Calculo Para Ingenieros-Problemas UNED

Problemas Resueltos de

sanz y torres

Problemas Resueltos de Cálculo para Ingenieros

z = xy + A

Daniel Franco Leis Esther Gil Cid Luis Manuel Ruiz Virumbrales

UnED

sanz y torres

In d ic e

general

Prólogo

7

1. El paso al lím ite

9

2. Funciones derivables

51

3. A plicaciones de la derivada

87

4. Integral de R iem ann

131

5. Funciones de varias variables

175

6 . A plicaciones de la diferencial

205

V

Prólogo "Comienza en el principio," dijo el rey, muy seriamente, “y continúa hasta que llegues al final: entonces detente."

Lewis Carroll: Alicia en el País de las M aravüias.

Uno de los principales objetivos que nos planteam os cuando decidim os elaborar el m aterial que tiene entre las m anos fue que nuestros estudiantes pu d ieran familiarizarse y llevar a la práctica las ideas expuestas en nuestro libro Cálculo para Ingenieros, editado po r Sanz y Torres. N o entendem os u n texto sin el otro. A m bos son com plem entarios en el estudio de Cálculo, de los grados en Ingeniería Eléctrica, Mecánica, en Electrónica Industrial y A u ­ tomática y en Tecnologías Industriales que im partim os en la U niversidad Nacional de Educación a Distancia. Am bos tienen similar forma de expli­ car y de entender los conceptos y resultados. A m bos contienen los m ism os m ódulos y siguen el m ism o orden de desarrollo de los temas, y su nivel es similar. Los capítulos de este libro no se han dividido en apartados. N o obs­ tante, se ha seguido el m ism o orden que en el libro Cálculo para Ingenieros, volviendo a veces "atrás", para abordar problem as ya tratados, cuando las nuevas técnicas y resultados estudiados perm iten u n nuevo enfoque del problema. Por eso, no es necesario (ni recom endable) haber estudiado un tem a com pleto del libro de teoría para em pezar a resolver los ejercicios. U na buena form a de trabajar es ir sim ultaneando am bos textos. O bservará que hay tres tipos de ejercicios: cuestiones cortas, p reg u n ­ tas tipo test y problem as para desarrollar, que coinciden con los tipos de preguntas que se plantean en los exám enes y en las pruebas de evaluación continua y de autoevaluación. Cada uno debe intentar resolverse de forma distinta. Las cuestiones cortas son a m enudo "pinceladas" que nos van a ay udar a plantearnos y a asim ilar la teoría, o pequeñas preguntas que nos ay ud an a adquirir destreza algorítmica. Las preguntas tipo test se deben abordar con toda la inform ación que se da, es decir, sabiendo las posibles respuestas e intentando corroborarlas o desestim arlas. Los problem as son u n todo donde hem os de decidir qué resultados aplicar, cómo hacerlo y

8

Prólogo

dónde se busca una respuesta a u na pregunta. En ellos hay que estar aten­ tos no sólo al m étodo que se aplica, sino tam bién a que el desarrollo sea correcto. A lgunas preguntas y problem as de este texto están acom pañados, en el m argen, po r dibujo de u n disco con la palabra MAXIMA. Esto indica que este ejercicio se ha resuelto tam bién con el program a de cálculo simbóli­ co Maxima. En el blog http://calculo paraing en iero s.w o rd press.co m están las soluciones. Es m uy recom endable utilizar este program a tanto como se p u eda, porque ayud ará a com probar los cálculos y los resultados, a desa­ rrollar la intuición, y a com prender los conceptos y resultados. Es aconsejable, después del estudio de un a sección del libro Cálculo pa­ ra Ingenieros, una prim era lectura de los ejercicio correspondientes, refle­ xionando sobre el enunciado, qué resultados se p u ed en aplicar y cómo se po dría resolver, pero sin dar m ucha im portancia a si se llega a la solución o no. Ya habrá tiem po de llegar a la solución m ás adelante, esto no debe preocuparnos en la prim era aproximación. Y desde luego es im prescindi­ ble estudiar los ejercicios anotando, escribiendo, viendo en u n papel lo que se piensa, lo que se hace y prestando atención (incluso m ás que si se llega a la solución correcta) a lo que se hace m al y a lo que no se sabe hacer, p o r­ que éstas son las claves de un a asimilación correcta de los contenidos. Es tan im portante llegar a la solución de los problem as, como identificar y ser conscientes de los errores y corregirlos, porque esto hará que no volvam os a cometerlos. Los autores.

1 El

p a so a l l ím it e

En el m ódulo "El paso al limite" se introducen sucesiones, funciones y sus límites y se trabaja con ellos y con resultados relacionados, básicos para el cálculo infinitesimal. Estos conceptos no sólo deben ser conocidos, sino que deben ser com prendidos y dom inados para avanzar en esta materia.

R ecuerde... ■ El conjunto de los núm eros reales M "com pleta" a los núm eros racio­ nales y su representación en la recta, lo que ayud a a su com prensión. ■ El valor absoluto perm ite definir u na distancia entre dos núm eros. ■ Para conjuntos de núm eros reales se definen cota superior, inferior, conjunto acotado, suprem o e ínfimo. ■ U na sucesión {ün} es u n a aplicación de N en M. Se define su límite. Es im portante darse cuenta de que para determ inarlo no es relevan­ te el valor de los prim eros térm inos, sino lo que ocurre p ara valores grandes de n. ■ Se p u ed e am pliar la recta real considerando que oo y —oo form an parte de M y utilizar una aritmética am pliada para calcular límites. ■ Una función es una aplicación de u n subconjunto de M en R. Así es fácil entender el concepto de límite de u na función en u n p u n to y por qué m uchos resultados relativos a sucesiones tienen equivalente en funciones. ■ La representación gráfica de sucesiones y de funciones ayu da a en­ tender conceptos (dominio, límite,. ■ · ) y propiedades (unicidad del límite, pro piedad del e m p ared ad o ,... ). ■ En las funciones continuas (en las que nos centram os) son aplicables resultados (como el Teorema de Bolzano, de los valores interm edios o de Weierstrass) que las convierten en una herram ienta m uy potente. ■ Es norm al (y necesario) realizar m uchos ejercicios para llegar a tener habilidad algorítmica, tan im portante en ingeniería.

10

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

Ejercicios

Ejercicio 1. Sean I\ e I 2 los intervalos d ados por ^

/i = (-3,51j / 2 = , { í c G M : l a ; - 3 |< ; 4 }.

Elija la o las opciones correctas; a) Los dos intervalos tienen el m ism o radio. b) El centro de I\ es m enor que el centro de I 2 . c) Se cum ple I\ d I 2 . d): N inguna de las anteriores. Solución.- Son correctas las opciones a) y b). Vamos a dem ostrarlo; tenem os que determ inar el centro y el radio de los dos intervalos. D eterm inam os el centro y el radio de I 2 de form a inm ediata p o r la ex­ presión de I 2 · su centro es C2 = 3 y su radio es T2 = 4. Calculamos el centro c\ y el radio r\ del intervalo I\ por: -3 + 5 , 1 -3 -5 ] , Ci = ^ — = 1, n = ' ^ ' = 4. Vemos que los dos intervalos tiene el m ism o radio. También es cierta la segunda opción porque: Ci = 1 < 3 = C2. Para saber si es correcta la opción c), escribimos I 2 en la form a habitual: /2 = ( c - r , c + r) = ( 3 - 4 , 3 + 4) = ( - l , 7 ) .

Con esta expresión, es inm ediato com probar que Ii ^ I 2. Ejercicio 2. Sean x e y dos núm eros reales tales que |x| < ly|. ¿Debe ser |a: + 2| < |y + 4|? Contraejemplo: ejemplo con el que se muestra que una afirmación es falsa.

Solución.- N o necesariam ente. Lo dem ostrarem os con u n contraejemplo, Buscamos núm eros x, y tales que |x| < \y\ que no cum plan \x + 2\ < |y + 4|. Sabemos que al m enos uno debe ser negativo, porque si los dos son positi­ vos sí lo cum plen: el valor absoluto de u n núm ero positivo es el m ism o y

11

entonces \x\ = x < y = \y\, por lo que tam bién se cumple: \x + 2\ =

X

+ 2 < x + A < y - \ - A = |y-f-4|.

Elegimos los dos negativos, p o r ejemplo, x = - 5 , y = - 6 y se verifica que 5 = |—5| < |—6 | = 6 . Y adem ás |x + 2|

=

|- 5 + 2| = 3,

|y + 4|

-

1-6 + 41 = 2 ,

y no se cum ple |x + 2| < |y + 4 |, como queríam os dem ostrar. La idea para elegir los núm eros nos la p u ed e dar la representación gráfica del problem a. Como son núm eros negativos y se tiene que cum ­ plir |:r! < \y\, entonces será y < x. A dem ás, podem os representar lo que significa sum ar 4 a y y 2 a a ; y nos podem os im aginar cómo debem os "d es­ plazarlos" p o r la recta real para que se cum pla \x + 2\ < |y + 4|:

,r + 2 ?/ + 4

Ejercicio 3. Dado el conjunto A = {;r G S : U < < 1 se pide elegir la opción correcta: a) inf .4 := ü. b) A tiene suprem o poro no tiene ínfimo, c) A está acotado, d) N inguna de las ¿interiores. Solución.- Vamos a escribir el conjunto A de u n a form a que nos resulte más cóm odo trabajar en él. Por definición: 0 < x ^ 1, entonces:

- <

n

Reducción al absurdo: es un procedimiento utilizado pa­ ra demostrar una afirmación. Suponemos lo contrario de lo que queremos demostrar y llegamos a una contradic­ ción. Entonces se concluye que lo que hemos supuesto es falso.

1.

