Cálculo Numérico - Exércicios Resolvidos
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exércicios...
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RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
- UTFPR -
Professores: Lauro César Galvão Luiz Fernando Nunes
Cálculo Numérico – (Lauro / Nunes)
ii
Índice 1 2 3 4 5 6 7
Noções básicas básicas sobre Erros ............................................ .................................................................. ........................... .....1-1 Zeros reais de funções reais............................................ .................................................................. ........................... .....2-2 Resolução de sistemas de equações lineares ............................................. .............................................3-1 Interpolação ........................................... ................................................................ ........................................... ............................... .........4-1 Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados ............................. .............................5-1 Integração Numérica................................. Numérica....................................................... ............................................ ........................... .....6-2 Solução numérica de equações diferenciais ordinárias ............................. .............................7-1
Cálculo Numérico
Noções básicas sobre Erros
1-1
1 Noções básicas sobre Erros 1. Calcular a área da superfície terrestre usando a formulação A 4 r 2 . Resolução: Aproximações (ERROS): MODELAGEM: a Terra é modelada como uma esfera, uma idealização de sua forma verdadeira. O raio da Terra é obtido por medidas empíricas e cálculos prévios. RESOLUÇÃO: o valor de requer o truncamento de um processo infinito; os dados de entrada e os resultados de operações aritméticas são arredondados pelo computador. OBS. 1: Características do planeta Terra.
Características Físicas: Diâmetro Equatorial: 12756Km; Diâmetro Polar: 12713Km; Massa: 5,98 1024 Kg; Perímetro de Rotação Sideral: 23h 56min 04seg; Inclinação do Equador Sobre a Órbita: 23 o 27’.
Características Orbitais: Raio da Órbita, isto é, 1U.A. (unidade astronômica): 149897570Km; Distância Máxima do Sol: 152100000Km; 152100000Km; Distância Mínima do Sol: 147100000Km; Período de Revolução Sideral: 365dias 6h 9min 9,5seg; Velocidade Orbital Média: 29,79Km/seg.
2.
Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens a) e b). y 5,39. a) x 1,5 e x 1,49; b) y 5,4 e y Resolução: a) EA x 0,01 102 b) EA y 0,01102 ER y 0,00185185 ER x 0,00666667 3. Arredondar na quarta casa decimal, sendo que 3,1415926535 Resolução: d i 5 e d i 1 95 d i 1516. Logo: 3,1416. 4. Aproximar truncando na quarta casa decimal, sendo que 3,1415926535 Resolução: d i 5 3,1415. 5.
x i
i0
i!
Sabendo-se que e pode ser escrito como e x
x
, faça a aproximação de e 2 através
de um truncamento após quatro termos da somatória.
Resolução:
x
e
x i
x 2
x3
x5
x 4
i! 1 x 2! 3! 4! 5! Truncando-se
após quatro termos,
i 0
tem-se: 2
e 12
2
2
2!
2
3
3!
12
4 2
8 6
5
4 3
19 3
.
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Noções básicas sobre Erros
1-2
6.
Considerando no sistema de base 10, 10, represente os seguintes números, em aritmética de ponto flutuante: a) 0,34510; b) 31,41510. 5 3 4 Resolução: a) 0,34510 2 3 100 ; 10 10 10 5 4 1 3 1 b) 31,41510 2 3 4 5 102 . 10 10 10 10 10 7.
Considerando no sistema binário, 2, represente o número 101 2 em aritmética de ponto flutuante. 1 0 1 Resolução: 1012 0,101 23 2 3 23 . 2 2 2 8.
10112 x10 .
1 0 1 1 10112 0,1011 2 4 2 3 4 2 4 23 2111 2 2 2 2 10112 1110 x 11.
Resolução:
9.
11,012 x10 . 1 1 1 0 1 11,012 0,1101 22 2 3 4 22 21 2 3,25 2 2 2 2 2 11,012 3,2510 x 3,25.
Resolução:
10.
403,125 x10 .
4 0 3 1 2 403,125 0,40312 53 2 3 4 5 53 5 5 5 5 5
Resolução:
1 2 4 52 03 2 10030,20,08103,28 5 5 403,125 103,2810 x 103,28.
11. Converta 5910 para a base 2. Resolução: N 59 e 2 N 59
2
1
29
2
1
14
2
0
7
2
1
3
2
1
1
5910 1110112
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Noções básicas sobre Erros
1-3
12. Converta 5910 para a base 3. 59 e 3 N Resolução: N 59
3
2
19
3
1
6
3
0 2 5910 20123 Nos exercícios a seguir, determinar determinar o valor de x : 13. 0,187510 x2 . Resolução: 0,1875
0,375
0,75
0,5
2
2
2
2
0,3750 0,750 0,187510 0,00112.
1,50
1,0
14. 0,610 x2 . Resolução: 0,6
0,2
0,4
0,8
0,6
2
2
2
2
2
0,8
1,6
1,2
1,2 0,4 0,610 0,100110012.
15. 13,2510 x2 . Resolução:
13 e 2 N a) 1310 ? N
13
2
1
6
2
0
3
2
1
1
1310 11012.
b) 0,2510 ? 0,25
0,5
2
2
0,50 0,2510 0,012.
1,0
Logo: 13,2510 1310 0,2510 11012 0,012 1101,012.
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros Transforme para a base que se pede (determine o valor de x ). 16.
1-4
100101,10012 x10 .
Resolução: 100101,10012 0,1001011001 26 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 2 2 1
1
1
32410,50,0625 37,5625 4 2 100101,10012 37,562510 x 37,5625. 2
17. 19,3867187510 x4 . Resolução:
a) 1910 ? N 19 e 4 N 19
4
3
4
4
0 1 1910 1034.
b) 0,38671875 10 ? 0,38671875
0,546875
0,1875
0,75
4
4
4
1,54687500 2,187500 0,3867187510 0,12034.
0,7500
3,00
4
Logo: 19,38671875 10 1910 0,38671875 10 1034 0,12034 103,12034.
18.
Transforme a medida 35 h 48 min 18 seg para minutos. DICA: 35:48,1860 x10 min . 18 35 48 18 35:48,1860 0,35:48:18 602 2 3 602 3560 48 60 60 60 60 2100 48 0,3 2148,3 35:48,1860 2148,310. 35 h 48 min 18 seg = 2148,3 min .
Resolução:
19.
Transforme 35,805 horas para horas, minutos e segundos. DICA: 35,80510 x60 . Resolução:
a) 3510 ? N 35 e 60 N 3510 3560.
b) 0, 80510 ? 0,805
0,3
60
60
48,300
18,0 Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Noções básicas sobre Erros
1-5
0, 80510 0,48:1860.
Logo: 35,80510 3510 0, 80510 3560 0,48:1860 35,48:1860. 35,805 h 35 h 48 min 18 seg .
20.
Preencher a tabela a seguir, com base nos parâmetros: t 3, 10, I 5, S 5 e 5 exp 5. Número
Truncamento
Arredondamento
6,48
0,64810
0,64810
0,0002175
0,217103
0,218 103
3498,3
0,349104
0,35104
0,00000001452
0,145 107
0,145 107
UNDERFLOW
2379441,5 OVERFLOW 0,237107 0,238 107 Nos exercícios seguintes, calcular o valor das expressões utilizando aritmética de ponto flutuante com 3 algarismos significativos. 21. (4,26 9,24) 5,04 Resolução: 13,5 5,04 18,5. 22. 4,26 (9,24 5,04) Resolução: 4,26 14,3 18,6. 23. (4210 4,99) 0,02 Resolução: 4210 0,02 4210. 24. 4210 (4,99 0,02) Resolução: 4210 5,01 4200. 25.
2 7
(4,0237 6,106)
Resolução: 26.
2 ( 4,0237 6,106) 7
Resolução: 27.
0,286(4,02 6,11) 0,286(2,09) 0,598.
2 ( 2,09) 7
Sendo 10, t 4 e
4,18 7
0,597.
exp [5,5], calcule:
10
a) 42450
10
3; i 1
b)
3 42450. i 1
Resolução: 10
a) 42450
3 = 42450 0,4245 105 ;
i 1
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico 10
b)
Noções básicas sobre Erros
1-6
3 42450 30 42450 42480 0,4248105 .
i 1
Nos exercícios seguintes, converter os números para a base decimal, determinando o valor da variável x : 28.
11000112 x10 .
1 1 0 0 0 1 1 11000112 0, 1100011 27 2 3 4 5 6 7 27 2 2 2 2 2 2 2 26 25 21 99 11000112 9910 x 99.
Resolução:
29.
11111112 x10 .
