Calculo II cupe.pdf

Contents 1 VECTORES 1.1 SUMA DE VECTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR 1.3 PROPIEDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 PRESENTACION GRAFICA . . . . . . . . . . . . . . 1.5 PARALELISMO DE VECTORES . . . . . . . . . . . 1.6 LONGITUD DE UN VECTOR . . . . . . . . . . . . . 1.7 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES . . . 1.8 ANGULO ENTRE DOS VECTORES . . . . . . . . . 1.9 PERPENDICULARIDAD ENTRE VECTORES . . . 1.10 PRODUCTO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 Signi…cado geométrico de A B . . . . . . . . 1.11 EL PRODUCTO MIXTO . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.1 Signi…cado geométrico de A B C . . . . . . 1.12 EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . .

5 5 5 6 6 8 8 9 9 10 10 12 12 13 13 32

2 GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA 2.1 LA RECTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Distancia entre dos rectas no paralelas . . . 2.2 EL PLANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 CILINDROS Y SUPERFICIES CUADRICAS . . . 2.3.1 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Super…cies cuádricas . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Super…cies cuádricas importantes . . . . . . 2.4 COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS 2.4.1 Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . 2.4.2 Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . 2.5 EJERCICIO RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 La Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

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37 37 38 40 41 41 42 44 45 46 46 47 47 64

1

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

2 3 CURVAS 3.1 DERIVADA DE UNA CURVA . . . . . . . . . . . 3.1.1 Signi…cado geométrico . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Signi…cado físico . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 REGLAS DE DERIVACIÓN . . . . . . . . . . . . 3.3 LONGITUD DE UNA CURVA . . . . . . . . . . . 3.4 REGLA DE LA CADENA . . . . . . . . . . . . . 3.5 ALGUNAS PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE 3.6 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . 3.7 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . .

CONTENTS

. . . . . . . . . . . . . . . . . . LAS . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CURVAS . . . . . . . . . .

4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4.1 FUNCIONES DE Rn EN Rm . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 COMPOSICION DE FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . 4.3 LIMITE Y CONTINUIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 De…nición de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 De…nición de continuidad . . . . . . . . . . . . . . 4.4 DERIVADA DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4.4.1 De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 DERIVADAS PARCIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR . . 4.7 REGLA DE LA CADENA . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS . . . . . . . 4.9 DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS . . . . . . . . 4.10 TEOREMA DEL VALOR MEDIO . . . . . . . . . . . . . 4.10.1 Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 DIFERENCIAL DE UNA FUNCION . . . . . . . . . . . 4.12 EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 APLICACIONES DE LA DERIVADA 5.1 TRANSFORMACION DE ECUACIONES . . . . . . . . . . . . . 5.2 PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL . . . . . . . . . . . . 5.3 DERIVADA DIRECCIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Cálculo de la derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Propiedad del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 MAXIMOS Y MINIMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 MAXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS (Multiplicadores de Lagrange) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 DERIVACION BAJO EL SIGNO DE LA INTEGRAL . . . . . . 5.7 CALCULOS APROXIMADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 ERRORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 67 68 68 69 70 70 71 72 82 87 87 89 90 90 91 91 91 93 93 95 97 98 99 99 100 100 101 126

131 131 132 133 134 134 135 137 137 138 139 141 178

CONTENTS

3

6 INTEGRALES MULTIPLES 6.1 INTEGRALES DOBLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Cálculo de las integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Area de una región plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 INTEGRALES TRIPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Cálculo de las integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Volumen de una región sólida . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Cambio de variables en integrales múltiples . . . . . . . . 6.2.4 Formula del cambio de variable para integrales dobles . . 6.2.5 Fórmula del cambio de variable para integrales triples . . 6.3 MASA. DENSIDAD MEDIA. CENTRO DE GRAVEDAD. CENTROIDE. MOMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 TEOREMA DE PAPPUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185 186 187 189 190 191 192 193 194 195

7 INTEGRALES CURVILINEAS Y DE SUPERFICIE 7.1 INTEGRALES CURVILINEAS . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 CALCULO DIRECTO DE INTEGRALES CURVILINEAS 7.3 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL CURVILÍNEA . . . . 7.4 TEOREMAS IMPORTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 EL TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO . . . . . . . . 7.6 AREA ENCERRADA POR UNA CURVA . . . . . . . . . . 7.7 INDEPENDENCIA DEL CAMINO DE INTEGRACIÓN . 7.8 INTEGRALES DE SUPERFICIE . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Cálculo de la integral de super…cie . . . . . . . . . . 7.9 AREA DE UNA SUPERFICIE . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 TEOREMAS INTEGRALES . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11 GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL . . . . . . 7.12 TEOREMA DE STOKES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.13 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (O DE GAUSS) . . . 7.14 EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.15 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . .

196 197 199 245

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

253 253 255 256 257 257 259 259 261 262 262 263 264 265 266 267 295

8 SUCESIONES Y SERIES 8.1 INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 SUCESIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 LIMITE DE UNA SUCESIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 SERIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Series especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 CRITERIOS DE CONVERGENCIA . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Casos en que se debe aplicar un criterio de convergencia 8.6 SERIES ALTERNAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Criterio de convergencia para series alternadas . . . . . 8.7 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL . . . . . .

. . . . . . . . . . .

301 301 302 302 303 303 303 304 305 306 306 307

. . . . . . . . . . . . . . . .

4

CONTENTS 8.7.1 El límite de una serie alterna convergente . . SERIES DE POTENCIA . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1 Intervalo de convergencia . . . . . . . . . . . 8.8.2 Desarrollo de funciones en series de potencias 8.8.3 Algunas series de potencias importantes . . . 8.9 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . 8.10 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . 8.8

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

308 308 308 309 309 310 330

Chapter 1

VECTORES Las n-uplas de numeros reales se denominan vectores y, generalmente, se simbolizan por letras mayúsculas. Así. A = (1; 3; 2)

,

B = (1; 1)

,

C = (x1 ; x2 ; x3 )

son vectores. Dos vectores A y B se dice que son iguales si y sólo si sus correspondientes vectores son iguales.

1.1

SUMA DE VECTORES

La suma de dos vectores A y B se obtiene sumando las correspondientes componentes de A y B. Así, si A = (a1 ; a2 ; :::; an ) y B = (b1 ; b2 ; :::; bn ) entonces A + B = (a1 + b1 ; a2 + b2 ; :::; an + bn ) Example 1 Si A = (1; 3; 2) y B = (3; 2; 1) entonces A + B = (1 + 3; 3

1.2

2; 2 + 1) = (4; 1; 3)

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

El producto de un vector A por un número c se obtiene multiplicando cada componente de A por el número c. Así, si A = (a1 ; a2 ; :::; an ) entonces cA = (ca1 ; ca2 ; :::; can ) 5

6

CHAPTER 1. VECTORES

Example 2 Si A = (1; 2; 3) entonces 3A = (3; 6; 9).