Esto significa que 1 es una cota superior, que adem ás está en S. Por eso, es su suprem o (cualquier otra cota superior no p u ed e ser menor, porque si lo fuera, no sería m ayor que el 1, que es u n elem ento de S). Los núm eros del conjunto son m ayores o iguales que O, porque n > 0. Por eso, O es una cota inferior. Pero adem ás es la m ayor de estas cotas, po r lo que es el ínfimo del conjunto. Lo dem ostram os por reducción al absurdo. Suponem os que hay una cota inferior c que es m ayor que 0. Entonces existe u n núm ero m € N con: 1 c> — m

(basta tom ar m existir esta cota la m ayor de las nin gún núm ero

> 1/c). Llegamos a una contradicción. Por eso, no p u ed e inferior m ayor que O y este núm ero es el ínfimo de S (es cotas inferiores). Pero no pertenece a S, porque no existe natural n tal que su inverso sea 0 .

13

Ejercicio 5. Tenemos dos condensadores C\ y C 2 , conectados en serie. La capacidad equivalente C de la asociación verifica:

C

Ci

C2 '

Los dos condensadores tienen capacidad variable y la capacidad de C] varía entre 2 y 4 microfaradios (/uF) y la de C 2 entre 1 y 7 ¡.lF. Se p ide encontrar entre qué valores se encuentra la capacidad del condensador equivalente C. Solución.- Es u n problem a de ínfimos y suprem os. Partim os de las dos variables C\ y C 2 } sus ínfimos son 2, 1 y sus suprem os son 4, 7, respecti­ vam ente. Se trata de buscar el ínfimo y el suprem o de u n a nueva variable C, relacionada con las dos anteriores por la expresión de la capacidad del condensador equivalente, d ad a en el enunciado. Resum iendo, 2 < Ci < 4, 1 < C 2 < 7, lo que implica que: l i l i l í - < — - < — oo n

de form a obvia. Ejercicio 7. Sea {a„} la sucesión cuyo térm ino general es n

(^TL --

O

\/n^ + 4

¿Es convergente?

Solución.- Intentam os calcular directam ente el límite: n

lim n^oo

4

lím„^oo n oo = —, lím„^oo V + 4 oo

= ---------------

y llegam os a una indeterm inación. Pero se p u ed e resolver si sacam os factor com ún a la m ayor potencia de n que aparece tanto en el nu m erad o r como en el denom inador y operam os con las potencias de n: lím

n-> oo

n + 4

= lím

n->oo

n (1 + 4 / n ^ )

= lím

1 n-^oo „ 3 /2 -1

n ^ o o n ^ l ' 2 y / l -|- 4 / t í 3 ..

+ 4 /^ 3

n

= lím

n -> o o „ 1 / 2

1 + 4 /„ 3

1

Iím„^oo (^nV2 ^ 1 + 4/n3^ 1

lím„^oo

· lím„_,.oo a/ 1 + 4/n^

Entonces la serie es convergente y su límite es 0.

= 0.

oo · 1

15

Ejercicio 8 . Sea a„ la sucesión de térm ino general y /l6 n ‘^ — 4 (ín

—

n\/4n^ + 5

Se pide calcular su límite cuando n tiende a infinito. Solución.- Prim ero intentam os hacerlo directam ente: \/l6 n ^ — 4 lím^^oo -\/l6n^ — 4 oo lim ün = iim — 1^ = — ------------ - ¡ = = — — . n->-oo n-t-co + 5 lím„^oo 4n^ + 5 oo

Es una indeterm inación y hay que proceder de otra forma. El cálculo de este tipo de límites se aborda sacando factor com iin a la m ayor de las potencias de cada radicando y simplificando. En este caso, en el nu m erad or la m ayor de las potencias del radicando es 4 y en el nu m erad or es 2: n‘ 1. V l6n4 - 4 lim ün = lim — ■ = iim · __________ n^oo n-^oo n's/ + 5 n J v ? (4 + 4 ·) 1.

En este punto, se sacan fuera de la raíz estos térm inos y se simplifica: J l6- 4 lím a„ = lím

n —>-oc

n^oo

o

/

a

n ^ /4 +

,

5

^

= lím n—>-00

4+ A

Ejercicio 9. Se pide calcular el siguiente límite: lím ( V

n-^cxj

+ 4n + 8 —Ti

Solución.- Si intentam os aplicar las propiedades de los límites, nos encon­ tramos con una indeterm inación del tipo co —oo: lím ( -\/n^ + 4n + 8 —n ) = lím \/n ^ + 4n + 8 — lím n = oo —oo.

16

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

El conjugado de la expresión a

+

6 e s a - & y viceversa.

Adernas se cumple (a+ 6)(a-

Observam os la expresión original con detenim iento. A parece u na raíz y pu ed e ser com plicado operar con ella. Pero vem os que los térm inos que "dom inan" son v n ? = n y n. Por esto, intentam os elim inar la raíz. U n procedim iento habitual es utilizar el conjugado de la expresión. Si ^i^itiplicam os (y dividim os) por el conjugado nos aparece en el nu m erad o r de la fracción una resta de cuadrados. En este ejercicio, esto significa que desaparece la raíz: l = lím ( \/n 2 + 4n + 8 —n ) n^oo \ ) \Jn^ + 4n + 8 —

+ 4n + 8 + n

= lím

n —>-oo

= lim

— lím

n —>-oo

+ 4n + 8 + n

n^ + 4n + 8 - n ^ ------= lim + 4n + 8 + n n (4 + s y

4n + 8 \/v ? + 4n + 8 + n

n (4 + 8 l)

= lím

n-> oo

\¡n^ (1 + 4 i + 8 ^ ) + n

n

1+ 4 ^ 8 4 + 1

4 + 8é

= lím

1+4Í + 84 + 1

Ejercicio 10. Sea {a,¡} la sucesión d ad a por la expresión: 1

v /ñ ^ T T

+

1

+ 2

+ · ·· +

1

\/

+ n

¿Cuál es su límite, cuando n tiende a infinito? Recuerde la propiedad del emparedado: si tenemos tres sucesiones {a„}, {6„} y {c„} tales que a„ < b„ < c„ para todo n 6 N y además lím a„ = lím Cn = l,

n —»-OO

n —*oc

entonces la sucesión {6„} es convergente y su límite es l.

Solución.- N o podem os resolver directam ente este límite, porque nos que­ daría la sum a de infinitos sum andos. Lo vam os a resolver con la p ropiedad del em paredado. En este caso tenemos: 1 bn =

-h

1 -I-

+

V n 2~+ n

Vamos a buscar dos sucesiones {a„} y {c„} tales que se cum pla la expresión de la propiedad del em paredado. Para ello, observam os que cada sum ando

17

de la expresión de

es m enor que el anterior, y p o r eso, tomamos: 1

1 +

—

Cn

n

1

y/ñ? + n

+ ■ ·· +

n

n

1

1

1

s/v? + 1

\Zn^ + 1

\/r ? T T

—

\/v ? + n

_

n

V ñ 2"+ T

Entonces, es evidente que an < bn < Cn- Pero adem ás, podem os calcular fácilmente el límite de las sucesiones {a„} y {cn}: n

lím a„, = lím n->oo n~roc

+ n n

lím Cn = lím n-^oo n^cx)

+ 1

= lím

,, = lím

n ·1

n ■

+ l/n

n ·1 n ■ a/ 1 + l / n 2

= lím ,, = lím

y^l + 1 /n 1

= 1,

y^l + l/n ^

=

1.

Estos dos límites coinciden y adem ás, sabemos que an < bn < Cn- Por eso, ya tenem os el límite que buscam os, po r la prop ied ad del em paredado: lím bn = lím

1

1

1 =

V Vn 2 + T

1.

V ñ2 + 2

Ejercicio 11. Se pide encontrar la relación entre a y fe para que el si­ guiente límite valga 2 : lím ( \ / 77.2 _|_

_|_ I _ _

Solución.- Si intentam os calcular directam ente el límite, resulta un a in de­ term inación del tipo oo - oo: l = lím

n-)-oo

n 2 + an + 1 — \ / v ? + bn

= lím ^/v? + an + 1 — lím \Jrí^ + hn = oo —oo. n —>oo

n~>-oo

Es fácil entender que para calcular expresiones del tipo \/n^ + kn, la po ten ­ cia dom inante es la de m ayor grado (n^ en este caso) y el límite es infinito, independientem ente de que la constante k sea m ayor o m enor que 0 . Para resolver l, observam os que la expresión d ad a es la resta de dos raíces, y en el radicando aparecen polinom ios de n, am bos de grado 2 .

18

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

Como hem os visto, este tipo de límites se resuelven norm alm ente m ul­ tiplicando y dividiendo p o r la expresión conjugada; l = lím ( \ / n 2 + an + 1 — \ / + bn ( \ / n ‘^ + an + l — Vn'^ + bn

--------------

= lím

n^oo

+ an

o

^

1 + y/ri^ + bn

n' + an + 1 — {v? + bn) _ ^/v? + an + 1 — \/v ? + bn — lim — ---- ----= lim ________ ____ n->oo ^ „ 2 _|_ n->oc y j - \ - an + 1 + y V? + bn n^ + a n + l — — bn ,, an — bn + 1 , ------, - ■ = lim + an + 1 + \/n^ + bn n^oo Vn7+"oñT+T + x/n^ + ón (a —6) n + 1

= iim = lím

\Zn^ -I- an + 1 + yjn^ + bn

Resolvemos el límite sacando factor com ún (en n u m erad o r y denom inador) a n. O bviam ente, el límite va a d ep en d er de las constantes a y 6; l = lím

= lím

(a - 6) n + 1 \Zn^ + an + 1 + V n ^ + bn n (a - Ò) + ^ „

/l

a - Ò+ è

= lím

« _L 1 + ñ + n_L

^ + Ì + Ò + \J^ + Ì a —b

lím„_,oo { a - b +

a —b

lím,, Para que el límite valga 2, se tiene que verificar que a —b

= 2

a - Ò= 4.

