Calculo Integral Felícitas Morales Álvarez

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.. . . . .

Cálculo integral para cursos con enfoque por competencias

. .. ..

. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Felicitas Morales Álvarez Doctora en Matemática Educativa Centro de Investigación y de Estudios Avanzados-IPN (CINVESTAV-IPN) Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán lzcalll Ｈｔｅｓｃｾ＠

Revisión técnica María del consuelo Macias González Academia de Ciencias Básicas Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán lzca/R (TESCIJ Enrique Martínez Negrete DlviSlón de Ingeniería en Sistemas Computacionales Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán tzca/O (TESCI) Gabrlela lópez Ballesteros Maestra en Matemática Educativa

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Duosdecatalog:aciónbibliogdfica

MOllALl!S ÁLVAllEZ, FEÚCJTAS

Oi/"1Jllo •urr-JJltllTI ntl'WICOlf oif'.- 1'0' "'*'JfdmdCI

Airo.era cdki6o

PBARSON IIDUCAOON, M6xico, 2014 ISBN: ￁ｲｾＮ｡Ｚ＠

ＹＱＸｾﾷｊｍＲａＭ￳＠

ti.útmláticu

Rirm4to: 2 t x 27 cm

P.ljjj...,: 212

Dirooción Ocncral: Oim:ción Eclucocióo Superior:

Pbilip de la Vega Mario Contreras

Edit0 O y a< b obtenemos Ja fórmula para el cálculo del área de un rectángulo. b) La integral de/está definida como límtf(x,Xx,-x,_,) , escriblrá como: ..-oo t•t

J'¡+g

se

0

www.freelibros.org J.'t +g

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28

UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

=J..

[f(x) + g(,r)]dx

=

"

11

;.a

;.i

lím [Lf(x, )(.K, -x,_,)+ LKe como:

J :lf 1

La integral converge en 3(1 + Vi.) .

Po r taf olio de ev idencias 10

..

Debamn grupalmenle el significado geoméltico (véase figura 1.18) de que 1 - dx ;! (no existe).

J.

1

X

www.freelibros.org Escriba su conclusión y ejemplifique con otra función de comportamiento similar.

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1.10 Integrales impropias 43

Existe otro tipo de integrales impropias que abarcan los casos donde la función por integrar es discontinua en valores específicos de la ''3riable dentro de los llmites de integración. Consideramos en esta secdón dos casos por definir.

Oefl nlclón 6. Si a < b y e> O, cuando la función está definida o es continua \/los valores de x excepto x = a, entonces,

J."•

a J-x ,--a' 2a x+a

a' dx = a' +e lna

1

1 a+x ln--+c.oonx2 < a 1 2a a-x

-

J sec2xdx=tgx+c

Jcsc'xdx =-ctgx+c J secx tgx dx = secx +e

2

ｊ

Ｍ［］

､ｸ ］ｾ＠ = are sen !!.. +e Ja2 -x1 a dx

J Jx 2 ±a2

- ln(x+ Jx'±a')+c

Por supuesto, el estudiante debe ser capaz de comprobar sin ningún problema los

resultados anteriores.

Ejemplo 1

!(x+Jx'+a'} F'(x) = ｾＭＬＮ］ﾭ x + Jx' +a2

J+

X

x2 +a'

x+,/x'+a'

Jx' +a' + x

Tal como lo expresa la tabla:

www.freelibros.org J Jx'dx+a' - ln(x+.Jx'+a')+c

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58 UNIDAD 2 Integral indefullila y métodos de integración

Portalollo de evidencias 1 y

Rcin2.2

La interior es la gráfica de una función!cuya antiderivada es F; como sabemos que F(O) = 3 dibuje una gráfica aproximada de F.

Demuestre que

lncx. •

Jdx = lnx+c, pero ｴ｡ｭ｢ｩｾｮ＠

puede expresarse como:

X

La antiderivada o integral se verifica al calcular la derivada de la respuesta;

pero también puede apoyarse gráficamente. Obtenga la gráfica de la función f(x) = .!. y su antiderivada F(x) = lnx + C ó F(x) =In ex. X

Describa el comportamiento de ambos gráficos en su intervalo dado y anote las conclusiones que le pennitan realiU1r dicha comprobación.

Actividad de trabajo 2 . 1

1. Verifique las fórmulas de la tabla 1 usando derivación.

2. Encuentre por integración el área de la rcg!_ón limitada por la recta y = l, el eje de las ordenadas y la curva y= .Jx usando el siguiente método: escribiendo x como función de y. Explique su resultado. 3. La velocidad de una partícula (dada en

está dada por la función:

v(1) = 2t-6 en

'is) y que se mueve en línea recta [0,3]

Encuentre el desplazamiento y la distancia recorrida por la partícula en el intervalo dado.

'%2

4. La aceleración ca y la velocidad inicial de una partlcula que se mueve m línca recta se da a continuación: 0(1)=1 + 6

v(o)=3 re[0,10]

www.freelibros.org Encuentre la velocidad en el instante t y la distancia recorri.da durante [ll, 10].

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2.2

s.

Preguntas de reflexión

Propiedades de la integral indefinida 59

Encuentre la integral indefinida, en su caso, de las siguientes funciones: a)

JJx' dx

g)

b)

J Jzx+ldx

h) Í,Y;.csc2 0d0

e)

J x/idx

d)

Jssdx

e)

j cscO tg(I d(J

t)

f ｾ､ｸ＠

f l/X dx

ｾＧ＠

i) j)

J.'(fr - Jr )dr J.• 3x 2 +2x+l dx X

1

• ¿Entiendo la düerencia que existe entre integral deflllida e indefinida1 • ¿Entiendo la integral como un operador inverso a un operador düercncial? • ¿Comprendo la importancia del uso de la notación en el cálculo integral? • ¿Al obtener la primitiva de una función. soy capaz de distinguir qué parte

del teorema fundamental del cálculo estoy aplicando?

• ¿Entiendo el concepto y la función de la constante de integración? • ¿Soy capaz de obtener una constante cualquiera de integración a partir de la ootiderivada de una función?

_,;¡- Propiedades de la Integral Indefinida Como hemos remarcado, las dos partes del teorema fundamental establecen una conexión entre las antiderivadas y las integrales definidas. Debido a esra relación, la notación o

Jf(x) dx se usa para denotar una integral indefinida. As!, el símbolo Jf

Jf(x) dx significa una primitiva de/oel conjunto de todas ellas. f J(¡c) dx = F(x)

significa

F'(;c) = f (x )

la utilidad del teorema fundamemal puede verse mejor si contamos coa una lista de

www.freelibros.org las antiderivadas más generales. A estas las llamamos integrales inmediatas y son aquellas que ya listamos ea la rabia 1, las cuales pueden verificarse por simple derivación.

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60 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

Es importante resolver en este punto dos fónnulas generales, en algunos casos Uamadas también teoremas, y que surgen como consecuencia de la derivación.

Jf(x)d:c + Jg(x)dx Jc /(x)dx= eJf(x)dx

j(f(x) + g(.x))d:c=

EstaS nos dicen que primero hay que encontrar la antiderivada o primiti"11 de una suma de funcionesf{x) y luego sumarla a la antiderivada deg(x). Dicho de otra manera: la integral (primitiva) de una suma será igual a la suma de las integrales o (primitivas).

Thmbién la antiderivada de una función /(x) multiplicada por una constante será equivalente a encontrar la primitiva de la función y después multiplicarla por dicha consiaotc. En resumen: la integral de una constante multiplicada por una función es igual a Ja constante

por la integral de la función. Estas dos formulaciones se conocen como las propiedades más importantes de la integral indefinida y le asignan a esta el carácter de un operador lineal, al igual que su operador inverso, la derivada. las formulaciones anteriores se cumplirán siempre y cuando /(x) y g(x) sean integrables, o bien, teog;m una primitiva propiamente dicha. Pero en esta unidad nuestro objetivo es convertir el proceso de búsqueda de primiti\'llS en algo tan mecá· nico para el estudiante como sea posible. Esto, en el contexto del cálculo integral, se logrará recurriendo principalmente a algunos procedimientos de integración que los matemáticos han ido acumulando a través del desarrollo de esta herramienta poderosa y que se conoce también como "técnicas de integración".

Portafol i o de ev i dencias 2

2cx-x' para toda e > O. Grafique para algunos valores de e, l. sea /(x ) e3 f(x) y observe las áreas encerradas entre las funciones y el eje x. Debatan en equipos y reporten por escrito sus observaciones y conclusiones acerca de cómo están relacionadas las rcspecti"11S áreas gralicadas y la forma de la gráfica. 1

21id1. Escriba cada paso y

www.freelibros.org 2. Calcule el siguiente lfmite: Um,_0 .!.J.'{1-tg método que utilizó para resolverlo.

X O

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2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 61

Pregunta s de refl exl ón

• ¿Entiendo el concepto de p:imitiva de una función? • ¿Entiendo el proceso de integral como un operador? • ¿Puedo decir cuáles son las dos principales propiedades de la integral indefinida? • ¿Entiendo el significado de que la integral sea un operador lineal?

