir, indistintamente, ao segmento orientado A B e aos seus equipolentes, diremos que A B é definido ou dado a menos duma equipolência. Estas definições permitem-nos agora dizer que toda a translacçtlo no espaço é, independentemente do local em que se realiza, determinada univocamente por um segmento orientado, dado a menos duma equipolência; representaremos a translacção, determinada pelo segmento A B, por tAs. Da qui resulta que se A B é equipol~nte a ..4.1 B', A B se pode fazer coincidir com A' B' por meio da translacção t..u (v . fig. 2). Consideraremos ainda como iguais todas as translac«:ões que só diferem pelo local do espaço em que se efectuam, isto é, que são determinadas pelo mesmo segmento orientado, definido a menos duma equipolência: 3) tA n = tA' B' +- A B equipolente a A' B' . Chama-se translact;tlo nula aquela em que a origem coincide com a extremidade e escreve-se

4) Ao segmento orientado correspondente chama-se, ainda, segmento nulo, e escreve-se 6)

4

CAP. I.

.

ALGEBRA VECTORIAL

Propriedades. Do que está dito deduz-se que as propriedades da igualdade de translacções são a resultante imediata, o decalque das da equipolência e reclprocamE>nte. Ocupemo-nos destas.

1. • (reflexiva). Todo o segmento orientado é equipolente a si mumo,· é uma consequência imediata da definição. 2. a (simétrica). Se A B é equipolente a A' B', também A' B' é equipolente a A B ; com efeito, o paralelogramo definido por

A, B, A', B' é o mesmo que o definido por

A',

B', A, 8.

3.a (transitiva.). Se A B éequi'polente a A'B' e .A'B' eqwpolente a A" B", é A B equipolente a A" B"; com efeito, da definição resulta que A'' B'' é paralelo a. A B (por ser paralelo a A' B' e este a A B) que os sentidos coincidem e que é modA'' B" =modA' B' =modA B.

1. 3.

Composição de translacções.

A). Translacções com a mesma direcção. Definição. Sejam dadas duas translacções pm·alelas; como os segmentos orientados que as definem são definidos a menos duma. equipolência [1. 2], pode sempre supor-se que eles estão sobre a mesma recta e que, além disso, a origem dom coincide com a extremidade do outro. Sejam então A B e B C esses segmentos e tAn e tJJu as translacçõos correspondentes. Consideremos a translacçlio t.Ao cuja origem é a vrigem da primeim e cuja extremidade é a extremidarle da segunda. A operação pela qual às translacções tAs e t 8 o se faz corresponder t.Ao chama-se composiçllo ou adição de trnnslacções ; à trao lacção t.Ao chama-se resultante ou soma das translacções t..~ 8 e t 8 o e escreve-se

6) ao segmento orientado AG chama-se, ainda, soma doa orientados A B e B G e escreve-se 7)

segmento~

PARÁGRAFOS 2 e 3 As igualdades 6) a 7) não são, afinal, mais rlo que tradoções diferentes da mesma operação fuodame.ntal- a da composição de duas translacçõea ou dos segmentos orientados correspondente8. Como se vê, a operação é de efecti vaçiio simples : faz-se coincidu· a origem duma (a segunda) com a extremidade da outra (a primeira) e A-.a c toma-se n transla.cção deterrninad11 pela origem da primeira e extremidade da A:....__~C:......-_ ___,.,.B seguorla. Na figura jontn estão figurados casos que podem apresentar-se A B qunnto aos sentidos dos segmentos Fig. 3 orientados. As setas inferiores representam os sentidos dos segmen tos a compor; as superiores o do segmento soma. Em particular, tem-se imediatamente a partir da definição e de [1. 2, 4)]

tAB +toA= (u = 0

8) on

9) que nos indica que a soma de dois segmentos orientados opostos é nula. A coo trução da soma mostra a inda que entre as medidas algébricas se verificam, quaisquer que sejam os sentidos dos segmentos considerados, as relações

med A O = med A B

10)

+ med B C ,

e, em particular,

11)

med A B

+ med B

A = O

que coincide, aritmàticnmente, com [1. 2, 2)]. A composição de mais de duas transl11cções define-se como babitualmontose defi.oe a adição de mais de duas parcPias: compõem-se as duas primeiras, a translação obtida com põe-se com a terceira e assim 13ucessivamente. Resulta daqui que tAn + tBo tan = t.tn e, em geral,

+

12)

i.tr

A,+ t.dtA, + ··• + tA,_

1

.A. =

t.A, 4 0

,

igualdade à qual corresponde, para os segmentos orientadoS' correspondentes,

CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL

6

13) relação válida, pelo que está dito, qualquer que seja a pow;ao relativa, sobre a recta, dos pontos A 1 , . • • An. Em particular tem-se, como consequência imediata de 13) e 9),

A, Aa

14)

+ As As + ·. · + An-1 A» + AnA, = O.

Para as medidas algébricas verificam-se as relações gerais

+ ·· · + med An-1 An = med A, An med A, As + -. · + med A,._1 An + med An A 1 =O.

15)

med A, Az

16)

A justificação do nome adiçtlo dado, também, à operação que estamos estudando, está nos resultados do estudo, a que vamos proceder, das suas propriedades.

Propriedades.

1. a

-

A operaçiio é umforme. Com efeito de

tAs=(~· B' e ta a = ta' O' resnlta imediatamente, em virtude da defi-

nição, tA a+ tso = t~! B' orientados.

+ tn'O'

e relação análoga para os segmentos

2. 1 - É tAs+ O= t~~.B. Com efeito: tAs+ O= tAn

+ tnn =

tAn.

3. 3 -A operaçllo é comutatit·a. A igualdade: t,~~n+taD-= = toD + tAB, que exprime a comutatividade, é, como fàcilmeote se reconhece, uma consequf\ncia imediata da construção por meio da qual foi definida a operação.

4. a

A operaçllo é associativa. Anàlogamente, da construção resulta que -

tAs+ (tn o + tcD) =(tAs+ tno)

+ toD.

5. a - De tA B +te o= tA' 0' +te D ?·esulta tAs = tA' O' . Somemos, com efeito, a ambos os membros da igualdade, a translacção tDo; a igualdade mantém-se, pela propriedade 1. •, e vem t.tts + foD + tDe= = tA' B' laD + tDo donde, pela associatividade, t.t~n + (tcD fDo)= = tA' D' (toD + iDa) donde [8)] tAs O = tA' a• +O, donde, finalmente, pela proprieda de 2.a, t.ros dum corpo R; c) além disso, essas duas operações go zam das doze propriedades ·Cujo resumo acabamos de dar; diz-se IJ.Ue a classe U constitui mn sistema linear, no co1po R, em relaçll.o à ope1·ação da adiçtlo ou composiçdo. Em virtude destas definições, podemos então di?.er que a classe das translacçlJes no espaço constitui um sistema linear, no co1·po dos números reais, em relaçdo à operaçllo de composição . Depen dência e independência linear. Dimensões do sistema. SE>jnm u 1 , 1t2 , • • • u 11 , n elementos do sistema linear U e R o corpo de números no qual ele é definido. Diz-se combinaçl'lo linear desses n elementos de U, no corpo R, de coeficientes 1. 1 , ). 2 , · •• À0 {1Hí71le1'0S de R), ao elemento u de U definido por

30)

"

U =

~À;·U; .

A combinação diz-se linea1· e homogénea quando quando

tt

=O , isto é,

31)

Quando esta igualdade se verifica, sem que sejam todos nulos os coeficientes da combinação, diz-se ainda que os n elementos u 1 são linearmente depend~ntes no corpo R . Quando , qualquer que seja o conjunto de n números de R, não todos llulos, não tem nunca lugar a relação 31) ou, por outras palavras , quando 31) só é poss[vel se os À; forem todos nulos, os n elementos u; dizem-se linearmente independentes no corpo R.

15

PARÁGRAFO 5

Sempre que oito se fa?; menção do corpo de números ao qual pertencem os )., , entender-se·á que eles s/J,o números reais quaisquer; é o que suporemos daqui em diante.

Um sistema linear diz-se a n dimensões quando: a) existem nele n elementos linearmente independentes;

b) quaisq uer que sejam os n + 1 elementos u1 , ••• u,., u,~+,, eles são sempre linearmente dependentes. Em todo o sistema linear U a n dimensões, há sempre n elementos linea1·mente independentes u1 , i = 1, 2, . · · n , tais que, dado um elemento qualquer u de U , exiRte um conjunto ú11ico de números reais p1 , • • • Pn não iodo., 1mlos, satíifazendo à relaçao n

32)

tt

= ~P• · u, ·

,_,

Com efeito, sejam u,, u2, ... u,., n elementos linearmente independentes, os quais existem sempre porque o sistema tem, por hipótese, n dimensões. a) De serem u, u1 , • •. Un linearmente1ldependentes, res ulta que À1 · u1 + ·· · + ).n • u,. + Àn1-1 • u =O co m À,.+t =I= O, porque se fosse ).,.+,=O os n elementos u, seriam linearmente dependentes contra a hipótese; resolvendo esta ig ualdade em ordem a u, tem-se

32), onde é P• =

À·

- -'- . Àn+J

b) Ü conjunto dos ri 1 i = 1 1 2 1 • • • n, é único; se hOU\'Osse outro conjunto de n números reais, sejam a,, i= 1, 2, · ·. n, tal que

" u = ~ ~~. u.1 ,

ter-se-ia

~ a,. u, = ~ p1 • u 1

donde

~ (p, - a,) . u, = O; ora estes n co~ficientes têm que ser todos nulos, porque se o não fossem os u, não seriam linearmente independentes, logo p1 = a 1 , i= 1 , 2, . .. n . Aos 11 olementos u1, linearmente independentes (e que, quanto ao resto, são escolhidos arbitràriamente) nos quais se exprimem, segundo 32), todos os outros elementos de U, dá-se o nome de base do sistema linear U; aos p; • u,, i = 1, 2, .•. n , dá-se o nome de componentes de tt e aos P• o de coeficientes de u na base Ut 1 Uz 1 • • • Un.

16

CAP. I.

ÁLGEBRA VECTORIAL

As definições dadas levantam a seguinte questão: a quantas dimensões é o sistema linem· das translacções 110 espaço? A resposta será dada num dos parágrafos seguintes [1. 7].

1. 6.

Definição de vector.

O conceito de translacção é de carácter flsico; o de segmento orientado, ao qual reduzimos o seu estudo, é de carácter geométrico. Convém ainda, se possível, introduzir uma nova entidade, não de carácter físico ou geométrico, mas aritmético, entidade que possa ser sujeita aos métodos gerais da A oálise, cuja fecundidade em tantos domínios tem sido posta à prova. Isso é possível, e faz-se pela introd ução dum novo conceito o vector lim·e - definido como segue: Dados dois pontos A e B e o se11 segmento orientado A B,

-

chama-se vector livre de .A B, e representa-se por A B, a uma função dos dois pontos A e B, e portanto de A B

-

A B =f(AB) satisfazendo às condições seguintes:

1. a - Essa função toma o me mo valor para todos os segu.entos ol'ientados equipolentes a A B e só para esses. A igualdade de \ectores livres, tradução aritmética do conceito geométrico de equipolência de segmentos orientados, é, portanto, reflexiva, simétrica e transitiva. 2. a - Põe-se f(AA) = 0 e por esta igualdade se define vecto1· nulo. 3. a - Sobre essa função é definida a operação de adiçtlo do seguinte modo: dados os dois segmentos orientados A B e CD e

--

- -

-

os vectores livres correspondeutes AB=f(AB), CD = j(CD), define-se soma A B 33)

+ CD

de A B com CD, pela igualdade

AB+ CD=f(AB+ CD).

Desta definição resulta que a soma de vectores livres é um vec· tor livre e que a operaçi\.o goza de todas as propriedades estabelecidas em [1. 3] para a soma de translacções ou segmentos orientados.

PARÁGRAFO 6

17

4.a- Sobre a mesma função define-se a operação de multiplicação por nm número real, do modo seguinte: dado o número real __...

~

p e o vector livre A B

=

j(A B), chama-se p1·oduto de p por A B,

~

e representa-se por p. A B, ao vector livre definido pela igualdade ~

34-)

p • A B = f(p · A B).

