Calculo Variacional

February 23, 2017 | Author: Rafael Malanchini Esteves | Category: N/A

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Monografia do Curso GA-015

Métodos Variacionais Raúl A. Feijóo(1), Edgardo Taroco(1) e Claudio Padra(2) (1) Laborat´ orio

Nacional de Computa¸c˜ ao Cient´ıfica

Av. Get´ ulio Vargas, 333, Quitandinha, Petr´ opolis, RJ, Brasil (2)

Centro Atómico Bariloche, 8400, Bariloche, Argentina

Programa de Pós-Gradua¸caõ em Modelagem Computacional LNCC–Laboratório Nacional de Computa¸caõ Cient´ıfica

Fevereiro, 2004

2

Índice 1 Motiva¸ c˜ ao

I

1

Introdu¸c˜ ao ao C´ alculo Variacional

2 Introdu¸c˜ ao 2.1 O problema da Braquistócrona . . 2.2 Geodésicas em Rd , d≥3 . . . . . . 2.2.1 Geodésica sobre esferas . . 2.3 Problema de Controle de Dire¸caõ 2.4 Problemas Isoperimétricos . . . . 2.4.1 Problema da catenária . . 2.5 M´ınima Superf´ıcie de Revolu¸caõ . 2.6 Comentários . . . . . . . . . . . .

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3 Formaliza¸ c˜ ao do C´ alculo Variacional 3.1 Diferencial Gâteaux de um Operador . 3.2 Diferencial Gâteaux de um Funcional . 3.3 Nota¸caõ Variacional . . . . . . . . . . . 3.4 Lemas de du Bois-Raymond e Lagrange

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15 . . . . . . . . . . . .

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4 Equa¸co ˜es de Euler 4.1 Extremos, Extremos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Equa¸caõ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Casos Especiais da Equa¸caõ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Segunda Forma da Equa¸cão de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Gradiente de um funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Problemas Variacionais com Condi¸co˜es Subsidiárias. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Condi¸co˜es subsidiárias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Funcionais Dependendo de Várias Variáveis Independentes . . . . . . . . 4.9 Funcionais Dependendo de Derivadas de Ordem Superior a Primeira . . . 4.10 Funcionais dependendo de várias fun¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Condi¸co˜es Naturais de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

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17 17 19 21 24 25 27 28 29

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33 33 36 45 46

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51 52 54 55 61 62

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71 75 79 82 84 86

4.12 Varia¸cão Geral de um Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.13 Extremos com Pontos Angulosos. Condi¸co˜es de Weierstrass-Erdmann . . . 100 4.14 Problema Inverso no Cálculo Variacional. Operadores Potenciais . . . . . . 108

II

Os M´ etodos Diretos no C´ alculo Variacional

5 M´ etodos Variacionais 5.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Método dos Res´ıduos Ponderados . . . . . . . . 5.2.1 Método de Coloca¸caõ . . . . . . . . . . . 5.2.2 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Condi¸co˜es de Contorno Não-homogêneas 5.3 Método de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 M´ınimo de um Funcional . . . . . . . . . 5.3.2 Sequências Minimizantes . . . . . . . . . 5.3.3 Método de Ritz . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Condi¸co˜es de Contorno Homogêneas . . 5.4 Método de M´ınimos Quadrados . . . . . . . . . 5.5 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

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111 . . . . . . . . . . . .

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O C´ alculo Variacional na Mecˆ anica

6 A Formula¸ c˜ ao Variacional 6.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Deforma¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Movimento. Taxa de Deforma¸caõ . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 A¸co˜es de Movimento. Restri¸co˜es Cinemáticas . . . . . . . 6.3 Dualidade entre For¸cas e A¸cões de Movimento. . . . . . . . . . . . 6.4 Dualidade entre Esfor¸cos Internos e Taxas de Deforma¸cão . . . . . 6.5 Equil´ıbrio e Compatibilidade em Corpos Livres . . . . . . . . . . 6.5.1 Princ´ıpio da Potência Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 O Teorema da Representa¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Princ´ıpio da Potência Virtual Complementar . . . . . . . . 6.6 Equil´ıbrio e Compatibilidade em Corpos com Restri¸co˜es Bilaterais 6.6.1 Princ´ıpio da Potência Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 O Teorema da Representa¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Princ´ıpio da Potência Virtual Complementar . . . . . . . . ii

113 . 113 . 114 . 116 . 119 . 137 . 141 . 141 . 146 . 147 . 158 . 165 . 168

171 . . . . . . . . . . . . . . .

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173 . 173 . 174 . 174 . 178 . 183 . 186 . 187 . 190 . 191 . 192 . 195 . 196 . 197 . 198 . 201

7 Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸c˜ oes 203 7.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.2 Material Elástico. Comportamento Uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.3 Extensão a Estados M´ ultiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.4 Princ´ıpios Variacionais (Corpos Livres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 7.4.1 Princ´ıpio do Trabalho Virtual (Corpos Livres) . . . . . . . . . . . . 212 7.4.2 Princ´ıpio de M´ınima Energia Potencial Total (Corpos Livres) . . . . 213 7.4.3 Equa¸co˜es Locais e Condi¸co˜es de Contorno (Corpos Livres) . . . . . 213 7.4.4 Compatibilidade. Princ´ıpio do Trabalho Virtual Complementar. Princ´ıpio de M´ınima Energia Complementar (Corpos Livres) . . . . 215 7.4.5 Princ´ıpio de M´ınima Energia Complementar P.M.E.C. (Corpos Livres)217 7.5 Princ´ıpios Variacionais. Restri¸co˜es Bilaterais. . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.5.1 Princ´ıpio do Trabalho Virtual (Restri¸cões Bilaterais): . . . . . . . . 220 7.5.2 Princ´ıpio de M´ınima Energia Potencial Total P.M.E.P.T. (Restri¸co˜es Bilaterais) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.5.3 Princ´ıpio do Trabalho Virtual Complementar P.T.V.C. (Restri¸cões Bilaterais) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7.5.4 Princ´ıpio de M´ınima Energia Complementar P.M.E.C. (Restri¸co˜es Bilaterais) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.6 Pr´ıncipios Variacionais. Restri¸co˜es Unilaterais Perfeitas (Sem Atrito) . . . 223 7.6.1 Princ´ıpio de M´ınima Energia Potencial Total (Restri¸co˜es Unilaterais)224 7.6.2 Princ´ıpio de M´ınima Energia Complementar (Restri¸co˜es Unilaterais) 226 7.7 Princ´ıpio de Min-Max. Funcional de Hellinger-Reissner . . . . . . . . . . . 226 7.7.1 Princ´ıpio de Hellinger-Reissner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.8 Funcional Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.8.1 Princ´ıpio Variacional Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.9 Teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.10 Cotas para Deslocamentos e Cargas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . 234 7.11 Problema da Elastodinâmica (Restri¸co˜es Bilaterais) . . . . . . . . . . . . . 239 7.12 Solu¸caõ Aproximada dos Problemas Variacionais . . . . . . . . . . . . . . . 242 7.13 Problema da Elastostática. Restri¸cões Bilaterais . . . . . . . . . . . . . . . 242 7.14 Solu¸caõ Aproximada do Problema Variacional de Hellinger-Reissner . . . . 248 7.15 Solu¸caõ Aproximada do Princ´ıpio Variacional Generalizado . . . . . . . . . 251 7.16 Algoritmos Numéricos para Problemas de Contato em Elastostática . . . . 254

IV

Apˆ endices

A Defini¸co ˜es e Nota¸c˜ oes A.1 Espa¸co Vetorial Real . . A.1.1 Subespa¸co . . . . A.1.2 Variedade Linear. A.2 Transforma¸co˜es Lineares.

259 . . . . . . . . . . . . . . . . Transla¸caõ de . . . . . . . . iii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . um Subespa¸co . . . . . . . . .

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261 . 261 . 262 . 262 . 263

A.3 A.4 A.5 A.6

O Espa¸co L (U, V ) . . . . . . . . Funcionais . . . . . . . . . . . . . O Espa¸co Dual Algébrico . . . . . Alguns Elementos de Análise Real A.6.1 Sequências . . . . . . . . . A.7 Limite e Continuidade de Fun¸co˜es A.8 Espa¸cos Métricos . . . . . . . . . A.9 Espa¸cos Normados . . . . . . . . A.10 Espa¸cos com Produto Interno . .

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B A Convexidade no C´ alculo Variacional B.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Fun¸cões Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Semicontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4 Diferencial no Sentido de Gateaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5 Minimiza¸caõ de Funcionais Convexos. Caracteriza¸cão do Ponto de

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263 264 264 265 267 269 270 273 279

281 . . . . . 281 . . . . . 283 . . . . . 283 . . . . . 284 M´ınimo 284

C Exerc´ıcios 287 C.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

iv

Lista de Figuras 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ponto de cela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Máximos, m´ınimos e pontos estacionários . . . . . . . Viga apoiada em ambas extremidades . . . . . . . . . Viga engastada em x=0 . . . . . . . . . . . . . . . . Viga engastada em x=0 com descontinuidade em x=a

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. 2 . 5 . 5 . 11 . 11 . 11

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11

Problema da Brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geodésica em 0, ∀x ∈ [0, L] 1

(1.2)

2

Cap´ıtulo 1. Motiva¸caõ

Figura 1.1: Viga I = I(x) é o Momento de Inércia da se¸c˜ ao transversal que também satisfaz a condi¸cão I ≥ I0 > 0, ∀x ∈ [0, L]

(1.3)

Da equa¸caõ (1.1) podemos observar que, se existe uma solu¸cão u, existirão infinitas já que v = u + f (x), onde f (x) é uma fun¸caõ arbitraria tal que sua derivada segunda seja identicamente nula, também é uma solu¸cão. Vemos assim que o problema ainda não esta totalmente definido sendo necessário incluir outras informa¸co˜es. Estas informa¸co˜es adicionais estão associadas ao valor que a poss´ıvel solu¸cão u = u(x) e suas derivadas até um certo ordem (no presente problema até a terceira ordem) assumem nos extremos do intervalo [0, L] isto é, em x = 0 e x = L. Estas condi¸co˜es são chamadas condi¸c˜ oes de contorno que, para o exemplo da Figura 1.1, correspondem à condi¸cão de viga engastada u(0) =

du du (0) = u(L) = (L) = 0 dx dx

(1.4)

Para completar a defini¸cão do problema, falta ainda definir o grau de regularidade da fun¸cão u. Desde o ponto de vista clássico, a equa¸cão (1.1) terá sentido somente se admitirmos como m´ınimo que o carregamento transversal q seja uma fun¸cão continua (q ∈ C(0, L)), o dado f´ısico (comportamento do material - Modulo de Elasticidade de Young) e o dado geométrico (momento de inércia) sejam fun¸cões de classe C 2 (E, I ∈ C 2 (0, L)). Com estas restri¸cões, o modelo fica definido pelo seguinte problema de valor de contorno-P.V.C.: Determinar u ∈ C 4 (0, L) tal que · ¸ d2 u d2 E(x)I(x) 2 = q(x), ∀x ∈ (0, L) dx2 dx du du u(0) = (0) = u(L) = (L) = 0 (1.5) dx dx q ∈ C[0, L], E, I, ∈ C 2 (0, L) Como o leitor pode observar, este tipo de abordagem para formular (modelar) um determinado problema apresenta sérias desvantagens. Por exemplo, no problema f´ısico

3 que desejamos modelar dificilmente encontraremos tanta regularidade. O carregamento q geralmente é caracterizado por uma fun¸cão descontinua e, muitas vezes pode ser representado por uma fun¸caõ tipo delta-Dirac (que corresponde a um carregamento pontual). Algo similar pode acontecer com as propriedades do material e/ou geometria da viga que poderão também ser caracterizadas por fun¸co˜es descontinuas. Neste caso o P.V.C. (1.5) não poderá ser visto da maneira clássica sendo necessário estender (ou generalizar) o conceito de derivada (derivada generalizada). Outra desvantagem da formula¸caõ clássica surge no momento de tratar de calcular a solu¸cão do P.V.C. Em geral, os métodos dispon´ıveis exigem um grau de conhecimento matemático muitas vezes fora do alcance dos profissionais em engenharia, biologia, etc. Em outros casos, os métodos existentes não são suficientes para determinar uma solu¸cão seja pela complexidade do P.V.C. (por exemplo não linearidade), seja pela complexidade do dom´ınio onde esta definido o P.V.C. Como mencionamos no inicio desta se¸caõ, outra forma de modelar o problema f´ısico é empregando a formula¸c˜ ao variacional. Neste caso, o problema é formulado, por exemplo, através da algumas das seguintes formas • Determinar u ∈ U tal que ½ ¾ Z u = arg min F(v) = f (v)dΩ def

v∈U

(1.6)

Ω

• Determinar u ∈ U tal que Z F(u, v) =

f (u, v)dΩ = 0 ∀v ∈ V

(1.7)

f (u, v)dΩ ≥ 0 ∀v ∈ V

(1.8)

Ω

• Determinar u ∈ U tal que Z F(u, v) = Ω

onde U é o conjunto de fun¸c˜ oes admiss´ıveis ou fun¸c˜ oes testes e V é a variedade linear associada. Como veremos no decorrer deste curso, esta abordagem pode ser considerada natural tendo em vista sua rela¸caõ intr´ınseca com o homem. Em particular, os problemas variaicionais despertaram o interesse do homem desde sua origem. Por exemplo, o caminhar em linha reta para alcan¸car um ponto vis´ıvel de destino é uma solu¸c˜ ao instintiva do homem para encontrar o extremal do problema: dados dois pontos em um plano, A de partida e B de destino, determinar o caminho que tenha o menor comprimento poss´ıvel. Outro exemplo surge quando desejamos realizar uma tarefa f´ısica. Neste caso o ser humano tratara de realizá-la seguindo o caminho do menor esfor¸co poss´ıvel. Mais formalmente, empregaremos a expressão problema extremal toda vez que se deseje determinar o maior ou o menor valor poss´ıvel de uma certa quantidade. Por exemplo, desejamos determinar o ponto mais alto de uma montanha (ou o ponto mais baixo num

4

Cap´ıtulo 1. Motiva¸caõ

vale) ou o caminho de menor comprimento unindo dois pontos de uma superf´ıcie. A formula¸c˜ ao e solu¸c˜ ao destes e outros problemas similares, é uma área da matemática conhecida como C´ alculo Variacional e Métodos Variacionais respectivamente. Desde um ponto de vista formal, o problema de minimizar (ou maximizar) uma dada expressão integral é considerada como o dom´ınio próprio do Cálculo Variacional. Por outro lado, o problema de minimizar (ou maximizar) uma fun¸cão pertence ao C´ alculo (de fun¸cões). Historicamente ambos problemas surgiram simultaneamente não existindo uma clara distin¸cão entre ambos até que Euler, em 1732 (tinha somente 25 anos!), deu os primeiros passos no desenvolvimento de um método geral para a solu¸cão de problemas variacionais quando apresentou a solu¸caõ geral do problema isoperimétrico: encontrar entre as curvas planas de comprimento dado aquela que limite a maior área poss´ıvel. Outro grande passo no desenvolvimento do Cálculo Variacional teve origem nas contribui¸cões de Lagrange quando, aos 19 anos!, manteve ativa correspondência com Euler. Euler trabalhou intensamente no desenvolvimento do método proposto por Lagrange, publicando seus resultados somente apos os trabalhos de Lagrange serem publicados em 1760 e 1761. Estes trabalhos conjuntamente com o trabalho de Lagrange (Méchanique Analytique, 1788) estabeleceram as bases para a solu¸caõ geral dos problemas variacionais. Antes de proceder ao desenvolvimento formal das ferramentas do Cálculo Variacional (e métodos associados) vamos a considerar um conjunto de exemplos simples que permitira fornecer uma visão geral dos elementos que integram o Cálculo Variacional. Suponha que desejamos encontrar o ponto mais alto em uma montanha onde a altura esta dada pela fun¸caõ h = f (x, y) (1.9) onde, para simplificar, suporemos que f (x, y) é uma fun¸cão cont´ınua e suficientemente regular nas variáveis x e y. O problema do ponto máximo (ou m´ınimo) esta associado intimamente com o conceito natural de compara¸c˜ ao e distancia. De fato, se a gente se encontra no topo da montanha todos os pontos da mesma deverão ter altura menor. Encontramos aqui uma caracter´ıstica dos problemas de extremo: a compara¸cão entre pontos que poderão estar próximos ou distantes do ponto onde estamos parados. Logo, na defini¸cão do conceito de ponto mais alto (baixo) devemos primeiro definir o conjunto dos pontos com os quais faremos a compara¸cão. Se neste conjunto todos os pontos que o integram estão próximos ao ponto onde estamos parados teremos que o conceito de extremal é um conceito local. Neste caso diremos que estamos procurando um máximo (ou m´ınimo) local. Se o conjunto engloba todos os pontos da montanha teremos um máximo (ou m´ınimo) global. Na procura do extremal local, podemos restringir a compara¸cão a pontos arbitrariamente próximos (infinitesimal) a nossa posi¸caõ. Neste caso, todos os pontos terão, dentro de uma aproxima¸caõ de primeira ordem, a mesma altura. Em outras palavras a taxa de varia¸caõ da altura deve ser nula em qualquer dire¸c˜ ao adotada (estamos supondo que o ponto onde estamos parados é um ponto interior do conjunto e esta é uma condi¸caõ fundamental em nossa análise). Certamente, se a taxa de varia¸caõ para uma dada dire¸caõ for positiva isto diz que existem, nessa dire¸cão, pontos mais altos próximos a nos. Por outro

5

Figura 1.2: Ponto de cela

Figura 1.3: Máximos, m´ınimos e pontos estacionários lado, se a taxa for negativa a gente poderá mover-se em dire¸cão oposta dando lugar a uma mudan¸ca positiva indicando, mais uma vez, pontos mais altos. Assim, vemos que valores negativos ou positivos da taxa de varia¸caõ da altura são exclu´ıdos se um máximo (ou m´ınimo) local é requerido no ponto onde estamos parados. Chegamos assim formalmente ao principio de que a fun¸caõ alcan¸ca um ponto extremal máximo se ∇f (x, y) · dx ≤ 0 ∀dx admiss´ıvel

(1.10)

e um ponto extremal m´ınimo se ∇f (x, y) · dx ≥ 0 ∀dx admiss´ıvel

(1.11)

∂f ∂f , ], dx = [dx, dy] ∂x ∂y

(1.12)

onde ∇f (x, y) = [

Se o ponto (x, y) é interior, verificamos que se dx é admiss´ıvel então −dx também é admiss´ıvel, logo da expressão (1.10) ou da expressão (1.11) obtemos ∇f (x, y) · dx ≤ 0 ∀dx ⇒ ∇f (x, y) = 0

(1.13)

Entretanto, devemos observar que satisfazer este principio não é suficiente para garantir um ponto extremal. Como mostrado na Figura 1.2, para certa dire¸caõ temos um máximo e para outra um m´ınimo. De maneira mais simples, a Figura 1.3 nos apresenta todos os casos discutidos. O estudo de pontos onde a taxa de varia¸cão em toda dire¸cão é nula é importante. Pontos onde isto acontece, são pontos excepcionais que recebem o nome de pontos estacion´ arios. Em particular o equil´ıbrio de certos sistemas f´ısicos requer valores estacionários

6

Cap´ıtulo 1. Motiva¸caõ

para uma certa expressão integral (ver a expressão (1.6) onde estamos procurando a fun¸caõ u ∈ U de maneira a minimizar (ou maximizar) o valor que toma a expressão integral F(u)), ou requer que o valor que toma uma certa expressão integral seja nula ou satisfa¸ca uma desigualdade para toda dire¸caõ admiss´ıvel (ver expressões (1.7) e (1.8) onde v ∈ V corresponde a uma dire¸caõ admiss´ıvel). Retornando ao problema da viga, cuja modelagem clássica foi caracterizada pelo problema de valor de contorno (1.5), veremos agora como este problema fica caracterizado através da formula¸c˜ ao variacional. Para isto, definamos primeiro o conjunto de fun¸co˜es admiss´ıveis ou fun¸co˜es testes ½ ¾ du du U = u suficientemente regular, u(0) = (1.14) (0) = u(L) = (L) = 0 dx dx Com a expressão suficientemente regular desejamos enfatizar que a fun¸cão u deve ter a regularidade necessária para que as opera¸co˜es matemáticas a serem realizadas tenham sentido. Fora deste requisito, a caracteriza¸caõ de U somente requer a imposi¸caõ de restri¸cões f´ısicas evidentes (condi¸c˜ oes principais de contorno). Como as restri¸co˜es são homogêneas, este conjunto é um espa¸co vetorial onde as opera¸co˜es de adi¸caõ e multiplica¸cão por escalar estão definidas. Seja u = u(x) solu¸caõ do P.V.C. dado pelo conjunto de expressões (1.5). Neste caso é evidente que u∈U (1.15) Por sua vez, para toda v ∈ U se verifica que ¸ ¾ Z L½ 2 · d d2 u E(x)I(x) 2 − q(x) v(x)dx = 0, ∀v ∈ U dx2 dx 0

(1.16)

Com este resultado, podemos pensar em caracterizar a solu¸cão do problema da viga pela expressão anterior (compare isto com a equa¸cão variacional (1.7)). Para que isto seja correto, temos que verificar que, satisfazer a expressão (1.16) seja equivalente a satisfazer o P.V.C. (1.5). De fato, do grau de regularidade existente em U e admitindo a regularidade necessária nos dados geométricos (I = I(x)), nos dados associados ao material da viga (E = E(x)) e de carregamento (q = q(x)), temos ½ 2 · ¸ ¾ d d2 u E(x)I(x) 2 − q(x) ∈ C(0, L) Φ(x) = (1.17) dx2 dx Admitindo a existência de um ponto xo ∈ (0, L) tal que ¸ ¾ ½ 2 · d2 u d E(x)I(x) 2 − q(x) |x=xo 6= 0 Φ(x) = dx2 dx

(1.18)

pela continuidade de Φ, existe um intervalo Ixo = (xo − ², xo + ²) para ² suficientemente pequeno dentro do qual a fun¸caõ conserva seu sinal. Por outro lado, sempre poderemos

7 escolher a fun¸caõ v ∈ U que tenha o mesmo sinal de Φ no intervalo Ixo e seja nula fora do mesmo. Do anterior obtemos ¸ ¾ Z L½ 2 · d d2 u E(x)I(x) 2 − q(x) v(x)dx = dx2 dx 0 ¸ ¾ Z xo +δ ½ 2 · d d2 u = E(x)I(x) 2 − q(x) v(x)dx > 0. (1.19) dx2 dx xo −δ Chegamos assim a uma contradi¸caõ resultante de supor que Φ(xo ) 6= 0. Por tanto Φ(xo ) = 0 e, como xo é um ponto arbitrário do intervalo (0, L), temos ½ 2 · ¸ ¾ d d2 u Φ(x) = E(x)I(x) 2 − q(x) ≡ 0, ∀x ∈ (0, L) dx2 dx

(1.20)

(1.21)

Chegamos assim a dois resultados. O primeiro é chamado Lema Fundamental do C´ alculo das Varia¸c˜ oes: seja Φ ∈ C(a, b) tal que Z

b

Φ(x)v(x)dx = 0 ∀v ∈ C[a, b] ⇒ Φ ≡ 0 ∈ [a, b]

(1.22)

a

O segundo resultado esta associado à equivalência entre o problema de valor de contorno (1.5) e o Problama Variacional: Determinar u ∈ U tal que ¸ ¾ Z L½ 2 · d2 u d E(x)I(x) 2 − q(x) v(x)dx = 0, ∀v ∈ U (1.23) F(u, v) = dx2 dx 0 compare este resultado com a expressão (1.7). Podemos avan¸car ainda mais. Integrando por partes a expressão(1.23) temos ¸ ¾ Z L½ 2 · d d2 u E(x)I(x) 2 − q(x) v(x)dx = dx2 dx 0 ¸L Z L ½ · µ ¾ ¶ ¶¸ · µ 2 d du d d2 u dv E(x)I(x) 2 v(x) + − E(x)I(x) 2 − q(x)v(x) dx = = dx dx dx dx dx 0 0 | {z } =0 j´ a que v∈U · ¾ ¸L Z L ½ d2 u dv d2 u d2 v = − E(x)I(x) 2 + E(x)I(x) 2 2 − q(x)v(x) dx = dx dx 0 dx dx 0 {z } | =0 j´ a que v∈U Z L d2 u d2 v = {E(x)I(x) 2 2 − q(x)v(x)}dx = 0, ∀v ∈ U (1.24) dx dx 0

8

Cap´ıtulo 1. Motiva¸caõ Desta maneira, o Problema Variacional (1.23) é equivalente a: Determinar u ∈ U tal que Z L Z L d2 u d2 v G(u, v) = E(x)I(x) 2 2 dx − q(x)v(x)dx = 0, ∀v ∈ U dx dx 0 0

Introduzindo a nota¸cão mais compacta Z L d2 u d2 v a(u, v) = E(x)I(x) 2 2 dx dx dx 0 Z L l(v) = q(x)v(x)dx

(1.25)

(1.26) (1.27)

0

o problema variacional (1.25) toma a forma final: Determinar u ∈ U tal que a(u, v) = l(v), ∀v ∈ U

(1.28)

Da defini¸caõ da forma a(u, v) temos a(u, v) = a(v, u) ∀u, v ∈ U ⇒ simetria a(u, u) ≥ 0, ∀u ∈ U ⇒ positiva semidefinida

(1.29) (1.30)

e das propriedades impostas aos dados f´ısico e geométrico ((1.2) e (1.3)) temos ½ 2 ¾2 Z L du d2 u a(u, u) = 0 ⇔ E(x)I(x) dx = 0 ⇔ ≡ 0 ∀x ∈ [0, L] ⇔ dx2 dx2 0 du du ⇔ ≡ cte. ∀x ∈ [0, L] ⇔ ≡ 0 ∀x ∈ [0, L] condi¸cões de contorno! ⇔ dx dx ⇔ u ≡ cte. ∀x ∈ [0, L] ⇔ u ≡ 0 condi¸cões de contorno! (1.31) Deste u ´ltimo resultado obtemos mais uma propriedade da forma a(u, v) a(u, u) ≥ 0, e = 0 se e só se u = 0 ∈ U ⇔ positiva definida

(1.32)

Das propriedades da forma a(u, v) podemos obter o seguinte resultado. Proposi¸c˜ ao 1.1 (Unicidade) Se existe solu¸c˜ ao do Problema Variacional (1.28) esta solu¸c˜ ao é u ´ nica. Prova. Sejam duas solu¸co˜es diferentes u1 e u2 ∈ U, isto é u1 − u2 6= 0

(1.33)

Sendo solu¸co˜es de (1.28) satisfazem respectivamente a(u1 , v) = l(v); a(u2 , v) = l(v) ∀v ∈ U

(1.34)

9 subtraindo ambas expressões obtemos a(u1 − u2 , v) = 0 ∀v ∈ U

(1.35)

Por sua vez como v é arbitrário, podemos adotar v = u1 − u2 ∈ U obtendo a(u1 − u2 , u1 − u2 ) = 0

(1.36)

e da propriedade (1.32), temos finalmente u 1 = u2 = u

(1.37)

Isto é, se a solu¸cão existe ela é u ńica. Outro resultado importante que podemos obter das propriedades da forma a(u, v) é o seguinte. Definamos a seguinte expressão integral (funcional) 1 F(v) = a(v, v) − l(v); v ∈ U 2 Da defini¸caõ anterior e para todo v ∈ U temos

(1.38)

1 1 a(v, v) − l(v) − a(u, u) + l(u) 2 2 1 1 a(v, v) − a(u, u) − l(v − u) = 2 2 1 1 = a(v, v) − a(u, u) − a(u, v − u) 2 2 1 1 = a(v, v) + a(u, u) − a(u, v) 2 2 1 a(v − u, v − u) ≥ 0 e = 0 se e só se v = u (1.39) = 2 Do resultado anterior obtemos uma outra forma de caracterizar a solu¸caõ do problema da viga que estamos estudando: Determinar u ∈ U tal que F(v) − F(u) =

def

u = arg min F(v) v∈U

(1.40)

Compare este resultado com a expressão (1.6). ´ importante ressaltar aqui que as formula¸co˜es variacionais (1.28) e (1.40) embora E tenham sido obtidas através da formula¸cão clássica podem ser obtidas diretamente dos Princ´ıpios Variacionais da Mecˆ anica chamados, respectivamente, Princ´ıpio da Potencia Virtual e Princ´ıpio da M´ınima Energia Potencial Total. Neste momento podemos já observar algumas vantagens da formula¸cão variacional • a caracteriza¸cão do conjunto U é simples e o termo suficientemente regular pode agora ser definido com precisão dv d2 v e quadrado integráveis em [0, L] e dx dx2 dv dv v(0) = (0) = v(L) = (L) = 0}; dx dx

U = {v; v,

(1.41)

10

Cap´ıtulo 1. Motiva¸caõ • permite o estudo da unicidade da solu¸caõ.

Outra vantagem adicional na formula¸caõ variacional esta relacionada com o estabelecimento das condi¸cões de contorno. Quando tratamos de formular o problema da viga de maneira clássica a equa¸caõ diferencial não foi suficiente, sendo necessário incluir condi¸co˜es de contorno. Estas condi¸co˜es de contorno foram inferidas pelas caracter´ısticas f´ısicas do problema (viga engastada). Isto já não seria tão simples se, em lugar de solucionar o problema da Figura 1.1, for necessário solucionar problemas como os indicados nas Figuras 1.4 - 1.6. Assim, quais seriam as condi¸co˜es de contorno apropriadas para resolver estes problemas ?. Para o problema da Figura 1.4 somente podemos dizer que u(0) = u(L) = 0 e que du/dx esta livre nos extremos. De maneira similar, para o problema da Figura 1.5-1.6 temos que u(0) = du (0) = 0. Qual é a condi¸cão de salto no ponto x = a?. Assim, dx não temos informa¸co˜es suficientes para podermos integrar a equa¸caõ diferencial. Logo, como obter as condi¸cões de contorno faltantes?. O anterior não acontece com as formula¸cões variacionais (1.28) e (1.40). As condi¸co˜es de contorno anteriores são suficientes para definir os diferentes problemas de viga com precisão • Problema da viga da Figura 1.1. u(0) = u(L) =

du (0) dx

=

du (L) dx

=0

• Problema da viga da Figura 1.4. u(0) = u(L) = 0 • Problema da viga da Figura 1.5-1.6. u(0) =

du (0) dx

=0

Como já mencionado, estas condi¸co˜es são suficientes para formular corretamente todos estes problemas. Por esta razão são chamadas condi¸c˜ oes de contorno principais. Como veremos, as outras condi¸co˜es de contorno, necessárias para resolver os problemas de valor de contorno (forma clássica), são automaticamente satisfeitas pela solu¸cão do problema variacional. Em outras palavras, estas condi¸co˜es de contorno estão naturalmente incorporadas na propria formula¸caõ variacional. Por esta razão estas condi¸co˜es recebem o nome condi¸c˜ oes de contorno naturais. Para obte-las basta integrar por parte. Para isto, tomemos a formula¸caõ variacional definida em (1.28) e integremos por parte Z

Z L d2 u d2 v E(x)I(x) 2 2 dx − q(x)v(x)dx ∀v ∈ U 0 = a(u, v) − l(v) = dx dx 0 0 · ¸L · ¸a− d2 u dv d2 u dv = E(x)I(x) 2 + E(x)I(x) 2 dx dx 0 dx dx a+ ¸ · Z L Z L 2 d u dv d dx − q(x)v(x)dx E(x)I(x) 2 − dx dx 0 0 dx ¶ ¸L · µ ¶ ¸a− · µ d d d2 u d2 u = − E(x)I(x) 2 v(x) − E(x)I(x) 2 v(x) dx dx dx dx 0 a+ | {z }| {z } 1 2 L

11

Figura 1.4: Viga apoiada em ambas extremidades

Figura 1.5: Viga engastada em x=0 ·

¸L · ¸ a− d2 u dv d2 u dv + E(x)I(x) 2 + E(x)I(x) 2 dx dx 0 dx dx a+ | {z } | {z } 3 4 ¸ Z L 2 · Z L d d2 u + E(x)I(x) 2 v(x)dx − q(x)v(x)dx 2 dx 0 dx 0 {z } | 5

(1.42)

Da expressão (1.42) obtemos todas as equa¸cões e restri¸co˜es que a solu¸cão do problema de viga deve satisfazer • Equa¸caõ de equilibrio · ¸ d2 d2 u E(x)I(x) 2 − q(x) = 0 ∀x ∈ [0, a− ) e (a+ , L] 2 dx dx

(1.43)

• Condi¸co˜es de contorno principais – Para a viga de Figura 1.1 u(0) =

du du (0) = u(L) = (L) = 0 dx dx

(1.44)

– Para a viga de Figura 1.4 u(0) = u(L) = 0

Figura 1.6: Viga engastada em x=0 com descontinuidade em x=a

(1.45)

12

Cap´ıtulo 1. Motiva¸caõ – Para as vigas das Figuras 1.5-1.6 u(0) =

du (0) = 0 dx

(1.46)

• Condi¸co˜es de contorno naturais – Para a viga de Figura 1.4 d2 u d2 u (0) = (L) = 0 dx2 dx2 – Para as vigas das Figuras 1.5-1.6 µ ¶ d d2 u E(x)I(x) 2 (L) = 0 dx dx µ ¶ d2 u EI 2 (L) = 0 dx

(1.47)

(1.48) (1.49)

• Condi¸co˜es de salto – Para todas as vigas

·

µ ¶¸a− d d2 u E(x)I(x) 2 =0 dx dx a+ ¸a− · d2 u =0 E(x)I(x) 2 dx a+

(1.50) (1.51)

Finalmente, outra vantagem da formula¸caõ variacional quando comparada com a formula¸cão clássica, esta relacionada com os métodos para a obten¸cão da solu¸cão do problema. Como veremos em detalhe neste curso, a formula¸caõ variacional também proporciona de maneira natural os métodos de solu¸caõ. Métodos estes que exigem um conhecimento diferente do necessário para determinar a solu¸caõ do problema de valor de contorno. Por exemplo, se o problema variacional consiste em determinar u ∈ U tal que def

u = arg min F(v) v∈U

(1.52)

podemos apreciar que o espa¸co U (definido em (1.41)) é um espa¸co de dimensão infinita. Uma maneira natural para obtermos uma solu¸caõ aproximada un deste problema consistira em definir o problema em um subespa¸co de dimensão finita Un de U, onde n representa a dimensão deste espa¸co e ainda que para n → ∞ un → u na norma do espa¸co U. Assim, o problema variacional toma a forma: determinar un ∈ Un tal que def

un = arg min F(v) v∈Un

(1.53)

13 Como Un é de dimensão finita, sera poss´ıvel escolher uma base para este espa¸co, por exemplo {φi }i=1,···n , isto é Un = span {φi }i=1,···n (1.54) Do anterior, temos ainda vn ∈ Un ⇔ vn =

n X

bi φi , bi ∈ R

(1.55)

i=1

Substituindo este resultado em (1.53) obtemos o seguinte método numérico: Determinar bi ∈ R, i = 1, · · · n tal que ( n ) n X X1 F(vn ) = bi (1.56) bj a(φi , φj ) − l(φi ) = F(b1 , ..., bn ) 2 i=1 j=1 alcance um valor m´ınimo em Un . A expressão anterior é uma fun¸c˜ ao regular de n variáveis bi , i = 1, · · · n e, como já visto, a condi¸cão necessária de m´ınimo (em este caso também suficiente) consiste em: n

∂F(b1 , ..., bn ) X = a(φi , φj )bj − l(φi ) = 0, ∀i = 1, · · · n ∂bi j=1

(1.57)

A solu¸cão {b1 , b2 , ..., bn } do sistema de equa¸cões algébricas (lineares) anterior proporciona a solu¸caõ aproximada que estamos procurando un =

n X

bi φi

(1.58)

i=1

Vemos assim, que a formula¸caõ variacional proporcionou de maneira natural o método numérico para a obten¸cão da solu¸caõ aproximada e que a mesma é obtida através da solu¸cão de um sistema de equa¸co˜es algébricas. Tendo em vista os computadores, este problema resulta muito fácil de ser resolvido. O emprego de técnicas similares à presente é largamente utilizado nos problemas de Cálculo das Varia¸c˜ oes. Resumindo, neste cap´ıtulo foi apresentado de maneira superficial diversos aspectos presentes na Formula¸cão Variacional. A mesma se apresenta como a ferramenta mais adequada (natural) para modelar (formular) e resolver problemas da f´ısica e de outras áreas do conhecimento. Esta formula¸cão proporciona de maneira natural as condi¸cões de contorno (principais e naturais) e ainda fornece de maneira direta os métodos numéricos que podem ser empregados para a obten¸cão de uma solu¸caõ aproximada (por esta razão estes métodos recebem o nome de métodos diretos).

14

Cap´ıtulo 1. Motiva¸caõ

Parte I Introdu¸c˜ ao ao C´ alculo Variacional

15

Cap´ıtulo 2 Introdu¸c˜ ao Tradicionalmente o cálculo das varia¸cões está relacionado com o problema de determinar o máximo (ou o m´ınimo) de expressões que envolvem fun¸co˜es. Neste cap´ıtulo vamos apresentar alguns destes problemas, que são clássicos na literatura, e que influenciaram o desenvolvimento dos fundamentos teóricos do cálculo das varia¸co˜es e dos métódos associados para obter suas solu¸co˜es. A análise destes problemas nos permitirá detectar elementos comuns que, posteriormente, serão detalhados com o objetivo de formalizar nossa apresenta¸caõ.

2.1

O problema da Braquist´ ocrona

Todos sabemos que, ao cair, um objeto se acelera rapidamente sob a a¸caõ da gravidade. Esta constata¸cão levou Galileo a perguntar, em 1637, por que uma part´ıcula deslizando sem atrito sob a¸cão da gravidade sobre um arco de c´ırculo requeria um tempo para varrer dois pontos A e B deste arco não maior do que empregaria movendo-se sobre a reta que os une. Podemos dizer que o cálculo das varia¸co˜es inicia com Johann Bernoulli, quem em 1696 desafia os matemáticos da época a encontrar a braquist´ ocrona (do grego βραχιστ oζ ≡ o menor, χρoνoζ ≡ tempo), ou seja, a curva plana que, unindo os pontos A e B, proporcione o menor tempo de percurso para uma part´ıcula deslizando sem atrito sob a¸caõ

Figura 2.1: Problema da Brachistochrone 17

18

Cap´ıtulo 2. Introdu¸caõ

da gravidade. A solu¸caõ encontrada por Bernoulli, baseada em uma analogia ótica que empregava o princ´ıpio de Fermat da ótica, assim como as solu¸co˜es encontradas por seu irmão Jacob, por Newton, Euler e Leibnizt, mostraram que tal curva era uma ciclóide. De um ponto de vista mais formal este problema pode ser formulado da seguinte maneira. Para um certo instante de tempo t a velocidade da part´ıcula será: s p µ ¶2 2 2 dx + dy ds dy dx v(x) = = = 1+ (2.1) dt dt dx dt Por outro lado, se designamos com g a acelera¸caõ da gravidade e com α o ângulo entre a tangente à curva y = y(x) e o eixo vertical no ponto x, temos: dv = g · cos α dt dy y˙ = = v · cos α dt v˙ =

(2.2) (2.3)

De onde:

dv dy d ¡ 2¢ dy v=g −→ v = 2g −→ v 2 = 2gy + cte (2.4) dt dt dt dt Em particular, supondo que em A v = y = 0 (A tem coordenadas x = 0, y = 0), resulta: p v = 2gy (2.5) Substituindo este resultado em (2.1) obtemos: s 1 + (y 0 )2 1 dt = √ dx y 2g

(2.6)

dy onde y 0 = dx . Logo, o tempo T = T (y) necessário para que a part´ıcula, partindo de A com velocidade nula, alcance o ponto B, de coordenadas x = a e y = b, deslizando-se sem atrito sobre a curva y = y(x) será: ¶1 Z aµ 1 1 + (y 0 )2 2 T = T (y) √ dx (2.7) y 2g 0

De (2.7) vemos que o problema pode ser formalmente formulado da seguinte maneira: Problema da Braquist´ ocrona: determinar u ∈ D(T ) tal que: def

u = arg min T (v) v∈D(T )

(2.8)

onde: © ª D(T ) = y ∈ C 1 [0, a] , y(0) = 0, y(a) = b e que a integral (2.7) esteja definida Neste ponto surgem várias perguntas:

(2.9)

2.2. Geodésicas em Rd , d≥3

19

1. O problema tem solu¸cão? (existência) 2. Se existe solu¸caõ, ela é u ńica? (unicidade) 3. Que outras propriedades satisfaz esta solu¸caõ no interior do dom´ınio e no contorno? 4. Como calculá-la? 5. No caso de não se poder calcular uma solu¸caõ exata é poss´ıvel determinar uma boa aproxima¸caõ desta solu¸caõ? (solu¸cão aproximada) 6. De todas as solu¸cões aproximadas é poss´ıvel determinar a melhor? Ao longo deste curso trataremos de responder estas perguntas para diferentes problemas variacionais. Por outro lado, e não obstante não se tenha uma resposta simples para este problema, podemos verificar que a suposi¸caõ de Galileo da superioridade do arco de c´ırculo sobre a reta estava correta. Como verificar isto?

2.2

Geod´ esicas em Rd, d≥3

Outro problema clássico do cálculo das varia¸co˜es consiste em determinar a curva em Rd que, estando sobre uma hipersuperf´ıcie caracterizada, por exemplo, por: g(x) = 0, x ∈ Rd

(2.10)

una os pontos A e B desta superf´ıcie com o menor comprimento poss´ıvel. A curva solu¸caõ deste problema recebe o nome de Geodésica. Podemos observar que, se as curvas são percorridas com uma velocidade constante, o problema da geodésica corresponde ao problema da braquist´ ocrona. Quando a velocidade não é constante, ou depende do caminho, os dois problemas são totalmente diferentes e devem ser tratados separadamente. A formula¸caõ da geodésica em superf´ıcies arbitrárias do R3 foi iniciada por Johann Bernoulli em 1698; posteriormente continuada por seu aluno Euler (1728), seguido por Lagrange (1760) e tratada de maneira decisiva por Gauss (1827) dando lugar a uma área importante da geometria diferencial. Para analisar este problema consideremos o caso mais simples, que consiste em não restringir a curva a uma dada superf´ıcie, e consideraremos d = 3 Uma curva poderá ser parametrizada em fun¸cão de um parâmetro t tal que, para t = 0 estejamos no ponto A, para t = 1 estejamos no ponto B e para t ∈ (0, 1) arbitrário, em um ponto desta curva dada por: def

u(t) = (u1 (t) , u2 (t) , u3 (t)) , t ∈ [0, 1]

(2.11)

Em particular, a reta que une os pontos A e B estará definida por: def

u0 (t) = (1 − t) A + tB, t ∈ [0, 1]

(2.12)

20

Cap´ıtulo 2. Introdu¸caõ

Figura 2.2: Geodésica em 0

(2.26)

Uma curva, u, sobre esta esfera pode ser caracterizada pela parametriza¸caõ ϕ (t) , θ (t) , t ∈ [0, 1]

(2.27)

22

Cap´ıtulo 2. Introdu¸caõ

Figura 2.3: Geodésica numa esfera e se esta curva passa por A e B temos ϕ (0) = θ (0) = 0, θ (1) = 0 e ϕ (1) = ϕB > 0

(2.28)

desta maneira a curva fica caracterizada por u(t) = (Rsenϕ(t) cos θ(t); Rsenϕ(t)senθ(t); R cos ϕ(t))

(2.29)

Também, supondo que cada uma destas fun¸co˜es, ϕ (t) e θ (t), são continuamente diferenciáveis em [0, 1], de (2.29) temos u0 (t) = R (cos θ cos ϕϕ0 − senϕsenθθ0 , senθ cos ϕϕ0 + senϕ cos θθ0 , −senϕϕ0 ) (t) e o comprimento da curva é dado por Z 1 Z 0 L(u) = ku k dt = R 0

1 0

Z

1

≥ R 0

s

(2.30)

sen2 ϕ (t) θ02 (t) +ϕ02 (t)dt | {z } ≥0

ϕ0 dt = Rϕ(t)|10 = Rϕ(1) = RϕB

(2.31)

e a igualdade só ocorre se e somente se sen2 ϕ (t) θ02 (t) = 0, ∀t ∈ [0, 1]

(2.32)

θ0 (t) ≡ 0 ⇒ θ(t) = cte

(2.33)

donde e como θ (1) = 0 ⇒ cte = 0, a curva que minimiza (geodésica sobre a esfera) é a dada pelo menor arco de c´ırculo unindo A e B. Com isto confirmamos uma suposi¸caõ que se conhecia desde a antiguidade. Para uma superf´ıcie arbitrária dada por g = g(u, v) = 0

(2.34)

2.2. Geodésicas em Rd , d≥3

23

uma curva, r, em esta superf´ıcie pode ser parametrizada da seguinte forma r(t) = r(u(t), v(t))

(2.35)

A = r(u(0), v(0)), B = r(u(1), v(1))

(2.36)

tal que Um elemento diferencial sob esta curva está dado por dr = (

∂r du ∂r dv ∂r ∂r + )dt = (u0 + v 0 )dt ∂u dt ∂v dt ∂u ∂v

O comprimento deste elemento será µ ¶ µ ¶ 1 ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r 0 0 1 2 0 2 (u ) + (v 0 ) + 2 k dr k= (dr · dr) 2 = { · · · u v }2 ∂u ∂u ∂v ∂v ∂u ∂v Assim, o comprimento desta curva entre estes dois pontos é dada por: Z 1p L(r(u, v)) = Eu0 2 + 2F u0 v 0 + Gv 0 2 dt

(2.37)

(2.38)

(2.39)

0

onde E, F e G são os coeficientes da Primeira Forma Fundamental (forma quadrática) da superf´ıcie. Em particular: E=

∂r ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r · , F = · , G= · ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v

(2.40)

Logo, o problema da geodésica sobre uma superf´ıcie arbitrária é da forma Determinar r(u, v) ∈ D(L) tal que: def

r(u, v) = arg

min

q(u,v)∈D(L)

L(q(u, v))

(2.41)

onde: • L(q(u, v)) está definido por (2.39) e (2.40) com q(u, v) dado por (2.35) • D(L) definido por D(L) = {q(u(t), v(t)); u(t), v(t) ∈ C 1 [0, 1], q(u(0), v(0)) = A, q(u(1), v(1)) = B, g(q(u(t), v(t))) ≡ 0, t ∈ [0, 1]} (2.42) Surge assim um novo tipo de restri¸cão, conhecida como Lagrangiana, que deve ser satisfeita pelas curvas admiss´ıveis q(u(t), v(t)) e que corresponde à exigência de que todo ponto da curva seja ponto da superf´ıcie g(u, v) = 0 isto é g(q(u(t), v(t))) = 0 ∀t ∈ [0, 1]

(2.43)

24

Cap´ıtulo 2. Introdu¸caõ

Figura 2.4: Problema de control da dire¸cão

2.3

Problema de Controle de Dire¸c˜ ao

Este tipo de problema surgiu pela primeira vez no século XX. Se propõe, por exemplo, controlar a dire¸cão quando se está navegando em uma corrente variável de maneira a obter o menor percurso. Por exemplo, dados dois pontos A e B em margens opostas de um rio com corrente variável se procura conhecer qual é o caminho que um barco deve percorrer para que, viajando a velocidade constante com rela¸cão à água, una os pontos A e B no menor tempo poss´ıvel. A Figura 2.4 representa o problema anterior. Para uma velocidade constante do barco (w = 1) e chamando com v = v(x) a velocidade da corrente no rio, o tempo empregado pelo barco para unir os pontos A = (0, 0) e B = (h, yB ) seguindo um percurso dado pela curva y = y(x) está dado pela expressão Z

h

T (y) =

p [α(x) 1 + (αy 0 )2 (x) − (α2 vy 0 )(x)]dx

(2.44)

0

onde α = (1 − v 2 (x))−1/2 . Assim o problema variacional consiste em def

u = arg min T (y)

(2.45)

D(T ) = {y = y(x) ∈ C 1 (0, h); y(0) = 0, y(h) = yB }

(2.46)

y∈D(T )

onde Neste exemplo, temos simplificado ao máximo: • as margens do rio são paralelas (podemos generalizar para curvas dadas); • a velocidade do barco é constante (poderia ser variável); • a velocidade da corrente v se supõe v = v(x), mas nada impediria que v = v(x, y).

2.4. Problemas Isoperimétricos

25

Figura 2.5: Problema de Dido De fato, em 1931, Zarmelo investigou este problema mais geral, de interesse de um comandante de submarino ou de uma embarca¸cão, ou de um piloto de avião. Se perguntamos agora como operar estas embarca¸cões de maneira a obter o caminho ótimo, entramos no que chamamos de problema de controle ´ otimo considerado pela primeira vez por Minorsky em 1920.

2.4

Problemas Isoperim´ etricos

Um dos problemas mais antigo da otimiza¸cão corresponde a encontrar a máxima área que pode ser fechada por uma curva de comprimento determinado. De acordo com Virg´ılio, a rainha Dido de Cartago, quando disse que sua prov´ıncia teria toda a superf´ıcie que poderia ser fechada pelo couro de um touro, cortou este couro em finas tiras que unidas formaram uma corda de longitude L cujos extremos ancorou-os na costa (reta) do Meditarrâneo (ver figura 2.5). Esta corda foi colocada formando um semi-c´ırculo que, nessa época (850 a.c.) acreditáva-se que conduzia a maior superf´ıcie e, desta forma, nascia na mitologia a prov´ıncia de Cartago. O geômetra grego Zenodoros aparentemente conhecia que o c´ırculo proporcionava a maior área entre pol´ıgonos com o mesmo per´ımetro. Posteriormente, Pappus (390 d.c.) concluiu que o c´ırculo era o que realmente maximizava a área entre todas as curvas fechadas de igual per´ımetro (por isto o nome dado a estes problemas: problema isoperimétrico). Uma forma intuitiva de ver que o c´ırculo é a resposta correta a este problema é a seguinte. Suponha para isto um cilindro de paredes inextens´ıveis mas completamente flex´ıvel que se deforma se colocarmos água (ver figura 2.6). Devido a a¸caõ da gravidade, a água tende a adquirir a menor altura poss´ıvel. Por outro lado, como a pressão depende somente da altura, o estado de esfor¸co a que a parede do cilindro está submetido é o mesmo em todo ponto de sua se¸cão transversal. Logo, a configura¸cão de equil´ıbrio tenderá a ter uma curvatura constante. Em outras palavras, a configura¸caõ de equil´ıbrio é a de um cilindro com se¸cão transversal circular. Por sua vez, como a água tende a adquirir a menor altura poss´ıvel, a área da se¸cão transversal terá que ser máxima. Logo, dasta análise teremos que a solu¸cão imaginada pela rainha Dido estava correta. Do ponto de vista matemático, o problema pode ser formulado da seguinte maneira (figura 2.7). Vamos supor que a curva é suave (suficientemente regular), de longitude L

26

Cap´ıtulo 2. Introdu¸caõ

Figura 2.6: Analogia f´ısica para o problema isoperimétrico de Dido

Figura 2.7: Problema isoperimétrico e que podemos representa-la parametricamente da seguinte maneira: u(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [0, 1]

(2.47)

u(0) = u(1)

(2.48)

tal que por ser uma curva fechada. A área fechada por esta curva está dada por Z 1 Z A(u) = x(t)dy(t) = 0

1

x(t) 0

dy(t) dt dt

(2.49)

e o problema isoperimétrico consistirá em: Determinar u(t) ∈ D(A) tal que def

(2.50)

u(t) = arg max A(v) v∈D(A)

onde

½ D(A) =

Z

1

v suficientemente regular, tal que L(v) = 0

° ° ¾ ° dv ° ° ° dt = L ° dt °

(2.51)

Uma versão moderna que combina aspectos do problema isoperimétrico com o problema de controle da trajetória ótima discutida na se¸cão anterior, se deve a Chaplygin (1938). Consiste, por exemplo, ao problema de um avião de reconhecimento que voando a velocidade constante com rela¸caõ ao vento deve realizar em um tempo predeterminado e conhecido um caminho fechado varrendo a maior área poss´ıvel. Zenodoros considerou uma generaliza¸cão do problema isoperimétrico ao procurar o maior volume limitado por uma superf´ıcie de área prefixada.

2.4. Problemas Isoperimétricos

27

Figura 2.8: Problema da catenária

2.4.1

Problema da caten´ aria

Um outro problema similar ao isoperimétrico, atraibuido a Euler, mas segundo Goldstine originalmente proposto por Galileo que inclusive acreditava que a forma ótima era parabólica e que foi analisado por Bernoulli em 1701, consiste em encontrar a forma que um cabo inextens´ıvel, de peso por unidade de comprimento dado por W e de comprimento L, assume devido a seu peso próprio quando suportado em seus extremos separados de uma distância H (figura 2.8) Para formular este problema, adotamos a seguinte parametriza¸caõ y(s), s ∈ [0, L] e H < L

(2.52)

A forma que toma a corda deverá ser tal que minimize a energia potencial total ou, por ser o cavo inextens´ıvel, maximize o trabalho realizado pelo peso próprio Z L Z L (2.53) F (y) = W y(s)ds = W y(s)ds 0

0

com a restri¸cão adicional (restri¸c˜ ao subsidiária) que a proje¸caõ sobre o eixo x da corda seja o valor H. Para isto tenhamos em mente que µ ¶2 µ ¶2 dx dy 2 2 2 dx + dy = ds → (2.54) + =1 ds ds de onde

s dx(s) =

logo

µ 1−

s

Z

µ

L

G(y) =

1− 0

dy ds

dy ds

¶2 ds

(2.55)

¶2 ds = H

(2.56)

e o problema se formula como: Determinar y(s) ∈ D(F ) tal que def

y(s) = arg max F (v) v∈D(F )

onde

© ª D(F ) = v = v(s), s ∈ [0, L] , v ∈ C 1 [0, L] , v(0) = v(L) = 0; G(v) = H

(2.57)

(2.58)

28

Cap´ıtulo 2. Introdu¸caõ

Figura 2.9: Superf´ıcie m´ınima de revolu¸cão

Figura 2.10: M´ınima superf´ıcie de revolu¸caõ para L muito maior que r1 e r2

2.5

M´ınima Superf´ıcie de Revolu¸c˜ ao

Considere os aros circulares indicados na Figura 2.9. Queremos encontrar a superf´ıcie que apoiada sobre estes dois c´ırculos tenha a menor superf´ıcie de revolu¸caõ. Este problema foi analisado por Euler em 1744. Para formular este problema teremos que calcular a superf´ıcie de revolu¸caõ associada a uma curva y = y(x) suficientemente regular s µ ¶2 Z L Z 2π Z L dy S(y) = (y(x)dθ) ds(x) = 2π y(x) 1 + dx (2.59) dx 0 0 0 e onde y(0) = r1

e y(L) = r2

(2.60)

com r1 e r2 os raios dos respectivos c´ırculos. O problema pode assim ser formulado: Determinar y ∈ D(S) tal que def y = arg min S(v) (2.61) v∈D(F )

onde

© ª D(S) = v; v(0) = r1 , v(L) = r2 , v ∈ C 1 [0, L]

(2.62)

´ fácil ver neste problema que se vamos aumentando a distância entre ambos os E c´ırculos, a solu¸caõ terá que ser do tipo indicado na Figura 2.10. Espera-se, portanto, que para L suficientemente grande em rela¸caõ a r1 e r2 , a solu¸cão se degenere da forma como indicado na Figura 2.11. Ou seja, a solu¸caõ é agora uma fun¸cão y ∈ / D(S)!. A superf´ıcie se obtem através da rota¸cào da fun¸c˜ ao indicada na Figura 2.11. Temos assim duas alternativas. A primeira simplesmente é dizer que a solu¸cão não existe no espa¸co D(S). A segunda alternativa consiste em estender este espa¸co de maneira a incluir fun¸co˜es com pontos angulosos.

2.6. Comentários

29

Figura 2.11: M´ınima superf´ıcie de revolu¸caõ para L suficientemente grande

2.6

Coment´ arios

Em todos os problemas que temos apresentado podemos distinguir aspectos comuns. Em primeiro lugar, teremos que minimizar (ou maximizar) uma certa fun¸caõ F de valor real definida em um certo dom´ınio D de fun¸co˜es y e dada por expressões do tipo ¶ Z b µ dy F(y) = f x, y(x), dx (2.63) dx a para uma fun¸cão de valor real f conhecida. As fun¸cões y são de valor real (vetorial) suficientemente regulares. D é o conjunto destas fun¸cões que devem satisfazer condi¸co˜es de contorno de defini¸cão do problema, em nosso caso, nos extremos x = a e x = b. Ainda mais, em alguns problemas vimos que estas fun¸cões deveriam satisfazer restri¸co˜es adicionais do tipo isoperim´ etrico, ou seja, dadas por uma expressão do tipo L (y) igual a um valor prescrito. Outras vezes, a restri¸cão adicional é do tipo Lagrangiana, ou seja, é uma restri¸caõ que deve ser satisfeita em todo ponto do dom´ınio de integra¸cão µ ¶ dy g x, y(x), = 0, x ∈ (a, b) (2.64) dx como ocorre com o problema da geodésica. Finalmente, e como vimos com o problema da superf´ıcie de revolu¸cão, em alguns casos a solu¸caõ não existe em D, mas sim em um conjunto maior. Nos próximos cap´ıtulos trataremos de formalizar estas idéias. Antes de finalizar com este cap´ıtulo, vamos observar mais um detalhe. Todos os problemas apresentados dão lugar ao que é conhecido na literatura com o nome de C´ alculo das Varia¸ co ˜es. Com este nome se distingue fundamentalmente o problema de determinar uma fun¸caõ que minimiza (maximiza) um certo funcional. Atualmente, esta terminologia é mais abrangente. De fato, se observamos todos os casos estudados, o valor que estes funcionais tomam depende: • da fun¸cão (ou fun¸cões) u; • das condi¸cões de contorno e/ou condi¸co˜es isoperimétricas ou lagrangianas; • do dom´ınio de integra¸cão.

