Calculo Integral 01 - Bernardo Acevedo Frias

C I — OIJI— O

BERNARDO

UNIVERSIDAD

X IVI r

ACEVEDO

NACIONAL

SECCI ONAL SEPTI EMBRE

E B R A L

FRIAS

DE

COLOMBIA

MANIZALES DE

1990

O ft I— O l i I— O

BERNARDO

J i vi J EE e FÍftI

ACEVEDO

FRIAS

Trabajo presentaodo con el fin de dar cumplimiento al literal "d" del articulo 21 del acuerdo 72 de 1978, para la promoción a la categoria de PROFESOR ASOCIADO.

UNIVERSIDAD

NACIONAL

SECCIONAL SEPTIEMBRE

DE

COLOMBIA

MAN IZALES DE

1990

r f\ B «

rt

D CE

C O M

I El |N| :i o

o

INTRODUCCION

CAPITULO 1 CALCULO

INTEGRAL

1.1

P a r t i c i ó n d e [ a, b ]

1. 2

Fun c ión escalonada

2

1.3

Ejercíc ios

4

1-4

1

P rop i e d a d e s d e. f u n c i ó n escalonada

4

1.5

Ejercicios

6 '

1.6

Integral de una función acotada

7

1.7

Propiedades de la integra1 de una

función

escalonada

12

1.7.1

Propiedad ad it iva

12

1.7.2

P rop i edad homog enea

i4

1.7.3

Invariancla frente a traslación

16

1.7.4

Aditividad

17

1.7.5

Dilatación del intervalo de integración

20

1.7.6

Teorema de comparación

22

1.8

Ejercicios

23

respecto al intervalo de integración

1.9

Integrales de funciones generales

24

1.18

Integral de una función acotada

31

1.18.1

Integral superior e inferior

31

1.11

Ejercicios

39

1.12

Integrabi 1 .idad de funciones monetarias acotadas

48

1.13

Propiedades fundamentales de las integrales de

1.14 1.15

funciones monótonas acotadas

43

Ejercicios

55

- Teorema fundamental del cálculo

1.16

Ejercicios

1.17

Primitiva de una función

1.18

Ejercicios

1.19

_

1.28

57 62

(integral

indefinida)

68

Algunas propiedades de la integral

indefinida

Ej ere icios

1.21

64

78 72

— Métodos d e integración

73

1.21.1

Sustitución

73'

1.21.1.1

Integrales de funciones trigonométricas

79

1.21.1.2

S u s t i t u c iones t r i. g o n o m é t r i c a s

1.21.2

Integración por partes

100

1.21.3

Integración por fracciones parciales

110

1.22

Integración de algunas funciones irracionales

123

1.23

Integración de funciones hiperbólicas

125

1.24

Ej ere ic ios

129

Integrales de funciones racionales de Sen:;, Cosx

131

1.26

Ejercicos

134

1.27

Algunas reglas para aproximar

1.25

—

integrales

89

definidas

136

.1.. 27.1

Regla de los trapecios

1.27.2

Regla de los rectángulos

,136 139

1.27 . 3

Reg I a de 5.impson

140

1. 28

I n teg ra 1 es i m pro p .i. as

1.28.1

Integrales impropias de primera especie

156

1.28.2

Integrales impropias de segunda especie

185

1.28.3

Integrales impropias de tercera especie

198

1.29

Función Gama

199

1.30

Función Beta

1. 31

E j e r c i c .i. o s

.154

'

202 20 8

CAPITULO 2 APLICACIONES DE LAS

INTEGRALES

2.1

Areas

215

2.2

Coordenadas polares

228

2.2.1

Areas e n c o o r d e nadas po1a res

2.2. 2

E j e r c i. c i o s

2.3

Longitud de arca 7

2 .3.1

Pa rame t r i 2 ac i ón de a 1 g un as c ur vas

2.3.2

Diferencial de longitud de arco

2. 3.3

L o n g .i. t u d d e u n a r c o e n c o arde n a d a s polares

2.4

Area de una superficie de revolución /

253

2.5

Volúmenes de ciertos sólidos •/

259

2.5.1

Método de la sección

259

2 „5 2 2 . 5.3 ^

Só 1 i dos de revol ución 1/ M é t. o d o d e 1 a s c a p a s c i 1 i n d r i. c a s

237 244 246 2!49 251 2 521

265 266

2-6

Ejercicios

275

2.7

Centro de masa

276

2.8

Centroide de LA na región plana

279

2.9

Centro geomètrico de un arco

284

2.1(3

Arco de una superficie generada al rotar un arco en coordenadas polares

284

2.11

Trabajo

2E¡5

2.12

Determinación de la constante de integración

288

2.13

Ejercicios

290

Respuesta a los ejercicios

293

Bibliografia

296

I N T R O D U C C

El presente

trabajo, que tiene como

los temas que corresponden

I OIM

contenido el desarrollo

al curso del cálculo integral,

de

dirijo

básicamente a estudiantes de ingeniería; comprende dos capitulas. El primero se refiere a todo el cálculo integral de sus

y el segundo al

aplicaciones.

