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UNIVERSIDAD DEL BIO-BÍO FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

EL APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS (ABP) COMO ESTRATÉGIA METODOLÓGICA DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE APRENDIZA JE DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN PARALELO P ARALELO CON DERIVADAS Y SU INCIDENCIA EN EL RENDIMIENTO ACADEMICO DE LOS ESTUDIANTES DE INGENIERÍA EN INFORMÁTICA DE INACAP, CHILLÁN.

Tesis para Optar al grado académico de Magíster en Enseñanza de las Ciencias, Mención Matemática

Autor: PATRICIA ROJAS SALINAS Profesor Guía: Dr Francisco Cisterna C 2010

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RESUMEN Basado en los deficientes resultados en el aprendizaje del Cálculo tanto, a nivel nacional como internacional, es que se torna urgente el revisar, contenidos y la metodología que que se ha utilizado en algunos casos por m más ás de 20 años. Además, tomando en cuenta los grandes problemas de didá didáctica ctica en la enseñanza del cálculo, es necesario generar una metodología que permita al alumno encontrarse con la contextualización provocando con ello un aprendizaje significativo. El trabajo que aquí se presenta tiene como finalidad, desde el diseño y desarrollo de una unidad didáctica, probar como premisa central el enseñar en simultáneo derivadas e integrales y que representa un Cambio Curricular que puede tener suma importancia, pues tiene como perspectiva estratégica el desarrollo del trabajo docente centrado en el alumno, con metodologías activas que permiten mejorar el rendimiento, mostrando un nuevo camino para que llos os estudiantes puedan aprender significati significativamente vamente contenidos que en este sector resultan de fundamental relevancia. El modelo pedagógico utilizado corresponde a la propuesta didáctica del “aprendizaje basado en problemas” ( ABP).  ABP). La unidad didáctica implementada ha tenido como eje problemático abordar el desarrollo de contenidos de derivadas e integrales de manera simultánea, con una aplicación práctica a temas como la Economía y Física. Estos contienen: Noticia, listado de conocimientos previos y por aprender, Cuestionario y actividades de aprendizaje (Exploración introducción síntesis y transferencia) además se anexa en cada ABP una guía para previos y bibliografía de consulta. La investigación, se realizó en la Universidad Tecnológica de Chile, INACAP sede Chillán; la metodología utilizada fue la de grupo de control y experimental. Entre los resultados encontramos que al aplicar el pos-test el grupo experimental obtuvo un mejor promedio en el contenido de derivadas e integrales, además de mayor motivación que se refleja en la mejor asistencia a clases.

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ÍNDICE RESUMEN RESU MEN.......................................................................... .................................... ............................................................................ ........................................................................... ............................................... ..........   2 ÍNDICE ÍND ICE ........................................................................ .................................. ............................................................................ ............................................................................ ...................................................... ................   3   7 INTRODU INTR ODUCCIÓ CCIÓN N .............................................................................................. ........................................................ ......................................................................... ..................................................... ..................

CAPÍTULO I PROBLEMATIZACIÓN 1. ANTE ANTECEDE CEDENTES NTES..................................................................... ................................. .......................................................................... ........................................................................ ..................................   13 1.1. PREGUNTA PREGUNTA DE INVESTIG INVESTIGACIÓ ACIÓN N ..................................................................... ................................ ........................................................................... ..........................................  14 1.2. OBJETIVOS OBJETIVOS ...................................................................... ................................ ............................................................................ ........................................................................... .......................................   .. 1144  

1.2.1 OBJETIVOS GENERALES ..................................................................................................................... 14 

 

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................................................................ 14 

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1.3. HIPÓTESI HIPÓTESIS S ....................................................................... ................................. ............................................................................ ............................................................................ .......................................   . 15 1.4. JUSTIFI JUSTIFICACI CACIÓN ÓN .......................................................................... ...................................... .......................................................................... ................................................................. ...........................   15

CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO 2.1 NACIMIE NACIMIENTO NTO DEL CÁLCULO CÁLCULO INFINITESIMAL INFINITESIMAL .................................................................................... .......................................................... .......................... 19    

CONCEPCIONES HISTÓRICAS SOBRE LA DIFERENCIAL ......................................................................... ..................................... ............................................. ......... 19  2.1.2 LA DIFERENCIAL DE LEIBNIZ ............................................................................................................. 20 

 

2.1.3 LA DIFERENCIAL DE CAUCHY ............................................................................................................ 24 

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2.2 CONSTRUCTI CONSTRUCTIVISMO VISMO ...................................................... ............................................................................................ .......................................................................... ....................................... ...   27 2.3 LA ENSEÑANA ENSEÑANAZA ZA ACTUAL (KINDT (KINDT 2005) ............................................................................................... .............................................................. .................................  29 2.4. APRENDI APRENDIZAJE ZAJE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA ......................................................................... .................................... ....................................................................... ..................................  32 2.5. ESTRUCTU ESTRUCTURA RA DEL ESTUDIO ESTUDIO DE CÁLCULO CÁLCULO ........................................................................... ..................................... .................................................... ..............  32 2.6. EL APRENDIZAJE APRENDIZAJE BASADO BASADO EN PROBLEMAS PROBLEMAS (ABP) ......................................................................... ................................... .......................................... 34 2.6.1. INICIOS INICIOS DEL ABP........................................................................................................... ABP..................................................................... ................................................................. ...........................   35

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2.6.2. CARACTERÍSTICAS DEL ABP ............................................................................................................. 37 

 

VENTAJAS DEL ABP ................................................................................................................................... 39 

 

GENERALIDADES DEL ABP ........................................................................... ...................................... ........................................................................... .............................................. ........ 39 

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2.7 APRENDI APRENDIZAJE ZAJE (ACTIVIDA (ACTIVIDADES DES DE APRENDIZ APRENDIZAJE) AJE)..................................................................... ................................ .............................................. .........  42

CAPÍTULO III DISEÑO METODOLÓGICO 3.1 ENFOQUE ENFOQUE Y TIPO TIPO DE ESTUDIO ESTUDIO ...................................................................................................... ................................................................ ............................................... .........  45 3.3 DISEÑO DEL ESTUDIO ESTUDIO ........................................................................................................... ..................................................................... ........................................................... .....................   46 3.4 POBLACIÓN POBLACIÓN Y MUESTRA MUESTRA ....................................................................... ................................. ............................................................................ .................................................... ..............  47 3.5 TECNICA TECNICAS S DE RECOPILACIÓN RECOPILACIÓN DE DATOS DATOS .............................................................................. ........................................ .................................................... ..............  47 3.6 ANÁLISIS ANÁLISIS DE DATOS DATOS ........................................................................ ................................... ........................................................................... ........................................................... .....................   48

CAPÍTULO IV PROPUESTA DE INNOVACIÓN PEDAGÓGICA UNA NUEVA FORMA DE APRENDER DERIVADAS E INTEGRALES 4.1 OBJETIVO GENERAL DEL PROYECTO DE INNOVACIÓN PEDAGÓGICA: ..................................... 51    

4.1.1OBJETIVOS ESPECÍFICOS DEL PROYECTO DE INNOVACIÓN PEDAGÓGICA: ........................................... ......................................... .. 51 

 

4.1.2 DETALLE TÉCNICO DE LA U NIDAD ..................................................................................................... 51 

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4.1.3  OBJETIVO GENERAL: ........................................................................... ...................................... ........................................................................... .............................................. ........ 52  4.1.4  OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ................................................................................................................... 52 

 

4.1.5 CONTENIDOS CONCEPTUALES: ........................................................................................................... 53 

 

CONTENIDOS ACTITUDINALES: ................................................................................................................... 54 

 

4.1.7 CONTENIDOS PROCEDIMENTALES:...................................................................................................... 54 

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4.7 ANÁLISIS ANÁLISIS DE TEXTO TEXTO ...................................................... ............................................................................................ .......................................................................... ....................................... ...   5555  

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TABLA Nº 3: R EPRESENTACIÓN EPRESENTACIÓN DE 4 AUTORES Y SUS CORRESPONDIENTES REDES DE CONTENIDOS PARA LAS

MISMAS UNIDADES: DERIVADAS E I NTEGRALES. ........................................................................ .................................. ................................................................. ........................... 56 

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  4.8.1 

 Definición de Derivada .......... ..... .......... ........... ............ ............ ............ ............ ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... ........... ............ ............ .......... 61 

4.8.2 

 Definición de Primitivas ........... ...... .......... .......... .......... ........... ............ ............ ........... .......... .......... .......... ........... ............ ............ ........... .......... .......... .......... .......... ........... .......... 62 

4.8.3 

 Definición del Teorema Regla de la Cadena. ..... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... ........... ........ 63 

4.8.4 

 DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA ............. ........ .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... ........... ............ ........... ........... ........... .......... .......... ..... 64 

4.10 MAPA CONCEPTUAL CONCEPTUAL DE DERIVADAS EN SIMULTÁNEO CON CON INTEGRALES INTEGRALES .............. ........ ............ ............ .......... 66   

PLAN METODOLÓGICO DE E NSEÑANZA: EJEMPLO DE CLASE ..................................... ....................................................................... .................................. 67 

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CLASE 3 ..................................................................................................................................................... 68  CLASE 4 ..................................................................................................................................................... 70 

 

CLASE 5 (ABP) .......................................................................................................................................... 71 

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CLASE 6 .............................................................................................................................................................. 74  CLASE 8 (ABP) ..................................................................................................................................................... 76  CLASE 11 (ABP).................................................................................................................................................. 79  CLASE 23 (ABP).................................................................................................................................................. 82 82  

CAPÍTULO V RESULTADOS 5.1 RESULTADOS: RESULTADOS:......................................................................... ................................... .......................................................................... ...................................................................... ..................................   86 5.2 ANÁLISIS ANÁLISIS DE DATOS DATOS ........................................................................ ................................... ........................................................................... ........................................................... .....................   89  

PRUEBA MAC-NEMAR PARA EL GRUPO DE CONTROL: ................................... ........................................................................ ............................................ ....... 103 

 

PRUEBA MAC-NEMAR PARA EL GRUPO EXPERIMENTAL: ..................................... ........................................................................... ...................................... 103 

 

WILCOXON PARA MUESTRA POST TEST .................................................................................................... 104  104 

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CAPÍTULO VI CONCLUSIONES 6.1 CONCLUS CONCLUSIONE IONES S DE LA INVESTI INVESTIGACIO GACION N ................................................................................ .......................................... .................................................. ............ 106   6.2 REFLEXIO REFLEXIONES NES PEDAGÓGI PEDAGÓGICAS CAS FINALES .................................................................... ............................... .............................................................. ......................... 109   BIBLIOGRA BIBLIO GRAFÍA FÍA ...................................................................... ................................ ............................................................................ ........................................................................... .....................................  111 ANEXO Nº 1: MÓDULOS; PLANIFICACIÓN CURRICULAR Y DIDÁCTICA .......................................... 115   ANEXO ANEX O Nº 2: TEST CHAEA: .......................................................................... .................................... ............................................................................ .................................................. ............ 163 ANEXO ANEX O Nº 3: RESULTADOS RESULTADOS TEST CHAEA CHAEA ............................................................................................ ...................................................... ............................................ ...... 172  

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  ANEXO Nº 4: PLANIFICACIÓN ASIGNATURA DE CÁLCULO, INACAP. ............................................... 173   ANEXO ANEX O Nº 5: PRE TEST DE CÁLCULO CÁLCULO ......................................................................... .................................... ..................................................................... ................................ 183   ANEXO ANEX O Nº 6: CÁLCULO CÁLCULO DE KUTHERKUTHER- RICHARSON RICHARSON .......................................................................... ...................................... ........................................... ....... 197   ANEXO Nº 7: RESULTADOS DEL PRE Y POST TEST EN GRUPO DE CONTROL Y EXPERIMENTAL  ..............................................................................................................................................................................  199

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INTRODUCCIÓN La revisión bibliográfica permite destacar que las investigaciones realizadas en los últimos años han permitido identificar dificultades en la enseñanza del cálculo, entre ellas las referidas a los conocimientos previos, la conceptualización y formalización de la noción de límite inclusive los pensamientos puramente algebraicos. Se han analizado, realizaciones didácticas que ilustran la diversidad de trabajos realizados en el área del cálculo. La gran mayoría de las investigaciones se desarrolló sobre la base de: Innovaciones experimentales, Artigue y Ervynch, (1992), Proyectos en el área de la renovación del cálculo en Estados Unidos, Tuquer, (1991); reforma Francesa 1992; Cálculo adaptado a las capacidades cognitivas del estudiante, Poincaré (1904).  Al Analizar los problemas para entender los procesos infinitos y el problema pro blema por un mal aprendizaje del Pre-Cálculo. Aparece la necesidad de entregar los contenidos siguiendo diferentes representaciones para que los alumnos al encontrarse con algún problema, puedan, reconocer los errores y abordarlo con mayor seguridad. Se analiza el uso de calculadora gráfica como apoyo al problema del aprendizaje del cálculo. Es necesario romper con la idea algebraica y crear nuevos materiales educativos que permitan realizar ideas más profundas. Los elementos de reflexión al respecto los entregan BenChaim et al. (1989), Eisenberg y Dreyfus (1990), Hitt (1998, 2002), Vinner (1989), Zimmermann y Cunninham (1990), gracias a su visualización respecto a la comprensión del Cálculo. Por otra parte, algunas investigaciones nos mencionan la posibilidad de utilizar algún software como recurso didáctico, en los cursos de cálculo, esperando que los estudiantes descubran que existen procedimientos aproximados que, en muchas ocasiones, permiten resolver problemas que en otros casos serían demasiado complicados, todo esto procurando que con la utilización d de e material didáctico el estudiante comprenda el significado d de e la integración integración como un m medio edio para encontrar respuestas a situaciones que modelizan la realidad Weigand y Weller,(1998). Este 7

 

 

enfoque metodológico lo justifica Tall (1997) haciendo alusión a que es necesaria la inclusión de recursos en materias de Cálculo, sobre todo en carreras de Ingeniería. Cuando un estudiante comete un gran número de errores en procedimientos simples, se puede pensar que es el resultado de un mal aprendizaje, Flores y González (2004). Esto se manifiesta analizando el desempeño de los estudiantes, éste aprenderá eficientemente lo que el profesor le presente o enseñe. Un elemento importante es que es necesario romper con la idea algebraica y crear nuevos materiales educativos que permitan realizar ideas más profundas, según Hitt (2002), y los errores en la enseñanza de la integral, Cohen (2005). Mediante un trabajo investigativo realizado durante varios años, se pudo comprobar, que los estudiantes universitarios y los egresados, no adquieren las habilidades necesarias para identificar problemas nuevos que pueden ser resueltos mediante una integral definida, cuando son utilizados los métodos tradicionales de enseñar el cálculo integral Hernández (2007). Esto a su vez se basa en las propuestas que hizo el pedagogo Polya (1986), él identifica, que dentro de los conocimientos matemáticos necesarios para la resolución de problemas, se destacan los conceptos matemáticos. Se hace necesario así, determinar un conjunto de propiedades que representan condiciones necesarias y suficientes, para que la solución de un problema pueda ser obtenida directamente mediante el cálculo de una integral definida. En muchas oportunidades se ha reflexionado sobre la importancia del aprendizaje de la integral y el andamiaje necesario para lograrlo, así aparecen reflexiones como la siguiente:"La adquisición por parte del estudiante de algunos conceptos matemáticos es un proceso lento cuyo aprendizaje se debe extender a lo largo de la Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato para pasar a la formalización en la Enseñanza Universitaria", Turégano, (1997).

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 TURÉGANO, P. (1997): (19 97): "El aprendizaje del concepto de integral". Suma. Suma. 26,  26, pp. 39-52.

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Según TOM (1978) , mucho se ha investigado acerca de las limitaciones genéticas que tienen los e estudiantes studiantes

y el obstáculo que esto presenta para el aprendizaje de

Matemática "... a pesar de los progresos de nuestra civilización técnica, las etapas de desarrollo físico e intelectual del niño siguen siendo las mismas: sigue habiendo una fase necesaria de aprendizaje y unas limitaciones genéticas que hay que respetar para aprender a andar, a hablar, a leer y a escribir, y no parece que los avances de la psicología hayan permitido modificar lo más mínimo el calendario que rige la adquisición de conocimientos. Podríamos preguntarnos si no existen limitaciones del mismo tipo en lo que se refiere al aprendizaje de las matemáticas...Yo, personalmente, creo que estas limitaciones genéticas existen, que forman parte integrante del temperamento y de la personalidad del alumno, y que en la mayoría de ellos son de tal naturaleza que les impide por completo la comprensión de las matemáticas al nivel de los rudimentos del cálculo diferencial, que es justamente donde debería haberse llegado antes de entrar en la enseñanza superior”. superior”. Thom,  Thom, (1978). Si a lo anterior le unimos lo difícil del proceso que que va desde la en enseñanza señanza secundaria a la universidad., se habla del Contrato Didáctico"... se pasa de una matemática "mostrativa" a una matemática "demostrativa". "... se pasa de una fuerte preponderancia de los "problemas por resolver" a una importante presencia de los "problemas por demostrar" en la universidad. ... el estudiante pasa de ser un alumno con escasa autonomía, a ser un estudiante (co)responsable de su proceso de estudio". Gascón, (1997). Para afrontar los obstáculos que aparecen, en la enseñanza de las matemáticas, al pasar de la Enseñanza Media a la Universidad, es adecuado que los profesores de los primeros cursos universitarios posean un conocimiento detallado del trabajo realizado durante la educación secundaria. La mejor manera de lograr esto es el contacto personal con profesores que impartan dicha etapa educativa, por ello sería conveniente institucionalizar reuniones entre profesores universitarios y de secundaria, en las que se trate de coordinar la enseñanza de las matemáticas en ambos niveles educativos. Lo

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ideal será que esta tarea la realice el Coordinador de las Pruebas de Selectividad. Jimenez y Areizaga, (1997). Otros plantean un modelo teórico que explicaría el cómo los entes interpretan los símbolos en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, actualmente denominado Teoría de las funciones semiótica (TFS), reconoce un papel fundamental a las situaciones-problema y a las acciones de las personas e instituciones en la construcción del conocimiento matemático. Godino, Font, Contreras, Wilhelmi, (2005) Según Carabús (2002), en su “El aprendizaje del cálculo en la universidad.”  universidad.”  la conceptualización de la derivada de una función y sus niveles de comprensión” se advierten dificultades para adquirir el pensamiento propio del Cálculo, menciona que la actitud del docente universitario debe ser generadora de las estrategias didácticas que brinden a los alumnos, la posibilidad o responsabilidad de los modos m odos de pensamiento Finalmente basado en la in información formación anterior, se torna relevante e iinteresante nteresante hacerse cargo de los problemas que se originan en la enseñanza del Cálculo; una alternativa es trabajar con los contenidos, analizando la posibilidad de que, luego del andamiaje que entregan los conceptos de Sucesiones y Límites, se trabajen los Conceptos de Derivada e Integral en en simultáneo, evitando así los problemas que se suscitan al tratar de conectar los contenidos y además la posibilidad de que el alumno le encuentre mayor sentido a su aprendizaje. No se puede olvidar que los programas de asignatura en algún caso son de hace más de 40 años, otra razón para modificarlos.  Además al trabajar derivadas e integrales en simultáneo se torna más sencillo el analizar la interdisciplinariedad, mejor aprovechamiento del tiempo y mayor facilidad para la contextualización. Ésta investigación propone el que el alumno aprenda las unidades de Derivadas e

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Integrales en simultáneo y que la mejor forma de hacerlo es usando metodologías activas, en este caso Aprendizaje Basado en Problemas (ABP). No podemos dejar de mencionar que, representa un cambio curricular de suma importancia, ya que pretende mediante el trabajo centrado en el alumno y un nuevo ordenamiento en los contenidos que permita, mediante la contextualización que éste se impregne de los elementos del cálculo y haga significativo su aprendizaje.

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CAPITULO I: PROBLEMATIZACIÓN

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1. Antecedentes En la enseñanza de la matemática nos encontramos con múltiples dificultades que van desde los problemas de preconceptos por parte de los alumnos hasta problemas de mal manejo didáctico por parte de los profesores. El problema nace de la revisión de los programas de la asignatura de Cálculo y el intento por años, usando distintas estrategias metodológicas de mejorar el proceso de enseñanza y aprendizaje observando el registro del rendimiento de los alumnos esperando obtener algún cambio. Tras la revisión bibliográfica se encuentra que el problema es mayor de lo que se pensaba y nos encontramos con la necesidad de revisar el ordenamiento tradicional de los contenidos, luego de intentar rotar los conceptos y enseñar primero Integrales y luego derivadas con un nuevo intento fallido, aparece la necesidad de investigar que sucede si se enseña Derivadas e Integrales en simultáneo; se crea una definición más complementaria que presenta la Derivada y Antiderivada como inversas y la posibilidad de al Integrar un polinomio inmediatamente comprobar el resultado integrando, así se torna más sencillo la representación gráfica y se presentan rápidamente todas las propiedades y teoremas, porque no podemos olvidar que la El concepto de Matemática para la Vida necesita de una pronta aplicación y contextualización de los elementos antes mencionados. El presente capítulo se encuentra destinado a describir los objetivos tanto de la investigación como del proyecto de innovación pedagógica y para fundamentarlos se presenta una justificación de éstos.

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1.1. PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN ¿Qué efecto tiene en los procesos de aprendizaje el desarrollar acciones de enseñanza de la Integral Definida en paralelo con derivadas en la asignatura de Cálculo?

1.2. OBJETIVOS

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  1.2.1 Objetivos Generales Generales

 

Analizar el efecto de estudiar la In Integral tegral Definida en paralelo con derivadas, sobre e ell rendimiento en

cálculo de los estudiantes de

Ingeniería en Informática de la, utilizando el Aprendizaje Basado en Problemas (ABP).  

Diseñar un modelo para desarrollar las unidades d de e Derivadas e integrales en simultáneo, usando la metodología de ABP.