30

Cap´ıtulo 2. Introdu¸caõ

Logo, uma pergunta que nós podemos fazer é: Qual ´ e a sensibilidade do funcional a varia¸ co ˜es em alguns desses parˆ ametros?. Em outras palavras, em quanto varia o valor do funcional, quando algum dos parâmetros anteriores é modificado em uma determinada dire¸cão?. A resposta a esta pergunta é conhecida na literatura atual com o nome de An´ alise de Sensibilidade. Dentro deste enfoque mais moderno, o C´ alculo Variacional corresponde à An´ alise de Sensibilidade a mudan¸cas (ou varia¸co˜es) na fun¸cão u. Assim, recomenda-se que todo o que veremos dentro do C´ alculo Variacional seja visto apartir deste ponto de vista mais geral. Em particular, mais adiante veremos com algum detalhe este aspecto. Finalmente, e como já mencionamos no cap´ıtulo de motiva¸cão do curso, para entender os aspectos básicos dos problemas e métodos do Cálculo Variacional, é importante ver como estão relacionadas com a análise de fun¸co˜es de n variáveis. De fato, os funcionais que temos visto neste cap´ıtulo tomam, por exemplo, a seguinte forma: ¶ Z b µ du F(u) = f x, u, dx, (2.65) dx a u(a) = A e u(b) = B Logo, podemos particionar o intervalo [a, b] em n + 1 partes iguais (ou não) dado pelos pontos x0 = a, x1 , · · · , xn , xn+1 = b (2.66) Fazendo uso de (2.66) e (2.65) obteremos: Z x1 Z xn+1 n+1 Z X 0 0 F(u) = f (x, u, u ) dx + · · · + f (x, u, u ) dx = x0

xn

i=1

xi

f (x, u, u0 ) dx (2.67)

xi−1

Por outro lado, podemos substituir (aproximar) a fun¸caõ u, que temos admitido suficientemente regular, pela fun¸cão linear por partes ua definida pela poligonal de vértices: (x0 , u0 = u(x0 ) = A) , (x1 , u1 = u(x1 )) , · · · , (xn , un = u(xn )) , (xn+1 , un+1 = u(xn+1 ) = B) (2.68) O valor do funcional para esta aproxima¸cão será: ¶ µ n+1 Z xi X ui − ui−1 F(ua ) = F(u1 , · · · , un ) = dx (2.69) f x, ua , h i=1 xi−1 onde h = xi − xi−1 , ∀i ∈ [1, · · · , n + 1] (parti¸caõ uniforme). Por sua vez, as integrais em (2.69) podem ser aproximadas empregando algum método de integra¸caõ. Como resultado temos mais uma aproxima¸caõ (integra¸cão numérica) que resulta, por exemplo, em ¶ n+1 µ X u − u i i−1 e a ) = F(u e 1 , · · · , un ) ≈ f xi , u i , (2.70) F(u h h i=1

2.6. Comentários

31

ou, se deseja-se algo mais exato (regra do trapézio) ¶ µ ¶¸ n+1 · µ X h ui − ui−1 ui − ui−1 f xi−1 , ui−1 , + f xi , u i , h h 2 i=1 (2.71) De (2.70) e (2.71) vemos que com estas aproxima¸cões o funcional F(u) passa agora a e a ) = F(u e 1 , · · · , un ) de n variáveis u1 , · · · , un . ser aproximado pela fun¸c˜ ao F(u Devido às hipóteses de regularidade que temos imposto a u segue-se que ua converge (em algum sentido) a u para n → ∞. Novamente, devido às hipóteses de regularidade e a ) → F(u) para n → ∞. sobre f também podemos esperar que F(u Logo, o problema exato do min F(u) podemos aproximá-lo pelo problema: e a ) = F(u e 1 , · · · , un ) ≈ F(u

min

ui ∈ 0 podemos fazer: |F(u) − F(u0 )| < ² desde que tomemos:

µ

|u − u0 |∞

² < δ = min 1, A0

¶

def

Logo F (u) é cont´ınuo em u0 ∈ C [a, b] e como u0 foi eleito arbitrariamente, resulta cont´ınuo em todo C [a, b] . Por outro lado, já vimos nesta se¸c˜ ao que (Exemplo 3.2) Z b u0 (x) η (x) dx dF(u0 , η) = δF(u0 , η) = 2 a

é linear em η. Logo, para estabelecer a continuidade de δF (u0 , η) é suficiente provar a continuidade na origem, ou seja, em η = 0. Assim, e tendo presente que δF (u0 , 0) = 0, temos: |δF(u0 , η) − δF(u0 , 0)| = |δF(u0 , η)| Z b Z b = 2 u0 (x) η (x) dx ≤ 2 |u0 (x)| |η (x)| dx a a Z b ≤ 2 |u0 |∞ |η|∞ dx ≤ 2 (b − a) |u0 |∞ |η|∞ → 0, com |η|∞ → 0 a

Com isto temos que δF (u0 , η) é linear e cont´ınuo em u0 . Com isto provamos a condi¸c˜ ao (i) do Teorema 3.1. Vejamos a condi¸c˜ ao (ii): para isto suponhamos |η| = 1, logo ¯Z b ¯ ¯ ¯ ¯ |δF(u, η) − δF(u0 , η)| = 2 ¯ (u (x) − u0 (x)) η (x) dx¯¯ a

≤ 2 (b − a) |u − u0 |∞ |η|∞ = 2 (b − a) |u − u0 |∞ que tende a zero para u → u0 independentemente da dire¸c˜ ao η. Logo, do Teorema teremos que o funcional é diferenci´ avel no sentido Fréchet para todo u0 ∈ C [a, b] já que u0 foi tomado de forma arbitrária. Exemplo 3.6 Consideremos o funcional Z b p F(u) = ρ (x) 1 + u0 (x)2 dx a

3.2. Diferencial Gâteaux de um Funcional

43

que, para ρ ∈ C [a, b] dado, está definido para todo u ∈ C 1 [a, b] . Vamos adotar neste espa¸co a seguinte norma: def

kuk1 = kukC 1 [a,b] = max |u (x)| + max |u0 (x)| x∈[a,b]

x∈[a,b]

(3.13)

Vamos mostrar que (3.13) é uma norma, nesta norma o funcional é cont´ınuo em todo espa¸co, a diferencial Gâteaux é um funcional linear e cont´ınuo em η e que para |η|C 1 [a,b] = 1, |δF (u, η) − δF (u0 , η)| → 0 uniformemente para u → u0 . (i) Vamos provar que (3.13) é uma norma Positiva definida: da defini¸c˜ ao (3.13) vemos: 0 ≤ |u0 |∞ ≤ kuk1

logo kuk1 = 0 ⇒ |u|∞ = 0 ⇒ u = 0

Desigualdade do triˆ angulo: ¯ ¯ |(u1 + u2 ) (x)| + ¯(u1 + u2 )0 (x)¯ ≤ |u1 (x)| + |u2 (x)| + |u01 (x)| + |u02 (x)| = (|u1 (x)| + |u01 (x)|) + (|u2 (x)| + |u02 (x)|) ≤ max {(|u1 (x)| + |u01 (x)|) + (|u2 (x)| + |u02 (x)|)} x∈[a,b] µ ¶ 0 ≤ max |u1 (x)| + max |u1 (x)| x∈[a,b] x∈[a,b] µ ¶ 0 + max |u2 (x)| + max |u2 (x)| x∈[a,b]

x∈[a,b]

= ku1 k1 + ku2 k1 Do resultado anterior obtemos: ¯ ¯ def ku1 + u2 k1 = max |(u1 + u2 ) (x)| + max ¯(u1 + u2 )0 (x)¯ [a,b]

[a,b]

≤ ku1 k1 + ku2 k1 (ii) Vamos mostrar que o funcional é cont´ınuo em (C 1 [a, b] , k·k1 ) . Para isso, observemos que: √ f (z) = 1 + z 2 est´ a definida para todo z ∈ R. Por sua vez: f 0 (z) = √

|z| z ⇒ |f 0 (z)| = √ ≤1 1 + z2 1 + z2

∀z ∈ R

44

Cap´ıtulo 3. Formaliza¸cão do Cálculo Variacional recordando que

Z

z

f (z) − f (z0 ) =

f 0 (t) dt

z0

logo

¯Z ¯ |f (z) − f (z0 )| = ¯¯

z z0

¯ Z ¯ f (t) dt¯¯ ≤ 0

z

|f 0 (t)| dt < |(z − z0 )|

z0

Com este resultado em mãos temos: ¯Z b ³p ´ ¯¯ p ¯ 0 0 2 2 ¯ |F(u) − F(u0 )| = ¯ ρ (x) 1 + u (x) − 1 + u0 (x) dx¯¯ ¯ ¯Za b ¯ ¯ 0 0 = ¯¯ ρ (x) [f (u (x)) − f (u0 (x))] dx¯¯ a Z b ≤ |ρ (x)| |f (u0 (x)) − f (u00 (x))| dx a Z b Z b 0 0 |ρ (x)| ku − u0 k1 dx ≤ |ρ (x)| |u (x) − u0 (x)| dx ≤ a a ¶ µZ b |ρ (x)| dx ku − u0 k1 = a

de onde resulta evidente que F (u) é (uniformemente) cont´ınuo em C1 [a, b] . No exemplo 3.3, vimos que o diferencial Gâteaux deste funcional em u0 ∈C1 [a, b] está dado por: Z b u0 (x)η 0 (x) dx δF(u0 , η) = ρ (x) p 0 1 + u00 (x)2 a Novamente, a linearidade é evidente (por este motivo adotamos a nota¸caõ δF (u0 , η)). Vamos mostrar sua continuidade com rela¸caõ a η, pelo que será suficiente mostrar a continuidade em η = 0. Temos, assim: ¯ Z ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ b b¯ u00 (x)η 0 (x) u00 (x)η 0 (x) ¯¯ ¯ ¯ ¯ |δF(u0 , η)| = ¯ ρ (x) p dx¯ ≤ ¯ dx ¯ρ (x) p ¯ a 1 + u00 (x)2 ¯ 1 + u00 (x)2 ¯ a ¯ µZ b ¶ Z b 0 |ρ (x)| dx kηk1 = A kηk1 ≤ |ρ (x)| |η (x)| dx ≤ a

a

Agora nos falta mostrar a parte (ii) do Teorema 3.1. Para kηk1 = 1, temos: Z b |δF(u, η) − δF(u0 , η)| ≤ |ρ (x)| |f (u0 (x)) − f (u00 (x))| |η 0 (x)| dx a Z b ≤ kηk1 |ρ (x)| |u0 (x) − u00 (x)| dx µZ b a ¶Z b ≤ |ρ (x)| dx |u0 (x) − u00 (x)| dx a

≤ A ku − u0 k1

a

para

kηk1 = 1

3.3. Nota¸caõ Variacional

45

Logo, para todo ² > 0 existe δ <

² A

tal que

|δF (u, η) − δF (u0 , η)| < ² toda vez que ku − u0 k1 < δ e como ² pode ser tão pequeno como se queira, temos que |δF (u, η) − δF (u0 , η)| → 0 uniformemente para u → u0 em kηk1 = 1.

3.3

Nota¸c˜ ao Variacional

Na se¸caõ 3.2 introduzimos a nota¸cão: ¯ ∂F (u + ²η) ¯¯ δF (u, η) = ¯ ∂² ²=0 que corresponde ao diferencial Gâteaux do funcional F no ponto u segundo a dire¸cão η. Na literatura é comum encontrar a seguinte nota¸caõ: δF (u, η) primeira varia¸caõ do funcional η varia¸caõ admiss´ıvel Não resulta dif´ıcil mostrar que (exerc´ıcio): (i) Se δF1 (u, η) e δF2 (u, η) existem para u e η ∈ U resulta: δ (F1 F2 ) (u, η) = δF1 (u, η) F2 (u) + F1 (u) δF2 (u, η) (ii) Se F1 (u) 6= 0 logo: µ ¶ F2 δF2 (u, η) F1 (u) − F2 (u) δF1 (u, η) δ (u, η) = F1 F1 (u)2 (iii) Se h ∈ C 1 (R) logo: δ (h (F)) (u, η) =

dh (F (u)) δF (u, η) dx

Vemos, assim, que o operador varia¸ c˜ ao que usamos no Cálculo Variacional tem um comportamento idêntico que o operador diferencial empregado no cálculo diferencial de fun¸cões. Podemos observar que o diferencial de uma fun¸cão é a aproxima¸ c˜ ao de primeira ordem da mudan¸ca que a fun¸cão experimenta ao passar de um ponto para outro. De maneira similar, pode-se dizer que a varia¸ c˜ ao do funcional é a aproxima¸cão de primeira ordem da mudan¸ca que um funcional experimenta ao passar de uma fun¸c˜ ao para outra.

46

Cap´ıtulo 3. Formaliza¸cão do Cálculo Variacional

Tendo sempre presente esta diferen¸ca, mas levando em conta esta semelhan¸ca formal de ambos os conceitos, podemos introduzir uma nota¸caõ (formal) para o cálculo das varia¸co˜es. Para isso, observamos que dada a fun¸cão u, definida em um certo dom´ınio do espa¸co Euclidiano, e dado η a varia¸ c˜ ao admiss´ıvel em u temos: u + τη e sua varia¸caõ será

¯ ¯ ∂ =η δu = (u + ²η)¯¯ ∂² ²=0

por sua vez

(3.14)

(u + τ η)(m) = u(m) + ²η (m)

de onde

δ (u + τ η)(m) = η (m)

mas também de (3.14) resulta (δu)(m) = (η)(m) de onde

δu(m) = (δu)(m) = (η)(m)

Com isto em mente, consideremos o funcional F (x, y, u, ux , uy , v, vx , vy ) logo, com esta analogia temos: ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F δu+ δv+ δux + δuy + δvx + δvy ∂u ∂v ∂ux ∂uy ∂vx ∂vy ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F = δu + δv + (δu)x + (δu)y + (δv)x + (δv)y ∂u ∂v ∂ux ∂uy ∂vx ∂vy ∂F ∂F ∂η ∂F ∂η ∂F ∂γ ∂F ∂γ ∂F η+ γ+ + + + = ∂u ∂v ∂ux ∂x ∂uy ∂y ∂vx ∂x ∂vy ∂y

δF ((u, v) , (η, γ)) =

3.4

Lemas de du Bois-Raymond e Lagrange

Lema 1 (du Bois-Raymond) Se h ∈ C [a, b] tal que Z

b a

h (x) v 0 (x) dx = 0

© ª ∀v ∈ C01 [a, b] = v ∈ C 1 [a, b] , v (a) = v (b) = 0 ⇒ h = cte em [a, b]

Demonstra¸c˜ ao Seja c uma constante a ser definida convenientemente, a fun¸cão: Z x def v (x) = (h (t) − c) dt ∈ C 1 [a, b] 0

(3.15)

3.4. Lemas de du Bois-Raymond e Lagrange

47

é tal que v 0 (x) = h (x) − c ∈ C [a, b] . Por sua vez, da defini¸caõ resulta v (0) = 0. Para que v ∈ C01 [a, b] temos que determinar c de maneira que v (b) = 0. Para isso: Z b Z b 1 (h (x) − c) dx = 0 ⇒ c = h (x) dx b−a a a logo para esta fun¸cão h e esta constante c assim calculados temos: Z b Z b 2 0 ≤ (h (x) − c) dx = (h (x) − c) (h (x) − c) dx a a Z b Z b Z b = (h (x) − c) v’ (x) dx = h (x) v’ (x) dx − c v’dx a a a Z b = 0 ⇒ h (x) − c ≡ 0 ⇒ h (x) = cte em [a, b] = h(x)v 0 (x)dx − cv|ba |{z} a =0,(∈C01 [a,b]) • Proposi¸c˜ ao 3.4 Se g, h ∈ C [a, b] são tais que Z b [g (x) v (x) + h (x) v 0 (x)] dx = 0 a

onde

∀v ∈ C01 [a, b]

© ª C01 [a, b] = v | v ∈ C 1 [a, b] , v (a) = v (b) = 0

logo h ∈ C 1 [a, b] e h0 (x) = g (x)

x ∈ [a, b]

Demonstra¸c˜ ao Definamos a fun¸cão G (x) dada por: Z x def G (x) = g (t) dt para x ∈ [a, b] a

logo G ∈ C 1 [a, b] e G0 (x) = g (x) por sua vez

Z

Z

b

b

g (x) v (x) dx = a

G0 (x) v (x) dx

a

e como v ∈ C01 [a, b] podemos integrar por parte, de onde Z b Z b b g (x) v (x) dx = G (x) v (x)|a − G (x) v 0 (x) dx a a Z b = − G (x) v 0 (x) dx a

48

Cap´ıtulo 3. Formaliza¸cão do Cálculo Variacional

já que v ∈ C01 [a, b] . Logo: Z

Z

b

b

0

[g (x) v (x) + h (x) v (x)] dx = a

[h (x) − G (x)] v 0 (x) dx = 0

a

∀v ∈ C01 [a, b]

por hipóteses. Mas do Lema de du Bois-Raymond, a condi¸caõ anterior implica em: h (x) − G (x) = c, c ∈ R, ∀x ∈ [a, b] logo h (x) = G (x) + c ∈ C 1 [a, b] já que G (x) ∈ C 1 [a, b] por constru¸cão. De onde: h ∈ C 1 [a, b]

(observe que h resulta mais regular!!!)

e h0 (x) = g (x) em [a, b] Adotando h = 0 nesta Proposi¸cão obtemos o seguinte Corolário:

•

Corol´ ario 3.1 Se g ∈ C [a, b] é tal que: Z

b

g (x) v (x) dx = 0 a

∀v ∈ C01 [a, b]

logo g ≡ 0 em [a, b] Este resultado admite generaliza¸cão dada pelo seguinte Lema conhecido como de Lagrange. Lema 2 (Lagrange) Se g ∈ C [a, b] e para algum m = 0, 1, 2, · · · resulta Z

b

g (x) v (x) dx = 0

∀v ∈ D0 ⇒ g ≡ 0

em [a, b]

(3.16)

a

onde D0 =

© v | v ∈ C m [a, b] , v (k) (a) = v (k) (b) = 0,

C 0 [a, b] = C [a, b] e v (k) (x) =

k = 0, 1, ..., m

ª

dk v dxk

Demonstra¸c˜ ao Suponhamos que existe c ∈ (a, b) tal que g(c) > 0. Logo, da continuidade de g, temos um intervalo [α, β] ⊆ (a, b) no qual: g (x) > 0

x ∈ [α, β]

3.4. Lemas de du Bois-Raymond e Lagrange

49

Por outro lado, podemos construir a fun¸caõ: ½ [(x − α)(β − x)]m+1 x ∈ [α, β] def v(x) = 0 x∈ / [α, β] Da defini¸caõ vemos que v ∈ D0 e não negativa, logo Z b Z β g (x) v (x) dx = g (x) v (x) dx > 0 a

α

o que contradiz a hipótese do Lema. De maneira similar, se g (c) < 0 podemos tomar w (x) = −v (x) , resultando novamente a mesma contradi¸caõ. Como c foi escolhido arbitrariamente em (a, b) temos finalmente, que g (x) = 0

∀x ∈ (a, b)

mas como por hipótese g ∈ C [a, b] , por continuidade for¸cosamente g deverá anular-se nos extremos do intervalo. Logo g (x) ≡ 0 em [a, b] • Proposi¸c˜ ao 3.5 O Lema de du Bois-Raymond pode também ser generalizado. Com efeito, se h ∈ C [a, b] e para algum m = 1, 2, ... resulta: Z b h (x) v m (x) dx = 0 ∀v ∈ Dm a

onde

© Dm = v | v ∈ C m [a, b] , v (k) (a) = v (k) (b) = 0,

ª k = 0, 1, ..., m − 1

logo em [a, b] h é um polinˆ omio de grau < m. Demonstra¸c˜ ao Para m = 1 temos exatamente o Lema de du Bois-Raymond e a Proposi¸caõ 3.4: h (x) ∈ C [a, b] Z b h (x) v 0 dx = 0 ∀v ∈ D1 = {v | v ∈ C 1 [a, b] , v (a) = v (b) = 0} a

então h ∈ C 1 [a, b] h = cte em [a, b] para sua demonstra¸caõ temos constru´ıdo fun¸co˜es v (x) a partir de h (x) de maneira a estar em D1 . Logo, para m = 2 podemos repetir o racioc´ınio: ¾ Z x ½Z t v(x) = [h(ξ) − c0 − c1 ξ]dξ dt a

a

50

Cap´ıtulo 3. Formaliza¸cão do Cálculo Variacional

Se observa que v (a) = 0 e que Z

x

0

v (x) =

(h (t) − c0 − c1 t) dt a

e é tal que v 0 (a) = 0 e v 00 (x) = h (x) − c0 − c1 x as constantes c0 e c1 serão escolhidas de maneira a ter v (b) = v 0 (b) = 0 com o que obtemos v (x) assim constru´ıda pertence a D2 . Logo estas constantes estão dadas por: Z

b

0

v (b) = 0 =

(h (x) − c0 − c1 x) dx = 0

(3.17)

a

Z

Z

b

v (b) = 0 =

x

dx a

(h (t) − c0 − c1 t) dt = 0 a

Por sua vez: Z

Z

b

0 ≤

b

2

(h (x) − c0 − c1 x) dx = Z

a b

=

(h (x) − c0 − c1 x) (h (x) − c0 − c1 x) dx a

(h (x) − c0 − c1 x) v 00 (x) dx = 0

a

pelo que: h (x) = c0 + c1 x e assim sucessivamente. ¥

(3.18)

Cap´ıtulo 4 Equa¸c˜ oes de Euler A solu¸caõ de Jacob Bernoulli (em 1696) do problema proposto por seu irmão Johann (Brachistochrone problem) marca o aparecimento do cálculo variacional. Entretanto, foi somente com os trabalhos de Euler (1742) e de Lagrange (1755) que surgiu uma teoria sistemática do cálculo variacional. Inicialmente estes dois autores se limitaram a estabelecer as condi¸co˜es que eram necess´ arias para que a integral (funcional): Z b F(u) = f (x, u (x) , u0 (x)) dx (4.1) a

tenha um extremo (máximo ou m´ınimo) local no conjunto: © ª D (F) = u | u ∈ C 1 [a, b] ; u (a) = a1 , u (b) = b1

(4.2)

Para valores especificados de a1 e b1 este problema pertence àqueles conhecidos como problemas com extremos fixos para pôr em evidência que os extremos da poss´ıvel fun¸cão solu¸cão estão pré-fixados. Isto é, a curva deve passar pelos pontos (a, u (a) = a1 ), (b, u (b) = b1 ). Posteriormente, Jacob Bernoulli se interessou pelo mesmo problema da Brachistochrone, mas agora definido em um conjunto mais amplo © ª Db (F) = u ∈ C 1 [a, b] ; u (a) = a1

(4.3)

Este novo problema procura a curva que, cobrindo uma distância horizontal b − a préfixada, seja percorrida por uma part´ıcula no menor tempo poss´ıvel, não importando quanto esta curva descende no ponto x = b. Este problema pertence aos problemas com um extremo livre. Existem, também, problemas com os dois extremos livres. O problema correspondente da Brachistochrone é o de determinar a curva que seja percorrida no menor tempo poss´ıvel e cujos extremos estão apoiados sobre duas curvas conhecidas. O anterior se conhece como condi¸ c˜ oes transversais. Neste caso, o funcional toma a forma Z x2 (4.4) F (u) = f (x, u (x) , u0 (x)) dx x1

51

52

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

Figura 4.1: Diferentes conci¸cões de contorno e sua defini¸cão de dom´ınio é © ª Dt (F) = u ∈ C 1 [x1 , x2 ] ; gi (xi , u (xi )) = 0, i = 1, 2

(4.5)

onde [x1 , x2 ] ⊂ < e gi (x, y) = 0, (i = 1, 2), são fun¸co˜es conhecidas. A Figura 4.1 representa estes distintos problemas. Neste cap´ıtulo estudaremos as condi¸co˜es necessárias que deve satisfazer um dado funcional para alcan¸car um m´ınimo (ou máximo) local.

4.1

Extremos, Extremos locais

Seja (U, k·kU ) um espa¸co normado e F um funcional definido em D ⊂ U . Dizemos que u0 ∈ D é um extremo de F em D se F (u0 ) alcan¸ca o valor máximo (ou m´ınimo) de todos os valores que F pode tomar em D. Equivale a dizer que: 1. u0 ∈ D é um extremo (máximo) se F (u0 ) ≥ F (u) ∀u ∈ D 2. u0 ∈ D é um extremo (m´ınimo) se F (u0 ) ≤ F (u) ∀u ∈ D Como vemos, esta defini¸cão não requer nenhuma considera¸caõ sobre a norma em U. Não obstante, a presen¸ca da norma k·kU nos permite uma descri¸caõ local do comportamento F na proximidade de um ponto u0 ∈ D. Surge assim a seguinte defini¸caõ:

4.1. Extremos, Extremos locais

53

Defini¸ c˜ ao 4.1 (Extremos locais) Seja (U, k·kU ) um espa¸co vetorial real normado e F um funcional definido em D ⊂ U . Logo, u0 ∈ D é um ponto extremo local de F em D se para algum r > 0, u0 é um ponto extremo para F em Br (u0 ) = {u ∈ D; ku − u0 kU < r}. Em outras palavras, se: 1. F (u0 ) ≥ F (u) ∀u ∈ Br (u0 ) ⇒máximo local, ou 2. F (u0 ) ≤ F (u) ∀u ∈ Br (u0 ) ⇒m´ınimo local. Das defini¸co˜es se segue que todo ponto extremo é um ponto extremo local, qualquer que seja a norma implicada. Não obstante, um extremo local relativo a uma norma pode não ser um extremo local pertinente a outra norma. Assim, a varia¸cão de Gâteaux de um funcional (definida no Cap´ıtulo 3) pode ser calculada sem levar em considera¸caõ a norma em U e se seu valor é n˜ ao nulo em u0 , então, elimina toda possibilidade de extremo local com rela¸cão a qualquer norma. Com efeito, suponha-se que, para uma certa dire¸caõ η admiss´ıvel resulte: δF (u0 , η) > 0 logo, existirá um ² > 0 suficientemente pequeno, para o qual: F (u0 + ²η) − F (u0 ) >0 ² ou seja, F (u0 + ²η) − F (u0 ) tem o sinal de ², logo δF (u0 , η) > 0 ⇒ F (u0 − ²η) < F (u0 ) < F (u0 + ²η) ∀² > 0 suficientemente pequeno. Vemos, assim, que em u0 e na dire¸caõ η, F ´ e estritamente crescente (ou decrescente na dire¸caõ −η). Por outro lado, se ao invés de ser positivo, resultar negativo, isto é: δF (u0 , η) < 0 recordando que a varia¸cão de Gâteaux é homogênea em v resulta: δF (u0 , η) < 0 ⇒ δF (u0 , −η) > 0 com o que podemos repetir o racioc´ınio anterior, conduzindo ao resultado de que em u0 , F é estritamente decrescente na dire¸caõ η (ou crescente na dire¸cão −η). Em qualquer dos dois casos, dado que para ² → 0, k(u0 ± ²η) − u0 kU = ² kηkU → 0, os pontos u0 ± ²η estão em uma vizinhan¸ca de u0 . Logo, um comportamento de extremo local em u0 n˜ ao ´ e poss´ıvel. Temos, assim, o seguinte teorema: Teorema 4.1 No espa¸co normado (U, k·kU ), se u0 ∈ D ⊂ U é um ponto extremo local para o funcional F definido em D, logo δF (u0 , η) = 0

∀η admiss´ıvel em u0

(4.6)

54

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

Observa¸ c˜ ao 4.1 Quando o funcional em estudo satisfaz as restri¸c˜ oes impostas no Cap´ıtulo 3, ou seja, quando o diferencial Gâteaux δF (u0 , η) é linear e cont´ınuo em η, o incremento do funcional em u0 na dire¸c˜ ao admiss´ıvel η est´ a dado pela express˜ ao (3.10) F (u0 , τ η) − F (u0 ) = δF (u0 , η) + h (u0 , τ η) onde h (u0; τ η) é um funcional de ordem superior em τ η. Desta maneira, e para τ suficientemente pequeno, o sinal de F (u0 , τ η) − F (u0 ) está dado pelo sinal de δF (u0 , η). ´ importante observar que é mais correto empregar a designa¸caõ ponto estacionário E em lugar de ponto extremo. Assim, e como no cálculo de fun¸co˜es, a condi¸caõ δF (u0 , η) = 0

∀η ∈ D (F) − admiss´ıvel

só garante que o ponto é estacionário, já que não elimina a possibilidade de um ponto de inflexão (ponto de sela). Para verificar em que caso estamos (m´ınimo ou máximo local, ou ponto de sela) temos que estudar o sinal de h (u, τ η). Em outras palavras, temos que estudar a segunda varia¸ c˜ ao Gˆ ateaux do funcional. Entretanto, muitas vezes nos contentamos com o cálculo destes pontos estacionários, já que desde o ponto de vista f´ısico eles são importantes por si mesmos, já que representam o equil´ıbrio do sistema f´ısico. Por sua vez, da análise desse problema f´ısico pode-se obter as informa¸cões adicionais que nos permitem garantir se estamos em um ponto de m´ınimo/máximo local ou ponto de sela.

4.2

Equa¸c˜ ao de Euler

Por simplicidade, vamos supor que a fun¸caõ f (x, u (x) , u0 (x)) em (4.1) é uma fun¸caõ cont´ınua com rela¸cão a x, u (x) e u0 (x) bem como suas derivadas fu =

∂f , ∂u

f u0 =

∂f ∂u0

em [a, b] × 0! = (1 + z 02 ) 1 + z 02 (1 + z 02 ) 1 + z 02 0 0 Observe que δ 2 F (z, η) = 0 ⇔ η 0 = 0 ⇔ η = 0. Logo, F é estritamente convexo. Assim, a solu¸caõ obtida √ é a solu¸cão que minimiza o funcional (que podemos dizer sobre a fun¸caõ f = 1 + z 02 ?).

60

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler b) f (x, u (x) , u0 (x)) = f (x, u0 (x)) Recordando a equa¸caõ de Euler, d fu0 (x, u (x) , u0 (x)) dx

fu (x, u (x) , u0 (x)) = teremos:

fu (x, u (x) , u0 (x)) = fu (x, u0 (x)) = 0 para este caso (b). Logo, teremos novamente: d fu0 (x, u0 (x)) = 0 ⇒ fu0 (x, u0 (x)) = cte dx Exemplo 4.3 Vejamos o problema da Geodésica na esfera de raio R. O funcional para a parametriza¸c˜ ao θ = u (ϕ) est´ a dado por

Z

q

ϕB

0

1 + (sin ϕ u0 (ϕ))2 dϕ

L (ϕ, u (ϕ)) = R 0

onde

© ª u ∈ D (L) = u, u(ϕ) ∈ C 1 [0, ϕB ] , u (0) = u (ϕB ) = 0

Para este funcional teremos:

q 1 + (sin ϕ u0 (ϕ))2

f (ϕ, u0 (ϕ)) = R logo,

sin2 ϕ u0 (ϕ)

fu0 (ϕ, u0 (ϕ)) = R q

1 + (sin ϕ u0 (ϕ))2

Logo, se u ∈ D (L) faz estacionário o funcional, teremos da equa¸c˜ ao de Euler que: q

R sin2 ϕ u0 (ϕ) 1 + (sin ϕ u0 (ϕ))2

= cte

para

ϕ ∈ [0, ϕB ]

Em ϕ = 0 esta constante é nula (sin ϕ = 0), logo q

R sin2 ϕ u0 (ϕ) 1 + (sin ϕ

u0

2

=0

∀ ϕ ∈ [0, ϕB ]

(ϕ))

Por tanto u0 (ϕ) = 0 ⇒ u (ϕ) = cte ⇒ θ = u (ϕ) = cte = 0 j´ a que u ∈ D (L). Logo, a solu¸c˜ ao (estacionária) corresponde ao c´ırculo que une os pontos A e B. Nada mais podemos dizer sobre esta solu¸c˜ ao. Pode-se dizer algo mais sobre o funcional L(ϕ, u’(ϕ)). Este funcional é estritamente convexo na vari´ avel u’(ϕ)?.

4.4. Segunda Forma da Equa¸cão de Euler

61

c) f (x, u (x) , u0 (x)) = f (u (x) , u0 (x)) Se vemos f como uma fun¸caõ (impl´ıcita) em x temos que: d du du0 f (u(x), u0 (x)) = fu + fu0 = fu u0 + fu0 u00 dx dx dx desde que u ∈ C 2 [a, b] . Levando isto em conta, temos d [f (u(x), u0 (x)) − u0 (x)fu0 (u(x), u0 (x))] = dx µ ¶ d 0 00 00 0 d 0 = fu u + fu0 u − u fu0 − u fu0 = −u fu0 − fu dx dx

(4.20)

Logo, se u = u(x) é um extremo do funcional, a equa¸caõ de Euler deverá ser satisfeita por esta fun¸caõ e o segundo membro de (4.20) se anula. Logo: d [f (u(x), u0 (x)) − u0 (x) fu0 (u(x), u0 (x))] = 0 dx de onde f − u0 fu0 = cte

(4.21)

Reciprocamente, se (4.21) é satisfeita e se u0 (x) não se anula no intervalo [a, b] teremos que u = u(x) será um extremo do funcional Z

b

F(u) =

f (u (x) , u0 (x)) dx

a

Exemplo 4.4 O problema da Brachistochrone (ver express˜ ao 2.7) 1 T =√ 2g

Z

a 0

µ

1 + y 02 y

¶ 12

dx

Como vemos, o integrando está dado por uma fun¸c˜ ao do tipo f (y(x), y 0 (x)).

4.4

Segunda Forma da Equa¸c˜ ao de Euler

A primeira forma da equa¸caõ de Euler está dada por: d fu0 (x, u (x) , u0 (x)) = fu (x, u (x) , u0 (x)) dx

(4.22)

que, integrada, conduz a Z

x

0

fu0 (x, u (x) , u (x)) = a

fu (t, u (t) , u0 (t)) dt + cte

(4.23)

62

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler Por outro lado, se u ∈ C 2 [a, b] , resulta d f (x, u (x) , u0 (x)) = fx + fu u0 + fu0 u00 dx

(4.24)

além do mais, se é um extremo, podemos utilizar (4.22) em (4.24), obtendo d d d 0 f = fx + fu0 u0 + fu0 u00 = fx + (u fu0 ) dx dx dx Logo,

d [f − u0 fu0 ] = fx dx

que, integrando, conduz a Z 0

0

x

0

f (x, u(x), u (x)) − u (x) fu0 (x, u(x), u (x)) =

ft (t, u (t) , u0 (t)) dt + cte

(4.25)

a

Observe que (4.25) se parece com (4.23) que é a forma integral da primeira equa¸caõ de Euler. Por outro lado, (4.25) não exibe explicitamente a exigência de que u ∈ C 2 [a, b] ´ poss´ıvel mostrar que (4.25) pode obter-se diretamente sem usada para sua obten¸cão. E esta exigência. Lamentavelmente, sua demonstra¸caõ está além dos objetivos deste curso. Assim, nos limitaremos a apresentar o seguinte teorema: Teorema 4.2 Se f (x, u(x), u0 (x)) ∈ C 1 ([a, b] × R2 ) e se u0 ∈ D é um extremo local do funcional F definido em D, u0 satisfaz a segunda forma da equa¸c˜ ao de Euler Z x f − u0 fu0 = (4.26) ft dt + c0 a

para alguma constante c0 Temos visto assim que a forma da equa¸caõ de Euler depende do espa¸co em que estamos trabalhando, mas as solu¸co˜es desta equa¸caõ não. Esta propriedade é conhecida na literatura como invariˆ ancia da euqua¸cão de Euler. De fato, as solu¸cões são os elementos u ∈ D(F ) para os quais δF(u, η) = 0 e onde a varia¸caõ do funcional depende de D(F ), u e η mas não do espa¸co U no qual temos introduzido D(F ). Na próxima se¸cão veremos com mais detalhes este aspecto, uma vez que vamos introduzir o conceito de gradiente de um funcional.

4.5

Gradiente de um funcional

Dado o funcional F definido na variedade linear D(F ) do espa¸co de Banach U , se este funcional satisfizer as restri¸co˜es 1 e 2, teremos que a primeira varia¸cão Gâteaux do funcional no ponto u na dire¸caõ η estava dada por um funcional linear e cont´ınuo ¯ ¯ d em η ∈ D (F) − admiss´ıvel = M F(u + αη)¯¯ δF(u, η) = dα α=0

4.5. Gradiente de um funcional

63

Em geral, para u ∈ D(F ), o funcional δF(u, η) não é um funcional limitado em η. Consideramos o conjunto N ⊂ D(F ) cujos elementos u fazem com que este funcional seja limitado. Dado que δF(u, η) ∈ R, este diferencial Gâteaux define para cada u0 ∈ N um funcional linear, cont´ınuo e limitado gu0 tal que δF(u0 , η) = hgu0 , ηi ,

gu0 ∈ U 0

donde U ’ é um espa¸co dual (topológico) de U . Há correspondência u0 ∈ N → gu0 define um operador P, que, em geral, é não linear, P : N → U0 u0 → P (u0 ) = gu0 tal que

¯ ¯ d δF(u0 , η) = hP (u0 ) , ηi = F(u0 + αη)¯¯ dα α=0

(4.27)

e onde h·, ·i representa o par de dualidade U × U ’. O operador P definido desta maneira (expressão 4.27) é chamado gradiente do funcional F no ponto u0 , o qual será representado da seguinte maneira P (u0 ) = gradF(u0 ) (4.28) O ponto u0 ∈ U é um ponto extremo do funcional se δF(u0 , η) = hP (u0 ) , ηi = 0 ∀η ∈ M

(4.29)

e como M é denso em U , (4.29) implica em P (u0 ) = 0

(4.30)

onde 0 é o elemento (funcional linear) nulo (e, portanto, limitado) de U ’. A equa¸cão (4.30) tem sido chamada por nós de equa¸c˜ ao de Euler (ou, simplesmente, equa¸caõ de Euler) para o funcional F(u). De (4.30) e (4.29) vemos que encontrar as solu¸cões da equa¸caõ de Euler é equivalente a encontrar os extremos do funcional. Por sua vez, (4.29) põe em evidência o sentido em que deve-se interpretar (4.30). Por esta razão, u0 é também chamada solu¸c˜ ao fraca da equa¸cão de Euler. Vamos mostrar agora que o dom´ınio de defini¸caõ do graditene de um funcional e, portanto, sua expressão, dependem essencialmetne do espa¸co U onde D(F ) tem sido colocado. Para mostrar isto, consideramos nosso exemplo Z

b

F(u) = a

f (x, u(x), u0 (x))dx

64 onde

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler © ª u ∈ D(F ) = u | u ∈ C 1 [a, b] , u(a) = u, u(b) = u

e onde f ∈ C 1 ([a, b] × R2 ) . Tomemos, primeiro, U = L2 (a, b) . Resulta óbvio que D(F ) ⊂U . Por outro lado, podemos contruir a fun¸caõ x−a u(x) = u + (u − u) b−a que pertence a D(F ). Logo dado u ∈ D(F ) podemos definir as fun¸cões η =u−u que satisfazem η ∈ C 1 [a, b]

η(a) = η(b) = 0

Logo, o conjunto destas fun¸cões assim definidadas define o subespa¸co M que, como temos visto, é denso em L2 (a, b) e, potanto, D(F ) também é denso em L2 (a, b). Vemos assim que a Restri¸caõ 1 é satisfeita. Vimos também que a Restri¸caõ 2 é também satisfeita. Logo, o diferencial Gâteaux do funcional F está dado por ¯ ¯ d δF(u, η) = F (u + αη)¯¯ dα α=0 Z b = [fu (x, u(x), u0 (x))η + fu0 (x, u(x), u0 (x))η 0 ] dx (4.31) a

que é um funcional linear em η. Dado que este funcional é linear podemos agora ver qual é a forma do gradiente do funcional. Para isto, vamos ver quais são as restri¸cões sobre u ∈ D(F ) para que δF(u, η) seja um funcional limitado em η. Para tal, recordamos que L2 (a, b) é um espa¸co de Hilbert onde o produto interno está devinido por Z b

(u, v)L2 (a,b) =

u(x)v(x)dx a

que induz a norma em L2 (a, b) µZ kukL2 (a,b) =

b

u2 (x)dx

¶ 12

a

Dessa forma, dado um espa¸co de Hilbert H com seu produto interno definido por (·, ·)H , podemos construir funcionais lineares e cont´ınuos fazendo uso deste produto interno. De fato, se u0 ∈ H é um elemento fixo, podemos definir o funcional lu0 ∈ H’ da seguinte maneira def hlu0 , ηi = (u0 , η)H ∀η ∈ H Este funcional, por defini¸cão, depende linear e continuamente do elemento u0 . Esta correspondência podemos formalisar introduzindo um operador linear K : H → H0 u0 → Ku0 = lu0

4.5. Gradiente de um funcional

65

Logo, teremos hlu0 , ηi = hKu0 , ηi = (u0 , η)H

∀η ∈ H

(4.32)

Nos perguntamos agora se existem funcionais lineares em H’ que n˜ ao podem ser representados por intermédio do produto interno. De fato, se representamos por HK0 todos os funcionais lineares e limitados que podem ser representados como em (4.32) teremos que HK0 ⊂ H 0

(4.33)

´ importante ressaltar que, ao invés da inclusão (4.33), se verifica que E 0 = H0 HK

(4.34)

Isto foi demonstrado pelo matemático h´ ungaro Riesz dando assim lugar ao seguinte Teorema. Teorema 4.3 (Teorema da Representa¸ c˜ ao de Riesz) Todo funcional linear e limitado l em um espca¸co de Hilbert H pode ser expresso da seguinte forma: hl, ηi = (u, η)

∀η ∈ H

onde u é um elemento de H determinado de maneira u ńica por l, tal que klkH 0 = kukH Com isto em mente, retornamos a expressão (4.31). Neste expressão o segundo membro está formado por dois termos. O primeiro Z b fu ηdx a

é um funcional linear e limitado em η dada as hipóteses assumidas para f (fu é cont´ınua e quadraticamente integrável em (a, b)). O mesmo n˜ ao podemos dizer do segundo termo Z

b

fu0 η 0 dx

(4.35)

a

Para estudar este funcional recordamos a defini¸cão de fun¸cões absolutamente cont´ınuas. Defini¸ c˜ ao 4.6 A fun¸c˜ ao u = u(x) é absolutamente cont´ınua no intervalo [a, b] se existe a fun¸c˜ ao v = v(x) integrável no mesmo intervalo, tal que Z x (4.36) u(x) = v(t)dt + cte x ∈ [a, b] a

Por sua vez, a fun¸c˜ ao u(x) tem derivada no sentido clássico que é igual a v = v(x) em quase todo lugar do intervado [a, b] .

66

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

Agora introduzimos o espa¸co M(k) [a, b] de fun¸cões cont´ınuas e continuamente diferenciáveis até ordem k e tais que a fun¸caõ e suas derivadas até ordem (k − 1) é nula nos extremos do intervalo. Sejam agora duas fun¸co˜es u = u(x) e v = v(x) integráveis em [a, b] e suponha que para ∀φ ∈ M(k) a seguinte igualdade se verifica Z

b a

dk φ u k dx = (−1)k dx

Z

b

vφdx

(4.37)

a

logo, v é chamada derivada generalizada de ordem k da fun¸c˜ ao u. Pode-se mostrar (k) que esta derivada é u ńica (recorde que M contém o espa¸co = [a, b] formado pelas fun¸co˜es C ∞ tais que a fun¸caõ e todas as suas derivadas se anulam nos extremos de algum subintervalo [α, β] de [a, b] . Este espa¸co é denso em L2 [a, b]). Com estes elementos pode-se demonstrar o seguinte Teorema: Teorema 4.4 Seja u = u(x) uma fun¸c˜ ao definida em quase toda parte do intervalo [a, b] , quadraticamente integr´ avel neste intervalo e com derivada generalizada de ordem k, u(k) (x) = v(x) com v também quadraticamente integr´ avel. Logo a fun¸c` ao u é equivalente a uma fun¸c˜ ao que é k − 1 vezes continuamente diferenci´ avel em [a, b] e que tem derivada de ordem k no sentido clássico igual em quase toda parte a v. Por sua vez, a derivada u(k−1) é absolutamente cont´ınua no segmento [a, b] . Com estes conceitos em mente, voltemos à expressão (4.35). Suponhamos que a fun¸cão u = u(x) é tal que fu0 (x, u(x), u0 (x)) é absolutamente cont´ınua em x com derivada quadraticamente integrável em (a, b). Logo, existe uma fun¸cão w ∈ L2 [a, b] tal que: Z x 0 (4.38) fu0 (x, u(x), u (x)) = w(t)dt + c a

e que em quase toda parte de (a, b) resulta d fu0 (x, u(x), u0 (x)) = w(x) dx Neste caso a integral

Z

b

fu0 η 0 dx

a

pode integrar-se por parte, obtendo-se Z

b

Z

0

a

b

d fu0 ηdx | {z }=0 a dx Z b Z b d = − fu0 ηdx = wηdx a dx a

fu0 η dx =

fu0 η|ba

−

4.5. Gradiente de um funcional

67

O Teorema de Riesz nos diz que esta u ´ltima integral é um funcional linear limitado em η. Vemos, assim, que os dois termos que compõem δF(u, η) são limitados, logo, δF(u, η) é um funcional linear limitado em η. Teremos assim: ¸ Z b· d δF(u, η) = fu − fu0 ηdx ∀η ∈ M dx a Por outro lado, da defini¸caõ de gradiente de um funcional F Z b δF(u, η) = gradF(u)ηdx ∀η ∈ M a

Desses dois u ´ltimos resultados teremos: · ¸¾ Z b½ d gradF(u) − fu − fu0 ηdx = 0 ∀η ∈ M dx a e da densidade de M em L2 [a, b], resulta gradF(u) = fu −

d fu0 dx

(4.39)

Temos obtido assim, o seguinte resultado: O gradiente do funcional F est´ a definido em u ∈ D (F) se fu0 ´ e uma fun¸ c˜ ao absolutamente cont´ınua em x com derivada quadraticamente integr´ avel. Vamos mostrar agora que a proposi¸caõ inversa é também verdadeira. Isto é, vamos d fu0 é provar que se u ∈ D (gradF) então fu0 é absolutamente cont´ınua e sua derivada dx quadraticamente integrável em (a, b) e gradF(u) = fu −

d fu0 dx

De fato, se, u ∈ D (gradF), logo δF(u, η) é um funcional linear e limitado em η. Neste caso, cada um dos termos da integral (4.31) é um funcional limitado. Em particular Z b fu0 η 0 dx (4.40) a

é limitado. Logo, do Teorema de Riesz existe uma fun¸caõ g ∈ L2 (a, b), tal que Z b Z b 0 fu0 η dx = gηdx a

(4.41)

a

Podemos construir a fun¸caõ absolutamente cont´ınua Z x G(x) = − g(t)dt + c a

(4.42)

68

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

cuja derivada (no sentido clássico) é igual em quase todo lugar de (a, b) a g. Logo: Z

Z

b

b

gηdx = a

− a

dG ηdx dx

(4.43)

Integrando por parte o segundo membro de (4.43) teremos: Z

Z

b

gηdx = a

−Gη|ba

| {z }=0

Z

b

+

b

0

Gη dx = a

Gη 0 dx

(4.44)

a

Logo, (4.41) e (4.44) obtemos: Z

b

(fu0 − G) η 0 dx = 0 ∀η ∈ M

(4.45)

a

que nos diz que: fu0 − G = cte logo:

Z

x

fu0 = G + cte = −

g(t)dt + c

(4.46)

a

Esta u ´ltima expressão nos diz que fu0 é absolutamente cont´ınua. Por sua vez: d fu0 (x) = −g(x) ∈ L2 (a, b) dx com o que finalizamos a demonstra¸cão. Este resultado assim alcan¸cado pode ser formulado no seguinte Teorema. Teorema 4.5 Seja o funcional F(u) definido em © ª D(F ) = u | u ∈ C 1 [a, b] , u(a) = u, u(b) = u e consideremos D (F) como uma variedade linear de L2 [a, b]. Logo, o dom´ınio de defini¸c˜ ao do gradF consiste somente daquelas fun¸c˜ oes que têm as seguintes propriedades (i) u ∈ D (F) (ii) substitu´ıda em fu0 (x, u(x), u0 (x)) a converte em fun¸c˜ ao absolutamente cont´ınua em d fu0 é quadraticamente integr´ avel neste intervalo. [a, b] e cuja derivada dx Vamos ver a forma do gradiente do mesmo funcional, mas agora adotando outro espa¸co U . No que segue, para simplificar nossa apresenta¸caõ, suponhamos que: u(a) = u = 0

u(b) = u = 0

4.5. Gradiente de um funcional

69

Observa¸ c˜ ao 4.4 Observe que o caso geral de condi¸c˜ oes de contorno não homogêneas pode-se reduzir a este caso mediante a seguinte substitui¸c˜ ao: u(x) = v(x) + u +

x−a (u − u) b−a

v(a) = v(b) = 0

Vamos supor que o espa¸co que contém a variedade linear (agora um subespa¸co) D (F) está dado pelo espa¸co de Hilbert 0 (1)

H01 [a, b] =W 2 (a, b) formado por todas as fun¸co˜es absolutamente cont´ınuas em [a, b], iguais a zero nos extremos deste intervalo e com derivadas de primeira ordem, quadraticamente integráveis em [a, b] . O produto escalar e a norma induzida por ele serão representados por Z b Z b µ ¶2 du du dv 2 dx dx, kukH 1 (a,b) = (u, v)H 1 (a,b) = 0 0 dx a dx dx a Como D (F) = M = H01 (a, b) , as Restri¸co˜es 1 e 2 estão satisfeitas, portanto, o diferencial Gâteaux está dado por Z b (4.47) δF(u, η) = (fu η + fu0 η 0 ) dx a

Vamos mostrar agora que para todo u ∈ D (F) (4.47) é um funcional limitado em H01 (a, b) (com isto teremos D (gradF) = D (F)). De fato, da desigualdade de CauchySchwarz ¯Z b ¯ ¯Z b ¯ ¯Z b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 |δF(u, η)| = ¯¯ (fu η + fu0 η ) dx¯¯ ≤ ¯¯ fu ηdx¯¯ + ¯¯ fu0 η dx¯¯ a

µZ

b

Z

b

2

(fu ) dx

≤ a

η 2 dx

¶ 12

a

a

µZ

b

Z

b

2

(fu0 ) dx

+ a

a

η 02 dx

¶ 21 (4.48)

a

As fun¸co˜es fu e fu0 são cont´ınuas e, portanto, limitadas em [a, b], logo µZ

b

|δF(u, η)| ≤ c0

η 2 dx

µZ

¶ 12

b

+ c1

η 02 dx

¶ 21

onde c0 e c1 são constantes. Por sua vez Z η(x) = η(a) +

x

Z

x

0

η (t)dt = a

η 0 (t)dt

a

(4.50)

a

logo, aplicando novamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz ¯ ¯ ¯Z x ¯Z x µZ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 1η (t)dt¯¯ ≤ (x − a) 2 η (t)dt¯¯ = ¯¯ |η(x)| = ¯¯ a

(4.49)

a

a

x

02

η dt a

¶ 12

70

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

de onde

Z

Z

x

2

η ≤ (x − a)

η dt ≤ (b − a) a

e, consequentemente

Z

η 02 dx

a

Z

b

b

02

b

2

2

η dx ≤ (b − a) a

η 02 dx

(4.51)

a

Substituindo (4.51) em (4.49) obtemos µZ

b

|δF(u, η)| ≤ (c0 (b − a) + c1 )

η 02 dx

¶ 21

= c kη 0 kH 1 (a,b) 0

a

Vemos assim que o funcional δF(u, η) é limitado em η. Vamos ver a expressão de gradF. Tomemos, para isto Z x

g(x) =

fu (t, u(t), u0 (t))dt + c

a

onde c é uma constante a ser definida. Logo d g(x) = fu (x, u(x), u0 (x)) dx de onde

Z

Z

b

b

fu ηdx = a

a

dg ηdx = gη|ba − |{z}=0 dx

logo:

Z

b

δF(u, η) =

Z

Z

b

b

0

gη dx = − a

a

(fu0 − g) η 0 dx

a

Podemos agora construir a fun¸cão Z

x

G(x) =

(fu0 − g) dt a

e adotar c de maneira tal que G (b) = 0. Temos assim Z

Z

b

G(b) =

t

(f −

fu dτ )dt + c(b − a) = 0

u0

a

a

e a constante c resulta definida por 1 c=− b−a

Z

Z

b

t

(fu0 − a

fu dτ )dt a

Logo G ∈ H01 (a, b) e por sua vez resulta: dG = fu0 − g dx

gη 0 dx

4.6. Problemas Variacionais com Condi¸cões Subsidiárias. Multiplicadores de Lagrange71

Figura 4.4: Problema de Dido logo

Z

b

δF(u, η) = a

G0 η 0 dx = (G, η)H 1 (a,b) 0

e deste se segue que no espa¸co H01 (a, b) ¸ Z x· Z t 0 0 gradF = G = fu0 (t, u(t), u (t)) − fu (τ, u(τ ), u (τ ))dτ dt a

(4.52)

a

Vemos assim que em L2 (a, b) e em H01 (a, b) o gradF está dado, respectivamente, por d fu0 (x, u(x), u0 (x)) dx ¸ Z x· Z t 0 0 gradF = fu0 (t, u(t), u (t)) − fu (τ, u(τ ), u (τ ))dτ dt gradF = fu (x, u(x), u0 (x)) −

a

(4.53) (4.54)

a

e as equa¸cões de Euler são obtidas anulando-se ambas as expressões (gradF = 0): d fu0 (x, u(x), u0 (x)) = 0 dx ¸ Z x· Z t 0 0 fu0 (t, u(t), u (t)) − fu (τ, u(τ ), u (τ ))dτ dt = 0 fu (x, u(x), u0 (x)) −

a

(4.55) (4.56)

a

Não resulta dif´ıcil ver que as equa¸cões (4.55) e (4.56) são equivalentes: (4.55) se obtém de (4.56) diferenciando duas vezes, reciprocamente, integrando duas vezes (4.55) obtemos (4.56).

4.6

Problemas Variacionais com Condi¸c˜ oes Subsidi´ arias. Multiplicadores de Lagrange

Antes de analisar este problema, recordemos, primeiramente, o problema da rainha Dido de Cartago. Para simplificar, vamos supor o indicado na Figura 4.4. A área entre a curva u = u(x) e o eixo x est´ a dada por Z b F(u) = u(x)dx, u(a) = u(b) = 0 a

72

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler Por sua vez, t´ınhamos a restri¸caõ L(u) =

Z bp

1 + u0 (x)2 dx = l

a

Logo, o problema isoperimétrico consistia em encontrar em D (F) a fun¸cão u = u(x) tal que L (u) = l e fa¸ca tomar o maior valor poss´ıvel de F(u). Claramente este problema requer que D = D (F) ∩ D (L) 6= ∅, (conjunto vazio) Em particular, para o problema formulado podemos adotar: D(F) = {u | u ∈ C [a, b] , u(a) = u(b) = 0} e para D (L) podemos adotar: D(L) = {u | u ∈ C 1 [a, b] , u(a) = u(b) = 0, L(u) = l} Claramente, D (L) ⊂D (F) e D (L) ∩D (F) = D (L) = D, que resulta não vazio. Seja agora u ∈ D0 , onde © ª D0 = u | u ∈ C 1 [a, b] , u(a) = u(b) = 0 isto significa que para λ ∈ R ½ inf λ (L(u) − l) =

R

λ∈

0 se L(u) − l = 0 −∞ caso contrário

Logo, o problema original de encontrar u ∈ D (F) ∩ D(L), tal que u = arg

max

v∈{D(F)∩D(L)}

F (v)

é equivalente ao de determinar (problema onde a restri¸caõ isoperimétrica foi eliminada!): u = arg maxJ (v) v∈D0

onde:

½ J (v) = F(v) + inf λ (L(v) − l) =

R

λ∈

F (v) se L(v) = l −∞ caso contrário

Assim, podemos considerar o seguinte funcional: J (u, λ) = F (u) + λ (L(u) − l) onde D (J ) = D0 × R

(4.57)

4.6. Problemas Variacionais com Condi¸cões Subsidiárias. Multiplicadores de Lagrange73 Supondo que as Restri¸cões 1 e 2 estejam satisfeitas, a condi¸caõ de ponto estacionário requer δJ (u, λ; η, ξ) = [δF (u, η) + λδL(u, η)] + ξ [L(u) − l] = 0 ∀η ∈ D0 e ∀ξ ∈ R

(4.58)

De onde obteremos L(u) = l δF (u, η) + λδL(u, η) = 0

(4.59) ∀η ∈ D0

(4.60)

que, conjuntamente com as condi¸co˜es u(a) = u(b) = 0 nos permitem calcular u e λ. Em particular, se existe w ∈ D0 , tal que: δL(u, w) 6= 0 de (4.60) teremos λ=−

δF (u, w) δL(u, w)

Com esta constante, temos que a equa¸caõ de Euler de (4.60) toma a forma grad[F + λL](u) = 0

(4.61)

Como regra, esta técnica conhecida como de multiplicadores de Lagrange consiste em: 1. Calcular o funcional estendido J (u) = F (u) + λL(u) 2. Calcular as fun¸cões u que fazem estacionário este funcional, sem levar em conta a restri¸caõ L(u) = l 3. De δJ (u; η) = 0 e L(u) = l calcular u e λ. Vamos aplicar esta técnica ao problema de Dido. Z b³ ´ √ J (u) = F (u) + λL(u) = u + λ 1 + u02 dx a

onde

© ª D0 = u | u ∈ C 1 [a, b] , u(a) = u(b) = 0 ¯ ¶ Z bµ ¯ u0 η 0 d ¯ = η + λ√ J (u + ²η)¯ dx δJ (u, η) = d² 1 + u02 a ²=0 ¯b ¶ Z bµ d λu0 λu0 η ¯¯ √ = 1− ηdx + √ dx 1 + u02 1 + u02 ¯a a ¶ Z bµ d λu0 √ = 1− ηdx = 0 ∀η ∈ D0 dx 1 + u02 a

74

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

de onde tem-se d u0 x−c λu0 √ = 1⇒ √ = ⇒ dx 1 + u02 λ 1 + u02 £ 2 (x − c)2 u02 2 ¤ 02 = ⇒ λ − (x − c) u = (x − c)2 ⇒ 02 2 1+u λ q x−c 0 u = ±q , integrando, u = ± λ2 − (x − c)2 + c1 2 λ2 − (x − c) logo

(u − c1 )2 + (x − c)2 = λ2

portanto, se a solu¸cão existe ela deve ser um c´ırculo de raio λ e centro (c, c1 ) . Estas três constantes são calculadas de Z b√ u(a) = 0, u(b) = 0, e 1 + u02 dx = l a

Se tomarmos a origem de coordenadas no ponto médio do intervalo [a, b], teremos neste caso que a = −b, logo, as restri¸cões anteriores tomam a forma: c21 + (b + c)2 = λ2 c21 + (b − c)2 = λ2   ! 12 Z b Z bÃ 2 λ (x − c) q  dx = l dx = 1+ 2 2 λ2 − (x − c) a a 2 λ − (x − c) De onde obtemos: c=0

c1 =

√

λ2

−

b2

µ ¶ b 2λ arcsin =l λ

Em particular, tomando l = πb, teremos λ = b, e a solu¸caõ é o semi-c´ırculo. Os conceitos anteriores podem ser estendidos a problemas isoperimétricos mais gerais. Neste caso, suponhamos dados os funcionais F, G1 , G2 , ..., Gn e as constantes l1 , l2 , ..., ln (n ≥ 1) e de todas as fun¸co˜es em D (F) que satisfazem Gi (u) = li

i = 1, 2, ...n

pretende-se determinar aquela que fa¸ca m´ınimo o funcional F. Suponhamos, também, que F, Gi , i = 1, ..., n, satisfazem as Restri¸co˜es 1 e 2. Como a interse¸caõ de variedades lineares é uma variedade linear, existe u ∈ D0 e o espa¸co M tal que u=u+η

η ∈ M e u ∈ D0

Finalmente, assumimos que M é denso no espa¸co que estamos considerando. Uma análise inteiramente similar a realizada conduz a n X λi (Gi (u) − li ) J (u, λ1 , λ2 , ..., λn ) = F (u) + (4.62) i=1

4.7. Condi¸co˜es subsidiárias finitas

75

n o bi ) = δJ (u, {λi } ; η, λ

" δF (u; η) +

n X

# λi δGi (u; η)

i=1

+

n X

bi (Gi (u) − l) = 0 λ

n o b i ∈ M × Rn ∀η, λ

(4.63)

i=1

de onde obtemos Gi (u) − l = 0 δF(u, η) +

n X

i = 1, 2, ..., n

λi δGi (u; η) = 0

(4.64)

∀η ∈ M

(4.65)

i=1

Se existem dire¸ c˜ oes η1 , η2 ,..., ηn ¯ ¯ δG1 (u; η1 ) ¯ ¯ δG1 (u; η2 ) det ¯¯ ... ¯ ¯ δG1 (u; ηn )

∈ M, para as quais o δG2 (u; η1 ) ... δGn (u; η1 ) δG2 (u; η2 ) ... δGn (u; η2 ) ... ... δG2 (u; ηn ) ... δGn (u; ηn )

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0 ¯ ¯ ¯

será poss´ıvel encontrar constantes λ1 , λ2 ,..., λn solu¸cão de P δF(u, η1 ) + Pni=1 λi δGi (u; η1 ) = 0 δF(u, η2 ) + ni=1 λi δGi (u; η1 ) = 0 P ... δF(u, ηn ) + ni=1 λi δGi (u; η1 ) = 0

(4.66)

(4.67)

Com estes valores de λi assim calculados, teremos que a equa¸caõ de Euler toma a forma grad[F +

i=n X

λi Gi ](u) = 0

(4.68)

i=1

4.7

Condi¸c˜ oes subsidi´ arias finitas

No problema isoperimétrico, as condi¸cões subsidiárias que deviam satisfazer as fun¸cões u estavam dadas por funcionais. Vamos considerar, agora, um outro tipo de problema (problema da Geodésica), que pode ser formulado da seguinte maneira: Encontre a fun¸caõ u = u(x) para a qual o funcional F (x, ui (x) , u0i (x) , i = 1, ..., n) alcan¸ca um extremo e onde o conjunto de fun¸cões admiss´ıveis do funcional devem satisfazer as condi¸co˜es subsidiárias finitas gj (x, ui , i = 1, 2, ..., n) = 0, j = 1, 2, ..., k, k < n

∀x ∈ [a, b]

(4.69)

76

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

Em outras palavras, o funcional não é analisado para todas as curvas que satisfazem as condi¸cões de contorno. Somente intervém aquelas que satisfazem as equa¸cões (4.69), ou seja, encontram-se na n − k variedade linear definida pelo sistema (4.69). Por simplicidade, vamos limitar-nos ao caso de n = 2 e k = 1, isto é, seja o funcional Z b 0 0 F(x, u1 (x), u2 (x), u1 (x), u2 (x)) = f (x, u1 (x), u2 (x), u01 (x), u02 (x))dx (4.70) a

definido em

n o ¡ ¢2 D = u | u ∈ C 1 [a, b] , u(a) = u, u(b) = u

(4.71)

onde com u queremos indicar o par de fun¸cões (u1 , u2 ). Então, de todas as fun¸cões u ∈ D vamos buscar aquela que, satisfazendo a equa¸cão (condi¸caõ subsidiária) g (x, u) = g(x, u1 (x), u2 (x)) = 0 sejam extremos (estacionários) do funcional F. A seguir, vamos supor que ½ ¾ gu1 ∇u g (x) = (x) 6= 0 gu2

∀x ∈ [a, b]

(4.72)

∀x ∈ [a, b]

ou seja, gu1 (x) = ∂u∂ 1 g (x, u1 (x) , u2 (x)) e gu2 (x) = ∂u∂ 2 g (x, u1 (x) , u2 (x)) não são simultaneamente nulos em qualquer ponto x ∈ [a, b]. Vamos estudar este problema por dois caminhos: • Primeiro Caminho - Cl´ assico Como sempre, D é uma variedade linear associada ao espa¸co das varia¸ co ˜es admiss´ıveis n o ¡ 1 ¢2 M = η | η ∈ C [a, b] , η(a) = η(b) = 0 Se u = (u1 , u2 ) é um extremo, teremos que deverá satisfazer (4.72), ou seja, g (x, u) = 0

∀x ∈ [a, b]

Por sua vez, a fun¸ c˜ ao admiss´ıvel u+²η = (u1 + ²η1 , u2 + ²η2 ) deverá satisfazer g (x, u + ²η) = 0

∀x ∈ [a, b]

que nos diz que as varia¸cões η1 (x) e η2 (x) n˜ ao podem ser arbitr´ arias. De fato, a restri¸cão subsidiária nos diz que podemos construir o funcional Z b G (x, u) = g(x, u)dx = 0 a

D (G) = {u suf. regular | g(x, u) = 0 ∀x ∈ [a, b]}

4.7. Condi¸co˜es subsidiárias finitas

77

logo ¯ ¯ d δG (u, η) = G (x, u+²η)¯¯ d² ²=0 Z b = (gu1 η1 + gu2 η2 ) dx = 0 ∀η1 , η2 D (G) − admiss´ıvel a

e, como por hipótese gu1 e gu2 não são simultaneamente nulas, a expressão anterior conduz a (por exemplo para gu1 6= 0): η1 = −

gu2 η2 gu1

(4.73)

e como devem pertencer a M teremos também η (a) = η (b) = 0. Por sua vez, se u é um extremo, teremos: Z

b

δF(u, η) = a

¡ ¢ fu1 η1 + fu01 η10 + fu2 η2 + fu02 η20 dx

integrando por partes ¶ µ ¶ ¸ Z b ·µ d d δF(u, η) = fu1 − fu01 η1 + fu2 − fu02 η2 dx dx dx a e fazendo uso de (4.73) teremos µ ¶ µ ¶¸ Z b· gu2 d d δF(u, η) = − fu1 − fu01 + fu2 − fu02 η2 dx = 0 ∀η2 ∈ M gu1 dx dx a De onde obtemos

d d fu1 − dx fu01 fu2 − dx fu02 = gu1 gu2

(4.74)

que nos diz que o quociente comum (4.74) determina a existência de uma fun¸caõ λ (x). Isto é d fu0 = 0 dx 1 d − fu02 = 0 dx

fu1 + λgu1 −

(4.75)

fu2 + λgu2

(4.76)

As equa¸cões (4.75) e (4.76) são as equa¸cões de Euler do funcional Z

b

J (u) =

[f (x, u) + λg (x, u)] dx a

(4.77)

78

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler • Segundo Caminho Aqui vamos ver o problema desde um ponto de vista similar ao apresentado na primeira parte desta se¸cão. De fato, seja λ = λ (x) quadraticamente integrável, logo Z G(u) =

½

b

sup

λ (x) g (x, u) dx =

λ∈L2 [a,b]

a

0 se u ∈D (G) +∞ caso contrário

Portanto, o funcional ½ J (u) = F (u) + G(u) =

F (u) se u ∈D (G) +∞ se u ∈D / (G)

Desta maneira, o problema original de encontrar os extremos de F (u) tais que satisfazem g (x, u) = 0 em todo x ∈ [a, b] é equivalente ao problema de determinar os extremos de J (u) mas agora sem a restri¸cão subsidiária g (x, u) = 0. Logo, as fun¸co˜es que fazem estacionário o funcional Z

b

L (u,λ) = F (u) +

λ (x) g (x, u) dx

(4.78)

a

em D (F) × L2 [a, b] serão tais que Z b Z b ³ ´ b b (x) g (x, u) dx = 0 δL u,λ; η, λ = δF (u, η) + λ (x) ∇g·ηdx + λ a a ³ ´ b ∈ M × L2 [a, b] ∀ η, λ (4.79) De onde Z

Z bµ

b

δF (u, η) + λ (x) ∇g·ηdx = a a ¶ Z bµ d + fu2 − fu02 + λgu2 η2 dx = 0 dx a Z

b

b (x, u) dx = 0 λg

fu1

¶ d − fu01 + λgu1 η1 dx (4.80) dx

∀ (η1 , η2 ) ∈ M

b ∈ L2 [a, b] ∀λ

(4.81)

a

que conduz às equa¸co˜es de Euler fu1 − fu2 −

d f 0 dx u1 d f 0 dx u2

+ λgu1 = 0 + λgu2 = 0 g (x, u) = 0

(4.82)

4.8. Funcionais Dependendo de Várias Variáveis Independentes

4.8

79

Funcionais Dependendo de V´ arias Vari´ aveis Independentes

Nos problemas estudados nos limitamos àqueles funcionais onde x ∈ [a, b]. Vamos ver, agora, funcionais onde x ∈ Ω, e Ω é um dom´ınio aberto e limitado do espa¸co Euclidiano m-dimensional. Vamos supor, também, que o contorno ∂Ω do dom´ınio Ω está formado por um conjunto finito de superf´ıcies suaves (m − 1)-dimensionais. Com isto, estamos permitindo realizar integra¸cões por partes em Ω: ¡ ¢ • Se P = P (x) ∈ C 1 Ω logo Z Ω

¡ ¢ • Se P, Q ∈ C 1 Ω logo Z

∂P dx = ∂xk

∂Q P dx = ∂xk Ω

Z Ω

Z P cos (n, xk ) d∂Ω

(4.83)

∂Ω

∂ (P Q) dx − ∂xk

Z Q Ω

∂P dx ∂xk

fazendo uso de (4.83): Z Z Z ∂Q ∂P P dx = − Q dx + (P Q) cos (n, xk ) d∂Ω ∂xk ∂xk Ω Ω ∂Ω

(4.84)

(4.85)

Como sempre, seja a fun¸cão f (x, u, z1 , ..., zm )

(4.86)

definida em x ∈ Ω = Ω ∪ ∂Ω e u, z1 , ..., zm variáveis numéricas que podem assumir valores reais arbitrários, no entanto finitos. Vamos supor também que f é cont´ınua, bem como suas derivadas de primeira e segunda ordem, com respeito às variáveis independentes x1 , x2 , ..., xm , u, z1 , ..., zm . Com estes elementos assim definidos consideremos o funcional ¶ Z µ ∂u ∂u F (u) = f x, u, , ..., (4.87) dΩ ∂x1 ∂xm Ω ¡ ¢ Vamos definir este funcional no conjunto D (F) de fun¸co˜es u ∈ C 1 Ω que satisfazem as condi¸co˜es de contorno: (4.88) u|∂Ω = g(x) com g (x) definida e continua em ∂Ω. Vamos supor, também, que existe ao menos uma fun¸cão u = u (x) que satisfaz ambas as restri¸co˜es ¡ ¢ u ∈ C 1 Ω , u (x) = g(x) ∀x ∈ ∂Ω (4.89)

80

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

´ importante ressaltar esta u Observa¸ c˜ ao 4.5 E ´ltima suposi¸c˜ ao. Em contraste com os problemas de uma u ńica variável, onde sempre é poss´ıvel encontrar a fun¸c˜ ao u satisfazendo restri¸c˜ oes equivalentes a (4.89), nos problemas com várias variáveis é poss´ıvel escolher g (x) continua de tal maneira que n˜ ao exista nenhuma fun¸c˜ ao u ∈ C 1 (Ω) satisfazendo (4.89). Logo, se u existe, então D (F) é uma variedade linear onde todos os elementos u ∈ D (F) podem ser representados como u=u + η, onde η ∈ M (Ω) é um espa¸co vetorial. Vamos supor, ainda, que D (F) é visto como uma parte de L2 (Ω) e que M (Ω) é denso em L2 (Ω) . Com todas estas hipóteses, as Restri¸cões 1 e 2 são satisfeitas, sendo assim, a varia¸caõ Gâteaux de F está dada por um funcional linear em η. A seguir, vamos estudar o problema de minimizar este funcional e obter as condi¸cões necessárias para tal. Se u0 é um extremo de F vimos que necessariamente: δF (u0 , η) = 0

∀η ∈ M

(4.90)

e que

Sendo assim:

u0 ∈ D (gradF)

(4.91)

gradF (u0 ) = 0

(4.92)

! ¯ Z Ã m X ¯ d ∂f ∂f δF(u, η) = F (u + ²η)¯¯ η+ ηk dΩ = d² ∂u ∂u k Ω ²=0 k=1

(4.93)

onde temos introduzido a nota¸caõ uk =

∂u , ∂xk

ηk =

∂η ∂xk

e onde temos omitido os argumentos de f para simplificar a nota¸caõ. A fun¸caõ u ∈ D (F) pertence ao dom´ınio D (gradF) se e somente se a integral do segundo membro de (4.93) é um funcional limitado em L2 (Ω). Em particular, (4.90) pode ser reescrita como µ ¶ ¶ m µ X ∂f ∂f δF(u, η) = ,η + , ηk (4.94) ∂u ∂u k L2 (Ω) L (Ω) 2 k=1 ∂f As fun¸cões ∂f e ∂u , k = 1, ..., m, são cont´ınuas em Ω e, o que é mais importante, ∂u k pertencem a L2 (Ω) . Logo, o primeiro produto escalar de (4.94) é um funcional limitado em L2 (Ω). Novamente, nada podemos dizer a respeito dos outros produtos escalares. Suponhamos agora que u ∈ D (F) seja tal que existam as derivadas generalizadas:

∂ ∂f , ∂xk ∂uk

k = 1, 2, ..., m

(4.95)

4.8. Funcionais Dependendo de Várias Variáveis Independentes

81

Logo, da defini¸cão de derivada generalizada Z Z Z ∂f ∂f ∂η ∂ ∂f ηk dΩ = dΩ = − ηdΩ Ω ∂uk Ω ∂uk ∂xk Ω ∂xk ∂uk

(4.96)

que substitu´ıda em (4.94) obtemos µ δF(u, η) =

Ã m ! X ∂f ∂ ∂f ,η − ,η ∂u ∂xk ∂uk L2 (Ω) k=1 ¶

(4.97)

L2 (Ω)

Se supormos agora que

m X ∂ ∂f ∈ L2 (Ω) ∂x k ∂uk k=1

resulta

Ã δF(u, η) =

m

∂f X ∂ ∂f − ,η ∂u k=1 ∂xk ∂uk

(4.98) ! (4.99) L2 (Ω)

um funcional em η limitado em L2 (Ω). Com isto teremos que u ∈ D (gradF) e este gradiente tem a forma m ∂f X ∂ ∂f gradF(u) = − (4.100) ∂u k=1 ∂xk ∂uk e como u ∈ D (F), u|∂Ω = g (x). Teremos assim que o dom´ınio de defini¸cão do gradiente do funcional F contém fun¸co˜es com as seguintes propriedades: ¡ ¢ 1. u ∈ C 1 Ω , de modo que u|∂Ω = g (x) 2. são tais que as derivadas generalizadas 3.