1 1 1 1 1 1 1 11111112 0, 1111111 27 2 3 4 5 6 7 27 2 2 2 2 2 2 2 26 25 24 23 22 21 127 11111112 12710 x 127.
Resolução:
30.
10101012 x10 .
1 0 1 0 1 0 1 10101012 0, 1010101 27 2 3 4 5 6 7 27 2 2 2 2 2 2 2 26 24 22 1 85 10101012 8510 x 85.
Resolução:
31.
101,00112 x10 .
1 0 1 0 0 1 1 101,00112 0, 1010011 23 2 3 4 5 6 7 23 2 2 2 2 2 2 2
Resolução: 2 2 1
1
1
5 0,125 0,0625 5 0,1875 5,1875 4 2 101,00112 5,187510 x 5,1875.
32.
2
3
0,01111112 x10 .
1 1 1 1 1 1 0,01111112 0, 111111 2 1 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 2 2
Resolução:
1
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
2 2 2 2 2 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625 0,0078125 0,4921875 0,0111111 2 0,492187510 x 0,4921875.
33.
2
2
1
1,0100112 x10 .
1 0 1 0 0 1 1 1,0100112 0, 1010011 2 2 3 4 5 6 7 2 2 2 2 2 2 2 2
Resolução: 1
1
1
1
1 0,25 0,03125 0,015625 1,296875 6 2 1,0100112 1,29687510 x 1,296875. 22
25
Lauro / Nunes
1-7 Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros Nos exercícios seguintes, converter os números para a base binária, determinando o valor da variável x : 34.
3710 x2 .
Resolução:
35.
N 37 e 2 N
37
2
1
18
2
0
9
2
1
4
2
0
2
2
0
1
3710 1001012
234510 x2 .
Resolução: N 2345 e 2 N 2345 2 1 1172 2 0 586 2 0 293 2 1 146 2 0 73 2 1 36 2 0 18 2 0 9 2 1 4 2 0 2 2 0 1 234510 1001001010012 36. Determine x com 36 dígitos: 0,1217 10 x2 . Resolução: 0,1217 0,2434 0,4868 0,9736 0,9472
0,8944
0,7888
0,5776
0,1552
0,2434
0,4868
0,9736
1,9472
1,8944
1,7888
1,5776
1,1552
0,3104
0,3104
0,6208
0,2416
0,4832
0,9664
0,9328
0,8656
0,7312
0,4624
0,6208
1,2416
0,4832
0,9664
1,9328
1,8656
1,7312
1,4624
0,9248
0,9248
0,8496
0,6992
0,3984
0,7968
0,5936
0,1872
0,3744
0,7488
1,8496
1,6992
1,3984
0,7968
1,5936
1,1872
0,3744
0,7488
1,4976
0,4976
0,9952
0,9904
0,9808
0,9616
0,9232
0,8464
0,6928
0,3856
0,9952
1,9904
1,9808
1,9616
1,9232
1,8464
1,6928
1,3856
0,7712
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
1-8
Noções básicas sobre Erros
0,121710 0,000111110010011110111011001011111110 2.
37. Determine x com 8 dígitos: 2,47 10 x2 . Resolução:
a) 210 ? N 2 e 2 N 2
2
0
1
210 102.
b) 0, 4710 ? 0,47
0,94
0,88
0,76
0,52
0,04
0,08
0,16
0,32
0,32
0,64
0,94 1,88 1,76 1,52 1,04 0,08 0,16 0, 4710 0,01111000 2. Logo: 2,4710 210 0, 4710 102 0,011110002 10, 01111000 2.
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Zeros reais de funções reais
2-2
2 Zeros reais de funções reais 38. Isolar os zeros da função f ( x ) x 3 9 x 3. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais: x 0 1 2 3 4 3 2 1 f ( x ) Como f (4) f (3) 0 , f (0) f (1) 0 e f (2) f (3) 0 , conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f ( x ) nos intervalos [ 4,3], [0,1] e [2,3]. Como f ( x) 0 tem exatamente 3 raízes, pode-se afirmar que existe exatamente um zero em cada um destes intervalos. y y = f (x )
1 -4
3
2 -3
-2
-1
1
2
x
3
4
Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação f ( x ) x 3 9 x 3=0, obtendo-se a equação equivalente x 3 9 x 3. Neste caso, tem-se que g ( x ) x 3 e h( x) 9 x 3 . Traçando os gráficos de g ( x ) e h( x ) , verifica-se que as abscissas dos pontos de intersecção destas curvas estão nos intervalos [ 4,3], [0,1] e [2,3]. y
g(x )
h (x )
1 -4
-3
x
-2
-1
2 1
2 3 3
4
Outra forma de se verificar a unicidade de zeros nestes intervalos, é traçar o gráfico da função derivada de f ( x) , f '( x) 3x 2 9 e confirmar que a mesma preserva o sinal em cada um dos intervalos ] 4,3[, ]0,1[ e ]2,3[, conforme a Error! Reference source not found..
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Zeros reais de funções reais
2-3
y
y = f’ (x )
-3 -4
-3
-2
x
3
-1
1
2
3
4
39. Isolar os zeros da função f ( x) x ln x 3,2 . Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais: x 1 2 3 4 f ( x )
Como f (2) f (3) 0 , conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f ( x ) no intervalo [2,3]. y
y = f (x )
0,3 0,2 0,1 0
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
x
-0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0
Pode-se ainda verificar graficamente que a função derivada da função f ( x) , f '( x) 1 ln x preserva o sinal no intervalo ]2,3[, neste caso f '( x ) 0 x ]2,3[, o que pela Obs. 1 garante que só existe um zero de f ( x ) neste intervalo.
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Zeros reais de funções reais y
2-4
f’ (x )
1
1
x
40. Isolar os zeros da função f ( x) 5 log x 2 0,4 x . Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais: x 1 2 3 f ( x )
Como f (1) f (2) 0 , conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f ( x ) no intervalo [1,2]. Pode-se também chegar a esta mesma conclusão partindo da equação f ( x) 5 log x 2 0,4 x =0, obtendo-se a equação equivalente 5 log x 2 0,4 x . Neste caso, tem-se que g ( x) 5 log x e h( x) 2 0,4 x . Traçando os gráficos de g ( x) e h( x ) , verifica-se que a abscissa do único ponto de intersecção destas curvas está no intervalo [1,2]. y
g (x )
2 1 h (x )
2
1
3
x
41. Isolar os zeros da função f ( x) x 5e x . Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais: x 0 1 2 3 f ( x )
Como f (1) f (2) 0 , conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f ( x ) no intervalo [1,2]. Pode-se também chegar a esta mesma conclusão partindo da equação f ( x) x 5e x x 0, obtendo-se a equação equivalente x 5e . Neste caso, tem-se que g ( x ) x e h( x ) 5e x . Traçando os gráficos de g ( x ) e h( x ) , verifica-se que a abscissa do único ponto de intersecção destas curvas está no intervalo [1,2].
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Zeros reais de funções reais
2-5
y
2 g (x )
1
h (x )
1
42.
Determinar um valor aproximado para
2
3
x
5 , com erro inferior a 102 .
Resolução: Determinar 5 é equivalente a obter o zero positivo da função f ( x) = x 2 5. Sabe-se que o intervalo [2,3] contém este zero e a tolerância neste caso é = 10 2 . Assim, a quantidade mínima de iterações para se obter a resposta com a precisão exigida é: 2 log(b a ) log log(3 2) log10 log1 2 log10 0 2 1 n
log 2
n
log 2
n
log 2
n 6,643856. Como n deve ser intero, tem-se n 7. n a x b f ( a ) f ( x )
1 2,0 2,5 3,0 2 2,0 2,25 2,5 3 2,0 2,125 2,25 4 2,125 2,1875 2,25 5 2,1875 2,21875 2,25 6 2,21875 2,234375 2,25 7 2,234375 2,2421875 2,25 Portanto 5 2,2421875 0,0078125 43.
n
f ( b )
log 2
( b a )/2 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625 0,0078125
Um tanque de comprimento L tem uma secção transversal no formato de um semicírculo com raio r (veja a figura). Quando cheio de água até uma distância h do h topo, o volume V da água é: V L 0,5 r 2 r 2arcsen h (r 2 h 2 ) . Supondo r que L 10 ft , r 1 ft e V 12,4 ft 3 , encontre a profundidade da água no tanque com precisão de 0,01 ft .
