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UNIVERSID UNIVERSIDAD AD CENTRAL CENTRAL DE VENEZUELA VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ´ ESCUELA DE MATEMATICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS
´ CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES
Ram´ on on Bruzual Maris Marisel ela a Dom´ Dom´ıngue ıng uezz
Caracas, Venezuela Julio 2005
Ram´on on Bruzual Correo-E:
[email protected]
Marise Mar isela la Dom´ınguez ıng uez Correo-E:
[email protected]
Laboratorio de Formas en Grupos Centro de An´alisis alisis Escuela Escue la de Matem´ Matem ´atica atica Facultad de Ciencias Universidad Central de Venezuela http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg
Pr´ologo ologo
Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la segunda parte del curso de An´alisis alisis II de la Licenciatura en Matem´ atica de la Universidad Central de Venezuela y son atica el resultado de la experiencia de los autores en el dictado de dicho curso. Es la continuaci´ on natural natur al de la Gu´ Gu´ıa de C´ alculo alculo Diferencial Diferencial en Varias Variable Variables, s, elaborada por los autores para la primera parte del curso. En este curso se debe dar una visi´ on on rigurosa del c´alculo alculo en varias variables. La primera parte de este curso corresponde con el c´ alculo diferencial en varias variables y la segunda alculo con el c´alculo alculo integral en varias variables. Se supone que el estudiante ya ha visto un curso riguroso de c´ alculo en una variable, que alculo domina la topolog´ top olog´ıa ıa b´ asica asica de Rn, que ha visto un curso introductorio de c´ alculo alculo en varias variables y que ya ha estudiado la Gu´ Gu´ıa de C´ alculo Diferencial en Varias Variables o un texto alculo equivalente. Los siguientes temas son tratados en forma exhaustiva: (1) Integrales m´ ultiples. Integral de Riemann, condiciones de integrabilidad. ultiples. Teorema de Fubini. Cambio de variable. Integrales impropias. (2) Integrales Integr ales de l´ınea. ınea. Curvas, curvas cu rvas rectificab rect ificables, les, param p arametriz etrizaci´ aci´on. on. Independencia del camino, potenciales. Teorema de Green. (3) Funciones de valores vectoriales. Gradiente, rotor, divergencia y Laplaciano. Superfici Sup erficies, es, representa repr esentacione cioness param´ para m´etricas etric as e impl´ impl´ıcitas. ıcita s. Integrales de superficie. Teoremas de Gauss y Stokes.
iii
iv
Tanto el trabajo de mecanograf´ıa como la elaboraci´ on de los gr´ aficos estuvo a cargo de los autores. Agradecemos cualquier observaci´ on o comentario que deseen hacernos llegar. Ram´on Bruzual. Marisela Dom´ınguez. Julio 2005.
Contenido Cap´ıtulo 1. Integrales m´ ultiples.
1
1. El caso de una dimensi´on.
1
2. Integrales dobles.
4
3. Integrales m´ ultiples
18
4. C´alculo de una integral m´ ultiple mediante integraci´ on iterada.
20
5. Condiciones de integrabilidad
22
6. Integrales m´ ultiples sobre regiones generales
25
7. Cambio de variables en integrales m´ ultiples.
31
8. Integrales impropias.
43
Ejercicios 1.
47
Cap´ıtulo 2. Integrales de l´ınea y Teorema de Green.
55
1. Curvas y trayectorias.
55
2. Longitud de arco y reparametrizaci´ on.
58
3. Parametrizaci´ on por la longitud de arco.
63
4. Integral de un campo escalar a lo largo de una curva.
63
5. Integrales de l´ınea.
64
6. Teorema fundamental del c´ alculo para integrales de l´ınea.
69
7. El teorema de Green.
71
8. Ecuaciones diferenciales exactas de primer orden.
76
Ejercicios 2.
79
Cap´ıtulo 3. An´ alisis vectorial.
85
1. Integrales de superficie.
85
2. Superficies orientables.
88
3. Integrales de superficie
89
4. El Teorema de Stokes
92
5. El Teorema de la divergencia o Teorema de Gauss
95
v
vi
CONTENIDO
Ejercicios 3.
99
Bibliograf´ıa
103
´Indice
105
CAP´ITULO 1
Integrales m´ ultiples. 1. El caso de una dimensi´ on.
En esta secci´ on recordaremos algunos resultados y definiciones relacionados con la integral de Riemann en una dimensi´ on. El enfoque usual de la integral de Riemann, a trav´es de suma superiores e inferiores, es el siguiente. ´ n 1.1. Sean a, b Definicio
∈ R, a < b. Una partici´ on del intervalo [a, b] es una colecci´on
finita de puntos de [a, b], de los cuales uno es a y otro es b.
Los puntos de una partici´ on pueden ser numerados como x 0 , x1 , . . . , xk , de forma tal que el conjunto quede ordenado de la siguiente manera a = x o < x1 <
·· · < x −
k 1
< xk = b.
Al hablar de una partici´ on siempre supondremos que est´ a ordenada de la forma anterior. ´ n 1.2. Sean a, b Definicio
∈ R, a < b y f : [a, b] → R una funci´on acotada.
P = xo , x1 , . . . , xk una partici´ on del intervalo [a, b].
{
Para 1
}
≤ i ≤ n, sean mi = inf f (x) : xi−1
{ ≤ x ≤ x }, M = sup{f (x) : x − ≤ x ≤ x }. i
i
i 1
i
La suma inferior de f correspondiente a P , se denotar´ a por L(f, P ) y es n
L(f, P ) =
mi (xi
i=1
− x − ). i 1
La suma superior de f correspondiente a P , se denotar´ a por U (f, P ) y es n
U (f, P ) =
M i (xi
i=1
1
− x − ). i 1
Sea
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
2
Es importante notar que la hip´ otesis f acotada es esencial para poder garantizar que tanto M i como m i est´an definidos. Tambi´ en es necesario definirlos como supremo e ´ınfimo y no como m´aximos y m´ınimos, ya que f no se supone continua. ´ n 1.3. Una funci´ Definicio on acotada f definida en [a, b] es integrable Riemann o inte-
grable sobre [a, b] si sup L(f, P ) : P es una partici´ on de [a, b] = inf U (f, P ) : P es una partici´ on de [a, b] .
{
}
{
}
´ n 1.4. En caso de que f sea integrable el n´ umero com´ u n de la definici´ on Definicio
anterior recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se denota por b
f.
a
Si la funci´on f es no negativa, la integral de f sobre [a, b] representa el a´rea de la regi´ on plana limitada por el gr´ afico de f , el eje x y las verticales x = a y x = b. Tenemos que si f es continua en [a, b], salvo en una cantidad finita de puntos, entonces f es integrable sobre [a, b]. Adem´as, para funciones continuas tenemos lo siguiente. ´ n 1.5. Si P = x0 , x1 , . . . , xk es una partici´ Definicio on del intervalo [a, b], la norma
{
de P se define por
}
|P | = max{x − x − : i = 1, . . . , k}. on continua. Entonces para cada ε > 0 existe Teorema 1.6. Sea f : [a, b] → R una funci´ i
i 1
δ > 0 tal que
k
b
f (ci )(xi
i=1
−x− ) i 1
− a
f < ε
para toda partici´ on P = x0 , x1 , . . . xk de [a, b] tal que P < δ y para cualquier conjunto de
{ } puntos {c } tales que c ∈ [x − , x ]. i
i
i 1
| |
i
´ n 1.7. El resultado anterior se suele expresar de la siguiente manera: Observaci o
Si f es continua en [a, b] entonces k
b
a
ci
∈ [x − , x ]. i 1
f = lim
|P |→0 i=1
f (ci )(xi
−x− ) i 1
i
Las sumas que aparecen en la f´ormula anterior se conocen con el nombre de sumas de
Riemann de f .
´ 1. EL CASO DE UNA DIMENSION.
3
Es muy importante recordar el siguiente resultado, que establece una conexi´ on entre el c´alculo diferencial y el c´alculo integral, y que es sumamente util ´ en el momento de calcular integrales. alculo). Si f es integrable sobre [a, b] y f = g Teorema 1.8 (Teorema fundamental del c´ para alguna funci´ on g, entonces b
f = g(b)
a
− g(a).
Existe otra forma equivalente de abordar la integral de Riemann, a trav´es del concepto de funci´on escalonada. Este el enfoque que utilizaremos para abordar las integrales m´ ultiples. Para facilitar la comprensi´ on de las integrales m´ ultiples vamos a dar una breve descripci´on de c´ omo se puede llegar a la integral de Riemann unidimensional a trav´es de las funciones escalonadas. ´ n 1.9 (Funci´ on escalonada). Sean a, b Definicio
∈ R, a < b y s : [a, b] → R una funci´on. Se dice que s es una funci´ on escalonada si existe una partici´ on P = {x , x , . . . , x } del o
1
k
intervalo [a, b] tal que s es constante en cada uno de los intervalos abiertos que determina P , es decir, para cada i = 1, . . . , k existe un n´ umero real si tal que s(x) = s i
si xi−1 < x < xi .
´ n 1.10 (Integral de una funci´ Definicio on escalonada). Si s : [a, b]
→ R es una funci´on
escalonada y P = xo , x1 , . . . , xk es una partici´ on del intervalo [a, b] tal que s(x) = si si
{
}
xi−1 < x < xi , se define la integral de s sobre el intervalo [a, b] por k
b
s(x) dx =
a
i=1
si (xi
− x − ). i 1
Es claro que a una funci´on escalonada s, se le pueden asociar diferentes particiones tales que s es constante en cada uno de los intervalos abiertos que ´esta determina. Como ejercicio, demostrar que la integral de una funci´on escalonada est´ a bien definida, es decir, demostrar que el valor de la suma que aparece en la definici´ on anterior es independiente de la partici´ on escogida P , tal que s es constante en cada uno de los intervalos abiertos que determina P . ´ n 1.11. Sea f : [a, b] Definicio
→ R una funci´on acotada.
La integral superior de f se define por b
I (f ) = inf
a
s(x) dx : s es una funci´ on escalonada y s
≥
f .
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
4
La integral inferior de f se define por b
{
I (f ) = sup
s(x) dx : s es una funci´ on escalonada y s
a
≤ f }.
Se puede probar que f es integrable Riemann en [a, b] si y s´olo si I (f ) = I (f ) y en este caso
b
f (x) dx = I (f ) = I (f ).
a
2. Integrales dobles. ´ n 1.12. Sea Q = [a, b] Definicio
2
× [c, d] un rect´angulo contenido en R .
Sea P una
colecci´on de subrect´ angulos de Q. Se dice que P es una partici´ on de Q si existen una partici´on P 1 = x0 , . . . , xN
{
} de [a, b] y una partici´on P = {y , . . . , y } de [c, d] tales que P = { [x − , x ] × [y − , y ] : 1 ≤ i ≤ N , 1 ≤ j ≤ N }. 2
1
i 1
i
j 1
j
0
N 2
1
2
El par (P 1 , P 2) lo usaremos para denotar a P . Notar que si P 1 origina N 1 intervalos y P 2 origina N 2 intervalos entonces P contiene N 1 N 2 subrect´ angulos.
