Calculo III -Virginio Gomez
November 27, 2016 | Author: Margaret Garcia | Category: N/A
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CÁLCULO I I I D E P A R T A M E N T O
D E
C I E N C I A S
B Á S I C A S
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
INTRODUCCION
Los contenidos que se imparten en este curso están directamente relacionados con temas de la especialidad de la
carrera Ingeniería aEb Electrónica. Por tanto es fundamental que el alumno al finalizar este curso se encuentre en
condiciones de operar, analizar y aplicar los conceptos entregados de modo tal que desarrolle características que le permitan una correcta resolución de problemas asociados a sistemas eléctricos y de telecomunicaciones. Por ejemplo el concepto de series es de vital importancia en un mundo digital en expansión en el cual nos encontramos ya sea en televisión digital, fotografía digital o áreas de investigación científica como la halografía, la tomografía y la espectografía las cuales dependen en gran medida de las series infinitas. Así también, los conceptos de derivada de funciones multivariables, integrales dobles y triples , la obtención de volúmenes en sus diferentes sistemas son todos conceptos aplicables a asignatura de ondas electromagnéticas; de la misma forma los campos vectoriales asociados a los campos eléctricos y campos magnéticos. Considerando lo anterior es posible entender la importancia de los contenidos de este curso los cuáles son una herramienta necesaria para enfrentar con éxito futuros desafíos ya sea en asignaturas posteriores como en el mundo laboral.
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INDICE
Pág.
I
II
III
SUCESIONES Y SERIES Sucesiones ........................................................................................................... Límite de una sucesión ......................................................................................... Serie .................................................................................................................... Serie geométrica .................................................................................................. Serie p o hipergeométrica ................................................................................... Teoremas sobre series ........................................................................................ Criterio para establecer la convergencia de serie: criterio de comparación .................................................................. criterio de la integral ..................................................................... criterio de la serie alterna ............................................................... criterio de la razón ....................................................................... Serie de potencias ................................................................................................ Serie de Taylor ................................................................................................... Serie de Fourier .................................................................................................. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Funciones de más de una variable ...................................................................... Dominio de funciones de dos variables ...............................................................
DERIVADAS PARCIALES Derivadas parciales ..................................................................................
Derivación implícita ........................................................................................... Regla de la cadena ........................................................................................... Aplicaciones de las regla de cadena: problemas con enunciado ................................................................ demostraciones .............................................................................. Derivada direccional ......................................................................................... Gradientes ......................................................................................................... Derivadas parciales de orden superior ................................................................. Máximos y mínimos para funciones de varias variables .................................... Hessiano de una función de dos variables .......................................................... Criterio de la segunda derivada .......................................................................... Multiplicadores de Lagrange ..............................................................................
1
3 4 7 8 9 11 13 16 19 23 26 30 35
55 56
60 65 68 75 79 82 86 90 93 94 94 97
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IV
INTEGRACION MULTIPLE
V
102 102 107 108 109 111 112 115
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Gráfico en ‘ 3 : .................................................................................................... planos ...................................................................................... .... esfera ........................................................................................... cilindro ........................................................................................... cono .............................................................................................. paraboloide .................................................................................... Integrales dobles .................................................................................................... Propiedades de la integral dobles ....................................................................... Aplicaciones de la integral doble: cálculo de áreas en el plano ........................................................... determinar el valor de la región ‘ ................................................. cálculo de volúmenes ..................................................................... Integrales Triples ............................................................................................... Cálculo de volúmenes ......................................................................................... Coordenadas cilíndricas ..................................................................................... Coordenadas esféricas ........................................................................................
119 124 129 133 137 144 149
CAMPOS VECTORIALES Campos vectoriales ............................................................................................ campo vectorial conservativo ............................................................ campo vectorial conservativo en el plano ......................................... Rotacional .......................................................................................................... Campo vectorial conservativo en el espacio ...................................................... Integral de trayectoria ....................................................................................... Integrales de línea ............................................................................................. Teorema de Green ........................................................................................... Teorema de Stokes ............................................................................................ Teorema de divergencia de Gauss .......................................................................
157 158 158 162 162 167 168 172 178 183
VI
AUTOEVALUACIONES
190
VII
BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................
.................................................................................
2
208
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Sucesiones
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Concepto: Una sucesión o secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales a œ ™ b
Si el n-ésimo elemento de una sucesión se designa por +8 œ 0 a8b, entonces una sucesión es el conjunto de parejas ordenadas de la forma a8 , 0 a8bb donde 8 − Ejemplo: 1) Si , f (n) =
n entonces: n+2
n
1
2
3
4
5
f (n)
1 3
1 2
3 5
2 3
5 7
Los pares ordenados serán:
...
n
...
n n+2
n 1 1 1 2 5 1 , ; 2 , ; 3 , ; 4 , ; 5 , ... n , ; ... 3 2 3 3 7 n + 2 Como el dominio de toda sucesión es siempre , es usual usar la notación { f (n)} = {a n } para representarla. En el ejemplo
{ f (n)} = {a n }
=
{a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 ,...,
{ f (n)} =
a n ,...}
n 1 1 3 2 5 n , ... = , , , , , ..., n+2 n + 2 3 2 5 3 7
2) 0 a8b œ œ
" $
si 8 es impar si 8 es par
œ0 a8b œ œ"ß $ß "ß $ß "ß $ß "ß $ß ÞÞÞ
3
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Concepto de Límite de una Sucesión
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Si para ε > 0 existe M > 0 talque a n − L < ε siempre que n > M , entonces se dice que el límite de la sucesión a n es L y se denota por :
{ }
lim a n = L
n→∞
Si el límite de la sucesión existe se dice que la sucesión es convergente CV y si no existe se dice que la sucesión es divergente DV. Límite de una Sucesión + Sea y = f (x ) una función real definida ∀ x ∈ ™ con
entonces si lim
{ a n } es una sucesión tal que
f ( x) = L , lim x→∞
f (n) = a n ∀ x ∈ se tiene que
an = L
n→∞
Ejemplos À Determinar si la sucesión es CV o DV 1) œ
8 8#
0 aB b œ
H970 aBb œ ‘ Ö # ×
B B#
™ © ‘ Ö #× B lim œ lim BÄ_ B# BÄ_ Por lo tanto,
2) œ
B B
B # B B
œ
lim BÄ_
" # " B
8 lim œ ", luego la sucesión es CV. 8Ä_ 8#
" &8$ #8$ %8
0 aB b œ
" &B$ #B$ %B
H970 aBb œ ‘ Ö! × ™ © ‘ Ö!×
4
œ"
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" &B$ B$ B$ #B$ %B $ $ B B
" &B lim œ lim B Ä _ #B$ %B B Ä _
Por lo tanto,
" & $ & B œ lim œ % BÄ_ # # # B
" &8$ & lim œ , luego la sucesión es CV. 8 Ä _ #8$ %8 #
1 3) œ8 † =/8Š ‹ 8 1 0 aBb œ B † =/8Š ‹ B
H970 aBb œ ‘ Ö! ×
™ © ‘ Ö!× 1 lim B † =/8Š ‹ BÄ_ B
œ_†!
œ
lim BÄ_
œ
! ! w
œPL
1 =/8Š ‹ B " B
lim BÄ_
1 1 -9=Š ‹ B# B " # B
1 1 -9=Š ‹ B œ lim BÄ_ " œ1 Por lo tanto,
1 lim 8 † =/8Š ‹ œ 1 , luego la sucesión CV. 8Ä_ 8
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$
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a) La sucesión {c} tiene como límite c lim c ⋅ a n
b)
= c ⋅ lim
n→∞
c)
lim
(a n ± bn ) =
n→∞
d)
lim
a n ⋅ bn
an b n→∞ n
lim
lim a n ±
lim bn
n→∞
=
n→∞
e)
an
n→∞
n→∞
an ⋅
lim
lim
n→∞
=
bn
n→∞
lim a n
n→∞
si
lim bn
n→∞
lim bn ≠ 0
n→∞
Ejercicios
Determine si la sucesión CV o DV
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Teorema: Si {a n } y {bn } y son sucesiones CV y es c un número, entonces:
a) œ
8" #8 "
b) œ
#8# " $8# "
c) œ
8# " 8
d) œ
$8$ #8# 8
e) œ
/8 8
f) œ
" È8# " 8
Solución
a) CV
b) CV
c) DV
d) DV
e) DV
f) DV
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Concepto de Series Infinitas Si {a n } es una sucesión infinita, entonces : ∞
∑ an = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
n =1
se llama serie infinita o simplemente serie. Los números a1 , a 2 , a3 ,..., a n,... se llaman términos de la serie infinita. Sea la siguiente sucesión de sumas parciales
S1 = a1 S 2 = a1 + a 2 S 3 = a1 + a 2 + a3 M
S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n
Si {S n } = {S1 , S 2 , S 3 , L , S n } converge, entonces la serie
∞
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Series
∑ an converge. n =1
Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas
_ Sea " +8 una serie infinita dada y sea œW8 la sucesión de sumas parciales. 8œ"
lim W existe y es igual a W , entonces la serie dada es convergente aCVb y S es la suma de la serie 8Ä_ 8 y si lim W no existe, entonces la serie dada es divergente aDVb y la serie no tiene suma. 8Ä_ 8
Si
∞
Teorema :
Si la serie
∑ an
es CV , entonces
n =1
Teorema : Si
lim
n→ ∞
an ≠ 0
lim
n→ ∞
an = 0
∞
, entonces la serie dada
∑ an n =1
es DV .
Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como así mismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecen bajo que condiciones una serie dada CV o DV.
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La serie Primer término ∞
∑ a ⋅ r n = a + a ⋅ r + a ⋅ r 2 + a ⋅ r 3 + L + a ⋅ r n + L con
a≠0
n =0
razón
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Serie Geométrica
Se denomina serie geométrica donde a es el primer término y r es la razón
_ + Teorema À La serie geométrica " + † 0 ∀ n ∈ , entonces: ∞
∑ (−1) n ⋅ an = −a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + L + (−1) n ⋅ an n =1
y ∞
∑ (−1) n+1 ⋅ a n = a1 − a 2 + a3 − a 4 + a5 − L − (−1) n+1 ⋅ a n n =1
Se denominan series alternas o series alternantes.
Ejemplos:
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Series infinitas de términos positivos y negativos
_ " " " " " " "Ñ " a "b8 † œ ÞÞÞ a "b8 † 8" # $ % & 8" 8œ"
_ " " " " " " #Ñ " a "b8 " † œ " ÞÞÞ a "b8 " † 8 # $ % & 8 8œ"
C.-
Criterio de la serie alterna Si a n > 0 ∀ n ∈ , entonces las series alternas ∞
∑ (−1) n+1 ⋅ an
convergen si, y sólo si:
n =1
a)
b)
0 < a n+1 < a n ∀ n ∈ lim a n = 0 n→∞
19
∞
∑ (−1) n ⋅ an n =1
y
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Ejemplos: Determine si la serie CV o DV. _ " "Ñ " a "b8 † $8 8œ" " +8 " œ $ a8 " b +Ñ
" " $8 $ $8
,Ñ lim
8Ä_
+8 œ
" $8
a8 −
" œ! $8
Por lo tanto, la serie CV. _ " #Ñ " a "b8 " † # 8 " 8œ" +8 " œ +Ñ
"
a8 " b "
+8 œ
#
" " # 8# #8 # 8 "
,Ñ lim
8Ä_
8#
" "
a8 −
" œ! 8# "
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Por lo tanto, la serie CV.
Teorema: _ a) Una serie " a "b8 † +8 8œ"
o
_ " a "b8 " † +8 se dice que es 8œ" _ Absolutamente Convergente aCVAb si la serie " +8 es CV. 8œ" _ b) Una serie " a "b8 † +8 8œ"
o
_ " a "b8 " † +8 se dice que es 8œ" _ Condicionalmente Convergente aCVCb si la serie " +8 es DV. 8œ"
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Ejemplos: _ & "Ñ " a "b8 † 8 % 8œ" & +8 " œ 8 % " +Ñ
& & 8 8 " % %
,Ñ lim
8Ä_
& +8 œ 8 % a8 −
& œ! %8
_ & La serie " a "b8 † 8 es CV. % 8œ"
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_ & _ " 8 " " 8 œ " & † Œ es una serie geométrica con < œ y por lo tanto, CV % % % 8œ" 8œ" _ & Luego la serie " a "b8 † 8 CVA % 8œ" _ " #Ñ " a "b8 " † È8 8œ" " +8 " œ È8 " +Ñ
" " È8 " È8
,Ñ lim
8Ä_
+8 œ
" È8
a8 −
" œ! È8
_ " La serie " a "b8 " † es CV. È8 8œ" _ " _ " " " œ " " es una serie : con : œ y por lo tanto, DV È8 # # 8œ" 8œ"8 _ " Luego la serie " a "b8 " † CVC È8 8œ"
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Ejercicios
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Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida, además, si es CVA. o CVC. _ 1 "Ñ " Ð "Ñ8 " † 8" 8œ"
_ 1 #Ñ " Ð "Ñ8 † #" 8 8œ"
_ 1 $Ñ " Ð "Ñ8 † Ð8 "Ñ# 8œ"
_ 1 %Ñ " Ð "Ñ8 " † $" 8 8œ#
_ 1 &Ñ " Ð "Ñ8 " † 8 È8 8œ"
_ 1 'Ñ " Ð "Ñ8 " † $8 " 8œ"
Solución
1) CVC
2) CVA
3) CVA
4) CVA
5) CVA
6) CVC
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D.-
Criterio de la Razón o Criterio de D'Alambert ∞
Sea
∑ an
an ≠ 0
una serie infinita donde :
n =1
y
a n +1 =ρ n→∞ a n lim
entonces: a) cuando ρ < 1 , la serie CVA. b) cuando ρ > 1 , la serie DV. c) cuando ρ = 1 el criterio no da información.
Ejemplos: Determine si la serie CV o DV. _ $8 " "Ñ " 8! 8œ"
â 8# â â $ â â â â +8 " $8 † $ † $ 8! $ a8 "b! ââ â œº † 8 º ºœâ ºœ â 8 " +8 $ † $ 8 " â $ â a8 " b † 8 ! â â â â 8! lim
8Ä_
$ œ!" 8"
_ $8 " Por lo tanto, " CV 8! 8œ" _ a#8b! #Ñ " a "b8 † 8 8œ"
â â a#8 #b! â +8 " â 8" œ º º ââ a#8b! +8 â â 8
â â â a#8 #b † a#8 "b † a#8b! 8 â † ✺ º â a#8b! 8" â â %8$ '8# #8 œ 8"
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8$ 8# 8 ' # %8 '8 #8 8 8 8 lim œ lim 8 " 8Ä_ 8Ä_ 8" 8 8 # œ lim %8 '8" # 8Ä_ " 8 %
#
œ
_ "
œ_" _ a#8b! Por lo tanto, " a "b8 † DV. 8 8œ" _ #8 $Ñ " a "b8 † $ 8 8œ"
â â #8 " â â +8 " a8 " b $ œ º º ââ +8 â #8 â â 8$
lim
8Ä_
â â â $ 8 â ✺ # †# † 8 º 8 â $ # â Š8 "‹ â â #8$ œ $ 8 $8# $8 "
$
#8 œ 8$ $8# $8 "
œ
lim
8Ä_
lim
8Ä_
#
8$ 8$
8$ 8# 8 " $ $ $ $ $ $ 8 8 8 8
# $ $ " " # $ 8 8 8
œ#" _ #8 Por lo tanto, " a "b8 † $ DV. 8 8œ" _ 8# %Ñ " a "b8 † 8 & 8œ" â â â +8 " â º º œ ââ +8 â â
8$ &8 " 8# &8
â â â 8$ &8 8$ â † ✺ 8 ºœ â & †& 8# &8 "! â â
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$
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8$ " " œ Pw L lim œ " 8Ä_ &8 "! 8Ä_ & & _ 8# Por lo tanto, " a "b8 † 8 CVA. & 8œ" Ejercicios Determine si la serie CV o DV. _ a8 " bx "Ñ " #8 8œ!
_ &8 #Ñ " Ð "Ñ8 a#8b x 8œ"
_ a8bx $Ñ " Ð "Ñ8 8 $8 8œ"
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lim
_ 8# %Ñ " 8 $ a8 " b 8œ"
_ " &Ñ " Ð "Ñ8 Ð#8 "Ñx 8œ"
Solución 1) DV
2) CVA
4) CV
5) CVA
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3) DV
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Concepto: Una serie de potencias en x − a es una serie de la forma : ∞ b0 + b1 ( x − a ) + b2 ( x − a ) 2 + b3 ( x − a ) 3 + L + bn ( x − a ) n = ∑ bn ( x − a ) n n =0 bi y a son números , x es variable. Si x es un número particular, entonces x − a se transforma en un número ∞ y ∑ bn ( x − a ) n es una serie infinita de términos constantes. n =0 Si a = 0 , entonces se obtiene la siguiente serie ∞ n 2 3 n ∑ bn x = b0 + b1 x + b2 x + b3 x + L + bn x n =0
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Serie de Potencias
Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias. _ Como aparece la variable B, entonces una serie de potencias es una función 0 aBb œ " ,8 aB +b8 8œ! donde el dominio de la función es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio de la Razón y se resuelve la inecuación 3 ", además se debe hacer el análisis de los extremos. Ejemplos:
Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias _ # 8 † aB " b 8 "Ñ " a "b8 " † 8 † $8 8œ"
º
+8 " º +8
œ
œ
â â â â â â â â â â
º
# 8 " † aB " b 8 " a8 " b † $ 8 " # 8 † aB " b 8 8 † $8
â â â â â â â â â â
#8 † # † aB "b8 † aB "b 8 † $8 † 8 º 8 a8 " b † $ † $ # † aB " b 8
# 8 † † ¸ B "¸ $ 8" # 8 # 8 lim † † ¸ B "¸ œ † ¸ B "¸ lim 8Ä_ $ 8 " 8Ä_ 8 " $ œ
# " † ¸ B "¸ lim 8Ä_ " $
œ
Pw L
œ
# † ¸ B "¸ $
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# # † ¸ B "¸ " Í " ÐB "Ñ " $ $ Í
$ $ B" # # Í
& " B # #
Análisis de los extremos Para B œ
& #
$ 8 #8 † Œ _ # " a " b8 " † 8 8†$ 8œ"
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a " b8 a$ 8 b _ #8 † #8 œ " a " b8 " † 8 † $8 8œ" _ " œ " a " b# 8 " † 8 8œ" _ " œ " 8 8œ"
_ " Pero, " es la serie armónica y por lo tanto DV. 8 8œ"
Para B œ
" #
8 8† $ # Œ _ # " a " b8 " † 8 † $8 8œ"
$8 _ #8 † 8 # œ " a " b8 " † 8 † $8 8œ" _ " œ " a " b8 " † 8 8œ"
_ " Pero, " a "b8 " † es una serie alterna que es CVC. 8 8œ" Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie _ # 8 † aB " b 8 & " " a " b8 " † es B Ÿ 8 8†$ # # 8œ"
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_ aB $ b 8 #Ñ " a "b8 † 8! 8œ" º
+8 " º +8
lim
8Ä_
œ
â â â â â â â â â
a B $ b 8 † aB $ b 8! † º a 8 " b † 8! aB $ b 8
œ
º
œ
" † ¸ B $¸ 8"
" † ¸ B $¸ 8"
â â â â â â â â â
aB $ b 8 " a8 " b ! aB $ b 8 8!