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  Objetivos Específicos

 

Describir el rendimiento de los estudiantes de IIngeniería ngeniería en Informática de la Universidad Tecnológica de Chile, INACAP sede Chillán.

 

Comparar el el rendimie rendimiento nto e de llos os estudiantes de IIngeniería ngeniería en Informática de La Universidad Tecnológica de Chile, INACAP sede, Chillán en función del estudio de Integrales Indefinidas en simultáneo con derivadas de primer orden.

 

Establecer parámetros para estructurar curricularmente curricularmente la asignatura de Cálculo desde un modelo integrador de enseñanza de integrales con derivadas usando ABP. 14

 

   

Diseñar un sistema de construcción de unidades Didácticas desde un modelo integrador de los Contenidos de derivadas e Integrales usando  ABP.

1.3. HIPÓTESIS  

La enseñanza en paralelo d de e inte integrales grales y derivadas usando ABP, m mejora ejora el rendimiento en la asignatura de Cálculo.

1.4. JUSTIFICACIÓN El Cálculo Diferencial y Cálculo Integral son dos ramas del cálculo que están relacionadas, mediante los teoremas fundamentales del cálculo, descubrimiento culminante en el siglo XVII realizado por Newton y Leibnitz, pese a sus trabajo trabajoss en forma independiente. De igual forma en que la derivada está relacionada geométricamente a la recta tangente de una gráfica, la iintegral ntegral definida tiene una interpretación geométrica como área de una región plana; las propiedades de la integral definida, se utilizan para demostrar los teoremas fundamentales del cálculo. Estamos familiarizados con operaciones inversas, la adición y la sustracción, multiplicación y división, así como la diferenciación y la antiderivación. Por su parte la antiderivación puede verificarse al calcular la derivada de la respuesta, al integrar funciones.

Ésta investigación pretende ser un aporte al proceso de aprendizaje del Cálculo, evitando los problemas con que actualmente nos encontramos encontramos por la gran cantidad cantidad de temas y el manejo pobre de algunos conceptos que impiden su desarrollo; es decir si analizamos los programas de estudio de la asignatura nos encontramos que al tratar de analizar de buena manera el concepto de derivada, en muchas oportunidades queda poco tiempo para ver integrales lo que lleva a un tratamiento inadecuado de ésta. La investigación será muy importante para los alumnos, pues, pues , los problemas derivados 15

 

 

de una concepción pobre del “Pre-C “Pre-Cálculo” álculo”   Hitt, Hitt, (1998) sin la reformulación de llos os contenidos, irán creciendo a medida que se avanza en el aprendizaje del cálculo. Es decir que, además de los problemas para el entendimiento de los procesos infinitos, hay que añadir los problemas producto de un mal aprendizaje del Pre-Cálculo.

Para los profesores, será de gran ayuda, puesto que, los recursos didácticos utilizados para coayudar al proceso de enseñanza de derivadas e Integrales, suscitan la investigación en torno a los procesos simbólicos en sus dimensiones educacional y social, como también promueve el análisis sobre los procesos de formación de los alumnos. Sin duda que investigar esta nueva forma de enseñar y aprender Integrales y derivadas en simultáneo se torna importante, ya que es posible que repercuta en los estudiantes generando un mayor nivel de abstracción y alcanzando una mayor claridad en el significado y utilización de los conceptos involucrados. Es muy importante mencionar que existen muchas investigaciones en torno a que elementos de didáctica utilizar al momento de intentar mejorar el proceso de enseñanza y aprendizaje, en especial al revisar los perfiles de egreso de carreras como ingeniería en informática, Ingeniería en administración de empresas, Ingeniería en prevención de Riesgos, por mencionar algunas, nos encontramos con actualizaciones en el currículo que invitan a una “MATEMÁTICA PARA LA VIDA” y al revisar distintas metodologías para la enseñanza una de las más adecuadas por su inclusión del pensamiento crítico como interacción para aprender, promoción de la comprensión y profundización desde un punto de vista Filosófico, sociológico, psicológico, histórico, práctico, etc., es el  Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), método de enseñanza- aprendizaje que ha tomado más arraigo en las instituciones de educación superior en los últimos años. El  ABP, es un método que es posible utilizar en la mayor parte de las disciplinas y si lo observamos como una técnica didáctica, al ser utilizado en combinación con otras técnicas se predice un mejor aprendizaje. 16

 

 

Otro elemento de importancia es que al usar ABP los alumnos trabajan en equipos, es decir se estimula el trabajo colaborativo y la contextualización a diferentes disciplinas, el objetivo no se centra en resolver el problema sino que éste sea utilizado como base para identificar los temas de aprendizaje para su estudio de manera independiente o grupal. Por último al analizar durante años, los rendimientos de los alumnos de INACAP, en asignaturas de Cálculo es que aparece primero, la inquietud de enseñar usando un modelo ya no tradicional, embarcándonos en el uso de distintas metodologías, usando tecnologías, creando nuevos instrumentos de trabajo para los alumnos, en fin siempre innovando; pero cuando eso no es suficiente, nos vemos en la obligación de buscar otro camino. Así llegamos a intentar realizar un cambio ahora Curricular adentrándonos en la naturaleza del cálculo y advirtiendo que cuando logramos conectar los contenidos al revisar el tema de Integrales indefinidas, inmediatamente aparecen las Derivadas, entonces ¿Por qué no, enseñarlas en simultáneo?.

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CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO

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2.1 NACIMIENTO DEL CÁLCULO INFINITESIMAL Éste capítulo presenta una relación teórica que incluye desde el nacimiento de la Integral y la derivada, hasta los problemas del aprendizaje. El nacimiento del Cálculo Cálculo Infinitesimal pasó en la segunda mitad del siglo XVII por la obra de Newton y Leibniz. Como sabemos Newton dejó de hacer inscribir su hijo espiritual a tiempo y es por tanto que este nacimiento oficialmente oficialmente   está registrado en octubre 1684 con el artículo de Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimus, itemque tangenribus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus. No podemos olvidar que la gestación duró casi 2000 años. Comenzó cuando los griegos lograron determinar áreas y volúmenes por un proceso que llamaron el método de exhaución. El estudio de este método por unas pruebas excelentes de Euclides y  Arquímedes no sólo es muy interesante, sino también es muy instructivo como anticipación de unos conceptos conceptos básicos del Análisis, como „límite‟ y „suma de Riemann‟. Una segunda etapa importante en el desarrollo embrionario del Análisis es el cálculo de indivisibles que es practicado por dos discípulos de Galileo, Cavalieri y Torricelli, en el comienzo del siglo de Oro. Después en este siglo se aceleró fuertemente el crecimiento del embrión por las obras de muchos matemáticos famosos en la Europa occidental. Al fin fue el inglés Barrow, maestro de Newton, que descubrió la relación entre área y tangente.

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  Concepciones Concepciones Históricas sobre la Diferencial

El nacer del cálculo diferencial, admitió un proceso de combinación de problemas, independiente de la ciencia a la cuál estuviesen adscritos, éstos fueron separados en dos: los que se podían resolver mediante derivadas y los que necesitaban la Integral 19

 

 

para ser resueltos. Los antes mencionados se sostenían en un adecuado uso de cantidades infinitamente pequeñas, pero ambos no sólo se sostienen en un método común, sino de carácter inverso. Aleksandrov et al., (1956). Newton y Leibniz son considerados los creadores del cálculo diferencial por haber reconocido el carácter inverso de los dos tipos de problemas, reduciendo derivación e integración a operaciones inversas Aleksandrov et al., (1956), González Urbaneja, (1992), p. 68; Kline, (1972). La creación del Cálculo Diferencial e Integral ha sido y será en la historia del cálculo un hito muy importante, “Desde esta idea voy a considerar una de las invenciones más  potentes de la praxis científica: el Cálculo diferencial e integral. Invención que tiene fecha fundacional pública, 1684, en el ensayo de Leibniz Nova methodus. Fecha a la que hay que agregar la de 1696 cuando aparece, sólo doce años después, el primer tratado o manual de esta nueva disciplina: Análisis de los infinitamente pequeños cuyo autor es el marqués Guillaume de L’Höpital. Desde esta idea me centro en la correspondencia L’Höpital -Leibniz -Leibniz para analizar la creación de Leibniz. A través de esta correspondencia se muestran algunos rasgos de lo que compone el individuo Leibniz, se descubre la génesis del Cálculo, el papel que su autor le atribuye dentro del total de su obra, sus olvidos del mismo... Y también la influencia que L’Höpital tuvo en la realización de algún interés vital de Leibniz así como de sus manifestaciones públicas o  privadas respecto al Cálculo y su ontología subyacente” .DE .DE Lorenzo (1998).

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 2.1.2 La Diferencial de Leibniz

Las cantidades infinitamente pequeñas («cantidades divisibles evanescentes» según Newton, «cantidades incipientes incipient es “aún no formadas”» según Leibniz) constituyen la pieza fundamental para la creación del cálculo, pero también su punto más débil y el blanco de todas las críticas. Consideradas al principio de forma estática como cantidades fijas de valor más pequeño que cualquier número conocido pero nunca nulas, la concepción 20

 

 

final adquirió un carácter dinámico: cantidades que podían hacerse tan pequeñas como se quisiera. Leibniz y sus seguidores (hermanos Bernouilli, marqués de L‟Hôpital, Euler...), cuya notación y lenguaje se impusieron en el cálculo diferencial, llamaban diferencial de una magnitud a la variación infinitesimal de esa magnitud (  y ) (su «momento», en palabras de Newton). Si ( dy ) hubiese podido tomar un valor macroscópico, no habría coincidido con  y , pero, como sólo se le adjudicaban valores infinitamente pequeños, en ese rango se identificaba con  y   y sin cometer error alguno. Así, la diferencial de la posición ( de ), aunque en términos macroscópicos no correspondía a ningún desplazamiento, podía identificarse con el desplazamiento ocurrido en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño ( dt  ). La diferencial ocupaba un lugar central en la estructura del cálculo y se utilizaba para sustituir el incremento para calcular la derivada (definida como el cociente de incrementos muy pequeños) y la integral (definida como una suma de infinitos incrementos muy pequeños). Los siguientes ejemplos ilustran el uso original de Newton y Leibniz de esas cantidades en sus cálculos y razonamientos, que ellos planteaban siempre en clave geométrica:

 y    x 2

Para calcular la derivada de la función , consideraban que una variación dy : dx   infinitesimal produciría una variación también infinitesimal dy  2  x    dx    dx 2 . Después dividían

 y  dy   x  dx      x 2  2    x  dx    dx 2 ; por tanto: 2

ambos miembros por

dx :

dy dx

   2  x  dx

, y sólo en este momento despreciaban los

dy

sumandos infinitesimales, obteniendo: dx

  2  x

21

.

 

 

Para demostrar la relación inversa entre la derivación y el cálculo de áreas  A x    bajo curvas  y  x  , consideraban que una variación infinitesimal dx   produciría una variación infinitesimal dA , la cual podía aproximarse por el rectángulo de altura  y  x   y base dx  , resultando: dA   y  dx ; dividiendo ambos miembros por dx , obtenían la relación dA   y  . básica: dx

Para ellos, por ejemplo, de sería un desplazamiento infinitesimal producido en el intervalo infinitesimal de tiempo dt (que, aunque no era ∆e, podía sustituirl o en ese intervalo tan pequeño) y la rapidez instantánea, el cociente entre estas cantidades infinitesimales.

Como puede apreciarse, el uso de los infinitesimales presentaba ciertas ventajas: se escribía como igualdad lo que sólo podía considerarse como aproximación si se utilizaban «incrementos finitos» – finitos»  –lo lo que resulta «doloroso» para un matemático actual, como señala Freudenthal (1973) –.  –.  – ¿Con  – ¿Con qué criterio se pasa de escribir una expresión sólo aproximada en términos de incrementos a otra exacta en términos de diferenciales? ¿Puede realizarse este paso para cualquier expresión? En el ejemplo citado más arriba, se aproxima el área de la

 A   y  dx curva por la de un rectángulo  e inmediatamente se escribe como igualdad   dA     y  dx en términos de diferenciales   ; pero no se trata de una deducción sino de una definición. No obstante, cuando se aplica esta definición para el cálculo del área de la superficie de un cuerpo geométrico concreto, aparecen distintas alternativas entre las que hay que escoger. Por ejemplo, cuando se desea hallar la expresión funcional exacta de la superficie de una esfera, puede estimarse   A   mediante sumas de superficies cilíndricas infinitesimales o de superficies troncocónicas, lo que hace que no sea evidente cuál elegir como expresión para la diferencial Artigue y Viennot, (1987), y se obtienen resultados distintos. ¿Cómo determinar la expresión diferencial? Menos 22

 

 

evidente resulta en la mayoría de los problemas físicos, en los que son so n posibles muchas expresiones de partida que relacionan incrementos muy pequeños de forma aproximada. «La idea intuitiva de que la suma de infinitos “trocitos” infinitamente pequeños dará lugar al trozo grande deseado sin importar la “forma” de los trocitos fallaba en muchas ocasiones», conduciendo a resultados absurdos como los citados por Schneider (1991). Newton y Leibniz fueron incapaces de responder con claridad a estas críticas y objeciones debido, en gran parte, a la falta de una definición precisa del concepto de límite. En los últimos trabajos de Newton existe un intento de abandonar el uso de los infinitesimales. «[...] En matemáticas no se deben despreciar ni los errores más diminutos», citado por Kline, (1972). Pero, todo era un intento formal para evitar contradicciones, ya que, como criticaba Berkeley, «al final es preciso volver a la idea de los incrementos evanescentes» Edwards, (1937). Por su parte, Leibniz reconoce en alguna ocasión que él «no cree en magnitudes verdaderamente infinitas o verdaderamente infinitesimales» Kline, (1972); no obstante, defiende su uso por una cuestión meramente práctica, considerando los símbolos empleados «ficciones útiles para abreviar y hablar universalmente» Edwards, (1937). En su réplica a las críticas del físico Nieuwentijdt, el propio Leibniz afirma: «Se pueden utilizar estos entes últimos  – esto es, cantidades infinitas e infinitamente pequeñas – pequeñas –   como un instrumento, en la misma forma en que los algebristas utilizaban las raíces imaginarias con gran provecho» Kline, (1972). Este breve relato histórico muestra que el concepto de diferencial, identificado con un incremento infinitesimal, favoreció la construcción del cálculo y supuso un gran avance en la solución de problemas físicos. Sin embargo, ese mismo relato muestra también que esa definición de diferencial es insuficiente, no sólo por la falta de argumentos para explicar cómo y por qué funciona el cálculo, sino porque en muchas ocasiones conduce a resultados erróneos. En particular, la creencia errónea de que toda expresión aproximada del incremento puede considerarse exacta en intervalos infinitamente pequeños  –es  –es decir, cuando se transforma en una expresión diferencial –   –  les impedía 23

 

 

comprender por qué en unas ocasiones fallaba el algoritmo y en otras no, lo que generó inseguridad entre matemáticos y físicos de la época. El éxito obtenido por la aplicación del cálculo para resolver una gran cantidad de problemas, junto a la falta de comprensión y justificación de lo que se hacía, le imprimió un carácter de estrategia mecánica y repetitiva, más preocupada por el seguimiento fiel de algoritmos que por el significado, que – que –según según las referencias citadas – todavía  – todavía hoy perdura. Los resultados presentados en otros trabajos Artigue, (1986); Martínez Torregrosa y López-Gay, (1992, 1993, 1997); López-Gay et al., (2001) indican que esta concepción histórica y la actitud mecánica a la que conduce es dominante dom inante en la enseñanza habitual.  Aunque la diferencial de Leibniz, con sus dificultades y contradicciones, supuso un enorme avance para la comprensión y el estudio de la física, el mantenimiento de esta misma concepción (la diferencial de una función como cantidad infinitesimal que se aproxima al incremento infinitesimal de la función, pudiendo sustituirlo), en la enseñanza, tres siglos después, una vez que sabemos que es una concepción errónea, no parece ser lo más adecuado para promover la comprensión, la confianza y la autonomía en los estudiantes.



 2.1.3 La Diferencial de Cauchy

Consciente de las imprecisiones y las ambigüedades del uso del infinito e infinitesimales, Lagrange convocó en 1784, en la Academia de Berlín, un concurso para reemplazar tales nociones sin perder simplicidad en los razonamientos. Ante la falta de respuestas satisfactorias, publicó su propia solución: una teoría de las funciones analíticas que liberaba el cálculo diferencial de los infinitamente pequeños y colocaba la noción de derivada en un lugar preeminente. Pero, como ya les había ocurrido a otros antes, no se trataba más que de un desarrollo teórico, pues en el momento de las aplicaciones físicas, como se refleja en su mecánica analítica, Lagrange recuperaba el uso de la diferencial y de los infinitamente pequeños Laugwitz, La ugwitz, (1997). 24

 

 

La justificación rigurosa del cálculo llegó de la mano del matemático francés Cauchy, en la primera mitad del siglo XIX, quien, a partir de un mejor conocimiento del concepto de límite y del conjunto de los números reales, formuló una definición precisa de las cantidades infinitesimales, de la derivada y la integral. En cuanto a la diferencial, dejó de identificarse con un incremento infinitesimal, se vació de todo significado físico y pasó a ocupar un lugar marginal en la estructura del cálculo. Cauchy define la cantidad infinitamente pequeña como una variable cuyo valor numérico decrece indefinidamente de manera que converge hacia el límite cero Cauchy, (1821), lo que resulta ya suficiente para superar algunas de las objeciones que se habían formulado en los siglos anteriores. La definición de límite proporcionaba también una definición precisa de la derivada y la integral, y un procedimiento no ambiguo para calcularlas. La derivada se definió como «el límite de un cociente de incrementos»; la integral, que había sido reducida en la práctica a la operación inversa de la derivación después del enunciado del teorema fundamental, recuperó con Cauchy el importante papel que había jugado durante la primera mitad del siglo XVII y se definió como «el límite de una serie de sumas». Para el cálculo de ambas, se partía de una relación entre incrementos, aunque fuese aproximada, y después se calculaba el límite de un cociente o de una suma. De esta forma, la diferencial no era ya necesaria para definir y calcular derivadas e integrales. Además, como el incremento de cualquier función continua obedece a la definición formal de infinitesimal, no tiene sentido utilizar el término diferencial para referirse al incremento (infinitesimal) de una función. Si a esto se añade la sospecha acumulada a lo largo de los años sobre la diferencial y los infinitesimales de servir de base a tratamientos matemáticos poco rigurosos, el terreno resultaba claramente abonado para que la diferencial quedase relegada a un papel marginal en el nuevo marco teórico del cálculo. Cauchy definió la diferencial como una expresión construida a     '  x    dx   , siendo dx  un incremento arbitrario (grande o partir de la derivada: df     f  

pequeño) de la variable y pasó a convertirse así en un simple instrumento formal, 25

 

 

necesario para justificar y abreviar ciertas demostraciones. Se desprendió, entonces, a la diferencial de la ambigüedad de los infinitamente pequeños, pero al mismo tiempo quedó desprovista de cualquier significado físico o intuitivo propio: simplemente era el producto de la derivada por el incremento de la variable independiente. Como afirma Freudenthal (1973): «Diferenciales inútiles pueden ser despedidas de inmediato. Si dy dy, dx   aparecen sólo en la combinación dx   o bajo el signo integral después del

integrando, la pregunta sobre qué significan individualmente dx, dy   es equivalente a preguntarse qué significan las letras l, o, g, en log». Resulta evidente que la aportación de Cauchy no es suficiente para superar la sensación de inseguridad y la actitud mecánica cuando se usa el cálculo en las aplicaciones físicas, e incluso lo agrava al vaciar de significado un concepto tan importante para tales aplicaciones como es el de diferencial. Es necesario, pues, llevar a cabo una clarificación que consiga reconciliar, por un lado, la estrecha vinculación con las situaciones físicas de las expresiones diferenciales de Leibniz y Newton, y por otro el rigor y la precisión de su significado, saliendo al paso de la situación descrita por Freudenthal (1973): «Es una situación imposible que el matemático enseñe unas matemáticas que no pueden ser aplicadas y el físico aplique unas matemáticas que no pueden ser enseñadas por el matemático.» Este papel reconciliador lo ha jugado la concepción de diferencial introducida, en 1911, por el matemático francés Fréchet , según Artigue, (1989), para superar algunas deficiencias de la definición de Cauchy cuando se trataba de extender el análisis a funciones de varias e incluso infinitas variables Alibert et al., (1987). Esta nueva definición (invención) de diferencial recupera un significado propio y preciso de gran interés físico y geométrico (como veremos) sin pérdida de rigor. No obstante, puesto que se produjo en un contexto muy alejado al que sería útil para profesores de bachillerato y de primeros cursos universitarios, nos hemos basado en ella para realizar una clarificación de la diferencial y de sus relaciones con la derivada y la integral de una forma problematizada (coherente con la naturaleza natura leza de hipótesis de los conceptos y con 26

 

 

la intención de justificar cuándo, para qué y de qué manera se utiliza el cálculo diferencial en la física) y a un nivel que – que  –según según hemos probado en cursos de formación en activo en los que han participado más de cien profesores de COU –   –  ha resultado provechoso para favorecer la transparencia conceptual sobre estas cuestiones (paso necesario, aunque no suficiente, para poder planificar su enseñanza adecuadamente).