∂ ∂f ∂xk ∂uk

existem

Pm

∂ ∂f k=1 ∂xk ∂uk

∈ L2 (Ω) . Em geral os termos da soma podem não ter sentido se tomados separadamente. ¡ ¢ 4. Em particular D (gradF) contém fun¸co˜es de C 2 Ω que satisfazem u|∂Ω = g (x) Logo, a equa¸cão de Euler do problema variacional será: gradF (u) = 0

u|∂Ω = g (x)

(4.101)

ou em forma estendida m

∂f X ∂ ∂f − =0 ∂u k=1 ∂xk ∂uk

u|∂Ω = g (x)

(4.102)

82

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

Exemplo 4.5 ¶2 Z X m µ ∂u F (u) = dΩ ∂xk Ω k=1 Se designamos

µ ∇u =

u|∂Ω = g (x)

∂u ∂u ∂u , , ..., ∂x1 ∂x2 ∂xm

¶

a express˜ ao anterior pode ser colocada em forma mais compacta Z F (u) = ∇u · ∇u dΩ u|∂Ω = g (x) Ω

de (4.102) a equa¸c˜ ao de Euler será m X ∂u2 k=1

∂x2k

=0

u|∂Ω = g (x)

(4.103)

ou, em forma compacta 4u = 0. Exemplo 4.6 Z F (u) =

(∇u · ∇u − 2f u) dΩ Ω

u|∂Ω = 0 (x)

Observe que, neste caso, a existência de u é óbvia, já que é suficiente tomar u ≡ 0. A equa¸c˜ ao de Euler ser´ a 4u = f u|∂Ω = g (x) (4.104)

4.9

Funcionais Dependendo de Derivadas de Ordem Superior a Primeira

Consideremos o funcional da forma Z b ¡ ¢ F (u) = f x, u, u(1) , u(2) , ..., u(k) dx

(4.105)

a

onde

dj u j = 1, 2, ..., k dxj Por simplicidade vamos supor que a fun¸caõ u(j) =

está definida em

(4.106)

f (x, z0 , z1 , ..., zk )

(4.107)

¡ ¢ C k [a, b] × Rk

(4.108)

4.9. Funcionais Dependendo de Derivadas de Ordem Superior a Primeira

83

O funcional F está definido em D (F) =

© u | u ∈ C k [a, b] ; u(a) = A0 , u(1) (a) = A1 , ..., u(k−1) (a) = Ak−1 , ª u(b) = B0 , u(1) (b) = B1 , ..., u(k−1) (b) = Bk−1 (4.109)

onde Ai e Bi são constantes conhecidas. No papel de u podemos tomar o polinômio de grau 2k − 1 que satisfa¸ca as condi¸co˜es de contorno (é bem conhecido que este polinômio pode ser construido). Logo D (F) é uma variedade linear de fun¸co˜es da forma u = u + η donde © ª η ∈ M(k) = η ∈ C k (a, b) , η(a) = η (1) (a) = ... = η (k−1) (b) = 0 Se vemos D (F) como parte de L2 (a, b) não resulta dif´ıcil mostrar que as Restri¸co˜es 1 e 2 são satisfeitas. Logo, a varia¸caõ Gâteaux do funcional será um funcional linear em η, sendo dado por ¯ ¯ d δF (u, η) = F (u + ²η)¯¯ d² ²=0 ¯ Z b ¡ ¢ ¯ ∂ (1) (1) (k) (k) = f x, u + ²η, u + ²η , ..., u + ²η dx¯¯ ∂² a ! Z bÃ k X ∂f (j) ∂f η+ η dx (4.110) = (j) ∂u ∂u a j=1 Vamos adicionar mais uma restri¸caõ: a fun¸cão u = u(x) é tal que: ¡ ¢ ∂ f x, u(x), u(1) (x), u(2) (x), ..., u(k) (x) , (j) ∂u

j = 1, 2, ..., k

(4.111)

tem derivada generalizada até ordem j(1 ), logo: k X

(−1)j

j=1

dj ∂f ∈ L2 (a, b) dxj ∂u(j)

Por sua vez podemos realizar a integra¸cão por partes: ¶ Z b Z bµ j ∂f (j) d ∂f j η dx = (−1) ηdx (j) dxj ∂u(j) a ∂u a

(4.112)

(4.113)

e consequentemente: Z b" δF (u, η) = a

# k j ∂f ∂f X j d + (−1) ηdx ∂u j=1 dxj ∂u(j)

(4.114)

Isto quer dizer que a fun¸cão ∂u∂f(j) é cont´ınua em [a, b] conjuntamente com todas suas derivadas até a ordem (j − 1) e que a derivada de ordem (j − 1) é absolutamente cont´ınua neste segmento. 1

84

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

A integral (4.114) é um funcional em η limitado em L2 (a, b) , logo a fun¸caõ u ∈ D (F) que satisfaz as propriedades anteriormente mencionadas é tal que também pertence ao dom´ınio D (gradF) e para estas fun¸co˜es k

∂f X dj ∂f gradF (u) = + (−1)j j (j) ∂u j=1 dx ∂u

(4.115)

e se é um extremo, resultará: gradF (u) = 0

(4.116)

Finalmente, com os resultados desta se¸caõ e da anterior, não resulta dif´ıcil estender ao caso de várias variáveis independentes e derivadas parciais de ordem superior.

4.10

Funcionais dependendo de v´ arias fun¸c˜ oes

Alguns resultados que vamos mostrar nesta se¸cão já foram mostrados de alguma maneira quando vimos os multiplicadores de Lagrange, onde trabalhamos com duas fun¸co˜es u e λ. Nesta se¸cão vamos analisar este caso com mais detalhes, limitando a apresenta¸caõ ao caso de: (i) uma variável independente, ou seja, x ∈ [a, b] (ii) duas fun¸cões u e v (iii) o funcional depende de x, u, v e u0 , v’ A extensão para problemas do tipo, no entanto mais gerais, não apresenta dificuldades adicionais. Assim, consideremos o funcional Z b F (u) = f (x, u(x), v(x), u0 (x), v 0 (x)) dx (4.117) a

n o ¡ ¢2 D (F) = {u, v} ∈ C 1 [a, b] , u(a) = A1 , v(a) = B1 , u(b) = A2 , v(b) = B2

(4.118)

Podemos construir a fun¸caõ {u, v} dada por: u (x) = A1 +

A2 − A1 B2 − B1 (x − a) , v (x) = B1 + (x − a) b−a b−a

logo, todo vetor {u, v} de D (F) pode ser expresso como {u, v} = {u + η, v + ξ} 2

onde o vetor de varia¸co˜es admiss´ıveis {η, ξ} são fun¸co˜es de (C 1 [a, b]) satisfazendo as condi¸cões de contorno homogêneas, ou seja n o ¡ ¢2 {η, ξ} ∈ M = {w, q} ∈ C 1 [a, b] ; w(a) = w(b) = q(a) = q(b) = 0

4.10. Funcionais dependendo de várias fun¸cões

85

Logo, D (F) é uma variedade linear e M o subspa¸co a ela associado. Podemos agora ver D (F) como parte de L = [L2 (a, b)]2 , isto é, de fun¸co˜es vetoriais quadraticamente integráveis no intervalo [a, b] e onde o produto escalar e a norma por ele induzida estão dados por: • Produto escalar

Z ({u1 , v1 } , {u2 , v2 })L =

• Norma

·Z k{u, v}kL =

b

b

(4.119)

(u1 u2 + v1 v2 ) dx a

¡

2

u +v

2

¢

¸ 12 (4.120)

dx

a

Com estas restri¸co˜es, o funcional (4.117) satisfaz as Restri¸co˜es 1 e 2. Assim, temos que δF ({u1 , u2 } , {η1 , η2 }) é um funcional linear em η e está dado por ¯ ¯ ∂ δF ({u1 , u2 } , {η1 , η2 }) = F ({u1 + ²η1 , u2 + ²η2 })¯¯ (4.121) ∂² ²=0 que conduz a Z bµ δF ({u1 , u2 } , {η1 , η2 }) = a

¶ ∂f ∂f 0 ∂f ∂f 0 η1 + 0 η1 + η2 + 0 η2 dx ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2

Repetindo os argumento usados para analisar o problema F (x, u(x), u0 (x)) (ver Se¸caõ 4.5 Gradiente de um Funcional), temos 1. O dom´ınio de defini¸caõ do gradiente do funcional F, D (gradF) , está constituido somente pelas fun¸co˜es {u, v} que satisfazem (i) {u, v} ∈ D (F) ∂f ∂f cões absolutamente cont´ınuas em [a, b] e, por(ii) sejam tais que ∂u 0 e ∂v 0 sejam fun¸ tanto, suas derivadas em rela¸caõ a x são fun¸cões quadraticamente integráveis em [a, b] .

2. O gradF é um vetor definido por (gradF) {u, v} =

½

∂f d ∂f ∂f d ∂f − , − 0 ∂u dx ∂u ∂v dx ∂v 0

¾

3. A equa¸cão de Euler do funcional F se reduz ao sistema de equa¸co˜es diferenciais d ∂f ∂f − = 0; ∂u dx ∂u0 com as condi¸co˜es de contorno

∂f d ∂f − =0 ∂v dx ∂v 0

u(a) = A1 , u(b) = A2 , v(a) = B1 , v(b) = B2 .

86

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

De fato, se {u, v} são tais que fu0 e fv0 são absolutamente cont´ınuas resulta que existem fun¸cões w ∈ L2 (a, b) e γ ∈ L2 (a, b) tais que: Z x Z x fu0 = w(t)dt, fv 0 = γ(t)dt, a

onde

a

d fu0 = w(t), dx

e Z

b

Z 0

fu0 η dx = a

Z

0

fv0 β dx = a

fu0 η|ba

| {z }

b

− a

=0 b

d fv0 = γ(t) dx

Z

fv0 β|ba

| {z }

b

−

=0

a

d fu0 ηdx = − dx d fv0 βdx = − dx

Z

b

wηdx a

Z

b

γβdx a

funcionais limitados. Logo: ¶ µ ¶ ¸ Z b ·µ d d δF ({u, v} , {η, β}) = fu − fu0 η + fv − fv0 β dx + fu0 η|ba + fv0 β|ba | {z } | {z } dx dx a =0 =0 µ½ ¾ ¶ d d = fu − fu0 , fv − fv0 , {η, β} dx dx L de onde

½ gradF ({u, v}) =

4.11

d d fu − fu0 , fv − fv0 dx dx

¾

Condi¸c˜ oes Naturais de Contorno

Em todos os exemplos até agora analisados vimos que as fun¸co˜es admiss´ıveis deveriam satisfazer restri¸cões nos contornos do dom´ınio onde estavam definidas. Vamos analisar agora aqueles casos em que as fun¸co˜es n˜ ao est˜ ao obrigadas a satisfazer alguma restri¸ c˜ ao, ou seja, estão livres. Recordando os problemas vistos no in´ıcio do cap´ıtulo estamos estudando funcionais onde os extremos de integra¸ c˜ ao est˜ ao fixos, mas as fun¸cões nestes extremos estão livres ou, em outras palavras, não estão obrigadas a tomar valores pré-estabelecidos. Assim, vamos estudar a caracteriza¸cão da fun¸caõ extrema correspondente ao funcional Z b F(u) = f (x, u (x) , u0 (x)) dx (4.122) a

cujo dom´ınio de defini¸caõ (conjunto de fun¸cões admiss´ıveis) está dado por: © ª D (F) = u | u ∈ C 1 [a, b]

(4.123)

4.11. Condi¸co˜es Naturais de Contorno

87

que como vemos é em si mesmo um espa¸co vetorial, o qual podemos considerar como parte do espa¸co L2 [a, b] . Resulta óbvio também dizer que o espa¸co das varia¸co˜es admiss´ıveis M coincide com o próprio D (F) (basta observar que podemos tomar u = 0). Com essas hipóteses as Restri¸co˜es 1 e 2 estão satisfeitas. Vamos, primeiro, estudar o problema de maneira operacional, para, posteriormente, formalizar os resultados. O diferencial Gâteaux está dado por Z b δF (u, η) = (fu η + fu0 η 0 ) dx (4.124) a

supondo que u satisfa¸ca as propriedades necessárias de maneira que as opera¸cões que se seguem sejam válidas, teremos: ¶ Z bµ d δF (u, η) = fu − fu0 ηdx + fu0 η|ba (4.125) dx a Se u é um extremo, resulta: ¶ Z bµ d δF (u, η) = fu − fu0 ηdx + fu0 η|ba = 0 ∀η ∈ D (F) dx a

(4.126)

Se (4.126) vale para todo η ∈ D (F) deve verificar-se para aqueles η tais que η (a) = η (b) = 0, logo: ¶ Z bµ d (4.127) fu − fu0 ηdx = 0 ∀η ∈ M0 dx a onde M0 = {η ∈ D (F) , η (a) = η (b) = 0} Obtendo-se, assim, a equa¸caõ de Euler fu −

d fu0 = 0 x ∈ (a, b) dx

(4.128)

Com este resultado, obtemos δF (u, η) = fu0 η (b) − fu0 η (a) = 0 ∀η

(4.129)

de onde fu0 |x=a = 0 e

fu0 |x=b = 0

(4.130)

As expressões (4.130) são chamadas condi¸co ˜es naturais, que são satisfeitas (automaticamente) pelas fun¸cões extremais. As fun¸cões de D (F) - fun¸cões admiss´ıveis - não estão obrigadas a satisfazê-las. Teremos, assim, as seguintes defini¸co ˜es: (i) Condi¸ c˜ oes principais: são as condi¸cões que devem ser satisfeitas por todas as fun¸co˜es admiss´ıveis.

88

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

(ii) Condi¸ c˜ oes naturais: são as condi¸co˜es que são satisfeitas pelas fun¸ c˜ oes extremais (como veremos mais adiante, são as condi¸co˜es que são satisfeitas pelas fun¸co˜es u ∈ D (gradF)). Vamos agora apresentar de maneira mais formal. Para isso, vamos provar o seguinte Teorema. Teorema 4.6 Para que u ∈ D (gradF) F dado por (4.122), é necess´ ario e suficiente que satisfa¸ca as seguintes condi¸c˜ oes: 1. u ∈ C 1 [a, b] ∂ 0 e absolutamente cont´ınua com derivada quadrati2. A fun¸c˜ ao fu0 = ∂u 0 f (x, u (x) , u (x)) ´ camente integr´ avel no intervalo [a, b]

3. u satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes de contorno ¯ ∂f ¯¯ = fu0 (a, u(a), u0 (a)) = 0 ∂u0 ¯x=a ¯ ∂f ¯¯ = fu0 (b, u(b), u0 (b)) = 0 ∂u0 ¯x=b Prova. i - Condi¸ c˜ ao necess´ aria: u ∈ D (gradF) logo é necessário que: (a) como D (gradF) ⊂ D (F) ⇒ u ∈ C 1 [a, b], condi¸caõ 1 • (b) a varia¸caõ Gâteaux Z

b

δF (u, η) =

(fu η + fu0 η 0 ) dx

a

será um funcional limitado se Z

b

fu0 η 0 dx

a

é limitado. Como u ∈ D (gradF) ⇒ δF (u, η) é limitado, logo, limitado. Logo, pelo Teorema de Riesz existe g ∈ L2 (a, b) tal que Z b Z b 0 fu0 η dx = gηdx ∀η ∈ C 1 [a, b] a

Rb a

fu0 η 0 dx é

(4.131)

a

Introduzindo a fun¸cão Z

x

G(x) = −

g(t)dt + c, a

c = cte

(4.132)

4.11. Condi¸co˜es Naturais de Contorno

89

Teremos

logo,

d G(x) = −g(x) dx Z

Z

b

b

gηdx = − a

a

dG ηdx = − Gη|ba + dx

Z

b

Gη 0 dx

a

fazendo uso deste resultado, de (4.131) tem-se: Z

b a

(fu0 − G) η 0 dx = − Gη|ba = 0 ∀η ∈ C 1 [a, b]

e do Lema de du Bois-Raymond teremos Z fu0 = G + c = −

x

g(t)dt + c a

que nos diz que fu0 é absolutamente cont´ınua. Com isto temos provado a necessidade da condi¸cão 2.• (c) Para provar a necessidade da condi¸caõ 3 basta integrar por partes a expressão da diferencial Gâteaux (já que fu0 é absolutamente cont´ınua): Z bµ δF (u, η) = a

¶ d fu − fu0 ηdx + fu0 η|ba dx

(4.133)

Recordemos que δF (u, η) é um funcional limitado em η. Das propriedades de fu e fu0 teremos que o primeiro termo do segundo membro de (4.133) é um funcional limitado em η. Como η → η (a) ou η (b) é um funcional não limitado em L2 (a, b) se conclui que para que δF (u, η) seja limitado a expressão fu0 η|x=b − fu0 η|x=a será um funcional limitado somente se fu0 η|x=b − fu0 η|x=a = 0 ∀η ∈ C 1 [a, b] que conduz a fu0 |x=b = 0

fu0 |x=a = 0

(4.134)

Portanto, temos demonstrado a condi¸caõ necessária 3.• Finalmente, de (4.133) e (4.134) segue-se que o gradiente de F está dado por gradF (u) = fu −

d fu0 dx

(4.135)

90

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

ii - Condi¸ c˜ ao suficiente: vamos mostrar que estas condi¸cões são suficientes. Ou seja, se u satisfaz as propriedades 1-3 então u ∈ D (gradF) . De fato, da integra¸cão por partes e das condi¸cões naturais resulta: ¶ Z bµ d δF (u, η) = fu − fu0 ηdx dx a que é um funcional limitado, logo u ∈ D (gradF). Com isto vemos que as fun¸co˜es u ∈ D (gradF) necessariamente satisfazem as condi¸co˜es de contorno (4.134) que as fun¸co˜es u ∈ D (F) não estão obrigadas a satisfazer. Condi¸co˜es deste tipo são ditas Naturais. As condi¸cões satisfeitas por todas as fun¸co˜es u ∈ D (F) se chamam Principais. Finalmente, as fun¸cões extremais se caracterizam pela equa¸caõ de Euler fu −

d fu0 dx

x ∈ (a, b)

que deve ser integrada levando em conta as condi¸cões de contorno (4.134). Por u ´ltimo, se o funcional está definido em D (F) = {u | u ∈ C 1 (a, b) , u (a) = u}, a condi¸cão natural de contorno será fu0 |x=b = 0 reciprocamente se D (F) = {u | u ∈ C 1 (a, b) , u (b) = u} a condi¸caõ natural será fu0 |x=a = 0

4.12

Varia¸c˜ ao Geral de um Funcional

Até agora temos estudado a varia¸cão de funcionais onde as fun¸co˜es admiss´ıveis e suas derivadas estavam prescritas nos extremos, ou então eram livres para tomar qualquer valor nos mesmos. Em outras palavras, o dom´ınio de integra¸cão não sofria nenhuma varia¸caõ. Em numerosos problemas, o dom´ınio de integra¸cão varia, uma vez que as fun¸cões admiss´ıveis estão livres para mover-se sobre superf´ıcies conhecidas nos contornos desses dom´ınios. Um exemplo deste tipo de problema foi apresentado na introdu¸cão deste cap´ıtulo. Para estudar este tipo de problema, nos limitaremos a analisar este caso simples. A extensão a dom´ınios em espa¸cos Euclidianos m-dimensional e/ou funcionais dependentes de várias fun¸cões e derivadas de ordem superior pode realizar-se seguindo um racioc´ınio similar ao que será a seguir apresentado. Assim, consideremos o funcional Z t 0 F(x, u (x) , u (x)) = f (x, u (x) , u0 (x)) dx a

4.12. Varia¸cão Geral de um Funcional

91

Figura 4.5: Variao geral de um funcional onde as fun¸cões admiss´ıveis pertencem ao conjunto ª © Dτ = u | u ∈ C 1 [a, t] ; u (a) = u, τ (t, u(t)) = 0 Nosso problema consiste em caracterizar as fun¸co˜es u0 ∈ C 1 [a, t] extremos do funcional F tais que em x = a tomam o valor prescrito u e no extremo t (não conhecido) se apóiam na curva τ (x, u) = 0 (Figura 4.5). Para isto, vamos supor que f e τ são fun¸co˜es C 1 [a, b] onde b é suficientemente grande de modo a admitir todas as fun¸co˜es de interesse e que µ ¶ ∂τ ∂τ ∇τ = , 6= 0 ∂x ∂u O mesmo vamos supor com respeito às fun¸cões u, as quais serão definidas em um dom´ınio maior, [a, b], por um prolongamento convenientemente escolhido. Como podemos observar, teremos que adotar varia¸co˜es mais gerais do que as estudadas até aqui. De fato, agora não só varia a fun¸cão u, mas também varia o extremo t, de integra¸cão. Logo, estamos, na realidade, trabalhando com pares [u, t] , portanto o espa¸co mais adequado para formular nosso problema é o espa¸co U = C 1 [a, b] × R onde a norma será k{u, t}kU = kukC 1 [a,b] + |t| e kukC 1 [a,b] = max |u| + max |u0 | x∈[a,b]

x∈[a,b]

Suponhamos que [u0 , t] é um extremo do funcional. Neste caso, estamos supondo que u0 é tal que τ (t, u0 (t)) = 0

92

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

e que faz com que o funcional Z

t

F(u0 ) = a

alcance um valor estacionário. Logo: d δF ({u0 , t} , {η, ξ}) = d²

f (x, u0 (x) , u00 (x)) dx

Z

t+²ξ a

¯ ¯ f (x, u + ²η, u + ²η ) dx¯¯ 0

0

²=0

Onde estamos supondo que as varia¸co˜es admiss´ıveis η são tais que η (a) = 0

τ (t + ²ξ, (u + ²η) (t + ²ξ)) = 0

Como vemos agora, o extremo de integra¸caõ também é fun¸caõ de ² e isto deve ser levado em conta ao calcular o diferencial Gâteaux do funcional. Para isso, apliquemos a regra de Leibnizt (ver expressão (A.5) no apêndice): Z t 0 δF ({u0 , t} , {η, ξ}) = f (t, u0 (t), u0 (t)) ξ + (fu η + fu0 η 0 ) dx a

Supondo que u0 é tal que fu0 seja absolutamente cont´ınua, podemos integrar por parte o termo em fu0 η 0 , com o que obteremos: ¶ Z tµ d t 0 δF ({u0 , t} , {η, ξ}) = f (t, u0 (t), u0 (t)) ξ + fu0 η|a + fu − fu0 ηdx dx a ¶ Z tµ d 0 0 = f (t, u0 (t), u0 (t)) ξ + fu0 (t, u0 (t), u0 (t)) η (t) + fu − fu0 ηdx dx a por ser η (a) = 0. Por outra parte, a varia¸caõ admiss´ıvel η no extremo t deve satisfazer a restri¸cão = (u, t) = τ (t + ²ξ, (u + ²η) (t + ²ξ)) = 0 Logo

¯ ¯ d δ= ({u0 , t} , {η, ξ}) = τ (t + ²ξ, (u0 + ²η) (t + ²ξ))¯¯ d² ²=0 = τx (t, u0 (t)) ξ + τu (t, u0 (t)) (u00 (t) ξ + η (t))

Recordando a se¸cão 4.6 de Multiplicadores de Lagrange, teremos λ ∈ R tal que (δF + λδ=) ({u0 , t} , {η, ξ}) = 0

∀ {η, ξ} − varia¸cões admiss´ıveis

como condi¸caõ necessária de extremo. Logo (f + λ [τx + τu u00 ]) (t)ξ = 0 (fu0 + λτu ) (t)η(t) = 0 ¶ Z tµ d fu − fu0 ηdx = 0 dx a

∀ξ ∈ R ∀η − admiss´ıvel (⇒ η (a) = 0!) ¡ ¢ ∀η − admiss´ıvel ⇒ η ∈ C 1 [a, b] , η (a) = 0

4.12. Varia¸cão Geral de um Funcional

93

Como vemos, a equa¸cão de Euler sempre deve ser satisfeita pela fun¸cão extremal independentemente do problema variacional ser um problema de pontos fixos ou não. Das primeiras expressões teremos: f fu0 = −λ = 0 τx + τu u0 τu de onde obteremos a condi¸caõ subsidi´ aria também conhecida neste caso como condi¸c˜ ao de transversalidade f (t, u0 (t), u00 (t)) τu (t, u0 (t)) = fu0 (t, u0 (t), u00 (t)) [τx (t, u0 (t)) + τu (t, u0 (t)) u00 (t)] Esta condi¸caõ natural de contorno no extremo t conjuntamente com a condi¸cão de contorno u0 (a) = u são as condi¸cões de contorno necessárias para integrar a equa¸cão de Euler. Como esperado, esta varia¸ c˜ ao geral engloba as outras como caso particular. De fato, o caso de extremos de integra¸caõ fixo, mas com o valor da fun¸caõ livre, resulta: τ (x, u) = b − x de onde τx = −1, τu = 0 e a condi¸cão de tranversalidade se reduz a: fu0 (b, u0 (a), u00 (b)) = 0 como já hav´ıamos obtido. Similarmente, se τ (x, y) = u − b1 que corresponde ao caso do extremo de integra¸cão estar livre e o valor da fun¸cão estar fixo em y(t) = b1 , onde b1 = cte prefixada, teremos τx = 0 e τu = 1 logo, a condi¸cão de transversalidade resulta f − u00 fu0 = 0 que em Economia é conhecido como problema de horizonte livre. Finalmente, consideremos o caso particular de funcionais dados por fun¸co˜es f do tipo p f (x, u(x), u0 (x)) = h (x, u(x)) 1 + u0 (x)2 Para estes problemas, resulta fu0 = h (x, u(x)) √

u0 u0 f (x, u(x), u0 (x)) = 1 + u02 1 + u02

94

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

Figura 4.6: Curva Braquistócrona com extremo livre logo a condi¸cão de transversalidade resulta · ¸ u0 f 0 f τu − (τ + τ u ) = (τu − τx u0 ) = 0 x u 1 + u02 1 + u02 de onde obtemos

τu τx ou seja, a condi¸caõ de transversalidade se reduz à de ortogonalidade. Assim, o problema da Brachistochrone com extremo variável e fun¸cão apoiada sobre uma curva estará dada por uma ciclóide, tal que em seu extremo seja ortogonal à curva (Figura 4.6). Este resultado generaliza o alcan¸cado por Jacob Bernoulli que encontrou que a solu¸caò de seu problema de um extremo fixo correspondia a uma ciclóide com tangente horizontal no ponto x = b. y 0 (b) = 0 u0 =

Até aqui temos analisado o problema de extremos livres desde um ponto de vista cl´ assico. Vamos analisá-lo novamente a partir de um ponto de vista mais moderno, que corresponde ao que hoje é chamado An´ alise de Sensibilidade. Para isso, consideremos o funcional para uma fun¸caõ admiss´ıvel definida no dom´ınio [a, x² ] (Figura 4.7) Z x² F(u² ) = f (x² , u (x² ) , u0 (x² )) dx² , x² = t + ²ξ a

Em lugar de proceder à derivada com rela¸cão ao parâmetro ², primeiro realizaremos uma troca de variáveis que nos permita escrever esta integral, mas agora definida em um dom´ınio fixo. Esta transforma¸cão de dom´ınio pode ser realizada, por exemplo, empregando a seguinte transforma¸cão: χ² : [a, t] → [a, x² ] x → x² = χ² (x) onde χ² será uma deforma¸ c˜ ao do dom´ınio [a, t] ; ou seja, é uma transforma¸cão um-a-um, ² 6= 0 em [a, t]. Para isso, consideremos uma fun¸caõ v tal suficientemente regular com dx dx que: v ∈ C 1 [a, b] , v(a) = 0 e v(t) = ξ

4.12. Varia¸cão Geral de um Funcional

95

Figura 4.7: Extremos livres via Análise de Sensibilidade logo esta transforma¸cão χ² para ² suficientemente pequeno pode ser escrita como x² = x + ²v (x) Desta expressão obteremos: dx² = (1 + ²v 0 ) dx Das hipóteses existe a seguinte transforma¸cão inversa: χ−1 ² : [a, x² ] → [a, t] Com esta transforma¸caõ vemos que uma fun¸caõ u definida no dom´ınio atual [a, x² ] (a literatura se expressa dizendo que se conhece a descri¸c˜ ao espacial de u) podemos determinar sua descri¸caõ com rela¸caõ ao dom´ınio de referência [a, t] (chamada, na literatura, descri¸ c˜ ao material ou referencial). Se designamos ambas as descri¸co˜es com ue e um respectivamente teremos: um (x) = ue (x² ) = ue (x + ²v (x)) Desta defini¸caõ se segue que: ½ du =

e dxe due = du dx = dxe dx dum dum = dx dx

due (1 dxe

+ ²v 0 )dx

Obtemos assim

due dum 1 = × dx² dx 1 + ²v 0 Com estes elementos podemos encontrar a descri¸c˜ ao material do funcional F (u² ). Com efeito, ¶ Z t µ 1 0 F(u² ) = f x + ²v (x) , um (x) , um (x) (1 + ²v 0 ) dx = F(um ) 0 1 + ²v a Da mesma maneira, a restri¸cào no extremo dada pela descri¸caõ espacial: τ (x² , u (x² )) = 0

96

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

pode ser escrita em forma material por: τm (x + ²v (x) , um (x))|x=t = 0 ⇒ τm (t + ²ξ, um (t)) = 0 Finalmente, e recordando a técnica dos multiplicadores de Lagrange para relaxar esta restri¸cão, teremos que o funcional em estudo estará dado por: ¶ Z t µ ³ ´ 0 u0m + ²ηm b L um + ²ηm , λ + ²λ = f x + ²v (x) , um + ²ηm , (1 + ²v 0 (x)) dx 1 + ²v 0 (x) a ³ ´ b τm (t + ²v (t) , (um + ²ηm )(t)) + λ + ²λ b ∈ R e ηm ∈ C 1 [a, t] e tal que η (a) = 0 e mais as outras restri¸co˜es que asseguram onde λ que as opera¸cões a serem realizadas tenham sentido. Logo: ¯ ¾¯ ½Z t ³ n o´ ³ ´ ¯ ¯ d 0 b b τm (...)¯ ¯ δL {u0 , λ} , η, λ = f (...) (1 + ²v ) dx + λ + ²λ ¯ ¯ d² a x=t ²=0 Aqui o leitor deverá observar que 1 0 1. lim²7→0 ue = lim²7→0 um = u(x); lim²7→0 u0m 1+²v 0 = u0

2. O operador derivada com rela¸caõ a ² pode ser introduzido dentro do sinal de integral. Assim, com esta técnica de transformar o dom´ınio atual (espacial) no dom´ınio fixo (material ou referencial) temos reduzido o problema do cálculo do diferencial Gâteaux de um funcional definido em um dom´ınio variável, ao cálculo do diferencial Gâteaux da correspondete descri¸caõ material do funcional definido em um dom´ınio fixo (material). Ou seja, estamos no caso estudado até agora! Teremos assim: Z t Z t ³ n o´ 0 0 0 b [fx v + fu η + fu0 (η − u v )] dx + f v 0 dx δL {u0 , λ} , η, λ = a a ¯ ¯ b ¯ + λ (τx ξ + τu η)|t + λτ t µ ¶ ¸ Z t· d 0 0 = fx v + (f − fu0 u ) v + fu − fu0 η dx + fu0 η|t dx a ¯ b ¯¯ + λ (τx ξ + τu η)|t + λτ t ¸ µ ¶ ¾ Z t ½· d d 0 (f − fu0 u ) v + fu − fu0 η dx + fu0 η|t = fx − dx dx a ¯ b ¯¯ + (f − fu0 u0 ) ξ|t + λ (τx ξ + τu η)|t + λτ t ¸ µ ¶ ¾ Z t ½· d d 0 = fx − (f − fu0 u ) v + fu − fu0 η dx dx dx a ¯ ¯ 0 b + (fu0 + λτu ) η|t + (f − fu0 u + λτx ) ξ|t + λτ ¯ t

Se {u0 , λ} são extremos de L resulta:

4.12. Varia¸cão Geral de um Funcional

97

(i) o termo entre colchetes é identicamente nulo, já que corresponde à segunda forma da equa¸cão de Euler: ·

¸ d 0 fx − (f − fu0 u ) ≡ 0 ∀x ∈ [a, t] dx

(ii) Z tµ a

¶ d fu − fu0 ηdx = 0 ∀η dx

que conduz à equa¸cão de Euler. (iii) ¯ ¯ b ∈ R ⇒ τ | = τ (t, u0 (t)) = 0 b λτ ¯ = 0 ∀λ t t

(iv) ¯ fu0 ¯¯ (fu0 + λτu ) η|t = 0 ∀ η|t ∈ R ⇒ = −λ τu ¯t (v) f − fu0 u0 (f − f u + λτx ) ξ|t = 0 ξ = = −λ 6 0∈R⇒ τx u0

0

De (iv) e (v) obtemos f (t, u0 (t), u00 (t)) τu (t, u0 (t)) = fu0 (t, u0 (t), u00 (t)) [τx (t, u0 (t)) + τu (t, u0 (t)) u00 (t)] Em outras palavras, temos recuperado todos os elementos que permitem caracterizar u0 já deduzidos por um caminho mais clássico. Esta nova forma de abordar o problema nos permitiu: (i) não utilizar a fórmula de Leibnitz para derivar integrais com extremos de integra¸cão variáveis. Isto facilita a extensão a dom´ınios variáveis m-dimensionais. (ii) concluir que a diferencial de Gâteaux mede a sensibilidade do funcional devido a varia¸co˜es do parâmetro que estamos permitindo que varie. Isto nos permite colocar o Cálculo Variacional dentro de um enfoque mais amplo que é o de Análise de Sensibilidade.

98

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

Este u ´ltimo ponto é muito importante, já que no processo de modelar o problema é necessário conhecer a sensibilidade do mesmo devido a varia¸cões dos parˆ ametros que o governam. Assim, por exemplo, o funcional µ ¶2 Z 1 b du F (u) = E(x)A(x) dx 2 a dx que corresponde à energia interna de deforma¸caõ de uma barra definida no intervalo [a, b] e onde E é o Módulo de Elasticidade de Young, A é a área da seçcaõ transversal e u é o deslocamento transversal da barra, que deverá satisfazer a equa¸cão de equil´ıbrio µ ¶ d du − E(x)A(x) = q(x) x ∈ [a, b] dx dx e as condi¸cões de contorno u (a) = u (b) = 0 por exemplo. Vemos, assim, que o funcional depende de u = u (x), de E = E (x), de A = A (x) e do dom´ınio através da própria integral e e ainda através de u = u (x), já que a solu¸caõ depende do dom´ınio e das propriedades mecânicas (E=E(x)) e geométricas (A=A(x)). Assim, a sensibilidade do funcional a uma varia¸caõ (conhecida) da área transversal dada por ηA = ηA (x) estará dada por

¿

DF , ηA DA

À =

d {F (A + ²ηA )}²=0 d²

e onde u = u (x) deve satisfazer a equa¸cão de equil´ıbrio e, portanto depende implicitamente de A = A (x). Logo, para poder realizar esta sensibilidade, devemos primeiro relaxar a restri¸caõ introduzida por esta equa¸cão. Como vimos, uma maneira de fazê-lo é introduzindo um multiplicador de Lagrange λ = λ (x) que suporemos: λ ∈ D = {ω| ω ∈ C 1 [a, b], λ(a) = λ(b) = 0} Logo, se u é a solu¸cão da equa¸cão de equil´ıbrio, segue-se que ¶ ¸ ¸ Z b· µ Z b· d du du dλ EA + q λ (x) dx = EA − qλ dx = 0 dx dx dx dx a a

∀λ ∈ D

de onde ( Z ) µ ¶2 Z b Z b du du dλ 1 b EA dx + EA dx − qλdx L (A, u, λ) = 2 a dx dx dx a a onde com (A, u, λ) queremos ressaltar que L depende da área transversal A = A (x) do deslocamento (livre de satisfazer a equa¸cão de equil´ıbrio) e de λ variável dual associada ao relaxamento desta equa¸caõ. Como λ é arbitrário (só requer que λ ∈ C 1 [a, b], λ (a) =

4.12. Varia¸cão Geral de um Funcional

99

λ (b) = 0) este será escolhido de maneira a simplificar os cálculos que realizaremos a seguir. A varia¸cão total de L estará dada por À ¿ À ¿ À ¿ ∂L ∂L ∂L dL = , ηA + , ηu + , ηλ ∂A ∂u ∂λ onde

) ¯ À µ ¶2 Z b( ¯ ∂L d dλ 1 du du , ηA = L (A + ²ηA , u, λ)¯¯ = EηA + EηA dx ∂A d² 2 dx dx dx a ²=0 ¯ ¿ À ¾ Z b½ ¯ du d ∂L dη dλ dη u u EA = dx , ηu = L (A, u + ²ηA , λ)¯¯ + EA ∂u d² dx dx dx dx a ²=0 ¯ ¿ À ¾ Z b½ ¯ du ∂L d dη λ EA , ηλ = L (A, u, , λ + ²ηλ )¯¯ = − qηλ dx ∂λ d² dx dx a ²=0 Em particular, se temos ¿ À ∂L , ηλ = 0 ∀ηλ ∈ C 1 [a, b] , ηλ (a) = ηλ (b) = 0 ∂λ ¿

obtemos a equa¸cão de equil´ıbrio. Logo, designemos por u0 = u0 (x) esta solu¸cão. Por sua vez, como λ é arbitrário podemos escolhê-lo de maneira a anular ¿ À ∂L , ηu = 0 ∀ηu ∈ C 1 [a, b] ,ηu (a) = ηu (b) = 0 ∂u que conduz a Z b Z b dλ dηu du0 dηu EA dx = − EA dx, dx dx dx dx a a

∀ηu ∈ C 1 [a, b] , ηu (a) = ηu (b) = 0

Como vemos, neste caso λ é solu¸caõ de uma equa¸caõ (chamada equa¸caõ adjunta) que, para este exemplo é idêntica à equa¸cão de equil´ıbrio da barra, mas agora com outro sistema de carga: du0 , u0 solu¸cão da Eq. de Equil´ıbrio dx Designemos por λ0 = λ0 (x) esta solu¸caõ. Com estes elementos, a sensibilidade a uma varia¸caõ em A estará dada por ) À ¿ À Z b( µ ¿ ¶2 ∂L 1 du0 du0 dλ0 DF , ηA = , ηA = E +E dx DA ∂A 2 dx dx dx a qλ = −EA

Logo, os passos para calcular a sesibilidade são: 1. calcula-se u0 (equa¸caõ de equil´ıbrio) 2. calcula-se λ0 (equa¸caõ adjunta) 3. substituindo u0 e λ0 na expressão

® obtemos a sensibilidade. , η A ∂A

∂L

100

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

Figura 4.8: Fun¸co˜es extremos com pontos angulosos

4.13

Extremos com Pontos Angulosos. Condi¸co ˜es de Weierstrass-Erdmann

Em todos os problemas estudados até agora temos considerado fun¸cões suficientemente regulares. No obstante, quando apresentamos o problema de encontrar a curva u = u (x) ∈ C 1 [a, b] passando pelos pontos (a, u) e (b, u) gere, ao girar em torno do eixo x, uma superf´ıcie de revolu¸caõ de área m´ınima, vimos que se u e u são suficientemente pequenos frente ao valor b − a, a curva extrema era cont´ınua por partes, apresentando pontos angulosos (Figura 4.8). Vemos, assim, a necessidade de estender nosso espa¸co de fun¸co ˜es. Assim, nesta se¸cão vamos analisar o seguinte problema variacional: Encontrar a fun¸cão u0 ∈ D (F) tal que seja um extremo do funcional

definido em

F (x, u (x) , u0 (x))

(4.136)

© ª 1 D (F) = u ∈ Ccp [a, b] , u (a) = u, u (b) = u

(4.137)

1 Ccp

onde com [a, b] definimos o espa¸co de fun¸co˜es cont´ınuas com derivadas de primeira ordem cont´ınuas, exceto em um n´ umero finito de pontos c ∈ (a, b). Vemos, assim, que 1 em cada subintervalo a fun¸caõ u b ∈ Ccp [a, b] e cont´ınua com derivada cont´ınua e, em particular, para um ponto c ∈ (a, b) onde existe uma descontinuidade em sua derivada tem-se ¡ ¢ ¡ ¢ u b c− = u b c+ = u (c) (4.138) ¡ −¢ ¡ +¢ 0 0 u b c 6= u b c (4.139) Não obstante, observamos que a integral Z x u b0 (t) dt

(4.140)

a

está bem definida ∀x ∈ [a, b] e, além do mais, define uma fun¸cão cont´ınua. Teremos, assim, o seguinte Lema. 1 [a, b] logo Lema 4.1 Se u b ∈ Ccp

Z

x

u b (x) = u b (a) +

0

u b (t) dt = u b (a) + a

r−1 Z X k=0

ck+1

Z 0

x

u b (t) dt + ck

cr

u b0 (t) dt

4.13. Extremos com Pontos Angulosos. Condi¸co˜es de Weierstrass-Erdmann

101

Figura 4.9: Extremos com pontos angulosos onde r < N e c0 = a < c1 ... < cN = b e cj , j = 1, 2, ..., N − 1, são os pontos angulosos de u b x ∈ [cr , cr+1 ] Prova. Suponha que x ∈ [cr , cr+1 ] , r < N u b (x) − u b (a) = u b (x) − u b (cr ) + Z

x

0

u b (t) dt +

= cr

r−1 X

(b u (ck+1 ) − u b (ck ))

k=0 r−1 X Z ck+1 k=0

Z

x

0

u b (t) dt =

ck

u b0 (t) dt

a

1 Do anterior, se segue que: se b h ∈ Ccp [a, b] , logo, Z x def 1 b h0 (t) dt ∈ Ccp [a, b] u(x) =

(4.141)

a

Por outro lado, é poss´ıvel mostrar que: Proposi¸c˜ ao 4.2 Se Rb 0 1. a (b u (x))2 dx = 0 ⇒ u0 (x) = 0 em todo x ∈ [a, b] onde está definida 2. u b0 (x) = 0 ∀x ∈ [a, b] onde está definida ⇒ u b = cte x ∈ [a, b] Prova. (b u0 )2 ∈ Ccp [a, b] e é tal que (b u0 )2 (x) ≥ 0 logo Z

b

02

u b dx = a

N −1 Z ck+1 X k=0

u b02 dx ≥ 0

ck

e esta norma só será nula se e somente se cada um de seus termos forem nulos. Por sua vez se Z ck+1 u b02 dx = 0 ⇒ u b0 = 0 em [ck , ck+1 ] ck

onde u b0 = 0 em [a, b] A Proposi¸c˜ ao (ii) é um resulatado óbvio do Lema 4.1

102

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

1 1 Não resulta dif´ıcil ver que C 1 [a, b] ⊂ Ccp [a, b] e que, dada uma fun¸caõ u b ∈ Ccp [a, b] 1 sempre será poss´ıvel encontrar uma fun¸cão u ∈ C [a, b] suficientemente próxima a u b na norma de C 1 [a, b], por exemplo em:

kukC 1 [a,b] = max |u| + max |u0 | 1 Em outras palavras, C 1 [a, b] é denso em Ccp [a, b] e se C 1 [a, b] é denso em U (D (F) ⊂ U ) 1 teremos que Ccp [a, b] o será. Vemos assim que o funcional estará ampliando as Restri¸cões 1 e 2. Ou seja, ¯ ¯ d δF(u, η) = F (u + ²η)¯¯ (4.142) d² ²=0 © ª 1 será um funcional linear em η−D (F) admiss´ıvel ∈ M = η ∈ Ccp [a, b] , η (a) = η (a) = 0 . 1 Vamos estudar agora as condi¸cões que a fun¸cão u0 ∈ Ccp [a, b] deve satisfazer para ser um extremo do funcional definido em (4.136 e 4.137). Para simplificar, vamos supor que u0 tem um u ńico ponto anguloso no ponto x = c ∈ (a, b) que pode mover-se livremente. Com estes elementos, o funcional em u0 toma a forma Z b Z c Z b 0 F(u0 ) = f (x, u0 (x) , u0 (x)) dx = f dx + f dx a

a

c

1 e para uma varia¸ c˜ ao admiss´ıvel η ∈ Ccp [a, b] resulta:

Z

Z

c+²ξ

F (u0 + ²η) =

b

f dx + a

c+²ξ

f dx, f = f (x, u0 + ²η, u00 + ²η 0 )

(4.143)

e onde η e u0 são tais que (u0 (c + ²ξ) + ²η)− = (u0 (c + ²ξ) + ²η)+ Relaxando esta condi¸cão via Multiplicadores de Lagrange, teremos: ¯ ³ n o´ b b (u0 )¯¯ δL {u0 , λ0 } , η, λ = δF (u0 , η) + λδG (u0 , η) + λG onde

¡ ¢ ¡ −¢ ¡ ¢ + G (u0 ) = u− − u0 c + 0 − u0 = u0 c Z −

δF(u0 ; η) = f (c , u0 (c

−

), u00 (c− ))ξ

c

+ a

(4.144)

c

(4.145)

(4.146)

[fu (x, u0 (x), u00 (x))

d − fu0 (x, u0 (x), u00 (x))]ηdx dx Z b d + + + 0 [fu (x, u0 (x), u00 (x)) − fu0 (x, u0 (x), u00 (x))]ηdx − f (c , u0 (c ), u0 (c ))ξ + dx c + fu0 η|c− − fu0 η|c+ (4.147)

4.13. Extremos com Pontos Angulosos. Condi¸co˜es de Weierstrass-Erdmann

103

já que das condi¸co˜es principais resulta:

Por sua vez

η(a) = η(b) = 0

(4.148)

¡ ¢ ¡ + ¢ 0+ δG (u0 ; η) = η − + u0− 0 ξ − η + u0 ξ

(4.149)

Da condi¸caõ necessária de ponto estacionário e de (4.145 - 4.149) obtemos: (i)

Rc¡ a

¢ ¢ Rb¡ d d fu0 ηdx + c fu − dx fu0 ηdx ∀η ∈ M fu − dx d ⇒ fu − dx fu0 = 0 x ∈ (a, c) e x ∈ (c, b)

(4.150)

Como sempre, se u0 é um extremo, então a equa¸caõ de Euler é satisfeita. (ii) b ∈ R ⇒ u0 (c− ) = u0 (c+ ) = u0 (c) b − − u+ ) = 0 ∀ λ λ(u 0 0

(4.151)

Com o que a continuidade é recuperada no ponto x = c. (iii)

h i − + (f + λu00 ) − (f + λu00 ) ξ = 0 ¡ − ¢ fu0 + λ η − = 0 ∀η − ¡ + ¢ fu0 + λ η + = 0 ∀η +

(4.152) (4.153) (4.154)

De (4.153 e 4.154) obtemos fu−0 = −λ,

fu+0 = −λ ⇒

fu−0 = fu+0

(4.155) (4.156)

Conhecida como Primeira Condi¸caõ (Natural!) de Weierstrass-Erdmann. De (4.155, 4.156 e 4.152) obtemos (f − u00 fu0 )− = (f − u00 fu0 )+

(4.157)

que é a Segunda Condi¸caõ (Natural!) de Weierstrass-Erdmann de ponto anguloso. Observa¸ c˜ ao 4.6 A condi¸c˜ ao natural (4.157) surge porque admitimos varia¸ c˜ ao no ponto 0 anguloso x = c. Por sua vez, de (4.156 e 4.157) obtemos [|f |] = fu0 [|u |] no ponto anguloso. Observa¸ c˜ ao 4.7 As condi¸c˜ oes de Weierstrass-Erdmann são condi¸c˜ oes naturais. Em outras palavras, se a fun¸c˜ ao extremal apresenta um ponto anguloso em x = c ent˜ ao estas 1 1 condi¸c˜ oes são satisfeitas. Dado que C [a, b] ⊂ Ccp [a, b] o anterior nos diz que, se estamos buscando um extremo (ponto estacionário) do funcional F (x, u (x) , u0 (x)) n˜ ao devemos impor, na defini¸c˜ ao do problema, maior regularidade que a m´ınima exigida para ter o problema bem definido. Isto tem um papel fundamental quando empregamos métodos

104

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

numéricos para resolver o cálculo dos extremos. Assim, por exemplo, se desenvolvemos um programa para calcular um extremo de Z b F (u) = f (x, u (x) , u0 (x)) dx a

com u0 ∈ C 1 [a, b] mais as condi¸c˜ oes principais, este programa não permitir´ a o cálculo de poss´ıveis extremos com pontos angulosos. Em outras palavras, com esta solu¸c˜ ao regular n˜ ao será poss´ıvel capturar o salto da derivada no ponto anguloso (em outros casos nem sequer ser´ a poss´ıvel calcular uma solu¸c˜ ao!). Os comentários anteriores nos permitem formular o seguinte problema. Seja o funcional Z b F (u) = f (x, u (x) , u0 (x)) dx a

onde u = u (x) deve satisfazer condi¸cões de contorno principais, tais como u (a) = u e u (b) =u. Parece natural buscar os poss´ıveis extremos na variedade linear © ª 1 D = u | u ∈ Ccp [a, b] , u (a) = u, u (b) = u 1 Seja agora Cdp [a, b] o espa¸co das fun¸cões cujos elementos são fun¸co˜es que, em um n´ umero finito de pontos interiores a fun¸caõ e sua derivada são descont´ınuas, ou seja, se c ∈ (a, b) 1 e u ∈ Cdp [a, b] resulta ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ u c− 6= u c+ , u0 c− 6= u0 c+

nos perguntamos: ´ poss´ıvel trabalhar com o mesmo funcional, mas agora definido em (i) E © ª 1 D = u | u ∈ Cdp [a, b] , u (a) = u, u (b) = u , recuperando os mesmos extremos de F (u) e D (F)? (ii) Se a resposta não é afirmativa, é poss´ıvel construir um novo funcional F definido em D tal que se u0 é um extremo de F então u0 ≡ u0 onde u0 é um extremo de F (u) definido em D (F)? Como se pode esperar, a resposta à pergunta (i) é negativa. Em outras palavras, se violamos as exigências m´ınimas para o conjunto D (F) estaremos cometendo o que foi chamado, na literatura, crime variacional. Em outras palavras, se existe um extremo de F (u) para u ∈ D este u não é igual ao extremo do problema original. Por sua vez, o próprio modelo f´ısico não nos permite trabalhar com fun¸co˜es descont´ınuas! O mesmo não ocorre com a pergunta (ii). A resposta, neste caso, é afirmativa e um funcional F pode ser constru´ıdo a partir de F e das condi¸co˜es naturais de WeierstrassErdmann para pontos angulosos. Desde o ponto de vista computacional, isto abre um horizonte enorme ao permitir, por exemplo, particionar o dom´ınio em subdom´ınios e

4.13. Extremos com Pontos Angulosos. Condi¸co˜es de Weierstrass-Erdmann

105

Figura 4.10: Viga elástica com propriedades geométricas/material descont´ınuas calcular, convenientemente, em cada um deles, o correspondente extremo. A resposta à pergunta (ii) está intimamente relacionada com o que se conhece na literatura como: elementos finitos não conformes, parti¸cão de dom´ınio, computa¸cão paralela, entre outras. Vejamos um exemplo simples para analisar com mais detalhes os comentários anteriores. Seja ½ 2 se 0 ≤ x < 12 q(x) = , g(x) = 1∀x ∈ [0, 1] (4.158) 1 se 12 < x ≤ 1 e ¸ Z 1· 1 2 0 q(x) (u (x)) − g(x)u(x) dx F (u) = 2 0 u(0) = u(1) = 0 Este funcional corresponde ao funcional de energia potencial total da barra elástica em tra¸cão da Figura 4.10, onde E é o módulo de elasticidade de Young e A a área da seçcão transversal. O problema f´ısico nos diz que u = u (x) é como m´ınimo uma fun¸caõ cont´ınua e dado que q = q (x) é descont´ınuo em x = 1/2 podemos esperar descontinuidade da primeira derivada de u no ponto x = 1/2 (ponto anguloso). Logo, a variedade linear (neste caso um espa¸co) com a m´ınima regularidade para este funcional será © ª 1 D (F) = u | u ∈ Ccp [a, b] , u(0) = u(1) = 0 Dado que as condi¸cões principais são homogêneas, podemos adotar u ≡ 0 de onde o espa¸co das varia¸co˜es admiss´ıveis é o próprio D (F) . Logo: (Z 1 )¯ ¯ Z 1 ¯ ¯ 2 d d ¯ ¯ = δF (u0 , η) = F (u0 + ²η)¯ (...) dx + (...) dx ¯ 1 ¯ d² d² 0 ²=0 2 ²=0

de onde Z

1 2

δF (u0 , η) = Z

1 2

0

1

(qu η − η) dx + 1 2

0

=

Z 0 0

(qu0 η 0 − η) dx

· ¸ ¸ Z 1· d d 0 0 − (qu ) − 1 ηdx + − (qu ) − 1 ηdx + (qu0 η)|( 1 )− − (qu0 η)|( 1 )+ 2 2 1 dx dx 2

106

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

Da condi¸caõ necessária δF (u0 , η) = 0 ∀η ∈ D (F) obtemos: (i) µ 00

−2u − 1 = 0 x ∈

1 0, 2

¶

1 1 1 → u00 = − → u0 = − x + c1 → u = − x2 + c1 x + c2 2 2 4

(ii) µ 00

−u − 1 = 0 x ∈

¶ 1 1 , 1 → u00 = −1 → u0 = −x + c3 → u = − x2 + c3 x + c4 2 2

(iii) 2u0 | 1 − = u0 | 1 + 2

2

que é a primeira condi¸caõ de Weierstrass-Erdmann Observa¸ c˜ ao 4.8 A Segunda Condi¸c˜ ao de Weierstrass-Erdmann não foi posta em evidência porque o ponto anguloso está fixo. De (i)-(iii) e as condi¸cões principais obtemos c1 = logo

7 7 1 , c2 = 0, c3 = , c4 = − 24 12 12

7 x, u0 (x) = − 14 x2 + 24 1 2 7 u0 (x) = − 2 x + 12 x−

¡ ¢ x ∈ ¡ 0, 21¢ 1 , x ∈ 21 , 1 12

(4.159)

Sendo assim, a primeira pergunta que faz´ıamos era: podemos trabalhar com o mesmo funcional, mas agora com fun¸cões descont´ınuas em x = 1/2? A resposta é negativa. Primeiro, porque o modelo f´ısico não permite segundo, porque: ¸ ¸ Z 1· d d 0 0 δF (u, η) = − (qu ) − 1 ηdx + − (qu ) − 1 ηdx + (qu0 η)| 1 − − (qu0 η)| 1 + 2 2 1 dx dx 0 2 (4.160) como u é descont´ınua, teremos: ¡ ¢ (i) −2u00 − 1 = 0 x ∈ 0, 12 ¡ ¢ (ii) −u00 − 1 = 0 x ∈ 12 , 1 Z

1 2

·

(iii) (qu0 )− η − = 0 ∀η − ⇒ u0 | 1 − = 0! 2

4.13. Extremos com Pontos Angulosos. Condi¸co˜es de Weierstrass-Erdmann

107

(iv) (qu0 )+ η + = 0 ∀η + ⇒ u0 | 1 + = 0! 2

logo, u 6= u0 ! A resposta à segunda pergunta é afirmativa. De fato, consideremos o funcional ¢¡ ¢ 1¡ + u − u− 2u0− + u0+ 2 ½ µ −¶ µ + ¶¾ 1 1 1 D = u ∈ Cdp [0, 1] , u(0) = u(1) = 0, u 6= u 2 2 Calculemos o diferencial Gâteaux ¢ ¢ 1 ¡ 0− 1 ¡ 0− δF = δF (u, η) + 2u + u0+ η + − 2u + u0+ η − 2 2 ¢ 0− 1 ¡ + ¢ 1¡ + − − + u − u 2η + u − u 2η 0+ 2 2 F (u) = F (u) +

De (4.160) e (4.161) obtemos: (i) µ 00

−2u − 1 = 0 x ∈

1 0, 2

¶

(ii) µ 00

−u − 1 = 0 x ∈

1 ,1 2

¶

(iii) µ u

0−

¶ 1 0+ − 1 − u η = 0 ∀η − ⇒ u0− = u0+ 2 2

u

0−

¶ 1 0+ + 1 − u η = 0 ∀η + ⇒ u0− = u0+ 2 2

(iv) µ

(v) ¡ + ¢ u − u− η 0− = 0 ∀η 0− ⇒ u+ = u− (vi) ¢ 1¡ + u − u− η 0+ = 0 ∀η 0+ ⇒ u+ = u− 2 logo, u ≡ u0 que é o que quer´ıamos mostrar.