- -Cálculo de Integrales Indefinidas o técnicas de Integración Hemos decidido llamar a este inciso "técnicas de integración'', debido a que a continuación desarrollamos un conjunto de saberes y anificios (procedimientos o técnicas) que nos permitan obtener las primitlvas deseadas en ｴｾｲｮｩｯｳ＠ de funciones. Esto, al igual que en cualquier técnica, requiere destreza algebraica e ingenio. Algunas de las técnicas desarrolladas han nacido de la prueba y el error, y han mejorado con la práctica; además, cada estudiante le imprimirá su acervo personal o partlcular.

2.3.1 Directas (integrales directas) La íntegración se considerará entonces a partlr de este punto como un procedimiento esencialmente de ensayos. Por ello, para facilitar el trabajo, es conveniente que el alumno elabore o adquiera una tabla de integrales ya conocidas (como las que se presentan en la tabla 2 de esta unidad). Esta tabla de integrales inmediatas permitirá realizar alguna integración ónicameote de la comparación de la expresión diferencial que se desea obtener, con alguna en la tabla. Si se encuentra escrita. entonces ya conocemos la integral. Si no es as!, probaremos algunas manipulaciones algebraicas pira reducirla a una de las fórmulas de las tablas. La tabla 2 se elaboró reescribiendo la 1, pero incluyendo las propiedades o fórmulas de la íntegral indefinida y algunas otras ínmediatas.

Ja.!>la...2. ..ｬｮ Ｎ ｾＦＧＡｬﾷ

ﾷｾ

ﾷ ﾷ ﾷ ﾷﾷﾷﾷ ﾷﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ

ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷﾷ ﾷ ﾷﾷﾷ ﾷ ﾷﾷﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷﾷ ﾷﾷ ﾷ

ﾷ ﾷ＠ ·······················-

J die +dy+dg= J tlx + J dy+ J dg

(1)

J seo x tlx = - d'- (18) ｸＱｾ｡Ｒ＠ 2a x+a 1 lna+x e, conx 1 < a1 {19) J ｡ Ｒ ｾｸ Ｒ＠ 2a --+ a-x J d< = arcsen -X +e (20) ../d'- -x2 a x1+a1

Ejemplo 2 l. Encuentre

Jx d'>1Ys +1Y> F.sta forma del binomio permitirá usar la entrada ( 1):

2. Obtenga

x'

f --dx. x+2

SOLUCIÓN

ｾ］ｸｬ＠

-2x2 +4x-8+___!!_ (Realizando la divísión) x+2

x+2 J

Ｒ ｸｾ

､ｸ］＠

J x't1x-2J x1 d.x+4J xdx-8J dx+16J x! 2 =x' 4

3. Obtenga

Ｍ ｾｸＧＫＲ

3

Ｍ ＸｸＫＱＶｮＨ

Ｋ ＲＩＫｃ＠

Jl+cosO dO .

SOLUCIÓN

1-cosO {l+coso)(l-cosO)

l+cosO

Ｒ

1-cosO 1- cos'O

Multiplicar por una unidad (mismo valor en el numerador que en d denominador) es un truco alge-

braico muy recurrente

-a;s O (usando la identidad trigonométrica sen sen O

1

=

20

scn

20

+ cos21J = 1)

cosO (separando el argumento) sen O·sen O

= csc20 - ese Ocot O. Entonces,

www.freelibros.org dO f l+cosO

Jcsc20d0 -JcscOcotOdO=-ctgO+csco+c

(usando las entradas (10) y (13) de Ja tabla).

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2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 65

4. Obtenga

Jｸｾｳﾷ＠

SOLUCIÓN

Por simple observación se tiene que ldx es la diferencial de x, pero también la de x + 5; de manera tal que si toda la expresión (x + 5) fuera una nueva variable, por ejemplo 11 = x + S, 1u• ｾｴ･＠

J..!!=_ podría expresarse como: J du. x+5 u sencillo cambio de variable permite usar de manera directa la entrada (5) de

la tabla. Entonces,

In(x+5)+c J..!!=_= x+S

pero u=x+5 J-=lnu+c; "

d1'

2.3.2 Integrales con cambio de variable El cambio de variable reali7.ado en el ejemplo 4 es, como veremos a continuación, muy útil y susceptible de repetirse en algunas otras expresiones del integrando.

Ejemplo 5

= J z(a2 +b2z2)U 2b dz 2b

(Se utiliza aqul la multiplicación por una unidad tir la diferencial]

d(a1

+

,).{ b2z2

r . = 2bz dz)

Si a1 +b2 z2 fueraunanuevavariableu

211

2b

que, a su vez, permitirá compar·

11•

las operaciones principales en este ejemplo se realizaron con el objetivo de complew el valor de la diferencial del argumento de la integral, lo que fue posible gracias a que este contenía ya la variable z multiplicando el radical. Es importante resaltar que la manipulac.ión algebraica solo agregó valores constantes. El uso de esta técnica puede sistematizarse como una fórmula que se basa prin· cipalmeote en el siguiente teorema:

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68 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

Teorema

Sify g son funciones continuas 111•

F(g(x)) = J [F(g(x))· g'(x))d.:c.

Ese teorema, a su vez, se deriva de la regla de la cadena para derivación. A este caso se Uama regla de la cadena para integración, la cual nos dice que si F'(g(.:c)) es una función compuesta en g(.:c),

(J·g)(.:c) 111•

F'(g(.:c))=J(g(.:c))

scgúnd T.F.C.

Scgán la regla de la cadena,

!

[F(g(.:c))j = F'(g(.:c))g'(x)

n•

f(g(x))= F'(g(.:c))g'(x) = J(g(.:c))g'(.:c)

Como F(g(.:c))= J f (g(.:c))d.:c 111•

F(g(.:c)) = J J(g(.:c)) g'(.:c)d.:c

Como dice el teorema, la principal dificullad de aplicar la regla de la cadena por integración consiste en poder reconocer dentro del integrando tanto a J(g(.:c)) como a g' (x) , y esta habilidad se logra con la práctica.

Ejemplo 6 l. Encuentre

Jz(a' Ｋ｢Ｇｺｾ＠

dz.

SOLUCIÓN

De hecho se ba retomado el ejemplo anterior, donde es posible reconocer que d

J(g(z))= a2 + b'z2 y, por tanto, g'(z)= - (a2 + b2 z2 }= 2b 2z; como en el argudz mento ya existe z, solo se completa la diferencial pero si se altera el valor de Ja expresión. De esta forma, se multiplica por 1 la expresión y se multiplica f(g(z)) = Ｑ ｾ＠

111..

J

b: 2 b 2z2(a2 Ｋ｢ Ｇ ｺ Ｇｽｾ＠ 1 = - 2-

b 2

dz =

Jf(g(z))g'(z)dz

1 f f (u)d11 = - -JuY> du 2 2b

］ ＭＱｾ＠ 2b'

u'1 j+c

www.freelibros.org 4

2 = .2...¡a + b'z' 8b2

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J"í +e

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 67

Uaa manera abreviada de aplicar la regla de la cadena para la integración con· siste en sustítuír g(x) por una nueva variable u (o cualquíer otra) y sustítuír g'(;J+c +b 1z1

t

Ｑ

Ｍ

2!>2

Ju"du= 1/

regrcsandoa 11=ll'+b'z'

]% +e

Esta t6cnica de sustituciones ahorra los pasos intermedios que supone la aplicación del teorema y es también la razón por la que a este método se le conoce como de sus1ituci6n.

Ejemplo 7 l. Obtenga SOLUCt ÓH

J

ian x dx.

sen-,entonces x reescn'b'irnos: e.omo sabemosque tanx = cosx

scox

Jianxdx= J--dx cosx

=Jse¡fx Ｎｾ＠ u - sirox =

ｊｾＢ＠

Sea 11 =cosx d11 =-senxdx

､ｸ］ｾ＠

Se sustituyen es· tos resultados en la integn¡J

-senx

=-lnu+C

= ln{cosx)- 1 +C = lnsecx + C El resultado puede verificarse en la entrada (14) de la tabla 2.

www.freelibros.org 2. Encuentre

J(Ja-Ji)' Ji di, donde a es una conswnie.

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68 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

SOLUCIÓN

Sea

u= (Jü - Ji )=(a}1_,Y, ) d11= - .!.1Yz d1 2

dt= - 21Yz du Sustituyendo en el integrando:

ｊＨ ｊ ｾ ｊｩ ＧＩ ､ｴ ］＠

J 5r(-z ;X'du}=-2Ju3du 1

=-.!. u'+c =--(Jü- Ji)' +e 2

3. Obtenga

J

(sen x )'cosxdx.

