calculo una variable real

Tomo I

Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

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Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

La dificultad que encuentran en general los profesores al momento de recomendar bibliografía para un primer curso de Análisis Matemático, o bien para fijar un texto básico para guiar el desarrollo de la asignatura, es que no existe el libro apropiado para todos los estudiantes, pues éstos llegan a la universidad con diferente formación matemática y, en general, escasa experiencia en la resolución de situaciones problemáticas que le exijan algo más que una simple ejecución de mecanismos de cálculo. Los autores del presente libro de Cálculo Diferencial e Integral en una variable real pretendemos facilitar y organizar el estudio de los estudiantes de Cálculo Diferencial e Integral en las diferentes carreras de Ingeniería, Ciencias Exactas y Economía, habiendo podido recoger en sus páginas la base de toda nuestra gran experiencia acumulada al frente de numerosos cursos de Análisis Matemático I en distintas universidades públicas y privadas nacionales e internacionales. Para facilitar el estudio estamos convencidos de que una manera posible de lograrlo es a través de una presentación accesible de los tópicos teóricos y numerosa ejercitación, bajo la forma de ejemplos, ejercicios resueltos y problemas de aplicación acompañados de su respuesta. Asimismo, en cada problema propuesto se contempla especialmente las dificultades de aprendizaje y comprensión más relevantes observados hasta ahora en la mayoría de los estudiantes, incluyendo sugerencias y observaciones que facilitan el abordaje de la comprensión matemática y la resolución de problemas. Es por ello, que el texto se constituye un material tendiente a resaltar un modelo pedagógico, además de una propuesta científica rigurosa y responsable de los temas tratados. En cuanto a la organización del estudio, se han incorporado a lo largo del texto sugerencias en lo relativo a cómo enfocar el estudio de determinados temas, cuáles conocimientos previos es imprescindible revisar en caso de que estén olvidados, cuál es la diferencia entre un ejemplo y un ejercicio resuelto, de modo que ambos resulten de utilidad para la comprensión de la teoría correspondiente. En los aspectos teóricos se tratan las definiciones, propiedades y teoremas. Al final de cada tema se propone una serie de preguntas teórico-prácticas que le darían al estudiante una idea del nivel de los conocimientos adquiridos y marcarían los inconvenientes todavía no superados. Se incorporan modelos de evaluaciones tipo con su resolución, contemplando diferentes grados de dificultad, para ser utilizados como material adicional de repaso una vez completado un tema o grupo de temas. A este respecto es importante que el estudiante tenga en cuenta que el estudio de una asignatura y la práctica correspondiente nunca debe encararse a través de la resolución de exámenes, éstos deben quedar para el repaso final antes de las evaluaciones. Debe tenerse presente también, y se lo señala reiteradamente a lo largo del texto, que de poco sirve intentar resolver los ejercicios sin haber antes estudiado la teoría y tampoco deja saldo positivo mirar los ejercicios resueltos sin haber intentado previamente su resolución.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL Tomo I

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL

Tomo I

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL Tomo I

Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

Cálculo diferencial e integral en una variable real Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

Alba Gregoret, Miguel Albione, Armando Núñez Cálculo diferencial e integral en una variable real

Director General Susana de Luque

Buenos Aires, Cengage Learning Argentina, 2013. 1a ed. 288 p.; 21x27 cm.

Gerente de proyectos especiales Luciana Rabuffetti

ISBN 978-987-1954-02-5

Editora María Fernanda Crespo

1. Análisis Matemático. I. Albione, Miguel II. Núñez, Armando III. Gregoret, Alba IV. Título.

Revisora Técnica Liliana Milevicich

CDD 515

Diseñadores Sebastián Escandell Verónica N. De Luca

Fecha de catalogación: 17/09/2012

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL Tomo I

Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

ÍNDICE GENERAL

CAPÍTULO 1 NÚMEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

1

1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.1. AXIOMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2. Algunas definiciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3. Raíz n-ésima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6. OPERACIONES CON FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.1. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.2. Una clasificación de funciones y la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 7.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.1. Tabulación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.2. Otra clasificación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 9.1. Gráfico de la función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 9.2 Un poco de historia de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 9.3 Un poco de historia acerca de la Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 10. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 11. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 12. LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 13. ECUACIONES PARAMÉTRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 13.1. Un bello problema de Física - Perspectiva histórica - Curva del tiempo mínimo . 72 14. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

vi

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Gregoret | Albione | Núñez

CAPÍTULO 2 LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

83

1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.1. Un poco de historia (s. XVI – XVII) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2. ¿QUÉ ES EL CÁLCULO? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.1. Límite finito de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.2. Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.3. Condición necesaria y suficiente para la existencia del límite de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3. PROPIEDADES DE LÍMITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.1. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2. Infinitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.3. Propiedades de los infinitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.4. Comparación de infinitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1. Límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5. OTROS LÍMITES INDETERMINADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.

UN CASO PARTICULAR DE FUNCIONES: LAS SUCESIONES DE NÚMEROS REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.2. Representación gráfica de sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.3. Aspecto práctico de la definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.4. Sucesión de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 9. LÍMITE FUNDAMENTAL ALGEBRAICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.1. Más Ejemplos y Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 10.1. Asíntota horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.2. Asíntota oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 10.3. Asíntota vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

vii

PRELIMINARES

CAPÍTULO 3 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 1.

167

CLASIFICACIÓN DE DISCONTINUIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 1.1. Continuidad lateral en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN UN PUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN INTERVALOS CERRADOS . . 172 3.1. Enunciado intuitivo del teorema de los ceros de Bolzano (1781-1848) . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.2. Método de la bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 3.3. Teorema de los valores intermedios de Darboux (1842-1917) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3.4. Propiedades interesantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3.5. Máximo y mínimo absolutos o globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.6. Teorema del máximo y del mínimo absolutos de Weierstrass (1815-1897) . . . . . . . . . 178 4. EJERCICIOS RESUELTOS  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

CAPÍTULO 4 LA DERIVADA 1.

195

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA A LA DERIVADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

2. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE DERIVADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 2.1. El concepto físico de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3. EL CONCEPTO GEOMÉTRICO DE LA DERIVADA ¿CÓMO DEFINIR LA RECTA TANGENTE? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5. SIGNIFICADO DE LA DERIVADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.1. Continuidad de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6. SIGNIFICADO GRÁFICO DE LA DERIVADA: SUAVIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 7.

LA ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8. FUNCIÓN DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 9. CÁLCULO DE DERIVADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.1. Derivación de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.2. Derivabilidad de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.3. Cálculo de algunas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.4. Funciones de clase C

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

212

9.5. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.6. Aplicaciones físicas de las derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.7. Razones de cambio afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

viii

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Gregoret | Albione | Núñez

9.8. Derivación de funciones definidas implícitamente por una ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . 218 9.9. Derivación logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 10. DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.1.  Derivada de funciones definidas en forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11. DIFERENCIABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 11.1.  Aproximación lineal. Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 12. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN . . . . . . . . . . 229 13. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DIFERENCIABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

ix

PRELIMINARES

ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS

FIGURAS Figura 1. Función parte entera de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Figura 2. Función mantisa o parte decimal de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Figura 3. Figura del ejercicio 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Figura 4. Diagrama de composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Figura 5. Función logarítmica (base >1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Figura 6. Función logarítmica (0x @  1 (IV) Propiedad de densidad Entre dos números reales existe siempre un racional, lo que se expresa diciendo que Q es denso en R. (V) Propiedad del extremo inferior y del extremo superior 3UHYLDPHQWHGHEHPRVLQWURGXFLUDOJXQDVGH¿QLFLRQHV

3

4

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Axiomática de los números reales

i) Sea A un subconjunto no vacío de R y k un número real que puede o no pertenecer a A. Decimos que k es una cota superior de A si y sólo si " x Î A es [”N. Un conjunto que admite cota superior se dice acotado superiormente. Por ejemplo, el conjunto R- de los reales negativos está acotado superiormente pero el de los R+QRORHVWi¢SRUTXp"   8QFRQMXQWRTXHWLHQHXQDFRWDVXSHULRUWLHQHLQ¿QLWDVGHHOODV$ODPHQRU de las cotas superiores se la denomina extremo superior o supremo de A; si pertenece al conjunto A recibe el nombre de máximo del conjunto. Por ejemplo, 0 es el supremo de los R– y el máximo del conjunto R– ‰ {0}. ii) Sea A un subconjunto no vacío de R y h un número real que puede o no pertenecer a A. Decimos que h es una cota inferior de A si y sólo si " x Î A es x • h. Un conjunto que admite cota inferior se dice acotado inferiormente. Por ejemplo, el conjunto R+ de los reales positivos está acotado inferiormente pero el de los R–QRORHVWi¢SRUTXp"   8QFRQMXQWRTXHWLHQHXQDFRWDLQIHULRUWLHQHLQ¿QLWDVGHHOODV$ODPD\RU de las cotas inferiores se la denomina extremo inferior o tQ¿PR de A; si pertenece al conjunto A recibe el nombre de mínimo del conjunto. Por ejemplo, HVHOtQ¿PRGHORVR+ y el mínimo del conjunto R+ ‰ {0}. Ahora sí pasaremos a enunciar la propiedad del extremo superior y del extremo inferior, también denominado Axioma de completitud: Todo subconjunto A no vacío de R, acotado superiormente, posee extremo superior o supremo. Todo subconjunto A no vacío de R, acotado inferiormente, posee extremo LQIHULRURtQ¿PR Con este axioma se completa la lista de propiedades fundamentales de los números reales. 2.2. Algunas definiciones importantes

Intervalos limitados La relación [”\ y [\ se indica por x < y ó y > x. Para cada dos elementos a, b de R, tales que a < b, el conjunto de números reales x tales que a < x < b se denomina intervalo abierto de extremos a y b, y se indica: (a, b) = {x Î R / a < x < b}. El conjunto de números reales x tales que a ” x ” b se denomina intervalo cerrado de extremos a y b y se indica: [a, b] = {x Î R / a”x”b}. Si ponemos en correspondencia los números reales con los puntos de una recta, el intervalo [a, b] estaría representado por el segmento con extremos en x = a

CAPÍTULO 1

NÚMEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

y x = b. En el caso de (a, b) están excluidos ambos extremos. Naturalmente pueden presentarse los intervalos (a, b] o [a, b HQORVTXHGHEHUHPRVHVSHFL¿FDU que son semiabiertos (o semicerrados) a izquierda o a derecha, según sea el caso. Intervalos no limitados Sea a  R. El conjunto de todos los números reales tales que x ! a se denomina intervalo no limitado y lo designaremos (a, f) ^ x  R / x ! a` Sea a  R. El conjunto de todos los números reales tales que x t a se denomina intervalo no limitado y lo designaremos [a, f) ^ x  R / x t a` Sea a  R. El conjunto de todos los números reales tales que x  a`se denomina intervalo no limitado y lo designaremos (f, a ) ^ x  R / x  a` Sea a  R. El conjunto de todos los números reales tales que x d a`se denomina intervalo no limitado y lo designaremos (f, a ] ^ x R / x d a` Estos conjuntos están en correspondencia con semirrectas, en las que el punto a puede o no pertenecer a ellas, según corresponda en las designaciones realizadas. En este punto es preciso hacer una advertencia: los símbolos f y  f que KDELWXDOPHQWHVHOHHQ³LQ¿QLWRQHJDWLYR´H³LQ¿QLWRSRVLWLYR´VRQVLPSOHPHQWH sugestivos, NO son números reales. A menudo hablaremos de intervalo de centro a y radio G o entorno de a para indicar los x que se encuentran a una distancia de a menor que G, o sea el intervalo (a – G , a + G) y de entorno reducido de a o vecinal de a cuando se desee excluir el punto a del intervalo, es decir, cuando se trate de la unión de dos intervalos (a – G , a) ‰ (a, a + G). Recordando que el módulo o valor absoluto de un número real x es siempre positivo o nulo, posibilidad esta última que sólo se da cuando el número es cero, resulta

x

­ x si x t 0 o bien x ® ¯ x sisix xdd0 0

­ x si x t 0 o también x ® ¯ x sisix x0 0

­ x si x ! 0 ® ¯ x sisix xdd0 0

¡Cuidado! De acuerdo con lo que aquí se dice, se puede concluir que 1. Definición Se llama distancia entre los reales x e y al número real no negativo d ( x y )

x y

5

6

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

Podemos entonces expresar el entorno del punto a como x  a  G y el entorno reducido como 0  x  a  G . En símbolos: E (a, G ) ^x  R / x  a  G ` E* ( a, G ) V ( a, G ) ^ x  R / 0  x  a  G ` Nos resultará útil también recordar algunas propiedades del módulo de un número real: · x  a œ a  x  a a ! 0 ·

x ! a œ x ! a › x  a

·

x y d x  y

·

x. y

·

x y d x  y

·

x y t x  y

a ! 0

x. y

Algunas demostraciones podrán encontrarlas en los ejercicios resueltos 2.3. Raíz n-ésima

Se demuestra que dado x  R; x t 0 y n  N, existe un único número real D t 0 tal que D n x ; así tal número real D se denomina raíz n-ésima de x y se denota por n x . Si n es par y x > 0, existen dos números reales D ! 0 › E  0 tales que elevados a la potencia n dan como resultado x6LQHPEDUJRQyWHVHTXHSRUGH¿QLFLyQ E no es n x sino que E = - n x . Recuerde también que si x•\p, q y c Î N, entonces cq c p q x xp En particular, n

xn

x

x 2 = x si x•pero, ¿cuánto vale

q

xp

q

( x)p y

(2) 2 "&XDQGRn es par

x R.

3. EJERCICIOS RESUELTOS Los ejercicios siguientes están resueltos; algunos de ellos están señalados con la palabra Ejemplo y son para que lea atentamente su resolución y analice cuidadosamente la forma en que fueron utilizados los conceptos teóricos presentados previamente. Con los ejercicios restantes es importante que el lector NO mire la resolución sino que trate de encararla por su cuenta, y sólo compare con lo hecho cuando se le presente alguna dificultad o bien, quiera verificar si lo que hizo coincide con lo resuelto en el texto.

CAPÍTULO 1

NÚMEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

(SUGERENCIA: oculte la resolución con un papel para no caer en la tentación de mirar lo que está hecho antes de haberlo intentado usted previamente). Si a pesar de todo le quedaran dudas, revise los conceptos teóricos y los ejemplos. Recuerde que sólo se aprende haciendo y no mirando lo que hizo otro.

EJEMPLO

Determine si son verdaderas o falsas la siguientes proposiciones. Si son verdaderas, pruébelo; caso contrario halle un contraejemplo. a) a x = a Þ x = 1 FALSO, si a = 0 queda 0.x = 0 que se cumple cualquiera que sea el valor de x b) x2 = y2 Þ x = y FALSO, porque por ejemplo, (3) 2 x2

3 2 pero -3 z 3. Esto ocurre porque

x

c)  x, y : x3 - y3 = (x - y) (x2 +x y + y2) VERDADERO, se puede probar aplicando la propiedad distributiva en el segundo miembro, o bien, dividiendo el polinomio del primer miembro por (x-y) Ejercicio 1. Determine si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Si son verdaderas, pruébelo; caso contrario halle un contraejemplo. a) x3 + y3 = (x + y) (x2 + x y +y2) b)

ab =

a b

c) a ! 0 : êx ê< a œ  a < x < a d)  a  R : «x «> a œ -a>x>a e) a, b  R  {0}: a  b Ÿ

1 1 ! a b

f) a < b Þ a2 < b2 g)

1 1 1 š x z 0 Ÿ 1   1 Ÿ 1 ! x ! 1 x x

h) a < b š c ! 1 Þ c – a > c – b

7

8

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

i) 0 < a < b Ù c > 1 Þ logc a < logc b j) 0 < a < b Ù 0 < c < 1 Þ logc a < logc b k) a : a 0 1

1 an

l) a z 0 : a  n x2

m)

( x )2

n) a  b š sga z sgb Ÿ

1 1 ! a b

o) a  b š sga

1 1 ! a b

p)

a b

sgb Ÿ

ac bc

q) a  b š a  b Ÿ a 2  b 2 r) a  b š a ! b Ÿ a 2 ! b 2 s) a  b š a

b Ÿ a2

t) 0  a  b Ÿ a  ab 

b2 ab b 2

Solución

a) FALSO, si hacemos x = y = 1 nos queda 2 = 2.3, lo que es absurdo. Otra PDQHUDGHYHUL¿FDUORHVGLVWULEX\HQGRHOSURGXFWRx + y) (x2 + x y +y2). b) FALSO, si tomamos a = –4 y b = –1 nos quedaa (4)(1)  4 1 , el primer miembro existe en el campo de los reales, no así el segundo. c) VERDADERO, ­ x  a si x t 0 ­ x  a si x t 0 ­0 d x  a ° ° ° como |x| ®› Ÿ ®› Ÿ ®› ° x  a si x  0 ° x ! a si x  0 ° a  x  0 ¯ ¯ ¯ por tanto uniendo (por la “o”) ambos intervalos nos queda –a < x < a.

CAPÍTULO 1

NÚMEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

d) FALSO, la manera más rápida de advertirlo es dándole a a un valor, por ejemplo, a = 3 quedando –3 > x > 3 de donde, por carácter transitivo, –3 >  (O HUURU VXUJH DO FDPELDU OD ³‫ ´ޕ‬TXH DSDUHFH HQ OD GH¿QLFLyQ GH PyGXORSRUOD³‫´ޔ‬ e) FALSO, hagamos a = –2 y b = 1, se cumple –2 < 1 pero no es cierto que 1  >1 2 f) FALSO, porque, por ejemplo: –2 < 1 y al elevar al cuadrado nos queda 4 > 1 g) FALSO, como es obvio –1 > 1 es un absurdo. Pero si tuviese que 1 UHVROYHUOR¢FyPRKDFHUOR"&RPRFRQx z 0 se cumple que 1Ÿ x !1 x DTXtXVDQGRODGH¿QLFLyQQRVTXHGDx > 1 › x < –1 h) VERDADERO, y se puede probar así: a 1, por propiedades de la potenciación se cumple c  a ! c  b i) VERDADEROSRUGH¿QLFLyQGHORJDULWPRWHQHPRVTXH log c a p œ a c p y análogamente, log c b q œ b c q y como 0 < a < b con c > 1 se tiene que c p  c q si las bases son iguales debe ocurrir que p < q donde p y q son los logaritmos.

1 j) FALSO, tomemos a = 1, b = 2 y c = , 1 < 2 pero log 1 1 ! log 1 2 2 2 2 porque 0 > –1 an 1 siempre que an aQRVHDFHURSRUTXHQRVHSXHGHGLYLGLUSRUFHUR&RQORTXHD¿UPDPRV que si a = 0 no se cumple.

k) a : a 0 1 es FALSO. Veamos por qué: a 0

l) a z 0 : a  n

a nn

1 es VERDADERO porque a  n n a

a 0 n

a0 an

1 dado an

que a z 0 m)

x2

( x ) 2 es FALSO dado que

x 2 existe para cualquier x real, en

cambio ( x ) 2 existe sólo si x > 0, por lo tanto campo de los reales

2 y como en el

2 no existe, tampoco se podrá elevar al cuadrado.

n) a  b š sga z sgb Ÿ

1 1   2 3

(2) 2

1 1 ! es FALSO porque, por ejemplo, –2 < 3 y a b

9

10

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

1 1 es VERDADERO. Para probarlo ! a b consideremos sólo el caso en que a y b son positivos, dejando el otro caso para que lo resuelva el lector una vez comprendido el procedimiento. Como 0  a  b si dividimos por b, como es positivo, conserva el sentido de la a desigualdad, y obtenemos:  1 , si ahora dividimos por a que también es b 1 1 1 1 positivo nos queda  œ ! b a a b o)

a  b š sga

sgb Ÿ

a ac es FALSO porque si c = 0 estaríamos dividiendo por cero, que b bc YDFRQWUDODGH¿QLFLyQGHGLYLVLyQ

p)

­°a 2 q) a  b š a  b Ÿ a  b es VERDADERO. Sabemos que ® 2 °¯b 2 2 2 2 como a  b Ÿ a . a  b . a  b . b Ÿ a  b Ÿ a  b 2

2

­°a 2 r) a  b š a ! b Ÿ a ! b es VERDADERO. Sabemos que ® 2 °¯b 2 2 2 2 como a ! b Ÿ a a ! b a ! b b Ÿ a ! b Ÿ a ! b 2

s) a  b š a

a

b Ÿ a2

b šabŸa

2

b

a b

2 2

2 2

b 2 es VERDADERO porque si

b Ÿ a 2

t) 0  a  b Ÿ a  ab 

a

(b) 2

b 2 con lo que está demostrado.

ab  b es VERDADERO. Para demostrarlo 2

veamos que (a  b) 2 ! 0 Ÿ a 2  2ab  b 2 ! 0 Ÿ a 2  b 2 ! 2ab Ÿ a 2  2ab  b 2 ! 4ab Ÿ

(a  b) 2 ! 4ab Ÿ a  b ! 4ab

2 ab Ÿ

ab ! ab 2

(1)

Por otra parte, tenemos que 0  a  b Ÿ a 2  ab Ÿ a  ab

Y por último, a  b Ÿ a  b  2b Ÿ

ab b 2

De (1), (2) y (3) se cumple que 0  a  b Ÿ a  ab 

(2)

(3)

ab b 2

CAPÍTULO 1

NÚMEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

EJEMPLO

Si x < a < 0, indique cuáles de las siguientes inecuaciones son verdaderas. Sus UHVSXHVWDVGHEHQHVWDUFODUDPHQWHMXVWL¿FDGDV a) x2 < a x < 0 FALSO, como a y x son negativas, multiplicadas entre sí el resultado es positivo, luego a x > 0 b) x2 > a x > a 2 VERDADERO, porque, por un lado, x  a Ÿ x.x ! a.x porque x < 0 de donde x2 > ax por otra parte, al multiplicar por a < 0 la desigualdad x < a se obtiene a.x > a2 Ejercicio 2. Si x < a a 2 > 0 c) x2 > a x ^ a x < 0 d) x2 > a 2 ^ a 2 < 0 Solución

a) FALSO, todo número elevado al cuadrado da resultado positivo o cero. b) VERDADERO, como vimos en un ejemplo anterior, x2 > a x > a 2 teniendo en cuenta que tanto el resultado del producto de dos números negativos como el cuadrado de un negativo ambos son positivos, por transitividad TXHGDMXVWL¿FDGRHOUHVXOWDGR c) FALSO, porque D[! d) FALSO, porque a 2 ! 0 EJEMPLO

Escriba las siguientes expresiones prescindiendo de las barras de módulo.

a) a  a  b

11

12

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

­a sisi a att0 0 ­a  b sisi a ab btt0 0ŸŸa attbb y ab ® ® ¯a si a  0 ¯a  b si a  b  0 Ÿ a  b debemos analizar dos casos, si b t 0 ó si b < 0.

Como a

Veamos en primer lugar si b t 0 :

a  ab

si ba0b  0 ­a  a  b b si a  ° ® a  a  b 2a  b si  b  a  0 °a  a  b b si a tsi0 a t 0 ¯

Analicemos ahora si E:

a  ab

­a  a  b b si sia  a0  0 ° ®a  a  b 2a  b si 0 d a  b °a  a  b b si sia t abt b ¯

Ejercicio 3. Escriba las siguientes expresiones prescindiendo de las barras de módulo. a) 1  x b) 4 x  2 x

2

c) x  x  x

Solución

a) 1  x

b) 4 x  2 x

­°1  x si 1 d x d 1½° ® ¾ °¯1  x si x ! 1 °¿

2

c) x  x  x

2(2 x  x 2 )

°­ x  x  x ® °¯ x  x  x

­ x  1 sisi xx!!11 °1  x sisi 00dd xxdd11 ° ® °1  x sisi 11dd xx00 °¯ x  1 si x  1

­°2(2 x  x 2 ) sisi x xtt00 ½° ­2 x(2  x) sisi x xtt00 ® ¾ ® 2 ¯°2(2 x  x ) si x  0 ¿° ¯2 x(2  x) si x  0

 x sisi xxtt00 3 x si

x0

CAPÍTULO 1

NÚMEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

EJEMPLO

Determine en cada caso el conjunto solución.

a) 2 x  5

7

b) x + 2  6

c) 3< x  5 d 7

Solución

a) si 2 x  5 7 Ÿ 2 x  5 7 › 2 x  5 7 Ÿ 2 x 12 › 2 x donde se obtiene x = 6 o x = -1 Ÿ S {6;1} b) x  2  6 Ÿ 6  x  2  6 Ÿ 8  x  4 Ÿ S

2 de

(8,4)

c) 3  x  5 d 7 se deben cumplir simultáneamente las dos desigualdades:

x  5 d 7 š x  5 ! 3 Ÿ 7 d x  5 d 7 š ( x  5 ! 3 › x  5  3) de donde -2 d x d 12 š (x > 8 › x < 2) De la intersección entre S1 = [–2,12] y S2 = (–f,2) ‰ (8,+f) resulta el conjunto solución S = [–2,2) ‰ (8,12]. Ejercicio 4. Determine el conjunto solución. a) 1  x  5 d 7 b) 0  x  5 d 7 c) x  1  x  2 ! 1 d) x  1  x  1  2 e) 3  x  5x  10 d 12 EJEMPLO

Resulta interesante que compare los resultados del ítem c del ejemplo anterior y los ejercicios 4 a) y b) y saque sus conclusiones.

13

14

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

Solución

a) 1  x  5 d 7 se resuelve de igual manera que el c) del ejemplo anterior, obteniéndose S = [–2,4) ‰ (6,12] b) 0  x  5 d 7 de idéntica forma, en este caso se obtiene S = [–2, 5) ‰ (5, 12] Comparando el ejemplo c, y los a y b planteados como ejercicios, llegamos a la conclusión siguiente: si la inecuación es k  x  5 d 7 , con 0 d k  7 notamos que

x  5 d 7 nos da un intervalo centrado en 5 y de radio 7, de extremos –2 y 12. k  x  5 nos da dos intervalos no limitados (5  k , f) y (f,5  k ) . Como la solución es la intersección, el resultado obtenido es el intervalo [–2, 12] al que le quitamos el intervalo [5 – k, 5 + k] c) x  1  x  2 ! 1

­ x  2 si six tx2t 2 ® ¯( x  2) si x  2 Para eliminar las barras de módulo, deberemos analizar entonces: como x  1

­ x  1 si six tx 1t 1 ® ¯( x  1) si x  1

y

x2

i) cuando x < 1: todo número que es menor que 1 también es menor que 2, por tanto nos queda:

x 1  x  2

( x  1)  ( x  2)

3 2 x  3 ! 1 Ÿ -2x ! -3 Ÿ x  3/2 . 2

Pero de estos valores hallados sólo puedo tomar los que están en la región elegida de antemano que eran los x < 1. Nos queda como solución parcial S1 = (–f,1) ii) cuando 1 d x  2 : tendremos

x 1  x  2

x  1  ( x  2) 1 ! 1

pero esto es absurdo, luego en este caso la solución parcial es S 2

I

iii) cuando x t 2 : teniendo en cuenta que si un número es mayor o igual que 2, entonces es mayor que 1, la inecuación se puede escribir así:

x 1  x  2

x 1  x  2 2x  3 ! 1 Ÿ x ! 2

CAPÍTULO 1

NÚMEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Como deben estar en la región elegida realizamos la restricción y se obtiene S3

(2, f) .

Con las tres posibilidades analizadas cubrimos el total, ya que sólo pueden ocurrir que x  1 › 1 d x  2 › x t 2 , luego la solución es la unión de las soluciones parciales, de donde S = (f,1) ‰ (2, f) . d)

x 1  x 1  2

Como x  1

x 1

0 Ÿx t x 1t 1 ­ x  1 si si x x 1t1 t0 Ÿ ® ¯( x  1) si x  1  0 Ÿ x  1

y además

0Ÿ x txt11 ­ x  1 si six x1t10tŸ ® ¯( x  1) si x  1  0 Ÿ x  1

Para eliminar las barras de módulo, deberemos analizar entonces: i)

Para x  1: x  1  x  1

( x  1)  ( x  1)

x 1 x 1

2 x  2 Ÿ x ! 1 lo que resulta absurdo ya que admitimos que x  1 , por lo que en esta región la solución es S1 I .

ii)

Cuando 1 d x  1 :

x  1  x  1 x  1  ( x  1) x  1  x  1 2  2 , esto es correcto para todo x que se encuentre en la región considerada, luego S 2 [1;1) iii)

Tomemos ahora x t 1 :

x 1  x 1

x  1  x  1 2 x  2 Ÿ x  1 , con lo que llegamos a

un absurdo ya que partimos de x t 1 , luego S3 Luego la solución es S

S1 ‰ S 2 ‰ S3

I

[1;1)

e) 3  x  5x  10 d 12 Analicemos individualmente cada módulo:

3 x

x 3

x x3t30tŸ0 Ÿ x tx3t 3 ­ x  3 si si y, por otra parte ® ¯( x  3) si x  3  0 Ÿ x  3

15

16

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

5 x10 t 100tŸ0 Ÿ x txt2 2 ­5 x  10 si 5six  , como los módulos, al ser ®     Ÿ   (5 x 10) si 5 x 10 0 x 2 ¯ HOLPLQDGRVSRUGH¿QLFLyQFDPELDQDOSDVDUSRU±\GHEHUHPRVDQDOL]DU las soluciones en cada intervalo: 5 x  10

i)

Si x –b y al sumarle b > a nos queda  a  b ! b  a

ab

a  b de donde a  b ! a  b

Proceda de igual manera para el caso DE. b) debemos probar que a  b d a  b

a  b a  (b) d a  b triangular

a  b y así está demostrado propiedad

Ejercicio 6. Demuestre que si x  a 

H 2

š y b 

H 2

Ÿ

 x  y  ( a  b)  H

Solución

Partiendo de

 x  y  ( a  b)

( x  a )  ( y  b) d x  a  y  b 

H



H

H

2 2 en donde hemos usado una de las propiedades de módulo que probamos en el ejercicio anterior.

CAPÍTULO 1

19

NÚMEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

EJEMPLO

Acotando adecuadamente, halle algún número natural n0 tal que para n t n0 se cumpla que

2n  3 2   0,01 3n  2 3

Solución

2n  3 2   0,01 trabajando el primer miembro, buscaremos encontrar 3n  2 3 una cota superior de él y a ésta le exigiremos a su vez que sea ( x  2)( x  3) @ x 1

r r

R  ^2`

Recordemos en primer lugar que

­1 1 sisi r r!>00 por tanto D f ® 1 si rr < 00 ¯–1

R  ^1; 2;3`

33

34

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

De esta forma es posible escribir:

y

­ 1 °° x  1 si ( x  2)( x  3) ! 0 ® ° 1 si ( x  2)( x  3)  0 ¯° x  1

Ÿy

­ 1 °° x  1 si x  2 › x ! 3 ® ° 1 si  2  x  3 š x z 1 ¯° x  1

x z 1 , así nos queda x  1 r1 Ÿ y z 0 y 3HURFRPRODIXQFLyQHVWiGH¿QLGDSRUWUDPRVYHDPRVFyPRVHFRPSRUWD la imagen “y” en cada uno de ellos. (4) porque (x+2)(x-3  si –2 0 es la constante de proporcionalidad y que todas las magnitudes se miden en unidades adecuadas. a) Exprese la ley de Coulomb mediante una igualdad. E ¢4XpVLJQL¿FDSDUD8GTXHFVHDSRVLWLYD"¢1) (OJUi¿FRGHODIXQFLyQf : R+ o R / f ( x) log x con 0  a  1 es: y

0 0

l 2

l 4

x

f

Figura 6. Función logarítmica (0 3; f . Además por tratarse de una

Para f : x  3 t 0 Ÿ x t 3 Ÿ D f R0+

raíz cuadrada I f Para g: Dg

Ejemplos y ejercicios resueltos

R\DTXHQRSUHVHQWDRSHUDFLRQHVFRQGL¿FXOWDGHV\FRPR R0+.

está todo elevado al cuadrado I g

Para hallar f $ g : primero se aplica la función g y luego la f , por tanto, R0+ y el D f

veamos la I g

> 3; f ; no son iguales, pero la primera

está incluida en la segunda. La intersección de las mismas I g ˆ D f

R0+,

el conjunto de las preimágenes de esta intersección a través de g, será el dominio de la compuesta, por tanto, D f $ g

Dg

R.

Para determinar la imagen de f $ g , deberemos encontrar el conjunto de las imágenes de la citada intersección, a través de f. Trabajemos con x3

de

la

siguiente

x  Ig ˆ Df y2 Ÿ x

manera:

tomamos

x3

f ( x)

y

R0+ de donde, si despejamos x nos queda y2  3 t 0 Ÿ y2 t 3 Ÿ y t 3 Ÿ y t 3 › y d  3

pero estos deben pertenecer al conjunto imagen de f , como R0+ , descartamos los que no están, nos queda por tanto

If



ª 3; f . Una vez hallados dominio e imagen de la compuesta, di¬ g 2 ( x)  3 ( x  4) 2  3 remos que f $ g ( x) f [ g ( x)] I f $g

Para hallar g $ f : primero se aplica la función f y luego la g, por tanto, veamos la I f

I f ˆ Dg

R0+ y el Dg

R como R0+  R la intersección es

R0+, el conjunto de las preimágenes de esta intersección

a través de f será el dominio de la compuesta, por tanto,

Dg $ f

Df

> 3; f .

Para determinar la imagen, tomemos la segunda

2 función aplicada g ( x) ( x  4)

y , despejemos x y tendremos:

­° y  4 si x t 4 y como x  I f ˆ Dg ®    y 4 si x 4 °¯ analicemos cada rama: x4

yŸx

R0+,

y  4 t 4 š y  4 t 0 Ÿ y  4 t 4 Ÿ y t 0 , para la otra rama

CAPÍTULO 1

NÚMEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

tenemos 0 d  y  4 d 4 Ÿ 4 d  y d 0 Ÿ 0 d y d 4 Ÿ 0 d y d 16 , así la imagen de la compuesta será la unión de los conjuntos imagen obtenidos para cada rama, de modo que tenemos I g $ f compuesta es g $ f ( x)

b) f ( x) log( x 2  1)

g[ f ( x)] ( f ( x)  4) 2

g ( x)

R0+ y la

( x  3  4) 2

3 x

Para f: x 2  1 ! 0 Ÿ x 2 ! 1 Ÿ x ! 1 Ÿ x ! 1 › x  1 Ÿ D f

 f; 1 ‰ 1; f .

Para el cálculo de la imagen podemos proceder analíticamente despejando la 2 x así f ( x) log( x  1)

y Ÿ x 2  1 10 y Ÿ x 2

1  10 y Ÿ x

1  10 y

y la raíz cuadrada existe para todo valor de y ya que 10 y ! 0 y  R

Ÿ 1  10 y ! 1 Ÿ I f

R

Para g: 3  x t 0 Ÿ x d 3 Ÿ Dg imagen será I g

 f;3@ . Como es una raíz cuadrada, la

R0+

Para hallar f $ g : primero se aplica la función g y luego la f, por tanto, veamos qué ocurre con I g ˆ D f

1; f ,

el dominio de esta función

compuesta será el conjunto de preimágenes de esta intersección, a través de g. De donde g ( x)

3  x ! 1 Ÿ 3  x ! 1 Ÿ x  2 Ÿ D f $g

 f; 2

(Note que debe estar incluido en el dominio de g). Para determinar la imagen de esta función compuesta debemos encontrar el conjunto de imágenes de la ya calculada intersección a través de f. Como f ( x) log( x 2  1)

y Ÿ x 2  1 10 y Ÿ x 2

1  10 y Ÿ x

1  10 y

como x > 1 en dicha intersección nos queda 1  10 y ! 1 Ÿ 1  10 y ! 1 Ÿ 10 y ! 0 Ÿ y  R, luego I f $ g

entonces que f $ g ( x)

f [ g ( x)] log( g 2 ( x)  1)

R. Tendremos

log(3  x  1)

log(2  x)

9. Nota: ¿Por qué ( 3  x ) 2 se escribió como 3 – x y no como 3  x ?

77

78

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

Para hallar g $ f : primero se aplica la función f y luego la g, por tanto, veamos qué ocurre con I f ˆ Dg

Dg

 f;3@ , el dominio de esta función

compuesta será el conjunto de preimágenes de esta intersección, a través de g. De donde f ( x) log( x 2  1) d 3 Ÿ x 2  1 d 103 Ÿ x 2 d 1001 Ÿ x d 1001 pero x  D f Ÿ x d 1001 š x ! 1 Ÿ 1  x  1001 de donde el dominio buscado es Dg $ f





1001; 1 ‰ 1; 1001



Para el conjunto imagen de la función compuesta tomamos 3 x

la función g ( x)

y Ÿ 3 x

y 2 Ÿ x 3  y 2 con

x   f;3@ Ÿ 3  y 2 d 3 Ÿ y 2 t 0 Ÿ y  R como debe estar incluido en el conjunto imagen de g que son todos los no negativos entonces I g $ f

R0+.

Ahora sí busquemos la expresión que caracteriza esta composición: g $ f ( x)

g ( f ( x))

3  log( x 2  1)

2. a) Pruebe que cosh2 x  senh 2 x 1 e x  e x e x  e x y sen h x tendremos que 2 2 2 2 § e x  e x · § e x  e x · (e x  e  x ) 2  (e x  e  x ) 2 2 2 cosh x  senh x ¨ en el  ¸ ¨ ¸ 4 © 2 ¹ © 2 ¹

Como cosh x

numerador hay una diferencia de cuadrados, si la desarrollamos nos queda cosh2 x  senh 2 x

(e x  e  x  e x  e  x )(e x  e  x  e x  e  x ) 4

2e x .2e  x 4

1

b) Para el argsenhx: Sea y = argsenhx Ÿ x senhy 2 xe y

e y  e y Ÿ 2x 2

e y  e y

ey 

1 ey

e2 y  1 Ÿ ey

e 2 y  1 Ÿ (e y ) 2  2 xe y  1 0 ésta es una

cuadrática, si completamos cuadrados nos queda: (e y ) 2  2 xe y  x 2  x 2  1 0 Ÿ (e y  x) 2

así: e  x

1  x 2 que se puede pensar

x  de donde obtenemos dos posibilidades; por un

lado, tenemos e y  x

 x2  1 Ÿ e y

x  x 2  1 si e y  x  0

CAPÍTULO 1

NÚMEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

pero esta opción nos conduce a un absurdo, ya que e y ! 0 , en tanto que x2  1 ! x2 Ÿ  x2  1   x2 Ÿ x  x2  1  x  x2

0 con lo que

el segundo miembro es negativo. Por ello esta opción es descartada. La segunda posibilidad es e y  x

x2  1 Ÿ e y

x  x 2  1 si e y  x t 0

como debemos despejar y, aplicamos logaritmos miembro a miembro y nos queda y

ln( x  x 2  1)

f 1 ( x)

arg senhx

Para el argcoshx: Con criterio análogo deberemos proceder para g 1 ( x) Ÿx

argcosh x = y

cosh y pero deberemos tener cuidado ya que el cosh no es

XQDIXQFLyQLQ\HFWLYD6HUHTXHULUiGH¿QLUg : R0+ o >1; f , de donde

g 1 : >1; f o R0+; luego operamos como lo hicimos en el caso anterior, así: e y  e y Ÿ 2x 2

e y  e y

ey 

1 ey

e2 y  1 Ÿ ey

Ÿx

coshy

2 xe y

e 2 y  1 Ÿ (e y ) 2  2 xe y  1 0 . Ésta es una cuadrática, si completamos

y 2 y 2 2 y 2 cuadrados nos queda: (e )  2 xe  x  x  1 0 Ÿ (e  x)

que se puede pensar así e y  x

x2 1

x 2  1 y de aquí, discutiendo las

opciones que se presentan, tendremos luego de aplicar logaritmos que ln( x  x 2  1)

y

argcosh x

g 1 ( x)

Para el argtghx:

senhy e y  e  y , operando nos cosh y e y  e  y e 2 y  1 (e 2 y  1)  2 2 1 2y queda x 2y 2y e 1 e 1 e 1 Intentemos ahora despejar y, de la siguiente manera: Partimos de y = argtgh x Ÿ x tghy

2 2 1  x Ÿ e2 y  1 si 1 x e 1 2y

Ÿ e2 y

1 

2 1 x

1  x  2 1 x

x z1

1 x pero como el primer miembro 1 x

79

80

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

(la exponencial) es positivo, este cociente debe serlo. Recordar que para que un cociente resulte positivo, numerador y denominador deben ser de igual signo, por lo que si hacemos ese análisis obtendremos –1< x < 1. Y como debemos despejar y, aplicamos logaritmos a la igualdad anterior y 1 x 1 1 x argtgh x h1 ( x) si x  1 nos queda: 2 y ln Ÿy ln 1 x 2 1 x 3. Obtenga una expresión paramétrica de las siguientes funciones: a) y

x2

b) x 2  y 2

4

c) 9 x 2  4 y 2

36

Solución

a) En este caso es sencillo, podemos elegir x como el parámetro, así nos ­x t quedaría ® tR 2 ¯y t (Cabe destacar que no es la única manera, piense alguna otra expresión simple). b) ¿Recuerda el lector alguna identidad en la que aparezca la resta de FXDGUDGRVGHGRVQ~PHURV"«3LHQVHEXVTXHHQODV~OWLPDVIXQFLRQHV WUDWDGDV« ¢(Q WULJRQRPHWUtD FLUFXODU" 1R DOOt OR TXH YLPRV IXH TXH sen 2 x  cos 2 x 1 pVWDQRQRVVLUYH¢g (t )@ lim f ( x) t ot 0

t ot 0

xoa

6L f ( x ) d g ( x ) en un entorno reducido de a, y existen lim f ( x) y xo a

lim g ( x) , entonces lim f ( x) d lim g ( x) xo a

xoa

xoa

6HFRQRFHFRPRWHRUHPDGHLQWHUFDODFLyQ o propiedad del VDQGZLFK

92

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Propiedades de los límites

y ƒ(x

±

g(x

± L

± ±

K(x

± l

l

0

l

l

l

a

x

±

Figura 42. Teorema de intercalación Se supone que las funciones f, g yKHVWiQGH¿QLGDVHQDOJ~QHQWRUQR de x = a, excepto quizás en el propio punto x = a, y tales que h( x) d g ( x) d f ( x) x  E * (a ) Si lim f ( x) xoa

lim h( x) xoa

L , entonces lim g ( x) xoa

L

Desde el punto de vista geométrico, la propiedad es intuitivamente YiOLGD(QHOJUi¿FRVHREVHUYDTXHVL

h( x ) d g ( x ) d f ( x )

x  E * (a )

HQWRQFHV HO JUi¿FR GH g HVWi LQWHUSXHVWR HQWUH ORV JUi¿FRV GH f y K en ese entorno. Si f yK tienen el mismo límite L cuando x tiende a a, evidentemente g también tiene límite / 17. Si existe lim f ( x) , entonces la función f (x HVDFRWDGDHQXQHQWRUQR xo a

reducido de a. /tPLWHIXQGDPHQWDOWULJRQRPpWULFR senkx 1 £3XHGHLQWHQWDUSUREDUORXVDQGRWULJRx o0 kx nometría \HOWHRUHPDGHOVDQGZLFK El límite fundamental trigonométrico admite una sencilla generalización:

Si k  R; k z 0, lim

Si f (x ) z 0 en un entorno reducido de a y lim f ( x) 0 , entonces xoa senf ( x) lim 1. Esto se obtiene como una aplicación directa de la proxoa f ( x) piedad 13 con el cambio de variables t f (x ) . A continuación, se muestra la aplicación de esta generalización.

CAPÍTULO 2

93

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

EJEMPLOS

sen3 x sen3 x sen3 x sen t lim 3 3.lim 3lim 3 en este último x o0 x o0 x o0 t o0 x 3x 3x t SDVRVHDSOLFyODSURSLHGDGTXHIXQGDPHQWDHOFDPELRGHYDULDEOH Si t 3 x cuando x o 0 t o 0

1.

lim

1  cos x x2

lim x o0

2.

(1  cos x) (1  cos x) . x o0 (1  cos x) x2

lim

2

1 § senx · lim¨ ¸ . lim x o0 x o 0 1  cos x © x ¹

12.

1 2

lim x o0

sen 2 x x 2 (1  cos x)

1 2

§1· 3. Analice la existencia de lim x 2 . sen¨ ¸ x o0 © x¹ §1· sen ¨ ¸ no tiene límite. A partir © x¹ GHOFRPSRUWDPLHQWRGHOJUi¿FRGHgHVSRVLEOHFRQMHWXUDUTXHRVFLODLQGH¿QLdamente alrededor de a HQODVLJXLHQWH¿JXUD

Cuando x es cercano a cero, la función g ( x )

y

y

l

-1

l

l

l

l



l

l

l

± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± l ± ± ± ± ±± ±± ± ± ± ± ± ±±

g

g

l

l

l

l

ଵ

l



l

l

l

l

l

1

Figura 43. Función ‫ ݊݁ݏ‬ቀ௫ቁ en ሾെͳǡ ͳሿ

x

l

-0,1

l

l

l

l

l



l

l

l

l

l

l



l

l

l

l

l

0,1

x

ଵ

Figura 44. Función ‫ ݊݁ݏ‬ቀ௫ቁ en ሾെͲǡͳǡ Ͳǡͳሿ

§1· 1 1 *Ui¿FDVGHODIXQFLyQ sen ¨ ¸ HQ>@)LJ \HQ ª« , º» )LJ  © x¹ ¬ 10 10 ¼ Esta función carece de límite l en a = 0, es decir, no es verdad que para todo número H ! 0 se pueda hacer g ( x)  l  H eligiendo xVX¿FLHQWHPHQWHSHTXHxR\ x z 0 3DUDSUREDUHVWHKHFKREDVWDUiHQFRQWUDUXQ H ! 0 para el cual no pueda garantizarse la validez de la desigualdad g ( x)  l  H (cualquiera sea el l propuesto, por ejemplo l  SRUSHTXHxDTXHVHKDJD x . En efecto, si se 1 1 escoge H VHYHUL¿FDORGLFKRHVLPSRVLEOHDVHJXUDUTXHUHVXOWD g ( x)  2 2 SRUSHTXHxDTXHVHD x , ya que si B es un intervalo que contenga al cero, existe 1 algún número real de la forma x que pertenece a dicho intervalo y S  2nS 2

94

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Propiedades de los límites

g ( x) 1. Idéntico razonamiento se emplea para probar que g no se aproxima a QLQJ~Q número real l cerca del cero. 3RUORWDQWRQRHVSRVLEOHDSOLFDUODVSURSLHGDGHVEiVLFDVHQXQFLDGDVSUHFHGHQWHPHQWHHQHVSHFLDOHOOtPLWHGHOSURGXFWRGHIXQFLRQHV 'HGLFKDIXQFLyQVyOR VHVDEHTXHHVDFRWDGDHQWUH±\HVGHFLU

§1·  1 d sen ¨ ¸ d 1 © x¹

x z 0

§1· x  R, por tanto,  x 2 d x 2 . sen ¨ ¸ d x 2 © x¹ §1· Así, como lim ( x 2 ) lim x 2 0 VHYHUL¿FDTXH lim x 2 . sen¨ ¸ x o0 x o0 x o0 © x¹ GHOVDQGZLFK 

Además, x 2 t 0

x z 0 0 (propiedad

3.1. Límites infinitos

4 y analicemos cómo se comportan las imáx genes de la misma, cuando x o 0. Construyamos una tabla de valores tomando x en las proximidades de dicho valor.

Consideremos la función f ( x) 1 

x

f(x

f ( x)

-0,1 -0,01 -0.002  ….. 0 …. 0,0002  0,1

-39 -399 -1999 -9999 …..

39 399 1999 9999 ….