(4.161)

108

4.14

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

Problema Inverso no C´ alculo Variacional. Operadores Potenciais

Se temos um funcional F (u) diferenciável no sentido Gâteaux temos visto que calcular o gradF consistia em realizar a opera¸cão ¯ ¯ d hgradF(u), ηi = F (u + ²η)¯¯ d² ²=0

Não obstante, se invertermos o problema, ou seja, se dada uma equa¸cão (ou sistema de equa¸cões, caso u seja um campo vetorial) existe um funcional cujos pontos extremos são solu¸cões desta equa¸caõ? Se a resposta é afirmativa, diremos que o operador que caracteriza a equa¸cão é potencial. Teremos, assim, a seguinte defini¸caõ: Defini¸ c˜ ao 4.7 Seja P : S ⊂ U → U ’ onde U é um espa¸co de Banach e U ’ seu dual topol´ ogico, diremos que P é potencial se e somente se existe um funcional F (u) em S diferenci´ avel no sentido Gâteaux tal que P (u) = gradF(u) Neste caso, solu¸co˜es de P (u) = 0 s˜ ao extremos de F (u) . As condi¸cões que um operador P deve satisfazer para ser potencial estão estabelecidas no seguinte Teorema. Teorema 4.7 Se P : S ⊂ U → U ’ é operador cont´ınuo em U que tem um diferencial no sentido Gâteaux linear δP (u, η) para todo ponto u ∈ S ⊂ U onde S é um subconjunto convexo de U (observa¸c˜ ao: as varia¸c˜ oes lineares são convexas!) e se o funcional bilinear hδP (u, η) , ξi é cont´ınuo em u ∈ S, logo, a condi¸c˜ ao necess´ aria e suficiente para que P seja um operador potencial em S é que: hδP (u, η) , ξi = hδP (u, ξ) , ηi

(4.162)

para todo η, ξ S − admiss´ıvel. Em outras palavras, o funcional bilinear hδP (u, η) , ξi deve ser simétrico em η, ξ para cada u ∈ S. Logo, com esse Teorema em mãos, podemos saber quando um operador é potencial ou não. Agora nos perguntamos: dado um operador potencial, qual é o funcional associado (problema inverso)? A resposta está dada pelo seguinte Teorema: Teorema 4.8 Seja P : U → U 0 um operador potencial, logo, existe um funcional F (u) cujo gradiente é o operador P , ou seja P (u) = gradF (u) e que está dado por

Z

1

F (u) =

hP (u0 + ² (u − u0 )) , (u − u0 )i d² + F (u0 ) 0

onde ² ∈ R.

(4.163)

(4.164)

4.14. Problema Inverso no Cálculo Variacional. Operadores Potenciais

109

Prova. Se P é potencial por defini¸cão sabemos que existe F (u) tal que ¯ ¯ d δF(u, η) = F (u + ²η)¯¯ = hP (u), ηi d² ²=0 Seja ² ∈ [0, 1] , u = u0 e η = u − u0 (se u, u0 ∈ S ⇒ u − u0 é uma varia¸caõ admiss´ıvel), logo a expressão anterior toma a forma ¯ ¯ d δF(u0 , u − u0 ) = F (u0 + ² (u − u0 ))¯¯ d² ²=0 = hgradF(u0 ), u − u0 i = hP (u0 ), u − u0 i e da continuidade de P teremos d F (u0 + ² (u − u0 )) = hP (u0 + ² (u − u0 )), u − u0 i d² integrando esta expressão de ² = 0 até ² = 1 obteremos (4.164). Exemplo 4.7 Consideremos um problema de valor no contorno linear caracterizado por Au = f

u∈S⊂U

onde A : S ⊂ U → U 0 , onde U é um espa¸co de Hilbert. Suponhamos que S é uma variedade linear densa em U e M é um subespa¸co associado. Dizemos que A é simétrico em M se: hAη, ξi = hAξ, ηi logo o operador P : S ⊂ U → U 0 definido por P (u) = Au − f é tal que hδP (u, η) , ξi = hAη, ξi = hAξ, ηi = hδP (u, ξ) , ηi ou seja, P é potencial e de (4.164) obtemos Z 1 F (u) = hA (u0 + ² (u − u0 )) − f, (u − u0 )i d² + F(u0 ) 0 ¿ µ ¶ À 1 = A u0 + (u − u0 ) − f, (u − u0 ) + F(u0 ) 2 ¿ µ ¶ À 1 1 = A u0 + u − f, (u − u0 ) + F(u0 ) 2 2 1 1 1 1 = hAu0 , ui − hAu0 , u0 i + hAu, ui − hAu, u0 i − hf, ui + hf, u0 i + F(u0 ) 2 2 2 2 ¶ µ 1 1 = hAu, ui − hf, ui − hAu0 , u0 i − hf, u0 i + F(u0 ) 2 2

110

Cap´ıtulo 4. Equa¸co˜es de Euler

lembrando que hAu0 , ui = hAu, u0 i. Teremos assim que o funcional (quadrático) F (u) =

1 hAu, ui − hf, ui 2

é o funcional que estamos procurando. Exemplo 4.8 Considere o funcional: Z £ ¡ 2 ¢ ¤ F (u) = u ux + u2y + uf dΩ Ω

u|∂Ω = 0

Sua varia¸c˜ ao Gâteaux será Z ¤ ©£ 2 ª δF (u, η) = ux + u2y + f η + 2uux ηx + 2uuy ηy dΩ ¾ ZΩ ½ Z £ 2 ¤ ∂ ∂ 2 = ux + uy + f η − 2 (uux ) η − 2 (uuy ) η dΩ + ηu (...) d∂Ω ∂x ∂y Ω } | ∂Ω {z =0 Z ¡ ¢ = −2u4u − u2x − u2y + f ηdΩ Ω

onde gradF (u) = − 2u4u − u2x − u2y + f logo o operador P associado a equa¸c˜ ao não-linear anterior deve ser um operador potencial.

Parte II Os M´ etodos Diretos no C´ alculo Variacional

111

Cap´ıtulo 5 M´ etodos Variacionais 5.1

Introdu¸c˜ ao

Neste cap´ıtulo, apresenta-se uma série de métodos variacionais, chamados também Métodos Diretos, que permitem obter solu¸co˜es aproximadas de problemas de valor de contorno e problemas variacionais associados. No que se segue e com o intuito de não complicar a apresenta¸cão, supõe-se que as fun¸cões consideradas são suficientemente regulares, no sentido que as opera¸co˜es de integra¸cão ou de deriva¸caõ tenham sentido. Por outro lado, limita-se exclusivamente ao caso de operadores lineares. Problemas de valor de contorno não lineares escapam dos objetivos deste curso. Também, durante a primeira parte deste cap´ıtulo, limita-se ao caso de condi¸co˜es de contorno homogêneas. Dado um problema de valor de contorno cuja solu¸caõ será designada por u0 , os métodos variacioanais a serem apresentados são métodos numéricos que, dadas as fun¸co˜es φi (chamadas de fun¸cões coordenadas, de base, ou de interpola¸caõ, e que satisfazem certas restri¸co˜es) permitem determinar as constantes α1 , α2 , ..., αn , n finito, de maneira tal que a fun¸cão: n X un = αi φi i=1

se aproxime de u0 , para n → ∞, em algum sentido, quer dizer convergência com respeito a alguma norma (convergência forte) ou convergência débil. Os métodos considerados são: 1. Método dos Res´ıduos Ponderados • Método de Coloca¸cão; • Método de Galerkin; 2. Método de Ritz; 3. Método dos M´ınimos Quadrados. 113

114

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Como será visto mais adiante, o Método dos Elementos Finitos permite determinar unicamente as fun¸co˜es φi de uma maneira simples e de fácil implementa¸cão computacional. Uma vez dadas as φi , deve-se aplicar alguns dos métodos anteriores para determinar uma solu¸cão aproximada. Quer dizer, quando se fala em utilizar o Método dos Elementos Finitos, na realidade está se falando simultaneamente de dois aspectos: 1. constru¸caõ das fun¸cões φi pela técnica proporcionada pelo Método dos Elementos Finitos; 2. utiliza¸caõ de um determinado método variacional (por exemplo algum dos acima menicionados) para calcular uma solu¸caõ aproximada.

5.2

M´ etodo dos Res´ıduos Ponderados

O método dos res´ıduos, do qual o Método de Coloca¸cão e de Galerkin são casos particulares, baseai-se na seguinte idéia. Considere os espa¸cos U e V normados e completos. Como apresentado anteriormente, recorde que em cada espa¸co foi definido uma norma, ou seja, uma maneira de medir a distância entre os elementos deste espa¸co; o fato de ser completo significa que toda sequência {un }n=1,∞ de elementos un ∈ U , por exemplo, tal que kun − um k → 0; n, m → ∞ (sequência de Cauchy) sempre converge a um elemento u do mesmo espa¸co. Define-se, agora, a seguinte transforma¸caõ: S :U ×V →R quer dizer, dado um par ordenado (u, v), onde u ∈ U e v ∈ V , a transforma¸cão S proporciona um n´ umero real. Em particular esta transforma¸cão satisfaz: • S (λu1 + µu2 , v) = λS (u1 , v) + µS (u2 , v) • S (u, λv1 + µv2 ) = λS (u, v1 ) + µS (u, v2 ) • S (u, v ∗ ) = 0 para v ∗ ∈ V fixo e ∀u ∈ U → v ∗ = 0 • S (u∗ , v) = 0 para u∗ ∈ U fixo e ∀v ∈ V → u∗ = 0 onde λ, µ ∈ R. Considere, agora, um operador linear A definido no conjunto linear DA denso no espa¸co U . Para um elemento f ∈ U procura-se a solu¸cão de: Au = f Diz-se que u0 é a solu¸caõ do problema caso se verifique: S (Au0 − f, v) = 0 para todo v ∈ V Para a obten¸caõ de uma solu¸cão aproximada un0 de u0 , o Método dos Res´ıduos Ponderados propõe o seguinte algoritmo:

5.2. Método dos Res´ıduos Ponderados

115

1. Considere em DA uma sequência completa {φn }n=1,···,∞ de fun¸cões. Recorde que, por pertencer a DA , são suficientemente regulares e satisfazem todas as condi¸co˜es de contorno. 2. Para todo n finito, o conjunto {φk }k=1,···,n é linearmente independente. 3. Tome como aproximante de u0 a combina¸caõ linear un0

=

n X

ai φi

i=1

onde os coeficientes ai , i = 1, · · · , n serão posteriormente determinados. 4. Considere em V um conjunto denso {wi }i=1,···,∞ . 5. Calcule, para n finito, os coeficientes ai de maneira que o res´ıduo: n

r =

Aun0

−f =

n X

aj Aφj − f

j=1

satisfa¸ca:

Z n

rn wi = 0, i = 1, 2, · · · , n

S (r , wi ) = Ω

Em virtude de que {φi } e {wi } são densos em seus respectivos espa¸cos, o Método dos Res´ıduos Ponderados conduz, quando n → ∞, a, hrn , wn i

→ hr, wi = 0 ∀w ∈ V n→∞

quer dizer rn converge debilmente a r = 0 (res´ıduo nulo) ou, em outras palavras, un0 converge debilmente para a solu¸cão de u0 do problema de valor de contorno. A expressão anterior pode ser escrita em forma estendida conduzindo a: µZ ¶ Z wi Aφj dΩ aj = f wi dΩ, i = 1, 2, · · · , n Ω

Ω

ou em forma matricial: Ka = f onde:

Z K = (Kij ) =

wi Aφj dΩ Ω

a = (ai ) Z f = (fi ) = f wi dΩ Ω

116

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Como pode-se ver, o Método dos Res´ıduos Ponderados conduz a um sistema de equa¸cões algébricas cuja solu¸cão proporciona os coeficientes ai da combina¸caõ linear definindo un0 . Do ponto de vista computacional, o Método dos Res´ıduos Ponderados é um algoritmo relativamente simples que não requer grande conhecimento matemático por parte do usuário. Neste método já distingue-se algumas das caracter´ısticas básicas de todo método variacional para o cálculo de solu¸cões aproximadas. São elas: • Conhecer as fun¸co˜es wi e φi . Aqui reside um dos inconvenientes. As fun¸co˜es φi devem ser suficientemente regulares de maneira que Aφi tenha sentido. Além disso, devem satisfazer todas as condi¸co˜es de contorno. • Construir a matriz do sistema K e o término independente f calculando, anal´ıtica ou numericamente, cada coeficiente Kij , fi . • Resolver o sistema de equa¸co˜es. Dependendo do operador A e da forma das fun¸cões φi e wi , a matriz do sistema K poderá ser uma matriz banda ou cheia, simétrica ou não-simétrica, bem-condicionada ou mal-condicionada. Cada uma destas caracter´ısticas facilitam ou complicam a resolu¸cão do sistema de equa¸cões.

5.2.1

M´ etodo de Coloca¸c˜ ao

Como já foi dito, o Método de Coloca¸cão é um caso particular do Método dos Res´ıduos Ponderados. Para o Método de Coloca¸cão, as fun¸co˜es wi são as fun¸cões generalizadas δ − Dirac associadas aos pontos xi , i = 1, 2, . . . , n, de Ω. Designam-se estas fun¸co˜es como ∆i e são tais que: Z f (x) ∆i dΩ = f (xi ) Ω

Tendo presente a propriedade anterior, o método corresponde a: Z rn ∆i = (Aun0 − f )|xi = 0; i = 1, 2, . . . , n Ω

Logo, o Método de Coloca¸cão calcula a solu¸caõ aproximada un0 =

n P i=1

ai φi exigindo que

o res´ıduo Aun0 − f seja nulo em n pontos xi de Ω. A seguir apresentam-se alguns exemplos de aplica¸caõ do Método de Coloca¸cão. Exemplo 5.1 Seja o seguinte problema de valor de contorno: 00

Au (x) = u (x) − u (x) = 1, em Ω = (0, 1) com as condi¸co˜es de contorno: u (0) = u (1) = 0

5.2. Método dos Res´ıduos Ponderados Pode-se ver que:

117

© ª DA = u; u ∈ C 2 [0, 1] , u (0) = u (1) = 0

Recordando o teorema de Weierstrass, tem-se que toda fun¸c˜ ao cont´ınua pode ser aproximada por um polinˆ omio. Logo, tome para {φi }i=1,n a seguinte sequência: φ1 = x (1 − x) φ2 = φ1 x φ3 = φ2 x etc Como pode-se ver, estas fun¸c˜ oes satisfazem as condi¸c˜ oes de contorno (homogêneas). Logo, toda combina¸c˜ ao linear também satisfaz e, pelo teorema de Weierstrass, {φi }i=1,∞ é denso em DA . Tome n = 2, ou seja os dois primeiros termos φ1 e φ2 . Os coeficientes da matriz K e do termo independente f , para o caso em que se adota como pontos xi = 0 e x2 = 1, est˜ ao dados por: K11 = (Aφ1 )|x1 =0 = [−2 − x (1 − x)]|x1 =0 = −2 K21 = (Aφ1 )|x2 =1 = [−2 − x (1 − x)]|x2 =1 = −2 £ ¤¯ K12 = (Aφ2 )|x1 =0 = −6x + 2 − x2 (1 − x) ¯x1 =0 = 2 £ ¤¯ K22 = (Aφ2 )|x2 =1 = −6x + 2 − x2 (1 − x) ¯x2 =1 = −4 f1 = f (x1 ) = 1 f2 = f (x2 ) = 1 Logo, o sistema está dado por: · ¸ ½ ¾ · ¸ −2 2 a1 1 − = −2 −4 a2 1 A solu¸c˜ ao deste sistema conduz aos seguintes valores dos coeficientes a1 e a2 : a1 =

1 2

a2 = 0

dando, assim, a seguinte solu¸c˜ ao aproximada: 1 u20 = x (x − 1) 2 Como a2 = 0, a solu¸c˜ ao aproximada é equivalente a tomar uma u ńica fun¸c˜ ao φ1 e o ponto x1 = 0. A solu¸c˜ ao exata do proplema proposto é: ¢ 1 ¡ x u0 = e + e1−x − 1 (e + 1) A Tabela 5.1 apresenta, para efeito de compara¸c˜ ao, os valores de u0 e ua0 em diferentes pontos do intervalo. Como pode-se ver, a solu¸c˜ ao u0 é simétrica com respeito a x = 0.5.

118

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

u0 (x) 0.0000 0000 -0.0412 8461 -0.0729 7407 -0.0953 8554 -0.1087 4333 -0.1131 8112 -0.1087 4333 -0.0953 8554 -0.0729 7407 -0.0412 8461 -0.0000 0000

ua0 (x) 0.0000 0000 -0.0450 0000 -0.0800 0000 -0.1050 0000 -0.1200 0000 -0.1250 0000 -0.1200 0000 -0.1050 0000 -0.0800 0000 -0.0450 0000 0.0000 0000

Tabela 5.1: Exemplo 5.1, compara¸caõ entre as solu¸cões. A primeira pergunta a ser feita é se é poss´ıvel melhorar a aproxima¸cão mantendo as mesmas fun¸co˜es, mas tomando outros pontos de coloca¸caõ? A resposta é afirmativa e o estudo da coloca¸caõ ótima destes pontos formam um cap´ıtulo de análise numérica do Método de Coloca¸caõ. Exemplo 5.2 Considere somente a fun¸c˜ ao φ1 e adote, como ponto de onde anula-se o res´ıduo, o ponto x1 = 0.5. Tem-se, assim: −2.25a1 = 1 → a1 = −

1 = −0.44444444.... 2.25

Logo, a solu¸c˜ ao aproximada será: u10 = 0.44444444...x(x − 1) Na Tabela 5.2, compara-se esta solu¸c˜ ao aproximada com a exata. Como pode-se notar, o resultado alcan¸cado é de extraordin´ aria exatidão, mesmo utilizando apenas uma fun¸cão coordenada. Do ponto de vista computacional, o Método de Coloca¸caõ se mostra de fácil implementa¸cão. Em todos os casos, as fun¸co˜es coordenadas devem satisfazer as condi¸cões de contorno e devem ser suficientemente regulares para que a aplica¸cão do operador A tenha sentido. Estes são, provavelmente, os maiores inconvinientes deste método. Exerc´ıcio 5.1 Considere o problema de valor de contorno definido anteriormente. Aplique o Método de Coloca¸caõ tomando as seguintes fun¸c˜ oes coordenadas: φ1 = x (1 − x) φ3 = x3 (1 − x) e os pontos: x1 = 0.25 e x2 = 0.75 Compare com a solu¸c˜ ao e comente os resultados obtidos.

5.2. Método dos Res´ıduos Ponderados x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

119

u0 (x) 0.0000 0000 -0.0412 8461 -0.0729 7407 -0.0953 8554 -0.1087 4333 -0.1131 8112 -0.1087 4333 -0.0953 8554 -0.0729 7407 -0.0412 8461 -0.0000 0000

ua0 (x) 0.0000 0000 -0.0400 0000 -0.0711 1111 -0.0933 3333 -0.1066 6667 -0.1111 1111 -0.1066 6667 -0.0933 3333 -0.0711 1111 -0.0400 0000 0.0000 0000

Tabela 5.2: Exemplo 5.2, compara¸caõ entre as solu¸cões. Exerc´ıcio 5.2 Considere o seguinte problema de valor de contorno: d2 u + u = −x em (0, 1) dx2 com as condi¸co˜es de contorno: u (0) = u (1) = 0 Aplique o Método de Coloca¸c˜ ao adotando: φ1 = x (1 − x) φ2 = x2 (1 − x) x1 = 0.25 x2 = 0.5 e compare com a solu¸c˜ ao exata: u0 =

5.2.2

sin x −x sin 1

M´ etodo de Galerkin

O Método de Galerkin é um caso particular do Método dos Res´ıduos Ponderados. Neste método, os espa¸cos U e V são coincidentes e o conjunto {wj } se torna idêntico a {φi }. De uma maneira mais formal, o Método de Galerkin pode ser colocado da seguinte maneira. Suponha o problema de valor de contorno Au = f em Ω com as condi¸cões de contorno Bu = 0 em Γ e suponha ainda que DA (dom´ınio de defini¸caõ do operador A quer dizer, o conjunto de todas as fun¸cões u suficientemente regulares e tal que Bu = 0 em Γ) seja denso no espa¸co Hilbert H.

120

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Introduz-se agora a sequência de espa¸cos de dimensão finita Hk ⊂ H e designa-se com {φi }i=1,k as fun¸co˜es bases dos espa¸cos. Pelo que foi exposto anteriormente, deseja-se dizer que um elemento (fun¸cão) arbitrário de Hk está definido através da seguinte combina¸caõ linear: k P ai φi ai ∈ R, i = 1, 2, . . . , k uk = i=1

Logo, o Método de Galerkin para a determina¸cão de uma solu¸caõ aproximada do problema de valor de contorno consiste em determinar a fun¸caõ u∗k ∈ Hk , tal que o res´ıduo Au∗k − f seja ortogonal a toda fun¸caõ de Hk . Em outras palavras: R (Au∗k − f ) vk dΩ = 0 ∀vk ∈ Hk Ω Observa-se que o Método de Galerkin corresponde ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual em Mecânica. Agora, a expressão anterior é equivalente a exigir que o res´ıduo seja ortogonal a cada uma das fun¸co˜es φi que definem a base Hk , ou seja, R (Au∗k − f ) φi dΩ = 0 i = 1, 2, . . . , k Ω Substituindo u∗k =

k P i=1

a∗i φi na expressão anterior, tem-se, Ã Ã

R Ω

A

k P

j=1

! a∗j φj

! −f

φi dΩ = 0 i = 1, 2, . . . , k

e em virtude de se considerar problemas lineares (o operador A é linear), a equa¸caõ anterior conduz a, k P i=1

[φi Aφj dΩ] a∗j −

R Ω

f φi dΩ = 0 i = 1, 2, . . . , k

Novamente chegou-se a um sistema de equa¸co˜es algébricas que em forma matricial pode ser escrita como, Ka = f onde, Z Kij =

φi Aφj dΩ ZΩ

fi =

f φi dΩ Ω

Pode-se notar que se A é um operador simétrico, a matriz do sistema resulta simétrica. Isto implica em diversas vantagens computacionais: • Utiliza¸caõ de técnicas de triangula¸cão da matriz do sistema, espec´ıficas para matrizes simétricas.

5.2. Método dos Res´ıduos Ponderados

121

• Diminui¸caõ do espa¸co de memória necessário para armazenar os coeficientes da matriz do sistema. Para uma matriz de ordem N não-simétrica, é preciso conhecer seus N × N coeficientes. Se a matriz for simétrica, só é preciso conhecer a matriz triangular superior ou inferior. Por outro lado, dependendo do tipo de problema, da forma da região Ω e das caracter´ısticas das fun¸cões φi , o cálculo dos coeficientes da matriz K e do termo independente podem ser realizados analitica ou numericamente. Este u ´ltimo procedimento é o mais utilizado, atualmente, em virtude dos computadores tornarem-se cada vez mais velozes e precisos. Agora observe um detalhe importante. O coeficiente Kij está dado por Z Kij = φi Aφj dΩ Ω

Duas fun¸co˜es u, v definidas em Ω, se dizem ortogonais através do operador simétrico A se, Z uAvdΩ = 0 Ω

Se as fun¸co˜es φi e φj estão definidas em todo Ω e não são ortogonais através do operador A, tem-se que este coeficiente não será nulo. Isto implica que a matriz seja cheia e isto, em geral, pode induzir um mal condicionamento numérico da matriz K. Suponha, agora, que φi e φj estão definidas, respectivamente, em Ωi e Ωj , partes de Ω. O anterior implica em dizer que as fun¸co˜es φi e φj são de suporte compacto. Neste caso, o coeficiente resulta, Z Z Kij = φi Aφj dΩ = Kij = φi Aφj dΩ Ω

Ωi ∩Ωj

onde Ωi ∩ Ωj é a interseçcão dos suportes de ambas fun¸cões. Observa-se assim que, se a interseçcão é de medida nula, o coeficiente Kij resulta automaticamente nulo. Na medida que os suportes das fun¸co˜es bases se interseccionam pouco, a matriz K resulta numa matriz com poucos elementos não nulos (comparado com os N 2 coeficientes de uma matriz cheia N × N ). Se o ordenamento das fun¸co˜es é convenientemente escolhido, o anterior dá lugar ao que se chama de matriz banda, matriz sky-line e, caso contrario, matriz esparsa. A Figura5.1 representa graficamente a idéia anterior para o caso de matriz banda e sky-line. Como será visto mais adiante, o Método de Elementos Finitos se caracteriza, fundamentalmente, pelo fato que as fun¸cões φi constru´ıdas através deste método são de suporte compacto. A seguir, tem-se uma série de exemplos para explicar melhor as idéias apresentadas. Exemplo 5.3 Considere o problema indicado na Figura 5.2. O problema de valor de contorno consiste em:

122

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Figura 5.1: Matriz (a) banda e (b) skyline

Figura 5.2: Barra elástica homogenea de se¸caõ transversal e carregamento constante

−AE

d2 u = q, x ∈ (0, L) dx2 u (0) = u (L) = 0

Logo, as fun¸c˜ oes φi devem, em princ´ıpio, ser de classe C 2 (0, L) e satisfazer as condi¸c˜ oes de contorno. Considere polinˆ omios. Logo, as fun¸c˜ oes bases serão, φ1 φ2 φ3

= x (L − x) = x2 (L − x) = x3 (L − x) etc.

e os espa¸cos de aproxima¸c˜ ao ser˜ ao: H1 = Span {φ1 } , H2 = Span {φi }2i=1 , etc. Determinando a solu¸c˜ ao em H1 , quer dizer tomando a primeira fun¸c˜ ao coordenada, a solu¸c˜ ao tomará a forma: u1 = a1 φ1 e o coeficiente a1 será determinado exigindo que o res´ıduo seja ortogonal a todo elemento de H1 . Logo: Z L Z L d2 qx (L − x) dx = 0 −a1 x (L − x) AE 2 {x (L − x)} dx − dx 0 0

5.2. Método dos Res´ıduos Ponderados de onde,

Z

123 Z

L

2AE

L

x (L − x) dxa1 − q 0

x (L − x) dx = 0 0

cuja solu¸cão é,

q 2AE Assim, a solu¸caõ aproximada obtida com o Método de Galerkin é: a1 =

u1 =

q x (L − x) 2AE

que é, neste caso, a pr´ opria solu¸ c˜ ao exata. Exemplo 5.4 Considere o mesmo problema anterior, mas utilizando uma distribui¸c˜ ao triangular de carga q dada por: x q = q0 L A solu¸c˜ ao exata é, · ¸ q0 L2 x ³ x ´3 u= − 6AE L L Calculando a solu¸caõ de Galerkin com a primeira fun¸c˜ ao φ1 , vem que, Z L Z q0 L 2 2AE x (L − x) dxa1 − x (L − x) dx = 0 L 0 0 Integrando, obtem-se, a1 =

q0 4AE

e a solu¸caõ aproximada resulta, · ¸ q0 q0 L2 x ³ x ´2 u1 = x(L − x) = − 4AE 4AE L L Seja agora a solu¸c˜ ao aproximada com dois termos, ou seja, considera-se as duas primeiras fun¸c˜ oes coordenadas: φ1 = x (L − x) , φ2 = x2 (L − x) Os coeficientes da matriz são: Z L Z 00 K11 = − φ1 AEφ1 dx = 0

Z K12 = − K21

L

Z

L

L 0

1 2AEx (L − x) dx = AEL3 3

1 −x (L − x) AE (2L − 6x) dx = AEL4 6 0 0 Z L Z L 1 00 =− φ2 AEφ1 dx = 2x2 (L − x) AEdx = AEL4 6 0 0 00

φ1 AEφ2 dx =

124

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Como pode-se notar, K12 = K21 , dizendo que o operador é simétrico. Z L Z L 2 00 K22 = − φ2 AEφ2 dx = − x2 (L − x) AE (2L − 6x) dx = AEL5 15 0 0 Por sua vez, os coeficientes dos termos independentes resultam Z L Z L x x2 1 f1 = q0 φ1 dx − q0 (L − x) dx = q0 L3 L L 12 0 0 Z L Z L 3 x x 1 f2 = q0 φ2 dx − q0 (L − x) dx = q0 L4 L L 20 0 0 Logo, o sistema a resolver consiste em: ¸ ½ ¾ · ½ ¾ q0 L3 1 AEL3 2 L a1 . = 3 L 12 L2 a2 L 6 12 15 5 A solu¸c˜ ao do sistema conduz a: a1 =

q0 6AE

a2 =

q0 6AEL

e a solu¸caõ aproximada ser´ a: u2 =

q0 q0 q0 L2 x x x(L − x) + x2 (L − x) = [ − ( )3 ] que é a própia solu¸c˜ ao exata!. 6AE 6AEL 6AE L L

Na Tabela 5.3, comparam-se as solu¸c˜ oes aproximadas u1 e u2 com a exata. x/L uAE/q0 L2 0.0 0.0000 0.1 0.0165 0.2 0.0320 0.3 0.0455 0.4 0.0560 0.5 0.0625 0.6 0.0640 0.7 0.0595 0.8 0.0480 0.9 0.0285 1.0 0.0000

u1 AE/q0 L2 0.0000 0.0225 0.0400 0.0525 0.0600 0.0625 0.0600 0.0525 0.0400 0.0225 0.0000

u2 AE/q0 L2 0.0000 0.0165 0.0320 0.0455 0.0560 0.0625 0.0640 0.0595 0.0480 0.0285 0.0000

Tabela 5.3: Exemplo 5.4, compara¸caõ entre as solu¸cões. Exerc´ıcio 5.3 Determine a solu¸c˜ ao aproximada u3 do problema anterior e compare com a solu¸c˜ ao exata.

5.2. Método dos Res´ıduos Ponderados

125

Exemplo 5.5 Nos exemplos anteriores, foram tomadas fun¸c˜ oes de bases polinominais. Considere, agora, fun¸co˜es trigonométricas: φn = sin

nπx , n = 1, 2, 3, ... L

que, como se vê, satisfazem as condi¸c˜ oes de contorno. A aproxima¸c˜ ao mais simples consistir´ a em adotar n = 1, logo: Z L Z L q0 x 00 − φ1 dx φ1 AEφ1 dxa1 = L 0 0 πx onde φ1 = sin . L Substituindo, tem-se, π 2 AE L2

Z

L 0

Z πx q0 L πx sin dxa1 = x sin dx L L 0 L Z πx q0 L π 2 AE L x sin a = dx 1 L2 2 L 0 L 2

de onde:

·

2q0 a1 = 2 π AE

Z

L

x sin 0

2

2q0 L πx xL πx a1 = 2 sin − cos 2 π AE π L π L

¸L = 0

πx dx L

2q0 L2 π 3 AE

A solu¸c˜ ao aproximada resulta: u1 =

2q0 L2 πx sin 3 π AE L

Calculando, agora, a solu¸c˜ ao tomando o conjunto de todas as fun¸c˜ oes coordenadas, φ1 = sin Recordando que:

πx 2πx nπx , φ2 = sin , . . . φn = sin , etc L L L

Z

L 0

mπx nπx sin = sin L L

½

0 n 6= m L n=m 2

tem-se que os coeficientes da matriz K são todos nulos exceto os da diagonal principal: Kii =

π 2 i2 AE π 2 i2 AE L = L2 2 2L

Por sua vez, o termo independente i-ésimo resulta: Z iπx q0 L q L x sin dx = − 0 cos iπ fi = L 0 L iπ

126

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

e o sistema de equa¸c˜ oes que o Método de Galerkin proporciona se reduz a: π 2 i2 AE q0 L2 ai = − cos iπ, i = 1, 2, . . . , n, . . . 2L iπ de onde: ai = −

2q0 L2 (−1)i+1 2q0 L2 cos iπ = , i = 1, 2, . . . , n i3 π 3 AE i3 π 3 AE

A solu¸c˜ ao aproximada obtida através do Método de Galerkin resulta em: a

u =

∞ X

(−1)i+1

i=1

2q0 L2 iπx sin 3 3 i π AE L

Na Tabela 5.4, comparam-se os resultados para i = 1 e i = 2 com a solu¸c˜ ao exata. x/L uAE/q0 L2 0.0 0.0000 0.1 0.0165 0.2 0.0320 0.3 0.0455 0.4 0.0560 0.5 0.0625 0.6 0.0640 0.7 0.0595 0.8 0.0480 0.9 0.0285 1.0 0.0000

u1 AE/q0 L2 0.0000 0.0199 0.0379 0.0522 0.0613 0.0645 0.0613 0.0522 0.0379 0.0199 0.0000

u2 AE/q0 L2 0.0000 0.0152 0.0302 0.0445 0.0566 0.0645 0.0661 0.0599 0.0455 0.0247 0.0000

Tabela 5.4: Exemplo 5.5, compara¸caõ entre as solu¸cões.

Até aqui, tem-se aplicado o Método de Galerkin sem levar em considera¸caõ as caracter´ısticas que o operador A pode ter. Isto implica na necessidade de se trabalhar com fun¸cões coordenadas que, além de satisfazer, em princ´ıpio, todas as condi¸co˜es de contorno, devem ser suficientemente regulares para que a aplica¸caõ do operador diferencial A às fun¸cões coordenadas φi tenha sentido. Em numerosos problemas da F´ısica Matemática, o operador A apresenta caracter´ısticas tais como simetria, positividade e de ser limitado inferiormente. Através destas caracter´ısticas é poss´ıvel trabalhar, aplicando o Método de Galerkin, com fun¸co˜es coordenadas que não precisam ser tão regulares como as anteriores, nem tampouco precisam satisfazer todas as condi¸cões de contorno. Para fixar as idéias aqui expostas, tomam-se alguns exemplos e posteriormente passase a formalizar sua apresenta¸caõ.

5.2. Método dos Res´ıduos Ponderados

127

Considere o problema do valor de contorno que vem sendo estudado, d2 u −AE 2 = q , x ∈ (0, L) dx u (0) = u (L) = 0 d2 (·) Segundo foi visto, o dom´ınio do operador A = −AE 2 está dado por, dx © ª DA = v; v ∈ C 2 (0, L) , v (0) = v (L) = 0 Dado o conjunto {φi }∞ etodo de Galerkin consistia em determinar a i=1 ∈ DA , o M´ d2 un solu¸cão aproximada un ∈ Span {φi }i=1,n com a propriedade de que o res´ıduo −AE 2 − dx q = rn seja ortogonal a todo elemento de Span {φi }i=1,n . Em outras palavras, determinar un ∈ Span {φi }i=1,n tal que: Z

L

(Aun − f, vn ) = 0

µ

¶ d2 u −AE 2 − q vn dx = 0, ∀vn ∈ Span {φi }ni=1 dx

Dado que un e vn também pertencem a DA , tem-se que a expressão anterior integrada por parte nos conduz a : ¶ ¶ Z Lµ Z Lµ d2 u dun dvn dun − qvn dx−AE vn |L0 = 0, ∀vn ∈ Span {φi }ni=1 −AE 2 − q vn dx = AE dx dx dx dx 0 0 Na expressão anterior, o termo no contorno é nulo por ser vn (0) = vn (L) = 0. Logo, o problema de Galerkin se reduz a: Z L Z L dun dvn AE = qvn dx, ∀vn ∈ Span {φi }ni=1 dx dx 0 0 que é idêntico a: (

n Z X j=1

L 0

) Z L dφj dφi AE dx aj = qφi dx, i = 1, 2, . . . , n dx dx 0

Na expressão anterior, as fun¸cões un e vn não precisam ser tão regulares. De fato, é sufi1 (0, L), quer dizer, fun¸cões cont´ınuas com derivadas cientemente que sejam elementos de Ccp cont´ınuas por parte, continuando nulas no contorno. A observa¸caõ anterior é de enorme importância já que traz conjuntamente dois aspectos já discutidos: • As fun¸cões coordenadas são menos regulares. Isto facilita a sua constru¸caõ. • Ao serem menos regulares, é mais fácil construir fun¸cões coordenadas de suporte compacto.

128

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Como será visito mais adiante, estes aspectos são fundamentais no Método dos Elementos Finitos. 1 Como um exemplo, as fun¸cões coordenadas mais simples em Ccp (0, L) e nulas no contorno podem ser constru´ıdas da seguinte forma. Dado um intervalo (0, L), divide-se o mesmo em N subintervalos que, por simplicidade, supõe-se serem iguais. Ao realizar esta parti¸caõ, tem-se definidos N − 1 pontos no interior do intervalo [0, L], sendo o ponto L genérico i de coordenada xi = ih, h = . A cada nó i, pode-se associar a fun¸cão φi N que satisfaz a propriedade de ser nula para todo x ∈ / (xi−1 , xi ), vale 1 em xi variando linearmente em (xi−1 , xi ) e (xi , xi+1 ). Esta fun¸caõ pode ser expressar da seguinte forma (Figura 5.3),  0 se x ∈ / [xi−1 , xi+1 ]    x − xi−1 se x ∈ [xi−1 , xi ] φi (x) = h    − x − xi+1 se x ∈ [x , x ] i i+1 h

Figura 5.3: Fun¸caõ φi linear por parte. −1 Os elementos do espa¸co Span {φi }N ao definidos por: i=1 est˜

vn =

N −1 X

ai φi

i=1

e pela defini¸cão das fun¸cões φi resulta: vn (xi ) = ai Observa-se que os coeficientes ai passam a ter um significado mais preciso: ai é o valor de vn no ponto xi da parti¸caõ (Figura 5.4). Ao aplicar o Método de Galerkin, a equa¸caõ i-ésima, ou seja, a equa¸caõ associada à fun¸cão φi está dada para o exemplo em considera¸cão por: (N −1 Z ) Z L X L dφj dφi dx aj = AE qφi dx, i = 1, 2, . . . , N − 1 dx dx 0 j=1 0

5.2. Método dos Res´ıduos Ponderados

129

Figura 5.4: Parti¸cão de [0, L] em 4 intervalos. Por serem as fun¸cões φi de suporte compacto, os u ńicos coeficientes não-nulos na somatória do primeiro membro estão associados ao ´ındices j = i − 1, i, i + 1. Por outro lado, Z L Z xi+1 qφi dx = qφi dx 0

xi−1

dφi O cálculo destes coeficientes resulta ainda mais simples em virtude de que está dado dx por:   0 se x ∈ / [xi−1 , xi+1 ]    1 dφi se x ∈ [xi−1 , xi ] = h  dx  1   − se x ∈ [xi , xi+1 ] h Como se vê, as derivadas resultam constantes por partes, facilitando o cálculo dos coeficientes. Se consideramos uma parti¸caõ como na Figura 5.4, os coeficientes da matriz e o termo independente do sistema de equa¸co˜es resultam iguais a: Z 2h 1 2AE K11 = AE 2 dx = = K22 = K33 ! h h 0 Z 2h 1 AE K12 = K21 = − AE 2 dx = − = K23 = K32 ! h h h Z h Z 2h x (x − 2h) f1 = q dx − q dx = qh = f2 = f3 ! h h 0 h Matricialmente, o sistema consiste em       2 −1 0  a1  qh2  1   −1 2 −1  . a2 1 =  AE    a3 0 −1 2 1 cuja solu¸caõ consiste em         a1  qh2 1 3 2 1  1  qh2 1  6   2 4 2  1 a2 8 = =  AE 4    AE 4   a3 1 2 3 1 6

130

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Desta forma, a solu¸cão aproximada resulta, qL2 1 u = (6φ1 + 8φ2 + 6φ3 ) AE 43 a

Em particular para x = L/2, a solu¸cão exata conduzia ao resultado (ver Exemplo 5.1) u|x= L 2

ua |x= L 2

¯ q qL2 ¯ = x(L − x)¯ L = 2AE AE8 x= 2 2 2 qL 8 qL = a2 = = 3 AE 4 AE8

ou seja, obtém-se o valor exato. No ponto x = L/4, tem-se, ¯ q 3 qL2 ¯ x(L − x)¯ L = 2AE 32 AE x= 4 2 2 6 qL 3 qL = a2 = 3 = 4 AE 32 AE

u|x= L = 4

ua |x= L 4

Como pode-se observar, novamente alcan¸cou-se o valor exato. Não resulta dificil mostrar que a solu¸caõ via Método de Galerkin para este tipo de problemas é sempre nodalmente exata!. Entretanto, entre dois pontos da parti¸caõ, a solu¸caõ aproximada é linear, enquanto a solu¸cão exata é quadrática. A diferen¸ca entre a solu¸cão aproximada e a exata faz-se sentir quando se tomam as derivadas. Em efeito, a derivada de ua é constante em cada subregião definida pela parti¸caõ sendo descont´ınua no ponto comum de duas subregiões. O mesmo não ocorre com a solu¸cão exata cuja derivada é linear em (0, L). No exemplo em considera¸caõ, tem-se: • Solu¸caõ exata:

du q = (L − 2x) , x ∈ (0, L) dx 2AE

• Solu¸caõ aproximada: ´ dua 1 qL2 ³ 0 0 0 = 3 6φ1 + 8φ2 + 6φ3 , x ∈ (0, L) dx 4 AE Recordando a defini¸cão das φi resulta: µ ¶ 6 qL2 1 3 qL L dua = 3 = , x ∈ 0, dx 4 AE h 8 AE 4 µ ¶ ´ 2 ³ a 1 qL 1 qL2 du 6 8 0 0 = 3 6φ1 + 8φ2 = 3 − + dx 4 AE 4 AE h h µ ¶ 2 1 qL L L 2 qL = ,x ∈ , = 3 4 AEh 8 AE 4 2

5.2. Método dos Res´ıduos Ponderados

131

e dada a simetria, nas outras subregiões as derivadas são iguais mas de sinais contrários. Observa-se outro detalhe importante. Por exemplo, no primeiro intervalo, o valor da derivada da solu¸caõ exata varia linearmente entre os valores: ¯ ¯ du ¯¯ qL du ¯¯ qL = e = ¯ ¯ dx x=0 2AE dx x= L 4AE 4

Logo o valor médio será: ¡

¢ qL + 4AE 3 qL = = 2 8 AE m´ edio ¡ ¢ Como pode-se ver, o valor médio no intervalo 0, L4 da derivada da solu¸caõ exata coincide com o valor da derivada (constante) da solu¸cão aproximada no correspondente intervalo. De uma maneira intuitiva, o exposto anteriormente diz que, aumentando o n´ umero a de subregiões (N → ∞ isto é h → 0), tem-se que u se aproximará da solu¸caõ exata. Matematicamente se pode demonstrar que: µ

du dx

¶

qL 2AE

ua → u, uniformemente e se q é suficientemente regular (caso do exemplo), dua du → , uniformemente dx dx Se q não é tão regular, a convergência da derivada primeira é no sentido da média ou L2 , ou seja, µ ¶ R L dua du 2 − dx → 0 0 dx dx h→0 Agora bem, empregando fun¸co˜es coordenadas como as que se tem utilizando, para cada parti¸cão (quer dizer, para cada N e, portanto, para cada h = NL ) será necessário construir toda a matriz do sistema e seu vetor termo independente. Entretanto, a constru¸caõ desta matriz resulta extremamente facilitada através da defini¸caõ de uma matriz de base ou elementar. De fato, recorde que o Método de Galerkin consist´ıa em: Z L Z L dun dvn dx = qvn dx, ∀vn ∈ Span {φi }ni=1 AE dx dx 0 0 onde n está associado ao n´ umero de fun¸co˜es bases adotada que, para o problema em estudo, esta associado à divisão realizada no intervalo (0, L). Em particular, se N é o n´ umero de subintervalos, n = N − 1. Para esta divisão, a expressão anterior pode ser reescrita como: ¾ Z N ½Z X duen dφei e dx − qφi dx = 0, i = 1, 2, . . . , N − 1 AE dx dx Ω Ω e e e=1

132

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

onde uen e φei são as restri¸cões de un e φi sobre a região Ωe = {(e − 1) h, eh} , h = ½ 0 se x ∈ / Ωe e un = e e ae−1 φe−1 + ae φe se x ∈ Ωe

L , N

e:

 0 se x ∈ / [xe−1 , xe ]    x − xe para todo x ∈ [xe−1 , xe ] se i = e − 1 − φei = h    x − xe−1 para todo x ∈ [x , x ] se i = e e−1 e h As Figuras 5.5 e 5.6 representam geométricamente o que foi exposto;

Figura 5.5: Restri¸caõ de un em Ωe = Ω2 .

Figura 5.6: Restri¸caõ de φ1 e φ2 em Ωe = Ω2 . Do anterior, segue-se que cada subregião e colabora com o sistema global de equa¸cões através do seguinte sistema de equa¸cões associada à subregião e-ésima: · e ¸· ¸ · e ¸ e K11 K12 ae−1 f1 = e e K21 K22 ae f2e onde:

e K12

µ

¶ dφee−1 2 AE = AE dx = dx h Ωe µ e ¶2 Z dφe AE e K22 = AE dx = dx h Ωe Z dφe dφe AE e = K21 = AE e−1 e dx = − dx dx h Ωe Z

e K11

5.2. Método dos Res´ıduos Ponderados f1e =

R

133

qφee−1 dx , f2e = Ωe

R Ωe

qφee dx

Substituindo estas expressões no sistema de equa¸cões anterior resulta: · ¸· · ¸ ¸ AE qh f1e 1 −1 ae−1 = −1 1 ae h 2 f2e e para o exemplo em considera¸cão (q = cte), o sistema anterior resulta, AE h

·

1 −1 −1 1

¸·

ae−1 ae

¸

qh = 2

·

1 1

¸

Desta maneira, uma vez calculado o sistema de equa¸cões associado a cada subregião e (como será visto mais adiante o Método de Elementos Finitos chama esta subregião de elemento e), o sistema global é estabelecido através da montagem adequada de cada um dos subsistemas. A Figura 5.7 representa geometricamente a idéia anterior para o caso particular do elemento e = 4 e N = 7.

Figura 5.7: Montagem da matriz global. Como pode-se observar na Figura 5.7, cada coeficiente global é obtido somando cada uma das contribu´ı¸cões locais que estão associadas ao mesmo. Um outro aspecto importante do Método de Galerkin deve ser discutido. Até aqui, tem-se exigido que as fun¸cões coordenadas satisfa¸cam todas as condi¸co˜es de contorno até agora supostas homogêneas. Deseja-se mostrar que quando o operador é simétrico positivo-definido, as condi¸cões de contorno denominadas naturais (ver cap´ıtulos anteriores) não precisam ser satisfeitas pelas fun¸cões coordenadas. Em outras palavras, quando o operador é simétrico positivo-definido, as condi¸ c˜ oes de contorno principais s˜ ao as u ´ nicas que precisam ser satisfeitas pelas fun¸co˜es coordenadas. Para discutir isto, considera-se um exemplo t´ıpico. Tome o problema de uma barra tracionada com um extremo livre. O problema de valor de contorno consiste em determinar u tal que:

134

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

d2 u = q, x ∈ (0, L) dx2 u (0) = 0 ¯ du ¯¯ AE = 0 dx ¯ −AE

x=L

Segundo foi visto, o dom´ınio do operador é o espa¸co vetorial: ¯ ¾ ½ du ¯¯ 2 =0 DA = u, u ∈ C (0, L) , u|x=0 , dx ¯x=L Considere o espa¸co Admu ⊃ DA : © ª Admu = u, u ∈ C 2 (0, L) , u|x=0 = 0 O Método de Galerkin consiste em determinar u ∈ Admu tal que o res´ıduo associado seja ortogonal a todo elemento de Admu , ou seja, Z

L 0

µ

¶ µ ¶ d2 u du = 0, ∀v ∈ Admu −AE 2 − q vdx + AE v dx dx x=L

Integrando por partes a expressão anterior, tem-se Z

L 0

µ

¶ µ ¶¯L µ ¶ du du ¯¯ du dv =0 − qv dx − AE v ¯ + AE v AE dx dx dx dx x=L 0

para todo v ∈ Admu . Da expressão anterior e da defini¸caõ de Admu se segue que: Z

L

µ

0

¶ du dv AE − qv dx = 0, ∀v ∈ Admu dx dx

expressão idêntica à que hav´ıamos chegado considerando o problema definido em DA . Novamente, e como já havia sido notado, a integra¸cão por parte permite reduzir o grau de regularidade sobre as fun¸co˜es admiss´ıveis. O problema pode assim ser considerado como: determinar u ∈ V tal que: Z

L 0

onde :

µ

¶ du dv − qv dx = 0, ∀v ∈ Admu AE dx dx

© ª 1 V u; u ∈ Ccp (0, L) , u (0) = 0

5.2. Método dos Res´ıduos Ponderados

135

Exemplo 5.6 Considere o problema de valor de contorno: d2 u + u + x = 0, x ∈ (0, 1) dx2 com as condi¸co˜es de contorno: u (0) = 0 ¯ du ¯¯ =0 dx ¯ x=1

Aplica-se Galerkin supondo, primeiro, que as fun¸c˜ oes coordenadas satisfazem todas as condi¸c˜ oes de contorno. Para este exemplo, as fun¸c˜ oes coordenadas podem ser: µ ¶ µ ¶ ³ x´ 2 3 2 3 φ1 = x 1 − , φ2 = x 1 − x , φ3 = x 1 − x , etc 2 3 4 Se tomamos a primeira fun¸c˜ ao, a solu¸c˜ ao aproximada será tal que: Z L³ ´ 00 a1 φ1 + a1 φ1 + x φ1 dx = 0 0

que integrando conduz a: −

2 5 a1 − =0 10 24

de onde: a1 =

25 24

Logo, a solu¸caõ aproximada ser´ a: ua =

25 ³ x´ x 1− 24 2

Considere, agora, o problema definido em um espa¸co V onde somente a condi¸c˜ ao u (0) = 0 é satisfeita por todo elemento desse espa¸co. Aplicando Galerkin para este caso, tem-se: ¶ Z 1µ 2 du du + u + x vdx + = 0, ∀v ∈ V v| 2 dx dx x=1 0 Integrando por partes: Z

1 0

µ

¶ du dv − + uv + xv dx = 0, ∀v ∈ V dx dx

As fun¸c˜ oes coordenadas são agora mais fáceis de serem escolhidas e, por exemplo, podem ser: φ1 = x, φ2 = x2 , etc

136

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

que, como pode ser visto, satisfazem unicamente a condi¸c˜ ao φi (0) = 0. Considerando as duas primeiras fun¸co˜es coordenadas tem-se: Z 1n Z Z 1n o o 0 2 0 0 2 −φ1 + φ1 dx + a2 −φ2 φ1 + φ2 φ1 dx = − xφ1 dx a1 0

Z

0

1

a1 0

n

0

Z

o

0

−φ1 φ2 + φ1 φ2 dx + a2

de onde:

1

n

0

0

2

−φ2 +

φ22

Z

o dx = −

xφ2 dx

− 23 a1 − 34 a2 = − 13 − 34 a1 − 17 a = − 14 15 2

Em forma matricial, a express˜ ao anterior pode ser reescrita como: · 2 3 ¸· ¸ · 1 ¸ a 1 3 4 = 31 3 17 a2 4 15 4 cuja solu¸cão conduz a: a1 =

137 60 ; a2 = − 139 139

Logo, a solu¸caõ aproximada é: u¯a =

137 60 2 x− x 139 139

Na Tabela 5.5, compara-se a solu¸c˜ ao exata: u=

sin x −x cos 1

com as solu¸co˜es aproximadas ua e¯ ua . x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

u 0.000000 0.095092 0.157700 0.245953 0.320742 0.397329 0.445049 0.492329 0.527594 0.549794 0.557409

ua 0.000000 0.099958 0.197500 0.255525 0.333333 0.390625 0.437500 0.473958 0.500000 0.515625 0.520933

u¯a 0.000000 0.094245 0.179856 0.284029 0.325180 0.384892 0.435971 0.478417 0.512230 0.537410 0.553957

Tabela 5.5: Exemplo 5.6, compara¸caõ entre as solu¸cões.

5.2. Método dos Res´ıduos Ponderados

137

A derivada de u¯a em x = 1 resulta: d¯ ua 137 120 17 = − = = 0.122302 dx 139 139 139 que, como pode-se notar, resulta aproximadamente nula. Em particular, à medida que aumenta-se o n´ umero de fun¸c˜ oes coordenadas que irão intervir na solu¸c˜ ao aproximada, a derivada em x = 1 tende a zero.

5.2.3

Condi¸c˜ oes de Contorno N˜ ao-homogˆ eneas

Na seçcaõ anterior, foi apresentado o Método de Galerkin analisando o caso de condi¸cões de contorno homogêneas. Nesta seçcão, apresenta-se como trabalhar com o método quando as condi¸co˜es de contorno são não-homogêneas. Para isso considera-se inicialmente um exemplo e, posteriormente, generalizam-se os resultados. Considere uma viga da seçcaõ transversal retangular submetida à uma carga q e apoiada sobre uma base de funda¸cão elástica (Figura 5.8)

Figura 5.8: Viga sob funda¸caõ felx´ıvel. O problema de valor de contorno está dado por: determinar u ∈ C 4 (0, L) tal que satisfa¸ca d4 u EI 4 + ku = q, em todo x ∈ (0, L) dx com as condi¸cões de contorno 2 ¯ i ; i = 0, L EI ddxu2 = M d3 u ¯ i ; i = 0, L EI dx3 = Q

¯i e Q ¯ i são os momentos e as for¸cas cortantes aplicadas nas extremidades da viga onde M e k o coeficiente de elasticidade da funda¸cão. 2 (0, L). Logo, o problema do valor de contorno anterior é equivalente Considere v ∈ Ccp 2 2 (0, L), tal que para todo v ∈ Ccp ao de determinar a fun¸caõ u ∈ Ccp Z

µ

L

EI 0

d2 u dx2

¶µ

d2 v dx2

¶

Z

Z

L

dx+

L

kuvdx− 0

0

¯ L v 0 (L)− Q ¯ 0 v (0)− M ¯ 0 v 0 (0) qvdx+QL v (L)+ M

(5.1) Para provar o anterior, integra-se por partes o primeiro membro da equa¸caõ anterior. Tem-se assim:

138

Z

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

µ

L

EI 0

d2 u dx2

¶µ

d2 v dx2

¶

Z

L

dx + 0

¯L d4 u d2 u dv ¯¯ d3 u L kuvdx = (EI 4 + ku)vdx + EI 2 − EI v| dx dx dx ¯0 dx3 0 0 Z L ¯ 0 ¯L L ¯ ¯ = qvdx + Qi v|0 + Mi v ¯ Z

L

0

0

Agrupando, convinientemente, tem-se: Z

L

0

µ

¯L µ ¶ µ ¶ ¶ ¯ d3 u d4 u d2 u dv ¯ ¯ ¯ + −EI 3 − Qi v|L0 = 0 EI 4 + k − q vdx + EI 2 − Mi ¯ dx dx dx 0 dx

2 para todo v ∈ Ccp (0, L). O anterior diz que cada termo deve ser nulo. Logo, o primeiro termo conduz à própria equa¸cão que governa o problema. O segundo termo diz que se as derivadas das fun¸co˜es coordenadas não satisfazem nenhuma restri¸cão no contorno, a solu¸cão do problema variacional satisfaz na forma natural a condi¸caõ:

EI

d2 u ¯ i , i = 0, L =M dx2

O mesmo ocorre com o terceiro termo que garantirá que a solu¸caõ irá satisfazer: −EI

d3 u ¯ i = 0, i = 0, L −Q dx3

Em outras palavras, a solu¸cão u do problema de valor de contorno é tal que o res´ıduo é 2 ortogonal a toda fun¸caõ v ∈ Ccp (0, L). Agora bem, o Método de Galerkin permite determinar uma solu¸caõ aproximada do problema. Segundo foi visto, basta definir o problema variacional desenvolvido anteriormente num espa¸co de dimensão finita. A condi¸cão de ortogonalidade do res´ıduo neste espa¸co de dimensão finita equivale a dizer que o res´ıduo é ortogonal a cada uma das fun¸cões bases desse espa¸co. Em outras palavras, dadas as fun¸cões coordenadas {φi }i=1,∞ denso 2 em Ccp (0, L), o Método de Galerkin consistirá em determinar un ∈ Vn = Span {φi }i=1,n tal que: Z

L 0

d2 un d2 φi EI 2 dx + dx dx2

Z

Z

L

L

kun φi dx = 0

0

¡ ¢¯ ¯ i+M ¯ φ0i ¯L , i = 1, 2, . . . , n qφi dx + Qφ 0

Como pode ser visto, o problema consiste agora em determinar as fun¸cões bases φi . Estas fun¸cões devem ser fun¸co˜es cont´ınuas com derivadas cont´ınuas e com derivadas segundas quadrado integráveis. Por exemplo, poderia se trabalhar com fun¸cões coordenadas do tipo senos e/ou cosenos ou ainda com polinômios. Estas fun¸co˜es estão definidas em todo intervalo (0, L) e são mais regulares do que realmente necessário. Como já foi notado anteriormente, no caso de estarem definidas em todo o intervalo (0, L) traz junto alguns inconvinientes:

5.2. Método dos Res´ıduos Ponderados

139

• Matriz do sistema cheia e, portanto, geralmente com tendência a mal-concicionamento numérico à medida que aumenta-se n. • Dificuldade em satisfazer as condi¸co˜es de contorno principais. No caso de serem mais regulares do que o necessário, impossibilita de colocar em evidência alguma descontinuidade que o problema pode admitir. Por exemplo, se os momentos de inércia ou os módulos de elasticidade são descont´ınuos em x0 , nesse ponto existe uma descontinuidade na derivada segunda. Se a carga aplicada na viga é do tipo concentrada, tem-se descontinuidade na derivada terceira. Novamente, percebe-se que é vantajoso trabalhar com fun¸co˜es coordenadas de suporte compacto. O leitor poderá notar que as fun¸co˜es polinominais c´ ubicas definidas por:  ≡0 se x ∈ / (xi−1 , xi+1 )     1 x = xi fi (x) = 0 x = xi−1 e x = xi+1   df   y tal que = 0 em x = xi−1 , x = xi , x = xi+1 dx  ≡0 para x ∈ / (xi−1 , xi+1 )     0 x = x  i−1 e x = xi+1  dg gi (x) = = 0 em x = xi−1 , xi+1   dx     dg = 1 em x = xi dx podem ser consideradas como fun¸co˜es bases e tem a caracter´ıstica de serem de suporte compacto (Figura 5.9).

Figura 5.9: Fun¸co˜es c´ ubicas de suporte compacto. Exerc´ıcio 5.4 Aplique o Método de Galerkin no problema da viga em flexão da Figura 5.10. 1. Defina a equa¸c˜ ao diferencial que governa o problema. 2. Condi¸c˜ oes de contorno. Quais são as condi¸c˜ oes principais e quais as naturais? 3. Defina o Método de Galerkin para este problema.

140

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Figura 5.10: Exerc´ıcio 5.4. 4. Determine as fun¸cões coordenadas tipo seno ou co-seno correspondentes. 5. Determine a solu¸c˜ ao aproximada tomando n = 1, n = 2, n = 3 e compare com a solu¸cão exata. Exerc´ıcio 5.5 Idem ao problema anterior mas com polinˆ omios. Exerc´ıcio 5.6 Idem ao primeiro problema mas com fun¸co˜es de suporte compacto como as apresentadas. Qual é a fun¸c˜ ao coordenada associada ao nó x = L? Trabalhe com um só ponto x1=L e com dois pontos x1 = 0.5L, x2 = L. Compare com a solu¸c˜ ao exata. Comente os resultados. Exerc´ıcio 5.7 Considere o problema de tor¸c˜ ao de uma barra de seçc˜ ao retangular (Figura 5.11). O problema de valor de contorno consiste em determinar φ tal que: ∂ 2φ ∂ 2φ + = 2Gθ, em Ω = (0, a) x (0, b) , φ = 0 em Ω ∂ 2x ∂2x

Figura 5.11: Exerc´ıcio 5.7, tor¸caõ numa barra retangular Aplique o Método de Galerkin tomando como fun¸c˜ ao coordenada: Ψ1 = x (x − a) y (y − b) e compare com a solu¸c˜ ao exata. Defina as outras fun¸c˜ oes bases Ψ2 , Ψ3 , etc. Exerc´ıcio 5.8 Aplique o Método de Galerkin ao problema anterior, mas com fun¸c˜ oes coordenadas do tipo seno. Defina estas fun¸c˜ oes e calcule a solu¸c˜ ao aproximada para o caso de n = 1. Compare com a solu¸c˜ ao polinominal anterior. Pode-se definir a solu¸c˜ ao para n = ∞? Comente sua resposta e em caso afirmativo, dê esta solu¸c˜ ao.

5.3. Método de Ritz

5.3 5.3.1

141

M´ etodo de Ritz M´ınimo de um Funcional

O problema básico que deseja-se resolver consiste em determinar a solu¸caõ de uma certa equa¸cão diferencial associada a determinadas condi¸co˜es homogêneas de contorno. Chamando como DA o conjunto de fun¸co˜es u suficientemente regulares (no sentido do operador diferencial A) tal que satisfa¸cam as condi¸co˜es de contorno do problema, tem-se que o anterior é equivalente a determinar u ∈ DA tal que: Au = f em Ω

(5.2)

e como u ∈ DA significa explicitamente que as condi¸co˜es de contorno estão todas satisfeitas. No que segue, supõe-se, também, que o operador A é positivo-definido(p.d.). Em virtude da limita¸caõ anterior (o operador A é p.d.) pode-se colocar o seguinte teorema. Teorema 5.1 Se o operador A é positivo-definido, o problema de valor de contorno definido anteriormente é tal que se existe solu¸ c˜ ao, a mesma ´ e u ńica. Demonstra¸caõ: Suponha que existam duas solu¸c˜ oes u1 6= u2 , logo: Au1 = f , Au2 = f subtraindo membro a membro e da linearidade do operador A resulta: A (u1 − u2 ) = 0 em Ω multiplicando ambos os membros da equa¸c˜ ao anterior por (u1 − u2 ) e integrando em Ω tem-se: Z (u1 − u2 ) A (u1 − u2 ) dΩ = 0 Ω

Agora, por ser A p.d. tem-se (v, Av) ≥ 0

e = 0 se e somente se v = 0

disto e da express˜ ao anterior se segue que: u1 = u2 com isso, demonstra-se o teorema. Pode-se colocar agora um segundo teorema que é a base do ponto de partida do Método de Ritz.

