Calculo Purcell, 8va Edición

Descartes es mejor

conocido como un gran filósofo moderno. También fue un René

fundador de Ia biologIa moderna, René Descartes 1596-1650

fIsico y matemático. Descartes nació en Touraine,

Francia; hijo de un modesto abogado que lo enviO a una escuela jesuita a Ia

edad de ocho años. Debido a su delicada salud, a Descartes se le

.yhoyendIa La idea de utilizar coordenadas para obtener una figura (grafica) de una ecuación es el principio fundamental explotado por las nuevas calculadoras que grafican.

permitiO pasar las mañanas estudiando

en cama, una práctica que encontró

tan ütil que Ia adoptó para el resto de su vida. A los 20 años obtuvo el tItulo

de abogado y de aIII en adelante vivió Ia vida de un caballero de su época,

sirviO en el ejército durante algunos años y vivió unas veces en Paris y otras en los PaIses Bajos. Invitado como instructor de Ia reina Cristina, fue a

Suecia, donde muriO de pulmonIa en 1650. Descartes buscO un método general de pensamiento que diera coherencia al conocimiento y condujese las ciencias a Ia verdad. La

investigación lo condujo a las matemáticas, de las que concluyO que eran el medio para establecer Ia verdad en todos los campos. Su trabajo matemático de mayor trascendencia fue La Géométrie, publicado en 1637. En éI, intentó Ia unificaciôn de Ia antigua y venerable geometrIa con el algebra, aün en pañales. Junto con otro frances, Pierre Fermat

(1 601-1665), tiene crédito por Ia union que Ilamamos hoy geometrIa

analItica, o geometrIa coordenada. Sin ella, no hubiese podido surgir el pleno desarrollo del cálculo.

I

I

I

Preliminares 1.1 1 .2

1.3 1 .4

1.5

1.6 1 .7

1.8

1.1

El sistema de los nümeros reales

El sistema de Los nmeros reales Decimales, calculadoras y estimación Desigualdades Valores absolutos, ralces cuadradas y cuadrados El sistema de coordenadas rectangulares La Ilnea recta Gráficas de ecuaciones Revision del capItulo Proyecto de tecnologIa 1.1 GraficaciOn Proyecto de tecnologIa 1.2 ResoluciOn de ecuaciones por medlo de acercamiento

El cálculo está basado en el sistema de los nümeros reales y sus propiedades. Pero, ,cuáles son los nOmeros reales y cuáles son sus propiedades? Para responder, iniciamos con algunos sistemas numéricos más sencillos.

Los enteros y los nUmeros racionales son los nümeros naturales,

I

Los nUmeros más sencillos de todos

1,2,3,4,5,6,... Con ellos podemos contar nuestros libros, nuestros amigos y nuestro dinero. Si incluimos a sus negativos y al cero, obtenemos los enteros 4

Figura 1

3,-2,-1,O,1,2,3,...

4

Cuando medirnos longitud, peso o voltaje, los enteros son inadecuados. Están espaciados demasiado uno de otro para dar suficiente precision. Esto nos ileva a considerar cocientes (razones) de enteros (véase La figura 1), nOmeros tales como

3 7 21 4' Observe que incluimos

y

8 '

19

16

5 '-2' 2

17 1

aunque normalmente los escribirlamos como 8 y

17 ya que son iguales a aquellos por el significado ordinario de Ia divisiOn. No incluimos o ya que es imposible dar significado a estos sImbolos (véase el problema 36). De hecho, convenimos de una vez por todas desterrar La division entre cero de Figura 2

este libro (véase Ia figura 2). Los niImeros que pueden escribirse en la forma rn/n, donde rn y n son enteros con n son llamados nümeros racionales.

6

CAPíTULO

1

Preliminares

mismo y 1. Los primeros primos son 2,3,5,7,11,13 Y17. De acuerdo con el Teorema fundamental de Id aritmética, todo número natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de un único conjunto de primos. Por ejemplo, 45 = 3 . 3 . 5. Escriba cada uno de los siguientes números como un producto de primos. Nota: El productor es trivial si el número es primo -esto es, tiene un solo factor. (a) 243 (c) 5100

49. ¿Cuál de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales? (a) - V9 (c) 1 - 0 (e) (30)(50)

V3)2

50. La suma de dos números irracionales, ¿necesariamente es irracional? Explique.

(b) 127 (d) 346

51. Demuestre que si el número natural do perfecto, entonces m es irracional.

44. Utilice el teorema fundamental de la aritmética (véase el problema 43) para demostrar que el cuadrado de cualquier número natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de un conjunto único de primos, cada uno de los cuales aparece un número par de veces. Por ejemplo (45)2 = 3 . 3 . 3 . 3 . 5 . 5.

Viii no es un cuadra-

v'6 + V3 es irracional. 53. Demuestre que 0 - V3 + v'6 es irracional. 52. Demuestre que

54. Demuestre que log105 es irracional.

45. Demuestre que v2 es irracional. Sugerencia: Intente una demostración por contradicción. Suponga que v2 = p / q, donde p y q son números naturales (necesariamente distintos de 1). Entonces 2 = p2/q2, de modo que 2q2 = p2. Ahora utilice el problema 44 para obtener una contradicción.

55. Escriba el recíproco y el contrarrecíproco de los enuncia: dos siguientes. (a) Si yo hago toda la tarea asignada, entonces yo obtengo A en este curso. (b) Si x es un número real, entonces x es un entero. (c) Si MBC es un triángulo equilátero, entonces MBC es un triángulo isósceles.

46. Demuestre que v3 es irracional (véase el problema 45). 47. Demuestre que la suma de dos números racionales es racional. 48. Demuestre que el producto de un número racional (distinto de O) y un número irracional es irracional. Sugerencia: Intente una demostración por contradicción.

,. .2 Decimales, calculadoras y estimación

(b) 0.375 (d) (1 + (f) 50

Respuestas a la revisión de conceptos: 2. v2; 1T 3. reales 4. teoremas

1. racionales

Cualquier número racional puede escribirse como decimal, ya que por definición siempre puede expresarse como el cociente de dos enteros; si dividimos el denominador entre el numerador, obtenemos un decimal (véase la figura 1). Por ejemplo, 1 2

13

11 =

3 8

0.5 1.181818 ...

0.375

3

0.428571428571428571 ...

7

También los números irracionales pueden expresarse en forma decimal. Por ejemplo,

V2 = 1.4142135623 ... , 7T

Figura 1

V3 = 1.7320508075 ...

= 3.1415926535 ...

Decimales periódicos y no periódicos La representación decimal de un número racional o bien termina (como en ~ = 0.375) o bien se repite hasta el infinito en ciclos regulares (como en = 1.181818 ...). Un poco de experimentación con el algoritmo de la división le mostrará el porqué. (Observe que sólo puede haber un número finito de residuos diferentes.) Un decimal que termina puede considerarse como un decimal periódico con ceros que se repiten. Por ejemplo,

H

8"3 =

0.375

= 0.3750000 ...

Así, todo número racional puede escribirse como un decimal periódico. En otras palabras, si x es un número racional, entonces x puede escribirse como un decimal periódico. Es notable el hecho de que el recíproco también es verdadero, si x puede escribirse como un decimal periódico, entonces x es un número racional. Esto es obvio en el caso de decimales que terminan (por ejemplo, 3.137 = 3137/1000), y es fácil demostrar para el caso de decimales periódicos.

SECCIÓN

1.2

Decimales, calculadoras y estimación

7

EJEMPLO 1 (Decimales periódicos son racionales.) Demuestre que x

= 0.136136136... y y = 0.27171717 ...

representan números racionales. Solución

Restamos x de 1000x y luego resolvemos para x.

1000x = 136.136136 x = 0.136136 999x = 136 136 x = 999

. .

100y = 27.17171717 y = 0.27171717 99y = 26.9 26.9 269 Y = 99 = 990

. .

De manera análoga,

Los números reales

•

Las representaciones decimales de los números irracionales no se repiten en ciclos. Recíprocamente, un decimal no periódico debe representar a un número irracional. Así, por ejemplo, 0.101001000100001 ...

Figura 2

debe representar un número irracional (observe que el patrón de más y más ceros entre los unos). El diagrama en la figura 2 resume lo que hemos dicho.

Figura 3

~

lA

1.41 lA14

Figura 4

Densidad Entre cualesquiera dos números reales diferentes a y b, no importa qué tan cercanos se encuentren, existe otro número real. En particular, el número Xl = (a + b )/2 es un número real que está a la mitad entre a y b (véase la figura 3). Ya que existe otro número real, x 2' entre a y Xl' Y otro número real, x 3' entre Xl y x 2' y puesto que este argumento puede repetirse ad infinitum, concluimos que existe un número infinito de números reales entre a y b. Por tanto, no existe tal cosa como "el menor número real mayor que 3". En realidad, podemos decir más. Entre cualesquiera dos números reales distintos, existe tanto un número racional como un número irracional. (En el ejercicio 29 le pedimos demostrar que existe un número racional entre cualesquiera dos números reales.) De aquí que, por medio del argumento precedente, existe una infinidad de cada uno de ellos (racionales e irracionales). Una forma en que los matemáticos describen la situación que hemos expuesto, es decir, que los números racionales y los números irracionales son densos en la recta real. Todo número tiene vecinos racionales e irracionales arbitrariamente cercanos a él. Los dos tipos de números están inseparablemente entrelazados e inexorablemente aglomerados entre sí. Una consecuencia de la propiedad de densidad es que cualquier número irracional puede aproximarse tanto como se quiera por medio de un número racional-de hecho, por medio de un número racional con una representación decimal finita. Como un ejemplo tome \12. La sucesión de números racionales 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421, 1.414213, ... avanza constante e inexorablemente hacia \12 (véase la figura 4). Avanzando lo suficiente en esta sucesión, podemos estar tan cerca como queramos de \12. Calculadoras y computadoras Hubo una época cuando todos los científicos e ingenieros caminaban por el campus con dispositivos mecánicos llamados reglas de cálculo sujetas a sus cinturones. Por los 70, los estudiantes llevaban calculadoras que podían realizar las operaciones básicas y obtener raíces cuadradas, y en los principios de los 80 una calculadora barata podría evaluar funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Las calculadoras graficadoras estuvieron disponibles a principios de los 90, estas calculadoras pueden expandir (x - 3y)12, pueden resolver x 3 - 2x2 + X = O Y pueden aproximar una solución a x 2 - cos \IX = O.

8

CAPíTULO

1

Preliminares

Muchos problemas en este texto están marcados con un símbolo especial.

[g significa UTILICE UNA CALCULADORA. IGCI significa UTILICE UNA CALCULADORA GRÁFICA. I CAS I significa UTILICE UN SISTEMA DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL. [;] significa HAGA UNA ESTIMACIÓN DE LA RESPUESTA ANTES DE TRABAJAR EN EL PROBLEMA; LUEGO VERIFIQUE SU RESPUESTA CONTRA ESTA ESTIMACIÓN. I EXPL I significa EL PROBLEMA LE PIDE EXPLORAR E IR MÁS ALLÁ DE LAS EXPLICACIONES DADAS EN EL TEXTO.

Existe una gran cantidad de usos para una calculadora en este texto, en especial en los problemas marcados con un [Q . Ahora existe una gran cantidad de poderosos paquetes de cómputo que puede realizar cálculos tales como ( 1T - v2)100, manipulaciones simbólicas como el desarrollo de (2x - 3y)22 Ygráficas como la de y = x sen x. Estos programas pueden ayudarle en el proceso de aprendizaje y comprensión del cálculo, pero no debe depender de ellos para hacer cálculo por usted. Los paquetes de cómputo tienen la ventaja sobre las calculadoras gráficas de ser más poderosos y capaces de mostrar los resultados en una pantalla de alta resolución. Las calculadoras gráficas tiene la ventaja de que cuestan menos y caben en su bolsillo. Por lo común, las calculadoras y las computadoras trabajan con números racionales en la forma decimal con alguna longitud preestablecida, por ejemplo, diez dígitos. Algunos paquetes de cómputo son capaces de almacenar algunos números irracionales en formato simbólico que, en efecto, retiene el valor exacto. Por ejemplo, tanto Maple como Mathematica pueden almacenar v2 de tal manera que las manipulaciones subsecuentes utilicen este valor exacto. Por ejemplo, Mathematica simplificará la entrada 4/Sqrt [2] y regresará 2 Sqrt [2]. Con respecto a las calculadoras y computadoras, nuestra advertencia es ésta: Haga los cálculos que puedan realizarse con facilidad a mano sin una calculadora, especialmente si esto permite una respuesta exacta. Por ejemplo, por lo general preferimos la respuesta exacta V3/2 para el seno de 60° al valor de la calculadora 0.8660254. Sin embargo, en cualquier cálculo complicado recomendamos el uso de una calculadora.

Estimación Dado un problema aritmético complicado, un estudiante descuidado podría presionar unas cuantas teclas en una calculadora y reportar la respuesta sin darse cuenta de la falta de paréntesis o un "error de dedo" ha dado un resultado erróneo. Un estudiante cuidadoso con un sentido de los números presionará las mismas teclas, inmediatamente se dará cuenta que la respuesta es equivocada si es demasiado grande o demasiado pequeña, y la recalculará de manera correcta. Es importante conocer cómo hacer una estimación mental. EJEMPLO 2

Calcular

(V430 + 72 + V73)/2.75.

Una estudiante juiciosa aproximó lo anterior como (20 + 72 + 2)/3 y dijo que la respuesta debería ser cercana a 30. Así, cuando su calculadora dio 93.448 como respuesta, ella desconfió (lo que en realidad había calculado fue V430 + 72 + "V73/2.75). Al recalcular, ella obtuvo la respuesta correcta: 34.434. _

Solución

Si un hombre le dice que el volumen de su cuerpo es de 20,000 pulgadas cúbicas, dúdelo. Usted podría estimar su volumen de esta manera. Él tiene una estatura aproximada de 70 pulgadas y el largo de su cinturón es 30 pulgadas, dando un radio de la cintura de casi 5 pulgadas. Si aproximamos su volumen por medio de la de un cilindro, encontramos que el volumen será 1Tr2h = 3(5 2)70 = 5000 pulgadas cúbicas. Él no es tan grande como dice. Aquí hemos utilizado = para querer decir "aproximadamente igual". Utilice este símbolo en su trabajo de borrador cuando esté haciendo una aproximación a una respuesta. En un trabajo más formal nunca debe utilizar este símbolo sin saber qué tan grande podría ser el error. A continuación está un ejemplo más relacionado con cálculo. Figura 5

EJEMPLO 3 Suponga que la región sombreada R mostrada en la figura 5, gira alrededor del eje x. Estime el volumen del anillo sólido resultantes.

La región R es de alrededor de 3 unidades de longitud y 0.9 unidades de alto. Estimamos su área como 3(0.9) = 3 unidades cuadradas. Imagine que el anillo sólido S se abre y se aplana, formando una caja de alrededor de 21Tr = 2(3)(6) = 36 unidades de longitud. El volumen de una caja es el área de su sección transversal por su longitud. Así, estimamos que el volumen de la caja sería 3(36) = 108 unidades cúbicas. Si la calculó y obtuvo 1000 unidades cúbicas, necesita verificar su trabajo. _

Solución

16

CAPíTULO

1

Preliminares

Por tanto, elegimos

o=

8/6. Siguiendo las implicaciones de regreso, vemos que

Ix - 31 <

o =>

Ix - 31 <

8

6 => 16x - 181 < e

•

A continuación está un problema práctico que utiliza el mismo tipo de razonamiento.

Figura 5

EJEMPLO 5 Un vaso de precipitados de! litro (500 centímetros cúbicos) tiene un radio interno de 4 centímetros. ¿Qué tan exacto debemos medir la altura h del agua en el vaso para asegurar que tenemos! litro de agua con un error de menos del 1 %, esto es, un error de menos de 5 centímetros cúbicos? Véase la figura 5. Solución El volumen V de agua en el vaso está dado por la fórmula V = 161Th. Queremos que IV - 5001 < 5 o, de manera equivalente, 1161Th - 5001 < 5. Ahora

1167Th - 5001 < 5

~ [167T( h - i2~) I < 5 161T1 h - 500

#

161T

~

[h -

#

Ih -

I<

i~[

<

5

1¿7T

9.9471 < 0.0947 ::::; 0.1

Así, debemos medir la altura con una precisión de alrededor de 1 milímetro.

•

Raíces cuadradas Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas. Por ejemplo, las dos raíces cuadradas de 9 son 3 y - 3. Algunas veces representamos estos dos números como ±3. Para a 2:: O, el símbolo ~, denominado raíz cuadrada principal de a, denota la raíz cuadrada no negativa de a. Así, V9 = 3 Y v'i2I = 11. Es incorrecto escribir \116 = ±4 ya que \116 representa la raíz cuadrada no negativa de 16, es decir, 4. El número 7 tiene dos raíces cuadradas, que pueden escribirse como ±Y7, pero Y7 representa a un solo número. Aquí está un hecho muy valioso qué recordar.

La mayoría de los estudiantes recordarán la fórmula cuadrática. Las soluciones a la ecuación cuadrática ax2 + bx + e = Oestán dadas por

Ix=

-b±

~:2

-

4ac

I

El número d = b2 - 4ac se llama discriminante de la ecuación cuadrática. Esta ecuación tiene dos soluciones reales si d > O, una solución real si d = OYsoluciones no reales si d < O. Con la fórmula cuadrática, fácilmente podemos resolver desigualdades cuadráticas incluso si no se pueden factorizar por inspección. EJEMPLO 6 Solución

Resuelva x2

-

2x - 4 ::;

Las dos soluciones de x2

-

o. 2x - 4 = Oson

-( -2) -2 V4+16 = 1 -

V5 ::::; -1.24

20

CAPíTULO 1

Preliminares

I

d(P,

Q)

vh -

=

XI)' + (y, - YI)' I

Ésta se denomina fórmula de la distancia. EJ EM PLO 1 Encuentre la distancia entre

(a)

p( -2,3) Y Q(4, -1)

p( V2,

(b)

v'3) y

Q( 1T, 1T)

Solución x

Figura 5

(a) d(P,

Q)

V(4 -

(-2))2

(b) d(P,

Q)

V(1T -

V2)2

+

(-1 - 3)2

= \136 + 16 = V52 ~ 7.21

v'3)2 ~ \14.971 ~ 2.23

+ (1T -

•

La fórmula es válida incluso si los dos puntos pertenecen a la misma recta horizontal o a la misma recta vertical. Así, la distancia entre P( - 2,2) Y Q(6, 2) es

V( -2 x

Figura 6

- 6)2

~

Ecuacíón

es la ecuación del círculo de radio 3 con centro en (-1,2) significa dos cosas: 1. Si un punto está en el círculo, entonces sus coordenadas (x, y) satisfacen la ecuación.

2. Si x y y son números que satisfacen la ecuación, entonces son las coordenadas de un punto que está en el círculo.

= 8

1)2

+ (y -

2)2 = 3

Cuando elevamos al cuadrado ambos lados, obtenemos

(x +

Decir que

(x + 1)2 + (y-2)2 = 9

V64

- 2)2 =

La ecuación de un círculo Es un paso pequeño pasar de la fórmula de la distancia a la ecuación de un círculo. Un círculo es el conjunto de puntos que están a una distancia fija (el radio) de un punto fijo (el centro). Por ejemplo, considere el círculo de radio 3 con centro en (-1,2) (véase la figura 6). Sea (x, y) un punto cualquiera de este círculo. Por medio de la fórmula de la distancia,

V(x + Círculo

+ (2

1)2

+ (y -

=

2)2

9

que llamamos la ecuación de este círculo. En forma más general, el círculo de radio r y centro (h, k) tiene la ecuación

(1)

I (x -

h)' + (y - k)2

=

r'l

Llamamos a esta la ecuación estándar de un CÍrculo. EJEMPLO 2 Determine la ecuación estándar de un círculo de radio 5 y centro en (1, -5). También, encuentre las ordenadas de los dos puntos en este círculo con abscisa 2. Solución

La ecuación buscada es

(x -

1) 2 +

(y + 5)2

= 25

Para realizar la segunda tarea, sustituimos x = 2 en la ecuación y despejamos ay. (2 - 1)2

+ (y + (y + y

5)2 = 25 5)2

+5

= 24 =

y =

±V24 -5 ± V24

=

-5

± 2V6

•

Si desarrollamos los dos cuadrados en el recuadro (1) Yreducimos las constantes, entonces la ecuación adquiere la forma

x2

+

ax

+l +

by = c

Esto sugiere la pregunta de si toda ecuación de la última forma es la ecuación de un círculo. La respuesta es sí, con algunas excepciones obvias.

SECCIÓN

1.6

La línea recta

23

40. Considere un círculo e y un punto P exterior al círculo. Sea PT el segmento de recta tangente a e en T, y suponga que la recta que pasa por P y por el centro de e, intersecta a e en M y en N. Demuestre que (PM)(PN) = (PTf

G 41. Una banda se ajusta alrededor de los tres círculos x 2 + i = 4, (x - 8)2 + y2 = 4 Y(x -6)2 + (y - 8)2 = 4, como se muestra en la figura 12. Determine la longitud de esta banda. 42. Estudie los problemas 28 y 41. Considere un conjunto de círculos de radio r y que no se intersectan, con centros en los vértices de un polígono convexo de n lados, que tiene lados de longitudes di' d 2 , •.• ,dn. ¿Cuál es la longitud de la banda que se ajusta alrededor de estos círculos (de la misma forma que se muestra en la figura l2)?

Figura 9

G [TI 37. Encuentre la longitud de la banda cruzada de la figura 10, la cual se ajusta estrechamente alrededor de los círculos (x - 2)2 + (y - 2)2 = 9 Y(x - 10)2 + (y - 8)2 = 9. Nota: Para resolver este problema se necesita un poco de trigonometría. Figura 10 38. Muestre que el conjunto de puntos que están al doble de distancia de (3,4) que de (1,1) forma un círculo. Determine su centro y radio.

39. El teorema de Pitágoras dice que las áreas A, B Y e de los cuadrados en la figura 11, satisfacen A + B = C. Demuestre que los semicírculos y triángulos equiláteros satisfacen la misma relación y luego sugiera un teorema general de estos hechos.

Figura 12

Respuestas a la revisión de conceptos: 1. II; IV 2. V(x + 2)l + (y - 3)l 3. (x + 4)l + (y - 2)l = 25 4 (1.5,5)

Figura 11

1.6 La línea recta

y

De todas las curvas, la línea recta, por muchas razones, es la más simple. Suponemos que usted tiene una buena noción intuitiva de este concepto, al mirar una cuerda tensa u observando a lo largo del borde de una regla. En cualquier caso, aceptamos que dos puntos, por ejemplo, A(3, 2) YB(8, 4) mostrados en la figura 1, determinan una única línea recta que pasa por ellos. Y de ahora en adelante utilizaremos la palabra línea o recta como sinónimo de línea recta. Una línea es un objeto geométrico. Cuando se coloca en un plano coordenado, debería tener una ecuación, como el círculo la tiene. ¿Cómo encontraremos la ecuación de una recta? Para responder, necesitaremos la noción de pendiente.

La pendiente de una recta Considere la recta de la figura 1. Del punto A al punto B, existe una elevación (cambio vertical) de 2 unidades y un avance (cambio horizontal) de 5 unidades. Decimos que la recta tiene una pendiente de ~. En general (véase la figura 2), para una recta que pasa por A(X1' Y1) y B(x 2, Y2), en donde Xl *- Xz, definimos la pendiente m de esa recta como m = elevación = Y2 - Y1 avance X 2 -Xl

Figura 1

24

CAPíTULO 1

Preliminares

Inmediatamente surge una pregunta. Una recta tiene muchos puntos. ¿El valor que obtuvimos para la pendiente depende de la pareja de puntos que utilicemos para A y B? Los triángulos semejantes en la figura 3 nos muestran que Y2 - Yí X2 - xí

Y2 - YI X2 - Xl

Así, los puntos A' y B ' darían lo mismo que A y B. Incluso no importa si A está a la izquierda o a la derecha de B, ya que

x

YI - Y2 Xl - X2

Figura 2

Y2 - YI X2 - Xl

Todo lo que importa es que restemos las coordenadas en el mismo orden en el numerador y el denominador. La pendiente m es una medida de la inclinación de una recta, como se ilustra en la figura 4. Observe que una recta horizontal tiene pendiente cero, una recta que se eleva hacia la derecha tiene pendiente positiva, y una recta que desciende a la derecha tiene pendiente negativa. Entre mayor sea el valor absoluto de la pendiente, más inclinada es la recta. El concepto de pendiente de una recta vertical no tiene sentido, ya que implicaría la división entre cero. Por tanto, la pendiente para una recta vertical se deja indefinida. x

y

111

= 2~ =3 4-2

Figura 3

Grado e inclinación

El símbolo internacional para la pendiente de un camino (llamado grado) se muestra abajo. El grado está dado como porcentaje. Un grado de 10% corresponde a una pendiente de ± 0.10. ----------+-----3l~-----_t.._---111 = ~=;

=O x

Los carpinteros utilizan el término inclinación. Una inclinación de 9:12 corresponde a una pendiente de -12.

Rectas con varias pendientes

Figura 4

Forma punto-pendiente Nuevamente, considere la recta de nuestro estudio inicial, se reproduce en la figura 5. Sabemos que esta recta 1. pasa por (3,2) Y 2. tiene pendiente ~. Tome cualquier otro punto de esta recta, como el que tiene coordenadas (x, y). Si utilizamos este punto y el punto (3,2) para medir la pendiente, debemos obtener~, esto es, y-2 2 X - 3 5 x

o, después de multiplicar por x - 3, Y- 2

Figura 5

=

Hx -

3)

Observe que esta última ecuación es satisfecha por todos los puntos de la recta, incluso (3, 2). Además, ningún punto que no pertenezca a la recta puede satisfacer esta ecuación. Lo que acabamos de hacer en un ejemplo lo podemos hacer en general. La recta que pasa por el punto (fijo) (Xl' YI) con pendiente m tiene ecuación

SECCION 1.8

RevisiOn del capitulo

35

En los problemas del 35 al 38, bosqueje lii grafica de cada ecuación.

34. Cuá1 ecuación puede representar a la curva de la figura 10?

35. 3y - 4x I

36. x2 - 2x + y2

6

3

-

2x

Gd 38. x 3 x2 + 2 39. Determine los puntos de intersección de las gráficas de

Gd Gd

x2 - 2x + 4yy - x

y

4.

40. Entre todas las rectas perpendiculares a 4x - y = 2, encuentre la ecuaciOn de aquella que,junto con la parte positiva del eje x y del eje y, forma un triangulo de area 8. Figura 10

y = ax2 + bx + c, con a > 0, b > 0 y c > 0

y = ax2 + bx + c,cona < 0,b > Oyc >0 ax2 + bx + c, con a < 0, b > 0 y c < 0 y = ax2 + bx + c, con a > 0, b > 0 y c < 0 y

r,

I.J

p

'SrI i dfiCdLft.. Gn I. PR. PARACIOI UJ

Un..a de las ir se11L1I1a, v m L.iS ii1es, hc"i i :amientas que a tecnoiogIa nos pro por ciona es i api cidao 1ara mostrar re P os utiligr ficas. Con fiecuenu utilidad para expenme.at ar p0 z r esta

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CO rno

Ltilizar su 3oftware - o :alcjlacora para dibujar .ios u ni gr iiicas en la misn ia ventaia. l OGi I. ILJSO DE LA TECNiC.'

Ei'. cicio 1 'uando utiliza i'ria ah. 1-u dora gráfica

I

ul (CAS) para grafi....... ua ' ecuaciór ne ;ita seleccionar una yentana (J c gra!cicación que proporcione odos los 1etaIk importantes. T "S " ciones siguientes .L darán algu'ia expenci para seleccinJnar una vei ritann exsdecuada. En ca 'a o, usted d Lt' )erimentar -con "enia"nas de d ifererwr imaflos para asegut rs q 'iiSec 1,puerc'fc d ver todos i s ui.al1es de la gaic.a. comi

Un sistem;' a ie ál.Teora ig.

'

C

p ra 'i = 0.1, cJLión, ii' Lu;e esta. iectas lien 0.5, 1.,1 2.0 y .0. .en I estis rectas en comi (inc'Expi i .e por qu .

i

L

-

Ejercicio 3 Coi sii i re lac recta.. y = -+ l . En ia mism2 t- v..eli'11Lana de gr,aficacii.ii., cIiii bue s rectas ar a b = 1.0, j .

2'

1.0, 2.,1 2.0, 3.0, 3.0, 4.0 y 4.0. j,Qué t.ie.e n ..n estas rectas eun comUn? brcia para P.rcpor..'inn e una naz.i algL lo que muestran las gráficas. .

(a., y

(b)

III. REFLT

'.L)

(

.

-

Ejercicio 4 Explique cmo el valor de b en

y-

yL +bx2+x+ 1

DflSid" as :ecta = jerciciG . nx + 4 En IaLrnllm a "entana de graf: i1

afecta Ia forma de la curv v Hum '1 - ero de veces que Ia curva cruza e I e"je x.

PROViECTO DE TECNOLOG(A 1.2 I

I

I

ResoluciOn de ecuaciones por medio de acercamiento

r'a.a ritantener Ia genc ralidad, deno Ic-

I. I REPARACION

mu, Cu]. (j q) ci pun 10 dado, en 1 ugar

del")C,. (2. )

En el bachillerato usted aprendió la fOrmula cuadrática para resolver las ecua-

.i " .. - La-,penc'ic ntedela recta gi'aLinio que onecta (a, a2) y ;1. punto dadc rt,rIproco aegati"c'delapendi entedel a r' eta (angerLte a la parabola en (a, c 2) wtuestre que igualar estas ex pre-r "aciOn cábica "&CflfS conduce a Ia ecu; 1

cione cuadráticas ax2 + bx + c = 0.

r embargo, podrIa no conocer métodos para resolver ecuaciones más

-

complicadas. Con frecuencia puede aproximar las soluciones de tal ecua-

\

ción por medio de "acercamientos" a La

1' 1

raIz bucada. EjeirriçJo 1

Escriba una ecuación de la recta L que pasa por (-2,4) y es perihr a la recta con ecuación x + p.eidicL.

,-'y 1/. 1

1

-3

-2

/

-1

2a3 2q i)a p=0

a2)

\''rfique 'i ara ver que esto coinci 1

',3

2

1

ejerciclo 3.

Figura 1 Bosquejo para el ejercicio 3.

.Ejerricio 6

"-''- la o'ni'ntn de a ecta Ahora igate i- conecta (a, 2) y ' pu'r_t C, rlado (2, qL.. 0) con "! recIproco ii gaiLivo de Ia pendiente ae. 1a re' ta tangente. a la p arábola en (a, a2 ). jLUr 'lt Uc" uaia,ido estas (Ins'expresioltesi onu:e ecuaciOn

rj tar:iqente pendie'..teie a:-r -Il aipiuoIay =; er : puru

I' ed'_a'i.ón cUbica P; aprL.. 1, ximi darnente

S

I.,

L:

c1

.

cubi :a.-, 2a-'

1

La

I

1

'

(a, a2 ,es2a.

qui pendiei. ... o"e,la rtedelcrectat--gentc a Iari. i ábola enex'u' 1ç nto(il es L1r. I

I

-

2, er (3 32) es '5, y as..i

La2=0

peroe ta noes L sclucóxit.l, 'x'ica (pruebelc' Kecue de, cuar ido us1Led deterni i un valor de i T1' . iie a aI1 iface 2a3 + = 0, usteo habrá .ncontrado ur valo' de a ta rue !a r 't- iue conect. 1

rra a-3 (

flje-.'cicio 3

cjer icw 4 TErI)lLb rir a enL, :i...., üia_ r'ler L :ecuri.

.

0) S PC 1JCfl(1' cul if a- Ia rectan gente a ia paráhob a2). ,

.1

LJtiiice i'ar sug!e ien cia

:

guielntes p ara deterrnina r Ia ecuaciO: r. de la recta n,ur pasa p01 el p -unto rT) .2 0) ' a la recta tany qu ' es p.., rpeudicuIar geIk la r'arábc!a ,I y = x2, 'I1 S.

ie d

punt

II. U.

DF I

.1)LOG1A

i

-

2es2a, m )(. Jo que la pendiente de la rerth I rn endicular es el redproco negativo de 2a, o -. en x ..:

:

Ej'

icio 7 Muestre que existen tres

purtr' is (a1, a), (a2, a) y (a3, a) en Ia' i tar ábola,

con la propiedad de que la

re :1 c

a tangente en (a1, a) es perpendi cular aila recta que conecta (a1, a) y la que abre hacia arriba, "dentro de la p aroi"t" o "el interior de Ia parabola" " 'iere decir aquelLos puntos que están "r arriba de la parabola.) Determine t y a por medio de acercamientos. L'iego, enCuentre las parejas ordenadas

', afl, (a2, a) y (a3, a). Encuentre

(1]

las ecuaciones de las tres rectas y grafIquelas junto con la parabola en la misma ventana de graficación. II'. " REFLEXION

-

Si'O y error para dk rminar .. ia solucii in de 2a3 + a - 2 = 0, grafjcarenios estas ecuación cerca de a = 1 yluego realizar " we . rcamientos" a a raIz. Pon drIa empezar graliicauc1.( : 1 ,rfica en el s

.ugerencia: Dihuj uafigura(vc. la L'gi ira 1) que inc.' 1aya Ia perpendicular iiinto d do. Utilice a para deteren mirtar I, a hscis i del punto en donde la ii pert eiidicdar orta a la parabola. AsI, nuno a, el . i ' a2' está tanto en la parábola ciDfl o ria recta perpendicular a Ia p iráboia, L pendiente de la parabola

y = XL.

'1, 17/4). Observe que el punto dado está

Laiglu icira 1 indica qu:e la sni.uctOn a esta

y

Determ":ie la ecuación de

Ia recta ii e pasa por (p, q) = (4,0) que es perpf n Ji.cular a la recta tangente a

d ntro de Ia parabola. (Para una parábo-

.uu,siva: t ii Por -aFa,ac ior epto este- hccho;lo'ieduciremos,junto Con mi ch 15 otras co s pareci das,enel capItuk) 3. r

n ci caso especIf o realizado en

ci

f(e uelva Ia version geneializr da j'r,u:ente cd ejercicio IL [!scri ba Ia cLlciOn ue la recta L que pn a pore! punto (p, q,) y es perpendicular a La recka coi ecuaci6i1 ax + by = c. Veri:ic1ueque su respueia h "funciona"2US S. tit1J\i: s niimeios especI4 'cos d J I C.. ejercicic 1. En el capituo 3 aprenderá el siguient 1iecho: Ljercici' 2

-

q)a1.

Ce star en intervalo (0, 2); la :rIz )r .eI algUn lugar cercano a a = U.o. trace 2a3 + a - 2 = 0 en el inten'a!o (C.8, 0.9). Haga acercamientos t!a ' i que pueda obtener una aproximai iOn a Ia raIz que sea correcta a dos lu ares

cimales.

Ejercicio 5 Una maxima en a1resolución de problemas que hemos igiorado en la solución anterior es la de 1:ratar de

evitar el uso de némeros L skJecificos.

Ala luz de los resultados obtenidos en -

lo ejercicios precedentes, una conjetu-

ra a tural es que existen tres rectas perpeli diculares para puntos en el interiord e la parabola y solo una para puntos -

ex. '-teriores a la parabola. Ejerci icio 8 Investigue un caso especia! de est'l conjetura para el caso en el qt el 'unki 'sta en el ejey (i.e.,p 0 y q > 0). -

-

-

-

Ejercicio 9 irv 2stigue la conjeti ura 1 general por n dl' ho Je 1 puntos de prueba (p. q) que ci :én dci '.. ritro de Ia parabola, jP.Jla. ,Es cierto 01jJ, :j inos c peromuyce-r existe trs reclas rpendiculares paira cada pun to intei ior cle la parabola? -

L

CAP TULO

I'V

Funciones y Iimites 2.1

2.2 2.3

Funciones y sus gráficas Operaciones con funciones

Las funciones trigonométricas Introducción al tema de Ilmites Estudio formal de lImites Teoremas de Ilmites LImites que incluyen funciones trigonométricas LImites en infinito, IImites infinitos Continuidad de funciones 2.10 RevisiOn del capItulo 2.11 Problemas adicionales Proyecto de tecnologIa 2.1 Desplazamiento y escalamiento de Ia gráfica de una funciOn Proyecto de tecnologIa 2.2 LImites 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Li

2.1

Funciones y sus gráficas

El concepto de funciOn es uno de Los más básicos en todas las matemáticas, y desempena un papel indispensable en cálculo.

Definición Una función

Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x en un co junto, denominado dominlo, un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto

f

de todos los valores asI obtenidos se denomina rango de La función. (Véase la figura 1.)

Dominio

Rango

Figura 1

f(x) Figura 2

Piense en una funciOn como una máquina que toma como entrada un valor x y produce una salida f(x). (Véase la figura 2.) Cada valor de entrada se hace corresponder con un solo valor de salida, pero puede suceder que diferentes valores de entrada den el mismo valor de salida. La definición no pone restricción sobre los conjuntos del dominio y del rango. El dominio podrIa consistir en eL conj unto de personas en su curso de cálculo, el rango el conjunto de calificaciones {A, B, C, D, F} que obtendrán, y La regla de correspondencia la asignaciOn de calificaciones. Casi todas las funciones que encontrará en este texto serán funciones de uno o más nümeros reaLes. Por ejempLo, la función g podrIa tomar un nümero real x y elevarlo al cuadrado, produciendo el nümero real x2. En este caso tenemos una formula que da la regla de correspondencia, esto es, g(x) = x2. Un diagrama esquemático de esta función se muestra en la figura 3.

SECCIÓN

37. Una pista de una milla tiene lados paralelos y extremos semicirculares iguales. Determine una fórmula para el área encerrada por la pista, A(d), en términos del diámetro d de los semicírculos. ¿Cuál es el dominio natural para esta función? 38. Sea A( c) el área de la región acotada por arriba por la recta y = x + 1, del lado izquierdo por el eje y, por abajo por el eje x y por el lado derecho por la recta x = c. Tal función se conoce como función de acumulación. (Véase la figura 13.) Determine (a) A ( 1) (b) A (2 ) (c) A(O) (d) A(c) (e) Esboce la gráfica de A(c). (f) ¿Cuáles son el dominio y el rango de A?

2.2

Operaciones con funciones

43

42. Un diamante de béisbol es un cuadrado con lados de 90 pies. Un jugador, después de conectar un cuadrangular, corrió alrededor del diamante con una velocidad de 10 pies por segundo. Sea s la distancia del jugador al home después de t segundos. (a) Exprese s como una función de t por medio de una fórmula con cuatro partes. (b) Exprese s como una función de t por medio de una fórmula con tres partes. [§g Para utilizar la tecnología de manera eficiente, usted necesita des-

cubrir sus capacidades, fortalezas y debilidades. Le pedimos que practique la graficación de funciones de varios tipos por medio de su propio paquete de cómputo o su calculadora. Los problemas del 43 al 48 están diseñados para este fin.

43. Sea f(x)

=

(x 3 + 3x - 5)/(x 2 + 4).

(a) Evalúe f(1.38) y f(4.12). (b) Para esta función, construya una tabla de valores correspondiente a x = -4, -3, ... ,3,4. Figura 13

44. Siga las instrucciones del problema 43 para f(x)

=

(sen 2x - 3

tan x)/cos x. 39. Sea B(c) el área de la región acotada por arriba por la gráfica de la curva y = x(l - x), por abajo por el eje x, y por la derecha por la recta x = c. El dominio de B es el intervalo [0,1]. (Véase la figura 14.) Dado que B(l) = (a) Determine B(O) (b) Determine BG) (c) Haga una gráfica de B(c), como mejor pueda.

L

y

45. Dibuje la gráfica de f(x) = x 3 - 5x 2 + x + 8 en el dominio

[-2,5]. (a) Determine el rango de f. (b) En este dominio, ¿en dónde f (x)

O?

46. Superponga la gráfica de g( x) = 2x 2 - 8x - 1 con dominio [-2, 5J sobre la gráfica de f(x) del problema 45. (a) Estime los valores en donde f(x)

.1.

2:

=

g(x) .

4

(b) En [-2, 5J, ¿en dónde f(x)

2:

g(x)?

(c) En [-2, 5J, estime el valor más grande de If(x) - g(x)l. 47. Grafique f(x) = (3x - 4)/(x2 + x - 6) en el dominio [-6,6].

x

(a) Determine las intersecciones con el eje x y con el eje y.

Figura 14

(b) Determine el rango de f para el dominio dado.

40. ¿Cuál de las siguientes funciones satisface f(x + y) f(x) + f(y) para toda x y y en ~? (a) f(t) = 2t (b) f(t) = t 2 (c) f(t) = 2t + 1 (d) f(t) = - 3t

=

f(x) + f(y), para toda x y y en~. Demuestre que existe un número m tal que f(t) = mt para todos los números racionales t. Sugerencia: Primero decida cuánto tiene que valer m. Luego proceda por pasos, iniciando con f(O) = O,f(p) = mp para p en N,f(l/p) = mip, etcétera. 41. Sea f(x

+ y)

(c) Determine las asíntotas verticales de la gráfica.

=

2.2 Operaciones con funciones

(d) Determine la asíntota horizontal para la gráfica, cuando el dominio se amplía a toda la recta real. 48. Siga las instrucciones del problema 47 para g(x) (3x 2 -4)/(x 2 + x-6).

=

Respuestas a la revisión de conceptos: 1. dominio, rango 2. 12u 2 ; 3(x + h? = 3x2 + 6xh + 3h 2 3. asíntota 4 par; impar; eje y; origen

Las funciones no son números. Pero al igual que dos números a y b puede sumarse para producir un nuevo número a + b, también dos funciones f y g pueden sumarse para producir una nueva función f + g. Ésta es sólo una de las diferentes operaciones sobre funciones que describiremos en estas secciones.

Sumas, diferencias, productos, cocientes y potencias Considere las funciones f y g con fórmulas

f(x)

x - 3 2

g(x) = \IX

44

CAPíTULO

2

Funciones y límites

Podemos construir una nueva función f (x - 3)/2 + VX; esto es,

(f

Dominio

de!

Figura 1

Dominio de g

+ g)(x) =

f(x)

+g

asignando a x el valor f(x)

+ g(x)

x - 3

+ g(x) = - 2 - + VX

Por supuesto, debemos tener un poco de cuidado con respecto a los dominios. Claramente, x debe ser un número en el que tanto f como g funcionen. En otras palabras, el dominio de f + g es la intersección (parte común) de los dominios de f y g (véase la figura 1). Las funciones f - g, f . g y f / g se introducen de una manera completamente análoga. Suponiendo que f y g tienen sus dominios naturales, tenemos lo siguiente:

Fórmula (f

+ g)(x)

= f(x)

Dominio

+ g(x)

=

x - 3 -2-

+ vX

x -3 (f - g)(x) = f(x) - g(x) = - 2 - x - 3

(f. g)(x) = f(x) . g(x) = - 2 -

[0,00)

vX

[0,00)

vX

[0,00)

L)(x) = f(x) = x - 3 (g g(x) 2 vX

(0,00)

Hemos excluido al Odel dominio de f / g para evitar la división entre cero. También podemos elevar una función a una potencia. Con fn representamos a la función que a cada x asigna el valor [f ( x) Jn. Así,

F(x) = [¡(x)]' = [x ~ 3

r

= x' - ~x + 9

y

Existe una excepción en la convención anterior sobre exponentes, a saber, cuando n = -1. Reservamos el símbolo f - 1 para la función inversa, que se estudiará en la sección 7.2. Por tanto,f- 1 no significa 1/f. EJEMPLO 1 Sean F(x) = V x + 1 y G(x) = ~, con dominios naturales resp'ectivos [-1,00) y [-3,3]. Determine fórmulas para F + G, F - G, F . G, F /G Y F 5 Yproporcione sus dominios naturales. Solución Fórmula (F +G)(x) = F(x) +G(x) = ~

Dominio

+~

[-1,3J

(F -G)(x) = F(x) -G(x) = ~ - ~

[-1,3J

(F· G)(x) = F(x) . G(x) = ~ ~

= F(x) = ( ~)(x) G G(x)

~

[-1,3)

~

F 5 (x) = [F(x)Y = (~)5 = (x

[-1,3J

+ 1)5/4

[-1,00)

•

SECCIÓN

33. Sea f( x)

= _x_. Determine y simplifique cada valor. (b) f(¡(x))

(a) f(l/x) 34. Sea f(x) =

(a)

x -1

vXx

x -1

f(~)

(c) f(l/f(x))

. Encuentre y simplifique. (b) f(¡(x))

35. Sean fl(x) = x, f2(X) = l/x, f3(X) = 1 - x, f4(X) = 1/(1 - x), fs(x) = (x - l)/x y f6(X) = x/ex - 1). Observe que f3(f4(X)) = f3(1/(1-x)) = l-l/(l-x) = x/(x-1) = f6(X); esto es, f 3 o f 4 = f 6' De hecho, la composición de cualquier par de estas funciones es otra función de la lista. Llene la tabla de composiciones de la figura 11. o

ti

f,hf~j~f;,

fl f~ j~, f~

t,

Figura 11

2.3 Las funciones trigonométricas

e = ~ .op hlp

c. ady cos e = hliJ tan

Figura 1

c.op

e = c. ady

El círculo unitario

49

36. Demuestre que la operación de composición de funciones es asociativa, esto es, fl o (f2 o f3) = (fl o f2) o f3' [§g Utilice una computadora ó una calculadora gráfica en los problemas 37-40. 37. Sea f(x) = x 2 - 3x. Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficasdey = f(x),y = f(x-O.5)-0.6yy = f(1.5x),todassobre el dominio [-2, 5J. 38. Sea f( x) = Ix3 1. Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficas de y = f(x), y = f(3x) y y = f(3(x - 0.8)), todas sobre el dominio [-3, 3J. 39. Sea f(x) = 2 vX - 2x + 0.25x 2. Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficas de y = f( x), y = f(1.5x) y y = f( x -1) + 0.5, todas en el dominio [O, 5J. 40. Sea f(x) = 1/(x 2 + 1). Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficas de y = f(x),y = f(2x)yy = f(x-2) + 0.6,todasenel dominio [-4, 4J. ~ 41. Su sistema de álgebra computacional (CAS) puede permitir el uso de parámetros en la definición de funciones. En cada caso, dibuje la gráfica de y = f (x) para los valores especificados del parámetro k, utilice los mismos ejes y -5:::; x :::; 5. (a) f(x) = Ikxlo. 7 parak = 1,2,0.5y0.2. (b) f(x) = Ix - klo. 7 para k = 0,2, -0.5 Y-3. (c) f(x) = [xl k para k = 004,0.7,1 Y 1.7.

42. Utilizando los mismos ejes, dibuje la gráfica de f( x) - e) In para la siguiente elección de parámetros. (a) c=-1,k=1.4,n=0.7.

=

Ik( x

(b) e = 2, k = lA, n = 1. (c) c=O,k = 0.9,n = 0.6.

Respuesta a la revisión de conceptos:

1. (x 2 + 1)3 2. f(g(x))

3. 2, la izquierda 4. un cociente de dos funciones polinomiales

Probablemente ha visto la definición de las funciones trigonométricas, con base en triángulos rectángulos. La figura 1, resume las definiciones de las funciones seno, coseno y tangente. Debe revisar con cuidado la figura 1, ya que estos conceptos son necesarios para muchas aplicaciones posteriores en este texto. Con mayor generalidad, definimos las funciones trigonométricas con base en el círculo unitario. El círculo unitario, que denotamos con e, es el círculo con radio 1 y centro en el origen; tiene ecuación x 2 + y2 = 1. Sea A el punto (1, O) Y sea t un número positivo. Existe un solo punto P en el círculo e tal que la distancia, medida en contra del sentido de las manecillas del reloj alrededor del arco AP, es igual a t. (Véase la figura 2.) Recuerde que la circunferencia de un círculo con radio res 277r, de modo que la circunferencia de e es 277. Por lo que, si t = 77, entonces el punto P está exactamente a la mitad del camino alrededor del círculo iniciando en el punto A; en este caso, P es el punto (-1, O). Si t = 377/2, entonces P es el punto (O, -1) Ysi t = 277, entonces P es el punto A. Si t > 277, entonces le tomará más de un circuito completo del círculo para trazar el arco AP. Cuando t < 0, trazamos el círculo en dirección del sentido de las manecillas del reloj. Habrá un solo punto P en el círculo e tal que la longitud del arco medida en dirección de las manecillas del reloj iniciando en A sea t. Así, para cada número real t, podemos asociar un único punto P( x, y) en el círculo unitario. Esto nos permite construir las definiciones clave de las funciones seno y coseno. Las funciones seno y coseno se escriben como sen y cos, en lugar de una sola letra como f o g. Los paréntesis alrededor de la variable independiente por lo regular se omite, a menos que exista alguna ambigüedad.

Definición Figura 2

Las funciones trigonométricas

~

Después utilice esta tabla para determinar cada una de las siguientes funciones. Con base en el problema 36, sabe que es válida la ley asociativa. (b) f 1 o f 2 o f 3 o f 4 o f s o f 6 (a) f3 o f3 o f3 o f3 o f3 (d) G si G o f 3 o f 6 = f 1 (c) F si F o f 6 = f 1 (e) H si f 2 o f s o H = f s

sen

2.3

Funciones seno y coseno

Sea t un número real que determina el punto P(x, y), como se explicó anteriormente. Entonces sen t = Y Y cos t = x.

SO

CAPíTULO

2

Funciones y límites y

(1,

o)

x

Propiedades básicas del seno y del coseno Varios hechos son casi inmediatos a partir de las definiciones dadas anteriormente. Primero, como t puede ser cualquier número real, el dominio de las funciones seno y coseno es IR. Segundo, x y y siempre están entre -1 y 1. Así, el rango para las funciones seno y coseno es el intervalo [-1,1]. Puesto que el círculo unitario tiene 21T de circunferencia, los valores de t y t + 21T determinan el mismo punto P(x, y). Por tanto, sen(t + 21T) = sen t y cos(t + 21T) = cos t (Obsérvese que los paréntesis son necesarios para dejar claro que queremos sen(t + 21T) en lugar de (sen t) + 21T. La expresión sen t + 21T sería ambigua.) Los puntos PI y P 2 que corresponden a t y - t, respectivamente, son simétricos con respecto al eje x (véase la figura 3). Por tanto, las abscisas para PI y P 2 son las mismas y las ordenadas sólo difieren en el signo. En consecuencia,

Figura 3

sen( -t) = -sen t y cos(-t) = cos t

y

En otras palabras, seno es una función impar y coseno es una función par. Los puntos correspondientes a t y 1T /2 - t son simétricos con respecto a la recta y = x y por tanto tenemos sus coordenadas intercambiadas (véase la figura 4). Esto significa que x

sen ( ; -

Figura 4

y

x

y

cos ( ; -

t)

= sen

t

Gráficas de seno y coseno Para graficar y = sen t y Y = cos t, seguimos nuestro procedimiento usual de construir una tabla de valores, trazar los puntos correspondientes y unir estos puntos con una curva suave. Sin embargo, hasta ahora, conocemos los valores de seno y coseno sólo para pocos valores de t. Otros valores pueden determinarse a partir de argumentos geométricos. Por ejemplo, si t = 1T/ 4, entonces t determina el punto medio del camino, si se recorre el círculo unitario en sentido contrario a las manecillas del reloj, entre los puntos (1, O) Y(0,1). Por simetría, x y y estarán en la recta y = x, de modo que y = sen t y x = cos t serán iguales. Así, los dos catetos del triángulo rectángulo OBP son iguales, y la hipotenusa es 1 (véase la figura 5). Puede aplicarse el teorema de Pitágoras para obtener: 1

Figura 5

sen t

cos t

O

O

7r/6 7r/4

1/2 \/2/2 \/3/2 1 \/3/2 \/2/2 1/2

1 \/3/2 \/2/2

7r/2 27r/3 37r/4 57r/6 7r

t

para todo número real t. Esta identidad se deriva del hecho de que el punto (x, y) está en el círculo unitario, de aquí que x y y deben satisfacer x 2 + y2 = 1. (0,1)

7r/3

= cos

Por último, mencionamos una identidad importante que relaciona las funciones seno y coseno:

y=x

t

t)

O

1T

= x 2 + x 2 = cos 2 - + 4

1T

cos2 -

4

De esto concluimos que cos(1T/4) = 1/V2 = V2/2. De manera análoga, sen (1T /4) = V2 /2. Podemos determinar sen t y cos t para otros valores de t. Algunos de éstos se muestran en la tabla siguiente. Utilizando estos resultados, junto con varios resultados de una calculadora (en modo de radianes), obtenemos las gráficas que se muestran en la figura 6. y

1/2 O

-1/2 -\/2/2 -\/3/2 -1

---jL-----.::llIr--~,__-_i(L_-----,otL---~--+_-~ I~ ~I < e

x

El factor l/lxl es problemático, en especial si x está cerca de cero. Podemos acotar este factor si podemos mantener a x alejado de O. Con ese fin, observe que lel = le -

x + xl :::;

le -

xl + Ixl

de modo que Figura 9

lel - Ix - el Así, si elegimos a o :::; lel/2, resultando en hacer Ixl 2::lel/2. Por último, si también peIxl 2::

dimos que

o :::; ee 2 /2, entonces 1

1

~ . ~ . Ix - el <

1 1 ee 2 lel/2 . ~ . 2 = e

DEMOSTRACIÓN fORMAL Sea e > O dada. Elegimos a ces O < Ix - el < o implica que

-

I~ ~I

=

le

:o xl

=

o = mín{lel/2, ee 2 /2}. Enton-

I~I . 1:1 • Ix - el < le~2 . 1:1 • e~2 = e

•

Límites unilaterales No se necesita mucha imaginación para dar las definiciones e-O del límite por la derecha y del límite por la izquierda. Definición

Límite por la derecha

Decir que l~+f(x) = L significa que para cada e > O existe una correspondiente

o > O tal que o< x -

e <

o ==> If(x) - LI

< e

Al lector le dejamos la definición e-o para el límite por la izquierda. (Véase el problema 5.) El concepto e-O presentado en esta sección es probablemente el tema más intrincado y elusivo en un curso de cálculo. Le podría tomar algún tiempo entender este concepto, pero vale el esfuerzo. El cálculo es el estudio de límites, de modo que una clara comprensión del concepto de límite es una meta valiosa.

72

CAPíTULO

2

Funciones y límites

27. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son equivalentes a la definición de límite? (a) Para algún e > Oytodao > 0,0 <

lx-el <

~

29. Suponga que deseamos dar una demostración con e-O de

que lím

o=}lf(x)-LI < e.

x->3

(b) Para toda o > O, existe una correspondiente e > Otal que

x4

-

4x 3

.

Empezamos escnbiendo O < Ix -

el <

e

=}

(x-3)(g(x)).

If(x) - LI < O

(c) Para todo entero positivo N, existe un entero correspondiente positivo M tal que O < Ix - el < l/M::::} If(x) - LI < l/N. (d) Para toda e > O, existe una correspondiente o > Otal que O < Ix - el < o y If(x) - LI < e para alguna x. 28. En lenguaje e-O qué significa decir lím f (x) x----+c

2.6 Teoremas de límites

4

+6 + x2 + x + 6 x +6 3 2

x

=-1.

x -4x +x +x+6

+ 1 en la forma

(a) Determine g(x). (b) ¿Podríamos elegir o = mín (1, e/n) para alguna n? Explique. (c) Si elegimos o = mín (1/4, e/n), ¿cuál es el entero más pequeño m que podríamos utilizar?

Respuestas a la revisión de conceptos: 1. L 2. O < Ix - al < o;lf(x) - LI < e 3.e/3 4.ma + b

* L.

e; L

+

e

La mayoría de los lectores coincidirán en que demostrar la existencia y valores de los límites utilizando la definición e-O de la sección anterior consume tiempo y es difícil. Esto es por lo que son bienvenidos los teoremas de esta sección. Nuestro primer teorema es el principal. Con él, podemos manejar la mayoría de los problemas de límites con los que nos enfrentaremos durante bastante tiempo.

Estos importantes resultados se recuerdan mejor si se aprenden en palabras. Por ejemplo, la afirmación 4 se traduce como: El límite de una suma es la suma de los límites. Por supuesto el Teorema A necesita demostrarse. Posponemos esa tarea hasta el final de la sección, preferimos mostrar primero cómo este teorema con varias partes se utiliza.

Aplicaciones del Teorema principal sobre límites

En los siguientes ejemplos, los números que están en el interior de un círculo se refieren al número de la afirmación de la lista anterior. Cada igualdad está justificada por la afirmación indicada. EJEMPLO 1

Determine x.-.3 lím 2x

4 •

Solución

lím 2x 4 x-3

T T =2

lím x 4

x-3

=2

lím [x-3

,~

x] = 2[3t = 162

•

74

CAPíTULO

2

Funciones y límites

La demostración del Teorema B se obtiene con base en aplicaciones repetidas del Teorema A. Observe que el Teorema B nos permite encontrar límites de funciones polinomiales y racionales con la simple sustitución de c por x en toda la expresión, siempre y cuando el denominador de la función racional no sea cero en c. EJEMPLO 5

Encuentre lím

7x 5

10x 4 - 13x + 6 -----3x 2 - 6x - 8

-

-------c-

x-c>2

Solución 7x 5 - 10x 4 - 13x + 6 lím - - - - - - - - x-c>2 3x 2 - 6x - 8

7(2)5 - 10(2t - 13(2)

+

6

11 2

3(2)2 - 6(2) - 8

•

x + 3x + 7 x + 3x + 7 Encuentre lím -2- - - - = lím - - - - 1 X 2x + 1 x-c> 1 (x - 1)2 3

EJEMPLO 6

3

X-C>

Solución No se aplica ni el Teorema B ni la afirmación 7 del Teorema A, ya que ellímite del denominador es cero. Sin embargo, como el límite del numerador es 11, vemos que cuando x se aproxima a 1 estamos dividiendo un número cercano a 11 entre un número positivo cercano a cero. El resultado es un número positivo grande. De hecho, el número resultante puede hacerlo tan grande como quiera tomando a x suficientemente cercana a 1. Decimos que el límite no existe. (Más adelante, en este capítulo, (véase la sección 2.8) nos permitiremos decir que el límite es +00.) • (2

EJEMPLO 7

Encuentre lím t-c>2

(

+ 3( - 10 +(- 6 .

2

Solución Nuevamente, no se aplica el Teorema B. Pero esta vez, el cociente toma una forma carente de significado O/O en t = 2. Siempre que esto suceda uno debe buscar una simplificación algebraica (factorización) del cociente antes de intentar tomar el límite. ,

hm ¿Opcional?

En un primer curso de cálculo, ¿cuántos teoremas deben demostrarse? Los profesores de matemáticas han discutido largo y tendido acerca de esto y acerca del balance correcto entre: • lógica e intuición • demostración y explicación • teoría y aplicación Un gran científico de hace mucho tiempo dio un sabio consejo. "Quien ama la práctica sin teoría es como el marinero que se embarca sin timón ni brújula y nunca sabe dónde ir." Leonardo da Vinci

t-c>2

{2

+ 3( - 10. , (( - 2) (( + 5) =hm +(- 6 t-c>2 (( 2) (( + 3)

(2

,(

+5 +3

7 5

=hm--=t-c>2 (

•

Demostración del Teorema A (opcional) No debe sorprenderse cuando le decimos que las demostraciones de algunas partes del Teorema A son muy complicadas. En consecuencia de esto, aquí sólo demostramos las primeras cinco partes, dejando las otras al apéndice (sección A.2, Teorema A). Para que se dé cuenta, podría intentar con los problemas 31 y 32. Demostraciones de las afirmaciones 1 y 2 Estas afirmaciones resultan de lím (mx + b) = mc + b (véase el ejemplo 3 de la sección 2.5) utilizando primero x-c>c

m = OYluego m = 1, b = O. • Demostración de la afirmación 3 Si k = O, el resultado es trivial, así que suponemos que k =1= O. Sea e > Odada. Por hipótesis, x-c>c lím f (x) existe; llamemos L a su valor. Por definición de límite, existe un número D tal que O<

Ix - cl < D ==} If(x) - LI < 1:1

Es seguro que algunos reclamarían el cambio de e/lkl en lugar de e al final de la desigualdad anterior. Bueno, ¿acaso no es e/lkl un número positivo? Sí. ¿Acaso no, la

SECCIÓN

2.6

Teoremas de límites

75

definición de límite requiere que para cualquier número positivo exista una correspondiente 07 Sí. Ahora, para una oasí determinada (nuevamente vez por medio de un análisis preliminar que no hemos mostrado aquí), aseguramos que O < Ix - el < o implica que

€

L+M -

< Ik l

Ikf(x) - kLI = Ikllf(x) - L/

: = l 1

e

Esto muestra que lím kf(x) x~c

= kL = k lím f(x) • x~c

Con respecto a la figura 1. Sea lím f (x) = L Y

Demostración de la afirmación 4 ,

x~c

lím g( x) = M. Si e es cualquier número positivo, entonces el 2 es positivo. Como x~c

lím f (x) = L, existe un número positivo 01 tal que

x~c

O<

Ix -el <

01=}

If(x) -

LI O dada. Después de un análisis preliminar (como en la sección 2.5), elegimos M = ~. Entonces x > M implica que

Solución

I ~ - 01 = ~ <

_1k = c xk xk M La demostración de la segunda proposición es similar.

•

86

CAPíTULO

Funciones y límites

2

2.9 Continuidad de funciones Un buen ejemplo de una máquina de discontinuidades es la máquina de servicio postal, que (en 1999) cobraba 0.33 dólares por una carta de 1 onza pero 0.55 dólares por una carta de un poco más de una onza.

En matemáticas y ciencias, utilizamos la palabra continuo para describir un proceso que sigue sin cambios abruptos. De hecho, nuestra experiencia nos lleva a suponer esto como una característica esencial de muchos procesos naturales. Es esta noción, con respecto a funciones, la que ahora queremos precisar. En las tres gráficas que Se muestran en la figura 1, sólo la tercera exhibe continuidad en c. En las primeras dos gráficas, lím f (x) no existe, o bien existe pero no es igual a f (c). Sólo en la tercer gráfica x--+ e

lím

x--+ e

= f (x) = f (c ). y

y

y

e lím f(x) no existe

x

X-1C

x e lím f(x) existe, pero

lím f(x)

X""c

X""c

*

e

x

=f(c)

~r:;/(x) f(c)

Figura 1

He aquí la definición formal.

Definición

Continuidad en un punto

Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c. Decimos que f eS continua en c si

f (x)

lím x--+

=

f (c )

C

Queremos decir con esta definición que necesitamos tres cosas: (1) que lím f (x) x--+c

exista, (2) que f(c) exista (p. ej., c esté en el dominio de f) y (3) lím f(x) = f(c). Si x--+c

cualquiera de estas tres no se cumple, entonces f es discontinua en c. Así, las funciones representadas por la primera y segunda gráficas de la figura 1 son discontinuas en c. Sin embargo, no parecen ser discontinuas en otros puntos de sus dominios.

x2 - 4 EJEMPLO 1 Sea f(x) = x _ 2 ,x

=1=

2. ¿Cómo debe definirse f en x = 2 para hacer

que sea continua allí? Solución

1/ (x - 2) (x + 2) 1/ ( ) / X2 - 4 = 1m x+2 =4 11 m - - = 1m x - 2 x--+2 X - 2 x--+2

x--+2

f(x)

Por tanto, definimos f(2) = 4. La gráfica de la función resultante se muestra en la figu• ra 2. De hecho. vemos que f (x) = x + 2 para toda x.

= \.

Figura 2

Continuidad de funciones conocidas La mayoría de las funciones con las que nos enfrentaremos en este texto son (1) continuas en todas partes o (2) continuas en todas partes, excepto en algunos puntos. En particular, el Teorema 2.6B implica el resultado siguiente. y

-4

-3

-2

-1

f(x) =!x

Figura 3

2

3

4

x

Recuerde la función valor absoluto f(x) = Ixl; su gráfica se muestra en la figura 3. Para x < 0, f(x) = -x, una función polinomial; para x > 0, f(x) = x, otra función polinomial. Así, por el Teorema A, Ixl es continua en todos los números diferentes de cero. Pero

SECCIÓN

y

2.9

Continuidad de funciones

87

límlxl = O = 101

x~o

(véase el problema 23 de la sección 2.5). Por tanto, Ixl también es continua en cero; es continua en todas partes. Por medio del Teorema principal sobre límites (Teorema 2.6A) f(x)

Figura 4

lím

x~c

=:

vx = "n~ = ve V ~~~.A

con tal que c > O, cuando n es par. Esto significa que f (x) = VX es continua en cada punto en donde tiene sentido hablar acerca de continuidad. En particular, f (x) = es continua en cada número real c > O (véase la figura 4). Se puede resumir lo siguiente:

vx

Continuidad en operaciones con funciones ¿Las operaciones ordinarias entre funciones preservan la continuidad? Sí, de acuerdo con el teorema siguiente. En él, f y g son funciones, k es una constante y n es un entero positivo.

Demostración Todos estos resultados son consecuencias fáciles de los correspondientes hechos para límites del Teorema 2.6A. Por ejemplo, ese teorema combinado con el hecho de que f y g son continuas en c, produce lím f (x) g ( x) = lím f (x) . lím g ( x) =

x~c

x~c

x~c

Esto es precisamente lo que significa decir que f EJEMPLO 2

f (c )g (c )

. g es continua en c. •

¿En qué números F(x) = (31xl - x 2 )/(

vx + \o/X) es continua?

No necesitamos considerar números no positivos, ya que F no está definida en tales números. Para cualquier número positivo, todas las funciones VX, \o/X, Ixl Yx 2 son continuas (Teoremas A y B). Se deduce, con base en el Teorema C que 31xl31xl - x 2 , VX + \o/X, y por último, (31 x x 2)

Solución

l

-

(VX + \YX) son continuas en cada número positivo. • La continuidad de funciones trigonométricas se deduce del Teorema C y del Teorema 2.7A.

Demostración El Teorema 2.7A dice que para todo número real c lím sen x

x~c

= sen c y

lím cos x

x~c

= cos c

Éstas son exactamente las condiciones requeridas para que sen x y cos x sean continuas en c. Como sen x y cos x son continuas en cada número real c, el Teorema C implica sen x que el cociente - - = tan x es continua siempre que el denominador, cos x, no sea cosx

88

CAPíTULO

2

Funciones y límites

/

.

d

/

1

cero. A SI, tan x, es contmua en to o numero rea , excepto en e = ± 2 ' ± 2' ... , que 7T

37T

son precisamente los puntos que no pertenecen al domino de tan x. Un argumento similar se aplica a cot x, sec x y csc x.• Existe otra operación con funciones, composición, que será muy importante en el trabajo posterior. También preserva la continuidad.

Demostración del Teorema E (opcional)

Demostración Sea e > Odada. Como f es continua en L, existe una 01 > Ocorrespondiente tal que ¡(L)

It - LI < 01 => If(t) - f(L)1 < e

f(g(x))

y así (véase la figura 5)

Ig(x) - LI < 01 => If(g(x)) - f(L)1 < e Figura 5

Pero ya que lírn g( x) = L ,para una 01 > Odada, existe una correspondiente O2 > O x~c

tal que

Cuando reunimos estos dos hechos, tenemos

o<

el <

Ix -

O2 =>

1I (g(x ))

-

1(L ) I < e

Esto demuestra que

lírnf(g(x)) = f(L)

x~c

La segunda proposición en el Teorema E se deduce de la observación de que si g es continua en e entonces L = g( e ). • EJEMPLO 3

Demuestre que h(x)

= Ix 2 - 3x + 61 es continua en todo número real.

Sea f (x) = Ixl y g( x) = x2 - 3x ro real, y por tanto su composición

Solución

+ 6. Ambas son continuas en cada núme-

h(x) = f(g(x)) = Ix 2

-

3x +

61

•

también lo es. EJEMPLO 4

Demuestre que

x 4 - 3x + 1 h(x) = sen - 2 - - - x - X - 6 es continua excepto en 3 y -2. Solución

x2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2). Así, la función racional g (x)

=

X4 -

x2 -

3x + 1 X -

6

SECCIÓN

2.9

Continuidad de funciones

89

es continua excepto en 3 y -2 (Teorema A). Sabemos del Teorema D que la función seno es continua en todo número real. Así, con base en el Teorema E, concluimos que, como h(x) = sen(g(x)),h también es continua excepto en 3 y -2. •

Continuidad en un intervalo Hasta ahora, hemos estudiado continuidad en un punto. Deseamos analizar la continuidad en un intervalo. La continuidad en un intervalo tiene que significar continuidad en cada punto de ese intervalo. Esto es exactamente lo que significa para un intervalo abierto. Cuando consideramos un intervalo cerrado [a, b], nos enfrentamos a un problema. Podría ser que f incluso no esté definida a la izquierda de a (e.g., esto ocurre para f (x) = \IX en a = O), así que hablando estrictamente, lím f (x) no existe. Elegimos darle la vuelta a este problema diciendo que f es continua en [a, b] si es continua en b) y si lím_f(x) = f(a) y x~b lím_f(x) = f(b). Resumimos esto en cada punto de (a 'x~a una definición formal. x~a

Definición

Continuidad en un intervalo

La función f es continua por la derecha en a si lím+ f (x) = f (a) y continua por la izquierda en b si límb_f( x) = f( b) . x~a Decimos que f es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto de ese intervalo. Es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b. x~

y

Por ejemplo, es correcto decir que f(x) = l/x es continua en (O, 1) Y que g( x) = \IX es continua en [O, 1]. x

EJEMPLO 5 Utilizando la definición anterior, describa las propiedades de la continuidad de la función cuya gráfica está dibujada en la figura 6.

La función parece que es continua en los intervalos (-00, O), (0,3) Y(5,00) y también en el intervalo cerrado [3, 5]. •

Solución

Figura 6

EJEMPLO 6 ¿Cuál es el intervalo más grande sobre el cual la función definida por g(x) = ~ es continua?

El dominio de g es el intervalo [-2,2]. Si e pertenece al intervalo (-2,2), entonces, por el Teorema E, g es continua en e; de aquí que, g es continua en (-2,2). Los límites unilaterales son

Solución

lím ~ = "V /4 lím . - (x~-2+

x~-2+

x)2 ~ = O = g(-2)

y

Esto implica que g es continua por la derecha en -2 Ycontinua por la izquierda en 2. Así, g es continua en su dominio, el intervalo cerrado [-2, 2]. •

y

De manera intuitiva, que f sea continua en [a, b] significa que, cuando Xl y x2 están cerca uno del otro y ambos en [a, b], entonces f(xd y f(x 2 ) están cerca uno del otro. La gráfica de f en [a, b] no debe tener saltos, de modo que debemos de ser capaces de "dibujar" la gráfica de f desde el punto (a, f( a)) al punto (b, f( b)) sin levantar nuestro lápiz del papel. Así, la función f debe tomar todos los valores entre f( a) y f (b ). Esta propiedad se establece de manera más precisa en el Teorema F.

f(b)

lt; - + - - - - - - - - - 1

w; -+-----.=-..::--.. f(a)

x

Figura 7

La figura 7 muestra la gráfica de una función f(x) que es continua en [a, bJ. El Teorema del valor intermedio dice que para toda W en (f( a), f( b)) debe existir una

92

CAPíTULO

Funciones y límites

2

17. A partir de la gráfica de h dada en la figura 13, indique los intervalos en los que h es continua.

39. Utilice el Teorema del valor intermedio para demostrar que (cos t )1 3 + 6 sen5 t - 3 = Otiene una solución real entre Oy 27r.

40. Demuestre que la ecuación x 5 + 4x3 - 7x + 14 = Otiene al menos una solución real. Sugerencia: Teorema del valor intermedio. 41. Pruebe que f es continua en c si, y sólo si lím f(t + c) f(c).

=

HO

42. Demuestre que si f es continua en c y f (c) > O, existe un intervalo (c - D, c + D) tal que f (x) > O en este intervalo.

43. Demuestre que si f es continua en [0,1] Yahí satisface O:::::::: f(x) : : : : 1, entonces f tiene un punto fijo; esto es, existe un número c en [0,1] tal que f( c) = c. Sugerencia: Aplique el Teorema del valor intermedio a g(x) = x - f(x).

Figura 13

En los problemas del 18 al 23, la función dada no está definida en cierto punto. ¿Cómo debe definirse para hacerla continua en ese punto? (Véase el ejemplo 1.)

18.

f (x)

x 2 - 49

x - 7

=

19.

sen (e)

20. g(e) = - e -

f (x) =

21. H(t) =

Vt t -

1

1

+7 28. f(u) = " r-:-; vu + 5

29. g(u)

30. F(x)

=

v4 + x X

f (x) = {

x2 2 - x

34. f(t)

=

{

2

u2 + =

lu - 11

,,3~

\/ u + 1 1

=

" r;--;)

v4 - x 2

si x < o si o =:; x =:; 1 si x > 1

si x < o :x si o =:; x =:; 1 si x > 1 X

33. g(x) =

31. G(x)

" r:-:-?

1

-3 yf (2)

=

1. ¿El

Teorema del valor intermedio implica la existencia de un número c entre -2 Y2 tal que f (c) = O? Explique.

27. r( e) = tan e

1

si' x < 1

46. Seaf(x) = x _ 1·Entoncesf(-2) =

26. h( e) = Isen e + cos el 2u

{

+1

ax + b si' 1 : : : : x < 2 3x si' x::::: 2

45. Una liga estirada cubre el intervalo [O, 1]. Los extremos se sueltan y la liga se contrae de modo que cubre el intervalo [a, bJ con a :2: OY b : : : : 1. Demuestre que esto resulta en un punto de la liga (en realidad exactamente un punto) que estará en donde estaba originalmente. Véase el problema 43.

3x + 7 (x) = (x - 30) (x - 7T)

33 - x 2 25. f (x) = -x-7T-+-3-x---3-7T---X-2

32.

f (x) =

1

x2 - 1 x 4 + 2x 2 - 3 23. F(x) = sen ~ 1 x+ _En los problemas del 24 al 35, ¿en qué puntos, si los hay, las funciones son discontinuas?

f

X

2x 2 - 18 3 - x

22. 4>(x) =

24.

44. Encuentre los valores de a y b de modo que la función siguiente sea continua en todas partes.

47. Iniciando a las 4 a.m., un excursionista escala lentamente hacia la cima de una montaña, llegando al mediodía. Al día siguiente, él regresa a lo largo de la misma ruta, iniciando a las 5 a.m., y llegando al pie de la montaña a las 11 a.m. Demuestre que en algún punto a lo largo de la ruta su reloj mostraba la misma hora en ambos días. 48. Sea D una región acotada, pero arbitraria en el primer cuadrante. Dado un ángulo e, O:::::::: e:: : : : 7r/2, D puede ser encerrada por medio de un rectángulo cuya base forme un ángulo e con el eje x como se muestra en la figura 14. Demuestre que para algún ángulo este rectángulo es un cuadrado. (Esto significa que cualquier región acotada puede ser encerrada dentro de un cuadrado.)

2

y

35. g ( t) = [t +

[t]

36. Dibuje la gráfica de una función condiciones siguientes.

f

H

que satisface todas las

(a) Su dominio es [-2,2].

(b) f(-2) = f(-l) = f(l) = f(2) = 1. (c) Es discontinua en -1 y 1. (d) Es continua por la derecha en -1 y continua por la izquierda en 1. 37. Sea

f (x) =

X { - X

si x es racional ... SI X es IrracIOnal

Dibuje la gráfica de esta función lo mejor que pueda y decida en dónde es continua. 38. Utilice el Teorema del valor intermedio para demostrar que x 3 + 3x - 2 = Otiene una solución real entre Oy 1.

()

x

Figura 14

49. Seaf(x + y) = f(x) + f(y) para todo x y y en ga que f es continua en x = O.

~

y supon-

(a) Demuestre que f es continua en todas partes. (b) Demuestre que existe una constante m tal que f(t) toda t en ~ (véase el problema 41 de la sección 2.1).

= mt para

SECCIÓN

En los problemas del 50 al 53, estudiaremos funciones lineales. Tales funciones tiene la forma y( x) = mx + b, donde m y b son constantes. 50. Demuestre que la suma de dos funciones lineales también es una función lineal. 51. Demuestre que la composición de dos funciones lineales también es una función lineal. 52. Demuestre que el producto de dos funciones lineales por lo general no es una función lineal. 53. Demuestre que el cociente de dos funciones lineales por lo general no es una función lineal.

2.10

Revisión del capítulo

93

58. Un bloque delgado en forma de triángulo equilátero con lado de longitud 1 unidad, tiene su cara en la vertical del plano xy con un vértice en el origen. Bajo la influencia de la gravedad, girará alrededor de V hasta que un lado golpee el piso, en el eje x (véase la figura 15). Denótese con x la abscisa inicial x del punto medio M, del lado opuesto a V, Y sea f (x) la abscisa x final de este punto. Suponga que el bloque queda en equilibrio cuando M está directamente arriba de V. (a) Determine el dominio y rango de f. (b) En el dominio de f, ¿en dónde es discontinua? (c) Identifique cualesquiera puntos fijos de f (véase el problema 43). y

54. Pruebe que si f (x) es una función continua en un intervalo entonces también lo es la función If(x)1 = V(¡(x))2.

y

55. Demuestre que si g(x) = If(x)1 es continua, no necesariamente es cierto que f(x) sea continua. 56. Algunas veces se dice que la continuidad de una función f está definida para ser capaz de pasar ellím "a través" de la función. Por X-K

ejemplo, si f es continua en c, entonces lím f(x) = f(lím x). Demuestre o refute esta afirmación. x---+c x---+c 57. (Problema famoso) Sea f( x) = 0, si x es irracional y sea f(x) = 1/q si x es un número racional p/q en su mínima expresión

o

-1

Posición inicial

Posición final

Figura 15

1. lím f (x )

2. todos

3. lím f(x) = f(a); lím f(x) = f(b)

4. a; b;

(q > O).

Respuestas a la revisión de conceptos:

(a) Dibuje, lo mejor que pueda, la gráfica de f en (O, 1).

los enteros

(b) Demuestre que f es continua en cada número irracional en (O, 1), pero es discontinua en cada número racional en (0,1).

f(c) = W

x---+a

x---+c

x---+b

2.10 Revisión del capítulo A cada una de las siguientes aseveraciones responda con verdadero o

11. El rango de la función f (x) = csc x - sec x es el intervalo (-00, -1J u [1,00).

falso. Justifique sus respuestas.

12. La suma de dos funciones pares es una función par.

1. La ecuación xy + x = 3y determina una función con fórmula de la forma y = f(x).

13. La suma de dos funciones impares es una función impar.

2. La ecuación xi + x2 = 3x determina una función con fórmula de la forma y = f(x).

15. El producto de una función par con una función impar es una fun-

3. La ecuación Osen O + t - cos O = ción de O.

16. La composición de una función par con una función impar es una función impar.

Examen de conceptos

2

4. La ecuación de 'IJI.

+ 'IJI =

1

°

determina a t como una fun-

+ 'IJII determina a como una función

14. El producto de dos funciones impares es una función impar. ción impar.

17. La composición de dos funciones impares es una función par. 18. Lafunciónf(x) = (2x 3 + x)/(x 2 + 1) es impar.

5. La ecuación T = sen(O) determina a Ocomo una función de T.

19. La función

6. El dominio natural de

f(t) f(x) =

~4 ~ x

es el intervalo [0,4).

(sen t}2 + cos t tan t csc t

es par. 20. Si el rango de una función consiste en sólo un número, entonces su dominio también consiste de sólo un número.

7. El dominio natural de

f(x)

=

= V-(x 2 + 4x + 3)

es el intervalo -3 ::; x ::; -1.

21. Si el dominio de una función contiene al menos dos números, entonces el rango también contiene al menos dos números.

22. Sig(x) = [x/2],entoncesg(-1.8) =-1.

8. El dominio natural de T( O) = sec( O) + cos( O) es todo valor de O.

23. Si f(x) = x 2 y g(x) = x 3 , entonces f

9. El rango de f (x) = x

24. Si f(x) = x 2 y g(x) = x 3 , entonces (f o g)(x) = f(x).g(x).

2

-

6 es el intervalo [-6,00).

10. El rango de la función f(x) = tan x - sec x es el intervalo (-00, -1 J u [1, 00).

o

g = g

o

f.

25. Si f y g tiene los mismos dominios, entonces f / g también tiene ese dominio.

'PRYECTGSi I

r.

sp(azamie

i:o I

I

FiECNOL(A 2.1

I-

esr:dlaI:rnk nto de I g.áti r cadeuri ffiflciOfl

Preparación

Ly

segurese dc qe ustec conoza Cól ml 10 utilizar ci software aroçu para lefiy graficar funciones. También invesLigue Ia capacidad de su software para anirnar graficas.

\

orjIa '1 Uso de Ia tecnor IT propOsito de este proyecto .s recoocer los efectos de ccnsark a y b soIa grafa dc X) + a, ± ). f(''

;'bx) y bf(x).

I

) Seaf(x)

N

-I

jercicio 1

H-

sen(x).DiL.Ia 'rafti-

ca de f(x a) = sen( -- a) para varios valores dc a, de 4 a 4. Si u software tide Ia capacivad de an mar graficas. grafique y anir1lc f (x + a) para a = 4 a 'i= 4 en inLI

crementos dc 0.1.

) Repita Ia pane (a) para (x) +

I

4

6

-2

-3

:Hrf

-4

J

a = sen x + a. Asegürese de c1ue entiende la diferencia entre sen(x + a) y sen x + a. Repita Ia parte (a) para f(bx) = sen(bx). (d) Repita La parte (a) para bf(x) = b

J.

2

4

Il/

8

I-

Sen x. 4-

-

Ejercicio 2 Repita las cuatro partes del ejercicio para Ia función g(x) = sen v. 1

L

I:jercicio 3 Las graficas de las funcicnes

f (x) = sen(2x)

I

-3

-4FigL-a it 2

= sen(x --

f3(x) = 3sen(2x) [4(x) = 3 sen(x + 1)

f(x) = 3 sen x sc muestran en desorden en la figura 1. 'eIacione cada iunción con su gráfica.

1jercicio 4 Identque 1a funciones c!.yas gráficas se uuestran en a figui 2.

Figura 1

I

le*IL ic

's crUaunreporte bieve que explioue I efecu I.e las constantes a y b sobre 'is i. jticas de las funciones (x + a J

.

1O

b-v-

,

f(x,

+

,j'(,x),bf(x). Li

9/

PRYEC1O DE TECNOLOGfA 2.2 'Si

I-

[

1

I

I

I

i

I

A

LImit Prepara(:IC,n '. deiCiniic-ion de ilmite de Ia seeRi. vie ia I L.teoremas sobre ilmites de c' 'In 2.5 y- DS la seixio n2. 6.

de Ia t 'cnologIa 1 Utilice la factorización paEj.rCjcjo ra ayudar .. ncr ntrar los ilmites guien.150 L'

-

RE.

tá definida en ci punto lImite.

i-a nota rj qu eiriuchos IiJ11A hes -pruedeii obtenerse con solo valuar

(b) Construya una tabla airededor de x = 0. Evalüe cada uno de los iimites siguientes cuando x - 0, por medio de tabias y gráficas. - x2 - 4x + 4 (a) Ejerciclo 3

tes:

.x3 - 9x2 - 45x - 91

hut-- -x - 13

(b)

Ii fl

- 9x2 - 39x - 86 x - 13

lIni 13

(") c' ilni

x-,13

- 26.'x3 + 178x2 - 234x + 1521 x - 13

sen x X

(Este es Un lImite importan-

te). (c)

(d)

1cosx (Este también 10 es.) x

Ej.ercicio 2':

urn

x -*0

-- / V'25 + ix v25-2r X

rnedio de Ja uno de los métodos sigiientes 'a) 1-lagaunagráfica de la fracción cer'a del pun x = 0. Con frecuenc ia, eslo "fi.nciona" aun cuando,

98

Laf.unciOi. lada en eL punto dano. Estabi zc -tc1.e manera precisa uiia cLjdiCjOfl j" là cua sto .s válido. ,Cua1cs de los b'3' tii te iguintcs pueden eva1arse de lIrnLss e .a.ie ,Jam r'ra encil1a? Justifique sus res-

uL ;tas.

-x+5

(a) lInI

(b' im

-

- 25

c-*5 X -

(c) x-*5 lIm \/i6

5

sen5 x

(e) (1 + X)h/X (Otro ilmite importante.)

e Eii"utre

-. I fI X.ilr L. eirckk', 5

como en este caso, la función no es-

Ejerciclo 4 Como hemos visto, en ocasiones gunas herramientas comunes, '-orización puede utilizartales 'nm se de fona provechosa. Utihce ci truco de multiplicar arriba y abajo por una suma de las raIcc cuadradas ("racionaiización u I iv"erador") para verificar de manera aig jraica ci resultado del ejercicio 2y /Lrificar que sus resultados fueron correctos.

Eercicio 6 P roporcionc ejemptos

"uient.ti)TJno ifuncjon racional (que u sea '') cuyo lImite en c pueda p'olinc mK,,

lo

va1uarse por sustitución.

(1,Lii-t función :acional (juL no sea .

'our )mn) cuyo lImite ciS1 e no pue-- sustitwiOn daevaL.arse ".! por

(e) Uiu. fun.ciói i aciona1 cuyo 1Iinte en T

C

SCd C'O.

(d) Una lunci )L'i no racionai cuyo unite en 0

'sta. i:

CAPITULO

3

La derivada Dos problemas con el mismo tema La derivada Reglas para encontrar derivadas Derivadas de funciones trigonométrica1 La regla de Ia cadena 3.5 Notación de Leibniz 3.6 3.7 Derivadas de orden superior Derivación impilcita 3.8 3.9 Tasas de cambio relacionadas 3.10 Diferenciales y aproximaciones 3.11 Revision del capItulo 3.12 Problemas adicionales Proyecto de tecnologIa 3.1 Rectas secantes y tangentes Proyecto de tecnologIa 3.2 AproximaciOn lineal de una funciOn 3.1

3.2 3.3 3.4

3.1

Nuestro primer problema es muy antiguo; se remonta a la época del gran cientIfico

Dos problemas con el mismo tema

griego ArquImedes (287-212 a.C.). Nos referimos al problema de la pendiente de Ia recta tangente.

fl /

Recta tangente en P

Figura 1

Nuestro segundo problema es más reciente. CreciO con los intentos de Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642), NeWton (1642-1727) y otros para describir Ia velocidad de un cuerpo en movimiento. Es ci problema de La velocidad instantánea.

Los dos problemas, uno geométrico y el otro mecánico, parecen no estar muy reLacionados. En este caso las apariencias engafian. Los dos problemas son gemelos idénticos.

La recta tangente La noción de Euclides de una tangente, como una recta que toca a una curva en un solo punto es totaimente correcta para cIrculos (véase la figura 1) pero completamente insatisfactoria para otras curvas (véase la figura 2). La idea de una tangente, en P, a una curva como la recta que mejor aproxima a la curva cerca de P es mejor, pero aün es muy vaga para la precision rnatemática. El concepto de lImite proporciona una manera de obtener una mejor descripción. Sea P un punto en una curva y sea Q un punto móvil cercano a P en esa curva. Considere la recta que pasa por P y Q, liamada recta secante. La recta tangente en P es la posición lImite (si ésta existe) de Ia recta secante cuando Q se mueve hacia P a lo largo de Ia curva (véase La figura 3). Suponga que la curva es la gráfica de la ecuación y = f(x). Entonces P tiene coordenadas (c,f(c)), un punto cercano Q tiene coordenadas (c + h,f(c + h)) y la recta secante de P a Q tiene pendiente msec dada por (véase La figura 4):

f(c + h) - f(c)

Recta tangente en P

Figura 2

msec

=

h

102

CAPíTULO

3

La derivada 250

.g

·6

200

o

u

~

150

ro

·u ~

es

lOO

50 0""'--""""'----+----+----+------+-

Figura 9

Durante el segundo segundo (p. ej., en el intervalo de tiempo de t = 1 a t = 2), P cae (64 - 16) pies. Su velocidad promedio fue 64 - 16 . 2 _ 1 = 48 pIeS por segundo

vprom =

Durante el intervalo de t = 1 a t = 1.5, cae 16(1.5)Z - 16 = 20 pies. Su velocidad promedio fue vprom =

16(1.5)2 - 16 20 . 1.5 _ 1 = 0.5 = 40 pIes por segundo

De manera similar, en los intervalos de tiempo t = 1 a t = 1.1 Y t = 1 a t = 1.01, calculamos las velocidades promedio respectivas vprom =

16(1.1)2 - 16 3.36 . 1.1 _ 1 = 0.1 = 33.6 pIeS por segundo

vprom =

16(1.01)2 - 16 0.3216 . 1.01 _ 1 = ~ = 32.16 pIes por segundo

Cambio en el tiempo

c+h

!(c) Cambio en la posición /(c+h)

Lo que hemos hecho es calcular la velocidad promedio en intervalos de tiempo cada vez más pequeños, cada uno iniciando en t = 1. Entre más breve es el intervalo de tiempo, mejor aproximamos la velocidad instantánea en el instante t = 1. Mirando los números 48,40,33.6 Y32.16, podríamos suponer que 32 pies por segundo es la velocidad instantánea. Pero seamos más precisos. Suponga que un objeto P se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su posición en el instante testá dada por s = f(t). En el instante e el objeto está en f( e); en un instante cercano, e + h, está en f( e + h) (véase la figura 10). Así la velocidad promedio en este intervalo es

f(c + h) - f(c) v prom = Figura 10

h

Ahora podemos definir la velocidad instantánea.

Definición

Velocidad instantánea

Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con función de posición f(t), entonces su velocidad instantánea en el instante e es

/

/

v = h~O hm vprom = h~O hm

f(c +

siempre que el límite exista y no sea 00 o -oo.

h) - f(c) h

11 O

CAPíTULO

3

La derivada

EJ EM PLO 6 qué punto?

Cada una de las siguientes es una derivada, pero ¿de qué función? y ¿en 2

(a) h--.+O lím

2 x 3 ( b) l í m - -

(4+h)2_16 h

3

x--.+3X -

Solución

(a) Ésta es la derivada de f(x) = x 2 en x = 4. (b) Ésta es la derivada de f(x) = 2/x en x = 3.

•

Diferenciabilidad implica continuidad Si una curva tiene una recta tangente en un punto, entonces esa curva no puede dar un salto u oscilar demasiado en ese punto. La formulación precisa de este hecho es un teorema importante.

Demostración Necesitamos demostrar que lím f(x) = f(e).Empezamos escribiendo f (x) de una manera especial. x--.+c f(x) = f(e) + f(x) - f(e) . (x - e), x - e

x"*

e

Por tanto, lím f (x)

x--.+c

=

lím [ f (e)

X--.+C

+

f(x) - f(e)

= lím f (e) + lím x--.+c

e

X -

. (x - e)

f(x) - f(e)

X--.+C

e

X -

]

. lím (x - e) x--.+c

= f(e) + I'(e) . O = f(e) • El recíproco del teorema es falso. Si una función f es continua en e, no se sigue que Ixl en el origen (véase la figura 3). Esta función en verdad es continua en cero. Sin embargo, no tiene una derivada allí, como se muestra a continuación. Observe que

f tenga una derivada en e. Esto es fácil de ver considerando f(x) =

f(O + h) - f(O)

10 + hl - 101

Ihl

h

h

h

y

Así,

f(O + h) - f(O)

~

hm------h

h--.+O+

-1

Figura 3

x

fcn =

Ihl

lím -

h--.+O+

h

h h

= lím - = 1 h--.+O+

mientras que lím h--.+O-

f (O +

h) -

f (O) =

h

lím h--.+O-

~ = lím -h = -1 h

h--.+O-

h

Ya que los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes, ~

hm

h--.+O

f(O + h) - f(O) h

no existe. Por tanto, f' (O) no existe. Un argumento similar muestra que cualquier punto en donde la gráfica de una función continua tenga un esquina o vértice la función no es diferenciable. La gráfica en la figura 4 indica algunas formas para que una función no sea diferenciable en un punto.

SECCIÓN

(a) En este intervalo, ¿en dónde f' (x) < O? (b) En este intervalo, ¿en dónde f( x) disminuye cuando x aumenta? (c) Haga una conjetura. Experimente con otros intervalos y otras funciones para sustentar esta conjetura.

l' J •

Salida Un operador

Figura 1 y

r(\)-+-----41....---*"----

x

x+h

x

113

Respuestas a la revisión de conceptos: 1. [f(e + h) - f(e)]/h, [¡(t) - f(e)]/(t - e) 2. [¡(x + h) - f(x)]/h 3. continuos; Ixl 4. 2x2 ; e

52. Dibuje las gráficas de f(x) = cosx - sen(x/2) y su derivada f'(x) en el intervalo [0,9] utilizando los mismos ejes. (a) En este intervalo, ¿en dónde f'(x) > O?

Reglas para encontrar derivadas

Reglas para encontrar derivadas

(b) En este intervalo, ¿en dónde ¡(x) aumenta cuando x aumenta? (c) Haga una conjetura. Experimente con otros intervalos y otras funciones para sustentar esta conjetura.

~

3.3

3.3

El proceso de encontrar la derivada de una función de manera directa a partir de la definición de la derivada, esto es, estableciendo el cociente de diferencias

f(x + h) - f(x) h y evaluando su límite, puede consumir tiempo y ser tedioso. Vamos a desarrollar herramientas que nos permitan acortar este largo proceso de hecho, nos permitirá encontrar derivadas de funciones que en apariencia son más complicadas. Recuerde que la derivada de una función f es otra función 1'. En la sección anterior vimos que, si f(x) = x 3 + 7x es la fórmula para f, entonces f'(x) = 3x 2 + 7 es la fórmula para 1'. Cuando tomamos la derivada de f, decimos que estamos diferenciando a f. La derivada opera sobre f para producir 1'. Con frecuencia utilizamos el símbolo D x para indicar la operación de diferenciación (véase la figura 1). El símbolo D x indica que estamos tomando la derivada (con respecto a la variable x) de lo que sigue. Así, escribimos Dxf(x) = f'(x) o (en el caso antes mencionado) D x(x 3 + 7x) = 3x2 + 7. Este D x es un ejemplo de un operador. Como sugiere la figura 1, un operador es una función cuya entrada es una función y cuya salida es otra función.

Las reglas para la constante y para la potencia La gráfica de la función constante f (x) = k es una recta horizontal (véase la figura 2), que, por tanto, tiene pendiente cero en todas partes. Esto es una manera de entender nuestro primer teorema.

Figura 2

Demostración

f' (x) =

lím f (x + h) - f (x) = lím k - k = lím O = O • h h---->O h h---->O

h---->O

Figura 3

La gráfica de f (x) = x es una recta que pasa por el origen y tiene pendiente 1 (véase la figura 3); de modo que debemos esperar que la derivada de esta función sea 1 para toda x.

Demostración

f' (x) =

lim f (x + h) - f (x) = lím x + h - x = lím ~ = 1 • h h---->O h h---->O h

h---->O

Antes de iniciar con nuestro siguiente teorema, recordemos algo de álgebra; cómo elevar un binomio a una potencia.

114

CAPíTULO

3

La derivada

(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a 3b + 6a 2b2 + 4ab 3 + b4

Demostración , f(x + h) - f(x) , ( x + h)n - x n f'(x) = hm = hm - - - - h-.O h h-.O h x n + nx n- 1 h +

= lím

n(n - 1) n 2 2 x - h + ... + nxhn- 1 + hn - x n 2 h

h-.O

, k[

nx n- 1 + n(n; 1) x n- 2 h + ... + nxhn- 2 + hn-1 ]

=h-.O hm------------------)( Dentro de los corchetes, todos los términos excepto el primero tiene a h como factor, y así que para todo valor de x cada uno de estos términos tiene límite cero cuando h se aproxima a cero. Por tanto, f' (x) = nxn-1 • Como ejemplos del Teorema C, note que

D x (x 9 ) = 9x 8

D x (x 3 ) = 3x2

D x (x lOO) = 100X99

Dx es un operador lineal El operador D x se comporta muy bien cuando se aplica a múltiplos constantes de funciones o a sumas de funciones.

Demostración Sea F (x) = k . f (x). Entonces , F(x + h) - F(x) , k · f(x + h) - k· f(x) F'(x) = hm = hm--------h-.O h h-.O h , f(x + h) - f(x) ,f(x + h) - f(x) = hmk· = k· h m - - - - - - h-.O

h

h-.O

h

= k . f'(x) El penúltimo paso fue el paso crítico. Pudimos pasar k a través del signo de límite a consecuencia del Teorema principal de límites parte 3. • Ejemplos que ilustran este resultado son D x ( -7x 3 ) = -7D x (x 3 ) = -7 . 3x 2 = -21x 2

y

SECCiÓN

3.3

Reglas para encontrar derivadas

115

Demostración Sea F(x) = f(x) + g(x). Entonces,

F'(x)

=

,

[f(x + h) + g(x + h)] - [f(x) + g(x)]

hm - - - - - - - - - - - - - h

h~O

= lím [f(X + h) - f(x) + _g(_X_+_h)_-_g_(X_)]

h

h~O

,

= hm

h~O

=

h

f(x + h) - f(x) ,g(x + h) - g(x) + hm - - - - - - h h~O h

f'(x) + g'(x)

Nuevamente, el penúltimo paso fue el paso crítico. Está justificado por el Teorema principal de límites parte 4. •

Operador lineal

El significado fundamental de la palabra lineal, como se utiliza en matemáticas es el dado en esta sección. Un operador L es lineal si satisface las dos condiciones clave: • L(ku) = kL(u) • L(u + v) = L(u) + L(v) Los operadores lineales desempeñan un papel central en el curso de álgebra lineal, que muchos lectores de esta obra cursarán.

Cualquier operador L con la propiedad establecida en los Teoremas D y E se denomina lineal; esto es, L es un operador lineal si para todas las funciones f y g:

1. L(kf) = kL(f), para toda constante k;

2. L(f + g) = L(f) + L(g) . Los operadores lineales aparecen una y otra vez en este texto; Dx es un ejemplo particularm~nte importante. Un operador lineal siempre satisface la regla de diferencia L(f - g) = L(f) - L(g), establecida en seguida para Dx-

Funciones de la forma f (x) = mx + b se denominan funciones lineales a consecuencia de su relación con líneas rectas. Esta terminología puede ser confusa, ya que no todas las funciones lineales son lineales, en el sentido de operadores. Para ver esto, observe que

f(kx) = m(kx) + b

EJEMPLO 1 Encuentrelasderivadasde5x2 + 7x - 6y4x6

mientras que

kf(x) = k(mx + b) Por lo que f(kx) que b sea cero.

La demostración del Teorema F se deja como ejercicio (véase el problema 54).

-=1=

-

3x5

-

10x2

+ 5x +

16.

Solución

kf(x), a menos

D x (5x 2 + 7x -

6)

=

D x (5x 2 + 7x) - DA6)

(Teorema F)

=

D x (5x 2 ) + DA7x) - DA6)

(Teorema E)

= 5D x (x 2 ) + 7DAx) - DA6)

(Teorema D)

= 5 . 2x + 7 . 1 + O

(Teoremas C, B, A)

= 10x + 7 Para encontrar la siguiente derivada, notamos que los teoremas de sumas y diferencias se extienden a cualquier número finito de términos. Así,

116

CAPíTULO

3

La derivada

D x(4x 6

-

3x 5

-

1üx2 + 5x + 16)

= D x(4x 6 )

-

D x(3x 5 )

-

D x(1üx 2 ) + DA5x) + DA16)

= 4D x(x 6 )

-

3D x(x 5 )

-

1ÜD x(x 2 ) + 5DAx) + DA16)

= 4(6x 5 ) = 24x5

-

-

3(5x4 ) 15x4

-

-

1ü(2x) + 5(1) +

Ü

2üx + 5

•

El método del ejemplo 1 nos permite encontrar la derivada de cualquier polinomio. Si conocemos la regla de las potencias y hacemos que se vuelva natural, casi seguramente usted obtendrá resultados correctos. También, con la práctica, encontraremos que se puede escribir la derivada de manera inmediata, sin tener que escribir todos los pasos intermedios.

Reglas para el producto y el cociente Ahora tendremos una sorpresa. Hasta aquí, hemos visto que el límite de una suma o diferencia es igual a la suma o diferencia de los límites. (Teoremas 2.6A, partes 4 y 5), el límite de un producto o de un cociente es el producto o el cociente de los límites (Teoremas 2.6A, partes 6 y 7) Yque la derivada de una suma o diferencia es la suma o diferencia de las derivadas (Teoremas E y F). Así, ¿qué podría ser más natural que tener que la derivada de un producto es el producto de las derivadas? Esto podría parecer natural, pero es erróneo. Para ver por qué, mírese el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 2 g(x) = x, h(x) = 1 + 2x y f(x) = g(x) . h(x) = x(1 + 2x). Encuentre Dxf(x), Dxg(x) Y Dxh(x), y muestre que Dxf(x) =1= [Dxg(x)][Dxh(x)J. Solución

Dxf(x) = DAx(1 + 2x)]

= Dx(x + 2x 2 )

= 1 + 4x Dxg(x) = Dxx = 1 Dxh (x) = Dx (1 + 2x) = 2 Obsérvese que mientras que

Dxf(x) = Dx[g(x)h(x)] = 1 + 4x Por tanto, Dxf (x)

=1=

[Dxg ( x )][Dxh(x )].

•

Que la derivada de un producto debe ser el producto de las derivadas parecía tan natural que incluso engañó a Gottfried Wilhelm von Leibniz, uno de los descubridores del cálculo. En un manuscrito del 11 de noviembre de 1675, él calculó el producto de la derivada de dos funciones y dijo (sin verificarlo) que era igual a la derivada del producto. Diez días después, se dio cuenta del error e indicó la regla correcta para el producto, que presentamos como Teorema G.

SECCIÓN

Memorización

Algunas personas dicen que la memorización está pasada de moda, y que sólo el razonamiento lógico es importante en matemáticas. Están equivocadas. Algunas cosas, (incluyendo las reglas de esta sección) deben convertirse en una parte de nuestro aparato mental que puedan utilizarse sin detenerse a reflexionar. "La civilización avanza extendiendo el número de operaciones importantes que podemos realizar sin pensar acerca de ellas." Alfred N Whitehead

3.3

Reglas para encontrar derivadas

117

Esta regla debe ser memorizada en palabras como sigue: La derivada de un producto de dos funciones es la primera por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera.

Demostración Sea F(x) = f(x)g(x). Entonces

F'(x) = h-.O lím

F(x + h) - F(x) h

/ f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x) = hm - - - - - - - - - - - h

h-.O

/ f(x + h)g(x + h) - f(x + h)g(x) + f(x + h)g(x) - f(x)g(x) =hm-------------------------h-.O h / [ g(x + h) - g(x) f(x + h) - f(X)] = l~ f(x + h) . h + g(x) . h / f( + h) 1/ g(x + h) - g(x) + ( ) 1/ f(x + h) - f(x) = 11m x . 1m g x • 1m h-.O h-.O h h-.O h

= f(x)g'(x) + g(x)f'(x) La deducción que se acaba de dar depende, primero del truco de sumar y resta la misma cosa, es decir, f(x + h)g(x). Segundo, casi al final, utilizamos el hecho de que

lím f (x + h) =

h-.O

f (x )

Esto es sólo una aplicación del Teorema 3.2A (que dice que la diferenciabilidad en un punto implica continuidad allí) y la definición de continuidad en un punto. •

EJEMPLO 3 Encuentre la derivada de (3x 2 - 5)(2x4 - x) mediante el uso de la regla del producto. Verifique su respuesta resolviendo el problema de una forma diferente.

Solución

5)DA2x 4 - x) + (2x 4 - x)D x (3x 2 3 4 - 5)(8x - 1) + (2x - x)(6x) 2 3 5 2 - 3x - 40x + 5 + 12x - 6x 3 2 - 40x - 9 x + 5 Para verificar, primero multipliquemos y luego tomemos la derivada (3x 2 - 5)(2x4 - x) = 6x 6 - lüx4 - 3x 3 + 5x

DA(3x 2

-

5)(2x4

-

-

5)(2x4

-

x)] = = = =

(3x 2 (3x 2 24x 5 36x 5

-

-

5)

Así,

DA(3x 2

x)] = D x (6x 6 ) - D x (10x 4 ) - D x (3x 3 ) + DA5x) = 36x 5 - 40x 3 - 9x 2 + 5

•

Le recomendamos ampliamente que lo memorice en palabras, como sigue: La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador.

120

CAPíTULO

La derivada

3

GJ 57. Existen dos rectas tangentes a la curva y

2 = 4x - x que pasan por el punto (2,5). Encuentre las ecuaciones de ambas. Sugerencia: Sea (x o , Yo) un punto de tangencia. Determine dos condiciones que debe satisfacer (x o , Yo) . Véase la figura 4.

Figura 5 x y= 4x - x 2

Figura 4

GJ 58. Una viajera espacial se mueve de izquierda a derecha a lo largo de la curva Y = x 2• Cuando ella apague los motores, continuará viajando a lo largo de la recta tangente en el punto en que ella esté en ese momento. ¿En qué momento debe apagar los motores para que alcance el punto (4, 15)?

GJ 59. Una mosca se arrastra de izquierda a derecha a lo largo de

en A. Demuestre que el triángulo AOP es isósceles y determine su área. 61. El radio de una sandía esférica está creciendo a una velocidad constante de 2 centímetros por semana. El grosor de la cáscara siempre es la décima parte del radio. ¿Qué tan rápido está creciendo el volumen de la cáscara al final de la quinta semana? Suponga que el radio inicialmente es cero.

rn 62. Vuelva a resolver los problemas del 29 al 44 en una computadora y compare su respuesta con las obtenidas de forma manual.

2

la parte superior de la curva Y = 7 - x (véase la figura 5). Una araña espera en el punto (4, O). Determine la distancia entre los dos insectos cuando se ven por primera vez. 60. Sea P( a, b) un punto, en la parte del primer cuadrante, de la curva Y = l/x y suponga que la recta tangente en P intersecta al eje x

3.4 Derivadas de funciones trigonométricas y

(1,0)

x

Respuestas a la revisión de conceptos: 1. la derivada de la segunda; segunda; f(x)Dxg(x) + g(x)Dxf(x) 2. denominado, denominador; cuadrado del denominador; [g(x)Dxf(x) - f(x)Dxg(x) Jj g2(X) 3. nx n -1 h; nx n -1 4. kL(f); L(f) + L(g); Dx

Nuestro mundo moderno corre sobre ruedas. Las preguntas acerca de ruedas que giran y velocidades de puntos sobre ellas conducen de manera inevitable al estudio de senos y cosenos y sus derivadas. Otros fenómenos periódicos que están relacionados con senos y cosenos son el clima y las mareas. Para preparar este estudio, sería adecuado revisar las secciones 2.3 y 2.7. La figura 1 nos recuerda la definición de las funciones seno y coseno. En lo que sigue, t debe considerarse como un número que mide la longitud de un arco en el círculo unitario o, de forma equivalente, como el número de radianes en el ángulo correspondiente. Por tanto,f(t) = sen t y g(t) = cos t son funciones cuyo dominio y rango pertenece al conjunto de números reales. Podemos considerar el problema de determinar sus derivadas.

Fórmulas de las derivadas Elegimos utilizar x en lugar de t como nuestra variable básica. Para determinar DxCsen x), apelamos a la definición de la derivada y utilizamos la identidad de suma de ángulos para sen (x + h).

DAsenx) = h~O lím ,

Figura 1

= 11m

sen(x + h) - senx h senxcosh + cosxsenh - senx

h .

h~O

= lím ( -senx h~O

senh) 1 - cosh + cosx-h h

= (-sen x)!~ [

1 - cos h

h]

+ (cos x)

[,!1!!6 -hsen h]

Obsérvese que los dos límites en esta última expresión son exactamente los límites estudiados en la sección 2.7. En el Teorema 2.7B demostramos que

SECCIÓN

3.4

Derivadas de funciones trigonométricas

lím sen h = 1 Y h----+O

lím

h

h----+O

121

1 - cos h O = h

Por consiguiente, DAsen x)

= (-sen x) . O + (cos x) . 1 = cos x

De manera análoga, DAcosx) = lím

cos(x

+

h) - cosx h

h----+O

¿Podría haber adivinado?

cos x cos h - sen x sen h - cos x h

=lím-------------

La curva con línea continua es la gráfica de y = sen x. Observe que la pendiente es 1 en O, Oen 1T/2, -1 en 1T y así sucesivamente. Cuando graficamos la función de las pendientes (la derivada), obtenemos la curva con línea discontinua. ¿Podría adivinar que D xsen x = cos x?

h----+O

=

lí.!R ( -cos x 1 -

sen h ) cos h h - sen x -h-

= (-cos x) . O - (sen x) . 1 = -sen x Resumimos estos resultados en un teorema importante.

Trate de graficar estas dos funciones en la misma ventana en su CAS o en su calculadora gráfica.

EJEMPLO 1 Encuentre D x (3 sen x - 2 cos x).

Solución DA 3 sen x - 2 cos x) = 3 DA sen x) - 2 DA cos x)

= 3 cos x + 2 sen x

•

EJ EM PLO 2 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = 3 sen 2x en el punto (7T /2, O) (véase la figura 2).

y

Solución Necesitamos la derivada de sen 2x; desafortunadamente, en este momento sólo sabemos cómo determinar la derivada de sen x. Sin embargo, sen 2x = 2 sen x cos x. Por tanto, DA3 sen 2x) = D x (6 sen x cos x)

= 6 DA sen x cos x) = 6[senx DAcosx) + cosx DAsenx)] y

Figura 2

-' sen 2x

= 6[ (sen x)( -sen x) + cos x cos x] = 6[cos 2 X

-

sen 2 x ]

= 6 cos2x En x = 7T /2, esta derivada tiene el valor de -6, que por tanto es la pendiente de la recta tangente deseada. La ecuación de esta recta es

• EJEMPLO 3 Considere una rueda de la fortuna de radio de 30 pies, que está girando en contra del sentido de las manecillas del reloj, con una velocidad angular de 2 radianes por segundo. ¿Con qué rapidez se eleva (en dirección vertical) un asiento que está en el borde de la rueda, cuando éste se encuentra a 15 pies del eje horizontal que pasa por el centro de la rueda?

Solución Podemos suponer que la rueda tiene centro en el origen y que el asiento P estaba en (30, O) en el instante t = O(ver figura 3). Así, en el instante t, P se ha movido

122

CAPíTULO

La derivada

3 y

un ángulo de 2t radianes, de modo que tiene coordenadas (30 cos 2t, 30 sen 2t). La tasa a la cual P está elevándose es justo la derivada de la coordenada vertical 30 sen 2t medida en un valor apropiado de t. Por el ejemplo 2,

DA30 sen 2t) = 60 cos 2t no. O)

x

La t apropiada para evaluar esta derivada es t = 1T/12, ya que 30 sen (2 . 1T/12) = 15. Concluimos que en t = 1T /12 el asiento P está elevándose a 60 cos ( 2 .

~)

= 60 \13/2 '" 51.96 pies por segundo

•

Una vez que conocemos las derivadas de las funciones seno y coseno, las derivadas de las otras funciones trigonométricas pueden encontrarse aplicando la regla del cociente. Los resultados se resumen en el Teorema B. Para demostrarlo pueden consultarse los problemas 5 al 8.

Figura 3

Revisión de conceptos 1. Por definición, D xC sen x) = lím

y

Los dos límites mostrados tienen los valores respectivamente.

_

h-+O

.

2. Para evaluar el límite en la proposición anterior, primero utilizamos la identidad de la suma de ángulos para la función seno y luego aplicamos un poco de álgebra para obtener

3. El resultado del cálculo en la proposición anterior es la impor. La correspondiente tante fórmula de la derivada D xC sen x) = se obtiene de manera fórmula para la derivada D xC cos x) = análoga.

' sen h ) ' 1 - cos h ) DAsenx) = (-senx) ( l1!!1 h + (cosx) (l1!!1-h-

4. En x = 7T /3, DA sen x) tiene el valor . Por tanto, la ecuación de la recta tangente a y = sen x en x = 7T /3 es _

Conjunto de problemas 3.4 En los problemas del] al]4, encuentre DxY.

1. y

=

2 sen x + 3 cos x

2. y

=

2

sen x

3. y = sen x + cos x

4. y = 1 - cos 2 X

5. Y

6. y

2

2

=

secx

=

l/cosx

=

cscx

=

l/senx

senx 7. Y = tan x = - cosx

cosx 8. Y = cot x = - senx

9. Y = senx + cosx cosx

senx + cosx 10. y = - - - - tan x

2

11. Y = x cos X

12. y =

xcosx + senx 2

X 2

13. Y = tan x

14. Y

= sec

3

+1

x

W

15. Encuentre la ecuación de la recta tangente a y = cos x en x=1. 16. Encuentre la ecuación de la recta tangente a y = cot x en 7T

x

=4'

17. Considere la rueda de la fortuna del ejemplo 3. ¿Con qué velocidad se mueve horizontalmente el asiento en el borde de la rueda cuando t = 7T/ 4 segundos (p. ej., cuando el asiento aicanza la parte más alta de la rueda)? 18. Una rueda de la fortuna de 20 pies está girando en contra del sentido de las manecillas del reloj a una velocidad angular de 1 ra-

dián por segundo. Un asiento en el borde de la rueda está en (20, O) en t = O. (a) ¿Cuáles son sus coordenadas en t = 7T/6? (b) ¿Qué tan rápido se está ascendiendo (verticalmente) en t = 7T/6? (c) ¿Qué tan rápido está ascendiendo (verticalmente) cuando se eleva a la velocidad máxima?

19. Encuentre la ecuación de la recta a y = tan x en x = O. 20. Encuentre todos los puntos en la gráfica de y = tan 2 x, en donde la recta tangente sea horizontal.

21. Encuentre todos los puntos en la gráfica de y en donde la recta tangente sea horizontal.

=

9 sen x cos x,

22. Sea f( x) = x - sen x. Encuentre todos los puntos en la gráfica dey = f(x), en donde la recta tangente sea horizontal. Encuentre todos los puntos en la gráfica de y = f(x) en donde la recta tangente tenga pendiente 2.

23. Demuestre que las curvas y = v2 sen x y y = v2 cos x se intersectan en ángulo recto en cierto punto con < x < 7T /2.

°

24. En t segundos, el centro de un corcho que se balancea está 2 sen t centímetros arriba (o abajo) del nivel del agua. ¿Cuál es la velocidad del corcho en t = 0, 7T /2, 7T? 25. Utilice la definición de la derivada para demostrar que D x( sen x 2 ) = 2x cos x 2 • 26. Utilice la definición de la derivada para demostrar que DAsen 5x) = 5 cos 5x.

SECCIÓN

27. Sea X o el menor valor positivo de x en el que las curvas y = sen x y y =sen 2x se intersectan. Encuentre X o y también el ángulo agudo que forman las dos curvas al intersectarse en Xo (véase el problema 40 de la sección 2.3). 28. Un triángulo isósceles está coronado por un semicírculo, como se muestra en la figura 4. Sea D el área del triángulo AOB y E el área de la región sombreada. Determine una fórmula para DIE en términos de t y después calcule

, D , D hm-yhmE t~7r- E

t~O+

3.5

La regla de la cadena

123

[§g Los problemas 29 y 30 son ejercicios para computadora o calculadora gráfica.

