Calculo III - Maximo Mitacc Meza - FL - Bajo.pdf

MÁXIMO MITACC MEZA

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QUINTA EDICIÓN

PRÓLOGO

CÁLCULO III QUINTA EDICIÓN

Con la experiencia obtenida en las ediciones previas; Cálculo III, sale totalmente aumentado, corregido y con una nueva diagramación. Cálculo III, ha sido escrito como texto para un curso de tercer semestre, a nivel universitario, cuyo contenido se adecúa a los planes de estudio de las carreras: Matemática, Física, Ingeniería, Química, Economía, etc.

Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma alguna o mediante algún sistema, ya sea electrónico, mecánico, de fotoreproducción, de almacenamiento en memoria o cualquier otro, sin el previo y expreso permiso por escrito de Máximo Mitacc Meza.

Impreso en el Perú

El objetivo principal de ésta obra es brindar al lector el mejor entendimiento y comprensión profunda de los temas de Cálculo Diferencial e Integral de funciones de varias variables con valor real. Printed in Perú

Impresión, diagramación y composición en los Talleres gráficos de Editorial THALES S.R.L.

Editorial THALES S.R.L Los Tucanes 241 Santa Anita Lima - Perú Telf. 362-1032 RUC 20251114782

I slc? libro se terminó de imprimir en

Junio del 2011

Las principales características de Cálculo III son: la forma clara y sencilla pero rigurosa de exponer la teoría y la gran cantidad de ejemplos prácticos, asi como también un gran número de gráficos, los cuales permiten una mejor comprensión de los temas expuestos.

El estudiante y el profesor que está vinculado con el quehacer de la matemática, encontrará en este libro una gran ayuda para las evaluaciones y en la preparación de clases respectivamente. Cálculo III, consta de siete capítulos; en el capítulo 1 se estudia a las funciones vectoriales de una variable real. El capítulo 2 está dedicado al estudio de las funciones de varias variables con valor real, poniendo énfasis en el desarrollo de los temas de Límites y continuidad. En los capítulos 3 y 4 se hace el estudio de las derivadas parciales de funciones de varias variables y sus aplicaciones en la solución de problemas de máximos y mínimos. Se presenta también para ello el método de los “Multiplicadores de Lagrange” . El capítulo 5 está dedicado al estudio de la integral doble y la integral triple de una función de dos y tres variables respectivamente, junto con sus aplicaciones, que consiste en el cálculo de áreas, volúmenes y centros de masa. Para facilitar el cálculo de éstas integrales, usamos el Jacobiano de una transformación. En el capítulo 6 se estudia a las integrales de línea y de superficie, con aplicaciones a la física. También se desarrolla aplicaciones del Teorema de Creen en el cual se ve una relación importante entre la integral doble con la integral de línea.

INDICE

Finalmente el capítulo 7 está dedicado al estudio de sucesiones y series de números reales.

CAPITULO 1: FUNCIONES VECTORIALES 1.1

En cada capítulo, se presentan ejemplos completamente desarrollados y ejemplos en los cuales el estudiante deberá efectuar a modo de ejercicio los cálculos de los pasos intermedios. También se propone una gran cantidad de ejercicios, la mayoría de ellos con sus respectivas respuestas, para que el estudiante verifique sus resultados. En esta quinta edición se ha hecho una revisión meticulosa del texto y correcciones de algunas fallas relacionadas al texto y a las gráficas. Quiero expresar mi agradecimiento a los lectores por la acogida que brindan a esta presente obra. Así mismo, expreso mi profundo agradecimiento a todas aquellas personas que directa o indirectamente contribuyeron a la realización de este obra, en especial a mi sobrina Consuelo Meza Lagos, quién dedicó su valioso tiempo para mejorar significativamente la redacción del contenido del texto.

El autor

Funciones Vectoriales de una variable real

1

Operaciones con funciones vectoriales..................................

5

1.2 Límite de una función vectorial Propiedades operacionales de límite de funciones vectoriales 1.3 Continuidad de una función vectorial Propiedades.............................................................................. 1.4 Derivada de una función vectorial Interpretación geométrica de la derivada de una función vectorial Reglas de derivación................................................................... 1.5 Integración de funciones vectoriales Propiedades de la integral definida.......................................... 1.6 Curvas regulares Longitud de una curva regular....................................................... 1.7 Vectores unitarios: Tangente, normal, principal y binormal Planos fundamentales generados por el triedro intrínseco 1.8 Curvatura y torsión de una curva Curvatura.................................................................................. Radio de curvatura.................................................................. Torsión................................................................................... •• Componente normal y tangencial de la aceleración.............

