CALCULO-INTEGRAL1

CARERA:

ING, ELECTROMECANICA. ELECTROMECANICA. MATERIA:

CALCULO INTEGRAL. DOCENTE:

MANUEL LOPEZ VAZQUEZ. ALUMNOS:

JORDI ESTEVA PINEDA.  ALEXIS GEOVANNI MONTES MONTES CORTES. SEMESTRE:

GRUPO:

“N”

2°

TRABAJO:

INVESTIGACION DE LA UNIDAD IV.

INDICE BIBLIOGRAFICO 4.1. DEFINICION DE SUCESION

462

(TOM M. APOSTOL “CALCULUS”) 4.2. DEFINICION DE SERIE. 4.2.1.- FINITA. 4.2.2.- INFINITA.

491

(EDWIN J PURCELL” CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA”) 4.3.- SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA. (CRITERIO DE LA RAZON. CRITERIO DE LA RAIZ. CRITERIO DE LA INTEGRAL.) . 4.4.- SERIE DE POTENCIAS.

(EDWIN J PURCELL” CALCULO CON GEOMETRIA  ANALITICA”) 4.5.- RADIO DE CONVERGENCIA.

(EDWIN J PURCELL” CALCULO CON GEOMETRIA  ANALITICA”) 4.6.- SERIES DE TAYLOR.

(EDWIN J PURCELL” CALCULO CON GEOMETRIA  ANALITICA”) 4.7.- REPRESENTACION DE FUNCIONES MEDIANTE LA SERIE DE TAYLOR. 4.8.- CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO LA SERIE DE TAYLOR.

519

484

530

INDICE. UNIDAD 4.SUBTEMAS.

4.1.- DEFINICION DE SUCESION. 4.2.- DEFINICION DE SERIE. 4.2.1.- FINITA. 4.2.2.- INFINITA. 4.3.- SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA. (CRITERIO DE LA RAZON. CRITERIO DE LA RAIZ. CRITERIO DE LA INTEGRAL.) . 4.4.- SERIE DE POTENCIAS. 4.5.- RADIO DE CONVERGENCIA. 4.6.- SERIES DE TAYLOR. 4.7.- REPRESENTACION DE FUNCIONES MEDIANTE LA SERIE DE TAYLOR. 4.8.- CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO LA SERIE DE TAYLOR.

PAG.

10.2 Sucesiones En el lenguaje corriente la palabra serie serie y  y sucesión sucesión son  son sinónimos y se utilizan para designar un conjunto de cosas o sucesos dispuestos en un orden. En matemática estas palabras tienen un significado técnico especial. La palabra sucesión tiene un sentido análogo al de lenguaje corriente pues con ella se quiere indicar un conjunto de objetos puestos en orden pero la palabra serie se usa en un sentido completamente distinto. Aquí se estudiará el concepto de sucesión dejando el de serie para definir lo más tarde en el apartado 10.5 Si a cada entero positivo n está asociado un número real a n entonces se dice que el conjunto ordenado a1, a2, a3, . . . a n, . . . Define una sucesión infinita. Cada término de la sucesión tiene asignado un entero positivo de manera que se puede hablar del primer término a 1, Del segundo término a2 y en general del termino n-simo a n. Cada término an tiene un siguiente an+ 1 Y 1  Y por tanto no hay un último último término.  término. Los ejemplos más corrientes de las sucesiones se pueden construir dando algún arreglo con fórmulas que defina el término n-simo. Así por ejemplo la fórmula a n= 1/n define la sucesión cuyos cinco primeros términos son:

 

1, , , , .  Algunas veces se necesitan dos o más fórmulas, por ejemplo: a2n-1=1, a2n= 2n2 Siendo en este caso los primeros términos: 1, 2,1,8,1,18, 1,32,1. Otra forma corriente de definir una sucesión es mediante un conjunto de instrucciones que indican cómo se tiene un término a partir de las anteriores.  Así se tiene por ejemplo: a1=a2=1. an+1=an + an-1

para n ≥ 2.

Éste método particular se conoce por fórmula de recurrencia y define una sucesión famosa llamada Fibonacci. * los primeros términos son: 1, 1,2,3,5,8,13,21,34.