1.3

PROPIEDADES

Como las anteriores operaciones se realizan sobre las componentes de los vectores, estas operaciones tienen propiedades análogas a las que tienen los números reales. Si A, B, C son vectores y a, b son números, entonces 1. A + B = B + A 2. (A + B) + C = A + (B + C) 3. El vector 0 = (0; 0; :::; 0) es tal que 0 + A = A + 0 = A. 4. Dado cualquier vector A, existe el vector

A tal que

A + ( A) = ( A) + A = 0 5. 1A = A. 6. (ab) A = a (bA) 7. (a + b) A = aA + bA 8. a (A + B) = aA + aB Las anteriores propiedades se demuestran fácilmente por cálculo directo. La sustracción entre dos vectores A y B se de…ne por: A

B = A + ( B)

así, (1; 3; 5)

1.4

(1; 4; 3) = (1

1; 3

4; 5

3) = (0; 1; 2)

PRESENTACION GRAFICA

Si los vectores tienen dos componentes o tres, es muy conveniente representarlos mediante ‡echas o segmentos dirigidos en el plano cartersiano o en el espacio cartesiano, respectivamente. En general, para hallar la representación grá…ca de un vector A = (x; y) en el plano cartesiano se procede así: Tomamos un punto cualquiera P1 de dicho plano, luego nos desplazamos horizontalmente x unidades (hacia la derecha si x es positivo y hacia la izquierda si x es negativo); y a continuación nos desplazamos y unidades verticalmente (hacia arriba si y es positivo y hacia abajo si y es negativo). Llamemos P2 al nuevo punto del plano así localizado. Entonces la ‡echa que va desde P1 hasta P2 es la representación grá…ca del vector A (ver …gura 1.1).

1.4. PRESENTACION GRAFICA

7

Para representar grá…camente vectores de tres componentes en el espacio se procede de manera similar al de los vectores de dos componentes en el plano.

y

y P2

A P1 1

-A Fig. 1.1

x

x

Fig. 1.2

Debido a que el punto de partida P1 es arbitrario, un mismo vector puede estar representado por distintas ‡echas. Si como punto de partida se toma el origen de coordenadas, la representación grá…ca del vector A se denomina también radio vector. Example 3 Todas las ‡echas de la …gura 1.2. representan al vector (0; 1), pero solamente una de ellas es un radio vector. En general, de todas las ‡echas que representan a un vector se pre…ere trabajar con la ‡echa que parte del origen de coordenadas. Como consecuencia de lo anterior se obtienen las siguientes representaciones grá…cas:

A

A+B -A

A

cA A

B Fig. 1.3a

Fig. 1.3b

Fig. 1.3c

La ‡echa A se obtiene cambiando el sentido a la ‡echa A. Para obtener la ‡echa A + B se traza un paralelogramo y se unen las aristas opuestas como en la …gura 1.3b. La ‡echa cA es paralela a la ‡echa A y su longitud es jcj veces la longitud de A; si c > 0 las ‡echas tienen el mismo sentido, y si c < 0 las ‡echas tienen sentido opuesto.

8

CHAPTER 1. VECTORES

Example 4 Calcular gra…camente A B, si A = (3; 2) y B = (2; 5). Los pasos se muestran en las tres siguientes …guras:

y

y

y

B B

A A

A x

A-B

-B

Fig. 1.4a

1.5

x

x Fig. 1.4b

-B

Fig. 1.4c

PARALELISMO DE VECTORES

Dos vectores son paralelos si uno de ellos es múltiplo del otro. Es decir: A paralelo a B si A = cB (o B = cA), donde c es un número. Es claro que según esta de…nición el vector cero es paralelo a cualquier vector (tomar A = 0 y c = 0). Si c > 0, A y B tienen el mismo sentido, si c < 0 tienen sentidos opuestos. Example 5 a) Los vectores A = (1; 2; 4) y B = (2; 4; 8) son paralelos pues B = 2A. b) Los vectores A = (1; 2; 4) y B = (1; 3; 2) no son paralelos.

1.6

LONGITUD DE UN VECTOR

La longitud o módulo del vector A = (x1 ; x2 ; :::; xn ), simbolizado por jAj, es el número q jAj = x21 + x22 + ::: + x2n

Geométricamente, el número jAj da la longitud de la ‡echa que representa grá…camente al vector A. Cuando un vector tiene módulo 1 se llama vector unitario. Los vectores (1; 0; 0), (0; 1; 0) y (0; 0; 1) son unitarios; para simpli…car en algunos casos los cálculos, y por ser muy utilizados, frecuentemente se simbolizan por ^{ = (1; 0; 0), ^j = (0; 1; 0) y k^ = (0; 0; 1). Example 6 a) El módulo del vector A = (4; 3) es p p jAj = 42 + 32 = 25 = 5 b) El vector

A 1 = (4; 3) = jAj 5

4 3 ; 3 5

es unitario.

1.7. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

9

El módulo jA Bj da la distancia entre A y B. El módulo de un vector es una generalización del valor absoluto de un número y sus propiedades son análogas. Dados dos vectores A y B, y un número real c, se veri…ca: 1. jAj

0

2. jAj = 0 si A = 0. 3. jcAj = jcj jAj (donde jcj es el valor absoluto de c). 4. jA + Bj

1.7

jAj + jBj (desigualdad triangular).

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES A = (a1 ; a2 ; :::; an )

y B = (b1 ; b2 ; :::; bn ) simbolizado por A B, es el número de…nido por A B = a1 b1 + a2 b2 + ::: + an bn Example 7 Si A = (1; 2; 3) y B = (4; 1; 3) entonces A B = 1 4 + 2 ( 1) + 3 3 = 11 El producto escalar tiene las siguientes propiedades, que pueden veri…carse fácilmente teniendo en cuenta la de…nición: 1. A B = B A 2. A (B + C) = (A B) + (A C) 3. (cA) B = c (A B) = A (cB) 2

4. A A = jAj

El producto escalar es muy útil en el cálculo del ángulo determinado por dos vectores.

1.8

ANGULO ENTRE DOS VECTORES

Dados dos vectores A y B, aplicando el teorema de los cosenos a sus representaciones grá…cas (ver Ejercicio 12), se demuestra que el ángulo entre ambos vectores está dado por A B cos = jAj jBj

10

CHAPTER 1. VECTORES

B Fig. 1.5

A

1.9

PERPENDICULARIDAD ENTRE VECTORES

se dice que los vectores son perpendic2 ulares (u ortogonales). De la fórmula que da el ángulo entre dos vectores, con = , se ve que dos vectores A y B son perpendiculares si y sólo si A B = 0. 2 Cuando el ángulo entre dos vectores es

Example 8 a) Dados los vectores A = (3; 6; 9) y B = (1; 3; 4), el ángulo entre los dos vectores se obtiene de cos =

A B 3 + 18 + 36 57 = p p = p = 0:99587 jAj jBj 3 14 26 6 91

de donde = 5 120 medido en grados. b) Con A = (2; 2) y B = ( 1; 1) se tiene A B = 2 ( 1) + 2 1 = 0 luego, A y B son vectores perpendiculares.

