Calculo II Integral - Alvaro Pinzon.pdf

c á l c u l o II - integral

co lecció n harper

c á lc u lo II integral te o ría 560 p rob lem as resueltos 4 85 e je rc icio s propuestos

á lv a ro p in zó n Maiemávco de lo Universidod Nacional de Colombia Miembro de la Mathemoticol Society o f America y de lo Malhem alical AssocioUon of America

m H A R L A , S. A . de C . V . H a rp e r & M éxico .

Row

L a tin o a m e ric a n a

Buenos A ire s.

Panam á,

Bogotá

C A L C U L O I I (IN T E G R A L ) Prim era edición C opyrighl © 1973 por H arper * R ow Latinoam ericana. H aría. S. A . de C. V .. A n­ tonio Caso. 142. M éxico. D . F ., M éxico. M iem bro de la Cám ara N acional de la Industria Ed ito rial. Registro N .* 723. Reservados todos los derechos. Queda terminantem ente prohibido reproducir este lib ro total o parcialm ente sin permiso expreso de los editores. Es propiedad. Standard Book Num ber 06-316989-3

Dirección editorial: Wenceslao O nega Preparación técnica: Jo sé M artínez Alaminos Cubierta e ilustraciones: Secos Lanchas

C u id a d o y d ire cció n técn ica de H E R O E S . S . A . E d ito r.— T o rrc la ra . 8.— M a d rid - 16

Printed in Sp ain — Impreso en Esparta

I S B N . 84-399-0514-9 Depósito legal: M . 5.131-1973 H E R O E S . S . A .-T o rrclara. 8.-M adrid-l6

C o n ten id o PR O LO G O

......................................................................................................................................

7

A x io m a d e p le n itu d . C o n tin u id a d u n if o r m e .......................................

9

M ayo ra n te s. m in oran tes, extrem os d e un c o n ju n to .....................................

9

A x io m a d e plenitu d o c o n tin u id a d .................................................................. C o n tin u id ad u n ifo rm e........................................................................................

10 20

L a in t e g r a l d e fin id a ........................................................................................

28

Propiedades de la in teg ral d e fin id a ..................................................................

31

F u n c io n e s d e fin id a s p o r u n a in t e g r a l. F u n c ió n p r im it iv a y a p li­ c a c io n e s . In t e g r a le s in m e d ia t a s ................................................................

46

Prim e r teorem a fun dam en tal d e l c á lc u lo ........................................................ Segund o teorem a fun dam en tal d e l cá lcu lo .....................................................

46 47

4.

F ó r m u la d e l c a m b io d e v a r ia b le ..............................................................

SI

C A P IT U L O S .

In t e g r a c ió n p o r p a r te s ..................................................................................

62

C A P IT U L O 6 .

In te g r a le s tr ig o n o m é tr ic a s ..........................................................................

69

C A P IT U L O 7 .

T e o r e m a d e s u s titu c ió n r e c ip r o c a p a r a in t e g r a le s ..........................

77

C A P IT U L O 8 .

F ra c c io n e s r a c io n a le s .....................................................................................

85

F a c to re s c u a d rá tic o s ........................................................................................... Pru eb as de la descom posición en fraccio nes p arciale s.................................

86 87

M éto d o de H e rm ite .............................................................................................

90

In t e g r a le s d e l tip o / = f /?(scn .y . eos .v) rf.r..............................................

105

In te g ració n d e ra d ic a le s ..................................................................................... In teg ració n d e ex p o n en ciales............................................................................ Fó rm u la s d e recu rre n cia....................................................................................

III 117 120

c a p i t u l o 10 . C á lc u lo d e in t e g r a le s d e fin id a s . M é to d o s ...............................................

124

C A P IT U L O 1 1 . A r e a .....................................................................................................................

137

A re a com p rendida en tre lo s g rafo s de d o s fu n cio n es...................................

137

12. V o lu m e n d e s ó lid o s d e s e c c ió n c o n o c id a .............................................

I47

V olú m enes de re v o lu c ió n ...................................................................................

I48

13. A p lic a c ió n d e in te g r a le s d e fin id a s a la r e s o lu c ió n d e p ro b le m a s d e f ís ic a ...............................................................................................................

I60

c a p i t u l o 1.

C A P IT U L O 2 .

C A P IT U L O 3 .

c a p it u l o

C A P IT U L O 9 .

c a p it u l o

c a p it u l o

5

6

C O N T E N ID O

C A P IT U L O 14.

L o n g itu d d e a r c o .........................................................................................

170

A rc a d e una superficie d e re v o lu c ió n .............................................................. L a s in tegrales com o lim ites de sum as.............................................................

171 172

A rc o s y cu rva s en e l p la n o ................................................................................

173

C A P IT U L O 15. M o m e n to s . C e n t r o d e g r a v e d a d .............................................................

182

T eorem as d e P a p p u s ..........................................................................................

183

C o o rd e n a d a s p o la r e s ...................................................................................

202

A rc a en coorden adas p o la re s............................................................................ L o n g itu d d e a rc o ................................................................................................ V o lu m en d e u n só lid o d e re v o lu c ió n .............................................................. A re a d e una superficie d e re v o lu c ió n ..............................................................

203 203 203 203

In t e g r a le s im p r o p ia s ....................................................................................

214

N o tacio n es O y o ................................................................................................

214

F u n c io n e s e x p o n e n c ia l, lo g a r ítm ic a e h ip e r b ó lic a ..........................

226

F u n c ió n exponencial n atu ral (o n e p e rian a)................................................... L o g a ritm o d e base c u a lq u ie ra .........................................................................

227 228

Fu n ció n ex p o n en cial.......................................................................................... Fu n ció n exponencial n a tu r a l............................................................................