Daqui resulta que o produto dum vector livre por um número real é um vectvr livre e que a operação gosa de todas as propriedades estabelecidas em [1.4] para o produto de translacções por um número real. As vantagens da introdução desta nova entidade serão apreciadas nos desenvolvimentos que \'ãO st>guir-se. Por agora, insistiremos apenas em que o vector livre é de carácter wwlítico e não geométrico (I); o vector não é o segmento orientado, é uma função do segmento (e dos seus equipolentes) que o determina univ ocamente, como ele determina o segmento, a menos duma equipolência. Rigorosamente, deve dizer-se sempre-seja dado o vector livre ~

A B, função do segmento orientado A B; simplesmente, a esta maneira de dizer substitui-se habitualmente esta outra, mais abre· ~

viada -seja dado o vector livre A B- como se entre ele e o segmento houvesse ident1ficação e não, apenas, correspond~ ncia. Na prática corrente trataremos o vector livre como se ele fosse o segmento- não há. mal em o fazer, desde que a consideração permanente daquilo que os une não faça e~quecer o que, no fundo, os separa - os dominios diferentes a que pt>rtencem. Dá-se, aqui, uma coisa parecida (não idêntica) ao que se passa com as funções : na linguagem, confunde-se correntemente a função com a sua expressão aoalitica, dizendo, por exemplo- seja dada a função y = x · sen x, qu'\ndo deveria dizer-se- 11eja dada a função cuja expressão analitíca é y=x. senx . Aqui passa-se coisa análoga, tomando uma imagem geométrica pela entidade abstracta; é assim

(1) Contràriamente às definições dadas na maior parte dos trabalhos. Vid., oo entanto, M. Lagally - Vektor Rechnung (Leipzig, 1928) pág. 3 e 4; a mesma orientação é adoptada por R. Bricard- Le Catcul Vectoriel, Paris, 1929, pág. 10. O.Ú.COLO VEOTOUIAL

18

CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL

que, por exemplo, a figura 4 [1. 3] se considera como significando, de facto·, a adição de vectores, quando é apenas a imagem concreta. da operação abstracta adição de vectores livres. Do mesmo modo, a direcção, o sentido, a origem, a extremidade, o módulo, a medida algébrica. do segmento orientado A B, dizem-se dú·ecçtlo, sentido, origem, extremidade, módulo, medida algébrica

"""*

----+-

do vector livre AB=f(AB); o módulo do vector livre .AB repre~

senta-se por modA B. Fala-se, ainda, em equipolência de vecto1·es como significando a equipolência dos segmentos orientados respec· ti vos. No Cálculo Vectorial fala-se frequentem en te, não só em vec· tores, mas em grandezas vectoriais em oposição a grandezas esca· lareR. Estas, as eBcalares, são grandezas cujos estados podem ser ordenados biunivoca e contlnuamente, pelo menos do ponto de vista teórico, ao conjunto dos números reais; os seus estados são, por conse4uência, determináveis por números dum certo conjunto ou escala numérica; tais são, por exemplo, a temperatura, o tempo, o módulo dnm vector, etc. Pelo contrário, para o estudo das grandezas vectoriais não basta um conjunto numérico; intervém a direcçllo e o sentido dos segmentos orientados do espaço a cuja totalidade pode ser ordenado por correspondência biunivoca (a menos de equipolências) e continua, o conjunto dos vectores definidos como atrás fizemos. É grandeza vectorial, por exemplo, oma velocidade, uma aceleração, etc.

-

Notações. Além da notação já introduzida, A B, usaremos também para representar um vector, uma letra minúscula em nor· mando a, r , s , u; . • . e, ainda, a notação de Hamilton B- A onde A é o ponto origem e B o ponto extremidade. Da igualdade B- A= a tira-se a consequência aritmética 35) a qual se interpreta do modo seguinte: a soma do vector livre a = f(A B) com o ponto A, soa origem, é o ponto B, soa extremidade. Deftnições. Diz-se vector unitário todo o vector de módulo igual à unidade.

PARÁGRAFO 6

19

Diz-se vector unitário dum eixo o vector unitário que tem a direcção e sentido desse eixo. Dois vectores livres dizem-se opostos lJUando os seus Fegmentos orientados o são - módulos iguais, direcções paralelas , sentidos opostos. Dois vectores livres dizem-s~ colineares quando as suas direcções são paralelas; três vectores livres dizem-se coplanares quando as suas direcções são paralelas a um plano. Chama-se tlngulo de dois vectores livres ao ângulo, compreen,dido entre O e n 1 formado pelas direcções dos dois vectores, tendo em atenção os seus sentidos. Vectores ligados a uma base e vectores fixos. É conveniente introduzir, ao lado do conceito de vector livre, ainda o de vecto1· ligado a uma ba.~e. Esse conceito de vector difere do de vector livre apenas no âmbito da equipolência do segroendo orientado A 8 de que o vector é funçiio. Se essa equipolência joga em todo o espaço, tem-se o vector livre; se apenas joga sobre uma certa recta de posição fixa R), tem-se o que se chama o vector ligado à base R). Deste, pode ser dada uma definição análoga à. do vector livre (pág. 16) com a mod ificação seguinte: dados dois pontos A e B sobre a recta R ) e o correspondente segmento orientado A B, chama-se vector ligado à base R), definido por A B, a uma funj -= 1,2,3. (1) Para a colllpretu~ão tia matéria Uf:l$tf:l parágrafo, cuja leitura não é indispensável para seguir os desen volvim entos Bubsequ entes, o leitor deve estar familiarizado com os elementos da teoria das l\Iatrizes e das f•'ormas Lineares. Ver, por ex., Lições, Vol. 1. 0 , cap . 12 e 13. Para outros desenvolvim entos sobre este assunto, ver, por ex., J . 'Vedderburo, Leclures on Mat1·ices, New- York, 1934.

CAP I.

26

Á GEBRA

VECTORIAL

Isto sugere a possibilidade de se estabelecer uma teoria geral, de carácter aaalitico, das multiplicidades vectoriais nos espaços n-dimeasionais. Vamos iad'car, brevemente, como essa teoria se pode desenvolver.

I. - Define-se vector num espaço eoclideano n-dimensional como o conjunto de n números reais p1, p2, • • • Pn, por esta ordem; usa-se a notação u = (p1 , pz, · · · p,) . Diz-se nttlo o vector em que p1 = O , i = 1 , 2 , · · · n e escreve· se

(0,0, ... O)= O.

II. - Dados dois vectores u = (pt, p2, · · · Pn) e v = (at, a2 , · · ·O'n) diz-se que são iguais, e escreve-se u =v, quando existem ns relações p1 = a1 , i= 1, 2, · · · n • Verifica-se que esta definição satisfaz às condições de ser refie· xiva, simétrica e transitiva.

m. -

Define-se soma dos dois vectores u e v, e escreve-se + v = (p1 + a1 , pa + aa, · · · Pn an).

+

u + v , pela igualdade u

Prova-se que esta operação goza das propriedad~s da adição ordinária- 1. 5, prop. 1) a õ) (mudando a palavra translacçtto em

vector).

lV.- Define-se prodt,to de u pelo número real igualdade

~,

e &screve-

·:!e ~ • u ou u · ~ , pela

Demon tra-se que esta opera~ii.o goza das prorrie-dndes ho.bituai - 1. 5, prop. 6) a 12).

V. - Define· se· sistema linear ou multiplicidade linear como foi feito no parágrafo 1. 5. Da definicãu resulta, por virtude de III e IV, que a totalidade dos vectores do espaço o-dimensional é uma multiplicidade Unear.

VI.- De III e IV resulta ainda que todo o vector o da mui. tiplicidade se pode pôr, duma única maneira, sob a forma u = pt • (1, O,··· O) pg ·(O, 1, ···O) ~~~ ·(O, O, · · · 1) ou,

+

abreviadamente, n =

•

L Pi. e;,

+ ··· +

onde os vectores ~ são definidos

i=l

pela igualdade eJ = (ài1 , à;2 , · •• à;.) e os ài" são dados por 1. 7, 4B). Os vectores da multiplicidade aparecem, assim, como formas

27

PARÁGRAFO 8

lineares nos ei. Estes, por sua vez, podem pôr·se também sob a for ma. anterior, visto que n

e1 = ~ OJI, • ek • k- 1

VII. - Define-se combinaçlfo linear de vectores, do modo seguinte: dados os vectores u, u1 , u.a, ···Um, diz-se que u é uma combinação linear dos restantes, quandv existem m números reais m

À;, i=

1, 2, · · · m, tais que u

=

~ À1 • Ut.

Vlii. -- Define-se dependência e independência linear coroo habitualmente: os m vectores Ut, u2, ·. · u,4 dizem-se linearmente dependentes quando existirem m números reais À;, i= 1, 2, ·. · m, m

não todos nulos, tais que ~À;.

Ui= O.

i=l

Se esta relação só for possível quando todos os À; forem nulos, os m vectores dizem-se linearmente independentes.

IX.- Da teoria das formas lineares resulta imediatamente que a co~dição necessária e suficiente pam que de entre os m vectorea

Ut =pu . 6t

Um

= Pmt . el

+ pr.a • e2 +

...

+ Ptn

•

e,.

+ ~..a . es + ... + Pmn • e,.

haja r e não mais de r linearmente independentes, é que a característica da matriz ((pj~r))

=

pu

~IB " • ~III

fjt

Pia •" Pin

I ~~; ~m3 p,.,.l "•

sija igual a r . Os ro - r vectores cujos coeficientes não figuram no determin ante principal são combinações lineares dos outros.

28

CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL

X.- Conclui-se daqui que os n vectores ej, j = i , 2, ... o, 4(10

linearmente independentes, v isto que a sua matriz

((ajk))= 1

o... o

o

J ... o

o u... J é a mal.l"iz identidade e tem, portunto, característica n. Aos vectores ej dá-se o nome de vectores-unidade e ao seu conjunto chama-se base da multiplicidade. De Vl resulta que todo o vector da multiplicidade se exprime, duma só maneira, nos vectore da base.

XI. - 8do linearmente dependentes guai.~qtter o

+ il.

vectores

da multiplicidade. Efectivamente a caracter[stica da matri:G

pu

não pode ser muior que n.

XIL - Define-se ordem ou número de dimensões da multiplicidade do mo do seguinte: diz-se que a multiplicidade é de ordem r, ou tem r

dimensões, quando há nela r vecto?·es li-nem·mente independentes

e

r+

1

qzw·isq~ter

silo

linearment~ depende1~if;~;.

De X e Xr conclui-se imediatamente que

a multiplicidade wtal dos t•ectores do espaço a-dimensional é de ordem n •

Com isto, ficam estabelecidas as propriedades atê aqui estudadas para os vectore6 ordinários, e por via meramente analitica. O leitor notará a analogia desta teoria com a dos números complexos a n unidades [Uções Vol. 1. 0 , 9. 12] o que vem confirmar a 11firmação atrás feita [1. 6 de que uw vector é uma entidade analitica e cão geométrica.

1. 9.

Coordenadas cartesianas.

É sabido, dos elementos da Geometria Annlitica 1 como a. posição dum ponto Do espaço pode ser fixada com a ajuda do método das coordenadas cartesianas.

29

PARÁGRAFOS 8 e 9

Toma-se, como sistema de referência, o conjunto de três eixos não c(lplanares O x, O y, O z, que, por sim plícidade, se supõem tri-ortogonais; o seu ponto de encontro O denomina-se o1·igem das coordenadas e os eixos chamam-se eixos co01·denados. O sistema diz·se de disposiçao positiva ou de:r:t1·orsum se o considerarmos orientado do modo seguinte (fig. 11): um observador colocado ao longo de O z com os pés em O e a cabeça para o sentido positivo de z O z e virado para o interior do triedro, deixa o semi-ei:xo positivo Ox à direita e o semi-eixo positivo O y à esquerda. No plano O x y toma·se como sentido y positivo das 1·otaçrJes aquele pelo qual a rotação de menor amplitude (;) que

X

Fig, 11 leva o semi-eixo positivo O :r: à coincidência com o semi-eixo positivo O y se faz no sentido directo (contrário ao sentido do movimento dos ponteiros dum relógio)- é o sentido indicado pela seta curva na fig. 11. Dos seis sistemas determinados pelas seis permutações das letras :r:, y, z, três deles -os que correspondem a permutações part>ssão orientados como o da fig. 11, cada um deles é um sistema

z

.Y

X

Fig 12

dextrorsum; os outros três- os qnA correspondem a permntuções ímpares - são orientados de modo que o observador , nas condições acima indicudas, Yê à esquerda Ox e à. direita Oy- cada um deles diz·se de dispostçtlo negatiya ou sim'strorsum. Na fig. 12, os três sistemas superiores ~>ão de disposição posith·a

30

CAP. I ÁLGEBRA VECTORIAL

e os três inferiores de disposição negativa. Como se vê, dentro de cada um dos dois grupos, os sistemas derivam uns dos outros por permutações circulares das letras, e cada um dos negativos deriva de um positivo pela troca de dois eixos. Pode, é claro, fazer-se coincidir um negativo com o correspondente positivo desde que se lhe troque o sentido de um eixo(l). Posto isto, a posição de qualquer ponto M do espaço é fixada univocamente por três números reais- as suas três coordenadaB,

O A =:c, U 1:J = y, O C= z obtidos pela construção da fig. 13 e q111e é, exactamente, a mesma do parágrafo 1. 7, III, para a decom-

OM

posição do vector = u. Tem-se portanto, sendo i, j , k os vectores unitários dos eixo s, como estão indicados na figura, e visto que os ). , p., 11 de 1. 7, 4:'>) são, respectivamente, iguais a

- -

~ med O A = :c , med O B 49)

= y , med O C = z ,

M(:c, y, z)- O= u = :c· i + y · j

+ z •k

que mostra que os coeficientes da decomposiçao de u segundo os eixos são precisamente as coordenadaB da sua e:ctren.idade; por isso se dá, também, a ::c,y,z, o nome de coordenadas do vecz tor. C Como se vê, 49) é oro caso particular de 1. 7, 45) e, portanto, de 1. 7, 36) e dai resnha q ue são aplicáveis à soma de ~ vectores e ao produto deles por um número real as regras ordinárias da Álgebra, por

virtude de 1. 7, 37) e 38); e que

Flg. 15

a igu aldad e de dois vectores exige a igualdade das suas coordenadas homónimas e reclpro ca mente. Se o vector não tiver a origem em O mas sim num ponto M1 (x1 , y 1 , z1), tem-se, sendo M2 (:cs, !}2, zs) a sua ex tremida de,

- -

-- -- - -

OMs= OM1 + M, Ma donde M1 Mil= O Ms - OAJ1 =(x2 · i+Ys · j + (') Tudo o que et~tá dito a respeito da orien tação dos sistema tri-ortogonais se mantém, ipsis ve1·bis, se eles o não são.