29. Sea f(x) = x sen x. (a) Dibuje las gráficas de f(x) y de f'(x) en [7T, 67T J. (b) ¿Cuántas soluciones tiene f(x) = O en [7T, 67T J? ¿Cuántas soluciones tiene f'(x) = O en este intervalo? (c) En la siguiente conjetura, ¿qué es incorrecto? Si f y f' son funciones continuas y diferenciables en [ a, bJ, si f (a) = f (b) = O, Y si f (x) = Otiene exactamente n soluciones en [a, bJ, entonces f' (x) = Otiene exactamente n - 1 soluciones en [a, bJ. (d) Determine el valor máximo de If(x) - f'(x)1 en [7T, 67T J. 30. Seaf(x) = cos3 x - 1.25 cos2 x + 0.225. Encuentref'(xo) en el punto X o en [7T/2, 7TJ donde f( x o) = o.

A

Respuestas a la revisión de conceptos: 1. [sen (x + h) sen x ]/h 2. O; 1 3. cos x; -sen x 4. y - V3ji = +(x - 7T/3)

+;

o Figura 4

3.5

Imagínese tratando de encontrar la derivada de

La regla de la cadena

F(x) = (2x 2

-

4x

+ 1)60

Podríamos encontrar la derivada, pero primero tendríamos que multiplicar los 60 factores cuadráticos de 2x 2 - 4x + 1 y después derivar el polinomio resultante. O qué hay de tratar de encontrar la derivada de G(x) = sen 3x

Podríamos ser capaces de utilizar algunas identidades trigonométricas para reducirla a algo que dependa de sen x y cos x, y usar después las reglas de la sección anterior. Por fortuna, existe un método mejor. Después de aprender la Regla de la Cadena, seremos capaces de escribir las respuestas F'(x) = (2x 2

-

4x

+ 1)59(4x - 4)

y

G'(x) = 3 cos 3x

La regla de la cadena es tan importante que rara vez usted derivará alguna función sin utilizarla. Para establecer la regla de manera apropiada, necesitamos enfatizar el significado de x en nuestra notación D X"

La notación Dx El símbolo DxY significa la derivada de y con respecto a x; indica qué tan rápido está cambiando y con respecto a x. El subíndice x indica que x está siendo considerada como la variable básica. Así, si y = S2 x 3 , podemos escribir DxY = 3s 2 x 2

y DsY = 2sx 3

En el primer caso, s es tratada como una constante y x es la variable básica; en el segundo caso, x es constante y s es la variable básica. El ejemplo siguiente es más importante. Suponga que y = u 60 y U = 2x2 4x + 1. Entonces DuY = 60U 59 y Dxu = 4x - 4. Pero obsérvese que cuando sustituimos u = 2x 2 - 4x + 1 en y = u 60 , obtenemos y = (2x 2

-

4x

+ 1)60

de modo que tiene sentido preguntar por DxY. ¿Cuál es DxY y cómo está relacionada con DuY y Dxu? Con mayor generalidad, ¿cómo derivamos una función compuesta?

124

CAPíTULO

3

La derivada

Derivada de una función compuesta Si David puede mecanografiar dos veces más rápido que María y María puede mecanografiar tres veces más rápido que Jack, entonces David puede mecanografiar 2 . 3 = 6 veces más rápido que Jack. Las dos velocidades se multiplican. Considere la función composición y = f(g( x)). Puesto que una derivada indica una tasa de cambio, podemos decir que y cambia D u y veces tan rápido como u

u cambia D x u veces tan rápido como x Parece razonable concluir que

y cambia D u y . D x u veces tan rápido como x Este hecho, en realidad, es cierto y sugerirá una demostración formal en la sección siguiente. El resultado se denomina la Regla de la Cadena.

Puede recordar la regla de la cadena de esta manera: La derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior evaluada en la función interna por la derivada de la función interna.

Aplicaciones de la regla de la cadena 4x + 1 )60 introducido al inicio de esta sección. EJEMPLO 1 Siy = (2x 2

Solución

Empezamos con el ejemplo (2x 2

-

4x + 1)60, encuentre DxY.

-

Consideramos a y como la sexagésima potencia de una función de x; esto es, y

La función exterior es u

60

= u 60

y

U

= 2x 2

y la función interna es 2x

2

+1 4x + 1. Por tanto,

4x

-

DxY = DuY . Dxu

= (60U 59 )( 4 x - 4) =60(2x 2 -4x+1)59(4x-4)

EJEMPLO 2

Solución

•

Si Y = 1j(2x5 - 7)3, encuentre DxY.

Considérelo de esta manera. u = 2x 5

-

7

Así, DxY = DuY . Dxu = (- 3u-4 )( lOx 4 )

= -34 . lOx 4 u

•

126

CAPíTULO

3

La derivada

D x sen 3 (4x) = 3[sen(4x)Y-l D x sen(4x)

= 3[sen(4x)]2cos(4x)DA4x) = 3[sen ( 4x) ]2 cos ( 4x)4 = 12 cos ( 4x) sen2 ( 4x)

•

EJ EM PLO 6 Encuentre D x sen [cos (x 2 ) ]. Solución

D x sen [cos ( x 2)]

=

cos [cos ( x 2)] . [-sen ( x 2)] . 2x

= -2x sen (x 2) cos [cos (x 2)]

•

EJEMPLO 7 Conforme el Sol se oculta atrás de un edificio de 120 pies de altura, la sombra del edificio crece. ¿Qué tan rápido está creciendo la sombra (en pies por segundo) cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 7T/4? (Véase la figura 1.)

..-----x----

Figura 1

Sea x la longitud de la sombra, en pies, y sea 8 el ángulo de los rayos del Sol. Denótese con t el tiempo medido en segundos. Entonces x es una función de 8, 8 es una función de t. Estamos pidiendo encontrar Dtx. Con base en la figura 1, vemos que x = 120 cot 8, y como la Tierra da una vuelta cada 24 horas, es decir, cada 86,400 segundos, tenemos D t 8 = - 27T/86,400. ( El signo negativo se utiliza ya que 8 disminuye conforme el Sol se oculta.) Utilizando la regla de la cadena y la regla para la derivada de la cotangente (Teorema 3.4B), tenemos

Solución

27T) = 120(-csc2 8) ( - 86,400

_ 7T 2 - 360 csc 8 Cuando 8 = 7T/ 4, tenemos 7T

7T pie ~ 0.01754 s

Dtx = -6 csc 2 3 O

Obsérvese que cuando el Sol se oculta, 8 está disminuyendo (de aquí que, D t 8 sea ne• gativa), mientras que la sombra x está creciendo (por lo que, Dtx es positiva).

SECCIÓN

3.5

127

La regla de la cadena

Revisión de conceptos 1. Si Y = f(u), donde u = g(t), entonces Dty = DuY . En notación de funciones, (f o g)' (t) =

_ _ _o

3. Dxcos[(¡(X))2] = -sen( ) . D x( = (2x + 1)3 sen(x 2), entonces DxY

4. Si Y

o

2. Siw = G(v),dondev = H(s),entoncesD5 w = Dsv.Ennotacióndefunciones (G o H)'(s) =

_ _

).

= (2x + 1)3 .

_ _ _ + sen(x2) . - - -

Conjunto de problemas 3.5 En los problemas del] al 22, encuentre DxY. 1.y=(1+x)15 3. y

= (3 -

2X)5 2x 2

(x 5 -

5x 3

5. y = (x 3 6. Y

=

7. Y = (x 3

8. Y = (x

r

+ 3x + 1)11 + 1TX + 1)101 2 2x + 3x + 1) 111 x + 1)-7

-

2 -

= (x + 3)5

11. Y = sen (x 2

+ x)

13. Y = cos3 X X

+ 1)3

=

17. Y

= cos ( x + 2

=

1 (3x 2 + x - 3) cos(3x 2 - 2x)

9

=

(x - 2 )-3 X-1T

3X2 )

(x

12. Y

16. y

x - 1

19. Y = (3x - 2)2(3 21. Y =

=

14. y = sen4 (3x 2)

15. Y

(

10. Y

=

18. Y X 2 )2

+ 1)2

20. y =

COS3(~) 1-x (2 -

3x2 t(X7

+ 3)3

2x - 3 22 Y = - - -

3x - 4

(x 2 + 4)2

.

=( x 2 + 1)3

(x + 1)2 en (1,32).

2.y=(7+x)5 4. Y = (4 + 2x2

1

9. Y

41. Encuentre la ecuación de la recta tangente a y 4

42. Un punto P está moviéndose en el plano de modo que sus coordenadas después de t segundos son (4 COS 2t, 7 sen 2t), medidas en pies. (a) Demuestre que P está siguiendo una trayectoria elíptica. Sugerencia: Demuestre que (X/4)2 + (y/7)2 = 1, que es una ecuación de una elipse. (b) Obtenga una expresión para L, la distancia de P al origen en el instante t. (c) ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia entre P y el origen cuando t = 1T/8? Necesitará el hecho de que Du(-V;¡) = 1/(2-V;¡) (véase el ejemplo 4 de la sección 3.2). 43. Una rueda con centro en el origen y de radio 10 centímetros gira en sentido contrario a las manecillas del reloj a una velocidad de 4 revoluciones por segundo. Un punto P en el borde está en (10, O) cuando t = O. (a) ¿Cuáles son las coordenadas de P después de t segundos? (b) ¿A qué velocidad se está elevando (o descendiendo) P en el instante t = 1? 44. Considere el dispositivo rueda-pistón de la figura 2. La rueda tiene radio de 1 pie y gira en sentido contrario a las manecillas del reloj a 2 radianes por segundo. La varilla conectada tiene 5 pies de longitud. El punto P está en (1, O) cuando t = O.

En los problemas del 23 al 28, encuentre la derivada que se indica. 23. D t (

25. Dt ( 27. D x (

3t - 2)3 ---r+s (3t-2)3) t

+5

senx 2

)3

28. D t[senttan(t 2 + 1)]

cos x

En los problemas del 29 al 32, evalúe la derivada que se indica. 2 29. f'(3) sif(x) = (x + 1)3 x+2

30. G'(l) siG(t)

=

(t 2

+ 9)3(t 2

-

2t

2

W 31. F' (1) si F (t) = sen (t + 3t + 1) 32. g'(!)sig(s) = cos1Tssen2 1Ts

(l.0)

En los problemas del 33 al 40, aplique la regla de la cadena más de una vez (véase los ejemplos 5 y 6) para encontrar la derivada que se indica. 34. D [ cos5 (4t - 19)] 33. DA sen4 ( x 2 + 3x)] t

(~ =~) ]

35. D t [ sen3(cos t)]

36. Du [ cos

37. D e[ cos4 (sen (P) ]

38. DA x sen 2(2x)]

39.

DA sen [cos (sen 2x) ]}

4

40. D t { cos2[COS (cos t)]}

x

Figura 2

(a) Encuentre las coordenadas de P en el instante t. (b) Encuentre la ordenada (coordenada y) de Q en el instante t (la abscisa siempre es cero). (c) Determine la velocidad de Q en el instante t. Necesitará el hecho de que DuCVu) = 1/(2 Vil).

132

CAPíTULO

3

La derivada

27. Suponga que f(3) Calcule cada valor.

= 2,f'(3) = -1, g(3) = 3 Y g'(3) = -4.

(a) (f + g)'(3)

(b) (f' g)'(3)

(c) (fjg)'(3)

(d) (f o g)'(3)

35. Suponga que fes diferenciable y que existen puntos Xl y X 2 talesquef(x l ) = x 2 yf(x2 ) = xl·Seag(x) =f(f(f(f(x)))). Demuestre que g' (Xl) = g' (x 2).

36. Sea f (X) =

28. Sif(2) = 4,f'(4) = 6y['(2) = -2, calcule cada valor. (a) :x [t(x)]3 enx

=2

(b) :x

[¡!X)] enx = 2

X2

{

l. sen- SI X =F O X

O

si X

=O

(a) Encuentre [' (x) para x ::¡t Outilizando las reglas de las derivadas.

(c) (f o f)'(2)

(b) Encuentre [' (O) a partir de la definición de la derivada.

Los problemas 29 y 30 hacen referencia a las gráficas de las figuras 3 y 4.

(c) Demuestre que ['(x) es discontinua en

X

=

o.

W

37. El horario y el minutero de un reloj son de 6 y 8 pulgadas de longitud, respectivamente. ¿Qué tan rápido se están separando las manecillas a las 12:20 (véase la figura 5)? Sugerencia: Ley de los cosenos.

y

x

Figura 3

.v

Figura 5

¡

2

3

4

5

6

G [§g 38. Encuentre el tiempo aproximado entre las 12:00 y la 1:00

x

cuando la distancia s entre las puntas de las manecillas del reloj de la figura 5 está aumentando más rápidamente, esto es, cuando la derivada ds j dt es mayor.

Figura 4

29. Encuentre de manera aproximada cada valor. (a) (f + g)'(4)

(b) (f o g)' (6)

39. Proporcione una segunda demostración de la regla para el cociente. Escriba

30. Encuentre de manera aproximada cada valor. (a) (f j g )'(2)

(b) (g o f)'(3)

31. Cada arista de un cubo está aumentando a una velocidad constante de 16 centímetros por minuto. (a) Encuentre la velocidad a la que el volumen del cubo aumenta en el instante cuando la arista mide 20 centímetros. (b) Encuentre la velocidad a la que el área de la superficie total del cubo está aumentando en el instante cuando la arista es de 15 centímetros. [;] 32. Los barcos A y B parten del origen al mismo tiempo. El barco A viaja con rumbo este a una velocidad de 20 millas por hora y el barco B viaja con rumbo norte a la velocidad de 12 millas por hora. ¿Qué tan rápido se están separando después de 3 horas? ¿Después de 6 horas? 33. ¿En dónde intersecta al eje x la recta tangente a la curva

y=x2sen2(x2)enx=

E? '12'

34. La carátula de un reloj común tiene un radio de 10 centímetros. Un extremo de una cuerda elástica se sujeta al borde en el12 y el otro extremo a la punta del minutero, que es de 10 centímetros de longitud. ¿A qué velocidad se está estirando la cuerda a las 12:15 (suponiendo que el reloj no se retrasa debido a este estiramiento)?

f(X))

D r ( g(x)

(

1)

= Dx f(x) g(x)

y utilice la regla para el producto y la regla de la cadena. ~

40. Suponga que f es una función diferenciable.

d (a) Encuentre dx f(¡(x)).

d (b) Encuentre dx f(¡(¡(x))).

d (e) Encuentre dx f(¡(¡(¡(x)))).

(d) Denótese con f[n J a la función definida como sigue f[1J = f y f[n J = f o f[n~ 1J para n ::::: 2.Porlo que,f[2 J = f o f,f[3] = f o f o f, y así sucesivamente. Con base en sus resultados de las partes (a) a la (c), haga una conjetura considerando: f[nJ(x). Demuestre su X conjetura.

Respuestas a la revisión de conceptos: 1. incremento; !J.yj!J.x; dy du 4. dw dt ds dyjdx 2. ['(x); DxY; dyjdx 3. du dx dt ds dr

136

CAPíTULO

3

La derivada

Problemas sobre la caída de cuerpos Si un objeto se lanza directamente hacia arriba (o hacia abajo) desde una altura inicial de So pies, con una velocidad inicial V o pies por segundo y si S es su altura por arriba del piso en pies, después de t segundos, entonces v = Vo en t = O

s

= -16t2 + vot +

So

Esto supone que el experimento se lleva a cabo cerca del nivel del mar y que se desprecia la resistencia del aire. El diagrama en la figura 4 describe la situación que tenemos en mente. Obsérvese que velocidad positiva significa que el objeto está moviéndose hacia arriba. EJEMPLO 4 Desde lo alto de un edificio, de 160 pies de altura, se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo.

(a) ¿Cuándo alcanza la altura máxima? (b) ¿Cuál es su altura máxima? (c) ¿Cuándo llega al piso?

Figura 4

(d) ¿Con qué velocidad llega al piso? (e) ¿Cuál es su aceleración en t = 2? Suponga que t = O corresponde al instante cuando la pelota fue lanzada. Entonces So = 160 YV o = 64 (vo es positiva ya que la pelota se lanzó hacia arriba). Así,

Solución

S

= -16t 2 + 64t + 160

v

= - = - 32t + 64

ds dt

dv dt

a = - = -32

(a) La pelota alcanzó su altura máxima en el instante en que su velocidad fue cero, esto es, cuando - 32t + 64 = O o cuando t = 2 segundos. (b) En t = 2, S = -16(2)Z + 64(2) + 160 = 224 pies. (c) La pelota llega al piso cuando s = 0, esto es, cuando -16t 2 + 64t + 160 = Dividiendo entre -16 se obtiene t2

El libro de la naturaleza

"El gran libro de la naturaleza siempre permanece abierto ante nuestros ojos y la verdadera filosofía está escrita en éL ... Pero no podemos leerlo a menos que primero hayamos aprendido el lenguaje de los caracteres en los cuales está escrito .... Está escrito en lenguaje matemático y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas." Galileo Galilei

-

°

4t - 10 = O

Entonces, la fórmula cuadrática da t = 4

±

V16 + 40 = 4

2

± 2 Vi4

= 2

± Vi4

2

Sólo tiene sentido la respuesta positiva. Así, la pelota llega al piso en t = 2 + Vi4 = 5.74 segundos. (d) Ent =2 + Vi4,v =-32(2 + Vi4) +64 ~-119.73.Así,lapelotallegaal piso con una rapidez de 119.73 pies por segundo. (e) La aceleración siempre es - 32 pies por segundo por segundo. Ésta es la aceleración debida a la gravedad cerca del mar. _

Modelación matemática Galileo pudo haber tenido razón al afirmar que ellibro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático. Ciertamente, la empresa científica parece, en gran medida, un esfuerzo por demostrar que él estaba en lo cierto. La tarea de tomar un fenómeno físico y representarlo en símbolos matemáticos se denomina modelación matemática. Uno de sus elementos básicos es traducir la descripción en palabras al lenguaje matemático. Hacer esto, en especial en conexión con

SECCIÓN

3.7

Derivadas de orden superior

137

tasas de cambio, se volverá cada vez más importante conforme avancemos. A continuación están algunos ejemplos sencillos.

Descripción en palabras

Modelo matemático Si V denota el volumen del agua en el instante t,

De un depósito cilíndrico está saliéndose agua a una razón proporcional a la profundidad del agua.

dV

entonces = -kh. dt

Una rueda está girando a una velocidad constante de 6 revoluciones por minuto, esto es, 6(27T) radianes por minuto.

dO

-

dt

= 6(27T)

Si m denota la masa de los x centímetros de la izquierda del alambre, dm entonces = 2x. dx

La densidad (en gramos por centímetro) de un alambre en un punto es igual al doble de su distancia al extremo izquierdo.

La altura de un árbol continúa aumentando pero a una razón cada vez más lenta.

dh

h

d2 h

->0-< 0 dt ' dt 2

ti

ti

=/(1)

Figura 5 p

Figura 6

El uso del lenguaje matemático no está limitado a las ciencias físicas, también es apropiado en las ciencias sociales, en especial en economía. EJEMPLO 5 Una agencia de noticias reportó en mayo de 1998 que el desempleo en Asia oriental continuaba en aumento a una tasa creciente. Por otra parte, el precio de los alimentos estaba aumentando, pero a una tasa más lenta que antes. Interprete estos enunciados en lenguaje matemático. Solución Sea u = J(t) el número de personas desempleadas en el instante t. Aunque, en realidad, u salta por valores enteros, seguiremos la práctica común de representar a u por medio de una curva suave como en la figura 5. Decir que el desempleo está aumentando equivale a decir duldt > O. Decir que está aumentando a una tasa creciente equivale a decir que la función duldt está aumentando; pero esto significa que la derivada de duldt debe ser positiva. Así, d 2 uldt 2 > O. En la figura 5, obsérvese que la pendiente de la recta tangente aumenta cuando t aumenta. De manera análoga, si p = g( t) representa el precio de los alimentos (e.g., el costo común de los abarrotes de un día para una persona) en el instante t, entonces dp Idt es positiva pero disminuye. Así, la derivada de dp Idt es negativa, de modo que d 2 pi dt 2 < O. En la figura 6, obsérvese que la pendiente de la recta tangente disminuye conforme t aumenta. •

Revisión de conceptos 1. Si Y = f(x), entonces la tercera derivada de y con respecto a x puede denotarse por cualquiera de los siguientes tres símbolos . 2. Si s = f(t) denota la posición de una partícula en un eje coordenado en el instante t, entonces su velocidad está dada por _ _ _, su rapidez está dada por y su aceleración está dada por '

3. Suponga que un objeto se lanza directamente hacia arriba de modo que su altura s en el instante t está dado por s = f(t). El objeto alcanza su altura máxima cuando ds/dt = _ después del cual ds / dt . 4. Si la cantidad W de agua en un tanque en el instante t está aumentando pero a una velocidad cada vez más lenta, entonces dW /dt es y d 2 W /dt 2 es .

142

CAPíTULO

3

La derivada

También satisface x 2 + y2 = 25, ya que x 2 + [h( x) J2 = 25. Pero, ni siquiera es continua en x = 3, de modo que en realidad no tiene derivada allí (véase la figura 3). Aunque el tema de funciones implícitas conduce a preguntas técnicas difíciles (tratadas en cálculo avanzado), los problemas que estudiamos tienen soluciones directas.

y

.--T-__

x

Más ejemplos En los siguientes ejemplos, suponemos que la ecuación dada determina una o más funciones derivables cuyas derivadas puede obtenerse por medio de la derivación implícita. Obsérvese que en cada caso empezamos tomando la derivada, con respecto de la variable apropiada, de cada lado de la ecuación. Después utilizamos la regla de la cadena, cuando sea necesario. EJEMPLO 2 Encuentre dyldx, si x 2 + 5i = x + 9. Solución

.1'=

h(x)

d

d

- (x 2 + 5y 3) = - (x dx dx

Figura 3

2x

dy = 1 dx

+ 15 y 2 dy dx

EJ EM PLO 3

+ 9)

1 - 2x

•

15 y 2

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva

y3 -

X

y2 + cos x y = 2

en el punto (O, 1).

Solución Por simplicidad, usamos la notación y' para dy I dx. Cuando derivamos ambos lados e igualamos los resultados, obtenemos

3y2y' - x(2yy') - y2 - (senxy)(xy' + y) =

°

y'(3 y 2 - 2xy - x senxy) = y2 + y senxy y2 + y senxy y' = - - - - - - - - 3y 2 - 2xy - x senxy En (O, 1), y'

= ~ . Por tanto, la ecuación de la recta tangente en (O, 1) es y-l=~(x-O)

o

• Otra vez la regla para la potencia Hemos aprendido que Dx(x n) = nxn~l, donde n es cualquier entero. Ahora extendemos esto para el caso en donde n es cualquier número racional.

Demostración Como r es racional, r puede escribirse como piq, donde p y q son enteros con q > O. Sea

Entonces

144

CAPíTULO

3

La derivada

33. Si s2t + t3 = 1, encuentre ds/dt y dt/ds.

+ 2x 3 ,encuentredx/dy. 35. Dibuje la gráfica del círculo x 2 + 4x + y2 + 3

34. Siy = sen(x 2 )

= O, Y luego encuentre ecuaciones de las dos rectas tangentes que pasan por el origen.

36. Determine la ecuación de la recta normal (recta perpendicular a la recta tangente) a la curva 8( x 2 + y2)2 = 100( x 2 y2) en (3, 1). 37. Suponga que xy + y3 = 2. Entonces, derivando implícitamente dos veces con respecto a x, se obtiene, por pasos: (a) x y' + y + 3 y2 y' = O; (b) xy" + y' + y' + 3y2 y" + 6y(y')Z = O. Despeje y' de (a) y sustituya en (b) y después despeje a y". 38. Encuentre y", si x 3 - 4y 2 + 3 = O(véase el problema 37). 39. Encuentre y" en (2, 1), si 2x 2 y - 4y3 = 4 (véase el problema 37). 40. Utilice derivación implícita dos veces para encontrar y" en (3,4), si x 2 + y2 = 25. 41. Demuestre que la recta normal a x 3 + y3 = 3xy en (~ , ~) pasa por el origen. 42. Demuestre que las hipérbolas xy = 1 Y x 2 - y2 = 1 ,se intersectan en ángulos rectos. 43. Demuestre que las gráficas de 2x 2 + y2 = 6 y2 = 4x se intersectan en ángulos rectos. 44. Suponga que las curvas C I y C 2 se intersectan en (x o, Yo) con pendientes m I y n120 respectivamente, como se muestra en la figura 4. Entonces (véase el problema 40 de la sección 2.3) el ángulo positivo ede C l (p. ej., desde la recta tangente a C I en (x o, Yo)) a Cz satisface tanO

m2 - m i

Encuentre los ángulos del círculo x 2 + y2 = 1 al círculo (x 1)2 + y2 = 1 en los dos puntos de intersección. 45. Encuentre el ángulo de la recta y = 2x a la curva x 2 -

xy + 2y2 = 28 en su punto de intersección en el primer cuadrante (véase el problema 44). 46. U na partícula de masa m se mueve a lo largo del eje x de modo que su posición x y velocidad v = dx/dt satisfacen

m(v2

-

vó) = k(X6 - x2 )

donde vo, X o y k son constantes. Demuestre por medio de derivación implícita que dv m~ =-kx dt siempre que v *- O. 47. La curva x 2 - xy + y2 = 16 es una elipse con centro en el origen y con la recta y = x como su eje mayor. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los dos puntos en donde la elipse intersecta al eje x. 48. Encuentre los puntos sobre la curva x 2y - xy2 = 2 en donde la recta tangente es vertical, esto es, en donde dx/dy

=

O.

GJ

49. ¿A qué altura, h, debe estar el foco de la figura 5, si el punto (1.25, O) está en el borde de la región iluminada?

Foco

h

y

=~~~~

1

+ m l m2

(1.25, O) -2

x

Figura 5

Respuestas a la revisión de conceptos: 1. 9/ (x 3 - 3) 2. 3/ ~~ dy 2 dy dy p 3. x . 2y dx + / + 3y - - = 3x 2 4. - x p / q - I ; Hx 2 dx dx q.r

Figura 4

3.9 Tasas de cambio relacionadas

Si una variable y depende del tiempo t, entonces su derivada dy/dt se denomina razón de cambio con respecto al tiempo, o sólo razón de cambio. Por supuesto, si y mide la distancia, entonces esta razón de cambio también se llama velocidad. Estamos interesados en una amplia variedad de tasas de cambio: la tasa a la cual el agua fluye a un depósito, la tasa a la cual el área de un derrame de petróleo está creciendo, la tasa a la cual el valor de una propiedad está aumentando, etcétera. Si y se da de manera explícita en términos de t, el problema es sencillo; sólo derivamos y luego evaluamos la derivada en el instante requerido. Puede ser que, en lugar de conocer a y de manera explícita en términos de t, conozcamos una relación que une a y y a otra variable x, y que también conozcamos algo acerca de dx/dt. Aún podemos ser capaces de encontrar dy/dt, ya que dy/dt y dx/dt

SECCiÓN

3.9

Tasas de cambio relacionadas

145

son tasas de cambio relacionadas (O razones afines). Por lo regular, esto requiere derivación impiícita. t

Dos ejemplos sencillos En la preparación de un procedimiento sistemático para la resolución de problemas con tasas de cambio relacionadas, estudiamos dos ejemplos.

= 16

1=8

¿/]~

t=4

Figura 1

150

Figura 2

EJEMPLO 1 Se suelta un pequeño globo en un punto a 150 pies de un observador, quien se encuentra al nivel del piso. Si el globo se eleva en línea recta hacia arriba a una velocidad de 8 pies por segundo, ¿qué tan rápido está aumentando la distancia del observador al globo cuando el globo esta a 50 pies de altura? (Suponga que el globo se suelta desde el nivel del piso.) Solución Sea t el número de segundos contados a partir de que se suelta el globo. Sea h la altura del globo y s su distancia al observador (véase la figura 1). Tanto h como s son variables que dependen de t; sin embargo, la base del triángulo (la distancia desde el observador al punto de lanzamiento) permanece sin cambio conforme t aumenta. La figura 2 muestra las cantidades clave en un diagrama simple. El Antes de avanzar, recordemos un tema estudiado antes en el libro, estimación de la respuesta. Obsérvese que, al inicio, s casi no cambia (ds / dt ~ O), pero eventualmente s cambia casi tan rápido como cambia h (ds/dt ~ dh/dt = 8). Una estimación de ds/dt cuando h = 50 podría se alrededor de un tercio o un medio de dh/dt, o 3. Si obtenemos una respuesta alejada de este valor, sabremos que hemos cometido un error. Por ejemplo, respuesta tales como 17 o aun 7, obviamente son incorrectas. Continuemos con la solución exacta. Para enfatizar, preguntamos y respondemos tres preguntas fundamentales. (a) ¿Qué está dado? Respuesta: dh/dt = 8. (b) ¿Qué queremos conocer? Respuesta: Queremos conocer ds/dt en el instante en que h = 50. (c) ¿Cómo están relacionadas s y h? Las variables s y h cambian con el tiempo (son funciones implícitas de t), pero siempre están relacionadas por medio de la ecuación pitagórica S2 = h 2 + (150)2

Si derivamos de manera implícita con respecto a t y utilizamos la regla de la cadena, obtenemos ds dh

2s- =2hdt dt

o

ds dh s-=hdt dt Esta relación se cumple para toda t > O. Ahora, y no antes de este momento, pasamos al instante específico cuando h = 50. Con base en el Teorema de Pitágoras, vemos que, cuando h = 50, s = V(50?

+ (150)2

= 50

víO

Sustituyendo en s(ds/dt) = h(dh/dt) se obtiene 50

víO ~;

=

50(8)

o

ds = _8_ = 2.53 dt VW En el instante que h = 50, la distancia entre el globo y el observador está aumentando a una velocidad de 2.53 pies por segundo. •

EJEMPLO 2 Fluye agua hacia un tanque cónico a una razón de 8 pies cúbicos por minuto. Si la altura del tanque es de 12 pies y el radio de su abertura circular es de 6 pies, ¿qué tan rápido se está elevando el nivel del agua cuando el agua tiene una profundidad de 4 pies?

146

CAPíTULO

3

La derivada

Denótese la profundidad del agua con h y sea r el radio correspondiente de la superficie del agua (véase la figura 3). Nos dan que el volumen, V, de agua en el tanque está aumentando a una razón de 8 pies cúbicos por minuto; esto es, dV / dt = 8. Queremos saber qué tan rápido está elevándose el agua (esto es, dh/dt) en el instante cuando h = 4. Necesitamos encontrar una ecuación que relacione a Vy a h; después la derivaremos para obtener una relación entre dV / dt Y dh/ dt. La fórmula para el volumen de agua en el tanque V = ~ 7T'r 2h, tiene una variable no deseada r; no es deseada puesto que no conocemos su razón dr / dt. Sin embargo, por medio de triángulos semejantes (véase el recuadro al margen), tenemos r/h = 6/12, o r = h/2. Sustituyendo esto en V = ~7T'r2 h da

Solución

Ahora derivamos de manera implícita, teniendo en mente que tanto V como h dependen de t. Obtenemos dV 37T'h2 dh

Figura 3

---

dt Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes.

12 dt 7T'h 2 dh

----

4 dt Ahora que tenemos una relación entre dV / dt y dh/ dt, y no antes, consideramos la situación cuando h = 4. Sustituyendo h = 4 Y dV / dt = 8, obtenemos 7T'( 4)2 dh 8=--4 dt

a partir de la cual a

A

De geometría aprendemos que razones de lados correspondientes de triángulos semejantes son iguales. Por ejemplo, b

B

a

A

Este hecho, utilizado en el ejemplo 2, con frecuencia se necesitará en el conjunto de problemas.

dh 2 = - ~0.637 dt 7T' Cuando la profundidad del agua es de 4 pies, el nivel del agua está elevándose a 0.637 pies por minuto. • -

Si reflexiona por un momento en el ejemplo 2, usted se da cuenta que el nivel del agua se elevará cada vez más despacio conforme el tiempo avance. Por ejemplo, cuando h = 10 7T'(10)2 dh 8=--4 dt de modo que dh/ dt = 32/1007T' ~ 0.102 pies por minuto. Lo que estamos diciendo en realidad es que la aceleración d 2h/dt 2 es negativa. Podemos calcular una expresión para ella. En cualquier instante t, 7T'h 2 dh 8=-4 dt de modo que

32 = h2 dh 7T'

dt

Si derivamos implícitamente otra vez, obtenemos 2 O = h 2 d h + dh (2h dh) dt 2 dt dt de la cual

-2(~)' h Ésta es claramente negativa.

148

CAPíTULO

3

La derivada

excede a 640. Por otra parte, seguramente s está aumentando más lentamente que la suma de x y y; es decir, ds/dt < 600 + 640. Nuestra respuesta, ds/dt = 872, es razonable. _ EJEMPLO 4 Una mujer que permanece de pie en un acantilado, observa con un telescopio cómo se aproxima un bote de motor a la playa que está directamente debajo de ella. Si el telescopio está 250 pies por arriba del nivel del agua y si el bote se aproxima a 20 pies por segundo, ¿a qué velocidad está cambiando el ángulo del telescopio, cuando el bote está a 250 pies de la playa?

Telescopio

Solución Paso 1: Dibuje una figura (véase la figura 5) e introduzca variables x y O, como se muestra. Bote

Figura 5

Paso 2: Nos dan que dx/ dt = -20; el signo es negativo ya que x disminuye con el tiempo. Queremos saber dO / dt en el instante cuando x = 250. Paso 3:

Por trigonometría,

x tanO = 250 Paso 4: Derivamos implícitamente usando el hecho de que D () tan O = sec2 O (Teorema 3.4B). Obtenemos 2 dO _ 1 dx sec O dt - 250 dt

Paso 5: En el instante cuando x = 250, Ois 'TT/ 4 radianes y sec2 O = sec2 ( 'TT /4) = 2. Por tanto,

dO 1 2-·=-(-20) dt 250 o

2400 pies 3fh

dO -1 - = - =-0.04 dt 25 El ángulo está cambiando -0.04 radianes por segundp. El signo negativo muestra' que eestá disminuyendo con el tiempo. _

Un problema gráfico de tasas relacionadas Con frecuencia en una situación de la vida real, no conocemos una fórmula para cierta función, sino que tenemos una gráfica determinada de manera empírica para ella. Aún así podemos ser capaces de responder preguntas sobre razones de cambio. EJEMPLO 5 La ciudad de Webster monitorea la altura del agua en su tanque cilíndrico con un dispositivo de registro automático. El agua se bombea de manera constante al tanque a una velocidad de 2400 pies cúbicos por hora, como se muestra en la figura 6. Durante cierto periodo de 12 horas (empezando a la medianoche), el nivel del agua se elevó y descendió de acuerdo con la gráfica en la figura 7. Si el radio del tanque es de 20 pies, ¿a qué velocidad está utilizándose el agua a las 7:00 a.m.?

2400 _!!Y. dI

)

Solución Sean t el número de horas transcurridas después de la medianoche, h la altura del agua en el tanque en el instante t y V el volumen del agua en el tanque en el instante t (véase la figura 6). Entonces dV/ dt es la razón de entrada menos la razón de salida, de modo que 2400 - dV/ dt es la velocidad a la que el agua está utilizándose en cualquier instante t. Como la pendiente de la recta tangente en t = 7 es aproximadamente - 3 (véase la figura 7), concluimos que dh/ dt ~ -3 en ese instante. Para un cilindro, V = 'TTr 2h, y de este modo

Figura 6

18

15 12

V = 'TT(20)2 h entonces 1

2

3

Figura 7

4

5

6

7

8

9

10 11 12

dV dh = 400'TTdt dt

-

t(horas)

En t = 7,

1SO

CAPíTULO

3

La derivada

dez se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa, cuando pasa por el punto que se encuentra a! kilómetro del punto que está enfrente del faro? W 16. Una aficionada a la aviación observa un aeroplano volar a una altura constante de 4000 pies hacia un punto que se encuentra directamente sobre de ella. Ella observa que cuando el ángulo de elevación es! radián, éste aumenta a una velocidad de fa radián por segundo. ¿Cuál es la velocidad del aeroplano?

17. Cristóbal que mide 6 pies de estatura, camina alejándose de un poste de luz, de 30 pies de altura, a una velocidad de 2 pies por segundo. (a) ¿A qué rapidez aumenta la longitud de su sombra, cuando Cristóbal está a 24 pies del poste? ¿A 30 pies? (b) ¿A qué velocidad se mueve el extremo de la sombra? (c) Para seguir el extremo de su sombra, ¿a qué velocidad angular debe levantar sus ojos Cristóbal cuando su sombra es de 6 pies de largo? 18. El ángulo, 8, opuesto a la base de un triángulo isósceles, con lados iguales de longitud 100 centímetros, aumenta a razón de fa de radián por minuto. ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo cuando el ángulo 8 mide 7T /6 radianes? Sugerencia: A = ! ab sen 8. L] 19. Un largo paso a desnivel de una autopista pasa por encima de una vía de ferrocarril que está 100 pies por debajo y forma un ángulo recto con él. Si un automóvil viaja a 45 millas por hora (66 pies por segundo) está directamente por arriba de la parte delantera de un tren que va a 60 millas por hora (88 pies por segundo), ¿qué tan rápido se están separando 10 segundos después? 20. Se bombea agua a razón constante de 2 litros por minuto (1 litro = 1000 centímetros cúbicos) a un tanque con forma de cono circular recto truncado. El tanque tiene una altura de 80 centímetros y los radios inferior y superior miden 20 y 40 centímetros, respectivamente (véase la figura 10). ¿A qué velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad del agua es de 30 centímetros? Nota: El volumen, V, de un cono circular recto truncado de altura h y radios inferior y superior a y b es V = ~ 7Th . (a 2 + ab + b 2 ).

22. Las manecillas de un reloj son de 5 pulgadas (el minutero) y de 4 pulgadas (el horario). ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los extremos de las manecillas a las 3:00? 23. Un cilindro circular recto con un pistón en un extremo se llena con gas. Su volumen cambia de manera continua a causa del pistón. Si la temperatura del gas se mantiene constante, entonces, por la Ley de Boyle, PV = k, donde P es la presión (libras por pulgada cuadrada), Ves el volumen (pulgadas cúbicas) y k es una constante. La presión es controlada por medio de un dispositivo de registro en un periodo de 10 minutos. El resultado se muestra en la figura 12. De manera aproximada, ¿qué tan rápido estaba cambiando el volumen en t = 6.5, si el volumen en ese instante fue de 300 pulgadas cúbicas? (Véase el ejemplo 5.) P(lb/pulg2) 80 60 40 I

20

+~~~~J!'~~ ~

~~'~""m+~

!~~~~~~~~~+~~~~ ~~~ ~~~ ~~¡~

+"

~~ ~~",,+

,~~~~~~~

2345678

t(min)

Figura 12 24. Resuelva el ejemplo 5 suponiendo que el tanque de agua es una esfera de radio de 20 pies. (Véase el problema 21 para el volumen de un casquete esférico.) 25. Resuelva el ejemplo 5 suponiendo que el tanque de agua tiene forma de un hemisferio superior, con radio de 20 pies. (Véase el problema 21 para el volumen de un casquete esférico.) 26. Con respecto al ejemplo 5. Desde la medianoche y hasta mediodía, ¿cuánta agua utilizó, en este periodo de 12 horas, la ciudad de Webster? Nota: Éste no es un problema de diferenciación. L] 27. Una escalera de 18 pies, descansa contra un muro vertical de 12 pies, su extremo superior sobresale del muro. El extremo inferior de la escalera se empuja a lo largo del piso alejándose del muro a 2 pies por segundo.

(a) Encuentre la velocidad vertical del extremo superior de la escalera cuando ésta forma un ángulo de 60° con el piso. (b) Encuentre la aceleración vertical en ese mismo instante. 28. U na bola esférica de acero permanece en el fondo del depósito del problema 21. Responda la pregunta planteada allí, si la bola tiene radio Figura 10

21. Del fondo de un depósito semiesférico, de radio 8 pies, está saliéndose agua a razón de 2 pies cúbicos por hora. El depósito estaba lleno en cierto momento. ¿A qué velocidad cambia el nivel del agua cuando su altura es de 3 pies? Nota: El volumen de un casquete de altura h en un hemisferio de radio r es 7Th 2 [r - (h/3)]. (Véase la figura 11.)

. (a) 6 pulgadas y

(b) 2 pies.

(Suponga que la bola no afecta el flujo que sale del tanque.) 29. Una bola de nieve se derrite a una razón proporcional al área de su superficie. (a) Demuestre que su radio se contrae a una razón constante. (b) Si en una hora se derrite a 8/27 de su volumen original, ¿cuánto tardará en derretirse por completo? 30. Una bola de acero caerá 16t2 pies en t segundos. Tal bola se deja caer desde una altura de 64 pies a una distancia horizontal de 10 pies de un poste de luz, que tiene una altura de 48 pies. Cuando la bola llega al suelo, ¿con qué rapidez se está moviendo la sombra de la bola?

Figura 11

31. Una niña de 5 pies de estatura camina hacia un poste de luz, de 20 pies de altura, a una velocidad de 4 pies por segundo. Su

L' E TICNLGGIA 3.1

: PNY'ECT .

I1

I

1

4.

1

1

I

ectas secantes y tangentes Por tanto, La ecuación de La recta secante es

ción Se presenia ci - mitodo. Defina g(x) realice 1.a si flfLiiij( ac1 kn comUn xde dierencias c cociente ditet ci

Preparación

uco-

-

Ejercicio I Utilice Ia regla parr ii poteni 1a para cia, la regla para el productoy'1i -eg. I cociente para derivar ILas func iones si-

g'',

tesarrollando (g(2 + h) cia!), d--"

De's

uientes:

1-

,,

e-time ci lImit resuitantc '1fldO '- el ccionando varios valo. es de h

ercar as a ccro y evati ando ci coci nte.

cocier 1te dife-' ConLsLrul a una lahiLa de h y ad i coi'n resonjeur, g. I re ncil . I cpue ite coincideiconsu limi.. pect a aL nrnite. io - 1restut. ,.ado del ejercici

V

'h 'unar

-

,(x2

ft

1)

x2 + 1

enc..cintran ios . u ic) l fri este eje rcrio. Ejercc la reCt a tar1nte a una CUL- utiliz tndo Ia .e La recta tangente es e! lImite de kuea-LIC ç Li' Las rectas se can.es. ( omo un ey nr" rt no tn1

=

Uso de Ia tecnolc gIa El propósito de este pro yecv' es vet iii [car 'e den(pero no demostrar) que I iireg

puntos CS

_.

De'iiente

Proporcione una definiciOn de

la derivada de una función f. Sea f(x) = x(1 - x). Explique qué significa f'() y cómo puede determinarse. Seleccione valores de h cercanos a cero para evaluar el cocien-

b2

puds utilice Las reglas de denivación de este capItu!o para venificar su conjetura.

. E TECN'eLeI(A 3.2 H

Aproximación lineal CIe ut

!uflCjófl

I. Preparación Ejercicio I Revis.e ci mafrrial Je la secn lineal c'e . ción 3.10 sobre la aproximacio: iioxin-aci una función. Encuentre la apr - en los ne 1 para las funciorie s sIigiientes i .

-

-

'ntos dados.

L, dibue It. función lineat junto con La

rantizar que f(x) - L(x) < 0.1?) Puede

apruximación lineal en 1 misma ventana de nsualLzacion. Haga Un acercannento el punto a hasa que la gráfica de La .reciLay la funciór scan casi indistinguibles R.epita

que tenga que hacer varios acercamientos. Repita esta pregunta pana errores de 0.01,

ii a = 2 en a =8

h(x) = cos en i = -

de Ia tecnologia

El pi opósito de este provecto es investigar Ia pre,cisión de Ia- aproximaciOii lineal dc una fiincion. :-

EjerdciJo2 P ira La funciOn f. una vez que usted haya oh- tenido Ia aproxirnación lineal

0.001 y 0.0001. Llene Ia tabla siguiente.

esto para las funciones g y h.

Valor de error absoluto

Defina la función C por e(x) f(A L(x). (La función es ci rot iue iisurgc il usar Ia aproximaciOn lineal) .L)1JU je e(x) en intervalos cada ve' mtts pequerios airededor de a. LCuanto valen Ejercicio 3

(bj g(x) =

Ejercicio 6

tuna acerca del valor de este !nite, y des-

1.

PRVEC1rø

(a)

Reflexión

te (f( + h) - f())/h. Haga una conjeA(2)

A(b)

'. .A coitir" ..

potencias para n = 3 y x

Ejercicio 5 Utilice el método del ejercicio 4 para aproximar La recta tangente a la grá-

1

rosen n este fir,'cu nidere dos puit c , (2,i1(2)) v ( A(b)), donde bes La gr Lfia IL de 2. La Dendie nte - pCro d:ferente cercanu, sevtnte que conecta a e itos dos de Ia re tcL_Cci

Ejercicio 3 Utilice su computarlora araverificar de manera .rôI.Ji ca I-i ltir', rnl)a La

160

i-2

Dibuje Ia función Ay Ia recta secante cerca del punto de interds en La misma ventana de graficación. (Usted tendrá que seleccionar un valor para b.) Ahora, elija valores para b que estén más cercanos a 2.0 hasta que usted obtenga algo que parezca una tangente a Ia curva en (2,A(2)), esto es, encuentre un valor de b (cercano, pero diferente, de 2.0) taL que en efecto tenga una tangente. Escniba los valores de b y A(b), y presente una gráfica 0 irn bosquejo de La curva y su recta secante que sea muy cercana a Ia tangente.

fica de Ia función F(x) = sen x en x = 0 y en x = I2.

O

avance, haga la mejor esLllh1 -"ición que pueda de Ia pendiente y también i )roI )orcione r es eL error de su aproXimaci(Sn, (El- er.or igual a f'(2) - (su estimac1 de f'(2).)

l. 'J so

- 5)(x2 - i)

I encontranios Ii reca:nt I tL .: aia PSI afiLLricOv Vu(2. .t12))=(2,1.8,. , , gerLte en e! puntc

aOl:iLto, a donde f(x) = x2. Haga un acerc: La gráfica de esta furiciOn, cerca del nu ro i dio x 2. ,La grafica parece liiierl Por rn Ló.n entre el de la estimaciOn de La elevaci

(c)

inos Ila c

A(x)

Dibuje la g;rál lica de y =

i

LI

funcio-

vación presentadas en este cap1t nan para producir la derivada. :IC Ircicio 2

1l'aih.

y = A(2) + pendiente(x - 2)

LIme(x

y

Función

0.1

0.01

0.001

0.0001

fg h

hme'(x)? 'I II.

Repita este ejercicio para las funcionc g yh.

Ejercicio 4 ;Gé tan cercana deb esLr x de a para que ci valor a')s() luto del[-rO ci. us sea rnenor que 0.1? ( I:fl otras palal -

1

qué tan pequeflo debe si r

- a r1iara ga-

Reflexión

Ejercicio 5 Escriba un reporte corto que explique cómo encontran La aproximación Lineal para una función. Proponcione a! me-

nos dos ejempLos que sean diferentes de aqueLlos que se estudiaron en esta sección.

Aplicaciones Aplicaciones de Ia la derivada derivada 4.1 Máximos Máximosyy mInimos mínimos 4.1

4.2 4.2 4.3 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.7 4.7 4.8 4.8 4.9 4.9

Monotoníayyconcavidad concavidad MonotonIa Máximosyy mInimos mínimoslocales locales Máximos Más problemas sobre máximosyymInimos mínimos Más problemas sobre máximos Aplicaciones a economía Aplicaciones a economIa Elaboraciónde degráficas gráficasmás mássofisticadas sofisticadas Elaboración El Teorema del valor medio medio El Revisión del del capItulo capítulo Revision Problemasadicionales adicionales Problemas Reflexiónyyref refracción de alaluz luz Proyectode detecnologia tecnología4.1 4.1 ReflexiOn Proyecto racciOn de Proyectode detecnologIa tecnología4.2 4.2 Un Unproblema problemade deoptimizaciOn optimización Proyecto

Confrecuencia frecuenciaen enlalavida, vida,nos nos enfrentamos enfrentamoscon concielproblema problemade deencontrar encontrarlalamejor mejorforfor4.1 Con 4.1

Máximos ~ á ~yy mInimos miin i y

v =f(x)

Figura Figura1 1

x

made dehacer haceralgo. algo.Por Porejemplo, ejemplo,un ungranjero granjeronecesita necesitaelegir elegirIalamezcla mezclade decultivos cultivosque quesea sea ma másapropiada apropiadapara paraproducir producirlalamayor mayorganancia. ganancia.Un Unmedico médicodesea deseaseleccionar seleccionarlalamemelalamás unfabricante fabricantelelegustarIa gustaríamiminordosis dosisde deuna unadroga drogaque quecurar curarácierta ciertaenfermedad. enfermedad.AAun nor nimizarelelcosto costode dedistribución distribuciónde desus susproductos. productos.Algunas Algunasveces vecesun unproblema problemadedeeste este nimizar tipopuede puedeformularse formularsede demodo modoque queimplique impliquemaximizar maximizaroominimizar minimizaruna unafunción funciónenen tipo unconjunto conjuntoespecIfico. específico.Si Si es es asI, así, los métodos de cálculo cálculo proporcionan proporcionan una una herramienherramienun poderosapara pararesolver resolverelelproblema. problema. tatapoderosa Entoncessuponga supongaque quesesenos nosdadauna unafunción funciónf fy yunundominio dominioS Scomo comoenenlalafigura figura1.1. Entonces Nuestraprimer primertarea tareaesesdecidir decidirsisif ftiene tieneunun valor máximo o un valor mínimoenenS.S. SuNuestra valor máximo o un valor mInimo Suponiendoque queexisten existentales talesvalores, valores,queremos queremossaber saberenen dónde alcanzan Por úlponiendo dónde se se alcanzan enen S. S. Por ililmínimo.Analizar Analizarestas estastres trestareas tareaseses timo,deseamos deseamosdeterminar determinarlos losvalores valoresmáximo máximoyymInimo. timo, objetivoprincipal principaldedeesta estasecciOn. sección. elelobjetivo Empezamospor porintroducir introducirununvocabulario vocabulariopreciso. preciso. Empezamos

Definición Definición Supóngaseque queS,el S,-eldominio dominiode def,f, contieneelelpunto puntoc.c.Decimos Decimosque: que: Supongase contiene f (c)eseselelvalor valormáximo máximode deffenenS,S,sisif(c) f (c) zf(x) f (x)para paratoda todax xenenS;S ; (i) f(c) f (c) es el valor mínimo de f en S, si f (c) 5 f (x) para toda f(c) es ci valor mInimo de f en S, si f(c) f(x) para toda x xenenS;S; (ii) (iii) f(c) f (c)esesununvalor valorextremo extremodedef en f en valormáximo máximoo oununvalor valormInimo; mínimo; 5, S, si si eses ununvalor (iv) lalafunciOn funciónque quequeremos queremosmaximizar maximizaro ominimizar minimizareseslalafunción funciónobjetivo. objetivo.

161

162

CAPíTULO

4

Aplicaciones de la derivada

La cuestión de la existencia ¿f tiene un valor máximo (o mínimo)? La respuesta depende ante todo del conjunto S. Considere f(x) = l/x en S = (O, (0); no tiene valor máximo ni mínimo (véase la figura 2). Por otra parte, la misma función en S = [1,3] tiene el valor máximo de f(1) = 1 Yel valor mínimo f(3) = ~. En S = (1, 3],f no tiene valor máximo y el valor mínimo de f (3) = ~ . La respuesta también depende del tipo de función. Considere la función discontinua g (véase la figura 3) definida por

y

y =f(r) = .~

g(x) = x En (O, 00), no hay máximo ni mínimo En [1, 3], máximo = 1, mínimo =} En (1, 3], no hay máximo, mínimo =

i

{

X si 1 ::; x < 2 x - 2 si 2 ::; x ::; 3

En S = [1,3], g no tiene valor máximo (se acerca arbitrariamente a 2, pero nunca lo alcanza). Sin embargo, g tiene el valor mínimo g(2) = O. Existe un teorema preciso que responde la pregunta de existencia para algunos problemas que se presentan en la práctica. Aunque intuitivamente es obvio, una demostración rigurosa es muy difícil, la dejamos para textos más avanzados de cálculo.

Figura 2 y

Obsérvese las palabras clave; se requiere que f sea continua y que el conjunto S sea un intervalo cerrado.

1

2

x

3

No hay máximo, mínimo =O

Figura 3

¿En dónde se presentan los valores extremos? Por lo común, la función objetivo tendrá como su dominio a un intervalo l. Pero este intervalo puede ser de cualquiera de los nueve tipos estudiados en la sección 1.3. Algunos de ellos contienen a sus puntos finales (puntos frontera); algunos no. Por ejemplo, 1 = [a, b] contiene ambos puntos frontera; [a, b) sólo contiene a su punto frontera izquierdo; (a, b) no contiene ninguno de sus puntos frontera (véase la figura 4). y

y

y

Máx

!\X~

/

Mín

h

{/

x

x

x Puntos estacionarios

Puntos frontera

Figura 4

\Min

Figura 5

Puntos singulares

Figura 6

Si c es un punto en el que f' (c) = 0, lo llamamos punto estacionario. El nombre proviene del hecho de que un punto estacionario de la gráfica se coloca en una trayectoria horizontal, puesto que la recta tangente es horizontal. A menudo, los valores extremos aparecen en los puntos estacionarios (véase la figura 5). Por último, si c es un punto interior de 1, en donde f' no exista, decimos que c es un punto singular. Éste es un punto en donde la gráfica de f tiene una esquina, una tangente vertical o quizá un salto, o cerca del cual la gráfica oscila de manera abrupta. Los valores extremos pueden aparecer en puntos singulares (véase la figura 6), aunque en problemas prácticos esto es muy raro. Estas tres clases de puntos (puntos frontera, puntos estacionarios y puntos singulares) son los puntos clave en la teoría de máximos y mínimos. Cualquier punto de estos tres tipos, en el dominio de una función f se denomina punto crítico de f.

EJEMPLO 1 Encuentre los puntos críticos de f(x) = -2x 3 + 3x 2 en

[-!, 2].

Solución Los puntos frontera son -! y 2. Para determinar los puntos estacionarios, resolvemos f'(x) = -6x2 + 6x = 0, para x, obteniendo y 1. No existen puntos singulares. Por tanto, los puntos críticos son -!, 0, 1,2. •

°

SECCIÓN

4.1

Máximos y mínimos

163

Teorema B Teorema de los puntos ctfticos Sea! definida en un intervalo 1 que contiene al punto e. SI f( e) es un valor extremo, entonces e debe serun punto crítico; es decir, e es alguno de los siguientes: (i) • un punto frontera de 1; (ii) ··UI1 punto estacionario de f; es. decir, un punto en donde f'(e) = O; o (iiifun punto singular de f; esto es, un punto en donde f'(e) no existe.

Demostración

Primero considérese el caso en donde f(e) es el valor máximo de f en 1 y suponga que e no es un punto frontera ni un punto singular. Debemos demostrar que e es un punto estacionario. Ahora, como f(e) es el valor máximo, f(x) ::; f(e) para toda x en 1; esto es,

f(x) - f(e) ::; O Por consiguiente, si x < e, de modo que x - e < O, entonces

f(x) - f(e) x - e

(1) y

-----2::

O

mientras que si x > e, entonces y

(2)

-2x' + 3x

x

f(x) - f(e) ::; O x - e

Pero, f'(e) existe ya que e no es un punto singular. En consecuencia, cuando hacemos x --7 e- en (1) Yx --7 e+ en (2), obtenemos, respectivamente, f' (e) 2:: Oy f' (e) ::; O. Concluimos que f'(e) = O, como se quería. El caso en que f(e) es el valor mínimo se maneja de forma análoga. • En la demostración que se acaba de dar, utilizamos el hecho de que la desigualdad::; se preserva bajo la operación de tomar límites.

¿ Cuáles son los valores extremos? En vista de los Teoremas A y B, ahora podemos establecer un procedimiento muy sencillo para determinar los valores máximo y mínimo de una función continua f en un intervalo cerrado l. Paso 1 Encuéntrense los puntos críticos de f en l. Paso 2 Evalúese f en cada uno de estos puntos críticos. El mayor de estos valores es le valor máximo; el valor más pequeño es el valor mínimo.

Figura 7

EJEMPLO 2

Terminología

Encuentre los valores máximo y mínimo de f(x)

Obsérvese la manera en que los términos se utilizan. El máximo es 1, que es igual a f( -!) y f(l). Decimos que el

en

=

-2x 3 + 3x 2

[-L 2].

Solución

En el ejemplo 1, identificamos -112, 0,1,2 como los puntos críticos. Ahora f(-1I2) = 1,f(0) = O,f(l) = 1 Y f(2) = -4. Así, el valor máximo es 1 (se alcanza en -112 y en 1) y el valor mínimo es -4 (se alcanza en 2). La gráfica de f se muestra en la figura 7. •

máximo se alcanza en -! y en 1. De manera análoga, el mínimo es -4, que se alcanza en 2.

La función F(x) = X 2/3 es continua para todos los reales. Encuentre sus valores máximo y mínimo en [-1,2]. EJEMPLO 3

y

Solución F' (x) = ~ X- l / 3 , nunca es cero. Sin embargo, F'(O) no existe, de modo que O es un punto crítico, así como los puntos frontera -1 y 2. Ahora, F( -1) = 1, F(O) = OY

F(2) = V4 ~ 1.59. Por consiguiente, el valor máximo es ro. La gráfica se muestra en la figura 8. x

Figura 8

\Y4; el valor mínimo es ce•

Problemas prácticos Un problema práctico es aquel que surge de un problema de la vida cotidiana. Tales problemas rara vez tienen puntos singulares; de hecho, para ellos, por lo regular los valores máximo y mínimo aparecen en puntos estacionarios, aunque deben verificarse los puntos frontera. A continuación están dos ejemplos característicos.

166

CAPíTULO

4

Aplicaciones de la derivada

Revisión de conceptos 1. Una función en un intervalo siempre tendrá un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo. 2. El término valor valor mínimo.

denota a un valor máximo o a un

3. Una función puede alcanzar un valor extremo sólo en un punto crítico. Los puntos críticos son de tres tipos: y 4. Un punto estacionario para f es un número c tal que _ un punto singular para f es un número c tal que

_

Conjunto de problemas 4.1 En los problemas del 1 al 16, identifique los puntos críticos y encuentre los valores máximo y mínimo (véase los ejemplos 1, 2 Y 3).

1. f(x) = x + 4x + 4;/ = [-4,OJ 2

2. h(x) = x 2 + x; / = [-2, 2J

3. 'I'(x) = x 2 + 3x; / = [-2,lJ 4. G(x) = H2x 3 + 3x2 - 12x);1 = [-3, 3J 5. f(x) = x 3 - 3x + 1;1 = (-L 3) Sugerencia: Elabore la

GJ 23. Un granjero tiene 80 pies de valla con la cual planea encerrar un corral rectangular a lo largo de un lado de su establo de 100 pies de largo, como se muestra en la figura 13 (el lado a lo largo del establo no necesita valla). ¿Cuáles son las dimensiones del corral que tiene área máxima?

gráfica. 6. f(x)

= x3

-

3x

+ 1;1 = [-L3]

1 7. h(r) =-;/ = [-1,3J r 1 8. g( x) = - - 2 ; / = [-3, 1 J l+x

9. g( x)

1

= ---2; / =

(-00, (0) Sugerencia: Elabore la grál+x' .

Figura 13

GJ 24. El granjero del problema 23 decide hacer tres corrales idénticos con sus 80 pies de valla, como se muestra en la figura 14. ¿Qué dimensiones del área total encerrada hacen que el área de los corrales sea tan grande como sea posible?

fica. x

10. f(x) = - - 2 ; / = [-1,4J l+x

11. r( O)

= sen O;I = [-

¡,

*]

12. s(t) = sent - cost;/ = [O,7TJ 13. a(x) = Ix - 11; / = [0,3J 14. f(s) = 13s - 21;/ = [-1,4J 15. g(x)

=

..qx;/

=

[-1,27J

Figura 14

25. Suponga que el granjero del problema 23 tiene 180 pies de valla y quiere que el corral quede contiguo a todo el lado del establo de 100 pies, como se muestra en la figura 15. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para tener área máxima? Obsérvese que en este caso, O :5 X :5 40.

2 5 / ; /

16. s(t) = t = [-1, 32J 17. Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea máximo. Sugerencia: Si x es un número, 10 - x es el otro. 18. ¿Qué número excede a su cuadrado en la máxima cantidad? Empiece por convencerse que este número se encuentra en el intervalo [0,1]. 19. Erika tiene 200 pies de valla, con la cual planea encerrar un patio rectangular para su perro. Si desea encerrar el área máxima, ¿de qué dimensiones debe ser? 20. Demuestre que para un rectángulo con perímetro dado, K, el de área máxima es un cuadrado. 21. Encuentre el volumen de la caja abierta más grande que'puede fabricarse con un pedazo cuadrado de cartón de 24 pulgadas por lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y luego doblando los lados hacia arriba (véase el ejemplo 4). 22. Un pedazo de alambre de 16 pulgadas de largo, se corta en dos pedazos; una pieza se dobla para formar un cuadrado y la otra se dobla para formar un círculo. ¿En dónde debe hacerse el corte para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima?, ¿máxima? (Cabe la posibilidad de no cortar.)

x

Figura 15

26. Suponga que el granjero del problema 23 decide utilizar sus 80 pies de valla para construir un corral rectangular que se ajuste a una esquina de 20 por 40 pies, como se muestra en la figura 16 (toda la esquina debe utilizarse y no requiere de valla). ¿Cuáles dimensiones dan el corral con área máxima? Sugerencia: Empiece por decidir sobre los valores admisibles para x.

x y

Figura 16

SECCIÓN

27. Un rectángulo tiene dos vértices sobre el eje x y los otros dos en la parábola y = 12 - x 2 , con y 2: O(véase la figura 17). ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de este tipo con área máxima?

4.1

Máximos y mínimos

167

ductor obtiene 12 dólares por hora. ¿Cuál es la velocidad más económica a la cual operar el camión en un viaje de 400 millas, si se requiere que la velocidad en la autopista esté entre 40 y 55 millas por hora? 32. Vuelva a resolver el problema 31, suponiendo que el costo de operación es 40 + 0.05x3/2 centavos por milla. 33. Encuentre los puntos P y Q en la curva y = x 2 /4, O:::; x :::; 2 \13, que sean el más cercano y el más alejado del punto (0,4). Sugerencia: El álgebra se simplifica si considera el cuadrado de la distancia pedida en lugar de la distancia misma.

Figura 17

34. Un humidificador utiliza un disco giratorio de radio r, que en parte está sumergido en el agua. La mayor evaporación es cuando la región húmeda expuesta (mostrada como la región superior sombreada en la figura 21) se maximiza. Muestre que esto sucede cuando h (la distancia del centro al agua) es igual a r /~.

28. Un rectángulo será inscrito en un semicírculo de radio r, como se muestra en la figura 18. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo, si su área debe maximizarse?

Figura 18

29. Un canalón metálico para el agua de lluvia tiene lados de 3 pulgadas y un fondo horizontal de 3 pulgadas, los lados forman ángulos iguales () con el fondo (véase la figura 19). ¿Cuál debe ser epara maximizar la capacidad de desalojo de agua del canalón? Nota: O:::; () :::; 1T/2.

Figura 21

35. Una caja con tapa se fabricará con una hoja rectangular de cartón, que mide 5 por 8 pies. Esto se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura 22 y luego doblando por las líneas discontinuas. ¿Cuáles son las dimensiones x, y y Z que maximizan el volumen?

f--x I

Figura 19

y-------J

T z

30. Un gran depósito cónico se fabricará con una pieza metálica circular con radio de 10 metros, cortando un sector con ángulo ey luego soldando los lados rectos de la pieza restante (véase la figura 20). Encuentre e, de mudo que el cono resultante tenga el mayor volumen posible.

1 Figura 22

[§g 36. Para cada función, identifique los puntos críticos yencuentre los valores extremos en [-1, 5].

(a) f (x) = x 3

-

6x 2

+ x + 2 (b) g ( x) = If(x ) I

[§g 37. Siga las instrucciones del problema 36 para f(x) sen + 2. Figura 20

31. El costo de operación de cierto camión es de 25 + x/4 centavos por milla, si el camión recorre x millas por hora. Además, el con-

=

cos x

+x

Respuestas a la revisión de conceptos: 1. continua; cerrado 2. extremo 3. puntos frontera; puntos estacionarios; puntos singulares 4. f' (e) = O; f' (e) no existe

168

CAPíTULO

4

Aplicaciones de la derivada

4.2 Monotonía y concavidad

Considere la gráfica en la figura 1. Nadie se sorprendería cuando decimos que f es decreciente a la izquierda de e y creciente a la derecha de c. Pero, para asegurar que coin~ cidimos en la terminología, damos definiciones precisas.

Definición y

Sea f definida en un intervalo l (abierto, cerrado o ninguno de éstos). Decimos que: (i) f es creciente en l si, para toda pareja de números Xl y X2 en l,

Xl < X2 =* f(XI) < f(X2) (ii) f es decreciente en l si, para toda pareja de números Xl y X2 en l, Xl I I

Decreciente:

(iii)

Creciente

I I

e

f

<

X2 =* f(XI)

>

f(X2)

es estrictamente monótona en l si es creciente en loes decreciente en l.

¿Cómo decidiremos en dónde una función es creciente? Alguien podría sugerir que dibujemos su gráfica y la veamos. Pero por lo regular, una gráfica se dibuja trazando unos cuantos puntos y conectándolos por medio de una curva suave. ¿Quién puede asegurar que la gráfica no oscila entre los puntos trazados? Incluso los sistemas de álgebra computacional y las calculadoras gráficas lo hacen conectando puntos. Necesitamos un procedimiento mejor.

x

Figura 1

La primera derivada y monotonía Recuerde que la primera derivada f'(x) nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x. Entonces, si f'(x) > 0, la recta tangente asciende hacia la derecha (véase la figura 2). De manera análoga, si f' (x) < 0, la recta tangente desciende hacia la derecha. Estos hechos hacen intuitivamente claro el siguiente teorema. Posponemos una demostración rigurosa hasta la sección 4.7.

y

x

Por lo regular, este teorema nos permite determinar con precisión en dónde una función derivable es creciente y en dónde es decreciente. Es cuestión de resolver dos desigualdades.

Figura 2

EJEMPLO 1 Si f(x) = 2x3 - 3x 2 - 12x dónde es decreciente.

Valores de l' +

O

O

I

I

-1

+

Solución

2

Figura 3

+ 7, encuentre en dónde f es creciente y en

Empezamos por encontrar la derivada de f, f'(x) = 6x 2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2)

Necesitamos determinar en dónde

(X + 1)(x - 2) > O

y

y también en dónde

15

(X + 1)(x - 2) < O

x

Este problema fue estudiado a detalle en la sección 1.3, una sección que vale la pena revisar ahora. Los puntos de separación son -1 y 2; ellos dividen al eje X en tres intervalos (-00, -1), (-1,2) Y(2,00). Utilizando los puntos de prueba -2, Y3, concluimos que f'(x) > en el primero y en el último de estos intervalos y que f'(x) < en el intervalo de en medio (véase la figura 3). Así, por el teorema A, f es creciente en (-00, -1] Y en [2,(0); es decreciente en [-1,2]. Obsérvese que el teorema nos permite incluir los puntos frontera de estos intervalos, aunque f' (x) = en esos puntos. La gráfica de f se muestra en la figura 4. •

° °

°

°

Figura 4

EJEMPLO 2 creciente.

Determine en dónde g(x)

= x/(1 + x 2 ) es creciente y en dónde es de-

SECCiÓN

4.2

Monotonía y concavidad

169

Solución

(1

g/ex)

+

O

I

I

-1

1

1 - x2 = (1 + x 2

f

+ x)

(1 - x)(l

(1

+x

2

f

Como el denominador siempre es positivo, g/ex) tiene el mismo signo que el numerador (1- x)(l + x). Los puntos de separación, -1 y 1, determinan tres intervalos (-00, -1), (-1, 1) Y(1,00). Cuando los probamos, encontramos que g/ex) < Oen el primero y en el último de estos intervalos y que g/ex) > Oen el intervalo de en medio (véase lafigura 5). Con base en el Teorema A, concluimos que g es decreciente en (-00, -1] Yen [1,00) y que es creciente en [-1,1]. Posponemos la graficación de g para más adelante, pero si quiere ver la gráfica vaya a la figura 11 y al ejemplo 4. •

Valores de g'

o

=

+ x 2 ) - x(2x) (1 + X 2 )2

Figura 5

La segunda derivada y concavidad Una función puede crecer y aún así tener una gráfica que oscila mucho (véase la figura 6). Para analizar oscilaciones, necesitamos estudiar cómo gira la recta tangente cuando nos movemos de izquierda a derecha a lo largo de la gráfica. Si la recta tangente gira constantemente en sentido contrario a las manecillas de reloj, decimos que la gráfica es cóncava hacia arriba (o simplemente cóncava); si la tangente gira en el mismo sentido que las manecillas del reloj, la gráfica es cóncava hacia abajo (o convexa). Ambas definiciones se formulan mejor en términos de funciones y sus derivadas. Definición

Creciente, pero de manera oscilante

Sea J derivable en un intervalo abierto l. Decimos que J (al igual que su gráfica) es cóncava hacia arriba en 1, si f' es creciente en 1, y decimos que J es cóncava hacia abajo en 1, si f' es decreciente en l.

Figura 6

Los diagramas en la figura 7 ayudarán a ac~arar estas nociones. Obsérvese que una curva que es cóncava hacia arriba tiene forma parecida a una copa.

I I

f'

creciente: Cóncava hacia arriba

f'

I

decreciente: Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo

Figura 7

En vista del Teorema A, tenemos un criterio sencillo para decidir en dónde una curva es cóncava hacia arriba yen dónde es cóncava hacia abajo (convexa). Basta con tener en mente que la segunda derivada de J es la primer derivada de f'. Por lo que, f' es creciente si J" es positiva; es decreciente si J" es negativa.

Para la mayor parte de las funciones, este teorema reduce el problema de determinar concavidad al problema de resolver desigualdades. En esto somos expertos.

EJEMPLO 3 ¿EndóndeJ(x) = ~X3 - x 2 va hacia arriba y cóncava hacia abajo?

-

3x + 4escreciente,decreciente,cónca-

Solución

f' (x) =

x2

-

2x - 3 = (x + 1) (x - 3)

J"(x) = 2x - 2 = 2(x - 1)

SECCIÓN

Figura 13

4.2

Monotonía y concavidad

171

Solución Antes de que resolvamos este problema, pensemos cómo se verá la gráfica. Al principio, la altura aumentará con rapidez, ya que se necesita poca cantidad de agua para llenar la parte inferior del cono. Conforme se va llenando el depósito, la altura aumentará menos rápido. ¿Qué sugieren estos enunciados con respecto a la función h(t), su derivada h'(t) y su segunda derivada h"(t)? Como el agua se vierte de manera constante, la altura siempre aumentará, de modo que h'(t) será positiva. La altura aumentará más lentamente conforme se eleva el nivel. Por consiguiente, la función h'(t) está disminuyendo, de modo que h"(t) es negativa. Por tanto, la gráfica de h(t) es creciente (ya que h'(t) es positiva) y cóncava hacia abajo (pues h"(t) es negativa). Ahora, una vez que tenemos una idea intuitiva acerca de cómo debe verse la gráfica (creciente y cóncava hacia abajo), resuélvase este problema de manera analítica. El volumen de un cono circular recto es V = ~ 'TTr z h, donde V, r y h son funciones del tiempo. Como el agua fluye hacia el depósito a razón de pulgada cúbica por segundo, la función V es V = t, donde t se mide en segundos. Las funciones h y r están relacionadas; obsérvense los triángulos semejantes en la figura 13. Utilizando las propiedades de triángulos semejantes, tenemos r 1 h 4 ASÍ, r = h/4. Por lo que, el volumen del agua dentro del cono es

!

!

~ 1Tr' h =

V =

; (

¡)\ :s =

h

3

! t. Igualando estas dos expresiones para V se obtiene

Por otro lado, el volumen V =

1 'TT -t = - h3 2 48

v

Cuando h = 4, tenemos t = ~ 43 = ~ 'TT ~ 8.4; asÍ, tarda alrededor de 8.4 segundos llenarse el depósito. Ahora resolviendo para h en la ecuación anterior que relaciona h y t para obtener

200

h

ISO

=1~1

La primera y segunda derivada de h son 100

SO

h'(I)

=D

24

Terminología

Mientras que el mínimo o el máximo de una función es un número, un punto de inflexión siempre es una

I

= ~(24 t)-Z/3

2

'TT'TT

que es positiva, y

h"(t)

Figura 14

1

t'TT

2

= D--

4

t~ 3~ que es negativa. La gráfica de h(t) se muestra en la figura 14. Como se esperaba, la gráfica de h es creciente y cóncava hacia abajo. •

Puntos de inflexión Sea f continua en e. Llamamos a (e, f(e)) un punto de in· flexión de la gráfica de f, si f es cóncava hacia arriba a un lado de e y cóncava hacia abajo del otro lado de e. La gráfica en la figura 15 indica varias posibilidades.

pareja ordenada (c,f(c)).

Cóncava hacia arriba

Figura 15

SECCIÓN

31. feO) = 3; f(3) = O; f(6) = 4; f'(x) < Oen(0,3);f'(x) > Oen(3,6); f"(x) > Oen(0,5);f"(x) < Oen(5,6) 32. feO) = 3; f(2) = 2; f(6) = O; f'(x) < Oen(0,2) U (2,6);1'(2) = O; f"(x) < Oen (0,1) U (2,6);f"(x) > Oen (1,2) 33. feO) = f(4) = 1;f(2) = 2;f(6) = O; f'(x) > Oen(0,2);f'(x) < Oen(2,4) U (4,6); 1'(2) = 1'(4) = O;f"(x) > Oen(O,l) U (3,4); f"(x) < Oen(1,3) U (4,6) 34. feO) = f(3) = 3;f(2) = 4;f(4) = 2;f(6) = O; f'(x) > Oen (O, 2);f'(x) < Oen (2,4) U (4,5); 1'(2) = 1'(4) = O;f'(x) = -1 en (5,6); f"(x) < Oen(0,3) U (4,5);f"(x) > Oen(3,4) 35. Demuestre que una función cuadrática no tiene puntos de inflexión. 36. Demuestre que una función cúbica tiene exactamente un punto de inflexión. 37. Demuestre que, si f'(x) existe y es continua en un intervalo 1 y si f'(x) "* en todos los puntos interiores de 1, entonces fes creciente en todo el intervalo loes decreciente en todo el intervalo l. Sugerencia: Utilice el Teorema del valor intermedio para demostrar que no pueden existir dos puntos x] y X 2 de 1 en donde f' tenga signos opuestos. 38. Suponga que f es una función cuya derivada es f'(x) = (x 2 - x + 1)/(x2 + 1). Utilice el problema 37 para demostrar que f es creciente en todas partes. 39. Utilice el Teorema de monotonía para demostrar cada pro1 1 posición, si 0< x < y. 2 (a) x < y2 (b) VX < c) - > x y 40. ¿Qué condiciones sobre a, by c harán que f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d siempre sea creciente? 41. Determine a y'b de modo que f(x) = a VX + bjvx tenga a (4, 13) como un punto de inflexión. 42. Suponga que la función cúbica f(x) tiene tres ceros reales, r], r2 Y r3 . Demuestre que su punto de inflexión tiene abscisa (,] + '2 + r3)/3. Sugerencia: f(x) = a(x-r¡)(x-r2)(X - r3)· 43. Suponga que f'(x) > y g/ex) > para toda x. ¿Qué otras condiciones sencillas (si existen) se necesitan para garantizar que: (a) f(x) + g(x) sea creciente para toda x; (b) f(x) . g(x) sea creciente para toda x; (c) f(g(x)) sea creciente para toda x? 44. Suponga que f"(x) > Oy g"(x) > para toda x. ¿Qué otras condiciones sencillas (si las hay) se necesitan para garantizar que: (a) f(x) + g(x) sea cóncava hacia arriba para toda x; (b) f(x) . g(x) sea cóncava hacia arriba para toda x; (c) f(g(x)) sea cóncava hacia arriba para toda x?

4.2

Monotonía y concavidad

47. Sea f'(x) = x 3 - 5x 2 + 2 en 1 ¿en dónde es creciente f?

=

173

[-2,4]. En el intervalo 1,

48. Sea f"(x) = x 4 - 5x 3 + 4x 2 + 4 en 1 valo 1, ¿en dónde es cóncava hacia abajo f?

=

[-2,3]. En el inter-

49. Se vierte café en el vaso mostrado en la figura 18 a razón de 2 pulgadas cúbicas por segundo. El diámetro superior es de 3.5 pulgadas, el diámetro inferior es de 3 pulgadas y la altura de 5 pulgadas. Este vaso se llena con casi 23 onzas. Determine la altura h como función del tiempo t y dibuje la gráfica desde el instante t = hasta el momento en que el vaso esté lleno.

°

t

3 .5Pu

\gj ----r

°

vY

°

(

°

°

Figura 18

50. Se bombea agua a una razón constante de 5 galones por minuto, en un tanque cilíndrico como se muestra en la figura 19. El tanque tiene 3 pies de diámetro y largo de 9.5 pies. El volumen del tanque es 2 2 7Tr 1 = 7T X 1.5 x 9.5 = 67.152 pies cúbicos = 500 galones. Sin hacer cálculos bosqueje una gráfica de la altura del agua como función del tiempo t (véase el ejemplo 5). ¿En dónde es cóncava hacia arriba y en dónde es cóncava hacia abajo h?

-t t

3 pies

1------

D

1

9.5 pies - - - - -....

Figura 19

51. Se vierte un líquido, al contenedor que se muestra en la figura 20, a razón de 3 pulgadas cúbicas por segundo. El contenedor es de 24 pulgadas cúbicas. Bosqueje una gráfica de la altura h del líquido como una función del tiempo t. En su gráfica ponga atención especial a la concavidad de h. 52. Un tonel de 20 galones, como el mostrado en la figura 21, se sale a razón constante de 0.1 de galón por día. Dibuje una gráfica de la altura h del agua como función del tiempo t, suponiendo que en el instante t = O. El tonel está lleno, ponga atención especial a la concavidad de h.

[§Q Utilice una calculadora gráfica o una computadora para resolver

los problemas del 45 al 48. (a) (b) (c) (d) (e)

45. Sea f(x) = sen x + cos(x/2) en el intervalo 1 = (-2,7). Dibuje la gráfica de f en l. Utilice esta gráfica para estimar en dónde f'(x) < en l. Utilice esta gráfica para estimar en dónde f" (x) < en l. Dibuje la gráfica de f' para confirmar su respuesta a la parte (b). Dibuje la gráfica de f" para confirmar su respuesta a la parte (c).

° °

46. Repita el problema 45 para f(x)

=

2

x cos (x/3) en (O, 10).

Figura 20

Figura 21

Respuestas a la revisión de conceptos: 1. creciente; cóncava hacia arriba 2. l' (x) > O; f" (x) < O 3. un punto de inflexión 4. f" (c) = O; f" (c) no existe.

SECCIÓN

4.3

Máximos y mínimos locales

175

izquierda en la figura 3 aclara esto. Sin embargo, si la derivada es positiva en un lado del punto crítico y negativa en el otro, entonces tenemos un extremo local, como se muestra en las gráficas de en medio y de la derecha de la figura 3.

y

Demostración de (i) Como f'(x) > Opara toda x en (a, e), por el Teorema de monotonía, f es creciente en (a, e]. Además, como f'(x) < O para toda x en (e, b), f es decreciente en [e, b). Por tanto, f(x) < f(e) para toda x en (a, b), excepto por supuesto en x = e. Concluimos que f(e) es un máximo local. Las demostraciones de (ii) y (iii) son semejantes. •

x -1

-2 -3

EJEMPLO 1 Encuentre los valores extremos locales de la funciónf(x) = x 2 - 6x en (-00,00).

-4

Solución

Figura 4

La función polinomial

f

+5

es continua en todas partes, y su derivada,

f'(x) = 2x - 6, existe para toda x. Así, el único punto crítico para f es la solución única de f'(x) = O; esto es, x = 3. Como f'(x) = 2(x - 3) < Opara x < 3, f es decreciente en (-00,3], Y como 2(x3) > O para x > 3, f es creciente en [3, (0). Por tanto, por la prueba de la primera derivada, f(3) = -4 es un valor mínimo local de f. Como 3 es el único punto crítico, no existen otros valores extremos. La gráfica de f se muestra en la figura 4. Obsérvese que, en este caso, f(3) en realidad es el valor mínimo (global). _

y

EJEMPLO 2 en (-00,00).

Encuentre los valores extremos locales de f(x) = ~ x 3

-

x2

-

3x + 4

x

Solución Como f'(x) = x 2 - 2x - 3 = (x + l)(x - 3), los únicos puntos críticos de f son -1 y 3. Cuando usamos los puntos de prueba -2, OY4, sabemos que (x + l)(x - 3) > O en (-00, -1) Y (3,00) Y (x + l)(x - 3) < O en (-1,3). Por la prueba de la primera derivada, concluimos que f( -1) = Jt es un valor máximo local y que f(3) = -5 es un valor mínimo local (véase la figura 5). _

EJEMPLO 3 Figura 5

X)2/3

en (-7T'/6, 27T'/3).

Solución y

,

f(x)

11"

(;

Figura 6

Encuentre los valores extremos de f(x) = (sen

f (x)

(senx)'

11"

"3

11"

"2

211"

3

x

2 cosx = 3 r.

,sen x ) 1/3

'

x

*0

Los puntos Oy 7T'/2 son puntos críticos, ya que 1'(0) no existe y 1'(7T'/2) = O.Ahora,f'(x) < Oen (-7T'/6, O) yen (7T'/2, 27T'/3), mientras que f'(x) > Oen (O, 7T'/2). Por la prueba de la primera derivada, concluimos que feO) = Oes un valor mínimo local y que f( 7T'/2) = 1 _ es un valor máximo local. La gráfica de f se muestra en la figura 6.

176

CAPíTULO

4

Aplicaciones de la derivada

Criterio de la segunda derivada Existe otra prueba para máximos y mínimos locales que, a veces, es más fácil de aplicar que la prueba de la primera derivada. Incluye la evaluación de la segunda derivada en los puntos estacionarios. No se aplica a los puntos singulares.

Demostración de (i) Es una tentación decir que, como f"(e) < O,f es cóncava hacia abajo cerca de e y por tanto, concluir que esto demuestra (i). Sin embargo, para asegurar que f es cóncava hacia abajo en una vecindad de e, necesitamos que f"(x) < Oen esa vecindad (no sólo en e) y nada en nuestra hipótesis garantiza esto. Debemos ser un poco más cuidadosos. Por definición e hipótesis,

J"(e) = lím f'(x) - f'(e) = lím f'(x) - O < O x - e x - e x~c

x~c

de modo que podemos concluir que existe un intervalo (posiblemente pequeño) (a, f3) alrededor de e en donde

f'(x) -- Opara a < x < e y f'(x) < Opara e < x < f3. Por tanto, por la prueba de la primera derivada, f(e) es un valor máximo local. La demostración de (ii) es semejante. • Para f(x) = x 2 - 6x identificar extremos locales.

EJEMPLO 4

Solución

+ 5, utilice la prueba de la segunda derivada para

Ésta es la función del ejemplo 1. Obsérvese que

l' (x) = 2x -

6 = 2( x - 3)

J"(x) = 2 y fCr)

=x

Así,f'(3) = OY f"(3) > O. Por tanto, por la prueba de la segunda derivada, f(3) es un valor mínimo local. _

1

EJEMPLO 5 ParaJ(x) = ~X3

x2

-

-

3x

+ 4, utilice la prueba de la segunda deri-

vada para identificar los extremos locales. x

Solución

Ésta es la función del ejemplo 2.

l' (x) = x 2

-

2x - 3 = (x + 1) (x - 3)

J"(x) = 2x - 2 Los puntos críticos son -1 y 3 (1'(-1) = 1'(3) = O). Como f"(-l) = -4 y f"(3) = 4. Por la prueba de la segunda derivada concluimos que f (-1) es un máximo local y que f(3) es un valor mínimo local. -

y

x

Figura 7

Por desgracia, la prueba de la segunda derivada falla, ya que f"(x) puede ser cero en un punto estacionario. Para f(x) = x3 y para f(x) = x4 ,f'(0) = OYf"(O) = O(véase la figura 7). La primera no tiene un valor máximo o mínimo local en cero; la segunda tiene un mínimo local ahí. Esto muestra que si f"(x) = Oen un punto estacionario no podemos sacar una conclusión acerca de máximos o mínimos sin más información.

180

CAPíTULO

4

Aplicaciones de la derivada

Solución

2p -1

G'( ) - - - p - p2(1 _ p)2 El único punto crítico es p = 1/2. Para cada valor de p en el intervalo (0,1) el denominador es positivo; por tanto, el numerador determina el signo. Si p está en el intervalo (0,1/2), entonces el numerador es negativo; de aquí que, G'(p) < O. De manera análoga, si p está en el intervalo (1/2,1), G'(p) > O. Así, por el criterio de la primera derivada, G(1/2) = 4 es un mínimo local. Como no tiene puntos frontera o puntos singulares qué verificar, G(1/2) es un mínimo global. La gráfica de y = G(p) se muestra en la figura 2. y 20

15

10

0.2

0.4

0.6

0.8

•

Figura 2

x

Problemas prácticos Cada uno de los ejemplos siguientes es diferente, aunque existen elementos comunes en los procedimientos que utilizamos para resolverlos. Casi al final de la sección, sugerimos un conjunto de pasos para utilizar en la resolución de cualquier problema de máximos y mínimos. EJEMPLO 3 Un volante debe contener 50 pulgadas cuadradas de zona de impresión, con márgenes de 4 pulgadas arriba y abajo y márgenes de 2 pulgadas a cada lado. ¿Cuáles son las dimensiones para el volante que utilizaría menos papel? Solución

Figura 3

Sea x el ancho y y la altura del volante (véase la figura 3). Su área es

A = xy Deseamos minimizar A. Como se estableció, A está expresada en términos de dos variables, una situación que no sabemos cómo manejar. Sin embargo, encontraremos una ecuación que relacione a x con y, de modo que una de las variables pueda eliminarse en la expresión para A. Las dimensiones de la zona de impresión son x - 4 Y Y - 8, Ysu área es de 50 pulgadas cuadradas; de modo que (x - 4)(y - 8) = 50. Cuando despejamos a y de esta ecuación, obtenemos 50 y=--+8 x -4 Sustituyendo esta expresión para y en A

Sentido común

Sería difícil hacer cualquier estimación preliminar en el ejemplo 3. Sin embargo, el sentido común nos dice que la altura del volante debe ser mayor que el ancho. ¿Por qué? Porque debemos sacar provecho de los márgenes más angostos a los lados.

= xy se obtiene A

en términos de x:

50x A = - - +8x x -4 Los valores admisibles para x son 4 < x < 00; queremos minimizar A en el intervalo abierto (4,00). Ahora, dA (x - 4)50 - 50x 8x 2 - 64x - 72 8(x + l)(x - 9) -+8------dx (x - 4)2 (x - 4? (x - 4)2 /· /. . / d a x = 9 y x = - 1. puntos cntIcos se o b tIenen resol' L os umcos Vlend o dA dx = O; esta Rechazamos x

= -1 ya que no está en el intervalo (4,00). Como dA/dx < Opara x en

SECCiÓN

4.4

Más problemas sobre máximos y mínimos

181

°

(4,9) Y dA/dx > para x en (9, (0), concluimos que A alcanza su valor mínimo en = 9. Este valor de x hace y = 18 (encontrado por la sustitución en la ecuación que relaciona x y y). De modo que las dimensiones del volante que utilizará la menor can• tidad de papel son 9 pulgadas por 18 pulgadas. x

EJEMPLO 4 Andrés, quién está en un bote de remos a 2 millas del punto más cercano B de una costa rectilínea, observa humo saliendo de su casa, que se encuentra a 6 millas de B, sobre la costa. Él calcula que puede remar a 3 millas por hora y correr a 5 millas por hora. ¿Cómo debe proceder para llegar a su casa·en el menor tiempo?

Solución Interpretamos que el problema significa que debemos determinar la x en la figura 4, tal que haga mínimo el tiempo de recorrido de Andrés. Es claro que debemos restringir x al intervalo cerrado [0,6]. La distancia AD es W+4 millas y el tiempo para remar es W+4/3 horas. La distancia De es 6 - x millas y el tiempo para recorrerla es (6 - x )/5 horas. Así, el tiempo total T en horas es W+4 6-x T= 3 +-5-

Figura 4

Queremos minimizar T en [0,6]. Este tiempo tiene tres puntos críticos, los puntos frontera cionario obtenido haciendo dT /dx igual a cero. -dT = -1 . -1 (2 x

dx

3

2

°y 6 Yun punto esta-

+ 4)-1/2 (2x) - -1 5

x

1

3W+4

5

5x -3W+4 15W+4 Cuando igualamos dT /dx a cero y resolvemos, obtenemos en pasos sucesivos,

x

T

o

1.87

1.5 6

1.73 2.11

Figura 5

5x -3W+4 -------=0 15W+4 5x -3W+4 =0 5x =3W+4 25x 2 = 9(x 2 + 4) 16x 2 = 36 x =~ x = ~ 2

Como el dominio para T es un intervalo cerrado, T tiene un mínimo (Teorema 4.lA) y este mínimo se presenta en un punto crítico (Teorema 4.1B).Así, los puntos críticos son x = 0, x = 1.5 Yx = 6. La figura 5 muestra los valores de T en cada punto crítico. Como el mínimo se presenta en x = 1.5, concluimos que Andrés debe remar hacia el punto 1.5 millas playa arriba y después correr el resto del camino. Él tardará alrededor de 1.73 horas, o 104 minutos. Para un problema similar en el que uno de los puntos • frontera produce el tiempo mínimo, véase el problema 15. EJEMPLO 5 Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto dado.

Figura 6

Solución Sea a la altura y b el radio de la base del cono dado (ambas constantes). Denótese por h, r y V la altura, el radio y el volumen, respectivamente, de un cilindro inscrito (véase la figura 6). Antes de proceder, apliquemos un poco de intuición. Si el radio del cilindro fuese cercano al radio de la base del cono, entonces el volumen del cilindro sería cercano a cero. Ahora, imagínese cilindros inscritos que aumentan de altura,

1-=

183

rección contraria al alargamiento. Por ahora, ignoraremos el signo de la fuerza.) Los costos de fabricación son proporcionales al número de unidades producidas. El número de accidentes automovilísticos es proporcional al volumen del tráfico. Éstos son modelos, yen un experimento en rara ocasión encontramos que los datos observados se ajustan al modelo de manera exacta. Supóngase que observamos la fuerza ejercida por un resorte cuando se alarga x centímetros (véase la figura 7). Por ejemplo, cuando alargamos 0.5 centímetros el resorte, observamos una fuerza de 8 newtons, cuando lo alargamos 1.0 centímetro, observamos una fuerza de 17 newtons, y así sucesivamente. La figura 8 muestra observaciones adicionales y la figura 9 muestra una gráfica de los pares ordenados (Xi' Yi) donde Xi es la distancia que se estira y Yi es la fuerza que se ejerce sobre el resorte. Una gráfica de los pares ordenados como ésta se denomina gráfica de dispersión. Generalizamos el problema a uno en el que se nos dan n puntos (Xl> YI)' (X2' Y2),"·' (X m Yn)' Nuestro objetivo es encontrar la recta que pase por el origen y que se ajuste mejor a estos puntos. Antes de continuar, debemos introducir la notación sigma ( L).

I I

Resorte sin estirar

Más problemas sobre máximos y mínimos

4.4

SECCIÓN

r

I

I I

I I I

:---x-

1

~QQQQQQQQQ6000Q~ Resorte estirado una cantidad x

Figura 7

n

El símbolo

2: ai representa la suma de los números al' a2,· .. , ano Por ejemplo, i=l

3

2: i

2

= 12 + 22 + 32 = 14

i=l

y n

2: XiYi =

Figura 8

+

XIYI

+ ... + XnYn

X2Y2

i=l

En este caso, primero multiplicamos Xi y Yi Y después sumamos. Habrá más sobre la notación sigma en la sección 5.3. Para encontrar la recta que se ajuste mejor a estos puntos, debemos especificar cómo mediremos el ajuste. Nuestra recta que mejor ajusta, y que pasa por el origen, se define como aquella que minimiza la suma del cuadrado de las distancias verticales entre (Xi' Yi) Yla recta y = bx. Si (Xi' y¡) es un punto, entonces (Xi' bxi) es el punto sobre la recta y = bx que se encuentra arriba o abajo de (Xi' y¡). Por lo tanto, la distancia vertical entre (Xi' y¡) Y (Xi' bx¡) es Yi - bXi (véase la figura 10). Así, la distancia al cuadrado es (Yi - bX¡)2. El problema es encontrar el valor de b que minimiza la suma de los cuadrados de estas diferencias. Si definimos

y

40

•

• • 10

•

•

n

0.005

0.Ql0

0.015

0.020

0.025

S =

x

2: (Yi -

bXi)2

i=l

Distancia alargada (metros)

Figura 9 y

entonces debemos encontrar el valor de b que minimiza S. Éste es un problema de minimización como los que se encontraron antes. Sin embargo, tenga en mente, que las parejas ordenadas (Xi' Yi)' i = 1,2, ... , n están fijas; en este problema la variable es b. Procedemos como antes a encontrar dS jdb, igualando el resultado a 0, y resolviendo para b. Como la derivada es un operador lineal, tenemos

dS db

d

n

n

d

2

= db ~ (Yi - bxi)

&t db (Yi =

~ 2(y; -

2

bxJ

bx;) (:b (y; - bx;) )

n

Figura 10

= -2 2: X¡(Yi - bxJ i=l

Igualando este resultado a cero y resolviendo se obtiene

184

CAPíTULO

4

Aplicaciones de la derivada n

O = -2:¿ X/Yi - bx¡) i=l n

n

0= LXiYi-bLX; i=l n

i=l

n

b LX;

=

i=l

LXiY¡ i=l

n

b

LXiYi =_i=_l_ _ n

LX; i=l

Para ver que esto da un valor mínimo para S, observamos que d2S n

-

=2Lx 2

db 2 i=l 1 que siempre es positiva. No hay puntos frontera que verificar. Así, por el criterio de la

y

n

y = 1512.7x segunda derivada, concluimos que la recta y = bx, con b

40

=

n

LXi yj Lxi, es la reci=l

i=l

ta que mejor ajusta, en el sentido de minimizar S. La recta y = bx se denomina recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen.

EJEMPLO 6 Encuentre la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen para los datos del resorte en la figura 8. Solución

10

b = 0.005 . 8 0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

x

Distancia alargada (metros)

EJEMPLO 7 La compañía XYZ fabrica estantes. El tamaño de los pedidos de los clientes (llamado tamaño del lote) varía de un pedido al siguiente. Un cliente podría ordenar 10 estantes, el siguiente 14 y el otro 6. El número de horas de mano de obra para producir estantes debe ser proporcional al tamaño del pedido, pero siempre hay un poco de variabilidad. XYZ ha obtenido los datos que se muestran en la figura 12, sobre el tamaño del lote y las horas de mano de obra y que se requirieron. Encuentre la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen y utilícela para predecir el número de horas de mano de obra requeridas para un tamaño de lote de 11 estantes.

Figura 12

Solución La figura 13 sugiere que los puntos caen cerca de una recta que pasa por el origen. (La recta debe pasar por el origen, ya que un pedido de tamaño cero requeriría cero horas de trabajo.) La recta de mínimos cuadrados tiene pendiente

y 30

•

27

024

b

.~

'§ 21 ~ 18 ~ 15

= 650

12

~ 1.989

Por tanto, la ecuación de la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen es y = 1.989x (véase la figura 13). La predicción para las horas de mano de obra necesarias para un pedido de 11 estantes es

9

4

10

Tamaño del lote

Figura 13

= 10 . 21 + 14 . 25 + 6 . 13 + 7 . 14 + 10 . 18 + 13 . 29 102 + 142 + 62 + 72 + 102 + 13 2 1293

"O

:r::

1512.7

Por tanto, la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen es y = 1512.7 x y se muestra en la figura 11. Por consiguiente, la estimación de la constante del resorte es k = 1512.7. •

Figura 11

ti

~

+ 0.010 . 17 + 0.015 . 22 + 0.020 . 32 + 0.025 . 36 0.005 2 + 0.0102 + 0.015 2 + 0.0202 + 0.025 2

12

14

x

y

= 1.989

X 11



21.9

•

La suposición de que la recta pase por el origen es razonable, cuando una variable es proporcional a otra, pero no es razonable en muchos otros caso. Por ejemplo, el

186

CAPíTULO

4

Aplicaciones de la derivada

10. Resuelva el problema 8, suponiendo que el área de cada corral es de 900 pies cuadrados. Estudie la solución de este problema y del problema 8 y haga una conjetura acerca de la razón x/yen todos los problemas de este tipo. Demuestre su conjetura.

22. Un cono circular recto puede inscribirse en otro cono circular recto de volumen dado, con los mismos ejes y con el vértice del cono interior tocando la base del cono exterior. ¿Cuál debe ser la razón entre su altura para que el cono inscrito tenga volumen máximo?

W 11.

23. Un alambre de 100 centímetros de largo se corta en dos pedazos; uno se dobla para formar un cuadrado y el otro se dobla para formar un triángulo equilátero. ¿En dónde debe hacerse el corte si (a) la suma de las dos áreas debe ser mínima; (b) máxima? (Cabe la posibilidad de no cortar.)

Un objeto lanzado desde el borde de un acantilado de 42 pies, 2x 2 sigue la trayectoria dada por y = - 25 + x + 42 (véase la figura 16). Un observador está de pie, a 2.6656 pies del fondo del acantilado. (a) Encuentre la posición del objeto cuando está más cerca del observador. (b) Encuentre la posición del objeto cuando está más alejado del observador.

24. Una caja cerrada en forma de paralelepípedo rectangular con base cuadrada tiene un volumen dado. Si el material utilizado para el fondo cuesta 20% más por pulgada cuadrada que el material para los lados y el material de la tapa cuesta 50% más por pulgada cuadrada que cada lado, encuentre las proporciones más económicas para la caja. 25. Un observatorio debe tener la forma de un cilindro circular recto, coronado por un domo semiesférico. Si el domo semiesférico cuesta el doble por pie cuadrado que las paredes cilíndricas, ¿cuáles son las proporciones más económicas para un volumen dado? 26. Una masa conectada a un resorte se mueve a lo largo del eje x de modo que su abscisa en el instante t es x

Figura 16

12. La iluminación en un punto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto a la fuente luminosa y directamente proporcional a la intensidad de la fuente. Si dos fuentes luminosas están separadas s pies y sus intensidades son I 1 el 2' respectivamente, ¿en qué punto entre ellas la suma de sus iluminaciones será mínima? GJ 13. Una pequeña isla está a 2 millas del punto más cercano, P, de una playa rectilínea de un gran lago. Si una mujer en la isla puede remar en una lancha a 3 millas por hora y caminar 4 millas por hora, ¿en dónde debe desembarcar el bote para llegar, en el menor tiempo, a un pueblo que se encuentra a 10 millas del punto P medidas sobre la playa? Véase el ejemplo 4. GJ 14. En el problema 13, suponga que, cuando llegue a la playa, la mujer será recogida por una automóvil que promedia 50 millas por hora. Entonces, ¿en dónde debe desembarcar? GJ 15. En el problema 13, suponga que la mujer utiliza una lancha de motor, que viaja a 20 millas por hora. Entonces, ¿en dónde debe desembarcar? 16. Una central eléctrica situada en una ribera de un río rectilíneo que tiene w pies de ancho. Una fábrica está situada en la ribera opuesta del río, L pies río abajo del punto A, que está enfrente a la central eléctrica. ¿Cuál es la ruta más económica para conectar un cable de la central a la fábrica, si cuesta a dólares por pie tender el cable bajo el agua y b dólares por pie en tierra (a > b)? 17. A las 7:00 a.m. un barco estaba a 60 millas al este de un segundo barco. Si el primer barco navega hacia el oeste a 20 millas por hora y el segundo navega con rumbo sureste a 30 millas por hora, ¿cuándo estarán más cerca uno del otro? 18. Encuentre la ecuación de la recta que es tangente a la elipse b2 x 2 + a2i = a2b2 en el primer cuadrante y que forma con los ejes de coordenadas el triángulo con menor área posible (a y b son constantes positivas). 19. Encuentre el volumen máximo que puede tener un cilindro circular recto, si está inscrito en una esfera de radio r. 20. Demuestre que el rectángulo con perímetro máximo que puede inscribirse en un círculo es un cuadrado. 21. ¿Cuáles son las dimensiones de un cilindro circular recto, con mayor área de superficie, que puede inscribirse en una esfera de radio r?

= sen 2t +

V3 cos 2t

¿Cuál es la mayor distancia del origen que alcanza la masa?

27. Una jardinera tendrá la forma de un sector circular (una región en forma de rebanada de pastel) de radio r y ángulo en el vértice de e. Encuentre r y e, si su área, A, es constante y el perímetro es mínimo. 28. Una barda de h pies de altura corre paralela a un alto edificio y a w pies de él (véase la figura 17). Encuentre la longitud de la escalera más corta que llegue del suelo hasta la pared del edificio, pasando por encima de la barda.

Figura 17 29. (Ley de Snell). El Principio de Fermat en óptica dice que la luz viaja del punto A al punto B a lo largo de la trayectoria que requiere del menor tiempo. Suponga que la luz viaja en un medio a la velocidad C1 yen un segundo medio a la velocidad C2' Si A está en el medio 1 y B en el medio 2, y el eje x separa los dos medios, como se muestra en la figura 18, demuestre que sen 81 sen8 2 Cl

Figura 18

c2

4.4

SECCIÓN

30. La luz que proviene de A es reflejada a B por un espejo plano. Utilice el Principio de Fermat (véase el problema 29) para demostrar que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

Más problemas sobre máximos y mínimos

187

(d) Trate de demostrar sus conjeturas.

GJ

31. Un extremo de una escalera de 27 pies descansa en el piso y el otro extremo está apoyado en la parte superior de una pared de 8 pies. Cuando el extremo inferior se empuja por el piso hacia la pared, la parte superior sobresale dé la pared. Encuentre la máxima distancia horizontal que sobresale del extremo superior de la escalera.

32. Tengo suficiente plata pura para cubrir un área de 1 metro cuadrado de superficie. Planeo cubrir una esfera y un cubo. ¿Qué dimensiones deben tener, si el volumen total de los sólidos plateados debe ser máximo? ¿Mínimo? (Se permite la posibilidad de que toda la plata se utilice en un sólido.) 33. Una esquina de una tira angosta de papel se dobla de manera que toca exactamente el lado opuesto, como se muestra en la figura 19. Con las partes marcadas como se indica, determine x para: (a) maximizar el área del triángulo A;

z.

Z

_

Figura 19

34. Determine () de modo que el área de la cruz simétrica, que se muestra en la figura 20, se maximice. Después encuentre el área máxima.

;0

+ x + 100. Un

observador se encuentra parado a 2 pies del fondo del acantilado. (a) Encuentre la posición del objeto cuando está más cerca del observador.

[TI 38. Se produce latón en forma de rollos largos a partir de una hoja delgada. Para controlar la calidad, el inspector selecciona al azar una pieza de la hoja, mide su área y cuenta el número de imperfecciones en la superficie de esa pieza. El área varía de pieza a pieza. La tabla siguiente proporciona los datos del área (en pies cuadrados) de la pieza seleccionada y el número de imperfecciones encontrados en la superficie de esa pieza.

Pieza 1 2 3

4 5

Figura 20

!mi 35.

Un reloj tiene horario y minutero de longitudes h y m, respectivamente, con h :::; m. Queremos estudiar este reloj entre las 12:00 y 12:30. Sean (), cP y L, como se muestran en la figura 21, y observe que () aumenta a una razón constante. Por la ley de los cosenos, L = L (()) = (h 2 + m 2 - 2hm cos () ) 1/2, Y

L'(()) = hm(h 2 + m 2

=-

37. La posición de la Tierra en el sistema solar, en el instante t, medido en años, puede describirse de forma aproximada por medio de P(93 COS(21Tt), 93 sen(21Tt)), en donde el Sol está en el origen y las distancias se miden en millones de millas. Suponga que un asteroide tiene posición Q(60 cos[21T(1.51t - 1)], 120 sen[21T(1.51t - 1)]). En el periodo [0,20] (p. ej., en los siguientes 20 años), ¿cuándo el asteroide estará más cerca de la Tierra? ¿Qué tan cerca estará?

l

I¡ t ~ __.

2

de 100 pies, sigue la trayectoria dada por y

GJ!mI

f--y-j

pat: ti

36. Un objeto que se arroja desde el borde de un acantilado

(b) Encuentre la posición del objeto cuando está más lejos del observador.

(b) minimizar el área del triángulo B; (c) minimizar la longitud

Figura 21

GJ [TI

-

2

2hmcos()t1/ sen()

(a) Para h = 3 Ym = 5, determine L', L YcP en el instante en que L' es máxima. (b) Vuelva a resolver la parte (a) cuando h

=

5 Ym

=

13.

(c) Con base en las partes (a) y (b), haga conjeturas con respecto a los valores de L', L YcP en el instante en que las puntas de las manecillas se separan más rápido.

Área en pies cuadrados

Número de imperfecciones en la superficie

1.0 4.0 3.6 1.5 3.0

12 9 5

3

8

(a) Haga un diagrama de dispersión con el área en el eje horizontal y el número de imperfecciones en el eje vertical. (b) ¿Le parece que una recta que pasa por el origen sería un buen modelo para estos datos? Explique. (c) Encuentre la ecuación de la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen. (d) Utilice el resultado de la parte (c) para predecir cuántas imperfecciones en la superficie tendría una hoja con área de 2.00 pies cuadrados. [TI 39. Suponga que cada orden tomada por la compañía XYZ (véase el ejemplo 8) requiere de exactamente 5 horas de trabajo para el papeleo; este intervalo de tiempo es fijo y no varía de lote a lote. Entonces, el número de horas requeridas y para fabricar y vender un lote de tamaño x sería:

y

=

(número de horas para producir un lote de tamaño x)

+5

198

CAPíTULO

4

Aplicaciones de la derivada

4.7 El Teorema del valor medio

El Teorema del valor medio es la comadrona del cálculo -con frecuencia ayuda a formular otros teoremas que son de mayor importancia. A partir de ahora, con bastante regularidad usted verá la frase "por el Teorema del valor medio", y más adelante en esta sección, lo utilizaremos para demostrar el Teorema de monotonía, que se dejó sin demostración en la sección 4.2. En lenguaje algebraico, el Teorema del valor medio es fácil de formular y entender. Dice que, si la gráfica de una función continua tiene una recta tangente, que no sea vertical, en cada punto entre A y B, entonces existe al menos un punto C en la gráfica entre A y B en el cual la recta tangente es paralela a la recta secante AB. En la figura 1, existe exactamente un punto C; en la figura 2, existen varios.

Demostración del teorema Primero formulamos el teorema en el lenguaje de funciones y después lo demostramos.

A

Figura 1

Demostración Nuestra demostración se apoya en un análisis cuidadoso de la función s(x) = f(x) - g(x), introducida en la figura 3. Aquí y = g(x) es la ecuación de la recta que pasa por (a,f(a» y (b,f(b». Como la recta tiene pendiente [f(b) - f(a)]/(b - a) y pasa por (a,f(a»,la ecuación en la forma punto pendiente es

Figura 2 y

g(x) - f(a) =

f(b) - f(a) b _ a (x - a)

Esto, a su vez, da una fórmula para s(x):

s(x) = f(x) - g(x) = f(x) - f(a) (a,f(a))

Obsérvese de inmediato que s(b) = s(a) =

f(b) - f(a) b _ a (x - a)

°

s' ( x) = f' (x) _

y que, para x en (a, b),

f (b) - f (a ) b-a

x

Figura 3

La clave de una demostración

La clave de esta demostración es que e es el valor en el cual f'(c)

= f(b) - f(a) b -a

y s'(c) = O. Muchas demostraciones tienen una o dos ideas claves; si usted entiende la clave, comprenderá la demostración.

Ahora hacemos una observación crucial. Si supiésemos que hay un número e en (a, b) que satisface s'(c) = 0, estaría todo hecho. Pues entonces la última ecuación diría que o = f'(c) _ f(b) - f(a) b - a que es equivalente a la conclusión del teorema. Para ver que s'(c) = para algún e en (a, b), razónese como sigue. Es claro que s es continua en [a, b], ya que es la diferencia de dos funciones continuas. Así, por el Teorema de existencia de máximo y mínimo (Teorema 4.1A), s debe alcanzar sus valores máximo y mínimo en [a, b]. Si ambos valores se presentan en 0, entonces s(x) es idénticamente en [a, b], yen consecuencia s'(x) = para toda x en (a, b), mucho más de lo que necesitábamos. Si el valor máximo o el valor mínimo es diferente de 0, entonces ese valor se alcanza en un punto interior e, ya que s(a) = s(b) = O. Ahora s tiene derivada en cada punto de (a, b), de modo que, por el Teorema del punto crítico (Teorema 4.1B), s'(c) = O. Esto es todo lo que necesitábamos saber. •

°

°

°

200

CAPíTULO

4

Apl i(acianes de la derivada

Uso del Teorema En la sección 4.2, prometimos una demostración rigurosa del Teorema de monotonía (Teorema 4.2A). Éste es el teorema que relaciona el signo de la derivada de una función con el hecho de que la función sea creciente o decreciente. Demostración del Teorema de monotonía Supongamos que f es continua en 1 y que f'(x) > en cada punto interior de l. Considere cualesquiera dos puntos Xl y x 2 de 1, con Xl < x 2. Por el Teorema del valor medio aplicado al intervalo [Xl' X2], existe un número c en (Xl' X2) que satisface

°

Como f'(c) > 0, vemos que f(x 2) - f(Xl) > O; es decir, f(x 2) > f(x l ). Esto es lo que queremos decir cuando aseguramos que f es creciente en l. El caso en el que f'(x) <

F

°en 1, se maneja de manera análoga. •

Nuestro siguiente teorema se usará de manera repetida en el capítulo siguiente. En palabras, dice que dos funciones con la misma derivada difieren en una constante, posiblemente la constante cero (véase la figura 7).

G

Figura 7

Geometría y álgebra Como en la mayoría de los temas de este texto, usted debe intentar ver las cosas desde un punto de vista algebraico y uno geométrico. De manera geométrica, el Teorema B dice que si F y G tienen la misma derivada entonces la gráfica de G es una traslación vertical de la gráfica deF.

Demostración

Sea H(x) = F(x)-G(x). Entonces

H'(x) = F'(x) - G'(x) =

°

para toda X en (a, b). Selecciónese Xl' un punto fijo en (a, b) Ysea X cualquier otro punto allí. La función H satisface las hipótesis del Teorema del valor medio en el intervalo cerrado con puntos frontera Xl y x. Así que existe un número c entre Xl y X tal que

Pero, por hipótesis H'(c) = O. Por tanto, H(x)-H(XI) = 0, o de manera equivalente, H(x) = H(Xl) para toda X en (a, b). Como H(x) = F(x) - G(x), concluimos que F(x) - G(x) = H(xl).Ahora sea e = H(Xl)' y tenemos la conclusión F(x) = G(x) + C. •

Revisión de conceptos 1. El Teorema del valor medio dice que si f es en [a, b] Yderivable en entonces existe un punto e en (a, b) tal que 2. La función,f(x) = Isen xl satisface las hipótesis del Teorema del valor medio en el intervalo [0,1] pero no en el intervalo [-1,1] ya que _

3. Si dos funciones F y G tienen las misma derivada en el inter_ valo (a, b), entonces existe una constante e tal que 4. Como DxCx4 ) = 4x3 , se sigue que toda función F que satisfa_ ce F'(x) = 4x 3 tiene la forma F(x) =

204

CAPíTULO

Aplicaciones de la derivada

4

41. Una barda, de 8 pies de altura, es paralela a un muro de un edificio y a un pie del edificio, ¿Cuál es el tablón más corto que puede pasar por encima de la barda, desde el nivel del piso, para apuntalar el muro?

x3

(a) f(x)

= 3; I = [-3, 3J

(b) F(x)

= X 3/ 5

42. Una página de un libro contiene 27 pulgadas cuadradas de im-

(c) g (x)

= x _ 1 ; I = [2, 3 J

presión. Si los márgenes superior, inferior y de uno de los lados son de 2 pulgadas y el margen del otro lado es de 1 pulgada, ¿qué tamaño de página utilizaría la menor cantidad de papel?

46. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos de inflexión de la gráfica de

43. Un abrevadero metálico con extremos semicirculares iguales, sin cubierta superior debe tener una capacidad de 1287T pies cúbicos (véase la figura 1). Determine su radio r y longitud h, si el abrevadero debe requerir la menor cantidad de material para su construcción.

x

+ 1; I

=

[-l,lJ

+1

y = x4

-

6x 3

+

12x 2

-

3x

+1

47. Sea f una función continua con f(l) = -1/4, f(2) = OY f(3) = -1/4. Si la gráfica de y = f'(x) es como la que se muestra en la figura 2, haga un bosquejo de una posible gráfica de y = f(x). ¿Puede dar una representación analítica de f(x)? y 10

x

Figura 1

44. Encuentre el máximo y mínimo de la función definida en el intervalo cerrado [-2,2] por

f (x )

=

{Hx

2

+ 6x + 8), + 4x - 12,)

- 61( x 2

si -2 ::; x ::; O si O ::; x ::; 2

Determine en dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y en dónde es cóncava hacia abajo. Haga un bosquejo de la gráfica. 45. Para cada una de las funciones siguientes, decida si se puede aplicar el Teorema del valor medio en el intervalo, I, que se indica. Si es así, encuentre todos los valores posibles de e, si no, diga por qué. Haga un bosquejo.

Figura 2

48. Haga un bosquejo de la gráfica de una función G con todas las propiedades siguientes: (a) G(x) es continua y G"(x) > Opara toda x en (-00,0) U (0,00); (b) G( .L2) = G(2) = 3; (c)

lím G(x) X~-oo

lím G(x) ( d) r~O+

= 2, =

lím [G(x) - x] x~oo

lím_ G(x)

x~o

=

= O;

oo.

4.9 Problemas adicionales Las desigualdades son un tema muy importante en matemáticas. En algunos casos uno puede utilizar álgebra para demostrar tales desigualdades; en otros casos, el cálculo desempeña un papel muy importante. Exploraremos la demostración de un conjunto de desigualdades relacionadas con la media aritmética y la media geométrica. ~

1. La media aritmética de dos cantidades está dada por

(c) Para tres números positivos a, b y e, la media geométrica se define como (abe) 113 Yla desigualdad requerida está dada por (abe) 1/3

::;

a

+b +e

3 Ahora construimos una demostración de ésta utilizando cálculo. Considérese la función

a+b 2 y la media geométrica de dos cantidades positivas está dada por

Suponga que a >

°

v;;b

y b > O.