SOLUCIÓN

Sea u=seox du = cosxdx

ｊｲ ｾ

dx = _!!!!_ cosx

4. Obtenga

-2

ＨｾＩ

］＠

J u'd11

• e =.!!..+ 4

sen'x

=--+e 4

J

baJ• dz,

SOLUCIÓN

Sea u=3z

Jba'' dz = f;Ja"du

du =3z

=- -

b a• +C (Según la entrada 3 In 11 (6) de la tabla 2).

ba3•

du

dz =-3

=-+e 3 lna

Observación: El mélodo de sustitución es muy ótil siempre y cuando se tenga presente la derivada de las funciones básicas; esto facilita al reconocimiento de g(x) y g' (,tenga

J

3x2 - 51

d:x. v/x3 -51x+23

SOLUCIÓN

Puede hacerse un cambio de variable de la forma u = x' - 5lx + 23; de esia manera, la diferencial de uestará dada por du = (3x3 - 51 )d:x. Luego,

J,/x - 5lx + 23 d:x --J.!!!. Jü 3x2 -51

1

1

=

1

J11>du =Zu>+c=2Jü+c

= 2J x3 - 5lx + 23+C Observodón: Después de introducir el cambio de variable. la solución de ta integral debe estar expresada en 1érminos de la variable original. 3. O>tenga

1x2

J4x +2 d:x. 3

SOLUCIÓN

Se hace u = 4x' + 2, de esta forma, la diferencial de 11 está dada por d11 = 12.t2d:x. En el integrando se multiplica por 12 y divide enll'e 12, para obtener la diferencial dll. Luego

'

1x2

J 4x3 +2

tbc= -7

12

J

12x 2 d:x= -7 J -1du= -7 ln lu l+ C 4x3 +2 12 u 12

= 2.ln l4x 3 + 21 +C

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2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 71

4. Obtenga ｪＨｸ

Ｓ ＭｴＩｾＸｸＲ＠

dx.

SOLUCIÓN

Sea u= Sx-2.x", du= (8 - 8x')dx = - 8(x' - l)d.c. Luego, multiplicando ｰｯｲＨｾＩ＠ dividiendo entre (-8) el integrando para obtener d11, se tiene:

5.

Obtenga

y

3x 2 - x

J 3x+2 dx.

SOLUCIÓN

3x1 -x Primero se divide la fracción impropia y se obtiene 3x + 2 Luego.

2 x-1+--. 3x + 2

- x dt =J[x - 1+- 2- )dx=Jxdx-Jtdx+J- 2- dx J 3x' 3x+2 3x+2 3x+2 2 En J - -dx hacemos u=3x+2 ..... du=3dx, después, 3x+2 - 2-dx = ｾｊＭ J 3x+2 3 La integral solicitada será

Ｒ

Ｍ､ｸ＠

3x + 2

=!J.!.d11 = !1n l 11 I 3

u

3

3x 2 - x x' 2 J 3x+2 dx = -2 - x +-3 In l 3x + 2 I+c.

Ob$ervacl6n: Debemos aclarar que al dividir una fracción impropia (grado del nu· mcrador mayor o igual que el grado del denominador) con la intención de obtener una fracción propia, no siempre nos resultará una expresión fácil de resolver. Sin Clllbargo, podemos hacer el intento. 6. Calcule

J xJx-ldx.

SOLUCIÓN

Hacemos

u= x -1 ..... d11 =

dt, además, x =

11 +

1. Sustituyendo, se tiene

J xJx - ldx= j(u + t)Jüd11= J(u%+ ,,Yi)du

www.freelibros.org =

2 ,,

2 31

5

3

-1112 +-1112 +C=

2 S/ 2 31 -(x- t)n +-(x-1)" +e

5

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3

72 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

2.3.3 Integración indefinida por partes Usando también los teoremas y las fórmulas de derivación, como es el caso de la derivada de un producto, podemos deducir uno de los teoremas más ótiles para el cálculo de integrales, llamado integración por partes.

Teorema

Si J''7- a2

a>O, así que proponemos:

con

x = a soez;

Ejemplo 15

J. En el caso de la siguiente integral

JJh -in (x + Jx' -a')+ C , utilice la x l- al

sustitución trigonométrica adecuada para comprobarla. SOLUCION

Por el tipo de integrando, se propone una sustitución de Ja fonna x = ascci:

dx= asecz rg zdz y Así,

J.Jxidx_

Fbro, sec.i ］ ｾ

0i

-

Jx'-a' = atg•

Jasecztgzdx - JS4czd:; (lo cual se obruvo en el e¡emplo) . atg .t

= ln (,..,z+ tgz)+C a

Ｎ ｯ＠ bien., cos.t = x

a

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88 UNIDAD 2 Integral indefinkla y métodos de integración

:.J.rh ］ x' - a' =

｢｛ｾ

a

Ｋ＠

,¡;c;¡j+c a

ln(;(x+Jx>+a' J)+c

1n(.;)+1n(x+Jr' +a> )+e = 1n(x+ Jx• +a>)+e

=

Observación:

ＱｮＨｾＩ＠

se fusionó con C para obtener otra e indefinida

Al respecto de este tipo de sustirución. podrlamos observar que se cea.liza con el propósito de deshacernos del radical que aparece en el integrando, usando las funciones e identidades trigonométricas. Aunque también es una sustitución de la fonoa x = g(t) donde convertimos una variable en una función de otra nueva, más fácil de integrar. Luego tendremos que regresar de la función a la variable para expresarla ya integrada Debido a esta característica, también se le conoce como sustitución inversa, y tiene aplicaciones muy interesantes. A continuación mostraremos algunas.

Ejemplo de la tractrlz En el apartado Antecedentes mencionábamos que el potencial del cálculo se vio probado en la solución de problemas tales como el de la ttactriz (del latln tractum, que significa "arrastrar"), la cual en algunos escritos se denomina hundelmrve ('1a curva del perro", en alemán). Se dice que el problema fue formulado por Claude Perrault a Leibniz (aunque de manera no matemática) en Par!s en 1670. Le planteaba lo siguiente: puso sobre la mesa su reloj de bolsillo, lo arrastró con la cadena procurando que su extremo se moviera sobre una línea recta y preguntó a Leibniz por la curva descrita por el reloj. Leibniz, Ruygens y Bemoulli establecieron exhaustivamente esta curva aplicando los elementos del recién naciente cálculo de los infinitésimos. Una característica esencial de la tractriz es el hecho de que en cada punto su tangente coincide con la recta (AP) (véase figura 2.6), la cual, unida al reloj, es siempre tangent.e a la trayectoria de este. Por ello, también se ha denominado a la traariz como curva equitangencial, para indicar que el segmento de recta tangente entre la curva y el eje x es de longitud constante. p

J (0,a)

A www.freelibros.org Fflpn2.6

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2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 89

Si denominamos ese valor consuu11e como a, y queremos obtener Ja siguiente ccun· ción que describe la curva de la tractriz., aplicamos el siguiente procedimiento: SOLUCIÓN

Sea P(:r,y) un punto sobre la curva y sea x el ángulo de inclinación de la tractriz en el P (véase figura 2.6). Cómo oc•= 1'- oc: sen('lf- (l() = sen'1t'COS OC-COS1r -sen oc

=-sencx

Así, sen(w- oc ) = -seo oc; pero sen(lf- oc)+! a

seo oc= -y y tan oc= a

Ja'-yl - y ; por tanto, la variación de dicha tangente en fun·

ción de xestará representada como: dx dx

- =

_,, . o bien dx Ja'-y'

Ja'-r dy. -y

lnregrando, X =

=

-J,p::::ii dy -y

-a(Jｳ･ｾ＼＠

-

y resolviendo por sustitución proponemos

Jsenzdz)=-a(Jcsczdz-Jsenzd•)

= -a(ln(c:sct -ctgi:)+cosz) regresando, la sustitución Lnversa es:

= aln[

a+ 7]-Ja'-y'

donde y o a, cuando x = O.

Ejemplo 16

www.freelibros.org El siguiente ejemplo es un problema típico de geometría analítica combinada con cálculo integral, donde queremos determinar el área total encerrada por una elipse.

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90 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

SOLUCIÓN y

-·

La ecuación de la elipse es: (a. b)

,...

--1"-----+--"'--"'--+-- x

o

(a. O)

caso y:

y' = t - x ' bl a1

-b

yl

- + -=I • ' b1 Despejando alguna de las variables; en este

y

2

=(1-::)b'=["' ｾｲＢＩ

｢ Ｇ＠ =＠ｾ (.r - x

2

)

y = '!...J.r - x' a

La simetría de la elipse permite simplificar el cálculo del área debajo de la curva con-

siderando solo el primer cuadrnnte para después multiplicar por 4 dicho resultado. El problema es encontrare! área bajo y = '!_ .Ja' - x' en {O,a].

111•

a

A.si, A, = '!..J.' .J.r - x' dx. Usando sustitución trigonométrica para resolver la intea o gral (caso I), proponemos: x=asen: .Ja•-x• = acosz dx -= acos t

］ ｾｊＮﾷ＠

A,

ｾ＠

a'cos zdt = ｾ｛

Ｎｲ ｛ｩｦ＠

(1-coslt)dz]J

1;([•+isen2zJI:)

Esta evaluación se simplifica si combinamos los limites de integración, asf ¡o, "] 111• A,

ab[" +o-Ol=aJnr =-:;-.Portanlo,eláreatotal Ar=4A1 ;A 1 =4 (ªb?fl=ah?¡%

x1

ｾＲ＠

d

X

+e

V+s+ln(x+ Jx2 +8}+C 8

l

X

ｊ ｾ＠ t' ､ｊ ］ｾ＠ dy Jy2Jy2-7

1

｡ｲ｣ＢＧｮｾ

4

Ｋ ｃ＠

JN 7y +e

2. Obtenga las siguientes integrales usando la susútución trigonométrica sugerida: a) b)

Jx' J9-x dx; x=3senU JJ:+ 9 dx;x=3tg0 JＬ ｊ Ｔ ｾ＠ +9 ; "=ª rgz (será necesario una sustitución previa) 2

www.freelibros.org e)

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92 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

3. EY816e las siguientes integrales a)

J'J1 t3 J 11 -1 dt

J,'

1)

1

1

dt J9-t2

b)

12.Jj

dt

g)

c)

J.' z' J.• +4ck

h)

J' 3 dt

d)

f.\J9 - z dz

i)

J'J•'+ .!' 9dz

o

1J

Ji& - 1•

2

J' J.•+ 16 d< 1

•

J4-

t ,

12

1

e) J:':íO'J4 - 90'd0 4. Utilice la técnica de sustitución trigonométrica para demostrar que: a)

J

b)

JJO'+a'

dO

JO'+ •' dO

1n(o+JO'+a2) +c senh-

1

ｻｾ｝Ｋ･＠

S. Una varilla cargada, de longitud L, produce un campo eléctrico en el punto p(.a,b), que está dado por e(P) = ·

J-•

)\b

L ...

