Calculo Integral 100411 45 Fase 4 Trabajo

FASE 4 - TRABAJO COLABORATIVO

PRESENTADO POR: SANDRA VIVIANA BELTRAN SUARES– CÓDIGO: 53.008.826 ALMA YUREYMA PALACIO – CÓDIGO: 52.974.099 JOHANNA ANDREA PARDO SANABRIA – CÓDIGO: 52.956.403 ANGELICA LORENA QUINTERO DÍAZ – CÓDIGO: 53.012.088 JOHANNA VARGAS GOMEZ – CÓDIGO: 52.931.918 GRUPO: 100411_45

SONIA SORADYA PINILLA Tutora

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CÁLCULO INTEGRAL BOGOTA NOVIEMBRE 19 DE 2016

INTRODUCCIÓN

Con la elaboración de esta actividad, se busca realizar una revisión del curso de Cálculo Integral, profundizando el tema propuesto en la Unidad 3 – Aplicaciones de las integrales. El estudio de la Unidad 3, brinda los conocimientos y herramientas necesarias, con el fin de lograr el desarrollo de los ejercicios planteados en la guía a desarrollar, descritos en la fase 4. Adicionalmente, se busca compartir e interactuar con los compañeros del curso y hacer uso del editor de ecuaciones para la elaboración y solución de los ejercicios en formato Word.

EJERCICIOS PROPUESTOS FASE 4 – TRABAJO COLABORATIVO

Una vez estudiados los principios sobre integración y analizadas las diferentes técnicas de integración, se procede a desarrollar la parte práctica o de aplicaciones de las integrales como es el caso del análisis de gráficas (área de regiones planas, área entre curvas, longitud de una curva, longitud de un arco en forma paramétrica) Primera parte (punto 1 al 4) Cada ejercicio se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utilizado. 1. Hallar el área que, en el primer cuadrante, está limitada por el eje X y por la

2

siguiente función: y  6 x  x  x

3

Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio. R/:

De la gráfica observamos que los límites de integración son 0 y 3. Al área de la región la podemos calcular mediante la integral: 3

2

3

3

3

3

∫ 6x + x − x dx = ∫ 6xdx + ∫ x dx + ∫ −x 3 dx 0

0 3

3

0 3

= 6 ∫ xdx + ∫ x 2 dx − ∫ x 3 dx 0

0

0

1 3 1 3 1 3 = 6 (2 x 2 | ) + (3 x 3 | ) − (4 x 4 | ) 0 0 0

2

0

1 1 1 1 1 1 = 6 ( 32 − 02 ) + ( 33 − 03 ) − ( 34 − 04 ) 2 2 3 3 4 4 1 1 1 = 6 ( (9) − 0) + ( (27) − 0) − ( (81) − 0) 2 3 4 9 27 81 = 6( )+ − 2 3 4 = 27 + 9 − =

81 4

63 4

2. Encuentre el área de la región comprendida entre la parábola recta

y 2  x  3 y la

y  x 5

Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio. R/: Calcular los límites de integración igualando x. 𝑦2 = 𝑥 − 3

^ 𝑦 =𝑥−5

𝑦2 + 3 = 𝑥

;

𝑦2 + 3

= 𝑦+5

𝑦+5=𝑥

𝑦2 − 𝑦 + 3 − 5 = 0 𝑦2 − 𝑦 − 2 = 0 (𝑦 − 2)(𝑦 + 1) = 0 𝑦1 = 2 ^ 𝑦2 = −1

𝑦2 = 𝑥 − 3

𝑥 = 𝑦2 + 3

𝑦 = 𝑥−5

𝑥 = 𝑦+5

2

∫[𝑦 + 5] − [𝑦 2 + 3] 𝑑𝑦 −1 2

∫ −𝑦 2 + 𝑦 + 2 𝑑𝑦 −1 2

2

2

∫ −𝑦 2 𝑑𝑦 + ∫ 𝑦 𝑑𝑦 + 2 ∫ 𝑑𝑦 −1

−1 2

−1 2

−𝑦 3 𝑦 3 𝑦2 𝑦2 [ + ] + [ − ] + 2 [𝑦 − 𝑦]2−1 3 3 −1 2 2 −1 −(−1)3 23 22 (−1)2 [ ] + 2 [2 − (−1)] + ]+[ − 3 3 2 2 1 8 1 + +2+ +6 3 3 2 9 1 +8+ 3 2 13 2 3. Hallar el área de superficie lateral del sólido que se obtiene al rotar la gráfica de

y  2 x entre x = 3 y

x = 8 alrededor del eje X.