….. 20001 1001 

…. 20001 1001 

Tabla 4. Límite infinito Es posible observar que, independientemente de la existencia de imagen en x = 0, a medida que los valores de x tienden a 0, las imágenes, HQPyGXOR, se hacen cada vez más grandes. Esta idea es simbolizada, en matemática, por el símbolo de f. En otras palabras, si x está en el entorno reducido de centro 0 y GHWHUPLQDGRUDGLRTXHVHGHEHUiHQFRQWUDU ODVLPiJHQHVHQPyGXORVHKDFHQ tan grandes como uno desee, de modo que si elige que las mismas superen un cierto número A, deberemos encontrar el radio adecuado del entorno para que se cumpla lo pedido. Cuando esto se cumpla, en símbolos se escribe: 4 lim(1  ) x o0 x

f

CAPÍTULO 2

95

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Veamos cómo formalizar este nuevo concepto: 4. Definición Sea la función f(x definida en un entorno reducido de a. Se dice que lim f ( x) f œ  A > 0,  G > 0 / x: 0 < |x – a| < G Ÿ f ( x ) ! A xoa

y A±

f

(

l



D±į a aį

x

Figura 45. Límite infinito 3HURSXHGHRFXUULUTXHDODSUR[LPDUVHx al punto, las imágenes de la función DGRSWHQVLHPSUHHOPLVPRVLJQRHQHVHFDVRODGH¿QLFLyQVXIULUtDXQDSHTXHxDPRGL¿FDFLyQODTXHVHMXVWL¿FDDSDUWLUGHODGH¿QLFLyQGHPyGXOR\DTXH f ( x) ! A Ÿ f ( x) ! A › f ( x)  ±A. Nos quedarían así: lim xoa

f ( x)

f

œ  A > 0,  G > 0 / x: 0 < |x – a| < G Ÿ f ( x) ! A

f ( x)

f

œ  A > 0,  G > 0 / x: 0 < |x – a| < G Ÿ f ( x)   A

o bien lim xoa

Ejemplos: lim x o0

1 x2

f

lim x o0

1 x

f

lim x o1

x  2 x( x  1) 2

f

3.2. Infinitésimos 5. Definición Se dice que la función f es un infinitésimo en x = a , si se verifica lim f ( x) xoa

0

(VGHFLUXQLQ¿QLWpVLPRHVXQDIXQFLyQFX\ROtPLWHHVFHURFXDQGRODYDULDEOH independiente x se aproxima hacia el valor x = a. O dicho de otra forma, una

96

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Propiedades de los límites

función cuyos valores se aproximan tanto más al cero cuanto más se aproxima x hacia el valor a. 3RUWDQWRHQHOFRQFHSWRGHLQ¿QLWpVLPRKD\TXHWHQHUSUHVHQWHQRVyORODIXQFLyQ f, sino también la abscisa a. Que la función fVHDLQ¿QLWpVLPRHQ x = aVLJQL¿FD que HQODVSUR[LPLGDGHVGHOSXQWRD sus imágenes tienden a cero. EJEMPLOS

1. f ( x) cos x en 2. f ( x) ln x en

x

S 2

HVXQLQ¿QLWpVLPR\DTXH lim cos x xo

S

2

x 1 HVXQLQ¿QLWpVLPR\DTXH lim ln x x o1

0

0

3.3. Propiedades de los infinitésimos

Las siguientes propiedades se enuncian sin demostraciones. Es conveniente que el lector intente hacerlas, algunas las encontrará demostradas en los ejercicios resueltos.  /DVXPDGHXQQ~PHUR¿QLWRGHLQ¿QLWpVLPRVHVXQLQ¿QLWpVLPR  (OSURGXFWRGHXQLQ¿QLWpVLPRSRUXQDIXQFLyQDFRWDGDHVXQLQ¿QLWpVLPR  (OSURGXFWRGHXQQ~PHUR¿QLWRGHLQ¿QLWpVLPRVHVXQLQ¿QLWpVLPR  (OSURGXFWRGHXQHVFDODUSRUXQLQ¿QLWpVLPRHVXQLQ¿QLWpVLPR  lim f ( x) xoa

L , si y sólo si f ( x)  L HVXQLQ¿QLWpVLPRFXDQGRx tiende a

a, es decir lim ( f ( x)  L) xoa

0

/DSURSLHGDGHVPX\~WLOSDUDFDOFXODUFLHUWRVWLSRVGHOtPLWHV3RUHMHPSORHO En esta última proposición es interesante detectar qué propiedades de límite aplica. ¡Inténtelo!

§1· límite ya analizado con anterioridad lim x . sen¨ ¸ 0, ya que x HVXQLQ¿QLWpVLx o0 © x¹ §1· mo en x = 0 y la función sen ¨ ¸ está acotada en un entorno reducido de x = 0 © x¹ § · 1· 1 § ¨ sen ¨ ¸ d 1 x z 0 ¸8QSDUGHJUi¿FRVDSUR[LPDGRVGH f ( x ) x . sen §¨ ·¸ ¨ ¸ © x¹ © x¹ © ¹ en escalas distintas permiten apreciar el comportamiento de esta función en un entorno del origen de coordenadas:

CAPÍTULO 2

l

l

l

-1

l

l

l



l

97

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

l

± ± y ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± l ± ± ± ±

§1· x sen ¨ ¸ © x¹

f ( x)

l

l

l

l

l

-0,1 x l

l

l

l



l

l

l

l

l

1

ଵ

Figura 46. Función ‫ݔ‬Ǥ ‫ ݊݁ݏ‬ቀ௫ቁ

l



l

l

±±± y ± ± ±± ±± ± ±± ± ± ±± l ± ±± ± ±±± ±±± ±± ±±± ±± ±

x l l

l

l



f ( x)

l

l

l

l

l

0,1

§1· x sen ¨ ¸ © x¹

ଵ

Figura 47. Función ‫ݔ‬Ǥ ‫ ݊݁ݏ‬ቀ௫ቁ en otra escala

8QDGHODVFXHVWLRQHVIXQGDPHQWDOHVHQUHODFLyQFRQORVLQ¿QLWpVLPRVHVOD relacionada con la velocidad con que éstos se acercan a cero. No todos los in¿QLWpVLPRVVHDFHUFDQDFHURFRQODPLVPDUDSLGH]3RUHMHPSORODYHORFLGDG FRQODTXHHOLQ¿QLWpVLPR x n se acerca a cero cuando x tiende a cero, es mayor a medida que aumenta n (verifíquelo con x2 y x3  3DUDFRPSDUDUODVYHORFLGDGHVFRQTXHGRVLQ¿QLWpVLPRVVHDFHUFDQDFHURVH evalúa el límite del cociente entre ellos. 3.4. Comparación de infinitésimos

Observe que no es posible predecir el valor, si existe, del límite del cociente de LQ¿QLWpVLPRV\DTXHVHWUDWDGHXQOtPLWHGHORVGHQRPLQDGRVLQGHWHUPLQDGRV o0 de la forma  o0 Sean f(x \g(x GRVLQ¿QLWpVLPRVHQx = D

i.

Se dice que f (x  \ g (x  VRQ LQ¿QLWpVLPRV GHO PLVPR RUGHQ si f ( x) lim k z 0  \ VLJQL¿FD TXH DPERV LQ¿QLWpVLPRV WLHQGHQ D FHUR xoa g ( x) aproximadamente con la misma rapidez, cuando x se aproxima a D Si k = 1, se dice que f y gVRQLQ¿QLWpVLPRVHTXLYDOHQWHV y se escribe f (x ) ~ g(x  FXDQGR x tiende a a \ VLJQL¿FD TXH DPERV LQ¿QLWpVLPRV WLHQGHQDFHURH[DFWDPHQWHFRQODPLVPDUDSLGH]3RUWDOUD]yQXQRHV sustituible por el otro en el entorno de D Imagine Ud. una función que VHDXQLQ¿QLWpVLPRHQa pero de difícil manejo, y que conoce otra función mucho más sencilla que sea equivalente a la anterior. La maravilla de la equivalencia consiste en que podrá sustituir una por la otra en las proximidades de a.

98

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Propiedades de los límites

ii. Se dice que f (x  HV XQ LQ¿QLWpVLPR GH RUGHQ VXSHULRU TXH g (x  VL f ( x) lim 0 , y se escribe f ( x ) o( g ( x ) cuando x tiende a a, y se x o a g ( x) OHH³RSHTXHxD´X³RFKLFD” de Landau2 donde la o es la letra griega minúscula omicrón y usada así f ( x ) o( g ( x ) se interpreta que f (x  tiende a cero con mayor velocidad de lo que lo hace g (x FXDQGRx se aproxima a a.

Resultará interesante que el lector intente realizar la comparación de infinitos en forma similar a lo hecho aquí con los infinitésimos.

iii. Se dice que f (x  HV XQ LQ¿QLWpVLPR GH RUGHQ LQIHULRU TXH g (x) si

f ( x) f \VLJQL¿FDTXHg (x WLHQGHDFHURFRQPD\RUYHORFLGDGGH g ( x) lo que lo hace f (x FXDQGRx se aproxima a a; en este caso, g ( x) o( f ( x)) lim xoa

f ( x) Cuando no existe lim  VH GLFH TXH ORV LQ¿QLWpVLPRV QR VRQ xo a g ( x ) comparables. EJEMPLOS

1. La función x 2 HVXQLQ¿QLWpVLPRGHRUGHQVXSHULRUTXHx, en x = 0, es x2 0 decir, x 2 o(x ) , porque lim x o0 x 3

2. La función x 2 HVXQLQ¿QLWpVLPRGHRUGHQLQIHULRUTXH x 3 , en x = 0, o 3 sea, x

3 2

3 2

o( x ) , debido a que lim x o0

x x3

f 6x x o0 2 x

3. La función 2xHVXQLQ¿QLWpVLPRGHOPLVPRRUGHQTXHx ya que lim  /RVLQ¿QLWpVLPRV x 2 sen

1 x

3

y x 2 para x o 0 no son comparables ya

x 2 sen

1 x

1 y éste no existe (si no lo x x recuerda, vea la explicación en la pág. 93\ODV)LJ\ 

que si calculamos lim x o0

lim sen

2

x o0

 /RVLQ¿QLWpVLPRV senx 2 y x 2 para x o 0 VRQLQ¿QLWpVLPRV Es importante que usted se cuestione la validez de cada una de las afirmaciones.

senx 2 equivalentes ya que lím 2 x o0 x

1 Ÿ senx 2 ~ x 2 x  E * (0)

8WLOL]DQGRODQRWDFLyQGH/DQGDXSDUDLGHQWL¿FDUORVLQ¿QLWpVLPRVGHPD\RU orden, tenemos que en las proximidades de x VHYHUL¿FD  /HY/DQGDX± SURPLQHQWHItVLFRUXVR

2

CAPÍTULO 2

sen x tg x

x  o(x )

x  o(x )

arc sen x

x  o(x )

ln(1  x)

99

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

arc tg x

1  cos x

e x 1

x  o(x )

x2  o( x 2 ) 2

x  o(x )

x  o( x), cuya demostración queda a cargo del lector.

4. EJERCICIOS RESUELTOS 3UXHEHXWLOL]DQGRODGH¿QLFLyQGHOtPLWHTXH D  lim(8  3 x) xo2

6  5x  x2 xo2 2 x

2 E  lim

1 F  lim x o3

2 x 3

f

Solución

5HFXHUGHODGH¿QLFLyQHQFXHVWLyQ lim f ( x) l œ H ! 0G (H ) ! 0 / x  D f : ª¬0  x  a  G Ÿ f ( x)  l  H ¼º  xoa



Es decir, bajo la suposición de la existencia de G ! 0HOFRUFKHWHVLJQL¿FDTXH si se elige cualquier x del entorno reducido de centro a y radio G , la imagen de dicho x debe estar entre l  H y l  H . En síntesis, SDUDFXDOTXLHU H ! 0 debemos encontrar SRUORPHQRVXQ G ! 0 de PRGRTXHODLPSOLFDFLyQUHVXOWHYHUGDGHUD3RUHOORHVSUHFLVRHQSULPHUOXJDU hallar el G \HQVHJXQGROXJDUYHUL¿FDUTXHSDUDHOG seleccionado se cumple la implicación. /DGL¿FXOWDGTXHVHSODQWHDHVTXHODGH¿QLFLyQGHOtPLWHQRLQIRUPDFyPRHQcontrar este número G 6HWUDWDSXHVGHGLVHxDUDOJXQDHVWUDWHJLDTXHSHUPLWD determinarlo. D  lim(8  3 x) xo2

2

En primer lugar se busca G ; para ello es posible emplear lo establecido en ODGH¿QLFLyQVHVDEHTXHGHEHRFXUULUTXH f ( x)  l  H y, a partir de allí, se debe obtener 0  x  a  G . De este modo nos queda (8  3 x)  2  H Ÿ Ÿ 8  3x  2

H

6  3x

3( x  2)

3 . x  2

H

3 x2 H

š x z 2 Ÿ 0  x  2  si comparamos con 0  x  a  G 3 3 HVSRVLEOHDUULHVJDUODD¿UPDFLyQVLQWHQHUQLQJ~QGHUHFKRDKDFHUOR Ÿ x2 

En este ejercicio le aconsejamos que tome la parte a) como ejemplo y lea cuidadosamente la resolución. Luego intente resolver la parte b) sin mirar lo resuelto hasta que haya concluido su resolución.

100

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

H

se cumplirá (8  3 x)  2  H , pero si tomamos un 3 H intervalo que esté incluido en aquél, también se cumplirá por tanto, 0  G d 3 5HVWDDKRUDYHUL¿FDUHOOtPLWHFRQHOYDORUGH G KDOODGR3DUDHOORHVQHFHVDULR ¢SRUTXp" TXHVL G

elegir algún valor de G HQWUHORVREWHQLGRV3RUHMHPSORVLVHFRQVLGHUDG

H

, 10 se debe probar entonces que para dicho valor se cumple la expresión encerrada HQWUHFRUFKHWHVHQ  0 x2 

H 10

Ÿ 3( x  2)



H 3

Ÿ0 x2 

H 3

Ÿ 3 x  2  H Ÿ 3 . x  2  H Ÿ

8  3 x  2  H y está probado.

3 x  6

¿Qué ocurriría si el valor de lQRIXHVHFRUUHFWR"3RUSHTXHxRTXHHOLJLHVHHO G no sería posible que f ( x)  l  H

6  5x  x2 xo2 2 x

E  lim

1

Buscamos en primer lugar G . Se sabe que debe ocurrir que f ( x)  l  H y a Justamente el desafío consiste en que intente resolver este ejercicio sin mirar previamente la resolución, la que es orientativa, ya que en general no existe una única manera de resolver un ejercicio.

partir de allí es preciso obtener 0  x  a  G 6  5x  x2 ( x  3)( x  2) 1  H Ÿ  1  H recordando que 2 x 2 x x z 2 Ÿ x  2 z 0 y que, por otra parte, la división de números de sig-

Así resulta:

QRVRSXHVWRVHVLJXDODFRQORTXHVLVHVLPSOL¿FDVHWLHQHTXH ( x  3)( x  2) 1 2 x

( x  3)  1

x  2

x2 H š x z 2Ÿ0 x2 H

Luego, comparando con 0  x  a  G HVSRVLEOHD¿UPDUTXH 0  G d H 3DUDYHUL¿FDUVLVHHOLJHG

H , partiendo de 0  x  2  H Ÿ

( x  3)( x  2) 1 Ÿ x  2 2  x ( x  3)  1  x2 ( x  3)( x  2)  1  H y así quedó demostrado. 2 x

F  lim 2

f &RPRODGH¿QLFLyQGHOtPLWHLQ¿QLWRFRQYDULDEOH¿QLWD x 3 dice lim f ( x) f œ K ! 0 G ( K ) ! 0 / x  D f : ¬ª0  x  a  G Ÿ f ( x) ! K ¼º x o3

xoa

en nuestro caso tendremos: lim x o3

2 x 3

ª 2 º ! K» f œ K ! 0 G ( K ) ! 0 / x  D f : «0  x  3  G Ÿ x 3 ¬ ¼

CAPÍTULO 2

101

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

x3 1 x3 1 2 2  Ÿ  Ÿ 0  x 3  ! K con x z 3 Ÿ 2 K 2 K K x 3 y como 0  x  3  G 3DUDTXHVHFXPSODQVLPXOWiQHDPHQWHDPEDVGHVLJXDO2 2 dades, podremos elegir 0  x  3  G d Ÿ 0  G d K K 2 3DUDYHUL¿FDUVLVHHOLJH G , partiendo de K x3 1 2 2 0  x3  Ÿ  Ÿ !K K 2 K x 3 de donde si

2. Determine los valores posibles de G en el siguiente lim( x 2  3 x  7) 5 x o1

Solución

A partir de f ( x)  l  H se busca obtener 0  x  a  G . En este caso partiendo de ( x 2  3 x  7)  5  H se busca obtener 0  x  1  G  ( x 2  3 x  7)  5  H Ÿ x 2  3 x  2

( x  2)( x  1)



x  2 . x  1  H 

Observe que surge el factor x  1 , podríamos creer que se tiene solucionado el problema si se divide miembro a miembro la desigualdad por x  2 . En este caso G dependería de H y de x, con lo que cada vez que se deba determinar un G , habría que elegir previamente un [ De esta manera, con dicho x y el H dado, tendríamos el entorno reducido de centro a y radio G , y al intentar elegir un x GHGLFKRHQWRUQRQXHYDPHQWHVHPRGL¿FDUtDHOG , resultando así que en ningún caso se logra el proceso: hallar un valor de G , luego elegir un x del entorno reGXFLGR\SRU~OWLPRYHUL¿FDUTXHODLPDJHQGHGLFKRx está comprendida entre l  H y l  H 3RUHOORVHLQWHQWDVXVWLWXLU x  2 por alguna cota superior, que resulte válida en el entorno reducido de centro 1 y de radio G1 que elegiremos FRPRGHVHHPRV3RGUtDSHQVDUVHDVt Tomemos x  E * (1; G1 ) y elijamos algún valor para G1 , por ejemplo G1 1 (o el   YDORUTXH8GGHVHH GHHVWDIRUPDUHVXOWD 0  x  1  1 G1  De donde 1  x  1  1 š x z 1 Ÿ 0  x  2 š x z 1 Ÿ 2  x  2  0 de modo que x-HVWiDFRWDGR\VLORHVWiHQWUH±\HVSRVLEOHWDPELpQDVHgurar que 2  x  2  0  2 , y, por carácter transitivo, se cumple entonces que 2  x  2  2 Ÿ x  2  2 &RPRLQWHUHVDTXHDSDUH]FDXQDH[SUHVLyQGHOWLSR VHPXOWLSOLFDPLHPEUR a miembro por x  1 y se obtiene: x  2  2 Ÿ x  2 . x  1  2. x  1       

102

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

­ x  2 . x  1  2. x  1 'H \ WHQHPRVTXH °®š Si además se cumple que ° x  2 . x 1  H ¯ x  2 . x  1  2. x  1  H Ÿ x  1  0  x 1 

H 2

G2 



H 2



y como x z 1, tendremos que













De esta manera han sido determinados dos valores de G , como se indican en  \ 'LFKRVYDORUHVSHUPLWHQHVWDEOHFHUGRVHQWRUQRVUHGXFLGRVFRQFpQH tricos en 1 y de radios G1 1 š G 2 . Se debe elegir G de modo que sean 2 YiOLGDVODVGHVLJXDOGDGHVLQGLFDGDVHQ \ UD]yQSRUODTXHVHFRQVLGHUD HOPiVSHTXHxRGHDPERVRFXDOTXLHUDPiVFKLFRD~Q\HVWRVHVLPEROL]DDVt 0  G d min(G1 , G 2 ) . H En este caso es 0  G d min(1, ) ORTXHVLJQL¿FDTXHFDGDYH]TXHVHVHOHFFLRQH 2 un valor de H , se dispondrá de un conjunto de valores posibles de , para los FXDOHVVHUHDOL]DUiODYHUL¿FDFLyQFRUUHVSRQGLHQWH

­2 x  1 si six  1x  1 ® ¯2 x  0,99 si x t 1 D  3DUWLHQGRGH f ( x)  1  H halle, si es posible, G tal que 0  x  1  G para los distintos valores de H  D  0,5   D  H 0,1 D  H 0, 0001

3. Dada f ( x)

E  8VDQGRD ¢TXpVHSXHGHGHFLUGHO lim f ( x) ? x o1

F  &DOFXOH lim f ( x) š lim f ( x) x o1

x o1

Solución

6XJHUHQFLDHIHFW~HHOJUi¿FRGHODIXQFLyQHQXQDYLVWDDPSOLDGDGHODVSUR[Lmidades de x = 1. D  &RPR f ( x)  1  H Ÿ 1  H  f ( x)  1  H D  H

0,5 Ÿ 1  0,5  f ( x)  1  0,5 Ÿ 0,5  f ( x)  1,5

6HEXVFDODSUHLPDJHQGH 2 x  1 0,5 Ÿ x

0, 75

CAPÍTULO 2

103

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

6LVHEXVFDDKRUDODSUHLPDJHQGH 2 x  0,99 1,5 Ÿ x

1,5  0,99 1, 245 2

Luego es posible asegurar que si 0,5  f ( x)  1,5 Ÿ 0, 75  x  1, 245 š x z 1 Ÿ 0, 25  x  1  0, 245 š x z 1

y

FRQVLGHUDQGRHOPHQRUGHORVUDGLRV¢SRUTXp" UHVXOWD

0, 25 ! 0, 245  x  1  0, 245 š x z 1 Ÿ 0  x  1  0, 245 Ÿ 0  G d 0, 245

D  H

0,1 Ÿ 1  0,1  f ( x)  1  0,1 Ÿ 0,9  f ( x)  1,1

Se busca la preimagen de 0,9:

2 x  1 0,9 Ÿ x

0,95 1,1  0,99 Y luego la preimagen de 1,1: 2 x  0,99 1,1 Ÿ x 1, 045 2 Así, cuando 0,9  f ( x)  1,1 Ÿ 0,95  x  1, 045 š x z 1 Ÿ 0, 05  x  1  0, 045 š x z 1

entonces eligiendo el menor de los radios

0, 05  0, 045  x  1  0, 045 š x z 1 Ÿ 0  x  1  0, 045 Ÿ 0  G d 0, 045

D 3URFHGLHQGRGHODPLVPDPDQHUDFRQ

H

0, 0001 Ÿ 0,9999  f ( x)  1, 0001

Si buscamos la preimagen de 0,9999:

2 x  1 0,9999 Ÿ x

0,99995

Ahora veamos qué ocurre con la otra preimagen: 1, 0001  0,99 2 x  0,99 1, 0001 Ÿ x 0,99505  1 y esto es un absurdo ya 2 que f(x)=2x-0,99 si x t 1 ; en otras palabras, la función dada no tiene preimagen GHVLHOOHFWRUKL]RHOJUi¿FRWDOFRPRVHVXJLULyLQGLYLGXDOLFHHQHO mismo el valor y \FRPSUXHEHJUi¿FDPHQWHORTXHVHD¿UPD E 3RUORTXHDQDOL]DGRHQHOtWHPDQWHULRUVHFRQFOX\HTXHQRHVFLHUWRTXH SDUD todo H ! 0  G ! 0 , en consecuencia no existe lim f ( x) x o1

F  lim(2 x  0,99) 1, 01  x o1

š lim(2 x  1) 1  x o1

por tanto, los límites laterales

dan distintos con lo que, nuevamente, se concluye que no existe lim f ( x) x o1

104

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos



D 9HUL¿TXHXVDQGRODGH¿QLFLyQTXH lim



E 'HWHUPLQHHOFRQMXQWR A de G se cumple?

x o1

^ x  E (1; G ) / *

2 f x 1

f ( x) ! 106 ` ¢3DUDTXpYDORUHV

Solución

5HFRUGDQGRODGH¿QLFLyQGHOtPLWHLQ¿QLWRFRQYDULDEOH¿QLWD

lím f ( x) xoa

f œ K ! 0 G ( K ) ! 0 / x  D f : >0  x  a  G Ÿ f ( x) ! K @

ORTXHFRORTXLDOPHQWHVLJQL¿FDTXHFXiQWRPiVSUy[LPRHVWpx de a, las imágenes de la función, en módulo, serán cada vez más grandes superando a K, por grande que sea el K elegido. En la práctica, SDUDFXDOTXLHU K > 0 se debe encontrar SRUORPHQRVXQ G ! 0 de PRGRTXHVHYHUL¿TXHODLPSOLFDFLyQLQGLFDGDHQHOFRUFKHWH3RUHOORHQSULPHU lugar, se halla el G \HQVHJXQGROXJDUVHYHUL¿FDTXHSDUDHO G seleccionado se cumple la implicación. D  3DUWLHQGRGH f ( x) ! K y bajo la suposición de existencia de G ! 0, se debe obtener 0  x  a  G . En este caso particular se tiene: 2 ! K š x  D f Ÿ x z 1 como se debe llegar a 0  x  1  G , y x 1 operando:

x 1 x 1 2 2  K 1 Ÿ  K 1 Ÿ x  1  š x z 1 Ÿ 0  x  1  de 2 2 K K 2 donde se ve que es posible elegir 0  G d K E  (O FRQMXQWR A ^ x  E * (1; G ) / f ( x) ! 106 ` es el entorno reducido centrado en 1 y de radio G donde K 106 &RPRVHYLRHQHOtWHPD  0G d

2 106

2.106

4.1. Límites en el infinito

Sea una función f (x GH¿QLGDHQUHDOHV\VHVXSRQHTXHSXHGHORJUDUVHTXHf (x  esté tan próximo a l como se desee con tal de que x VHWRPHORVX¿FLHQWHPHQWH JUDQGH(VWRVLJQL¿FDTXHSDUDFDGD H ! 0 debe existir un valor B > 0 tal que

CAPÍTULO 2

105

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

ODSRUFLyQGHOJUi¿FRFRUUHVSRQGLHQWHDOLQWHUYDOR(B,f ) debe estar comprendida en la franja horizontal determinada por las rectas y l  H y y l  H Formalmente, resulta: 6.

Definición

lim f ( x) l œ H ! 0 B ! 0 tal que si x ! B Ÿ f ( x)  l  H x of

y y f(x Oİ ±l

Oİ

O±İ

l± O±İ

f(x l

l

x

B

x

-B

Figura 48. Límite en más infinito

Figura 49. Límite en menos infinito

En el caso que x o f y x o f HQODGH¿QLFLyQDQWHULRUVHFRQVLGHUDUiQ los casos x > B y x < –B respectivamente. §S · ¸ 1 ©x¹

Ejemplos: D  lim cos¨ x of

lim e  x cosx

x o f

§ ©

E  lim ¨1  x of

1· ¸ 1 x¹

§ ©

F  lim ¨ 2  x of

8 · ¸ x2 ¹

2

0 ¢3RUTXp"3DUDSRGHUUHVSRQGHUHOOHFWRUGHEHUHFRUGDUODV

propiedades vistas en límites.

§1· lim xsen¨ ¸ x of © x¹

§1· sen¨ ¸ © x¹ lim x of 1 x

1

t

1 t o 0 cuando x o f x

3URSRQHPRVDOOHFWRUTXHDQDOLFHORVUHVXOWDGRVGHORVOtPLWHVVLJXLHQWHVSDUDOR cual es imprescindible que recuerde las características de la función exponencial: Si a ! 1: lim a x x of

­f si x o f y si 0  a  1: lim a x ® x of 0 si x o f ¯

3.2 x  3x 1  2.5 x x of 4.5 x  2 x 1

lim

3.2 x  3.3x  2.5 x x of 4.5 x  2.2 x

lim

si x o f ­0 ® ¯f si x o f

106

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

Nos encontramos en este ejemplo con a > 1, tendremos dos resultados. Veamos of el primero, que es un caso : of 3.2 x  3.3x  2.5 x x of 4.5 x  2.2 x lim

2x 3x 5 (3 x  3 x  2) 5 5 lim x of 2x x 5 (4  2 x ) 5 x

x

x

§2· §3· 3¨ ¸  3¨ ¸  2 5 ©5¹ lim © ¹ x x of §2· 4  2¨ ¸ ©5¹

las exponenciales que aparecen tienen la base entre 0 y 1, por tanto, en este caso, tienden a 0, quedándonos: x

x

§2· §3· 3¨ ¸  3¨ ¸  2 1 2 5 ©5¹ lim © ¹  x xof 4 2 §2· 4  2¨ ¸ ©5¹ o0 El segundo responde a una indeterminación del tipo : o0 3.2 x  3.3x  2.5 x lim x of 4.5 x  2.2 x

3x 5x 2 (3  3 x  2 x ) 2 2 lim x x of 5 2 x (4 x  2) 2 x

x

§3· §5· 3  3¨ ¸  2 ¨ ¸ ©2¹ ©2¹ lim x x of §5· 4¨ ¸  2 ©2¹

x

las exponenciales que aparecen tienen la base mayor que 1, por tanto, en este caso, tienden a 0, quedándonos: x

§3· §5· 3  3¨ ¸  2 ¨ ¸ ©2¹ ©2¹ lim x xof §5· 4¨ ¸  2 ©2¹

x

3 2



3 2

Sugerencia Represente en un mismo gráfico las funciones exponenciales y 2 x , y 3x e y 5 x y observe cómo se comportan para los x positivos y cómo para los x negativos; x x x °­2  3  5 si x ! 0 deberá notar que 2  3  5 Ÿ ® x por ello la diferencia en x x °¯2 ! 3 ! 5 si x  0 la técnica de resolución.

2EVHUYDFLyQLPSRUWDQWH6LXQDIXQFLyQYHUL¿FDTXHVXVLPiJHQHVWLHQGHQ a f ó  f , en realidad ODIXQFLyQ no WLHQHOtPLWHHQHOSXQWRDQDOL]DGR (o en f ó  f \GHFLUTXHXQDIXQFLyQWLHQHOtPLWH  f ó  f constituye XQÀDJUDQWHDEXVRGHYRFDEXODULR1RREVWDQWHFRPRHVWiEDVWDQWHJHQHUDOL]Ddo su uso, en muchas ocasiones, si lim f ( x) l ó lim f ( x) l y l  R, (para xoa

x of

LQVLVWLUHQHVWDFXHVWLyQ VHGLFHTXHf(x WLHQHOtPLWH¿QLWR en a o bien en f.

CAPÍTULO 2

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

(VSRVLEOHFRPELQDUORVOtPLWHVLQ¿QLWRV\OtPLWHVHQHOLQ¿QLWR1DWXUDOPHQWH SXHGHQFRPELQDUVHDPEDVGH¿QLFLRQHVGHOtPLWHLQ¿QLWR\GHOtPLWHHQHOLQ¿QLWR  7.

Definición

lim f ( x) f œ A ! 0 B ! 0 tal que si x ! B Ÿ f ( x) ! A x of

y f ( x)

A±

l

B

x

Figura 50. Límite infinito y en el infinito (QODGH¿QLFLyQDQWHULRUVHVXJLHUHDOOHFWRUTXHFRQVLGHUHWRGDVODVFRPELQDFLRQHV SRVLEOHVDGDSWiQGRODGHDFXHUGRFRQODGH¿QLFLyQGHYDORUDEVROXWR Observación: Sea f una función tal que lim f ( x) 0, también en este caso se dice x of

que f en un LQ¿QLWpVLPR, y valen las propiedades ya enunciadas anteriormente. Si se admiten los OtPLWHVLQ¿QLWRV, sin más, en la familia de los límites, sucederán lamentables pérdidas. Deja de ser cierto, en general, que el límite de la VXPDSURGXFWR VHDODVXPDHOSURGXFWR GHORVOtPLWHV$OJXQDVSURSLHGDGHV se conservan, por ejemplo: l  R , entonces lim > f ( x)  g ( x)@ f

a. lim f ( x)

f y lim g ( x) l

b. lim f ( x)

f y lim g ( x)

f , entonces lim > f ( x)  g ( x)@ f

c. lim f ( x)

f y lim g ( x)

f , entonces lim > f ( x)  g ( x)@ f

xoa

xoa

xoa

xoa

xoa

xoa

xoa

xoa

xoa

Frecuentemente es necesario estudiar el límite de una suma o producto de dos funciones precisamente cuando las propiedades que fueron enunciadas no pueden aplicarse. Se trata de aquellos casos en que el comportamiento de las funciones f + g, f . g no está determinado por el de f y g3RUHMHPSOR lim f ( x) f y lim g ( x) f. No puede predecirse el lim > f ( x)  g ( x)@, puede xoa

xoa

xoa

107

108

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Otros límites indeterminados

TXHQRH[LVWDTXHVHDXQQ~PHURUHDORELHQLQ¿QLWR$TXtVHUHTXLHUHde un análisis particular. Se dice que éste es un límite indeterminado de la forma  o f)  (o f o bien  o f)  (o f puesto que no puede determinarse a priori el valor del límite, en caso de que exista.

5. OTROS LÍMITES INDETERMINADOS Además del caso de indeterminación que acabamos de mencionar o f)  (o f , es posible encontrar las siguientes situaciones: lim f ( x)

f y lim g ( x)

lim f ( x)

f y lim g ( x)

xoa

xoa

lim f ( x) xoa

xoa

0 , entonces lim > f ( x). g ( x)@ es indeterminado. xo a

ª f ( x) º f , entonces lim « » es indeterminado. xoa xoa ¬ g ( x) ¼ g ( x) es indeterminado. f y lim g ( x) 0 , entonces lim > f ( x)@ xoa

lim f ( x) 1 y lim g ( x) xoa

xoa

xoa

f , entonces lim > f ( x)@

g ( x)

xoa

es indeterminado.

Y también los siguientes casos: 0 y lim g ( x)

lim f ( x) xoa

xoa

ª f ( x) º y lim f ( x) g ( x ) son inde0 , entonces lim « » xoa xoa ¬ g ( x) ¼

terminados. Observe que son siete tipos de indeterminaciones. 3DUDDQDOL]DUORVOtPLWHVLQGHWHUPLQDGRVGHWLSRH[SRQHQFLDO f ( x ) g ( x ) donde f es una función que alcanza valores positivos y g cualquier función, es conveniente considerar

f ( x) g ( x )

e g ( x )ln f ( x )

Así, lim f ( x) g ( x ) estará dado por lim g ( x). ln f ( x) que es un límite indetermixoa

xo a

nado de la forma (o 0).(o f) No existen técnicas generales que permitan calcular límites indeterminados. ¡No serían indeterminados si tales técnicas existieran! Es por ello que dichos límites requieren un análisis particular en cada caso. La mayoría de los límites que tienen algún interés matemático son límites indeterminados.

6. EJERCICIOS RESUELTOS Los ejercicios siguientes están resueltos; algunos de ellos están señalados con la palabra EJEMPLO y son para que lea atentamente su resolución y analice

CAPÍTULO 2

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

109

cuidadosamente la forma en que fueron utilizados los conceptos teóricos presentados previamente. Con los ejercicios restantes es importante que el lector NO mire la resolución sino que trate de encararla por su cuenta, y sólo compare con lo hecho cuando se le presente alguna dificultad, o bien, quiera verificar si lo que hizo coincide con lo resuelto en el texto. (SUGERENCIA: oculte la resolución con un papel para no caer en la tentación de mirar lo que está hecho antes de haberlo intentado usted previamente). Si, a pesar de todo, le quedaran dudas, revise los conceptos teóricos y los ejemplos. Recuerde que sólo se aprende haciendo y no mirando lo que hizo otro.

EJEMPLO

Si f ( x )

a 0 x n  a1 x n 1  ...  a n 1 x  a n

a a · a § x n .¨ a 0  1  ...  nn11  nn ¸ , x x x ¹ ©

entonces

lim f ( x)

x of

lim f ( x)

x of

lim f ( x)

x of

­f ® ¯f

si a0 ! 0 si a0  0

­f si a0 ! 0 ® ¯f si a0 ! 0 ­f si a0  0 ® ¯f si a0  0

y n es par y n es impar y n es par y n es impar

Observe que si n es impar, Im f ( x) R

2.

Si f ( x )

P( x)

P( x ) es una función racional con Q( x )

a0 x m  a1 x m 1  ...  am 1 x  am con a0 z 0 y

Q( x) b0 x n  b1 x n 1  ...  bn 1 x  bn con b0 z 0 entonces:

lim f ( x)

x orf

­0 ° °°f ® ° a0 °b ¯ 0

si

mn

si

m!n

si

m

n

Recuerde que todo ejemplo debe ser analizado cuidadosamente aplicando los conceptos teóricos previos.

110

Cálculo diferencial e integral en una variable real

3.

Ejemplos y ejercicios resueltos

&DOFXOHORVVLJXLHQWHVOtPLWHVFRQYDULDEOH¿QLWD

2 x2  5x  3  x o3 7 x  6  3 x 2

D Ejemplo lim

8  4 x  x3  2 x 2   xo2 16  x 4  8 x 2

F  lim

E  lim



G Ejemplo lim

2 · § 3 H Ejemplo lim ¨  ¸  x o1 1  x 3 1  x2 ¹ © 4 x  x o16 4 x  2

J  lim

xn 1 m, n  R x o1 1  x m

I  lim

1 2x  3 2 x 2 3 x 9  2x  5

xo4





K  lim

2 · § 3 L  lim ¨  ¸  x o1 1  x 1 3 x ¹ ©



M Ejemplo lim



O  lim



Q  lim

arcsenD x D  R  ^0`   x o0 Dx

R  lim

1  cos x  x o0 x2

N  lim



2  3x  x 4 x o1 3  x 5  4 x





P Ejemplo lim(2  x)tg xo2



Sx 4



x  lim

1  cos x 2 S  lim  x o 0 1  cos x





x o8

sen5 x x o 0 tg 2 x

tgx  senx x o0 sen3 x

xoa

senx  sena xa

arcsen5 x  tg 3 x  x x o 0 senx  7 x  arctg 2 x

T  lim x o0

1  cos x 1  cos x

Solución

3DUDFDOFXODUXQOtPLWHFRQYDULDEOH¿QLWDGHXQFRFLHQWHGHSROLQRPLRVVLVH diera la situación de que numerador y denominador se anulan para el valor de a, se está en presencia de una indeterminación del tipo

o0 ; la forma práctica o0

SDUDSRGHUUHDOL]DUHOFiOFXORHVIDFWRUL]DUORVFRPRVHYHUiHQORVHMHPSORVD  E F \G 

2 x2  5x  3 x o3 7 x  6  3 x 2 El lector debe recordar que la expresión cuadrática de la forma ax2 + E[ + c se factoriza así: ax2 + E[ + c = a (x – x1 (x – x2 VLHQGRx1, x2 las raíces. En este caso, para hallar las raíces del numerador, se calculan

D  lim

CAPÍTULO 2

111

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

b r b 2  4ac 2a

­3 ° ® 1 luego factorizando queda °¯ 2

5 r 52  4.2.(3) 2.2

1 2 x 2  5 x  3 2( x  3)( x  )   2



y para el denominador, se tiene factorizar resulta 7 x  6  3 x 2







­ 2 ° ® 3 , lo que al °¯3

7 r 7 2  4.(3).6 2.(3)

2 3( x  3)( x  )  3









7 11

± 11

5HHPSOD]DQGR \ HQHOOtPLWHGDGRVHREWLHQH

1 2( x  3)( x  ) 2 lim x o3 2 3( x  3)( x  ) 3

2 x  5x  3 7 x  6  3x 2 2

lim x o3

1 2( x  ) 2 lim x o3 2 3( x  ) 3

2  3x  x 4 E  lim en este caso la factorización no es sencilla, pero se x o1 3  x 5  4 x o0 sabe que el límite es indeterminado de la forma , de donde tanto o0 numerador como denominador tienen como raíz a 1, por lo que es posible D¿UPDUTXHDPERVVRQGLYLVLEOHVSRUx ± 6HHIHFW~DODGLYLVLyQGH polinomios usando el método clásico de división entre ellos, o bien, la UHJODGH5XI¿QL3RUVLPSOLFLGDGVHXWLOL]DUiHVWD~OWLPD

1 1

Numerador

Denominador

p

p

0

0

-3

2

1

1

1

-2

1

1

-2

1

0

1 1 1

0

0

0

-4

3

1

1

1

1

-3

1

1

1

-3

0

p

2  3x  x 4

p

( x  1)( x3  x 2  x  2)

3  x5  4 x

( x  1)( x 4  x3  x 2  x  3)

sustituyendo estas factorizaciones en el límite dado, se obtiene

2  3x  x 4 lim x o1 3  x 5  4 x

( x  1)( x 3  x 2  x  2) lim x o1 ( x  1)( x 4  x 3  x 2  x  3)

x3  x 2  x  2 lim 4 1 x o1 x  x 3  x 2  x  3

112

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

3 2 F  lim 8  4 x 4x  22x para factorizar el numerador podría extraerse factor xo2

16  x  8 x

común en grupos, en tanto que, en el denominador, una opción es analizar si es el cuadrado de un binomio: 8  4 x  x3  2 x 2 4(2  x)  x 2 (2  x) lim 2 4 2 xo2 x o 2 4  ( x 2 ) 2  2.4.x 2 16  x  8 x 1 2 x 1 lim lim x o 2 (2  x )(2  x ) xo2 2  x 

lim

(2  x)(4  x 2 ) xo2 (4  x 2 ) 2

lim

lim xo2

2 x 4  x2

xn 1 m, n  N. En este caso es conveniente factorizar, recordando x o1 1  x m

G  lim

que a n  b n

(a  b)(a n 1  a n  2b  a n 3b 2  a n  4b3  ...  b n 1 )    

válido para todo n, ORTXHVHSXHGHGHGXFLUXVDQGR5XI¿QL\HVVHQFLOOR de recordar ya que el último paréntesis tiene varios detalles que nos SXHGHQD\XGDUSRUHMHPSORL ODVSRWHQFLDVGHa comienzan con n-1 \ GHFUHFHQ GH XQR HQ XQR KDVWD OOHJDU D FHUR LL  ODV SRWHQFLDV GH E comienzan desde 0 y aumentan de uno en uno hasta llegar a n LLL  dicho paréntesis consta de n términos. Así el límite queda

xn 1 x o1 1  x m

lim

( x  1)( x n 1  x n  2  x n 3  ...  1) x o1 (1  x )(1  x  x 2  x 3  ...  x n 1 )

lim

(1)( x n 1  x n  2  x n 3  ...  1) x o1 (1  x  x 2  x3  ...  x n 1 )

lim 



n m

5HFXHUGHTXHODGLYLVLyQGHQ~PHURVRSXHVWRVQRQXORVHV±

1. Nota: en el ejemplo que sigue se presenta otra situación de las llamadas indeterminaciones y que mencionáramos anteriormente, en este caso del tipo  o f)  (o f o bien  o f)  (o f ; cuando esto ocurre, para poder realizar el cálculo del límite en forma sencilla, siempre es conveniente transformar la expresión en cociente. Esto es, realizar la operación indicada sacando común denominador (siempre que fuera posible).

§ · 2 · 3 2 § 3   lim ¨ H  lim ¨ ¸ ¸ 3 2 2 x o1 1  x 1  x ¹ x o1 © (1  x)(1  x  x ) (1  x)(1  x) ¹ ©

CAPÍTULO 2

113

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

3(1  x)  2(1  x  x 2 ) x o1 (1  x )(1  x )(1  x  x 2 )

1  x  2 x2 x o1 (1  x )(1  x )(1  x  x 2 )

lim

lim

común denominador

factorizando el numerador

1 2( x  1)( x  ) 2 lim x o1 (1  x )(1  x )(1  x  x 2 )

1 2( x  ) 2 lim x o1 (1  x )(1  x  x 2 )

3 2.3

1 2

ODGLYLVLyQGHGRVRSXHVWRVQRQXORVHV± 2. Nota

o0 con funciones irracioo0 nales, es decir,” aparecen raíces”, en general es conveniente racionalizar, como se

Cuando se presentan las indeterminaciones del tipo

verá a continuación.

I  lim 1  2 x  3 xo4

2 x

En este caso, como las raíces son de índice par, es posible usar la diferencia de cuadrados expresada como producto entre una suma y la diferencia, es decir: (a  b)(a  b) a 2  b 2, el primer miembro se suele llamar coloquialmente SURGXFWRGHFRQMXJDGRV (cabe aclarar que no nos UHIHULPRVDOSURGXFWRGHFRQMXJDGRVHQFRPSOHMRV  En este ejemplo se racionaliza el numerador y el denominador, recordando que si se multiplica por una expresión no nula, se debe dividir por la misma para preservar la igualdad, como se ve a continuación: lim xo4

1 2x  3 2 x

lim xo4

( 1  2 x  3)( 1  2 x  3) 2  x . (2  x )(2  x ) 1 2x  3

factor común

(1  2 x)  32 2  x . xo4 22  x 1 2x  3

lim

lim(2). xo4

2 x 1 2x  3

2.

4 6

lim xo4



4 3

2x  8 2  x . 4  x 1 2x  3

lim xo4

VLPSOL¿FDQGR

2( x  4) 2  x . 4 x 1 2x  3

114

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

3. Nota En algunos casos se puede transformar un ejercicio de aspecto complicado en otro que no ”intimide tanto”, usando lo que comúnmente se denomina cambio de variables o sustitución3 . Ello no eliminará la indeterminación, sólo adoptará una apariencia más sencilla.

Veámoslo en el siguiente ejemplo:

4 x x o16 4 x  2 En este caso, una de las tantas formas de pensarlo sería ver si es posible HOLPLQDU ODV UDtFHV 3DUD HOOR VH GHEHUtD VXVWLWXLU OD x por una nueva variable, que deberá estar elevada a un exponente tal que sea múltiplo de DPERVtQGLFHVGHPRGRTXHVHSXHGDQVLPSOL¿FDU(QQXHVWURHMHPSOR podemos proponer

J  lim

x Z 4 como x o 16 Ÿ Z 4 o 16 Ÿ Z o 2 4 x x o16 4 x  2 lim

lim

4  Z4

Z o2 4

Z4  2

simplificando

4 Z2 Z o2 Z  2

(2  Z )(2  Z ) Z o2 Z2

lim

lim

diferencia de cuadrados

lim[(2  Z )] 4

Z o2

cociente de opuestos

4. Nota Cuestiónese la posibilidad de sustituir x por z 8 o t12 , ¿sería factible? ¿Por qué?

2 3 x x o8 9  2x  5 (VWHHMHPSORHVVLPLODUDOI VDOYRTXHHQHOQXPHUDGRUDSDUHFHXQDUDt] GHtQGLFHLPSDU3RUHOORQRVLUYHODGLIHUHQFLDGHFXDGUDGRV\DTXHHO 2 hecho de que surja 3 x no soluciona nada. Interesa que exponente e tQGLFHVHVLPSOL¿TXHQ5HYLVDQGRODLJXDOGDG ¢TXpRFXUULUtDVLVH

K  lim 



reemplazan la a por 2, la E por 23  ( 3 x ) 3

x y el exponente fuese 3? Resultaría:

(2  3 x )[22  2 3 x  ( 3 x ) 2 ] Ÿ 8  x (2  3 x )(4  2 3 x  3 x 2 )

 5HFXHUGHODSURSLHGDGGHOtPLWH

3

3

CAPÍTULO 2

115

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Veamos cómo usarlo en el ejercicio: 2 3 x lim x o8 9  2x  5

(2  3 x )[22  2 3 x  ( 3 x ) 2 ] ( 9  2 x  5) lim . x o8 ( 9  2 x  5)( 9  2 x  5) (4  2 3 x  3 x 2 )

8 x ( 9  2 x  5) . x o8 9  2 x  25 (4  2 3 x  3 x 2 )

lim

8 x ( 9  2 x  5) . x o8 2 x  16 (4  2 3 x  3 x 2 )

lim

factor común

8 x ( 9  2 x  5) . x o8 2( x  8) (4  2 3 x  3 x 2 )

lim

1 ( 9  2 x  5) . x o8 2 (4  2 3 x  3 x 2 )

lim

10 2.12

5 12

simplificación de opuestos no nulos

2 · § 3  L  lim ¨ ¸ Nuevamente se presenta la forma indeterminada x o1 1  x 1 3 x ¹ ©

 o f)  (o f o bien  o f)  (o f y, además, es posible intentar un cambio de variables, de modo que se eliminen las raíces. Sustituyendo x r 6 , como x o 1 Ÿ r 6 o 1 Ÿ r o 1 , el límite se transforma así:

§ 3 2 · 2 · 2 · § 3 § 3 lim ¨    ¨ ¸ lim ¨ ¸ lim 3 2 ¸ 3 3 6 6 x o1 1  r o r o 1 1 x 1 x ¹ © 1 r 1 r ¹ © © 1 r 1 r ¹ 

6LVHUHYLVDFRQGHWHQLPLHQWRHOHMHUFLFLRH VHYHUiTXHHVH[DFWDPHQWH el mismo, por lo que ya se conoce su técnica de cálculo.

5. Nota En muchos ejercicios donde intervienen funciones trigonométricas podemos intentar utilizar un límite cuya demostración quedó propuesta para el lector, que es T senT lim lim 1 . Para ello se requiere del conocimiento de varias identidaT o0 T T o0 senT des trigonométricas básicas, que figuran habitualmente en las Tablas de Derivadas e Integrales.