2.2 CONSTRUCTIVISMO Una de las las conclusiones de la difi dificultad cultad para el aprendizaje de algunos conceptos d del el Cálculo se sitúa en lla a característica ab abstracta stracta de éstos tem temas as que si bien podrían parecer elementales, quedan relegados de la vida cotidiana. La formalización de los conceptos del cálculo infinitesimal, diferencial e integral llevó centenas de años a la humanidad, y fue desde el punto de vista de la epistemología genética piagetiana, producto de estadios sucesivos de construcción del conocimiento, que implicaron reorganizaciones a otro nivel de las adquisiciones precedentes. Según, Piaget y García existen tres grandes períodos en la h historia istoria de la m matemática: atemática: “el realismo estático de los griegos que se basa en estados permanentes (figuras y números), los cuales proveen un conjunto de conocimientos previos que eran necesarios para el descubrimiento de las transformaciones algebraicas e infinitesimales del S. XVII, cuyos análisis, a su vez, eran indispensables para dar lugar a las estructuras propias de la matemática del S. XIX y de nuestros días.” día s.” Piaget y García, (1982), Debemos considerar, que en cada persona la comprensión Constructivista de los conceptos matemáticos no se puede obtener solo al aceptar la entrega sino se debe construir el concepto en forma significativa. El Cálculo, no se desarrolla mediante un formalismo simbólico racional solamente, usando en forma muy predominante el hemisferio izquierdo del cerebro, sino en conexión simultánea con el derecho en un verdadero funcionamiento en paralelo. 27

 

 

El aprendizaje de la Matemática en general requiere: Una actividad y una actitud individuales deliberadas por parte del alumno para reconstruir intrapersonalmente los conceptos, motivado por la actividad de aula y la actividad didáctica del docente, pero en la que nadie le puede sustituir.

Una actividad y una actitud sociales de los alumnos, entre ellos y con el docente: cuando se aprende matemática es cuando se trata de justificar, sustentar y defender ante los otros los conceptos aprendidos. Desde la perspectiva de Vigotsky las formas superiores de conocimiento son socio-generadas. Vigotsky, (1982).  Ausubel formula en 1963 la teoría del aprendizaje significativo, una propuesta teórica influyente en el enfoque constructivista Ausubel, (2002). Presenta un modelo de enseñanza y teoría del aprendizaje centrados en el contexto educativo. Se ocupa en especial “de los procesos de enseñanza y aprendizaje de los conceptos científicos a partir de los conceptos que el alumno ya ha formado en su vida cotidiana” (Pozo, 1993).

28

 

 

2.3 LA ENSEÑANAZA ACTUAL ACTUAL (Kindt 2005) Cuando el alumno ingresa a la universidad -entre los conceptos previos a los que creemos necesario apelar para transformar y presentar los nuevos conceptos científicos- están tanto aquellos originados en la vida cotidiana por fuera del ámbito académico como los adquiridos durante la escolarización previa. Es necesario vincular los nuevos conceptos a las quizás disímiles ideas previas: las de la vida cotidiana y las provenientes de la escolarización anterior. En los conceptos trabajados se hace una fuerte apuesta al trabajo de los estudiantes, enfatizando como señala Astolfi que “es el alumno el que aprende, con ayuda de sus representaciones mentales disponibles y nadie puede reemplazarlo en este proceso. (...)“tomar en serio los saberes sa beres es más bien interesarse por las condiciones que hacen posible su construcción por parte de los alumnos, que por el rigor rigor formal de su presentación.” Astolfi, presentación.”  Astolfi, citado en Ausubel, (2002). Concebimos el aprendizaje como un complejo proceso personal de reorganización cognitiva, donde las contradicciones o los conflictos cognitivos actúan como motores del aprendizaje. Las relaciones sociales potencian el aprendizaje en la medida que produzcan contradicciones en la estructura cognitiva de los sujetos e incidan positivamente en los procesos motivacionales de los sujetos del grupo grup o Míguez, (2001). “La concepción del sujeto aprendiente impregna el modo en que los docentes establecen el vínculo con los estudiantes, al cual se le otorga un rol central en el proceso educativo. Este vínculo tiene un peso fundamental y nuclear, entendiendo que el sujeto de la educación es el alumno y el profesor en relación, a través o mediado por el contenido.” Freire y Pampliega, citado en Míguez y C Curione,( urione,( 2004) Enseñar Matemática desde un enfoque constructivista es interesarse por las condiciones que hacen posible su construcción por parte de los alumnos, y no sólo por el rigor formal de su presentación. Aunque la presentación formal rigurosa es ineludible 29

 

 

en la enseñanza de la Matemática actual, debe esta proseguir a la presentación constructivista de los conceptos involucrados. En términos generales, encontramos que si el docente se limita a exponer formalmente conceptos y relaciones entre estos, los estudiantes tienden a memorizar mecánicamente. Como forma alternativa, se trabaja con las ideas previas de los estudiantes. Resulta fundamental que el docente apele a ideas globalizadoras y a una reflexión constructiva, previo a la presentación de las definiciones. Esto es un paso importante, pero no sustituye la necesaria reconstrucción que el estudiante debe realizar, estableciendo relaciones con sus ideas cotidianas. Sin embargo, se evidencia una gran persistencia de las ideas previas vinculadas a algunos conceptos en particular, el de sucesión. Míguez, (2001).

Es importante destacar que se ha encontrado una importante resistencia de parte de los estudiantes a emplear el lenguaje cotidiano en lugar del simbolismo matemático, aspecto que se recomienda debe trabajarse explícitamente en el aula por parte del docente, desde una estrategia didáctica centrada en la búsqueda de aprendizajes significativos. Aunque la presentación formal rigurosa es ineludible en la enseñanza de la Matemática actual, debe integrarse a una presentación constructivista de los conceptos involucrados. Tanto los métodos numéricos como los analíticos comparten un punto inicial fundamental: la necesidad de plantear en forma matemática el problema a resolver. Durante miles de años, hasta el descubrimiento del cálculo infinitesimal por Newton y Leibnitz, éstas eran variantes de expresiones polinómicas, destinadas muchas veces a resolver problemas de índole geométrico (tal como encontrar el valor del número   ). La revolución del cálculo se fundó en la capacidad de expresar cualquier problema de la naturaleza mediante ecuaciones diferenciales, Al unísono Newton, Leibnitz y tantos otros sucesores (Euler, Cauchy, Lagrange, Navier, Gaus, etc.) Sentaron las bases para resolver dichas ecuaciones diferenciales diferenciales de forma analítica. “El profundo significado que 30

 

 

para las matemáticas representaron los nuevos métodos de Cálculo Diferencial e Integral propuestos por Newton y Leibnitz, es comparable al que el descubrimiento del fuego tuvo para los hombres primitivos, o el de la electricidad para la revolución industrial”. Oñate industrial”.  Oñate (2000).

Esta afirmación es en absoluto exagerada. Antes de Newton y Leibnitz no existía una metodología general para plantear en forma de ecuaciones matemáticas un problema concreto; obviamente al no poder plantearse el problema, su solución era imposible. Al poder plantear éste tipo de problemas se permitió avances significativos en el conocimiento científico y técnico. Así,

mientras las matemáticas como ciencia

exploraba nuevos campos de abstracción, su aplicación a las demás ciencias se tornó cada vez más indispensable y eficaz. Esta aplicación se extendió, durante el siglo XVIII y el principio del XIX, XIX, de la mecánica y la la astronomía a las restantes ramas de la física; más tarde a todas las ciencias naturales y, en este siglo, a todos los sectores del saber. “El optimismo que los primeros éxitos del cálculo c álculo infinitesimal infundo a la comunidad científica se vio matizado en posteriores aplicaciones por una desagradable evidencia: si bien todo problema podía plantearse en forma matemática por medio de ecuaciones diferenciales, la solución exacta de dichas ecuaciones solo era posible para algunos casos particulares, que en ocasiones eran groseras simplificaciones de la realidad. Las dificultades que presentaba encontrar la fórmula matemática universal que diera la solución de problemas prácticos de al ciencia y la técnica, hizo patente la necesidad de encontrar formas alternativas de resolver las ecuaciones ecuacione s diferenciales”. Oñate (2000).

31

 

 

2.4. APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA Existe una gran importancia en la adquisición de una buena habilidad numérica en las primeras etapas de la escolarización. “Las habilidades numéricas básicas que se adquieren durante la primera infancia actúan como base para el aprendizaje de las matemáticas de orden superior. Las dificultades en la comprensión de los conceptos numéricos y los problemas en el cálculo en los primeros años pueden interferir en la adquisición de las habilidades matemáticas posteriores. También pueden afectar negativamente la confianza del niño y su interés por aprender matemáticas durante los años escolares. Sin la intervención adecuada, las dificultades en los primeros estadios de aprendizaje de la materia pueden alterar toda la trayectoria educativa del niño en el campo de las matemáticas”. matemáticas”. Jordan (1995).  (1995).  

2.5. ESTRUCTURA DEL ESTUDIO DE CÁLCULO En el mundo hay millares de libros de texto sobre „Calculo Infinitesimal‟. Según Martin Kindt (2005), La estimación es, que 99% de estos libros, tanto en la universidad y como en

el

bachillerato,

tienen

globalmente

la

misma

ordenación.

Es

decir:

(1) continuidad y limite; (2) la derivada y calculo diferencial; (3) la anti-derivada y calculo integral; (4) ecuaciones diferenciales. Claro, se se necesitan el concepto de límite para poder definir la derivada y para demostrar las reglas de derivación. Se necesitan conocer el cálculo diferencial para 32

 

 

poder computar integrales definidas o indefinidas. Se necesitan conocer el cálculo integral para poder resolver ecuaciones diferenciales. Entonces, esta ordenación es lógica y eficiente, pero.... es anti-histórica. anti -histórica. Además es típicamente una ordenación estructuralista.

Pongo en tela de juicio energéticamente el enfoque tanto estructuralista del análisis, análisis, y que éste sea sumamente favorable desde el punto de vista de la didáctica. Menciono a Otto Toeplitz (1926), alemán que indica que: Considerando todos los conceptos básicos del cálculo infinitesimal que hoy día enseñamos como requisitos canónicos, por ejemplo el teorema de valor medio, el desarrollo de Taylor, el concepto de convergencia, la Integral Definida, Definida, el cociente diferencial mismo, nunca se ha planteado la pregunta: ¿Por qué es así? ¿Cómo se llega a ellos? Sin embargo en algún momento, estas cosas tuvieron que haber sido metas de búsquedas urgentes, o contestaciones a preguntas candentes en su tiempo, es decir, en la época de su creación. Si regresamos al origen de estas ideas, ellas perderían esta apariencia de estar muertas, de ser hechos prefabricados, y en su lugar cobrarían nuevamente una vida fresca y vibrante. Presento algunas contradicciones o elementos para meditación: Las raíces del cálculo infinitesimal están en la geometría.

El contraste entre geometría y análisis es menos fuerte de lo que muchos matemáticos piensen; mejor es hablar sobre una diferencia de enfoques. El enfoque geométrico -que es más intuitivo que el enfoque analítico -es subexpuesto en la enseñanza del análisis. Se puede integrar integrar elementos históricos en la la enseñanza de álgebra y análisis

33

 

 

Un punto dogmático lo entrega la ley biogenética de Haeckel, que dice que el génesis de conocimiento matemático del individuo debe seguir el mismo camino, pero abreviado, del génesis de conocimiento de la humanidad. Se tiene la experiencia que una introducción histórica de los conceptos guiadores de las matemáticas.

Una ventaja de esta época es que cada uno puede hallar mucha información sobre la historia de las matemáticas en Internet. No pocas veces esta información es superficial, pero por las muchas referencias a la literatura se pueden profundizarse si lo quieren.  Además se sabe q que ue hay muchas excelentes publicaciones en castellano con respecto a la historia de las matemáticas.

2.6. El Aprendizaje Aprendizaje basado en problemas (ABP) El Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) e ess uno de lo loss métodos de enseñanzaaprendizaje que ha tomado más arraigo en las instituciones de educación superior en los últimos años. Se observa un proceso inverso al aprendizaje tradicional, Mientras tradicionalmente primero se expone la información y posteriormente se busca su aplicación en la resolución de un problema, en el caso del ABP primero se presenta el problema, se identifican las necesidades de aprendizaje, se busca la información necesaria y finalmente se regresa al problema. Desde el planteamiento del problema el proceso que viven los alumnos pasa de trabajar de forma colaborativa en pequeños grupos, practicando y desarrollando habilidades, hasta llegar a la solución; no podemos dejar de mencionar que en el aprendizaje tradicional esto sería imposible.

34

 

 

 Al desarrollar cualquier actividad de tipo colaborativa, los alumnos asumen responsabilidades y desarrollan acciones que son fundamentales en su proceso de formación.  ABP, es un método que es posible utilizar en la mayor parte de las disciplinas y si lo observamos como una técnica didáctica, al ser utilizado en combinación con otras técnicas se predice un mejor aprendizaje.

2.6.1. INICIOS DEL ABP

Las primeras aplicaciones conocidas se atribuyen a la escuela de medicina en la Universidad de Case Western Reserve en los Estados Unidos y en la Universidad de McMaster en Canadá en la década de los 60‟s. Se usó como metodología para mejorar la calidad de la educación médica cambiando la orientación de un currículo que se basa en una colección de temas y exposiciones del profesor, a un proceso de tipo integrado y organizado en problemas de la vida real y donde confluyen las diferentes áreas del conocimiento que se ponen en juego para dar solución al problema. Hace alrededor de 14 años, un grupo de profesores de la Universidad de Delaware, que buscaba una mejor manera de enseñar, adaptó el aprendizaje basado en problemas para los cursos introductorios de ciencias. Posteriormente, fundaron el Instituto para la Transformación de la Educación en Pregrado, con el compromiso de ayudar a sus colegas a descubrir la misma satisfacción y renovado entusiasmo por la enseñanza que ellos experimentaron al adaptar el sistema de ABP. En nuestros días es bastante sencillo darse cuenta que desde los primeros años de estudio y hasta niveles de postgrado, la educación tradicional forma y ha formado alumnos que por lo general se encuentran poco motivados y hasta aburridos de su forma de aprender, se les obliga a memorizar una gran cantidad de información, siendo 35

 

 

gran parte de ésta irrelevante en el mundo exterior; sin dejar de mencionar que lo que realmente se logra recordar por lo general no puede ser aplicado, lo que en algún minuto conlleva dificultades para asumir responsabilidades correspondientes a los cargos que se ocupan laboralmente y a eso se suma el conflicto de no saber realizar un trabajo de tipo colaborativo. Surge el ABP, modelo donde el elemento central es el alumno, siendo éste el que busca el aprendizaje. El ABP, se sustenta en diferentes corrientes teóricas sobre el aprendizaje humano, tiene particular presencia la teoría constructivista, siguiendo tres principios básicos: El entendimiento con respecto a una situación de la realidad surge de las interacciones con el medio. El conflicto cognitivo al enfrentar cada nueva situación estimula el aprendizaje. El conocimiento se desarrolla mediante el reconocimiento y aceptación de los procesos sociales y de la evaluación de las diferentes interpretaciones individuales del mismo fenómeno.

36

 

 



  2.6.2. Características Características del ABP

 Al analizar el desarrollo de ABP, es posible identificar que éste incluye el pensamiento crítico como interacción para aprender, promueve que el alumno comprenda y profundice adecuadamente en la respuesta a los problemas desde el punto de vista Filosófico, sociológico, psicológico, histórico, práctico, etc. Los alumnos trabajan en equipos, con un tutor que promoverá la discusión en la sesión de trabajo (el tutor no es la autoridad, sino un apoyo para la búsqueda de información).Es decir se estimula el trabajo colaborativo en diferentes disciplinas, se trabaja en grupos pequeños. El objetivo no se centra en resolver el problema sino que éste sea utilizado como base para identificar los temas de aprendizaje para su estudio de manera independiente o grupal. Permite la integración de una metodología propia para la adquisición de conocimiento así los alumnos aprenden sobre su propio y personal proceso de aprendizaje. Los conocimientos son introducidos en directa relación con el problema y no de manera aislada o fragmentada. Los alumnos pueden observar su avance en el desarrollo de conocimientos y habilidades, tomando conciencia de éstas. Fomenta en el alumno una actitud positiva, se respeta la autonomía, aprendiendo sobre los contenidos y la experiencia. Se elimina la transferencia pasiva, es decir el aprendizaje está centrado en el alumno y no en el profesor o sólo en los contenidos. Kenley (1999), describe algunas diferencias importantes en cuanto a los elementos propios del aprendizaje entre el método convencional y el ABP como técnica didáctica: 37

 

 

Tabla Nº 1: Comparación de Elementos del Aprendizaje entre el Aprendizaje Convencional y el ABP ELEMENTOS DEL

 APRENDIZAJE

 ABP

 APRENDIZAJE

CONVENCIONAL

Responsabilidad de generar Es preparado y La situación de el ambiente de aprendizaje y presentado por el aprendizaje es presentada los materiales de enseñanza. profesor.

por el profesor y el material de

aprendizaje

es

seleccionado y generado por los alumnos. Secuencia en el orden de las Determinadas por Los acciones para aprender.

el profesor.

alumnos

activamente

participan en

generación

de

la ésta

secuencia. Momento en el que se Después

de  Antes

trabaja en los problemas de presentar

el material que se ha de

ejercicios.

de aprender.

material

de

presentar

el

enseñanza. Responsabilidad aprendizaje.

Presencia del experto

de  Asumida por el Los alumnos asumen un profesor.

El

papel

activo

en

la

responsabilidad

de

su

aprendizaje. profesor El profesor es un tutor sin la un papel directivo, es parte

representa

del del grupo de aprendizaje.

imagen experto. Evaluación

Determinada

y El alumno juega un papel

ejecutada por el activo en su evaluación y profesor.

la de su grupo de trabajo.

38

 

  

 Ventajas del ABP

Según las investigaciones, podemos mencionar que: Este método, estimula que los alumnos se involucren más en el aprendizaje, por ende tenemos alumnos con mayor Motivación. El ABP, ofrece a los alumnos una respuesta obvia a preguntas como ¿Para qué se requiere aprender cierta información?, lo que lleva a un Aprendizaje más Significativo. El enfrentarse a problemas lleva a los a alumnos lumnos hacia un pensamiento crítico y creativo, o sea desarrollan sus habilidades del pen pensamiento, samiento, además, como el ABP promueve la observación sobre el proceso de aprendizaje, podemos decir que desarrolla las habilidades para el aprendizaje. No podemos dejar de mencionar que lleva a los alumnos al aprendizaje de los contenidos de información de manera similar a la que utilizarán en su futuro, evitando la memorización, lo que conlleva la integración de un modelo de trabajo.  Además posibilita mayor retención de información, permite la integración del conocimiento, las habilidades que desarrolla son perdurables, incrementa su auto dirección, mejora la comprensión y desarrollo de habilidades, demuestra habilidades interpersonales y de trabajo en equipo.



  Generalidades Generalidades del ABP

En general, el ABP, nos entrega los elementos para que las habilidades fundamentales puedan desarrollarse, el principio básico que sostiene este concepto es incluso más

39

 

 

antiguo que la educación formal, “el “ el aprendizaje se inicia a partir de un problema reto o investigación propuesto al alumno y que deberá resolver” resolver” Boud  Boud & Feletti, (1991). En éste enfoque se utilizan utilizan problemas complejos de la vida real para motivar a los estudiantes a identificar e investigar los conceptos y principios que necesitan aprender para solucionar tales problemas. Los alumnos trabajan en pequeños equipos de aprendizaje, aunando sus habilidades colectivas mientras van adquiriendo, comunicando e incorporando incorporando la información en un proceso que se asemeja al de una investigación. La enseñanza basada en problemas apunta directamente a muchos de los

resultados

recomendados

y

deseados

en

la

educación

de

pregrado,

específicamente según Duch , Grob y Allen (2003) son las si siguientes: guientes: Pensar críticamente y ser capaz de analizar y resolver problemas complejos de la vida real. Encontrar, evaluar y utilizar las fuentes de información adecuada. Trabajar cooperando en equipos y grupos pequeños. Mostrar habilidades versátiles y eficaces de comunicación, tanto verbales como escritas.

Usar el conocimiento de los contenidos y las habilidades intelectuales adquiridos en la universidad para convertirse en permanentes alumnos. El ABP en Ciencias es visto en Medicina, pequeños grupos de estudiantes, intelectualmente formados y altamente motivados, trabaja con un profesor-tutor para aprender los conceptos básicos de la ciencia en el contexto de casos clínicos reales. Según Bound & Feletti (1997) la secuencia sería la siguiente:

40

 

 

Se presenta un problema a los alumnos ya sea un caso, un ensayo de investigación o una cinta de video. Los alumnos, trabajando en grupos permanentes, organizan sus ideas y conocimientos previos relacionados con el problema; e intentan definir la naturaleza general del mismo.

 A lo largo de la discusión, los alumnos plantean preguntas que develan los >, los mismos que describen aspectos del problema que ellos no entienden. El grupo anota esos temas de aprendizaje, y ellos ayudan a generar y centrar las discusiones. Los alumnos se sienten permanentemente motivados a definir lo que saben y lo que aún no saben; sabe n; esto último es el aspecto más importante. Los alumnos hacen una lista, según el orden de importancia, de los temas de aprendizaje que surgieron en la sesión. Deciden cuáles serán tratados por todo el grupo y cuales podrán ser investigados individualmente y enseñados luego a los otros compañeros del grupo. Los alumnos y el profesor discuten también cuales son las fuentes que se requieren para investigar estos problemas y dónde se pueden encontrar dichas fuentes. Cuando los alumnos se reúnen nuevamente, exploran los temas de aprendizaje anteriores, integrando sus nuevos conocimientos a l problema. Igualmente, se les motiva a sintetizar sus conocimientos y a vincular los nuevos conceptos con los antiguos. Ellos continúan definiendo temas de aprendizaje mientras van resolviendo el problema. Los alumnos pronto advierten que el aprendizaje es un proceso continuo y que siempre surgirán nuevos problemas que explorar (incluso para el profesor). El ABP fomenta la habilidad de precisar la información que se necesita para una determinada aplicación, dónde y cómo buscar esa información, cómo organizarla en un esquema conceptual coherente y cómo comunicarla a otros. El empleo de grupos de trabajo colaborativo alienta el desarrollo de comunidades de aprendizaje en todas las aulas, incrementando los logros de los estudiantes Jonson, Jonson y Smith, (1991).  Aquellos alumnos que aprenden los conceptos en el contexto en que estos se usan 41

 

 

podrán retener y aplicar sus conocimientos de forma más adecuada, Albanaese y Mitchell, (1993). También reconocerán que el conocimiento va más allá de fronteras artificiales, puesto que la instrucción basada en problemas destaca la interconexión entre varias disciplinas, así como la mutua integración de sus conceptos.