Tener en cuenta que: El área lateral (excluyendo los extremos) del sólido resultante es: S  2

b

 f ( x)

1  ( f ' ( x))2 dx

a

R/: ´2

8

S = 2π ∫3 (2√x) √(1 + (2√x) ) dx Se deriva la expresión 1

2

( x) = √

1 x

d dx

d

d

1

2√x = 2 dx √x = 2 dx x 2 = 2

Entonces la ecuación quedaría así:

1 2

1

x −2 =

1 1 x2

=

1 √x

Por lo tanto

8

1

Se realiza la integral definida, así:

S = 2π ∫3 (2√x) √(1 + x) dx 1

∫(2√X) √(1 + x) dx 1

1

3

x

3

x+1

4 ( √ + 1x 2 + √ 1

3

1

lim 4 (3 √x + 1x 2 + x→3

1

3

1

lim 4 (3 √x + 1x 2 + x→8

Reemplazamos en los límites

)+C

1

3

√x+1 ) 3

= 4 (3 √3 + 32 +

√x+1 ) 3

= 4 (3 √8 + 82 +

1

1

3

1

√3+1 ) 3

=

32

√8+1 ) 3

= 36

3

32 76 = Por lo tanto 3 3

36 − 2π

3

76

=

3

152 3

π

f ( x)  4 x 3 / 2 entre x = 0

4. Hallar la longitud de la curva

y

b

Considerar que: la longitud de la curva es: L 

 a

R/: 3 2

12

3⁄ 2 √1

2

l = ∫0 √1 + [ x12 dx = ∫0 l=∫

2

3⁄ 2

0

3⁄ 2

4 + 144x 1 √ dx ∫ 4 2 0

3⁄ 2

1 l= ∫ 2 0

(4 + 144x)

1⁄ 2

+

4

x dx

√4 + 144x dx

dx

μ 4 + 144x = dω = 144 dx = dx l=

144

dμ 144

b 1 b 1⁄ dω 1 1 ∫ μ 2 ∫ μ ⁄2 dμ = 2 a 144 2x144 a

3 l = 32 x288 [μ ] 2 1 3 [(4 + 144x ) l= 432 2

3⁄ 2

)] −

1 3 [(4 + 144x0 ⁄2 432

1  ( f ' ( x))2 dx

x = 2/3.

1 1 (4 + 72x3)1.5 − x(4 + 0)1.5 432 432 1 1 15 15 (4 + 216) ⁄10 − x4 ⁄10 432 432 1 1 3 3 x220 ⁄2 − x4 ⁄2 432 432 220 432

3⁄ 2

4 − 432

3⁄ 2

3

=7.55354

-

=7.55354

-

=7.55354 =7.55354

-

⁄ (22) 2

432 23 432 8 432 1 54

=0.0185185

Segunda parte (punto 5 al 8) Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa. 5. Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar sobre el eje X la región limitada por la curva

y  x 2 y las rectas y 

Sugerencia: Utilizar el método de arandelas. R/:

x 2

,

x  1 y x  2 (ver figura)

A = πr 2 2 x 2 V = ∫ π [(x 2 )2 − ( ) ] 2 1 2

V = π ∫ [x 4 − 1

x2 ] 2

2

2

V = π (∫ x 4 − ∫ 1

1

x2 ) 2

x5 x3 V = π( − ) 5 12 x5 x3 15 13 7 lim ( − )= ( − )= ( ) x→1 5 12 5 12 60 lim ( x→2

= ( =

x5 x3 25 23 86 − )= ( − )= ( ) 5 12 5 12 15

86 7 ) − 15 60

337 π 60

6. Hallar el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje encerrada por la parábola R/:

R/: Para esto 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 4

x y

2

y la recta

x  2y

(ver figura)

x  1 la región

Luego al reemplazar en cualquiera de las funciones se encuentra que 𝑦 = √4, 𝑦 = 2 El diferencial dy se moverá entre [0,2]

La expresión para hallar el volumen es: 𝑉 = 𝜋(𝑅 2 − 𝑟 2 )ℎ, donde h es el espesor

En vista del que eje de revolución no está en el eje Y si no que está en 𝑥 = −1; a R y r se le suma 1 unidad a la expresión anterior. 𝜋

De 𝑦 = √𝑥, 𝑥 = 𝑦 2 y de 𝑦 = 2 , 𝑥 = 2𝑦 A R le corresponde la función 2y y a r le corresponde la función 𝑦 2

Ahora pasando a la expresión para hallar el volumen se tiene que: 𝑉 = 𝜋 (𝑅 2 − 𝑟 2 )ℎ 𝑑𝑉 = 𝜋[(2𝑦 + 1)2 − (𝑦 2 + 1)2 ]𝑑𝑦 2

