Calculo Integral y Sus Aplicaciones - Moisés Lázaro Carrión

cálculo integral Y SUS APLICACIONES i%

r = —6cos0

r = 2 - 2cos0

I

A(R) =

Jt

r2dd 2jl/s

www.FreeLibros.org Moisés LÁZARO Cantón

J ------------------------------------------------- ^

cálculo integral Y SUS APLICACIONES

♦ La antiderivada y la integral indefinida. ♦ Aplicaciones de la integral definida.

Moisés Lázaro Carrión

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Estudios: Lic. en Matemáticas Puras, Lic. en Educación, Maestría (Métodos Cuantitativos de

la Economía U.N.M.S.M.), Maestría (Matemáticas Puras P.U.C.P.).

Experiencia Docente:

Pontificia Universidad Católica del Perú Universidad Ricardo Palma Universidad Nacional Mayor de San Marcos Universidad Nacional de Ancash Santiago Antúnez de Mayolo Universidad Nacional del Callao Universidad Particular San Martín de Porres

La presentación y disposición en conjunto de:

CÁLCULO INTEGRAL Y SUS APLICACIONES

Autor: Moisés Lázaro C. Son propiedad del autor: Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin la pre­ via autorización por escrito del autor y la editorial. Dec. Leg. 822. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N0...,: 2014-01136 International Standard Book Number ISBN N°...................... : 978-9972-813-80-1 Derechos Reservados © Tercera Edición: Enero 2014 Tiraje: 1000 ejemplares

Obra editada, impresa y distribuida por:

Distribuidora - Im prenta - Editorial - Librería

Impreso en Perú

Printed in Perú

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PRÓLOGO Este libro expone las técnicas de integración de funciones reales de variable real y sus aplicaciones, explicados de una mane­ ra sencilla y fácil de entender. Es un gran complemento para los cursos que hacen uso de las integrales indefinidas y definidas tales como los cursos de Física y los cursos de ecuaciones diferenciales ordinarias básicas. No es un libro de Análisis Matemático de las integrales de funciones reales de variable real, sino un libro de Cálculo Integral, cuya única finalidad es dar pausas precisas del buen manejo de las fórmulas elementales de las antiderivadas de las funciones polinómicas, racionales, irracionales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc. a su vez, explicar ios diversos métodos de inte­ gración. Para aprender el Cálculo Integral, sólo se requiere saber el algebra elemental y un poco de trigonometría. Este libro, se ha preparado pensando en los estudiantes que requieren aprender el Cálculo Integral, que se estudia en los pri­ meros cíelos de la Universidad o Institutos Superiores. En dos capítulos se cubren dos temas del Cálculo Integral: el primer capítulo se refiere a las técnicas de integración y el segun­ do capítulo se refiere a las aplicaciones del Cálculo Integral en lo que respecta al Cálculo de Áreas en sus formas rectangular, paramétrica y polar. Al final de cada capítulo se dan problemas propuestos que todo lector debe entrenarse. El autor.

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ÍNDICE CAPÍTULO 1 LA ANTIDERIVADA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA 1. Teorema del Valor Medio 1.1 1.2

Teorema de la función constante............................ Corolario (de la diferencial constante) .................................

02 02

2. La Antiderivada de una función 2.1 2.2

Definición........................... La Antiderivada general...............

03 03

3. La Integral Indefinida 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Definición......................................................................................... Regla de la Cadena.......................................................................... Propiedades Elementales de la Integral Indefinida........................... Teorema del Cambio de Variable en una Integral Indefinida............ Integrales Inmediatas........................................................................

04 06 06 06 08

4. Métodos de Integración 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5

Integral por Partes............................................................................. Integral por partes del producto de polinomios por arcos.................. Integral por partes del producto de polinomio por logaritmo............ Integral por partes del producto de polinomios con funciones trigonométricas.................................................................................. Integral por partes del producto de polinomios por exponencial Integrales por partes circulares ........................................................