œ
¸ B $¸ lim
8Ä_
œ
¸ B $¸ † !
œ
!"
" 8"
_ aB $ b 8 Por lo tanto, la serie " a "b8 † 8! 8œ" _ 8! $Ñ " a "b8 † 8 8 "! † B 8œ" º
+8 " º +8
lim a8 "b †
8Ä_
œ
â â â â â â â â
a8 " b ! 8 "! " † B8 " 8! "!8 † B8
º
œ
a8 " b †
" "!¸B¸
es CVA a B − ‘
â â â â â â â â
a 8 " b † 8! "!8 † B8 † º "!8 † "! † B8 † B 8!
œ
" "!¸B¸
œ
" lim Ð8 "Ñ "!¸B¸ 8Ä_
œ
" †_ "!¸B¸
œ
_"
_ aB $ b 8 Por lo tanto, la serie " a "b8 † 8! 8œ"
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es DV a B − ‘
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Ejercicios
Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias _ B 8 "Ñ " Ð#8Ñx † Œ # 8œ!
_ ÐB &Ñ8 #Ñ " Ð "Ñ8 " † 8 † &8 8œ"
_ ÐB #Ñ8 " $Ñ " 8" 8 œ " Ð8 "Ñ † $
_ ÐB (Ñ8 %Ñ " Ð "Ñ8 " † 8 † (8 8œ"
_ B#8 " &Ñ " Ð "Ñ8 " † Ð#8 "Ñ! 8œ"
_ 8x ÐB %Ñ8 'Ñ " Ð "Ñ8 † $8 8œ"
_ 8x † B8 (Ñ " Ð#8Ñx 8œ"
_ 8 8" )Ñ " Œ † Ð #BÑ 8" 8œ"
_ #8 † B8 *Ñ " 8# 8œ"
_ ##8 " † B#8 "!Ñ " Ð "Ñ8 † Ð#8Ñx 8œ"
Solución "Ñ No existe intervalo de convergencia #Ñ ! B Ÿ "! $Ñ " Ÿ B & %Ñ ! B Ÿ "% &Ñ ‘ 'Ñ No existe intervalo de convergencia (Ñ ‘ )Ñ
" " B # #
*Ñ
" " ŸBŸ # #
"!Ñ ‘
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Serie de Taylor
∞ f n (a) ⋅ ( x − a) n Concepto : La expresión f ( x ) = ∑ corresponde a la serie de Taylor de n! n=0 f alrededor de x = a o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de x = a .
f n (a) es la n-ésima derivada de f evaluada en x = a .
∞ f n ( 0) ⋅ x n que se conoce con el nombre de Si la serie de Taylor toma la forma f ( x ) = ∑ n! n=0 serie de Maclaurin de f .
Ejemplos 1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a B œ ", la función 0 aBb œ 0 ! aB b œ
0 w aB b œ 0 w w aB b œ
Ê 0 ! a"b œ "
" B " œ B# B#
w
0 3@ aBb œ 0 aB b œ
Ê 0 w a"b œ #
# œ #B$ B$
0 w w aB b œ
Ê 0 w a"b œ " w
' œ 'B% B%
#% œ #%B& B&
Ê 0 w a"b œ ' ww
Ê 0 3@ a"b œ #%
" B
a "b † aB "b # † aB "b# a 'b † aB "b$ " † aB "b! #% † aB "b% !! "! #x $! %! 0 aB b œ
aB " b ! aB "b # † aB "b# ' † aB "b$ #% † aB "b% " " # ' #%
0 aBb œ aB "b! aB "b aB "b# aB "b$ aB "b% Por lo tanto, 0 aBb œ
_ " œ " a "b8 † aB "b8 B 8œ!
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0 ! aBb œ -9=B
Ê 0 ! a!b œ "
0 w aBb œ =/8B
Ê 0 w a!b œ !
0 w w aBb œ -9=B
Ê 0 w a!b œ " w
0 w w aBb œ =/8B
Ê 0 w w a!b œ !
w
w
0 3@ aBb œ -9=B
Ê 0 3@ a!b œ "
0 aB b œ
" † B! ! † B a "b † B# ! † B$ " † B% !! "! #x $! %!
0 aB b œ
B! B# B% ! ! !! #! %!
0 aB b œ
B! B# B% !! #! %!
_ B#8 Por lo tanto, 0 aBb œ -9=B œ " a "b8 † a#8b! 8œ!
VIRGINIO GOMEZ
2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 aBb œ -9=B
3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en À +Ñ 0 aBb œ 68a" Bb 0 ! aBb œ 68a" Bb 0 w aB b œ
" œ a " Bb" "B
0 w w aB b œ 0 w w aB b œ w
Ê 0 ! a!b œ !
"
a " Bb #
a" B b
0 3@ aBb œ
$
'
#
œ a" Bb#
œ # a" Bb$
a" B b %
Ê 0 w a!b œ "
Ê 0 w a!b œ " w
Ê 0 w a!b œ # ww
œ 'a" Bb%
Ê 0 3@ a!b œ '
0 aB b œ
! † B! " † B " † B# # † B$ ' † B% " " # ' #% B# B$ B% 0 aB b œ ! B # $ % _ B8 " Por lo tanto, 0 aBb œ 68a" Bb œ " a "b8 † 8" 8œ!
31
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º
â â â â œâ â â â
+8 " º +8
lim ¸B¸ † Œ
8Ä_
B8 # 8# B8 " 8"
8" 8#
œ œ œ
¸B¸ " Í " B "
â â â B8 † B # 8 " 8" â † ✺ º œ ¸B¸ † Œ â 8 # B8 † B 8# â â ¸B¸ † lim Œ 8Ä_
8" 8#
Pw L ¸B¸ † lim ¸B ¸
" 8Ä_ "
Análisis de los extremos Para B œ " _ a " b8 " " a " b8 † 8" 8œ!
_ a "b#8 " œ" 8" 8œ! _ " œ" 8" 8œ! _ " œ" 8 8œ"
_ " Pero, " es la serie armónica y por lo tanto DV 8 8œ" Para B œ " _ a" b 8 " " a " b8 † 8" 8œ!
_ " œ " a " b8 † 8" 8œ!
_ " Pero, " a "b8 † es una serie alterna que CVC 8" 8œ!
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Intervalo de convergencia
_ B8 " Luego el intervalo de convergencia de la serie " a "b8 † es " B Ÿ " 8" 8œ!
32
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,Ñ 0 aBb œ /B
0 ! aB b œ / B
Ê 0 ! a!b œ "
0 w aB b œ / B
Ê 0 w a!b œ "
0 w w aB b œ / B
Ê 0 w a!b œ "
0 w w aB b œ / B
Ê 0 w w a!b œ " ww
w
0 3@ aBb œ /B
0 aB b œ
Ê 0 3@ a!b œ "
" † B! " † B " † B# " † B$ " † B% !! "! #! $! %!
_ B8 Por lo tanto, 0 aBb œ /B œ " 8! 8œ! Intervalo de convergencia º
+8" º +8
â â â â œâ â â â
lim ¸B¸ † Œ
8Ä_
B8 " a8 " b ! B8 8!
" 8"
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
â â â B8 † B 8! " â † ✺ º œ ¸B¸ † Œ â a 8 " b † 8! B 8 8" â â œ
¸B¸ † lim Œ 8Ä_
œ
¸B ¸ † !
œ
!"
" 8"
_ B8 Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie " es ‘ 8! 8œ!
33
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I
Desarrollar en serie de Taylor
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Ejercicios
$ B "Ñ 0 ÐBÑ œ È
con + œ "
#Ñ 0 ÐBÑ œ
$Ñ 0 ÐBÑ œ 68 aB "b
con + œ "
%Ñ 0 ÐBÑ œ -9= B
II
#Ñ 0 ÐBÑ œ =/8 $B
con + œ
" $Ñ 0 ÐBÑ œ -9=ŒB #
Solución "Ñ 0 aBb œ "
con + œ "
Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia
"Ñ 0 ÐBÑ œ /BÎ#
I
" B
B " aB " b # & † aB "b$ & † aB "b% # ' &% )"
_ #Ñ 0 aBb œ " aB "b8 8œ! $Ñ 0 aBb œ 68#
B " aB "b# aB "b$ aB "b% # ) #% '%
1 #8 1 #8 " ŠB ‹ ŠB ‹ È$ _ " _ $ $ 8 8 " %Ñ 0 aBb œ † " a "b † † " a "b † a#8b! a#8 "b! # # 8œ! 8œ! II
_ B8 "Ñ 0 aBb œ " 8 # † 8! 8œ!
CV a B − ‘
_ $#8 " † B#8 " #Ñ 0 aBb œ " a "b8 † a#8 "b! 8œ!
CV a B − ‘
_ _ " B#8 " B#8 " $Ñ 0 aBb œ -9=Œ † " a "b8 † =/8Œ † " a "b8 " † # a#8b! # a#8 "b! 8œ! 8œ! CV a B − ‘
34
1 $
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Serie de Fourier Son desarrollos de series de funciones periódicas en series trigonométricas. Conceptos previos:
1) Función continua por segmento en Ò + ß , Ó: toda función 0 aBb que es continua en todo punto del intervalo Ò + ß , Ó. periodo.
2) Función periódica: es toda función 0 aBb que satisface la condición 0 aB >b œ 0 aBbß > es el Ejemplo: - las funciones =/8 B y -9= B tienen periodo #1. - la función >1 B tiene periodo 1.
3) Función par: 0 aBb es una función par si, y sólo si 0 a Bb œ 0 aBb a B − H970 Þ 0 aBb es una función simétrica respecto al eje Y. Ejemplo: - 0 aBb œ B# - 0 aBb œ -9= B
4) Función impar: 0 aBb es una función impar si, y sólo si 0 a Bb œ 0 aBb a B − H970 Þ 0 aBb es una función simétrica respecto al origen. Ejemplo: - 0 aBb œ B$ - 0 aBb œ =/8 B Propiedades de las funciones simétricas 1) Si 0 aBb es una función par continua en Ò + ß + Óß entonces (
+ +
0 aBb .B œ #(
+ !
0 aBb .B
2) Si 0 aBb es una función impar continua en Ò + ß + Óß entonces (
+ +
0 aBb .B œ 0
35
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a0 + 2
f(x) =
∞
∑ a
n
n =1
nπx nπx cos + bnsen T T
donde a0 , an y bn se obtienen como: a0 =
1 T
∫ f(x)dx
an =
1 T
∫
bn =
1 T
∫
T
−T
T
−T
T
−T
nπx f(x) cos dx T
n = 1,2,3,...
nπx f(x)sen dx T
n = 1,2,3,...
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Concepto: Sea f(x) una función continua por tramos en el intervalo [− T,T ] . La Serie de Fourier de f(x) es la serie trigonométrica
Si f(x)es una función con periodo 2π , definida en el intervalo [− T, T ] entonces a0 + 2
f(x) =
∞
∑ [a
n =1
n
cos(nx ) + bnsen(nx )]
donde a0 , an y bn se obtienen como: a0 = an = bn =
1
π 1
π 1
π
π
∫ πf(x)dx −
π
∫ π f(x) cos(nx )dx
n = 1,2,3,...
−
π
∫ π f(x)sen(nx )dx
n = 1,2,3,...
−
36
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Propiedades de la Serie de Fourier
+! œ
" X # X ( 0 aBb .B œ ( 0 aBb.B T X T !
+8 œ
" X 81B # X 81B ‹ .B œ ( 0 aBb † -9=Š ‹ .B ( 0 aBb † -9=Š T X T T ! T
VIRGINIO GOMEZ
a) Si 0 aBb es una función par, definida en el intervalo Ò T ß T Ó, entonces la serie de Fourier será de la forma: _ +! 81B 0 aB b œ " +8 † -9=Š ‹ T # 8œ"
b) Si 0 aBb es una función impar, definida en el intervalo Ò T ß T Ó, entonces la serie de Fourier será de la forma: _ 81B 0 aBb œ " ,8 † =/8Š ‹ T 8œ" ,8 œ
" X 81B # X 81B ‹ .B œ ( 0 aBb † =/8Š ‹ .B ( 0 aBb † =/8Š T X T T ! T
Ejemplos À
1) Calcular la serie de Fourier de 0 aBb œ œ
B #B
37
1 BŸ! !B1
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X œ1 +! œ
" 1 ( 0 aBb .B 1 1
+! œ
" ! " 1 ( B .B ( #B .B 1 1 1 !
+! œ
! " B# " #B# 1 † º † º 1 # 1 1 # !
+! œ +! œ
1 1 #
1 # 1 #
+! œ
+8 œ
" 1 81B ‹ .B ( 0 aBb † -9=Š T 1 1
+8 œ
" ! " 1 ( B † -9=a8Bb .B ( #B † -9=a8Bb .B 1 1 1 !
" ! ( B † -9=a8Bb .B 1 1
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0 aBb no es función par ni impar.
.@ œ -9=a8Bb .B Ê @ œ
? œ B Ê .? œ .B
! " ! " =/8a8Bb =/8a8Bb .B• ( B † -9=a8Bb .B œ ”B † º ( 1 1 1 8 8 1 1 !
" ! " =/8a8Bb -9=a8Bb ( B † -9=a8Bb .B œ ”B † º º • 1 1 1 8 8# 1 1 !
!
=/8a8Bb 8
" ! " 1 † =/8a81b -9=! -9=a 81b # ( B † -9=a8Bb .B œ ”! • 1 1 1 8 8 8#
Pero, =/8a81b œ ! a 8 − ß -9=a 81b œ -9=a81b œ a "b8 a 8 − Luego, a " b8 " ! " 1 ( B † -9=a8Bb .B œ ” # • 1 1 1 8 8#
38
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" 1 ( #B † -9=a8Bb .B 1 ! ? œ #B Ê .? œ #.B
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.@ œ -9=a8Bb .B Ê @ œ
1 =/8a8Bb " 1 " =/8a8Bb 1 #.B• ( #B † -9=a8Bb .B œ ”a#Bb † º ( 1 ! 1 8 8 ! ! " 1 " =/8a8Bb 1 #-9=a8Bb 1 ( #B † -9=a8Bb .B œ ”a#Bb † º º • 1 ! 1 8 8# ! !
=/8a8Bb 8
" 1 " a#1b † =/8a81b #-9=a81b #-9=! ! ( #B † -9=a8Bb .B œ ” • 1 ! 1 8 8# 8#
Pero, =/8a81b œ ! a 8 − ß -9=a81b œ a "b8 a 8 − Luego, " 1 " # a " b8 # #• ( #B † -9=a8Bb .B œ ” 1 ! 1 8# 8 Así, +8 œ
" 1 a " b8 " #a "b8 # #• ” # • ” # # 1 8 8 1 8 8
+8 œ
" a " b8 " ” • 1 8#
,8 œ
" 1 81B ‹ .B ( 0 aBb † =/8Š T 1 1
,8 œ
" ! " 1 ( B † =/8a8Bb .B ( #B † =/8a8Bb .B 1 1 1 !
" ! ( B † =/8a8Bb .B 1 1 ? œ B Ê .? œ .B
.@ œ =/8a8Bb .B Ê @ œ
! " ! " -9=a8Bb -9=a8Bb .B• ( B † =/8a8Bb .B œ ” B † º ( 1 1 1 8 8 1 1 !
" ! " -9=a8Bb =/8a8Bb ( B † =/8a8Bb .B œ ” B † º º • 1 1 1 8 8# 1 1 !
!
" ! " 1 † -9=a 81b =/8! =/8a 81b # ( B † =/8a8Bb .B œ ”! • 1 1 1 8 8 8#
39
-9=a8Bb 8
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Luego, a " b8 a "b8 " " ! œ ( B † =/8a8Bb .B œ 1 1 8 8 " 1 ( #B † =/8a8Bb .B 1 ! ? œ #B Ê .? œ #.B
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Pero, =/8a 81b œ =/8a81b œ ! a 8 − ß -9=a 81b œ a "b8 a 8 −
.@ œ =/8a8Bb .B Ê @ œ
1 -9=a8Bb " 1 " -9=a8Bb 1 #.B• ( #B † =/8a8Bb .B œ ” a#Bb † º ( 1 ! 1 8 8 ! ! " 1 " -9=a8Bb 1 #=/8a8Bb 1 ( #B † =/8a8Bb .B œ ” a#Bb † º º • 1 ! 1 8 8# ! !