r h
h
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Resolução:
Zeros reais de funções reais
2-6
Para calcular a profundidade r h da água, substitui-se os valores de r , L e V
na expressão anterior para obter a equação arcsen( h ) h 1 h2 1,240,50 cuja raiz é h . Assim, deve-se calcular o zero da função f (h) arcsen( h ) h 1 h 2 1,240,5, com precisão de 10 2 . Para isto, primeiramente isola-se o zero desta função num intervalo da seguinte forma. Pode-se construir uma tabela de valores para f (h) e analisar os sinais: h 0 1 1 f ( h)
Como f (0) f (1) 0 , conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f ( h) no intervalo [0,1]. Para se confirmar a unicidade deste zero neste intervalo, pode-se utilizar a OBS. 1, isto é, calcula-se a derivada f , (h) de f (h) para verificar que a mesma preserva o sinal no intervalo ]0,1[. Assim, obtém-se f , (h) ,
f ( h)
2(1 h 2 ) 1 h
2
1
2
1 h
2
1 h
0 h ]0,1[ , o que significa que
f ( h ) é
1 / 2 h (2 h ) 1 h2 2
estritamente crescente neste
intervalo, o que garante a unicidade do zero de f (h) em ]0,1[. Agora determina-se o número de iterações necessárias para se obter a precisão exigida: 2 log(b a ) log log1 log10 n n n 6,643856 log 2
log 2
Logo são necessárias n = 7 iterações. (ba)/2 1 0 0,5 1 0,5 2 0 0,25 0,5 0,25 3 0 0,125 0,25 0,125 4 0,125 0,1875 0,25 0,0625 5 0,125 0,15625 0,1875 0,03125 6 0,15625 0,171875 0,1875 0,015625 7 0,15625 0,1640625 0,171875 0,0078125 Assim, h 0,1640625 0,0078125 e a profundidade r h da água solicitada é aproximadamente 1(0,1640625) ft .
n
44.
a
h
f (a)
b
f (h)
f (b)
Obter algumas funções de ponto fixo para a função f ( x) x 2 x 6 .
Resolução: Efetuando diferentes manipulações algébricas sobre a equação f ( x) 0 ou x 2 x 6 0, podem-se obter diferentes funções de ponto fixo, como por exemplo: a) x 2 x 6 0 x 6 x 2 , logo 1 ( x) 6 x 2 . Como 1 (3) 3 e 1 (2) 2, tem-se que 3 e 2 são pontos fixos de 1 ( x) . b) x 2 x 6 0 x 6 x , logo se pode ter 2 ( x) 6 x e neste caso tem-se que 2 é ponto fixo de 2 ( x) , pois 2 (2) 2 , ou 2 ( x) 6 x e neste caso tem-se que 3 é ponto fixo de 2 ( x) , pois 2 (3) 3 . 6
x
6
6
x
x
x
x
c) x 2 x 6 0 x x x 6 0 x x 1 , logo 3 ( x)
1 . Como
3 (3) 3 e 3 (2) 2, tem-se que 3 e 2 são pontos fixos de 3 ( x) . Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
2-7
Zeros reais de funções reais
d) x 2 x 6 0 x x x 6 0 x( x 1) 6 0 x
6 x 1
, logo 4 ( x)
6 x 1
.
Como 4 (3) 3 e 4 (2) 2, tem-se que 3 e 2 são pontos fixos de 4 ( x) . No próximo passo algumas destas funções serão utilizadas na tentativa de gerar seqüências aproximadoras dos zeros de f ( x) . 45.
Aproximar o maior zero da função f ( x) x 2 x 6 , utilizando a função 2 ( x) 6 x , e x 0 1,5.
Resolução: Neste caso a fórmula de recorrência x n1 ( xn ) , n 0, 1, 2, será: xn1
2 ( x n ) 6 x n , e pode-se construir a seguinte tabela: n
x n
0 1 2 3 4
1,5 2,12132 1,96944 2,00763 1,99809
2,12132 1,96944 2,00763 1,99809 2,00048
x n1
2 ( xn ) 6 xn
Percebe-se que neste caso a seqüência { x n } converge para a raiz 2 da equação x 2
x 6 0. y
y = x
6
2 (x )
x 0
46.
x 2 x 3 x 1 =2
x
6
Aproximar o maior zero da função f ( x) x 2 x 6 , utilizando a função 1 ( x) 6 x 2 , e x 0 1,5.
Resolução: Neste caso a fórmula de recorrência xn1 ( xn ) , n 0, 1, 2, será: xn1 1 ( xn ) 6 xn2 , e pode-se construir a seguinte tabela: n
x n
0 1 2 3
1,5 3,75 8,0625 59,003906
x n1
1 ( x n ) 6 x 2 3,75 8,0625 59,003906 3475,4609
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Zeros reais de funções reais
2-8
Percebe-se que neste caso a seqüência { x n } não converge para a raiz 2 da equação x 2 x 6 0. y y = x
6
x 2 x 0
x 1
x
=2
1 (x ) Assim, os dois exercícios anteriores mostram que dependendo da transformação x ( x) escolhida, a relação de recorrência x n1 ( x n ) pode ou não fornecer uma seqüência { x n } convergente. Desta forma, como determinar a priori, quais transformações fornecerão seqüências convergentes? As figuras que seguem ilustram alguns casos onde ocorrem convergência e alguns casos onde não ocorre convergência. A seqüência xk converge para o zero (Convergência do tipo escada). y
y = x
(x )
x 3
x 2
x 1
x 0
x
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Zeros reais de funções reais
2-9
A seqüência xk converge para o zero (Convergência do tipo caracol). y
y =x
(x )
x 1
x 3
x 4
x 2
x 0
x
A seqüência xk não converge para o zero . y
y = x
(x )
x 0
x 1
x 2
x 3
x
A seqüência xk não converge para o zero .
(x )
y
x 3
x 1
x 0
y = x
x 2
x
47.
Verificar as condições i) e ii) do teorema anterior quando do uso da função 2 ( x) 6 x no exercício número 8. Resolução: Verificação da condição i):
2 ( x) 6 x é contínua no conjunto S { x /x 6}.
2 ' ( x)
1 é contínua no conjunto 2 6 x
T { x /x < 6}.
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico Verificação da condição ii):
Zeros reais de funções reais
1 < 1 x < 5,75 2 6 x Logo, é possível obter um intervalo I , tal que satisfeitas.
2-10
2 '( x) < 1
2 I ,
onde as condições i) e ii) estão
48.
Verificar as condições i) e ii) do teorema anterior quando do uso da função 1 ( x) 6 x 2 . Resolução: Verificação da condição i):
1 ( x) 6 x 2 e 1'( x) 2 x são contínuas em . Verificação da condição ii):
1 '( x) < 1 2 x < 1 < x <
1
1
.
2 2 Logo, não existe um intervalo I , com 2 I , e tal que
1' ( x) < 1, x I .
Encontrar o zero de f ( x) e x x 2 4 com precisão 10 6 , utilizando o método do ponto fixo. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais: x 3 2 1 49.
f ( x )
Como f (3) f ( 2) 0 , conclui-se, de acordo com o Teorema 1, que existem zeros de f ( x ) no intervalo [3,2]. Fazendo h( x) e x e g ( x) x 2 4 , pode-se verificar que os gráficos das mesmas se intersectam em apenas um ponto, o que garante que só existe um zero de f ( x ) neste intervalo. 5
x
y
h (x ) = e 2 g (x ) = x - 4
4 3 2 1 -3
-2 -1
1
2
3
x
-1 -2 -3 -4
Assim, o zero de f ( x) está isolado em [ 3,2]. Procurando uma função de ponto fixo adequada pode-se fazer: e x x 2 4 0 x 2 e x 4 x e x 4 ( x ) e x 4 Lauro / Nunes
Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Verificando as hipóteses i) e ii) do Error! Reference source not found. :
2-11
e x
i) ' ( x )
2 e x 4 ( x) e '( x ) são contínuas
em [ 3,2], o que garante a primeira condição do Error! Reference source not found. . ii) k = max ' ( x) x[ 3, 2]
'( x )
e x 2. e x
4
e 3
'(3)
2. e
3
4
e
2
'(2)
2
0,01237 0,03328
2. e 4 Como '( x) é decrescente no intervalo I =[3,2], k = 0,03328 < 1, o que garante a
segunda condição do Error! Reference source not found. . Procura-se agora, o extremo do intervalo I =[3,2] mais próximo do zero de f ( x ) : Para isto, segue-se o indicado na observação 5, isto é, calcula-se o ponto médio do ( 3 (2)) 2 5 2,5 e ( x ) (2,5) e , 4 2,02042. intervalo I =[3,2]: x ˆ
ˆ
2
Como x < ( x) , isto é x 2,5 < ( x) (2,5) 2,02042, então está entre x 2,5 e 2, ou seja, 2 é o extremo de I mais próximo de . Desta forma, iniciando o processo recursivo pelo ponto x0 2, garante-se que todos os termos da seqüência aproximadora pertencerão ao intervalo I =[3,2]. Logo, utilizando ( x) e x 4 a partir de x0 2, gera-se uma seqüência convergente para o zero de f ( x ) . n x n x n1 x n1 x n 0 0,0335524 > 10 2 2,0335524 1 0,0010983 > 10 2,0335524 2,0324541 2 0,0000354 > 10 2,0324541 2,0324895 3 0,0000011 > 10 2,0324895 2,0324884 4 0 < 102,0324884 2,0324884 Portanto, x = 2,0324884. ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
50. Encontrar a solução para a equação x = cos x com precisão 10 6 . Resolução: x cos x cos x x 0 f ( x) cos x x Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais:
Como f (0) f (
2
)0,
f ( x ) no intervalo [0,
2
x
0
f ( x )
2
conclui-se, de acordo com o Teorema 1, que existem zeros de ].