8 9 10

11

13 13 17 24 25 29 32 38 40 45 47 50 54 58

CAPITULO 2: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES LÍMITES Y CONTINUIDAD Funciones de varias variables

67

Curvas de nivel.......................................................................

71 72

2.2

Superficies de n iv el............................................................... Conjuntos abiertos y cerrados

2.3

Límite de una función de varias variables

83

Propiedades de los límites...................................................... Regla de dos trayectorias para calcular límites....................

85

Continuidad de funciones de varias variables

92

Propiedades de continuidad....................................................

94

2.1

2.4

80

86

Área de una región plana............................................................

CAPITULO 3: DERIVADAS PARCIALES 3.1

Derivada parcial de una función de varias variables

99

5.3 Integrales dobles mediante coordenadas polares Integrales iteradas en coordenadas polares..............................

Interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función de dos variables.......................................................

102

Plano tangente y recta normal a una superficie..................

104

Interpretación de las derivadas parciales como razón de cambio 3.2 Derivadas parciales de orden superior

107

5.4 Jacobiano de una función de n variables Cambio de variables para integrales dobles............................ 5.5

Aplicaciones de la integral doble. Centro de masa de una lámina Momentos de inercia de una lámina.........................................

117

Área de una superficie................................................................

3.3 Derivada direccional y gradiente de una función de varias variables 122

5.7 Integrales triples

235 242 243 246 248 260 264 271 279

Derivada direccional de una función de varias variables....

124

Interpretación geométrica de la derivada direccional...........

124

Funciones integrables.................................................................

280

Propiedades de la derivada direccional..................................

127

Cálculo de integrales triples mediante integrales iteradas.....

281

3.4

Plano tangente y recta normal a una superficie

140

Propiedades fundamentales de la integral triple......................

282

3.5

Incremento y diferencial de una función de varias variables

148

Volumen de un sólido mediante integrales triples..................

286

Propagación de errores.............................................................

153

Cambio de variables en integrales triples.................................

288

3.6

Regla de la cadena para una función de varias variables

163

Integrales triples en coordenadas cilindricas............................

289

3.7

Derivación implícita

173

Integrales triples en coordenadas esféricas...............................

290

Centro de masa y momentos de inercia de un sólido................

300

CAPITULO 4: APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES 4.1

Máximos y mínimos

183

Matriz Hessiana de una función de varias variables...........

187

CAPITULO 6: INTEGRAL DE LÍNEA Y DE SUPERFICIE 6.1

Integral de línea

309

Criterio de las segundas derivadas parciales para calcular los

Integral de línea de primera especie....................... ................

309

extremos relativos...................................................................

Propiedades de la integral de línea.............................................

312

189

Campos vectoriales................................................................315

Valores máximo y mínimo absolutos de una función de 4.2

varias variables.........................................................................

197

Extremos condicionados

204

Método de multiplicadores de Lagrange..................................

205

Integral de línea de segunda especie......................................... Independencia de trayectoria en integralesde línea................. 6.2

CAPITULO 5: INTEGRALES MÚLTIPLES Y APLICACIONES 5.1

'?

Integrales dobles

219

Funciones integrables................................................................

220

Propiedades fundamentales de la integral doble......................

221

( Vileu lo de integrales dobles por medio de integralesiteradas

224

<

228

'¡imhio de orden de integración..................................'

< .ilciilo de volúmenes de sólidos y áreas de regionesplanas por ink‘f‘1ación doble

234

6.4

317 320

Aplicaciones de la integral de línea

331

Trabajo.........................................................................................

332

Teorema de Green.................................:....................................

339

Parametrización de una superfice

349

Parametrización propia para subconjuntosde R3 ...................

352

Superficies regulares en IR3 .......................................................

352

Plano tangente y vector normal en un punto de una superficie 6.5 6.6

regular en M3 ...............................................................................