(a) Demuestre que la desigualdad siguiente es verdadera, elevando al cuadrado ambos lados de la expresión ~¡;

a+b vab::; - 2

(b) Establezca v;;b ::; (a + b) /2 para a y b positivas, utilizando el método de cálculo. Sugerencia: Elevando al cuadrado ambos la(a + b)2 dos y dividiendo entre b > Oda F(b) = 4b . Si podemos demostrar que F tiene su valor mínimo en a, ya acabamos.

por medio de cálculo, demuéstrese que el mínimo se presenta en b

=

a ; e y está dado por ( a ; b ) 2. Ahora, utilizando el resul-

tado de la parte (b), conclúyase que (abe) 1/3

::;

a

+b +e

3 2. Demuestre que de todas las cajas de tres dimensiones, con un área de su superficie dada, el cubo es la de mayor volumen. Sugerencia: El área de la superficie es S = 2(lw + lh + hw), y el volumen es V = lwh. Utilice el problema 1 para demostrar que (V 2 )1!3 :::; S/6. ¿Cuándo se cumple la igualdad?

'ii PRY!C1FØ DE TECNL1A 4.1 H

R

I

i

a

I

I

a

I

..

1

2 fIexiOn y r.LtrJ.ciL. ue U Iuz F

Ley

dereflex'.on La le' de reflexión

est ablece que .i rigulo de incidencia 9 a un haz de ii es igual al Iingulo di. reflexión 02; esto es, 0 = 02, 0 de man era equivai1ente, a = /3 (vdase La 1áS, Si Ia velocidad de fig ura 1). Adei11 Ia IL'zeneliC edio es constante, ent( rnces la tral ectoria de Ia reilexiOn di'.,sde un pun5to P a in nunto Q con-

x1 = x0

a ,'

'I punto de refi xiOn R. coil ciden en 11 con o en la h1 ura 1. Q

RI

I/)\

y = f(x) y de la aproximaciOn lineal a f(x) en x0.

= C?

E

I

jercicio 4

i) Utilice su aproximación a la raIz del polinomio de cuarto grado oh-

\

tenido en el ejercicio 2, como el valor x0 anterior y calcule la x1 mejo-

Q

Figura 2 GeometrIa de refracci II

iizaciOn del punto de reflexión ...r incluI; ye un poLinomio de cuarto grado:

-

U=

Figura 1

rada del ejercicio 3. Evalüe f(x0) y f(x1). (b') T epita el proceso anterior para

obiier ur x2 que sea una mejor . de - value f(x0), f(x1) y

- cflx3

.

Ejercicio 2 Demue ,tre aue, para los valores a = b = 1, i = 4, = 1 y c2 = 1/2, la ecuación anterur para Ia Inca-I

Ejeirciciol

ii os P v Dados riLospurt quc remos d eterniina 1 ubicacidn del puritc ' refle:dón ei Ii ii terfaz (diga-

desde mos- medi'ua hor1zondhijente untos). Con ii. en 1a figura 1 uno d. . - :gase o1ue los dos 0r unios etáu sesupOrr

op

para los w.n( ) del otrc p01' uria Jistancia 1, y que sus- c!isancias vertihot izontai = relJiectora son a cale s desdi -Ia intertaL., EU': a Ley de e tiramente. -'. -Utiiix y b, r.STC ret1ex n Euca deduci±runa exi ,resiór .. Verifipara x e,i tdrminos k que: Par ii = 50,b -=25 y L = I 50,lc respw 4a correcta P ara x es 100 1

-

1

.

L

ii.

2L(

± [L2(c - + 'b2 - ca2]x2 (2) '-2Lca2x L2c2

x

GeometrI de reflexioi

ir )gIa "de Ia te c:IL.)k Us,

1

ii de r fr ac nado co'i el ángulc - IOn )O medio de Ia ri'lari

sen 0 2 1

&Jfl

6

2CC

it para ayudar a unos buzos a reuliza -

ariarupturadeuntubo(véasela

-

IiLacIOn del nunto de efracción se reLI

duc a

I

F,s

+ SIx2 -

- 32--+6L = 0

h 1Ltima ecuaciul , e

realidad, tie-

r L)ibuje

Ia gráfica ciue nuestre las ubicaciones aroximauas de las dos r1aires. ii por qué c' solo Ufl a ne las (h ExpLiçue ralces es relevaiiie ) ara e.I probleL

LI

d hi' te puede acercarse a 20 pies del 1

L.

o, ,a qué ángulo debe apuntar el fare para iluminar la ruptura en el tuLUD

r k dos raIces reales.

a)

1i ;ura 3). La ruptura en el tubo seencuer 'tra 6 pies por debajo del nivel de Ia F rficie del agua, y el faro 5 pies 'adelasuperficiedelagua.Si r or

IL

na de efrac ión. C

- ri tr (c) EncueuLCe la .rafzi erievant, con 4nificativ ;, y explique dos cifras sig.. -1j' su i 'al :r oara x tiecómo sabe q. r)re'T:ir[. ne esa-----.-is. Ejercicio 3 Sup onga que qeri'mos encontrarli'n ct al que;J = C, v uue rrtna a te nernos un' x0 qi Consid re a x0 corno una aproximación in ru a Ia raIz -. Er Lon es podemos m eior'r 1uestr t iprc xiunaciOn inicia1x0p a cbtene un- a eior 'pro-

1

C

bu? F ara el aire, c1 = 1, y para el agua, C2 = 0. '7

Deduzca la ecuación (2). rencta Inicie con Ia ecuacion (1) y susti tuya las expresiones para sen 6 y sen Utilice un CAS para simplificar Ia expresiOn resultante. En Matemática pued e utilizar el comando Collect introdu 'iendo Collect[expresión. x] para Car potencias iguales de x. El coman'Jo Co lect de Maple funciona di' m 1nerasemejante. EjiE 'rci cio 6

-

I

- -

(1)

2

(véase Ia I igu - ra 2). AquI c1 y c-, son las veic rjuades respectivas de Ia luz, &C ba y d lebajo Cle I i interfaz. En c ontiaste al caso de la reflexión, en dond e i nunto de reflexión p u,..- ii' encont rarse d. .nanera explIcita, la locar 1

,'RfIexión jT j-1 5 'i boteconunfaro,se EIC.LJ

flI

-

..

-: Snc' eli-La h de r etracc 1011 1) Ley dira -IIia iey de Si. ll) establece inter.z cue sepal.ac do; ni.dios ci ángulo de incidenii 9 est a ri i c

f'(x)

en la misma ventana las gráficas de

L-x

-

h

f(x)

(c) Presente una gráfica que muestre

de dos sc'tnentos de recta que

SistI

) Demuestre que esta recta intersecta al eje x en el punto

(I

I. Pr paració n

5 pie-

ximaciOn.

(a) Encuentre La c:;i ia L,_ 6n ic Ia :ecta fllI a Ia g:afica rde que es tanC eute .

J

i

y = f(x) "t

)Ufl( ( x0, f(x0)). [En Ia secc iOn - 3',10, 1..e liamamos a . . ciidn iinea a f(x) ésta la rrnxjma 11.

LI

I

en x0.]

Figura 3

2Opies

PROYECTO DE TECNOLOGIA 4.2

__.J._.___. -- - -.-- ..

Un problema de optimización optimización Un

I

11. Uso USO de Ia la tecnologIa tecnología II.

l. Preparación I. Preparación

Ejercicio 2 La varilla descrita en ci el Con difícil Con frecuencia, frecuencia,la laparte partemás rnás difIcil Ejerciclo con respecto aplicados con respectoa aproblemas problemas aplicadosejercicio 1 tiene longitud máximos yy mInimos mínimos es es plantearplantearde máximos 66 66 los. Una usted encuentra encuentra Ia la los. Una vez que usted L=a+b=--++ cost COSI sen I sent función objetivo, funciOn objetivo, por por lo regular no no es es demasiado difícil determinar ci el ópópdemasiado difIcil 6sect + +6csct = 6sect 6cscl

La+b

timo. tlTIo.

Ejercicio Un pasillo pasillo de de 6 pies de anEjercicio 11 Un

vuelta en en ángulo ángulo recto. recto. cho tiene una vuelta ¿Cuál ,Cuá1 es es la Ia longitud longitud de la varilla más larga que puede transportarse transportarsealredealrededor de la la esquina, esquina, suponiendo suponiendoque queLa la varilla no puede inclinarse? La varilla más más larga larga tocará tocará apeapela esquina la vueita vuelta y nas Ia esquina interna interna de Ia las paredes exteriores exteriores del del pasilo. pasillo.EtiEtiquétese A, B, B, C, D y E coquetese los puntos A, en la la figura figura 1. 1. Sea tI Ia la medida del mo en LABD. ángulo ángulo LABD. (a) Demuestre que tI también también es es Ia la meDemuestre que dida dida de de LACE. (b) Utilice trigonometría trigonometrIa para determinar las longitudes longitudes aa yy b.

6 pies

Figura 11

Encuentre Ia la derivada iguálela derivada dLJdl, dL/dt, iguáiela resuélvala para para t.t. a cero y resuélvaia Ejercicio 3 Para ver si hemos encontrado un unmInimo mínimo0oUfl un máximo, máximo, grafIgrafítrado como iunción función de de 1.l. También quese L como evaluar Ia la segunda derivada derivada de de debe evaluar LL en el de t.l. El valor de tI ci valor óptimo optimo de que encontrO, encontró, Lproporciona ¿proporciona ia la varilia varilla más corta corla o la varilla varilla rnás más larga que ,nás puede transportarse airededor alrededor de de Ia la esquina? esquina? Explique. Expli~ue.Sugerencia: Sugerencia: Si tI es pero positiva, positiva, ,1a ¿la muy cercana a cero, pero varilla será más larga o más más corta? corta? varilla ¿Cabrá ,Cabrá alrededor airededor de la la esquina? esquina? ¿Qué ,Qué sucede si es cercana, pero un poco poco menor, a ir/4 11"/4(p. (p. ej., ej.,900)? 90°)? Ejercicio 4 Ahora, cámbiense las medcl pasillo. pasiilo. Supóngase Supongase que que un cocodidas del rredor rredor es de 6.2 pies de de ancho yy el ci otro otro de 8.6 pies la Ionlonpies de de ancho. Encuentre Encuentre Ia gitud de Ia la varilla varilla más más larga iarga que que puede dar ia la vueita vuelta en Ia la esquina.

105°

Figura 22

111. Ref Reflexión III. Iexión Ejercicio 6 Por üitimo. último, suponga que el una altura altura de de 9.7 9.7 pies, pies, ci techo tiene una los corredores forman un un ánguio ángulo rectoy to y que que ci el ancho ancho de de los los corredores corredores son 6.2 6.2 y 8.6 8.6 pies. pies. Suponiendo Suponiendo que que usted inclinar la la varilla, varilla, ¿cuál es La la puede inclinar cuá1 es longitud de la varilla varilla más larga que que longitud puede transportarse airededor alrededor de de Ia la esquina? Sugerencia: Sugerencia: Este esquina? Este no no es un probiema problema de cálcuio, cálculo, utilice su resrespuesta del del ejercicio ejercicio 4. 4.

Ejercicio problema, suEjercicio 5 Para este prohiema, los corredores corredores no forman póngase que los forman un un un un ángulo anguio recto, recto,sino sinoque qu forman ngulo de 105°, como como se se muestra muestra en Ia ángulo la figura 2. 2. Ambos Ambos corredores corredores con 6 pies figura de ancho. ancho. Nuevamente, Nuevamente, encuentre encuentre la la varilia varilla más larga que longitud longitud de Ia puede dar la vuelta en Ia la esquina.

207

Riemarin recibiO de su

padre, un ministro protestante Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826-1866

alemán, su primera educaciOn. Bernhard

Cuando fue al colegio, en 1846, iba a

estudiar filologIa y teologla. Por fortuna para las matemáticas, escogió

Ia universidad de Gottinga, que entonces era el centro del mundo de los matemáticos y que lo seguirIa siendo por más de 100 años. Bajo Ia

influencia de W. E. Weber, un fisico de primer orden, y de Karl F. Gauss, el

más grande matemático de esa epoca. No pudo haber deseado mejores maestros. En 1851, recibiO su

...yhoyendIa

doctorado en filosofla de manos de

Utilizando las ideas descritas al fi-

Gauss, después de lo cual se dedicó a

nal de Ia secciOn 5.2, los matemáticos calculan Ia velocidad exacta que debe alcanzarse para colocar un satélite en una Orbita alrededor de Ia Tierra.

Ia enseñanza en Gottinga. MuriO de tuberculosis 1 5 años más tarde.

La vida de Riemann fue corta, sOlo

de 39 años.No tuvo tiempo de producir el volumen de matemáticas de un Cauchy o de un Euler, pero su trabajo es impresionante por su calidad y profundidad. Sus manuscritos de matemáticas abren nuevas direcciones en Ia teorla de las

funciones complejas, inician el estudio profundo de lo que hoy se llama topologla y emprende en geometrIa un desarrollo que iba a culminar 50 años más tarde con Ia teorla de Ia relatividad de Einstein. Asociamos a Riemann con este capItulo debido a que,

aunque tanto Newton como Leibniz dieron una versiOn de Ia integral y conocieron el teorema fundamental del cálculo integral, fue éI quien nos proporcionO Ia definiciOn

moderna de integral definida. En su honor se llama integral de Riemann.

208

La integral 5.1

5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Antiderivadas (integrales indefinidas) IntroducciOn a ecuaciones diferenciales Sumas y notaciones sigma IntroducciOn al area

La integral definida El primer teorema fundamental del cálculo El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales EvaluaciOn de integrales definidas 5.8 Revision del capItulo 5.9 5.10 Problemas adicionales Proyecto de tecnologIa 5.1 Sumas de Riemann Proyecto de tecnologIa 5.2 Funciones de acumulación

5.1

Antiderivadas (integrales indefinidas)

La mayorIa de las operaciones matemáticas con que trabajamos vienen en pares de inversas: suma y resta, multiplicación y division, elevaciOn a potencias y extracción de raIces. En cada caso, la segunda operación deshace la primera y viceversa. Una razón para nuestro interés en las operaciones inversas es su utilidad en La resolución de eduaciones. Por ejemplo, la resolución de x3 8 implica el uso de extraer raIces. En los ültimos dos capItuLos, hemos estudiado derivación. Si queremos resolver ecuaciones que incluyan derivadas necesitaremos su inversa, denominada antiderivación o integración.

Definición Llamamos a F una antiderivada de f en el intervaLo I si DF(x) f(x) en I, esto es, Si F'(x) = f(x) para toda x en I. (Si x es un punto frontera de I, F'(x) sOlo necesita tener derivada unilateral.) En nuestra definición, utilizamos una antiderivada, en lugar de la antiderivada. Pronto vera por qué. EJEMPLO 1

Encuentre una antiderivada de la funciOn f(x) = 4x3 en (oc, oc).

Solución Buscamos una funciOn F que satisfaga F'(x) = 4x3 para toda x real. De nuestra experiencia con derivación, sabemos que F(x) = x4 es una de tales funciones. U

En cada caso

Figura 1

Un momento de reflexión sugerirá otras soluciones para el ejemplo 1. La función F(x) = x4 + 6 también satisface F'(x) = 4x3; tamhién es una antiderivada de f(x) = 4x3. Dc hecho, F(x) = x4 + C, donde C es cualquier conStante, es una antiderivada de 4x3 en (oc, oc) (véase la figura 1).

209

21 O

CAPíTULO

5

La integral

Ahora planteamos una pregunta importante. ¿Toda derivada de ¡(x) = 4x 3 es de la forma F(x) = x 4 + C? La respuesta es sí. Esto se deduce del Teorema 4.7B, que dice que si dos funciones tienen la misma derivada, deben diferir en una constante. Ésta es nuestra conclusión. Si una función ¡ tiene una antiderivada, tendrá una familia de ellas, y cada miembro de esta familia puede obtenerse de uno de ellos sumando una constante adecuada. A esta familia de funciones le llamamos la antiderivada general de f. Después de acostumbrarnos a esta noción, con frecuencia omitiremos el adjetivo general.

EJEMPLO 2 Encuentre la antiderivada general de ¡(x)

= x 2 en (-00,00).

Solución La función F(x) = x3 no funcionará ya que su derivada es 3x 2 • Pero esto sugiere F(x) = ~X3, la cual satisface F'(x) = ~ . 3x 2 = x 2• Sin embargo, la antideri• vada general es ~ x 3 + c.

Notación para las antiderivadas Como utilizamos el símbolo Dx para la operación de tomar la derivada, sería natural utilizar A x para la operación de encontrar la antiderivada. Así, Ésta es la notación empleada por varios autores y, de hecho, fue usada en ediciones anteriores de este texto. Sin embargo, la notación original de Leibniz continúa gozando de una popularidad aplastante, y por tanto decidimos seguirla. En lugar de A x ' Leibniz utilizó el símbolo dx. Él escribió

J...

j x' dx = ~ x 3

+C

x4

+C

y

j 4x 3 dx

=

Pospondremos, hasta más adelante, la explicación del por qué Leibniz eligió utilizar la s alargada, s, y la dx. Por el momento, basta con considerar a dx como indicación de la antiderivada con respecto a x, al igual que D x indica la derivada con respecto a x. Obsérvese que

J

J...

Dxjf(X)dX=f(X)

Demostración

jDx!(X)dX=f(X)+C

y

Para establecer cualquier resultado de la forma

j f(x) dx

= F(x) + C

todo lo que tenemos que hacer es demostrar que

DA F(x) En este caso, xr+l

D [ - - +C x r-+ 1

]

+ c]

=

f(x)

1 =--(r + l)x r =x r r +1

•

Hacemos dos comentarios con relación al Teorema A. Primero, el teorema incluye al caso r = O; es decir,

SECCIÓN

5.1

Antiderivadas (integrales indefinidas)

211

Segundo, puesto que no se especificó ningún intervalo, la conclusión se entiende que será válida sólo en intervalos en los que x r esté definida. En particular, debemos excluir cualquier intervalo que contenga al origen si r < O. Siguiendo a Leibniz, a veces usaremos el término integral indefinida en lugar de antiderivada. Cabe indicar que antiderivar equivale a integrar. En el símbolo J f(x) dx, se denomina signo de integral y f(x) se llama integrando. Así, integramos el integrando y de este modo evaluamos la integral indefinida. Tal vez Leibniz utilizó el adjetivo indefinida para sugerir que la integral indefinida siempre incluye una constante arbitraria.

J

EJEMPLO 3

Encuentre la antiderivada general de f(x) =

43 X / •

Solución X7/3

J

4 3 X /

•

7 3 + e = ª-X / + e 7

dx = - 7

3

Obsérvese que para integrar una potencia de x aumentamos el exponente en 1 y dividimos entre el nuevo exponente.

Demostración Simplemente obsérvese que DA-cos x) = sen x y DAsen x) = cos x.

La integral indefinida es lineal

•

Recuérdese del capítulo 3 que D x es un ope-

rador lineal. Esto significa dos cosas. 1. DA kf(x)] = kDxf(x) 2. DAf(x) + g(x)] = Dxf(x) + Dxg(x) De estas dos propiedades, de manera automática se deduce una tercera.

3. DAf(x) - g(x)] = Dxf(x) - Dxg(x) Resulta que

J... dx también tiene estas propiedades de un operador lineal.

Demostración Para demostrar (i) y (ii), basta con derivar el lado derecho y observar que obtenemos el integrando del lado izquierdo. Dx [ k J f(x) dx ] Dl[ f(x)dx

+

J g(X)dX]

= kDxJ

f(x) dx

= kf(x)

= DxJ f(x)dx + Dx J = f(x)

g(x)dx

+ g(x)

.La propiedad (iii) se deduce de (i) y (ii). •

EJEMPLO 4

Utilizando la linealidad de

(a) J(3x 2 + 4x)dx

(b)

J, evalúe

f(U 3/2 - 3u + 14)du

(c) J(1/t 2 + Vi)dt

212

CAPíTULO

5

La integral

Solución

j(3x2 + 4x)dx = j 3x 2 dx + j 4x dx

(a)

=3 jx 2 dX +4jXdX

= x 3 + 2x

2

= x 3 + 2x 2

+ (3Cl + 4C2 ) +C

Aparecieron dos constantes arbitrarias C l y C 2, pero se combinaron en una constante, C, una práctica que seguiremos de manera consistente. (b) Obsérvese el uso de la variable u en lugar de x. Esto está bien, mientras que el correspondiente símbolo de la diferencial sea du, entonces como tenemos un cambio completo en la notación

j

3 2 (U / -

3 2 U /

3u + 14)du = j

= ~ U 5/ 2

(c)

j

(~ + \Ít) dt =

du ~ u2

-

3j

+

u du + 14 j

14u

1 du

+C

j (r 2 + t' /2 )dt = jr2 dt + jt'/2 dt el

1

(3/2

+-

=-

-1

2

+C = - - +-

~

(3

(3/2

•

+C

Regla generalizada de la potencia

Recuérdese la regla de la cadena como

se aplicó a una potencia de una función. Si u número racional (r ::j; -1), entonces

= g(x) es una función derivable y r es un

U,+l ]

Dx [ r

+1

= u' . D x u

o, en notación de funciones,

De esto, obtenemos una regla importante para integrales indefinidas.

Para aplicar el Teorema D, debemos ser capaces de reconocer las funciones g y g' en el integrando.

EJEMPLO 5 Evalúe (a) J(x 4 + 3x)30(4x 3 + 3)dx y (b) J senlO x cos x dx. Solución (a) Sea g(x) = x4 + 3x; entonces g'(x) = 4x3 + 3. Así, por el Teorema D,

j(

x 4 + 3x )30( 4x 3 + 3 ) dx

=

j[ g(x) J30 g'(x) dx (x 4 + 3X)3l 31

+C

l

[g(x)Y = 31

+C

SECCIÓN

(b) Sea g(x)

5.1

Antiderivadas (integrales indefinidas)

213

= sen x, entonces g/ex) = cos x. Por tanto,

j

10

sen x cos x dx =

j[

g(x)

JlO

g/(x) dx =

[g(X)J11 11 +C

• El ejemplo 5 muestra por qué Leibniz usó la diferencial dx en su notación J ... dx. Si hacemos u = g(x), entonces du = g/(x)dx. Por tanto, la conclusión del Teorema D es

j

u,+!

u'du = - - +C

r

+1

r *"-1

'

que es la regla común para la potencia con u como variable. Así, la regla generalizada para la potencia es sólo la regla común para la potencia aplicada a funciones. Pero, al aplicarla, siempre debemos estar seguros de que tenemos du para ir con u'. Los ejemplos siguientes ilustran lo que queremos decir. EJEMPLO 6

(c)

Evalúe

+ 6x)\6x 2 + 2 J(x 2/2 + 3?x dx.

(a) J(x

3

12)dx

Solución (a) Seau = x 3 + 6x;entoncesdu = (3x 2 + 6)dx.Así, (6x 2 + 12)dx = 2(3x2 + 6)dx = 2 du, y entonces

j (x 3 + 6x)'(6x 2 + 12)dx = j u5 2du

= 2 j u' du =

2[ ~6 + e]

u6 =-+2C 3

(x 3 + 6X)6 3

+K

Deben notarse dos cosas con respecto a nuestra solución. Primero, el hecho de que (6x 2 + 12) dx es 2du en lugar de du, no causa problema; por la linealidad de la integral, el factor :2 pudo colocarse al frente del signo de la integral. Segundo, terminamos con una constante arbitraria 2C. También ésta es una constante arbitraria; llamémosle K. (b) Sea u = x 2 + 4; entonces du = 2x dx. Así,

j(x2 + 4) lO x dx = j(x2 + 4)10. ~. 2x dx

= ~j ulO du 11

=

~ (u + 2

11

c)

(x 2 + 4)11 22

+K

(c) Sea u = x 2/2 + 3; entonces du = x dx. El método ilustrado en las partes (a) y (b) falla, ya que x 2 dx = x(x dx) = x du, y la x no puede pasarse al frente del signo de

214

La integral

5

CAPíTULO

la integral. (Sólo puede hacerse con un factor constante.) Sin embargo, podemos desarrollar el integrando por medio del álgebra común y después utilizar la regla para la potencia.

1(~2 +

1(:4 + = 1(:6 +

2

3)' x dx =

x7

=-

28

3x2

+ 9 )x2 dx

3x·

+ 9x2 )

3x 5

+5

+3x3

dx

•

+C

Revisión de conceptos 1. La regla de la potencia para derivadas dice que d(xr)ldx = La regla de la potencia para integrales dice que x r dx =

J

_ _ _o

ra integrales dice que J r :f:--l.

3. J(x 4 2. La regla generalizada de la potencia para derivadas dice que d[¡ (x) y / dx = . La regla generalizada de la potencia pa-

dx

=

[¡(x)y+l/(r + 1) + e,

+ 3x 2 + 1t(4x 3 + 6x)dx =

4. Porlinealidad, J[ clf(x)

_

+ C2g(X)] dx =

_

Conjunto de problemas 5.1 Encuentre la antiderivada general F (x) + C para cada una de las funciones siguientes. 1. f(x) = 5

3. f(x) = x 2 +

7T

X5 / 4

5. f(x)

=

7. f(x)

= l/V?

9. f(x) =

11. f(x)

=

2. f(x) = x - 4 4. f(x) = 3x 2 + 6. f(x)

x3

-

3X2/3

=

8. f(x) = 7X- 3 / 4

x2 - x 4x5

v!3

10. f(x)

=

12. f(x)

=

3x2 - 7TX x lOO + X99

= 27x + 3x - 45x + V2x 14. f(x) = X2(X 3 + 5x 2 - 3x + v!3) 7

13. f(x)

5

3

Vh

2

15. f(x) = x 2 - x 3 17. f(x) =

16. f(x) = -x-

+ 3x 4

4x 6

3

3

X

18. f(x) =

3

+ x5

6 --3-

x

x

30. J (5x 2 + 1)Y5x 3

20. J (x

+ 1)2 dx

22. J (z

21. J (x

(Z2

23.

J

+ II

vz

dz

24.

25. J (senfJ - cos fJ) dfJ

3

32. J

33. J"(x) = 3x + 1

34. f"(x) = -2x + 3

3y dy Y2 y 2 + 5 En los problemas del 33 al 38 se da f"(x). Encuentre f(x) antiderivando dos veces. Obsérvese que en este caso su respuesta debe incluir dos constantes arbitrarias, una proveniente de cada antiderivación. Por ejemplo,sif"(x) = x,entoncesf'(x) = x2/2 + Clyf(x) = x3 /6 + C 1x + C2. Las constantes C l y C 2 no pueden combinarse ya que Cl no es una constante. 35. f"(x)

= \IX

36. f"(x) =

37. f"(x)

+ -1 = -x - 3

38. f"(x) =2Vx+1

X

39. Demuestre la fórmula

J

[¡(x)g'(x)

+ V2Z)2 dz

Jses +

~

1)2

ds

26. J (t 2 - 2 cos t) dt

En los problemas del 27 al 32, utilice los métodos de los ejemplos 5 y 6 para evaluar las integrales indefinidas. 27. J (V2x

+ 1)3 V2 dx

29. J (5x 2 + 1 )(5x 3

+ 3x

28. J (7TX

- 8)6 dx

3

+ 1t37Tx2 dx

4 3 X /

4

X

+ \IX)dx

- 2 dx

31. J3t V2t 2 - 11 dt

En los problemas del 19 al 25, evalúe las integrales que se indican. 19. J (x 2 + x)dx

+ 3x

+ g(x)f'(x)] dx = f(x)g(x) + e

Sugerencia: Véase el primer enunciado en la demostración del TeoremaA. 40. Demuestre la fórmula

g(x)f'(x) - f(x)g'(x) - - - - - - - - dx g2(X) J

f(x)

= -- + e g(x)

41. Utilice la fórmula del problema 39 para encontrar

42. Utilice la fórmula del problema 39 para encontrar

J[

-X3

(2x

+ 5)3/2 +

] 3x 2 Y2x + 5 dx

43. Encuentre Jf"(x)dx si f(x)

= x~.

SECCiÓN

2g(x)f'(x) - f(x)g'(x) _ ,

2[g(x)]

Introducción a ecuaciones diferenciales

215

rn 49.

44. Demuestre la fórmula

!

5.2

3/2

-

Algunos paquetes de software pueden evaluar integrales indefinidas. Utilice su software en cada una de las integrales siguientes.

~

~ ~ +C

vg(x)

(a) !6sen(3(X -2))dx

(b) !sen3 (x/6)dX

45. Demuestre la fórmula

!

fm-l(x)gn-l(x)[ nf(x)g'(x)

~

fm(x)gn(x)

+c

+ 1t] cos [(x 2 + 1t](x 2 + 1)3 x dx

Sugerencia: Sea u = sen (X Z + 1 47. Encuentre! Ixl dx.

[illQ~ SO. SeaFo(x) =

xsenxy Fn+1(x) =

Respuestas a la revisión de conceptos: 48. Encuentre ! sen2 x dx.

5.2

Fn(x) dx.

F 16 (X).

t

Introducción a ecuaciones diferencia les

!

(a) Determine F 1(x), Fz(x), F3(x) y F4(x). (b) Con base en la parte (a), haga una conjetura sobre la forma de

46. Encuentre la integral indefinida ! sen3 [(x 2

+ xsen 2x) dx

(c) ! (x 2 cos 2x

+ mg(x)f'(x)] dx

1. r x r - 1; x r + 1/ (r

+ 1) + C,

r =1= -1 2. r[J(x)]'-l f'(x); [f(x)]'f'(x) 3. (x 4 + 3x z + 1t/9 + C 4. c1Jf(x)dx + czJg(x)dx

En la sección anterior, nuestra tarea fue integrar (antiderivar) una función f para obtener una nueva función F. Escribimos

J

= F(x) + e

f(x)dx

y,por definición,esto fue correcto siempre y cuando F'(x) = f(x).Ahora F'(x) = f(x) en el lenguaje de derivadas es equivalente a dF(x) = f(x)dx en el lenguaje de diferenciales (véase la sección 3.10). Por tanto, podemos interpretar la fórmula del recuadro como

J

dF(x)

= F(x) + e

Desde esta perspectiva, integramos la diferencial de una función para obtener la función (más una constante). Éste fue el punto de vista de Leibniz; adoptándolo nos ayudará a resolver ecuaciones diferenciales.

¿Qué es una ecuación diferencial?

Para motivar nuestra respuesta, empeza-

mos con un ejemplo sencillo.

EJEMPLO 1 Encuentre una ecuación, en x y y, de la curva que pasa por el punto (-1,2) Ycuya pendiente en cualquier punto de la curva es igual a dos veces la abscisa (coordenada x) de ese punto. Solución

La condición que debe cumplirse en cada punto (x, y) de la curva es

dy -=2x dx Estamos buscando una función y = f(x) que satisfaga esta ecuación y con la condición adicional de que y = 2 cuando x = -1. Sugerimos dos formas de ver este problema.

Método 1 Cuando una ecuación tiene la forma dy jdx = g(x), observamos que y debe ser una antiderivada de g(x); esto es, y En nuestro caso,

=

J

g(x)dx

216

CAPíTULO

5

La integral

y=x 2 +C y

C=2, 1, O, -1, -2

\ I I //

Método 2 Considérese a dy jdx como un cociente de dos diferenciales. Cuando multiplicamos ambos lados de dy jdx = 2x por dx, obtenemos

dy

= 2x dx

Ahora, integramos las diferenciales de ambos lados, igualamos los resultados y simplificamos

j dy j2XdX =

y

+ Cl

= x2

y = x

2

y = x2

x

+ C2 + C2

-

Cl

+C

El segundo método funciona en una gran variedad de problemas que no están en la sencilla forma dy jdx = g(x), como veremos. La solución y = x 2 + C representa la familia de curvas ilustrada en la figura 1. De esta familia, debemos seleccionar aquella para la que y = 2 cuando x = -1; por tanto, queremos que Figura 1

2

= (-1)2 +

C

•

Concluimos que C = 1 Ypor tanto que y = x 2 + 1.

Las ecuaciones dy jdx = 2x y dy = 2x dx se denominan ecuaciones diferenciales. Otros ejemplos son dy dx = 2xy + sen x

ydy=(x 3 +1)dx d2 y dx 2

dy

+ 3 dx

- 2xy = O

Cualquier ecuación en la que la incógnita sea una función y que incluya derivadas (o diferenciales) de esta función desconocida se denomina ecuación diferencial. Cuando una función se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación diferencial. Por tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida. En general, ésta es una tarea difícil y sobre la que se han escrito muchos y extensos libros. Aquí sólo consideraremos el tipo más sencillo, las ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables. Éstas son ecuaciones que incluyen sólo a la primera derivada de la función desconocida y son tales que las variables pueden separarse, una en cada lado de la ecuación.

Separación de variables

Considere la ecuación diferencial dy x + 3x 2

dx

y2

Si multiplicamos ambos lados por idx, obtenemos y2 dy = (x + 3x 2) dx En esta forma, la ecuación diferencial tiene separadas sus variables; es decir, los términos que incluyen a y están en un lado de la ecuación y los de x en el otro. En forma separada, podemos resolver la ecuación diferencial utilizando el método 2 (integrar ambos lados, igualar los resultados y simplificar), como lo ilustramos ahora. EJEMPLO 2

Resuelva la ecuación diferencial

dy x + 3x 2 dx y2 Después encuentre aquella solución para la cual y = 6 y x

= O.

SECCIÓN

Solución

5.2

Introducción a ecuaciones diferenciales

217

Como se observó anteriormente, la ecuación dada es equivalente a

dY = (x

y2

+

3x 2 ) dx

ASÍ,

j y2 dy = j(x + 3x 2)dx x2

y3

3 + Cl y3

2 + x 3 + C2

=

3x 2 + 3x 3 2 3x 2 = - +3x 3 2 = -

+ (3C 2

-

3C1 )

+C

Para encontrar la constante C, utilizamos la condición y = 6 cuando x = O. Esto da

6=* 216 =C Por tanto,

Para verificar nuestro trabajo podemos sustituir este resultado en ambos lados de la ecuación diferencial original para ver que dé una igualdad. También debemos verificar que y = 6 cuando x = O. Al sustituir en el lado izquierdo, obtenemos

dy 1 dx = 3

(3X 2 )-2/3 2 + 3x + 216 (3x + 9x 3

x

(~X2

2 )

+ 3x 2

+ 3x 3 + 216)2/3

En el lado derecho, obtenemos

x

+ 3x 2 y2

x (~X2

+ 3x 2

+ 3x 3 + 216)2/3

Como se esperaba, las dos expresiones son iguales. Cuando x = O, tenemos

1/3 . 2+ 3 • 03 + 216 = V2i6 = 6

0 Y = ~-2-

ASÍ, Y = 6 cuando x = O, como esperábamos.

•

Problemas sobre movimiento Recuérdese que si s(t), v(t) y a(t) representan la posición, velocidad y aceleración, respectivamente, en el instante t de un objeto que se mueve a lo largo de un eje coordenado, entonces ds v(t) = s'(t) = dt dv d 2s a(t) = v'(t) = - = -2 dt dt En algún trabajo previo (véase la sección 3.7), supusimos que s(t) era conocida, ya partir de esto calculamos v(t) y a(t). Ahora queremos considerar el proceso inverso; dada la aceleración a(t), encuéntrese la velocidad v(t) y la posición s(t).

218

CAPíTULO

5

La integral

EJEMPLO 3 Problema de un cuerpo que cae Cerca de la superficie de la Tierra, la aceleración a la que cae un objeto, debido a la gravedad es 32 pies por segundo por segundo, siempre y cuando la resistencia se pueda despreciar. Si un objeto se lanza directamente hacia arriba desde una altura inicial de 1000 pies (véase la figura 2) con una velocidad de 50 pies por segundo, encuentre su velocidad y altura 4 segundos después.

Figura 2

Solución Supongamos que la altura s se considera positiva hacia arriba. Entonces v = ds Idt inicialmente es positiva (s está aumentando), pero a = dv Idt es negativa. (La fuerza debida a la gravedad es hacia abajo, por lo que v disminuye.) De aquí que, iniciamos nuestro análisis con la ecuación diferencial dv Idt = -32, con las condiciones adicionales de que v = 50 Y s = 1000 cuando t = O. Cualquiera de los métodos, el1 (antiderivación directa) o el2 (separación de variables), funcionan bien. dv -=-32 dt

J

-32 dI

v =

Como v = 50 en t = O, encontramos que

e

=

-321

+e

= 50, Y así

I v = -32t + 50 I Ahora, v = dsldt, por lo que tenemos otra ecuación diferencial

ds = -32t dt

-

+ 50

Cuando integramos, obtenemos

s

=

J

(-321

= -16t 2

+ 50) dI

+ 50t +

K

Ya que s = 1000 en t = O, K = 1000 Y

I s = -16t2 + 50t + 1000 I Por último, en t = 4,

v = - 32( 4) + 50 = -78 pies por segundo s

= -16(4)2 + 50(4) + 1000 = 944 pies

•

Hacemos notar que si v = va y s = So en t = O, el procedimiento del ejemplo 3 lleva a las conocidas fórmulas de caída de un cuerpo: a = -32 v s

= -32t + 2

va

= -16t + vot +

So

EJEMPLO 4 La aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de un eje coordenado está dada por a(t) = (2t + 3)-3 en metros por segundo por segundo. Si la velocidad en t = Oes 4 metros por segundo, encuentre la velocidad 2 segundos más tarde.

Solución Empezamos con la ecuación diferencial de la primer línea, de las ecuaciones que se muestran a continuación. Para realizar la integración en la segunda línea, multiplicamos y dividimos entre 2, así preparamos la integral para la regla generalizada para la potencia.

IntroducciOn a ecuaciones diferenciales 219

SECCION 5.2

= (2t +

3)_3

=f(2t +3)32dt

= f(2t +3)3dt i(2t+3Y2

2

2

Desde v =

4

en t =

4(2t + 3)2

0,

4= que da C =

4(3)2

+C

AsI, V

En t =

+c

1

=

4(2t +

3)2

+145 36

2,

v=

1

+

4(49)

145

4.023 metros por segundo

36

U

S

EJEMPLO 5 (opcional) Velocidad de escape La atracción gravitacional F ejercida por la Tierra sobre un objeto de masa m a una distancia s del centro de la Tierra está dado por F = mgR2/s2, donde g (g 32 pies por segundo por segundo) es La aceleraciOn debida a La gravedad en La superficie de la Tierra y R (R 3960 miLLas) es el radio de la Tierra (véase La figura 3). Demuestre que un objeto Lanzado hacia arriba desde La Tierra, con una veLocidad \/2gR 6.93 millas por segundo no regresará a la Tierra. En estos cáLcuinicial v0 los no tome en cuenta la resistencia del aire.

Solución

De acuerdo con La Segunda Ley de Newton, F = ma; es decir,

=m Fm m dvds dsdt dv cit

dv v ds

AsI,

my

dv = ds

mg R2 S

2

Separando variables se obtiene v dv =

fv dv v2

gR2s2 ds

= _gR2f s2 ds =

2

R2 S

Ahora v = v0 cuando s= R, y de este modo C = v - gR. En consecuencia, 2gR2

+v-2gR

Por tiltimo, ya que 2gR2/s se hace pequeflo conforme s aumenta, vemos que v permanece positiva Si, y solo si v0 \/2gR.

220

CAPíTULO

5

La integral

Revisión de conceptos

y3, el pri-

4. Para resolver un problema de un cuerpo que cae cerca de la superficie de la Tierra, iniciamos con el hecho experimental de que la aceleración debida a la gravedad es -32 pies por segundo por segundo; es decir, a = dv /dt = -32. Al resolver esta ecuación diferencial se obtiene v = ds /dt = ,y al resolver la ecuación diferencial re_ sultante se obtiene s =

En los problemas del 1 al 4, demuestre que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial que se da; es decir, sustituya la función que se indica por y para ver que produzca una igualdad. y 1. dd -~ =O;y = ~

En los problemas del17 al 20, un objeto se mueve a lo largo de una recta, sujeto a la aceleración, a (en centímetros por segundo por segundo), que se indica, con la velocidad inicial Vo (en centímetros por segundo) y la distancia dirigida So (en centímetros). Encuentre la velocidad v y la distancia dirigida s, después de 2 segundos, (véase el ejemplo 4).

1. dy /dx = 3x 2 + 1 y dy /dx _ llama una la

= xli son ejemplos de lo que se

2. Resolver la ecuación diferencial dy/dx = g(x, y) es encontrar que, cuando se sustituya por y, proporcione una igualdad.

3. Para resolver la ecuación diferencial dy /dx = mer paso sería _

X

2

Conjunto de problemas 5.2

Y

x

dy 2. -x dx

d2 y 3. dx 2 + y

4.

(~~

17. a = t; V o = 3, So = O 18. a = (1 + t)-4; Vo = O, So = 10

+ y = O; Y = ex

r

O; Y

=

=

C 1 sen x

+ C 2 cos x

+ i = 1; y = sen (x + C) y y = ±1

En los problemas del 5 al 14, primero encuentre la solución general (que incluya una constante C) para la ecuación diferencial dada. Después encuentre la solución particular que satisfaga la condición que se indica. (Véase el ejemplo 2.) 5 dy • dx

= x 2 + 1· y = 1 en x = 1

6 dy • dx

= x-3 + 2· y = 3 en x = 1

dy 7. dx

= y; Y = 1 en x = 1

8.

~~

'

x

-fy;

dz 2 9. dt = t Z2; 10.

dy

dt = y4; Y

= 1/3 en t = 1

ds 11 • dt

= 16t 2 + 4t - l' s = 100 en t = O

12 du • dt

= U 3(t 3

dy 13. dx

= (2x + 1)4; Y = 6 en x = O

y 14. d dx

'

=

21. U na pelota se lanza hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de 96 pies por segundo. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? (Véase el ejemplo 3.) 22. Se lanza una pelota hacia arriba desde la superficie de un planeta en donde la aceleración debida a la gravedad es k (una constante negativa) pies por segundo por segundo. Si la velocidad inicial es v o, demuestre que la altura máxima es -V6/2k.

+ 2 )4 ; y =

25. La tasa de cambio del volumen V de una bola de nieve que se derrite es proporcional al área de su superficie S; es decir, dV /dt = -kS, donde k es una constante positiva. Si el radio de la bola en t = O es r = 2 Yen t = 10 es r = 0.5, demuestre que r = -tat + 2. 26. ¿Desde qué altura sobre la superficie de la Tierra debe dejarse caer una pelota para que llegue al suelo con una velocidad de -136 pies por segundo?

W 27.

t)· U = 4 en t = O '

-i X (x 2

23. En la superficie de la luna, la aceleración debida a la gravedad es -5.28 pies por segundo por segundo. Si un objeto se lanza hacia arriba desde una altura inicial de 1000 pies con una velocidad de 56 pies por segundo, encuentre su velocidad y su altura 4.5 segundos más tarde. 24. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el objeto del problema23?

= 1 en t = O

-

= V2t + 1; Vo = O, So = 10

W

y = 4 en x = 1 Z

a

a = (3t + 1)-3; V o = 4, So = O

W '

=

W 19. W 20.

1 en x = O

15. Encuentre la ecuación, en x y y, de la curva que pasa por (1,2) cuya pendiente en cualquier punto es tres veces su abscisa (véase el ejemplo 1).

16. Encuentre la ecuación, en x y y, de la curva que pasa por (1,2) cuya pendiente en cualquier punto es el triple del cuadrado de su ordenada (coordenada y).

Determine la velocidad de escape para un objeto lanzado desde cada uno de los siguientes cuerpos celestes (véase el ejemplo 5). Aquí g "'" 32 pies por segundo por segundo.

Luna Venus

Júpiter Sol

Aceleración debida a la gravedad

Radio (millas)

-0.165g -0.85g -2.6g -28g

1,080 3,800 43,000 432,000

28. Si los frenos de un automóvil, cuando se aplican por completo, producen una desaceleración constante de 11 pies por segundo por segundo, ¿cuál es la distancia más corta en la que pueden aplicarse los frenos hasta detenerse, desde una velocidad de 60 millas por hora?

SECCIÓN 5.3 29. ¿Qué aceleración constante causará que un automóvil aumente su velocidad desde 45 a 60 millas por hora en 10 segundos?

30. Un bloque se desliza hacia abajo en un plano inclinado con una aceleración de 8 pies por segundo por segundo. Si el plano inclinado tiene una longitud de 75 pies y el bloque llega a la parte inferior en 3.75 segundos, ¿cuál fue la velocidad inicial del bloque?

Sumas y notaciones sigma

221

(b) Resuelva la ecuación diferencial. (c) Encuentre el volumen del agua después de 10 segundos.

ITJ

36. La población de lobos P en cierto estado ha crecido a una tasa proporcional a la raíz cúbica del tamaño de la población. En 1980 la población se estimó en 1000 Y en 1990 en 1700.

31. Cierto cohete disparado directamente hacia arriba tiene una aceleración de 6t metros por segundo por segundo durante los primeros

(a) Escriba la ecuación diferencial para P en el instante t con las dos condiciones correspondientes.

10 segundos después del despegue, a partir de los cuales el motor se detiene y el cohete sólo está sujeto a la aceleración debida a la gravedad de -10 metros por segundo por segundo. ¿A qué altura llegará el cohete?

(b) Resuelva la ecuación diferencial. (c) ¿Cuándo la población de lobos llegará a 4000?

32. Iniciando en la estación A, un tren acelera a 3 metros por se-

37. En t = O, una pelota se deja caer desde una altura de 16 pies. Si pega con el piso y rebota a una altura de 9 pies (véase la figura 4).

gundo por segundo durante 8 segundos, después viaja a velocidad constante V m durante 100 segundos, y finalmente frena (desacelera) a 4 metros por segundo por segundo, para hacer una parada en la estación B. Encuentre (a) v m y (b) la distancia entre A y B.

(a) Encuentre una fórmula de dos partes para la velocidad v(t) que sea válida hasta que la pelota choque con el piso por segunda ocasión.

33. Partiendo del reposo, un autobús aumenta su velocidad con una aceleración constante al' después viaja a velocidad constante v m' Yfinalmente frena para detenerse a una aceleración constante a2 (a 2 < O). Le toma 4 minutos recorrer las 2 millas entre la parada C y la parada D, y luego 3 minutos para recorrer 1.4 millas entre la parada D y la parada E.

(b) ¿Cuáles son los dos instantes en que la pelota estuvo a una altura de 9 pies?

•

1 1 1 1 1 1 1 1 11 _

(a) Bosqueje la gráfica de la velocidad v como una función del tiempo t, O::; t::; 7. (b) Encuentre la velocidad máxima V m .

16

(c) Si al = -a2 = a, evalúe a.

34. Un globo de aire caliente abandona el piso elevándose a 4 pies por segundo. Dieciséis segundos después, Victoria arroja una pelota directamente hacia arriba a su amigo Calleen, que está en el globo. ¿A qué velocidad ella lanzó el balón para que llegará justo a Calleen?

35. De acuerdo con la ley de Torricelli, la razón de cambio del volumen, V, de agua con respecto al tiempo en un tanque que se está vaciando es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad del agua. Un tanque cilíndrico de radio 1O/V7T centímetros y 16 centímetros de altura, inicialmente lleno, tarda 40 segundos en vaciarse. (a) Escriba una ecuación diferencial para V en el instante t y las condiciones correspondientes.

5.3

Sumas y notaci.ones sigma

16

12

x

Figura 1

l' \ 1 1 11' 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

1 9

I j Figura 4

Respuesta a la revisión de conceptos: 1. ecuación diferencial 2. función 3. separar las variables 4. -32t + va; -16t2 + vot + So

Hasta ahora hemos considerado funciones cuyo dominio está formado por intervalos de números reales. Un ejemplo típico es f(x) = x 2 , con dominio en el intervalo [0,00). Su gráfica se muestra en la figura 1. Usamos x como la variable del dominio, pero también podríamos utilizar s, t, u o v. Por costumbre, los matemáticos utilizan las últimas letras del alfabeto para nombrar a las variables que tomen valores en un intervalo de la recta real. Cuando queremos nombrar a una variable que sólo toma valores enteros por lo común utilizamos letras de la mitad del alfabeto, tal como i, j, k, m y (en especial) n. Así, en esta sección queremos considerar la función determinada por a(n) = n2 , donde n toma valores positivos; su gráfica se muestra en la figura 2. Una función cuyo dominio consiste de sólo enteros positivos (o algún otro subconjunto de enteros) se denomina sucesión. En lugar de la notación funcional estándar a(n), por convención se utiliza ano Por tanto, podemos decir: Considere la sucesión {anJ determinada por an = n2 y la sucesión {bnJ determinada por bn = l/n. En ocasiones indicamos una sucesión escribiendo los primeros valores seguidos por puntos suspensivos como, por ejemplo, o incluso 1,4,9,16,...

Las sucesiones se estudiarán a detalle en el capítulo 11. Aquí nuestro interés principal es aprender a trabajar con la notación para ciertas sumas.

222

CAPíTULO

5

La integral

Notación sigma En la sección 4.4, brevemente vimos la notación sigma. En este capítulo la usaremos de manera amplia. Considere las sumas

a(n)

•

16

12 + 22 + 32 + 4 + ... + 1002

y

12

•

a(n)

=n Para indicar estas sumas de una manera compacta, escribimos la primera como

4

100

•

Li n

2

¡=1

y la segunda como

n

Figura 2

La¡ ¡=1

Aquí L (sigma mayúscula griega), que corresponde a la S de nuestro alfabeto, indica que se están sumando todos los números de la forma indicada cuando el índice i corre por todos los enteros positivos, iniciando con el entero que aparece debajo de L y finalizando con el entero arriba de L. Así, 4

L a¡b¡ =

a2 b2 + a3 b3 + a4 b4

¡=2

L -:1 = -11 +-21 +-31 + ... +-n1 n

j=l

y para n

2::

123

k

4

~

]

k2

+1

2

= 1

4

+1 +2 +1 +3 +1 +4 +1 2

2

2

m, n

LF(i) = F(m)

+ F(m + 1) + F(m + 2) + ... + F(n)

¡=m n

Si todas las c¡ en

L c¡ tienen el mismo valor, digamos c, entonces ¡=1

n

L

c¡ = c + c + c + . . . + c

¡=1

\..

n té~inos

}

Como resultado,

En particular, 100

5

L2

= 5(2) = 10,

= 100(-4) = -400

¡=1

¡=1

Propiedades de

L (-4)

L

Considerado como un operador, L opera sobre sucesiones, y

lo hace de una manera lineal.

SECCiÓN 5.3

Demostración

Sumas y notaciones sigma

Las demostraciones son sencillas, sólo consideramos (i).

n

L

223

n

ca¡

= cal + caz + ... + can = c(al + az + ... + a n) = c L

i=l

a¡ •

¡=l

100

100

L a¡ = 60 Y L b¡ = 11. Calcule

EJEMPLO 1 Suponga que

¡=l

¡=l

100

L (2a¡ -

+ 4)

3b¡

¡=l

Solución 100

100

L(2a¡ -3b¡

+4)

100

= L2a¡ -

¡=l

¡=l 100

= 2

L

100

L3b¡

+ L4

¡=l 100

¡=l 100

a¡ - 3 L b¡

¡=l

= 2(60)

+L 4

¡=l

- 3(11)

i=l

•

+ 100(4) = 487

EJEMPLO 2

Sumas telescópicas Demuestre que: n

(a)

L (aHl

- a i) = an+l - al

i=l n

(b)

L [(i + 1? -

iZJ = (n

+ l)Z

- 1

¡=l

Solución

(a) Aquí debemos resistir nuestra inclinación de aplicar la linealidad y en lugar de eso escribimos la suma, esperando algunas convenientes cancelaciones. n

L

(ai+l -

aJ = (az -

al)

+ (a3

- az)

+ (a4

- a3)

+ ... + (an+l

- a n)

i=l

= -al = -al

+ a2 + an+l

a2

+ a3

- a3

+ a4

- ... - a n

+ a n+1

= an+l - al

(b) Esto se sigue de manera inmediata de la parte (a). El símbolo utilizado para el índice no importa. Así, n n n La i = La j = Lak i=l

j=l

•

k=l

a todos éstas son iguales a al + a z + ... + ano Por esta razón, con frecuencia al índice se le llama índice mudo.

Fórmulas para algunas sumas especiales En la sección siguiente, necesitaremos considerar la suma de los primeros n enteros positivos, así como las sumas de sus cuadrados, cubos, etc. Hay fórmulas útiles para éstas; las demostraciones se estudian al final de la sección. n . n(n + 1) 1. Lz=1+2+3+···+n=--i=l 2

~.z 2. L.J z i=l

z

z

z

z

n(n+1)(2n+1)

= 1 + 2 + 3 + ... + n = - - - - - - 6

224

CAPiTULO 5

La integral

+ 1)12

i3=13+23+33+"+n3=

3.

Ln(n 2

i =1

]

4.i4=14+24+34+"+n4- n(n+l)(6n3+9n2+nl) 30 i=1

10

10

10

i; (b)

Calcule: (a)

EJEMPLO 3

i2; y (c)

i4. i=2

i=1

i =1

Solución

10(10 + 1)

10

=

(a)

2

=55

10

10(10 + 1)(20 + 1)

i=1

6

(b)

/

10

i4 =

(c) i=2

'

10

i) 'i=1 I

(

- i4 =

385

10(11)(6000 + 900 + 10 - 1) 1

30

= 25,332 EJEMPLO4

Solución

Calcule

2i(i 5).

Haga uso de la linealidad y del ejemplo 3. 10

(22 - lOi) = 2 i=1

1=1

10

10

10

2i(i - 5) =

i2 -

i

10 i=1

i=1

= 2(385) - 10(55) = 220 EJEMPLO S

Solución

U

(j + 2)(j - 5).

Encuentre una formula para

Hacemos uso de La Linealidad y de las formulas 1 y 2 anteriores.

3j -

(2 3j 10)

+2)(j 5) =

n(n + 1)(2n + 1)

n(n + 1)

6

2

=

10

iOn

[2n2 +3n +1 9n 9-60] n(n2 - 3n - 34)

U

3

EJEMPLO 6 ,Cuántas naranjas contiene una pirámide de 7 niveLes semejante a la que se muestra en la figura 3?

Solución

12 + 22 +

4(5)(9)

+ 42 = i=1

6

= 30

.

EJ EM PLO 7 A una fiesta asistieron 20 personas, cada persona estrecha la mano de Cada una de las otras personas exactamente una vez. ,Cuántos apretones de mano habrá?

Figura 3

So!ución Debemos contar los apretones de mano de una manera inteligente. La primera persona le da La mano a cada una de las otras 19. La segunda persona también da la mano a cada una de las otras personas, pero ya contamos eL apretón de manos con la

Sumas y notaciones sigma

SECCiÓN 5.3

225

primera persona; por tanto, hay 18 saludos que se deben contar. Para la tercera persona, hay 17 apretones de mano por contar. Se continúa el conteo de esta manera. Cuando llegamos a la persona 19, ya se habrán contado todos los apretones de mano con las personas 1 a la 18; el único saludo que contamos es con la persona 20. Ahora, todos los apretones de mano se han contabilizado, incluyendo los de la persona 20. Por tanto, el número total de apretones de manos es: 19.

= 1 + ... + 18 + 19 = :¿ 1 =

19 + 18 + ... + 1

19(19 + 1) 2

i=l

= 190

•

Demostraciones de las fórmulas para las sumas especiales Para demostrar la fórmula de la suma especial 1, iniciamos con la identidad (i + 1f - i2 = 2i + 1, tomamos la suma desde 1 hasta n en ambos lados; en el lado izquierdo aplicamos el ejemplo 2 y en el lado derecho la linealidad. (i + 1)2 - i2 = 2i + 1 n

n

i=l

i=l

:¿[(i +1)2 - i 2J = :¿(2i +1) n

n

i=l

i=l

(n + 1)2 - 12 = 2:¿ i + :¿ 1 n

n2

+ 2n

=

2 :¿ i + n i=l n

:¿i i=l

Utilizamos la fórmula 1 y una técnica similar para obtener la fórmula 2.

(i + 1? - i 3 = 3P + 3i + 1 n

n

i=l

i=l

:¿ [(i + 1? - i 3J = :¿ (3i 2 + 3i + 1) n

n

n

i=l

i=l

i=l

(n +1)3 -1 3 =3:¿i 2 +3:¿i +:¿1 n

n3 + 3n2 + 3n = 3 :¿ ¡2 + 3 i=l

n(n

+ 1) 2

+ n

n

2n 3 + 6n 2 + 6n = 6 :¿ i2 + 3n 2 + 3n + 2n i=l

n(n

+ 1)(2n + 1) 6

n

:¿P i=l

Casi la misma técnica funciona para establecer las fórmulas 3 (problema 47) y 4 (problema 48).

226

La integral

5

CAPíTULO

Revisión de conceptos s y el valor de ~ 2 es

S

1. El valor de ~ 2i es i=l 10

_

3. El valor de la suma telescópica

i=l

±(~ -.

+1 1) es

1=1

l

l

10

2. Si ~ a i i=l

= 9 Y ~ bi = 7, entonces el valor de

n

i=l

10

10

~(3ai -2bi)

i=l

yelvalorde ~(ai +4)

=

i=l

=

n

4. Como ~i =n(n +1)/2y ~i2=n(n +1)(2n +1)/6, i=l i=l

_

6

se deduce que ~ (2i - i 2)

=

i=l

_

Conjunto de problemas 5.3 En los problemas del] al 8, encuentre los valores de la suma indicada. 6

6

2. ~i2 i=l

1. ~ (k - 1) k=l 7 1 3. ~ k + 1

8

4. ~ (l

+ 1)2

1=3

8

7

5. ~ (_1)m2 m- 2

(-l)k 2k

10

+ 4) k=l k=l n n 29. ~ (2i 2 - 3i + 1) 30. ~ (2i - 3)2 i=l i=l A veces es deseable hacer un cambio de variable en el índice para una suma. Por ejemplo, el cambio de variable k = i - 3 da

k=3 (k

13

+ 1)

8. ~ ksen(k7T/2) k=-l n=l En los problemas del 9 aliÓ, escriba la suma que se indica en la notación sigma 7. ~ n cos(mr)

o

k=O k

40

tf1

+ 2bn )

23.

1)

- - --

k

k+1

~ Ck : 1)' - ~2)

10

tf1

24.

100

25. ~ (3i - 2)

-

:~(a, -

2k -

k=O

= i/5,

Y

=a

+ ar + ar 2 + ... + ar n =

a - ar n+1

1- r

(r

*- 1)

Sugerencia: Sea S = a + ar + ... + ar n. Simplifique S - rS y des-

10

(b) ~2k k=l

38. Sume ambos lados de las dos igualdades que siguen, despeje S y de aquí proporcione otra demostración de la fórmula 1. S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n S

a,-I)

10

10

(a) ~Gt k=l

l)

26. ~ [(i - 1) (4i

i=l

Wi

37. Utilice el problema 36 para calcular cada suma

20. ~ (a q - bq - q)

22. ~ (2 k

j(x) = 3x,

i=l

peje S.

En los problemas del 25 al 30, utilice las jórmulas para las sumas especiales ] a 4 para encontrar cada una de las sumas (véanse los ejemplos 3 aI5).

i=l

n

~ ar k

10

(1

~j(w¡)llx si

36. Demuestre la fórmula siguiente para una suma geométrica: 10

p=o q=l En los problemas del 2] al 24, encuentre el valor de cada una de las sumas (telescópicas) (véase el ejemplo 2). 21. ~

(k - 3)Sen(_7T_); i = k - 3 k - 3

=!.

llx

n=l

9

+1

10

18. ~ (3a n

19. ~ (ap+l - b p+l )

k=4

+ 1'

35. Evalúe

10

+ b¡)

f

34.

lÓO

En los problemas del]7 al 20, suponga que ~ ai = 40 Y ~ bi = 50. i=l i=l Calcule cada una de las sumas siguientes (véase el ejemplo]).

i=l

k

10

10

17. ~ (ai

14

32. ~k2k-4;i = k - 4 k=S

=i- 2

33. ~ _ _ i = k

13. al + a3 + as + a7 +

10

~ k3

19

31. ~i(i -2); k i=3

+ 2 + 3 + '" + 41 10. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 50

+ a99 14. b_ 1 + b 1 + b 3 + b s + + b lOOl 15. j(c l ) + j(c 2 ) + ... + j(c n) 16. j(w l )llx + j(w 2 )llx + ... + j(w n )llx

=

i=4 k=l Para los problemas del 3] al 34, haga el cambio de variable en el índice.

9. 1

4 + ~ + ... + lÓO 4 + ~ - ! + ... -

10

~ (i - 3)3

6

6

12. 1 -

28. ~ 5k2(k

6.~-­

m=l

11. 1 +

10

27. ~ (k 3 - k2)

+ 3) ]

=

n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 3 + 2 + 1

39. Utilice una deducción como la del problema 38 para obtener una fórmula para la suma aritmética: n

~ (a + kd)

k=O

=a

+ (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + nd) n

40. Demuestre que ~ ~

k=l

1 ¡-; :::::

V

k

vn.

SECCIÓN

En estadística definimos la media :x y la varianza sucesión de números Xl> x 2 , ..• , Xn por

W 41.

1

1

n

:x = - ¿ Xi, n

i=]

Encuentre:X y S2 para la sucesión de números 2,5,7,8,9,10,14.

42. Utilizando las definiciones del problema 41, encuentre :x y S2 para cada sucesión de números. (a) 1,1,1,1,1

(b) 1001,1001,1001,1001,1001

(c) 1,2,3 (d) 1,000,001; 1,000,002; 1,000,003 43. Utilice las definiciones del problema 41 para demostrar que cada igualdad es verdadera.

(a)

~ (Xi -:x) = O

(b)

=

S2

(

227

r(

~ ai b¡ ~ ~ af) ( ~ bT )

Sugerencia: En la notación del problema 49, debemos demostrar que B 2 - AC ::; O. Obsérvese que es un cuarto del discriminante de la ecuación cuadrática At2 + 2Bt + C = O.

51. Establezca la identidad siguiente, que se conoce como suma por partes: n

¿ (ai -

n

ai-l)bi- 1

= anbn - aobo -

i=1

¿ ai(bi -

bi- 1)

i=1

52. Encuentre una fórmula compacta para la suma 111 --+--+--+ ... +n(n -11.2 2.3 3.4 + 1)

(~ ~ XT) -:x2

44. Con base en su respuesta a las partes (a) y (b) del problema 42, haga una conjetura acerca de la varianza de n números idénticos. Demuestre su conjetura.

Introducción al área

50. Demuestre la desigualdad de Cauchy:

n

n

i=]

de una

¿ (Xi - :x)2

=-

S2

S2

5.4

Sugerencla:

1 i(i+1)

1 1 - - -i+1

53. Utilice los diagramas de la figura 4 para establecer las fórmulas 1 y 3.

45. Sean Xl> X2 , .. ·, Xn cualesquiera números reales. Encuentre el valor de c que minimiza

±

(Xi - c

f

i=]

46. Sean X], X2 ,.··, Xm y], Yz, ... , Yn cualesquiera números reales, y sean:X y y, respectivamente, las medias de X], X2 , ... , Xn y de Y¡, Y2, ... , y no Demuestre que n

n

¿(Xi -:X)(Yi -y) = ¿XiYi -n:Xy i=1

i=1

47. Utilice la identidad (i + 1)4 _i 4 = 4i 3 + 6i 2 + 4i + 1 para demostrar la fórmula de la suma especial 3: 3

1

+ 2 + ... + n = 3

3

n(n [

+ 1)]2

n(n + 1)(6n3 + 9n 2 + n - 1) + 24 + ... + n4 = - - - - - - - - - - -

30

49. Sean A

=

n

n

~a2

~

l'

B

i=1

e=

+e

:2:

¿bf i=1

i=]

Demuestre que ArZ + 2Bt rencia: Demuestre que At 2

n

= ¿aibi,

Opara todo número real t. Suge-

+ 2Bt + e =

±

(ai t

i=]

5.4 Introducción al área

+ bY

13 + 2 3+ . . . + n 3

=

Figura 4

2

48. Utilice la identidad (i + 1)5 _i 5 = 5i4 + 10i3 + lOP + 5i + 1 para demostrar la fórmula de la suma especial 4:

14

1+2+ ... +n=

54. En la canción Los doce días de Navidad, mi verdadero amor me dio 1 regalo el primer día, 1 + 2 regalos el segundo día, 1 + 2 + 3 regalos el tercer día, y así sucesivamente durante los 12 días. (a) Encuentre el número total de regalos dados en 12 días. (b) Encuentre una fórmula para T m el número de regalos dados durante una Navidad de n días. 55. Un tendero colocó naranjas en una pila piramidal. Si la capa inferior es rectangular con 10 hileras de 16 naranjas y en la capa superior tiene una sola hilera de naranjas, ¿cuántas naranjas hay en la pila? Responda la misma pregunta, si la capa inferior tiene 50 hileras de 60 naranjas. Generalice al caso de m hileras de n naranjas, m ~ n. Respuestas a la revisión de conceptos:

1.30; 10 2. 13; 49 3. 0.9

4.-49

Dos problemas, ambos de geometría, motivan las dos ideas más importantes en cálculo. El problema de encontrar la recta tangente nos llevó a la derivada. El problema de encontrar el área nos conducirá a la integral definida. Para polígonos (regiones planas cerradas acotadas por segmentos de recta), el problema de encontrar el área apenas si es un problema. Iniciamos definiendo el área de un rectángulo como la conocida largo por ancho, y a partir de esto de manera sucesiva deducimos las fórmulas para el área de un paralelogramo, un triángulo y cualquier polígono. La sucesión de figuras en la figura 1, sugiere cómo se hace esto. Aun en esta sencilla configuración, es claro que el área debe satisfacer cinco propiedades.

228

La integral

CAP1TuL0 5

PolIgono

7TT Rectangulo

Paralelogramo

w

A = 1w

Triangulo

h

A5

Ii

b

b

A=bh

A=bh

A=A +A2+A+A4+A

Figura 1

Uso y abuso del lenguaje Siguiendo con el uso comün, nos permitimos un cierto abuso del Ienguaje. Las palabras triángulo, rectángulo, polIgono y cIrculo serán utilizadas para denotar tanto a las regiones de dos dimensiones de Ia forma indicada como a sus fronteras unidimensionales. Nótese que las regiones tienen areas, mientras que las curvas tienen longitudes. Cuando decimos que un cIrculo tiene area rr2 y circunferencia 2rr, el contexto debe ser claro si "cIrculo" significa la regiOn o La frontera.

El area de una region plana es un nOmero (real) no negativo. El area de un rectánguLo es ci producto de su largo por ancho (ambos medidos en las mismas unidades). El resultado está en unidades cuadradas, por ejemplo, pies cuadrados o centImetros cuadrados. Regiones congruentes tienen areas iguales. El area de la union de dos regiones que se traslapan solo en un segmento de recta, es la suma de las areas de Las dos regiones. Si una region está contenida en una segunda regiOn, entonces el area de La primer regiOn es menor o iguaL al de la segunda.

Cuando consideramos una region con frontera curva, el problema de asignar un area es significativamente más difIcil. Sin embargo, hace más de 2000 aflos, ArquImedes proporcionó la dave de Ia solución. El dijo, considérese una sucesión de polIgonos inscritos que aproximen a la region curva con precision cada vez mayor. Por ejemplo, para eL cIrcuLo de radio 1, considérese los poLIgonos regulares inscritos P1, P2, P3,... con 4 lados, 8 lados, 16 lados.....como se muestra en La figura 2. El area del cIrculo es eL lImite cuando n - 00 de las areas de P,. AsI, si A(F) denota el area de una regiOn F, entonces

A(cIrculo) = lIm A(P) n*oo

Figura 2

ArquImedes fue más allá, considerando también polIgonos circunscritos T1, T2, T3,... (véase la figura 3). El demostrO que se obtiene el mismo valor para el area del

4-

cIrculo de radio 1 (i.e., ic

3.14159) si se inscriben o circunscriben poiIgonos. SoLo es un

pequeno paso entre Lo que él hizo y nuestro moderno tratamiento del area.

3-

2

v =j(x)=x

R

Figura 3

Area de poilgonos inscritos Considere la region R acotada por la parabola 0

Figura 4

y = f(x) = x2, el eje x y Ia recta vertical x = 2 (véase la figura 4). Nos referiremos a R como la regiOn acotada bajo la curva y = x2, entre x = 0 y x = 2. Nuestra meta es calcuLar su area A(R).

SECCIÓN

o

2

I

I

5.4

Introducción al área

229

Figura 5

La partición del intervalo [0,2] en n subintervalos, como en la figura 5, cada uno de longitud óx = 2/n, por medio de los n + 1 puntos,

o=

Xo < Xl < Xz < ... < Xn

- l

< Xn = 2

Así, Xo =

°

2 Xl = Óx = -

n

4 Xz = 2· Llx = -

n

6 X3 = 3 • Llx = -

n

x·1 =

.

2i

Llx = n-

l·

(n - 1)2 n

Xn-l = (n -1)· Llx = - - -

Xn

= n . Jlx = n( ~) = 2

Considérese el rectángulo representativo con base [X¡-l' Xi] y altura t(X¡-I) = X7-1. SU área es t(X¡-I)ÓX (véase la parte superior izquierda de la figura 6). La unión Rn de todos esos rectángulos forma el polígono inscrito en la parte inferior derecha de la figura 6.

X¡_i

Área

Xi

= !(X¡_I) ~X

X II

_

1

X'I

Polígono circunscrito

Figura 6

El área A(R n ) puede calcularse sumando las áreas de estos rectángulos

A(R n )

= t(x o) Llx

+ t(XI) Llx + t(x z) Llx + ... + t(x n - l ) Llx

Ahora, t(xJóx

2 = ( n8 ) i Z 2i)Z . ;; = x7 Llx = ( -;; 3

230

CAPíTULO

5

La integral

Por tanto,

=~[(n -1)n(2n -1)] n3 6

=i(2 3

(Fórmula para la suma especial 2, con n - 1 en lugar de n)

-~n +~) n2

844 +-2 3 n 3n

=- - -

Concluimos que A(R)

=

lím A(R n )

n~oo

=

lím

n~oo

(~3 - in +~) =~ 3n2 3

Los diagramas de la figura 7 deben ayudarnos a visualizar lo que está sucediendo cuando n se hace cada vez más grande.

Figura 7

Área por medio de polígonos circunscritos Quizá usted aún no esté convencido que A (R) = ~. Podemos dar más evidencia. Considérese el rectángulo con base [X i- 1 , Xi] Yaltura ¡(Xi) = X7 (se muestra en la esquina superior izquierda en la figura 8). Su área es !(x i )f1x. La unión Sn de tales rectángulos forman un polígono circunscrito para la región R, como se muestra en la parte inferior derecha de la figura 8. El área A(Sn) se calcula en analogía con el cálculo de A(Rn).

SECCIÓN

y =./tx)

T

5.4

Introducción al área

231

=x"

f (x)

~ Xi_1

Xi

Área =f(x)l1x

Polígono circunscrito

Figura 8

Como antes, f(xJ dx

A(Sn) =

= xl dx = (8/n 3)i 2, y así

[~(12) + ~(22) + ... + ~(n2)] 3 3 3 n

n

= ~[n(n

n

+ 1)(2n +

3

n

1)]

(Fórmula para la suma especial 2)

6

Otra vez, concluimos que

A( R)

-t v=k

-~

Distancia = k 11 t

Figura 9

/

/ 4[ + -n3+ 2n1]

= n~oo hm A(Sn) = hm n~oo 3

2

8 3

Otro problema, con el mismo tema Suponga que un objeto está viajando a lo largo del eje t de tal manera que su velocidad en el instante t está dada por v = f (t) = ~ t 3 + 1 pies por segundo. ¿Cuánto avanzará entre t = OYt = 3? Este problema puede resolverse por el método de ecuaciones diferenciales (sección 5.2), pero tenemos algo diferente en mente. Nuestro punto de partida es el hecho familiar que, si un objeto viaja a velocidad constante k durante un intervalo de tiempo de longitud D.t, entonces la distancia recorrida es k D.t. Pero esto no es más que el área de un rectángulo, el que se muestra en la figura 9. Ahora considérese el problema dado, en donde v = f (t) = ~ t 3 + 1. La gráfica se muestra en la parte izquierda de la figura 10. Divídase el intervalo [0,3] en n subintervalos de longitud D.t = 3/n por medio de los puntos O = to < tI < t 2 < ... < t n = 3. Después considérense los correspondientes polígonos circunscritos Sn' que se muestran en la parte de la derecha de la figura 10 (también podríamos haber considerado los polígonos inscritos). Su área, A(Sn)' debe ser una buena aproximación de la distancia recorrida, en especial si D.t es pequeña, ya que en cada subintervalo la velocidad real es casi igual a una constante (el valor de v al final del subintervalo). Además, esta aproximación debe ser cada vez mejor conforme n se hace más grande. Llegamos a la con-

232

CAPíTULO

5

La integral

clusión de que la distancia exacta recorrida es lím A(Sn); es decir, es el área de la ren~oo

gión debajo de la curva de la velocidad entre t = OY t = 3. Para calcular A(Sn), obsérvese que ti = y por tanto el área del i-ésimo rectángulo es

3i/n,

81. 3 3 f(t-) ~t = [ -1 (3i) - 3 + 1 ] -3 = l +4 n n 4n 4 n 1

v

tl/_ I

tl/=

3

Figura 10

Por lo que,

=~[n(n +1)]2 +~. 4n 4

2

_ 81 [

- 16 n

2

(n

2

+ 2n + 1)] n4

2 1) =81 - ( 1+-+2 16

n

n

(Fórmula para la suma especial 3)

n

n

+3

+3

Concluimos que

81 1

lím A(Sn) = -6

n~oo

+3 =

129

16 ~ 8.06

El objeto recorrió alrededor de 8.06 pies, entre t = OY t = 3. Lo que fue cierto en este ejemplo, es verdadero para cualquier objeto en movimiento con velocidad positiva. La distancia recorrida es el área de la región bajo la curva de la velocidad.

SECCiÓN

5.4

Introducción al área

233

Revisión de conceptos 1. Si el área(R) = 7 Yel área(S) = 9 Ysi R y S no se sobreponen (excepto posiblemente en una curva), entonces el área( R U S)

2. El área de un polígono subestima (estima por aba_ jo) el área de la región, mientras que el área de un polígono sobrestima (estima por arriba) esta área.

es

3. El área exacta de la región bajo la curva y = Ixl entre Oy 4 . En forma similar, el área bajo esta curva entre -2 Y4 es

4. El valor exacto de la región bajo la curva y 4es

= [x]

entre Oy

_

Conjunto de problemas 5.4 En los problemas deli al 6, encuentre el área del polígono indicado, que puede ser inscrito o circunscrito.

1.

5.

+ 1

y=x+l

x

x

2.

v=·~·x'+1

6.

v=x+\

x

x

En los problemas del 7 aliO, haga un bosquejo de la gráfica de la función que se da en el intervalo [a, b J; después divida [a, bJ en n subintervalos. Por último, calcule el área del correspondiente polígono circunscrito.

7. f(x)

3.

+ 1; a

x

=

-1, b = 2, n = 3

=

8. f(x) = 3x - 1; a = 1, b = 3, n = 4

W 9. W 10. x

4.

y=x+l

x

f(x) = x 2

1; a

-

f(x) = 3x

2

2, b

=

+ x + 1; a

3, n

= =

=

6

-1, b = 1, n = 10

En los problemas del 11 ali6, encuentre el área de la región bajo la curva y = f(x) en el intervalo [a, b]. Para hacer esto, divida el intervalo [a, bJ en n subintervalos iguales, calcule el área del correspondiente polígono circunscrito, y después haga n ~ oo. (Véase el ejemplo para y = x 2 en el texto.)

x + 2; a

11. Y

=

O, b = 1

12. Y

= ! x + 1; a = O, b = 1

13. Y

=

2x

14. Y

=

x2; a

=

-2, b

G 15. Y

=

x 3; a

=

O, b

G 16. Y

= x3

=

2

+ 2; a

+

-1, b

=

=

=

=

2

1

x; a = O, b = 1

1. Sugerencia:

2i

Xi

= -1 +n

234

CAPíTULO

5

La integral

17. Suponga que un objeto está viajando a lo largo del eje t de tal manera que su velocidad a los t segundos es v = t + 2 pies por segundo. ¿Qué distancia recorrió entre t = y t = 1? Sugerencia: Véase el análisis del problema de la velocidad al final de esta sección y utilice el resultado del problema 11.

donde enes un polinomio en n de grado m. Supóngase que esto es cierto (que lo es) y, para a 2: 0, sea A~(xm) el área bajo la curva y = xm en el intervalo [a, b].

°

18. Siga las instrucciones del problema 17 dado que v Puede utilizar el resultado del problema 12.

bm +1

(a) Demuestre que

= t t 2 + 2.

Ag(x m ) = (m + 1)

(b) Demuestre que A~(xm)

19. Denótese con A~ el área bajo la curva y = x 2 en el intervalo [a, b]. (a) Demuestre que Ag = b3/3. Sugerencia: Llx = b/ n, de modo que x¡ = ib/n; utilice polígonos circunscritos. (b) Demuestre que A~ = b3 /3 - a 3 /3. Supóngase que a 2: O.

23. Utilice los resultados del problema 22 para calcular cada una de las siguientes áreas.

(a)

A6(x 3 )

(b)

Ai(x 3 )

(e)

Ai(x5 )

(d)

A6(x 9 )

24. Deduzca las fórmulas A n = tnr 2 sen(27T/n) y B n = nr 2 tan ( 7T / n) para las áreas de los polígonos regulares de n lados inscritos y circunscritos en un círculo dímadio r. Jlím;pués demuestre que lim A n y lim B n ambos son 7Tr 2 •

20. Suponga que un objeto, moviéndose a lo largo del eje t, tiene velocidad v = t 2 metros por segundo a los t segundos. ¿Qué distancia viajó entre t = 3 Yt = 5? Véase el problema 19.

n--'>oo

n--'>oo

Respuestas a la revisión de conceptos: cunscrito 3.8; 10 4.6

1. 16

21. Utilice los resultados del problema 19 para calcular el área bajo la curva y = x 2 en cada uno de los intervalos siguientes.

(c) [2,5]

(b) [1,4]

(a) [0,5]

a m +1

bm +1

= m +1 - m +1

22. Con base en las fórmulas 1 a la 4 de la sección 5.3, podría suponer que

5.5 La integral definida

Figura 1

Considere una función

f

definida en un intervalo cerrado

[a, b]. Puede haber valores positivos y negativos en el intervalo, e incluso no necesita y=fCr)

a

Están hechos todos los preparativos; estamos listos para definir la integral definida. Newton y Leibniz introdujeron las primeras versiones de este concepto. Sin embargo, fue Riemann quien nos dio la definición moderna. En la formulación de esta definición, estamos guiados por las ideas analizadas en la sección anterior. La primera noción es la de una suma de Riemann.

Sumas de Riemann

y

2. inscrito; cir-

x

ser continua. Su gráfica podría ser parecida a la de la figura lo Considere una partición P del intervalo [a, b] en n subintervalos (no necesariamente de la misma longitud) por medio de los puntos a = X o < Xl < X 2 < ... < X n - l < X n = b, Y sea dx¡ = Xi - Xi-l. En cada subintervalo [Xi-l' xJ, selecciónese un punto Xi (que puede ser un punto frontera); le llamamos punto muestra para el i-ésimo subintervalo. Un ejemplo de estas construcciones se muestra en la figura 2 para n = 6. ~XI

Puntos de la partición

a =Xo

Puntos muestra

~X2

~X3

~X5

~X4

~X6

Xl

re.;

Al

\"

Una partición de [a, b] con puntos muestrax¡

Figura 2

A la suma n

Rp =

:¿ f(xJ dX i=l

i

5.5

SECCIÓN

La integral definida

235

le llamamos una suma de Riemann para f correspondiente a la partición P. Su interpretación geométrica se muestra en la figura 3. Obsérvese que la contribución de un rectángulo que está debajo del eje x es el negativo de su área, ya que en este caso f(x¡) < O. Una suma de Riemann interpretada como una suma algebraica de áreas 6

i~1

Y

¡(X;) ~Xi =A , + (-A 2 ) + (-A,) +

(-A~) + A, +A 6

Figura 3

EJEMPLO 1 Evalúe la suma de Riemann R p para

f (x) = (x + 1) (x - 2) (x - 4) = x 3

-

5x 2 + 2x + 8

en el intervalo [O, 5], utilizando la partición P con puntos de la partición O < 1.1 < 2 3.2 < 4 < 5 y los correspondientes puntos muestra Xl = 0.5, X2 = 1.5, X3 = 2.5, X4 = 3.6 Y X5 = 5.

<

Solución 5

Rp = y

¡=l

18

=

15

Irx)

12

:¿ f(x¡) Llx¡

X'

5x'+ 2x + 8

f(XI) LlXI

+ f(X2) LlX2 + f(X3) LlX3 + f(X4) LlX4 + f(X5) LlX5

= f(0.5)(1.1 - O) + f(1.5)(2 - 1.1) + f(2.5)(3.2 - 2)

+ f(3.6)(4

- 3.2)

= (7.875)(1.1)

+ f(5)(5

- 4)

+ (3.125)(0.9) + (-2.625)(1.2) + (-2.944)(0.8) + 18(1)

= 23.9698 Figura 4

La correspondiente representación gráfica aparece en la figura 4.

•

EJEMPLO 2 Evalúe la suma de Riemann para f(x) = x 2 + 1 en el intervalo [-1,2] usando los puntos de la partición, con separación equidistante, -1 < -0.5 < O < 0.5 < 1 < 1.5 < 2, con el punto muestra x¡ como el punto medio del i-ésimo intervalo.

y

Irx) =x' + 1

Solución

Obsérvese el dibujo en la figura 5. 6

Rp =

:¿ f(x¡) Llx¡ ¡=)

= [fe -0.75) + f( -0.25) + f(0.25) + f(0.75) + f(1.25) + f(1.75) ](0.5) - J

I -0.5 I o I -0.75

Figura 5

-0.25

0.25

0.5

I 0.75

1

I 1.25

1.5

I 1.75

2

x

= [1.5625 = 5.9375

+ 1.0625 + 1.0625 + 1.5625 + 2.5625 + 4.0625] (0.5) •

236

CAPíTULO

5

La integral

Definición de la integral definida Ahora supóngase que P, ~Xi' Y Xi tienen los significados dados anteriormente. Además, sea !PI, llamada la norma de P, la longitud del subintervalo más largo de la partición P. Así, en el ejemplo 1,!P1 = 3.22 = 1.2; en el ejemplo 2, IP I = 0.5. Definición

Integral definida

Sea f una función que está definida en el intervalo cerrado [a, bJ . Si n

lím

L f(x i) ~Xi

PI~O i=l

existe, decimos que f es integrable en [a, b]. Además,

l'

f (x) dx, denominada integral

definida (o integral de Riemann) de f de a a b, entonces está dada por

l

n

b

L f(Xi) ~Xi IPI~O

f(x) dx = lím

i=l

a

El corazón de la definición es la línea final. El concepto que incluye esa ecuación surge de nuestro análisis del área en la sección anterior. Sin embargo, hemos modificado de forma considerable la noción que se presenta aquí. Por ejemplo, ahora permitimos que f sea negativa en parte o en todo [a, bJ , utilizamos particiones con subintervalos que pueden tener longitudes diferentes y permitimos que Xi sea cualquier punto del i-ésimo subintervalo. Como hemos realizado estos cambios, es importante establecer de manera precisa cómo se relaciona la integral definida con el área. En general,

l'

f(x) dx da el área con signo de la región encerrada entre la curva y = f(x) y el

eje x en el intervalo [a, bJ , queriendo decir que se asocia un signo positivo a las áreas de partes que están por arriba del eje x y se asocia un signo menos a las áreas de partes que están abajo del eje x. En símbolos,

Figura 6

donde Arriba YAbajo son como se muestra en la figura 6. El significado de la palabra límite en la definición de integral definida es más general que en el uso que se ha dado antes y debe explicarse. La igualdad n

L f(x¡) ~Xi = IPI~O lím

L

i=l

significa que, en correspondencia a cada 8> O, existe un 8 > Otal que

It,f(Xi)~Xi - LI <

E

n

para todas las sumas de Riemann

L f(x¡) ~Xi para f en [a, bJ

para las cuales la nor-

i=l

ma !PI de la partición asociada es menor que 8. En este caso, decimos que el límite dado existe y tiene el valor L. Esto fue un bocado y no lo digeriremos en un momento ahora. Simplemente afirmamos que los teoremas usuales sobre límites también se cumplen para esta clase de límite. Regresando al símbolo

l'f(X) dx, podríamos llamar a a extremo inferior ya b

extremo superior de la integral. Sin embargo, la mayoría de los autores utilizan la terminología límite inferior de integración y límite superior de integración, que está bien a condición de que nos demos cuenta que este uso de la palabra límite no tiene nada que ver con su significado más técnico.

SECCIÓN

En nuestra definición de

5.5

La integral definida

237

lb¡(X) dx, de manera implícita supusimos que a <

b.

Con las definiciones siguientes, eliminamos esa restricción.

[¡(X) dx = O a

¡bf(X) dx

= - [¡(X) dx,

a

a>b

b

Por tanto,

1,\3

y

dx = O,

Por último, señalamos que Xes una variable muda en el símbolo

lb¡ (x) dx. Con

esto queremos decir que x puede reemplazarse por cualquier otra letra (con tal que, por supuesto, ésta se sustituya en cada lugar que se presente). Por tanto

[¡(X) dx -2

v

={(X) = 1', l/x',

-,

Figura 7

x

-1

x:f:.

L x=O

= [¡(I) dI = [¡(u) du

¿ Cuáles funciones son integrables? No toda función es integrable en un intervalo cerrado [a, b] . Por ejemplo, la función no acotada l.

o

f (x)

x2

=

{

s~

X

*- O

1 SI X = O que se gráfica en la figura 7, no es integrable en [-2,2] . Puede demostrarse que para esta función no acotada la suma de Riemann puede hacerse arbitrariamente grande. Por tanto, el límite de la suma de Riemann en [-2, 2] no existe. Incluso algunas funciones acotadas pueden no ser integrables, pero tienen que ser muy complicadas (para un ejemplo, véase el problema 22). El Teorema A (a continuación) es el teorema más importante con respecto a integrabilidad. Desafortunadamente, es demasiado difícil demostrarlo aquí, lo dejamos para libros de cálculo avanzado.

Como una consecuencia de este teorema, las funciones siguientes son integrables en todo intervalo cerrado [a, b] . 1. Funciones polinomiales. 2. Funciones seno y coseno. 3. Funciones racionales, con tal que el intervalo [a, b] no contenga puntos en donde el denominador sea cero.

Cálculo de integrales definidas El saber que una función es integrable, nos permite calcular su integral mediante una partición regular (subintervalos con igual longitud) y la elección de los puntos muestra Xi de cualquier forma conveniente para nosotros. Los ejemplos 3 y 4 incluyen polinomios, que acabamos de aprender que son integrables. EJEMPLO 3

Evalúe ¡:(X

+ 3) dx.

Solución Divídase el intervalo [-2,3] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud Llx = S/n. En cada subintervalo [X i - 1 ' xJ, utilícese Xi = Xi como el punto muestra. Entonces

238

CAPITULO 5

La integral

x0 = 2

x1 = 2 + Ax = 2 + n

x2 =-2 +2Ax =-2 +2(t)

(5\ x1 =-2 +iAx =-2 +i("nI =3

"n/I

Por tanto,f(x1) = x1 + 3

f() Ax

1 + i(S/n), de modo que

f(x)

=

=[i+i -)1=

j=j

\fl

ni=1

n

fl

.

525[fl(n+l) n

2

n2L

(Formula para la suma especial 1)

i\ =5+ 25/ 2\ 1+-n/I Como P es una partición regular, P

0 es equivaLente a n - 00. Concluimos que

L(x + 3)dx = lIrn A

= lIm [5 +

-L

°°L

-2

f(x+3)dx=A =1

+

fl

Con facilidad podemos verificar nuestra respuesta, ya que la integral pedida da el

y

8642-

2\

35 2

Figura 8

10-

25

area del trapecio de La figura 8. La conocida formula para el area de un trapecio A

v = 2x2- 8

(a +b)hda(1 +6)5 =35/2.

EJEMPLO 4

Eva1e

L(2x2 - 8)dx.

Solución

A/

2

3

AquI no hay fOrmula de geometrIa elemental que nos ayude. La figura 9 sugiere que La integral es A1 + A2, en donde A1 y A2 son las areas de Las regiones por abajo y por encima del eje x, respectivamente.

Sea P una partición regular de [-1, 3] en n subintervalos, cada uno de longitud 4/n. En cada subintervalo [x1, x] , elIjase i, como el punto frontera del lado derecho, de modo que iE, = x1. Entonces Ax

.L](2x2±8)dx=_Ai +A, =::Q

Figura 9

x, = 1 + i Ax = 1 + j1'4 \fl

SECCIÓN

5.5

La integral definida

239

16i 32i z =-6--+n nZ

GJ

En consecuencia,

Sentido común

Dada la gráfica de una función, siempre podemos hacer una estimación para el valor de la integral definida utilizando el hecho de que es el área con signo

n

n

i=1

i=1

:¿ f(x¡) dXi = :¿ f(x¡) dx =

± i=1

[-6 - 16 i + 3; n n

24

Aarriba -

= - -

Aabajo

n

Por lo que, en el ejemplo 4, podríamos estimar el valor de la integral haciendo de cuenta que la parte por arriba del eje x es un triángulo y la parte por abajo del eje x es un rectángulo. Nuestra estimación es ~(1)(1O) - (3)(6) =-13

n

:¿ 1 i=1

64

2

n

p] i

:¿ i + 128 :¿ i n

n

-3

n

i=1

_ -24 \ 64 n(n + 1) - -n- (n) - n Z 2 = -24 - 32 (1 +

n Z

i=1

128 n(n + 1)(2n + 1)

+ -n3 ----6---

l)n + _12_8 (2 + ~n + ~) n Z

6

Concluimos que 3

1

(2x Z

n

-

-1

8) dx

:¿ f(x¡) dXi IP'~O

= lím

i=1

= lím [-24 - 32 (1 + n~O

l)n + 128 (2 + ~n + ~) ] n 6

Z

128 -40 =-24 -32 + - = 3 3 No es de sorprender que la respuesta sea negativa, ya que la región por debajo del eje x parece ser mayor que aquella por encima del eje x (véase la figura 9). Nuestra respues-

ta es cercana a la estimación dada en la nota al margen Sentido común; esto nos reafirma que nuestra respuesta probablemente sea correcta. •

Propiedad aditiva de intervalos Nuestra definición de la integral definida fue motivada por el problema de áreas para regiones curvas. Considérense las dos regiones curvas R 1 y R z de la figura 10 y sea R = R 1 U R z. Es claro que A(R) = A(R 1 U R z ) = A(R 1 )

+ A(R z )

lo cual sugiere que a

Figura 10

b

e

x

[f(X)dX = [f(X)dX

+ [f(X)dX

Rápidamente señalamos que esto no constituye una demostración de este hecho acerca de integrales, ya que, antes que nada, nuestro análisis de área en la sección 5.4 un poco informal y, segundo, nuestro diagrama supone que f es positiva, lo cual no necesariamente es cierto. Sin embargo, las integrales definidas satisfacen esta propiedad aditiva de intervalos, y no importa cómo estén acomodados los tres puntos a, b y c. Dejamos la demostración rigurosa para trabajos más avanzados.

240

CAPíTULO

5

La integral

Por ejemplo,

lo cual la mayoría de las personas en seguida cree. Pero también es cierto que

¡'x ¡3 2

dx

=

x 2 dx

+

¡'x

2

dx

lo cual parece sorprendente. Si usted desconfía del teorema, podría evaluar realmente cada una de las integrales anteriores para ver que se cumple la igualdad.

Revisión de conceptos n

1. Una suma de la forma

L. f(x¡) Ax¡ se denomina

3. Geométricamente, la integral definida corresponde a un área

_

¡=l

con signo. En términos de

2. El límite de la suma anterior para f definida en [a, b J se llama una y se simboliza por medio de _

Arriba

Y Abajo,

1

bf

4. Por tanto, el valor de 1:x dx es

(x) dx

=

.

_

Conjunto de problemas 5.5 En los problemas] y 2, calcule la suma de Riemann que se sugiere para cada figura (véase el ejemplo 1).

1.

4. f(x) = -x/2

Xl

+ 3; P:-3 < -1.3 <

= -2, X2 = -0.5, x3 = 0, x4 = 2

°< 0.9 < 2;

5. f (x) = x 2/2 + x; [ -2, 2 J se dividió en ocho subintervalos iguales, x¡ es el punto medio (véase el ejemplo 2).

W

y y

= fv) = -x'+ 4x

4

W

6. f(x) = 4x 3 + 1; [0, 3J se dividió en seis subintervalos iguales, x¡ es el punto del extremo derecho.

/

3 2

I

En los problemas del 7 al]O, utilice los valores que se dan de a y by exprese el límite dado como una integral definida.

-1

-2

7. lím

-3

IPI-+O

-4

8. lím

IPI-+O

2.

i

(x¡? Ax¡; a

i

(x¡

¡=l

+ 1? Ax¡; a = 0, b = 2

¡=l

x2

n

L. --'_Ax¡; a = -1, b = 1 IPI-+O 1+

y

9. lím

¡=l

v

= f(r)

XC -

4x + 3

10. lím

IPI-+O

i

X¡

(sen X¡)2 Ax¡;'a

+ 1) dx

n

L. f(x¡)Ax¡

Sugerencia: Utilice x¡

¡=I

para los datos que se dan. 3. f(x) = x - 1; P: 3 < 3.75 < 4.25 < 5.5 < 6 < 7;

= 3, X2 = 4, X3 = 4.75, x4 = 6, Xs = 6.5

1T"

En los problemas del]] al]6, evalúe las integrales definidas utilizando la definición, como en los ejemplos 3 y 4.

11. l \ x En los problemas del 3 al 6, calcule la suma de Riemann

= 0, b =

¡=l

GJ

o

XI

= 1, b = 3

13.

1:

(2x

= 2i/ n.

+ 1T") dx

Sugerencia: Utilice x¡

= -2 + 3i/n.

5.5

SECCIÓN

1

10

16.

-10 (X

2

+ x)dx

En los problemas del17 al 21, por medio de la propiedad aditiva de intervalos y las fórmulas adecuadas para áreas de la geometría plana, calcule

lb

(c) 1¡l lf (x)ldX

1 (d) 11 [-g(X)]dX

(e) l11Xg(X) dx

(f) l1

los cuales f está definida. Comience haciendo una gráfica de la función que se da. 2x

17.

f (x) = 2 {

18. f (x)

=

x

1f3

lb

25. Demuestre que

f( x) dx, donde a y b son los extremos izquierdo y derecho para

x dx

(X)g(X) dx

= ! (b 2 -

gumento siguiente para la partición

a 2) completando el ar-

a = Xo < X¡ < ... < Xn n

= b,

elíjase x¡

= !(X¡-1 + x¡). Entonces, R p =

+2

si O::; x ::; 1 si 1 < x ::; 2

26. Demuestre que

lb

x 2 dx

= ~ (b 3

-

=

!L

¡=1

a 3 ) por medio de un ar-

gumento parecido al del problema 25, pero utilizando x¡

19. f(x)

n

=

(x¡ + X¡-I)(X¡ - X¡-I)' Ahora simplifíquese R p (suma telescópica) y tómese el límite.

< x ::; 2 < x ::; 5

2x { 2 (x - 1)

L x¡ ~x¡

¡=1

si O::; x ::; 1 si 1 si 2

241

La integral definida

=

[~(X7-1

~ si O::; x ::; 1 si 1 < x ::; 2

{x - 1

~ Muchos sistemas de álgebra computacional permite la evaluación de

20. f (x)

- ~ - 2

= { _2x

sumas de Riemann para evaluación del punto frontera izquierdo, punto frontera derecho o punto medio. Utilizando tal sistema, en los problemas 27 al 30, evalúe las sumas de Riemann con 10 subintervalos utilizando evaluaciones del punto izquierdo, punto derecho y punto medio.

si -2 ::; x ::; O si O < x ::; 2

27. 1,2(x 3 + l)dx

22. Demuestre que la función f definida por

f () x =

no es integrable en [0,1] . Sugerencia: Demuestre que no importa qué tan pequeña sea la norma de la partición IPI, la suma de Riemann puede hacerse que tenga el valor Oo 1. 23. Recuerde que [x] denota el mayor entero menor o igual a x. Calcule cada una de las integrales siguientes. Puede utilizar razo-

namiento geométrico y el hecho de que

¡b

x 2 dx

1,1 29. 1,1 28.

1 si x es racional . . { O SI. X es IrraCIOnal

= b 3/3.

(Esto úl-

30.

31.

(b) l:[x

Fdx 32.

(c) 1:(x - [x])dx

cosx dx

1

3 (1/X)dX

~ Muchos sistemas de álgebra computacional y calculadoras gráficas pueden utilizarse para la aproximación numérica de integrales definidas. Utilícelas para aproximar las integrales definidas de los problemas del 31 al 36. (o indique que la función no es integrable es dicho intervalo).

timo se demuestra en el problema 26.)

(a) l:[X]dX

tan x dx

1:(-1 + ¡6

Ixl)dx

sen x dx

(d) 1:(x - [x]? dx 33. 11\x

4

-

3x

2

+ l)dx

(f) l:xlxldx

(e) l:lxldx

34. l)(X -1)/(x

(g) 1¡2¡X I [x] dx

(h) 11\2[x] dx

1,1 36. 1,2 35.

24. Sea f una función impar y g una función par, y suponga que 1,l lf (x)ldX

=

1,l g (X)dX

= 3. Utilice un razonamiento geométri-

ca para calcular cada una de las integrales siguientes:

2

+ l)]dx

(l/x) dx

tan x dx

Respuestas a la revisió.~ de conceptos:

2. integral definida,

¡

l

3. Aarriba

1. suma de Riemann -

Aabajo

4.

242

CAPíTULO

5

La integral

5.6 El primer teorema fundamental del cálculo

El cálculo es el estudio de límites, y los dos límites más importantes que hemos estudiado hasta ahora son la derivada y la integral definida. La derivada de una función f es

f'(x) = lím f(x

+ h)

- f(x)

h

h~O

y la integral definida es

l

bf

(X)dX = lím ±f(x¡)í1x¡ IPI~O ¡=1

a

Estas dos clases de límites, parece que no tienen relación entre sí. Sin embargo, hay una conexión muy estrecha, como lo veremos en esta sección. Por lo común, a Newton y Leibniz se les acredita el descubrimiento del cálculo, de manera simultánea aunque independiente. Sin embargo, los conceptos de pendiente de una recta tangente (que originaron la derivada) se conocían desde hace algún tiempo, y ya habían sido motivo de estudio de Blaise Pascal e Isaac Barrow años antes que Newton y Leibniz. Y Arquímedes había estudiado áreas de regiones curvas 1800 años antes, en el tercer siglo a. de C. Entonces, ¿por qué se les atribuye el crédito a Newton y Leibniz? Ellos entendieron y explotaron la íntima relación que existe entre antiderivadas e integrales definidas. Esta relación importante se denomina primer teorema fundamental del cálculo.

El primer teorema fundamental En su carrera de matemático ha encontrado varios "teoremas fundamentales". El Teorema fundamental de la aritmética dice que un número entero se factoriza de manera única como un producto de primos. El Teorema fundamental del álgebra dice que un polinomio de grado n tiene n raíces, contando las raíces complejas y las multiplicidades. Cualquier "teorema fundamental" debe estudiarse con cuidado y luego consignarlo de manera permanente en la memoria. Casi al final de la sección 5.4, estudiamos un problema en el que la velocidad de un objeto en el instante t está dada por v = f (t) = t 3 + 1. Encontramos que la distancia recorrida desde el instante t = O Yel instante t = 3 es igual a

i

129

n

lím ~ f(tJ í1t = -6 n~oo ¡=1 1 Usando la terminología de la sección 5.5, ahora vemos que la distancia recorrida desde el instante t = OY el instante t = 3 es igual a la integral definida

(3

n

nl~~ ~ f(t¡) ~t

=

Jo

f(t) dt

(Como la velocidad es positiva para toda t 2: O, la distancia recorrida a lo largo del tiempo t es igual a la posición del objeto en el instante t. Si la velocidad fuese negativa para algún valor de t, entonces, en el instante t, el objeto viajaría hacia atrás; en tal caso, la distancia recorrida no sería igual a la posición.) Podemos utilizar el mismo razonamiento para encontrar que la distancia s recorrida desde el instante t = Ohasta el instante t = x es

s(x)

= ¡x¡(t)dt

La pregunta que ahora planteamos es ésta ¿Cuál es la derivada de s? Como la derivada de la distancia recorrida (siempre y cuando la velocidad siempre sea positiva) es la velocidad, tenemos

y

. .I(X)

I 2 = -:;;' +-:;;

s'(x) = v = f(x) En otras palabras, d

d

dx s(x) = dx

Figura 1

(X

Jo

f(t) dt = f(x)

Ahora, definimos A( x) como el área bajo la curva de la gráfica de y = ~ t + ~ , por arriba del eje t y entre las rectas verticales t = 1 Yt = x, donde x 2: 1 (véase la figura 1). Una función como ésta se denomina función de acumulación ya que acumula el área bajo un curva desde un valor fijo (t = 1 en este caso) a un valor variable (t = x en este caso). ¿Cuál es la derivada de A?

SECCIÓN

• La integral indefinida ff(x) dx es una familia de funciones de x. bf • La integral definida (X) dx

l

es un número, siempre que a y b estén fijos. • Si el límite superior en una integral definida es una variable x, entonces la integral

es una función de x. • Una función de la forma

4

243

tG+~t)dt

En este caso podemos evaluar esta integral definida utilizando un argumento geométrico; A(x) es el área de un trapecio, de modo que

A(x)=(x-1)

+ (~ + ~ x)

1

2

1 2 2 5 =-x +-x-6

3

6

Hecho esto, vemos que la derivada de A es ,

d

A (x) = dx

(16" x + 32x - 6"5) 31x + 32 2

=

En otras palabras,

¡Xf(t) dt se denomina

función de acumulación.

y

=

A(x)

definida [e.g., ¡Xf(t) dt]

=

El primer teorema fundamental del cálculo

El área A(x) es igual a la integral definida

Terminología

F(x)

5.6

Defínase otra función de acumulación B como el área debajo de la curva y = t 2 , por arriba del eje t, a la derecha del origen y a la izquierda de la recta t = x, en donde x 2:: O (véase la figura 2). Esta área está dada por la integral definida

fax t' dt. Para encon-

trar esta área, primero construimos una suma de Riemann. Utilizamos una partición regular de [O, x] y evaluamos la función en el extremo de la derecha de cada subintervalo. Entonces!1t = x/n y el extremo derecho del i-ésimo subintervalo es ti = O + i!1.t = ix/ n. Por tanto, la suma de Riemann es

Figura 2

x 3 n (n

n

+ 1) (2n + 1)

3

6

La integral definida es el límite de estas sumas de Riemann.

[t 2 dt

=

}í,~ ~ ¡(ti) J1t x 3 n (n + 1) (2n + 1) ------n~oo n 3 6 /

= hm -

x3 2n 3 + 3n 2 + n lím - - - - - 6 n~oo n3

= -

x3

=6 Así, B(x)

02

x3

=3

= x 3/3, de modo que la derivada de B es B'(x)

d x3

=--

dx 3

En otras palabras, -d

dx

fax t o

2

=x 2

dt = x 2

244

CAPíTULO

5

La integral

Los resultados de las ecuaciones dentro de recuadros sugieren que la derivada de una función de acumulación es igual a la función que se está acumulando. Pero, ¿siempre es éste el caso? Y, ¿por qué esto es así? Suponga que estamos utilizando una brocha "retráctil" para pintar la región debajo de la curva. (Por retráctil, queremos decir que la brocha se hace más ancha o más angosta conforme se mueve hacia la derecha, de modo que siempre cubra justamente la altura que se pinta.) La brocha es ancha cuando los valores del integrando son grandes y es angosta cuando los valores del integrando son pequeños. (Véase la figura 3.) Con esta analogía, el área acumulada es el área pintada, y la tasa de acumulación es la tasa (velocidad) a la cual la pintura se está aplicando. Pero la velocidad a la que se está aplicando es igual al ancho de la brocha, en realidad, la altura de la función. Podemos establecer este resultado como sigue.

y

a

b

Figura 3

La tasa de acumulación en t = x es igual al valor de la función que se está acumulando en t = x.

Esto, en pocas palabras, es el primer teorema fundamental del cálculo. Es fundamental ya que relaciona la derivada y la integral definida, las dos clases más importantes de límites que hemos estudiado hasta ahora.

Bosquejo de la demostración Por ahora, presentamos un bosquejo de la demostración. Este bosquejo muestra las características importantes de la demostración, pero una demostración completa debe espera hasta después que hayamos establecido otros cuantos resultados. Para x en [a, b J, definimos G( x)

d dx

¡X a

=

¡

xf

(t) dt. Entonces para x en (a, b)

f(t) dt = G'(x)

/ G(x +h) -G(h) =hm------h~O h

y

=

líPoH[+hf(t)dt - [f(t)dt]

l1

= lím -h h~O

a

X

x

h

+ f(t) dt

x

La última línea se deduce de la propiedad aditiva para intervalos (Teorema 5.5B). Ahora, cuando h es pequeña, f no cambia mucho en el intervalo [x, x + h] . En este intervalo, f es aproximadamente igual a f(x), el valor de f se evalúa en el extremo izquierdo del intervalo (véase la figura 4). El área bajo la curva y = f(t) de x a x + h es aproximadamente igual al área del rectángulo con ancho h y altura f(x); esto es,

x+ h

Figura 4

1

X+\(t) dt "" hf(x). Por tanto, d

-d X

a

Figura 5

b

x

¡X a

1 f(t) dt ~ lím -h [hf(x) ] = f(x) h~O

•

Por supuesto, el error en este argumento es que h nunca es 0, así que no podemos asegurar que f no cambia en el intervalo [x, x + h] . Daremos una demostración formal al final de esta sección.

Propiedades de comparación La consideración de las áreas de las regiones R1 y Rb en la figura 5, sugiere otra propiedad de las integrales definidas.

SECCIÓN

5.6

El primer teorema fundamental del cálculo

245

Demostración Sea P: a = Xo < Xl < X2 < ... < Xn = b una partición arbitraria de [a, b] Ypara cada i sea x¡ cualquier punto muestra en el i-ésimo subintervalo [X¡-l' xJ De manera sucesiva podemos concluir que

¡(Xi)

:S

g(x¡)

¡(Xi) dx¡

:S

g(xJ dx¡

n

n

¡=l

¡=l

L ¡(Xi) dx¡:s L g(X¡) dx¡

lb¡(X)dX:5 lbg(X)dX •

y M

Demostración La gráfica en la figura 6 nos ayuda a entender el teorema. Obsérvese que m(b - a) es el área del pequeño rectángulo inferior, M (b - a) es él área del rectángulo mayor y lb¡(X) dx es el área debajo de la curva. a

Figura 6

b

x

Para demostrar la desigualdad delládo derecho, sea g(x) = M para toda X en [a, b] . Entonces, por el Teorema B,

lb¡(X)dX:5 lbg(X)dX

1 b

Sin embargo,

•

g ( x) dx es igual al área del rectángulo con ancho b - a y altura M. Así,

lbg(x) dx

= M(b -

al

La desigualdad del lado izquierdo se maneja de manera análoga. •

La integral definida es un operador lineal D"

Al principio aprendimos que

J... dx, y L son operadores lineales. Puede agregar lb... dx a la lista.

246

CAPíTULO

5

La integral

Demostración Las demostraciones de (i) y (ii) dependen de la linealidad de propiedades de límites. Demostramos (ii). b

l

L y las

n

:¿ [f(xJ + g(xJJ dx¡ IPI~O

[f(x) + g(x)Jdx = lím

¡=1

a

±

= lím [ IPI~O

=

¡=1

f(x¡) dx¡

lb

¡(X) dx

+

lb

+

±

¡=1

g(x¡) dX¡]

g(x) dx

La parte (iii) se deduce de (i) y (ii) si se escribe f(x) - g(x) como f(x) + (-l)g(x) .•

Demostración del primer teorema fundamental del cálculo Con estos resultados a la mano, ahora estamos preparados para demostrar el primer teorema fundamental del cálculo. Demostración En el bosquejo de la demostración que se presentó antes, definimos G( x) =

l

x

¡ (1) dI, Yestablecimos el hecho de que

+ h)

G(x

- G(x) =

f(t) dt

Supóngase por el momento que h > Oy sean m y M los valores mínimo y máximo, respectivamente, de f en el intervalo [x, x + h] (véase la figura 7). Por el Teorema C,

y y =f(r)

mh::::;

l

x +h

f(t)dt::::; Mh

x

o

f(x)

mh ::::; G( x x

Figura 7

l

x +h

x

x+h

+

h) - G( x) ::::; M h

Al dividir entre h, obtenemos m::::;

G(x

+ h)

- G(x)

h

::::;M

Ahora m y M en realidad dependen de h. Además, ya que f es continua, tanto m como M deben aproximarse a f(x) cuando h ~ O. Así, por el Teorema del emparedado,

lím

h~O

G(x + h) - G(x) h = f(x)

El caso en donde h < Ose maneja de manera análoga.• Una consecuencia teórica de este teorema es que toda función continua f tiene una antiderivada F dada por la función de acumulación

F(x)

=

l

x

¡(I) dI

Sin embargo, este hecho no es útil para obtener una fórmula sencilla para cualquier antiderivada particular. El proyecto de tecnología 5.2 proporciona varios ejemplos de fun-

SECCIÓN

5.6

El primer teorema fundamental del cálculo

247

ciones importantes que están definidas como funciones de acumulación. En el capítulo 7 definiremos la función logaritmo natural como una función de acumulación.

[l

EJEMPLO 1 Encuentre :x Solución

Xt3

dt

1

Por el primer teorema fundamental del cálculo,

:x EJEMPLO 2

Encuentre dd [ x

[1'

(X V

12

3 3 t dt] = x

3 t /'

dt].

+ 17

t2

•

Retamos a cualquiera a que resuelva este ejemplo, evaluando primero la integral. Sin embargo, por medio del primer teorema fundamental del cálculo, es un problema trivial.

Solución

~ [{X

12

dx EJEMPLO 3

t

3 2

3 2 /

dt] _ X / Vt 2 +17 -Vx 2 +17 2

Encuentre :x [¡'tan u cosu du

l~

<

x

•

<

3;.

Utilizar la variable muda u en lugar de t no debe preocupar a nadie. Sin embargo, el hecho de que x sea el límite inferior, en lugar del límite superior, es molesto. He aquí cómo manejar esta dificultad.

Solución

:x [¡'tan' u cos u du ] = :x [ = -

_¡Xtan' u cos u du ]

:x

[¡X

tan' u cosu du ] = -tan' x cosx

El intercambio de los límites superior e inferior está permitido si anteponemos un signo menos. (Recuérdese que por definición

1. f a

(x) dx

1

=

-1

f (x) dx.)

•

b

2

EJ EM PLO 4

Encuentre Dx [

x (3t - 1) dt ] de dos formas.

Una manera de encontrar esta derivada es aplicando el primer teorema fundamental del cálculo, aunque ahora tenemos una nueva complicación; el límite superior es x 2 en lugar de x. Este problema puede manejarse por medio de la regla de la cadena. Podemos considerar la expresión entre paréntesis como

Solución y

y= 3t-l

1

a (3t

- 1) dt

donde u

= x'

Por medio de la regla de la cadena, la derivada con respecto a x de esta función composición es

a[la (3t -

D

1) dt] . Dxu = (3u - 1)(2x) = (3x' - 1)(2x) = 6x 3 - 2x

Otra manera de encontrar esta derivada es evaluar primero la integral definida y después utilizar nuestras reglas para derivadas. La integral definida

IX' (3t -

1) dt es

el área debajo de la recta y = 3t - 1 entre t = 1 Yt = x 2 (véase la figura 8). Como el . x2 - 1 3 1 [2 + (3x 2 - l)J = 2 x 4 - x 2 - 2' área de este trapecIo es-2 Figura 8

l

1

x2

1 (3t - 1) dt = -3 x 4 - x 2 - 22

248

CAPíTULO

La integral

5

Por tanto,

• EJEMPLO 5

=

Sea A(x)

lxl3

dI.

(a) Si y = A(x), encuentre dy /dx. (b) Encuentre la solución de la ecuación diferencial resultante que satisface y = O cuando x = 1.

(c) Encuentre

14/3 dI.

Solución (a) Por el primer teorema fundamental del cálculo, dy

-

dx

= A'(x) = x 3

=

(b) Como la ecuación diferencial dy /dx

x 3 es separable, podemos escribir

dy = x 3 dx

Integrando ambos lados se obtiene y

=

J

3

X4

x dx

Cuandox = 1, debemos tener y

=4 + e

= A(l) =

1'/3 dI = O. AsÍ, elegimos e de mo-

do que, . 14 O = A(l) = 4

+e

Portanto,C = -1I4.Asíque,lasolucióndelaecuacióndiferencialesy (e) Como y = A(x) = x 4 /4 - 1/4, tenemos

1 4

1

1

44

3

1

= x4/4 - 1/4.

255

t dt=A(4)=4-¡=64-¡=4

•

El método descrito en el ejemplo 5 nos da una manera de evaluar integrales definidas. El segundo teorema fundamental del cálculo, que se desarrolla en la sección siguiente, nos da un método más eficiente.

Revisión de conceptos 1. Como 4 :::; x 2 :::; 16 para toda e en [2,4] , la propiedad de acotamiento de la integral definida nos permite decir :s:

/,\2

dx :s:

_

3. Por /,S(x

la

+ VX)dx = 4. Si

1

4f

linealidad, /'SXdX

+

14Cf(X) dx = e .

y

_

(X)dX =5ysig(x):S:f(x)paratodaxen[1,4],en-

tonces la propiedad de comparación nos permite decir que 4g (X)dx:s: _ _

1

o

SECCIÓN

5.6

El primer teorema fundamental del cálculo

249

Conjunto de problemas 5.6 En los problemas dell al 4, haga la gráfica de la función de acumulación A (x) que es igual al área indicada. 1.

y

7.

l

Z [2 f (X)

+ g(x)]dx

8.

9. j,1[2f (S) +5g(s)]ds

1

1 [2 f (S)

+ g(s)]ds + 2g(x)] dx

10. ¡1[3f (X)

11. ¡Z[3f (t) +2g(t)]dt

+ V2 g (t) + 7T]dt

12. ¡Z[V3f(t)

En los problemas dell3 al 22, encuentre G'(x). 13. G(x)

= ¡X2t dt

14. G(x)

= 112t dt

15. G(x)

= ¡x(2tZ + Vt)dt

16. G(x)

= ¡XCOS3 (2t)tan(t)dt;-7T/2 < x < 7T/2

17. G(x)

=

-1

2.

y

A(x)

1/\s 7r

18. G( x) = ¡Xxt dt

-1

3.

2)cot(2s)ds;O < x < (Tenga cuidado.)

¡"'sen I dI

19. G(x) =

20. G(x)

= ¡"'+< v'2z + sen

21. G(x)

= {X ~ dt Sugerencia: {X = {X + (O?

z dz

J-x 1 + t

J-x

2

4.