4mr0 (x' + b2 )

3

,

2

donde >. es la

densidad de carga por unidad de longitud en la varilla y €o es la pcnnisividad de espacio vacfo. Evalde la integral con la finalidad de determinar una cxpr:csión para el campo eléctrico.

2.3.6 Integración de funciones racionales por el método de fracciones parciales Una función racional es aquella que contiene solo elementos racionales, de manera que una fracción racional será aquella cuyo numerador y denominador sean solo funciones racionales enteras, donde la variable no esté afectada con exponentes positivos, negativos o frace.ionarios. Si el grado del numerador es igual o mayor que el del denominador, la fracción puede reducirse a una expresión de este tipo. efectuando la división algebraica.

Ejemplo 17 1. Si se divide el polinomio

www.freelibros.org (3.t2 + 2x - 8) entre (;e + 2).

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2.3 C!lculo de integrales inde6nidas o técnicas de integ...,i6n 93

3

La forma x '

+ 2x -

x+ 2

8 expresara llJlJl función donde el numerador y el deoomi·

nador son funciones racionales, y cuyo resultado es 2

3x

+ 2x-8 = Jx- 4

x+ 2

Se obtiene una expresión símplificada y cierta, ya que (x +2)(3x-4) = 3x2 + 2x-8 . 2.

Definición 2

x• 16 - - = x, -2x2 + 4x-8 + - - . x+2 x+ 2

En general. una función o fracción racional de la forma F(x) = P(x), donde G(x)

ｐｾ Ｉ＠ y G(x) son p0linomios, puede expresarse como una suma de fracciones más sencilla, siempre que el grado de P sea menor que el grado de G. Esta función racional se Uama impropia.

Cuando encontramos una función ímpropía como argumento de una integral, debe· mos simplificarla mediante fa división larga cocresp0ndicnte hasta obtener un residuo R(x), de forma tal que el grado de ese residuo sea inferior al grado del denominador; esto es: F(x) = P(x) = S(x) + R(x ) G(x) G(x)

En el ejemplo (17), punto I, F(x) = Jx' + 2x - S pOdemos aficrnar que: x+l

P(x) = 3x2 + 2"'-8 G(x)= x+2 S(x)= 3x- 4 R(x) = 0 En el punto 2, en cambio:

P(x)= x4 G{x)=x+2

ｸＩ ｓＨ

］ Ｎｾ＠

- 2x2 +4x - 8

R(x) = 16

En términos generales, aunque no es más simple, el resultado anterior se expresa en

el siguiente teorema.

Teorema

Si n es el grado de un polinomio P(x) y m es el grado de un polinomio G(x) ial que:

www.freelibros.org P(x)= .r' + a._,.r'- 1 +···+ +Px+qr' (x> + Px+q) donde

ｾ ｪ･ｭｰｬｯ＠

A, , A1 •.• A,

son constantes por determinar.

18 l. Compruebe que

4x-2 2x dx = ln(x{x-2)] +e Jx' -x2(x-1) 2

SOLUCIÓN

Al trabajar el integrando, se observa que P(x) = 4x - 2 es de grado uno, menor que el grado de G(x) = x'-x 1 -2x, que es de grado tres. :. ｾＺｬ＠

es una fracc.ión impro-

4 2 pia. Así, en x' "'; , el denominador también puede expresarse como: - . - 2x

x(x - l)(x - 2). Los factores del denominador son: x, (x-1), (x-2).

Así,

ｾＭ

4x-2 Ｍ x'-x1-2x

A1 X

A

A,

1 +-+- - . (x-1) ("-2)

Como esta expresión es una igualdad, se sabe que: 4x -2 = A, (x -t)(x -2)+ A1x(x-2)+ A,x(x-1) 4x -2=x1 (A, +A,+ A,)+x(A, -2.4, +A,) g(x) 111• el valor de las áreas respectivas seguirá la misma conducta, es decir, el área debajo de la gráfica deg(x) en el mismo intervalo, como se aprecia en la figura mencionada. Ahora analicemos solo la gráfica de algunafcootinua en un intervalo [a, b], donde podemos fácilmente locali7.ar el valor mínimo absoluto, al cual llamaremos m, y el valor máximo absoluto M(en el intervalo) (wfase figura 3.6).

)'

l

u

•

• ••••••••••

1.

- l- -1 "----'-l. a

(b - • )

b

FIJpra 3.6

Chmo sabemos, J.• f(x)dx proporcionará el valor del área limitada (o bajo f(;c)), el eje Xy el intervalo [a., b]. Observamos que en la figura 3.6 se forman dos rectángulos, uno que con base (b - a) y altura m, y otro con base (b - a), pero altura M. Con base en lo anterior, podemos asegurar que: m(b - a) < M(b - a)

Pero como sabemos que CSUIS dos cantidades son en realidad áreas de los rectángulos mayor y menor 1. . bablando en términos de áreas tenemos el siguiente teorema.

Teorema

Si la función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y si m y M son, respectivamente, los valores de la función en el mínimo absoluto y en el máximo absoluto del intervalo, de forma que se cumple: m $f(x) $ M \fx E [a, b]

*

m(b-a) $ J.• f(x)dx$ M(b -a)

www.freelibros.org El teorema anterior nos permitirá estimar un intervalo que contenga algún valor específico de la integral por ser determinado. http://fullengineeringbook.blogspot.com 132 of 271.

3.1 Áreafl 119

ｾ･ｭｰｬｯ＠

2 l. Estime un imcrvalo cerrado que contenga el valor de

J_',J 2+ x dx.

SOLUCIÓN

f(x)= J2 +x Al calcular los valores en los extremos del intervalo, se obtiene: .f(- 1) = 1 - m; (b - a) = 1 - (- 1) =2 .f(I) =

..fS =

M

,•

JO

8

• •

ＭｴＫ

'

ＭｴＫｩｾＮＬｲ

- 16- 14- l'2 - IO - l - 6 .,.4 - 2

ＭｩＮｸ＠

O 2

4

6

8

10 l2 14 l6

l'lgum 8.7

Entonces, 1(b - a)S ｊ

ｺＺ［

ｾＬ＠ J2+x S ../3(b -

a)

ｊ ｾＬ＠ J2+x :::;2../3

Por tanto. el intervalo cerrado [2.2../3] contiene el valor dado de la integral definida. Para comprobar esto, se procede a graficarlo en el software ya antes utilizado. Cabe mencionar que ya no se hará referencia a los términos de los objetos utiljzados para graficar ejemplos anteriores. Se ingresa la función / (x) = Jz+x de la siguiente fonna:f(x) = sqr1(2 + x), para tr.uar la línea. Después se ingresa la integral

J' J2 +

www.freelibros.org -1

x dx siguiendo este patrón: lntegral[sqrt(2 + x). 1, -1], donde se indican

los 2 intervalos (1, - 1], para dibujar el valor contenido de la misma integral y el cual se representa en la figura del ejemplo como la parte sombreada.

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120 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

2. Calcule un inrervalo cerrado que conrenga el valor de la inregral

,., J-, cos x dx.

SOLUCIÓN

(b-a)=( + ;)=,,. 2 ;

f (x)=cosxdx,

ＱＨＭ［Ｉ］ｾ

］ ＰＮＵ＠

iH,,.l=-H=o.125 0. 125Tr $

f ,, cosxdx $ 0.5,,. :i.)

-r

El intervalo buscado será: (0.1251', 0.511]. Com-0 ya se ha venido realizando, se escribirá en "En!rada" la siguiente instrucáóo: ln!egral[cos(x), 2"13, -

1113). Esta representa f

2., cosxdx , que bace referen-

-71 2 áa a la parte sombreada, la cual está delimitada por los puntos - y )"· Después,

se procede a ingresar la función del cos de la siguiente forma: f(x) = cos(x). la cual representa la misma área sombreada y grafica su función. y

I

_,

ｾ＠

//

El estudio de búsqueda de intervalos de acotaciones pennite preguntamos un poco el caso contrario o inverso, esto es, si tenemos una función/(x) ｾｏ＠ Vx E[a, b), donde

J:

f(x ) proporciona el área de la región limitada por/(x) y las rectas.:c = a y

www.freelibros.org x = b, ¿podemos encon1tar un valor C E [a, b] tal que el área del rectángulo C(b - a)

esté contenida? La respuesta a esta pregunta está en el siguicn!e teorema. http://fullengineeringbook.blogspot.com 134 of 271.

