Cálculo III (0253) Semestre 3-2009
TEMA 3 INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES Y SUS APLICACIONES
Semestre 3-2009
José Luis Quintero Octubre 2009
Integrales Dobles y Triples U.C.V.
F.I.U.C.V.
CÁLCULO III (0253) - TEMA 3
Prof. José Luis Quintero
Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de integrales dobles y triples y sus aplicaciones. La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores, también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo III en Ingeniería. Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:
[email protected].
[email protected] .
INDICE GENERAL GENERAL U.C.V.
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11.
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La integral doble Propiedades de la integral doble Cálculo de la integral doble Cambio de variables en la integral doble Momentos y centro de masa Momento de inercia Ejercicios resueltos La integral triple Cambio de variables en la integral triple Coordenadas cilíndricas Coordenadaas esféricas
3.12. Aplicaciones de las integrales triples 3.13. Ejercicios resueltos 3.14. Ejercicios propuestos
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246 248 249 251 255 257 258 273 275 275 277 279 282 296
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LA INTEGRAL DOBLE DOBLE
Integrales Dobles y Triples Pág.: 246 de 305
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3.1. LA INTEGRAL DOBLE DOBLE Sea F una región de área A del plano “xy”, F incluye su frontera (Región Cerrada). Subdividimos Subdividi mos al plano “xy” en rectángulos mediante rectas paralelas a los ejes de coordenadas (figura 1). Partiendo P artiendo de algún lugar conveniente (tal como el extremo superior izquierdo de F), numeramos sistemáticamente todos los rectángulos que están dentro de F. Supongamos que hay “n” de tales rectángulos y los designamos con r1, r2,...,rn.
Figura 1. Intuición geométrica del área para la integral doble
Se utilizan los símbolos A(r1), A(r2),...., A(rn) para las áreas de estos rectángulos. El conjunto de los n rectángulos {r 1, r2,...., rn} se llama una subdivisión ∆ de F. La norma de la subdivisión que generalmente se indica con ∆, es la longitud de la diagonal del mayor rectángulo de la subdivisión subdivisión ∆. Suponga que z = f(x, y) y) es una función definida para todo (x,y) de la región F. La definición para la integral doble doble de f sobre la región F es análoga a la definición de integrales para funciones de una variable. Se elige un punto arbitrario en cada uno de los rectángulos de la subdivisión ∆, designando las coordenadas del punto en el rectángulo ri con (ξi,,ηi). Ahora formamos la suma: f(ξ1,η1). A(r1) + f(ξ2,η2). A(r2) + ...... + f(ξn,ηn) A(rn).
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LA INTEGRAL DOBLE DOBLE
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En forma compacta n
∑
f(ξi , ηi )A(ri ) .
(1)
i =1
Esta suma es una aproximación a la integral doble que se definirá; y se denomina suma integral. integral. Las sumas tales como (1) pueden formarse para subdivisiones con cualquier norma positiva y con el iésimo punto (ξi,ηi) elegido en forma arbitraria en el rectángulo rectá ngulo ri. Definición 1. 1. n
lím
n →+∞
∑
f(ξi , ηi )A(ri ) = L
i =1
si dado un ξ >
0; ∃ δ > 0/
n
∑ i 1 f(ξi, ηi ).A(ri ) − L < ε =
para toda subdivisión ∆ con ∆ < δ y para todas las elecciones posibles de los puntos ( ξi,ηi) en los rectángulos ri. Puede demostrarse que si el número L existe entonces debe ser único. Definición 2. Si 2. Si f está definida en una región F y el número L, definido anteriormente, existe, se dice que f es iintegrable ntegrable so sobre bre F, y se escribe:
∫∫
f(x,y) f(x, y)dA dA .
F
A está expresión se le llamará también t ambién integral doble de f sobre F. F. La integral doble tiene una interpretación geométrica como volumen de un sólido. Cada término de la sumatoria (1) representa el volumen de un cuerpo elemental de base (r i) y altura h = f(ξi , ηi ) . Siendo z = f(x, y) una función continua en el dominio cerrado representado por la región F, la sumatoria (1) tiene un límite si n tiende a infinito. Siendo este límite siempre el mismo, cualquiera sea el modo de la división del dominio de los elementos ∆ri, y la selección del punto de coordenadas ( ξi, ηi) en los dominios parciales ∆ri. Este límite se llama integral doble de la función f(x,y) sobre F y si f(x,y) ≥ 0, la integral doble es igual al volumen del cuerpo limitado por la superficie z = f(x, y) , el plano z = 0 y la superficie cuyas generatrices son paralelas al eje 0z a través de la frontera de F. (figura 2)
V(s) =
∫∫
f(x, y)dA ,
F
siendo V(s) el volumen volumen del sólido defin definido ido por (x,y) ∈ F^ 0 ≤ z ≤ f(x,y).
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LA INTEGRAL DOBLE DOBLE
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Figura 2. Intuición geométrica del volumen para la integral doble
3.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE DOBLE Se enunciarán varias propiedades de las integrales dobles en analogía con las propiedades de la integral definida de funciones de una variable. a. Si c es un número y f es integrable sobre una región cerrada F, entonces c.f es integrable y
∫∫
c.f(x, yy))dA = c
F
∫∫
f(x, y) y)dA .
F
b. Si f y g son integrables sobre una región cerrada F, entonces
∫∫
f(x, y) + g(x, y) dA =
F
∫∫
F
f(x, y)dA +
∫∫
g(x, y)dA .
F
c. Suponga que f es integrable sobre una región cerrada F y m ≤ f(x,y) ≤ M ∀(x,y) ∈ F entonces si A(F) designa el área de la región F, tenemos
m.A(F) ≤
∫∫
F
f(x, yy))dA ≤ M.A(F) .
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d. Si f y g son integ integrables rables sobre F y f(x,y) ≤ g(x,y) ∀(x,y) ∈ F, entonces
∫∫
f(x, yy))dA ≤
F
∫∫
g(x, y) y)dA
F
e. Si se hace una partición de la región cerrada F en las regiones F1 y F2 ; es decir F1 ∩ F2 = ∅ y F1 ∪ F2 = F y si f(x,y) es continua en F se tiene
∫∫
F
f(x, y)dA =
∫∫
F1
f(x, y)dA +
∫∫
f(x, y)dA
F2
3.3. CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE DOBLE La definición de integral doble no es muy útil para la evaluación en cualquier caso particular. Naturalmente, puede suceder que la función f(x,y) y la región F sean simples, de manera que el límite de la suma (1) pueda calcularse directamente. Sin embargo, en general no se pueden determinar tales límites. Como en el caso de las integrales simples, conviene desarrollar métodos simples y de rutina para determinar el valor de una integral doble dada. Sea F en rectángulo cuyos lados son x = a, x = b, y = c, y = d (ver figura 3).
Figura 3. Intuición geométrica de la definición de integral doble
Se supone que z = f(x,y) f( x,y) es continua en cada (x,y) ∈ F. Se forma la integral simple con respecto a x
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b
∫
f(x,y)dx
a
donde se mantiene fijo y al realizar la integración. Naturalmente, el valor de la integral anterior dependerá del valor utilizado para y o sea que se puede escribir: A(y) =
∫
b
f(x, y)dx . a
La función A(y) está definida para c ≤ y ≤ d y se puede demostrar que si f(x,y) es continua en F entonces A(y) es continua en [c,d]. Se puede calcular la integral de A(y) y se escribe mediante la forma dada por la integral
A(y) =
∫
d
d
A(y)dy = c
∫ ∫ c
b
f(x, y)dx dy . a
(2)
Se podría haber fijado primero x, luego formar la integral B(x) =
∫
d
f(x, y)dy c
entonces b
∫
b
B(x)dx = a
∫ ∫ a
d
f(x, y)dy dx . c
(3)
Observe que las integrales se calculan sucesivamente por lo que reciben el nombre de integrales iteradas. iteradas. En (2) se integra primero con respecto r especto a x (considerando y constante) y luego con respecto a y; en (3) se integra utilizando un orden inverso. Se pueden definir las integrales iteradas sobre regiones F limitadas por curvas. Ejemplo 1. Dada la función f(x, yy)) = xy la región triangular F limitada por las rectas de ecuaciones y = 0, y = 2x, x = 2 , halle los valores de ambas integrales iteradas. Solución. Integrando respecto a y primero se tiene:
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2
2x
∫∫ ∫∫ 0
2
xydydx =
∫
0
Integrando en x se tiene: 4
0
2
xydxdy =
y /2
∫
2
2x
2 x2 y dx = 0 0
4
2
yx2 dy = 2 y /2 0
∫
∫
0
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3
42x dx = 8 .
4
y3 2y − dy = 8 . 8 0
Ejemplo 2. 3
a.
∫∫ ∫∫ 0
2
x2 ydydx = 1
2
b.
1
3 2
x ydxdy = 0
3
2
0 2
2 x ydy dx 1 3 x 2 y dx d y
1
0
∫ ∫ ∫ ∫
=
=
∫ ∫
3
2
2
3
yx3 dy = 3 0
1
∫ ∫
3
x2 y2 dx = 2 1 0
2 x2 27 . 2x − dx = 2 2 0 2
9ydy =
27 . 2
1
Ejemplo 3. Halle 3. Halle el volumen del sólido S que está limitado por x2 + 2y2 + z = 16, los planos x = 2, y = 2 y los tres planos coordenados. Solución. 2
V=
∫∫ 0
2
(16 − x2 − 2y2 )dxdy = 48. 0
Ejemplo 4. Evalúe 4. Evalúe
∫∫
(x + 2y)dA,
D
donde D es la región limitada por las parábolas y = 2x2 , y = 1 + x2 . Solución. Solución. 1
∫ ∫ −1
1 + x2
(x + 2y)dydx = 2x2
32 . 15
3.4. CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE DOBLE Sean S y T dos regiones de R2 . Sea F : T → S una aplicación biyectiva definida por F(u, v) = (x( (x(u, v), v), y(u, v) v))) , esto es, por el par de funciones
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v) x = x(u, v) v) . y = y(u, v) La transformación inversa F −1 : S → T está dada por el par de funciones y) u = u(x, y) . v = v(x, y) Bajo ciertas hipótesis (de continuidad y diferenciabilidad) diferenciabilidad) se verifica la siguiente fórmula de transformación para integrales dobles
∫∫
f(x, y)dA =
S
∫∫
f[x(u, v), y(u, v)]
∂(x,y) (u,, v) ∂(u
dA ,
T
donde ∂(x,y) ∂(u (u,, v)
indica el jacobiano el jacobiano de de la transformación F, es decir el determinante:
J(u, (u, v)
∂x ∂(x,y) ∂ = = u ∂(u, (u, v) ∂y ∂u
∂x ∂v ∂y ∂v
.