·
y y 2 =d y 1
y o =c x o =a x 1
x 2
x 3 =b
o n de [a, b] Figura 1.1. Partici´
x
× [c, d].
2.1. Integral doble de una funci´ on escalonada. ´ n 1.13. Sea Q = [a, b] Definicio
2
× [c, d] un rect´angulo contenido en R
y sea s : Q
→ R
una funci´ on. Se dice que s es una funci´ on P de Q tal que on escalonada si existe una partici´ s es constante en cada uno de los subrect´ angulos abiertos de P .
2. INTEGRALES DOBLES.
5
z
y
x
Figura 1.2. Gr´ afico de una funci´ on escalonada.
Sea Q = [a, b] Q. Sea
2
× [c, d] un rect´angulo contenido en R s : Q
y sea P = (P 1 , P 2 ) una partici´ on de
→R
una funci´ on escalonada, que es constante en cada uno de los subrect´ angulos abiertos de Q, es decir, si P 1 = x0 , . . . , xN
{
} y P = {y , . . . , y } entonces si (x, y) ∈ (x − , x ) × (y − , y ), s(x, y) = c 2
1
0
N 2
ij
i 1
i
j 1
j
para i = 1, . . . , N1 , j = 1, . . . , N2 . ´ n 1.14 (Integral doble de una funci´ on escalonada). La integral doble de s sobre Definicio
Q es N 1
N 2
s =
Q
cij (xi
· − x − ) · (y − y − )
i=1 j=1
i 1
j
j 1
Ejercicio 1.15. Demostrar que la integral doble de una funci´ on escalonada est´a bien
definida. ´ n 1.16. Notar que si s Observaci o
≥ 0 entonces la integral doble de s sobre Q es el
volumen del s´olido limitado por el gr´afico de s y Q. Otra notaci´ on muy com´ un para
s es
Q
Q
s(x, y) dxdy,
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
6
o tambi´en
sdA.
Q
Sea s como en la Definici´ on 1.14 una funci´ on escalonada y sea Q ij = [xi−1 , xi ]
entonces
s(x, y) dxdy = cij (xi
× [y − , y ], j 1
j
· − x − ) · (y − y − ).
Qij
i 1
j
j 1
Un c´alculo directo muestra que
s(x, y) dxdy =
Qij
xi
yj
xi−1
yj−1
s(x, y) dy
yj
xi
yj−1
xi−1
dx =
s(x, y) dx
dy,
por la linealidad de la integral unidimensional, obtenemos el resultado de Fubini para integrales de funciones escalonadas
(1.1)
b
s(x, y) dxdy =
d
a
Q
d
s(x, y) dy
c
Ejercicio 1.17. Sea Q = [a, b]
b
dx =
c
s(x, y) dx
a
dy.
2
× [c, d] un rect´angulo contenido en R .
(1) Demostrar que si s1 y s2 son dos funciones escalonadas en Q y c1 y c2 son dos constantes reales, entonces
(c1 s1 (x, y) + c2 s2 (x, y)) dxdy = c 1
Q
s1(x, y) dxdy + c2
Q
s2 (x, y) dxdy.
Q
(2) Demostrar que si s es una funci´on escalonada en Q y se tiene que Q = Q1
∪ Q , 2
donde Q1 y Q2 son rect´ angulos de lados paralelos a los ejes de coordenadas, tales que interior(Q1 )
∩ interior(Q ) = ∅, entonces
2
s(x, y) dxdy =
Q1 Q2
s(x, y) dxdy +
Q1
∪
s(x, y) dxdy.
Q2
(3) Demostrar que si s y t son funciones escalonadas en Q y s(x, y)
≤ t(x, y) para todo
(x, y) Q, entonces
∈
Q
≤
s(x, y) dxdy
t(x, y) dxdy.
Q
2. INTEGRALES DOBLES.
En particular, si t(x, y)
7
≥ 0 para todo (x, y) ∈ Q, entonces t(x, y) dxdy ≥ 0.
Q
2.2. Integral doble de una funci´ on acotada en un rect´ angulo.
Sea Q = [a, b] [c, d] un rect´ angulo contenido en R2 y sea f : Q
×
Sea M > 0 tal que
|f (x, y)| ≤ M Sean so, to : Q
→ R una funci´on acotada.
si (x, y) Q.
∈
→ R definidas por so (x, y) =
−M
y to (x, y) = M,
tenemos que s o y to son funciones escalonadas y so (x, y)
≤ f (x, y) ≤ t (x, y) o
para todo (x, y) Q.
∈
´ n 1.18. Definicio
La integral superior de f sobre Q es I (f ) = inf
≤ ≤
t(x, y) dxdy : t es una funci´ on escalonada y f t
Q
La integral inferior de f sobre Q es I (f ) = sup
s(x, y) dxdy : s es una funci´ on escalonada y s
Q
´ n 1.19. Sea Q = [a, b] Definicio
.
f .
2
× [c, d] un rect´angulo contenido en R
y sea f : Q
una funci´ on acotada. Se dice que f es integrable sobre Q si I (f ) = I (f ).
Este valor com´ un se denomina la integral doble de f sobre Q y se denota por
f (x, y) dxdy,
Q
o simplemente por
f.
Q
Ejercicio 1.20. Sea Q = [a, b]
2
× [c, d] un rect´angulo contenido en R .
Demostrar las siguientes propiedades de la integral.
→R
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
8
(1) Linealidad: Si f y g son dos funciones integrables sobre Q y c1 y c2 son dos constantes reales, entonces c1 f + c2g es integrable sobre Q y
(c1f (x, y) + c2 g(x, y)) dxdy = c 1
Q
f (x, y) dxdy + c2
Q
g(x, y) dxdy.
Q
(2) Si f es una funci´ on integrable sobre Q y se tiene que Q = Q 1 Q2 , donde Q1 y Q2 son rect´ angulos interior(Q1 ) y
de
lados
paralelos
a
los
ejes
de
∪
coordenadas,
tales
que
∩ interior(Q ) = ∅, entonces f es integrable sobre cada Q , i = 1, 2
2
i
f (x, y) dxdy =
Q1 Q2
f (x, y) dxdy +
Q1
∪
f (x, y) dxdy.
Q2
(3) Monoton´ıa: Si f y g son funciones integrables sobre Q y g(x, y) (x, y) Q, entonces
∈
≤
g(x, y) dxdy
Q
≤ f (x, y) para todo
f (x, y) dxdy.
Q
En particular, si f (x, y)
≥ 0 para todo (x, y) ∈ Q, entonces f (x, y) dxdy ≥ 0.
Q
2.3. C´ alculo de una integral doble mediante integraci´ on iterada. Teorema 1.21 (Fubini). Sea Q = [a, b]
× [c, d] un rect´ angulo y sea f : Q → R una
funci´ on acotada, integrable sobre Q. Supongamos que: (a) Para cada y
∈ [c, d] la funci´ on x → f (x, y) de [a, b] en R es integrable sobre [a, b]. (b) La funci´ on y → f (x, y) dx de [c, d] en R es integrable sobre [c, d]. b a
Entonces
d
f (x, y) dxdy =
c
Q
b
f (x, y) dx
a
dy.
´ n. Sean s y t dos funciones escalonadas definidas en Q tales que Demostraci o
s
≤ f ≤ t.
Entonces, para y
∈ [c, d],
b
a
b
s(x, y) dx
≤ a
b
f (x, y) dx
≤ a
t(x, y) dx.
2. INTEGRALES DOBLES.
9
Luego d
b
c
d
b
≤
s(x, y) dx
a
dy
c
d
f (x, y) dx
a
b
≤ dy
c
t(x, y) dx
a
dy.
Usando el resultado de Fubini para integrales de funciones escalonadas (ver la ecuaci´ on (1.1)) tenemos que
d
b
≤
s(x, y) dxdy
c
Q
f (x, y) dx
a
≤ dy
t(x, y) dxdy.
Q
Haciendo variar las funciones escalonadas, tenemos que el n´ umero que est´ a en el centro de esta desigualdad es una cota superior para las integrales que est´ an a la izquierda y es una cota inferior para las integrales que est´ an a la derecha. Luego d
I (f )
b
≤ c
f (x, y) dx
a
dy
≤ I (f ).
Por ser f integrable tenemos que I (f ) = I (f ). Usando la definici´on de integral tenemos que
d
f (x, y) dxdy =
b
c
Q
f (x, y) dx
a
dy.
´ n 1.22. Si en el Teorema anterior suponemos que Observaci o
(a) Para cada x [a, b] la funci´on y
∈ (b) La funci´ on x →
d c
→ f (x, y) de [c, d] en R es integrable sobre [c, d].
f (x, y) dy de [a, b] en R es integrable sobre [a, b].
Entonces, con un argumento completamente an´ alogo, obtenemos b
f (x, y) dxdy =
d
a
Q
f (x, y) dy
c
dx.
El Teorema de Fubini tiene una interpretaci´ on geom´etrica que damos a continuaci´ on. Si f 0 entonces
≥
f
Q
es el volumen de la regi´on limitada por el gr´afico de f y el plano xy. Este volumen tambi´en lo podemos obtener por integraci´ on unidimensional del a´rea de su secci´ on transversal. En la figura d
A(xo) =
c
f (xo , y) dy.
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
10
z
Area = A(x o )
y x o x
Figura 1.3. ´ n 1.23. La existencia de la integral doble no garantiza la existencia de las Observaci o
iteradas y viceversa, ver ejercicios 8 y 9. 2.4. Condici´ on suficiente de integrabilidad.
En esta secci´ on vamos a ver que si una funci´on acotada es continua, salvo en un conjunto “peque˜ no”, entonces es integrable. Para medir el tama˜ no de un conjunto introducimos el siguiente concepto.
´ n 1.24. Sea A un subconjunto acotado del plano. Se dice que A tiene contenido Definicio
bidimensional nulo si para cada ε > 0 existe un conjunto finito de rect´ angulos Q1 , . . . , QN
{
}
de lados paralelos a los ejes tales que la suma de las a´reas de los Qi es menor que ε y N
A
⊂
interior (Qi ).
i=1
Ejercicio 1.25. Demostrar las siguientes afirmaciones.
(1) Cualquier subconjunto finito del plano tiene contenido bidimensional nulo. (2) La uni´ on de una familia finita de conjuntos de contenido bidimensional nulo tiene contenido bidimensional nulo. (3) Todo subconjunto de un conjunto de contenido bidimensional nulo tiene contenido bidimensional nulo. (4) Todo segmento de recta tiene contenido nulo. 2
⊂ R , demostrar que si para cada ε > 0 se tiene que existe un conjunto finito de rect´ angulos acotados {Q , . . . , Q } tales que la suma de las a´reas de los Q es
(5) Sea A
1
N
i
2. INTEGRALES DOBLES.
11
menor que ε y N
⊂
A
Qi
i=1
entonces A tiene contenido bidimensional nulo (es decir, no es necesario suponer que los lados de Q i son paralelos a los ejes y podemos colocar Qi en vez de interior (Qi ) en la definici´ on de contenido nulo).
angulo y sea f : Q Teorema 1.26. Sea Q = [a, b] [c, d] un rect´
×
→ R una funci´ on acotada.
