Calculo Integral

 

Calculo integral  Teorema  T eorema Fundamental Fundamental Del Calculo 1

 

 Teorema eorema Fundamental Fundamental Del Calculo 1  T

1. El pr prob oble lem ma de del ár área 2. La iint nteg egrral def defn nid ida a 3. La An Antid tideri eriva vada da (in (integ tegral ral ind indefn efnida ida !. "nte "ntegr grac aci# i#n n por por $u $u$t $tit ituc uci# i#n nu %. Teor eorema ema &un &unda damen mental tal del del calcu calculo lo

 

prob oble lema ma del del ár área 1. El pr 

"ntroducci#n' A$ como la derivada e$ motivada por el problema geom)trico de con$truir una tangente en una curva* el problema +i$t#rico ,ue conduce a la defnici#n de integral defnida e$ el problema de encontrar un área. En e$pecifco* tenemo$ inter)$ inter)$ en la $iguiente ver$i#n de e$te problema. 

Encontrar el área A de una regi#n acotada por e e-e  / la grafca de una &unci#n no negativa continua /0&( defnida defnida $obre un intervalo intervalo a*b.

 

otaci#n 4igma



 4ea a5 un numero real ,ue depende de un entero 5. la $uma a16a26a3677an $e denota por el $mbolo .



8ue$to ,uee$ la letra griega ma/9$cula $igma*



(1 $e denomina $igma ondice notaci#n $uma. la variablenotaci#n 5 $e denomina de lade  Termina  T ermina con e$te e$te valor de 5 $uma. A$* El   $mbolo indica la $uma de a5

Empie;a con el valor indicado de 5

 

8ropiedade$ 

 8ara entero$ po$itivo$ m / n.

".

"".

5

 0 c 5 donde c e$ cual,uier con$tante 5 6 b5 0 5  5

""". 50 5 6 5* mrea ba-o una grafca 



 4ea & continua $obre a*b / &(= para toda  en el intervalo. El área A ba-o la grafca de & $obre el intervalo $e defne como' A05

 

2.La integral defnida 

 4ea & una &unci#n defnida $obre un intervalo cerrado a*b. Entonce$ la integral defnida de & a ? b* ,ue $e denota por ' * $e defne como'



.

 

Continuidad implica integrabilidad 

 "ntegrabilidad' En lo$ do$ teorema$ $iguiente$ $e plantean condicione$ ,ue $on $ufciente$ para ,ue una &unci#n & $ea integrable $obre un intervalo a*b.o $e proporcionan la$ demo$tracione$ de e$to$ teorema$.



4i & e$ continua $obre el intervalo cerrado a.b. Entonce$ * ei$te@ e$ decir* & e$ integrabl integrable e $obre el intervalo.

 

Condicione$ $ufciente$ para integrabilidad 

 



4i una &unci#n & e$ta $obre intervalo cerrado a*b* e$ deciracotada * $i ei$te unaelcon$tante po$itiva  tal ,ue B para toda  en el intervalo / tiene un numer numero o fnito de di$continuidade$ di$continuida de$ en a*b* entonce$ & e$ integrable $obre el intervalo.

 

8artici#n regular 

 4i $e $abe ,ue una integral defnida ei$te (por e-emplo* el integrando & e$ continuo $obre a*b* entonce$ '



El limite en . Ei$te para cual,uier &orma po$ible de partici#n a*b / para toda &orma po$ible de e$coger 5 en lo$ $ubintervalo$ 5?1*5.

 

El área como integral defnida 

 4i & e$ una &unci#n continua $obre el intervalo cerrado a*b / &( para toda  en el intervalo* entonce$ el área A ba-o la grafca $obre a.b e$'



A0

 

Limite$ de integraci#n 

i.

  "gua "g uald ldad ad de lilimi mite te$ 4i a e$ 4i e$ta ta en el do domi ming ngo o de de &*$ entonce$

ii. "n "nve ver$ r$i# i#n n de de limi limite te$$ $i $i & e$ e$ inte integr grab able le $ob $obrre a*b* entonce$

 

8ropiedade$ opiedade$ de la integral defnida 8r 

i.

 4i & / g $on &uncione$ integrable$ $obre e intervalo cerrado a*b* entonce$ * donde 5 e$ cual,uie ierr con$tante.

 

8ropiedad opiedad aditiva del intervalo 8r 

 4i & e$ una &unci#n integrable $obre un intervalo cerrado ,ue contiene a lo$ n9mero$ a*b / c* entonce$'



E$te teorema $e cumple cuando a*b / c $on tre$ n9mero$ cuale$,uiera en un intervalo cerrado. En otra$ palabra$ no e$ nece$ario tener el orden area de una $uperfcie de revoluci#n 

Cuando una grafca de una &unci#n continua /0&( un intervalo gira alrededor del e-e $obre * genera un $olidoa*b* de revoluci#n . En e$ta $ecci#n tenemo$ inter)$ en encontrar el área de 4 de la $uperfcie corre$pondiente e$ decir* una $uperfcie de revoluci#n $obre a*b .

 

>rea de una $uperfcie 

 

 

E-emplo 