Las hipótesis de continuid continuidad ad y derivabilid derivabilidad ad que se exigen son: a. Las funciones x(u,v), y(u,v) son continuas y tienen derivadas parciales continuas en T. b. J(u, v) v) ≠ 0 en todo punto (u, vv)) ∈ T. c. f(x,y) es continua sobre S. Cambios de variables frecuentes: a. Coordenadas polares:
b. Transformaciones lineales:
Se supone ad − bc ≠ 0.
x = r cos(θ) , , J = r y = rsen(θ)
x = au + bv , J = ad − bc. y = cu + dv
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Ejemplo 5. Calcule
∫∫
2 dA , x
R
donde R es la región del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuaciones y = ln(x) , y = 1 + ln(x) , y = 2 − ln(x) , y = 1 − ln(x) . Solución. Cambio de variables:
u = y − ln(x) , v = y + ln(x) . Por lo tanto, (v −u)
x=e J(u, v) =
∂x ∂u
∂x ∂v
∂y ∂u
∂y ∂v
v −u
=
− 21 e 2 1 2
2
, y=
v −u v −u 1e 2 2 = −1e 2 1 2 2
u+v . 2 . J(x,y) =
∂u ∂x
∂u ∂y
∂v ∂x
∂v ∂y
=
− 1x
1
1 x
1
=−
2
.
x
Nuevas ecuaciones: u = 0 , u = 1 , v = 2 , v = 1. 1
∫∫ 0
2
dvdu = 1 . 1
Ejemplo 6. Calcule
∫∫
x2 + y2 dxdy,
S
donde S es el dominio del plano definido por las condiciones 2
2
2
x + y ≥ 9 , x + y ≤ 16 .
Solución. Cambio a coordenadas polares:
∫∫ S
2
x2 + y2 dxdy =
∫∫
r2drdθ =
74π , 3
T
donde
T = {(r, θ) / 3 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2 π} . Ejemplo 7. Usando integrales dobles, encuentre la región encerrada por la curva de ecuación polar r = 1 + cos(θ) que es exterior a la curva de ecuación polar r = 1 . Solución. Gráfico (ver figura 4).
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Figura 4. Representación gráfica de la región del ejemplo 7 π2
∫ ∫ ∫
ÁREA = 2
0
π
=
0
2
1 + cos(θ)
rdrdθ = 1
∫
π2
0
2 (1 + cos(θ)) − 1 d θ =
∫
π2
0
2 2 cos( θ) + cos ( θ) d θ
2 cos(θ) + cos2 (θ) d θ = 2 + π . 4
Ejemplo 8. Plantee la integral
I=
∫∫
x3 y3 dA
R
eliminando las barras de valor absoluto, donde R es la región triangular de vértices (−1, −1) , (2,2) y (0,2). Solución. 3 3
xy
3 3 x y si (x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∨ (x ≤ 0 ∧ y ≤ 0) = −x3y3 si (x ≥ 0 ∧ y ≤ 0) ∨ (x ≤ 0 ∧ y ≥ 0)
(ver figura 5) 5) 0
I=
∫ ∫ −1
y
2
3 3
x y dxdy − (y − 2)
3
∫∫ 0
0
2
3 3
x y dxdy + (y − 2)
3
∫∫ 0
y
x 3 y 3 dx dy 0
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Figura 5. Representación gráfica de la región del ejemplo 8
3.5. MOMENTOS Y CENTRO DE MASA MASA Suponga que una lámina ocupa una región R del plano xy y que su densidad viene dada por la función continua ρ(x,y) para todo (x,y) en R. Se define la masa masa de de la lámina mediante la integral doble
m=
∫∫
ρ(x, y)dA.
R
Los momentos momentos de de la lámina respecto del eje x y el eje y respectivamente, se definen mediante las integrales dadas por
Mx =
∫∫ R
yρ((xx, y)dA , My =
∫∫
xρ((xx, y)dA.
R
Las coordenadas (x,y) del centro de masa masa de de la lámina vienen dadas por My Mx (x, y) = , . m m
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Ejemplo 9. Halle 9. Halle el centro de masa de una lámina triangular con vértices (0,0), (1,0) y (0,2) si la función de densidad es ρ(x, y) = 1 + 3x + y. Solución. 1
m=
2 − 2x
∫∫
(1 + 3x + y)dydx =
0
1
My =
∫∫ 0
0 1
2 − 2x
x(1 + 3x + y)dydx = 1 , Mx = 0
∫∫ 0
8 , 3
2 −2 x
y(1 + 3x + y)dydx = 0
11 . 6
3 11 (x, y) = , . 8 16 Ejemplo 10. Una 10. Una lámina tiene la forma de la región del plano xy limitada por las curvas y2 = 2x, y2 = 8x, xy = 3, xy = 9 . Calcule la masa de la lámina si la densidad en cada punto (x,y) de ella está dada por ρ(x, y) y) = xy . Solución. Cambios de variable:
u = y2 / x , v = xy ∂u
J(x, y)
∂(u, v) ∂x = = ∂v ∂(x, y) ∂x
∂u ∂y
y2
− 2 = x ∂v ∂y
y
2y 2 2 2 x = − y − 2y = − 3y = −3u x x x
x
Región actual (ver figura 6)
Figura 6. Región actual del ejemplo 10
Región nueva (ver figura 7)
⇒ J(u, v) = −
1 . 3u
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Figura 7. Región nueva del ejemplo 10
1 m= 3
9
∫∫ 3
8 2
v dudv = 24 ln(2). u
3.6. MOMENTO DE INERCIA INERCIA El momento de inercia (también llamado segundo momento) de una partícula de masa m alrededor de un eje se define como mr2 , donde r es la distancia de la partícula al eje. El momento de inercia de un cuerpo es considerado como una medida de la resistencia a girar cuando actúa en él una fuerza de rotación. En particular si el eje de giro es el eje X o el eje Y entonces el momento de inercia respecto al eje X o al eje Y es respectivamente
Ix =
∫∫
y2ρ(x, y)dA , Iy =
R
∫∫
x2 ρ(x, y)dA .
R
La suma de estos dos momentos se llama “momento polar de inercia” y se denota como I0 . Así se tiene que I0 = Ix + Iy =
∫∫ R
(x2 + y2 )ρ(x, y)dA ,
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MOMENTO DE INERCIA INERCIA
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donde I0 también es el momento de inercia respecto del eje z. Ejemplo 11. Una lámina tiene la forma de la región limitada por y = x2 , y = 2 − x2 y su densidad es ρ(x, y) = x2. Halle los momentos Ix , Iy , I0 . Solución. 2 − x2
1
m=
∫ ∫ ∫ ∫ x2
−1
1
Ix =
−1
8 x2dydx = , Iy = 15
2 − x2
y2x2dydx = x2
1
∫ ∫ −1
2 − x2
x 4dydx = x2
8 , 35
1574 1790 . , I0 = Ix + Iy = 945 945
3.7. EJERCICIOS RESUELTOS RESUELTOS 1. Al plantear una integral doble sobre una región plana R, se obtuvo la suma de integrales iteradas −1
∫ ∫ −3
2x + 6
5
f(x, y)dydx + −
2x + 6
∫ ∫ −1
2x + 6
f(x, y)dydx . x −1
Dibuje la región R y exprese la integral doble cambiando el orden de integración utilizado. Solución. 4
∫ ∫ −2
y +1
f(x,y)dxdy . (y2 − 6) /2
Gráfico (ver figura 8)
Figura 8. Gráfica de la región del ejercicio 1
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EJERCICIOS RESUELTOS RESUELTOS
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2x xy viene dada por 2. La integral doble sobre una región r egión S del2plano I= xydydx .
∫∫
x2
0
a. Grafique la región de integración. Solución. Solución. Gráfico (ver figura 9) 9)
Figura 9. Gráfica de la región S del ejercicio 2
b. Exprese I en coordenadas polares. polares. Solución. Ecuaciones polares: y = 2 x ⇒ rse n(θ) = 2.r cos(θ) ⇒ θ = arctg(2) r=0 y = x 2 ⇒ rse n(θ) = r2 cos2 (θ) ⇒ r r c os2 (θ) − sen(θ) = 0 ⇒ r = tg(θ) sec(θ) I=
∫
arctg(2)
0
∫
tg(θ) sseec(θ)
r3 cos(θ)sen(θ)drdθ . 0
c. Dé una interpretación de lo que calcula I. Solución. Calcula el volumen de un sólido cuya tapa es la superficie z = xy y cuya base es la región S y con una superficie lateral cilíndrica. 3. Sea 1
I=
∫ ∫ 1 2
x
2
xydydx + 1 − x2
∫ ∫ 1
x
4 − x2
2
xydydx + 0
a. Plantee I en el orden dxdy. Solución. Solución. Dibujo de la región de integración (ver figura 10)
∫ ∫ 2
xydydx . 0
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EJERCICIOS RESUELTOS RESUELTOS
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4 − y2
1 2
I=
∫ ∫
xydxdy + 1 − y2
0
4 − y2
2
∫ ∫ 1 2
xydxdy y
Figura 10. Gráfica de la región del ejercicio 3
b. Calcule el valor de I. Solución. 4 − y2
1 2
I1 =
∫ ∫ ∫ ∫ 0
2
I2 =
1 2
∫ ∫
1 2
xydxdy = 1 − y2 4 − y2
xydxdy =
y
0
1 2
4 − y2 − 1 + y2 3y2 y dy = 2 4 0
=
3 8
2
2
4 − y2 − y2 2 y4 7 9 =1 − = y dy = y − 2 4 1 6 1 6 1 2 1 2
3 9 15 I = I1 + I2 = 8 + 16 = 16 4. La integral doble sobre una región simétrica R del plano, está dada por 3 /2 2 1 /2
∫ ∫
3x
3 /2
x2 y2dydx + 1 − x2
∫ ∫ 3 /2
3x
3 3 /2
x2 y2dydx + x/ 3
∫ ∫ 3 /2
a. Dibuje la región de integración completa. Solución. Intersecciones: (ver figura 11) y = 3x , x2 + y2 = 1 . x2 + 3x2 = 1 ⇒ 4x 2 = 1 ⇒ x = ± 12 ⇒ (− 12 , − 3y = x , x2 + y2 = 1 . y2 + 3y2 = 1 ⇒ 4y 2 = 1 ⇒ y = ± 12 ⇒ (−
9 − x2 x/ 3
3 2)
3 1 2 , − 2)
x2 y2dydx .
; (21 ,
3 2 ).
; ( 23 , 21 ) .
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2
2
2
2
⇒
2
⇒
y = 3x , x2 + y2 = 9 . x2 + 3x2 = 9 4x 2 = 9 3y = x , x + y = 9 . y + 3y = 9 ⇒ 4y = 9 ⇒
3 x = ± 23 y = ± 2
3 3 3 3 3 3 (− 2 , − 2 ) ; ( 2 , 2 ) . ⇒ (− 323 , − 321) ; ( 323 , 23 ) .