1.10

PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial de dos vectores A = (a1 ; a2 ; c3 ) y B = (b1 ; b2 ; b3 ) de R3 , simbolizado por A B, es el vector. A

B = (a2 b3

a3 b2 ; a3 b1

a1 b3 ; a1 b2

a2 b1 )

con la notación A

= a1^{ + a2 ^j + a3 k^

B

= b1^{ + b2 ^j + b3 k^

se tiene A

B=

^{ a1 b1

^j a2 b2

k^ a3 b3

= (a2 b3

a3 b2 ) ^{

( a1 b3

a3 b1 ) ^j + ( a1 b2

a2 b1 ) k^

1.10. PRODUCTO VECTORIAL El vector A

11

B es perpendicular al vector A y al vector B.

AxB

B

A

Fig. 1.6

Example 9 Si A = (1; 3; 2) y B = (2; 1; 4)

B=

A

^{ 1 2

^j k^ 3 2 1 4

= (3:4

1:2) ^{

2:2) ^j + (1:1

(1:4

2:3) k^

simpli…cando A

B = 10^{

5k^

Algunas propiedades del producto vectorial son:

1. A

B=

2. (rA) 3. A

(B

A) (el producto vectorial es autoconmutativo).

B = r (A

B) donde r es un número real.

(B + C) = A

B+A

C (propiedad distributiva).

Los vectores unitario ^{ = (1; 0; 0), ^j = (0; 1; 0) y k^ = (0; 0; 1) satisfacen las siguientes relaciones, que pueden veri…carse por cálculo directo: ^{

^{

^j = k^

^{ = ^j

^j = k^

k^ = 0

, ^j

k^ = ^{

,

k^

^{ = ^j

12

CHAPTER 1. VECTORES

1.10.1

Signi…cado geométrico de A

El módulo del vector A Ejercicio 20).

B

B es el área del paralelogramo de lados A y B (ver

A

Area= AxB B Fig. 1.7

Example 10 Del ejemplo anterior, con A = (1; 3; 2) y B = (2; 1; 4) se tiene A

B = 10^{

5k^

Por tanto, el área del paralelogramo de lados A y B es p p p Area = jA Bj = 100 + 25 = 125 = 5 5

1.11

EL PRODUCTO MIXTO

El producto mixto de tres vectores A, B y C de se calcula según a1 a2 A B C = b1 b2 c1 c2

R3 , simbolizado por A B

C

a3 b3 c3

Mediante el cálculo directo se comprueba que A B

C=B C

A=C A

B

Por supuesto A B C no es una nueva operación, simplemente se trata del producto escalar del vector A por el vector B C. Es decir A B

C = A (B

C)

Example 11 Si A = (1; 3; 2), B = (3; 5; 1) y C = (2; 1; 4) entonces el producto mixto A B C es A B

C=

1 3 2

3 5 1

2 1 4

= (20 + 1) 1 + (12

simpli…cando A B

C = 25

2) ( 3) + ( 3

10) 2

1.12. EJERCICIOS RESUELTOS

1.11.1

Signi…cado geométrico de A B

13

C

El volumen del paralelepipedo determinado por los vectores A, B y C está dado por V = jA B Cj En el ejercicio 23 se establece este hecho.

A

C

Fig. 1.8

B

Example 12 Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores A = (1; 3; 2), B = (3; 5; 1) y C = (2; 1; 4). Como A B C = 25 (ejemplo anterior), se sigue que el volumen V del paralelepipedo determinado por los tres vectores es V = jA B Cj = 25

1.12

EJERCICIOS RESUELTOS

VECTORES Las operaciones básicas con los vectores son esencialmente las que realizamos con los números reales, simplemente cuidando de operar componente a componente. 1 1. Si A = (4; 1) y B = (2; 3), calcular a) A 3B, b) A + 2B. 2 Solución. a) A 3B = (4; 1) 3 (2; 3) = (4; 1) (6; 9) = (4 6; 1 9) = ( 2; 10) 1 1 1 13 b) A + 2B = (4; 1) + 2 (2; 3) = 2; + (4; 6) = 2; 2 2 2 2 2. Si A = (4; 1) y B = (3; 2), calcular grá…camente a) A + B, b) A 2B. Solución. Antes de nada trazamos las ‡echas o radios vectores que representan a los vectores A y B. a) Uniendo el origen con el vértice opuesto del paralelogramo determinado por A y B, obtenemos el radio vector que representa a A + B.

14

CHAPTER 1. VECTORES b) Primero duplicamos el tamaño de B, 2B; y luego le cambiamos el sentido, 2B. Como en la parte a) calculamos grá…camente A + ( 2B) = A (2B).

B A+B A

B

A+B A A-2B

Fig. 9b

Fig. 9a

Del grá…co leemos A + B = (7; 1) del grá…o leemos A

2B = ( 2; 5).

3. Si A = (1; 4; 2) y B = (2; 6; 0), determinar un vector X que satisfaga la ecuación A X = 2 (B X) + A Solución. Procedemos empleando las propiedades algebráicas de los vectores: A

X = 2 (B

A

X = 2B

X) + A

(ecuación dada)

2X + A

(propiedad distributiva)

A + X = 2B + A

(sumando 2X a cada miembro)

X = 2B

(Sumando

A a cada miembro)

Luego, X = 2B = 2 (2; 6; 0) = (3; 12; 0) 4. Si A = (1; 3; 4) y B = ( 1; 0; 5), calcular la longitud o modulo de a) 1 A + B, b) A 2B. 2 Solución. a) Como A + B = (1; 3; 4) + ( 1; 0; 5) = (0; 3; 9), entonces p p jA + Bj = 02 + 32 + 92 = 3 10 b) Como

1 A 2

1 (1; 3; 4) 2 s 5 2B = 2

2B =

1 A 2

2 ( 1; 0; 5) =

2

+

3 2

5 3 ; 2 2

2 2

+ ( 8) =

8 , entonces

p

290 2

1.12. EJERCICIOS RESUELTOS

15

5. Calcular la distancia entre los puntos A y B dados. a) A = (1; 2), B = (4; 3) , b) A = (1; 2; 1) y B = (2; 1; 3). Solución. La longitud o módulo del vector que va desde el punto A hasta el punto B da la distancia d entre estos dos puntos; por tanto d

= jB =

Aj = j(4; 3)

(1; 2)j = j(3; 5)j

p p 32 + 52 = 34

b) Procediendo como antes d

= jB =

p

Aj = j(2; 1; ; 3)

1+9+4=

p

(1; 2; 1)j = j(1; 3; 2)j

14

PARALELISMO Simplemente tener en cuenta que dos vectores son paralelos si uno es múltiplo del otro. 6. Determinar el valor de a para que el vector (2; a) sea paralelo al vector ( 4; 6). Solución. Se debe cumplir ( 4; 6) = c (2; a) (condición de paralelismo). Igualando componentes: 4 6

= 2c = ac

de donde c=

2

por tanto a=3 7. Mostrar que si A 6= 0, entonces el vector

A es un vector unitario, paralelo jAj

y del mismo sentido que A. Solución. Como A 1 1 = A = jAj = 1 jAj jAj jAj

el vector dado es unitario. A 1 Por otra parte, es múltiplo de A pues A = jAj ; esto y el hecho jAj jAj A de ser jAj > 0 dicen que el vector es paralelo y del mismo sentido que jAj A.