116

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

A continuación se indican las más usadas:

sen 2 w  cos 2 w 1

tg 2 w  1 sec 2 w

senw cos w

tg w

sen(X r w)

cos w senw

cot w

sec w

senQ cos w r senw cosQ

sen 2 w 2 senw cos w

sen 2 w

1 cos w

cos(Q  w)

cosecw

1 senw

cosQ cos w # senwsenQ

cos 2 w cos 2 w  sen 2 w 1  2 sen 2 w 2 cos 2 w  1

1 (1  cos 2 w) 2

senv  senw 2 sen

cot 2 w  1 cosec 2 w

cos 2 w

vw vw cos 2 2

1 (1  cos 2 w) 2

cos v  cos w 2 sen

vw vw sen 2 2

Tabla 5. Identidades trigonométricas sen5 x x o 0 tg 2 x

M  lim j)

lim x o0

sen5 x sen 2 x cos 2 x

lim sen5 x.cos 2 x. x o0

usando identidades

5lim x o0

1 sen 2 x

5 xsen5 x 2x . .cos 2 x x o0 5x 2 xsen 2 x

lim

operando

sen5 x 1 2x . lim .lim cos 2 x x o 0 5x 2 sen 2 x x o0

5.

por propiedad de límites

1 2

5 2

sen5 x El lector debe tener en cuenta que lim x o0 5x el otro caso.

lim

5 x o0

sen5 x 5x

1, análogamente en

1  cos x para calcular este límite es posible proceder de diversas x o0 x2 formas. Una de ellas se utilizó como ejemplo anteriormente; otra manera muy interesante de hacerse es la siguiente:

N  lim

recordando que cos 2 x

cos 2 x  sen 2 x 1  sen 2 x  sen 2 x 1  2 sen 2 x Ÿ

1 (1  cos 2 x) 2 En el límite propuesto se tiene que 1  cos x sen 2 x

1  cos x x o0 x2

lim

x 2 sen 2 lim x o0 x2 2

2 sen 2

x 2 sen lim 2 2 x o0 x .4 4 2

1 x , reemplazando resulta: 2

x· § ¨ sen 2 ¸ 2 lim ¨ ¸ 4 x o0 ¨ x ¸ © 2 ¹

2

1 2

CAPÍTULO 2

117

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

6. Nota Esta manera de resolver este límite nos brinda una alternativa distinta de gran aplicación. senx  senx cos x lim x o0 sen3 x

tgx  senx O l) lim x o0 sen3 x

1  1) cos x sen3 x

senx( lim x o0

1  cos x cos x sen3 x

senx lim x o0

simplificando factor común

sacando común denominador

 cos 1 1cos x x  cos  cos x x 1 1cos x x coscos x x limlim 1 1cos limlim limlim 2 2 2 2 0 0 0 x o x o x o x o 0 sen  cosx) x) x o0 coscos  cos  cos senx x x o0 coscos x)(1  cos x(1x(1cos x(1x(1cos x)(1 x) x)

identidad pitagórica diferencia diferencia cuadrados simplificando simplificando identidad pitagórica dede cuadrados

1 x o 0 cos x (1  cos x )

1 2

lim

Sx

P  lim(2  x)tg xo2

4 Es importante siempre detectar si el límite propuesto presenta alguna forma indeterminada, en este caso es del tipo (o o f 6HFRPLHQ]D haciendo un cambio de variable para buscar que esa nueva variable tienda a cero; como x o 2 ODIRUPDPiVVHQFLOODHVGH¿QLUODQXHYDYDULDEOH como la resta entre x\VLQLPSRUWDUHQTXpRUGHQVHKDJD 6HHOLJH entonces t 2  x Ÿ t o 0 si x o 2 , en este caso queda x ±W

lim(2  x)tg

Sx

xo2

4

lim t.tg

S (2  t )

t o0

lim t. t o0

4

sustituyendo

sen cos

S (2  t ) 4

S (2  t ) 4

identidad

S St sen(  ) 2 4 lim t. t o0 S St cos(  ) 2 4

distribuyendo

Si luego se emplean las identidades de seno y coseno de la diferencia de dos ángulos, o bien, propiedad de ángulos complementarios, resulta:

sen lim t. t o0

cos

S 2

S

2

cos cos

St 4

St 4

recordando que sen

 cos  sen

S 2

S 2

S

2

sen sen

=1 y cos

St 4

St

S 2

4

=0

cos lim t. t o0

sen

St 4

St 4

lim cos t o0

St

St

4 . 4 S sen S t 4 4

multiplicando y dividiendo por

S 4

118

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

y reordenando, se aplican propiedades de límites, obteniendo así:

St St 4 lim cos . lim 4 t o0 4 S t o0 sen S t

4

S

4

senx  sena xa Nuevamente se busca una sustitución de modo que la nueva variable WLHQGDDFHUR3RUHMHPSOR] [±Dde donde despejando queda x = a ]y como x o a Ÿ z o 0 reemplazando en el límite:

Q  lim xoa

senx  sena lim xoa xa

sen(a  z )  sena lim z o0 z

sustituyendo

2 cos lim z o0

aza a za .sen 2 2 z

por identidades

z sen 2a  z 2 lim 2 cos .lim z o0 z o0 z 2 2. 2

1 2 cos a. lim 2 z o0

por propiedad de límites

sen

z 2

z 2

cos a

arcsenD x D  R  ^0` . En general, resulta complicado trabajar x o0 Dx con las funciones inversas trigonométricas; por tal razón, se intentará ³HOLPLQDUODV´6HSURSRQHXQDVXVWLWXFLyQ

x  lim

y

ª 1 1 º ª S Sº seny con y  «  ; » y x  « ; » D ¬ 2 2¼ ¬D D ¼ luego cuando x o 0 Ÿ y o 0 , reemplazando en el límite queda

lim x o0

arcsenD x, D z 0 Ÿ x

arcsenD x Dx

lim x o0

y 1

1

lim x o0

y seny

1

D . seny D De la misma manera se podría proceder y probar que arctgD x x o0 Dx

lim

1 D  R  ^0`

CAPÍTULO 2

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

7. Nota Los resultados del ejercicio anterior podrían hacer recordar una de las propiedades de infinitésimos. Motivemos la memoria: si se presentan dos infinitésimos simultáneos para x o a y el límite del cociente entre ambos da 1, se dice que son infinitésimos equivalentes, lo que significa que uno es sustituible por el otro en el entorno reducido de a.

arcsen5 x  tg 3 x  x En este ejercicio usaremos el concepto de o senx  7 x  arctg 2 x LQ¿QLWpVLPRVHTXLYDOHQWHV'HEHUHPRVSUREDUSUHYLDPHQWHTXH

R  lim

arcsenD x Dx

lim x o0



1; lim x o0

arctgD x Dx

1; lim x o0

senD x Dx

1; lim x o0

tgD x Dx

1 con D  R  ^0`

3HUR FRPR \D OR SUREDPRV DQWHULRUPHQWH SRGHPRV D¿UPDU TXH arcsenD x; arctgD x; senD x; tgD x son equivalentes a D x  El ejercicio nos queda así:

arcsen5 x  tg 3 x  x 5 x  3x  x = lim x o 0 senx  7 x  arctg 2 x x o0 x  7 x  2 x

lim

3x x o 0 10 x

lim

3 10

8. Nota Esta técnica de sustituir por un infinitésimo equivalente no será adecuada en algunos casos; por ejemplo, si al hacerlo, el denominador se iguala a cero (ATENCIÓN: se iguala a cero, que no es lo mismo que decir tiende a cero).

1  cos x 2 S  lim  &XDQGR VH UHVROYLy HO HMHUFLFLR N  VH HPSOHy XQD x o 0 1  cos x 1 identidad que ahora resultará de mucha utilidad: sen 2D (1  cos 2D ) 2 D 1 o bien sen 2 (1  cos D ) 2 2

119

120

Cálculo diferencial e integral en una variable real

x2 2 lim x o0 x 2sen 2 2 2sen 2

1  cos x 2 1  cos x

lim x o0

por identidad

Ejemplos y ejercicios resueltos

2 x2 x2 §x· . sen ¨ ¸ 2 2 2 ©2¹ lim 2 2 x 0 o x 2 §x· 2 x ¨ ¸ sen 2 2 ©2¹

x2 2 lim x o0 x 2sen 2 2 2. sen

distribuyendo la raíz

x2 x x sen . 2 x2 2 2 2 lim x 2 x o0 x 2 2 x2 sen 2 2 4 2

multiplicando y dividiendo

operando

2

§ x· x x sen ¨ ¸ 2¹ © 2 lim lim 2 lim 2 x o0 x o0 x x o0 x x2 sen sen 2 2 2

2

1  cos x x o 0 1  cos x En primer lugar se multiplica y divide por el conjugado del numerador, obteniendo:

T  lim

lim

x o0

1  cos x 1  cos x

lim

x o0

(1  cos x )(1  cos x ) (1  cos x )(1  cos x )

lim

x o0

1  cos x (1  cos x )(1  cos x )

x x sen 2. 2 .x.x x x 2 2 2 2 lim x o 0 x x sen sen 2 . 2 . x . x (1  cos x) 2 2 x x 2 2 sen

2 sen 2 lim

x o 0

2 sen

2

x 2

x (1  cos x ) 2

0

 3UXHEHTXHVLf (x HVXQLQ¿QLWpVLPRHQHOHQWRUQRUHGXFLGRGHa y g (x es una función acotada en dicho entorno, se cumple que f (x J(x HVXQLQ¿QLWpVLPR en cierto entorno reducido de a. Solución

Que f (x VHDXQLQ¿QLWpVLPRHQHOHQWRUQRUHGXFLGRGHaHVHTXLYDOHQWHDD¿UPDU que

lim f ( x) 0 œ H ! 0G (H ) ! 0 / x  D f :[0  x  a  G Ÿ f ( x)  H ]  xoa

CAPÍTULO 2

121

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Si una función g(x HVWiDFRWDGDHQHVHHQWRUQRYHUL¿FDTXH

x  E *(a; G )

K  R+ / |g(x _K 







   

(VWRVLJQL¿FDTXHVLHOHJLPRVFXDOTXLHUxGHOHQWRUQR\DFLWDGRVHFXPSOHQ  \ DODYH]ORTXHVLPEROL]DPRVDVt

x  E *(a; G ) : f ( x)  H š g ( x)  K Ÿ f ( x) . g ( x)  H, K Ÿ f ( x) g ( x)  H1 H1

\pVWDHVODGH¿QLFLyQGH lim f ( x) g ( x) 0 , con lo que f (x g (x HVLQ¿QLWpVLPR xoa en a

 'HPRVWUDUTXHVL lim f ( x) lim g ( x) l y en un entorno reducido de a xoa

x oa

existe una función K[ tal que f ( x) d h( x) d g ( x) , entonces lim h( x) l xoa

Solución

Como f y g tienden a l cuando x tiende a aXWLOL]DQGRODGH¿QLFLyQVHSXHGH escribir así: lim f ( x) l œ H1 ! 0 G1 (H1 ) ! 0 / x  D f :[0  x  a  G1 Ÿ f ( x)  l  H1 ]   xoa

lim g ( x) l œ H 2 ! 0 G 2 (H 2 ) ! 0 / x  Dg :[0  x  a  G 2 Ÿ g ( x)  l  H 2 ]   xoa

Además la función K, según el enunciado, cumple:

x  E *(a; G 3 ) : f ( x) d h( x) d g ( x)  











Es deseable que se cumplan las tres desigualdades que simultáneamente afecWDQDODVIXQFLRQHV3DUDHOORVHUHTXLHUHTXHGHORVWUHVHQWRUQRVFRQFpQWULFRV se tome la región común a ellos, será pues el entorno reducido centrado en a y de radio menor o igual que el menor de los tres dados. Es decir, elegimos 0  G d min(G1 , G 2 , G 3 ) , y se cumple que ­ f ( x)  l  H1 Ÿ l  H1  f ( x)  l  H1 ° x  E *(a; G ) : ® g ( x)  l  H 2 Ÿ l  H 2  g ( x)  l  H 2  ° f ( x ) d h( x ) d g ( x ) ¯

estas tres desigualdades pueden reescribirse así:

l  H 1  f ( x ) d h( x ) d g ( x )  l  H 2







122

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

de donde resulta:

l  H1  h( x)  l  H 2 Ÿ H1  h( x)  l  H 2 3DUDSRGHUHVFULELUHVWDGHVLJXDOGDGFRPRXQPyGXORHVQHFHVDULRTXHHOFHQWURVH encuentre entre dos números opuestos; esto se consigue llamando H max(H1 ; H 2 )

H d H1  h( x)  l  H 2 d H Ÿ H  h( x)  l  H Ÿ h( x)  l  H \HVWRHVODGH¿QLFLyQGHO lim h( x) l xoa

 6L lim f ( x) l œ I ( x) xoa

f ( x)  l / lim I ( x) xoa

0

Solución

$SDUWLUGHODGH¿QLFLyQGHOtPLWH

lim f ( x) l œ H ! 0G (H ) ! 0 / x  D f :[0  x  a  G Ÿ f ( x)  l  H ] xoa

Llamando I ( x)

f ( x)  l , la expresión encerrada entre corchetes queda así:

0  x  a  G Ÿ I ( x)  H \pVWDHVODGH¿QLFLyQGHO lim I ( x) 0 . xoa

 3UXHEHTXHVL  lim xoa

f ( x) š lim g ( x) 0 Ÿ lim f ( x) 0 x oa g ( x) xoa

Solución

Como por hipótesis existe el lim xoa

f ( x) g ( x)

l £ORTXHVLJQL¿FDTXHlHV¿QLWR XVDQGROD

propiedad anterior se tendrá que f ( x) l  I ( x) / lim I ( x) 0 Ÿ f ( x) g ( x).[l  I ( x)] xoa

g ( x)

Si se aplica límite a esta última igualdad, resulta:

lim f ( x) lim ^ g ( x).[l  I ( x)]` lim g ( x) lim[l  I ( x)] =0 xoa

xoa

xoa

xoa

porque lim g ( x) 0 por hipótesis y lim I ( x) 0 por la propiedad, luego xoa

xoa

lim[l  I ( x)] l , el resultado es el producto 0.l = 0 ya que lHV¿QLWR xoa

CAPÍTULO 2



LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

D 6L x  E *(2; G ) : f ( x)  5 d 4( x  2)3 , calcule lim f ( x) xo2

E 6L x  R : f 4 ( x)  256 , calcule lim f ( x)tgx x o 2S

Solución

D  &RPRx  E *(2; G ) : f ( x)  5 d 4( x  2)3 Ÿ 5  4( x  2)3 d f ( x) d 5  4( x  2)3 Usando el teorema de intercalación (o del VDQGZLFK TXHVHSUREyHQHO HMHPSORVHWLHQH

lim[5  4( x  2)3 ] 5 ½ ° xo2 ¾ Ÿ lim f ( x) 5 lim[5  4( x  2)3 ] 5° x o2 xo2 ¿ E  &RPR x  R: f 4 ( x)  256 Ÿ f ( x)  4 con lo que es posible asegurar que la función f está acotada, entonces:

lim f ( x)tgx

lim f ( x) tgx

x o 2S

x o 2S

0 ya que es el producto de una función

DFRWDGDSRUXQLQ¿QLWpVLPRGDGRTXH lim tgx x o 2S

probada en el HMHPSOR 

9. Dada f ( x)

2

1 x

D  &DOFXOH lim f ( x), x of

0 (esta propiedad fue

lim f ( x), lim f ( x)

x of

x of

E  Ejemplo. Halle los conjuntos A

^x  R

+

/ f ( x)  2  0, 0001` y B

^x  R / ±

f ( x)  2  0, 0001`

Solución

(VSUHFLVRUHFRUGDUODVGH¿QLFLRQHVTXHVXUJHQFXDQGR x o f. La primera que VHPHQFLRQDVHUH¿HUHDOFDVRHQTXHHOUHVXOWDGRHV¿QLWR

lim f ( x) l œ H ! 0k (H ) !! 0 / x  D f :[ x ! k Ÿ f ( x)  l  H ] x of

123

124

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

9. Nota El símbolo >> se lee “mucho mayor”.

/DVHJXQGDHVDTXpOODFRUUHVSRQGLHQWHDOFDVRGHOtPLWHLQ¿QLWR

lim f ( x) f œ K !! 0 k ( K ) !! 0 / x  D f :[ x ! k Ÿ f ( x) ! K ] x of

2EVHUYHTXHHQDPEDVGH¿QLFLRQHVDSDUHFHODH[SUHVLyQ x ! k que equivale a x > k o x < –k, la primera de ellas considera el caso en que x se hace tan grande \SRVLWLYR FRPRVHTXLHUDHOORHTXLYDOHD x o f ODVHJXQGDx < ±k, por ende corresponde al caso x o f. 2WUDREVHUYDFLyQLPSRUWDQWHHQUHODFLyQDODVHJXQGDGH¿QLFLyQHVTXHHO resultado del límite sea f QRDOXGHDOVLJQRVHUH¿HUHDTXHODVLPiJHQHVGHOD función, HQPyGXOR, se hacen cada vez más grandes. El ejercicio propuesto es: 1 x of x

1 1 lim x of x x of x 1 resultado: lim(2  ) 2 x of x

D  &RPR lim

lim

0 los tres límites tienen el mismo

E 3DUDKDOODUORVFRQMXQWRVHVQHFHVDULRUHVROYHUODLQHFXDFLyQ f ( x)  2  0, 0001 Ÿ 2 

1 2 x

1 x

1  0, 0001 Ÿ x ! 104 Ÿ x ! 104 › x  104 x

En la última expresión se tiene que x > 104 corresponde al conjunto A, en tanto que el otro es el conjunto B. A = ( 104 ; f  

B = ( f ; - 104

10. Calcule los siguientes límites:

3x 2  5  2 x  x of 4 x  2 x 2  1

D Ejemplo lim

3x 2  5 x 4  2 x x of 4 x  2 x 2  1



E  lim

3x 2  5  2 x  x of 4 x 3  2 x 2  1





G  lim

2 x  1  3 5  x3  x of 4x 1





I  lim

2 x 2  1  3 5  x3   x of 4x 1



K  lim

F  lim H  lim

J  lim

(2 x  3) 20 (3 x  2)30 x of (2 x  1)50

2 x  1  3 5  x6 x of 4x 1

x of

3 x  2  16 x 2  7 x 9 x2  4  4 x  5

CAPÍTULO 2

125

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

L Ejemplo lim[ 6  5 x  4 x 2  2 x  3] x of

Solución

D  lim

x of

3x  5  2 x 4x  2x2  1 2

5 2  ) x2 x lim x of 2 4 1 x ( 2 2) x x x 2 (3 

factor común x 2

5 2  x2 x lim x of 4 1 2 2 x x 3



3 2

simplificando

Téngase en cuenta que lim

x of

k xn

0 k z 0, n  N

Pero, ¿por qué sacamos factor común x 2? En toda indeterminación del tipo

of of

se debe buscar qué términos se “agrandan más” cuando x o f. Observe que las únicas expresiones afectadas por x o f son x y x 2 , y, de ambas, es x 2 quien crece más rápido; luego, al extraerlo factor común en numerador y denominador, se cancelan y así se elimina la indeterminación.

3x 2  5 x 4  2 x Las expresiones afectadas por x o f son x, x 2 y x 4 , x of 4 x  2 x 2  1 de ellas, quien crece más rápidamente es x 4 ; por esa razón se la extrae como factor común en numerador y denominador:

E  lim

3x 2  5 x 4  2 x lim x of 4 x  2 x 2  1 

3 2 5 3) 2 x x lim x of 4 4 2 1 x ( 3  2  4) x x x x4 (

3 2 5 3 2 x lim x x of 4 2 1   x3 x 2 x 4

f

\DTXHHOQXPHUDGRUWLHQGHD±\HOGHQRPLQDGRUDFHUR

3x 2  5  2 x En este caso es x3 el que crece más rápidamente, se lo F  lim 3 x of 4 x  2 x 2  1 extrae factor común, como se procedió anteriormente:

126

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

·3 5 2· x3 ¸  3  2 ¸ 3x 2  5  2 x x ¹ lim 3 lim ¹ x x x of 4 x  2 x 2  1 x of · 2 1 · x3 ¸ 4   3 ¸ x x ¹ ¹



3 5 2  3 2 x lim x x x of 2 1 4  3 x x

0

GDGRTXHHOQXPHUDGRUWLHQGHDFHUR\HOGHQRPLQDGRUD

(2 x  3) 20 (3 x  2)30 Nótese que el numerador es un polinomio de x of (2 x  1)50

G  lim

JUDGRDOLJXDOTXHHOGHQRPLQDGRU x 50 será la expresión que más rápido tiende a f , se calcula así:

(2 x  3) 20 (3 x  2)30 x of (2 x  1)50

lim

x50 lim x of

(2 x  3) 20 (3 x  2)30 x50 (2 x  1)50 x 50 x 50

(2 x  3) 20 (3 x  2)30 x 20 x30 lim x of (2 x  1)50 x 50

teniendo en cuenta que x50

§ 2 x  3 · § 3x  2 · ¨ ¸ ¨ ¸ x ¹ © x ¹ lim © 50 x of § 2x 1 · ¨ ¸ © x ¹ 20

30

20

3· § 2· § ¨ 2  ¸ ¨3 ¸ x¹ © x¹ lim © 50 x of 1· § ¨2 ¸ x¹ ©

x 20 .x 30

30

220.330 250

§3· ¨ ¸ ©2¹

30

distribuyendo

2 x  1  3 5  x3 Si se extrae factor común x3 dentro de la raíz, se x of 4x 1 tiene:

H  lim

·

2 x  1  3 5  x3 lim x of 4x 1

5 ·  1¸ 3 ¹x ¹ 4x 1

2 x  1  3 x3 ¸ lim x of

2 x  1  x. 3 lim

4x 1

x of

si ahora se extrae factor común x, quedará así: · · 1 5 x ¸2   3 3  1 ¸ ¹ x lim ¹ x x of 1· · x ¸4  ¸ x¹ ¹

1 5 2   3 3 1 x x lim x of 1 4 x

2 1 4

3 4

5 1 x3

CAPÍTULO 2

127

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

2 x  1  3 5  x6 Extrayendo factor común dentro de la raíz, resulta: x of 4x 1

I  lim

· 5  1¸ 6 ¹ ¹x 4x 1 ·

2x 1  5  x x of 4x 1 3

2 x  1  3 x6 ¸

6

lim

lim

x of

2 x 1  x2 .3 lim

5 1 x6

4x 1

x of

Si se extrae factor común x 2 en numerador y denominador, resulta: · 1 5 ·2 x2 ¸  2  3 6  1¸ x ¹ lim ¹ x x x of · · 4 1 x2 ¸  2 ¸ ¹x x ¹

2 1 3 5  2  6 1 x lim x x x of 4 1  x x2

f

porque el numerador tiende a 1 y el denominador a 0.

2 x 2  1  3 5  x3 Si se extrae factor común x 2 en numerador y x of 4x 1 denominador:

J  lim

2 x 2  1  3 5  x3 x of 4x 1

lim

2 lim

x of

1 3 5  x3 ·  ¸ x2 x2 ¹ ¹ 1· ·4 x2 ¸  2 ¸ ¹x x ¹ ·

2

x 2 ¸2  lim

x of

1 3 5 1  6 3 x2 x x 4 1  x x2

lim x of

1 3 5  x3  x2 x6 4 1  x x2

f porque el numerador tiende a 2 y el

denominador a 0.

K  lim

x of

3 x  2  16 x 2  7 x 9x  4  4x  5 2

Se extrae factor común x 2 dentro de las raíces: ·

lim

x of

3 x  2  16 x 2  7 x 9x  4  4x  5 2

3 x  2  x 2 ¸16  lim

x of

¹

2·

7· ¸ x¹

4· x ¸9  2 ¸  4 x  5 x ¹ ¹

3 x  2  x 16  lim x of

x 9

7 x

4  4x  5 x2

128

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

y nuevamente extraemos factor común, en este caso x , se tiene :

lim

x 2 7· x ·¸3   16  ¸ x x¹ ¹ x

x of

x

· ¸ ¹

4 x 5· 9 2 4  ¸ x x x¹

3 lim

x of

x 2 7   16  x x x 9

4 x 5 4  2 x x x

Recordando que la función signo es:

sgx

x x

si x ! 0 ­1 ® ¯1 si x  0

por tal razón es necesario calcular dos

límites; por un lado cuando x o f y por el otro, cuando x o f , así queda: 3 lim

x of

x 2 7   16  x x x 9

x 5 4 4  2 x x x

1 ­3  4 °° 3  4  7 si x o f ® ° 3  4 7 si x o f °¯ 3  4

L  lim[ 6  5 x  4 x 2  2 x  3] = lim[ 6  5 x  4 x 2  (2 x  3)] x of

x of

Observe que el primer término tiende siempre a f, pero el paréntesis dependerá de x o f o bien x o f , es decir: lim (2 x  3) f š lim (2 x  3) f x of x of de donde, el límite de la resta no es indeterminado cuando x o f, pero si x o f tendremos una indeterminación del tipo (o f)  (o f), que no es la primera vez que se nos presenta. En este caso, para transformarlo en un cociente conviene multiplicar y dividir por el conjugado.

El ejemplo nos queda así: ­f  (f) f si x o f lim[ 6  5 x  4 x 2  (2 x  3)] ® x of ¯ A si x o f

donde calcularemos A de la siguiente manera: A



lim [ 6  5 x  4 x 2  (2 x  3)]

x of

lim

[ 6  5 x  4 x 2  (2 x  3)][ 6  5 x  4 x 2  (2 x  3)]

x of

¿Recuerda por qué se debe tomar x en módulo?

[ 6  5 x  4 x 2  (2 x  3)]

CAPÍTULO 2

6  5 x  4 x 2  (2 x  3) 2

lim

6  5 x  4 x 2  (2 x  3)

x of

7x  3

lim

6  5x  4 x  2 x  3

x of

2

7x  3 6 5   4  2x  3 x2 x

lim

x of

x

7 lim

x of

129

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

x 3  x x

6 5 x 3  42  2 x x x x

6  5 x  4 x 2  (4 x 2  12 x  9)

lim

6  5x  4 x2  2 x  3

x of

7x  3 ·6 · 5 x 2 ¸ 2   4¸  2 x  3 x ¹x ¹

lim

x of

x (7 lim

x of

x 3  ) x x

6 5 x 3·  42  ¸ 2 ¹ x x x x¹ ·

x¸

7 22

7 4

­f si x o f ° En síntesis: lim[ 6  5 x  4 x  2 x  3] ® 7 x of °¯ 4 si x o f 2

11.

'HWHUPLQHORVFRH¿FLHQWHVa, E, c…, si es posible, de modo que ·3  x

D  lim ¸ x of ¹

·  2x  ax  b¸ ¹ x 1 2

0

E  lim ( 4 x 2  5 x  6  2ax  3b) 0 x of

F  lim ( 9 x 2  7 x  5  3ax  5b) 0 x of

G  f ( x)

H  lim xoa

­bx ° 2 ® x  ax °a  bx ¯

x d 2  2  x  1 si  lim f ( x) š  lim f ( x) x o2 x o1 x t1

x3  x 2  6 x UHVXOWHVHUXQFRFLHQWHGHLQ¿QLWpVLPRV 6  x3  7 x

I  VLHQGR f ( x)

ax 2  bx  c si se sabe que lim f ( x) 3 š lim f ( x) x of xo2 2x  d

f

130

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

Solución ·3  x

·  2x  ax  b¸ 0 si sacamos común denominador nos ¹ ¹ x 1 of quedará una indeterminación del tipo : of

D  lim ¸ x of

lim( x of

2

3  x2  2 x 3  x 2  2 x  ax 2  ax  bx  b  ax  b) lim x of x 1 x 1

(1  a ) x 2  (b  2  a ) x  (3  b) x of x 1

lim

0

Si fuese x 2 ODH[SUHVLyQTXHFUHFHPiVUiSLGDPHQWHHOOtPLWHGDUtDLQ¿QLWR luego, como esto no ocurre, el término en x 2 no puede aparecer, razón por la FXDOD¿UPDPRVTXHVXFRH¿FLHQWHHV0. Además, si numerador y denominador fuesen de igual grado, el resultado sería una constante no nula, lo que no puede RFXUULUFRQORTXHVXFRH¿FLHQWHHV03HURVLHOQXPHUDGRUIXHVHXQDFRQVWDQWH FRPRHOGHQRPLQDGRUWLHQGHDLQ¿QLWRHOUHVXOWDGRVHUtDHOSHGLGR 

3RUWDQWRWHQHPRVTXH ­1  a 0 Ÿ a 1 °   ® °b  2  a 0 Ÿ b 2  a ¯

2  (1) 1

E  lim ( 4 x 2  5 x  6  2ax  3b) 0 x of

Si a > 0 el límite daría f , ya que la raíz tiende a f y la expresión lineal, con pendiente positiva, tiende a f cuando x tiende a f 3RUWDQWRHVWDRSFLyQ debe ser descartada. Con ello aseguramos que a < 0, quedando una indetermi ±o f  nación del tipo (o f Multiplicamos y dividimos por el conjugado: lim

[ 4 x 2  5 x  6  (2ax  3b)][ 4 x 2  5 x  6  (2ax  3b)]

x of

lim

x of

4 x 2  5 x  6  (2ax  3b)

4 x 2  5 x  6  4a 2 x 2  12abx  9b 2 4 x 2  5 x  6  2ax  3b

lim

x of

lim

x of

4 x 2  5 x  6  (2ax  3b) 2 4 x 2  5 x  6  2ax  3b

4(1  a 2 ) x 2  (12ab  5) x  6  9b 2 4 x 2  5 x  6  2ax  3b

0

CAPÍTULO 2

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

3DUDTXHHVWRRFXUUDHOGHQRPLQDGRUGHEHWHQGHUDLQ¿QLWRFRQPD\RUYHORFLGDG que el numerador, por ello tiene que cumplirse:

­a  0 ° 2 °°1  a 0 Ÿ a 1 š a  0 Ÿ a 1 ®   ° 5 5 °12ab  5 0 Ÿ 12ab 5 Ÿ b  °¯ 12a 12 F  lim ( 9 x 2  7 x  5  3ax  5b) 0 x of

Con idéntico razonamiento al ejercicio anterior, descartamos a < 0 ya TXHHQHVWHFDVRHOUHVXOWDGRVHUtDLQ¿QLWR/XHJRa > 0 y tendremos: lim

[ 9 x 2  7 x  5  (3ax  5b)][ 9 x 2  7 x  5  (3ax  5b)] 9 x 2  7 x  5  (3ax  5b)

x of

lim

9 x 2  7 x  5  (3ax  5b) 2 9 x 2  7 x  5  (3ax  5b)

x of

lim

lim

9 x 2  7 x  5  9a 2 x 2  30abx  25b 2

9(1  a 2 ) x 2  (7  30ab) x  5  25b 2 9 x 2  7 x  5  3ax  5b

x of

9 x 2  7 x  5  3ax  5b

x of

0

3DUDTXHHVWRRFXUUDHOGHQRPLQDGRUGHEHWHQGHUDLQ¿QLWRFRQPD\RUYHORFLGDG que el numerador; por ello tiene que cumplirse:

­a ! 0 ° 2 °°1  a 0 Ÿ a 1 š a ! 0 Ÿ a 1 ®   ° 7 °7  30ab 0 Ÿ 30ab 7 Ÿ b °¯ 30a

G  f ( x)

­bx ° 2 ® x  ax °a  bx ¯

7 30

x d 2  2  x  1 si  lim f ( x) š  lim f ( x) x o2 x o1 x t1

3DUDTXH  lim f ( x) debe ocurrir que los límites laterales sean iguales, análox o2

gamente para x o 1. De esa manera obtendremos:

131

132

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

­ lim bx lim ( x 2  ax) Ÿ 2b 4  2a Ÿ a 2  b x o2 ° x o2 ° ž ® ° lim(a  bx) lim( x 2  ax) Ÿ a  b 1  a Ÿ b 1 °¯ x o1 x o1

H  lim xoa

2  (1) 1

x3  x 2  6 x UHVXOWHVHUXQFRFLHQWHGHLQ¿QLWpVLPRV 6  x3  7 x

3DUDTXHHVWRRFXUUDa debe ser raíz del numerador y denominador, de modo que si los factorizamos tendremos:

x3  x 2  6 x 6  x3  7 x 

x( x 2  x  6)

x( x  2)( x  3)

( x  1)( x 2  x  6) ( x  1)( x  2)( x  3)

/XHJRODVUDtFHVFRPXQHVVRQ\±HVWRVVRQORVYDORUHVTXHSXHGH asumir a.

ax 2  bx  c se sabe que lim f ( x) 3 š lim f ( x) f I  6LHQGR f ( x) x of xo2 2x  d Si lim f ( x) 3  VLJQL¿FD TXH QXPHUDGRU \ GHQRPLQDGRUGHEHQ VHU GH x of

igual grado, de donde a = 0, nos queda entonces

lim f ( x) x of

ax 2  bx  c lim x of 2x  d

bx  c lim x of 2 x  d

· c· x ¸b  ¸ lim ¹ x ¹ · x of d· x ¸2  ¸ ¹ x¹

b 2

3Ÿb 6

luego f ( x)

6x  c 6x  c Ÿ lim xo2 2 x  d 2x  d

Con lo que f ( x)

6x  c 2x  4

6x  c xo2 2 x  d

lim

­12  c z 0 Ÿ c z 12 fŸ® ¯4  d 0 Ÿ d 4

6x  c š c z 12 2( x  2)

CAPÍTULO 2

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

7. UN CASO PARTICULAR DE FUNCIONES: LAS SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 8. Definición Una sucesión es una función f: N o R, donde N puede ser el conjunto de los naturales o los naturales con el cero, o bien, cualquier conjunto infinito incluido en los naturales, f (n) , n N, an recibe el nombre de término general de la sucesión tal que a n y es habitual indicarlo con letras minúsculas acompañadas de un subíndice, por f (n), de esta manera a1 f (1), a2 f (2), a3 f (3)… ejemplo: f: N o R / a n

El conjunto de todas las imágenes es la sucesión y la simbolizamos así:

(an ) nN 

(a1 , a2 , a3 , a4 ,...)

R

Se lee: la sucesión de término general an  R con dominio en los naturales. Debe tenerse en cuenta que (a1 , a2 , a3 , a4 , « HVXQFRQMXQWRRUGHQDGR EJEMPLOS

2 3 4 5 ·1 ·  6HDODVXFHVLyQ¸ ;  ; ;  ; ;… ¸, cuyo término general puede escribirse ¹2 ¹ 3 4 5 6

de distintas formas; veamos dos de ellas: n n 1 an ( 1)n 1 , n N › bn ( 1)n , n  N0 n 1 n2  /DVXFHVLyQGHWpUPLQRJHQHUDO c n cos nS , n  N 0 , estará representada por (1, 1,1, 1,« 1yWHVHTXH c0 1 š c2 1 no son los mismos, ya que el c0 ocupa el primer lugar y el c2 el tercer lugar. En el primer ejemplo fueron presentados los primeros términos de la sucesión, mientras que en el segundo se da el término general. Existe otra manera de SODQWHDUODIRUPDGHODVXFHVLyQGH¿QLHQGRHOWpUPLQRJHQHUDOFRPRIXQFLyQGHO anterior o de los anteriores, denominadas VXFHVLRQHVGH¿QLGDVSRUUHFXUUHQFLD. Veamos el siguiente caso:  (d n ) nN / d n

n 1› n 2 ­1 si Esta sucesión se conoce con el nombre ® si n ! 2 ¯d n 1  d n  2

de sucesión de Fibonacci. Los dos primeros números valen 1 y los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores:

(1,1, 2, , 3, , 5, , 8, ,13, , ,.....) , 21 11 1 2 2  3 3 5 5 8 8 13

 3XHGHVHUTXH8GKD\DOHtGRODQRYHOD(O&yGLJRGD9LQFL, de Dan Brown y allí la haya descubierto.



133

134

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Las sucesiones de números reales

7.1. Un poco de historia Abramos un pequeño paréntesis para hacer un poco de historia. El famoso matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1240?), más conocido por su apodo de Fibonacci (abreviatura de filius Bonacci, o sea, hijo de Bonacci) escribe en 1202 la obra Liber Abacci (Libro del Ábaco) que llega a nosotros en una segunda versión que data del año 1228. Es un voluminoso tratado que contiene casi todos los conocimientos algebraicos y aritméticos de ese tiempo y desempeñó un papel notable en el desarrollo de la Matemática en Europa occidental durante varios siglos. En particular, es precisamente a través de este libro que los europeos, que usaban los números romanos, conocieron las cifras arábigas usadas actualmente por todos nosotros. El material de Liber Abacci es presentado a partir de numerosos problemas que forman una parte considerable de la obra; en particular vale la pena mencionar uno, que aparece en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228: ¿Cuántas parejas de conejos nacen, en el transcurso de un año, de una pareja inicial? Si se coloca una pareja de conejos en un lugar totalmente cercado por muros para conocer cuántas parejas de conejos nacerían en el curso de un año, teniendo en cuenta que la naturaleza de los conejos es tal que cada pareja produce otra pareja al cabo de un mes y las conejas pueden parir a los dos meses de haber nacido, se tiene entonces que la primera pareja da descendencia en el primer mes, multiplíquese por dos y resultan ya dos parejas; de ellas, la primera pareja tiene cría también al mes siguiente de modo que en el segundo mes resultan tres parejas; de ellas, al mes siguiente dos parejas darán descendencia de modo que en el tercer mes... y así sucesivamente. Pasando de los conejos a los números es que Fibonacci presenta en su tratado de la sucesión que lleva su nombre.

C

A

B

Es interesante mencionar otras particularidades: Los cocientes entre dos números consecutivos de la sucesión de la forma

8 13 21 , , ,..... , se aproximan más y 5 8 13

más al número áureo (1,61803...). A éste se le conoce también con el nombre número de oro1 y su valor exacto es un número irracional

1 5 =1,61803..., obtenido por 2

los griegos al hallar la relación entre una diagonal de un pentágono (como la AC, por ejemplo) y uno de sus lados (como el AB). En el hombre ideal de Leonardo da Vinci (1452-1519), el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo es el número de oro.

Los egipcios ya conocían esta proporción y la usaron en la arquitectura de la pirámide de Keops (2600 años antes de Cristo). Aparece además en cuadros del pintor español Salvador Dalí (1904-1989) y en la pintura El nacimiento de Venus del italiano Sandro Botticelli (1444-1510). Esta razón también la usaron en sus producciones otros artistas del Renacimiento (siglos XV-XVI). En arquitectura no sólo tenemos el ejemplo de los egipcios, también los hay en España, en la construcción de la Alhambra de Granada, llevada a cabo entre los años 1230 y 1354, durante el reinado de los moros, y en edificios renacentistas como El Escorial, cerca de Madrid, construido en el lapso 15631584, por sólo nombrar los ejemplos más conocidos. Esta sucesión de números aparece en la naturaleza en formas curiosas. Las placas o escamas de un ananá aparecen en espiral alrededor del vértice. Si contamos el número de espirales de un ananá, encontraremos que siempre es igual a uno de los números de la sucesión de Fibonacci. También aparece en el estudio de las leyes mendelianas de la herencia, en la formación de la concha de algunos moluscos... 1

El nombre de Q~PHURGHRUR se debe a Fibonacci.

CAPÍTULO 2

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

7.2. Representación gráfica de sucesiones de números reales

Al tratarse de funciones, las sucesiones pueden representarse en un sistema de ejes cartesianos; en el eje de abscisas están ubicados los números naturales GRPLQLR \HQHOGHRUGHQDGDVVHKDOODQORVWpUPLQRVGHODVXFHVLyQ1yWHVHTXH GHDFXHUGRFRQHVWDIRUPDGHUHSUHVHQWDFLyQHOJUi¿FRGHODVXFHVLyQHVXQD QXEHGHSXQWRV¢SRUTXp" Otra forma de representar una sucesión es a través de la determinación de los términos de la misma sobre el eje real, tal como lo muestran los siguientes ejemplos.

EJEMPLOS

5HSUHVHQWHJUi¿FDPHQWHODVVLJXLHQWHVVXFHVLRQHVGHWpUPLQRJHQHUDOGDGRHQ cada caso: 1. an n 2  2 , con n t 1 VHxDODQGRORVSULPHURVFLQFRWpUPLQRV Los primeros términos son: a1 1 ; a2 2 ; a3 7 ; a4 14 ; a5 23 En la recta real se representan los puntos correspondientes de cada término de la sucesión:

2.

3. an

, los primeros siete términos son: 1 ;

4 3 8 5 12 7 ; ; ; ; ; ; ... 3 2 5 3 7 4

2n 1 4 8 16 32 64 128 , los primeros seis términos son: ; ; ; ; ; ; ... n 3 3 9 27 81 243 729

135

136

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Las sucesiones de números reales

 an

n  ( 1)n 1 2 3 4 0 ;1 ; ; 1 ; ; 1 ; ; 1 ; ; ... n 1 2 3 4 5

 an

­1  5n °° n ® °1  5n °¯ n

si n es par 4 ;

si n es par

11 14 21 24 31 ; ; ; ; ; ... 2 3 4 5 6

Destaquemos ciertas sucesiones que resultan especiales por sus características: 9. Definiciones i - La sucesión (an ) está acotada superiormente œ M  R / an d M n ii - La sucesión ( ) está acotada inferiormente œ L  R / an t L n iii - La sucesión (an ) está acotada œ K  R+ / an d K n

3RUHMHPSORODVXFHVLyQGH)LERQDFFLHVWiDFRWDGDLQIHULRUPHQWH\DTXHWRGRV sus términos son no negativos; en el segundo ejemplo, anterior a Fibonacci, la sucesión de término general c n cos nS , n  N0, determina una sucesión acotada ya que cn d 5 yyy« iv - La sucesión (an ) es monótona creciente œ n : an d an 1 v - La sucesión (an ) es monótona decreciente œ n : an t an 1 vi - La sucesión (an ) es estrictamente creciente œ n : an  an 1 vii - La sucesión (an ) es estrictamente decreciente œ n : an ! an 1

 &RPSDUHODVGH¿QLFLRQHVFRQODVGDGDVRSRUWXQDPHQWHSDUDODVIXQFLRQHVGHR o R.



CAPÍTULO 2

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

2EVpUYHVHTXHVLXQDVXFHVLyQHVHVWULFWDPHQWHFUHFLHQWHRGHFUHFLHQWH WDPELpQ HVPRQyWRQDFUHFLHQWHRGHFUHFLHQWH  3RUHMHPSORODVXFHVLyQGH)LERQDFFLHVPRQyWRQDFUHFLHQWH Cuando se inició el estudio de las funciones reales de variable real interesó averiguar qué ocurría con las imágenes de la función cuando x o a, siendo a FXDOTXLHUQ~PHURUHDORHYHQWXDOPHQWHLQ¿QLWR&XDQGRODIXQFLyQGHODTXH hablamos es una sucesión, la variable n toma valores naturales, no tiende a ellos; en este caso interesa saber qué ocurre para n³VX¿FLHQWHPHQWHJUDQGH´HVWRHV qué le ocurre a la sucesión si n o f (recordar que al ser n natural sólo puede VHUSRVLWLYR  10. Definición

( an )nN es convergente œ  lím a n n of

se abrevia CV

a œ H ! 0 n0 (H )  N / n t n0 Ÿ a n  a  H

límite finito!!!! £OtPLWH¿QLWR

Si esto no ocurre, la sucesión no converge, y entonces puede darse que tenga OtPLWHLQ¿QLWRRTXHHOOtPLWHQRVHD~QLFRRVFLOHHQWUHGRVPiVYDORUHV  7.3. Aspecto práctico de la definición

1. Dado arbitrariamente un entorno de a de radio H VHYHUL¿FDTXH³IXHUD´ GHGLFKRHQWRUQRH[LVWHQDORVXPRXQQ~PHUR¿QLWRGHWpUPLQRVGHOD sucesión ( an )n N 2. Una sucesión no tiene límite a  R, si existe un entorno de a tal que ³IXHUD´GHGLFKRHQWRUQRH[LVWHQLQ¿QLWRVWpUPLQRVGHODVXFHVLyQROR que es equivalente, existe un H 0 ! 0 tal que an  a t H 0 SDUDLQ¿QLWRV valores de n  N. EJEMPLOS

(a n )

§1· ¨ ¸ , (bn ) ©n¹ 1 n of n

3DUDODSULPHUD lim

(2n  1) , (c n )

(1) , n 1

 n N

§1· 0 Ÿ ¨ ¸ es CV ©n¹

3DUDODVHJXQGD lim(2n  1) f Ÿ  2n  1 no CV, se dice que diverge (se n of

DEUHYLD'9 QyWHVHTXHHOOtPLWHHVLQ¿QLWR

137

138

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Las sucesiones de números reales

3DUDODWHUFHUD (1) n 1

cn

c2 k 1 1 ­1 si n impar ­c2 k 1 1 ­°lim k of Ÿ Ÿ Ÿ  lim cn Ÿ no CV ® ® ® n of c2 k 1 ¯1 si n par ¯c2 k 1 °¯lim k of

En este caso, la sucesión no converge, o bien, la sucesión oscila. Intuitivamente se puede advertir que si una sucesión es monótona no puede ser RVFLODQWHGDGRTXHFUHFHRGHFUHFHSHUPDQHQWHPHQWH&9R'9  Sugerencia: Cuestiónese si una sucesión que no esté acotada puede ser oscilante.

11. Definición (an ) es divergente œ lím a n n of

f œ K  R0+ n0  N / n t n0 Ÿ a n ! K

10. Nota Para el cálculo de límites de sucesiones se puede utilizar el álgebra de límites cuando la variable tiende a infinito.

Propiedades 1. Si lim an n of

lim bn n of

l š n0 / n t n0 : an d cn d bn Ÿ lim cn n of

l (teorema

de inWHUFDODFLyQ  2. Si n0 / n t n0 : 0 d an d cn š ( an )nN DV Ÿ (cn )nN DV Si la sucesión ( sn )nN HVPRQyWRQDFUHFLHQWHRGHFUHFLHQWH \HVWiDFRWDGDVXSHULRUPHQWHRLQIHULRUPHQWH HQWRQFHVHVFRQYHUJHQWH\VXOtPLWHHVHOVXSUHPR RHOtQ¿PR (VWHHQXQFLDGRVHFRQRFHFRQHOQRPEUHGH 3.

Teorema de Weierstrass

a. Sea ( sn )nN una sucesión real monótona creciente. Entonces ( sn )nN es convergente si y sólo si está acotada superiormente, en cuyo caso

lim an n of

sup ^sn : n  N`

b. Sea ( sn )nN una sucesión real monótona decreciente. Entonces ( sn )nN es convergente si y sólo si está acotada inferiormente, en cuyo caso

lim an n of

inf ^sn : n  N`

CAPÍTULO 2

139

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

*Ui¿FDPHQWHSDUDODVVXFHVLRQHVPRQyWRQDVFUHFLHQWHV

Y para sucesiones monótonas decrecientes

Álgebra de sucesiones convergentes. Sean (a n ) nN y (bn ) nN convergentes a a y E, respectivamente: i. La sucesión (a n r bn ) nN converge a a r b ii. La sucesión (kan nN k  R converge a ka §a · iii. La sucesión ¨ n ¸ si © bn ¹ nN

bn z 0 n con b z 0 converge a

a b

7RGDVXFHVLyQFRQYHUJHQWHHVWiDFRWDGD 6L (a n ) nN no está acotada y es monótona creciente Ÿ lim an n of

f

7. Si (a n ) nN no está acotada y es monótona decreciente Ÿ lim an n of

f

6L (bn ) nN es divergente: a. y k  R  ^0` Ÿ (kbn ) nN es divergente b. y (a n ) nN es convergente Ÿ (a n r bn ) nN es divergente c. y (a n ) nN está acotada Ÿ (a n r bn ) nN es divergente d. y (a n ) nN está acotada Ÿ (a n / bn ) nN converge a 0

En los ejemplos y ejercicios resueltos se van a encontrar las demostraciones de muchas de estas propiedades. No obstante, le sugerimos al lector que realice el esfuerzo e intente demostrarlas.

140

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Las sucesiones de números reales

7HRUHPD Sea fXQDIXQFLyQGH¿QLGDHQXQLQWHUYDORDELHUWRTXHFRQWLHQHc, excepto, tal vez el c mismo, y lim f ( x) l . Sea, además, la sucesión  an nN que cumple: x oc

i. cada an pertenece al dominio de f ii. an z c n iii. lim an n of

c

Entonces la sucesión  f (an ) , que puede escribirse como  f $ an YHUL¿FDTXH lim f (an ) l n of

Investigue la validez de la proposición recíproca. Este teorema nos provee de importantes ejemplos de sucesiones convergentes, como vemos a continuación en los siguientes ejemplos.

EJEMPLOS

§ § § (1) n · · · 3 Sean las sucesiones §¨ ln §¨e  2 ·¸ ·¸ y ¨ sen ¨ ln ¨1  3 ¸ ¸ ¸ n ¹ ¹ ¸¹ © © n ¹ ¹ nN ¨© © © nN Ambas son sucesiones que convergen a 1 y 0 respectivamente. 7.4. Sucesión de Cauchy

12. Definición Una sucesión ( an ) es una sucesión de Cauchy œ lim an  am m , n of

0

La sucesión de Cauchy nos aporta garantías de la convergencia de la sucesión, \DTXHHVFRQGLFLyQVX¿FLHQWHLQWHQWHGHPRVWUDUORHVVHQFLOOR  Otra gran ventaja que nos brinda una sucesión de Cauchy es la siguiente: 7HRUHPDUna sucesión ( an HVFRQYHUJHQWHVL\VyORVLHVXQDVXFHVLyQGH&DXFK\

CAPÍTULO 2

141

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

8. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dados los siguientes límites, donde el término general es an, y H

103,

obtener n0 (H ) ! 0 / n t n0 Ÿ a n  a  H :

2n 2  7 n  12 D  lim 2 n of n  3n  2 3n 2  n  20 n of n 2  n  4

F  lim

2

  E  lim

n of

n7 2n  3

1 2

3

Solución

D 3DUWLHQGRGH an  a  H debemos obtener n0 (H ) ! 0 / n t n0 . En nuestro ejemplo tenemos: 2n 2  7 n  12 2 n 2  3n  2

2n 2  7 n  12  2(n 2  3n  2) n 2  3n  2 p

p

sacamos común denominador n  16 n n  2  2 n  3n  2 n  3n  2 n 2

p

2n 2  7 n  12  2n 2  6n  4 n 2  3n  2

distribuimos

1 H n

p

agrupamos

(por qué??? 103 Ÿ n ! 103 ? n0 t 103 ¢SRUTXp"

p

nn porque n-16 n 2

11. Nota Tener en cuenta que si se pidiese verificar el límite, estaría faltando partir de

n t n0 Ÿ an  a  H

n7 n of 2n  3

E  lim

1 Con idéntico procedimiento encaramos este ejercicio: 2

Una vez más le reiteramos que recuerde la diferencia entre ejemplo (leerlo cuidadosamente e interpretar los conceptos aplicados) y ejercicio resuelto (trate de resolverlo sin mirar lo hecho en el texto, salvo que tropiece con alguna dificultad).