⇒
Figura 11. Gráfica de la región del ejercicio 4
b. Exprese la integral cambiando el orden de integración. Solución. 2
3 /2
3y
∫ ∫
3 /2
x2y2dxdy + 1 − y2
1 /2
∫ ∫ 3 /2
3y
9 − y2
3 3 /2
x2 y2dxdy + y/ 3
∫ ∫ 3 /2
y/ 3
x2 y2dxdy .
c. Calcule la integral usando coordenadas polares. Solución. Solución. Transformaciones:
x2 + y2 = 1 ⇒ r = 1 1.. x2 + y2 = 9 ⇒ r = 3 3.. π 1 π (θ) = ⇒ θ = . y = 3 x ⇒ tg (θ) = 3 ⇒ θ = . x = 3 y ⇒ tg 6 3 3
π /3
2
∫ ∫ ∫ π /6
728 3
3
1 π /3
π /6
r5 cos2 (θ)sen2 (θ)drdθ = 2 728 cos (θ)sen (θ)dθ = 12 2
2
π /3
∫
∫
π /3
∫ ∫
cos2 (θ)sen2 (θ)dθ π /6
π /3
sen2 (2θ)dθ = π /6
182 6
3
r5dr 1 π /3
(1 − cos(4θ))d θ
π /6
91 sen(4θ) 91 π 3 91 2π + 3 3 91(2π + 3 3 3)) θ − = + = = 3 4 π /6 3 6 4 3 12 36
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5. Sea la región D definida y ≥ 1como x +1 1))2 , y ≥ 1 − ((xx − 1 1))2 − ((x
,
y ≤ 4 − x2 .
Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el área de la región D en coordenadas: a. cartesianas en el orden dxdy. Solución. Gráfico (ver figura 12)
Figura 12. Representación gráfica de las curvas del ejercicio 5
1 1− 1− y2 1 4 − y2 2 4 − y2 A = 2 dxdy + dxdy + dxdy . 0 0 0 1 + 1 − y2 1 0
∫∫
∫∫
∫∫
b. polares. Solución. (x − 1)2 + y2 = 1 ⇒ x 2 − 2x + y2 = 0 ⇒ r 2 − 2r cos(θ) = 0 ⇒ r( r − 2 cos(θ)) = 0 r=0 ⇒ r = 2 cos(θ) x2 + y2 = 4 ⇒ r = 2 π /2
A=2
∫ ∫ 0
2
rdrdθ .
2 cos(θ )
6. Calcule el área de la región R determinada por las condiciones dadas por x2 + y2 − x < 0 , x2 + y2 − y > 0 , y > 0 . Solución. Gráfico de la región R: (ver ( ver figura 13)
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Figura 13. Gráfica de la región del ejercicio 6
Ecuaciones x2 + y2 −polares: x = 0 ⇒ r 2 = r cos(θ) ⇒ r = cos(θ) . x2 + y2 − y = 0 ⇒ r 2 = rsen(θ) ⇒ r = sen(θ) . Por tanto: π /4
∫ ∫ 0
cos(θ) sen(θ)
1 rdrdθ = 2
∫
π /4
1 (cos (θ) − sen (θ))dθ = 2 2
0
7. Sea la integral en coordenadas polares π /4
I=
∫ ∫ 0
sec(θ)
rdrdθ + 0
2
π /2
∫ ∫ π/4
∫
π /4
0
π
csc(θ)
rdrdθ + 0
π
4
1 sen(2θ) 1 = . cos(2θ)dθ = 2 2 0 4
∫ ∫ π /2
1
rdrdθ . 0
Dibuje la región de integración, interprete geométricamente el valor de I y determínelo sin calcular ninguna integral. Solución. Gráfico de la región (ver figura 14)
Figura 14. Gráfica de la región del ejercicio 7
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I calcula el área de la región R. Geométricamente 1se puede calcularπ el valor como I = ÁREA CUADRADO + ÁREA CIRCULO = 1 + . 4 4 8. Sea la integral doble sobre una región R en el plano mediante coordenadas polares π /3
I=2
∫ ∫ 0
4 cos(θ)
r3drdθ .
2
a. Grafique la región R. Solución. Gráfico de la región (ver figura 15)
Figura 15. Gráfica de la región R del ejercicio 8
b. Exprese I en coordenadas cartesianas car tesianas en el orden dydx. Solución.
2 I = 2 1
∫∫
4 −(x − 2)2
4
(x2 + y2 )dydx + 4 − x2
∫∫ 2
0
4 −(x − 2)2
(x2 + y2 )dydx
c. Dé dos interpretaciones físicas de lo que calcula I. Solución. Interpretación física 1. Calcula el momento polar de inercia de una lámina homogénea cuya forma corresponde a la región R con función de densidad constante e igual a 1. Interpretación física 2. Calcula la masa de una lámina cuya forma corresponde a la región R con función de densidad igual a ρ(x, y) = x2 + y2 .
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9. Calcule mediante un cambio de variables conveniente la integral (x + y)ex − y dA ,
∫∫ R
donde la región R viene dada por el cuadrilátero de vértices (4,0); (6,2); (4,4) y (2,2). Solución. Cambio de variable: u = x + y ; v = x − y . Nueva frontera: J(u, (u, v) = 12 x − y = 0 ⇒ v = 0 ; x − y = 4 ⇒ v = 4 ; x + y = 4 ⇒ u = 4 ; x + y = 8 ⇒ u = 8 Región actual R: (ver figura 16)
Figura 16. Gráfica de la región actual del ejercicio 9
Nueva región T: (ver figura 17)
Figura 17. Gráfica de la nueva región del ejercicio 9
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8
1 2
∫∫ 4
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4 0
8
uevdvdu = 1 2
4
∫ ∫ udu
4
0
ev dv = (64 4− 16) .(e4 − 1) = 12(e4 − 1).
10. Calcule el área de la región que satisface las desigualdade desigualdadess dadas por 2 2 x + y ≥ 4y , x2 + y2 ≤ 4 . Solución. Gráfico de la región de integración llamada R (ver figura 18)
Figura 18. Gráfica de la región del ejercicio 10
Ecuaciones en coordenadas polares: x2 + y2 = 4 ⇒ r = 2 , x2 + y2 = 4 y ⇒ r = 4sen(θ) . Intersecciones de las circunferencias: 1 π π 2 = 4sen(θ) ⇒ se n(θ) = ⇒ θ = si θ ∈ 0, . 2 6 2 2π 2 2π 2 π /6 2 π /6 2 2 r A=2 rdrdθ + rdrdθ = 2 dθ + dθ rdr 2 4sen 4sen((θ) 4sen(θ) 3π / 2 0 3π / 2 0 0 0 π /6 π /6 2 =2 (2 − 8sen (θ))dθ + π = 2 (2 − 4(1 − cos(2 θ)))d θ + π 0 0 π /6 π /6 =2 (2 − 4 + 4 cos(2 θ))dθ + π = 4 ( −1 + 2 cos(2θ))dθ + 2π 0 0 π 2π 3 3 4π π /6 −θ + sen(2θ)) 0 + 2 π = 4 − + +2π = 4 + + 2 3. = 4 ( −θ = 6 6 2 2 3
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
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11. Calcule
∫∫
cos(x + y) dA ,
R
donde R = 0, π × 0, π. Solución. Gráfico de la región (ver figura 19)
Figura 19. Gráfica de la región del ejercicio 11 π /2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 π /2
π /2 − x
cos(x + y)dydx + 0
π
cos(x + y)dydx −
π /2
cos(x + y)dydx =
0 π /2
0
π
cos(x + y)dydx = −
0
Total: 2π .
π /2 − x
∫ ∫ ∫ ∫
π /2
π
π /2 − x 0 π /2 − x
π /2
∫ ∫ ∫ ∫
π
π
2 π
2
π
− 1.
− 1.
π /2 π
π /2
π
cos(x + y)dydx −
3π /2 − x 3π /2 / 2 −x
cos(x + y)dydx
0 π
cos(x + y)dydx = 3π /2 − x 3π / 2 − x
0
π
2
cos(x + y)dydx = −
− 1. π
2
− 1.
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12. Considere
0 si x ≥ tg(y) . f(x,y) = 1 si x < tg(y)
Sea D = −1, 3 × − 2π , 2π . Plantee la integral
∫∫
f(x,y)dA
D
en el orden a. dxdy. Solución. Gráfico de la región (ver figura 20)
Figura 20. Representación gráfica de la región del ejercicio 12
∫∫
f(x, y)dA =
D
∫∫
∫∫
1dA +
REGIÓN 1
π /3
0dA =
∫ ∫ − π /4
REGIÓN 2
tg(y)
π /2
dxdy +
−1
∫ ∫ π /3
−1
b. dydx. Solución.
∫∫ D
f(x, y)dA =
∫∫ REGIÓN 1
1dA +
∫∫ REGIÓN 2
3
0dA =
∫ ∫ −1
π /2
arctg(x)
3
dydx
dxdy
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13. Calcule el área de la región delxplano curvas 2 + y2 xy = 4en; elx2primer + (y − 2) 2cuadrante, )2 = 4 . interior a las curvas Solución. Gráfico de la región (ver figura 21)
Figura 21. Representación gráfica de la región del ejercicio 13
x2 + y2 = 4 ⇒ r = 2 ; x2 + (y − 2)2 = 4 ⇒ x 2 + y2 − 4y = 0 ⇒ r 2 − 4rsen(θ) = 0 r=0 ⇒ r = 4sen(θ) π /6
I=
∫ ∫ 0
4sen(θ)
π /2
rdrdθ +
0
∫ ∫ π /6
π /6
2
rdrdθ =
0
0
π /2
π /6
2
=
∫
0
8sen
∫
π /6
2
(θ)dθ + 2 π /6
1 = 4 θ − sen(2θ) 2 0
∫
π /6
dθ =
∫
0
8sen
4sen(θ)
r2 20
dθ +
∫
π/6
(θ)dθ + π − 3 =
2
r2 dθ 20
π /6
π
4π 2π 4 π +π− = − 3 + = − 3 3 6 3 3 π
π /2
∫
0
4(1
π − cos(2 θ))d θ + π − 3
14. Calcule
∫∫
e1+ xy (x + y) x − y dA ,
R
donde R es la región del plano xy limitada por las curvas xy = 12 , xy = 2 , x + y = 2 , Solución. Región actual D (ver figura 22)
x + y = 4.