Si el conjunto de las discontinuidades de f tiene contenido bidimensional nulo entonces f es integrable sobre Q. ´ n. Sea M > 0 tal que f (x) Demostraci o
| ≤ M para todo x ∈ Q. Sea D el conjunto
|
de las discontinuidades de f . Sea ε > 0.
Como D tiene contenido bidimensional nulo existe una colecci´ on finita de rect´ angulos de ε lados paralelos a los ejes, R1, . . . , RN tales que la suma de sus a´reas es menor que y 4M 1
N 1
D
⊂
interior (Ri ).
i=1
El conjunto
N 1
C = Q
\
interior (Ri )
i=1
es compacto y f es continua en C , luego f es uniformemente continua en C . Por lo tanto
tales que podemos dividir C en rect´ angulos R1 , . . . , RN 2
ε , ∈ } − min{f (x, y) : (x, y) ∈ R } < 2 a´rea(Q)
max f (x, y) : (x, y) R i
{
i
para i = 1, . . . , N2 . Sea P = Q1 , . . . QN una partici´on de Q tal que cualquier rect´ angulo Ri , 1 Ri , 1
{
}
≤ i ≤ N , ´o 1
≤ i ≤ N es uni´on de rect´angulos pertenecientes a P . Sea (x, y) ∈ Q. Definimos las funciones escalonadas s y t en el punto (x, y) de la siguiente 2
manera:
Si (x, y) pertenece al rect´ angulo Ri para alg´ un i, entonces s(x, y) = m i = min f (x, y) : (x, y) R i
{
∈ }
y t(x, y) = M i = max f (x, y) : (x, y) R i ,
{
en otro caso s(x, y) =
−M
y t(x, y) = M.
∈ }
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
12
De la definici´on de s y t sigue que s(x, y)
≤ f (x, y) ≤ t(x, y) para todo (x, y) ∈ Q. N
(t(x, y)
Q
− s(x, y)) dxdy =
(si
i=1
− t ) a´rea(Q ), i
i
donde si y ti son los valores respectivos de s y t en Qi .
tenemos que Si Qi es uno de los rect´ angulos contenido en alg´ un R1 , . . . , RN 2
si En otro caso si
−t
i
ε . − t < 2 a´rea(Q) i
= 2M.
Por construcci´ o n la suma de las ´areas de los rect´ angulos de P que no est´ an contenidos ε en R1 , . . . , RN es menor que , por lo tanto tenemos que 4M 2
(t(x, y)
Q
− s(x, y)) dxdy ≤ (´area(Q))
ε 2 a´ rea(Q)
+ 2M
ε 4M
= ε.
Luego f es integrable sobre Q.
Ejemplo 1.27. Verificar la existencia y calcular la siguiente integral doble
(x2 + y) dxdy.
[0,1] [0,1]
×
Como el integrando es una funci´ on continua, resulta ser integrable. Adem´ as como se cumplen las hip´otesis del teorema de Fubini tenemos que: 1
0
x3 2 (x + y) dx = + yx 3
luego 1
1
0
(x2 + y) dxdy =
0
1
1
x=1
= x=0
0
0
1 + y dy 3
1 y 2 = y + 3 2
1 + y, 3
(x2 + y) dx dy
0
1
=
y=1 y=0
1 1 5 = + = . 3 2 6
2. INTEGRALES DOBLES.
13
2.5. Integrales dobles sobre conjuntos m´ as generales. Teorema 1.28. Sea ϕ : [a, b]
contenido bidimensional nulo.
→ R una funci´ on continua. Entonces el gr´ afico de ϕ tiene
´ n. Sea A el gr´ Demostraci o afico de ϕ, es decir, 2
A = (x, y)
{
∈R
: a
≤ x ≤ b, y = ϕ(x)}.
Sea ε > 0. Por ser [a, b] compacto, ϕ es uniformemente continua y por lo tanto existe una partici´ on P = xo , . . . , xk del intervalo [a, b] tal que la oscilaci´on de ϕ en cada uno de
{
}
los intervalos de P es menor que ε/(b Para i = 1, . . . , k sean M i = sup ϕ(x) : x
{
− a).
∈ [x − , x ]} i 1
mi = inf ϕ(x) : x
{
y
i
∈ [x − , x ]}. i 1
i
Estos valores son finitos porque ϕ es continua en los compactos [xi−1 , xi ]. Adem´as k
A
⊂
[xi−1 , xi ]
i=1
y
M i Finalmente
i
i
− m ≤ b −ε a . i
k
´area
× [m , M ]
k
[xi−1 , xi ]
i=1
× [m , M ] i
i
=
(xi
i=1
ε
≤ b−a
− x − ) · (M − m ) i 1
i
i
k
(xi
i=1
− x − ) = ε. i 1
Sean S un subconjunto acotado de R2 y f : S
→ R una funci´on acotada. Sea Q un rect´ angulo de lados paralelos a los ejes y acotado tal que S ⊂ Q. Sea f ˜ : Q → R la funci´on definida por (1.2)
˜ y) = f (x,
f (x, y) 0
si (x, y) S,
∈ si (x, y) ∈ Q \ S.
˜ est´a contenido en el conjunto de los El conjunto de los puntos de discontinuidad de f puntos de discontinuidad de f unido con la frontera de S . Por lo tanto, si la frontera de S y el conjunto de los puntos de discontinuidad de f tienen contenido nulo, entonces f ˜ es integrable sobre Q.
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
14
´ n 1.29. Sea S un subconjunto acotado de R2 tal que su frontera tiene contenido Definicio
→ R una funci´on acotada, tal que el conjunto de los puntos de discontinuidad
nulo. Sea f : S
˜ de f tiene contenido nulo. Sean Q y f como en (1.2), se define
f (x, y) dxdy =
S
˜ y) dxdy. f (x,
Q
Ejercicio 1.30. Demostrar que
f (x, y) dxdy est´a bien definida, es decir, probar que
S
no depende del rect´ angulo Q que contiene a S .
on caracEjercicio 1.31. Supongamos que S es un subconjunto de R2 . Sea χS la funci´ ter´ıstica de S , es decir, χS (x) =
si x S,
∈ si x ∈ / S.
1 0
Demostrar que el conjunto de los puntos de discontinuidad de χS es la frontera de S Tomando en cuenta lo anterior resulta muy natural la siguiente definici´ on. ´ n 1.32. Sea S es un subconjunto acotado de R2 tal que su frontera tiene Definicio
contenido bidimensional nulo. El area ´ o contenido bidimensional de S es la integral doble de χS , es decir, ´area(S ) =
dxdy.
S
´ n 1.33. Notar que el a Observaci o ´rea de S es la integral doble sobre S de la funci´ on
constante igual a 1.
A continuaci´ o n vamos a ver c´omo calcular la integral doble de una funci´ on, usando integraci´ on iterada, sobre regiones bastantes generales. ´ n 1.34. Una regi´ on del tipo I es una regi´ on de la forma Definicio
R1 = (x, y)
donde ϕ1
2
≤ x ≤ b, ϕ (x) ≤ y ≤ ϕ (x)} y ϕ son funciones continuas en [a, b], tales que ϕ ≤ ϕ . {
2
∈ R
: a
1
2
1
2
2. INTEGRALES DOBLES.
15
y y = ϕ (x) 2
y = ϕ (x) 1
a
b
x
o n tipo I Figura 1.4. Regi´ Del Teorema 1.28 sigue que la frontera de toda regi´ on del tipo I tiene contenido nulo. Supongamos que f es continua en la regi´on del tipo I 2
R1 = (x, y)
≤ x ≤ b, ϕ (x) ≤ y ≤ ϕ (x)}. Si c = inf {ϕ (x) : a ≤ x ≤ b } y d = sup{ϕ (x) : a ≤ x ≤ b } entonces R ⊂ [a, b] × [c, d]. {
∈R
: a
1
1
2
2
1
Luego
f (x, y) dxdy =
R1
˜ y) dxdy, f (x,
[a,b] [c,d]
×
donde
f (x, y)
si (x, y) R 1 ,
∈ 0 si (x, y) ∈ [a, b] × [c, d] \ R . ˜ y) es integrable Por ser f continua tenemos que, para cada x ∈ [a, b], la funci´on y → f (x, ˜ y) = f (x,
1
˜ sobre [c, d] y de la definici´o n de f sigue que d
˜ y) dy = f (x,
c
ϕ2 (x)
f (x, y) dy.
ϕ1 (x)
Por el Teorema de Fubini
b
f (x, y) dxdy =
a
R1
ϕ2 (x)
f (x, y) dy
ϕ1 (x)
dx.
´ n 1.35. Una regi´ on del tipo II es una regi´on de la forma Definicio
R2 = (x, y)
donde ψ1
2
≤ y ≤ d, ψ (y) ≤ x ≤ ψ (y)} y ψ son funciones continuas en [c, d] tales que ψ ≤ ψ . {
2
∈R
: c
1
2
1
2
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
16
y c
x = ψ (y) 2
x = ψ (y) 1
d
x
o n tipo II Figura 1.5. Regi´ Al igual que antes se puede mostrar que si f es continua en una regi´ on del tipo II 2
R2 = (x, y)
∈ R : c ≤ y ≤ d, ψ (y) ≤ x ≤ ψ (y)},
{
1
2
entonces
d
f (x, y)dxdy =
c
R2
ψ2 (y)
f (x, y) dx
ψ1 (y)
dy.
Finalmente, para calcular una integral sobre una regi´ on arbitraria, la descomponemos como una uni´ on de regiones tipo I y tipo II. on en la siguiente integral Ejemplo 1.36. Cambiar el orden de integraci´ 2
4
0
f (x, y)dy dx.
x2
Tenemos que la regi´ on de integraci´ on est´ a dada por 0
2
≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 4.
y
4
y=x2
2
Figura 1.6.
x
2. INTEGRALES DOBLES.
17
≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ √ y, por lo tanto, al cambiar
Otra manera de describir la regi´ o n es 0 el orden de integraci´ on obtenemos
√ y
4
0
f (x, y)dx dy.
0
Ejemplo 1.37. Sea R la regi´ on (x, y)
{
2
∈R
:1
≤ x
2
+ y 2
≤ 4}. Escribiremos
fdA
R
en t´erminos de integrales iteradas. y
-1
-2
1
2
x
Figura 1.7.
f (x, y)dxdy =
−1
−2
R
1
+
√ 4−x
−1
2
1
f (x, y) dy √ − 4−x −√ 1−x 2
2
f (x, y) dy −√ 4−x 2
√ 4−x
dx +
−1 2
dx +
1
2
√ 1−x f (x, y) dy 2
√ 4−x
2
f (x, y) dy −√ 4−x 2
olido limitado por el elipsoide Ejemplo 1.38. Calcular el volumen del s´ x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1. a2 b c El elipsoide es la regi´on comprendida entre los gr´aficos de las funciones f 1 (x, y) = c
1
x2
y2
2
2
− a − b
y
f 2(x, y) =
2
2
2
2
−c 1 − xa − yb
,
dx
dx
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
18
para (x, y) S , donde
∈
x2 y 2 S = (x, y) R : 2 + 2 1 . a b Por lo tanto, denotando por V al volumen del s´ olido, tenemos que
{
V =
2
∈
(f 1 (x, y)
S
≤ }
− f (x, y)) dxdy. 2
Tomado en cuenta las simetr´ıas del s´ olido tenemos que V = 8c
− 1
x2 a2
−
S 1
y2 dxdy, b2
donde S 1 = (x, y)
{
2
∈R
: x
x 2 y2 0, 2 + 2 a b
≥ 0, y ≥
≤ 1}.