7T

Jo

J-x-

senx

l

22. G(x) = y

2

t 5 dt

cosx

23. Demuestre que la gráfica de y = f(x) es cóncava hacia arriba en todas partes si

f(x) =

A(x)

(X ~ds, Z

Jo

a+

a =1= O

SZ

Sugerencia: Demuestre que f"(x) > Opara toda real x. 24. Encuentre el intervalo en el que la gráfica de y = f(x) es cóncava hacia arriba, si

f(x) = Supóngase que ¡l!(X)dX

y

= 2, ¡Z!(X)dX = 3, ¡lg(X)dX = -1,

¡Z

g( x) dx = 4. Utilice las propiedades de las integrales indefini-

1

+t

En los problemas del 25 al 28, utilice la propiedad aditiva para intervalos y la linealidad para evaluar ¡4f (x) dx. Empiece dibujando una gráfica def

das (linealidad, aditividad para intervalos, etc.) para calcular cada una de las integrales en los problemas del 5 all2.

(X ~dt Z

Jo

25.

f(x)

26. f(x)

={

=

X

Z

x

{~

si O:::; x < 2 si 2 :::; x :::; 4

4-x

si O:::; x < 1 si 1:::; x < 2 si 2:::; x :::; 4

250

CAPíTULO

La integral

5

21

27. f(x) = Ix 28.

f (x) =

3

29. Sea F(x)

, 1 40. Encuentre hm - - 1 x-;.1

+ Ix - 31

= ¡x(t4 + l)dt.

x -

41. Encuentre f(x) si

IX -1 ++2t dt.

1

1

xf

t

(t) dt = 2x - 2.

(a) Encuentre F(O).

42. Encuentre f(x) si ¡Xf(t) dt

(b) Sea y = F(x). Aplique el primer teorema fundamental del cálculo para obtener dy /dx = F'(x) = x 4 + 1. Resuelva la ecuación diferencial dy /dx = x 4 + 1.

43. Encuentref(x) si

(c) Encuentre la solución de esta ecuación diferencial que satisface y = F(O) cuando x = O. (d) Demuestre que t(x 4

Jo

30. Sea G(x)

+ l)dx =~.

= ~X3.

=x+

1? Ex-

= ¡Xsen tdt. En los problemas del 45 al 50, decida si la afirmación dada es verdadera o falsa. Después justifique su respuesta.

(c) Encuentre la solución a esta ecuación diferencial que satisface y = G(O) cuando x = o.

45. Si f es continua y f(x) ~ Opara toda x en [a, b] ,entonces

l

¡7rsen x dx = 2.

¡° \/l+7

6

31. Demuestre que 1 :::;

Explique por qué 1 :::;

dx :::; -. Sugerencia:

(X)dX

47. Si l

(f) Haga la gráfica de y = G(x) en el intervalo [O, 41T] . 1

bf

1°

49. Si l

¡4(5 + x 3)dx

35.

1(3 + ~ )

5

tonces

1

4 (X

+ 6)5 dx

Z0

5

dx

36.

~ OYlbf(x) dx = o, entonces f(x)

=

Opara to-

1o

(

1

+ ~r dx

bf

(X) dx

> lbg(x) dx, entonces b [¡(X) - g(x) ] dx

>

O

50. Si f y g son continuas y f(x) > g(x) para toda x en [a, b], en-

21

34.

~ Opara toda x en [a, b].

(X)dX =O,entoncesf(x) = Opara toda x en [a,b].

l

\/4+7 :::; -. (Véase la suge-

[§9 En los problemas del 33 al 38, utilice una calculadora gráfica para graficar cada integrando. Después utilice la propiedad de acotamiento (Teorema C) para encontrar una cota inferior y una cota superior para cada integral definida. 33.

O, entonces f(x)

5

B) Yel resultado del problema 29d.

rencia para el problema 31.)

2

da x en [a, b] .

rrado [O, 1] ; después utilice la propiedad de comparación (Teorema

1

bf

48. Si f(x)

\/l+7 :::; 1 + x 4 para x en el intervalo ce-

32. Demuestre que 2 :::;

O.

2

46. Si lbf(x) dx

(e) Encuentre todos los puntos extremos relativos y de inflexión de G en el intervalo [O, 41T] .

38.

f(t)dt

plique.

(b) Sea y = G( x). Aplique el primer teorema fundamental del cálculo para obtener dy /dx = G'(x) = sen x. Resuelva la ecuación diferencial dy /dx = sen x.

37.

Jo

44. ¿Existe alguna función f tal que ¡Xf(t) dt

5

(a) Encuentre G(O) y G(21T).

(d) Demuestre que

(X 2

= x Z•

I[f(x)dXI > l[g(X)dXI

51. Sea f continua en [a, bJ Ypor tanto integrable allí. Demuestre que

I[f(X)dxl [lf(X)ldX os;

Sugerencia: -lf(x)1 :::; f(x) :::; If(x)l; utilice el Teorema B. 52. Suponga que f' es integrable y If'(x) I muestre que If(x)1 :::; If(a)1 + Mlx - al.

:::;

M para toda x. De-

(87r(5 + ~20 senzx) dx

J47r

(O.4( 0.002 + 0.0001 cosz x) dx

Jo.z

,

1 ¡X 1

39. Encuentre hm -

x-;.o X

+t

° - +2t dt.

Respuestas a la revisión de conceptos: 3.

4.5

1. 8; 32 2. sen 3 x;

SEcCIÓN

S.7

El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales

5.7 El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales

251

El primer teorema fundamental del cálculo, dado en la sección anterior, proporciona la relación inversa entre las integrales definidas y las derivadas. Aunque aún no es aparente, esta relación nos proporciona una herramienta poderosa para evaluar integrales definidas. Esta herramienta se denomina el segundo teorema fundamental del cálculo, y lo aplicaremos con mucha mayor frecuencia que el primer teorema fundamental del cálculo.

¿Es fundamental?

El segundo teorema fundamental del cálculo es importante al proporcionar una herramienta poderosa para la evaluación de integrales definidas. Pero su significado más profundo subyace en la relación que establece entre la derivación y la integración; entre derivadas e integrales. Esta relación es sorprendentemente clara cuando volvemos a escribir la conclusión del teorema con f(x) reemplazada por g'(x).

l

bg

Demostración Para x en el intervalo [a, b] , definase G(x)

=

¡Xf(t) dt. Entonces,

por el primer teorema fundamental del cálculo, G'(x) = ¡(x) para toda x en (a, b). De esta manera, G es una antiderivada de ¡; pero F también es una antiderivada de f. Del Teorema 4.8B, concluimos que como F' (x) = G' (x) las funciones F y G difieren por una constante. Así, para toda x en (a, b)

F(x) = G(x) +

'(X)dX = g(b) - g(a)

e

Como las funciones F y G son continuas en el intervalo cerrado [a, b] (véase el problema57),tenemosF(a) = G(a) + Cy F(b) = G(b) + C.Así que, F(x) = G(x) + Cen el intervalo cerrado [a, b] . Como G(a)

=

¡"f(t) dI = O, tenemos F(a) = G(a) + e = o + C = e

Por tanto,

F(b) - F(a)

=

[G(b)

+ e] - e = G(b)

=

[f(/) dI •

En la sección 5.1, definimos la integral indefinida como una antiderivada. En la sección 5.5, definimos la integral definida como el límite de una suma de Riemann. Usamos la misma palabra (integral) en ambos casos, aunque en este momento parece haber poco en común entre las dos. El Teorema A es fundamental ya que muestra cómo se relacionan la integración indefinida (antiderivación) y la integración definida (área con signo). Antes de ir a los ejemplos, pregúntese por qué puede utilizar la palabra cualquier, en el enunciado del teorema.

EJEMPLO 1

Demuestre que ¡bk dx

= k( b

- a), k una constante.

Solución F(x) = kx es una antiderivada de ¡(x) do teorema fundamental del cálculo,

= k. De esta manera, por el segun-

¡bkdx =F(b) -F(a) =kb -ka =k(b -a)

EJEMPLO 2

Demuestre que

¡ a

Solución

b

b2

x dx = -

2

•

a2 - -.

2

F(x) = x 2 /2 es una antiderivada de ¡(x) = x. Por tanto,

¡ a

b

b2

a2

x dx = F(b) - F(a) = - - 2 2

•

252

CAPíTULO

5

La integral

EJEMPLO 3

Demuestre que si r es un número racional diferente de -1, entonces b br+1 ar+1 xrdx = - - - - -

l

a r+1 r+1 r 1 Solución F(x) = x + /(r + 1) es una antiderivada de f(x) = x r. Así que, por el segundo teorema fundamental del cálculo, b br+1 ar+1 x r dx = F(b) - F(a) = - - - - a r+1 r+1 Si r < O, requerimos que Ono esté en [a, b] . ¿Por qué? • Es conveniente introducir un símbolo especial para F(b) - F(a). Escribimos

l

F(b) - F(a) = [F(x)]: Con esta notación, 3

{Sx 2 dx = [x ]S = 125 12 3 2 3 EJEMPLO 4

_~ 3

= 117 =39 3

Evalúe ¡:(4X - 6x 2 )dx

(a) utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo de manera directa y (b) el primero, aplicando la linealidad (Teorema 5.6D). Solución

¡:(4X - 6x 2 )dx = [2x 2

(a)

2X3]~,

-

= (8 - 16) - (2

+ 2)

= -12

(b) Primero aplicando la linealidad, tenemos

E(4X - 6x 2 )dx

= 4 Ex

dx - 6 Ex 2 dx

_ [ -x2 ] 2 - 6 [ x3 ] 2 -4 2 -1 3_1

=4(i-i) -6(~+l) •

= -12

EJEMPLO 5

Evalúe ¡"(x I/3

+ X4/3 )dx.

Solución

¡"(X I/3

+ X4/3 )dx = [ix 4/3 + Jx7/3 ]: =

(i . 16 + ~ . 128)

= ~

EJ EM PLO 6 Solución

Encuentre D,

+ 3~1

-

(i . 1 + ~ . 1)

~ 65.68

•

J.x3 sen t dt de dos maneras.

La manera fácil es aplicar el primer teorema fundamental del cálculo.

xJ.x 3 scnt dt = 3 senx

D

Una segunda forma de resolver este problema es aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para evaluat la integral de Oa x; después aplique las reglas de las derivadas.

J.' 3 sent dt =[-3 costM =-3 cosx -

(-3 cosO)

=

-3 cosx

+3

SECCIÓN

5.7

El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales

253

Entonces

Dx¡X3sentdt =DA-3cosx +3) =3senx

•

En términos del símbolo para la integral indefinida, podemos escribir la conclusión del segundo teorema fundamental del cálculo como

[f(X)dX

=

[J

f(x)dx

I

La parte no trivial de la aplicación del teorema siempre es encontrar la integral indefinida f (x ) dx. La regla generalizada para la potencia de la sección 5.1 puede aplicarse en muchos casos para evaluar una integral definida. Sin embargo, existen muchas funciones que no tienen antiderivadas que puedan expresarse en términos de funciones elementales.

f

EJEMPLO 7

Evalúe

+ l)dx.

= x 2 + x; entonces du = (2x +

Sea u

Solución

¡4~ (2x

J~

(2x

+ l)dx = =

J

U' /

1) dx. Así que, 2

du

= ju3 / 2 + e

Hx 2 + X)3/2 + C

Por tanto, por el segundo teorema fundamental del cálculo,

¡4~ (2x

+ l)dx = [¡(x' + x)'!' + C]ri = [~(20)3/2

+ C] - [O + CJ

= ~ (20f/2 ~ 59.63

•

Obsérvese que la e de la integración indefinida se cancela, siempre será así, en la integración definida. Esto es por lo que en el enunciado del segundo teorema fundamental del cálculo podemos utilizar la frase cualquier antiderivada. En particular, siempre podríamos elegir e = o al aplicar el segundo teorema fundamental. También obsérvese que la derivada de u es precisamente 2x + 1. Esto es lo que hace el trabajo de sustitución. Si la expresión entre paréntesis fuese 3x + 1 en lugar de 2x + 1, la regla generalizada para la potencia no se aplicaría y tendríamos un problema mucho más difícil.

EJEMPLO 8 Solución

Evalúe

=

Sea u

J

¡'/4

sen3 2x cos 2x dx.

sen 2x; entonces du

3

sen 2xcos2x dx

=~

J

=

2 cos 2x dx. De esta manera,

3

(sen 2x)(2cos2x) dx

1 u4

=~

J

u3 du

sen42x

=--+C=--+C 2 4 8

Por tanto, por el segundo teorema fundamental del cálculo,

¡

7T/4

o

EJEMPLO 9 Solución

sen3 2x cos 2i: dx =

Evalúe

¡i[

[sen42x]7T/4 1 1 = - - O= 8 o 8 8

x' + (x' + l)'x] dx.

•

254

CAPíTULO

5

La integral

La primer integral es fácil de resolver en forma directa. Para manejar la segunda, hacemos u = x 2 + 1, de modo que du = 2x dx, y escribimos

J

(x'

+

l)'x dx

=~

J

(x

2

+ 1)' 2x dx = ~

J

4

u du

1 u5 (x 2 + 1)5 =--+c= +c 2 5

10

Por tanto,

EJ EM PLO 10 La figura 1 muestra la gráfica de una función f que tiene tercera derivada continua. Las líneas discontinuas son tangentes a la gráfica de y = f(x) en (1, 1) yen (5,1). Con base en los que se muestra, diga, si es posible, si las integrales siguientes son positivas, negativas o cero.

y

(a) 1'[(X) dx

(b) [['(X)dX

1'["

(d) [f"'(X)dX

(c)

(x ) dx

Solución x

Figura 1

(a) La función f es positiva para toda x en el intervalo [1,5] ,y la gráfica indica que hay cierta área por arriba del eje x. Parlo que,

1'[(x) dx > O.

(b) Por el segundo teorema fundamental del cálculo,

[nX)dX

= [(5) - [(1) = 1 -1 = O

(c) Otra vez utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo (esta vez con l' como una antiderivada de f"), vemos que

[["(X) dx

= ['(5) - ['(1) = O - ( - 1) = 1

(d) La función f es cóncava hacia arriba en x = 5, de modo que f" (5) > 0, y es cóncava hacia abajo en x = 1, de modo que f"(l) < O. Así que,

[f"'(X)dX

=

["(5) - ["(1) > O

•

Este ejemplo ilustra la notable propiedad que indica lo siguiente: para evaluar una integral definida todo lo que necesitamos conocer son los valores de una antiderivada en los puntos frontera a y b. Por ejemplo, para evaluar

l'["(

x) dx, todo lo que nece-

sitamos conocer era 1'(5) y 1'(1); no necesitábamos conocer l' y f" en los puntos del intervalo abierto (a, b).

El Teorema del valor medio para integrales En este momento usted se debe haber dado cuenta que el Teorema del valor medio para derivadas desempeña un papel importante en cálculo. Existe un teorema del mismo nombre para integrales, que también es importante. Geométricamente, dice que existe algún e en el intervalo [a, b]

SECCIÓN

5.7

El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales

255

tal que el área del rectángulo con altura f(e) y ancho b - a es igual al área debajo de la curva. (Véase la figura 2.) En la figura 2, el área de bajo de la curva es igual al área del rectángulo sombreado.

a

e

b

Figura 2

[;J Estimación de integrales

El Teorema B con la figura 2 que le acompaña, sugiere una buena manera de estimar el valor de una integral definida. El área de la región bajo la curva es igual al área de un rectángulo. Uno puede hacer una buena estimación de este rectángulo simplemente "echando un vistazo" a la región. En la figura 2, el área de la parte sombreada por arriba de la curva debe coincidir con el área de la parte en blanco por debajo de la curva.

Demostración Sea G(x) =

l

xf

(l) dI,

a s; x

b

S;

Por el Teorema del valor medio para derivadas aplicado a G, existe un punto e en (a, b) tal que

G(b) - G(a) = G'(c)(b - a) Esto es,

[f(t) dI

- O = G'(c)(b -

al

Pero, por el primer teorema fundamental del cálculo, G'(e) gue. •

= f(e). La conclusión se si-

Obsérvese que si despejamos f(e) en la conclusión del Teorema B obtenemos

f(e)

El número

[a,

l

bf

(l)dI

b - a

1

f( X ) dx/ (b - a) se denomina valor medio, o valor promedio, de f en

b

bJ . Para

ver por qué tiene este nombre, considere una partición regular P: X2 < ... < Xn = b con ~X = (b - a)/n. El promedio de los n valores, f(x l ), f(x 2 ),···, f(x n ) es

a

=

Xo

<

Xl

<

= _1_ if(x¡) b - a

b - a

1

i=l

n

n

=-

b - a

Lf(Xi)dX i=l

La suma en la última expresión es una suma de Riemann para f en [a, se aproxima

lb

f( x) dx cuando n ---+ oo. Así, (

lb

bJ Ypor tanto

f( X ) dx ) / (b - a) aparece como

la extensión natural de la noción familiar de valor promedio.

256

La integral

5

CAPíTULO

Revisión de conceptos 1. Si f es continua en [a, b J y si allí F es cualquier

l

de f, entonces

bf

(X)dX

=

1 3

_

3.

_

Ji =

_

= [_ _ J=! = _ _

J-2

_

[x 3/3

=

{-l X - 2 dx

4.

. 2. El símbolo [F (x) ]:, se establece para la expresión

x 2 dx

o

Conjunto de problemas 5.7 En los problemas del 1 al 14, utilice el segundo teorema fundamental del cálculo para evaluar cada integral definida.

x

35. f(x)

1. 12x3 dx 3. 11\3x - 2x 5.

+ 3)dx

{4 ~ dw

4. 6.

JI w 2 Vi dt

1 4

7.

9.

11.

1

f(l + :}Y

10.

eos x dx

12.

1'/2 1

13. 1 (2x 4 - 3x 2 + 5)dx

1'S4 s~ 8

39.

ds

1~:22 sen I dI

17.1-1

18.

3

19. 21.

23.

{s 8

Js

1

(t

+ 2)

2

dt

Vh+l d;

ro -v:Y=l

J2

1 13

-v7+2t2 (8t) dt

1'/2 2

eos x sen x dx

22.

1

24.

+ senx)dx

l

dy 47. 49.

{04[ vX + Vh+l]dx

Jo

29. 1\x2 + 2X)2 dx

31. Evalúe

{X t3 dt.

JI

28.

{-11 -

J-4

1

8a

30.

2s

±

i=l

2: n

n-'>oo i=l

[sen ( 7Ti ) ]

[

1

n

48. lím

n

~n

+ -2in + ( -2in ) 2] -n2 n

1

2: i

2

debe ser una buena aproxi-

i=l

1

x 2 dx para n grande. Ahora calcule la expresión de la su-

f

52. Evalúe

J-1

¿ (2i)3 -n -n2

n-'>oo i=l

51. Explique por qué (1/n 3 )

1 13 (a /3 - X / dx

32. Evalúe (x(t

!)S dx x

ma para n = 10 Yevalúe la integral por medio del segundo teorema del cálculo. Compare sus resultados.

+ Itl)dt.

En los problemas del 33 al 38, encuentre el valor promedio de la función dada en el intervalo que se da.

33. f(x) = 4x3;[1,3]

lím

50. lím

+ eosx]dx

2S4 ds

(20( 1 +

JlO

44. f(x) = x 2; [-1, 1] 46. f(x) = Ixl; [-2, 2J

}~~~ (~r ~

sen2 3x eos 3x dx

26. l'/2[4x

+ sen(x 2)]dx

(X) dx/(b - a).

n-HXJ

mación a 27.

bf

2

W 25. l'/2(2X

[3

En los problemas del 47 al 50, primero reconozca el límite dado como una integral definida y después evalúe la integral por medio del segundo teorema fundamental del cálculo.

+ 1 dx 3 Vx + 3x

l'/2

42.

43. f(x) = ~; [0, 3J 45. f(x) = Ixl; [O, 2J

1 dx V2x + 2 x

40.

J-1 1 + x 2

7

20.

1

1 3 -3

~ (3x 2)dx

+ senx)4 dx

En los problemas del 43 al 46, encuentre un valor c en el intervalo dado que satisfaga

En los problemas del 15 al 30, utilice el segundo teorema fundamental del cálculo combinado con la regla generalizada para la potencia para evaluar cada integral definida.

1:

1 2

(5

r _2_ dx

41.

f(c) =

16.

1

27r

dw

1 14. 1 (x 4/ 3 - 2X 1/ 3)dx

15. ¡1(X 2 + 1)1O(2x) dx

2 + Ixl; [-2, 1]

=

grando en los problemas del 39 al 42. Después estime la integral como se sugiere en la nota al margen que acompaña al Teorema B.

t

1~

; [0, 3J

[§Q GJ Utilice una calculadora gráfica para hacer la gráfica del inte-

(3 ~3dt 8

8.

+ 16

37. f(x) = coSX;[O,7TJ 38. f( x) = sen2 x cos x; [0, 7T /2]

2 3 (4X + 7)dx

JI

2

36. f(x) = x + Ixl; [-3,2]

2. 1:X4 dx

2

x

= V

34. f(x)

1:(2[

x] - 31xl) dx.

53. Demuestre que! xlxl es una antiderivada de Ixl y utilice este hecho para obtener una fórmula sencilla para

l

b ¡X dx. I

54. Encuentre una fórmula sencilla para lb [x] dx, b

> O.

SECCIÓN

5.7

El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales

55. Aseguramos que

la

b

XII dx

+ ~lbl1 vy dy = bn +1 -

la'

a n +1

(a) Utilice la figura 3 para justificar esto por medio de un argumento geométrico. (b) Demuestre el resultado utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo. (c) Demuestre que A n = nB n'

(a) (c)

1 1

3f

3f

1 1

257

3

(X)dX

(b)

l/(X)dX

(d)

f'(X) dx

3f

"'(X)dX

60. La figura 5 muestra la gráfica de una funciónf que tiene tercera derivada continua. Las líneas discontinuas son tangentes a la gráfica de y = f(x) en los puntos (0,2) Y(4,1). Con base en los que se muestra, diga, si es posible, si las integrales siguientes son positivas, negativas o cero.

y

1 1 4

(a) ¡4f (X) dx

(b)

1 4

(e)

f'(X) dx

4

(d)

!"(x) dx

f'I/(X)dX

y

x

b

a

Figura 3

56. Proporcione una demostración del Teorema del valor medio para integrales (Teorema B) que no utilice el primer teorema fundamental del cálculo. Sugerencia: Aplique el Teorema de existencia de máximos y mínimos y el Teorema del valor intermedio. \

(a) Sea G~x) = lXf(t) dt. Demuestre que G es continua en [a, b]. (b) Sea F( x) cualquier antiderivada de f en [a, b]. Demuestre que F es continua en [a, b]. 58. Proporcione un ejemplo para demostrar que la función de

acumulación G(x)

=

x

1\

57. Suponga que f es continua en [a, b].

¡Xf(X) dx puede ser continua aun si f no es

continua. 59. La figura 4 muestra la gráfica de una función f que tiene tercera derivada continua. Las líneas discontinuas son tangentes a la gráfica de y = f(x) en los puntos (0,2) Y (3, O). Con base en lo que se muestra, diga, si es posible, si las integrales siguientes son positivas, negativas o cero.

\ \

Figura 5

61. Demuestre el segundo teorema fundamental del cálculo siguiendo el método sugerido en el ejemplo 5 de la sección 5.6. 62. La figura 6 muestra la temperatura T como una función del tiempo t (medido en horas después de la medianoche) para un día en San Luis Missouri.

(a) Aproxime la temperatura promedio para el día. (b) ¿Debe existir algún instante cuando la temperatura es igual a la temperatura promedio para el día? Explique.

T

y 60

,

,,

¡¡..

,

50

o

", (1,2)