142

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Teorema 5.2 Teorema do M´ınimo de um Funcional. Seja A positivo definido e suponha que o problema de valor de contorno tenha solu¸cão. Logo, de todos os valores alcan¸cados pelo funcional, Z Z F (u) = (Au, u) − 2 (f, u) = (5.3) uAudΩ − 2 f udΩ Ω

Ω

para cada uma das fun¸c˜ oes u ∈ DA , o menor é o valor dado a este funcional pela solu¸c˜ ao do problema (5.2). Reciprocamente, se existe em DA uma fun¸c˜ ao que minimiza F (u) , esta fun¸c˜ ao será solu¸c˜ ao de (5.2). Demonstra¸caõ: Seja u0 ∈ DA solu¸c˜ ao de Au = f , que é u ńica pelo Teorema 1. Logo: Au0 = f que substitu´ıda em (5.3) conduz a: F (u) = (Au, u) − 2 (Au0 , u) = (Au, u) − 2 (Au0 , u) + (Au0 , u0 ) − (Au0 , u0 ) = = (A (u − u0 ) , u) + (Au0 , u0 − u) − (Au0 , u0 ) = = (A (u − u0 ) , u − u0 ) − (Au0 , u0 ) Os dois termos do segundo membro são estritamente positivos. Logo, o menor valor que alcan¸car´ a o funcional F (u) corresponde ao campo u que anula o primeiro termo do segundo membro, ou seja, u = u0 Em particular, para u = u0 , o valor m´ınimo F (u0 ) ser´ a: min F (u) = F (u0 ) = − (Au0 , u0 )

u∈DA

A primeira parte do teorema está assim demonstrada. Para demonstrar a segunda parte, suponha que existe u∗ ∈ DA fazendo com que o funcional F (u) alcance seu valor m´ınimo. Logo, para todo v ∈ DA e λ ∈ R tem-se: F (u∗ + λv) − F (u∗ ) ≥ 0 para todo v ∈ DA , λ ∈ R Desenvolvendo a express˜ ao anterior, tem-se: (A (u∗ + λv) , (u∗ + λv)) − 2 (f, u∗ + λv) − (Au∗ , u∗ ) + 2 (f, u∗ ) = = 2λ (Au∗ , v) + λ2 (Av, v) − 2λ (f, v) = = 2λ (Au∗ − f, v) + λ2 (Av, v) ≥ 0 para todo v ∈ DA e λ ∈ R. A desigualdade anterior é não-negativa e quadrática em λ. Logo, seu descriminante deve ser não-positivo: (Au∗ − f, v)2 ≤ 0

∀v ∈ DA

5.3. Método de Ritz

143

portanto: (Au∗ − f, v) = 0

∀v ∈ DA

Mostra-se agora que a equa¸c˜ ao anterior implica que Au∗ − f = 0. Dada a regularidade assumida sobre DA , a fun¸c˜ ao Ψ = Ψ (x) = A u∗ (x) − f (x) para x ∈ Ω é cont´ınua. Suponha que Ψ não seja identicamente nula. Logo existe um x = P onde, por exemplo, Ψ (P ) > 0. Pela continuidade de Ψ existe uma esfera ω de centro em P contida em Ω na qual Ψ é estritamente positiva (Ψ (x) > 0 , x ∈ ω). Como v ∈ DA é arbitrário, adota-se a seguinte fun¸c˜ ao: ½ K+1 (R2 − r2 ) se x ∈ ω v = v (x) = 0 se x ∈ /ω onde R indica o raio da esfera ω e r a distância entre o ponto x e o centro P da mesma. Por sua vez, k é a ordem da maior derivada contida no operador A (Figura 5.12).

Figura 5.12: Fun¸caõ ϕ. Para esta fun¸c˜ ao v tem-se: Z Z ¡ ¢k+1 ∗ ∗ (Au − f, v) = (Au − f ) vdΩ = (Au∗ − f ) R2 − r2 dΩ = 0 Ω

ω

o anterior é imposs´ıvel já que: ¡

¢k+1 R2 − r 2 > 0 em ω (Au∗ − f ) > 0 em ω

Chegou-se a esta incongruência em virtude de supor que existia um ponto P para o qual Au∗ − f não era nulo, logo: Au∗ − f = 0 e da unicidade (Teorema 5.1) tem-se u∗ ≡ u0 demonstrando a segunda parte do teorema. Como será visto nos exemplos apresentados ao longo deste texto, o funcional (5.3) resulta proporcional à energia do sistema em considera¸cão. Nestes casos, o Teorema 5.2 é equivalente ao Pr´ıncipio da M´ınima Energia Potencial.

144

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Como também pode-se notar, o Teorema 5.2 permite substituir o problema de integrar a equa¸caõ diferencial sob certas condi¸cões de contorno pelo problema de determinar a fun¸caõ que minimize a funcional F (u). Em particular, o Método de Ritz permite determinar solu¸co˜es aproximadas deste problema m´ınimo. Apresentam-se agora alguns exemplos que mostrarão alguns aspectos interessantes, Exemplo 5.7 Seja o seguinte problema de valor de contorno: −d2 u = 2 x ∈ (0, 1) dx2 com as condi¸co˜es de contorno: u (0) = u (1) = 0 A solu¸c˜ ao deste problema é u0 = x (1 − x). O operador A do p.v.c. é positivo-definido (na realidade também é positivo limitado inferiormente). De fato: Z

1

(Au, u) =

Z 00

−u udx = −u

0

0

u|10

1

+

Z

1

0 2

(u ) dx = 0

2

(u0 ) dx ≥ 0

0

e se (Au, u) = 0 → u0 = 0 → u = cte em (0, 1) e das condi¸c˜ oes de contorno u = 0 logo, A é positivo definido. De acordo com o Teorema 5.2, a solu¸c˜ ao u0 minimiza F (u) em DA , donde: Z

1

F (u) =

³

00

´

−u u − 4u dx 0

Para este problema, a condi¸c˜ ao de minimizar F (u) em DA ´ e essencial. De fato, considere u1 = x (2 − x). Logo, u1 ∈ / DA (a condi¸c˜ ao de contorno em x = 1 não está satisfeita). Logo: Z

Z

1

F (u1 ) =

1

[2x (2 − x) − 4x (2 − x)] dx = − Z

1

F (u0 ) =

4 3

2x (1 − x) dx = −

1 3

0

0

Z

2x (2 − x) dx = − 1

[2x (1 − x) − 4x (1 − x)] dx = − 0

0

Logo F (u0 ) > F (u1 ). Exemplo 5.8 Seja o problema: −d2 u = 2 x ∈ (0, 1) dx2

(5.4)

com as condi¸co˜es de contorno: 0

0

u (0) = 0 , u (1) + u (1) = 0

(5.5)

5.3. Método de Ritz

145

O problema de valor de contorno tem como solu¸cão a fun¸c˜ ao u0 = 3 − x2 e o operador com estas condi¸co˜es de contorno segue sendo positivo-definido. De fato: R1 R1 00 (Au, u) = 0 −u udx = −u0 u|10 + 0 (u0 )2 dx R1 R1 = −u0 (1) u (1) + 0 (u0 )2 dx = (u (1))2 + 0 (u0 )2 dx ≥ 0 Se (Au, u) = 0 → u0 = 0 e u (1) = 0, logo u ≡ 0. De acordo com o Teorema 5.2, a fun¸c˜ ao u0 faz com que o funcional: Z 1 ¡ 0 2 ¢ F (u) = (u ) − 4u dx + (u(1))2 0

tome o menor valor de todos os valores que pode alcan¸car para cada u ∈ DA . Mostra-se que para este caso a fun¸c˜ ao u0 faz com que F (u) tome o menor valor comparado com os que alcan¸caria com qualquer fun¸c˜ ao que em 0 ≤ x ≤ 1 é cont´ınua com derivada primeira também cont´ınua independentemente de serem satisfeitas as condi¸c˜ oes de contorno. Para mostrar isto, seja u = u (x) uma fun¸c˜ ao continuamente diferenci´ avel em x ∈ [0, 1]. Podese definir v como: v = u − u0 Tem-se, assim:

i R1h 00 F (u) = F (u0 + v) = 0 − (u0 + v) (u0 + v) − 4 (u0 + v) dx = i ¡ ¯1 R1h 0 0 0 0¢ = 0 (u0 + v) (u0 + v) − 4 (u0 + v) − u0 + v (u0 + v)¯0 i R 1 h¡ 0 0 ¢2 = 0 u0 + v − 4 (u0 + v) dx + [u0 (1) + v (1)]2 ¢ R1¡ 0 2 0 0 0 2 = u + 2u v + v − 4u − 4v dx + u20 (1) + v 2 (1) +o2u0n(1) v (1) 0 0 0 0 nR ¡ o n R ¡ o ¢ ¢ R1 0 0 0 0 1 1 = 0 u0 2 − 4u0 dx + u20 (1) + 2 0 u0 v − 2v dx + 2u0 (1) v (1) + 0 v 2 dx + v 2 (1)

Observa-se que o primeiro termo do segundo membro é F (u0 ), e o segundo, será mostrado, é nulo. De fato: ¢ ¢ R1¡ 0 0 R 1 ¡ 00 0 0 1 2 0 u0 v − 2v dx + 2u0 (1) v (1) = −2 0 u£0 + 2 vdx + 2u ¤ 0 v|0 + 2u0 (1) v (1) 0 0 = 2u0 (1) v (1) + 2u0 (1) v (1) = 2 u0 (1) + u0 (1) v (1) = 0 Logo, F (u) toma a forma: ½Z

1

F (u) = F (u0 ) +

v

0

2

¾ dx + v (1) ≥ F (u0 ) 2

0

e igual se e somente se v ≡ 0 quer dizer se u ≡ u0 . Como resultado deste exemplo, vê-se que o problema do m´ınimo da fun¸c˜ ao associado ao problema de valor de contorno (5.4) e (5.5) pode colocar-se em um conjunto de fun¸c˜ oes V mais amplo que DA sem modificar o resultado. A fun¸c˜ ao u0 segue minimizando F (u) em V , nas condi¸c˜ oes de contorno cujas fun¸c˜ oes não necessariamente satisfazem as condi¸c˜ oes de contorno. Como já mencionado, este tipo de condi¸c˜ ao de contorno é chamado condi¸cão de contorno natural tendo em vista que a mesma é satisfeita pelas fun¸cões que minimizam o funcional.

146

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Proposi¸c˜ ao 5.1 (Observa¸ c˜ ao) Deve-se ressaltar que para estabelecer o Teorema 5.2, partiu-se da hipótese que a solu¸c˜ ao do problema de valor de contorno existia e de que existia a fun¸c˜ ao que minimiza F (u) em DA . Este problema da existˆ encia não será discutido neste texto. O leitor interessado poder´ a consultar, por exemplo, as obras de Mikhlin citadas na Bibliografia (veja também o Apêndice, Se¸c˜ ao B.5).

5.3.2

Sequˆ encias Minimizantes

Seja um certo funcional φ (u) cujos valores estão limitados inferiormente. Neste caso, pode-se demonstrar que existe um limite exato d para φ (u): d = inf φ (u)

(5.6)

u∈Dφ

onde Dφ é o dom´ınio de defini¸caõ de φ. Tomando por base o exposto anteriormente, pode-se introduzir a seguinte defini¸caõ. Defini¸ c˜ ao 5.1 Sequências Minimizantes. Seja φ cujos valores estão limitados inferiormente em Dφ . A sequência un , n = 1, 2, . . . de fun¸c˜ oes pertencentes a Dφ é chamada de sequência minimizante para φ (u) se: (5.7)

lim φ (un ) = d

n→∞

Seja agora A um operador positivo-definido. Logo seu funcional de energia será dado por: F (u) = (Au, u) − 2 (f, u) (5.8) Se existe solu¸caõ u0 do p.v.c. Au = f , foi visto na seçcaõ anterior que este funcional pode ser reescrito como: F (u) = (A (u − u0 ) , (u − u0 )) − (Au0 , u0 ) = ku − u0 k2A − ku0 k2A onde k·kA é a norma energia. Como pode-se notar da expressão anterior, o funcional F (u) está limitado inferiormente e seu ´ınfimo d está dado por: d = inf F (u) = − ku0 k2A u∈DA

Tendo presente a Defini¸cão 5.1 e a expressão anterior, conclu´ı-se que uma sequência minimizante para a fun¸cão F (u) está caracterizada por: Z 2 lim F (un ) = − ku0 kA = − u0 Au0 dΩ n→∞

Ω

Pode-se, assim, definir o seguinte teorema. Teorema 5.3 Se o problema de valor de contorno Au = f, u ∈ DA tem solu¸c˜ ao , logo toda sequência minimizante para o funcional energia F (u) = (Au, u) − 2 (f, u) converge na energia para esta solu¸c˜ ao.

5.3. Método de Ritz

147

Observa¸ c˜ ao 5.1 (Demonstra¸c˜ ao) Se un é uma sequência minimizante para F (u), temse que: F (un ) = kun − u0 k2A − ku0 k2A → −ku0 k2A n→∞ que implica em:

kun − u0 k2A

→ 0 n→∞

ou seja, un converge na energia a u0 . Se o operador A é limitado inferiormente, tem-se: Z Z 2 2 2 2 uAudΩ = kukA ≥ γ kuk = γ u2 dΩ, γ > 0 Ω

Ω

logo, neste caso, a convergência na energia implicar´ a também convergência na média. Deve-se notar que o próprio Teorema 5.3 sugere um método de cálculo para determinar a solu¸caõ aproximada de u0 . Para isso, é suficiente construir uma sequência minimizante para a fun¸caõ energia associado ao problema de valor de contorno. Como será visto na seçcão a seguir, o Método de Ritz é justamente um método para a constru¸cão de sequências minimizantes.

5.3.3

M´ etodo de Ritz

Segundo foi visto, o p.v.c.: Au = f + c.c. homogêneas

(5.9)

quando A é positivo definido se reduz a determinar a fun¸caõ u∗ ∈ DA que minimiza a fun¸cão energia: F (u) = (Au, u) − 2 (f, u) , u ∈ DA De acordo com o que foi visto em alguns exemplos pode-se, de acordo com as condi¸co˜es de contorno, estender o problema do m´ınimo de F (u) sobre um conjunto mais amplo. Para fazer este u ´ltimo, observa-se, primeiro, que DA tem a estrutura algébrica de um espa¸co vetorial, em outras palavras combina¸co˜es lineares de fun¸cões de DA são também fun¸co˜es de DA . Em virtude das propriedades exigidas das fun¸cões de DA e dado que o operador é simétrico positivo-definido, pode-se introduzir em DA um produto interno Z Z hu, viA = uAvdΩ = vAudΩ Ω

Ω

para todo u, v ∈ DA . Como já foi visto, este produto interno induz uma métrica chamada norma energia: µZ ¶ 21 ku0 kA = uAudΩ , u ∈ DA Ω

148

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Tem-se, assim, que o espa¸co DA com o produto interno na energia, passa a ser um espa¸co vetorial com produto interno. Este espa¸co não é necessariamente completo, quer dizer, nem toda sequência fundamental de Cauchy converge para elementos deste espa¸co. Completando este espa¸co, ou seja, agregando ao espa¸co vetorial com o produto interno, todas as fun¸co˜es para as quais convergem todas as sequências de Cauchy, tem-se, então, o que comumente denomina-se de Espa¸co Energia, designado por HA , e em virtude da forma como foi constru´ıdo é um espa¸co completo chamado espa¸co de Hilbert. Como é fácil perceber, o espa¸co de Hilbert HA está formado por todas as fun¸co˜es em DA (quer dizer fun¸co˜es bem regulares e cujas derivadas são calculadas no sentido clássico), mais outras fun¸co˜es u que se caracterizam porque sempre existe em DA uma sequência {un }n=1,∞ tal que: kun − uk2A → 0 n→∞ Estas fun¸co˜es são mais gerais que as de DA já que são menos regulares, implicando que o conceito de derivada deve ser generalizado dando lugar ao que se denomina derivada generalizada de u. Não serão abordados mais detalhes já que só interessa o aspecto computacional do método. Portanto, é interessante ressaltar que HA é um espa¸co mais amplo que DA e menos regular, logo se apresenta como um espa¸co adequado para procurar a solu¸caõ. Surgem a´ı as perguntas • é poss´ıvel estender o problema de m´ınimo do funcional energia F (u), colocado originalmente em DA , para o espa¸co energia HA ?; • o m´ınimo de F (u) é o mesmo em ambos os espa¸cos?; • Existindo o m´ınimo de F (u) em HA , a fun¸caõ que o minimiza satisfaz o problema de valor de contorno?. No que segue, limita-se a explica¸cão ao caso de operadores A positivos limitados inferiormente. Para este caso, a resposta para todas as perguntas anteriores são afirmativas. De fato, dado A positivo limitado inferiormente, foi visto que o p.v.c. era equivalente a minimizar F (u) em DA , quer dizer: min {F (u) = (u, Au) − 2 (f, u)}

u∈DA

Agora bem, (u, Au) = hu, uiA de onde, do ponto de vista computacional, para passar à forma do segundo membro, integrou-se por partes quantas vezes necessário e usou-se as condi¸co˜es de contorno. Logo, o problema anterior em HA corresponde a: © ª min F (u) = kuk2A − 2 (f, u) u∈DA

5.3. Método de Ritz

149

Para o caso em questão (A positivo limitado inferiormente) não é dif´ıcil mostrar que F (u) está limitado inferiormente em HA logo existe o m´ınimo de F (u) em HA e, por sua vez, este m´ınimo corresponde à solu¸cão (ao menos no sentido generalizado) do problema de valor de contorno. O sentido de uma solu¸cão generalizada quer dizer o seguinte: suponha u0 ∈ HA minimiza F (u), logo: hu0 , ηiA − (f, η) = 0, ∀η ∈ HA e se u0 é suficientemente regular, a equa¸caõ anterior equivale a: (Au0 − f, η) = 0, ∀n ∈ HA Como pode-se notar, a condi¸caõ do m´ınimo da fun¸caõ é equivalente à condi¸caõ de ortogonalidade do res´ıduo, ponto de partida do Método de Galerkin. Em outras palavras, já esta se vendo que o Método de Galerkin e o Método de Ritz são coincidentes quando o operador é positivo definido limitado inferiormente. Do ponto de vista mecânico, o anterior equivale a dizer que o princ´ıpio do Trabalho Virtual é equivalente ao Princ´ıpio da M´ınima Energia quando este u ´ltimo existe. Com os elementos até aqui apresentados, pode-se utilizar o Método de Ritz. Dado o problema de valor de contorno: Au = f em Ω + c.c homogêneas Com A positivo limitado inferiormente, considere o problema do m´ınimo de F (u) em HA : min {F (u) = hu, uiA − 2 (f, u)}

u∈HA

Para obter uma solu¸cão aproximada do problema anterior, o Método de Ritz procede a: 1. Considere o conjunto {φn }∞ cões coordenadas, completo em HA . n=1 , chamado de fun¸ Do ponto de vista computacional, isto é equivalente a dizer que deve-se considerar um conjunto de fun¸cões satisfazendo, pelo menos, todas as condi¸cões principais e devem ser de classe C m−1 (Ω), onde m é a ordem da maior derivada presente no funcional. 2. Para cada n finito, defina o espa¸co HAn = Span {φn } ⊂ HA , ou seja se u ∈ HAn logo: u=

n X

a k φk

k=1

3. Para cada n finito, substitua o problema do m´ınimo em HA pelo problema do m´ınimo em HAn de dimensão finita. Quer dizer: min F (u) = hun , un iA − 2 (f, un )

n un ∈HA

150

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais que pode ser reescrito da seguinte forma: ( ) n n X X min F (ai ) = ai aj hφi , φj iA − 2 ai (f, φi ) , i = 1, 2, . . . , n

R

ai ∈

i,j=1

i=1

Como se vê, trata-se de uma fun¸cão real de n variáveis reais ai (i = 1, 2, . . . , n). A condi¸caõ de m´ınimo implica que, n

X ∂F = hφi , φj iA aj − (f, φi ) = 0 ∂ai j=1

i = 1, 2, . . . , n

Chega-se, assim, a um sistema de equa¸co˜es algébricas com n incógnitas cuja matriz K: £ ¤ K = [Kij ] = hφi , φj iA não é outra coisa que o Gramiano das fun¸co˜es coordenadas (linearmente independentes), logo o seu determinante não é nulo. Quer dizer, o sistema tem sempre solu¸caõ (e inclusive é u ńica). Se designa-se com a∗i , i = 1, 2, . . . , n a solu¸cão do sistema de equa¸cões, a sequência: {un }∞ n=1 onde: un =

n X

a∗i φi

i=1

chamada de solu¸cão de Ritz de ordem n, é uma sequência minimizante para o funcional energia. Como consequência de ser uma sequência minimizante e por ser A positivo limitado inferiormente resulta: un → u0 na energia un → u0 na media onde u0 é a solu¸cão do p.v.c. Como pode-se notar e igual aos métodos já estudados, o Método de Ritz requer uma defini¸c˜ ao das fun¸co ˜es coordenadas. Estas podem estar definidas em toda a região Ω dando lugar, em geral, à uma matriz cheia, ou podem ser de suporte compacto dando lugar à matrizes do tipo banda, sky-line ou esparsa. Por outro lado, os coeficientes da matriz do sistema e do termo independente podem ser calculados de forma exata, quando poss´ıvel, ou numericamente. Mostra-se, agora, alguns exemplos. Exemplo 5.9 Considere uma viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribu´ıda (ver Figura 5.13).

5.3. Método de Ritz

151

Figura 5.13: Exemplo 5.9, Viga simplesmente apoiada com carga uniforme O problema de valor de contorno consiste em: EIu(4) = q x ∈ (0, L) u=0 para x = 0 e x = L (condi¸c˜ ao de contorno principal) 00 u =0 para x = 0 e x = L (condi¸ca õ de contorno natural) Primeiramente, deve-se estudar a simetria do operador. Logo, dado u, v tais que satisfa¸cam as condi¸c˜ oes de contorno resulta: ¡

Z

Z L d4 u d3 u L d3 u dv v, EIu = EI 4 vdx = EI 3 v|0 − EI 3 dx dx dx dx dx 0 0 ¯ Z Z L L L d2 u dv ¯¯ d2 u d2 v d2 u d2 v = −EI 2 + EI dx = EI dx dx dx ¯ dx2 dx2 dx2 dx2 (4)

¢

L

0

0

0

A express˜ ao anterior é simétrica em u e v, isto é, com as condi¸c˜ oes de contorno estabelecidas o operador da viga resulta simétrico. Também, da express˜ ao surge que é positivo definido. De fato: ¡

u, EIu

(4)

¢

Z

µ

L

=

EI 0

d2 u dx2

¶2 dx ≥ 0

¡ ¢ d2 u 0 Se u, EIu(4) = 0 → 2 = 0 → u = cte. Da condi¸c˜ ao de contorno em u, u = 0 em dx x = 0 e x = L resulta u ≡ 0. Do anterior o operador é positivo-definido. Pode-se demonstrar-se que o operador também é limitado inferiormente. Do que foi apresentado, segue-se que o p.v.c. é equivalente a minimizar a fun¸c˜ ao: Z

L

F (u) = 0

d4 u uEI 4 dx − 2 dx

Z

Z

L

qudx = 0

µ

L

EI 0

d2 u dx2

¶2

Z

L

dx − 2

qudx 0

O quarto passo consiste em determinar as fun¸cões coordenadas de maneira a satisfazer somente as condi¸co˜es de contorno principais. Estas fun¸c˜ oes podem ser: φ1 = sin

3πx πnx πx , φ3 = sin , . . . φn = sin L L L

152

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

de onde supõe-se n ´ımpar (como se verá mais adiante os coeficientes associados às fun¸c˜ oes n P com n par resultar˜ ao nulos). Tome un = ai φn. Tem-se, neste caso: i=1

·

n X

F (ai ) =

Z

L

ai aj EI 0

i,j=1

¸ Z L n X d2 φi d2 φj dx − 2 ai qφi dx dx2 dx2 0 i=1

Logo, da condi¸caõ do m´ınimo tem-se, Z L 2 Z L n X ∂F (aj ) d φi d2 φj =0= EI dxaj − q φi dx = 0 2 dx2 ∂ai dx 0 0 j=1,3,... para i = 1, 3, . . . , n. A express˜ ao anterior pode ser reescrita como: n X

i2 j 2 π 4 EI L4 j=1,3,...

Z

L 0

iπx jπx sin sin dx aj − q L L

Z

L

sin 0

iπx dx = 0 para i = 1, 3, . . . L

Recordando que: Z

µ

L

sin 0

iπx L

¶

µ sin

jπx L

¶

½ dx =

0 L 2

se i 6= j se i = j

a matriz do sistema resulta em uma matriz diagonal!. Por sua vez ½ Z L iπx 0 i = 2, 4, .... sin( )dx = 2L i = 1, 3, ... L 0 iπ e cada equa¸caõ i-ésima (i = 1, 3, 5 etc.) está dada por: equa¸c˜ ao i: de onde:

EIi4 π 4 2L ai − q =0 3 2L iπ

qL4 4 , i = 1, 3, . . . EI i5 π 5 Desta maneira a solu¸c˜ ao de Ritz está dada por: µ ¶ πx 1 3πx 1 5πx qL4 4 sin + 5 sin + 5 sin ,... u= EI π 5 L 3 L 5 L µ ¶ L Para o centro da viga x = , tem-se: 2 µ ¶ 1 1 qL4 4 1 − 5 + 5 + ... u|x= L = 2 EI π 5 3 5 ai =

5.3. Método de Ritz

153

que é uma série convergente e cuja soma para n → ∞ resulta: qL 5 = sol.exacta EI 384 qL4 = 0.013021 EI =

Em particular, tomando um só termo: u1 |x= L = 2

qL4 qL4 4 5 qL4 = = 0, 013071 EI π 5 EI 382, 5246 EI

para dois e três termos: u2 |x= L =

qL4 5 qL4 = 0, 013017 EI 384, 1053 EI

u3 |x= L =

qL4 5 qL4 = 0, 013021 EI 383, 9819 EI

2

3

Observa¸ c˜ ao: Deve-se notar que nas fun¸cões coordenadas não foram considerados iπx os termos sin , i = 2, 4, . . . Porquê? A resposta é óbvia. Se tivessemos aplicando o L Método de Ritz, o termo independente associado à equa¸caõ i = 2, 4, . . . seria: Z

Z

L

q

L

φi dx = q 0

0

¯L iπx L iπx ¯¯ sin dx = −q cos = 0, i = 2, 4, . . . L iπ L ¯0

Logo o coeficiente de Ritz associado seria ai = 0, i = 2, 4, . . .. Exemplo 5.10 Considere o problema da viga da Figura 5.14.

Figura 5.14: Exemplo 5.10. O problema de valor de contorno consiste em: EIu(4) = q em x ∈ (0, L) 0 u (0) = u (0) = 0 (condi¸c˜ oes de contorno principal) 00 000 u (L) = u (L) = 0 (condi¸co ˜es de contorno natural) Para aplicar Ritz, tem-se que conhecer o funcional energia. Por isso, estuda-se a simetria e positividade. Logo, dados u, v ∈ DA :

154

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Z

Z L d3 u L d3 u dv d4 u EI 3 dx = EI 4 vdx = EI 3 v|0 − dx dx dx dx 0 0 ¯ Z Z L L L d2 u dv ¯¯ d2 u d2 v d2 u d2 v = −EI 2 + EI dx = EI dx dx dx ¯ dx2 dx2 dx2 dx2 L

0

0

0

observando-se, assim, a simetria em DA . Introduzindo o produto interno: Z L d2 u d2 v hu, viA = EI 2 2 dx dx dx 0 vê-se que:

d2 u 0 = 0 → u = cte 2 dx 0 0 pela condi¸c˜ ao de contorno u (0) se segue que u = 0 em (0, L) → u = cte e novamente, da condi¸c˜ ao u (0) = 0 → u = 0, ou seja,: hu, uiA ≥ 0 e = 0 se e somente se

hu, uiA = (u, Au) ≥ 0 é igual a zero se e somente se u ≡ 0. Observe que dada a forma simétrica hu, viA sua 0 positividade foi dependente somente das condi¸c˜ oes de contorno u (0) e u (0) e da´ı o nome de principais. Logo, a fun¸c˜ ao energia será: µ 2 ¶2 Z L Z L du qudx EI dx − 2 F (u) = dx2 0 0 definido no campo de fun¸c˜ oes cont´ınuas com derivadas primeiras cont´ınuas quadrado integr´ aveis e com derivadas segunda ao menos quadrado integr´ aveis e que satisfazem as 0 condi¸c˜ oes de contorno u (0) = u (0) = 0. Este espa¸co foi chamado de HA . O método de Ritz consistir´ a em definir um conjunto de fun¸c˜ oes coordenadas completo em HA , que devem ser ao menos de classe C 1 e satisfazer as condi¸c˜ oes de contorno principais. Fun¸ c˜ oes coordenadas definidas em todo (0, L): considere-se fun¸c˜ oes polinominais. Tem-se, assim: ∞ X u = a0 + a i xi i=1

devendo satisfazer: u (0) = 0

→ a0 = 0, logo u =

∞ X

ai xi

i=1

0

u (0) = 0 → a1 = 0

logo u =

∞ X i=2

ai xi

5.3. Método de Ritz

155

Logo, as fun¸c˜ oes coordenadas são: φ1 = x2 , φ2 = x3 , . . . ,etc Tomando HA1 = Span {x2 } e aplicando o Método de Ritz temos: Z L Z L h¡ ¢00 i2 2 F (a1 ) = EI a1 x dx − 2q a1 x2 dx 0 Z L 0 L3 L3 2 2 = EI 4a1 dx − 2qa1 = 4EILa1 − 2qa1 3 3 0 A condi¸c˜ ao de m´ınimo conduz a: dF 2 = 8EILa1 − qL3 = 0 da1 3 logo: a1 =

1 qL2 12 EI

A primeira solu¸caõ aproximada será: u1 (x) = a1 x2 =

1 qL2 2 x 12 EI

de onde,

1 qL2 12 EI Tomando as fun¸co˜es coordenadas φ1 e φ2 e em forma matricial temos Z L 2 K11 = EI (φ001 ) dx = 4EIL 0 Z L 2 K22 = EI (φ002 ) dx = 12EIL3 0 Z L K12 = EI φ001 φ002 dx = 6EIL2 0 Z L 1 f1 = q φ1 dx = qL3 3 0 Z L 1 f1 = q φ2 dx = qL4 4 0 u1 (L) =

O sistema resulta assim, · EIL

4 6L sim. 12L

¸·

a1 a2

¸



 1   =  3L  qL3 4

156

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

A solu¸c˜ ao do sistema conduz a: a1 =

5 qL2 1 qL 3 a2 = − x 24 EI 12 EI

e a solu¸caõ aproximada ser´ a: u2 (x) =

1 qL 3 5 qL2 2 x − x 24 EI 12 EI

e o deslocamento em x = L resulta: u2 (L) = A solu¸c˜ ao exata é:

q u(x) = 2EI

µ

1 qL4 8 EI

L2 x2 Lx3 x4 − + 2 3 12

¶

que, para x = L corresponde a:

1 qL4 8 EI Observa-se que somente apenas dois termos já permite obter uma boa aproxima¸c˜ ao da solu¸c˜ ao. Entretanto, quando deriva-se a solu¸c˜ ao aproximada na procura dos momentos, por exemplo, a ordem de aproxima¸cão cai. De fato: u (L) =

M2 |x=0 = EI

d2 u 10 |x=0 = qL2 = 0.4167qL2 2 dx 24

sendo que a solu¸caõ exata corresponde a: M |x=0 = 0.5qL2 Deve-se observar que toda deriva¸caõ induzirá à uma perda de aproxima¸caõ. Da´ı a necessidade de trabalhar com formula¸co˜es duais, isto é, formula¸cões que permitem trabalhar com esfor¸cos (em lugar de deslocamentos) como incógnitas do problema. Fun¸ c˜ oes de Suporte Compacto: Estuda-se o mesmo problema, porém com fun¸co˜es de suporte compacto. o funcional está definido no espa¸co de Hilbert de onde as fun¸co˜es são cont´ınuas conjuntamente com sua derivada primeira sendo as derivadas segundas quadrado integráveis. Logo, as fun¸co˜es coordenadas deverão ser de suporte compacto e tais que assegurem a continuidade da fun¸cão e de sua derivada primeira. Para defini-las, procede-se, primeiramente, em dividir o intervalo (0, L). A parti¸caõ coloca em evidência uma série de pontos. A cada ponto i corresponderá as fun¸cões φi0 (x) e φi1 definidas da seguinte maneira:  / (xi−1 , xi+1 )  0 em x ∈ i 0 em x = xi−1 , x = xi+1 φ0 =  1 em x = xi

5.3. Método de Ritz

157 φi0 = dx

½

0 em x ∈ / (xi−1 , xi+1 ) 0 em x = xi−1 , xi , xi+1

½

0 0   0 φi1 0 = dx  1

φi1

=

em x ∈ / (xi−1 , xi+1 ) em x = xi−1 , xi , xi+1 em x ∈ / (xi−1 , xi+1 ) em x = xi−1 , xi+1 em x = xi

A Figura 5.15 representa estas fun¸cões que não são outra coisa que os polinômios c´ ubicos de Hermit. Recorde o leitor que os polinômios de Hermit permitem interpolar fun¸cões garantindo, para o exemplo que nos ocupa, a continuidade da fun¸caõ e de sua primeira derivada. Temos, assim, que uma fun¸cão arbitrária do espa¸co obtido pelas combina¸cões lineares destas fun¸co˜es toma a forma N X ¡ i i ¢ u = a0 φ0 (x) + ai1 φi1 (x) a

(5.10)

i=1

Figura 5.15: Fun¸co˜es de interpola¸caõ de suporte compacto. Entretanto, as fun¸cões de interpola¸cão associadas a cada nó i podem ser vistas como a união de fun¸co˜es de interpola¸caõ definidas em cada subregião colocada em evidência quando da parti¸caõ (Figura 5.16). Neste caso, a fun¸caõ ua pode ser re-escrita da seguinte maneira ua =

N [ e=1

u(e) =

N n [

o 1(e) 1(e) 1(e) 1(e) 2(e) 2(e) 2(e) 2(e) b0 φ0 (x) + b1 φ1 (x) + b0 φ0 (x) + b1 φ1 (x)

(5.11)

e=1

onde com o super-´ındice 1 ou 2 desejamos indicar, respectivamente, o primeiro nó e o segundo nó da região (elemento finito) e. As expressões (5.10) e (5.11) são equivalentes se ai0 ai0 ai1 ai1

= = = =

b10 b20 b11 b21

se se se se

o o o o

nó nó nó nó

1 2 1 2

da da da da

região região região região

e e e e

coincide coincide coincide coincide

com com com com

o o o o

nó nó nó nó

xi xi xi xi

158

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Figura 5.16: Contribui¸caõ da região e nas fun¸co˜es de interpola¸caõ de suporte compacto.

5.3.4

Condi¸c˜ oes de Contorno Homogˆ eneas

Até aqui foi apresentado como definir o funcional a minimizar quando as condi¸co˜es de contorno eram do tipo homogêneas. Define-se, agora, o funcional associado quando as condi¸cões de contorno são não-homogêneas. Para isso, considere a equa¸caõ: Au = f em Ω

(5.12)

onde A é, por exemplo, um operador linear diferencial que contém derivadas até a ordem k. Como campo de defini¸caõ deste operador, toma-se o conjunto de todas as fun¸co˜es com derivadas cont´ınuas de ordem 1, 2, . . . , k − 1 com derivada cont´ınua por parte de ordem k ¯ = Ω ∪ S. no dom´ınio fechado Ω Suponha agora que a equa¸cão (5.12) deve ser integrada sob as condi¸co˜es de contorno G1 u|S = g1 , G2 u|S = g2 , Gr u|S = gr ,

(5.13)

onde G1 , G2 , . . . , Gr são operadores lineares, g1 , g2 , . . . , gr são fun¸cões conhecidas definidas em S. Observa-se que o n´ umero de condi¸co˜es de contorno é determinado pela ordem da equa¸cão (5.12) e também depende se o campo u é escalar vetorial, etc. Com estes elementos assim definidos temos que DA está dado pelo conjunto de fun¸co˜es com as propriedades anteriormente mencionadas e ainda que satisfazem as condi¸co˜es de contorno anteriores. A determina¸caõ do funcional energia equivalente ao problema anterior, (5.12)-(5.13), será realizada dentro da seguinte hipótese. Hip´ otese: Existe uma fun¸caõ ψ que conjuntamente com suas derivadas até a ordem ¯ e cujas derivadas de ordem k são cont´ınuas por parte em k − 1 inclusive é cont´ınua em Ω ¯ Ω e que satisfazem as condi¸cões de contorno do problema: G1 ψ|S = g1 , G2 ψ|S = g2 , Gr ψ|S = gr ,

(5.14)

Admitindo a hipótese anterior, tem-se ψ ∈ DA e para toda u ∈ DA pode-se definir uma outra fun¸cão v dada pela transforama¸caõ: u−ψ =v

5.3. Método de Ritz

159

Observa-se facilmente que: u = ψ + v, v ∈ MDA onde MDA é o e.v. associado à variedade linear DA . Em particular, se u é a solu¸cão do problema de valor de contorno (5.12)-(5.13), seu correspondente v satisfaz: Av = f ∗ em Ω, f ∗ = f − Aψ

(5.15)

com as condi¸cões de contorno homogˆ eneas: G1 v|S = 0, G2 v|S = 0, Gr v|S = 0,

(5.16)

Agora, se nosso operador A é positivo-definido para o conjunto de fun¸co˜es que satisfazem as condi¸cões de contorno (5.16), tem-se, de acordo com o que já foi visto (teorema do m´ınimo da fun¸caõ energia), que o problema (5.15)-(5.16) é equivalente a determinar a fun¸caõ v que dentro do conjunto de fun¸co˜es satisfazem (5.16), minimizam o funcional: F (v) = (v, Av) − 2 (f ∗ , v) , v ∈ MDA

(5.17)

Para-se, aqui, um momento a fim de direcionar ao leitor para onde deseja-se caminhar. O problema (5.12)-(5.13) corresponde às condi¸co˜es de contorno não-homogêneas. Logo, não é poss´ıvel estabelecer o funcional energia associado. Observe que tem sido deduzido esta fun¸caõ somente para o caso de condi¸co˜es homogêneas. Admitindo, justamente, a existência da fun¸caõ ψ foi introduzido uma troca de variáveis, u−ψ = v, a qual introduzida em (5.12)-(5.13) permite reescrever este problema em outro (5.15)-(5.16) associado às condi¸cões de contorno homogêneas. Logo, pode-se definir o funcional energia, expressão (5.17). Para definir (5.17) em termos de u será suficiente substituir em (5.17) v = u − ψ. Logo: F (v) = F (u − ψ) = (Au − Aψ, u − ψ) − 2 (u − ψ, f − Aψ) = = (Au, u) − 2 (u, f ) + (u, Aψ) − (ψ, Au) + 2 (ψ, f ) − (ψ, A) Agora , o termo (u, Aψ) − (ψ, Au) através de integra¸cões por parte pode escrever-se com uma integral de superf´ıcie, quer dizer: Z (u, Aψ) − (ψ, Au) = R (u, ψ) dS S

A expressão R (u, ψ) depende da forma do operador A. Fazendo uso das condi¸co˜es de contorno (5.13)-(5.14), comumente é possóvel reescrever R (u, ψ) na forma: R (u, ψ) = N (u, g1 , . . . , gr ) + M (ψ)

160

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

onde N depende somente de u e das fun¸co˜es (conhecidas) g1 , g2 , . . . , gr . M não depende de u e só depende de ψ. Logo, o funcional F (v) pode reescrever-se como: · ¸ Z Z F (v) = (Au, u) − 2 (f, u) + N (u, gi ) dS + 2 (ψ, f ) − (ψ, A) + M (ψ) dS S

S

A expressão entre colchetes é uma constante já que não depende de u. Logo, o m´ınimo de F (v) é equivalente a minimizar o funcional: Z φ (u) = (Au, u) − 2 (f, u) + N (u, gi ) dS (5.18) S

dentro do conjunto de fun¸co˜es DA . Este é o funcional que foi proposto determinar quando come¸cou-se esta seçcaõ. Observa¸ c˜ ao: Deve-se notar que o funcional (5.18) pode construir-se sem a necessidade de conhecer a fun¸cão ψ. No entanto, para que o m´ınimo de (5.18) tenha sentido é necessário que a fun¸caõ ψ exista. Por u ´ltimo, observa-se que para a minimiza¸cão do funcional (5.18), algumas das condi¸cões de contorno (5.13) podem ser naturais. Tendo isto presente, o m´ınimo de (5.18), pode-se procurar num espa¸co mais amplo onde a forma simétrica (u, Au) é substitu´ıda por hu, uiA e onde só é preciso satisfazer as condi¸co˜es de contorno principais. Na continua¸caõ, alguns exemplos serão apresentados. Exemplo 5.11 Considere o problema de integrar a equa¸c˜ ao de Laplace: −∇2 u = 0

em Ω

(5.19)

com a condi¸caõ de contorno não-homogênea: u|S = g

(5.20)

Para determinar o funcional associado a (5.19)-(5.20), procede-se como indicado nesta seçc˜ ao. Admite-se a existˆ encia da fun¸c˜ ao ψ cont´ınua com derivadas primeiras in¯ tegr´ aveis em Ω tal que: ψ|S = g (5.21) Da troca de variável: u=v+ψ resulta: −∇2 v = ∇2 ψ, em Ω

(5.22)

com a condi¸caõ homogênea de contorno: v|S = 0

(5.23)

5.3. Método de Ritz

161

Mostra-se agora que o operador −∇2 é positivo-definido no conjunto de fun¸c˜ oes suficientemente regulares satisfazendo (5.23). De fato: ¶ Z µ 2 ¡ ¢ ∂ v ∂2v 2 v, −∇ v = − + dΩ ∂x2 ∂y 2 Ω Integrando por parte e usando a condi¸c˜ ao (5.23), tem-se: ( µ 2 ¶2 µ 2 ¶2 ) Z ¡ ¢ ∂ v ∂ v v, −∇2 v = + dΩ ≥ 0, e = 0 se e somente se v ≡ 0 2 ∂x ∂y 2 Ω Desta maneira, o funcional associado a (5.22)-(5.23) resulta: ¡ ¢ ¡ ¢ F (v) = v, −∇2 v − 2 v, ∇2 ψ

(5.24)

Substituindo v = u − ψ em (5.24) obtém-se: ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ F (u) = u, −∇2 u + ψ, ∇2 u − u, ∇2 ψ + ψ, ∇2 ψ

(5.25)

O segundo e o terceiro termo do segundo membro resultam (integrando por parte e usando (5.20) e 5.21)): ¾ Z Z Z ½ ¡ ¢ ¡ ¢ ∂ψ ∂u ∂ψ ∂u 2 2 −u dS = g dS − g dS ψ, ∇ u − u, ∇ ψ = ψ ∂n ∂n S ∂n S ∂n S O integrando do segundo membro corresponde a R (u, φ). Em particular: N (u, gi ) = g

∂u , ∂n

M (ψ) = g

∂ψ ∂n

Substituindo em (5.25) tem-se: ½ ¾ Z ¡ ¢ ∂ψ ∂u 2 F (u) = u, −∇ u + g dS + ψ, ∇ ψ − g dS S ∂n S ∂n ¡

2

¢

Z

Como já foi dito, o termo entre as chaves é somente fun¸c˜ ao de ψ. Logo, o problema do m´ınimo de F (u) é equivalente ao problema do m´ınimo de φ (u): Z ¡ ¢ ∂u 2 φ (u) = u, −∇ u + g dS (5.26) S ∂n Integrando por parte o primeiro termo do segundo membro e utilizando a equa¸c˜ ao (5.20) obtém-se: Z (µ ¶2 µ ¶2 ) ∂u ∂u + dΩ φ (u) = (5.27) ∂x ∂y Ω Deve-se notar que ao passar da equa¸c˜ ao (5.26) para (5.27), ampliou-se o dom´ınio da fun¸c˜ ao φ (u). Em (5.27), as fun¸c˜ oes que satisfazem (5.20) são cont´ınuas com derivadas primeira quadrado integr´ aveis.

162

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Exerc´ıcio 5.9 Determine o funcional cujo m´ınimo seja equivalente a integrar o seguinte problema de valor de contorno: −∇¯2 u em Ω ∂u ¯¯ = h em S ∂n ¯ S

conhecido como problema de Neumann. Qual é o conjunto onde o m´ınimo desta funcional está definido?. A condi¸c˜ ao de contorno não-homogênea é uma condi¸c˜ ao natural ou principal? Até aqui tem-se resolvido o problema de determinar o funcional a minimizar equivalente ao problema de valor de contorno (linear) não-homogêneo. Para determinar uma solu¸cão aproximada do m´ınimo deste funcional, pode-se recorrer ao Método de Ritz. Sem d´ uvidas, o problema de determinar as fun¸co˜es coordenadas se complica em virtude de que o conjunto onde o funcional está definido não é um espa¸co vetorial. Na realidade, o que o Método de Ritz propõe é trabalhar com fun¸cões coordenadas densas no espa¸co das fun¸cões v da transforma¸cão u = v + ψ. Em outras palavras, o método consiste em: • Considere {φi }∞ co energia associado às fun¸cões v da transforma¸caõ i=1 denso no espa¸ u = v + ψ. Quer dizer que φi satisfazem as condi¸cões de contorno homogˆ eneas. • Para cada n finito {φi }ni=1 são linearmente independentes. • Para cada n finito, tome como aproximante de u a combina¸cão: X un = ai φi + ψ • O m´ınimo de F (un ) é equivalente ao m´ınimo da fun¸cão F (a1 , a2 , . . . , an ) logo, os coeficientes a∗i , que satisfazem ao sistema de equa¸co˜es: ∂F = 0, i = 1, 2, . . . , n ∂ai são, segundo já visto, os coeficientes de Ritz que determinam a solu¸caõ aproximada: u∗n

=

n X

a∗i φi + ψ

i=1

que é a melhor aproxima¸cão da solu¸caõ u, no sentido da norma energia, de todas as combina¸co˜es un . Aparentemente, o problema segue sendo equivalente ao caso de condi¸co˜es homogêneas. Sem d´ uvidas, agora, o problema está em determinar ψ ou, em outras palavras, fazer que un satisfa¸ca as condi¸co˜es de contorno.

5.3. Método de Ritz

163

Este problema é dif´ıcil de resolver e, à medida que a dimensão do espa¸co onde Ω está imerso aumenta, o problema se faz cada vez mais dif´ıcil. Outro aspecto que complica enormemente satisfazer as condi¸cões de contorno é a forma do contorno. Para solucionar esta dificuldade distintas técnicas têm sido desenvolvidas. Uma das mais conhecidas é a de trabalhar com funcionais extendidos. Basicamente o que se procura com estes funcionais é que as condi¸co˜es de contorno principais não homogêneas do primitivo funcional passem a ser condi¸cões naturais do novo funcional (ver R. A. Feijóo, Aplica¸c˜ ao do Método de Ritz a Funcionais Relajados em Mec˜ anica dos Sólidos, M.Sc. Tese, COPPE, 1973). Por u ´ltimo, deve-se ressaltar que as condi¸co˜es de contorno são mais facil de satisfazer quando se trabalha com fun¸co˜es localmente suportadas. Exerc´ıcio 5.10 Considere o problema de distribui¸c˜ ao de temperatura na placa da Figura 5.17.

Figura 5.17: Exerc´ıcio 5.10 O problema de valor de contorno associado é: µ ¶ µ ¶ ∂ ∂T ∂ ∂T kx + ky = 0 em Ω ∂x ∂x ∂y ∂y ½ 0 em y = 0, x = 0 e y = b T = 100◦ em x = a Determine o funcional F (T ) cujo m´ınimo corresponde a um um campo T solu¸c˜ ao do problema anterior. kx e ky são os coeficientes de condutividade térmica segundo x e y. Exerc´ıcio 5.11 Considere o problema de condu¸cão de calor no tubo circular infinito da Figura 5.18. Denotam-se as temperaturas interna e externa como T1 e T2 , respectivamente. Em coordenadas cil´ındricas, o problema está governado pelo seguinte problema de valor de contorno: 1 dT d2 T + = 0, em r ∈ (Ri , Re ) dr2 r dr T |r=Ri = T1 , T |r=R2 = T2 donde Ri é o raio interno e Re o raio externo. Determine:

164

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Figura 5.18: Exerc´ıcio 5.11. 1. o funcional associado. Comente o espa¸co no qual está definido. 2. determine uma solu¸c˜ ao aproximada via Ritz, supondo T1 = 0◦ C, T2 = 100◦ C, Ri = 9, Re = 12. Tome como fun¸c˜ ao de aproxima¸c˜ ao: ua =

r − Ri T2 + a1 φ1 = ψ + a1 φ1 Re − Ri

onde φ1 = (r − Ri ) (r − Re ). 3. compare com a solu¸c˜ ao exata: T = T1 +

T2 − T1 r µ ¶ ln Re Ri ln Ri

4. defina quais são as fun¸c˜ oes φ2 , φ3 ,. . .. Exerc´ıcio 5.12 Considere o mesmo problema anterior, porém adote as fun¸c˜ oes coordenadas localmente suportadas indicadas na Figura 5.19.

Figura 5.19: Exerc´ıcio 5.12. A fun¸c˜ ao de aproxima¸c˜ ao está dada por: un = a1 φ1 + a2 φ2 + 100φ3 Compare com a solu¸c˜ ao aproximada.

5.4. Método de M´ınimos Quadrados

165

Exerc´ıcio 5.13 Considere a equa¸c˜ ao de Poisson no retˆ angulo da Figura 5.20. ∂ 2u ∂ 2u + =2 ∂x2 ∂y 2 com as condi¸co˜es de contorno u = 0 em S

Figura 5.20: Exerc´ıcio 5.13. Determine: 1. O funcional associado a este problema. 2. Calcule a solu¸c˜ ao de Ritz para a aproxima¸c˜ ao: ¡ ¢¡ ¢ u(1) = a1 a2 − x2 b2 − y 2 3. Calcule a solu¸c˜ ao de Ritz para: ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ u(2) = a1 + a2 x2 + a3 y 2 a2 − x2 b2 − y 2 4. Compare e comente os resultados.

5.4

M´ etodo de M´ınimos Quadrados

Como pode-se notar, para aplicar o Método de Ritz a um determinado problema de valor de contorno foi necessário admitir que o operador diferencial A era simétrico positivodefinido. Se o operador não satisfaz estas restri¸cões, não se pode aplicar o método. Existe, entretanto, outra formula¸cão variacional, conhecida com o nome de M´ınimos Quadrados que permite atender este tipo de problema.

166

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Para isso, define-se em DA o seguinte produto interno: Z hu, viA,A = AuAudΩ Ω

gerando a norma:

³ hu, viA,A

´ 12

= kukA,A

Definida a norma anterior, pode-se colocar o problema de determinar a melhor aproxima¸cão para a solu¸cão u0 do p.v.c., com respeito à norma k·kA,A . Em outras palavras, u0 minimiza o funcional F (u) = ku − u0 kA,A O problema anterior pode ser reescrito como: Z F (u) = hu − u0 , u − u0 iA,A = hAu − f, Au − f i = hr, ri =

r2 dΩ Ω

onde r é o res´ıduo. O funcional anterior pode ser reescrito como F (u) = hu, uiA,A − 2 hu, u0 iA,A + hu0 , u0 iA,A Novamente, para obter uma solu¸caõ aproximada, considera-se as fun¸co˜es coordenadas de maneira tal que: n X un = ai φi i=1

onde φi deve ser suficientemente regular como para garantir que Aun tenha sentido. Por outro lado, un deve satisfazer as condi¸cões de contorno. Substituindo esta aproxima¸caõ no problema do m´ınimo tem-se: F (ai ) =

n X j,k=1

hφj , φk iA,A aj ak − 2

n X

hφj , f iA aj

j=1

A condi¸caõ do m´ınimo leva a: n

X ∂F = hφj , φk iA,A aj = (Aφj , f ) , i = 1, 2, . . . , n ∂ai j=1 A expressão anterior pode ser reescrita como, ! Ã n X ∂F aj φj − Aφi − (Aφj , f ) = 0, i = 1, 2, . . . , n = A ∂ai j=1 de onde : (Aun − f, Aφi ) = 0, i = 1, 2, . . . , n

5.4. Método de M´ınimos Quadrados

167

dizendo que o res´ıduo é ortogonal ao conjunto de fun¸cões coordenadas Aφi , i = 1, 2, . . . , n. Tem-se, assim, que o Método de M´ınimos Quadrados é equivalente ao Método de Galerkin. Por outro lado, a matriz do sistema resulta simétrica positiva-definida. Agora bem, ganha-se no que se refere á positividade e simetria, mas perde-se em outro aspecto importante. O leitor poderá notar que as fun¸cões φi devem ser mais regulares de maneira que o produto: Z Aφi Aφj dΩ Ω

tenha sentido. Exemplo 5.12 Considere o problema da viga em balan¸co já estudado anteriormente. A Figura 5.21 nos indica as caracter´ısticas geométricas e de carga.

Figura 5.21: Exemplo 5.12. O problema de valor de contorno consiste em: d4 u q = em x ∈ (0, L) 4 dx EI com as condi¸co˜es de contorno: u (0) = u0 (0) = 0, u00 (L) = u000 (L) = 0 Para aplicar o Método dos Quadrados M´ınimos, definem-se as fun¸c˜ oes coordenadas φi . Estas fun¸c˜ oes devem satisfazer todas as condi¸c˜ oes de contorno e, por outro lado, devem ser de tal grau de continuidade que assegure que: Z ˙ j dΩ Aφi Aφ Ω

tenha sentido, quer dizer, seja limitado. Neste exemplo, limita-se ao caso de polinˆ omios definidos em todo (0, L). Tome, por exemplo, a seguinte aproxima¸c˜ ao: µ ua = a1 φ1 = a1

x3 x4 x2 6 2 −4 3 + 4 L L L

¶

A fun¸c˜ ao φ1 é tal que: 0

00

000

φ1 (0) = φ1 (0) = 0; φ1 (L) = φ1 (L) = 0

168

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

satisfazendo as condi¸c˜ oes de contorno e, portanto, é uma fun¸c˜ ao admiss´ıvel para o problema. Tem-se, assim: Z

L

F (a1 ) =

(Aφ1 ) 0

onde:

Z 2

dxa21

L

−2

dF = da1

0

µ

24 L4

q (Aφ1 ) dxa1 = EI

¶2

µ 2La1 − 2

24 L4

µ

¶2

24 L4

¶2

µ La21

−2

24 L4

¶ L

q a1 EI

q =0 EI

portanto:

1 qL4 24 EI O Método dos M´ınimos Quadrados conduz à solu¸c˜ ao aproximada:. µ 2 µ 2 2 ¶ ¶ 1 qL4 x Lx x3 x4 1 q Lx3 x4 ua = 6 −4 3 + 4 = − + 24 EI L L 2 EI 2 3 12 2 a1 =

que n˜ ao é outra coisa que a pr´ opria solu¸c˜ ao exata.

5.5

Conclus˜ oes

Ao longo deste cap´ıtulo, apresentou-se uma série de métodos que permitem determinar uma solu¸caõ aproximada de um dado problema de valor de contorno. Foi poss´ıvel apreciar que o Método de Ritz recai no Método de Galerkin. Este u ´ltimo método é mais geral que o de Ritz já que não requer a existência do funcional a minimizar. Por sua vez, não é dif´ıcil estender o método a problemas não lineares. Também foi visto que o Método dos M´ınimos Quadrados é um caso particular do Método dos Res´ıduos Ponderados, fazendo que o res´ıduo seja ortogonal às fun¸co˜es bases Aφi , i = 1, 2, . . . , etc. Agora bem, em todos estes métodos a caracter´ıstica geral é a defini¸caõ das fun¸co˜es coordenadas que, em geral, foram denotadas por {φi }∞ etodo, estas fun¸cões i=1 . Para cada m´ deverão satisfazer adequadas condi¸cões de regularidade e, por sua vez, deverão satisfazer parte ou todas as condi¸co˜es de contorno. A constru¸cão destas fun¸cões é uma das tarefas mais dif´ıceis destes métodos e na escolha das mesmas está concentrada grande parte do sucesso do método. Em todos os casos (Coloca¸cão, Galerkin, Ritz, M´ınimos Quadrados) uma vez introduzidas estas fun¸cões coordenadas, chegou-se a um sistema de equa¸cões algébricas cuja solu¸cão determina o valor dos coeficientes da combina¸caõ de fun¸co˜es φi que melhor se aproxima da solu¸caõ exata. Como se sabe, o comportamento numérico da solu¸caõ do sistema depende do chamado n´ umero P da matriz do sistema. Em geral, quando as fun¸co˜es bases estão definidas em toda a região, a matriz do sistema é cheia e o condicionamento numérico tende a deteriorarse á medida que o n´ umero de equa¸co˜es aumenta.

5.5. Conclusões

169

Esta tendência pode diminuir e muitas vezes eliminar-se por completo quando trabalhase com fun¸co˜es coordenadas localmente suportadas. Em particular, o Método de Elemento Finitos se constitui em um método sistemático, e simples, para a constru¸caõ dessas fun¸co˜es coordenadas. Em outras palavras, o Método de Elemento Finitos fornecerá unicamente as fun¸cões bases ou coordenadas e posteriromente, para a obten¸cão da solu¸cão aproximada, aplica-se alguns dos métodos estudados.

170

Cap´ıtulo 5. Métodos Variacionais

Parte III O C´ alculo Variacional na Mecˆ anica

171

Cap´ıtulo 6 A Formula¸c˜ ao Variacional 6.1

Introdu¸c˜ ao

Veremos, neste cap´ıtulo, a importância que a Formula¸caõ Variacional assume na modelagem dos problemas de Mecânica, mais ainda, poder-se-à concluir ser esta uma formula¸cão de caráter natural para os problemas que iremos tratar. O uso da Formula¸cão Variacional permite-nos colocar numa u ńica expressão todos os elementos relevantes ao problema que se está analisando, tais como: as equa¸co˜es de equil´ıbrio, as condi¸cões de contorno, as equa¸co˜es constitutivas, as condi¸cões de discontinuidade. Mais ainda, ela é capaz de fornecer, de maneira natural, o tipo de condi¸caõ de contorno compat´ıvel com o modelo estudado. Outra grande vantagem no seu uso está no fato de nos sugerir o método de resolu¸cão que devemos empregar. Estes métodos, conhecidos com o nome de Métodos Variacionais são, muitas vezes, de fácil implementa¸caõ computacional, alguns deles prestando-se para a resolu¸caõ de problemas com as mais variadas e complexas geometrias. Neste cap´ıtulo iremos analizar a cinemática dos meios cont´ınuos como ponto de partida para o estabelecimento do nosso modelo, o conceito de esfor¸cos, externos e internos, ao qual um corpo poderá estar submetido, os conceitos de equil´ıbrio e compatibilidade dentro do enfoque variacional, mostrando que as leis de Newton são uma consequência do Princ´ıpio das Potências Virtuais se o admitirmos como um Princ´ıpio Fundamental. Ou ´ltimo irá caracterizar perfeitamente as duas formas de tratamento dos problemas em Mecânica: a que denominamos cl´ assica e a variacional. A primeira é caracterizada pelo conhecimento de um ente abstrato denominado for¸ca pertencente a um campo vetorial e sendo a Lei de Newton o princ´ıpio fundamental no qual iremos basear toda a teoria mecânica constru´ıda à partir da´ı. No segundo enfoque, estaremos nos baseando no estudo de um funcional linear nos campos de deslocamento, ou seja, de uma fun¸cão de vetores em n´ umeros reais correspondente a uma medida da Potência associada com o deslocamento do nosso corpo. O anterior não passa de uma formaliza¸caõ daquilo que somos obrigados a fazer sempre que desejamos saber o quanto alguma coisa se opõe ao movimento que lhe desejamos efetuar. Assim é que, para sabermos o quanto pesa uma mala, realizamos uma série de experiências: primeiro a levantamos e notamos que existe uma potência 173

174

Cap´ıtulo 6. A Formula¸cão Variacional

dispendida nesse movimento (isto pode ser visto pelo quanto suamos!), depois a movimentamos no sentido horizontal e notamos que não foi dispendido nenhum esfor¸co nessa a¸cão de movimento (suposto eliminado o atrito) assim, por simples averigua¸caõ de como se comporta essa fun¸caõ somos capazes de dizer que existe um vetor, denominado peso do corpo com dire¸cão normal ao plano do chão e intensidade medida através da potência dispendida numa a¸cão de movimento virtual. Por tudo isto, vemos que a u ´ltima maneira de definir os esfor¸cos é mais natural que a primeira, já que vem a expressar uma realidade mecânica que vivemos no dia–a–dia.

6.2

Cinem´ atica

6.2.1

Deforma¸c˜ oes

Todo corpo tem como caracter´ıstica f´ısica o fato de ocupar regiões do espa¸co euclidiano E. Apesar de um corpo poder ocupar diferentes regiões do espa¸co em instantes diferentes, nenhuma delas define o corpo, se bem que podemos selecionar uma qualquer destas regiões, a qual designaremos por B, e estabelecer uma correspondência biun´ıvoca entre os pontos x ocupados pelas part´ıculas do corpo em qualquer instante e os pontos X ocupados na região de referência B. Assim estaremos identificando uma part´ıcula do corpo com o lugar ocupado por ela em B. Portanto um corpo passa a ser formalmente uma região (inclusive pode ser não limitada) B de E. Esta região B recebe a denomina¸caõ de configura¸c˜ ao de referência e, por ´ defini¸cão, para um mesmo corpo podemos adotar diferentes configura¸cões de referência. E claro que esta será adotada de forma a facilitar a análise do problema a que nos propomos resolver. Definimos também os pontos X ∈ E chamados pontos materiais e as subregiões de B como as partes de B. Como um corpo pode ocupar diferentes regiões, torna-se necessária a introdu¸cão de um parâmetro, aqui designado por t ∈ [t0 , tf ] que irá nos associar à uma configura¸cão Bt do corpo. Vale aqui ressaltar que t não é necessariamente o tempo em todos os problemas. Das defini¸co˜es anteriores, pode-se partir agora no sentido de estudar a deforma¸c˜ ao de um corpo. Dizemos que um corpo se deforma, se ele parte de uma configura¸cão B para uma configura¸caõ Bt , sendo portanto caracterizada uma aplica¸caõ Xt : B 7→ Bt X 7→ x = Xt (X).