142

Cálculo diferencial e integral en una variable real

n7

n7 1  2n  3 2

1 2n  3 2 

si n t 7

n1

Ejemplos y ejercicios resueltos

2(n  7)  (2n  3) 2(2n  3)

común denominador

2n  14  2n  3) 2(2n  3)

17  2(2n  3)

distribuyendo

porque 17  18



18 2(2n  3)

9 9  2n  3 2n

9 10  2n 2n

2(2n  3) > 2n  3

5  103 Ÿ n ! 5.103 n

9 n2  n

103 Ÿ n  1 ! 8 /103

Ÿ n0 t max(n2 ; n1 )

3n 2  n  20  3n 2  3n  12 n2  n  4 agrupando

§ 2· n ¨1  ¸ 11 n¹ d4 4 © n (n  1) n 1

factor común

si n t 2

8000 Ÿ n ! 8001 n2 Ÿ

max(8001; 2) 8001

n1 Ÿ

2 d1 n

CAPÍTULO 2

143

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

2. Sabiendo que (an ) nt1 D  +DOODU an

( 2,35; 2,355; 2,3555; 2,35555; « 

f ( n)

E  &DOFXODU lim an n of

Solución

D &RPRHVREYLR an

2,3555...5  pero así expresado no resulta de utilidad ya n veces

que debe ser función de n. Tratemos de obtener alguna secuencia entre los tres primeros: 2,35 2,3  0, 05 2,3 

a1

5 .1   100











10 1

a2

2,355 2,3  0, 055 2,3 

55 1000

2,3 

5 11 . 100 10

2,3 

5 § 1· . ¨1  ¸ 100 © 10 ¹

100 10 1

a3

2,3555 2,3  0, 0555 2,3 

2,3 

555 1000

2,3 

5 111 . 100 10

5 § 1 1 · 5 § 1 1 · . ¨1   . ¨1   2 ¸  ¸ 2,3  100 © 10 100 ¹ 100 © 10 10 ¹







5 Note que en todos lo términos hay una parte común que es 2,3  « OR 100 5 que cambia es la expresión que multiplica a . Veamos si responde a alguna 100 secuencia:

en el a1 es 1 en el a2 es 1 

1 10

en el a3 es 1 

1 1  2 10 10

5 tiene tantos tér100 1 , comenminos como el subíndice de a, y cada término es una potencia de 10 zando con exponente cero y llegando hasta un exponente que sea el subíndice de a disminuido en 1. Luego:

de modo que, como se observa, el factor que multiplica a

an

2,3 

5 § 1 1 1 · . ¨1   2  ...  n 1 ¸  100 © 10 10 10 ¹











144

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

Recordemos una factorización que hemos utilizado mucho en el cálculo de límites en los que intervienen polinomios:

a n  bn

(a  b)(a n 1  a n  2b  a n 3b 2  a n  4b3  ...  b n 1 )

en ella hagamos a =1 y b 1

1 10n

1 y nos quedará: 10

§ 1 ·§ 1 1 1 · ¨1  ¸ ¨1  2  ...  n1 ¸ 10 ¹ © 10 ¹ © 10 10

&RPRYHPRVHO~OWLPRIDFWRUGHOVHJXQGRPLHPEURDSDUHFHHQ VLORGHVpejamos, encontraremos una manera de transformarlo en un cociente:

1 1 1 1   2  ...  n 1 10 10 10

1 10n 1 1 10

1

1 10n 9 10

1

1 · § ¨1  n ¸  © 10 ¹















9.23  5 90

212 90

10 9

5HHPSOD]DQGR HQ QRVTXHGD an

2,3 

5 10 . 100 9

E  lim an n of

1 · 23 5 § 1 · §  ¨1  n ¸  ¨1  n ¸ © 10 ¹ 10 90 © 10 ¹

1 ·· 23 5 §23 5 § lim ¨  1 n ¸¸  ¨ n of 10 90 © 10 © , ¹¹ 10 90

106 45

o0

1 1 1 · §1 3. 3UREDUTXH lim ¨ 2    ...  ¸ 2 2 n of © n (n  1) (n  2) (2n) 2 ¹

0

Solución

1 1 1 1 , observe que tiene (n      ...  2 2 2 (2n) 2 n (n  1) (n  2) términos. Trataremos de probar este límite usando el teorema de intercalación, para lo cual debemos encontrar dos sucesiones an , bn , de modo que cumplan: Llamemos cn

an d cn d bn Como cn es una suma de términos positivos, resulta ser mayor o igual que 1 cualquiera de dichos términos; eligiendo uno de ellos tendremos cn t 2 an n

CAPÍTULO 2

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Busquemos ahora bn:

­ 2 1 1 ½ 2 °n n Ÿ n 2 n 2 ° ° ° °n 2 d (n  1) 2 Ÿ 1 t 1 ° 2 2 ° ° n (n  1) ° ° 1 1 ° 2 ° sumando miembro a miembro, obtenemos 2 ®n d (n  2) Ÿ 2 t ¾ 2 n (n  2) ° ° °............................................... ° ° ° °n 2 d (n  n) 2 (2n) 2 Ÿ 1 t 1 ° ° n 2 (2n) 2 ° ° ° ¿ ¯ (n  1)

1 t cn Ÿ bn n2

(n  1)

1 n2

1 ­ lim 2 0 ° n of 1 1 ° n Entonces 2 d cn d (n  1) 2 Ÿ ® n n °lim(n  1) 1 °¯ nof n2



Ÿ lim cn n of

0

0

Ejemplo. Demuestre, usando la propiedad del sandwich, lim n n 1 n of

12. Nota En este ejercicio necesitaremos utilizar el factorial de un número natural, el número combinatorio y el binomio de Newton.

Recordemos:

si n 0 › n 1 ­11 si n 0 › n 1 ° .(n  1).(n  2)....3.2.1 n(n  1)! si n t 2 n  N0 : n ! ®n ,  °¯ nn factores factores HVODGH¿QLFLyQGHfactorial

§n· ¨ ¸ ©k ¹

n! k !(n  k )!

n(n  1)(n  2)....(n  k  1) k!

con n t k ,

HVODGH¿QLFLyQGHQ~PHURFRPELQDWRULR

( a  b) n

n

§n·

k 0

© ¹

¦ ¨¨ k ¸¸a

nk

b k , n  N, expresión del ELQRPLRGH1HZWRQ.

145

146

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

Solución

Como n t 1 Ÿ n n t n 1 1 an

n

con cn

n

Ahora busquemos bn :

cn

n

n 1  h con h t 0 Ÿ n

(1  h) n

1  nh 

n(n  1) 2 h  .....  h n 2!

sustituyendo usando el binomio de Newton con a =1 y b = h y desarrollando los números combinatorios.

Escribimos la potencia como una suma de (n  WpUPLQRVQRQHJDWLYRVSRU ello podemos garantizar que

n

(1  h) n

1  nh 

n(n  1) 2 n(n  1) 2 h  .....  h n t h Ÿn 2! 2!

(1  h) n t

n(n  1) 2 h Ÿ 2!

acotando Ÿnt

n(n  1) 2 h Ÿ 2!

por carácter transitivo

2! n 2 t h Ÿ 1 t 1 h n (n  1) n 1

cn Ÿ bn

1

2 n 1

sumamos 1 para que aparezca cn

­lim1 1 2 ° nof Ÿ lim cn 3RUWDQWR 1 d cn d 1  yy como ® 2 n of n 1 lim(1  ) 1 ° nof n 1 ¯ § 1·  Ejemplo. Sea la sucesión de término general an ¨1  ¸ © n¹ 3UXHEHTXHFXPSOHODVKLSyWHVLVGHOWHRUHPDGH:HLHUVWUDVV

1

n

Solución

'HEHUHPRVSUREDUTXHHVPRQyWRQDFUHFLHQWHRGHFUHFLHQWH \DGHPiVTXHHVWi DFRWDGDVXSHULRUPHQWHRLQIHULRUPHQWH 

CAPÍTULO 2

147

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

n

L 6L an

§ 1· ¨1  ¸ es monótona creciente, debe cumplir que an 1 t an y como © n¹

an ! 0 Ÿ

an 1 t 1 , esto es lo que intentaremos probar, partiendo del cociente: an

an 1 an

1 · § ¨1  ¸ 1 ¹ n © n § 1· 1  ¨ ¸ © n¹

n 1

§ n2 · § n  2 · ¨ n 1 ¸ ¸ ¨ ¸ .¨ © n 1 ¹ ¨ n 1 ¸ ¨ ¸ © n ¹

1 · § 1 1 · ¨© n  1 ¸¹ § ¨1  ¸. n © n 1¹ § 1 · 1  ¨ ¸ © n¹

n

1 · § 1 1 ·¨ § n 1 ¸ ¸ ¨1  ¸ .¨ © n 1 ¹ ¨ 1 1 ¸ ¨ ¸ n ¹ ©

n

n

n  2 ª n(n  2) º n  1 «¬ (n  1) 2 »¼

n

n  2 ª n 2  2n  1  1 º n  1 «¬ (n  1) 2 »¼

n

n  2 ª (n  1) 2  1 º n  1 «¬ (n  1) 2 »¼

n

n

n2ª 1 º el segundo factor tiene la estructura, usada en el ejemplo 1 « n  1 ¬ (n  1) 2 »¼

anterior, del tipo (1  h) n

1  nh 

n(n  1) 2 h  .....  h n t 1  nh 2!

h t 1

Se puede demostrar, por inducción completa, que cumple con esta desigualdad 1 conocida como desigualdad de Bernoulli, donde h  (n  1) 2 La usaremos en nuestro cociente: n

an 1 an

ª º « 1 » 1 º n2 n2ª t 1 n «1  « 2» n  1 « (n  1) » n 1 ¬ (n  1) 2 »¼  h ¬ ¼

por la desigualdad de Bernoulli

n  2 n 2  2n  1  n . n 1 (n  1) 2

(n3  3n 2  3n  1)  1 (n  1)3

común denominador

n  2 n2  n  1 . n  1 (n  1) 2

cuadrado del binomio

n3  n 2  n  2n 2  2n  2 (n  1)3

distributiva en el numerador

(n  1)3  1 1 1 t1 3 (n  1) (n  1)3  !0

agrupando

n  2 ª (n  1) 2  n º n  1 «¬ (n  1) 2 »¼

cubo del binomio

Con lo que quedó probado que es monótona creciente.

148

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

LL 3DUDTXHHVWpDFRWDGDVXSHULRUPHQWHGHEHFXPSOLUVH M  R / a n d M , n En realidad, sabemos que está acotada inferiormente ya que a1 2 y, por ser PRQyWRQDFUHFLHQWHpVWHHVHOtQ¿PR\DGHPiVHOPtQLPRSHURDORVHIHFWRV SUiFWLFRVQRQRVLQWHUHVD3DUDKDOODUDOJXQDFRWDVXSHULRUXVDUHPRVHOELQRPLR 1 GH1HZWRQFRPRYLPRVHQHOHMHPSORFRQ a 1, b tendremos (n   n términos que son (admitamos nJUDQGH  § 1· ¨1  ¸ © n¹

n

1 n.

1 n (n  1) 1 n (n  1)(n  2) 1 n (n  1)(n  2)(n  3) 1     2 32 2! n 3! 4! n n n 43

aplicamos binomio de Newton con los números combinatorios desarrollados y simplificamos ... 

n (n  1)...( n  ( n  1)) 1 n! n n ´n 1

... 

1 n  1 n  2 n  (n  1) ... n! n n n

11

... 

11

1 n 1 1 n 1 n  2 1 n 1 n  2 n  3    2! n 3! n n 4! n n n

1 § 1 · 1 § 1 · § 2 · 1 § 1· § 2 · § 3 · ¨1   ¨1  ¨1   ¨1  ¨1  ¨1   2! © n ¹¸ 3! © n ¸¹ © n ¸¹ 4! © n¹¸ © n ¹¸ © n ¸¹

1 § 1 · § 2 · § n  1· 1 1 1 1 ¸ d 1  1     ...  d ¨1 ¸ ¨1 ¸... ¨1  n! © n ¹© n ¹ © n ¹ 2! 3! 4! n!

porque 1 

d 11

r d 1 si 0  r  n n

1 1 1 1 1  2  3  4  ....  n1 2 2 2 2 2

­ ° ° ° ° ° ° porque ® ° ° ° ° ° °¯

1 1 2! 2 1 1 3! ! 22 Ÿ  2 3! 2 1 1 4! ! 23 Ÿ  3 4! 2 ........................... 1 1 n ! ! 2n 1 Ÿ  n 1 n! 2 2! 21 Ÿ

CAPÍTULO 2

149

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

1 1 1 1 1 1 2n como podemos recordar del Además 1   2  3  4  ....  n1 1 2 2 2 2 2 1 2 IDFWRUHRTXHPHQFLRQDPRVHQHOHMHUFLFLR3RUHOORVLUHHPSOD]DPRVHQQXHVWUR desarrollo nos queda: 1

n

1 1 1 1 1 § 1· ¨1  ¸ d 1  1   2  3  4  ....  n 1 2 2 2 2 2 © n¹

1 2n 1 1 1 2 1

§ 1· 1  2 ¨1  n ¸ t 1  2 3 © 2 ¹ t1

n

§ 1· con lo que hemos probado que 2 d ¨1  ¸  3 © n¹

&RPRVHFXPSOHQODVKLSyWHVLVGH:HLHUVWUDVVODVXFHVLyQWLHQHOtPLWH\HVHO n § 1· VXSUHPRTXHSRUGH¿QLFLyQHVHOQ~PHURe:  lim ¨1  ¸ e n of © n¹  6HDODVXFHVLyQFX\RWpUPLQRJHQHUDOHVWiGH¿QLGRSRUUHFXUUHQFLDGHOD siguiente manera:

­°1 si n 1 ® °¯ 2  an 1 si n ! 1 Se pide: an

D  3UREDUTXHFXPSOHHOWHRUHPDGH:HLHUVWUDVV E  +DOODUVXOtPLWH

Solución

&RPRVHSXHGHYHUDSDUWLUGHODGH¿QLFLyQSRUUHFXUUHQFLDODVXFHVLyQWLHQH § · conformación ¨ 2; 2  2 ; 2  2  2 ;... ¸ © ¹ D (QHVWHFDVRGHEHPRVSUREDUTXHHVWiDFRWDGDVXSHULRUPHQWHRLQIHULRUPHQWH  \TXHHVPRQyWRQDFUHFLHQWHRGHFUHFLHQWH  L  &RPHQFHPRV YLHQGR TXH HQ UHDOLGDG HVWi DFRWDGD &ODUDPHQWH SRGHPRVD¿UPDUTXH an ! 0 , para todo n natural, porque las raíces pares afectando a reales positivos tienen resultado no negativo, con lo que está acotada inferiormente. Además: 2  2 Ÿ a1  2

150

Cálculo diferencial e integral en una variable real

2 2  22

Ejemplos y ejercicios resueltos

2 Ÿ a2  2

2 2 2  2 22

22

2 Ÿ a3  2

DFHSWDQGRTXHFRPRVHSXHGHYHUSRUORDQWHULRU 7, an  2 Ÿ

an 1

2  an  2  2

2 Ÿ an 1  2

De esta manera demostramos que también está acotada superiormente, con lo que 0  an  2 de donde está acotada. LL  3DUDSUREDUTXHHVPRQyWRQDFUHFLHQWHGHEHRFXUULUTXH an d an 1 . Intentemos atacar el problema por el absurdo, esto es, supongamos que para algún n natural se cumple que an ! an 1 Ÿ an ! 2  an Ÿ an2 ! 2  an Ÿ an2  2  an ! 0

completando cuadrados nos queda así: 1 3 ­ an  ! Ÿ an ! 2 ° 2 2 2 1· 9 1 3 ° § ¨ an  ¸  ! 0 Ÿ an  ! Ÿ ®› 2¹ 4 2 2 ° © 1 3 °an    Ÿ an  1 2 2 ¯

y ambas son abVXUGDV\DTXHHQL GHPRVWUDPRVTXH 0  an  2 . De este modo probamos que no es correcto suponer que an ! an 1 para algún n, con lo que la sucesión es monótona creciente. 'HL \LL FRQFOXLPRVTXHODVXFHVLyQYHUL¿FDODVKLSyWHVLVGH:HLHUVWUDVVSRU lo tanto tiene límite. E &RPR  lim an n of

l Ÿ lim an lim an 1 n, of n of l

l 2l 2

lim 2  an Ÿ l n of 

­l 1 absurdo ° 0 Ÿ ®› Ÿ lim an n of °l 2 ¯

2  l Ÿ l2

2l Ÿ

2l

2

13. Nota La afirmación de que es absurdo que l ±, se basa en que an > 0. Si no comprende la razón, es conveniente que repase las propiedades de límite.

7

Esta demostración está basada en el principio de inducción completa.

CAPÍTULO 2

151

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

9. LÍMITE FUNDAMENTAL ALGEBRAICO § 1· Recibe este nombre el lim ¨1  ¸ x of © x¹

x



e

f

Con él pueden determinarse muchos límites de la forma indeterminada (o 1) o $QWHVGHSDVDUDGHPRVWUDUODYDOLGH]GHOD  x  R±^`VHSURSRQHDOOHFWRU x

§ 1· ¨1  ¸ , confeccionar x¹ ©

que intente determinar el dominio de la función f ( x ) x

§ 1· VXJUi¿FR\YHUL¿FDUTXH lim ¨1  ¸ f y que lim x o0 x o 1 © x¹ Asimismo, observe que si realiza el cambio de variable t

1 § 1· , t o 0 cuando x o f, resulta que lim ¨1  ¸ x of x¹ x ©

§ 1· ¨1  ¸ x¹ ©

x

1

x

lim (1  t )

1 t

t o0

e

9.1. Más Ejemplos y Ejercicios Resueltos

§ 1· 1. (MHPSOR3UXHEHTXH lim ¨1  ¸ x orf © x¹

x

e , x  R±^`

Solución

Trataremos, en primer lugar, de probarlo para x > 0, y como deberá ser muy JUDQGH\SRVLWLYR SRGHPRVWRPDUQRVODOLFHQFLDGHDFHSWDUTXHx t 1. Sabemos que bajo estas condiciones: x  R+ š x t 1 : >x @ d x  >x @  1 š >x @ n , n  N Ÿ n d x d n  1 Ÿ t ! Ÿ n x n 1 N x x x 1 1 1 1 · § 1· § 1· § Ÿ 1 t 1 ! 1 Ÿ ¨1  ¸ t ¨1  ¸ ! ¨1  ¸ Ÿ n x n 1 © n ¹ © x ¹ © n 1 ¹ 1

recordemos que n d x  n  1 , de modo que podemos escribir: § 1· ¨1  ¸ © n¹

n 1

x

x

x

1 · § 1 · § 1· § 1· § ! ¨1  ¸ t ¨1  ¸ ! ¨1  ¸ t ¨1  ¸ © n ¹ © x ¹ © n 1 ¹ © n 1 ¹

Sugerencia: leerla desde el centro hacia afuera

n

1

1

152

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Límite fundamental algebraico

de donde, por carácter transitivo, obtenemos la siguiente expresión que QRVSHUPLWLUiXVDUODSURSLHGDGGHOVDQGZLFKWHRUHPDGHLQWHUFDODFLyQ  § 1· ¨1  ¸ © n¹

n 1

x

n

1 · § 1· § ! ¨1  ¸ ! ¨1  ¸ Ÿ © x ¹ © n 1 ¹

n ­ n n 1 n 1 ª º 1 · 1 · § ° § e x «¨ 1  ¨1  ¸ lim ¸ » °°lim n of n of § 1·  1 n 1¹ n © © ¹ « » ¬ ¼ Ÿ® Ÿ lim ¨1  ¸ n of © x¹ n ° § 1 · n 1 § 1· § 1· °lim ¨1  ¸ lim ¨ 1  ¸ ¨ 1  ¸ e n of °¯ nof © n ¹ © n¹ © n¹

§ 1· 3HURFRPR x t n Ÿ si n o f Ÿ x o f Ÿ lim ¨1  ¸ x of © x¹



e

x

e

Ya lo probamos para los positivos, falta hacerlo para los negativos. 3DUDUHVROYHUORD¿QGHDSURYHFKDUODGHPRVWUDFLyQDQWHULRUSODQWHDUHPRVXQ cambio de variables. ­ x o f x ° § 1· proponemos x (r  1) Ÿ r ( x  1) Ÿ ®   lim ¨1  ¸ x of © x¹ °r o f ¯ § 1 · lim ¨1  ¸ r of © (r  1) ¹

 ( r 1)

§r11· lim ¨ ¸ r of © r 1 ¹

 ( r 1)

§ r 1 · lim ¨ ¸ r of © r ¹

r 1

r

§ 1· § 1· lim ¨1  ¸ ¨1  ¸ e r of © r¹ © r¹

Con lo que quedó demostrado.

en 2. Calcule lim n of n Solución n

e n of n

lim

§ e · lim ¨ n ¸ n of ¨ ¸ © n ¹ n

n

§ · ¨ e ¸ lim ¨ n ¸ n of n¸ ¨, © oe !1 ¹

anteriormente que es lim n n 1 n of

n

f donde se usó un resultado ya probado

CAPÍTULO 2

153

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

§ 1· 3. Calcule los siguientes límites, usando, si fuera preciso lim ¨1  ¸ x of © x¹

§ 2x 1 · D  lim ¨ 2 ¸ x of 3 x  2 © ¹

2

1 x



§ 4x  3 · E  lim ¨ ¸ x of 2 x  5 © ¹



§ 3y2  5 y  2 · G (MHPSOR lim ¨ ¸ 2 y of © 3y  4 ¹





I (MHPSOR lim 1  senz

ln t  ln a ,a ! 0  t a



K  lim



M  lim cos x



O  lim



ª § 1 ·x º F  lim cos « x ¨1  ¸ »  x of «¬ © x ¹ »¼ § 3 2x  5 · H  lim ¨  ¸ x of 5 5x  4 ¹ ©

J  lim t oa

x

3 x 1

e5 x  e 2 x   x o0 x

L  lim

§ · ¨ 1 ¸ N  lim ¨1  x of 1¸ ¨¨ 5ln ¸¸ x¹ ©

e:

3x

2 y 3

1/ z

z o0

ax 1 , a  R   ^1` x o0 x

x o0





1/ x

ln x3



senhx x o0 x

Solución

§ 2x 1 · D  lim ¨ 2 ¸ x of 3 x  2 © ¹

2

1 x

2x 1 Como lim 2 x of 3 x  2

2 1 x2 (  2 ) x x lim x of 2 2 x (3  2 ) x

1· § § 2x 1 · y el exponente lim ¨ 2  ¸ 2 Ÿ lim ¨ 2 ¸ x of x of 3 x  2 x¹ © © ¹ § 4x  3 · E  lim ¨ ¸ x of 2 x  5 © ¹

3x

En este caso lim

x of

§ 4x  3 · tiende a f , de donde lim ¨ ¸ x of 2 x  5 © ¹

4x  3 2x  5

3x

f

2

1 x

02

2 1  2 lim x x x of 2 3 2 x

0

0

3 x(4  ) x lim x of 5 x(2  ) x

2 , el exponente

Sugerencia: Cuestiónese si siempre es válida la propiedad usada en este ejercicio.

154

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Límite fundamental algebraico

x ª § 1 ·x º § 1· F  lim cos « x ¨1  ¸ » 3RUXQODGRWHQHPRVTXH lim ¨1  ¸ x of x of © x¹ «¬ © x ¹ »¼

§ 1· Ÿ lim x ¨1  ¸ x of © x¹

eŸ

º § 1 · xº f Ÿ  lim cos[ x ¨1  ¸ ] x of ¼ © x¹ ¼

x

§ 3y  5y  2 · G  lim ¨ ¸ 2 y of © 3y  4 ¹ 2

5 2  y y2 4 3 2 y

2 y 3

3y  5y  2 3y2  4 2

Note que lim

y of

§ 5 2· y 2 ¨3   2 ¸ y y ¹ lim © y of 4 y 2 §¨3  2 ·¸ © y ¹

3 lim

y of

1 y el exponente tiende a f, de donde estamos en presencia f

de una indeterminación del tipo (o 1) o , al igual que el límite que nos da el número e; por tanto, intentaremos trabajar con la base para que resulte semejante a la expresión que conduce al número e: § 3y2  5 y  2 · lim ¨ ¸ 2 y of © 3y  4 ¹

2 y 3

§ 3y2  5 y  2 ·  1¸ lim ¨1  y of 3y2  4 © ¹

2 y 3

sumamos y restamos uno

§ 5y  6 · lim ¨1  2 ¸ y of © 3y  4 ¹

2 y 3

§ 3y2  5 y  2  3y2  4 · lim ¨1  ¸ y of 3y2  4 © ¹

2 y 3

común denominador

3 y 4 º ª § 5 y  6 · 5 y 6 » « lim «¨1  2 ¸ » y of 3y  4 ¹ «¬© »¼ 2

(2 y 3)

5 y 6 3 y2 4

1 5y  6 3y2  4 necesitamos como exponente a x , entonces 2 x 3y  4 5y  6 multiplicamos y dividimos convenientemente el exponente original. si

De esta manera tenemos: 3 y2 4

§ 5 y  6 · 5 y 6 lim ¨1  2 ¸ x of © 3y  4 ¹

e š lim(2 y  3) x of

§ 3y2  5 y  2 · 3RUORWDQWR lim ¨ ¸ 2 y of © 3y  4 ¹

2 y 3

5y  6 3y2  4

10 3 /3 10

e

3 6 y 2 (2  )(5  ) y y lim x of 4 y 2 (3  2 ) y

2.5 3

10 3

CAPÍTULO 2

155

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

§ 3 2x  5 · H  lim ¨  ¸ x of 5 5x  4 ¹ ©

3 x 1

Como lim

x of

2x  5 5x  4

2 3 2x  5 · Ÿ lim §¨  ¸ 1, nuevamente x of 5 ©5 5 x  4 ¹ f

2

estamos en una indeterminación del tipo (o 1) o . Si sumamos y restamos 5 dentro del paréntesis: § 3 2x  5 · lim ¨  ¸ x of 5 5x  4 ¹ ©

3 x 1

§ 2 3 2x  5 2 ·  ¸ lim ¨   x of 5 5 5x  4 5 ¹ ©

§ 10 x  25  10 x  8 · lim ¨1  ¸ x of 5(5 x  4) © ¹

3 x 1

3 x 1

§ 5(2 x  5)  2(5 x  4) · lim ¨ 1  ¸ x of 5(5 x  4) © ¹

§ 25  8 · lim ¨1  ¸ x of © 5(5 x  4) ¹ 

3 x 1

§ 17 · lim ¨ 1  ¸ x of © 5(5 x  4) ¹

3 x 1

3 x 1

17(3 x 1)

5(5 x  4) ª§ º 5(5 x  4) 17 · 17 veamos a cuánto tiende la expresión lim «¨1  » ¸ x of «¬© 5(5 x  4) ¹ »¼ dentro del corchete y luego su exponente:

§ 17 · lim ¨1  ¸ x of © 5(5 x  4) ¹

5(5 x  4) 17

17(3x  1) x of 5(5 x  4)

š

e

lim

17.3 5.5



51 25

resuelto con las técnicas ya vistas § 3 2x  5 · De esta manera nos queda entonces lim ¨  ¸ x of 5 5x  4 ¹ © 1

3 x 1

51

e 25

I  lim 1  tgz z nuevamente estamos en (o 1) o : f

z o0

lim 1  tgz z o0

1 z

1

lim ª1  tgz tgz º ¼ z of ¬ 1

porque lim 1  tgz tgz z o0

tgz z

e

tgz z o0 z

e š lim

1

ln t  ln a o0 . Inten, a ! 0 Note que es una indeterminación del tipo t a o0 taremos resolverlo efectuando, en primer lugar, un cambio de variables: Z WD tendremos que W DZ de modo que cuando t tiende a a, Z tiende a 0. Así el ejemplo queda:

J  lim t oa

156

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Límite fundamental algebraico 1

lim t oa

ln t  ln a ta

ln(a  w)  ln a wo 0 w

lim

1 aw ln wo 0 w a

lim

Zw 1/

§ w· lim ln ¨ 1  ¸ wo 0 © a¹

por propiedades de los logaritmos ª§ w · lim ln «¨1  ¸ wo 0 a¹ «¬©

1 a aZ/ w 1/aa º

» »¼

1

1 , donde se utilizó la propiedad 11 de límite. a

1/aa

ln e

ax 1 o0 , a  R+±^` 2EVHUYHTXHHVXQDLQGHWHUPLQDFLyQGHOWLSR . K  lim x o0 x o0 Intentaremos resolverlo efectuando, en primer lugar, un cambio de variables: r a x  1 si x o 0 Ÿ r o 0 , además deberemos despejar la x; veamos como queda: a x 1  r Ÿ x ln a ejercicio:

ln(1  r ) Ÿ x

ax 1 r lim lim x o0 r 0 o ln(1  r ) x ln a

lim r o0

ln(1  r ) y con esto reemplazamos en el ln a

ln a ln(1  r ) r

lim r o0

ln a ln(1  r )1/1r r ln(1  r )

ln a

e5 x  e 2 x o0 En este ejercicio (del tipo LQWHQWDUHPRVTXHVHSDUH]FD x o0 x o0 al anterior, pero para ello necesitamos conseguir un 1 en el lugar de la función exponencial de exponente negativo, por esa razón sacamos factor común: L  lim

e5 x  e 2 x x o0 x

lim

§ e5 x · e 2 x ¨ 2 x  1¸ ¹ ©e lim x o0 x

e7 x  1 x o0 x

lim e 2 x lim x o0

el primer límite da 1 y en el segundo procedemos como en ejercicio anterior, haciendo una sustitución: ­x o 0 1 ° 7x 7x 1  v Ÿ 7 x ln(1  v) Ÿ x ln(1  v) de modo que si ®   v e 1 Ÿ e 7 °v o 0 de donde el ejercicio queda: ¯

e7 x  1 v lim x o0 v 0 o 1 x ln(1  v) 7

lim

lim v o0

7 1 ln(1  v) v

lim v o0

7 ln(1  v)1/1v v ln(1  v)

7

CAPÍTULO 2



M  lim cos x x o0



1 f

1/ xx

Estamos en presencia de una indeterminación del tipo (o 1) o , 1

e 3DUDHOORSURFHGHPRVDVt

intentaremos llevarlo a la forma de lim(1  t )

tt 1/

t o0

1 xx 1/



lim cos x

x o0



157

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL





lim 1  cos x  1

x o0

1 xx 1/

1 ª 1/ 2 sen 2 2 · x «§ lim «¨¨1  2 sen 2 ¸ x o0 2 ¸¹ «© ¬

x 2

º » » » ¼





lim 1  (1  cos x )

x o0

2 sen 2

1 xx 1/



1 1/ xx

§ x· lim ¨¨1  2sen 2 ¸ x o0 2 ¸¹ ©

x 2

x

debemos calcular el límite de la expresión dentro del corchete y el de su exponente:

§ x· lim ¨¨1  2 sen 2 ¸ x o0 2 ¸¹ ©

2 sen 2 lim

x o0

x 2

x

x o0

x 2

e si t

2 sen 2

1 x 1 x sen sen 2 .2 2 2 lim 2 x o0 1 1 x x 2 2 sen

dado que lim

1 2

1/2 sen 2

x 2

1 x 2

x x sen 1 1 2 . 2 2. . lim 1 2 2 x o0 1 x x 2 2 sen

1 2

1, reemplazando tendremos:

1 ª 1/ 2 sen 2 § · x 2 « lim «¨¨1  2 sen 2 ¸ x o0 2 ¸¹ © « ¬

§ · ¨ 1 ¸ N  lim ¨1  x of 1¸ ¨¨ 5ln ¸¸ x¹ ©

x y para el exponente 2

x 2

º » » » ¼



2 sen 2

x 2

x 1

e2

ln x3

1 · § lim ¨1  ¸ x of © 5ln x ¹

3ln x

5ln x ª§ º 1 · lim «¨1  » ¸ x of «¬© 5ln x ¹ »¼

3 3/ 5 

3

e 3/5

158

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Asíntotas de una función

e x  e x 1 senhx e x  e x 2 O  lim y a partir de aquí el ejercicio presenta lim lim x o0 x o0 2 x o0 x x x HOPLVPRQLYHOGHGL¿FXOWDGTXHSODQWHDPRVHQHVWDPLVPDWDQGDGHUHVXHOWRV VLQRORUHFXHUGDUHSDVHHOL LQWpQWHOR8GVLJXLHQGRODVLQGLFDFLRQHVGDGDV senhx 1. debe probar que lim x o0 x

10. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN El estudio de las funciones representa un argumento muy importante en los fenómenos físicos aplicados a la ingeniería. x x Se considera la función f ( x ) 2ch( x ) e  e . Se sabe que: lim e  x 0 y xof x of lim e x 0 x o f

El denominado FRPSRUWDPLHQWRDVLQWyWLFRpor la derecha es e x , respectivamente por la izquierda e  x y

x

Figura 51. Asíntotas La función f ( x)

2 cosh( x), tiene dos DVtQWRWDVIXQFLRQDOHV no lineales.

13. Definición Sea f (x) una función definida en el intervalo > a, f o respectivamente  f, a @, tal que:

i. ii.

f ( x)

g ( x)  h( x) , que satisface:

lim h( x)

x o f

iii. lim h( x) x o f

0, o respectivamente: 0.

Entonces se dice que, para x o f (respectivamente: x o f ODFXUYD y g ( x) es una curva asintótica, o simplemente una asíntota para la curva y f ( x).

CAPÍTULO 2

159

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

2x 4  3 GH¿QLGDHQWRGRHOHMHUHDOVHSXHGH x2  3 2x 4  3 21 2x 2  6  2 (verifíquelo dividiendo los 2 x 3 x 3

3RUHMHPSORODIXQFLyQ f ( x ) expresar como: f ( x ) SROLQRPLRV FRQ

21 x o f x  3 lim

2

La curva de ecuación: y racional f ( x )

0

,

21 x o f x  3 lim

0.

2

2 x 2  6 , es una asíntota parabólica para la función

2x 4  3 . x2  3

De particular importancia es el caso en el que la curva y asíntotas lineales. En tal caso se tiene: f ( x)

(mx  b)  h( x) con lim h( x)

f ( x) presenta

0,

x orf

La recta y mx  b es una asíntota para x o f DVtQWRWDOLQHDOGHUHFKD VL h( x) o 0 para x o f o es una asíntota para x o fDVtQWRWDOLQHDOL]TXLHUGD  si h( x) o 0 para x o f . 7HRUHPD: Toda función racional y Intente hacer una demostración.

P( x) tiene asíntota. Q( x)

Cuando y f (x) no es una función racional, la situación se complica al tratar de hacer la descomposición f ( x ) g ( x )  h( x ) con las condiciones dadas en la GH¿QLFLyQLQLFLDOSHURH[LVWHXQFULWHULRSDUDODE~VTXHGDGHDVtQWRWDVOLQHDOHV para la función y f (x).

10.1. Asíntota horizontal

Sea lim f ( x) x o f

La curva y de ecuación y

L , (respectivamente lim f ( x) x o f

f (x) admite una asíntota horizontal derecha (o izquierda  L , porque f ( x)

lim  f ( x)  L 0 ).

x o f

L FRQ L  R

L   f ( x)  L con lim  f ( x)  L 0 (o x o f

160

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Asíntotas de una función

EJEMPLOS

x 2  2 x  6  x 2  3 x  8 , tiene asíntota horizontal derecha: a. La función y y  12 y asíntota horizontal izquierda: y 12 . ¡Verifíquelo!

b. y

th ( x )

e x  ex e x  e x

lim th ( x) 1

lim th ( x)

x o f

x o f

1

La recta y 1 es una asíntota horizontal derecha. La recta y 1 es una asíntota horizontal izquierda.

10.2. Asíntota oblicua

Sea lim f (x) x o f

La curva y

f ( x) m con m  R (o para x o f ). x o f x f (x) tiene una asíntota oblicua derecha y dicha asíntota tiene

f y lim

por ecuación: y

mx  b , donde b

lim f ( x)  mx . x of

En efecto, si la curva y f ( x) admite asíntota derecha, ésta tiene por ecuación: y mx  b y se tiene f ( x) mx  b  h( x) con lim h( x) 0 . x of

f ( x) 3RUORWDQWRUHVXOWD x

h( x ) b h( x ) y calculando el límite: lim m  x o f x x x

Es, por tanto: lim

f ( x) x

3RURWUDSDUWH b

f ( x)  mx  h( x) y como lim h( x)

x o f

b

lim f ( x)  mx

0

m

x of

0 , se tiene:

x of

3URFHGLPLHQWRDQiORJRSDUD x o f , y se obtiene una asíntota oblicua izquierda.

10.3. Asíntota vertical

3DUDGHWHUPLQDUVLXQDIXQFLyQDGPLWHDVtQWRWDVYHUWLFDOHVHVSUHFLVRUHVFDWDU aquellos valores de la variable independiente para los cuales la función no está acotada. Es usual que para determinar las asíntotas de una función cuya fórmula g ( x) está dada por un cociente, es decir f ( x ) , se busquen los ceros de K En h( x ) ellos existe posibilidad de que f presente un comportamiento asintótico con respecto a la recta vertical x x0 , siendo x0 un cero de K¢3RUTXpQRVLHPSUH"

CAPÍTULO 2

161

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

14. Definición

Si lim f ( x)

rf , se dice que la recta x

Si lim f ( x)

rf , la recta x

x o x0

x o x0

x0 es una asíntota vertical derecha.

x0 es una asíntota vertical izquierda.

Si x x0 es una asíntota vertical derecha e izquierda simultáneamente, se dice que es una asíntota vertical. y ƒ(x

a

x P \ P asíntota horizontal x=a asíntota vertical

Figura 52. Asíntotas vertical y horizontal y

ƒ(x

x \ P[E asíntota oblícua

Figura 53. Asíntota oblicua 8QDIXQFLyQSXHGHDGPLWLULQ¿QLWDVDVtQWRWDVYHUWLFDOHV3RUHMHPSOR f ( x) y lim  tg x f lim  tg x f n  Z xo

(2 n 1)S 2

Las rectas: x

xo

(2 n 1)S 2

§S · ¨ ¸  nS , n  Z son asíntotas verticales de y ©2¹

tg x .

tg x

162

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Asíntotas de una función

14. Nota Existen casos en los que la función no se puede escribir como un cociente; ello no significa que no existan asíntotas verticales, como ocurre para la función f ( x) ln x cuyo dominio son los reales positivos, pero al calcular lim ln x f , de modo que x o0

presenta asíntota vertical en x 0 . En estos casos es adecuado buscar el dominio de la función, en los “bordes” y en los “puntos excluidos” hay posibilidades de encontrar asíntotas verticales y, si está definida a tramos, en los puntos donde cambia su definición.

Veamos el siguiente caso:

f ( x)

­§ 1 · x °¨1  ¸ si x  -1 ®© x ¹ °ln x si x t 1 š x z 0 ¯

§ 1· La función cumple que lim ¨1  ¸ x o 1 © x¹

Ÿ Domf = R±^`

x

f y además lim ln x x o0

f , de modo

que presenta dos asíntotas verticales. Consideremos otro caso:

g ( x)

­ 1x si -1 d x  5 °e °° 1 si 5  x  7 ® ° ( x  5)( x  7) °0 si x 7 °¯

Ÿ Domf >±@±^`

9HUL¿TXHTXHSUHVHQWDDVtQWRWDVYHUWLFDOHVXQDODWHUDOHQ\RWUDVGRVHQ\

EJEMPLO

y x 2  1 . Las rectas y izquierda respectivamente.

x y y

 x son las asíntotas oblicuas derecha e

CAPÍTULO 2

163

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

11. EJERCICIOS RESUELTOS 1.

Halle las asíntotas de las siguientes funciones:

a) f ( x)

2 x 2  3x  2 ( x  2)( x  1)

 x  1 2  x  1 3

b) f ( x)

c) f ( x)

2

1 x

Solución

Recordemos que i. Existe asíntota vertical en x = a œ lim f ( x) f xoa

ii. Existe asíntota horizontal en y = k œ lim f ( x) x of

k

Note que, si existen, como máximo puede haber dos asíntotas horizontales. ¢3RUTXp"

­ f ( x ) ­0 z® °m lim x of x iii. Existe asíntota oblicua en y = P[Q œ ® ¯f °n lim > f ( x)  mx @ z f x of ¯ D  f ( x)

2 x 2  3x  2 ( x  2)( x  1)

El dominio de la función es Df = R±^±`\HOQXPHUDGRUWLHQHFRPRUDtFHV \± 2 , veamos qué ocurre con las asíntotas verticales:

Es importante destacar que no pueden coexistir una asíntota horizontal y una oblicua “del mismo lado”. ¿Por qué? (¡recuerde que debe ser función!)

2

§ 1· 2( x  2) ¨x  ¸ © 2¹ lim x o 2 ( x  2)( x  1) vertical.

§ 1· 2 ¨x  ¸ lim © 2 ¹ xo2 x 1

5 Ÿ en x = 2 la función no presenta asíntota 3

Analicemos ahora en x ± § 1· ­ 2 ¨x  ¸ ° § 1· § 1· © 2¹ 2( x  2) ¨x  ¸ 2 ¨x  ¸ °° xlim  © 2 ¹ lim © 2 ¹ f Ÿ o1 x  1 lim ® x o1 ( x  2)( x  1) x o1 § 1· x 1 ° 2 ¨x  ¸ ° lim © 2 ¹ ¯° x o1 x  1 tiene asíntota vertical en x ±

f Ÿ la función f

Otro detalle importante es que si m = 0 no se puede inferir, con ese único requisito, que es una asíntota horizontal, como oportunamente se verá con funciones como y

x ln x

164

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

Veamos qué ocurre con las horizontales:

2 x  3x  2 ( x  2)( x  1) 2

lim

x of

2 x  3x  2 x2  x  2 2

lim x of

§ 3 2· x 2 ¨2   2 ¸ lim © x x ¹ x of 2 § 1 2 x ¨1   2 ·¸ © x x ¹

3 2 2  2 x x lim x of 1 2 1  2 x x

2Ÿ

la función presenta una única asíntota horizontal en y = 2. No existe asíntota oblicua, ya que como f ( x) o 2 Ÿ

f ( x) o0 š x

f ( x)  mx o f si

xof

Luego, la función dada tiene una asíntota vertical en x ±\XQDKRUL]RQWDO en y = 2.

 x  1 2  x  1 3

E  f ( x)

lim

x o1

 x  1

3

 x  1

2

El dominio de la función es Df = R±^±`9HDPRVODVDVtQWRWDV

3 ­ x  1  ° lim 2 ° x o1  x  1 fŸ® 3 x  1  ° 2 ° xlim  °¯ o1  x  1

f Ÿ existe asíntota vertical en x ± f

3DUDODKRUL]RQWDO 3

ª § 1·º «¬ x ¨1  x ¸ »¼ ¹ lim © 2 x of  x ( 1) x2 x2

3

§ 1· x ¨1  ¸ x  1  lim lim © x ¹ 2 2 x of x of  x  1 § 1· x 2 ¨1  ¸ © x¹ Luego, no existen asíntotas horizontales. 3

3

3

§ 1· x ¨1  ¸ lim © x ¹2 x of § 1· ¨1  ¸ © x¹

Veamos si hay oblicuas:

 x  1 2 x  1  lim 3

m

x of

x

x  3x  3x  1 x of x3  2 x 2  x 3

lim

3 3 1 1  2  3 x x x lim x of 2 1 1  2 x x

1

2

§ 3 3 1· x3 ¨1   2  3 ¸ x¹ lim © x x x of 2 1· 3§ x ¨1   2 ¸ © x x ¹

f

CAPÍTULO 2

ª  x  1 3 º  lim « x » 2 x of «¬  x  1 »¼

n

lim

x of

x3  3 x 2  3 x  1  ( x3  2 x 2  x) x of x2  2 x  1

lim

x  3x  3x  1  x  2 x  x x2  2x  1 3

165

LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

2

3

2 1  x x2 lim x of 2 1 1  2 x x 5 

2

§ 2 1· x 2 ¨5   2 ¸ 5 x  2 x  1 x x¹ lim 2 lim © x of x  2 x  1 x of § 2 1· x 2 ¨1   2 ¸ © x x ¹ 2

5 Ÿ existe asíntota oblicua y = x ±

Luego, la función dada tiene una asíntota vertical en x ±\XQDREOLFXDHQ y = x ±

2. Analice la validez de las siguientes proposiciones:

a) Si x a es asíntota de f Ÿ f (a ) b) Si y b es asíntota de f Ÿ  c  D f / f (c) b

Solución

D Falsa. Tomemos f ( x)

­ 1x ® ¯¯5 f

­° lim f ( x) x o0 fš® f ( x) °¯ xlim o 0

lim f ( x) x o0

f

xz0 x Ÿx

y calculemos la asíntota vertical:

0 0 es asíntota vertical y existe f  

§ 1 x · E Falsa. Tomemos g ( x) ¨ ¸ , calculemos las horizontales: © 1 x ¹ 2

§1 · x ¨  1¸ lim © x ¹2 x of 2 §1 x ¨  1·¸ ©x ¹

§1 · ¨  1¸ lim© x ¹ 2 x of § 1 · ¨  1¸ x © ¹

1 c 1 c 1› 1 c 1 c

1 Ÿ 1  c 1  c › 1  c 1 c Ÿ 2c

2

§ 1 x · lim ¨ ¸ x of 1  x © ¹

§ 1 c · ¨ ¸ © 1 c ¹

2

2

1Ÿ

2

2

1 Debemos ver si existe c/g(c  

absurdo

0Ÿc

0

166

Cálculo diferencial e integral en una variable real

3. Determine DEy el dominio de f ( x )

Ejemplos y ejercicios resueltos

x2  2 con asíntota x  2 y ax  b

8

Solución

1 Nos están indicando que la función tiene asíntota oblicua y x  4 , de donde 2 1 debemos calcular P y n e igualarlas a \±UHVSHFWLYDPHQWH 2

x2  2 lim ax  b x of x

m

n

x 2 lim x of x ( ax  b) 2

§ 2· x 2 ¨1  2¸ lim © x ¹ x of § b· x 2 ¨a  ¸ © x¹

§ x2  2 1 · 2 x 2  4  ax 2  bx  x ¸ lim lim ¨ x of ax  b 2 ¹ x of 2(ax  b) ©

2 x2 lim x of b a x 1

1 a

1 Ÿa 2

2

(2  a ) x 2  4  bx x of 2(ax  b)

lim

pero a = 2

4  bx lim x of 2(2 x  b)

§ 4 · x ¨  b¸ lim © x ¹ x of b 2 x §¨2  ·¸ © x¹

Luego, para que f ( x ) a = 2 y E 

4  b lim x x of b 2 §¨2  ·¸ © x¹



b 4

x2  2 con asíntota x  2 y ax  b

4 Ÿ b 16

8 tiene que ocurrir que

3 167

C APÍTULO

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

La continuidad de una función en un punto surge de la unión de los conceptos fundamentales de función y de límite tratados en los capítulos precedentes y es el paso siguiente para el desarrollo de las herramientas matemáticas básicas del cálculo diferencial e integral. Consideremos una ley física de la forma P f (V ) , que relaciona los valores de una variable independiente V (por ejemplo, el volumen de un gas) con una variable dependiente P (por ejemplo, la presión). Al emplear dicha ley para medir un valor V0 , inevitablemente se comete un error que incide en el valor de P correspondiente, que desde ya no es P0 f (V0 ) en forma exacta. ¿De qué manera el valor medido de P se ve afectado por la medida de V? Si para valores de V muy próximos a V0 se obtienen valores muy diferentes de P, de esta forma la ley f que relaciona V con P no tiene utilidad práctica alguna. Dado que los errores de medición son inevitables y afectan completamente el valor real de P0 , es posible establecer una cota de error para P (dependerá de cada situación en particular) a la que se la puede designar con H (H ! 0 ) y con la que podrá obtenerse una cota de error G (G ! 0). Así, siempre que se mida V0 con un error menor que G , el valor obtenido de P distará del valor real P0 en menos que H , es decir: f (V )  f (V0 )  H siempre que V  V0  G . Cuando esta situación puede efectivizarse para cualquier cota de error H > 0, se dice que la ley “f ” es continua en V0 . Naturalmente la cota de error G dependerá del H !SUH¿MDGRHQ cada caso, y también de V0 . (VWHIHQyPHQRFRQGXFHDXQDGH¿QLFLyQPDWHPiWLFDGHODFRQWLQXLGDGGHXQD función en un punto. 6HFRQVLGHUDXQDIXQFLyQGH¿QLGDDVt f : A Ž R o R ( A z 0 ) A no tiene por qué coincidir con el dominio natural de la función f, ya que, usualmente, se estudian las propiedades de la misma en un subconjunto de su dominio natural. Por otra parte, la continuidad de una función no depende sólo de ODOH\TXHODGH¿QH sino también del conjunto de valores de la variable independiente que se considera.

168

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Función continua en un punto

1. Definición Se dice que una función f : A Ž R o R es continua en un punto a  A si y sólo si para cada número H ! 0 es posible encontrar un número G ! 0 (que, en general, depende de H y de a) tal que para todo x  A con x  a  G se verifica que f ( x )  f ( a )  H . En forma equivalente, la función f es continua en x = a  Domf si y sólo si lim f ( x) f (a ) . xoa

Cabe destacar el enorme protagonismo que tiene el conjunto AHQHVWDGH¿QLción. Sólo serán considerados los valores de x que están en A, no interesa lo que sucede con la “ley” fuera de A. 7DPELpQHVUHOHYDQWHUHVDOWDUODVLPLOLWXGHQWUHODGH¿QLFLyQGHOtPLWHGHXQD IXQFLyQHQXQSXQWRDQDOL]DGDFRQDQWHULRULGDG\ODGH¿QLFLyQUHFLHQWHPHQWH expuesta. La única diferencia consiste en que para que una función f tenga posibilidades de ser continua en aHVQHFHVDULRTXHHVWpGH¿QLGDHQa. 'HODGH¿QLFLyQGHFRQWLQXLGDG\GHODVSURSLHGDGHVFRQRFLGDVGHOtPLWHVXUJH lo siguiente: Si lim f ( x) f (a ) Ÿ f ( x) f (a )  D ( x), con lim D ( x) 0 . Por lo tanto, xoa

xoa

f ( x)  f (a ) D (x). Si tenemos en cuenta que 'f f ( x)  f (a ) D ( x) y 'x x  a, SRGHPRVUHHVFULELUODGH¿QLFLyQGLFLHQGRTXHf es continua en x = a  Domf si y sólo si lim 'f 0 , esto es, si una función es continua en un punto, incrementos 'x o0

LQ¿QLWpVLPRVHQODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHSURGXFHQLQFUHPHQWRVLQ¿QLWpVLPRV HQODIXQFLyQ(VGHFLUHQHVHSXQWRODJUi¿FDGHODIXQFLyQQRSUHVHQWDUiVDOWRV interrupciones ni cambios bruscos. Que una función sea continua en un punto implica la existencia de la imagen de la función en x = a, la existencia del límite de la función cuando x tiende a a y la igualdad de ambos valores. Si al menos una de estas tres condiciones no se cumpliera, la función no sería continua en el punto y se introduce la siguiente GH¿QLFLyQ

2. Definición Si una función no es continua en un punto a se dice que es discontinua en dicho punto.

Las discontinuidades pueden originarse por diferentes causas, las que permiten HVWDEOHFHUXQDFODVL¿FDFLyQGHGLVFRQWLQXLGDGHVTXHSURSRUFLRQDLQIRUPDFLyQ valiosa sobre las características de la relación funcional en estudio.