Por lo tanto
a
V = 8c
0
b
1
−
0
x2 a2
1
x2 a2
− −
y2 dy b2
Como ejercicio, verificar que la integral anterior es igual a
dx.
4 πabc. 3
3. Integrales m´ ultiples
El concepto de integral puede extenderse del espacio bidimensional R2 al espacio ndimensional Rn . Las definiciones, el tratamiento y los resultados son completamente an´ alogos. Desarrollaremos el concepto de integral m´ ultiple para n
≥ 3. Dada la analog´ıa mencionada
omitiremos algunas pruebas y detalles. ´ n 1.39. Sea Q = [a1 , b1 ] Definicio
n
× . . . × [a , b ] ⊂ R n
n
un paralelep´ıpedo rectangular.
Sea P una colecci´ on de paralelep´ıpedos contenidos en Q. Se dice que P es una partici´ on de Q si existen particiones P k = xk0 , xk1 , . . . , xkN k de [ak , bk ] tales que P = [x1i −1 , x1i
{
1
1
{ ] × · · · × [x
}
n n in 1 , xin ]
−
:1
≤ i ≤ N , . . . , 1 ≤ i ≤ N }. 1
1
n
n
(P 1 , . . . , Pn ) denotar´ a la partici´on P . Notar que si P k consta de N k puntos entonces P contiene N 1
··· N subparalelep´ıpedos. n
´ 3. INTEGRALES M ULTIPLES
19
3.1. Integral m´ ultiple de una funci´ on escalonada. ´ n 1.40. Sea Q = [a1 , b1 ] Definicio
sea s : Q
n
× . . . × [a , b ] ⊂ R n
n
un paralelep´ıpedo rectangular y
→ R una funci´on. Se dice que s es una funci´ on escalonada si existe una partici´on
P de Q tal que s es constante en cada uno de los subparalelep´ıpedos abiertos de P . ´ n 1.41. Sea Q = [a1 , b1 ] Definicio
n
× . . . × [a , b ] ⊂ R n
n
un paralelep´ıpedo rectangular.
El volumen n-dimensional o contenido n-dimensional de Q es Vol(Q) = (b1
Supongamos que Q = [a1 , b1 ]
− a ) ··· (b − a ). 1
n
n
n
× . . . × [a , b ] ⊂ R es un paralelep´ıpedo rectangular y que s : Q → R una funci´ on escalonada. Sea P = {Q , i = 1, . . . , N , . . . , i = 1, . . . , N } una n
n
i1 ...in
1
1
n
n
partici´o n de Q tal que
s(x1 , . . . , xn ) = c i
1
en int(Qi
1
...in
...in )
´ n 1.42 (Integral m´ ultiple de una funci´on escalonada). La integral m´ Definicio ultiple , o
simplemente, la integral de s sobre Q es
s dV =
Q
N 1
s(x1 , . . . , xn ) dx1 . . . d xn =
i1 =1
Q
N n
·· ·
ci
1
...in Vol(Qi1 ...in ).
in =1
Al igual que en el caso bidimensional tenemos que, si s es una funci´ on escalonada, entonces
(1.3)
Q
bj1
s dV =
bjn
...
aj1
s(x1 , . . . , xn ) dx jn . . .
ajn
dx j . 1
donde ( j1 , . . . , jn) es una permutaci´ o n de (1, . . . , n). Tambi´en se cumplen los an´ alogos de las propiedades establecidas en el Ejercicio 1.17.
3.2. Integral m´ ultiple de una funci´ on acotada en un rect´ angulo.
Sea Q = [a1 , b1] funci´on acotada.
n
× . . . × [a , b ] ⊂ R n
n
un paralelep´ıpedo rectangular y sea f : Q
→ R una
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
20
´ n 1.43. Definicio
La integral superior de f sobre Q es I (f ) = inf
≤ ≤
t dV : t es una funci´ on escalonada y f t
Q
La integral inferior de f sobre Q es I (f ) = sup
s dV : s es una funci´ on escalonada y s
Q
´ n 1.44. Sea f : Q Definicio
Q si
.
f .
→ R una funci´on acotada, se dice que f es integrable sobre I (f ) = I (f ).
Este valor com´ un se denomina la integral m´ ultiple , o simplemente, la integral de f sobre Q y se denota por
f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . d xn ,
Q
o simplemente por
f dV.
Q
La siguiente notaci´ on
f (x) dx,
Q
para la integral m´ ultiple tambi´en es com´ un y conveniente en algunos casos. Las propiedades establecidas en el Ejercicio 1.20 tambi´ en valen para integrales m´ ultiples.
4. C´ alculo de una integral m´ ultiple mediante integraci´ on iterada.
Teorema 1.45 (Fubini). Sea Q = I 1
n
× . . . × I ⊂ R un paralelep´ıpedo rectangular, donde I = [a , b ] es un intervalo acotado y sea f : Q → R una funci´ on integrable sobre Q. Sean p y q enteros positivos tales que p + q = n. Sean Q = I × . . . × I y Q = I × . . . × I . k
k
n
k
1
1
p
2
Supongamos que:
(a) Para cada u Q 1 la funci´ on v
∈
→ f (u, v) de Q
2
en R es integrable.
p+1
n
´ ´ ´ 4. CALCULO DE UNA INTEGRAL MULTIPLE MEDIANTE INTEGRACION ITERADA.
(b) La funci´ on u
→
21
f (u, v ) dv de Q1 en R es integrable sobre Q1 .
Q2
Entonces
f (x) dx =
Q
Q1
f (u, v ) dv
Q2
du.
La demostraci´ on de este resultado es completamente an´ aloga a la del Teorema 1.21 y la dejaremos como ejercicio. Aplicando sucesivamente el resultado anterior obtenemos. Corolario 1.46. Sea Q = I 1
n
× . . . × I ⊂ R un paralelep´ıpedo rectangular, donde I = [a , b ] es un intervalo acotado y sea f : Q → R una funci´ on integrable en Q. k
k
n
k
Sea ( j1 , j2, ˙,jn) una permutaci´ on de (1, . . . , n). Supongamos que las siguientes integrales
iteradas est´ an definidas bj1
f (x1 , . . . , xn ) dx j , 1
aj1
bj2
bj1
aj2
f (x1 , . . . , xn ) dx j
1
aj1
dx j , 2
.. .
bjn
bj2
bj1
...
ajn
aj2
f (x1, . . . , xn) dx j
1
aj1
dx j . . . 2
dx jn .
Entonces
Q
bjn
f dV =
bj2
bj1
...
ajn
aj2
f (x1 , . . . , xn ) dx j
aj1
1
dx j . . . 2
dx jn .
´ n 1.47. Si tenemos una funci´ on integrable como en el corolario anterior y Observaci o
las integrales iteradas de f existen en dos ´ordenes diferentes, entonces estas dos integrales iteradas son iguales a la integral de f sobre Q. En particular, cuando f es integrable y las integrales iteradas existen en todos los ordenes ´ posibles, todas estas integrales nos dan el mismo valor. Otra notaci´ on com´ un para las integrales iteradas es la siguiente:
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
22
En vez de escribir
bjn
bj2
bj1
...
ajn
aj2
f (x1 , . . . , xn ) dx j
1
aj1
dx j . . . 2
dx jn ,
se suele escribir
bjn
bj2
dx jn
bj1
...
ajn
dx j
2
aj2
dx j f (x1 , . . . , xn) . . . . 1
aj1
5. Condiciones de integrabilidad
Al igual que en el caso bidimensional, si una funci´ on acotada es continua, salvo en un conjunto “peque˜ no”, entonces es integrable. Para medir el tama˜ no de un conjunto en Rn generalizaremos, de manera natural, el concepto de contenido nulo. Cuando hablemos de paralelep´ıpedo rectangular en Rn supondremos que se trata de un conjunto de la forma [a1 , b1] a los espacios coordenados.
×···× [a , b ], es decir, supondremos que sus caras son paralelas n
n
´ n 1.48. Sea A un subconjunto acotado de Rn . Se dice que A tiene contenido Definicio
n-dimensional nulo si para cada ε > 0 existe un conjunto finito de paralelep´ıpedos rectangulares Q1 , . . . , QN tales que la suma de los contenidos n-dimensionales de los Qi es menor
{
que ε y adem´as
}
N
A
⊂
interior (Qi ).
i=1
Ejercicio 1.49. Demostrar las siguientes afirmaciones.
(1) Cualquier subconjunto finito de Rn tiene contenido n-dimensional nulo. (2) La uni´ on de una familia finita de conjuntos de contenido n-dimensional nulo tiene contenido n-dimensional nulo. (3) Todo subconjunto de un conjunto de contenido n-dimensional nulo tiene contenido n-dimensional nulo. (4) Todo subconjunto acotado de Rn contenido en un subespacio af´ın de dimensi´ on menor que n tiene contenido n-dimensional nulo.
5. CONDICIONES DE INTEGRABILIDAD
23
n
(5) Sea A
⊂ R , demostrar que si para cada ε > 0 existe un conjunto finito de paralelep´ıpedos rectangulares {Q , . . . , Q } tales que la suma de las contenidos n1
N
dimensionales de los Qi es menor que ε y N
⊂
A
Qi
i=1
entonces A tiene contenido n-dimensional nulo (es decir, podemos colocar Q i en vez de interior (Qi ) en la definici´on de contenido nulo).
De manera completamente an´ aloga a como se demostraron los Teoremas 1.26 y 1.28 se prueban los siguientes resultados. Los detalles se los dejamos al lector. n
Teorema 1.50. Sean Q
⊂ R
un paralelep´ıpedo rectangular acotado y ϕ : Q
funci´ on continua. Entonces el gr´ afico de ϕ tiene contenido nulo en Rn+1 . Teorema 1.51. Sea Q
n
⊂R
→ R una
un paralelep´ıpedo rectangular acotado y sea f : Q
→ R una
funci´ on acotada. Si el conjunto de las discontinuidades de f tiene contenido n-dimensional nulo en Rn entonces f es integrable en Q.
Ejercicio 1.52. Sea Q
n
⊂R
un paralelep´ıpedo rectangular y sea f : Q
→ R una funci´on
acotada. Sea P una partici´ o n de Q. Definir U (f, P ), la suma superior para f con respecto a la partici´on P y definir L(f, P ), la suma inferior para f con respecto a la partici´ on P . Demostrar los siguientes resultados (aclarar bien el significado de la notaci´ on en el segundo). on de Riemann). Sea Q Teorema 1.53 (Condici´ f : Q
→ R una funci´ on acotada.
f : Q
⊂
un paralelep´ıpedo rectangular y
Entonces f es integrable sobre Q si y s´olo si para cada
ε > 0 existe una partici´ on P de Q tal que U (f, P ) Teorema 1.54. Sea Q
n
⊂ R
− L(f, P ) < ε.