229 229

19. F u n c io n e s h ip e r b ó lic a s ................................................................................

239

Fu n cio n es recíp ro cas d e las funciones circu lare s c h ip erb ó licas...................

241

20. A p r o x im a c ió n p o lin o m ia l d e la s fu n c io n e s . D e s a r r o llo s lim ita d o s .

251

P o lin o m io d e T a y lo r generado p o r una fu n ció n ........................................... D e sa rro llo s lim itad o s.......................................................................................... D e sa rro llo s generalizados..................................................................................

251 253 253

21. C ilc u lo n u m é r ic o ...........................................................................................

268

M éto d o d e las partes p rop orcionales. In te rp o la ció n lin e a l......................... M éto d o d e N c w to n ...........................................................................................

269 270

C á lcu lo ap ro x im ad o d e integrales d e fin id a s ................................................. R egla d e S im p s o n ..............................................................................................

271 273

F o r m u la r io . G e o m e t r ía a n a lít ic a ..............................................................

280

C u rva s y su p erficies............................................................................................ S e rie s .................................................................................................................... In tegrales..............................................................................................................

292 3 ■ m ax [o . ¿>] = m ax Jo . b ). a , á [ n o tien e m im m o. a , b [ n o tien e m áxim o. a , b [ no tien e n i m áx im o ni m ínim o.

D e fin ició n . 1. E l n ú m ero real u es un m ayo ra n te (o c o ta su p e rio r) d e un co n ju n to S de núm eros reales; e q u iva le a q u e x £ u. p a ra lo d o x e S (e s d ecir, x e S im p lica x £ u ). 2. E l núm ero re a l I es un m in o ra n te (o co ta in fe rio r) d e un c o n ju n to S de núm eros re a les; e q u iva le a d e d r que

/£

x , p a ra to d o x € S (es d e d r, x e S im p lic a

Ejem pltt /-7.S i S = ] l , 2 [. c u a lq u ie r n ú m ero m a y o r o

q u e /á x). ig u al a 2 es m ayo ran te y c u a lq u ie r nú­

m ero m en or o ig u a l a I es m in o ran te. Z n o es m ayo ra d o n i m in orado . U n co n ju n to S d e nú m ero s reales se d ice aco tad o si existe un núm ero c ta l que p ara lod o x e S . | x | £ c. D efin ició n . I . U n n ú m ero real c es el extrem o su p e rio r d e u n c o n ju n to S d e nú m ero s reales s i. y so lo si. c es d m ín im o d e todos lo s m ayo ran tes d e S. E n o tra s p alab ras,

c - su p S = m in (u : x e S im p lica x S u ¡ o ta l q u e x > c 9

V x 6 S . x £ c y V e > 0. 3x c S

r.

10

A X IO M A D E P L E N IT U D . C O N T IN U ID A D U N IF O R M E

1 U n núm ero real L e s d extrem o in fe rio r d e un co n ju n to S de núm eros reales si. y so lo si. L es d m áxim o del co n ju n to de todos lo s m inorantes. E n o tras palabras. /. - in f S - m ax { / : x t S im p lica / i

x}

F ig u ra 1-1

Ejem plo 1-2.

S u p ja . f>{ - b - max ja . ¿>J; in f jo .

= a = mm [a , b [ ; su p J - c c , 0 [ - 0 -

■ in f ]0 , - c o [. Puede suceder q u e alg u n os co n ju n to s n o tengan ni m áxim o n i m ín im o n i ex­ trem o su p erio r n i in ferio r. P o r ejem plo, e l co n ju n to R de lo s núm eros reales no tien e extrem o su p erio r n i in fe rio r p orq ue R n o tiene m ayo ran tes n i m inorantes. A los co n ju n tos que carecen d e m ayorantes y m inorantes se les llam a no acolados. E l siguiente axiom a, llam ad o de plenitu d o co n tin u id ad , g aran tiza la idea in tu itiv a que se tien e de que si un co n ju n to es m ayo rad o . entonces tiene un m ayoran te m in im o. es d e cir, e l ex­ trem o su p erio r del co n ju n to . E n o tras p alab ras, este axiom a g aran tiza que el co n ju n to R de lo s núm eros reales no tien e vacío s o cortaduras.

A x i o m a d e p le n it u d o c o n t i n u i d a d S i S es un co n ju n to d e núm eros reales n o va cío y si S es m ayo rad o . entonces d extrem o superior d e S pertenece a R. L o s núm eros ra d o n ale s no poseen esta p ro p ie d ad ; p o r ejem plo, e l co n ju n to {x e Q : x J < 3J n o tien e un m ayo ran te m in im o que sea ra cio n a l, pero ^ 3 es e l núm ero real que es e l extrem o su p erio r d d co n ju n to {x € R : x * < 3 }. E l axiom a d e plenitu d g aran tiza la ex isten cia d e núm eros suficientes p ara poder efectuar con ellos todas las operacion es que se deseen.

PROBLEM AS R ES U E LTO S P r o b l e m a 1-1

M u estre que e l co n ju n to de núm eros reales ja.¿>[ n o tiene m inim o.

S o lu c ió n . Vamos a hacer la demostración por contradicción. Suponga que existe un número c lal que c - min Ja. fc[. Po r definición de minimo. c satisface las dos condiciones: a) c e Ja, ó {. es decir, a < c < b, y h) r S i para todo x e Ja. h[ . Observe que si la primera condición se cumple, la segunda no. (a 4- c)/2 e Ja , fc{ porque a < c •* a < (a + c)/2 < c. y. por lunto. (a + c)/2 < c contradice la con­ dición «Je que c £ x. Vx e ja. ft[. Entonces c no es el minimo de Ja. /»[. Los demás casos se demuestran en forma análoga.