31

PARÁGRAFO 9

+ za · k)- (xt ·i+ Yt • j feita permite escrever 50)

+ Zt • k),

e a observação que acaba de ser

-

Mt Ma = (xs - Xt) · i + (ya- Yt) · j

+ (zs -zt) · k.

Se representarmos, para obter maior simetria nas fórmulas, os vectores unitários dos eixos por it, is, is (it =i, is= j, is= k), e os próprios eixos por Ox1, Oxs, Oxs, a decomposição 49) toma o aspecto 8

111 (x, , W2 , x 8)

ól )

-

O=

L

:t k • ik •

k- 1

Como as coordenadas do ponto M são, afinal, as medidas das projecções de O M sobre os eixos coordenados, se

alg~bricas

--+-

u = O M é um vector unitá1·io, essas coordenadas são os cosenos --+-

dos ân gulos que o vector O M faz com cada um dos eixos, ou, como se diz habitualmente, os seus cosenos dú·ectores. --+

Se forem a.1 , a.z, -

~ A1 B1 dos vecto1·es do sistema.

1. 20.

Coordenadas dum vector deslizante.

a) Coordenadas vectoriais.

Seja o vector deslizante (u, R); vamos ver que ele é determinado: a) pelo vector Uv1·e n , na o mdo; h) pelo momento m em 1·elaçao a um ponto O não pertencente a U). Com efeito:

I. -O vector livre u · determina a direcção, o sentido e o módulo de (u, R) e tambóm a direcção da R); falta ape.nas determinar a posiçllo de R). II.

O momento m determina : 1. 0 , o plano que passa por O e R) (que é perpendicular a m, (R logo, a direcção de m determina o plano sobre o qual existe R); 2. 0 , a área S do triângulo O A B (fig. 32), visto qo~ [1. 12, 84J mod m = 2 S e daqui resulta, por ser Flg. 32

2 S = modu. h, h= modm mod u

ficando portanto determinada a distância de O à recta R) no plano perpendicular a m; falta apenas determinar, por conseqoên-

75

PARÁGRAFOS 19 e 20

cia, qual o lado, a contar de O, no qual se encontra R), o qual depende do sentido da orientação da distância h; este é determi~

nado pelo sentido de m, visto que o tri~dro O A, u, m, por esta ordem, deve ter a disposição do triedro fund amental. Definição. Os dois vectores u e m que) como acabamos de ver, determinam o vector deslizante (u , R) chamam-se as suas coO?·denadas vectoriais em relaçlllJ ao ponto O.

b) Divisão vecloriol. Com o problema das coordenadas vector iais dum (u, R) prende·se o da chamada divisOo vectorial. Passa-se o seguinte: todo o vector deslizante (u, R) é determinado univocamente por um vector livre u e outro vector m, perpendi· ~

colar a u, ligados estes dois pela relação 14sse sistema, u = ~;;k ·L; e, k

para relacionar as coordenadas igualdade

Xk

com x~:, não há mais que, na

~ Xk • h = ~ Xk .4 ' k

introduzir as relações que ligam os ik aos h, isto é, as decoro· posicões dos ik no sistema ( S). Essas decomposições são da forma 7)

k = 1,2,3

, PARAGRAFO

83

que, introduzidas na igualdade acima, nos dão, por um raciocínio análogo ao que atri1s fizemos,

8)

Xj

= ~

Cjk.

Xk

}=1,2,3.

k

Tudo se passa, portanto, como no caso de os sistemas serem triortogonais, à parte a significação dos coeficientes c1 k que lá eram os cosenos directores dos vectores unitários do sistema (S) e que aqui deixam de o ser porque essa propriedade de8aparece desde que o sistema de referência deixe de ser triortogonal. É claro que as relações )) e 6) são, respectivamente, casos particulares de 7) e 8); para as distinguirmos, representaremos, daqui em diante, a transformação geral 8) por TI e a transformação de coordeoadas 6) por Tm (a razão do uso destes índices será adiante explicada) de modo que sompre que nos referirmos a T1 e 1',, enteuder-so-ão, respectivamente, as transformações de coordenadas Xj

= ~

Cjk.

Xk

j=1,2,3

k

T.. )

fVj

= ~ IXjk • Xk

}=1,2,3.

k

Estas fórmulas de transformação de coordenadas vão constituir o ponto de partida de explorações em dois doruinios diferentesno primeiro, ocupar ·nos-emos essencialmente do seu significado geomótrico, no seguaclo daromos nton«;iio ospocial ao seu carácter analítico. Antes de iniciar o estudo em cada nm desses doruloios, fixernoH ·d esde já o carúcter linear de Ti. e T.~: as duas transformações con:sistem na efecti\'ação duma substituir;ilo linea1· homog~nea sobre os x 1 :

·"X, + C12 • Xa + r.,ll · Xs TI ) Xo = Cas · ~ + C22 • ~s + C2s · ~ Xs = C!Jt • X1 + C33 • X3 + ClllJ • :J.'s Xs

I

=

Cn

•

Por isso se lhes dá o nome de tran formações lineares. Chama-se matriz desta transformação linear à matriz

D

=

cu

cn

CJs

ca,

C22

C2s

Css

Cs2

Css

84

CAP. 11.

'

ALGEBRA TENSORIAL

da substituição linear homogénea sobre os :r,, e chama-se módulo da transformação lioear ao deter111Ín11nle associado (1) a esta matriz

9) Como se vê, [7)] as colunas da matriz são constitufdas pelas coordenadas dos vectores unitários do sist!:'ma. (S) em relação a (S) e daqui resulta. que o módulo O(D) é, neces~Jàriamente, diferente de zero. Efectivamente, se fosse O(D) =O, haveria a mesma relação linear e homogénea entre os elementos das linhas e os três ,·actores "'L ,i:t ,1, seriam linearmente dependentes, logo coplanares [1. 7] contra a hipótese.

2. 2.

O ponto de vista da geometria afim.

A transformação linear T1 a que se chegou no parágrafo anterior - transformação das coordenadas dum mesmo ponto em dois sistemas diferentes dt> coordenadas com a mesma origem - pode ser encaradã dum outro ponto de vista. Consiste ele em considerar essa transformação como dando, num mesmo 8ÍSiema fundamental de coordenadas, as reluções esistentes entre as coorl'lenadas de dois pontos. Consiste, como se vê, este critério em deduzir, do espaço dado, e partindo de um dado sistema de coordenadas cartesianas, um novo espaço cujos pontos têm coordenadas definidas em função das do primeiro t>ela transformação T1. O estodo das propriedades desse novo espaço é o objecto da geometria afim. É claro que o ponto tle coordenadas nulas no primitivo espaço é também o ponto de coordenadas nulas no espaço definido pela transformação linear T1 ; efec tivamente, para 'i; = O vem a:;=O e, reciprocamente, o sistema

11

+ C-12 • w:~ + C1s • Xs

Xt

=

cu · X1

:r:2

=

Cg1 •

Xs

= Cat • X1 + C8:J • :1!2 + Css • Xa

1

(I) V. Liçóà, vol. 1. 0 , 12. 4.

~~ + c 2ll ·~a

+ c2s • ~s

PARÁGRAFOS I e 2

85

dá para :c1 =X2 = :Cs=O a. solução única XJ=X2=xs=0 visto que é, então, um sistema homogéneo de determinante e(D)= 1CJk 1=f=O. Resulta daqui que a transformação linear T1 , fazendo corresponder a cada ponto um novo ponto, faz, afinal, corresponder a cada ''ector livre (q ue pode sempre s u pôr· se ter origem na origem dos eixos) um novo Yector livr e; isto é, Tz define uma nova multiplicidade vectorial, a multiplicidade vecto1·ial afim, cujo estudo é objecto da geometria afim. Pelo que se viu, a correspondência dum vector ao seu correspondente do espaço afim é definida, afinal, pela matriz D = ((cJk)) da transformação linear; dos seus elementos c1 ~:, e só deles, dependem os novos vectores. A matriz D = ((c1t)) pode ser portanto encarada como um operador, agen te da transformação dum vector noutro vector. Representaremos essa acção do operador D pela notação

D(V) =V; ela. significa que o operador D fa z corresponder ao vector V o vector V efectuando sobre as coordenadas de V a substituição linear Tz. Como propriedade importante deste operador, tem·se que: O operador D = ((cJk)) é linem·. P ara o ver tem que provar-se [1. 18] que

D(V1 + V2) = D(V1 ) + D(V3) D (p · V1) = p • D(V1) . Sejam k

=

~ (:ct

+ y~:). i~: .

k

Fazendo a transformação linear Tz sobre os

k

:c~:

e Yk tem-se [2. 1, 8)]

D (V2) = ~ ( ~ Ckj • Yi ) . i"

D(V1) = ~(~ckJ ·;i )i~:, j

k

D (Vl

+ V2) =

I<

~ (~ Ckj. Xj k

=

+ ~ Ckj . YJ).

j

D(V1) + D (Vg).

j

ik

e

j

= ~~ Ckj(Xj k

j

+ y;). i~:

86

CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL

Por outro lado, é p · V1

= ~ (p · Xk) · ik ,

donde

k

n (p. v~)=~ [~ k

Ckj.

(pxi)] . 4 = P. ~(~c"'. ;j). h= P. n (V1)

i

k

i

com o que fica demonstrada a linearidade do operador D. Daqui resulta que, em geral, é

D (~ p; ·V,) = ~ Pi· D (Vi).

10)

;

i

Por estas propriedades se pode já antever o papel importante que a teoria das matrizes é chamada a desempenhar no estudo das transformações lineares J.o espaço. No parágrafo seguinte serão estudadas algumas propriedades dessas transformações.

2. 3.

Propriedades das transformações lineares.

Continuando a considerar a questão que nos está ocupando do ponto de vista da geometria afim, suporemos, para simplificar, e sem perda de generalidade, que temos um sistema de coordenad~>.s cartesianas rectangulares e nele definida a transformação linear geral

n

-+

X1

=

Xz

=

C;u

::Cs

=

Cst • X1

I

Cu • X 1

-

c 13 · x 2

+

-

CJB • Xs

·~I + CD!: • ~3

+ C28 • ~8 + Css · X1 + Cs8 · Xs

e a transformação linear particular

I

X1

T,.

= OI.JL • -X1 + 01.12 • -X2 r

Xa = 0:21 • X3 =

-

O:Js · Xs

~1 + OI.!JSJ • ~2 + 01.23 • ~8

t:/.s1 • X1

+ . a ordem a1J. b"1"' . Como se vê, a operação fez-se satu1·ando um par de Indicas, um em cada tensor; da própria operação se deduz que pela saturação de um par de Indicas se obtém o abaixamento de duas unidades na ordem do produto. Esh. operaçiío estende·se a tensores de ordem qualquer, não sendo indispensável que se tenha efectuado previamente um produto - a igualização de dois Indicas, seguida duma soma no Indica tornado comum , denomina·se então uma contracçllo, que é revelada no abaixamento de duas unidades na ordem do tensor. É claro que se podem fazer contrliCÇões e composições s ucessivas ou simultâneas, tantas quantos os pares de Indicas disponíveis. Vejamos alguns exemplos. Cjtm

I. - Controcção do produto tensorial de dois vectores. Sejam os dois vectores Vt = ~Xk • ik e v2 = ~Yk ·h. O seu produto k

k

tensorial é o tensor de 2. • ordem de componentes e 1J = Xs · yJ [2. 7, 28)) e contraindo· o obtém-se, por 50), o escalar ~ :r:,. y, ou seja o produto escalar [1. 13, 94)] dos dois vectores.

120

CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL

E com um vector. Seja o \·ector v=~ a~.· i k e o ten:sor E [2. 8, II, b)]. Fazendo o produto com 11.