(6.1)

Entretanto, esta aplica¸caõ deve possuir algumas propriedades para caracterizar o que denominamos deforma¸c˜ ao. Assim, torna-se necessário impor que não haja interpenetra¸cão de material, o que matematicamente significa que Xt é biun´ıvoca. Também devemos evitar que um corpo de volume não-nulo possa, através de uma aplica¸caõ cont´ınua, passar a um volume nulo depois da deforma¸caõ, o que significa termos det ∇Xt > 0 ∀t,

(6.2)

6.2. Cinemática

175

Figura 6.1: Deforma¸caõ. já que det ∇Xt está associado à mudan¸ca de volume (ver [Gur81, Gur72]). Temos assim que por deforma¸cão de um corpo ao passar da configura¸cão B para Bt será entendida a aplica¸caõ 6.1 que é biun´ıvoca e satisfaz det ∇Xt (X) > 0 ∀X ∈ B, Xt (B) = Bt ,

(6.3)

Xt (∂B) = ∂Bt , onde o s´ımbolo de derivada parcial designa a fronteira de uma região. Esta deforma¸caõ pode ser materializada através de um campo vetorial definido à partir das posi¸cões que ocupa uma part´ıcula antes e depois da deforma¸cão, sendo este campo definido sobre todos os pontos do corpo B, como mostrado na Figura 6.1. Temos assim que x = Xt (X) (6.4) ut = ut (X) = x − X, por tanto x = X + ut (X). (6.5) ´ Este campo ut é denominado campo de deslocamentos relativo a configura¸cão B. E claro que o campo ut deverá satisfazer certas restri¸cões que garantam que 6.3 seja verdadeira. Definimos agora o tensor Ft , o gradiente da deforma¸caõ, dado por Ft = ∇Xt = ∇X + ∇ut = I + ∇ut

(6.6)

onde I denota o tensor identidade. Diremos que uma deforma¸caõ X é homogênea se seu gradiente é constante. Assim, toda deforma¸caõ homogênea admite a seguinte representa¸cão ([Gur81, págs. 35–36]) X (X) = X (Xo ) + F (X − Xo ) ∀X, Xo ∈ B

(6.7)

176

Cap´ıtulo 6. A Formula¸cão Variacional

onde F = ∇X . Iremos agora classificar dois tipos de deforma¸cões homogêneas que nos serão u ´teis mais adiante. Dizemos que X é uma transla¸c˜ ao se X (X) = X + u

(6.8)

onde u é um vetor constante que mede a transla¸caõ. Dizemos que X é uma rota¸c˜ ao ao redor do ponto fixo Xo se X (X) = Xo + R(X − Xo ) (6.9) onde R é um tensor de rota¸cão constante (isto é, R ∈ Skw+ ). Suponhamos agora que X não seja homogênea e seja dada uma vizinhan¸ca suficientemente pequena de Xo ∈ B arbitrária, assim X (X) = X (Xo ) + ∇X (Xo )(X − Xo ) + o(X − Xo ) = X (Xo ) + F (Xo )(X − Xo ) + o(X − Xo ).

(6.10)

Do anterior podemos concluir que na vizinhan¸ca de um ponto Xo toda deforma¸cão é, com um erro de órdem o(X − Xo ), uma deforma¸cão homogênea. Procuremos agora determinar uma medida da deforma¸caõ, para tanto, seja X = Xo + dX o que em 6.10 nos dará (ver Figura 6.1) dx = ∇X (Xo )dX = F dX

(6.11)

dx · dx = F dX · F dX = F T F dX · dX.

(6.12)

e, portanto, Logo, uma medida da deforma¸caõ da fibra dX ao passar para a configura¸caõ deformada dx será dada por dx · dx − dX · dX = (F T F − I)dX · dX = 2EdX · dX onde

(6.13)

1 1 E = (F T F − I) = (∇u + ∇uT + ∇uT ∇u) (6.14) 2 2 é denominado tensor de deforma¸c˜ ao de Green. Até aqui foi adotada uma descri¸caõ da deforma¸cão conhecida como descri¸c˜ ao Lagrangeana onde nos preocupamos em acompanhar o ponto material X na sua trajetória. Dadas as propriedades da deforma¸cão 6.1, se segue que existe X −1 , suficientemente regular, logo podemos distinguir o ponto x já que à medida que t varia x passa a ser o lugar ocupado por distintos pontos materiais X. A este tipo de descri¸cão denominamos euleriana ou espacial e, procedendo da mesma forma que na descri¸cão Lagrangeana, teremos que (6.15) X = x − ut (x),

6.2. Cinemática

177 dX = F −1 dx, F

−1

= grad X

−1

(x) = grad X(x) = I − grad u(x)

(6.16) (6.17)

onde grad é o gradiente com respeito à variável espacial x. Teremos, finalmente que dx · dx − dX · dX = (I − F −T F −1 )dx · dx ¯ · dx = 2Edx

(6.18)

onde E¯ é conhecido como tensor de deforma¸c˜ ao de Almansi e, em fun¸caõ do campo de deslocamentos ut 1 , estará dado por 1 E¯ = (grad uT + grad u − grad uT grad u). 2

(6.19)

Se agora supormos que os deslocamentos e seus gradientes são suficientemente pequenos, ou seja (6.20) kut k, k∇ut k e k grad ut k < ² onde ² > 0 é suficientemente pequeno teremos que será poss´ıvel desprezar os termos de maior órdem dados por ∇uT ∇u ou grad uT grad u frente aos termos lineares ∇u e grad u e, mais ainda, se igualarmos os termos à direita de 6.13 e de 6.18 encontraremos ¯ · dx = (EF ¯ dX) · (F dX) EdX · dX = Edx ¯ dX · dX = F T EF ¯ = (I + ∇uT )E(I ¯ + ∇u) E = F T EF ¯ ¯ = E¯ + ∇uT E¯ + E∇u + ∇uT E∇u ¯ = E¯ + o(E) mostrando que, sob tais hipóteses, os tensores de Green e de Almansi diferem por termos de órdem superior.Se agora desprezarmos tais termos chegaremos à conclusão de que ∇ = grad, ou seja, os gradientes espacial e material coincidem e portanto 1 E = E¯ = (∇u + ∇uT ), 2

(6.21)

conhecido como tensor de deforma¸c˜ ao infinitesimal. No que segue, limitaremos nossa análise a problemas em que consideramos apenas deforma¸co˜es infinitesimais. Dizemos que uma deforma¸cão X é r´ıgida se a medida de deforma¸caõ, dada pelo tensor E, for nula. O u ´ltimo implica que ∇u = −∇uT , ou seja, o gradiente do campo de deslocamentos correspondente a uma deforma¸caõ r´ıgida é um campo tensorial antisimétrico. O anterior nos permite introduzir a seguinte defini¸cão: um campo de deslocamento infinitesimal se diz r´ıgido se seu gradiente é constante e antisimétrico, o que nos conduz a u(X) = u(Xo ) + W (X − Xo ) ∀X, Xo ∈ B, 1

(6.22)

Aqui cabe ressaltar que estamos considerando a descri¸cão espacial do campo de deslocamentos, por isso temos ut = ut (x).

178

Cap´ıtulo 6. A Formula¸cão Variacional

onde W é um tensor constante e antisimétrico. Se agora fizermos uso do vetor axial de W , representado aqui por w, o anterior equivale a (ver [Fei78, pág. 18]) u(X) = u(Xo ) + w × (X − Xo ) ∀X, Xo ∈ B.

(6.23)

Notamos que [u(X) − u(Xo )] · (X − Xo ) = W (X − Xo ) · (X − Xo ) = −W (X − Xo ) · (X − Xo ) = 0 (6.24) pois W é antisimétrico, logo u(X) − u(Xo ) ⊥ X − Xo .

(6.25)

Em outras palavras, o deslocamento de X relativo ao de Xo é ortogonal ao vetor X − Xo para toda deforma¸cão r´ıgida.

6.2.2

Movimento. Taxa de Deforma¸c˜ ao

Definiremos o movimento de um corpo B, como a fam´ılia uniparamétrica de aplica¸cões X : B × [t0 , tf ] 7→ E X(X, t) 7→ x

(6.26)

onde X é uma deforma¸caõ. Logo, o ponto x = X (X, t)

(6.27)

é o lugar ocupado pela part´ıcula X no instante de tempo t. Por sua vez, a região ocupada pelo corpo no instante t será dada por Bt = X (B, t). Como já foi observado, às vezes é conveniente trabalhar com as variáveis x, t no lugar de X, t. Para tanto iremos introduzir o conceito de trajet´ oria T = {(x, t); x ∈ Bt , t ∈ [t0 , tf ]}.

(6.28)

Para cada t, X (·, t) : B 7→ Bt é uma aplica¸caõ biun´ıvoca, existindo portanto a inversa Xt−1 Xt−1 : Bt 7→ B X −1 (x, t) = X

(6.29)

X (X −1 (x, t), t) = x, X −1 (X (X, t), t) = X.

(6.30)

e, por sua vez teremos

6.2. Cinemática

179

Fazendo uso destas aplica¸co˜es podemos descrever um determinado campo, seja em fun¸cão de (X, t) (neste caso dizemos que temos a descri¸c˜ ao material deste campo) ou em fun¸cão de (x, t) (e neste caso teremos a descri¸c˜ ao espacial do campo). Seja, por exemplo, o campo material φ : B × [t0 , tf ] 7→ φ(X, t) (6.31) logo, sua descri¸cão espacial será dada por φe (x, t) = φ(X −1 (x, t), t).

(6.32)

Igualmente, a descri¸caõ material de Ω = Ω(x, t) será dada por Ωm (X, t) = Ω(X (X, t), t)

(6.33)

(φe )m = φ, (Ωm )e = Ω.

(6.34)

e, como resulta óbvio,

Torna-se portanto necessário distinguir as derivadas com respeito às variáveis materiais das derivadas espaciais. Assim, teremos • para o campo material φ ¯ ∂φ ¯ ˙ φ(X, t) = (X, t)¯ ∂t X fixo ¯ ¯ ∇φ(X, t) = ∇X φ(X, t)¯

t fixo

(6.35) (6.36)

são as derivadas com respeito a t mantendo o ponto material X fixo e o gradiente com respeito a X mantendo t fixo. Estas derivadas são conhecidas com o nome de taxa material (taxa material com respeito ao tempo) e gradiente material de φ respectivamente. • para o campo espacial Ω teremos ¯ ∂Ω ¯ (x, t)¯ ∂t x fixo ¯ ¯ grad Ω(x, t) = ∇x Ω(x, t)¯ Ω0 (x, t) =

t fixo

(6.37) (6.38)

que são chamadas, respectivamente, de taxa espacial (derivada espacial com respeito ao tempo) e gradiente espacial de Ω. Vejamos alguns exemplos que nos serão u ´teis mais adiante. Seja a descri¸cão material 6.27, logo ¯ ∂X ¯ x˙ = (X, t)¯ ∂t X fixo

(6.39)

180

Cap´ıtulo 6. A Formula¸cão Variacional

é a descri¸cão material da velocidade e ¯ ∂ 2X ¯ (X, t)¯ x¨ = 2 ∂t X fixo

(6.40)

representa a descri¸caõ material da acelera¸cão. Usando X −1 podemos obter a descri¸caõ espacial da velocidade que a designaremos por v(x, t). Assim teremos ∂X −1 v(x, t) = (X (x, t), t). (6.41) ∂t Observe que v(x, t) é a velocidade do ponto material X que no instante t ocupa a posi¸caõ x do espa¸co euclidiano. ` vezes resulta necessário calcular a taxa material (derivada material com respeito As ao tempo) de um campo espacial Ω = Ω(x, t). Como o nome indica queremos a taxa de varia¸caõ de Ω mantendo X fixo. Para isto, passamos à descri¸cão material, calculamos a taxa material e retornamos à descri¸caõ espacial, ou seja Ω˙ = ((Ωm )˙ )e

(6.42)

¯ ˙Ω(x, t) = ∂Ω (X (X, t), t)¯¯ . ∂t X=X −1 (x,t)

(6.43)

ou, em forma extendida

Pode-se demonstrar (ver [Gur81, pág. 62]) que a taxa material comuta com as transforma¸cões materiais e espaciais, isto é ˙ e = (φe )˙ = φ˙ e , (φ)

(6.44)

˙ m = (Ωm )˙ = Ω˙ m . (Ω)

(6.45)

Em particular, se fizermos Ω = v teremos, como consequência do resultado anterior, que (v) ˙ m = (vm )˙ = (x) ˙ ˙ = x¨, (6.46) ou seja, v˙ é a descri¸caõ espacial da acelera¸cão. Se fizermos uso da regra da cadeia teremos que, se φ e u são campos espaciais escalar e vetorial suficientemente regulares se verificam as seguintes rela¸cões φ˙ = φ0 + grad φ · v,

(6.47)

u˙ = u0 + (grad u)v

(6.48)

v˙ = v 0 + (grad v)v.

(6.49)

e, no caso particular de u = v As expressões anteriores nos permitem relacionar as taxas materiais e espaciais.

6.2. Cinemática

181

Uma rela¸caõ similar pode estabelecer-se entre o gradiente espacial e o material. Para tanto, seja u um campo vetorial espacial suficientemente regular, logo ∇um = (grad u)m F

(6.50)

onde F é o tensor gradiente de deforma¸caõ. O anterior é facilmente demonstrado bastando, para tanto, aplicar a regra da cadeia em um (X, t) = (u(x, t))m = u(X (X, t), t) e, portanto, ∇um = (grad u)m ∇X = (grad u)m F. Um dos movimentos que nos serão u ´teis mais adiante é o movimento r´ıgido. Dizemos que um movimento é r´ıgido se, para todo instante de tempo t, resulta ¯¯ ∂ ¯¯¯¯ ¯¯ ¯¯X (X, t) − X (Xo , t)¯¯ = 0 ∀X, Xo ∈ B. ∂t

(6.51)

Seja X um movimento e v seu correspondente campo de velocidades, ou seja x = X (X, t), v(x, t) =

X ∈ B, t ∈ 0 onde σ é a tensão, ε a deforma¸caõ e E o módulo de elasticidade. Em continua¸caõ, vamos ressaltar algumas caracter´ısticas que, embora óbvias, nos resultarão u ´teis em nossa apresenta¸caõ. Temos assim: • Se ε=0⇒ σ = 0, em outras palavras, estamos admitindo que a configura¸cão em que o corpo se encontra não tem nem deforma¸cão e nem tensão inicial. • Por ser E 6= 0, temos a rela¸caõ inversa ε = E−1 σ • Podemos definir a fun¸cão densidade de energia de deforma¸c˜ ao π = π (ε) dada por: Z ε Z ε 1 π (ε) = σ (ε) dε = Eε dε = Eε · ε ≥ 0 2 0 0 203

204

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões e igual a zero se e somente se ε = 0.

• da defini¸cão anterior obtemos:

¯ ∂π ¯¯ ε= ∂ε ¯ε

em outras palavras, a tensão σ associada à equa¸cão constitutiva elástica (linear no exemplo) com a deforma¸cão ε se obtém calculando a derivada da densidade de energia de deforma¸caõ no ponto ε. • A fun¸caõ densidade de energia de deforma¸caõ é, no exemplo, uma parábola com a boca voltada para cima (E > 0) e, portanto, é uma fun¸cão estritamente convexa. Colocaremos esta propriedade em evidência de uma maneira mais geral. De fato: ¯ ¯ 1 d2 π ¯¯ dπ ¯¯ · (ε − ε0 ) + · (ε − ε0 ) · (ε − ε0 ) π (ε) = π (ε0 ) + dε ¯ε0 2 dε2 ¯ε0 1 = π (ε0 ) + Eε0 · (ε − ε0 ) + E (ε − ε0 ) · (ε − ε0 ) 2 ≥ π (ε0 ) + σ (ε0 ) · (ε − ε0 ) e onde a igualdade se verifica se e somente se ε = ε0 . • Da mesma maneira que definimos a fun¸caõ de densidade de energia de deforma¸caõ π, podemos definir a fun¸caõ π ∗ = π ∗ (σ) chamada de fun¸caõ densidade de energia complementar dada por: Z σ Z σ 1σ·σ 1 ∗ σ dσ = ≥0 π (σ) = ε (σ) dσ = 2 E 0 0 E e igual a zero se e somente se σ = 0. • De a defini¸caõ anterior podemos observar que: ¯ dπ ∗ ¯¯ ε= dσ ¯σ ou seja a deforma¸caõ ε associada pela equa¸caõ constitutiva elástica com a tensão σ pode ser obtida por intermédio do cálculo da derivada da fun¸cão densidade de energia complementar calculada no ponto σ. • Também observamos que: ¯ ¯ 1 d2 π ∗ ¯¯ dπ ∗ ¯¯ · (σ − σ0 ) · (σ − σ0 ) · (σ − σ0 ) + π (σ) = π (σ0 ) + dσ ¯σ0 2 dσ 2 ¯σ0 ≥ π ∗ (σ0 ) + ε (σ0 ) · (σ − σ0 ) ∗

∗

e igual se e somente se σ = σ0 . Em outras palavras, a fun¸cão de densidade de energia complementar é também estritamente convexa.

7.2. Material Elástico. Comportamento Uniaxial

205

• Os resultados anteriores são totalmente válidos para elasticidade não linear desde que a rela¸cão constitutiva σ = σ (ε) (ou sua inversa ε = ε (σ)) seja uma fun¸caõ monótona, ou seja se: ¢ ¡ ¢ ¡ B σ − σ A · εB − εA ≥ 0 ∀εA , εB ¡ ¢ ¡ ¢ e igual a zero se e somente se εA = εB onde σ B = σ εB e σ A = σ εA Em particular para εB = εA + dε e empregando a nota¸cão σ = σ(εB ) temos: ¡ ¢ σ − σ A dε ≥ 0 e integrando entre εA e ε:

Z

ε

¡ ¢ σ − σ A dε ≥ 0

εA

de onde:

Z

ε

¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ σdε − σ A · ε − εA ≥ 0 ⇒ π (ε) − π εA ≥ σ A · ε − εA

εA

onde a igualdade se verifica se e somente se ε = εA . De forma similar, se a equa¸caõ ε = ε (σ) é monótona, ou seja se: ¡ B ¢ ¡ ¢ ε − εA · σ B − σ A ≥ 0 ∀σ A , σ B e igual a zero se e somente se σ B = σ A . Novamente, para σ B = σ = σ A + dσ teremos: ¡ ¢ ε − εA dσ ≥ 0 e integrando entre σ A e σ:

Z

σ

¡ ¢ ε − εA dσ ≥ 0

σA

de onde:

Z

σ

¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ εdσ − εA · σ − σ A ≥ 0 ⇒ π ∗ (σ) − π ∗ σ A ≥ εA · σ − σ A

σA

e onde a igualdade se verifica se e somente σ = σ A . • Na continua¸caõ, vamos colocar em evidência outra propriedade impl´ıcita das fun¸cões π e π ∗ . Sejam σ B e εA uma tensão e deforma¸cão n˜ ao associadas pela equa¸caõ constitutiva elástica, logo: ¡ ¢ ¡ ¢ π εA + π ∗ σ B ≥ σ B · εA e igual a zero se e somente se εA e σ B estão relacionadas pela equa¸caõ constitutiva. A Figura 7.1 representa graficamente o resultado anterior: Novamente, o resultado anterior é independente da linearidade da equa¸caõ constitutiva, dependendo unicamente da monotonicidade da mesma.

206

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

Figura 7.1: Propriedade das fun¸cões π e π ∗ • O resultado anterior nos proporciona uma técnica para construir π ∗ a partir do conhecimento de π e vice-versa. Este procedimento é chamado transforma¸c˜ ao de Legendre e na atualidade também é conhecido como determina¸caõ da fun¸cão dual (π ∗ é a fun¸caõ dual de π). De fato, suponhamos conhecidos π = π (ε), logo podemos definir a fun¸cão dual π ∗ = π ∗ (σ) de π, tal que seu valor em σ = σ ∗ está dado por: π ∗ (σ ∗ ) = max (σ ∗ · ε − π (ε)) ε

No caso da equa¸cão constitutiva elástica linear ter´ıamos: 1 π (ε) = Eε · ε 2 logo o máximo de σ ∗ · ε − π (ε) se verifica para o ponto ε∗ tal que: d ∗ (σ · ε − π (ε)) = 0 dε ou seja: σ ∗ − Eε∗ = 0 ⇒ ε∗ =

σ∗ E

substituindo este resultado em π ∗ (σ ∗ ) obtemos: π ∗ (σ ∗ ) = σ ∗ · ε∗ − π (ε∗ ) =

σ∗ · σ∗ 1 σ∗ · σ∗ 1 σ∗ · σ∗ − E = E 2 E2 2 E

resultado ao qual hav´ıamos chegado através da defini¸caõ da fun¸caõ densidade de energia complementar. De forma similar podemos definir π como a fun¸caõ dual de π ∗ . π (ε∗ ) = max (σ · ε∗ − π ∗ (σ)) σ

7.3. Extensão a Estados M´ ultiplos

207

e um racioc´ıcio inteiramente similar ao realizado para π ∗ conduzirá para o caso linear, a: 1 π (ε∗ ) = ε∗ · ε∗ 2 Resumindo, a equa¸caõ constitutiva pode expressar-se de três maneiras equivalentes: dizemos que σ está associado com a deforma¸caõ ε através da equa¸cão constitutiva se: (i) σ = σ (ε) Reciprocamente ε está associado com σ pela equa¸caõ constitutiva se: ε = ε (σ) (ii) ¯ dπ ¯¯ σ= dε ¯ε Reciprocamente

¯ dπ ∗ ¯¯ ε= dσ ¯σ

(iii) π (ε) + π ∗ (σ) = σ · ε e π (ε) + π ∗ (σ) ≥ σ · ε e igual se e somente se σ, ε estão associados pela equa¸cão constitutiva.

7.3

Extens˜ ao a Estados M´ ultiplos

A generaliza¸caõ a estados m´ ultiplos consistirá em substituir a idéia unidimensional por outra capaz de inclu´ı-la como caso particular. Para isto vimos que no caso linear σ = Eε, ou seja, t´ınhamos uma aplica¸cão linear do espa¸co de deforma¸cões sobre o de ten¸co˜es. Com base nisto, sua generaliza¸caõ imediata consistirá em uma aplica¸caõ linear de W em W 0 . Para o caso de corpos tridimensionais teremos: T =DE onde D é o tensor de elasticidade de 4a ordem. A seguir, limitaremos nossa apresenta¸caõ ao caso em que este tensor satisfaz as seguintes propriedades: D = DT DE · E ≥ 0

208

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

e igual a zero se e somente se E = 0. Se o tensor D não depende do ponto material diremos que o corpo é homogêneo. Em geral para a caracteriza¸caõ de D serão necessárias 21 constantes elásticas, temos assim um material anisotrópico. No caso de um material elástico linear isotrópico o tensor D é caracterizado por duas constantes elásticas: µ e λ, chamadas constantes de Lamé: D = 2µII + λ (I ⊗ I) onde II e I são respectivamente os tensores identidade de 4a e 2a ordem, ⊗ representa o produto tensorial (neste caso de tensores de 2a ordem). Seguindo um análise similar à já realizada na se¸caõ anterior, é poss´ıvel definir a fun¸caõ de densidade de energia de deforma¸cão π = π (E): ¡ ¢ π E =

Z

Z

E

E

T (E) · dE = 0

0

1 DE · dE = DE · E 2

e da propriedade de D segue-se que: π (E) ≥ 0 e igual a zero se e somente se E = 0. O estado de ten¸co˜es T associado com E através da equa¸cão constitutiva elástica é tal que: ¯ ∂π ¯¯ = DE T = ∂E ¯E=E Por sua vez:

¯ ¯ ∂π ¯¯ 1 ∂ 2 π ¯¯ π (E) = π (E0 ) + · (E − E0 ) + (E − E0 ) · (E − E0 ) ∂E ¯E0 2 ∂E 2 ¯E0 1 = π (E0 ) + DE0 · (E − E0 ) + D (E − E0 ) · (E − E0 ) 2

de onde: π (E) − π (E0 ) ≥ DE0 · (E − E0 ) = T0 · (E − E0 ) e onde a igualdade se verifica se e somente se E = E0 . Desta maneira conclu´ımos que π é uma fun¸caõ estritamente convexa no espa¸co de deforma¸cões. O resultado anterior pode ser estendido sem dificuldades ao caso de elasticidade não linear, para o qual suporemos satisfeita a seguinte restri¸cão (monotonicidade) ¡ B ¢ ¡ ¢ T − T A · E B − E A ≥ 0 ∀E A , E B ∈ W ¡ ¢ ¡ ¢ e igual a zero se e somente se E A = E B , e onde T B = T E B , T A = T E A . Como a expressão anterior é válida para todo ponto do espa¸co de deforma¸cões em particular o será para: E = E A + dE

7.3. Extensão a Estados M´ ultiplos

209

e chamando de T o estado de tensões associado a E via equa¸caõ constitutiva, teremos ¡ A ¢ T − T · dE ≥ 0 Logo, o incremento da densidade de energia de deforma¸cão que se produz no processo que nos leva do estado E A ao E B será: Z

EB

¡

¢ T A − T · dE ≥ 0

EA

de onde:

¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ π EB − π EA ≥ T A · EB − EA

e igual a zero se e somente se E A = E B , obtemos assim novamente a propriedade de convexidade da fun¸cão π, mas desta vez a partir da monotonicidade da equa¸cão constitutiva. Dado que D é positivo definido existe D−1 também simétrico positivo definido. O anterior nos permite determinar E em fun¸caõ de T : E = E (T ) = D−1 T e a partir dela obtemos: ¡ ¢ π T =

Z

Z

T

∗

T

E (T ) · dT = 0

0

1 D−1 T · dT = D−1 T · T ≥ 0 2

e igual a zero se e somente se T = 0, por sua vez: ¯ ∂π ∗ ¯¯ E= ∂T ¯T =T e π ∗ (T ) − π ∗ (T0 ) ≥ E0 · (T − T0 ) onde E0 = E (T0 ) e onde a igualdade se verifica se e somente se T = T0 . Em outras palavras, a fun¸cão de densidade de energia complementar é uma fun¸cão estritamente convexa no espa¸co de tensões. Novamente, o resultado anterior pode ser obtido a partir da monotonicidade da fun¸cão constitutiva inversa. Por u ´ltimo da propriedade de π e π ∗ tem-se que T e E estão associados através da equa¸cão constitutiva se: π (E) + π ∗ (T ) = E · T e de forma equivalente: π (E) + π ∗ (T ) ≥ E · T e igual se e somente se T e E estão relacionados através da equa¸caõ constitutiva. Resumindo, a caracteriza¸caõ de um material como o até aqui apresentado pode realizarse de três maneiras equivalentes:

210

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

1. A equa¸cão constitutiva propriamente dita: T = T (E) (ou sua inversa E = E (T ) ) 2. A existência da fun¸caõ de densidade de energia de deforma¸cão, estritamente convexa π tal que: ¯ ∂π ¯¯ T = ∂E ¯E ∗¯ ¯ . ou sua dual π ∗ tal que E = ∂π ∂T T 3. Dados E ∈ W e T ∈ W 0 tem-se π (E) + π ∗ (T ) ≥ E · T e onde a igualdade se verifica se e somente se E e T estão associados através da equa¸caõ constitutiva do material. Para o caso do material elástico isotrópico o anterior corresponde a: T = DE = 2µE + λ (trE) I 1 λ E = D−1 T = T− (trT ) I 2µ 2µ (2µ + 3µ) ¤ 1 1£ π (E) = DE · E = 2µE · E + λ (trE)2 2 2 1 π ∗ (T ) = max [T · E − π (E)] = D−1 T · T E∈W 2 · ¸ λ 1 1 2 T ·T − (trT ) = 2 2µ 2µ (2µ + 3µ)

7.4

Princ´ıpios Variacionais (Corpos Livres)

O problema da elastostática, dentro das hipóteses de deforma¸cões infinitesimais, consiste em: determinar os campos u0 ∈ Kinu , E0 ∈ W e T0 ∈ W 0 tais que: • T0 ∈ EstT , ou seja, T0 está em equilibrio com a carga aplicada f . • E0 , T0 associados pela equa¸cão constitutiva, por exemplo: T0 = DE0 , ou no caso mais geral: ¯ ¯ ∂π ¯¯ ∂π ∗ ¯¯ , T0 = E0 = ∂T ¯T0 ∂E ¯E0 • E0 = Du0 ou seja, a deforma¸cão deve ser compat´ıvel.

7.4. Princ´ıpios Variacionais (Corpos Livres)

211

Segundo vimos no cap´ıtulo anterior, o P.T.V. nos permite caracterizar T0 que, para o caso de corpos livres, corresponde a: (T0 , Db u) = hf, u bi

∀b u ∈ Varu = U

sendo que as cargas f ∈ U 0 devem satisfazer: hf, u bi = 0 ∀b u ∈ Varu ∩ N (D) = N (D) A existência de, pelo menos, um campo de tensões T0 em equil´ıbrio com f está garantido pelo Teorema da representa¸caõ de Riesz. Então, se existe T0 existe E0 = D−1 T0 (deforma¸cão associada a T0 via equa¸cão constitutiva). Nos perguntamos portanto se existe u0 ∈ Kinu tal que E = Du0 ? A resposta a esta pergunta é afirmativa e a formalizaremos através do seguinte Teorema: Teorema 7.1 (Corpo Livre) Dado f ∈ U ’ em equil´ıbrio existe u0 ∈ Kinu (como o corpo é livre Kinu ≡ U ) tal que: Ku0 = f,

K = D∗ DD

ou em forma equivalente f ∈ R (K) . O operador K : U → U 0 é conhecido como operador de rigidez. Prova. Da hipótese do Teorema, f ∈ U ’ é uma carga equilibrada, logo do P.T.V. teremos: hf, u bi = 0 ∀b u ∈ Varu ∩ N (D) = N (D) ou seja,

f ∈ N (D)⊥

Então, do Lema 3 (Apêndice A3) teremos: f ∈ N (D)⊥ = R (K)⊥ expresisão esta que nos diz que existe u0 ∈ U − N (D) (ou seja u0 está definido, exceto em um movimento de corpo r´ıigido) tal que: Ku0 = f Do resultado deste Teorema de existência conclu´ımos que: hf, u bi = hKu0 , u bi = hD∗ DDu0 , u bi = (DDu0 , Db u)

∀b u ∈ Varu = U

Logo, o problema da elastostática no caso de corpos sem restri¸cões ao movimento (corpos livres) é equivalente ao seguinte problema variacional:

212

7.4.1

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

Princ´ıpio do Trabalho Virtual (Corpos Livres) Determinar u0 ∈ Kinu = U − N (D) ,tal que: (DDu0 , Db u) = hf, u bi

∀b u ∈ Varu = U

Recordemos que Kinu = u0 +Varu teremos que Varu = Kinu −u0 portanto o problema variacional anterior pode ser reescrito da seguinte forma: (DDu0 , D (u − u0 )) = hf, u − u0 i

∀u ∈ Kinu

O leitor poderá notar que no caso de material hiperelástico não linear o P.T.V. tomará a forma mais geral: ! Ã ¯ ∂π ¯¯ , D (u − u0 ) = hf, u − u0 i ∀u ∈ Kinu ∂E ¯E=Du0 Das propriedades assumidas para nosso material, o P.T.V. corresponde à condi¸caõ de m´ınimo de um certo funcional. De fato, da convexidade de π: π (E) − π (E0 ) ≥ DE0 · (E − E0 ) e igual a zero se e somente se E = E0 , ou no caso não linear: ¯ ∂π ¯¯ π (E) − π (E0 ) ≥ · (E − E0 ) ∂E ¯E0 e igual a zero se e somente se E = E0 , que para deforma¸co ˜es cinematicamente admiss´ıveis corresponde a: π (Du) − π (Du0 ) ≥ DDu0 · D (u − u0 ) ou no caso não linear: ¯ ∂π ¯¯ π (Du) − π (Du0 ) ≥ · D (u − u0 ) ∂E ¯Du0 e onde a igualdade se satisfaz agora para todo u−u0 ∈ U −N (D) . Integrando no dom´ınio B (região ocupada pelo corpo) obtemos: Z [π (Du) − π (Du0 )] dB ≥ (DDu0 , D (u − u0 )) ∀u ∈ Kinu B

ou no caso não linear: Z Z [π (Du) − π (Du0 )] dB ≥ B

B

¯ ∂π ¯¯ · D (u − u0 ) dB ∂E ¯Du0

7.4. Princ´ıpios Variacionais (Corpos Livres)

213

Substituindo este resultado no P.T.V. teremos: Z [π (Du) − π (Du0 )] dB ≥ hf, u − u0 i

∀u ∈ Kinu

B

e agrupando termos: Z Z Π (u) = π (Du) dB − hf, ui ≥ π (Du0 ) dB − hf, u0 i = Π (u0 ) B

∀u ∈ Kinu

B

e onde a igualdade se verifica se e somente se u e u0 diferem de um deslocamento de corpo r´ıgido. Temos chegado assim ao seguinte princ´ıpio de m´ınimo, válido inclusive para materiais hiperelásticos não lineares.

7.4.2

Princ´ıpio de M´ınima Energia Potencial Total (Corpos Livres)

O problema da elastostática é equivalente ao problema de determinar u0 ∈ Kinu tal que minimize o funcional de energia potencial total Z Π (u) = π (Du) dB − hf, ui B

definido para todo u0 ∈ Kinu .

7.4.3

Equa¸c˜ oes Locais e Condi¸c˜ oes de Contorno (Corpos Livres)

Nas se¸cões anteriores apresentamos uma formula¸caõ abstrata, em fun¸caõ de operadores, válida portanto para toda estrutura dentro das hipóteses de pequenos deslocamentos e deforma¸cões e dentro do material elástico assumido. Nesta se¸cão vamos reescrever estes resultados para o caso particular de um corpo tridimensional. Logo, o problema da elastostática vimos que correspondia a: Z min π (Du) dB − hf, ui u∈Kinu

B

para o exemplo do corpo tridimensional em estudo teremos: Z Z hf, ui = b · u dB + a · u d∂B B

∂B

onde b e a são as densidades de for¸cas de corpo e de superf´ıcie definidas em B e ∂B respectivamente. Por sua vez, para o caso de material hiperelástico linear: 1 1 π (Du) = DDu · Du = D (∇u)s · (∇u)s 2 2

214

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

pelo que finalmente o problema de m´ınimo corresponde a: ½ ·Z ¸¾ Z Z 1 s s min Π (u) = D (∇u) · (∇u) dB − b · u dB + a · u d∂B u∈Kinu B ∂B B 2 A condi¸caõ necessária (e suficiente) de m´ınimo em u0 corresponde a: δΠ (u0 , u b) = 0 ∀b u ∈ Varu = U onde δΠ (u0 , u b) representa o diferencial Gateaux em u0 segundo a dire¸caõ u b, ou seja: ¯ ¯ d δΠ (u0 , u b) = Π (u0 + αb u)¯¯ dα α=0 Z Z Z s s = D (∇u0 ) · (∇b u) dB − b·u b dB − a·u b d∂B = 0 B

B

∂B

∀b u ∈ Varu = U que não é outra coisa que a expressão do P.T.V. para o exemplo em estudo. Admitindo regularidade e recordando que: D (∇u0 )s · (∇b u)s = div [D (∇u0 )s u b] − div [D (∇u0 )s ] · u b obtemos:

Z

Z {div [D (∇u0 ) ] + b}·b u dB+ s

δΠ (u0 , u b) = − B

[D (∇u0 )s n − a]·b u d∂B = 0 ∀b u ∈ Varu = U ∂B

com o que chegamos finalmente à forma local de equil´ıbrio correspondente à Teoria da elasticidade infinitesimal: ½ div [D (∇u0 )s ] + b = 0 em B s D (∇u0 ) n = a sobre ∂B Se nosso corpo é isotrópico, as equa¸co˜es anteriores correspondem a: ½ div [2µ (∇u0 )s + λtr (∇u0 )s I] + b = 0 em B 2µ (∇u0 )s n + λtr (∇u0 )s n = a sobre ∂B Recordando que: tr (∇u)s = tr (∇u) = div u ¡ ¢ div ∇u + ∇uT = 4u + ∇div u div (φS) = φdiv S + S∇φ obtemos para o caso de corpos homogêneos as equa¸ c˜ oes de Navier: µ (∇u0 + ∇div u0 ) + λ∇div u0 + b = 0 em B

7.4. Princ´ıpios Variacionais (Corpos Livres)

215

Figura 7.2: Princ´ıpio do Trabalho Virtual para corpos de Material Hiperelástico ou agrupando: µ∇u0 + (λ + µ) ∇div u0 + b = 0 em B associadas às condi¸co˜es de contorno de caráter mecânico (for¸cas prescritas): (2µ (∇u0 )s + λdiv u0 ) n = a sobre ∂B ´ interessante ressaltar que a condi¸cão de contorno anterior não é exigida no P.M.E.P.T. E já que o funcional Π está definido em Kinu , em outras palavras, as u ´ nicas condi¸co ˜es de contorno exigidas sobre u são de caráter cinemático (u ∈ Kinu ). Por esta razão, as condi¸cões de contorno que estabelecem que u ∈ Kinu são chamadas condi¸c˜ oes de contorno principais. O leitor poderá notar então que o processo de minimiza¸caõ é o responsável pela sele¸caõ do campo u0 que satisfaz inclusive a condi¸caõ de contorno mecânica. Por esta razão esta condi¸caõ é chamada condi¸c˜ ao de contorno natural (surge de forma natural no processo de minimiza¸caõ). A Figura 7.2 mostra graficamente o apresentado até aqui.

7.4.4

Compatibilidade. Princ´ıpio do Trabalho Virtual Complementar. Princ´ıpio de M´ınima Energia Complementar (Corpos Livres)

Segundo hav´ıamos visto na Se¸caõ A Formulacao Variacional, para o caso de corpos livres dada a carga f ∈ U 0 em equil´ıbrio: hf, u bi = 0 ∀b u ∈ Varu ∩ N (D) = N (D) a variedade linear no espa¸co vetorial W 0 formada por todos os campos de tensões T ∈ W 0 em equil´ıbrio com f está dada por: EstT = {T ∈ W 0 ; − (T, Db u) + hf, u bi = 0 ∀b u ∈ Varu }

216

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

e o s.e.v. formado pelas tensões auto-equilibradas consiste em: n o ³ ´ VarT = Tb ∈ W 0 ; − Tb, Db u = 0 ∀b u ∈ Varu e onde: EstT = T0 + VarT ,

T0 ∈ EstT arbitrário

Então, a compatibilidade da deforma¸cão E0 ∈ W correspondia ao problema variacional definido pelo P.T.V.C.: ³ ´ Tb, E0 = 0 ∀Tb ∈ VarT Se consideramos a compatibilidade dentro do contexto de materiais hiperelásticos definidos nas se¸co˜es anteriores, a deforma¸caõ E0 estará associada ao estado de tensões T0 ∈ W 0 através de ¯ ∂π ∗ ¯¯ E0 = ∂T ¯T0 que no caso de material elástico linear se reduz a: E0 = D−1 T0 Logo o problema da elastostática será equivalente a determinar o campo T0 ∈ EstT tal que: Ã ¯ ! ∗¯ ∂π ¯ Tb, = 0 ∀Tb ∈ VarT ∂T ¯T0 Recordando que EstT = T0 + VarT teremos: VarT = EstT − T0 com o que a expressão anterior pode ser reescrita como: Determinar T0 ∈ EstT tal que: Ã ¯ ! ∂π ∗ ¯¯ T − T0 , = 0 ∀T ∈ EstT ∂T ¯T0 A equa¸cão variacional anterior corresponde ao P.T.V.C. para o caso do material hiperel´ astico em estudo, que no caso linear corresponde a: ¢ ¡ T − T0 , D−1 T0 = 0 ∀T ∈ EstT Se recordamos a convexidade de a fun¸caõ de densidade de energia complementar π ∗ : ¯ ∂π ∗ ¯¯ ∗ ∗ · (T − T0 ) π (T ) − π (T0 ) ≥ ∂T ¯T0

7.4. Princ´ıpios Variacionais (Corpos Livres)

217

e onde a igualdade se verifica se e somente se T = T0 , teremos que: Ã ¯ ! Z ∗¯ ∂π ¯ [π ∗ (T ) − π ∗ (T0 )] dB ≥ T − T0 , = 0 ∀T ∈ W 0 ¯ ∂T B T0 Substituindo este resultado no P.T.V.C. obtemos: Z Z ∗ ∗ Π (T ) = π (T ) dB ≥ π ∗ (T0 ) dB = Π∗ (T0 ) B

∀T ∈ EstT

B

e onde a igualdade se verifica se e somente se T = T0 . Com base nisto vemos que o P.T.V.C. é equivalente ao seguinte problema de m´ınimo.

7.4.5

Princ´ıpio de M´ınima Energia Complementar P.M.E.C. (Corpos Livres)

O problema da elastostática é equivalente ao problema de determinar o campo T0 ∈ EstT tal que minimize o funcional: Z ∗ Π (T ) = π ∗ (T ) dB ∀T ∈ EstT B

Aqui o leitor poderá observar que a existência e unicidade do campo T0 ∈ EstT está garantida em virtude de que Π∗ é um funcional estritamente convexo semi-cont´ınuo inferiormente e coercivo (Π∗ (T ) → ∞ para kT k → ∞) na variedade linear EstT (Apêndice A3). As equa¸cões de Euler associadas ao problema de m´ınimo do funcional Π∗ não são outra coisa que as equa¸cões de compatibilidade. De fato, a condi¸caõ necessária, e neste caso, suficiente de m´ınimo corresponde a: ³ ´ ³ ´¯¯ d δΠ∗ T0 , Tb = Π∗ T0 + αTb ¯¯ dα α=0 Z ´¯¯ d ∗³ b = π T0 + αT ¯¯ dB = 0 ∀Tb ∈ VarT dα B α=0 ou seja: δΠ∗

³

Ã ¯ ! ´ Z ∂π ∗ ¯¯ ∗¯ ¯ · Tb dB = Tb, ∂π ¯ = 0 ∀Tb ∈ VarT T0 , Tb = ¯ dT ¯T0 B dT T0

que não é outra que o P.T.V.C. Temos chegado assim ao seguinte resultado: os campos u0 ∈ Kinu , E0 e T0 ∈ EstT solu¸cão do problema da elastostática (recorde que E0 = Du0 e T0 estão associados via equa¸cão constitutiva) são solu¸caõ dos problemas:

218

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

P.1) min Π (u) = Π (u0 )

u∈Kinu

P.2) min Π∗ (T ) = Π∗ (T0 )

T ∈EstT

Em particular é facil mostrar que Π (u0 ) = −Π∗ (T0 ) com o que que fica mais uma vez caracterizada a dualidade entre o problema P.l) e P.2). De fato, para demonstrar isto recordemos que: π (E0 ) + π ∗ (T0 ) = E0 · T0 logo: Z

·Z

Z

Π (u) ≥ Π (u0 ) =

π (Du0 ) dB − hf, u0 i = − B

¸

∗

π (T0 ) dB + B

T0 · Du0 dB − hf, u0 i B

e como T0 ∈ EstT e u0 ∈ Kinu = Varu , o termo entre colchetes é nulo (P.T.V.) logo: Π (u) ≥ Π (u0 ) = −Π∗ (T0 ) ≥ −Π∗ (T )

∀u ∈ Kinu ,

∀T ∈ EstT

A expressão anterior nos proporciona uma maneira de obter um limite superior e inferior de nossa solu¸cão, fazendo uso para ele respectivamente de campos de deslocamentos cinematicamente admiss´ıveis e de tensões estaticamente equilibradas com a carga f. Por u ´ltimo, para o exemplo em estudo (corpo tridimensional, material elástico linear) o P.M.E.C. toma a forma: ½ ¾ Z 1 −1 ∗ min Π (T ) = D T · T dB T ∈EstT B 2

7.5

Princ´ıpios Variacionais. Restri¸c˜ oes Bilaterais.

Nas se¸cões anteriores discutimos os princ´ıpios variacionais supondo o corpo livre de restri¸cões cinemáticas. Agora passaremos a apresentar o caso de restri¸co˜es bilaterais. Logo: Kinu = {u ∈ U ; u = u sobre ∂Bu } Varu = {b u ∈ U; u b = 0 sobre ∂Bu } onde Varu é um s.e.v. de U , Kinu uma variedade linear (transla¸caõ de Varu ), e ∂Bu é a parte da fronteira ∂B de B onde estão prescritos os deslocamentos. Recordando o P.T.V. t´ınhamos que: • l está em equil´ıbrio se: Te = hl, u bi = 0 ∀b u ∈ Varu ∩ N (D)

7.5. Princ´ıpios Variacionais. Restri¸cões Bilaterais.

219

• Se l está em equil´ıbrio existe ao menos um estado de tensões T ∈ W 0 que a equilibra, definido por: − (T, Db u) + hf, u bi = 0 ∀b u ∈ Varu Nos perguntamos agora se dado l em equil´ıbrio existe u0 ∈ Kinu tal que a tensão associada T0 : ¯ ∂π ¯¯ T0 = ∂E ¯E0 =Du0 equilibra l? Ou seja, tal que: ! Ã ¯ ∂π ¯¯ , Db u + hl, u bi = 0 ∀b u ∈ Varu ∂E ¯E0 =Du0 A resposta a esta pergunta é afirmativa e a formalizamos através do seguinte Teorema. Teorema 7.2 (Corpo com restri¸c˜ oes bilaterais) Dado l em equil´ıbrio existe r ∈ Var⊥ u e u0 ∈ Kinu tal que: Ku0 = l + r Por sua vez, se o movimento de corpo r´ıgido é eliminado, novamente u0 é u ńico. Prova. Por hipótese

l ∈ [Varu ∩ N (D)]⊥

Dos Lemas 1, 4 e 5 Apêndice A3, temos: h i⊥ [Varu ∩ N (D)]⊥ = [Varu ∩ N (K)]⊥ = Varu ∩ [K (Varu )]⊥ = Var⊥ u ⊕ K (Varu ) Por sua vez do Apêndice A2, Se¸caõ A2.10 e Lema 3, Apêndice A3, temos: ⊥ ⊥ [Varu ∩ N (D)]⊥ = Var⊥ u + [N (D)] = Varu + R (K)

Destes resultados temos finalmente que ⊥ l ∈ Var⊥ u + R (K) = Varu ⊕ K (Varu )

Seja w ∈ Kinu arbitrário, logo: Kw ∈ R (K) e da expressão anterior se segue que: l − Kw ∈ Var⊥ u ⊕ K (Varu ) de onde: ⊥ l ∈ Var⊥ u + Kw + K (Varu ) = Varu + K (w + Varu )

e recordando que Kinu é uma trasla¸cão de Varu Kinu = w + Varu , w ∈ Kinu arbitrário

220

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

obtemos: l ∈ Var⊥ u + K (Kinu ) A expressão anterior nos diz finalmente que existe −r ∈ Var⊥ u e u0 ∈ Kinu tal que: l + r = Ku0 Demonstrada a existência, demostraremos a unicidade. Para isto, seja u b ∈ Varu arbitrário, logo: hl, u bi = h−r + Ku0 , u bi = hKu0 , u bi = (DDu0 , Db u) ∀b u ∈ Varu Recordando novamente que Kinu é uma trasla¸cão de Varu e tomando u0 como essa trasla¸cão teremos: Kinu = u0 + Varu ⇔ Varu = Kinu − u0 de onde a expressão anterior pode ser reescrita como: hl, u − u0 i = (DDu0 , D (u − u0 ))

∀u ∈ Kinu

Se existe um outro campo u1 6= u0 teremos que: hl, u − u1 i = (DDu1 , D (u − u1 ))

∀u ∈ Kinu

Fazendo, respectivamente, u = u1 e u = u0 nas duas u ´ltimas expressões e somando membro a membro teremos que: (DD (u0 − u1 ) , D (u0 − u1 )) = 0 e das propriedades do tensor de elasticidade D teremos: D (u0 − u1 ) = 0 ⇒ u0 − u1 ∈ N (D) ou seja u0 e u1 diferem em um movimento de corpo r´ıgido, portanto se este tipo de movimento está impedido pelas restri¸cões cinemáticas impostas em ∂Bu tem-se a unicidade do campo u0 . Do Teorema anterior, conclu´ımos finalmente que o problema da elastostática com restri¸cões bilaterais corresponde ao problema variacional:

7.5.1

Princ´ıpio do Trabalho Virtual (Restri¸c˜ oes Bilaterais): Determinar u0 ∈ Kinu tal que: (DDu0 , D (u − u0 )) = hl, u − u0 i

∀u ∈ Kinu

Se recordamos a propriedade da fun¸caõ densidade de energia de deforma¸caõ: π (Du) − π (Du0 ) ≥ DDu0 · D (u − u0 )

7.5. Princ´ıpios Variacionais. Restri¸cões Bilaterais.

221

e igual se e somente se u − u0 ∈ N (D). Logo: Z [π (Du) − π (Du0 )] dB ≥ (DDu0 , D (u − u0 ))

∀u ∈ Kinu

B

Substituindo no P.T.V. obtemos: Z [π (Du) − π (Du0 )] dB ≥ hl, u − u0 i

∀u ∈ Kinu

B

e agrupando: Z

Z

Π (u) =

π (Du) dB − hl, ui ≥ B

π (Du0 ) dB − hl, u0 i = Π (u0 )

∀u ∈ Kinu

B

onde a igualdade se verifica se e somente se u − u0 ∈ N (D). Obtemos assim o seguinte princ´ıpio de m´ınimo:

7.5.2

Princ´ıpio de M´ınima Energia Potencial Total P.M.E.P.T. (Restri¸co ˜es Bilaterais)

O problema de elastostática é equivalente ao problema de determinar u0 ∈ Kinu tal que minimize o funcional Π (u) em Kinu . Novamente, desde este ponto de vista (minimiza¸caõ do funcional Π) vemos que Kinu é uma variedade linear e Π convexo, coercivo (Π (u) → ∞ para kuk → ∞), e semicont´ınuo inferiormente logo, a existência de um ponto m´ınimo u0 está garantida e se Kinu ∩ N (D) = {0}, ou seja o movimento r´ıgido foi eliminado, teremos que u0 é u ńico já que Π resulta agora estritamente convexo (Apêndice A3). Finalmente para o exemplo do corpo tridimensional em estudo, o funcional Π toma a forma: Z Z Z 1 s s Π (u) = D (∇u) · (∇u) dB − b · u dB − a · u d∂B B 2 B ∂B−∂Bu onde b e a são, respectivamente, a densidade de for¸cas de corpo (definida portanto em B) e a densidade de for¸ca de superf´ıcie prescrita no contorno ∂B − ∂Bu . Vejamos agora o problema da compatibilidade das deforma¸cões. Recordando o P.T.V.C. a deforma¸caõ E0 é compat´ıvel se e somente se: ³ ´ ³ ´ Tb, E0 = Tb, Dw ∀Tb ∈ VarT e onde w ∈ Kinu . Se aplicamos este princ´ıpio ao caso do material apresentado, teremos que o problema da elastostática será equivalente a determinar T0 ∈ EstT tal que a deforma¸cão E0 associada pela¯ equa¸caõ constitutiva elástica (no caso linear E0 = D−1 T0 e no caso mais geral E0 = ∂π ∗ ¯ ) seja compat´ıvel, ou seja: ∂T T0

222

7.5.3

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

Princ´ıpio do Trabalho Virtual Complementar P.T.V.C. (Restri¸co ˜es Bilaterais) Determinar T0 ∈ EstT tal que Ã ¯ ! ³ ´ ∗¯ ∂π ¯ b b T, = T , Du0 ∂T ¯T0

∀Tb ∈ VarT

E recordando que EstT é a transla¸caõ de VarT VarT = EstT − T0 com o que o P.T.V.C. pode ser reescrito como: Ã ¯ ! ∂π ∗ ¯¯ T − T0 , = (T − T0 , Du0 ) ∂T ¯T0

∀T ∈ EstT

Então, da propriedade da fun¸cão potencial de energia complementar: ¯ ∂π ∗ ¯¯ ∗ ∗ π (T ) − π (T0 ) ≥ · (T − T0 ) ∂T ¯T0 e onde a igualdade é satisfeita se e somente se T = T0 , se segue que: Ã ¯ ! Z ∗¯ ∂π ¯ [π ∗ (T ) − π ∗ (T0 )] dB ≥ T − T0 , ¯ ∂T B T0 que substitu´ıda no P.T.V.C. conduz a: Z [π ∗ (T ) − π ∗ (T0 )] dB ≥ (T − T0 , Du0 )

∀T ∈ EstT

B

Então, dado que T − T0 ∈ VarT e u0 ∈ Kinu , a forma bilinear (T − T0 , Du0 ) se reduz a uma forma linear em T − T0 sobre a parte da fronteira ∂Bu onde os deslocamentos estão prescritos. De fato, para o caso tridimensional em estudo temos: Z Z s (T − T0 ) · (∇u0 ) dB = (T − T0 ) · ∇u0 dB (T − T0 , Du0 ) = B B ¾ Z ½ = div [(T − T0 ) u0 ] − div (T − T0 ) · u0 dB | {z }=0 B Z Z = (T − T0 ) n · u0 d∂B = (T − T0 ) n · u d∂B ∂B

∂Bu

Logo, para por em evidência esta caracter´ıstica geral introduzimos a seguinte nota¸caõ: (T − T0 , Du0 ) = ((T − T0 , u))

7.6. Pr´ıncipios Variacionais. Restri¸cões Unilaterais Perfeitas (Sem Atrito)

223

Feita esta observa¸cão, o P.T.V.C. toma finalmente a forma Z [π ∗ (T ) − π ∗ (T0 )] dB ≥ ((T − T0 , u)) ∀T ∈ EstT B

que agrupando termos conduz a: Z Z ∗ ∗ Π (T ) = π (T ) dB − ((T, u)) ≥ π ∗ (T0 ) dB − ((T0 , u)) = Π∗ (T0 ) B

∀T ∈ EstT

B

e onde a igualdade se verifica se e somente se T = T0 . Teremos assim que o P.T.V.C. é equivalente ao problema de m´ınimo do funcional de energia complementar.

7.5.4

Princ´ıpio de M´ınima Energia Complementar P.M.E.C. (Restri¸co ˜es Bilaterais)

O problema de elastostática (linear e não linear) é equivalente ao problema de determinar T0 ∈ EstT tal que minimize o funcional Z ∗ Π (T ) = π ∗ (T ) dB − ((T, u)) B

na variedade linear EstT . Por sua vez temos visto que se existe solu¸cão deste problema ela é u ńica. A existência esta garantida em virtude de que Π∗ é estritamente convexo, semi-cont´ınuo inferiormente e coercivo (Π∗ (T ) → ∞ para kT k → ∞) definido na variedade linear não vazia EstT (ver Apêndice A3). Finalmente e de uma forma similar à apresentada para o caso de corpos livres, é possi´ıvel mostrar que: Π (u) ≥ Π (u0 ) = −Π∗ (T0 ) ≥ −Π∗ (T )

∀u ∈ Kinu ,

∀T ∈ EstT

e onde u0 , T0 são as solu¸cões dos problemas de m´ınima energia potencial total e complementar respectivamente.

7.6

Pr´ıncipios Variacionais. Perfeitas (Sem Atrito)

Restri¸c˜ oes Unilaterais

Na Se¸cão A Formulacao Variacional limitamos nossa apresenta¸caõ ao caso de Varu ser um cone convexo de vértice na origem. Como sempre Kinu será uma trasla¸caõ de Varu . Restri¸co˜es cinemáticas mais gerais, foram analisadas por FICHERA e por BREZIS, onde em geral Kinu é um conjunto fechado convexo.

224

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

Dentro dessa limita¸cão, Varu cone convexo, dada a carga equilibrada l ∈ U 0 , vimos que existia T ∈ W 0 tal que: − (T, Db u) + hl, u bi ≤ 0 ∀b u ∈ Varu Novamente o problema da elastostática consistirá em determinar u0 ∈ Kinu tal que o estado de tensões T0 associado a este campo pela equa¸caõ constitutiva estudada: ¯ ∂π ¯¯ T0 = ∂E ¯Du0 equilibre l, teremos assim que o Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais (P.T.V.) toma a forma: ! Ã ¯ ∂π ¯¯ , Db u + hl, u bi ≤ 0 ∀b u ∈ (Varu (u0 )) − ∂E ¯Du0 Novamente, dado que Kinu é a trasla¸cão de Varu , a expressão anterior pode ser colocada em termos somente de campos cinematicamente admiss´ıveis, ou seja: Ã ! ¯ ∂π ¯¯ , D (u − u0 ) − hl, u − u0 i ≥ 0 ∀u ∈ Kinu ∂E ¯Du0 Então, o primeiro termo não é outra coisa que o diferencial em u0 segundo a dire¸caõ u − u0 do funcional de energia potencial total: Z Π (u) = π (Du) dB − hl, ui B

De fato: ¯ ¯ Z ¯ ¯ d ∂π ¯ δΠ (u0 , u − u0 ) = Π (u0 + α (u − u0 ))¯¯ = · D (u − u0 ) dB − hl, u − u0 i ¯ dα B ∂E Du0 α=0 e das propriedades do funcional Π, diferenciável, estritamente convexo, semi-cont´ınuo inferiormente e coercivo se segue (ver Apêndice A3) que o problema anterior é equivalente ao seguinte problema de m´ınimo:

7.6.1

Princ´ıpio de M´ınima Energia Potencial Total (Restri¸c˜ oes Unilaterais)

O problema da elastostática é equivalente a determinar u0 ∈ Kinu tal que minimize: Z Π (u) = π (Du) dB − hl, ui B

definido no convexo não vazio Kinu .

7.6. Pr´ıncipios Variacionais. Restri¸cões Unilaterais Perfeitas (Sem Atrito)

225

Novamente, das propriedades da fun¸caõ de densidade de energia π, da hipótese que l são funcionais lineares e cont´ınuos e das caracter´ısticas de Kinu é poss´ıvel demonstrar existência e unicidade da solu¸cão. Por outro lado, a deforma¸caõ E era compat´ıvel se e somente se: ´ ³ ´ ³ ∀Tb ∈ VarT Tb, E ≥ Tb, Dw Logo, o problema da elastostática consistirá em determinar T0 ∈ EstT tal que (Princ´ıpio do Trabalho Virtual Complementar): Ã ¯ ! ³ ´ ∗¯ ∂π b, Du0 ¯ ≥ Tb, T ∀Tb ∈ VarT ∂T ¯T0 Então, recordando que: n ³ ´ o VarT = Tb ∈ W 0 ; Tb, Db u ≥ 0 ∀b u ∈ Varu (u0 ) EstT = {T ∈ W 0 ; − (T, Db u) + hl, u bi ≤ 0 ∀b u ∈ Varu (u0 )} Por sua vez, EstT = T + VarT ∀T ∈ EstT . De fato, seja T ∈ EstT e Tb ∈ VarT arbitrário logo: ³ ´ − Tb, Db u ≤ 0 ∀b u ∈ Varu (u0 ) − (T, Db u) + hl, u bi ≤ 0 ∀b u ∈ Varu (u0 ) somando membro a membro estas desigualdades teremos: ³ ´ − T + Tb, Db u + hl, u bi ≤ 0 ∀b u ∈ Varu (u0 ) de onde se conclui que T + Tb ∈ EstT e como T e Tb são elementos arbitrários de EstT e VarT se conclui que EstT = T + VarT para todo T ∈ EstT . Este resultado nos permite reescrever o princ´ıpio do Trabalho Virtual complementar da seguinte forma: Determinar T0 ∈ EstT tal que: Ã ¯ ! ∂π ∗ ¯¯ T − T0 , ≥ (T − T0 , Du0 ) ∀T ∈ EstT ∂T ¯T0 Recordando as propriedadees de π ∗ : ¯ ∂π ∗ ¯¯ · (T − T0 ) π (T ) − π (T0 ) ≥ ∂T ¯T0 ∗

∗

onde a igualdade se verifica se e somente se T = T0 , e integrando, obtemos: Ã ¯ ! Z ∗¯ ∂π ¯ [π ∗ (T ) − π ∗ (T0 )] dB ≥ T − T0 , ∂T ¯T0 B

226

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

e substituindo na expressão do P.T.V.C. obtemos: Z [π ∗ (T ) − π ∗ (T0 )] dB ≥ (T − T0 , Du0 )

∀T ∈ EstT

B

Novamente por ser T e T0 campos equilibrados com a carga aplicada l, a forma bilinear (T − T0 , Du0 ) se reduz a uma forma linear em T − T0 sobre a parte ∂Bu da fronteira ∂B onde os deslocamentos estão prescritos. O anterior será representado da seguinte forma: (T − T0 , Du0 ) = ((T − T0 , u)) Substituindo este u ´ltimo resultado no P.T.V.C. e agrupando, chegamos finalmente a Z Z ∗ ∗ Π (T ) = π (T ) dB − ((T, u)) ≥ π ∗ (T0 ) dB − ((T0 , u)) = Π∗ (T0 ) B

B

e onde a igualdade se verifica se e somente se T = T0 . Teremos assim que o problema da elastostática formulado em fun¸caõ das tensões é equivalente ao seguinte princ´ıpio de m´ınimo:

7.6.2

Princ´ıpio de M´ınima Energia Complementar (Restri¸co ˜es Unilaterais)

O problema da elastostática em fun¸cão das tensões consiste em determinar ou ńico campo T0 ∈ EstT que minimiza o funcional Π∗ . A unicidade deste campo já foi estabelecida. A existência do campo T0 surge da propriedade de Π∗ , o qual é estritamente convexo, semi-cont´ınuo inferiormente e coercivo, e do fato de que EstT é um convexo fechado não vazio. Para o corpo elástico tridimensional em estudo, Π∗ toma a forma: Z Z 1 −1 ∗ Π (T ) = D T · T dB − T n · u d∂B B 2 ∂Bu

7.7

Princ´ıpio de Min-Max. Funcional de HellingerReissner

Como vimos nas se¸co˜es anteriores, para materiais hiperelásticos definidos por fun¸co˜es convexas de densidade de energia de deforma¸caõ, π, e de energia complementar, π ∗ , dentro das hipóteses de pequenas deforma¸co˜es e deslocamentos, o problema de determinar os campos u0 , E0 e T0 tais que satisfa¸cam: • admisibilidade cinemática • compatibilidade

7.7. Princ´ıpio de Min-Max. Funcional de Hellinger-Reissner

227

• equa¸caõ constitutiva • equil´ıbrio é equivalente aos seguintes problemas de m´ınimo: (P1) ½ min

u∈Kinu

¾

Z Π (u) =

π (u) dB − hl, ui B

(P2) ½ ¾ Z ∗ ∗ min Π (T ) = π (T ) dB − ((T, u))

T ∈EstT

B

O problema (P1) é o P.M.E.P.T. e o (P2) é o P.M.E.C. A solu¸caõ u0 de (P1) e T0 de (P2) são tais que: Π (u0 ) = −Π∗ (T0 ) ou seja: min Π (u) = − min Π∗ (T ) de onde: min Π (u) = max [−Π∗ (T )] Em virtude desta rela¸caõ o problema (P1) também é chamado na literatura como Problema Primal e o problema (P2) é chamado de Problema Dual. Também, podemos observar que para os diferentes tipos de restri¸cões cinemáticas (corpo livre, restri¸co˜es bilaterais, restri¸cões unilaterais) os funcionais Π e Π∗ permanecem inalterados variando unicamente a caracteriza¸caõ dos conjuntos Kinu e EstT . No caso mais geral (restri¸co˜es unilaterais), estes conjuntos são fechados e convexos e, para o caso de restri¸cões bilaterais ou corpo livre, estes conjuntos são variedades lineares ou subespa¸cos. A caracteriza¸caõ do m´ınimo está dada no primeiro caso por inequa¸ c˜ oes variacionais (P.T.V. e P.T.V.C. para (P1) e (P2) respectivamente) que nos mostra para esta classe de restri¸co˜es a natureza n˜ ao linear do problema (inclusive para materiais elásticos lineares). Para restri¸cões cinemáticas bilaterais ou corpo livre, a caracteriza¸cão do m´ınimo está dada por equa¸ c˜ oes variacionais (P.T.V. e P.T.V.C.). Então, a constru¸cão de Kinu em geral, não resulta dif´ıcil, não ocorre o mesmo com EstT . Movidos por esta dificuldade, nos perguntamos se será poss´ıvel caracterizar a solu¸cão da elastostática de tal maneira que a constru¸cão dos conjuntos não seja tão dif´ıcil. A resposta a esta questão é afirmativa e será apresentada nesta se¸cão. Recordemos a dualidade entre as fun¸cões π e π ∗ . Em particular: π (Du) = max0 [T · Du − π ∗ (T )] T ∈W

228

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

onde o campo T está simplesmente limitado a pertencer a W 0 . Substituindo isto no funcional Π temos: Z Π (u) = π (Du) dB − hl, ui B ½ Z ¾ Z ∗ = max0 − π (T ) dB + T · Du dB − hl, ui T ∈W

chamando:

B

B

Z

Z ∗

FH−R = −

π (T ) dB + B

T · Du dB − hl, ui B

conhecido como funcional de Hellinger-Reissner (em virtude de ser estes dois autores quem o propuseram pela primeira vez em 1914 e 1950, respectivamente), a expressão anterior pode ser escrita como: Π (u) = max0 FH−R (u, T ) T ∈W

e o problema (P1) resulta equivalente a: min Π (u) = min max0 FH−R (u, T )

u∈Kinu

u∈Kinu T ∈W

de onde: FH−R (u0 , T ) ≤ Π (u0 ) = FH−R (u0 , T0 ) por sua vez como: Π (u0 ) = −Π∗ (T0 ) = − min (Π∗ (T )) = max (Π∗ (T )) se segue que: max min FH−R (u, T ) = min max0 FH−R (u, T )

T ∈W 0 u∈Kinu

u∈Kinu T ∈W

logo: FH−R (u0 , T ) ≤ Π (u0 ) = FH−R (u0 , T0 ) ≤ FH−R (u, T0 ) Em outras palavras os campos u0 , T0 solu¸co˜es de (P1) e (P2), respectivamente são o ponto de sela do funcional de Hellinger-Reissner. Temos chegado ao seguinte problema variacional.