~

~~~~~~~'~:,~,:~"~,::,~,: ~

::l

E 1, In x < 2( Vi - 1) para x > 1.

(b) lím (In x) / x = O. x---+oo

43. Calcule lím [_1_ + _1_ + ... + ~] n + 1 n + 2 2n

n---+oo

SECCIÓN

]1

1

o

••

+ 1 + n/n ;;

y reconociendo lo último como una suma de Riemann. 44. Un teorema famoso (el Teorema de los números primos) dice que el número de primos menores que n para n grande es aproximadamente n /(ln n). ¿Alrededor de cuántos primos hay menores que

51. Sea f(x) = In (1.5 + sen x). (a) Encuentre los puntos extremos absolutos en [O,J1T]. (b) Encuentre los puntos de inflexión que haya en [O, J1T].

~

W

(c) Evalúe

45. Encuentre y simplifique f'(1). ax - b) e a2 - b2 (a) f(x) = In ( - - b ,donde e = --b-' ax + 2a

fU cos tdt,dondeJL = 2

1

7T 3

(a)

/

(b)

tan x dx

52. Sea f(x) = cos(ln x). (a) Encuentre los puntos extremos absolutos en [0.1,20]. (b) Encuentre los puntos extremos absolutos en [0.01,20].

ln(x 2 + x -1).

¡

ln(1.5 + senx)dx.

~

(c) Evalúe 46. Evalúe

1

37T

1,000,000?

(b) f(x) =

325

Funciones inversas y sus derivadas

50. Demuestre la desigualdad de Napier, la cual dice que, para O < x < y, 1 lny - In x 1 -< Opara toda x, vemos que f'(x) < Opara x < -2, f' (- 2) = OYf' (x) > Opara toda x > -2. Por lo que, f es decreciente en ( -00, - 2] Y creciente en [-2, (0), Ytiene su valor mínimo en x = -2, de f( -2) = -2/e ~ -0.7. También,f"(x) < Opara x < -4,f"(-4) = O,y f(x) > O para x > -4; de modo que la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (-00, -4) Ycóncava hacia arriba en (-4,00), Y tiene un punto de inflexión en (-4, -4e-2 ) ~ (-4, -0.54). Como lím xe Xf = O, X ---? --00

la recta y = Oes una asíntota horizontal. Esta información apoya la gráfica de la figura 4. Figura 4

•

334

CAPíTULO

7

Funciones trascendentales

La fórmula de la derivada Dxe x = eX de forma automática produce la fórmula de la integral eX dx = eX + C, o, con u en lugar de x.

J

J

I EJEMPLO 4 Solución

Evalúe

=

eH

+

eI

J

e-4x dx.

Sea u = -4x, de modo que du = -4 dx. Entonces

EJEMPLO 5 Evalúe Solución

eH du

-

J

x 2 e- x' dx.

Sea u = - x 3 , de modo que du = - 3x2 dx. Entonces

=-

~

J

eH d u

= -j eH + e

-

= -1e-x3 + C

EJEMPLO 6 Solución

Evalúe,l,3 xe-

3x2

dx.

Sea u = -3x 2 , por lo que du = - 6x dx. Entonces

Así, por el segundo teorema fundamental del cálculo,

e- 3 - e- 27 --6

~

0.0082978

El último resultado puede obtenerse de manera directa con una calculadora.

_

Aunque el símbolo eY sustituirá en gran parte del resto del libro a exp y, ésta aparece con frecuencia en la escritura científica. Por ejemplo, en estadística, muchas veces uno encuentra la función de densidad normal (véase el problema 48), que es

f(x) =

1

[(X -

~ ¡;:- exp -

cr V 27T

¡..t 2

2cr

)2]

SECCIÓN

7.3

La función exponencial natural

335

Revisión de conceptos 1. La función In es notada por In-lo por

en (0,00) y así tiene una inversa de-

3. Como eX

ln(e

_

2. El número e se define en términos de In por lor con dos decimales es _

; su va-

X

)

= __

= exp x = ln- l x, se sigue que eln x =

y

o

4. Dos hechos notables acerca de eX son que Dx(e X) y Jexdx = - - -

=

_

Conjunto de problemas 7.3 W

1. Utilice su calculadora para calcular cada una de las expresiones siguientes. Nota: En algunas calculadoras existe un botón~. En otras debe presionar los botones [IIDl] y Iln xl. (a) e3 (b) e2.1 (c) e V2 (d) eCOS (ln 4)

37. Encuentre el volumen del sólido que se genera al hacer girar, alrededor del eje x, la región acotada por y = eX, y = O, x = OYx = In 3. 38. La región acotada por y = e -x", y = O, x = OY x = 1 se hace girar con respecto al eje y. Encuentre el volumen del sólido resultante.

W

2. Calcule lo siguiente y explique por qué sus respuestas no son sorprendentes.

(b) e(1n64)/2

(a) e3ln2

39. Encuentre el área de la región acotada por la curva y = e-X

y la recta que pasa por los puntos (O, 1) Y(1, l/e). x

En los problemas del 3 al] 0, simplifique la expresión dada. 3. e31nx

4. e-21nx

5. In e cosx

6. In e- 2x -

40.Demuestrequef(x) = - - - ln(l - e-x)esdecrecieneX - 1 te para x > O.

W

41. La fórmula de Stirling dice que para n grande, podemos aproximar n! = 1· 2 . 3 ... n por

3

8. ex - Inx 9. e1n 3 +

2 In x

En los problemas del 11 a122, encuentre DxY (véanse los ejemplos] y 2).

(a) Calcule lO! de manera exacta luego de forma aproximada por medio de la fórmula anterior.

12. Y = e2x"-x

(b) Aproxime 601.

13. y = e~+2

14. y

W

15. y = e2lnx

16. Y = ex/ lnx

11. Y

=

eX + 2

e-l/x"

=

17. y

=

x 3 ex

18. y = ex'lnx

19. y

=

~ + eW

20. y = el/X" + l/ex"

21. eXY + xy

=

2 Sugerencia: Utilice derivación implícita.

22. eX + y = x + y 23. Utilice su conocimiento de la gráfica de y = eX para hacer un dibujo de las gráficas de (a) y = -eX y (b) Y = e-X. 24. Explique por qué a < b => e-a> e-b.

En los problemas del 25 al 28, analice y bosqueje la gráfica de la función que se da, como en el ejemplo 3. 25. f(x)

=

xe- X

27. f(x) = e-(x-2)"

26. f (x)

En los problemas del29 al 36, encuentre cada integral.

J

30.

31.

¡(X + 3 )e x"+6x dx

32.

3x 1 e + dx

¡e-l/X --dx 33. x2

34.

35. lle2x+3 dx

36.

°

J J J

x2 xe - 3 dx eXd x -eX - 1

43. Encuentre la longitud de la curva dada paramétricamente por medio de x = el sen t, Y = el cos t, O :s; t :s; 1T.

W

44. Si clientes llegan a un contador de registro a una tasa promedio de k por minuto, entonces (véase libros sobre probabilidad) la probabilidad de que exactamente n clientes lleguen en un periodo de x minutos está dado por la fórmula ~1(X) =

1X

2 3x e2 / dx -

(kx Y' e- kx ,

n.

,n

=

0,1,2, ...

Encuentre la probabilidad de que lleguen exactamente 8 clientes durante un periodo de 30 minutos, si la tasa promedio para este contador de registro es de 1 cliente cada 4 minutos. 45. Sea f(x) = (a) lím~ f (x) y lím x-+o

x-+oo

lnx 2 para x en (0,00). Encuentre: 1 + (In x)

f (x );

(b) los valores máximo y mínimo de f(x);

x

ex+e dx

1

U tilice este resultado para aproximar eO. 3 y compare su resultado con lo que obtiene calculándolo directamente. (Las computadoras y calculadoras utilizan sumas como ésta para aproximar eX.)

eX + x

=

28. f(x) = eX - e-X

29.

42. Más adelante demostraremos que (sección 11.1) que para x pequeña

(e) F'( ve) si F(x)

y

=

~

l"'f(f) di.

46. Sea R la región acotada por x = O, Y eX que pasa por el origen. Encuentre:

=

eX recta tangente a

336

CAPíTULO

7

Funciones trascendentales

(a) el área de R; (b) el volumen del sólido que se obtiene cuando R se hace girar alrededor del eje x. e 1/ n + e2/ n + ... + en / n 47. Evalúe lím - - - - - - - n-HXJ n

51. Encuentre el área de la región entre las gráficas de y f(x) = exp( - x 2 ) y yl/(x) en [- 3,3]. ~

f (x) =

1

[ ( x - J.L

~ ¡;:;- exp -

2

a- V 271'

52. Dibuje las gráficas de y = xPe- X para diferentes valores de

p utilizando los mismos ejes. Haga conjeturas acerca de: (a) lím x P e~x,

48. La función de densidad (de probabilidades) normal con media J.L y desviación estándar a- se define como

Y=

X-HXJ

(b) la abscisa x del punto máximo paraf(x)

)2]

Demuestre que:

54. Dibuje las gráficas defy f',dondef(x) = J.L

x~o

~a)

1:

2

exp (-1/ x ) dx

[81T

Jo e

(b)

50. Evalúe. lím(l + x )1/x

-O.lx

(b) lím(l + x~o

x~o

7.4 Funciones exponencial y logarítmica generales

xPe- X • e~X)

=

para x grandes

1/(1 + e1/ X ).Des-

pués determine cada uno de los siguientes: (a) lím_f(x) (b) lím_f(x)

± a-.

[§g Utilice una calculadora gráfica o un SAC para resolver los problemas del 49 al 54. 49. Evalúe.

(a)

=

53. Describa el comportamiento de In(x 2 + negativas. Para x grandes positivas.

2a-

(a) su gráfica es simétrica con respecto a la recta x = J.L; (b) tiene un máximo en x = J.L Y puntos de inflexión en x

=

(e)

x~o

lím f(x)

(d) límf'(x)

x~±oo

x~o

(e) Los valores máximo y mínimo de f (si existen).

senx dx

xt

Respuestas a la revisión de conceptos:

1 x /

2. In e

=

1; 2.72

3. x; x

4. eX; eX +

1. creciente; exp

e

En la sección anterior, definimos e \12, e71" y otras potencias irracionales de e. Pero, ¿qué hay acerca de 2\12, 1T7T", 1T e , ~, y potencias irracionales de otros números? De hecho, queremos darle significado a aX para a > O y x cualquier número real. Ahora, si r = p/q es un número racional, entonces a r = Pero, también sabemos que

(vay.

ar = exp(lna r) = exp(r lna) = erina Esto sugiere la definición de la función exponencial para la base a.

¿Qué significa 271"?

En álgebra, 2n se define primero para enteros positivos n. Así, 21 = 2 Y 24 = 2 . 2 . 2 • 2. Después, definimos 2" para cero,

Definición Para a

> O y cualquier número real x,

2° = 1

Y para enteros negativos: 2- n = 1/2"

si

n > O

Esto significa que 2- 3 = 1/23 = 1/8. Por último, usamos las funciones raíces para definir 2r para números racionales r. Así, 27/ 3 = Y.fi! El cálculo se requiere para ampliar la definición de 2x al conjunto de los números reales. Una manera de definir 271" sería decir que es el límite de la sucesión

Por supuesto, esta definición será apropiada sólo si las propiedades usuales de los exponentes son válidas para ella, un tema que en breve abordaremos. Para apuntalar nuestra confianza en la definición, la utilizamos para calcular 32 (con un poco de ayuda de nuestra calculadora):

32 = e 21n3

~

e2 (1.ü986123)

~

9.000000

Tu calculadora puede dar un resultado que difiera un poco de 9. Las calculadoras utilizan aproximaciones para eX y In x, y redondean a un número fijo de decimales (por lo común alrededor de 8). Ahora podemos llenar un pequeño hueco en las propiedades del logaritmo natural que se dejó desde la sección 7.1.

Ir-¡-n-(a-X)-=-ln-(-ex-In-a-)-=-x-I-n-a

i

23,23.1,23.14,23.141, ...

La definición que usamos es 271" = e71"ln2

AsÍ, la propiedad (iv) del Teorema 7.1A se cumple para todo real x, no sólo para x racional, como se afirmó allí. Necesitaremos este hecho en la demostración del teorema A siguiente.

Esta definición implica al cálculo, ya que nuestra definición de logaritmo natural incluye la integral definida.

Propiedades de

aX

El Teorema A resume las propiedades conocidas de los exponentes, todas las cuales pueden demostrarse ahora de una manera completamente rigurosa. El Teorema B nos muestra cómo derivar e integrar aX •

SECCION 7.4

'èorema A

I(JJl

I-' rop? -

a > 0, b > 0 y x y y

C

es

Funciones exponencial y logarItmica generales 337

d ' los 2xponentes

n'es n nUDeros reales, enti.

(ii) a'- =

a'a = a'; jjp (x)Y = a'

ax

(iv) tab) X -

-x

(r Demostración

Contentémonos con demostrar (ii) y (iii), dejándole las demás a usted.

= eln(Y) = emnax_h

= e_11a =

=

(ax)Y = evla = Teorerria E 1

= a-

axv

.Jn xpo. xi,. DX - LU ii xaa = 1- ax+C Taxicx :(

-P;4S -'-a ü

'U.nc J

a1

IL [flU ).

J Demostración

Dxax = Dx(e) - exln1aD(x in a) = a-'1na La formula para ia integral se deduce de inmediato a partir de la fOrmula para ia den-

vada. Encuentre D(3).

EJEMPLO 1

So!ución

Utilizamos la regla de la cadena con=u

D(3) = 31n3 EJEM PLO 2

Encuentre dy/dx, si y

31n3

DX\/

U

2\/

(x4 + 2) +

5x4+2

Solución

dy = 5(x + 2) 4x3 + 5x4+2 in 5 4x3 dx = 4x3[5(x4 + 2) + 5X4+2 1115]

Por qué otras bases? En realidad, L,son necesarias otras bases distintas de e? No. Las formulas ax = y

EJEMPLO 3

logax =

in a

nos permite convertir cualquier problema que impiica funciones exponenciales o funciones logarItmicas con base a a funciones correspondientes con base e. Esto sustenta nuestra terminoiogIa: funciones exponencial natural y logaritmo natural. También explica el uso universal de estas funciones en trabajo avanzado.

.

= 20x3[(x4 + 2) + x+i inS]

Solución

Encuentre

f 23x

dx.

Sea u = x3, por lo que du = 3x2 dx. Entonces

f23x dx

= f23(3x dx) fu =

12U

31n2

+c=

2x3

31n2

+c

du

.

La función I09a Por Oltimo, estarnos preparados para hacer una conexión con los logaritmos que usted estudiO en algebra. Observemos que si 0 < a < 1, entonces f(x) = es una función decreciente; si a > 1, es una función creciente, como puede verificarlo con-

338

CAPíTULO

7

Funciones trascendentales

siderando la derivada. En cualquier caso, f tiene una inversa. A esta inversa le llamamos la función logaritmo de base Q. Esto es equivalente a la definición siguiente.

Definición Sea a un número positivo distinto de 1. Entonces y

= loga x

-#

x = aY

Históricamente, la base más comúnmente utilizada fue la base 10, y los logaritmos resultantes fueron denominados logaritmos comunes. Pero en cálculo y todas las matemáticas avanzadas, la base importante es e. Nótese que loge, al ser la inversa de f(x) = eX, sólo es otro símbolo para In; esto es, logex = lnx

Hemos cerrado el círculo (véase la figura 1). La función In, que introdujimos en la sección 7.1, resultó ser un logaritmo ordinario de una base especial, e. Ahora obsérvese que si y = loga x de modo que x = aY, entonces

Figura 1

lnx

=

ylna

de lo cual concluimos que lnx loga x = - lna

De esto, se sigue que loga satisface las propiedades usuales asociadas con los logaritmos (véase el Teorema 7.1A). También,

1 D x loga x = - I x na EJEMPLO 4 Solución

Si Y = IOglO(X 4

dx

Y=X'

~

dy dx.

Sea u = x 4 + 13 y aplique la regla de la cadena. dy

y

+ 13), encuentre

1 4x 3 - - - - - - . 4x 3 = - - - - - 4 4 (x + 13)ln 10 (x + 13)ln 10

Las funciones aX , xa y XX

Iniciamos comparando las tres gráficas de la figura 2. Con mayor generalidad, sea a una constante. No confunda f(x) = a X, una función exponencial, con g( x) = x a, una función potencia. Y no confunda sus derivadas. Acabamos de aprender que

36

30

I Dia x ) =

24

aXlna

I

¿Qué hay acerca de DAx a )? Para a racional, demostramos, en el capítulo 3, la regla de la potencia, la cual dice que

18

12

Ahora afirmamos que esto es cierto aun si a es irracional. Para ver esto, escríbase

4

Figura 2

•

x

a = x a . - = ax a- 1 x

Funciones exponencial y logarítmica generales

7.4

SECCIÓN

339

La regla correspondiente para integrales también se cumple, aun si a es irracional.

xa+l xadx = - - + C a +1 '

J

a

-1

=1=

Por último, consideramos f(x) = xx, una variable a una potencia variable. Existe una fórmula para DAx X ), pero no le recomendamos que la memorice. En lugar de eso, le sugerimos que aprenda dos métodos para encontrarla, como se ilustra a continuación.

EJEMPLO 5 Si Y = xx, x > 0, encuentre DxY por medio de dos métodos diferentes.

Solución Método 1 Podemos escribir Así, por la regla de la cadena,

~ + Inx)

DxY = exlnx DAxlnx) = xx( X· Método 2

= xX(1 + Inx)

Recuerde la técnica de la diferenciación logarítmica de la sección 7.1.

lny = xlnx

1 1 - D Y = x· - + lnx y

x

x

•

DxY = y(l + lnx) = xX(l + lnx) EJEMPLO 6

Si Y

= (x 2 + 1)1T +

7T

senx

,

encuentre dy/dx.

Solución

-dy = dx

EJEMPLO 7

Solución

Si Y

(2 +

7T X

= (x 2 +

1

)1T-l (2x) +

7T

sen

•

x In 7T • cos x

dy

l)senx,

encuentre dx'

Utilizamos la diferenciación logarítmica. In y = (sen x) In (x 2

+ 1)

1 dy 2x --d = (senx) - 2 - - + (cosx)ln(x 2 + 1) y x x + 1

dY (2 -d = x x

De aX a [f(X)]9(X)

Obsérvese la creciente complejidad de las funciones que hemos considerado. La progresión aX a x a a XX es una cadena. Una cadena más complicada es af(x) a [¡(x)]a a [¡(x) ]g(x). Ahora sabemos cómo encontrar las derivadas de todas estas funciones. Determinar la derivada de la última de éstas se realiza mejor por medio de diferenciación logarítmica, una técnica introducida en la sección 7.1 e ilustrada en los ejemplos 5 y 7.

+ 1)sen x[ 2x2 sen x + x + 1

(COS

(2)-

X) In x + 1

1 51/x

EJEMPLO 8

Solución

Evalúe

Sea u

1

-2 1/2 X

dx.

= l/x, por lo que du = (-1/x 2 ) dx. Entonces

J5~~X

dx

=-

J

51/ X (

5U In 5

-

~2 dx )

=-

51/ x In 5

J

=--+c=--+c

Su du

_

•

340

7

CAPíTULO

Funciones trascendentales

Por tanto, pora el segundo teorema fundamental del cálculo,

1 s1/x

1 1/2

-dx= 2

[SI/X]1

x

-In S

1/2

1 =_(S2_S) In S

20

•

= InS ~ 12.43

Revisión de conceptos 1. En términos de e y In, 7T V3 = _ lidad, aX =

o

Con mayor genera-

x=

3. loga x puede expresarse en términos de In por medio de loga _

4. La derivada de la función potencia f(x) = x a es f'(x) = _ _ _; la derivada de la función exponencial g(x) = aX es

2. Ln x

=

loga x, donde a =

g'(X)

_

=

_

Conjunto de problemas 7.4 En los problemas del 1 al 8, despeje a x. Sugerencia: logab

=

2. logs x = 2

3. 10g4x = ~

4. 10gx64 = 4

~)

=1

6.

10g4(2~)

=

b.

m 34. Sea f(x) =

=

3

M

(ln x)/(ln a) para calcular cada uno de los logaritmos en los problemas del 9 al 12.

10. 10g7(0.11) 12. 10gIO (8.57)?

m En los problemas del 13 alIó, utilice logaritmos naturales para resolver cada una de las ecuaciones exponenciales. Sugerencia: Para resolver y = 11, tome In de ambos lados, obteniendo x In 3 = In 11; entonces x = (In 11) /(ln 3) = 2.1827. 14. 5x

=

Encuentre la derivada o integral que se indica (véanse los ejemplos del 18. Di3zx2_3X)

19. D x 10g3 eX

20. D x 10gIO(X3 +

21. D z [3Zln(z + 5)]

22. De Vlog lO (3

x2 x2 dx

24.

9)

eLe

)

J

10sx - 1 dx

1

\IX dx

En los problemas del 27 al 32, encuentre dy/dx. Observación: Debe distinguir entre los problemas del tipo aX, x ay XX como en los ejemplos deiS al 7. 2 27. y = 10(x ) + (XZ)lO 28. y = sen z x + 2senx

Y

29. y = x + 1 + (7T + 1Y 30. Y = 2V ) + (2 e 31. y = (X Z + 1 )lnx 32. y = (in X2)ZX+3 33. If f(x) = x senx , encuentre 1'(1) 7T

¿Cuál es mayor,f(e) o g(e)?

=

0.67 10glO(0.37 E) + 1.46

donde E es la energía del terremoto en kilowat-hora. Encuentre la energía de un terremoto de magnitud 7. De magnitud 8.

m 38. La intensidad del sonido se mide en decibeles, en honor de Alejandro Graham Bell (1847-1922), inventor del teléfono. Si la variación en la presión es de P libras por pulgada cuadrada, entonces la intensidad L en decibeles es

L

=

20 10glO(121.3P)

Encuentre la variación en la presión causada por una banda de rack a 115 decibeles. En la escala igualmente templada a la cual se han afinado los instrumentos de teclas desde la época de 1. S. Bach (1685-1750), las1!"ecuencias de notas sucesivas C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#,A,A#, B, (Do, Do sostenido, Re, Re sostenido, Mi, Fa, Fa sostenido, Sol, Sol sostenido, La, La sostenido, Si,l?o, respectivamente) forman una progresión geométrica, en la que tiene el doble de la frecuencia de C. ¿Cuál es la razón r entre las frecuencia~sucesivas? Si la frecuencia de A es 440, encuentre la frecuencia de C.

e

40. Demuestre que 10gz3 es irracional. Sugerencia: Utilice la demostración por contradicción. [§g 41. Usted sospecha que los datos xy están en una curva exponencial y = AbX o bien en una curva potencia y = Cx d . Para verificar, grafique In y contra x en una gráfica y In y contra In x en otra. (Las calcu-

45vX

25.

•

e

17. D x(6zx )

J 1

7T

W 39.

13

1 al 4).

23.

x

m 37. La magnitud M de un terremoto en la escala Richter es

m Utilice logax =

13. 2X = 17 15. 5zs - 3 = 4

=

36. Haga un dibujo de las gráficas de 10gtl3x y logzx, utilizando los mismos ejes de coordenadas.

8. logs (x + 3) - logs x = 1

11. logu (8.12)1/S

Xy g(x)

35. ¿Cómo están relacionados 10gl/ZX Y 10g2x?

7. logz(x + 3) - logzx = 2

9. 10gs 12

7T

¿f'(e) o g'(e)?

1. logz 8 = x

5. 2 10g9 (

c ~ aC

ladoras gráficas y los SAC tienen opciones para hacer que el eje vertical o ambos ejes, vertical y horizontal tengan escala logarítmica.) Explique cómo le pueden ayudar estas gráficas a llegar a una conclusión. 42. (Un pasatiempo) Dado el problema de encontrar y', si y

=

x Y , el estudiante A hizo lo siguiente:

ERROR 1

y = XX y' = x . xx-l. 1 = XX

aplicación errónea de ) ( la Regla de la Potencia

SECCIÓN

Crecimiento y decaimiento exponenciales

(aPlicaCión errónea ) de la Regla de la Función Exponencial

y = XX y' = XX . In X • 1 = XX In x

(u : 1

r

<

e< (u : 1

(c)

ERROR 1 + ERROR 2 = CORRECTO Demuestre que el mismo procedimiento da una respuesta correcta para y = f(xF(x).

De la parte (c) concluya que lím

Y

43. Convénzase usted mismo que f (x) = (xx y g ( x) = x(XX) no son la misma función. Después encuentre f'(x) y g'(x). Observación: Cuando los matemáticos escriben xxx, ellos quieren decir x(XX). X . f() a .. a > 0, a "* 1. Demues44. ConsIdere x =-1 para a fIJa, X a + 1 tre que f tiene una inversa y encuentre una fórmula para f-l(X). 45. Para a > 1 fija, sea f(x) = x a jaX en [0, (0). Demuestre:

° (estudie

(b) f(x) se maximiza en Xo

=

lnf(x)); ajln a;

u

u

u->oo

(1 + !)U = U

e.

[§Q 47. Encuentre x-> límo+ xx. También encuentre las coordenadas del

punto mínimo para f(x)

=

XX en [0,4].

[§Q 48. Dibuje las gráficas de y = x 3 Y y = 3x utilizando los mismos

ejes y encuentre todos sus puntos de intersección. [47T ~ 49. Evalúe Jo

x

sen X

dx.

50. Con referencia al problema 43. Dibuje las gráficas de f y g utilizando los mismos ejes. Después dibuje las gráficas de f' y g' utilizando los mismo ejes.

Respuestas a la revisión de conceptos: =

I

~

(c) x a = a X tiene dos posibles soluciones si a *" e y sólo una solución si a = e; (d)1T e < e 7T . 46. Seafu(x) = xUe- Xpara x ::::: O. Demuestre que para cualquier u > 0, fija: (a) f uC x) alcanza su máximo en Xo

r+

_u_ e< (u + l)U < e. +1

La suma XX + XX In x es correcta (véase el ejemplo 5), de modo que

(a) x->oo lím f(x) =

341

(b) fu(u) > fu(u + 1) y fu+l(U + 1) > fu+I(U) implican

El estudiante B esto: ERRüR2

7.5

u;

7.5 Crecimiento y decaimiento exponencia les

1•

, exlna 2 • e

eV3ln7T.

3. (In x) j (In a) 4. ax a - 1; aX In a

Al principio de 1998, la población mundial era de alrededor de 5900 millones. Se dice que para el año 2020, alcanzará 7900 millones. ¿Cómo se hacen tales predicciones? Para tratar el problema de forma matemática, denótese con y = Jet) al tamaño de la población en el instante t, en donde t es el número de años a partir de 1998. Realmente Jet) es un entero, y su gráfica "da saltos" cuando alguien nace o alguien muere. Sin embargo, para una población grande, estos saltos son tan relativamente pequeños con respecto a la población total que no nos equivocaremos mucho si suponemos que j es una función derivable común. Parece razonable suponer que el incremento ~y de la población (nacimientos menos decesos) durante un breve periodo ~t es proporcional al tamaño de la población al inicio del periodo y al tamaño de ese periodo. Así, ~y = ky~t, o ~y

-=ky dt En su forma de límite, esto da la ecuación diferencial

I dt = ky I Si k > O, la población está creciendo; si k < 0, está disminuyendo. Para la población mundial, la historia indica que k es alrededor de 0.0132 (suponiendo que t se mide en años), aunque algunas agencias reportan una cifra diferente.

Resolución de la ecuación diferencial Iniciamos nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales en la sección 5.2, y ahora podría remitirse a esa sección. Queremos resolver dy /dt = ky sujeta a la condición y = Yo cuando t = o. Separando variables e integrando, obtenemos dy = k dt

Y

Jd; = Jkd/ lny = kt

+e

342

CAPíTULO

7

Funciones trascendentales La condición y = Yo para t = Oda

e=

In Yo' Así,

lny - lnyo = kt o In L = kt

Yo

Al cambiar a la forma exponencial se obtiene

_Y = e kt Yo o, finalmente. [ y

~

yoek¡

I

Cuando k > 0, este tipo de crecimiento se denomina crecimiento exponencial, y cuando k < 0, se llama decaimiento exponencial. Regresando al problema de la población mundial, elegimos para medir el tiempo t en años después del 1 de enero de 1998, y Y en miles de millones de personas. Así, Yo = 5.9 Ycomo k = 0.0132,

Y = 5. geO.0132t Para el año 2020, cuando t = 22, podemos pronosticar que Y será alrededor de Y

=

5.geo.0 132 (22)

;::::j

7.9 mil millones

EJEMPLO 1 Bajo las suposiciones anteriores, ¿cuánto tiempo tardará la población mundial en duplicarse?

Solución

La pregunta es equivalente a preguntar" ¿Dentro de cuántos años, a partir de 1998, la población alcanzará 11.8 mil millones?" Necesitamos resolver 11.8 = 2 =

5.geo.0132t eO.0132t

Para t. Tomando logaritmos de ambos lados se obtiene In 2 = O.0132t t

In2

= --0.0132

;::::j

53 años

•

Si la población mundial se duplicará en los primeros 53 años a partir de 1998, se duplicará en cualquier periodo de 53 años; así, por ejemplo, se cuadriplicará en 106 años. Con mayor generalidad, si una cantidad con crecimiento exponencial se duplica de Yo a 2yo en un intervalo de longitud T, se duplicará en cualquier intervalo de longitud T, ya que

y(t + T) y(t)

T yoé(t+T) = yoé = 2yo = 2 yoé t Yo Yo

denominamos al número T el tiempo de duplicación.

EJEMPLO 2 El número de bacterias en un cultivo que crece con rapidez se estimó que era de 10,000 al mediodía y 40,000 después de 2 horas. Haga una predicción de cuántas bacterias habrá a las 5 p.m.

Solución Suponemos que la ecuación diferencial dy Idt = ky es aplicable, de modo que Y = yoé t • Ahora tenemos dos condiciones (Yo = 10,000 YY = 40,000 en t = 2), de las cuales podemos concluir que 40,000 = 10,000é(2)

SECCIÓN

Crecimiento y decaimiento exponenciales

7.5

343

o

y

4

= e2k

Tomando logaritmos se obtiene

In 4 = 2k o

k = !ln4 = lnV4 = ln2

y,,{l--

_

Así, y = 10,000e(ln 2)t

y, en

t

= 5, esto da y = 10,000eo. 693 (5)

Figura 1

LI-----------

y

Yo

dy

_

-

= ky(L - y)

Obsérvese que para y pequeña, dy /dt ~ kLy, que sugiere un crecimiento del tipo exponencial. Pero cuando y se acerca a L, el crecimiento se reduce y dy /dt se hace cada vez más pequeña, produciendo una curva de crecimiento parecida al de la figura 2. Este modelo se explora en los problemas 24,25 Y35 de esta sección y de nueva cuenta en el proyecto de tecnología 8.2.

Decaimiento radiactivo No todo crece; algunas cosas disminuyen con el tiempo. Por ejemplo, los elementos radiactivos decaen, y lo hacen a una tasa proporcional a la cantidad presente. Así, su cambio también satisface la ecuación diferencial dy

-=

dt

Figura 3

•

El modelo exponencial y = yoé , k > O, para el crecimiento poblacional es erróneo ya que, para el futuro, proyecta crecimiento cada vez más rápido de manera indefinida (véase la figura 1). En la mayoría de los casos (incluyendo el de la población mundial), la cantidad limitada de espacio y recursos eventualmente forzará un descenso en la tasa de crecimiento. Esto sugiere otro modelo para crecimiento poblacional, denominado modelo logístico, en el cual suponemos que la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población y y a la diferencia L - y, donde L es la población máxima que puede sostenerse con los recursos. Esto conduce a la ecuación diferencial dt

Figura 2

320,000.

t

y

Yo{ '---

~

ky

pero ahora con k negativa. Aún es cierto que y = yoé t es la solución de esta ecuación. Una gráfica representativa aparece en la figura 3. EJEMPLO 3 El carbono 14, un isótopo del carbono, es radiactivo y decae a una tasa proporcional a la cantidad presente. Su vida media es 5730 años; esto es, tarda 5730 años para que una cantidad dada de carbono 14 decaiga a un medio de su cantidad original. Si originalmente estaban presentes 10 gramos, ¿cuánto quedará después de 2000 años?

Solución

La vida media de 5730 nos permite determinar k, ya que implica que

!

= 1e k (5730)

2

o, después de tomar logaritmos, -ln2 = 5730k -ln2 k = -5730

~

-0.000121

Así, y = 10e-O.000121t.

344 Copiiuto 7

Funciones trascendentales

En t = 2000, esto da

y = 10e°°°°'212000 7.85 gramos. En el problema 13, demostramos cómo el ejemplo 3 puede utilizarse para determinar a edad de fOsiles y otros seres, aiguna vez, vivientes.

Interés corn puesto Si colocamos 100 dóiares en el banco at 12% de interés cornpuesto mensualmente, al final del primer mes, su valor será 100 dolares(1.01); a! final de 2 meses, 100 dólares(1.01)2 y al final de 12 meses, o un año, de 100 dóiares(1.01)12. Con mayor generalidad, si ponemos A0 dóiares en ci banco al lOOr por ciento cornpuesto n veces por año, su valor será de A(t) dóiares al final de t aflos, donde

r''

/ \

A(t) = A0 1 +

nJ

EJEMPLO 4 Supóngase que Catherine pone 500 dólares en el banco al 4% de interéS, compuesto diariamente. ,Cuánto tendrá al final de 3 aflos?

Solución AquI, r = 0.04 y n = 365, de modo que

/

004\365(3)

A = 5001

$563.74

+ 365)

U

Ahora consideremos lo que sucede cuando ci interés se compone continuamente, esto es, cuando n, el nUmero de periodos de composición en un aflo, tiende a infinito. Entonces afirmamos que / / r finn

A(t) = iIm A01 a -*_h*0 = Ao[lIrn

=A0iIm[

+

\

1+-n/I

]

(1 + h)L]Tt = A0e't

AquI se reemplazO r/n por h y se observó que n oc, corresponde a h *0. Pero ci gran salto es reconocer que la expresión entre corchetes es ci némero e. Este resuitado es su-

ficientemente importante para liamarle teorema. Teorema A

lIm(1 + h)V" = e h*0

Otra mirada a Ia continuidad Recuérdese que decir que una función es continua en x0 significa que

Demostración Primero recuérdese que si f(x) = ln x entonces f'(x) = 1/x y, en particular, f'(l) 1. Entonces, con base en la definición de la derivada y las propiedades de in, obtenemos 1

= f'(l) =

tim f(x) = f(x0)

urn h-0

f(1+h)f(1) h

= lIrn

ln(1+h)inl

h*0

h

X-X()

= 1Irnln(1 + h) = iIrnln(1 + h*0 h*0

Esto es

lImf(x) =fçtcmx) AsI, la continuidad para una función significa que podemos meter un ilmite dentro de la función. Esto es to que hicimos para la función

f(x) = exp(x) casi at final de la

AsI, iIm ln (1 + h ) "

1, un resuitado que utilizaremos en un momento. Ahora, g(x) =

e-' = exp x es una función continua, y por tanto se sigue que podemos pasar ci tImite adentro de la funciOn exponencial en el argumento siguiente:

iIm(1 +

h*0

= lImexp[ln(1 + h*0

= expi =

demostración del Teorma A.

h)h/h]

= exp[lIrnln(1 + [h*0

e

Para otra demostraciOn dci Teorema A, véase el probiema 46 de la secciOn 7.4.

Supongase que ci banco del ejempio 4 compone intereses de manera continua. ,Entonces, cuánto tendrá Catherine al final de 3 aflos? EJEMPLO 5

SECCIÓN

7.5

Crecimiento y decaimiento exponenciales

345

Solución A(t) = Aoe rt = 500e(O,04)(3)

~

563.75 dólares.

Obsérvese que, aunque algunos bancos tratasen de sacar mucho provecho al ofrecer interés compuesto continuamente, la diferencia que se obtiene entre interés continuo e interés compuesto diariamente (el cual ofrecen muchos bancos) es minúsculo. • He aquí otro enfoque al problema de interés compuesto continuamente. Sea A el valor en el instante t de A o dólares invertidos a la tasa de interés r. Decir que el interés se compone de manera continua es decir que la tasa instantánea de cambio de A con respecto al tiempo es rA; es decir,

dA -=rA dt Esta ecuación diferencial se resolvió al inicio de la sección; su solución es A

= Aoert •

Revisión de conceptos 1. La tasa de cambio dy Idt de una cantidad y que crece exponencialmente satisface la ecuación diferencial dy Idt = . En contraste, si y crece de manera logística hacia una cota superior L,

dyldt =

3. El tiempo para que una cantidad y que decae exponencialmente pase de un tamaño Yo a un tamaño Yo/2 se denomina _

_

2. Si una cantidad que crece exponencialmente se duplica al veces mayor después de 3T años. cabo de T años, será

lím

4. El número e puede expresarse como un límite por e _

=

h~O

Conjunto de problemas 7.5 En los problemas del] al 4, resuelva la ecuación diferencial dada sujeta a la condición que se da. Observe que y( a) denota el valor de yen t = a. dy

1.

dt

3.

dt

4.

dt = -0.003y, y( -2) = 3

= -6y, y(O) = 4

dy

=

0.005y, y(lO)

2. =

dy

dt

=

6y, y(O)

=

1

2

dy

5. Una población de bacterias crece a una tasa proporcional a su tamaño. Al principio, es de 10,000 y después de 10 días es 20,000. ¿Cuál será la población después de 25 días? Véase el ejemplo 2. 6. ¿Cuánto tardará la población del ejercicio 5 en duplicarse? Véase el ejemplo 1. 7. ¿Cuánto tardará la población del ejercicio 5 en triplicarse? Véase el ejemplo 1.

8. La población de Estados Unidos fue de 3.9 millones en 1790 y 178 millones en 1960. Si la tasa de crecimiento se supone que es proporcional al número presente, ¿qué estimación daría para la población en el año 2000? (Compare su respuesta con la población real de 2000, que es 275 millones.) 9. La población de cierto país crece 3.2 % por año; esto es, si es A al inicio de un año, es 1.032A al final de ese año. Suponiendo que ahora es 4.5 millones, ¿cuál será al final de 1 año?, ¿de 2 años?, ¿de 10 años?, ¿de 100 años? 10. Determine la constante de proporcionalidad k en dYIdt = kY para el problema 9. Después utilice Y = 5é t para encontrar la población al cabo de 100 años.

11. Una sustancia radiactiva tiene una vida media de 700 años. Si al inicio había 10 gramos, ¿cuánto quedará después de 300 años? 12. Si una sustancia radiactiva pierde 15% de su radiactividad en 2 días, ¿cuál es su vida media? 13. (Fechado con carbono) Todos los seres vivientes contienen carbono 12, que es estable y carbono 14 que es radiactivo. Mientras una planta o un animal están vivos, la razón de estos dos isótopos de carbono permanece sin cambio, ya que el carbono 14 se renueva de manera constante; al morir, ya no se absorbe más carbono 14. La vida media del carbono 14 es 5730 años. Si los troncos carbonizados de una vieja fortaleza sólo muestran 70% del carbono 14 esperado en la materia viva, ¿cuándo fue incendiada la fortaleza? Suponga que la fortaleza se quemó tan pronto como fue construida con troncos recién cortados.

14. Cabello humano de una tumba en África se probó que sólo tenía 51 % del carbono 14 del tejido viviente. ¿Cuándo fue sepultado el cuerpo? Véase el problema 13. 15. La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa a la cual un objeto se enfría es proporcional a la diferencia en la temperatura entre el objeto y el medio que lo rodea. Así, si un objeto se saca de un horno a 300°F, y se deja enfriar en una habitación a 75°F, su temperatura T después de t horas satisfará la ecuación diferencial

dT = k(T - 75) dt

-

Si la temperatura descendió a 200°F en ~ hora, ¿cuál será después de 3 horas? 16. Un termómetro registró -20°C en el exterior y después se introdujo a la casa en donde la temperatura era de 24oc. Después de 5 minutos, el termómetro registró o°c. ¿Cuándo marcará 20°C? Véase el problema 15.

346

CAPíTULO

7

Funciones trascendentales

17. Si hoy se ponen 375 dólares en el banco, ¿cuál será su valor al final de 2 años, si el interés es de 9.5% y se compone como se especifica? (a) Anualmente (b) Mensualmente (c) Diariamente (d) Continuamente. 18. Resuelva el problema 17 suponiendo que la tasa de interés es 14.4%. 19. ¿Cuánto tarda el dinero en duplicar su valor para las tasas de interés que se especifican? (a) 12% compuesto mensualmente. (b) 12% compuesto de manera continua. 20. La inflación entre 1977 y 1981 fue de alrededor de 11.5% anual. Con esta base, ¿cuánto esperaría usted que costase en 1981 un automóvil que en 1977 costó 4,000 dólares? 21. Se dice que la isla de Manhatan en 1626 la compró Peter Minuit por 24 dólares. Supóngase que Minuit hubiese puesto los 24 dólares en el banco a16% de interés compuesto de manera continua. ¿Cuál sería el valor de esos 24 dólares en eI2,000? Sería interesante comparar este resultado con el valor real de la isla de Manhatan en el 2000. 22. Si los padres de Matusalén hubiesen puesto para él 100 dólares en el banco cuando nació y los dejaron allí, ¿cuál hubiese tenido Matusalén al morir (969 años después), si el interés era del 8% compuesto cada año? 23. Más adelante se demostrará para x pequeñas que ln(l + x) = x. Utilice este hecho para demostrar que el tiempo de duplicación para el dinero invertido al p por ciento compuesto cada año es alrededor de 70/paños. 24. La ecuación para el crecimiento logístico es dy

dt

Suponga que a =1=- O. 29. Considere un país con una población de 10 millones en 1985, una tasa de crecimiento de 1.2% anual y una inmigración de otros países de 60,000 por año. Utilice la ecuación diferencial del problema 28 para modelar esta situación y predecir la población en 2010. Tome a = 0.012. 30. Se dice que una noticia importante se difunde en una población adulta de tamaño fijo L a una tasa de tiempo proporcional al número de personas que no han escuchado la noticia. Cinco días después de un escándalo en la ciudad, una encuesta mostró que la mitad de las personas lo habían escuchado. ¿Cuánto tardará para que 99% de las personas lo oigan? 31. Supóngase que (1) la población mundial continúa creciendo de forma exponencial con constante de crecimiento k = 0.0132, (2) se necesita acre de tierra para proporcionar alimento para una persona y (3) en el mundo existen 13,500,000 millas cuadradas de tierra cultivable. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que el mundo alcance la población máxima? Nota: Existían 5.9 mil millones de personas en 1988 y 1 milla cuadrada es igual a 640 acres.

!

[§g 32. La oficina de censos estima que la tasa de crecimiento k de

la población mundial disminuirá aproximadamente 0.0002 por año, durante las siguientes décadas. En 1998, k era 0.0132. (a) Exprese k como una función del tiempo t, en donde t se mide en años, a partir de 1998. (b) Encuentre una ecuación diferencial que modele la población y para este problema. (c) Resuelva la ecuación diferencial con la condición adicional de que la población mundial en 1998 (t = O) era 5.9 mil millones.

= ky(L - y)

Demuestre que esta ecuación diferencial tiene la solución

y=

tiene solución

Lyo

(d) Haga una gráfica de la población y para los siguientes 150 años. (e) Con este modelo, ¿cuándo alcanzará un máximo la población? ¿Cuándo la población descenderá por debajo del nivel de 1998?

Yo + (L - yo)e- Lkt

1 1 1 Sugerencia: y(L - y) = Ly + L(L - y) .

[§g 33. Repita el ejercicio 32 bajo la hipótesis de que k disminuirá

25. Haga un bosquejo de la gráfica de la solución del problema 24, cuando Yo = 5, L = 16 Yk = 0.00186 (un modelo logístico para la población mundial; véase el estudio al inicio de esta sección). Obsérvese que t-'>eX) lím y = 16.

~

[§g 35. Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficas para O ~ t ~

26. Encuentre cada uno de los límites siguientes (b) lím(l)l/x (a) lím(l + X)1000

100 de los siguientes dos modelos para el crecimiento de la población mundial (ambos descritos en esta sección).

x~O

(c) lím (1 + X~OT

0.0001 por año.

x~O

S)l/x, s

> O

(d) límj1 + x~o

S)l/x, s

> O

(e) lím (1 + x) l/x x~o

27. Utilice el hecho de que e = lím (1 + h )l/h para encontrar cada límite. h~O (a) lím(l - X)l/x Sugerencia: (1 - X)l/x = [(1 - x)I/(-X)r 1 x~o

(b) lím(l +

2)n

n + (c) lím ( -~ n

3X)I/x

x~o

n~oo

n - 1 )2n (d) lím ( -~ n

34. Sea E una función derivable que satisface E(u + v) = E(u)E(v) para toda u y v. Encuentre una fórmula para E(x). Sugerencia: Primero determine E'(x).

(a) Crecimiento exponencial: y = 5.geo.0132t. (b) Crecimiento logístico: y

=

94.4/(6 + 10e-o.030t ).

Compare lo que predicen los dos modelos para la población mundial en 2010, 2040 y 2090. Nota: Ambos modelos suponen que la población mundial era 5.9 mil millones en 1998 (t = O). [§g 36. Evalúe:

(a) lím (1 x~O

+ x) l/x

(b) lím (1 - x) l/x x~O

El límite en la parte (a) determina e. ¿Qué número especial determina el límite de la parte (b)?

n~oo

28. Demuestre que la ecuación diferencial dy

-

dt

= ay + b

Respuestas a la revisión de conceptos: 3. vida media 4. (1 + h)l/h

1. k y; k y( L - y)

2. 8

SECCIÓN

7.6

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

7.6

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

347

En la sección 5.2 por primera vez resolvimos ecuaciones diferenciales. Allí desarrollamos el método de separación de variables para determinar una solución. En la sección anterior utilizamos el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales que incluyen crecimiento y decaimiento. No todas las ecuaciones son separables. Por ejemplo, en la ecuación diferencial dy dx = 2 - 3y no existe forma de separar las variables de tal manera para tener d y y todas las expresiones que incluyan a y en un lado y a dx todas las expresiones que incluyan a x en el otro lado. Sin embargo, esta ecuación puede ponerse en la forma

dy dx

+ P(x)y

=

Q(x)

donde P(x) y Q(x) son funciones sólo de x. Una ecuación diferencial de esta forma se dice que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Primer orden se refiere al hecho de que la única derivada es la primera derivada. Lineal se refiere al hecho de que la ecuación puede escribirse en la forma Dxy + P( x)1y = Q( x), en donde Dx es el operador derivada, e 1 es el operador identidad (esto es, 1y = y). Ambos, Dx e 1 son operadores lineales. La familia de todas las soluciones de una ecuación diferencial se denomina solución general. Muchos problemas requieren que la solución satisfaga la condición y = b cuando x = a, en donde a y b son dados. Tal condición se llama condición inicial y una función que satisface la ecuación diferencial y la condición inicial se denomina solución

particular.

Resolución de ecuaciones lineales de primer orden Para resolver la ecuación diferencial lineal de primer orden, primero multiplicamos ambos lados por factor de integración (o integrante) e1p(x)dx (La razón para este paso en breve se volverá claro.) Entonces, la ecuación diferencial es

e1p(x)dx dy + e!P(x)dx P(x)y = e!P(x)dXQ(x) dx El lado izquierdo es la derivada del producto y . e!P(x)dx, de modo que la ecuación toma la forma

~ (y . e!P(X)dX) = e!P(X)dxQ(x)

dx La integración de ambos lados da

ye!P!X)dx

=

!

(Q(x)e!P(X1dX) dx

Así, la solución general es

y

~

e-!P(X)dX! (Q(x)eJp(x1dx) dx

No es bueno memorizar este resultado final; el proceso de obtención es fácil recordarlo y es lo que ilustramos. EJEMPLO 1 Resuelva

dy 2 sen3x - + - y = -2dx x x Solución

Nuestro factor integrante es e!P(x)dx = e!(2/x)dx

=

e21nlxl

= e1nx2 = x2

(La constante arbitraria de integración de la integración Jp(x)dx la hemos tomado igual a cero.) La elección de la constante no afecta la respuesta. Véanse los problemas 27 y 28. Multiplicando ambos lados de la ecuación original por x 2 , obtenemos dy x 2 - + 2xy = sen3x dx

348

CAPíTULO

7

Funciones trascendentales

El lado izquierdo de esta ecuación es la derivada del producto x 2 y. Así, d

dx (x

2

y)

= sen

3x

La integración de ambos miembros da

J

sen 3x dx =

o

y = (-~cos3x

EJ EM PLO 2

-~cos3x + e

Encuentre la solución particular de dy - 3y

= xe 3x

dx

que satisface y Solución

•

+ C)x- 2

= 4 cuando x = O.

El factor integrante apropiado es e!(-3)dx

=

e-3x

Al multiplicar por este factor, nuestra ecuación adquiere la forma

-d (e- 3x y) = x dx

o 3x

=

e- y

J

x dx

=

~ x2 + e

Así, el solución general es

La sustitución de y = 4 cuando x = Ohace

e = 4. La solución particular deseada es

1 = - x 2 e 3x +

y

2

4e

3x

•

Aplicaciones Comenzamos con un problema de mezcla, típico de muchos problemas que surgen en química. EJEMPLO 3 Un depósito contiene 120 galones de salmuera, con 75 libras de sal disuelta en solución. Agua con sal que contiene 1.2 libras de sal por galón se introduce al depósito a razón de 2 galones por minuto y la salmuera sale a la misma velocidad (véase la figura 1). Si la mezcla se mantiene uniforme mediante una agitación constante, encuentre la cantidad de sal en el tanque al cabo de una hora. Figura 1

Un principio general

En problemas de flujo tal como el ejemplo 3, aplicamos un principio general. Supóngase que y mide la cantidad de interés que está en el depósito en el instante t. Entonces la tasa de cambio de y con respecto al tiempo es la tasa de entrada menos la tasa de salida; esto es, dy

dt = tasa de entrada - tasa de salida

Solución Sea y el número de libras de sal en el tanque al final de t minutos. De la salmuera que entra, el tanque gana 2.4 libras de sal por minuto; de la que sale, pierde l~O Y libras por minuto. Así,

1

dy

---¡¡

= 2.4 - 60 y

sujeta a la condición y = 75 cuando t = O. La ecuación equivalente dy

-

dt

1

+-

60

y = 2.4

tiene el factor integrante é/60 y así d

- [ye t / 60 ] = 2.4e t / 60 dt

SECCIÓN

7.6 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

349

Concluimos que

ye'/6O

~

J

2.4e'/6O dI = (60) (2.4 )e'/6O

+e

Al sustituir y = 75 cuando t = Ose obtiene C = -69, Yasí y = e- t / 60 [144e'/60 - 69] = 144 - 6ge- t / 60

Al final de una hora (t = 60), Y = 144 - 6ge- 1 ~ 118.62 libras Observe que el valor límite para y cuando t ~ 00 es 144. Esto corresponde al hecho de que el tanque tomará finalmente la configuración de la salmuera que entra al depósito. Ciento veinte galones de salmuera con una concentración de 1.2 libras de sal por galón contendrán 144 libras de sal. • Ahora volvemos a un ejemplo de electricidad. De acuerdo con la ley de Kirchhoff, un circuito eléctrico simple (véase la figura 2) que contiene un resistor con una resistencia de R ohms y un inductor con una inductancia de L henrys, en serie con una fuerza electromotriz (una batería o un generador) que proporciona un voltaje de E(t) voltios en el instante t, satisface dI dt

L - + RI = E(t) en donde I es la corriente medida en amperes. Ésta es una ecuación lineal, que se resuelve con facilidad por medio del método de esta sección.

EJEMPLO 4 Considere un circuito (véase la figura 2) con L = 2 henrys, R = 60hms y una batería que proporciona un voltaje constante de 12 voltios. Si I = O en t = O (cuando se cierra el interruptor S, encuentre I en el instante t. Solución

La ecuación diferencial es dI 2 - + 6I = 12 dt

Figura 2

o

dI + 3I = 6 dt

-

Siguiendo nuestro procedimiento estándar (multiplicar por el factor integranté e3t, integrar y multiplicar por e-3t ), obtenemos I = e- 3t (2e 3t

+ C) = 2 + Ce- 3t

La condición inicial, I = Oen t = O, da C = -2; de aquí que I = 2 - 2e-3t

Cuando aumenta t, la corriente tiende hacia una corriente de 2 amps.

•

Revisión de conceptos 1. La ecuación diferencial lineal general de primer orden tiene la forma dy /dx + P(x)y = Q(x). Un factor integrante para esta ecuaciónes _ 2. Al multiplicar ambos lados de la ecuación diferencial lineal de primer orden de la pregunta 1 por su factor integrante hace el lado . . do dx d ( lzqUler

)

.

3. El factor integrante para dy /dx - (1/x)y = x, en donde x > 0, es Cuando multiplicamos ambos lados por este factor, la ecuación toma la forma . La solución general para esta ecuación es y = _ o

4. La solución para la ecuación diferencial en la pregunta 1, que satisface y(a) = b se denomina solución _

350

CAPíTULO

7

Funciones trascendentales

Conjunto de problemas 7.6 En los problemas dell all4, resuelva la ecuación diferencial. dy 1. dx + y = e-X dy 2. (x + 1) - + y = x 2 - 1 dx dy 3. (1 - x 2 ) dx + xy = ax, Ixl < 1

6. y' - ay

8. y' +

x

+1

dy 10. dx + 2y dy Y 11. -d - x

= f(x)

~

x

=

=

= (x + 1)3

E = 120 sen 377t

"V

Figura 4

21. Encuentre 1 como función del tiempo para el circuito de la figura 5, supóngase que el interruptor se cierra e 1 = Oen t = O.

x

R

3x 3 ; Y

= 3

Figura 5 =

1.

dy w 14. senx- + 2y cos x = sen2x;y = 2 cuando x = - . 6 dx 15. Un depósito contiene 20 galones de una solución, con 10 libras de químico A en la solución. En un cierto instante, empezamos a agregar una solución que contiene el mismo químico en una concentración de 2 libras por galón. Vertimos a una velocidad de 3 galones por minuto mientras se drena la solución resultante (perfectamente mezclada) a la misma velocidad. Encuentra la cantidad de químico A en el depósito después de 3 horas. 16. Al principio, un tanque contiene 200 galones de salmuera, con 50 libras de sal en solución. Al tanque entra salmuera que contiene 2 libras de sal por galón, a una tasa de 4 galones por minuto y sala a la misma tasa. Si la mezcla en el tanque se mantiene uniforme por agitación constante, encuentre la cantidad de sal en el tanque al final de 40 minutos. 17. Al inicio, un tanque contiene 120 galones de agua pura. Cuatro galones por minuto de salmuera con una libra de sal por galón entran al tanque, y la solución bien mezclada sale a una tasa de 6 galones por minuto. ¿Cuánta sal hay en el tanque después de t minutos, O::; t ::; 60?

18. Un tanque al principio contiene 50 galones de salmuera, con 30 libras de sal en solución. Entra agua al tanque a 3 galones por minuto y la solución bien mezclada sale a 2 galones por minuto. ¿Cuánto tiempo pasará para que haya 25 libras de sal en el tanque?

19. Encuentre la corriente 1 como función del tiempo para el circuito de la figura 3, si el interruptor S se cierra cuando 1 = Oen t = O.

= 106 12

= 100012

E= 120 sen 377t

cuando x = 1.

=

R

= 3.5 H

9. y' + yf(x) = f(x)

e2 x - 3y; Y = 1 cuando x = O. 13. xy' + (1 + x)y = e-x; y = Ocuando x 12. y'

L

dy Y 5. - - - = xe x dx x dy y 1 7. - + - = dx x x

4. y' + y tan x = sec x

20. Encuentre 1 como función del tiempo, para el circuito de la figura 4, supóngase que el interruptor se cierra e 1 = Oen t = O.

22. Supóngase que el tanque 1 al principio contiene 100 galones de solución con 50 libras de sal disueltas, y el tanque 2 contiene 200 galones, con 150 libras de sal disueltas. Al tanque 1 entra agua pura a razón de 2 galones por minuto, la solución bien mezclada sale y entra al tanque 2 a la misma tasa, y finalmente la solución en el tanque 2, se drena también a la misma tasa. Denótese con x(t) y y(t) a las cantidades de sal en los tanques 1 y 2, respectivamente, en el instante t. Encuentre y(t). Sugerencia: Primero encuentre x(t) y utilícela para plantear la ecuación diferencial para el tanque 2. 23. Un depósito con capacidad de 100 galones, al principio está lleno de alcohol puro. La tasa de flujo por el tubo de salida es de 5 galones por minuto; la tasa de flujo del tubo que llena puede ajustarse a c galones por minuto. Una cantidad ilimitada de solución de alcohol al 25% puede introducirse a través del tubo que llena. Nuestra meta es reducir la cantidad de alcohol en el tanque de modo que contenga 100 galones de solución al 50%. Sea T el número de minutos requeridos para realizar el cambio deseado.

(a) Evalúe T, si c = 5 y ambos tubos están abiertos. (b) Evalúe T, si c = 5 Y primero dejamos salir una cantidad suficiente de alcohol puro y luego cerramos el tubo que llena. (c)

¿Para qué valores de c (si existen) la estrategia (b) daría un tiempo más rápido que (a)?

(d) Supóngase que c = 4. Determine la ecuación para T, si al principio abrimos ambos tubos y luego cerramos el que drena. ~

24. La ecuación diferencial para un cuerpo que cae cerca de la superficie de la Tierra con resistencia al aire proporcional a la velocidad v es dv Idt = -g - av, donde g = 32 pies por segundo por segundo es la aceleración debida a la gravedad ya> Oes el coeficiente de resistencia. Demuestre cada uno de los siguientes: (a) v(t) = (va - v=)e- al + v=, donde Va = veO), Y

L=lH

V oo

= -g/ a = 1-+00 lím v(t)

la llamada velocidad terminal. (b) Si y(t) denota la altura, entonces Figura 3

y(t) = Yo + tv oo + (l/a)( Va - v oo )(l - e~al)

SECCiÓN

25. Una pelota se lanza directamente hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial Va = 120 pies por segundo. Suponiendo un coeficiente de resistencia de a = 0.05, determine cada uno de lo siguiente: (a) la altura máxima

26. Marcela saltó en paracaídas desde su aeroplano a una altura de 8000 pies, durante 15 segundos descendió en caída libre y después abrió su paracaídas. Suponga que los coeficientes de resistencia son a = 0.10 para caída libre ya = 1.6 con el paracaídas. ¿Cuánto tardó en llegar al suelo? y

x

-

~x =

integrante es e!(-1/x)dx. La antiderivada general a -In x + C.

7.7 Las funciones trigonométricas y sus derivadas y::: sen ,\

Fiqura 1

351

Las funciones trigonométricas y sus derivadas

(a) Multiplique ambos lados de la ecuación diferencial por exp x

(J(-~)

dx ) = exp (-In x + C), y demuestre que exp(-ln

+ C) es un factor integrante para todo valor de C.

(b) Resuelva la ecuación resultante para y, y demuestre que la solución coincide con la solución obtenida cuando suponemos que C = O.

(b) una ecuación para T, el tiempo cuando la pelota llega al suelo.

27. Para la ecuación diferencial dd

7.7

28. Multiplique ambos lados de la ecuación diferencial dy = Q(x) por el factor e1P(x)dx+c. dx

+ P(x)y

(a) Demuestre que e 1P (x)dx+c es un factor integrante para todo valor de C. (b) Resuelva la ecuación resultante para y, y demuestre que coincide con la solución general dada antes del ejemplo 1.

x 2 , x > O, el factor

¡(-~)

1. exp (JP (x ) dx)

Respuestas a la revisión de conceptos: dx es igual

d 2.yexp(JP(x)dx) 3.1/x; dx

(y) ~

.

= l;x 2 + Cx 4. partIcular

Las seis funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) se definieron en la sección 2.3, y en ocasiones las hemos utilizado en ejemplos y problemas. Con respecto a la noción de inversa, ellas son funciones con problemas, ya que para cada y en su rango existe un número infinito de x que le corresponden (véase la figura 1). No obstante, vamos a introducir una noción de inversa para ellas. Que esto sea posible tiene como base un procedimiento denominado restricción del dominio, que se analizó brevemente en la sección 7.2.

Seno inverso y coseno inverso En el caso de seno y coseno, restringimos el dominio, manteniendo el rango tan grande como sea posible, mientras insistimos que la función resultante tenga una inversa. Esto puede hacerse de muchas formas, pero el procedimiento acordado se sugiere por medio de las figuras 2 y 3. También mostramos la gráfica de la función inversa correspondiente, obtenida, como es usual, reflejando con respecto a la recta y = x. y

y

x

f ] Dominio

-1r

"2

1r

restringido

'2

Figura 2

y

y

x

[

a

Figura 3

Dominio restringido

]

-1

x

352

CAPíTULO

7

Funciones trascendentales

En una definición, formalizamos lo que hemos mostrado.

Definición Para obtener inversas para seno y coseno, restringimos sus dominios a [ -'TT /2, [O, 'TT ], respectivamente. Así,

x = sen-1 y x = cos-1 y

{:::>

{:::>

Y = sen x

y

y = cosx y

'TT

'TT

2

2

'TT /2]

Y

--~x~-

O~X~'TT

y

A veces se utiliza el símbolo arcsen para sen- 1 y similarmente arccos se utiliza para cos- 1. Considere arcsen como "el arco cuyo seno es" o "el ángulo cuyo seno es" (véase la figura 4). En lo que resta del libro utilizaremos ambas formas.

EJEMPLO 1 Calcule x

(a) sen- 1 (v/2/2), (c) cos (cos- 1 0.6), y

(b) cos- 1 ( - !), (d) sen-1(sen 3'TT /2)

Solución

(a) sen-1

(~)

'TT

2'TT

4

3

Figura 4

(d) sen-1(sen

(c) cos(cos- 1 0.6) = 0.6

3;) = _ ;

La única de éstas que es complicada es (d). Observe que sería incorrecto dar 3'TT /2 como respuesta, ya que sen-1 y siempre está en el intervalo [-'TT /2, 'TT /2]. Resuelva el problema por pasos, como sigue.

sen-1(sen EJEMPLO 2

(a)

cos- 1

3;) =

sen-1(-1) = -Tr/2

•

Calcule (c) sen- 1 (sen4.13)

(b)sen- 1 (1.21),

(-0.61),

Solución Utilice una calculadora en modo de radianes. Ha sido programada para dar respuestas consistentes con las definiciones que hemos dado. (a) cos-1(-0.61) = 2.2268569 (b) Su calculadora debe indicar un error, ya que sen-l(1.21) no existe. (c) sen- 1 (sen4.13) = -0.9884073

•

Tangente inversa y secante inversa Otra manera de decirlo

En la figura 5, mostramos la gráfica de la función tangente, su dominio restringido y la gráfica de y = tan- 1 x.

sen- 1 y

y

y

es el número en el intervalo [-7T /2, 7T /2] cuyo seno es y.

7T -----------"2

cos- 1 y es el número en el intervalo [0, 7T ] cuyo coseno es y.

tan- 1 y es el número en el intervalo (-7T /2, 7T /2) cuya tangente es y.

-7T

----------- 2"""

1I

: I

11 1I 11

:=77: Dominio 77: 2 restringido 2

Figura 5

x

x

-37T / 2 I 'I

7.7

SECCIÓN

Las funciones trigonométricas y sus derivadas

353

Existe un método estándar para restringir el dominio de la función cotangente, esto es, a (O, 1T), de modo que tenga una inversa. Sin embargo, esta función no desempeña un papel importante en el cálculo. Para obtener una inversa de la secante, graficamos y = sec x, restringimos su dominio de manera adecuada y después graficamos y = sec-1x (véase la figura 6). y

Y

1

I \

1 \ \

\

,

1

-317

I I I

f(' ,

-17

T ..--, T I

¡ 1

1 II I

1,/

:,

\

\

17

~I

I I I \ I \ I

17

I

,1

\

\ \ \

I

,:

x

-1

\

I I I I

\

x

I

:

E--=- 0.

.

SECCIÓN

7.8

Las funciones hiperbólicas y sus inversas

361

Funciones hiperbólicas inversas Como seno hiperbólico y tangente hiperbólica tienen derivadas positivas, son funciones crecientes y de manera automática tienen inversas. Para obtener inversas para coseno hiperbólico y secante hiperbólica, restringimos sus dominios a x 2: O. Así, x

= senh-1 y ~ y = senh x

x = cos- 1 y ~ y = cosh x x

y

x

2:

O

= tanh -1 y ~ y = tanh x

x = sech-1 y ~ y = sech x

y x

2:

O

Como las funciones hiperbólicas están definidas en términos de eX y e-X, no es sorprendente que las funciones hiperbólicas inversas puedan expresarse en términos de logaritmos naturales. Por ejemplo, considere y = cosh x para x 2: O; esto es, considere y=

x?:O

2

Nuestra meta es resolver esta ecuación para x, la cual dará cosh- 1 y. Multiplicando ambos miembros por 2ex , obtenemos 2ye X = eZx + 1, o x?:O

Si resolvemos esta ecuación cuadrática en ex, obtenemos eX

=

2y + V(2y? - 4 2

= y +

" ¡-z--; V Y~ - 1

La fórmula cuadrática da dos soluciones, la dada antes y (2Y - V (2 y)Z - 4)/2. Esta última solución es extraña ya que es menor a uno, mientras que eX es mayor que 1 para toda x > O. Así, x = ln(y + ~), de modo que x = cosh-1 y = ln(y

+ ~)

Argumentos similares se aplican a cada una de las funciones hiperbólicas inversas. Obtenemos los resultados siguientes (observe que los papeles de x y y se han intercambiado). La figura 3 sugiere las restricciones necesarias del dominio. Las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas se muestran en la figura 4. senh-1 x = ln(x +

Vx 2

+ 1)

cosh-1 x = ln(x + ~),

x?:l

1 1+ x tanh- 1 x = - l n - 2 1 - x'

-1 < x < 1

sech-1 x = In

x ' ( 1+~)

O 0 y /3 > 0.

f

fXfti

Por medio de un cambio de variables, demuestre que

J x(l - x)adx = B(/3,a)

a 1

f

1

(n - 1)!

- t1)1 dt1

B(a - 1, /3 + 1)

a+1 B(a + 1, /3 -

1)

positivos. Utilizando, de manera repetida, el resultado de la parte (b), demuestre que

IntegraciOn de funciones racionales

dx1

UtiLice el resultado del probLema 92 para evaluar

Ahora supóngase que a = n y /3 = m y que n y m son enteros

8.5

.d'P(x)

"

Integrando por partes demuestre que

=

... dt1 =

fexPn(x)dx = ex(_1)J

0

B(a, /3)

f(t)dt

Si P(x) es un poLinomio de grado n, demuestre que

I1

B(a,/3)

- t)dt

=

La funcion Beta, que es importante en muchas ramas de Las matemáticas, está definida como

0. Sugerencia:

Deduzca La formula

siempre que f pueda derivarse n + 1 veces.

=

fbf(t)f(t) dt

Utilice integración por partes derivando f(t) e integrando f"(t). Este resultado tiene muchas aplicaciones en el campo de Las matemáticas aplicadas y en ecuaciones diferenciales parciales.

a

B(a,/3)

(n + m + 1)!

Este resultado aun es válido para el caso en donde n y m no son enteros, con tal que podamos dar significado a n!, m! y (n + m + 1)!.

dx

f(t) = f(a) +

n!m!

B(n, m) =

f(3x + 2x2)ex dx

Respuestas a Ia revision de conceptos: 2. x; sen x dx

3. 1

1. uv = Iv du

4. reducciOn

Una función racional por definición es el cociente de dos funciones polinomiales. Por ejemplo 2

g(x) =

f(x) = (x +

2x+2

h(x)=X+2XX+1

- 4x + 8'

x3 + 5x

De éstas,

f y g son funciones racionales propias, queriendo decir que el grado del numerado es menor que el del numerador. Una función racional impropia (no propia) siempre puede escribirse como una suma de una función polinomial y una función ra-

cional propia. AsI, por ejemplo, h(x) =

x5 + 2x3 - x + 1

x3 + 5x

x2- 3

=x 3+ 2

14x+1 x3 + 5x

x3+5x x+2x-x+ 1 x5 + 5x3 -3x3

-x

-3x3

-15x 14x + 1

Figura 1

un resultado obtenido por medio de division larga (véase Ia figura 1). Ya que los polinomios son ladles de integrar, el problema de integrar funciones racionales realmente es Ia de integrar funciones racionales propias. Pero, ,siempre podemos integrar funciones racionales propias? En teorIa Ia respuesta es si, aunque los detalles prácticos pueden Ilegar a abrumarnos. Primero considere las integrales de las f y g anteriores.

SECCIôN 8.5

Encuentre 1

EJEMPLO 1

j (x+1)

Integración de funciones racionales 393

dx.

Considérese la sustitución u = x + 1.

Solución

I (x+1) 2

2/ (x+1)3dx= 2(x+1)2 2 +C - 1 +c

3dx =

U

(x + 1)2

1

EJEMPLO 2

Encuentre /

2x+2

x2-4x+8 dx.

Solución Primero considérese la sustitución u = x2 - 4x + 8 para la cual du = (2x - 4)dx. Entonces escriba la integral dada como una suma de dos integrales.

2x-4 dx+f 6 dx dx= / x2-4x+8 x2-4x+8 x2-4x+8 2x+2 1

=lnx2-4x+8+6I x2 - 4x + 8

dx

En la segunda integral, complete el cuadrado.

Il

1

/x2 4x+4+4 dx =

1

- +4 I_1(x-2\

(x-2)2+4 dx=tan

Concluimos que

1

2)2

(x

2

dx

)+C

I 2x+2 dx=lnx 4x+8+3tan 1(x-2\i+K J x2-4x+8 \ 2 J 2

I

I

U

Un hecho notable es que cualquier función racional propia puede escribirse como una suma de funciones racionales propias simples como las que se ilustran en los ejempbs 1 y 2. Debemos ser más precisos.

Descomposición en fracciones parciales (factores lineales) Sumar fracciones es un ejercicio algebraico comün: encuentre un comün denominador y sume. Por ejemplo, 2

2(x+l)+3(xl) (xl)(x+l)

3

x1 x+l

5x1

5x1

(xl)(x+l)x21

El proceso inverso de descomponer una fracción en una suma de fracciones más simples es el que ahora nos interesa. Centramos nuestra atención en el denominador y consideramos casos. EJEMPLO 3 Factores lineales simples

Descompóngase (3x - l)/(x2 - x - 6) y luego encuentre

su integral indefinida. Solución Ya que el denominador se factoriza como (x + 2)(x - 3), parece razonable esperar una descomposición de la forma siguiente: (1)

3x1 A B (x+2)(x-3) x+2x-3

Por supuesto, nuestro trabajo es determinar A y B de modo que (1) sea una identidad, una tarea que encontramos más fácil después de que hemos multiplicado ambos lados

por (x + 2)(x - 3). Obtenemos (2)

o de manera equivalente,

3xl=A(x-3)+B(x+2)

Técnicas de integración

394 CAPITULO 8

3x-1=(A+B)x+(-3A+2B)

(3)

Sin embargo, (3) es una identidad si, y solo Si los coeficientes de potencias iguales de x en ambos lados Son iguales; esto es

A+B=3 3A + 2B = 1 Al resolver este par de ecuaciones para A y B, obtenemos A =

,

B=

.

En conse-

cuencia,

3x - 1

3x - 1

x2x-6

7

x+2+ x-3

(x+2)(x-3)

y

f

Resuelva esta ecuación diferencia! "Con frecuencia, hay poco parecido entre una ecuación diferencial y su solución. Quién supondrIa que una ecuación tan sencilla como

dy_

1

dx -

a2

x2

3x-1 dx=

x-6

1

(a+x +c \ax

Esto parece La transformación de una crisáLida en una mariposa."

Silvanus P Thompson EL método de fracciones parciaLes hace esto una transformación senciLLa. Ve cOmo hacer esto?

5

=lnx+2 +lnx-3 +C Si hubo alguna dificultad en este proceso, fue Ia determinación de A y B. Encontramos sus valores usando "fuerza bruta", pero existe una manera más sencilla. En (2), que queremos sea una identidad (esto es, verdadera para todos los valores de x), sustituya los valores convenientes de x = 3 y x = 2, para obtener

8 = AO + B5

podrIa transformarse en

y = 2alogel

x+2 dx+f13dx 1

7 = A(-5) + BO DeinmediatoestodaB = yA = Acabamos de ser testigos de una extrafla, pero correcta maniobra matemática. La ecuación (1) resulta ser una identidad (cierta para toda x excepto 2 y 3) si, y solo si Ia ecuación equivalente (2) es cierta en 2 y 3. Pregüntese por qué esto es asI. En ültima instancia depende del hecho de que ambos lados de Ia ecuación (2), ambos polinomios lineales, son idénticos si tienen los mismos valores en cualesquiera dos puntos. EJEMPLO 4

Factores lineales distintos

Encuentre

I 5x+3 dx. JI x3 - 2x - 3x

Solución Ya que el denominador se factoriza como x(x + 1)(x - 3), escribimos

5x+3

B

x(x+1)(x-3)

x

x+1

C

x-3

y buscamos determinar A, B y C. La eliminación de las fracciones produce

5x+3=A(x+1)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x+1) Al sustituir los valores x = 0, x = 1 y x = 3 se obtiene

3 = A(-3)

2 = B(4) 18 = C(12)

o A = 1, B = -, C =

. AsI,

[1 111 dx = I dx I dx + 311 - I x-3 dx 2J x+1 2J Jx I x3-2x2-3x

I

I

5x+3

= lnx -

lnx + 1 +

lnx - 3 + C

.

Integración de funciones racionales 395

SECCION 8.5

EJEMPLO 5

jf (x - 3)

Factores lineales repetidos Encuentre Solución

2

dx.

Ahora la descomposiciOn toma la forma x

A

=

(x-3)2

+

x-3

B

(x-3)2

con A y B por determinar. Después de quitar fracciones, obtenemos

x = A(x - 3) + B Si ahora sustituimos el valor conveniente x = 3 y cualquier otro valor, tal como x = 0, obtenemos B = 3 y A = 1. AsI,

I (x-3)2 x

dx=

jf x-3 dx+31j (x-3)2 dx 1

1

xi3+c

=lnx-3

.

EJEMPLO 6

Factores lineales, algunos distintos y algunos repetidos Encuentre

I

3x2 - 8x + 13

J (x + 3)(x - 1)2

dx

Solución Descomponemos el integrando de la manera siguiente:

3x2-8x+13 (x+3)(x-1)2

A

=

x+3

+

B

C

+

x-1 (x-1)2

Quitando las fracciones esto cambia a

3x2-8x+13=A(x-1)2+B(x+3)(x-1)+C(x+3) Al sustituir x = 1, x = 3 y x = 0 se obtiene C = 2, A = 4 y B = 1. Por lo que, I dx 1 dx I dx I 3x2 - 8x + 13

I

(x+3)(x_l)2dx

4] x+3

I

xi +2] (x-1)2

=4lnx+3 lnx-1

x1

+C

Asegürese de incluir en la descomposiciOn anterior las dos fracciones B/(x - 1) y C/(x - 1)2. La regla general para descomponer fracciones con factores lineales repetidos en el denominador es ésta: Por cada factor (ax + b)k en el denominador, existen k términos en la descomposiciOn en fracciones parciales: A1

ax

+b

+

A2

(ax + b)2

+

A3

(ax + b)3

+

+

Ak

(ax + b)k

Descomposiciôn en fracciones parciales (factores cuadráticos) Al factorizar el denominador de una fracción, bien podrIamos obtener algunos factores cuadráticos (tal como x2 + 1), que no pueden factorizarse en factores lineales sin introducir nümeros complejos. EJEMPLO 7

Un solo factor cuadrãtico

Descomponga

6x2 - 3x + 1 y después encuentre su in(4x + 1)(x2 + 1)

tegral indefinida. Solución

La mejor que podemos desear es una descomposición de la forma

6x2-3x+1

A

(4x+1)(x2+1)4x+i

Bx+C x2+1

396 CAPITULO 8

Técnicas de integraciOn

Para determinar las constantes A, B y C, multiplicamos ambos miembros por (4x + 1)(x2 + 1) y obtenemos

6x2 3x+ 1 =A(x2+ i)+ (Bx+C)(4x+ 1) Al sustituir x = -, x = 0 y x = 1 se obtiene

=A=2

+ 1 = A()

+

1=2+C

=C=1

4 = 4 + (B - 1)5 = B = 1 AsI,

I 6x2-3x+1 dx= I1 2 dx+ IIx-1 dx j 4x+1 j (4x+1)(x2+1) j x2+1 I

1

1 4dx

I dx

1 2xdx

1

2J4x+12Jx2+1 Jx2+1 =

2

ln4x + 1 + 1n(x + 1) - tan'x + C 2

EJEMPLO 8

6x2 - 15x + 22

Un factor cuadrático repetido Encuentre / dx. (x + 3)(x2 + 2)2 Solución En este caso, Ia descomposición apropiada es

6x2lSx+22 A (x+3)(x2+2)2x+3

+

Bx+C Dx+E x2+2 +(x2+2)2

Después de considerable trabajo, descubrimos que A = 1, B = 1, C = 3, D = E = 0.AsI,

I

6x2

- lSx + 22

(x + 3)(x2 + 2)2 dx

y

dx

tx-3

-I - I x+3 x+3

x

x2+25f(x2+2)2 f 2x dx dx + 3 fx2+2 x2+2 2] J

dx

1

= mix + 31 -

2

1n(x2 + 2) +

S

C

2xdx

2j(x2+2)2

tan_i( x

\\/J + 2(x2+2) +

\/

.

Resu men Para descomponer una funciOn racional f(x) = p(x)/q(x) en fracciones parciales, procedemos como sigue: Paso 1: Si f(x) es impropia, esto es, si p(x) es de un grado al menos igual del de q(x), divida p(x) entre q(x), para obtener

f(x) = un polinomio

N(x)

+ D(x)

Paso 2: Factorice D(x) en un producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles

con coeficientes reales. Por un teorema de algebra, esto siempre es posible (teóricamente). Paso 3: Por cada factor de Ia forma (ax + b)k, se espera que Ia descomposición tenga los términos A1

(ax + b)

+

A2

(ax + b)2

+...+

Ak

(ax + b)k

Paso 4:

Por cada factor de Ia forma (ax2 + bx + C)m, se espera que Ia descomposición tenga los términos

B1x+C1 ax2 + bx + c

+

B2x+C2 (ax2 + bx + c)2

Bmx+Cm (ax2 + bx +

SECCION 8.5

IntegraciOn de funciones racionales 397

Iguale N(x)/D(x) a Ia suma de todos los términos determinados en los pasos 3 y 4. El nümero de constantes por determinarse debe ser igual al grado del denominador, D(x). Paso 6: Multiplique ambos miembros de Ia ecuaciOn encontrada en el paso 5 por D(x) y despeje las constantes desconocidas. Esto puede hacer por dos métodos: (1) Iguale coeficientes de términos del mismo grado, o (2) asigne valores convenientes a Ia variable x. Paso 5:

Revision de conceptos L Si el grado del polinomio p(x) es menor que el grado de q(x), entonces f(x) = p(x)/q(x) se denomina función racional

a =

2. Para integrar La función racionaL impropia f(x) = (x2 + 4)/ (x + 1), primero La reescribimos como f(x) =

ma

3. Si (x - 1)(x + 1) + 3x + x2 = ax2 + bx + c, entonces ,b= yc= 4.

(3x + 1)/[(x - 1)2(x2 + 1)] puede descomponerse en La for-

Conjunto de problemas 8.5

I'

En losproblemas deli a140, utilice el método de la descomposición en fracciones parciales para realizar la integración que se pide. 1.

3.

fx(x±

1)

j1 x2 - 1

5.

dx

2.

dx

4.

dx

+ 3x - 4

7.

+ 3x - 10

x2 9.

+ 9x -

2x2

3x2 ffffx2

5

dx

10.

x3 - x2 - 2x f2x2

I

(2x - 1)(x2 + x - 6)

f

x - 6x2 + lix - 6

[I x2 +xx - 2 dx 21.

23.

I x + 8x2 + 8

x-4x

I x+1 I (x

I I x2+x-6

I

(2x - i)(x2 +

dx

3)2 dx

3x + 2 dx x3 + 3x2 + 3x + 1

9)

(x - i)2(x Il + 4)2

dx

1

30. I x4 - 16 dx

dx

x3-8x2-i (x + 3)(x2 - 4x + 5)

(sent - 8sen2t - i)cost (sent + 3)(sen2t - 4sent +

f

sen4

cost

t16 dt

35.

38.

cosO

L 1

x3 + x2

I x2+5x+6

20. I

x6 + 4x3 + 4 dx x3 - 4x2

fx2 + 4x + 3

I

dt

x3 - 4x

(x2+l)2

dx

,

x-17

14

x2 + x - 12

dx

dO

dx

41. La Ley de acción de masas en quImica resulta en La ecuación diferencial

5x + 7

22. I x2 + 4x + 4 dx

(1 - sen2O)(sen2O + 1)2

3x+13

dx

5)

(sent)(4cos2t - 1) dt (cost)(l + 2cos2t + cos4t)

I 12x3+5x2+16x I x5+8x+i6x dx

dx

x2 + 19x + 10 dx 2x4 + 5x3

dx

I

'

dx

26. I

dx

dx

dx

18.

dx

I 2x2-3x-36

dx

[

3)

dx

Ix(x + 2)2 + 16x

dx

6x2+22x-23

I

I x2 - 3i,x + 2i,2 I 2x2 - x - 20

1 2x2 + x - 8

Ix+4x

dx

(2x - 1)(3x + 2)(x -

I

I x2 - x - 12 x+Tr I I

3x2 - 21x + 32

J x - 8x2 +

f

J 4x - 28x2 + 56x - 32

19.

dx

I

7x2+2x-3

1

2

+x-2 dx +x-

I

8.

dx

fx2_x(+4)+4 I

6.

1

I x2 + 3x 5x I dx I I 2x + 6x2 I x-7 dx I

x6

(x - 2)2(1 - x)

k>0, a>0, b>0 en donde x es La cantidad de una sustancia en el instante t como resultado de La reacción de otras dos. Supongase que x = 0 cuando

t = 0.

398 CAPITULO 8

Técnicas de integración

Resuelva La ecuación diferencial en eL caso b > a.

La ecuación diferencial dy

Demuestre que x -* a cuando t -* 00 (si b > a). Supóngase que a = 2 y b = 4 y que 1 gramo de sustancia se formó en 20 minutos. ,Cuánta estará presente en 1 hora? ResueLva La ecuación diferenciaL si a = b. 42. En muchoS problemaS de crecimiento pobLacionaL, exiSte un LImite Superior del cuaL La pobLación no puede rebaSar. SupóngaSe que

La Tierra puede SoStener una población de má de 16 mil milloneS y que en 1925 habIa 2 mil milloneS y en 1975 4 mil milloneS. EntonceS, Si ye La pobLación t años a partir de 1925, un modelo apropiado e La ecuación diferencial

dy

= k(y - m)(M - y)

dt con k > Oy 0

m < Yo < M se utiliza para modelar algunos problemas de crecimiento. Resuelva La ecuación y encuentre urn y. Los bioquImicos han propuesto como un modelo para La producción de tripsina a partir del tripsinógeno en La digestion a dy

= k(A - y)(B + y)

dt

donde k > 0, A es La cantidad LImite de tripsinógeno y B es La cantidad original de tripsina. Resuelva esta ecuación diferencial. EvaLüe

= ky(16 - y)

fIT/2

cosx

L16 senx(sen2x + 1) 2

ReSuelva eSta ecuación diferencial. Encuentre La pobLación en 2015. ,Cuándo Será La pobLación de 9 miL milloneS?

Respuestas a la revision de conceptos:

dx

1. propia

ESte modelo, LLamado modelo LogIStico, se eStudió en La Sección 7.5.

43. ReueLva el probLema 42 Suponiendo que el LImite Superior

3. 2;3;-1 4.

2.

para La pobLación eS de 10 miL milloneS.

8.6 Revision del capItulo Examen de conceptos

Para evaluar

Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmanométrica.

ciones. Justifique su respuesta.

f

x+2 V_x2 - 4x

dx, se utiliza una sustitución trigo-

fx Sen(x2 )dx, se hace La SuStitución u = x2.

Para evaluar

fx23 - 2x dx, se hace u =

dx, se hace La sustitución u = x2. I J 9 + x4 Para evaluar I dx se hace La sustitución u = x2. J 9 + x4

Para evaluar

f

Para evaluar

X

Para evaluar

f 2x-3

Ix2 - 3x +

Para evaluar

dx, se inicia completando el cua-

Para evaluar 3

J x - 3x +

5

dx, se inicia completando el cua-

drado del denominador. Para evaLuar

Para evaluar

1

f t+2

I

J t3 - 9t

x x.

puedeexpresarse en La forma

x2 -1 x2+2

dt se hace una descomposicion en frac-

x(x2 x(x2 + 1)

Idt, se utiliza integración por

x+2 x2(x2 - 1)

Para evaluar fsen6 x coS2 x dx, se utilizan formulaS del anguLo meA dio. e

ex

dx, se utiliza integración por partes.

B

A

x -1

+

B

x+1 B

C

A x

x-1 + x+1

A x

Bx+C x2+1

puede expresarse en La forma - +

x2+2

11

fx2 Ln x dx, se utiliza integración por partes.

Para evaLuarfsen 2x cos 4x dx, se utilizan formulas del anguLo

ciones parciales.

Para evaluar

dx se hace una sustitución trigo-

medio.

Jf V45x dx, se hace La sustitución u =

Para evaluar

I

I x\/9 - x2

nométrica.

5

drado del denominador. Para evaluar

sen2 x cos5 x dx, se reescribe el integrando como

sen2x(1 - sen2x)2 cos x.

X

Para evaluar

3 - 2x.

puede expresarse en La forma - + puede expresarse en La forma C

x-1 + x+1 Para completar el cuadrado de ax2 + bx, se suma (b/2)2.

Revision del capItulo 399

SECCION 8.6

Cualquier polinomio con coeficientes reales puede factorizarse en un producto de polinomios lineales con coeficientes reales. Dos polinomios en x tienen Los mismos vaLores para toda x si, y soLo si Los coeficientes de términos del mismo grado son idénticos.

Problemas de examen

1

sen x dx

4.

f4o V9+t2 X

fec0s S.

2.

I y+1 I -4y+ y3 + y

f

2

dy

dx

f \/16+4x_2x2

3x+1

dy

x sen 2x dx

6.

fsen3(2t)dx

8.

I' Jo

(a) (c)

dy

(e)

V2y+1

15

tan x

3 - 4x2

(2x + i) 3x + 1 (x2 + x + 10)2 x5

(x + 3)4(x2 + 2x + 10)2

10 12.

fx2exdx

gión bajo La gráfica de

y=

1

I 1-wa I (lny)5

fsenh x dx

19.

fxcot2xdx

20.][senV

dt

22.

23. feul3 sen 3t dt

25.

24.

3x fsen --cos

29. f tan312 x sec4 x dx

dy

I 37.

J

30.

dx

1+e8x dx dw

dx

1

= x2 + 5x + 6 desde x = 0 hasta x = 3 se hace girar aLrededor del eje x. Calcule el volumen del sóLido que se genera.

1 t+9

dt

j t3 + 9t fcos4()dx

[

38.

49. Encuentre el volumen cuando el area creada por el eje x, el eje y, La curva y = 2(ex - 1) y la curva x = Ln 3 se hace girar aLrededor de La

y = 18/(x2\/x2 + 9),yLasrectasx

I t(t1'6 + 1)

\/x2+

dy a

f sentdt

= \/yx = 3\/.

51. Encuentre el area de La region acotada por La curva s = t/(t - 1)2,

fcos5 xVsen x dx

f

48. Encuentre el volumen del sólido que se crea a! hacer girar la region acotada por el eje x y La curva y = 4xV2 - x aLrededor del ejey.

50. Encuentre el area de La regiOn acotada por el eje x, La curva dt

V 34.] 36.

47. Si La curva dada en el probLema 46 se hace girar aLrededor del eje y, encuentre el volumen del sóLido.

rectax = 1n3.

I

e4X

1w

/

(b) ejey.

46. La region bajo La curva

dy

1+

32.

fe2 V9 - e2

33. fe1n(3cs

1 hasta x = 2 aLrededor del

(a) ejex;

fln(y2 + 9)dy

27. f tan3 2x sec 2x dx

31.

\/3x - x2

x = 4.

17.

Lnt2

dw

16. f

18.]

21. f

desde x

w3

1

45. Encuentre La Longitud de La curva y = x2/16 desde x = 0 hasta

dx

f1ncosx

B

(x-1)2

44. Encuentre el volumen del sóLido generado al hacer girar La re-

dx Isenx+cosx tan x

14.

I \/2+3y

dx

I (i6+x 2\3/2

A

J

13. 1

1

42.

x2(x2 + 3)

(x-1)2(x-1) +

21

2dt

f4x2+3x+6 dx

fcot2(20)do

I3/2

-2

y

e

dy

41

43. Exprese La descomposición en fracciones parciales de cada función racional sin calcular Los coeficientes exactos. Por ejemplo

En los problemas deli al 42, evaláe cada integral.

dt

39.

dx

I1 \/1-6x-x

40.

9 + cosy fsencos,

I v'i + cost

s = 0, t = -6 y t = 0.

fl

52. Encuentre el volumen del sóLido generado al hacer girar La región

{ (x, y): -3 dx

x

1,

6

xVx + 4

o}

aLrededor del eje x. Haga un dibujo. El 53. Encuentre La Longitud del segmento de La curva y = Ln(sen x)

desde x = i,/6 hasta x =

;I i. ; øE T!CNLiA $1

ri ' I" PSYECT

p

I;

kI

l

I

1na ntegración por medio cle un sis.ei.j

I

de áIgbra:t,.rv'jtacional c'ni .x3 -- 5x + 7x * 16

Prepat ación

I.

+ 8x3 + 48x2 + 119x + 210

t

mmV. aciu... I -rnv.i'.t.aciu I de álgeora-- cc. tatherna ica y Maple son s .mas .Ld tiene Li' i.Ld tiene i'T LI' (SAC ampliamente ui1izad' 0s. SiLiiponeiiflri J s cuI1I algun d stos, o una calculadora TI-89 o Tt-92, cilsç) oniLbie flu grates definidas e integras ara ayudar a evali ar ,- :'; i -'eiuiiizarse, nidas. Invesdgaremus eó m o est Jis sistemas p eclen -u.iiizarse, t] i( ncias. asi como algunas 'le sus d.'ii I

.;

Ejercfr

Lla valüe a m mano La integral indefi&'i

6

ISen2 X cos x dx

J

I

Ahora 1 i.tjlir ..e su SAC para evaluar Ia integral M

apda IC

-

/sen2 / sent ,s-; dx

ión- fii'9ercicio 1 Estuaie Ia sintaxisI- -ara hacer iiiteraci:ófl4 Ir1 .iematica, Ia .Jera ii dejflt, jflt., Math Ja e indefinida en su AC En .v. rx]- , xl, yia f 1r-] .ien con Tncg.L fiiida de f(x) se oLt. ntegral

-4

'cate cate [f

Oil Tntec L

efinida

'-J -J

-

i

Seflx Os4X -F

i

trodi'ciendo 2nd

J (x2,x)

re'.pectivamente.

2

'1

I

r2

x

y / x'

r1 .

-inin-

x, 1,2)

2nd

y

2

xcos x dx =

5 sen 3x

(30 sen x

- 3sen5::

240 jsen Thig :Mapleo'.. rei ios comandos combine y expand en:Mapleor A,ida'

]

. oueden evaluar integraLies L e' 'mo

2

X + 2jSrfl j5rfl x

mientra4UC 4ue- 1 athematica da mientra

- II M'ipie'o-' 'o' x, a, b } ]. I as forma orresponientes Cn M'ipie r rLTJQ yTI-Q2 yTI-Q2 (x'.) x=a. .b). L.TJQ (x', it (fix), x)

iit(f

cos2 x sen

r inbo, iviatiematica uti1izaidc et cma-

do Apart) y Maple (con e1 comando convert ) son ca'.'aces '4 r) sieA&fl rci i & una AC,fl en fraccione3 pa rcii .e calcular ta cescorni. funciOn racional.

TrigExpand en Mathematica. nr medio deliiso puesta -er Ia de los comandt s apropiados. transforme unares otra. va1or,:T Ejer ricio 7 Un SAC puede omitir los signos i1 valor:T luto, ca isaui.o con ello resultados incorrectos. Considere lUto, 11

.

-4

t 1

n r-'ianc. a r' Ejercico 2 EvahIe las in.egrakes siguieutes

(a)

f(3x + 10)° 'b Ic I-c

Sugerencia: Utilice intei ,jaciOn por

(c) J

.2

Exp1iqU I,or qué \/9x2 + x4 Expiiqu

fl'0dx +Lr

J

10

Ia tecno) a

para evaluar f V9 -, Utilice SU Utilice su SA

I

2

.1a d U] u na de las inUtilice un SA nara evaluar cad' En cuáles ca'sos (si los ios

1

[i descoir Ejercicio r Utilice su S;A .0 para determinr I.. . ipo sisiaiu'.e 1aintei ia intei ai ción c Iracciones parciales de cada función, cvaiu 1

III. RefIexi III. RefIexi "dictorios Ejercido 8 Si usted ohtiene resuitados contr0''dictorios ceterinifle cuátes resultados son col .rrectos y e: ejerciciu 7 que por que. -1 1

Ejercicio 9

(L,2 x

706

ro

Utilice su SAC para determi nar

ic' iones ee.n££iracciones

.2

,e

dx

para

parciates de

descom

= 0,1,2,... 10.

descomp Identifiq ie i1n patrOn y utilIcelo para predecir lai descompc.

indefinida Ade cada expresión. E

(d)2 x'+ 3x2 ---2x+ 118x + 12C .3:x2, 273x 273x 2

9x + x dx y f V9x +

+ x4

-J

. maflt1 Cihay) Ia Tespuesta del AC difiere de los que obtuvruu.mari" Th lgUnc )5 Caci ejercicio 2? ,Cuá' h. rspues;a es más simple? IF' lgunc término, aUn aun sos, 1os S4 C' multiplicarán e mtegrarán términe a término, cuando funcione un rnétodo más senci:lo.)

(c

x4 dx a mano.

JO

tegkrlJe sinclefinidas del ejericio 2. -

I V9x

Caic ii.

x2(3x3 + 10) dx

x 4 a mano.

II. Uso d

V19x2 -I- x4 dx

Y9x2 + x4 dx

x

Descompong

xI/9

L,nlic iue nor qué

pa -te (b). parter r'1a IaIa pa1

( d)

+ iO)° dx

Ejercicio 3

Ejeruci

x(3x

(n)

x4 dx

jV9x H-

cC

cii fra..ciines pari LIeS para

xl'

-:

--4-. Encuentre

4 ' x7 x una cxpresiór. para Ia descomposiciOn en frac iOfl 2

'1

1'a

ales

mtaendc s parttgerencia: Debe tener una respues de - 2 x iina cuando n es par y otra cuando n es impa Bono: Dc uconjetUr mi1' trt. i.tiiiza do indu.ciOn matemática, quc siuconjetur mi1 cor cta. C

as

I

'Si

I

it

[S

La e':ua cio..r diferencial logIstica I. Prep iraciónII En el capItulo 7 usamos la ecuación diferencial y' = ky para modelar el crecimiento DobIa.ionaI. Este modelo dice que Ia tdsa de crecimiento es proporcional al tamaño y de Ia poblaciOn. Esta ecuación diferencial tiene soiución v= ci. donde Yo es ci tamao micial dc Ia oblación. Este modelo. que conduce crecinüento exponencial, es razonhie hasta que ci tamaflo de Ia poblacion se vu DIve tan grande que los factores. ta'es como espacio y recursos afect In a] recimiento de la pohiaciOn. -i Pierre Verhuist (1804-1849) introuujo .n 183 ci r odeio (1)

y' = ay

dOn se vuelve iiás grande, el término by2 se vuelve significativo, y restringe Ia tasa de crecimiento y fuerza un tamañc. dc d pcblaciOn IIrnite L. Es un hecho notab,le qu.. podemos

iet rninar ci :amafi lirnite de hi L

..iaciOn sin resoer Ja ecuacjOn diferen-

ca.. LL1 Si existe ui nOmero L al curi Ia L

)oAaciOn conve ja ruando t

i (es.

si IImy(i) = L,, entoces

lIm'(i') = 0

12)

Ejercicio 2

i vemtre que ci modelo

en (1) puede escr" se en la forma

y'::ky( y)

.jercicio 6 Haga L i000y y = 2(10, I /arIe ci valor de k haga Ia gráfica de hIS is soiuciones. Descriha ci efecto de k ei I" solucion.

Ill. Reflexión Una eci aciOn autónoma es una ecuaciOn diferenciai de primer arden cie Ia form't 11

Esto demuestra que Ia tasa de crecimiento de Ia pobiaciOn es proporcionai ai tamaflo de la pohlaci'5r y y ai "espa-

cio" que queda rara Ia pobiación por crecer (esto es, h. Lerencia entre ci ta..iaño de ia pobl 'iite Lye! tano de Ia pobiac

it'

Rcsuetvav' L1 y) (rn = 10 Sit-i-(rn con Ia condiei' ci' ,n i ncia1 ncia1 gerencia. Sep varia le3 e 1tegre.

I ajaL aL =

F-I

En otras paiabras, Ia variauie t dci tiem pc, no aparece de nanera xplIcita en la tación diferenc al. Por L1 ecmp!o, y' = 1

L

.y y y' =

L1

ii

h :caiJo a L, entcnces i.'ai tasa d Ic cambic

jcr: casi cero.)

4

v(3

- y) soi autOnoir a,

iientras que y' = no Ic es. Un J,LiIIJ,LIIIp Je una ecjación (1S.fl" ' ifer inr\1'iaesu n conctante con la cia pJ qu .a " te p ropiedad de qu.a I. finciOn o1ista1 y(t) c es Ufld souciOn pa:a a cci aciOn (Jliferenciai. ir por ( . toda ia Ii' EjeiUcic i Expliqie it estacio raices de.1'!'y) =O':n pur os -

-

JL)' fl)0,

k = 0.000

ción para ia ecu LC1C"i ksuca. M'inte-M 1 niendo constantes a L ,r k varIe ci vaior de Hagd un gráfii Je las soluciones resuitantes. i.segOrese de inciuir algunos vaiores'I e Y m2nores V rnayores a L; también (rate coi Yo = - y v L. if If I)escriba los efectos 'fl1 L 'flh soluciOn. Ejercicic 5 Yak=O.Ol fiat :O5 Yo 00. VarIe ci ,alr'r L y grafique las 1'1

'1

irios.

y y = 200 y haga! ai grãica de Ia solu-

jr 8 Encuentre todos ios punESCiCju Los .stacionarios de ia ecu.'iOn logIstic 1. L

1

-

-

y'= v'=

i

J O.002y(5O()

Ii ificado ii

- y). Explique

.. sig-

di de 1.os pi"tos estacionariosHfl cc I

respecto a su relaciOn a! tamaio de la r obiacicn. F" sir. cue tudos " Ic, ii"' E jer cicio 9 ii',r rn"' los esttcionaro de las ecuaciors IC

'"

esciia il' c]f efe o de L so-

y, = 2' i(3

bre la sc'iución.

J1 ,1J' a pobIació se estab'ece

(y)

1

Ejercicio 3

Fjercicio 4

y' = y'.

tca tc i 2stacionario

-(jØI( gIa

II. Uso de Ic

o1uciones. -

I

-

DC en

-

r de modc que- cuando ci ta naño de La

ohlaciOn y es pequeno, la tasa de crecimiento es aproximadarnente proporcional a y. Sin embargo, cdando la pobla-

= ay

r1'c11 é' de ambos lados ( r1c11 det., e que y es una funciOn del tiemp. t) utilicese ci resui tado de (2). Enionces despéjese Ia puhlación iImite L.

by2

Por to comün, ci valor de b es pequeno.

to -es, -

n1?l:

E: cuuOn y '1H Urnuo t by2, tOmese ci ifimLe Ejercicio 1

-

- y)(4 y)(4 --yy )(5y, -

V

yy

y' = y F

uf' + 8y.

rn i

François Antoine de

l'Hôpital es una de las luminarias menores en el Gulllaume Guillaume Guillaume F. A.

firmamento de las matemáticas, matemáticas,

de I'Hôpital

aunque ha sido inmortalizado por el

1661-1704

descubrimiento que Ileva Ileva su su nombre nombre (Ia regla de de I'HOpital). l'Hôpital). Aunque ese

descubrimiento no es propio; se debe aa su su maestro, maestro, Johann Johann Bernoulli. Bernoulli. Y Y por por ahI hay una historia que vale Ia pena volver a narrar. L'Hôpital naciO L'HOpital naciO de de padres padres de Ia

alta nobleza de Francia. Con algo de

talento matemático y mucho dinero, él estuvo de acuerdo en apoyar a Johann Bernoulli a cambio de que después le

permitiera publicar los descubrirnientos de éste. Después de Ia descubrimientos

muerte de l'Hôpital, Bernoulli intentO reclamar esos descubrirnientos descubrimientos como como

propios, pero las evidencias se habIan hablan perdido. Fue hasta 1955 cuando

se encontraron las cartas cartas entre entre Bernoulli Bernoulli yy I'HOpital l'Hôpital donde se especificaban aquellos aquellos arreglos arreglos cuando cuando al al fin fin se se justificO justificó Ia pretensiOn de Bernoulli.

Entre las aportaciones de l'Hôpital se encuentra el primer libro de

...yhoyendIa Los autores potenciales de libros de cálculo están por todas partes y para cada disciplina hay un libro especial de cálculo.

texto de cálculo diferencial, publicado en 1696. En este libro se usa el

tipo de lenguaje que fue fue comün comin entre entre todos todos los los pioneros pioneros del cálculo, el lenguaje de los infinitesimales. LY qué es un infinitesimal? De acuerdo

con l'Hôpital, si dos cantidades difieren en un infinitesimal, pueden considerarse iguales.

Esto parece decir que dos cantidades pueden ser iguales y

desiguales al mismo tiempo. En las manos de gente talentosa como Newton, Leibniz, Bernoulli y Euler, nociones tan ambiguas no parecieron

constituir un obstáculo (y aun puede ser que hayan ayudado) en el descubrimiento Por fortuna fortuna para para los los simples simples descubrimiento de las nuevas matemáticas. Por mortales, los infinitésimos fueron desterrados de las matemáticas durante durante el el siglo siglo XIX XIX yy sustituidos sustituidos por por Ia Ia rigurosa rigurosa nociOn nociOn de de IImite. Ilmite. Sin embargo, en años recientes, los matemáticos embargo, matemáticos han han resucitado resucitado una una aceptable versiOn de esas magnitudes tan despreciadas en una rama de las matemáticas Ilamada análisis no estándar.

Formas

indeterminadas e integrales impropias 9.1 Formas indeterminadas del tipo 0/0 9.2 Otras formas indeterminadas 9.3 Integrales impropias: LImites de integración infinitos 9.4 Integrales impropias: Integrandos infinitos 9.5 RevisiOn del capItulo 9.6 Problemas adicionales Proyecto de tecnologIa 9.1 Funciones de densidad de probabilidad Proyecto de tecnologIa 9.2 La distribución normal

9. 1

Formas indeterminadas del tipo 0/0

He aquI tres problemas de lImites conocidos: lim

senx

x*O

X

lim x*3

-9 x2 - x - 6

lim x*a

f(x) - f(a) x-a

El primero se trató con amplitud en la sección 2.7, y el tercero en realidad define la derivada de f'(a). Los tres lImites tienen una caracterIstica en comtin. En cada caso, está incluido un cociente, y en cada caso, tanto el numerador como el denominador tienen a 0 como su lImite. Un intento de aplicar la parte 7 del Teorema principal de lImites (Teorema 2.6A), que dice que el lImite de un cociente es igual al cociente de los lImites,lleva al resultado sin sentido 0/0. En realidad, el teorema no se aplica, ya que requiere que el lImite del denominador sea diferente de 0. No estamos diciendo que estos lImites no existan, solo que el Teorema principal de lImites no los determinará. Puede recordar que un intrincado argumento geométrico nos condujo a la conclusión lIm (sen x)/x = 1 (Teorema 2.7B). Por otra parte, la técnica algebraica de factoxO rizaciOn conduce a Un,

x2-9 x2 -

x-6

(x-3)(x+3)

x+3

=lIm x-3x+2 x-3(x-3)(x+2) =lim

6

5

/,No serIa bueno tener un procedimiento estándar para manejar todos los problemas para los cuales los ilmites del numerador P denominador sean ambos 0? Esto es esperar demasiado. Sin embargo, existe una regla sencilla que funciona de maravilla en una amplia variedad de tales problemas.

404 CAPITULO 9

Formas indeterminadas e integrales impropias

Regla de L'Hôpital

En 1696, Guillaume François Antoine de L'Hôpital publicó el primer libro de texto sobre cálculo diferencial; incluIa la regla siguiente, que él aprendió de su maestro Johann Bernoulli.

Teorema A R rk c' e LHOpi tila para formas del pc 0' 1( :le iiiiif(x) = lIing(x) = 0. Si IIrrif1x)/gF(x)] existe en cualquiL.ra Supngaqu.. I

de los sentidos f'uliltu-' entonces

ir ' (v. ej., si este Iimitc inLiitc

f(x) -" g(x)

urn

f'(x)

= x-" urng'x) --

Aqulu 1)t1de .c sion .Lf icar '!!lrI1ier de Los sfmboos a, a. -

Interpretación geométrica de Ia regla de L'Hópital Estudie los diagramas siguientes. Ellos deben hacer que la regla de L'Hôpital parezca muy razonable. y

esunnümerofinitoo000+c)0),

Antes de tratar de probar este teorema, lo ilustramos. Obsérvese que la regla de L'Hôpital nos permite reemplazar un lImite por otro, el cual puede ser más sencillo y, en particular, podrIa tener la forma 0/0. EJEMPLO 1

= px

0+00.

Utilice la regla de L'Hôpital para demostrar que lIm

g(x) = qx

senx x

x-*O

=1

lIm

y

1 - cosx x

x-*O

=0

Solución Trabajamos duro para demostrar estos dos resultados en la sección 2.7.

x

Después de notar que tratar de evaluar ambos lImites por medio de sustitución conduce a la forma 0/0, ahora podemos establecer los resultados deseados en dos ilneas (pero véase el problema 25). Por la regla de L'HOpital,

lIm f(x) - urn P_P_ iIrn f(x)

x-O g(x)x-O qxqx-Og(x) y

lim

EJEMPLO 2

Solución

-

= lim

Dsenx

x-O Dx

X

1 - cosx x

x-*O

g

senx

lim

x-*O

Encuentre lIm

= lim x-*O

= lim x-*O

D(1 - cosx)

Dx

x2 - 9

y lIm

cosx 1

1

= lim x-O

senx 1

=0

x2 + 3x - 10

x-3x x-6 x-*2x 4x+4 2

2

Ambos lImites tienen Ia forma 0/0, de modo que por la regla de L'Hôpital, -

lim

x2-9

x-*3x2_x_6 urn f(x) - lIrn I (x)

xO g(x) xO g'(x)

x2

+ 3x - 10

2x

6 x-*32x-1 = -5

= lim

2x + 3

x-*22x-4 =oo x-*2x2_4x+4 =lIm lIm

El primero de estos ilmites fl4e manejado al inicio de esta sección factorizando y simplificando. Por supuesto, de cualquier forma obtenemos Ia misma respuesta. U EJEMPLO 3

Solución

tan2x

Encuentre lIm x-*O ln(1 + x)

El numerador y el denominador, ambos, tienen lImite 0. De aqul que, lim

tan2x

'° ln(1 + x)

=lim xO

2 ==2 1/(1 + x)

2sec22x

1

.

Algunas veces lIm f'(x)/g'(x) también tiene la forma indeterminada 0/0. Entonces podemos aplicar de nuevo la regla de L'Hôpital, como lo ilustramos ahora. Cada aplicaciOn de la regla de L'Hôpital está seflalada con el sImbolo

SEccION 9.1

EJEMPLO 4

Encuentre lIm

Formas indeterminadas del tipo 0/0 405

sen x - x

xO

Por medio de la regla de L'HOpital aplicada tres veces en sucesiOn

Solución

" cosx-1 1Im5-- = nm x-O

x-O

x3

3x2

1Im6x

x-O

COSX

lIm

x-O

6

1

.

6

Aunque tengamos una regla elegante no significa que debamos utilizarla de manera indiscriminada. En particular, siempre debemos asegurar que se puede aplicar; esto es, debemos asegurar que el lImite tiene la forma indeterminada 0/0. De otra forma conducirá a toda clase de errores, como lo ilustramos a continuaciOn. EJEMPLO 5

Encuentre lIm xO

1 - cosx x2 + 3x

Solución

lIm sen x x-O2x+3

lIm 1 - cos x

x-O x2+3x

lIm COS X =

x-O

ERROR 2

2

La primera aplicación de la regla de L'Hôpital fue correcta; la segunda no, ya que en ese paso, el lImite no tenIa la forma 0/0. He aquI lo que debIa hacerse

lIm sen x = o

urn 1 - COS X

x-O x2+3x

DERECHA

x-O2x+3

Detenemos la derivación tan pronto como el numerador o el denominador tenga un iiU mite distinto de cero. Aun silas condiciones de la regla de L'Hôpital se cumplen podrIan no ayudarnos; veamos el ejemplo siguiente. EJEMPLO 6

Encuentre xoo lim

e

Solución Ya que el numerador y el denominador ambos tienden a 0, el lImite es indeterminado de la forma 0/0. AsI, las condiciones del Teorema A se satisfacen. PodrIamos aplicar la regla de L'Hôpital de manera indefinida.

4' ex = lim ex ='' lim lim x-1 X-2 x-° -

x-°' X-1

D-X

2x-3

=

406 CAPITULO 9

Formas indeterminadas e integrales impropias V=

Claramente, sOlo estamos complicando el problema. Un mejor enfoque es hacer primero un poco de algebra e_x x lim = lim x - oo

x -*

x

Escrito de esta manera, el lImite es una forma indeterminada de la forma ooloo, el tema de la sección siguiente. Sin embargo, debemos ser capaces de adivinar que el lImite es 0 considerando que ex crece mucho más rápido que x (véase la figura 1). Una demostraciOn rigurosa vendrá más adelante (ejemplo 1 de La secciOn 9.2). x

Figura 1

Teorema del valor medio de Cauchy

La demostración de la regla de L'Hôpital depende de una extension del Teorema del valor medio debida a Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Teorema B

'le Cu':n'

TE DFerna del valor med

h_ n .,(r b' y conhinuas en Ia, bI. Si g'(x) rivaie ntonces .xis 1. U'i imiero c en (a. b) tal que

ujciones ean f y g fr

daxen(a,b

f( 5'

-. a)

dj

p ira to-

f'(c)

g(n) - (a) O

sveseqre . este teorema se re uce al ordinario Teorema del valor rnedio

' riiando g(x' = 1ii 'adas 't'eore (' ma 4 .7/ IlJ

Demostración Es tentador aplicar el Teorema del valor medio a! numerador y a! denominador del lado izquierdo de la conclusion. Silo hacemos, obtenemos f(b) - f(a) = f'(ci)(b - a) y

g(b) - g(a)

=

g'(c2)(b -

a)

para elecciones apropiadas de c1 y c2. Si sOlo c1 y c2 fuesen iguales, podrIamos dividir la primera igualdad entre la segunda y estarIa hecho; pero no existe razón para esperar tal coincidencia. Sin embargo, este intento no es un fracaso cOmpleto, ya que (2) da Ia Va-

liosa información de que g(b) - g(a) 0, un hecho que necesitaremos posteriormente (esto se deduce de La hipótesis que g'(x) para toda x en (a, b)). Recuérdese que la demostraciOn del Teorema del valor medio para derivadas (Teorema 4.7A) se sustenta en La introducción de una funciOn auxiliar s. Si tratamos de imitar esa demostración, ilegaremos a la siguiente elección para s(x). Sea

s(x) =

f(x) - f(a)

f(b) f(a)

-

(b) -

(a)

[g(x) - g(a)]

No hay division entre cero ya que antes establecimos que g(b) - g(a) 0. Obsérvese además que s(a) = 0 = s(b). También, s es continua en [a, bI y derivable en (a, b), esto se sigue de los correspondientes hechos para f y g. AsI, por el Teorema del valor medio para derivadas, existe un nUmero c en (a, b) tal que

s(c)= Pero

s(b)s(a)

ba

s'(c) = f'(c) de modo que,

0-0

ba°

f(b) f(a) g(b) - g(a)

g'(c) =

f'(c)

f(b) - f(a)

g'(c)

g(b) - g(a)

que es lo que deseábamos demostrar.

0

Formas indeterminadas del tipo 0/0 407

SECCION 9.1

DemostraciOn de Ia regla de L'Hôpital Demostración Regrésese al Teorema A, que en realidad establece varios teoremas en lIm. uno. Solo demostraremos el caso en el que L es finito y el lImite unilateral x*a Las hipOtesis para el Teorema A implican más de lo que explIcitamente dicen. En

particular, la existencia de lIm[f'(x)/g'(x)] implica que tanto f'(x) como g'(x) exisx*a ten en al menos un pequeflo intervalo (a, bI y que allI g'(x) 0. En a, aün no sabemos lIm g(x) = 0. AsI, poque f y g estén definidas, pero sabemos que x*a lIm f(x) = 0 yx*a demos definir (o redefinir, si es necesario) a f(a) y a g(a) como cero, y por tanto haciendo a f y a g continuas (por la derecha) en a. Todo esto es para decir que f y g satisfacen las hipótesis del Teorema del valor medio de Cauchy en [a, bi. En consecuencia, existe un nümero c en (a, b) tal que

f(b) f(a) g(b) - g(a) o, como f(a) = 0 = g(a),

Cuando hacemos b

f'(c) g'(c)

f(b)

f'(c)

g(b)

g'(c)

a, y por tanto forzando a que c lim

b*a1

f(b) g(b)

= lim

a, obtenemos

f'(c)

c*a g'(c)

que es equivalente a lo que querlamos demostrar. Una demostración muy semejante funciona para el caso de los lImites por la izquierda y por tanto para lImites por los dos lados. Las demostraciones para los casos en donde a o L es infinito son más difIciles, y los omitiremos.

Revision de conceptos La regla de L'Hôpital es ütil para determinar lIm [f(x)/g(x)], en donde

De ia regia de L'Hôpitai, podemos conciuir que , pero ia regia de L'Hô=

iIm (tan x)/x = iIm x-O x-O

son distintos de cero.

y

pitai no nos da información acerca de 11m0 (cos x) /x porque

La regla de L'Hôpital dice que bajo condiciones apropiadas

lIm f(x)/g(x) =

lIm

La demostración de ia regia de L'Hôpitai depende dei teo-

rema

Conjunto de problemas 9.1 En los problemas deli al 24, encuentre el lImite que se indica. Asegárese de que tiene una forma indeterminada antes de aplicar la regla de L'Hôpital.

1. tim x-O

2x - sen x

3. lIm x-O 5

X

x - sen 2x

iIm

x2+6x+8

x--2 x

lIm 7. x-1

9.

tan x

lIm x-/2

2

3x - 10

- 2x + 2 -1 ln(senx)3

-X

2.

cos x

lIm x-1T/2l.

-

tan3x

4. lim x-O sen1x 6

lim x-O

8. iIm

iim 13. x-O

- 2x in x2 1

x-O 2 sen x

Vit2 mt tncos2x 7x2

tanxx

iim 15. x-O sen2x - 2x

12. 14.

2 lIri,j

16.

-1 -1

3 sen x

Vx

senx tanx x2 sen x

x2

17

iIm x-Osenx x

x3-3x2+x

x-1 x2

10. iim

11. iim t-

ex_in(1+x)_1 iIm 18 x-

19. iIm x-O

tan1x - x 8x

1 - cos x - x sen x 2cosx - señ2x

21. xi52

20. iIm x-O

coshx - 1 x2

sen x + tan x

iim 22 x-O ex +

e_x - 2

408 CAPITULO 9

ix

Formas indeterminadas e integrales impropias

ix

Vi + sen t dt

\/icost dt

23. urn x-*O

29. Utilizando los conceptos de la sección 6.4, puede demostrar que el area de Ia superficie del elipsoide alargado obtenido al hacer girar la elipse x21a2 + y21b2 = 1 (a > b), alrededor del eje x es [

A = 2ith2 + 27rab I

En la sección 2.7, trabajamos muy duro para demostrar que lIm (sen x)/x = 1; la regla de L'Hôpital nos permite demostrar esto

L V'a

a

- b2

arcsen

\/a2_b2 a

x-*O

en una linea. Sin embargo, aun si tuviésemos la rega de L'Hôpital, digamos al final de la sección 3.2, no nos hubiese ayudado. Explique por qué.

Encuentre lIm x-O

A dónde se aproxima A cuando a - b? Utilice la regla de L'Hôpital para demostrar que esto sucede. Determine constantes a, b y c de tal modo que

x2sen(1/x) tanx

urn

Sugerencia: Comience por decidir por qué la regla de L'Hôpital no es aplicable. Después encuentre el ilmite por otros medios. 27. Para la figura 2, calcule los limites siguientes:

(a) lIm t-*O

(b) lIm

area del triangulo ABC area de la region curva ABC

ax4+bx3+1

x-*1 (x 1)senirx

=c

La regla de L'Hôpital en su forma de 1696 decIa esto: Si

lImf(x)

=

limg(x) = 0, entonces lImf(x)/g(x) = f'(a)/g'(a),

con tal que f'(a) y g'(a) existan y g'(a) 0. Demuestre este resultado sin recurrir al Teorema del valor medio de Cauchy.

area de Ia region curva BD area de la regiOn curva ABC

[CAS

Utilice un SAC para evaluar los lImites de los problemas 32 a135.

lin

cosx - 1 + x2/2

ex - 1 - x - x2/2 - x3/6

34. lim x-*O

1 - cos(x2)

x senx

35. lIm

tanx - x

x-+O arcsen x - x

Para los problemas del 36 al 39, grafique el numerador f(x) y el denominador g(x) en la misma ventana de graficacion para cada uno [Gd

Figura 2

1, 0.1 0.01. 0.1 y 0.01 Con base en Ia grafica, estime los valores de f'(x) y g'(x) y utilIcelos para aproximar el lImite dado. de estos dominios 1 x

28. En la figura 3, CD= DE = DF = t. Encuentre cada lImite.

(a) liry

(b) lImx

36. lIm x-O

3x - senx

38. lIm X-Oe2x FE X P LI

X

x

1

37. urn x-+O

senx/2 x

ex_1

39. lim -x x-Oe

1

40. Utilice el concepto de aproximación lineal a una función

(véase la sección 3.10) para explicar la interpretación geomOtrica de la regla de L'Hôpital en el recuadro al margen próximo al Teorema A.

Respuestas ala revision de conceptos: 1. iirnf(x); lImg(x) 2. f'(x)/g'(x) 3. sec2 x; 1; 119 CO5 x Figura 3

Cauchy

4. del valor medio de

Otras formas indeterminadas 409

SECCION 9.2

9.2

Otras formas indeterminadas

En la soiución al ejemplo 6 de La sección anterior, nos enfrentamos a! siguiente problema de LImite

urn-

x*cxj

Este es un ejemplo tIpico de Ia forma lIm f(x)/g(x), en donde ci numerador y eL dex

nominador crecen indefinidamente; Les liamamos forma indeterminada del tipo oc/oc. Resulta que la regia de L'Hôpital también se aptica en esta situación; esto es, lIm

carrof f(t) carro g

f(x) g(x)

= lIm

f'(x) g (x)

Una demostración rigurosa es muy difIcil, pero existe una manera intuitiva de ver que el resuLtado es cierto. Imagine que f(t) y g(t) representan las posiciones de dos alltomóviies sobre el eje t en el instante t (véase La figura 1). Estos dos automóviles, el auto f y el auto g, están en una viaje sin fin, con veLocidades respectivas f'(t) y g'(t). Ahora, si lim

f'(t)

t*oo g'(t)

=L

entonces básicamente el auto f viaja a casi L veces tan rápido como el auto g. Por tanto, es razonabie decir que, a La larga, viajará casi L veces más lejos; esto es, lIm

f(t)

=L

g(t)

A esto no le ilamamos demostración, pero hace plausible un resultado que ahora estabiecemos de manera formal. Teorema A

r,

Regla de L'HpitaI para forra del :.po 'o/oo. i

= iImg(x)j = °° Si

SupOngase que

I[f'(x)/5'(x)] existe c.n ci

sentido finito o infinito, entonces

lim

f(x' g(x)

= Iiin

-.0

(x)

g (x'

Aqul u puede significar -ualauiera ne los s1mb olo' i.a,

, a, oo o +oo.

La forma indeterminada oo/oo Utilizamos ci Teorema A para terminar ci ejemplo 6 de la sección anterior. EJEMPLO 1

Encuentre tim

x

xoo

Solución Tanto x como ex tienden a oc cuando x cxi De aquI que, por la regla de L'Hôpital, x Dx = tim 1 = 0 lim = lim x x ex x D ex e

.

He aqul un resultado general dci mismo tipo. EJEMPLO 2

a

Demuestre que, si a es cuaiquier nümero real positivo,

ex

= 0.

So!ución Supongase como un caso especial quc a = 2.5. Entonces tres aplicaciones de la regia de L'HôpitaL da

lIm x25 X

lIm X

5x'5

lIm L2.5X1.5)x°5 X

ex

lIm (2.5X1.5X0.5) = 0 X

xO5ex

41 0 CAPITULO 9

Formas indeterminadas e integrales impropias

Un argumento similar funciona para cualquier a > 0. Denótese con m al máximo entero menor que a. Entonces m + 1 aplicaciones de la regla de L'Hôpital da

Vea coma crecen En ciencias de La computación, uno pone cuidadosa atención a La cantidad de tiempo necesaria para reaLizar una tarea. Por ejemplo, para ordenar x elementos por medio del algoritmo "de La burbuja" toma un tiempo proporcional a x2, mientras que el algoritmo "rápido" hace La misma tarea en un tiempo proporcional a x Ln x, una gran mejorla. He aqul una tabla que ilustra cómo algunas funciones comunes crecen cuando x aumenta de 10 a 100 a

iIm

a(a

urn

EJEMPLO 3

1)xa-2 ex

Xm

- aex

Demuestre que, si a es cualquier nümero real positivo, lIm

x*oo

Solución Tanto ln x como Xa tienden a 00 cuando x una aplicación de la regla de L'Hôpital,

00.

lnx

. =

De aquI que, por medio de

1000.

mx VI

2.3

4.6

6.9

3.2

10

31.6

x

10

100

1000

23

461

6908

100

10000

106

xlnx e-

2.2

X io

2.7 X 10

10

lim ifl X =4 lim

x-

x-

Xa

iiX-1 =

axa

'

-

1

-

axa

lim

= 0

.

Los ejemplos 2 y 3 dicen algo que es valioso de recordar: para x suficientemente grande, ex crece más rápido cuando x aumenta que cuaiquier potencia constante de x, mientras que in x crece más ientamente que cuaiquierpotencia constante de x. Por ejemplo, cuando x es suficientemente grande e-' crece más rápido que x100 y ln x crece más 1/ lentamente que La tabla en el margen y la figura 2 ofrecen ilustración adicional. ln x

40

EJEMPLO 4 30

1/

1

Encuentre x-*O lIm

Solución Cuando x tal se puede aplicar,

cotx

0, ln x

00 y cot x

00, de modo

in x

I

que la regla de L'Hôpi-

20

Figura 2

-

iIm lim x0 cotx=x0

10

1/x

1

[_csc2xj

Esto aün es una indeterminaciOn como aparece, pero en lugar de aplicar otra vez la regla de L'Hôpital (lo cual solo hace que las cosas empeoren), reescribimos la expresiOn entre corchetes como

1/x

sen2x

cscx

X

=senx senx X

AsI, lIm

ln x

x*O cotx

= lIm [_senx x*O

senx]

=

01

=

.

Las formas indeterminadas 0 oo y 00 - 00 SupOngase que A(x) *0, pero B(x) oo. çQué ocurre con el producto A(x)B(x)? Trabajan dos fuerzas en competencia, tendiendo a jalar el producto en direcciones opuestas. ,Cuál ganará esta batalla, A o B, o ninguna? Depende de cuál es más fuerte (p. ej., cuál hace su trabajo más rápido) o si están niveladas. La regla de L'Hôpital nos ayudará a decidir, pero solo después de trasformar el problema a la forma 0/0 o oo/oo.

Otras formas indeterminadas 411

SEccION 9.2

EJEMPLO 5

Encuentre x-*ir/2 iIm (tanx. in senx).

iIm tan x = oo, esto es una forma indeterSoluciôn Ya que x-*ir/2 iIm in sen x = 0 y x-*ir/2

minada 0 oo. Podemos reescribiria como una forma 0/0 por medio dei artificio simpie de cambiar tan x por 1/cot x. AsI,

iIm (tan x in Sen x) =

iIm

=

urn

x*rrI2

in sen x

x*rrI2 cotx

-

cos x

senx

x*rrI2

csc x

= iIm (cosxsenx)=O x-

EJEMPLO 6

rI2

U

Ix

Encuentre x-*l\ lIm

-1

mx

Solución Ei primer término crece sin cota; io mismo que ei segundo. Decimos que ei iImite está en una forma indeterminada 00 - 00. La regia de L'Hôpitai determinará ei resuitado, pero sóio después que se reescriba ei probiema en una forma donde se apiique ia regia. En este caso, se deben combinar ambas fracciones, este es un procedimiento que cambia ei probiema a ia forma 0/0. De ias dos apiicaciones de ia regia de L'Hôpitai se tiene:

x

iIm

1

iIm mx ) = x*1

( x*1 \x-1

xinxx+1

- im

(x-1)inx

xinx

-ix-1+xinx

Las formas indeterminadas 00,

iim

x*1

x1/x+inx-1 (x-1)(1/x)+inx

=iim 1+inx = -

i2+inx

2

.

O,

°° Ahora voivamos ia atención a tres formas indeterminadas dei tipo exponenciai. AquI, el truco es no considerar ia expresión originai sino su iogaritmo. Por io comün, ia regia de L'HOpitai se apiicará ai iogaritmo.

Encuentrex*O+ lIm (x + 1)0tx.

EJEMPLO 7

Soluciôn que

Esto adquiere ia forma indeterminada 1°°. Sea y = (x + i)0t x, de modo

my = cotxin(x + 1) =

in(x + 1) tan x

Usando ia regia de L'Hôpitai para formas 0/0, obtenemos

-

Ahora y = e'

Y,

iIm

x*O

n

y=

iIm

x*O

n(x

+

tanx

1)1 =

x+1 =1 Sec2x

urn

x*O

y como ia función exponenciai f(x) = e-' es continua,

=

}+exp(1ny) = exp(imn+iny)

=

expi = e

.

412

CAPITuL09

Formas indeterminadas e integrales impropias

EJEMPLO 8

Soluciôn

Encuentre

X

urn (tan X)CO.

-* ir/2

Esta tiene ia forma indeterminada 000. Sea y = (tan X)0S x de modo que in tan x sec x

in y = cos x in tan x = Entonces

urn iny= iIm

x - 7r12

x - 7r12-

r

in tan x = sec x

secx = lim tan x x - 7TI2

=

iIm

tan x

se c2x

x -rI2 secx tanx

lim

-/2-

cosx =0 sen2x

Por tanto,

urn y = e0 = 1

.

Resu men Hemos ciasificado ciertos probiemas de ilmites como formas indeterminadas, utiiizando siete sImboios 0/0,00/00,0 oo,00- 00,00,000 y Cada uno impiica una competencia de fuerzas opuestas, io cuai significa que ei resuitado no es obvio. Sin embargo, con ia ayuda de ia regia de L'Hôpitai, que sóio se apiica directamente a ias formas 0/0 e oo/oo, por io comün podemos determinar ei ilmite. Existen muchas otras posibiiidades simboiizadas por ejempio, 0/oo, oo/0, 00 + Do, 0o Do, 0° e oo°°. Por qué no iiamar a estas formas indeterminadas? Porque, en cada uno de estos casos, ias fuerzas trabajan juntas, no en competencia. EJEMPLO 9

Encuentre lim(sen X)COtX.

Soluciôn PodrIamos iiamar a esta una forma pero no es indeterminada. Obsérvese que sen x se aproxima a cero y eievada ai exponente cot x, un nümero que está aumentando, sóio sirve para hacer que se aproxime más rápido a cero. AsI,

iIm (sen x)c0tx = 0

x

.

Revision de conceptos L Si lIm g(x) = oc, entonces La regla de L'HôpitaL xa f(x) = lImxa

dice que LImf(x)/g(x) = LIm xa

2. SiLImf(x) = OyLImg(x) = oc, entoncesLImf(x)g(x)

Siete formas indeterminadas se estudiaron en este texto. Se 0 simboLizan por medio de 0/0, y ex

crece más rápido que cuaLquier potencia de x, pero

crece más Lentamente que cuaLquier potencia de x. es una forma indeterminada. Para apLicar La regLa de L'HôpitaL, podemos reescribir este üLtimo LImite como

SEccION 9.2

Otras formas indeterminadas 41 3

Conj unto de pro blemas 9.2 En los problemas del 1 al 40 encuentre cada lImite. Asegárese de que tiene una forma indeterminada antes de aplicar la regla de L'Hôpital.

1. lim 3. iIm 5.

1nx1000°

2. iIm

X X10000

4. iIm

eX

iIm x-/2

3secx + 5 tanx

(inx)2

in(lOOx + eX) in sen2 x

iIm x-(1/2)

[Gd

V-in

in(4 - 8x)2 tan ii-x

12. lIm 3x2 csc2 x

13. iIm(csc2 x - cot2 x)

14.

15. iIm(3x)X2

16. 1Im(cosx)X

(5cosx)ta1

19. iim(x + ex/3)3

(d) X_OO(

+ 2X)1

lk+2k++nk

Sugerencia: Aunque esto tiene ia forma c/c ia regia de L'Hôpitai no es de ayuda. Piense en otra técnica utiiizada con frecuencia.

46. Sean c1, c2.....c constantes positivas con

18. iIm( csc2x - - 2

(I

23. iIm x1'

24. 1Im(cosx)1/2

25. JIm (tanx)2

26.

27. lIm(senx)X

28. lIm(cosx - sen

1/t

n

'L

22. iIm

c1 = 1 y

sean x1, x2.....x nUmeros positivos. Tome iogaritmos naturaies y desdespués utiiice ia regia de L'Hôpitai para demostrar que

(cos2x)X_2

21. iIm (sen x)cosX x -4

para x > 0. Muestre io que sucede para

(c) lIm(1X + 2X)1

iIm

iIm (tanx - secx)

iIm

43. Grafique y =

45. Para k> 0, encuentre

1

20.

X-O

44. Determine cada iImite. (a) lIm(1X + 2X)1 (b) lIn(1X + 2X)1

2csc2x 10. lim x-O cot2x

cot x

iIm

(d) X-O

x muy pequefla y x muy grande. Indique ei vaior máximo.

x-O 3 in tan x

11. iIm (x in x1000)

17.

(c)

(e)

3x

in(in x1000)

9. iIm

(b)

2X

6. iIm

8.

42. Encuentre cada iImite. (a)

XX

(

n

= X X2X = Hx i=1

AquI fJ significa producto; esto es, fJ a significa a1 'a2.....a. i=1

1

29. iIm csc x

X

- x)

iIrn(e

30. iIm 1+

En particuiar, si a, b, x y y son positivas y a + b = 1, entonces

1X

47. Verifique ia Uitima proposición en ei probiema 46 caicuiando cada uno de ios siguientes iImites.

[Gd

X

X

1

31. iIm (1 + 2e'

32.

33. lIrn(cosx)1R

34. lim(x1/2 in x)

iIm( X-l\X - 1

iIii(ax + by)1 =

in x

(a) ifm(2 + 15t)1/t 9t)1/t (c) iIm (2 + t-0 [Gd

48. Considere f(X) = n2xe'. Haga ia grlfica de f(x) para n = 1,2,3,4,5,6 en [0, 1] en ia misma ventana de graficacion.

35. limec0X

ParaX > 0,encuentreiimf(x).

36. lIm[in(x + 1) - in(x - 1)]

EvaiUe f f(x) dX para n = 1,2,3,4,5,6.

38. lIm(inxcotx)

37. iIm x-O in x

'IX

Haga una conjetura acerca de

Vi + et dt

39. urn

(b) tiIm (2 + 45()1/t -0

X

fXsen tdt

iimf f(x) dx. Después justifi-

que su respuesta de manera rigurosa.

40. iIm

49. Encuentre ios puntos máximo absoiuto y mInimo absoiuto (si existen) para f(x) = (x25 + x3 + 2v)e_ en [0, oo). [Gd

41. Encuentre cada iImite. Sugerencia: Transforme a probiemas que inciuyan una variabie continua x.

(a) iIm

(c) 1Imn('/ - 1)

(b) iIm

Respuestas a Ia revision de conceptos:

(d) 1Imn(Y - 1)

2.iImf(x)/[1/g(x)] o iirng(x)/[1/f(x)] 3.00 4. in x

1. f'(x)/g'(x)

414 CAPITULO 9

Formas indeterminadas e integrales impropias Pb

9.3

En Ia definición de J f(x) dx, se supuso que el intervalo [a, b] era finito. Sin embar-

I nteg ra I es I m prop i as:

go, en muchas aplicaciones de fIsica, economIa y probabilidad queremos permitir a a o a b (o a ambas) sean cx o oo. Por tanto debemos encontrar la manera de dar significado a sImbolos

LImites de integración

infinitos

f 00

1

I Jo y

1+x2

Jx2 e_x2 dx

f'xe_x2 dx,

dx

Estas integrales se denominan integrates impropias con lImites infinitos. La gráfica de f(x) = e_v en [0,00) se muestra en Ia figura 1. La in-

Un IImite infinito fb tegral / e Jo

dx tiene sentido sin importar qué tan grande se haga b; en realidad, p0-

demos evaluar esta integral de manera expilcita. b

x

L Figura 1

fb

b

Ahora b*cx lIm (1 -

e_b)

e_x(_dx)

- Jo/

e_X dx

= [e] = 1 - e

= 1, de modo que parece natural definir

fe

dx = 1

He aquI la definición general.

Definición

fhf(x)dx

=

a00fbf

dx

a b

f00

f(x)dx

f(x)dx

=

Si los lImites de la derecha existen y tienen valores finitos, entonces decimos que las correspondientes integrales impropias convergen y tienen esos valores. De otra forma, se dice que Ia integral diverge.

EJEMPLO 1

Encuentre, si es posible, f xex dx.

Solución

J.-Ixe-x2 dx = a

I2af

e2(_2x dx)

[_ 1 ex1

L2

]a

12

= - -1 e1 + 2

2

AsI,

I-lxe-x2 dx -00

lIm

r_ e1

a-ooL 2

+1 2

e1]

Decimos que la integral converge y tiene valor 1/(2e).

1

2e

SECCION 9.3

Integrales impropias: IImites de integración infinitos 41 5 p00

EJEMPLO 2

I

Encuentre si es posible,

sen x dx.

Jo

Solución

fcx

b

sen x dx = boo urn

I

v = sen x

Jo

sen x dx o

lIrn [cos x]

b*oo

= b*cxj lIm[1 - cosb] El ültimo lImite no existe;conclujrnos que la integral dada diverge. Considere el significado geornétrico de

sen x dx para apoyar este resultado (véase la figura 2).

U

EJEMPLO 3 De acuerdo con Ia ley del inverso de los cuadrados de Newton, la.fuerza que ejerce la Tierra sobre una cápsula espacial es k/x2, en donde x es la distancia (en millas, por ejemplo) desde la cápsula a! centro de Ia Tierra (véase la figura 3). Por tanto, Ia fuerza F(x) requerida para elevar a Ia cápsula es F(x) = k/x2. ,Cuánto trabajo se realiza a! impulsar una cápsula de 1000 libras fuera del campo de atracciOn terrestre?

Solución Podemos evaluar k observando que en x = 3960 millas (el radio de la Tierra) F = 1000 libras. Esta da k = 1000(3960)2 1.568 x 1010. Por tanto el trabajo realizado en millas-libra es [00

1dx

1.568 x 1010

J3960 x

= lIm 1.568 X b00

lO'°]x L

lo[

1.568 x 10°

--b + 1

lIm 1.568 x 10

b*oo

=

b

1

I

3960]

e3.96x1O6

3960

1

U

Ambos Ilmites infinitos Ahora podemos dar una definición para [f(x) dx. Definición p00

Si

J

f(x) dx y J f(x) dx convergen, entonces se dice que

00

f(x) dx converge

0

y tiene valor

J

f(x)dx

10

=J

f(x)dx

foo

+ J0

f(x)dx

00

En caso contrario, [ f(x) dx o establezca que diverge. JcX0

foo

EJEMPLO 4

EvalUe

1

100 1 + x2

dx o establezca que diverge.

Solución foe

Jo

1

1+x2

[b dx

lirn booJ0

- lIrn b [tan

1

l+x2dx x]0

[tan_i b - tan' 0] = = tIm b>oo

Ya que el integrando es una función par.

2

41 6

Formas indeterminadas e integrales impropias

CAP1TULO 9

eoo

1

2dx= f001+0

1

1+x

J

IT

dx

2

Por tanto, 00

1

eO

1

1+x2 dx=I 001+x2

dx+

100 0

Funciones de densidad de probabilidad

1

1+

x2

dx =

IT

2

+

IT

2

= IT

Muchos fenómenos implican el

azar, o aleatoriedad. Si lanzamos una moneda, podemos obtener cara o cruz; si lanzamos tres monedas, podrIamos contar el nümero N de caras, y obtendrIamos 0, 1,2 o 3. 0 podrIamos lanzar una sola moneda hasta que aparezca una cara; entonces el flumero de lanzamientos M es un nümero en ci conjunto f 1, 2, 3,. . .}. Las variables M y N se denominan variables aleatorias ya que sus valores cambian de un experimento al otro. Las variables aleatorias cuyos posibles resultados pueden colocarse en una lista se denominan variables aleatorias discretas. Otros fenómenos inciuyen un resuitado que (a! menos teóricamente) toma cualquier valor en un intervaio. Por ejemplo, podrIamos colocar un foco en un contacto de ca y observar cuánto tiempo pasa antes de que se funda. 0 podrIamos medir cuánto se estira un resorte cuando le colgamos en uno de sus extremos una masa de 2 kilogramos. Las variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor en un intervalo se haman variables aleatorias continuas. Una función de densidad de probabilidad (o simplemente, función de densidad) para la variable aleatoria continua X es una función f definida en (oc, oo) con las propiedades p oc

1. f(x) 0.25

0,paratodax

2.

J

f(x)dx

=

1

00

La probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor entre a y b es