Composição do tensor

k

contracção (satura ção dum índice de E com o do Yector) obtém-se o tensor duplo de componentes

Para calcu lar estas componentes recordemos que, por definição do sistema e;jk, é

2. 8, 44)

e;i'·

=

l

O~ dois ludices (pelo menos) iguais

+ 1 +-permutação

par dos indices - 1 .-permutação ímpar dos indicas.

Obtém-se, por consequência,

Czt

=

C,n =

+ a2 · eu, + as • esu = a1 • em! + a:2 • e~2:1 + eo:12 = a1 · e121

a1J •

= a1 · e,2s + a2 · e:!2s + as • es~B = Cs1 = a1 • e1s1 + a2 · e2s1 + as • ess1 =

C2s

- lls

O a, a2

isto é, um tenso1· duplo hemi:lim~trico, cujas compo nentes constituem a matriz

o

Os

-a.,

o

a1

- a1

-a"

a,

o

I I

Como se vê, as três coordenadas do vector v bastam pat·a defi·

ni7· o tensor dupro obtido.

'

121

PARAGRAFO 11

Procuremos o tensor transformado deste tensor quando se efectua a transform ação ortogonal a:1 = :T2, Xt ='X, , a:8 = :Z:s. O ope1·ado1· ~< (u) o stjam.

Sonii.osotrataduw r(tt), masdeum r(u,v) ouun1 r(x 1 ,a:2 ,x8 ), as defioições e propriedades mantêm-se, pelo que foi dito no final do parágrafo 3. 2_ O enunciado da defin ição 3. a e das propriedades b) modifica-se então, havendo que substituir n expressão w·co de cu1·va por porção de supe1jlcie ou regillo do espa9o.

11.

DERIVAÇÃO ORDINÁRIA.

3. 4.

Derivada dum vector r (u).

Definições. 1.a- Seja o vector r(u), função conUoua de u no ponto u0 , isto é, tal que [3. 3, 7j] ltm r(u) =r (u 0 ). ",...."O

Se, quando 6. u = u- uo tende para zero de qualquer maneira, o limite da razão dos infinité~ r = ~ l> ·'l'k • h , ~r = ~ l>xk. ik k (') u bv k l>v

46)

l)n

verificando-se fórmulas anúlogas para as derivadas de ordem superior.

ó r=~.:r·k(u.,v)·h=~X~(t).v = •f(t),

dr~-IdXk·l····· Mus, A

dt 1 d t tes de h·,

. 1an do os coe fi cien· por 44) e 46) tem- e, 1gua

d.Yk

ôxk d tt

l)x, d v

-dt= · - +bv - ·dt (')u dt

47)

que é a expressão da derivada do escalar Paru a diferencial total, tem· se

dr =

xk,

função composta de t.

I Ô- Xk . 1"• • d u + I -Ô~k . lk, • d v + I ((')- Xk . d u + -Õ.r.,~c . d v ) . 1,. J:ÔU

kÔV

k

ÕIL

ÔV

ou seja

48)

r1 r (tt , v)

= I cl Xk ( u , v) · ik k

que generaliza 3. 5, 25). Dão-se definicões e deduzem-se propriedades análogas para uma função P(tt, v).

3. 9.

Plano tangente e normal a uma superfície.

Porâmetros de Gauss. Seja o \·ector r (u, ·v) e a sua odógrafa, isto ó [3.1], a superflcie de equação r=r(tt,v); suporemos que a su perflcie é continua e que o vector r ( u , v) admite derh•adus parciais finitas e continuas sobre toda a regiõ.o da superficie que considerarmo!'. Os desen\·oh·iroeotos que vamos fazer .exigem a consideração de dois istemas particulares de linhas sobre a superficie. Fixemos um valor, u 0 , do parâmetro u e consideremos o conjunto dos pontos da superficie que conespondem a esse valor fixo uo; o lugar desses pontos é, o.1aoifestamente, a odógrafa do vector

154

CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL

r(uo, v)= R(v) e e!!sn odógrafa é uma wrva traçada sobre a super· flcie, c:urvm duda ero fuoçào do parâmetro variável único v • Tem-se, assim, correspondendo a cada valor de que é susceptível o parâmetro u, uma curva; o seu conjunto chama-se o sistema, ou familia, das curvas n = con. t. Anàlognmente se tem sobre a superflcie o sistema, ou famiUa, das curvas v= const., isto é, o sis· tema das odógrafus de r (u, v1), cujo parâm etro é u. Se admitirmos a univocidadt (além da continuidade), estabelecida no parágrafo 3.1 para a representação \'8Ctorial da superl1cie, isto é, que a cada pouto P corresponde um par tle valores de tt e v e reclprocameute, tem-se que por cada -ponto da superfície passa uma úuica curva de cada sistema (fig. 43) e que doas curvas do mesmo sistema não se cruzam (aliás llaveri'l. pares difereutes de valores de u v. .. ,... e v correspondendo ao mesmo ponto) a não ser em pontos excf'pcionais- em particular, se uma das curvas dum sistema se redu.-; a um ponto, por esse ponto passa uma infinidade de curvas do outro sistema (jã. veremos um exemplo). Daqui resulta que as curvafl das duas famllias cobrem a superficie, formando sobre ela uma rede, de modo tal que os pontos da superflcie podem ser individualizados pelas duas curvas, uma de cada farnllia, que po r lá passam e, por isso, elas podem ser consideradas como coonumadas dos pontos - chamam-ae as coordenadas curvili1Jeas dos -pontol!l da superflcie. Os parâmetros u e v que, como acabamos de ver, determinam sobre a superficie uma rede de coordenadas curviliueas, chamam-se p8rà.metros de Gauu. Uma equação da forma cy(u,v)=O que determine univocamente v como função de u, v = 1t (u), reduz o vector-espaço da sllperflcie a ser função, apenas, de um parâmetro~ r[u,1t(u)J=R(1t) - e, por coneeqoêocia, o Jogar quo corresponde às eqoa,ções r=- r (u, v) e ~ (u, v)= O é uma curva traçada sobre a st1perjieie; es&é. curva é em geral diferente das cun•as da rede . Reclprocamente, toda a curva. traçada sobre a soperficie resulta da existência duma relação particular v= f(u) entre tt e v e é, portanto, a odógrafa dum vector R(u)-r[u,f(n)].

155

PARÁGRAFO 9

E:cemplo. Consideremos a represen tação paramétrica da snperflcie esférica (3. 1, 3)) r(']), 6)=r cos 'P • sen 9 · i1 +r sen cp • sen 9 ·h+ + r cos 9 ·is. A rede de coordenadas corvilineas é aqui formada pela famflia de curvas e = con~t. - paralelos - e pela famllia de curvas f = const. - meridianos. Por cada ponto da superflcie passa uma curva de cada famllia (é o modelo do sistema das coordenadas geográficas) à excepção dos pontos P e P' onde, por se reduzirem a um ponto os paralelos, se cruza uma infi. nidade de meridianos.

Pio no tangente. Seja ~M (u 0 , v0 ) x .. um ponto da superficie e consideremos as duas curvas Cu 0 e C~0 da rede que passam por M; sobre C, 0 varia apenas v, sobre C.,0 varia u. As Fig. 44 derivadas parciais do vector r (u, v) tomadas oq ponto !rl são, pela sua própria definição e pela defini· ção de curvas da rede, os vectores tangentes [3. 5 ] a essas curvas

- (õr)

Ô'tJl

é o vector tangente à curva C,.0

,

(õ r)

tangente a C..0 •

Ô VM

Suponhamos que estes vectores, derivadas parciais, existem, não são nulos (nem colioeares) e são funções continuas de u e v; seja P o plano definido por eles. Vamos demonstrar o seguinte TEOREMA. Toda a curva com tangente, e:riste11le sobre a superftcie e passm1do pelo ponto M, tem a sua tangente sobre

o plano P. Seja C uma curva não pertencente à rede e nas condições da hipótese; o vector-espaço de que ela é odógrafa, é, pelo que se viu acima, um vector R (tt) =r [u, 1t (u)]. Suponhamos que v= 1t (u) tem derivada no ponto M e calculemos

(dR) . Visto que, por du M

b- r e -b r sno _ . h1pótese, continuas e como bn

bv

1t

,( )

u

é certamente dife-

rente de zero (caso contrário seria v=const. e C pertenceria à rede) pode aplicar·se J, 8, 44) e tem-se, para vector tangente à curva C,

166

CAP III. ANAliSE VECTORIAL

(dR) =(!!) +(õr) ·(dv) d-U

N

~

1t

J1

ÔV

M

d

U

igoaldadequemostra [1.7,44)] M

(!.:.)

(i:_')

qoe (dR) , e são coplaunres e que (dR) está, d rt M ÕU . M d V Jl d 1' J1 portanto, sobre o plano P. Ao plano P dá so o nome de plano tangente à. superficie no poo.to M; ~obre ele estão, pelo teorema demonstrado, todas as tangentes a todas curvas traçadas sobre a superfície que pas~am

por

l1f

(e que tõm tangente, claro).

O vector dr(u,v).

Pelo que acaba de ver·se, o vector dife.

ren.ci;-ol total de r (u , v) [3. 8, 45)] dr=!..:.· du

+ ~. dti

está dv sobre o pluno t angen te à superfleie no ponto em que são tomadas as derivadas parciais. É o vectm· infinitétâmo do plano fa11gent~, ass im como dr (u) é [3. 5) o vector infinitésimo da t11 nge nte à. ~u

CU r\· a r= r (1t). Normal. D efine-se nor-mal a om a superfície num ponto como a recta perpendicular ao plano tangen te nesse ponto; essa recta tem, consequentemente, a direcção do vector

49) Representaremos por n o vector 1tnitá.rio da normal; é

!E i\ ~r 50)

du õv __ n- _ _ __ .:.__

_ br)

mod(-br 1\ ôu bv

Equações cartesianas. Utilizando ns decomposições 3) · as do ponto, da superffcie, de que se trata, sendo as deri vadas parciais tomadas nesse ponto. Exemplo. Na representação da superfície esfériêa em parâmetros de Gauss r (s Xk (n) são continuas em todo o intervalo, e portanto em tL = ~, façamos tender u 0 e U para ~ ; por virtude da continuidade, Xk (1lk) tende para X ~c(~) e a igualdade acima dá-nos

J r(n). •U

7:"!)

lim

uo.u-~

0

"

U - uo

d1t

= r (C,) .

III. -Integrais curv ilfneo, de superflcie e de volume. As definições dão-se como na Análise ordinária e as propriedades são análogas, à parte os teoremas da média. Dado o vector, função de ponto, r (P) = r (x,, x,, xs) e um arco C, finito, duma cun•a continua e rectificável [3. 6] de equações xil = ~ (x 1 ), x 8 = tjJ (x 1 ), define-se integral c·m·vilineo ao longo de C pela igualdade

73)

j~r(x1 ,x 1

x 8 )·d x 1

=

lim~r(P 1)· h;

[onde P 1 (~;,'11; ,q é o ponto corresponden te ao valor, qualquer, 1 ~~ do intorvo.lo h, .- x~1 ) l e n, = cp (~t), ~ 1 = ~ (~;)] se este limite existe e é o mesmo qualquer que seja a maneira como se .JÇ divide o arco C em arcos parciais, qualquer que seja o ponto P, tomado em cada arco parcial, e (u,) qualquer que seja a maneira como os ht tendem para zero. Estas condições são verificaX,. das se r (x, , x 2 , x 8 ) é função continua de P, pois, na hipótese acima feita. sobre a curva C, o Fig. 46 segundo membro de 7::\) transforma-se num integral definido de vector função continua. de x,.

xt

166

CAP. III. ANÁLISE VEC TORIAL

Definem-se anàlogamente

J r ( P) · d :rs , v('

J r(P) · cls = lim L. r(P 1) ·.~i (v . fi~ . 4,\3). '

(~

E:cemplo. ecalcolemos

Seja uma curva O e dois pontos A («o) e B (u 1 ) dr t·ds. Como[ 3.6, 31)] t= - , tem·se( 1) Ân d$

f

(~uanto

às propriedades, verificam-se, entro outras, as seguintes:

74)

j' Ct

75)

r(P ) .d:c; = j' r(P) - dx, + j" r(P)·d te; ; + Gt

Cr

Ct

,. r(l')· rl x; = - j'r(P) - d x; .... - ü

("

e propriedades idênticas parn os integrais curvillneos j~ r ( JJ) • d s. Os integrais de superflcie e de volume definem-se sobre o mesmo modelo e as propriedades são análogas . Os teoremas da média não se verificam, mas gencraliza.se, na bipóte~:e da con tinuidade, a igualdade 72) deste parágrafo. É

J'l 76)

lim S-+ 0

r (x 1 , a.' :J. a-s) · d S

8

S

== r(P)

77) quando o espaço de integração (área ou volume) tende em todas as direcções para o ponto P, conservando·o sempre no seu interior.

(1,1 O vector função integraoda coincid e aqu.i com o vector de que a curva (' é odógrafa, o que se não dá, evidenfemcmte, em geral.

III.

APliCAÇÕES GEOMÉTRICAS.