En toda sucesión lo esencial es que existe una función F definida en los enteros positivos que f(n) es el término tér mino n-simo de la sucesión para par a n= 1,2,3,... efectivamente este es el camino más conveniente para establecer una definición técnica de sucesión. DEFINICIÓN: una función f cuyo dominio es el conjunto de todos los enteros positivos 1,2,3,... se denomina sucesión infinita. El valor f(n) de la función se denomina el término n-simo de la sucesión. El recorrido de la función es decir el conjunto de valores de la función se ponen muchas veces de manifiesto escribiendo los términos en orden, así: f(1), f(2), f(3)..., f(n)... *Fibonacci conocido también como Leonardo de pisa(1175-1250) encontró esta sucesión al tratar un problema relativo a los procesos hereditarios en los conejos. Por razones de brevedad se utiliza la notación {f(n)} para indicar la sucesión cuyo termino n-simo en f(n). con mucha frecuencia la dependencia de n se indica utlizando subíndices y se escribe a n, sn,xn,un, o notación análoga en vez de f(n). La cuestión que se requiere considerar, es decidir si los términos f(n) tienden o no a un limite finito cuando n crece indefinidamente. Para ello se precisa extender el contexto del limite a las sucesiones, lo que se logra con la definición siguiente. DEFINICION: una sucesión {f(n)} tiene limite L si, para cada número positivo DEFINICION: existe otro numero positivo n(en general depende de ) tal que | f(n) -L | <



para todo n ≥ N

En este caso decimos que la sucesión {f(n)} converge hacia L y escribimos

    →

ó f(n) – L

ó

n

∞

Una sucesión que no converge se llama divergente.



En esta definición los valores de la función f(n) y el limite L pueden ser números reales o complejos. Si f y L son complejos, pueden descomponerse en su parte real o imaginaria, sean estas f=u + iv y L=a + ib. Entonces tenemos f(n)-L= u(n) -a + i[v (n) -b]. Las desigualdades. |u(n) -a| ≤ |f(n) -L|

|v(n) -b| ≤ |f(n) -L|

y

→

 →

 →

→

 →

→

Prueban que la relación f(n) L implica que u(n) a y v(n) b cuando n ∞. recíprocamente, la desigualdad |f(n) -L| ≤  |u(n) -a| + |v(n) -b|

 →

 →

Demuestra que las dos relaciones u(n) a y v(n) b implican f(n) L cuando n ∞. Dicho de otro modo, una sucesión compleja f converge si y solo si la parte real de u y la parte imaginaria v convergen separadamente, en cuyo caso tenemos

   → →  → Es claro que toda función definida para todos los números x reales y positivos puede servir para construir una sucesión restringiendo x a tomar solo valores positivos enteros. Esto explica la gran analogía entre la definición que se acaba de dar y la sección 7,14 para funciones mas generales. La analogía se presenta también en los limites infinitos y se deja al lector definir los símbolos

   ∞ →

y

   ∞ →

Como se hizo en la sección 7.15 cuando f es de valores reales. Si f es compleja, escribimos f(n) ∞ cuando n ∞ si |f(n)|

→

→

 → ∞

La frase sucesión convergente se emplea solo para sucesiones cuyo limite es finito. Sucesiones con limite ∞ o -∞ se dice que son divergentes. Las formulas que siguen definen algunas sucesiones

  1,     ,   

 1 1 ,   /.

Las reglas básicas para limites de sumas, productos, etc. Son validas también para limites de sucesiones convergentes. El lector no encontrara dificultad en la formulación de dichos teoremas y sus demostraciones se hacen de forma análoga a las de la sección 3.5. La convergencia o divergencia de muchas sucesiones se pueden determinar utilizando propiedades de funciones conocidas que están definidas para todo x positivo. Se dan a continuación algunos ejemplos importantes cuyos limites se pueden encontrar directamente o utilizando algunos de los resultados ded ucidos en el capitulo 7.

4.2.2. SERIES INFINITAS En una famosa paradoja formulada hace 2400 años, Zenón de Elea dijo que un corredor no puede terminar una carrera porque primero debe cubrir la mitad de la distancia, luego la mitad de la que queda, y así sucesivamente. Puesto que el tiempo de la carrera es finito, no podrá recorrer el infinito número de segmentos del curso.  Aunque todos sabemos que los corredores terminan sus carreras. Imagine que el recorrido de la carrera mide 1 milla de longitud. Los segmentos del argumento de Zenón tendrían como longitudes ½ de milla, ¼ de milla, 1/8 de milla, etc. (figura 1).

Figura 1.

En el lenguaje matemático, terminar la carrera significaría evaluar la suma

 +  +  +   +  + …      que podría parecer imposible. Hasta ahora, la palabra suma ha sido definida sólo para la adicción de un número finito de términos.