16

CHAPTER 1. VECTORES 8. Si A = (1; 1; 1), encontrar un vector unitario paralelo a A y a) del mismo sentido, b) de sentido opuesto. p Solución. a) Como jAj = 3, entonces por el anterior ejercicio, el vector A 1 = p (1; 1; 1) = jAj 3

1 1 1 p ;p ;p 3 3 3

es unitario, paralelo a A y del mismo sentido. A b) Multiplicando por -1 al vector le cambiamos el sentido, y por tanto jAj obtenemos un vector unitario paralelo y de sentido opuesto a A. Es decir A = jAj

1 1 1 p ;p ;p 3 3 3

es el vector pedido. PRODUCTO ESCALAR Y ORTOGONALIDAD Entre otras cosas, el producto escalar permite proyectar un vector sobre otro y determinar si dos vectores son o no ortogonales. 9. Calcular A B y (2A B) B si a) A = (1; 4), B = (3; 5), b) A = (1; ; 1; 2), B = (2; 0; 3). Solución. a) Por una parte A B = (1; 4) (3; 5) = 1 3 + ( 4) 5 =

17:

Por otro lado como 2A

B = 2 (1; 4)

(3; 5) = ( 1; 13) ;

se tiene (2A

B) B

= =

( 1; 13) (3; 5) =

1 3

13 5

68

b) Procediendo como antes A B

=

(1; 1; 2) (2; 0; 3) = 1 2 + ( 1) 0 + 2 3

=

8

por otro lado (2A

B) B

=

[2 (1; 1; 2)

(2; 0; 3)] (2; 0; 3)

=

(0; 2; 1) (2; 0; 3) = 3

1.12. EJERCICIOS RESUELTOS

17

10. Encontrar todos los vectores del plano, ortogonales a A = (4; 2). Solución. Si B = (a; b) es ortogonal al vector A = (4; 2), entonces A B = 0, entonces 4a 2b = 0 ordenando b = 2a. Por tanto B = (a; 2a) = a (1; 2) donde a es un número real. Lo que quiere decir que los vectore ortogonales a A son múltiplos (paralelos) del vector (1; 2). 2

11. Mostrar que A A = jAj Solución. Consideremos, en general, un vector A = (x1 ; x2 ;

; xn ) ,

entonces por un lado A A

=

(x1 ; x2 ;

; xn ) (x1 ; x2 ;

= x21 + x22 +

; xn )

+ x2n

y por otro jAj = 2

jAj

q x21 + x22 +

= x21 + x22 +

+ x2n

por tanto

2

A A = x21 + x22 + 12. Mostrar que si entonces

+ x2n

+ x2n = jAj

es el angulo entre los vectores A y B (de R2 o R3 ), cos =

A B jAj jBj

A A-B

Fig. 10

B

Solución. Los vectores A, B y A B forman un triángulo tal como el del diagrama adjunto. Entonces, por el teorema de los cosenos jA

2

2

2

Bj = jAj + jBj

2 jAj jBj cos

18

CHAPTER 1. VECTORES (A

B) (A A A

B) = A A + B B

2

2 jAj jBj cos (porserA A = jAj ):

2A B + B B = A A + B B

2 jAj jBj cos

de donde cos =

A B jAj jBj

13. Mostrar que la componente de un vector A en la direccion de otro vector B esta dado por B CompB A = A jBj

d=Comp BA

A

Fig. 1.11

d

B

Solución. Para mayor claridad, sea d la componente de A en la dirección de B. Del diagrama tenemos cos =

d =) d = jAj cos jAj

como cos =

A B A B =) d = jAj jAj jBj jAj jBj

de donde d = ComB A = A

B jBj

Nota 1. Hay que remarcar que para encontrar la componente de A en la direccion de B debemos multiplicar (producto escalar) el vector A por el B vector unitario . jBj Nota 2. El signo de la componente de A en la direccion de B es positiva si el angulo entre A y B es menor que 90 , si el angulo es mayor que 90 dicha componente sera negativa.

1.12. EJERCICIOS RESUELTOS

19

A A

Fig. 1.12b

Fig. 1.12a

° < 90

B

° > 90

B

Signo -

Signo +

Nota 3. Si nos interesa el vector proyeccion de A sobre B, entonces B en CompB A veces. simplemente hay que ampliar el vector unitario jBj Es decir, la proyeccion de A sobre B es P ro yB A = (CompB A)

B = jBj

B jBj

A

B jBj

z k

A

c a

j

y

i

B

(ProyBA)

b

Fig. 14

x

Fig. 13

de donde P royB A =

A B B B

B

14. Calcular la componente de A = (1; 3; 1) en la direccion de B = (5; 2; 14). B Solución. Primeramente calculamos el vector . Como jBj jBj =

p

25 + 4 + 196 = 15

entonces B 1 = (5; 2; 14) jBj 15

20

CHAPTER 1. VECTORES y por tanto CompB A

= A =

B 1 = (1; 3; 1) (5; 2; 14) jBj 15

1 15

15. Dados A = (1; 1; 4) y B = (3; 0; 4) calcular a) la componente de A en la direccion de B, CompB A, b) la componente de B en la direccion de A, CompB B. B , calculamos Solución. a) Como ComB A = A jBj p jBj = 9 + 0 + 16 = 5 entonces

1 19 (3; 0; 4) = 5 5 b) Para el cálculo de la componente de B en la dirección de A, tenemos p p jAj = 1 + 1 + 16 = 3 2, CompB A = (1; 1; 4)

CompA B = B

1 19 A = (3; 0; 4) p (1; 1; 4) = p jAj 3 2 3 2

16. Los cosenos de los angulos a; b; c que forma el vector A con los vectores unitarios ^{; ^j; k^ respectivamente, se llaman cosenos directores de A. Hallar los cosenos directores de A = (6; 3; 2). Solución. Teniendo en cuenta la fórmula que da el ángulo entre dos vectores obtenemos cos a =

A ^{ (6; 3; 2) (1; 0; 0) 6 p p = = jAj j^{j 7 49 1

cos b =

A ^j (6; 3; 2) (0; 1; 0) 3 p p = = 7 49 1 jAj ^j

cos c =

(6; 3; 2) (0; 0; 1) 2 A k^ p p = = 7 49 1 jAj k^

A = (cos a; cos b; cos c). Esto dice que los cosenos directores jAj A de A son las componentes del vector unitario . jAj PRODUCTO VECTORIAL Este producto permite encontrar un vector ortogonal a dos vectores dados. Tambien se emplea para clacular areas de triangulos, de paralelogramos y volumenes de paralelepipedos, ademas de tener otras aplicaciones.