Nos parágrafos 3. 5, 6 e 9 do presente capitulo foram já tratadas algu mas aplicações geomé tricas da An álise Vectorial; vamos ainda, a título de exemplo e para mostrar a fecundidade dos métodos deste r amo da Análise, resolver alguns problemas, que agruparemos sob duas rúbricas gerais- problemas de métl'ica e problemas de curvatura. Os problemas tratados seriio em número re trito; o leitor poderá, para roais amplo conhecimento da matéria, consultar as obras indicadas na nota bibliográfica do fim do capitulo.

3. 13.

Problem as de métrica. Superfícies.

Foi visto já no parágrafo 3. 6 como se define a métrica sobre uma curva torsa - 3. 6, 26) d s2 = dr Idr . V amos, por isso, ocupar-nos, apenas, da métrica sobre as soperficies.

A). Primeira forma quádrica fundamental. Seja uma superfl. cie, odógrafa. do vector r(u,v) [u A v parâmetroRdeGauss(3.9)] função continua e admitindo derivadas parciais finitas e continuas em toda a região da soperflcie sobre que lle operar. Consideremos a rede de curvas coot'denadas u = const., v = const ., e seja

3. 8, 45)

dr =

!!:. . d u + !~ . d v ~ tt

õv

o vector diferencial total que, como se sabe r3. 9], exi~te no plano tangente à superfície . Seja C uma curva da superfície, definida por uma relação v= rc (u) entre os dois parâmetros de Gauss, e supo· nhamos que C admite tangente, isto é, que pode escre\·er-se dv=TC' (u) - du; a cada curva C corresponde um veetor dr, tangente a C, existente sobre o plano tangente e individualisado pela relação d ·v = -rr' ( u) . d u; o seu vector finito tangente é

168

CAP. III.

dr br - = -cl tl ôu

78)

A NÁLISE VECTORIAL

+ -br- . 7!, ( 11) • bv

Define-se comprimento de arco elementar ds da curva C sobre a superfície pela ig ualdade 79)

d.• 2 = dr l dr=(~ · du +!E. -dv) I (~ · dn + ~ · dv). btt b1' bu bv

O critério adoptado para a definição da métrica sobre a supe1jicie é, como se vê, exactamente o mesmo que presidira já à definição da métrica duma cur va torsa qualquer [ 3. 6, 2ô)]. Desenvolvendo o segundo membro de 79), encontra-se 80)

d s2 = E . d tt2 + 2 I:' . d u d v

+

G . d v2

com

81)

E=~~'*~= (n·od~~y G =

I

~.: ~!. = (1JtOd b1;

ôV

!!.)

F=~ ~~ b tl b v

2 •

ÔV

É ao segundo membro de 80) que se dá o nome de primeira forma quadrática fundamental da teoria das supe1jícies e dela depende tudo o que, sobre uma superficie, diz respeito a métrica. O comprimento de arco da cun·a C [v= rc (u)] entre dois pontos correspondentfls aos valores tio e u1 do parâmetro, tira-se mediatnmente de 80); tem-se

donde 82)

s=+j~··· ~

v·

du

+

devendo tomar-se o sinal ou o sinal análoga à feita no parágrafo 3. 6.

B).

(dduv)ll -du

d t• +G · E +2 F'--'

conforme convenção

Ângulo de duas curvos da superffcie.

Sejam as curvas

C1 e CR da superflcie, definidas pelas relações v = n (u) e v= p (u)

PARÁGRAFO 13

169

. e seJam [78)] (dr) = -õr + -õr · r. , (n) e (dr) = -õr d lt 1 Õ U dV d ti 2 b tl os vectores tangentes respectivos (fig . 47). Cbama-se tlngulo das duas curvas ao ângulo dos seus dois vectores tangentes; seja ele w, tem-se [1. 14, 100)]

+ -õr . p' (tt) dV

donde resulta imediatamente, efectuando o produto interno do nomeFig. 47 rador, atendendo aos valores 81) dos coeficientes da forma e notando que de 79) resulta mod dr=ds,

83)

cos~

=

E + F[ 1! 1 (u) + p' (tt) ] + G r.' (n). p' ín) . VE+2 Fr.' (u) + G[r.' (u)y . E+ 2 Fp' (n) + G [p' (u)]11

v

Se as duas curvas pertencem à rede das curvas coordenadas, esta expressão simplifica-se; com efeito, para a curva 0 1 , tt= const .,

é

(~!.) = !..:_ dn1

logo cos r,} • cos &>

84)

e para a curva 0 2

V=const ., é (dr)

,

{)v

= cos ( {)r - - ' õr) -

e de F {)u {)n = V E · V G · cos &l resulta

I

rltt!J

= !..:., bu

{)r {)r {)r õr - = mod - . ))tOd õu õv õu õv

= -

•

F

cos w

=V EU.

Daqui se conclue que se F =O é

&J

= ~ e reclprocamente (1), 2

logo a condição necessária e suficiente para que a 1•ede de curt•as coordenadas seja ortogonal [3. 9 ] é que tJeja F = O; no. primeira.

(t) Supõe-se que se trata de pontos em que existe plano tangente à superfície e em que, portanto, o denominador não é nulo nem infinito.

liO

CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL

forma quadrática íundlameutal nii.o existe, entiio, termo rectangular. É o que acontece, por exemplo, na superffcie esférica em que, como se viu [3. 9, exemplo] é

-bõr'f = 1' 8611 o

• d a .

Problemas de curvatura.

I. - Curvas torsas. Seja G nma curva, torsa em geral, odógrafa do vector r(s), onde o parâmetro s representa o arco, com as convenções estabelecidas nos parágrafos 3. 5. e 3. 6. Suporemos que o vector r (s) admite, para todo o ponto da curva, um derivado não nulo e que, além disso, é derivável até à ordem exigida pelos cálculos.

Triedro de Serret. Consideremos, tomado num ponto M, dr o vector (3. 6, 31 l] t = - que é, como se sabe, unitário . Resulta ds A).

desse fu.cto que tlt = 1, donde, derivnndo em ordem as, tldt =0, ds

o lJ. ue mostra que dt - e. perpen d'1cu 1ar a t. da dt tário de isto é, façamoR d:; '

89)

dt

-=~·n

ds

seJa.

.

n o vector um-

i> o.

Ao vector n dá-se o nome de normal p1'Í11cipal à curva no ponto !Jf, e ao plano definido por t e n o de plano osculado1· à curva. Consideremos ainda o vector 90)

ao vector b, normal ao plano osculador, dá-se o nome de bino?·rnal à curva no ponto M.

172

CAP. III.

ANALISE VECTORIAL

Ao triedro trirectangular definido pelos três vectores unitários t, n, b chama-se t?·iedro de Serret da curva. Como se vê, esse triedro não é fixo, ''aria de ponto para ponto da cuna. Os três planos do triedro de Serret são (fig. 48): o plano de t e nplano oswlador; o plano de t e bt plano rectificante; o plano de n e b plano normal. Para que o sentido do triedro de c Serret fique determinado, é necessário e suficiente fixar os sentidos dos veca tores t e n ; ora t é, como se sabe Flg. 48 [3. 5 e 3. 6] dirigido no sentido em que o arco s cresce; basta, por conseq aência, determinar o sentido de n . Esse sentido t! tal que o tlngulo de -+

MM'= ó.r(s) com n é agv..do. Para o verificar, desenvolvamos 6. r (s) pela fórmula de Taylor; vem [3. 7, 38)] 6. r(.O. Esta propriedade pode exprimir-se dizendo que o vector n está di1igido no se11tido da concavidade da curva no ponto M . Notemos, de passagem, que a fórmula de Taylor, acima escrita, ó.r(s) = ó.s. t

+.!..... ~-~ 3 • 21

[). .

n t 6 (s)] mostra [1. 7,44)] que

173

PARÁGRAFO 14

-

. MM'= .6. r (s) está no plano dos vectores t e À. n + 6 (s); yuando As tende para zero, isto é q uando M' tende para M sobre a curva, ). . n + 6 (s) tende para À· n e esse plano tende, portanto, para o plano osculador, logo o plano osculador· é a posição limite do M, um ponto M', vizinho de M sobre a

plano definido pelo ponto curva, e o vector t .

B). Fórmulas de Frenet. Consistem essas fórmulas nas expressões das derivadas dos vectores t, n .• b em relação ao arco s. Comecemos pelo vector t; tem-se [89)] dt = À· n; Yejamos a ds

significação do coeficiente ~. Para isso, tracemos, com centro num ponto O arbitrário, (fig. 49) urna esfera de raio unidade. Quando o ponto M se desloca sobre a cuna, o vector eqnipoleote a t tirado por O descreve sobre a superfície dessa c esfera uma curva que se chama indicatriz das tangentes ; seja a o arco da indicatriz, contado a partir dum ponto A' que se faz correspondbr a Fig. 49 A, origem dos arcos sobre O; toma-se como sentido positivo do arco a aquele em que a cresce com s. Ao deslocamento infinitésimo As de !J1. sobre a curva correRponde, na iudicatt·i~, o deslocamento A a que mede o ângulo .6. O das tangentes nos pontos lYI e M'; pela hipótese feita da derivabilidade, t é função continua de 8 e .6. a é, portanto, infinitét:imo com t:u. dt d t da Pela lei de derivação da função de função, tem-se - = - · ds

da

ds

dt

dt que mostra que e têm a mesma direcção e sentido visto que d8 d (J . - por ser a crescente com s; ora -dt é -da é um esca I ar postbvo ela de um vector unitário, visto q ne d t da

=

lim .6. t e, pela métrica adopfl.a-+OÃa

. rnod .6. t ta da nas curvas torsas [ 3 . 6] , é l tm = 1 ; é portanto fl.a-+0 .6. a

174

dt

-

da

CAP. III.

=

ANÁLISE VECTORIAL

n e em virtude de 89) pode escrever-se

91)

rlt

da

r/.-:

ds

- = - ·D

--+

da da . !:J.a Vejamos a sigoificaç1io ge>oruétrica de -- ó - = lun ---= cl11' ds óa~oó. s -

. t,. O l ~m .

A este l'IOHte, ' . que me de a ve l oct'da d e de vannção na

ós-OÓ.s

direcção da tangente à curva C, chama-8e curvatto·a de jlexao, ou p1·imdra cut·vatura, ou, simplesmente, curvatu1·a da curva no ponto

M e representa-se por .!:._, chamando a p raio de cun•atura da ~

curva no ponto 'j{, Tem-se, por consequência,

ti a 1 l = - ,._,d8 9

92)

--+

dt

-

1

= - · D.

ds

f

Dá.-se, ainda, o nome de centro de cun;atura dn cun·a no ponto M à extremidade do vector p · n com origem nesse ponto. Passemos a.r;ora ao rectot· b. De ser b unitário, resulta, como

para t, b

I tI

I{(

b ds

= O e como, por outro

lado, é b 1t

tI

b d t + dlb =O donde, por 92), ddb = O, logo da r ..~ s diculnr a b e t, está na direcção de n , isto é,

93)

db

= O,

~d· ~ ,

8

tem-se per pen-

v>o. <

- = p.·D

ds

Para determinar /J., procedamos, em relação às binormais b, exactamente como acima em relação às tangentes; construida a indicatriz das bioormais o charnundo cr' ao arco dessa indicatriz, d b d b da' cl b tem-se -- = - · e é, por uma ra:;:ão análoga à de cimn, ds do ' ds clri' um vector unitário, logo

9-!)

db

-

do'

= +n. -

' PARAGRAFO 14

175

d a1 d a' /::,. a' /::,. e· Quanto a - , tem-se lim = fim - , chamando d8 ds àt-+0 /::,. s ... o /::,. 8 e' ao ângulo das duas binormai~:~ vizinhas. Este limite, que mede a velocidade de variação da direcção da binormal ou, o que é o mesmo, a velocidade de variaçi'io da direcção do plano osculador e, portanto, a maior ou menor intensidade segundo a qual a curva difere duma curva plana, chama-se segunda cu?·vatltra ou torsdo da curva no ponto jjf, e escreve-se

95)

da'

1

d8

T

-r raio de torsl1o.

A torsão pode ser positiva ou negativa; atendendo a 94) e 95), . db db da' rib a denvada - = - . escreve-se - =

1

.

+- · n e o smal da - -t tors3o depende, por consequência, de serem ou não do mesmo sends

d a' d s

ds

c

tt'd o os vectores -db e n.

.

.. a torooveocwnan d o tomar como posttl\'a da são quando esses dois vectores são de sentidos contrários (o que eq uivale, como fàcilmente se vê, a tom.ar como sentido positivo de movimento das binormais quando s cresce, o sentido directo), tem-se db 1 96) - = - - -n. ll s 't'

Ocupemo-110.,, ji11almente, do vector n. De n =h 1\ t [consequência dn db dt de 90)] resulta - = - 1\ t + b 1\ donde, por 92) e 96) ds

97)

ds

ds

dn 1 1 - = - - -t+ - ·b. d8 p 't'

É às fórmulas

j

9~) ~ a = Oí~) 1

97)

.Q

db

ds =

rl n

_!_ • n P

1

-- -:;- ·

1 p

n

-- = - - . t d.~

+ -1 . b '!'