Rn un paralelep´ıpedo rectangular cerrado y acotado, sea
→ R una funci´on continua entonces
(a) f es integrable. (b) Si ci
1
∈ Q
...in
Q
i1 ...in ,
f dV =
la integral de f en Q es: N 1
lim
N n
P 1→0,...,P n→0 i =1 1
...
in =1
f (ci
1
...in )Vol (Qi1 ...in ).
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
24
Conjuntos lisos. n
´ n 1.55. Sea A Definicio
⊂ R . Se dice que A es un conjunto liso si existe un entero no negativo k < n, una funci´on g : R → R de clase C y un conjunto D ⊂ R compacto tal k
n
1
k
que
A = g(D). Ejemplo 1.56. Los subconjuntos lisos de R son los puntos. Una curva suave es un
subconjunto liso de R3 . Vamos a probar que todo subconjunto liso de Rn tiene contenido n-dimensional nulo. Primero necesitamos recordar y establecer ciertos resultados. Recordemos (ver Gu´ıa de C´ alculo Diferencial en varias variables) que si g : Rk de clase
C
1
entonces
n
→R
es
g (z ) g(y) − g(x) ≤ √ n y − x max ∈
M ,
z L
donde L es el segmento de recta que une los puntos x y y. Por lo tanto, si D
k
⊂ R es compacto y convexo, tenemos que g (z ) g(y) − g(x) ≤ √ n y − x max ∈
M ,
z D
para todo par de puntos x, y
∈ D.
Un cubo en Rk es un conjunto de la forma [a1 , b1 ]
× · · · × [a , b ], donde b − a = b − a k
para i, j = 1, . . . , k.
k
i
i
j
j
Si K es un cubo en Rk , xo es el centro de K y l es la longitud de la arista de K , entonces
∈
K = x
x Rk :
− x ∞ ≤ o
l 2
,
donde, (recordar)
x∞ = max{|x |, . . . , |x |}. → R una funci´ on de clase C y sea K un cubo en R 1
Lema 1.57. Sea g : R k
k
n
1
k
de centro
xo y arista de longitud l. Entonces g(K ) est´a contenido en un cubo de arista de longitud n l max g (z )
· ·
z K
∈
M .
´ 6. INTEGRALES M ULTIPLES SOBRE REGIONES GENERALES
25
´ n. Sea x Demostraci o
∈ K . Entonces g(x) − g(x )∞ ≤ g(x) − g(x ) g (z ) x − x ≤ √ n max ∈ √ √ n x − x g (z ) ≤ n max ∞ ∈ o
o
M
z K
M
z K
l 2
≤ n
o
max g (z )
z K
∈
o
M .
Teorema 1.58. Todo subconjunto liso de Rn tiene contenido n-dimensional nulo. ´ n. Como todo subconjunto compacto de Rk est´ a contenido en un cubo, Demostraci o
basta probar que si k < n, g : Rk
n
→R
es una funci´on de clase
entonces g(K ) tiene contenido n-dimensional nulo. k
⊂ R
Sea K
C
1
y K
k
⊂ R
es un cubo
un cubo. Sea l la longitud de la arista de K . Si dividimos cada arista de K
en N partes iguales de longitud l/N entonces K queda dividido en N k subcubos. Sea γ = n maxz∈K g (z )
·
M .
Por el Lema 1.57 la imagen de cada uno de estos subcubos
est´a contenido en un cubo cuya arista tiene longitud
·
l , N
γ
por lo tanto, el contenido n-dimensional de su imagen de cada subcubo est´ a acotado por n
γ
· l N
n
.
C´omo K consta de N k subcubos tenemos que el contenido n-dimensional de g(K ) est´ a acotado por
n
·
l N γ . N C´omo k < n y N es arbitrario el contenido n-dimensional de g(K ) tiene que ser nulo. k
·
n
6. Integrales m´ ultiples sobre regiones generales
Sean S un subconjunto acotado de Rn y f : S
→ R una funci´on acotada. Sea Q un paralelep´ıpedo rectangular acotado tal que S ⊂ Q. Sea f ˜ : Q → R la funci´on definida por f (x) si x ∈ S, ˜ x) = (1.4) f ( 0 si x ∈ Q \ S.
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
26
˜ est´a contenido en el conjunto de los El conjunto de los puntos de discontinuidad de f puntos de discontinuidad de f unido con la frontera de S . Por lo tanto, si la frontera de S y el conjunto de los puntos de discontinuidad de f tienen contenido n-dimensional nulo, ˜ integrable sobre Q. entonces f es ´ n 1.59. Sea S un subconjunto acotado de Rn tal que su frontera tiene contenido Definicio
→ R una funci´on acotada, tal que el conjunto de los puntos de discontinuidad
nulo. Sea f : S
˜ de f tiene contenido nulo. Sean Q y f como en (1.4), se define
f (x) dV =
S
˜ x) dV. f (
Q
´ n 1.60. Sea R un subconjunto acotado de Rn cuya frontera tiene contenido Definicio
nulo. El volumen n-dimensional o contenido n-dimensional de R es: V n (R) =
1 dV .
R
Tal como es natural, al contenido 2-dimensional se le llama a´rea y al 3-dimensional se le llama volumen. De manera an´ aloga al caso bi-dimensional, podemos calcular integrales m´ ultiples sobre regiones generales. Por ejemplo, si 3
R = (x,y,z )
≤ x ≤ b, ϕ (x) ≤ y ≤ ϕ (x), α (x, y) ≤ z ≤ α (x, y)} donde ϕ y ϕ son funciones continuas en [a, b] siendo ϕ ≤ ϕ , α y α son funciones continuas con α ≤ α . {
1
∈ R
: a
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
Si f es integrable en R entonces
b
f (x,y,z ) dxdydz =
ϕ2 (x)
a
R
α2 (x,y)
ϕ1 (x)
f (x,y,z )dz dy dx.
α1 (x,y)
Otro ejemplo, si R = (x,y,z )
{
3
∈ R
: c
≤ y ≤ d, h (y) ≤ z ≤ h (y), β (y, z ) ≤ x ≤ β (y, z )} 1
entonces
R
2
d
f (x,y,z ) dxdydz =
h2 (y)
1
β 2 (y,z)
dy
c
dz
h1 (y)
2
β 1 (y,z)
f (x,y,z ) dx.
´ 6. INTEGRALES M ULTIPLES SOBRE REGIONES GENERALES
27
Una regi´on arbitraria debe descomponerse en la uni´ on de regiones an´ alogas a las anteriores para poder as´ı colocar los l´ımites de integraci´ on.
´ n 1.61. Sea f : R3 Observaci o
→ R, f ≥ 0. Entonces
f (x,y,z )dxdydz
Q
representa la masa de un s´ olido que ocupa la regi´ on Q y cuya densidad en cada punto es f .
Ejercicio 1.62. Demostrar que si A
R = (x,y,z )
{
3
∈R
2
⊂R
es acotado, f : A
: (x, y) A, 0
∈
→ [0, ∞) es integrable y
≤ z ≤ f (x, y)}
entonces Vol (R) =
f (x, y) dxdy.
A
Ejemplo 1.63. Calcular el volumen del s´ olido R limitado por los planos coordenados y
el plano x + y + z = 1. z 1 x+y+z=1
1 1
y
x+y=1
x
olido R Figura 1.8. S´ Tenemos que R = (x,y,z )
{
3
∈R
:0
≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y}.
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
28
Por lo tanto, aplicando el teorema de Fubini tenemos que 1
Vol (R) =
0
1
−
0
−
(1
x
(1
− x − y)dy = (1 − x)y −
de donde
1
Vol (R) =
1 dz dy dx
0
y)dy dx,
0
1 x
0
−−
1 x
0
por otra parte
1 x y
−
1 dV =
R
=
1 x
− − 0
(1
y2 2 2
y=1 x
−
= (1
y=o
2
− x)
3 x=1
− x) dx = − 1 (1 − x) 2
− −2 x) (1
2
3
x=0
2
=
(1
2
− x) , 2
1 = . 6
olido S acotado por las superficie de z = 3x2, Ejemplo 1.64. Calcular el volumen del s´ z = 4
2
− x , y = 0, z + y = 6.
El primer paso es identificar la regi´ on de integraci´ on. Veamos primero los gr´ aficos de z = 3x2
y de z = 4
2
−x .
z
z
x
x
y
y
Figura 1.9. Gr´ aficos de z = 3x2 y de z = 4
−x
2
La superficie y = 0 es el plano xz y la superficie z + y = 6 es un plano. A continuaci´on ilustramos el plano z + y = 6 y la regi´ on S .
´ 6. INTEGRALES M ULTIPLES SOBRE REGIONES GENERALES
29
z
z
x
x
y
y
Figura 1.10. Plano z + y = 6 y regi´ on S
Si rotamos la regi´ on para poder verla desde atr´ as obtenemos
z
y
x
Figura 1.11. Regi´ on S
En conclusi´ on, la regi´on est´ a dada por las siguientes desigualdades: 3x2
−1 ≤ x ≤ 1,
2
≤ z ≤ 4 − x ,
0
≤ y ≤ 6 − z,
por lo tanto 4 x2
1
Vol (S ) =
−
6 z
dx
−1
3x2
dz
0
−
dy =
. ··· = 304 15
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
30
on R acotada por las superficies Ejemplo 1.65. Encontrar el volumen de la regi´ z = x 2 + y 2 y z = 10
2
2
− x − 2y .
La superficie z = x2 + y 2 es un paraboloide que se abre hacia arriba y la superficie z = 10
2
− x − 2y
2
es un paraboloide que se abre hacia abajo.
Igualando las dos ecuaciones tenemos que se intersectan donde x2 + y 2 = 10
2
− x − 2y
o bien 2x2 + 3y 2 = 10, que es un conjunto cuya proyecci´ on sobre el plano xy es una elipse. Esta elipse se puede describir como
√ 5
− ≤ x ≤
√ 5,
√ 10 − 2x
√ 10 − 2x
2
2
y . 3 3 En la siguiente figura se observa una secci´ on del s´olido, visto desde la parte de atr´ as.
−
≤ ≤
z
y
x
Figura 1.12. Corte de las superficies que limitan a R
Tenemos que
√ 5
Vol (R) =
=
= = =
−√ 5 √ 5 −√ 5 √ 5 −√ 5 √ 5
√
10−2x2
10 x2 2y2
√ − x − √ − x
2 2
10
− −
3
2
x +y
3
dzdydx
2
2 2
10
3
√ − x (10 − x2 − 2y2 − x2 − y2 ) dydx − √ − x −
2 2
10
3
2 2
10
3
√
10−2x2
(10
3
2x2y
2
4
3 3 −√ 5
10 2 5
1/2
y=(1/3)(10 2x2 ) y3 y= (1/3)(10 2x2 )1/2
− − √ √ √ −
10y √ − 5 √ 5
2
− 2x − 3y ) dydx
x2
−
−
− −
√ √ 2 2x 5 2
−
dx
x2
dx.
2
´ 7. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES.