Notemos que

1.12. EJERCICIOS RESUELTOS

21

17. Con A = (1; 0; 2), B = ( 3; 4; 1) calcular a) A Solución. a) A

^{ ^j k^ 1 0 2 3 4 1

B =

=

= (0

8) ^{

B, b) B

A.

(1 + 6) ^j + (4; 0) k^

7^j + 4k^ = ( 8; 7; 4)

8^{

b) Procediendo como antes

B

A

=

=

^{ ^j k^ 3 4 1 1 0 2

= (8

0) ^{

( 6

1) ^j + (0

4) k^

(8; 7; 4)

El mismo resultado obtenemos a partir de a) recordando que B (A B)

A =

18. Mostrar que el vector A B es perpendicular a) el vector A, b) al vector B. Solución. Vamos a mostrar que el producto escalar de A B tanto como A como con B es cero. Con A = (a1 ; a2 ; a3 ) y B = (b1 ; b2 ; b3 ) tenemos B=

A

^{ a1 b1

^j a2 b2

=

(a2 b3

k^ a3 b3

= (a2 b3

a3 b2 ; a3 b1

a1 b3 ; a1 b2

a2 b1 )

a3 b2 ; a3 b1

a1 b3 ; a1 b2

a2 b1 ) (a1 ; a2 ; a3 )

a) Como (A

B) A

= a1 a2 b3 = Por tanto, A

a1 a3 b2 + a3 a2 b1

a1 a2 b3 + a1 a3 b2

a2 a3 b1

0 (simpli…cando).

B es perpendicular a B.

19. Mostrar que jA Bj = jAj jBj sin , 0 . Solucion. Cuando se tiene módulo conviene trabajar con su cuadrado y en terminos del producto escalar. Con A = (a1 ; a2 ; a3 ) y B = (b1 ; b2 ; b3 ) tenemos: Por una parte jA

2

Bj

= (a2 b3 a3 b2 ; a3 b1 a1 b3 ; a1 b2 a2 b1 ) (a2 b3 a3 b2 ; a3 b1 a1 b3 ; a1 b2 = a21 b22 + a21 b23 + a22 b21 + a22 b23 + a23 b21 + a23 b22 2a1 a2 b1 b2 2a1 a3 b1 a1 b3 2a2 a3 b2 b3

a2 b1 )

22

CHAPTER 1. VECTORES Por otra parte 2

2

jAj jBj sin2

2

2

2

2

2

2

= jAj jBj = jAj jBj

= jAj jBj

cos2

1

2

2

jAj jBj cos2 2

(A B)

desarrollando y simpli…cando tenemos 2

2

jAj jBj

2

(A B)

=

a21 + a22 + a23

2

b21 + b22 + b23

(a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )

= a21 b22 + a21 b23 + a22 b21 + a22 b23 + a23 b21 + a23 b22 2a1 a3 b1 b3 2a2 a3 b2 b3

2a1 a2 b1 b2

Combinando (1), (2) y (3) tenemos …nalmente, jA

2

Bj

2

2

= jAj jBj sin2 = jAj jBj sin con 0

El valor de esta restringido entre 0 y porque el segundo miembro debe ser no negativo, como el primer miembro. 20. Mostrar que jA Bj da el área del paralelogramo de lados A y B. Solucion. Es sabido que el área del paralelogramo de lados A y B es el producto de la base por la altura. En este caso: Area = jAj h:

z

B

Q

h P

R x

A Fig. 15

x

Fig. 16

Por otra parte, el diagrama se obtiene sin =

h =) h = jBj sin jBj

reemplazando, Area = jAj h = jAj jBj sin = jA

Bj

1.12. EJERCICIOS RESUELTOS

23

21. Calcular el área del paralelogramo de lados a) A = (1; 4; 1) y B = (1; 0; 3), b) A = (2; 5) y B = (5; 1). Solución. a) Como

A

B=

^{ 1 1

^j 4 0

k^ 1 3

= (12; 4; 4)

entonces: Area = jA

Bj = j(12; 4; 4)j =

p

p 176 = 4 11

b) Los vectores (2; 5) y (5; 1) están en el plano, pero los podemos considerar como vectores en el espacio escribiendo (2; 5) = (2; 5; 0) ; (5; 1) = (5; 1; 0). Como ^{ ^j k^ A B = 2 5 0 = (0; 0; 23) 5 1 0 entonces jA

Bj = 23

Por tanto el área del paralelogramo es igual a jA

Bj = 23.

22. Calcular el área del triangulo de vertices P = (1; 1; 1), Q = (3; 2; 1), R = (1; 3; 5). Solución. Notemos que el área del triángulo dado es igual a la mitad del área del paralelogramo de lado Q P y R P (ver el diagrama). Como Q R

P = (3; 2; 1) P = (1; 3; 5)

(1; 1; 1) = (2; 1; 2) (1; 1; 1) = (0; 2; 6)

y (Q

P)

(R

P) =

^{ 2 0

^j k^ 1 2 2 6

= (2; 12; 4)

entonces área triángulo = =

1 j(Q 2

P)

(R

P)j

p 1p 4 + 144 + 16 = 41 2

23. Mostrar que A B C da el volumen del paralelepipedo determinado por los vectores A, B y C.

24

CHAPTER 1. VECTORES Solución. El volumen del paralelepípedo, como es conocido, está dado por

B ×C

A

A

h

C C B

B

Fig. 19

Fig. 18

V = área basal

altura

Por una parte, área basal = jB

Cj

(ejercicio 20)

por otro lado, la altura h es la componente del vector A en la dirección del vector A en la dirección del vector B C (perpendicuar a B y C). Es decir (B C) h = CompB C A = A jB Cj luego, V = área basal

altura = (jB

Cj) A

B jB

C Cj

=A B

C

como siempre consideramos el volumen positivo: Volumen paralelepíopedo = jA B

Cj

24. Calcular el volumen del paralelepipedo determinado por los vectores A = (1; 3; 2), B = (3; 5; 1) y C = (2; 1; 4). Solución. El volumen pedido es V = jA B Cj. Calculando, A B

C=

1 3 2

3 2 5 1 1 4

= 25

Por tanto, Volumen paralelepíopedo = jA B

Cj = 25 unid. vol.

1.12. EJERCICIOS RESUELTOS

25

25. Mostrar que el volumen del tetraedro de aristas A, B y C esta dado por V =

1 jA B 6

Cj

Solución. El procedimiento es analogo al del ejercicio 23. El volumen del tetraedro, como es sabido, es V =

1 área basal 3

altura

del diagrama: Area basal =

Altura = CompB

1 jB 2

CA

Cj

=A

B jB

C Cj

luego, V

=

1 1 jB 3 2

Cj A

V

=

1 jA B 6

Cj

B jB

C Cj

donde se ha tomando el valor absoluto para evitar volúmenes negativos. 26. Calcular el volumen del tetraedro cuyas aritas son los vectores (1; 0; 1), (1; 2; 0) y (0; 1; 4). Solución. Como

A B

C=

1 1 0

0 2 1

1 0 4

=8+1=9

De acuerdo al ejercicio anterior, el volumen del tetraedro es V =

1 jA B 6

Cj =

1 3 9 = unid. vol. 6 2

PROBLEMAS VARIOS. 27. Si jAj = 3 y el ángulo entre A y B es 45 , cual debe ser el valor de jBj

26

CHAPTER 1. VECTORES para que A

B sea perpendicular a A.