Luego la relación buscada es a —ò = 4. Ejercicio 12 . Se pide calcular, si existe, el siguiente límite lím 7?.— >C3C

/ 5 n + 2^

Solución.- Si aplicam os directam ente las propiedades de los límites lle­ gam os a ur\a indeterm inación del tipo l®^. Por eso, tenem os que recurrir

19

a otra técnica. Vamos a m anipular la expresión y escribirla de la forma 1\ (1+ — , don de tiende a ±oo si n tiende a infinito. Como el límite an J

de esta expresión cuando n tiende a cxo es e, entonces el límite se transfor­ ma en una potencia de e y así se llega a la solución. C om enzam os con la fracción:: 5n + 2 5n + 3

5n + 3 - 1 = 1+ 5n + 3 -5 n -3

Recuerde lím n —>-oo

si lím„ Tenemos lo que buscábam os, porque lím„_j.oo (—5n —3) = —oo. Como debe aparecer - 5 n - 3 en el exponente, hacemos: 5n + 2 y " + ^ 5n + 3 y

(-5n-3)_^_ (3n+l)

1

- 5 n —3 \-(5 n + 3 )^

1

1

- (5n + 3)

Ahora ya podem os calcular el límite:

l — lím

1 —(5n + 3) / -3n-l -(5n+3)\ 1™" 5n+3

= lím n^oc

n^oo \ 5n + 3 y /

1 lím t 1 + n-¥oo —( 5 n + 3 ) V'^

1

+

= e 5. /

Ejercicio 13. Se pide calcular el límite de la sucesión de térm ino general n'^ —n + l (ly,

n+l

--

2n ^ - n + 2

Solución.- Este límite nos p u ed e recordar al del ejercicio anterior y p o d e­ mos tener la tentación de resolverlo igual. Pero es m ás sencillo, pues:

—n + 1

—n + 2 y

n+l

n+l

1

9

1

1 -1 -2

\

n+l

que: 1+

—

, o„ = ±CX) .

20

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

Entonces, podem os tom ar límites y tenem os

= lím n^oc

n2 f n^· - 7 1 + 1 ^ n+l

= lím n—>00 —71 + 2 y 2 hm„_,oo 1 -U M í l = lím 1 , 2 n— >-oo

I2-

1 “ ^ ■ 1 “ ^ '

12 2; 1^

1

\

n+l

2

00 =

0.

Fíjese que no había una indeterm inación del tipo 1 ^.

O Solución.- Prim ero intentam os calcular el límite aplicando las propiedades de los límites, llegando a una indeterm inación: lím y/ñ = lím

n^oo

= oo°.

n->-oo

Este tipo de límites se p u ed en transform ar en u n producto a p artir de la igualdad lím

= lím

n —>oo

Recuerde el criterio de Stolz: si {an} y {bn} son dos sucesiories tales que lím „ ^ ^ ^ entonces j

l =

1' lim — n~*oo bn

,, (In+l dn = n-^oo bn+1 - bn

si {b„} es monótona y se cumple que límn-»cx) b„ = ±oo o que O = límrn.oo bn =

= lím

n —>-oo

3¿ In n _ ^límn->oo

= e*’

n —>oc

In n

En este punto, intentam os calcular prim ero lím —l n n = lím — lím In n = O · oo,

n —>oo 71

n —>oo n n —>00

que es de nuevo una indeterm inación. Pero ya podem os aplicar el criterio de Stolz. Tenemos el cociente de dos sucesiones, a„ = In tt. y ó„ = tt,. El límite cuando n tiende a infinito de la sucesión del denom inador es oo. A dem ás, existe el límite I to n^oo

= lím bn+l

—

bn

n^oo

lllíln—í-oo CLn ·

= In lím n- ^ 0 0

= Um *” 71 +

1 —

'n + l n

71

= ln l = 0.

1

21

Entonces sabem os ya que w 1n w w ®n+l „ lim —In n = iim -— = iim --------- — = ü, n->oo n n->-oon^oo bn-\-l ~ y por eso. lím

è Inn

n—>cxD

=

=

Ejercicio 15. Se pide calcular, si existe, el siguiente límite: (n + 1 )" n-l

1 Í2 l — lím 71— ^00 Tl>

Solución.- Tenemos que calcular el límite de u na sucesión donde cada tér­ mino Sn es el producto de ^ con la sum a de n térm inos. Si calculamos directam ente los límites de cada factor y multiplicam os, nos da O oo. En principio parece que se complica el cálculo del límite, pero resul­ ta una ventaja si nos dam os cuenta de que la sum a de es la de s„_ i más \ n - { ■ Por eso, parece apropiado aplicar el criterio de Stolz; p ara ello, antes debemos expresar el límite como una indeterm inación del tipo Expre­ samos el límite como 32 , 43

l = lím

T + 3^ +

(n + ir

n~^oo

con lo que se transform a en u na indeterm inación del tipo ^ fácilmente si aplicamos las propiedades de los límites. Para utilizar el criterio de Stolz, identificamos: (n + 1)” 1 2 H------z—j —, bn — n . nn -1 Entonces la sucesión del denom inador, sucesión m onótona creciente, que tiende a

= n^, es evidentem ente, una cxd, y se cum plen las hipótesis de

22

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

este criterio. Así, tenem os “ Q'n—1

l = lím n^oo bn - bn-1

n\

2 2 I 31

1

= lím

2 , 3

("+ !) -n 1

2

(n-l)"

1

n2 - ( n - 1)2

n->-oo

(n+1)^

= lím Observe que en este caso, para simplificar el cálculo, hace­ mos: lím

O'Ti

n n+ l Ín+ W -^ = lím ^ = lim -------- ■ lim 2n —1 n-+oo (2n — l)n " ^ n^oo 2n —1 rn-oo \ n J

Como V ^ + 1 = lim 1' + n lim -------n^oo 2n —1 n (2 —

O^n—1

/

n->oo b n — O n - 1

que es otra forma de aplicar el criterio de Stolz.

lím

n+ l

n -l

IX -1

= lím

n —>oo

2’

n —>-oo

(1 + i ) ”

1+ -

= lím

n^oo

1+ i

entonces podem os calcular ya el límite: l = lím ^ n—)-oo n

Ejercicio 16. Sean y son divergentes. ¿Debe ser

(n + l)'

e

nn -l

2‘

&n dos series de núm eros reales que + ó„) tam bién divergente?

Solución.- N o necesariam ente. Buscamos u n contraejemplo. Sean - 1

h

- _

i

n

n

Sabemos que >

^

n= l

Pero la serie

- = 00, >

n

n=l

— ^

nj

= - 00.

^

+ &n)es convergente; en efecto: ^

d n + b n = ----------- = 0

n

n

00

= >

00

+ bn) =

n=l

^

0 =

0.

n=l

Si son series de térm inos positivos, podem os aplicar el criterio de com pa­ ración y la serie es divergente.

23

Ejercicio 17. Sea la serie

a„ de térm ino general Ün —

3 + eos n + n^/2

Elija la opción u opciones correctas: a) Es una serie convergente pero no es absolutam ente convergente. b) Es una serie absolutam ente convergente. c) Es u na serie divergente. d) Es una serie alternada.

Solución.- Como el valor del coseno siem pre está entre —1 y 1, entonces se va a cum plir que 3 + eos n > 2. A dem ás, gg positivo, y por eso la sum a de am bos lo es y tam bién su inverso. Así todos los térm inos de la sucesión son positivos y la opción d) no es correcta. O bservando la serie, seguram ente nos recuerde a una del tipo

-4^

y con ella vam os a intentar utilizar el criterio de comparación. El térm ino que parece que va a tener m ás peso va a ser A dem ás, el coseno nos puede "m olestar"para la com paración, pero esta dificultad se soluciona al ser 3 + CCS n > 2. Así, p ara n > 1, se verifica que 3 + eos n +

^E ni n- i n —l

>2 +

Y entonces ya podem os utilizar el criterio de comparación: O<

1

3 + eos n + n^/2

<

para n > 1. Luego 1 n=l

Como la serie

Recuerde que la serie

3 + eos n +

oo

< n=l

convergente, entonces tam bién lo es la serie de

este ejercicio. Al ser todos sus térm inos positivos, tam bién es absolutam en­ te convergente. Por eso, sólo es correcta la opción b).

es convergente si y sólo si

7 > 1-

24

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

Ejercicio 18. Se pide estudiar el carácter de la siguiente serie:

„,-,1/2 1 / 2 +I „ 2 /3 · n=l

Solución.- Es u n a serie de térm inos positivos que nos recuerda a las series del tipo E ^

-rC 1, se verifica que + „ 2/3 „ 2/3 _|_ „ 2/3 _ por lo que 1

>

n

1

Entonces, se cum ple

^ 71=1

1 ^ 1 „1/2 + „3/2 > 2„2/3 “ 2 ^ n=l

1

n2/3 ' n=l

Esta últim a serie es divergente, porque es una serie del tipo

f^ ^

n=l

n-y'

con 7 = I < 1. Por tanto, según el criterio de com paración, la serie es divergente, ya que es m ayorante de una serie divergente. Ejercicio 19. Sea s„ la serie dad a po r an =

1

a„, donde

· 3 · 5 · · · (2n - 3) · (2n - 1) '

Se pide estudiar su carácter. Solución.- Se trata de una serie de térm inos positivos. Por la expresión de los térm inos parece adecuado aplicar o el criterio del cociente o el de la

25

raíz. Entre los dos, elegimos el criterio del cociente, porque no es sencillo calcular el límite de la raíz del denom inador. Realizamos el cociente entre dos térm inos consecutivos: /

an+i

I -1\n+l

i-3-5- ( 2n-i)-( 2ri+i)

1 · 3 · 5 · ■ · (2n - 3) · (2n - 1) · (n + 1)"·^^

I.3.5...(2r a ) . ( 2n - 1)

1 ■ 3 ■ 5 · · ■ (2n - 1) · (2n + 1) · n"

(n + l f + ^ (2n + l)n^

2n + 1'

fn + l Y

n+ l

Esta expresión se presta ya a tom ar límites directam ente de cada uno de sus factores: n+ l 1\ = lím 1 + n —>oo íl-^OO n nj n + l n^oo 2------7 n+ 1 lím

Entonces: lím

Cl'n+l

n —>oo

ür

= lím

n—>oo

n n

n 2n + 1

=

2 > '·

Como el límite es m ayor que 1, podem os afirm ar que la serie es divergente.