-9=a8Bb 8
a#1b † -9=a81b " 1 " #=/8a81b #=/8! ! ( #B † =/8a8Bb .B œ ” • 1 ! 1 8 8# 8#
Pero, =/8a81b œ ! a 8 − ß -9=a81b œ a "b8 a 8 − Luego, " 1 # a " b8 #a "b 8 " œ ( #B † =/8a8Bb .B œ 1 ! 8 8 Así, ,8 œ
a " b8 " #a "b 8 " 8 8
,8 œ
$ a " b8 " 8
Por lo tanto, 0 aB b œ
_ 1# " a " b8 " $a "b8 " " ” • † -9=a8Bb † =/8a8Bb # % 8 8 1 8œ"
0 aB b œ
_ " _ 1 a " b8 " a "b8 " " †" Œ † -9= a 8B b $ † =/8a8Bb % 8# 8 1 8œ" 8œ"
0 aB b œ
_ 1 # _ -9=Ò a#8 "bBÓ =/8a8Bb †" $ " a " b8 " † Œ # % 1 8 a#8 "b 8œ" 8œ"
40
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2) Desarrollar en serie 0 aBb œ œ
" "
1 BŸ! !B1
X œ1 0 aBb es función impar ,8 œ
" 1 ( 0 aBb † =/8a8Bb .B 1 1
,8 œ
# 1 ( =/8a8Bb .B 1 !
,8 œ
,8 œ ,8 œ
,8 œ
# -9=a8Bb 1 † º 1 8 !
# -9=a81b # -9=! † † 1 8 1 8
# " a " b8 ” • 1 8 8
# " a " b8 " ” • 1 8
Así, _ # " a " b8 " 0 aB b œ " ” • † =/8a8Bb 1 8 8œ" 0 aB b œ
% _ =/8Ò a#8 "bBÓ †" 1 #8 " 8œ"
41
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0 aB b œ œ
B B
"ŸB! !ŸBŸ"
0 aBb es función par X œ" +! œ (
" "
+! œ #(
0 aBb .B
"
B .B !
B# º # ! "
+! œ # † +! œ " +! œ " +8 œ "( +8 œ #(
" " " !
0 aBb † -9=a81Bb .B
B † -9=a81Bb .B
.@ œ -9=a81Bb .B Ê @ œ
? œ B Ê .? œ .B #( #( #(
" ! " ! " !
B † -9=a81Bb .B œ #”B †
" =/8a81Bb =/8a81Bb .B• º ( 81 81 ! !
B † -9=a81Bb .B œ #”B †
=/8a81Bb -9=a81Bb º º • 81 8# 1# ! !
B † -9=a81Bb .B œ #”
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3) Desarrollar en serie de Fourier 0 aBb œ ¸ B ¸ß " Ÿ B Ÿ "
"
"
"
=/8a81b -9=a81b -9=! ! # • 81 8# 1# 81
42
=/8a81Bb 81
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Pero, =/8a81b œ ! a 8 − ß -9=a81b œ a "b8 a 8 − Luego, #(
" !
B † -9=a81Bb .B œ #”
a " b8 " # #• 8# 1# 81
Así, +8 œ
# a " b8 " Π1# 8#
Por lo tanto, 0 aB b œ
_ # a " b8 " " " #Œ † -9=a81Bb # 8# 1 8œ"
0 aB b œ
_ -9=Òa#8 "b1BÓ " % # †" # 1 a#8 "b# 8œ"
Ejercicios Dada la función desarrollarla en serie de Fourier "Ñ 0 ÐBÑ œ B #Ñ 0 ÐBÑ œ œ
1 B 1
B B
$Ñ 0 ÐBÑ œ B# %Ñ 0 ÐBÑ œ œ
#B $B
&Ñ 0 ÐBÑ œ /B Ú Ý Ý! " 'Ñ 0 ÐBÑ œ Û " Ý Ý Ü!
1 Ÿ B Ÿ ! ! B 1
# Ÿ B Ÿ #
" B Ÿ ! ! Ÿ B Ÿ "
1 B 1
1 B 1Î# 1Î# B ! ! B 1Î# 1Î# B 1
43
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Solución
_ =/8a8Bb "Ñ 0 aBb œ # " a "b8 † 8 8œ" #Ñ 0 aBb œ
% _ -9=Òa#8 "bBÓ 1 " # # 1 8 œ " a#8 "b
81B -9=Š ‹ ) $# _ # $Ñ 0 aBb œ # " a "b8 † $ 1 8# 8œ" %Ñ 0 aBb œ
&Ñ 0 aBb œ
" # _ -9=Òa#8 "b1BÓ & _ =/8a81Bb " a " b8 † # " # % 1 1 8 8 œ " a#8 "b 8œ" / 1 / 1 / 1 / 1 _ -9=a8Bb " a " b8 † 1 #1 " 8# 8œ" / 1 /1 _ 8=/8a8Bb " a " b8 † 1 " 8# 8œ"
'Ñ 0 aBb œ
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% _ =/8Ò#a#8 "bBÓ " 1 #8 " 8œ"
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Ejemplos "Ñ
0 Ð>Ñ es una función impar periodo X 0 Ð>Ñ œ œ
# #
X Ÿ>! !Ÿ>ŸX
Luego, _ 81> 0 Ð>Ñ œ " ,8 =/8Œ X 8œ" ,8 œ
# X 81> ( # =/8Π.> X ! X
81> -9=Œ X % X ,8 œ Œ º 81 X ! X ,8 œ Œ ,8 œ
% X 81X 81! -9=Œ • ”-9=Œ X 81 X X
% a " b8 " Π1 8
a#8 "b1> =/8Œ _ ) X 0 Ð>Ñ œ " 1 #8 " 8œ" Por lo tanto,
ó
45
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Una aplicación muy importante de la serie de Fourier consiste en encontrar la serie a partir del gráfico de la función donde sus variables son a>ß 0 Ð>Ñb.
81 > =/8Œ _ ) X 0 Ð>Ñ œ " con 8 impar 1 8 8œ"
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#Ñ
0 a>b es una función par con periodo X Ú Ý Ý " Ý Ý Ý
0 a>b œ Û " Ý Ý Ý Ý Ý " Ü
X Ÿ>
X X Ÿ>Ÿ # # X >ŸX #
X #
Luego, 0 Ð>Ñ œ
_ +! 81> " +8 -9=Œ # X 8œ"
+! œ
# X Î# # X a "b .> .> ( ( X ! X X Î#
+! œ
# >º X !
X Î#
+! œ
>º
X X Î#
# X X ΠX X # #
+! œ ! +8 œ
X Î# X # 81> 81> " -9=Œ ( .> ( a "b -9=Œ .> X X X ! X Î#
81> Î =/8 81> Ñ Œ X Î# =/8Œ X Ó # ÐÐ X X +8 œ Ð º º Ó 81 81 Ó X ! X Î# X X Ï Ò +8 œ
# X 81 81 Œ Š=/8Š ‹ =/8! =/8a81b =/8Š ‹‹ X 81 # #
46
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Pero, =/8Š
81 ‹ œ a "b8 con 8 impar #
# X +8 œ Œ Œ a#a "b8 b X 81 +8 œ
% a " b8 con 8 impar 81
Por lo tanto, 81> -9=Œ % _ X " a " b8 † 0 a>b œ con 8 impar 1 8 8œ"
$Ñ
0 Ð>Ñ es una función par con periodo #X
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Para determinar 0 Ð>Ñ es necesario determinar las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos a #X ß "b à a!ß "b y a!ß "bà a#X ß "b Ecuación de la recta que pasa por a #X ß "b à a!ß "b
0 a>b " œ
# " a> !b Ê 0 a>b œ > " #X X Ecuación de la recta que pasa por a!ß "bà a#X ß "b 0 a>b " œ
# a> !b #X
Ê
0 a>b œ
Así,
Ú Ý " >" #X Ÿ > ! 0 a>b œ Û X Ý " >" ! Ÿ > Ÿ #X Ü X
47
" >" X
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Luego, _ +! 81> " +8 -9=Œ # X 8œ" # #X " +! œ ( Œ > ".> #X ! X 0 Ð>Ñ œ
+! œ
" " ># >º X X # !
+! œ
# a #X #X !b X
#X
+! œ !
+8 œ
# #X " 81> ( Π> " -9=Π.> #X ! X #X
+8 œ
" #X " 81> ( Π> " -9=Π.> X ! X #X
?œ
" >" X
Ê .? œ
" X
=/8Œ
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81> 81> #X .@ œ -9=Œ Ê @ œ 81 #X #X #X #X # " #X 81> " #X 81 > +8 œ Œ > "Œ =/8Œ º Œ Œ ( =/8Œ .> X X 81 #X X 8 1 #X ! ! # # #X 81> Œ -9=Œ º Œ X 81 81 #X ! #X
+8 œ
+8 œ
) a " b8 " Π1# 8#
Por lo tanto, 1> -9=”a#8 "bŒ • "' _ #X 0 a>b œ # " 1 a#8 "b# 8œ" o
48
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81> -9=Œ "' _ #X 0 a>b œ # " con 8 impar 1 8# 8œ" Ejercicios Determine la serie de Fourier para: "Ñ
#Ñ
$Ñ
49
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"Ñ 0 Ð>Ñ es impar con periodo %X Ú " Ý Ý > # Ý Ý X Ý " 0 Ð>Ñ œ Û > Ý X Ý Ý Ý Ý "># Ü X
#X Ÿ > X X Ÿ>X X Ÿ > Ÿ #X
81> =/8Œ % _ #X " a " b8 † 0 Ð>Ñ œ 1 8 8œ"
#Ñ 0 Ð>Ñ es impar con periodo %X 0 Ð>Ñ œ
" > X
#X Ÿ > Ÿ #X
VIRGINIO GOMEZ
Solución
81> 81> =/8Œ =/8Œ _ _ % # #X #X 8† " a b 0 Ð>Ñ œ # " a "b8 " † " 1 8# 1 8 8œ" 8œ"
$Ñ 0 Ð>Ñ es par con periodo %X Ú $ Ý >$ #X 0 a>b œ Û Ý $ >$ Ü #X
#X Ÿ > ! ! Ÿ > Ÿ #X
81> -9=Œ $ "# _ #X 0 a>b œ # " a "b8 † # 1 8# 8œ"
ß con 8 impar
50
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Si 0 aBb es una función continua en el intervalo Ò !ß T Ó, entonces: a) La serie cosenoidal de Fourier de 0 aBb en Ò !ß T Ó es:
0 aB b œ
_ +! 81B " +8 † -9=Š ‹ , donde T # 8œ"
+! œ
" X ( 0 aBb .B T !
+8 œ
# X 81B ‹.B ( 0 aBb † -9=Š T ! T
b) La serie senoidal de Fourier de 0 aBb en Ò !ß T Ó es: _ 81B 0 aBb œ " ,8 † =/8Š ‹ , donde T 8œ" # X 81B ‹.B ( 0 aBb † =/8Š T ! T
,8 œ
Ejemplo:
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Serie cosenoidal y senoidal de Fourier
Desarrollar en serie cosenoidal y senoidal 0 aBb œ 1 B en 0 B 1 Serie cosenoidal X œ1 +! œ
" 1 ( 0 aBb .B 1 !
+! œ
" 1 ( a1 Bb .B 1 !
+! œ
" B# 1 Œ1B º 1 # !
+! œ
" # 1# Œ1 1 #
+! œ
1 #
+! œ
1 #
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+8 œ
# 1 81B ‹ .B ( 0 aBb † -9=Š T 1 !
+8 œ
# 1 ( a1 Bb † -9=a8Bb .B 1 !
+8 œ
# 1 # 1 ( 1 † -9=a8Bb .B ( B † -9=a8Bb .B 1 ! 1 !
# 1 #=/8a8Bb 1 ( 1 † -9=a8Bb .B œ º 1 ! 8 !
# 1 #=/8a81b #=/8a!b ( 1 † -9=a8Bb .B œ 1 ! 8 8
# 1 ( 1 † -9=a8Bb .B œ ! 1 ! # 1 ( B † -9=a8Bb .B 1 !
.@ œ -9=a8Bb .B Ê @ œ
? œ B Ê .? œ .B
1 =/8a8Bb # 1 # =/8a8Bb 1 .B• ( B † -9=a8Bb .B œ ”B † º ( 1 ! 1 8 8 ! ! # 1 # =/8a8Bb 1 -9=a8Bb 1 ( B † -9=a8Bb .B œ ”B † º º • 1 ! 1 8 8# ! !
# 1 # 1 † =/8a81b -9=a81b -9=! ! # • ( B † -9=a8Bb .B œ ” 1 ! 1 8 8# 8 # 1 # a " b8 " #• ( B † -9=a8Bb .B œ ” 1 ! 1 8# 8
Así, +8 œ !
+8 œ Luego,
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# a " b8 " #• ” 1 8# 8 # a " b8 " ” • 1 8#
0 aB b œ
_ 1 # a " b8 " " ” • † -9=a8Bb % 8# 1 8œ"
0 aB b œ
% _ -9=Òa#8 "bBÓ 1 †" # % 1 8 œ " a#8 "b
ó
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0 aBb œ
=/8a8Bb 8
% _ -9=a8Bb 1 †" con 8 impar % 8# 1 8œ"
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,8 œ
# 1 81B ‹ .B ( 0 aBb † =/8Š 1 ! T
# 1 ( a1 Bb † =/8a8Bb .B 1 ! # 1 # 1 ,8 œ ( 1 † =/8a8Bb .B ( B † =/8a8Bb .B 1 ! 1 ! ,8 œ
# 1 #-9=a8Bb 1 ( 1 † =/8a8Bb .B œ º 1 ! 8 !
# 1 #-9=a81b #-9=a!b ( 1 † -9=a8Bb .B œ 1 ! 8 8 # 1 # a " b8 # ( 1 † -9=a8Bb .B œ 1 ! 8
# 1 ( B † =/8a8Bb .B 1 !
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Serie senoidal
.@ œ =/8a8Bb .B Ê @ œ
? œ B Ê .? œ .B
1 -9=a8Bb # 1 # -9=a8Bb 1 .B• ( B † =/8a8Bb .B œ ” B † º ( 1 ! 1 8 8 ! ! # 1 # -9=a8Bb 1 =/8a8Bb 1 ( B † =/8a8Bb .B œ ” B † º º • 1 ! 1 8 8# ! !
1 † -9=a81b # 1 # =/8a81b =/8! ! # • ( B † =/8a8Bb .B œ ” 1 ! 1 8 8# 8
# 1 # a " b8 ( B † =/8a8Bb .B œ 1 ! 8 Así, ,8 œ
# a " b8 # # a " b 8 8 8
,8 œ
# 8
Luego,
_ # 0 aB b œ " † =/8a8Bb 8 8œ"
ó
_ =/8a8Bb 0 aBb œ # † " 8 8œ"
53
-9=a8Bb 8
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I) Calcule la serie senoidal de Fourier de la función dada ;
! B "
#Ñ 0 ÐBÑ œ B#
$Ñ 0 ÐBÑ œ -9= B ;
! B 1
%Ñ 0 ÐBÑ œ B B# ;
&Ñ 0 ÐBÑ œ /B
! B "
"Ñ 0 ÐBÑ œ "
;
;
! B 1 ! B "
II) Calcule la serie cosenoidal de Fourier de la función dada "Ñ 0 ÐBÑ œ /B
;
$Ñ 0 ÐBÑ œ =/8 B &Ñ 0 ÐBÑ œ " ;
! B " ; ! B 1
;
#Ñ 0 ÐBÑ œ " B %Ñ 0 ÐBÑ œ B B# ;
! B 1 ! B "
! B " Solución
I)
"Ñ 0 aBb œ
% _ =/8[a#8 "b1B] " 1 #8 " 8œ"
ó
#Ñ 0 aBb œ
# # 8 # _ ’a# 1 8 ba "b #“=/8a8Bb " 1 8$ 8œ"
$Ñ 0 aBb œ
% _ a#8b=/8[a#8bB] " # 1 8 œ 1 a#8b "
%Ñ 0 aBb œ
) _ =/8[a#8 "b1B] " 1$ a#8 "b$ 8œ"
0 aBb œ
"Ñ 0 aBb œ
_ a/a " b8 "b-9=a81Bb /" # " # " 1 # 8# 8œ"
#Ñ 0 aBb œ
% _ -9=Òa#8 "bBÓ 1 " " o # % # 1 8 œ " a#8 "b
$Ñ 0 aBb œ
" % _ -9=a#8Bb " # 1 1 8 œ " " a#8b
" % _ -9=a#81Bb " # "# 1 8 œ " a#8b " &Ñ 0 aBb œ # %Ñ 0 aBb œ
0 aBb œ
% _ 8=/8a8Bb " ß 8 par 1 8# " 8œ#
ó
0 aBb œ
) _ =/8a81Bb " ß 8 impar 1$ 8$ 8œ"
0 aBb œ
% _ -9=a8Bb 1 " " ß % # 1 8# 8œ# 0 aBb œ
o
o
% _ =/8a81Bb " ß 8 impar 1 8 8œ"
ó
_ a8 / 8a "b8 b=/8a81Bb &Ñ 0 aBb œ #1 " 1# 8# " 8œ" II)
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Ejercicios
0 aBb œ
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8 impar
" % _ -9=a8Bb " ß 8 par 1 1 " 8# 8œ#
" % _ -9=a81Bb " ß 8 par "# 1 8# 8œ"
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Funciones de más de una variable Hasta el momento se han estudiado funciones de una sola variable, es decir, funciones de la forma C œ 0 aBb , donde la variable C depende de la variable B, B − ‘. Se extenderá ahora este concepto a funciones de más de una variable. Por ejemplo À
z = f ( x, y ) = x 2 + y 2
z depende de las variables x e y
w = f ( x, y, z ) = x + yz
w depende de las variables x , y y z
En estos casos los elementos del dominio de la función no serán números reales, sino elementos de otros espacios numéricos. Si D œ 0 aBß C b, entonces los elementos del dominio de 0 son pares ordenados y , por lo tanto, se está trabajando en el espacio numérico real bidimensional a‘# b. Si A œ 0 aBß Cß D b, entonces los elementos del dominio de 0 son triadas o ternas y , por lo tanto, se está trabajando en el espacio numérico real tridimensional a‘$ b. Concepto de función de dos variables
Sea H un conjunto de pares ordenados reales. Si a cada par ordenado de H le corresponde un número real 0 aBß C b, entonces se dice que 0 es función de B e CÞ El conjunto H es el dominio de 0 y el conjunto de valores 0 aBß C b es el recorrido de 0 Ejemplos À "Ñ 0 À ‘# aBß C b
È ‘ È 0 aBß C b œ B# C #
#Ñ 0 À ‘#
È
aBß C b
$Ñ 0 À ‘#
aBß C b
‘
È 0 aBß C b œ
È
‘
È 0 aBß C b œ
B C# BC /BC BC
Concepto de función de tres variables
Sea H un conjunto de ternas ordenadas reales. Si a cada terna ordenada de H le corresponde un número real 0 aBß Cß D b, entonces se dice que 0 es función de Bß Cß DÞ El conjunto H es el dominio de 0 y el conjunto de valores 0 aBß Cß D b es el recorrido de 0 Ejemplos À "Ñ 0 À ‘$ aBß Cß D b
È ‘ È 0 aBß Cß D b œ B# C # D #
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#Ñ 0 À ‘$ aBß Cß D b
È ‘ BC È 0 aBß Cß D b œ BC D #
$Ñ 0 À ‘$
È
aBß Cß D b
‘
È 0 aBß Cß D b œ
-9=aBC b D 68aC D b B#
Dominio de funciones de dos variables
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Para determinar el dominio de funciones de dos variables se deben considerar las mismas restricciones que para funciones de una sola variable, es decir, a) si la función está formada por una expresión que lleva una raiz cuadrada, entonces la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero. b) si la función está formada por una fracción, entonces el denominador debe ser distinto de cero. c) si la función está formada por una fracción con raiz cuadrada en el denominador, entonces la cantidad subradical debe ser mayor que cero. d) si la función está formada por una expresión que tenga logaritmo, entonces el argumento del logaritmo debe ser mayor que cero. Ejemplos: Determinar el dominio de las siguientes funciones "Ñ 0 aBß C b œ È#& B# C # #& B# C # ! B# C # #& B# C # Ÿ #&
Î † a "b
B# C # œ #& corresponde a todos los puntos del plano que forman una circunferencia centrada de radio cinco. B# C # #& corresponde a todos los puntos del plano que se encuentran en el interior de la circunferencia de radio cinco. H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b se encuentra en y dentro de la circunferencia B# C # œ #&}
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#Ñ 0 aBß C b œ
$B &C BC
BC Á! BÁC
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B œ C corresponde a todos los puntos el plano que están en la recta B œ C H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b no está en la recta B œ C ×
$Ñ 0 aBß C b œ 68a#B C b #B C ! #B C
#B œ C corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta C œ #B
#B C corresponde a todos los puntos del plano que están bajo la recta C œ #B H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b está bajo la recta C œ #B ×
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È*B# #&C # ##& CB#
*B# #&C # ##& ! *B# #&C # ##& B# C# " #& *
Î À ##&
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%Ñ 0 aBß C b œ
B# C# œ " corresponde a todos los puntos del plano que están en la elipse #& * B# C# œ" #& * B# C# " corresponde a todos los puntos del plano que están fuera de la #& * B# C# elipse œ" #& * CB#Á! C ÁB#
C œ B # corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta C œB#
C Á B # corresponde a todos los puntos del plano que no están en la recta C œB# H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b está en y fuera de la elipse y no están en la recta C œ B # ×
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B# C# œ" #& *
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Ejercicios
Determine el dominio de las siguientes funciones À
+Ñ 0 ÐBß CÑ œ
B# C # " È%C &B
,Ñ 0 ÐBß CÑ œ 68Ð* B# $C # Ñ
-Ñ 0 ÐBß CÑ œ
.Ñ 0 ÐBß CÑ œ
ÈB# C # $' #B# $C
È / C #B 68ÐC BÑ
Solución
+Ñ H970 œ œaBß C b − ‘# ÎaBß C b está sobre la recta C œ
& B %
,Ñ H970 œ œaBß C b − ‘# ÎaBß C b está en el interior de la elipse
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B# C# œ " * $
-Ñ H970 œ œaBß C b − ‘# ÎaBß C b está en y dentro de la circunferencia
# B# C # œ $' y no pertenece a la parábola C œ B# $
.Ñ H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b está sobre las rectas C œ #B e C œ B y está en la recta C œ #B ×
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Derivadas Parciales
Conceptos
Sea z = f ( x , y ) , una función de dos variables , entonces las derivadas parciales Primeras de f con respecto a x y con respecto a y son las funciones f x , f y definidas por :
∂f ( x, y ) ∂z f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) = = f x ( x , y ) = lim ∆x→ 0 ∂x ∂x ∆x
f ( x , y + ∆y ) − f ( x, y ) ∂f ( x , y ) ∂z = = f y ( x, y ) = lim ∆ → 0 y ∂y ∂y ∆y
siempre que exista el límite.