B A N

A-B °45 A

M Fig. 21

Fig. 20

Solucion. Como el vector A (A

B

B) A 2

jAj

B ha de ser perpendicular a A, entonces

=

0)A A

B A=0 2

= B A ) jAj = jAj jBj cos 45

de donde jBj =

p jAj 3 = p =3 2 cos 45 1= 2

28. Sean A = (1; 5), B = (1; 1) y C = ( 1; 3), expresar el vector A como combinacion lineal de los vectores B y C, es decir en la forma A = xB + yC Solucion. Debemos determinar los numeros x; y de modo que se cumpla A = xB + yC reemplazando (1; 5) = x (1; 1) + y ( 1; 3) = (x igualando componentes 1 5

= x y = x + 3y

de donde, resolviendo el sistema, obtenemos x = y =

2 1

por tanto A = 2B + C

y; x + 3y)

1.12. EJERCICIOS RESUELTOS

27

29. Expresar el vector A = (1; 2; 1) como la suma de un vector M paralelo a B = (1; 4; 1) y de otro N perpendicular a B. Solucion. Antes que nada hagamos un diagrama de la situación (Fig. ##). Como se ve, el vector A es la suma de M y N, M es paralelo a B y N perpendicular a B. Determinemos M y N. Por una parte, M = xB

(1) (M paralelo a B)

N = A

M (2) (del diagrama)

por otra B N =0

(3) (B perpendcular a N)

reemplazando (1) y (2) en (3) tenemos B (A

M) = B (A

xB) = 0,

de donde x=

A B B B

como A B

=

(1; 2; 1) (1; 4; 1) = 8

B B

=

12 + 42 + ( 1) = 18

2

reemplazando x=

8 4 = 18 9

entonces M = xB =

N=A

4 (1; 4; 1) = 9

M = (1; 2; 1)

4 16 4 ; ; 9 9 9

4 16 4 ; ; 9 9 9

=

5 2 13 ; ; 9 9 9

Notemos, …nalmente, que el vector A se ha descompuesto en la suma de un vector M paralelo a B y de otro N perpendicular a B: A=M+N=

4 16 4 ; ; 9 9 9

+

5 2 13 ; ; 9 9 9

30. Mostrar que la recta que une el vertice de un triangulo isosceles con el

28

CHAPTER 1. VECTORES punto medio de su base es perpendicular a la base.

a B

C

B

B-A

M

c

b

A

½A

A

Fig. 22

Fig. 23

Solucion. Antes de nada introducimos notacion vectorial a un triangulo isosceles tal como el de la …gura. 1 Es su…ciente mostrar que el vector M = B A (que une el punto medio 2 de la base con el vertice opuesto) es perpendicular al vector A. Por una parte A M=A

1 A 2

B

=A B

1 A A 2

(1)

Por otra parte, jBj = jB 2

jBj

= jB

Aj (por ser triángulo isósceles) 2

Aj

es decir B B = (B

A) (B

A) = B B

2A B + A A

y simpli…cando A A = 2A B

(2)

reemplazando (2) en (1) se tiene A M=A B

1 2A B = 0 2

lo que quiere decir que los vectores A y M son perpendiculares. 31. Mostrar que A B = 0 si y solo si A y B son paralelos. Solucion. Primeramente mostraremos que si A B = 0 entonces A y B son paralelos. Supongamos que A B = 0. En caso de que A = 0 o B = 0, entonces

1.12. EJERCICIOS RESUELTOS

29

obviamente A y B son paralelos. En caso de que A 6= 0 y B 6= 0, entonces como 0=A

B ) 0 = jA

Bj = jAj jBj sin

con 0

y por ser A 6= 0 y B 6= 0, sin = 0 )

=0ó

=

Que el ángulo entre A y B sea 0 ó signi…ca precisamente que A y B son parlelos. Para acabar mostraremos que si A y B son paralelos entonces A B = 0. Supongamos que A y B son paralelos. Entonces B = cA y A

B=A

(cA) = c (A

A) = 0

por propiedad de producto vector. 32. Mostrar la ley de los senos, vectorialmente. Solución. Teniendo en cuenta el diagrama, Area triangulo =

1 jA 2

Bj =

1 jA 2

Cj

es decir, 1 1 jAj jBj sin c = jAj jCj sin b 2 2 de donde, jBj jCj = sin b sin c

(1)

1 jA 2

Bj =

similarmente Area triángulo =

1 jB 2

es decir, 1 1 jAj jBj sin c = jBj jCj sin a 2 2 de donde, jAj jCj = sin a sin c

(2)

de (1) y (2) obtenemos la ley de los senos: jAj jBj jCj = = sin a sin b sin c

Cj

30

CHAPTER 1. VECTORES

33. Mostrar que las diagonales de un cuadrado son perpendiculares.

C C

D F

A+B

N

B

P

E

Q

Q

A-B

O

P M

A

A

A

B

R

Fig. 25

Fig. 24

N

Fig. 26

Solución. Consideremos un cuadrado cuyos lados son los vectores A y B (ver …gura ##). Entonces las diagonales del cuadrado son los vectores A B y A + B. Como (A

B) (A + B)

= A A 2

= jAj

B; A + A B; B

B B

2

jBj = 0

(por ser: lado del cuadrado = jAj = jBj). Por tanto, A B y A + B son perpendiculares. 34. Dado el paralelogramo de vértices A, B, C, D con P y Q puntos medios de los lados BC y CD respectivamente. Mostrar que AP y AQ trisectan la diagonal BD en los puntos E y F . Solución. Previamente realizamos un diagrama (…gura), donde para mayor claridad se designa por M al vector AB y por N al vector BC. Por una parte: AE = xAC (por ser AE y AC paralelos) AE = x (M + N) (pues AC = M + N)

(1)

Por otra parte: AE AE AE

= AP + P E (suma de vectores) = AP + yP D (por ser P E paralelo a P D) 1 1 = M+y N M (2) 2 2

por ser 1 M y por ser P D = N 2 Igualando (1) y (2) tenemos AP =

x (M + N) =

1 M+y N 2

1 M 2

1 M 2

) xM + xN =

1 M + yN 2

y M 2

B

1.12. EJERCICIOS RESUELTOS de donde

31

1 y + 2 2

x

M = (y

x) N

como M y N son no paralelos x

1 y + = 0 2 2 y x = 0

y resolviendo el sistema obtenemos x = y

=

1 3 1 3

Por tanto AE = xAC = 13 AC, dice que AE es la tercera parte de AC. Similarmente se muestra que F C es la tercera parte de AC. Lo que …nalmente dice que DP y DQ trisectan la diagonal AC. 35. Mostrar que las medidas de un triangulo se cortan en un punto a un tercio de cada mediana. Solución. Siguiendo el diagrama, trazamos las medianas de los lados AC y BC. Por un lado AO AO