3.1 Áreafl

Teorema

Si la función fes continua en el intervalo ocrrado [a, b) CE [a. b] tal que

1,2j.

'* 3 un número

J.•J(x)dx = J(C)(b-a) Este teorema, mejor conocido como el teorema de valor medio para integrales. no proporciona un método para obtener C, pero afirma que dicho valor 3. También el valordeJ( C) proporcionado por el tcor:cma representa en realidad un val.oc promedio de la función en el intervalo. En otros términos, es una generalización de la media aritmética de un conjunto finito de valores de la función; esto es, !flt1l. /lt1)... .. fltn)J. o bien:

t i(x,) ""'

n

, lo cual representa la media aritmética den números.

b- a Es decir, n = Cu E'n el límite, o cuando n toma valores muy grandes, y si el límite 3,

lfm t.f(x,)

J.•J(x)dx

. .... b - a

Definición 1

b- o

Si/es una función integrable en el intervalo cerrado [a, b] de/en [a, b]cs:

J:

'* e1 valor promedio

f(x)dx b-a

Ejemplo 3

J

l. Si _, x dx = l, 2 cal cu le el valor promedio de la función identidad en el intervalo (- 1, 2) y determine también el valor de donde se obtiene el valor promedio (Vp). 1

SOLUCIÓN 2

f-

xdx 1

3 -

15

3

3

www.freelibros.org (Vp)=

(2+1)

=l.= - · = 0.5

/(0.5) = 0.5

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122 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

2. Para la medio.

J.'x 2

0

d:c, calcu le el valor de C que satisfaga el rcorema del valor

SOLUCIÓN

f.' x'

d:c = /(CX2 - O)

= 2/(C); pero ,.

J.' 0

X 2 d:c "' 2.666

2/(C) = 2.666 /(C) = 1.333

Así, C2 = 1.333

e= J 1.333 = 1.1541

:. J.' x' d:c = /(1. 1547)(2) 3. Calcule el valor promedio de la función / (x) = ｾ＠

X

en el inlervalo (1 , r]. Si A es

el valor promedio dereoninado, calcule lím A. ｾ＠

SOLUCIÓN

ScaA = valor promedio de la función /(x)= J. X

A

J.'- 1 dx ｾＱＺ＠ ' xi

(r - 1)

111• lím A = ｾ＠

ｾ

4. Compruebe si la desigualdad

valor medio.

(r - 1)

111•

-(;-1) (r - 1)

r

lím..!_ = 0. ｲ＠

J.'--#.--:$!. es cie11a usando el teorema del o x +4 2

SOLUCIÓN

/(C)(2)$ 0.5 J.'-#-= +4 O

X

1• /C) $ 0.25, lo cual se cumple V C E [O, 2] 1• cierta).

la igualdad se cumple (es

Ejemplo de aplica ción del teorema del valor med io para Integrales

www.freelibros.org Un cuerpo cae desde la posición de reposo y recorre uoa dis!llncia s antes de Uegar al suelo. Si la única fuerza que act11a es la de la gravedad g, a) demuesrre que el valor promedio de In ve.Jocidad expresada como una función de la distancia, mientras http://fullengineeringbook.blogspot.com 136 of 271.

3.1 Áreafl 123

recorre esta distancia es .!. ,j2gS pies por segundo y que la velocidad promedio es 3 dos terceras partes de la velocidad final. SOLUCIÓN

De acuerdo con las leyes de la física de un cuerpo en caída libre, la velocidad final del cuerpo será V¡ = V0 + gr, donde V0(veloc.idad inicial) = O, ya que el cuerpo

parte del reposo v1 = gr; además, la distancia recorrida es S = Expresando 1 en términos de S: 1 =

H,

i

gr2 •

y sustiruyendo en V¡:

Seg11n el teorema del valor promedio, el cuerpo se desplaza una distancia S 11• V¡ promedio =

J.' .fiiS ds s

1

tgs

:t

3

2 =

·-(2gS) 2 = - v 2gS 3 3

Portafolio de ev idencias 1

• Describa la interpretación geométrica del teorema de valor medio para integrales; de ser necesario, invente ua ejemplo para ilustrarlo. • Si una función fes integrable en un intervalo [a,!>], ¿cuál es el significado del valor promedio? Explíquc con sus propias palabras. • Invente un ejemplo que muestre cómo se calcularla el valor promedio de la fuociónfeo dicho intervalo. • Con sus propias palabras y paso a paso, describa cómo calcularía el valor del área de una región plana acotada por y = f (x ), el eje xy y las recias x = a y x = b usando integración. • Explique también qué condiciones le pondría a la función anterior.

Actividad de trabajo 3. 1

l. a) Obtenga el valor promedio de la función f definida por / (x) =

en el intervalo

[o.¡] sabiendo que J scc' x " 0

sec2x

dx = l.

b) Determine también el valor medio C en el que ocurre el valor promedio, describiendo la interpretación geométrica de los resultados. 2. CalcuJe con aproximación de centésimas el valor de C que satisfaga el teorema del valor medio en las siguientes integrales.

www.freelibros.org a)

J.' x2 +4x+Sdx 1

http://fullengineeringbook.blogspot.com 137 of 271.

b)

1 J'-, -dx -•x +s

12.4 UNIDAD 3

Aplicaciones de Ja Integral

c)

J.

d)

J'

5,

6

Ｒ ｾ Ｓ＠

-05

cotx dx

x' dx

3.1.3 Área entre gráficas de funciones Como el titulo lo indica, en este apartado vamos a analizar algún tndmados son: (5, -4), (16, 7). Observando los rectángulos dibujados, se puede apreciar que son diferentes en A 1 y en A 2• Esto sigoili.ca que será necesario dividir el área entre curvas en dos seccio-

http://fullengineeringbook.blogspot.com 139 of 271.

126 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

aes, de acuerdo con la forma de los rrizontales de área Entregue por escrito su generalización.

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3.2 Longlrud de curvas 135

Act ividad de trabajo 3 . 2

1. Determine el área exacta de la región descrita: a) La región acoUlda por las tres curvas y = x2, x = y3; x +y = 2. b) Laregiónacotadaporlascurvas.f(x)=x2 - 7x + 10,gCJ)= .!. (4x - 8) 1 3 y h(x) =J (4x -20). c) La región acorada por y = sctix, y = 1 y el eje y. d) La región acorada por y = tg2x, el eje x y la recta x =

Preguntas de refle xió n

¡".

• ¿Soy capaz de calcular el valor exacto de una región plana? • ¿Entiendo que existen algunas circunstancias en las que no es posible calcu· lar de manera exacta las áreas? ¿Comprendo la necesidad del uso de la tecnología para apoyar el alcance de las competencias correspondientes? • ¡floy capaz de visuafuar las regiones y secciones de áreas torales? • ¿Manejo diestramente algiln lenguaje de programación o software? • ¿Soy capaz de calcular los puntos de intersección entre curvas?

Longitud de curvas Imagine que desea medir un segmento de curva y que para ello cuenta únicamente oon los elementos esrandarizados que conocemos (reglas, cscalúnetros, ftcxómctros, etc.), todos ellos segmentos rectilíneos que se toman como unidades de medida. Un método aproximado podría ser hacer coincidir nuestra unidad de medida con el objetivo por medir; sin embargo, parece imposible o poco aproximado. Un ｭｾｴｯ､＠ alternativo y más exacto requerirá un procedimiento más detallado, que consiste en dividir el área en un determinado número de partes ( véase figura 3.23).

8

www.freelibros.org http://fullengineeringbook.blogspot.com 149 of 271.

138 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral Evidentemente, cuanto más pequei'los y numerosos sean los segmentos (ab, be, cd , de, etcétera), mayor será la aproximación langi111d

Definición 3

AB ,., ab + bc+Cd+de+ ...

l.Jl longitud de un arco de curva se define como el límite de la suma de los lados de la poligonal cuando el nómero de divisiones tiende a ser muy grande (- oo). al mismo tiempo que cada segmento de la poligonal tiende a ser muy peque/lo

(->0).

El método y la definición dados se aplican también a la longitud de área de una curva plana, cuya función está determinada o es conocida; de hecho, es más sencilla yn que lo podemos expresar de forma analítica.

Ejemplo 6 l. Sea y = .f(.x)una curva en el eje coordenado. Encuentre la longitud de un arco que va de un punto P a un punto Q. SOLUCIÓN

Se toma un m1mero n cualquiera de puntos sobre la curva y trazando cuerdas para unir los puntos (véase figura 3.24) y se analiza solo un segmento.