2

2

𝑑𝑉 = 𝜋 (∫ (2𝑦 + 1) ) 𝑑𝑦 − 𝜋 (∫ (𝑦 2 + 1)2 ) 𝑑𝑦 0 2

𝑑𝑉 = ∫ (2𝑦 + 1)2 𝑑𝑦 = 0 2

𝑑𝑉 = ∫ (𝑦 2 + 1)2 𝑑𝑦 = 0

0

62 3 206 15

62 206 −𝜋 3 15 104𝜋 𝑑𝑉 = 15 𝑑𝑉 = 𝜋

7. Una varilla de longitud 60 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los extremos. Si la densidad en el extremo más pesado es de 7200 g/cm, halle su masa total y el centro de masa. Considere la densidad lineal como: R/: p(x) = Rx 2

 ( x)  Rx 2

x = 60 p = (60) = 7200 R ∗ 602 = 7200 R=

7200 3600

R=2 p(x) = 2x 2 b

m = ∫ p(x)dx a 60

m = ∫ 2x 2 dx 0 60

x3 m = 2[ ] 3 0

603 03 ]) − (2 [ ]) m = (2 [ 3 3 m = 144000g

Ce =

60 2 ∫0 x

2

∗ x dx

m

=

x4 2[4]

60 0

144000

(2 [ =

604 04 ]) − (2 [ ]) 4 4 = 45 cm 144000

60

x4 2[4] 0 Ce = 144000 (2 [ Ce =

604 04 ]) − (2 [ ]) 4 4 144000

Ce = 45 cm

8. Encuentre el centroide de la región limitada por la rama de parábola eje X y la recta x = 4. R/:

y  x , el

El centroide de la región se localiza en el punto (x̅, y̅) donde 1 b 1 b1 2 x̅ = ∫ xf(x)dx , y̅ = ∫ (f(x)) dx A a A a 2 y b

A = ∫ f(x)dx a

Calculamos cada integral, 4

2 34 A = ∫ √xdx = (3 x 2 | ) 0 0 =

2 34 (x 2 | ) 0 3

=

3 2 3 (42 − 02 ) 3

=

2 (8 − 0) 3

=

16 3

x̅ =

3 4 ∫ x√xdx 16 0

=

1 3 4 ∫ x (x 2 ) dx 16 0

=

3 4 3 ∫ x 2 dx 16 0

=

3 2 54 ( x2| ) 16 5 0

=

5 5 3 2 ( ) (42 − 02 ) 16 5

3 (32) 40 12 = 5 =

y̅ =

3 41 2 ∫ (√x) dx 16 0 2

3 4 ∫ xdx = 32 0 =

3 1 24 ( x | ) 32 2 0

3 2 (4 − 02 ) 64 48 = 64 3 = 4 =

12 3

El centroide está en el punto ( , ). 5

4

Tercera parte (punto 9 al 12) Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales. 9. Se arroja una piedra desde un puente con una velocidad inicial de 8 m/s, después de lo cual cae con la aceleración de la gravedad (9.8 m/s 2). Encontrar la distancia que recorre en los primeros tres (3) segundos. Considerar:

v(t )   a (t ) dt  v0 ,

donde

v0

es la velocidad en t = 0 o velocidad

inicial y a (t ) la aceleración. R/: vi = 8m/s g = 9.8 m/s 2

Qué distancia recorre en t = 3s Sabemos que v(t) = ∫ a(t)dt + v0 Pero como a = g = 9.8m/s 2 constante v(t) = a ∫ dt + v0 La posición o distancia recorrida es de la forma v(t) =

dx(t) dt

x(t) = ∫ v(t)dt + x0 x(t) = x0 + ∫[at + v0 ]dt = x0 + ∫ atdt + ∫ v0 dt x(t) = x0 + v0 t +

at2 2

x0 = 0 v0 = 8m/s x(3s) = 0 + 8(3) +

9.8(3)2 = 24 + 44.1 = 68.1m 2

De caída en el puente si se lanzó hacia abajo

De caída al puente si se lanza hacia arriba sería: y(t) = y0 + v0 t −

gt2 2

= 0 + 8(3) −

9.8(9) 2

= −20.1m

Debajo del puente

10. Un resorte sin carga mide 0.5 m y se requiere de una fuerza de 12 N para alargarlo 0.1 m. Calcular el trabajo realizado al estirar el mismo resorte de su longitud original a una longitud de 0.75 m. R/: x: f(x) = kx

W = F. x W = K. x 12N =K 0.1m N 120 = K m 0.25

∫ 120 x dx 0

x1 = 0 ; 0.5 m x2 = 0.25 ; 0.75 m

0.25

120x 2 [ ] 2 0

60[x 2 − x 2 ]0.25 0 60[(0.25)2 − 0] 60[0.0625] 3.75 J 11. La función de demanda para un producto es P  D( x)  100  0.05x , en donde P es el precio por unidad (en pesos) de x unidades. La función oferta es S ( x)  10  0.1x . Determinar el Excedente del Consumidor (E.C.) y el Excedente del Productor (E.P.) cuando el mercado está en equilibrio. R/: Cantidad por equilibrio 100 − 0,05𝑦 = 10 + 0,1𝑥 = 90 = 0,15𝑥