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Figura 22. Región actual D de la pregunta 14 −1
Cambios de variable: u = xy , v = x + y . d(J(x, y)) = y − x . xy = 12 ⇒ u = 12 , xy = 2 ⇒ u = 2 , x + y = 2 ⇒ v = 2 , x + y = 4 ⇒ v = 4 Región nueva T (ver figura 23)
Figura 23. Región nueva T de la pregunta 15 4
∫∫ 2
2
1 2
4
u +1
e
v2 1+u 2 vdudv = e 1 = 6(e3 − e3 /2 ). 22 2
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15. Una lámina la el región del primer cuadrante curvas Halle momento de inercia polar. limitada por las xy = homogénea 1 , xy = 4 , ytiene = 2x ,lay forma = 4x . de Solución. Cambios: u = xy , v = y x ∂u
J(x, y)
y
∂u ∂y
∂(u, v) ∂x = = ∂v ∂(x, y) ∂x
=
∂v ∂y
x 1 = x
− y2 x
2
y 1 = 2 v ⇒ J(u, v) = . x 2v
Curvas: u = 1 , u = 4 , v = 2 , v = 4 4
k
∫∫ 2
4
k u 1 v + u.v 2v dudv = 2 1 =
4
∫∫ ∫ 2
4
15k 4
2
4
4
∫
k u 2 + u dudv = 2 1 v 2
4
u2 (1 + v2 ) 2 dv 2v 1
2
1+ v 1 135 15k 1 15 9 = − + + − = = d v 4 2 . k k 4 4 2 4 4 16 v2
16. Cálculo de Γ ( 12 ) . Solución. Por definición Γ( 12 ) =
∫
∞ − t −1 / 2
e t
1/2
∫
2
∞
dt = (u = t ⇒ u = t ⇒ 2u du = dt)
0
e
−u2
2u du = u
2
0
∫
∞
2
e−u du . 0
Entonces Γ(12 ) = 4 2
∫
2
∞
e
−u2
0
du = 4
∫
∞
e
−u2
0
∞ 2 ∞ 2 ∞ u − −u − v2 du e du = 4 e du e dv 0 0 0
∫
∫
∞
=
Γ( 12 ) = 4
∫ ∫ 0
∞
e
π /2
−(r2 )
rdrdθ = −2
0
∫ ∫ 0
Por tanto Γ( 12 ) = π . 17. Cálculo de
∫ Solución.
∞
2
e−t dt . 0
∞
2 + v2 )
e−(u 0
π /2
∞
4
∫∫
Si se hace el cambio a polares x = r cos(θ) , y = rsen(θ) se tiene 2
∫
2
dudv
0
e−(r )( −2r)drd θ = π . 0
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2
∞
I = 2
∫ ∫∫
e
−u2
du =
0
∞
=
0
∞
∞
2 + v2 )
e−(u
∫
∞
e
−u2
du
∫
e
0
0
∞ −u2
du =
∫
0
∞
e
−u2
du
∫
0
e−v2 dv
dudv
0
Si se hace el cambio a polares x = r cos(θ) , y = rsen(θ) se tiene π /2
2
I =
∫ ∫ 0
π
Por tanto I =
2
∞
e
1 rdrdθ = 2
−(r2 )
0
π /2
∫ ∫ 0
∞
2
e−(r )(2r)drdθ = 0
π
4
.
.
18. Sea f(x) la distribución distr ibución normal con medi mediaa µ y desviación estándar σ dada por 1 (x −µ ) 2
1 − 2 . f(x) = e σ 2π Se quiere calcular el valor de I=
∫
∞
σ
−∞ < x < ∞ . 2
(x −µ ) σ
− 1 . 1 e 2 σ 2π
dx.
−∞
Si se hace el cambio y=
x −µ σ
⇒ dy =
dx σ
se obtiene ∞
1 I= 2
e π
Sea
1 2 I = 2π
∫
∞
2 2 1 − y e 2 dy =
−∞
1 2π
∫
∞
∫
− 1 u2 2 e du
−∞
− 1 y2
2
d dyy.
−∞
∫
∞
e
− 1 v2
2
−∞
1 dv = 2π
∞
∫ ∫ −∞
∞
e
2
−∞
Si se hace el cambio a polares x = r cos(θ) , y = rsen(θ) se tiene 1 I = 2π 2
∞
∫ ∫
Por lo tanto I = 1 .
−∞
∞
e −∞
1 dudv = 2π
− 1 (u2 + v2 )
2
2π
∫ ∫ 0
∞
e 0
− 1 (r2 )
2
rdrdθ =
dudv .
− 1 (u2 + v2 )
1 .2 π = 1 . 2π
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LA INTEGRAL TRIPLE TRIPLE
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3.8. LA INTEGRAL TRIPLE TRIPLE La definición de integral triple es análoga a la de integral doble. En el caso más simple consideremos una caja rectangular R acotada por 6 planos x= a 0, x= a1, y = b0, y = b1, z = c0, z = c1; y sea u = f(x,y,z) una función de tres variables definida en todo (x,y,z) de R. Se subdivide el espacio en cajas rectángulares mediante planos paralelos a los planos coordenados. Sean B1, B 2,......, Bn aquellas cajas de la subdivisión que contienen puntos de R. (ver figura 24)
Figura 24. Intuición geométrica de la integral triple
Se designa con V(Bi) el volumen de la i-ésima caja B i. Se elige un punto de coordenadas Pi(ξi, ηi, γ i) en Bi, esta elección se puede hacer en forma arbitraria. La suma n f(ξi, ηi, γ i).V(Bi)
∑
i=1 es una aproximación de la integral triple. La norma de subdivisión es la longitud de la mayor diagonal de las cajas B1, B2,....., Bn. Si las sumas anteriores tienden a un límite cuando la norma de la subdivisión tiende a cero y para elecciones arbitrarias de los puntos P i, a este límite lo llamaremos la integral triple de f sobre R . La expresión
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LA INTEGRAL TRIPLE TRIPLE
Integrales Dobles y Triples Pág.: 274 de 305
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∫∫∫∫ ∫∫
f(x,y,z).dV
R
se utiliza para representar el límite. Así como la integral doble es igual a dos integrales iteradas, también la integral triple es igual a tres integrales iteradas. Para el caso de la caja rectángular R se obtiene a1 b1 c1 f(x, y, z).dV = f(x, y, z).dz.dy.dx . a0 b0 c0 R
∫∫∫
∫ ∫ ∫
Observación 1. Las integrales iteradas se efectúan considerando todas las variables constantes, excepto aquella respecto a la cual se integra. Este concepto se puede extender a n variables. Ejemplo 12. Evalúe 12. Evalúe la integral triple
∫∫∫∫ ∫∫
xyz2dV ,
B
donde B es la caja rectangular dada por B = {(x, y, z) / 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} . Solución.
∫∫∫
3
2
xyz dV =
2
∫∫ ∫ 0
B
−1
1
xyz2dxdydz = 0
27 . 4
Ejemplo 13. Sea 2
4 − x2
−2
− 4 − x2
∫ ∫
∫
2
f(x,y,z)dzdydx . x2 + y2
Plantee en el orden dxdzdy. dxdzdy. Solución. 0
2
z2 − y2
−y
− z2 − y2
∫∫∫ −2
2
f ( x, y, z)dxdzdy +
2
∫∫∫ 0
y
z2 − y2
f ( x, y, z)dxdzdy. − z2 − y 2
CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL TRIPLE TRIPLE U.C.V.
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3.9. CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL TRIPLE TRIPLE Sea T una transformación que delimita una región S en un espacio uvw sobre una región R en el espacio xyz por medio de las ecuaciones x = g(u, v, v, w w)) , y = h(u, v, v, w w)) , z = k(u, vv,, w w)). El jacobiano de T es el siguiente determinante de 3 × 3 : ∂x ∂x ∂x ∂u ∂v ∂w ∂(x, y, z) ∂y ∂y ∂y . = ∂(u, v, w) ∂u ∂v ∂w ∂z ∂z ∂z ∂u
∂v
∂w
Bajo las mismas hipótesis vistas en integrales dobles, se tiene la siguiente fórmula para integrales triples: ∂(x,y,z) f(x, yy,, zz))dV = f(x(u, vv,, w), yy((u, vv,, w w)), z(u, v, v, w w))) dudvdw. ∂(u,v,w)
∫∫∫
∫∫∫
R
S
3.10. COORDENADAS CILÍNDRICAS CILÍNDRICAS En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r, θ,z ,z)), donde r y θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P (ver figura 25). Par Paraa convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares se usan las ecuaciones dadas por x = r cos(θ) , y = rsen(θ) , z = z , mientras que, para convertir de coordenadas retangulares a cilíndricas se usan r2 = x2 + y2 , tg(θ) = y / x , z = z. Estas coordenadas son preferidas cuando hay simetría alrededor de un eje. Ejemplo 14. 14. Determine el punto con coordenadas cilíndricas (2,2π /3 /3,1 ,1)) y encuentre sus coordenadas rectangulares. Solución. Solución. x 2 cos(2 / 3) 1 , y 2sen(2 / 3) 3 , z 1 . =
π
=−
=
π
=
=
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COORDENADAS CILÍNDRICAS CILÍNDRICAS
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Figura 25. Sistema de coordenadas cilíndricas cilíndricas
Ejemplo 15. Determine 15. Determine las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas rectangulares (3, −3, −7) . Solución. Solución. r = 9 + 9 = 3 2 , θ = arct arctg g(−1) = 74π , z = −7 . Ejemplo 16. Describa 16. Describa las siguientes superficies en coordenadas cilíndricas. cilíndricas. a. z = r . Un cono b. r = c. Un cilindro circular recto c. θ = c. Una recta que pasa por el origen d. z = c. Un plano horizontal. Ejemplo 17. Encuentre 17. Encuentre la ecuación en coordenadas cilíndricas del elipsoide de ecuación 4x2 + 4y2 + z2 = 1. Solución. Solución.
4(x2 + y2 ) + z2 = 1 ⇒ 4r 2 + z2 = 1 ⇒ z 2 = 1 − 4 4rr2 . Si se quiere realizar un cambio de variables en las integrales triples usando las coordenadas cilíndricas se tiene que x = r cos(θ) , y = rsen(θ) , z = z , entonces: cos(θ) −rsen(θ) 0 ∂(x,y,z) = sen(θ) r cos(θ) 0 = r . ∂(r, θ,z ,z)) 0 0 1
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COORDENADAS CILÍNDRICAS CILÍNDRICAS
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Por tanto
∫∫∫
h2 (θ)
β
f(x, y, z)dV =
∫∫ ∫ h1(θ)
α
E
u2 (r co cos(θ),rsen(θ))
f(r cos(θ)),, rsen(θ)),, z).rdzdrdθ. u1(r cco os(θ),rsen(θ))
Ejemplo 18. Un 18. Un sólido E está dentro del cilindro x2 + y2 = 1, debajo del plano z = 4 y arriba del paraboloide z = 1 − x2 − y2 . Calcule su volumen. Solución. Solución. 1 − x2
1
V=
∫ ∫ −1
−
1 − x2
∫
4
2π
dzdydx = 1− x2 − y2
1
∫ ∫∫ 0
0
4
rdzdrdθ = 1−r2
7 π. 2
3.11. COORDENADAS ESFÉRICAS ESFÉRICAS Las coordenadas esféricas (ρ , θ, φ) de un punto P en el espacio se ilustra en la figura, donde ρ = OP es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que ρ ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ π (ver figura 260).