Q

ｾ＠

. ...¡.'.............;ily ' ' ' l :

Piｾ＠ ••

'

•

b

X¡

X

'

X¡ +

f:u

,___ /!u - - - - - <

Flp1t 3.24

El punto P 1 tiene coordenadas (x1, y 1) . El punto P2 tiene coordenadas (x 1 + Ax, y 1 + Ay). La longitud o distancia entre los puntos será: 2

P.P2 = J(Ax) + (Ay)'= (Ax}

(Ax)' +(Ay}2 (Ax)-

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3.2 Longl rud de curvas 137

Por la figura y el cálculo diferencial, se sabe que:

ｾ＠

= J'(x), conx 1 < x (!!l..)' =(Jx +2)' =x' (x'+2). 1

dx,

Sustituyendo en l :

J:

L=J,' Ji+x'(x'+2)dx= J(x2 +1)2 dx

www.freelibros.org =

J,'(x'+l}dx =[ｾ＠ +xJI'. =52.33

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140 UNIDAD 3

Aplicaciones de Ja Integral

Ejemplo de la ｣｡ｴ･ｮｲｾ＠

La siguiente figura muestra un cable que pende en la fonna de catenaria enire dos postes separados 300 ft y el punto más bajo del cable está a 200 fi del sucio. Los ejes

coordenados se eligen de modo que el origen esté a la mitad entre las bases de los dos postes (véase figura 3.27) sobre el eje x y el eje y, y contenga el punto más bajo del cable. Una ecuación de la catenaria es: y = 200cos hL::a) Calcule la longitud del cable entre los dos puntos.

SOLUCIÓN

Como y = ＲＰ｣ｯｳ

ｨＨ

Ｒ ｾＩ＠ 1

= senh(_!!_) dxdy = 200(-200 senh(...!__)) 200 200

(ZJ' ］

ｳ･ｮｨ Ｇ ＨＲｾｬ＠ ｌ ］ Ｒｦ Ｐ ＢﾰＨＱＫｳ･ｮｨ

Ｇ Ｈ Ｒ ｾＩ＠

1 2

::0)J' dx 1

dx = J."º(cosh'(

2

2J"º cosh(...!__)dx = 4-00(senh(...!__J)I"º _,,. 200 200 • =

4-00(Wl/1 ＨｾＩＭｳ･ｮｨＲ＠

= 400(senh

(f)-senh (O))"' 328.92 ft

Debido a que

www.freelibros.org e0 - e0 2

Ysenh (0)= - - = 0

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3.2 Longlrud de curvas 141

Observadón: Para resolver este in1ercsante problema, se utilizan las siguientes

identidades:

coshx' - senh'x= 1

Ejemp lo de la cardlol de La cardiodc 1 es una curva epicicloide. Su nombre proviene de su forma, muy similar a un corazón. Es una curva considerada clásica que se forma a partir de la trayectoria seguida por un punto montado sobre una circunferencia de radio 'l ,al girar sobre otra de r 2. Su característica principal es que la raz6n 'i / = l.

/ r,

Uaa manera de expresar su función en coordenadas polares está dada por. 6=a(I + cos8)

Intentaremos encontrar el perímetro de esta curva: Como 6 = a(I

+ cosO) '* 6'= -asene

Además, esta curva se reproduce por debajo del cjex. Si calculamos el perímetro desde Ohasta .,, y luego multiplicamos por dos, obtenemos la longitud de curva total.

Así, / =

f.' (6 + (sen0}2 )

1 '

2

dO

J.' (a'(I + cose)' + a 'sen' o)

I= 2

1 '

dO

= 2a f '(2+2cosO)', dO = 2a f ' 2cos!!. Jo Jo 2

=8a((;-Hº-(-?61]°

www.freelibros.org 1

Véale el apélldi" O,

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142 UNIDAD 3

Aplicaciones de Ja Integral Observación: Usamos las siguientes identidades:

o cos-

l + cos0 = --2 2 sai2" =0 sen 0=0

Portafolio de ev i dencias 3

Intercambie puntos de vista con sus compañeros sobre el método utili-

zado para determinar la longitud de curva de una función f cualquiera y

qué opción sugerirían para dicbo cálculo. Presente sus conclusiones por escrito. • Invente un ejemplo donde utilice la forma del teorema en términos de y oomo variable independiente • El teorema que establece Ja longitud de área de una curva puede expresarse

como: S(x)=

J.' ｾ Ｑ Ｋ

ＨＡＧＱ

Ｉ ＩＧ＠

dr.

Calcule utili.zando el teorema fundamental del cálculo S'(x) o en términos de diferenciales ds y obtenga una expresión para ds.

Act i vi dad de trabajo 3.3

1. Obtenga Ja longitud de la curva 9y2 = 4 i2 desde el oágcn hasta el punto

(3. 2J3).

2. Obtenga la longitud del segmento de recta y = 2x desde el punto (1, 3) hasia el punto (2, 6), empicando las dos formas del teorema de longitud de curva.

3. Determine la longitud de área de la curva y = lncscx donde x = .!." 1 6 hasta X = -"· 2

4. Si / (x) =

J:

Jcost dt , determine la longitud de área de la gráfica de

/dcsdeel puntodondcx = Ohasta x =

ｾ＿ｲＨｵｴｩｬ｣＠

teorema fundamen-

ial del cálculo p1ra obtener/'{x)). 5. Encuentre Ja longitud de área de la gráfica 9XZ (J3, 1) al punto (2./6, 2).

= (jl + 2>3 del punto

www.freelibros.org http://fullengineeringbook.blogspot.com 156 of 271.

ｾ

3.3 Cálculo de vohlmenes de sólidos de revolucl6n :1.43

Preguntas de reflexión

• ¿Entiendo la definición de longítud de un arco? • ¿Comprendo que dadas las medidas estándar de longítud no existen instrumentos físicos que mepennitan medir curvas cualesquiera? • ¿Entiendo el papel de la integral en un cálculo difer:cnle a aquel de obtención de área? • ¿Me queda clara la parte del !COrcma fundamental del cálculo que me permite usar la integral para ealcular longitudes?

｣ｵｬ

ｯ＠ de volúmenes de sólidos de revoluclón Una de las aplicaciones más difundidas de la integral es la que supone calcular por medios geométricos el valor de algunos 1ipos de sólidos, en particular aquellos que se definen como cilindros recios (sólidos limitados por rcgíoncs planas), debido a que de esta manera se facilita su cálculo. De alguna forma el procedimienlo es similar a las regiones planas limitadas por rectas que ya hemos estudiado.

3.3.1 Método de discos Si el área dela base de un cilindro recio esA y su altura h,entonces su volu.men estará detenninado por: V = Ah Se utiliwrá esta conocida fórmula para obtener un método que nos permita calcular el volumen de un sólido cuyas regiones de acoiación pueden ser áreas de cualquier tipo y que es perpendicular a un eje. Por ello, si un sólido S cualquiera está entre dos planos perpendiculares al eje de las x y definido en algún intervalo de a hasia by sea A{,t) el área de la sección plana de S perpendicular al eje x se requiere que A sea continua en el intervalo. Entonces si obtenemos una partición del intervalo cerrado será como sigue:

a =xo ¡X, tendremos un elemento infinitesimal de volumen, determinado por: !:>1V = A(w1)!:>.;<

donde w1,cs el valorclegido que penenece al i-ésirno inlervalo. Deesia forma, la suma de Riemann de los n elementos de volumen se expresa como:

www.freelibros.org Esta suma representa la aproximación del total de volumen, y nuevamente notamos que cuanto más pcquclla sea la partición o mayor sea el valor de n, esra aproximación se aceteará eada vez más al volumen real del sólido así generado. Por ello, podemos definir V como el limite de la suma de Riemann:

http://fullengineeringbook.blogspot.com 157 of 271.

144 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral

Como decíamos que estucliarcmos casos muy particulares, comenzaremos esra explicación ejemplificando los conceptos con la siguiente actividad de aprenclizaje.

Ac ti vida d de aprend izaje 3 . 1

Suponga que tenemos una función f(x) como la que se muestra en la figura 3.29. Observe que es muy parecida a la mitad de un fruto de pera. Ahora imaginemos que se puede obtener el área cerrada entre la función y el eje de las x, ya que f(x) es una función continua. También observarnos que si esra sección cerrada gira sobre el eje x, generarla un cuerpo sólido (en este caso, qui7.á como el de una pera real), y si se hiciera girar solo la curva tendríamos un cuerpo hueco (••éase figura 3.29). y

y

y ft.x)

Ｍ

ｸ ｾ＠ Fl¡pra 3.29

www.freelibros.org Aboca imaginemos que cortamos en rodajas verticales el sólido de revolución; tendremos algo muy parecido a la figura 3.30. http://fullengineeringbook.blogspot.com 158 of 271.

3.3 Cálculo de vohlmenes de sólidos de revolucl6n y

:1.45

/W

Rc1n3.30

Observe que tenemos cilindros concéntricos al eje de las x. Entonces, iinaginemos ahora que el grosor de cada disco es infinitamente pequeno, como lo belll0$ hecho en otros casos del cálculo infinitesimal; en consecuencia, si aislamos uno de estos cilindros infiniiesimales, tenemos la figura 3.31. y

11

dx

Rco.n3.31

En esta figura se observa que los discos, o mejor dicho cilindros infinitesimales, son de altura y variable que estará determinada por f(x) de un ancho infinitesimal dx; entonces, el volumen del sólido de revolución quedará determinado por la suma dcl volumen de cada uno de los cilindros infinitesimales que lo fonnan.

Y como la alluray depende siempre def(;c), entonces tenemos: Vcttl""'°lnlloidlma!