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Zeros reais de funções reais
2-12
Fazendo g ( x) x e h( x) cos x , pode-se verificar que os gráficos das mesmas se intersectam em apenas um ponto, o que garante que só existe um zero de f ( x ) neste intervalo. Esta informação também pode ser verificada observando que a função f ' ( x) sen x – 1, preserva o sinal
2
[ (e também em [0,
2
x ]0, [, isto é, tem-se que neste caso 2
f ' ( x )0, x ]0,
] ). Isto significa dizer que a função f ( x ) é estritamente
decrescente no intervalo ]0,
2
[.
y
g (x )= x
1
3 2
h (x )= cos x
x
2
2
-1
Como f ''( x) cos x , também preserva o sinal em [0,
2
], ( f '' ( x )0, x ]0, [, tem2
se que as condições i), ii) e iii) do teorema 3 são satisfeitas. Assim, a fórmula recursiva de Newton para este caso fica: xn 1 xn
cos( xn ) xn
sen( xn ) 1 para n 0 . Agora deve-se escolher x0 convenientemente: Pode-se verificar que o ponto médio x ou x 0,785398163398 e x 0,739536133515. Pela observação 5 ˆ
ˆ
ˆ
4
concluímos que x0 0, pois x 101 1 0,750363868 0,249636132 > 10 -6 2 0,750363868 0,7391128909 0,011250978 > 10 3 0,7391128909 0,7390851333 0,000027757 > 10 4 0,7390851333 0, 7390851332 0,0000000001 1, logo o critério de Sassenfeld não é satisfeito.
Permutando as equações 1 e 3 tem-se o sistema de equações equivalente: 3 x3 3 x1 x2 x3 1 , e para esta disposição verifica-se que: 2 x x 3 x 9 2 3 1
1
1 a11
[ a12 a13 ]
1 1
·[03] 3 > 1, logo o critério de Sassenfeld novamente não
é satisfeito. Permutando agora as colunas 1 e 3 tem-se o sistema de equações equivalente: x1 3 3 x3 x 1 , e para esta disposição verifica-se que: 3 x 2 3 x x 2 x 9 2 1 3
1 2
3
1 a11
1 a22 1 a33
[ a12 a13 ]
1 3
·[01] 1
[ a21 1 a23 ]
1
[ a31 1 a32 2 ]
Então, M max i max { 1i 3
1 3
,
1 3 1
1
3
3
· [ 1· 0 ] 1 2 2 3
1
1
3
3
· [ 3· 1· }
2 3
]
2 3
1. Logo o critério de Sassenfeld está
satisfeito, o que garante a convergência do método de Gauss-Seidel aplicado a este sistema com esta nova ordem de equações e incógnitas.
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Interpolação
4-1
4 Interpolação 67.
Determine Li ( xk ) para i 0,1,2, k 0,1,2 e n 2.
Resolução: ( x x1 )( x x2 )
i 0 L0 ( x )
x1 )( x0 x2 ) k 0 L0 ( x0 )1 k 1 L0 ( x1 )0 k 2 L0 ( x2 )0
i 1 L1 ( x )
( x0
( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
k 0 L1 ( x0 )0 k 1 L1 ( x1 )1 k 2 L1 ( x2 )0 i 2 L2 ( x )
( x x0 )( x x1 )
x0 )( x2 x1 ) k 0 L2 ( x0 )0 k 1 L2 ( x1 )0 k 2 L2 ( x2 )1 Para x xk , com k 0,1,2,, n , temos: P n ( xk )
( x2
n
y L ( x ) i i
k
i 0
i k yi Li ( xk ) 0
0
i k yi Li ( xi ) yi
1
A forma de Lagrange para o polinômio interpolador é: n
P n ( x )
y L ( x) ou i i
i 0
n
n
P n ( x )
( x x j )
y ( x x ) i
i 0
j 0 j i
i
j
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Interpolação
4-2
68.
Interpolar o ponto x 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange. i 0 1 2 3 xi 0 1 2 1 yi 1 3 1 1 Resolução: n 3 é o grau máximo de P 3 ( x ). 3
P 3 ( x )
y L ( x) P ( x )1 L i i
0
3
( x )3 L1 ( x )1 L2 ( x )1 L3 ( x )
i 0
( x x j )
3
Li ( x )
( x x ) i
j 0 j i
j
( x 0)( x 1)( x 2)
3 x 2 2 x L0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 )( x0 x3 ) (1 0)(1 1)(1 2) 6 ( x 1)( x 1)( x 2) x3 2 x 2 x 2 ( x x0 )( x x2 )( x x3 ) L1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )( x1 x3 ) (0 1)(0 1)(0 2) 2 ( x x0 )( x x1 )( x x3 ) ( x 1)( x 0)( x 2) x3 x 2 2 x L2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )( x2 x3 ) (1 1)(1 0)(1 2) 2 ( x 1)( x 0)( x 1) x 3 x ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) L3 ( x ) 6 ( x3 x0 )( x3 x1 )( x3 x2 ) ( 2 1)(2 0)(2 1) Logo: 3 2 x 3 x 2 x x3 2 x 2 x 2 x3 x 2 2 x x 3 x P 3 ( x ) 3 6 2 6 2 P 3 ( x ) x 3 2 x 2 x 3 P 3 (1,5) P 3 ( 32 ) ( 32 )3 2 ( 32 )2 32 3 ( x x1 )( x x2 )( x x3 )
P 3 (1,5) P 3 (1,5)
27 8 3 8
2
9 4
3 2
x
3
3
P 3 (1,5)0,375 y
3 P 3(x )
2 1 3 8
-1
0
1
3 2
2
x
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Interpolação
4-3
69.
Interpolar o ponto x 1,5 na tabela abaixo, empregando a forma de Newton. i 0 1 2 3 xi 0 1 2 1 yi 1 3 1 1 Resolução: n 3 é o grau máximo de P 3 ( x ). Tabela de diferenças divididas: x
ordem 0
1
1
ordem 1
3 1 0 ( 1)
0
2 1 ( 2)
2
2 ( 1) 0 ( 2)
1
20 11 2 1
2
2 22 1 ( 1)
1 0
ordem 3
3 1 3
1
ordem 2
1
1
0
1 P 3 ( x ) f [ x0 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] ( x x0 )( x x1 )( x x 2 ) f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] P 3 ( x )1( x 1)2( x 1)( x )(2)( x 1)( x )( x 1)(1) P 3 ( x )12 x 22 x 2 2 x x 3 x P 3 ( x ) x 3 2 x 2 x 3
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico 70.
4-4
Interpolação
Seja f ( x ) dada em forma de tabela de valores, como segue: x 0,2 0,34 0,4 0,52 f ( x ) 0,16 0,22 0,27 0,29
0,6 0,32
0,72 0,37
a) Obter f (0,47) usando um polinômio de grau 2;
b) Dar uma estimativa para o erro. Resolução: Tabela de diferenças divididas:
x
ordem 0
0,2
0,16
ordem 1
ordem 2
ordem 3
0,4286 0,34
0,22
2,0235 0,8333
0,4
0,27
17,8963 3,7033
18,2494
0,1667 0,52
0,29
1,0415 0,375
0,6
0,32
2,6031
0,2085 0,4167
0,72 0,37 Deve-se escolher 3 pontos próximos de 0,47 para a obtenção de P 2 ( x ). P 2 ( x ) f [ x0 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] P 2 ( x )0,27( x 0,4)0,1667( x 0,4)( x 0,52)1,0415 2 P 2 ( x )1,0415 x 0,79148 x 0,419952
a) P 2 (0,47)0,278 f (0,47)
b) | E n (0,47)||(0,470,4)(0,470,52)(0,470,6)||18,2494| | E n (0,47)|8,303 10 3 .