Se ha preferido

hacer una exposición que ponga de

desarrollo conceptual del teóricos,

aplicados

y

manifiesto el

cálculo integral, mostrar sus aspectos satisfacer

además

las

exigencias

de

claridad y rigor. En

la exposición

teoremas

o

teórica se omitió dar demostraciones

propiedades;

explicaciones

basadas en

en

figuras

para hacer comprensibles dichos Para una mejor una

serie

y

fueron

ejercicios a

comprender

aclarar dudas y conceptos.

incluidas

representaciones

gráficas,

teoremas.

ilustración de los temas tratados se

de

principalmente

compensación

de algunos

resueltos mejor

y el

ha

propuestos contenido del

incluido dirigidos texto

y

Algunos

temas

.incluirlos

son

en

de naturaleza

clase,

sino

que

optativa deben

y no

ser

es

necesario

considerados

como

l e c t u r a t» a d i c i o n a l e s . Con el

presente

facilite

una mayor

contribuir interés

texto se pretende comprensión

al d e s a r r o l l o

para

el

m e d i a n t e el cual y transíormando

rigor

de y

ofrecer

una guia de e s t u d i o

de

temas

los

la t é c n i c a

tratados;

del c á l c u l o

conocimiento

del

l a s i d e a s v a g a s y parti.cu.ilares se en

productivos

conceptos.

además

y despertar

proceso van

que

el

creativo, retinando

:i - C A P

!

F U L O

I IM T El O Fe

1.1

PARTICION

DEL

INTERVALO

O- I O

M

CERRADO

[a,b3.

Sea ain ¡ ; ]

y

n

subintervalos

abiertos. Al intervalo cerrado [>:k-t,>:k] se llama el k-ésimo

cerrado de P y al intervalo abierto

subintervalo

FUNCION

( x k - i , x k ) el k-ésimo

abierto de P. Con ayuda de estos conceptos se puede

dar una definición analítica de función

1.2

subintervalo

escalonada.

ESCALONADA

Una función y=S(x),cuyo dominio es el intervalo cerrado [a,b], se dice que es una P = {xaiMi

función xn}

de

escalonada,

si

existe

una

[a,b] tal que y=S(x) es constante en cada

subintervalo abierto de P. Es decir, para k=l,2,3 número real S*, tal que y=S(x)=Sn

Ejemplo 1.

Sea

partición

s(x)=5

si

para

-31x£3.

n existe un

xk-iœ

16k 6) n

4 n E 6 = n k=l

n k=l

n k=l

f (!•:*) =

4 n _ E 2 C ( 4k / n ) — 1 3=s—8 n k=1

8k n 32 k38 4 — + 1)—8 = _ E ( n n k = l rv

n12

n k=1

4 n E Mi. n k=l

n

n(n+l) 2

128 n(n+1)(2n+l) lim » n —>® 6 n3

38

24 = t n

64 lim — n ~a> 2

; 1 ueqc

n(n+1) n-

lim 24 n -oo

128.2 'n

entonces

-40 40 — ; asi que Inf{t„} = lim t„ = - — = I(f) n - > , x ± , . . . x„ } una

partición de [1,2]. n n L(f,P) = 2 mKtXk-Xk-i) = 2 0 ( x k - x k - t ) = 0 y U(f,P) = k=l. k=l n n 2 M k ( x k - x k _ i ) = 2 l ( x k - x k _ i ) = xr< — xea - 2-1 = 1, luego k=l k=1 SupCL(f,P)} ^ Inf[ü(f,P)} y asi f no es

integrable.

En

que

este

ejemplo

se

puede

observar

acotadas en [a,b] no siempre son

1.11

todas

las funciones

integrables.

EJERCICIOS.

I. Demostrar

que

las siguientes funciones son integrables en el

intervalo dado, calculando 1. f(x) = x+3 3. h(x) = x»-l

-21x£3. -51x17.

I(f),

I(f).

2. g(x) = 2 x a - l

-21x15.

4. f(x) = 2x+4

01x14.

5. f(x) = x a + x + l - 2 1 x 1 3 . Una vez llegado aqui,

se presentan dos inquietudes

1. Que funciones acotadas son integrables ?.

fundamentales

2. Supuesto que una función es integrable; como se calcula

la

integral ?. En

la

primera pregunta, se limitará a dar respuestas

que solo requieren

parciales

ideas elementales; por ejemplo se mostrará

que

todas

las

funciones monótonas acotadas y continuas definidas en

[a,b]

son

integrables;

generales

de

propiedades

la

integral

nos ayudan

integral de funciones El

numeral

mostrará,

1.12

2.

Se

como

luego y

a

se

hace

ampliar

desarrallará

INTEGRABILIDAD

es

ver

muchos

las propiedades

en

que forma esas

conocimientos

en la

específicas.

calcular

T E O R E M A . Si f(x)

se desarrollarán

DE

más

adelante;

integrales

para

FUNCIONES

monotona

entonces f es integrable en

en

en

diversas

MONOTONAS

un

el cual

se

funciones.

ACOTADAS.

intervalo cerrado

[a,b];

[a,b].

demostración. Se

demostrará

el

teorema

para

funciones

razonamiento es análogo para funciones Sean

I(f),

I(f)

sus

integrales

crecientes;

el

decrecientes. superior

e

inferior

respectivamente; se demostrará que í(f) = I(f). Sea

n

un

entero

positivo

y

se

escalonadas s n ( x ) y t 0 ( x ) del modo Sea

construyen

dos

funciones

siguiente:

P =•[ Xa, Xa., . . . . , x n > una partición de [a,b] en n subintervalos

iguales, esto

es

subintervalos

(b-a)/n para cada valor de k.

40

[xk-i,xk]

tales

que

Xk-Xk-1=

Se define ahora s n (x) y t„ ( x ) por la formulas s n (x)=f(x k -i); El

los

puntos

mantengan Con

d e división,

xk_t