Calculo Integral (Definida e Indefinida) Teoria y ejemplos

INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA

INTRODUCCION

En muchas ocasiones al estar cursando la materia no entendemos el fin de este estudio o para que aplicarlo en nuestra vida. Antes de responder la interrogante realizada quisiera decir que todo lo que se nos enseña en la escuela en el momento menos inesperado nos funcionara en una aplicación. Ahora respondiendo a la pregunta el cálculo integral o las integrales se utilizara mucho en el area particular de ingeniería civil esto nos sirve para calcular como por ejemplo, el area de un terreno de carácter amorfo o bien calcular la curvatura que tendrá una viga, eso es lo que puedo mencionar dado a que desconozco un sin fin de aplicaciones que puede tener como en la hidráulica y estructuras.

INTEGRAL DEFINIDA El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del límite superior de la integración ni del límite inferior de la integración. Esto también significa que la solución de la integración indefinida nunca es un número, sino una función del integrando dado. La forma más fundamental para computar la integración de un integrando dado es,

Aquí el valor de n no debe ser igual a −1. Para integrar un integrando de la forma exponencial, donde el exponente es alguna variable, solo incremente el valor del exponente de la variable por uno y coloque el nuevo exponente en el denominador de la variable dada. Está bastante claro que el valor de n = −1 no es admisible dado que este convertiría el valor del denominador en cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta. Otro método básico de la integración es,

Esto significa que la integración de una constante producirá la variable de integración como salida con la constante dada como su coeficiente. Existen algunas fórmulas de integración las cuales se utilizan directamente para la integración de funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, etc. Algunas de estas fórmulas se enumeran a continuación,

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• Es fundamental tener en cuenta que el método de integración de la multiplicación o la división de dos o más funciones no puede llevarse a cabo de una manera similar a como lo hacemos con la suma o resta de dos o más funciones. Para integrar la multiplicación de funciones primero tenemos que multiplicar los productos y para la integración de la división de las funciones tenemos que quebrar el cociente. El cálculo por sustitución es un importante método del cálculo de integrales indefinidas. Este método es utilizado cuando el integrando no es sencillo y las fórmulas de integración simple no se pueden aplicar directamente. Apartando esto un pre- requisito importante para este método es que el integrando debe definirse de forma tal que para cualquier función f(x) el integrando es la multiplicación de la diferenciación de f(x) y función de f(x) como se muestra a continuación,

Aquí tenemos g(x) como la función pincipal. Ahora reemplazamos g(x) con a lo que producirá, g(x) = a g’(x) = da/ dx da = g’(x) dx Los valores anteriores pueden ser sustituidos en la expresión real como integrando y la integración se puede seguir como es usual para el nuevo integrando. Por último, sustituimos de vuelta los valores reemplazados dentro de la expresión para obtener la respuesta final. Para analizar si la sustitución se ha llevado a cabo de forma correcta o no, asegúrese que después de la sustitución la nueva variable reemplazada aparezca y que la variable original de la integración desaparezca completamente del integrando.

Vale la saber que generalmente no obtenemos el problema de la forma exacta que se ha descrito anteriormente. Entonces tenemos primero que modificarlo a una forma en que la sustitución pueda llevarse a cabo.

Veamos ahora un ejemplo para entender el proceso resolver integraciones indefinidas. 5ex + cos(x) – 5 sec2(x) dx = 5ex + sin(x) – 5 tan(x) + c

PROPIEDADES DE INTEGRALES INDEFINIDAS

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f. Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Ejemplo

Una primitiva de la función f(x)=\cos(x) en, es la función F(x)=\sin(x) ya que: Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración. Constante de integración

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ‘ = F ‘ + C ‘ = F ‘ + 0 = F ‘. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Para interpretar el significado de la constante de integración se puede observar el hecho de que la función f (x) es la derivada de otra función F (x), es decir, que para cada valor de x, f (x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f (x), se obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha. Entonces el problema de encontrar una función F (x) tal que su derivada sea la función f (x) se convierte en el problema de encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. En la figura de la derecha se observa como al variar la constante de integración se obtienen diversas funciones que cumplen esta condición y son traslaciones verticales unas de otras.

CONCLUSION

Pues bien, dentro de los ejemplos que he escuchado, hay mucha relación a la ingeniería civil, en topografía, áreas y superficies de terrenos, aunque desde un punto de vista más práctico, y no tan tedioso como se hace ver el calculo integral en el caso, con estos programas que menciona, sino es con todos, podemos hacer, así como dice, el cálculo un poco más fácil en cierto sentido. La relación existe en tanto al área que más nos guste, si es en hidráulica, se calculan velocidades de flujo de agua y aceleración, así como vimos también volúmenes, de hecho es casi increíble que existan cosas tan sencillas las cuales han nacido luego de la implementación del cálculo, como los sólidos de revolución. La relación con otras ciencias como la probabilidad y la estadística, el cálculo de probabilidades de que un evento ocurra dentro de un intervalo de confianza, o de que ocurra un error de igual manera, en gerencia e ingeniería de construcción,

BIBLIOGRAFIAS

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