116

CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL

qne se dá. o nome de fórmu.las de Frenet. Se a curva C é plana., o plano osculador é o plano da curva, a binormal é constantemente perpendicular a e se plano e portanto a torsiio é idênticamente nula; à primeira curvatura cbama-se então, simplesmente, curvatura da curva plana. C). Cá lculo das curva,turas. reeulta imediatamente que

J P

98)

Da primeira fórmula de Frenet

dt = ds

- - mod -

d2r

1110d-.

d s2

Da segunda e primeira resulta

db

1

1

dt

d2r

-=- -· p ·- =-- . p · - ; ds -r ds -r d ,q::J

por outro lado,

db , mu 1.t1p )'1can do esca )anDente Igaalaodo os doia vnlores rle -d$ .

I

I

. l'fi d _ !___ • d r d r ~ dr 1\ d·' r t!:_:l r , por -d2r e snmp 1 can o, vem 'r ds 9 dg1 ds dtJd2 ds 2 donde, por 98) e atendendo às propriedades do produto misto 2

2

[1. 15] 99) Costuma, ainda, definir-se cw·vatura total duma curva torsa como o número Ir. tal que

100)

1 d ll - =mod-. k

ds

177

PARÁGRAFO 14

A terceira fórmula de Frenet mostra imediatamente que, por serem t e b perpendiculares entre si, é 101)

Se o parâmetro não é o arco, isto é, s~ a curva C' é descrita vectorial mente por um vector r (u}, calculam-se fàcilmente, a partir de 98) e 99), lUI expressões das cnn::turas. Tt>m-se, pela lei de derh·açiio da função ele função, dr du

dr d s ds du

-=- ·- ,

donde, depois de simplificações evidentes,

Oa, r

por ser t = -dr ds

dt)

. , . e ang ( t , - = - r. nmtar10 ds 2

tem-se

2 d2 r logo, de 98) resulta mod dr - ;\ -d r) = mod( ds ds 3 · ds 2

102)

e de 99) tira-se 103)

clLCULO VBOTORIAL

12

' CAP. III. ANALISE VECTORIAL

178

D).

Expressões cartesianas. Seja r(s)= ~~k(s) · 4 a decomk

posição cartesiana do vector que descreve a curva C, isto é, sejam .Xk = Xk (s), !c= 1, 2, 3, as equações carte5iana~~ da curva. T~m-,se imediatamente

104)

lOõ) 1013)

dr

=

t = -

ds

drrk .

Ik

·1•

ds

n = p , d t = o , I d' :ek . i k rls

'

k

h=t/\D=f~·

d s 11

is

x~ (s)

i2 x2(s)

x~ c-~)

x~· (s)

x~ (s)

x:i(s)

it

Os coeficientes do plano oscolador, proporcionais às coordenadas da biuormal , são 1M) A=~·~-~·~; E=~-~-~·~; 0= ~·~-~-~ (derivadas tomadas em relaçiio a s). Para as curvaturas, tem-se: de 98):

1

108)

I

p

[x~ (s)Jl

de 99): 109)

2 D _ 1 1 .D_ D -; = P • - I [xi-'(s)f

=I x~:e~

k

1

(s) .xj, (s) a:8 (t) (s) w~ (11) x8 (s)

:r~· (s) x~· (s) x8' (s)

Se o paríimetro do vector não é o arco s, resulta de 102) que

110)

1 p

-

(AB =

I

+ Bll + az)9

(::r

onde A, B, C são dados por 101) mas com as derivadas tomadas em relação a tL •

PARÁGRAFOS 14 e 15

179

De 103) e 110) tira-se, para a torsão, 111)

1

o

-; =r .

c:y . 1

D

1

1

= A2

+ Bz + (}2.

D I

onde D 1 é o determinante D de 109) mas com as derivadas tomadas em ordem a u .

3. 15.

Problemas de curvatura.

li.- Superffcies. Seja uma superficie S, odógrafa do vector r (u, v) que supomos função continua dos parâmetros de Gauss u e v e admitindo, em relação a eles, derivadas parciais até à ordem

exigida pelos cálculos em cada ponto da superfície; supomos ainda que as der i vadas de 1. a ordem são diferentes de zero. A). Normol. Plano tangente. No parágrafo 3. 9 definiu-se vector unitário normal à superflcie pela igualdade

3. 9, 50)

n

N

=

--

modN

= ------

mod ôr - ; \ôr) -

(h

õv

Deste vector deduz-se fàcilmente outra expressão, onde figuram os coficientes da primeira forma quadrática fundamental

Flg. li()

[3. 13, 80) e 81)]. Com efeito, de 1. 14, 103) resulta 2

mod õr - ;\ õr)] [ ( bu bv

+ (õrlbr) _ õu bv

9

2

=

(

br) · ( mod õr)s mod-

bu

õv

180

CAP. III.

que, em

virtnd~

br) mod ( -ôr A-

de 3. 13, 81 ) se escreve =

~v

õu

ANÁLISE VECTORIAL

.1 vEG-F!! logo

1 ~r ôr , n = -=. - !\ - - I l -= EG - F:J. VH ~u ôv

112)

O pl a n o tang ente em M à superfície é, como se sabe, o plano perpendicular à normal nesse ponto; a sua equação vectorial é,

portanto,

-~õr NP - 1\ õr - = 0. ÔU ÕV

113)

B). Segunda lorma quadrática fundamentaL No p ar ágrafo 3. 13 definiu-se a pri meira forma quadrática (eru d u e d v) da teoria das superficies e viu-se que dsla dependem ae suaa propriedades métri· cas . Vamos a.gora definir outra forma quadrática em d1t e dv, com a qtml e~tão ligadas as proj)riedades de curvatura da superflcie. Essa forma define-se como igual ao produto escalar - dr' d n . Tem-se, por consequência,

- dr I d = -

~r

n= -

I

(ôbur.d

u

õr · d v) bv

(~~I~ n + b r

On . d tts -

~u ~v

llu õu

bl/

I

·

I(bn . õu

du

b n) . d u d v -

f)a

+ ~ n.d v) = õv

~r

~v

I

õn . d v~'

ÕV

isto é,

114)

- dr Id n

= D • d u:J + 2 D' · d u d v

.J..

D' 1 • d 'I?

com

lló)

D=-~r~õn, õa du

D 11

=

_

õrlõn. õv õv

A estes coeficiences pode dar-se outra for ma; deriraodo as rela-

. hl

ções evtdentes -

0u

õrl

n =O, - n =O em relação a u e v, tem -se bv

PARÁGRAFO 15

D

=

18 1

I

õ9r n' D' =

dull

~I n' buôv

2

I

D" = õ r2 n donde, sub.:.ti toindo n ôv '

pelo seu valor 112), 116)

I

D = _!_. õ r ôr I\ õ~r

VIl õu õv

I

õu 2 '

I

D ' = _1_ . õ r ôr I\ ~ ô 1t bv bubv'

vH

2

D'' = _!_ . õ r ô r I\ ô r . VH ôu õv ôv2 Vamos ver, por alguns exemplos, como aos problemas de curvatura interessa, de facto, a forma 114).

O). Curvatura normal duma curva sobre a superffcie. Seja C uma curva traçada sobre a superficie S, t o vector unitário da tangente a essa curva e ·n 1 o vector unitário da soa normal prin-

dt

cipal [3. 14] , dirigido, como se sabe, segundo d

,

seja ainda n

11

o vector unitário da normal à soperflcie. Os dois planos (t , n), nor mal à soperflcie, e

(t, d,, dt) ,

oscula-

dor à curva O, são, eru geral, di ferentes; se representarmos por a o ângulo de dt com n, o ângulo dos dois planos é a ou

ds

1r-

a

conforme n for dirigido ou não para o mesmo lado da superficie

dt

que - . ds Posto isto, consideremos o produto escalar

dtln, ds

que repre-

1 1 sentaremos por N . É [3. 14, 92)] N = - . n1 I n = - · cos 11; e

p

p

182

CAP. III.

como, por serem

t

ANÁLISE VECTORIAL

I +tI d

e n ortogonais, se tem dt n

ds

n =O, ds

vem N=_!_·cosa = -tlrln=_drldn=_drldn ou s('ja por P ds ds ds d sR 114) e 3. 13, 80)

117)

1

N=-.

COSO- n equação 123) tem duas raizes reais em d v, logo há duas assintóticas reais e o ponto diz. se

du hipe,·bólioo; h) ponto em que D' 3 - D · D '' = 0 na duas assintóticas siio coincidentes e o ponto diz-se parabólico; c~ ponto em que D''- D . D''

relAção que é válida qualquer que seja a direcção do deslocamento ~

infinitésimo determinado pelo vector d P. A significação desta igualdade completa-se com a s,e guinte propriedade- se existe um

200

CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS

--

--+-

vector u tal que, para qualquer deslocamento i11flnitésimo d P do campo, se tenha d U

-

= u I d P,

Com efeito, da igualdade grad

-

é necessàriamente

UI d P =uI d P,

u = grad O .

verificada para

d P qualquer, resulta (1. 13, 6. 8 ] u = gmd U. Suponhamos que o ponto vizinho de P,

-

P2= P + d P está sobre a própria superfície de nivel que passa por P e, sobre ela, numa direcção qualquer; a relação 17) Ftg. ~ mantém-se e como é, neste caso, d U =0, tem-se que o vectm· grad U (P) é normal à superfície de nivel qtte passa pelo ponto P. Determinemos o sentido de grad U; para isso, voltemos a considerar o ponto Pt sobre a superfície de nlvel correspondente a U + d U e suponhamos d U >0; a igualdade 17) dá então

-

grad UI d P >O que mostra que o ângulo dos vectores grad U e d P é agudo, isto é, que o vector grad (J está dirigido no sentido em que o valor da fttnçào do campo attmenta. Estas propriedades permitem precisar o que no parágrafo anterior se disse quanto às relações de grad U com a derivada dirigida do escalar U. Seja a superfície de nlvel que passa por P e n o vector unitário normal a essa superficie. Como grad U tem a

direcção de n, a igualdade [4. 2, 15)]

bU - = bn

~i! = grad UI n bn

mostra que

+ mod grad a = ±

(devendo tomtlr-se o sinal + ou o sinal - conforme n e grad U tiverem o mesmo sentido ou o contrário) e ainda que

18)

bU ·D= grad U. bn

201

PARÁGRAFO 3

i:J). Potencio!. Seja o campo vectorial r (P). Se existe uma função U(P) contloua, uniforme e derivável tal que, para todo o ponto P do campo se tenha r = - grad U

10)

diz-se qne o campo r (P) deriva do potencial U(P) ou que o campo r(P) tem potencial. À função U(P) dá-se então o nome de potencial·escalar do campo.

G). Propriedades do gradianle. Além das propriedades já assinaladas no parágrafo 4. 2, convém mencionar mais as seguintes:

V - Se U (P) = const é grad U = O • Resulta imediatamente da definição [ 4. 1, l )].

2.• -- Se U1 , U2 , • · • Un sl'Lo escalares funçiJes do ponto P (x 1 , x 2 , x 3), admitindo derivadas pa1·ciais, e se f(U 1 , U2 , • • • Un) é uma .funçl'Lo escalar admitindo derivadas parciais, contínuas em relaçélo a U1 , · · • Un, tem-se 20)

Com efeito,

I _!L:r, · i1 = I (I _!Lu"' · ~ x,0 k) · i1 I_!_C (I ~ Uk · i1 ) l') .

grad f =

~

1

1

~

k

=

~

k

~ uk

1

~

a:1

Casos particulares. a). Se f( U, , · · · U,.) = Ut + ·· · + U~ , tem-se

õf

- - = 1, donde õ u~. 21) k

k

b). Se f( Uz , • · • U,.) = ~ P• • U,, sendo P• escalares constantes, é

õf U..

~

= P•, donde

i

(1) A demonstração vale, evidentemente, nas condições, menos restrictiva11 que a continuidade das derivadas parciais, sob as quais é válida a regra de derivação da função compoata (ver qualquer tratado de Análise).

202

CAP. IV.

grai~p• . U1 = ~p;. grad U;

22) c).

lfEORIA DOS CAMPOS

~f

.

U

Se .f=p. U, com p função de pon to, é b

=

p,

~~ """õ;' =

U,

logo

grad (p · U) = p. grad U + U · gradp

23)

igualdade que completa a primeira de 4. 2, 8).

3.•- Ê 24)

gr·ad(r I s)=r /\7'0t s + sf\ roi r+r I v s+s I v r.