= -nf(x)2dx

Por lo ｡ｯｴ･ｲｩｾ＠ el volumen total del sólido de revolución estará determinado de la siguiente manera:

Expresando la ecuación anterior en términos del teorema fundamental dcl cálculo, tenemos:

• , J.•

www.freelibros.org vtdlldodo.,,-olu C = So

Así. S(I)

=So•"

Ecuación (3)

Expresión que rcprcsaiia la cantidad de sustancia radiactiva en función del ticmpc2.

Ejemplo 17 l. Por hallazgos arqueológicos se encontraron unos huesos fósiles de animal. El análisis químico detectó que cada hueso contenía una centésima parte de "C (carbono 14) radiactivo. Determine la antigüedad aproximada de los huesos encontrados. 2

www.freelibros.org libl'M)Cfte de las aplicaciones en fonoao electrdaiooq11e se tneuen.lrllll Nl 2 Este aldlJsis fue at:tailo y ｾｵｭｩ､ｯ＠ 11 pqim http1/canek. uam.nu/ (el Jeaor podr6 cooonuarademá.s aCuoa.sotru ooosick:rac:ioDCa aOOre la vida media desustancias raciactivu).

http://fullengineeringbook.blogspot.com 181 of 271.

168 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral SOLUCIÓN 14

C es un isótopo radiactivo ｰｾ｣ｮｴ･＠ en todos los cuerpos orgánicos. Cuando estos mueren, decae ese elemento de fonna que si se sabe cuánto carbono ha perdido, se podrá tener una idea del 1 aproximado que ha pasado. El elemento

C tiene una vida media de 5600 allos.

14

S(t) = kS(t), con S(O) = S0

S(5600) ］

ｾｓｯ＠

(vida media)

S(t) = Soe" S(5600) =

y ｴ｡ｭ｢ｩｾｮ＠

.!.s0 2

S(5600) = So ｾＶＰＩ＠

igualando

-1 Ji( = Ji(e•

1•

5600k =

ＱｮＨｾＩ＠

k = -lnZ = -0.000723776

5600

lgualmcnce, Despejando 1.

ｾＮＲＳＷＶｲＡＰ

1= _

Ｍ

ＩＱ＠

1 100

=-

- lnlOO

0

_23776.rlo-•) ,.,37,205.68allos.

3.5.4 Crecimiento poblacional El modelo de Malthus predice que una población crecerá exponencialmente con el tiempo, si la especie considerada dispone de todos los medios para vivir, como espacio, aire, alimento. En esas condiciones su crecimiento será de tipo exponencial, pero si los recursos escasean, entonces habrá competencias para acceder a ellos (peleas, guerras, cte.), por lo que la raron de crecimiento no será la misma. Por esta razón, el modelo de Malthus se llama de crecimiento irrestricto, mientras que el modelo presentado a continuación se denomina de crecimiento con ｾｴｲｩ｣￭ｯｮ･ｳＮ＠ El modelo llamado de crecimiento logístico fue introducido por Pierre Franc;ois Verhulst en 1838 y supone que la raz6n de crecimiento es proporcional tanto a la población misma como a la cantidad íaltante para llegar a la máxima población susientable. Dicho modelo se escribe como:

www.freelibros.org dpdi = rp(1 -.e.) K

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Ecuación (4)

3.5 Otras apllcaclones 1 69

En este modelo, res la razón de cn:cimiento intrínseco, K es la capacidad sustentable, que es el máximo valor que puede tener p. BI valor de r depende solo de la especie considerada. mientras que K depende ranto de la especie como del medio ambiente en donde se desarrolla esta y es el máximo valor posible en este ambiente.

Observamos que p -

O•1-.e."' l. K

y d; - o

Sip - Kn11t(1-;)"' o

E'n consecuencia, In población p(t) = La solución de la ecuación (4) es:

e (consiantc).

K p(t)= - , -

-

ce"

K

+1

Ejemplo 18 l. Utilizando el modelo logístico con capacidad sustentable K = 100 x 19 una población mundial (humana) de 5 x 109 en 1986 y una razón de crecimiento de 2% anual, realice una predicción de la población mundial al allo 20 t O. ¿Cuándo alcanzará la población un valor de 32 x 109? SOLUCIÓN

K = 100

X

19 p(t) =

Po=S x 109

LOO

1+(1005-5)[º·°'' 100

r= 0.02

= ---,..,.-

1+ 19e-O.l-•

' K - 100

Po=S

...... 3.49

www.freelibros.org En 2010, 1= 24

10•

p(24) =

100 _. .. "'7838904588 habitantes 1+19" .

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170 UNIDAD 3 Aplicaciones de Ja Integral X (09 en r1 a determinar:

la población scni de 32

l. . ( 11 )-

p

-

IOO 1 + l 9e-

-3 -1-31=3 Ｋ ｾ＠

1 n1 1 ó: acuerdo con el teorema => serie divergente. n

(-1)• 3rl

r

SOLUCIÓN

u, ］ＨＭＱＩＧｾ＠ U•+I = (-1)•+•

Ｑｾ Ｑ ］Ｑ Ｑ Ｍ Ｑ ］＠

11•

3n 1

3(n + I)

0

(-1)'+'3n (- 1)'3(n+l)

-n n+I

1-n

• 1-" 1= llm --1- = lím V) lún .-.. ,_,. n + I .-oo 1+.!. n

1 No hay criterio

4.2.2 Prueba de la ra1z o criterio de Cauchy

www.freelibros.org Como el criterio de la razón se basó en observar y calcular el límite de l&I valor absoluto de la razón de O' Alembcrt, se dice que es un criterio de convergencia absoluta. Sin embargo, cllisúrán muchos casos para los que el limite de dicho cociente = 1, por http://fullengineeringbook.blogspot.com 202 of 271.

4.2 Ser1e numérica y convergencia 1B9

Jo que no tendríamos criterio para decidir acerca de la convergencia. Un criterio que en este caso resulta de mucha utilidad y que además tiene gran relevancia teórica es el llamado pri1ef)a de ta rofz. Esta se establece en el siguiente teorema: ｾ＠

Teorema

Sea

s.= ¿:u. una serie infinita, donde vu. E s., vu. E s., u. =Oy sean ••l

1

ó =IU.I; Y sean

Cuando lfm,,_... l&I < 1 la serie es absolutamente convergente lfm..- 1111 > 1 o Hm._$ l&I =

+ oo la serie es divergente

lím,,...,m llil = 1 oo puede concluírse acerca de Ja convergencia con este criterio.

Ejemplo 2 1. Determine si la siguiente serie es convergente o divergente usando la prueba de la raíz.

'°'(1)" .3• .!. . L.J SOLUCIÓN

Se observa que esta serie es precisamente aquella donde falló la prueba de la razón.

u =(-1)"...!... •

lfm ó

"-00

3"

=lím 1-!J31 =1-.3!.I= .3!. < 1:. 1'-00

Ó=l(- 1)·

ｾ ｉ ［＠

1

la serie es absolutamente convergente

Elementos para alcanzar la competencia Rasta esta sección hemos orientado al lector para que desarrolle los criterios básicos que le pcnttitan determinar si una serie en particular puede converger de manera absoluta a su valor. Decimos orientado, porque, como en muchos conceplos en cálculo, no se puede dar al lector más que pautaS de ra2:0namiento y observación. A continuación intentaremos resumir los elementos necesarios para determinar la convergencia.

• Primero debe determinarse la convergencia sobre el ｮｾｳ nera que si lfm,._$ U• = O ,. la serie diverge, pero si

ｩ ｭｯ＠

elemento U,, de ma-

• ICm.-$ U,= O, no hay criterio y debemos analizar la serie para hacerla corresponder con algún caso. En consecuencia,:

·-· www.freelibros.org i.

Una serie geométrica

f:ao•-1 converge si lól < l; dívcrge si ＱＶｾ＠

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190 UNIDAD 4 Serles

ü. Una serie de la forma

f; ....!... ••ln P

üi.

convei:ge si p > I; diverge si p :5 1

_,

Una serie alternante de la forma f)-1)•+ 1a. converge si

ª•+' Jx'l la serie es divergente lf x tal que lxl > lx"I. Por tanto, x'' es una acotación del intervalo de convergencia de lxl para los que la serie es absolutamente convergente. Por tanto, decimos que dicho intervalo tiene una cota superior (que en realidad es el número t ya calculado). A esta cota superior se le conoce como rodio de convergencia de la serie. & importante señalar que también puede usarse el criterio de la ra(z para calcular el intervalo de convergencia.

=

1•

=

1. Determine el intervalo y radio de convergencia de la siguiente serie de potencias .

...

...,.. x• a) 2...., n + 1 SOLUCIÓN

x• n+ 1

U = -

•

x.. +i

u,.,..,= - n+2

x•••

n+ I n+ I ó=--·--=--x n + 2 x• n+ 2 llm 1 61 =

11-ién que es derivable en el ｩｮｴ･ｲｶ｡ｬｯ｛ Ｍ ｾ＠ (j. Adcmás,ftambién senl integrable en dicho intervalo (-l. {) y la integral se obtendrá al integrar la serie de potencias tinniM a tinnino segón el siguiente teorema.

Teorema

f:O.x•

.. -·

Si

es una serie de porencias cuyo radio de convergencia es l > O,

L na,x•·• también tiene a l como su radio de convergencia.