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
4-5
Interpolação
71.
Prove a igualdade seguinte. x x1 x x0 P 1 ( x ) f ( x0 ) f ( x1 ) f [ x0 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 ] x0 x1 x1 x0 Resolução: x
ordem 0
x0
f [ x0 ] y0
ordem 1
f [ x0 , x1 ] x1
y1 y0 x1 x0 P 1 ( x ) f [ x0 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 ]
f [ x1 ] y1 P 1 ( x ) f [ x0 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 ]
P 1 ( x ) y0 ( x x0 ) P 1 ( x ) y0 y1
x1 x0
x x0 x1 x0
P 1 ( x ) y0 y0
y1 y0
x x0 x1 x0
y0 y1
x x0
x x0 x1 x0 x x0 x1 x0
y1 0 x1 x0 x1 x0 x x0 x x0 x x0 y1 P 1 ( x ) y0 1 x1 x0 x1 x0 x x x x0 P 1 ( x ) y0 1 y1 x1 x0 x1 x0 P 1 ( x ) y0 1
x x
P 1 ( x ) f ( x0 )
x x1 x0 x1
Encontre x tal que f ( x )2 pela tabela abaixo: x 0,5 0,6 0,7 0,8 f ( x ) 1,65 1,82 2,01 2,23 Resolução: Fazendo interpolação linear por x0 0,6 e x1 0,7: x x1 x x0 P 1 ( x ) f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1 x1 x0 x 0,7 x 0,6 P 1 ( x )1,82 2,01 0,1 0,1 P 1 ( x )18,2 x 12,7420,1 x 12,06 P 1 ( x )1,9 x 0,68. 2 0,68 P 1 ( x )2 1,9 x 0,682 x
f ( x1 )
x x0 x1 x0
72.
0,9 2,46
1,0 2,72
1,9
x 0,6947368.
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Interpolação
4-6
73.
Considere a tabela a seguir: x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 x 1 1,1052 1,2214 1,3499 1,4918 1,6487 y e Obter x , tal que e x 1,3165, usando um processo de interpolação quadrática. Usar a forma de Newton para obter P 2 ( y ). Construir a tabela de diferenças divididas. Resolução: y
ordem 0
1
0
ordem 1
ordem 2
ordem 3
0,9506
1,1052
0,1
0,4065
0,1994
0,8606
1,2214
0,2
0,3367
0,7782
1,3499
0,1679
0,3
0,2718
0,7047
1,4918
0,1081
0,4
0,2256
0,6373
1,6487
0,5
P 2 ( y ) g [ y0 ]( y y0 ) g [ y0 , y1 ]( y y0 )( y y1 ) g [ y0 , y1 , y2 ] P 2 ( y )0,2( y 1,2214) 0,7782 ( y 1,2214)( y 1,3499)(0,2718) P 2 (1,3165)0,27487.
Assim, e0,27487 1,3165 Erro cometido:
Na calculadora 1,316359.
| E 2 ( y )| |( y y0 )( y y1 )( y y2 )|
M 3 3!
| E 2 (1,3165)| |(1,31651,2214)(1,31651,3499)(1,31651,4918)| | E 2 (1,3165)| 5,5681 104
M 3 3!
M 3 3!
M 3 max g ''' ( y ) , y [ y0 , y2 ].
M 3 pode ser aproximado por 0,1994 (tabela de diferenças divididas de ordem 3). 3! | E 2 (1,3165)| 5,5681 104 0,1994 | E 2 ( y )| 1,11028 104 .
1o Caso:
2o Caso: f ( x ) e x g ( y ) f 1 ( y ) ln y g ' ( y )
1
y
Logo: M 3
g " ( y ) 2 3
(1,2214)
1 y 2
g "' ( y )
M 3 1,0976, então
2 y 3
M 3 1,0976 0,18293. 3! 3!
| E 2 (1,3165)| 5,5681 104 0,18293 | E 2 ( y )| 1,0186 104 (limite superior).
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico 74.
Interpolação
4-7
Achar a função spline linear que interpola a função f ( x ) tabelada a seguir. x y f ( x )
x0
x1
x2
x3
1
2
5
7
1
2
3
2,5
y
3 2,5 2
s 3(x )
f (x )
s 2(x ) s 1(x )
1 0
1
2
3
4
5
6
x
7
Resolução: Pela definição, pode-se definir 3 splines lineares para os 4 pontos: s1 ( x ), s2 ( x ) e s3 ( x ). s1 ( x ) y0
x1 x x1 x0 2 x
s1 ( x )1 s2 ( x ) y1
2 1
s3 ( x ) y2 s3 ( x )3
2
x2 x x2 x1
s2 ( x )2
5 x 52
x3 x2 75
x x0 x1 x0
x 1 2 x 2 x 2 x s1 ( x ) x , x [1,2]. 2 1
y2
3
x3 x 7 x
y1
x x1 x2 x1
x 2 52
y3
2,5
2 3
1
1
3
3
(5 x ) x 2 ( x 4) s2 ( x ) ( x 4), x [2,5].
x x2 x3 x2
x 5
s3 ( x ) 12 (0,5 x 8,5), x [5,7].
75 Então, no intervalo [ a , b ][1,7], a spline linear S 1 ( x ) é dada por:
s1( x ) S 1 ( x ) s2 ( x ) s ( x ) 3
s ( x ) x, s ( x ) 1 ( x 4) 2 1 3 , se x [2,5]; tal que e s3 ( x ) 1 (0,5 x 8,5). , se x [5,7]. 2 , se x [1,2];
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico 75.
Interpolação
4-8
Encontrar uma aproximação para f (0,25) por spline cúbica natural, interpolando a tabela:
x y f ( x
x0
x1
x2
x3
x4
0
0,5
1,0
1,5
2,0
3 1,8616 0,5571 4,1987 9,0536 ) Resolução: n 4, logo, procura-se s1 ( x ), s 2 ( x ), s 3 ( x ) e s 4 ( x ). Spline Natural k 1,2,,( n 1) k 1,2,3 Utilizando a (15), segue que: y yk yk yk 1 hk g k 1 2( h k hk 1 ) g k hk 1g k 1 6 k 1 hk 1 hk h k h 0,5. h k xk xk 1 h k 0,5 k . 6
Equação (15) h g k 1 4 h g k h g k 1 ( yk 1 2 yk yk 1 ) , com k 1,2,3. h
Desenvolvendo o sistema A g b : hg 4hg hg 6 y 2 y y 1 2 2 1 0 0 h 6 y3 2 y2 y1 hg 1 4hg 2 hg 3 h hg 2 4hg 3 hg 4 6 y4 2 y3 y2 h g 0 g 4 0 (Spline Natural). Então, 4h h 0 g 1 y2 2 y1 y0 6 y3 2 y2 y1 . A g b h 4h h g 2 h 0 h 4h g 3 y4 2 y3 y2 Substituindo os valores: 6,6541 2 0,5 0 g 1 15,3636 0,5 2 0,5 g 14,6748 g 4,111 . 2 6,252 0 0,5 2 g 3 14,5598 Forma geral de s i ( x ) s i ( x ) ai ( x xi )3 bi ( x xi )2 ci ( x xi ) d i , com i 1,2,3,4. f (0,25) s1 (0,25) a1
g 1 g 0 6h
6,6541 3
g 1
3,327 2 y y0 2hg 1 g 0h c1 1 3,3858 h 6 d 1 y1 1,8616
b1
a1 2,218 b1 3,327 c1 3,3858 d 1 1,8616
Logo, s1 (0,25)2,218(0,25)33,327(0,25)23,3858(0,25)1,8616 s1 (0,25)2,5348 f (0,25).
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Interpolação
4-9
Considerando os próximos 5 exercícios, encontrar uma aproximação para f ( x ) por spline cúbica natural, interpolando a tabela: x y f ( x
)
x0
x1
x2
x3
x4
0
0,5
1,0
1,5
2,0
3
1,8616
0,5571
4,1987
9,0536
n 4, logo, procura-se s1 ( x ), s 2 ( x ), s 3 ( x ) e s 4 ( x ).
Do exercício anterior, a forma geral de s i ( x ) é dada por: s i ( x ) ai ( x xi )3 bi ( x xi )2 ci ( x xi ) d i
76. f (0,8). Resolução: f (0,8) s 2 (0,8) g g 1 0,8477 a2 2 6h
g 2
2,0555 2 y y1 2hg 2 g 1h 6,0771 c2 2 h 6 d 2 y2 0,5571
b2
, com i 1,2,3,4.
a 2 0,8477 b 2 2,0555 c 2 6,0771 d 2 0,5571
Logo, s 2 (0,8)0,8477( 0,2)32,0555(0,2)26,0771(0,2)0,5571 s 2 (0,8)0,5693 f (0,8).
77. f (1,1). Resolução: f (1,1) s 3 (1,1) g g 2 0,7137 a3 3 6h
g 3
3,1260 2 y y2 2hg 3 g 2 h 8,6678 c3 3 h 6 d 3 y3 4,1987
b3
a 3 0,7137 b3 3,1260 c 3 8,6678 d 3 4,1987
Logo, s 3 (1,1)0,7137(0,4)33,1260(0,4)28,6678(0,4)4,1987 s 3 (1,1)1,1861 f (1,1).
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Interpolação
78. f (1,2). Resolução: f (1,2) s 3 (1,2) g g 2 0,7137 a3 3
a 3 0,7137
6h
g 3
3,1260 2 y y2 2hg 3 g 2 h 8,6678 c3 3 h 6 d 3 y3 4,1987
b3
4-10
b3 3,1260 c 3 8,6678 d 3 4,1987
Logo, s 3 (1,2)0,7137(0,3)33,1260(0,3)28,6678(0,3)4,1987 s 3 (1,2)1,8604 f (1,2).
79. f (1,3). Resolução: f (1,3) s 3 (1,3) g g 2 0,7137 a3 3
a 3 0,7137
6h
g 3
3,1260 2 y y2 2hg 3 g 2 h 8,6678 c3 3 h 6 d 3 y3 4,1987
b3
b3 3,1260 c 3 8,6678 d 3 4,1987
Logo, s 3 (1,3)0,7137(0,2)33,1260(0,2)28,6678(0,2)4,1987 s 3 (1,3)2,5845 f (1,3).
80. f (1,7). Resolução: f (1,7) s 4 (1,7) g g 3 2,0840 a4 4
a 4 2,0840
6h
b4 c4
g 4
0 2 y4 y3
b 4 0
2hg 4 g 3h
h 6 d 4 y4 9,0536
10,2308
c 4 10,2308 d 4 9,0536
Logo, s 4 (1,7)2,0840(0,3)30(0,3)210,2308( 0,3)9,0536 s 4 (1,7)6,0406 f (1,7).
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados
5-1
5 Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados 81.
(Regressão Linear) Ajustar os dados da tabela abaixo através de uma reta. i 1 2 3 4 5 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0 xi 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8 f ( xi ) Resolução: Fazendo g ( x) 1 g 1 ( x) 2 g 2 ( x) e considerando g 1 ( x) 1 e g 2 ( x) x , tem-se: g ( x) 1 2 x . Assim, a reta que melhor se ajusta aos valores da tabela terá coeficientes 1 e 2 , que são solução do seguinte sistema na forma matricial: g 1 , g 1 g 1 , g 2 1 g 1 , f g , g g , g g , f 2 1 2 2 2 2 g 1 [1 1 1 1 1]T g 2 [1,3 3,4 5,1 6,8 8,0]T f [2,0 5,2 3,8 6,1 5,8]T
g 1 , g 1 (1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1) = 5 g 1 , g 2 (1)(1,3)+(1)(3,4)+(1)(5,1)+(1)(6,8)+(1)(8,0) = 24,6 g 2 , g 1 (1,3)(1)+(3,4)(1)+(5,1)(1)+(6,8)(1)+(8,0)(1) = 24,6 g 2 , g 2 (1,3)(1,3)+(3,4)(3,4)+(5,1)(5,1)+(6,8)(6,8)+(8,0)(8,0) = 149,50 g 1 , f (1)(2,0)+(1)(5,2)+(1)(3,8)+(1)(6,1)+(1)(5,8) = 22,9 g 2 , f (1,3)(2,0)+(3,4)(5,2)+(5,1)(3,8)+(6,8)(6,1)+(8,0)(5,8) = 127,54 Assim, 24,6 1 22,9 5 24,6 149,50 127,54 1 2,01 e 2 0,522 2 Logo a equação da reta procurada é: g ( x ) 1 2 x g ( x ) 2,010,522 x Ajustar os dados da tabela através da parábola g 1 ( x) x 2 : i 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0,2 0,4 xi 1 0,75 0,6 0,5 0,3 0,4 0,5 0 0,2 0,6 f ( xi ) 2,05 1,153 0,45
82.
9 0,5 0,512
10 0,7 1,2
11 1 2,05
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados
5-2
y
2
1
-1
1
x
Resolução: Fazendo g ( x ) 1 g 1 ( x) e considerando g 1 ( x) x 2 , obtém-se g ( x) 1 x 2 . Assim, para se obter a parábola que melhor se ajusta aos pontos da tabela, será necessário encontrar 1 do sistema: g 1, g 1 1 f , g 1 g 1 [(1) 2 (0,75) 2 (0,6) 2 (0,7) 2 (1) 2 ]T f [2,05 1,153 0,45 1,2 2,05]T g 1 , g 1 (1) 2 (1) 2 +(0,75) 2 (0,75) 2 +(0,6) 2 (0,6) 2 + + (0,7) 2 (0,7) 2 + (1) 2 (1) 2 = 2,8464 g 1 , f (1) 2 (2,05)+(0,75) 2 (1,153)+(0,6) 2 (0,45)+ + (0,7) 2 (1,2) + (1) 2 (2,05) = 5,8756. Assim, 1
5,8756 2,8464
2,0642
Logo a equação da parábola procurada é: g ( x) 1 x 2 g ( x) 2,0642 x 2 83.
Ajustar os dados da tabela abaixo por um polinômio do segundo grau g ( x ) 1 2 x 3 x 2 . i xi
f ( xi )
1 2 1
2 1 3
3 1 1
4 2 9
Resolução: Neste caso tem-se que: g 1 ( x) 1, g 2 ( x) x e g 3 ( x) x 2 g 1 , g 1 g 1 , g 2 g 1 , g 3 1 g 1 , f g , g g , g g , g g , f 2 2 2 3 2 2 2 1 g 3 , g 1 g 3 , g 2 g 3 , g 3 3 g 3 , f g 1 [1 1 1 1]T
[ 2 1 1 2]T g 3 [(2) 2 (1) 2 (1) 2 ( 2) 2 ]T f [1 3 1 9]T g 1 , g 1 (1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1) = 4 g 1 , g 2 (1)(2)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(2) = 0 g 2
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados
5-3
g 2 , g 1 (2)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(2)(1) = 0 g 1 , g 3 (1) (2) 2 +(1) (1) 2 +(1) (1) 2 +(1) (2) 2 = 10 g 3 , g 1 (2) 2 (1)+ (1)2 (1)+ (1) 2 (1)+ (2) 2 (1) = 10 g 2 , g 2 (2)( 2)+(1)(1)+(1)(1)+(2)(2) = 10 g 2 , g 3 (2) ( 2)2 +(1) ( 1)2 +(1) (1) 2 +(2) (2) 2 = 0 g 3 , g 2 ( 2)2 (2)+ (1) 2 (1)+ (1) 2 (1)+ (2) 2 (2) = 0 g 3 , g 3 (2) 2 (2) 2 + (1) 2 (1)2 + (1) 2 (1)2 + (2) 2 (2) 2 = 34 g 1 , f (1)(1)+(1)(3)+(1)(1)+(1)(9) = 8 g 2 , f (2)(1)+(1)(3)+(1)(1)+(2)(9) = 20 g 3 , f ( 2) 2 (1)+ ( 1)2 (3)+ (1) 2 (1)+ (2) 2 (9)= 38 Assim, 4 0 10 1 8 0 10 0 20 3, 2 e 2 1 2 3 2 10 0 34 3 38 Logo a equação da parábola procurada é: g ( x ) 1 2 x 3 x 2 g ( x ) 3 2 x 2 x 2 Aproximar a função f ( x )4 x 3 por um polinômio do primeiro grau, uma reta, no intervalo [0,1]. Resolução: g ( x ) 1 g 1 ( x ) 2 g 2 ( x )= 1 2 x , isto é, g 1 ( x )1 e g 2 ( x ) x . a11 a12 1 b1 g 1, g 1 g 1, g 2 1 f , g 1 A b g , g g , g f , g b a a 2 2 2 2 21 22 2 2 2 1 84.
a11 g 1 , g 1
1
g 12 ( x )dx
0
1
1
0
0
dx x
1
1
a12 g 1 , g 2 g 2 , g 1 a21 g 1( x ) g 2 ( x )dx 0
1 2 x 3 2 g 2 ( x )dx x dx 0 0 3
a22 g 2 , g 2 b1 f , g 1 b2 f , g 2
A b
1
0
1
f ( x ) g 1( x )dx
1
0
f ( x ) g 2 ( x )dx
1 1 2
1 2 1 3
1
1 1 4 2 5
1
0
1
x 2
0
2
xdx
1
0
1 2
1
3
0
1
4 x 3dx x 4 1
1
0
0
4 x3 xdx
1
0
4 x 4dx
4
18
5
5
1 e 2
4 x 5 5
1
0
4 5
.
Logo: g ( x )
18 5
x
4 5
f ( x )4 x 3 em [0,1].
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados
5-4
85. Aproximar a função f ( x ) e x no intervalo [0,1] por uma reta. Resolução: g ( x ) 1 g 1 ( x ) 2 g 2 ( x )= 1 2 x , isto é, g 1 ( x )1 e g 2 ( x ) x . A b
1 b1 a22 2 b2
a11 a 21
a12
a11 g 1 , g 1 1,1
g 1, g 1 g 1, g 2 1 f , g 1 g , g g , g f , g 2 2 2 2 2 1
1
0 1 1dx x10 1 1
x 2 1 a12 g 1 , g 2 1, x 1 xdx 0 2 0 2 1
a21 g 2 , g 1
g 1 , g 2
1 2 1
x 3 1 2 a22 g 2 , g 2 x, x x dx 0 3 0 3 1
x
b2 f , g 2 e
1 x
, x e
b1 f , g 1 e x ,1
0
1
e dx e x 0 e 1
1 x
0
xdx
Usando o método de integração por partes em b2 : u dv u v v du
x e dx ? x
Fazendo u x du dx e dv e x dx v e x , obtém-se:
x e dx x e e dx x e e ( x 1)e C Logo, x e dx ( x 1) e 0(1 e ) 1. x
x
1
x
x
x 1 0
x
0
x
x
0
Assim: A b
1 1 2
1 2 1 3
1 e 1 2 1
1 4 e 10 e 2 186 e .
Logo: g ( x )(186 e ) x 4 e 10 f ( x ) e x em [0,1].
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico 86.
Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados
5-5
Ajustar os dados da tabela que segue por uma função da forma g ( x ) 1 e 2 x . x
0
1
2
f ( x )
1
0,5
0,7
Resolução: Desta forma, “linearizando” a função g ( x ) 1 e 2 x , como no primeiro exemplo anterior, tem-se: x ln f ( x ) ln 1 e 2 ln 1 2 x G ( x ). Fazendo ln 1 a1 e 2 a2 , tem-se: G ( x ) a1 a2 x . Desta forma G ( x ) ln f ( x ), sendo que G ( x ) é linear nos parâmetros a1 e a 2 . Fazendo agora g 1 ( x ) 1 e g 2 ( x ) x : g 1 , g 1 g 1 , g 2 a1 ln f , g 1 g , g g , g a ln f , g 2 2 2 2 1 2 T
g 1 1 1 1
T
g 2 0 1 2
ln f [ln1 ln 0,5
T
ln 0,7]
g 1 , g 1 (1)(1)+(1)(1)+(1)(1) 3 g 1 , g 2 (1)(0)+(1)(1)+(1)(2) 3 g 2 , g 1 g 1 , g 2 3 g 2 , g 2 (0)(0)+(1)(1)+(2)(2) 5 ln f , g 1 ( ln 1)(1)+( ln 0,5)(1)+( ln 0,7)(1) 1,050 ln f , g 2 ( ln 1)(0)+( ln 0,5)(1)+( ln 0,7)(2) 1,406 3 3 a1 1,050 3 5 a 1,406 a1 0,172 e a 2 0,178. 2 Assim, 2 a2 0,178 e 1 ea1 e0,172 0,842. Desta forma, tem-se que: g ( x ) 1 e 2 x g ( x )0,842 e 0,178 x f ( x ). Os parâmetros assim obtidos não são ótimos dentro do critério dos mínimos quadrados, isto porque estamos ajustando o problema linearizado por mínimos quadrados e não o problema original. Portanto, os parâmetros a1 e a 2 do exemplo, são os que ajustam a função G ( x ) à função ln f ( x ), no sentido dos mínimos quadrados. Não se pode afirmar que os parâmetros 1 e 2 (obtidos de a1 e a 2 ) são os que ajustam g ( x ) 1 e 2 x à f ( x ), dentro do critério dos mínimos quadrados.
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Integração Numérica
6-2
6 Integração Numérica 87.
Calcular
9
6 x 5 dx , usando a regra dos trapézios.
1
Resolução: a 1, b 9 e f ( x ) 6 x 5
h b a h 91 h 8.
b
a
h
f ( x )dx
[ f ( a ) f ( b )] I T
2
f ( a ) f (1)1 f ( b ) f (9)7
9
6 x 5 dx
1
8 2
[17] I T 32.
O erro cometido será, no máximo: | E T |
h3
"
max | f ( x )|
12 x[ a ,b ]
f " ( x ) 9(6 x 5)3 / 2
| E T |
8
3
max | 9(6 x 5)
3 / 2
12 x[1,9]
| x 1 | E T | 384
x 9 | E T | 1,119
Logo, | E T | 384. 88.
Calcular
9
6 x 5 dx empregando o método dos trapézios com 8 repetições.
1
Determine uma aproximação para o erro cometido. Resolução:
9
1
f ( x )dx
h x f ( x )
9
1 9
1
b a
9
6 x 5 dx
1
h 2
[ f ( x 0 ) f ( x 8 )2 f ( x i ) ] i 1
9 1
h 1 n 8 x1 2 x 0 1 x 2 3
7
1
2,65
6 x 5 dx
1 2
3,61
x 3 4
x 4 5
x 5 6
x 6 7
x 7 8
x 8 9
4,36
5
5,57
6,08
6,56
7
[172(2,653,614,3655,576,086,56)] 37,83.
6 x 5 dx 37,83.
Erro cometido será, no máximo: 3 (b a ) " | E TR | max | f ( x )| 2 12n
x[ a ,b ]
83 12 8
2
max |9(6 x 5)3/2| 6. x[1,9 ]
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico Integração Numérica Neste caso em particular, f ( x ) pode ser integrada de forma exata:
9
1
89.
6 x 5 dx
u3 / 2 u 6 9 du
49
1
49
1
49 7 9
1 9
343 1 9
6-3
38.
1
Seja I e x dx . Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a regra 0
dos trapézios repetida. Estimar o erro cometido. Resolução: i b a 1 h 0,1 x h , com i 0,1,,10. i n
10
10
1
1 x
0
0
f ( x)dx e dx 1 x
0,1
0,1 2
9
[ f ( x 0 ) f ( x10 )2 f ( x i ) ] i 1
[ e e 2( e 2 e dx 1,7197. 0
e dx
0
1
0,1
e0, 2 e0,3 e0, 4 e0,5 e0,6 e0,7 e0,8 e0,9 )] 1,7197.
1 x
0
Erro cometido será, no máximo: 3 3 (b a ) (1 0) " x f x | E TR | | ( )| | | 0,00227. max e max 12n 2 x[ a ,b ] 12 102 x[0,1] 90.
1
Seja I e x dx . Qual o número mínimo de subdivisões, para a regra dos trapézios 0
repetida aplicada em I , de modo que o erro seja inferior a 10 3?
Resolução: 1 12 n 2 n 16.
91.
| E TR |
(b a )
12n
2
e 103 n 2
3
"
x max | f ( x )| max | e | e .
x[ a ,b ]
e
x[0 ,1]
n 15,05
12 103
1
Seja I e x dx . Calcule uma aproximação para I usando a regra 1/3 de Simpson com 0
m 10. Estime o erro cometido.
Resolução: Sendo m 10, h 1/10 h 0,1. 1 x
0,1
( e 4 e 3 e dx 1,71828278. 0
e dx
0 ,0
0 ,1
2 e0, 2 4 e0,3 2 e0, 4 2 e0,8 4 e0,9 e1,0 )
1 x
0
Estimativa do erro: 5 (1 0) x E SR max | | e 2880 54 x[0,1] E SR
e
E SR 1,51016106 .
2880 54 Observe que E SR 0,00000151
e E TR 0,00227.
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico 92.
Integração Numérica
6-4
1
Seja I e x dx . Para que valor de m teríamos erro inferior a 10 3? 0
Resolução: 5
(b a )
E SR
2880n 4
(1 0)
5
2880n 4
max | f 4 ( x ) |
Obs: m 2 n n
x[ a ,b ]
e 103 n 4
m 2
e 2880 103
4 n 0,943848 n 0,9856563. m 2 n 1,9713 3 m 2 Para um erro inferior a 10 seriam necessários 2
subintervalos. Obs: na regra dos trapézios com repetição são necessários 16 intervalos. 93.