(O Solución.- Estamos ante una serie de térm inos positivos y en el denom i­ nador aparece una potencia n-ésima. N o parece que el criterio del cociente nos vaya a ayudar, así que lo intentam os con el criterio de la raíz In n

lím n^oo

n Inn = lím ., = lim r-----= A. n-4-oo y (Inn)” n->^oc In n

En el nu m erad or aparece n elevado a algo que tam bién d epende de n. U na forma de abordar este nuevo límite es a través de logaritm os, porque se

26

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

transform a la potencia en u n producto: In n

InA

= = =

in n

In lím ------ = lím In ------= lím ( i n n ^ —ln (ln n n —>00 In n n-> o o In n n —>00 V lím

n —>oo

n

In n — lím In (In n) = lím n^oo

n -¥ o o

n

------lím In (In n) n -^o o

O —00 = —00 .

El cálculo del prim ero de los límites requiere u na explicación. De forma intuitiva, In n crece m ucho más despacio que ^/ñ, y po r eso el límite de su cociente es 0. Lo m ism o ocurre con sus cuadrados y así se explica que lím^^oo = 0. Su cálculo exacto se deja como futuro ejercicio a realizar aplicando la regla de L'Hôpital, que se estudia en el siguiente m ódulo. Seguimos con el límite de este ejercicio. Como In^l = —00 , entonces A = e-°° = — = O< L gOO Por tanto, la serie es convergente.

Solución.- Se trata de un a serie alternada, porque los térm inos pares son positivos y los im pares son negativos, si escribimos 00

^ ( - l ) " a „ , cona„ = n=l

Vamos a m ostrar que los térm inos decrecen, es decir, a„_|_i < a„. Veamos si se cum ple la condición equivalente O'n+l ^ j

D eterm inam os este cociente: an+i _ «n

+ l) _ e " (e2«+2 + 1)

+ e e2«+2 + i '

27

Esta relación es m enor o igual que 1 si y sólo si: 1

^ o2n+l

(1 - e) < 1 - e.

Como 1 - e < O, si dividim os los dos lados de la desigualdad po r este número, la desigualdad cambia y es m enor o igual que 1 si y sólo si g2n+l > qyg gg verifica para todo n G M. Por eso la sucesión a„ = es decreciente. A dem ás, como lím

n^oo e

1

= lím = 0, + 1 n->oo e” + 6 ”

podem os aplicar el criterio de Leibniz para concluir que la serie del en u n ­ ciado es convergente. Ejercicio 22. Sean f { x ) y g{x) dos funciones con límite cuando x tiende a x q . ¿La función f / g tam bién tiene límite en xqI Solución.- N o necesariam ente. Lo dem ostram os con u n contraejemplo. Sean / (x) = eos x, g (x) = x. Am bas fimciones tienen límite cuando x tiende a O, pero sin em bargo no existe el límite: lím

cosx X

porque el n u m erado r está acotado y el denom inador tiende a O y se trata por lo tanto de u n límite infinito. Ejercicio 23. Sea / la función dad a por 9

—X

Se pide calcular límj:_^i /(x ). Solución.- La función / es continua en su dom inio de definición, porque los polinomios y su cociente lo son. Si x = 1 está en su dom inio, podríam os calcular el límite sin m ás que sustituir este valor en la expresión de / . Pero si intentam os hacerlo, llegamos a u na indeterm inación del tipo §. Esto significa que los polinom ios del num erado r y del denom inador tienen

Recuerde el criterio de LeibSea a„ una serie alternada tal que |a„| es de­ creciente. Entonces la serie es convergente si y sólo si llUln—>oo 0,71 — 0.

28

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

como raíz com ún x — 1. En el n um erado r es evidente si sacam os factor com ún a x, porque: x^ - x = x { x — l ) . Recuerde que las raíces de

ax^ + hx + c son

—b ±

—4ac 2Ó

Buscamos las raíces del denom inador (podem os hacerlo con la conocida fórm ula que nos da las soluciones de un a ecuación de segundo grado o aplicando la regla de Ruffini). O btenem os que son x = l y x = —3. Por eso, podem os escribir 2

— X

x “^ + 2x - 2 ,

x { x — 1)

X

(x — 1) (x + 3)

X+ 3’

A hora ya podem os calcular el límite: lím Ji x) = lím — ’ a;_i.i2; + 3

1+ 3

= 7· 4

Ejercicio 24. Sea / la función definida po r / (x) = sen

X

( x - l f

Se p ide determ inar su dom inio de definición.

Solución.- El seno está definido para cualquier valor de a: G M. Por eso, el único im pedim ento p ara que la función esté definida está en el argum ento de la raíz, que debe ser u n núm ero finito y positivo. Estudiam os prim ero el denom inador, para elim inar los pu ntos don de la fracción sea ±oo. Éste es siem pre m ayor o igual que O, p o r ser u n a potencia con exponente par. Sólo se anula si a; = 1. Este p u n to está, pues, fuera del dominio. A dem ás hace falta que el num erado r sea m ayor o igual que O, que es lo m ism o que a; > 0 . Resum iendo, el dom inio de definición de / es £) = {x e M : a; > O, X 7^ 1}.

29

Ejercicio 25. Se pide calcular el siguiente límite In x

x ^ o c In

Solución.- Si calculamos el límite aplicando las propiedades de los límites, tenemos una indeterm inación del tipo Aparecen logaritm os neperianos en el n um erador (de x) y en el denom inador (de 4x'^). Si am bos logarit­ mos tuvieran el m ism o argum ento, podríam os simplificar. Vamos a inten­ tar conseguirlo aplicando las propiedades de los logaritmos: In (4x‘^) = In 4 -I- In x“^ = In 4 + 4 In X. Con esta relación, ya podem os calcular el límite: Inx lim -------j

x->oo In

=

In a

In x

lím = lím x^oo In 4 + 4 In X X-^OO líLá Inx

1

lím

Ina; _j_ 4*” ^

= lím

X -¥00 ln4

Inx

+ 4

1 ln4 inj.

4'

+ 4

Ejercicio 26. Se pide calcular el siguiente límite lím ÍC—>-oo

/x X

+r^ 1

Solución.- Como es habitual, prim ero intentam os hacerlo directam ente y llegamos a u n a indeterm inación del tipo que con la siguiente m ani­ pulación pasa a ser del tipo 1°°:

Por eso vam os a utilizar la relación que ya conocemos p ara sucesiones: lím ( 1 +

X^a \

/ (x )

~ e

si

lím / (x) = ±oo.

Recuerde que In (ab) = In a+ In 6, In (a*') = 6 In a.

30

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

M anipulam os la fracción y llegam os a u n a expresión de este tipo: ^x + r ^

/X -1 + 2 V = lim I ^— I = lim x-> oo V X — 1 -

lím

x —¥oo

/ = lím

x —1

X — >oo

= lím i->oo —

2 / 1+

X —

= lím 1 + X—>■00 \

\

iJ X—

/

\

1

2

.

1+

1

^

2 x -\'

o:—1

2 /

1 X—1

-^ x _

g2_

Ejercicio 27. La función dada por X + 1 f{x )

tiene: a) A síntota vertical. c) A síntota horizontal.

=

b) A síntota oblicua, d) N o tiene asíntotas.

Solución.- Son correctas la opciones a) y c). C om enzam os con las asíntotas horizontales. Reescribimos la expresión de / como :

Recuerde que una función / tiene una asíntota horizontal y = 6 si y sólo si: lím f (x) = b

y podem os calcular fácilmente los límites cuando x tiende a ±oo: ^ ^ hm / (x) =

y /o

1 l + ¿ l + límx->oo:^ hm ----- ^ = ---------------x^oo 1 _ i 1 _ lím^_,oo t = T= '’

X-^OO

lím

/ (x) = b.

lím / ( x )

=

1 H—^ 1 + limT_i_oo lím —^ = _ ---- = x^-oo 1 - ^ 1 - límj;_-,_oo ^

1 A = 1. 1

Como estos límites existen, entonces y = 1 es una asíntota horizontal, tanto cuando x tiende a oo como a —oo. A hora estudiam os si tiene asíntotas verticales. En esta función, el deno ­ m inador se anula para x = ± L Por eso, parece lógico pen sar que puede

31

tener una asíntota vertical en x = ± 1: + 1

lím / (x)

=

lím

X—>1“

lím / (x)

lim

x^ -

1

= —oo,

x^ + 1

----- = oo,

x^-l+ x2 - 1

x ^ l+

lím / (x)

lim

lím / ( x )

lim

x ^ —l~

x'^ + l

^5---- - = oo, x^ + 1

----- = -o o .

X ^ - 1 + x^ - 1

x - > --l+

Como estos valores son ± o o , las rectas x = l y x = —1 son asíntotas Recuerde que una verticales, tanto por la derecha como po r la izquierda. / una asíntota

función vertical

a; = a si y sólo si:

Ahora buscam os asíntotas oblicuas. Hacem os lím f (x) = ±oo

lím f (x) —m x = lím ( | —mx x^±oo ·’ ^ ’ x-)-±oo Vx2 - 1 =

lím X — >-±oo

lím / (x) = ±cxD.