49 50 60 67 75 78

5. Integración de Funciones Trigonométricas 5.1

Integrales del tipo I m n = j* senm¿u ■eosn ¡ud¡u................................

5.2

Integrales de las formas: Jsen A x • eos B x d x , j *sen A x sen B x dx ,

5.3

88

J eo s A x • eos B x d x ........................................................................

100

Integrales de las formas: í tgfjudju , J escn ju d j u .........................

101

vii

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5.4

Integrales de las formas: j*secn //d// , J*cscn //d// .......................

104

5.5

Integrales de las formas: J íg m//secn //d// , j*c£gm cscn ¿u d ju

106

6.

Integración por Sustitución Trigonométrica...................................................................

110

7.

Integración por Fracciones Parciales................................................................................

120

7.1

Método Práctico de hallar A, B y C ..................

122

8.

Integral de Funciones Racionales que Contienen senp y c o sp ........................

13 9

9.

Integrales de Funciones Racionales de: senix, cos2x ,tg2x ...................................

142

10.

Otros Casos que se Presentan en la Integral V » , J i I R (sen x , c o s x ) d x

..........

143

CAPÍTULO 2 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA /.

Area de las regiones planas en coordenadas: Cartesianas, Paramétricas y Polares 1.1

Area en coordenadas cartesianas........................................................

211

1.2

Área de una región limitada por una curva paramétrica.....................

259

1.3

Área de una región limitada por curvas en coordenadas polares

279

Problemas Complementarios - Resueltos........................................................................... 296 Problemas Propuestos..................................................................................................................... 307

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CAPITULO 1 I

II

á M

T i n t T P I I / A I mwMC l m l w

I I A

Y LA INTEGRAL INDEFINIDA Antes de hacer las respectivas definiciones de la antiderivada y la integral indefini­ da, es necesario recordar los siguientes temas:

t. TEOREMA DEL VALOR MEDIO Si f ( x ) es una función continua en el intervalo cerrado [ a , b ] , y si / (x ) es dife­ renciadle en el intervalo abierto ] a , b [ , entonces existe por lo menos un número c, a < c < b tal que: f{c )= m h m t pendiente de A B pendiente de la tangente £ en x = c £ es paralelo a A B .

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APLICACIONES DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO 1.1

TEOREMA DE LA FDNCIÚN CONSTANTE Si / (x ) es una función continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b [ . entonces:

í ' ( x ) = O si y sólo si / (x ) = k . k - constante. Este teorem a nos dice: si la derivada de una función es cero, entonces dicha función es una constante y recíprocamente, la derivada de una constante es cero.

Ejem plos : P)

Si

y' = 0 =>

donde

y' = ^

y= k y' = 2 x

Si =>

( y - x 2)' = 0

=>

(y - x 2 =C y=x

0

,

Si

+C

, C = constante y ” - É.JL y i2 dx*

y " = 12x (y f - 6 x 2 )' = 0

,

y’ = %

,

y = / (x )

y '- 6 x 2 = Q (y - 2 x 3 - Q x )' = 0 y - 2 x 3 - C xx = C 2 y = 2x

1.2

+ Q x + C 2 ; Q , C2 son constantes.

COROLARIO ( DE LA DIFERENCIA CONSTANTE) Sean f ( x ) y g ( x ) dos funciones continuas sobre [a,b] y diferenciables sobre

]a ,b [, entonces: f ,(x ) = g '( x ) , V x g ]a,b[

si y sólo si

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f ( x ) = g (x ) + C

La Antiderivada y la Integral Indefinida

Prueba (=>)

f'(x ) = g\x)

Por hipótesis:

;

a < x

J d F ( x ) = F (x ) + C

í

F '(x )d x = F (x ) + C

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3.2 REGLA Di LACADENA La regla de la cadena, es:

j* f ( u ( x ) ) u ' ( x ) d x = F ( u ( x ) ) + C

Ejemplos: j * ( l - x 2 ) 3( - 2 x ) d x = -^ -(1 -x 2 )4 + C u (x ) = 1 - x 2 l/ ( x ) = —2 x