353

Área de una superficie

354

Integral de superficie

360

Teorema fundamental de la integralde superficie.....................

161

CAPITULO 7: SUCESIONES Y SERIES 7.1 Sucesiones

7.2

7.3

7.4 7.5 7.6

1 365

------

FUNCIONES VECTORIALES

Límite de una sucesión..............................................................

366

Propiedades de las sucesiones..................................................

368

Prueba de la razón para convergencia de sucesiones..............

370

Sucesiones divergentes..............................................................

375

Sucesiones monótonas y acotadas...........................................

375

Series infinitas de números reales

381

Propiedades de series infinitas.................................................

382

/ ( O = (ACO; / ¿ ( O ; - ; / nCO). t e i

Serie geométrica........................................................................

384

se denomina función vectorial de una variable real t.

Serie armónica de orden p .......................................................

388

Serie de términos positivos: Criterios de convergencia

389

Las n funciones reales función vectorial / .

Criterio de acotación..................................................................

389

Criterio de comparación............................................................

390

Criterio del cociente....................................................................

396

Criterio de la raíz........................................................................

398

Criterio de la integral...................................................................

399

Criterio de Raabe........................................................................

401

Series alternadas

405

Criterio de la razón absoluta.......................................................

409

Series de potencias

413

Solución

Operaciones con series de potencias..........................................

421

a) Si / i ( t ) = t 2, f 2{t) = ln(t - 2) y / 3(t) = V4 - t , entonces

Series de Taylor y Maclaurin

425

1.1 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL Definición 1. Una función / : / c l ^ R n cuya regla de correspondencia es

, (i = 1,2,..., n) se llaman funciones componentes de la

El dominio de la función vectorial / es el conjunto Dí = Dh 0 Dh 0 - Dfn donde Df . es el dominio de la función componente f t , (i = 1,2,..., n) Ejemplo 1. Halle el dominio de las siguientes funciones vectoriales:

a) /CO = ( t 2: InCt - 2); V4 - t)

b) g(t) =

^ _ L _ ; ln (l - í) j

Da = R , Dh = 0 j) /(t) = ( Y T t ^ ' l T t 3 k) / (t) = (3 sen t; 5 cos t ; 7), £ e [0; 27rj 2.- Determinar el punto de intersección de la recta f ( t ) = (9 -i- 31; - 1 0 —4t; 7 + 2t) con el plano YZ.

b) Una parametrización natural de esta curva es elegir x = t. De donde, y = t 2 —4t 4- 7 Por tanto, la función vectorial que representa a la curva es g ( t ) = (t; t 2 - 4 t 4-7),

t G1

Ejemplo 5. Halle una función vectorial que represente a ia curva de intersección de las siguientes superficies. a) x 2 4- y 2 = 16 y z = x y

b) z = 16x2 + 9 y 2 y y = x 2

Solución a) Una manera natural de parametrizar la curva de intersección de ias superficies es elegir x = 4 eos t y y = 4 sen £. Entonces z = 16 eos t sen t Luego, la función vectorial que representa a la curva de intersección de las superficies es / ( O = (4 eos t ; 4 s e n t; 16 eos t sen t), t E R 6

3.- Encuentre una representación paramétrica de las siguientes curvas a) x 2 + y 2 = 9, z = 0 R. a ( t) = (3 cos t ; 3 sen t; 0) b) x 2 4- y 2 6 x - 4y + 12 = 0, z = 0 c) y = 3x2, z = 0 d) (x - l ) 2 4- 4 (y - 2) 2 = 4, z = 0 R. a ( t) = (1 4- 2 cos t ; 2 4- sen t; 0) 4.- Sean / ( t ) = ( t 2 4-1; 0; £3) y ^ ( t) = (sen t; - c o s í; 0). Halle a) / ( a + ¿) b) g ( t — 3) c) / ( s e n ¿) x # ( t 2 4-1) 5.- Defina una función vectorial del intervalo [a; b] sobre el segmento de recta de extremos P0 y de íRn. 6.- Defina una función del intervalo [-2; 2] en E 3 cuya imagen sea el triángulo de vértices (3; 2; —1), ( 2; 0 ; 1) y ( 1; —2; 1)