2.7 Aprendizaje (Actividades de Aprendizaje) Es una metodología para planificar las clases de ciencia basada en la teoría de Piaget y el modelo propuesto por David Kolb (1984). El ciclo de aprendizaje planifica una secuencia de actividades que se inician con la exploración, la que conlleva la manipulación del material concreto, a continuación prosigue con actividades que facilitan el desarrollo conceptual a partir de las experiencias. Las fases qu que e componen el ciclo son las siguien siguientes: tes:

Exploración: El propósito de esta fase es que los alumnos identifiquen un problema o pregunta que genere una discusión en la cual pueden explicitar sus conocimientos y preconcepciones sobre el fenómeno.

Introducción: El propósito de esta fase es incentivar al alumno para que formule preguntas sobre el fenómeno, incentivar su curiosidad y promover una actitud indagatoria. También ayuda a identificar las preconcepciones que el alumno tiene. Se busca utilizar actividades que presentan

resultados di discrepantes, screpantes, hechos que

contradicen o desafían concepciones comunes. A los alumnos se les pide que establezcan relaciones, observe patrones, identifique variables y clasifiquen su comprensión de conceptos y destrezas importantes. Los alumnos explican en sus propias palabras, para demostrar sus propios interpretaciones de u fenómeno.

42

 

 

Síntesis o desarrollo conceptual: El propósito de las actividades que se desarrollan en esta fase es entregarle al alumno definiciones de conceptos, procesos o destrezas, dentro del contexto de las ideas y experiencias

que tuvieron durante la fase

exploratoria. Estas definiciones pueden se serr introducidas a través de clases expositivas, un libro, software, y otros medios. Los alumnos refinan sus concepciones iniciales y construyen nuevos conceptos. Estas actividades guiadas por preguntas claves que les hace el docente, docente, deberían ayudar a que los alumnos se cuestionan sus creencias y clarifiquen concepciones equivocadas o difíciles.

Transferencia o Aplicación: Esta fase incluye actividades que permiten a los alumnos aplicar conceptos específicos, ayudan a demostrar la comprensión que los alumnos han logrado de las definiciones formales, conceptos, procesos y destrezas, ayudándolos a clarificar sus dificultades. Se pide a los alumnos que apliquen lo que han aprendido al predecir los resultados en una nueva situación. Las actividades de aplicación también permiten al profesor y al alumno (incluye elementos de auto-evaluación) establecer el grado de dominio de los conceptos, procesos y destrezas definidos en los objetivos. Las actividades de evaluación se focalizan en medir comprensión y razonamiento científico en la resolución de problemas de la "vida real" para los cuales estos conceptos y principios son relevantes. En comparación a otras estrategias didácticas, el ciclo de aprendizaje es fácil de utilizar. Hay bastante material curricular para involucrar a los alumnos en actividades de exploración y manipulación. Sin embargo, los profesores necesitan tiempo para preparar el material y un conocimiento sólido de los conceptos y principios que se quieren enseñar para guiar a sus alumnas y alumnos en el desarrollo conceptual y posterior aplicación de los conceptos aprendidos.

43

 

 

CAPÍTULO III: DISEÑO METODOLÓGICO

44

 

 

Él marco Metodológico nos permite ubicarnos en el tipo de diseño en el cuál se desarrolló la investigación así como cada prueba estadística usada para validar los datos, además nos muestra como fueron creados los instrumentos y la importancia que tiene el haber elegido una buena muestra.

3.1 Enfoque y Tipo de estudio El enfoque de la investigación es cuantitativo, Según Roberto Sampieri (2003): “Es el que utiliza la recolección de datos para probar hipótesis con base en la medición numérica y el análisis estadístico para establecer patrones de comportamiento” (Pág. 6). Es decir, se analizarán registros de rendimiento rendimiento,, análisis de datos de Pre y Post test. El estudio será de tipo explicativo, Según Roberto Sampieri (2003) “Pretende establecer

las

causas

de

los

eventos,

sucesos

o

fenómenos

que

se

estudian”.(Pág.124),, es decir, en la presente investigación lo que se pretende es ir más estudian”.(Pág.124) allá de la propia descripción de la enseñanza tradicional del cálculo, sino responder a las causas del mal rendimiento, el por qué ocurre ocurr e y en qué condiciones se d da. a.

45

 

 

3.3 DISEÑO DEL ESTUDIO Un diseño, es un plan o estrategia que se desarrolla para obtener la información que se requiere en una investigación. El diseño de ésta investigación es Cuasi-Experimental, de dos grupos con Pre y Post Test a ambos grupos, puesto que: se toma una situación de control en la cual se manipulan, de manera intencional, una o más variables independientes (causas) para analizar las consecuencias de tal manipulación sobre una o más variables dependientes (efectos). Para efecto de la investigación la primera variable es la que corresponde a la nueva Modalidad Curricular de entregar los contenidos de Derivadas e Integrales en simultáneo, versus la Modalidad Curricular Tradicional que los entrega por separado representando estas una variable categórica; por otro lado la segunda variable interviniente, corresponde al rendimiento, que representa una variable intervalar. Para desarrollar el experimento se trabajará con los alumnos de Tercer año de Ingeniería en Informática de INACAP, Chillán, éstos se separarán en dos grupos: Grupo control y Grupo Experimental; la separación se llevará a cabo de forma aleatoria, verificada por el Director Académico de la sede, comprobando así que ambos grupos queden en igualdad de condiciones sin que el investigador tenga acceso a la partición de los grupos. Vale destacar que siendo así ambos grupos tienen los mismos conocimientos previos que corresponden a los temas de Sucesiones y Límites, elementos necesarios para poder implantar la nueva metodología y la comparación con la tradicional. Se aplicará un diseño de pre-test y pos-test y grupo de control (el test se anexa), éste diseño incorpora la administración de pre-test a los grupos que

componen el

experimento. Como los sujetos se asignan al azar a los grupos, a éstos se les aplica simultáneamente el pre-test; un grupo recibe el tratamiento experimental y el otro no (es el grupo de control); por último, se les administra, también simultáneamente un posttest. El diseño se diagrama como sigue:

46

 

 

Tabla Nº 2: Representación del Diseño Grupos

Pre test

Tratamiento

Pos test

Experimental

O  

X

O  

De Control

O  

-

O  

1

3

2

4

El presente estudio será aplicado a los alumnos de tercer año de ingeniería en Informática, que cursan la asignatura de cálculo. El principal interés de esta investigación es enseñar las Derivadas en simultáneo con las Integrales y verificar su efecto en el rendimiento.

3.4 POBLACIÓN Y MUESTRA La población está conformada por los 60 alumnos de INACAP, sede Chillán Universidad Tecnológica de Chile que en semestre primavera 2009 cursaron la asignatura de Cálculo en la carrera de Ingeniería en Informática jornada diurna, aleatoriamente 30 conformaron el grupo Experimental y los otros 30 el grupo de control, por ende el experimento carece de muestra.

3.5 TECNICAS DE RECOPILACIÓN DE DATOS Esta etapa de la investigación, consiste en recolectar los datos de rendimiento de los alumnos de Ingeniería en informática en la Asignatura de Cálculo de 2006, 2007 y 2008; tomando el promedio ponderado de la asignatura, ( podemos decir que el proceso de medición significa que asigna números a objetos y eventos de acuerdo con ciertas reglas), además se creó un instrumento que consta de 30 preguntas de selección 47

 

 

Múltiple que involucran los contenidos de derivadas e integrales, éste servirá de pre y post test, (válido y confiable, de lo contrario no podríamos basarnos en sus resultados); luego se aplicará el instrumento, para seguido de esto analizar los resultados. Es preciso mencionar que un instrumento de medición adecuado es aquel que registra datos observables que representan verdaderamente los conceptos o las variables que el investigador tiene en mente, cuantitativamente capturando a la realidad. r ealidad. Se genera una prueba la cual se validará mediante el cálculo del Kuder Richarson (1937) (esto sin dejar de lado el juicio de expertos), éste mide la consistencia interna de instrumentos de evaluación. El modelo de Kuder-Richardson es aplicable en las pruebas de ítemes dicotómicos en los cuales existen respuestas correctas e incorrectas. Para efecto de ésta investigación, luego de aplicar el instrumento a 105 estudiantes el cálculo nos entregó un 93% de validez.

3.6 ANÁLISIS DE DATOS Para analizar las variables mencionadas en el Diseño de estudio se trabajará usando la estadística asociada a un estudio de tipo Cuasi-Experimental que corresponde a No Paramétrica, si bien las pruebas estadísticas paramétricas son mucho más eficaces que las pruebas no paramétricas, en éste estudio no es posible su utilización ya que en diseños Cuasi- Experimentales no se cumplen parámetros estrictos por ejemplo que los datos de la muestra provengan de una población normalmente distribuidas, Sprent, (2001). Primero se utilizará utilizará la prueba Mac Nemar (para la significación de los cambios) y luego Wilcoxon para analizar si existe diferencias entre los grupos de Control y Experimental, respecto a su rendimiento. La hipótesis de investigación inv estigación propone que los grupos difieren significativamente entre sí y la hipótesis nula propone que los grupos no difieren significativamente. 48

 

 

CAPÍTULO IV: PROPUESTA DE INNOVACIÓN PEDAGÓGICA: “UNA NUEVA FORMA FORMA DE APRENDER DERIVADAS E INTEGRALES”. INTEGRALES”.

49

 

 

Para desarrollar una Unidad Didáctica, no basta con la experiencia y años de investigación respecto a la Enseñanza del Cálculo, sino además se necesita de la actualización en Metodologías y Didáctica de la Enseñanza Enseñan za de las Ciencias. Se presenta un detalle Técnico de la Unidad de derivadas e Integrales en Simultáneo, una red de contenidos: Conceptuales, Actitudinales y Procedimentales; además de Un Objetivo General, con sus respectivos Objetivos Específicos, Un análisis de tres Textos, con su respectiva reducción Didáctica. No podemos dejar de mencionar que aparte de exhibir una unidad didáctica, esta representa un cambio curricular de suma importancia, ya que pretende mediante el trabajo centrado en el alumno con metodologías activas y un nuevo ordenamiento en los contenidos, permitiendo, mediante la contextualización que el alumno se impregne y haga significativo su aprendizaje, además la presente Unidad Didáctica nos entrega un apoyo para los profesores. Para desarrollar esta Unidad Didáctica, basado en la experiencia y años de investigación respecto a la Enseñanza del Cálculo, es que presento un detalle Técnico de la Unidad, una red de contenidos: Conceptuales, Actitudinales y Procedimentales ; además de Un Objetivo General, con sus respectivos Objetivos Específicos, Un análisis de tres Textos, con su respectiva reducción Didáctica. No podemos dejar de mencionar que aparte de presentarse una unidad didáctica, esta representa un cambio curricular de suma importancia, ya que pretende mediante el trabajo centrado en el alumno con metodologías activas y un nuevo ordenamiento en los contenidos, permitiendo, mediante la contextualización que el alumno se impregne y haga significativo su aprendizaje, además la presente Unidad Didáctica nos entrega un apoyo para los profesores.

50

 

 

4.1 Objetivo General Del Proyecto de innovación Pedagógica:

Diseñar un modelo para desarrollar las unidades de Derivadas e integrales, en cursos de Cálculo usando la metodología de ABP.



 4.1.1Objetivos  4.1.1Objeti vos Específicos Del Proyecto de innovación Pedagógica: Pedagógica:

Establecer parámetros para estructurar curricularmente la asignatura de Cálculo desde un modelo integrador de enseñanza de integrales con derivadas. Diseñar un sistema de construcción de unidades Didácticas desde un modelo integrador de los Contenidos de derivadas e Integrales usando ABP.



  4.1.2 Detalle Técnico de la Unidad Unidad

Asignatura  : Cálculo Unidad  Horas

: Derivación y Antiderivación : 44 hrs.

51

 

  

 4.1.3 Objetivo General:

 Aplicar las definiciones, teoremas y postulados sobre Derivadas e Integrales en la solución de problemas asociados a la especialidad



 

  4.1.4 Objetivos específicos:

Aplicar las propiedades de derivación e integración para resolver problemas algebraicos.

 

Interpretar geométricamente la derivada y antiderivada de una función.

 

Resolver ejercicios aplicando teo teorema rema de Rolle, de dell Valor Medio y Teorema de L‟Hopital   L‟Hopital

 

Aplicar el concepto de derivada e integral en problemas prácticos.

 

Aplica los teoremas de derivada e iintegral ntegral en problemas prácticos.

 

Aplica el teorema fundamental del cálculo en la solución de problemas de áreas.

52

 

  

 4.1.5 Contenidos Conceptuales:

1. Derivada y antiderivada de una función real. 1.1 Definición. 1.2 Notación. 1.3 Interpretación geométrica. 2. Propiedades de la función derivada y antiderivada (con una variable). 2.1 De la función constante. 2.2 De la función potencia. 2.3 De la suma y resta de funciones. 2.4 Del producto de una constante por una función. 2.5 Composición de funciones (Regla de la Cadena). 2.6 De la función exponencial. 2.7 De la función logarítmica. 2.8 De la función trigonométrica. 3. Teorema de Rolle. 4. Teorema del Valor Medio. 5. Teorema de L‟Hopital  L‟Hopital  6. Integración por partes 7. Integración por sustitución. 8. Integral definida. 9. Teorema fundamental del Cálculo

53

 

  

  Contenidos Contenidos Actitudinales:

Valora el pensamiento abstracto. Permite el pensamiento reflexivo. Practica la capacidad de coordinar acciones con otras personas. Practica maneras adecuadas de comunicación. Practica la asertividad y auto evaluación. Confronta la realidad con su mundo interno.



  4.1.7 Contenidos Contenidos Procedimentales:

Interpreta geométricamente la derivada y antiderivada de una función.  Aplica las propiedades de derivadas y antiderivada de funciones reales de una variable.  Aplica el Teorema de L¿Hopital en el cálculo del límite límite en forma indeterminada  Aplica la l a primera derivada a problemas de Costo marginal, ingreso in greso y utilidad marginal, etc. Resuelve integrales simples utilizando las formulas de integración. Resuelve integrales apli aplicando cando el método de integración de sustitución de variable auxiliar. Resuelve integrales aplicando el método de integración por partes. Resuelve integrales aplicando el método de integración sustitución de variable trigonométrica. Calcula el valor medio de una función en un intervalo dado. Calcula de integral definida de una función en un intervalo.

54

 

 

4.7 ANÁLISIS DE TEXTO  A continuación se identifica una red re d de contenidos dispuestos por tres autor autores; es; Se debe tomar en cuenta que todos los textos disponibles trabajan el contenido de Derivada y luego el de Integrales, y la propuesta nos entrega su s u trabajo en simultáneo. Se identifican los contenidos a enseñar y basados en tres textos: “Cálculo y Geometría Geom etría  Analítica” de Roland E Larson y Robert P Hostetler , “El Cálculo” de Louis Leithold , “Cálculo con Geometría Analítica” Analítica” de Proter y su paralelo con la propuesta curricular.  curricular.   Se entrega un cuadro comparativo donde se identifica el contenido y se da su secuencia. Además se presentan los contenidos más importantes y se destacan los elementos comunes, para luego entregar una propia definición en algún caso. Finalmente se presenta un mapa conceptual que muestra la relación de los contenidos.

55

 

 

  Tabla Nº 3: Representación de 4 autores y sus correspondientes redes de contenidos para las mismas



unidades: Derivadas e Integrales.

Cálculo y Geometría Analítica

El Cálculo

Cálculo con Geometría

¿Cómo aprender a

Roland E Larson

Louis Leithold

Analítica

Derivar e Integrar?

Proter

Patricia Rojas

Robert P Hostetler La Derivada y El problema de la

 

recta tangente.  El

 

 Derivabilidad y

- Definición . - Notación.

 Técnicas para

Diferenciabilidad y Continuidad

aplicaciones de la

 

Derivada numérica

derivada

 

Teoremas sobre

 La derivada de una

función.

una función real.

La diferencial

Recta tangente y Derivada

problema de la recta

tangente.

 Aplicaciones de la derivación, Derivada y antiderivada de

Derivada y Diferenciación

geométrica.

 Teorem  Teorema a de Rolle Rol le y

 Aplica  Aplicaciones ciones a

la

Reglas básicas de derivación y

funciones algebraicas y

ritmos de cambio

derivadas de orden

representación

superior

gráfica de funciones

 La

regla de lla a constante.

 La

regla de llas as potencias

 La regla del múltiplo

Movimiento rectilíneo

 

Derivada como tasa de

la segunda derivada  Valo  Valores res máximo

variación

constante

(con una variable). - De la función

 Aplicaciones usando

 

Propiedades de la función derivada y antiderivada

del valor medio

diferenciación de

continuidad.

- Interpretación

y

constante. - De la función potencia. - De la suma suma y resta de funciones.

56

 

   La

regla de su suma ma y

 

diferencia  Derivada  Derivada de las función seno y coseno  Ritmos  Ritmos de

 

cambio.

mínimo de una

funciones trigonométricas

función en un intervalo

Derivada de una

 

 Notación diferencial  Variaciones

exponentes racionales

 La

regla del cociente

y diferenciación

trigonométricas.  Derivadas  Derivadas de orden superior.

 Aproximación

potencia para regla del producto las

 La diferencial.

Derivada de la función

 La

funciones

máximos y mínimos

regla de la cadena

superior.

 Derivadas  Derivadas de

 Aplicaciones de

función compuesta y

Las reglas del producto y cociente y derivadas de orden

Derivadas de las

relacionadas

implícita  

 L  La a

Tasa de variación

integral definida y

la antiderivada

relacionadas La integral definida Integral definida e integración

 

Área

- Del producto de una constante por una función - Composición de funciones (Regla de la Cadena) - De la función exponencial - De la función logarítmica. - De la función trigonométrica. Regla de la cadena Teorema Teorem a de Rolle Teorema del Valor Medio.

La regla de la cadena  Regla  La

de la cadena

 

Antiderivacion

 

Algunas técnicas de

 

El símbolo sumatorio

Integración por partes

antiderivación

 

La integral definida

Integración por sustitución

Ecuaciones

 

Propiedades de la

Integral definida

regla general de las  

potencias

Teorema de L‟Hopital L‟Hopital  

integral definida

diferenciales y

 Simplificación de

movimientos rectilíneo

derivadas  

 Funciones

 

Teorema fundamental del

Evaluación de

Cálculo

integrales definidas

Área 57

 

 

trigonométricas y regla

 

Integral definida

de la cadena

 

Teorema del valor

 

medio para integrales

medio para integrales

Derivación implícita  Funcio  Funciones nes explísitas

e

 

implícitas  Derivación implícita. Integración

 

Primitivas e integración  

indefinida  Notación  Notación para

 

Área entre curvas

cálculo Áreas de una región

   

Trabajo Funciones vectoriales

plana

en el plano y sus

Volúmenes de sólidos

derivadas

de arandelas

primitivas  Reglas  Reglas básicas

 

de

integración  Condiciones  Condiciones iniciales

mediante el método de

triedro móvil Fórmulas y métodos de

 Área

integrales impropias. e

Componentes

tangencial y normal . El

Técnicas de integración, formas indeterminadas e

 Sum  Sumas as superiores

aceleración en el plano

capas cilíndricas

y

de una región plana

Vectores velocidad y

Volúmenes de sólidos

 Notación sigma

 Área

 

 

soluciones particulares.  Área

Integrales indefinidas.

fundamentales del

de rebanado, e discos y

las

 

Cambio de variable

Teoremas

mediante los métodos

 Primtivas

Teorema del valor

integración  Integración por sustitución

 

Integración por partes

 

Integrales

trigonométricas

trigonométricas

inferiores

 Algunas integrales

 Sustitución

58

 

 

Sumas de Rieman e integrales

 

Integración de funciones algebraicas

definidas.

trigonométrica  Integrandos que

 Sum  Sumas as de

Rieman

mediante sustitución

contienen funciones

 Integrale  Integraless

definidas

trigonométrica

cuadráticas

 Pro  Propiedades piedades de

las

 

Integración de

 Inte  Integración gración por

partes

funciones racionales y

integrales definidas  

cálculo

funciones racionales

crecimiento logístico

El teorema fundamental del

 Do  Doss sustituciones

Integración mediante otras técnicas o tablas

 El teorema fundamental

del cálculo

 

Integración numérica

 

Forma indeterminada

 El teorema del valor

0/0 y teorema del valor medio de Cauchy

medio para integrales  Val  Valor or

medio de una

 

 El segundo teorema

fundamental del cálculo Integración por sustitución  

Otras formas indeterminadas

función  

Integrales impropias con límites de integración infinito

Reconocimiento de

modelos  

Cambio de variables

 

La regla general de 59

 

 

las potencias para integrales.  

Cambio de variables

en integrales definidas   Integración de funciones pares e impares Integración numérica  La regla de los

trapecios  La

regla de simpson

 An  Análisis álisis de

errores

Técnicas de integración,regla de L‟Hopital e integrales impropias.  impropias.   Reglas básicas de integración.  Adaptación de integrandos a las reglas básicas. Integración por partes  Integración  Integración por

 Integración de

partes

 Método tabular

60

racionalización

de

 

 

Definiciones de contenidos más importantes de la unidad (según los autores).

4.8.1 Definición de Derivada

LARSON: La derivada de f en x viene dada por

 

 f   x   x    f   x 

 x    0

 x

 f  '  x    Lím

ese límite. El proceso de hallar la derivada de Una función es derivable (o

, supuesto que exista

una función se llllama ama derivación.

diferenciable) en x si su derivada en x existe, y

derivable en un intervalo abierto (a, b) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo. LEITHOLD: La derivada de la función f es aquella función, denotada por f´, tal que en un número x del dominio de f está

dado por

 

 f   x   x    f   x 

 x    0

 x

 f  '  x1    Lím

su valor , si éste

límite existe. Si x1 es un número particular del dominio de f, entonces

 

 f   x1   x    f   x1 

 x0

 x

 f  '  x1    Lím

  si éste límite existe. Observa que el dominio de del dominio de f.

f‟ es un subconjunto PROTER:

Teorema: Supóngase que f es continua en un intervalo y que toma su valor máximo (o mínimo) en algún punto  x   0

que está en el interior del intervalo. Si existe  f  '   x0  ,

61

 

 

ateral entonces  f  '  x0     0 . Tomando el límite llateral  Lím

 f   x0  h    f   x0 

h 0

 

h

0

cuando

h  0 ,

concluimos

que

 

4.8.2 Definición de Primitivas

LARSON: Familia de primitivas; Si F es una primitiva de f en un intervalo I,

entonces G es una

primitiva de f en I sí y solo sí G es de la forma G x     F  x    C , para todo x en I, donde C denota una constante.