Figura 26. Sistema de coordenadas esférica esféricas s
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COORDENADAS ESFÉRICAS ESFÉRICAS
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Las siguientes equivalencias permiten las transformaciones de coordenadas esféricas a rectangulares: x = ρsen(φ) cos(θ) , y = ρsen( φ)sen( θ) , z = ρ cos( φ) . Por otro lado se tiene que
x2 + y2 + z 2 = ρ2 . Ejemplo 19. El punto (2, 4π , 3π ) está dado en coordenadas esféricas. Halle el punto y encuentre sus coordenadas rectangulares. Solución. Solución. x = 2sen(3π) cos( 4π ) =
6 2
, y = 2sen(3π)s )sen( 4π ) =
6 2
, z = 2 cos(3π) = 1 .
Ejemplo 20. Describa 20. Describa cada una de las siguientes ecuacione ecuacioness dadas en coordenadas esféricas. a. 5 ρ = c . Esfera b. θ = c . Plano c. φ = c. Semicono superior Ejemplo 21. 21. Encuentre la ecuación en coordenadas esféricas, para el hiperboloide de dos hojas x2 − y2 − z2 = 1 . Solución. Solución.
x2 − y2 − z2 = 1 ⇒ ρ2[sen2 (φ) cos(2θ ) − cos2 (φ)] = 1 . Ejemplo 22. Encuentre 22. Encuentre una ecuación rectangular para la superficie cuya ecuación esférica es ρ = sen sen(θ)sen sen(φ). Solución. Solución. ρ2 = ρsen(θ)sen(φ) ⇒ x 2 + y2 + z2 = y ⇒ x 2 + (y − 12 )2 + z2 = 14
Ejemplo 23. Evalúe
∫∫∫
(x2 + y2 + z2 ))d dV,
B
donde B es el sólido encerrado por la esfera x2 + y2 + z2 = 1. Solución. 2π
π
∫ ∫∫ 0
0
1
ρ4sen(φ)dρdφdθ = 0
4 π. 5
Esfera.
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COORDENADAS ESFÉRICAS ESFÉRICAS
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Ejemplo 24. Evalúe 24. Evalúe
∫∫∫∫ ∫∫
x2 + y2 + z2 dV,
E
donde E está limitado abajo por el cono φ = 6π y arriba por la esfera ρ = 2. Solución. Solución. 2π
π /6
∫ ∫ ∫ 0
0
2
d ρdφdθ = ρ3sen(φ))d
4 π(2 − 3).
0
Ejemplo 25. El punto (0, 2 3, −2) está dado en coordenadas rectangulares. Encuentre sus coordenadas esféricas. Solución. Solución. ρ2 =
6 ⇒ ρ = 4 , φ = 0 + 12 + 4 = 1 16
23π , θ = 2π
. Punto (4, 2π , 23π )
3.12. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES TRIPLES Todas las aplicaciones de integrales dobles se pueden extender de inmediato a integrales triples. Por ejemplo, si la función de densidad de un objeto sólido que ocupa la región E es ρ(x,y,z) , en unidades de masa por unidad de volumen, en cualquier punto (x,y,z) masa es dado, entonces su masa es
m=
∫∫∫
ρ(x, y, z)dV
E
y sus momentos alrededor de los tres planos de coordenadas son momentos alrededor
Myz =
∫∫∫
xρ(x, y, z)dV , Mxz =
E
∫∫∫
y ρ((xx, y, z)dV , Mxy =
E
El centro de masa está masa está ubicado en el punto (x,y,z) (x,y,z),, donde
x=
Myz M M , y = xz , z = xy . m m m
∫∫∫ E
zρ((xx, y, z)dV .
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Si la densidad es constante, el centro de masa del sólido se denomina centroide centroide de de E. Los momentos de inercia alrededor inercia alrededor de los tres ejes de coordenadas son
Ix =
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫
(y2 + z2 )ρ(x, y, z)dV ,
E
Iy =
(x2 + z2 )ρ(x, y, z)dV ,
E
Iz =
(x2 + y2 )ρ(x, y, z)dV
E
La carga eléctrica total de un objeto sólido que ocupa una región E y que tiene densidad de carga σ(x,y,z) viene dada como
∫∫∫∫ ∫∫
σ(x,y,z)dV .
E
Si se tienen tres variables aleatorias continuas X, Y y Z, la función de densidad conjunta de conjunta de ellas es una función de tres variables tales que la probabilidad de que (X,Y,Z) se encuentre en E es
P((X, Y, Y, Z) ∈ E) =
∫∫∫
f(x, y, z)dV ,
E
en particular, se tiene que b
P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d, r ≤ Z ≤ s) =
d
∫ ∫ ∫ a
c
s
f(x, y, z)dzdydx . r
La función de densidad conjunta satisface que f(x, y, y, z) z) ≥ 0 y además ∞
∞
∫ ∫ ∫ −∞
−∞
∞
f(x,y,z ,y,z))dzdydx = 1 . −∞
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APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES TRIPLES F.I.U.C.V.
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2 Ejemplo 26. Encuentre 26. Encuentre el centro masa parabólico de un baul xde= ymadera densidad a 1 cuya forma está limitada por elde cilindro y los de planos x = z ,constante z = 0 y xigual = 1. Solución. Solución. El sólido E se proyecta sobre el plano xy. Las superficies inferior y superior de E son los planos z = 0 y z = x . La masa viene dada por 1
m=
1
∫ ∫ ∫ −1
y2
x
dz dx dy = 0
4 . 5
Debido a la simetría de E y la función densidad alrededor del plano xz, se puede decir de inmediato que Mxz = 0 y, por lo tanto, y = 0 . Los otros momentos son 1
Myz =
1
∫ ∫ ∫ −1
y2
x 0
4 xdzdxdy = , Mxy = 7
1
1
∫ ∫ ∫ −1
y2
x
zdzdxdy = 0
2 . 7
En consecuencia, el centro de masa es Myz Mxz Mxy 5 5 , , . = , 0, 14 m m m 7 Ejemplo 27. 27. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular la masa del sólido ubicado en el primer octante, que se encuentra dentro del cilindro de ecuación x2 + y2 = 4x y limitado superiormente por la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 16 . La densidad volumétrica de masa en cada punto es igual al producto de las coordenadas c oordenadas del punto. Solución. Cilíndro: (x − 2)2 + y2 = 4 ⇒ x 2 + y2 − 4x = 0 ⇒ r = 4 cos(θ) Esfera: x2 + y2 + z2 = 1 6 ⇒ z = 16 − x2 − y2 = 16 − r2 . Jacobiano: r π /2
16 −r2
4 cos(θ)
1 θ θ θ = r cco os( )sen( )zdzdrd 2
π /2
4 cos(θ)
3
m=
∫ ∫ ∫ 0
1 = 2 =
π /2
0 5
0
∫
0
2
∫ ∫ 0
0
(16 − r
3
)r cco os(θ)sen(θ)drdθ
π /2 16.44 cos4 (θ) 46 cos6 (θ) 1 45 46 6 8 − θ = − θ + θ sen(θ) cos(θ) d 6 cos ( ) 6.8 cos ( ) 4 6 2 0
46 45 1 1 45 1 128 14 − − = = . = 3 2 6 6.8 2 6 12 2 12
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3.13. EJERCICIOS RESUELTOS RESUELTOS 19. Sea T el sólido definido por
x2 + z2 ≤ y ≤ 2 + x2 + z2 . Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del sólido en coordenadas cartesianas con: a. dV = dydxdz . Solución. 4 − z2
2
V=4
∫∫ ∫ 0
0
2 + x2 + z2
dydxdz . x2 + z2
b. dV = dxdydz . Solución. 2
V=4
y − z2
z +2
∫∫ ∫ z2
0
2
dxdydz + 4 0
y − z2
4
∫∫ ∫ 0
z +2
dxdydz (y − 2)2 − z2
20. Un sólido, en el primer octante, está limitado por las superficies x = 1 , y = 1 , z = 0 , z = 6 − x2 − y2 . Exprese las integrales iteradas que calculan el volumen del sólido en coordenadas cilíndricas. Solución. π
4
I=
6 −r2
sec(θ)
∫ ∫ ∫ 0
0
π
2
rdzdrdθ +
0
csc(θ)
∫ ∫ ∫ π
4
0
6 −r2 0
rdzdrdθ
21. Calcule el volumen del sólido que está sobre el cono φ = 3π y debajo de la esfera co os(φ) . ρ = 4c Solución. 2π
π /3
∫ ∫ ∫ 0
22. Sea la integral
0
2π
4 cos(φ)
ρ2sen(φ)dρdφd θ = 10 π. 0
2
r
r 4z co coss2 (θ)sen(θ)dzdrdθ 0
0
∫ ∫∫
0
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dada en coordenadas cilíndricas. Exprese la integral en coordenadas esféricas. Solución. 4 −x2
2
∫∫ ∫ −2
−
4 − x2
x2 + y2
2π
2
x yzdzdydx = 0
π /2
∫ ∫ ∫ 0
π/4
2 /sen(φ)
ρ6 sen4 (φ))c cos(φ))ccos2 (θ))ssen(θ))d dρd φdθ 0
23. Una integral triple sobre una región Q en el espacio, viene expresada mediante integrales iteradas en coordenadas cilíndricas por 2π
1
∫ ∫∫
I=
0
0
4
2π
3
r dzdrdθ + 0
2
∫ ∫∫ 0
1
5 −r
2π
3
∫ ∫∫
3
r dzdrdθ + 0
0
2
5 −r
r3dzdrdθ . 2
Exprese la integral I en coordenadas esféricas. Solución. Gráfico de la región (ver figura 27)
Figura 27. Gráfica del ejercicio 5
A = arctg( 14 ) ; B = arctg(22) = 4π ; C = arctg(32) ; r2 = ρ2 sen2 (φ) z = 4 ⇒ ρ cos(φ) = 4 ⇒ ρ = 4 sec(φ) ; z = 5 − r ⇒ ρ cos(φ) = 5 − ρsen(φ) 5 ⇒ ρ = cos(φ) + sen(φ) z = 2 ⇒ ρ cos(φ) = 2 ⇒ ρ = 2 sec(φ) ; x2 + y2 = 4 ⇒ ρ2 sen2 (φ) = 4 ⇒ ρ sen(φ) = 2 ⇒ ρ = 2 ccssc(φ) 2 π