·-·

Observemos que este teorema establece el intervalo y radio de convergencia para la

..

serie derivada término a ténníno. De la misma manera, si

-·

les el radio de convergencia de ¿a,x• y t> O, la

serie ¿n(n - l)a,x--2 tiene a l como radio de convergencia; así, generalizando: si

't,a,,x• se define comof(x}

·-·

1•

f(x) =

f:O.x•

·-·

Y f'(x} =

'f,na,,x•-•

·-·

dondef'(x) tendal a !también como radio de convergencia. Adcmás,f(x} scnl integrable en el intervalo cerrado (-l. !) y la integral de la función serief(x) se evaluará integrando cada ténníno:

www.freelibros.org si f(x)

=ta.x• ,..,

1 • J.'o f(t)dt = ...r:on+l ｾｸ

Ｋ＠

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Eeuacíón (6)

Cálculo de Integrales de funciones ""J'resadas como serles de potencia 203

4.7

6 ｾ･ｭｰｬｯ＠

l. Obtenga una representación en serie de potencias de la siguienle integral

J' _!!!_ 4-1 2

SOLUCIÓN

Según elTFC OC> f(x)=l: - l -14-t

m • f 'l

dt = ln(4 - I)

4-/

Desarrollando por la fócmula de Thylor alrededor de x = 2, tenemos que: f(x) = ln (4 - x); f(2) =In 2

- 1 ; 4-x

f'(2) =

f'(x)= -

-1

-2

¡111(2) = - 2

(4 - x)>'

23

-6 2'

-6

/ '"(x)= -

f"'(x)=--; (4 - x) 11. .

2

/"(2) = - 1 2'

J"(x) - (4 - x)2; ¡m(x)

=-!.

1 ln(4 - x) = ln2 - 2(x - 2) -

1 2 6 (x - 2) (x - 2) - 2' (x - 2) + ··· 3123 2122 41

l " 1 1 2 2·3 = ln2 --(x-2 (x-2)3 (x-2) • ··· 1 --(x-2) 2 2·22 1·2·3·23 1·2·3·4·2'

( x-2)2 - - 2 , (x-2) ' - -6-(x-2)' ··· = ln2--l(x-2)- -12 2·21 3 .2 4 ·2' En general, y como estamos integrando a partir de dos,

f

,f(t)dt = ¿_, ｾＨｸＭＲＩ＠

2

M• l

n•2"

Además, U = (x-2)"

"

n· 2"

ó= (x-2)n 2(n+ 1)

(x - 2r+• U•+I = ｾ ｮ Ｍ Ｒｾ ＬＮ ＭＬ

lím 161= l(x-2)n1 =1x-21 ｟ 2(11 + 1) 2 •-«>

www.freelibros.org lím

. ......

a-oo

lím

ｮ ｟ ］ｉｾ＠ +1

11n

2 1

:.El radio de convergencia t = 2yel intervalo de convergencia de la scrie(-2, 2).

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204 UNIDAD 4

Serles

2. Obtenga la rcpl'C$Clltación en serie de potencia de la integral y determine el radio de convergencia

J.o'- +4 dt

- -. 12

SOLUCIÓN

J.'

/(n} = ' t - l ". 0n2 + 4

o

f(n)

1 X = -arctg-

2

2

Desarrollando en serie de Taylor en x = O, obtenemos:

fl' (x') 2 (- (ｾ＠ )'•-• ( 2=(2)- -3-+-5-- ···+ +... x

arctg

x

l)• • l

2(n - l)

Portafo lio de evidencias 5 1. Debata con sus oompafleros y ooncluya por escrito la importancia de la derivación e int Jx•(o+bx"Y'-' dx 111p+ m+ 1

=[a + o(111 + I) )Jx• (a+ bx•Y-' dx + x•- •(a+ bx•'f np+111 + l np+m+l J

x"'(o +bx• )' dx

anp Jx"'(o+bx"f-1 dx+ _...+• (o+bx' )' . np+ m + l np+m + l

Cuando se aplica esta fónnula, el valor de pdisminuye en una unidad. Evidentemente, esta fónnula fallará cuando np + m + 1 = O,

En el caso [AJ se obtuvo:

ｊ

ｸＢＧ ｾＨｯＫ

｢ｸＢ

Ｉｐ ､ｸ Ｋ ｸＢＧ ＭＮＫｊＨ

ｯ Ｋ ｢ｸＢ

ｹＫ Ｑ＠

(np + 111+l)b

_ (m- n+l)b Jx ....... (o+ bx' f dx. (np+m+l)o

Al despejar J x"'""(o+bx' )' dx:

J

x--• (a + f>x• )' dx = xm-.+I (a+bx" r' ((np + m + l}b)- ((np+ m + l)b)J x • (a+ bx• )' tfx (np + m+l)b (m-n + l)o (m-n+l)o x•-...+1 (a +bxll

rl

a (m-n + l)

Si m=m + n

i•

(np+m + l)bf x"' (a+bx" Y' dx. (m-n + l)a

(np+111 + n+ l)b Jx"+« (a +bx•Y dx. a (m+I) Asf, cada vez que haya un caso donde se aplique la íorma e, se debe susútuir m por m + n. Desde luego. debe coosidcrallie que cuando m + 1 = O, la fórmula fallara. Caso O

En el caso fBI se obluvo:

www.freelibros.org http://fullengineeringbook.blogspot.com 229 of 271.

218 Apéndice B

Al despejar

f x• (a+ bx")

p- 1

dx

(J.t"' (a+bx• )' dx )-(np+ m+ 1)[x•••(a+ bx" J' J

= np+m + 1

anp

J

np+m+ I ｸｾＨ｡ anp

Se reemplaza p por p

anp

Ｋ ｢ｸＩＧ＠

dx

np+ m+ I

x•••(a+bx• )' anp

+ 1,

La fórmula fallará cuando p + 1 =O, o bien, cuando p = - 1.

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Coordenadas polares y ecuaciones polares El sistema coordenado con el que hasta el momento hemos trabajado es el sistema cartesiano; sin embargo, en el capítulo 3 se analizaron también algunas curvas cuya ecuación se encontraba representada en un sistema coordenado diferente, llamado sistema de coordenadas polares. El estudiante podría, sin ningún problema, pasar de un sistema a otro mediante sus respectivas equivalencias. Por esa razón, el objetivo de este apéndice es mostrar cómo puede realizarse dicha 1ransformaci6n. En el sistema cartesiano generalmente hay dos coordenadas que nos permiten ubicar un punto cncl plano, de manera que (véase la figura 1) si quisiéramos representar el punto (x, y) en dicho plano, bastar(a con conocer esos valores y ubicar en el eje de las abscisas y en el eje de las ordenadas.

(.\', Ｌ ｾﾷ

..............

Ｐｲ､｣ｬＧＱ｡＠

ｾ＠

¡

Ab$cisa

y

X

Otra manera de ubicar dicho punto (x, y) en el plano serfa conocer el valor de la distancia que hay en línea recta desde el origen hasta el punto y también el ángulo que dicha línea recta forma con el eje de las abscisas (»éase la figura 2).

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218 Apéndice

e .V

¡t,x,y)

ex

o

Las coordenadas polares se basan precisamente en esa distancia dirigida en relación con un punto fijo, y en la medida del ángulo con respecto al punto fijo y su recta asociada. El punto fijo se denomina punto u origen, y Ja recta fija se Uaota recta polar o eje polar.

E'n consecuencia. si pes cualquier punto del plano diferente del origen, ex es la medida en radianes del ángulo xOp, y S es Ja distancia desde el origen O hasta el punto plOfl = 6 ,el conjunto de valores totales de coordenadas polares de un punto p estará dado por 5 y ex.o bien, (5, ex). (El ánguloxOpes positivo cuando se mide en sentido antihorario, y negativo cuando se mide en sentido horario). Es muy común encontrar el ángulo medido en radianes; entonces, si acoramos el ángulo ex en [O. 211], p tendtá un dnico conjunto que representa sus coordenadas polares. Sin embargo, esta observación se hace si un ángulo no está acotado entre [O, 21t). De esta manera, un punto particular podría estar representado mediante un nlhnero ilimitado de pares ordenados (véase la figuro 3).

"

3 _ _+ X ,c_-1._;;._

__5,.

o

3 y ¡l.x,y)

Cuando deseamos conocer la equivalencia

r

ex

o

de coordenadas cartesianas a coo«lenadas

polares. es necesario expresar un sistema en tbminos de o« ros de acuerdo con el siguiente análisis.

www.freelibros.org . .... 3

Sea p un punto cualquiera en el plano cartesiano en particular en el primer cuadrante.

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Apéndice C 219

Si (6. 0J1(a2+12)ZdJ

Actividad lnteg1adora de la unidad 2

1.1.

ｾＫＶＤｸｃ＠

1.2.

4(x¡+1)+"; + e

1.3.

- +- senx+C 2 2 1gx + secx+ e

L4.

X

J

1

1.5.

- (r - r•)+c 2

1.6.

- ln (cosx+ l) + C

l.7.

+ Vot +2,

1o-1 (211 - I}!

Actividad Integradora de la unidad 4

(- 1)' 2::-• 2nl

111 •

00

L Usar

Ｋ ［﾿Ｚ

1 1 IL l. --< x< 2 2

(- ir+' n 2 - • --- _, (2n-1)1 ..

2. Divergente

4. Convergente 'lx IV. l. -l