P r o b l e m a 1 -2

S i 5 es un co n ju n to de núm eros reales co n un m áxim o, ese m áxim o

es único. S i M , = max S y M , - max S. entonces como M , c S y M , £ M ¡ y como M , € S «* «* A f, £ A f |. por tanto, M , - M ¡.

S o lu c ió n .

A X IO M A D E P L E N IT U D . C O N T IN U ID A D U N IF O R M E

P r o b l e m a 1 -3

11

M u e stre q u e c u a lq u ie r co n ju n to fin ito 5 d e núm ero s reales tien e un m áxim o.

S o lu c ió n . Demostración por recurrencia. Sea S d conjunto de lodos los enteros positivos n tales que lodo conjunto de n números reales tenga un máximo. a) 1 6 S. Sea 7 , ¿ { x : x 6 R }. max 7 , = x, porque x e 7 , y x 5 x. Vx e 7 ,. b) Suponga que t e S. Sea 7 , . , = { x ,: i - 1 .2 .....* + I }. Sea 7 , = { x ,: i => 1 ,2 ....,* }. Entonces T h. t = T t \ j {x 4. ,}. 7 , es un conjunto de fcnúmeros reales y k c S . Sea max T , = m. además max ¡ x , . ,} - x ,,, . Entonces, o bien x ,. , < m, o bien xt . , — m, o bien m < x ,. |. En los dos primeros casos se tiene que xt 5 m para < = 1 .2 .... * + I . ... Asi max 7 » ., = m. En el tercer caso, x, 5 m para i = 1, 2, . ...* y m < x , . , ; .-. X, 5 X , , , para < = 1 .2 ....,* + I. En este caso, max 7 , . , = x » .,. Hemos mostrado que si * e S » * + I e S. De a) y ¿») se con duje que S = a los enteros positivos. Po r tanto, un conjunto finito de números reales * tiene máximo.

P r o b l e m a 1 -4

M u e stre q u e m ax ]o . + x>[ n o existe.

Suponga que max Jo. + c o [ - c. Entonces c c ] u , + t [ y x S f , para todos x e Jo . + x [. c E Jo . + co [ im plica que c > a Pero c + I > c > a, .-. c + l > a Entonces c + I 6 Ja . + x [ y c + I > e, lo cual contradice a x 5 c para todo x c Ja . + » [ . Po r tanto. Ja , + a j[ no tiene máximo.

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -5

Se a S = {2 + l/n , n en tero p o s itiv o }, en to n ces m ax S = 3.

H ay que m ostrar que: a ) 3 e S, y b) x ¿ 3 . V x e S . a ) Para n = I. 2 + \/n = 2 + l/ l = 3. entonces 3 e S. b) Suponga que x e S. Entonces, para algún entero positivo n ,.x = 2 + l/n,. Com o n , es un entero positivo, n, ¿ I, entonces l/n, n, porque I > 0 y l/(n,+ 1) < l/n, +l) > N y I - 1/fn, + l)c S . ^ - M n , + l)> - l/ n ,. Además I - l/fn, + l)> I - l/n, = N ~ I — l/fn, contrario a l hecho de que I - I/In, + I ) o S.

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -7

S i m ax S « s y c > 0 y c 5 = {e x : x e S } , entonces m ax c S = es.

max S - s equivale a que s f S y x S s , Vx e S : s e S im plica que es e cS. Ahora, r e cS a- z ~ ex para algún x e S. pero x S i y r ? 0 ^ ex 5 es, es decir, i 5 es. Vz e cS. De lo anterior tenemos que es e c S y z x S T

•

7 . - - H T “ * n" > ‘" s « c *i «■ >

- -J- -

¿T e s ’ T -

& ; > «•

De a ) y fe) se concluye que sup 5 = y .

P r o b l e m a 1 15 D em uestre q u e :

Sea T

un co n ju n to m ayo rad o de núm ero s reales y 5 c T . S *

u ) s u p 5 e x is te ;

b ) su p T e x is te ;

3x e S. Pero S f i T *> x e T ** T # ó . Po r d axioma de plenitud tiene extremo superior. c) Sea sup S - s y sup T - t Suponga que r < í . Po r definición de sup S. si / < s •* 3x € S tal que x > L Pero x t S c T =» x e T . Así. se tiene que x e T con x > r. L o cual constituye una contradicción porque l « sup T «» x S l, » x e T . Entonces s s i.

P r o b le m a 1 -1 6 1

,

D em uestre lo s p rob lem as a n terio re s si en vez d e extrem o su p erio r se tien e extrem o in ferio r.

P r o b l e m a 1-17

Se a 5 un co n ju n to aco ta d o no v a c io d e núm eros reales. M u e stre que

in f S á su p S.

S o lu c ió n .

Com o S * ó . entonces existe x € S. in f S S x x 2, ] x , . X j [ c S.

S o lu c ió n . Es fácil comprobar que cada uno dc los tipos dc intervalos tiene esta propiedad. Suponga que el conjunto S tiene esta propiedad. S i S es vacio o está formado por un solo punto es un intervalo. Suponga entonces que S tiene por lo menos dos puntos. S i S es acotado, sea a = in í S y b = sup S. Vamos a mostrar que S es uno dc los intervalos Jo , 6 [ . [o . 6[ o [o. b\ Sea x tal que a < x < b. Com o a » in í S y b - sup S. existen puntos x , y x , en S tales que a < x , < x < x2 < b Po r consiguiente, x e S y S S S S

= » = =

]o. [o. Ja. [a ,

b [si u i S. ¿>[si a e S . b 6J si a i S. 6] si a. c S.

b * b b

i S

S cS e S

Si S no es acotada la demostración es análoga. Po r ejcm pla suponga que S es minorado, pero no mayorado. Sea a = inf S. Vamos a mostrar que S es ]a . + x [ o [a. + x [ . Tome x > a. Com o a •=in f S y S no es mayorad a existen puntos x , y x , en S tales que a < x , < x < x.