CAPÍTULO 3

169

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

1. CLASIFICACIÓN DE DISCONTINUIDADES Existen dos tipos fundamentales de discontinuidad: 1. Discontinuidad evitable o removible Esta discontinuidad tiene lugar si existe el límite lim f ( x) L pero la x oa IXQFLyQQRHVWiGH¿QLGDHQx = a (  f (a ) RELHQHVWDQGRGH¿QLGDHQ x = a, su imagen no coincide con el límite L ( f ( a ) z L ) y

ƒ(x)

a l

‡

x

Figura 54. Función con discontinuidad evitable en x = a 6HOODPDHYLWDEOHRUHPRYLEOHSRUTXHHVSRVLEOHUHGH¿QLUODIXQFLyQf de forma tal que f ( a ) L . ¿Cómo hacerlo? Construyendo una nueva función f *, denominada prolongación o extensión continua de f, como sigue: f * ( x)

­ f ( x) ® ¯L

si x z a si x

a

1. Nota

Es importante recalcar que si  f (a ), la función es automáticamente discontinua. Por otra parte, se ha dicho que no interesa saber qué ocurre con la función fuera de su dominio natural, y en ese caso a  Domf . Pero sucede que el estudio del límite de f en a  Domf ayuda a recolectar más información valiosa sobre la gráfica de la función. Por ejemplo, si f ( x)

­  1x x 2  1 si x ! 0 °e  la función tiene x 1 ® °2 si x 0 ¯

dominio R0  ^1` ¿para qué valores de a será adecuado analizar continuidad y discontinuidad? Carece de sentido pensar en x = –1, porque no hay imágenes de f alrededor de él, con lo que no tendrá sentido hablar del límite. ¿Y en x = 0? Éste está en el dominio, con lo que es importante analizarlo. ¿Y en x = 1? No pertenece al dominio, pero a su alrededor es posible encontrar imágenes de la función, de modo que nos aportará información importante sobre la misma.

170

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Clasificación de discontinuidades

2. Discontinuidad no evitable Esta discontinuidad surge a partir de la no existencia del límite de la función en el punto a, es decir,  lim f ( x ) , tenga o no imagen en ese xoa

punto. Ahora bien, la no existencia del límite puede estar ocasionada por diferentes causas, las que permiten a su vez establecer una VXEFODVL¿FDFLyQGHQWURGHHVWHJUXSRGHGLVFRQWLQXLGDGHV a.

'LVFRQWLQXLGDGQRHYLWDEOHFRQVDOWR¿QLWR

Esta discontinuidad tiene lugar si los límites laterales lim f ( x) x oa

lim f ( x)

x oa 

L y

L existen pero son diferentes. Por tanto, no existe el límite

de f en x = a 

(QHVWHFDVRHVLPSRVLEOHUHGH¿QLUODIXQFLyQf de tal forma que L

L

y

ƒ(x)

a l

x

Figura 55. Función con discontinuidad no evitable con salto finito en x = a

b.

'LVFRQWLQXLGDGQRHYLWDEOHFRQVDOWRLQ¿QLWR

Esta discontinuidad tiene lugar si alguno de los límites laterales es r f , o sea, si lim f ( x) x oa

rf o lim f ( x) x oa

rf tenga o no imagen en ese

SXQWR3RUWDQWRQRH[LVWHHOOtPLWH¿QLWRGHf en x = a En este caso también HVLPSRVLEOHUHGH¿QLU la función f.

CAPÍTULO 3

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

y

ƒ(x)

a

x

Figura 56. Función con discontinuidad no evitable con salto infinito en x = a c. Discontinuidad no evitable esencial 

(VWHFDVRFRUUHVSRQGHFXDQGRODIXQFLyQHVWiGH¿QLGDHQWRGRHOHQWRUno reducido de a pero no existen los límites laterales. Por ejemplo, la §1· función f ( x ) sen ¨ ¸ en a = 0 presenta una discontinuidad esencial. © x¹ 5HFXHUGHVXJUi¿FR y ƒ

l

-0,1

l

l

l

l

l

-0,05

l

l

l

l

l

l

0,05

l

l

l

l

l

0,1

x

Figura 57. Función con discontinuidad no evitable esencial 1.1. Continuidad lateral en un punto

3XHGHRFXUULUTXHXQDIXQFLyQHVWpGH¿QLGDHQXQLQWHUYDORFHUUDGRSRUHMHPplo en el [c, a] y nos interese analizar qué ocurre en a. En este caso, es posible hablar de continuidad lateral. En efecto, f (x) se dice continua por izquierda en a si y sólo si lim f ( x) f ( a ) ; x oa 

DQiORJDPHQWHVLODIXQFLyQHVWXYLHVHGH¿QLGDHQHO>a, b], f(x) se dice continua por derecha en a si y sólo si lim f ( x) f ( a ). x oa 

171

172

Cálculo diferencial e integral

Propiedades de las funciones continuas en un punto

EJEMPLO

x HVWiGH¿QLGDSDUD x t 0 . De esta forma no es posible La función f ( x ) mencionar la continuidad de f (x) por izquierda en a = 0, pero como lim x 0 , x o0  se concluye que f (x) es continua por derecha en 0.

2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN UN PUNTO 1- Suma, producto y cociente Sean f y g dos funciones continuas en a, y D y E dos números reales arbitrarios. Entonces: La función (Df  Eg )( x) es continua en a. La función ( f . g )( x) es continua en a. §f · Si g (a ) z 0 entonces la función ¨¨ ¸¸(x ) es continua en a. ©g¹ 2- Continuidad de la función compuesta Si f (x) es continua en a, y g(x) es continua en f (a), entonces ( g $ f )( x) es continua en a.

3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN INTERVALOS CERRADOS Por su utilidad resulta muy interesante el estudio de algunas propiedades de carácter global de las funciones continuas, es decir, propiedades que dependen de la continuidad de una función en un intervalo. La característica fundamental de éstas es su sencilla interpretación geométrica, lo que hace que parezcan evidentes, aunque el lector podrá comprobar que sus demostraciones no son triviales. Algunas demostraciones las podrá encontrar entre los ejercicios resueltos. Previo al inicio del estudio de las propiedades es necesario dar las siguientes GH¿QLFLRQHV 3. Definición. Se dice que una función f (x) es continua en un intervalo abierto (a, b), si f (x) es continua en cada uno de los puntos de este intervalo. 4. Definición. Se dice que una función f (x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], si f (x) es continua en (a, b), y además lim f ( x) f (a ) y lim f ( x) f (b) xoa

x ob

De las propiedades enunciadas hasta aquí se concluye que las funciones polinómicas, las exponenciales y las trigonométricas sen x y cos x son continuas en todo el eje real. Las funciones racionales son continuas en sus dominios naturales.

CAPÍTULO 3

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

EJEMPLOS

1. Se considera la función f ( x)

­ x3  2 ° ®5 ° x2  6 ¯

si x  2 si x

2

si x ! 2

y 20

15

f(x)

10

5

-1

1

2

3

4

x

Figura 58. Función con discontinuidad evitable en x = 2 Como cada tramo de la función corresponde a una función polinómica que es continua en todo número real a, sólo es necesario analizar la continuidad de f en x = 2, en el que se produce el cambio de “fórmula” de la función.

lim ( x3  2) 10 ½ ° xo2 f ( x) 10 z f (2) 5 , ¾ Ÿ  lim xo2 lim ( x 2  6) 10 ° xo2 ¿ por lo tanto, f es discontinua evitable en a = 2 2. Encontrar el valor de A para el cual la función f ( x) es continua en todo su dominio.

­ x 2  2 si x  1 ® ¯ Ax  4 si x t 1

Del mismo modo que en el ejemplo precedente, sólo se analizará la continuidad en a = 1 y por los mismos motivos fundamentados. Para que f admita límite en a = 1, es preciso que existan los límites laterales y que coincidan. lim ( x 2  2)

x o1

lim ( Ax  4)

x o1

1 A4

½ ° ¾ para que exista el límite en1 debe ser A  4 1, A 3 f (1) ° ¿

173

174

Cálculo diferencial e integral

Propiedades de las funciones continuas en intervalos

Propiedades 1. Conservación del signo Sea f : [a, b] o R una función continua en ( a , b ) y x0  ( a , b ) . Si f (x0 ) z 0 , existe G ! 0 tal que en el entorno E ( x0 , G ) las imágenes de la función f tienen el mismo signo que f ( x0 ) 2. Acotación Sea f : [a, b] o R una función continua en [a, b] y x0  ( a , b ) , entonces existe G ! 0 tal que f está acotada en el entorno E ( x0 , G )

Un momento más para pensar Si una persona mide 168 cm y hace 13 años medía 135 cm, seguramente que en algún momento intermedio medía con exactitud 147 cm. Ahora bien, si una entrada en un boliche cuesta $ 20 y hace 6 años costaba $ 15, ¿Es seguro que en algún momento ir al boliche costaba exactamente $ 17,99? No, a ningún empresario le viene bien cobrar $ 17,99 por la entrada. La diferencia está centrada en que la altura de una persona es una función continua del tiempo y para pasar de 135 cm a 168 cm tiene que pasar por todos los valores intermedios, pero el precio de las entradas a los boliches no varía de forma continua con el tiempo y puede aumentar “de golpe” de $ 15 a $ 20. ¿Le parece extraño este hecho?

(OJUi¿FRGHXQDIXQFLyQFRQWLQXDHQXQLQWHUYDORf : [a, b] o R puede ser imaginado como una curva continua, es decir, sin cortes, sin interrupciones ni saltos; además, si el signo de f (a ) es distinto del signo de f (b) HOJUi¿FRGHf debe atravesar el eje x para pasar de un punto situado debajo de él a otro que se encuentra por encima y, por tanto, f debe anularse en algún punto entre a y b. (VWRHVSUHFLVDPHQWHORTXHD¿UPDHOFRQRFLGRWHRUHPDTXHVLJXH 3.1. Enunciado intuitivo del teorema de los ceros de Bolzano (1781-1848)

Toda función continua en un intervalo que toma valores positivos y negativos se anula en algún punto del intervalo. Lo primero que llama la atención en este teorema es su evidencia. No está de más, con referencia a este tema, recordar que, como decía Bertrand Russell 1, “en matemáticas la evidencia es enemiga de la corrección”. Así, el mérito de Bolzano es haber llamado la atención sobre la necesidad de demostrar muchas proposiciones, aparentemente evidentesTXHVHUH¿HUHQDODVIXQFLRQHVFRQWLQXDV 1  )LOyVRIRPDWHPiWLFRSDFL¿VWD\UHIRUPLVWDVRFLDOLQJOpV3UHPLR1yEHOGH/LWHUDWXUDHQ 1950.

CAPÍTULO 3

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Suele ser particularmente difícil demostrar matemáticamente lo que la intuición presenta como evidente. Existen consecuencias de este teorema que están lejos de ser evidentes. Por ejemplo: es posible probar, con la ayuda del teorema de Bolzano, que si se tienen tres sólidos en el espacio (puede imaginarse tres cuerpos de diferentes tamaños), es siempre posible encontrar un plano que los divida simultáneamente en partes iguales (puede cortar los tres cuerpos exactamente por la mitad de un solo tajo).

Teorema de Bolzano Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y f (a). f (b)  0 , entonces existe algún x0  ( a , b ) / f ( x0 ) 0

(VWHWHRUHPDRWRUJDFRQGLFLRQHVVX¿FLHQWHVSDUDODH[LVWHQFLDGHVROXFLRQHV de la ecuación f (x ) 0. De hecho, si se elimina alguna de las hipótesis, no se puede predecir la existencia de soluciones de la ecuación anterior, tal como se muestra a continuación: EJEMPLOS

­ x  1 si x ! 0 no es continua en cero, aunque ® ¯ x  1 si x d 0 f (-1) = –2 < 0 y f (1) = 2 > 0, no existe x en el intervalo (–1, 1) en que f (x) = 0.

1. La función f ( x)

2. La función f ( x )

x 2  2 no YHUL¿FD f (2). f (2)  0 y sin embargo

existen dos raíces  2 y

2 pertenecientes al intervalo (–2, 2).

El teorema de Bolzano es la base de distintos métodos del cálculo numérico para la resolución aproximada de ecuaciones no lineales, de los que el más simple es el conocido como Método de Dicotomía o Bisección, que se describe a continuación: 3.2. Método de la bisección

El teorema de Bolzano tiene una interesante aplicación en la localización de las raíces de una ecuación o ceros de una función continua. Consiste en lo siguiente: mediante un barrido de intervalos se busca dos valores “a” y “b” para los que las imágenes de la función tengan signos opuestos. Si se consigue encontrar dos valores que cumplan la condición anterior, por ejemplo f(a) < 0 y f(b) > 0, y, además, la función es continua en I = [a, b], queda garantizada, por el teorema de Bolzano, la existencia en el intervalo (a, b) de al menos una raíz.

175

176

Cálculo diferencial e integral

Propiedades de las funciones continuas en intervalos

ab la función en ese 2 punto puede tomar el valor 0, en cuyo caso ya tendríamos localizada una raíz,

Si ahora se considera el punto medio del intervalo x

· · o bien en (a + b) toma un valor positivo o negativo. Si f ¸(a + b)¸ < 0, se observa 2 ¹ 2 ¹ (a + b) ahora en el intervalo I1 = , b en el que la función es continua y en cuyos 2 extremos toma valores de signos opuestos. El teorema de Bolzano garantiza así la existencia de al menos una raíz en ese intervalo I1 de longitud la mitad de la longitud del intervalo inicial. · · Si hubiese sido f ¸(a + b)¸ > 0 se hubiese considerado el intervalo I1= a, (a + b) 2 ¹ 2 ¹ Se repite el mismo proceso con el intervalo I1, con lo que se van obteniendo intervalos cada vez más pequeños, dentro de los cuales se sabe que existe una raíz. Es posible así hallar el valor de esa raíz con la aproximación deseada. Se puede demostrar que si D es la raíz real de f (x ) 0 y x n es un valor aproximado de la raíz mediante el método de la bisección en la iteración enésima, entonces ba D  xn d n 2 El segundo miembro de esta desigualdad constituye una cota del error de truncamiento local del algoritmo; por lo tanto, si se desea lograr una aproximación de la raíz con error menor que H ! 0EDVWDUiLGHQWL¿FDUFXiOHVHOPtQLPRn que ba YHUL¿FD n  H y de esta forma conocer el número de iteraciones necesarias 2 para lograr la precisión solicitada.

3.3. Teorema de los valores intermedios de Darboux (1842-1917)

¡Recuerde la reflexión sobre la medida de su estatura!

Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b] y f ( a ) z f (b ) . Si O es un valor comprendido entre f (a) y f (b), entonces existe algún x0  ( a , b ) / f ( x0 ) O . 7HQJDHQFXHQWDTXHWDPELpQHVWHWHRUHPDRWRUJDFRQGLFLRQHVVX¿FLHQWHVSHURQR necesarias; de hecho existen funciones discontinuas que satisfacen la propiedad. §1· Por ejemplo, la función f ( x ) sen ¨ ¸, en todo intervalo que contenga al origen, © x¹ toma todos los valores entre -1 y 1 aunque no es continua en cero. Del teorema de los valores intermedios de Darboux se deduce el siguiente resultado: 3.4. Propiedades interesantes

a) Si f(x) es una función continua en el intervalo I, la imagen f(I) es también un intervalo.

CAPÍTULO 3

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Esta propiedad engloba los teoremas de Bolzano y de Darboux como casos particulares. (¿Por qué?) Los tres son equivalentes entre sí. Como consecuencia de estos tres, surge el teorema de la continuidad de la función inversa. b) Si f(x) es una función continua y biyectiva en un intervalo, la función inversa f

1

(x ) es también continua.

Se sabe que la imagen, f (I), de un intervalo I por una función continua es un intervalo. Cabe preguntarse ahora, ¿es f (I) un intervalo del mismo tipo que I? La respuesta está en estos ejemplos: 1. f ( x )

x 2 ; f ( 1,1]

f [1,1) [0,1]

2. f ( x )

1 ; f (0,1] [1,f) ; f [1,f) (0,1] x

3. f ( x)

sen x ; f

  S , S > 1;1@

Por lo tanto, la imagen por una función continua de un intervalo abierto, o semiabierto, o de una semirrecta, puede ser un intervalo de distinto tipo. Faltaría considerar qué sucede con los intervalos cerrados (y acotados), es decir, de la forma [a,b]. Observe que si f : > a, b @ o R es continua, para probar que f ([a,b]) es un intervalo cerrado y acotado bastará probar que el conjunto f ([a,b]) tiene mínimo y máximo, es decir que existirán x1 y x 2  >[a, b] tales que para todo x  [a,b] es f ( x1 ) d f ( x ) d f ( x 2 ) , y entonces será f (> a, b @ > f ( x1 ), f ( x2 ) @ 3.5. Máximo y mínimo absolutos o globales

Sea f : A Ž R o R 5.

Definiciones a. Se dice que f alcanza en x 0 un máximo global o absoluto si x  Domf se cumple que f ( x0 ) t f ( x) b. Se dice que f alcanza en x 0 un mínimo global o absoluto si x  Domf se cumple que f ( x0 ) d f ( x)

6LUHFRUGDPRVODVGH¿QLFLRQHVGHH[WUHPRVVXSHULRUHLQIHULRUGHXQFRQMXQWR GHQ~PHURVUHDOHVGDGDVHQHOFDStWXORYHPRVTXHFRQHVWDVGRVQXHYDVGH¿niciones estamos haciendo referencia, respectivamente, a los extremos superior e inferior del conjunto imagen de f en un cierto intervalo.

177

178

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

3.6. Teorema del máximo y del mínimo absolutos de Weierstrass (1815-1897)

Si f (x ) es continua en un intervalo cerrado y acotado [a,b], entonces existen dos puntos x1 y x 2  >a , b@ tales que para todo x  >a , b@ es f ( x1 ) d f ( x ) d f ( x 2 ). Los valores f ( x1 ) y f ( x 2 ) son denominados, respectivamente, el mínimo y el máximo absolutos o globales de la función f en el intervalo [a,b].

4. EJERCICIOS RESUELTOS 2 1. Si f ( x ) es tal que  lim f ( x) y  lim f ( x) ¿Es continua en x = a? x oa

x oa

 -XVWL¿TXH\HMHPSOL¿TXH Solución

No, veamos un ejemplo:

­  ° xlim x ° o0 en x 0 : ® x ° lim °¯ xo0 en x = 0

y

x x

lim

x o0

x x

lim

x o0

x x

1 1

x x

1

Ÿ  lim x o0

x Ÿ f no es continua x

2. Determine los puntos de continuidad de las siguientes funciones y FODVL¿TXHODVGLVFRQWLQXLGDGHV a) y e) y

ex

b) y

x2  1 x 2  3x  2

> x@

c) y

sen

­ x  27 si x z 3 ° ® 3 x °0 si x 3 ¯

S

d) y

x

3

f) y

g) y

x sen

S x

­1  2 x si x d 1 ® ¯7  5 x si x ! 1

Solución

a) y e x el dominio es el conjunto de los reales, por tanto a  R analicemos si cumple que

e a ½° f ( x) ¾ Ÿ lim xoa a f (a ) e °¿  lim e x xoa

2

f (a ) Ÿ f es continua para todo a real.

Recuerde que es importante que usted intente resolver el problema acudiendo a los conceptos WHyULFRVWRGDVODVYHFHVTXHORFRQVLGHUHQHFHVDULR\VyORPLUHODUHVROXFLyQXQDYH]¿QDOL]DGR su razonamiento.

CAPÍTULO 3

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

ea , tendríamos que considerar que 2 ea ea ea ea 3e a e x  ea  Ÿ si 0  x  a  G de donde   e x  e a  Ÿ  e x  2 2 2 2 2

6LQRVSLGLHVHQSUREDUORSRUGH¿QLFLyQSDUD H

Aplicando logaritmos a  ln 2  x  a  ln 3  ln 2 Ÿ  ln 2  x  a  ln 3  ln 2 Ÿ

 ln 3  ln 2   ln 2  x  a  ln 3  ln 2  ln 3  ln 2 Ÿ x  a  ln 3  ln 2 ln 6 de donde tomando 0  G d ln UHVWDUtDYHUL¿FDUVyORHOOtPLWH b) y > x @ el dominio es el conjunto de los reales, pero presenta GLVFRQWLQXLGDGHVHQWRGRVORVHQWHURV5HFRUGHPRVTXHODGH¿QLFLyQGH parte entera nos dice que a  R se cumple n d a < n  1, n  N Ÿ > a @ n,

por tanto, la función se podría expresar así: y

> x@

­.................. °2  2 d x  1 ° °°1  1 d x  0 ® 0 d x 1 °0 °1 1d x  2 ° °¯...........

de donde, si elegimos a  R – Z, fácilmente podemos probar que cumple ODGH¿QLFLyQGHFRQWLQXLGDGKDJiPRVORSDUD a   0;1 , y con idéntico criterio lo extendemos para los restantes valores de a:

lim > x @ 0 š lim > x @ 0 Ÿ  lim > x @ 0 š > a @ 0 a   0;1 Ÿ

xoa

xoa

lim > x @

>a@

xoa

xoa

0

de donde la función resulta continua en a  R – Z. Veamos ahora qué ocurre para los b  Z; probaremos, por ejemplo, que para b = 1 es GLVFRQWLQXDQRHYLWDEOHFRQVDOWR¿QLWR lim > x @ 0 ½ FRPRORVOtPLWHVODWHUDOHVVRQ¿QLWRV\GLVWLQWRVWHQHmos ° ¾ XQDGLVFRQWLQXLGDGQRHYLWDEOHFRQVDOWR¿QLWRHQb = 1; lim > x @ 1 ° de la misma manera ocurre en los restantes enteros. x o1 ¿ x o1

c) y

sen

S x

El dominio es R  ^0`. Elijamos un valor cualquiera

a  RR  ^0` \YHDPRVTXHFXPSOHFRQODGH¿QLFLyQGHFRQWLQXLGDG

179

180

Cálculo diferencial e integral en una variable real

lim sen

S

sen

xoa

x

f (a)

sen

S a

S a

Ejemplos y Ejercicios resueltos

½ si a z 0 ° ° ¾ Ÿ es continua a z 0 ° °¿

Analicemos qué ocurre en el origen:

 lim sen

S

x o0

f (0)

S½ š  lim sen ° x o0 x x ¾ Ÿ es discontinua no evitable °¿

esencial en x = 0

S

El dominio es R  ^0`, de la misma manera que hicimos en x los ejemplos anteriores, pruebe Ud. que es continua a z 0.

d) y

xsen

Pero, ¿qué ocurre en el origen?

S ½ lim ,x . sen 0° x o0 x o0 , ¾ Ÿ la función presenta una discontinuidad acotada ° f (0) ¿ evitable en x = 0

e) y

x2 1 x 2  3x  2

Las raíces del denominador son

b r b 2  4ac 2a

3 r 9  4.2 2

­2 ® Ÿ Df ¯1

R  ^1; 2`

Analicemos en primer lugar en x = 1:

x2 1 lim 2 x o1 x  3 x  2 f (1)

lim x o1

( x  1)( x  1) ( x  1)( x  2)

lim x o1

x 1 x2

discontinua evitable en x = 1 Veamos, en segundo lugar, qué ocurre en x = 2:

½ 2 ° ¾ Ÿ la función es ° ¿

CAPÍTULO 3

181

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

( x  1)( x  1) x o 2 ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  1) lim x o 2 ( x  1)( x  2) f (2) lim

x 1 xo2 x  2 x 1 lim xo2 x  2 lim

½ f ° ° la función presenta una ° f ¾ Ÿ discontinuidad no evitable ° FRQVDOWRLQ¿QLWRHQx = 2 ° ° ¿

En los restantes puntos la función es continua por ser un cociente de funciones lineales, con el denominador no nulo (revise los conceptos del álgebra de funciones continuas).

f) y



­ x3  27 si x z 3 ° ® 3 x °0 si x 3 ¯

(QHVWHFDVRHOGRPLQLRVRQORVUHDOHV&RPRODIXQFLyQHVWiGH¿QLGDD WUDPRVHQORVSXQWRVGRQGHFDPELDODGH¿QLFLyQH[LVWHQSRVLELOLGDGHV de que se presenten discontinuidades; por tal razón, veamos qué pasa en x = 3: Por un lado f (3) 0, veamos si existe el límite lim x o3

x3  27 3 x

lim x o3

x3  33 3 x

( x  3)( x 2  3 x  9) x o3 3 x

lim

 lim( x 2  3x  9) x o3

27

Como vemos, existen el límite y la imagen en x = 3, pero son distintos, FRQORTXHD¿UPDPRVTXHODIXQFLyQSUHVHQWDXQDGLVFRQWLQXLGDGHYLWDble en x = 3. Para cualquier otro número real, la función es un cociente de polinomios con denominador no nulo. Sabemos que los polinomios son funciones continuas en los reales y que el cociente de funciones continuas también lo es, en tanto el denominador no se anule. Esto garantiza que es continua si x z 3

g) f ( x) 

­1  2 x si x d 1 ® ¯7  5 x si x ! 1

(OGRPLQLRHVHOFRQMXQWR5/DIXQFLyQHVWiGH¿QLGDDWUDPRV\HQFDGD tramo es una función lineal y, por ende, continua, de modo que podemos FRQ¿UPDUVXFRQWLQXLGDG x z 1 Pero, ¿qué pasa en x = 1?

182

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

Tiene imagen ya que f (1) = 1 + 2.1 = 3, analicemos la existencia del límite:

Sugerencia: compare, por ejemplo, los ejercicios f) y g) y cuestiónese en qué casos nos vemos obligados a calcular los límites laterales y en cuáles no es imprescindible, para las funciones definidas a tramos.

lim(1  2 x) 3 ½ ° f ( x) FRPRORVODWHUDOHVVRQ¿QLWRV\GLVWLQtos, ¾ Ÿ  lim x o1 lim(7  5 x) 2 °  x o1 ¿ x o1

ODIXQFLyQWLHQHXQDGLVFRQWLQXLGDGQRHYLWDEOHFRQVDOWR¿QLWRHQx = 1 3. ¿Para cuáles de las siguientes funciones f ( x ) existe una función continua g ( x ) con dominio en reales, tales que g ( x ) f ( x ) x  D f ? x2  4 a) f ( x) x2 ­2  x si x  1 c) f ( x) ® 2 si x ! 1 ¯x

b) f ( x) d) f ( x)

1  cos x x 2 ­ x si x  1 ® ¯2 x si x ! 1

Solución

a) El dominio de la función es R  ^2`, por lo que f presenta una discontinuidad en x = 2. Calculemos el límite: lim xo2

x2  4 x2

lim xo2

( x  2)( x  2) x2

lim( x  2) xo2

4

Es decir que f tiene una discontinuidad evitable en x = 2. Si g ( x ) f ( x ) x  D f , pero tiene que ser continua en x = 2, entonces g(2) = 4, con lo que ­ x2  4 si x z 2 ° g ( x) ® x  2 °4 si x 2 ¯

b) El dominio de la función es R  ^0`, por lo que f presenta una discontinuidad en x = 0. Calculemos el límite: 1  cos x lim x o0 x

2 sen 2 lim x o0

x

x 2

x 2 .sen x 2 x

2 sen lim x o0

x 2 .lim sen x lim x o0 x o0 x 2  o0 2  sen

o1

0

CAPÍTULO 3

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

De modo que f tiene una discontinuidad evitable en x = 0. Si g ( x ) f ( x ) x  D f , pero tiene que ser continua en x = 0, entonces g(0) = 0, con lo que ­1  cos x si x z 0 ° g ( x) ® x °¯0 si x 0 ­2  x six x1 < 1 c) f ( x) ® 2 El dominio de la función es R  ^1`, por lo que f six !x1 > 1 ¯x

presenta una discontinuidad en x = 1. Calculemos el límite: lim(2  x) 1½ ° f ( x) 1 ¾ Ÿ  lim 2 x o1 lim x 1 ° x o1 ¿ x o1

De modo que g ( x)

d) f ( x)

­ x2 ® ¯2 x

­2  x si x  1 ° si x 1 ®1 ° x2 si x ! 1 ¯

si x  1 si x ! 1

El dominio de la función es R  ^1`, por lo que f presenta una discontinuidad en x = 1. Calculemos el límite: lim(2 x)

x o1

lim x 2

x o1

2½ ° f ( x) 1 SRUORTXHQRHVSRVLEOHGH¿QLUg(x) continua ¾ Ÿ  lim x o1 1 ° ¿

en todos los reales con el requisito exigido.

4. Sea f ( x) d 2 x

x  R. Pruebe que f es continua en el origen.

183

184

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

Solución

Como f ( x) d 2 x Ÿ 2 x d f ( x) d 2 x

Usando la propiedad del sandwich:

lim(2 x ) 0 ½ ° x o0 ¾ Ÿ lim f ( x) 0 lim(2 x ) 0 ° x o0 x o0 ¿

Además f (0) d 2 0 0 Ÿ f (0) 0 , con lo que se cumplen las condiciones de continuidad en el origen.

5. Halle una función f ( x ) que sea discontinua en todos sus puntos pero

f ( x ) sea continua x  R

Solución

Tomemos f ( x)

­ 5 si x  Q Ÿ f ( x) ® ¯5 si x  R  Q

5

x  R

Como el conjunto de los racionales es denso y el de los irracionales también, la función, cuyo dominio son los reales, es discontinua en todos sus puntos y al ser las imágenes números opuestos, al aplicarle módulo nos queda una función constante en su dominio que son los reales; por tanto, es continua en R. 6. Sea f ( x )

2

1 x

f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x) Calcule xlim x of x of o 0 x o 0



¢(VSRVLEOHUHGH¿QLU f (0) tal que f sea continua?

Solución 1 1 a) lim ( ) 0 Ÿ lim 21/x x x orf x orf x

1 1

­ lim  1/ x f Ÿ lim 21/xx ° x o0 x o0 1 Como ® 1/x x  f Ÿ lim 1/ x lim 2  °¯ x o0 x o 0

f 0

1

Ÿ  lim 21/x x x o0

CAPÍTULO 3

185

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

b) La función presenta en x = 0 una discontinuidad no evitable con salto in¿QLWRGHPRGRTXHQRVHSXHGHUHGH¿QLUf (0) para que resulte continua. 7. Para cuestionarse: a) ¿ lim f ( x) z f (a ) Ÿ f ( x) es discontinua en x x oa

a Ÿ f  g es discontinua en a?

b) ¿Si f y g son discontinuas en x c) ¿Si f es continua en x

a ?

a, g está acotada en el entorno de a y

 lim g( x) Ÿ f.g es discontinua en x xoa

a?

Solución

D 1RQHFHVDULDPHQWH3RUHMHPSORVLGH¿QLPRVf (x) de modo que el límite sea un número y la imagen su opuesto, tendremos una función discontinua evitable en a, pero al tomarla en módulo, resulta ser continua. Por ejemplo:

f ( x)

­ 1 si x z 2 Ÿ f ( x) ® ¯1 si x 2

1 x  R

­1/1x si x z 0 š g ( x) ¯0 si x 0

b) Falso. Consideremos las funciones f ( x) ®

­11x si x z 0 , ® ¯0 si x 0

ambas son discontinuas en x = 0, sin embargo f ( x)  g ( x) 0 x que es continua.

c) Falso. Consideremos por ejemplo:

f ( x)

x š g ( x)

sen

S x

š  lim g ( x) š g ( x) d 1 sin embargo, x o0

S

lim ,x . sen 0 x o0 x  o0 acotada

8. Sean f ( x)

x x y g ( x) 2

­x ® 2 ¯x

si x d 0 si x ! 0

Estudie la continuidad de f $ g y g $ f

186

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

Solución

Es posible fundamentar la continuidad a partir de las propiedades del álgebra de funciones continuas, pero creemos que, en este caso, sería constructivo hallar dichas funciones compuestas y luego analizar la continuidad:

f ( x)

f g( g ( x)

­x x °° 2 ® °x x °¯ 2

0 si x  0 y

g ( x)

x si x t 0

f > g ( x) @

­x ® 2 ¯x

si g g(( x)  0 ­0 Ÿ f g( g ( x) ® ¯ g ( x) sii g ( x) t 0

si x d 0 si x ! 0 ­0 ° 2 ®0 ° x2 ¯

si x  0 0 si x

0

si x ! 0

Para los negativos es constante, por tanto es continua; para los positivos es polinómica, de modo que también lo es; resta por analizar en x = 0

lim 0 0 š lim x 2

x o0

x o0

0 Ÿ lim( f ° g) x o0

(x)

0 ( f ° g) (0)

Por tanto, es continua en los reales.

g $ f ( x)

­ f ( x) g > f ( x) @ ® 2 ¯ f ( x)

si f ( x) d 0 si f ( x) ! 0

Pero f (x) nunca es negativa, vale 0 para los negativos y el cero, y vale x para los positivos, de modo que resulta:

g $ f ( x)

­0 ® 2 ¯x

si x d 0 si x ! 0

La continuidad debe fundamentarse como lo hicimos en la función compuesta anterior. 9. Analice la continuidad de f ( x)

a) g(x) = ln x , h( x) sen x

en x

S 2

g $ h( x) si

bb) g ( x)

1 , h( x ) x

x  3 en x 3

CAPÍTULO 3

187

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Solución

a) Si h (x) es continua en continua en

S S y g (x) lo es en h ( ), entonces g $ h( x) será 2 2

S . De modo que veamos si podemos aplicar esta propiedad: 2

S S Para la h (x) : lim senx 1 h( ) Ÿ es continua en S 2 2 xo 2

S

Para la función g (x): h( ) 2 continua en x 1

sen

S 1 š lim ln x 0 h(1) Ÿ h es x o1 2

Por todo lo expuesto, la función g $ h( x) es continua en x b) g ( x)

1 , h( x ) x

S 2

x  3 en x 3

Veamos si podemos emplear la propiedad. La función h es continua en x = 3 por ser un polinomio, su imagen es h (3) 0, pero la función g no existe en x = 0, de modo que no puede resultar continua. Por no cumplirse las hipótesis de la SURSLHGDGQDGDSRGHPRVD¿UPDUGHODFRPSXHVWDUD]yQSRUODTXHGHEHUHPRV buscar otros fundamentos. Para ello nos preguntamos ¿ g $ h( x) en x 3? Y la respuesta es no, basándonos en lo ya dicho, por lo que la función compuesta no es continua en x 3. 10. a) Dada f ( x) (o globales)?

x 2  x3 x2  1

b) Determine si f ( x ) siguientes intervalos:

en >1,5@ ¿tiene máximo y mínimo absolutos x 3 tiene máximo y mínimo absolutos en los b-1) [0, 3] b-2) [–2, 1) b-3) (2, 5)

Solución

Uno de los teoremas de Weierstrass, acerca de la continuidad dice: Si y f (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] entonces tiene máximo y mínimo absolutos en ese intervalo. Es importante destacar que no nos dice dónde ni cómo obtenerlosVyORD¿UPD que existen. a) f ( x)

x 2  x3 x2  1

en >1,5@

188

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

La función es un cociente de polinomios (función racional), y recordemos que éstos son continuos en los reales, además el denominador es distinto de cero, para todo x real, por tanto el cociente es una función continua en R, de donde es continua en cualquier subconjunto de los reales, en particular en [1, 5]. Al cumplir las hipótesis GH:HLHUVWUDVVFRQ¿UPDPRVTXHWLHQHPi[LPR\PtQLPRDEVROXWRV

Sugerencia: si no la recuerda, grafíquela. Observe que es una función creciente.

b) La función f ( x )

x 3 es continua, por ser polinómica.

b-1) el intervalo es cerrado, por tanto tiene máximo y mínimo absolutos HQ >@ GH KHFKR REVHUYDQGR VX JUi¿FR GHWHFWDPRV TXH HO PtQLPR absoluto lo tiene en x 0 y el máximo absoluto en x 3, por ser una función creciente, pero es atinado recordar que esto no se pide. b-2) En este caso el intervalo no es cerrado, de modo que no es posible D¿UPDUORDWUDYpVGH:HLHUVWUDVV1RVRWURVVDEHPRVSRUDxDGLGXUDTXH al ser creciente, el máximo absoluto estaría en x 1 que no pertenece al intervalo. Además, siendo f creciente su conjunto imagen es [-8,1); note que si bien tiene mínimo, no tiene máximo, ya que 1 es supremo pues no pertenece al conjunto imagen. b-3) Con idéntico criterio fundamentamos que no se cumple Weierstrass por ser el intervalo abierto.  3DUDODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHVGH¿QLGDVHQHOLQWHUYDORLQGLFDGR\SDUDHO valor kTXHVHHVSHFL¿FDYHUL¿TXHHOWHRUHPDGHOYDORULQWHUPHGLR\KDOOHORV puntos en cada caso: a) f ( x)

3 x  5, x  >[1, 2] š k

10

b) f ( x)

x  x 3 , x  [–2, 2] š k

0

Solución

El teorema del valor intermedio dice: Si y = f (x) es continua en el intervalo [a, b] y f (a) < f (b) (o f (a) > f (b)), y k un número que cumple f (a) < k < f (b) (o f (a) > k > f (b)) entonces c  (a, b) / f (c) k a) f ( x) 3 x  5

x  [1, 2]

k

10

Como f es una función lineal es continua en el intervalo [1, 5], f (1) = 8 y f (2) = 11, de donde 8 < k < 11, luego se cumplen las hipótesis del teorema, por tal razón sabemos que c existe y debemos buscarlo: 3c + 5 = 10 Ÿ3c = 5 Ÿ c =

5 y así 1 < c < 5 3

CAPÍTULO 3

189

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

2. Nota En ocasiones se pide demostrar que la función es continua en el intervalo cerrado.

­i)c  (a, b) : lim f ( x) x oc ° ° Para ello recuerde que deberá probar que ®ii) lim f ( x) f (a ) ° xoa f ( x) f (b) °¯iii) xlim ob  Hagámoslo con el ejemplo anterior, f ( x)

f (c )

3 x  5, x  >[1, 2]

Veamos que c  (a, b): lim(3 x  5) 3c  5 HVWRVHGHEHSUREDUSRUGH¿QLFLyQ x oc

(si no lo recuerda, debe revisar el tema). lim(3 x  5) 8 š lim (3 x  5) 11 DPERVWDPELpQSUREDGRVSRUGH¿QLFLyQ  x o1

xo2

b) f ( x)

x  x3

x  [–2, 2]

k=0

Nuevamente podemos fundamentar la continuidad, aludiendo a que es un polinomio, por otra parte f (2) 2  (2)3 6, f (2) 2  23 6 Ÿ f (2)  0  f (2) con lo que vemos que cumple las hipótesis, por ende, cumple la tesis. Busquemos entonces para qué valores la cumple: c   2; 2 / f (c)

c  c3 =0 Ÿ c(1+c)(1-c)=0 Ÿ c1

0,c2

1,c3 1

12. Sabiendo que la siguiente función cumple con el teorema de Bolzano en >@KDOOHODUHODFLyQTXHH[LVWHHQWUHORVFRH¿FLHQWHVa y b:

f ( x)

­x  1 ® 2 ¯ x  ax  b

si x d 3 si x ! 3

Solución

El teorema de Bolzano dice: Si y = f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y f (a) f (b) < 0 entonces c  (a, b)/ f(c) = 0. (QQXHVWURFDVRODIXQFLyQHVWiGH¿QLGDDWUDPRV\FDGDXQRGHHOORVHVSROLQRmio de modo que la función es continua para x > 3 y para x < 3; nos falta exigir la continuidad en x = 3, ½ ­ lim ( x  1) 4 ° x o3 ° ® ¾ Ÿ lim f ( x) ( x 2  ax  b) 9  3a  b ° x o3 °¯ xlim  o3 ¿

f (3)

4 9  3a  b Ÿ 3a  b

5

190

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

De esta manera garantizamos la continuidad. Además veamos los signos de las imágenes de la función en 2 y 4: f (2) = 3 y f (4) = 16 + 4a + b y como f (2) f (4) < 0 entonces, al ser f(2) > 0 tiene que ocurrir que 16 + 4a + b < 0. Y como 3a  b 5 tendremos que b 5  3a , reemplazando en la inecuación: 16 + 4 a 5  3a < 0 de donde 11 + a < 0, por lo tanto a < –11. Nos falta saber cómo varía b, para ello procedemos de la siguiente manera, a partir de cómo varía a y su relación con b: a  11 Ÿ 3a ! 33 Ÿ  5  3a ! 28 Ÿ b ! 28  b

Por tanto, la relación que deben cumplir es 3a  b

5 con a < –11 y b ! 28

 'HWHUPLQHVLVRQYHUGDGHUDVRIDOVDVODVD¿UPDFLRQHVVLJXLHQWHV\MXVWL¿TXH a) Si f es estrictamente creciente y continua en [a, b], entonces es biyectiva en [a, b]. b) Si f es estrictamente creciente y continua en [a, b] y f ( a ). f (b)  0 Ÿ existe un único x0  ( a , b ) que cumple f ( x0 )

0

Solución

a) Falsa. Podemos garantizar que es inyectiva pero no suryectiva (o sobreyectiva), Por ejemplo g : > 0;5@ o R / g(x) = 2x es continua, estrictamente creciente, es inyectiva pero no suryectiva ya que el conjunto imagen es [0, 10], por tanto no es biyectiva. b) Verdadera. Como es continua en [a, b] y f (a ). f (b)  0 , cumple las hipótesis del teorema de Bolzano y, por tanto, existe al menos un x0  (a, b) / f ( x0 ) 0 y como f es estrictamente creciente y por tanto inyectiva en > a, b @, entonces la raíz x0 es única. 14. Determine a, b  R / f sea continua en a y b.

f ( x)

­ 2  x2 °° 2 ®x °a 2 x °¯

si x  a si a d x  b si x t b

CAPÍTULO 3

191

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Solución

Para que f sea continua en a, debe ser: lim f ( x) xoa calculemos los límites laterales en a.

lim 2  x 2

xoa

lim x

2

xoa

a

2

Ÿ a4  2  a2

2  a 2 ½° f ( x) ¾ Ÿ lim xoa ° ¿ 0 si a 2

2  a2

u Ÿ u2  2  u

f (a)

a2

lim f ( x)

xoa

f (a) Ÿ a 4

lim f ( x) ,

xoa

2  a2 Ÿ

0 cuyas raíces son a2 = u = –1, lo

que es absurdo (¿por qué?) y a2 = u = 2 Ÿ a1

2

š a2

 2

Efectuamos el mismo análisis en x = b lim x 2

x ob 

½ ° Ÿ f (b) lim f ( x) b 2 2 ¾ x ob a b° ¿

b2

2

lim a x

x ob 

a 2b Ÿ b 2  a 2b 0 Ÿ b(b  a 2 ) 0 Ÿ

­b1 0 Ÿ® para los a hallados. Por tanto, tendremos cuatro soluciones posibles, 2 ¯b2 a a saber: a

2 šb 0 o a = - 2 y b = 0 o a =

2yb=2 o a=– 2

absurdo, ¡a  b !!!

yb=2

x2  a x 2  bx  c a) Calcule a, b, c  R de modo que tenga una discontinuidad evitable en x = 1 y una no evitable en x = 2

15. Dada f ( x )

b) Halle el dominio de f Solución

x2  a f ( x) la función es un cociente de polinomios de modo que puede x 2  bx  c SUHVHQWDUXQDGLVFRQWLQXLGDGHYLWDEOHRQRHYLWDEOHFRQVDOWRLQ¿QLWR3DUDTXHOD discontinuidad sea evitable en x = 1, al calcular el límite se debe presentar una indeterminación del tipo o0 , y al factorear numerador y denominador detectar o0

192

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

que la multiplicidad de dicha raíz (x = 1, en este caso) para ambos debe ser la misma, o bien, el numerador debe tenerla con multiplicidad de mayor grado que el denominador. En cambio, para que SUHVHQWHXQVDOWRLQ¿QLWRHQx = 2 puede ocurrir que el numerador tienda a una constante no nula y el denominador a cero, o bien el numerador debe tener la raíz con multiplicidad de menor grado que el denominador. Luego de este análisis, resolvamos el problema. lim

­1  a 0 Ÿ a 1 x2  a será un o0 si ® 2 o 0 ¯1  b  c 0 Ÿ b  c x  bx  c

lim

x2  a x 2  bx  c

x o1

xo2

­4  a z 0 Ÿ a z 4 f si ® ¯4  2b  c 0 Ÿ 2b  c

1

4

(1)

(2)

­b  c 1 restando miembro a miembro: b = –3, De (1) y (2) tenemos ® ¯2b  c 4 de donde c = 2 con a = –1 16. Pruebe que siendo f:[a, b] o R una función continua y x0  ( a , b ) con f ( x0 ) ! 0 entonces existe G ! 0 tal que para todo x en el E ( x0 , G ) se cumple sg f ( x0 ) = sg f ( x)

Solución

Observe que el texto del ejercicio se corresponde con uno de los teoremas o propiedades enunciadas (¿cuál?). Como f es continua en el punto x0VHFXPSOHODGH¿QLFLyQ lim f ( x)

x o x0

f ( x0 ) œ H ! 0G (H ) ! 0 / x  x0  G Ÿ f ( x)  f ( x0 )  H

de donde podemos escribir que H  f ( x)  f ( x0 )  H Ÿ f ( x0 )  H  f ( x)  f ( x0 )  H, siendo f ( x0 ) >0, si elegif ( x0 ) mos H , obtendremos un cierto valor de G ! 0 , para el cual se cumplirá 2 que si elegimos x en dicho entorno nos quedará que f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )   f ( x)  f ( x0 )  Ÿ0  f ( x)  3 Ÿ 0  f ( x) 2 2 2 2 Y es lo que queríamos demostrar. 17. Demuestre que si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y f (a) f (b) < 0, entonces c  (a, b) / f (c) 0

CAPÍTULO 3

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

193

Solución

Analicemos el caso en que f(a) < 0 y f(b !'H¿QDPRVDOFRQMXQWR A

^ x  [ a, b] /

f ( x) d 0`

Éste es un conjunto no vacío, ya que al menos tiene un elemento, el a. Además está acotado superiormente, ya que f(b) > 0, con lo que es cota superior. Y si tiene cotas superiores tiene supremo, llamemos c al supremo de A. De aquí x  A : x d c š c d b . Queremos discutir los distintos posibles valores de c. Existen sólo tres posibilidades respecto de cualquier real: es positivo, es negativo o es cero (conocida como propiedad de tricotomía). Discutamos las mismas: Si f (c) > 0, por ser f continua y usando el teorema de conservación del signo, tenemos dos opciones: en (c  G ; c  G ) la función es positiva, lo que es absurdo ya que c  G sería cota superior, lo que es imposible siendo c el supremo, o bien cuando c = b, en (c  G ; c) la función es positiva, lo que sigue siendo absurdo, con el mismo argumento que antes. De donde f (c) ¡no puede ser positiva! Si f (c) < 0, por ser f continua y usando el teorema de conservación del signo, tenemos que c  A y que en (c  G ; c  G ) la función es negativa, de donde c  G está en A, en cuyo caso no sería c cota superior. De donde f (c) ¡no puede ser negativa! Y si f (c) no puede ser positiva ni negativa, entonces, por la propiedad de tricotomía, f (c) = 0

18. Demuestre que si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y k es un real que cumple f (a) < k < f (b), entonces c  (a, b) / f (c) k

Solución

'H¿QDPRVXQDIXQFLyQ g ( x) f ( x)  k x  [a, b] , por ser una resta de dos IXQFLRQHVFRQWLQXDVHQHOLQWHUYDORQRROYLGHMXVWL¿FDUSRUTXp \ g (a) g (b)

f (a)  k  0 ½ ¾ Ÿ g (a ) g (b)  0 f (b)  k ! 0 ¿

Sugerencia: piense, ¿con qué teorema está relacionado este enunciado?