𝑥 = 600

𝐷(600) = 100 − 0,05(600) = 70 600

=∫

[(100 − 0,05𝑥 ) − 70]𝑑𝑥

0

= 30(600) − 0,05

𝑥 2 600 6002 ∫ = 18000 − 0,05 ( ) = 18000 − 9000 = 9000 2 0 2

Excedente del productor 600

=∫

[70 − (10 + 0,1𝑥)]𝑑𝑥

0

𝑥 2 600 6002 = 60(600) − 0,1 ( ∫ ) = 36000 − 0,1 ( ) 2 0 2 = 36000 − 18000 = 18000 12. La función que describe el costo marginal de fabricar un producto es C ' ( x)  x  100 , donde x es el número de unidades producidas. Se sabe también que el costo total es $40000, cuando x = 100. Determine la función de costo total

C (x). R/:

El costo marginal es la derivada del costo total, es decir que la función de costo total la podemos deducir integrando la función de costo marginal C(x) = ∫ x + 100dx = ∫ xdx + ∫ 100dx =

1 2 x + 100 ∫ dx + c 2

=

1 2 x + 100x + c 2

Para hallar el valor de la constante usamos el hecho que el costo total es de $40000 cuando x = 100: 1 𝐶 (100) = (100)2 + 100(100) + 𝑐 = 40000 2 1 𝑐 = 40000 − (100)2 − 100(100) 2 1 = 40000 − (10000) − 10000 2 = 40000 − 5000 − 10000 = 25000 Por tanto la función de costo total es C ( x) =

1 2 x + 100x + 25000 2

CONCLUSIONES

1. La profundización de la Unidad 3 del curso de Cálculo Integral, permitió obtener las herramientas necesarias y aplicar los conocimientos estudiados, con el fin de poder desarrollar los ejercicios planteados en la guía de la Fase 4, referentes a las Aplicaciones de las Integrales e identificar los campos de acción que tienen éstas en la vida diaria. 2. Con las herramientas de Cálculo Integral se puede estudiar diversos problemas que pueden ayudar a solucionar los de la vida cotidiana. El Cálculo Integral, integra el pensamiento analítico con el comportamiento real de los sistemas físicos. 3. En el día a día se hacen distintos tipos de cálculos, es todo un mundo donde todo está regido por la matemática, desde la compra de un kilo de pan, en donde se han hecho cálculos para la compra, la venta, la fabricación del mismo, hasta la fabricación de computadoras de altísima generación. 4. Los cálculos matemáticos están presentes en cada momento de nuestra vida. Justamente, las fórmulas tienen un porqué y un para qué, basta tratar de imaginar una situación en la que se necesite calcular cualquier cosa y listo, siempre va a haber una solución, en este caso sirve mucho para una carrera profesional. 5. Adicionalmente, la actividad brindo un espacio de conocimiento e interacción entre los compañeros del grupo de trabajo.

REFERENCIAS

1. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. (2016). Cálculo Integral. Recuperado de http://campus19.unad.edu.co/ecbti10/course/view.php?id=3 2. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. (2016). Cálculo Integral. Entorno de Conocimiento: Syllabus. Recuperado de file:///C:/Users/Administrador/Downloads/Syllabus%20del%20curso.pdf 3. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. (2016). Cálculo Integral. Entorno de Aprendizaje Colaborativo: Guía de Actividades y Rúbrica de Evaluación – Fase 4 – Trabajo Colaborativo. Recuperado de file:///C:/Users/Administrador/Downloads/Guia%20de%20actividades%20y%20r %C3%BAbrica%20de%20evaluaci%C3%B3n%20-%20Fase%204%20%20Trabajo%20colaborativo%20(4).pdf 4. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. (2016). Cálculo Integral. Entorno de Conocimiento: Unidad 3 – Aplicaciones de las Integrales. Recuperado de http://campus19.unad.edu.co/ecbti10/mod/page/view.php?id=6537 5. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. (2016). Cálculo Integral. Entorno de Aprendizaje Colaborativo Fase 4 - Trabajo Colaborativo. Recuperado de http://campus19.unad.edu.co/ecbti10/mod/forum/discuss.php?d=20534 6. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. (2016). Cálculo Integral. Entorno de Información Inicial. Noticias del Curso. Publicación Enlaces de Grabación Web Conferencia Educativa, Cuarta Web Conferencia. Recuperado de http://conferencia2.unad.edu.co/p8iyzf5zasz/?launcher=false&fcsContent=true&p bMode=normal 7. Centro de Escritura Javeriano. Normas APA Sexta Edición. Recuperado de http://www.javeriana.edu.co/cuadrantephi/pdfs/8.pdf