fb

0.2

dx 0.15

Por ejemplo, el tiempo de vida de un foco (en miles de horas) podrIa ser una variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad que se muestra en la figura 4. La

0.1

[6

0.05

probabilidad de que el foco se fundirá entre las 4000 y 6000 horas es / f(x) dx. (Ya

'4

4

Figura 4

6

que el foco no puede tener un tiempo de vida negativo, la probabihidad de que X caiga en cualquier intervalo que se encuentre por completo a la izquierda del cero debe ser 0; esto significa que la funciOn de densidad debe ser 0 para todos los valores negativos

dex.) La media de una variable aleatoria que tiene funciOn de densidad f(x) se define como

= En la sección 6.6, definimos el centro de masa de una distribuciOn decontinua masa a lo largo de una recta que tiene densidad 5(x) como

M m

i(x [00

J

(x)dx

En el contexto de probabilidad tenemos la densidad de probabilidad en lugar de la densidad de masa. También nótese que si reemplazamos la densidad de masa S con la densidad de probabilidad f ci denominador se transforma en

SECCION 9.3

Integrales impropias: Ilmites de integracion infinitos

41 7

por Ia propiedad 1 de las funciones de densidad. AsI, el centro de masa para la densidad de probabilidad es 00

f00

xf(x)dx

[xf(x)dx

f(x)dx

1

f00xf(x)dx

=

Otra caracterIstica importante de una funciOn de densidad es sU varianza, denotada por o2, que se define como

f(x - )2f(x)dx

=

La varianza es una medida de dispersion, o "dispersidad". Cuando o-2 es pequefia, la distribución de probabilidad está, aproximadamente, muy agrupada airededor de Ia media; cuando 2 es grande, la distribución de probabilidad es más extendida.

EJEMPLO 5 La función de densidad de probabilidad más importante es la normal estándar, que se define por 1

f(x) =

e_x 2/2

V21T

La figura 5 muestra una gráfica de y = f(x). Es sorprendentemente difIdil demostrar que V

-2

-1

1

2

x 1

IC

Figura 5

V

ex2/2

dx = 1

27T

aunque lo haremos más adelante (véase la sección 16.4). Utilice este hecho para demostrar que esta función de densidad tiene media 0 y varianza 1; esto es, demuestre Cada una de las siguientes: (a)

1

f

V2r

00

00

xe_x2/2 dx

=0

(b)

2r

00

f xe2/ dx = 1 00

Solución 1

\,/

(a)

I J0

00xe_x2/2

dx

lIm

r_

1

booL V2 1

lIm r

Ibe_x2/2(_x) dx] Jo e_x2/21b

b00L V2

Jo

1

V21T

Como xe_x2/2 Cs una función impar, 1

V2

[

_22 dx= xex/

1-00

1

[00 I

V21r Jo

_2/2dx= xex

1

V2r

AsI, I

I

I0o

/ xe" dx =

V2r Joo

1

0

00

xe_x2/2 dx +

/27T

-00

xe_x2/2 dx

418 CAPITULO 9

Formas indeterminadas e integrales impropias

(b) Como e2/2 es una función par y ya que

f

1

i[002 edx=

1

e_x2/2

- V2

dx

1,

1

2 V2IT Jo Entonces aplicamos integración por partes y la regla de L'Hôpital. b

1

I V'2ir Jo

dx

(_x)(_e_x2/'2x)dx

lIm b-*cxj V2r lIm

0

1

1

x2/2]b

([

boo V2

+

+ f00e_x2/2 dx)

(

I ex2/ dx

JO

V2'lT

1

2

Como x2 e2hI2 es una función par, obtenemos una contribución similar a la izquierda del cero, y asI

y

too

1

V2r

= 1- + 1-

2/2 I x2ex dx

2

J-oo

La paradoja de Ia trompeta de Gabriel

2

=

1

.

Supóngase que la curva y = 1/x en

[1, oo) se hace girar airededor del eje x, con lo que se genera una superficie denominada trompeta de Gabriel (véase la figura 6). Afirmamos que

el volumen V de esta trompeta es finito; el area de la superficie A de La trompeta es infinita.

Figura 6

Al poner los resultados en términos prácticos, parecen decir que la trompeta puede ilenarse con una cantidad finita de pintura, y que aün asI no hay suficiente pintura para pintar su superficie interna. Antes de que tratemos de esciarecer esta paradoja, establecemos (1) y (2). Utilizamos los resultados para el volumen de la sección 6.2 y para el area de la superficie de la secciOn 6.4.

/1\2

p00

I

V

f

-

I

\,x)

J

dx = lIm r I x2 dx b-400

[ = b_*00L hmi---i x]1 7T

oo

A =

I 2ry ds = I

Jl

J1

2iy 1 +

2I1 + (-) 1

(dy\2 dx dx)

dx

x

Pb Vx + 1 dx lIm 21r I b-*oo x3

j1

Ahora,

\/x+1 > \/ x3

AsI,

I

Hans Memling (1425/40-1494). El Juicio Final, detalle del panel derecho: el angel hace sonar una trompeta y el condenado cae al Infierno. Museo Promorskie, Gdansk, Polonia. Scala/Art Resource, N.Y.

bVx4+1 x3

x

x3 Pb

1

I dx=lnb x

y como in b oo cuando b cc, concluimos que A es infinita. ,Hay algo erróneo en nuestras matemáticas? No. Imagine que a Ia trompeta se corta por un lado, se abre y se aplana. Dada una cantidad finita de pintura, posiblemente no podrIamos pintar esta superficie con una capa de pintura de grosor uniforme. Sin embargo, podrIamos hacerlo si permitimos que Ia capa de pintura se haga Ca-

SECCION 9.3

Integrales impropias: Ilmites de integraciOn infinitos

41 9

da vez más delgada conforme nos alejamos del extremos más ancho de la trompeta. Y por supuesto, esto es lo que sucede cuando llenamos la trompeta sin abrir con ir unidades cübicas de pintura. (La pintura imaginaria puede extenderse a grosor arbitrario.)

Este problema implica el estudio de dos integrales de la forma

Gabriel pavimenta una calle

iy converge parap> 1.

Soluciôn En nuestra solución de la trompeta de Gabriel, demostramos que la integral diverge parap = 1. Sip 1,

,Cuánto oro necesitó?

1

be_x

/ 1/x' dx diverge parap

Demuestre que

EJEMPLO 6

h = e

e_x dx = lIm b+ooJ0 Jo ,lIm[_e_x] = 1

dx. Pa-

ra referencia posterior, ahora analizamos esta integral para todos los valores de p.

Cuando se le pidió pavimentar una 1 0

\/x2+xc_2c2

Con frecuencia es posible cambiar una integral impropia por una propia por medio del uso de la integraciOn por partes. Considere f dx Utilice la integraciOn por partes en el inter0JC \/ (1 + x) valo [c, 1] donde c > 0 para demostrar que

ci

dx (1 + x)

JC

2V

=1

+2/IC

C+1

y asI concluir que tomando el lImite cuando c pia puede convertirse en una integral propia.

[' Jo

I

f(x)dx

0 una integral impro-

=

f

f(x)dx

f

+

f

vergencia de

Ji

1

dx

x4(1 + x4)

f

g(x), en

[a, oc],

g(x) dx implica la con-

g(x)dx. Utilice esto para demostrar que

converge.

1/x4.

h

f(x)dx,

1-3 \/9 - x2

Utilice la prueba de comparaciOn del problema 46 para de-

dxo

mostrar que f e_x2 dx converge. Sugerencia: e_x2

ex en [1,

).

Utilice la prueba de comparaciOn del problema 46 para de[00

1

mostrar que

Vx+2-1

J2

x

dx diverge.

Utilice la prueba de comparaciOn del problema 46 para de-

terminar si

problema 35. f4

f

Sugerencia: En [1,00), 1/[x4(1 + x4)]

en donde c es cualquier punto entre a y b, siempre que, por supuesto, las Ultimas dos integrales converjan. En caso contrario, decimos que la [3 x

Evalüe

f(x)

f(x) dx, y la divergencia de / f(x) dx implica Ja

la divergencia de [cx

0.

dx es impropia? Explique.

46. Prueba de comparación Si 0

a

dx en una integral Vx(1 + x)

C

x

Jo IEXPLI

sen x

ln x dx =

puede demostrarse que la convergencia de

Si f(x) tiende a infinito en a y b, entonces definimos b

f ,La integral

(1 + x)2

Utilice integración por partes y la técnica del problema 33 pa-

ra transformar la integral impropia propia.

f

Encuentre b de modo que

1

jdx16 o demuestre que diverge. Véase - x2

I

Ji

x2ln(x + 1)

dx converge o diverge.

Formule una prueba de comparaciOn para integrales impropias con integrandos infinitos.

problema 35.

Evalüe

dx o demuestre que diverge. f J-i xV-lnx 1

Si lImf(x)

L

(a) Utilice el ejemplo 2 de la sección 9.2 para demostrar que para cualquier nümero positivo n existe un nümero M tal que

f(x)dx

= CX),

0< x'ex

definimos

I f(x)dx C_+oJ lIm

+

lIm

I f(x)dx

h_+ooIi

con tal que ambos lImites existan. En caso contrario, decimos que

L

f(x) dx diverge. Demuestre que

f-

Suponga que f es continua en [0,

dx diverge para todap. cxJ) excepto en x

I

CX). tCOmo definirla

/

53. Función gamma

f(x) dx?

Jo

0para0x 0. Por

52, esta integral converge. Demuestre cada una de

quier nümero positivo real n): (a) F(1)

Sea R la region en el primer cuadrante debajo de la curva

Sea F(n)

f

las siguientes (observe que la funciOn gamma está definida para cual-

1/(x3+x)parao 0.

1, en

Encuentre el area de la region entre las curvas y = (x - 8)2/3

yy =

x'

52. Utilizando el problema 50, demuestre que

IEXPLI

donde lIm f(x)

para x

(b) Utilice la parte (a) y el problema 46 para demostrar que

'1

=

1

x2

=

(c) F(n +

1

(b) F(n +

1) = n!, sin es un entero positivo.

1)

= nF(n)

Integrales impropias: Integrandos infinitos 425

SEccION 9.4

CASI

f00xi e_x dx para n =

54. Evalüe

1,2,3,4 y 5, con lo que

EXPLI

Suponga que 0 < p < q y

56.

se confirma el problema 53(c).

tQué puede decir acerca de p y q?

55. Interprete cada una de las siguientes integrales como un area y después calcule esta area por medio de una integración con respecto a y, evalüe:

Respuestas a Ia revision de conceptos:

11

(b)

)J

- x)dx 4.p <

L

dx converge.

x" +

1. no acotada 2. 2

1

f+xdx

0

9.5 Revision del capItulo

f

Examen de conceptos Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.

1. lIm x_00

3.lrn

x1

=0

ex

1000x4 + 1000

0.001x4 +

00

x11°

2. lIm

lnx

SilImf(x) = lyiImg(x)

= 0

f(x)

Silimf(x) = OyiImg(x) para x

Si

=

1

es continua en [0, oo) y iImf(x) = 0, entonces

f

Si = 0.

iImff(x)dx

Si

f'

f(x) g(x)

=

entonces iIm[f(x) - 3g(x)] =

,

para x

(SupOngase que g(x)

SiiImlnf(x)

=

0.

f(x)

e

ayiimf(x)

Oparax

lIm[1 + f(x)]1

=

en [0,00), entonces

e.

p(x) ex

p(x) ex

f'(x) = L.

= 0.

= p(0).

oo.

Determine cada lImite en los pro blemas deli al 18.

tan2x

2. lim x-0 sen 3x

3. lIm

sen x - tanx

x-O

7. lIm f+00 9.

4. lim

cosx

x-0

x

6. lIm x-1

lnt

x2

ln(1 - x) cot iix 2x3

8. lim x-o in x

10. lImxlnx

lIm (senx)'

x - 0+

11. lIm xx

12. lIm(1 + senx)2

13.x lIm\/lnx - 0+

14. lnt1

-0±

= L,

f(x) dx converge.

Problemas de examen

5. lIm 2x cot x

Si p(x) es un polinomio, entonces lIm

f(x)

e2.

f

dx es una integral impropia.

x

1. lim x-0 tan x

= 0,entonces

Si p(x) es un polinomio, entonces x-oo lIm

x-0 g(x)

L 4x

a.)

2,entonceslImf(x) =

fOOf(x)dx

es continua en [0, oo) y iImf(x) = 0, entonces

4tanx 25.

f(x) = Si lImf(x) = 2 y lImg(x) = 0, entonces lIm x-a g(x)

entonces lIm

existe y es finita, entonces

Lf'(x)dx converge. Si 0

14. Sif(x)

f(x)dx converge, entonces

= OyiImg(x) = oo,entoncesiIm[f(x)g(x)] = 0.

SilImf(x)

11. Si lIm

f

converge.

a.)

SiiImf(x) = -lyiImg(x) = oo,entonces iIm[f(x)g(x)] = _oo.

es una función par y

ff(x)dx converge.

1.

oo,entoncesiIm[f(x)]

dx diverge para toda p> 0.

ff(x)dx converge.

= 1.

x-a g(x) oo,entonces1Im[f(x)]

SilImf(x) = 1, entonces lIm{1Im[f(x)]} =

f

Si

1

Si lIm f(x) = lImg(x) = 00, entonces lIm

(Supongase f(x)

f-

=00

4. lImxe

00

dx converge. x1001

15.

1

lIm( x-40senx

1\ x)

16.

tan3x

lim x-/2 tanx

426 CAPITULO 9

Formas indeterminadas e integrales impropias

lIm (sen x)t x-/2

33

lIm (x tan x x-/2

21.

dx

fcxJ

J

22.

Ll+4 dx

fex dx

36.

/x2e3 dx

38.

/

Jo

ne-

1

1+x2

fj_1 1dx- x ci

dx

26.

x2 + x4

f° J_22x+3

28.

29.

dx x(Lnx)2 Xoo

30. f

dx

32.

(4 - x)23

fIT/2

x

dx

tan x (Ln cos x)2

JIT/3

dx

f-

dx converge y para

f-

dx converge y para

qué valores diverge?

Para qué valores de p La integral

dx

[4

1

Para qué valores de p La integral

cuáLes diverge?

J (2 - x)2

27.

e2x +

1-3 \/9 - x2

dx 24 f21/2 x(Lnx)'5

dx

31.

n

dx

20. / Jo

fe2x dx x +

34.

[3

f

(x+1)2

23. I 25.

evahe hi integral irnnrnnia rlarla

38.

dx

f

x

dx

sec x)

En los problemas del 19 al muestre que diverge. 19

x

Lx2+1

En los problemas del 41 al 44, utilice la prueba de comparación (yease el problema 46 de la sección 9.4) para decidir si cada una de las siguientes integrales convergen o divergen.

dx

Ji \/x-1

dx

41 i

[xe2 dx

43. [

J2

j3

Ln x

x

Lnx

42

Vx+x

e2

dx

Ln x

[

44

x3

J1

dx

dx

9.6 Problemas adicionales 1. Uno puede transformar una integral impropia en una integral

4. Haga un bosquejo de La gráfica de La función de densidad normal

propia cambiando La variable de integración (véase Las secciones 5.8 y 8.1). Si utiliza un cambio de variable dado por u = g(x) en La intefh gral f(x) dx, entonces g(x) debe ser una función derivable para

f(x)=

J

toda x tal que a N =

a-

<

Si no hay un nümero finito L al que converja una sucesión, se dice que ésta diverge, o que es divergente. Para ver una relaciOn con los lImites en infinito (secciOn 2.8), consideremos la gráfica de a = 1 - 1/n y a(x) = 1 - 1/x. La (mica diferencia es que en el caso de La sucesión, el dominio se restringe a los enteros positivos. En el primer caso, escribimos lIm a = 1; y en el segundo, lIm a(x) = 1. Observe las interpretaciones de s y N x*oo

n*oo

en Los diagramas de La figura 2.

Ày

Ày

1+

1

. . a

1

S

S

= 1--n

2

3

n

4

N=

a-1

<

N

x

Figura 2 EJEMPLO

1

Muestre que si p es un entero positivo, entonces urn

noo

1

flP

= 0

SECCION 10.1

Sucesiones infinitas

431

So!ución Esto es casi obvio del trabajo anterior, pero daremos una demostración formal. Sea > 0 arbitrario. Elegimos N como cualquier némero mayor que 1/s. Entonces n implica que 1

-

= np

=.< nP - N 1

0

(i/)

=s

U

Todos los teoremas familiares para lImites son válidos para sucesiones convergentes; los establecemos sin demostraciOn. -I

( Teorema A Propieaades de los limites de suesiones

Sean {a,}

b,j sucesiones coilvergentes y k una constante. Entonces:

lImk=k;

n -+00

lIm ka,, =

k tim a

lIm ta,, ± 1,,,) = urn a,, ± Jim b,,;

Fl -00

fl

l-+00

00

4. ,In00(a.b) = 5.

a hm= h

EJEMPLO 2

,,lIma,, -

tim b

siempre que Uni b,, fl+C()

0.

n -I -

3n2 Calcule lIm n*cxj 7n2 +

1

Solución Para decidir lo que le sucede a un cociente de dos polinomios en n cuando n crece, conviene dividir el numerador y el denominador entre la mayor potencia de n que aparezca en el denominador. Esto justifica nuestro primer paso más adelante; los otros se justifican apelando a las afirmaciones del Teorema A como se indica mediante los némeros encerrados en un cIrculo. lim

32

ifl2 + I = lim 1

3 7 + (1/n2)

© 11m3 fl - nlIm [7+(1/n2)] lIm3

n-

lIm 7 + lIm 1/n2 fl_cc

n_*c/

3

3

7+ lIm 1/n2

7+0

n-

7

En este momento, los teoremas de ilmite deben ser tan familiares que por lo general pasaremos directamente del primer paso al resultado final. U EJEMPLO 3

,Converge la sucesión {(ln n)/e}? En tal caso, a qué némero?

Solución AquI y en muchos problemas de sucesiones, es conveniente usar el siguiente hecho casi obvio (véase Ia figura 2).

Six*oo lIm f(x) = L, entonces lIm f(n) = L. n-+oo

432 CAPITULO 10

Series infinitas

Esto nos permite aplicar la regla de L'HOpital al problema de la variable continua. En particular, por la regla de L'Hôpital, lim

lnx

= lim x*oo

AsI,

lim

inn

ncx e'

1/x ex

=0

=0

Es decir, {(ln n)/er?} converge a 0.

He aquI otro teorema que ya hemos visto, de un modo ligeramente distinto (Teorema 2.6C).

Teorema r

' emparedadc Teore iia.JeI

Su;L)ongase qiiLetaJ y {c} convergen a y que a ent ro fije',. ntunces (b} también converge a L. Muestre que lIm

EJEMPLO 4

So!ución

b

c, para n a K (K es

-,

1

1, 1/n

Para n

sen3 n

n

= 0.

1/n. Como nlIm (-1/n) = 0, y -*

(sen n)/n

lIm (1/n) = 0, el resultado es consecuencia delTeorema del emparedado.

n -* Do

Para las sucesiones con signo variable, es ütil el siguiente resultado.

Teorem' C Si lIm

fl-*OO

-

-

Demostración Como del emparedado.

es urn

fl-400

-a

el resultado es consecuencia del Teorema

o? Le sugeri,Qué ocurre con los nümeros de la sucesión {0.999"} cuando n mos que calcule O.999' para n = 10, 100, 1000 y 10,000 con su calculadora para tener una mejor idea. Luego observe ei siguiente ejemplo. EJEMPLO 5

r = 0. Muestre que sii 1 y entonces i/r = 1 + p para algUn nümero p > 0. Por la formula del binomio, 1

AsI,

= (1 + p)" = 1 + pn + (términos positivos)

0r

pn

1

pn

Como n*oo lIm (1/pn) = (l/p) iIm (1/n) = 0, elTeorema del emparedado implica que lIm r' = 0. Por el Teorema C, lIm r'2 = 0. lIm r = 0 o, en forma equivalente,fl*cxD noo ,Qué ocurre si r> 1; por ejemplo, si r = 1.5? Entonces r crecerá hacia oc. En este caso, escribimos

SECCION 10.1

Sucesiones infinitas 433

Sin embargo, decimos que La sucesión {r} diverge. Para converger, una sucesión debe tender a un lImite finito. La sucesión In también diverge cuando r

1.

Sucesiones monótonas Consideremos ahora una sucesión no decreciente arbi1. Un ejemplo es la sucesión traria {a}, con lo que queremos decir que a n+1' n = n2; otra es a = 1 - 1/n. Si usted piensa un poco, podrIa convencerse de que una sucesión de este tipo soLo puede hacer una de dos cosas. 0 bien se va a infinito 0, si no puede hacerLo por estar acotada por arriba, entonces debe tender a una orilla (véase La figura 3). He aquI el enunciado formal de este resuLtado tan importante.

ëorema r)

TE?ore

ma rJe a sucesiOn m )nOton

Si U es una cota s urieror para na sucesión ') decreciente {a}, enonce si a su cerp sión converge a 'inlii'mite A que es menor 0 igi Lu ii a U. Dc maneia aná1o, Si L. 'Siur ' Con una cota inferior para una sucesión no creciente }, en toirices la suc. verge a un J"mite que s mayor 0 igual a d

La expresión sucesión monótona se usa para describir una sucesión no decreciente o no creciente; de aquI el nombre del teorema. El Teorema D describe una propiedad importante del sistema numérico real. Es equivalente a la propiedad de completez de los nümeros reales, que en lenguaje comün dice que la recta real no tiene "agujeros" (véanse los problemas 47 y 48). Esta propiedad es la que distingue La recta numérica real de la recta numérica racional (que está ilena de agujeros). Se podrIa decir más de este tema; esperamos que el Teorema D apele a su intuición y que tendrá fe en él, hasta asistir a un curso más avanzado. Haremos otro comentario sobre el Teorema D. No es necesario que las sucesiones a,j y {b} sean monótonas inicialmente; basta que sean monótonas a partir de cierto I punto, es decir, para n K. De hecho, Ia convergencia o divergencia de una sucesión no depende del carácter de los términos iniciales, sino de lo que ocurra para n grande. EJEM PLO 6

Solución

Muestre que la sucesión b = n2/2 converge usando el Teorema D.

Los primeros términos de esta sucesión son 1

25 36

9

49

128'" Para n 3, la sucesión parece ser decreciente (ba> b1), hecho que estableceremos a continuaciOn. Cada una de las siguientes desigualdades es equivalente a las demás.

(n+1)2

2

2n+1

(n + 1)2 2 2n2

> n2 + 2n + 1

- 2n> 1 n(n - 2) >

1

Es claro que la ültima desigualdad es cierta para n 3. Como la sucesión es decreciente (condición más fuerte que la condición de ser no creciente) y está acotada por abajo por cero, el Teorema de la sucesiOn monótona garantiza que tiene un ilmite. Serla fácil usar La regla de L'HOpital para mostrar que el lImite es cero.

434 CAPITULO 10

Series infinitas

Repaso de conceptos Un arreglo de nümeros a1, a2, a3.....se llama

Una sucesión creciente que además es

debe con-

4. La sucesión {r"} converge si y sOlo si

1 o r

n

=

a

1r

= 1, la sucesión {r} diverge y en conseduencia también lo hace (Sn}.

.

SECCION 10.2

Series infinitas 437

EJEMPLO 2 Use ci resultado del ejemplo 1 para calcular la suma de las dos series geométricas siguientes.

44 (a)++ 3

4 27

9

+

(b) 0.515151 ... =

4 81

51

100

+ +

51

10,000

+

51

+

1,000,000

Solución

(a)S=1

4

a

r

=1

4

==2

(b)S=

100

100

'100

99 100

33

99

Por cierto, ci procedimiento de la parte (b) sugiere cómo mostrar que cualquier decimal periódico representa un némero racional. EJEMPLO 3 El diagrama de la figura 2 representa un triángulo equilatero con una infinidad de cIrculos, tangentes al triángulo y a los cIrculos cercanos y que ilegan hasta las esquinas. i,Qué fracción del area del triángulo es ocupada por los cIrculos?

So!ución Suponga, por conveniencia, que el cIrculo mayor tiene radio 1, lo que hace que el triánguio tenga lados de longitud 2\/. Observe la pila vertical de cIrculos. Con un pequefio razonamiento geométrico (el centro del cIrcuio mayor está a dos tercios del camino desde el vértice superior hasta la base), vemos que los radios de estos cIrculos son 1, , , ... y concluya que la pila vertical tiene area (12 71\2 / 1 \2 r 12 + I + +

-I \3j + \9)

i

L

27j

r =I1++ L

1

1

9

81

1

729

+I=ILii 1

]

r

1

1

1=

9'7T

8

El area total de todos los cIrculos es el triple de este némero, menos el doble del area del cIrculo grande, es decir, 27r/8 - 2r, o 11i/8. Como el triángulo tiene area 3V, la fracciOn de esta area ocupada por los cIrculos es

Figura 2

Logica

24\/

Considere estas dos afirmaciones: Si

+

0.83

Un criterio general para Ia divergencia Considere la serie geométrica a + ar + ar2 + + ar"' + una vez más. Su n-ésimo término a,, está dado por

a,, converge, entonces

ar'. El ejemplo 1 muestra que una serie geométrica converge si y solo si

a,, =

jim a,, = 0.

lIm a,, = 0.

p2 -* p

Si lim a,, = 0, entonces

a,,

converge.

La primera afirmación es cierta para cualquier sucesión {a,,}; Ia segunda rio. Esto proporciona otro ejemplo de una afirmación verdadera, (la primera) cuyo recIproco es falso. Recuerde que la contrapositiva de una afirmación es verdadera siempre que Ia afirmación lo sea. La contrapositiva de la primera afirmación es Si jim a,, diverge.

0, entonces

a,,

i,Es cierto lo anterior para todas las series? La respuesta es no, aunque la mitad de la afirmaciOn (Ia parte "solo si") es correcta. Esto conduce a un importante criterio de divergencia para las series.

Teor -

A

Cr1 te rio

del n-ésimo término para Ia divergencia

a c 'O nverge, en. F-)11 LC( s lIm a,, =-U." En forma e ..ivalente, si

Si la 'e

U

n

lL. a,,

0-

si n-+ un' a,, no

cci -

?nt 'rPes la serie diverge.

Demostración Sea S,, la n-ésima suma parcial y S = lIm S,,. Observe que a,, =

-

iIm S,,_1 = iIm S = S, se sigue que S,,_1. lIm . Como n*oo noo n-

a,,=n*oo iImS,,n*ooiImS,,_15S0

00

Muestre que

EJEMPLO 4

Solución

n=1 3n3

lIm a,, = lIm

+ 2n2

diverge.

n3 3n3

+

2n2

1

= lIm

n*cx 3 + 2/n

=

1

3

AsI, por ci criterio del n-ésimo término, la serie diverge.

U

La serie armOnica Los estudiantes acostumbran dana vuelta aiTeoremaA y hacerlo decir que a 0 implica la convergencia de La serie armónica

001

1

1

1

2

3

n

muestra que esto es falso. Es ciaro que, jIm a = lIm (1/n) = 0. Sin embargo, la serie fl*00 fl*cC diverge, como mostraremos a continuación. Muestre que la serie armónica diverge.

EJEMPLO 5

Solución

Mostraremos que S,, crece sin lImite. Imagine que n es grande y escriba

1111 S =1+++++...+2345 n 1

i (1 1\ =1++/1\3 +4)i + fi\5+++I+I+...+I+...+8/ \9 16) 1

1

1

2

6

7

124 >1+++++...+2

4

8

8

1

16

n

1111 2222

n

1

n

Es claro que a! hacer n suficientemente grande, podemos introducir en la Ultima expresiOn tantos como queramos. AsI, S, crece sin ilmite, de modo que (Sn) diverge. Por tanto, la serie armónica diverge.

Serie colapsante

Una serie geométrica es una de las pocas series que admiten una formula expilcita para 5n; una serie telescópica es otra (véase ci ejemplo 2 de la sección 5.3). EJEMPLO 6

Muestre que la siguiente serie converge y calcule su suma. 00

k=1

Solución

1

(k + 2)(k + 3)

Use una descomposición en fracciones parciales para escribir

_1

1

1

(k+2)(k+3)k+2 k+3 Entonces

n/i

1

1

3

n+3

+

k+3)

+...+ (1 n+2

1

n+3

Por tanto,

jim S, =

n

La serie converge y tiene suma

.

.

Series infinitas 439

SECCION 10.2

Una nota sobre ía terminologia Este teorema introduce un cambio sutil en la terminologIa. El sImbolo a/< se usa ahora para la serie infi-

Propiedades de las series convergentes

Las series convergentes se comportan de manera similar a las sumas finitas; lo que se espera que ocurra, con frecuencia ocurre. Linealidad de las ser s conve gentes

Teorema B 00

00

nita a1 + a2 +

y para la suma

Si

bk convergen v e

ak y k=1

es

una constant entonces '5

k=1

de esta serie, que es un nümero.

/

(

k=

ca1. E

) tambiën conv'ergen y 00

OC

1cak = K1

cak, k=1

cc

00

+ bk) =

(ak

k=i

ak

+ 'V h. k=1

k=1

Demostración Por hipOtesis,

b existen. AsI, usamos las propie-

ak

dades de las sumas con una cantidad finita de términos y las propiedades de ilmites de sucesiones. 00

n

fl

= lIm

ca/c

lIm C

ca/,

fl-*00

fl-*00 k=1

k=1

00

fl

=clIm -*00 fl

k=1

ak k=1

ak=cak k=1 k=1

(ak + bk) = fllIm -*00

k=1

lIm (ak + bk) = fl00[ ak + k=1

0

ak + lIm = lIm noo k=1 00

EJEMPLO 7

Solución

Calcule

bk k=1

,ak +

=

k=1

5(1)k]

[3(

1\k

71k

5\)

]=3(

00 71\k

00

3- 1 8

Si

bk k=1

Por el Teorema B y el ejemplo 1, 00

TeorE"

]

00

00

fl

b,l k=1

1-73529 2

14

.

C

'akdive rgeycO, entonces

cak ciI lr'erge.

-

-

k=1

Dejaremos a! lector la demostración de este teorema (problema 35). Esto implica, por ejemplo, que

0010011

k=1

k=1

diverge, pues sabemos que la serie armónica diverge. La ley asociativa de la suma nos permite agrupar términos en una suma finita de cua!quier forma. Por ejemplo,

2+7+3+4+5=(2+7)+(3+4)+5=2+(7+3)+(4+5) Pero a veces perdemos el sentido de la definición de una serie infinita como ci lImite de una sucesiOn de sumas parciales, por lo que nuestra intuición puede guiarnos a una paradoja. Por ejemplo, Ia serie

1-1+1-1+.+(-

Series infinitas

440 CAPITULO 10

tiene sumas parciales 1

S3

1-1 =0 = 1-1+1

S4

=

S2

=

=

1

1-1+1-1

= 0

La sucesión de sumas parciales , 1, 0, 1, 0, 1.....diverge; asI, la serie 1 - 1 + 1 - 1 + diverge. Sin embargo, podemos ver la serie como

(1 - 1) + (1 - 1) + y afirmar que la suma es 0. En forma alternativa, podemos ver la serie como

1 - (1 - 1) - (1 - 1) y afirmar que la suma es 1. La suma de la serie no puede ser igual a 0 y a 1. La agrupación de términos en una serie es aceptable siempre que la serie sea convergente; en tal caso podemos agrupar los términos de cualquier manera. Teorema D AgrupadOn de términos z

.nr.s de una serie convergeL Los térmi: Ur; leorden de los términ IO (siempre ye Ia misma suhia quc la serie original.

nia seiic infinLa

se p eder agrupar de cualquier manera Si: e

mantenga) y Ia nueva serie convergerá a

Sea an la serie convergente original y {s} su sucesión de sumas parbm es una serie formada al agrupar los términos de y 5 {Tm} es su sucesión de sumas parciales, entonces cada Tm es una de las S,,. Por ejemplo, T4 podrIa ser

Demostración ciales. Si

T4=a1 + (a2+a3) + (a4+a5+a6) + (a7+a8) en cuyo caso T4 = S8. AsI, { Tm } es una "subsucesión" de { S,, }. Un momento de reflexión le permitirá convencerse de que si S - S entonces Tm > S.

Repaso de conceptos Una expresión de Ia forma a1 + a2 + a3 +

se llama

3. La serie geométrica a + ar + ar2 +

converge si

en este caso, la suma de la serie es

Una serie a1 + a2 +

converge si la sucesión

{s} con-

4. Si la

podemos garantizar que la serie

verge, donde S =

Conj unto deproblemas 10.2 En los problemas 1-14, indique si Ia serie dada converge o diverge. Si converge, determine su suma. Sugerencia: Tat vez le ayude escribir los primeros términos de Ia serie.

8. 00

(k+2)k

(1)2

2.

2

co4k+1

12. [2(

3.

+ 3(]

k

(9)k k=1

1

k-

1) Sugerencia: Ejemplo 6.

k+1

00

13.

3

3

1)2

k2)

3(1)k+1]

k=1

6.

k+2

7(1 =

7k-1

6

k-5 =

[(1)k

4.

k=O

on

11.

k-5

En los problemas 15-20, escriba el decimal dado como una serie infinita; luego determine la suma de Ia serie y por áltimo use el resultado para escribir al decimal coma el cociente de dos enteros (véase el ejemplo 2). 0.22222...

16. 0.21212121...

SECCION 10.2

17. 0.013013013...

18. 0.125125125...

19. 0.49999...

20. 0.36717171...

Evaiüe

r(1 - r)k,0 < r < 2.

Evalüe

(_l)kxk,_l < x < 1.

Muestre que

in

Series infinitas 441

30. Si et patron que aparece en la figura 4 se continua indefinifl damente, ,qué fracción del cuadrado original quedará sombreado?

diverge. Sugerencia: Obtenga

k

1

una formula para S,.

Muestre que

in k=2

(1

1\

-

= 1n2.

Se arroja una peiota desde una altura de 100 pies. Cada vez

que goipea el suelo, ia pelota rebota hasta de su aitura anterior. Caicule ia distancia totai que recorre hasta ilegar a! reposo. Tres personas A, B y C dividen una manzana como sigue. Primero la dividen en cuartos, tomando cada uno un pedazo. Luego dividen el cuarto restante en cuartos, tomando cada uno un pedazo, y asI sucesivamente. Muestre que cada uno recibe una tercera parte de Ia manzana.

Figura 4 Cada triángulo en Ia cadena descendente (figura 5) tiene sus vertices en los puntos medios de los lados del siguiente trianguio ma-

yor. Si el patron indicado de sombreado continua indefinidamente, qué fracción del triángulo original quedará sombreada? ,Es necesario que ei triangulo sea equiiátero para que esto sea cierto?

Suponga que el gobierno inyecta mu miliones de dOiares más a Ia economla. Suponga que cada empresa e individuo ahorra 25% de su ingreso y gasta el resto, de modo que el 75% de los mu mihones originates vuelven a gastarse. De esa cantidad, se gasta 75%, y asI sucesivamente. ,CuáI es el incremento total en el gasto debido a la acción gubernamental? (Esto se llama en economfa ei efecto multiplicador.)

Resueiva el problema 27, suponiendo que sOlo 10% del ingreso se ahorra en cada etapa.

[1 29. Suponga que ei cuadrado ABCD (figura 3) tiene iados de tongitud 1 y que E, F, G y H son puntos medios de los iados. Si el patrón indicado se continua de manera indefinida, i,cuál será el area de ha regiOn sombreada?

LA Figura 5

Se inscriben cIrculos en los triánguios del problema 31, como se indica en la figura 6. Si ei triángulo original es equilátero, qué fracciOn del area quedará sombreada?

Figura 6

Figura 3

En otra version de ia paradoja de Zenon,Aquiles puede correr diez veces más rápido que Ia tortuga, pero ha tortuga inicia ia Carrera 100 yardas más adeiante. Aquiies no puede alcanzar a ha tortu-

Series infinitas

442 CAP1TULO 10

ga, afirma ZenOn, porque cuando Aquiles haya recorrido 100 yardas, la tortuga habrá avanzado otras 10 yardas; cuando Aquiles recorra otras 10 yardas, la tortuga habrá avanzado 1 yarda más, y asI sucesivamente. Convenza a ZenOn de que Aquiles alcanzará a Ia tortuga e indique con exactitud cuántas yardas deber recorrer Aquiles para hacerlo. 34. Tom y Joel son buenos corredores y ambos pueden correr a una velocidad constante de 10 millas/hora. Su fabuloso perro Trot puede hacerlo mucho mejor; corre a 20 millas/hora. Partiendo de poblaciones que están a 60 millas de distancia entre sI,Tom y Joel corren uno en dirección del otro, mientras que Trot corre de un lado al otro entre ellos. ,Qué distancia habrá recorrido Trot cuando los muchachos se encuentren? Suponga que Trot comenzó a correr con Tom hacia Joel y que puede dar vueltas instantneas. Resuelva el problema de dos formas. Use una serie geométrica.

C

a, diverge, también lo hace

ca

, Ia coordenada horizontal del centroide de la region.

x

0

Figura 8

42. Sea r un nOmero fijo con r < 1. Entonces se puede mostrar que

Determine una forma más rápida de resolver el problema. 35. Demuestre: Si

y use este hecho para calcular:

kr' converge, digamos con suma S. Use las propiedades de k=1

para

para mostrar que

(1 - r)S

0.

36. Use el problema 35 para concluir que + + + + divergen. 37. Suponga que puede disponer de una cantidad ilimitada de ladrillos, cada uno de 1 unidad de largo.

Convénzase de que pueden colocarse como en Ia figura 7, sin caer. Sugerencia: Considere los centros de masa. ,Qué tan lejos puede sobresalir el ladrillo superior a Ia derecha del

ladrillo inferior usando este método de apilamiento?

2

4

6

=

rk

y luego obtener una formula para 5, generalizando asI el problema 41a.

43. Muchos medicamentos son eliminados del cuerpo en forma exponencial. Asi, si un medicamento se administra en dosis de tamano C en intervalos de tiempo de longitud 1, la cantidad A del medicamento en el cuerpo justo después de la dosis (n + 1) es A

=

C + Ce

+ Ce2kt + ... + Ce'

donde k es una constante positiva que depende del tipo de medicamento. Deduzca una formula para A, la cantidad de medicamento en el cuerpo justo después de una dosis, si una persona ha consumido el medicamento durante mucho tiempo (suponga un tiempo infinitamente largo). EvalUe A si se sabe que la mitad de una dosis se elimina del cuerpo en 6 horas y se administran dosis de 2 miligramos cada 12 horas.

10

44. Determine Ia suma de la serie

Figura 7

2"

Qué tan grande debe ser N para que SN =

(1/k) exce-

da a 4? Nota: Los cálculos con computadora muestran que para que

SN exceda a 20, N N

1.5 x i0.

=

272,400,600 y para que SN exceda 100,

Demuestre que si 'a,, diverge y + b) diverge. Muestre que es posible que aUn asI

converge, entonces

and

Observe la region de la figura 8, primero en forma vertical y luego en forma horizontal para concluir que

Series positivas:

el criterio de Ia integral

45. EvalOe

1

-

i)

donde {fk} es la sucesión de Fibonacci

k=1 fkfk+2

presentada en el problema 52 de la sección 10.1. Sugerencia: Muestre primero que

1_i

diverjan y que

(a + b) converja.

10.3

i)(2k

fkfk+2 - fkfk+1

Respuestas al repaso de conceptos: 2.a1 + a2 + a3 + + a <

1

fk+lfk+2

1. una serie infinita 4. diverge

1;a/(1 - r)

En la sección 10.2 presentamos varias ideas importantes, aunque las ilustramos principalmente con dos tipos muy particulares de series: geométricas y telescópicas. Para estas series podemos dar fOrmulas exactas para las sumas parciales S, algo que rara vez podemos hacer para Ia mayor parte de las series. Nuestra tarea ahora es la de iniciar un estudio de las series infinitas generales. Siempre hay dos preguntas importantes sobre una serie. ,La serie converge? Si converge, cuál es su suma?

,Cómo contestar a estas preguntas? Alguien podrIa sugerir el uso de una computadora. Para responder la primera pregunta, basta sumar más y más términos de la se-

SECCION 10.3

Recordatorios importan tes a1, a2, a3, es una sucesiOn. a1

+ a2 + a3 +

Series positivas: el criterio de Ia integral 443

ne, observando los nUmeros obtenidos como sumas parciales. Si estos nOmeros parecen estabilizarse en un nOmero fijo S, la serie converge. Y en este caso, S es la suma de la senie, lo que responde a Ia segunda pregunta. Esta respuesta simplemente es incorrecta para la primera pregunta y sOlo es parcialmente adecuada para La segunda. Veamos por qué. Considere la serie armónica

es una serie.

S=

a1

+ a2 + a3 +

+ an

es la n-ésima suma parcial de la serie.

'2' es la sucesión de sumas parciales de la serie. La serie converge si y solo si S

tim S

existe y es finito, en cuyo caso S es La suma de la serie.

presentada en la sección 10.2 y analizada en el ejemplo 5 y el problema 38 de esa sección. Sabemos que esta serie diverge, pero una computadora no nos ayudarIa a descubrir este hecho. Las sumas parciales S, de esta serie crecen sin !Imite, pero crecen tan lentamente que se necesitan más de 272 milLones de términos para que S alcance 20 y más de iO términos para que S, LLegue a 100. Debido a la limitación inherente en el nOmero de dIgitos que puede manejar, una computadora darIa en algOn momento vatones repetidos para Sn, lo que sugerirIa incorrectamente que S estarIa convergiendo. Lo que es cierto para la serie armónica es cierto para cualquier serie que diverge lentamente. Enfatizamos to siguiente: Una computadora no puede sustituir los criterios matemáticos para la convergencia y La divergencia, tema que tratamos a continuación. En ésta y la próxima secciOn, restringimos nuestra atención a Las series con términos positivos (o at menos no negativos). Con esta restricción, podremos dar algunos criterios de convergencia notablemente senciltos. Los criterios para series con términos de signo arbitrarios aparecen en la sección 10.5.

Sumas parciales acotadas

Nuestro primer resultado es consecuencia directa del Teorema de la sucesiOn monótona (Teorema 10.1D).

A CritQro d a snma acotad ri-i na serie ak de lérminos no negativos converge ri y sólr si sus slnlas .u. paa1es acntdas por arrw.. e: TeG'rema

j

T.

s

Demostración Como ya es usual, sea S, = a1 + a2 +

+ a. Como ak

0, S,,

S; es decir, {S} es una sucesiOn no decreciente. AsI, por ci Teorema 10.1D, La sucesión S} convergerá si existe un nOmero U tat que S U para toda n. En caso contrario, las S, crecerIan sin lImite, en cuyo caso {S} diverge. EJEMPLO 1

Muestre que la serie -- +

+ -- +

converge.

So!ución Queremos mostrar que Las sumas parciales Sn están acotadas por arriba. Observe pnimero que

y entonces 1/n! < 1/21. AsI,

S =+++...+ 11 +++...+ '

1

1

1

1!

2!

3!

2

4

1

1

2l_1

Estos Ottimos términos provienen de una serie geométnica con r = . Podemos obtener su suma mediante una fOrmula en el ejemplo 1 de la secciOn 10.2. Obtenemos 1

Sn

-(

[ (i11 1. La serie p diverge si p 1. Solución Si p 0, La función f(x) = 1/xP es continua, positiva y no creciente en [1, oo) y f(k) = 1/kP. AsI, por el criterio de Ia integral, (1/kP) converge si y sOlo Si lIm

/

(-400 J1

x

dx existe (como un nUmero finito).

Sipi,

/xdx_ip I1

x1

[

J1

1

1

Si p = 1,

fx dx = [lnx]

=

t" = Osip > ly lIm t'

= 00 sip < iycomo cluimos que la Seriep converge sip > 1 y diverge si 0 < p Como lIm

-*00

00

1-

lIm lilt = 1-4 CX)

oo,con-

1.

AOn debemos estudiar el caso p < 0. Ahora, el n-ésimo término de (i/kP), es decir, 1/nP, ni siquiera tiende a 0. AsI, por el criterio del n-ésimo término, la serie diverge.

Observe que el caso p = 1 corresponde a la serie armónica, analizada en la sección 10.2. Nuestros resultados de entonces y los actuales son consistentes. La serie ar-

a

monica diverge. La cola de una serie

La parte inicial de una serie no juega papel alguno en su convergencia o divergencia. Solo la cola es importante. Por Ia cola de una serie entendemos aN + aN+l + aN+2 +

donde N denota un nOmero arbitrariamente grande. Por tanto, al verificar Ia convergencia o divergencia de una serie, podemos ignorar los primeros términos o incluso modificarlos. Sin embargo, claramente, la suma de una serie depende de todos sus términos, incluyendo los iniciales.

Converge o diverge la serie

EJEMPLO 3

So!ución

Por el criterio de La serie p,

k=4 k1001

(i/k1001). La inserción o eliminación de un

námerofinito de términos en una serie no afecta su convergencia o divergencia (aunque puede afectar la suma). AsI, la serie dada converge. U 00

Determine si

EJEMPLO 4

k=2

1

klnk

converge o diverge.

Solución Las hipOtesis del criterio de la integral se cumplen para f(x) = 1/(x mx) en [2,00). El hecho de considerar el intervalo [2,00) en vez de [1,00) no es importante, como observamos después del Teorema B. Ahora,

Jdx fCX)

2

AsI,

1

xlnx

= lIm

1'

1

(1

'\

dx) = 1-400 lIm [lnlnx] = J lnx x

00

2

1/(k ln k) diverge.

EJ EM PLO 5 Por medio de una integral impropia, determine una buena cota superior para el error que surge al usar los primeros cinco términos de la serie convergente 00

n=1

para aproximar La suma de la serie.

So!ución

El error E es

e

446

CAPITULO 10

Series infinitas

La funciOn f(x) = x/e es continua, positiva y no creciente en [5, oc) (véase la figura 2). Entonces, 00

x-'

rcxJ

.

<

n=6 e 1

iIm

dx

15

urn t*00\

Figura 2

7

xe

1

--2) J e2(-2xdx)

/

1 -*00 \.

2)

[e2] =

6.94 x 1012

e25

.

Repaso de conceptos Una serie de términos no negativos converge si y sOlo Si SUS sumas parciales son

El criterio de Ia integral relaciona la convergencia de

La inserción o eliminación de un nOmero finito de términos en una serie no afecta su , aunque puede afectar su suma.

a, y

La serie p

(1/k") converge si y solo si k=1

I

yquefes

f (x) dx, suponiendo que ak =

en[i,00).

y

Conj unto de problem as 10.3 Use el criterio de Ia integral para decidir la convergencia o divergencia de cada una de las series siguientes.

-2 +2

k=1

k=2

8.

4k + 2 3

k=1 (4 + 3k)716

ke'2

11.

10.

k=100 (k + 2)2

k2 + 1

[(flk 15.

,Convergeodivergeiaserie

1000

k(lnk)2

k=IL\2!

k=1

k-i

16.

00/i

i

20.

21.

all!

22.

1/[n inn in(lnn)]?Ex-

Use diagramas, como en la figura 1, para mostrar que

23

ln(n + 1) 1

Hemos analizado por completo la convergencia y divergencia de dos series, la geométrica y la serie p. r

converge si 1 < r < 1, en otro caso diverge

n=1

converge si p > 1, en otro caso diverge En el primer caso, vimos adOnde convergIa la serie, si ésta converge; en el segundo caso no. Estas series proporcionan estándares, o modelos, contra quienes podemos cornparar otraS series. Recuerde que seguimos considerando Series cuyos términos son positivos (o al menos no negativos).

Corn paraciOn de una serie con otra

Una serie con términos menores que los términos correspondientes de una serie convergente debe converger; una serie con términos mayores que los términos correspondientes de una serie divergente debe divergir. Lo que debe ser cierto, es cierto.

Critrio de comparai L.JI.c,..rdinjia b para n Suponga que 0

Teorema A

. .iv .. te, también ore djvci también

Si Si

Demostración Supongamos que N = 1; el caso N > 1 solo es un poco más difIcil. Pa+ a y observe que (Sn} es una sucesión no dera demostrar (i), sea S = a1 + a2 + creciente. Si bn converge, por ejemplo, con suma B, entonces +

S

b2

+ b

+

bn

= B

Por ci criterio de la suma acotada (Teorema 10.3A), an converge. converge, entonces La propiedad (ii) es conseduencia de (i), ya que si

an

tendrIa que converger. EJEMPLO 1

n

,Converge o diverge la serie

52 - 4 ?

Solución PodrIamos pensar que diverge, pues el n-ésimo término se comporta como 1/5n para n grande. De hecho, n

5n2-4 Sabemos que

.

>

11

n Sn2

5

n

diverge, pues es un quinto de la serie armónica (Teorema 10.2C).

AsI, por el criterio de comparaciOn ordinaria, la serie dada también converge. EJEMPLO 2

,Converge o diverge la serie

2n('+

U

1)

Solución PodrIamos pensar que converge, pues el n-ésimo término se comporta como (i/2)n para n grande. Para justificar esto, observemos que

(1\n (i\n 1

2

que no sirve (la desigualdad está en ci sentido contrario al deseado). Después de unos cuantos experimentos, vemos que 1

9

(n _2)2n2 para n

3; como

9/n2 converge, también lo hace

1/(n -

2)2.

Series positivas: otros criterios 449

SECCION 10.4

j,Podemos evitar estas contorsiones con las desigualdades? Nuestra intuición nos convergen o divergen juntas, siempre que a y b tengan aproxidice que y madamente el mismo tamaño para n grande (salvo una constante multiplicativa). Este es el contenido esencial de nuestro siguiente teorema. Teorrem

B

-iod' 'omparación de. Imite O,h, > u(\) Jue

C rite

.uponga que a,, c

I

urnb

L

'7

J1

terli 0< L < oo,en..ces

'e:gen o diverg b,,conv'

a,,y

-1

juntas. -Si r

Oy

a,, converge.

:onverge, entonces

C

Demostración Primero consideramos = L/2 en La definición de lImite de una sucesión = fta/b) L < L/2; es decir, (sección 10.1). Existe un nümero N tal que n

L < a

L

b

2

b convergen o divergen juntas. Dejaremos La demostración de la ültima afir-

macion del teorema al lector (problema 37). EJEM PLO 3

(a)

Determine La convergencia o divergencia de cada serie.

3n-2 n=1 n3

(b)

2n + 11

± 19n

Solución Aplicamos el criterio de comparación del lImite, pero aUn asI debemos decidir contra quién comparamos eL n-ésimo término. Vemos a quién se parece este término para n grande, observando Los términos de mayor grado en el numerador y en el denominador. En el primer caso, el n-ésimo término es como 3/n2; en eL segundo, es como 1/n. 2n2 + ii) (3n 2)/(n3 3n3 2n2 a =LIm =1 lIm (a) lIm n*°° n n 6n2 + 33 3fl3 b 3/n2 (b)

a LIrn

n*oo b

= lim

1/\/n2 + 19n 1/n

fl*cx

n + 19n

inn?

Converge o diverge la serie n=1

So!ución nemos

=1

1/n diverge, concLuimos que la serie en (a) converge y la

Como 3/n2 converge y serie en (b) diverge. EJEMPLO 4

=lIm

n

,Contra qué debemos comparar (ln n)/n2? Si intentamos con 1/n2, obte-

a Lim

n

b

= urn n

oo

inn ± 2

1

= urn in fl

00

n

EL criterio faLla, pues no se cumpien sus condiciones. Por otro Lado, si usamos 1/n, obtenemos

450 CAPITULO 10

Series infinitas

lim

fl -

00

= lim n-

Inn

00

fl2

± 1fl

= lim fl -

inn

00

fl

= 0

De nuevo, el criterio faila.Tai vez aigo entre 1/n2 y 1/n funcione, como 1/n3t2. urn

b

= lim

n*cx

inn

1

2

j3/2

-

= lim

inn

n>cc

=0

(La üitima iguaidad es conseduencia de ia regia de L'Hôpitai.) Conciuimos de ia segunda parte dei criterio de comparación dei limite que (ln n)/n2 converge (pues 1/n312 converge).

Corn paraciOn de una serie con si misma La obtenciOn de resuitados ütiies mediante ios criterios de comparaciOn requiere vision y perseverancia. Debemos elegir adecuadamente una serie conocida para hailar una que sea justamente ia correcta para Ia comparación con ia serie que queremos verificar. ,No serIa bueno que se pudiese comparar una serie consigo misma y asI determinar la convergencia o Ia divergencia? A grandes rasgos, esto es lo que hacemos en el criterio dei cociente.

Criti,ijrr del cociente rrii positivos y supóngase que una serie de CILflOS

Teorema C

a1 n-oo a,, (i) (ii

=p

Jip < 1,1as,:ic cre criv 'rge. Siii. 1ci lIm = xiaserie diverge. ,Ioo :

eicrileri.onoe C jiiclrr'ente. u

(111) Sip

Demostración He aquI io que está detrás del criterio dei cociente. Como

iIrn a1/a *00

fl

=

p, a1

pan; es decir, ia serie se comporta como una serie geomé-

trica con razón p. Una serie geométrica converge cuando su razOn es menor que 1 y diverge cuando su razón es mayor que 1. Nuestra tarea consiste en unir estos argurnentos. (i)

Como p < 1, podernos eiegir un nUrnero r tai que p < r < 1; por ejempio, r = (p + 1)/2. A continuación eiegimos N de modo que si n entonces < r. (Podemos hacer esto porque lIrn a1/a = p < r.) Entonces,

aN+l < raJ\,

aN+2 < ra1 < raAT

aN±3 < ra,2 < ra, Como raN + r2aN + r3aN +

es una serie geornétrica con 0 < r < 1, conver-

ge. Por ei criterio de comparación ordinaria, 00

iohace 'a,,. (ii)

a,, converge, y por tanto tarnbién n=N+1

Como p > 1, exiSte un nUmero N tai que a,,+1/a > 1 para toda n

N. AsI,

aN+1 > a

aN+2 > a1 > a Por tanto, a,, > aN> 0 para toda n > N, io que significa que lIrn a,, no puede fl *00

anularse. Por el criterio del n-ésimo término para ia convergencia, 'a,, diverge. (iii) Sabemos que

1/n diverge, mientras que

1/n2 converge. Para ia primera Serie,

SECCION

lim

afl1 a

1

= lIm

Series positivas: otros criterios 451

10.4 1

= lIm n°°

:

n+1

fl

n

=1

n+1

Para la segunda serie, urn nc

afi

= lim

1

1

lim

:

(n + 1)2

n2

n2

(n + 1)2

=1

AsI, el criterio del cociente no distingue entre la convergencia y la divergencia cuandop = 1. El criterio del cociente nunca será concluyente para una serie cuyo n-ésimo térmi-

no sea una expresión racional en n, pues en este caso p = 1 (los casos a = 1/n y = 1/n2 fueron considerados arriba). Sin embargo, para una serie cuyo n-ésimo término implica n! o r'1, el criterio del cociente trabaja muy bien en general. 2"

Verifique la convergencia o divergencia de la serie:

EJEMPLO 5

n!

So!ución

p = lim

afl1 afi

2n+1

n!

= lim

n*oo (n + 1)! 2"

= lim

2

n+1

=0

El criterio del cociente nos permite concluir que la serie converge. Verifique la convergencia o divergencia de la serie:

EJEMPLO 6

So!ución

20

(

lIm nn+1)

2"

n=1 " 20

2+1 n2o (n + 1)20 2"

= lIm

p= lIm n*cx

U

2=2

Concluimos que la serie dada diverge. ?,

EJEMPLO 7

Verifique la convergencia o divergencia de la serie: n=1

Soluciôn

-. n!

Debemos usar ci hecho de que = lIm (1 + h)h/h = e

n*oo\(1 JIm

fl)

h*0

lo que es conseduencia del Teorema 7.5A. Suponiendo esto, podemos escribir

p=

lim lIm

a1 a

= urn

(n + 1)!

nfl

( n fl_cx\fl + 1 lim

n*cx (n + i)n+1 n!

1

((n + 1)/n)"

=lIm

1

(1 + 1/n)

= 0 lIrn a/b = oc y

Demuestre que Si a diverge, entonces diverge.

1

n(n + 1)

Suponga que lIm na

+ 42- + - + 24.5

+

00

1. Dernuestre que

diverge.

Dernuestre que Si >a es una Serie convergente con térmi111(1 + a) converge.

2

+

0, b,, > 0 lIrn a/b = 0 y

Dernuetre que Si a converge, entonces

1

1

positivoS, entonceS

3.S 6

+

4

6

7

+

41. Criterio de

Ia raIz

1Irn(a)1" = R,entonceS

Dernuestre que

Si

a>0

y

converge siR < 1 ydivergesiR> 1.

SECCION 10.5

Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 453

Compruebe la convergencia o divergencia usando el criterio de la raIz. (a)

44. Sean p(n) y q(n) poiinomios en n con coeficientes no negapara determinar ia convergencia o

OOp(n)

divergencia de

(b)

2(iflfl)

IEXPL

EXPL

(c)

vergencia

43. Compruebe la convergencia o divergencia. En algunos casos, el uso adecuado de las propiedades de los logaritmos simplificará el probiema. 00

ln(1

(a)

00

1

(b)

_)

+

(e)

in[(

+ 2)1

(d)

Inn)\Iflfl

11

n=3 [in (inn)

rinnl2 n=1 [ n j

(f)

n=2 (in n)4

I

10.5

Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional s

1

+

1

n

+

1

+

+

1

sen2

(a) n=1

(c)

(b)

\nJ

n=1

/i\] \/i [ 1coslI n)

tan1 \n)

]Inn

00

1

001/

46. Compruebe la convergencia o divergencia.

00

1

n=2

(n+1)2

q(n)

45. Dé condiciones sobre p que determinen ia convergencia o di-

Respuestas del repaso de conceptos: 3. p < 1; p > 1; p =

2. lIrn

1

1. 0

ak

b,

4. Cociente; compara-

ción del lImite

En las dos ültimas secciones hemos considerado series de términos no negativos. Ahora eliminamos esta restricción, permitiendo que algunos términos sean negativos. En particular, estudiaremos las series alternantes; es decir, series de la forma a1 - a2 + a3 a4 +

-

donde an > 0 para toda n. Un ejemplo importante es La serie armónica alternante

Ya hemos visto que la serie armónica diverge; pronto veremos que ia serie armónica alternante converge. decreciente; Un criterio de convergencia Supongamos que ia sucesiOn {an} es es decir, a1 < an para toda n. Además, S, tiene su significado usual. AsI, para la serie alternante a1 - a2 + a3 - a4 + , tenemos S1

a1

S3

S4=a1a2+a3---a4=S3a4

S3

a4

= a1 = a1 - a2 = S1 - a2 = a1 - a2 + a3 = S2 + a3

y asI sucesivamente. La figura 1 muestra una interpretaciOn geométrica de estas sumas parciales. Observe que los términos con nümero par S2, S4, S6,. . . son crecientes y acotados por arriba, por lo que deben converger a un lImite, digamos 5'. De manera análoson decrecientes y acotados por abajo. Tamga, los términos con nümero par l,3' bién deben converger, digamos, a 5". Tanto S' como S" están entre S, y n+1 para toda n (véase La figura 2), de modo que .

IUII4 Hs"

S" -

53

AsI, ia condición a1

I,

n par

5"

+

-S=

00 garantiza que S' 5" y, en consecuencia, 0 cuando n Ia convergencia de la serie a su valor comén, que lLamamos S. Por Ultimo, como S está entre 5n Y S,1, Sn+1 - Sfl = S - Sn

Figura 1

s'

S'

S+

n impar

Es decir, el error generado al usar 5n como aproximación de la suma S de toda la serie no es mayor que La magnitud del primer término despreciado. Hemos demostrado el siguiente teorema. Teorema A Criterio de a serie alternante

1'

5,

Sea

Figura 2

a1 - a2 + a3

(contináa en Ia siguientepágina)

una

Jt seei ..rnante con a >

> 0. Si lIm a,, = 0, entonces ia sen Let)nv urge. error cometido al isar Ia suma ,, de los prim ros n n miiiios para apro'ima S dej a seri. nc es mayor que

ALdL más, -el

xim ar EJEMPLO

1

-

-

Muestre que La serie armónica aLternante

converge. ,Cuántos términos de esta serie se necesitan para obtener una suma parcial S, a menos de 0.01 de la suma S de toda la serie? Solución La serie armónica alternante satisface Las hipOtesis del Teorema A y por tanto converge. Queremos que S - S 0.01, y esto se cumplirá si a1 0.01. Como = 1/(n + 1),necesitamos que 1/(n + 1) 0.01,lo que se satisface sin 99.AsI, necesitamos considerar 99 términos para garantizar que tenemos la precision deseada. Esto le dará una idea de Lo lento que converge La serie armónica alternante. (Véase el problema 45, donde se muestra una forma inteligente de determinar la suma exacta de esta serie.)

a1

EJEMPLO 2

Muestre que 1

1

1

1

1!

2!

3!

4!

converge. Calcule S y estime eL error cometido al usar esto como un valor para La suma de toda La serie.

Solución El criterio para series aLternantes (Teorema A) se aplica ygarantiza La convergencia.

=1--+----+ 2 24 120 1

1

1

1

6

-

=

S5

06333

.

0.0014 2

EJEMPLO 3

Solución

(_1)n-1

Muestre que

converge.

Para tener una idea de esta serie, escribimos los primeros términos:

1_i 2

25 i1+32

8

36

64+

La serie es alternante y lIm n2/2 = 0 (regLa de L'HopitaL), pero por desgracia, Los térn -f minos no son decrecientes inicialmente. Sin embargo, parecen ser decrecientes después de Los dos primeros términos; esto es bueno, pues lo que ocurre al inicio de una serie no afecta La convergencia o La divergencia. Para mostrar que La sucesión (n2/2) es decreciente a partir del tercer término, consideremos La función

f(x)

=

Observe que si x 3, La derivada

f(x) 2x

2X

-

x22x1n2

22x

x(2 - 0.69x) 2X

-

x2x(2

- xln2) 22x

1, Ia serie diverge iii) Si p = 1, el criter io no s rnc'iye1rite.

Demostración Las demostraciones de (i) y (iii) son consecuencia directa del criterio del cociente. Para (ii) podrIamos concluir del criterio del cociente original que diverge. Como verge, pero aqul estamos afirmando algo más, que Un+1

lIm

fl -*00

di-

>1

Un

N, u+1 > u

se tiene que para n suficientemente grande, digamos n

implica que u > UN > 0 para toda n

. Esto, a su vez,

N, de modo que 1Imu no puede anular-

se. Concluimos mediante el criterio del n-ésimo término que

dj,verge.

3fl

00

EJEMPLO 4

ur

(-1)' -- converge absolutamente.

Muestre que n=1

Solución p = lIm

fl -*00

3n+1

Un+1

lim Un

=lIm

(n + 1)! fl

+

1

n!

=0

El criterio del cociente absoluto implica que Ia serie converge absolutamente (y por U tanto converge).

EJEMPLO 5

cos(n!)

Compruebe Ia convergencia o divergencia de n=1

"

2

So!ución Si usted escribe los primeros 100 términos de esta serie, descubrirá que los signos de los términos varIan de una manera algo aleatoria. De hecho, es difIcil analizar directamente esta serie. Sin embargo, cos(n!)

-

1

de modo que Ia serie converge absolutaniente por el criterio de comparación ordinana. Concluimos del criterio de convergencia absoluta (Teorema B) que la serie converge.

Convergencia cond icional Un error comün consiste en dar la vuelta alTeorema B. Este teorema no dice que la convergencia implique la convergencia absoluta. Es ciaro que esto es falso; basta observar la serie armónica alternante. Sabemos que

converge, pero que

diverge. Una serie es condicionalmente convergente si converge pero ur diverge. La serie armónica alternante es el ejemplo estelar de una serie condicionalmente convergente, pero hay muchas otras.

EJEMPLO 6

(_1)n+1

Muestre que

es condicionalmente convergente.

n=1

(-1)

Solución

1[i/Vi] converge por el criterio para series alterantes. Sin em-

n=1

bargo,

.

1/\/i diverge, pues es una serie p con p =

Las series absolutamente convergentes se comportan mucho mejor que las condicionalmente convergentes. He aquI un bonito teorema acerca de series absolutaniente convergentes. Es espectacularmente falso para series condicionalmente convergentes (véanse los problemas 35-38). La demostración es difIcil, de modo que no la incluiremos aquI. Teorema D Teorema de reordenamiento

Los términos de una serie absolutamente ccrnverg afectar la convergencia o la suma de la s. i..

tc

puec'en reordenarse sin

Por ejemplo, la serie 1

1

1 J1L16481 I

49

converge absolutamente. El reordenamiento

1++++

1

1

49

64

converge y tiene la misma suma que la serie original.

36

+

Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 457

SEccION 10.5

Repaso de conceptos Si a para toda n, la serie aiterante a1 - a2 + a3 convergerá siempre que el tamaño de los términos decrezca y

El ejemplo esteiar de una serie condicionalmente convergente es

Los términos de una serie absolutamente convergente Si

converge, decimos que la serie

Uk S

converge, pero

converge

Uk

Uk diverge, decimos que

Uk

pueden

sin afectar su convergencia o su suma.

con-

verge

Conjunto de problemas 10.5 En los pro blemas 1-6, muestre que cada serie alternante converge y luego estime el error cometido al usar la suma parcial S9 como una aproximación a la suma S de Ia serie (véanse los ejemplos 1-3).

(_1)+1

cx

1

(_1)1

27.

+ 1)

28.

n1 \/n + 1 +

(_3)fl+l

(_1)+1

1. n=1

2.

3n+1

29.

(_1)+1

n+

ln(n + 1)

n=1

5.

(-i)"' inn

6.

n

n=1

1

n=1

En los problemas 7-12, muestre que cada serie converge absolutamente. '

10. n=1

n(n±

1)

Dé un ejemplo de dos series tes, tales que diverja.

(i)"

12.

(_1)f1

15.

iOn + 1 1

17.

(_1)1

14.

n

16.

(_1)+1

n1

(_1)+1

18. n=1

(_1)F1

19.

(_1)1

21.

20. n

n2 + 1

cosn

23.

22.

24.

ambas convergen-

n2

(-1)

Muestre que ia serie armónica aiternante

2

(cuya suma real es in 2 0.69) se puede reordenar para converger a 1.3, mediante los pasos siguientes.

Considere una cantidad suficiente de términos positivos 1

(-1)'

y

a

Muestre que los términos positivos de Ia serie armónica alternante forman una serie divergente. Muestre io mismo para los términos negativos.

35.

(-i)"-e"

En los problemas 13-30, clasifique cada serie como absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente. 13.

diverge, también lo hace

Muestre que los resultados del probiema 33 se cumpien para cualquier serie condicionalmente convergente.

8.

11.

(_1)t+1sen

30.

Demuestre que si

1

(-1)'

3.

2

+

+

para exceder apenas a 1.3.

Sume ahora una cantidad suficiente de términos negativos

-debajo - de- 1.3.10n' + 1

de modo que ia suma parciai S,, quede justo

Sume de nuevo un némero suficiente de términos positivos para exceder 1.3, y asI sucesivamente.

1

n(1 + 1

\/n2_1

(-1)'

+

n-1

sen(nlT/2)

H 36. Use su caiculadora como ayuda para encontrar los 20 primeros términos de Ia serie descrita en el problema 35. Calcule 2O Explique por qué una serie condicionaimente convergente puede reordenarse para converger a cuaiquier nimero dado. Muestre que una serie condicionalmente convergente se puede reordenar, de modo que diverja.

n=1

25.

sen n

26.

nsen(_)

Muestre que lIm a

0 no basta para garantizar Ia conver-

gencia de Ia serie alternante minos de 1/n y -i/n2.

(-1)"'a. Sugerencia: Aiterne los tér-

458

CAPITULO 10

40.

Series infinitas

Analice la convergencia o divergencia de

Vi 1

45. Observe que

+l

111 2n 1--+---+...1

1

i V+i 1

2

3

4

11 +11 / I1+++... =1+++...+23

Demuestre que si

y

1

1

2

a

en (0, 1] tiene longi-

1

1

+i

44. Muestre que Ia gráfica de y = x sen tud innnita.

b convergen, entonces =

a, bk converge absolutamente. Sugerencia: Primero muestre que

1

n+1

3

+

2n

1 n+2 +...+

\.

n

1

2n

Reconozca la ültima expresión como una suma de Riemann y üsela para determinar la suma de la serie armónica alternante.

2akbk

Bosqueje la gráfica de y = (sen x)/x y luego muestre que

L

Respuestas al repaso de conceptos: 1. 1Ima, = 0 2. absolutamente; condicionalmente 3. la serie armónica alternante 4. reordenarse

(sen x)/x dx converge. Muestre que

fsen x/x dx diverge.

10.6

Series de potencias

Hasta ahora hemos estudiado lo que podrIa liamarse series de constantes, es decir, sedonde cada u, es un nümero. Ahora estudiaremos las series de ries de la forma funciones, series de la forma u(x). Un ejemplo tIpico de esta clase de series es sen nx n=1

Series de Fourier La serie de funciones seno mencionada en la introducción es un ejemplo de serie de Fourier, ilamadas asI en honor de Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Las series de Fourier son muy importantes en el estudio de fenómenos de onda, pues nos permiten representar una onda compleja como suma de sus componentes fundamentales (ilamadas tonos puros en el caso de las ondas sonoras). Es un campo muy amplio, que dejaremos a otros autores y libros.

-

sen x 1

+

sen 2x sen 3x + 4 9

+...

Por supuesto, en cuanto sustituimos un valor de x (como x = 2.1), regresamos a terntorio familiar; tenemos una serie de constantes. Hay dos preguntas importantes en cuanto a una serie de funciones. i,Para qué valores de x converge la serie? A qué funciOn converge? Es decir, cuá1 es la suma S(x) de la serie?

La situación general es un tema propio de un curso de cálculo avanzado. Sin embargo, aün en el cálculo elemental podemos aprender mucho en el caso particular de una serie de potencias. Una serie de potencias en x tiene la forma = a0 + a1x + a2x2 +

(AquI interpretamos a0x0 como a0 aunque x = 0.) Podemos responder de inmediato nuestras dos preguntas en el caso de una serie de potencias. EJEMPLO 1

i,Para qué valores de x converge la siguiente serie de potencias? cx

ax" = a + ax + ax2 + ax3 + n=0

Cuál es su suma? Suponga que a

0.

So!ución En realidad, estudiamos esta serie en la sección 10.2 (con r en vez de x) y la ilamamos una serie geométnica. Converge para - 1 < x < 1 y tiene suma S(x) dada por

Series de potencias 459

SECCION 10.6

El conjunto de convergencia Liamamos al conjunto donde una serie de potencias converge su conjunto de convergencia. j,Qué tipo de conjunto puede ser el conjunto de convergencia? El ejemplo 1 sugiere que puede ser un intervalo abierto (véase La figura 1). ,Hay otras posibilidades? ,Cuál es ci conjunto de convergencia de Ia siguiente serie?

EJEMPLO 2

x

(n + 1)2

1 + lx --- + 1x2 - 22 + -1x3 22

=

42

3

+

Solución Observe que algunos de los términos pueden ser negativos (si x es un némero negativo). Comprobemos la convergencia absoLuta mediante el criterio del cociente absoLuto (Teorema 10.5C). xn + I

p = lIm -*00 fl

(n +

xn

(n + 1)2

2)2n+1

=lim

n+1 n+2

X

n-*oo2

=

2

La serie converge absolutamente (y por tanto converge) cuando p = x/2 < 1 y diverge cuando x/2 > 1. En consecuencia, converge cuando x < 2 y diverge cuando

>2. Si x = 2 o x = -2, el criterio del cociente falia. Sin embargo, cuando x = 2, la sees La serie armónica, que diverge; y cuando x = -2, es Ia serie armónica alternante, que converge. Concluimos que el conj unto de convergencia para la serie dada es el intervalo -2 x < 2 (figura 2). n

fl

00

Determine ci conjunto de convergencia de

EJEMPLO 3

n=O

Solución

p=

LIm fl -*00

xn+1

xn

(n + 1)!

n!

!Im

=0

fl + 1

Concluimos del criterio del cociente absoluto que La serie converge para cada x (figura3). 00

Determine

EJEMPLO 4

eL

conjunto de convergencia

n!f.

de n=O

Solución

p = fllIm -*00

(n + 1)!x"' n! x

=

lIm (n + l)x =

fl-*00

lo too

Six = 0 Six

Concluimos que La serie converge soLo en x = 0 (figura 4).

En cada uno de nuestros ejemplos, el conjunto de convergencia fue un intervalo (un intervalo degenerado en el üitimo ejempLo). Esto siempre ocurre. Por ejemplo, es imposibLe que una serie de potencias tenga un conjunto de convergencia que conste de dos partes disconexas (como [0, 1] U [2, 3]). Nuestro siguiente teorema nos duenta toda Ia historia. Teorema A n sei ic de n iniuito die -c.river,. ic ce u.. v.j de 11110 de .0s trC3 tik. 1

(i_)

Iiliicu1, unto x = 1

encia. 'ax" c

siempre un inter-

0.

L. ml,terr valo -R,R), incLuyendo p -yJj t:a recta real. Tn

.

-

Aeivente a uno o ambos extremos.

I

En (i), (ii) y (iii), se dic e que La serie vamente.

ur'aeradi' r de convergencia 0, R e 00,1

-dpecti-

0. Entonces Demostración Suponga que la serie converge en x = x1 lIm a x = 0, de modo que existe un nümero N tal que a xj < 1 para n N. Entonces, para cualquier x tal que xI <

a x'

x

=

n

n

x

x1

x1

x/x1j converge, pues es una serie geométrica con razón menor que 1.AsI, por el criterio de comparación ordinaria (Teorema 10.4A), converge. Hemos mostrado que si una serie de potencias converge en x1, en-

lo que se cumple para n> N.Ahora,

tonces converge (absolutamente) para cada x tal que x < x1. Por otro lado, suponga que una serie de potencias diverge en x2. Entonces debe divergir para cada x tal que x > x2, pues si convergiese en x1 tat que x1 > x2, entonces, por to que mostramos antes, convergerIa en x2, contrario a ta hipótesis. Estos dos párrafos eliminan todos los tipos posibles de conjuntos de convergencia, excepto los tres tipos mencionados en el teorema.

En realidad, hemos demostrado un poco más de lo que afirmamos en el Teorema A y vale la pena enunciarto como otro teorema. Teorema B

Una serie de potencias to de convergencia.

H r 1e su inter Vaaxh2 converge absotutamente en e: iliLeriel 1

Por supuesto, la serie podrIa converger absolutamente en los extremos del intervalo de convergencia, pero eso no podemos garantizarlo; revise el ejemplo 2.

Series de potencias en x - a

a(x - a)'1

Una serie de la forma

a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 +

=

es una serie de potencias en x - a. Todo to que hemos dicho acerca de las series de p0tencias en x se aplica simitarmente a las series en x - a. En particular, su conj unto de convergencia es siempre uno de los tres tipos siguientes de intervalos:

El ünico punto x = a. Un intervalo (a - R, a + R), más posibtemente uno o ambos extremos (figura 5). Toda la recta real. 0

EJEMPLO 5

Determine el conjunto de convergencia de n=o

Solución

(x -

1)'1

(n +

1) 2

Aplicamos el criterio del cociente absotuto.

(x - 1)'1' p= tim (n + 2)2 -'°

(x - 1)

tImx-1

(n + 1)2 =

-

(n + 1)2 (n + 2)2

1

AsI,laserieconvergesi x - 1 < 1;esdecir,si0 < x < 2;divergesi x - 1 > 1.También converge (incluso absolutamente) en ambos extremos 0 y 2, como podemos ver al sustituir estos valores. El conj unto de convergencia es et intervalo cerrado [0, 2] (figu-

ra6). EJEMPLO 6

U

Determine el conjunto de convergencia de

(x + 2)2ln2

29

+

(x + 2)3tn3 3

27

+

(x + 2)41n4

481

+

Series de potencias 461

SEccION 10.6

Solucion

(x+2)"lnn

El n-ésimo término es u,, =

plim --

,n

2. AsI,

n3n (x + 2)"'ln(n + 1) (x + 2)" inn (n + 1)3"'

ln(n+1)

,

lIm

noo+

3

x+2

=

inn

3

Sabemos que la serie converge cuando p < 1, es decir, cuando x + 2 < 3, o en forma equivalente, 5 < x < 1, pero debemos verificar qué ocurre con los extremos 5 y 1.

En x = 5, Un =

(3)"lnn

inn

(_'y'

-

3fl

n

(-1)"(1n n)/n converge por el criterio para series alternantes. En x = 1, u,, = (in n)/n y (in n)/n diverge por comparación con la serie armó-

y

nica.

Concluimos que la serie dada converge en el intervalo 5

< 1.

Repaso de conceptos L Una serie de la forma a0 + a1 x + a2x2 +

es una

2. En vez de preguntarnos si una serie de potencias converge,

3. Una serie de potencias siempre converge en un

4. La Serie 5 + x +

debemos preguntar

que

puede o no incluir x2

+

x3

+ .. . converge

en el intervalo

Conj unto deproblemas 10.6 En los problemas 1-20, determine el conjunto de convergencia de Ia sen depotencias dada. Sugerencia: Determine primero unafOrmulapara el n-ésimo término y luego use el criterio del cociente absoluto. 1

x2

i2 23

+

x2

x3

x4

3.4

4.5

+

56

x+

x5

3!

5!

x2

x4

+

2! 2x2

22x2

4!

+

-

-

x

+

81+x+ 9

10

+

23x3

+--

7!

9!

+

6!

+

32x3

17.1+

+

42x4

i3

x2

2 x2

x

-

x3 3

+

+ x3

x4

4

+

18.

+

x5

+

x+i 2

x-

2

x+

5

21. Por el

x2

+

24

5

+

5x5

+ 6

(xi)3

+

(x+2)2

(x+2)3

(x+1)3

+

22

+

2

(x -

2)

x

11 1 - 2

+

32_i

+x222- - x3 2

+

42_i x4

2

-

42

+

(x + 5)4 +

+

x"/n! converge

ejemplo 3, sabemos que

para cada x.

Porquépodemosconc1uirqueiImx"/n! = Oparatodax?

3.5 + +

(x - 2)

+

32

(x + 5)3

(x + 5)2

+

3!

(x+1)2

22

+

+

+

4

2!

(x - 2)2

+

(x-1)4

+

3

22. Sea k un nUmero arbitrario y 1

x

22_1

+

+ i2 23 34 4.5 2O.(x+3)-2(x+3)2+3(x+3)3-4(x+3)4+.. 19.

x4

4x4

2

+

4x4

+

x10

8!

24x4

+

4!

4

16.i+(x+2)+

- 10!

x8

+

24x4

3!

3x3

1

x9

x6

3x3

+

x7

12

1-

22x2

13.1+2x+

+

23x3

x 2x2 14.+ + + x-1 + (x-1)2 15.

x4

x3

x3

x--+

x+

+

22x2

x5

+ x + -- + -- + -- +

1-

+

2x

2!

x

1

12. 1 +

+

52_i

+

k(k urn noo

i)(k

2)

n!

Sugerencia: Véase el problema 21.

<

x

<

(k - n)

1. Demuestre que

x=0

462

Series infinitas

CAPiTULO 10

Determine el conjunto de convergencia para cada serie. (2x 3)" (3x + 1)' (b) (-1)"

Determine el radio de convergencia de

123"n

(a)

13 5"(2n 1)

n2

'F

Consulte el problema 52 de la sección 10.1, donde se definió Ia sucesion de Fibonaccif1 ,f2 ,f3,. . . Determine el radio de convergen-

Determine el radio de convergencia de

(pn)! (n!)PX

ciade

n1

fx".

Suponga que a3 = a y sea S(x) =

donde p es un entero positivo.

x". Muestre que

la serie converge para x < 1 y dé una formula para S(x).

Determine la suma S(x) de

(x

3)n. j,Cuál es el con-

Siga las instrucciones del problema 29 para el caso en que = a para algOn entero positivo fijo p.

junto de convergencia? 26. Suponga que

n0

a(x

3)" converge en x = 1. ,Por qué

Respuestas at repaso de conceptos:

puede concluir que converge en x = 6? PodrIa garantizar que converge en x = 7? Explique.

10.7

Operaciones sobre series de potencias

1. serie de potencias 4. (-1, 1)

3. intervalo; extremos

2. dOnde converge

Por la sección anterior sabemos que el conj unto de convergencia de una serie de p0tencias a0x es un intervalo I. Este intervalo es el dominio de una nueva función S(x), la suma de la serie. La pregunta más obvia acerca de S(x) es Si podemos darle una formula sencilla. Hemos hecho esto para una serie, una serie geométrica. a

1x

,

1 p, de modo que La serie binomial se

colapsa a una serie con un némero finito de términos, la formula del binomio usuaL. EJEMPLO 5

Solución

Represente (1 - x)2 en una serie de Maclaurin para - 1 < x < 1. Por eL Teorema D,

(1 + x)2 = 1 + (-2)x +

(-2)(-3) 2!

(-2)(-3)(-4)

2

X+

3!

X+

= 1 - 2x + 3x2 - 4x3 + AsI,

(1x)2=1+2x+3x2+4x3+ Naturalmente, esto coincide con un resuLtado que obtuvimos mediante un método distinto en eL ejemplo 1 de la sección 10.7. EJEMPLO 6 Represente \/1 + x en una serie de Maclaurin y Usela para aproximar con cinco cifras decimales.

Solución

Por eL Teorema D, 1 G)(-) (1+x)'12=1+x+ 2 2!

+

2

((2)(2)

3

3!

()(-)(-)(-) x+... 4

4!

12x

1

2

8

AsI,

v 1.1=1+ 0.12 - 0.01 + 0.001 16 8

5(0.0001) 128

+...

1.04881

U

f 0.4

EJEMPLO 7

CaLcule /

\/1 + x4 dx hasta cinco cifras decimales.

JO

Solución Por eL ejempLo 6,

V1+x4=1+1x4_!x8+ 1x12_ 5 2

8

16

16

Series de Taylor y Maclaurin 473

SECCION 10.8

AsI,

r

0.4

10

+ x4 dx = I x +

L

[

9

72

10.4

13

+

208

+

0.40102

U

j0

Resu men Concluimos nuestro estudio de las series con una lista de las series de Maclaurin importantes que hemos determinado hasta el momento. Estas series serán ütiles para realizar los problemas, pero, lo que es más importante, tienen aplicaciones diversas en las matemáticas y las ciencias.

Series de Maclaurin importantes

1 -x =1+x+x2+x3+x4+" 2.ln(1+x)= X x22 + x33 - x44 + x55

-1 1/n para toda n en , entonces diverge. + (1)2 + ()3 + + (1)1000 0 y h(b) < 0. Por elTeorema del valor intermedio, existe un punto r (tat vez varios puntos) tales que h(r) = 0; es decir, r = g(r). Esto demuestra la primera afirmaciOn de nuestro Teorema. < 1 para toda x en [a, b] y sea r un A continuación, supongamos que g'(x) punto fijo de g. Por el Teorema del valor medio para las derivadas, podemos escribir

g(x)

g(r) = g'(c)(x

r)

donde c es algUn punto entre x y r. AsI,

g(x)

g(r)

g'(c) x

r

Mx

r

Al aplicar esta desigualdad en forma sucesiva a x1, x2,... obtenemos L2 x3

x4 -

r = g(x1) r

g(x2)

= g(x3)

g(r) g(r) g(r)

r M x2 r M x3 - r x1

g(r) r = g(x1) Como Mn1 - 0 cuando n oc, concluimos que x, x

M2 x1

r

x1

r

M"' x1 r r cuando n

r oc.

502

CAPITULO 11

Métodos numéricos, aproximaciones

Por Ultimo, si r y s son dos puntos fijos de g, hemos mostrado que x,, - r y x,, cuando n - oc. Esto es imposible, a menos que r = s. AsI, solo existe un punto fijo.

s

Ahora podemos comprender el comportamiento del ejemplo 2. Si g(x) 2 CO5 x, entonces g'(x) = -2 Sen x I, que es mayor que 1 en una vecindad del punto fijo x 1.03.Porotrolado,sig(x) = (x + 2cosx)/2,entonces g'(x) = senx < 1 cerca de x = 1.03. En el primer caso no debemos esperar la convergencia; en el Segundo podemos garantizarla. En el ejemplo 3, g(x) = (-x3 + 3)/6 y g'(x) = -x2/2. Es claro que g'(x) 1 cerca del punto fijo x 0.48. Podemos confiar en la convergencia si elegimos x1 en el intervalo donde g'(x) 1. En realidad, nuestros experimentos del ejemplo 3 muestran que podemos comenzar tan lejos como x1 = 2.2 (que es más de lo que podrIamos esperar), pero x1 = 2.7 está demasiado lejos. Una ültima observación: Mientras más se acerque a cero g'(x) cerca de la raIz, más rápida será la convergencia del algoritmo de punto fijo. I

-

I

EJEMPLO 4 La ecuación x3 - 3x + 1 0 tiene tres raIces reales (véase la figura 6). Use el algoritmo de punto fijo para determinar la raIz entre 1 y 2.

Solución Procedemos como en el ejemplo 3; escribimos

x= pero por desgracia, g'(x) = x2

x3 +

1

3

= g(x)

en [1, 2]. Otra forma de escribir la ecuación es

x=

= g(x)

En este caso, g'(x) = 2x/(x2 3)2. Esto también puede ser mayor que 1 en el intervalo [1,2] (por ejemplo, g'(l.S) 5.33). Pero hay otras posibilidades. Considere

Figura 6

3 x=----=g(x) 1

x

n 1

1.5

2 3

1.5555556 1.5153061

21 22

1.5320411 1.5321234

33 34

1.5320871 1.5320902

43 44 45

1.5320888 1.5320889 1.5320889

para la que g'(x) = (-3x + 2)/x3. Después de un poco de trabajo (estudiamos g"), yemos que g' es creciente en [1,2], variando desde g'(l) = -1 hasta g'(2) = -. AsI, g'(x) es estrictamente menor que 1, siempre que permanezcamos estrictamente lejos del punto extremo izquierdo x = 1. Con el algoritmo xn+1 =

3

xn

- -xn1

obtenemos los datos en la tabla al margen.

Repaso de conceptos Un punto x que satisface g(x) = x es un El algoritmo de punto fijo para gn es

deg.

= g(x).

3. La condición crItica sobre g necesaria para la convergencia

del algoritmo de punto fijo es que tiene al punto fijo.

en un intervalo que con-

4. La ecuación x = g(x) = x2 -2 tiene a 2 como raIz. AUn asI, el algoritmo x,,+1 = x - 2 puede no converger a esta raIz, pues

SECCION 11.4

503

El algoritmo de punto fijo

Conj unto deproblemas 11.4

H

En los problemas 1-4, use el algoritmo de punto fijo con la x1 indicada para resolver las ecuaciones hasta cinco cifras decimales.

x=

e_2x;xi

Despeje x en forma algebraica en x =

1

+

EvaLüe La siguiente expresión. (Una expresión como ésta es una

1

fracción continua.) x = 2 tan

x; x1 = 2

4. x

=

\/3.2

1+

+ x;x1 = 47

5. < entra sImboLo > S. Considere La ecuación x =

Calcule g'(x) y evaLüeLa en La raIz.

Siga Las instrucciones del probLema 5 para x = 5(x -

x2) = g(x). Explique sus resultados. 7. Considere La ecuación x = (3/2) sen irx = g(x). Bosqueje Las gráficas de y = x y y = g(x). Trate de resolver La ecuación mediante el algoritmo de punto fijo. Determine g'(x) y Usela para explicar sus resultados. 8. Siga Las instrucciones del problema x =

senix

ci

tronomIa. Use el algoritmo de punto fijo para resolver esta ecuación, cuando m = 0.8 y E = 0.2.

Li 17. Si un artIculo que se vende hoy a P dóLares es adquirida en un plan de crédito con pagos mensuales de R dóLares al final de cada uno de Los k meses siguientes con una tasa de interés mensual i, entonces

p

Considere de nuevo x = 5(x - x2) = g(x) del probLema 6. Escriba esta ecuación de modo que el algoritmo de punto fijo converja (véase el probLema 9). Use este algoritmo para resolver la ecuación. H 11. CaLcule La raIz positiva de x3 - x2 - x - 1 = 0. Sugerencia: Véase el ejemplo 4.

H 12. Considere x = Vs + x. Aplique el algoritmo de punto fijo comenzando con x1 = 0 para determinar x2, x3, x4 y x5.

Despeje x en forma algebraica en x = V'S + x.

H

5 +

s + Vs +

13. Considere x = \/1 + x. Aplique el algoritmo de punto fijo comenzando con x1 = 0 para determinar x2, x3, x4 y x5.

Despeje x en forma algebraica en x = EvaLüe

ci

1

+ -.

x (a) Aplique el algoritmo de punto fijo comenzando con x1 = 0 para determinar x2, x3, x4 y x5.

[1 - (1 + j)-k]

Los 48 meses siguientes y con un interés de 18% (Lo que significa que i = 0.18/12 = 0.015). Use algebra para determinar R. Suponga que el pago mensual de La parte es (a) 300 dóLares. ,CuáL

es el valor de i? Sugerencia: Use el algoritmo de punto fijo con i1

= 0.015.

Li 18. Un televisor que cuesta 500 dóLares es adquirido en un plan de crédito, con pagos de 30 dOlares al final de cada mes. ,Cuál es el valor de i, La tasa de interés mensual? Véase el problema 17. EXPLI

f'(x)

19. Considere Ia ecuaciOn x = x - f(x)/f'(x) y suponga que en un intervalo [a, b].

Muestre que si r está en [a, b], entonces r es una raIz si y solo si f(r) = 0. Muestre que el Método de Newton es un caso particular del algoritmo de punto fijo, donde g'(r) = 0. 20. Bosqueje gráficas para convencerse de que cada una de Las siguientes ecuaciones tiene una Unica soLución. Decida si el algoritmo de punto fijo funcionará o no; en caso afirmativo, Uselo. En caso contrario, resuelva mediante el Método de Newton.

(a) sen -1 x=

+ x.

+

+

14. Considere x =

\/1

=

Un auto nuevo con valor de 10,000 dóLares es adquirido en un plan de crédito con pagos de R dOLares al final de cada uno de

Considere de nuevo x = (3/2) sen rx del probLema 7. + sen1Tx = g(x). Muestrequesepuedeescribircomox = Ahora resuelva esta üLtima ecuación mediante el algoritmo de punto fijo. ,Por qué es tan rápida La convergencia? Sugerencia: EvalUe g'(x) 10.

+

H 16. La ecuación de Kepler x = m + E sen x es importante en as-

= g(x)

en La raIz.

= g(x).

a/x) \/. Calcule g'(a) para

15. Observeque\/esunasolucióndex =

Use el algoritmo de punto fijo para calcular ver por qué La convergencia es tan rápida.

9.

Evalüe

1

2(x -

x2) = g(x). Bosqueje La gráfica de y = x y y = g(x) usando eL mismo sistema de coordenadas, y con eLLo ubique en forma aproximada La raIz positiva de x = g(x). Trate de resolver La ecuación mediante eL aLgoritmo de punto fijo, partiendo de x1 = 0.7. Resuelva La ecuación en forma algebraica. 6.

1

1+

3.x=V2.7+x;x1=1

(c) tanH x =

1

senx

(b)cos x

cosx

1

tan x

1. punto fijo 2. Respuestas at repaso de conceptos: < 1 4. 2x > 1 cerca de x = 2 3. g'(x)

x,+1

504

CAPITULO 11

Métodos numéricos, aproximaciones

11.5

Aproximaciones para ecuaciones diferenciales Una función de dos variables

La función f depende de dos variables. Como y'(x) = f(x, y), la pendiente de una solución depende de las dos coordenadas x y y. En la sección 2.1 presentamos las funciones de dos o mäs variables, las que estudiaremos con mäs detalle en el capf15.

tub

En el capItulo 7 estudiamos varias ecuaciones diferenciables que surgen de aplicaciones fIsicas. Para cada ecuación, pudimos encontrar una solución analItica; es decir, encontramos una función explIcita que satisface la ecuación. Muchas ecuaciones diferenciales no tienen tales soluciones analIticas, de modo que para estas ecuaciones debemos buscar aproximaciones. En esta sección estudiaremos dos formas de aproximar una solución de una ecuación diferencial: un método es gráfico y el otro numérico. Campos de pendientes Considere una ecuación diferencial de primer orden de la forma

y' = f(r, y) Esta ecuación dice que, en el punto (x, y), la pendiente de una solución está dada por f (x, y). Por ejemplo, la ecuación diferencial y' = y dice que la pendiente de la curva que

pasa por el punto (x, y) es igual a y.

Para la ecuación diferencial y' = xy, la pendiente de la solución en el punto (5,3) es y' = 3 = 3; en el punto (1,4), la pendiente es y' = 1 4= Po.

demos indicar gráficamente este ültimo resultado trazando un pequeno segmento de recta por el punto (1, 4) que tenga pendiente (véase figura 1). Si repetimos este proceso para varias parejas ordenadas (x, y), obtenemos un campo de pendientes. Como la graficacion de un campo de pendientes es una tarea tediosa si se realiza a mano, esta tarea es más adecuada para las computadoras: Mathematica y Maple pueden graficar campos de pendientes. La figura 2 muestra un campo de pendientes para la ecuación diferencial y' = xy. Dada una condición inicial, podemos seguir las pendientes para obtener una aproximación gruesa a la solución particular. Con frecuencia, el campo de pendientes nos permite ver el comportamiento de todas las soluciones de la ecuación diferencial.

Pendiente

4// 5-iy

Pendieiite = 3

32-

3-7/ / / // // / / /

0 1

Figura

////

4Z//////////////// Z//////////////// ///// y

1

2

I

I

I

3

4

5

x

2-///// NN\\\ \ \\ \ -2-N\\ I

I

I

/ / I / I / I / / / / / / / / I I / I I / / / / / / / / / / /

///// / / / V/ V/ V/ I

I

\

I

N

I

N

I

\ \ \ \ \\ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \

X

Figura 2

EJEMPLO 1 Suponga que el tamaño y de una población satisface la ecuación diferencial y' = O.2y(l6 - y). El campo de pendientes para esta ecuación diferencial apare-

ce en la figura 3.

Bosqueje la solución que satisface la condición inicial y(0) = 3. Describa el comportamiento de las soluciones cuando

y(0) > l6,y 30

25

(c) 0 < y(0) < 16.

\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\

20 NNNNNNNNNNNNNNNN 15

10

0.5

1

1.5

Figura 3

SECCION 11 .5

Aproximaciones para ecuaciones diferenciales 505

Solución La solución que satisface La condición inicial y(0) = 3 contiene a! punto (0, 3). A partir de ese punto y hacia la derecha, la solución sigue las ilneas de pendientes. La curva de la figura 3 muestra una gráfica de la soLuciOn. Si y(0) > 16, entonces Ia soLución decrece hacia La asIntota horizontal y = 16.

Si 0 < y(0) < 16, entonces la solución crece hacia la asIntota horizontal y = 16. Las partes (b) y (c) indican que el tamaflo de la población convergerá hacia el valor 16 para cualquier tamaflo de población inicial.

Método de Euler

y

Recta tangente a Ia solucion en (x0. v) Pendiente =f(x, Yu) Ecuación:

Yo

V

=

De nuevo, consideremos ecuaciones diferenciales de La forma = f(x, y) con condición inicial y(x0) = y. Recuerde que y es una función de x, sin importar que escribamos esto en forma explIcita o no. La condición inicial y(x0) = Yo nos dice que la pareja ordenada (x0, Yo) es un punto de la grafica de La solución. También sabemos un poco más acerca de la solución incognita: Ia pendiente de la recta tangente a la solución, en x0, es f(x0, ye). Esta informaciOn se resume en La figura 4. Si h es positivo, pero pequeflo, es de esperar que la recta tangente (o, en forma equivalente, el polinomio de Taylor de orden 1 con base en x0), cuya ecuación es

+ V (x0)(x - x0)

- x0)

P1(x) = Yo +

Yo +

f(x0, y0)(x - x0)

x

xo

esté "cerca" de la solución y(x) en el intervalo [x0, x0 + h]. Sea x1 = x0 + h. Entonces, en x1 tenemos

Figura 4

P1(x1) = Yo + hy'(x0) = Yo + hf(x0, Yo) Ày

Al hacer Yi = Yo + hf(x0, yo), tenemos una aproximación para La soluciOn en x1 . Véase la figura 5.

Como y' = f(x, y), sabemos que la pendiente de La solución cuando x = y(x) yl Yo

en el punto x2 = x1 + h. Este proceso, que continua de esta forma, se llama Método de Euler, en honor del matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783). (Euler se pronuncia "oiler".) El parámetro h se conoce con frecuencia como el tamaño de paso.

.v, v0)

xi

xo

h

Figura 5

es

f (xi, y(x1)). En este punto, no conocemos y(x1), pero tenemos su aproximación Yi AsI, repetimos el proceso para obtener Ia estimación Y2 = Yi + hf(x1, Yi) para la solución

x

Agoritmo

vlétodo de Euler

L Para aproximar !r snlución de Ia ecuaciOn rliferencial y' = f(x, .') con condicVn inicial y(x0) = Yo' elija un tamaño de paso h y repita los siguientes pasos para

n

1.

1 HagL i = x,

2. -Iaga y

+

y_ + I

Yn- i)

Recuerde que la solución de una ecuación diferencial es una funcion. El Método de Euler no proporciona una función, sino que da un conj unto de parejas ordenadas que aproximan la solución y. Con frecuencia, este conj unto de parejas ordenadas basta para describir la soLución de la ecuación diferencial.

Observe la diferencia entre y(x) and y,; y(x) general desconocido) es el valor de la solución exacta en x, y y, es nuestra aproximación a Ia solución exacta en x,,. En otras palabras, y, es nuestra aproximación de y(x). EJEMPLO 2

Use el Método de Euler con h = 0.2 para aproximar la solución de

y'=y, en el intervalo [0, 1].

y(0)=l

Métodos numéricos, aproximaciones

506 CAP1TULO 11

Soludón Para este problema, f(x, y) = y. Comenzamos con x0 = Oy Yo = I para ohtener Yi = Yo + hf(xo,yo) = 1 + 0.21 = 1.2

Y2 = 1.2 + 0.21.2 = 1.44 = 1.44 + 0.21.44 = 1.728 = 1.728 + 0.2 1.728' = 2.0736 = 2.0736 + 0.2 2.0736 = 2.48832 n

x,,

0

0.0 0.2

1

5

1.0 1.2

1.00000 1.22140

1728

3

4

e

y,

0:8 1.0

2:0736 2.48832

2:22554 2.71828

U

La ecuación diferencial y' = y dice que y es su propia derivada. AsI, sabemos que una solución es y(x) = ex, y de hecho y(x) = ex es la solución, pues sabemos que y(0) debe ser 1. En este caso, podemos comparar los cinco valores de y estimados mediante el Método de Euler con los valores exactos de y, como se muestra en la tabla al margen. La figura 6a muestra las cinco aproximaciones (xe, ye), i = 1,2,3,4,5, de la solución y; la figura 6 también muestra la solución exacta y(x) = ex. Al elegir un valor menor de h obtenemos por lo general una aproximación más precisa. Por supuesto, si elegimos una h menor, necesitaremos más pasos para llegar hasta x = 1.

Figura 6 EJEMPLO 3

Use el Método de Euler con h = 0.05 y h = 0.01 para aproximar la so-

lución de

y'=y,

y(0)=l

en el intervalo {0, 1].

Solución Procedemos como en el ejemplo 1, pero reducimos el tamaño de paso h a 0.05 y obtenemos la siguiente tabla: n 0 1

2 3

4

n

x

y

0

0.00

1

0.01

2 3

0.02 0.03

1.000000 1.010000 1.020100 1.030301

99 100

0.99 1.00

2.678033 2.704814

5 6 7 8 9 10

x 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

y 1.000000 1.050000 1.102500 1.157625 1.215506 1.276282 1.340096 1.407100 1.477455 1.551328 1.628895

n

x

y

11

0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

1.710339 1.795856 1.885649 1.979932 2.078928 2.182875 2.292018 2.406619 2.526950 2.653298

12 13 14 15 16 17 18 19

20

La figura 6b muestra la aproximación de la solución al usar el Método de Euler con h

0.05.

Los cálculos son similares para el caso h = 0.01. Los resultados se resumen en la tabla al margen y en la figura 6c. En el ejemplo 1, observe que al disminuir el tamaño de paso h, la aproximación a y(I) (que en este caso es e1 2.718282) mejora. Cuando h = 0.2, el error es aproxima-

SECCION 11.5

Aproximaciones para ecuaciones diferenciales 507

damente e - y5 = 2.718282 - 2.488320 = 0.229962. Las aproximaciones del error para otros tamaños de paso aparecen en La siguiente tabLa: h

Aproximaciones de Euler para y(l)

Error = Exacto - Estimado

0.2

2.488320 2.593742 2.653298 2.704814 2.711517

0.229962 0.124540 0.064984 0.013468 0.006765

0.1 0.05 0.01

0.005

Observe en La tabla que aL dividir a la mitad el tamaflo de paso h, eL error también se divide a la mitad (aproximadamente). Por tanto, el error en un punto dado es aproximadamente proporcional al tamaflo de paso h. En La sección 11.2 encontramos un resuLtado similar con La integración numérica. AhI vimos que el error de La Regla del trapecio es proporcional a h2 = 1/n2, donde n es ci némero de subintervalos. La RegLa parabóiica es aün mjor, con un error proporcionaL a h4 = 1/n4. Esto hace surgir La pregunta de si hay un mejor método para aproximar La solución de y' = f(x, y), con condición inicial y(x0) = Yo De hecho, varios métodos son mejores que eL Método de Euler, en el sentido de que el error es proporcional a una potencia mayor de h. AquI solo presentaremos uno, un método que por lo general se llama ci Método de Euler mejorado, o también Método de Heun.

Método de Euler mejorado El resuitado del primer paso en el Método de Euler se puede escribir como Yi - Yo h

Pencliente

v0) +f(x1,

)]

Ày

Solución exacta v(x)

(v1. v)

Pendientef(x, y)

I Pendicnteflx,, v) xo

Figura 7

=f(xo,y0)

El lado izquierdo de esta ecuación nos recuerda el desplazamiento vertical sobre el desplazamiento horizontal, mientras que el Lado derecho es f(x0, yo), que es igual a y'(x0), La pendiente de La soluciOn en La condición inicial. Pero esto sOlo usa La informaciOn en el punto extremo izquierdo del intervalo [x0, x1]. EL Método de Euler mejorado usa la información de ambos extremos. En el punto extremo derecho del intervaLo [x0, xii, Ia pendiente de La solución es y'(x1) = f(x1, y(x1)). EL problema aquI es que no conocemos y(x1). Sin embargo, si aplicamos el paso de Euler, tendremos una aproximación de y(x1). Al suStituir 5 para y(x1) en f(xi, y(x1)) obtenemos una segunda aproximación, f(x1, 3) a La pendiente de y en x1. Véase La figura 7. EL Método de Euler mejorado usa el promedio aritmético de estas dos estimaciones de La pendiente de la soluciOn en ci intervalo [x0, x1]. Esto da como resultado

YiYo = 1 [f(xo,yo) + f(x1,yi)] h

xl

Al despejar Yi obtenemos la aproximación para Ia soiución en ci punto x1; es decir, Yi = Yo +

[f(x0,y0) + f(x1J1)]

Se repite un proceso similar para obtener una aproximación Y2 de La soluciOn en x2, una aproximaciOn y3 de la solución en x3, y asI sucesivamente.

Algc ritmo NA.éto ae uIer mejoraa'0 Ia solución äe Ia ecuaciOn dLferencial v' = f(x, y) con condiciOn in Paira aroxiinar LUIIL. maño de paso h y repita los siguientes pasos para n = cial = Yo i

2, ]T -laga

x, = x,1 ]higa , = y n + 3.

laga yn

-

yn_

h.

hf(x1, y:). [f(x_1 Yn_) + f(x,1.

)].

508 CAPITULO 11

Métodos numéricos, aproximaciones EJEMPLO 4

Aproxime la solución de y' = y, y(0) = 1 en el intervalo [0, 1j usando el Método de Euler mejorado con h = 0.2,0.05 y 0.01. Compare los errores de la estimacion de y(l) con los obtenidos mediante el Método de Euler.

Solución

Con h = 0.2, tenemos

Yi = Yo + hf(xo,yo) = 1 + °2Yo = 1.2 y

h

Yi =, Yo +2 -[f(xo,y0) + f(x1,1)]

=1+

0.2

[o + Yi]

= 1 + 0.1[1 + 1.2] = 1.22 Este proceso continUa hasta que x alcanza 1. Los cálculos para h = 0.05 y 0.01 son similares. La siguiente tabla resume los cálculos para h = 0.2, h = 0.05 y h = 0.01.

n

h = 0.2 x

yn

0

0.00

1.000000

h = 0.05 0

h = 0.01

xn

yn

0.00

1.000000

xn

yn

0

0.00

1

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13

1.000000 1.010050 1.020201 1.030454 1.040810 1.051270 1.061835 1.072507 1.083285 1.094177 1.105169 1.116276 1.127495 1.138826 1.150271 1.161831 1.173508 1.185302 1.197214 1.209246 1.221399 2.718237

2 3

4 1

0.05

1.051250

5

6 7 8 9 2

0.10

1.105127

10 11

12 13 14 3

0.15

1.161764

15

0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 1.00

1

0.20

1.220000

4

0.20

1.221305

16 17 18 19 20

5

1.00

2.702708

20

1.00

2.717191

100

La figura 8(a-c) muestra la solución exacta y = ex y las soluciones estimadas mediante el Método de Euler mejorado para h = 0.2, 0.05 y 0.01. La figura 8 indica que estas aproximaciones están muy cerca de la soluciOn exacta. La siguiente tabla muestra que el error del Método de Euler mejorado es considerablemente menor que el error del Método de Euler.

Figura 8

h

Error del Método de Euler

Error del Método de Euler mejorado

0.2 0.05 0.01

0.229962 0.064984 0.013468

0.015574 0.001091 0.000045

En los ejemplos dados hasta ahora, conoclamos la solución exacta y = ex. En situaciones como ésta, por lo general usamos la solución exacta y no nos ocupamos de sus aproximaciones. Sin embargo, muchas ecuaciones diferenciales no tienen una solución anailtica. Para estos problemas, debemos recurrir a aproximaciones numéricas usando un método, como cualquiera de los anteriores.

SECCION 11.5

EJEMPLO 5

Aproximaciones para ecuaciones diferenciales 509

Aproxime la solución de y' = -y2 + \/4x2 + y + 2y2, en el interva-

lo [0,41 usando ambos métodos, con h = 0.25.

Solución

Los resultados del Método de Euler y el Método de Euler mejorado aparecen en la siguiente tabla. La figura 9 muestra los resultados de ambos métodos.

Método de Euler n 0 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16

Método de Euler mejorado

x

y

yn

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00

2.0000 1.7906 1.7159 1.7131 1.7634 1.8514 1.9613 2.0794 2.1968 2.3096 2.4171 2.5198 2.6182 2.7129 2.8043 2.8927 2.9785

2.0000 1.8525 1.7731 1.7487 1.7706 1.8287 1.9115 2.0085 2.1119 2.2163 2.3189 2.4185 2.5144 2.6067 2.6955 2.7809 2.8633

3-

-

1.5-

1

2

3

Método de Euler

1

2

3

4

Método de Euler mejorado

Figura 9

Los cursos de análisis numérico analizan estos y otros métodos numéricos para ecuaciones diferenciales con valores iniciales, con mucho más detalle que lo aqul expuesto. Un método, llamado el Método de Runge-Kutta de cuarto orden, tiene un error proporcional a h4. En la práctica, estos avanzados métodos se utilizan con más frecuencia que el Método de Euler, o incluso que el Método de Euler mejorado, pues sus errores son mucho menores. Los métodos avanzados son más complejos, aunque conservan el sabor iterativo de los dos métodos de Euler.

Repaso de conceptos 1. Para la ecuación diferencial y' = f(x, y), una gráfica de seg-

3. La formula recursiva para la aproximación de la solución de

mentos de recta cuyas pendientes son iguales a f(x, y) se llama

una ecuación diferencial mediante el Método de Euler es yn =

2. La base para el Método de Euler es que la a la solución en x0 será una buena aproximación a la solución en el interva-

lo[x0,x0 + h].

4. El Método de Euler mejorado utiliza el

timaciones de la pendiente en x,1 y x,.

de dos es-

510 CAPITULO 11

Métodos numéricos, aproximaciones

Conj unto deproblemas 11.5 En los pro blemas 1-4 se da un campo dependientespara una ecuación diferencial de la forma y = f(x, y). Use el campo de pendientes para bosquejar la solución que satisfaga la condición inicial dada. En cada caso, determine lIm y(x) y aproxime y(2).

y(1) = 3 y 20 18

16

y(0) = 5

14 12

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

y 20 18

10

6 16

/ / /// // // // 7/// /////// -77/ 77 // // /// // // /

/ / / /

I / / / /

/ / /

/ / / / / /

/ / /

/ / /

I / / / / / /

7// 7////////// / / / / / / II / -77 / / / / / / / / / / /

/

/ / / /

/ / / /

/ / / / / / /

/ / / /

/

/

/ / / / /

/

/ / /

/ I / / / /

/ /

-------------------- ------------------- ---------------------------- ------------- ----

//////////////////////// //77//////777//////7777// / / / / / / / / / / / / / / / / / / /7/ / /

y

\\\ \\ \\ \\ \\\ \\\ \\\ \\\\\\\\\\N

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \

12

10

\NN

77777777777777777777/7/ / 777777777777777777777777 777777777777777777777777 777777777777777777777777 77777777777777777777777

7/ /'/ V / / 7/7// // // // //

\\\N

N

-7// 7//

7/ 7/ / // /// /// /// /// /// /// // / / / / / / / / / / ,,

/ / / / / / / / / / / / / / / / I

// /////// / / / /

/ /

/

/

A

/

/ III / /// / / / / III /

///////II /

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \ \ \\\\ \\\\ \ \\\\ \\\\\\\ \ \ \ \ \ \ \\

16 14

/

/

I I

/ /

I

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

I

/

I

/

/

/

/

/

I

y

y 18

/

/ I

y(0) = 8

y(0) = 16 20

/ /

/ I / / / / /

y(0) = 6

\\\\\\\\\\\N \\\\\\\\\N \\\\\\\\ \\ \\ \\ \\ \\ N \N

14

/ /

En los problemas 5y 6 se da un campo de pendientes para una ecuación diferencial de laforma y' = f(x, y). En ambos caos, cada solución tiene la misma asIntota oblicua (véase la sección 4.6). Bosqueje la solución que satisface la condición inicial dada y determine la ecuación de la asIntota oblicua.

y

16

/ / / / / / /

/

----------------------------------- --------------------- ---------------- ---------------

y(0) = 6

18

/ / / / / / /

/ / / /

/

- - - - ---

-----------------

20

/

-77/////////////// -_77//////// /// // /// // /// // //////

12

6

/ / /

77////// / / / / // ///////// /// // / / II / 777////// -77/////// / / / / / / I

14

10

/ / / / / / / / / /

/

12 10

x

x

SEccIóN 11.6

En los problemas 7-10, grafique un campo de pendientes para cada ecuación diferencial. Use el Método de separación de variables (sección 5.2) o un factor integrante (sección 7.6) para determinar una solución particular de la ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial dada, y grafique la solución particular.

ICASI

y' =

y' = -ytanx,

y(0) = 1

Haga una tabla para comparar sus aproximaciones en el intervalo

Deduzca la relación y,, = yo(l + h)"

;y(0) = 3

Explique por qué YN es una aproximación de e.

aproximar la solución en el intervalo indicado.

y' = 2y, y(0) = 3, [0, 1] y' = -y, y(0) = 2, [0, 1] y' = x, y(0) = 0, [0, 1] y' = x2, y(0) = 0, [0, 1]

26. Suponga que la función f(x, y) depende solo de x. La ecuación diferencial se puede escribir entonces como

y' = f(x),

y(x0) = 0

Explique la forma de aplicar el Método de Euler a esta ecuación diferencial.

27. Considere la ecuación diferencial y' = f(x, y), y(x0) = 0 del ejercicio 26. Para este problema, sean f(x) = sen x2, x0 = 0 y h = 0.1.

y' = xy, y(l) = 1, [1,2] y' = -2xy, y(l) = 2, [1,2]

Integre ambos lados de la ecuación diferencial de x0 a

Ic Para los problemas 17-22, use el Método de Euler mejorado con h-0.2 en las ecuaciones de los problemas 11-16. Compare sus respuestas con las obtenidas mediante el Método de Euler.

23. En el ejemplo 4 se aplicó el Método de Euler mejorado a la ecuación y' = y, y(0) = 1, con h = 0.2,0.05 y 0.01. Aplique el Método de Euler mejorado con h = 0.1 y h = 0.005 a este problema. Calcule el error al aproximar y(l) = e y complete la siguiente tabla. LEs el error del Método de Euler mejorado proporcional a h, h2 o a alguna otra potencia de h? ICASI

0.005

con h = 0.2,0.1 y 0.05 a la ecuación

sitivo.

Ic En los problemas 11-16, use el Método de Euler con h=0.2 para

0.2 0.1 0.05 0.01

Ic 24. Aplique el Método de Euler y el Método de Euler mejorado,

25. Aplique el Método de Euler a la ecuación y' = y, y(0) = 1 con un tamaño de paso arbitrario h = 1/N, donde N es un entero po-

y' = -y; y(0) = 4 y' = x - y + 2;y(0) = 4

h

511

[0, 1.57] con la solución exacta y = cos x.

y;y(0) =

y' = 2x - y +

RevisiOn del capItulo

Error del Método de Euler

Error del Método de Euler mejorado

0.229962 0.124540 0.064984 0.013468 0.006765

0.015574 0.001091 0.000045

x1 = x0 + h. Para aproximar la integral, use una suma de Riemann con un solo intervalo, evaluando el integrando en el punto extremo izquierdo. Integre ambos lados de x0 a x2 x0 + 2h. De nuevo, para aproximar la integral, use una suma de Riemann con base en los extrernos izquierdos, pero con dos intervalos.

Continue el proceso descrito en las partes (a) y (b) hasta que = 1. Use una suma de Riemann con base en los extremos izquierdos de diez intervalos para aproximar la integral. Describa la forma en que se relaciona este método con el Método de Euler. 28. Repita los pasos a a c del problema 27 para la ecuación di-

ferencial y' = Vx + 1, y(0) = 0. Respuestas at repaso de conceptos:

1. campo de pendientes

recta tangente (o el polinomio de Taylor de orden 1 con base en x0) Yn-i + hf(x_1, Yn-i) 4. promedio

11.6 RevisiOn del capItulo Examen de conceptos Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta. Si P(x) es el polinomio de Maclaurin de orden 2 para f(x), enton-

ces P(0) = f(0), P'(0) = f'(0), y P"(0) = f"(0). El polinomio de Taylor de orden n con base en a para f(x) es ünico; es decir, f(x) solo tiene un polinomio de este tipo.

La formula de Taylor con residuo contiene al Teorema del valor medio para derivadas como un caso particular.

Con una calculadora y la formula [f(a + h) - f(a)]/h, uno puede aproximar f'(a) con cualquier grado de precision deseado, haciendo h suficientemente pequeno. Siempre podemos expresar la integral indefinida de una función elemental en términos de funciones elementales.

f(x) = x5/2 tiene polinomio de Maclaurin de segundo orden.

El polinomio de Maclaurin de orden 3 para f(x) = 2x3 - x2 + 7x - 11 es una representación exacta de f(x). El polinomio de Maclaurin de orden 16 para cos x solo contiene potencias pares de x.

Si f'(0) existe para una función par, entonces f'(0) = 0.

La Regla del trapecio con n = 10 dará una estimación para IC x3 dx menor que el valor real. La Regla parabólica con n = 10 dará el valor exacto de

fx3 dx.

Métodos numéricos, aproximaciones

512 CAPITULO 11

Con una computadora y la Regla parabólica, siempre se puede

f(x)

aproximar haciendo

h

mx = (x - 1) -

1

(x - 1)2 +

1

suficientemente pequeflo.

La función f(x) = e_x2 + 6 en [-1,2]. Si f(x) =

(x - i) +

dx con cualquier grado de precisiOn deseado,

ax2 +

bx

+

c,

+

+ sen(x + 1) satisface

x2

n

(x - 1)" + R(x)

f(x)

LQué tan grande debe ser n para estar seguros de que 0.00005 si 0.8

entonces

Lfx dx = [f(-2) + 4f(0) + f(2)]. 15. Si f es continua en [a, y < 0, entonces ne una raIz entre a y b]

(_1)_1

f(a)f(b)

Rn(x)

1.2?

El 9. Consulte el problema 8. Use el polinomio de Taylor de orden 5 con base en 1 para aproximar f(x)

= 0 tie-

f 1.2

/

b.

16. Una de las virtudes del Método de bisección es su rápida conver-

lnxdx

10.8

gencia.

y dé una buena cota para el error cometido.

17. El Método de Newton producirá una sucesión convergente para la función f(x) =

El 10. Use la Regla del trapecio con n = 8 para aproximar [1.2

convergente a r (a menos que la primera estimación sea exactamen-

lnxdx

/

18. Si f'(x) > 1 en un intervalo abierto que contiene una raIz r de x = f(x), entonces el Método de punto fijo no producirá una sucesión

JO.8

y dé una cota para el error.

te r).

19. El Método de punto fijo permite hallar la maxima raIz de x = 5(x-x2)

LI

11. Use la Regla parabólica con n = 8 para aproximar [1.2

+ 0.01.

lnxdx

/

JO.8

20. El Método de punto fijo producirá una sucesión convergente pa-

ra x =

11 x +

Va/3.

a\.si a > 0 y la primera estimacion es mayor que

-)

y dé una cota para el error.

El 12. Calcule [1.2

21. La solución de la ecuación diferencial y' = 2y que pasa por el punto (2, 1) tiene pendiente 2 en ese punto. 22. El Método de Euler siempre sobrestima la solución de la ecuación diferencial y' = 2y con condición inicial y(0) = 1.

1.

Determine el polinomio de Maclaurin de orden 1 para

lnxdx

JO.8

mediante el Teorema fundamental del cálculo. Sugerencia:D[x1nx - x] =

Problemas de examen muestra Ic

/

mx.

El 13. Use el Método de Newton para resolver 3x - cos 2x

= 0 con

f(x) = x cos x2 y üselo para aproximar f(0.2).

una precision de seis cifras decimales. Use x1 = 0.5.

El 2. Determine el polinomio de Maclaurin de orden 4 para f(x),

14. Use el Método de punto fijo para resolver 3x - cos 2x = menzando con x1 = 0.5.

y üselo para aproximar f(0.1).

(a) f(x)

xex

(b) f(x)

= coshx

Determine el polinomio de Taylor de orden 3 con base en 2 para g(x) = x3 - 2x2 + 5x - 7 y muestre que es una representación exacta de g(x).

Use el resultado del problema 3 para calcular g(2.1).

LI

0, co-

Use el Método de Newton para determinar la solución de x tan x = 0 en el intervalo (ir, 2ir) con una precision de cuatro cifras decimales. Sugerencia: Bosqueje las gráficas de y = x y y = tan x usando los mismos ejes para obtener una buena estimación inicial de x1.

Trate de usar el Método de punto fijo para la ecuación del problema 15. LPor qué no funciona?

Determine el polinomio de Taylor de orden 4 con base en 1 para

f(x)=1/(x+1).

Obtenga una expresión para el término del error R4(x) en el problema 5, y halle una cota para tal término si x = 1.2.

Determine el polinomio de Maclaurin de orden 4 para f(x (1 - cos 2x), y halle una cota para el error R4(x) si x

sen2 x =

0.2. Nota: Se obtiene una cota mejor si observa que R4(x) = R5(x) y luego acota R5(x).

El

8.

Si f(x) = ln x, entonces f(')(x)

= (-1)'(n - 1)!/x'.

AsI, el polinomio de Taylor de orden n con base en 1 para ln x es

Use el Método de Newton para determinar la maxima solución de ex - sen x = 0. Sugerencia: Comience bosquejando y = ex y y = sen x para obtener una estimación inicial x1. Use el Método de Euler con h = 0.2 para aproximar la solución de la ecuación diferencial y' = xy con condición inicial y(l) = 2 en el intervalo [1,2]. Use el Método de Euler con h = 0.2 para aproximar la solución de la ecuación diferencial y' = con condición inicial y(0)= 2 en el intervalo [0,2].

I

I

k

I

Polinornios de Maclaurin I. Preparación Determine el polinomio

Ejerciclo 1

de Maclaurin de orden 4 para cada uno de los siguientes:

x5

- 3x2 + x + 2x3 - 3x2 + x - x4 + 2x3 - 3x2 + x

x6

+

2x3

x4

x5

- x4 + 2x3 - 3x2 + x

1

hasta tener un error de a lo más 0.002. Muestre sus gráficas y explique su razonarniento. A continuación, utilice la fOrmula para el error, sección 11.1, para determinar qué tan grande debe ser n para garantizar que el error máximo sea a lo más 0.002. Ejercicio 5

1x

Obtenga aproximaciones en serie

(1) tan' x

de estas funciones en tomb de x = 0 y determine Ia primera p0tencia de x para la que difieran es-

1

1x tan1 x + Ejerciclo 2

Considere las dos funcio-

nes sen(tan x) y tan(sen x).

tas series.

1

1x

Como estas dos series se parecen mucho, usted podrIa pensar que

Con base en sus respues-

representan esencialmente a la

tas al ejercicio 1 (y tal vez de otros ejemplos), qué puede decir acerca del polinomio Maclaurin de orden 4

misma función. Grafique ambas funciones en los intervalos [0, in, [0, IT/2] y [0, ir/4]. Explique el comportamiento cerca de ir/2.

cuando f es en sí un polinomio? j,Qué puede decir acerca del polinomio de Maclaurin de orden 4 para la función

f+g?

II. Uso de Ia tecnologIa Suponga que queremos aproximar f(x) sen x para x en el Ejercicio 3

intervalo [0, 2ir]. Use su tecnologIa pa-

III

Reflexión

Ejercicio 6 Para aproximar la función seno, al igual que otras funciones trigonométricas, logarItmicas y exponenciales, las computadoras y calculadoras utilizan por lo general algün

lo cerca del punto x0.). Por ejemplo, no es de esperar que podamos usar el

mismo polinomio para aproximar sen(0.02) y sen(14.02). En este ejerci-

cio, usted utilizará la simetrIa de la función seno para hallar Reglas y aproximar sen x para cualquier x. Como la función seno es periódica con periodo 2ir, podemos usar

una aproximación de sen x en [0, 2in] para aproximar sen x (al menos teóricamente) para cualquier x. Dé un Método de aproximaciOn de sen x para cualquier

valor x usando solo la serie de Maclaurin en [0, 2ir]. j,Qué tan grande debe ser n para garantizar que el error máximo sea menor que 0.000001?

En realidad, podemos hacer algo mejor. Use la simetrIa de la funciOn seno en torno del punto (11,0)

para dar un Método de aproximación de sen x para cualquier valor de x usando solo la serie de Maclaurin en [0, 7n1. j,Qué tan grande debe ser n para garantizar que el

error máximo sea menor que 0.000001?

Podemos hacer algo todavIa mejor! Use otra propiedad acerca de Ia simetrIa de la función seno pa-

ra graficar las series de Maclaurin de orden n = 3,5,7,9 en la misma gráfiCa, junto con una gráfica de y = sen x. Además, grafique los errores sen x -

tipo de aproximaciOn polinomial. Para

funciones periódicas como el seno o el coseno, no es razonable suponer que podrIamos hallar una función po-

ra dar un Método de aproxima-

P,L(x) en el intervalo [0, 2ir].

linomial que aproxime a la función pa-.

claurin en [0, in/2]. LQué tan gran-

ra todos los nümeros reales x. (Re-

Ejercicio 4 Continuando con el ejercicio 3, incremente gradualmente n

cuerde que por lo general, Ia serie de Taylor es una buena aproximación so-

de debe ser n para garantizar que el error máximo sea menor que

cion de sen x para cualquier valor de x, usando solo la serie de Ma-

0.000001?

513

IE TECIILA 111.2

PRYECT

p

'

mtLegrlcv'.n numérica r1 'Iepala :uon

1

Errores en aproximaciones de

Ejer.rj J i I Aproxime Ia integral .

f2sen X x

n

dx

4 ;ubintervalos con los siguientes métodos: I Riemann por la izquierda (a) .Juma c.e (b ) Sima - - de L. Piemann por la derecha (c) u.xla - de 'emann con los puntos medios S IRer,h ". d&I trapecio

fr'

32

64 128

Rc g1a p trabOlica

256

El valoexc i ''to de esta integral es Si(2) - Si(1),donde Si es i", Ii" iflC161J srnci-integral, descrita en el proyecto tecnológico

- Si(1) aproximadamente 0.6593299064355120.

-

T=

[

+R

1024

Considere ahora la integral detLda :lnl A =

(2)

f2exdx

El valor exacto de A es e2 - e, que es aproxim lente 4.670774270471605. En cada una de las parter iguier ' des, complete los espacios V justifique sus respuet as. Al aproximar A, obtenemos aproximadan.nente Ia mis..ma precision usando la suma de Riemann p,or la i zquiPr - da con n = que la obtenida usa.ridio la Reghi del trapecio con = 20. -

i[1, + 2Mg]

'2n

512

Ejercicio 3

Pa t ecLnoIogIa

Ejer cici'c 2 Sean L, R y M, las sumas de Riemann por la i zquierd;,, por la derecha y con los puntos medios, resp .,ctiva .mentc,, sando n subintervalos, En el ejercicio 4 le pedi flos que muestre que Ia Regla ud trapecio y la Regla pan'1hólica se Pu ed en-- obtener a partir de estas tres sumas de Pi.eri -auLiji. COLfl'l)sigue: .ic

ahra,s uponga que esto es v'rc1adero. L_ Use estoc resul'

LaC os

T

16

L

Poi

-('-Jx

x

8

I

II. Usc ide

M

R

-

4

us'r iidcn =

1 i2. Si2)

L,,

2se nx

-rara aproximar

I

iSantlo los cinco métodos con n = 4,8,- 16,32,64, 128,256, "12's 1024. J:se la aproximac ion 0.6S299064355120 como si I uese exact p'ti"i " alculir los errt. res en los cinco métoor dc-s. C-nstruya ." y (oiiip1ete las si,,uientes tablas. -

Al aproximar A, obteneis aproximada me nt e la misr11a precision usando la Rela del inLpecio con = __quea obtenida usando la R. 'a parabuI "i wii :tr = 2i. Al aproximar A, obtenemos aproximad meinLLe La mism precision usando suma de WI emariiIn con puntos medios yn= que la obtenida usando hi Regla del trapecio conn = 1000. Al aproximar A, obtenemo p1 :in'adamente Ia mis-

ma precision usando a sum"a de .iemann por Ia iz quierda con n = qjue'Ia obeniáa usando la Reg1 parabOlica con n = 40.

Err.ores en aproximaciones de

n

R 4

8

M

f2senx

J

dx

III. Reflexión Pn

Ejerciclo 4 Muestre que la Reglr del uajecio ' y Ia Regla parabólica se pueden obtener de ia5 tir sumas .. de Riemann como sigue:

T=

a

J12

[L + R

=

[T + 2'

Ejercicio 5 El rror en i ii' ac' iarJee los d métodos Je integraciOn numérica e'.s on. ''nal a aiglina potencia .'e h.24 jalieela se° nau"la an,.,;1 r; determine si cada método tiene un error p"inorcion' I a h,h,2 , 3,oalgunaotra potencia de h. Explique Ia c'acioL "on. os errores establecidos en los Teor i( niu' LLS A..2A . y 11 .2 B.

rp

1

c14

I

I

V

LI'

Me todos

i

1

'IL

I

LI

I

C

.tin y '-le punto fijo 'sción, deT1i iw,.c de h;e::

I. Prerar.ac'n .ui .'e bisi ec;ióij,n,eJ Ill

HALpliqlu LC1M el _/Letod(J

E ieir 'iciu 1

de

'QL

r2 Ii sta seis cifras decimales. Sea f(x) = 3.lx(1 - x). Sobreponga la gráfica de y g(x) = f(f(x,)

i N.- wton y ci Méto-d de pare proxiJ m,ar l'i su 1u' 'unto Lit

cion d

- cos

'

= 0 con uTh ; ciii a rJecimai

S.

1

iso de Ia tecnol jia

II.

I

s. alge'oraic por fr rt-iclo 2 Iise " i sitt.na ,ata proximarla S01iui( co U" 5fl de

cofl'.tpLllta4J ora

-

r - I a! al oritmo Ii Ijercicio 3 Lnplane de nuno LA. fiio en U S iS[ i 1 1 Ii .ma algebraico. Use su programa par' apro.wii,n ,,.Jua; La oii ci ón de x = cos x. V

V

V

V

1

V

El algotitmo 1e punto lii' ) con(i'cCc Ufl rea Ic investigaciOn actual y sirve como niodelo posibh pai a

Ejercicio 4

.

V

turbulencia, uno de los ienómenos menos oi pr'.id 1(los ' r in- i J. ciencia. Los problemas de este e ierc :icio si ver

2

9.61x - 39.401

V

+ 59.582x3 - 29.791x4

sobre su grafca anterior y observe que r1 y r2 parecen ser las dos raices de x g'x donde g'(1 < 1. (c) A = 3.1, con.,inuación. Observe que f(r1) = r2 y que f(r2) = r1. Use esto para mostrar que g'(r1) = g'(r2). (d) A = En este caso, use la iteración para h.allar cuatro atractores:s 1' s,,s3 y s4.Trate de verde qué ecuación L son solución estos valores. (e) A = 3.56. Use la iteración para hallar ocho atractores. (f) A = '3 5', Si c o1_itirnia increm'ntando A mediante cantidades cada v.z1rnenores, duplicará el nümero de atractores en cada etapa, hasta que cerca de 3.57 obtendrá el caos. Ms allá de A = 3.57 ocurren otras cosas extrañas.

I

Lroduccion a esta excitante áia. Cada rob1( ia ILr tta de Ia V

V

tCUdCiOfl

C

Ejercicio 5

Ax"

(1) Co nforme

(a)

A

III. Reflexión Realice experirnentos similares al ejerCiCio

4 con

x)

x = Asenirx

A crece de 2 d 5.

2.5.Bosqueje1asgrcasc1ey = xy fJ .ei

")

(I

-

r "eu 'la ec"tción V

n los mismos ejt-,

) I)orV_V'FF' cuaciór' 'P C1 n

-

-

V

i: LA continuación, resueiv La -' '1 V rest get ri s kicilla, confir1aa1dc s1 3 uesta. 1(1 fi) --- 3.x)usai 11 = i(b)A- 3..Bosquejey V

1

.

do'.ios mismos ejes y rate oe esoi\ - r (1) mec.J'ant .a e> I en la II ción Ic purto fio. (Obs rve que I f'( ai.) '/cr'auey v i 'ie un ado a otro, pero se a c rc& a V

V

1

V

1

V

C

V

V

V

V

V

V

d -s valores r1 y r2,II'liainados 4tractres. Deterniiue rV 1y

Resuma JU. Jescubrimientos en un informe. Para una descripción amena de los extraflos fenómenos descritos en Iics & 1 ios '1- v 5, véase: r, VV uev.L Chac Ivia king ew L,cience. Jamr G1leick, York: P. guun iooks. F 1QJ7. Douglas R. I-'Jofstadter."Strange attra( to:- rs: ina th rn,'aIi-i cal patterns deii 'ate1' oisc ' bev.e.n ()rd er and c'hao s". it ican, vol. 245 novie1 " ScientificAr"i n1br de 19i 2T 1

jec.

aN.

V

V1

1

-

V

-

V

V

515

IL

1

Kepler naciO en Well,

Alemania, de un padre alcohOlico.

Cuando niño contrajo viruela, que Johannes le dejaron las manos lisiadas y pobreza

Johannes Kepler 1571-1 630

visual. Las desgracias persiguieron a

Kepler a lo largo de su vida. Su esposa y varios de sus hijos murieron. Su madre fue acusada de hechicerIa y él mismo sufriO persecuciOn durante las

revueltas religiosas del tiempo. Al lado de todo esto, a menudo padeciO de una alimentaciOn inadecuada. AUn asI,

perseverO en su trabajo cientIfico con

...yhoyendia Los satélites viajan a lo largo de órbitas elIpticas; el sistema de navegación LORAN utiliza hipérbolas; los espejos de los telescopios y las antenas parabOlicas de televisiOn tiene secciones transversales parabOlicas. Las cOnicas aparecen incluso en los negocios.

devociOn e imaginaciOn.

EstudiO matemáticas y astronomIa

en Ia Universidad de Tubingen. Nombrado como asistente de Tycho

Brahe en el observatorlo de Praga, adquiriO datos exactos sobre las Orbitas de los planetas. Estaba

convencido de que Dios habIa diseñado el mundo con una complacencia estética y en una forma matemática simple. Esta perspectiva lo atrajo hacia Ia belleza y armonla del sistema heliocéntrico de Copérnico, que puso al Sol, en lugar de Ia Tierra, en el centro del Universo. Las máximas contribuciones de Kepler fueron sus tres

eyes del movimiento planetarlo: (1) los planetas se mueven en elipses, con el Sol en uno de sus focos; (2) Ia recta que

une al Sol con un planeta barre areas iguales en tiempos iguales; (3) el cuadrado del periodo de revoluciOn es proporcional al cubo del semieje mayor. Estas eyes, que Kepler hipotetizO sobre bases de observaciOn y necesidades

estéticas, más tarde Isaac Newton demostrO que eran consecuencias de su ley de cuadrados inversos sobre atracciOn de dos masas.

C AP P íI T TU U LLO CA 0

12

.

,

Cónicas COnicas y y coordenadas polares 12.1 La La parábola parabola Elipsesee hipérbolas hipérbolas 12.2 Elipses 12.3 Más 12.3 Más sobre ehpses elipses e hipérbolas 12.4 TraslaciOn 12.4 Traslación de ejes 12.5 Rotación de ejes ejes 12.5 Rotación 12.6 El Elsistema sistemade decoordenadas coordenadas polares 12.7 Gráficas Grá±icasde de ecuaciones ecuaciones polares polares 12.8 Cálculo en 12.8 Cáicuio en coordenadas polares 12.9 Revisión del 12.9 RevisiOn del capítulo capitulo 12.1 Rotaciones Proyecto de tecnologIa tecnología 12.1 Rotaciones en en el el plano piano Proyecto de tecnología tecnologia 12.2 Proyecto 12.2 Otro tipo de de rosa rosa