Po r tanto, x e S y S - } o . + x [ s i a * S y S = [a ,+ c c [s i< i e S.

P r o b l e m a 1-43

S i / es un in te rv a lo y f e s co n tin u a sob re /, entonces tenem os que J\ l) = {/ tx ): x 6 / } es un in terva lo . S i / (/ ) es vacio o contiene un solo punto, entonces es un intervalo. Suponga que/ (/ ) contiene por lo menos dos puntos. Tom e a / (x ,) y f ( x ,) en / (/ ) con / (x ,) < f(x ¡X S i 1 o f ix ¡) [. por el teorema d d valor interm edia existe un punto c € ]x ,. x ,[ tal que / (c ) = r. Po r tanto, r € /(/X Según el pro­ blema anterior,/(/) es un intervalo. Por ejcm pla x1 aplica d intervalo ]1 .3 [ sobre ]1 ,9 [.

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -4 4

D e fin ició n . U n a fa m ilia de in te rva lo s se d ice q u e recu bre a un co n ju n to S si ca d a p u n to d c S pertenece p o r lo m enos a u no dc lo s in te rva lo s ab ierto s, a ) Sea

S = ] 0 . 131 m uestre que la fa m ilia d e in te rva lo s { / „ } , recu bre a S.

co n / „ =

J

J

y n = 1 ,2 ....,

A X IO M A D E P L E N IT U D . C O N T IN U ID A D U N IF O R M E

20 b)

S c a S = j y j con.n » 1 ,2 ,... M uestre que la fam ilia de in te rv a lo s / . = J y

- Ó.y

+

y S un núm ero p o sitivo , recubre a S. a) L a familia ¡/ .} recubre a 10. Ij. Para mostrar esto sea c e JO. Ij. Por el Problema 1-28 sabemos que para algún *u l/n < c. Asi, c e l r b) L a familia ¡/ ,¡ recubre a S porque l/n €

S o lu c ió n ,

Nota. Observe que en la parte a) no se puede elegir un número finito de elementos de { /. ) que recubran a JO. I]. Por ejemplo, si se considera la familia finita de intervalos /_ de /. c / „ con el índice máximo Entonces cualquier punto del intervalo JO, \¡m\ no está en ningún intervalo de esta familia finita. Entonces una familia finita de intervalos abiertos de { /,¡ no recubre a S. En la parte b) se puede elegir un número finito de intervalos abiertos de | /.) que recubra a S. Empleando la propiedad arquimediana de los números reales para algún entero positivo m. l/m < S. Entonces

¡ /.: n = 1, 2,.... /n¡ es una familia finita que recubre a S, puesto que para n > m. — - ó < 0 < — < — + ¿.

P r o b l e m a 1-45

(Teo rem a de H ein e-Bo rcl.) S i e l in terva lo cerrado [u , ó ] = / es recubierto p o r una fa m ilia de in tervalo s abiertos ¡ / „}, entonces un núm ero fin ito de intervalos abiertos de la fam ilia J l „ } se puede eleg ir de ta l m anera que recubren a [o . 6 ] , S o lu c ió n . Sea A d conjunto de todos los x e [a.¿>] tales que un número finito de intervalos abiertos de ¡ /. ¡ recubre a [a. x j. Como a pertenece a algún intervalo abierto de ¡ / .}. [a. a ] es recubierto por un nú­ mero finito de intervalos (un intervalo) de ¡ / .¡. Asi. a € A y A * 4>. También / es mayorado (h es un m ayo rante de ] y. por tanto, pertenece a algún intervalo /, de ¡ / .¡. Por el Problema 1-44. existe un punto x „ e A tal que x0 o lr Como x0 e A. una familia finita de intervalos de ¡ / .[ recubre a [u , x „]. Si agregamos a /, esta familia finita de intervalos, se obtiene una familia finita de intervalos abiertos de ¡/ .) que recubren a [o. x ,] con x , e I, y x , > c. Como c = sup A. x , no puede estar en A y. por tanto, x, 4 [a. *>] Entonces, x , > h Asi tenemos que [a, b ] c fa . x ,] y [a. x ,J es recubierto por una familia finita de intervalos de la familia ¡ /. ¡. Esto muestra que [a. b l es recubierto por una familia finita de intervalos de ¡ /, ¡.

C O N T IN U ID A D

U N IF O R M E

L a función flx ) = 2x es co n tin u a en x 0 = I. D e c ir que la función es co n tin u a en x0 equivale a d e cir que p ara cu alquier r. > 0 existe un d > 0 tal que p ara todo x p ara e l cu al |x - x0 | < ó, entonces |yjx ) - / lx 0)| < e. E sta función es co n tin u a en x0 = 1 porque p ara todo c > 0 se puede tom ar S = y , entonces p ara to d o x que verifica la relació n ix - x „| < ó se tiene que [f[x ) - J[x 0)\ = |2x - 2x0 | = = 2 |x - x 0| < 2 •6 = 2 •y

= f.