7

CALCULO III

FUNCIONES VECTORIALES

r*f d) l i m /( t ) = [ lim(2 - t ) tan(2t}; lim 56” ; lim — - - - ) = ( e 2/7t; l ; i ) t-1 V*-1 «-i t a n ( V F ^ l) w t - 1 ) \ 2)

7.- Sean / ( t ) = (2 1-1; V 4 - t 2), ^ ( t) = (ln (t + 1); V i2 + 2t - 8) Calcule f + g, f • g, f x g, 4 / —2g , y sus dominios de definición. 1.2 LÍM ITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

PROPIEDADES OPERACIONALES VECTORIALES

Definición 3. Sea / : E -> E n una función vectorial dada por

DE

LÍM ITE

DE

FUNCIONES

Sean f , g : E -> E n funciones vectoriales de una variable real tales que

/ ( O = ( / i ( 0 ; / 2( 0 ; - ; / „ ( t ) ) . £ e K

y sea t0 un número real cualquiera. Entonces

lim / ( t ) = b = (b^,

lim / ( t ) = (lim A ( t ) ;...; lim f n( t )) t->t0 U-»to /

y lim # (t) = a = (a ^ ...;a n)

y sea E una función real tal que lim (p{t) = cr, entonces t->t0

siempre que existan lim /¿ (t), i = 1,2, ...,n

i) lim [ / ( t ) + ^r(t)] = lim / ( t ) + lim g ( t ) = b + á t-*t0

ii) lim [ / ( t ) - (j(t)] = lim / ( t ) - lim # (t) - b - á

Ejemplo 6. Calcule lim /(£ ) (en caso exista) de las siguientes funciones t-»t0 vectoriales ^ _|_ 1 £

t->t o

t-»t0

iü) Hm [^ ( t) 5 (t)] t-»to

t» = 0

= ( l™ t o

b) / ( O =

In t

t - 1 :Í - £ :

sen (t - 1) y

t - 1

v)

~~

—cosiesen eos(sen í) eos (sen t) I1 ~ t) eos t - cosisen

11 \

\í-*to

/

lim [ / ( t ) x ^ (t)] = ( lim / ( t ) ) x ( lim ^ ( t ) ) = b x a (solo en IR3) \t-*t o

t~*t0

/

\t-*t0

/I

4- eos t 1

\

eos í

/

# ( t ) = ( ------------- ; ------- ;5 en t + í

ta n (v T ^ T )

V sen i

t - 1

funciones vectoriales con imagen en el espacio R3. Halle:

Solución , ,, , a) h m / ( t ) t-+o

/

(sen t 1 \ Ejem plo?. S e a n / C O ^ ^ —~— ; eos t ; - - j y

C) / ( O = V----------s e nt2t;------------------- t7T 2 1------- ^ 7t — + nJ ' *o = 0

V

bȇ

/

í, 1 “ Vt + 1 t \ = lim -------------------------------------------— ; lim -- ; l i m 2 = \£->0 1 4* 2 t-*o 1 4" 1 t-*o J

.. , ^ / e t —e ln t sen (t — 1 )\ b) h m / ( t ) = li m - — —; lim -— - ; l i m — -— = (e ;- l;l) t-*o \t->i t - 1 M l - t m r-l y v 7 .. , ' /,. l - c o s ( s e n í ) , eos t - eos (sen t) 1 \ c) l i m / ( t ) = lim ---------- V -----lim --------------- ^ -------- ; l i m ------t-*n \t-> o s e n 2t t-»o t2 t^ot + n)

-(X )

(0 ; 0; 2)

a) !im [/(t) • g(t)] b) lim [/(í) x # (t)] í:-»7T C-»7T Solución / sen t 1 \ / 1\ a) l i m / ( t ) = lim ----- ; lim eos í ; lim --------- = ( 0; —1; — —1 t^n \t->n t t-*n t->n t + TtJ \ 2u) / 1 + eos t i \ lim a (t) = lim ----------- ; lim ------ ; lim ísen t -f t) = (0; —1; n ) t-*n \t-»7r sen t t->nCQSt t-*K / Luego, lim [/(t) • 0(t)J = ( l i m / ( í ) ) • (lm j5 (t)) = ( 0; - 1 ;