7.7.1

Princ´ıpio de Hellinger-Reissner

O problema da elastostática é equivalente ao problema variacional de determinar os campos u0 ∈ Kinu e T0 ∈ W 0 solu¸caõ do seguinte problema de min-max min max FH−R (u, T )

u∈Kinu T ∈W 0

Do ponto de vista mais mecânico, para formular o princ´ıpio de min-max temos raciocinado da seguinte maneira:

7.7. Princ´ıpio de Min-Max. Funcional de Hellinger-Reissner

229

• No P.M.E.P.T. min Π (u)

u∈Kinu

estão impl´ıcitas as seguintes equa¸cões: – equa¸caõ de compatibilidade: dado u0 ⇒ E0 = Du0 – equa¸caõ constitutiva: E0 = Du0 e T0 estão associados pela equa¸cão constitutiva do material hiperelástico em estudo. Ou seja: ¯ ¯ ∂π ∗ ¯¯ ∂π ¯¯ , T0 = E0 = ∂T ¯T0 ∂E ¯E0 • Logo, para formular o funcional FH−R o que temos feito é incorporar explicitamente esta u ´ltima equa¸cão no funcional Π. Isto o fizemos ao estabelecer que o campo T associado à deforma¸cão Du pela equa¸caõ constitutiva é a solu¸cão do problema: max0 [T · Du − π ∗ (T )] = π (Du) T ∈W

• Por u ´ltimo, através do m´ınimo com rela¸caõ à variável u ∈ Kinu estamos procurando aquele T que, além de estar associado a Du pela equa¸cão constitutiva, satisfa¸ca o equil´ıbrio. Do anterior vemos claramente que as equa¸cões associadas ao problema de min-max deverão ser: • Equil´ıbrio • Equa¸caõ Constitutiva De fato, a condi¸caõ de max em T ∈ W 0 e por ser W 0 um e.v. está dada por: ³ ´ ³ ´¯¯ d δFH−R u0 , T0 ; Tb = FH−R u0 , T0 + αTb ¯¯ dα ! α=0 ¯ Z Ã ∗¯ ∂π ¯ 0 b b − = ¯ − Du0 · T dB ∀T ∈ W ∂T B T0 de onde se conclui que:

¯ ∂π ∗ ¯¯ E0 = Du0 = ∂T ¯T0

∀x ∈ B

230

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

Por sua vez, a condi¸caõ de m´ınimo com rela¸caõ a u ∈ Kinu e por ser Kinu um convexo fechado não vazio está dada pela inequa¸cão variacional ¯ ¯ d δFH−R (u0 , T0 ; u b) = FH−R (u0 + αb u, T0 )¯¯ dα α=0 Z = T · Db u dB − hl, ui B

= (T, Db u) − hl, u bi ≥ 0 ∀b u ∈ Varu (u0 ) que não é outra coisa que o próprio P.T.V. que como já sabemos estabelece o equil´ıbrio entre o campo T e a carga l. Por u ´ltimo é interessante ressaltar que ao resolver o problema de min-max obtemos u0 e T0 simultaneamente. Isto tem sua importância quando utilizamos métodos aproximados.

7.8

Funcional Generalizado

Nesta se¸caõ vamos deduzir um novo funcional, F (u, E, T ), chamado funcional generalizado ou funcional de três campos. Para isso recordemos novamente o P.M.E.P.T.: ½ ¾ Z min Π (u) = π (u) dB − hl, ui u∈Kinu

B

O problema anterior pode ser reescrito da seguinte forma: ½ ¾ Z min Π (u) = π (E) dB − hl, ui u∈Kinu

B

com a condi¸cão subsidiária: E = Du Fazendo uso da teoria dos multiplicadores de Lagrange podemos construir um outro funcional, F (u, E, T ), dado por: Z Z F (u, E, T ) = π (E) dB − hl, ui − T · (E − Du) dB B

B

Temos assim o seguinte problema variacional.

7.8.1

Princ´ıpio Variacional Generalizado

O problema da elastostática é equivalente ao problema variacional de determinar u0 ∈ Kinu , E0 ∈ W e T0 ∈ W 0 tais que fa¸cam estacionário o funcional F (u, E, T ) . De fato,

7.9. Teorema de Castigliano

231

como o problema está definido em Kinu , W e W 0 a condi¸caõ de ponto estacionário conduz a: δF (u0 , E0 , T0 ; u b) ≥ 0 ∀b u ∈ Varu (u0 ) ³ ´ b = 0 ∀E b∈W δF u0 , E0 , T0 ; E ³ ´ δF u0 , E0 , T0 ; Tb = 0 ∀Tb ∈ W 0 ou de forma estendida:

¯ ¯ d δF (u0 , E0 , T0 ; u b) = F (u0 + αb u, E0 , T0 )¯¯ dα α=0 = (T0 , Db u) − hl, u bi ≥ 0 ∀b u ∈ Varu (u0 )

que corresponde à expressão do P.T.V., ou seja T0 ∈ EstT , ³

b δF u0 , E0 , T0 ; E

de onde:

´

´¯¯ d ³ b = F u0 , E0 + αE, T0 ¯¯ dα α=0 ! ¯ Z Ã ∂π ¯¯ b b = ¯ − T0 · E dB = 0 ∀E ∈ W ∂E B E0 ¯ ∂π ¯¯ T0 = ∂E ¯E0

∀x ∈ B

ou seja E0 , T0 estão relacionados pela equa¸caõ constitutiva, ³

´¯¯ d ³ F u0 , E0 , T0 + αTb ¯¯ dα α=0 Z = Tb · (E0 − Du0 ) dB = 0 ∀Tb ∈ W 0

´ b δF u0 , E0 , T0 ; T =

B

de onde: E0 = Du0

∀x ∈ B

que nos diz que o campo de deforma¸cão E0 é compat´ıvel. Com isto vemos que o ponto que faz estacionário o funcional generalizado é solu¸cão do problema da elastostática e vice-versa, a solu¸caõ do problema da elastostática faz estacionário o funcional generalizado, da´ı a equivalência entre ambos os problemas. A Figura 7.3 nos mostra esquematicamente os resultados até aqui alcan¸cados.

7.9

Teorema de Castigliano

Nesta se¸caõ, limitaremos nossa apresenta¸cão ao caso de restri¸co˜es cinemáticas bilaterais. Neste caso Kinu é uma variedade linear.

232

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

Figura 7.3: Principios Variacionais na teoria da elasticidade em pequenas deforma¸co˜es e deslocamentos Dizemos que o sistema de carga l aplicada ao corpo na configura¸caõ B é um sistema de for¸ca a n parâmetros se: n X l= Qi l i i=1 0

onde li ∈ U é o i-ésimo modo de for¸ca e Qi ∈ R é o parâmetro de carga associada ao i-ésimo modo também chamado parâmetro de carga generalizada. Neste caso, o funcional Π toma a forma: Z Π (u) = π (u) dB − hl, ui Z

B

=

π (u) dB − Z

B

=

n X

Qi hli , ui

i=1

π (u) dB − B

n X

Qi qi

i=1

onde: qi = hli , ui é chamado parâmetro de deslocamento generalizado e está associado a u através da expressão anterior.

7.9. Teorema de Castigliano

233

Em virtude desta rela¸caõ é poss´ıvel expressar u em fun¸caõ dos parâmetros qi , ou seja: u = u (qi ) logo, o P.M.E.P.T. resulta: ( min Π (u) =

u∈Kinu

min

R

qi ∈ ,i=1,...,n

Z e (qi ) = Π

π (u (qi )) dB − B

Da condi¸caõ de m´ınimo obtemos: Z ∂ π (u (qi )) dB = Qi , ∂qi B

n X

) Qi qi

i=1

i = 1, 2, ..., n

expressão esta correspondente ao Primeiro Teorema de Castigliano estendido a elasticidade n˜ ao linear. Consideremos agora o P.M.E.P.C.: ½ ¾ Z ∗ ∗ min Π (T ) = π (T ) dB − ((T, u)) T ∈EstT

B

Suponhamos agora que u pode ser expresso como: u=

n X

q i ei

i=1

onde q i ∈ R e ei é o modo de deslocamento prescrito. Substituindo isto em Π∗ temos: Z ∗

∗

Π (T ) =

π (T ) dB − B

n X

Z ((T, ei )) q i =

i=1

∗

π (T ) dB − B

n X

Qi q i

i=1

onde: Qi = ((T, ei )) ou seja Qi = Qi (T ). Em virtude deste resultado, em geral, poderemos expressar os campos T ∈ EstT em fun¸caõ dos parâmetros Qi . Neste caso teremos: ) ( Z n X ∗ ∗ ∗ e (Qi ) = min Π (T ) = min Π π (T (Qi )) dB − Qi qi T ∈EstT

R

Qi ∈ ,i=1,...,n

B

Novamente, da condi¸caõ de m´ınimo obtemos: Z ∂ π ∗ (T (Qi )) dB = qi , ∂Qi B

i=1

i = 1, 2, ..., n

Este resultado corresponde ao Segundo Teorema de Castigliano estendido a elasticidade n˜ ao linear.

234

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

7.10

Cotas para Deslocamentos e Cargas Generalizadas

Nas se¸co˜es anteriores t´ınhamos estabelecido que: Z Z Π (u) = π (Du) dB − hl, ui ≥ Π (u0 ) = π (Du0 ) dB − hl, u0 i = −Π∗ (T0 ) BZ B Z ∗ = − π (T0 ) dB + ((T0 , u)) ≥ − π ∗ (T ) dB + ((T, u)) B

= −Π∗ (T )

B

∀u ∈ Kinu ,

∀T ∈ EstT

Suponhamos agora que as restri¸co˜es cinemáticas em ∂Bu são homogênas, ou seja, u = 0, e que a carga aplicada l é uma carga de um parâmetro, ou seja, l = Ql1 . Para este caso a expressão anterior resulta: Z Z Z Z ∗ π (Du) dB − Qq ≥ π (Du0 ) dB − Qq0 = − π (T0 ) dB ≥ − π ∗ (T ) dB B

B

B

B

para todo u ∈ Kinu e T ∈ EstT e onde: q = hl1 , ui ,

q0 = hl1 , u0 i

∗ Logo, R ∗dada uma dire¸cão u ∈ Kinu (arbitrária) podemos obter a melhor cota inferior para B π (T0 ) dB resolvendo o problema: ½ ¾ Z Z Z Z ∗ ∗ ∗ max λQq − π (λDu ) dB ≤ Qq0 − π (Du0 ) dB = π (T0 ) dB ≤ π ∗ (T ) dB λ∈

R

B

B

B

B

No caso de um material elástico linear, o máximo pode ser calculado explicitamente. De fato para este material se verifica que: π (λE) = λ2 π (E) Substituindo este resultado no problema proposto obtemos: ½ ¾ Z Z Z Z ∗ 2 ∗ ∗ max λQq − λ π (Du ) dB ≤ Qq0 − π (Du0 ) dB = π (T0 ) dB ≤ π ∗ (T ) dB

R

λ∈

B

B

O máximo em λ corresponde à condi¸cão: Z ∗ Qq − 2λ π (Du∗ ) dB = 0 B

de onde: λmax =

Qq ∗ 2 B π (Du∗ ) dB R

B

B

7.10. Cotas para Deslocamentos e Cargas Generalizadas

235

Figura 7.4: Viga engastada em um extremo do exemplo 7.1 Substituindo este resultado obtemos: ½ ¾ Z Z Qq ∗ ∗ ∗ λmax Qq − R π (Du ) dB ≤ Qq0 − π (Du0 ) dB 2 B π (Du∗ ) dB B B Z Z ∗ = π (T0 ) dB ≤ π ∗ (T ) dB B

B

de onde: λmax ∗ Qq ≤ Qq0 − 2

Z

Z

Z π (T0 ) dB ≤

π (Du0 ) dB =

B

B

B

π ∗ (T ) dB

∗

para todo u∗ ∈ Kinu e T ∈ EstT , onde EstT = {T ∈ W 0 ; (T, u b) = Q hl1 , u bi

∀b u ∈ Varu }

Se em particular aplicamos este resultado para a dire¸caõ u0 teremos: λmax = com o que obtemos:

de onde:

1 Qq0 = 2

Qq0 =1 2 B π (Du0 ) dB R

Z

2 q0 ≤ Q

Z ∗

π ∗ (T ) dB

π (T0 ) dB ≤ B

B

Z π ∗ (T ) dB

∀T ∈ EstT

B

Obtemos assim uma cota superior para o deslocamento generalizado real da estrutura, q0 , associada à carga generalizada Q em fun¸caõ simplesmente de campos de tensões com ela equilibradas. Exemplo 7.1 Seja a estrutura da Figura 7.4. Para este exemplo temos: EstT = {M ; M = Qx} 1 M2 1 Q2 x2 π ∗ (T ) = = 2 EI 2 EI

236

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

logo

Z 2 L 1 Q 2 x2 QL3 q0 ≤ dx = Q 0 2 EI 3EI com o que obtemos a cota superior coincidente com o deslocamento exato. Recordemos novamente a desigualdade: Π (u) ≥ Π (u0 ) = −Π∗ (T0 ) ≥ −Π∗ (T )

∀u ∈ Kinu ,

∀T ∈ EstT

Desta expressão e supondo que l = 0 temos: Z Z ∗ ∗ π (T ) dB ≤ ((T0 , u)) − π ∗ (T0 ) dB −Π (T ) = ((T, u)) − B B Z Z = π (Du0 ) dB ≤ π (Du) dB ∀u ∈ Kinu , ∀T ∈ EstT B

B

Novamente, escolhida a dire¸cão T ∗ ∈ EstT arbitr´ aria podemos escolher o ponto λT ∗ que R nos proporcione a melhor cota inferior para B π (Du0 ) dB. Em outras palavras: ¾ ½ Z Z ∗ ∗ ∗ π (λT ) dB ≤ ((T0 , u)) − π ∗ (T0 ) dB max λ ((T , u)) − λ∈R B B Z Z = π (Du0 ) dB ≤ π (Du) dB B

B

para todo T ∗ ∈ EstT e todo u ∈ Kinu . Para o material elástico linear teremos, com um racioc´ınio similar ao já realizado, que: λmax =

((T ∗ , u)) 2 B π ∗ (T ∗ ) dB R

que substitu´ıda na desigualdade anterior resulta: ¾ ½ Z Z ∗ ∗ ∗ λmax ((T , u)) − λmax π (T ) dB ≤ ((T0 , u)) − π ∗ (T0 ) dB B B Z Z = π (Du0 ) dB ≤ π (Du) dB B

de onde:

Z 1 ∗ λmax ((T , u)) ≤ π (Du) dB 2 B Em particular para a dire¸caõ T0 resultará λmax = 1 logo: Z 1 ((T0 , u)) ≤ π (Du) dB 2 B Se admitirmos agora que: u = qe

B

7.10. Cotas para Deslocamentos e Cargas Generalizadas

237

ou seja, depende de um u ńico parâmetro de deslocamento generalizado, teremos: Z 1 1 ((T0 , e)) q = Q0 q ≤ π (Du) dB 2 2 B de onde:

2 Q0 ≤ q

Z π (Du) dB B

Logo fazendo uso de campos cinematicamente admiss´ıveis obtemos uma cota superior para a carga generalizada real que seja necessária aplicar à estrutura para produzir o deslocamento generalizado q. Até aqui, temos obtido cotas de cargas e deslocamentos em pontos onde a carga está aplicada ou o deslocamento está prescrito. Vamos mostrar uma técnica para obter uma cota do deslocamento em qualquer ponto da estrutura. Consideremos o corpo B submetido à a¸caõ da carga l ∈ U 0 e as restri¸cões cinemáticas em ∂Bu do tipo u = 0, e chamemos de u0 o campo de deslocamento solu¸caõ do problema elastostático correspondente. Seja agora T ∗ ∈ W 0 um estado de tensões equilibrado com a carga l∗ por agora arbitrária. Da propriedade das fun¸cões potenciais π e π ∗ temos: π (Du0 ) + π ∗ (T ∗ ) ≥ T ∗ · Du0 de onde: π ∗ (T ∗ ) ≥ T ∗ · Du0 − π (Du0 ) Integrando no dom´ınio B e recordando que T ∗ é um campo estaticamente equilibrado com l∗ resulta: Z Z Z ∗ ∗ ∗ π (T ) dB ≥ T · Du0 dB − π (Du0 ) dB B B B Z ∗ = hl , u0 i − π (Du0 ) dB B

Então, para o caso de um material elástico linear temos: 1 π (Du0 ) = T0 · Du0 , 2

T0 = DDu0

onde T0 é um campo equilibrado com a carga l, logo: ¿ À Z 1 1 ∗ ∗ ∗ ∗ π (T ) dB ≥ hl , u0 i − hl, u0 i = l − l, u0 2 2 B Em particular, se queremos cotar u0 em um ponto arbitrário x ∈ B segundo a dire¸caõ e, também arbitrária, bastará para isso adotar como carga l∗ a seguinte: 1 l∗ = l + δx Q∗ e 2

238

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

Figura 7.5: Viga engastada do exemplo 7.2 onde δx é a fun¸cão delta de Dirac, e Q∗ um escalar arbitrário. De fato,.substituindo l∗ na u ´ltima desigualdade obtemos: Z π ∗ (T ∗ ) dB ≥ hδx Q∗ e, u0 i = Q∗ (u0 · e)x B

de onde:

1 (u0 · e)x ≤ ∗ Q

Z π ∗ (T ∗ ) dB B

onde recorde que T ∗ é um campo equilibrado com a carga l∗ adotada. Como T ∗ dependerá de Q∗ poderemos modificar Q∗ de maneira a minimizar o segundo termo da desigualdade. Temos assim que a cota superior ótima corresponde a: ¶ µ Z 1 ∗ ∗ (u0 · e)x ≤ min π (T ) dB Q∗ ∈R Q∗ B Exemplo 7.2 Seja a estrutura da Figura 7.5, logo: l → p carga uniformemente distribuida 1 l∗ → p + Q∗ , onde Q∗ é uma carga concentrada em x = 0 2 O estado T ∗ = M ∗ deverá estar equilibrado com l∗ logo: 1 1 x2 M ∗ = p + Q∗ x = px2 + Q∗ x 2 2 4 Z

¢2 Z L ¡1 2 1 M ∗2 1 4 px + Q∗ x π (T ) dB = dx = dx EI B 0 2 EI 0 2 ¶ µ 1 1 2 5 1 ∗ 4 1 ∗2 3 p L + pQ L + Q L = 2EI 80 8 3 Z

∗

∗

L

7.11. Problema da Elastodinâmica (Restri¸co˜es Bilaterais) de onde:

½ q0 ≤ min ∗ Q ∈

R

1 2EI

µ

1 p2 L5 1 4 1 ∗ 3 + pL + Q L 80 Q∗ 8 3

239 ¶¾

A condi¸c˜ ao de m´ınimo corresponde a: ¶ µ d 1 p2 L5 1 4 1 ∗ 3 + pL + Q L = 0 dQ∗ 80 Q∗ 8 3 de onde:

r Q∗ =

3 pL 8

que conduz à seguinte cota ótima: µ ¶ 1 1 pL4 pL4 q0 ≤ √ + ≈ 0.127 EI 240 16 EI O deslocamento exato corresponde a q0 = 0.125qL4 / (EI). Ou seja, o deslocamento foi cotado por um erro de 1.6%.

7.11

Problema da Elastodinˆ amica (Restri¸co ˜es Bilaterais)

Nas se¸co˜es anteriores concentramos nossa aten¸cão ao problema da elastostática. Entretanto, na Se¸cão 6.5.1 vimos que o Princ´ıpio da Potência Virtual nos define o conceito de equil´ıbrio inclusive para o caso dinâmico. Neste caso era necessário incluir no termo correspondente à potência externa, Pe , a potência das for¸cas de inércia, −ρv, ˙ onde v˙ é a descri¸cão espacial da acelera¸caõ real do movimento. Para simplificar nossa apresenta¸cão vamos a supor que o conjunto Kinu está definido da seguinte maneira Kinu = {u = u(x, t)|u suficientemente regular em B × [0, tf ], u = u(t, x)∀x ∈ ∂Bu × [0, tf ]}

(7.1)

e contorno ∂Bu de B, onde os deslocamentos estão prescritos, também estamos supondo não varia com o tempo. Dentro das hipóteses de pequenas deforma¸co˜es e deslocamentos, o problema da elastodinâmica consistirá em: • Para cada instante de tempo t ∈ [0, tf ] , determinar os campos u0 ∈ Kinu , E0 ∈ W e T0 ∈ W 0 , tais que: – o campo T0 está em equil´ıbrio (dinâmico) com a carga lt ∈ W 0 , onde lt representa a carga no instante t.

240

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões – os campos E0 e T0 estão associados pela equa¸caõ constitutiva do material hiperelástico estudado. – o campo E0 ∈ W é um campo compat´ıvel de deforma¸cão, ou seja: E0 =Du0 . – o campo u0 satisfaz as condi¸cões iniciais: u0 (x, 0) = u e0 (x) ∀x ∈ B e˙ 0 (x) = v0 (x) u˙ 0 (x, 0) = u ∀x ∈ B

Como no caso estático, podemos formular o problema da elastodinâmica em fun¸cão unicamente do campo de deslocamentos (Problema Primal) ou em fun¸caõ do campo de tensões em equil´ıbrio dinâmico com a carga lt (Problema Dual) ou formula¸cões mistas, em fun¸caõ de campos de deslocamentos e de tensões, ou formula¸cões generalizadas, ou seja em fun¸cão dos três campos: deslocamentos, deforma¸co˜es e tensões. Limitando nossa apresenta¸cão à formula¸cão em termos do campo de deslocamentos, o problema da elastodinâmica consistirá em determinar, para cada instante de tempo t ∈ [0, tf ], o campo u0 ∈ Kinu tal que • Satisfa¸ca o equil´ıbrio: ¯ ∂π ¯¯ ( , Db u) ≥ hlt − ρ¨ u0 , u bi ∂E ¯Du0

∀b u ∈ Varu (u0 (·, t))

(7.2)

• Satisfa¸ca a condi¸caõ inicial: u0 (x, 0) = u e0 (x) e u˙ 0 (x, 0) = u˙ 0 (x) = v0 (x)

¾ ∀x ∈ B

(7.3)

Como consideramos restri¸co˜es cinemáticas do tipo bilateral (recordar a defini¸c ao de Kinu dada em (7.1)), o conjunto Varu resulta um s.e.v. de U pelo que a inequa¸caõ anterior (7.2) se transforma em uma equa¸cão variacional: Varu = {b u|b u suf. regular, u b(x, 0) = u b(x, tf ) = 0∀x ∈ B}

(7.4)

Para este u ´ltimo caso e suposta a existência de uma solu¸cão, não resulta dif´ıcil demonstrar unicidade. Para isso, recorde que Varu é o conjunto de todas as a¸co˜es de movimento (campos de velocidades) virtuais, cinematicamente admiss´ıveis. Com base nisto a equa¸caõ de equil´ıbrio pode ser reescrita da seguinte forma: ! Ã ¯ ∂π ¯¯ , D(u˙ − u˙ 0 ) + hρ¨ u0 , u˙ − u˙ 0 i = hlt , u˙ − u˙ 0 i ∀u˙ ∈ Varu (7.5) ∂E ¯Du0 Se existe outra solu¸cão u1 , u0 6= u1 , a equa¸cão variacional anterior (7.5) também se verifica para u1 : ! Ã ¯ ∂π ¯¯ , D(u˙ − u˙ 1 ) + hρ¨ u1 , u˙ − u˙ 1 i = hlt , u˙ − u˙ 1 i ∀u˙ ∈ Varu (7.6) ∂E ¯Du1

7.11. Problema da Elastodinâmica (Restri¸co˜es Bilaterais)

241

Fazendo u˙ = u˙ 1 e u˙ = u˙ 0 nas duas u ´ltimas equa¸cões e somando membro a membro obtemos: Ã ! ¯ ¯ ∂π ¯¯ ∂π ¯¯ − , D (u˙ 1 − u˙ 0 ) + hρ (¨ u1 − u¨0 ) , u˙ 1 − u˙ 0 i = 0 ∂E ¯Du1 ∂E ¯Du0 Para o caso de um material hiperelástico linear a expressão anterior corresponde a: (DD (u1 − u0 ) , D (u˙ 1 − u˙ 0 )) + hρ (¨ u1 − u¨0 ) , u˙ 1 − u˙ 0 i = 0 de onde:

1d [(DD (u1 − u0 ) , D (u1 − u0 )) + hρ (u˙ 1 − u˙ 0 ) , u˙ 1 − u˙ 0 i] = 0 2 dt Integrando a expressão anterior entre 0 e o tempo genérico t, dado que u0 e u1 satisfazem a mesma condi¸cão inicial e da positividade de D e de ρ se segue que: D (u1 − u0 ) = 0 u˙ 1 − u˙ 0 = 0

∀t ∈ [0, tf ] e x ∈ B ∀t ∈ [0, tf ] e x ∈ B

Tendo presente que em t = 0 as condi¸cões iniciais para u0 e u1 são idênticas se conclui finalmente que: u1 = u0 ∀x ∈ B, t ∈ [0, tf ] com o que obtemos a unicidade de tal solu¸cão do problema da elastodinâmica. Para o caso de um material hiperelástico não linear também se verifica o resultado anterior em virtude de que a rela¸cão constitutiva é monótona e da positividade de ρ. Seja agora o seguinte funcional: Z tf 1 {h ρu, L(u) = ˙ ui ˙ − Π(u) + hlt , ui}dt (7.7) 2 0 onde os dois primeiros termos do integrando são, respectivamente, a energia cinética e a energia interna do sistema e o terceiro termo corresponde ao trabalho das for¸cas aplicadas. Logo, das considera¸cões anteriores e da expressão (7.5) temos que: def

u0 = arg min L(u) u∈Kinu

(7.8)

A expressão anterior é o próprio princ´ıpio de Hamilton: de todas as configura¸c˜ oes cinematicamente admiss´ıveis aquela que minimiza o funcional é a solu¸c˜ ao da elastodinˆ amica. O anterior é conhecido como Princ´ıpio de Hamilton. De fato: Z tf d b˙ − ( ∂π |Du0 , Db L(u0 + ²b u)|²=0 = {hρu˙ 0 , ui u) + hlt , u bi}dt = d² ∂E 0 Z tf ∂π tf = hρu˙ 0 , u bi| + {h−ρ¨ u0 , u bi − ( |Du , Db u) + hlt , u bi}dt = | {z 0} ∂E 0 0 =0 por ser u b∈Varu Z tf ∂π = {h−ρ¨ u0 , u bi − ( |Du , Db u) + hlt , u bi}dt = 0 ∀b u ∈ Varu (7.9) ∂E 0 0

242

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

Logo, para cada instante t temos (

∂π |Du , Db u) − hlt − ρ¨ u0 , u bi = 0 ∀b u ∈ Varu ∂E 0

(7.10)

Isto é, recuperamos a expressão (7.2).

7.12

Solu¸c˜ ao Aproximada dos Problemas Variacionais

Nesta se¸caõ vamos mostrar como os Princ´ıpios Variacionais estudados nas se¸cões anteriores nos proporcionam de uma maneira natural os algoritmos numéricos adequados para a obten¸cão de solu¸cões aproximadas.

7.13

Problema da Elastost´ atica. Restri¸c˜ oes Bilaterais

Segundo temos visto em se¸co˜es anteriores este problema é equivalente aos seguintes problemas variacionais: min Π(u) P.M.E.P.T.

(7.11)

min Π∗ (T ) P.M.E.C.

(7.12)

u∈Kinu T ∈EstT

Como podemos apreciar estes dois problemas estão definidos nos conjuntos Kinu e EstT que para restri¸co˜es cinemáticas do tipo bilateral são trasla¸co˜es dos s.e. Varu e VarT de dimens˜ ao infinita, ou seja: Kinu = u + Varu EstT = T + VarT Para obter solu¸cões aproximadas destes dois problemas procedemos a defini¸caõ dos mesmos em espa¸cos de dimens˜ ao finita. Para isso designemos por {φi }∞ i=1 o conjunto completo de fun¸co˜es coordenadas ou fun¸co˜es bases no s.e. Varu (no caso do corpo tridimensional φi é um campo vetorial). Recorde que o anterior equivale a dizer que dado ² > 0 arbitrariamente pequeno, sempre será poss´ıvel estabelecer um n´ umero inteiro N = N (²) tal que para todo n > N resulta poss´ıvel definir a1 , a2 ,..., an , ai ∈ R, tais que: ° ° n ° ° X ° ° ai φi ° < ², k·k : norma adotada em Varu °u − ° ° i=1

Com base no anterior e para n finito podemos definir o espa¸co de dimensão finita: Varnu = Span {φi }ni=1

7.13. Problema da Elastostática. Restri¸cões Bilaterais

243

verificando-se,por sua vez que Varnu ⊂ Varu . Recordando que Kinu é uma trasla¸caõ u (u ∈ Kinu arbitrário) de Varu , podemos estabelecer em Kinu o subconjunto Kinnu ⊂ Kinu dado por: Kinnu = u + Varnu = u + Span {φi }ni=1 O anterior pode ser estendido de uma maneira similar ao espa¸co VarT e ao conjunto EstT . Logo, designando por {ψi }∞ cões coordenadas (no i=1 ao conjunto completo de fun¸ caso de corpo tridimensional ψi é um campo tensorial) no espa¸co VarT . Logo, para cada r finito temos: VarrT = Span {ψi }ri=1 ⊂ VarT EstrT = T + VarrT = T + Span {ψi }ri=1 ⊂ EstT Com estes novos conjuntos, passamos a reformular os problemas variacionais mas desta vez definindo-os nos conjuntos Kinnu e EstrT , respectivamente. Como veremos mais adiante, isto conduzirá ao problema de minimizar uma fun¸c˜ ao em Rn e Rr respectivamente. Os algoritmos numéricos para a resolu¸caõ destes problemas em dimensão finita basicamente podem agrupar-se em duas grandes categorias: uma chamada métodos diretos integrada por algoritmos que em geral procuram minimizar em cada passo a fun¸cão objetivo, a outra categoria (métodos indiretos).corresponde aos algoritmos que procuram a resolu¸caõ das equa¸co˜es que caracterizam o m´ınimo. O P.M.E.P.T. e o P.M.E.C. resultam agora definidos da seguinte maneira: min Π (u)

u∈Kinn u

minr Π∗ (T )

T ∈EstT

Dado que Kinnu = u + Varnu e EstrT = T + VarrT temos que: u ∈ Kinnu ⇒ u = u + T ∈ EstrT ⇒ T = T +

n X i=1 r X

ai φi b i ψi

i=1

onde variando ai , bi ∈ R, i = 1, 2, ...,obtemos todos os elementos de Kinnu e EstrT . Com base nisto o funcional Π (u) em Kinnu toma a forma: Ã ! Z Ã ! n n n X X X e (a1 , a2 , ..., an ) = Π e (a) Π u+ ai φi = π u+ ai φi dB − ai hl, φi i = Π i=1

B

i=1

i=1

e é uma fun¸ onde Π c˜ ao definida em Rn , ou seja: (P1)

e (a) min Π (u) ⇔ minn Π

u∈Kinn u

a∈

R

(7.13)

244

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

em outras palavras ao trabalhar em dimensão finita temos transformado o problema original (P.M.E.P.T.) de minimizar um funcional em um espa¸co de dimensão infinita em um e é em Rn . problema de minimizar uma fun¸caõ Π De forma similar o P.M.E.C. se transforma em: e ∗ (b) min Π∗ (T ) ⇔ minr Π

(P2) onde:

T ∈EstrT

Ã

Z e ∗ (b) = Π

π∗ T + B

r X

b∈

! bi ψi

ÃÃ dB −

(7.14)

R

T+

i=1

r X

!! bi ψi , u

i=1

Por outro lado, se o material é elástico linear temos: ! Ã ! Ã Z n n n X X X 1 e ai φi · D u + aj φj dB − hl, ui − ai hl, φi i Π (a) = DD u + 2 B i=1 j=1 i=1 e dada a simetria e positividade de D se segue-se que a condi¸caõ necessária e suficiente e está dada por: para o m´ınimo de Π e ∂Π = 0, para i = 1, 2, ..., n ∂ai ou em forma expl´ıcita: n Z X j=1

Z DDφi · Dφj dB aj = hl, φi i − B

DDu · Dφi dB, para i = 1, 2, ..., n B

Logo, o problema (P1) (7.13) é equivalente ao problema de resolver o sistema linear de equa¸co˜es algébricas: (P1.a) Ka = f (7.15) onde: • K matriz do sistema, simétrica positiva definida (em virtude das propriedades de D e em virtude de supor que o movimento de corpo r´ıgido foi eliminado). Seu coeficiente genérico Kij está dado por: Z Kij =

DDφi · Dφj dB B

• f ∈ Rn vetor termo independente fun¸caõ da carga aplicada l e das condi¸co˜es de contorno em ∂Bu .

7.13. Problema da Elastostática. Restri¸cões Bilaterais

245

Por sua vez, das propriedades de K se segue-se que existe sua inversa K −1 pelo que os coeficientes da solu¸cão aproximada estão dados por a = K −1 f . Aqui se vê perfeitamente que se as fun¸cões coordenadas φi . são escolhidas de maneira a serem ortogonais no sentido: ½ = 0 se i 6= j Kij 6= 0 se i = j teremos que o sistema de equa¸co˜es (P1.a) (7.15) é diagonal. A constru¸cão de tal tipo de fun¸cões é em numerosos casos práticos imposs´ıvel de ser realizada. Não obstante, uma maneira de obter matrizes K com a maior quantidade poss´ıvel de coeficientes nulos, consiste em trabalhar com fun¸cões coordenadas φi de suporte compacto, ou seja φi não é identicamente nula em uma parte de B e é identicamente nula em sua parte complementar. Assim o suporte de φi o designamos por Bi , teremos que: ½ Z = 0 se Bi ∩ Bj = ∅ Kij = DDφi · Dφj dB = 6 0 se caso contrário B Este aspecto, conjuntamente com a necessidade de facilitar a constru¸cão da fun¸cão u, tem feito do Método dos Elementos Finitos (MEF) um dos métodos mais atrativos na atualidade para a constru¸caõ das fun¸co˜es coordenadas ([BH82], [ZT89], [OCB81, OC83a, OC83b, Ode72b, Ode72a, Ode79, OR76b, OR76a], [Joh87], [Tho89], [FT80, FT82, FT83]). Por u ´ltimo, no caso de um material hiperelástico não linear, a condi¸cão necessária e suficiente de m´ınimo está caracterizado por: ¯ Z ∂π ¯¯ (P1.b) · Dφi dB = hl, φi i para i = 1, 2, ..., n (7.16) ¯ P B ∂E D(u+ n j=1 aj φj ) que corresponde agora a um sistema não linear de equa¸cões algébricas. Resumindo, o P.M.E.P.T. corresponde em dimensão finita ao seguinte problema clássico de programa¸caõ matemática (7.13): • minimiza¸caõ sem restri¸caõ de uma fun¸cão quadrática em Rn , caso o material seja hipereslástico linear. • minimiza¸caõ sem restri¸caõ da fun¸cão estritamente convexa Π (a) (recorde a convexidade de π e suponha eliminado os movimentos de corpo r´ıgido). • a caracteriza¸caõ do m´ınimo estará dada pelo sistema de equa¸co˜es algébricas lineares (P1.a) (7.15) ou não lineares (P1.b) (7.16) respectivamente. Um racioc´ınio inteiramente similar ao já realizado nos permite concluir que o P.M.E.C. corresponde em dimensão finita ao problema clássico de programa¸cão matemática (P2) (7.14): e ∗ (b) (recorde que π ∗ é estri• minimiza¸caõ em Rr sem restri¸caõ da fun¸cão convexa Π tamente convexo) caso o material seja hiperelástico não linear.

246

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

e ∗ (b) caso o material seja • minimiza¸caõ em Rr , sem restri¸cão, da fun¸cão quadrática Π linear: ! Ã ! ÃÃ !! Ã Z r r r X X X 1 e ∗ (b) = Π D−1 T + bi ψi · T + bj ψj dB − T+ bi ψi , u 2 B i=1 j=1 i=1 • A caracteriza¸caõ do m´ınimo estará dado pelo sistema não linear de equa¸cões algébricas: (P2.a) ou explicitamente: ¯ Z ∂π ∗ ¯¯ ¯ P B ∂T T + r

e∗ ∂Π = 0, para i = 1, 2, ..., r ∂bi

(7.17)

· ψi dB = ((ψi , u)) para i = 1, 2, ..., r

j=1 bj ψj

caso o material seja hiperelástico não linear, e no caso linear pelo sistema linear (P2.b) (7.18) de equa¸co˜es algébricas: (P2.b)

r Z X j=1

Z −1

D−1 T · ψi dB, para i = 1, 2, ..., r

D ψj · ψi dB bj = ((ψi , u)) − B

B

(7.18) e onde a matriz do sistema novamente é simétrica positiva definida. Como podemos apreciar, a determina¸caõ de solu¸co˜es aproximadas dos Princ´ıpios Variacionais: P.M.E.P.T. e P.M.E.C. recaem, no caso de um material elástico linear, na resolu¸cão de um sistema linear de equa¸c˜ oes alg´ ebricas. Para a determina¸cão deste sistema requer-se: • Construir as fun¸cões coordenadas (φi ou ψi ) cujas combina¸co˜es lineares definem as fun¸co˜es aproximantes admiss´ıveis. Em termos do MEF o anterior corresponde a definir o tipo de elemento a ser empregado. • Para determinar os coeficientes da matriz do sistema se requer integrar uma forma bilinear simétrica positiva definida: Z DD (φj ) · D (φi ) dB B Z D−1 ψj · ψi dB B

Esta integra¸caõ pode fazer-se analiticamente quando poss´ıvel ou numericamente, caso contrário.

7.13. Problema da Elastostática. Restri¸cões Bilaterais

247

• A determina¸cão dos coeficientes do termo independente requer a integra¸caõ de formas lineares do tipo: Z hl, φi i , DDu · D (φi ) dB BZ ((ψi , u)) , D−1 T · ψi dB B

que também pode realizar-se analiticamente ou numericamente. ´ interessante ressaltar aqui, que a determina¸caõ das fun¸co˜es u e T (associadas às E condi¸co˜es de contorno cinemáticas em ∂Bu e mecânicas em ∂BT respectivamente) pode constituir-se em uma grande dificuldade. No caso particular do MEF a determina¸caõ destas fun¸co˜es, ou melhor dizendo, de suas aproximantes, resulta em geral simples. Como podemos apreciar, a determina¸cão da solu¸cão aproximada dos problemas de m´ınimo formulados reside fundamentalmente na deterrnina¸caõ das fun¸cões coordenadas ∞ {φi }∞ atica de construir estas fun¸co˜es é através do MEF. i=1 e {ψi }i=1 , e uma maneira sistem´ Então que caracter´ıstica gerais têm estas fun¸cões coordenadas? A resposta a esta pergunta está impl´ıcita na própria formula¸cão variacional. Para mostrar esto u ´ltimo consideremos o P.M.E.P. e suponhamos por simplicidade que u = 0 em ∂Bu . Neste caso Kinu ≡ Varu é um s.e. e das propriedades de D têm-se que a forma bilinear Z a (u, v) = DDu · DvdB, u, v ∈ Kinu B

é um produto interno neste espa¸co que nos induz uma norma, chamada norma energia: p kukE = a (u, u) u ∈ Kinu Completar Kinu com rela¸cão a esta norma energia dá lugar ao espa¸co de Hilbert H, chamado espa¸co energia, formado por todas as fun¸cões (classes de fun¸co˜es) que, conjuntamente com suas derivadas até a ordem contida no operador de deforma¸caõ D, são quadraticamente integráveis em B e tais que em ∂Bu são nulas. Desta maneira as fun¸co˜es coordenadas φi são fun¸cões que em ∂Bu são nulas, e que conjuntamente com suas derivadas até uma ordem menor que a prevista em D são cont´ınuas. Assim, por exemplo, no caso de um corpo B tridimensional vimos que: D = (∇·)s logo, as fun¸co˜es φi devem ser cont´ınuas em B com derivadas primeiras cont´ınuas por parte em B. Se o problema for flexão de vigas e placas, por exemplo, as fun¸cões φi devem ser cont´ınuas com derivadas primeiras também cont´ınuas e derivadas segundas cont´ınuas por parte já que D contém derivadas até a segunda ordem.

248

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

No caso do P.M.E.C., a forma bilinear resulta: Z a (T, S) = T · D−1 SdB T, S ∈ EstT B

de onde: kT k =

p

a (T, T ) T ∈ EstT

logo, as fun¸cões coordenadas ψi devem ser somente cont´ınuas por parte em B. Entretanto, existe uma diferen¸ca fundamental entre um e outro tipo de formula¸caõ que, desde o ponto de vista numérico, faz mais atrativa uma destas formula¸co˜es. De fato, no P.M.E.P.T. (modelo em deslocamentos) as fun¸cões φi devem ser suficientemente regulares no sentido já estabelecido e nulas na fronteira ∂Bu . Usando o MEF a constru¸caõ de tais fun¸cões não apresenta em geral nenhuma dificuldade. No P.M.E.C. (modelo em tensões ou também chamado modelo de for¸cas) as fun¸co˜es ψi ∈ VarT devem ´ aqui onde reside a dificuldade desta ser campos autoequilibrados de esfor¸cos internos. E formula¸cão, a constru¸caõ destas fun¸cões agora não é simples e esta dificuldade tem feito com que o modelo em deslocamentos (P.M.E.P.T.) seja mais popular que o modelo em tensões (P.M.E.C.).

7.14

Solu¸c˜ ao Aproximada do Problema Variacional de Hellinger-Reissner

Seguindo um racioc´ınio similar ao já realizado teremos que, para determinar uma solu¸caõ aproximada do problema variacional de Hellinger-Reissner (limitamos a apresenta¸cão para restri¸cões bilaterais) devemos redefini-lo sobre espa¸cos de dimensão finita. Chamando: {φi }∞ co˜es coordenadas em Varu i=1 : ao conjunto completo de fun¸ ∞ {ψi }i=1 : ao conjunto completo de fun¸co˜es coordenadas em W 0 teremos novamente: u ∈ Kinnu ⇔ u = u +

n X

ai φi , para u ∈ Kinu arbitrário

i=1

T ∈ W 0r ⇔ T =

r X

c i ψi

i=1

Logo, o problema variacional de Hellinger-Reissner toma a forma: Determinar u ∈ Kinnu e T ∈ W 0r tais que sejam solu¸cão do problema: ½ ¾ Z Z ∗ min n max0r FH−R (u, T ) = − π (T ) dB + T · Du dB − hl, ui u∈Kinu T ∈W

B

B

7.14. Solu¸caõ Aproximada do Problema Variacional de Hellinger-Reissner

249

O anterior é equivalente a: Determinar os n´ umeros reais ai , i = 1, 2, ..., n e cj , j = 1, 2, ..., r tais que fa¸cam estacionária a fun¸c˜ ao: ! Ã Ã r ! ! Z ÃX Z r n X X cj ψj dB + c j ψj · D u + ai φi dB FeH−R (a, c) = − π ∗ B

j=1

* Ã

− l, u +

n X

!+

B

j=1

i=1

ai φi

i=1

onde aT = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn e cT = (c1 , c2 , ..., cn ) ∈ Rr Se o material é linear a expressão anterior toma a forma: Z Z r r X n X 1 X −1 e cj cs D ψj · ψs dB + cj ai ψj · Dφi dB FH−R (a, c) = − 2 j,s=1 B B j=1 i=1 Z n r X X + ai hl, φi i − hl, ui cj ψj · Du dB − B

j=1

i=1

Novamente, podemos distinguir dois tipos de algoritmos numéricos para resolver este problema: • algoritmos que procuram diretamente a solu¸cão do problema de min-max, chamados por esta razão de algoritmos de ponto de sela. • algoritmos que procuram a solu¸cão do problema de min-max encontrando a solu¸cão do sistema de equa¸cões (lineares ou não, dependendo o caso) que a caracterizam. Neste u ´ltimo caso, a condi¸cão de min-max está caracterizada pelo seguinte sistema de equa¸cões algébricas: ∂ e FH−R (a, c) = 0, ∂ai ∂ e FH−R (a, c) = 0, ∂cj

i = 1, 2, ..., n j = 1, 2, ..., r

ou em forma expl´ıcita: r X j=1

Z − B

¯ ∂π ∗ ¯¯ ∂T ¯Pr

s=1 cs ψs

Z cj

ψj · Dφi dB − hl, φi i = 0,

i = 1, 2, ..., n

B

· ψj dB +

n X i=1

Z

Z

ai

ψj · Dφi dB + B

ψj · DudB = 0 j = 1, 2, ..., r B

250

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

que no caso de material elástico linear se reduz ao seguinte sistema linear de equa¸co˜es algébricas: Z r X cj ψj · Dφi dB − hl, φi i = 0, i = 1, 2, ..., n B

j=1

−

r X s=1

Z −1

cs

ψj · D ψs dB + B

n X

Z

Z

ai

ψj · Dφi dB + B

i=1

ψj · DudB = 0 j = 1, 2, ..., r B

que em forma matricial pode ser reescrito como Kδ = f onde:

·

0 AT K = A C ¡ T T ¢T δ = a ,c

¸ , matriz (r + n) × (r + n)

¡ ¢T f = (f11 , f12 , ..., f1n , f21 , f22 , ..., f2r )T = f1 T , f2 T f1i = hl, φi i Z f2j = − ψj · DudB ZB Cjs = − ψj · D−1 ψs dB = Csj Z B Aji = ψj · Dφi dB B

Se bem K é simétrica, a seguir utilizaremos a propriedade de que C é simétrica positiva definida. Para isso, o sistema anterior pode ser reescrito matricialmente como: A T c = f1 Aa + Cc = f2 da u ´ltima equa¸caõ obtemos: Cc = f2 − Aa que substituindo na primeira obtemos: AT C −1 Aa = f1 − AT C −1 f2 Logo, a solu¸caõ (a, c) do problema de min-max está caracterizada, no caso de material elástico linear, pela resolu¸cão dos sistemas de equa¸co˜es algébricas anteriores. Como C é simétrica positiva definida, a matriz AT C −1 A terá inversa se o posto da matriz A é r e r ≤ n. O anterior nos mostra que a constru¸cão dos espa¸cos Varnu e W 0r deve realizar-se de maneira a satisfazer também esta restri¸cão.

7.15. Solu¸caõ Aproximada do Princ´ıpio Variacional Generalizado

7.15

251

Solu¸c˜ ao Aproximada do Princ´ıpio Variacional Generalizado

Na formula¸caõ variacional generalizada para restri¸co˜es bilaterais a solu¸cão (u0 , E0 , T0 ) ∈ Kinu × W × W 0 . Logo, a solu¸cão aproximada é calculada redefinindo o problema em espa¸cos de dimensão finita. Assim, se designamos: {φi }∞ co˜es coordenadas em Varu i=1 : conjunto completo de fun¸ ∞ {Ξi }i=1 : ao conjunto completo de fun¸co˜es coordenadas em W {ψi }∞ co˜es coordenadas em W 0 i=1 : ao conjunto completo de fun¸ logo: u ∈

Kinnu

n X

⊂ Kinu ⇔ u = u +

ai φi ,

i=1

E ∈ Wm ⊂ W ⇔ E = T ∈ W 0r ⊂ W 0 ⇔ T =

m X i=1 r X

bi Ξi ci ψi

i=1

Desta maneira, o princ´ıpio variacional generalizado em espa¸cos de dimensão finita toma a forma: Determinar u ∈ Kinnu , E ∈ W m e T ∈ W 0r tais que fa¸cam estacionário o funcional Z Z F (u, E, T ) = π (E) dB − hl, ui − T · (E − Du) dB B

B

O anterior equivale a dizer que estamos procurando os n´ umeros reais (ai , i = 1, 2, ..., n) , (bk , k = 1, 2, ..., m) e (cj , j = 1, 2, ..., r) que faz estacionária a fun¸c˜ ao: Z Fe (a, b, c) =

π B

Ã m X

! bk Ξk

Ãk=1 r X

Z − B

j=1

* Ã dB −

! "Ã c j ψj

·

l, u +

m X k=1

! bk Ξk

n X i=1

!+ ai φi Ã

−D u+

n X

!# ai φi

dB

i=1

onde aT = (a1 , a2 , ..., an ) , bT = (b1 , b2 , ..., bn ) e cT = (c1 , c2 , ..., cn ) . Novamente os algoritmos numéricos podem ser técnicas que determinam a solu¸cão através de uma busca direta do ponto que faz estacionária a fun¸caõ, ou então algoritmos numéricos que determinam a solu¸caõ através da resolu¸caõ do sistema de equa¸co˜es que a caracteriza.

252

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

Neste u ´ltimo caso, as equa¸co˜es estão dadas por ∂ e F (a, b, c) = 0, ∂ai ∂ e F (a, b, c) = 0, ∂bk ∂ e F (a, b, c) = 0, ∂cj

i = 1, 2, ..., n k = 1, 2, ..., m j = 1, 2, ..., r

ou de forma expl´ıcita: r X

Z cj

ψj · Dφi dB − hl, φi i = 0,

Z − B

−

m X

¯ ∂π ¯¯ ∂E ¯Pm

· Ξk dB −

t=1 bt Ξt

Z

r X

Z cj

ψj · Ξk dB +

ψj · DudB +

B

ψj · Ξk dB = 0,

k = 1, 2, ..., m

B

j=1

Z

bk

k=1

i = 1, 2, ..., n

B

j=1

B

n X

Z ai

ψj · Dφi dB = 0 j = 1, 2, ..., r B

i=1

Para o caso de um material elástico linear o sistema de equa¸co˜es anteriores se reduz ao seguinte sistema linear: r X j=1 m X t=1

−

m X k=1

Z cj

ψj · Dφi dB − hl, φi i = 0,

Z bt

DΞt · Ξk dB − B

r X j=1

Z

Z cj

ψj · Ξk dB = 0,

ψj · Ξk dB + B

k = 1, 2, ..., m

B

Z

bk

i = 1, 2, ..., n

B

ψj · DudB + B

n X

Z ai

i=1

ψj · Dφi dB = 0 j = 1, 2, ..., r B

Introduzindo as seguintes matrizes e vetores: • Matriz A ∈ Rr × Rn de coeficientes Z Aji = ψj · Dφi dB = 0,

j = 1, 2, ..., r;

i = 1, 2, ..., n

B

• Matriz B ∈ Rm × Rm de coeficientes Z Bkt = DΞt · Ξk dB, B

simétrica positiva definida.

t, k = 1, 2, ..., m

7.15. Solu¸caõ Aproximada do Princ´ıpio Variacional Generalizado

253

• Matriz H ∈ Rm × Rr de coeficientes Z Hkj =

ψj · Ξk dB,

k = 1, 2, ..., m;

j = 1, 2, ..., r

B

• Vetor f1 ∈ Rn de coeficientes f1i = hl, φi i ,

i = 1, 2, ..., n

• Vetor f2 ∈ Rr de coeficientes Z f2j =

ψj · DudB,

j = 1, 2, ..., r

B

• Vetores a ∈ Rn , b ∈ Rm , c ∈ Rr de coeficientes ai , bk e cj , respectivamente, o sistema de equa¸cões lineares pode ser reescrito como: AT c = f1 Bb − Hc = 0 −H T b + Aa = f2 Como B é simétrica positiva definida segue-se que: b = B −1 Hc de onde:

(7.19)

¡ ¢ − H T B −1 H c + Aa = f2

e se o posto da matriz H é r e r ≤ m teremos que a inversa da matriz H T B −1 H existe, portanto: ¡ ¢−1 (7.20) c = − H T B −1 H (f2 − Aa) que substitu´ıda na primeira das equa¸co˜es conduz finalmente a: h

¡ ¢−1 i ¡ ¢−1 AT H T B −1 H A a = AT H T B −1 H f2 + f1

(7.21)

Novamente, se o posto da matriz A é n e n ≤ r, as expressões (7.19)-(7.21) nos proporciona a solu¸cão (a, b, c) que estamos procurando.

254

7.16

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

Algoritmos Num´ ericos para Problemas de Contato em Elastost´ atica

Segundo temos visto nas se¸cões anteriores, o problema da elastostática incluindo restri¸cões do tipo unilateral sem atrito (perfeitas) consiste no seguinte problema variacional: Determinar u0 ∈ Kinu tal que minimize o funcional de energia potencial total, Π (u) , no conjunto convexo não vazio de todos os deslocamentos cinematicamente admiss´ıveis Kinu . Logo, nosso problema consiste em: ½ ¾ Z (P1) min n Π (u) = π (Du) − hl, ui (7.22) u∈Kinu

B

Para obter uma solu¸caõ aproximada de (P1) (7.22) novamente procedemos a redefinilo em um espa¸co de dimensão finita. Designando por {φi }∞ co˜es coordenadas no espa¸co U de i=1 o conjunto completo de fun¸ n deslocamentos poss´ıveis, o conjunto Kinu pode ser definido como ( ) n X T Kinnu = u; u = ai φi , a = (a1 , ..., an ) ∈ K ⊂ Rn i=1

onde K é um conjunto convexo em Rn . Desta maneira o P.M.E.P.T., incluindo restri¸cões unilaterais de contorno, se reduz ao seguinte problema de programa¸cão matemática: ( Ã Ã n !! * n +) Z X X e (a) = min Π π D ai φi db − l, ai φi a∈K

B

i=1

i=1

Em geral, para fazer o problema anterior tratável numericamente, o convexo K é novamente aproximado obtendo-se assim um novo convexo Ka . Quando usamos o MEF, uma maneira de construir Ka é estabelecer que as restri¸cões que definem Kinu sejam somente satisfeitas em determinados pontos por exemplos: pontos nodais, pontos de integra¸cão, etc. ([FZ83], [FB83], [BF84]). Como resultado desta aproxima¸cão numerosos problemas recaem em um conjunto convexo Ka que pode ser descrito através do sistema de m inequa¸co˜es: Aa ≤ c onde A é uma matriz de ordem m × n e posto m. Não obstante, para o caso de apoios discretos unilaterais - muito comuns em tubula¸co˜es - pode-se chegar a restri¸co˜es do tipo ([FB83]): d≤a≤b Logo, o P.M.E.P.T., incluindo restri¸co˜es unilaterais, toma a forma: ) + * n !! ( Ã Ã n Z X X ai φi ; Aa ≤ c db − l, min Π (a) = ai φi π D B

i=1

i=1

7.16. Algoritmos Numéricos para Problemas de Contato em Elastostática

255

No caso particular de material hiperelástico linear o anterior se reduz ao problema clássico da programa¸c˜ ao quadr´ atica: ½ ¾ 1 (PP) min Π (a) = a · Ka − f · a; Aa ≤ c (7.23) 2 chamado problema primal. Onde K é uma matriz n × n simétrica positiva definida de componentes: Z Kij = DDφi · Dφj dB B

e f ∈ Rn de componentes: fi = hl, φi i A restri¸caõ sobre a no problema (PP) (7.23) pode ser eliminada através do multiplicador de Lagrange λ ∈ Rm e tal que λ ≥ 0. De fato, observando que: ½ +∞ para todo a tal que Aa − c > 0 max (Aa − c) · λ = 0 para todo a tal que Aa − c ≤ 0 λ≥0 o problema (PP) (7.23) é equivalente ao seguinte problema de min-max (problema do ponto de sela): ½ ¾ 1 SP min max a · Ka − f · a + (Aa − c) · λ (7.24) a∈Rn λ≥0,λ∈Rm 2 Como agora no problema (SP) (7.24) a minimiza¸caõ sobre a não está restringida, a mesma é alcan¸cada por todo vector a ∈ Rn associado a λ ∈ Rm dado por: ¡ ¢ Ka − f + AT λ = 0 ⇔ a = K −1 f − AT λ que substitu´ıda no problema (SP) (7.24) conduz a um novo problema definido sobre o multiplicador de Lagrange chamado problema dual do problema (PP) (7.23): ½ ¾ 1 DP min λ · Pλ − λ · e (7.25) λ≥0 2 onde P é uma matriz m × m simétrica e e ∈ Rm estão dados por: P = AK −1 AT , e = AK −1 f − c O problema dual novamente é um problema de programa¸caõ quadrática mas desta vez definido sobre um convexo K muito mais simples que no problema (PP) (7.23). Tanto no problema do ponto de sela (SP) (7.24) como no problema dual (DP) (7.25) este tipo de restri¸cão mais simples, λ ≥ 0, não é outra coisa que um cone convexo de vértice na origem. Isto permite que a caracteriza¸caõ da solu¸cão de (SP) (7.24) e (DP) (7.25) seja um problema de complementariedade linear.

256

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

De fato, vejamos o problema de min-max (SP) (7.24). A solu¸caõ a∗ , λ∗ de (SP) (7.24) está caracterizada por: ¡ ∗ ¢ Ka − f + AT λ∗ · (a − a∗ ) = 0 ∀a ∈ Rn (Aa∗ − c) · (λ − λ∗ ) ≤ 0 ∀λ ≥ 0, λ ∈ Rm A primeira corresponde à condi¸cão de m´ınimo sobre a variável não restringida a. A segunda corresponde à condi¸caõ de máximo sobre λ restringida a pertencer ao cone convexo λ ≥ 0. Da primeira expressão se conclui rapidamente que: Ka∗ − f + AT λ∗ = 0 Da segunda expressão temos que para: λ = 0 → (Aa∗ − c) · λ∗ ≥ 0 ⇒ (Aa∗ − c) · λ∗ = 0 λ = 2λ∗ → (Aa∗ − c) · λ∗ ≤ 0 logo: (Aa∗ − c) · λ ≤ 0

∀λ ≥ 0

de onde obtemos que: Aa∗ − c ≤ 0 Vemos assim que a solu¸cão a∗ , λ∗ do problema (SP) (7.24) é solu¸cão do problema de complementariedade linear: (CL.a)

Ka + AT λ = f

(7.26)

Aa − c + z = 0 z·λ = 0 z ≥ 0 λ ≥ 0 onde o vetor z ∈ Rm , é chamado variável de ajuste. Um racioc´ınio análogo ao que acabamos de realizar nos mostra que a solu¸caõ λ∗ do problema (DP) (7.25) está caracterizada por: (P λ∗ − e) · (λ − λ∗ ) ≥ 0 de onde: (P λ∗ − e) · λ∗ = 0 (P λ∗ − e) ≥ 0

∀λ ≥ 0

7.16. Algoritmos Numéricos para Problemas de Contato em Elastostática

257

com o que conclu´ımos que a solu¸cão λ∗ do problema (DP) (7.25) é solu¸caõ do seguinte problema de complementariedade linear: CL.b

Pλ − e − z = 0

(7.27)

z·λ = 0 z ≥ 0 λ ≥ 0 Logo, para resolver o problema dual (DP) (7.25) podemos recorrer, por exemplo, a dois algoritmos. O primeiro deles é o Método de Gauss-Seidell com Relaxa¸c˜ ao e Proje¸cão, MGSRP, o segundo é o Método de Lemke que é um algoritmo numérico que em um n´ umero finito de passos permite determinar a solu¸caõ do problema de complementariedade linear associado ([BS79]). Em particular o método MGSRP resulta de fácil programa¸caõ e consiste em: 1. Adote λ0 admiss´ıvel, ou seja, λ0 ≥ 0. 2. Adote w ∈ (0, 2) 3. Para k = 0, 1, 2, ..., n´ umero máximo de itera¸co˜es. Calcule para i = 1, 2, ..., m : Pi−1 Pn k+1 k e − P λ − i ij j j=1 j=i+1 Pij λj ∗ λi = Pii ¡ ¢ λk+1 = Π (1 − w) λki + wλ∗i i até que

° k+1 ° °λ − λk ° kλk k

≤²

onde Π é o operador proje¸caõ em [0, +∞] dado por: Π (u) = max (0, u) ,

u∈R

onde ² é um n´ umero positivo suficientemente pequeno definindo a tolerância e onde k·k é a norma adotada.