O bserve que para to d o e > 0 e l 6 que se em pleó para x „ = I se puede em plear p ara cu al­ q u ie r Xq. E n efecto, p ara ó = y

si |x - x0 | < ó. entonces l/fx ) - _/lx0) 1 = |2x - 2x0 | =

= 2 | x - x 0 | < 2 -d = 2 ‘ - y = e. E s to m uestra que e l 6 que se necesita p ara la con tin u id ad en x „ depende únicam ente de c y es independiente del va lo r de x 0. A hora considerem os una función p ara la cu al e l 6 de la co n tin u id ad en x0 depende del valor de c y de x 0. E n o tras palabras, para un t dado no podrem os h a lla r un 5 que sirva para to d o x 0. Sea f{x ) = x 2 y x „ - 1 y e = y . Tom em os a 5 = y , entonces si |x — 11< ^ (y Ix + 11 < 3) tenem os que l/Jx ) - /|x 0)I = |xJ

-

11 =

|x +

11 |x

-

11 <

3 |x

—

11<

3•

4

-

«■

4

- -

&

A X IO M A D E P lE N t T U D . C O N T IN U ID A D U N IF O R M E

21

P e ro p ara r. = — « I 6 que se rvia p ara xc = I no sirv e p a ra x 0 = 3, p orq ue si se lo m a a x -

3.1. entonces |x - x „ | = |3 .l -

= | ( 3 . l)2 - 32 | = 0.61 > y

3| < 0.1 < y

- 6.

S in

em bargo,

\flx i - /(.x0)| =

= «- (V e a Fig s. 1-2 y 1-3.)

S e pu ede h a lla r p a ra t = y

un & d iferen te que sirv a p ara x 0 = 3 I p o r ejem p lo , ó = — j .

E s p o sib le h a lla r o tro v a lo r d e x 0 p ara e l cu al n o sirv a este ó. A co n tin u a ció n vam os a m o strar q u e si /\x) = x 2. d ad o e > 0 . n o es p o sib le h a lla r un ó ta l que p ara lo d o x 0, s i |x - x 0 | < ó. entonces l/ íx ) - ./ Ix 0)| < t E n efecto, p ara J\ x ) = x 2 y c > 0 dad o. Su p o n g a q u e existe un ó > 0 ta l que p ara todo x 0. si |x - x 0 | < 6. entonces |/(x ) - / T o m e x 0 = -y y x = x 0 + y . En to n ces < S , pero l/lx| - / lx 0)| = |x 2 - x ¿| = |x + x „|| x - x 0| = l l x 0 + y )

U - x0| - y =

c ó2 X0 Ó + —

»

£

|

ó2

-

>

(y ) -

E.

A s i hem os h a lla d o un x y un x „ tales q u e |x — x 0 | < 6, pero l/ íx j - /(x 0)| > c. lo c u a l es una co n tra d icció n . E n to n ce s n o existe un ó > 0 ta l que |x — x „ | < ó siem pre im p liq u e que l/ íx ) - / ( x 0)| < c. L a pro p ied ad que ve rific a la fu n ció n / jx ) = 2x y que no posee la fu n ció n J [ x ) = x 2 la resu­ m im os en la sig u ien te d efin ició n . D e fin ició n .

U n a fu n ció n / es uniform em ente co n tin u a so b re un co n ju n to S , S S

eq u ivale

a d e cir q u e p a ra to d o c > 0 existe un S > 0 ta l que cu an d o x. x 0 e S y |x - x 0| < 6. entonces \ ftx ) - f x 0)\ < E. L a fu n ció n f [ x ) = x 2 es co n tin u a sobre R y . sin em b arg o , n o es uniform em ente co n tin u a so b re R . E s to m uestra que la co n tin u id ad un ifo rm e es una c o n d ició n m ás fuerte q u e la c o n d i­ ció n de co n tin u id ad . P e ro f [ x ) = x 2 si es u n ifo rm em ente co n tin u a en e l in te rv a lo ]0 .2 [. E n efecto, sea c > 0 dado. Iftx ) - y (x 0)| = |x 2 - xg| = |x + x 0 | |x - x 0 |. A h o ra , p ara |x + x 0 | < 4 (p o rq u e x e ]0 .2 [ im p lica que |x | < 2 y x0 e ] 0 . 2 [ » |x + x 0| < |x | + |x0| < 2 + 2 - 4 .

A sí,

p a ra

x , x o e ]0 .2 [.

to d o x . x 0 e ]0 .2 [, |x 0 | < 2». Entonces

|/(x ) - / (x „ )| = |x + x 0 | | .v - x „ | <

< 4 |x - x 0 |. T o m e a ó = y . E n to n ce s, p a ra to d o x , x 0 e ]0 ,2 [ p a ra los cu ales |x - x 0 | < ó. se tien e que |/(x ) - / (x 0)| ■ = |x + x 0 | |x -

x 0 | < 4 |x - x 0 | < 4 0 = 4 y

= E.

P o r ta n to , J\x) = x 2 e s u n ifo rm e m e n te c o n tin u a s o b r e ] 0 .2 [ .

22

A X IO M A D E P L E N IT U D . C O N T IN U I D A D U N IF O R M E

PROBLEM AS R ESU ELTO S M u e s tre

P r o b le m a 1 16

que

f(x ) = x3

es

u n ifo rm em en te

c o n tin u a

sob re

[0 .2 ]

e m p le a n d o e l sig u ie n te p ro c e d im ie n to : P a ra c u a lq u ie r r. > 0 d e te rm in e u n S > 0 ta l q u e p ara to d o x . x 0 e [ 0 , 2] p a ra lo s c u a le s |x - x 0 | < ó , en to n ces |/ (x ) - / (x „ )| < c. S o lu c ió n . |x* - x¿| - |x - x0| |x* + xx0 + x ||. Sea c > 0 dado. I/ M - / (*o )l - I* 1 - *ó l - I * - x0l |x* + X X 0 + X ¿ L Ahora, para x.x0 e [ 0 . 2J.|x * + xx0 + x¿| < 12 (porque \x* + xx0 + x*| ’ol < entonces |/ (y) - /(y 0ll < £ P l » el mismo A. sea x y x0 e T y |x - x0| < A. Pero T e S y. por tanto, x, x0 c 5 y |x - x „| < A. Entonces |/(x ) - /(x 0)| < c-

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -4 8 I

_

.