31
Por otra parte
√ − √ − 5
x2 5
Por lo tanto
√ −
x 5 5 x2 + arcsen 2 2 x x2 dx = (2x2 5) 5 x2 + 8 x2 dx =
√
−
√ 40 2 Vol (R) = √ 3 3
√ − √ − √ x 5 2
√ 25π 2 = √ . 3
−
√ 5) 5
25 x arcsen + c. 8 5
√
√ x 5
5 x2 + arcsen 2
x (2x2 8
8 2 3 3
−
√ x5 + c,
2
−x
+
√
x= 5
−√ 5
x=
√
25 x arcsen 8 5
√
x= 5
−√ 5
x=
7. Cambio de variables en integrales m´ ultiples.
Recordemos que, bajo ciertas condiciones, para funciones de una variable se cumple g(b)
b
f (x)dx =
g(a)
f (g(u))g (u)du.
a
En esta secci´ on vamos a estudiar la extensi´ on de este resultado a funciones de varias variables e integrales m´ ultiples. ´ n 1.66. Es importante aclarar que, para el caso de funciones de R en R, Observaci o
calcular
f (x)dx es lo mismo que calcular
I
f (t)dt.
I
Lo anterior no es un cambio de variable, simplemente es un cambio de notaci´ on. Tambi´en lo podr´ıamos haber escrito como
f (θ)dθ,
I
la regi´on de integraci´ on es siempre la misma. De la misma manera si A
2
⊂R
se tiene que calcular
f (x, y)dxdy
A
es lo mismo que calcular esta integral
A
f (u, v)dudv
´ 1. INTEGRALES MULTIPLES.
32
o esta otra
f (r, θ)drdθ,
A
la regi´on de integraci´ on siempre es la misma. El teorema de cambio de variables para integrales m´ ultiples es el siguiente. Teorema 1.67 (Teorema de cambio de variables). Supongamos que
(i) D
n
n
1
⊂ R es un abierto y T : D → R es una funci´ on de clase C , (ii) B ⊂ R es acotado, ∂B est´ a formada por un n´ umero finito de conjuntos lisos y ¯ ⊂ D, B n
(iii) T es inyectiva en B,
(iv) det T (u1 , . . . , un ) = 0 para todo (u1 , . . . , un )
n´ umero finito de conjuntos lisos, (v) f : T (B)
∈ B con la posible excepci´ on de un
→ R es una funci´ on acotada y continua .
Entonces f es integrable sobre T (B) y
f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . d xn =
f (T (u1 , . . . , un)) det T (u1, . . . , un) du1 . . . d un.
|
B
T (B)
|
Para la demostraci´on remitimos al lector a las referencias, ver por ejemplo [13] o [3]. Veremos algunos ejemplos en detalle y justificaremos el resultado de manera intuitiva.
Ejercicio 1.68. Verificar que en el caso n = 1 el teorema se reduce a la conocida f´ ormula: g(b)
b
f (x)dx =
g(a)
f (g(u))g (u)du.
a
(Notar que debe aclarar que ocurre con el valor absoluto que aparece en el teorema).
Ejemplo 1.69. Sea P el paralelogramo acotado por
y = 2x,
y = 2x
− 2,
y = x + 1,
y = x.
Utilizaremos el teorema de cambio de variables para calcular
xy dxdy.
P
Haremos el cambio de variables x = u
− v, y = 2u − v. M´as precisamente sea T (u, v) = (u − v, 2u − v).
´ 7. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES.
Sea B el rect´angulo acotado por v = 0, v = Adem´as
33
−2, u = 0, u = 1 entonces T (B) = P .
T (0, 0) = (0, 0), T (1, 0) = (1, 2), T (0, 2) = (2, 2) y T (1, 2) = (3, 4).
−
−
El jacobiano para el cambio de variables es: T (u, v) = Luego det T (u, v) = Por lo tanto,
xy dxdy =
P
− 1
1
2
−1
.
−1 + 2 = 1. 0
(u
B
1
− − − − − − −
− v)(2u
v) dudv =
−2
(2u2
0
u=1 0 2 3 3 2 2 2 = u vu + v dv = 2 −2 3 −2 3 u=0 2 3 2 v3 v=0 2 = v v + = ( 2) 3 3 4 3 v=−2 3 0
−
−
=
− −
12 3
−3
3vu + v 2) dudv
3 v + v 2 2
dv =
8 3
= 7.
Coordenadas Polares.
Recordemos que el punto (x, y)
2
∈R
tiene coordenadas polares (r, θ) si
x = r cos θ,
y = r sen θ.
En este caso, r = Es usual suponer r
x2 + y 2
≥ 0, 0 ≤ θ < 2π.
tan θ = y/x.
M´as generalmente, se restringe θ a un intervalo
semiabierto de longitud 2π. Expl´ıcitamente
θ = donde arctan
y x
arctan
π + arctan
2π + arctan
−π/2 y π/2 .
est´a entre
y x
y x y x
x > 0, y
≥ 0
x 0, y 0 (as´ı que S es estrictamente creciente en [a, b] y
por lo tanto S es inyectiva). Tenemos que S : [a, b]
C
tambi´en T es de clase
1
1
→ [0, l(G)] es biyectiva y de clase C . Sea T su inversa, entonces (justifique).
Definamos h : [0, l(G)]
n
→R
por h = g
◦ T,
entonces g = h S.
◦
Por lo tanto, g y h son dos trayectorias equivalentes. Ejercicio 2.22. Demostrar que, para todo s
∈ [0, l(G)]
h(s) = 1. Esta parametrizaci´ on es especial porque la variable s representa el largo del camino desde h(0) hasta h(s), y es llamada la parametrizaci´ on por longitud de arco. 4. Integral de un campo escalar a lo largo de una curva. ´ n 2.23. Sean G una curva lisa orientada y f : R n Definicio
integral de f a lo largo de G se define por
→ R un campo escalar. La
b
a
donde g : [a, b]
n
→R
f (g(t)) g (t) dt
es una parametrizaci´ on de G.
´ n 2.24. El resultado de la integral anterior no depende de la parametrizaci´ Observaci o on
de G. (justificar).
2. INTEGRALES DE L´ INEA Y TEOREMA DE GREEN.
64
Interpretaci´ on f´ısica: Si f 0 entonces f se puede interpretar como la densidad de un alambre cuya forma es
≥
la curva G y la integral b
f (g(t)) g (t) dt
a
es la masa del alambre (justificar).
5. Integrales de l´ınea. ´ n 2.25. Sea F : Rn Definicio
n
→R
un campo vectorial continuo y G una curva lisa
orientada. La integral de l´ınea de F a lo largo de G es b
·
F (g(t)), g (t) dt
F dx =
G
donde g : [a, b]
n
a
es una parametrizaci´ on de G.
→R
La integral de l´ınea mide el comportamiento de F a lo largo de G.
Ejemplo 2.26. Sea F (x,y,z ) = (x + y, y 2 , z 2 ) y g(t) = (t, t2 , t3 ) para 0
G = g[0, 1] entonces 1
· F dx =
2
4
6
2
1
(t + t , t , t ), (1, 2t, 3t ) dt =
G
0
(t + t2 + 2t5 + 3t8 ) dt = 3/2.
0
Teorema 2.27 (Independencia de la Trayectoria). Sea F : Rn
Sean g : [a, b]
3
3
n
→R
un campo vectorial.
→ R . Si g y h son dos trayectorias equivalentes entonces F (g(t)), g(t) dt = F (h(u)), h(u) du ´ n. Sea α : [a, b] → [c, d] tal que g = h ◦ α entonces, haciendo el cambio Demostraci o →R
, h : [c, d]
≤ t ≤ 1 con
b
d
a
c
de variable u = α(t),
b
b
a
F (g(t)), g (t) dt =
F (h(α(t))), h (α(t))α (t) dt
a
b
=
F (h(α(t))), h (α(t)) α (t) dt
a
d
=
c
F (h(u)), h (u) du.
5. INTEGRALES DE L´ INEA.
Ejemplo 2.28. Sea F (x, y) = (x,
65
−y) y G el segmento de la circunferencia de centro 0
y radio 1 que est´a en el primer cuadrante, orientado en sentido antihorario. Calcular
F.dx.
G
Sea g(t) = (cos t, sen t) para 0
≤ t ≤ π/2, as´ı G = g[0, π/2] . Luego π/2
· − −
F (g(t)), g (t) dt
F dx =
G
0
π/2
(cos t,
=
0
− sen t), (− sen t, cos t) dt
π/2
( sen t cos t
=
0
− sen t cos t) dt
π/2
sen(2t) dt
=
a
cos(2t) = 2
π/2
= 0
−1.
Interpretaci´ on f´ısica de la integral de l´ınea:
b
F.dx =
a
G
g (t) F (g(t)), g (t)
F (g(t)), g (t) dt =
b
a
g (t) F (g(t)), g (t)
g (t) dt
es la proyecci´on del vector F (g(t)), en la direcci´ on de g (t)
g(t)dt es el elemento de longitud de arco. As´ı que la integral de l´ınea es el trabajo realizado al mover una part´ıcula a lo largo de la trayectoria g, que est´ a sometida al campo de fuerzas F .
Otra notaci´ on para integrales de l´ınea.
Sea F : Rn g : [a, b]
n
→R
→
Rn un campo vectorial continuo y G una curva lisa orientada. Sea
una parametrizaci´on lisa de G.
2. INTEGRALES DE L´ INEA Y TEOREMA DE GREEN.
66
La integral de l´ınea de F a lo largo de G es b
· F dx =
a
G
(F 1(g(t)), . . . , Fn (g(t))), (g1 (t), . . . , gn (t)) dt
b
( F 1 (g(t)) g1 (t) + . . . + F n(g(t)) gn (t) ) dt.
=
a
Esta expresi´ on se abrevia mediante:
F 1 (x) dx1 + . . . + F n (x) dxn.
G
As´ı que la notaci´ on m´as usual es
· F dx =
G
F 1 dx1 + . . . + F n dxn.
G
Ejemplo 2.29. Sea G la curva dada por g(t) = (t, t2 , t3 ) para 0
≤ t ≤ 1. Calcular
x2 dx + y 2 dy + z 2 dz.
G
Lo que debemos calcular es la integral de l´ınea del campo vectorial F (x,y,z ) = (x2 , y 2 , z 2 ) sobre la trayectoria g. Tenemos que F 1 (g(t)) = t2 ,
F 2 (g(t)) = t 4 ,
g1 (t) = 1,
g2 (t) = 2t,
F 3 (g(t)) = t 6 , g3 (t) = 3t2 .
Luego
2
2
1
2
x dx + y dy + z dz =
(t2 + t4 2 t + t6 3 t2 ) dt
0
G
1
=
(t2 + 2t5 + 3t8 ) dt = 1.
0
5. INTEGRALES DE L´ INEA.
67
En la pr´ actica es usual proceder usando el “c´ alculo simb´olico”, es decir, de la siguiente manera:
x = t,
dx = dt,
y = t2 ,
dy = 2tdt,
z = t3 ,
dz = 3t2 dt.
Substituyendo en la integral de l´ınea llegamos al resultado.