Es decir, si D œ 0 aBß C bß entonces para determinar 0B se considera constante la variable C y se deriva con respecto a B. De la misma forma , para obtener 0C se considera constante la variable B y se deriva con respecto a C Ejemplos À Obtener 0B ß 0C en À "Ñ 0 aBß C b œ $B# #C $ (B %C
0C œ 'C # %
0B œ 'B ( #Ñ 0 aBß C b œ #BC *B$ &C % 0B œ #C #(B# $Ñ 0 aBß C b œ a$BC # %Bb
0C œ #B #!C $ $
0B œ $a$BC # %Bb a$C # %b
0C œ ")BC a$BC # %Bb
#
60
#
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%Ñ 0 aBß C b œ
#B &C $ $B #C
0B œ
0B œ
#a$B #C b $a#B &C $ b a$B #C b#
%C "&C $
a$B #C b
#
0C œ
0C œ
"&C # a$B #C b #a#B &C $ b a$B #C b#
#!C $ %&BC # %B a$B #C b#
&Ñ 0 aBß C b œ BC B# C $ B% C ( 0B œ C #BC $ %B$ C (
0C œ B $B# C # (B% C '
'Ñ 0 aBß C b œ B/BC >1a#B $C b
0B œ /BC BC/BC #=/- # a#B $C b
0C œ B# /BC $=/- # a#B $C b
(Ñ 0 aBß C b œ 68aB# C # b =/8aBC b BC -9=aBC b 0B œ 0C œ
B#
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#B C -9=aBC b C-9=aBC b BC # =/8aBC b C#
#C B -9=aBC b B-9=aBC b B# C=/8aBC b C#
B#
El concepto de derivada parcial también es posible extenderlo para una función de tres variables. Sea A œ 0 aBß Cß D b, una función de tres variables, entonces las derivadas parciales primeras de 0 con respecto a B, a C y a D están definidas por À `0 aBß Cß D b `A 0 aB ?Bß Cß D b 0 aBß Cß D b lim œ œ 0B aBß Cß D b œ ?B `B `B ?B Ä ! `0 aBß Cß D b `A 0 aBß C ?Cß D b 0 aBß Cß D b lim œ œ 0C aBß Cß D b œ ?C `C `C ?C Ä ! `0 aBß Cß D b `A 0 aBß Cß D ?D b 0 aBß Cß D b lim œ œ 0D aBß C , zb œ ?D `D `D ?D Ä ! siempre que el límite exista
Es decir, si A œ 0 aBß Cß D b para determinar 0B se consideran constantes las variables C y D y se deriva con respecto a la variable B. De esta misma forma para obtener 0C se consideran constantes las variables B y D y se deriva con respecto a la variable C . Por último, por igual camino para calcular 0D se consideran constantes las variables B e C y se deriva con respecto a la variable D .
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Obtener 0B ß 0C ß 0D en À
"Ñ 0 aBß Cß D b œ #B# %C $ &D % $B %C D 0C œ "#C # %
0B œ %B $ #Ñ 0 aBß Cß D b œ BC $CD %BD BCD 0B œ C %D CD
0C œ B $D BD
$Ñ 0 aBß Cß D b œ BC/BD 68aB C D b 0B œ C/BD BCD/BD 0C œ B/BD
" BCD
0D œ B# C/BD %Ñ 0 aBß Cß D b œ 0B œ
0C œ
0D œ
" BCD
" BCD
$B &C #C D $ #C D
&a#C D b #a$B &C b a#C D b
#
œ
&D 'B
a#C D b#
$B &C
a#C D b#
&Ñ 0 aBß Cß D b œ 68aB# C # D # b =/8a$B C b >1a&C %D b 0B œ
B#
#B $ -9=a$B C b C# D #
0C œ
#C -9=a$B C b &=/- # a&C %D b B# C # D #
0D œ
#D %=/- # a$B C b B# C # D #
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Ejemplos À
0D œ #!D $ "
0D œ $C %B BC
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0B œ /BCD BCD/BCD C # D =/8aBCD b
CD # # ÈBCD
0C œ B# D/BCD -9=aBCD b BCD =/8aBCD b 0D œ B# C/BCD BC # =/8aBCD b ÈBCD
BD # # ÈBCD
BCD # ÈBCD
(Ñ 0 aBß Cß D b œ =/8$ a#B $C b >1a$C %D b$ 68# a&D Bb%
0B œ '=/8# a#B $C b -9=a#B $C b )Ò68a&D Bb% Ó †
" a&D Bb
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'Ñ 0 aBß Cß D b œ B/BCD C -9=aBCD b D ÈBCD
0C œ *=/8# a#B $C b -9=a#B $C b *Ò=/- # a$C %D b$ Óa$C %D b#
0D œ "#Ò=/- # a$C %D b$ Óa$C %D b# %!Ò68a&D Bb% Ó † Ejercicios I Determine 0B y 0C en:
+Ñ 0 aBß C b œ $B %C B# C BC $ ,Ñ 0 aBß C b œ 68a$B 'C b -9=a$BC 'b B >1a#C "!b -Ñ 0 aBß C b œ È$B %C a$B C b) %B( )C ' .Ñ 0 aBß C b œ
(B )C %C *B
II Determine 0B ß 0C y 0D en:
+Ñ 0 aBß Cß D b œ BCD 68a$B %C &D b %B 'C *D $ ,Ñ 0 aBß Cß D b œ È %B% *C % (D (
-Ñ 0 aBß Cß D b œ -9=a$B 'C (D b /-9=aBCD b B$ C % D ' .Ñ 0 aBß Cß D b œ
B68C D=/8C C>1B BC/D
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" a&D Bb
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I
+Ñ 0B œ $ #BC C $
$ $C † =/8a$BC 'b >1a#C "!b $B 'C
,Ñ 0B œ
0C œ
' $B † =/8a$BC 'b #B † =/- # a#C "!b $B 'C
$ #%a$B C b( #)B' # È$B %C
-Ñ 0B œ
0C œ
.Ñ 0B œ
II
# )a$B C b( %)C & È$B %C "!!C
a%C *Bb
+Ñ 0B œ CD 0D œ BC
0C œ
#
$ % $B %C &D
"!!B
a%C *Bb#
0C œ BD
% ' $B %C &D
& * $B %C &D "'B$
$ a%B% *C % (D ( b# $É
,Ñ 0B œ
0D œ
0C œ % B# $BC #
0C œ
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Solución
$'C $
$ a%B% *C % (D ( b# $É
%*D '
$ a%B% *C % (D ( b# $É
-Ñ 0B œ $=/8a$B 'C (D b CD † =/8aBCD b † /-9=aBCD b $B# C % D ' 0C œ '=/8a$B 'C (D b BD † =/8aBCD b † /-9=aBCD b %B$ C $ D ' 0D œ (=/8a$B 'C (D b BC † =/8aBCD b † /-9=aBCD b 'B$ C % D &
.Ñ 0B œ
0C œ
0D œ
68C aC>1B BC/D b aB68C D=/8C baC=/- # B C/ D b aC>1B BC/D b#
Œ
B D-9=C aC>1B BC/D b aB68C D=/8C ba>1B B/D b C aC>1B BC/D b#
a =/8C baC>1B BC/D b aB68C D=/8C baBC/D b aC>1B BC/D b#
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Derivación implícita Cuando no es posible despejar una variable en función de las restantes se usa el concepto de derivada implícita. `D Si D œ 0 aBß C b, es decir, D es una función de dos variables que depende de B e C . Para obtener `B se considera constante la variable C y se deriva implícitamente D con respecto a B. `D Para obtener se considera constante la variable B y se deriva implícitamente D con respecto a `C C. Ejemplo À Obtener
`D `D , en À `B `C
"Ñ B# C # D # œ #& Para
`D `B
#B #D † Para
`D œ! `B
Ê
`D B œ `B D
`D `C
#C #D †
`D `D C œ!Ê œ `C `C D
#Ñ >1aB C b >1aC D b œ " Para
`D `B
=/- # aB C b =/- # aC D b † `D =/- # aB C b œ `B =/- # aC D b
Para
`D œ! `B
`D `C
=/- # aB C b =/- # aC D b † Œ"
`D œ! `C
`D =/- # aB C b =/- # aC D b œ `C =/- # aC D b
$Ñ D † /BD C † /CD /BC œ # Para
`D `B
`D BD `D # CD `D C/BC œ ! † / D † /BD † ŒD B † C †/ † `B `B `B
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`D D # /BD C/BC œ BD `B / BD/BD C # /CD `D Para `C
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`D BD `D `D BC † / BD † /BD † /CD C † /CD † ŒD C † B/ œ ! `C `C `C `D /CD CD/CD B/BC œ BD `B / BD/BD C # /CD %Ñ /BCD >1aCD b œ 68aBCD b -9=aBD b Para
`D `B
/BCD ŒCD BC `D œ `B
Para
`D `D " `D `D # œ C=/- aCD b ŒCD BC =/8 aBD b † ŒD B `B `B BCD `B `B
" D=/8aBD b CD/BCD B " BC/BCD C=/- # aCD b B=/8aBD b D
`D `C
/BCD ŒBD BC `D œ `B
`D `D " `D `D # =/- aCD bŒD C œ ŒBD BC B=/8 aBD b `C `C BCD `C `C
" D=/- # aCD b BD/BCD C " BC/BCD C=/- # aCD b B=/8aBD b D
Ejercicios `D `D Obtener y en À `B `C +Ñ B# %C # *D # œ $' ,Ñ CD BD BC BCD œ ! -Ñ $B% %C $ 'D & œ '! .Ñ #B C D œ 68D /Ñ =/8ÐB CÑ -9=ÐC DÑ =/-ÐD BÑ œ " 0 Ñ B/BC C=/8aCD b œ D>1aBD b
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+Ñ
`D B œ `B *D
`D %C œ `C *D
,Ñ
`D CD D C œ `B C B BC
`D BD D B œ `C C B BC
-Ñ
`D #B$ œ % `B &D
`D #C # œ % `C &D
`D # œ " `B " D
`D " œ " `C " D
.Ñ
`D -9=aB C b =/- aB D b>1aB D b œ `B =/8aC D b =/- aB D b>1aB D b
/Ñ
`D -9=aB C b =/8aC D b œ `C =/8aC D b =/- aB D b>1aB D b
0Ñ
`D D # =/- # aBD b /BC BC/BC œ # `B C -9=aCD b >1aBD b BD =/- # aBD b `D B# /BC =/8aCD b CD -9=aCD b œ `C >1aBD b BD =/- # aBD b C # -9=aCD b
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Solución
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Regla de la cadena
Teorema : Supóngase que z = f ( x , y ) , es una función de dos variables y que existen
∂z ∂z y ∂x ∂y
con x = f ( r , s ) e y = f ( r , s ) funciones de r y s para las cuales
existen las derivadas
∂z ∂z ∂x ∂ x ∂ y ∂y , , , . Luego, y existen y vienen dadas por: ∂r ∂s ∂ r ∂ s ∂r ∂s
∂z ∂z ∂x ∂ z ∂ y = ⋅ + ⋅ ∂r ∂x ∂r ∂y ∂ r
∂z ∂z ∂x ∂ z ∂y = ⋅ + ⋅ ∂s ∂ x ∂s ∂ y ∂ s
Ejemplos 1) Determine
`D en: `<
D œ B# C # B œ =$ `B .> `C .> `D œ C/BC BC # /BC `B .B " œ %>$ .> # È>
`D œ `C
B/BC B# C/BC
.C " œ 68$ a> "b $> † 68# a> "b † .> >"
.D " " # $ # BC BC œ ˆC/BC BC # /BC ‰%>$ ˆB/ B C/ ‰Œ68 a> "b $> † 68 a> "b † > " .> # È>
72
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
#Ñ Determine
.A en: .>
A œ BCD B œ >( $> & Cœ
>#
> $
D œ Eb .A `A .B `A .C `A .D œ † † † .> `B .> `C .> `D .> `A œ CD `B
`A œ BD `C
`A œ BC `D
.C "a># $b >a#>b œ .> a># $b#
.B œ (>' $ .>
.D " œ È " ># .>
.A $ ># " œ aCD bˆ(>' $‰ aBD b aBC b # # È .> a> $ b " >#
Ejercicios Determine À +Ñ
`A `<
si
,Ñ
B œ E1a>b -9=> =/8>
B œ < -9= >
C œ > † >1 a>b
C œ < =/8 >
`? `? `? ß ß `3 `) `9
si
E œ B $ C $ È#B $C
A œ 68ÐB # C # Ñ
-Ñ
.E .>
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si
.Ñ Hallar
`A `B
? œ B # #C # #D #
D œ 3 -9= 9
B œ 3 -9= ) =/8 9
A œ -9=a +, b
C œ 3 =/8 ) =/8 9
+ œ BCD ,œ
73
1 %ÐB# C # Ñ
en el punto Ð"ß "ß "Ñ si
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+Ñ
`A #B #C œŒ # -9= > Œ # =/8 > # `< B C B C#
,Ñ
`E B " œ $B# =/8# > -9=# > Œ È#B $C `> " ># $C #
$ a>1 > > =/- # >b È # #B $C
`? œ a#Bba-9=) =/89b a%C ba=/8) =/89 b a%D ba-9=9b `3
-Ñ
`? œ a#Bba 3 =/8) =/89b a%C ba3 -9=) =/89 b `) `? œ a#Bba3 -9=) -9=9b a%C ba3 =/8) -9=9 b a%D ba=/89b `9
.Ñ
`A a"ß "ß "b œ ! `B
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Solución
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Aplicaciones de la regla de la cadena A) Problemas con enunciado
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1) En cierto instante, el radio de la base de un cilindro recto es de 12 cm. y la altura es de 36 cm.. En ese instante, el radio decrece a razón de 5 cm/seg. y la altura crece a razón de 4 cm/seg.¿Con qué rapidez cambia el volumen en ese momento?