La “suma infinita” indicada no tiene significado para nosotros. Considérense las sumas parciales

S= ½

= ½ + ¼ = ¾ = ½ + ¼ + = = ½ + ¼ + + … + 1⁄2 - 1⁄2 1/8

7/8

 = 1

1/8

Es claro que las sumas parciales aumentan acercándose a 1. En efecto,

 lim   = lim 1   = 1  → → Definimos este límite como el valor de la suma infinita. Con mayor generalidad, considérese la suma

        … ∑=   ∑ 

que también se designa como o  y que se llama serie infinita (o para abreviar, serie). Entonces, la n-esima suma parcial  esta dada por



      ⋯   ∑1    =

Hagamos la siguiente definición formal. Definición:

∑=  

La serie infinita converge y tiene como suma S si la sucesión de sumas parciales { } converge a S. Si { } diverge, entonces la serie diverge. Una serie divergente no tiene suma.



Serie geométrica. Una serie de la forma

∑= − =     ⋯ Donde

≠

0 se llama serie geométrica.

Ejemplo 1 Demuestre que una serie geométrica converge a la suma S = a/(1-r) si

│r│< 1, pero diverge si │r│≥ 1.

   2 ⋯ 1. Si r = 1, = , que crece sin límite, y por lo tanto {  } divergente. Si r≠1, podemos escribir Solución sea

   ( ⋯1)  (2 ⋯ )     Y así,

       1  1  1 Si │r│> 1, entonces el

lim  →

  0 y por lo tanto,

 lim   →  1  



Si │r│> 1 o r = -1, la sucesión { } diverge y, en consecuencia, también { }. Ejemplo 2 use el resultado del ejemplo 1 para sumar las dos siguientes series

geométricas. (a) 4/3 + 4/9 + 4/27 + 4/81 + … (b) 0.515151… =

     ⋯   

Solución

(a)

  S=  =   − − 

 =  = 2 

(b)

    S =  =  −   =  = 

 A propósito, el procedimiento usado en (b) prueba que cualquier representación decimal periódica corresponde a un número racional. Ejemplo 3 El diagrama de la figura 2 representa un triángulo equilátero que

contiene una infinidad de círculos, tangentes al triángulo y entre sí, y que a su vez se aproxima hacia las esquinas. ¿Qué fracción del área del triángulo está ocupada por los círculos?

Figura 2.

3 √  que le da una altura de 3. Concentre su atención en la pila vertical de círculos. Con Solución Suponga por conveniencia que el triángulo tiene lados de longitud 2

un poco de razonamiento geométrico (el centro del círculo más grande distancia de l vértice superior dos tercios de la altura), vemos que los radios de los círculos son 1,

1/3, 1/9,… y concluimos que la pila vertical tiene área

1    1/9   1/27  ⋯    = π [1 + 1/9 + 1/81 + 1/729 ⋯  = π    = −    π[

El área total de todos los círculos es tres veces este número menos dos veces el are del circulo grande, esto es, 27π/8 - 2 π, o 11 π /8. Como el triángulo tiene área 3 , la fracción de esta área que está ocupada por los círculos es

√ 3

 π  ≈0.83 √  Una prueba general para divergencia Considérese la serie geométrica

 ⋯ + ⋯ una vez más. Su n-esimo termino está dado por     lim  0.+.¿Es El ejemplo 1 prueba que una serie geométrica converge si y sólo si el posible que esto sea verdad para todas las series? La respuesta es →  negativa, aunque la mitad de la proposición (“sólo si”) es correcta. Esto lleva a una prueba de divergencia importante para series. Teorema A

∑=  converge, entonces el lim   0. En forma equivalente, si el lim  ≠ 0 (o el lim   no → → → (Prueba del n-esimo termino para divergencia.) Si la serie

existe), la serie diverge.

 la n-esima suma parcial y  lim →  . Dado que      −, se sigue que lim  lim lim −      0 → →   →   Demostrar que ∑ = +    diverge. Demostración Sea

Ejemplo 4

Solución

  1 lim  lim lim  → → 3  2 → 32/  1/3  Así, por la prueba del n-esimo, la serie diverge. La serie armónica Invariablemente, los estudiantes quieren volver de revés el teorema A para hacerlo decir que  implica la convergencia de . La serie armónica

 → 0

∑



 1  1 12  13 ⋯ 1 ⋯ =  demuestra que esto es falso. Es claro que el lim   lim 0. Sin embargo, la → → serie diverge, como ahora veremos.

Ejemplo 5 Demuestre que la serie armónica diverge.

 crece sin límite. Imagine que n es grande y escriba   1 12  13  14  15 ⋯ 1           =  1           ⋯ ⋯  > 1 12  24  48  168 ⋯ 1  1 12  12  12  12 ⋯ 1 Resulta claro que si se toma n suficientemente grande, podemos obtener en la última expresión tantas mitades como queramos. Por lo tanto,  }  diverge; en consecuencia, también lo hace la serie armónica. Solución Demostremos que

Series telescópicas Una serie geométrica es una de las pocas series donde

podemos dar una formula explicita para

; una serie telescópica es otra.