. .

..

.

.

P ru e b e q u e si / es u n ifo rm em en te c o n tin u a so b re o y c e s una co n s­

ta n te . en to n ces c f es u n ifo rm em en te c o n tin u a so b re S.

S o lu c ió n .

Sea c > 0 dado S i c - 0. entonces c f es constante sobre S y |(c/X x ) - 0. Com o / e s uniformemente continua sobre S, existe un ó > 0 tul que si x, x0 e S y |x - x0| < A, entonces Para este mismo ó. si x. x0 e S y |x - x0 | < 6 , se tiene que |(e/Xx) - (c/K-x0)l -

|/(x| - /{.x0)| <

- Ic | |/(x) - /(xo)| < |c|. - f- - t Po r consiguiente, c f es uniformemente continua sobre S.

P r o b l e m a 1 -4 9

S i / y g son u n ifo rm em en te c o n tin u a s so b re S , en to n ces / + g es

u n ifo rm em en te c o n tin u a so b re S.

S o lu c ió n .

Sea t > 0 dado. Entonces y

> 0. Com o f es uniformemente continua sobre S. existe un 6,

tal que cuando x. x0 6 S y |x — x0| < d ,. entonces |/(x) - /(x 0)| < y . Com o g es uniformemente conti­ nuasobre S, existe un A , > 0 tal que cuando x, x „ e S y |x - x| < 6 ¡ , entonces |p(x> -

fffx0)| < A,.

Tome a A = min (d ,. d ,l Entonces, si x. x0 e S y |x - x 0f < A, « tiene que x. x0 e S. |x - x „| < A, y |x - x0| < d ,; por tanto. |/(x| - /(x 0|| < y < if+ 9 * * ) ~ f +

y lg 0 existe un 6 > 0 ta l que para todo x t R

S o lu c ió n ,

l/ W * / (*o )l - I* + * 0I I* - x0| < c cuando |x - x0 | < c Ahora tome a x - - j y x 0 Entonces |/(x) - / (x .)| - (x + x0l|x “ * o l - ( ¿ x + - y ) y

>

2x y -

^

’4

= *+ —

“ t

Esta contradicción muestra que la hipótesis no es verdadera, y. por tanto, / no es uniformemente con­ tinua sobre R. b ) Sea e > 0. Se quiere determ inar un 6 > 0 tal que para todo x e J0 .2 J y para lodo x0 e Jx — ó. + ¿ [ n ] 0 . 2[ . Ix 1 - x ¿| - |x + x0||x - x „| < c

x

E n este caso, como x y x0 pertenecen a JO .2 (. |x + x0| no se puede hacer arbilrariam cnic grande. Enton­ ces suponemos que se puede hallar un ó. S i x, x „ pertenecen a l intervalo J0 .2 [. entonces |x | < 2. |x0| < Z y |x 2 - x ¿| - |x x -f

x0 l |x - x«| < 4 |x - x0|. A si. si ó - ^ para todo x c J0 . 2[ y para todo x0 e ]x - 6.

r» J 0. 2 f ; Ix* - x¿| < 4 |x — Xol "

4

■ t Entonces / es uniformemente continua sobre d inter­

valo J0 .2 (. (V ea Frg. 1-4.)

P r o b l e m a 1-51

M u e s tre q u e la so b re e l in te rv a lo ] 0 .2 [.

S o lu c ió n . xo e ] x - ó .x

fu n d ó n

f [ x ) = \/x n o es u n ifo rm em en te co n tin u a

Sea r. > 0 Queremos ver si existe o no un 6 > 0 ta l que para todo x * J 0 , 2( + « H n j0 .2 I ;|i- - - i.| -

y

parato

t

Com o l/x es continua sobre ]0 .2 [. para cada x de ]0 .2 [ existe un ó(x) > 0 tal que si x0

e

x + «Xx)[ rs J0 . 2f . entonces I —---- i- I - J- *° ~ ^ < c. I x x0 | xx0 Sin embargo, a medida que x se hace más pequeño se dehe elegir a 0 existe un ó > 0 tal

que para todo x e J 0 . 2 [ . y todo r 0 c Jx

- S. x + ó [ r i J0. 2[ .

Tom e x e j o . - ¿ Jr v J0 .2 ( y x , t J0. 2[ tal que y

J -~ —y — | -

< *•

< |x - x .| < S.

Para aseguramos de que existe tal número suponemos que ó < I. Entonces.

á/2 -- — > . xx. ó .,

E sto co ntradice la hipótesis original y. por consiguiente. / n o es uniform em ente continua sobre J0 .2 [.

Jx

24

A X IO M A D i P L E N IT U D

C O N T IN U I D A O

U N IF O R M E

P r o b l e m a 1 -5 2

M u e s tre que s i / es c o n tin u a so b re e l in te rv a lo c e rra d o [a , h ], en ­ to n ces / e s u n ifo rm e m e n te c o n tin u a so b re [a . /»].

S o lu c ió n . Sea e > 0. Querem os m ostrar que existe un ó > 0 la l que para lodo x e [u . b ] y lodo x 0 » J y - «I. x + á[/-> [ci. f { x ) - /(x 0>| < c. Com o / es continua sobre [a , 6 ], para cada x c [u . h] ex ilie un número positivo, que lo representamos por ófx) para hacer énfasis en su dependencia de x la l que cuando x0 e ]x - óix). x + «Xx)[ n [u . fcj. |/|x) - f(x 0)\ < Se puede pensar en tom ar a A com o d in í ¡á] d intervalo Jx - ¿(x ). x + ó (x )[ e f j x

J =

Jx —

x +

|!