T—i-a+

/

x^ + 1 —mx^ + m x x^ — 1

y /o

= ±oo

según sea el signo de m . Luego no tiene asíntotas oblicuas. Podíam os ha- Recuerde que una bernos dado cuenta de que una función con asíntotas horizontales en +oo y / asíntota - 0 0 no p u ed e tener asíntotas oblicuas y entonces no hubiese sido necesaria v - ^ + m y solo si: esta últim a comprobación. La fimción / y sus asíntotas se han representado en la siguiente figura

X —í-CfO

lím

fu nd ón oblicua

^^ / (x) — m x = h

/

O, si

^

32

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

Ejercicio 28. Sea / la función dada po r

Se pide encontrar las asíntotas d e f , si las tiene.

Solución.- Si / tiene u n a asíntota vertical, entonces debe existir a € M tal que \ímx^a f (^) = io o · Para esta función, para cualquier a, tenem os

+ 2x 2 - 1 hm. j (x) = li m ------^ ~ x~^a

— 4:

a^ + 2a 2 - l ----------------a^-4

Si 7^ 4 (o, lo que es lo mism o, a ±2), entonces este límite es u n núm ero finito. Pero si a = ± 2, el límite es ± 00 :

x^ + 2x ^ - 1 x^ + 2x ^ - 1 lim f (x) = lim -------------=---:----------= um 7-------- ----------—= +(X), ^ ^ x^2+ x2 - 4 S-+2+ (x - 2) (x + 2) . ,, x^ + 2x ^ - 1 x^ + 2x ^ - 1 iim f [x] = lim -----------------= iim --------- ----------r = —00 , x^2x2 - 4 x ^ 2 + (x - 2) (x + 2) x^ + 2x ^ - 1 x^ + 2x ^ - 1 lim f X = lim ----------------- = iim 7--------r -7----- — = 00 , x 2-- 44 x ^ - 2+ ^ ^ xA‘-2-¡ ^ - 2-i x2 x ^ - 2+ (x - 2) (X + 2) O/y.2 _ 1 1' í / ^ 1' x^ + 2x2 - 1 iim f (x) = iim ------?¡---- ^---x ^ - 2x ^ ~ 2X2 - 4 ^ xií™2+ (x - 2 ) (x + 2 ) ^ I

Entonces, las asíntotas verticales son x = 2, x = —2. Las asíntotas horizontales son las rectas y = b tales que /( x ) tiende a b si X tiende a ± 00 . Esta función no tiene asíntotas horizontales, porque:

lím / (x) = lím X—>-oc

x^ + 2x2 - 1

X-^OO

lím / (x) = X — >— co ' ' '

lím X — >— 00

X x

2— 4

= 00 , = —00 .

33

Para encontrar las posibles asíntotas oblicuas, hacemos: ;

1'

/ = iim /

I

+ 2x'^ - 1

—m x = lim | ------ ^ ^ ------- m x X— >oo y x'^ —4

^ /

x^ + 2x^ - 1 —m x (x'^ —4) = x-^oo i i m ---------- 2——;¡— A ^-----+ 2 x^ - 1

—mx^ + Amx

= x-> oo ----------X2— ^ — 4----------

il = lim ^

— m ) x ^ + 2x“^ + A m x + l x ^-4

a:—)-c»

((1 - m ) + 2 Í + 4 m ^ +

^ X—^OO

...

2 si m = 1 ,

±oo si m / 1, dependiendo del signo de 1 —m. Como este límite es finito para el valor m = 1, u n a asíntota oblicua es y = x + 2. Repitiendo el proceso para x —> —oo (se dejan las cuentas p ara el lector), resulta: lím / (a;) —m x =

x -> -o o

lím

/ x^ + 2x^ - 1

X — >—oo

\

x^ — 4

—m x

(1 — m) x^ + 2x^ — 3 mx + 1 =

X — >oo

-----------2 — 4À--------x·^·

2 si m = 1 ,

±oo si m / 1, dep endiendo del signo de 1 - m. Es la m ism a recta, y = x + 2. Esta función se representa a continuación.

34

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

Ejercicio 29. Razone si existen funciones que tengan asíntotas horizon­ tales y oblicuas. Solución.- Sí existen y lo vam os a nfiostrar con la siguiente gráfica, que tiene adem ás una asíntota vertical.

#*

**

*

La función que se ha representado es 1

x < 0,

T

/(^ )=

x-^ -

^ , .

X

X -

>

0.

Ejercicio 30. Sea / la función definida por f(x) = xcos —. X

¿Se p u ed e definir en x = 0 de tal forma que sea continua en M? Solución.- Para que esté definida en x = O hay que dar u n valor a / (0). Para que adem ás sea continua en este punto, se tiene que cum plir l í m / ( x ) = / ( 0 ).

i-í-O

Por eso lo razonable es calcular el límite de f { x ) cuando x tiende a O y dar a / (0) ese valor. O bservam os que como eos x G [—1,1], entonces xcos — X

35

y aplicamos la regla del em paredado, para obtener que el límite es O, porque O < lím j;_j.o \f{x)\ < lím 2:^.o lx| = 0. Así, redefinim os f{x) =

a: eos O,

si a; G R — {0}, si X = O,

y la función / es continua, como se p u ed e ver en la siguiente figura.

0.5

-1

-0 .5

Este ejercicio tam bién se p u ed e resolver viendo que es el producto de una función acotada (eos j ) po r una función (que es x) que tiende a 0 . Ejercicio 31. Sea / la función definida por

f{ x ) =

x"x-2 k,

Se pide encontrar para qué valor de

X k

= 2.

la función es continua en R.

Solución.- Se trata de calcular lím 3;^2 f { x) , porque p ara que / sea continua en X = 2 se debe verificar que coincidan el límite de la función y el valor de / en dicho punto. Observam os que / ( x ) , si x / 2 , se p u ed e reescribir como x^

—8

X — 2

(x — 2 )(x 2 + 2x

+ 4)

2 = x^ + 2x + 4.

X — 2

Como se cum ple que lím /( x ) = lím (x + 2x + 4) = 12, x^2

x^2

si elegimos

k

= 12, resulta que / es u n a función continua en R.

Recuerde que lírn g{x) = O

x —>a

t

lím lt/(x)| = 0.

36

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

Ejercicio 32. Sea / la función d ad a po r / ( o ,) ,

* [ 6 4 ,

X = -1 .

Se p ide calcular líma;_j._.i f { x ) y estudiar la continuidad de / en M. Solución.- Si X 7^ —1, la función está definida p o r un a exponencial. La exponencial es una función continua y el exponente tam bién es una función continua, porque el num erado r es una constante y el denom inador no se anula si x / —1. Por eso, / es continua para x / —1. Para estudiar la continuidad en x = —1, hay que ver si existe el límite en este p un to y si coincide con el valor de la función. Tenemos que: lím /( x ) = lím e

= g

æ->—1

= 0.

Como el límite no coincide con el valor de / ( —1), la función no es continua en X = - 1, aunque sí lo es en M - { 1}. Ejercicio 33. Sean / y g- las funciones definidas po r /( x ) = |x |, e

. X

7^ - l ,

g^x) =

'o

Se p ide estudiar la continuidad de 5 o / . Solución.- Si las funciones f y g fueran continuas, tendríam os que g o f y f o g tam bién lo serían. Pero sabem os (por el ejercicio anterior) que g es discontinua en x = —1. Vamos a estudiar la continuidad de / . Escribimos la función / (valor absoluto) como —X,

X

X,

X

< O, > 0.

Entonces la función / sólo p u ed e ser discontinua en x = 0. Pero es conocido

37

que en este p un to tam bién es continua porque lím f { x ) = O = lím f { x ) = /(O).

a:->-0+

Vamos a ver ahora si la función g o f es continua. O bservam os que: 9 ° f { x ) = í / ( k |) ·

Esto significa que el argum ento de g es siem pre positivo y, por eso, nunca vale - 1, es decir siem pre se cumple: 1

g o f (x) = e ü+ÑP'.

Entonces, g o f es continua, aunque no es composición, sum a y cociente de funciones continuas. Ejercicio 34. Se pide dem ostrar, utilizando el teorem a de Bolzano, que cualquier polinom io de grado im par con coeficientes reales tiene al m e­ nos una raíz real. Solución.- Un polinom io es una función continua. Si es de grado im par se puede expresar como p{x) = a 2 k+ ix‘^'‘"^^ + akx'' ------- l· a ix + ao,

para k E N. Podem os suponer que ü2 k+i es m ayor que cero, porque si no lo fuera, m ultiplicam os p por —1 y entonces ya lo es y si p{x) tiene una raíz real, tam bién la tendrá —p{x). Entonces calculamos los límites cuando X tiende a ±cx): lím p{x) = oo,

x —^oo

lím p{x) = —oo.

x —^—oo

Como el límite cuando x tiende a —oo es —oo y un polinom io es una función continua, existe u n núm ero a tal que p{a) < 0. De la m ism a forma, como límx^oo p{x) = OO/ existe u n núm ero b tal que p{b) > 0 . Hemos com probado que se cum plen las condiciones para aplicar el teo­ rema de Bolzano al intervalo [a, ó] y por tanto existe u n p u n to c G (a, ó), tal que p{c) = O, es decir, que p tiene, al menos, una raíz real.

38

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

Ejercicio 35. Sean / y

las funciones definidas, para x G [O, oo), como 4x2

f { x ) = x^

+ X

+ 1

, g{x) = cosx.