Z œ 0 a
2 œ 0 a>b
< œ "# cm
cm .2 œ% seg .>
.Z `Z .< `Z .2 œ † † .> `< .> `2 .> .Z .< .2 œ a#1 .> .> .Z œ a)'%1b † a &b a"%%1b † a%b .> .Z œ %$#!1 &('1 .> .Z œ $(%%1 .> El volumen decrece a razón de $(%%1 cm3 /seg
75
2 œ $' cm
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Por teorema del coseno +# œ , # - # #,- † -9=! + œ 0 a,ß -ß !b ;, œ 0 a>b + œ È, # - # #,- † -9=! ! œ '!º
grados .! œ& seg .>
- œ "! cm
; - œ 0 a>b
, œ "' cm
cm .œ" seg .>
.+ `+ . ! `+ ., `+ .œ † † † .> ` ! .> `, .> `- .>
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2) En cierto instante, el ángulo ! de un triángulo tiene 60º y crece a razón de 5 grados/seg., el lado c mide 10 cm. y crece a razón de 1 cm/seg y el lado b mide 16 cm y decrece a razón de "# cm/seg. Hallar la velocidad de variación del lado a.
; ! œ 0 a>b
., " cm œ .> # seg
.+ ,- † =/8! .! , - † -9=! ., - , † -9=! .œ È, # - # #,- † -9=! .> È, # - # #,- † -9=! .> È, # - # #,- † -9=! .> .> .+ " " œ a,- † =/8!ba&b a, - † -9=!bŒ a- , † -9=!ba"b• È, # - # #,- † -9=! ” .> # .+ " "" œ # %!!È$ Œ .> "% # .+ " ( œ Œ %!!È$ .> "% # El lado a crece a razón de
" ( cm Œ %!!È$ "% # seg
76
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+Ñ Z œ 6+2
Z œ 0 a+ß 6ß 2 b
+ œ "!
cm .+ œ # seg .>
2œ)
cm .2 œ" seg .>
;
6 œ "&
.Z `Z .+ `Z .6 `Z .2 œ † † † .> `+ .> `6 .> `2 .> .Z .+ .6 .2 œ a62b a+2b a6+b .> .> .> .> .Z œ a"#!ba #b a)!ba$b a"&!ba"b .> .Z œ "&! .>
El volumen crece a razón de 150 cm3 /seg.
,Ñ E œ #+6 #+2 #62 .E `E .+ `E .6 `E .2 œ † † † .> `+ .> `6 .> `2 .> .E .+ .6 .2 œ a#6 #2b a#+ #2b a#+ #6b .> .> .> .> .E œ a%'ba #b a$'ba$b a&!ba"b .> .E œ '' .>
El área total crece a razón de 66 cm2 /seg.
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3) Una caja rectangular cambia de tamaño en tal forma que su longitud crece a razón de 3 cm/seg, su ancho decrece a razón de 2 cm/seg y su altura crece a razón de 1 cm/seg a)¿Cuál es la rapidez de variación del volumen en el instante en que la longitud es 15, el ancho es 10 y la altura es 8 cm.? b) ¿Con qué rapidez cambia el área total en ese mismo instante?
cm .6 œ$ seg .>
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Ejercicios "Ñ La altura de un cono circular recto es 200 cm. y está creciendo a razón de 40 cm/min. El radio de la base es 60 cm. y decrece a razón de 15 cm/min. ¿ Con qué rapidez varía el volumen del cono en ese instante ? #Ñ Las dimensiones de un sólido rectangular en un instante dado son À largo 15 cm., ancho 8 cm. y alto 12 cm. Si el largo y el alto decrecen a razón de 2 y 3 cm/seg ,respectivamente, y el ancho crece a razón de 5 cm/seg. Calcular la razón de cambio del: +Ñ volumen. ,Ñ área total si el sólido es sin tapa. -Ñ área total si el sólido es con tapa.
$Ñ Las dimensiones de un cilindro recto, en un instante dado son radio 16 cm. y altura 50 cm. Si el radio crece a razón de 4 cm/seg y la altura decrece a razón de 10 cm/seg. Determinar la razón de cambio del À +Ñ volumen. ,Ñ área total , si el cilindro no tiene tapa. -Ñ área lateral, si el cilindro tiene tapa.
Solución "Ñ El volumen del cono decrece a razón de (#Þ!!! 1 cm3 /min.
#Ñ +Ñ El volumen del sólido rectangular crece a razón de $%) cm3 /seg.
,Ñ El área total del sólido rectangular decrece a razón de ( cm# /seg si el sólido es sin tapa.
-Ñ El área total del sólido rectangular crece a razón de &# cm# /seg si el sólido es con tapa.
$Ñ +Ñ El volumen del cilindro crece a razón de $)%! 1 cm3 /seg. ,Ñ El área total del cilindro crece a razón de #!) cm# /seg . -Ñ El área lateral del cilindro crece a razón de )! cm# /seg .
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B) Demostraciones
Demostrar que
`A `A `A `A # œ! `B `C `D `>
A œ 0 a?ß @b
con
y
?œCB>
@œDC>
`A `A `? `A `@ œ † † `B `? `B `@ `B `A `A `A œ a "b a! b `B `? `@
Ê
`A `A œ `B `?
Ê
`A `A `A œ `C `? `@
Ê
`A `A œ `D `@
Ê
`A `A `A œ `> `? `@
`A `A `? `A `@ œ † † `C `? `C `@ `C `A `A `A œ a" b a "b `C `? `@ `A `A `? `A `@ œ † † `D `? `D `@ `D `A `A `A œ a! b a" b `D `? `@ `A `A `? `A `@ œ † † `> `? `> `@ `> `A `A `A œ a "b a" b `> `? `@
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"Ñ Sea A œ 0 aC B >ß D C >b . Haciendo ? œ C B > à @ œ D C >
`A `A `A `A `A `A `A `A `A `A # œ # # `B `C `D `> `? `? `@ `@ `? `@ `A `A `A `A # œ! `B `C `D `>
Por lo tanto,
`A `A `A `A # œ! `B `C `D `>
2) Suponga que ? œ 0 aB +>ß C ,>b ß donde + y , son constantes. Demostrar que: `? `? `? œ+† ,† `> `B `C Sea : œ B +> y ; œ C ,> `? `? `: `? `; œ † † `> `: `> `; `> `? `? `? œ a+ b a, b `> `: `;
Ê
`? `? `: `? `; œ † † `B `: `B `; `B
79
`? `? `? œ+ , `> `: `;
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`? `? `? œ a" b a! b `B `: `;
Ê
`? `? œ `B `:
Ê
`? `? œ `C `;
`? `? `: `? `; œ † † `C `: `C `; `C `? `? `? œ a! b a" b `C `: `; `? `? `? œ+† ,† `> `B `C +
`? `? `? `? , œ+ , `: `; `: `;
Por lo tanto,
`? `? `? œ+† ,† `> `B `C
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3) Para A œ 0 aBß C b con B œ
Solución
"Ñ Se cumple #Ñ Sugerencia: Efectúe las siguientes condiciones: `+ `, œ `B `C
y
`+ `, œ `C `B
81
à C œ < =/8 >
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Derivada direccional La derivada direccional es una generalización de la derivada parcial que permite obtener la razón de cambio de una función con respecto a la distancia en cualquier dirección. Así la derivada parcial con respecto a B puede considerarse como la derivada en la dirección B y la derivada parcial con respecto a C puede considerarse como la derivada en la dirección C .
Sea D œ 0 aBß C b una función de dos variables y sea ? œ -9=) 3 =/8) 4 un vector unitario. p Entonces la derivada direccional de 0 en la dirección de ?, denotada por H? 0 aBß C b es À p
H? 0 aBß C b œ
lim 2Ä!
p
0 aB 2-9=)ß C 2=/8)b 0 aBß C b 2
Si ? œ 3 Ê ) œ ! Ê -9=! œ " H3 0 aBß C b œ Si
p
?œ4Ê)œ
H4 0 aBß C b œ
Así,
lim 2Ä!
si existe el límite
à =/8! œ ! y se obtiene À
0 aB 2ß C b 0 aBß C b `0 œ 2 `B
1 1 1 Ê -9= œ !à =/8 œ " y se obtiene À # # #
lim 2Ä!
0 aBß C 2b 0 aBß C b `0 œ 2 `C
`0 `0 y son casos especiales de la derivada direccional. `B `C
82
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Teorema: Si f ( x, y ) y sus derivadas parciales son continuas y r µ = cos θ i + senθ j , entonces: D µr = f x ( x, y ) cos θ + f y ( x, y ) sen θ
Ejemplos
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1) Dada la función 0 aBß C b œ B# C # #B #C , hallar la derivada direccional de 0 en la dirección ) œ #1Î$ en el punto a #ß &b 0B aBß C b œ #B # 0C aBß C b œ #C # ? œ -9=Œ p
Ê 0B a #ß &b œ # Ê 0C a #ß &b œ "#
#1 #1 3 =/8Π4 $ $
È$ " p Ê?œ 3 4 # #
È$ " H? 0 a #ß &b œ a #bŒ a "#b # # H? 0 a #ß &b œ " 'È$
2) Calcular la derivada direccional de 0 aBß C b œ C # -9=#B en a1Î'ß "b en la dirección de @ œ $3 %4 p
0C aBß C b œ #C -9= #B
1 Ê 0B a1Î'ß "b œ #a"b# =/8Š ‹ œ È$ $ 1 Ê 0C a1Î'ß "b œ #a"b -9=Š ‹ œ " $
m@m œ È* "' œ &
ß @ no es unitario, ? œ
0B aBß C b œ #C # =/8 #B
p
p
p
@ p
m@m
p
Ê?œ
$ % 3 4 & &
$ % H? 0 a1Î'ß "b œ Š È$‹Œ a"bŒ & & $È $ % H? 0 a1Î'ß "b œ &
Este concepto también es aplicable para funciones de tres variables. En ‘3 , la dirección de un vector está determinado por sus cosenos directores, es decir À , ? œ -9=! 3 -9=" 4 -9=# 5 Concepto À Sea 0 aBß Cß D b una función de tres variables y ? œ -9=! 3 -9=" 4 -9=# 5 un p vector unitario, entonces la derivada direccional en dirección de ? está dada por À p
límite
H? 0 aBß Cß D b œ
lim
2Ä!
0 aB 2-9=!ß C 2-9=" ß D 2-9=# b 0 aBß Cß D b 2
83
si existe el
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Teorema: Si f ( x, y, z ) es una función de tres variables y r µ = cos α i + cos β j + cos γ k , entonces:
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D µr f ( x, y , z ) = f x ( x, y , z ) cos α + f y ( x, y , z ) cos β + f z ( x, y , z ) cos γ
Ejemplos À
1) Dada la función 0 aBß Cß D b œ B# BC BD C # D # . Encontrar la derivada direccional de 0 aBß Cß D b en p T a "ß #ß "b en la dirección del vector @ œ #3 4 #5 0B aBß Cß D b œ #B C D 0C aBß Cß D b œ B #C
Ê 0B a "ß #ß "b œ "
Ê 0C a "ß #ß "b œ $
0D aBß Cß D b œ B #D
m@m œ È% " % œ $ p
Ê 0D a "ß #ß "b œ " p
ß @ no es unitario, ? œ
@ p
m@m
p
Ê?œ
# " # 3 4 5 $ $ $
# " # H? 0 aBß Cß D b œ a "bŒ a$bŒ a "bŒ $ $ $ H? 0 aBß Cß D b œ "
2) Hallar la derivada direccional si 0 aBß Cß D b œ /C -9= B /D =/8 C en T a!ß !ß #b en la dirección del vector
T U si Ua #ß "ß #b p
0B aBß Cß D b œ /C =/8B
0C aBß Cß D b œ /C -9= B /D -9= C
0D aBß Cß D b œ /D =/8 C
Ê 0B a!ß !ß #b œ !
Ê 0C a!ß !ß #b œ " /# Ê 0D a!ß !ß #b œ !
T U œ U T œ a #ß "ß #b a!ß !ß #b œ a #ß "ß !b Ä
@ # " p p p m@m œ È% " ! œ È& ß @ no es unitario, ? œ p Ê ? œ 3 4 È È & & m@m # " H? 0 aBß Cß D b œ a!b a" /# b a!ba!b È& È& p
p
H? 0 aBß Cß D b œ
" /# È&
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Ejercicios Determine la derivada direccional si se conoce la función, el punto en que se ha de evaluar y la dirección o vector. +Ñ 0 aBß C b œ
C $ ß el punto es a"ß #b y la dirección ! œ 1 BC %
,Ñ 0 aBß C b œ B # BC C # ß el punto es a$ß "b y la dirección ! œ
& 1 '
-Ñ 0 aBß C b œ C B-9= ÐBCÑ ß el punto es a!ß !b y la dirección ! œ
# 1 $
.Ñ 0 aBß C b œ #B # $BC C # ß el punto es a"ß "b y el vector @ œ 3 4 p
/Ñ 0 aBß Cß D b œ BE1ÐCDÑ ß el punto es a%ß "ß "b y el vector @ œ Ò#ß "ß "Ó p
0 Ñ 0 aBß Cß D b œ
BC p ß el punto es Ð#ß $ß &Ñ y el vector @ œ 5 D
1Ñ 0 aBß Cß D b œ 68ÐB # C D # Ñ ß el punto es a!ß "ß !b y el vector está en la dirección T U Ä
si T a!ß "ß !b y Ua$ß %ß "b
2Ñ 0 aBß Cß D b œ
È B# C # D # 68ÐB C DÑ
ß el punto es a"ß "ß "b y el vector está en la dirección EF
Ä
si Ea#ß "ß "b y F a"ß !ß #b
Solución
+Ñ H? 0 a"ß #b œ -Ñ H? 0 a!ß !b œ
È# '
È$ "
/Ñ H? 0 a%ß "ß "b œ 1Ñ H? 0 a!ß "ß !b œ
#
È '1 "#
$ È"*
,Ñ H? 0 a$ß "b œ
& (È $ #
.Ñ H? 0 a"ß "b œ # È# 0 Ñ H? 0 a#ß $ß &b œ 2Ñ H? 0 a"ß "ß "b œ
85
' #&
68$ "
$a68 $b#
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1) De
H? 0 aBß C b œ 0B aBß C b -9=) 0C aBß C b =/8) œ Ò0B aBß C bß 0C aBß C bÓ † Ò -9=)ß =/8) Ó p œ Ò0B aBß C bß 0C aBß C bÓ † ?
El vector f x ( x, y )i + f y ( x, y ) j se conoce como vector gradiente
grad gradf f( x(,xy, )y)==∇∇f f( x(,xy, )y)==f xf (x x(,xy, )yi)i++f yf y( x(,xy, )y)j j
#Ñ De
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Gradientes
H? 0 aBß Cß D b œ 0B aBß Cß D b -9=! 0C aBß Cß D b -9=" 0D aBß Cß D b -9=# œ Ò0B aBß Cß D bß 0C aBß Cß D bß 0D aBß Cß D b Ó † Ò -9=!ß -9="ß -9=# Ó p œ Ò0B aBß Cß D bß 0C aBß Cß D bß 0D aBß Cß D bÓ † ?
El vector f x ( x, y , z )i + f y ( x, y , z ) j + f z ( x, y, z )k se conoce como vector gradiente
grad f ( x, y, z ) = ∇f ( x, y, z ) = f x ( x, y, z )i + f y ( x, y, z ) j + f z ( x, y, z )k
Asíß
H? 0 aBß C b œ ? † f0 aBß C b p H? 0 aBß Cß D b œ ? † f0 aBß Cß D b p
p
Sea ! la medida en radianes del ángulo formado por los vectores ? y f0 ß entonces p p p ? † f0 œ m?m † mf0 m † -9=! , pero m?m œ " p ? † f0 œ mf0 m † -9=!
Si ! œ !ß entonces -9=! œ " alcanza su máximo valor, es decir, la derivada direccional alcanza su p máximo valor cuando ? está en la misma dirección y sentido que f0 Máx Dµr f ( x, y ) =
∇f ( x, y )
Máx Dµr f ( x, y, z ) =
∇f ( x, y , z )
Si ! œ ")!°ß entonces -9=")!° œ " alcanza su mínimo valor, es decir, la derivada direccional p alcanza su mínimo valor cuando ? está en la misma dirección, pero sentido contrario con f0 Mín Dµr f ( x, y ) = − ∇f ( x, y ) Mín Dµr f ( x, y, z ) = − ∇f ( x, y, z )
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Ejemplos À
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1) La temperatura en cualquier punto T aBß C b de una placa rectangular situada en el plano BC es C X aBß C b œ # B C# a) Determine el vector gradiente en el punto T a$ß %b b) Obtener la máxima derivada direccional de la temperatura en este punto c) Hallar la dirección donde se produce la máxima razón de cambio en este punto
+Ñ XB aBß C b œ XC aBß C b œ
aB #
#BC
C # b#
aB# C # b #C #
fX a$ß %b œ ”
aB #
C # b#
Ê XB a$ß %b œ
#% '#&
Ê XC a$ß %b œ
( '#&
#% ( ß • '#& '#&
,Ñ MáxH? X a$ß %b œ mfX a$ß %bm œ ËŒ
p
-Ñ ? œ
fX a$ß %b œ mfX a$ß %bm
”
#% ( " Œ œ '#& '#& #& #
#
#% ( ß • #% ( '#& '#& œ” ß • " #& #& #&
2) Si Z volts es el potencial eléctrico en cualquier punto T aBß Cß D b en ‘3 y Z œ
'! È B# C # D #
Þ Encontrar À a) Rapidez de cambio del potencial en el punto a "ß "ß "b en la dirección del vector p @ œ $3 '4 #5 b) Magnitud y dirección de la mínima razón de cambio del potencial en este mismo punto. +Ñ ZB aBß Cß D b œ ZC aBß Cß D b œ ZD aBß Cß D b œ
'!B
É aB # C #
D # b$
'!C
Ê ZC a "ß "ß "b œ
'!D
Ê ZD a "ß "ß "b œ
É aB # C # D # b $ É aB # C # D # b $
fZ a "ß "ß "b œ ”
Ê ZB a "ß "ß "b œ
p
p
87
'! #! œ È$ $ $È $
'! #! È œ $ $ $È $
#! È #! #! $ß È$ß È$• $ $ $
m@m œ È* $' % œ ( @ no es unitario, ? œ p
'! #! È œ $ È $ $ $
$ ' # 3 4 5 ( ( (
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H? Z a "ß "ß "b œ
#! È #! #! $ ' # $ß È$ß È$• † ” ß 4 ß 5 • $ $ $ ( ( (
##! È $ #"
,Ñ MínH? Z a "ß "ß "b œ mfZ a "ß "ß "bm œ #!