12.1 12.1

La parábola parabola La

dos hojas hojas yy haga haga pasar pasar pianos planos por por él, él, aa distintos distintos Considere un cono circular recto con dos ángulos, como la figura como secciones secciones se ángulos, como se se muestra muestra en Ia figura 1. 1. Las Las curvas curvas que que obtendrá como llaman, respectivamente, ilaman. respectivarnente. elipse, elipse.parábola parabola ee hipérbola. hipérbola. (También (También puede puede obtener obtener varias recta.) Estas Estas curvas curvas se se formas lIrnite: límite: un un círculo, cfrculo,un unpunto, punto, rectas rectas que que se se cortan, y una recta.) llaman ilaman secciones secciones cónicas, cónicas, oo simplemente cónicas. Esta definiciOn, definición, que debemos aa los los griegos, es es incómoda incOrnodayypronto prontoadoptaremos adoptaremos una una distinta. distinta. Se Sc puede puede mostrar que las griegos, las dos definiciones son consistentes.

Elipse

Parábola ParboIa

Hipérbola

Figura 11

517

518

COnicas y coordenadas polares

CAPiTULO 12

En el piano, sea tuna ilnea fija (La directriz) y Fun punto fijo (el foco) que no esté sobre la LInea, como en La figura 2. El conjunto de puntos P para los que el cociente de La distancia PF del foco entre La distancia PL a La recta es una constante positiva e (La excentricidad), es decir, los puntos que satisfacen

L

PF = ePL

S F

esunacónica.SiO < e < 1,lacónicaesunaelipse;sie = 1,esunaparábola;sie > 1,es una hipérbola. Al trazar Las curvas correspondientes a e = , e = 1, y e = 2, obtenenios las tres curvas que aparecen en La figura 3.

/2'

Figura 2

/2 /2'

Elipse (e =

Parábola(e= 1)

Hipérbola (e = 2)

Figura 3

En cada caso, las curvas son simétricas con respecto de la recta que pasa por el foco y es perpendicular a La directriz. Llamamos a esta recta el eje mayor (o simplemente el eje) de Ia cónica. Un punto donde Ia cOnica cruza a! eje es un venice. La paráboIa tiene un vértice, mientras que La elipse y La hipérbola tienen dos vertices.

La parabola (e = 1) Una parabola es eL conjunto de puntos P que son equidistancias de la directriz

y el foco F; es decir, los puntos que satisfacen

PF = PL Esta definición nos permite deducir la ecuación en xy, y queremos que ésta sea lo más sencilLa posible. La posición de Los ejes de coordenadas no tiene efectos sobre la curva, pero influye sobre La senciLLez de la ecuaciOn de La curva. Como una parabola es simétrica con respecto de su eje, es natural colocar uno de los ejes de coordenadas, como el eje x, a Lo largo del eje de La paraboLa. Ubicamos F, el foco, a La derecha del origen, digamos, en (p, 0); y La directriz a la izquierda, con ecuación x = p. Entonces el vértice está en el origen. La figura 4 muestra todo esto. La condición PF = PL y La formula de la distancia impiican

x=p Figura 4

-

Y

ÀY

F(O,p)

2= -

p)2 + (y - 0)2 =

(x + p)2 + (y

-

y)2

Después de elevar al cuadrado ambos Lados y simplificar, obtenemos = 4px Y=

= 4px

x'=4py Y

Y

EJEMPLO 1

x =p

. F(p,O)

YP

y = 4px

Determine el foco y Ia directriz de la parabola con ecuación y2 = 12x.

Solución Como y2 = 4(3)x, vemos que p = 3. El foco está en (3, 0); la directriz es la

recta x = 3. F(O,p)

Figura 5

Esto se llama la ecuación canónica de una parabola horizontal (con eje horizontal), que abre hacia La derecha. Observe que p > 0 y que p es La distancia del foco a! vértice.

x= 4jv

Hay tres variantes de La ecuación canónica. Si intercambiamos Los papeles de x y y, obtenemos La ecuación x2 = 4py. Esta es la ecuación de una parabola vertical con foco en (0, p) y directriz y p. Por Ultimo, si introducimos un signo menos en un Lado de Ia ecuación, esto hace que la parabola se abra en la dirección opuesta. Los cuatro casos se muestran en la figura 5.

SECCION 12.1

La parabola 519

Determine el foco y La directriz de la parabola x2 = y y bosqueje La

EJEMPLO 2

gráfica. . La forma de La Solución Escribimos x2 = 4()y, de donde concluimos que p ecuación nos dice que la paraboLa es vertical y que abre hacia abajo. El foco está en La gráfica aparece en La figura 6. (0, - ); La directriz es La recta y = .

x

Determine La ecuación de La parabola con vértice en el origen y foco en

EJEMPLO 3

(0,5).

Figura 6

So!ución

La parabola abre hacia arriba y p = 5. La ecuación es x2 = 4(5)y, es decir,

I

x2=20y.

Determine La ecuación de La parabola con vértice en el origen, que pasa por (-2, 4) y abre hacia La izquierda. Bosqueje La grafica. EJEMPLO 4

La ecuación tiene la forma y2 = 4px. Como (-2,4) esta sobre Ia grafica, 4p(-2), de donde p = 2. La ecuación deseada es y2 = 8x y su gráfica apare-

So!ución (4)2

=

ce en la figura 7.

La propiedad óptica Una propiedad geométrica sencilLa de una paraboLa es La base de muchas apLicaciones importantes. Si F es el foco y P es cualquier punto sobre La paraboLa, La recta tangente en P forma ángulos iguaLes con FP y La recta GP, que es paraLela al eje de La paraboLa (véase La figura 8). Un principio de la fIsica dice que cuando un rayo de luz toca una superficie reflej ante, el angulo de incidencia es igual al anguLo de reflexión. Esto impLica que, si una parabola se gira en torno de su eje para formar una capa reflej ante hueca, todos Los rayos de Luz que saLen del foco y tocan La capa se reflejan hacia fuera, paralelos aL eje. Esta propiedad de La parabola se usa en el diseflo de faros, con La fuente luminosa coLocada en el foco. RecIprocamente, se usa en ciertos teLescopios donde los rayos paralelos que Llegan desde una estreLLa distante se enfocan en un solo punto.

= -8x

Figura 7

Figura 8 P(x0, y0)

4 Q(?, 0)

Figura 9

F(p, 0)

EJEMPLO 5

Demuestre La propiedad óptica de La paraboLa.

So!ución En La figura 9, sea QP Ia recta tangente en P y sea GP La recta paralela aL eje x. Debemos mostrar que a = f3. Después de observar que L FQP = J3, reducimos eL probLema a mostrar que eL triángulo FQP es isósceLes. Primero obtenemos La coordenada x de Q. Al derivar y2 = 4px en forma impLIcita obtenemos 2y'y = 4p, de donde podemos concluir que La pendiente de La recta tangente en P(x0, y0) es 2p/y0. La ecuación de esta recta es /

y - y0 = Yo

- x0

520

CAPITUL0 12

COn icas y coordenadas polares

Al hacer y 0 y despejar a x tenemos y0 = (2p/y0)(x - x0), o y/2p. Ahora, y = 4px0, lo que implica, x = x0; Q es decir, x = x0;

x - x0

Q tiene coordenadas (x0, 0). Para mostrar que los segmentos FP y FQ tienen la misma longitud, usamos Ia formula de la distancia

FP =

- 2x0p + p2 + 4px0 - p)2 + y = =\/x+2x0p+p2=x0+p=FQ (x0

El sonido obedece las mismas leyes de reflexión que Ia luz; se usan micrófonos parabólicos para elegir y concentrar sonidos de, por ejemplo, una parte distante de un estadio. Los radares y radio-telescopios también se basan en este principio. Hay muchas otras aplicaciones de las parábolas. Por ejemplo, la trayectoria de un proyectil es una parabola si se desprecia la resistencia del aire y otros factores menores. El cable de un puente colgante con carga uniforme toma la forma de una paráboIa. Con frecuencia, los arcos son parabOlicos. Las trayectorias de algunos cometas son parabOlicas.

Repaso de conceptos El conjunto de puntos P que satisfacen PF = e PL (es de-

3. La parabola y = x2 tiene foco

cir, Ia distancia al foco es igual a e por Ia distancia a la directniz) es una

elipse si

, una parabola si

y directriz

y una hipérbola si

La ecuación canónica de una parabola, con vértice en el ongen y que abre a Ia derecha, es

4. Los rayos de una fuente de luz en el foco de un espejo parabólico se reflejarán en una direcciOn

Conj unto de problemas 12.1 En los problemas 1-8, determine las coordenadas delfoco y la ecuacion de Ia directriz para cada parabola. Haga un bosquejo que muestre laparábola, su foco y su directriz. 1. y2

4x

2. y2 = 12x

Determine Ia ecuaciOn de la parabola que pasa por el punto 5) si su vértice está en el origen y su eje está a lo largo del eje y. Haga un bosquejo. (6,

l6y

3. x2 = l2y

4. x2 =

5. y2 = x

6. y2 + 3x

7. 6y - 2x2 = 0

8. 3x2 -

0

=0

En los problemas 9-14, determine Ia ecuación canónica de cada parábola a partir de Ia informacion dada. Suponga que el vértice está en el origen.

9. El foco está en (2, 0)

16. Determine la ecuación de la parabola que pasa por el punto (-2, 4) si SU vértice está en el origen y su eje está a lo largo del eje x. Haga un bosquejo.

10. La directriz es x = 3

11. La directriz es y - 2 = 0

12. El foco esta en (0, -

13. El foco está en (-4, 0)

14. La directriz es y =

15. Determine la ecuaciOn de Ia parabola con vértice en el ongen y eje a lo largo del eje x si la parabola pasa por el punto (3, 1). Haga un bosquejo.

Determine Ia ecuación de la parabola cuyo vértice es el ongen y su eje es el eje y si la parabola pasa por el punto (-3, 5). Haga un bosquejo. En los problemas 19-26, determine las ecuaciones de Ia tangente y la normal a Ia parabola dada en el punto dado. Bosqueje Ia parabola, Ia tangente y Ia normal.

19. y2 = 16x, (1, 4)

20. x2 = 10y, (2V', 2)

21. x2 = 2y, (4, 8)

22. y2 = 9x, (-1, 3)

23. y2 = 15x, (-3, 3V)

24. x2 = 4y, (4, 4)

25. x2 = 6y, (3v', 3)

26. y2 = 20x, (2, 2'\/iiô)

SECCION 12.1

La pendiente de la tangente a la parabola

y2

5x en un cier-

to punto sobre Ia parabola es \//4. Determine las coordenadas de ese punto. Haga un bosquejo.

La pendiente de Ia tangente a la parabola x2 = l4y en un cierto punto sobre Ia parabola es 2\//7. Determine las coordena-

Determine la ecuación de la tangente a la parabola = 18x que es paralela a la recta 3x - 2y + 4 = 0.

Cualquier segmento de recta que pase por e! foco de Ia parábola, cuyos extremos estén en la parabola, es una cuerda focal. Demuestre que las tangentes a una parabola en los puntos extremos de cualquier cuerda focal se cortan en la directriz. Demuestre que las tangentes a una parabola en los extremos de cualquier cuerda focal son perpendiculares entre si (véase el problema 30). Una cuerda de una parabola, perpendicular al eje y a 1 unidad del vértice tiene longitud de 1 unidad. ,Qué distancia hay del vér-

521

intersección del lado recto con Ia recta que pasa por R y que es paralela al eje. Determine FR + RG y observe que esta suma es constante. Muestre que el conj unto de puntos equidistantes de un cIrcub y una recta fuera del cIrculo es una parabola.

Muestre que la cuerda focal de la parabola

das de ese punto. y2

La parabola

puntos extremos (x1, y1) y (x2, y2) tiene longitud x1 +

y2

= 4px con

+ 2p. Use es-

to para el caso particular del cálculo de la longitud L del lado recto.

Para Ia parabola y2 = 4px de la figura 12, P es cualquiera de sus puntos, excepto el vértice, PB es Ia recta normal, en P, PA es perpendicular al eje de la parabola, y A y B están sobre el eje. Determine AB y observe que esto es constante.

tice a! foco?

Demuestre que el vértice es el punto de una parabola más cercano al foco.

Un asteroide del espacio exterior es observado desde laTierra, y sigue una trayectoria parabólica con la Tierra en el foco. Cuando la ilnea de !a Tierra a! asteroide hace primero un angulo de 90° con el eje de !a parabola, se calcula que el asteroide está a 40 millones de millas. L,Qué tanto se acercará ef'asteroide a la Tierra (véase e! problema 33)? Considere a la Tierra como un punto.

CI 35. Resue!va el problema 34 suponiendo que el angulo mide 75° en vez de 90°.

Los cables de la parte central de un puente colgante tienen Ia forma de una parabola (véase el problema 41). Si las torres están separadas por una distancia de 800 metros y los cables están unidos a éstas en puntos que están a 400 metros arriba del suelo del puente, cuál es la longitud del poste vertical que está a 100 metros de la torre? Suponga que el cable toca la parte inferior del puente en el punto medio del mismo (figura 10).

Figura 12

Considere Ia plataforma de un puente, con un peso de ö libras por pie lineal, sostenido por un cable, que suponemos de peso despreciable en comparación con la plataforma. La sección de cable OP desde el punto más bajo (el origen) y un punto general P(x, y) aparecen en la figura 13. Las fuerzas que actUan en esta sección del cable son IEXP1

H = tension horizontal que jala en 0 T = tensiOn tangente en P

W=

= peso de x pies de la plataforma Para lograr el equilibrio, los componentes horizontal y vertical de T deben equilibrarse con H y W, respectivamente. AsI,

Tsen = tan Tcos4

=

H

Es decir,

dy

Figura 10

La cuerda focal perpendicular a! eje de una parabola es ellado recto. Para Ia parabola y2 = 4px en la figura 11, sea F el foco, R cualquier punto sobre la parabola a la izquierda del lado recto, y G la

Figura 11

dx - H'

y(0) = 0

Resuelva esta ecuaciOn diferencial para mostrar que el cable cuelga con la forma de una parabola. (Compare este resultado con el de un cable suspendido, sin carga, del problema 53 de la sección 7.8.)

Figura 13

522

CAPITULO 12

COnicas y coordenadas polares

42. Considere la parabola y = x2 en el intervalo [a, b] y sean c = (a + b)/2 el punto medio de [a, b], d el punto medio de [a, c] y

Muestre que A(T1) = (b - a)3/8. Muestre que A(T2) = A(T1)/4. Sea S el segmento parabólico determinado por la cuerda PQ. Muestre que el area de S satisface

IEXPLI

e el punto medio de [c, b]. Sea T1 el triángulo con vertices sobre la parábola en a, c y b y sea T2 la union de los dos triángulos con vertices en la parabola en a, d, c y c, e, b, respectivamente (figura 14). ContinUe construyendo triángulos de esta manera, obteniendo T3, T4,...

A(S) = A(T1) + A(T2) + A(T3) +

=

A(T1)

Este es un famoso resultado de ArquImedes, quien lo obtuvo sin coordenadas. Use estos resultados para mostrar que el area bajo y = x2 entre

aybesb3/3-a3/3. 43. ILustre los problemas 30 y 31 para la paraboLa y = x2 + 2 graficando (en la misma ventana de graficacion) la parabola, su directriz, su cuerda focal paralela al eje x y las rectas tangentes en los extremos de la cuerda focal. ICASI

a

d

e

b

x

Respuestas al repaso de conceptos: 1. e < 1; e = 1; e > 1 2. y2 = 4px 3. (0, 1); y = -1 4. paralela al eje

Figura 14

12.2

Elipses e hipérbolas

Recuerde que la cónica determinada mediante la condición PF = ePL ès una elipse si 0 < e < 1 y una hipérbola si e > 1 (véase La introducción a la sección 12.1). En estos casoS, la cónica tiene dos vertices, que llamamos A'y A. El punto del eje mayor a la mitad de La distancia entre A'y A es el centro de La cOnica. Las elipses y las hipérbolas son simétricas con respecto de sus centros (como demostraremos en breve) y por tanto, se LLaman cónicas centrales. Para deducir Ia ecuación de una cónica central, coLocamos el eje x a lo Largo del eje mayor, con el origen en eL centro. Podemos suponer que el foco es F(c, 0), que la directriz es x = k y los vertices son A'(-a, 0) y A(a, 0), con c, k y a positivos. Las dos disposiciones posibles aparecen en las figuras 1 y 2.

Elipse (0 1)

Figura 2

Elipses e hipérbolas 523

SECCION 12.2

La condiciOn que define a La cOnica, PF = ePL, aplicada prirnero a P = A y luego a P = A implica

a - c = e(k - a) = ek - ea a + c = e(k + a) = ek + ea Al despejar c y k en estas dos ecuaciones, obtenemos a

c=ea

k=-e

y

Sea P(x, y) cualquier punto en la elipse (o hipérbola). Entonces, L(a/e, y) es su proyección sobre la directriz (véase la figura 3 para el caso de La elipse). La condición

PF = ePL se convierte en

- ae)2 + y2 =

a2

e7(x

ej

Al elevar a! cuadrado ambos lados y agrupar términos, obtenemos la ecuaciOn equiva-

lente (por qué es equivalente?) 2a x2-2aex+a2e2+y2e2x2 x+a2\ e e2J 1

0

(1 - e2)x2 + y2 = a2(1 - e2) 0

2 + a2(1 - e2)

=1

Como esta ültima ecuación solo contiene potencias pares de x y y, corresponde a una curva simétrica con respecto de los dos ejes y del origen. Además, debido a esta si-

metrIa, debe haber un segundo foco en (ae, 0) y una segunda directriz en x = a/e. El eje que contiene a los dos vertices (y los dos focos) es el eje mayor, y el eje perpendicular a él (que pasa por el centro) es el eje menor.

EcuaciOn canOnica de Ia elipse

Parala elipse,0 b; para Ia hipérbola, no hay tal rcquisito. EJEMPLO 4

Determine los focos de x2

-- + y

4

2

9

1

y bosqueje su gráfica.

Solución Notamos de inmediato que ésta es una hipérbola vertical, determinada

// -2--

por el hecho de que el signo más se asocia al término a 3, b = 2, y c \/9 + 4 \/13 3.61. Los focos están en (0, +\/13) (figura 10). Aplicaciones

. F, /

/

4+4 = 1 ' // / Figura 10

Dc acuerdo con Johannes Kepler (1571-1630), los planetas giran alrededor dcl Sol en Orbitas elIpticas, con el Sol en uno de sus focos. Otros ejemplos de órbitas elIpticas son los satélites que orbitan la Tierra y los electrones que orbitan al nCcleo de un átomo. La maxima distancia de la Tierra al Sol es 94.56 millones de millas y su minima distancia es 91.45 milloncs dc millas. ,Cuál es la excentricidad de la órbita? ,Cuáles son los diámetros mayor y menor? EJEMPLO 5

526 CAPiTuL0 12

Cónicas y coordenadas polares

Solución Usamos la notación en la figura 11 y vemos que

a - c = 91.45

a + c = 94.56

Al despejar a y c en estas eduaciones, obtenemos a = 93.01 y c = 1.56. AsI,

e= £ a

1.56 93.01

0.017

y los diámetros mayor y menor (en millones de millas) son, respectivamente, 2a Figura 11

186.02

2b = 2\/a2 - c2

185.99

U

Existen otras aplicaciones de las elipses y las hipérbolas que surgen de las propiedades Opticas de estas durvas; analizaremos esto en la siguiente sección.

Repaso de conceptos La ecuación canónica de la elipse horizontal con centro en (0, 0) es

La ecuación canónica de la hipérbola horizontal con centro en (0,0) es

La ecuación en xy de la elipse vertical con centro en (0,0) que tiene diámetro mayor 8 y diámetro menor 6 es

La hipérbola x2/9 - y2/4 = 1 tiene asintotas

Conj unto deproblemas 12.2 En los problemas 1-8, dé el nombre de Ia cónica (elipse horizontal, hi-

Hipérbola con asIntotas 2x ± 4y = 0 y un vértice en (8,0)

pérbola vertical y asI sucesivamente) correspondiente a la ecuación dada.

Hipérbola vertical con excentricidad \//2 que pasa por (2,4)

2.=1

3.+-=1

4.+-=1

Elipse con focos (±2, 0) y directrices x = ±8 Hipérbola con focos (±4, 0) y directrices x = ±1

Hipérbola cuyas asIntotas son x ± 2y = 0 y que pasa por el punto (4, 3)

5.+=0 7. 9x2 +

=9

Elipse horizontal que pasa por (-5, 1) y (-4, 2)

8. x2 - 4y2 =

4

En los problemas 9-16, bosqueje Ia grafica de Ia ecuación dada, mdicando sus vertices, sus focos y, si es una hipérbola, sus asIntotas.

Una entrada tiene Ia forma de un arco elIptico (una semielipse) tiene 10 pies de ancho y 4 pies de altura en el centro. Una caja de 2 pies de alto debe pasar por la entrada. i,Qué tan ancha puede ser la caja?

10.-=1

LQué tan alto es el arco del problema 31 a una distancia de 2 pies a la derecha del centro?

12.-+-=1

,Qué tan largo es el lado recto (cuerda que pasa por un foco, perpendicular al eje mayor) para la elipse x 2/a 2 + y2/b2 = 1?

13. 16x2 + 4y2 = 32

14. 4x2 + 25y2 = 100

de la hipérbola x2/a2 -

15. lOx2 -

16. x2 -

9.g+-=1

= 100

=8

En los problemas 17-30, determine la ecuación de Ia cónica central dada. Elipse con un foco en (-3, 0) y un vértice en (6,0) Elipse con un foco en (6, 0) y excentricidad

Elipse con un foco en (0, 5) y excentricidad Elipse con un foco en (0, 3) y diámetro menor 8 Elipse con un vértice en (5, 0) y que pase por (2, 3) Hipérbola con un foco en (5, 0) y un vértice en (4, 0)

Hipérbola con un vértice en (0, 4) y un foco en (0, 5) Hipérbola con un vértice en (0, 3) y excentricidad

Determine la longitud del lado recto (véase el problema 33) = 1.

IC' 35. El cometa Halley tiene una Orbita elIptica con diámetros mayor y menor de 36.18 UA y 9.12 UA, respectivamente (1 UA es una unidad astronómica, la distancia media de la Tierra al Sol). i,Cuál es su distancia minima al So! (suponiendo que el Sol esth en un foco)? C

36. La Orbita del cometa Kohoutek es una e!ipse con excentrici-

dad e = 0.999925 con el Sol en un foco. Si su distancia minima al Sol es 0.13 UA, cuál es su distancia maxima al So!? Véase el problema 35. C' 37. En 1957, Rusia lanzó el Sputnik I. Su órbita elIptica en torno de la Tierra alcanzó sus distancias maxima y minima a la Tierra de 583 y 132 millas, respectivamente. Suponiendo que e! centro de la Tierra es un foco y que la Tierra es una esfera con 4000 mi!las de radio, determine la excentricidad de la órbita.

Más sobre elipses e hipérbolas 527

SECCION 12.3

-

Muestre que (\/x2 a2 - x) -> 0 cuando x gerencia: Racionalice el numerador.

oo. Su-

Para una elipse, sean p y q las distancias de un foco a los dos vertices. Muestre que b = Vpq, donde 2b es el diámetro menor. La rueda de Ia figura 12 gira a t radianes/segundo, de modo que Q tiene coordenadas (a cos t, a sen t). Determine las coordenadas (x, y) de R en el instante t y muestre que recorre una trayectoria elIptica. Nota: PQR es un triángulo rectángulo cuando P y R Q.

Sea P un punto en una escalera de longitud a + b, donde P está a a unidades del extremo superior. Conforme Ia escalera se desliza con su extremo superior en el eje y y su extremo inferior en el eje x, P describe una curva. Determine Ia ecuaciOn de esta curva. Muestre que una recta que pasa por un foco de una hipérbola y perpendicular a una asIntota interseca esa asIntota en la directriz más cercana al foco. Si una hipérbola horizontal y una hipérbola vertical tienen las

mismas asIntotas, muestre que sus excentricidades e y E satisfacen

e2 + E2

ty

= 1.

Sea C la curva de intersección de un cilindro circular recto y un plano que forma un ángulo 4) (0 < 4) < ir/2) con el eje del cilindro. Muestre que C es una elipse. EXPLI 45. En el mismo conjunto de ejes, trace las cOnicas ±(ax2 + 1)1/2 para 2 x 2 y 2 < y 0)Elipse:

9

4

0

Punto: 2x2+y2= 0 Conjunto vacIo: 2x2 + y2 = 1

=

Rectas que se intersecan: X

x2

3. (AC < 0) Hipérbola: --

x2

-

=0

AsI, las gráficas de la ecuación cuadrática general anterior caen en tres categorlas genéricas, aunque dan nueve posibilidades distintas, incluyendo formas ilmite. EJEMPLO 5

Use una traslación para simplificar 4x2

y bosqueje su gráfica.

-

- 8x -

-5=0

534 CAPITULO 12

Cónicas y coordenadas polares

Solución

y

Reescribimos la ecuación como sigue: 4(x2

-2

)=s

)(y2+6y

- 2x

4(x2_2x+1)_(y2+6y+9)=5+4_9

-

2u-=O

4(x-1)2(y+3)2=O Sean u = x - 1 y v = y + 3, lo que produce

2it+ p=O

4u2 -

=0

0

(2u - v)(2u + v) = 0

Figura 5

Esta es Ia ecuación de dos rectas que se cortan (figura 5). EJEMPLO 6 Escriba la ecuación de una hipérbola con focos en (1, 1) y (1,11) y vértices en (1,3) y (1,9).

Solución

El centro es (1, 6), a la mitad entre los vertices de un eje mayor vertical. AsI,

a = 3yc = 5,demodoqueb = \/c2 - a2 = 4. Laecuaciónes

Resu men

(y-6)2

(x-1)2

9

16

=1

.

Considere la ecuación general

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Si A y C se anulan, tenemos la ecuación de una recta (siempre que, por supuesto, D y E no se anulen simultáneamente). Si al menos uno de los valores A y C es distinto de cero, podemos aplicar el proceso de completar el cuadrado. Obtenemos una de varias formas, siendo las más tIpicas

(y - k)2 = ±4p(x - h)

(xh)2 (yk)2 a2

+

b2

(xh)2

(yk)2

a2

b2

=1

-

Estas se pueden reconocer ya en esta forma como las ecuaciones de una parabola horizontal con vértice en (h, k), una elipse horizontal (si a2 > b2) con centro en (h, k) y una hipérbola horizontal con centro en (h, k). Pero para eliminar cualquier duda, podemos trasladar los ejes mediante las sustituciones u = x - h, v = y - k para obtener

= +4pu u2

v2

a2

b2

u2

v2

a2

b2'

Nuestro trabajo también puede producir esta ecuaciones con u y v intercambiados, o bien obtener una de las seis formas lImite ilustradas en la tabla anterior al ejemplo 5. No hay más posibilidades.

SECCION 12.4

Traslación de ejes 535

Repaso de conceptos La forma cuadrática x2 + ax se convierte en un cuadrado al sumar

3. Además del cIrculo, la elipse, la parabola y la hipérbola, otras gráficas posibles para una ecuación de segundo grado en x y y son

x2 + 6x + 2(y2 - 2y) = 3 es equivalente (después de corn, que es la pietar el cuadrado) a (x + 3)2 + 2(y - 1)2 = 4.

ecuación de una

La grafica de 4x2 -

= 0 consta de

Conjunto de problemas 12.4 Determine Ia distancia entre los vertices de

En los problemas 1-16, dé elnombre de Ia cónica oforma lImite representada por la ecuaciOn dada. Por lo general, deberá usar el proceso para completar el cuadrado (véanse los ejemplos 3-5).

9x2 + 18x + 4y2 + 24y = Determine los focos de Ia elipse

1.x2+y2-2x+2y+iO 2. x2 + y2 + 6x - 2y + 6 =

16(x - 1)2 + 2S(y + 2)2 = 400

0

Determine el foco y directriz de Ia parabola

3.9x2+4y2+72xl6y+l24O 4.

x2 - 6x + 4y + 3

16x2 - 9y2 + 192x + 90y - 495 =

En los problemas 35-44, determine la ecuaciOn de la cónica dada.

16x2 + 9y2 + 192x + 90y + 1000

-6

Elipse horizontal con centro (5, 1), diámetro mayor 10, diámetro menor 8

0

Hipérbola con centro (2, 1), vértice en (4, 1) y foco en

= 0

(5,i)

8.4x2+4y2+8x-28yll=O 3x2 + 3y2 - 6x + l2y + 60 = 4x2 -

- 2x + 2y + 1

Parabola con vértice (2, 3) y foco (2, 5)

0

Elipse con centro (2,3) que pasa por (6, 3) y (2, 5)

= 0

Hipérbola con vertices en (0,0) y (0, 6) y un foco en (0, 8)

11.4x2-4y2+8x+12yS=O 4x2 - 4y2 + 8x + l2y - 6 = 4x2 - 24x + 36 =

0

4x2 - 24x + 35 =

0

Elipse con focos en (2, 0) y (2, 12) y un vértice en (2, 14)

Parabola con foco (2, 5) y directriz x = 10

0

Parabola con foco (2, 5) y vértice (2, 6) Elipse con focos (+2, 2) que pasa por el origen

25x2 + 4y2 + 150x - 8y + 129 =

0

4x2 - 25y2 - 8x + iSOy + 129 =

0

Hipérbola con focos (0, 0) y (0,4) que pasa por (12, 9).

Una curva C que pasa por los tres puntos (-1, 2), (0, 0) y (3, 6). Determine una ecuación para C si C es

En los problemas 17-30, bosqueje la grafica de Ia ecuaciOn dada.

(x+3)2 4

+

(y+2)2 16

(y + 2)2

(x + 3)2

16

24

4

+

una parabola horizontal;

=1

un cIrcuio.

=1

21. (x + 2)2 = 23. (y - 1)2 =

4(x + 3) = (y + 2)2 22. (x + 2)2 4

(x+3)2

una parabola vertical;

4)2 = 25

(x + 3)2 + (y

(y-2)2 8

= 0

0

5.9x2+4y2+72xl6y+l6OO y2 - 5x -

9

=0

25.x2+4y2-2x+i6y+lO

16

1)

es constante). Dé el nombre de la cOnica y2 = Lx + Kx2 de acuerdo con el valor de K y luego muestre que en cada caso L es la longitud del lado recto de Ia cónica. Suponga que L 0. Muestre que las ecuaciones de la parabola y la hipérbola con

vértice (a, 0) y foco (c, 0), c > a > 0, se pueden escribir como

26.25x2+9y2+lSOxi8y+9O 27. 9x2 - l6y2 + 54x + 64y - 127 =

-

46. Los extremos de una cuerda elástica con un nudo en K(x, y) se unen a un punto fijo A(a, b) y un punto P en la orilla de una rueda de radio r con centro en (0, 0). Al girar la rueda, K describe una curva C. Determine la ecuación para C. Suponga que Ia cuerda KP/AP permanecetensayseestirauniformernente(esdecir,a

0

28.x2-4y2-14x32yll0

= 4(c - a)(x - a) y y2 = (b2/a2)(x2 - a2), respectivamente. Entonces use estas expresiones para y2 y muestre que la parabola siempre esta "dentro" de Ia rama derecha de Ia hipérbola.

29.4x2+16x-16y+320 x2 - 4x + 8y =

0

Determine el foco y directriz de la parabola

-

- lOx

= 0

1. a2/4 2. 14; elipse Respuestas al repaso de conceptos: 3. una recta, rectas paralelas, rectas que se cortan, un punto, el conjunto vaclo

4. rectas que se cortan

536 CAP1TULO 12

COn icas y coordenadas polares

12.5

RotaciOn de ejes

Considere Ia ecuaciOn más general de segundo grado en x y y:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 La nueva caracterIstica es la aparición del término del producto cruzado Bxy. ,Sigue siendo cierto que Ia gráfica es una cOnica o una de las formas lImite? La respuesta es afirmativa, pero el eje (o ejes) de la cónica se giran con respecto de Los ejes de coordenadas.

Rotaciones Introducimos una nueva pareja de ejes de coordenadas, los ejes u y v, con el mismo origen que los ejes x y y, pero girados un ángulo 0, como se muestra en la figura 1. Un punto P tiene entonces dos conjuntos de coordenadas: (x, y) y (u, v). Cuál es la relación entre ellos? Si r denota La longitud de OP, y 4 es ci ángulo desde el eje positivo de u hasta OP. Entonces x, y, u y v tienen la interpretación geométrica que muestra el diagrama. Si observamos ci triángulo rectángulo OPM, vemos que cos( Figura 1

de modo que

+ 0) =

= rcos(4 + 0) = r(cos4coso - sen4senO) = (rcos4)cosO - (rsen4)senO

A! considerar el triángulo OPN se muestra que u = r cos

y v = r = sen

. AsI,

x = ucosO - vsenO Un razonamiento similar conduce a

y = usenO + vcosO Estas formulas determinan una transformación liamada rotación de ejes. EJEMPLO 1 Determine La nueva ecuación que resulta de xy = 1 después de una rotación de ejes de 0 = ir/4. Bosqueje la gráfica.

Solución Las sustituciones pedidas son

y

x=ucos--vsen= 'IT

V

y = usenIT+ vcos-'1.

2

2

= 2

(uv) (u + v)

La ecuación xy = I asume la forma 2

(uv) v2 (u+v)=1

que se simplifica como u2

v2

xy = 0 u2

2

Figura 2

2

Reconocemos esto como la ecuación de una hipérbola, con a = b = V. Observe que ci término de producto cruzado ha desaparecido como resultado de La rotaciOn. La elección del ángulo 0 = ir/4 fue justo la correcta para lograr esto. La gráfica aparece en La figura 2.

DeterminaciOn del ángulo 0 ,COmo sabemos qué rotación hacer para eliminar el término de producto cruzado? Considere la ecuación

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O Si hacemos las sustituciones

x = ucosO - vsenO y = u sen 0 + v cos 0

Traslación de ejes

SECCION 12.5

537

esta ecuación asume La forma

du + ev +

au2 + buy + cv2 +

f=

0

donde a, b, c, d, e y f son nUmeros que dependen de 0. PodrIamos hallar Las expresiones de todos ellos, pero en realidad solo nos interesa b. Al hacer el algebra necesaria, vemos que

B(cos20 - sen20) - 2(A - C)senOcos0 = Bcos2O - (A - C)sen20

b =

Para que b = 0, necesitamos que

Bcos2O = (A - C)sen2O 0

cot20

AC =

B

Esta fOrmula responde nuestra pregunta. Para eliminar el término del producto cruzado, elegimos 0 de modo que satisfaga esta formula. En la ecuación xy = 1 del ejemplo 1, A = 0, B = 1 y C = 0, de modo que elegimos 0 tal que cot 20 = 0. Un angulo que funciona es 0 = ir/4. También podrIamos usar 0 = 3'n-/4 o 0 = 51T/4, pero se acostumbra elegir un ángulo en el primer cuadrante, es decir, elegimos 20 tal que 0 20 < 'n-, de modo que 0 < 0 1)

0

/=

r=

+ e cos (0-

I +ecos9

/

- 1 + e sen 0

EJEMPLO 5 Determine la eduación de la elipse horizontal con excentricidad en el polo, y directriz vertical a 10 unidades a ia derecha del poio.

,

foco

Solución

r=

10

1 + cos0

=

10

2 + cos0

.

544 CAPITULO 12

COnicas y coordenadas polares EJEMPLO 6

Identifique y bosqueje la gráfica de r

7

= 2 + 4senO

Solución La ecuación sugiere una cOnica con eje mayor vertical. Al colocarla en la forma que se muestra en la tabla de ecuaciones polares obtenemos

r=

7

I

2 + 4senO

=

1 + 2senO

=

L.4

1 + 2senO

que reconocemos como la ecuación polar de una hipérbola con e = 2, foco en el polo y directriz horizontal, unidades arriba del eje polar (figura 12). Figura 12

Repaso de conceptos Cada punto del piano tiene una ünica pareja (x, y) de coordenadas cartesianas, pero parejas (r, 0) de coordenadas polares.

La gráfica de Ia ecuaciOn polar r = 5 es un fica de 0 = 5 es una

; la gr-

La gráfica de la ecuación polar r = ed/(1 + e cos 0) es una

Las relaciones x = yy= denadas cartesianas y polares; además,

ligan las coor-

= x2 + y2.

Conjunto de problemas 12.6 (1, (2,

1. Ubique ios puntos cuyas coordenadas polares son (3, (0, ir), (1, 4ii), (3, 1T), (, ir) y (4,0). 2. Ubique los puntos cuyas coordenadas polares son (3, 2ii),

T), (4,

7T), (4,ir), (0, 0), (1, 54T),(3,-ir), (i,ir) y (3, -7T). 3. Ubique los puntos cuyas coordenadas polares son (3, 2ir),

(-2,), (-2,hr), (-1, 1), (1, 4w), (V',ir), (-2,ir) y

(i, k).

4. Ubique los puntos cuyas coordenadas polares son (3,

(-2,ir), (-2,i), (-1,i), (1, 7w), (-3,rr), (-2,ir) y

(3,r).

5. Ubique los puntos con las siguientes coordenadas polares. Para cada punto, dé otras cuatro parejas de coordenadas polares, dos con r positivo y dos con r negativo.

(a) (i,i) (c) (V',-iT)

(b) (i,)

(d) (,)

(c) (,

(b) (i,) (d) (-22,

13. y 2 15. x2 + y2 = 4

16. x2 = 4py

En los problemas 17-22, determine las ecuaciones cartesianas de las graficas de las ecuaciones polares dadas.

17.On

18.r=3

19. rcosO + 3 = 0 rsen0 1 = 0

20. r

r2

25. r

27. r

7. Determine las coordenadas cartesianas de los puntos del problema 5.

31. r

8. Determine las coordenadas cartesianas de los puntos del probiema 6.

33. r

9. Determine las coordenadas polares de los puntos con las

35. r =

coordenadas cartesianas dadas.

(a) (3\/,3)

(c) (-2,)

(b) (-2\/,2) (d) (0,0)

10. Determine las coordenadas polares de los puntos con las coordenadas cartesianas dadas.

(a) (-3/, i/)

(b) (/2,

(c) (0,-2)

(d) (3,-4)

/2)

6r cos 0

ScosO = 0

4r sen 0 + 9 = 0

En los problemas 23-36, dé el nombre de la curva con Ia ecuación polar dada. Si es una cónica, dé su excentricidad. Bosqueje la grafica.

29. r

)

3y + 2 = 0

12. x = 0 14. x y = 0

11. x

23.r

6. Ubique los puntos con las coordenadas polares siguientes. Para cada punto, dé otras cuatro parejas de coordenadas polares, dos con r positivo y dos con r negativo.

(a) (3\&ir)

En cada uno de los problemas 11-16, bosqueje Ia grafica de Ia ecuación cartesiana dada, y luego determine su ecuación polar.

24.0=

6 3

26. r

senO

28. r

4senO 4

30. r

1 + cosO 6

32. r

2+senO 4

34. r =

2 + 2 cos 0 4

+ cos(O

r)

36. r =

2ir 3

4 cos 0

4 cos U 4

1 + 2seno 6

4cos0 4

2 + 2 cos(0

ir/3)

4

3cos(0

T/3)

Muestre que la ecuación polar del cIrculo con centro (c, a) y radio a es r2 + c2 2rc cos (0 a) = a2. Demuestre que r = a sen 0 + b cos 0 representa un cIrculo, y determine su centro y radio. Determine la longitud del lado recto de Ia cónica general r = ed/[1 + e cos(0 0)] en términos de e y d.

SECCION 12.7

40. Sean r1 y r2 las distancias minima y maxima (perihelio yale-

lio, respectivamente) de Ia elipse r = ed/[1 + e cos(0 - os)] a un foco. Muestre que

= ed/(1 -

r1 = ed/(1 +

el diámetro mayor es = 2ed/(1 - e2) y el diámetro menor es =

2ed/\/1 - e2.

cometa es 1200 (medido desde el punto del perihelio con respecto del Sol at cometa) cuando el cometa está a 100 mittones de millas del Sol. ,Qué tanto se acerca et cometa at Sot? 44. La posiciOn de un cometa con una órbita eliptica altamente excéntrica (e muy cerca de 1) se mide con respecto de un eje p0-

127 Gráficas de ecuaciones polares (r.9

545

lar fijo (el Sot está en un foco pero el eje polar no es un eje de la elipse) en dos instantes, obteniendo los dos puntos (4, ir/2) y (3, ir/4) de la órbita. En este caso, las distancias se miden en unidades astronómicas (1 UA 93 millones de miltas). Para la parte de la órbita cercana

at Sot, suponga que e = 1, de modo que la órbita está dada por

r = d/[1 + ecos(0 Los dos puntos dan dos condiciones sobre d y 0. lilselas para mostrar que 4.24 cos 00 - 3.76 sen 00 - 2 = 0. Determine 00 mediante et método de Newton. ,Qué tanto se acerca el cometa al Sot?

41. El perihelio y el afelio de Ia órbita del asteroide caro son 17 y 183 millones de millas, respectivamente. ,Cuál es la excentricidad de su órbita elIptica? 42. La órbita de la Tierra airededor del Sot es una elipse de excentricidad 0.0167 y diámetro mayor 185.8 millones de millas. Determine su perihelio. 43. La trayectoria de cierto cometa es una parabola, con el Sot en et foco. El ánguto entre el eje de la parabola y un rayo del Sot at

Gráficas de ecuaciones polares

ICASI 45. Para graficar una ecuación polar, como r = f(t), usando un graficador de ecuaciones paramétricas, usted debe reemplazar esta ecuación por x = f(t) cos t y y = f(t) sen t. Estas ecuaciones se pueden obtener at multiplicar r f(t) por cos t y sen t, respectivamente.

Confirme el análisis de las cónicas dado en el texto, graficando r 4e/(1 + e cos I) para e = 0.1,0.5,0.9,1, 1.1 y 1.3 en [or, or].

Respuestas al repaso de conceptos:

1. una infinidad de

2. r cos 0; r sen 0; r2 3. cIrculo; recta 4. cónica

Las ecuaciones polares consideradas en la sección anterior condujeron a gráficas conocidas; principalmente, rectas, cIrculos y cónicas. Ahora centraremos nuestra atención en gráficas más exóticas: cardioides, limaçons, lemniscatas, rosas y espirales. Las ecuaciones potares de estas curvas siguen siendo sencillas; las ecuaciones cartesianas correspondientes son algo complicadas. AsI, vemos una de las ventajas de contar con más de un sistema de coordenadas. Algunas curvas tienen ecuaciones senciltas en un sistema; otras curvas tienen ecuaciones sencitlas en un segundo sistema. Explotaremos esto más adelante; con frecuencia, iniciaremos Ia solución de un problema eligiendo un sistema de coordenadas adecuado. La simetria nos puede ayudar a entender una grafica. AquI hay algunos criterios suficientes para ta simetria en coordenadas polares. Los diagramas at margen te ayudaran a establecer su vatidez.

La grafica de una ecuaciOn polar es simétrica con respecto del eje x (el eje polar) si at reemplazar (r, 0) por (r, 0) (o por (r, IT - 0)) se obtiene una ecuación equivalente (figura 1).

Figura 1

La gráfica de una ecuación polar es simétrica con respecto del eje y (la recta 0 = IT!2) si al reemplazar (r, 0) por (r, 0) (o por (r, ir - 0)) se obtiene una ecuación equivalente (figura 2). La grafica de una ecuaciOn polar es simétrica con respecto del origen (el polo) si at reemplazar (r, 0) por (r, 0) (o por (r, IT + 0)) se obtiene una ecuación equivalente (figura 3).

Debido a la representación méltiple de los puntos en coordenadas polares, pueden haber simetrIas no identificadas por estos tres criterios (véase el problema 39).

Figura 2

Cardloides y Iimaçons (r, 0)

Figura 3

Consideremos ecuaciones de la forma

r = a ± bcos0

r = a ± bsen9

con a y b positivos. Sus graficas se llaman limaçons; los casos particulares en que a = b se liaman cardloides. La figura 4 muestraalgunas gráficas tipicas. EJEMPLO 1 Analice la ecuación r = 2 + 4 cos 0, verifique sus simetrIas y bosqueje su gráfica. So!ución Como coseno es una función par [cos(-9) = cos 0], la gráfica es simétrica con respecto del eje x. El otro criterio de simetria falla. La figura 5 contiene una tabta de valores y la grafica.

546 CAPITULO 12

COnicas y coordenadas polares o o

6

itI6

5.5

irI3

4

itI2

2

7m112

1.0

271:/3

0

371:/4

-0.8 -1.5

5it16 71

a>b

a=b

'-2

a 0 (espiral recIproca)

En los pro blemas 33-38, bosqueje las curvas dadas y determine sus puntos de intersección.

r =

6,r

=

4 + 4cos0

2\/sen0

Sean a y b némeros positivos fijos y suponga que AP es par-

r = 4 - 3 cos 0 (limacon)

r2 =

4cos2O,r =

te de la recta que pasa por (0, 0), con A sobre la recta x = a y

r = 1 - 2 sen 0 (limacon)

-9 cos 20 (leminscata)

6

1 + 2sen0

nes suficientes, pero no necesarias. Dé un ejemplo de una ecuación polar r = f(0) cuya grafica sea simétrica con respecto del eje y, aunque a! reemplazar (r, 0) por (-r, -0) o (r, ii- - 0) no se obtenga una ecuación equivalente.

r = 1 - sen 0 (card ioide)

r2 =

3sen0

Las condiciones para simetrIa dadas en el texto son condicio-

r = 5 - 5 sen 0 (cardioide)

r2

=

1 - 2cos0

r = 6senO,r

r = 3 - 3 cos 0 (cardioide)

r

3\/cos0,r

SEccION 12.7

(c)

r = 2 - 3sen(50)

r= (g) r (e)

(d) r

=

1 - 2sen(50)

(h) r

1/03/2

= 2cos3O

IV

V

VI

f(O -

a)?

51. Analice Ia familia de curvas dadas por r = a + b cos(n(O + 4))), donde a, b y 4) son nümeros reales y n es un entero positivo. Al responder las siguientes preguntas, asegürese de graficar un nUmero suficiente de ejemplos para justificar sus conclusiones. Cuál es Ia relación de las gráficas tales que 4) = 0 con aquellas Gd

IEXPLI

para las que 4) 0? Cómo cambia la gráfica al aumentar n? Cómo cambian la magnitud relativa y el signo de a y b a Ia naturaleza de la gráfica? Analice la familia de curvas definidas mediante las ecuaciones polares r = cos nO, donde n es algtmn entero positivo. L,Cómo de-

II

III

549

(d) Cuál es [a relación de la gráfica de r = f(0) con la gráfica de =

(f) r = OcosO

cos(O/4)

Gráficas de ecuaciones polares

pende el nümero de pétalos de n? Las gráficas polares se pueden usar para representar varias espirales. Las espirales pueden desenrollarse en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario. Determine las condiciones sobre c para que la espiral deArquImedes, r = cO, se desenrolle en un sentido o en el otro. Bosqueje la espiral logarlimica dada por r c/fL Para c > 0, i,se desenrolla en la direcciOn de las manecillas del reloj? Las siguientes ecuaciones polares son representadas por seis gráficas en la figura 12. Relacione cada gráfica con su ecuación. (a) r = sen3O + sen22O (b) r = cos2O + cos24O (c) r = sen4O + sen2SO (d) r = cos2O + cos23O (e) r = cos 40 + cos2 40 (f) r = sen 40 + sen2 40

II

VIII

VII

Figura 11

Gd En Los pro blemas 46-49, use una computadora o calculadora gráfica para graficar La ecuación dada. Asegárese de elegir un intervalo suficientemente grande para el parámetro, de modo que se pueda Irazar toda La figura. 46.

r =

Vi

- O.5sen2O

48. r = sen(50/7) IGC

IEXPL

47. r = cos(130/5) 49. r =

1

0.5 1

+ 3cos(O/3)

-3

50. En muchos casos, las gráficas polares están relaciona-

das entre si mediante una rotación. Aqul exploramos este concepto. i,Cul es la relación de las graficas de r = 1 + sen (0 - 'ir/3) y r = 1 + sen(O+ ir/3) conlagráficader = 1 + senO? ,Cuál es la relación de la gráfica de r = 1 + sen 0 con la gráfica de r = 1 - sen 0? i,Cuál es la relación de la gráfica de r = 1 + sen 0 con Ia grafica

der==1 +cos0?

2

'-0.5

-'.5 V

VI

Figura 12

Respuestas al repaso de conceptos: 3. rosa; impar, par 4. espiral

1. limaçon

2. cardioide

COn icas y coordenadas polares

550 CAPITULO 12

12.8

Cálculo en coordenadas polares

Los dos problemas básicos en cálculo son la determinación de la pendiente de una recta tangente y el area de una region curva. Aqul analizaremos ambos problemas, pero en el contexto de coordenadas polares. El problema del area juega un papel central en el resto del libro, asI que lo analizaremos primero. En coordenadas cartesianas, el bloque de construcción fundamental en problemas de area era el rectángulo. En coordenadas polares, es el sector circular (una region con forma de rebanada de paste!, como la de la figura 1). El hecho de que el area de un cIrculo es irr2 nos permite inferir que el area de un sector con ángulo central 0 radianes es (O/2ir)irr2; es decir,

Area de un sector:

A =

Or2

Area en coordenadas polares A =

Para comenzar, supongamos que r = f(0) determina una curva en el plàno, donde f es una función continua, no negativa para a 0 2'n-. Las curvas r = f(0), 0 = a y 0 = /3 acotan una region R (laque y /3 - a se muestra a la izquierda en la figura 2), cuya area A(R) queremos determinar.

9r2

Figura 1

6

Figura 2

Dividimos el intervalo [a, /3] en n subintervalos por medio de nUmeros a = 00 <

/6I /

< O, = /3, rebanando con esto a R en n regiones más pequefios con for01 < 02 < ma de rebanada R R ... R como se muestra en la mitad derecha de la figura 2. Es claro que A(R) = AR1) + (R2) + + A(R).

Aproximamos el area A(R1) de Ia i-ésima rebanada; de hecho, lo hacemos de dos formas. En el i-ésimo intervalo 0k], f alcanza su valor mInimo y su valor máximo, por ejemplo, en u1 y v respectivamente (figura 3). AsI, si AO, = O -

[f(u)]2

A(R)

[f(v)]2

y entonces n

n

n

[f(u)]2

A(R)

i=1

i=1

[f(v)]2 i=1

El primer y tercer miembros de esta desigualdad son sumas de Riemann de la misma in[/3

tegral:

J

[f(o) ]2 do. Si hacemos tender a cero la norma de la partición, obtenemos

(Principio del Emparedado) la formula para el area A =

f[f(o)]2do

Por supuesto, esta formula puede memorizarse, pero preferimos que recuerde cOmo se dedujo. De hecho, notara que las tres palabras familiares rebanada, aproximación e in-

SECCION 12.8

Puntos equicordales Las limaçons comparten con los cIrculos Ia propiedad de tener un

punto equicordal (un punto desde el cual todas las cuerdas tienen la misma longitud). Para la limacon r = 2 + cos 0, todas las cuerdas que pasan por el polo tienen longitud 4. Observe que esta limacon tiene area 9ir/2, mientras que el cIrculo correspondiente de diámetro 4 tiene area 4ir. AsI, el hecho de tener cuerdas iguales en todas las direcciones con respecto de un punto no basta para determinar el area. He aquI un famoso problema no resuelto, planteado por vez primera en 1916. Puede una region plana tener dos puntos equicordales? Una respuesta correcta a esta pregunta (ya sea un ejemplo de tal region o una demostraciOn de que tal region no existe) le harla famoso instantáneamente. Aün asI, le sugerimos que resuelva los problemas a! final de esta sección antes de enfrentar este

Cálculo en coordenadas polares

551

tegración son la dave para los problemas de area en coordenadas polares. Ilustraremos ahora lo que esto significa. EJEMPLO 1

Determine el area de la regiOn dentro de la limacon r = 2 + cos 0.

Solución La gráfica se muestra en la figura 4; observe que 0 varIa de 0 a 2ri-. Rebanamos, aproximamos e integramos. f(9) =2+ COS

AA

A = f(2 + cos 9)2d

Figura 4

Por simetrIa, podemos duplicar la integral de 0 a ir. AsI,

reto.

A=

f(2 + cosO)2d0 =

=

f4do + 4f

=

f

dO +

f(4 + 4cosO + cos20)dO

cosOd0 +

f(i + cos20)dO

4f cos 0 dO + fcos 20 +

+

['senoj

.

9T 2 EJEMPLO 2

2 dO

Determine el area de un pétalo de Ia rosa de cuatro pétalos r = 4 sen 20.

Solución

La rosa completa aparece en el ejemplo 3 de la secciOn anterior. Aqul el pétalo del primer cuadrante (figura 5). Este pétalo tiene 4 unidades de longitud y promedia cerca de 1.5 unidades de ancho, lo cual da 6 como estimaciOn de su area. El area exacta está dada por sOlo mostramos

AA 71/2

A=

Figura 5

(4+sen2O)2d9

552

CAPITuL0 12

COnicas y coordenadas polares Th712

A = 12J0 -I

16 sen2 20 dO = 8

1 - COS 40

L

2

dO

rr/2

4I Jo [49]T/2 EJEMPLO 3

do - I

cos 40

4 dO

Jo

2-

- [sen40]/2

Determine el area de la region fuera de la cardioide r = 1 + cos 0 y

dentro del cIrculo r senO. Solución Las gráficas de las dos curvas aparecen en la figura 6. Necesitaremos las coordenadas 0 de Los puntos de intersección. Tratemos de resolver las dos ecuaciones en forma simultánea.

1 ± cosO = \/sen0 1 + 2cosO + cos2O = 3sen2O 1 + 2 cos 0 + cos2 0 3(1 - cos2 o)

4cos2O + 2cos0 - 2 = 0 2cos2O + cos0 - 1 = 0 (2cosO - i)(cos0 + 1) = 0

cos0=

cos0=-1

o

0 01T

IT

0

AA A

- [3 sen2

=J

(1+ cos0)2] A0

[3 sen2O (1 + cos o)2]dO

Figura 6

Ahora rebanamos, aproximamos e integramos.

A 1f [3sen20 - (1 + coso)2]dO 2

/3

fiT

= - J [3sen2 0 - 1 - 2 cos 0 - cos2 0] dO 1

fiT[3

1

= 2 L/3 L =

(1 - cos 20) - 1 - 2 cos 0 -

hT

1 -

J[

cos 0

2 cos 20] dO

[-2seno - sen20]/3

1r =-12

2[

2

+

2

-

4

1.299

(1 + cos 20)1

Cálculo en coordenadas polares

SECCION 12.8

553

Tangentes en coordenadas polares En coordenadas cartesianas, la pendiente m de la recta tangente a una curva está dada por m = dy/dx. Rápidamente desechamos a dr/dO como la fOrmula correspondiente para la pendiente en coordenadas polares. Si r = f(0) determina La curva, escribimos y = rsenO = f(0)sen9 f(6)cosO x = rcosO AsI,

ty/tXO dy/dO ty Lx -- 1' zO zx/zX0 - dx/d0

dy

dx -Es decir,

m

f(0)coso + f'(0)seno = f(0)seno + f'(0)cosO

Esta fOrmula recién deducida se simplifica cuando La grafica de r = f(0) pasa por f(a) = 0 y f'(a) 0. el polo. Por ejemplo, supongamos que para algOn ánguLo a, r

Entonces (en el polo), nuestra formula para m es

f'(a)sena

f (a) cos a

tan a

Como la recta 0 a también tiene pendiente tan a, concluimos que esta recta es tangente a La curva en el polo. Deducimos el Otil hecho de que las rectas tangentes en el polo se pueden determinar resolviendo Ia ecuación f(0) = 0. Ilustramos esto a continuación. EJEMPLO 4

Considere la ecuación polar r = 4 sen 30.

Determine La pendiente de La recta tangente en 0 = 'n/6 y 0 = ir/4. Determine Las rectas tangentes en el polo. Bosqueje la grafica.

Determine el area de un pétalo. Solución

(a)

f(0)cose + f'(0)senO 4sen3Ocos0 + l2cos30sen0 + f'(0)cose - 4sen30sen0 + l2cos30cosO

f(0)seno En 0 =

41 m=

1

2 1

1

En 0 =

V\/ 2

4

2

2 2

+120-2

.-

=v3

+ 12 . 0.

- 12'2

12

2

2

2-6

2-62

1

2

Hacemos f(0) = 4 sen 30 = 0 y despejamos. Esto implica que 0 = 0, 0 = r, 0 = 4ii/3, y 0 = 5-/3. 0 = 2ii73, 0 Después de observar que sen 3(- - 0) = sen (3m- - 30) = sen 3'n- cos 30 - cos 3ir sen 30 = sen30 lo que implica simetrIa con respecto del eje y, obtenemos una tabla de valores y bosquejamos Ia gráfica que se muestra en La figura 7.

554 CAPiTULO 12

Cónicas y coordenadas polares

o o

ir/12 ir/6 ir/4 rt/3

5it/12 it/2

0 2.8 4

2.8 0

-2.8

-4

Figura 7

(d) A =

f(4 sen 30)2 dO =

8f

sen23O dO 13

4fIT/3 r

(1_cos60)d04f d0-

¶/3

4

cos6O 6d0 0

2

lir/3

[40 - -sen6O 3

= _]o

3

Repaso de conceptos La formula de la pregunta 1 conduce a la fOrmula para el area

A partir de Ia fOrmula de la pregunta 2, concluimos que el area de la region dentro de la cardioide r = 2 + 2 cos 0 se puede cxpresar como A =

A de la region acotada por la curva r = f(0) entre 0 = a y 0 = f3, es decir, A =

Las rectas tangentes a la curva polar r = f(0) en el polo se pueden determinar resolviendo la ecuación

La formula para el area A de un sector de un cIrculo de radio r y angulo 0 (en radianes) es A =

Conj unto de problemas 12.8 En los problemas 1-10, bosqueje Ia grafica de Ia ecuación dada y determine el area de Ia region acotada por ella.

1. r

a,a >0

2. r = 2acos0,a >0

3. r = 2 + cos0

4. r = 5 + 4cosO

5. r = 3- 3sen0

6. r = 3 + 3sen0

7. r = a(1 + cosO),a > 0

8. r2 = 6cos2O

9. r = 9 sen 20

10. r2 = a cos 20, a > 0

Bosqueje la limaçon r = 3 - 4 sen 0 y determine el area de la region dentro de su ciclo menor. Bosqueje la limaçon r 2 - 4 cos 0 y determine el area de la region dentro de su ciclo menor.

Bosqueje Ia limaçon r = 2 - 3 cos 0 y determine ci area de la region dentro de su ciclo mayor. Bosqueje un pétalo de Ia rosa de cuatro pétalos r = 3 cos 20 y determine el area de la region encerrada por éste.

Bosqueje la rosa de tres pétalos r = 4 cos 30 y determine el area de toda la regiOn encerrada por ella. Bosqueje la rosa de tres pétalos r = 2 sen 30 y determine el area de la region encerrada por ella.

Determine el area de Ia regiOn entre dos cIrculos concéntri-

cosr = 7yr = 10. Bosqueje la region que está dentro del circulo r = 3 sen 0 y fuera de la cardioide r = 1 + sen 0, y calcule su area. Bosqueje la region que está fuera del cIrculo r = 2 y dentro de la lemniscata r2 = 8 cos 20, y calcule su area. Bosqueje la limaçon r = 3 -6 sen 0 y calcule el area de la región que está dentro de su ciclo mayor, pero fuera de su ciclo menor. Bosqueje la region en el primer cuadrante que está dentro de la cardioide r = 3 + 3 cos 0 y fuera de la cardioide r 3 + 3 sen 0 y determine su area.

Bosqueje la regiOn en el segundo cuadrante que está dentro de la cardioide r = 2 + 2 sen 0 y fuera de la cardioide r = 2 + 2 cos 0 y determine su area. Determine la pendiente de la recta tangente a cada una de las curvas siguientes, en 0 = r/3. (a) r = 2 cos 0 (b) r 1 + sen 0

(c) r = sen 20

(d) r = 4 - 3 cos 0

Determine todos los puntos de la cardioide r = a(1 + cos 0) tales que la recta tangente sea

(a) horizontal, y

(b) vertical.

SECCION 12.9

25. Determine todos los puntos sobre la limaçon-r = 1 - 2 sen 0 donde la recta tangente sea horizontal. 26. Sea r f(0), donde f es continua en el intervalo cerrado [a, /3]. Deduzca la siguiente fOrmula para la longitud L de la curva polar correspondiente de 0 = a a 0 = /3.

L =

fV[f(o)]2

+ [f'(o)]2do

27. Use la fOrmula del problema 26 para determinar el perImetro de Ia cardioide r = a(1 + cos 0).

28. Determine la longitud de la espiral logarItmica r = 0 =

OaO

RevisiOn del capItulo

555

34. Segundo problema del chivo Resue!va el problema 33 de nuevo, pero suponga que el estanque tiene una cerca alrededor, de modo que, al formar la cufla A, la cuerda se enrolla en tomb de la cerca (figura 9). Sugerencia: Si usted es muy ambicioso, trate de usar el metodo de esta secciOn. Pero también puede notar que en la cuña A,

lo que conduce a una suma de Riemann para una integral. La respuesta final es a2(irk2/2 + k3/3), resultado que necesitamos en el problema 35.

e012 de

LAA

2ir.

29. Determine el area total de la rosa r = a cos nO, donde n es un entero positivo. 30. Bosqueje la gráfica de Ia estrofoide r = sec 0 - 2 cos 0 y determine el area de su ciclo.

31. Considere los dos cIrculos r = 2a sen 0 y r = 2b cos 0, con a y b positivos.

Determine el area de la region dentro de ambos cIrculos. Muestre que los dos cIrculos se intersecan en ángulos rectos.

32. Suponga que un planeta de masa m gira airededor del Sol (localizado en el polo) con momento angular constante mr2 dO/dt. Deduzca la Segunda Ley de Kepler: La lInea del So! al planeta barre areas iguales en tiempos igua!es.

33. Primer probiema del chivo Un chivo está atado a la orilla de un estanque circular de radio a mediante una cuerda de longitud ka (0 < k 2). Use el método de esta sección para hallar su area de pastado (el area sombreada de la figura 8). Nota: Ya reso!vimos este problema antes (problema 63 de la sección 7.7); usted debe lograr que sus respuestas coincidan.

Figura

9

35. Tercer problema del chivo Un chivo no atado pasta dentro de un terreno comprendido dentro de una cerca circular de radio a; otro chivo pasta atado fuera de la cerca del prob!ema 34. Determine la longitud de !a cuerda silos dos chivos tienen la misma area de pasIC

tado.

Use una computadora para resolver los problemas 36-39. En cada caso, asegtrese de hacerprimero una estimaciOn mental. Observe Ia formula de Ia longitud en elproblema 26. ICASI

Determine las longitudes de las limaçons r = 2 + cos 0 y r = 2 + 4 cos 0 (véase el ejemplo 1 de esta sección y el ejemplo 1 de la sección 12.7).

Determine el area y Ia longitud de la rosa de tres pétalos r = 4 sen 30 (véase el ejemplo 4).

Determine el area y la longitud de la lemniscata r2 = 8 cos 20 (véase el ejemplo 2 de Ia sección 12.7). Trace la curva r = 4 sen(30/2), 0 ne su longitud.

4, y luego determi-

Respuestas al repaso de conceptos: 1. r20 2.

Figura

8

3.f(2 + 2cosO)2d0 4.f(0) =

f[f(o)]2 du

0

12.9 Revision del capItulo Examen de conceptos Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta.

Un vOrtice de !a elipse esté mas cerca de una directriz que de un foco.

El punto sobre una parabola mas cercano a su foco es el vértice.

La grafica de y = ax2 + bx + c es una parabola para todas las opciones de a, b y c.

Las hipérbolas x2/a2 - y2/b2 = 1 y y2/b2 - x2/a2 = 1 tienen las mismas asIntotas.

El vértice de una parabola está a !a mitad entre el foco y la direc-

LacircunferenciaCdelaelipsex2/a2 + y2/b2 = 1,conb < a,satisface 2irb < C < 2ira.

triz.

Cónicas y coordenadas polares

556 CAPITULO 12

(1) sin gráfica

(2) un ünico punto

(3) una ünica recta

(4) dos rectas paralelas

La elipse 6x2 + 4y2 = 24 tiene sus focos sobre el eje x.

(5) dos rectas que se intersecan

(6) un cIrculo

La ecuación x2 - y2 = 0 representa una hipérbola.

(7) una parabola

(8) una elipse

La ecuaciOn (y2 - 4x + 1)2 = 0 representa una parabola.

(9) una hipérbola

(10) ninguna de las anteriores

Mientras menor sea la excentricidad e de una elipse, más circular será la elipse.

Si k

= k es una ecuaciOn de una hipérbola.

0, x2/a2 -

Sik0,x2/a2 + y2/b2

= k es una ecuación de una elipse.

La distancia entre los focos de la gráfica de x2/a2 + y2/b2 = 1 es 2*\/a2 - b2.

(a) x2 - 4y2 =

0

(b) x2 - 4y2

0.01

(c) x2 - 4 =

0

(d) x2 - 4x + 4

La gráfica de x2/9 - y2/8 = 2 no interseca al eje x. La luz que emana de un punto entre un foco y el vértice más cercano de un espejo elIptico se reflejará más allé del otro foco.

(e) x2 + 4y2 = 0

El conjunto de puntos equidistantes del cIrculo x2 + y2 = 1 y la recta x = 3 es una parébola.

(g) x2 + 4y2

La Ley de Kepler sobre las areas barridas nos permite concluir que un planeta, en su órbita elIptica airededor del Sot, aicanza su yelocidad maxima en ci vértice más cercano al Sol. Una elipse que se traza usando una cuerda con 8 unidades de ion-

gitud unida a 2 focos a 2 unidades de distancia tendrá un diámetro unidades. menor de longitud

\/ö

= 0

(f) x2 + 4y2 = x

=x

(h) x2 + 4y2 = (i)

x

1

+ 4y - 1)

(j) 3x2 + 4y2 =

0

x2 + 1

En cada uno de los problemas 2-10, dé el nombre de la cónica que tiene Ia ecuación dada. Determine sus vertices y focos, y bosqueje su gráfica.

La gráfica de x2 + y2 + Cx + Dy + F = 0 es un cIrculo, un pun-

2. y2 - 6x =

to, o ci conjunto vacIo.

La gráfica de 2x2 + y2 + Cx + Dy + F = 0 no puede ser un ünico punto.

La grafica de Ax2 + Bxy + Cy2 + Dyx + Ey + F = 0 es la intersección de un piano con un cono de dos hojas para cuaiquier elecciOn de A, B, C, D, E y F. En un sistema de coordenadas adecuado, la intersecciOn de un piano con un cono de dos hojas tendrá una ecuación de la forma

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F =

4. 25x2 - 36y2 + 900 = 0 6. x2

- 4y2 - 16 = 0

8. 9x2 + 9y2 - 225

r(2 + cos0) =

0.

3. 9x2 + 4y2 - 36 =

0

5. x2 + 9y =

0

0

7. 9x2 + 25y2 - 225 = 0 0

9. r

5

=

2 + 2sen0

3

La grMica de una hipérbola debe pasar por los cuatro cuadrantes.

Si una de las secciones cónicas pasa por los cuatro puntos (1, 0), (-1, 0), (0, 1) y (0,i), debe ser un cIrculo. La grafica de la ecuaciOn polar r = 4 cos(0 - r/3) es un cIrculo.

Cada punto del piano tiene una infinidad de conjuntos de coordenadas polares. Todos los puntos de intersecciOn de las graficas de las ecuaciones

En cada uno de los pro blemas 11-18, determine Ia ecuación cartesiana de Ia cónica con las propiedades dadas.

Vertices (±4, 0) y excentricidad

Excentricidad 1, foco (0, 3) y vértice (0, 0) Excentricidad 1, vértice (0, 0), simétrica con respecto del eje x, y

que pasa por el punto (-1,3)

polares r = f(0) y r = g(0) se pueden encontrar resolviendo estas dos ecuaciones en forma simultánea.

Excentricidad

Si f es una función impar, entonces la grafica de r = f(0) es simétrica con respecto del eje y (Ia recta 0 = r/2).

Parabola con foco (3,2) y vértice (3, 3)

Si f es una función par, entonces la gráfica de r trica con respecto del eje x (Ia recta 0 = 0).

f(0) es simé-

y vertices (0, ±3)

Vertices (±2, 0) y asIntotas x ± 2y = 0

Elipse con centro (1,2), foco (4,2) y diametro mayor 10 Hipérbola con vertices (2,0) y (2, 6) y excentricidad

La gráfica de r = 4 cos 30 es una rosa de tres pétalos cuya area es menor que Ia mitad de la del cIrculo r = 4.

En los problemas 19-22, use el proceso de completar el cuadrado para transformar Ia ecuación dada a una forma canónica. Luego dé el nombre de Ia curva correspondiente y bosqueje su grafica.

Problemas de examen muestra

19. 4x2 + 4y2 - 24x + 36y + 81 =

0

1. De Ia lista numerada, elija la respuesta correcta y anOtela en el espacio en blanco.

20. 4x2 + 9y2 - 24x - 36y + 36 =

0

SECCION 12.9

x2 + 8x + 6y + 28 =

0

RevisiOn del capItulo

44. Relacione cada ecuación polar con su gráfica.

3x2 - lOy2 + 36x - 20y + 68 =

(a) r = 1 - 2sen0

0

Una rotaciOn de ejes con 0 = 450 transforma x2 + 3xy + y2 = 10

en ru2 + sv2 = 10. Determine r y s, dé el nombre de la cónica correspondiente y determine la distancia entre sus focos.

(c) r

1 + 2cos0

(b) r = 1 +

(d) r = 1 +

sen0 2

cos 0 2

24. Determine el ángulo de rotación necesario para eliminar el término de producto cruzado en 7x2 + 8xy + y2 = 9. Luego obtenga la ecuación correspondiente en uv e identifique Ia cOnica que representa. En los problemas 25-36, analice Ia ecuación polar dada y bosqueje su grafica.

26.r=

25. r 00 6cos0

28.r=

27. r = cos20 29. r 00 4 31.

30.

r 00 4 - 3cos0

33 u

=

sen 0

cos 0

5 - Scos0

r

III

Iv

32. r = 2 - 3cos0 34. r

35. r2 = l6sen2O

II

36.

45. Relacione cada ecuación polar con su gréfica.

4sen3O

r=

(a) r (c) r (e) r

6,0

Determine una ecuación cartesiana de la gráfica de

r2 - 6r(cos0 + senO) + 9

4cos2O ScosSO

(b) r (d) r

3cos3O o

3sen2O

4sen4O

0

y luego bosqueje Ia gráfica.

Determine una ecuación cartesiana de la gráfica de r2cos 20 y luego bosqueje la gráfica.

Determine Ia pendiente de Ia tangente a Ia gráfica de r cos 6 en el punto sobre Ia gráfica correspondiente a 0 = ir. Bosqueje las gráficas de r = 5 sen 0 yr sus puntos de intersecciOn.

9

3+3

2 + sen 0 y determine

Determine el area de Ia region acotada por Ia gráfica de r 5 cos 0 (véase el problema 30).

5-

Determine el area de Ia region que está fuera de Ia limaçon r

II

2 + sen 0 y dentro del cIrculo r = 5 sen 0 (véase el problema 40).

El piloto de un auto de carreras corrIa en una pista elIptica x2/400 + y2/lOO 1 y perdió el control en el punto (16, 6); a partir de ese punto, continuó sobre la recta tangente hasta chocar contra un árbol en (14, k). Determine k.

III

Iv

557

DE TECNOLOGIA TECNOLOGíA 12.1 0 DE 121

PROYECT PROYECTO

Rotaciones en Rotaciones en el el plano piano l.I. Preparación Preparación Este proyecto proyecto trata de de las las rotaciones, rotaciones, la sección 12.5. 12.5. Repase descritas en Ia Repase esa y,en en particular, particular, los los ejemplos ejemplos 22yy 3. sección y,

II. tecnologIa 11. Uso Uso de Ia la tecnología Ejercicio funciOn f(x, Ejercicio 11 Considere Ia la funciónf(x, x 2 + 24xy + + 8y2 8 y 2 -- 136. 136.GrafiGrafiy) = x2 que Ia relación f(x, y) = la relación = 0.O. Ejercicio 22 AAcontinuación, continuación, defina defina 0e==ir/12, 7T/12,yydefina definalas lasvariables variablesuuyyvv como como

cos e sen 0e x == uu cos 6 -- vvsen y = usenO u sen e + vcos9 v cos e

Ejercicio 4 Anime las rotaciones descritas arriba, critas arriba, eligiendo eligiendo 6 = 0, ir/12, 71'/12, 2ir/12,.... .,24ir/12. 271'/12, . ,247T/12. Describalo Describa lo que que ocuocurre.

e

Varíe VarIe elelángulo anguloe9yygrafique grafiquef(u f(ucose cos 6-vvsen0, sen e, uusen9 sen e + vcos0) v cos e) = 0. O. SugeSugerencia: rencia: Tendrá Tendrá que que definir 6e y luego hacer una grafica gráfica implIcita implícita sobre sobre algún algün dominio minioaa s u s b y c s v s d. . Ejercicio 3 Varíe nueVarIe el ci ángulo 9e de flue-

u byc v

vo. Para Para cada valor de de 0, e, despliegue despliegue la la vo. expresion para expresión

ff(ucoso (u cos e -- vsenB,usenO v sen e, u sen e + vcos6) v cos e) concéntrese en el término uv. ¿Qué y concéntrese ,Qué valores de e 9 hacen hacen que que el el coeficiente coeficientede deuv iv sea casi igual a cero?

Ejercicio 55 Repita 1-4 paRepita los ejercicios 1-4 rag(x,y) rag(x, y) ==x2 x 2 - 2x+3xy 2x + 3xy + 8y28y2-

26.

111. Refiexión Reflexión III. la función g definida Ejercicio 66 Para Ia en ci el ejercicio 5, la y) = la relación g(x, y) 0 =O describe una una elipse. elipse. Determine Determinelas laslongilongitudes de los ejes mayor y menor y encuentre ambos ambos focos. focos.

PROYECTODE DE TECNOLOGíA TECNOLOGIA 12.2 12.2

PROYECTO

Otro tipo ti po de de rosa rosa l. Preparación Este proyecto analiza un tipo particular de rosa en coordenacoordenaal unir unir puntos puntos con con rectas. rectas. das polares. Estos patrones surgen al (Véase Peter M. M. Maurer, "A Rose Is a Rose", American MatMathematical Monthly. Monthly, volumen volumen94. 94,páginas páginas631-645, 631-645, 1987.) 1987.) hematical Ejercicio Juegue a "unir los puntos" Ejerciclo 1 1 puntos" con los siguientes puntos. (Las parejas ordenadas están en coordenadas tos. (Las parejas ordenadas coordenadas polares, polares, excepto que que los los ángulos ángulos están están en en grados. grados, no no radianes. radianes. Los Los arguargumentos de seno también tarnbién están están en grados.) de Ia la funciOn función seno = 0,1,2,3,4,5 (k,sen2k) k = ocurre a! al contmuar continuar este este proceso proceso hasta hasta(360, (360, Describa lo que ocurre sen(2.360)). sen(2·360». Ejercicio 2 Juegue a "unir los puntos" de nuevo, nuevo, esta vez con puntos" de (19k, sen (2·19k», (2.19k)), k = 0,1,2,4,6,8,10,12.

Ejercicio 77 Use su sistema algebraico algebraico por por computadora para construir rosas para n = 4yd = 1,5,7,11,13,19,23,31,37, construirrosaspara 1,5,7,11,13,19.23,31,37, 4l,6l,133y19l. 41,61,133 Y 191. \

Ejercicio 8 Construya unas cuantas rosas más con n = 5 Y y n = = 6. Explique el efecto de n sobre la la forma forma de de la la rosa. rosa.

111. Reflexión vez haya haya observado observado que cuando d es un melEjercicio 9 Tal vez múl2, 3 o 5, hay pocas líneas al usar un niinútiplo de 2,3 lIneas en la rosa, pero pero a! mero como como 7 o 19, hay muchas lineas. líneas. Cuando dd yy 360 son primos relativos, es decir, decir, cuando cuando dd y 360 no tienen mos relativos, es tienen factores factores comunes exceptuando exceptuandoaa1, 1, se se obtiene obtienecielmáximo máximoruImero númerode delilíneas. Explique neas. Explique por qué ocurre esto. Ejercicio 10 Experimente con unas unas cuantas cuantas rosas rosas más. más. ImpriExperimente con más ma y exhiba la rosa que le parezca más

11. Uso Uso de de la Ia tecnología tecnologIa Una rosa de Maurer consta de rectas que unen los puntos

0,d,2d,3d,.,.,360d (k.sen(n.k)) (k,sen(n'k») = 0,d,2d,3d, ... ,360d k = Una curva es cerrada cerrada si si el punto punto inicia! inicial y ci el punto final coincipunto final den. La La figura figura 11 muestra muestra una una rosa rosa de de Maurer Maurer para para n == 7 yY den. d = 29.

Demliestre que una rosa de Maurer es cerrada. Ejercicio 3 Demuestre algebraico por computadora paEjercicio 4 Use su sistema algebraico 1. Explique Explique Ia ra construir Ia la rosa de la de Maurer Maurer para n = 2 Y y dd = 1. relación relaciOn de de esto con el ejercicio 1. Ejercicio 5 Use su sistema sistema algebraico algebraico por computadora papara construir rosas para n = 2yd 2 y d = 1,2,3,4,5,6,7,11,13,19, 1,2,3,4,5,6,7,11,13,19, 23,31,37,41,61,133 23,31,37.41,61, 133 yY191. 191. Ejercicio 6 Use su sistema sistema algebraico algebraico por por computadora computadora paparosas para n = 33yd Yd = 1,5,7,11,13,19,23,31,37, ra construir construirrosas .41, 61, l33yY191. 191. 41,61,133

558

n=7.d=29 11= 7. d= 29 Figura Figura 11

I

I

H

Geometria en el piano, vectores 13.1 Curvas planas: representaciOn paramétrica 13.2 Vectores en el piano: enfoque geométrico 13.3 Vectores en ei piano: enfoque aigebraico 13.4 Funciones con vaiores'vectoriaies y movimiento curviiIneo 13.5 Curvatura y aceieración 13.6 Revision dei capItuio Proyecto de tecnoiogIa 13.1 Hipocicioides Proyecto de tecnoiogIa 13.2 Medición de ia distancia de un cuadranguiar

13.1

Curvas planas: representaciOn

En la secciOn 6.4 dimos la definiciOn general de una curva plana en relaciOn con fluestra deducciOn de La formula para la longitud de arco. Una curva plana queda determi-

nada mediante una pareja de ecuaciones paramétricas

pa ra métrica

No simple, ni cerrada ()

Simple, no cerrada

x=f(t),

y=g(t),

tenl

confyg continuas en el intervalo I. Por to general,Ies un intervalo cerrado [a,b]. Piense en t, ilamado el parámetro, como una medida del tiempo. Cuando t avanza de a a b, el punto (x, y) describe Ia curva en el piano xy. Cuando I es el intervalo cerrado [a, b], los puntos P (x(a), y(a)) y Q (x(b), y(b)) son los puntos extremos inicial y final. Si La curva tiene puntos extremos que coincidan, entonces decimos que la curva es cerrada. Si valores distintos de t producen puntos distintos en el piano (excepto posiblemente para I = a y t = b), decimos que la curva es una curva simple (figura 1). La pareja de relaciones x f(t), y = g(t),junto con el intervalo I se llama La parametrización de La durva.

No simple, cerrada

EliminaciOn del parámetro Para reconocer una curva dada por ecuaciones paramétricas, serIa deseable eliminar el parámetro. A veces esto se puede ilevar a cabo despejando t en una ecuación y sustituyendo en la otra (ejemplo 1). Con frecuencia usamos una identidad conocida, como en el ejemplo 2. EJEMPLO 1

Elimine el parámetro en

x=t2+2t,

y=t-3, 2t3

Luego, identifique la curva correspondiente y bosqueje su gráfica. Simple y cerrada

Figura 1

559

560 CAP1TULO 13

GeometrIa en el piano, vectores

Solución De la segunda ecuación, t = y + 3. Al sustituir esta expresión para t en la primera ecuación tenemos

x=(y+3)2+2(y+3)=y2+8y+15 0

x + 1 = (y + 4)2

Reconocemos esto como una parabola con vértice en (-1, -4) y que abre a la derecha. Al graficar la ecuación dada, debemos tener cuidado en exhibir ünicamente la parte de la parabola correspondiente a -2 3. La figura 2 muestra una tabla de valores y la gráfica. Las flechas indican la orientación de la curva; es decir, la dirección en la que crece t. t

x

y

2

0

5

1

1

4

0

0

1

3

-3 -2

2

8

1

3

15

0

Figura 2 EJEM PLO 2

Muestre que

x = acost,

y =

bsent,

0

2

representa la elipse que se muestra en la figura 3. So!ución

Despejamos cos t y sen t en las ecuaciones, elevamos a! cuadrado y sumamos.

/2 +7\2 aj

x=a cos t,y=b 0

Elipse

Figura 3

t

cos2t + sen2t = 1

b)

sen

2i-

x2

2

a2

b2

Una rápida verificaciOn de unos cuantos valores de t nos convencerá que obtenemos toda la elipse. En particular, t = 0 y t = 2- dan el mismo punto, a saber, (a, 0). Si a = b, obtenemos el cIrculo x2 + y2 = a2. Es posible que distintas parejas de ecuaciones paramétricas den la misma gráfica. En otras palabras, una curva dada puede tener más de una parametrizaciOn. Muestre que cada una de las siguientes parejas de eduaciones paramétricas tiene la misma gráfica, a saber, el semicIrculo que se muestra en la figura 4. EJEMPLO 3

- t2,y = t,-1

(a) x =

(b) x (c) x

cos t, y =

1-t2

l+t2'Y

Solución

t

1

sent, 2t

1+t2'

En cada caso, descubrimos que x2

+

y2

=

1

Luego, solo es cuestión de verificar unos duantos valores de t para garantizar que los intervalos dados para t producen la misma sección del cIrculo. SemicIrculo

Figura 4

EJEMPLO 4 Muestre que cada una de las siguientes parejas de ecuaciones paramétricas producen una rama de una hipérbola.

Curvas planas: representaciOn paramétrica

SECCION 13.1

x = asect,y = btant, x

561

0. Solución

(a) En el primer caso,

(y\2

\a)

)=

sec2t - tan2t = 1

(b) En el segundo caso,

(x\2

aj

i'y\2

\bJ - cosh2 t - senh2 t (e' + e1 \ 2

- e' \ 2 =1

2 / j Al verificar unos cuantos valores de t se muestra que, en ambos casos, obtenemos la rama de la hipérbola x21a2 - y2/b2 = 1 que se muestra en la figura 5. 2

En el ejemplo 4, observe que en La parte (a) tenemos una curva paramétrica definida en el intervalo abierto (irI2, rI2), mientras que en la parte (b) tenemos una curva definida en ci intervalo infinito (oo,00). Como la curva no contiene los puntos extremos, no es cerrada. Una cicloide es la curva descrita por un punto P en La orilla de una rueda, conforme ésta rueda a lo largo de una lInea recta sin resbalar (figura 6). La ecuación cartesiana de una cicloide es algo complicada, pero es fácil encontrar ecuaciones paramétricas sencillas, como se muestra en el siguiente ejemplo.

La cicloide

Cicloide

Figura 6 EJEMPLO 5

Determine ecuaciones paramétricas para la cicloide.

Solución Dejemos que La rueda gire a lo Largo del eje x, con P inicialmente en el ongen. Denote el centro de la rueda como C, y sea a su radio. Elija como parámetro t la medida en radianes del ángulo en el sentido de Las manecillas del reloj con eL que el segmento de recta CP ha girado desde su posiciOn vertical cuando P estaba en el origen. Todo esto se muestra en la figura 6.

Como ON = arco PN = at,

x = OM = ON - MN = at - a sent = a(t - sent) y

y = MP =NR = NC + CR = a - acost = a(1 - cost)

AsI, las ecuaciones paramétricas para la cicloide son

x=a(tsent),

y=a(1cost)

.

La cicloide tiene varias aplicaciones interesantes, en particular en mecánica. Es La "curva de descenso más rápido". Si se permite que una partIcula, sobre la cual solo

562

CAPITULO 13

Geometria en el piano, vectores

actüa la gravedad, se deslice desde un punto A hasta un punto B, debajo de A pero que no esté sobre Ia misma recta vertical, entonces la partIcula completa su viaje en el menor tiempo cuando Ia curva es una cicloide invertida (figura 7). Por supuesto, la distancia más corta corresponde a! segmento de lInea recta AB, pero el menor tiempo corresponde a una cicloide; esto se debe a que la aceleración depende de lo inclinado del descenso y a lo largo de una cicloide, la partIcula desarrolla su velocidad más rápido que en el caso de una LInea recta. Otra propiedad interesante es ésta: Si L es el punto más bajo de un arco de una cicloide invertida, el tiempo que tarda una partIcula P en deslizarse por la cicloide hasta L es el mismo, sin importar el punto P en el arco invertido desde donde parta la partIcula; asI, si varias partIculas P1, P2 y P3 se encuentran en distintas posiciones sobre la cicloide (figura 8) y comienzan a deslizarse en el mismo instante, todas llegarán al punto más bajo L en el mismo tiempo. En 1673, el astrónomo holandés Christian Huygens (1629-1695) publicO una descripciOn de un reloj de péndulo ideal. Debido a que el péndulo oscila entre "mejillas" cicloidales, la trayectoria del péndulo es una cicloide (figura 9). Esto significa que el

Figura 7

Figura 8

Cicloide

Cicloide

periodo de oscilación es independiente de la amplitud, de modo que el periodo no cambia al desenrollarse la cuerda del reloj. Un hecho sorprendente es que los tres resultados recién mencionados datan del siglo xvii. Su demostraciOn no es una tarea trivial, como podrá descubrir al revisar cualquier libro sobre la historia del cálculo.

Cálculo para curvas definidas en forma paramétrica Es posible determinar La pendiente de La recta tangente a una curva dada en forma paramétrica, sin eliminar primero el parámetro? La respuesta es afirmativa, de acuerdo con el siguiente teorema: Cicloide

Figura 9

Teorema A

Oi i a 0

r(t) = costi - 2tantj;t1 = -

r(t) = ln(t - 1)1 + \/20 - tj

y

h(t) = e_3t,

halle

D[h(t)r(t) 1. 18. Si r(t) = sen2ti + coshtj y h(t) = ln(3t - 2), halle D,[h(t)r(t)].

f[(1 + t)312i + (1 - t)3/2j]dt

r(t) = tan ti + sen tj; t1 =

+ tj

(a) r(t) = (3t + 4)3 i + e'2j

22.

cion, v(t) y a(t), y la rapidez en el instante dado t = t1. Bosqueje una porción de la grafica de r(t) que contiene Ia posición P de Ia partIcula cuando t = t1 y trace v(t1) y a(t1) con sus puntos iniciales en P

(eh/12 t) 8. iIm -30

9. Cuando no se da el dominio en la definición de una función con valores vectoriales, se entiende que este dominio es el conjunto de todos los escalares (reales) para los que la regia que define a Ia función tiene sentido y produce vectores reales (es decir, vectores con componentes reales). Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales: 2

f(ehi + e'j)dt

En cada uno de los pro blemas 23-30, r(t) da Ia posición de una partIcuIa móvil en el instante t. Determine los vectores de velocidad y acelera-

7. urn (ln(t3), t2 in t)

r(t)

21.

1

Jj

7t3

2

f(u) = cosui + e3uj y g(t) = 3t2 - 4.

3)21 - 7t3j]

r(t) = et/2I + etj;t1

2

En los problemas 31-34, use Ia informacion dada para determinar el vector velocidad v(t) y la posición del vector r(t) (véase el ejemplo 5).

a(t) = -32j,v(0) = 0,r(0) = 0 a(t) = tj,v(0) = I + 2j,r(0) = 0 a(t) = I + ej,v(0) = 21 + j,r(0) = 1 + j a(t) = -costi + sentj,v(0) = i,r(0) = I + 3j Un punto se mueve en el cIrculo x2 + y2 = 25 con una rapidez angular constante de 6 radianes/segundo, partiendo de (5,0). Determine expresiones para r(t), v(t), v(t) y a(t) (véase el ejemplo 3). Un punto se mueve de modo que su rapidez es constante; es decir, v(t) v(t) = c (una constante). Muestre que sus vectores de yelocidad y aceleraciOn siempre son perpendiculares entre si.

582

GeometrIa en el piano, vectores

CAPiTULO 13

En el ejemplo 5, supóngase que 0 = 300 y v0 = 96 pies/segundo. ,En qué momento choca el proyectii contra el suelo, con qué rapidez, y a qué distancia del origen?

gundo por segundo (la aceieración de la gravedad en la superficie de la Tierra). Use estos resuitados para mostrar lo siguiente: v

Un punto se mueve en el piano con vector aceleración constante a = aj. Muestre que su trayectoria es una parabola o una lInea recta.

Un punto se mueve sobre la hipérbola x2 tor de posición

= 1 con vec-

cr(t), donde c es una

la rapidez de un satélite que orbita la Tierra a 200 millas sobre su superficie

Ia distancia del centro de la Tierra a un satélite de comunicaciones en órbita sIncrona (gira de modo que permanece directamente sobre un punto de Ia Tierra)

donde w es una constante. Muestre que a(t) = cr(t), donde c es una constante negativa (véase el ejemplo 4).

Si una pelota de béisbol es bateada con un ángulo de 450 con respecto de Ia horizontal y es atrapada pot un jardinero a 300 pies dei "home", ,cuál era la velocidad inicial de ia pelota? (Véase el ejemplo5.) Una pequefla pelota cae desde una mesa horizontal a 4 pies

de aitura, con una rapidez de 20 pies/segundo. Con qué ánguio con qué rapidez golpeara el piso?

y

Una lata abierta en un extremo es atada a la orilla de una rueda giratoria vertical de 60 centImetros de radio, con su extremo abierto dirigido hacia el centro de ia rueda. En la iata hay una canica. Qué rapidez angular debe mantenerse para que la canica no salga? (Véase el problema 44 para encontrar el valor de g.) Un cuerpo de masa m gira en una órbita circular de radio r con rapidez constante v en tomb de un cuerpo de masa M. Del ejemplo 3,

r

mientras que por la iey del cuadrado inverso de Newton, F = GmM/r2, o bien

13.5

Curvatura

47. Trace las trayectorias de la cabeza de r(t) = (4 cos t)i + (3 sen t)j, r'(t) y r"(t), 0 t 0, de modo que s crece cuando t crece. Por el Teorema de La funciOn inversa (Teorema 7.2B), s = h(t) tiene una inversa t = h(s) y 1 1 dt ds/dt ds v(t) Sea T(t) el vector tangente unitario en P(t), definido por

T(t)= x

Figura 2 ÀY

v(t) r'(t) = r'(t) v(t)

Cuando P(t) se mueve a lo largo de la curva, el vector unitario T(t) cambia su dirección (figura 3). La razón de cambio de T con respecto de la longitud de arco s, es decir, dT/ds, es el vector de curvatura en P. Por ültimo, definimos La curvatura K (kappa) en P como Ia magnitud de dT/ds; es decir, K = dT/ds. Ahora, por La regLa de la cadena

dT ds

dT di' di' ds

T'(t) v(t)

AsI,

T'(t)

T'(t)

dT ds x

El vector tangente unitario T (t)

Figura 3

r' (t)

Algunos ejemplos importantes

Para convencer a! lector de que la definición

de curvatura es sensible, La ilustraremos con unos ejemplos. EJEMPLO 1

Muestre que la curvatura de una recta

es

idénticamente cero.

So!ución Esto es consecuencia inmediata del hecho de que T es un vector constante. Pero para ilustrar los métodos vectoriales, daremos una demostración algebraica. . Entonces, una yb = Sean P y Q dos puntos fijos sobre la recta, y sean a = forma vectorial para la eduación de la recta es (figura 4) r r(t) = a + tb AsI,

v(t) = r'(t) = b

T(t) =

b

T'(t) 0 = b v(t) Fc0 Figura 4

=0

EJEMPLO 2 Muestre que en cada punto de un cIrculo de radio a, la durvatura es K = 1/a (figura 5).

Solución Podemos suponer que el cIrculo tiene centro en ci origen. Entonces, ecuación vectorial se puede escribir como

su

r(t) = acosti + asentj AsI,

v(t) = r'(t) = asenti + acostj v(t) = [a2sen2t + a2cos2t]l/2 = a

T(t) = K

Figura 5

Como tura.

K

v(t) v(t) = = a v(t)

senti

+ costj

T'(t) costi - sen tj a v(t) =

1

a

es el recIproco del radio, mientras mayor sea el cIrculo, menor será su curva-

I

584 CAPITULO 13 CIrculo de curvatura

GeometrIa en el piano, vectores

El ejemplo del cIrculo conduce a varias ideas nuevas. Sea P un punto sobre una curva, tal que K 0. Considere el cIrculo tangente a la curva en P y que tiene la misma curvatura en ci punto. Su centro estará del lado cóncavo de la curva. Este cIrculo se llama el cIrculo de curvatura (o cIrculo osculador), su radio R = i/K es el radio de curvatura y su centro es ci centro de curvatura. Estas nociones se ilustran en la figura 6. EJEMPLO 3

Determine Ia curvatura y radio de curvatura de Ia hipocicloide r = 8 cos3 ti + 8 sen3 tj

Curva

en Los puntos P y Q, donde t = ir/12 y t = 3ir/4, respectivamente. Luego, bosqueje la

Figura 6

gráfica de esta hipocicloide mostrando los cIrculos de curvatura en P y en Q. So!ución

Para 0 < t < ii-, t

ir/2,

v(t) = r'(t) = 24 cos2 t sen ti + 24 sen2 t cos tj

v(t) = 24sentcost t cos2 t t cos t T(t)= sen i+ sen2 sent cos t sent cos t J

cos ti + sen tj

0 0

= 12

sen (in t)i + ln tj +

t2

cos (in t)k, t > 1

56. Muestre que la curva

10

se anulan.

cuandot = 0)? 64. La molécula de ADN en humanos es una dob!e hélice, cada una con cerca de 2.9 x 108 vueitas completas. Cada hélice tiene un radio aproximado de 10 angstroms y sube cerca de 34 angstroms en caIC

da vuelta completa (un angstrom mide cerca de 108 centimetros). j,Cuél es la longitud total de tal hélice (véase el ejemplo 1)? 65. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales vectoriales (c y c son constantes) sujetas a r = r0 en t = 0.

(a)=0

(b)=c

= c sujeto ademas a r' = v0 en t = 0

dr

senti + costj + tk

=

=

T

63. Una mosca camina por una hélice de alambre de modo que su vector de posición es r(t) = 6 cos rti + 6 sen lrtj + 2tk, t 0. ,En qué punto tocará la mosca a la esfera x2 + y2 + z2 = 100? ,Qué distancia habrá recorrido hasta llegar ahi (suponiendo que comenzó IC

55. Describa en términos generales los siguientes movimientos de tipo "helicoidal"

r(t) r(t) r(t) r(t) r(t) r(t)

es perpendicu!ar a T.

Use el resultado obtenido en los problemas 58y 59, muestre

Determine valores para R, R, y t de modo que en el instante t 54. Suponiendo que las órbitas de la Tierra en torno del So! y la Luna en torno de la Tierra están en el mismo piano y son circulares, podemos representar el movimiento de la Luna por

ds

si x0 si

x>0

tiene primeras derivadas continuas y curvatura en todos los puntos. 57. Determine una curva dada por un polinomio P5(x) que proporcione una transición suave entre dos rectas horizontales. Es decir, supongauna función de la forma P5(x) = a0 + a1 x + a2x2 + a3x3

= cr dt 66. Una abeja volaba a lo largo de una trayectoria helicoidal, de modo que su vector de posición en el instante t era r(t) = costi + sentj + l6tk.Ent = 12,tuvounataquecardiacoy murió instantaneamente. Dónde aterrizO (es decir, golpeo el plano xy)? Suponga que la distancia se mide en pies, el tiempo en segundos y g = 32 pies/segundo por segundo. Sugerencia: Mida el tiempo desde el instante del ataque cardiaco y use el resultado del probiema 65(c).

67. ,Dónde tocara la abeja del ejemplo 3 al piano x + y = 30? 68. Demuestre que para cualesquiera funciones con valores vec-

toriales y diferenciables F(t) y G(t)

IEXPL

+ a4x4 + a5x5, que proporcione una transición suave entre y = 0 para x de modo que la funciOn, su derivay y = 1 para x da, y su curvatura son todas continuas para todos !os va!ores de x. 0

y=

P5(x) 1

si xO

si 0 0

En los problemas 17-22, bosqueje Ia curva de nivel z = k para el valor indicado de k.

1020

1015

z = (x2 + y2),k = 0,2,4,6,8

,k

z=

2, 1,0, 1,2

y2

z=

,k y

4, 1,0, 1,4

z = x2 + y, k = 4, 1, 0, 1, 4

(x - 2)2 + (y + 3)2

barométrica en milibarios. Las curvas de nivel para la presión barométrica se llaman isobaras.

8. f(x,y) = 6 x

9.f(x,y)=6x-2y

)

25. La figura 20 muestra isotermas para Estados Unidos. (a) jCuál de las ciudades San Francisco, Denver o Nueva York tenia aproximadamente la misma temperatura que St. Louis? Si usted estuviera en Kansas City y quisiera viajar hacia un clima frIo lo más rápido posible, ,en qué dirección viajarIa? ,Qué pasaria si quisiera viajar hacia un clima más templado? Si saliera de Kansas City, i,en qué direcciones podria partir para estar aproximadamente a la misma temperatura?

En los problemas 7-16, bosqueje Ia grdfica de f.

f(x,y) = 6

x2 + y2

Figura 22

La derivada en el espacio de dimension n

640 CAPITULO 15

En los problemas 27-32, describa geométricamente el dominio de Cada twa de las funciones indicadas de tres variables.

27. f(x,y,z) = Vx2 + y2 + z2 16 28. f(x, y, z) = + y2 - z2 - 9 29. f(x,y,z) = V144 - 16x2 - 9y2 - 144z2 30.

f(x, y,

(144 - 16x2 z)

16y2 + 9z2)3/2

xyz ln(x2 + y2 + z2)

31. f(x, y, z)

32. f(x,y,z)

-

=

zln(xy)

A

Una superficie de nivel para una funcion fde tres variables es Ia gráfica del conjunto de puntos en e! espacio tridimensional cuyas coordenadas satisfacen una ecuación f(x, y, z) = k, donde k es una constante. Describa geométricamente las superficies de nivel de las funciones definidas en Los problemas 33-38. 33. 34.

f(x,y,z) = x2 + y2 + z2;k > 0 f(x,y,z) = 100x2 + l6y2 + 25z2;k > 0

3000 pies

Figura 23

42. Identifique la gráfica de f(x, y) = x2 - x + 3y2 + l2y - 13, indique dOnde alcanza su valor mInimo, y determine ese valor mInimo.

35. f(x, y, z) 16x2 + l6y2 - 9z2; k E 36. f(x,y,z) = 9x2 - 4y2 - z2;kED 37. f(x,y,z) = 4x2 - 9y2;kEft

CAS Para cada una de Las funciones de los problemas 43-46, trace La grafica y La grafica de contorno correspondiente.

38. f(x, y, z) e2 39.

f(w,x,y,z) =

2

1

Vw2 +

g(x1,x2.....x) h(xi,x2.....x,,)

=

=

x2 + y2 + z2

exp(-4 -

- - x)

\/1 - (x + x +

2

+ x)

2

43.

f(x,y)

= senV2x2 + y2;

44.

f(x,y)

= sen(x2 + y2)/(x2 +

Determine el dominio de cada función. x

2,-2 <

x

y2),f(0,0)

2

y

= 1;

2

y

45. f(x, y) = (2x - y2)exp(x2 - y2);_2 y

2,-2

x

2,

2

Bosqueje (lo mejor que pueda) la gráfica de la silla de montar z = x(x2 - 3y2). Comience fijándose dónde z = 0.

2 y f(x, y) = (senxseny)/(1 + x2 + y2); 2

El mapa de contorno de la figura 23 muestra las curvas de nivel para una montana de 3000 pies de altura. i,Qué tiene de particular el camino hasta la cima indicado por AC? LQué tiene de particular BC? Haga buenas estimaciones de las longitudes totales de los cami-

Respuestas al repaso de conceptos: 1. funciOn real de dos variables reales 2. curva de nivel; mapa de contorno 3. cIrculos concéntricos 4. rectas paralelas

nosACyBC.

15.2

Derivadas parciales

46.

x

2,

2

Suponga que f es una función de dos variables x y y. Si y se mantiene constante, digamos, y = Yo, entonces f(x, Yo) es una función sOlo de la variable x. Su derivada en x = x0

es la derivada parcial def con respecto de x en (x0, Yo) y se denota f(xo, yo). AsI,

f(xo,yo) =

f(xo + lIm

x,y0) - f(x0,yo)

zx

De manera análoga, la derivada parcial de f con respecto de y en (x0, Yo) se denota f(x0, Yo) y está dada por lIm f(xo, Yo) = Ly-*O

f(xo,yo +

y) -

Yo)

En vez de calcular f(x0, Yo) y f5(x0, Yo) directamente a partir de las definiciones en

los recuadros, por lo general hallamos f(x, y) y f(x, y) usando las reglas usuales para las derivadas; luego, sustituimos x = x0 y y = Yo

Derivadas parciales

SECCION 15.2

641

Determine f(1, 2) y f(1, 2) Si f(x, y) = x2y + 3y3.

EJEMPLO 1

Solución Para calcular f(x, y), consideramos y como conStante y derivamos con respecto de x para obtener

f(x, y) = 2xy + 0 AsI,

f(1,2) =212=4 Análogamente, consideramos x como constante y derivamos con respecto de y para obtener f(x, y) x2 + 9y2 y entonces

f(1,2)=12+9.22=37

Si z = f(x, y), usamos las SiguienteS notaciones alternativas:

f(x,y) = f(xo,yo) =

af(x, y) az = ax ax

f(x,y)

az

=

f(x0,y0)

ax (0, Yo)

af(x, y)

az ay az ay

ay

(x0, Yo)

El sImbolo es particular de las matemáticas y se llama el signo de derivada parcial. Los

r

/

sImbolos

Dy

aax

y

aay

representan operadores lineales, parecidos a los operadores lineales

que encontramos en el capItulo 3.

y

EJEMPLO 2

Si

z = x2 sen(xy2), determine az/ax y az/ay.

Solución

Q

az ax

J(x0, Yo) = pendiente de I

Figura 1

=x

2a ax

[sen(xy2)] + sen(xy2)

a

(x)2

ax"

= x2cos(xy2) : (xy2) + sen(xy2) 2x x2cos(xy2) y2 + 2xsen(xy2) x2 y2 cos(xy2) + 2x sen(xy2) az = x2cos(xy2) ay

S.

/

v

f(x0, Yo) = pendiente de I

Figura 2

Posición de la cuerda en el instante 1/ -

'I

)

2xy

2x3ycos(xy2)

Interpretaciones geométrica y fIsica

Considere Ia superficie cuya ecuaciOn es z = f(x, y). El piano y = Yo corta a esta superficie en la curva plana QPR (figura 1) y ei valor de f(xo, y) es la pendiente de la recta tangente a esta curva en P(x0, Yo, f (x0, Yo)) De manera análoga, el piano x x0 corta a ia superficie en la curva piana LPM (figura 2) y f(x0, Yo) es la pendiente de ia recta tangente a esta curva en P. Las derivadas parciales también se pueden interpretar como razones de cambio (instantáneas). Suponga que una cuerda de violin se fija en los puntos A y B y vibra en el plano xz. La figura 3 muestra la posición de la cuerda en un instante tIpico y. Si

z = f(x, t) denota Ia altura de la cuerda en el punto P con abscisa x en el instante t, entonces az/ax es la pendiente de la cuerda en P y az/at es Ia razón de cambio de la altura de P con respecto del tiempo y a lo largo de La recta vertical indicada. En otras palabras, az/at es La veiocidad vertical en P.

A

Figura 3

x

B

- 2x2 - y ci plano y = 1 se corLa superficie z = f(x, y) = tan en una curva, como en ia figura 1. Determine ecuaciones paramétricas para la recEJEMPLO 3

ta tangente en (V', 1,2).

642

CAPITULO 15

La derivada en el espacio de dimension n

Solución

f(x, y) =

\/.

de modo que f(V, 1)

- 2x2 - y2)'12(-4x) Este nOmero es la pendiente de la recta tangente a

La curva en (\/, 1,2); es decir, \//1es eL cociente entre la elevaciOn ye! desplazamiento horizontal a lo largo de la recta tangente. Esto implica que esta recta tiene nOmeros directores (1, 0, y, coino pasa por (\/, 1, 2),

_\/)

yi, z=2Vt

x=\/+t,

son las ecuaciones paramétricas pedidas. EJEMPLO 4 El voLumen de cierto gas está reLacionado con su temperatura T y su presión P mediante la icy de los gases PV = lOT, donde V se mide en pulgadas cObicas, P en libras/puLgada cuadrada y T en grados Kelvin. Si V se mantiene constante en 50, ,cuál es la razón de cambio de la presión con la temperatura cuando T = 200?

Solución

Como P = 1OT/V,

aP

10

TV

AsI,

aP aT

10

1

- 50 - 5

T=200,V=50

AsI, La presión aumenta a razón de libra/pulgada cuadrada por cada grado Kelvin.

Derivadas parciales de orden superior Como una derivada parcial de una función de x y y es, en general, otra función de estas mismas dos variables, se puede derivar parcialmente con respecto de x o y, con lo que se obtienen las derivadas parelates segundas de f, f,

a (af

a2f

ax \ax

ax2

(f) EJEMPLO 5

a (af

a2f

= ay kay)

a (af

a2f

-

ay \ax) = ayax

X

ay2

a /af

a2f

ax \ay)

axay

Determine las cuatro derivadas parciales segundas de

f(x,y) = xe - sen(x/y) + x3y2 Solución 1 e - cosi -/x+ 3x2y2 y \yj

f(x,y)

x (x f,(x,y)=xe+ 2cost \y/+2x3y y

f(x,

1

)

=

y

2

7x\ sen - + 6xy2

\yI

f(x,y) = xe' +x2sen(x \3)I y x

7x

y

\y,/

f(x,y) = e - sen f(x,y) =

I

+

x - i-sen -+ y

\yi

2x y

cos/x- + 2x3

'yJ

cosI(x-

1

y

1

y

'yj

+ 6x2y

(x 2cosl - + 6x2y

'yj

SECCION 15.2

Derivadas parciales 643

Observe que en el ejemplo 5, f = f, igualdad que ocurre por lo general para las funciones de dos variables que aparecen en un primer curso. En la sección 15.3 (Teorema B) damos un criterio para que se dé esta igualdad. Las derivadas parciales de tercer y mayor orden se definen de manera análoga, y su notación es similar. AsI, si f es una función de dos variables x y y, la tercera denvada parcial de f obtenida al derivar f parcialmente, primero con respecto de x y luego dos veces con respecto de y, se indica como a

H (af1_ a (a2f

a3f

ax)] - 3y ayaxj - ay2ax

0y Lay

-

En total, hay ocho derivadas parciales de tercer orden.

Más de dos variables Sea f una función de tres variables, x, y y z. La derivada parcial del con respecto de x en (x, y, z) se denota como f(x, y, z) o af(x, y, z)/ax y se define como

f(x,y,z) =

lIm

f(x + x, y, z) - f(x, y, z) Lx

AsI, f(x, y, z) se puede obtener considerando a y y z como constantes y derivando con respecto de x. Las derivadas parciales con respecto de y y z se definen de manera analoga. Las derivadas parciales de funciones de cuatro o más variables se definen de manera simique implican Ia delar (véase el problema 49). Las derivadas parciales como f y rivaciOn con respecto de más de una variable se llaman derivadas parciales cruzadas. EJEMPLO 6

Si f(x, y, z) = xy + 2yz + 3zx, determine

f y f.

pensamos y y z como constantes y derivamos con respec-

So!ución Para obtener to de la variable x. AsI,

f(x, y, z) = y + 3z Para determinar f, consideramos a x y z como constantes y derivamos con respecto de y:

f(x, y, z) = x + 2z Dc manera similar,

f(x,y,z) = 2y + 3x EJEMPLO 7

parciales

Solución

a2T

Si

T(w, x, y, z) = z ew2+x2 a2T

awax'axaw

y

2

determine todas las primeras derivadas

a2T az2

Las duatro primeras parciales son aT

a

aw

aw

ar

a

ax

ax

a

a

ay

ay

aT

a

az

az

(z

ew2+x2+Y2)

(z ew2+x2+Y2)

(z

ew2+x2+Y2)

(z ew2+x2+Y2)

= 2wz ew2+x2+y2 = 2xz

ew2+x22

= 2yz ew2+x2+y2

ew2+x2+y2

644

La derivada en el espacio de dimension n

CAPITULO 15

Las otras derivadas parciales son 82 T

82

OwOx

OwOx

82 T

82

OxOw

OxOw

8z2 - 8z2

(2xz ew2+x2+Y2)

4wxz ew+x+y

(2wz ew2+x2+Y2)

= 4wxz ew+x+y

Ow 8

(z ew2+xZ+Y2)

Ox

82

82T

8

(z ew+x)

8

(z ew2+x2+Y2)

.

(ew2+x2+Y2)

Repaso de conceptos Como ifmite,f(x0, Yo) se define como la

3. Otra notaciOn paraf(x, y) es

y se llama

en (x0, Yo)

Si f(x, y) = x3 + xy, entonces f(1, 2) =

4. Sif(x, y) = g(x) + h(y), entoncesf(x, y) =

y

f(1,2) =

Conj unto de problemas 15.2 En los problemas 1-16, determine todas las primeras derivadas parciales de cada funcion. 1.

f(x, y) = (2x

-

3. f(x,y) =

-

2. f(x, y) = (4x

6. f(x,y) = (3x2 + y2l/3 8. f(u, v) = ChlV 10. f(s, t) = ln(s2 - t2)

tan(4x - 7y)

12.F(w, z) = w sen1 \Z) 13. f(x,y) = yCOS(x2 + y2)

14. f(s, t)

15. F(x,y) = 2senxcosy

16. f(r,O) = 3r3cos2O

e'22

En los problemas 17-20, verifique que

02f

32f

Oy Ox - Ox Oy

17. f(x, y) = 2x2y3 - x3y5

18. f(x, y) = (x3 + y2)

19. f(x,y) = 3e2xcosy

20. f(x,y) = tanxy

Si F(x, y) =

to(2,i,). Caicule la pendiente de Ia tangente a la curva de intersección

4. f(x,y) = evcosy

xy

5. f(x,y) = esenx 7. f(x,y) = \/x2 9. g(x,y) e11. f(x,y)

y2)3/2

Calcule Ia pendiente de ia tangente a ia curva de intersección

de ia superficie 2z = \/9x2 + 9y2 - 36y ei piano y = 1 en ei pun-

2x-y xy

del cilindro 4z = 5'\/16 - x2 y el piano y = 3 en ei punto

(2,3, 5/2). El volumen V de un ciiindro circular recto está dado por V = irr2h, donde r es el radio y h es ia altura. Si h se mantiene fijo en h = 10 pulgadas, determine Ia razón de cambio de V con respecto de r cuando r = 6 puigadas. La temperatura en grados Celsius en una placa metálica en ei piano xy está dada por T(x, y) = 4 + 2x2 + y3. i,Cuál es ia razOn de cambio de Ia temperatura con respecto de Ia distancia (medida en pies) si comenzamos a movernos desde (3, 2) en la dirección dei eje y positivo? De acuerdo con la ley del gas ideai, la presión, la temperatura y el voiumen de un gas se reiacionan mediante PV = kT, donde k es una constante. Determine la razón de cambio de la presión (libras/pulgada cuadrada) con respecto de la temperatura cuando la temperatura es de 300°K si ei voiumen se mantiene fijo en 100 puigadas cübicas. Muestre que, para Ia ley del gas del problema 31, V

OV

, determine F(3, -2) y F(3, -2).

Si f(x, y)

f(\/, -2).

tan' (y2/x), determine

+T

OP

aT

=0

v

OPOVOT OV aT

Una funciOn de dos variables que satisface Ia ecuación de Laplace,

Si F(x, y) = in (x2 + xy + y2), determine F(-1, 4) y

F(-1, 4).

OP

f(\/, -2) y

Sif(x, y) = eYcoshx,determinef(-i, 1) yf(-1, 1).

82f Ox2

02f 8y2

=

es armónica. Muestre que las funciones definidas en los problemas 33 y 34 son funciones armOnicas.

f(x, y) = x3y - xy3 f(x,y) = ln(4x2 + 4y2)

Caicule la pendiente de la tangente a la curva de intersecciOn de la superficie 36z = 4x2 + 9y2 y el piano x = 3 en el punto (3, 2, 2).

Si F(x, y) = 3x4y5 - 2x2 y3, determine 03F(x, y)/8y3.

Sif(x, y) = cos(2x2 - y2)determinea3f(x y)/Oy Ox2.

Calcule Ia pendiente de Ia tangente a la curva de intersecciOn

de la superficie 3z = \/36 - 9x2 - 4y2 y el piano x = 1 en ei punto (1, -2, /3).

+

Exprese io siguiente con la notación 0.

(a)

f

(b) f

(c)

SECCION 1

5.3

LImites y continuidad

645

38. Exprese lo siguiente con notación de subIndices. a5f a3f a4f (c) (b) (a) 2 3 2 2 2

axay

axay

axay

39. Si f(x, y, z) = 3x2y - xyz + y2z2, determine lo siguiente.

(a) f(x,y,z)

(b) f(0,1,2)

(x + y2 + z)4, determine to siguiente.

40. Si f(x, y, z)

(a) f(x, y, z) 41.

(c) f(x,y,z)

(b)

f(° 1,1)

(c) f(x, y, z)

Sif(x,y,z) = e_xyz - in(xy - z2),determinefx(x,y,z). Figura 4

42. Si f(x, y, z) = (xy/z)12, determine f(-2, 1, 8).

43. Una abeja volaba hacia arriba a lo largo de la curva dada x4 + xy3 + 12 con el piano x 1. En ei como Ia intersección de z punto (1, 2, 5), salió por la recta tangente. tEn dónde tocó la abeja a! piano xz? (Véase el ejemplo 3.)

44. Sea A(x, y) el ára de un rectangulo no degenerado de dimensiones x y y, de modo que ei rectánguio esté dentro de un cIrcuto de radio 10. Determine el dominio y ei rango de esta funciOn.

45. El intervaio [0, 1] debe separarse en tres partes, haciendo cortes en x y y, Sea A(x, y) el area de cualquier triángulo no degenerado que pueda formarse con estas tres partes. Determine el dominio y el rango de esta función. 46. La ecuación de onda c2 a2 u/ax2 = a2u/at2 y la ecuación del

calor c a2u/ax2 = au/at son dos de las ecuaciones más importantes en fIsica (c es una constante). Estas se liaman ecuaciones diferenciales parciales. Muestre to siguiente:

e' senx y u

para calcular y graficar las derivadas parciaies. Trace las gráficas de las siguientes:

(b) Dsen(x + y2) (d) D(Dsen(x +

(a) sen(x + y2)

(c) Dsen(x +

y2)

t_h/2e_x2/(4c1) satisfacen la ecuaciOn del calor.

47. Para el mapa de contorno de z

(d)

(c) G(w, x, y, z) (e)

az

A(x, y, z, t)

a0b1b2.....b,,) Determine cada derivada parcial.

(a)

a

aw

(senwsenxcosycosz) (b)

a

ax

[xln(wxyz)] I cos x

(c) A1(x,y,z,t),dondeA(x,y,Z,t) = 1 + xyzt

f(x, y) que aparece en la Respuestas al repaso de conceptos:

figura 4, estime cada valor.

lirn[f(xo +

x, Yo) - f(xo, yo) ]/ x; derivada parcial de

(a) f(1, 1)

(b) f(-4, 2)

1.

(c) f(-5, 2)

(d) f(° 2)

con respecto de x 2. 5; 1 3. a2f/ay ax 4. 0

15.3

LImites y continuidad y

jf (IN b

0

Figura 1

y2))

Dé definiciones en términos de iImites de las siguientes derivadas parciaies. (b) f(x, y, z) (a) f(x, y, z)

ev cosh Ct satisfacen la ecuación de onda,

u = cos x cos ci y u u

Se puede utilizar un sistema de algebra por computadora

CAS

f

Aunque la derivada parciai es un concepto para funciones de varias variables, Ia teorIa necesaria hasta ahora solo era de funciones de una variable (pues todas las variables se mantenlan fijas, excepto una). En particular, la noción de lImite en la sección 15.2 era ia ya conocida y estudiada en ia secciOn 2.5. Para dar un paso adelante, necesitaremos una noción más general de iImite. Nuestro objetivo es dar sentido al sIrnbolo

f(x,y) iIm (x,y)*(a,b)

=L

que tiene ei significado intuitivo usual: los valores de f(x, y) se acercan cada vez más al nOmero L cuando (x, y) tiende a (a, b). El problema es que (x, y) puede tender a (a, b) en una infinidad de formas distintas (figura 1). Queremos una definición que dé la misma L, sin importar el carnino que (x, y) siga al tender a (a, b). Por fortuna, ia definición formal dada primero para funciones reales de una variable (sección 2.5) y luego para funciones vectoriales de una variable (secciOn 13.4) sigue siendo adecuada, siempre que Ia interpretemos en forma correcta (véase Ia figura 2).

646 CAPiTULO 15

La derivada en el espacio de dimension n

Definición Decir que

f(x, y)

L significa que para cada > 0 (sin importar qué tan pequefio sea) existe un 6> 0 correspondiente de modo que f(x, y) - L < , siem(x y)(a b)

pre que 0 < (x, y) - (a, b) < 6.

Solo necesitamos una breve explicación. Para interpretar I (x, y) - (a, b) I, piense en (x, y) y (a, b) como vectores. Entonces

(x,y) - (a,b) = V(x - a)2 + (y - b)2 y los puntos que satisfacen 0 < (x, y) - (a, b) I < 6 son aquellos puntos dentro de un cIrculo de radio 6, excluyendo a! centro (a, b) (véase la figura 3). Note algunos aspectos de esta definición.

Figura 2

La trayectoria de acercamiento a (a, b) no es importante. Esto significa que si distintas trayectorias de acercamiento conducen a distintos valores L, entonces el iimite no existe. (a, b)

El comportamiento de f(x, y) en (a, b) no es importante; la función ni siquiera tiene que estar definida en (a, b). Esto es conseduencia de la restricción 0 < (x,

y) - (a,b)I.

La definición se expresa de modo que se extienda de manera inmediata a funciones de tres (o más) variables. Solo reemplace (x, y) y (a, b) por (x, y, z) y (a, b, c) siempre que aparezcan.

Figura 3

Lo que es de esperar, generalmente es cierto. Por ejemplo, (x, y)(l,2) [x2y+3y1=12.2+3.2=8 lIm

lIm

(x, y)(3,4)

Vx2+y2=32+42=5

De hecho, todos los teoremas usuales de !Imites también son válidos para este nuevo tipo de ilmite. Pero el siguiente ejemplo ilustra que debemos tener cuidado. EJEMPLO 1

Muestre que Ia funciOn f definida como

f(x,y)=

-

x +y 2

2

no tiene lImite en el origen (figura 4).

f(O,y)=-1

Figura 4

Solución La función f está definida en todas partes en el piano xy, excepto en el origen. En todos los puntos del eje x distintos del origen, el valor de f es

f(x,0)

-0 x2 + 0

=1

AsI, el lImite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo del eje x es

SECCION 1 5.3

lIm

(x,O)(O,O)

f(x,0) =

LImites y continuidad 647

-0

= +1 lIm (x,O)(O,O) x2 + 0

De manera similar, el lImite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo del eje y es lIm

(°(°'°)

f(0 y) =

0 - y2

lIm

(°'(°'°) 0 + y2

=1

AsI, obtenemos distintos valores dependiendo de la forma en que (x, y) - (0, 0). De hecho hay puntos arbitrariamente cerca de (0, 0) en los que el valor de f es 1 y otros puntos igualmente cercanos en los que el valor de f es 1. Por lo tanto, el lImite no puede existir en (0, 0).

En el problema 17 aparece un ejemplo a(in menos usual, donde un lImite no existe; en el problema 27 enfocaremos de otra forma al ejemplo 1.

Continuidad en un punto Para decir que f(x, y) es continua en el punto (a, b) pediremos lo siguiente: (1) f tiene un valor en (a, b), (2) f tiene un lImite en (a, b) y (3) el valor de f en (a, b) es igual al lImite ahI. En resumen, pedimos que

(x,yL(a,b)R'

=

f(a,b)

Este es esencialmente el mismo requisito para la continuidad de una función de una variable. Intuitivamente, esto significa de nuevo que f no tiene saltos, grandes fluctuaciones 0 Ufl comportamiento no acotado en (a, b). Como en el caso de las funciones de una variable, las sumas, productos y cocientes de funciones continuas es continua (siempre que, en el ültimo caso, evitemos la di-

vision entre cero). Esto implica que las funciones polinomiales de dos variables son continuas en todas partes, pues son sumas y productos de las funciones continuas ax, by y c, donde a, b y c son constantes. Por ejemplo, La funciOn f(x, y) 5x4y2 2xy3 + 4 es continua en todos los puntos del plano xy. Las funciones racionales de dos variables son cocientes de funciones polinomiales y por tanto son continuas siempre que el denominador no se anule. Por ejemplo, f(x, y) = (2x + 3y)/(y2 - 4x) es continua en todas partes en el plano xy, excepto en los puntos de la parabola y2 = 4x. Como en el caso de las funciones de una variable, una función continua de una función continua es a su vez continua.

P.

'5

Teorema A ComposiciOn de funciones

Si una funciOn g de dos variables es continua en (a, b) y una función f de una va-

riable es continua en g(a, b), entoices la composición f ° g, definida como (f o g)(x, y) = f(g(x, y)) es continua en (a, b). Una vecindad en el espacio bidimensional

La demostraciOn de este teorema es similar a la demostraciOn del teorema 2.9E. EJEMPLO 2 del plano.

Muestre que F(x, y)

cos(x3 - 4xy + y2) es continua en cada punto

La función g(x, y) = x3 - 4xy + y2, un polinomio, es continua en todas partes. Además, f(t) cos t es continua en cada nOmero t en L. Concluimos del teorema A que F(x, y) = f(g(x, y)) es continua en todo (x, y) del plano.

Solución

Continuidad en un conjunto

Una vecindad en el espacio tridimensional

Figura 5

Decir que f(x, y) es continua en urì conjunto S significa decir que f(x, y) es continua en cada punto del conj unto. Esto significa, pero hay algunas sutilezas relacionadas con este enunciado que deben aclararse. Primero debemos introducir cierto lenguaje relativo a los conjuntos en el piano (y en los espacios de dimensiOn mayor). Por una vecindad de radio S de un punto P, en-

tendemos el conjunto de todos los puntos Q que satisfacen Q - P < S. En el espacio bidimensional, una vecindad es el "interior" de un cIrculo; en el espacio tridi-

648 CAPiTULO 15

La derivada en el espacio de dimensiOn n

mensional, es el interior de una esfera (figura 5). Un punto P es un punto interior de un conjunto S si existe una vecindad de P contenida en S. El conjunto de todos los puntos interiores de S es el interior de S. Por otro lado, P es un punto frontera de S si cada vecindad de P contiene puntos que están en S y puntos que no están en S. El conjunto de todos los puntos frontera de S es la frontera de S. En la figura 6, A es un punto interior y B es un punto frontera de S. Por Ultimo, un conjunto es abierto si todos sus puntos son puntos interiores y es cerrado Si contiene a todos sus puntos frontera. Es posible que un conjunto no sea abierto ni cerrado. Esto, por cierto, explica el uso de "intervalos abiertos" e "intervalos cerrados" en el espacio unidimensional. Si S es un conjunto abierto, decir que f es continua en S significa precisamente que f es continua en cada punto de S. Por otro lado, si S contiene algunos o todos sus puntos frontera, debemos tener cuidado en dar la interpretaciOn correcta de continuidad en tales puntoS (recuerde que en el espacio unidimensional tuvimos que hablar de la continuidad por la izquierda y por la derecha en los puntos extremos de un intervalo). Decir que f es continua en un punto frontera P de S significa que f(Q) debe tender a f(P) cuando Q tiende a P mediante puntos de S. He aquI un ejemplo que nos ayudará a aclarar lo que hemos dicho (véase la figura 7). Sea

Figura 6 4z

Six2 + y2

f(x,y)

1

en caso contrario

Si S es el conjunto {(x, y) : x2 + y2 1}, es correcto decir que f(x, y) es continua en S. Por otro lado, serla incorrecto decir que f(x, y) es continua en todo el plano. En la sección 15.2 dijimos que para la mayor parte de las funciones de dos variables estudiadas en un primer curso, f = f; es decir, el orden de derivación en las derivadas parciales cruzadas no es importante. Ahora que hemos definido la continuidad, podemos establecer de manera sencilla condiciones para que eSto sea cierto.

y

Figura 7

Teorema B

Si f

Igualdad de las parciales cruzadas

y f son continuas en un conjunto abierto 5, entonces f

punto de S.

= f en cada

Una demostración de este teorema aparece en libros de cálculo avanzado. En el problema 32 damos un contraejemplo para el que falla la continuidad de Nuestro análisis de Ia continuidad se ha referido principalmente a las funciones de dos variables. Creemos que usted puede hacer los sencillos cambios necesarios para describir la continuidad para funciones de tres o más variables.

f,.

Repaso de conceptos 1IIT12)f(X y)

Enunlenguajeintuitivo,decirque nifica que f(x, y) se acerca a

3 sig-

cuando

Que f(x, y) sea continua en (1, 2) significa que

El punto P es un punto interior del conj unto S si existe una yecindad de P ta] que

El conj unto S es abierto si cada punto de S es cerrado si S contiene a todos sus

; S es

Conjunto de problemas 15.3 En Los problemas 1-8, determine el lImite indicado o diga si no existe.

(x, y)(-2,

(xy3

En Los pro biemas 9-14, describa ci mayor conjunto S donde sea correc-

- xy + 3y2)

to afirmar quefes continua.

(X,Y)2,)[x cos xy - sen(xy/3)] 4. 6.

tim

xy - y3

(x,y)(-I2) (x + y + jim

(x, y)

(0,0)

1)2

5.

tan(x2 + x2 + y2

-

tIm (x, y)(00) x2 + y2

(X,Y)(l,3)(3x y - xy3)

7.

(x,

f(x,y) = sen(x2 + y2) jim )-(0,0) 3x2 + 3y2 x2 + y2

jim (x,y((0,0( x4 - y4

f(x, y)

f(x,y) =

x3 + xy - 5 x2 + y2 +

ln(1 -

x2

1

- y2)

x2 + 3xy +

y-

y2

LImites y continuidad 649

SECCION 15.3

sen(xy) f(x,

xy=O

-y+

=

f(x, y) =

1

nua en el origen. Cada una de ias siguientes funciones tiene el valor 0 en (0, 0). Cuá1es de ellas son continuas en (0, 0) y cuáles son discontinuas ahI?

2)-l/2

(4 - x2

xy jim (x, )(0,0) x2 + y2

(c) f(x,y)

(e) f(x,y)

+ y3 urn (x, y)(O.0) x2 + y2 xy

no existe. 17. Sea f(x, y) = x2y/(x4 + y2). Muestre que f(x, y) - 0 cuando (x, y) - (0, 0) a lo largo de cualquier iInea recta y = mx. Muestre que f(x, y) - cuando (x, y) - (0, 0) a lo largo de la parabola y = x2. Qué conclusion puede extraer?

+

(x

xy2

x2 +

y2

+ y2)(x2 +

y2)]

=

o.

y2)

x2

-

+

y2.

En los problemas 19-24, bosqueje el conjunto indicado. Describa Ia frontera del conjunto. Por OJtimo, indique si el conjunto es abierto, Cerrado o ninguno de éstos.

{(x,y):2

(b)

Vx2 + y2 x713

= x2

16. Muestre que

Muestre que (InT0 O)[Y/(

xy

(a) f(x,y)

no existe, considerando una trayectoria al origen a lo largo del eje x y luego otra trayectoria a lo largo de Ia recta y = x.

Sugerencia:

= cos20

lo que asume todos los valores entre 1 y 1 en cada vecindad del onY) no existe y que f noes contigen. Concluimos que (x y)(O,O)

Muestre que

18.

cos2 0 - r2 sen2 0 r2

xy

y)

f(x,y)

r2 f(x,y)

+

(d)

f(x,y)

xy = =

2

+

2

xy-2 x2

+

y2

x2 y2

= x2 +

f(x, y)

(f) f(x, y)

y4

2

xy2

= x2 +

y4

Sea f(x, y) la minima distancia que una gota de liuvia que cae en ia latitud x y la longitud y en el estado de Colorado debe recorrer para llegar a un océano. En qué punto de Colorado es discontinua esta función?

Sea H la capa semiesférica x2 + y2 + (z - 1)2

1, 0

2}. z < 1, Ia cual aparece en Ia figura 8 y sea D = {(x, y, z): 1 z Para cada una de las funciones definidas a continuaciOn, determine su conjunto de discontinuidades dentro de D.

f(x, y, z) es el tiempo necesanio para que una partIcula arrojada desde (x, y, z) llegue al nivel z = 0. f(x, y, z) es el area del interior de H (que suponernos es opaca) que puede verse desde (x, y, z). f(x, y, z) es el érea de la sornbra de H en el piano xy debido a una fuente luminosa puntual en (x, y, z). f(x, y, z) es Ia distancia a lo largo de Ia trayectoria más corta de (x, y, z) a (0, 0, 0) que no entra en H. z

x

4,1

5}

y

{(x,y):x2 + y2 < 4} {(x,y):0 y¡)(x - - Xl) y¡)(y - Yi) YI) (1) z

g(x1,yj)(x -- Xl) x1)++ gy{X¡,YI)(Y g(x1,y1)(y-- YI) y1) z = g(x1,y1) g(x¡,y¡) + gx(XI,Yt)(X

Ejercicio 2 Para plano xy los Para determinar determinar dónde dOnde cortan al piano dos planos 0 en cada una de las pianos descritos en (1), hacemos z = =O ecuaciones ecuaciones en (1) (1) y despejamos despejamos (x, (x, y). y). Denotamos Denotamospor por(x2, (X2'Y2) Y2)

la solución de este sistema de ecuaciones. Usted encontrará que f(x1, Yi)-- g(x1, f(XI' y1)g..(x1, y¡)gy{x l , YI) g(x¡, y1)f(x1, YI)fy(x¡,Yi) Y¡) x2 x1 X2 = X¡ f(x1,yi)g(x1,y1) g(xj. y¡)fy{x¡, v1)f(x1,v1) (2) fx(x¡, y¡)gy{x l , YI) - - gix¡, Y¡) (

2

g(x1,y1)f(x1,y1) f(x1.y1)g(x1y1) g(x¡, YI)fi x ¡, YI) - - f(XI' YI)gix¡, Yt) Y2 = YI - f(xi,yi)g(xiyi) fixI' YI)gy{x¡, Y¡) -- g(xi,yj)f(xi,yi) gx(x¡, y¡)fy(x¡, Y¡)

Y2 - Yi

Ejercicio obtiene Ejercicio 33 La siguiente pareja pareja ordenada ordenada(x3, (X3' y3) h) se obtiene de manera similar a partir de (x2, y,). Bajo las condiciones manera similar a partir de (X2' Y2)' Bajo las condicionescocorrectas, 1, 2, ... ... convergerá convergerá aa una rrectas, Iala sucesiOn sucesión (x1, (x;. y.), y;), ii = = 1,2, unasolusolu0. Este Este esquema iteción del sistema f(x, y) y) = 0OY y g(x, y) y) = O. rativo es ci el método de Newton para para dos dos ecuaciones ecuaciones en en dos dos incógnitas. Considere el sistema de ecuaciones 2 + y2 2 x2 48 = 0 X +y -48=0 x+y+6=O algebra por computadora para (a) Use su sistema sistema de álgebra para hacer hacer gráficas implícitas implIcitas (en (en la Ia misma misma ventana ventana de graficacion) gráficas graficación) para las dos ecuaciones. ecuaciones. Una Una forma forma de de hacer esto es crear una gráfica de contorno contorno con con una una Unica única curva de nivel para k = 0. O. Use su grafica implIcita para para determinar cuántas (b) gráfica implícita cuántas soluciosoluciones tiene este sistema. obtener valores su gréfica gráfica impiIcita implícita para para"obtener valoresiniciales iniciales(x1, (Xl> (c) Use Use su Yi) ci método de Newton. YI) para el (d) Use el método de Newton Newton para paraaproximar aproximarlas lassoluciones. soluciones.

x+y+6=0

Los Ejercicio 4 EnEn lossiguientes siguientesejercicios, ejercicios, usted usted usará el método de Newton para determinar determinar Ia la distancia minima mínima entre una una superficie dada por zz = h(x. h(x, y) y) y un punto p = (p, q, r) que que no esté sobre sobre ia la superficie. Un buen buen erifoque enfoque consiste consiste en en miniminimizar Ia la función F(x, y) y) = (distancia entre entre pp yy(x, (x, y, y, h(x, h(x, y)))2 y»)Z

Explique la Ia forma en que la Explique la minimización minimización de de FFconduce conduceaaLas las ecuaciones xx -- pp ++ (h(x, (h(x,y) r)h..(x,y) y) -- r)h(x, y) = O 0 0 y -- qq + (h(x,y) (h(x, y)- - r)hy(x,y) r)h(x, y) = O y 2 y) = x2 x + 4y2, de modo que Ia la superfiEjercicio + 4y2, Ejercicio 55 Sea Sea h(x, h(x, y) superficie es un paraboloide (véase Ia la figura 1). Deduzca el par de de ecuaciones la distancia minima. mínima. ecuaciones por por resolver resolver para para determinar determinar La Usted deberá obtener Usted deberá obtener 3 xy2 ++(1(1-- 2r)x 2x3 0 (3) f(x,y) f(x, y) = = 2x ++ 88.rv2 2r)x -- p = O (3) 2 g(x,y) 0 32y3++ 8x 8x2y (1 - 8r)y g(x, y) = = 32y3 y ++(18r)y -- q = O Observe que para para determinar determinarLa la distancia distancia mínima mInima entre entre (p, Ia superficie zz = h(x, y), podemos de q, podemoscalcuiar calcularciel valor valor de q. r) r) y y la (x, y) que minimiza el la distancia, F(x, y). y). el cuadrado de Ia

I

Ejercicio = (4,1, Ejerciclo 6 6 Sea (p, q, r) = (4, 1, O). 0).La La tarea tarea ahora consiste en resolver las las ecuaciones (3). La obtención de buenos valores en resolver ecuaciones (3). x yx yy en el método de de Newton iniciales inicialespara para y en ci método Newtonesesahora ahoramucho mucho más difícil que més difIcil que para para el elcaso casode de una una variable. variable.En En algunos algunos casos, casos, usted puede puede estimar En este caso, usted estimar (x, (x, y) observando observandoIalagrafica. gráfica. En este caso, la (x, y) y) debe estar Ia figura figura11muestra muestra que que la Ia pareja pareja ordenada ordenada (x, debe estar más cerca del del ongen origenque que(4,(4,1); 1); usaremos usaremoscielpunto puntoiniciai inicial (2, (2, más cerca 0.5). puedehacer haceresto estocon conuna unagráfica gráficaimplIciimplíci0.5).Usted Usted también también puede ta, como como en ta, enciel ejercicio ejercicio 3. 3. Una x1yyYI' y, aplique Una vez vez disponibles los valores iniciales XI aplique el el determinar Ia minima entre entre método de Newton para determinar la distancia mínima (Deberá obtenerrespuesobtener respues(4,1, O) yYIa la superficie zz = = x2 x2 + + 4y2. 4y2. (Deberá (4, 1,0) tas cercanas a x = 1.12 yYy = 0.089.) las Ejercicio 77 Repita Repita ci para el punto punto (P, (p, q, r) == (2,2,0). Ejercido el ejercicio 6 para (2,2, O).