8

. (0; - 1 ; tt) =

N>| 00

, ^

e - e

t-»t0

FUNCIONES VECTORIALES

CALCULO III

_ j . £ ■, r, ( t 2 - l s e n { n t ) ln t + l \ hjemplo 8. Dada la función vectorial f ( t ) = I -------- ; ------------; ---------- I ' \ t + 1 COS(TTt) ' t + 2 ) Determine si la función vectorial es continua en t = 1. Solución Las funciones coordenadas

b) Um[ / ( 0 x 5 (t)] = (lirn /(t)) x (lim ^ (t)) = (o; _ 1i ¿ ) x C°: - l ; w ) i

j

O

-1

k

1

o h

2t j , si t £ [0; 1>

(—1; 0; 3)

Definición 5. Sea / : R

La derivada de la función vectorial / en cualquier punto t G Df es la función

ln(t) + l )

3

c) m

cos( 2 n t ) \

, si t & [1; 2]

si el límite existe.

2.- Determine la continuidad de las funciones vectoriales en el punto indicado

Si / ' ( t 0) existe para t 0 G Df , se dice que / es derivable o difercnciable en t0 . En general, sí

/ ' ( t ) existe para todo t G / c Df . entonces se dice que / es

derivable en el intervalo I c: Df.

((a 4 b) / ( t ) = ]l.

r- arcsen t 1\ ' ------1-----; s e n t sen - J , si t

v (5; 0; 0)

0 INTERPRETACION GEOM ETRICA FUNCIÓN VECTORIAL

, si t = 0

3.- Encuentre los puntos (si es que existen) donde las siguientes funciones no son continuas

Geométricamente, / ' ( t 0) = —

/ sen t \ (t; — ) , si t £ (0; n]

1

(0; 1),

si t = 0

c) / ( O = (t; t; Ü2t]]); t € [0; 8] , si t £ [-2 ; 0]

d) / ( í ) = ( ( t 1/3( t - 2 )2''3;

t 2) , si t £ (0; 2]

[ ( (t + 3)V3( í _ 2) 2/3; i ± l ; 2 t + 6 )

e) f ( 0 = j ^ l

,

- si t e (-o o ;- 3 ]

3 ;( t - 1) ln(t + 4) ; V ( t - l ) ( í + 3)4j , s i t £ ( - 3 ; l ] (3t —3;

—e; sen (nt))

12

DERIVADA

DE

UNA

es un vector tangente a la curva trayectoria

de /(£ ) en el punto / ( t 0) (Fig- 1*6)

r ( - t ; —2t; t)

LA

Sea / : l -> Rn una función vectorial derivable en el punto t0 G /.

d/(t0)

a) / ( O = (e t -,t\senh i), Df = [0; 4]

DE

,si t £ (1; 4-oo> 13

CÁLCULO III

Definición 6. Sea / : 1 -> R n una función vectorial derivable en el punto t 0 E /. La ecuación vectorial de la recta tangente a la curva trayectoria de / que pasa por el punto / ( t 0) y es paralela al vector / ' ( t 0) es Lt : (x; y \ z ) = / ( t 0) + t / ' ( t 0), t 6 R El siguiente resultado nos proporciona un procedimiento conveniente para calcular la derivada de una función vectorial, en términos de las derivadas de las funciones componentes.

Teorem al. Si / ( t ) = (/i(t); ...;/ n( 0 ) es una función vectorial con imagen en el espacio Mn, donde /i( t) ; f 2 ( t ) \ ... son funciones reales derivables, entonces n o = CA'Ct);

...;/n'(t))

Observación 4. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva & en el espacio de modo que su vector posición en el tiempo t es / ( O = (A (0 ; ACO; •••;/n(0 ); entonces, el vector velocidad i?(t) y el vector aceleración a ( t) de la partícula en el instante t son dadas por v ( t ) = f ' ( t ) = ( f í ( 0 ; / 2' ( 0 ; . . . ; / ñ ( 0 )

a(t) = v'(t) = /" ( t) = OV'CO; / 2"( í );

FUNCIONES VECTORIALES

IWOII = ll/'COII = VCA'Ct)]2 + [/2'( t ) P + - + [/n '(í)]2

se denomina rapidez de la partícula en el instante t. Ejemplo 10. Halle la derivada de las siguientes funciones vectoriales: a) / ( O = ((t + l ) 3; a rctan (2 t2) ; e ~3t) b) g { t ) = (c o s(4 t);5 e n (2 t) ; e l2) Solución . » / ■ ( O = (3