258

Cap´ıtulo 7. Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸cões

Parte IV Apˆ endices

259

Apˆ endice A Defini¸c˜ oes e Nota¸c˜ oes Como vimos nos Cap´ıtulos anteriores, teremos que definir os conceitos de funcional e dom´ınio de defini¸c˜ ao do funcional. Para isso, vamos introduzir de maneira resumida alguns conceitos que nos serão u ´teis.

A.1

Espa¸co Vetorial Real

Seja U = {u, v, w...} um conjunto arbitrário de elementos para o qual se tenha definido duas opera¸co˜es: • de adi¸cão + • de multiplica¸cão por um real α ∈ R tais que dados u, v, w ∈ U e α, β ∈ R arbitrários se satisfaz i) u + v ∈ U (o conjunto U é fechado com rela¸caõ à adi¸cão) ii) (u + v) + w = u + (v + w) (lei associativa) iii) u + v = v + u (lei comutativa) iv) Elemento identidade (ou elemento nulo). Existe o elemento 0 ∈ U tal que u + 0 ∈ U ∀u ∈ U v) Elemento inverso. Para todo u ∈ U existe −u tal que u + (−u) = 0 vi) α · u ∈ U (o conjunto U é fechado com rela¸caõ à multiplica¸cão por n´ umeros reais) vii) (αβ) · u = α (β · u) (lei associativa com rela¸cão ao m.p. real) viii)

(α + β) · u = α · u + β · u (lei distributiva com rela¸caõ ao m.p. real) α · (u + v) = α · u + α · v

ix) 1 · u = u (que implica 0 · u = 0) 261

262

Apêndice A. Defini¸co˜es e Nota¸co˜es

Exemplo A.1 O plano real E 2 . Seja U = E 2 o conjunto de todos os pares ordenados x = (x1 , x2 ) , onde xi ∈ R, i = 1, 2, s˜ ao chamados coordenadas do ponto x. Se a adi¸c˜ ao e multiplica¸cão por n´ umeros reais s˜ ao definidas da maneira usual: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ) α · x = (αx1 , αx2 ) o conjunto U é um espa¸co vetorial real onde 0 = (0, 0) e −x = (−x1 , −x2 ) . Exemplo A.2 Seja U o conjunto de todas as fun¸c˜ oes de valor real definidas no intervalo x ∈ [0, 1] e onde definimos as opera¸c˜ oes de adi¸c˜ ao e multiplica¸c˜ ao por um n´ umero real da seguinte forma: (f + g) (x) = f (x) + g (x) (αf ) (x) = α · f (x) pode-se verificar que satisfaz todas as propriedades i)-ix). Logo, U é um e.v.r. Exemplo A.3 Seja Pk [0, 1] o conjunto de polinˆ omios p de grau ≤ k definidos no intervalo [0, 1] . Claramente a soma do polinˆ omio e sua multiplica¸c˜ ao por um n´ umero real conduz a um elemento de Pk . Logo, Pk é um espa¸co vetorial real.

A.1.1

Subespa¸co

Em geral, nossos problemas não estão definidos em todo um espa¸co, mas em certos conjuntos chamados Subespa¸cos. Um subespa¸co S do espa¸co vetorial real U é um conjunto não vazio que é fechado com rela¸cão às opera¸co˜es de adi¸cão e multiplica¸caõ definidas em U. Desta defini¸caõ se segue que S é em si mesmo um espa¸co vetorial real. Exemplo A.4 P2 [0, 1] é um subespa¸co de P5 [0, 1] . Exemplo A.5 Uma reta ou plano que contém a origem são exemplos de subespa¸cos de E 3 (espa¸co Euclidiano tridimensional).

A.1.2

Variedade Linear. Transla¸ c˜ ao de um Subespa¸co

Seja S um subespa¸co do e.v.r. U e seja u0 ∈ U um determinado elemento deste espa¸co. O conjunto de todos os elementos u ∈ U onde cada um pode ser expresso como: u = u0 + η,

η∈S

se chama variedade linear de U. Observe que se u0 ∈ S (por exemplo u0 = 0) teremos que a variedade linear é, em si mesma, um subespa¸co e coincide com S.

A.2. Transforma¸cões Lineares.

A.2

263

Transforma¸co ˜es Lineares.

Sejam U e V dois e.v.r. A transforma¸cão linear T de U em V é uma aplica¸cão de U em V tal que para u, v ∈ U e α ∈ R arbitrários se verifica: i) T (u + v) = T (u) + T (v) ii) T (αu) = αT (u) A expressão transforma¸c˜ ao está sendo usada como sinônimo de operador, mapeamento, fun¸c˜ ao, aplica¸ c˜ ao. Se as propriedades anteriores não se verificam, então diz-se que T é uma transforma¸caõ não linear. Toda vez que a transforma¸cão T satisfaz a propriedade (i) se diz que é aditiva. Se satisfaz (ii) se diz que é homogˆ enea. Do anterior se segue que uma transforma¸cão linear é uma transforma¸cão que é, por sua vez, aditiva e homogênea. Logo, podemos combinar ambas as propriedades e estabelecer a seguinte defini¸caõ: Transforma¸ c˜ ao Linear A transforma¸caõ T : U → V é uma transforma¸caõ linear de U em V se e somente se (A.1) T (αu + βv) = αT (u) + βT (v) Exemplo A.6 Seja PK [0, L] o e.v.r. de polinˆ omios reais definidos no intervalo [0, L] . Considere a transforma¸caõ: T (f (x)) = como

d f (x) = f 0 (x) dx

(f (x) + g (x))0 = f 0 (x) + g 0 (x) (αf (x))0 = αf 0 (x)

T é uma transforma¸c˜ ao linear e como a derivada de um polinˆ omio é um polinˆ omio se tem T : PK [0, L] → PK [0, L] mais precisamente em PK−1 [0, L] .

A.3

O Espa¸co L (U, V )

O conjunto de todas as trnasforma¸co˜es lineares de U em V onde se define a adi¸caõ e multiplica¸cão por real da maneira usual: (T1 + T2 ) (u) = T1 (u) + T2 (u) (αT ) (u) = αT (u) constitui um e.v.r. que chamaremos L (U, V ) .

264

A.4

Apêndice A. Defini¸co˜es e Nota¸co˜es

Funcionais

Dado um e.v.r. U e o espa¸co R de n´ umeros reais, a transforma¸cão F de U em R F : U →R u → F (u) ∈ R recebe o nome de funcional (real). Este funcional será linear se a transforma¸caõ é linear, o mesmo para aditivo, homogêneo e não linear. Exemplo A.7 No curso vimos numerosos exemplos de funcionais (em particular lineares). De fato, seja U o e.v.r. de fun¸c˜ oes de valor real f (x) , x ∈ [a, b] , integr´ aveis. Se T é a transforma¸c˜ ao definida por: Z

b

T (f (x)) =

f (x) dx a

claramente T é um funcional linear em U.

A.5

O Espa¸co Dual Alg´ ebrico

Seja o e.v.r. de todas as transforma¸co˜es lineares de U em V , L (U, V ). Considere o caso particular de V = R, ou seja, L (U, V ) = L (U, R) , ou seja, é o e.v.r. de todos os funcionais lineares sobre U. Este espa¸co será designado por: U ∗ = L (U, R) e é chamado o espa¸ co alg´ ebrico dual de U (algébrico porque usamos até agora as propriedades algébricas de U ). Na literatura é comum usar o simbolismo par de dualidade para descrever os funcionias lineares sobre U : se f ∈ U ∗ escrevemos: f (u) ≡ hf, ui onde com o simbolismo h·, ·i descrevemos a transforma¸caõ bilinear de U ∗ × U em R. Com esta nota¸caõ, colocamos em evidência que o valor real f (u) depende linearmente tanto de u para f fixo como de f para u fixo. Este novo funcional h·, ·i tem as propriedades: 1) hαf1 + βf2 , ui = α hf1 , ui + β hf2 , ui hf, αu1 + βu2 i = α hf, u1 i + β hf, u2 i

A.6. Alguns Elementos de Análise Real

265

2) hf, ui = 0 hf, ui = 0

∀u ∈ U ⇒ f = 0 de U ∗ ∀f ∈ U ∗ ⇒ u = 0 de U

Observa¸ c˜ ao. Seja U m e V n e.v.r. de dimensão finita m e n respectivamente. Logo: dim L (U m , V n ) = m · n Tendo isto presente, se U n é um e.v.r. de dimensão finita se segue que: dim U ∗ = dim L (U n , R) = n · 1 = n Ou seja, tem a mesma dimensão que U n . Logo, podemos estabelecer uma correspondência um-a-um de U n sobre U ∗ , ou seja, U n e U ∗ são isomorfos. Desta maneira, cada funcional linear l ∈ U ∗ pode identificar-se com um u ńico elemento ul ∈ U n . Quando esta n identifica¸cão é realizada dizemos que U é auto-dual.

A.6

Alguns Elementos de An´ alise Real

Vimos nos Cap´ıtulos anteriores que existia uma ´ıntima semelhan¸ca entre o problema do m´ınimo de um funcional com o de uma fun¸cão. Neste u ´ltimo caso o conceito de derivada ocupava um importante papel. Para isso, recordemos alguns conceitos de Análise Real tais como proximidade, sequências, limites e continuidades. Assim, veremos resumidamente alguns conceitos do sistema de n´ umeros reais onde introduzimos de maneira usual a opera¸cão de adi¸caõ, multiplica¸caõ e ordenamento (se x ≤ y logo x + z ≤ z + y ∀z ∈ R; se x ≥ 0 e y ≥ 0 logo x · y ≥ 0, ”≤” é um ordenamento completo!). Valor absoluto. Se x ∈ R o valor absoluto de x, designado por |x| , está definido por: |x| = x se x ≥ 0 |x| = −x se x ≤ 0 A desigualdade do triˆ angulo. |x + y| ≤ |x| + |y| (Exerc´ıcio: demonstre esta propriedade). Observe que o valor absoluto satisfaz: |x − y| ≥ 0

∀x, y ∈ R

|x − y| = 0 ⇔ x = y |x − y| = |y − x|

∀x, y ∈ R

(A.2)

266

Apêndice A. Defini¸co˜es e Nota¸co˜es

Diferen¸ ca de valores abolutos. ||x| − |y|| ≤ |x − y|

(A.3)

(Exerc´ıcio: demonstre esta propriedade). Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Sejam a1 , a2 , ..., an e b1 , b2 , ..., bn ∈ R logo: Ã n X

!2 ai bi

≤

Ã n X

i=1

i=1

!Ã a2i

n X

! b2i

(A.4)

i=1

(Exerc´ıcio: demonstre esta propriedade). Limite Superior de um Subconjunto. Seja A ⊂ R um subconjunto de R tal que para todo x ∈ A se verifica que x ≤ a logo a se diz que é um limite superior do subconjunto A e A se diz limitado superiormente. Menor Limite Superior. Seja A ⊂ R limitado superiormente, suponhamos que existe a ∈ R tal que: • a é um limite superior de A, • a ≤ b para todo limite superior de A, logo, a é chamado menor limite superior ou Supremo de A. Da mesma maneira pode-se definir subconjuntos limitados inferiormente, limite inferior e ´ınfimo de um subconjunto. Observa¸ c˜ ao O ordenamento completo simplesmente estabelece que todo subconjunto limitado superiormente (inferiormente) tem um supremo (´ınfimo). Por sua vez, não resulta dif´ıcil provar que o supremo (´ınfimo) é u ńico. Veremos agora algumas propriedades dos conjuntos de pontos que podem ser estendidos a outros sistemas matemáticos mais gerais. A topologia do sistema de n´ umeros reais se refere aos conceitos de conjuntos abertos, vizinhan¸ca e certa classifica¸cão de pontos nos conjuntos. Vizinhan¸ ca em R. Seja a ∈ R, a vizinhan¸ca Nδ (a) é o conjunto de pontos x ∈ R tais que |x − a| < δ onde δ é um n´ umero positivo dado. Pontos Interiores. Seja A ∈ R não vazio. O ponto a ∈ R é um ponto interior se existe δ > 0 tal que Nδ (a) ⊂ A, ou seja, todos os pontos x ∈ Nδ (a) ∈ A. Conjunto Aberto. Diz-se aberto o conjunto A ⊂ R se todo x ∈ A é um ponto interior. Exemplos a < b (a, b) = {x | a < x < b, x ∈ R} [a, b) = {x | a ≤ x < b, x ∈ R} (a, b] = {x | a < x ≤ b, x ∈ R} (a, ∞) , (−∞, a) , (−∞, ∞) = R φ é um conjunto aberto.

A.6. Alguns Elementos de Análise Real

267

Pontos de Acumula¸ c˜ ao. Seja A ⊂R. O ponto a não necessariamente em A, é um ponto de acumula¸caõ de A se e somente se toda vizinhan¸ca Nδ (a) contém ao menos um ponto de A distinto de a. Logo, Nδ (a) contém infinitos pontos (veja Teorema A.1). Fechamento de um Conjunto. Seja A ⊂R, seu fechamento é o conjunto contendo todos os pontos de A e todos os seus pontos de acumula¸caõ. Logo, se Ab é o conjunto de pontos de acumula¸caõ, A= A∪Ab é o fechamento de A. Conjunto Fechado. A é fechado se e somente se A =A. Também o anterior é equivalente a dizer que A é fechado se seu complemento, R − A, é aberto. Exemplo A.8 R é fechado já que seu complemento é o conjunto φ que é aberto. Teorema A.1 Se a é um ponto de acumula¸c˜ ao de A ⊆R, logo, toda vizinhan¸ca de a contém infinitos pontos de A (demonstra¸c˜ ao via contradi¸c˜ ao!). ˜ PODE TER PONTOS Este Teorema nos diz que todo conjunto finito de pontos NAO ˜ O que ocorre com os conjuntos infinitos? DE ACUMULAC ¸ AO. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Seja A ⊂R um conjunto infinito mas limitado, logo, existe ao menos um ponto em © ª R que é um ponto de acumula¸caõ. Exemplo. A = 1; 12 , 13 , ..., n1 , ... é um conjunto infinito tal que todo elemento a ∈ A é tal que: 0 0 existe um n´ umero inteiro N tal que |an − a∗ | < ² para todo n > N. Se uma sequência tem limite, dizemos que converge e isto representamos da seguinte maneira: lim an = a∗ n→∞

caso contrário, dizemos que diverge. Dizemos que uma sequência é monótona crescente se an+1 > an para todo n (decrescente an+1 < an ). Dizemos que é limitada superiormente se existe um n´ umero b tal que an < b ∀n. Igualmente, é limitada inferiormente se existe b tal que b < an para todo n. Teorema A.2 Toda sequência mon´ otona (crescente ou decrescente) limitada converge. Observa¸ c˜ ao Sequências limitadas não monótonas podem convergir ou não convergir. Por exemplo, a sequência © ª 1, −1, 1, −1, ... (−1)n+1 , ... é limitada mas não é convergente! Subsequˆ encias. Dada uma sequência {u1 , u2 , ..., un , ...} as sequências {u1 , u4 , u7 , ...} ou {u2 , u4 , u6 , ...}, etc. se chamam subsequências de {un }. Vejamos um IMPORTANTE TEOREMA. Teorema A.3 (Teorema de Bolzano-Weierstrass para Sequˆ encias) Toda sequência limitada tem uma subsequência convergente. Observa¸ c˜ ao O conjunto A ⊂ R é compacto se e somente se toda sequência infinita de pontos de A tem uma subsequência convergente. Sequˆ encias de Cauchy. Diz-se que a sequência {an } é uma sequência de Cauchy se para todo ² > 0 existe um n´ umero inteiro N tal que: |an − am | < ²

∀n, m > N

Se observa que se a sequência é convergente logo é uma sequência Cauchy. De fato, seja a∗ seu limite, logo: |an − am | = |an − a∗ − (am − a∗ )| ≤ |an − a∗ | + |am − a∗ | como {an } é convergente sempre podemos escolher N tal que para n, m > N resulte: |an − a∗ | < ²1 ,

|am − a∗ | < ²2 e ²1 + ²2 = ²

A.7. Limite e Continuidade de Fun¸cões

269

logo: |an − am | < ² para n, m > N Conjunto Completo. O conjunto A ⊂ R é completo se e somente se toda sequência Cauchy de pontos de A converge para algum ponto em A. Exemplos • O conjunto dos n´ umeros racionais n˜ ao ´ e completo já que, √ por exemplo, a sequência {1, 1.4, 1.41, 1.412, ...} tem por limite o n´ umero irracional 2. • R é completo.

A.7

Limite e Continuidade de Fun¸c˜ oes

Seja f : R→R x → f (x) dizemos que esta fun¸caõ tem o limite a no ponto x0 se para todo ² > 0, existe um n´ umero δ > 0 tal que toda vez que: 0 < |x − x0 | < δ resulta |f (x0 ) − a| < ². Isto representamos assim: lim f (x) = a

x→x0

Continuidade (Defini¸caõ via defini¸caõ de limite). A fun¸caõ f no conjunto A ⊂R é cont´ınua no ponto de acumula¸caõ x0 ∈ A se e somente se (1) f (x0 ) existe (2) limx→x0 f (x) = f (x0 ) Continuidade (Defini¸caõ ² − δ). A fun¸caõ f : A →R é cont´ınua em x0 ∈ A se para todo ² > 0 existe δ > 0 tal que |f (x) − f (x0 )| < ² toda vez que |x − x0 | < δ Observa¸ c˜ ao. A essência da no¸cão de continuidade está mais próxima do conceito de conjuntos abertos que o de limite ou da defini¸cão ²−δ. De fato, a defini¸cão |f (x) − f (x0 )| < ² define uma vizinhan¸ca N² (f (x0 )) em R (f ). Em particular, {f (x) ; |f (x) − f (x0 )| < ²} define uma vizinhan¸ca aberta de raio ² em f (x0 ) . Se f é cont´ınua em x0 , logo, os pontos x levados por f a esta vizinhan¸ca se encontram em outra vizinhan¸ca aberta de raio δ em x0 . Em outras palavras, para cada ² > 0 existe δ > 0 tal que a imagem inversa de toda vizinhan¸ca aberta em f (x0 ) está inclu´ıda em uma vizinhan¸ca aberta em x0 .

270

Apêndice A. Defini¸co˜es e Nota¸co˜es

A observa¸caõ anterior conduz à seguinte defini¸caõ de continuidade. Continuidade (Defini¸cão via vizinhan¸ca aberta). A fun¸cão f : A → B, A, B ⊂R é cont´ınua em x0 ∈ A se e somente se a imagem inversa de toda vizinhan¸ca aberta de f (x0 ) em B está contida em uma vizinhan¸ca aberta de x0 em A. Se a continuidade se verifica para todo x0 ∈ A dizemos que f é cont´ınua em A. Temos agora um Teorema que usamos durante a apresenta¸caõ do Lema Fundamental do C´ alculo das Varia¸ c˜ oes. Teorema A.4 (de Weierstrass do Valor Intermedi´ ario de uma Fun¸ c˜ ao Cont´ınua) Seja f : R → R tal que é cont´ınua no intervalo fechado [a, b] . Logo f (x) assume todos os valores intermedi´ arios entre f (a) e f (b) . Finalmente, recordemos alguns conceitos que usamos nos Cap´ıtulos anteriores. Derivada de uma Fun¸c˜ ao. Seja f : A ⊂R → R e seja x0 um ponto de acumula¸caõ de A. Dizemos que f 0 (x0 ) é a derivada de f em x0 se existe o limite lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) x − x0

Se f 0 (x0 ) existe, dizemos também que f é diferenciável em x0 . Se f é diferenciável para todo x0 ∈ A dizemos que f é diferenciável em A. Diferencia¸ c˜ ao de uma Integral. Regra de Leibnizt. Seja Z x2 (²) J = J (²) = f (x, ²) dx x1 (²)

logo:

dJ dx2 dx1 = f (x2 , ²) − f (x1 , ²) + d² d² d²

Z

x2 x1

∂f dx ∂²

(A.5)

Integra¸ c˜ ao por Partes. Vamos usar repetidamente a regra de integra¸cão por partes: Z x2 Z x2 df dg x2 g dx = gf |x1 − f dx dx x1 x1 dx

A.8

Espa¸cos M´ etricos

Vamos generalizar primeiro o conceito de valor absoluto de n´ umeros reais. Para isso, introduzimos o conceito de Métrica. M´ etrica: Seja X um conjunto vazio, a fun¸cão d : X × X → R, é chamada métrica se e somente se as seguintes propriedades são satisfeitas: 1) d (x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ X (estritamente positiva)

A.8. Espa¸cos Métricos

271

2) d (x, y) = 0 se e somente se x = y (estritamente positiva) 3) d (x, y) = d (y, x) para todo x, y ∈ X (simetria) 4) d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z)

∀x, y, z ∈ X (desigualdade do triângulo)

Geralmente, na literatura vemos que quando em um conjunto se define uma métrica, os elementos do conjunto são chamados pontos e d (x, y) distˆ ancia entre esses pontos. Observe que as propriedades (1)-(4) são uma generaliza¸caõ das propriedades do valor absoluto e do conceito geométrico que temos de distância entre pontos do espa¸co Euclidiano. Espa¸ co M´ etrico: Como sempre estamos limitando nossa apresenta¸cão a espa¸cos vetorais reais. Seja o e.v.r. X e definamos uma métrica d, logo (X, d) é chamado espa¸co m´ etrico. Exemplo. O espa¸co métrico clássico é o e.v.r. R onde a métrica está dada por: d (x, y) = |x − y| Exemplo. Seja X = R × R e dados x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) ∈ R arbitrários e a métrica definida por: ¡ ¢1 d (x, y) = |x1 − y1 |2 + |x2 − y2 |2 2 que corresponde ao espa¸co Euclidiano bidimensional. Exemplo. Seja X = R × R e d (x, y) dado por: d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | que se pode verificar satisfaz todas as propriedades de uma métrica. Vemos, assim, que para um mesmo conjunto podemos eleger diferentes métricas dando lugar a espa¸ cos m´ etricos diferentes. Fazendo uso da Desigualdade de H¨ older: Ã n ! p1 Ã n ! 1q n X X X 1 1 |xi yi | ≤ |xi |p |yi |q , 1 0 e cada x ∈ X existe um elemento xn deste conjunto tal que: d (x, xn ) < ²

A.9. Espa¸cos Normados

273

Sequˆ encias Cauchy em Espa¸cos M´ etricos: Seja (X, d) um espa¸co métrico. sequência {xn } é uma sequência Cauchy se:

A

d (xn , xm ) → 0 para n, m → ∞ Convergˆ encia em Espa¸cos M´ etricos: Uma sequência {xn } de (X, d) é convergente se existe x ∈ X tal que: d (xn , x) → 0 n → ∞ Podemos observar desta defini¸caõ que toda sequência convergente é uma sequência Cauchy. Mas as sequências Cauchy nã©o s˜ ªao necessariamente convergentes. Exemplo. Seja a sequência n1 em (X, d) , onde X = {x ∈ R tal que 0 < x ≤ 1} , d (x, y) = |x − y| Claramente

1 =0∈ /X n→∞ n © ª Se agregamos o elemento zero ao conjunto X (completamos o conjunto), a sequência n1 resulta convergente. Espa¸ co M´ etrico Completo: (X, d) é completo se toda sequência Cauchy em (X, d) é uma sequência convergente em (X, d). Exemplos lim

• (C [a, b] , d∞ ) é completo. • (Lp [a, b] , dp ) é completo.

A.9

Espa¸cos Normados

Seja V um e.v.r. A fun¸caõ N : V → R é uma norma em V se e somente se: (1) N (u) ≥ 0 e = 0 se e somente se u = 0 (2) N (αu) = |α| N (u)

∀u ∈ V,

∀α ∈ R

(3) N (u + v) ≤ N (u) + N (v) E a nota¸cão tradicional para N é: N (u) = kuk Por sua vez, (V, k·k) define um e.v. normado. Exemplos (1) (C [a, b] , kf k = maxx∈[a,b] |f (x)|)

274

Apêndice A. Defini¸co˜es e Nota¸co˜es

(2) (C [a, b] , kf k = (3) (C [a, b] , kf k =

³R b a

Rb a

|f (x)|2 dx

´ 12

)

|f (x)| dx)

Observa¸ c˜ ao 1. Não obstante o e.v.r. V é o mesmo em todos os exemplos (C [a, b]) , os espa¸cos normados são diferentes. Em particular, (2) e (3) não são completos com rela¸cão à métrica (topologia) induzida pela norma. Por outro lado, (1) é completo. Observa¸ c˜ ao 2. Dada uma norma, k · k em V podemos induzir uma métrica d(f, g) = kf − gk isto é, todo espa¸co normado é um espa¸co métrico. Sequˆ encias Cauchy em Espa¸cos Normados: A sequência {xn } é uma sequência Cauchy em (V, kk) se para todo ² > 0 existe N tal que kun − um k < ²,

n, m > N

ou o que é equivalente: kun − um k → 0 n, m → ∞ O espa¸co (V, k·k) é completo se toda sequência Cauchy é convergente a um elemento do espa¸co. Espa¸ co Banach: O e.v.r. normado completo se chama Espa¸co Banach. Vejamos alguns exemplos. Exemplo. O espa¸co Euclidiano n-dimensional Rn . Seja {xi } uma sequência Cauchy, logo para todo ² > 0 existe N tal que: 2

kxm − xn k =

n X ¡

(i) x(i) m − xn

¢2

< ²2

n, m > N

i=1

Para cada componente i se verifica que

(i) |xm

−

(i) xn |

n < ², m, n > N , ou seja,

(i) xm

o é

(i)

uma sequˆ umeros reais, logo converge por exemplo para x = nencia o de Cauchy de n´ © ª (i) limm→∞ xm . Podemos construir x = x(i) , ..., x(n) logo resulta kxm − xk → 0 m → ∞ pelo que Rn é completo. Exemplo. Todo espa¸co normado de dimensão finita é completo. A demonstra¸caò é por indu¸cão. Exemplo. Vários espa¸cos normados de dimensão infinita n˜ ao s˜ ao completos. Seja, por exemplo, o espa¸co C (0, 1) com a norma µZ

1

kf k =

2

¶ 21

|f (x)| dx 0

não é completo. De fato, a sequência de fun¸cões cont´ınuas ½ n n+1 2 x para 0 ≤ x ≤ 12 un (x) = 1 − 2n (1 − x)n+1 para 21 ≤ x ≤ 1

(A.6)

A.9. Espa¸cos Normados

275

Figura A.1: O espa¸co C(0, 1) com a norma definida em (A.6) não é completo.

Figura A.2: O espa¸co C(0, 1) com a norma definida em (A.7) não é completo. é uma sequência Cauchy com respeito à norma definida anteriormente. Entretanto, a sequência converge para a fun¸caõ u ∈ / C [0, 1] (kun − uk → 0 para n → ∞) dada por (Figura A.1),   0 para 0 ≤ x < 12 1 para x = 12 u (x) =  2 1 para 12 < x ≤ 1 Exemplo. O espa¸co C (0, 1) com a norma: Z

1

kf k =

|f (x)| dx

(A.7)

0

não é completo. De fato, a sequência Cauchy de fun¸cões cont´ınuas:  para x ≤ 21 − n1  0 nx − n2 + 1 12 − n1 ≤ x ≤ 12 fn (x) =  1 ≤x 0 existe δ > 0 tal que: kP (u) − P (u0 )kV < ² toda vez que ku − u0 kU < δ

(A.9)

Ou, de forma equivalente, P é cont´ınuo em u0 ∈ U se para toda sequência {un } que converge a u0 (ou seja, limn→∞ kun − u0 kU = 0), a sequência {P (un )} converge a P (u0 ) em V. Em outras palavras, P é cont´ınuo se: lim kun − u0 kU = 0 ⇒ lim kP (un ) − P (u0 )kV = 0

n→∞

n→∞

(A.10)

Se (A.9) se verifica para todo par (u, u0 ) ∈ S ⊂ U dizemos que P é uniformemente cont´ınuo. Operadores lineares são limitados se existe M < ∞, constante positiva, tal que: kP ukV < M kukU

∀u ∈ U

Se P é não linear e kP (u) − P (v)kV ≤ M ku − vkU

∀u, v ∈ S ⊂ U

se diz satisfeita a condi¸ c˜ ao de Lipschitz em S (observe que se P satisfaz esta condi¸caõ logo é cont´ınuo). De acordo com esta defini¸caõ, dado um operador linear limitado de toda a cole¸cão de n´ umeros M para os quais kP uk < M kuk podemos escolher o menor valor poss´ıvel Mmin e desta forma podemos estabelecer uma correspondência entre o operador e este n´ umero: N (P ) = Mmin Pode-se verificar que esta correspondência satisfaz todas as propriedades da fun¸c˜ ao norma. Logo, se introduz a nota¸caõ: N (P ) = kP k a qual chamamos de norma do operador P kP k = inf {M | kP ukV ≤ M kukU , ∀u ∈ U }

278

Apêndice A. Defini¸co˜es e Nota¸co˜es

Claramente o anterior é equivalente a: kP k = sup u∈U

kP ukV , kukU

u 6= 0

Exemplo. Consideremos o operador Du =

du dx

definido no conjunto de fun¸co˜es diferenciáveis com norma dada por: kuk = sup |u (x)| x∈[0,1]

Claramente D : C 1 [0, 1] → C [0, 1] é linear, mas n˜ ao limitado na norma anterior. De fato, seja: un (x) = sin (nx) logo: kun k = sup |sin (nx)| = 1

∀n

x∈[0,1]

por outro lado: Dun = n cos (nx) ⇒ kDun k = n dado que kun k = 1 e kDun k cresce indefinidamente para n → ∞, não existe uma constante M tal que: kDun k < M kun k ∀u ∈ C 1 [0, 1] Se introduzimos a norma: kuk = max( sup |u(x)|, sup |Du|) x∈[0,1]

x∈[x,1]

teremos que D é um operador linear limitado. Espa¸ co Dual Topol´ ogico: Consideremos o espa¸co normado U. O espa¸co de todos os funcionais lineares cont´ınuos (e portanto limitados!) é designado por U 0 e se chama dual topológico de U : U 0 = L (U, R) Observa¸ c˜ ao Como existem mais funcionais lineares que não são cont´ınuos, se segue que 0 ∗ U ⊂U . A norma neste espa¸co está dada por: ½ ¾ ½ ¾ kf (u)kR |hf, ui| kf kU 0 = sup , u 6= 0 = sup , u 6= 0 kukU kukU u∈U u∈U do anterior se segue também que: |hf, ui| ≤ kf kU 0 kukU

∀f ∈ U 0 , u ∈ U

A.10. Espa¸cos com Produto Interno

279

Convergˆ encia. Seja U um espa¸co Banach e U 0 seu dual (topológico). Logo, dada a sequência {un } em U, dizemos que converge fortemente para u0 se para ∀² > 0 existe N > 0 tal que: kun − ukU < ² n > N ⇔ lim kun − u0 kU = 0 n→∞

Dizemos que converge fracamente para u0 se para todo l ∈ U 0 se verifica |l (un − u0 )| < ² toda vez que n > N o que é similar a lim |l (un − u0 )| = 0

n→∞

Na literatura se observa também a seguinte nota¸caõ un → u para convergência forte un * u para convergência fraca Por sua vez, se lim kln − lkU 0 = 0 ”ln converge fortemente para l” em U 0

n→∞

se lim hln − l, ui = 0 ∀u ∈ U

n→∞

A.10

”ln converge fracamente para l” em U 0

Espa¸cos com Produto Interno

Nas Se¸co˜es anteriores pudemos generalizar os conceitos de distˆ ancia (continuidade, etc.) empregando o conceito de norma. Nos falta generalizar o conceito de produto escalar de vetores (produto interno) que nos definia o conceito de ortogonalidade e proje¸cão. Para isso, vamos introduzir a seguinte defini¸caõ. Produto interno. Seja U um e.v.r. o funcional p : U ×U →R u, v → p (u, v) comumente designado simplesmente por (u, v) é um produto interno se satisfaz as seguintes propriedades: (1) (u, v) = (v, u) (simetria) (2) (αu1 + βu2 , v) = α (u1 , v) + β (u2 , v) (aditivo e homogêneo) (u, αv1 + βv2 ) = α (u, v1 ) + β (u, v2 ) (3) (u, u) ≥ 0 e = 0 se e somente se u = 0

280

Apêndice A. Defini¸co˜es e Nota¸co˜es

Espa¸ co com Produto interno. O e.v.r. U no qual se tem definido um produto interno é chamado espa¸co (real) produto interno. Neste caso, os elementos de U são comumente chamados vetores na literatura. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Sejam u, v ∈ U vetores do e.p.i. U logo: p |(u, v)| ≤ (u, u) (v, v) Demonstra¸cão Suponhamos v, u 6= 0 (caso contrário, a desigualdade é satisfeita trivialmente). Logo: 0 ≤ (u + αv, u + αv) = (u, u) + 2α (u, v) + α2 (v, v)

∀αR

A expressão anterior é uma expressão quadrática em α (observe que u, v estão fixos e que (u, u) , (u, v) e (v, v) são n´ umeros reais definidos). Esta forma é não negativa para todo valor de α, mas isto somente é poss´ıvel se sua discriminante satisfaz: 4 (u, v)2 − 4 (u, u) (v, v) ≤ 0 de onde:

(u, v)2 ≤ (u, u) (v, v) ¥

Ortogonalidade. Vimos assim que a defini¸cão de produto interno é uma generaliza¸cão de nosso conceito geométrico de produto escalar (interno) de vetores. Por este motivo dizemos que u e v são ortogonais se: (u, v) = 0 Das propriedades do produto interno podemos induzir uma norma: 1

kuk = (u, u) 2

para tal somente nos restaria demonstrar que a desigualdade do triˆ angulo ´ e satisfeita. De fato, temos: ku + vk2 = (u + v, u + v) = (u, u) + 2 (u, v) + (v, v) ≤ (u, u) + 2 |(u, v)| + (v, v) e aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz: 1

1

ku + vk2 ≤ (u, u) + 2 (u, u) 2 (v, v) 2 + (v, v) = (kuk + kvk)2 ¥ Do resultado anterior temos que todo espa¸co produto interno é um espa¸co normado (com a norma induzida pelo produto interno). Espa¸ co Hilbert. O espa¸co produto interno completo (no sentido da norma induzida) se chama espa¸ co Hilbert. Vemos que todo espa¸co Hilbert é um espa¸co Banach. A inversa não é verdadeira já que nem toda norma provém de um produto interno.

Apˆ endice B A Convexidade no C´ alculo Variacional B.1

Introdu¸c˜ ao

Neste Apêndice vamos apresentar alguns resultados que utilizamos na Parte III desta monografia. Seja D o operador taxa de deforma¸caõ satisfazendo as propriedades já estabelecidas no Cap´ıtulo 6 e seja K = D∗ DD o operador rigidez correspondente ao material hiperelástico estudado (recorde que D é simétrico positivo definido no espa¸co de deforma¸co˜es). A seguir, vamos demonstrar os seguintes Lemas. Lema B.1 N (D) = N (K) A demostra¸c˜ ao será feita em duas etapas: • u ∈ N (D) ⇔ Du = 0 ∀u ∈ N (D) ⇔ DDu = 0 ∀u ∈ N (D) (Recorde que D é positivo definido)→ D∗ DD = 0 ∀u ∈ N (D) ⇔ Ku = 0 ∀u ∈ N (D) → N (D) ⊂ N (K) . • u ∈ N (K) ⇔ Ku = 0 ∀u ∈ N (K) → hKu, ui = 0 ∀u ∈ N (K) → hKu, ui = (DDu, Du) = 0 ∀u ∈ N (K) → recordando que D é positivo definido, Du = 0 ∀u ∈ N (K) → N (K) ⊂ N (D) . Dos dois resultados anteriores se segue que: N (D) ⊂ N (K) ⊂ N (D) → N (D) = N (K) com o que demostramos o Lema. Lema B.2 N (K) = R (K)⊥ 281

282

Apêndice B. A Convexidade no Cálculo Variacional

• u ∈ N (K) ⇔ Ku = 0 ∀u ∈ N (K) → hKu, wi = 0 ∀w ∈ U → hD∗ DDu, wi = (DDu, Dw) = (Du, DDw) = hD∗ DDw, ui = hKw, ui = 0 ∀w ∈ U → u ∈ R (K)⊥ → N (K) ⊂ R (K)⊥ . • u ∈ R (K)⊥ → hKw, ui = 0 ∀w ∈ U → para w = u que hKu, ui = 0 → hKu, ui = hD∗ DDu, ui = (DDu, Du) = 0 → Du = 0 → u ∈ N (D) → R (K)⊥ ⊂ N (D) → recordando o Lema B.1, R (K)⊥ ⊂ N (D) = N (K) . Logo:

N (K) ⊂ R (K)⊥ ⊂ N (K) → N (K) = R (K)⊥

Então, para certas hipóteses sobre o e.v. U (por exemplo para o corpo tridimensional em estudo é suficiente pensar que U = H 1 (B) é o espa¸co de Sobolev cujos elementos u são campos de fun¸co˜es - classe de fun¸co˜es - tais que, conjuntamente com suas derivadas primeiras são quadraticamente integráveis no sentido de Lebesgue na região B do espa¸co Euclidiano puntual), supondo que eliminamos os movimentos de corpo r´ıgido (ou seja estamos trabalhando no espa¸co quociente U/N (D)) e para hipóteses de regularidade da região B, é poss´ıvel mostrar que o operador K : U → U 0 é limitado inferiormente, pelo que R (K) é um s.e.v. fechado de U 0 . Com isto, temos que ao tomar o complemento ortogonal da expressão do Lema B.2 obtemos o seguinte resultado: Corol´ ario B.1 (Corol´ ario do Lema B.2) N (K)⊥ = R (K) Lema B.3 Com os resultados dos Lemas B.1 e B.2 e do Corol´ ario do Lema B.2 obtemos: N (D) = N (K) = R (K)⊥ N (D)⊥ = N (K)⊥ = R (K) Lema B.4 V aru ∩ N (K) = V aru ∩ K (V aru )⊥ De fato: se u ∈ V aru ∩ N (K) ⇔ u ∈ V aru e u ∈ N (K) ⇔ u ∈ V aru e hKu, wi = 0 ∀w ∈ V aru ⇔ (por simetria do operador de rigidez K) u ∈ V aru e hKw, ui = 0 ∀w ∈ V aru ⇔ u ∈ V aru R e u ∈ K (V aru ) ⇔ u ∈ V aru ∩ K (V aru )⊥ . Lema B.5 h i⊥ V aru ∩ K (V aru )⊥ = V aru⊥ ⊕ K (V aru ) onde ⊕ indica soma direta. De fato:

B.2. Fun¸cões Convexas

283

Segundo vimos no Cap´ıtulo 6 resulta: h i⊥ V aru ∩ K (V aru )⊥ = V aru⊥ + K (V aru )⊥⊥ e das propriedades de K: h i⊥ ⊥ V aru ∩ K (V aru ) = V aru⊥ ∩ K (V aru )⊥⊥ = V aru⊥ + K (V aru ) Nos falta demonstrar que a adi¸c˜ ao pode ser substitu´ıda pela soma direta. Para isso ⊥ vamos demonstrar que V aru ∩ K (V aru ) = {θ} onde θ é o elemento nulo de U 0 . De fato, seja: f ∈ V aru⊥ ∩ K (V aru ) ⇔ f ∈ V aru⊥ e f ∈ K (V aru ) ⇔ f ∈ V aru⊥ e ∃u ∈ V aru tal que Ku = f → hf, wi = 0 ∀w ∈ V aru com f = Ku → para w = u hKu, ui = 0 → u ∈ N (K) → Ku = 0 = f, ou seja, o u ńico elemento da interse¸c˜ ao é um elemento nulo. Logo: h i⊥ ⊥ V aru ∩ K (V aru ) = V aru⊥ ⊕ K (V aru )

B.2

Fun¸co ˜es Convexas

Seja X um e.v. (real). Dizemos que o conjunto C ⊂ X é convexo se: θx + (1 − θ) y e ∈ C

∀x, y ∈ C e θ ∈ (0, 1)

O funcional f : C → R é convexo se: f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y)

∀x, y ∈ C,

∀λ ∈ (0, 1)

O funcional f se diz estritamente convexo se a desigualdade estrita é satisfeita na expressão anterior. Dado um funcional f definido no convexo C de X, sempre podemos definir o funcional f definido em X dado por: ½ f (x) se x ∈ C f : X → R tal que f (x) = +∞ se x ∈ /C Do anterior se conclui que f é convexa se e somente se f é convexa.

B.3

Semicontinuidade

Seja V um espa¸co Banach, o funcional f : V → R = R ∪ {−∞, +∞} é semicont´ınuo inferiormente se se verificam as duas condi¸cões equivalentes: • ∀α ∈ R o conjunto {x ∈ V | f (x) ≤ α} é fechado. • ∀α ∈ R o conjunto {x ∈ V | f (x) > α} é aberto.

284

B.4

Apêndice B. A Convexidade no Cálculo Variacional

Diferencial no Sentido de Gateaux

Se diz que f : V → R é Gateaux - diferenciável no ponto x0 se: f (x0 + λx) − f (x0 ) λ

∀x ∈ V

possui um limite quando λ → 0 por valores positivos e se existe y ∈ V 0 tal que este limite seja igual a hy, xi . Este funcional linear e cont´ınuo y é chamado derivada Gateaux de f em x. A seguinte nota¸cão será introduzida: y = f 0 (x0 ) δf (x0 ; x) = hy, xi = hf 0 (x0 ) , xi Teorema B.1 Seja f : V → R Gateaux - diferenci´ avel. Logo, o funcional f é convexo 0 se e somente se a aplica¸c˜ ao de V em V que a cada x ∈ V lhe faz corresponder f 0 (x) é mon´ otona, ou seja se: hf 0 (x2 ) − f 0 (x1 ) , x2 − x1 i ≥ 0

B.5

∀x1, x2 ∈ V

Minimiza¸c˜ ao de Funcionais Convexos. Caracteriza¸c˜ ao do Ponto de M´ınimo

Consideremos um funcional J : V → R e seja C ⊂ V um subconjunto de V, onde V é um espa¸co Banach. Dizemos que J (u) é um m´ınimo relativo de J em C se u ∈ C e se existe uma vizinhan¸ca de Nδ (u) tal que: J (u) ≥ J (u)

∀u ∈ C ∩ Nδ (u)

Por sua vez, dizemos que J (u) é um m´ınimo absoluto de J em C se u ∈ C e se: J (u) ≥ J (u)

∀u ∈ C

Teorema B.2 Se V é um espa¸co Banach reflexivo, se J é semicont´ınuo inferiormente e se C é um subconjunto limitado e fechado de V, existe ao menos um m´ınimo absoluto em C. Observa¸ c˜ ao B.1 No caso de V ser um espa¸co vetorial de dimensão finita o Teorema anterior nos diz que toda fun¸c˜ ao cont´ınua sobre um conjunto fechado e limitado alcan¸ca ao menos uma vez seu m´ınimo. Teorema B.3 Se V é um espa¸co Banach reflexivo, J semicont´ınuo inferiormente e coercivo: lim J (u) = +∞ kuk→∞

logo existe ao menos um m´ınimo absoluto.

B.5. Minimiza¸caõ de Funcionais Convexos. Caracteriza¸cão do Ponto de M´ınimo

285

Teorema B.4 Seja C um aberto de V, logo: i) Se u ∈ C é um m´ınimo relativo de J em C e se J é Gateaux-diferenci´ avel, logo: δJ (u; φ) = 0

∀φ ∈ V

ii) Se J é convexo e Gateaux-diferenci´ avel, logo: • todo m´ınimo local é um m´ınimo global • as duas express˜ oes seguintes são equivalentes: J (u) ≥ J (u)

∀u ∈ C; u ∈ C

δJ (u; φ) = 0

∀φ ∈ V; u ∈ C

• Se J é estritamente convexo as duas expres˜ oes anteriores admitem uma u ´ nica solu¸c˜ ao u. Teorema B.5 i) Se J é Gateaux-diferenci´ avel em C e C é um subconjunto convexo do espa¸co Banach reflexivo V e se u ∈ C é tal que: J (u) ≥ J (u)

∀u ∈ C

logo: δJ (u; v − u) ≥ 0 ∀v ∈ C ii) Se J é convexo as duas express˜ oes anteriores são equivalentes.

286

Apêndice B. A Convexidade no Cálculo Variacional

Apˆ endice C Exerc´ıcios C.1

Introdu¸c˜ ao

Neste apêndice apresentamos um conjunto de exerc´ıcios. Procuramos com isto auxiliar os alunos no aprendizado de diversos temas introduzidos na presente monografia. Exerc´ıcio C.1 . Um funcional é a aplica¸c˜ ao F : U →R u → F (u) ∈ R logo a) Seja U = C[0, 1] e F(u) =

R1 0

u(x)dx, calcule F(u) para

i) u(x) = x2 ; ii) u(x) = 1 + x2 ; iii) u(x) = ex ; b) Seja U = C 1 [a, b] e F(u) = calcule F(u) para

du | , dx x0

x0 ∈ [a, b]. Adotando a = 1, b = 3, e x0 = 2

i) u(x) = 1; ii) u(x) = ex ; iii) u(x) = senπx; c) Seja U = C[−1, 1]. Considere o funcional F(u) = x(1 + u2 (x)). Calcule F(u) para i) u(x) = x; ii) u(x) = 1 + x; 287

R1 −1

φ(x, u(x))dx onde φ(x, u(x)) =

288

Apêndice C. Exerc´ıcios

Figura C.1: Problema da Braquistócrona Exerc´ıcio C.2 (O Problema da Braquist´ ocrona) A seguinte analogia com a ótica foi empregada por Johann Bernoulli em 1696 para resolver o problema da curva braquist´ ocrona. Num meio não homogêneo, a velocidade da luz não é constante variando inversamente com o ´ındice de refra¸cão. O Princ´ıpio de Fermat em ótica estabelece que o raio de luz em um meio deste tipo, segue a trajet´ oria mais r´ apida para unir dois pontos. Fazendo uso deste princ´ıpio, Bernoulli concluiu que determinar a braquist´ ocrona era equivalente a determinar a trajet´ oria do raio de luz num meio plano onde o ´ındice de p refra¸c˜ ao era inversamente proporcional a y(x). Por outro lado, o problema ´ otico pode ser resolvido empregando a lei de Snell que estabelece que em cada ponto da trajet´ oria do raio luminoso o ângulo entre o eixo ”y” e a dire¸c˜ ao do raio (tangente à trajet´ oria no ponto considerado forma um ângulo α cujo seno (sin α) é inversamente proporcional ao ´ındice de refra¸c˜ ao (e portanto proporcional a sua velocidade) (Figura C.1). Com esta analogia a braquist´ ocrona deve satisfazer p c sin α = y(x) (C.1) onde c é uma constante a determinar. i) justifique a equa¸c˜ ao (C.1); ii) suponha que a braquist´ ocrona está dada pela fun¸c˜ ao y = y(x), empregue a equa¸c˜ ao (C.1) para obter dy c2 = y(x)[1 + ( )2 (x)], ∀x ∈ (0, a) (C.2) dx iii) mostre que a ciclóide dada parametricamente por c2 (θ − sin θ) x(θ) = 2 c2 y(θ) = (1 − cos θ), ∀θ ∈ [0, θB ] 2 satisfaz a equa¸c˜ ao diferencial (C.2), que (0, 0) é um ponto da curva e que c e θ podem ser escolhidos de maneira a que um outro ponto da ciclóide seja o ponto (a, b) Observa¸ c˜ ao: Este problema ilustra o paralelismo existente entre a ótica e a mecˆ anica das part´ıculas, trabalho este desenvolvido por Hamilton.

C.1. Introdu¸caõ

289

Figura C.2: Problema da Geodésica: Cone Exerc´ıcio C.3 Considere novamente o problema da braquist´ ocrona onde a = 1 e b = 1 e calcule o tempo gasto pela part´ıcula seguindo as trajet´ orias i) y(x) = x; p ii) y(x) = 1 − (x − 1)2 empregando o funcional 1 T (y) = √ 2g

Z

1

"

0

dy 2 1 + ( dx ) (x) y(x)

#1/2 dx

(C.3)

iii) empregando a rela¸c˜ ao trigonométrica 1 − x = cos θ (justifique), mostre que para o caso ii) (c´ırculo) o tempo gasto está dado por 1 T (y) = √ 2g

Z

1 0

dθ (sin θ)1/2

(C.4)

iv) empregue a equa¸c˜ ao (C.4) para mostrar que Tcirculo < Treta v) empregue a desigualdade sin θ < θ, θ > 0 para obter uma cota inferior do tempo correspondente ao c´ırculo; vi) trate de obter uma cota superior de maneira a obter o mesmo resultado de (iv) embora sem realizar nenhum c´ alculo do valor da integral (C.3). Exerc´ıcio C.4 (Problema da Geod´ esica) Formular o problema da geodésica para as seguintes superf´ıcies: i) Para o cone da Figura C.2, comente ainda os casos particulares onde A e B estão no mesmo meridiano e no mesmo paralelo; ii) Para o cilindro da Figura C.3, comente ainda os casos particulares onde A e B estão no mesmo meridiano e no mesmo paralelo.

290

Apêndice C. Exerc´ıcios

Figura C.3: Problema da Geodésica: Cilindro

Figura C.4: Problema do bote Exerc´ıcio C.5 (Problema do bote) Considere o problema do bote indicado na Figura C.4. Suponha que o mesmo tem uma velocidade relativa à corrente do rio dada pela constante w = 1 e seja r = r(x) a velocidade da corrente do rio na dire¸c˜ ao ”y”. Não existem correntes transversais. O tempo empregado pelo bote para ir de A (de coordenadas (0, 0)) a B (de coordenadas (xB , yB )) na trajet´ oria definida pela curva y = y(x) est´ a dado por Z xB q −1/2 T (y) = [α(x) 1 + (αy 0 )2 (x) − (α2 ry 0 )(x)]dx, onde α = (1 − r2 (x)) (C.5) 0

justifique esta express˜ ao. Para isto i) trate de obter as componentes da velocidade do bote nas dire¸c˜ oes ”x”e ”y”; ii) mostre que o tempo de travessia está dado por Z xB T = sec σ dx, x ≥ 0 0

iii) mostre que

√ dy = r(x) sec σ + sec2 σ − 1 dx

iv) com estes resultados obtenha o funcional (C.5).

C.1. Introdu¸caõ

291

Exerc´ıcio C.6 Seja o operador P : U 7−→ V , recordando a defini¸c˜ ao do Diferencial de Gateaux do operador P no ponto u ∈ U na dire¸c˜ ao η dada por · ¸ P (u + τ η) − P (u) dP (u, η) = lim (C.6) τ −→0 τ verificar que para P linear resulta dP(u; η) = Pη. Exerc´ıcio C.7 Amitindo que os funcionais Fi (i = 1, 2) estão definidos em U e satisfazem as restri¸co˜es (1) e (2) das notas de aula e empregando a defini¸c˜ ao ¯ ¯ d dFi (u, η) = δFi (u, η) = Fi (u + τ η)¯¯ (C.7) dτ τ =0 mostrar que i) Se δF1 (u, η) e δF2 (u, η) existem para u e η ∈ U resulta δ (F1 F2 ) (u, η) = δF1 (u, η) F2 (u) + F1 (u) δF2 (u, η) ii) Se F1 (u) 6= 0 logo: µ ¶ F2 δF2 (u, η) F1 (u) − F2 (u) δF1 (u, η) δ (u, η) = F1 F1 (u)2 iii) Se h ∈ C 1 (R) logo: δ (h (F)) (u, η) =

dh (F (u)) δF (u, η) dx

Vemos, assim, que o operador varia¸c˜ ao que usamos no Cálculo Variacional tem um comportamento idêntico ao operador diferencial empregado no cálculo diferencial de fun¸c˜ oes. Exerc´ıcio C.8 Calcular δF(u; η) para os seguintes funcionais i) F(u) = (u0 (0))2 − (u0 (0))3 . R1 ii) F(u) = 0 cos u(x)dx. R1 iii) F(u) = 0 (u3 (x) + ex u(x))dx. R2 0 iv) F(u) = 0 ([xu0 (x) − eu (x) ]dx. R1 v) F(u) = 0 x(t)y 0 (t)dt, u = (x, y). R R vi) F(u) = 12 Ω ∇u · ∇udΩ = 12 Ω [( ∂u )2 + ( ∂u )2 ]dΩ. ∂x ∂y

292 vii) F(u) =

Apêndice C. Exerc´ıcios 1 2

R √ Ω

1 + ∇u · ∇udΩ.

Exerc´ıcio C.9 O estado de equil´ıbrio de uma viga elástica dentro das hipóteses de pequenas deforma¸c˜ oes (e deslocamentos) submetida a seu peso próprio esta caracterizado pelo deslocamento transversal u = u(x), cinematicamente admiss´ıvel (isto é que satisfaz as condi¸c˜ oes de contorno), que minimiza o funcional de energia potencial total dado por ¸ Z L· 1 d2 u 2 F(u) = (C.8) E(x)I(x)( 2 ) − q(x)u(x) dx 2 dx 0 Empregando a condi¸caõ necess´ aria de m´ınimo justifique i) O espa¸co U. ii) Os conjuntos D(F) para os quais o problema esta definido; iii) Para cada um destes conjuntos determinar o espa¸co M de varia¸c˜ oes admiss´ıveis, a equa¸c˜ ao de Euler e as correspondentes condi¸c˜ oes de contorno principais e naturais. Exerc´ıcio C.10 No problema anterior admita que no ponto xo ∈ (0, L) o material, caracterizado pelo módulo de elasticidade de Young E = E(x), ou a geometria, caracterizada pelo momento de inercia I = I(x) ou o carregamento q = q(x) admitem algum grau de descontinuidade. Empregando a condi¸c˜ ao necess´ aria de m´ınimo justifique i) O espa¸co U. ii) Os conjuntos D(F) para os quais o problema esta definido; iii) Para cada um destes conjuntos determinar o espa¸co M de varia¸c˜ oes admiss´ıveis, a equa¸c˜ ao de Euler, as correspondentes condi¸c˜ oes de contorno principais e naturais e as condi¸c˜ oes de salto no ponto xo . Exerc´ıcio C.11 A condi¸c˜ ao necessária de m´ınimo nos problemas anteriores é uma condi¸c˜ ao suficiente?. Justifique matematicamente a resposta. Exerc´ıcio C.12 Seja o funcional (energia complementar de barra submetida a torsão em elasticidade linear Figura C.5) Z Z c F(u) = Φ (u)dΩ − 2α udΩ (C.9) Ω

onde • D(F) = {u; u suf. regular, u|∂Ω = 0}; • Φc (u) =

1 ∇u·∇u; 2µ

• u = u(x), x = (x, y) ∈ Ω, fun¸c˜ ao de tensão;

Ω

C.1. Introdu¸caõ

293

Figura C.5: Barra elástica submetida a torsão ∂ ∂ • ∇(.)(operador gradiente) = [ ∂x ; ∂y ];

• α = cte., representa a rota¸c˜ ao da se¸c˜ ao z = L; • µ = µ(x) Módulo de elasticidade transversal. i) Calcular δF(u, η). ii) Calcular a condi¸c˜ ao necess´ aria de m´ınimo. iii) A condi¸c˜ ao anterior é suficiente? Justifique a resposta. iv) Calcular a equa¸c˜ ao de Euler e determine o problema de valor de contorno equivalente ao problema de m´ınimo. v) Suponha que a se¸c˜ ao transversal da barra (Ω) está constituida por dois materiais diferentes (µ descontinuo) e seja S a curva contida em Ω que os separa. Calcular as equa¸c˜ oes de Euler para cada dominio e a condi¸c˜ ao que satisfaz u0 em S. Esta condi¸c˜ ao é satisfeita automáticamente pelo extremo u0 ?. Justifique a resposta.

Seja o funcional F(uo ) dado por Z

L

F(uo ) =

uo dx

(C.10)

0

onde a fun¸caõ u0 é a solu¸caõ do seguinte problema variacional: Determinar uo ∈ D(F) = {u; suf.reg.em(0, L); u(0) = 0; u(L) = qL2 /2; q ∈ R} tal que a(uo , η) = `(η)∀η ∈ M = {v; suf.reg.em(0, L); v(0) = v(L) = 0}

(C.11)

294

Apêndice C. Exerc´ıcios

e onde as formas a(·, ·) e `(·) estão dadas respectivamente por Z L du dv k a(u, v) = dx ∀u ∈ D(F), ∀v ∈ M dx dx 0 Z L `(v) = qvdx ∀v ∈ M

(C.12) (C.13)

0

Com o intuito de simplificar o problema variacional anterior admita o parâmetro k ∈ R. Com estes elemenos assim definidos resolver os seguintes exerc´ıcios. Exerc´ıcio C.13 Determinar i) A equa¸c˜ ao de Euler associada ao problema variacional (C.11); ii) Empregando esta equa¸c˜ ao calcular a solu¸c˜ ao uo do problema variacional (C.11). Exerc´ıcio C.14 Empregando o resultado anterior e adotando uma perturba¸c˜ ao ηk ∈ R determinar e i) F(k) = F(uo ); e ηk ) = ii) δ F(k,

d e F(k dτ

+ τ ηk )|τ =0

Observar que o cálculo anterior foi poss´ıvel por conhecermos a expressão uo = uo (k). Exerc´ıcio C.15 O cálculo anterior pode ser realizado empregando o Lagrangeano L(k, u, λ) = F(u) + a(u, λ) − `(λ)

(C.14)

definido para todo k ∈ R, u ∈ D(F) e λ ∈ M. Determinar i)

ii)

d L(k, u, λ dτ

+ τ ηλ )|τ =0 . A express˜ ao variacional obtida se igualada a zero para todo ηλ ∈ M corresponde a que problema variacional?. A solu¸c˜ ao deste probleam variacional fornece uo ?. Justifique a resposta. d L(k, u + τ ηu , λ)|τ =0 dτ

= 0∀ηu ∈ M fornece a equa¸c˜ ao adjunta (em sua forma varia-

cional!). Logo:

ii.1) determinar a equa¸c˜ ao de Euler associada a este novo problema variacional; ii.2) determinar λo ∈ M solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao adjunta. iii) Para ηk ∈ R realizar o seguinte cálculo d L(k + τ ηk , u, λ)|τ =0 dτ

(C.15)

iv) Evaluar a express˜ ao anterior em u = uo e λ = λo . Compare este resultado com o e ηk ). Justifique a resposta. resultado já obtido δ F(k,

C.1. Introdu¸caõ

295

Seja o funcional F(u) dado por Z F(u) =

1 ( ∇u · ∇u − 2u)dΩ Ω 2

(C.16)

onde i) u ∈ D(F) = {u; suf. reg. em Ω; u|∂Ω = 0}; ii) Ω = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 2a, 0 ≤ y ≤ 2b} Exerc´ıcio C.16 Empregando o Método de Ritz determine uma solu¸c˜ ao aproximada da fun¸c˜ ao que minimiza o funcional tomando como fun¸c˜ oes bases (observar a simetria do problema!): a) fun¸c˜ oes polinomiais em Ω convenientemente escolhidas: a.i) defina esta base e justifique sua escolha; a.ii) calcular a solu¸c˜ ao aproximada adotando somente o primeiro elemento da base; b) fun¸c˜ oes trigonométricas em Ω convenientemente escolhidas: b.i) defina esta base e justifique sua escolha; b.ii) calcular a solu¸c˜ ao aproximada adotando somente o primeiro elemento da base; c) compare os resultados. Exerc´ıcio C.17 Seja o funcional Z

L

F(u) = 0

1 dv A(x)E(x)( )2 dx − P v(L) 2 dx

(C.17)

definido para toda fun¸c˜ ao v ∈ D(F) dado por D(F) = {u; u continua em (0, L),

du quadrado integr´ avel e tais que u(0) = 0} (C.18) dx

i) Caracterizar o espa¸co M de varia¸c˜ oes admiss´ıveis; ii) Determine a condi¸c˜ ao necess´ aria de m´ınimo que a fun¸c˜ ao uo ∈ D(F) deve satisfazer para minimizar o funcional; iii) Esta condi¸c˜ ao é suficiente?. Justifique a resposta; iv) Empregue o Método de Ritz para determinar uma solu¸c˜ ao aproximada de uo iv.1) Defina uma base polinomial;

296

Apêndice C. Exerc´ıcios iv.2) Calcule uma solu¸c˜ ao aproximada com o primeiro elemento desta base considerando A(x)E(x) = AE constante em (0, L); iv.3) Esta solu¸c˜ ao aproximada coincide com a solu¸c˜ ao exata uo ?. Justifique a resposta.

Exerc´ıcio C.18 Seja o seguinte funcional (observar que é idéntico ao funcional do exerc´ıcio anterior ao qual foi incorporado mais um termo (funcional linear)) Z L Z L dv 2 1 F(u) = A(x)E(x)( ) dx − (C.19) q vdx − P v(L) dx 0 2 0 onde D(F) é idéntico ao do problema anterior. i) Caracterizar o espa¸co M de varia¸c˜ oes admiss´ıveis; ii) Determine a condi¸c˜ ao necess´ aria de m´ınimo; iii) Determine a Equa¸c˜ ao de Euler, as condi¸c˜ oes principais e naturais que a solu¸c˜ ao minimizante uo deve satisfazer. Considere A, E e q constantes em (0, L); iv) Seja a base polinomial do problema anterior. Quantos elementos desta base devem ser adotados para obter a solu¸c˜ ao exata do problema?. Justifique a resposta; v) Aplique o Método de Ritz e verifique que a resposta anterior está correta; vi) Se q(x) = sen( πx ), a base polinomial poderia fornecer a solu¸c˜ ao exata?. Justifique L a resposta. Exerc´ıcio C.19 Considere o seguinte funcional ¸ Z L· 1 d2 u 2 du F(u) = E(x)I(x)( 2 ) − q(x)u(x) dx − P u(xo ) − M (xo ) 2 dx dx 0

(C.20)

onde du d2 u continua em(0, L) e quadrado integr´ avel dx dx2 e tais que u(0) = 0 e u(L) = 1} (C.21)

D(F) = {u; u continua em (0, L),

i) Caracterizar o espa¸co M de varia¸c˜ oes admiss´ıveis; ii) Determine a condi¸c˜ ao necess´ aria de m´ınimo; iii) Esta condi¸c˜ ao é suficiente?. Justifique a resposta. iv) Determine a Equa¸c˜ ao de Euler, as condi¸c˜ oes principais e naturais que a solu¸c˜ ao minimizante uo deve satisfazer assim como as equa¸c˜ oes de salto associadas a este funcional no ponto xo .

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Calculo Variacional

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