F.I conjunto de intervalos abiertos J I | y . ^ y- J : x c [u .6 ] | recubre a [ti,6 ]. Entonces, por el teorema de H cinc-Borel. existe una fam ilia finita | / |.v4. Sea A e l m inim o de los números ^

< A ♦

- 1.2.

n j que recubre a [u .6 ].

. k - 1 .2 ..... n Entonces & es positivo. Ahora tome dos puntos

x . x0 en [a .h ] tales que |x - x0 | < ó Com o J / |x 4: — J * 1 ) para algún

: k - I. 2

* - I . 2.a | recubre a [a .h ].

Tam bién |x0 - x4| = |x0 - x ♦ x

x * / |x 4;

- x ,| á |xc - x| ♦ |x -

Ü ¿(x .K Entonces x y x0 están en /[x4; á(x ,)J y . por tanto. |/(x) - /(x 4)| <

| y

|/(x 0) -

- / U .H < -y Entonces | - |/|x) - / Jx .) + /|x4) - /fx 0)l í l/ U ) - /(x.H ♦ |/(x ,) - /(x 0N < | - |(2 xf - 3x, + 5) - í se convierte en sen ^2n + y j x

- sen ^2n —

Jx | = sen *—

sen

y J • 2 2 2 , ver­

dadera para todo n positivo. S i & es un número positivo, la desigualdad |x , - x ,| < ó está garantizada por un valor de n lo suficientemente grande, puesto que |x , - x ,| S x , + x . < 2 x , < -pr— f¿n Ahora podemos asegurar que |x , — xa| < & si

5 á => n ¿

I +

- ----- — . (n - iw

. Com o existen enteros posi­

tivos mayores o iguales a I + - ^ se puede obtener un valor especifico de n: in f j m : m e R *

I +

1

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S 1 . Verifique que:

a ) 1.42 in f { x : x 1 > 2 y x > 0 ¡. b )2 = sup { x : x ‘ < 4 y x > 0 }. c ) - 3 = sup |x : x ‘ > 9 y x < 0 }.

2 . Sea S elconjunto de los números irracionales ¿Cuáles son in f S y sup S ?

en [ 0. 1). M uestre que S no tiene máximo ni mínimo.

3.

M uestre que si c = sup S. entonces para cualquier r > 0 existe un x e S tal que 0 S c — x < c. A s i si / es un intervalo abierto que contiene a c, existe un $ e S ta l que x e /.

4.

H alle el sup e in f de los siguientes conjuntos. ¿Tienen los conjuntos elementos máximo y m inim o?: a)

iI —

n entero positivo j ;

¿>)

n entero positivo | .

jn+ < —

Resp.: a ) sup = I. in f = 0 . no tiene ni máximo ni mínimo, elemento máximo o minimo.

b)

N o tiene sup, in f = 0 . no tiene

5.

Construya un conjunto de números racionales que tenga a yj% como su sup. Verifique que sup S = y/3.

6.

Desarrolle un procedimiento para obtener una aproxim ación decimal de la raiz cúbica positiva de un número real positivo.

7.

Muestre que entre dos números reales distintos hay una infinidad de números irracionales.

8.

M uestre que si existe un número real positivo A i tal que para cadax y x0 de S.|/|x ) - /(x0)| £ M |x - x0L entonces / es uniformemente continua sobre S.

9.

M uestre que si / y g son funciones uniformemente continuas sobre un conjunto S. entonces / + g es uniformemente continua sobre S.

10.

Muestre que las siguientes funciones son uniformemente continuas en los intervalos indicados y halle 5 en términos de c. a) 5x — 7 . R ;

f)

b) 7 x + 4 . R ;

IA * + 3 fcC 2.+ oo[;

g) i ± i . . R * ;

Resp.; a ) S m ^ i h) ó -

á) S -

4 *•

c) x J + 2x - 4 .[ 2 .5 ] ;

h) J y

di 3x* -

x + 5 . [ —2 . 1 ] ;

e) l / x . ] 3 . + o c [ ;

. [< > .+ *[.

; c) ó - - f e ; d ) 6 =

; e) ó = 9 t. f ) 6 — 25c; g ) ó = - £ C;

A X IO M A D E P I E N I T U O

11.

27

M uestre que las siguientes funciones no son uniformemente continuas sobre d intervalo especificado. H alle valores explícitos de x , y x ¡ para un 6 > 0 arb itrario y c - I. a)

1/x*, ] 0 . 2j ;

b)

¡jjx .p .4 }:

R esp.: a ) X j •» m in (^ 3 .0 ). x , = d)

12.

C O N T I N U I D A D U N IF O R M E

x1 + x R * ;

c)

;

d)

x \R \

b ) x ¡ - m in { l . ¿ } , x , -

; c) x, -

x , - -y + - j;

x , = ^ r . x J - -3J ,

l x '.O S x S I M uestre que la función definida por / (x ) - < es uniformemente continua sobre el intervalo [0 ,2 ], | 5 - 4* . < , S 2

13. Em plee algunos de los teoremas dem ostrados en los problem as para m ostrar que las siguientes funciones son uniform emente continuas sobre los intervalos especificados a)

2x> + 4x + 7 + ( 3 x -S K / 5 . [O .I O ] ;

ó) x* + (5xJ - 8x -

ll)|xU [ - 2 . 3 ] :

c ) (x 2 + 4 } +

[ I . 8 [ ; d) (x + yfi)> - 7(x* - IxD + l /x . ( Z 5 J . 14.