I=
arctg( 1 ) 4
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0
2π
0
4 sec(φ) 0
π
2 csc(φ)
π
4
0
π
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
ρ4sen3 (φ)dρd φd θ +
0
2
2π
4
5 cos(φ) + sen(φ)
arctg( 1 ) 0 4 5 arctg( 3 ) 2 cos(φ) + sen(φ) co
ρ4sen3 ( φ)d ρd φd θ +
0
2π
ρ4sen3 (φ)dρdφdθ +
0
π
4
2 sec(φ)
ρ4sen3 ( φ)d ρd φd θ
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24. Calcule la integral
∫∫∫∫ ∫∫
(x2 + y2 + z2 )3
e
dV ,
T
sabiendo que T es el sólido comprendido entre las esferas x2 + y2 + z2 = 1 , x2 + y2 + z2 = 4 en el primer octante, utilizando coordenadas coordenadas esféricas. Solución. π
2
π
2
∫ ∫ ∫ 0
0
2 1
1 e ρ sen(φ)dρdφdθ = 3 ρ3
2
π
2
∫ ∫ 0
π
2
0
2
e8 − e e sen(φ)dφdθ = 3 1 ρ3
=
∫
π
2 π
− cos( φ) 0
2
0
dθ
(e8 − e)π 6
25. Dadas las integrales que que calculan el volumen de cierto só sólido lido usand usando o las coordenadas cilíndricas dadas por 2π
I=
1
∫ ∫∫ 0
0
1
2π
rdzdrdθ + r
4
∫ ∫∫ 0
1
4
rdzdrdθ , r
plantee la(s) integrale(s) que calculan su volumen en coordenadas: a. cartesianas proyectando en el plano xz. Solución. Proyección en xz: (usando simetría solo mostrando ¼ del sólido) (ver figura 28)
Figura 28. Región del ejercicio 7
I = 4
1
∫∫∫ 0
z2 − x2
1
x
4
dydzdx + 0
∫∫∫ 1
z2 − x2
4
x
1
dydzdx + 0
4
∫∫∫ 0
1
z2 − x2 1 − x2
dydzdx
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b. esféricas Solución. I = 4
π
2
π
4
∫ ∫ ∫ 0
0
sec(φ)
π
2
ρ
sen(φ)dρdφdθ +
0
2
∫ ∫ 0
π
4
arctg(1 / 4)
∫
4 sec(φ)
ρ2sen( φ)d ρd φd θ
csc(φ)
26. Plantee la integral triple que calcula el volumen del sólido definido por 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 , 4 ≤ x 2 + y2 ≤ 16 : a. Proyectando en el plano xy. Solución. Gráfico de la región (ver figura 29)
Figura 29. Región del ejercicio 8
4
2
∫∫ 0
16 − x2 4 − x2
x2 + y2
∫
dzdydx +
0
16 − x2
4
∫∫ 2
0
x2 + y2
∫
0
dzdydx
b. En coordenadas esféricas. Solución. x2 + y2 = 4 ⇒ ρ2sen2 (φ) cos2 (θ) + ρ2sen2 (φ)sen2 (θ) = ρ2sen2 ( φ) = 4 ⇒ ρ = 2 csc(φ) x2 + y2 = 1 6 ⇒ ρ2sen2 (φ) cos2 (θ) + ρ2sen2 (φ)sen2 (θ) = ρ2sen2 ( φ) = 1 6 ⇒ ρ = 4 csc(φ) π /2
4
π /2
∫ ∫ ∫ 0
π/4
4 csc(φ)
ρ2sen(φ)dρdφdθ 2 csc(φ)
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27. Sea S el sólido limitado por las superficies 1
z = x2 + y2 , z = 1 + 1 − x2 − y2 . Sea S2 el sólido definido mediante las desigualdades dadas por z ≥ 0 , z ≤ 3 − x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 4 . Sea S el sólido definido como S = S2 − S1 . Plantee, mediante integrales triples, el volumen de S usando coordenadas: coordenadas: a. Cilíndricas. Solución. Volumen de S1 : 2π
∫ ∫∫ 0
Volumen de S2 :
1+ 1−r2
1
0
2π
rdzdrdθ . r
2
∫ ∫∫ 0
0
3 −r
rdzdrdθ . 0
Volumen de S: 2π
2
∫ ∫∫ 0
0
3−r
2π
rdzdrdθ − 0
1
∫ ∫∫ 0
0
1 + 1 −r2
rdzdrdθ . r
b. Esféricas. Solución. Volumen de S1 : 2π
π/4
∫ ∫ ∫ 0
0
2 cos(ϕ)
ρ2sen(ϕ)dρdϕdθ . 0
Volumen de S2 : 2π
∫ ∫ 0
arctg(2) 0
∫
3 /(cos(ϕ)+ sen(ϕ))
2π
2
ρ 0
sen(ϕ)dρd ϕd θ +
∫ ∫ 0
π /2
arctg(2)
∫
2 / sen(ϕ)
ρ2sen( ϕ)d ρd ϕd θ . 0
Volumen de S: Volumen de S2 - Volumen de S1 . 28. Sea S el sólido definido por 1 z ≥ (x2 + y2 ) ; x2 + y2 ≤ 9 ; x2 + y2 + (z − 5)2 ≤ 25 . 3 Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del sólido S utilizando coordenadas:
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a. Cartesianas en el orden dydxdz. Solución. Gráfico de la región (ver figura 30)
Figura 30. Proyección del sólido en el plano xz
3
3z − x2
3z 3z
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
V=4
dydxdz + 4
0
0
9
0
0
3
∫∫∫ 3
25 − ((zz −5) 5)2
10
4
9
0
9 − x2
dydxdz +
0
25 − ((zz −5 5))2 − x2
dydxdz
0
b. Cilíndricas con proyección en el plano xy. Solución. 2π
V=
29. Sea T el sólido definido por z ≥ x2 + y2
;
5 + 25 −r2
3
rdzdrdθ
∫ ∫∫ 0
0
1 r2 3
x2 + y2 ≤ 9
;
z ≤ 9 + x2 + y2 .
Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del sólido S utilizando coordenadas: a. Esféricas. Solución. Gráfico de la región (ver figura 31)
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Figura 31. Identificación del ángulo respecto al eje z positivo
Ecuaciones esféricas: z = x2 + y 2 ⇒ ρ cos(φ) = ρ2sen2 (φ) ⇒ ρ ρsen2 (φ) − cos(φ) = 0 ⇒
ρ=0
)csc(φ) ρ = ctg(φ)cs
x2 + y2 = 9 ⇒ r = 3 ⇒ ρ = 3 csc(φ)
z = 9 + x2 + y 2 ⇒ ρ cos(φ) = 9 + r ⇒ ρ cos(φ) = 9 + ρsen(φ) ⇒ ρ = π /2
V=4
π /2
ctg(φ) csc(φ)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0
π /2
2
ρ
sen(φ)dρd φd θ + 4
arctg(1 / 3) 0 π /2 arctg( arctg(1/ 1/ 4) 9/ (cos(φ) − sen(φ)) 0
0
arctg(1 / 4)
∫
cos(φ) − sen(φ)
3 csc(φ)
ρ2sen( φ)d ρd φd θ
0
ρ2sen(φ)dρd φdθ
+4
0
∫ ∫
arctg(1/ arctg(1/ 3)
9
0
b. Cartesianas en el orden dzdydx. Solución. 3 9 − x2 V = 4 0 0
∫∫ ∫
30. Sea T el sólido definido por x2 + y2 ≤ 6x
;
9 + x2 + y2
x2 + y2
x2 + y2 ≥ z
dzdydx
;
z ≥ 0.
Use coordenadas cilíndricas para calcular c alcular su volumen. Solución. Ecuaciones cilíndricas: r=0 x2 + y2 = 6 x ⇒ r 2 = 6r cos(θ) ⇒ r r − 6 cos(θ) = 0 ⇒ r = 6 cos(θ)
z = x2 + y 2 ⇒ z = r
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π /2
V=
6 cos(θ)
∫ ∫ ∫ ∫ − π /2
1 = 6
− π /2
π /2
∫
rdzdrdθ = 1 2 0
0
π /2
r
6 c os os(θ) r3 dθ = 0
π /2
216 6
∫
6 cos(θ)
∫ ∫ − π /2
π /2
r z r0
drdθ = 1 2
0
π /2
3
cos (θ)dθ = 144
− π /2
∫
π /2
6 cos(θ)
∫ ∫ − π /2
r2drd θ
0
cos3(θ)dθ
0 π /2
sen3(θ) (1 − sen (θ)) cos(θ)dθ = 144 sen(θ) − 3 0 2
= 144
0
π /2
sen3 (θ) = 144 sen(θ) − 3 0
= 144 1 −
1 144.2 288 = = = 96 3 3 3
31. Sea T el sólido definido por z ≤ 2 + 4 − x2 − y2 x2 + y2 ≤ 4
si 2 ≤ z ≤ 4 si 0 ≤ z ≤ 2 .
a. Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el volumen de T en coordenadas: a.1. cartesianas a.1. cartesianas en el orden dxdydz. Solución. 4
4 − y2
2
2
∫∫∫ 0
0
4 −(z − 2)2
4
dx dy d z + 0
∫∫ 2
∫
0
4 − y2 −(z −2)2 0
dx dy dz
a.2. esféricas. Solución. 4
π
2
π
2
∫ ∫ ∫ 0
π /4
2 sen(φ)
π
2
ρ
sen(φ)dρdφdθ +
0
2
π
4
∫ ∫ ∫ 0
0
4 cos(φ) 0
a.3. cilíndricas con proyección en xy. Solución. π
4
2
2
∫ ∫∫ 0
0
2 + 4 −r2
rdzdrdθ 0
b. Calcule el volumen de T. Solución. V = 8π +
2 16 40 π.8 = 8 + π= π 3 3 3
ρ2 sen( φ)d ρd φd θ
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EJERCICIOS RESUELTOS RESUELTOS
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2 masa del sólido ubicado en el primer octante 32. que Utilice cilíndricas para calcular secoordenadas encuentra dentro del cilindro = 4x y limitado superiormente por la esfera x2 + yla
x2 + y2 + z2 = 16 . La densidad volumétrica de masa en cada punto es igual al producto de las coordenadas del punto. Solución. Cilindro: r=0 . x2 + y2 = 4 x ⇒ r 4 c o s ( ) = θ
Semiesfera superior :
x2 + y2 + z2 = 1 6 ⇒ z = 16 − r2 . Densidad: ρ(x, y y,, z) =
m=
π /2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0
=
1 2
1 = 2 1 = 2 1 = 2 =
4 cos(θ)
0
π /2
16 −r2
xy z ⇒ r2 c os(θ)sen(θ)z .
r3 cco os(θ)sen(θ)zdzdrdθ
0
4 cos(θ)
r3 cos(θ)sen(θ)(16 − r2 )drdθ
0
π /2
0
π /2
0
π /2
0
0 4 cos(θ) 0
1 cos(θ))ssen(θ))((16r − r ))d drdθ = 2 3
cos(θ)sen(θ) 45.c .co os4 (θ) −
5
∫
π /2
0
4 co cos(θ)
r6 cos(θ))ssen(θ) 4r 4 − 6 0
46 cos6 (θ) dθ 6
5 46 5 cos7 (θ) sen(θ)dθ = 4 cos (θ) − 6
∫
1
;
1
9 5 45 7 29 45 8 u du = u6 − u 2 u − 3 6 3 . 8 0 0
29 − 45 = 28 − 44 = 28 − 28 = 28 − 27 = 256 − 128 = 128 6 3.8 3 3.2 3 3.2 3 3 3 3
33. Sea T el sólido homogéneo definido por x2 + y2 + z2 ≤ 9
dθ
x2 + y2 + (z − 3)2 ≤ 9 .