LEITHOLD:  Antiderivada ; Una función F se de denomina nomina antiderivada de lla a función f en un intervalo I si  F '  x     f   x  , para todo valor de x en I. PROTER: La diferencia  F  X    h  F  x   es el área de la región sombreada. Si h es , la región sombreada es casi un rectángulo. Si llamamos Y a algún valor promedio de la función f(x) entre X y X + h, Y  

podríamos

decir

   X   h  F     X   Y    ho que F 

 F  X     h    F  x 

 F '  X  .

h

,

cuando h  0 , esta expresión tiene como límite la derivada

Por otra parte, vemos que cuando h  0 , la altura

promedio Y debe tender a la altura de la función f en el punto X, que es f(X). Mediante      f   X  , quedando este concluimos que  F '  X 

función f es la derivada

establecido que

la

de la función área F. T También ambién decimos que F es una

62

 

 

antiderivada de f. En otras palabras, el proceso de hallar el área y el proceso de derivación son inversos entre sí.

4.8.3 Definición del Teorem Teoremaa R Regla egla de la Cadena.

LARSON: (Primitiva de una función compuesta) Sea g una función cuyo recorrido es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es derivable en su dominio y F es una primitiva de   f   g   x g '  xdx     F    g  x   C , Si u   g  x  , entonces du    g '  xdx   y f en I, entonces

  f  u du    F u    C   LEITHOLD: Sea g una función diferenciable y sea el contra dominio de g algún Intervalo I. Suponga que f es una función definida en I y que F es una

  f   g   x g '  xdx     F    g  x   C . PROTER: No entrega una definición explícita.

63

antiderivada de f en I. Entonces

 

 

4.8.4 DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA

LARSON: n

 Lím

Si f está definida en el intervalo cerrado a, b  y existe el límite

 o

  f  c  x i

entonces f es integrable en a, b  y el límite se denota

 o

,

b

n

 Lím

i

i 1

  f  c   x    f   xdx i

i

i 1

a

. Ese

límite se llama la integral definida de f entre a y b. El número a se llama límite inferior de integración y el b límite superior de integración. LEITHOLD: Si f es una función definida en el intervalo cerrado a, b , entonces la integral definida de b

b

f de a a b, denotada por

  f   x dx a

, está dada por

n

    f  w   x   f   xdx   Lím  0

a

i

i 1

i

 si el límite

existe. PROTER: Se dice que una función f es integrable sobre el intervalo a, b , si existe un número A    0

   0

con la siguiente propiedad: para cada n

  f      x      A    k 

k 

k 1

 k 

, para toda subdivisión

  existe 

  con

un

   

,

tal

que

  y para cualquier elección de

  en  x k   1  , x k  . La falta de precisión proviene de que para cualquier valor dado de la

norma



, los  k  x   pueden variar grandemente, y los  k    pueden desplazarse mucho

en el sub-intervalo. Es natural preguntar si existen varios valores posibles para el número A en cualquier caso particular. Se puede demostrar que si existe un número A que satisface la DEFINICIÓN, ENTONCES ES ÚNICO. 64

No

pueden

existir

dos

 

 

valores

diferentes. La demostración de éste hecho es análoga a la demostración

de la unicidad de los límites. El número A se llama

integral definida de f desde a hasta b, y se denota por

b

 f    x dx

 a

  .La función f es el integrando, y los números a y b son los límites de integración

inferior y superior, respectivamente. La letra x es la variable de integración. Esta es una variable y puede ser reemplazada por cualquier otra lletra etra (aunque, para prevenir cualquier confusión, evitaremos el uso de a, b, d o f como variable de integración).

65

 

 

4.10 MAPA CONCEPTUAL DE DERIVADAS EN SIMUL SIMULTÁNEO TÁNEO CON INTEGRA INTEGRALES LES

66

 



 Plan Metodológico de Enseñanza: Ejemplo de Clase

Se desarrolló la planificación Curricular de 24 sesiones de trabajo con sus respectivos  Aprendizajes

Esperados,

Criterios

de

Evaluación,

Contenidos,

Actividades,

Metodología, Recursos Didácticos y Evaluación las que se encuentran en el ANEXO Nº 1. A continuación continuación se procederá a presentar clases que servirán de referencia en cuanto al diseño de las clases y las actividades que se han de desarrollar en ellas. En este modelo se incluirá un guía para el docente, guía para los alumnos, la actividad que van

a desarrollar en la clase y la evaluación que los participantes deberán realizar al fin de la actividad. Las sesiones elegidas son la 3, 4, 5, 6, 8, 11 y 23.

67

 

 



 Clase 3

CONTENIDO 1.2: Notación de Derivada y Antiderivada a) Actividades de Exploración  A continuación se presentan dos listados de funciones. Una con un una a línea cada función con su respectiva derivada.

  1 '  F   x    3    x

 f   x     x 2  

 f   x   

 x 2

2

 

 F '  x    2 x  

 

 F '  x     x  

 x 3  f   x    3

  1  F '  x    2    x

b) Actividad de Introducción Se revisa en la pizarra lo resuelto anteriormente por los alumnos y se llega mediante un consenso a la respuesta correcta.

68

 

 

c) Actividades de síntesis Ordenan en el cuaderno el listado anteriormente ant eriormente entregado, dando un orden lógico a los teoremas.

d) actividades de transferencia de contenido Para cada una de las derivadas siguientes, describa la función original F. a)  F '  x    2 x  

b)  F '  x     x   c)  F '  x     x 2    

d)  F '  x   

 

e)  F '  x   

1

 

 x 2

1  x 3

 

f)  F '  x    Cos   x 

69

 



  Clase 4

CONTENIDO 1: Definición de Derivada y Antiderivada de una función real.

Como actividad introductoria se presenta, las Actividades de Aprendizaje, ya mencionadas anteriormente, debido a su importancia y posibilidad de trabajo desde un nivel de exploración con alumnos que recién se integran a los contenidos de Cálculo.

Actividades de aprendizaje:

a) Actividades de Exploración Se presenta el concepto Derivada y antiderivada y se pregunta a los alumnos el significado de la palabra mediante lluvia e ideas.

b) Actividad de Introducción Se entrega un listado de derivadas con sus respectivas antiderivadas y se responde a la siguiente pregunta. ¿Qué tienen en común?

c) Actividades de síntesis Dada una función se pide derivar y comprobar integrando.

d) Actividades de tr transferencia ansferencia de contenido Se pide inventar una función diferenciable y encontrar su derivada y luego integrar para comprobar.

70

 

 



 Clase 5 (ABP)

Piden obligar a casas comerciales a informar sobre costo total de tarjetas de crédito, incluidas comisiones Jueves 7 de Diciembre de 2006 Fuente: La Segunda Internet. La exigencia de que las casas comerciales publiquen el costo total de las operaciones que deberán pagar los consumidores -incluyendo el interés, comisiones y todo otro gasto asociado a la operación- propuso el diputado UDI Gonzalo Arenas Hödar, tras conocerse que las comisiones por administración y/o mantención de tarjetas de crédito muestran diferencias de hasta 9.000 por ciento. El diputado recordó que el uso de las tarjetas de crédito no bancarias ha registrado re gistrado un explosivo aumento en los últimos años,

desde un 59% (del total de tarjetas) en 1999 a un 73% en el 2005, existiendo en la actualidad

más

de

10.176.783

tarjetas

de

crédito

no

bancarias.

Por su parte, el último estudio realizado por el SERNAC en torno a los cobros de Tarjetas de Crédito de multitiendas y Casas Comerciales, muestra diferencias de hasta 9.000% en las comisiones cobradas por administración y/o mantención de las mismas. ¿Cómo se calcula el costo total?

CONTENIDOS PREVIOS: 

  Sucesiones



  Límites



  Derivada y antiderivada de una función real.



  Propiedades de la función derivada



  Regla de la cadena

INVESTIGAR: 

  Integrales



  Propiedades 71

 

 

CUESTIONARIO ABP 1. ¿Qué es una derivada?

2. ¿Cómo se deriva? 3. Para cada una de las derivadas siguientes, describa la función original F.

a)  F '  x    2 x   b)  F '  x     x   c)  F '  x     x 2    

d)  F '  x   

 

e)  F '  x   

1  x

 

2

1  x 3

 

f)  F '  x    Cos   x 

5. ¿Qué estrategia ha utilizado para hallar las derivadas anteriores?

72

 

 

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ABP

Exploración: a) ¿Qué es el costo total? b) ¿Qué es el costo marginal? c) ¿Qué es el costo medio?

Introducción: a)

Hallar la función de costo total y costo medio para el costo marginal dC 

dx

 2  x  12 cuando el costo fijo es $50  (costo cuando  x  0 ).

b) Hallar las funciones de ingresos y de demanda para el ingreso para el ingreso marginal

dR dx

 100  5 x   1 2

c) Si un una a función de costo marginal es: C mg    x 3   x   entonces, la función de costo total está dada por:

Síntesis:  El costo marginal de la producción de x unidades de un bien está dado por: C mg   12   x   500 . Si el costo total de reducir 80 de estos bienes es de $100.000 , entonces

la función de costo total está dada por:

Transferencia: ¿Cómo se calculará un costo marginal, dado un costo total?

73

 

 

Clase 6  CONTENIDO 1.3: Interpretación geométrica de la Derivada y Antiderivada.

La primera propuesta para éste contenido la entrega el trabajar con tipos de preguntas, el objetivo de esto es situarnos en cada momento de la clase y además ir abordando el contenido paso a paso, ayudando así a su comprensión. No obstante le permiten al profesor elegir sus ejercicios según nivel para crear cr ear una evaluación ya sea de proceso sumativo o formativo.

CONTENIDO: DERIVADA (El problema de la recta tangente)

GUÍA “Identificando una  una recta tangente”  tangente” 

Usar una calculadora gráfica para esbozar la

PREGUNTA FÁCTICA:

gráfica de

 f   x   2 x 3   4   x   2  3x  5 .

PREGUNTA DE COMPRENSIÓN: Representar sobre la misma pantalla las gráficas de  y   x  5 ,  y  2  x   5 ,  y  3  x   5  

PREGUNTAS CREATIVAS:

¿Alguna de estas rectas parece ser la tangente a la

gráfica de  f  en el punto 0,5 ? Explique su respuesta.

INTERPRETACIÓN:

En los siguientes casos, hallar una ecuación de la recta que es tangente a la gráfica de f y paralela a la recta dada:

74

 

 

a)  f   x     x 3 , 3 x   y   1  0  

APLICACIÓN:

b)  f   x    1 ,  x  2  y   6  0    x

Se lanza un proyectil hacia arriba desde la superficie terrestre cuya función de posición es

 st   16  t 2    v  0 t   s0  , con una velocidad de 120

m  s

.

¿Cuál es la velocidad tras 5 segundos?

ANÁLISIS:

La figura muestra la gráfica de g‟, donde  g 0     3 ,

 g 3    0  y  g  3    0  

¿Qué se puede deducir acerca de la gráfica de g ?.

SÍNTESIS: 

Dibujar una función cuya derivada sea siempre negativa y una función cuya derivada sea siempre positiva.

EVALUACIÓN:

Representar en la calculadora  f   x    x  2  1  y  g  x     x   1 , simultáneamente. Usar el efecto zoom para

analizarlas cerca del punto 0,1 . ¿Qué se observa? ¿Qué función es derivable en ese punto? Escribir un párrafo breve describiendo el significado geométrico de la derivabilidad en un punto. 75

 

 

ABP)   Clase 8 ( ABP) CONTENIDO 2.: Propiedades de la función derivada y antiderivada (con una variable): De la función constante, de la función potencia, de la suma y resta de funciones y del producto de una constante por una función.

La primera propuesta para el desarrollo de éste contenido lo entrega el ABP, por su especialidad en la contextualización y lo práctico y Multidisciplinar de sus ejemplos.

 Actor Matt Dillon detenido por exceso de velocidad en autopista de Vermont Miércoles 31 de Diciembre de 2008 Fuente: AFP NUEVA YORK.- El actor estadounidense Matt Dillon fue detenido por exceso de velocidad en una autopista de Vermont (noreste), indicó el miércoles la Policía. Dillon, de 44 años, nominado para el Oscar en 2006 por su actuación en "Crash", conducía su automóvil a 171 kilómetros por hora en una autopista cuyo límite máximo de velocidad es de 105, indicó a la AFP la sargento Tara Thomas. La Policía tomó sus huellas digitales y lo fotografió antes de dejarlo en libertad. Dillon fue inculpado y de ser hallado culpable es pasible de una pena máxima de tres meses de cárcel y una multa de hasta 300 dólares. Thomas dijo que durante el incidente, ocurrido el martes, el actor se mostró "sumamente cooperativo y cortés” ¿Qué es la velocidad? ¿Cómo se calcula la velocidad?

CONTENIDOS PREVIOS: 

  Sucesiones



  Límites



  Derivada y antiderivada de una función real.

76

 

 

- Definición. - Notación. - Interpretación geométrica.

INVESTIGAR: 

  Derivada

Propiedades de la función derivada y antiderivada (con una variable).

CUESTIONARIO ABP 1 1. ¿A q qué ué se llama velocidad? 2. ¿En qué unidades de medida podría ser expresada? 3. ¿Cuáles son los rangos de velocidad permiti permitidos? dos? 4. ¿Cuál sería la grafica para un m movimiento ovimiento con velocidad constante?

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ABP

EXPLORACIÓN   piess  s   Un hombre de 6 pies de altura camina a 5  pie

alejándose de una farola

cuya bombilla está a 15 pies de altura sobre el suelo. Cuando el hombre está a 10 pies de la base de la farola. ¿La velocidad con la que se mueve el extremo de su sombra es mayor o menor que la de él?

77

 

 

INTRODUCCIÓN  Basado en el ejercicio anterior. ¿A qué ritmo r itmo está cambiando la longitud de su sombra?

SÍNTESIS a) ¿Cuál e ess la aceleración del hombre? b) ¿Cuál e ess la aceleración de la sombra?

TRANSFERNCIA ¿Qué sucedió en ambos casos?, ¿Cuále ¿Cuáless son las las diferencias

78

 

 

Clase 11 (ABP) CONTENIDO 2.5: Composición de Funciones “Regla “Regla  de la Cadena”  Cadena”  CONTENIDO: DERIVADA (Aplicación de regla de la cadena) ECONOMÍA: Quintec S.A. aumenta sus ingresos en un 22% y su utilidad operacional en un 30% Jueves 30 de Octubre de 2008 Fuente: La Segunda Online Quintec registró utilidades por $ 907 millones al tercer trimestre de 2008. Los ingresos de explotación se incrementaron un significativo 22 % con respecto al mismo periodo del año anterior, alcanzando un total de $57.169 mill millones. ones. La utilidad

operacional a Septiembre del 2008 alcanzó los $ 2.477 millones, aumentando en un 30% con respecto a los $ 1.912 millones d del el mi mismo smo período 2007.Este crecimiento es totalmente orgánico, ya que entre las fechas comparadas Quintec no registró nuevas adquisiciones de empresas, a diferencia de Sonda que registra la compra compra de Procwork en Brasil. Los ingresos provenientes de operaciones fuera de Chile alcanzaron un 26% del total en 2008, contra un 21% en igual periodo de 2007, en tanto su aporte a las utilidades alcanzó el 28%. El EBITDA se incrementó en un 29% al pasar de $ 5.073 millones a $6.523 millones. ¿Qué es y cómo se calcula el ingreso?

CONTENIDOS PREVIOS: 

  Sucesiones



  Límites



  Derivada de una función real.

- Definición. - Notación. - Interpretación geométrica. 

  Propiedades de la función derivada y antiderivada (con una variable).

- De la función constante. - De la función potencia. 79

 

 

- De la suma y resta de funciones. - Del producto de u una na constante por una función INVESTIGAR: 

  Derivada: regla de la cadena

CUESTIONARIO ABP

1. Explique con sus palabras que es una derivada. 2. ¿Qué es la u utilidad tilidad para un consumidor? 3. ¿Cómo se puede medir?

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ABP

PROBLEMA: ¿Cuál es la utilidad máxima que un consumidor puede lograr?

Exploración: Mediante trabajo grupal se responde a las siguientes preguntas de reflexión, luego en lluvia de ideas se responde a las preguntas en la pizarra para llegar a un consenso: a) ¿Qué es la uti utilidad lidad para un consumidor? Y b) ¿Cómo se puede medir? 80

 

 

Introducción: Dada la ecuación de utilidad U     AX  Y     se pide graficar. Síntesis:  Construir la ecuación de ingreso  I    P  x X     P  yY  dados los precios de los productos y la renta disponible.

Transferencia: Dada la curva de utilidad e Ingreso se pide: Maximizar la utilidad. utilid ad. (Derivando e igualando las ecuaciones)

81

 

 

Clase 23 (ABP) C0DELCO LOGRA EXCEDENTES POR CERCA DE US$100 MILLONES EN CUARTO TRIMESTRE PESE A CAÍDA DE 49% EN PRECIO DEL COBRE, ESTATAL CERRARÍA 2008 CON APORTES AL FISCO A LOS US$ 4.950 MILLONES.

CONTENIDOS

PREVIOS: 

  Sucesiones



  Límites



  Derivada



  Integrales definidas



  Ingreso, Costo Total

INVESTIGAR: 

  Excedente Consumidor y Productor

CUESTIONARIO ABP 2

a) Defina Excedente. b) Defina Productor. c) Defina Consumidor. d) Defina Demanda. e) Defina Oferta. 82

 

 

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ABP2

EXPLORACIÓN a) Dadas las si siguiente guiente funciones de demanda; integre y observe sus resultados: i.- f(x) = 32 - 4x - x2 

ii.- p = 100 - x2  b) Dadas las siguientes funciones de oferta; integre y observe sus resultados:

i.- y = (  x   2 ) 2  

INTRODUCCIÓN

 x0

Dado E.C. =

  f  ( x)  dx

 x 0 y 0 calcule:

0

a) Si lla a función de demanda es  y    9   x  y el precio del mercado es de 2 unidades monetarias, entonces ¿Cuál es el Excedente del consumidor? b) Si un una a función de demanda es  y  40    x   x 2 , entonces ¿Cuál es el excedente de consumidor, para una demanda del mercado de 4 unidades? 83

 

 

SINTESIS a) Si las funciones de demanda y oferta en un mercado de libre compe competencia tencia son, respectivamente  y  14     x 2  e  y  2  x  2  2 , ¿Cuál será el excedente del productor?  x

b) Si lla a función de ofe oferta rta es  y   4e 3  para  x0    3 , entonces ¿Cuál será el excedente

del productor?

TRANSFERENCIA

a) En qué se diferencia el Excedente del productor con el excedente del consumidor? b) ¿Qué sucede si no e existe xiste un área bajo la línea de demanda y sobre la recta que se construye con el precio del mercado?

84

 

 

CAPÍTULO V: RESULTADOS

85

 

 

5.1 RESULTADOS: Para poder desarrollar el objetivo General de ésta investigación, es necesario realizar un análisis del programa de asignatura de Calculo en la Carrera de Ingeniería en Informática, analizar las características generales de los alumnos y desarrollar un análisis cuantitativo de los rendimientos en cálculo, 2006, 2007, 2008. Para analizar el rendimiento de los alumnos de Ingeniería en Informática es necesario ubicarnos en la institución:



  Récord histórico de más de 82 mil alumnos.



  En llos os úl últimos timos cuatro años IN INACAP ACAP ha crecido un 65%, llo o que significa un aumento de casi 30 mil estudiantes en ese período, abarcando un 10% del mercado de la educación superior chilena.



  Disminución de la ttasa asa de deserción en al menos 2%.

No obstante las conductas de entrada que los alumnos poseen al ingresar son totalmente heterogéneas, ya que nos encontramos con alumnos de variadas edades, egresados de distintas instituciones y con distintas motivaciones. Esto reflejado en las Evaluaciones Diagnósticas aplicadas a todos los alumnos que por primera vez ingresas a estudiar una carrera a INACAP en todo Chile. Estas pruebas de conocimientos generales nos ubican hace alrededor de 4 años en los últimos lugares a nivel nacional, por lo tanto el camino por recorrer es complejo tanto para alumnos como para profesores puesto que hay que revertir de alguna forma durante en algún caso sólo 4 años situaciones como por ejemplo preconceptos errados, falta de conceptos y además tratar de analizar los contenidos en una carrera específica. 86

 

 

Cómo uno de los objetivos de ésta investigación se presentó el analizar el rendimiento en la asignatura de Cálculo de los alumnos que estudian Ingeniería en Informática en La Universidad Tecnológica de Chile, INACAP sede Chillán, se presenta a continuación una tabla extraída del sistema intranet de INACAP, con los datos como sigue: El promedio ponderado en la asignatura de Cálculo se presenta en la siguiente tabla donde aparecen dos variables, años y promedio ponderado en la asignatura.

Tabla Nº4: Promedio ponderado en Cálculo de alumnos de Ingeniería en Informática según año en que cursaron la asignatura.

Año

Promedio

2006

3,5

2007

3,6

2008

3,5

Se observa que el promedio está representado por una nota deficiente y que en 2007 se observa el alza de una décima de promedio pero en 2008 se vuelve a bajar. Gráficamente se complementa la información como sigue.

87

 

 

Gráfico Nº1: Promedio ponderado en la asignatura de Cálculo según año.