Sean A y B conjuntos de números reales no vacíos y mas orados Pruebe que si a e 4 » b € B •> b £ 0. sup ( A B ) - sup A ■sup B.

a^ O y

Indicación. Sea x — sup A y y ■ sup B, y suponga que s u p M B ) ■ xy. Sea c ■* x y — s u p M B i Entonces. 3a c A tal que a > x - c/2y y 3h e B tal que h > y - cj2x. Pero esto significa que ah > x y - c.

15. Sean A y B conjuntos no vacíos de números reales minorados. S i a f ^ ' • a i 0 y h e B < » h > 0 . in f {A B ) - in f A •in í B. Indicación.

Sea x - in f A, y - in f B. y suponga que in f {A B ) > xy. Entonces x > 0 y y > 0. Sea

c = m in fin í {A B I - xy. 3x>]. Entonces 3a e A tal que a < x + e/3y y 3/> # B tal que b < y + t¡ 3x.

C A P ITU LO

L a in te g ra l d efin id a E l co n cep to d e «in te g ra l d efin id a» d e una fu n ció n so b re un in te rva lo de núm eros reales está relacio n ad a co n una g ran varie d ad d e p ro b lem as d e geom etría, estad ística, p ro b ab ilid ad es, física, eco n o m ía, e tc E s uno de lo s d o s co n cep tos fundam entales d e l c á lc u lo ; e l o tro es e l de d e riva d a. D efin ició n I .

U n c o n ju n to fin ito d e puntos P -

(x©. x ,

x .} es una p artició n d e [a . b]

si. y so lam ente s i, a = x 0 < x , £ x 2 £ . . . £ x . = b. a-x« i ■

x, ”

x, -

x, ”

* = *. i

-

F ig u ra 2-1

Ejem plo 2-1.

S i P , = { 0,1 /7 , 1 /3.1} y P 2 -

{0 , 1/7,1/4,3/4, 1 } son p articio n e s d e l in te rva lo

[0 .1 ]. A dem ás P , u P 2 = {0 ,1 /7 ,1 /4 ,1 /3 .3 /4 , 1} y P , n P , = {0 .1 / 7 .1 } son tam bién p ar­ ticio n es de [ 0 . 1] . A so ciad a a toda p a rtició n se tien e e l co n ju n to de n su b in tcrvalo s cerrad o s [x 0. x , ] , [ x , . x 2] ..... [x « - 1. x j co n n + 1 p u n to s de su b d ivisió n , □ in te rv a lo [ x , _ , . x , ] se lla m a el i-ésim o su b in tcrvalo . L a lo n g itu d del i-ésim o su b in te rv a lo se defin e com o A x , • x , - x ,_ O b se rve q u e em pleand o la pro p ied ad «telescó p ica» de la sum a se obtiene E ^ x , = E * x< - x , _ , ) = x . - x 0 = b - a 1*1 1*1 E n o tras p alab ras, la sum a de las lo n g itu des d e lo d o s lo s su b in tervalo s de una p a rtic ió n es igual a la lon g itu d d e l in te rv a lo dado. D efin ició n 2.

I-a n o rm a d e una p a rtició n se designa p o r ||P|| y se defin e com o | | P ¡ | - m ax {A x „ I -

Ejem plo 2-2.

1/2. 1/4} -

1 .2

n}

E n e l E je m p lo 2-1. ||P , || - m ax (1/7.4/21.2/3} = 2 /3; ||P 2 || = m ax (1/7. 3/28.

1/2; ||P , v P J = 5/12; | | P , n P ,| | = 6/7. O b serve que ||P , u P , l| *

m in (||P ,IL

II /M I). D efin ició n 3.

Su p o n g a q u e / e s aco ta d a so b re [a , 6 ] y / : [a . 6 ] -* R y P = {x , } " . 0 u n a p artició n

de [a . b ]. Sea m, - in f (/ |x );x € [ x , . | , x f] } M , » su p t/ |x ); x € [ X | . | . X | ] }

28

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

29

Se define la sum a su p erio r de / p a r a P . representada p o r S (f. P ). por S t fP l- É M fo - x ,.,) i* i L a sum a in fe rio r d e/ p ara P se representa p o r /(/, P ) y se defin e com o M ñ - i m f a i -1

Aforo. E l hecho de que / sea aco tad a sob re [a , A] garan tiza que m, y M , estén siem pre definidos. L o s núm eros m, y M , se d efin iero n com o extrem o su p e rio r e in fe rio r, en vez de m áxim o y m ínim o, d eb id o a que n o se supuso q u e / fu e ra continua. Ejem plo 2-3.

S e a / u n a fu n ció n d efin id a p o r/ lx ) = x + 2. x.

- I ¿ x á 0 0 < x < 1

+ I.

1S X S 4

F ,« “ " M

Se a [a . A ] = [ - 1 . 4 ] y P - { - 1 . 0 . I . 3 .4 }./ e s a c o la d a sob re [ - 1 .4 ] p orq ue 0 < f lx ) £ 3 . V x e [ - 1 . 4 ] . S i M , » s u p / l[x ,.x ( . , ] ) y m, = in f/ l[x n x ,_ , ] ) . en to n ce s: a ) p a r a [ x „ .x ,J. m , - I y M , - 2 ; b ) p ara [ x , . x , ] . m ¡ = 0 y - 2 ; c ) p a ra [x 2. x , ] . m , = 2 y M , = v i + I ;

) m ^ / íx ) £ M so b re [a . ó ] :

c)

m(6 - o ) ^ / (/ . P );

d)

Las siguientes relaciones justifican la dem ostración:

S o lu c ió n . »)

m < m¿ £ A#, < M .

b)

" ¡ A x ¡ s m*') +raí'(^ “ u)

P o r tanto, " i)A x> = m fu - x ,_ ,) + m ¿x , - u ) s m’/ u - x , ,) + m j'(x, - u). Esto demuestra el caso /