Dirección
fZ a "ß "ß "b p ?œ œ mfZ a "ß "ß "bm
”
VIRGINIO GOMEZ
H? Z a "ß "ß "b œ ”
#! È #! #! $ß È$ß È$• $ $ $ #!
œ”
È$ È$ È$ ß • $ $ $
Ejercicios
"Ñ Obtener el gradiente de la función y el valor de la máxima derivada direccional en el punto indicado À +Ñ 0 aBß C b œ B # -9=ÐBCÑ T Ð"ß 1Î% Ñ ,Ñ 0 aBß C b œ BÈC B C T Ð$ß %Ñ -Ñ 0 aBß Cß D b œ /BC D # T Ð!ß $ß "Ñ #Ñ Obtener el gradiente de la función y el valor de la mínima derivada direccional en el punto indicado À +Ñ 0 aBß C b œ B # BC C # T a "ß "b # # # ,Ñ 0 aBß Cß D b œ ÐB CÑ ÐC DÑ ÐD BÑ T a#ß "ß #b $Ñ +Ñ La densidad ÐBß CÑ, en cualquier punto de una placa rectangular, en el plano BC , es BC HaBß C b œ Þ ÈB # C # $
+Þ"ÑHalle la razón de cambio de la densidad en el punto a2,3b en la dirección de ! œ &1Î$Þ +Þ#Ñ Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de la densidad en ese
punto. ,Ñ Suponga que la por À X aBß Cß D b œ B # C CD /BC
temperatura
en
cualquier
punto
aBß Cß D b
está
dada
,Þ"Ñ Determinar la razón de cambio de X en el punto Pa1,1,1b en la dirección del vector OP donde O es el origen del sistema. ,Þ#Ñ ¿Cuál es la mínima razón de cambio en P?.¿ En qué dirección?. p
-Ñ El potencial eléctrico es Z aBß C b aen voltsb en el plano BC y Z aBß C b œ $B$ C %C # BC p
-Þ"Ñ Determine la razón de cambio del potencial en la dirección del vector CD con G a#ß "bà Ha'ß #b en el punto a "ß %bÞ -Þ#Ñ Obtener el vector gradiente en este mismo punto. -Þ$Ñ Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio del potencial en a "ß %bÞ -Þ%Ñ Hallar un vector unitario ortogonal al vector gradiente en a "ß %b . Con ese vector calcule la derivada direccional en el mismo punto.
88
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"Ñ
+Ñ f0 a"ß 1Î%b œ # MáxH? 0 a"ß 1Î%b œ
È #1 )
ß
È#
#
È# † É1# "'È#1 "%% )
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Solución
( ,Ñ f0 a$ß %b œ Œ"ß %
-Ñ f0 a!ß $ß "b œ a $ß !ß #b
MáxH? 0 a$ß %b œ
MáxH? 0 a!ß $ß "b œ È"$
È'& %
#Ñ
+Ñ f0 a "ß "b œ a "ß "b
$Ñ
+Þ"Ñ H? 0 a#ß $b œ
,Ñ f0 a#ß "ß #b œ a"!ß %ß "!b
MínH? 0 a "ß "b œ È#
MínH? 0 a#ß "ß #b œ 'È'
") (È$ '%
+Þ#Ñ MáxH? 0 a#ß $b œ ,Þ"Ñ H? 0 a"ß "ß "b œ
È$($ $#
&È$ #È$/ $
?œ p
") ( ß È$($ È$($
+Þ#Ñ MínH? 0 a#ß $b œ È#/# )/ * ?œ p
/# /# " ß ß È#/# )/ * È#/# )/ * È#/# )/ *
-Þ"Ñ H? 0 a "ß %b œ
"'#È"( "(
-Þ#Ñ fZ a "ß %b œ a $#ß $%b
-Þ$Ñ MáxH? 0 a#ß $b œ #È&%&
?œ p
"' "( ß È&%& È&%&
-Þ%Ñ los vectores unitarios ortogonales al gradiente son "( "' ß È È &%& &%&
"( "' ß È È &%& &%&
El valor de la derivada direccional en ambos casos es cero.
89
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Derivadas Parciales de orden superior Si 0 es una función de dos variables, es decir, D œ 0 aBß C b, entonces
`0 `0 y son funciones `B `C también de dos variables. Luego, es posible volver a derivarlas y obtener así las derivadas parciales de segundo orden que se definen como: +Ñ
,Ñ
-Ñ
.Ñ
` a0 B b 0B aB 2ß C b 0B aBß C b ` #0 œ lim œ 0BB œ `B 2 `B# 2Ä!
` a0 C b 0C aBß C 2b 0C aBß C b ` #0 œ lim œ 0CC œ `C 2 `C # 2Ä!
` a0 B b 0B aBß C 2b 0B aBß C b ` #0 œ lim œ 0BC œ `C 2 `C`B 2Ä! ` a0 C b 0C aB 2ß C b 0C aBß C b ` #0 œ lim œ 0CB œ `B 2 `B`C 2Ä!
Nota: Para funciones continuas 0BC œ 0CB . En este curso sólo se trabajará con funciones continuas. Ejemplos: Dada la función, obtener 0BB ß 0CC ß 0BC
"Ñ 0 aBß C b œ #B$ $B# C BC # $C # 0B œ 'B# 'BC C #
0C œ $B# #BC 'C
0BB œ "#B 'C
0CC œ #B '
0BC œ 'B #C #Ñ 0 aBß C b œ /BC a-9=B =/8C b
0B œ C/BC a-9=B =/8C b /BC † =/8B
0C œ B/BC a-9=B =/8C b /BC † -9=C
0BB œ C # /BC a-9=B =/8C b C/BC † =/8B C/BC † =/8B /BC † -9=B
0CC œ B# /BC a-9=B =/8C b B/BC † -9=C B/BC † -9=C / BC † =/8C
0BC œ /BC a-9=B =/8C b BC/BC a-9=B =/8C b C/BC † -9=C B/ BC † =/8B
Este concepto también se puede extender para funciones de tres variables `0 `0 `0 Sea A œ 0 aBß Cß D b una función de tres variables con , y funciones también de tres `B `C `D variables, entonces las segundas derivadas parciales se definen como:
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+Ñ
,Ñ
-Ñ
.Ñ
/Ñ
0Ñ
1Ñ
2Ñ
3Ñ
` a0 B b 0B aB 2ß Cß D b 0B aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0BB œ `B 2 `B# 2Ä!
` a0 C b 0C aBß C 2ß D b 0C aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0CC œ `C 2 `C # 2Ä! ` a0 D b 0D aBß Cß D 2b 0D aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0DD œ `D 2 `D # 2Ä!
` a0 B b 0B aBß C 2ß D b 0B aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0BC œ `C 2 `C`B 2Ä!
` a0 B b 0B aBß Cß D 2b 0B aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0BD œ `D 2 `D`B 2Ä!
` a0 C b 0C aB 2ß Cß D b 0C aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0CB œ `B 2 `B`C 2Ä!
` a0 C b 0C aBß Cß D 2b 0C aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0CD œ `D 2 `D`C 2Ä!
` a0 D b 0D aB 2ß Cß D b 0D aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0DB œ `B 2 `B`D 2Ä!
` a0 D b 0D aBß C 2ß D b 0D aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0DC œ `C 2 `C`D 2Ä!
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Nota: Para funciones continuas 0BC œ 0CB ß 0BD œ 0DB ß 0CD œ 0DC . En este curso sólo se trabajará con funciones continuas. Ejemplos Para las siguientes funciones, determinar 0BB ß 0CC ß 0DD ß 0BC ß 0BD ß 0CD
"Ñ 0 aBß Cß D b œ B$ $B# C C $ $C # D D # BD # CD 0B œ $B# 'BC D #
0C œ $B# $C # 'CD D
0D œ $C # #D #BD C 0BB œ 'B 'C
0CC œ 'C 'D
0DD œ # #B
0BC œ 'B
0BD œ #D
0CD œ 'C "
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0B œ /B † -9=D /C † -9=B
0C œ /C † =/8B /D † =/- # C
0D œ /B † =/8D /D † >1 C 0BB œ /B † -9=D
/C =/8B
0CC œ /C † =/8B #/D † =/- # C † >1 C
0DD œ /B † -9=D /D † >1 C
0BC œ /C † -9=B
0BD œ /B † =/8D
0CD œ /D † =/- # C
Ejercicios 1) En ‘# la ecuación de Laplace es À ` #0 ` #0 œ! `B# `C # Demuestre que las siguientes funciones cumplen esta ecuación +Ñ 0 ÐBß CÑ œ 68ÐB# C # Ñ C B ,Ñ 0 ÐBß CÑ œ E1 Š ‹ # B B C# -Ñ 0 ÐBß CÑ œ /B † =/8 C /C † =/8 B .Ñ 0 ÐBß CÑ œ E1 Œ
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#Ñ 0 aBß Cß D b œ /B † -9=D /C † =/8B /D † >1 C
#BC B# C #
2) En ‘$ la ecuación de Laplace es À ` #0 ` #0 ` #0 # œ! # # `B `C `D Demuestre que la función 0 ÐBß Cß DÑ œ
È B#
" cumple con esta ecuación. C# D #
Solución
Cada una de las funciones cumple con la ecuación de Laplace, tanto en ‘# como en ‘3 .
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Conceptos:
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Máximos y mínimos para funciones de varias variables 1) Si D œ 0 aBß C b es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [B! ß C! ß 0 aB! ß C! b] es un punto de máximo relativo de 0 aBß C b si, y sólo si a aBß C b − H970 aBß C b ß 0 aBß C b Ÿ 0 aB! ß C! b
#) Si D œ 0 aBß C b es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [B! ß C! ß 0 aB! ß C! b] es un punto de mínimo relativo de 0 aBß C b si, y sólo si a aBß C b − H970 aBß C b ß 0 aBß C b 0 aB! ß C! b
$) Si D œ 0 aBß C b es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico de 0 aBß C b si, y sólo si f0 a+ß , b œ Ò !ß ! Ó %Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico de 0 aBß C b, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un máximo relativo de 0 aBß C b si a aBß C b − H970 aBß C b ß 0 aBß C b Ÿ 0 a+ß , b
&Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico de 0 aBß C b, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un mínimo relativo de 0 aBß C b si a aBß C b − H970 aBß C b ß 0 aBß C b 0 a+ß , b %Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico de 0 aBß C b, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto de silla de 0 aBß C b si [+ß ,ß 0 a+ß , b] no es máximo ni mínimo. Hessiano de una función de dos variables
Sea D œ 0 aBß C b una función de dos variables, se define el Hessiano como:
L aBß C b œ Œ
0BB 0CB
0BC 0CC
Teorema: aCriterio de la Segunda derivadab
Si [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico, entonces:
1) [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un mínimo relativo de 0 aBß C b si, y sólo si ¸L a+ß , b¸ ! • 0BB a+ß , b !
2) [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un máximo relativo de 0 aBß C b si, y sólo si
¸L a+ß , b¸ ! • 0BB a+ß , b !
$Ñ [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto de silla de 0 aBß C b si, y sólo si ¸L a+ß , b¸ !
%Ñ No hay información si ¸L a+ß , b¸ œ !
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Estudiar los máximos y mínimos relativos de las funciones: "Ñ 0 aBß C b œ & B# C # 0B œ #B
0C œ #C
0B œ ! 0C œ !
Ê #B œ ! Ê #C œ !
ÊBœ! ÊCœ!
Así, a!ß !ß &b es el punto crítico de 0 aBß C b
0BB œ #
0CC œ #
L aBß C b œ Œ
# !
0BC œ !
! # Ê L a!ß !b œ Œ # !
¸L a!ß !b¸ œ % ! • 0BB a!ß !b œ # !
! #
Por lo tanto, a!ß !ß &b es un máximo relativo de 0 aBß C b #Ñ 0 aBß C b œ #B$ C $ $B# $C "#B %
0B œ 'B# 'B "#
0C œ $C # $
Ê 'B# 'B "# œ ! Ê $C # $ œ !
0B œ ! 0C œ !
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Ejemplos:
Ê B" œ " • B# œ # Ê C" œ " • C # œ "
Así, a"ß "ß "$b à a"ß "ß *b à a #ß "ß "%b à a #ß "ß ")b son puntos críticos de 0 aBß C b 0BB œ "#B ' L aBß C b œ Œ L a"ß "b œ Œ
0CC œ 'C
"#B ' !
") !
0BC œ !
! 'C
Ê ¸L a"ß "b¸ œ "!) ! • 0BB a"ß "b œ ") !
! '
Por lo tanto, a"ß "ß "$b es un mínimo relativo de 0 aBß C b L a"ß "b œ Œ
") !
L a #ß "b œ Œ
") !
! '
Ê ¸L a"ß "b¸ œ "!) !
Por lo tanto, a"ß "ß *b es un punto de silla de 0 aBß C b ! '
Ê ¸L a"ß "b¸ œ "!) !
Por lo tanto, a #ß "ß "%b es un punto de silla de 0 aBß C b
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L a #ß "b œ Œ
! '
") !
¸L a"ß "b¸ œ "!) ! • 0BB a"ß "b œ ") !
Por lo tanto, a #ß "ß ")b es un máximo relativo de 0 aBß C b $Ñ 0 aBß C b œ -9= B =/8 C 0B œ =/8B
en el intervalo Ò !ß #1Ó
0C œ -9=C
0B œ !
Ê =/8B œ ! Ê B" œ ! à B# œ 1 • B$ œ #1 $1 1 Ê -9=C œ ! Ê C" œ • C # œ # #
0C œ !
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1 $1 1 $1 1 $1 Así, Š!ß ß #‹ à Œ!ß ß ! à Š1ß ß !‹ à Œ1ß ß # à Š#1 ß ß #‹ à Œ#1 ß ß ! son puntos # # # # # # críticos de 0 aBß C b 0BB œ -9=B L aBß C b œ Œ
0CC œ =/8C -9=B !
1 " L Š!ß ‹ œ Œ ! #
0BC œ !
! =/8C
! "
1 Ê ¸L a"ß "b¸ œ # ! • 0BB Š!ß ‹ œ " ! #
1 Por lo tanto, Š!ß ß #‹ es un máximo relativo de 0 aBß C b # L Œ!ß
$1 " œŒ ! #
Por lo tanto, Œ!ß 1 " L Š1ß ‹ œ Œ ! #
! "
Ê ¸L Œ!ß
$1 ¸ œ " ! #
$1 ß ! es un punto de silla de 0 aBß C b # 1 ! Ê ¸L Š1ß ‹¸ œ " ! " #
1 Por lo tanto, Š1ß ß !‹ es un punto de silla de 0 aBß C b # $1 $1 $1 " ! L Œ1ß œ Œ Ê ¸L Œ1ß ¸ œ " ! • 0BB Œ1ß œ " ! ! " # # # Por lo tanto, Œ1ß
$1 ß # es un mínimo relativo de 0 aBß C b #
1 " L Š#1ß ‹ œ Œ ! #
! "
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1 1 ¸L Š#1ß ‹¸ œ " ! • 0BB Š#1ß ‹ œ " ! # # 1 Por lo tanto, Š#1ß ß #‹ es un máximo relativo de 0 aBß C b # L Œ#1ß
$1 " œŒ ! #
Por lo tanto, Œ#1ß
! "
Ê ¸L Œ#1ß
$1 ¸ œ " ! #
$1 ß ! es un punto de silla de 0 aBß C b #
Ejercicios
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1) Determine los extremos relativos y los puntos de silla de las siguientes funciones À +Ñ 0 ÐBß CÑ œ #B %C B# C # $ ,Ñ 0 ÐBß CÑ œ ÐB CÑÐB CÑ -Ñ 0 ÐBß CÑ œ %BC B% C % .Ñ 0 aBß C b œ B# BC C # #B #C %
2) Un fabricante produce diariamente B unidades de la mercancía A, C unidades de la mercancía B. Si T aBß C b es la utilidad diaria que se obtiene en su venta y T aBß C b œ $$B ''C BC B # $C # Þ ¿Cuántas unidades de cada artículo deben producirse diariamente para que el fabricante logre la máxima utilidad diaria? Solución "Ñ +Ñ a"ß #ß #b es un máximo relativo de 0 aBß C b ,Ñ a!ß !ß !b es un punto de silla de 0 aBß C b 0 aBß C b
-Ñ a!ß !ß !b es un punto de silla de 0 aBß C b y a"ß "ß #bà a "ß "ß #b son máximos relativos de .Ñ a #ß #ß )b es un mínimo relativo de 0 aBß C b
#Ñ Deben fabricarse #% unidades de la mercancía A y 15 unidades de la mercancía B para maximizar la utilidad diaria.
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Multiplicadores de Lagrange Cuando es necesiario resolver problemas con enunciado de máximos y/o mínimos, pero con alguna condición adicional es preferible usar un método mucho más rápido que el criterio de la segunda derivada el cual nos permite trabajar con funciones de 8 variables, este nuevo método se denomina Multiplicadores de Lagrange Sea 0 aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b una función de 8 variables a la cual interesa calcular sus puntos críticos con la condición adicional 1aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b œ ! . Para determinar los puntos críticos se forma una nueva función auxiliar J aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 ß -b œ 0 aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b -1aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b
Los puntos críticos de esta nueva función cumplen con las condiciones del problema a resolver, es decir, si el problema consiste en minimizar, entonces el punto aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b es el mínimo buscado y si el problema consiste en maximizar, entonces el punto aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b es el máximo buscado. Ejemplos:
1) Hallar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa y con volumen específico, si se quiere usar la mínima cantidad de material en su manufactura.
0 a+ß 6ß 2b œ +6 #+2 #62
Z œ +62 Ê 1a+ß 6ß 2 b œ +62 Z
J a+ß 6ß 2ß -b œ +6 #+2 #62 -a+62 Z b J+ œ 6 #2 -62
Ê J+ œ !
Ê-œ
6 #2 62
J6 œ + #2 -+2
Ê J6 œ !
Ê-œ
+ #2 +2
J2 œ #+ #6 -+6
Ê J2 œ !
Ê-œ
#+ #6 +6
J- œ +62 Z
Ê J- œ !