194

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

De donde la función g cumple Bolzano, de modo que c  (a, b) / g (c)

Y está probado.

f (c )  k

0 Ÿ f (c )

k

C APÍTULO

LA DERIVADA

1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA A LA DERIVADA Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la época clásica de Grecia (siglo III a.C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después, en el siglo XVII por obra de Newton (1642–1727) y Leibniz (1646–1716). En lo que se refiere a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico: el problema de la tangente a una curva y el problema de los extremos relativos, también llamados máximos y mínimos, que en su conjunto dieron origen a lo que en la actualidad se conoce como cálculo diferencial. El problema de la tangente a una curva fue analizado y resuelto primeramente por Apolonio (200 a.C.), quien investigó este tema, particularmente interesado en las cónicas (parábolas, hipérbolas, elipses). En cuanto al problema de los extremos relativos de una función, fue Pierre de Fermat (1601–1665) quien en el año 1629 expuso un método muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma y = f (x) toma un valor máximo o mínimo, comparando el valor de f (x) en un cierto punto, con el valor de f (x + E) en un punto próximo. En general, estos dos valores son distintos, pero, en una “cumbre” o en el fondo de un “valle” de una curva lisa o suave la diferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores máximos o mínimos de una función, Fermat calculó la diferencia entre f (x + E) y f (x), que será tanto más pequeña cuanto más cerca esté f (x + E) de f (x). A esta diferencia, que mide el cambio que se produce en f

cuando la variable x cambia al valor x + E, la dividió por esta cantidad E, y obtuvo de esta forma una medida del cambio en f relativo a E. Finalmente hizo E = 0 y este resultado le permitió calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la polinómica. Aquí ya se puede ver, en esencia, un proceso que, con algunos ajustes posteriores, será llamado derivación. No obstante haber sido Fermat pionero en este tipo de cálculos tan ligados al cálculo diferencial, la historia consagra a Newton y a Leibniz como los inventores de la derivada y la integral. Newton tardó mucho en dar a conocer sus resultados los que, por otro lado, presentaba en forma poco clara tanto por la notación como por el vocabulario empleado, refiriéndose a la función como cantidades fluentes y a lo que hoy llamamos derivada como fluxión, palabra que proviene del latín y que significa derramar, fluir, pero que también es usada en medicina donde tiene varias acepciones, ninguna de ellas, por supuesto, ligadas al cálculo diferencial. Todo esto hacía que sus resultados aparecieran plagados de frases confusas, bastante incomprensibles para otro que no fuera el inventor del método. En el año de 1669, Isaac Barrow (1630–1677) recibió de su alumno Isaac Newton un folleto que contenía el esbozo casi completo de lo que es hoy el cálculo diferencial e integral. Aquel mismo año, Barrow decidió que su alumno sabía mucho más que él, y que tenía, por lo tanto, mucho más derecho a la cátedra de matemáticas con más merecimientos que el propio Barrow: su titular. Con una generosidad y un desinterés difíciles de igualar, Barrow

4

196

Cálculo diferencial e integral en una variable real

cedió su cátedra a Newton1. A los 40 años, siendo profesor de matemáticas de Cambridge, Newton escribió Principia Mathematica, tal vez el tratado científico de mayor influencia jamás publicado. En él aplicó los conceptos del cálculo para explorar el universo, incluyendo los movimientos de la Tierra, la Luna y los planetas alrededor del Sol. Se dice que un estudiante que lo observó pasar expresó: “ahí va el hombre que escribió un libro que ni él ni los demás comprenden”. Leibniz, comparte con Isaac Newton el crédito del descubrimiento del cálculo. Fue el primero en publicar los 1 Este debería ser el sueño de todo docente: al retirarse poder dejarle la cátedra a sus alumnos, para lo cual no es necesario que los alumnos posean el genio de Newton (ya que los profesores tampoco nos equiparamos a Barrow), sino en relación a ser perseverante y estudiar en forma sistemática, ordenada y permanente.

Introducción al concepto de derivada

mismos resultados que Newton descubriera diez años antes. La historia ha dictaminado que Newton fue el primero en concebir las principales ideas (1665–1666), pero que Leibniz las descubrió independientemente durante los años de 1673–1676. Leibniz fue quizá el mayor creador de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres del cálculo diferencial y el cálculo integral, así como los símbolos

dy y para la dx ³

derivada y la integral. Fue el primero en utilizar el término “función” y el uso del símbolo “ = ” para la igualdad. Por esta razón, debido a la superioridad del simbolismo, el cálculo se desarrolló con mucha mayor rapidez en el continente europeo que en Inglaterra, de donde era oriundo Newton.

2. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE DERIVADA

Las tangentes se obtienen en cálculo, trazando secantes y aproximando el punto al de tangencia.

(V SRVLEOH DSUR[LPDUVH D OD GH¿ƒ(x) nición de derivada mediante dos y caminos diferentes. Uno de ellos es geométrico (como pendiente de una curva) y el otro es físico (como razón o tasa de cambio, del inglés rate of change). Históricamente ha ƒ(x) – existido una discusión entre matemáticos sobre cuál de las dos formas ilustra mejor el concepto de derivada y cuál de ellas es la más x útil. En este libro daremos ambos | x enfoques. Nuestro énfasis estará en Figura 59. Razón de cambio el uso de la derivada como herramienta. La tangencialidad es un concepto que de algún modo todas las personas comSUHQGHQ6HODDVRFLDDODUHFWDTXHPDQWLHQHXQFRQWDFWRVXSHU¿FLDOVHUH¿HUH a lo que “se toca lo menos posible”. Y así es en matemáticas. La tangente a una curva es la recta que más se parece a la curva pegándose a ella, de tal forma que para conocer la curva bastará con estudiar sus tangentes. Y, cosa notable, ¡de paso se podrán calcular las áreas que encierran…!

2.1. El concepto físico de la derivada

Esta forma de abordaje del concepto de derivada fue empleado por Newton en el desarrollo de su Mecánica Clásica. La idea principal es el concepto de velocidad

CAPÍTULO 4

197

LA DERIVADA

y aceleración. Si una partícula se está moviendo a lo largo de una recta desde un punto A a otro B, ¿cuál es la velocidad media durante el viaje? Está dada por: Velocidad media

distancia desde A hasta B tiempo transcurrido desde A hasta B

Si se asume que A y B son muy cercanos, es decir, la distancia entre ellos es muy pequeña, el cociente anterior se denomina rapidez o módulo1 de la velocidad instantánea o velocidad numérica. Naturalmente, si la distancia entre A y B es muy pequeña, entonces el tiempo que insume el viaje desde A hasta B también es muy pequeño. Si el tiempo transcurrido para llegar desde A hasta B lo designamos como 't , entonces si la partícula parte de A en el instante t = a, llega a B en el instante t a  't Si designamos con 's la distancia entre A y B, entonces la velocidad media es: Velocidad media

's 't

La velocidad instantánea en A se obtiene a medida que 't sea cada vez más pequeño. Aquí, naturalmente, es necesario recurrir al concepto de límite. En efecto, Velocidad instantánea (en A)

's 't o 0 't

lim

Si f (t ) describe la posición en el tiempo t, entonces 's En este caso, resulta: Velocidad instantánea (en A)

lim

't o 0

f ( a  't )  f ( a )

f (a  't )  f (a ) 't

EJEMPLO

Consideremos un movimiento rectilíneo cuya ecuación2 que describe la relación espacio-tiempo sea f (t ) t 2 . La velocidad instantánea en t a está dada por:

lim

't o 0

f (a  't )  f (a ) 't

lim

't o 0

(a  't ) 2  a 2 't

lim

't o 0

2a't  't 2 't

Así se concluye que la velocidad instantánea en t 1

lim (2a  't )

't o 0

2a

a es 2a

Debe tenerse presente que la velocidad es una magnitud vectorial, por ello toda vez que hagamos referencia a la velocidad se tratará del módulo del vector velocidad (velocidad numérica o rapidez), aunque no lo establezcamos explícitamente, lo que, por otro lado, no es necesario si se trata de movimientos rectilíneos, a menos que se desee explicitar el sentido en que se desplaza el móvil en su trayectoria rectilínea. 2 En Física se la denomina ecuación horaria.

198

Cálculo diferencial e integral en una variable real

El concepto geométrico de la derivada

Parece intuitivo que, en cada instante, la partícula se mueve con una determinada velocidad instantánea. Pero, en el lenguaje corriente, cuando se habla de velociGDGVHWUDWDHQUHDOLGDGGHXQDYHORFLGDGPHGLDOD~QLFDGH¿QLFLyQUD]RQDEOHGH velocidad instantánea es vinculada a la razón de cambio puntual. Es importante advertir que la velocidad instantánea es un concepto teórico, y una abstracción, que no corresponde exactamente a ninguna cantidad observable. No obstante, en situaciones prácticas reales, concretas, la velocidad instantánea es la que nos informa el velocímetro del móvil. Este concepto de velocidad instantánea puede ser extendido a situaciones que requieran la determinación de la razón de cambio (rate of change) de alguna variable con respecto a otra. Por ejemplo, el volumen de un gas depende de la temperatura del mismo. Así, en ese caso, las variables son V (para volumen) como función de T (para temperatura). En general, si se tiene que y f (x ) , entonces la razón de cambio promedio de y con respecto a x desde x a hasta x a  'x , donde 'x z 0 , es: Razón o velocidad media

'y 'x

f (a  'x)  f (a ) 'x

y, como antes, la razón de cambio instantánea de y con respecto a x en x Velocidad instantánea (en x =a )

lim

'x o 0

'y 'x

lim

'x o 0

a , es

f (a  'x)  f (a) 'x

1. Nota Con el objeto de abreviar la escritura de “velocidad instantánea” mientras se realizan los cálculos, es preciso asumir una nomenclatura. Si se escribe dx para 'x pequeño, entonces se utilizará la notación

Velocidad instantánea (en x =a)

dy (a) dx

Ésta es la notación introducida por Leibniz y Newton, considerados, como dijéramos anteriormente, los creadores del cálculo diferencial.

3. EL CONCEPTO GEOMÉTRICO DE LA DERIVADA ¿CÓMO DEFINIR LA RECTA TANGENTE? En general, si se pregunta a varios individuos qué es la recta tangente a una circunferencia, se obtendrían respuestas cargadas de ideas bastante claras al UHVSHFWR/DJHRPHWUtDHOHPHQWDOGH¿QHODUHFWDWDQJHQWHHQXQSXQWRGHXQD circunferencia como la recta perpendicular al radio que pasa por dicho punto. 'H¿QLUODUHFWDWDQJHQWHDXQDFXUYDDUELWUDULDHVPiVGLItFLO\HVSUHFLVRXQ enfoque diferente. Si se intenta generalizar esa idea a otras curvas, aparecerían ciertas cuestiones que dichas ideas no pueden resolver. Por ejemplo:

CAPÍTULO 4

199

LA DERIVADA

¿Es posible que una recta tangente corte a la curva más de una vez? ¿Puede la recta tangente atravesar a la curva por el punto de tangencia? y

y

f (x)

y f (x)

(x0, f (x0))

f (x) (x0, f (x0)) (x0, f (x0)) x

Figura 60. Recta tangente que no corta a la curva

x

x

Figura 61. Recta tangente que corta a la curva

Figura 62. Recta tangente que atraviesa a la curva

Se considera una función dada por y = f (x \VXJUi¿FR6H¿MDXQSXQWRVREUH HOJUi¿FRSRUHMHPSORx0, f (x0 (VQDWXUDODQDOL]DUVLGLFKRJUi¿FRDGPLWHHQ dicho punto una recta que lo “roce”. Tal recta es usualmente denominada recta tangente en el punto en cuestión. y

f (x)

x x0

Figura 63. Recta que “roza” a una curva en un punto

Es fácil advertir que la recta tangente puede no existir, tema del que nos ocuparemos más adelante. Una forma de encontrar la recta tangente en x = x0 consiste en considerar puntos (x, f (x)) VREUHHOJUi¿FRGRQGHx es muy cercano a x0 . Entonces trazando la recta que une ambos puntos de abscisas x y x0, llamada recta secante, resulta (Fig. 64): y

(x, ƒ(x))

(x0, ƒ(x0))

ƒ(x)

x

Figura 64. Recta secante

200

Cálculo diferencial e integral en una variable real

El concepto geométrico de la derivada

Tal como puede verse (Fig. 65), cuando x se acerca cada vez más a x0, el límite GHODVUHFWDVVHFDQWHVHVODUHFWDWDQJHQWHDOJUi¿FRGHf en x0 , donde la idea de límiteGHUHFWDVVHUH¿HUHDOOtPLWHGHVXVSHQGLHQWHVHVGHFLUODVXFHVLyQGH las pendientes de las rectas secantes tiende a la pendiente de la recta tangente DOJUi¿FRGHf en x = x0). Todas estas rectas pasan por el punto (x0, f (x0)), por tanto, sus ecuaciones serán determinadas una vez halladas sus pendientes. Las pendientes de las rectas secantes por los puntos (x0, f (x0)) y (x, f (x)) (con f ( x )  f ( x0 ) x z x0) está dada por m( x ) denominado cociente incremental x  x0 por tratarse del cociente entre dos cantidades que denotan, respectivamente, el cambio (o incremento, con su signo positivo o negativo que denota aumento o disminución) que sufre la función, generado por el cambio en los valores de la variable independiente. y y = ƒ(x)

(x0, ƒ(x0))

l

x0

x

Figura 65. Pendiente de la recta tangente La recta tangente tendrá pendiente m, la que será tanto más próxima a m(x) cuanto más próximo esté x de x0. En términos de límites, resulta:

tg D

m

lim m( x)

x o x0

lim

x o x0

f ( x )  f ( x0 ) x  x0

Así, la ecuación de la recta tangente es y  f ( x0 )

m( x  x0 )

2. Nota Escribiendo sólo “m” para la pendiente de la recta tangente no muestra información suficiente. Es preciso exhibir datos de la función f (x) y del punto x0 en la notación. La más empleada es m = f ’ (x0 ).

CAPÍTULO 4

201

LA DERIVADA

En este caso, la ecuación de la recta tangente es y  f ( x0 ) f c( x0 )( x  x0 ) f ( x)  f ( x0 ) donde f c( x0 ) lim x o x0 x  x0 En ciertas ocasiones es más conveniente utilizar este límite cuando la variable tiende a cero. Una forma de hacerlo es realizar una traslación sobre el eje x. Así, si se establece que 'x h x  x0 , entonces

f c( x0 )

lim

x o x0

f ( x)  f ( x0 ) x  x0

lim h o0

f ( x0  h)  f ( x0 ) h

lim

'x o 0

f ( x0  'x)  f ( x0 ) 'x

4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 1. Definición Sea f : D o R; D un conjunto abierto de números reales y sea x0  D . Se llama derivada de la función y f (x ) en el punto x x0 , y se representa por f c( x0 ) , al valor real del siguiente límite, si existe:

f c( x0 )

'y 'x o 0 'x lim

lim

'x o 0

f ( x0  'x)  f ( x0 ) 'x

lim h o0

f ( x0  h)  f ( x0 ) h

lim

x o x0

f ( x)  f ( x0 ) x  x0

Se define la recta tangente a la gráfica de f en ( x 0 , f ( x0 )) como la recta que pasa por ( x 0 , f ( x0 ) ) y tiene por pendiente f c( x0 ) . Esto quiere decir que la tangente en ( x 0 , f ( x0 ) ) sólo existe si f es derivable en x 0 .

Observaciones 1. La derivada de una función en un punto es un número que geométriFDPHQWHUHSUHVHQWDODSHQGLHQWHGHODUHFWDWDQJHQWHDOJUi¿FRGHf en dicho punto. 2. Se utilizan también otras notaciones para la derivada de una función en un punto, tales como Df ( x0 ) ; f c( x0 ) ;

df ( x0 ) d df f ( x0 ) ; ; dx dx dx

; x x0

dy dx

x x0

La segunda notación fue introducida por Lagrange (1736-1813). Es preciso tener cuidado de no confundir las cuatro últimas notaciones con un cociente. No hace falta decir que las distintas partes de estas expresiones FDUHFHQGHWRGRVLJQL¿FDGRFXDQGRVHFRQVLGHUDQVHSDUDGDPHQWHODVd no son números, no puedenVLPSOL¿FDUVH\ODH[SUHVLyQFRPSOHWDno es el cociente de otros dos números “df (x)” y “dx”, es posible y hasta d juega como una máquina que deriva, se suele cómodo pensar que dx decir que es un operador. Esta notación, como ya ha sido comentado, se debe a Leibniz y es llamada afectivamente notación de Leibniz.

202

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Significado de la derivada

 3DUDTXHODGHULYDGDH[LVWDODIXQFLyQGHEHHVWDUGH¿QLGDHQXQHQWRUQR del punto x0 . Más aún, debe ser continua en x0 .  &XDQGR HO OtPLWH GHO FRFLHQWH LQFUHPHQWDO HV LQ¿QLWR VH GLFH TXH OD función no es derivable o, abusando del lenguaje, que tiene derivada LQ¿QLWD *Ui¿FDPHQWH VLJQL¿FD TXH OD UHFWD WDQJHQWH HQ HVH SXQWR HV vertical. 5. No es sorprendente la cantidad de aplicaciones que encuentra el concepto de derivada, si se tiene en cuenta la formación histórica de este concepto. Por ejemplo: - El cálculo del ángulo bajo el que se cortan dos curvas (Descartes) 

/DFRQVWUXFFLyQGHWHOHVFRSLRV*DOLOHR \GHUHORMHV+X\JHQV - La búsqueda de máximos y mínimos de una función (Fermat, 1683)



(OHVWXGLRGHODYHORFLGDG\ODDFHOHUDFLyQGHXQPRYLPLHQWR*DOLOHR 1638, y Newton, 1686)



(Q DVWURQRPtD OD YHUL¿FDFLyQ GH OD /H\ GH *UDYLWDFLyQ .HSOHU Newton)

6. No debe olvidarse que la derivada es un límite, aunque más adelante buscaremos reglas para calcular derivadas sin necesidad de calcular dicho límite.

Piense en la función derivada como una “máquina de buscar pendientes” ¿de quiénes?, de las rectas tangentes al gráfico de f.

2. Definición Sea f : D Ž R o R una función derivable en algún punto, y sea S el subconjunto de puntos de D en los que f es derivable (naturalmente, puede ser S z D ) La función derivada de f se define haciendo corresponder a cada x  S el valor de la derivada de f en el punto x. f ( w)  f ( x) Esta función se suele anotar f c : x  S o f c( x) lim R wo x

w x

5. SIGNIFICADO DE LA DERIVADA 6LODIXQFLyQGH¿QLGDSRU y f (x ) es derivable en x0, la derivada de f en x0 es un número. Este número puede interpretarse de dos formas diferentes como: 1. La pendienteGHODUHFWDWDQJHQWHDOJUi¿FRGHf en x0. 2. La razón de cambio instantánea o velocidad de cambio de y respecto de x. La derivada como razón de cambio instantánea de la variable dependiente permite interpretar muchos conceptos empleados en otros ámbitos de la ciencia.

CAPÍTULO 4

203

LA DERIVADA

En Mecánica, la velocidad instantánea de un móvil es la derivada del espacio UHFRUULGRFRQUHVSHFWRGHOWLHPSR(QHOHFWURPDJQHWLVPRVHGH¿QHODintensidad de corriente como la derivada de la carga eléctrica con respecto del tiempo. En WHUPRGLQiPLFDVHGH¿QHHOÀXMRFDORUt¿FR como la derivada de la temperatura UHVSHFWRGHODSRVLFLyQ(Q(FRQRPtDVHGH¿QHHOcosto marginal como la derivada del costo total de la producción respecto del número de unidades producidas y, en forma similar, el adjetivo marginal acompañando a otras funciones HFRQyPLFDVLQJUHVRPDUJLQDOGHPDQGDPDUJLQDOHWF VHUH¿HUHDODGHULYDGD de las funciones correspondientes. Derivadas laterales 6LHOOtPLWHGHOFRFLHQWHLQFUHPHQWDOTXHGH¿QHODGHULYDGDVRODPHQWHVHOR considera por la derecha o por la izquierda, se obtienen derivadas laterales.

3. Definición Se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda, respectivamente, a los siguientes límites, si existen (números reales):

f c( x0 ) f c( x0 )

lim

f ( x )  f ( x0 ) x  x0

lim

f ( x )  f ( x0 ) x  x0

x o x0

x o x0

lim

f ( x0  h)  f ( x0 ) h

lim

f ( x0  h)  f ( x0 ) h

h o0

h o0

1RHVSRVLEOHGHULYDUHQORVH[WUHPRVGHOLQWHUYDORGRQGHHVWiGH¿QLGDODIXQFLyQ (¿por qué?). Pero si se dice que una función es derivable en los extremos de un intervalo, la derivada a la que se hace referencia en estos casos es la derivada por la derecha o por la izquierda según se trate del extremo izquierdo o derecho respectivamente. De acuerdo con la relación existente entre el límite y los límites laterales es posible asegurar:

Teorema Una función definida por y f (x ) es derivable en x 0 sí y sólo si existen las derivadas laterales y éstas coinciden entre sí.

204

Cálculo diferencial e integral

Significado de la derivada

5.1. Continuidad de las funciones derivables

No todas las funciones son derivables. Para que una función sea derivable en un punto es necesario que sea continua en dicho punto. Condición necesaria para la derivabilidad de una función en un punto Teorema Si una función definida por y en x 0 .

f (x ) es derivable en x0 , entonces es continua

Demostración: en efecto, si f es derivable en x0 VHYHUL¿FD lim > f ( x0  h)  f ( x0 ) @ lim h o0

h o0

f c(x0 ) . 0

f ( x0  h)  f ( x0 ) .h h

lim h o0

0 y, en consecuencia, lim f ( x0  h) h o0

f ( x0  h)  f ( x0 ) .lim h h o0 h

f ( x0 ) , lo que muestra que

f es continua en x0 . Por tanto, según el resultado anterior, las funciones discontinuas en x0 no son derivables en dicho punto. Sólo las funciones continuas tienen posibilidad de ser derivables. Ahora bien, la proposición recíproca del teorema anterior es falsa ya que no todas las funciones continuas son derivables. Analicemos tres casos clásicos que presentan la no derivabilidad de una función continua.

EJEMPLOS

1. Sea f : R o R / continua en x0 

f ( x)

x  1 . Es fácil comprobar que esta función es

1

6LVHHPSOHDODGH¿QLFLyQGHGHULYDGDSDUDLQYHVWLJDUVLH[LVWH f c(1) , f ( x )  f (1) x  1  0 x  1 resulta que el cociente incremental debe x 1 x 1 x 1 analizarse según x esté cercano a x0 1 por izquierda o por derecha. En efecto, f c(1 )

lim

x o1

f ( x)  f (1) x 1

lim

x o1

x 1 x 1

lim

x o1

( x  1) x 1

1

CAPÍTULO 4

f c(1 )

205

LA DERIVADA

lim

x o1

f ( x)  f (1) x 1

x 1 x 1

lim

x o1

x 1 1 x 1

lim

x o1

En este caso, la función admite derivadas laterales f c(1 ) 1 y f c(1 ) 

1, pero no coinciden, por lo cual f no es derivable en x0

(OJUi¿FRGHODIXQFLyQ f ( x ) x  1 presenta un “pico” o una “esquina” JUi¿FDFRQWLQXDSHUR³TXHEUDGD´ HQ x0 1. Dicho punto se denomina punto anguloso.

2. La función f : R o R / x0

3

f ( x)

x es continua pero no es derivable en

0

f c(0) lim x o0



1

f ( x)  f (0) x0

3

lim x o0

x x

lim

1

x o0 3

x2

f

(OOtPLWHHVLQ¿QLWRSRUORTXHODGHULYDGDQRH[LVWH y f ( x)

0

3

x

x

Figura 66. Recta tangente vertical (QHVWHFDVRHOJUi¿FRSUHVHQWDXQDrecta tangente vertical en x0 3. La f : R o R /

f c(0 )

lim

x o0

f ( x) f ( x)  f (0) x0

x es continua pero no es derivable en x0 lim

x o0

x x

lim 

x o0

x x

lim

x o0

1 x

f

0

0

206

Cálculo diferencial e integral en una variable real

f c(0 )

lim

x o0

f ( x)  f (0) x0

Significado gráfico de la derivada

x

lim

x o0

x

x x

lim

x o 0

lim

x o 0

1 x

f

y

ƒ(x  ¥_x|

l

0

x

Figura 67. Punto cuspidal Naturalmente, la función no es derivable en x0 pendiente tiende a  f y por la izquierda a  f . 

/DJUi¿FDSUHVHQWDHQ x0

0 un punto cuspidal o de retroceso.

4. La función g : R o R / g ( x) 

0 . Por la derecha la

­ § 1 · °( x  1).sen ¨ ¸ © x 1 ¹ ® °0 ¯

si

x z1

si

x 1

£5HFXHUGHVXJUi¿FR(VFRQWLQXDHQWRGRVXGRPLQLRSHURHQ x0 no es derivable y ni siquiera admite derivadas laterales, pues:

g c(1) lim x o1

g ( x)  g (1) x 1

§ 1 · ( x  1).sen ¨ ¸0 x 1 ¹ © lim x o1 x 1

no existe UHFXHUGHWDPELpQHOJUi¿FRGHODIXQFLyQ y

1

§ 1 · lim sen ¨ ¸ x o1 © x 1 ¹

§ 1 · sen ¨ ¸ con x z 1 ). © x 1 ¹

6. SIGNIFICADO GRÁFICO DE LA DERIVADA: SUAVIDAD Visualmente es posible decir que ‡ 8QDIXQFLyQHVFRQWLQXDHQXQSXQWRVLVXJUi¿FRSXHGHFRQVWUXLUVH pasando por el punto sin levantar el lápiz del papel. ‡ 8QDIXQFLyQHVGHULYDEOHHQXQSXQWRVLVXJUi¿FRSDVDsuavemente por él.

CAPÍTULO 4

207

LA DERIVADA

‡ ¿Pero qué se entiende por una curva suave? Más adelante veremos una GH¿QLFLyQDKRUDLQWHQWHPRVHQFRQWUDUXQDQRFLyQLQWXLWLYDGHOFRQFHSWR de suavidad,PDJLQHODJUi¿FDGHODFXUYDWUDFHPHQWDOPHQWHODUHFWD tangente en un punto y deslícela alrededor del punto, si esto se puede hacer, la curva es suave. El siguiente diagrama ayudará a conceptualizar las características geoPpWULFDVGHORVJUi¿FRVGHODVIXQFLRQHVGHULYDEOHV\QRGHULYDEOHVHQ un punto.

Continuas

Derivables

Discontinuas

Figura 68. Funciones derivables y no derivables Una función no es derivable en: ‡ puntos angulosos ‡ puntos de tangente vertical ‡ puntos cuspidales o de retroceso ‡ puntos de discontinuidad

7. LA ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL Recordemos que dos rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y cambiadas de signo. De modo que si conocemos la recta tangente en x0 podremos hallar una recta perpendicular a ella:

4. Definición Se llama recta normal a una curva en un punto P = (x0, f (x0)) a la perpendicular a la recta tangente en dicho punto.

208

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Función derivada. Reglas de derivación

La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la función, y la de la recta normal con su recíproca con signo contrario, es decir, si la recta tangente está dada por: y  f ( x0 )

f c( x0 )( x  x0 )

entonces la recta normal será y  f ( x0 )



1 ( x  x0 ) si f c( x0 ) z 0 f c( x0 )

y

ƒ(x)

t

n P

Į x – x0

ƒ(x0) x x0

x

Figura 69. Recta normal Pero piense cuál es la ecuación de la recta normal si f c(x0 )

0 o bien f c( x0 ) o f

8. FUNCIÓN DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN El proceso por el cual se obtiene la derivada de una función en un punto se denomina derivación. Si se aplica este proceso a todos los puntos de continuidad del dominio de la función, se obtiene una nueva función tal que a cada x asocia la derivada de f en x, y se la denomina función derivada de f, o simplemente f c(x ) y su dominio está formado por todos aquellos puntos en los que f es derivable, los cuales deben estar incluidos en el dominio de f, ya que si f es derivable en un conjunto de puntos es porque seguro es continua en ellos. 3DUDREWHQHUODIyUPXODGHODIXQFLyQGHULYDGDHVVX¿FLHQWHHPSOHDUODGH¿QLFLyQ de derivada en un punto genérico, tal como sigue: f c( x)

lim h o0

f ( x  h)  f ( x ) h

Por ejemplo, para obtener la función derivada de f ( x ) de derivada, es decir:

x 2VHDSOLFDODGH¿QLFLyQ

CAPÍTULO 4

f c( x)

lim h o0

f ( x  h)  f ( x ) h

lim (2 x  h) h o0

209

LA DERIVADA

lim h o0

( x  h) 2  x 2 h

lim h o0

x 2  2 xh  h 2  x 2 h

lim h o0

2 xh  h 2 h

2x

Inicialmente se puede obtener la derivada de una función determinando el límite del cociente incremental correspondiente. Así, es posible calcular la derivada de algunas funciones elementales simples. A partir de esas derivadas y junto con ciertas reglas de derivación, se puede también calcular derivadas de funciones más complejas.

EJEMPLO

Dada f : R o R / f ( x)

x. x  2 , se desea obtener la función derivada de f.

$QWHWRGRHVQHFHVDULRHOLPLQDUHOYDORUDEVROXWRHPSOHDQGRODGH¿QLFLyQ\ expresando la fórmula por tramos. En efecto, f ( x)

x. x  2

2 °­ x  2 x ® 2 °¯ x  2 x

si x t 2 si x  2

con lo cual es posible calcular las

derivadas de x2 – 2x si x > 2 y la de – x2 + 2x si xXVDQGRODGH¿QLFLyQFRPR hicimos anteriormente y obtendremos: f c( x )

si x ! 2 ­2 x  2 ® ¯ 2 x  2 si x  2

Pero, ¿qué ocurre en x = 2? La función f es continua en x = 2 (¡Compruébelo!) Ahora se analiza la derivabilidad en el punto x SDUDHOORVHHPSOHDODGH¿f ( x)  f (2) . Para analizar este límite nición de derivada, es decir, f c(2) lim xo2 x2 es preciso calcular los límites laterales ya que la función en x = 2 cambia de fórmula. Por consiguiente: f c(2 )

f ( x)  f (2) lim x o 2 x2

x2  2 x  0 lim x o 2 x2

f c(2 )

f ( x)  f (2) lim x o 2 x2

 x2  2 x  0 lim x o 2 x2

lim

x o 2

x( x  2) x2

lim

x o 2

2

 x( x  2) x2

2

Como f c( 2  ) z f c( 2  ) , la función f no es derivable en x = 2, admite un punto anguloso.

210

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Cálculo de derivadas

9. CÁLCULO DE DERIVADAS Operaciones algebraicas con funciones derivables Sean D Ž R, D abierto, x  D, D  R y f, g : D o R funciones derivables en x. Entonces, f  g es derivable en x, con derivada ( f  g )c( x ) f c( x )  g c( x ) a. b. D . f es derivable en x, con derivada (D . f )c( x ) D . f c( x ) f . g es derivable en x, con derivada ( f . g )c( x ) f c( x ). g ( x )  f ( x ). g c( x ) c. Se sugiere al lector realizar las demostraciones de estas reglas de cálculo empleando la definición de derivada.

§1· 1 Si g (x ) z 0 , entonces es derivable en x, con derivada ¨¨ ¸¸ g ©g¹ f Si g (x ) z 0 , entonces es derivable en x, con derivada g c §f · f c( x ). g ( x )  f ( x ). g c( x ) ¨¨ ¸¸ ( x ) g 2 ( x) ©g¹

d. e.

c

( x)



g c( x ) g 2 ( x)

La regla de derivación de la suma y la del producto de una función por una consWDQWHSXHGHQFRPELQDUVHHQXQDVROD\H[WHQGHUVHDXQQ~PHUR¿QLWRFXDOTXLHUD de funciones y constante de la siguiente forma: Si f1 ( x ) , f 2 ( x ), ... , f n ( x ) son derivables y k1 , k 2 , ... , k n son constantes reales, entonces >k1 f1 ( x)  k 2 f 2 ( x)  ...  k n f n ( x)@c k1 f1c ( x)  k 2 f 2c ( x)  ...  k n f n c ( x) , conocida como la propiedad de linealidad. 9.1. Derivación de funciones compuestas Teorema de derivación de funciones compuestas. Regla de la cadena. Sean las funciones f : D o R y g : E o R tales que f ( D ) Ž E y se supone que f es derivable en un punto x 0 y que g es derivable en f ( x 0 ) . Entonces la función compuesta g $ f es derivable en x 0 y su derivada en dicho punto está dada por la regla de la cadena: ( g $ f )c( x0 ) g c > f ( x0 ) @. f c( x0 ) 9.2. Derivabilidad de la función inversa Teorema Si f es una función continua e inyectiva en un intervalo A y sea B f ( A) , si f es derivable en un punto x0  A y f c(x0 ) z 0 , entonces su función inversa

f

1

es derivable en y 0 perteneciente a B.

f ( x0 ) y su derivada es ( f

1

)c( y0 )

1 , con y0 f c( x0 )

CAPÍTULO 4

211

LA DERIVADA

9.3. Cálculo de algunas derivadas

8VDQGRODGH¿QLFLyQGHGHULYDGDREWHQHPRVGHULYDGDVGHRWUDVIXQFLRQHVFRPR por ejemplo: sen( x  'x)  senx usando la identidad ‡ f ( x) senx Ÿ f '( x) lim 'x o 0 'x t v t v y reemplazando en el trigonométrica sent  senv 2 cos sen 2 2 numerador tendremos que x  'x  x x  'x  x sen 2 2 f '( x) lim 'x o 0 'x 'x sen 2 x  'x 2 cos x lim cos . 'x o 0 ' x 2  o cos x 2  2 cos

2 cos lim

'x o 0

2 x  'x 'x sen 2 2 'x

o1

‡ f ( x) ln x con x ! 0 Ÿ f '( x)

lim

'x o 0

ln( x  'x)  ln x 'x

lim

'x o 0

1 'x ln(1  ) 'x x

1

ª ºx 'x 'xx » « lim ln « (1  ) » 'x o 0 x  «¬ »¼ oe

1

ln e x

1 x

Usando la regla de la cadena, podemos expresar los resultados anteriores de la siguiente forma (donde u = u(x) es derivable): u' ‡ f (u ) ln u , u ! 0 Ÿ f '(u ) u

senu Ÿ f '( x) cos u.u ' S S ‡ f ( x) cos u sen(  u ) Ÿ f '( x) cos(  u )(u ')  senu.u ' 2 2 senu Ÿ f '( x) sec 2 u.u ' derivando como cociente ‡ f ( x) tgu cos u ‡ f ( x)

Además: ‡ f ( x) ln u

­ln u si u ! 0 Ÿ f '( x) ® ¯ln(u ) si u  0

­u ' °° u ® ° u ' ¯° u

si u ! 0 u' si u  0 u

Ÿ f '( x)

u' si u z 0 u

212

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Cálculo de derivadas

Usando este resultado y teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos, es posible deducir otras reglas de derivación. Veámoslo: Sea y f ( x) u k con k  R y u z 0 , tomemos módulo miembro a miembro, así nos aseguramos de que la función resultante es positiva; aplicando logaritmos nos queda: ln y

ln u

k

k ln u derivemos

y' y

k

u' u' Ÿ y ' k .u k u u

k .u k 1.u '

Así demostramos que k k 1 ‡ f ( x) u Ÿ f '( x) k .u .u ' De igual manera, se procede para las siguientes: u u ‡ f ( x) a Ÿ f '( x) a ln a.u ' u u ‡ f ( x) e Ÿ f '( x) e .u ' Usando la derivada de la función inversa y la regla de la cadena, vistas anteriormente, se deducen: u' ‡ f ( x) arcsenu Ÿ f '( x) 1 u2

‡ f ( x)

arctgu Ÿ f '( x)

u' 1 u2

9.4. Funciones de clase C 1

5. Definición Una función f se dice que es de clase C 1 en x x0 (derivable con continuidad) si y sólo si su función derivada f c es continua en x 0 .

EJEMPLO

La función g ( x)

x.ln x es de clase C 1 en x 1 , pues resulta que f c( x) ln x  1 x ! 0.

Por otro lado x ln x  0 f '(1) lim x o1 x 1

(1  r ) ln(1  r ) lim r o0 r

1 r

lim(1  r ) ln (1  r ) 1  r o0 oe

que se obtuvo haciendo el cambio de variables r = x-1, y lim f c( x) lim (ln x  1) 1 f c(1) en consecuencia, f c es continua en x o1

x o1

x 1 , resultado válido para x o 1 y x o 1 . En realidad, la función dada es de clase C 1 en todo su dominio.

CAPÍTULO 4

213

LA DERIVADA

EJEMPLO

Para la función f ( x)

­ 2 §S · ° x .cos ¨ ¸ si x z 0 analicemos si es de clase C 1 ©x¹ ® °0 si x 0 ¯

en x = 0. Para ello, x z 0

f c( x)

§S · §S · 2 x.cos ¨ ¸  S .sen ¨ ¸ empleando reglas ©x¹ ©x¹

ª §S · § S ·º de derivación, lim f c( x) lim « 2 x.cos ¨ ¸  S .sen ¨ ¸ » no existe ya que el x o0 x o0 ©x¹ © x ¹¼ ¬ segundo término carece de límite en x = 0. Por lo tanto, f c es discontinua en GLFKRSXQWR¢6LJQL¿FDHVWHKHFKRTXHODIXQFLyQf no es derivable en x = 0? ¡Absolutamente no! 8VDQGRODGH¿QLFLyQGHGHULYDGDUHVXOWD

f c(0) lim x o0

f ( x)  f (0) x0

§S · x 2 .cos ¨ ¸  0 ©x¹ lim x o0 x0

por lo tanto, f es derivable en x = 0 y f c(0)

§S · lim x.cos ¨ ¸ 0 x o0 ©x¹

0.

$SDUWLUGHHVWHHMHPSORSXHGHD¿UPDUVHTXHXQDIXQFLyQSXHGHVHUGHULYDEOH en un punto, pero no ser de clase C 1 en dicho punto.

Si f es de clase C 1 en x0 , entonces f es derivable en x0 .

Por lo visto en el ejemplo anterior, la proposición recíproca es FALSA. El lector puede hacer una comprobación similar con la función g: R o R / g ( x)

­ § 1 · 2 °( x  1) .sen ¨ ¸ si x z 1 que es derivable en x = 1 © x 1 ¹ ® °0 x 1 si ¯

pero la recta tangente en dicho punto no varía con continuidad.

Propiedad 1. Si una función f es de clase C1 en x x0 , entonces es derivable en x0 , y se dice que es una curva suave en x0 .

214

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Cálculo de derivadas

EJEMPLO

6HDXQDIXQFLyQGH¿QLGDFRPR f ( x)

­ g ( x) ® ¯k

si x z x0 sisi xx xx00

con “un punto apar-

­ g c( x) si x z x0 ® sisi xx xx00 ¯ ? Si la función tiene en la fórmula un “punto apartado” y es continua en dicho punto, la derivada en ese punto no tiene por qué ser cero, ya que la derivada, tal como hemos visto, depende de los valores que asumen las imágenes de la función en el entorno del punto. Por otra parte, a toda función se le puede “separar un punto” de su fórmula, y no por ello su derivada vale cero. Veamos el siguiente ejemplo:

tado”. ¿Cuál será el valor de f c( x0 ) ? Es decir: f c( x)

f ( x)

­3 x 2  1 ® ¯11

si x z 2 Compruebe que f c( x) si si xx 22

si x z 2 si si xx 22

­6 x ® ¯12

Si la función f tiene un “punto apartado”, son posibles dos caminos para hallar su derivada: 1. Analizar si es continua en ese punto, si no lo es, f '( x0 ) , si lo es, usar ODGH¿QLFLyQSDUDFDOFXODU f '( x0 ) 2. Si se sabe que f ´(x) es continua en el punto, se podrá asegurar que f c( x0 ) lim g c( x). x o x0

Entonces, f ( x)

­ g ( x) ® ¯k

si x z x0

Ÿ

sisi xx xx00

f c( x)

­° g c( x) ® lim g c( x) °¯ x o x0

si x z x0 si si xx xx00

Debe quedar claro que si lim g c( x) QRH[LVWHQRSXHGHD¿UPDUVHTXHODIXQFLyQ x o x0

f no es derivable en x0 VLQRTXHHVSUHFLVRUHFXUULUDODGH¿QLFLyQGHGHULYDGD en dicho punto, ya que se está exigiendo a la función el cumplimiento de un requisito mucho más exigente que la derivabilidad. Formalizando lo dicho con anterioridad, resulta: Teorema Sea A un intervalo abierto, x0  A , y f una función definida en A. Se supone que ä f es continua en x 0 . ä 3DUDDOJ¼Q r > 0, f es derivable en x  A / 0  x  x0  r , ä ([LVWH lim f c( x) k

^

`

x o x0

Entonces f es también derivable en x 0 y f c( x 0 )

k

CAPÍTULO 4

215

LA DERIVADA

9.5. Derivadas sucesivas

La derivada de una función en un punto, como ya ha sido visto, es una medida de la inclinación de la recta tangente en el punto considerado. Supóngase ahora que se desea saber cuán “separado”HVWiHOJUi¿FRGHODIXQFLyQGHVXUHFWD tangente. En el caso de las parábolas pares e impares, y = x2, y = x3 o y = x4 las tangencias en el origen con la recta y = 0 son diferentes. Para comprender mejor el concepto que presentaremos a continuación, el lector debe pensar que lo que se desea obtener es una noción de “cómo se curva”HOJUi¿FRGHf en un entorno del punto de tangencia. 6. Definición Se dice que una función f es dos veces derivable en un punto x 0 si f’ tiene derivada en x 0 . A ese número se lo denomina derivada segunda de f en x 0 y se escribe:

f’’ (x0 ) y, además, f’’ (x0 )

lim

x o x0

ff’c((x) x)  f c(x ( x00)) – f’ x  x0

Para una función cualquiera f, al tomar la derivada, se obtiene una nueva función f’ (cuyo dominio puede ser igual o considerablemente más pequeño que el de f ). La noción de derivabilidad puede aplicarse a la función f’, por supuesto, dando lugar a otra función ( f’)’, cuyo dominio consiste en todos los puntos en los que f’ sea derivable. Con el mismo análisis realizado para la existencia de la derivada segunda, es SRVLEOHGH¿QLUf’’’ = ( f’’)’, etc. Esta notación se torna difícil de manejar, por ORTXHVHDGRSWDODVLJXLHQWHVHWUDWDHQUHDOLGDGGHXQDGH¿QLFLyQUHFXUVLYD  f (1) = f’ f (k+1) = ( f (k))’ Las distintas funciones f (k), para k t 2, son a veces llamadas derivadas de orden superior de f. De hecho, se asume que f (0 ) f La notación de Leibniz, ya introducida con anterioridad, para las derivadas de

§ d n 1 f ( x ) · § df ( x ) · ¸ ¨¨ d d¨ ¸ 2 dx ¸¹ d f ( x ) dx © © ¹ órdenes superiores, es: ,…, dx dx dx 2 y se lee “derivada enésima de f respecto de x, n veces”.

d n f ( x) dx n

7. Definición Sea f : (a, b) o R. Si f es continua se dice que es de clase C 0 en (a, b); si f’ es continua se dice que f es de clase C 1 en (a, b); en general se dice que f es de clase C n en (a, b) si f ( n ) : (a, b) o R es continua.

216

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Cálculo de derivadas

EJEMPLO

Si f ( x )

­ r §1· ° x . sen ¨ ¸ © x¹ ® °0 ¯

si x z 0 si x

0

a. Si r = 0, f es discontinua en x = 0 b. Si r = 1, f es de clase C 0, pero no es derivable en x = 0 c. Si r = 2, f es derivable, pero no de clase C 1 en x = 0

9.6. Aplicaciones físicas de las derivadas sucesivas

Anteriormente se abordó el concepto físico de velocidad instantánea de una partícula como el límite de la velocidad media para valores pequeños del incremento de tiempo, es decir: Razón de cambio instantánea de y con respecto a x en x = t, es Velocidad instantánea (en t )

'f 't o 0 't lim

lim

'x o 0

f (t  't )  f (t ) 't

df dt

f c(t ) v

Se denomina rapidez de la partícula al valor absoluto de la velocidad, es decir: Rapidez =

df dt

v

Con frecuencia, los términos rapidez y velocidad se confunden. La diferencia consiste en que la velocidad es una magnitud vectorial (es un vector que tiene dirección y sentido) como mencionáramos anteriormente; en cambio, la rapidez es el módulo de la velocidad (módulo del vector) y por tanto es siempre un escalar no negativo.

8. Definición Se llama aceleración de una partícula a la variación instantánea de la velocidad. Si esta magnitud se anota con a a(t ) , se tiene:

Aceleración instantánea (en t ) d § df · ¨ ¸ dt © dt ¹

d2 f dt 2

f cc(t )

a

'v 't o 0 't lim

v(t  't )  v(t ) 'x o 0 't lim

dv dt

CAPÍTULO 4

LA DERIVADA

Coloquialmente, la aceleración de una partícula que se mueve sobre una línea recta es la derivada segunda con respecto al tiempo de la función que da la posición de dicha partícula y no la medida de la razón de cambio de la velocidad instantánea en el tiempo. 9.7. Razones de cambio afines

La posición de una partícula no es la única cantidad que puede depender del tiempo. Cualquier magnitud física F TXHHVWiFDPELDQGRGH¿QHXQDIXQFLyQ F (t ) y la derivada F c(t ) proporciona la “variación instantánea”, o razón de cambio o rate of change de F con respecto a t. Mencionemos algunos ejemplos: F puede ser el volumen de un globo al cual se le introduce aire, o F puede ser la concentración de un ácido en un tubo donde se lleva a cabo una reacción química, o F puede ser la cantidad de carga eléctrica en un condensador o F puede ser la resistencia que posee una viga de acero colocada en un puente cuando pasa un camión. En diversos casos puede ser muy difícil, o imposible, determinar F (t ) y por lo tanto F c(t ) , pero en muchos casos se intenta encontrar una ecuación que relacione F con otras magnitudes de la que se conoce su variación con respecto a la variable t, que generalmente es el tiempo. Esto da lugar a lo que se denomina el modelo matemático del fenómeno en cuestión, cuya expresión matemática es, en general, una ecuación en la que aparece relacionada F con sus derivadas. La ecuación obtenida se denomina ecuación diferencial, tema al que nos referiremos más adelante. EJEMPLO

Una persona parada sobre un acantilado (situado entre Mar del Plata y Miramar, ciudades de la costa atlántica argentina) observa un bote de motor con anteojos de larga vista, cuando el bote se acerca a la playa que está directamente debajo de ella. Si los anteojos de larga vista están a 250 metros arriba del nivel del agua y si el bote se acerca a 20 m/s, ¿con qué rapidez cambia el ángulo que forma la vertical coincidente con el acantilado y la recta que une el binocular con el bote, supuestos puntuales? 3

3 Al resolver problemas en Física, en general se acostumbra a homogeneizar en un mismo sistema de medida las unidades de todas las magnitudes intervinientes de modo de no tener que arrastrarlas durante ODUHVROXFLyQVLHVTXHXVWHGDVtORSUH¿HUH3RUHOORSXHGHRSWDUHQWUHGRVIRUPDVSRVLEOHVGHWUDEDMRHQ la resolución de un problema: en cada paso de la resolución colocar todas las unidades en cada una de las PDJQLWXGHVRELHQDOHVWDUWRGDVODVXQLGDGHVHQXQPLVPRVLVWHPDFRORFDUDO¿QDOGHOFiOFXORHOUHVXOWDGR en la unidad correspondiente; por ejemplo, si el tiempo se mide en segundos (s) y la longitud en metros (m), DO¿QDOL]DUHOFiOFXORGHODYHORFLGDGVHDFRPSDxDHOUHVXOWDGRSRUODXQLGDGFRUUHVSRQGLHQWH³m/s”. A lo largo del texto encontrará cualquiera de las dos formas de trabajo mencionadas.

217

218

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Cálculo de derivadas

binocular

α 250

bote

x

Figura 70. Razones de cambio afines /D¿JXUDPXHVWUDODVLWXDFLyQGHOSUREOHPDGRQGHD y x son las variables que dependen del tiempo. En efecto,

dx dt

20. El signo menos se debe a que la

distancia x disminuye con el tiempo. Necesitamos determinar la

dD cuando dt

1 dx x § dD · . , derivando resulta sec 2 D . ¨ (no ¸ 250 © dt ¹ 250 dt olvide que D y x dependen del tiempo, así al derivar ambos miembros debe usarse la regla de la cadena para derivar funciones compuestas). En el instante S dD 20 1 1 §S · en que x = 250; D y sec 2 ¨ ¸ 2 , resulta:  .  0.04 4 250 2 25 dt ©4¹ (VWHUHVXOWDGRVLJQL¿FDTXHHOiQJXOR D cambia a razón de -0.04 radianes por segundo. El signo negativo se debe a que D disminuye con el tiempo. x = 20. Además tg D

9.8. Derivación de funciones definidas implícitamente por una ecuación

Se supone que las variables x e y están relacionadas por alguna ecuación de la forma: F(x, y) = 0 (1) Así, son ecuaciones de esta forma las siguientes: x 2  y 2  36 x 3  xy 2  y 6 0 y3  7 y x3 x 2  y 2  36 0

0

9. Definición Si una función f definida en un intervalo I es tal que la ecuación (1) se transforma en una identidad cuando la variable y se reemplaza por f (x), se dice que f está definida implícitamente por medio de la ecuación (1).