= xAQ = x M + CQ

pero CQ =

1 (N 2

1 (N 2

M)

M)

entonces AO = x M +

=

x (M + N) (1) 2

Por otro lado AO AO

= AP + P O 1 = M + y PB 2

pues P O paralelo a P B. AO =

1 M+y N 2

1 M 2

pues PB = N

1 M 2

(2)

32

CHAPTER 1. VECTORES Igualando (1) y (2)

x 2

x (M + N) = 2 1 y + M = 2 2

1 M+y N 2 x N y 2

1 M 2

como M y N son no paralelos, entonces x 2

1 y + 2 2 x y 2

=

0

=

0

resolviendo el sistema x = y

=

2 3 1 3

Entonces AO = 32 AQ, P O = 13 P B. Lo que dice que P O es la tercera parte de la mediana P B; y también que OQ es la tercera parte de la mediana AQ. Hasta ahora tenemos que: Dos medianas de un triangulo se cortan en un punto (obvio) a un tercio de cada mediana (ya demostrado). De lo que se sigue que la tercera mediana debe pasar por el mismo punto de interseccion de las otras dos medianas ubicado a un tercrio de dicha mediana. Por tanto, las tres medianas del triangulo se cortan a un tercio de cada median.

1.13

EJERCICIOS PROPUESTOS

VECTORES Sean A = (1; 2), B = ( 1; 3) y C = (0; 4); calcular: 1. A + B. 2. A 3.

B + C.

3B.

4. 4A

3B.

5. A + 2B 6. 4 (A + B) 7.

3C. 5C.

1 1 (A B) + C. 2 4 Sean A = (1; 4; 1), B = (2; 5; 4) y C = (0; 4; 0); calcular:

1.13. EJERCICIOS PROPUESTOS

33

8. A + C. 9. 2A 10.

1 B+A 2

11. 3A 12.

B + 2C. C.

B.

1 (A + B) 2

B.

13. Si A = (1; 2), B = ( 1; 3) realizar gra…camente las siguientes operaciones: 5 1 B. a) A + B, b) A B, c) 2A 3B y d) A 2 2 Dados los vectores A y B, en cada una de las ecuaciones determinar un vector X que la satisfaga. 14. A = (2; 3), B = (1; 4); 3X

2A + B = 0:

15. A = (0; 1), B = (5; 2); 3 (A

X) = 6 (X

16. A = (1; 2; 1), B = (0; 3; 1); X

3A

17. A = (1; 3; 2), B = ( 2; 1; 2); 2 (A

A + B)

3X.

B = 2X X) = X

2B

2 (X

A)

18. Si A = (3; 0; 4) y B = (2; 1; 3), calcular la longitud o módulo de a) A, A B + jBj . b) A + B, c) 3A 21 B y d) jAj 19. Calcular la distancia entre los siguientes pares de puntos a) (1; 1) y (2; 2) b) (3; 8) y (8; 3) , c) (1; 1; 8) y (1; 2; 3). PARALELISMO 20. Indicar cuáles de los siguientes pares de vectores son paralelos y en tal caso, si tienen el mismo sentido. a) (1; 1) y (2; 2); b) (2; 4) y (4; 2); c) (5; 7; 3) y ( 15; 21; 9). 21. Si A = (1; 2; 3) y B = (3; 1; 2), hallar un vector unitario C paralelo al vector a) A + B; b) 2A B; c) A + 3B. PRODUCTO ESCALAR Y ORTOGONALIDAD 22. Sean U = (3; 0; 5), V = (2; 1; 3), P0 = (1; 2; 1), P1 = (2; 3; 1), calcular: a) U V; b) U (P1 P0 ); c) V V; d) (U + V) (P0 P1 ); e) 2 (U + V) (U V); f) jU Vj . 23. Si A = (2; 4; 7), B = (2; 6; 3) y C = (3; 4; 5); en cada una de las expresiones siguientes se pueden introducir los paréntesis de una sola manera para obtener una expresión que tenga sentido. Introducir dichos paréntesis y efectuar las operaciones. a) A B C; b) A B + C; c) A B C; d) A C C B. 24. Determinar todos los pares ortogonales entre los vectores A = (4; 1; 3), B = (1; 2; 2), C = (1; 2; 2), D = (2; 1; 2) y E = (2; 2; 1).

34

CHAPTER 1. VECTORES

25. Hallar todos los vectores de R2 de la misma longitud de A y que son ortogonales a A, siendo: a) A = (1; 2); b) A = (2; 1); c) A = ( 2; 8); d) A = (3; 5). 26. Encontrar un vector X, distinto de cero, que sea ortogonal a (1; 5; 1). ¿Es X único? 27. Calcular la componente de A en la dirección de B, siendo: a) A = (3; 8), B = (2; 0); b) A = (5; 8), B = (1; 1); c) A = (1; 2; 3), B = (1; 0; 1); d) A = (1; 1; 1), B = (1; 2; 3). 28. Mostrar que si A 6 =0, entonces la suma de los cuadrados de sus cosenos directores es igual a 1; es decir cos2 a + cos2 b + cos2 c = 1 29. Mostrar que el ángulo que forman A = (1; 2; 1) y B = (2; 1; 1) es el doble del que forman C = (1; 4; 1) y D = (2; 5; 5). 30. Determinar los cosenos de los ángulos del triángulo cuyos vértices son los puntos (2; 1; 1), (1; 3; 5) y (3; 4; 4). 31. Hallar dos vectores no paralelos, ortogonales a (1; 2; 1). 32. Hallar dos vectores perpendiculares entre sí y perpendiculares, cada uno, al vector (2; 1; 1). PRODUCTO VECTORIAL 33. Sean A = (1; 2; 3), B = (1; 1; 0) y C = ( 1; 2; 1); calcular: a) A B; b) B A, c) A A; d) A (B C); e) A (A B); f) (A + B) (A B); g) (A 2C) 2B. 34. Sean A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 1) y C = (1; 2; 1); calcular a) A B b) C A B; c) A A C; d) C A C.

C;

35. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos A = (1; 0; 1), B = ( 1; 1; 1) y C = (2; 1; 2); hallar todos los puntos que pueden ser el cuarto vértice del paralelogramo. 36. Calcular el área del paralelogramo de lados a) (5; 3) y (3; 7); b) (1; 1) y (2; 4); c) (1; 3; 0) y ( 2; 4; 3); d) ( 3; 2; 4) y (1; 1; 1); e) (a; 0; 0) y (0; b; c). 37. Calcular el área del triángulo de vértices: a) (0; 0), (1; 0) y (3; 8); b) (5; 0), (8; 4) y (1; 1); c) ( 2; 1; 3), (3; 0; 6) y (4; 5; 1) d) (a; 0; 0), (0; b; 0) y (0; 0; c). 38. Determinar el volumen del paralelepípedo determinado por a) (2; 2; 4), (1; 5; 2) y (1; 0; 1); b) (2; 1; 3), ( 3; 0; 6) y (4; 5; 1).