Ê +62 œ Z
a " b y a $b
6 #2 #+ #6 œ 62 +6
Ê +6# #+62 œ #+62 #6# 2 Ê +6# œ #6# 2 Ê + œ #2
97
a"b
a#b
a$b
a%b
a&b
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+ #2 #+ #6 œ Ê +# 6 #+62 œ #+# 2 #+62 +2 +6 Ê +# 6 œ #+# 2 Ê 6 œ #2
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a # b y a $b
a'b
a& b y a 'b
a(b
+œ6 a%b ß a&b ß a'b y a(b
+ +62 œ Z Ê a+ba+bŠ ‹ œ Z # +$ Ê œZ # Ê +$ œ #Z $ $ Ê+œÈ #Z , 6 œ È #Z ß 2 œ
$ È #Z
#
$ Luego, las dimensiones de la caja son base È #Z ÒudlÓ y altura
$ È #Z
#
[udl].
2) Un fabricante produce tres tipos de llantas de automóvil, que se designarán por A , B y C . Sean B ß C ß D el número de llantas diarias fabricadas de cada uno de los tipos A , B y C respectivamente. La utilidad en cada llanta tipo A es de $200, en las de tipo B es de $300 y en las de tipo C es de $500. El número de llantas que se puede producir diariamente está sujeto a la restricción #B# C # $D # œ #()% . Determinar cuántas llantas de cada tipo se deben producir para maximizar la utilidad. 0 aBß Cß D b œ #!!B $!!C &!!D 1aBß Cß D b œ #B# C # $D # #()% J aBß Cß Dß -b œ #!!B $!!C &!!D -a#B# C # $D # #()%b JB œ #!! %B-
Ê JB œ !
Ê-œ
&! B
JC œ $!! #C -
Ê JC œ !
Ê-œ
"&! C
JD œ &!! 'D -
Ê JD œ !
Ê-œ
#&! $D
J- œ #B# C # $D # #()% a " b y a #b
Ê J- œ !
a"b
a#b
a$b
Ê - œ #B# C # $D # œ #()%
&! "&! œ Ê &!C œ "&!B Ê C œ $B B C
a " b y a $b
98
a&b
a%b
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a'b
&! #&! & œ Ê "&!D œ #&!B Ê D œ B B $D $
a % b à a & b y a 'b
#B# C # $D # œ #()%
Ê #B# *B# $Œ
#& # B œ #()% *
Ê &)B# œ )$&# Ê B# œ "%% Ê B œ "# , C œ $' ß D œ #!
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Por lo tanto, la cantidad diaria de unidades a producir para maximizar la utilidad es de 12 unidades de llantas tipo A, 36 unidades de llantas tipo B y 20 unidades de llantas tipo C. 3) Un disco circular tiene forma de la región limitada por la circunferencia B# C # œ " . Si X grados es la temperatura en cualquier punto del disco y X œ #B# C # C , encuentre los puntos más calientes y los puntos más fríos en el disco 0 aBß C b œ #B# C # C 1aBß C b œ B# C # "
J aBß Cß -b œ #B# C # C -aB# C # "b JB œ %B #B-
Ê JB œ !
Ê- œ #
" #C ßC Á ! #C
JC œ #C " #C -
Ê JC œ !
Ê-œ
J- œ B # C # "
Ê J- œ !
Ê B# C # œ "
a " b y a #b #œ
" #C #C
Ê %C œ " #C
a $ b y a %b
B# C # œ "
Ê B#
" œ" %
Ê B" œ
a"b
ßBÁ!
ÊCœ
È$ #
" #
ß B# œ
Si B œ !ß entonces en B# C # œ " , C # œ " Ê C" œ " ß C# œ " Si C œ !ß entonces en B# C # œ " , B# œ " Ê B" œ " ß B# œ " Luego, los puntos críticos de la función de temperatura son: È$ " # ß #
Ê X
È$ #
" * ß œ # %
È$ È$ " " * # ß # Ê X # ß # œ %
99
a#b
a$b
a%b
È$ #
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a!ß "b
Ê X a!ß "b œ !
a"ß !b
Ê X a!ß "b œ #
a!ß "b Ê X a!ß "b œ #
a "ß !b Ê X a!ß "b œ #
Por lo tanto, los puntos más calientes del disco son
frío del disco es a!ß "bÞ
Ejercicios
È$
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È$ " " ß , ß y el punto más # # # #
Resuelva los siguientes problemas con enunciado utilizando Multiplicadores de Lagrange À
1Ñ Hallar los valores extremos de 0 aBß C b œ BC sujetos a la restricción 1aBß C b œ B# C # "! 2Ñ El área de la superficie de una caja rectangular sin tapa ha de ser 108 pies2 . Hallar su máximo volumen posible. 3Ñ Un recipiente se construye con un cilindro circular recto de radio 5 cm. y con dos tapas cónicas en los extremos. Si se da el volumen, hallar la altura H del cilindro y la altura h de cada una de las tapas cónicas, de manera que el área de la superficie total sea la menor posible. 4Ñ Una empresa tiene tres fábricas, en cada una de las cuales se elabora el mismo producto. Si la Fábrica A produce B unidades, la fábrica B produce C unidades y la fábrica C produce D unidades, sus respectivos costos de producción son $B# #!! dólares, C # %!! dólares, #D # #!! dólares. Si se va a surtir un pedido de "Þ"!! unidades. Determinar cómo debe distribuirse la producción entre las tres fábricas a fin de minimizar el costo de producción total. 5Ñ Si se gastan B miles de dólares en trabajo e C miles de dólares en equipamiento, la producción de una cierta fábrica será T ÐBß CÑ œ '! B"Î$ C #Î$ unidades. Si hay "#!Þ!!! dólares disponibles, ¿cómo debe ser distribuido el dinero entre trabajo y equipamiento para generar la mayor producción posible?. 6Ñ Hállese los puntos sobre la esfera B# C # D # œ #& donde 0 aBß Cß D b œ B #C $D tiene sus valores máximos y mínimos 7Ñ Se construye un tanque horizontal de forma cilíndrica y con extremos semiesféricos. Determine el diámetro y la longitud de su porción cilíndrica si el tanque ha de tener 8000 m3 de agua y se pretende utilizar la menor cantidad posible de material para construirlo.
100
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Solución
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"Ñ Los puntos máximos son ŠÈ&ß È&‹à Š È&ß È&‹ y los puntos mínimos son
Š È&ß È&‹à ŠÈ&ß È&‹
#Ñ Las dimensiones de la caja son base 6 pies y alto 3 pies , luego el máximo volumen de la caja rectangular es 108 pies3 . $Ñ La altura 2 de cada uno de los conos es #È& unidades y la altura L del cilindro es Z % È& unidades . #&1 $ %Ñ Deben fabricarse 200 unidades en la fábrica A , 600 unidades en la fábrica B y 300 unidades en la fábrica C a fin de minimizar el costo total de producción total. &Ñ Deben destinarse 40.000 dólares en trabajo y 80.000 dólares en producción para generar la mayor producción posible.
'Ñ El
punto
máximo
es
&È"% "!È"% "&È"% ß ß . "% "% "%
&È"% "!È"% "&È"% "% ß "% ß "%
(Ñ El problema no tiene solución.
101
y
el
punto
mínimo
es
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Gráficos en ‘3
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Si D œ 0 aBß C b es un función de dos variables, entonces su gráfico corresponde a un conjunto de ternas donde sus coordenadas satisfacen a la función dada. La gráfica de una ecuación en ‘3 se denomina superficie . 1) Plano
Su ecuación general es +B ,C -D . œ ! donde [ +ß ,ß - ] es el vector normal al plano. Es posible encontrar varios tipos de planos
a) El plano intersecta a los tres ejes coordenados a+B ,C -D . œ !b
En este caso se ubican los puntos de intersección del plano con los ejes coordenados.
102
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eje X C œ D œ ! Ê B œ ' eje Y
BœDœ!ÊCœ%
eje Z
BœCœ!ÊDœ$
b) El plano pasa por el origen a+B ,C -D œ !b
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Ejemplo: Graficar #B $C %D "# œ !
En este caso se grafican las rectas que se obtienen cuando B œ ! à C œ ! y luego se trazan paralelas a las dos rectas encontradas. Ejemplo: Graficar &B $C "&D œ ! Bœ!
Ê $C "&D œ ! Ê C œ &D
Cœ!
Ê &B "&D œ !
Ê B œ $D
103
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Si es paralelo al eje Xß entonces su ecuación es ,C -D . œ ! Ejemplo: Graficar &C #D "! œ !
Si es paralelo al eje Yß entonces su ecuación es +B -D . œ ! Ejemplo: Graficar $B #D "# œ !
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c) El plano es paralelo a uno de los ejes coordenados
Si es paralelo al eje Zß entonces su ecuación es +B ,C . œ !
104
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d) El plano es paralelo a dos de los ejes coordenados Si es paralelo al plano YZß entonces su ecuación es +B . œ ! Ejemplo: Graficar B œ #
Si es paralelo al plano XZß entonces su ecuación es ,C . œ !
105
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Ejemplo: Graficar *B #C ") œ !
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Si es paralelo al plano XYß entonces su ecuación es -D . œ ! Ejemplo: Graficar D œ #
106
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Ejemplo: Graficar C œ #
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2) Esfera
b) Si el centro es G a2 ß 5ß 6b aB 2b# aC 5 b# aD 6b# œ 1# !b 1Î%
.B !
116
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œ
1 ( % "
œ
1 Bº % "
œ
.B
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1 È Š $ "‹ %
Ejercicios
Resuelva À +Ñ(
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-Ñ (
1 !
.Ñ ( /Ñ (
# "
( (
B B
!
Ê
C .C .B B
3 =/8) . 3 . )
!
(
B# B #B# #
!
$
#
-9=)
1Î%
0Ñ (
B# " È C / .C .B ( ÈC #
(
( B
B .C .B
>1) =/- )
3$ -9=# ) . 3 . )
!
B# /BC .C .B
!
117
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
+Ñ(
È# "
,Ñ (
% "
-Ñ (
1 !
.Ñ ( /Ñ (
# "
( (
B B
!
Ê
C %!$ .C .B œ B #"
3 =/8) . 3 . ) œ
!
(
B# B
(
#
#B #
!
$
#
-9=)
1Î%
0Ñ (
B# " È C È / .C .B œ / # Š% #È#‹ #/ ( È C #
( B
!
B .C .B œ
>1) =/- )
" $
* %
3$ -9=# ) . 3 . ) œ
!
B# /BC .C .B œ
" #!
/* & #
118
VIRGINIO GOMEZ
Solución
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
1) Cálculo de áreas en el plano ‘2
plano.
En (
V
Así, Eœ(
( 0 aBß C b .E si 0 aBß C b œ " , entonces (
V
(
VIRGINIO GOMEZ
Aplicaciones de la integral doble
.E representa el área de regiones del
C œ 1aBb C œ . B œ 1aC b .C .B œ ( .B .C ( ( B œ + C œ 0 aBb C œ - B œ 0 aC b +œ,
Ejemplos:
1) Hallar el área de la región V situada bajo la parábola C œ %B B# ß sobre el eje X y sobre la recta C œ $B ' Intersección de las curvas %B %B# œ $B ' ! œ B# (B ' ! œ aB "baB 'b B" œ "ß C" œ $ B# œ 'ß C# œ "# ano es solución, por condiciones del problemab C œ %B B# Cœ!
Ê %B B# œ ! Ê B" œ !ß B# œ %
C œ $B ' Cœ!
Ê $B ' œ !
ÊBœ#
119
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas %BB#
#
"
$B'
E œ ( Cº #
"
%BB# $B'
.C .B ( (
%BB#
%
#
.B ( C º %
#
.C .B !
%BB#
.B !
E œ ( ˆ B# (B '‰.B ( ˆ%B B# ‰ .B #
%
"
#
B$ (B# %B# B$ 'Bº º $ # # $ # " #
Eœ
Eœ
"$ "' ' $
Eœ
"& [u. de a.] #
%
Por otro lado, C œ %B B# B# %B C œ ! Bœ
Bœ
C œ $B ' $B œ ' C
% „ È"' %C #
Bœ#
% „ È%a% C b #
B œ # „ È% C
Eœ( ( $
!
#È%C # C$
.B .C ( ( %
$
#È%C
#È%C
.B .C
120
C $
VIRGINIO GOMEZ
Eœ( (
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
( ( $
!
#È%C # C$
.B .C ( ( %
$
#È%C
#È%C
.B .C œ
"& [u. de a.] #
2) Determinar el área limitada por C œ B$ e C œ B# Intersección de las curvas
VIRGINIO GOMEZ
Pero, como ya se sabe, al obtener el àrea de una región del plano respecto al eje X como el respecto al eje Y el valor debe ser el mismo. Por lo tanto,
B$ œ B# Ê B$ B# œ ! Ê B# aB "b œ ! Ê B" œ !ß C" œ ! à B# œ "ß C# œ "
Eœ( ( "
!
B#
.C .B B$
E œ ( C º .B "
!
B# B$
E œ ( ˆB# B$ ‰.B "
!
Eœ
B$ B% º $ % !
Eœ
" [u. de a] "#
"
Por otro lado, $ C œ B C œ B$ Ê È
Eœ( ( "
!
$ C È
ÈC
.B .C œ
C œ B# Ê È C œ B " [u. de a] "#
121
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VIRGINIO GOMEZ
Ejercicios
Determine el área encerrada por las curvas respecto al eje \ y respecto al eje ] . Plantee ambas integrales, pero resuelva sólo una de ellas. +Ñ B œ C #
à
B œ #C C #
,Ñ C œ =/8 B
à
C œ -9= B
-Ñ B œ C C #
à
BC œ!
.Ñ B# œ %C
à
)C œ B# "'
/Ñ B# C # œ "' à
C œ È'B
;
à
Cœ!
Solución
+Ñ E œ ( (
ÈB
"
!
Eœ( (
#CC#
"
!
Eœ
.B .C C#
" [ u.de a.] $
,Ñ E œ ( Eœ(
.C .B
"È"B
1Î% !
È#Î# !
(
(
-9= B
.C .B =/8 B
E1 B .B .D .C œ 68 a#b( C D 68D º ( !
#/
"
/
#/ /
" D † .D .C D
œ 68 a#b( C D 68 D D º .C !
#/
" !
/
œ 68a#b( Ca#/ 68a#/b #/ / 68a/b /b .C "
œ 68 a#b( Ca#/ 68a#b #/ 68a/b #/ / 68a/b /b .C !
"
œ #/Ò68a#bÓ# ( œ #/Ò68a#bÓ#
!
C .C "
C# º # " !
œ /Ò68a/bÓ#
$Ñ ( (
C#
#
"
C
(
68 B !
C /D .D .B .C
œ( (
C#
#
"
œ( (
C C#
#
"
œ( (
C C#
#
"
C
C /D º
68 B
.B .C !
C ˆ/68B /! ‰.B .C aBC C b .B .C
B# C œ( Œ BC º .C # " C C#
#
œ( Œ
C& C$ C$ C # .C # #
œ( Œ
C& $C $ C # .C # #
#
"
#
"
134
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
œ
C' $C % C$ º "# ) $ "
œ
%( #%
%Ñ ( ( ( #
!
È$ D
C
!
B#
!
B# D # œ D # Œ
D .B .D .C D#
B# B # " Ê B# D # œ D # ”Š ‹ "• # D D
B œ >1) Ê B œ D >1) Ê .B œ D =/- # ) . ) D Bœ!Ê)œ! ( ( ( #
!
È$ D
C
!
!
D .B .D .C B# D #
B œ È$ D Ê ) œ œ( ( ( #
!
!
œ( ( ( #
!
!
1Î$
C
!
œ( ( ( #
!
È$ D
C
!
C
!
!
D .B .D .C # B D # ”Š ‹ "• D
D D =/- # ) . ) .D .C D # a>1# ) "b
1Î$
. ) .D .C !
œ ( ( )º #
C
!
1Î$
.D .C !
œ
1 # C ( ( .D .C $ ! !
œ
1 # ( D º .C $ ! !
œ
1 # ( C .C $ !
œ
1 C# † º $ # !
œ
# 1 $
C
#
135
1 $
VIRGINIO GOMEZ
#
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Ejercicios
Resuelva las siguientes integrales triples À +Ñ ( ,Ñ (
" !
(
" !
1 Î# !
-Ñ (
# "
.Ñ (
" "
(
(
(
È B# C #
1 Î# !
(
B $
(
#
(
BD !
È$ C !
" B# !
(
BCD .D .C .B
C -9= Š ‹ .C .B .D D
C .D .C .B C# D # ÈB
È B
#C # ÈB .D .C .B
Solución
+Ñ ( ,Ñ (
" !
(
" !
1 Î# !
-Ñ (
# "
.Ñ (
" "
(
( B
$
(
(
#
È B# C #
1 Î# !
(
(
!
È$ C !
" B# !
BD
(
BCD .D .C .B œ
$ )
1# C -9= Š ‹ .C .B .D œ D )
1 C .D .C .B œ C# D # # ÈB
È B
#C # ÈB .D .C .B œ !
136
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Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
usará como: .Z œ .D .C .B ß .Z œ .D .B .C Ejemplos:
( ( .Z donde .Z se
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La integral triple permite calcular el volumen de sólidos de la forma (
W
1) Determinar el volumen de la región, en el primer octante, limitada superiormante por el cilindro D # C # œ " y situada entre los planos B C œ " à B C œ $
En el plano BC se observa
BC œ"ÊBœ"C Z œ( ( "
!
Z œ( ( "
!
$C "C $C "C
(
È"C#
BC œ$ÊBœ$C
.D .B .C
!
Dº
È"C#
.B .C
!
137
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Z œ( ( "
!
$C "C
È" C # .B .C
Z œ ( È " C # † Bº "
!
$C
.C "C
Z œ ( È" C # a$ C " C b .C "
!
Z œ #( È" C # .C "
!
C œ =/8) Ê .C œ -9=) . ) Cœ!Ê)œ!
Cœ"Ê)œ
1 #
Z œ #( È" =/8# ) † -9=) . ) 1 #
!
Z œ #( -9=# ) . ) 1 #
!
Z œ #( Œ 1 #
!
Z œ Œ) Z œ
" -9=#) . ) #
=/8#) # º # !
1
1 Ò u. de v.Ó #
Si se considera .Z œ .D .C .B la integral sería Z œ( ( "
!
"
(
"B !
È"C#
.D .C .B ( ( ( #
"
È"C#
"
!
!
.D .C .B ( ( $
#
138
$B !