 Al analizar por años el rendimiento de los alumnos y al revisar día a día la posibilidad de mejorar el rendimiento intentando nuevas estrategias que van desde la creación de Nivelaciones para alumnos nuevos, Ayudantías durante todo el año (no más de 12 alumnos por grupo de trabajo), Ayudantías Virtuales, Cápsulas Educativas, modularización de las asignaturas y la posibilidad de utilización de software que permitan al alumno el entender y comprender de mejor manera los procesos infinitos, la reestructuración curricular de los contenidos y la utilización de ABP, para fortalecer el trabajo se hace cada vez más necesaria. Una vez definido la separación de los grupos con el permiso de Dirección Nacional, la revisión de Dirección Académica y el Director de Área de forma aleatoria, se define: de Grupo de Control y Experimental; luego se procede a la aplicación de Test CHAEA

88

 

 

5.2 ANÁLISIS DE DATOS 26.1 El test CHAEA El Test CHAEA (ANEXO Nº 2), es un test que contiene 80 preguntas que se deben marcar entre cuestiones con más presencia y menos presencia. Define la presencia de estilos de aprendizaje; los separa en: Activo, Reflexivo, Teórico, Pragmático

El test CHAEA fue aplicado a los 60 alumnos de Ingeniería en Informática de INACAP, sede Chillan y la Universidad Tecnológica de Chile. (Resultados en ANEXO Nº 3) Como se ha presentado anteriormente la aplicación del test aparece como un objetivo emergente luego de iniciada la investigación por lo que no se presenta en el planteamiento de los objetivos iniciales, no obstante fue un mecanismo de mucha ayuda al momento de designar los equipos de trabajo tr abajo en las clases prácticas. Se presenta un gráfico con la separación del alumnado según su estilo de aprendizaje.

89

 

 

Gráfico Nº2: Alumnos según su estilo de aprendizaje.

Estilo de Aprendizaje

70 60 50 40 30 20 10

Serie1

0  ACTIVO  ACT IVO

REFLEX REFLEXIVO IVO

TEÓR TEÓRICO ICO

PRAGMÁTI PRAGMÁTICO CO

  

  Al o observar bservar el gráfico se observa un gran porcentaje con la presencia de un estilo de aprendizaje activo, lo cual valida la planificación usando metodologías activas, sin embargo no podemos dejar de lado lad o los demás estilos y el desafío se presenta en mezclar éstos de manera que todos desarrollen la mayor cantidad de estilos y complementen el trabajo.



  Se presenta un gráfico con la separación según su estilo estilo de aprendizaje y porcentaje de alumnado.

90

 

 

Gráfico Nº3: Alumnos según su estilo de aprendizaje

Estilos de Aprendizaje según porcentaje

10% 11%  ACTIVO  ACT IVO REFLEXIVO 52%

TEÓRICO PRAGMÁTICO

27%

 



  En el gráfico se observa más claramente el gran porcentaje de alumnos que presentan un estilo activo, no obstante será importante subir el porcentaje de alumnos pragmáticos que por su habilidad de llevar la teoría a la práctica también funcionarán teóricamente bien en una metodología de ABP.



  Es importante destacar que no vale la pena aplicar un test si no se informa a alumnos y profesores respecto de los resultados de éste. En este caso la aseguración de buenas prácticas plantea una fortaleza dentro del proceso de Enseñanza y Aprendizaje.



  Lo más importante de ésta aplicación fue que al tener claro la forma de aprender de los alumnos se conformaron de mejor manera los grupos de trabajo, mezclando todos los estilos de aprendizaje.



  Posterior a la aplicación de CHAEA y lu luego ego de comunicar a los alumnos de su estilo de aprendizaje es que se aplica el pre test, los resultados se presentan en la siguiente tabla: 91

 

 

Tabla Nº5: Tabla de Frecuencias de “Notas “Notas obtenidas en el pre test por el grupo de control””. control



  La tabla presenta 6 clases, de las cuales solo las tres primeras clases tienen notas asociadas.



  Se observa q que ue el 33% de llos os alumnos obtiene entre un 1,0 1,0 y un 2,0. Por su parte el 50 % de los alumnos obtiene entre un 2,0 y u, 3,0 y el 17% restante entre un 3,0 y un 4,0.

92

 

 

Grafico Nº 4: De “N “Notas otas obtenidas en el pre test por el grupo de control” control ”.



  En el gráfico se observa más clara mente que la mayor can cantidad tidad de alumnos obtienen entre 2,0 y 3,0 de nota en el Pre Test.

Tabla Nº 6 : Tabla de Frecuencias de “Notas “Notas obtenidas en el pre test por el grupo Experimental”.. Experimental”

93

 

  

  Al igu igual al que en en la tabla anterior, se presenta una tabla de frecuencias con 6 clases y si se observa sólo las tres primeras clases tienen datos asociados.



  La cl clase ase correspondiente entre la nota 1,0 y 2 2,0 ,0 representa un 43%, lo mismo que la clase siguiente, un 4% de los alumnos obtienen notas entre 3,0 y 4,0.

Grafico Nº 5: de “Notas obtenidas en el pre test por el grupo gr upo Experimental”.  Experimental”.  



  Al igu igual al que en en el pre test para el grupo de C Control ontrol se observa que llas as calificaciones no superan las tres primeras clases.

Posterior a la aplicación del Pre Test se d desarrollan esarrollan los contenidos de Deri Derivadas vadas e Integrales, al grupo de Control usando Metodología de Tipo Tradicional y con el modelo de ordenamiento de contenidos que siempre se ha usado y al grupo Experimental 94

 

 

mezclando las metodologías de tipo tradicional con el uso de ABP y el con el cambio Curricular es decir enseñando derivadas en Simultáneo con Integrales.  Al finalizar el proceso se aplica el Post test y los los resultados se presentaron como sigue: Tabla Nº 7. Tabla de Frecuencias de “Notas “Notas obtenidas en el Post Test por el grupo de Control”.. Control”



  Se presenta tabla de frecuencia frecuenciass con 6 clases destacando que:



  Es iimportante mportante m mencionar encionar que el m mayor ayor porcentaje representado por un 40% representa a los alumnos que obtuvieron notas entre un 3,0 y un 4,0.

95

 

 

Grafico Nº 6: de “Notas “Notas obtenidas en el Post Test por el grupo de Control”. Control” .

Tabla Nº 8. Tabla de Frecuencias de “Notas “Notas obtenidas en el Post Test por el grupo Experimental” Experime ntal”..



  La tab tabla la representa una tabla de frecuencia frecuenciass de 6 clases donde se representaron las notas obtenidas en el Post Test. 96

 

  

  Dentro de los elementos m más ás importantes se destacan el que el má máss alto porcentaje representado por un 30 % es el equivalente a los alumnos que obtuvieron notas entre 5,0 y 6,0.



  Además es de importancia señalar que la ú última ltima clase que representa las notas entre 6,0 y 7,0 también tiene el asociado un gran porcentaje. porc entaje.

97

 

 

Grafico Nº 7: De “N “Notas otas obtenidas en el Post Test por el grupo Experimental”. Experimental” . 



  Al observar e ell gráfico Nº 6 co con n el Nº 7 es inevitable com comparar parar y reconocer que existe visualmente una gran diferencia entre los resultados del grupo Control con el experimental.

La siguiente tabla presenta un compendio de medidas de resumen entre Pre y Post test para grupos Control y Experimental:

98

 

 

Tabla Nº 9: Medidas de resumen Descriptivas para Pre Pr e y Post Test.



  Válido es mencionar que, en ambos casos existe una entrega de contenidos y ya sea usando orden y metodología tradicional por razones obvias los resultados entre pre y post test por separado para cada grupo deben subir, no no obstante si analizamos por test se observa observa mayor diferencia entre los resultados del grupo de control.



  En el grupo de Control la diferencia entre un 2 2,43 ,43 a un 4,11 de promedio y en le grupo Experimental de un 2,34 a un 5,20 de promedio.

La representación grafica es:

99

 

 

Grafico Nº8: Comparación de Promedios en Pre test.



  Gráficamente la informa información ción de Pre test se observa muy similar en promedio y media.

La representación gráfica del post test como sigue:

100

 

 

Grafico Nº 9: Comparación de Promedios en Post Test



  Diferencia observable entre resultados de post test para grupo experimental y de Control.



  Como se menciona anteriormente es muy valioso el informar de los resultados de la investigación a todos los entes involucrados en especial a los alumnos, por esto se entrega la representación de resultado por persona tanto para el grupo de Control como para el grupo Experimental.

101

 

 

Gráfico Nº10: Comparación entre Pre y Post Test por alumno en Grupo de Control.



 

Se observa que sólo un alumno mantiene su mal evaluación.

Gráfico Nº11: Comparación entre Pre y Post Test por alumno en Grupo de Control.

102

 

  

  Se observa que un alumno baja su rendimiento en el post test evento que no se observa en el grupo de control.

Finalmente para validar la Hipótesis se desarrolla el siguiente análisis:



  Prueba Mac-Nemar para el Grupo de Control: Usando la tabla de valores críticos para Chi-Cuadrado, con un grado de

 

libertad, la probabilidad del valor así calculado ( es

 p  0,025 .

2

 X  2   18  0  1 / 18  16,06

)

El valor tabulado corresponde a una prueba bilateral y, dado

que en nuestro caso la

 H 1  es

unilateral, la probabilidad correspondiente

se obtiene obtiene dividiendo dicho valor por por dos, dos, (En la tabla

se lee lee

3,84).Teniendo 3,84).Teni endo presente que la probabilidad del valor calculado es mayor que 0,05; se acepta  H  , es decir los alumnos no poseen una tendencia significativa a cambiar de mal a buen rendimiento. 0



  Prueba Mac-Nemar para el Grupo Experimental: Usando la tabla de valores críticos para Chi-Cuadrado, con un grado de  

libertad, la probabilidad del valor así calculado (

2

 X  2    23  0  1 / 23   0,9565

)

es  p  0,025 . El valor tabulado corresponde a una prueba bilateral y, dado que en nuestro caso la  H   es unilateral, la probabilidad correspondiente se obtiene 1

dividiendo dicho valor por dos, (En tabla se lee 3,84). Teniendo presente que la probabilidad del valor calculado es menor que 0,05; se rechaza  H  , es decir los 0

alumnos poseen una tendencia significativa a cambiar de mal a buen rendimiento con el cambio curricular. 103

 

  

  Wilcoxon para Muestra Post Post Test

Se desea reconocer si existen diferencias significativas entre los Grupos Experimental y de control en el Post Test. Para analizar se recurre a la prueba de Wilcoxon en la que se analiz analizan an los resultados de la evaluación. PLANTEAMIENTO DE LA HIPÓTESIS:  H 1   

Existe diferencia significativa entre las calificaciones del Grupo de Control

y el  H 0 

Grupo Experimental.

  No existe diferencia significativa entre las calificaciones del Grupo de

Control y el Grupo Experimental. Tabla Nº 10: Representación Wilcoxon

 Al ser de dos colas, para aceptar  H  , el valor de p debe ser menor que 0,025; pero 1

como podemos observar en la figura anterior el valor es 0,0038 que lo hace mucho menor. La probabilidad de 0,0038 es menor que 0.025, por lo cual se acepta  H   y se 1

rechaza  H    .Es decir, Existe diferencia e estadísticamente stadísticamente significativa entre las notas 0

del grupo de control respecto al experimental. Sumando a los resultados anteriores podemos mencionar que se valida la hipótesis inicial que usando el Cambio Curricular y metodológico que es enseñar Derivadas e Integrales en simultáneo se mejora el rendimiento de los alumnos. 104

 

 

CAPÍTULO VI: CONCLUSIONES

105

 

 

6.1 CONCLUSIONES DE LA INVESTIGACION En la enseñanza de la matemática nos encontramos con múltiples dificultades que van desde los problemas de preconceptos por parte de los alumnos hasta problemas de mal manejo didáctico por parte de los profesores. El problema nace de la revisión de los programas de la asignatura de Cálculo Anexo Nº 4

y el intento por años, usando usando disti distintas ntas estrategias metodológicas de mejorar mejorar el

proceso de enseñanza y aprendizaje observando el registro del rendimiento de los

alumnos esperando obtener algún cambio. Tras la revisión bibliográfica se encuentra que el problema es mayor de lo que se pensaba y nos encontramos con la necesidad de revisar el ordenamiento tradicional de los contenidos, luego de intentar rotar los conceptos y enseñar primero Integrales y luego derivadas con un nuevo intento fallido, aparece la necesidad de investigar que sucede si se enseña Derivadas e Integrales en simultáneo; se crea una definición más complementaria que presenta la Derivada y Antiderivada como inversas y la posibilidad de al Integrar un polinomio inmediatamente comprobar el resultado integrando, así se torna más sencillo la representación gráfica y se presentan rápidamente todas las propiedades y teoremas, porque no podemos olvidar que la El concepto de Matemática para la Vida necesita de una pronta aplicación y contextualización de los elementos antes mencionados. Una vez claros la nueva representación curricular es necesario pensar en el tipo de metodología, diremos la más adecuada para trabajar dichos conceptos c onceptos y si bien es claro que no existe una receta y que no se debe dejar de lado la metodología tradicional nos encontramos con el Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), método de enseñanzaaprendizaje que ha tomado más arraigo en las instituciones de educación superior en los últimos años. El ABP, es un método que es posible utilizar en la mayor parte de las

106

 

 

disciplinas y si lo observamos como una técnica didáctica, al ser utilizado en combinación con otras técnicas se predice un mejor aprendizaje. Con la claridad del cambio curricular y la elección de d e la metodología aparece la creación de la planificación de una unidad didáctica que permita entregar los contenidos de la forma antes descrita. Dentro del desarrollo se validó una prueba ( ANEXO Nº5) aplicada anteriormente a 105 estudiantes de cálculo lo que entregó un Kuder-Richarson de 93%, ANEXO Nº6 , continuando así con el proceso de la investigación, una vez identificada la población se

solicita realizar separación aleatoria de un curso original de 60 alumnos para luego tener un grupo de Control y el Experimental . Luego de la aplicación de la prueba que para efectos de la investigación representa el Pre y Post Test, si bien no se presentó en los objetivos inicialmente se aplicó test CHAEA que mide estilos de aprendizaje, la idea central de ésta aplicación es identifica identificarr los estilos para luego generar una buena conformación de los grupos de trabajo.

 Al comenzar a aplicar el cambio ccurricular urricular en el grupo experimental, inme inmediatamente diatamente se observa un cambio de actitud hacia la asignatura, sin necesidad de aplicar ningún test y revisando las listas de asistencia aparece un elemento importante, los alumnos se sientes más motivados por asistir a las sesiones de clase, participando activamente. Un elemento muy necesario es luego de la aplicación de CHAEA es dejar una sesión de clase para explicar a los alumnos las componentes fundamentales del ABP, pues si bien se observa que las metodologías activas representan un elemento de motivación para el proceso no podemos dejar de mencionar que en un principio debe ser totalmente guiado por el profesor. Otro factor que se observa al trabajar éste cambio curricular es la mayor facilidad para la búsqueda de la contextualización por parte del de l profesor ya que dentro de los

107

 

 

ejemplos, por ejemplo en el área de la administración y economía, los conceptos que se trabajan siempre van enfrentando derivadas e integrales. Una vez terminado el proceso planificado para la entrega de contenidos se aplica el Post test (Resultados ANEXO Nº 7) y lo que observamos es un aumento en el rendimiento del grupo Experimental respecto al de control según la tabla Nº 9. Se puede concluir que gracias a la nueva planificación hay un mejor aprovechamiento del tiempo, que no significa una reducción de horas de trabajo para el profesor en el

aula sino la posibilidad de tener más momentos para las aplicaciones.

En la tesis se ha enfrentado el problema de enseñar Derivadas e Integrales ya no de manera tradicional, sino realizando un proceso simultáneo. Los resultados de la investigación son de gran interés ya que éste cambio Curricular nos entrega grandes mejoras: Durante el proceso de enseñanza y aprendizaje los alumnos se presentan más motivados a participar de todo el proceso. Para lograr un buen aprendizaje por parte de los alumnos, es este quien debe ser el actor principal y el profesor en la mayoría de los casos sólo un guía.  Al momento de planificar p lanificar y estructurar las actividades de cl clase ase se de debe be tener en cuenta las características propias del grupo curso y esa diversidad que se presenta constantemente, sea un facilitador del aprendizaje y no un obstáculo (TEST CHAEA  ANEXO Nº 2). Lo importante es que los alumnos tengan la posibilidad de que su aprendizaje sea significativo.

108

 

 

Cabe mencionar que uno de los elementos más importantes es el momento en el que el profesor decide utilizar el material didáctico y con qué fin. Dentro del proceso el alumno debe aprender a elaborar sus propios procedimientos para llegar al resultado, debe aprender a resolver problemas por sí mismo y también a discutir con otros.

6.2 REFLEXIONES PEDAGÓGICAS FINALES

Después de haber desarrollado el proceso de investigación, al reflexionar en la práctica, se pueden mencionar algunas recomendaciones: La enseñanza del Cálculo, no tiene por que desarrollarse utilizando metodología tradicional. Aprendizaje Basado en Problemas, Método PEER, Preguntas Creativas,  Actividades de Aprendizaje; son algunas propuestas de enseñanza centrada en el  Alumno. Es muy conveniente, aplicar las definiciones, teoremas y postulados sobre Derivadas e Integrales en la solución de problemas sobre algún contexto, pues permiten al alumno conectar su aprendizaje con su entorno. Para desarrollar una Unidad Didáctica, no basta con la experiencia y años de investigación respecto a la Enseñanza del Cálculo, sino además se necesita de la actualización en Metodologías y Didáctica de la Enseñanza de las Ciencias. Ciencias . Enseñar y Aprender, Derivadas e Integrales en simultáneo puede permitir un mejor aprovechamiento del tiempo y permitirnos como planificadores una mejor utilización de éste, si bien es muy cierto que en un inicio el trabajo es mucho más complejo que trabajar con metodologías tradicionales o enseñar como curricularmente están dispuestos y distribuidos los contenidos, con el paso del tiempo nos damos cuenta que 109

 

 

los conceptos se van descubriendo y conectando de forma mucho más rápida que lo habitual.  Antes de aplicar una un a nueva metodología es necesario pres presentar entar a los a alumnos lumnos el nuevo modelo, la forma en que se trabaja, la forma en que se va a evaluar, etc, permitiendo al alumno el conocer el objetivo de las actividades de clase y clarificar que el uso de nuevas metodologías pretenden tenerlo a él como eje central y que el profesor pase a ser un guía.  Además al trabajar con ABP se potencia el trabajo en equipo, permitiendo que el

alumno desarrolle habilidades sociales que en una metodología tradicional se presentan en menor medida y en algún caso son nula.

110

 

 

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113

 

 

ANEXOS

114

 

ANEXO Nº 1: Módulos; Planificación Curricular y Didáctica CLASE 1: APRENDIZAJES

CRITERIOS DE

ESPERADOS

EVALUACIÓN

CONTENIDOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS

Inicio:El Identificar el

Conoce si

docente realiza

Fotocopias de

El alumno

estilo de

pertenece a un

la activación de  Aplicación de

la actividad a

conoce su estilo

aprendizaje de

estilo Activo de

Test CHAEA

conocimientos

realizar.

de aprendizaje.

cada uno de los

aprendizaje.

(Anexo…)   (Anexo…)

previos a través

cuestionario

alumnos.

de preguntas al Conoce si

azar

pertenece al

respondidas de

estilo Reflexivo

manera

de aprendizaje.

individual Desarrollo:El

Conoce si

docente explica

pertenece al

el taller que se

estilo Teórico

va a realizar,

115

 

 

de aprendizaje.

comentando la necesidad de

Conoce si

conocer los

pertenece al

estilos de

estilo

aprendizaje de

Pragmático de aprendizaje.

cada uno de los alumnos. Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, realiza un presentación de los próximos contenidos

116

 

Clase 2:

APRENDIZAJES

CRITERIOS DE

ESPERADOS

EVALUACIÓN

CONTENIDOS

ACTIVIDADES ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

RECURSOS DIDACTICOS

Inicio: Al inicio



de la primera

Conocer la

EVALUACIÓN

  Guías teóricoprácticas.

 ABP

  Fotocopias de

Evaluación

docente

la actividad a

diagnóstica.

trabajo de la

presenta a los

realizar.

KPSI

unidad.

alumnos el

metodología de

Conoce la

sesión el

trabajo.

metodología de  ABP

programa de la





  Implementos y El alumno es capaz de accesorios

asignatura y

necesarios

trabajar en

explica los

para el

equipo.

objetivos

desarrollo del

generales,

taller, como

específicos,

plumones,

metodología,

papeles

evaluación y

grandes y

bibliografía. Desarrollo:

lápices de cera, entre

117

 

 

Mediante un  ABP se introduce al trabajo colaborativo. Cierre: Se aplica la evaluación diagnóstica, y  juntos analizan los resultados

muchos otros.

118

 

Clase 3: APRENDIZAJES

CRITERIOS DE

ESPERADOS

EVALUACIÓN

CONTENIDOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS

Inicio: El Interpretar la

Interpreta

derivada e

geométricamente

Integral la derivada y geométricamente. antiderivada de una función.

Derivada y

docente realiza

antiderivada

la activación de Se trabajará la

de una función real.

conocimientos previos a

- Definición. través de un

  Guías teórico- Mediante una rúbrica de prácticas.



metodología tradicional con una variación

trabajo con

que

actividades de

corresponde a

aprendizaje

actividades de

trabajadas en

trabajo en   Fotocopias de equipo se la actividad a revisa



realizar.

presentación de los

  Implementos

resultados de

aprendizaje al

y accesorios

la actividad de

grupos

inicio y cierre

necesarios

inicio y de

pequeños.

de la clase.

para el

cierre.