Ejemplo 2.30. Sea G la curva dada por g(t) = (t,
(x
G
2
2
−t, t , −t ) para 0 ≤ t ≤ 1. Calcular
− y) dx + (y − z ) dy + (z − w) dz + (w − x) dw.
Tenemos que
(x
G
− y) dx + (y − z ) dy + (z − w) dz + (w − x) dw = 1
=
[2t
0
2
2
2
− (−t − t ) + 2t 2t − (−t − t)2t] dt = ··· = 4.
Lema 2.31. Sea G una curva lisa entonces
·
F dx =
−G ´ n. Sea g : [a, b] Demostraci o
− ·
F dx.
G
n
→ R una parametrizaci´on lisa de G, entonces una parametrizaci´on de −G est´a dada por h : [−b, −a] → R donde h(t) = g(−t). n
2. INTEGRALES DE L´ INEA Y TEOREMA DE GREEN.
68
Adem´as h (t) =
−g(−t), de donde −a
· − − − − · F dx =
−G
= =
F (h(t)), h (t) dt
−b −a
F (g( t)), g ( t) dt
−b −a
− −
F (g( t)), g ( t) ( 1) dt
− −
−b a
F (g(s)), g (s) ds
=
b
b
F (g(s)), g (s) ds
=
a
F dx.
=
G
Integrales de l´ınea sobre curvas lisas a trozos. ´ n 2.32. Sea g : [a, b] Definicio
n
→ R
una trayectoria. Diremos que g es lisa a trozos si
g es continua y si existe una partici´ on P = to , . . . , tN de [a, b] tal que, para i = 1, . . . , N ,
{
g
}
|
[ti−1 ,ti ]
es una trayectoria lisa Se dice que una curva G es lisa a trozos si puede ser parametrizada por una trayectoria lisa a trozos. En este caso G = G 1
∪···∪G
N ,
donde cada Gi es una curva lisa y la integral de l´ınea de F sobre G se define de la siguiente manera
· · F dx =
G
F dx +
G1
··· +
·
GN
F dx.
´ 6. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO PARA INTEGRALES DE L´ INEA.
69
Figura 2.5. Curva lisa a trozos 6. Teorema fundamental del c´ alculo para integrales de l´ınea. n
1
⊂ R un conjunto abierto y sea ϕ : D → R de clase C . Sean x y x dos puntos de D y sea G ⊂ D una curva lisa a trozos con extremo inicial x y extremo Teorema 2.33. Sea D
1
o
o
final x1 . Entonces
∇ ·
ϕ dx = ϕ(x1 )
G
− ϕ(x ). o
´ n. Supongamos primero que la curva G es lisa. Sea g : [a, b] Demostraci o
C
parametrizaci´on de clase
1
de G. Entonces
n
→ R
una
b
∇ · ∇ ϕ dx =
ϕ(g(t)), g (t) dt
a
G
b
=
a
d (ϕ(g(t))) dt dt
= ϕ(g(b))
− ϕ(g(a)).
Supongamos ahora que G es lisa a trozos, entonces G = G 1
∪ · · · ∪ G
N donde
cada una
de las curvas Gi es lisa y el extremo inicial de Gi es el extremo final de Gi−1 . Si por yi denotamos el extremo final de Gi tenemos que
∇ · ∇ · ϕ dx =
G
ϕ dx +
G1
= ϕ(y1 )
· ·· +
∇ ·
ϕ dx
GN
− ϕ(x ) + ϕ(y ) − ϕ(y ) + ··· + ϕ(y ) − ϕ(x = ϕ(x ) − ϕ(x ). 1
o
2
1
N
N 1 )
−
o
´ n 2.34. Recordar (ver Gu´ıa de C´ alculo Diferencial en Varias Variables). Si Observaci o
a, b R n , una trayectoria poligonal desde a hasta b es una funci´on continua ϕ : [0, 1] R n tal que ϕ(0) = a, ϕ(1) = b y ϕ[0, 1] es la uni´on de un n´ umero finito de segmentos de recta.
∈
→
2. INTEGRALES DE L´ INEA Y TEOREMA DE GREEN.
70
Si D es un subconjunto de Rn , se dice que D es poligonalmente conexo cuando para todo par de puntos a, b D existe una trayectoria poligonal desde a hasta b cuya imagen est´a contenida en D.
∈
El resultado anterior se suele enunciar de la siguiente manera: n
Sea D
1
⊂ R un conjunto abierto y poligonalmente conexo y sea ϕ : D → R de clase C . Sean x , x ∈ D, entonces ∇ϕ · dx = ϕ(x ) − ϕ(x ). o
1
x1
1
o
xo
(donde la integral anterior denota la integral sobre cualquier curva lisa a trozos de extremo inicial xo y extremo final x1 .
Se dice que una curva G es cerrada cuando su extremo fina coincide con su extremo inicial. Corolario 2.35. Sea D
n
⊂ R
un conjunto abierto y sea ϕ : D
∇ϕ sobre cualquier curva cerrada es 0.
integral de l´ınea de
Teorema 2.36. Sea D
f : D
n
→R
⊂
1
→ R de clase C .
La
Rn un conjunto abierto y poligonalmente conexo y sea
una campo vectorial continuo. Supongamos que la integral de l´ınea de f a
lo largo de cualquier curva lisa a trozos contenida en D solamente depende de los extremos de la curva. Sea xo un punto de D y definamos x
ϕ(x) =
f (u) du,
xo
·
donde la integral anterior denota la integral sobre cualquier curva lisa a trozos de extremo inicial xo y extremo final x. Entonces ϕ es diferenciable y
∇ϕ = f. ´ n. (Completar los detalles) Idea de la demostraci o
Basta demostrar que, para k = 1, . . . , n, ∂ϕ (x) = f k (x) ∂x k
7. EL TEOREMA DE GREEN.
∂ϕ ϕ(x + hek ) (x) = lim h→0 ∂x i h 1 = lim h→0 h 1 = lim h→0 h = f k (x).
71
− ϕ(x)
x+he k
f (u) du
·
x
h
f k (x + tek ) dt
0
Corolario 2.37. Sea D
f : D
n
→ R
⊂
Rn un conjunto abierto y poligonalmente conexo y sea
una campo vectorial continuo. Entonces las siguientes condiciones son equiva-
lentes:
(a) f es el gradiente de un campo escalar. (b) La integral de l´ınea de f sobre una curva lisa a trozos contenida en D es independiente de la curva (s´ olo depende de los extremos). (c) La integral de l´ınea de f sobre una cualquier curva cerrada lisa a trozos contenida en D es nula. 7. El teorema de Green.
A continuaci´on daremos el teorema de Green, este teorema es en alg´ un sentido similar al Teorema Fundamental del C´ alculo. Comenzaremos definiendo lo que llamaremos regi´ on simple. Recordemos (ver Definiciones 1.34 y 1.35) que una regi´ on del tipo I es una regi´ o n de la forma R1 = (x, y)
donde ϕ 1
2
≤ x ≤ b, ϕ (x) ≤ y ≤ ϕ (x)} y ϕ son funciones continuas en [a, b], tales que ϕ ≤ ϕ y que una regi´ on del tipo {
∈R
: a
1
2
2
1
2
II es una regi´on de la forma
R2 = (x, y)
2
≤ y ≤ d, ψ (y) ≤ x ≤ ψ (y)} donde ψ y ψ son funciones continuas en [c, d] tales que ψ ≤ ψ . ´ n 2.38. Sea D ⊂ R decimos que D es una regi´ on simple si D es una regi´on Definicio {
1
∈R
2
: c
1
2
1
2
2
tanto de tipo I como de tipo II y adem´ as ∂D es una curva lisa a trozos.
2. INTEGRALES DE L´ INEA Y TEOREMA DE GREEN.
72
y
x
Figura 2.6. Regi´ on simple ´ n 2.39. Sea D Definicio
⊂
a positivamente orientada con R2 . Decimos que ∂D est´
respecto a D si al “caminar” por ∂D con esa orientaci´ on, la regi´ on D queda a la izquierda de ∂D.
y
x
Figura 2.7. ∂D positivamente orientada con respecto a D
2
Teorema 2.40 (Green). Sea D
P y Q campos escalares de clase
C
D
1
∂Q ∂x
⊂ R
acotado y uni´ on finita de regiones simples. Sean
en un abierto que contiene a D. Entonces
−
∂P dxdy = ∂y
P dx + Qdy
∂D
donde ∂D est´ a orientada positivamente con respecto a D. ´ n. Demostracio
Caso 1: D es una regi´on simple.
7. EL TEOREMA DE GREEN.
73
C´omo (P, Q) = (P, 0) + (0, Q) tenemos que
P dx + Q dy =
∂D
P dx +
∂D
Qdy.
∂D
Por lo tanto para probar el teorema basta demostrar las siguientes dos igualdades
P dx =
(2.1)
∂P dxdy ∂y
D
∂D
(2.2)
−
Q dy =
∂D
∂Q dxdy ∂x
D
Solamente probaremos (2.1). La prueba de (2.2) es an´ aloga. Tenemos que D es una regi´on del tipo I y por lo tanto existen α, β R y dos funciones
∈
u y v tales que ∂D est´a formada por: (1) una curva parametrizada por (t, v(t)) con t [α, β ]
∈
(2) una curva parametrizada por ( s, u( s)) con s [ β,
−
−
∈ − −α]
(3) a lo sumo por dos segmentos de las rectas verticales x = α y x = β . Sea g : [a, b]
→ R una trayectoria C
1
a trozos de ∂ D. En las rectas verticales g1 (t) = 0 y
en los otros dos segmentos de la curva g1 (t) = 1. Por lo tanto
b
P dx =
∂D
− − − − − −
P (g(t))g1 (t)dt
P dx + 0dy =
a
∂D
β
−α
=
P ( s, u( s))dt +
P (t, v(t))dt
α
−β
β
=
(P (x, u(x))
P (x, v(x)))dx
α
β
=
α
=
u(x)
∂P (x, y)dy ∂y
dx
v(x)
∂P dxdy ∂y
D
Caso 2: Caso general, D es la uni´on finita de regiones simples. Aplicamos el resultado anterior en cada una de las regiones simples. Al sumar obtenemos el teorema general, por la cancelaci´ on de integrales sobre la misma curva, recorrida en sentidos diferentes ( ver figura).
2. INTEGRALES DE L´ INEA Y TEOREMA DE GREEN.
74
y
x
Figura 2.8. Caso general del teorema de Green
´ n 2.41. Tal como es natural, la integral sobre dos curvas disjuntas se define Observaci o
como la suma de las integrales sobre cada una de las curvas.
Ejemplo 2.42.
(a) Sea G la circunferencia de centro en el origen y radio 1, recorrida en sentido antihorario. Calcular
y cos(xy) dx + x cos(xy) dy.
G
Sea D = (x, y) : x2 + y 2
{
integral de l´ınea es igual a
(cos(xy)
D
≤ 1}, por el teorema de Green, tenemos que esta
− xy sen(xy) − cos(xy) − xy sen(xy)) dxdy = 0.
(b) Calcular
−
( y + 1) dx + x dy
G
donde G es la curva orientada positivamente que limita el tri´angulo τ de v´ertices (0, 0), (0, 1) y (1, 0).
7. EL TEOREMA DE GREEN.
Aplicamos el teorema de Green con P (x, y) = ∂P = ∂y
−1
75
−y + 1, Q(x, y) = x. Entonces
∂Q = 1. ∂x
y
Luego
−
( y + 1) dx + x dy =
(1 + 1) dxdy = 2Area(τ ) = 1.
τ
G
(c) Calcular 1 2
−
y dx + x dy
G
donde G es la circunferencia de centro el origen y radio 1 recorrida en sentido antihorario. Sea D = (x, y) : x 2 + y 2
{
1 2
≤ 1} entonces
1 y dx + x dy = 2
− G
(1
D
=
− (−1)) dxdy
1 dxdy
D
= Area(D) = π.
´ n 2.43. Sea D una regi´ Proposicio on simple de R2 cuya frontera ∂D es una curva lisa
a trozos. Si ∂D est´ a positivamente orientada con respecto a D, entonces el ´ area de D es 1 Area(D) = 2
−
ydx + xdy.
∂D
La demostraci´ on de esta Proposici´ on queda como ejercicio. Sugerencia: Utilizar el teorema de Green. area de la regi´on D limitada por la elipse Ejemplo 2.44. Calcular el ´ x2 y 2 + 2 = 1. a2 b Sea g : [0, 2π]
2
→R
dada por g(t) = (a cos t, b sen t).
Entonces g (t) = ( a sen t, b cos t).
−
2. INTEGRALES DE L´ INEA Y TEOREMA DE GREEN.
76
Luego 1 Area(D) = 2
− −
y dx + x dy
∂D
1 = 2 1 = 2
2π
( b sen t( a sen t) + a cos tb cos t) dt
−
0
2π
abdt = πab.
0
Ejercicio 2.45. Utilizar el Teorema de Green y la idea de la prueba del Teorema 2.36
para establecer el siguiente resultado. Sea D 1
2
⊂ R
un conjunto abierto y conexo. Sea f : R2
C . Supongamos f = (f , f ). 1
2
→R
un campo vectorial de clase
2
Demostrar que si
∂f 1 ∂f 2 = , ∂y ∂x entonces f es el gradiente de un campo escalar. ´ n 2.46. Notar que en el resultado anterior tenemos que suponer que el Observaci o
conjunto es conexo. No basta suponer que es poligonalmente conexo, tal como lo muestra el Ejercicio 20. El resultado se puede extender a los llamados conjuntos simplemente conexos. Muy informalmente, se dice que un conjunto es simplemente conexo si toda curva cerrada contenida en el conjunto puede ser deformada de manera continua a un punto.
8. Ecuaciones diferenciales exactas de primer orden.
Sea D un subconjunto abierto de R2 y sean P y Q funciones definidas en D. Recordemos que se dice que la ecuaci´ on diferencial (2.3)
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
es exacta si existe una funci´ on ϕ : R2
→ R tal que
P (x, y) =
∂ϕ ∂x
Q(x, y) =
∂ϕ . ∂y
En este caso, por la regla de la cadena, si f es soluci´on de la ecuaci´on (2.3) entonces ϕ(x, f (x)) = C, donde C es una constante.
8. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS DE PRIMER ORDEN.
77
Lo anterior nos proporciona un m´etodo para resolver ciertas ecuaciones diferenciales. Veamos un ejemplo. Ejemplo 2.47. Resolver la ecuaci´ on diferencial
y dx + 2x dy = 0. En este ejemplo P (x, y) = y y Q(x, y) = 2x. Por lo tanto no es exacta. Sin embargo, si multiplicamos ambos miembros de la ecuaci´ on por y obtenemos la siguiente ecuaci´on y 2 dx + 2xy dy = 0, que si es exacta. Si consideramos ϕ(x, y) = xy 2 entonces
∇ϕ = (P, Q). Por lo tanto toda soluci´ on de la ecuaci´on es de la forma xy2 = C.
´ n 2.48. Notar que por el ejercicio 2.45, para verificar que la ecuaci´ Observaci o on
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es exacta basta verificar que
∂P ∂Q = , ∂y ∂x siempre que estemos en un dominio conexo.
Ejercicios 2. (1) Sea g : R
2
→R
la trayectoria definida por g(t) = (et , t).
(a) Representar gr´ aficamente la curva g. (b) Representar gr´ aficamente los vectores tangentes g (0) y g (1). (2) Representar gr´ aficamente la curva asociada a la trayectoria (x, y) = (t3, t5 ). Verificar que esta parametrizaci´ on no define un vector tangente en el origen. ¿Ser´ a posible encontrar otra parametrizaci´ on que s´ı defina un vector tangente en el origen? (3) Sea g(t) = (sen2t, 2sen2 t, 2cos t). Demostrar que la curva g est´a contenida en una esfera con centro en el origen. (4) Demuestre que si g : R
3
→ R
es diferenciable y g (t) = 0 para todo t
∈ R entonces
g(t) es un vector constante. Interprete f´ısicamente. (5) Sea g : R
3
→R
una trayectoria diferenciable tal que g (t) = 0 para todo t
∈ R. Sea
p un punto que no pertenece a la curva g. Sup´ongase que q = g(t0) es el punto de la curva g m´as cercano a p, es decir,
p − q ≤ p − g(t) para todo t ∈ R. Demostrar que el vector p − q es ortogonal a la curva g en q . (Indicaci´on: Derivar la funci´ on q (t) = p − g(t) ). Interpretar gr´ aficamente el 2
resultado anterior.
(6) Encontrar la longitud de las siguientes curvas: (a) (x, y) = (t, ln(cos t)) para 0
≤ t ≤ 1. (b) (x, y) = t , t − t para 0 ≤ t ≤ 2. (c) y = x para 0 ≤ x ≤ 5. √ (d) g(t) = (3t , 4 2 t , 3t ) para −1 ≤ t ≤ 2. 3/2
2 2 3 3
2
1 2
3
4
79
80
EJERCICIOS 2.
(7) Demuestre que la curva (x, y) = (cos θ, sen θ), 0
≤ θ ≤
π , 2
est´a parametrizada por
la longitud de arco. Represente gr´ aficamente los vectores velocidad y aceleraci´ on cuando θ = π2 . (8) Encontrar una parametrizaci´ on por la longitud de arco de la curva espiral (x,y,z ) = (a cos ωt,a sen ωt,bt) con 0
≤ t.
(9) Sea f : [a, b] entonces
2
→ R
una funci´ on diferenciable. Demostrar que si G es el gr´ a fico de f b
l (G) =
a
1 + (f 1 (x))2 + (f 2 (x))2 dx
donde f (x) = (f 1 (x), f 2(x)) para todo x [a, b].
∈
(10) Calcular las siguientes integrales de l´ınea: (a) (b) (c)
L
(x + y) dx + dy, donde P est´a dada pot g(t) = (t, t2 ) para 1
P
G
0 (d)
x dx + x dy + y dz , donde L est´a dada por g(t) = (t,t,t) para 1
≤ t ≤ 2.
≤ t ≤ 3.
ex dx + z dy + sen z dz , donde G est´a definida por (x,y,z ) = (t, t2 , t6 ) para
≤ t ≤ 1.
G1
x dy +
G2
x dy, donde G 1 est´a definida por g 1(t) = (cos t, sen t), 0
y G2 est´a definida por g2 (t) = (cos t, sen t), 2
≤ t ≤ 4π.
≤ t ≤ 9π
(11) Calcular el trabajo realizado al mover una part´ıcula a lo largo de la curva (x,y,z ) = (t,t,t2 ), 0
≤ t ≤ 2,
bajo la influencia del campo de fuerzas F (x,y,z ) = (x + y,y, y).
(12) Halle la masa total de la espiral definida por g(t) = (a cos t, b sen t,bt) con 2
≤ t ≤ 2π, si su densidad en el punto (x,y,z ) es x
0
+ y 2 + z 2 .
EJERCICIOS 2.
81
(13) Usar el teorema de Green para calcular el valor de la integral de l´ınea
y dx + x2 dy
G
para los casos en que G es cada uno de los siguientes caminos cerrados. (a) La circunferencia definida por g(t) = (cos t, sen t) con 0
≤ t ≤ 2π. (b) El cuadrado con v´ertices en (1, 1), (1, −1), (−1, 1) y (−1, −1) recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj.
(14) Sea G la curva parametrizada por g(t) = (2cos t, 3sen t) con 0
≤ t ≤ 2π. Calcule
(2x + y) dx + (3x + y) dy.
G
(15) Sea D una regi´on simple cuya frontera es una curva G lisa por pedazos. Demuestre que si G se recorre en sentido positivo entonces el a´rea de D es 1 A(D) = y dx + x dy. 2 G
−
(16) Sea G el tri´angulo con v´ertices (0, 0), (1, 0) y (1, π2 ) recorrido en sentido positivo. Evaluar la siguiente integral de l´ınea.
ex cos y dx + ex sen ydy.
G
(17) Vali´endose de la f´ ormula de Green, transformar la integral curvil´ınea I =
x2
+ y 2
dx + y(xy + ln(x +
C
x2 + y 2))dy
donde C es el contorno, recorrido en sentido positivo, que limita un recinto S . (18) Calcular
x dy y dx en los siguientes dos casos: x2 + y 2
−
C
(a) El origen de coordenadas est´ a fuera del contorno C . (b) El origen de coordenadas est´ a dentro y C es una elipse. (19) Calcular el a´rea limitada por las siguientes curvas: (a) La elipse x = a cos t, y = b sen t. (b) x = a cos3 t, y = b sen3 t. (c) x = a(2cos t
− cos2t), y = a(2sen t − sen2t).
82
EJERCICIOS 2.
(20) Consideremos el campo vectorial f : D f (x, y) = donde D = (x, y)
{
2
−
2
→ R
definido por
y x , x2 + y 2 x2 + y 2
,
: (x, y) = (0, 0) . Es decir, f = (f 1 , f 2 ), donde y x f 1 (x, y) = f (x, y) = . 2 x2 + y 2 x2 + y 2
∈R
}
−
(a) Demostrar que ∂f 1 ∂f 2 (x, y) = (x, y), ∂y ∂x para todo (x, y) D.
∈
(b) Sea C una circunferencia con centro en el origen, recorrida en sentido antihorario. Demostrar que
f 1 dx + f 2 dy = 2π.
C
(c) Demostrar que no existe ning´ un campo escalar ϕ : D
→ R tal que
f =
∇ϕ.
(d) Demostrar que si S es un subconjunto abierto y conexo de D entonces existe un campo escalar ϕ : S
→ R tal que f | = ∇ϕ. S
(e) Explicar y justificar la siguiente afirmaci´ on: “Si C es una curva cerrada y simple que no pasa por el origen, entonces 1 2π
f 1 dx + f 2 dy
C
es el n´ umero de vueltas que la curva C da alrededor del origen”. (f) Sea T = R2
2
\ {(x, y) ∈ R θ(x, y) =
Demostrar que
: y = 0, x
≤ 0} y, para (x, y) ∈ T , sea
y arctan x π 2 y arctan + π x
∇θ = f |
T .
si x > 0, si x = 0, si x