+

b) 5'CO = ( - 4 sen (4 1); 2 c o s (2 t); 2 te f2) Ejemplo 11. Sea / ( t ) = (í arccos t - V i - í 2; ln(Vl + í 2) - ta rc ta n t ; e~í2) C alcule/'(O ) y /" (O ). Solución

i)

f'(t) =

/

t

t

t

i

arccos t -----------------h ----------- • ------------- t ------------------------ •

\

= (arccos t; — arctan t; - 2 te~t2)

n 0) = ( | ; 0 ; O)

El vector velocidad i;(t) tiene la dirección del vector tangente a la curva & en eí punto f { t ) y el vector aceleración a(t) apunta hacia el lado cóncavo de ia curva Q (lado hacia donde se doble la curva).(Fig. 1.7)

¡O / " ( O = ( — ' VI - í 2

■; ~ .

1 + í2

2 ; - 2 e -f2 + 4 t 2e~t2)

/

/"(O ) = ( - 1 ; - 1 ; - 2 ) Ejemplo 12. La imagen de la función vectorial f ( t ) = ( e t_1; e -2(t_1)) describe la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano XY. ¡i) Trace la gráfica de la trayectoria de la partícula. b) Dibuje los vectores velocidad y aceleración para t = 1. c) Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva imagen de / en el punto A(e; e -2). Solución

I I módulo del vector velocidad v (t), esto es, 14

a) Las ecuaciones paramétricas de la curva S descrita por la función vectorial f es (x — £ c—* =

te E

15

FUNCIONES VECTORIALES

CÁLCULO III

Al eliminar el parámetro t en las ecuaciones paramétricas, se obtiene la ecuación cartesiana

1 y = -7 ,* > 0 La gráfica de esta ecuación se muestra en la figura 1.8.

REGLAS DE DERIVACIÓN Sean f , g : I -> funciones vectoriales derivables de t, c una constante real y a: I R una función real derivable de t. Entonces se tiene:

1.-¿Lf(O±(O]=/'(O±$'(O 0

2 .- ^ [ c /( t) ] 3.-

= c / '( t ) ^ [ a ( t ) / ( t ) ] = a '( t ) / ( t ) + a ( t) / '( O

4.- ^ [ / ( t ) • # (t)] = / ' ( t ) • 5 ( t) + / ( t ) • 5 '( t) 5.- ^ [ / ( t ) x 5 (t)] = / '( t ) x # (t) + / ( t ) x 5 '( t) (válido solo en R3)

b) Los vectores velocidad y aceleración en cualquier instante t son

Observación 5. Si / : / —* Kn es una función vectorial derivable de t tal que 11/(t^)ll = c, Vt e / (c constante real), entonces

v ( é)

/'(tW(t) =o

= / '( O = (e*~i; —2e~2(t“1))

listo indica que el vector tangente / ' ( t ) es perpendicular al vector de posición Para t = 1, los vectores velocidad y aceleración son v ( l ) = (1; —2) y a ( 1) = (1; 4)

/■(OKjemplo

13.

Si

/ ( t ) = (t; £2;3 + t ) , g ( t ) = (c o s t;s e n t; ln (t + 1))

o (t) = e -4 t, calcule cuyas gráficas se muestran en la figura 1.9. u) ( a / ) ' ( 0) c) El vector de posición del punto de tangencia A ( e ; e “ 2) se obtiene cuando t = 2, esto es, / ( 2) = (e; e~2) Luego, el vector tangente a la curva g es

/ '( 2 ) = (e; —2e~2)

b ) ( / + 5 ) '( 0)

c ) ( / * s ) ' ( 0)

Solución Se tiene ,-4t / '( t ) = ( l ; 2 t ; l ) , 5 '( 0 = ( “ sen t ; c o s t ; ^ - L ) , a '( t ) = - 4 e ‘ I tiego, al evaluar en t = 0 se obtiene

Por tanto, la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva en el punto A es Lt \ O; y; z) = (e; e~2) + t(e; -2e~2), t E R

/ ' ( 0) = ( 1 ; 0 ; 1 ) ^ '( 0 ) = (0 ;1 ;1 ) y cr'(O) = - 4 Así, ;il utilizar las reglas de derivación resulta