Usando coordenadas esféricas calcule su masa. Solución. Intersecciones: 2 2 2 9 3 x + y + z = 9 ⇒ x 2 + y2 + z2 − 6z = 0 ⇒ 9 − 6z = 0 ⇒ z = = 2 6 2 x + y2 + (z − 3)2 = 9 27 3 Curva Inter sec ción : x2 + y2 = ; z= 4 2
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Ecuaciones esféricas: x2 + y2 + z2 = 9 ⇒ ρ = 3
;
0 cos(φ) ρ = 6 co
x2 + y2 + (z − 3)2 = 9 ⇒ ρ2 − 6ρ cos(φ) = 0 ⇒
ρ=
Gráfico de la región (ver figura 32)
Figura 32. Identificación del ángulo respecto al eje z positivo 2π π / 2 6 cos(φ) 2π π / 3 3 2 2 ρ sen(φ)dρdφdθ + ρ sen(φ)dρdφdθ m=k 0 π /3 0 0 0 0 π /3 3 2π π / 2 2π 6 c os os(φ) 1 2 3 =k dθ sen(φ)dφ ρ dρ + sen(φ) ρ dφdθ 0 3 0 π /3 0 0 0
∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫∫ ∫ ∫∫
2π π /2 3 3 216 72 π /3 ρ = k 2π. − cos(φ)0 . + cos3(φ)sen(φ)dφdθ = k 9π + 4 3 3 π /3 0 0 2π 1 9π 45 45πk dθ = k 9π + = = k 9π + 18 16 4 4 0
∫
∫∫
2π
π /2 − cos4(φ) d θ π /3 0
∫
34. Sea T el sólido homogéneo definido por x2 + y2 + z2 ≤ 16 ; x2 + y2 + (z − 2)2 ≥ 4 . Use coordenadas esféricas para calcular el momento alrededor del plano xy ( Mxy ). Solución. Intersecciones: x 2 + y2 + z2 = 16 ⇒ x 2 + y2 + z2 − 4z = 0 ⇒ 1 6 − 4 4zz = 0 ⇒ z = 4 2 2 2 2)) = 4 x + y + (z − 2
Curva Inter sec ción : x2 + y2 = 12 ; z = 4
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Ecuaciones 2esféricas: x + y2 + z2 = 1 6 ⇒ ρ = 4 ;
2π
Mxy = k
π /2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0
k = 4 k = 4
0
2π
0
44 k = 4
44 k = 8
π /2
0 2π
ρ
sen(φ) cos(φ)dρdφdθ + k
0 2π
k dφdθ + 4
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
ρ3sen( φ) cos( φ)d ρd φd θ
π /2
2π
0
π /2
4
44 k sen(φ))ccos(φ))d dφdθ − 4
π
2π
0
π
π /2
k sen(φ) cos(φ) 4 − 4 cos (φ) dφdθ + 4 4
4
π
0
4
0
2π
0
2π
3
4 sen(φ) cos(φ) ρ4 4 cos(φ)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4
=
0
0
44 k + 4
4
4 cos(φ)
π /2
0 2π
x2 + y2 + (z − 2)2 = 4 ⇒ ρ2 − 4ρ cos(φ) = 0 ρ=0 ⇒ os(φ) ρ = 4 cco
4
sen(φ) cos(φ) ρ4 d φd θ
2π
0
0
π
π /2
sen(φ) cos(φ) 44 dφdθ
π /2
∫ ∫ 0
0
sen(φ))ccos5 (φ)dφdθ
sen(φ) co cos(φ)dφdθ
π /2 π /2
2 φ sen ( )0 4
44 k dθ + 24
∫
2π
0
4
π /2
6 φ cos ( )0 4
44 k dθ + 8
4
∫
2π
0
π
sen2 (φ) θ π /2 d
3
π.4 k π.4 k 2π.4 k 2π.4 k 2π.4 k 2 π.4 k 64 πk − − =− =− =− =− 8 24 8 24 12 3 3
35. Utilice un cambio de variable adecuado para calcular la masa de la región de densidad y, z) z) = xyz que se encuentra limitada por las superficies ρ(x, y, xy = 1 , xxyy = 9 , xxzz = 4 , xxzz = 9 , yz = 9 , yyzz = 16 . Solución. Cambios de variables: u = xy , v = xz , w = yz . Cálculo del jacobiano J(x,y,z):
J(x, y, z) =
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
∂v ∂x ∂w ∂x
∂v ∂y ∂w ∂y
∂v ∂z ∂w ∂z
y x 0 = z 0 x = −2xyz . 0 z y
Superficies: u = 1 , u = 9 , v = 4 , v = 9 , w = 9 , w = 16 . 9
m
= 12
9
∫∫∫ 1
4
16
dwdvdu = 1 14 40 . 9
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36. Sea Q el sólido definido por 2 z ≤ 16 − x − y2 , z ≥ 0 , x2 + y2 ≥ 4 , x2 + y2 ≤ 8 . Considerado el sólido Q homogéneo homogéneo:: a. Exprese su masa en coordenadas cartesianas en el orden dxdydz. Solución. Gráfico de la región (ver figura 33)
2 2
2
∫ ∫∫ ∫ ∫∫
Figura 33. Región del ejercicio 18 8 − y2 2 2 2 2 8 − y2
V=4
4
dxdydz + 4
0
0
4 − y2
2 3
2
16 − y2 − z2
2 2
0
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0
2
dxdydz +
0
16 − z2
2 3
16 − y2 − z2
dxdydz + 4 4 − y2
2 2
2
dxdydz 0
el momento de inercia respecto al eje z. b. Calcule Solución.
Iz =
∫∫∫
2π
(x2 + y2 )ρ(x, y, z)dV = k
2π
=k
∫ ∫ ∫ ∫ 0 2π
=k
0
∫ ∫ ∫ 0
Q
16 −r2
2 2
2
r3dzdrd θ 0
2 2
r3 1 16 6 − r2 drdθ
2 2 2
2 2
r 2
3
(16 − r2)5 / 2 16(16 − r2)3 / 2 − θ = π − 1 16 6 r drd 2 k 5 3 2 2
2 2
85 / 2 16(8)3 / 2 125 / 2 16(12)3 / 2 = 2πk − − + 3 5 3 5 2
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37. Sea W un sólido limitado2por 2las superficies z = − x + y , x2 + y2 = 1 ,
z = 1 + 1 − x2 − y2 .
a. Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el volumen del sólido W en coordenadas: a.1. cartesianas en el orden dxdydz. Solución. Proyección en el plano yz usando simetría (ver figura 34)
Figura 34. Proyección plano yz usando simetría del ejercicio 19 1 −(z −1)2
2
∫∫ ∫ ∫∫∫
1 − y2 −(z −1)2
V=4
4
1
0
0
1
−z
dxdydz + 4
0
1 − y2
dxdydz + 4
−1
1
0
0
−z
∫∫ ∫ −1
0
1
∫∫∫
0 1 − y2
0
1− y2
0
dxdydz z2 − y2
dzdydx. Solución. Proyección en el plano xy usando simetría (ver figura 35)
dxdydz +
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Figura 35. Proyección plano xy usando simetría del ejercicio 19
1
V=4
1 − x2
∫∫ ∫ 0
1+ 1− x2 − y2
dzdydx
− x2 + y2
0
a.2. esféricas. a.2. esféricas. Solución. Ecuaciones esféricas: 0 cos(φ) ρ = 2 co
ρ=
x2 + y2 + (z − 1)2 = 1 ⇒ ρ(ρ − 2 cos(φ)) = 0 ⇒ x2 + y2 = 1 ⇒ ρ = csc(φ) π /2 π /2 π /4 2 cos(φ) 2 ρ sen(φ)dρd φd θ + V = 4 0 0 0 0
∫ ∫ ∫
3 π /4
∫ ∫ ∫ π/4
csc(φ)
0
ρ2sen( φ)d ρd φd θ
b. Calcule el volumen de W. Solución. Usando geometría elemental: V =
2π π 7π . + 2π − = 3 3 3
38. Pruebe que
∫∫∫
2 + y2 + z2 )3 / 2
e−(x
dV =
4π . 3
R3
Solución.
∫∫∫ R3
e
−(x2 + y2 + z2 )3 / 2
dV = lím 2π m → +∞
∫
π
0
∫
m
sen(φ)dφ
0
3 4π 0 − −m3 = 4π . e−ρ ρ2dρ = lím (e e ) m → +∞ 3 3
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3.14. EJERCICIOS PROPUESTOS PROPUESTOS 1. Dibuje la región de integración y calcule ca lcule las integrales dobles siguientes: a.
∫∫
xydxdy, donde S es la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y = 3x ,
S
9 8
x = 1 y el eje x. Rta. b.
∫∫
y − x dxdy , donde S es la región limitada por las rectas de ecuaciones x = y
S
x = 2y , y = 1 , y = 2. c.
∫∫ S
Rta.
7 6
{
xdxdy , donde S es la región S = (x, y) / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 + x2 + y2
x22
}.
Rta. −1 + 54 ln(5) 2. Las integrales iteradas que se dan a continuación, son en cada caso las integrales dobles de ciertas funciones en regiones del plano xy, para cada una de ellas, dibuje la región de integración y exprese la integral doble mediante integrales iteradas cambiando el orden de integración: a.
b.
2
4 − y2
−2
− 4 − y2
∫ ∫
f(x,y)dxdy
4
x+4
∫ ∫
x2 − 2x
−1
Rta.
f(x,y)dydx
Rta.
2
∫ ∫
4 − x2
−2
− 4 − x2
3
1 + y +1
∫ ∫ −1
f(x, y)dydx
1 − y +1
8
f(x, y)dxdy +
∫∫ 3
1 + y +1 y−4
f(x, y)dxdy
3. Calcule las siguientes integrales, bien sea directamente, mediante algún cambio de variables conveniente, o invirtiendo el orden de integración: 1
a.
∫∫ ∫∫ ∫∫ 0
2
b.
1 1
c.
0
1
4 y − x3 dxdy Rta.
11 7
0 y2
dxdy y 1− x 0
y y e + x dydx
Rta. Rta.
5 6
1 (e − 1) 2
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exydxdy , donde S es la región del primer cuadrante limitada por las curvas de
∫∫
d.
S
ecuaciones xy = 2, xy = 4, x = y, y = 8x. Rta.
∫∫
e.