Com efeito,

grad(rls) =

I -~- (rls) · ik = Iik ·(~Is)+ Ii.· (ri~). 1:

Ora, r 1\

~ :Ck

(ik A~') ~~

~ Xk

k

= (r I~) ~~

bX k

k

·ik- (ri h).~

donde

~~

e aoàlogamente

Fazendo os soruatórios em !c e adicionando, vem [4. 2, 6)] grad(rls) =r 1\ 7'0ls

~ ~s ~ br + s 1\ 1·otr + .c-ak.+ ~bk . k

~

Xk

~

l·

:rk

donde, por 4. 2, 11) se deduz 24). Esta igualdade pode escrever·se doutra maneira que põe em evidência as derivadas dirigidas dos vectora11 r e s; com efeito, de4. 2, 16a) resulta, fazendo modr=r, mods=s,

24 a)

bs

õr

br

~

!J1'ad(r Is)=r (\rol s+ s 1\.?·ot r+ r· - + s - . s

PARÁGRAFOS 3 e 4

203

4.a- Gradia nre da distância. Seja O a origem dos eixos e P(xk) um ponto variável; consideremos o vector r = P- O= ~ x • . ik k

e façamos r= modr. É

P-0

~õ)

gradr= - - r

igualdade que exprime que o gradiante da disttlncia dum ponto variável P à origem é igual ao vector unitário de vector P-O=r. IDfecti va mente, da igualdade

r2

= ~

xz

tira-se, diferenciando,

xk

= ( ~ - · lk Id P logo,

k

r ·

d ,.

=

L

Xk •

d Xk donde dr =

k

L-;x:k · d k

por 1 7) é grad r =

~ Xk • ik k

r

r

'

:rk

\k

r

• )

_,.

= _}_ . r . ,.

A iguulclade 25) vale ainda, como imediatamente se verifica, quando O é, não a origem, mas um ponto fixo qualquer de coor· danadas (ak), constantes.

4. 4.

O operador divergência.

A). Vector e campo solenoidais. Seja o campo vectorial, admitindo derivadas parciais, r (P); o campo escalar dele deduzido pelo operador divergência, diz-se solenoidal quando em todo~; os pontos do campo for divr =O; r diz-se então, também, um vecwr solenoidal. Para designar um campo solenoidal usa-se também a expressão campo sem fonte (Qnellenfrei); a razão deste nome será vista adiante [ 4. 9], quando se tratar da significação física da divergência.

8).

Propriedades.

Além das que foram vistas no parágrafo

4. 2, mencionaremos as seguintes : 1.~ -

Se a é um vector constante, é diva= O; efectivamente, . ~ .Y,, O nessa h1pótese é - - = . ~ .~.

2.a- Se p e r sl1o um escalar e um vector fwru;tJes de ponto, tem-se

26)

div (p • r)

= p · di v r

+ grad pIr .

204

CAP. IV.

TEORIA DOS CAMPOS

Com efeito, de 4. 2, ó) tem-se div (p.

r)=~ i~: I _!_ (p. r)= ~ :; • rl .1·1 • clx9 • No trajecto para a segunda face den tro do paraleliplpedo, v~ sofre, em X~

s

o X

X~ J

Fig . 57

ÔV 9

virtude do acréscimo d x 2 , um acréscimo d v11 = - - · d .1:2 , de modo ÔX2

que pela face da direita sai uma qnhntidade de fluido igual a q2

=

(v + ô 9

Vg.

d x 2)

•

d Xt • d

ÔX2

x

O excesso do fluido saldo sobre

8•

o entrado na unidade de tempo é, então,

õ 1:.a

qlt- q1 = -

ô .1'2

· dT .

Raciocinando do mesmo modo para os outros dois sistemas de faces paralelaa, do paraleliplpedo, tem-se que o excesso, positivo ou negativo, de fluido saído sobre o entrado em todo o paralelipfpedo elementar é

õl)

vj + -+ ô . -ô Vs) ·dT=dwv-dT.

ô ( -ôa:1

Vg

bxll

ba:s

Este excesso provém, se o fluido é, como se supôs, de densi· dade constante, da existência, dentro do paraleliplpedo elementar, de fontes: positivas (produção, excesso positivo) ou negativas (absorção, excesso negativo); se o fluido não é de densidade constante

CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS

ll20

a existência do exces~o pode ser interpretada corno uma condição de compressibiltdade. Estendamos agora o racioclnio a todos os paraleliplpedos elementares em que o volume T ficou dividido pelo triplo sistema de planos acima coo iderado; o flui do saído por cada race duro paralelipipedo elementar é fluido entrado no paralelipl pedo que lhe está adjacente por essa face. No interior de S as somas de sas quanti· dadas de fluido anulam-se, de modo que o limite da soma dos termos 51) ou seja

jji' div v · d'

T

é o excesso total do fluído saldo

sobre o entrado atra,•és da superflcie S; mas esse excesso é, como acima foi visto, o fluxo total do vector v (P) através de S, ou seja [ 4. 7, 49)] T =

j ~)~ v In · da,

donde, igualando, se obtém 50).

Observações. 1. a - A igualdade 50) r e pousa, como se viu pelo raciocioio feito, sobre a hipótese da continuidade e derivabilidade de v(P) em 't' e sobre S; se assim não for, ela não é válida os dois membros podem não existir ou existir e ter valores diferentes.

2. 3

Na região do espaço exterior a 8, o vector v(P) pode ser descontinuo ou não existir; se isso se der, em vez de se considerar a semi-normal exterior toma-se a interior; não há mais que mudar o sinal ao sentido da normal e, portanto, ao integral de superflcie que dá o fluxo; o teorema tom eotão por expressão aoaHtica.

3.a- Supôs-se, no raciocfn io feito, que o volume 't' era limitado por uma s(l superficie fronteira 8, encerrando um \'Olume simplesmente conexo ; mas o teorema é válido em condições mais gerais (ver, por exemplo, R. Courant, loc. cit. pág. 313). É válido, em particular, quando o volume T for limitado por uma superflcie fechada continua S e por outras superfícies fechadas, também continuas, S1, Se, etc. (número finito) interiores à primeira (fig. 58); o fluxo total é então a soma dos fluxos através de s' sl' sll'- .. . Simplesmente, há que atender aos sinais das semi-normais a

221

PARÁGRAFOS 8 e 9

essas fronteiras limitantes internas; se a semi-normal n for orien· tada como em 50), para o ex-terior de T, essas sarni-normais devem ser orientll.das, co mo mostra a fig. 58, para o interior das super· flcies limitantes internas.

4. • - Se no campo vecto· rial interior a 8 existem des· continuidades (pontos, linhas ou superfícies) procede-se, para o seo estudo, do modo seguinte - isola-se a descontinuidade por uma superfície fechada, continua, 81 que a envolva completamente e aplica-se o Fig.~ teorema de Ostrogradsky·Ganss ao volume interior às duas superflcies S e S, , como acima foi indicado, procurando determinar para que tende o fluxo ~:~.través da Bllperftcie 81 quando ela tende, em todas as di'rec· ções para o lugar de descontinuidade. Veremos um exemplo no parágrafo seguinte. Expressão cartesiono.

e o=

L eos (n, :vk) • ik

Seja v(P)

=

~vk ·i. o vector do campo

a sarni-normal exterior a S. A igualdade

~

50) escreve-se, como é óbvio,

53) 4. 9.

Consequências do

teorema de Ostrogradsky-

-Gauss. 1.•- Campo solenoidal. Soponbamos qne o campo vectorial v ( P) é eolenoidal l4- 4] isto é, que div v= O em todo o ponto do campo. O integral triplo do primeiro membro de 4. 8, 50) anula-se portanto e tem-se

54)

J'J;

v I n · d ~ =O

CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS

que mostra que em todo o campo solenoidat é nulo o flu:co total através de qualquer supe1jície fechada continua interior a esse campo. Tem-se portanto aqui uma condição suficiente para que no interior da superflcie S não haja produção nem destruição de fluido, não baja font e, positiva nem negativa, visto que, o fluxo total sendo nulo, a quantidade de fluido entrado é igual à de floirlo saido através da superCicie. Por isso, como acima :se disse [4. 4] , os campos solenoidais se chamam também campos sem fonte. A condição não é, evidentemente, necessária visto que pode haver fontes positivas e negativas locais cuja acção ,s e equilibre. Se, porém, o fluxo - - - - ... é nulo através de qualquer superficie fechada compreendida no campo considerado, é então

j JJ div v . d

T

= O

para T qualquer, dondedivv - 0 em todo o campo, e o campo é solenoidal - a condição é, então, também necessária. Se o campo v(P) é o campo de velocidades dum fluido, a condição div v =O pode ser interpretada como a condição de incompressibilidade desse fluido. Outro aspecto da questii.o é o seguinte. Seja~, no campo soJenoidal, duas calotes de superfícies S, e Sa apoiando-se sobre um contorno fechado pelo qual passa uma porção de superfície S (um + sl e diafragma). Sejam TJ e Tz os volumes limitados por S + Sfl (fig. 59). O teorema de Gauss dá imediatamente, por ser div v - O tanto em -r: 1 como em -r:1 , Fig. 59

s

,

r) .

S+Sr

vln-da =j"j" •

S+S~

vin-da

223

PARÁGRAFO 9

sendo as normais orientadas como na figura. Desta igualdade tira-se

isto é, 110 campo solenoidal, o fluxo atravAs de qualquer calote de superficie apoiada num dado contorno fechado é constante. Esta pro· priedade será completada adiante (4. 13, 4.•]. Sempre que isto se dá, o fluxo diz-se conservativo. Consideremos, em particular, um tubo de força dentro do campo solenoidal e limitemo-lo por dois diafragmas Sz e Sz formando bases (fig. 60). Como a superflcie total S 8 1 + 3 é fechada, o teorema de

+

Gauss dá

j~ {

v I n . da= O e como o fluxo através de S

s + 1+ s~

j'j~ vln 1 -da=- fj~ vln 3 -da

isto é, a 1 3 quantidade de fluido entrado por uma das bases do tubo de fo?·ça é

é nulo [4. 7] vem

igual à quantidade de fluido satdo pela outra, quaisquer que sf[jam as bases e a sua forma. Descontinuidades. Suponhamos que no campo solenoidal há. um ponto de descontinuidade. Seguindo o método indicado em 4. 8, observação 4.a, isolar se-á esse ponto por uma esfera Sz ,p, de ceutro nele (fig. 61) e aplicar-se-á o teo· rema à região do espaço compreendida entre S e Sz . Como div v = O, o fluxo total através de S + 8 1 é nu1o e, por serem n e n~ as normais exteriores a -r, tem-se

JJ:

v I n · d 11

+

J'j; v I n~ ·

donde, por ser n~ = -

da = O

1

Dz ,

) . .vfsi'vln-du =j'j's, vln,.dl]

Fig. 60

t

isto é, o fluxo através de S é igttal ao fluxo através de 8 1 , qualquer que aeja Sz.

CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS

224

Façamos agora tender

S1

para o ponto

O e procuremos

p=limj'j' vln 1 -da; se esse limite existir, será, pela igual-

.,-o

S1

dade acima, j'j'vln-da=p.

-

• s

Seja ]Jil um ponto de S1 , e ~

mod O.M; Sfl o produto E. v é finito em O, o módulo da função integrando. v In 1 é inferior a E=

0:

-

Fig,

sendo o: uma constante pos sitiva; e como a área de integração 8 1 é 4 1t E~, o teorema da média dos integrais múltiplos mo~tra que o valor absoluto do iotearal é inferior a

61

4X

,;? ·

.!!.._ = 4 1t

(t.

S

donde p =0. Conclui-se daqui que o flu:ro total é ainda mdo através de S como se nc'lo houvesse ponto de de.~continuidade em O. 2. a - Teoremas do gradiante e do relacional. Do teorema de Ostrogradsky-Guuss tirum-se, como corolários, dois outros em que figuram um g1·adiante e um rotacional. Supõe-se, claro, que se verificam as condições iniciais. e). Façamos, na igualdade que traduz o teorema [4. 8, 60)], v= p . r onde p é um escalar função de P e r um vector constante. Tem-se [4. 4, 26)] div v = div (p ·r) = g1·ad pI r e, por outro lado, v I n = (p · n) I r. Substituindo em 4. 8, 50) \'em

j J'1 grad pI r · d

tante r I

J'JJ

T

=

J'js' ( p · n) Ir · da

grad p • d

T

=r I

Jl

donde, por ser r cons-

p · n. da. Nos dois membros

desta igualdade figuram integrais de vectores [3 . 12] qoe são, como se sabe, vectores, e da igualdade dos dois produtos escalares, verificada para r qualque1·, tira-se, [1. 13]

55)

j'j 'Jg,·ad p · d = JJ:P .n. da . T

(twrema do gradíante).

Deste teorema tira· se uma consequência interessante; façamos, em ambos os membros da igualdade, p = 1 ; vem

j'J:n .

da

=

O.

Ora da é o elemento de áre.a [3. 13, C)] e n . da o elemento de área orientada; por consequt\ncia, a igualdade anterior mostra que a área total orientada duma superficie fechada é nula. b).