(2) (3) (4) (5)

CAPÍTULO 4

219

LA DERIVADA

3RUHMHPSORODHFXDFLyQ GH¿QHLPSOtFLWDPHQWHODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHV y 36  x 2 e y  36  x 2 en el intervalo [-6, 6]. La sustitución de cada una de estas funciones en (2) da lugar a la siguiente identidad: x 2  (36  x 2 )  36 { 0 Observación No toda ecuación de la forma F (x, y  GH¿QHGHPDQHUDLPSOtFLWDXQDIXQFLyQ como sucede, por ejemplo, con la ecuación (5), para la cual no existe ningún par (x, y) que la satisfaga dado que x 2  y 2  36 es siempre un número positivo. dy Se desea calcular en una ecuación de la forma F (x, y) = 0 y en la cual y es dx una función implícita de x, como por ejemplo en la ecuación: x 2  y 2  36 0 Al despejar yVHJHQHUDQGRVIXQFLRQHVFX\DVJUi¿FDVVRQarcos de semicircunferencia) en el intervalo [–6, 6]:

y

f ( x)

36  x 2

y

g ( x)

 36  x 2

36  x

1 2 2

(6) 1

  36  x 2 2

(7)

De (6) se deduce que

dy dx

1 1 2 2 .(2 x)  36  x 2

x





1 2 2

(36  x )

x y

(8)

De (7) se tiene:

dy dx

1  1  .(2 x)  36  x 2 2 2

x

x 1 2 2

(36  x )

1 2 2

(36  x )



x y

(9)

De (8) y (9) se deduce que independientemente de la elección de la función y, el resultado de la derivada es el mismo. Ahora bien, si se considera la ecuación: x3  y 3  7 y 0 (10) TXHGH¿QHDy como una función implícita de x\FX\DJUi¿FDDSDUHFHHQOD VLJXLHQWH¿JXUD y

x

Figura 71. Gráfica de la ecuación x3 – y3 – 7 = 0

220

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Cálculo de derivadas

dy , primero se debe “despejar” y como una función de x dx y luego aplicar las reglas de derivación mencionadas anteriormente. Pero aquí VXUJHXQDGL¿FXOWDG\DTXHQRHVSRVLEOHGHVSHMDUy en forma explícita. Sin dy embargo, esto no es inconveniente para calcular . dx dy En general, si se quiere hallar suponiendo que F(x, y) GH¿QHDy como dx función implícita de x, y que dicha función es derivable, existe un procedimiento llamado derivación implícita, que consiste en derivar respecto a x ambos miembros de la ecuación dada, teniendo en cuenta que al derivar los términos que contengan la variable y, debe utilizarse la regla de la cadena.

Si se quiere calcular

dy . En el caso particular condx siderado, se tiene de la ecuación (10): x 3  y 3  7 y 0

Finalmente, de la expresión obtenida se despeja

>

d 3 x  y3  7 y dx



@

d >0@ dx



d 3 d 3 d x  y  7 y 0 dx dx dx dy dy 3x 2  3 y 2 7 0 dx dx

dy (3 y 2  7 ) dx

3x 2

dy dx

Ÿ

3x 2 3y 2  7

De manera similar, en el caso de la ecuación (2) se tiene: x 2  y 2  36



0





d 2 x  y 2  36 dx

d 2 d 2 d x  y  36 0 Ÿ dx dx dx



d 0 dx

2 x  2 y.

dy 0 dx

0

Ÿ

dy dx



x y

Cabe destacar que la ecuación F ( x, y ) 0 SXHGHGH¿QLULPSOtFLWDPHQWHDy como función de x en el entorno de algún punto x0 aunque el proceso algebraico de despeje no pueda efectivizarse. De hecho, existe un teorema sobre la existencia GHODVIXQFLRQHVLPSOtFLWDVGH¿QLGDVSRUXQDHFXDFLyQTXHVHUiWUDWDGRHQXQ curso posterior de Análisis Matemático en el que se estudian las funciones de dos o más variables independientes. En adelante, se asumirá que la ecuación g ( x, y ) 0 GH¿QHDy = f(x), o bien x h( y ) en el entorno de algún punto según el caso que se trate.

CAPÍTULO 4

221

LA DERIVADA

También es posible indagar si la función y f (x ) es derivable y cómo obtener su derivada directamente de la ecuación g ( x, y ) 0 VLQQHFHVLGDGGHGHVSHMDU a y en términos de x (esto podría ser una tarea engorrosa, o bien imposible desde el punto de vista algebraico). A tal efecto, el método de derivación implícita consiste en suponer que y f (x ) es derivable y así derivando miembro a miembro la ecuación g ( x, y ) 0 sabiendo que y f (x ) , es decir, empleando la derivación de funciones compuesta (regla de la cadena) y luego despejar y c , tal como se ha hecho en los ejemplos anteriores.

EJEMPLO

La ecuación x 2  y 2 1 VLPLODUDRWURHMHPSORDQWHULRU GH¿QHHQHOHQWRUQR 1 con y ! 0 a la función y f (x ). Se sabe que dicha ecuación del punto x0 2 corresponde a una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de coordenadas. Como se ha dado la restricción y ! 0 ODJUi¿FDFRUUHVSRQGHDODVHPLFLUFXQferencia superior sobre el intervalo [-1, 1] (sin esta restricción la ecuación no GH¿QLUtDXQDIXQFLyQ\DTXHQRYHUL¿FDODFRQGLFLyQGHXQLFLGDGGHODLPDJHQ  Claro está que, en este caso, es factible y sencillo el despeje de la y en función de x, y por tanto, derivar aplicando las reglas de derivación. No obstante, se calculará y c aplicando el método de derivación implícita. Derivando miembro a miembro la ecuación dada, resulta: 2 x  2 y . y c 0 2 Cabe destacar que para derivar y 2 > f (x )@ se ha empleado la regla de la cadena debido a que su derivada es 2. f ( x ). f c( x ) 2. y . y c x De esta forma, 2 y. yc 2 x Ÿ yc  con y z 0 y Realizando la comprobación, resulta: Si x 2  y 2 1 Ÿ y 2 1  x 2 Ÿ y

1  x2

Ÿ y

1  x2

luego se deriva y mediante las reglas de derivación y se obtiene: y c resultado coincidente con el método de derivación implícita.

pues y t 0

 2x 1 x

2



x y

NotaVHGHEHHYLWDUGHULYDUIXQFLRQHVTXHQRHVWiQGH¿QLGDV7DOHVHOHMHPSOR de la ecuación cos 2 x  y 4 5 que no representa ningún punto del plano y, SRUORWDQWRQRWLHQHVLJQL¿FDGRDQDOtWLFR¢GHULYDUXQDIXQFLyQTXHQRH[LVWH"  No obstante, al ser una expresión algebraica podría derivarse en forma implícita y se obtiene: 2.cos x.( senx)  4 y 3 . yc 0 ciones carecen de sentido.

Ÿ yc

senx.cos x , sin embargo, estas opera2 y3

222

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Cálculo de derivadas

9.9. Derivación logarítmica

Como aplicación de la regla de la cadena y de la derivación implícita se tiene, f c( x ) si y ln f ( x) , f ( x) ! 0 , entonces y c y en este resultado se basa el f ( x) método de derivación logarítmica. Dada una función y f (x ) , la derivación logarítmica consiste en tomar logaritmos en ambos miembros de la igualdad y derivar. Este método es interesante para: ‡ Derivar funciones de la forma f ( x ) g ( x ) con base y exponente variable, con f (x) > 0. ‡ 6LPSOL¿FDUODGHULYDFLyQGHSURGXFWRV\FRFLHQWHVGHIXQFLRQHV Sea y f ( x ) g ( x ) , f y g funciones derivables y f positiva. 1º) Se aplica logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad, siempre que f (x ) ! 0 , es decir: ln y

ln f ( x) g ( x ) Ÿ ln y

g ( x).ln f ( x) aplicando propiedades de los logaritmos

2º) Se deriva miembro a miembro yc y

g c( x).ln f ( x) 

f c( x) .g ( x ) f ( x)

3º) Se despeja y’ yc Observación. Como esta última fórmula es muy “compleja” de recordar para ser aplicada, es usual y práctico aplicar el método en cada problema planteado, en cuyo caso lo único que se debe recordar es la aplicación de logaritmos en ambos miembros de la expresión que define la función, para luego derivar en forma implícita.

ª º f c( x) y. « g c( x).ln f ( x)  .g ( x ) » Ÿ y c f ( x) ¬ ¼

ª º f c( x) f ( x) g ( x ) . « g c( x).ln f ( x)  .g ( x) » f ( x) ¬ ¼

EJEMPLO

Considérese la función y = xx, x > 0, si se aplica logaritmos en ambos miembros resulta: ln y ln x x x.ln x , y derivando los dos miembros de la igualdad: yc y

1 ln x  .x x

ln x  1 Ÿ yc

x x .(ln x  1).

EJEMPLO

Sea y x k , k  R, x z 0. Si deseamos calcular su derivada con el método anterior, deberemos aplicar módulo previamente, dado que desconocemos el signo de la misma; veamos: y

xk Ÿ y

x Ÿ ln y k

k ln x

derivando

y' y

1 1 k . Ÿ y ' kx k x x

kx k 1

CAPÍTULO 4

223

LA DERIVADA

10. DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES A continuación se enumerarán algunas de las derivadas de las funciones más empleadas en un curso de Análisis Matemático. El lector podrá deducir la derivada GHFXDOTXLHURWUDIXQFLyQTXHQR¿JXUHHQHOVLJXLHQWHOLVWDGRFRQVyORDSOLFDUODV propiedades vistas43RURWURODGRODVGHGXFFLRQHVGHHVWDVGHULYDGDVQR¿JXUDUiQ en este libro; no obstante, es conveniente e interesante que el lector realice esta WDUHDSDUDD¿DQ]DUODGH¿QLFLyQGHGHULYDGDOtPLWHGHOFRFLHQWHLQFUHPHQWDO  empleando las propiedades vistas, tales como: álgebra de derivadas, regla de la cadena, derivada de la función inversa, derivación logarítmica e implícita.

f (x )

f c(x )

f (x )

f c(x )

k x

0 1

cot x

-cosec2x

r. x r 1

arc sen x

rR

xr

log a x a ! 0; a z 1 x!0

1 .log a e x

ln x , x z 0

1 x

arc tg x

a M ( x ) . ln a.M c( x)

arc sec x

a M ( x)

a!0

ax

1 x ln e

arc cos x

a x . ln a

1 1 x2 1 1 x2

1 1 x2

1 x x2 1 1

ex sen x

ex cos x

arc cosec x

cos x

 sen x

arc cot x

1 1 x2

tg x

sec 2 x

sec x

sec x. tg x

sh x ch x

ch x sh x

cosec x

cosec x.cot x

th x

sech2x

x x2 1

Tabla 6. Derivadas de las funciones elementales En los ejercicios resueltos, podrá encontrar modelos acerca de cómo obtener las derivadas de algunas inversas (ejercicio 21 y 22).

4

Las denominadas Tablas de derivadas traen mucha mayor información, por lo que su uso en las aplicaciones reduce considerablemente el trabajo de cálculo. No obstante, se insiste en la conveniencia GHTXHHOOHFWRUUHDOLFHODWDUHDGHFiOFXORGHDOJXQDVGHULYDGDVSDUDD¿DQ]DUODGH¿QLFLyQOtPLWHGHO cociente incremental) empleando las propiedades vistas.

224

Cálculo diferencial e integral

Derivada de las funciones elementales

10.1. Derivada de funciones definidas en forma paramétrica

En Física es habitual la descripción de una trayectoria en términos del tiempo empleado; por ejemplo, la curva que describe una pelota al ser pateada5, si se ­ x v0 xt ° mueve en un plano, queda perfectamente caracterizada por ® 1 2 °¯ y v0 y t  2 gt siendo v0 la velocidad con que es pateada, D el ángulo. Resulta de gran utidy lidad conocer el valor de VLQQHFHVLWDUHQFRQWUDUFXiOHVODFXUYDGH¿QLGD dx paramétricamente. Veamos el caso en forma genérica, sean: ­ x g (t ) si de la primera función, determinamos su función inversa tendremos ® ¯ y f (t ) t g 1 ( x) , si además reemplazamos en la segunda obtendremos y f ª¬ g 1 ( x) º¼, ésta es la que queremos derivar, para ello usaremos la derivada de la compuesta y la de la función inversa:

dy dx

f ' ¬ª g 1 ( x) ¼º . ¬ª g 1 ( x) ¼º '

1 f ' >t @ g '(t )

f '(t ) g '(t )

dy dt Ÿ dy dx dx dt

dy dt con dx z 0 dx dt dt

EJEMPLO

La rueda de una bicicleta tiene adherida una calcomanía. Mientras la rueda gira avanzando, la calcomanía describe una curva llamada cicloide (si no ODUHFXHUGDUHSDVHHOFDStWXORFRUUHVSRQGLHQWHDIXQFLRQHV GH¿QLGDDVt ­ x a (t  sent ) t  R siendo a el radio de la rueda. ® ¯ y a (1  cos t ) Queremos hallar el ángulo de la pendiente del arco de cicloide cuando corta el eje x en el origen. Para ello se requiere hallar la pendiente de la recta tangente, en el supuesto de que esta exista: dy dx

dy dt dx dt

asent a (1  cos t )

como vemos 5

dx dt

sent 1  cos t

0 si t = 2QʌQ Z. Deseamos saber qué ocurre en t = 0:

En Física este problema se denomina tiro oblicuo, y se estudia como la composición de dos movimientos rectilíneos conocidos, el uniforme en la dirección horizontal y el uniformemente variado en la vertical, según se muestra en el ejercicio 34 de página 267.

CAPÍTULO 4

sent t o 0 1  cos t

lim

225

LA DERIVADA

lim t o0

sent (1  cos t ) 1  cos 2 t

lim t o0

sent (1  cos t ) sen 2t

1  cos t ­ lim ° 1  cos t °t o0 sent Ÿ® lim t o0 sent ° lim 1  cos t °¯t o0 sent

f f

de donde la función no es derivable en t = 0

11. DIFERENCIABILIDAD 11.1.

Aproximación lineal. Linealización

En las proximidades de un determinado punto las funciones derivables se comSRUWDQJUi¿FD\ORFDOPHQWHFRPRXQDUHFWDWDOHVDVtTXHVLVHPDJQL¿FDVX JUi¿FRHQODVSUR[LPLGDGHVGHOSXQWRpVWHVHDVLPLODFDGDYH]PiVDODUHFWD 0iVFRQFUHWDPHQWHHQHOHQWRUQRGHXQSXQWRHOJUi¿FRGHODIXQFLyQGHULYDble tiende a superponerse con la recta tangente en ese punto. De esta forma, la recta tangente es una buena aproximación de la función en las proximidades del punto de tangencia. Si una función es derivable en x0 ODHFXDFLyQGHODUHFWDWDQJHQWHDOJUi¿FRGH f en x0 es y f c( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )(VWDUHFWDHVHOJUi¿FRGHXQDIXQFLyQ lineal denominada linealización de f.

10. Definición Dada y f (x ) una función derivable en x 0 , se denomina linealización o aproximación lineal de f en x 0 a la función lineal L dada por la expresión

L( x )

f c( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )

Analicemos la validez de la aproximación f ( x ) | L( x ) en el entorno de x0 , que nos permitirá estimar las variaciones de f mediante variaciones de L, para lo cual se evalúa la diferencia entre f ( x ) y L( x ). Consideremos que fHVWiGH¿QLGDHQ un intervalo ( x0  G , x0  G ) y sea: r ( h)

f ( x 0  h )  L( x 0  h )

f ( x0  h )  f ( x0 )  f c( x0 ).h

(11)

Para h  G . La función r(h) representa el error que se comete al reemplazar

f (x ) por L(x ) en un punto del entorno de x0 , es decir x que h 'x .

x0  h. Cabe observar

226

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Diferenciabilidad

y

ƒ

ƒ(x0 + h)

r(h)

­ ® ƒ’(x0).h ¯

ƒ(x0) h x0

x

Figura 72. Aproximación lineal de una función en un punto De (11) resulta que

r (h) h

lim h o0

r (h) h

f ( x0  h)  f ( x0 )  f c( x0 ) , y por tanto: h

ª f ( x 0  h)  f ( x 0 ) º lim «  f c( x0 )» h o0 h ¬ ¼

f c( x0 )  f c( x0 )

lim h o0

f ( x 0  h)  f ( x 0 )  lim f c( x0 ) h o0 h

0 , es decir:

r ( h) 0 de lo que se desprende que la aproximación lineal mejora cuanto h más cercano se halle el punto x del punto x0 (ya que r(h) y hVRQLQ¿QLWpVLPRV y r es de orden superior a h) lim h o0

Teorema Sea f una función real cuyo dominio contiene un entorno ( x0  G , x0  G ) . Si f es derivable en x 0 , se verifica

lim h o0

r ( h) h

ª f ( x0  h)  f ( x0 )  f c( x0 ). h º lim « » h o0 h ¬ ¼

0

Este límite muestra que el error r(h) tiende a cero cuando h tiende a cero más rápidamente que el mismo h. Este hecho fundamenta la aproximación f ( x ) | L( x ) en el entorno de x0 . Si se designa como H ( h )

r ( h) HVSRVLEOHD¿UPDUTXH h

Si f es derivable en x0 , existe una función H (h ) tal que lim H (h) f ( x0  h)  f ( x0 )

> f c( x0 )  H (h)@.h

h o0

0 y además:

CAPÍTULO 4

227

LA DERIVADA

Por otra parte, como se dijo anteriormente, la derivabilidad de una función en un punto permite estimar las variaciones de f a través de las variaciones de L. En efecto, 'f f ( x0  h )  f ( x0 ) y el incremento de L está dado por 'L L( x0  h)  L( x0 ) f c( x0 ).h

> f ( x0 )  f c( x0 )( x0  h  x0 )@  > f ( x0 )  f c( x0 )( x0  x0 )@

Para incrementos pequeños de la variable xVHYHUL¿FDUi 'f | 'L , es decir: f ( x0  h )  f ( x0 ) | f c( x0 ).h

'f

(12)

11. Definición Dada y f (x ) una función derivable en x 0 , diremos que es diferenciable en x 0

œ f ( x0  'x)  f ( x0 )

f '( x0 )'x  I ( 'x) 'x con lim I ( 'x) 'x o 0

0

Obsérvese que el incremento 'f f ( x0  'x)  f ( x0 ) queda expresado como suma de dos términos, uno lineal en 'x , llamado parte principal del incremento o diferencial de la función y otro no lineal en 'x HVWH~OWLPRWpUPLQRHVLQ¿nitésimo de orden superior al primero con 'x o 0 . 'HODGH¿QLFLyQWHQHPRVTXHOODPDQGR x

f ( x)

x0  'x :

f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 )  I ( x  x0 )( x  x0 )   L( x)

r ( x)

Como vimos cuando planteamos la aproximación lineal.

12. Definición Dada y f (x ) una función diferenciable en x , se denomina diferencial de la variable dependiente y, y se escribe dy = df(x), al producto dy f c( x)'x , o bien, para un punto en particular x0 , df ( x0 ) dy0 f '( x0 )dx f '( x0 )( x  x0 )

Por otra parte, si y entonces

f ( x)

x

Ÿ dy

dy

dx

f c( x).dx

f c( x ).'x 1.'x

Ÿ 'x

dx ,

228

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Diferenciabilidad

La igualdad 'x dx GH¿QHHOLQFUHPHQWRGHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHFXDOquiera sea la función f (x) derivable. En estos términos, de la expresión dy = f’(x)dx, dividiendo ambos miembros por dx resulta dy dx

f’(x) si dx z 0

Esta relación expresa que la derivada de una función en un punto se puede calcular a partir del cociente entre dos diferenciales. Recordemos que al comienzo de este dy capítulo cuando se introdujo como una forma de notación para la derivada, dx se remarcó que tanto dx como dy carecían de sentido si se los consideraba en forma independiente; ahora, con los conceptos introducidos, ya no es así. De esta forma, podemos calcular la derivada de una función en un punto como cociente GHGRVGLIHUHQFLDOHVHQOXJDUGHOFRFLHQWHHQWUHFDQWLGDGHVLQ¿QLWHVLPDOHV Es interesante observar que dy es fácil de calcular, no así 'y. Por ello, en la prácWLFDODVXVWLWXFLyQGHLQFUHPHQWRVSRUGLIHUHQFLDOHVVXHOHVHUPX\EHQH¿FLRVR para las siguientes tareas: 1. Estimación del incremento de y ( 'y ): es el error absoluto y se calcula mediante la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado de una magnitud escalar, se trata de un error cuantitativo y se mide en las mismas unidades en las que se expresa “y”, lo que es poco favorable dado que depende del sistema de medición.

'y | f’(x)dx = dy y = ƒ(x) y

ǻy = ƒ(xǻx) – ƒ(x) dƒ(x) = f’ (x)dx

x

xǻx

x

Figura 73. Incremento y diferencial de una función

CAPÍTULO 4

229

LA DERIVADA

§ 'y · 2. Estimación del incremento relativo de y ¨¨ ¸¸ : es el error relativo que © y ¹ se evalúa como la razón entre el error absoluto y el valor exacto de una magnitud escalar; se trata de un error cualitativo y es adimensional. 'y y

f ( x0  'x )  f ( x0 ) f c( x0 ).dx | f ( x0 ) f ( x0 )

dy y

Por lo general este incremento relativo suele utilizarse en porcentajes (error 'y dy u 100 | u 100 porcentual) y y

12. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN $SDUWLUGHODVGHGXFFLRQHVDQWHULRUHV\GHOJUi¿FRDQWHULRUVHSXHGHREVHUYDU que la diferencial de una función en un punto dy = f’(x).dh, representa el increPHQWRVREUHODUHFWDWDQJHQWHDOJUi¿FRGHf al incrementar x en 'x . También SXHGHYLVXDOL]DUVHHQHVHPLVPRJUi¿FRTXHODGLIHUHQFLDHQWUH'y y dy se hace más pequeña en tanto y en cuanto 'x sea cada vez más pequeño. De acuerdo con lo dicho más arriba, la diferencial también puede interpretarse como una función lineal de R en R. En efecto, dy: R o R / dy(h) = f’(x).h. De esta forma, la correspondencia x o dy es una función cuyo dominio es el dominio de derivabilidad de f y su imagen está en el espacio de las funciones lineales de R en R, interpretación que sintetiza lo expresado anteriormente y le será de utilidad en el estudio de funciones de varias variables.

EJEMPLO

Dada la función f ( x ) 6 x 4  7 x 3, entonces df dy ( 24 x 3  21x 2 )dx &DEHGHVWDFDUTXHSDUDREWHQHUODGH¿QLFLyQGHIXQFLyQGLIHUHQFLDEOHHQXQ punto se consideró, como parte inicial, que esa función es derivable en dicho punto (admite recta tangente en él). Cada paso de la deducción analítica de la DSUR[LPDFLyQOLQHDOHVHTXLYDOHQWHDODDQWHULRUSRUORTXHHVSRVLEOHD¿UPDU que para funciones reales de una variable independiente real, la derivabilidad en un punto es equivalente a la diferenciabilidad en dicho punto. De hecho, PXFKRVDXWRUHVVHUH¿HUHQDIXQFLRQHVGLIHUHQFLDEOHVSDUDPHQFLRQDUDTXHOODV funciones que admiten recta tangente. Debe tenerse presente que esta equivalencia conceptual no es válida para funciones de varias variables independientes.

230

Cálculo diferencial e integral

Propiedades de las funciones diferenciables

13. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DIFERENCIABLES Dadas las funciones f y g diferenciables: df dg .dx r .dx dx dx df dg 2. d ( f . g ) g .df  f .dg g .dx  f .dx dx dx df dg g .dx  f .dx § f · g .df  f .dg dx dx 3. d ¨¨ ¸¸ g2 g2 ©g¹

1. d ( f r g )

df r dg

g(x) z 0. Las reglas para diferenciar son básicamente equivalentes a las reglas para derivar. Las diferenciales que han sido introducidas se denominan diferenciales de primer orden, cuya utilidad podrá ser valorada más adelante en el cálculo de SULPLWLYDV7DPELpQVHGH¿QHQODVGLIHUHQFLDOHVGHRUGHQVXSHULRUDOSULPHURTXH requieren de derivadas de orden superior al primero de la función. Por ejemplo, si 2 n dy f c( x ).dx, entonces, d 2 y f cc( x ).dx , …; d n y f ( n ) ( x ).dx . Esto será válido siempre que la función sea derivable hasta el orden correspondiente. Estas diferenciales de orden superior se utilizarán para realizar aproximaciones de la IXQFLyQHQHOHQWRUQRGHXQSXQWRPHGLDQWHSROLQRPLRVRVFXODGRUHVVXVJUi¿FRV VH³SHJDQ´FDGDYH]PiVDOJUi¿FRGHODIXQFLyQGDGDHQODVSUR[LPLGDGHVGH un punto) denominados Polinomios de Taylor, que más adelante presentaremos.

EJEMPLOS

1. Halle un valor aproximado de sen (29º), mediante una aproximación lineal. Es necesario determinar cuál será el punto “base” es decir, x0 $WDO¿Q deben tenerse en cuenta los siguientes requisitos: ‡ Cercanía del punto x0 al valor al que se quiere acceder, x x0  'x , o sea, 'x lo más pequeño posible para que el error de aproximación lineal r(h) sea también lo más pequeño posible. ‡ Facilidad de evaluación de f ( x0 ) y f c( x0 ) Por lo tanto, será f ( x )

S

sen x ; x0

trabajar siempre en radianes) 'x

6 h

(30º expresados en radianes, no olvide 

S 180

(1º en radianes) y f c( x)

cos x .

CAPÍTULO 4

LA DERIVADA

3 1 y f c(x0 ) 2 2 Como f ( x ) sen x es una función derivable en todo el eje real, es diferenciable HQGLFKRFRQMXQWR\SRUORWDQWRYHUL¿FD Por otra parte, f (x0 )

'f f ( x0  h )  f ( x0 ) | f c( x0 ).h Es decir: f ( x0  h ) | f ( x0 )  f c( x0 ).h 3 § S · § 29S · 1 sen ¨ .¨  ¸|  ¸ © 180 ¹ 2 2 © 180 ¹

Queda a cargo del lector calcular este valor aproximado y resultaría conveniente que mediante una calculadora observe el valor que otorga el sen 29º. Compare los resultados y saque conclusiones basándose en los conceptos analizados con anterioridad. Es necesario destacar que el valor que proporcione la calculadora no es el valor exacto sino sólo otra aproximación del valor deseado, ya que los cálculos realizados por ella están sujetos a errores aritméticos de redondeo y de uso de algoritmos numéricos. Sólo se toma como referente para realizar una comparación con otra aproximación y poder comprender más fácilmente el concepto de error de linealización expuesto en forma teórica. Si usted se preguntara cuál es el sentido o la importancia de lo expuesto sobre linealización teniendo a mano una calculadora que nos permite rápidamente conocer el valor del sen 29º, no se apresure a pensar que este tema sólo tiene carácter anecdótico o histórico; sin estos conceptos y la generalización a las aproximaciones polinómicas de funciones que veremos más adelante, la calculadora no existiría, por lo menos no como la conocemos.

2. Un tanque cilíndrico tiene un radio de 5m y una altura de 10m. Se GHVHDSLQWDUODVXSHU¿FLHH[WHULRUFRQXQDFDSDGHSLQWXUDGHm de espesor. Determine: a. La cantidad aproximada dV de pintura que se necesita. b. La cantidad exacta 'V de pintura que se necesita. c. El error 'V  dV

231

232

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

Sea x el radio del cilindro en cualquier instante 5m

10 m

ǻx

Figura 74. Gráfico del ejemplo 2 El volumen viene dado por la función: V(x) = 10π x2 (¿cómo se obtuvo este valor?). El diferencial de V en x = 5, será el valor aproximado: dV

V c(5).'x

20.S .5.

1 1000

S

(expresado en m 3 )

10 . 'V es el valor exacto, es decir, 'V V ( x  'x )  V ( x ) 10S .( x  'x ) 2  10Sx 2 10S . 2 x.'x  ( 'x ) 2 'V 10S ( 2).5.(0.001)  (0.001) 2 10S (0.01  0.000001) 'V (0.10001)S

>

'V  dV

>

@

(0.10001  0.1)S

0.00001S

@

10 5 S

14. EJERCICIOS RESUELTOS

Creemos importante recordarle una vez más que no se aprende a resolver problemas mirando lo que hizo otro. Considerando que el ser humano cae fácilmente en la tentación (cualquiera que ésta sea, aunque en este caso específico se trataría de leer el enunciado y bajar la vista rápidamente para tratar de ver “algo” de lo que está hecho), le sugerimos que tape con un papel la resolución, comience a resolver el ejercicio y vaya dejando a la vista lo resuelto solamente si se traba en algún paso o al finalizar su resolución, de modo de poder comparar procedimientos y resultados.

CAPÍTULO 4

233

LA DERIVADA

1. Halle el incremento de la función f ( x) a) x1 1 a

x2

2

b) x1 1 a

x2

1, 2

c) x1 1 a

x2

1  'x

x 2 cuando x pasa de:

Solución

a) f ( x2 )

f ( x1 ) 12 Ÿ f ( x2 )  f ( x1 ) 22  12

22

b) f ( x2 ) 1, 22

4 1 3

f ( x1 ) 12 Ÿ f ( x2 )  f ( x1 ) 1, 22  12 1, 44  1 0, 44

c) f ( x2 ) (1  'x) 2

f ( x1 ) 12 Ÿ f ( x2 )  f ( x1 ) (1  'x) 2  12

1  2'x  ('x) 2  1 2'x  ('x) 2 2. Determine 'y si y a) x 8, 'x

3

x , si:

1

b) x

0, 'x

0, 001

c) x

a, 'x

h

Solución

a) 'y

f ( x  'x)  f ( x)

f (8  1)  f (8)

b) 'y

f ( x  'x)  f ( x)

f (0  0, 001)  f (0)

c) 'y

f ( x  'x)  f ( x)

f ( a  h)  f ( a )

3

738

3

3

3

7 2

0, 001  3 0

0,1

ah  3 a

'y 3. Calcule el incremento 'y y el cociente incremental en los siguientes ' x casos:

a) y b) y

1 cuando x 1 y 'x 0, 2 (2  x 2 ) 2 g ( x) log x cuando x 100 y 'x 90 f ( x)

234

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

Solución

a) 'y

f ( x  'x)  f ( x)

f (1  0, 2)  f (1)

252  142 § 25 · ¨ ¸ 1 142 © 14 ¹ 2

'y 'x b) 'y 'y 'x

429 196 0, 2

1 1 0,562

429 196

2145 196

f ( x  'x)  f ( x)

1 90

1 1  2 2 (2  1, 2 ) (2  12 ) 2

f (100  90)  f (100) log10  log100 1  2 1

1 90

4. ¿Cuál es la velocidad media de un móvil cuya ley de movimiento es y

t 3 con y en kilómetros, t en horas, si 1 d t d 4?

Solución

La velocidad media está dada por el cociente incremental

1 d t d 4 , tendremos

'y 'x

43  13 4 1

63 3

'y , como y 'x

21 medida en km/h.

'y 5. Calcule el cociente incremental para la función y ' x x = 2 si:

a) '

0, 2

b) 'x

t 3 en

c) 'x

0, 01

h( x )

1 en x

0, 0005

¿Cuánto vale h’(2)? Solución

'y a) 'x

h(2  'x)  h(2) 'x

1 1  2  0, 2 2 0, 2

10 1  22 2 2 10



b) 'y 'x

h(2  'x)  h(2) 'x

1 1  2  0, 01 2 0, 01

100 1  201 2 1 100



1 22 2 10



1 2.201 1 100

5 # 0, 2273 22



50 # 0, 2488 201

CAPÍTULO 4

1 1  2  0,0005 2 0,0005

'y c) 'x

235

LA DERIVADA

10000 1  20005 2 5 10000

5 2.20005 5 10000

10000 2.20005



1000 # 0, 2499 4001

Para determinar h '(2) debemos calcular el límite del cociente incremental, como indicamos a continuación:

h '(2)

lim

'x o 0

h(2  'x)  h(2) 'x

1 'x o 0 2(2  'x ) lim



1 1  lim 2  'x 2 'x o 0 'x

1 4

2  (2  'x) 2(2  'x) lim 'x o 0 'x

lim

'x o 0

'x 2'x(2  'x)

0, 25

2 x 3 ( x  1) 2 ( x  2) , halle el valor g '(0); g '(1); g '(2) por

6. Si g ( x) GH¿QLFLyQ Solución

Para calcular la derivada en un punto podemos usar indistintamente cualg (0  'x)  g (0) quiera de las siguientes expresiones g '(0) lim , o bien, 'x o 0 'x g ( x)  g (0) . Usaremos esta última: g '(0) lim x o0 x g '(0)

2 x 3 ( x  1) 2 ( x  2)  0 lim x o0 x 2 x 3 ( x  1) 2 ( x  2)  0 x o1 x 1

g '(1)

g '(2)

lim

2 x 3 ( x  1) 2 ( x  2)  0 xo2 x2

lim

lim 2 x 2 ( x  1) 2 ( x  2) x o0

lim 2 x3 ( x  1)( x  2)

x o1

lim 2 x 3 ( x  1) 2 xo2

0

0

144

7. Demuestre la no existencia de la derivada de las siguientes funciones, en los puntos donde se indica: a) f ( x)

3

x2

b) g ( x)

5

x  2 en

c) r ( x)

senx

en

en

x 0

x x

2 nS , n  Z

236

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

Solución

&DOFXOHPRVXWLOL]DQGRODGH¿QLFLyQGHGHULYDGDHQXQSXQWR1RROYLGHDQDOL]DU previamente la continuidad de la función en el punto que se indica:

a) f '(0)

b) g '(2)

0 3 2 f ( x)  f (0) x lim lim x o0 x o0 x x

0 5 g ( x)  g (2) x2 lim lim xo2 xo2 x  2 x2

1 x o 0 x1/ 3

lim

f de donde f '(0)

1 x o 2 ( x  2) 4 / 5

lim

f

c) Tener en cuenta que sen(nS ) 0 n  Z, además la función senx es una función periódica de período 2S , y x nS n  Z son las raíces de la función. Debido a la periodicidad, lo que ocurra en una de sus raíces se reitera en cada una; por tal razón analizaremos sólo un caso con n = 0: 0 senx r ( x)  r (0) lim r '(0) lim x o0 x o0 x x

senx ­ 1 r '(0 )  °° xlim o0 x Ÿ r '(0) ® ° lim ( senx ) 1 r '(0 ) °¯ x o0 x

8. 8VDQGR OD GH¿QLFLyQ GH IXQFLyQ GHULYDGD YHUL¿TXH ORV VLJXLHQWHV resultados: 1 1 Ÿ f '( x) , xz0 x x2 2 1 Ÿ g '( x) b) g ( x) , xz0 2 x x3 1 x Ÿ h '( x) c) h( x) ,x ! 0 2 x a) f ( x)

Solución

x  ( x  h) 1 1  f ( x  h)  f ( x ) x ( x  h) a) f '( x) lim lim x  h x lim h o0 h o0 h o0 h h h x  x h x  x h x ( x  h) 1 h x ( x  h) lim lim lim  2 =x+hz0 h o0 h o0 h o 0 xh ( x  h) h h x

CAPÍTULO 4

237

LA DERIVADA

b) g '( x) lim h o0

g ( x  h)  g ( x ) h

x 2  ( x 2  2 xh  h 2 ) x 2 ( x  h) 2 lim ho0 h

x 2  ( x  h) 2 x 2 ( x  h) 2 lim h o0 h

1 1  2 2 ( x  h) x lim h o0 h

x 2  x 2  2 xh  h 2 lim ho0 hx 2 ( x  h) 2

lim ho0

 h (2 x  h) hx 2 ( x  h) 2

c) Debido a que la función es h(x), para evitar confusiones no llamaremos h al incremento de la variable independiente:

h '( x)

lim

'x o 0

lim

'x o 0

h( x  'x)  h( x) 'x

lim

'x o 0

x  'x  x 'x

( x  'x  x )( x  'x  x ) 'x( x  'x  x )

'x 'x o 0 'x ( x  'x  x) lim

lim

'x o 0

lim

'x o 0

x  'x  x 'x( x  'x  x )

1 x  'x  x

1 2 x

1 1 y g ( x) halle las ecuaciones de las x x2 rectas tangente y normal en (a, f (a)) con a no nulo.

9. a) Para las funciones f ( x)

b) Pruebe que la recta tangente no corta a f, salvo en (a, f (a)). c) Demuestre que la tangente a g en (a, g (a))FRUWDODJUi¿FDGHg en otro punto.

Solución

a) Para f ( x)

1 : x

Sabemos que la ecuación de la recta tangente en (a, f (a)) está dada por t : y f (a )  f '(a )( x  a ) 1 , a z 0 (ver ejemplo resuelto 8.a), la recta tana2 gente para esta función será:

como f '(a )

2 x x4

2 =x+hz0 x3

238

Cálculo diferencial e integral en una variable real

1 1  ( x  a) a a2

y

a  ( x  a) a2

Ejemplos y Ejercicios resueltos

2a  x ,az0 a2

(13)

Por otra parte, la recta normal es 1 n : y f (a)  ( x  a ) si f '(a ) z 0 f '(a ) En nuestro caso tendremos n: y

1  a 2 ( x  a) a

Para la función g ( x)

1  a 4  a3 x a

1 : x2

Del ejercicio 8.b) tenemos g '( x) t: y

1 2  ( x  a) a 2 a3

y la normal será n: y



a  2( x  a ) a3

2 , luego la recta tangente será x3 3a  2 x a3

1 a3  ( x  a) a2 2

(14)

2  a 6  a5 x 2a 2

b) Debemos resolver un sistema de ecuaciones: ­ °° y ® °y °¯

1 1 x Ÿ 2a  x x ,az0 2 a

2a  x Ÿ a2 a2

2ax  x 2 Ÿ a 2  2ax  x 2

0Ÿ

Ÿ (a  x) 2

0 de donde x = a es raíz doble con lo que ambas se intersecan sólo en (a, f (a))

c) Procedemos a resolver el sistema ­ °° y ® °y °¯

1 3a  2 x x2 Ÿ 3a  2 x a3 a3

1 Ÿ 3ax 2  2 x3 2 x

a 3 Ÿ 3ax 2  2 x3  a 3

0

CAPÍTULO 4



239

LA DERIVADA

&RPRVHSXHGHYHUL¿FDUIiFLOPHQWHx = a es raíz de la ecuación, para encontrar las restantes raíces dividimos el polinomio (3ax 2  2 x 3  a 3 ) : ( x  a ) XVDQGR5XI¿QL -2 a -2

3a

0

- a3

-2a

a2

a3

a

a2

0

Luego la ecuación dada se puede factorizar así: 3ax 2  2 x 3  a 3

( x  a )(2 x 2  ax  a 2 )

1 2( x  a) 2 ( x  a) 2

factorizando la cuadrática. 

3RUWDQWRODVJUi¿FDVGHDPEDVIXQFLRQHVVHLQWHUVHFDQHQa; f (a)) 1 4 y en ( a; 2 ) 2 a

10. a) Un astronauta viaja de izquierda a derecha a lo largo de f (x) = x2. Al desconectarse el cohete en x = a, se desplazará a lo largo de la tangente a la curva en (a, f (a)). ¿En qué punto debe desconectar el cohete para alcanzar el punto: a-1) (4, 9) a-2) (4, -9). b) Si el astronauta viaja a lo largo de f (x) = x3 – x, ¿dónde debe desconectar el cohete para pasar por (2, 2)?

Solución y y = x2 t

9

4

x

Figura 75. Gráfica del ejercicio resuelto 10

240

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

a-1) Cuando el astronauta se desconecte del cohete, se desplazará a lo largo de la recta tangente, como debe pasar por un punto ubicado en el primer cuadrante; la recta tangente deberá tener pendiente

f '(a )

positiva

2a ! 0 Ÿ a ! 0 . Tendremos por tanto a  2a ( x  a ) Ÿ y 2ax  a 2 y como debe

y f (a )  f '(a )( x  a ) pasar por el punto (4, 9), nos queda 9 = 8a– a 2 Ÿ a 2  8a  9 0 cuyas 2

raíces son 4  7 y 4  7 . La primera es un número mayor que 4, y SRUWDOUD]yQORGHVFDUWDPRV£REVHUYHHOJUi¿FR)LJ\FRQYpQ]DVH de ello!), con lo que la abscisa del punto de tangencia es 4  7 y su ordenada (4  7) 2 . De manera análoga se resuelve a-2) b) La función es f (x) = x3 – x, su derivada es f '( x) 3 x 2  1. La recta tangente en (a; f (a)) es

y

3 a,  a  (3a 2  1) ( x  a ) (3a 2  1) x  a 3  a  3a 3  a Ÿ  f (a)

y

f '( a )

(3a 2  1) x  2a 3 y pasa por (2; 2) de donde tendremos:

2 (3a 2  1)2  2a 3 Ÿ 4  6a 2  2a 3

0 Ÿ 2  3a 2  a 3

0

ecuación que admite como raíz a a = 1. Para hallar si tiene otras UDtFHVUHDOHVXVDPRV5XI¿QL 1 1 1

Verifique Ud. que las otras dos raíces deben descartarse y justifique por qué.

-3

0

2

1

-2

2

-2

-2

0

Con lo que 2  3a 2  a 3 (a  1)(a 2  2a  2) (a  1)(a  1  3)(a  1  3). ¿Cuál de estas raíces tiene sentido para nuestro problema? Esboce XQJUi¿FRGHODIXQFLyQ\ORFDOLFHHQpOHOSXQWR 6La = 1 la tangente es y 2 x  2 y pasa por (2; 2), el punto de tangencia es (1; 0).

11. La función f es derivable, ¿qué característica tiene su función derivada si: a) f es periódica de período T ?

b) f es par?

c) f es impar?

CAPÍTULO 4

241

LA DERIVADA

Solución

a) Sabemos que una función es periódica de período T > 0 si f ( x) f ( x  T ) Ÿ f '( x) f '( x  T ).( x  T ) ' f '( x  T ) de donde f’ también es periódica de período T. b) Sabemos que si una función es par f ( x)

Ÿ f '( x)

f ( x) x  D f Ÿ

 f '( x) de modo que la f’ es impar

c) Si la función es impar f ( x) que la f’ es par.

 f ( x) Ÿ f '( x)

f '( x) de modo

12. Sea f ( x) d x 4 x . Analice continuidad y derivabilidad de f en el origen.

Solución

Como f ( x) d x 4 x Ÿ f (0) d 0 pero un módulo nunca puede ser negativo, con lo que f (0) 0 Ÿ f (0) 0 (15) Además f ( x) d x 4 Ÿ  x 4 d f ( x) d x 4 por la propiedad del sandwich:

­lim x 4 0 ½ ° x o0 ° f ( x) 0 ® ¾ Ÿ lim 4 x o0  lim( x ) 0 °¯ x o0 °¿

(16)

De (15) y (16) tenemos que la función f es continua en x = 0. 0 f ( x)  f (0) Para analizar la derivabilidad debemos calcular f '(0) lim x o0 x0

como tenemos información sobre la función en módulo, consideremos:

f '(0)

0 f ( x)  f (0) lim x o0 x

f ( x) d x 4 Ÿ

lim x o0

f ( x) y como x

f ( x) f ( x) 3 3 3 d x Ÿ x d d x de donde x x

(17)

242

Cálculo diferencial e integral en una variable real

­lim x 3 0 ½ f ( x) ° x o0 ° ® ¾ Ÿ lim 3  x ) 0 ° x o0 x °lim( ¿ ¯ x o0

Ejemplos y Ejercicios resueltos

0 por (5) esto es f’(0)=0

13. Usando reglas de derivación calcule las derivadas de las siguientes funciones (considere las primeras letras del abecedario como constantes): a) y

ax  b ab

b) y

ax  b cx  d

c) y

1 1 1   x x 2 x3

d) y

1  x  x2 1  x  x2

e) y

x 2 (1  x) (1  x)3

f) y

(2  x 2 )(3  x 3 ) (1  x) 2

g) y

x 1  x4

h) y

1  x3 1  x3

j) y

cos 2 x  2 senx

l) y

cos x 2 sen 2 x

n) y

4 3 tg 2 x  3 tg 8 x

i) y

3

k) y

(2  x 2 ) cos x  2 xsenx

m) y

senx  x cos x cos x  xsenx  x3

ñ) y

e

p) y

e ax

r) y

1 x2 1 ln 4 x2  1

t) y

1 2 cot x  ln senx 2

u) y

x 2 a2 x  a 2  ln( x  a 2  x 2 ) 2 2

w) y

xarcsen

asenbx  b cos bx a b 2

2

x  arctg x  x 1 x

x a  x2 2

tg

1 x

o) y

2

q) y

ln 3 x 2

s) y

ln( x  x 2  1)

v) y

arctg

x) y

ln

x2 a

x a x2

a x  arctg b b2 b

CAPÍTULO 4

243

LA DERIVADA

Solución

ax  b ab

a) y

Como a y b son constantes y'

1 (ax  b) ' ab

1 ((ax) ' b ') ab

a ab

ax  b cx  d

b) y

Debemos usar la derivada del cociente de y nos queda:

y'

(ax  b) '(cx  d )  (ax  b)(cx  d ) ' (cx  d ) 2

acx  ad  acx  bc (cx  d ) 2

u Ÿ y' v

u ' v  uv ' , v2

a (cx  d )  (ax  b)c (cx  d ) 2

ad  bc (cx  d ) 2

1 1 1  2  3 x 1  x 2  x 3 x x x Usamos la derivada de la potencia, si y = un Ÿ y’= nun–1 . u’ y como u = x Ÿ u’= 1

c) y

y '  x 2  2 x 3  3 x 4



1 2 3   x 2 x3 x 4



x2  2 x  3 x4

1  x  x2 Nuevamente la derivada del cociente: 1  x  x2

d) y

y'

(1  x  x 2 ) '(1  x  x 2 )  (1  x  x 2 )(1  x  x 2 ) ' (1  x  x 2 ) 2

(1  2 x)(1  x  x 2 )  (1  x  x 2 )(1  2 x) (1  x  x 2 ) 2 1  x  x 2  2 x  2 x 2  2 x3  1  x  x 2  2 x  2 x 2  2 x3 (1  x  x 2 ) 2

2  4x (1  x  x 2 ) 2

2(1  2 x) (1  x  x 2 ) 2

244

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

x (1  x) (1  x)3

e) y

2

y'

x '(1  x) 2 (1  x)3  x[(1  x) 2 (1  x)3 ]' [(1  x) 2 (1  x)3 ]2

(1  x) 2 (1  x)3  x[2(1  x)(1)(1  x)3  (1  x) 2 3(1  x) 2 ] [(1  x) 2 (1  x)3 ]2 (1  x) 2 (1  x)3  x(1  x)(1  x) 2 [2(1  x)  (1  x)3] [(1  x) 2 (1  x)3 ]2

(1  x)(1  x) 2

(1  x)(1  x)  x(2  2 x  3  3 x) (1  x) 4 (1  x)6

1  x 2  x(1  5 x) (1  x)3 (1  x) 4

1  x2  x  5x2 (1  x)3 (1  x) 4

1  4 x2  x (1  x)3 (1  x) 4

(2  x 2 )(3  x 3 ) (1  x) 2

f) y

y'

[(2  x 2 )(3  x3 )]'(1  x) 2  (2  x 2 )(3  x 3 )[(1  x) 2 ]' (1  x) 4

[(2  x 2 ) '(3  x3 )  (2  x 2 )(3  x3 )'](1  x) 2  (2  x 2 )(3  x3 )2(1  x)( 1) (1  x) 4

[2 x(3  x3 )  (2  x 2 )(3 x 2 )](1  x) 2  (2  x 2 )(3  x3 )2(1  x)( 1) (1  x) 4 (1  x)

(6 x  2 x 4  6 x 2  3 x 4 )(1  x)  (6  2 x3  3 x 2  x5 )2 (1  x) 4

6 x  2 x 4  6 x 2  3 x 4  6 x 2  2 x5  6 x3  3 x5  12  4 x3  6 x 2  2 x5 (1  x)3

12  6 x  6 x 2  2 x 3  5 x 4  3 x 5 (1  x)3

CAPÍTULO 4

245

LA DERIVADA

x 1 x

g) y y'

1 4 2

x(1  x )

4

1 4 2

1  1 4 x '(1  x )  x[(1  x ) ]' (1  x )  x[ (1  x ) 2 4 x3 ] 2

1  x4 

1 4 2

1 4 2

4x4

1  x4  2 x4

1  3x 4

2 1  x4

1  x4

1  x4

x

h) y

a2  x2 1

y'

x ' a 2  x 2  x( a 2  x 2 ) ' ( a 2  x 2 )2

x2

a x  2

2

a2  x2  x2

a2  x2 ( a 2  x 2 )2

i)

 1 a 2  x 2  x (a 2  x 2 ) 2 (2 x) 2 ( a 2  x 2 )2

a 2  x 2 ( a 2  x 2 )2 1

y

y'

1 § 1  x3 · 3 § 1  x3 · ¨ ¸ ¨ ¸ 3 © 1  x3 ¹ © 1  x3 ¹

2

'

2

1 § 1  x3 · 3 (1  x3 ) '(1  x3 )  (1  x3 )(1  x3 ) ' ¨ ¸ 3 © 1  x3 ¹ (1  x3 ) 2

2

1 § 1  x3 · 3 3 x 2 (1  x3 )  (1  x3 )(3 x 2 ) ¨ ¸ 3 © 1  x3 ¹ (1  x3 ) 2

2 x 2 (1  x3 ) 4 / 3 (1  x3 ) 2 / 3 y

( a 2  x 2 )3

§ 1  x3 · 3 ¨ 3 ¸ © 1 x ¹

1  x3 3 1  x3



j)

a2

3 3 1 (1  x3 ) 2 / 3 2 1 x 1 x .3 x 3 (1  x3 ) 2 / 3 (1  x 3 ) 2

2 x2 3

(1  x3 ) 2 (1  x3 ) 4

cos 2 x  2 senx

y '  sen 2 x.(2 x) ' 2 cos x

2 , sen 2 x  2 cos x 2 senx cos x

2 cos x(2 senx  1)

246

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

(2  x 2 ) cos x  2 xsenx

k) y

y ' (2  x 2 ) 'cos x  (2  x 2 )( senx)  2( x ' senx  x cos x)

2 x cos x  2 senx  x 2 senx  2 senx  2 x cos x l)

y

cos x 2 sen 2 x

y'