Ejemplo 6 Pruebe que la serie siguiente converge y encuentre su suma.



1  23

=

Solución Utilice una descomposición de fracciones parciales para escribir

Entonces,

1  1  1 23 2 3



1  1   1  11  1⋯ 1  1   1  1    2  3 3 4 4 5 2 3 3 3 =

Por lo tanto,

1 lim   →  3  

Luego la serie converge y tiene suma .

Propiedades de las series convergentes Las series convergentes tienen mucho

en común con las sumas infinitas; lo que se espera que sea verdad, por lo general lo será.

Teorema B

=   ∑=  convergen ambas y c es una constante, ∑ entonces ∑ =   ∑=   también convergen, y además =  ; ∑= ∑     ∑=    ∑=   ∑=  . (Linealidad.) Si (i) (ii)

Demostración Este teorema introduce un cambio sutil en el lenguaje. El símbolo

∑esta= serie,  se que usa ahora tanto para la serie infinita   ⋯ como para la suma de es un número. Por hipótesis, lim ∑=    lim ∑=  existen ambos. Por lo tanto, usemos las → → propiedades de las sumas infinitos términos y las de los límites.

1.

=   lim  ∑=  ∑=  lim ∑ → →





=

=

 → lim    2.

=     lim ∑=   ∑=   ∑=   lim ∑ → →     lim →  lim →      =

Ejemplo 7 Calcule

=

=

=

∑= 3  5 .

Solución Por el teorema B y el ejemplo 1,



 1  1 1 1 [38  53 ] 3 8  5 3  = = = 18 13 3 5 29  3 1 1 5 1 1  7  2  14 8 3 Teorema C

Si

∑=  diverge y c ≠ 0. ∑=  diverge.

Implica, por ejemplo, que



 1 1 1  3   3 .  = = diverge, ya que sabemos que la serie armónica diverge.

La ley asociativa de la adicción nos permite agrupar los términos de una suma finita en la forma que nos plazca. Por ejemplo, 2 + 7 + 3 + 4 + 5 = (2 + 7) + (3 + 4) + 5 = 2 + (7 + 3) + (4 + 5) Pero observe lo que sucede con la serie infinita:

1 – 1  1 – 1  1 – 1  …  1+ ⋯ Cuando agrupemos los términos en dos maneras diferentes: 11  11  11 ⋯000⋯0 1 11  11  11 ⋯1000⋯1 La serie era divergente (puesto que lim  ≠ 0), en tanto que la primera serie de →

términos agrupados converge con suma 0, así como la segunda con suma 1. Las contradicciones que pueden surgir al agrupar son bastante obvias, por fortuna, la serie original converge, no hay ningún problema.

Teorema D (Agrupación.) Los términos de una serie convergente pueden ser agrupados de

cualquier manera (siempre y cuando se conserve su orden) y la nueva serie será convergente con la misma suma que la origina.

∑   la serie convergente original y } la sucesión de sus sumas parciales. Si ∑  es la serie formada por los términos agrupados de ∑ y si  } es la sucesión de sumas parciales, entonces cada  es una de las  . Por ejemplo,   podría ser             en cuyo caso    . Entonces,  } es una “subsucesión” de  }. Un momento de reflexión le convencerá de que si  → , entonces  → . Demostración Sea

SERIES INFINITAS. Repaso de conceptos.

    ⋯    ⋯    ⋯ lim  ≠ 0 →

1. Una expresión de la forma  se llama_____. 2. Una serie   se dice que converge si la sucesión   converge, donde  ______. 3. Le serie geométrica   converge si_____; en este caso la serie de la suma es_____. 4. Si , podemos estar seguros que la serie  _____.

}

∑∝= 

Problemas 11.2

En los problemas 1 a 14 indique si la serie converge o diverge. Si converge, encuentre la suma. Sugerencia: puede ayudarse escribiendo unos cuantos términos de la serie.

∑∝=   3. ∑∝=2 3  − 5. ∑∝=    7. ∑∝=   + ! 9. ∑∝=     11. ∑∝=−     13. ∑∝=+     1.

∑∝= −   4. ∑∝=3 2   6. ∑∝=  8. ∑∝=   10. ∑∝= −   ∝ ∑ 12. =   14. ∑∝= − 2.

En los problemas 15 a 20 escriba los decimales dados como series infinitas, encuentre después la suma de las series y para terminar use los resultados para escribir los decimales como razones de dos enteros (vea el ejemplo 2).

0.22222…  16. 0.21212121… 17. 0.013013013…   18. 0.125125125… 19. 0.49999…  20. . 36717171… 21. Evalué ∑∝= 1 ,0