Desarrollo: El

desarrollo del

docente explica

taller, como

de manera tradicional los

plumones, papeles

contenidos de

grandes y

la sesión, cada

lápices de

119

 

 

cierto espacio

cera, entre

de tiempo da la

muchos otros.

palabra para preguntas. Cierre: Se explica el taller que se va a realizar mantiene los equipos de trabajo y entrega las actividades a realizar por

cada alumno y grupo. Realiza una síntesis sobre lo visto en clases y presentación de contenidos.. 120

 

 

Clase 4: APRENDIZAJES

CRITERIOS DE

ESPERADOS

EVALUACIÓN

CONTENIDOS

ACTIVIDADES ACTIVIDADES

Derivada y

Inicio: El docente realiza

Interpreta

derivada e

geométricamente

antiderivada

la activación de

Integral

la derivada y

de una

conocimientos

función real.

previos a través

- Notación.

de preguntas al

una función.

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS

Interpretar la

geométricamente. antiderivada de

METODOLOGÍA

azar



  Guías teórico- Mediante una rúbrica de prácticas.



  Fotocopias de trabajo en la actividad a equipo se

 ABP

realizar. 

  Implementos

revisa presentación

respondidas

y accesorios

de los

individualmente.

necesarios

resultados de

Desarrollo: El

para el

la actividad.

docente explica

desarrollo del

el taller que se va a realizar,

taller, como

divide el curso

papeles

en equipos y

grandes y

entrega las

lápices de

actividades a

cera, entre

plumones,

121

 

 

realizar por cada alumno y grupo Los alumnos

muchos otros.

presentan conclusiones. Cierre: Realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal. Realiza una presentación de los contenidos a ver. 122

 

 

Clase 5: APRENDIZAJES

CRITERIOS DE

ESPERADOS

EVALUACIÓN

CONTENIDOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA METODOLOGÍA

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS

Inicio: El docente Interpretar

Interpreta

Derivada y

realiza la activación



 ABP

  Guías

Mediante

teórico-

una rúbrica

prácticas.

de trabajo en

geométricamente geométricamente

antiderivada

de conocimientos

la derivada y

la derivada y

de una

previos a través de

antiderivada de

antiderivada de

función real.

preguntas al azar

una función.

una función.

-

respondidas de

de la

revisa

Interpretaci

manera individual

actividad a

presentación

ón

Desarrollo: El

realizar.

de los

geométrica.

docente explica el





  Fotocopias

  Implementos

equipo se

resultados

taller que se va a

y accesorios

de la

realizar, divide el

necesarios

actividad de

curso en equipos y

para el

inicio y de

entrega las

desarrollo

cierre.

actividades a

del taller,

realizar por cada

como

alumno y grupo Los

plumones,

123

 

 

alumnos presentan

papeles

conclusiones.

grandes y

Cierre: El docente

lápices de

realiza una síntesis

cera, entre

sobre lo visto en

muchos

clases, además les

otros.

pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal.Presentación de los contenidos a ver.

124

 

 

Clase 6: APRENDIZAJES

CRITERIOS DE

ESPERADOS

EVALUACIÓN

CONTENIDOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS

Inicio: El  Aplicar las

 Aplica las

propiedades de

propiedades de

la función

la activación de

las operaciones las operaciones

derivada y

conocimientos

con derivadas e con derivadas e

antiderivada

integrales de

integrales de

funciones reales de una variable

Propiedades de docente realiza

 ABP



  Guías teóricoprácticas.

Mediante una rúbrica de

  Fotocopias de

trabajo en

previos a través

la actividad a

equipo se

(con una

de preguntas al

realizar.

revisa

funciones reales

variable).

azar

de una variable

- De la

respondidas de





  Implementos y presentación de los resultados accesorios

función

manera

necesarios

constante.

individual

para el

de la actividad.

- De la

Desarrollo: El

desarrollo del

función

docente explica

taller, como

potencia.

el taller que se

plumones,

- De la suma va a realizar, y resta de

divide el curso

grandes y

funciones.

en equipos y

lápices de

entrega las

cera, entre

actividades a

muchos otros.

- Del producto de

125

 

 

una

realizar por

constante

cada alumno y

por una

grupo Los

función

alumnos presentan conclusiones. Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal. presentación de los contenidosr. 126

 

 

Clase 7:

papeles

APRENDIZAJES

CRITERIOS DE

ESPERADOS

EVALUACIÓN

CONTENIDOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS

Inicio: El docente Todos los antes Todos los antes

Todos los antes realiza la

vistos

vistos

vistos

activación de conocimientos previos a través de preguntas al azar respondidas de manera individual Desarrollo: El docente Lee clramente la evaluación Cierre: 127

 

 

El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal. Realiza un presentación de los contenidos a ver la próxima clase

128



  Fotocopias de Evaluación n° 1 la actividad a realizar.

 

 

Clase 8: APRENDIZAJES

CRITERIOS DE

ESPERADOS

EVALUACIÓN

CONTENIDOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS

Propiedades de

Inicio: El

 Aplica los

 Aplica los

la función

docente realiza  ABP

diferentes

diferentes

derivada y

la activación de

métodos de derivación e

métodos de derivación e

antiderivada (con una

conocimientos previos a través

integración.

integración.

variable).

de preguntas al azar

  Guías teóricoprácticas.



  Fotocopias de la actividad a realizar.



respondidas de

-



necesarios

de funciones individual

para el

(Regla de la

Desarrollo: El

desarrollo del

Cadena)

docente explica

taller, como

el taller que se

plumones,

va a realizar,

papeles

divide el curso en equipos y

grandes y lápices de

entrega las

cera, entre

actividades a

muchos otros.

 

 

realizar por cada alumno y grupo Los alumnos presentan conclusiones. Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que

rúbrica de trabajo en equipo se revisa

  Implementos y presentación de los resultados accesorios

Composición manera

129

Mediante una

de la actividad.

han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal. presentación de los contenidos. 130

 

 

Clase 9: APRENDIZAJES

CRITERIOS DE

ESPERADOS

EVALUACIÓN

CONTENIDOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS

Inicio: Propiedades de la función

El docente realiza la

 Activo participativa.



  Guías teóricoprácticas.

Se realiza plenario, al final

  Fotocopias de

de la clase.

 Analizar las

 Analiza las

propiedades de

propiedades de

derivada y

activación de

la derivada e

la derivada e

antiderivada

conocimientos

la actividad a

integral de

integral de

(con una

previos a través

realizar.

funciones

funciones

variable).

de preguntas al

exponencial y

exponencial y

logarítmica.

logarítmica.

azar



  Implementos y soluciones de los ejercicios al accesorios



respondidas de

necesarios

función

manera

para el

exponencial

individual

desarrollo del

Desarrollo:

taller, como

El docente explica el taller

plumones, papeles

que se va a

grandes y

realizar, divide

lápices de

el curso en

cera, entre

equipos y

muchos otros.

- De la

- De la función logarítmica.

131

 

 

entrega las actividades a realizar por cada alumno y grupo

Se entregan las

profesor

Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal. Presentación de los contenidos a ver. 132

 

 

Clase 10: APRENDIZAJES

CRITERIOS DE

ESPERADOS

EVALUACIÓN

CONTENIDOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS

Inicio: El docente

 Activo

la función

realiza la

participativa.

la derivada e

derivada y

activación de

integral de

integral de

antiderivada

conocimientos

funciones

funciones

(con una

previos a través

trigonométricas.

trigonométricas.

variable).

de preguntas al

 Analizar las

 Analiza las

propiedades de

propiedades de

la derivada e

Propiedades de



  Guías teórico- Se realiza plenario, al prácticas.



  Fotocopias de final de la la actividad a clase. realizar.



  Hoja con

Se entregan

azar

preguntas

las soluciones

- De la función función

respondidas de

metacognitiva

de los

trigonométrica.

manera

s

ejercicios al

individual Desarrollo:



  Implementos y accesorios

El docente

necesarios

explica el taller

para el

que se va a

desarrollo del

realizar, divide

taller, como

el curso en

plumones,

equipos y

papeles

133

profesor

 

 

entrega las

grandes y

actividades a

lápices de

realizar por

cera, entre

cada alumno y

muchos otros.

grupo Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal. Presentación de los contenidos . 134

 

 

Clase 11:

APRENDIZAJES CRITERIOS DE CONTENIDOS ESPERADOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

EVALUACIÓN

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS Inicio: El

 Aplicar la

 Aplica la

 Aplicaciones de docente realiza  ABP

primera derivada

primera

derivadas e

la activación de

a problemas de

derivada a

integrales.

conocimientos

Costo marginal,

problemas de

previos a través

ingreso y utilidad

Costo marginal,

de preguntas al

marginal, etc.

ingreso y

azar

utilidad

respondidas de

y accesorios

de los

marginal, etc.

manera

necesarios

resultados de



  Guías teórico- Mediante una rúbrica de prácticas.



  Fotocopias de trabajo en la actividad a equipo se realizar.



  Implementos

revisa presentación

individual

para el

Desarrollo: El

desarrollo del

docente explica

taller, como

el taller que se

plumones,

va a realizar,

papeles

divide el curso

grandes y

en equipos y

lápices de

la actividad.

135

 

 

entrega las

cera, entre

actividades a

muchos otros.

realizar por cada alumno y grupo Los alumnos presentan conclusiones. Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal. 136

 

  Clase 12:

APRENDIZAJES CRITERIOS DE CONTENIDOS ESPERADOS

ACTIVIDADES

EVALUACIÓN

METODOLOGÍA

RECURSOS DIDACTICOS

Inicio:

EVALUACIÓN

Traza las

Trazado de

El docente

 Activo

 Analizar criterios

curvas,

curvas

realiza la

participativa

de concavidad.

Máximos,

Máximos,

activación de



  Guías teórico prácticas.



mínimos y

conocimientos

la actividad a

puntos de

puntos de

previos a través

realizar.

inflexión.

inflexión.

de preguntas al

concavidad.

Criterio de concavidad.

plenario, al final

  Fotocopias de de la clase.

mínimos y

Criterio de

Se realiza

Se entregan las

  Implementos

soluciones de

azar

y accesorios

los ejercicios al

respondidas de

necesarios

profesor.

manera

para el

individual

desarrollo del

Desarrollo:

taller, como

El docente

plumones,

explica el taller

papeles

que se va a

grandes y

realizar, divide

lápices de

el curso en

cera, entre

equipos y

muchos otros.

137

 

 

entrega las actividades a realizar por cada alumno y grupo Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal, Presenta contenidos a ver. 138



 

 

Clase 13:

APRENDIZAJES CRITERIOS DE CONTENIDOS ESPERADOS

ACTIVIDADES

EVALUACIÓN

METODOLOGÍA

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS Inicio:



Todos los antes

Todos los antes Todos los antes El docente

vistos.

vistos.

vistos.

realiza la

  Guías teóricoprácticas.



  Fotocopias de

activación de

la actividad a

conocimientos

realizar.

previos a través



  Implementos

de preguntas al

y accesorios

azar

necesarios

respondidas de

para el

manera

desarrollo del

individual

taller, como

Desarrollo:

plumones,

El docente

papeles

explica el taller

grandes y

que se va a realizar, divide

lápices de cera, entre

el curso en

muchos otros.

equipos y 139

 

 

entrega las actividades a realizar por cada alumno y grupo Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de

Evaluación n° 2

manera individual como grupal. Presenta contenidos a ver..

140

 

 

Clase 14:

APRENDIZAJES CRITERIOS DE CONTENIDOS ESPERADOS Demostrar el

EVALUACIÓN Demuestra el

teorema de Rolle teorema de

ACTIVIDADES

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS

Inicio: Regla de la

El docente

Clase

cadena

realiza la

expositiva.

y el Teorema del

Rolle y el

Teorema de

activación de

Valor Medio. 

Teorema del

Rolle

conocimientos

Valor Medio. 

METODOLOGÍA



  Guías teórico- Entregan resultados de prácticas.



  Fotocopias de los ejercicios la actividad a pares al

 Activo

previos a través Participativa de preguntas al

realizar. 

profesor.

  Implementos

azar

y accesorios

El entrega las

respondidas de

necesarios

soluciones al

manera

para el

final de la

individual Desarrollo:

desarrollo del taller, como

clase.

El docente

plumones,

explica el taller

papeles

que se va a

grandes y

realizar, divide

lápices de

141

 

 

el curso en

cera, entre

equipos y

muchos otros.

entrega las actividades a realizar por cada alumno y

grupo Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal.

142

 

 

Clase 15:

APRENDIZAJES CRITERIOS DE CONTENIDOS ESPERADOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

EVALUACIÓN

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS Inicio:

Demostrar el

Demuestra el

teorema de Rolle teorema de

Teorema del Valor Medio.

El docente

Clase

realiza la

expositiva.

y el Teorema del

Rolle y el

activación de

Valor Medio. 

Teorema del

conocimientos

Valor Medio. 

previos a través Participativa de preguntas al



  Guías teórico- Entregan resultados de prácticas.



  Fotocopias de los ejercicios la actividad a pares al

 Activo

realizar. 

profesor.

  Implementos

azar

y accesorios

El entrega las

respondidas de manera

necesarios para el

soluciones al final de la

individual

desarrollo del

clase.

Desarrollo:

taller, como

El docente

plumones,

explica el taller

papeles

que se va a

grandes y

realizar, divide

lápices de

143

 

 

el curso en

cera, entre

equipos y

muchos otros.

entrega las actividades a realizar por cada alumno y grupo Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal.

144

 

 

Clase 16:

APRENDIZAJES CRITERIOS DE CONTENIDOS ESPERADOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

EVALUACIÓN

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS Inicio:El

 Aplicar el

Demuestra el

Teorema de

teorema de

L¿Hopital en el

L¿Hopital

cálculo del límite

Teorema de

docente realiza

Clase

L‟Hopital   L‟Hopital

la activación de

Expositiva.

conocimientos



  Guías teórico- Plenario al final prácticas.



  Fotocopias de

previos a través Desarrollo de

la actividad a realizar.

en forma

 Aplica el

de preguntas al

ejercicios de

indeterminada.

Teorema de

azar

forma individual.

L¿Hopital en el cálculo del

respondidas de manera

y accesorios necesarios

límite en forma

individual

para el

indeterminada.

Desarrollo:

desarrollo del



  Implementos

de la clase.

El docente

taller, como

explica el taller

plumones,

que se va a

papeles

realizar, divide

grandes y

el curso en

lápices de

equipos y

cera, entre

145

 

 

muchos otros.

entrega las actividades a realizar por cada alumno y grupo Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal. Realiza un presentación de los contenidos. 146

 

  Clase 17:

APRENDIZAJES CRITERIOS DE CONTENIDOS ESPERADOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

EVALUACIÓN

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS Inicio:

Resolver

Resuelve

Integración por

El docente

Clase

integrales

integrales

partes

realiza la

Expositiva.



  Guías teórico- Lluvia de ideas al final de la prácticas.

prácticas. aplicando el

aplicando el

activación de

método de

método de

conocimientos

integración por

integración por

previos a través ejercicios

partes.

partes.

de preguntas al azar



Desarrollo de usando método PEER.

  Fotocopias de clase. la actividad a realizar.



  Implementos y accesorios

respondidas de

necesarios

manera

para el

individual

desarrollo del

Desarrollo:

taller, como

El docente

plumones,

explica el taller

papeles

que se va a

grandes y

realizar, divide

lápices de

el curso en

cera, entre

equipos y

muchos otros.

147

 

 

entrega las actividades a realizar por cada alumno y grupo Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal.

148

Coevaluación.

 

 

Clase 18:

APRENDIZAJES

CRITERIOS

ESPERADOS

DE

CONTENIDOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS

EVALUACIÓN Inicio:El Clase

Resolver

Resuelve

Integración por

docente realiza

integrales

integrales

sustitución

la activación de Expositiva.

aplicando el

aplicando el

conocimientos

método de

método de

previos a través ejercicios en

integración de

integración de

de preguntas al

sustitución de

sustitución de

variable auxiliar.

  Guías



Desarrollo de

Lluvia de ideas

teórico-

al final de la

prácticas.

clase.

  Fotocopias



equipo.

de la

 Autoevaluación

azar

actividad a

.

variable

respondidas de

realizar.

auxiliar.

manera

  Implementos



individual

y accesorios

Desarrollo:El

necesarios

docente explica

para el

el taller que se

desarrollo del

va a realizar,

taller, como

divide el curso

plumones,

en equipos y

papeles

entrega las

grandes y

149

 

 

actividades a

lápices de

realizar por cada alumno y

cera, entre muchos

grupo

otros.

Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como

grupal. Realiza un presentación de los contenidosr.

150

 

 

Clase 19:

APRENDIZAJES CRITERIOS DE CONTENIDOS ESPERADOS

ACTIVIDADES

EVALUACIÓN

METODOLOGÍA

RECURSOS DIDACTICOS

Inicio:



Todos los antes

Todos los antes Todos los antes El docente

vistos.

vistos.

vistos.

realiza la

  Guías teórico- Evaluación n° 3 prácticas.



  Fotocopias de

activación de

la actividad a

conocimientos

realizar.

previos a través



  Implementos

de preguntas al

y accesorios

azar

necesarios

respondidas de

para el

manera

desarrollo del

individual Desarrollo:

taller, como plumones,

El docente

papeles

explica el taller

grandes y

que se va a

lápices de

realizar, divide

cera, entre

151

 

 

EVALUACIÓN

el curso en equipos y entrega las actividades a realizar por cada alumno y grupo

muchos otros.

Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal.

152

 

 

Clase 20:

APRENDIZAJES CRITERIOS DE CONTENIDOS ESPERADOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

EVALUACIÓN

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS Inicio:

Resolver

Resuelve

Fracciones

El docente

Clase

integrales

integrales

Parciales

realiza la

tradicional.

aplicando el

aplicando el

activación de

Trabajo

método de

método de

conocimientos

Colaborativo

integración

integración

previos a través

fracciones

fracciones

de preguntas al

parciales.

parciales.

azar

y accesorios

respondidas de manera

necesarios para el

individual

desarrollo del

Desarrollo:

taller, como

El docente

plumones,

explica el los

papeles

contenidos.

grandes y

Cierre:

lápices de

153

 



  Guías teórico- Resolución de la guía de prácticas.



  Fotocopias de ejercicios. la actividad a realizar.



  Implementos

 

El docente

cera, entre

explica el taller,

muchos otros.

además les pide a los alumnos que registren los resultados de los ejercicios en una hoja para ser evaluada.. Se realiza plenario con conclusiones.

154

 

 

Clase 21:

APRENDIZAJES CRITERIOS DE CONTENIDOS ESPERADOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

EVALUACIÓN

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS Inicio: Integral

El docente

Clase Expositiva



  Guías teórico- Lluvia de ideas al final de la prácticas.



  Fotocopias de clase.

Calcular de

Calcula de

integral definida

integral definida definida

realiza la

de una función

de una función

activación de

en un intervalo.

en un intervalo.

conocimientos

la actividad a

previos a través

realizar.

de preguntas al



  Implementos

azar respondidas de

y accesorios necesarios

manera

para el

individual

desarrollo del

Desarrollo:

taller, como

El docente

plumones,

realiza clase

papeles

expositiva para

grandes y

dar a conocer

lápices de

los contenidos.

cera, entre

155

 

 

Cierre:

muchos otros.

El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal. Realiza un presentación de los contenidos a ver la próxima clase

156

 

 

Clase 22:

APRENDIZAJES CRITERIOS DE ESPERADOS

CONTENIDOS

ACTIVIDADES METODOLOGÍA

EVALUACIÓN

RECURSOS DIDACTICOS

Inicio:

EVALUACIÓN

Utilizar

Utiliza

Teorema

calculadora

calculadora

fundamental del realiza la

gráfica o

gráfica o

Cálculo

software para resolver

software para resolver

conocimientos previos a través

integrales y

integrales y

de preguntas al

actividad a

visualizar el área

visualizar el

azar

realizar.

bajo la curva.

área bajo la

respondidas de

curva.

manera

Software o

individual

calculadora

Desarrollo:

gráfica.

El docente



Participativa,

explica el taller que se va a realizar, divide 157

 

 

el curso en equipos y entrega las actividades a realizar por cada alumno y grupo Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal.

158

  Guías teórico-

activación de

El docente

 

 Activo

prácticas. 



  Fotocopias de la

  Uso de

Pauta de cotejo.

 

Clase 23:

APRENDIZAJES CRITERIOS DE CONTENIDOS ESPERADOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

EVALUACIÓN

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS Inicio: El

 Aplica el

 Aplica el

Excedente de

docente realiza  ABP

concepto de

concepto de

productor ,

la activación de

integral a problemas de

integral a problemas de

consumidor, etc.

conocimientos previos a través

Excedente de

Excedente de

de preguntas al

productor ,

productor ,

azar

consumidor, etc.

consumidor,

respondidas de

y accesorios

de los

etc.

manera

necesarios

resultados de

individual

para el

la actividad.

Desarrollo: El

desarrollo del

docente explica

taller, como

el taller que se

plumones,

va a realizar,

papeles

divide el curso en equipos y

grandes y

entrega las

cera, entre



  Guías teórico- Mediante una prácticas.



  Fotocopias de trabajo en la actividad a equipo se revisa realizar.



  Implementos

lápices de

159

 

 

actividades a realizar por cada alumno y grupo Los alumnos presentan conclusiones. Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de

rúbrica de

muchos otros.

presentación

manera individual como grupal.

160

 

 

Clase 24:

APRENDIZAJES CRITERIOS DE CONTENIDOS ESPERADOS

ACTIVIDADES

EVALUACIÓN

METODOLOGÍA

RECURSOS

EVALUACIÓN

DIDACTICOS Inicio: El

Todos los antes

Todos los antes Todos los antes docente realiza

vistos.

vistos.

vistos.

la activación de



  Guías teóricoprácticas.



  Fotocopias de

conocimientos

la actividad a

previos a través

realizar.

de preguntas al



  Implementos

azar

y accesorios

respondidas de

necesarios

manera

para el

individual

desarrollo del

Desarrollo: El

taller, como

docente explica

plumones,

el taller que se

papeles

va a realizar,

grandes y

divide el curso

lápices de

en equipos y

cera, entre

161

 

 

entrega las actividades a realizar por cada alumno y grupo Los alumnos presentan conclusiones.

muchos otros.

Evaluación n° 4

Cierre: El docente realiza una síntesis sobre lo visto en clases, además les pide a los alumnos que escriban lo que han aprendido hoy tanto de manera individual como grupal. 162

 

ANEXO Nº 2: TEST CHAEA:

Según las investigaciones de  Catalina Alonso a través del test Honey-Alonso de estilos de aprendizaje (CHAEA), las características de los estilos no se presentan en el mismo orden de significación, por lo que se propuso 2 niveles. El primero corresponde a las 5 características más significativas obtenidas como resultado de los análisis factoriales y de los componentes principales, denominadas características principales, y el resto aparece con el nombre de otras características:



 

Estilo activo. Animador, improvisador, descubridor, arriesgado, espontáneo.



 

Estilo reflexivo. Ponderado, concienzudo, receptivo, analítico, exhaustivo.

 

cr ítico, estructurado. Estilo teórico. Metódico, lógico, objetivo, crítico,

 

Estilo pragmático. Experimentador, práctico, directo, eficaz, realista.





TEST CHAEA

Cuestionario Honey

- Alonso de Estilos de Aprendizaje:

Más Menos (+)  (-) 

Cuestión  1. Tengo fama de decir lo que pienso pie nso claramente y sin rodeos. 2. Estoy seguro/a de lo que es bueno bu eno y lo que es malo, lo 163

 

 

que está bien y lo que está mal.  3. Muchas veces actúo sin mirar las consecuencias.   4. Normalmente trato de resolver los problemas metódicamente y paso a paso.   5. Creo que los formalismos coartan y limitan la actuación libre de las personas. 6. Me interesa saber cuáles son los sistemas de valores v alores de los demás y con qué criterios actúan. 7. Pienso que el actuar intuitivamente puede ser siempre tan válido como actuar reflexivamente.  8. Creo que lo más importante es que las cosas c osas funcionen. 9. Procuro estar al tanto de lo que ocurre aquí y ahora. 10. Disfruto cuando tengo tiempo para preparar mi trabajo y realizarlo a conciencia.   11. Estoy a gusto siguiendo un orden, en las comidas, en el estudio, haciendo ejercicio regularmente.  12. Cuando escucho una nueva idea enseguida comienzo a pensar cómo ponerla en práctica.  

13. Prefiero las ideas originales y novedosas aunque no sean prácticas.  14. Admito y me ajusto a las normas sólo si me sirven para lograr mis objetivos.  15. Normalmente encajo bien con personas reflexivas, y me cuesta sintonizar con personas demasiado espontáneas, imprevisibles.  16. Escucho con más frecuencia que hablo.  17. Prefiero las cosas estructuradas a las desordenadas.   164

 

 

18. Cuando poseo cualquier información, trato de interpretarla bien antes de manifestar alguna conclusión.   19. Antes de hacer algo estudio con cuidado sus ventajas v entajas e inconvenientes.  20. Me crezco con el reto de hacer algo nuevo y diferente.   21. Casi siempre procuro ser coherente con mis criterios y sistemas de valores. Tengo principios y los sigo. si go.  22. Cuando hay una discusión no me gusta ir con rodeos.   23. Me disgusta implicarme afectivamente afectiv amente en mi ambiente de trabajo. Prefiero mantener relaciones distantes.  24. Me gustan más las personas realistas y concretas que las teóricas.  25. Me cuesta ser creativo/a, romper estructuras.   26. Me siento a gusto con personas espontáneas y divertidas.  27. La mayoría de las veces expreso abiertamente cómo me siento.  28. Me gusta analizar y dar vueltas a las cosas. 

29. Me molesta que la gente no se tome en serio las cosas.   30. Me atrae experimentar y practicar las últimas últi mas técnicas y novedades  31. Soy cauteloso/a a la hora de sacar conclusiones.  32. Prefiero contar con el mayor número de fuentes de información. Cuantos más datos reúna para reflexionar, mejor.  33. Tiendo a ser perfeccionista.  34. Prefiero oír las opiniones de los demás antes de 165

 

 

exponer la mía.  35. Me gusta afrontar la vida espontáneamente esp ontáneamente y no tener que planificar todo previamente.  36. En las discusiones me gusta observar cómo actúan los demás participantes.  37. Me siento incómodo/a con las personas calladas calla das y demasiado analíticas.  38. Juzgo con frecuencia las ideas de los demás por su valor práctico.  39. Me agobio si me obligan a acelerar ac elerar mucho el trabajo para cumplir un plazo.  40. En las reuniones apoyo las ideas id eas prácticas y realistas.   41. Es mejor gozar del momento presente que deleitarse pensando en el pasado o en el futuro.   42. Me molestan las personas que siempre desean apresurar las cosas.   43. Aporto ideas nuevas y espontáneas en los grupos de discusión. 

44. Pienso que son más consistentes las decisiones decisi ones fundamentadas en un minucioso análisis que las basadas b asadas en la intuición.  45. Detecto frecuentemente la inconsistencia y puntos débiles en las argumentaciones de los demás.   46. Creo que es preciso saltarse las normas muchas más má s veces que cumplirlas.  47. A menudo caigo en la cuenta de otras formas mejores y más prácticas de hacer las cosas  166

 

 

48. En conjunto hablo más que escucho. e scucho.  49. Prefiero distanciarme de los hechos y observarlos desde otras perspectivas.   50. Estoy convencido/a que debe imponerse la lógica y el razonamiento.  51. Me gusta buscar nuevas experiencias.   52. Me gusta experimentar y aplicar las cosas.  53. Pienso que debemos llegar pronto al grano, al meollo de los temas  54. Siempre trato de conseguir conclusiones e ideas claras   55. Prefiero discutir cuestiones concretas y no perder el tiempo con charlas vacías.   56. Me impaciento cuando me dan explicaciones irrelevantes e incoherentes.  57. Compruebo antes si las cosas funcionan realmente.   58. Hago varios borradores antes de la redacción definitiva de un trabajo.  59. Soy consciente de que en las discusiones ayudo a

mantener a los demás centrados en el tema, evitando divagaciones.  60. Observo que, con frecuencia, soy uno/a de los/as más objetivos/as y desapasionados/as en las discusiones.   61. Cuando algo va mal, le quito importancia y trato de hacerlo mejor.  62. Rechazo ideas originales y espontáneas si no las veo prácticas.  63. Me gusta sopesar diversas alternativas antes de tomar 167

 

 

una decisión.  64. Con frecuencia miro hacia adelante para prever el futuro.  65. En los debates y discusiones prefiero desempeñar un papel secundario antes que ser el/la líder o el/la que más participa.  66. Me molestan las personas que no actúan con lógica.   67. Me resulta incómodo tener que planificar y prever las cosas.  68. Creo que el fin justifica los medios en muchos casos.  69. Suelo reflexionar sobre los asuntos y problemas   70. El trabajar a conciencia me llena de satisfacción y orgullo  71. Ante los acontecimientos trato de descubrir los principios y teorías en que se basan.   72. Con tal de conseguir el objetivo que pretendo soy capaz de herir sentimientos ajenos.  73. No me importa hacer todo lo necesario para que sea

efectivo mi trabajo.  74. Con frecuencia soy una de las personas que más anima las fiestas.  75. Me aburro enseguida con el trabajo metódico y minucioso.  76. La gente con frecuencia cree que soy poco sensible a sus sentimientos  77. Suelo dejarme llevar por mis intuiciones.   78. Si trabajo en grupo procuro que se siga un método y 168

 

 

un orden.  79. Con frecuencia me interesa averiguar lo que piensa la gente.  80. Esquivo los temas subjetivos, ambiguos y poco claros.

169

 

 

PERFIL DE APRENDIZAJE 1- Rodee con una línea cada uno de los números que ha señalado con un signo más (+). 2- Sume el número de círculos que hay en cada columna. 3- Coloque estos totales en los casilleros inferiores y así comprobará cuál es su Estilo o Estilos de Aprendizaje predominantes

I

II

III

IV

ACTIVO 

REFLEXIVO 

TEÓRICO 

PRAGMÁTICO 

3 

10 

2 

1 

5 

16 

4 

8 

7 

18 

6 

12 

9 

19 

11 

14 

13 

28 

15 

22 

20  26 

31  32 

17  21 

24  30 

27 

34 

23 

38 

35 

36 

25 

40 

37 

39 

29 

47 

41 

42 

33 

52 

43 

44 

45 

53 

46 

49 

50 

56 

48 

55 

54 

57 

51 

58 

60 

59 

170

 

 

61 

63 

64 

62 

67 

65 

66 

68 

74 

69 

71 

72 

75 

70 

78 

73 

77 

79 

80 

76 

171

 

 

ANEXO Nº 3: Resultados test CHAEA

172

 

ANEXO Nº 4: Planificación asignatura de Cálculo, INACAP. PLANIFICACIÓN PRIMAVERA 2008 Programa de Estudios: INGENIERIA EN INFORMATICA

Código Asignatura:IN0519

Asignatura:  CALCULO. Asignatura: CALCULO.  

Horas: 88 HORAS

Profesor: Objetivos Generales: Al aprobar la asignatura, el alumno estará en condiciones de:  de:  

    

Utilizar los conceptos matemáticos matemáticos de Sucesiones, Límites y Continuidad a la solución de proble problemas mas de la especialidad.  Aplicar las definiciones, definiciones, teoremas teoremas y postula postulados dos sobre Derivadas Derivadas e Integrales Integrales en la solución solución de problemas problemas asociados a la especialidad.

Objetivos Transversales:  Transversales:    

Permitir el pensamiento reflexivo del educando.

 

Permitir al educando confrontar la realidad con su mundo interno.

 

Inculcar en el educando educando la responsabilidad, responsabilidad, la empatía empatía,, disciplina y h honradez onradez en el plano p profesional. rofesional.

 

Promover la capacidad capacidad de coordinar coordinar acciones con otras personas, personas, es decir, el trabajo en equipo, equipo, potenc potenciando iando así sus habilidades propias propias y la de los os demás.

 

Promover en el educando educando maneras adecuadas adecuadas de comun comunicación, icación, para que pueda pueda manifestar manifestar sentimientos, ideas, ideas, opiniones y convicciones de manera manera clara, precisa y consistente, consistente,

 

Promover la asertivi asertividad dad y auto evaluación en el educando

 



 

respetándose a si mismo y a los demás. 

173

 

  PONDER POND ERAC ACII N

UNIDADES 1.

. Sucesiones y Límites  Límites 



2.

. Límites y Co ntinuidad ntinuidad  



3.

. Derivadas  Derivadas  



4.

. Integrales  Integrales  



FECHA DE EV ALUACIONES

  C1 20%.

01 de septiembre de 2008.

  C2 20%.

06 de octubre de 2008.

  C3 20%.

06 de noviembre de 2008.

  C4 20%.

04 de diciembre de 2008.

  Test acumulativos 20%.



UNIDADES

APRENDIZAJES

CRITERIOS DE

ESPERADOS

EVALUACIÓN

1-1

CONTENIDOS

ACTIVIDADES

METODOLOGÍA

1-1-1

1-1-1

1-1-1-1

1-1-1-1

Sucesiones y Límites

Utiliza una sucesión de

Reconoce

una

Números

Reales

sucesión de Números

resolviendo operaciones

Reales y su regla de

básicas.

formación, dado un conjunto de valores.

16 HORAS

Sucesiones.

     



Notación. Termino general de

sucesión dado un conjunto de valores 1-1-3 Calcula un término de la sucesión conocido el término general

Organiza actividad

Inductiva: Inductiva:

confeccionadas confeccion adas por el

forma grupal, en la cual:

       



Suma Resta

Obtiene

Multiplicación

general de la sucesión,

el

término

División Obtiene un término de

Clasificación

de

sucesiones.

 



Monótonas

las

la sucesión dado el término general. Clasifica el tipo de sucesión, conociendo

174

 

     



1-1-4 Clasifica el tipo de



 

 Acotadas Convergentes Divergentes

sucesión a que

el término general o los tres primeros términos. Resuelve

operatoria

básica de sucesiones.

corresponde un conjunto dado

Deduce y analiza el concepto de límite de una sucesión.

1-2 1-2-1  



Desarrolla ejercicios

Determina el límite de una

 Analiza el concepto de

sucesión, de

límite de una sucesión,

acuerdo a condiciones

1-2-2

iníciales dadas Calcula el límite de una sucesión utilizando las propiedades

Límite de una sucesión.

   



guía en

Determina el límite de una aplicando

sucesión, álgebra

Definición.

elemental, propiedades

Propiedades

de las potencias y de las raíces. Desarrolla guía de

1-2-3

de

forma

individual, en la cual:

1-2-1

profesor.

-Activo-participativas.

Graficas en lámina

comunicar resultados.

guía de ejercicios en

Operatoria con sucesiones.

Guías de ejercicios

-Clases expositivas.

para retroproyector.

Los AlumnosDesarrolla

Calcula el término general de una

-Metodología

guía de ejercicios y

una sucesión. 1-1-2

Explica y da ejemplos. grupal para resolver

Definición.

1-1-1-1 Pizarrón, Plumón.

El docente: I.

RECURSOS DIDACTICOS

ejercicios en forma grupal, en la cual:

Determina la convergencia o

Resuelve límites

divergencia de la

indeterminados,

-Colaborativas

1-3  



Calcula

sucesión, aplicando el

aplicando álgebra

límite

elemental, propiedades de las potencias, de las

el

límite

raíces y propiedades

indeterminado de

1-3-1

de los límites 1-3-1

una  Aplica las propiedades propiedades

175

 

  sucesión.

para resolver límite

Límites indeterminados. indeterminados.

indeterminados.

indeterminado indeterm inado de la la   forma  1 forma

 

 



Propiedades

1-3-2 Resuelve límites de la forma 1   aplicando álgebra y propiedades de las potencias 1-3-3  Aplica álgebra álgebra elemental para resolver límites de la forma   forma 2-1-1

2-1

2-1-1

Deduce el concepto de

II.

límite de una función. Resuelve el

 Analiza el concepto de

Límites y

límite de una

límite de una función

Continuidad   Continuidad

función,

real y su relación con

aplicando las

el cálculo aplicado.

 



propiedades

Límite por entorno: Utiliza la gráfica de la

   



Definición y notación. Interpretación.

2-1-2  Aplica propiedades propiedades de las operaciones con límites, en forma

   



Definición y notación. Interpretación.

gráfica y analítica

ejercicios en forma grupal, en la cual: Resuelve límites de funciones, aplicando

Propiedades de los límites de 2-1-3

límite. Desarrolla guía de

Límite por Incrementos y tasas:

20 HORAS

función para obtener el

las propiedades.

funciones reales:

176

 

  Desarrolla Calcula el límite de

 



funciones algebraicas aplicando propiedades

 



Límite de la suma y

ejercicios

resta.

grupal.

Límite del producto de dos funciones.

 



Límite del cuociente de dos funciones.

 



guía en

de

forma

Gráfica la función y determina si la función es continua.

Límite de funciones

Desarrolla

irracionales

ejercicios grupal.

guía en

de

forma

2-2-1

2-2-1 2-2

 

Calcula el límite de Resuelve el límite de funciones logarítmicas, trigonométricas



funciones logarítmicas aplicando propiedades

logarítmicas,

 



y

trigonométricas inversas

Límites de funciones Límites de funciones trigonométricas.

2-2-2

 



aplicando propiedades.

Límites de funciones trigonométricas

Calcula el límite de

inversas.

funciones trigonométricas utilizando identidades trigonométricas.

2-2-3 Calcula el límite de funciones trigonométricas inversas utilizando

177

 

  variable auxiliar

2-3-1 2-3

2-3-1 Continuidad de una función real:

Determina si la función es continua en un punto

Relaciona continuidad

y en un intervalo

Función Real con el

de

la una

concepto de Límite.

 



En

un

punto

del

dominio.

 



En cualquier punto del dominio

2-3-2 Determina si la función es continua

en

un

punto o en un intervalo realizando la gráfica de la función.

2-3-3 Determina si la función es continua en un punto o un intervalo aplicando límite 3-1

Utiliza calculadora

3-1-1

3-1-1

III.

gráfica. 3.1 3.1 Aplica  Aplica el concepto concepto de

Derivadas   Derivadas 20 HORAS

3.1.1 Interpreta 3.1.1 Interpreta

Derivada de una función

de ejercicios en

geométricament

real.

Incrementos y Tasas

e la derivada de

- Definición.

forma grupal.

una función.

- Notación.

Desarrolla guía de

178

 

- Desarrolla guía

derivada al Cálculo de

  3.1.2 Calcula 3.1.2  Calcula de derivada de la función por

- Interpretación geométrica. Propiedades de la función

ejercicios en forma grupal, en la cual:

definición

derivada con una variable.

 Aplica los criterios de la

aplicando

- De la función constante.

primera y segunda

límite.

- De la función potencia.

derivada obteniendo

- De la suma y resta de

máximos, mínimos,

3.1.3   3.1.3

funciones.  Aplica las propiedades edades de las operaciones con derivadas de funciones reales de una variable

- Del producto producto de una constante por una función - Composición de funciones (Regla de la

puntos de inflexión, concavidad,, etc., concavidad aplicándolo a la construcción de gráficas.

Cadena) - De la función exponencial - De la función logarítmica. De la f unción trigonométrica.

3-2-1 El alumno: Trazado de curvas.

3.2 3.2.1

Máximos, mínimos y puntos de inflexión.

 Aplica la derivada derivada de

Criterio de concavidad.

- Investiga en biblioteca y en Internet.

orden superior a

Realiza la grafica de

problemas prácticos.

la función

teoremas en forma

determinando los

grupal.

Demuestra los

máximos, mínimos y puntos de inflexión.

3.2.2  Aplica la primera derivada a problemas de Costo marginal,

179

 

  ingreso y utilidad marginal, etc. 3.2.3  Aplica la derivada derivada de orden superior para

3-3-1

optimizar problemas prácticos.

Teorema de Rolle

3.3 Teorema del Valor Medio.  Aplica los teoremas teoremas a

3.3.1 Teorema de L¿Hopital

problemas prácticos. Demuestra el teorema de Rolle y el Teorema

Límites forma indeterminada

del Valor Medio.  Medio.  3.3.2 Demuestra el teorema de L¿Hopital 3.3.3  Aplica el Teorema Teorema de L¿Hopital en el cálculo del límite en forma indeterminada. 4-1

4-1-1

4-1-1

Desarrolla guía de

IV

ejercicios en forma 4.1 4.1 Aplica  Aplica fórmulas

Integrales

4.1.1 Resuelve

fundamentales de

integrales

integración en el

simples

cálculo de

utilizando las

Fórmulas f undamentales undamentales

grupal

de integración.

180

 

  24 HORAS

integrales. integrales.  

formulas de integración.   integración. 4.1.2 Resuelve integrales

Desarrolla guía de

aplicando el

ejercicios en forma

método de

grupa

integración por simple inspección.   inspección. 4.2 4.2 Aplica  Aplica los diferentes diferentes métodos de

4-2-1 Métodos de integración:

4.2.1 Resuelve

- Por simple inspección. - Sustitución de variable

integración en el

integrales

cálculo de

aplicando el

integrales.  integrales. 

método de

- Por partes.

integración de

- Sustitución de variables

sustitución de variable

auxiliar.

trigonométricas. - Fracciones parciales.

auxiliar. 4.2.2 Resuelve integrales aplicando el método de integración por partes. 4.2.3 Resuelve integrales aplicando el método de integración sustitución de variable trigonométrica.   trigonométrica. 4.2.4 Resuelve

4-3-1

181

 

  integrales

Integral Definida.

aplicando el 4.3 Aplica el teorema

método de

fundamental del cálculo

integración

en la solución de

fracciones

problemas de áreas.

parciales. 4.3.1 Calcula el valor medio de una función en un intervalo dado. 4.3.2 Calcula de integral definida

Teorema fundamental del cálculo. Regla de los Trapecios. Regla de Simpson

de una función en un intervalo. 4.3.3 Utiliza calculadora gráfica o software para resolver integrales y visualizar el área bajo la curva.

182

 

ANEXO Nº 5: PRE TEST DE CÁLCULO NOMBRE FECHA Encierre la alternativa correcta para cada una de las siguientes preguntas:

1. Cuál de las siguientes alternativas representa la derivada de la siguiente    4      3x 4   función:  y  3 x

  1

a)  a)  12 x 3  

 x 4

  1

b)  b)  12 x 3  

 x 5

  12

c) 12 x 3  

 x 5

  12

d)  d)  x 3  

 x 5

 

     

2. Al calcular la derivada de la función,  y   5  x  2 , se obtiene:

a) b)

 10

 

 x 3 1

 x

 

3

10

c)  x   3

d)

 10

 

 x 2

183

 

 

3. La primera derivada de la función:

a)

b)

c)

d)

4 3 x

2

es:

 

 x 3

1

3 x

3 x

 

3

1

1

 

3

2

3 x

3

 

4. Cuál de las siguientes alternativas representa la derivada de la función:  y    x 3 senx :   a) 3 x 2 senx     x 3 co coss x  

cos x   b)  b)  senx   x  3 cos

c)  c)  3 senx    x  3 cos cos x       x 3   d)  d)  3 x 2 senx

184

 

 

5. Cuál de las siguientes alternativas representa la derivada de la siguiente función:

  a)  a)  3 x  senx 2   x cos cos x   senx  

b)  b)   x  senx2   x co coss x   senx     c)  c)  3 x  senx 2  co coss x   senx 

d)  d)  3 x  senx 2  

6. Cuál de las siguientes alternativas representa la derivada de la siguiente función:

cos x 3    a)  senx3   cos coss x 3    b)  senx3   3 x 3  co

c)  senx3   3 x 3  

cos x 3   d)  senx3   2 x 3  cos

185

 

 

7. Cuál de las siguientes alternativas representa la derivada de la siguiente función:    y   Lnx    x  1

a)

 xLn( x)   x  1 2

 x x  1

b) 

 

 Ln( x)   x  1

 x  12

 

    x  1  xLn( x) 

c) 

 

 x

d) 

 xLn( x)   x  1 2

 x x  1

 

8. Cuál de las siguientes alternativas representa la derivada de la siguiente función:    y 

 x 2  x  1

a) 

   x  1  x  1