(
VIRGINIO GOMEZ
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È"C# !
.D .C .B
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2) Determinar el volumen de la esfera B# C # D # œ +#
En el plano BC
Por simetría Z œ )( (
È+# B#
+
!
Z œ )( (
! È+# B#
+
!
Z œ )( (
! È+# B#
+
!
!
(
È+# B# C#
.D .C .B
!
Dº
È+# B# C#
.C .B
!
È+# B# C # .C .B
a+# B# b C # œ a+# B# bŒ"
+#
C# B#
139
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#
#
#
#
#
È + # B# • C
VIRGINIO GOMEZ
a+ B b C œ a+ B b”" #
C œ =/8) Ê C œ È+# B# =/8) Ê .C œ È+# B# -9=) . ) È + # B#
Cœ!Ê)œ! Z œ )( (
Í # C Í # a+ B# b”" .C .B • È + # B# Ì
È+# B# Í
+
!
C œ È + # B# Ê ) œ
!
Z œ )( ( È+# B# † È" =/8# ) † È+# B# -9=) . ) .B 1 #
+
!
!
Z œ )( ( ˆ+# B# ‰-9=# ) . ) .B 1 #
+
!
!
Z œ )( ˆ+# B# ‰(
1 #
+
!
!
" -9=#) . ) .B #
=/8#) # Z œ %( ˆ+ B Œ) º .B # ! ! +
#
#‰
1
+ 1 Z œ %( ˆ+# B# ‰ .B # !
Z œ #1Œ+# B Z œ
B$ º $ !
+
% $ + 1 [u. de v.] $
140
1 #
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VIRGINIO GOMEZ
3) Determinar el volumen, sobre el plano BC del sólido formado por el cilindro B# C # œ #& y el plano B C D œ )
En el plano BC
Z œ( ( &
È#&B#
& È#&B#
Z œ ( ( &
È#&B#
& È#&B#
Z œ( ( &
È#&B#
& È#&B#
(
)BC
.D .C .B !
Dº
)BC
.C .B !
a) B C b .C .B
141
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas &
&
È#&B#
C# .B º # È#&B#
Z œ ( Š"'È#& B# #BÈ#& B# ‹.B &
&
( "'È#& B# .B &
&
#& B# œ #&Š"
B# #& ‹
B # Ê #& B# œ #&”" Š ‹ • &
B œ =/8) Ê B œ &=/8) Ê .B œ & -9=) . ) & Bœ &Ê) œ
1 #
( "'È#& B# .B &
&
Bœ"Ê)œ & B # œ "'( Ë#&”" Š ‹ • .B & &
œ %!!( œ %!!(
1 #
1# 1 #
1#
-9=# ) . ) " -9=#) .) #
=/8#) # œ #!!Œ) º # 1 1
#
œ #!!1 #( BÈ#& B# .B &
&
? œ #& B# Ê .? œ #B .B Ê ?œ &Ê?œ! #( BÈ#& B# .B &
&
.? œ B .B # ?œ&Ê?œ!
! .? œ #( È ? † # !
œ! Luego, Z œ #!!1 ! Z œ #!!1 [u. de v.]
142
VIRGINIO GOMEZ
Z œ ( Œ)C BC
1 #
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VIRGINIO GOMEZ
Ejercicios Determinar, en coordenadas cartesianas, el volumen del sólido limitado por À
+Ñ El cilindro B# C # œ "' ß los planos C D œ % ß C œ # ß D œ ! ß B œ ! ,Ñ El cilindro B# %C # œ % ß los planos D œ ! à D œ B # -Ñ El cono %B# *C # $'D # œ ! y el plano D œ " .Ñ El plano D œ ' #C con ! Ÿ B Ÿ % à ! Ÿ C Ÿ # /Ñ Los planos D œ ' B C à C œ B à C œ # Solución
È"'C#
+Ñ Z œ ( ( %
# ! È%B# #
,Ñ Z œ ( ( #
#
-Ñ Z œ %( (
È%B# #
!
!
!
#
!
/Ñ Z œ ( ( ( #
!
.D .B .C œ !
'% 1 [u. de v.] $
B#
.D .C .B œ %1 [u. de v.] !
( É%B#*C# .D .C .B œ #1 [u. de v.] "
'#C
.D .C .B œ $# [u. de v.] !
#
B
%C
'
.Ñ Z œ ( ( ( %
(
#È*B# $
$
(
'BC
.D .C .B œ ) [u. de v.] !
143
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Transformación de Integrales Triples
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Al trabajar con integrales triples, a veces, es conveniente hacer uso de algún sistema de coordenadas que no sea el sistema de coordenadas cartesianas Coordenadas Cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas constan de coordenadas polares en el plano y una coordenada D como en el sistema cartesiano. Las fórmulas de transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas son: B œ < -9=) C œ < =/8) DœD
En el plano BC
144
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Z œ(
( ( .Z œ (
W Ejemplos
) œ) # ) œ) "
(
È 9a>b œ Ò Ba>b ß C a>b ß D a>b Ó Por ejemplo: 1) Si 9a>b representa un alambre y :
a) si 0 aBß Cß D b denota la densidad de masa de aBß Cß D b, entonces podría ser interesante conocer la masa total del alambre. b) si 0 aBß Cß D b representa la temperatura de aBß Cß D b, entonces podría ser interesante calcular la temperatura promedio del alambre. Para ambos casos se requiere integrar 0 aBß Cß D b sobre 9.
Concepto: la integral de trayectoria o la integral de 0 aBß Cß D b a lo largo de la trayectoria 9 está definida cuando la función > È 0 Ò Ba>b ß C a>b ß D a>b Ó es continua en un cierto intervalo Ò +ß ,Ó. Así, ( 0
œ(
9
( 0 œ( 9
, +
, +
0 Ò Ba>b ß C a>b ß D a>b Ó † m9w a>bm † .>
0 Ò 9a>b Ó † m9w a>bm † .>
Ejemplo
Sea 9 À Ò !ß #1 Ó È ‘$ ß > È 9a>b œ Ò -9= > ß =/8 > ß > Ó y sea 0 aBß Cß D b œ B# C # D #Þ Obtener ( 0 B œ -9= >
Ê
.B œ =/8> .>
C œ =/8 >
Ê
.C œ -9=> .>
Dœ>
Ê
.D œ" .>
.9 œ a =/8> ß -9=> ß "b .>
m9w a>bm œ È=/8# > -9=# > " œ È# 0 a>b œ -9=# > =/8# > ># œ " >#
( 0 9
œ(
#1 !
ˆ" ># ‰È# .>
œ È#Œ>
>$ º $ ! )1 $ œ È#Œ#1 $ #1
167
9
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
Integral de Línea Si J es un campo de fuerza en el espacio, entonces una partícula de prueba ( por ejemplo, una pequeña unidad de carga en un campo de fuerza eléctrico o una unidad de masa en un campo gravitacional ) experimentará la fuerza J . Suponga que la partícula se mueve a lo largo de la imagen de una trayectoria p
9 mientras J actúa sobre ella. Si 9 es un desplazamiento recto dado por el vector . y J es una fuerza constante, entonces el trabajo realizado por J al mover la partícula a lo largo de la trayectoria es p
[ œJ †. . Más generalmente, si la trayectoria es curva se puede imaginar como una sucesión infinita de desplazamientos rectos. Así, el trabajo realizado por el campo de fuerza J sobre una partícula que se mueve a lo largo de la trayectoria 9 À Ò +ß , Ó È ‘$ es [ œ ( J Ò9a>bÓ † 9w a>b † .> ,
+
Concepto : Sea un campo vectorial en R 3 , continuo en la trayectoria F 3 φ : [a, b ] → R . La integral de línea de F , denotada por ∫ F a lo largo de φ es: φ
∫φ F
=
dφ
∫ f[φ(t)] ⋅ dt ⋅ dt b
a
Es decir, se integra el producto punto de J con 9w a>b sobre el intervalo Ò +ß , Ó. Ejemplo: Sea 9 À Ò !ß #1 Ó È ‘$ ß > È 9a>b œ Ò =/8 > ß -9= > ß > Ó y sea Obtener la integral de línea B œ =/8 >
Ê
.B œ -9=> .>
C œ -9= >
Ê
.C œ =/8> .>
.D Dœ> Ê œ" .> .9 œ a-9=> ß =/8> ß "b .>
J a>b œ =/8 > 3 -9= > 4 > 5 J a>b †
.9 .>
œ a=/8 >ß -9= >ß >b † a-9=> ß =/8> ß "b œ =/8> -9=> -9=> =/8> > œ>
168
J aBß Cß D b œ B 3 C 4 D 5Þ
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9
œ(
#1
> .> !
># º # !
#1
œ
œ #1# [ u. de w]
VIRGINIO GOMEZ
( J
La integral de línea también se puede escribir en forma diferencial como:
( Q .B R .C T .D donde Q ß R ß T son las componentes del campo vectorial J Þ 9
Ejemplos: 1) Calcular ( B# .B BC .C .D donde 9 À Ò !ß 1 Ó È ‘$ ß 9
Bœ >
Ê
C œ >#
Ê
.B œ" .>
.C œ #> .> .D Ê œ! .>
Dœ" .9 œ a" ß #> ß !b .>
J aBß Cß D b œ B# 3 BC 4 5 J a>b œ ># 3 >$ 4 5 J a>b †
œ ˆ># ß >$ ß "‰ † a" ß #> ß !b
.9 .>
œ ># #>% ( J 9
œ ( ˆ># #>% ‰ .> "
!
œŒ œ
>$ #>& º $ & ! "
"" [ u. de w] "&
169
> È 9a>b œ Ò > ß ># ß "Ó
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9
Bœ "
Ê
.B œ! .>
Cœ >
Ê
.C œ" .>
D œ />
Ê
.D œ /> .>
.9 œ ˆ! ß " ß / > ‰ .> J aBß Cß D b œ -9=D 3 /B 4 /C 5 J a>b œ -9=a/> b 3 / 4 /> 5 J a>b †
œ ˆ-9=ˆ/> ‰ß /ß /> ‰ † ˆ! ß " ß /> ‰
.9 .>
œ / /#> ( J 9
œ ( ˆ/ /#> ‰ .> #
!
/#> œ Œ/ > º # ! œ Œ#/
#
/% " [ u. de w] # #
> È 9a>b œ Ò "ß > ß / >Ó
VIRGINIO GOMEZ
#) Calcular ( -9=D .B /B .C /C .D donde 9 À Ò !ß # Ó È ‘$ ß
$Ñ Sea 9 À Ò !ß (1Î#Ó È ‘$ ß ) È 9a)b œ a-9=$ )ß =/8$ )ß )b. Evaluar :
"Î$ ( =/8D .B -9=D .C aBC b .D 9
B œ -9=$ )
Ê
.B œ $ -9=# ) =/8) .)
C œ =/8$ )
Ê
.C œ $ =/8# ) -9=) .)
Dœ)
Ê
.D œ" .)
.9 œ ˆ $-9=# ) =/8) ß $ =/8# ) -9=) ß "‰ .)
J aBß Cß D b œ =/8D 3 -9=D 4 aBC b"Î$ 5 J a>b œ =/8) 3 -9=)4 -9=) =/8)5
170
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œ ˆ $-9=# ) =/8) ß $ =/8# ) -9=) ß "‰ † a=/8)ß -9=)ß -9=) =/8)b
.9 .>
œ $ -9=# ) =/8# ) $=/8# ) -9=# ) -9=) =/8)
œ -9=) =/8) ( J 9
œ(
(1Î#
-9=) =/8) . ) !
-9=# ) º # !
(1Î#
œ
œ!
" " œ [ u. de w] # #
Ejercicios
Determine el valor de la integral de línea ( J si À 9
VIRGINIO GOMEZ
J a>b †
+Ñ J œ B 3 C 4 D 5 à 9Ð > Ñ œ Ð-9= >ß =/8 > ß > Ñ à > − Ò ! ß # 1 Ó ,Ñ J œ B 3 BC 4 D # 5 à 9Ð > Ñ œ Ð =/8 >ß -9= >ß > Ñ à > − Ò ! ß # 1 Ó
-Ñ J œ ÐB$ #B # Ñ 3 ÐB CÎ#Ñ4 5 à 9Ð > Ñ œ Ð >ß > #ß !Ñ à > − Ò "ß %Ó
.Ñ J œ B 3 C 4 &D 5 à 9Ð > Ñ œ #-9= > 3 #=/8> 4 > 5 à > − Ò ! ß # 1 Ó /Ñ J œ /D Ð C 3 B 4 BC5Ñ à 9Ð > Ñ œ Ð% )>Ñ 3 $5 à > − Ò ! ß " Ó
Solución
+Ñ ( J œ #1# Ò u. de w.Ó 9
) ,Ñ ( J œ 1$ Ò u. de w.Ó $ 9
.Ñ ( J œ "!1# Ò u. de w.Ó 9
/Ñ ( J œ ! Ò u. de w.Ó 9
171
-Ñ ( J œ !Ò u. de w.Ó 9
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VIRGINIO GOMEZ
Teorema de Green El teorema de Green relaciona una integral de línea a lo largo de una curva cerrada G en el plano ‘# con una integral doble sobre la región cuya frontera es G . Tipo de regiones a) Región tipo1
0 aBb y 1aBb son funciones continuas a B − Ò + ß , ÓÞ V es la región formada por C œ 0 aBb à C œ 1aBb à B œ + à B œ , b) Región tipo 2
0 aC b y 1aC b son funciones continuas a C − Ò - ß . ÓÞ V es la región formada por B œ 0 aC b à B œ 1aC b à C œ - à C œ .
172
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VIRGINIO GOMEZ
c) Región tipo 3
Es aquella que es uno y dos a la vez
Una curva cerrada simple G que sea frontera de una región tipo 1, 2 o 3 tiene dos orientaciones: a) Positiva: si es contraria al sentido en que se mueven las manecillas de un reloj , se denota por G .
b) Negativa: si es en sentido de las manecillas de un reloj, se denota por G .
173
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Teorema de Green: Sea R una región tipo 3 con frontera C , con orientación positiva. Si ∂M ∂N son continuas en una región que contiene a R , entonces: , M, N, ∂y ∂x
∫ (Mdx C
+ Ndy ) =
∂N
∫∫ ∂x
−
R
∂M dA ∂y
Ejemplos 1)Usar el teorema de Green para calcularla integral de línea
$ $ # ( C .B ˆB $BC ‰.C si V es la región del plano formada G
por las curvas C œ B$
à C œ B en el primer cuadrante.
Intersección de las curvas B$ œ B Ê B$ B œ ! Ê BaB# "b œ !
Q œ C$
Ê
`Q œ $C # `C
R œ B$ $BC #
Ê
`R œ $B# $C # `B
Ê B" œ ! ß C" œ ! Ê B # œ " ß C# œ "
`R `Q œ $B# $C # $C # œ $B# `B `C $ $ # ( C .B ˆB $BC ‰.C G
œ( ( "
!
B
$B# .C .B
B$
œ ( $B# C º .B B
"
!
B$
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œ ( ˆ$B$ $B& ‰.B !
œ
$B% $B' º % ' !
œ
" [u. de w] %
"
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"
2) Usar el Teorema de Green para calcular la integral de línea ( B.B BC .C si V es la región del plano formada la circunferencia B# C # œ "
Q œB
R œ BC
`Q œ! `C
Ê
Ê
`R œC `B
`R `Q œC!œC `B `C Por simetría ( B .B BC .C œ %( (
È"B#
"
G
!
C .C .B
!
œ %(
" # È"B#
C º # !
!
.B
œ #( ˆ" B# ‰.B "
!
œ #ŒB œ
B$ º $ ! "
% [u. de w] $
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G
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B œ $ -9=) C œ $ =/8)
Ê B# C # œ *
Q œ C$
Ê
`Q œ $C # `C
R œ B$ $BC #
Ê
`R œ $B# $C # `B
`R `Q œ $B# $C # $C # œ $B# œ #( -9=# ) `B `C
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3) Sea el campo de fuerza J œ C $ 3 aB$ $BC # b4 , la trayectoria 9a)b œ a$ -9=) ß $ =/8)b con ) − [ ! ß #1 ]. Usar el teorema de Green para hallar el trabajo.a.E œ < .< . )b
Como B œ < -9=) e C œ < =/8) ß entonces B# C # œ * es equivalente a < œ $ $ $ # ( C .B ˆB $BC ‰.C G
œ(
#1 !
œ #((
(
$
#( -9=# ) † < .< . )
!
#1
Ñ œ Ð% )>Ñ 3 $5 .9 œ [ )ß !ß !] .>
B œ % )> Cœ! Dœ$ J a>b œ Ò!ß a% )>b/$ ß !Ó
9
œ ( Ò!ß a% )>b/$ ß !ÓÒ )ß !ß !Ó.>
(
9
œ ( a! ! !b.>
(
9
œ ! a?.@b
(
3)
" ! " !
Usar el Teorema de Green si À ( ÐQ .B R .CÑ œ ( ( Œ G
V
$R $Q .E $B $C
para encontrar el valor de la integral de línea
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2)
à > − [!ß "]
( ÐB CÑ .B #BC .C si G es la frontera de la región situada entre las G
curvas
C œ B à C œ B#
Intersección de curvas B œ B# B B# œ !
Ê Ê
Bœ! Bœ"
àC œ ! àC œ "
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Q œBC R œ #BC
Ê QC œ " Ê RB œ #C
( ÐB CÑ .B #BC .C œ ( ( a#C "b.C.B "
G
!
B
B#
œ ( ˆC # C ‰„ .B B
"
B#
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œ ( ˆB# B B% B# ‰.B "
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œ ( ˆ#B# B B% ‰.B "
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# $ " # " & B B B „ $ # & !
œ
" a?.Ab $!
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"
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Usar el Teorema de Divergencia de Gauss si S es la región sólida limitada por semicono D œ ÈB# C # y el plano D œ % , con J ÐBß Cß DÑ œ aBC # -9=D b3 aB# C =/8D bC # 4 D5 si À ß .3@J aBß Cß D b œ
( ( J R .W œ ( ( ( .3@J .Z W U
( J œ %( ( ! ! %
È"'B#
(
% ÈB# C#
ˆB# C # "‰.D.C.B
En coordenadas cilíndricas # ( J œ %( ( ( ˆ< "‰
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