Seja I
10
6
log xdx . Aproxime I com a regra dos trapézios com 8 repetições. Estime o
erro cometido. Resolução: b a 10 6 h
n
8
h 0,5.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
f ( xi ) 0,7781513 0,8129134 0,8450980 0,8750613 0,9030900 0,9294189 0,9542425 0,9777236
Obs:
d log x dx
1
d 2 log x
x ln10
dx 2
10
6 10
6
log xdx
0,5 2
d 2 log x dx 2
1,0
1 x 2 ln2 10 x 2 ln10 1 ln10
log e
x
2
.
[0,778151251,02(0,812913360,97772361)]3,59331166.
log xdx 3,59331166.
Estimativa do erro: 3 d 2 log x 43 (10 6) log e E TR E max TR 2 12 82 6 2 12 8 2 x[6,10] dx E TR 0,0010053113.
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico 94.
Seja I
10
6
Integração Numérica
log xdx . Aproxime I com a
o erro cometido. Resolução: b a 10 6 h
m
8
6-5
regra de Simpson com 8 subintervalos. Estime
h 0,5. m 8 e n 4.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
f ( xi ) 0,7781513 0,8129134 0,8450980 0,8750613 0,9030900 0,9294189 0,9542425 0,9777236
Obs:
d log x dx
1
d 2 log x
x ln10
dx 2
1 x 2 ln10
d 2 log x dx 2
3
d log x dx
3
4
10
6
log xdx
0,5 3
d log x dx
4
1,0
log e
x
2
2 log e x 3
. .
6 log e x
4
.
[0,778151251,02(0,845098040,903089990,95424251)
4(0,812913360,87506126 0,92941893 0,97772361)]3,5939135.
10
6
log xdx 3,5939135.
Estimativa do erro: 5 45 (10 6) 6 log e 4 E SR E max | f x | ( ) SR 2880 n 4 x[6,10] 2880 4 4 64 E SR 0,0000027925.
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Solução numérica de equações diferenciais ordinárias
7-1
7 Solução numérica de equações diferenciais ordinárias 95.
dy
Resolver a seguinte EDO:
xy .
dx
Resolução: dy
xy
dx
1
y
ln y
x 2 2 2
y k e
96.
1
y dy ( x) dx
dy x dx
x2
2
c y e
x2 c
2
y e
x2
ec
, para k . Que representa uma família de curvas em 2.
Para a mesma EDO anterior, y , xy , resolva considerando uma condição inicial y ( x0 ) y0 , com x0 0 e y0 1.
Resolução:
dy xy dx 2 0 x2 y k e 1 k e 2 (PVI) condição y(0) 1 inicial 2
k 1 y e
x2
.
y , x y 2 97. Achar aproximações para a solução do PVI na malha de [0,1] com h ( ) y 0 2 0,1. Resolução: 1 0 m 10. x0 0, y0 2, a 0, b 1, m 0,1
Usar a Eq 06 para j 0,1,2,,9. j 0: y1 y0 h f ( x0 , y0 ) y0 h ( x0 y0 2) y1 20,1 f (0,2) y1 20,1 (022) y1 2 x1 x0 h x1 00,1 x1 0,1
j 1: y2 y1 h f ( x1 , y1 ) y1 h ( x1 y1 2) y2 20,1 (0,122) y2 2,01
x2 x1 h
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Solução numérica de equações diferenciais ordinárias
7-2
x2 0,10,1 x2 0,2
TABELA: j
x j
y j
y ( x j )
y j y ( x j ) e j
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
2 2 2,01 2,029 2,0561 2,09049 2,131441 2,1782969 2,23046721 2,287420489 2,34867844
2 2,004837 2,018731 2,040818 2,07032 2,106531 2,148812 2,196585 2,249329 2,30657 2,367879
0 -0,004837 -0,008731 -0,011818 -0,01422 -0,016041 -0,017371 -0,0182881 -0,01886179 -0,019149511 -0,01920056
y , x y 2 98. Achar aproximações para a solução do PVI na malha [0,1] com h =0,1 ( ) y 0 2 usando o método da equação (10). Resolução: 1 0 m 10. x0 0, y0 2, a 0, b 1, m 0,1
Usar equação (10) para j 0,1,,9. j 0: ,
y1 y0 h y ( x0 )
h2
y ,, ( x0 )
2!
y , ( x0 ) f ( x0 , y0 ) ,
y ( x0 ) x0 y0 2.
f f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) y x ,, y ( x0 ) y0 x0 1. y , , ( x0 )
y1 y0 h ( x0 y0 2) y1 20,1(022)
h2 2
(0,1)
( y0 x0 1)
2
2
(201)
y1 2,005
x1 x0 h x1 00,1 x1 0,1.
j 1: ,
y2 y1 h y ( x1 )
h2 2!
y ,, ( x1 )
y2 y1 h ( x1 y1 2)
h2 2
( y1 x1 1)
y2 2,0050,1(0,12,0052)
(0,1)
2
2
(2,0050,11) Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Solução numérica de equações diferenciais ordinárias
y2 2,019025
7-3
x2 x0 2 h x2 020,1 x2 0,2.
TABELA: j
x j
y j
y ( x j )
y j y ( x j ) e j
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
2 2,005 2,019025 2,041217625 2,070801951 2,107075765 2,149403568 2,197210229 2,249975257 2,307227608 2,368540985
2 2,004837 2,018731 2,040818 2,07032 2,106531 2,148812 2,196585 2,249329 2,30657 2,367879
0 0,000163 0,000294 0,000399625 0,000481951 0,000544765 0,000591568 0,000625229 0,000646257 0,000657608 0,000661985
dy xy 99. Achar aproximações para a solução do PVI dx na malha [0,1] com h =0,5 y(0) 1 usando o método de Euler Aprimorado. Resolução: x / 2 j x j y j | y j y ( x j )| k 1 k 2 y ( x j ) e 0 0 1 0 -0,5 1 0 1 0,5 0,875 -0,4375 -0,65625 0,882496903 0,007496903 2 1 0,6015625 0,60653066 0,00496816 2
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Solução numérica de equações diferenciais ordinárias
7-4
dy xy 100. Calcular a solução do PVI dx com h =0,1, no interior do intervalo [0,1], pelo y(0) 1 método de Runge-Kutta de quarta ordem. Resolução:
y j 1 y j
h 6
( k 1 2 k 2 2 k 3 k 4 ), para j 0,1,2,,9.
k 1 x j y j
k 2 ( x j 0,05)( y j 0,05 k 1 ) k 3 ( x j 0,05)( y j 0,05 k 2 ) k 4 ( x j 0,1)( y j 0,1 k 3 ) j
x j
y j
k 1
k 2
k 3
k 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
1 0,995012479 0,980198673 0,955997481 0,923116345 0,882496901 0,83527021 0,782704542 0,726149051 0,666976845 0,606530726
0 -0,099501248 -0,196039735 -0,286799244 -0,369246538 -0,44124845 -0,501162126 -0,547893179 -0,580919241 -0,60027916
-0,05 -0,148505613 -0,242599172 -0,329580132 -0,407094308 -0,473238963 -0,526637868 -0,566482412 -0,592537626 -0,605114742
-0,049875 -0,14813808 -0,242017179 -0,328831466 -0,406242733 -0,472359224 -0,525809906 -0,565785316 -0,592043844 -0,604885052
-0,09950125 -0,196039734 -0,286799087 -0,369245734 -0,441246036 -0,501156587 -0,547882454 -0,580900808 -0,6002502 -0,606488339
y , x y 2 101. Achar aproximação para a solução do PVI na malha [0,1] com h =0,1 ( ) y 0 2 usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado). 1 0 Resolução: x0 0, y0 2, a 0, b 1, m m 10 0,1
y j 1 y j
0,1 2
( k 1 k 2 ), para j 0,1,2, ,9
k 1 x j y j 2 e k 2 x j 0,1 y j 0,1 k 1 2
j
x j
y j
k 1
k 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
2 2,005 2,019025 2,041217625 2,070801951 2,107075765 2,149403568 2,197210229 2,249975257 2,307227608 2,368540985
0 0,095 0,180975 0,258782375 0,329198049 0,392924235 0,450596432 0,502789771 0,550024743 0,592772392
0,1 0,1855 0,2628775 0,332904138 0,396278244 0,453631811 0,505536789 0,552510794 0,595022269 0,633495153
Lauro / Nunes
Cálculo Numérico
Solução numérica de equações diferenciais ordinárias
7-5
Lauro / Nunes
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