*») (a/y(0) =a'(0)/(0) +a(0)r(0) = -4 ( 0 ; 0; 3) 4- 1(1; 0; 1) = (1; 0; - 1 1 )

16

d ) ( / x 5 ) '( 0)

17

y

CALCULO III

FUNCIONES VECTORIALES

b) ( / + g ) \ 0) = /'(O ) 4- g ' { 0) = (1; 0; 1) 4- (0; 1; 1) = (1; 1; 2)

Demostración

c) ( / • 0 ) '( 0) = /'(O ) • ¿(O) 4- /(O ) • £ '(0 ) = 1 + 3 = 4

Como /(< p (0 ) = (/i(< p (t));/2( k = 1 Así, al reemplazar k = 1 en (*) resulta y¡x 2 4- y 2 = t arctan

^

h) I f ( t ) d t = í í 2 t d t ; í ------ dt: í t e 1 dt Jo

\ Jq

1.5 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Definición 7. Si / : [a; b] -> Rn es una función vectorial continua en el intervalo [a\b] tal que f ( t ) = (A ( t); /2(t); ...;/n(0)> entonces la integral indefinida de / es I f ( t ) d t = ( | f i ( t ) d . t ; J f 2 ( t ) d t ; ...; J /„ (t)d t)

■'o ^

^

•'o

y

= ([ t2]J; [ln (|l + t|)]J; [te ( - e l ]&) = (1; ln 2; 1)

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ! Si f , g : [a; b\ -> ¡Rn son funciones vectoriales continuas en [a; b] y a y ¡i son escalares, entonces

y la integral definida de / es

f la f i t ) ± 0 g ( t )] d t = a f f { t ) d t + 0 f g ( t ) d t Ja

f f ( t ) d t = ( J A C O dt; j bf 2 m

t j bf n( t ) d ^

Ja

?..- Si f , g : [ a \ b ] - * R n es

Ja

una función

vectorial

continua en

[a;/?]

y

C = (C1: ...; Cn) es un vector de constantes, entonces Observación 5. Si / ( t ) = ( /i(t); ...;fn ( t)) es una función vectorial con imagen en el espacio Kn, entonces al hallar la integral indefinida de / , se tiene

I A ( t ) d t = Fa(t) + C1(I f 2 ( t ) d t = F2( t) + C2;

J f n( t ) d t = Fn( t) + Cn

ai j [C • f ( t ) ] d t = C • ( f(t)dt j ¿a \¿a / b/

r° / ró \ i [C x / ( t ) ] d t = C x ( j f { t ) d t ¡ (válido solo en el espacio E 3) -'a Va '

Así, la integral indefinida de la función vectorial / se expresa 3.- Si / : [a; ¿>] —> E n es una función vectorial continua en [a\ b], entonces J f ( t ) d t = (Fx(í) + Ca; F2(t) + C2; ...; Fn(t) + Cn) = (F1(t>,F2(t);...;Fn(t)) + (C1;C2;...;Cn)

í f(t)dt Ja

fb

Teorema 3. (Prim er Teorema Fundamental del Cálculo). Sea / : [a; b] -» R n una función vectorial continua en [a; b], entonces la función !

= F(t) + C donde F '( t) = / ( t )

F definida por

Ejemplo 19. a) Halle la integral indefinida de la función vectorial

24

F(t) - I f ( u ) d u ,

a < t Q = (1; 0)

m

= (^j t e ' 2-1 d t ;

(

t 2 — t) d t ;

Por tanto,

t 3 dt'j

/ (í) = (t sen t 4- eos t + t + 1; - t e o s t 4- sen £)

Solución I icmplo 22. Í n/A

í f n/4

I

/ (t)dt = ( j

Jo

Wo

_/20

rn/4 rJr/4 -j L (tan t)1/2(l + tan2t)sec2t d t \ j sen3(2t) cos(2t) dt; | - I - d t Jo

1

Jq

Una partícula inicia su movimiento en / ( 0) = (2 ;0 ;0 ) con

velocidad inicial v(0) = T - J + k . Su aceleración es a(t ) = (2£; 3£2; 6 £). I Mermine la función velocidad y la posición de la partícula en cualquier instante

t t I tz

i Solución

1\

~ \ ñ ; 8 ; l 2/

(J(t) = v '(t) = (2 1 ; 3 t 2; 6 t) =* v (t) = f v ' ( t ) d t = ( t 2; t 3; 3 t 2) + C