Façamos v= u 1\ r sendo r um vector constante. 1'em-se

[4. 4, 27)] div v= div(u 1\ r)= r11·otu e v In = u 1\ rln=rln 1\ u donde, substituído em 4. 8, 50) e pela mesma razão invocada acima, se obtém

J

56)

fi1·otu. dT

~ffsn 1\

u

·da (teorema do rotacional).

Ê fácil escrever a expressão cartesiana destes dois teoremas.

3.a - lnvoriância dos operadores diferenciais. Os três teoremas: da divergência (Gauss), do gradiante e do rotacional tornam imediato o facto, já assinalado em 4. 2, C) num caso particular - que os tr~s operadores diferenciais são invariantes com o sistema de rejerDncia. Efectivamente, as igualdades 4. 8, 50), 55) e 56) permitem dar definições novas dos .operadores. Seja uma região simplesmente conexa -r do espaço, encerrada numa superflcie fechada e continua S. Seja P um ponto no interior de S, no qual é definida e continua div v, e façamos tender S em todas as direcções para P. Tem-se, como se sabe div v (P) = lim !_ T~O

. j'j"' (div v . d-r donde,

T

"T

em virtude do teorema de Ostrogradsky·Gauss

57)

div v ( f') = lim _!_ . T-+o T

CÁLCULO VECTORI~L

..

j j v I n · da = Um s

S-+P

flvln

III

·da

s ·---

d-r 15

CAP. IV.

226

TEORIA DOS CAMPOS

Anàlogamente, dos teorem as do gradiante e do rotacional se tira [3. 12, 77)] 1 " ...... grad p (P) = lim - · grad p • d T,

Jj j

T-+0 'r

rot v (P) = lim -1 · f-+0 'r

•

't

j'!"j rot v · d -r 1:

logo 58)

grad p (P) = lim_!_.

,.

jj

t ... o t

59) rot v ( P)

=

1 lim - · 't-+ 0 't'

p. n.

s

f'

d~; =

·'

JJ n A v · da = Um s

Jj"P ·n ·da

lim---=8s~P

JJI

--

dT

Jln v· A

J'Id

S4P

./

da

T

Como se vê, os segundos membros destas três igualdades, que podem ser tomadas corno definições dos operadores, não dependem do sistema de referência empregado, com o que fica estabelecida a invariância.

4. 10.

Fórmulas de Green.

Voltemos ao teorema de Ostrogradsky-Gauss 4. 8, 50)

j ·.rI div v · d

T

=

Jl

v In . da

válido nas condições expressas no parágrafo 4. 8. Seja U (P) um escalar função de P, contínua em t e sobre S, bem como as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem, e tal que V=gradU, o que equivale a supor que o campo vectorial v(P) derh·a do potencial escalar - V se U é, além de continua, uniforme. TE>m-se divv=divgrad U= Lap U[4. 6, 35)] e nlv -= nlgrad U, donde, substituindo, 60)

j'JJ

Lap U · d-r =

fj ~n Igrad U . d

q

(1.• fórmula rk Green)

PARÁGRAFOS 9 e 10

227

que exprime que o 1'ntegral do laplaciano de U estendido ao volume -r , nas condições gerais do tem·ema de Ostrograds!cy-Gauss, é igual

ao fluxo do gradiante de U através da superfície que limita -r • A 1. a fórmula de Green pode ainda escrever-se, notando que

[4. 2, 15)] nlgrad D ,..., ô D, ôn

J"fj'~ Lap U · d J·js' ô~U ·da .

61)

T

=

Conclui-se daqui imediatamente que se U é uma função harmónica ( 4 6, 38)] no domfnio considerado, tem-se

J'lôs -ônu· d a=O.

62)

Em particular, fazendo

?'

=

mod[P(xk)- O(at)], tem-se

63)

desde que S não encerre o ponto O(ak). Sejam agora U e V duas funções continuas em -r e sobre S, bem como as suas derivadas de primeira e segunda ordem, e tais que v = V· grad U. Tem-se [ 4. 4, 26)] div v = div (V· grad U) = = V· div grad U + grad V I g1·ad U = V· Lap U + grad V I grad U e n Iv 64)

= n I V. grad U =

JJi

V· ô U, donde, substituindo em 4. 8, 50)

ôn

(V· Lap U + grad U lgrad V). d-r=

j'J:v. ôõ~ .da

(2.• fórmula de Green).

Mudando, neste. igualdade, U em V e V em U e subtraindo ordenadamente, obtem-se

65)

õ u U- bnJ' ô !::'\ da· J"'jJ'(V-Lap U- U-Lap V)· d-r = j'Jt(s V- bn(3.• fórmula de G1·een).

228

CAP. IV.

TEORIA DOS CAMPOS

Se U e V são harmónicas, resulta daqui

JJ ( ~

65)

s

v) -da = O.

b u- U- -b V -bn bn

Em todas estas fórmulas, n designa sempre a sarni-normal exterior a S. Demonstra- se que as fórmulas de Green subsistem quando as derivadas de 2.a ordem apresentam descontinuidades eobre S, conservando-se porém finitas; para a demonstração, ver C. Jordan, Cours d'A11alyse, tomo 2. 0 pág. 176 e seg. 1

Façamos agora na 3. 1 fórmula de Green,

r

=mod[P(a:.~:)]- O(a~r que seja o ponto do plano em que essa singularidade se dê. No espaço passa-se uma coisa análoga- pode então haver, não só pontos, mas linhas de st11gularidade; em todo o percurso fechado que ~nvolva urna linha dessas, a circulação não é nula mas tem um valor constante, dependente apenas do número de voltas que ele dá em torno da linha de sigularidade. 2. • - Anulamento da circulação. Seja o campo vectorial v (P) uniforme, continuo e derivável, e suponhamos que a circulação 4 nula ao longo de qualquer curva fechada (O) do campo. Tem-se então que, para toda a calote de superfície imersa no campo e apoiada em (C) é

Jl

rotvln. da=O o que exi-

ge que seja rotv=O em todo ocampo,istoéquev=grad V. Tem-se portanto que é condi-

çtlo necessária pat•a que a ci1·· culaçi1o slja nula ao longo de todo o pe1·curso (O) do campo v(P) que ele seja irrotacional. Por outro lado, o anulamento da circulação sobre todas ns curvas fechadas do ••tg. 69 campo exclui a hipótese de não-uniformidade de V acima mencionada, logo o campo deriva dum potencial-escalar. É claro que o anulamento da circulação ao longo de qualquer curva fechada do campo implica que a circulação entre dois pontos quaisquer do campo é independente do caminho. Sejam (fig. 67) os pontos A e B; de ser r.dGBHA=O resulta f..tas=fAHB· A

238

CAP. IV.

TEORIA DOS CAMPOS

propriedade anterior pode, portanto, enunciar-se dizendo que é condiçllo necessária para que a circulaçllo no campo v (P) 11(70 dependa do caminho que ele derive dum potencial (v. o teorema sobre a condição suficiente no final do parágrafo 4. 11 ). 3. a - Superfície fechado. Seja uma curva fechada (C) nas condições habituais e doas calotes de superfície apoiadas em (C) (fig. 69) e imer11as no campo v(P) nas condições habituais tam· bém ; sejam n, e n2 as normais exteriores a 8 1 e 8 2 • Aplicando a cada uma das calotes o teorema de Stokes, tem-se

j. v Idr = J. rt•ot v In, . d a = J. r

79)

J8t

• C

.JSt

!'Ot v

In1 . da

donde

JJ~, 1·ot vln, ·da-

80)

s

fl,

1·otv ln, ·da= O.

+ s,

s~ja = s, a superficie fechada form ada pela reunião das duas e -r o volume interior a S; como a normal n , exterior a S, coincide com n, sobre S, e é igual a- n, sobre S,, a igualdade 80) escreve-se

81)

j

1

rot v In · da

=

O

que exprime que atrat:és de toda a superficie fechada S, continua e encet·rando tlm dominio simplesmente conexo, imersa num campo vectorial v (P) uniforme, continno e derivável, é 11ulo o fluxo do rotacional do campo. Esta propriedade fornece uma nova demonstração da identidade divrot v:=O, visto que, pelo teorema de Ostrogradsky·Gauss, se tem

j~j~rotvln·da = J~Jldiv1·otv·dT

e o anulamento deste

integral para T qualquer implica o anulamento idêntico da função integranda. Esta demonstração é mais ger al que a data em 4 . 6 C) por não depender do. sistema particular de rE-ferência. 4. 8 - Fluxo conservativo. Suponhamos que o campo v(P) é solenoidal ; o fluxo é, então, C01lsert;alivo [4. 9, 1.•]. É fáci l expri-

PARÁGRAFO 13

239

mir o fluxo através de qualquer calote de superfície, apoiada num contorno fechado (C), na circulação ao longo desse contorno. Efectivamente, de ser divv =O resulta v =-mtu e a igualdade 79) escreve-se 82) que exprime que num campo solenoidal ojlu::co do vector v do campo através de qualquer calote de superfície apoiada num dado contorno fechado (O) é igual à circulaçl!o do potencial-vector de v ao longo de (O).

5. a -

Fórmula de Riemann.

Suponhamos que o campo vectorial

v(P) está sobre o plano O::c,::c2 (ou lhe é paralelo) e seja, nas condições habituais, uma curva fechada ( G) do plano, encerrando uma região simplesmente conexa S. É, então,

n = i,, da = d ::c, · d ::c2,

donde, pelo teorema de Stokes,

83) 6. a - Teorema do grodianle . Seja v um vector de direcção fixa, que se pode pôr, portanto, sob a forma v= V. a com a fixo; apliquemos-lhe o teorema de Stokes; tem-se [4. 5, 30)] 1·ot v= rot (V· a)=grad V !\a donde nl1·ot v=nlqrad V !\a =ai nf\gradV; por outro lado, v Idr = a I(V· dr) logo, substituindo na expressão do teorema de Stokes vem fl . 13, 6.a)] 84)

j ~V· d r = J'.J ~n 1\ grad V. d

!1 •

7. a - Comparação dos teoremas de Gauss e Stokes. Estes doi11 teoremas apresentam uma semelhança curiosa de conclusões:

a) ambos estabelecem, em determinadas condições, a independência

do integral pelo qual se exprimem em relação ao campo de

240

CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS

integração (fluxo conservativo ou indepf:lndência da circulação em relação ao caminho);

b) quando essa independência se verifica, é nulo o integral ao longo duma curva fechada (Stokes) ou sobre uma superflcie fechada (Gauss).

4. 14.

Resumo.

Seja o campo vectorial v ( P), uniforme e continuo, bem como as suas derivadas parciais de 1. 1 e 2. 8 ordem. Recordemos as seguintes definit;Des: a) Campo solenoidal, ou sem fonte (Quellenfrei)- aquele em que

divv =O. b) Campo irrotacional, ou lamelar, ou sem tu.rbilhllo (Wirbelfrei) -aquele em que rotv =O. c) Campo com potencial- aquele em que há uma função V( P) uniforme, continua e derivável, tal que v :c:: grad V. Estabeleceram-se as seguintes p1·opriedades:

1! - Todo o campo com potencial é irrotacional [4. 6, 45)]; em todo o campo v(P) irrotacíona.l existe um escalar V(P) tal qne v= grad V [4. 6, B), 2.']. 2.•-Todo o campo cujo vector é rotacional de outro é solenoidal [ 4. 6, 46)] ; em todo o campo v (P) solenoidal existe um vector u ( P) (potencial-vector) tal que rot u =v [ 4. 6, C), 2. •].

3. a - Em todo o campo solenoidal é nulo o fluxo total através de qualquer snperflcie fechada interior a esse campo, nas condições do teorema de Ostrogradsky-Gan~s [4. 9, 1. 1] ; em todo o campo solenoidal, o fluxo é conservativo [ 4. 9, 1. •J; em todo o campo solenoidal, o fluxo do vector v do campo através de qualquer calote de superficie apoiada num contorno fechado (C) é igual à circulação do potencial-vector de v ao longo de (C) [4. 13, 4!].

PARÁGRAFOS 13 e 14

241

4.a-o fluxo do rotacional do campo v( P) através duma su perficie fech vectorial 28; dum sistema 104 i dum tensor 107. Orientação dum segmento 2; dum sistema de eix os 28-30; duma área plana 46-48 ; dum volume 61 ; do espaço ( axialidade) 47; da normal a uma superfície 215; dum elemento de área 225; do percurso sobre uma curva 230-231.

ÍNDICE ALFABÉTICO DE MATÉRIAS Ortogonal. Transformação linear 88, ~G-99. Ortog1dicula•·idade. Condições de--: de dois vectores 54; de rectas, de planos, de recta c plano 65. Comportamento em face das transformações lineares 94-~5. Plano. Equações 34-36, 54, lí9-60, 127 i perpenclicularidade e paralelismo de - - a recta e plano õ5; tangente a uma superfície 155-156, 157, 1~0; normal a uma curva 172. Polar. Escalar-- 48 i vector-- 48. Potencial-escalar 201, 212i-- vector 213; vector--212; campo com --201, 211, 232, 235-237, 238, 240. Primitiva !