(cos x) ' 2sen 2 x  cos x(2 sen 2 x) ' (2 sen 2 x) 2

x 2 senx

 senx.2 sen 2 x  cos x.4 senx cos x (2 sen 2 x) 2

1 cos x sen 2 x  2 cos 2 x  2sen3 x 2

2 senx.( sen x  2 cos x) 4 sen 4 x 2

2

1  cos 2 x  2 sen3 x

senx  x cos x cos x  xsenx

m) y

y'

( senx  x cos x) '(cos x  xsenx)  ( senx  x cos x)(cos x  xsenx) ' (cos x  xsenx) 2

[cos x  (cos x  xsenx )](cos x  xsenx )  ( senx  x cos x )( senx  senx  x cos x ) (cos x  xsenx) 2

xsenx(cos x  xsenx)  ( senx  x cos x) x cos x (cos x  xsenx) 2 senx cos x  xsen 2 x  cos xsenx  x cos 2 x x (cos x  xsenx) 2

n) y

1

  2 2 x ( sen x  cos x) x (cos x  xsenx) 2

x2 (cos x  xsenx) 2

4 3 tg 2 x  3 tg 8 x

4(tgx) 2 / 3  (tgx)8 / 3

2 8 y ' [4 (tgx) 1/ 3  (tgx)5/ 3 ]sec 2 x 3 3

8sec 2 x 1  tg 2 x . 3 tgx 3

8sec 4 x 3 3 tgx

º 8sec 2 x ª 1  3 tg 5 x » «3 3 ¬« tgx ¼»

CAPÍTULO 4

247

LA DERIVADA

e  x Ÿ y ' e  x ( x3 ) ' 3 x 2 e  x 3

ñ) y o) y 2

tg

2

1 x

tg

3

Ÿ y' 2

tg

1 x

1 (tg ) 'ln 2 x

2

tg

1 x

3

1 1 sec 2 .( ) 'ln 2 x x

2

tg

1 x

1 1 sec 2 . 2 ln 2 x x

1 x

ln 2 1 x 2 cos 2 x

e ax

p) y

asenbx  b cos bx a 2  b2

y ' (e ax ) '.

ae ax

asenbx  b cos bx a b 2

2

asenbx  b cos bx a b 2

e ax a b 2

2





1 a b 2

1 a b 2

2

2

e ax (asenbx  b cos bx) '

e ax (ab cos bx  b 2 senbx)

ª¬ a 2 senbx  ab cos bx  ab cos bx  b 2 senbx º¼

2

(a 2  b 2 )e ax senbx a b 2

a 2  b 2 .e ax senbx

2

ln 3 x 2

q) y

1 y ' 3ln x . 2 ( x 2 ) ' x 2

2

6x 2 2 ln x x2

6 ln 2 x 2 x

1 x2 1 ln 4 x2  1

r) y

y'

§ x2 1 · ¨ 2 ¸ 1 © x 1¹ 4 x2 1 x2  1

'

1 x 2  1 ( x 2  1) '( x 2  1)  ( x 2  1)( x 2  1) ' . . 4 x2 1 ( x 2  1) 2

1 1 2 x( x 2  1)  ( x 2  1)2 x 4 x2 1 x2  1

1 2x 2 2 2 4 x 1 x 1

x x 1 4

1 2 x x2  1  x2  1 4 x2 1 x2  1

248

Cálculo diferencial e integral en una variable real

ln( x  x 2  1)

s) y

1  1 1  ( x 2  1) 2 2 x 2 y' x  x2  1

t)

1

x2  1  x

x

x2  1 x  x2  1

x2  1 x  x2  1

1 x2  1

1 2 cot x  ln senx 2

y

y'

1 cos x 2 cot x(cot x) ' 2 senx

cos x cos x (cosec 2 x)  senx senx

cos x  cos 2 x . senx sen 2 x

u) y

Ejemplos y Ejercicios resueltos



cot x(cosec 2 x) 

cos x 1  sen 2 x . senx sen 2 x

cos x 1 (  1) senx sen 2 x

 cos3 x sen3 x

cos x senx

 cot 3 x

x 2 a2 x  a 2  ln( x  a 2  x 2 ) 2 2

§ x· y' ¨ ¸ ©2¹

'

2 1

x a x 2  a 2  ( x 2  a 2 ) ' 2 2

1  2 2

x 1 2 1 2 x  a2  (x  a ) 2 2 2

2x

1  1 2 ( x  a2 ) 2 2 x 2 x  a2  x2

1

x

a x  a2 2 x  a2  x2 2

2

a2  x2  x 1 2 x2 a2 x2  a2 x  a2   2 2 x2  a2 2 x  a2  x2 1 2 x2 a2 x  a2   2 2 x2  a2 2 x2  a2 1 2 1 2 x  a2  x  a2 2 2

x2  a2

1 2 x2  a2 x  a2  2 2 x2  a2

CAPÍTULO 4

v) y

249

LA DERIVADA

arctg

x2 a '

§ x2 · ¨ ¸ © a ¹ y' 2 § x2 · 1 ¨ ¸ © a ¹

w) y

xarcsen

2x a x4 1 2 a

2x a 2 a  x4 a2

2ax a  x4 2

x  arctg x  x 1 x '

§ x x · ( x)' y ' arcsen  x ¨¨ arcsen  ( x)' ¸¸  1 x 1  x ¹ 1  ( x )2 © 1

donde nos hace falta calcular: ( x ) '

§ x · ¨¨ arcsen ¸ 1  x ¹¸ ©

§ x · ¨ ¸ © 1 x ¹

'

1 1 x 1 x  x 2 x (1  x) 2 1 1 x

como así también

§ x · ¨ ¸ x ©1 x ¹ 2 1 x x 1 1 x 1

'

§ x · 1 ¨ ¸ © 1 x ¹

2 x

2

1 1 x 1 2 x (1  x) 2 1 1 x

1 x 1 1 x 2 x  1 x 2(1  x) x 1  x 2 x

arcsen

x x 1 1    1  x 2(1  x) 2 x (1  x) 2 x

arcsen

x x 11 x  1  x 2 x (1  x)

arcsen

'

1 1  x x '(1  x)  x(1  x) ' 2 (1  x) 2 x 1 x  x 1 x

1 1 x 1 x 2 (1  x) 2 x

reemplazándolas en (18) tendremos:

y ' arcsen

x 1 x

(18)

1 2(1  x) x

250

Cálculo diferencial e integral en una variable real

x) y

ln

Ejemplos y Ejercicios resueltos

xa

a x  arctg b x2  b2 b '

y'

' § xa · § x· ¨ 2 ¸ ¨ ¸ 2 © x b ¹  a ©b ¹ xa b § x ·2 1 ¨ ¸ x2  b2 ©b¹

1 x  b ( x  a ) ' x  b  ( x  a)( x  b ) ' a b  x2 xa b ( x 2  b2 )2 1 2 b 2

x b xa 2

2

2

2

2

2

2x

x 2  b2  ( x  a)

1 a 2 x b  b 2 2 2 2 b  x2 b ( x b ) b2

2

2

2

x 2  b 2  x 2  ax a x2  b2  2 2 ( x  a) x 2  b2 b  x b 2  ax  ax  a 2 ( x  a )( x 2  b 2 )

b 2  ax a  2 2 2 ( x  a)( x  b ) b  x 2

b2  a 2 ( x  a )( x 2  b 2 )

14. Obtenga la derivada de las siguientes funciones usando derivación logarítmica: a) y

1 1 xx

b) y

x

1 x 1 x

Solución '

' (xx ) ' § 1 · ª x 1 º x 2 x 1 x 1 x ( x ) '     (19) a) y ' ¨  ¼»  x ¸ (1  x x ) 2 © 1  x ¹ ¬« donde para calcular la derivada del numerador usaremos derivación logarítmica (observe que x > 0). Llamamos:

u

x x Ÿ ln u

x ln x Ÿ

u' u

ln x  x .

1 Ÿ u ' u (ln x  1) x

x x (ln x  1)

CAPÍTULO 4

251

LA DERIVADA

reemplazando en (19) nos queda: y '

x x (ln x  1) (1  x x ) 2

1 x , si aplicamos logaritmos tendremos que tener en cuenta 1 x 1 x que el cociente t 0 Ÿ –1 < x d 1, con lo que el dominio es el 1 x intervalo (–1, 1], pero el análisis de derivabilidad deberá hacerse en el (–1, 1) (¿por qué?), por tanto, al haber valores de x para los que la función es negativa, deberemos considerar la aplicación de módulos previamente:

b) y

x

y

x

Ÿ

y' y

1 x Ÿ ln y 1 x

1 ln x  ¬ªln 1  x  ln 1  x ¼º Ÿ 2

1 1 ª 1 1 º  «  x 2 ¬1  x 1  x »¼

2  2 x2  x  x2  x  x2 2 x(1  x)(1  x)

2(1  x)(1  x)  x(1  x)  x(1  x) 2 x(1  x)(1  x) 2  2 x2  2 x 2 x(1  x)(1  x)

1  x2  x x(1  x)(1  x)

de donde, despejando: y'

y’

15.

y

1  x2  x x(1  x)(1  x)

x

1  x 1  x2  x Ÿ 1  x x(1  x)(1  x)

1  x2  x (1  x) (1  x)3

Si se sabe que f es derivable, encuentre y’: f (e x )e f ( x )

a) y

b) y

f ( sen 2 x)  f (cos 2 x)

Solución

Aquí es fundamental el uso de la regla de la cadena: a) y ' ª¬ f (e x ) º¼ ' e f ( x )  f (e x ) ª¬e f ( x ) º¼ '

f '(e x )e x e f ( x )  f (e x )e f ( x ) f '( x)

e f ( x ) [ f '(e x )e x  f (e x ) f '( x)] b) y '

f '( sen 2 x)2 senx cos x  f '(cos 2 x)2 cos x( senx)

2 senx cos x[ f '( sen 2 x)  f '(cos 2 x)] sen2 x[ f '( sen 2 x)  f '(cos 2 x)]

252

Cálculo diferencial e integral en una variable real

16.

Si f ( x)

1 ­ n ° x cos x ® °¯0

Ejemplos y Ejercicios resueltos

xz0 x

0

¿Cuál es la condición que debe cumplir n para que la función: a) sea continua en x = 0; b) sea derivable en x = 0; c) tenga derivada continua en x = 0.

Solución

Para que la función resulte continua en el origen lim f ( x)

f (0) . Sabemos

x o0

que f (0) 0 , calculemos entonces lim f ( x) x o0

1 lim x n . cos x o0 x ,

f (0)

0

función acotada

sólo si lim x x o0

n

0 SRUTXHQRVTXHGDUtDHOSURGXFWRGHXQLQ¿QLWpVLPRSRUXQD

función acotada, para ello necesitamos que n ! 0 . En síntesis, f es continua en x = 0 si n ! 0 . a) Para que sea derivable en x = 0, se requiere que sea continua, con lo que n ! 0 y además que f '(0) lim x o0

f ( x)  f (0) x0

x n cos lim x o0

x

1 x

1 lim x n 1 cos Ÿ f '(0) x o0 x , acotada

si el lim x n 1 x o0

0 Ÿ n  1 ! 0 Ÿ n ! 1 . En síntesis, f es

derivable en x = 0 si n ! 1 , en cuyo caso f '(0) 0 . b) Para que la función tenga derivada continua en x = 0 tiene que ocurrir que lim f '( x) f '(0) . Para ello calculemos x o0 f '( x) si x z 0 : 1 1· § f '( x) ( x ) '.cos  x n . ¨ cos ¸ x x¹ © n

'

1 1 § 1 · nx n 1 cos  x n sen . ¨  2 ¸ , x x © x ¹

de esta manera nos queda, y teniendo en cuenta que en b) calculamos f '(0) 0 con n ! 1:

f '( x)

1 1 ­ n 1 n2 si x z 0 °nx cos  x sen x x ® °¯0 si x 0

de donde

CAPÍTULO 4

253

LA DERIVADA

§ · 1 1¸ ¨ n 1 n2 lim f '( x) lim ¨ n , x cos  x sen ¸ 0 œ lim x n  2 x o0 x o0 x o0 x x¸ , ¨ o0 , acotada acotada ¹ ©

0Ÿ

Ÿ n  2 ! 0 Ÿ n ! 2 . En síntesis, la función tiene derivada continua en x = 0 si n ! 2 . ­ x2 si x d c ® ¯ax  b si x ! c

17. Si g ( x) 

¢&yPRGHEHQHOHJLUVHORVFRH¿FLHQWHVa y b para que la función admita derivada en x = c?

Solución

Por condición necesaria, la función debe ser continua en x = c, de modo que se debe cumplir: lim g ( x) lim g ( x) lim g ( x) g (c). x oc

x oc

x oc

En nuestro caso g (c) c 2 . Además lim g ( x) x oc

igualando: c 2

lim x 2

x oc

š

c2

x oc

lim (ax  b)

x oc

ac  b

luego,

ac  b

(20) g '(c  )

Por otra parte, para que g '(c) laterales:

lim

lim g ( x)

x oc

g ( x )  g (c ) x2  c2 lim x oc xc xc usando la igualdad (20)

lim

x oc

g '(c  ) . Calculemos las derivadas

( x  c)( x  c) xc

lim ( x  c)

x oc 

2c

g '(c  )

ac  b

g ( x )  g (c ) lim x oc xc

ax  b  c 2 lim x oc  xc

lim

x oc

Por tanto a 2c , y como (por (20)) c 2 c 2 2c 2  b Ÿ b  c 2 .

ax  b  ac  b xc

lim

x oc

a( x  c) xc

a

g '(c  )

ac  b reemplazando nos queda que

En consecuencia, para que la función sea derivable en x = c, tiene que ocurrir a 2c y b  c 2 .

254

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

18. Para cuestionarse: a) Si existe f ’(c) pero no existe g’(c), ¿qué puede decirse de derivada de la función h(x) = f(x) + g(x) en x = c? b) Si no existen f ’(c) ni g’(c), ¿qué puede decirse de la derivada de la función h(x) = f(x) + g(x) en x = c? c) Si existe f ’(c) pero no existe g’(c), ¿qué puede decirse de derivada de la función h(x) = f(x).g(x) en x = c? d) Si no existen f ’(c) ni g ’(c), ¿qué puede decirse de h’(c) si h(x) = f(x).g(x)? e) Si la función f(x) es derivable en el intervalo (a; f) š  lim f ( x) x of ¿Se deduce de ello que  lim f '( x)? x of

f) ¿Se puede derivar término a término una desigualdad entre funciones de modo que se conserve la misma? Solución

D  3RGHPRVD¿UPDUTXHQRH[LVWHh’(c) ya que, supuesta la continuidad de g, la derivada estaría dada por: f ( x )  g ( x )  f (c )  g (c ) h '(c) lim x oc xc

ª º « f ( x )  f (c ) g ( x )  g (c ) »  lim « x oc xc x  c »» «  o f '( c ) ¬ ¼

ª g ( x )  g (c ) º luego el límite existirá sólo si  lim « que es g’(c). x oc ¬ x  c »¼ b) No se puede generalizar, dependerá de cuáles sean dichas funciones. Por ejemplo, si f ( x)

x

š

g ( x)

x

en

x

0 . Ambas son

continuas y no derivables en x = 0, sin embargo h(x) = 0, función constante, que sí es derivable. En cambio, si f ( x)

x

g ( x) en

x

0,

la función será h(x) =2 x que no es derivable en el origen.

c) Podríamos tentarnos en decir que no existe h’(c), pero ello depende de quienes son las funciones. Por ejemplo, si f ( x) f es derivable en x = 0 pero g no; la función h( x) en 0 ya que h '(0) lim x o0

x2 x x

lim x x x o0

0.

x 2 š g ( x)

x,

x 2 x es derivable

CAPÍTULO 4

255

LA DERIVADA

En cambio, con sólo sustituir la f por f ( x) x 2  1 nos queda ­ ( x 2  1) x lim 1 ( x 2  1) x °° x o0 x Ÿ h '(0). De modo h '(0) lim ® 2 x o0 x ° lim ( x  1)( x) 1 °¯ x o0 x que QDGDVHSXHGHD¿UPDUEDMRHVDVKLSyWHVLV. d) No podemos generalizar. Consideremos el caso f ( x) Ÿ h( x )

x

2

g ( x)

x

2

x , ni f ni g son derivables en 0, pero sí lo es

la función h en x   9HUL¿TXH 8G YHU TXH VL VH HOLJLHVHQ 2 f ( x) x y g ( x) x , la función h no sería derivable en el origen. cos( x 2 ) x con x > 0. Es derivable por ser un cociente, con denominador no nulo, de funciones derivables, el denominador es polinómico y por tanto derivable, y el numerador es una composición entre la función coseno, que es derivable para todo x, y la potencia x2 que también cos( x 2 ) 1 lim .cos( x 2 ) 0 . Calculemos la lo es. Además lim  x of x of x x , derivada: acotada

e) No se deduce. Analicemos el siguiente ejemplo: f ( x)

o0

 sen( x 2 ).2 x.x  cos( x 2 ) x2 y ahora veamos f '( x)

1 ª º lim « 2 sen( x 2 )  2 cos( x 2 ) » x of x ¬ ¼

2 sen( x 2 ) 

1 cos( x 2 ) , x2

1 2 lim sen( x 2 )  lim 2 .cos( x 2 )  x of x of x  , acotada 

o0

de donde  lim f '( x) x of

f) No. Sean las funciones f ( x) e x š g ( x) 1 x  0 : f ( x)  g ( x) Ÿ e x  1 , si derivamos, obtendremos e x < 0, lo que es absurdo para x < 0. 19. ¿Con qué velocidad varían el área y la longitud de la diagonal de un rectángulo en el momento en que la base vale 20m y la altura 15m, si la base se contrae con una velocidad de 1m/s y la altura se dilata con velocidad igual a 2m/s?

256

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

Solución

D

h

b

Figura 76. Gráfica del ejercicio resuelto 19 El área es A = b.h donde A, b y h son funciones del tiempo. La derivada de A respecto del tiempo nos dará la velocidad con que varía el área, así tenemos: dA dt

db dh hb dt dt

1

m m 15m  20m 2 s s

25

m2 s

donde las velocidades de contracción y de dilatación tienen distinto signo (¿por qué?). En cuanto a la diagonal D, se puede pensar como la hipotenusa de un triángulo rectángulo; usando el teorema de Pitágoras, tenemos que D h 2  b 2, derivando respecto del tiempo nos queda: dD dt

db º ª dh 2h  2b » « dt ¼ 2 h 2  b 2 ¬ dt

de donde

1

dD dt

h

dh db b dt dt 2 h  b2

15m 2

m m  20m (1 ) s s

(15m) 2  (20m) 2

0,4m/s.

20. Desde el puerto de Buenos Aires salen simultáneamente dos barcos, uno de bandera liberiana y el otro de bandera canadiense, en direcciones Norte y Este, respectivamente. ¿Con qué velocidad aumenta la distancia entre ellos si el que se dirige al Norte lleva una velocidad de 30km/h en tanto que el canadiense se desplaza a 40km/h? Solución

km .t . Si c es Llamando l a distancia recorrida por el barco liberiano, l 30 h km .t . Se alejan uno del la distancia recorrida por el barco canadiense, c 40 h otro en direcciones perpendiculares. La distancia entre ambos será la hipotenusa D del triángulo rectángulo, de catetos l y c, con lo que, por Pitágoras

CAPÍTULO 4

D

l 2  c2 Ÿ D

de donde

257

LA DERIVADA

dD dt

50

(30

2

§ km · 2 2500 ¨ ¸ t © h ¹

km 2 km 2 t )  (40 t) h h

50

km t h

km h

21. Halle la derivada de las siguientes funciones, utilizando el concepto de derivada de la inversa: a) f : R o (

S S

; ) / f ( x) 2 2

b) g : R o R / g ( x) arg shx

arctgx

Solución

Recordemos que dada y f 1 ( x) de modo que x ambas igualdades dependiendo de la variable x. a) Si y dy Ÿ dx

arctgx Ÿ x tgy Ÿ 1 1  x2

b) g 1 : R o R / y Ÿ

dx dy

cosh y

22. Si f : R o R / f ( x)

dx dy

f ( y ) entonces

dy ( x) dx

1 dx dy

sec 2 y 1  tg 2 y 1  x 2 Ÿ

df 1 ( x) dx

g 1 ( x) arg senhx Ÿ x 1  senh 2 y

senhy Ÿ

1  x2 Ÿ

x  3  x3 , calcule

dy dx

1 1  x2

df 1 ( x) dx

df 1 (3) dx

Solución

Debemos averiguar el valor de a / a  3  a 3

3Ÿ a

que f(0)=3. Además f '( x) 1  3 x 2 . Luego

df 1 (3) dx

dy 23. Determine si: dx

­x ° a) ® °¯ y

3

1 t 1 3 t

0. De esta manera sabemos 1 1 f '(0)

­° x a cos3 t b) ® 3 °¯ y asen t

258

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

Solución

dy dt (si no lo recuerda, el tema teórico dx dt correspondiente a derivación paramétrica). dy Deberemos tener en cuenta que dx

a)

dx dt

dy dt

1 1 (1  t ) 2 / 3 ( ) 3 2 t

1 6 t 3 (1  t ) 2

1

1

1 ( t 2 / 3 ) 3 2 1 3 t

6 1 3 t 3 t2

1 dx

6 t (1  t ) 3

a cos3 t Ÿ

b) Como x y

t 3 (1  t ) 2

6 1 3 t 3 t2 1

luego dy

dy asen t Ÿ dt 3

1 3 t 3 t2

3

(1  t ) 2 1 3 t 6 t

6

(1  t ) 4 t (1  3 t )3

2

dx dt

3a cos 2 t.sent , además

dy 3asen t.cos t Ÿ dx 2

3asen 2t.cos t 3a cos 2 t.sent

tgt

24. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva GH¿QLGDHQIRUPDSDUDPpWULFDHQGRQGHVHLQGLFD

­ °° x a) ® °y °¯

2t  t 2 1 t3 en t 2t  t 2 1 t3

2 °­ x 2t  3t b) ® 2 3 °¯ y t  2t

0

en (5;3)

Solución

Recordemos que las ecuaciones pedidas para y t:y

f (a )  f '(a )( x  a)

n: y

f (a) 

f ( x) son:

1 ( x  a) si f '(a )

f '(a) z 0

a) Cuando t = 0, x = a = 0 e y = f(a) = 0. Por otra parte, debemos calcular la derivada:

CAPÍTULO 4

259

LA DERIVADA

dx dt

(2  2t )(1  t 3 )  (2t  t 2 )3t 2 (1  t 3 ) 2

2  2t 3  2t  2t 4  6t 3  3t 4 (1  t 3 ) 2

2  4t 3  2t  t 4 (1  t 3 ) 2

dy dt

(2  2t )(1  t 3 )  (2t  t 2 )3t 2 (1  t 3 ) 2

2  2t 3  2t  2t 4  6t 3  3t 4 (1  t 3 ) 2

2  4t 3  2t  t 4 (1  t 3 ) 2

de donde:

2  4t 3  2t  t 4 (1  t 3 ) 2 2  4t 3  2t  t 4 (1  t 3 ) 2

dy dx

2  4t 3  2t  t 4 dy Ÿ (0) 1 3 4 2  4t  2t  t dx

Luego, las rectas tangente y normal en x = 0 e y = 0 son

t:y

x

n: y

2 °­ x 2t  3t b) ® 2 3 °¯ y t  2t

x en (5;3)

­°5 2t  3t 2 Debemos hallar el valor de t tal que ® y obtenemos t 1. Además: 2 3 °¯3 t  2t dx dt

2  6t Ÿ

dx (1) 8 š dt

dy dt

2t  6t 2 Ÿ

dy dy (1) 8 , con lo que (1) 1 dt dx

Luego, las rectas tangente y normal en (5,3) son

t:y

3  ( x  5)

x2

n: y

3  ( x  5) 8  x

25. Las siguientes expresiones de la forma F ( x; y ) 0 GH¿QHQ implícitamente una función del tipo y = f (x), calcule y’(x, y): a) x 2  2 xy  y 2  2 x b) arctg

y x

0 ¿cuánto vale y’(2, 4)? ¿e y’(2, 0)?

1 ln( x 2  y 2 ) 2

Solución

a) Dada la ecuación x 2  2 xy  y 2  2 x

0 , con y = f (x) su derivada será 1 x  y 2 x  2( y  xy ')  2 yy ' 2 0 Ÿ 2 y '( x  y ) 2(1  x  y ) Ÿ y ' con x y y z x . Luego y’(2, 4) = 5 y y’(2, 0)= – 1 . 2

2

260

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

y b) Derivando miembro a miembro la ecuación arctg x tenemos: '

§ y· ¨ ¸ ©x¹ 2 § y· 1 ¨ ¸ ©x¹

xy ' y 2 1 2 x  2 yy ' Ÿ 2x 2 2 2 x y 2 x y x2

Ÿ xy ' y

x  yy ' Ÿ ( x  y ) y '

1 ln( x 2  y 2 ) 2

1 2 ( x  yy ') Ÿ 2 x2  y 2

x y Ÿ y'

x y x y

26. ¢4XpFRQGLFLRQHVVHGHEHQLPSRQHUDORVFRH¿FLHQWHV a) para que la parábola y

ax 2  bx  c sea tangente al eje de abscisas?

b) para que la función y

x 3  bx  c sea tangente al eje de abscisas?

c) para que la parábola y

ax 2 sea tangente a la curva y

ln x ?

Solución 2 a) Para que la parábola y ax  bx  c sea tangente al eje x, debe tener su vértice en el punto de tangencia y en él su derivada es cero. Con ello nos quedará un sistema de ecuaciones:

b ­  Ÿ  y ax b x ' 2 0 v v °° 2a ® ° y ax 2  bx  c 0 Ÿ a ( b ) 2  b( b )  c v v °¯ v 2a 2a Ÿ

b2 b2  c 4a 2a

0Ÿ

b 2  2b 2  4ac 4a

0Ÿ

0 Ÿ b 2  4ac

0 a z 0

Nótese que el punto de tangencia será el mayor valor de la imagen si a < 0, o el menor si a > 0. b) Para que la parábola cúbica y x 3  bx  c resulte tangente al eje de abscisas en algún punto de abscisa x0 , tiene que ocurrir que la derivada en dicho punto sea cero y la imagen en él sea cero. ­ 2 ° y '( x0 ) 3 x0  b 0 Ÿ x0 ® ° y x3  bx  c 0 0 0 ¯ 0

b 3

con b d 0

CAPÍTULO 4

261

LA DERIVADA

3

§ b · b b Ÿ ¨¨ c ¸¸  b 3 3 3 © ¹

Si x0

b b b c 3 3

b 3

b § b · b 0Ÿ ¨ ¸ b c 3 © 3 ¹ 3

0, como b d 0 Ÿ

2

0Ÿ

b b b b  Ÿ b c 3  3 3 3

b 3

0

2 b b 3 3

Ÿ

2 3 3

(b)3/2

2

c Ÿ c

3 3

(b)3/2 , b d 0

3

§ b · b b  Ÿ ¨¨  )c ¸¸  b( 3 3 ¹ 3 ©

Si x0



b b b c 3 3

b 3

0, como b d 0 :

b § b · b 0Ÿ ¨ ¸ b c 3 © 3 ¹ 3

b 3

2

b b b b  Ÿ b c 3 3 3  3

0Ÿ

0

2 b  b 3 3

Ÿ

2 3 3

(b)3/2

c Ÿ c



2 3 3

(b)3/2 , b d 0

c) Para que la parábola y ax 2 sea tangente a la curva y ln x tienen que tener la misma pendiente en el punto de tangencia x0 ! 0 , de donde tenemos:

­ax02 ln x0 ° 1 ® 2 °2ax0 x Ÿ x0 0 ¯

­ 1 °° a . 2a 1 Ÿ® ° x2 e 2a °¯ 0

1

ln x0 Ÿ x0 1 Ÿa 2a

e 2 Ÿ y0

1 2

1 2e

27. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva GH¿QLGDLPSOtFLWDPHQWHHQHOSXQWRTXHVHLQGLFD a)

x2 y 2  1 en 100 64

P(6;

32 ) 5

b) xy  ln y 1 en Q(1;1)

Solución

a) Derivamos: x  yy ' 0 Ÿ y '  32 x 50

32

50 y



16 x 32 Ÿ y '(6; ) 25 y 5



16.6 32 25. 5



3 5

262

Cálculo diferencial e integral en una variable real

De donde la recta tangente es: y En tanto que la recta normal es: y

Ejemplos y Ejercicios resueltos

50  3 x 5

32 3  ( x  6) 5 5 32 5  ( x  6) 5 3

5 x  54 15

b) xy  ln y 1 en Q (1; 1) Derivemos y' y  xy ' y

xy  1 0Ÿ y' y Ÿ y' y

 y2 Ÿ y '(1;1) xy  1

1 De donde la recta tangente es: y 1  ( x  1) 2



1 2

3 x 2

En tanto que la recta normal es: y 1  2( x  1)

2x 1

28. Para la función f ( x) 1  x 2  3 x calcule 'f y df en a = 1 con: a) 'x 0,5 b) 'x 0,1 c) 'x 0, 01. Compárelos. Solución

Recordemos que 'f f '( x) 2 x  3 a) 'f

df

f (1  0,5)  f (1)

f ( x  'x)  f ( x) , y df

1  1,5

 3.1,5  (1  12  3.1)

2

df

f (1  0,1)  f (1)

1  1,1

2

df

0, 25  0,5

0, 25

 3.1,1  (1  12  3.1)

1, 09  1 0, 09

(2.1  3).0,1 0,1

Notar que, en este caso 'f  df c) 'f

1, 25  1 0, 25

(2.1  3).0,5 0,5

Notar que, en este caso 'f  df b) 'f

f ´( x)'x , en nuestro caso

f (1  0, 01)  f (1)

1  1, 01

2

0, 09  0,1

0, 01

 3.1, 01  (1  12  3.1)

1, 0099  1 0, 0099

(2.1  3).0, 01 0, 01

Notar que 'f  df

0, 0099  0, 01

0, 0001

Si comparamos los módulos 'f  df , podemos observar que dichas diferencias se reducen considerablemente cuanto más pequeño sea el 'x .

CAPÍTULO 4

263

LA DERIVADA

29. Calcule dy en los siguientes casos: a) y

1 x arctg a a

b) y

1 xa ln 2a x  a

senx  x cos x

c) y

Solución

Recuerde que se usa indistintamente 'x o dx. '

a) dy

x· §1 ¨ arctg ¸ dx a¹ ©a

b) Como y y'

c) y

1 xa ln 2a x  a

1 x a x a 2a x2  a2

1 a

1 a dx 2 §x· 1 ¨ ¸ ©a¹

1 a 2 dx 2 a  x2 a2

dx a  x2 2

1 ª 1 1 º  Ÿ « 2a ¬ x  a x  a »¼

1 ªln x  a  ln x  a ¼º Ÿ y ' 2a ¬

1 Ÿ dy x  a2 2

1 dx x  a2

dx x  a2

2

senx  x cos x Ÿ y ' cos x  (cos x  xsenx)

2

xsenx Ÿ dy

xsenxdx

30. El período de oscilación de un péndulo, medido en segundos, se l determina a través de la expresión T 2S donde l es la longitud g del péndulo, en centímetros, y g = 981cm/s 2 es la aceleración de la gravedad. ¿Cuánto se debe alterar la longitud l = 20cm para que el período T aumente 0,05s? Solución

Sabemos que 'T # dT Ÿ dT Luego 'T

0, 05s # dT

2S 12 (l ) ' dl g

S dl gl

2S 1 dl Ÿ dT g 2 l

S dl 981

cm 20cm s2

Ÿ dl #

0, 05s

S

S dl gl 981

cm 20cm s2

Por tanto, dl #2,2293cm #2,23cm, de donde la longitud l deberá aumentarse aproximadamente 2,23 cm.

264

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

31. Usando diferenciales, obtenga un valor aproximado en los siguientes casos: b) cos121 $

a) log11

c) arctg1,1

Solución

Como ya vimos 'f # df Ÿ f (a  'x)  f (a ) # f '(a )'x Ÿ f (a  'x) # f (a)  f '( a)'x Si cambiamos la notación f ( x) # f (a )  f '(a )( x  a) donde llamamos x a  'x , recordemos que el segundo miembro es la ecuación de la recta tangente y lo que hacemos entonces es una aproximación lineal. a) Como deseamos hallar un valor aproximado para log11, elegiremos como función f ( x) log x , como valor de a tomaremos uno próximo a 11 y cuyo logaritmo decimal conozcamos; en este caso conviene tomar a = 10, de donde 'x 1. Además f ( x)

ln x Ÿ f '( x) ln10

1 . Con todo esto, reemplacemos en x ln10

f (a  'x) # f (a )  f '(a)'x Ÿ log11 # log10 

1 1 1 1 # 1, 043 10 ln10 10 ln10

b) Para hallar el valor aproximado del cos121°, tomaremos como función f ( x) cos x Ÿ f '( x)  senx , como valor de a uno muy próximo a 121° y cuyo coseno conozcamos, en este caso conviene S tomar a = 120°, de donde 'x 1° (en radianes) . 180 Ahora reemplacemos en la fórmula de aproximación lineal: f (a  'x) # f (a )  f '(a )'x Ÿ cos121$ # cos120$  sen120$.

S 180

# 0,51511

c) Debemos aproximar el arctg1,1. Tomemos f ( x)

arctgx Ÿ f '( x)

y tomemos a = 1 y 'x arctg1,1 # arctg1 

1 , 1  x2

0,1 . Reemplazando nos queda:

1 S 1 .0,1  # 0,8354 2 11 4 20

CAPÍTULO 4

265

LA DERIVADA

h con na n 1 a ! 0, h  a . Aplicando la misma calcule aproximadamente 7 120.

2. Demuestre la fórmula de aproximación

n

an  h # a 

Solución

Recordar que h  a VLJQL¿FDTXHh en módulo es mucho menor que a. 1 1n 1 1 1nn x x , 'x h es n n el incremento ya que la información nos indica que es pequeño. Llamamos n

Tomemos como función f ( x)

x Ÿ f '( x)

a n y reemplazamos en la expresión f ( x0  'x) # f ( x0 )  f '( x0 )'x Ÿ

x0

1 n 1 Ÿ n a n  h # n a n  (a n ) n .h n

h a  a1 n n

a

h na n 1

Para el caso particular en que deseamos aproximar 7 120 , n = 7, a = 2, h = -8, 8 1 111 sustituyendo nos queda: 7 120 7 27  8 # 2  6 2  3 # 1.9821 7.2 7.2 56 33. Calcule las derivadas hasta el orden que se indica: a) y

x ln x

d) y

ln(1  x) halle y ( n )

f) y 2  2 ln y

halle y ''

x4

b) y

ax

halle y ( n ) c) y e) x 2  y 2

halle y ''

senx halle y ( n ) 4 halle y ''

­ x a cos t g) ® ¯ y bsent

halle y ''

Solución

1 x

ln x  1 Ÿ y ''

1 x

a) y

x ln x Ÿ y ' ln x  x

b) y

a x Ÿ y ' a x ln a Ÿ y '' a x ln 2 a Ÿ y ''' a x ln 3 a Ÿ ... Ÿ y ( n )

a x ln n a

c) y senx, y ' cos x, y ''  senx, y '''  cos x, y (4) senx , como se puede observar, salvo los signos, los resultados son siempre senos o cosenos. Si recordamos que sen( x  D ) senx cos D  senD cos x , con una adecuada elección de D , podremos generalizar la derivada pedida. Admitamos D en un giro, y veamos: Para n=1, en y ' sen( x  D ) queda que y’= cosx.

senx cos D  senD cos x si elegimos D

S 2

nos

Nota: Si escribimos arc tg1 = 45° está mal, ¿por qué?

266

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Para n = 2, en y ' sen( x  D ) nos queda que y’’= -senx.

Ejemplos y Ejercicios resueltos

senx cos D  senD cos x si elegimos D

S

2.

Para n = 3, en y ''' sen( x  D ) nos queda que y’’’=-cosx.

senx cos D  senD cos x si elegimos D

3.

Para n = 4, en y (4) sen( x  D ) nos queda que y (4) = senx.

senx cos D  senD cos x si elegimos D

4.

Comparando los distintos valores de D , vemos que D d) y

1 ln(1  x); y ' 1 x

y ''' 2.(1  x) 3 ; y (4)

n

S

Ÿ y(n)

2

Ya que si observamos con precaución la secuencia: signo + – + –

FRH¿FLHQWH 1 1 2.1 3.2.1

Pot. de 1+x –1 –2 –3 –4









n

(1) n1

(n-1) !

–n

Tabla 7. Signo de las derivadas sucesivas de y = ln (1+x)

e) x 2  y 2

4 Ÿ 2 x  2 yy ' 0 Ÿ y ' 

y 2  x2 y  y2

f) y  2 ln y 2

y ''



y 2  x2 y3



yx 

x y

y2

4 y3

y' x Ÿ 2 yy ' 2 y 4

x y  xy ' Ÿ y ''  y y2

y2 1 4x Ÿ 2 y ' y 3

2(3 x 2 y  x 3 y ')( y 2  1)  2 x3 y.2 yy ' ( y 2  1) 2

4x Ÿ y ' 3

S 2

S 2

S

(1) n 1 (n  1)!(1  x)  n

n 1 2 3 4

2

sen( x  n ) 2

(1  x) 1 ; y '' (1  x) 2 ;

3.2(1  x) 4 ,..., y ( n )

S

2 x3 y y2 1

CAPÍTULO 4

2(3x 2 y  x 3

(3 y  2x2

267

LA DERIVADA

2 x3 y 2 x3 y 2 3 )( 1) 2 .2 y   x y y y2 1 y2 1 ( y 2  1) 2 3 y ( y 2  1)  2 x 4 y 2 4 x4 y3 ( 1) y   y2 1 y2 1 2x2 ( y 2  1) 2

2 x4 y 4 x4 y3 2 )( 1) y   y2 1 y2 1 ( y 2  1) 2

2x2 y

(3 y 2  3  2 x 4 )( y 2  1)  4 x 4 y 2 ( y 2  1)3

2x2 y

3 y 4  3 y 2  2 x4 y 2  3 y 2  3  2 x4  4 x4 y 2 ( y 2  1)3

2x2 y

3 y 4  6 y 2  2 x4 y 2  3  2 x4 ( y 2  1)3

­ dx ­ x a cos t °° dt Ÿ® g) ® ¯ y bsent ° dy °¯ dt

d2y dx 2



asent Ÿ b cos t

b d (cot t ) a dx





b cos t asent

b d dt (cot t ) a dt dx

por regla de la cadena b 1 cosec 2t a asent

dy dx

b  cot t Ÿ a

b 1  ( cosec 2t ) dx a dt

por derivada de la inversa

b a sen3t 2

34. Una pelota que se patea con una velocidad inicial de 2m/s, bajo un ángulo de 30º, desplazándose en el plano de acuerdo con las siguientes ­ x v0 x t ° ecuaciones del movimiento: ® 1 2 siendo v0 x y v0 y las °¯ y v0 y t  2 gt proyecciones de la velocidad inicial sobre los ejes coordenados y g la aceleración de la gravedad, que por comodidad la aproximaremos a 10m/s 2. Halle la ecuación de la trayectoria. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante t. ¿Cuál es la altura máxima que logra? ¿Y el máximo desplazamiento horizontal?

268

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

Solución

Descomponiendo el vector velocidad inicial en la suma vectorial del v0 x y el v0 y (perpendiculares entre sí), tendremos que Ȟ0y

v0 x

v0 cos 30º

v0 y

v0 sen30º

Ȟ0

30º Ȟ0x

Figura 77. Gráfica del ejercicio resuelto 34

De la primera ecuación, despejando t tendremos: t segunda nos queda: 1 v0 y t  gt 2 2

y

x 1 § x · v0 y  g¨ ¸ v0 x 2 © v0 x ¹

2

1 m x2 xtg 30º  10 2 2 s (2 m cos 30º ) 2 s

v0 sen30º

x . Reemplazando en la v0 x

x 1 x2  g v0 cos 30º 2 (v0 cos 30º ) 2

1 m x 5 2 s 3

x2 m2 § 3 · 4 2 ¨ ¸ s © 2 ¹

2

x 5x2  3 3m

resultado que se expresará en unidades de longitud (que omitiremos en los x 5x2 pasos siguientes): y es la ecuación de la trayectoria que, como era  3 3 previsible, nos da una parábola con concavidad hacia abajo. Se pide, además, que hallemos la velocidad y aceleración. Como el movimiento es una composición entre el desplazamiento horizontal (que es rectilíneo uniforme: velocidad constante y aceleración nula) y el vertical (que se ve “frenado” por la aceleración de la gravedad), tendremos que la aceleración (que es una magni & & & & &  tud vectorial), será la suma a ax  a y 0i  gj gj Ÿ a g . En cuanto a la velocidad, deberemos calcular la velocidad en la dirección horizontal y en la vertical y luego hacer la suma vectorial: ­°vx ® °¯v y

v0 x

v0 cos 30º (constante)

v0 y  gt

v0 sen30º  gt

Ÿv

de donde, su módulo o norma, será

  v0 cos 30º i  (v0 sen30º  gt ) j

CAPÍTULO 4

269

LA DERIVADA

Ȟ

v

(v0 cos 30º ) 2  (v0 sen30º  gt ) 2

v

(v0 cos 30º ) 2  (v0 sen30º  gt ) 2

Ȟy

Ȟx Figura 78. Vector velocidad

v02 cos 2 30º v02 sen 2 30º 2v0 gsen30º t  g 2t 2 m2 m m 1 m2 2 4 2  2.2 10 2 t  100 4 t s s s 2 s

v02  2v0 gsen30º t  g 2t 2 4  20t  100t 2 (en

m ) s

Para hallar la altura máxima debemos determinar, en primer lugar, en qué instante m 1 2 v0 sen30º s 2 la velocidad, según y se anula: v y v0 sen30º  gt 0 Ÿ t 0,1s m g 10 2 s Luego reemplazamos este valor en la ecuación de y, obteniendo así: 1 1 m 1 1 m y v0 y t  gt 2 v0 sen30º t  gt 2 2 0,1 s  10 2 (0,1s ) 2 2 2 s 2 2 s 0,1m  0, 05m 0, 05m

hmax

El máximo desplazamiento horizontal, también llamado alcance horizontal, lo obtendrá empleando el doble de tiempo del que usó para llegar a la altura máxima (¿por qué?), con lo que t = 0,2s, reemplazamos este valor en la ecuación para x y nos queda: x

35. Sea f ( x)

v0 x t

v0 cos 30º t

2

m 3 0, 2 s # 0,36m s 2

­ senx  x cos x ® 2 ¯ a  b( x  S )  c ( x  S )

x dS x !S

.

¿Cómo deben elegirse los FRH¿FLHQWHVa, b y c tal que exista f’’( S ).

270

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y Ejercicios resueltos

Solución

Para que exista f’’( S ) debe ocurrir que f(x) sea continua y derivable, además la f ’(x) a su vez debe ser continua y derivable en x S . Para la continuidad de f en x S : lim f ( x) x oS

lim f ( x)

donde

lim ( senx  x cos x)

f (S )

S

x oS 

x oS 

lim f ( x)

lim (a  b( x  S )  c( x  S ) 2 )

x oS

x oS

lim f ( x)

x oS 

½ ° ¾Ÿ a a° ¿

S

lim f ( x) , de

x oS 

f (S )

(21)

Veamos qué ocurre con la derivada. Calcularemos la derivada en x S , por GH¿QLFLyQ\DTXHODIXQFLyQFDPELDVXIRUPDDQDOtWLFDHQpOGHPRGRTXH deberemos hacer las derivadas laterales. En los restantes puntos podemos derivar usando reglas de derivación. Si x  S : f '( x) cos x  cos x  xsenx

2 cos x  xsenx

Si x ! S : f '( x) b  2c( x  S ) f ( x)  f (S ) lim x oS x S

f '(S  )

senx  x cos x  S lim x oS x S

ª senx  senS x cos x  S º lim «  x oS ¬ x S x  S »¼

lim

x oS

(S  r ) cos(S  r )  S cos S  lim r o0 r

cambiando variables r 1  lim r o0

senx  senS x cos x  S  lim x oS x S x S  ( senx ) ' x S

1  lim r o0

(S  r )(cos S cos r  senS senr )  S r

x  S Ÿ x S  r ? si x o S  Ÿ r o 0

(S  r )( cos r )  S r 2 sen 2

1  lim r o0

S cos r  r cos r  S r

r

2

  r cos r  S (1  cos r ) 1  lim r o0 r

1  1 2

0 senx  senS  x cos x  S lim x oS  x S

f '(S  ) .

r sen  r cos r r 2 .1 1  lim  lim 2S sen r o0 r o0 2 r 2 r , o0 2 , 1

S a de (21)

f '(S ) 

f ( x)  f (S ) lim x oS  x S

lim ( x  S )

x oS

b  c( x  S ) x S

a  b( x  S )  c ( x  S ) 2  a lim x oS  x S

lim >b  c( x  S ) @ b

x oS 

f '(S  )

CAPÍTULO 4

271

LA DERIVADA

Como debe ser derivable, las derivadas laterales son iguales, de donde nos queda: ­2 cos x  xsenx x  S ° x S ®b 2 °bx  2c( x  S ) x ! S ¯

f '( x)

Ahora debemos exigir que esta función sea continua en x S , luego lim f '( x)

x oS 

lim f '( x)

x oS 

lim f '( x)

x oS 

lim f '( x) x oS

f '(S )

por lo tanto:

lim (b  2c( x  S )) b š lim f '( x)

x oS 

x oS

lim (2 cos x  xsenx)

x oS 

2

de donde b = -2 con lo que es continua en dicho punto. Calculemos ahora la derivada segunda: como debe existir, las laterales deben ser iguales: f ''(S  )

lim

x oS

f '( x)  f '(S ) x S

cambiando variables r

lim

x oS

2 cos x  xsenx  2 x S

x  S Ÿ x S  r ? si x o S  Ÿ r o 0

lim

2 cos(S  r )  (S  r ) sen(S  r )  2 r

lim

2(cos S cos r  senS senr )  (S  r )( senS cos r  senr cos S )  2 r

r o0

r o0

2 sen 2

lim

r o0

2 cos r  (S  r )( senr )  2 r

r

2

  (S  r ) senr  2 (1  cos r ) lim r o 0 r

o1 r sen senr r 2 . 1 S f ''(S  ) lim (S  r )  lim 2 sen r o0 r o0 2 r 2 r f '( x )  f '( S ) 2c( x  S ) 2 b  2c ( x  S )  b f ''(S  ) lim lim lim x oS x oS x oS x S x S x S o1

Luego 2c S Ÿ c

o0

2c

S 2

(QFRQVHFXHQFLDORVYDORUHVGHORVFRH¿FLHQWHVTXHQRVSHUPLWHQDVHJXUDUOD S existencia de f’’(S ) son c , b = -2 y a S . 2

Tomo I

Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

Este libro cuenta con un solucionario disponible en la web, ingresando en latinoamerica.cengage.com

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Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

La dificultad que encuentran en general los profesores al momento de recomendar bibliografía para un primer curso de Análisis Matemático, o bien para fijar un texto básico para guiar el desarrollo de la asignatura, es que no existe el libro apropiado para todos los estudiantes, pues éstos llegan a la universidad con diferente formación matemática y, en general, escasa experiencia en la resolución de situaciones problemáticas que le exijan algo más que una simple ejecución de mecanismos de cálculo. Los autores del presente libro de Cálculo Diferencial e Integral en una variable real pretendemos facilitar y organizar el estudio de los estudiantes de Cálculo Diferencial e Integral en las diferentes carreras de Ingeniería, Ciencias Exactas y Economía, habiendo podido recoger en sus páginas la base de toda nuestra gran experiencia acumulada al frente de numerosos cursos de Análisis Matemático I en distintas universidades públicas y privadas nacionales e internacionales. Para facilitar el estudio estamos convencidos de que una manera posible de lograrlo es a través de una presentación accesible de los tópicos teóricos y numerosa ejercitación, bajo la forma de ejemplos, ejercicios resueltos y problemas de aplicación acompañados de su respuesta. Asimismo, en cada problema propuesto se contempla especialmente las dificultades de aprendizaje y comprensión más relevantes observados hasta ahora en la mayoría de los estudiantes, incluyendo sugerencias y observaciones que facilitan el abordaje de la comprensión matemática y la resolución de problemas. Es por ello, que el texto se constituye un material tendiente a resaltar un modelo pedagógico, además de una propuesta científica rigurosa y responsable de los temas tratados. En cuanto a la organización del estudio, se han incorporado a lo largo del texto sugerencias en lo relativo a cómo enfocar el estudio de determinados temas, cuáles conocimientos previos es imprescindible revisar en caso de que estén olvidados, cuál es la diferencia entre un ejemplo y un ejercicio resuelto, de modo que ambos resulten de utilidad para la comprensión de la teoría correspondiente. En los aspectos teóricos se tratan las definiciones, propiedades y teoremas. Al final de cada tema se propone una serie de preguntas teórico-prácticas que le darían al estudiante una idea del nivel de los conocimientos adquiridos y marcarían los inconvenientes todavía no superados. Se incorporan modelos de evaluaciones tipo con su resolución, contemplando diferentes grados de dificultad, para ser utilizados como material adicional de repaso una vez completado un tema o grupo de temas. A este respecto es importante que el estudiante tenga en cuenta que el estudio de una asignatura y la práctica correspondiente nunca debe encararse a través de la resolución de exámenes, éstos deben quedar para el repaso final antes de las evaluaciones. Debe tenerse presente también, y se lo señala reiteradamente a lo largo del texto, que de poco sirve intentar resolver los ejercicios sin haber antes estudiado la teoría y tampoco deja saldo positivo mirar los ejercicios resueltos sin haber intentado previamente su resolución.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL Tomo I

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL

Tomo I

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez