Calculo Para Ingenieros - UNED

C A L C U L O PARA IN C L N IL R O S Tcxlos los derechos reservados. Qued.i proh ib id a , salvo excepción prevista en la ley, cuali)uiei· forma de reproducción, distribución, com unicación pública v transf{)rniacion de esta obra sin contar con la autorización ile ios autores y / o editores. La infracción de los derechvis mencionados piu-de ser constitutiva de de lito contra la propieiLuI intelectual. © LXiniel I ranco Leis, EslherC^il C id, Luis M anuel K u ii' V irum brales © KDi rO K IA L S A N Z Y rORKLS.S, L c / Pinos A lta, -ii·) - 2S029 M adrid ® ‘H12 401) 4 13 - I 314 55 w vvw.sa n/.y tí>rres.com libreria'üisanzytorre.s.com w vvw.sanzvton’os.com /editorial edilorial® isanzvtorri's.com ISBN: ‘•J78-H4-9294S-25-3 D epòsiti) lej;al; M-35374-2()I() Imaj^en de portada; johann Carl I riedrich Ciauss Com posición: Ana D ía / I lernández, Daniel Franco Leis, l-s tlie rG il C id, E lvira I lern¿indez García Impresión: rr-difirafos, S. A. c / Volta, 2, Pol. Ind. San Marcos, 2iS9l)fi Getafe (M a drid ) líncuadernación; Felipe Mendez. S. A., c / Del C.TrK'm, y 8, Pol. Ind. San José de Valderas 2, 28‘>KS Leganés (M a drid)

In d ic e Prólogo

9

1. El paso al lím ite 1.1.

general

11

El espado I R .................................................................................

12

1.1.1.

Motivnción

...........................................................................

12

1.1.2.

Los números re ale s.........................................................

12

1.2. S uc e sio n e s.................................................................................... 1.2.1. Motivación .....................................................................

22 22

1.2.2.

Sucesiones.......................................................................

22

1.3. S e r ie s ............................................................................................. 1.3.1. Motivación .....................................................................

32 32

1.3.2, S eries................................................................................ Límites y continuidad ............................................................... 1.4.1. Motivación ..................................................................... 1.4.2. Límites de fu n c io n e s ......................................................

33 41 41 42

1.4.3. Funciones c o n tin u a s ...................................................... 1.5. Sucesiones y series do funciones .............................. ..

30 55

1.4.

1.5.1. 1.5.2.

Motivación ..................................................................... Sucesiones de fu n c io n e s ...............................................

55 5(i

1.5.3.

Series de fu n c io n e s ........................................................

f>2

Ejercicios de A u to e v a lu a c ió n ........................ ...................................

70

2. Funciones derivables 2.1.

71

Derivada de una fu n c ió n ............................................................ 2.1.1. Motivación ..................................................................... 2.1.2. Derivada en un p u n t o ...................................................

72 72 72

2.1.3.

Derivabilidad en un in te rv alo .......................................

76

Reglas de d e r iv a c ió n .................................................................. 2.2.1. Motivación ..................................................................... 2.2.2. Reglas de d e riv a c ió n ......................................................

76 76 77

Limites y derivación .................................................................. 2.3.1. Motivación ..................................................................... 2.3.2. Regla de L 'L ló p ita l......................................................... 2.4. Mótodo de Newton. Método de punto f i j o ..............................

7y 79 SO H4

2.2.

2.3.

2.4.1.

Motivación

..................................................................... V

84

VI

ÍNDICE GENERAL 2.4.2.

Método de N e w to n ........................................................

84

2.4.3.

Puntos fijos de funciones

............................................

88

Teoremas de Rolle y del valor m e d io ....................................... 2.5.1. Motivación ....................................................................

92 92

2.5.2.

Teorema de R o l l e ...........................................................

93

2.5.3. 2.5.4.

Teorema del valorniedio ............................................ Funciones m o n ó t o n a s ..................................................

94 96

Ejercicios de A u to e v a lu a c ió n ............................................................

98

3. Aplicaciones de la derivada 3.1. El Teorema de T a y lo r .................................................................

101 102

2.5.

3.2.

3.3.

3.1.1.

Motivación

....................................................................

102

3.1.2.

Derivadas s u c e s iv a s .....................................................

102

3.1.3.

El Teorema de T ay lo r.....................................................

Aplicaciones a series y sucesiones de fuciones

105

.....................

111

....................................................................

111

3.2.1.

Motivación

3.2.2.

Derivación de sucesiones de funciones

....................

111

3.2.3.

Funciones a n a lít ic a s .....................................................

115

Interpolación p o lin ó m ic a ............................................................

117

3.3.1.

Motivación

....................................................................

117

3.3.2.

In te r p o la c ió n .................................................................

118

3.4. Optim ización. Extremos relativos y ab so lu to s........................

123

3.4.1.

Motivación

....................................................................

123

3.4.2.

Extremos abso lu to s........................................................

123

3.4.3. Extremos r e la t iv o s ........................................................ 3.5. Concavidad y c o n v e x id a d .........................................................

128 132

3.5.1.

Motivación

....................................................................

3.5.2.

Concavidad y co n v e x id a d ............................................

133

Ejercicios de A u to e v a lu a c ió n ............................................................

137

4. Integral de Riem ann 4.1.

132

139

Definición de integral de R i e m a n n ..........................................

140

4.1.1.

Motivación

140

4.1.2.

Integral definida

...........................................................

140

4.1.3.

Integral in d e f in id a ........................................................

145

4.2. Teoremas fim dam entales............................................................

146

....................................................................

4.2.1.

Motivación

....................................................................

4.2.2.

Teoremas fundamentales del Ciílculo

.......................

146 146

INDICE GENERAL 4.3. Cálculo de in te g ra le s .................................................................. 4.3. L MotiVíUión .......................................... .......................... 4.3.2. 4.4.

4.5.

5.

Algunas técnicas de integración

150 150

................................

150

Integración n u m é ric a ..................................................................

167

4.4.1.

Motivación

....................................................................

167

4.4.2.

Integración nu m érica .....................................................

168

Paso al límite en integ ración......................................................

175

4.5.1.

Motivación

4.5.2. 4.5.3.

Integrales im p r o p ia s ...................................................... Sucesiones funcionales e in te g ra b ilid a d ....................

.................................................................... 175 175 183

Ejercicios de A u to e v a lu a c ió n ............................................................

185

Funciones de varias variables

187

5.1.

188 188

5.2.

5.3.

f:l espacio R " ........................... ..................................................... 5.1.1. Motivación .................................................................... 5.1.2.

El espacio K". Primeras de fin icio n es.......................... 188

5.1.3.

Coordenadas polares, cilindricas y esféricas..............

U>4

Funciones de varias v a r ia b le s ...................................................

U>8

5.2.1.

Motivación

...................................... .............................

198

5.2.2.

Función de varias v a ria b le s .........................................

199

5.2.3.

Límite de una función en un punto. Continuidad

5.3.1.

Motivación

.................................................................... 214

5.3.2.

Derivada parcial

5.3.3.

G r a d ie n t e ....................................................................... 219

......................................................... . 214

5.4. Derivadas de orden superior

5.5.

. . 204

Derivada parcial. G r a d ie n te ......................................................214

................................................... 221

5.4.1.

Motivación

.................................................................... 221

5.4.2.

Derivadas de orden s u p e r io r ...................................... 221

Derivada d ir e c c io n a l..................................................................224 5.5.1, 5.5.2.

Motivación .................................................................... 224 Definición de derivada dire ccio n al............................. 225

Ejercicios de A u to e v a lu a c ió n ............................................................229 6 . Aplicaciones de la diferencial

6.1.

Diferencial de una fu n c ió n .........................................................232 6.1.1.

6 .Z

231

Motivación

.................................................................... 232

6.1.2. Función diferenciable. Plano ta n g e n te ....................... 232 Regla de la cadena. Teorema del valor m e d i o ..................... .. 240

VII

V III

ÍNDICE GENERAL 6.2. L Motivación ....................................................................240 6.2.2. Regla de la c a d e n a ........................................................ 240 6.2.3. Teorema del valor medio ............................................ 246 6.3. Teorema de la función im p líc ita ................................................250 6.3.1. Motivación ....................................................................250 6.3.2. Teorema de la función im p líc ita ...................................250 6.4. Valores extremos ........................................................................258 6.4.1. Motivación ....................................................................258 6.4.2. Extremos absolutos. Extremos re la tiv o s .................... 25^'i 6.5.

Extreméis c o n d ic io n a d o s ............................................................269 6..5.1. Motivación ....................................................................269 6.5.2.

McHodo de los multiplicadores de Lagrange

.............270

Ejercicios de A u to e v a lu a c ió n ............................................................278 Soluciones ejercicios de autoevaluación

281

índice de Figuras

289

índice Alfabético

291

1 El

pa so a l l ím it e

En este capítulo comienza su estudio del cálctih infinitcsiiiml. En esencia esta rama de las matemáticas obtiene información realizando un proceso conocido como paso al lintilc. Para poder realizar este proceso es necesariii trabajar con los números reales puesto que los racionales no gozan de pro­ piedades suficientes al no verificar el Axioma del supremo que estudiare­ mos muy pronto. El siguiente diagrama describe esquemáticamente el capitulo. Como ve, después de c>studiar los números reales, introduciremos los conceptos de sucesión v serie de númertis reales. Ambos conceptos están estrechamente relacionados y nos llevarán a la idea de convergencia v suma infinita. continuación estudiaremos las funciones y veremos que es posible realizar pasos al límites al acercarnos tanto como queramos a un punto o al infini­ to. A partii· del límite en un punto llegaremos al concepto de continuidad. Finalmente, generalizaremos los conceptos de sucesión y serie de números a sucesión y serie de funciones viendo cómo podemos definir dos tipos de convergencia y sus propiedades. Núm eros

Sucesiones y seines

Funcionas de >!&r^ reales

de niinieros reales

L i m i t o líni

n

>■%

Límite

Km .

r -»i«;

Suce.siones y series de funciones

11

l - ím i l e Ji m

r-t«

12

C a p ít u l o 1 /

El paso al lím ite

1.1. 1.1.1.

El espacio R M o tiv a c ió n

In tro d u c c ió n Nuestro primer contdcto con el cálculo infinite.siJ3i.il scni través de los números reales. No es casualidad. Los números reales son los adecuados para medir magnitudes del m undo real y por lo tanto forman la base .so­ bre la que trabajaremos. Aunque no vamos a construir el conjunto de los números reales de forma rigurosa, presentaremos algunas de las propieda­ des que poseen y que los diferencian de los números racionales.

O rie n ta c io n e s Curso

u. L»n

So

i’iu u e n -

la

http://ocw.innova.uned es/ matematicas-industnales/

Este tema debería ser de repaso para la mayoría de los lectores. Si no puede seguirlo necesita mejorar su preparación matemática, por ejemplo, ^ u r s o O de la UNED.

O b je tiv o s Al finalizar esta parte del libro entenderá la necesidad de considerar números reales v algunas de las propiedades más importantes que verifi­ can. Prestaremos especial atención al Axioma del supremo porque es una pieza clave para el desarrollo del cálculo infinitesimal. Pero por ejemplo, también veremos cómo el \'alor absoluto permite medir distancias y definir intervalos.

1.1.2.

Los n ú m e ro s reales

Los números naturales, N = { 1. 2 . ___ }, sirven para contar; los n ú ­ meros enteros, Z = 2 - J . 0 , 2___ }, permiten realizar operaciones con números naturales en las que se pueda quedar a deber, es decir, restar; los números racionales, Q = : ¡t.i¡ E Z . q ^ ()}, abren el camino de las proporciones. Utilizando los números anteriores podemos describir m ultitud de fenómenos naturales y de la vida cotidiana. Sin embargo, ya hace mucho tiempo que los científicos observaron que eran necesarios más números. Veamos un ejemplo. Consideremos el triángulo de la Figura l.L

1.1 El espacio K

13

Figura 1.1; Triángulo rectángulo de base y altura 1.

Aplicando el Teorema de Pitágoras obtenemos que la hipotenusa de ese triángulo verifica = 1- + 1·^. Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa del triángulo es h — \ Í 2 . No Bellez.i matemática. Si ONtá inloresndo puedi· e iv es difícil demostrar que tal longitud no es un número racional y por lo contrcir Id pruelm tli* Li tanto es un ejemplo de m agnitud real que no puede ser descrita con los irra d o n a lid a d di> tr i el liconjuntos de números N, Z o Q. I’odríamos construir un nuevo conjunto t'iro Apolo;iiii ilc un Mntcii iii lico de números que incluyese a las raíces, cuadradas o de orden superior ( v ^, d i' t'i.H . H iirdy, i?n donde.· v*^,...), de números racionales. Pero pronto veríamos que nos siguen fal­ iipnrt’fe a im o ojcm plo dt· h clle /.i mntenuilica. tando números, puesto que tt, la relación universal entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, no pertenecería a ese nuevo conjunto. El conjunto que estamos buscando es el conjunto de números reales La construcción rigurosa que denotaremos por 1 y al que pertenecen \/2 y tt. Los números racionales de P. queda fuera de lo!^ ol'jetivoi. de este curso. Sin son un subconjunto propio de R con lo cual tenemos la siguiente cadena de embargo, del^e saber que esa ci'nslrucción está e.strechamente ligada al cálculo C 2 c Q c IR. iiiíinilesim .'il pue.slo que se puetle realizar com pletando Además, el complementario de 'ÍJ en R, es decir, el conjunto formado Q con los lim ites de ciertas por los números de K que no son racionales, se denota por I y está formado sucesiones de niim erns por los llamados números irracionales. racionales.

inclusiones

La relación entre los conjuntos de números reales, racionales e irracionales se resume en las dos igualdades siguientes y

Q n i l = tó.

14

C a p ít u l o l /

El paso al lím ite

Los números reales se pueden representar gráficamente como los pu n ­ tos de una recta. A esa recta se la llama recta real o recta de los números reales. -In 2

I -3

s fi

(■: TT

I-------- h ------^------- h - — ^ -2

- 1 0

1

2

:í

Figura 1.2: Recta real con algunos elementos representados.

Operaciones En R se pueden definir las mismas operaciones que ya utilizábamos con los números racionales y que le daban a estos últimos ima estructura algebraica, es decir, las operaciones internas de suma y producto. Con esas dos operaciones IR tiene la misma estructura que Q. Por otro lado, dados dos elementos y pertenecientes a R también es posible ordenarlos. Intuitivamente .r será menor o igual que t] (escribiremos < v) si la representación de .r en la recta real está a la izquierda de la de y o X = ij. De forma similar .;· será menor que y (escribiremos .r < /;) si la representación de r en la recta real está a la izquierda de la de y. Como es habitual, llamaremos números negativos a los que son menores que l) y positivos a los que son mayores.

Maxima:3 se escribe

“3/5"; EJEMPLO 1.1. A la vista de la Figura 1.2 ¿son correctas las siguientes deel número - seescribe g ig i,a b a je s e < tt. 1 < f, -ln 2 < -5 ? “ "/opi"; el número i- se es­ cribe " “/oe”; se escribe “s q r t( 2 ) " ;s e escribe ‘3‘ 2"; La primera y la segunda son correctas puesto que c está a la izquierda lii 2 se escribe “109(2)". de tt y a la dereclia de 1. La tercera es Incorrecta puesto que - In 2 no está a

la izquierda de

El siguiente resultado establece las propiedades del orden que acabamos de introducir.

1.1 El espacio R

15

Propiedades del orden. Sean x, ij y : números reales, entonces se v'erifica 1. a ;< //

o y

(Orden total);

2. X < X (Reflexiva); 3. X < // y

v< x

implica x = y

(Antisimétrica);

4. X < !t y

i/ < 2

implica x < z

(Transitiva);

S-

S }J implica

6 . j; < u y

s' + í < ;/ + ■ : (Relación con la suma);

(I < s

implica x s < y z

(Relación con el producto).

EjnMPLO 1.2. Utilizando las propiedades anteriores mostremos que x < y junto con s < w implica .r -f í < y + ir. Sum ando

en primera de.sigualdad y utilizando la relación del orden

con la suma resulto .(· + : : < y + Sum ando y en la segunda desigualdad resulta ; + ,(/< »· f .hora, puesto que y + z — z + y por ser la suma com­ mutativa, podemosTiTilizar la propiedad transitiva para obtener la relación buscada .c -t- c < y + ii>. Valor absoluto

Definición 1.1 El valor absoluto de un número real .r es el número real |a'| =

-

X.

X > U,

—X,

X

< 0.

Por lo tanto, el valor absoluto de un número real es un número positivo Maxima: el valor absoluto de siempre que el número no .sea 0. Gráficamente, el valor absoluto de x se '-· I-I- se escribe "abs{2)". corresponde con la distancia entre ese número x y el O en la recta real. Ex­ tendiendo este hecho llegamos al concepto de distancia para dos números reales cualesquiera. Disiancia c u tre ./ e t/ D efinición 1.2 La distancia entie x e y es el valor no negativo |.t - y\. Entre las propiedacies del valor absoluto caben destacar las siguientes.

iJ· - !l\

16

C a p ít u l o l /

El paso al lím ite

Teorema 1.1 Sean x e y números reales, entonces se verifica 1 . |r| = U

T = 0;

2. la.· + í/1 < l^’l 4-1.(/1 (Desigualdad triangular); 3.

H -Lvl

E j e m p l o 1.3. Razonemos la veracidad o falsedad de la siguiente afirma­ ción: X < !t implica |.r| < |y|.

La afirmación indica t]ue si un número es menor que otro su distancia al cero es menor que la distancia al cero del mayor, lo cuaL si tenemos en cuenta a los números negativos, parece falso. C ontraejem plo. Si i]Ut>remL.) = {.r 6 IR ; f( < .(■}

17

(Intervalo cerrado),

[ —X , (/) = { , r G E : .r < u }

( l n t e r \ ’ill o ¿ ib ie rto ).

(-:v..(/.j = {.r e E ; .r < íí}

(Intervalo cerrado).

Intervalos degenerados. T.im liién son interv.ilos

= {a}, (».«í ) ^ Wy

Gráficamente los intervalos se representan mediante paréntesis y cor­

I'

chetes sobre la recta real. En la Figura 1.3 aparecen representados los inter­ valos ( - 5 , - hi 2 ) y ( í . n-]. -2

- til2

— h -:í

r TT 3

o

Figura 1.3: Intervalos (—

- lii 2) y ((’. tt].

Para los intervalos definidos a partir de dos números reales, n y l> con l); ( c - r . f + r).

( r - r.r-h rj.

¡ c - r . r + r).

[ r - r .r + r].

r pueden describirse utilizando el valor ab,soluto del siguiente modo:

y

[ r —r. r - f r ] = -|.r € M : | . r - r | < /·}.

EjEMri o 1.4. Dado el intervalo abierto (1.1) calculemos su centro, radio y describámoslo utilizando el valor absoluto. El centro del intervalo 11. I) es r = | y su radio ;· = |i — Í5I = 4Por lo tanto, utilizando el valor absoluto tenemos que (L 4 ) = ^ r g

•'^ -9

<

--í.

conuo

"

intervalo d.ido su centro < y

Puesto que |.r — r¡ es la distancia entre el punto ./■y el punto r, no es difícil comprobar que los intervalos cerrados y abiertos con centro r y radio

( r - r. í'-l-/·) - {./· € IR ; |·'· —s sobre la relación existente entre acotación y /.

=

|/

-

(lí.l =

I'/ -

II„

+

Iiu

)u| < |/ - f/,j| -1-\i" —X·:

= 0.

'yüHTü

III [// -I- 2|

\

/ R fconletilos que n'. ts t'l fac-

La función coseno solamente toma valores en [—1,1], por lo tanto la to ri.il del núnu-ro natunihi v /c-xp ·, \ I es acotada. Además, lím - = 0. Por lo notum lcs menores .sucesión < con ill |// + 2 | II ii iguíiles que n. es decir, ii\-

\

que el límite anterior existe y es 0 .

II · (r/ - I ) · · · 2 · I. I’nr omvenio se est.il’ kve ll! = L En

Maxima 7! es ‘7!;"

Proposicion 1.2 Si lím fí„ = /, entonces líín |rt„| = |/[. H-'.'x: n-+x El reciproco de la Proposición 1.2 es cierto si I = I). Pero no en general, como muestra el siguiente ejemplo.

26

C a p ít u l o 1 /

El paso al lím ite

E j e m p l o 1.2ü. La sucesión {|(- D " + ¡7 I} converge a 1 pero {( - i )" -f

no

es convergente. A continuación aparecen representados gráficamente los diez primeros términos de ambas sucesiones.

-I

-1

Veanms aiiora cómo podemos operar con límites. Proposicion 1.3 Supongamos que líui líui U i u + K ) =

ri-fD &

l ím

«-»•oc

« » + lí.m />„ y n^o0

■

y líiu

existen, entonces

W-»í»

Uní

— f líui a„]-( lÍJ» \ii-to c

Si además />„ ^ O para todt) « S M v líin />„

/

\;i—

/

)

O, entonces

>00

líin n „ W -K X )

H-+X» h„

E | i ; m p l o 1.21. V e r if iq u e n i o s q u e

lí n i />„

iíiii

* — 2.

—n + i

Si aplicamos la l’ roposición 1.3 directamente encontramos problemas, tenemos pero si antes dividim os entre ¡ r el numerador y el denom inador se tiene

Ob.servación. Si un cociente de expresiones polinóm icas. entonces d i­ v id ir por el m onom io de m nvor gradt) el num erador V el denom inador sim plifica los pasos al lim ite.

, ..

-V -fn + i

itili

— r¡------------------

II - » X

II. -------- / / +

1

I

1

\2 H-------h I —n

J i m

„ —

lllll ÍI-+ X

II

----------T -V

I

_____ 1^

1/111 2 +

n

\

ll~

=

____

é-i

·/?“

i'iii

V

l í i ii — h l í i i i —77

lín i 1 — In ii — |- líin —-

l ---- 1— T il í/*-

1.2 Sucesiones

27

Límiles infinitos Los problemas a los que nos referimos en el párrafo anterior tienen que ver con el infinito, que matemáticamente se denota por :sc. Debido a nuestra naturaleza, no es un concepto sencillo y el hecho de que cualquier matemático afirme sin pestañear que existen infinitos tipos de infinito debe resultar al menos intrigante para el profano. A continuación añadiremos a la recta real dos elementos, —x y x:, con las propiedades que esperaríamos del infinito.

Definición 1. 12 La recta real am pliada es el conjunto R = m u { -oc, 0 0 }.

en el que además de las propiedades habitua les para los elementos de K, establecemos las que aparecen a continuación. —' X < X < 'ki,

Væ € E,

^ 00 —

1 = 00 ,

' i x 6 ( 0 , .x;],

Í = -OG,

V ar6(-oc,0),

' 4; · ' ^ = oc.

V.r € ( 0 . 00 ],

T, - O O — -3C,

V x e (-ÒC, 0),

X -f 00 = 00,

V.7.-Gl\{-oe},,

X — OC = -ÓC’,

Vj ; g 1 \ { oc}

= 0,

Vx € (0 , 1),

= 'XI,

Va: € (0, oc].

X! = 0

= 00 , 00 ^ = 0 ,

V¡r G R,

V.r G (Loo], Vx 6 [—OG, (J).

Hasta ahora hemos considerado sucesiones que convergen a un número real. Ahora vamos a caracterizar las sucesiones que se aproximan a F .ls im lx )lo ± x . significa: n i' bi t' n - X V .st‘ k'i?

infinito.

Límite infinito. Escribimos líin a„ = oc si para cada £ > O existe un número natural N tal que

> e para todt) n > N .

Escribimos lím n„ = -oc si Ifui —a.„ = O solaniente hav un

número finito de términos de la sucesión menores que i·.

n iiiriiof

28

C a t ÌT U L O I /

El paso al lim ite

Las sucesiones que verifican líin a„ = ±oc no son convergentes, es decir, las sucesiones que tienen límite infinito o menos infinito no son convergentes.

Eiempi.O 1.22 . Comprobemos que líiu ( i r — n) = x,. M—

Dado r > O buscamos un N > O que garantice

— ii > € para todo

II > .V. Puesto que li- — ti = ii(ii — 1) > ii para todo ii > 1, es suficiente

tomar .V > iiiá.\{ l, í} , ya que si ii > N ti~

— n = it{u — 1 ) >

n > N

> ináx{ 1,;} > e.

Proposicion 1.4 La Propiedad del emparedado y las Proposiciones 1.2 y 1.3 siguen siendo válidas si alguno o todos los límites que intervienen en ellas son ± x . Com o es sencillo probar que líni„.H.oo » = el resultado anterior nos in­ dica que si en un límite de una sucesión sustituimos n por oc en su término general, entonces el valor del límite coincide con el valor que obtengamos al operar con oc según las reglas dadas en la Definición 1.12. E j e m p l o 1.23. Calculemos

líiii i r .

Sustituyendo ii por oo en el término general obtenemos oc* que la defini­ ción 1.12 nos indica que vale oc. Por lo tanto, líiu i r = oc. n —>x;·

Pero no todas las operaciones están definidas para todos los elemen­ tos de K y al sustituir ii por oc podemos encontrarnos con problemas. Las siguientes expresiones no están definidas y reciben el nombre de indeter­ minaciones: O O

oc - oc.

,

±oc

·o,

±oc ±oc

E i e m p l o 1.24. Calculemos Iñn ( i r — //.).

Al sustituir n por oc vemos que se trata de una indeterminación del tipo

X

-

X .

Podemos esperar que el i r crezca mucho más rápido hacia oc

1.2 Sucesiones

29

que I). Para ver que es así, multiplicamos y dividim os por el conjugado de

ir — II ,,

, ·)

Si la inJi’terniin.K'iñn x ~ x procciic do un término iiono, i , 7 rnlo.,-/^,.^·nU)ncessuι·lt·ser iinn biiona iilca multiplicar V dixiclir por el conjugado.

,, {ir — ii){ir + ii) n — ir liiii ----------r¡--------------- = iim —r, ------,,->x f // M.-‘ x 11·^ + II l I I Tli'm ( 1 ----I

liiii (ir — II) =

”

- _/L + 4¡ /-

lín ,(- 4 + A )

ri-K^L //*“

Si nos encontramos ante un límite de la forma lím„_.oc ív/'" con {(/„} una sucesión con términos positivos, podemos transformarlo en un límite Recordemos ijui.· ("" = .r de un producto mediante la siguiente igualdad. para r > d y iim· Ino' = f>■ 111(I. lini «,/'■· = lini e''"·'“''" = e''’"“- '»'”· *“ "’·.

( 1 .1 )

En este punto necesitamos adelantar algo que abordaremos en detalle más adelante. Hemos cambiado el límite de una exponencial por la expo­ nencial de un límite. ¿Se puede hacer esto siempre? La respuesta es sí si la operación que intercambiamos viene dada por una función continua (en este caso f { . r ) = r'’). ¿Qué funciones tienen esa característica? Todas las siguientes que el lector debe conocer: polinómicas, trigonométricas, exponenciale.s, logarítmic¿is. Ei L'MI’I.O 1.25. Calculemos lúa lii-^. ri-v:X. II Utilizando la propiedad descrita en el párrafo anterior lím lii — — Iii li'iii — = —rx. (I-+X p ii-*··*. II

E ie m p l o 1.26. Calculemos lím

*

II-+ X n "

Utilizando (L l) resulta I,·,,, _ L =

ii-*oc n"

»

^ , x (- x :) _

-x: ^ (,

30

C a p ít u l o l /

El paso al lím ite

Volvamos a los límites de la forma lím„_).oo «(/'" i-'on {«„} una sucesión a)ii términos positivos. Si en ellos sustituimos u por dc es fácil ver que las siguientes expresiones ix nos llevan a la indeterminación ±oc · 0. Es por ello que es habitual añadir a las cuatro indeterminaciones que presentamos anteriormente las tres que acabamos de ver y establecer como indeterminaciones la siguiente lista de siete expresiones. Indeterminaciones. O 3 0 -0 0 ,

±oo · o.

±00

± oc’

o” .

t±oc

ño''.

Sucesiones m onótonas Hemos estudiado sucesiones que convergen a un número y sucesiones que tienden a io c . Ahora introduciremos ciertas clases de sucesiones que tienen todos sus términos ordenados. D efinición 1.13 La sucesión {«„ } es creciente si «„ <

Vn € N.

La sucesión {«„} es decreciente si a„ > rt«+1, V?? € N. La sucesión {o,,} es estrictamente creciente (decreciente) si se verifica (If^ <

+1 (®»l ^ ^^7«+l)'

^

Una sucesión {a„ ^ se dice m onótona si es creciente o decreciente. Gráficamente, sobre \a recta real, las sucesiones crecientes colocan cada térm ino siem pre a la dert*cha del anterior y las decrecientes a la izquier-

Evidentemente, cualquier sucesión estrictamente decreciente (o crecienp,-, particular decreciente (o creciente). Un par de ejemplos nos ayuentender mejor las definiciones anteriores, Ejp vt PI O 1.27. Cualquier sucesión constante, por ejemplo { -I}, es monótona porque es creciente y decreciente. Sin embargo, no es ni estrictamente cre­ ciente ni estrictamente decreciente. Ell-MPLO 1.28. Comprobemos que la sucesión

siendo a„ = —, es es­

trictamente decreciente. Efectivamente, para n € N se tiene

= — !— < - = (i,,· II + l

n

1.2 Sucesiones

Volvanios ahora sobre algo que dejamos pendiente hace un par de pági­ nas: la relación entre acotación y convergencia. Para la clase de sucesiones monótonas los conceptcvs de acotación y con­ vergencia coinciden puesto que se verifica lo siguiente. Teorema 1.3 Si {«„} es m onótona, entonces { n „ } es convergente si y solo si {rto} es acotada. Utilizando el resultado anterior es posible demostrar el siguiente que nos permitirá calcular límites con indeterminación del tipo

E j e m p l o 1.29. Calculemos el límite lím

/I -»x y

1-1— ^ i¡-

Recordando las propiedades de las potencias se tiene \

lím I H— T ) II-+X V n~ 1

=

_ 2

lím

líu i II-‘ v

/I

- X

/

El siguiente resultado es muy útil para el cálculo de límites de cocientes de sucesiones. Criterio

líni

de

Stolz.

Sean

{%,}

y

{/>„}

sucesiones

~ / = / € 1. Entonces,

h„+ i - bn

líi»

= lím

; i- + Í 1C b „

Oij-fl — (in

= /.

ri-t-DO /> „ + ] —

siempre que se cumpla alguna dé las condiciones siguientes: ■ {/>„ } es monótona y h'ni b„ = ± o c r»->oc

■ { 6 , ,} es monótona y lím ‘

·'

'

;i- r X

= lím a„ = l). » (-» -X

tales

que

31

32

C a p ít u l o ! /

El paso al lím ite

,, 1 -)-..{ + ··· + (2 /i + 1 ) E ic m p i .o 1.30. Calculemos liin —— ----- —r;— —pr2+ 4 + · ■· + (2;í + 2) Definamos {„} — {2-t-iH--- »-(2/Í + 2 }]·. Es sencillo comprobar que { 2 + 4 H--- H(2 íí + 2 )} es una sucesión monótona que tiende a x . Por otro lado, a„+l

_

1 +--- + (2(7i + 1) + l ) - ( i + --- + (2»+ 0 ) ι i - ^ x 2 + · · · + ( 2 (n + 1) + 2 ) — (2 + · · · + ('2v + 2 ))

—b„

=

I +■·:{+··· + (2v; +:{) - 1 - 3 ------ (2/) +

1))

„ "'4 2 + 4+ · · · + (2/í + 4) - 2 - 4 ------ (2» +

2))

,, 2n + 3 lin i -------- - -

ii-t-x. 2ii + 4

1.

1 + 3 + · · · + (2n + 1) E ntonces, lun ------ ;----------- — — — = 1.

H i

2 + 4 + · · ■+ [2n + 2)

F-n la actualidad hav una levLsta especializada, Thf f i-

lumaca Quiirtcrlif, q w ac cen-

Hemos dedicado muchos esfuerzos al estudio t4e las propiedades de sucesiones convergentes o acotadas. Sin embargo, existen sucesiones acotadas (y por lo tanto no convergentes) con propiedades sorpren-

tra en el estudio de las r, · ■ ¡ — j ,■ ■ ■j j· . matemáticas relativas a esta lentes. Por ejemplo, la sucesion detmida mediante

i

i

= 1, = 1 V 2 se llama sucesión de Fibonacci en honor del ma que hemos u tiliza d o para matemático italiano que la estudió a principios del siglo X lll. Los primeros d e lin irla recilx' el nom bre de la sucesión aparecen a continuación forma retursiva.

1.1. 2 .3..'), 8 , . . .

1.3.

Series

1.3.1.

M o tiv a c ió n

Si hoy te doy un euro, mañana medio, y día has día la mitad del día anterior. ¿Cuánto dinero necesitaré para hacer frente aese pago infinito? Y qué ocurre si soy un poco más generoso y hoy te doy un euro, pasado medio, al día siguiente un tercio, al día siguiente un cuarto y así día tras día. In tro d u c c ió n

.t

Las series que nos disponemos a estudiar son los modelos matemáticos de sumas de infinitos términos. Por m uy rápido que sumemos no pode-

1.3 Series

33

mos hacer frente a sumas de infinitos términos. Pero sí sabemos sumar un conjunto finito de términos. Este hedió y haber establecido una forma de paso al límite para sucesiones en la sección anterior nos permitLi’á llegar a la simia infinita mediante un paso al limite en una sucesión de sumas finitas que sí sabemos hacer. O rie n ta c io n e s Las series de números reales están estrechamente ligadas a las sucesión de números reales. Haber asimilado los conceptos y resultados tratados en las secciones anteriores es indispensable para poder seguir esta sección de forma fluida. O b je tiv o s Al finalizar el estudio de esta parte tendrá claro el concepto de serie de números reales y de serie convergente y divergente. Además sabrá aplicar criterios que garantizan su convergencia dependiendo de sus característi­ cas. 1.3.2.

Series

A partir de una sucesión \ a „ \ podemos definir otra siguiente

de la forma Notación. La suma « i + /i? + ■ ■ · 4- r/„ se escri bc

1»

tr

•S| = fí 1,

.*«2 = íí I + f ' J ·

·■':< =

i + -l ()

1 2

(»

+ :t.

y como siempre ocurre ■ ''2)1 =

1

■'^11

H--—T ------ ^ II + I

1

1

2ii.

1 2i i

> •‘’■'í +^ -s+ó· 2

tenemos que .s-j„ > .s„ + i . Por lo tanto no es convergente ya que si lo fuese, v su límite valiese /, obtendríamos la contradicción / > / -t- ;j.

Proposicion 1.7 Sean ^

o,, y ^

H=l

l>u dos series sumables y c g M. En­

n=l

tonces son sumables

y además sus sumas verifican

+ 1>„) = 11=1

«n + n=l

k, n= 1

y

= «'■ í i= l

/i-1

1.3 Series

Series de términos no negativos Los siguientes tros resultados son relativos a series de términos no ne,'X.

gativos, esto es, series de la forma ^

a„ con u„ > (J para todo n..

7 Î - I

Criterio de comparación. Supongamos que existe r/o tal que a„ < b,¡ para todo ti > «o·

-se s i E » . . no es convergente, entonces ^ 6„ no es convergente. »1=1 n=I ■ X Si ^ b„ es convergente, entonces ^ a„ es convergente. w=.I r/=i Para utilizar el Criterio de comparación es necesario conocer series con­ vergentes y divergentes. A las presentadas hasta ahora añadimos dos muy importantes: ' 3C La serie ^ ^ «=i

es convergente y su suma es

OC

La serie ^

es convergente si y Sólo si

> l.

ii= l

Criterio del cociente. Sea «„ > O para todo m tal que lím

n-f.-x.

= L

OC

Si í € [0. i) , entonces ^ a» es convergente. n=l Xí Si í G (1, ’2c], entonces ^ «r, no es convergente. Si I? = 1, entonces el criterio no decide. Criterio de la raíz. Sea a„ > O para todo n tal que lín» n-voó Si í € [0,1), entonces ^

o» es convergente. DC

Si f € (1, oc], entonces ^ no es convergente. »1=1 Si f = 1, entonces el criterio no decide.

= t.

37

38

C a p ít u l o 1 /

El paso al lím ite

Ahora presentaremos unos ejemplos de aplicación de los tres criterios pero antes debemos volver a recordar que solamente se pueden aplicar a series de términos no negativos. Además, el primero de ellos es el más ge­ neral (en realidad los otros dos se deducen de él), pero no resulta cómodo de utilizar. La elección del Criterio de la raíz o del cociente para estudiar una serie vendrá dada por la forma de la serie pero es bueno saber que; Si el Criterio del cociente decide, entonces el de la raíz también.

X

Aestudiar.si uno seriee.sconvergente o divergente se le llama estudiar el carácter de la serie.

E JE M P LO 1.36. Estudiemos el carácter de la serie ^ __ ii= l ^

/ 1\

Sabemos que ^

í - j

1

·)

(;os~

n

·>«

es convergente por tratarse de una serie geo-

11=1

métrica de razón en valor absoluto menor que 1. Además para ;/ > 1 se tiene c(.)s· n ^ Olí

1

— 2"

El Criterio de comparación garantiza que ^

V.OS" 11

c^onverge

-3C E j e m p l o 1.37. Estudiemos si la serie ^

— es convergente.

M=1

Aplicaremos el Criterio del cociente. II + 1

lin i

n->oc

_

— =

1 /í f I 1 Im i —- — = r <

r#^oc

,)

·■

3"

Por lo tanto ^

— es convergente.

».= 1 ■X .

Eje m p l o 1.38. Estudiemos el carácter de la serie ^

^

- l) " .

(1 = 1

Utilizaremos el Criterio de la raíz. lím

; '/ ( ; / ¡ 7 - 1)" = y

lím

/i-»x

1 = 1 - 1 = II < 1.

1.3 Series

Por lo tanK)

^

- 1)'* es convergente.'.

.1=1

Si los términos a,, de una serie son todos no positivos podemos· nc X estudiar su carácter mediante ^ a„ = - ^ Ioó I· ya que la serie »1= 1 n- 1 en el segundo miembro de la igualdad tiene todos sus términos no negativos.

Series de términos sin signo constante Si los términos de una serie cambian de signo al calcular la sucesión de sumas parciales en ocasiones añadiremos una cantidad positiva y en otras restaremos una cantidad positiva. Este hecho debería hacernos intuir que la convergencia de este tipo de series debe ser más sencilla que para las de términos de signo constante que solamente añaden o restan. Aclaremos en qué sentido esto es así.

Definición 1.16 La serie ^ es convergente.

a,, es absolutam ente convergente si ^

la„|

11= 1

El siguiente resultado establece la relación entre convergencia absoluta y convergencia para una serie. :=c Proposicion 1. 8 Si ^ n=l convergente y

es absolutamente con\ergente, entonces es ÓC fi-l

< ^ if%i. n=l

E ie m p lo 1.39. E stu d ie m o s la co nve rge ncia y la conve rg e n cia ab so luta de

X

(1=1

eos II II

39

40

C a p ít u l o 1 /

El paso al lím ite

Com o la función coseno toma valores positivos y negativos no podemos aplicar los criterios anteriores al no tratarse de una serie de términos posi­ tivos. I

La serie es a b s o lu ta m e n te c o n ve rg e n te p o rq u e

-

VV ' 11·^

II-

·

n= l

t>s ri-

una serie convergente. Además, debido a la propiedad 1.8 la convergencia absoluta implica la convergencia de la serie. Terminamos esta parte del texto dedicada a series de números reales estudiando un caso particular de series con término general sin signo cons­ tante. D efinición 1.17 Una serie es alternada si sus términos son alternativa­ mente positivos (o nulos) y negativos (o nulos).

E iu m p l o 1.40. La serie ^ ( - 1)" t's a lte rn ad a. 11=1

Para las series a ltern ad as la c o n d ic ió n necesaria de con \'erg en cia se co n­ v ie rte ta m b ié n en s u fic ie n te si a ñ a d im o s u n a h ip ó te s is adecuada.

Criterio de Leibniz. Sea

una serie alternada tal que la sucesión n=i

{

I} es decreciente.

Entonces la serie es convergente si y sólo si lím

= 0.

Ej e m p l o 1.41. Estudiemos la convergencia y la convergencia absoluta de

I (1 = 1

(-1)” II.

Tomando valores absolutos se tiene

( - 1)"

sabemos que la serie no es convergente obtenemos que no es absolutamente convergente. Por otro lado, la serie es alternada y la sucesión | decreciente. Además, líiii„_>; resulta que

|

( - 1)

|

{-} es

= (1. Utilizando el criterio de Leibniz

es convergente.

1.4 Lím ites y continuidad

1.4.

Límites y continuidad

1.4.1.

M o tiv a c ió n

41

Introducción Las sucesiones, que ya liemos estudiado, son útiles para modelar fenó­ menos que ocurren en tiempos discretos, por ejemplo, la evolución de la población de una especie de año en año. Pero hay otros fenómenos que ocurren en tiempos continuos y de los que necesitamos conocer el compor­ tamiento en instantes determinados. Por este motivo, generalizaremos en esta sección el concepto de sucesión al de función. El hecho de que las funciones estén definidas en R , y no únicamente en N, nos permitirá considerar límites en puntos, empleando ideas similares a las utilizadas para definir el concepto de sucesión convergente. A par­ tir de ahí llegaremos a la continuidad que es una de las propiedades más deseables para los fenómenos que ocurren en tiempos continuos.

O rientaciones Nuevamente, este tema debería ser de repaso. El lector debería tener cierta experiencia en el manejo de funciones y sin duda conocer algunas de las propiedades más importantes y la representación gráfica de algunas funciones elementales como; trigonométricas y sus inversas (cos.r, seii.r. C onvenio. Hn esto texto el (g.r, ¡irci-os.v, etc.), potenciales ( ;r " ) , exponenciales (2 '', c^’, M en d o n d e r e c ib e el nombre de d o m in io de / slon;”, por ejemplo, “f(x).= y /(^^) {/(■'■) '· -r ^ el de imagen de / . En este texto, tal y como es ha­ sqrt(abs(x+1)):”. Si quere­ bitual en la literatura, cuando no se especifique el dom inio de una función mos conocer el valor de se entenderá que consideramos el mayor conjunto en el que puede estar / ( - 5 ) escribimos

definida. Si la imagen de una función es un conjunto acotado se dice que la fun­ ción es acotada. La gráfica de un función es una representación en el plano .rtj de los puntos de la forma (.r,/(.c)). Debemos notar que los valores de / no son esos puntos (.r, /(.r)) 6 K" sino las proyecciones de ellos sobre el eje i/. Límite en un punto La siguiente definición de límite de una fimción en un punto le recor­ dará a la que ya vimos para sucesiones convergentes. G ráficam enle, la existoncii) D efinición 1.18 La función / : —í R tiene lím ite / en n (escribiremos de lím ite en un p un to ii lím f,(:v) = l) si para todo e > O existe un â > O tal que ,r e D y O demos encontrar un intervah' No hemos impuesto ninguna condición sobre el punto o en la definición (« — (5. (I + (i) tal que la g ráfi­ anterior. Sin embargo, para que tenga sentido es nece.sario suponer que ca de la función restringi­ cualquier conjunto de la forma ( O existe un (5 > O tal que x e ü y S < x garantiza que

-/! R tiende a T€ R cuando a* tiende a -oc (escribiremos b'm f { x ) = i:)si lím f { ~ x ) = í . X~»CK>

E j e m p l o 1.47· C a lc u le m o s líiu f ( . r ) y X·/

^

-

·'■ +

'

lím

/ ( , r ) para la fu n c ió n dada p o r

1.4 Lím ites y continuidad

47

Dividiendo por el m onom io de mayor grado resulta

1

1

y de forma análoga I --------- 1— Ò

lím

—

=í- - í:i = I + Maxima utiliza “und" (no definido) e "ind" (no definido pero no acotado) para informar del comportamiento que detecta. En el primer caso no es capaz de cafcular el límite, en el segundo el límite no existe y la función no es acotada. Eje­ cute "limit(exp(x).x.inf);". “Iimit(s¡n(x).x,inf):" y “limit(x»sin(x),x.¡nf):" para comprobar qué ocurre.

Asíntotas Las representaciones gráficas que hemi>s manejado hasta ahora dejan claro que el comportamiento de una función puede ser verdaderamente complicado. Es por ello, que siempre es una buena noticia conocer exis­ tencia de una recta a la que se acerca tanto como queramos la gráfica de la función. Dichas rectas reciben el nombre de asíntotas de la función. Por supuesto, no todas las funciones tienen asíntotas pero sin quererlo, o tal vez queriéndolo, ya hemos estudiado algunas que sí las tienen. .'Xsí, cualquier función que verifique lím /(.»·) = l> tendrá como asíntota horizontal a la recta // = b. De forma similar, cualquier función que veri­ fique

lím /(,)·) = I) tendrá como asíntota horizontal a la recta ij = b (vea

la representación gráfica del Ejemplo 1.47). Pero todavía más, si /(.r ) posee una asíntota horizontal debe ocurrir que al menos uno de los límites en el infinito existe.

48

C a p ít u l o 1 /

El paso al lím ite

En resumen, la recta

= b es una asíntota horizontal si y sólo si

lím f { . r ) - b = [) ,r-»-x

v /o '

lím / ( .) · ) - ^'= · .r->3C

Por otro lado, una condición necesaria y suficiente para que .v - a sea una asíntota vertical para /{,;·) es que lím /(.r) = ± x

y /o

r >11

'

Tanto la función f ( j · ) - j como f [ . v) =

lím /(.r) = ± x . tienen a .r = O como asíntota

vertical (vea las gráficas de los Ejemplos 1.45 y 1.46), Así pues las asíntotas verticales y horizontales de una función son rectas (verticales u horizontales) a las que se acerca la fimción tanto como quera­ mos. I’ero en el plano, donde se representa la gráfica de / ; /J E no sólo existen rectas horizontales y verticales, también las hay oblicuas. Necesariamente, si una / tiene una asíntota oblicua verificará lím /■(.(·) = ± x ,r *X *

v /o '

-X

lím /(.r) = ±>:.

Pero esto no es suficiente, ya que por ejemplo / {.r) = tas y verifica lím f ( . r ) =

lím

no tiene asínto­

/(./·) = oc.

La recta y/ = ni.r + h con vi ^ O es una asíntcita oblicua si y sólo si lím /(.(·) - (iiu- + b) - O

y /o

lím /(.r) - {m.t· + b)= 0 .

Pero fijémonos que para poder calcularla caracterización anterior nece­ sitamos conocer in para tratar de calcular b. El siguiente resultado nos indi­ ca cómo calcular m. Proposicion 1.12 Si / tiene como asíntota oblicua a la recta y — lu.r + ft con in

O, entonces lím --- = w o

lítn

f U ')

----^ = tn.

üncontr.jejemploi.mt'mues. . . . . , > , . , j · . ira 'x

lím

= I.

.r-fX ;

,(··’

+

J‘

Ahora comprobamos si para este valor de ni. = 1 el límite lím /(.c) —iti.r X-V-Jt es finito. „3

lím

I-VOC

;/·- 4- I

— X = lím

= X- +

x~-x-\-[

lim -- ^-;— = 1. j— X 4· 1

.(··■ ’ -)- -f 1 Por lo tanto, lím ---;;---;----- (.r + 1) = () v en consecuencia la recta X - -1 -1

y = x + 1 es una asíntota oblicua para la función.

El estudio de la existencia de asíntota oblicua al acercarnos a x es similar al que acabamos de realizar y arroja como resultado que también en ese caso ;/ = x -I- 1 es una asíntota oblicua. Se recomienda al lector que confirme este hecho.

:I -

.'/ = -i' + y

2 -

n -r) =

✓

1

'

✓ i

1 2 -2

1

49

50

C a p ít u l o ! /

El paso al lím ite

Utilizando técnicas similares a las empleadas en límites de sucesiones es posible calcular muchos límites de funciones. Sin embargo, en el próximo capítulo presentaremos una herramienta que en muchas ocasiones sim pli­ fica los cálculos. Se trata de la Regla de L'Hôpital. 1.4.3.

F u n cio n e s c o n tin u a s

C on tinu idad en un punto Utilizando el concepto de límite damos nombre a las funciones para las que existe límite en un punto, están definidas en dicho punto y el valor del límite V liT función coinciden. D efinición 1.20 Una función / : Z) C M K es continua en o € lím f { x ) = /(« ). En caso contrario, se dice que es discontinua en a.

si

De la Proposición 1.11 y la Definición 1.20 se deduce inmediatamente el siguiente resultado. Proposicion 1.13 Si / y // son continuas en a, entonces í +

(¡y

f

ü son

continuas en o. Adem ás si (/(«) ^ í), entonces ^ es continua en n. Si hemos definido en Maxima dos funciones/(.(■) y 3.

0.1

Entonces hay que determinar I puntos medios. Primero dividim os el intervalo (O, 1) por su punto medio, que es f| = = 0..5. El valor de / es /(O,-)) = ,

- 0..5 % 0,107 > O

y como /( 1) < O, continuamos con el intervalo (0.5,1 ). Su punto medio es r._> = = 0.7·'^. En este punto, /(0,75) ss -0.278 < O yelnuevo intervalo es (()..'■). 0.75). Su punto medio es /(0.()25)

= 0.025 y allí - 0 .8 Í)8 X 10 '

que es negativo, por lo que continuamos con el intervalo (0.5,0,(>25). El punto medio de este intervalo es r.i = 0.50.3 (hemos redondeado y, por eso, es un valor aproximado).

1.5 Sucesiones y series de funciones

55

En la siguiente tobUi están los resultados parciales de los valores de los extrenios del intervalo considerado en cada paso {n. h) , el \-alor de ./' en Maxima dispone de un coestos extremos, el punto medio del intervalo r y su valor por /. Paso

b

f{t>)

Punto medio r

-o.í;:v2

(1 I ü ) / 2 = 0.5

0,107

- o .(í:?2

I + 0 . 5 ) / 2 = 0.75

0.75

O.IOl

-0 .2 7 S

0.()2r)

0.107

-0 .0 8 9 8

o .r>

0.5

/{«)

(0,5 + 0 ,7 5 )/2 = 0.(i25 (0.5 + 0.(:>25)/2 Sí 0.ól:!3

1.5. Sucesiones y series de funciones 1.5.1.

M o tiv a c ió n

Introducción Hemos definido sucesiones y funciones de números reales. .Ahora nos planteamos definir sucesiones de funciones. A l igual que se define el n ú ­ mero f’ mediante el límite de una sucesión hay ocasiones en las que es fun­ damental definir una fimción mediante el límite de otras funciones. Por ejemplo, cuando Fourier, coetáneo de Napoleón, resolvió el problema de la distribución del calor en una barra metálica utilizó sucesiones y series funcionales.

O rientaciones Si ha adquirido los conceptos tratados hasta el momento lo que vamos a presentar a continuación no debería resultarle complicado. Si no es asi, repaso los temas sobre sucesiones y series de números reales porque es muy probable que una nueva lectura le ayude a avanzar con paso más firme aquí.

O bjetivos Tras el estudio de este capítulo conocerá los conceptos de sucesión y serie funcional. Además entenderá las diferencias y relación entie la con­ vergencia puntual y la uniforme.

mando que realiza el método de bisección que acabamos de presentar, si queremos encontrar un cero de la función /(.!·) en el inter­ valo escribimos "find. root(f(x),x,a,b);"

56

C a p ít u l o 1 /

El paso al lím ite

1.5.2.

S ucesio nes de fu n c io n e s

Convergencia puntual C uando nos encontramos ante una sucesión cuyos términos son fun­ ciones de la variable real x denom inam os a estas sucesiones, sucesiones de funciones o sucesiones funcionales; es grande la importancia y muchas las aplicaciones de las sucesiones de funciones. Citaremos sólo una, que con­ siste en construir nuevas funciones y expresar funciones mediante el paso al límite en estas sucesiones de funciones. Una importante diferencia C(Mi las sucesiones de números reales, que estudiamos en el primer capítulo, es que en estas sucesiones definiremos dos clases de convergencia. L.a convergencia puntual y la convergencia uniforme. Las condiciones para la convergencia uniforme son más exigentes que las de la puntual, por lo que la convergencia uniforme es más fuerte que la puntual, lo que implicará, entre otras cosas, que transmite más propiedades de las funciones términos (continuidad, derivabilidad, etc.) a la función límite. D efinición 1.22 Se llama sucesión de funciones definida en I ) C M una aplicación que asigna a cada n € N una función

:D C R

K.

Las funciones J'\, f>, . . . , /„ se denom inan términos de la sucesión. En caso de poder definir todos los términos de una sucesión mediante una fórmula, por ejemplo

/,,(.(')

=

x

1i i ( / í 4- I ),

dicha fórmula recibe el nombre

de término general. A lo largo de este este capítulo en lugar de referirnos a la sucesión fun­ cional (/„ I donde cada f „ asigna a cada x e I ) el valor f „ ( x ) , escribiremos por brevedad la sucesión funcional { f n ( x ) } , x € O. El lector debe notar que estamos realizando un abuso de notación puesto que ./„(./') es un número para cada x y no una función. Fíjese en que todos los términos de la sucesión funcional son fun­ ciones reales con el m ismo dom inio D . ____________________

E jt V lP L O 1.50. La sucesión de funciones ]/„(.»)} = ^ para x e E, tiene como elementos las funciones constantes dadas por f i ( x) = l, f 2 ( x] = 1/ 2,

···,/»(·'·) = l//? p a r a .r € IR.

mm

1.5 Sucesiones y series de funciones

Ejemim o 1.51. La sucesión de fu n c io n e s {stM i(/í.rJ} para como elem entos las fu n cio n e s dadas p o r f„ (x ) = sfii(//./·) para

.r

fi(.r)

=

€ [0 . Ij.

seii.r,

.r

f-jU r)

G [n. I], tie ne -

scu2r,

iH i

Al igual que ocurría con las sucesiones de números reales nos vamos a plantear cómo averiguar el comportamiento de una sucesión fimcional cuando » tiende a infinito. Definición 1.23 Se dice que la sucesión funcional {/„} converge p u n ­ tualmente en D a la función / que se denom ina función lím ite, si para todo X € P las sucesiones numéricas { / „ ( x ) } convergen a /(.r). Por lo tanto {/„} converge puntualm ente en

a / si para todo .r 6 D

se verifica líU) / , , { . r ) = /(.;(■).

fl

Una primera cuestitin que se nos plantea es la conservación de la con­ tinuidad al pasar al límite. Es decir, si t(.)das las funciones ,{]. f >___ _/ „ ___ que conforman la sucesión son continuas y la sucesión funcional {/„ [ con­ verge puntualmente, entonces ¿su límite / será también continua? Veamos algún ejemplo de sucesiones funcionales con convergencia pu n ­ tual. E j e m i ’LO 1.52. Consideremos la sucesión funcional {/,,(■>')} con .r E [d. 1]

dada por /„(.r) = .r" para ii. E N. Para que la sucesión tenga límite puntual debe existir líni„_v-v /»(·' ) = líiii„ para todo ./· Ç [O. 1]. Claramente, si .r = ll, el límite anterior existe y es II porque lím„_. x /»((I) = lím„_>>^ (I = 0; si .r = 1, el límite existe yes 1 porque líiii„_> ^/„( 1) = líiii,,... I 1. Por otro lado, si O < .r < 1 sabemos que líin,,-,.,^ ·>'" = >·. Por lo tanto, la sucesión funcional ct>n\erge puntualmente y su límite es

: = r '· Fijémonos en que las funciones j \ . f->....... f „ ____son continuas, sin em­ bargo, la función límite / no lo es. La siguiente figura muestra la gráfica de algunos elementos de la sucesión y de su límite puntual.

57

58

C a p ít u l o 1 /

El paso al lím ite

X

El Ejemplo 1.52 contesta a la cuestión planteada en la página anterior, resultando lo siguiente. La convergencia puntual no conserva necesariamente la con­ tinuidad. En el próximo apartado introduciremos una nueva definición de con­ vergencia, más exigente que la puntual, y que si conserva la continuidad tras el paso al límite. Convergencia uniform e Expondremos a continuación la definición de convergencia uniforme. D efinición 1.24 Se dice que \J'„} converge uniform em ente en D a la función / si - /(30I) = 'í·

Teniendo en cuenta que \ f „{■>') - f ( . r ) \ < .SU]) {!/„(.(·) - /(J· .re />

1.5 Sucesiones y series de funciones

es sencillo comprobar la sigiiiente relación entre los dos conceptos de convei^encia que hemos presentado para sucesiones funcionales. Teorema 1,5 Si {/„} converge uniformemente a / en D , entonces tam­ bién lo hace puntualmente. En los próximos ejemplos veremos que el recíproco del Teorema 1.5 no es cierto, es decir, la convergencia puntual no implica la uniforme. Por otro lado, el Teorema 1.5 nos ayuda a establecer cómo estudiar la convergen­ cia uniforme: estudiamos la convergencia puntual, si no existe, tampoco tendremos convergencia uniforme; .si existe, utilizamos la función limite obtenida para estudiar la convergencia uniforme. sen X

Ejem plo 1.53. Sea /„(./·) = ^ E s t u d i e m o s la convergencia puntual y

uniforme de {/„(.r )} en K.

II-

Abordamos primero la convergencia puntual. Claramente, si

= O,

fu (0) = O para todo n. Luego líni„_v,^ /»(O) = 0.

Por otro lado, si fijamos cualquier .r ^ O, resulta líiii /„(.r) = lím

«-»■.•x

s<

«>ii> {]/„(.»·)-/(.r)|} < -ij.

Y aplicando la Propiedad del emparedado obtenemos que lím

sup

{!/„(; ·« « ·

Todas ellas son continuas y convergen puntualmente a f ( x ) - O para todo X G R. Por otro lado, observandt) la expresión de las funciones 7„ tenemos que 1

Luego «iip|/ft(·'') - /(·'■)! > /„ I .•(•eR y la sucesión no converge uniformemente. En la siguiente figura aparecen las gráficas de los primeros elementos de la sucesión y podemos observar que siempre toman el valor O.'i y —1I..5.

61

62

C a p ít u l o ! / El paso al límite

ík* puede dnr una interpretiición gráfica a la convergencia uniforme. C uando nos encontramos ante una convergencia uniforme y dibujamos las gráficas de f + í y / — r con £ > O, éstas definen ima banda centrada en la gráfica de la función límite /. Llamando l {/) la colección de todas las funciones cuyas gráficas están contenidas en esta banda, la convergencia uniforme de /„ —> / se puede establecer diciendo que para cada r > O, existe un ii[, tal e]ue para todo n > 7/() todas las /„ están incluidas en f (/). Con otras palabras, construida la banda / + f y / - e, a partir de un valor no, todos los términos de la sucesión a partir de //u, {/„ deben estar contenidos en la mencionada banda si la con\’ergencia es uniforme. 1.5.3.

Series de fu n c io n e s

De la misma forma que definimos las series de números reales a partir de las sucesiones de números reales, ahora introduciremos las series fun­ cionales. A partir de una sucesión funcional {/„} en D podemos definir otra { F „ } con el mismo dom inio de la forma siguiente ti

ñ

= fi-

/ w - Z i + yb,

i'A ^ fi+ i2 + h,

.■· (=1

La sucesión funcional { F „ } se llama sucesión funcional de sumas par­ ciales de {/„ j y para cada n suma los términos de {/„} desde el primero hasta el /j-ésimo.

1.5 Sucesiones y series de funciones

63

Definición 1.25 El par ({/„}. {F„}) en donde {/„} es una sucesión funtíondl en £) y {F,,} es su sucesión funcional de sumas parciales es una serie funcional. Los términos de la serie funcional son los términos de

Como ya ocurrió en el tema dedicado a las series de números, pese a la definición anterior, no utilizaremos la notación ( { / „ } .{ / ’„} ) para referirnos a las series funcionales sino que emplearemos la más tradicional e intuitiva 30

06

/,. en /; o ' Y

x 6 D.

11=1

n = l

Definición 1.26 Se dice que la serie h d - r ) converge puntualm ente en i) c E a una función F que se llama función suma y se escribe _£ÍT=i /n = ^ cuando la sucesión {F„(.t)} converge puntualm ente a F en D. Lo que quiere decir que para cada x € D la .serie numérica convergea /-'(.r). Al igual que hicimos en la sección dedicada a series establecemos la convergencia absoluta y su relación con la convergencia puntual. Definición 1.27 La serie de funciones 5 1 ^ , f n donde /„ : D C IR R es absolutamente convergente en D si |/nl es convergente para todo X € D.

El siguiente resultado es consecuencia inmediata de que, como sabe­ mos, la convergencia absoluta garantice la convergencia para series de n ú­ meros reales. Teorema 1.7 Si

es absolutamente convergente en D, éntonces

es puntualmente convergente en D . Por último, definiremos la convergencia uniforme. Definición 1.28 Se dice que la serie de funciones

converge

uniformemente en D hacia una fimción F si su sucesión de sumas par­ ciales converge uniformemente en D hacia F . A la vista de estas definiciones y las propiedades que estudiamos para sucesiones funcionales tenemos que si la serie una funciones converge uni­ formemente en f ) C IR también converge puntualm ente en P .

Recuerde quo si k-nomus d ü lin id .is funciones / „ p iir.i fl > ;> e S podemos d e fin ir f f ’nia s im iln r a com o definim os 53.?= i />'· ,‘\s í, por ejem plo, podrem os hablar de enios definida la tunciiSn f,,.

64

C a p ít u l o 1 /

El paso al lím ite

Si J n converge uniformemente a la función F en D i;C M y las fun­ ciones f n son continuas en u € S, entonces F también es continua en el punto n. Veamos a continuación el criterio de VVeiersti'ass i|ue establece una con­ dición suficiente para la convergencia absoluta y uniforme de una serie funcional. Criterio de la mayorante (VVeierstrass). Sean {/„} es una sucesión de funciones definidas en D c E y { M „ \ una sucesión de números tales c]ue | / . W I « A/n

v e ñ ,x € D .

Si ^ ^ = 1 jV/u converge, entonces la serie de funciones 5 1 ^ i /n converge absoluta y uniformemente en D . A continuación veremos un ejemplo sencillo en el c|ue estudiaremos la convergencia de ima serie funcional. E i e m p l o 1.56. Dada la sucesión de funciones {/„ |· siendo

/»(·'') = — :77^

(;i = 0 .

nos proponemos: 1. Estudiar la naturaleza de las series numéricas y en caso de ser convergentes obtener su suma.

f „ (D),

f „ { 1)

2. Estudiar la convergencia puntual en [(). 1] de la serie de funciones fu

como la convergencia uniforme.

3. Estudiar la convergencia uniforme en i2 · Resolveremos el ejemplo apartado por apartado. 1. Sin más que sustituir resulta

e / »( “) (1=1)

luego la serie numérica

= e

V

ff.=ll

= 5 : t =")J—t)

./'„(.II) es convergente y su suma es t).

1.5 Sucesiones y series de funciones De forma simiUir X

X

K=t)

,

,

H=Ü

luego la serie numérica

f „ ( 1)

«' convergente y su suma es f.

2. Comencemos con la convergencia puntual. En el apartado anterior ya hemos estudiado el comportamiento para x = O y x = 1. Si .r G (0 . 1 ) resulta una serie geométrica de razón ^ < i y por tanto

«=() Luego la serie con\'erge puntualm ente en el conjunto [(). 1] a la fun­ ción , ,

í 0.

.r = {).

Como todas y cada una de las funciones /„(.r) = son continuas en [0 . I| y la función (/, a la que convergen puntualmente, no lo es, tenemos que la convergencia no puede ser uniforme. 3. Utilizaremos el criterio de Weiestrass. La monotom'a / dej Vlaíi función exponencial hace que en el intervalo [5 . l] se verifique f c5 j < )", luego ^7:7717 < . ( '· )

lo que implica

í' '

Ahora bien, la serie de término general es convergente por ser una serie geométrica de razón en valor absoluto menor que 1, y apli­ cando el criterio de Weiestrass tenemos que la serie formemente convergente en 5 . i -

65

66

C a p ít u l o ! /

El paso al lím ite

Series de potencias Dedicaremos este apartado a estudiar un tipo concreto de series funciimaies, llamadas series de potencias, en las que la sucesión funcional que define a la serie es /,,(.r) = - .ro)'' para cierto ru fijo y G E para todo

II.

D efinición 1.29 A una serie de la forma «« -f- a t (.i· - J'n) + a-j ( x - ,ro f

+ ■·-= ^

«« ,(.i: - .to )"

fi=0 se la denomina serie de potencias con centro .co (o centrada en xo); a los que son valores constantes, se les denom ina coeficientes de la serie. Una serie de potencias J2^r-\i"n ~ •‘‘n)" queda definida cuando se conocen n„ y .co. El cambio de variable i/ = x — xa transforma una serie centrada en ./(i en otra centrada en O con los mismos coeficientes

, 1=0

Por este motivo, estudiaremos en este apartado las series centradas en O. Proposición de convergencia. Si

u„j!" es convergente para el valor

.i'p € K y k es un núm ero real que satisface O < A· < entonces la serie es absolutamente y uniformemente convergente en el intervalo [—k, l·]. Basándonos en esta proposición, las series de potencias centradas en ll se pueden clasificar en: Tipo 1. Series de potencias que convergen sólo para el valor O de x. No es de aplicación la proposición anterior. Tipo 2. Series de potencias que convergen en intervalos del tipo con e (0 . x ), y no convergen para valores de X tales que |.r| >

Estas series son absoluta y uniformemente

convergentes en cualquier intervalo f—A·. A·] con A’ < ~t pero la con­ vergencia en los puntos o ·■., si tiene lugar, puede ser absoluta o no.

1.5 Sucesiones y series de funciones

67

Tipo 3 Series de potencias que convergen para hxio valor real de x; son absolutamente convergentes en todo punto de E y uniformemente convergentes en cualquier intervalo de K. Las series del tipo I se llaman series de potencias con radio de conver­ gencia nulo. Las series del tipo 2 tienen radio de convergencia 7 G (0. oc ). Las series del tipo 3 tienen radio de convergencia infinito. Al intervalo for­ mado por los puntos en los que una serie de potencias es puntualmente convergente lo llamaremos intervaki de convergencia. -X Ej e m p i o 1.57. La serie ^

fil.r" co n ve rg e ú n ic a m e n te en .r = 0.

ri —O Efectivamente, si ./·

O tenemos lím

ri

rii.r" —

x

luego el término general no tiende a cero. Es del tipo 1.

Kecordemos (.)ue una condi­ ción necesaria para la convcrf;e n c in d e u n a s e rie e ra q iie sii .r " para cada valor de .r da lugar a una sene [.^rmino general convergiese

ad. geométrica de razón ig u a l a .r.

Si j.í’| < 1, la serie convergente y su suma es si |.rl > 1 resulta una serie cuyo término general no tiende a cero, es una serie del tipo 2 con radio de con\'ergencia igual a 1, el inter\'alo de convergencia es (—1.1 ) ya que en el punto - 1 es una serie oscilante y en el 1 es divergente.

x"

Ej e m p i .o 1.59. Estudiemos de que tipo es la serie ^ — . (1=0

Aplicando el criterio de la raíz al valor absoluto del término general Recuerdo que los criterios obser\ amos que para cualquier x fijo « ’ ^-lente y la raíz se a p li­ can a series numéricas de térm inos positivos.

lí„, { ¡¡ - L - = 1,'„, I

I

V

II·'*

= 0.

« - ‘ ■X' II

Por lo tanto, la serie es absolutamente convergente para cualquier valor, luego es una serie del tipo 3 que es absolutamente convergente en todo punto de R y uniformemente convergente en cualquier intervalo cerrado y acotado de R.

68

C a t ÍT U L O I /

El paso al lím ite

E i k m p i O 1.60. Veamos que la serie ^

-— -— x" es convergente en el inter-

n --()

vaio (-J . 1]Primero demostraremos que el radio de convergencia es 1, es decir, que la serie es absolutamente convergente para l./:| < 1 y divergente para |.r| > 1. Construimos la serie E,T=ii criterio del cociente, hacemos b„ =

= En=(t « l-'i” >' aplicamos el |.íi" y tenemos

II -l· 1 1^:1"

I>„

II -l· I

Tomando límites en la igualdad iinterior resulta liiii

"

I

I

I I

— = Imi --- r I·'’! ~ I·'’! · II

» x ; II +

I

Luego por ol criterio del cociente esta serie converge para |,r| < 1 y diverge para |.r| > I. De ello se deduce que la serie original t's absolutamente convergente para |;r| < 1 y divergente para [¿r] > I. En otras palabras: el radio de convergencia es 1. Veamos ahora qué ocurre en k>s extremos del intervalo .r = —1 y ,r = I. En ./· = - I, sin más que sustituir resulta

(it=0

(1=11

que es la serie armónica, que, como sabemos, diverge. En

= I, sin más que sustituir obtenemos

, que es una serie

alternada convergente por el criterio de Leibniz. Luego la serie

absolutamente convergente para |j-| <

1, divergente en -1 y convergente en L El intervalo de convergencia es

Antes de pasar a enunciar criterios que serán de gran utilidad para el cálculo del radio de convergencia de series de potencias, conviene que el lector recuerde que las series de potencias son un caso particu­ lar de series de funciones y como (i„.r'' son funciones continuas en E, resul­ ta que la función suma de una serie de potencias es continua en el ijiterior del interx alo de convergencia puesto que allí la convergencia es uniforme.

1.5 Sucesiones y series de funciones

Los siguiente criterios nos ayudan a calcular el radio de convergencia estudiando el comportamiento de los coeficientes de la serie de potencias. Criterio de la raíz. Dada Ja serie de potencias «i»·'·'· = S: Si .V€ (U. rx>), entonces el radio de convergencia de la serie es ¿i S = O, entonces el radio de convergencia es infinito; Si .1' = - X , entonces el radio de convergencia es cero. Eje m p lo i .61. O b te ng am o s el ra d io de co nve rge ncia d e la serie de p o te n ­ cias: 11=11

I 1

Puesto que

lím

lím

[/

I 3«+i

I· I = l'i» .i

1 ,5

aplicando el Criterio de la raíz el radio de convergencia os ' =

t

[i

=

v

el intervalo de convergencia (¡verifíquelo!) será el conjunto de puntos tales que jr| <

í b

Criterio del cociente. Dada la serie Si S ^ O y S

«rtX" sea líni„_>oc

H-

= S:

entonces el radio de convergencia de la serie es

Si 5 = 0, entonces el radio de convergencia es .x. Si 5 = 3c, entonces el radio de convergencia es cero. Eje m p l o 1.62. Obtengamos el radio de convergencia de la serio de poten­

cias:

( i - tl

Puesto que "»+1

lim ------- = a„

(1—

,

lim ---------- = 1. >1 II

aplicando el Criterio dol cociente el radio de convergencia es 7 = 1 y el intervalo de convergencia (¡verifíquelo!) .será el conjunto de puntos tales que |.r - 2 |< 1.

mm

69

70

C a p ít u l o l /

El paso al lím ite

La elección del Criterio de convergencia más adecuado depende de la naturaleza de los coeficientes de la serie en estudio.

Ejercicios de Autoevaluación Determínese si las siguientes afirmaciones son verdaderas: 1. El centro y el radio del intervalo (- L.'tj son 1 y 2 respectivamente. 2. Todo subconjunto acotado .4 de números reales verifica sui>.4 € . L 3. Una sucesión de números reales puedo ser a la vez no convergente y acotada. 4. Si I

1 converge, entonces también converge {((,, 'X·

5. Sabiendo que a,,

O y ^ (i„ es convergente, se veriiica H=l li'iii (1 + ll,,)"" = c. tt - V X .

6 . La serie ^ ( - 1 ) " »=1

7. Si f

V

es convergente por el Criterio de Leibniz. /

(I son funciones continuas en a, entonces es continua - en a. y

• ■

8 . Sea / continua on el intervalo cerrado y acolado /. El método de la

bisección puede aplicarse a la ecuación f (. v) = 0 en / siempre que exista un c G 7 tal que f { r ) = i). 9. La convergencia uniformemente garantiza la convergencia puntual. 10. Sea

a „ ( . r S i

lím —

»1 = 0

d a de la serie de potencias es

= :5, entonces el radio de convergen-

2 F u n c io n e s

d e r iv a b l e s

El contacto roal¡/¿ido en el capítulo anterior con el proceso de paso al límite nos deja en situación de poder introducir el importantísimo concepto de derivada, y con él, el de función derivable. Com o veremos, si una fun­ ción es derivable en un punto su gráfica puecie ser aproximada localmente por una recta (la recta tangente). Si posee deriv ada en todos los puntos de un intervalo su gráfica no tendrá aristas en ese intervalo, será suave. Co­ mo consecuencia las funciones derivables poseen interesantes propiedades que nos ayudarán a calcular límites, aproximar soluciones de ecuaciones o caracterizar las funciones constantes. El siguiente esquema le indica las relaciones entre los principales con­ ceptos que trataremos.

71

72

C a p ít u l o 2 /

Funciones derivables

2.1.

Derivada de una función

2.1.1.

M otivación

In tro d ucción El cálculo diferencial, del que la derivada es el ingrediente principal, ha hecho y hace avanzar la ciencia y la tecnología desde su nacimiento en tiempos de Newton. La derivada es un límite con una interpretación física y geométrica clara que aparecerá en muchísimos modelos matemáticos de fenómenos reales durante la formación y labor profesional de un ingeniero. Serán muy pocas, si es que hay alguna, las áreas de conocimiento que no recurran a la versátil herramienta presentada en esta sección.

O rie n ta cio n es La mayoría de lo tratado en este tema debería resultarle familiar. Para poder seguir los ejemplos y realizar ejercicios adicionales es imprescindible conocer las derivadas de las funciones elementales y tener destreza cal­ culando derivadas. A quí daremos una tabla con algunas derivadas y las reglas fundamentales de derivación, pero la única forma de derivar con garantías es que realice muchas.

O b je tiv o s Tras el estudio de esta parte del texto, entenderá el significado físico y geométrico de la derivada. Además, conocerá algunas de las propiedades más importantes de las funciones derivables tanto en un punto como en todo un intervalo.

2.1.2.

D eriv ad a en un p u n to

Supongamos que /(j·) indica para cada instante x la posición de una hormiga que .se mueve en la recta real. La cantidad

b -„

coincide con la velocidad media entre los instantes x = a y x = !k Pero nuestra ht>rmiga es muy ciuiosa y no sólo le gusta conocer la velocidad

2.1 D erivada de una función

73

media entre dos instantes cualesc]uiera sino cjue quiere saber exactamente a qué velocidad se desplaza en el instante .r = c. Esa velocidad instant.inea parece natural definirla como límite de velocidades medias, esto es lím

./· — ('

y hemos llegado al concepto de derivada.

Definición 2.1 Una función / es derivable en a 6 D si existe y es finito lú „ - / W , j;-»H

„ , , / ( » + 'O T i W , u' — a

/i ->()n

( 2 . 1)

El valor del límite anterior se denota por /'(« ) y es la derivada de / en a. La derivada de una función tiene una clara interpretación geométrica. CHrd nolación para la clcrivatia de / on n i|iie st· emplea frecuentcm i'nte es

Para cada valor h el cociente f ( u + h) - f i a )

( 2 .2 )

coincide con el valor de la pendiente del segmento que une los puntos («./(«)) y (a + //./{« + //)). El valor de la derivada es el límite al h¿icer tender // a cero en (2.2). Por lo tanto, la derivada es el límite de las pendien­ tes de los segmentos entre ((/. /(« )) y (« + //■, f { ( i + /()) cuando h tiene a cero. Tal pendiente es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto ((/, /(« )).

Figura 2.1: Interpretación geométrica de la derivada.

V alor pendiente. Para una recta di? ecuación i/ = riij· + h, la constante m es el valor de la pendiente. Por o tro lado, la pendiente del segmento que une («./)) con ( IR.

2.2.

Reglas de derivación

2.2.1.

M otivación

In tro d ucción En este tema presentaremos resultados que nos permitirán calcular de­ rivadas sin tener que recurrir a la definición.

O rie n ta cio n es Este tema debería ser de repaso para la mayoría de los lectores. Además conocer las reglas de derivación no es suficiente para derivar con soltura. Para conseguirlo tendrá que realizar, si no las ha hecho ya, muchas deriva­ das. El calculo de derivadas estará presente en todo lo que resta de libro.

O b je tiv o s Al finalizar este tema debe conocer la derivada de las funciones elemen­ tales y ser capaz de calcular la derivada de cualquier función constmida a

i

2.2 Reglas de derivación

partir de tales funciones mediante las operaciones habituales y la composi­ ción de funciones.

2.2.2.

Reglas d e deriv ación

La mayoría de las veces no necesitaremos recurrir a la definición para el cálculo de derivadas gracias a los .siguientes resultados. Proposicion 2.1 Supongamos que f y g son derivables en a. Entones las funciones / -|-(/ y / · ^ son derivables en a, verificándose ,(/+