¿Existe algún p u nto x G [O, oo) donde /( x ) = ó'(x)? Solución.- Se define la función h{x) = /( x ) — g{x). Entonces, existe un p u n to do nd e /( x ) = g{x) si existe u n p u n to do nd e se anula h. Podem os dem ostrarlo con el teorem a de Bolzano, ya que h es u na fun­ ción continua en el intervalo [O, oo), y las funciones / y ,g son continuas en este intervalo. Tenemos que encontrar dos pu nto s a y h don de h tome valores de distinto signo. Como: h(0) = —1 < O, lím h(x) = oo, X-^OO

existe u n p u n to ò > O tal que h{b) > O, por lo que existe u n c > O tal que h{c) = O, es decir, /(c ) = g{c). Por eso, la respuesta es que sí existe x G [O, oo), con /( x ) = g{x). Ejercicio 36. Sea / la función definida, en el intervalo (O, oo), por f{x) =

¿Existen los valores límj._^o+ /( ^ ) Y ¿Alcanza la im agen de / el valor del suprem o o del ínfimo en algún p u n to de (O, oo)? ¿Contra­ dice esto el teorem a de Weierstrass? Solución.- Contestam os a la prim era pregunta. C om enzam os calculando: lím f(x) = lím -----= oo, æ ^0+

x^0+

X

porque líma...^o+ 1^ ^| = 1 y lím 2._^o+ = o °· A hora calculamos el límite del valor absoluto de / cuando x tiende a oo: lím

x —^oo

e-^ X

< lím

2

X—>-oo X

= 0.

39

Hemos utilizado que lím |e“ ^| = O y que p o r eso está acotada y así la hem os m axim izado p o r 2 para p o d er Recuerde que la gráfica de aplicar la p ropiedad del em paredado y concluir que lím^^^oo f { x ) = 0 . ^ Por otra parte /( x ) = ^ es una función continua en (O, oo) y es d e­ creciente (lo podrem os dem ostrar con las técnicas que aprenderem os m ás ^ adelante), pero no alcanza el suprem o ni el ínfimo del conjunto imagen. Este resultado no contradice el teorem a de Weierstrass, porque el dom i­ nio no es ni cerrado ni acotado. Ejercicio 37. Sea / la función d ad a po r la expresión X

f{x)-

+ 2

-f- 1 '

¿Existe un punto xq £ [0,3] tal que /(xo) = 2 · Solución.- Vamos a ver si podem os aplicar el teorem a de los valores inter­ medios. La función / es continua en [0,3] porque es cociente de polinom ios (que son funciones continuas) y adem ás no se anula el denom inador. Tam­ bién se cum ple la otra hipótesis:

Por eso sabem os que existe xq tal que /(xo ) = \Note que la existencia del p u n to xq gráficamente se dem uestra repre­ sentando la función /( x ) = y la recta y = \ .

2

y \ \ \

1

\ y= h

-1 -1 -

1

2

40

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

Ejercicio 38. ¿El m étodo de la bisección p u ede aplicarse a cualquier ecuación f { x ) = O en u n intervalo cerrado /? ¿Se p u ede aplicar a cualquier ecuación f { x ) = 0 en u n intervalo cerrado I cuando / sea continua?

Solución.- N o p u ed e aplicarse a cualquier ecuación f { x ) = O en u n in­ tervalo cerrado I, porque es necesario que la función / sea continua en el intervalo /. Tampoco se p u ed e aplicar a cualquier ecuación f { x ) = 0 en u n intervalo cerrado I cuando / sea continua, porque es necesario que la función / tom e valores de signo opuesto en los extrem os del intervalo I.

Ejercicio 39. El polinom io ,r'^ —3 tiene una única raíz en el intervalo [0.4], Se pide aproxim arla realizando 3 iteraciones con el m étodo de bisección y estim ar el error cometido.

Solución.- Buscamos aproxim ar la solución de f { x ) = O en el intervalo [0 , 4], donde f{x) =

—3.

Claram ente la función / es continua y como /(O) = —3 < O y /(4 ) = 64 — 3 = 61 > O podem os utilizar el m étodo de bisección. El p un to m edio del intervalo [0,4] es xi = 2 y tenem os /(2 ) = 8 - 3 = 5 > 0. Por lo tanto, nos quedam os con el intervalo [0,2], En la segunda iteración calculamos el p u n to m edio del intervalo [0 , 2] que es X2 = 1 y tenem os / ( l ) = 1 - 3 = - 2 < 0. N os quedam os con el intervalo [1,2] y su p u nto m edio es la tercera iteración pedida, es decir, X3 = 1,5. Para estim ar el error com etido al aproxim ar

(fíjese que esa es la raíz

del polinom io x^ —3) por 1,5 utilizam os la cota del error caso obtenem os que el error com etido será m enor que 4 -0

. En nuestro

41

Ejercicio 40. Tenemos una función continua / : [O, J] --> R, con / (0) = -1 y / ( 1) = 4. Buscamos una solución aproxim ada en [0. J ] por el m éto­ do de bisección p ara la ecuación / (a;) = 0. ¿Cuántas iteraciones son ne­ cesarias para asegurar que el error que com etem os al tom ar la solución aproximada es m enor que 0 ,11 ? a) No se puede aplicar el m étodo de la bisección, b) Faltan datos, c) 3. d) 4.

Solución.- Por el m étodo de bisección, u n a cota del error com etido tras n iteraciones es \xi - X o \ A = 2n donde xq y x\ son los extremos del intervalo inicial. En este caso, buscam os 1 < 0.11

2"

2n

Como

1

-

1

____

= -= 0 .0 6 3 5

y

j_

1

= g = 0.125

tenemos que n = 4. Es correcta la opción d). Ejercicio 41. C onstruya analítica o gráficam ente una función / p ara la que f { x ) = O tenga u n a solución en el intervalo [0,1], / ( 0 ) / ( l ) < O y tal que el m étodo de la bisección no se p u ed a aplicar. ¿Existen funciones continuas en el intervalo [0,1], p ara las que /(c ) = O para c € [0 , 1] y a las que no se p u ed e aplicar el m étodo de la bisección? Solución.- La función que debem os construir habrá de ser discontinua pues de otra form a sabem os que el m étodo se p odría aplicar. En la prim era ite­ ración el m étodo de la bisección calcula el valor d e / ( a : ) e n x = l / 2 y d e­ pendiendo del signo busca la solución de la ecuación en el intervalo [0 , 1/ 2] o [1/ 2 , 1]. Es m uy sencillo construir u na función discontinua que verifique /(O) < O, / ( l ) > Oy /(1 /2 ) > O, tenga un a solución en [0,1] pero no tenga ninguna solución en [0,1/2] (vea la gráfica siguiente). Por lo tanto, el m étodo de la bisección no se p o d rá utilizar.

42

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

0.5

1.0

También hay funciones continuas en el intervalo [0,1] y con una solu­ ción en él y para las que no funciona el m étodo de la bisección. En este caso, se debe cumplir: / ( 0) / ( l ) > 0 , pues de otra form a sabem os que el m étodo funcionará. En la prim era ite­ ración el m étodo de la bisección calcula el valor de f { x ) en a; = 1/2 y d e­ pen diendo del signo busca la solución de la ecuación en el intervalo [0 , 1/ 2] o [1/ 2 , 1], Si el signo de /(1 /2 ) es el m ism o que el signo de /(O) y / ( l ) no sabrem os en qué intervalo buscar y el m étodo fallará. La siguiente gráfica pertenece a una función con las características descritas.

Ejercicio 42. Sea {/„} una sucesión de funciones continuas que converge puntualm ente a la función f { x) . ¿Debe ser / continua? Solución.- N o necesariam ente. Si la convergencia es uniform e sí debe ser continua, pero si no es uniform e p u ed e no serlo.

43

Ejercicio 43. Sea fn la función d ad a por: fn{x) = (1 - xY' sen

27T X

Se pide estudiar en qué subconjunto de IR converge p un tualm ente la su ­ cesión {/„,}. Solución.- Si reflexionamos u n poco, nos dam os cuenta de que para x = 0 no están definidas las funciones fn- A dem ás, observam os que para cada xq distinto de O, el valor de /„ es fn{xü) = (1 - xo)''sen

y sen

Xo

2^ Xq "

es u n valor constante. Por eso, tenem os lím fn{xo) = 1™ (1 —

n-> oc

n~>oo

sen — = sen — lím (1 —xq)^. Xq

X q n-)-oo

Entonces, la existencia de lím,„^oo f n { x o ) dep ende de los valores de sen ^xo Y lím„_j.oo(l — x o ) ^ · El seno se anula cuando su argum ento vale k i r para fc G Z, lo que en nuestra función supone 27T

x

= k ir

X =

2 k

J .

En estos pu nto s siem pre va a ser fn (x) = O y entonces f2\ lím fn - = lím 0 = 0, p ara fc G Z . n^oo \k J n^oo

Por eso, en estos pu ntos la sucesión converge puntualm ente. Estudiam os ahora lo que ocurre fuera de este conjunto. En particular, nos interesa saber cuándo existe lím „^oo(l —xo)^, porque en estos pun to s la sucesión converge puntualm ente. Este límite es finito si y sólo si |1 - x o l < 1

Xq G ( 0 ,2 ) .

Por eso, la función límite p u n tu al existe en el conjunto D = (0 ,2) U ·{ - tal que k e Z — {0}

44

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

y se cumple:

Como práctica, se deja representar las prim eras funciones de esta sucesión con Maxima. Ejercicio 44. Sea /„ la función dada por; X

fn{x) =

Se pide estudiar si la sucesión {/„} converge puntualm en te y uniform e­ m ente en el intervalo [0 . i]. Solución.- Com enzam os encontrando la función límite p u n tu al / p ara es­ tud iar después si la convergencia a esta función es uniform e. R epresenta­ m os gráficam ente los prim eros térm inos de la sucesión:

h h h U

Fijado cualquier p u nto fijo xq G [0,1], se cumple: lím /„(xo) = lím , : = — ------. n->oo n^oo 2[n + 1) 2 lim„_>.oo(w + Ij

= 0.

Por esto, la función límite p u n tu al es / (x) = O p ara todo x G [0,1]. A hora estudiam os la convergencia uniform e. Se cum ple que 1 sup \fn{x) - f {x) \ < 2n + 2 ’ xe[o,i]

porque al ser O < x < 1 entonces |/n(x) - / ( x ) | =

X

2n -I- 2

-O

<

1 2 ?T- + 2

45

Al aplicar la prop ied ad del em paredado resulta: 0<

lím

sup \fn(x) - f {x) \ < lím „

1

, „

=

n -> o c Z n + Z

0.

Así vemos que la sucesión de funciones tiende pu n tu al y uniform em ente a / ( x ) = 0.

Ejercicio 45. Sea /„ la función d ad a por f / v·:^ /

NI < a /n ,

10^

(χ | ^ Λ /η .

Se pide estudiar si la sucesión {/„} converge pu n tu al y uniform em ente. Solución.- Prim ero vam os a representar las prim era funciones de la su ­ cesión, para hacernos una idea de cómo p u ed e ser la función límite. Las gráficas de estas funciones son de la forma

///! !

/

/'

//i

\\\\

/ i l

U

i\\

/ /II --------- '- Ü

—

-1

/4

Parece que la función límite p u n tu al va a ser: /

(x)

= lím /„

(x ) =

j [

^ U,

X 7^ U.

Lo dem ostramos. Si x = O, tenemos: / „ (0) = 1 - n |0| = 1

^

lím fn (0 ) = lím 1 = 1 .

n-> oo

n^oc

Si |x| > 1, entonces /„ (x) = O

lím fn (x) = lím 0 = 0.

46

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

Si o < |x| < 1, entonces va a existir u n núm ero no G N tal que |x| > l/n o y, en ese caso, fnoi.x) = 0. Entonces si m > no tam bién va a ser fm{x) = 0 y, por eso, lím /„ (x) = 0 . n-^oo

Así está dem ostrado que la función límite p u n tu al es / y adem ás, no es continua. Por eso, la convergencia de la sucesión {/„} no es uniform e. Ejercicio 46. Sea fn (x) una serie de funciones que converge abso­ lutam ente. ¿Debe ser tam bién uniform e la convergencia? Solución.- No necesariam ente. La convergencia absoluta implica conver­ gencia puntual, pero no uniform e. U n ejemplo de esto es la serie

Z

n=l

n'·

que es una serie de potencias tipo 3 (Ejemplo 1.59 del libro Cálculo para In­ genieros) y por eso converge absolutam ente en M y uniform em ente en cual­ quier intervalo cerrado y acotado de M, pero esto no se cum ple en M. Ejercicio 47. Sea

fn (í’) la serie de funciones dada por:

n=l

Se pide determ inar el m ayor subconjunto de R d o n d e existe límite p u n ­ tual y estudiar si converge uniform em ente en este subconjunto. Solución.- Para determ inar el límite puntual, vam os a considerar un pun to X fijo: lím

fn (x) =

lím

n=l

x ( l —x)” ^ n=l

= lím ( x - I - x ( l — x ) - I - x ( l — x)2 + · · ■ + x ( l — x)™) m —¥oo

=

lím x[l -I- (1 - x) -h (1 - x)2 H------- h (1 - x)""]

m —>oo

= X ( l -l· (1 - x) -l· (1 - x)2 -----) .

47

Para cualquier x fijo, observam os que 1 + (1 - x ) + (1 -

H---

es la sum a de los térm inos de una serie geométrica, tal que su razón es r = (1 —x). La sum a de los prim eros n térm inos de esta serie es Sn. —

”

r _rn+i 1 —r

(I_ 3 ;)_ (i_ a ;)« + 1

(i _ a;) _ (i _

1 — (1 —x)

X

Por lo tanto, esta serie es convergente si y sólo si |1 - x] < 1 y entonces ( 1 _ X ) _ ( 1 _ X )-+1 l_a; lim Sn = iim ----------------------------= -------- .

n —>oo

n —>oo

XX

De esto se deduce que: CXD

I

x (l —x)”“ ^ =

X ----- X

n=l

= 1 —X,

en |1 - x| < 1, es decir, para O < x < 2. Nos q uedan por estudiar los extremos de este intervalo. Si x = O tam ­ bién es convergente, porque: OO

OO

n=l

n=l

Si X = 2, entonces OO

OO

5 3 /„ (2 ) = ^ 2 ( 1 - 2 ) ”-‘ , n=l

n=l

que no es convergente (fíjese que su térm ino general no converge a 0). Lo mismo pasa si x ^ [0,2]. En resum en, podem os decir que la serie sólo con­ verge puntualm ente en el intervalo / = [0 , 2 ) a la función

’

11 - x ,

a; = O, 0 < x < 2.

Además, la función sum a no es continua, a pesar de que sí lo son las fun­ ciones que conform an la serie. Luego la serie x (l — no converge uniform em ente en el intervalo I.

48

C a p ít u l o l / El paso al lím ite

Ejercicio 48. Sea

fn{x) la serie de funciones d ad a po r

( ^ 1)” f n { x ) ^ {< n — - xX x ' = n.

l O’

Se pide estudiar su convergencia p u n tu a l y absoluta. Solución.- Si X G N, entonces fn{x) — O para todo n G N, y adem ás, E “ l / n W = 0. Sea X G M \ N, entonces existe u n núm ero entero N tal que N > x y para todo n G N, con n > N > x tenem os que

n —X

> 0.

Por eso, para núm eros naturales m ayores que N resulta que es el térm ino general de im a serie alternada. A dem ás, el valor absoluto de es­ te térm ino general cum ple — ------ ^0 n — X

es una sucesión decreciente. Por eso, la serie converge pim tualm ente a la función sum a / (x) = O por el criterio de Leibniz. Para estudiar la convergencia absoluta, tenem os las funciones:

y

X < n, n — X

1

X —n

O,

X > n, X = n.

A dem ás, para cada x existe u n núm ero natural no que es m ayor que x. Tenemos que estudiar lo que ocurre a partir de este térm ino, es decir, si converge la sum a

E

^ n - X n=no

porque podem os calcular \fn{x)\, al ser una sum a finita. Pero la su­ m a desde el térm ino no no es convergente, por la m ism a razón que no es sum able la serie Por tanto, la convergencia no es absoluta.

49

Ejercicio 49. Sea

fn (x) la serie de funciones d ad a por fn (« ) =

Se pide determ inar su radio de convergencia y el tipo de convergencia. Solución.- Observam os que es una serie de potencias, y que Por eso, para determ inar el radio de convergencia, parece adecuado aplicar el criterio de la raíz y calcular: lím

= lím ^

n->oo

= lím e~^ = n —> 0 0

n^oo

e

Por eso el radio de convergencia de la serie es e y la serie es una serie de tipo 2. Esto significa que es absoluta y uniform em ente convergente en cualquier intervalo de la form a [ - k , k] para O < A: < e. No sabem os qué pasa en los puntos X = e y X — —e. Com enzam os estudiando qué ocurre en x = e: /„ ( e ) = e - e " = l, por lo que la serie no es convergente en este punto. En X = - e , tenem os 00 fn

i-e) =

=

e-" ( - e f

(-1 )"

, ^

00 fn

(-e) =

71=1

(-1 )"

,

n=l

que no converge ni pu n tu al ni uniform em ente. Ejercicio 50. Sea

fn {x) la serie de fu n d o n es d ad a por fn{x)= e^^x-.

Se pide determ inar su radio de convergencia y el tipo de convergencia. _i. Solución.- La serie de funciones es una serie de potencias y a„ = e ^ . Va­ mos a intentar calcular el radio de convergencia con el criterio del cociente:

lím íl— >-oo

a.

1

= lím e

= lím n — >-oo

n^oo

e -2n+l

= lím n — >-oo

g n2(n—1)^

=

g lím n ^ o o

1 e ^ = lím n-^oo ^

gO ^

1

1

'o

50

C a p ít u l o 1 / El paso al lím ite

Por eso, el radio de convergencia es 1/1 = 1. Luego es una serie de tipo 2 y para cualquier k con O < A; < 1, la convergencia es absoluta y uniform e en el intervalo [—k, k]. Estudiam os qué ocurre para x — l y x = —l\ OO

fn ( - 1) = e - ^ ( - i r , E

OO

f - ( - 1) = E

n=l oo

f n (1) =

( - 1)”

n=l

= e -^ ,

OO

f n (1) = E n=l

n=l

Para x = —1 tenem os una serie alternada cuyos térm inos tienden a O y es decreciente y, po r tanto, es convergente. Para x = 1 es una serie de térm inos positivos que es convergente, lo que se dem uestra sin más que aplicar el criterio de la raíz para series; lím Y e

n —^oo

= lím e ^ = 1. n —^oo

Adem ás, OO

n=l

OO

n=l

por lo que en los pun tos x = 1, x = - 1 converge absolutam ente.

2 F u n c io n e s

d e r iv a b l e s

En el m ódulo "Funciones derivables" se introduce el im portantísim o con­ cepto de derivada y se establece su relación con la existencia de u na apro­ ximación lineal local para la función (que, gráficamente, resulta ser la recta tangente a la gráfica de la función). D espués se establecen las reglas básicas de derivación, pudién do se observar que este proceso es, en general, senci­ llo y algorítmico. M uy pronto la derivada m uestra su utilidad y gracias a la Regla de L'H ôpital somos capaces de calcular m uchos límites de form a sen­ cilla. También se consideran en este m ódulo dos estrategias p ara resolver num éricam ente ecuaciones: M étodos de N ew ton y de p u n to fijo. Por últi­ mo, se presentan los teorem as de Rolle y del valor m edio y gracias a ellos condiciones suficientes para el crecimiento o decrecim iento de u na función en u n intervalo.

R ecuerde... ■ La recta tangente a la gráfica de u na función en u n p u n to se define a partir del valor de la derivada. ■ Si una función es derivable en u n pun to , entonces es continua en ese punto. ■ La Regla de L'H ôpital no es infalible y debe utilizarse únicam ente si se cum plen las condiciones que lo perm iten. ■ El M étodo de N ew ton tiene u na interpretación geom étrica que lo re­ laciona directam ente con aproximaciones utilizando rectas tangentes a la gráfica de la función que define la ecuación a resolver. ■ Para aplicar el M étodo de p u n to fijo a una ecuación es necesario, en ocasiones, reform ular el problem a y no hay una única form a de h a­ cerlo. ■ Los teorem as de Rolle y del valor m edio son resultados que g aran­ tizan la existencia de al m enos u n p u n to con ciertas p ro piedades sin inform ar sobre qué p u nto realm ente es.

51

52

C apítulo 2 /

Funciones derivables

Ejercicios

Ejercicio 51. La derivada en u n p u n to a € R de u n a función derivable / : M M es: a) Una recta tangente. b) U n núm ero reaL c) U na función. Solución.- La derivabilidad de una función / en u n p u n to a se establece a partir del límite f{a + h ) - f { a ) _ h^O h

Ecuación de la recta. La recta con vector director {u,v) pasando por el punto (a, b) tiene por ecuación

v(x — a) = u{y — b).

Si el límite anterior existe y es finito, entonces la función es derivable en a y su derivada es el valor del límite. Es decir, la d erivada de una función derivable es u n núm ero real. La opción b) es la única correcta. Ejercicio 52. Si / ; 1. ->■ R es derivable en a e R, entonces a) La recta y = f { a ) {x —a) + / (a) es tangente a la gráfica de / en el p u n to

Si íi / O, la ecuación anterior se puede reescribir como

b) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de / en el p u n to (a, / ( a ) ) es / '( a ) .

y = mx + c

c) La recta x = —f { a ) { y —f { a} ) + a corta perpendicularm ente a la gráfica d e / e n ( a ,/(a)).

conm = y f u y c = b—ma. La constante m recibe el nom ­ bre de pendiente y coincide con el valor de la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x. Si M = O, es decir si la recta es vertical, su ecuación no puede expresarse m edian­ te la ecuación y = m x -|- c y su ecuación es de la forma a; = o. En ocasiones se dice que las rectas verticales tie­ nen pendiente infinita.

Solución.- Sabemos que las opciones a) y b) son correctas porque la in­ terpretación geom étrica de la derivada establece que ésta coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de / en el p u n to ( a , / ( a ) ) , es decir, la recta tangente tiene por ecuación y = f ' { a ) { x - a ) + f{a).

(2 .1)

Estudiem os la opción c). Si la recta con ecuación x =

- f{a)) + a

cortase perpendicularm ente a la gráfica de / en (a, / (a)), tam bién debería cortar perpendicularm ente a la recta tangente a la gráfica de / en (a, / (a)).

Ejercicios de Cálculo para Ingenieros Es decir, debería coincidir con la recta perpendicular en (a, / (a)) a la rec­ ta dada por (2.1). O btengam os la ecuación de esa recta y veam os si coin­ ciden. N ecesitamos u n p u n to po r el que pasa, lo tenem os ( a ,/( a ) ) , y u n vector director, que será u n vector perpendicular a ( 1, /'( a ) ) , p o r ejemplo, ( - / '( a ) , 1). Por tanto, la ecuación siguiente es la de la recta perpendicular a la gráfica de / en el p u n to (a, /( a ) ) l ( x - a ) = - / '( a ) ( y - / ( a ) )

X=

- f ( a) ) + a.

Y la opción c) tam bién es correcta. Ejercicio 53. Encuentre los pu nto s en los que la recta tangente a la gráfica de la función / d ad a p o r /(.r) = — — 1 es paralela al eje x. Solución.- Las rectas horizontales tienen pendiente cero porque, por ejem­ plo, ( 1, 0 ) es u n vector director para esas rectas y se tiene m = j = 0. Sabemos que la pendiente de la recta tangente en u n p u n to (x, f ( x ) ) de la gráfica de una función derivable / coincide con el valor de la derivada f'(x). Por lo tanto, debem os buscar los pun to s en los que la derivada de / es nula. D erivando resulta f' (x) = —x^ —2x, e igualando a cero, y resolviendo la ecuación resultante, obtenem os los pu ntos buscados: - 2x = O

x( x + 2) = O

X = O y X = -2 .

Por lo tanto, los pu nto s de la gráfica buscados son (O, /(O)) y ( - 2 , / ( - 2 ) ) . Es decir, ( 0 ,- 1 ) y ( - 2 , ^ ) . Ejercicio 54. Calcule los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de la función d ad a p o r f ( x ) = —5 ·"^^ ~ — Ï form a u n ángulo de | radianes (45 grados) con el eje x (m edido desde el eje a la recta en sentido contrario al de las agujas del reloj).

Solución.- Las rectas que form an u n ángulo de ^ radianes con el eje x (me­ dido desde el eje a la recta en sentido contrario al de las agujas del reloj) son las paralelas a la bisectriz del prim er cuadrante. Por lo tanto, u n vector di­ rector para cualquiera de estas rectas es ( 1 , 1 ) y la p endiente de cualquiera de ellas es m = j = 1.

53

Recuerde que un vector perpendicular al vector

(u, v) es

54

C a p ít u l o 2 / Funciones derivables

Debemos buscar los pun tos en los que la derivada f' { x) = tom a el valor 1: 2

^

—X — 2x = l

2

^

x+2x + l = 0

_ 2x

- 2 ± V 4 ^

=► x = -------------------

=>

X = — 1.

Sustituyendo

Por lo tanto, existe u n único p u n to de la gráfica en el que la recta tan­ gente forma u n ángulo de | radianes con el eje x. Ese p u n to es (—1, —

Ejercicio 55. De una función derivable / ; R —> M se sabe que /'( x ) = sen( 7rx)e 2^^“ ^. Señale la afirmación correcta relativa a la recta tangente a la gráfica de / en (x, /(x )): a) N unca es paralela al eje X. b) Para x == | es perpendicular al vector (—1, 1). c) Sólo es paralela al eje x si x = 0.

d) N in gu na de las anteriores.

Solución.- La pendiente de la recta tangente a la gráfica de / en cierto p u n ­ to (x ,/( x ) ) viene dad a po r el valor de la derivada de / en x. Si la recta tangente es paralela al eje x p ara x = c, se debe verificar /'( c ) = 0. Por lo tanto. sen(7Tc)e2c2- c = 0

sen( 7Tc) = O

c = . . . , - 2 , - 1, 0 , 1, 2 , . . .

Ejercicios de Cálculo para Ingenieros

55

y existen un núm ero infinito de pun to s en los que la recta tangente es para­ lela al eje x. Así que las únicas opciones que p u ed en ser válidas son b) o d). La p en ­ diente de la recta tangente en (^, / (^)) es = sen

/ 1 V^4

7T

2 '

1\

2/

Por lo tanto, u n vector director de la recta es porque

= 1.

(1,1)

que es perpendicular

3 ( —1, 1)

Note que un vector director P^''^

recta con pendiente

f i a ) es(l,/'(a)).

( 1 , 1 ) . ( - 1 , 1) = ! ( - ! ) + 1 - 1 = 0 . Resultando únicam ente válida la opción b). Ejercicio 56. Calcule las derivadas de las funciones d adas por f { x ) = sen .Xcosa;

y

y{x) = secx.

Solución.- U tilizando la fórm ula de derivación de u n producto se tiene Recuerde que

f' { x) = eos X eos X + sen x (—sen x) = cos^ x —sen^ x. (/•ff)' = / ' - S + /- 5 '-

Otra forma de llegar al resultado anterior es recordar que sen( 2x) = 2 sen x eos x. Por tanto, /( x ) = ^ sen(2x), y derivando se tiene =

( \

- s e n ( 2x)

\ ^

Recuerde que para c G K (c /)' = c /',

1 = - c o s ( 2x )2 = cos(2x).

y que la Kegla de la cadena es­ tablece

/ ¡Oh! ¿Hemos llegado a resultados distintos? No. Puesto que debem os recordar que se verifica la igualdad

{ f o g y = {f' og). g'

cos(2x) = cos^ X —sen^ x. Pasemos a la derivada de g. Puesto que secx = fórmula de derivación de u n cociente se tiene 3'(x) =

O —(—senx) COS^ X

sen x eos X eos X

utilizando la

tg x = secitg x . eos x

Recuerde que

//V

f'-g-f-g'

------.

56

C a p ít u l o 2 / Funciones derivables

Puesto que sec(a;) = (eos x) la derivada de g tam bién se p u ed e calcu­ lar con la Regla de la cadena de la form a siguiente: g'[x) = —1 (c o s a ::)se n X = seea;tga;.

Ejercicio 57. Calcule la derivada de la función d ad a po r /í.(a;) = s e n ( ( l ,# cosa?)-).

Solución.- Como hem os recordado al m argen, la Regla de la cadena garantiza que la derivada de la com posición h{x) = f { g{ x) ) es h'{x) = f ' { g{ x) ) - g' { x) .

Para h{x) = sen((l + eosa;)^) tenem os que f { x ) — sena; y g{x) = (1 + eos a;)2. Por lo tanto, h'{x) = f'{g{x)) ■ g'{x) = cos{g{x)) ■ g'{x) = cos((l + cosa:)^) · g'{x). (2 .2 )

Recuerde que ( / +