III. Reflexión 111. Ejercicio 88 Repila Repitaelel ejercicio ejercicio 66 para para ci el punto punto (p, (p, q. q, r) = (4, 1, 4).Comience Cornience trazando trazando las implIcitas (o graficas 1,4). las gráficas gráficas implícitas gráficas de contorno, con una una curva curva de nivei contorno, con nivel para z = = 0) O) para para determinar" determinar ci punto inicial. Deberá tener tener tres tres candidatos candidatos para para tal punto el punto inicial. Deberá tal punto inicial. ¿Cuál 1,CuáIde deestos estos conduce conduce a Ia la distancia mínima distancia minimareal? real?¿Qué Qué decir de los los otros? puede decir AZ

-=-

h(x,y)=x24y h(x,y) =.r+4y'

40 40

20

0

I

-ï

44 4 4 Figura Figura 11

683

PROYECTO DE DE TECNOLOGíA TECNOLOGIA 15.2 15.2

PROYECTO

VisuaIzaciôn de de la Iaderivada derivadadireccion~1 direccionI Visualización l.I. Preparación

el concepto concepto de de derivada derivada didiEn este proyecto exploraremos exploraremos el reccional. Ejercicio 1 1 Ejercicio

Caicule directamente Ia Calcule la derivada direccional de

f(x, y) = 3x + 4y + 44 en el punto (1, una de deLas las (1,-1) 1) en cada una direcciones

(b)i j+j (b) +j (e) -i -i (h) i - j

a(t) dt. Jor'"a(t) Jo

evaluar I

(e) j (f) -i - j (i) i + tj

(h) ij

3 Ejercicio 66 Ahora, Ejercicio Ahora, sean sean¡(x, f(x, y) y) = xx3 + 4y3, 4y3, x0 X o = 1, = 1 y e = Yo = -1 Y e = 0.2. Repita el 3 para función 0.2. Repita ci ejercicio esta función y Yo compare sus sus resuitados resultados del del ejercicio ejercicio 2. 2. compare

Ejercicio 2 Repita ejercicio 11 para Repita el ejercicio para lalafunciOn función f(x, x3 + 4y3. y) = = x3 4y3.

11. II. Uso Uso de la Ia tecnología tecnologIa En Ia la primera parte partede deesta estasección secciónvisualizaremos visualizaremosLos los resultados de los ejercicios I1 yy 2. 2. Ejercicio 3 (a) Construya una una grafica gráfica tridimensional tridimensional yy una gráfica de contomb de f(x, y) == 3x + torno + 4y 4y ++44para paraeleldominio dominio S == {(x, y): -2 2}.Ahora, Ahora, imagine que es un esy) : 2$ xx $ 2,2,-22 $ Y $ 21. posado sobre sobre laIasuperficie superficieeneneleipunto punto(1,(1,-1, 1, f(l, f(1, carabajo posado 1)). SiSiusted ustedda daun unpaso paso(ci (elpaso paso de de un un escarahajo escarabajo mide 0.2 unidades) en suhirá o bajará? Antes de dar unidades) enLa la direcciOn dirección i, ¿subirá el paso, su altitud altitud (es (es decir, decir, su su coordenada coordenada z) z) era era f(1, el paso, su f(l,

-1».

1) = 3;3;después despuésde dedar dare! paso,¿cuál Lcul es essu sualtitud? altitud?¿Cuál Cuél -1) el paso, es la Ia pendiente pendiente al dar el paso? (b) Repita Ia la parte (a) (a) para para Ia la dirección direcciónj. j. parte (a) (a) para la dirección -i --j. (c) Repita La la parte j. las pendientes pendientes halladas haliadas en las partes (a). (d) j,Coinciden ¿Coinciden las (a), (b) yy (c) resultados obtenidos directamente (e) con los resultados directamente en en ci el ejerciejerciExplique por qué sus resultados coinciden o difieren. cio 1? Explique

1,

Ejercicio4 Seanf(x,y) = 3x + 4y + 4,x0 1,y0 = + 4y 4,xo = 1,yo = -1, 0.2. Para Para tt en el ci intervalo [0, 2i-], yyee = = 0.2. 21T J, defina h(t) = f(xo f(xo + ecost,y0 ecost, Yo + esent)

a() a(t) =

f(x0 f(xo + + ecost,y0 ecost,yo + esent) -- f(x0,y0) f(xo,yo) e

e

7 Repita el ejercicio 4 para f(x, y) y) = x 3 ++ 4y3, 4y3, = x3 X0 = yee = xo = 1, Yo = -1 = 0.2. 0.2. Luego Luego cambie cambie ee por poree = = 0.002 Y y re1, Yo - IY pita ci el ejercicio ejercicio 4. 4. pita Ejercicio Eje~'Cicio

Ejercicio 8

La función deIa la elecciOn elección de e; por funciOn a(t) depende depende de

Jor'"a(t) di depende de e. e. Use Use su su a(t) di' p 2ir

tanto, Ia la integral integral definida definida I

Jo

a(i) dt dt para JoJoIr'"a(t) para ee= = 0.2, 0.2, 0.02 0.02~ p 2ir

tecnologfa para aproximar tecnología aproximar

0.002, 0.0002 0.002, 0.0002Yy 0.00002. 0.00002.Haga Hagauna unaconjetura conjeturaen en cuanto cuanto a

¡

p 2'" 2ir

lIm lím

/ e-O e->O o

a(t)dt.

III. Reflexión 111. Ejercicio 9 Seanf(x,y) = x3 Sean f(x, y) = x0 = Ejercicio9 x 3 ++4y3. 4y3,xo = 2y 2yyo = 2. DcDeYo = + fina h(t) v ++sen h(t) = = f(x0 f(x o + cos t,, Yo sen t). (Observe que ésta ésta es es Ia la = 1.) 1.) misma h definida anteriormente, pero con e =

(a) Construya una una grafica gráfica tridimensional tridimensional de de Ia la superficie superficie [(x,y)y)y yuna unagrafica gráficatridimensional tridimensionaldedeIalacumva curvadefinidefinizz == f(x, da de manera sent,t, h(t» manera paramétrica paramétricapor por(x0 (xo ++ cos cos t, vYo + sen li(s)) en en la la misma ventana ventana de de graficacion. graficación. = t0 < t" = 21T 2ir una particion t o < tI < ... < t,_1 t"-1 < partición (b) Sea 0O = regular (es (es decir, decir, con con espacios espacios iguales) del intervalo [0, [O, 21r]. Sea M¡ As la la longitud longitud del segmento de recta que 21T J. Sea que une une (x0 cost1_1, Yo Y + sent1_1) (x o + + cost¡_I, sent;_I) y (x (xo + + cost1, cost;,Yo Yo + sent1). sent;)' Considere la suma 11

Trace la la gráfica gráfica de de h(t). h(t). Explique Explique lo lo que que representa representa esta (a) Trace grafica. gráfica. Ia gráfica de a(t). Explique (b) Trace la Explique lo lo que quesignifica significa lo lo siguiensiguiente, y la forma en que esto se relaciona relaciona con una parte parte del del ejercicio 3: 3: a(O), a(0), a(1T/2), a(ir/2), a(5ir/4) a(S). a(51T/4)yya(t). Ejercicio Ejercicio 55

(a) j,Parece ¿Parece que que Ia la gráfica gráfica de de a(S) a(t) tiene aiguna alguna relación relacióncon conlas las

funciones trigonometricas? Sin Sin hacer hacer el el cálculo, cálculo, ¿podría ,podrIa funciones trigonométricas? f2r hacerse una idea del valor de I a(t) dt?

¡2'" Jo

684

la formula fórmula para a(S) a(t) y use su tecnologIa tecnología para (e) Deduzca Ia p Zir

(a)ii (a) (d) -i + +jj (g) -j costi + sentj (j) costi

(d)i (g)j

a(S)para para aproximar, aproximar, (b) Haga un acercamiento a Ia la gráfica de a(t) maximiza 0(t). a(t). De con dos cifras decimales, el valor de t que maximiza Dc nuevo, nuevo, suponga suponga que que es es un escarabajo sobre la superficie y) = 3x + 4y + 44 en (1,(1, -1,1, 3).3). ¿Qué di- dide f(x, y) enelcipunto punto ,Qué seguir para para irir io lo más alto posible en un paso? rección debe seguir

h(s1) 2.: h( t¡} ils¡ s1

¡=1

Esta Ésta es una suma de Riemann para ,cuál ¿cuál integral integral definida? definida? (En el capItulo capítulo 17 estudiaremos estudiaremos integrales integrales corno como ésta.) ésta.) (En el

(e) Use su tecnologIa tecnología para evaluar Ia la integral definida de la la parte (b). (b). el piano plano xy xy (d) Suponga que quiere colgar una cortina desde ci hasta la superficie. La parte parte inferior de la cortina corlina debe essuperficie. La tar aa lo lo largo largo del del cIrculo círculo (x, y) y) = (xo + cos t,t, Yo ++ sen sen t), (x0 + 0$ 21T, en el piano plano xy. i,Cuántas ¿Cuántas unidades cuadradas 0 t $ 2ir, de material se necesitan?

CAPITLO A'

I

16

La integral en el espacio de dimensiOn n 16.1 Integrales dobles sobre rectangulos 16.2 Integrales iteradas 16.3 Integrales dobles sobre regiones no rectangulares 16.4 Integrales dobles en coordenadas polares 16.5 Aplicaciones de las integrales dobles 16.6 Area de una superficie 16.7 Integrales triples (coordenadas cartesianas) 16.8 Integrales triples (coordenadas cilmndricas y esféricas) 16.9 RevisiOn del capItulo Proyecto de tecnologIa 16.1 Ley de Ia Gravitación de Newton Proyecto de tecnologIa 16.2 Integración de Monte Carlo

16.1

Integrales dobles sobre rectángulos

La derivación y la integración son los procesos fundamentales del cálculo. Hemos estudiado la derivación en el espacio de dimension n (capItulo 15); es tiempo de considerar la integración en el espacio de dimension n. Generalizaremos la teorIa y las aplicaciones de las integrales sencillas (de Riemann) a las integraLes mOltiples. En el capItulo 6 usamos las integrales sencillas para caldular el area de regiones planas curvas, para determinar Ia longitud de curvas planas y para determinar el centro de masa de alambres rectos con densidad variable. En este capItulo usaremos las integrales mUltiples para calcular el volumen de sólidos generales, el area de superficies generales y el centro de masa de láminas y sólidos de densidad variable. La Intima relación entre La integración y la derivaciOn fue formulada en los teoremas fundamentales del cálculo; estos teoremas proporcionan Las principales herramientas teóricas para evaluar integraLes sencillas. Aqul reducimos la integración mUltiple a una serie de integraciones sencillas, donde nuevamente jugará un papel central el segundo teorema fundamental. Comprobaremos Las habilidades de integraciOn que aprendió en los capItulos 5 a 8. La integral de Riemann para una función de una variable fue definida en la secciOn 5.5, sección que vale La pena revisar. Recuerde que formamos una partición P del

intervalo [a, b] en subintervalos de Longitud Axk, k = 1, 2.....n, elegimos un punto muestra Xk del k-ésimo subintervalo, y luego escribimos

fb dx

= Procedemos de una manera muy similar para definir La integral para una función de dos variables.

686

CAPITLILO 16

La integral en el espacio de dimension n Sea

R un rectángulo con lados paralelos a Los ejes de coordenadas; es decir, sea R

= {(x,y):a

b,c

d}

Formamos una partición P de R por medio de rectas paralelas a Los ejes x y y, como en La figura 1. Esto divide a R en subrectángulos, digamos n, que denotamos por Rk, k = 1, 2.....n. Sean .Xk y Ayk las longitudes de los lados de Rk, y sea = 1\Xk Ayk su area. En Rk, elija un punto muestra (Xk, yk) y forme La suma de Riemann n

k=1

f(k,

)LAk

que corresponde (si f(x, y) 0) a La suma de los volümenes de n cajas (figuras 2 y 3). AL hacer la partición cada vez más fina, de modo que todos los Rk sean más pequeflos, tendremos el concepto deseado. z=f(x,y)

Volumen

=f(

Figura 1

Y,)LA

Figura 2

Figura 3

Estamos listos para una definiciOn formal. Usamos La notaciOn introducida arriba,

agregando que La norma de la partición F, denotada P , es La Longitud de La mayor diagonal de cualquier subrectánguLo en la partición.

Definición

La integral doble

Sea f una funciOn de dos variables, definida en un rectánguLo cerrado R. Si II

lIm k=1

existe, decimos que f es integrable en R. Además, doble de f en R, está dada entonces por

If

)dA =

lIm k=1

// f(x, y) dA, ilamada la integral

fGk,)zAk

R

Esta definición de la integral doble contiene el lImite cuando P - 0. Este no es un lImite en el sentido del capItulo 2, de modo que debemos aclarar lo que realmente significa. Decimos que

f(,

)

= L si para cada E> 0 existe ö > 0

SECCION 16.1

=f(x,

Integrales dobles sobre rectángulos 687

tal que para cada partición P del rectángulo mediante rectas paralelas a los ejes x y y que satisfaga P < y para cualquier elección de los puntos muestra (Xk, yk) en el

)

k-ésimo rectángulo, tenemos /(

Recuerde que si f(x) va y

0,

=I

f

f(x, yk) Ak - L <

.

b

f(x) dx representa el area de La regiOn bajo la cur-

f(x) entre a y b. De manera similar, si f(x, y)

0,

fff(x

y) dA representa ci

y

R

Volumen = fff(x, y)dA R

Figura 4

volumen del sólido bajo la superficie z = f(x, y) y sobre el rectángulo R (figura 4). De hecho, consideramos esta integral como La definición del volumen de tal sóLido.

La cuestiOn de Ia existencia No toda funciOn de dos variables es integrable en un rectángulo dado R. Las razones son las mismas que en el caso de una variable (seeción 5.5). En particular, una funciOn que no esté acotada en R no es integrable. Por fortuna, hay una generalizaciOn natural del Teorema 5.5A, aunque su demostración está más allá del nivel de un primer curso.

de int'grabiIidad Teorema 4 Thorema C. LC '0 C';ci:rd :110 R v Si fes 'a aco..ada en el rc :tángui I

-' es continua ahI, excepto en un nüsuaves, entonces i' es in te grable en R. En particular, sif es con:

mero finito d.. c ur

tinua en todo R, entonces fes integr 1DF e alit En consecuencia, La mayor parte de las funciones comunes (siempre que estén acotadas) son integrables en cada rectángulo. Por ejemplo,

f(x,y) = e(xy) - y3cos(x2y) es integrable en cada rectángulo. Por otro lado,

g(x,y)=

x2y - 2x

yx

2

dejarIa de ser integrable en cualquier rectángulo que corte a La parabola y x2. La funciOn escalonada de la figura 5 es integrable en R porque sus discontinuidades ocurren a lo largo de dos segmentos de recta.

z

Función escalonada

y

/

R

Figura 5

Propiedades de Ia integral doble propiedades de la integral simple.

La integral doble hereda muchas de las

688 CAPITULO 16

La integral en el espaclo de dimensiOn n

1. La integral doble es lineal; es decir,

ff kf(x,y)dA = kfff(xy)dA; ff [f(x,y) + g(x,y)]dA ff f(x,y)dA + ffg(xY)dA. R

R

=

R

R

R

R

R2

R

La integral doble es aditiva en tectángulos (figura 6) que se traslapan solo en un segmento de recta.

fff(xY)dA

Figura 6

fff(xY)dA

+

fff(xy)dA

Se cumple La propiedad de comparaciOn. Si f(x, y) entonces

g(x, y) para todo (x, y) en R,

ffg(xY)dA

fff(xY)dA

Todas estas propiedades se cumplen en conjuntos más generales que los rectángulos, pero esto lo estudiaremos en la sección 16.3.

Evaluación de integrales dobles Este tema recibirá más atención en La siguiente sección, donde desarrollaremos una poderosa herramienta para evaluar integrales dobLes. Sin embargo, ya podemos evaluar unas cuantas integrales, y podemos aproximar otros. Observe primero que si f(x, y) = 1 en R, entonces La integral doble es el area de R y de eSto se sigue que

ffk dA = kff 1 dA R

EJEMPLO 1

Sea

= kA(R)

R

f La función escalonada de la figura 5; es decir, sea f(x,y)=

CaLculefff(xY)dA,dondeR

1 0x3,0y1 2 0x3,1y2 3 0x3,2y3 {(x,y):0

x

3,0

3}.

R

Solución

Introducimos los rectángulos R1, R2 y R3 como sigue: R1

{(x,y):0

x

3,0

R2

= {(x,y):0

x

3,1

y

2}

R3

{(x,y):0

x

3,2

y

3}

i}

Luego usamos la propiedad aditiva de la integral dobLe para obtener

fff(x

y) dA =

fff(x

y) dA +

f/f(x

y) dA +

f/f(x

y) dA

1A(R1) + 2A(R2) + 3A(R3)

=13+23+33=18 En eSta deducción usamos el hecho de que eL valor defen La frontera de un rectángulo no afecta el valor de la integral.

Integrales dobles sobre rectangulos 689

SECCION 16.1

f(x, y) =

(64 -

8x + y2)

(0,8,8)

p

El ejemplo 1 fue un éxito menor, y para ser honestos, no podemos hacer mucho sin más herramientas. Sin embargo, siempre podemos aproximar una integral doble calculando una suma de Riemann. En general, podemos esperar que la aproximación sea mejor si usamos una partición cada vez más fina. EJEMPLO 2

fff(x

Aproxime

(OO4)-i -

y) dA, donde

R

64 - 8x f(x,y)

/ (4,

0, 2)

/

___I___

8

y

7(1) (5>

(2

(6)

(4)

(3)

7)

+ y2

16

y

R

8)

= {(x,y):0

4,0

8}

Haga esto calculando la sunia de Riemann obtenida dividiendo R en ocho cuadrados iguales y usando el centro de cada cuadrado como el punto muestra (figura 7).

Figura 7

Solución Los puntos muestra requeridos y los valores correspondientes de la función son como sigue:

f(1) =

(1,1),

f(2,2)

(22) = (1,3), (1,5),

=

= (1,7),

=

-

= (3,1),

(66)

(8) AsI, como AAk =

=

f(x5,y5)

41

= 16

(3,3),

f(6,6) =

= (3,5),

= 89

= (3,7),

f(x8,y8)

= 16

4,

8

11 R

f(x,y)dA k=1

=4f(k,k) k=1

4(57+65+81

+

105+41+49+65+89)

= 138

16

En la sección 16.2 veremos cómo calcular el valor exacto de esta integral, que es

138.

690 CAPETULO 16

La integral en el espacio de dimensiOn n

Repaso de conceptos Suponga que el rectángulo R ha sido dividido en n subrectángulos de area IXAk con puntos muestra (Xk, yk), k = 1, 2.....n. Entonces

fff(x

Sifes

en R,entoncesfes integrable ahI.

Sif(x,y)

y) dA = lIm IPI -* 0

entonces

= 6enelrectánguloR =

fff(x

{(x,y):1x2,0y2},

y) dA tiene el valor

R R

Sif(x, y)

en R, entonces

fff(x

y)

dA se puede interpre-

tar geometricamente como

Conj unto de problemas 16.1 Enlosproblemasl-4,seaR = {(x,y):1 láe

x

4,0

y

/ff(x, y) dA, dondefes lafuncion dada (éase el ejemplo 1).

lx 0, entonces e! trabajo realizado por el campo de fuerzas F es negativo. i,Esto tiene sentido? En este problema, !a fuerza siempre apunta hacia el origen, de modo que el componente de fuerza a lo !argo de la curva está siempre en La dirección opuesta a La trayectoria de movimiento de Ia partfcuLa (véase la figura 7). Cuando esto ocurre, el trabajo es negativo. He aquI una version plana de La integral de lInea presentada en Ia formula del recuadro anterior. Evalüe La integral de IInea

EJEMPLO 5 Figura 7

f(x2 - y2)dx + 2xy dy a lo Largo de !a curva C cuyas ecuaciones paramétricas son x = t2, y = t3, 0 < t

3/2.

Solución Como dx = 2t dt y dy = 3t2dt, i 3/2

-

(x2

IC

Ày

y2) dx + 2xy dy

=

I EJEMPLO 6

[(t4 - t6)2t + 2t5(3t2)] dt

J0 3/2

(2t5 + 4t7)dt

8505

= 512

16.61

Eva!Ue jx2 dx + xy2 dy a lo Largo de la trayectoria C = C1 U C2

que aparece en La figura 8. Además, evahIe esta integral a lo largo de !a trayectoria C3 de (0, 2) a (3, 5). En C1, y = 2, dy

So!ución

fxy2 dx + xy2 dy =

x

Figura 8

0, y

EnC2,x

=

3,dx =

O,y

f4x dx = [2x2]

= 18

740 CAPITULO 17

Cálculo vectorial

I

P5

xy2 dx + xy2 dy

J

=

C2

3y2 dy =

= 117

2

Concluimos que

I En C3, y = x + 2, dy

xy2dx + xy2dy = 18 + 117 = 135

dx, de modo que

fxy2 dx + xy2 dy =

2fx(x

+ 2)2dx

=2/P3 (x3+4x2+4x)dx=21

+

L4

Jo

4x3

13

+2x2I

3

_jo

297 2

Observe que las dos trayectorias de (0, 2) a (3, 5) dan distintos valores para la in-

tegral.

U

Repaso de conceptos Una curva C dada en forma paramétrica por x = x(t), y = y(t), a t b, está orientada positivamente Si SU dirección p0sitiva corresponde a

La integral de lInea ff(x, y) ds, donde C es Ia curva orien-

Jc

tada positivamente de la pregunta 1, se define como

La integral de ilnea de la pregunta 2 se transforma en la in-

I

tegral comün

dt.

Si r = x(t)i + y(t)j es el vector de posición de un punto sobre la curva C de la pregunta 1 y si F = M(x, y)i + N(x, y)j es un campo de fuerzas en ci plano, entonces ci trabajo W realizado por F

frn0

al mover un objeto a lo largo de C está dado por /

dt.

Jc

Conjunto de problemas 17.2 En los pro blemas 1-16, evaláe cada integral de lInea.

f(x3 + y)ds;cesiacurvax

fxY2/Sds;Ceslacurvax

f dx + x2 dy; C es la curva en ánguio recto de (0, 1) a (4, 1) a (4,3).

= 31,y = t3,0t1. t,y = t512,0

t

fy3 dx + x3 dy; C es la curva en ángulo recto de (-4, 1)

1.

a (-4, 2) a (2, 2). 3.

L (sen x + cos y) ds; C es ci segmento de recta de (0, 0)

fy3 dx + x3 dy; C es ia curva x = 2t, y = t2 - 3, 2

a(3r,21r).

t

1.

4.

fxeY ds; C es ci segmento de recta de (-1,2) a (1, 1).

5.

L (2x + 9z) ds; C es la curva x = t, y = t2, z

t3, 0

f(x2 + y2 + z2)ds;Ccslacurvax = 4cost,y z = 3t, 0

t

t

1 (x + 2y) dx + (x - 2y) dy; C es el segmento de recta Jc de (1,1) a (3, 1). 1.

4scnt,

2i-.

dx + x2 dy; C es la curva x = 2t, y = t2 - 1,0

f

dx + x dy; C es la curva y = x2, 0

f(x

Jc

x

1.

+ y + z) dx + x dy - yz dz; C es ci segmento de

rectade (1,2,1) a (2,1,0). t

2.

/xzdx + (y + z)dy + xdz;C cs

JC

y = e1, z = e2', 0

I

1.

Ia

curva x

e',

SECCION 17.3

Independencia de Ia trayectoria

741

Use una integral de lInea para determinar el area de la par-

(x+y+z)dx+(x-2y+3z)dy+(2x+yz)dZ;

te del cilindro x2 + y2 = ay dentro de Ia esfera x2 + y2 + z2 = a2

C es Ia trayectoria con segmentos de recta de (0, 0, 0) a (2, 0, 0) a (2,

(compare con el problema 12, secciOn 16.6). Sugerencia: Use coorde[r2 + (dr/dO)2I12 do. nadas polares, donde ds

1.5. IC

3,0) a (2,3,4). La misma integral que en el problema 15; C es el segmento de recta de (0,0,0) a (2,3,4). Determine Ia masa de un alambre con la forma de la curva y

Dos cilindros circulares de radio a se intersecan de modo que sus ejes se cortan en ángulo recto. Use una integral de lInea para calcular el area de la parte de uno cortada por el otro (compare con el problema 14, secciOn 16.6). Véase la figura 9.

x2 entre (-2,4) y (2,4) si la densidad está dada por ö(x, y) =

Un alambre de densidad constante tiene la forma de la héli-

ce x = a cos t, y = a sen t, z = bi, 0 <

3. Determine su masa y

I

su centro de masa. En los pro blemas 19-24, calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas F al mover una partIcula a lo largo de Ia curva C.

F(x, y) = (x3 - y3)i + xy2j; C es la curva x = t2, y =

1

0.

I

F(x,y) = ei - ej;Ceslacurvax = 3lnt,y = ln2t,1

t

; 5.

F(x, y) = (x + y)i + (x - y)j; C es Ia cuarta parte de la ir/2. F(x, y, z) = (2x - y)i + 2zj + (y - z)k; C es el segmento de recta de (0,0,0) a (1,1,1). El mismo F del ejercicio anterior; C es la curva 1. x sen(rt/2), y sen(3fl/2), z 1,0 yi + zj + xk; C es la curva x = t, y = 12, z = F(x, y, z) elipse x = a cos t, y = b sen t, 0

t

Figura 9

Evalüe

fX2 y ds usando Ia parametrización x

3senl,y = 3cost,0

1

0

t

I < r/2, que invierte la orientación de C en el ejemplo 1, y

2.

Christy planea pintar los dos lados de una cerca cuya base es-

xy2 dx + xy2 dy mediante la parametrización x = 3 -

tá en el plano xy, con Ia forma x = 30 cos3l, y = 30 sen3t, 0 t ir/2, y cuya altura en (x, y) es 1 + y, todo medido en pies. Dibuje la cerca y decida cuánta pintura necesitará si un galón cubre 200 pies cuadrados. Una ardilla que pesa 1.2 libras subió un árbol cilIndrico siguiendo la trayectoria helicoidal x = cos t, y = sen t, z = 4t, 0 0 Las ecuaciones auxiLiares tiene ralces genera! de !a ecuaciOn diferencia! es Caso 3:

y

y a2 y La solución

C1 e' + C2 e2l

Describe un movimiento ilamado sobreamortiguado. Las gráficas de Los casos crIticamente amortiguado y sobreamortiguado cruzan el eje t a lo más una vez y pueden parecerse a las figuras 3b y 3c. EJEMPLO 2 Si se impone una fuerza de amortiguamiento con q = 0.2 sobre el sistema del ejemplo 1, determine !a ecuación de movimiento.

Solución E

qg/w

(0.2)(32)/20 = 0.32 y B2

que debemos resolver

d2y dt2

+ 0.32

dy + l6y = 0 dt

(10)(32)/20

16, de modo

784

CAPITULO 18

Ecuaciones diferenciales

0 tiene raIces r = 0.16 + \/15.9744i

La ecuación auxiliar r2 + 0.32r + 16 0.16 ± 4i, y entonces

e_0161(C1 cos 4t + C2 sen 4t)

y

0 en t

Al imponer las condiciones y = 2 y y'

0, vemos que C1 = 2 y

C2 = 0.08. En consecuencia,

e°16'(2cos4t + 0.08 sen4t)

y

U

Circuitos eléctricos

/v R

()

Considere un cirduito (figura 4) con una resistencia (R ohms), un inductor (L henrios) y un condensador (C farads)en serie, con una fuente de fuerza electromotriz que proporciona E(t) voltios. La nueva caracterIstica, en cornparaciOn con los cirduitos de la sección 7.6 es la presencia de un condensador. En este caso, la icy de Kirchhoff dice que la carga Q sobre el condensador, medida en coulombs, satisface

Figura 4

L

(1)

d2Q dt2

+R

dQ di'

+-QE(t) C 1

La corriente I dQ/dt, medida en amperes, satisface la ecuación obtenida al derivar Ia ecuación (1) con respecto de t; es decir,

LdI + RdI + 11 di' C

(2)

dt2

= E'(t)

Cualquiera de estas ecuaciones se puede resolver mediante los métodos de las secciones 18.1 y 18.2.

Determine la carga Q y la corriente I como funciones del tiempo ten un cirduito RCL (figura 4), si R = 16, L = 0.02, C 2 X 10 y E = 12. Suponga que EJEMPLO 3

Q = 0 e I = 0 en t = 0 (cuando el interruptor está cerrado).

Solución Por la ley de Kirchhoff expresada en la ecuación (1), d2Q dt2

+ 800

dQ di'

+ 250 000Q = 600

La ecuación auxiliar tiene raIces

800 ± \/640,000 - 1,000,000 2

400 ± 300i

de modo que

Qh = e_4001(C1 cos 300t + C2 sen 3001') Por inspección, una solución particular es 2.4 x 10. Por tanto, La solución general es Q = 2.4 X i0 + e4001(C1 cos 300t + C2 sen 300t)

Al imponer las condiciones iniciales dadas, vernos que C1 = 2.4 X 10 C2 = 3.2 X i0. Concluimos que Q = 10-[2.4 - e_400'(2.4cos300t + 3.2sen300t)] y, al derivar, tenemos que

dQ

= di'

= 2e4°°' sen300t

y

Aplicaciones de las ecuaciones de segundo orden 785

SECCION 18.3

Repaso de conceptos Un resorte que vibra sin fricciOn obedecerá una ley de movimiento como y = 3 cos 2t. Decimos que realiza un movimiento armóy periodo nico simple con amplitud

Un resorte que vibra con fricción obedecerá una icy de movimiento como y = 3e°1 cos 2t, liamado movimiento armónico amortiguado. El "periodo" sigue siendo a! aumentar el tiempo. plitud

, pero ahora la am-

Si la fricción es muy grande, la ley de movimiento asumirá la forma y = 3e°1 + te01', ci caso crIticamentc amortiguado, donde al avanzar el tiempo. y va decayendo lentamente a

Conjunto de problemas 18.3

r

Un resorte con una constante de resorte k de 250 newtons/metro se carga con una masa de 10 kg y se deja que alcance ci equi-

C=2X106F

librio. Luego se eleva 0.1 metros y se libera. Determine la ecuación de movimiento y ci periodo. Desprecie Ia fricción.

E= 1201

Un resorte con una constante de resorte k de 100 libras por pie se carga con una masa de 1 libra y se deja que alcance el equiiibrio. Luego se estira otra pulgada más y se libera. Determine la ecuación de movimiento, la amplitud y el periodo. Desprecie la fricción.

Figura 6

En ci problema 1, ,cuál es ci valor absoluto de la velocidad del peso en movimiento al pasar por la posición de equilibrio?

Un peso de 10 libras estira un resorte 4 pulgadas. Este peso se retira y se reemplaza con un peso de 20 libras, que luego se deja para liegar al equiiibrio. El peso se eleva luego 1 pie y se libera con una velocidad inicial de 2 pies por segundo hacia abajo. /,Cuál es la ecuación de movimiento? Desprecie la fricción. Un resorte con una constante de resorte k de 20 libras por pie se carga con una masa de 10 libras y se deja que alcance el equilibrio. Luego se despiaza 1 pie hacia abajo y se libera. Si el peso experimenta una fuerza de retardo en libras, igual a un décimo de su velocidad, determine la ecuación de movimiento. Determine ci movimiento del problema 5 si la fuerza de retardo es igual a cuatro veces su velocidad en cada punto.

satisface una ecua-

La icy de Kirchhoff dice que un ciOn diferencial lineal de segundo orden.

sen 377t

)

12. Use la figura 7 para determinar la corriente como función dci tiempo si ci condensador no tiene carga inicialmente y S cstá ccrrado en t = 0. Sugerencia: La corriente en t = 0 scrá igual a 0, pues Ia corriente que pasa por un inductor no puede cambiar en forma instantánea.

L=102H

E=20V

C=10-7F

Figura 7 13. Use Ia figura 8 para determinar ia corriente de estado estacionario como función dcl tiempo; es decir, determine una formula oc). para I quc sea váiida cuando t sea muy grande (t

En el problerna 5, cuánto tiempo tardarán en disminuir las oscilaciones hasta un décimo de su amplitud original?

R = 1000

En ci probiema 5, ,cuái será la ecuación de movimiento si el L = 3.5 H

peso recibe una velocidad hacia arriba de 1 pie por segundo al momen-

to de liberarlo? Use la figura 5 para determinar la carga Q sobre el condensador en función del tiempo si S cstá cerrado en t = 0. Suponga que ci condensador no tiene carga inicialmente.

1.

-

IT

C=2

X 106 F

Figura 8

14. Suponga que un resorte no amortiguado ueda sujeto a una fuerza periódica externa, de modo que su ecuaciOn diferencial tiene ia forma

R= 1O2 r

E = 120 sen 377t

1

d2 y S.

C= 10F

E=IV L

Figura 5

Determine la corriente I en funciOn del tiempo en ci problema 9, si el condensador tiene una carga inicial de 4 couiombs. Use la figura 6. Determine Q como funciOn del tiempo. Suponga que el condensador no tiene carga inicialmente. Determine I como función del tiempo.

dt2

c>0

+B2y=csenAt

Mucstre quc ia ccuaciOn de movimiento para A y = C1 cos Bt + C2 sen Bt +

C

B2

A2

es

sen At

Resuciva la ccuación diferenciai cuando A = B (ci caso con resonancia). /,Qué ocurre con ia ampiitud dci movimicnto en ia partc (b) cuanoc? do t 15. Muestre que C1 cos f3t + C2 sen /3t sc puede escribir en Ia + c, sen forma Ascn(/3t + y). Sugerencia: Sean A = y = C1/Aycosy = C2/A.

786

CAPiTULO 18

Ecuaciones diferenciales

Muestre que el movimiento de la parte (a) del problema 14 es periódico si B/A es racional.

La ecuación deducida en el problema 17 no es lineal, pero para 0 pequefla se acostumbra aproximar mediante la ecuación

Consulte Ia figura 9, donde aparece el peso de un péndulo, con masa m, soportado por un alambre sin peso de longitud L. Deduzca Ia ecuación de movimiento; es decir, deduzca la ecuaciOn diferencial satisfecha por 0. Sugerencia: Use el hecho (sección 13.5) de que el cornponente tangencial escalar de la aceleración es d2sldt2 , donde s mide Ia longitud de arco en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

d20 dt2

--0 =0 L

En este caso, g = GM/R2, donde G es una constante universal, M es la masa de la Tierra y R es la distancia del péndulo al centro de la Tierra. Se colocan dos relojes con péndulos de longitud L1 y L2 a las distancias R1 y R2 al centro de la Tierra, y con periodos p1 y p2, respectivarnente. Muestre que

Pi P2

=

R1\/7 R2\/L2

Determine la altura de una montana, si en un reloj que mantiene la hora exacta al nivel del mar (R = 3960 millas) con L = 81 pulgadas, se reduce la longitud de su péndulo hasta L = 80.85 pul-

gadas para mantener Ia hora exacta en la cima de la montana. mg

Respuestas de repaso de conceptos: 3. 0 4. circuito eléctrico

1. 3; ir 2. i-; disminuye

Figura 9

18.4 Revision del capItulo Examen de conceptos Responda con cierto o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta.

1. y" + y2

0 es una ecuación diferencial lineal.

2. y" + x2y

y" + 4y' + 4y 3ex 7. y" + 4y' + 4y = e_2x y" + 4y = 0; y = 0, y' = 2 cuando x = 0 y" + 6y' + 25y = 0 10. y" + y sec x tan x 11. y" + 2y" - 8y' = 0 12. (4) - 3y" - lOy = 0 (4) 13. - 4y" + 4y = 0 6.

0 es una ecuación diferencial lineal.

3. y = tan x + sec x es una solución de 2y' - y2 = 1.

4. La solución general de [D2 + aD + b]3y = 0 debe implicar ocho constantes arbitrarias. 5. D2 es un operador lineal. 6. Si u1(x) y u2(x) son dos soluciones de y" + a1 y' + a2y = f(x), entonces C1u1(x) + C2u2(x) también es una solución.

7. La solución general de y" + 3y" + 3y' + y = 0 es y =

C1e_x + C2xe_x + C3x2e_x.

8. Si u1(x) y u2(x) son soluciones de Ia ecuación diferencial lineal L(y) = f(x), entonces u1(x) - u2(x) es soluciOn de L(y) 0.

9. La ecuaciOn y" + 9y = 2 sen 3x tiene una solución particular de Ia forma y B sen 3x + C cos 3x. 10. Una expresion de la forma C1 cos 18t + C2 sen t se puede escribir siempre en la forma A sen(f3t + y).

14. Suponga que se introduce glucosa al flujo sanguIneo de un paciente a razOn de 3 gramos/minuto, pero el cuerpo del paciente convierte y elimina glucosa de su sangre a una razón proporcional a la cantidad presente (con constante de proporcionalidad 0.02). Si Q(t) es la

cantidad presente en el instante t y Q(0) = 120, escriba Ia ecuación diferencial para Q; resuelva esta ecuaciOn diferencial; determine lo que ocurre con Q a largo plazo. 15. Un resorte con una constante de resorte k de 5 libras/pie se carga con una masa de 10 libras y se deja que alcance el equilibrio. Luego se eleva 1 pie y se libera. ,Cuáles son la ecuación de movimiento, la amplitud y el periodo? Desprecie la fricción. 16. En el problema 15, cuál es el valor absoluto de Ia velocidad del peso en movirniento cuando pasa por la posición de equilibrio? 17. Suponga que el interruptor del circuito de la figura 10 est cerrado en t = 0. Determine I como función del tiempo si C no tiene carga inicialmente. (La corriente en t = 0 será igual a cero, pues la co-

rriente que pasa por un inductor no puede cambiar en forma instantánea.

Problemas de examen muestra

R=2

En los pro blemas 1-13, resuelva cada ecuación diferencial.

d2y

dx

2

+

dy

ax

= e Sugerencia: Sea u = dy/dx. L= 1 H

y" - y = 0 y" - 3y' + 2y = 0, y = 0, y' = 3 cuando x = 0

4.4y"+l2y'+9y=0

5.y"_y=l

E=

lv

Figura 10

C= -F

L PRVECTO I

I

I

b

j

I

r TECNL'(A 181 I..

I

I

g

a

C j' 'rda vibrante:

I.

r iuerza nertiu IamiI..ntej - (dy,Idr uia de at........u e .de.=; 's th, una fuerza T)roporcior. LI 1ave1OLi(1 t ay/l", U). lk.,ganio a ia ecuac: in diferenci

Preparación

-

I

ciiup nga que UI1 obji L' "01 nasa ir peso w = mg se suje n ri1' de resorte k. - Si no hay una fuer t a a ml resorte con coustaLe

21 ;a ue amortiguarniento, Ia ecuación diferencaI que control2. elI

+

comportamiento ul sisema masa-resorte es d2 y/dt2 +

I = O,donde B = Vk/ni ='\t./kg/wasoIuciondee-

B

cuaciOn diferencial es y = C cos Bt

La

V=

U don"e E = q/m = 1g/.i. a w G E2 4 B2-< 0, las ralces de ± /3i,v1. t5fl y es ia soLui

C2 sen Bt.

Ia ecuaciOn auxiliar so flI: ..

Determine las constantes C: Y

F.:Jercicio 1

2de modo que

solución y satisfaga las condiciones iniciales y(0) = y

1.1 IC-

y=Asen(B1

(1)

I 1or dl :imo. si E2

y)

races negativas,

Sugerencia: Comience con (1) y desarrolle usando Ia :egla de Ia suma para Ia función seno. Luego iguale con La soluciór (t) para obtener C1 y C7.

tient una do-

EI' Ia soiui.ión ye

a

+c

=L

anulan. Ia a iplitud no es tan 'vidente. Mue 1re que La s lu'iOn se puede escribir en La forma

.

.' ir a'..'xili,.

hi r afza,donde L:e

fá :il determinar Ia amplitud de hi vibración. Cuando ambas se L. -

-

= 0, entow es Ia' ecuad

Si F

Cuando uiia de las constarUes C1 o C2 Sc anula, es

,

: st + L.._2se npt)

y =

'

= v0. Ejc rcjcjo 2

U

4B2 > 0, [a ecuaciór duxilial iiene du y a2, y Ia soljción U es

yC1e au + Cprcicio 4 Repita las tres ?artes del e,ercici' D 3 suponien-J do que ci objeto experimenta i ia fuc rza de amort'guai rilento en newtons, igual a un quinto de La velocidad. Determire i' grafique Ia ecuaciOn ne movimiento. El

II. Uso de Ia tecnulogIa fllercicio 3 Suponga que colocarnos un objeto de 1 kg et res orte con constante de resort K = 2 Iewtons/metro.

i. ii

Jetermine y grafique Ia ecuación .ie movimiento si desplazamos el objeto 0.05 metros. comprimiendo el resoi e y liberándolo con una velocidad inicial de 0.025 metros/segundu en Ia direcciOn de ecuilibrio.

Repita este ejercicio con m = 2,4,8 y 16 ..omo masa rn.

Repita este ejercicio de nuevo, ..ista ye con ..

1, 'ei

flexión .jercicio 5 Ex'rimente variando la constante de resorte k ci cceficiente de amot tiguamiento q y La masa m. hasta enenc' el efecto '1e cada uno. Luego xplique los efecto

1i rv Je k, q y in sobr el riu"imiei:o resultante del resorte viru

-

raie.

conk = O.5,1.2y4.

I t PRYECTS IE TECMSLSI,A 11.2 i

R

tratsr fase

I. Pntpa ació I Ejercicio'

-1 jeLL r-'lri() I cpfljen do jue -...:esOr jercici.IC) ' .epiia k eL el te tiie ma fuerza Zk i mort'iamen 'I_ to de ..- q ',n d y,"dt, oo 'b Ej ..

Sup ongia 1 coi"oca.mos u &oie Lo de 1 kg 'n u" iii ue ti ei&. col - i ;t-"L ..e de r.'scirte k = 3 ne Vvtons/retrc I L I m '1 iristante t." yoi r rtte) de ui eo Sea y (t) -1 despazamie. 1 ' I im r!. ga q ue nei 1iay uer7a i.e a- mortlbJl ' 'iue

resort-e

1

:

Iutera C eS. 1azamos "1 '" jetej C.' '2 metros.. coiripriimimos el L,

.

1

res )r Le,y k 'Jau T"'iia veloc ida I i. icia1 de ai ., iiietru._. MIseI r un )r gintido en Ia direcciO: , (1e eci ' :qlJjj 11 io. )é ... i.. e' i..eio.i dikfr ..1Lr'ial qi' edL SC' 1) t' Imovimientode1objco. Rc c,i Du.

a La

'ciuauón dif rneLia' eir

'lin vt t) C,

i

". y(t). -s ue m,jflc

i

.

d'

q= 0.25.

.

.

II. Uso de IaI tt- cnnL - .dO9I Ejercidt .1CL ill Para .1 siti"vi

('IlSL

ha -n el e,e_'rcic .i_i_o 1 ( es decir, sin de -

r I 'i haga u1a i.n0rtuami(.1.o,, "r f.,. -ir or. áfica arara-i.-'étrica UI Ii t\ ) ). Ta! rJica es un rerato fase. (y( ), y'

't'

La ,u. d .

se L curvra ri )dC,?

del rirato icY'sC es c er rada? Vuelv: recorre I

1-r' r En tal cso, ,cua1 es 511 pen a. Lgün rnoneitu?

787

Ta tilayc r pat-te de los programas

software no indican la orentaciOn ( es decir, la dirección en que t crece). Describa a or 'a ción de la gráfica paramétrica de la parte (a). p

I lap u

'e jetura acerca de Ia forma de la gráfica en La 'a UI

rt it)

1,

-

Aplique el método de Euler a la ecuac . ni de segundo o den del ejercicio 2 cuan '¼ I'iiaya alrLt rjor iguamiento.

ord er.iadas (y ,, v, ) y compare su grá fica con el retrato tase obtenido en e eircicio 4. Grafique las pak. p

1

e su conjetura.

Ejercicio 4

:'lonu.IaVa. (b)'Va'i el valor de q. (Elija algunos valores menores que 0.25 y oti ')S ma.vores 'tue 0.25, pero tenga cuidado de no elegir c c iasiJuc gn nde, pues el sistema estarIa sobreamortiuauo.) I)se'.:iba el efecto de la cunstante de amortiguamienr.sif, s 0' re La forma del retrato fase.

i ndo una ecuación diferencial de segundo orden no pu de icsol\ru :e . en forma analItica mediante los métodos de critoseneste capItulo, por lo genel debemos basarnos en un r'.aét)aO' 1 ur rico para aproximar la solución. El método de F u1er,c4e: s.rito en la sección 11.5, se puede generalizar a las Iacic.Lesá rn ecL... 'ir

I e ángu 1y La ec" it'n dii. ;e.ncial qt ie describe ngitud L y" = y (véase la figura 9 de la se ciOn 18.3). 1- sta e uación S upe'e que no hay amortiguamieni

Ejercicio 7

(a) 11 ta t..:1111 ;t.,trato fase para la situación descrita en el ejem)lso 3 , cuando haya amortiguamiento. Describa la orienta-

nciales de segundo orden.

ritmo Método de Euler para ecuaciones

Ak

Ejercicio 6

de segundo orden

Par aproximar la solución de la ecuación diferencial y" f(t, y, y') con condiciones iniciales y(t0) = y0 y y'i 0' = v U' eli.ja un tamaflo de paso h y repita los siguientes pa'iSOS para n = 1,2,...:

-

Es esta ecuación lineal o no? I plique.

Aplique el método de Euler jIç .ra a.roxjI1ar Ia so;- i(n cuando y0 = ir/4 y v0 = 0. I

III. Ref Iexiôn Ejercicio 8 La figura 1 es un retrato fase que muestraelr. mor iniciales. vimiento de un pénduio ç)arJ d :versis o.idiciones I

Describa el significado fIsico de Las ctidiciones inicia les y(0) = y0yy'(0) v0si(y0 v0) n 'da uno de Los

tosA,B,CyD. Para cada uno de estos puntos de partida. d esc'nba

minos fisicos el mwim"ro ___1CJ11 posterior- dd )éfldUl;.0. 1.

1

Haga t, = t,1_1 + h.

Haga y = y-1 + hv1. '-Taga , = v,_1 + hf(t_1,y_1,v1).

\

Ejercicio 5

A' 'ique el método de Euler a la ecuaciOn de segundo orde.i del ejercicio 1. (-""4que las parejas ordenadas

H

Este no es un retra-

to fac.e, pues y, y v son solo aproximaciones a y(t,1) y y'(t,,),

respecu vamente. Sin embargo, tal gráfica muestra las estimacjones de (y(t), y'(t)) para nuestra ecuación.

Parec cerrada su gráfica de La parte (b)? Compare esta gráfica con el retrato fase obtenido en el ejercicio 3.

788

(g/L)s. ,t

formado por un pendulo

Figura 1

--/ 7

/

ten-

Apéndice A.1

A.2

A.3

A.1

Inducción matemática

InducciOn matemática Demostración de varios teoremas Teorema A Teorema principal de Ilmites Teorema B Regla de Ia cadena Teorema C Regla de Ia potencia Teorema D LImites vectoriales Una vision retrospectiva

Con frecuencia, en matemáticas nos enfrentamos a la tarea de querer establecer Si una (o tat vez para cada entero cierta proposición P, es verdadera para cada entero n N). He aquI algunos ejemplos: n

1. P:

12

+

22

+

32

+

+ fl2 =

n(n + 1)(2n + 1) 6

2.Q: 21>n+20 3. R,: n2 - n + 41 es primo La proposición P, es verdadera para cada entero positivo, y Q, es verdadera para cada entero mayor o igual a 5 (como mostraremos en breve). La tercera proposición, R, es interesante. Observe que para n = 1, 2, 3,..., los valores de n2 - n + 41 Son 41, 43, 47, 53, 61,... (nOmeros primos hasta este momento). De hecho, obtendremos un nOmero primo para cada n hasta 40; pero en n = 41, la formula proporciona el nOmero compuesto 1681 = (41)(41). Mostrar la verdad de una proposición para 40 casos mdividuales (o 40 millones) puede hacer plausible una proposición, pero ciertamente esto no demuestra que sea verdadera para cada n. El salto entre cualquier nOmero finito de casos y todos los casos es infinitamente grande. ,Qué hay que hacer? Hay un procedimiento para establecer que una proposición sea verdadera para toda n? Una respuesta afirmativa la da el principio de inducción matemática.

790 Apéndice Principio de hijcluirii n matem.. t&tjca

-

Sea {P} una serie'de proposicione ,. :s (enunci dos) que satisfacen esta ciones:

os ondi-

'N es verdadera (por lo gen Ci r' , 1' será 1). La certeza d P, implica la 'ìç racidad de P+1, i

ir . para cada e itero n Entonces P es ye rda d.

N.

No demostraremos este principio; con frecuencia se considera como un axioma, y esperamos que sea evidente. Después de todo, si la primera ficha de dominO cae y Cada ficha golpea a la siguiente, entonces toda La serie de fichas caerá. Nuestro esfuerzo ira dedicado a ilustrar La forma de usar la inducción matemática.

Demuestre que

EJEM PLO 1

P:12+22+32+ +n _n(n+1)(2n+1) 6 2

es verdadera para cada n

1.

'Solución Observamos primero que P1:

12

=

1(1 + 1)(2 + 1) 6

es un enunciado verdadero. En segundo lugar, demostraremos Ia implicación (ii). Comenzamos escribiendo Los enunciados P1 y P11. :

12

+ 22 +

+ i2

i(i + 1)(2i + 1) 6

+: 12+22+...+j2+(i+1)2= (i+ 1)(i+2)(2i+3) 6 Debemos mostrar que P1 implica P, ± 1,de modo que suponemos que P, es verdadera. Entonces el lado izquierdo de P11 se puede escribir como sigue (* indica donde usamos P,):

[12+22+...+i2]+(i+1)2

i(i + 1)(2i + 1) 6

+(i+1)2

=(i+1) 2i2 + i 6+ 6i + 6 =(i+1) 2i2 +67i + 6 (i+ 1)(i+2)(2i+3) 6.

Esta cadena de igualdades conduce a! enunciado P1 + . AsI, La verdad de P1 realmente implica La verdad de P1 + Por el principio de inducción matemática, P,, es verdadera para cada entero positivo n. .

EJEMPLO 2

Demuestre que P: 2 > n + 20 es verdadera para cada entero n

5.

Solución Primero observemos que la proposición 2P5: > 5 + 20 es verdadera. En segundo lugar, supongamos que P1: 21> i + 20 es verdadera y tratemos de deducir a partir de esto que P, + : 2' + 1 > + 1 + 20 es verdadera. Pero 21+1

= 22'

2(i + 20) = 2i + 40> i + 21

Lelda de izquierda a derecha, ésta es la propoSición P1 dadera para n 5.

+

.

ConcLuimos que P,, es

lnducciOn matemática 791

SECCION A.1

EJEMPLO 3 Demuestre que

P: x - y es un factor de x" es verdadera para cada entero n

1.

Solución Trivialmente, x - y es un factor de x - y, de modo que P1 es verdadera. Suponga que x - y es un factor de x' - y'; es decir,

- y1 =

Q(x,y)(x - y)

para algün polinomio Q(x, y). Entonces xi+1

yi+1

=

x'' - x'y + x'y -

=

x(x - y) + y(x' yi) x'(x - y) + yQ(x, y)(x - y) + yQ(x,y)](x - y)

=

lo que muestra a x - y como un factor. AsI, la verdad de P1 realmente implica la verdad de P1 + . Concluimos por el principio de inducción matemática que P,, es verdadera

paracadan

1.

Conjunto de pro blemas A. 1 En los pro blemas 1-8, use elprincipio de inducción matemáticapara demostrar que Ia proposición dada es verdadera para cada entero n 1.

n(n + 1) 2

2.1+3+5++(2n-1)=n2 3.1.2+23+34++n(n+1) 4.12+32+52++(2fl_1)2=

n(n + 1)(n + 2)

En los problemas 21-27, decida para cuáles n es verdadera Ia proposicion dada y luego use inducción matemOtica (tal vez en alguna de las formas alternativas que haya descubierto en los problemas 13-20) para demostrar lo siguiente.

x + y es un factor de x" + y". La suma de las medidas de los angulos internos de un pollgono convexo con n lados (sin agujeros ni dientes) es (n - 2)ir.

3

[2]

El nümero de diagonales de un polIgono convexo con n Ia-

[n(n + 1)12

6. 1+24+34++n4=

1

es verdadera.

3

n(2n - 1)(2n + 1)

i implica que P1 +

P es verdadera y P. verdadera para j

doses

n(n+1)(6n3+9n2+n_1)

n(n - 3) 1

n+1

30

+

1

n+2

+

+...+->2n 3

1

1

n+3

5

n3 - n es divisible entre 6.

n3 + (n + 1) + (n + 2) es divisible entre 9. En los pro blemas 9-12, determine el primer entero Npara el que sea ver-

dadera la proposición para cada n N. sición para cada n

3n + 25 < 3"

10.

N, y luego demuestre la propo-

Sean f0 = 0, f1 1yf +2 Ta sucesión de Fibonacci). Entonces

n - 100 > log10n

nsen x para cada x 12. sen nx 2" En los problemas 13-20, indique Ia conclusiOn sobre P, que puede ex-

fn =

11.

traerse con Ia información dada. P5 es verdadera y P verdadera implica que P1 + 2 es verdadera. P1 ' P2 son verdaderas y P1 verdadera implica que P, + 2 es verdadera. P30 es verdadera y P1 verdadera implica que P1_1 es verdadera.

P30 es verdadera y P1 verdadera implica que P +1 y P, - son verdaderas. P1 es verdadera y P, verdadera implica que P4, y P, son verdaderas. P1 es verdadera y P21 verdadera implica que P2 + es verdadera. P1 y P2 son verdaderas y P1 y P1 verdaderas implican que

P2 es verdadera.

fn +

1

+ f,, para n

(ésta es

1 [(1+" (12

Sean a0 = 0,a1 =

2

)

1 ya2 = (a1 + a)I2 para n

0.En-

tonces a =

2[ 3[1

(

1fl 2)

i,Cuál es el error en el siguiente argumento, que propone mostrar que todas las personas en cualquier conjunto de n personas tienen la misma edad? La afirmación es verdadera para un conjunto que consta de una persona. Suponga que es verdadera para cualquier conjunto de i personas,y considere un conjunto W de i + 1 personas. Podemos pensar W como la union de conjuntos X y Y, cada uno con i personas (por ejemplo, trace una figura cuando W tiene 6 personas). Por hipótesis, cada uno de estos conjuntos consta de personas con la misma edad. Pero X y Y se traslapan (en X fl Y) de modo que todos los elementos de W = X U Y tienen la misma edad.

792 Apéndice

A.2 DemostraciOn de varios teoremas

Teorema A Teorema principal de In Sea n un entero p iLvo, - k una con tanEe ces

vfy

n g fun ciones con iiiiites en c. Entou-

urn k=k X 3C tIm x = C x+ C

urn kf(x) = k tim f(x) x*c -

+ g(x)1 = X--z lIm f() iimf(x) lImIf(x) g(x)1 -

lImlf(x) x*c'-_

k1 I

ii

-

= tIm f(.

urn If(x) xC_ ----- -.

, .

II

-';

limf(x)

f(x) xc g(x)

7. tim

21C g(x)

siempre q ie Jim (x) x pc

in

xiIm[f(.)j = [ifmf(t) Lx-*c j -\/irnf(t)

lImKVf()

X+C

DemostraciOn

sitinpre que IImf(x) > 0 cuando n sea par

Casi al final de la sección 2.6 demostramos las partes 1 a 5, de modo que

deberIamos comenzar con la parte 6. Sin embargo, primero demostraremos un caso particular de la parte 8:

iIm [g(x)]2 = [tIm g(x)]2

xc

Para ver esto, recuerde que hemos dernostrado que tim x2 = c2 (ejemplo 6 de la secxción 2.5), de modo que f(x) = x2 es continua en todas partes. Asi, por el teorema de composición de limites (teorema 2.9E), C

iim[g(x)]2

limf(g(x)) = f[timg(x)] = [iImg(x)]2

Ahora escribimos

f(x)g(x) =

{[f(x) + g(x)]2 - [f(x) - g(x)]2}

y aplicamos las partes 3, 4y 5, más lo que acabamos de demostrar. Se desprende ta parte 6. Para demostrar la parte 7, apticamos el teorema de composición de iImites con

f(x) = lIx y usamos el ejempto 7 de la secciOn 2.5. Entonces urn

1

x*c g(x)

= tim xc f(g(x)) = f(tIm g(x))

Por Uttimo, por la parte 6,

f(x) xc g(x) tim

r

ii

lImlf(x) g(x) j L I

1

lIm g(x) x-

C

1

lIm tImf(x) xc xc g(x)

de donde se sigue ci resuitado. La parte 8 es conseduencia del uso repetido de Ia parte 6 (técnicamente, por inducción matemática). Demostraremos Ia parte 9 sOlo para raIces cuadradas. Sea f(x) = V, que es continua para nürneros positivos, por el ejemplo 4 de La sección 2.5. Por el Teorema de composición de limites, Jim

f(x) g(x)

= Jim

[J\J

que es equivalente al resultado deseado.

1

x-C g(x) ] = lImf(x)

Jim

k-

g(x)

SECCION A.2

Teorema B

DemostraciOn de varios teoremas 793

Rega de Ia cadena

Sigesu 'renciableenay f c s ii erenci

eu

g(i), entonces f

°

g es diferencia-

bk en a y

(f

a) =

g')

j(g(a))g'(a)

Demostración Daremos una demostración que se generaliza con facilidad a dimensiones superiores (véase La sección 15.6).

Por hipótesis, f es diferenciable en b = g(a); es decir, existe un nümero f'(b) tal que lirn

(1)

f(b +

f(b)

u)

= f'(b)

L1u

Definimos una función r que depende de LIu como

(Lu) =

f(b+ Lu) f(b)

f'(b)

Lu

y multipLicamos ambos lados por zXu para obtener

f(b + Lu)

f(b) =

f'(b)u +

u8(Lu)

0 cuando iu -> 0 en (2). La existencia del lImite en (1) es equivalente a que (u) Si en (2) reempLazamos zXu por g(a + zx) - g(a) y b por g(a), obtenemos

f(g(a +

x)) - f(g(a)) = f'(g(a))[g(a + + [g(a +

x)

x) - g(a)]

g(a)]u)

o bien, al dividir ambos lados entre zIx,

f(g(a + 1x))

f(g(a))

Lx

= f'(g(a))

g(a +

g(a)

x) LIx

g(a + 1x)

g(a)

+ En (3), hagamos iXx iXx

0 impLica que iXu

urn

Es decir, f

0. Como g es diferenciabLe en a, es continua ahI, de modo que 0; esto a su vez impLica que (iXu) -+ 0. Concluimos que

f(g(a))

f(g(a + Ztx °

= f(g(a))

urn

g(a +

x)

g(a)

+0

g es diferenciable en a y

(f 0 g)'(a) = f'(g(a))g'(a)+ I ueoiema

-F

yI

e a peida

'i

Si r e s racie'ial, er I

nces . e diferenciabTii, en uak1iL; x r -1 S. c real V H dende X o abierto

Dr(Xr) = rx1

sié

ui. ir'teI va-

794 Apéndice Demostración Considere primero el caso en que r = 1/q, q con un entero positivo. Recuerde que - b' se factoriza como

- b = (a - b)(a_1 + a-2

+

+

ab2 + b1)

de modo que

ab -

1

-1 + a2b +

bq

q-2

+

+ b"'

AsI, si f(t) =

-x

f'(x) = lIm t-x

= lIm (t1/) t-x

(xh/)'

1 11m t-x (-fl/ +

+

+

(-l)/

11/q-1

1

= qx(l)/

q

Ahora, por la regla de la cadena y con p entero,

D(xP/) =

= p(x11)' D(xl/) q

Teorema D

q

LImites vectoriales

Sea F(t) = f(t)i + g(t)j. Entonce F iene un Ilmite en C Si y solo si f y g tienen 11mites en c. En ese caso,

lImF(t) = 11 IImf(t)]i + Film g(t)]j Li

Lt*c

Demostración Primero, observe que para cualquier vector u = u1i + u2j, U1

U2

U2J

Este hecho se ye fácilmente en la figura 1.

UI'

Ahora suponga que lIm F(t) = L = ai + bj. Esto significa que para cualquier e > 0 existe un > 0 correspondiente tal que

0 0 tal que

Conjunto de problemas 2.5

1.0

f'(x) g(x) para toda x; - g'(x)

No se requieren condiciones 45. (a)

13. Sin puntos crIticos No hay valores mInimos locales ni máximos locales 15. Sin puntos crIticos No hay valores mInimos locales ni máximos locales 17. Valor mInimo -4; valor máximo 19. Valor mInimo 125; sin valores máximos 21. 277 23. MInimo local en x = 0 25. MInimo local en x = 4; máximo local en x = 3 27. MInimo local en x = 3; máximo local en x = -2 29. (a) Creciente en (-oo, -3] U [-1, 0); decreciente en [-3, -1] U (0, oc); Cóncava hacia arriba en (-2, 0) U (0, 2); cóncava hacia abajo en

(-oo,-2) U (2,00); MInimo local x = -3; mInimo local en x = -1;

x = -2, 2 31. MInimo local f(-2) = 12, f(\/) (b) (1.3,5);

(c) (-0.25,3.1) U (6.5,7]

-6.4; máximo local 14.4,f(2.5) = 23.53125 33. Máximo local f(0) -2; mInimo local f(-0.745) = f(0.745) -0.306

f(_\/)

Conjunto de problemas 4.4 1. -4 y 4

3.

2

. (_

(

= 15\/ pies, y = 20\/. pies

7. x

=

10\/.pies, y = 6

15 pies

11. (a) (28, 7.28) (b) (6.8267, 45.098) 13. 2.27 millas rio abajo desde la orilla en P

17. 8:09 A.M.

47. [-0.598, 0.680] 49. h =

2400 IT

t + 27000 - 30

21. h

4IT

19. T

= \/r, x

r3

donde h es Ia altura del cilindro

x es el radio del cilindro y r es el radio de la esfera, 23. (a) 43.48 cm desde un extremo; la longitud menor se dobla para formar un cuadrado (b) No se corta, el alambre se dobla para formar un cuadrado

25. altura =

(3v\113 J

, radio =

27. r = \/,0 = 2 51.

15. En el pueblo

33.

(a) f;

(b)

;

113V\113

31. 11.18 pies (c)

L' = 3, L = 4, 4 = 90°; L' = 5,L = 12,4 = 90°; = 90°,L = \/m2 - h2,L' = h 37. t 13.8279, distancia 0.047851 millones de millas 35. (a)

Respuestas a los problemas impares 39. (a) b (b)

b

=

-

(

11.

x

(c) 50.179 horas

3.0119

Conj unto de problemas 4.5 1. $55 5. n

3. p(n)

= 300 -

R(n)

= 300n 15.

13.

= 200

17.

10

y

19.

7. 1.92 dólares por unidad; 1.33 dólares 9.

(a) R(x) = 20x + 4x2

£; dR 3

dx

= 20 + 8x - x2

-5 -10

(b)0x10 (c)4 = 25,

dR

= Oenx1

11.

x1

13.

p(x) = 8.4 - 0.0006x; 4.20 dólares por yarda

15. (a) C(x)

dx

16000 + 1.40x 16000 + 1.60x

si0

x

21.

23.

25.

27.

4500

si4500

11 - 0.00lx (c) 4500 Ganancia maxima de 4172.50 dólares en x = 450

(b) p(x) = 17. 5.000

4,000

P(x)

0.9

3,000 2,000 1,000

100 200 300 400 500 -1

Conj unto de problemas 4.6 1.

10

29.

Th

31.

3.

-8

-10

5.

-0.1

7.

35.

2X

R-1 3

R-14 Respuestas a los problemas impares 37

(b)

39.

MInimo global: (-

43.

1)

,

Máximo global: (, 3)

Puntos de inflexión: (, ), (,

\2II

(c)

45. 81

c=0

MInimo global: (-

1.5) o (, 1.5)

,

Máximo global: (ir, 3) o (ir, 3) 0

Puntos de inflexión: (-2.2, 0.87), (-0.6, 1.29), (0.6, 1.29), (2.2, 0.87)

(d)

47.

MInimo global: (, 2)

4

Máximo global: (-

,

2)

Puntos de inflexión: (0, 0),

(-2.13, 0.7), (-1.02, 0.8), (1.02,

0.8), (2.13, 0.7) 2X 2 49. (a) No es posible; (b) No es posible;

(c)

(e)

y

x

MInimo global: (2.17, 1.9) Máximo global:

51. (a)

0.97, 1.9)

Puntos de inflexión: (-f, 0), (, 0), (-2.47, 0.54), (-0.67, 0.55), (0.41, 0.40), (2.73, 0.40) 53.

2)

MInimo global: (- , Máximo global: (, 2) Puntos de inflexión: (- , - ), (-

,-

Respuestas a los problemas impares

5. c = -1

7. c = 1

9.c=3-\/o1.27

11.c=0.59

R-1 5

MInimo global: (-1, -6.9)

Máximo global: (7, 48.0)

Puntos de inflexión: (2.02, 11.4) (b)

2

120 100 80 60

2

13. c

(3)3/2

15. C =

0.46

MInimo global: (0, 0) Máximo global: (7, 124.4) Puntos de inflexiOn: o(2.34, 48.09)

19. c =

17. No se aplica, T(0) no es continua en 0 =

1.41

Máximo o mInimo no global

Puntos de inflexión. 0

-5

3X

0

21. No se aplica,f(x) no es diferenciable en x = 0 10

6

4

MInimo global:

(3, -0.9)

Máximo global:

(-1, 1.0) o (7, 1.0)

Puntos de inflexiOn: (0.05, 0.3), (5.9, 0.3)

/

-4

-2

4

2

23. oo1.5,3.75,7

Conjunto de problemas 4.7

Repaso del capItulo 4.8

1.1 0 en los cuadrantes II y IV;

(b) 0;-2(1 - cos3)2

Conjunto de problemas 17.5

1. 8\//3

ttl ttttt

5.

3. 2 + IT/3

13. \/ka/12

11. 20

5. 5/8

7. 6

17. (a) 0; (b) 0; (e) 8ITa4/3 19. (a) 4kira3; (b) 2kITa3; (c) hkii-a(a + h)

Conjunto de problemas 17.6 1. 0 3. 3a2b2c2/4 5. 64r/3 7. 4-

7. (2x - 3y)i - 3xj + 2k

9. x1i + y1j + z1k

11. e cos zi + xe cos zj - xe sen zk

13. 2yz; z2i - 2yk

15. 0; 0

17. 2ex cos y + 1; 2ex sen yk 19. (a) No tiene sentido; (b) campo vectorial; (c) campo vectorial; (d) campo escalar; (e) campo vectorial; (0 campo vectorial; (g) campo vectorial; (h) sin sentido; (1) sin sentido;

(j) campo escalar;

(k) sin sentido.

25. (a) divF = 0,divG < 0,divH = 0,divL > 0; en el sentido de las manecillas del reloj para H, no para los otros.

div F = 0, rot F = 0, div G = -2ye2, rot G = 0, div H = 0, rot H -2xe2k, div L = 1/\/x2 + y2, rot L = 0

Conjunto de problemas 17.2

1. 14(2\/ -1) 7.

3. 2\/

9. 144

11. 0

17. k(17\/i - 1)/6 23. 2 - 2/11-

9. 2

= a/3

= = (c) 4ira4; (d) 4ira4/3; 15.

s.

13.

19. -

25. 2.25 gal

-

(14\/i

ffF. n dS = Jff3 dV

3V(S).

15. (a) 2Oir/3; (b) 4ir; (c) l6ir/3; (d) 1; (e) 36; (1) l2ii-/5; (g) 32ITln2

Conjunto de problemas 17.7 1. 0 3. -2 5. -48i 7. 8ir 15. 1/3

17.

9. 2

11. ir/4

a2joules

Repaso del capItulo 17.8 Examen de conceptos

3.F

1.V 9.V

5.V

7.F

11.V

3. rot(fVf) = frot(Vf) + Vf x Vf = 0 + 0 = 0

15. 19

27. 211-a2

29. 4a2

31. (a) 27; (b) -297/2

Conjunto de problemas 17.3

5. f(x,y) = x3y2 + C

3 y entonces

Problemas de exa men muestra

21. -(a2 + b2)

1. f(x, y) = 5x2 - 7xy + y2 + C

11. V F

9. 117611-

3. No conservativo.

7. f(x,y) = 2xe - yex + C

9. f(x, y, z) = x3 + 2y3 + 3z3 + C 11. 14 15. -ir 19. f(x, y, z) = k(x2 + y2 + z2)

13. 6

5. (a) ir/4; (b) (3IT - 5)/6 7. 47 9. (a) (b) ; (c) 0 11. 613. 0 ;

15. 9(3a - 2)/a2 + b2 + 1 Conjunto de problemas 18.1 1. y = C1e2x + C2e3x 3. y = 5. y = (C1 + C2x)e2x 7. y = e(C1 e 9. y = 3 sen 2x + 2 cos 2x

11. y = e(C cos x + C2 sen x) 13. y = C1 + C2x + C3e4x + C4e'

+ C2 e)

R-52 Respuestas a los problemas impares 15. y

= Ciex + C2e_x + C3cos2x + C4sen2x

17. y

= D1 cosh 2x + D2 senh 2x

19. y =

e2[(Ci + C2x) cos(V'/2)x +(c3 + C4x)sen(V/2)x]

21. y =

(C1 + C2lnx)x2

27. y =

0.5e5l6226x + 0.5e_ll62278x

11. (a)

Q = 2.4 X i0 sen 377t;

(b)

I = 9.05 X 102 cos 377t

I

12 X 10_2 sen 377t

13.

17. d20/dt2 = -(g/L) sen 0

Repaso del capItulo 18.5 Examen de conceptos

5.V

29. y = 1.29099e_O25x sen (0.968246x)

1.F 7.V

Conjunto de problemas 18.2

Problemas de examen muestra

= C1 e3 + C2

1. y

-x

C1 e2x + C2 e3X +

9. y = e3(C1 cos 4x + C2 sen 4x)

ex

7. y = C1 e3x + C2 ex 9. y = C1 e2 + C2 ex - sen x + cos x 11. y = C1cos2x + C2sen2x + xsen2x 13.

y = C1 cos 3x + C2 sen 3x + sen x +

15.y=e2x_e3x+ex 19. y =

11. y = C1 + C2e

15. y = -cos 4t; l;IT/2

17.y=Cie2x+C2ex+x+i?

Conjunto de problemas 18.3 5. y 9. Q =

3. 0.5 m/seg

e1&(cos 8t + 0.02 sen 8t)

10(1 - et)

+ (C3 + C4 x)ex 17. I et sent

e2x

C2 sen x + C3 cos x - x sen x - cos x in sen x

= 0.1 cos 5t; 2ir/5

+ C3e2x

13. y = (C1 + C2 x)e

21. y = Diex + D2e2x + (ex + e2') ln(1 + e_x)

1. y

3. y = 3e2x - 3eX 7. y = (c + C2x +

= ex + C1 eiX + C2 5. y = C1ex + C2e_x - 1 1. y

3. y = (C + C2x)ex + x2 + 5x + 8 5. y

3.V 9.F

7. 14.4 seg

Conjunto de problemas A.1 9. N = 4

11. N =

5

13. P5, P7, P9,... son verdaderas

15. P30, P29, P28,... son verdaderas

17. P, es verdadera para cada i 19. P, es verdadera para cada i 21. Verdadero para n = 1,3,5.....La demostración es por inducción. 23. Verdadero para cada n 3. La demostración es por inducción. 25. Verdadero para cada n 2. La demostración es por inducción. 27. Verdadero para cada n 0. La demostración es por inducción.

índice Abel, Niels Henrik, 463 Abscisa, 19 Aceleración, 106, 134-35, 586-88 en el espacio tridimensional, 613-14,615-16 en movimiento curvilíneo, 579 Acercamiento, solución de ecuaciones mediante, 36 Afelio, 545 Agrupación de términos en una serie infinita, 440 Algoritmo(s), 496 de ordenamiento por burbuja, 410 de ordenamiento rápido, 410 de punto fijo, 499-502, 515 convergencia, 500-502 Amplitud de funciones trigonométricas, 52-54 Ángulo(s) de inclinación, 58 directores, 600-601 rotación de ejes de cónicas y, 536-37,538 Antiderivadas (integrales indefinidas), 209-15 definición, 209 generales, 210 linealidad de, 211-12 notación, 210-11 sustitución en, 372-73 Anualidad, 366 Aproximación(es), 152-54,667-69 lineal, 153-54 a una función, 160 método de, sucesivas, 494 Aproximación de Taylor a una función, 479-87 computarizadas, 491 error de cálculo, 484 error de método, 482-83 herramientas para acotar R n , 483-84 integración numérica, 487-94, 514 regla del punto medio, 493 regla del trapecio, 487-90, 507 regla parabólica (regla de Simpson), 490-91 para ecuaciones diferenciales, 504-11 campos de pendientes, 504-5 método de Euler, 505-9 para resolver ecuaciones, 494-503 algoritmo de punto fijo, 499-502, 515 método de bisección, 90, 494-95, 515

método de Newton, 496-97, 515 polinomio de Maclaurin de orden n, 481-82,513 polinomio de Taylor de orden 1,47980 polinomio de Taylor de orden n, 480 Aproximaciones numéricas, 479-515 Arandelas, método de, 282-83, 291 Arccos, 352 Arcsen, 352 Área, 227-34 de un cono truncado, 298 de un polígono, 754 de una región plana, 372-79 de una superficie de revolución, 298-99 entre dos curvas, 275-76 por debajo del eje x, 274 sobre el eje x, 273-74 de una superficie, 711-15 en coordenadas polares, 550-52 mediante polígonos circunscritos, 230-31 mediante polígonos inscritos, 228-30 velocidad y,231-32 Arquímedes, 228 espiral de, 547, 549 Asíntota(s),40 horizontal,83 límites y,83-84 oblicua, 85,194 vertical, 83 Axioma de completez, 10 Bernoulli, Johann, 404 Bombeo de un líquido, 301-3 Boyle, ley de, 150 Cabeza de un vector, 567 Calculadoras, 7-8 gráficas, 30, 35 Cálculo de varias variables, 595 diferencial, 107 para funciones vectoriales, 577-79 Cálculo vectorial, 731-32 campos vectoriales, 731-35 campo de fuerzas, 732 conservativos, 733 divergencia y rotacional de, 733-34 estacionario, 732 flujo, 751, 756-58

integrales de línea, 735-47 aplicaciones, 749-50 definición, 736 independencia de la trayectoria de, 741-47,770 Teorema fundamental para, 742 trabajo y, 738-40, 770-71 integrales de superficie, 754-59 definición, 754 evaluación, 755-56 Teorema de Green, 748-54, 765 aplicaciones, 749-50 formas vectoriales de, 750-52 Teorema de la divergencia de Gauss, 751,759-64 demostración, 760 extensiones y aplicaciones, 762-63 Teorema de Stokes, 752, 765-68 aplicaciones, 764-67 interpretación física del rotacional y,767 Campo(s) de pendientes, 504-5 escalar, 732 gradiente de, 732-33 gradiente, 655 vectorial,731-35 campo de fuerzas, 732 conservativo, 733 divergencia y rotacional, 733-34 estacionario, 732 flujo, 751, 756-58 Cantidades discretas y cantidades continuas, 188 Capas cilíndricas, método de, 287-93 esféricas, 293 Carbono 14,343 Cardioides, 545 Carrera, 23 Catenaria, 362-63 Cauchy Augustin Louis, 71, 406 desigualdad de, 227 Teorema del valor medio de, 406 Schwarz, desigualdad de, 576 para integrales, 694 Cavalieri, principio de, 279, 287

1-1

1-2

índice

Centro de curvatura, 584 de masa, 306-9, 416-17 integración doble para calcula~ el, 707-8 integración triple para calcula'r el, 719-20 para la densidad de probabilidad, 417 de un círculo, 20 de una cónica, 522 geográfico, 312 Centroide, 308-9 Cicloide, 299, 561-62 acortada, 565 prolata, 565 Cilindro, 619-20 recto, 280 volumen, 16 Circuitos eléctricos, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden aplicadas a, 784 Circulación, 767 Círculo(s) de curvatura (círculo osculador), 584 ecuación, 20-21 ecuaciones polares, 540 unitario, 55-56 Cocientes de funciones, 4~-44 Coeficiente de fricción, 590 Cola de un vector, 567 de una serie, 445 Completando el cuadrado, 21, 384, 532-33 Componentes de vectores, 571 Composición de funciones, 647 Computadoras, 7-8 integración y,491 Concavidad y segunda derivada, 169-71 Condición inicial, 347 Cónica(s),517-39 aplicaciones, 530 central,522 centro, 522 definición, 518 ecuación general de segundo grado, 533-34 ecuaciones polares, 540 elips~517,518,522-31

definición, 527 ecuación 'canónica, 523-24 ecuación polar, 543 ejes, 523' excentricidad, 524 horizontal, 525 propiedad de reflexión, 530 propiedades con cuerdas, 527-28 propiedades ópticas, 528-29 vértices, 522

hipérbola, 517, 518, 522-31 definición, 527 ecuación canónica, 524-26 ecuación polar, 543 ejes, 523 propiedades con cuerdas, 527-28, 530 propiedades ópticas, 528-29, 530 vértices, 522 parábola, 31, 517-22 ecuación canónica, 518 ecuación polar, 543 eje mayor, 518 focos y directriz, 518-19 propiedad óptica, 519-20.530 vértice, 518 rotación de ejes, 536-39 con ángulos no particulares, 538 determinación del ángulo (theta), 536-37 traslación de ejes, 531-35 completando el cuadrado, 532-33 Conjunto(s) abierto, 648 centrales, 522 cerrado, 648 conexos, 742-44 continuidad en, 647-48 convergencia, 459 generales, integrales dobles sobre, 695-97 r-simple, 703 simplemente conexo, 743-44 x-simple, 695 z-simple,703 Cono área de un, truncado, 298 elíptico, 621 Constante del resorte, 301 Continuidad de funciones, 86-93 de funciones de dos o más variables, 645-50, 654-55 de funciones familiares, 86-89 diferenciabilidad y,110-11 en un conjunto, 647-48 en un intervalo, 89 en un punto, 647 Contrapositiva, 3, 437 Convergencia condicional, 456 de una serie de Taylor, 468-71 del algoritmo de punto fijo, 500-502 del método de Newton, 497 lentitud de, 494 radio de, 459-60 Coordenada(s),2 cilíndricas, 623-25 integrales triples en, 722-23

esféricas, 623-24, 625-26 en geografía, 626 integrales triples en, 723-25 x (abscisa), 19 y (ordenada), 19 Corriente, 107 Cosecante, 54-55 Coseno(s),49-52 directores, 600-601 hiperbólico, 359-62 Costo fijo, 188, 189 marginal, 28, 189 variable, 188, 189 variable promedio, 189 Cota superior, 10 Cotangente, 54-55 Coulomb, ley de, 304 Crecimiento de la población, 369 y decaimiento exponencial, 341-46,401 Criterio(s) común de comparación, 448 de comparación, 424 de comparación para límites, 449-50 de convergencia absoluta, 454-55 de comparación de límites, 449-50 de comparación ordinario, 448 de la integral, 444-46 de la suma acotada, 443 del cociente, 450-52 para series armónicas alternantes, 453-54 de la integral, 444-46 de la primera derivada, 175 de la raíz, 452 de la serie 7T, 445 de la suma acotada, 443 de las segundas parciales, 672 de perpendicularidad, 573 del cociente, 450-52 del n-ésimo término para la divergencia, 437-38 del valor absoluto del cociente, 455,456 Cuadrados, 17 Cuadrantes, 19 Cuádricas centrales, 620 Cuantificadores, 3 Cuarta derivada, 133 Cuerda focal,521 vibrante, 782, 787 Cuña cilíndrica, 722 esférica, 723-24

índice Curva(s) cerrada, 559 de nivel gradientes y, 658 para funciones de dos o más variables, 658-60 en el espacio, 609 en el espacio tridimensional, 609-13, 630 en el sistema de coordenadas polares, intersección de, 547 equipotenciales, 639 isosísmicas, 638 isotérmicas (isotermas), 637 orientación, 294 osculatriz (círculo de curvatura), 584 planas, 559-67 cálculo para, definidas en forma paramétrica, 562-64 cerradas, 559 cicloides, 299, 561-62 definición, 559 eliminación del parámetro en la ecuación de, 559-61 longitud de, 293-300 orientada positivamente, 735 simples, 559 recta tangente, 611 representación paramétrica, 771 simple, 559 suave,294 Curvatura, 582-86 centro de, 584 círculo de (círculo osculador), 584 da Vinci, Leonardo, 74 de una curva en el espacio, 614-15 definición, 583 otras fórmulas, 585-86 radio, 584 Decaimiento radiactivo, 343·44 Decibeles, 340 Decimales, 6-7 Delta (o), 15 Deltoide, 566 Demostración por contradicción, 3 Densidad,7 Derivada(s), 99-207, 242 aceleración, 134-35 aplicaciones económicas, 188-92 cálculo, 107-9, 113-20 regla de la función constante, 113 regla de la función identidad, 113-14 regla de la potencia, 114, 142-43 regla de la resta, 115-16 regla de la suma, 115 regla del cociente, 117-19 regla del múltiplo constante, 114 regla del producto, 116-17

concavidad y, 169-71 de funciones con valores vectoriales, 577-79 de funciones de dos o más variables, 633-84 diferenciabilidad,650-56 direccionales y gradientes, 656-61, 684 límites y continuidad, 645-50, 654-55 máximos y mínimos, 670-76 método de Lagrange, 676-81 método de Newton, 683 parciales, 640-45 planos tangentes, 653-54, 666-70 regla de la cadena, 661-66 de funciones hiperbólicas, 360 de funciones inversas, 328-29 de funciones trigonométricas, 120-23 inversas, 354-56 de la función coseno, 121 de la función exponencial natural, 333 de la función logarítmica natural, 320 de orden superior, 133-39 definición, 107 direccional, 684 definición, 656 gradientes y, 656-61, 684 máxima razón de cambio, 657-58 en la modelación matemática, 136-37 formas equivalentes, 109-10 globales, 174 locales, 174-79 máximos y mínimos, 161-67, 179-88 definición, 161 en intervalos abiertos, 179-80 globales, 174 locales, 174-79 método de solución, 182mínimos cuadrados, 182-85 Teorema de existencia, 162 Teorema del punto crítico, 163 monotonicidad y, 168-69 notación de Leibniz, 128-32, 133 parciales, 640-45 cruzadas,643,648 de orden superior, 642-43 interpretaciones geométricas y físicas, 641-42 pendiente de la recta tangente, 99-101,103 problemas de caída de cuerpos, 136 realización de gráficas, 192-97 de funciones polinomiales, 193 de funciones racionales, 194 de funciones utilizando raíces, 195 regla de la cadena, 123-31 aplicaciones, 124-26 demostración parcial, 130-31

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simétrica, 112 tasas relacionadas, 144-51 Teorema del valor medio para, 198-202 demostración, 198 ilustración, 199 Teorema de monotonicidad demostrado mediante, 200 velocidad, 134-35 velocidad instantánea, 99, 101-4 Descartes, René, 19, 539 Descomposición en fracciones parciales factores cuadráticos, 395-97 factores lineales, 393-95 Desigualdad(es), 10-14 compuesta, 10 con valores absolutos, 14-16 de Cauchy, 227 de Cauchy-Schwarz, 576 para integrales, 694 de Minkowski, 331 de Napier, 325 de Young, 331 de la media geométrica y la media aritmética, 18, 681 del triángulo, 18, 576 solución, 10, 11-13 Desplazamiento, 277 Diámetro mayor y menor, 523 Diferenciabilidad continuidad y, 110-11 de funciones de dos o más variables, 650-56 Diferenciación, 107 de funciones compuestas, 124 de series de potencias, 462-64 implícita, 139-44 logarítmica, 323, 339 Diferencial(es), 151-54, 667-69 de la longitud de arco, 297-98 de la variable dependiente, 668 Dirección de vectores, 567 Directriz, 518 Discriminante de la ecuación cuadrática, 16 Distancia, 277 dirigida, 2 Distribución(es) de masa continua a lo largo de una línea, 306-7 en el plano, 307 exponencial,420 normal,428 uniforme, 420 Weibull,420 Divergencia, 733-34, 751 Teorema de la, de Gauss, 759-64 demostración, 760 extensiones y aplicaciones, 762-63

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índice

División, definición, 2 Dominio de una función, 37, 38-39 natural,38-39 restricción de, 351 D x (notación), 123 dy/dx (símbolo), 128-29

e, 332,333 Ecuación(es) autónoma, 401 auxiliar, 774-76 canónica, 523 cúbica, 36 de elipses, 523-24 de hipérbolas, 524-26 de la esfera, 597 de la parábola, 518 del círculo, 20 de onda, 645 de una recta vertical, 25-26 del calor, 645 diferenciales, 215-21, 773-88 aproximaciones numéricas, 504-11 definición, 215-16, 773 lineales de orden n, 774 lineales de primer orden, 347-51 lineales homogéneas, 774-77 lineales no homogéneas, 778-81 logísticas, 401 método de solución por variación de parámetros, 780-81 no lineales, 774 ordinarias de orden n, 773-74 parciales, 645 problemas de movimiento, 217-20 separables de primer orden, 216 separación de variables, 216-17 solución de, 216, 773 general de segundo grado, 533-34 gráficas de, 545-49 lineal, 26, 597-98 paramétricas, 294, 609-10 polares, 540-41 para rectas, círculos y cónicas, 542-44 simétricas, 610 Efecto multiplicador, 441 Eje(s) de cónicas, de rotación, 536-39 con ángulos no particulares, 538 determinación del ángulo (theta), 536-37 de cónicas, de traslación, 531-35 completando el cuadrado, 532-33 ecuación general de segundo grado, 533-34

de coordenadas, 19 de elipses, 523 de hipérbolas, 523 de un sólido de revolución, 281 mayor de la parábola, 518-23 menor, 523 polar, 540 Elementos neutros, 2 Elevación, 23 Elipse(s), 517, 518, 522-31 definición, 527 diámetros mayor y menor, 523 ecuación canónica, 523-24 ecuación polar, 543 ejes, 523 mayor y menor, 523 excéntricas, 524 horizontal,525 propiedad de reflexión, 530 propiedades con cuerdas, 527-28 propiedades ópticas, 528-29 vértices, 522 Elipsoide, 620 Enteros, 1 Epicicloide, 566 Épsilon (e), 15 Error(es) absoluto, 153 del método de Euler, 507, 508 mejorado, 508,509 del método de Runge-Kutta de cuarto orden,509 en la aproximación de Taylor a la función, 482-483 en el cálculo, 484 en la regla del trapecio, 489-90 estimación, 153 para la regla parabólica, 491 relativo, 153 Escalares, 567 Esferas, 597 Esferoide prolato, 285 Espacio n-dimensional derivada(s),633-84 direccionales y gradientes, 656-61, 684 diferenciabilidad,650-56 límites y continuidad, 645-50 654-55 máximos y mínimos, 670-76 método de Lagrange, 676-81 método de Newton, 683 parciales, 640-45 planos tangentes, 653-54, 666-70 regla de la cadena, 661-66 integración en, 685-730 área de una superficie, 711-15 cambio de variables en, 725

integrales dobles, 684-711 integrales triples, 715-22 Espacio tridimensional, 595-631 coordenadas cartesianas en, 595-99 esferas, 597 fórmula de la distancia, 596 gráficas, 597-98 sistemas de mano derecha e izquierda, 595 coordenadas cilíndricas, 623-25 integrales triples en, 722-23 coordenadas esféricas, 623-24, 625-26 en geografía, 626 integrales triples en, 723-25 curva(s) en, 630 movimiento curvilíneo en, 613-19 velocidad, rapidez y aceleración, 613-14,615-16 rectas y curvas en, 609-13 superficies en, 619-23 cilindros, 619-20 cuádrica, 620-22 Teorema de Pitágoras en, 609 vectores en, 599-604 ángulos y cosenos directores, 600-601 binormal,616 longitud de, 599 planos y, 601-2 producto cruz, 604-9 producto punto de, 599-600 Espiral logarítmica, 547 Estimación, 8-9, 145 errores, 153 Estrofoides, 555 Euler constante de, 446 Leonhard,332,478, 505 método de aproximación numérica para ecuaciones diferenciales, 505-9 mejorado (método de Heun), 507-9 para ecuaciones de segundo orden, 788 Teorema de, 666 Excentricidad,518 Exponenciales, formas integrales canónicas para, 372 Extremos. Véase Máximos y mínimos Faetor(es) cuadráticos, descomposición en fracciones parciales, 395-97 de amortiguamiento, 783 integrante, 347 lineales, descomposición en fracciones parciales con, 393-95

índice Fermat, Pierre de, 19, 539 Fibonacci, sucesión de, 435 Flujo, 751 irrotacional,752 Foco,518 Forma(s) canónica para la ecuación de un plano, 601-2 indeterminadas, 403-13 de la forma 00 - 00, 410-11 de la forma O . 00,410-11 de las formas O; 00; 1,411-12 del tipo 00/00, 409-10 integral canónica para la constante, 372 punto-pendiente de la ecuación de una recta, 24-25, 26 Fórmula(s) cuadrática, 16 de la distancia, 19-20 en el espacio tridimensional, 596 explícita para una sucesión infinita, 429 para el punto medio, 21, 597 para sucesiones infinitas, 429 para sumas (Sigma), 223-25 recursiva para una sucesión infinita, 429 reducción, 389 Fourier Jean Baptiste Joseph, 458 series de, 381, 458 Fracción continua, 503 Frecuencia circular de oscilación, 59 circular de oscilación v, 59 Fresnel, integrales de, 368 Frontera de un conjunto, 648 Fuerza, 300-305 Función(es) acumulación, 43, 242-44 algebraicas, formas integrales canónicas de,372 aplicaciones, 362-63 aproximación de Taylor, 479-87 error de cálculo, 484 error de método, 482-83 herramientas para acotar, 483-84 polinomio de Maclaurin de orden n, 481-82,513 polinomio de Taylor de orden 1, 479-80 polinomio de Taylor de orden n, 480 aproximación lineal, 160 armónica, 644 beta, 392 circulares, 49, 359 composición, 45-46, 647 compuesta, 45-46 diferenciación, 124

con valores vectoriales, 577-79 constante, 47 continua, 344 continua por la derecha, 89 continua por la izquierda, 89 continuidad, 86-93, 344 cuadrática, 47 de acumulación, 43, 242-44 de densidad de probabilidad, 314, 41618,427 Cauchy, 427 exponencial, 420 gamma, 426-27 normal, 417-18,427-28, 704-6 Pareto, 426 uniforme, 420 Weibull,420 de densidad de probabilidad gamma, 426-27 de densidad de probabilidad normal, 336 de densidad de probabilidad normal canónica, 417 de densidad de probabilidad Pareto, 426 de distribución acumulada, 314, 427 de dos o más variables, 504 con valores reales, 633-38 derivadas. Véase Derivada(s) diferenciabilidad,650-56 definición, 73 mediante una tabla, 262-63 definiciones, 359 derivadas, 360 diferenciación de la composición, 124 discontinuas, 86 dominio, 37, 38-39 especial(es),368 estrictamente monótona, 326 exponencial, 338 con base a, 336-37 general, 336-41 natural,331-36 formas canónicas integrales algebraicas, 372 gamma,424 gráficas, 39-40 corrimiento y cambio de escala, 97 hiperbólicas, 359-64 inversas, 361-62 identidad, 47 impares, 40-41 inversas, 325-31 derivadas de, 328-29 existencia de, 326-27 gráfica de, 327-28 invertible, 158 jacobiano, 725

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lineales, 47,115 localmente lineal, 651-52 loga' 337-38 logarítmicas, 337-40 logaritmo natural, 319-25 definición, 320 derivada, 320-21 diferenciación implícita, 323 gráfica, 323 propiedades, 321-23 máximo entero, 41 no creciente, 202 no decreciente, 202 notación, 38 objetivo, 161 operaciones, 43-49, 87 pares, 40-41 Teorema de simetría, 261 polinomial, 47, 86. Véase también Funciones polinomiales graficación, 193 polinomiales, 47, 86 de dos variables y su continuidad, 647 potencia, 338 potencial, 733 racional, 47, 86 de dos variables y su continuidad, 647 definición, 392 graficación, 194 impropia, 392 integración, 392-99 propia, 392 raíz n-ésima, 87 rango, 37, 38-39 trascendente(s), 319-69 exponencial natural, 331-36 exponencial y logarítmica generales, 336-41 hiperbólicas, 359-64 logaritmo natural, 319-25 inversas, 325-31 trigonométricas inversas, 351-58 traslaciones, 46-47 trazo, 164 trigonométricas, 49-60 deriv~das, 120-23 formas integrales canónicas, 372 identidades, 56 inversas, 351-58 límites, 77-80 periodo y amplitud, 52-54 seno y coseno, 4?-52 tangente, cotangente, secante y cosecante, 54-55 trigonometría de ángulos y,55-56 trigonométricas inversas, 351-58 derivadas de, 354-56 identidades para, 354

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índice

límites de, 77-80 periodo y amplitud, 52-54 seno inverso y coseno inverso, 351-52 uno a uno, 326 valor absoluto, 41, 86-87 valores extremos, 162. Véase también Máximos y mínimos Galería de murmullos, 530 Galileo Galilei, 99,136 Ganancia marginal, 28, 189 total,188 Geografía, coordenadas esféricas en, 626 Géométrie, La (Descartes), 19 Gradiente(s),652 curvas de nivel y, 658 de un campo escalar, 732-33 derivadas direccionales y,647 recuperación de la función a partir de su, 744-46 reglas, 654 Grado, 24 de una función polinomial, 47 Gráfica(s) cuadrática, 31 cúbica, 31 de contorno, 635-38 de dispersión, 183 de ecuaciones, 29-33 dé funciones, 39-40 corrimiento y cambio de escala, 97 de funciones inversas, 327-28 de la función logarítmica natural, 323 de una ecuación polar, 540, 545-49 del seno y el coseno, 50-52 en el espacio tridimensional, 597-98, 634-35,636 intersecciones, 31-32 con los ejes, 30-31 simetría, 29-30 Graficación derivadas y, 192-97 de funciones con radicales, '195 de funciones polinomiales, 193 de funciones racionales, 194 mediante la tecnología, 35 Green George, 748 Teorema de, 748-54, 765 aplicaciones, 749-50 formas vectoriales, 750-52 Gudermanniano, 364 Hélice circular, 613·14 Herón, fórmula de, 609 Heun, método de (método de Euler mejorado),507-9

Hipérbola, 517, 518, 522-31 definición, 527 ecuación canónica, 524-26 ecuación polar, 543 ejes, 523 propiedades con cuerdas, 527-28, 530 propiedades ópticas, 528-29, 530 vértices, 522 Hiperboloide de dos hojas, 621 de una hoja, 620 Hipocicloide, 565, 592-93 de cuatro cúspides, 566 de tres cúspides (deltoide), 566 Hipócrates de Chios, 385 Hoja de Descartes, 567 Hooke, ley de, 182-83 Huygens, Christian, 562 Identidades de cofunciones, 56 de funciones trigonométricas, 56 inversas, 354 impar-par, 56 para el doble de un ángulo, 56 para el producto, 56 para la mitad de un ángulo, 56, 377 para la suma, 56 pitagóricas, 56, 377 Igualación de coeficientes, método para calcular series de Maclaurin, 474 Igualdad de las parciales cruzadas, 648 Incrementos, 128 Independencia de la trayectoria para integrales de línea, 741-47, 770 conservación de la energía y,746 criterios para, 742-44 recuperación de la función a partir de su gradiente, 744-46 Índice falso, 223 Inducción matemática, 3, 789-91 Infinitesimales, 129 Ingreso marginal, 189 total,188 Integración, 211, 371-401 computadoras e, 491 de funciones racionales, 392-99 descomposición en fracciones parciales (factores cuadráticos), 395-97 descomposición en fracciones parciales (factores lineales), 393-95 de series de potencias, 462-64 en el espacio n-dimensional, 685-730 área de una superficie, 711-15 cambio de variables en, 725

integrales dobles, 684-711 integrales triples, 715-22 interior, 693 límites de, 236, 717 Monte Carlo, 729-30 numérica, 487-94, 514 regla del punto medio, 493 regla del trapecio, 487-90, 507 regla parabólica (regla de Simpson), 490-91 por partes, 386-92 en integrales definidas, 386-88 en integrales indefinidas, 386 fórmulas de reducción, 389 repetidas, 388 por sustitución, 371-76 en integrales definidas, 374 en integrales indefinidas, 372-73 manejo del integrando, 374 uso de un sistema de álgebra por computadora, 400 Integral(es), 209-317 antiderivadas (integrales indefinidas), 209-15 definición, 209 generales, 210 linealidad,211-12 notación, 210-11 sustitución, 372-73 área, 227-34 de una región plana, 372-79 mediante polígonos circunscritos, 230-31 mediante polígonos inscritos, 228-30 velocidad y,231-32 de línea, 735-47 aplicaciones, 736-38 definición, 736 independencia de la trayectoria, 741-47,770 Teorema fundamental, 742 trabajo y, 738-40, 770-71 de probabilidad, 704 de superficie, 754-59 definición, 754 evaluación, 755-56 definición, 686 definidas, 227, 234-41, 242, 685 evaluación, 258-65 integración por partes, 386-88 integración por sustitución, 374 linealidad, 245-46 propiedad de la suma por intervalos, 239-40 sumas de Riemann y, 234-35, 270 Teorema de integrabilidad, 237 dobles, 685-711 aplicaciones, 706-11

índice sobre conjuntos generales, 695-97 sobre regiones no rectangulares, 695-701 en coordenadas cilíndricas, 722-23 en coordenadas esféricas, 723-25 en coordenadas polares, 702-6 evaluación, 688-89, 695-97 generalización, 754. Véase también Integrales de superficie impropias, 414-25 con límites infinitos, 414-15 convergentes, 414 definición, 414 divergentes, 414 interior, 693 iteradas, 691-95, 702 definición, 692 evaluación, 692-93 para el cálculo de volúmenes, 693 paradoja de la trompeta de Gabriel, 418-19 propiedades, 687-88 seno, 368 sobre rectángulos, 685-91 sobre regiones no rectangulares, 695-701 trigonométricas, 377-81 triples, 715-27 definición, 716 en coordenadas cartesianas, 715-22 Integrando(s),211 infinitos, 420-25 en un punto extremo, 421-22 en un punto interior, 422-23 manejo para la integración por sustitución, 374 radicales en, 381-86 Interés compuesto, 344-45 Interior de un conjunto, 648 Intersecciones con el eje x, 30 con el eje y, 30 de gráficas, 31-32 con los ejes, 30-31 Intervalos, 10 abiertos, 10 extremos en, 179-80 cerrado, 10 continuidad en, 89 partición regular de, 237-38 Inverso aditivo (opuesto), 2 multiplicativo (recíproco), 2 Isobaras, 639 Jacobiano, 725 Joules, 301

Kepler ecuación de, 503 Johannes, 99, 525 tercera ley de las órbitas circulares de, 582 Kirchhoff, ley de, 349 Knuth, Donald, 496 Lado recto, 521 Lagrange identidad de, 608 Joseph Louis, 482 método de, 676-81 aplicaciones, 678-80 interpretación geométrica de, 676~ 78 multiplicadores de, 676 polinomios de interpolación de, 486~87 L'Hopital Guillaume Franc;ois Antoine de, 404 regla de, 432 para formas indeterminadas del tipo 00/00,409 para formas indeterminadas del tipo O/O, 404-6, 407 Láminas, 706 centro de masa de, 307-8 volumen de, 280 Laplace ecuación de, 644 Pierre Simon de, 427 transformada de, 427 Le Lionnais, Franc;ois, 333 Leibniz Gottfried Wilhelm von, 71, 116, 128,242 notación de, 128-32, 133 Lemniscatas, 546 Lentes, 528 Lentitud de convergencia, 494 Ley(es) anticonmutativa, 605, 607 asociativas, 2 conmutativas, 2 de conservación de la energía, 746 de la gravitación de Newton, 159, 728 del cuadrado inverso para la atracción de la gravedad,.732 del paralelogramo, 567 del tercero excluido, $ del triángulo, 567 distributiva, 2 por la izquierda,1607 Limac;ons, 545, 551 Límite(s), 60-85, 645-50, 654-55 asíntotas y, 83-84 cálculo como estutlio de, 60, 795 de funciones de dos o más variables, 645-50,654-55 de integración, 717 demostracione~ de, 67-70

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en infinito, 81-82 inferior de integración, 236 infinitos, 82-83, 414-15 laterales, 63-70 por la izquierda, 63 significado intuitivo, 60-61 preciso, 65-67 superior de integración, 236 Teoremas de, 72-76 de funciones trigonométricas, 77-80 Teorema de sustitución, 74 Teorema del emparedado, 75-76 Teorema del límite de la composición, 88-89 Teorema principal de límites, 72-73, 74-75,82 vectoriales, demostración de, 794-95 Línea(s) de mínimos cuadrados, 185 distribución continua de masa a lo largo de, 306-7 ecuaciones de, 26 ecuaciones polares para, 540 en el espacio tridimensional, 609-13 forma punto-ordenada al origen para la ecuación de, 25, 26 forma punto-pendiente para la ecuación de, 24-25, 26 normal,144 paralelas, 26 pendiente de, 23-24 perpendiculares, 26-27 real,2 orden en, 3 recta, 23-28 secante, 99,160 tangente, 160 vertical, ecuación de, 25-26 Lipschitz, condición de, 201 Lissajous, figura de, 366 Logaritmos comunes, 321, 338 Longitud (magnitud) de arco, 294-98, 317 diferencial de, 297-98 de una curva plana, 293-300 de vectores, 572- ~3 en el espacio tridimensional, 599 Luz, reflexión y refracción, 206 ~achin,John,357

Maclaurin Colin, 468 fórmula de, 474, 482 serie de, 467-74 método de igualación de coeficientes para calcular, 474 serie binomial, 471-73

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índice

Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas, 368 Mapas de contorno, 635-38 aplicaciones, 637 Maple (software), 8, 400 Máquina discontinua, 86 Masa centro de, 306-9, 416-17 integración doble para calcular, 707-8 integración triple para calcular, 719-20 para la densidad de probabilidad, 417 Mathematica (software), 8, 400 Máximos y mínimos, 161-67, 179-88 de funciones de dos o más variables, 670-76 condiciones suficientes para, 672 definición, 670 Teorema de existencia máx-mín, 671 Teorema del punto crítico, 671 definición, 161 en intervalos abiertos, 179-80 globales, 174,670,671 locales, 174-79 criterio de la primera derivada para, 175 criterio de la segunda derivada para, 176-78 método de solución, 182 mínimos cuadrados, 182-85,675 Teorema de existencia, 162 Teorema del punto crítico, 163 McGwire, Mark, 594 Media, 227, 416 aritmética, 18,204 geométrica, 18,204 Medición del tiempo, 135 Medida de la distancia de un cuadrangular, 594 Memorización, 117 Método de aproximaciones sucesivas (método de iteraciones), 494 de bisección, 90, 494-95, 515 de coeficientes indeterminados, 778-80 de discos, 281-82 de Euler mejorado (Método de Heun), 507-9 de iteraciones, 494 de las capas cilíndricas, 287-93 de Runge-Kutta de cuarto orden, 509 de sustitución, 258-61 de variación de parámetros, 780-81 Mínima cota superior, 10 Mínimos cuadrados, 182-85, 369, 675 Minkowski, desigualdad de, 331 Mobius, banda de, 756 Modelación matemática, 136-37, 188

Modelos, 54 Momentos, 305-6 de inercia, integración doble para calcular, 708-9 Monotonicidad y primera derivada, 168-69 Montaña rusa en espiral, 631 Movimiento armónico simple, 782 circular, 59 circular uniforme, 579-80 críticamente amortiguado, 783 curvilíneo en el espacio tridimensional, 613-19 vectores y, 579-82 sobreamortiguado, 783-84 Multiplicación propiedad de orden, 3 propiedades de campo, 2 Múltiplo escalar, 568 Napier desigualdad de, 325 John, 321 Negación, 3 n-ésima suma parcial, 436, 443 Newton Isaac, 71,99,242, 732 ley de gravitación de, 159,728 ley del cuadrado inverso de, 582 ley del enfriamiento de, 345 método de, 496-97, 515 para dos ecuaciones en dos incógnitas, 683 segunda ley de, 182 Newtons-metro,301 Norma,236 Notación con apóstrofes, 133 D,133 de Leibniz, 128-32, 133 o minúscula, 152 para antiderivadas, 210-11 para funciones, 38 sigma, 221-27 Números complejos, 2 de condición, 367 directores, 609 impares, 5 irracionales, 2, 7 representaciones decimales de, 7 naturales, 1 primos, 5 racionales, 1-2, 7 representación decimal de, 6-7 reales, 2 propiedad de completez, 10,435

Operaciones algebraicas en series de potencias, 46465 aritméticas, 2 Operador, 113 lineal, 115,347 Opuesto (inverso aditivo), 2 Órbita síncrona, 582 Ordenada, 19 Orientación de una curva, 294 Origen, 19,595 recta de mínimos cuadrados por el, 184 simétrico con respecto del, 30 polo, 540 Pappus, Teorema de, 309 Parábola, 31, 517-22 ecuación canónica, 518 ecuación polar, 543 eje mayor, 518 foco y directriz, 518-19 propiedad óptica, 519-20, 530 vértice, 518 Paraboloide, 621 elíptico, 621 hiperbólico, 621 Paradoja del cuerno de Gabriel, 418-19 Paralelepípedo, 596 Parámetro, 293, 559 Pareja ordenada, 19 Partición regular, 237-38 Paso, 24 Pendiente ordenada al origen, forma de la ecuación de una recta, 25, 26 de una recta, 23-24 tangente, 99-101, 103 Perihelio, 545 Periodicidad y evaluación de integrales definidas, 262 Periodo de funciones trigonométricas, 52-54 Pies-libra, 301, Pitágoras, Teorema de, 19 en el espacio tridimensional, 609 generalización, 265 Plano(s) distribuciones de masa en, 307 forma canónica para la ecuación de, 601-2 osculador, 616 rotaciones en, 558 tangente, 653-54, 666-70 vectores en el espacio tridimensional y, 601-2 Población mundial, 341-42 Polígonos, área de, 754 mediante, circunscritos, 230-31 mediante, inscritos, 228-30

índice Polinomio de Maclaurin de orden n, 481-82, 513 Potencia(s) de funciones, 43-44 definición, 316 formas integrales canónicas, 372 Potencial magnético, 420 Precálculo, 60 Precio, 188 marginal,189 Primer Teorema fundamental del cálculo, 242-50 demostración, 244, 246-47 Primera derivada, monotonicidad y, 168-69 Problema(s) con extremo libre, 676 con extremos restringidos, 676 de caída de cuerpos, 136,218 de movimiento, 217-20 gráfico de tasas relacionadas, 148-49 Productos aplicaciones, 606-7 cruz, 604-9 de funciones, 43-44 interpretación geométrica, 605-6 propiedades algebraicas, 607 punto de vectores, 572-73 en el espacio tridimensional, 599-600 Propiedad(es) de acotación, 245 de aditividad en un intervalo, 239-40 de campo,2 de comparación, 244-45 de completez de los números reales, 435 de cuerdas, 530 de elipses, 527-28 de hipérbolas, 527-28, 530 de orden, 3-4 de reflexión de la elipse, 530 ópticas de elipses, 528-29 de hipérbolas, 528-29, 530 de una parábola, 519-20, 530 Proyección escalar, 575 vectorial,574-75 Punto(s) continuidad en un, 647 crítico, 162 de inflexión, 171-72 de prueba, 11-12 de separación, 11-12 de silla, 672 equicordales, 551 estacionario, 162,401,671 _extremo inicial, 559 extremos finales, 559 frontera, 648, 671

interior, 647-48 muestra, 234, 685 singular, 162, 671 Quinta derivada, 133 Racionalización de sustituciones,

381-86 RadicareS en integrandos, 381-86 Radio;20 de convergencia, 459-60 de curvatura, 584 de giro, 709 Raíces complejas conjugadas de la ecuación auxiliar, 776 cuadradas, 16-19 principal, 16 graficación de funciones utilizando, 195 reales distintas de la ecuación auxiliar, 775 simple repetida de la ecuación auxiliar, 775-76 Ramanujan, Snirivasa, 465, 477 Rango de una función, 37, 38-39 Rapidez, 569 de movimiento curvilíneo, 579 en el espacio tridimensional, 613-14 velocidad y, 104, 135 Razón áurea, 435 de cambio, 104 de tiempo, 144 fraccionaria, 366 relativa, 366 Rebanadas, método de integración mediante aproximación con, 274-76 Recíproco, 3 (inverso multiplicativo), 2 Recta normal,144 paralelas, 26 perpendiculares, 26-27 real,2 orden en, 3 secante,99,160 tangente, 160 a una curva, 611 definición, 100 pendiente de, 99-101, 103 Rectángulo(s) integrales dobles sobre, 685-91 polar, 701 Reflexión, 36 de la luz, 206 Refracción de la luz, 206 Regla(s)

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de la cadena, 123-31 aplicaciones, 124-26 para funciones de dos o más variables, 661-66 de la función constante, 113 de la función exponencial, 337 de la función identidad, 113-14 de la potencia, 210, 259 demostración, 793-94 generalizada, 212-213 para calcular derivadas, 114, 142-43 de la resta, 115-16 de la suma, 115 de sustitución para integrales definidas, 260-61 para integrales indefinidas, 259-60 del cociente, 117-19 del múltiplo constante, 114 del producto, 116-17 del punto medio, 493 del trapecio, 487-90, 507 error en, 489-90 generalizada de la potencia, 212-13,259 parabólica (regla de Simpson), 490-91, 507 Resortes, 301 vibrantes, 782, 787 Resta de funciones, 43-44 definición, 2 Restricción del dominio, 351 Resultante de vectores (suma), 567 Retratos fase, 787-88 Richter, escala, 340 Riemann, integral de. Véase Integrales definidas sumas de, 234-35, 270 Rolle, Teorema de, 201 Rosas, 546-47, 558 Rotación(es) de ejes de cónicas, 536-39 determinación del ángulo (theta), 536-37 mediante ángulos no particulares, 538 en el plano, 558 Rotacional de un campo vectorial, 733-34 interpretación física, 767 Rueda de feria, 631 Secante, 54-55 Secciones transversales, 619 Segunda derivada, 133 concavidad y, 169-71 derivadas parciales, 642-43

1-10 índice Segundo Teorema fundamental del cálculo, 251-58,741 demostración, 251 Teorema del valor medio y,254-55 Seno, 49-52 derivada de la función, 120-21 hiperbólico, 359-62 Separación de variables, 773-74 Series alternantes, 453-58 armónicas, 453 criterio de convergencia absoluta para, 454-55 criterio del valor absoluto del cociente para, 455, 456 criterios de series alternantes para, 453-54 binomial,471-73 cola de, 445 de potencias, 458-76 conjunto de convergencia, 459 de Taylor y Maclaurin, 467-74 en x-a, 460-61, 465 operaciones con, 462-67 de Taylor y Maclaurin, 467-74 definición, 443 infinitas, 435-78 agrupación de términos, 440 armónicas, 438 con términos positivos, 442-53 convergentes, 436, 439-40 de potencias, 458-75 divergentes, 436,437-38 geométricas, 436-38 para aproximar, 477 telescópicas, 438 resultado en un punto extremo, 463 telescópica, 438 Sigma, notación, 221-27 Signo de integral, 211 Símbolos para clases de números, 2 Sistema algebraico por computadora (CAS), 35 integración mediante, 400 de coordenadas cartesianas (rectangulares), 19-23, 539 de mano derecha, 63, 70 de mano izquierda, 595 en el espacio tridimensional, 595-99 integrales triples en, 715-22 numérico real, 1-6 relación con el sistema de coordenadas polares, 541-42 de coordenadas polares, 539-55 cálculo en, 550-55 integrales dobles en, 547 relación con las coordenadas • cartesianas, 541-42

Snell, ley de, 186,206 Sólidos volumen de, 280-93 cilindro elíptico, 216 de revolución, 281 método de arandelas, 282-83, 291 método de capas, 287-93 método de discos, 281-82 método de rebanadas, 280 Solitones, 367 Solución(es) analíticas, 504 aproximaciones numéricas para resolver ecuaciones, 494-503 algoritmo de punto fijo, 499-502,515 método de bisección, 90, 494-95, 515 método de Newton, 496-97, 515 de ecuaciones diferenciales, 216, 773 general, 347, 773 independientes de ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, 774 particular, 347, 773 Stirling, fórmula de, 335, 447 Stokes George Gabriel, 765 Teorema de, 752, 765-68 aplicaciones de, 764-67 interpretación física del rotacional y, 767 Sucesión(es), 221 de sumas parciales, 443 definición, 443 infinitas, 429-35 convergentes, 430-33 divergentes, 430 fórmulas para, 429 monótonas, 433 Suma(s) aritmética, 226 de funciones, 43-44 de Riemann, 234-35, 270 de vectores, 567 fórmulas especiales para, 223-25 geométrica, 226 notación sigma y,221-27 parciales, sucesión de, 443 por partes, 227 propiedades de, 222-23 campo, 2 orden, 3 telescópica, 223 Superficie(s) de nivel, 640, 659 de revolución, área de, 298-99 en el espacio tridimensional, 619-23

cilindros, 619-20 superficie cuádrica, 620-22 equipotenciales, 639, 659 isotérmicas, 659 parametrizada, 771-72 Tabla(s) de integrales, 375 funciones definidas mediante, 262-63 Tamaño de lotes, 184 de paso, 505 Tangente, 54-55 en coordenadas polares, 553-54 Tasas relacionadas, 144-51 problema gráfico de, 148-49 Taylor, aproximación a una función, 479-87 Brook,468 convergencia de, 468-71 error de cálculo, 484 error de método, 482-83 fórmula con residuo, 468 herramientas para acotar Rn , 483-84 polinomio de, de orden 1,479-80 polinomio de, de orden n, 480 polinomio de Maclaurin de orden n, 481-82,513 series de, 467-74 Teorema de, 469 Temperatura Celsius,18 Fahrenheit, 18 relación de Celsius con Fahrenheit, 18 Teorema(s),3 de existencia, 162 máximo-mínimo, 671 de integrabilidad, 237, 687 de la función inversa, 328-29, 354 de monotonicidad demostrado mediante el, del valor medio, 200 de reordenación, 456 de simetría, 261-62 de sustitución, 74 de unicidad, 467 del eje paralelo, 710 del emparedado, 75-76,432 del límite de la composición, 88-89 del punto crítico, 163, 671 del valor intermedio, 89-91 fundamental de la aritmética, 5 fundamental del cálculo, 685. Véase también Primer Teorema fundamental del cálculo y Segundo Teorema fundamental del cálculo fundamental para integrales de línea, 742

índice principal de límites, 82 aplicaciones, 72-73 demostración, 74-75, 792 Teoría de relatividad especial, 85 Tercera derivada, 133 Thompson, Silvanus P, 394 Tiempo(s) de duplicación, 342 de espera, 420 de ordenamiento, 410 medición, 135 Torca,605 Torricelli, ley de, 221 Trabajo, 300-305 bombeo de un líquido, 301-3 integrales de línea y, 738-40, 770-71 resortes, 301 Tractriz, 386 Transformaciones, 532 Transitividad,3 Traslación(es) de ejes de cónicas, 531-35 completando el cuadrado, 532-33 ecuación general de segundo grado, 533-34 de funciones, 46-47 Trazas, 598, 619 Triángulo(s) fundamental, 525 semejantes, 146 Tricotomía, 3 Triedro, 616 Trigonometría de ángulos y funciones trigonométricas, 55-56 Unión, 12 Uso y abuso del lenguaje, 228 Valor(es) absolutos, 14-19 desigualdades con, 14-16 propiedades de, 14 esperado de una variable aleatoria, 314 extremo global, 670, 671 extremo local, 174-75, 670, 671 futuro, 366 máximo global, 174,670,671 máximo local, 670, 671

medio (valor promedio), 255 mínimo global, 174, 670, 671 mínimo local, 670, 671 presente, 366 Variable(s) aleatoria, 314,416 aleatorias continuas, 416 aleatorias discretas, 416 dependiente, 39, 633 diferencial de, 151,668 falsa, 237 independiente, 39, 633 diferencial de, 151 separación de, 773-74 Varianza, 227 de una función de densidad de probabilidad,417 Vecindad,647 Vector(es),567-94 aceleración, 586-88 aplicaciones, 568-69 base, 574, 599 binormal,616 cero,568 cola y cabeza de, 567 componentes, 571 curvatura y, 582-86 centro de, 584 círculo de (curva osculatriz), 584 definición, 583 otras fórmulas para, 585-86 radio de, 584 de curvatura, 583 de posición, 579 definición, 567 dirección de, 567 en el espacio tridimensional, 599-604 ángulos y cosenos directores, 600-601 binormal,616 longitud, 599 planos y,601-2 producto cruz, 604-9 producto punto, 599-600 equivalentes, 567 magnitud (longitud), 572-73, 599 movimiento curvilíneo y,579-82 circular uniforme, 579-80

1-11

rapidez de, 579 velocidad y aceleración en, 579 normal unitario, 586 principal,615 operaciones en, 567-68, 571-72 ortogonales, 573 producto punto de, 572-73, 599-600 proyecciones, 574-75 tangente unitario, 583, 614 Velocidad,134-35 angular, 121 área y,231-32 de escape, 219 en el espacio tridimensional, 613-14 instantánea, 99, 101-4 movimiento curvilíneo y,579 promedio, 101-4 rapidez y, 104, 135 Verhulst, Pierre, 401 Vértice(s) de elipses, 522 dé hipérbolas, 522 de una parábola, 518 Vibraciones amortiguadas, 782-84 Vida media, 343 Volumen(es),687 de sólidos, 280-93 cilindro elíptico, 316 de revolución, 281 método de arandelas, 282-83, 291 método de cascarones, 287-93 método de discos, 281-82 método de rebanadas, 280 de un cilindro, 16 de una moneda, 280 integración doble para calcular, 706 integrales iteradas para, 693 Weibull, distribución de, 420 Weierstrass, Karl, 71 Whitehead, Alfred, N., 117 Young, desigualdad de, 331 Zenón de Elea, 435 paradoja de, 441-42

Créditos de fotografías Al reverso de la portada Descartes Newton Leibniz Euler Kepler Pascal L'Hopital Bernoulli Lagrange Gauss Cauchy Riemann Lebesgue Agnesi Weierstrass Kovalevsky Gibbs

Frans Hals/Louvre Library of Congress The Granger Collection, New York Library of Congress Library of Congress Courtesy of lnternational Business Machines C?rporation. Unauthorized use not permitted The Granger Collection, New York The Granger Collection, New York New York Public Library The Granger Collection, New York Corbis The Granger Collection, New York The Granger Collection, New York Library of Congress Corbis Library of Congress Corbis

Texto p.219 p.224 p.362 p.418

Kennedy Space Center/NASA Susan Van Etten/PhotoEdit David Frazier/Photo Researchers, lnc. Scala/Art Resource, NY

(-1

'-'-JI'I

L

r-'\'-lVI

-------------------------------------------------~i-----------------------------------------------~i.----------------------------------------------

..o 1'3

..o 13

010-

GEOMETRíA

b~

Q:

010-

INTEGRALES

ro

Triángulos 1. Teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2

a

.1

a

'Y

¡

3. 1 Ángulos a + f3 + 'Y

=

b

6.

Circunferencia

e =

Área

A = 7rr 2

27rr

7. 8.

0~

Cilindros Área de la superficie S = 27rr 2 + 27rrh Volumen V = 7rr 2h

9. 10.

6SJ CG

Conos Área de la superficie S = 7rr 2 + 7rr~ Volumen

V = ~7rr2h

12.

]\rea de la superficie S = 47rr 2

14.

V = ~ 7rr 3

15. 16.

CONVERSIONES 1 pulgada

1 litro

=

2.54 centímetros

=

1000 centímetros cúbicos

1 kilogramo 7r

radianes

=

=

2.20 libras

180 grados

17.

1 kilometro = 0.62 millas

1 litro = 1.057 cuartos 1 libra = 453.6 gramos

1 pie cúbico

=

acompaña a

CÁLCULO, 8 a edición e

1 1 1 1 1 1

7.48 galones

18.

Pureell, Varberg y Rigdon

e

senu du = -cosu + cos u du = sen u +

e

sec 2 u du = tan u +

e

csc 2 U du = -cot u +

e

DERIVADAS

e

sec u tan u du = sec u +

Dxx r = rx r -

csc u cot u du = -csc u + tanu du = -lnlcosul +

13. 1 cotu du = lnlsen ul +

Esferas

Volumen

11.

.1

1 1 1 1 1

19. 1

Formulario que

n *-1

'

e

5. 1 a"du = -a" + lna

Círculos

G

e

~dU = lnlul + e

4. 1 e" du = e" +

Cualquier triángulo

ro

v du

1800

Área A = ~bh

1

1

2. 1undu = _1_ un + 1 + n + 1

Triángulo rectángulo

/SI

u dv = uv -

Q

e e

secu du = lnlsecu + tanul + cscu du = lnlcscu - cotul +

1 ~du = sen- I -u + a2 - u 2 a

e

e

=

cos x

Dxcosx = -senx

D x tan x

=

sec2 x

D x cot x

+

e e

-csc 2 X

=

D x sec x = sec x tan x

D x csc x = -csc x cot x

D x senh x

D x coth x

=

cosh x

=

-csch2 X

D x cosh x = senh x

D x sech x = -sech x tanh x

sech 2 x

D x csch x = -csch x coth x

D x tanh x

=

=

~

1

1

Dxlogax

Dxe x = eX

e

~dU = !sec-II~I u2 - a2 a a

D x sen x

Dxlnx

-2-1- d u = ~ln 1 lu -+al + a - u2 2a u - a

u

Dxlxl = ~

e

e

I -u + 1 -2-1- d u = -tana + u2 a a

Ixl

I

Dxa x = a Xlna

1

Dxsen-1x= ~

Dx tan

= xlna

Dxcos

-1

_

1

-1

x = 1 + x2

-1

x- ~

1

Dxsec-1x =

Ixl~

'-'-JI'I

L

r-'\'-lVI

-------------------------------------------------~i-----------------------------------------------~i.----------------------------------------------

..o 1'3

..o 13

010-

GEOMETRíA

b~

Q:

010-

INTEGRALES

ro

Triángulos 1. Teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2

a

.1

a

'Y

¡

3. 1 Ángulos a + f3 + 'Y

=

b

6.

Circunferencia

e =

Área

A = 7rr 2

27rr

7. 8.

0~

Cilindros Área de la superficie S = 27rr 2 + 27rrh Volumen V = 7rr 2h

9. 10.

6SJ CG

Conos Área de la superficie S = 7rr 2 + 7rr~ Volumen

V = ~7rr2h

12.

]\rea de la superficie S = 47rr 2

14.

V = ~ 7rr 3

15. 16.

CONVERSIONES 1 pulgada

1 litro

=

2.54 centímetros

=

1000 centímetros cúbicos

1 kilogramo 7r

radianes

=

=

2.20 libras

180 grados

17.

1 kilometro = 0.62 millas

1 litro = 1.057 cuartos 1 libra = 453.6 gramos

1 pie cúbico

=

acompaña a

CÁLCULO, 8 a edición e

1 1 1 1 1 1

7.48 galones

18.

Pureell, Varberg y Rigdon

e

senu du = -cosu + cos u du = sen u +

e

sec 2 u du = tan u +

e

csc 2 U du = -cot u +

e

DERIVADAS

e

sec u tan u du = sec u +

Dxx r = rx r -

csc u cot u du = -csc u + tanu du = -lnlcosul +

13. 1 cotu du = lnlsen ul +

Esferas

Volumen

11.

.1

1 1 1 1 1

19. 1

Formulario que

n *-1

'

e

5. 1 a"du = -a" + lna

Círculos

G

e

~dU = lnlul + e

4. 1 e" du = e" +

Cualquier triángulo

ro

v du

1800

Área A = ~bh

1

1

2. 1undu = _1_ un + 1 + n + 1

Triángulo rectángulo

/SI

u dv = uv -

Q

e e

secu du = lnlsecu + tanul + cscu du = lnlcscu - cotul +

1 ~du = sen- I -u + a2 - u 2 a

e

e

=

cos x

Dxcosx = -senx

D x tan x

=

sec2 x

D x cot x

+

e e

-csc 2 X

=

D x sec x = sec x tan x

D x csc x = -csc x cot x

D x senh x

D x coth x

=

cosh x

=

-csch2 X

D x cosh x = senh x

D x sech x = -sech x tanh x

sech 2 x

D x csch x = -csch x coth x

D x tanh x

=

=

~

1

1

Dxlogax

Dxe x = eX

e

~dU = !sec-II~I u2 - a2 a a

D x sen x

Dxlnx

-2-1- d u = ~ln 1 lu -+al + a - u2 2a u - a

u

Dxlxl = ~

e

e

I -u + 1 -2-1- d u = -tana + u2 a a

Ixl

I

Dxa x = a Xlna

1

Dxsen-1x= ~

Dx tan

= xlna

Dxcos

-1

_

1

-1

x = 1 + x2

-1

x- ~

1

Dxsec-1x =

Ixl~

LUK I t AllUI

--------------------------------------------------,-------------------------------------------------r-------------------------------------------------Q) I

Q) I

~13

g: g

Identidades básicas tant = sen t cost sect

cott

cott

1 ese t = sen t

1

=--

cost

1 + tanet

cost sen t

=

2: g

TRIGONOMETRíA

1 tant

=

Funciones trigonométricas inversas

(a, b)

()

1 + cot 2 t = csc 2 t

y = sen- 1x #

x

=

sen y, -7T /2 ::.; Y ::.; 1! /2

cos- 1X #

x

=

cos y,

Y = tan- 1x #

x

=

tan y, -7T /2 < y < 7T /2

sec- 1x #

x

= secy,O::.; y::.; 7T,y

Y

sen 2 t + cos 2 t = 1

sec 2 t

=

~13

=

Y

=

°::.;

y ::.; 7T

* 7T/2

sec- 1 x = cos- I (l/x)

(1, O)

Identidades de cofunción sen ( ~ -

t)

COS

=

t

cos (

~-

t)

=

sen

t

~-

tan (

t)

= cott

;dentidades par-impar sen(-t) = -sent

cos (-t)

=

COS t

sen t

sen 8

tan(-t) = -tant tan t = tan 8 =

Fórmulas para la suma sen(5 + t)

=

sen5 cost + COS5 sent

sen (5 - t) = sen 5 cos t - COS 5 sen t

cos (5 + t)

=

COS 5 COS t - sen 5 sen t

cos (5 - t)

=

tan5 + tant 1 _ tan 5 tan t

tan5 - tant tan (5 - t) = 1 + tan 5 tan t

tan (5 + t)

=

y

b r

~

= !!.-

x

cos t

cos 8 = x =

a r

x a cot t = cot 8 = - = y b

a

Funciones hiperbólicas 1

senh x = 2

(ex - e-x)

coshx =

tanh x = senh x coshx

COS 5 COS t + sen 5 sen t

1 -(ex + e-x) 2

coth x = cosh x senh x

1

1

se eh x = cosh x

csch x = senh x

Gráficas

Fórmulas para el doble de un ángulo sen 2t

=

tan 2t =

2 sen t cos t

2 tan t 1 - tan 2 t

Series

cos 2t = cos 2 t - sen 2 t = 1 - 2 sen 2 t = 2 cos 2 t - 1

_1_ = 1 + x + x 2 + x 3 + ... -1 < x < 1 1- x '

Fórmulas para la mitad de un ángulo

sen-t 2

=

±

Ffii-

cost --2

cos-t 2

~+ cost ± ---

=

in (1 + x) = x -

1 - cost tan-t = -2 sen t

2

tan

-1

=

=

sen (5 + t) + sen (5 - t) 2 cos 5 COS t

2COs5sent = sen(5 + t) - sen(5 - t)

=

eX =

COS (5 + t) + cos (5 - t)

2sen5sent = COS(5 - t) - COS (5 + t)

x -

5 -

t

5

+ t

sen 5 - sen t

5

=

+ t

5 -

t

2 cos -2- sen -2-

COS 5 + cos t

x3 sen x = x - -

3!

5

=

+ t

5 -

t

cos X =

2 cos -2- cos -2-

COS 5 - COS t = -2 sen 5 + t sen 5 - t I 2

I I I I I I I I

2

Leyes de los senos y cosenos

~ e

sen a = sen f3 a b

ti =

b 2 + e2

-

sen y

7T

-1

2be cos a

2

I I

I I I I I I I I I

37T

27T

Y = ese

t

n

7T

'2 I I I

: I I I

\:'"" I I I

n~

x2 1- 2! X"

senh x = x + -

3!

7T

2I I I

I I I I

5

7

+

5x - 7x

+ "', -1 < x ::.; 1 •

+ "', -1 ::.; x ::.; 1

x5 5!

x7 7!

+ - - - + ... x4 4!

x6 6!

+ - - - + ... x5

+ -

5!

x7

+ -

7!

+ ...

x2 x4 x6 cosh x = 1 + - + - + - + ...

2!

I

-1

x4

3 - 4

x2 x3 1 + x + - + - + ... 2! 3!

Fórmulas de factorización sen 5 + sen t = 2 cos -2- sen -2-

3x

x3

+

3

x

Fórmulas para el producto 2 sen 5cos t

x2

2

(1 + x)p = 1 +

(~)

4!

(~) x

+

6!

(~) x

2

+

(~) x

p(p - l)(p - 2)"'(p - k +

k!

3

+ "', -1 < x < 1

Tabla de integrales fORMAS ELEMENTALES

5 Jaudu =

~ +e lna e

sec 2 u du = tan u +

8 /

17

e e

secudu = lnlsecu + tanul +

du 1 -1 u -2 - - = - tan - + a a J a + u2

e

e

sin -:1=-1

e

csc 2 Udu = -cot u +

e

7 J cos u du = sen u +

e

12 /

tanu du = -lnlcosul +

15 /

cscu du = lnlcscu - cotul +

18

.f

a2

~

u2

LInl: ~ :1

=

e

J duu = lnlul +

3

6 J sen u du = -cos u + 9 /

11 / cscu cotu du = -cscu + 14 /

JU n du = _1_ un +1 + n + 1

2

1 J u dv = uv -.- J v du

+

e

secu tanu du

13 /

cotu du = lnlsenul +

16 /

du = sen 1 ~ + ~ a du

u~

e

secu +

10 /

19/

e

e

=

e e

=!sec-11~I+c a

a

fORMAS TRIGONOMÉTRICAS 20

11

sen 2 u du = Z" u -

/

4" sen 2u

e

+

21 /

cos 2 u du =

e

23 /

cot 2 u du = -cot u - u +

25 /

cos 3 u du =

27 /

cot 3 u du = -

29

csc 3 udu = -Z"cscucotu + Z"lnlcscu - cotul +

30 31 32

~ (2

+ cos 2 u) sen u +

~ cot

2

U - lnlsenul +

1

/

/ /

e

1

e

sen(a - b)u sen(a + b)u ( ) + ( ) + 2a-b 2a+b

e

cos(a - b)u cos(a + b)u 2( a _ b) 2( a + b) +

sen au cos bu du = -

33 J sennudu

=

-~senn-1ucosu

¡

28

sec 3 udu = Z"secutanu + Z"lnlsecu + tanul +

/

si n -:1= 1

34 J cosnudu 36 J

csc nu du =

~ csc n- 2 Ucotu n - 1

csc n- 2 Udu

si n -:1= 1

/

sen nu cos mu du =

n - 1 / senn-1 u cosm+ 1U + --n+m n+m

senn+1 u cosm- 1U m - 1 / + --n+m n+m

40 / u sen u du = senu - u cos u +

e

42 / un sen u du = -un cos u + n / u n- 1COS U du

2

u + In Icos ul +

1

38 /

39b

~ tan

sen 2 u) cos u +

e

e

tan 3 u du =

si n -:1= 1

/

~ (2 +

tan 2 u du = tan u - u +

26 /

see- 2 u du

sen nu cos mu du = -

22 /

sen3 u du = -

see u du = _1_ sec n- 2 u tanu + n - 2 / n-1 n-1

39a

e

24 /

37 /

+ n - 2/ n - 1

sen 2u +

e

1

e

e

+ n: 1 J sen n- 2 udu

35 J tan nu du = _1_ tan n- 1u - J tan n- 2 u du n - 1

+

e

_ sen(a - b)u _ sen(a + b)u senau sen bu du 2(a _ b) 2(a + b) + . cos au cos bu du =

J

e

~u

=

cotn u du =

sen n- 2 u cos mu du sen nu cosm- 2 Udu

~cosn-1usenu ~ cot n- 1u n - 1

+ n: 1 J cosn- 2 udu

- J cot n- 2 u du

si n -:1= -m si m -:1= -n

41 / u cos u du = cos u + u sen u +

e

43 /unCOSUdU = unsenu - n /u n- 1 senudu

si n -:1= 1

fORMAS QUE IMPLICAN

VU 2 ±

a2

44

J~dU=~~±a2In[u+~I+c 2 2

45

46

J

47

48 49 51

~ du

= ~ - a In (a+~) +

u

u

JU2~ du U2 du J ~

J

=

~8 (2u 2 ± a2)~ -

u a2 = - ~ =f - In lu + 2

~ 2 du

~+

53 J(u 2 ± a2?/2 du

u

= ~ (2u 2 ± 8

8

Vu2 -± a2

e

50

In [u + ~I +

e

52

5a2)~ +

fORMAS QUE IMPLICAN

~[

+

2

= -

u

4

a In[u +

e

Va

2

1

4

3a Inlu + 8

~[+C J ~~=ln[u+ vu ± a 2

J

2

~ u - - - - d u = ~ - asec- 1 - + u

a

e

+ J

du

= =f

U2~

J

~[

e

du 3/2 (u 2 ± a2)

+

=

~ a2u

±u a2~

e

+ +

e

.

e

u

2

-

55

J~du~~-alnla+~I+c

57

u a4 u U2~ du = - (2u 2 - a2)~ + - sen-1 - +

59

J

J

8

8

a

~ du = - ~ - sen-lU- + e ~

u

a

fORMAS EXPONENCIALES Y LOGARíTMICAS 63 JueUdu

=

(u -l)eU +

65 J In u du = u In u - u +

67 J eau sen bu du =

64 J une Udu

e e

66

~ (a sen bu a + b

- b cos bu) +

e

J

= uneU - n J un-1e u du

un In u du

=

68 Je au cosbu du

un+l un+1 - - 1 In u 2 + n + (n + 1) =

~ (a cosbu a + b

e

+ b sen bu) +

e

fORMAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 69 J sen-1udu

=

usen-1u +

~

71 J sec-1udu = usec-1u - Inlu +

70 J tan- 1u du = u tan-1u -

e

~[

73 Ju tan-1u du = 1:.- (u 2 + 1) tan-1u -

2

+

+

e

~2 + e

74 Jusec-1udu

un+l 1 J u n+1 unsen-1udu=--sen-1u--du sin'#-l n+1 n+1 ~ J un+l 1 J un+1 76 un tan-1u du = --tan-1u - - - - 2 du sin '#-1 n+1 n+1 l+u J J

un+l 1 J unsec-1udu = --sec-1u - - n + 1 n + 1

un u2 - 1

~du

+ u2) +

72 J u sen-1u du = ¡(2u2 - 1)sen-1u +

75

77

~ In(l

sin '#-1

=

e

¡~ + e

~2 sec-1u - ~~ + e

e

FORMAS HIPERBÓLICAS 78

81

j' j'

=

cosh u +

coth u du

=

In Isenh ul +

84 1 senh 2 u du 2

87 ,1 coth u du 90

j'

e

senh u du

¡

=

e

~+e

senh 2u -

u - coth u +

=

sech u tanh u du

.1

cosh u du

= senh u + e

82

,1

sech u du

=

tan-llsenh ul +

85 1 cosh 2 u du =

e

-sech u +

=

79

2

88 ,1 sech u du

e

¡

senh 2u +

tanh u +

=

e

~+e

80

,1

83

J

tanh u du = In (cosh u) +

cschu du

~ Inltanh ~I

e

+e

86 ,1 tanh 2 u du = u - tanh u +

e

89 ,1 csch 2 u du = -coth u +

e

e

= -csch u + e

91 ,1 csch u coth u du

FORMAS ALGEBRAICAS DIVERSAS 92 94

95 96 97

98

j'

l

(u' :'u2)"

104

105 107

108

lu~ du

b llnlau + bl + a

(au + b 2 a

t+

~ (3au 15a~

=

lun~ du

,

I

(au + b -n+2

e -

93 lu(au ,

b) + n+l

--

- 2b)(au + b)3/2 +

3)

e

l

sin

(a'

~ [ln1au a

+ bl + _b_] + e au + b

-1,-2

:~Ir-I)

si n '" 1

e

lun-I~dU)

1~~=~(aU-2b)~+C V au + b 3a~. du = Zl~

=1=

+ br2 du =

2 (ufl(au + b)3/2 - nb a(2n + 3) ,

=

,

99

-

~-lnl~ y¡; I + e y¡;

~+Y¡;

du ~ ,1 uflY;;;; + b - - b(n - 1)u n- 1

sib>

o

I~~= ( 2 )(un~-nb/~u~) V au + b a 2n + 1 , V au + b

,

100b 1

,

du = _2- tan - I Jau + b u~ yCb -b

+ e sib < o

(2n - 3)a 1 du si n =1= 1 (2n - 2)b, un-I~ U- a a2 u - a 1 du u - a ~u - u 2 du = - - Y2au - u 2 + - sen- I - - + e 103 = sen- I - - + e 2 2 a , Y2au - u 2 a 2 ufl-I(2au U )3/2 (2n + l)a 1 fl u Y2au - zi du = + u n- 1 Y2au - zi du .1 n+2 n+2 , undu u n- I (2n - l)a 1 un-Idu, 1 Y2au - u 2 u - a =- Y2au - u 2 + , 106 du = Y2au - u 2 + a sen- 1 - - + , . y 2au - zi n n , y2au - u 2 u a 2 2 2 V2au - u (2au - U )3/2 n - 3 1 Y2au - u du = + du , (3 - 2n)au n u n- I (2n - 3)a , 1 un du V2au - u 2 n - 1 1 du n +--fl (2n - l)a, u n- IV2au - u 2 u Y2au - u 2 - a(l - 2n)u

j' ---

-

I

e

j.

109 I(Y2au - u 2 ,

110

a

-

~ 2a1(n1 _ 1) Ca 2 ±UU 2)"-1 + (2n -

,

,

102

= -

u(au + b)n du =

,1

100a 1 101

u

u(au + brldu

r

du ,1 (V2au - u 2

du = u - a (2au - u 2 n+1 -

r-

r/

2

+

~ I(V2au n+1,

- u2

r-

2

du

u - a ( .. / _ 2)2-n n - 3 1 du 2 V 2au u + 2 (n - 2)a (n - 2)a, (V2au - u 2

r

2

INTEGRALES DEFINIDAS 111

(Xune-lIdu = f(n + 1) = n!

Jo

(n

2:

112

O) 1.3.5

113

1T/2 1

,o

l

,o

sen fl u du

11T/2 =

,o

cos n u du =

2 .4 .6

(n-1)~

n

2·4·6· .. ··(n-1)

!

3·5·7· .. ··n

2

x e-all 2

du

1~ -

= -

2

a

(a > O) ~

2

si n es un entero impar y n

~

si n es un entero par y n

3

K

CAL CULO I

I' U' ctava edici.n

i3,iceff

'4

'

'1

''

II

14

'4

hi objetivo c4e esta obra es hacer que el curso de cãlculo sea accesibie e interesante aun para los esU

tudiantes que tienen dificultades con Ia materia. Los autores dirigen Ia atenciOn del alumno en los I conceptos básicos, hrciendo énfasis en el aspecto geométrico y numérico para desarrollar éstos. En esta octava ediciOn se relizO una revibiOn y actualizaciOn del conenkio. El cesarrolIo de los temas es ameno y al mismo tiempo riguroso. Los conceptos, definiciones y teoremas se discuten con sumo detalle; los teoremas se demuestran siempre que sea Util para facilitar su comrrensiOn. Los conjuntos de ejercicios y problemas fueron seleccionados a conciencia para permitir que el lector evalUe sus conocimientos, además, cabe indicr que esta obra coniene mãs e 6,500 problemas. Li

Li

En Ia mayor parse de ésèos se presentan argumentos que facilitan ei entendimiento del resultado. Las secciones tienen aproximadamente Ia misma extensiOn, esto permite que ei instructor distribuya el material del curso en una secciOn cli&ia.

Mediante probkmas y proyectos se enseña a los alumnos a utilizar Ia tecnologia disponible: calculaJoras cientificas, calculadoras con funciones de grãficas y el software de matemticas. U

Adicionalmenfe se cuenta con una página en Internet (nuestra Companion Web). La lista parcial del contenido de Ia mima es: Series de preguntas cierto/fifiso por capitulo, ls cuales exigen Ia lectura cuidadosa por parse de 1 los estudiantes; además los rsultdos pudGn ser envidos a sus profesores por Internet. Ejemplos interactivos acompanados de preguntas y actividades conescenarios qué sucederla Si". Vinculos con otros sitios. Sugerencis para Ia enseñanza y el estudlo. OTRAS ORAS DE INTERES PUBLICADAS POR PEARSON: .1:1 EWARS

Iii. y PEiN'EY: Ecuaciories dferencials, curta ediciOn I

I

GEIAL yUI WHEATLEY: AnOlisis numQrico con aplicaciones, sexta ediciOn 'II II lineal con aplicacionesy MA TLA B, sexta ediciOn KW..NAN: Algera LAY: Algebra linealysus aplicaciones, segunda ediciOn actualizada Al

MARIEN y T!OPsA: Cálculo vectorial, cuarta ediciOn N'MLE, SAFF y SNIDER: Ecuaciones dferenciaies y pro blemas con valores en lafrontera, tercera ediciOn

THØAS y FINNEY: Cálculo: una variable, novena ediciOn WA'LPOLE: Probabilidad y estadistica para ingenieros, sexa ediciOn

Companion

e's e

N8SI

EN ESPANOL:

D-2ET0-9-0 00006

LA HERRAMIENTA MAS LJTIL DE ENSENANZA V APRENOIZAJE EN LINEA

Pearson Educación www.pearsenedlatino.com

6

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