( orno v(0) = (0; 0; 0) + C = (1; - 1 ; 1) => C = (1; - 1 ; 1)

Por consiguiente, se tiene

Iuego. la velocidad que satisface la condición inicial u(0) =(1;—1;1) es w(t) = ( t2 + 1; t 3 - l ; 3 t 2 + 1) Dudo que

Ejemplo 21. La fuerza que actúa sobre una partícula de masa m = 2 en el plano está dada en función del tiempo i por ía ecuación

( f2

1 3

I monees f ( t ) = J v ( t ) d t =

13 2

1

t t — + t;— - t; í 3 + t ) + Cx

y

v (0) = (1; 0)- Halle la velocidad y la posición de la partícula como funciones de t. Solución Por la segunda Ley de Newton, se tiene F(t) = m a (t) = 2 /" (£ ) = (2(cos £ - £ sen t)\ 2 (sen t 4- £ eos £))

v(0

r

F ( t ) = ( 2 (eos 11 sen t); 2 (sen t 4- 1 eos t)) Cuando t = 0 la posición y la velocidad de la partícula son /(O ) = (2; 0)

/■'(O= = +;t - ; t +) Al hacer t = 0 y utilizando el hecho de que / ( 0 ) = (2; 0; 0), se tiene f ( 0 ) = (0; 0; 0) 4- C¡ = (2; 0; 0) => C¡ = (2; 0; 0) I*i•i consiguiente, la función de posición de la partícula en cualquier instante t es

/(0

=(j +t+;j-í;t +t) 2

3

De donde resulta

27

FUNCIONES VECTORIALES

CÁLCULO III

EJERCICIOS 1.- Calcule las siguientes integrales

í1

a) I ( t ; t 1/ 2; e £) d t Jo

r n/2

b) I

(sen t; eos t ; s e n 31 eos t ) d t

Jo

I f, < UU VAS REGULARES i »♦ Iiilición 8. Se dice que una curva & c Rn es una curva parametrizada, si existe mili (Unción vectorial a: [a; b] -> R n tal que a([a\ b]) = 0. \ lu función vectorial a ( t) = ( a i ( t ) ; a 2(0 ; ...;a n(0 ) se llama parametrización *1» ln curva

rn/3

C)

I

Jn¡4

( e sent[csc2t - s e c 2t - ese t] ;s e c t; ese t ) d t

i (implo 23. La función vectorial a: [0; 27r] -» R2 definida por a ( t) = (eos t\ sen t)

d) í (Ce£; t 2e (; t e~ l) d t •'O

fi. (1; e - 2; 1 - 2 e -1) • n un í parametrización de la curva & x 2 + y 2 = 1

2.- Calcule á • b , si a = (2; - 4 ; 1) y ¿ = f ( te 2t; í cosh 2 t ; 2t e ~ 2t)dt

i |t tupio 24. La función vectorial a: R -> R2 definida por

Jo

N

((£; £), t < 0 - l(t; t 2), t > 0

yi II

3.- Una función vectorial / satisface la ecuación: í; / ' (t) = / ( t ) + t a . t > 0, donde a es un vector no nulo en el espacio IR3. Si se sabe que / ( 1) = 2a y / ' ( l ) = 3a, calcule / " ( 1) y / ( 3 ) en términos del vector a.

a

11 mili parametrización de la curva í

^ 0

Á

ft \

0

R- / ' ( l ) = a , /( 3 ) = (6 + 3 ln 3)a él

4.- Sean las funciones vectoriales f ( t ) = (t e~t l l ; e t) y g ( t ) = ( 1; —1; t). Calcule r° a) I 1 /( 0 x 5 ( 0 ] d í b) [/(O •'-l

£

5.- Sean f , g : [a; &] -> Rn funciones vectoriales continuas y derivables de £. Demuestre que

I .i

tilica de & se muestra en la figura 1.11

i 111ni pío 25. Halle la parametrización de la curva . ( x 2 + y 2 4- z 2 = R 2 , R> 0 \z = a , 0