2 3 4 2 (e − e ) ln(2)
x2 y2 dxdy , donde S es la región encerrada por la curva de ecuación igual a + = 1. 16 4
S
Rta. 8π f.
∫∫
(x − y)2 cos2 (x + y)dxdy , donde S es el paralelogramo de vértices dados por (π, 0) ,
S
(2π, π), (π, 2 π), (0, π). Rta. 4
g. h.
0
i.
3
4−x y−x
∫∫ ∫∫ ∫∫ 0 1
π4
e y + x dydx .
0
Rta. 4(e − 1e )
2
ey /x dxdy .
Rta. 2 2e
2 /2
− 4e 2 / 2 + 3
2y
e(y − x) /(y + x)dA , donde S es el interior del triángulo con vértices (0,0), (0,1) y (1,0).
S
Rta.
1 (e − 1 ) 4 e
4. Calcule la integral
1
∫∫ Rta.
1 ln(sec(1)) 2
0
1
tg tg(x (x2 )dx dxdy dy . y
5. Utilice coordenadas polares para calcular
∫∫
x2 + y2 − 4 dA ,
S 2
donde la región S está definida por x + y2 ≤ 9 . 6. Usando integrales dobles halle el volumen del sólido acotado por las gráficas de las siguientes funciones funciones sobre la región del plano xy cuyos linderos se indican: a. f(x, y) = x2 + y2 , x = 0 , x = 2 , y = 0 , y = 2
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b. f(x, y) = 1 − x − y , x = 0 , y = 0 , x + y = 1 7. Calcule
∫∫
e
arctg y x
dxdy ,
S
donde S es la región en el primer cuadrante limitada por las circunferencias x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4 y las rectas y = x, y = 3x . 8. Calcule
∫∫
(x + y) 2
e
2
y 1 + x dA ,
S
donde la región S está limitada por las curvas de ecuaciones y = x ; y = 2x ; x + y = 1 ; x + y = 2 . 9. Halle el volumen de la región que está limitada por el plano xy, el plano x + y + z = 2 y el 81 cilindro parabólico y = x2 . Rta. 20 10. Halle el volumen del sólido S, si S está limitado por el cono z2 = x2 + y2 y el cilindro Rta. 64 x2 + y2 − 2y = 0 . 9 11. Halle el volumen de S, si S está limitado por el cilindro x2 + y2 = 4 y el hiperboloide
x2 + y2 − z2 = 1 .
Rta. 4 3π
12. Halle el volumen del solido limitado superiormente por la superficie esférica de ecuación x2 + y2 + z2 = 4 , inferiormente por el plano xy y lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 1 . Rta. 23 (8 − 3 3)π 13. Encuentre el área de la región en el primer cuadrante del plano xy limitado por las curvas x2 + 2y2 = 1, x2 + 2y2 = 4, y = 2x, y = 5x . Rta. 2 32 arctg( 72 ) 14. Sea R el triángulo acotado por x = 0, y = 0 , x + y = 1 . Haga la sustitución dada por x + y = u, y = uv y demuestre que
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∫∫
e−x − y xa−1yb −1dxdy
R
puede reducirse al producto de integrales sencillas. 15. Evalúe la integral
I=
∫∫
x2 y2 1 − 2 − 2 dxdy , a > 0 , b > 0 , a b
R
donde la región R es la región limitada por la elipse x2 y2 + = 1. a2 b2 Rta. 23 πab 16. Grafique la región S que está acotada por las curvas x = −y2 , x = 2y − y2 , x = 2 − y2 − 2y y utilice el cambio de variables
x
=u−
(u + v)2 u+v , y = 4 2
para calcular
∫∫
(x + y2 )dxdy . Rta.
1 6
.
S
17. Encuentre el área de la región encerrada por la curva de ecuación polar r = 2 cos(2θ) que es exterior a r = 3 . 18. Calcule
∫∫
xy dA , 1 + x2 y2
S
donde la región S está limitada por las curvas de ecuaciones 1 5 x= ; y= ; x −1 = 0 ; x = 5. y x 19. En los problemas siguientes halle el centro de masa de las láminas acotadas por las gráficas dadas y densidad que se indica: a. y = ln(x) , x = 1 , x = 2 , ρ(x, y) = 1 / x , y = 0
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b. y = 2 / x , x = 1 , x = 2 , ρ(x, y) = x2 c. y = 1 − x2 , y = 0 , y = x , ρ = 1 20. Calcule el momento de inercia de la superficie limitada por la hipérbola xy = 4 y la recta x + y = 5 con respecto a la recta y = x . Rta. 16 ln ln(2) − 9 38 21. Para las láminas limitadas por las curvas que se indican halle el momento polar de inercia I0 . a. y = 1 − x2 , y = 0 , ρ(x, y) = y b. y = x , y = x2 , ρ(x, y) = x
22. Grafique la región limitada 2por las curvas 4y − x = 8 , y + 2x2 = −1
,
y = 6 x −9
Plantee las integrales que permiten calcular: r egión a. El área de la región b. El centro de masa c. El momento polar de inercia
23. Calcule las siguientes integrales dobles impropias: dxdy , donde S es la región limitada por la circunferencia de ecuación a. 2 2 x +y
∫∫ S 2
x + y2 = 4 . b.
∫∫ ∫∫
Rta. 4π
. Rta. π dxdy (1 + x2 + y2 )2
R2
c.
dxdy , donde S = 0, 2 × 0, 2 Rta. 8 xy
S
24. Calcule la integral impropia
∫∫
2 + y2 )
e−(x
dxdy ,
R2
extendida a todo el plano R2 y luego utilice el resultado encontrado para calcular la integral impropia
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∞
e−x2 dx .
∫
−∞
(Esta última integral es importante en Estadística y se trata de la distribución no normal). rmal). Rta. π, π 25. Sea T el sólido formado por la región interior de x2 + y2 = 9 , exterior a x2 + y2 + z2 = 9 , por abajo de z = 2 x2 + y2 y sobre el plano xy. Halle el volumen de T. 26. Calcule
∫∫∫∫ ∫∫
1 dv , 2 2 2 x +y +z
Q
donde Q es el sólido limitado por las superficies z = 1, z2 = x2 + y2 , siendo z ≥ 0 . 27. Sea T el sólido formado por la región interior del cilindro x2 + y2 = 9 , bajo el cono 1 z = x2 + y2 y sobre el paraboloide z = (x2 + y2 ) . Calcule el volumen de T. 6 28. Exprese en coordenadas cilíndricas 3
9 − x2
−3
− 9 − x2
∫ ∫
∫
3 + 9 − x2 − y2
xdzdydx . 3
29. Exprese en coordenadas esféricas 1 − x2
1
∫∫ ∫ 0
0
30. Exprese en coordenadas cartesianas
π /2
4
1 − x2 − y2 0
π /2
∫ ∫ ∫ 0
x2 + y2 + z2 dz dzdydx .
π /6
4
ρ2sen φdρd φdθ . 0
31. Exprese el volumen del sólido x2 + y2 ≤ 9 , z ≥ x2 + y2 , z ≤ 9 + x2 + y2 utilizando integrales triples en coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas. 32. Plantee la integral que permite calcular el volumen del sólido limitado por las superficies
4 − z = x2 + y2 , z − 2 = x2 + y2 en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
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EJERCICIOS PROPUESTOS PROPUESTOS
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CÁLCULO III (0253) - TEMA 3
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33. Sea Q el sólido formado por x2 + y2 ≤ 1 ; 1 − x2 − y2 ≤ z ≤ 1 + x2 + y2 Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido en: a. cartesianas dxdzdy b. cilíndricas
34. Sea S el sólido formado por z ≥ x2 + y2 ; x2 + y2 ≤ 2 ; x2 + y2 + z2 ≤ 11 Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido en: a. cartesianas dzdydx b. cartesianas dydxdz c. cilíndricas
35. Sea Q el sólido homogéneo definido por x2 + y2 + z2 ≥ 6z − 5 ; z ≤ 5 − x2 + y2 ; z ≥ 0 Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido Q: a. Proyectando en el plano xy b. proyectando en el plano yyzz
36. Sea Q el sólido definido por 0 ≤ z ≤ 4 − x2 + y2 ; x2 + y2 ≥ 4 Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido Q: a. En el orden dxdzdy b. en coordenadas cilíndricas
37. Sea la integral triple 2
I=
∫∫ 0
−
2x − x2 2 x − x2
∫
4 − x2 − y2
(x2 + y2 + z2 )dzdydx
0
Plantee la integral I en coordenadas cilíndricas.
38. Plantee la integral que permite calcular el volumen del sólido limitado por las superficies 4 − z = x2 + y2 , z − 2 = x2 + y2 en coordenadas cartesianas y cilíndricas. 39. Usando coordenadas cilíndricas calcule el volumen del cuerpo limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y la superficie del paraboloide x2 + y2 = 3z . 40. Dadas las siguientes superficies que definen el sólido T z ≥ x2 + y2 ; x2 + y2 ≤ 9 ; z ≤ 9 − x2 − y2 + 6 : a. Plantee la integral que permite calcular el volumen del sólido en coordenadas cartesianas.
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b. Plantee las integrales para el cálculo del centro de masa del sólido T. 41. Usando coordenadas esféricas halle el volumen del sólido sobre el cono z2 = x2 + y2 e interior a la esfera x2 + y2 + z2 = 2az . Rta. πa3 42. Calcule
∫∫∫∫ ∫∫ R
1 −
3 /2
x2 y2 z2 − − a2 b2 c2
donde R es la región encerrada por el elipsoide elipsoide 2 2 x y z2 + + = 1 . Rta. a2 b2 c2
dxdydz ,
1 π2 abc 3
43. Un sólido ocupa la región T del espacio definida por z ≤ 6 − x2 + y2 , z ≥ 3 − 9 − x2 − y2 , x2 + y2 ≥ 1 .
a. Exprese utilizando integrales triples el volumen de T. b. Exprese utilizando integrales triples las coordenadas del centro de masa. 44. Halle el centroide de un objeto limitado por los planos coordenados, el plano x + y = 1 y el 27 5 paraboloide z = 4 − x2 − 4y2 . Rta. (33 95 , 95 , 3 ) 45. Halle el momento de inercia con respecto al eje z del sólido homogéneo dentro del cilindro x2 + y2 − 2x = 0 , bajo el cono x2 + y2 = z2 y sobre el plano xy. Rta. 512 75 k 46. Calcule las siguientes integrales triples impropias: dV , donde T es la esfera sólida limitada por la superficie a. x2 + y2 + z2
∫∫∫∫ ∫∫ T 2
x + y2 + z2 = 1 . b.
∫∫∫∫ ∫∫
Rta. 2π
dV , donde T es la reunión de la frontera y del exterior de la esfera (x2 + y2 + z2 )3
T
sólida del ejercicio a, esto es T = {(x, y, z) ∈ R3 / x 2 + y2 + z2 ≥ 1} . Rta.
4π 3
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