1.13. EJERCICIOS PROPUESTOS

35

39. Determinar el volumen del tetrahedro de aristas: a) (5; 0; 16), (1; ; 1; 1) y (8; 2; 3); b) (a; b; 0), (0; b; c) y (a; 0; c). PROBLEMAS VARIOS 40. Si las diagnonales de un paralelogramo son los vértices ( 1; 1) y (5; 1), hallar los lados del paralelogramo. 41. Si las diagonales de un paralelogramo son los vértices A y B, expresar los lados del paralelogramo en términos de A y B. 42. Si A = (2; 1; 1) y B = (3; 4; 4), hallar un punto C tal que A, B y C sean los vértices de un triángulo rectángulo. 43. Encontrar el ángulo que forman las diagonales de un cubo. 44. Determinar los vértices de un cubo si sus diagonales son los vectores que unen P0 = (1; 1; 2) con P1 = (3; 1; 4) y P2 = (3; 1; 2) con P3 = (1; 1; 4) respectivamente. 45. Mostrar que si los vértices A y B en el plano no son paralelos, entonces la igualdad xA + yB = 0 implica x = y = 0. 46. Mostrar que si los vectores A y B en el plano no son paralelos, entonces la igualdad x1 A + y1 B = x2 A + y2 B implica x1 = x2 , y1 = y2 . 47. Sean A, B, C y D los vértices de un cuadrilátero y P , Q, R y S los puntos medios de cada lado respectivamente, mostrar que: a) P QRS es un paralelogramo; b) el perímetro de P QRS es igual a la suma de las longitudes de las diagonales de ABCD. 48. Mostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisectan. 49. Mostrar que las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre si. 50. Mostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si. 51. Mostrar que el triángulo cuyos vértices están en los extremos de un diámetro de una circunferencia y sobre la circunferencia es triángulo rectángulo. 52. Mostrar que el vector que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud. 53. Mostrar que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equidistante a los tres vértices. 54. Mostrar que las alturas de un triángulo se cortan en un punto.

36

CHAPTER 1. VECTORES

55. Mostrar la ley de los cosenos. 2

2

2

2

56. Si ABCD es un paralelogramo, mostrar que AB + BC + CD + DA = 2 2 AC + BD .

Chapter 2

GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA 2.1

LA RECTA

La recta que pasa por el punto P0 y tiene la dirección del vector V es el conjunto de puntos X que se expresan como X = P0 + tV

(2.1)

t número real. El vector V se llama vector direccional de la recta.

P1 V

V

P0

P2 Fig. 2.2

Fig. 2.1

Considerando X = (x; y; z) y P0 = (x0 ; y0 ; z0 ) y V = (a; b; c) e igualando componentes en (1) se obtiene la ecuación cartesiana de la recta: x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct 37

38

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA

Example 13 Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P0 = (1; 1; 1) y P1 = (3; 2; 2). Un vector direccional de la recta es V V

= P1 P0 = (3; 2; 2) = (2; 3; 1)

(1; 1; 1)

Como la recta pasa por el punto P0 = (1; 1; 1), su ecuación es X = P0 + tV = (1; 1; 1) + t (2; 3; 1) O, considerando X = (x; y; z) e igualando componentes, x = 1 + 2t y = 1 3t z =1+t

(2) (forma cartesiana)

Teniendo en cuenta que la componente de un vector en la dirección de otro se puede calcular mediante el producto escalar, se deduce que la distancia d de un punto P1 a la recta X = P0 + tV está dada por d = (P1

P0 )

(P1

P0 ) V 2

jVj

V .

Dadas las rectas X = P0 + tV y X = P1 + tU, el ángulo entre ambas es el ángulo que forman sus respectivos vectores direccionales, es decir: cos =

2.1.1

U V jUj jVj

(2.2)

Distancia entre dos rectas no paralelas X = P0 + tU

y X = P1 + tV es, por de…nición, el valor mínimo de las distancias de las distancias entre puntos de cada una de las rectas. Se puede demostrar que la distancia d entre ambas rectas es U V d = (P1 P0 ) (2.3) jU Vj Example 14 Dadas las rectas no paralelas X X

= P0 + tU = (1; 0; 2) + t (2; 1; 0) = P1 + tV = (2; 1; 1) + t (0; 2; 2)

punto P2 = (1; 2; 3); calcular a) La distancia del punto P2 a la recta X = P0 + tU.

2.1. LA RECTA

39

b) La distancia entre las dos rectas. c) El ángulo entre las dos rectas. Solución. a) Calculando P2 P0 = (1; 1; 3) (1; 0; 2) = (0; 1; 1) P0 ) U = (0; 1; 1) (2; 1; 0) = 1 jUj = U U = (2; 1; 0) (2; 1; 0) = 5

(P2

entonces (P2

P0 ) U 2

jUj

1 (2; 1; 0) = 5

U=

2 1 ; ;0 5 5

Entonces la distancia del punto a la recta es d

=

(P2

P0 )

=

(0; 1; 1)

(P2

P0 ) U 2

jUj

2 1 ; ;0 5 5

U

=

2 4 ; ;1 5 5

3 =p 5

b) Calculando P1

U jU

V

P0 = (2; 1; 1)

=

i 2 0

j 1 2

k 0 2

(1; 0; 2) = (1; 1; 1)

=

Vj = j( 2; 4; 4)j =

p

2i

4j + 4k = ( 2; 4; 4)

4 + 16 + 16 = 6

luego, la distancia entre las dos rectas es d

=

(P1

d

=

1 ( 2 6

P0 ) 4

V 1 = (1; 1; 1) ( 2; 4; 4) Vj 6 5 4) = 3

U jU

c) Los vectores U = (2; 1; 0) y V = (0; 2; 2) son vectores direccionales de las dos rectas dadas, por tanto el ángulo entre ambas se obtiene de cos

= =

U V (2; 1; 0) (0; 2; 2) p = p jUj jVj 4+1 4+4 1 1 p ( 2) = p 2 10 10

de donde = 108 260

40

2.2

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA

EL PLANO

El plano determinado por los vectores no paralelos U , V y que pasa por el punto P0 tiene por ecuación X = P0 + sU + tV (2.4) con s, t números reales.

n X

U X-P0 P0

P0

V

Fig. 2.4

Fig. 2.3

Sea N un vector normal al plano, entonces si X es cualquier punto del plano, el vector X P0 , se encuentra sobre este plano y debe ser perpendicular a la normal N , es decir, la ecuación del plano es N (X

P0 ) = 0

(2.5)

De cualquiera de las dos anteriores ecuaciones (3) y (4) del plano, haciendo X = (x; y; z), la ecuación del plano se reduce a la forma general ax + by + cz + d = 0

(2.6)

se demuestra que el vector (a; b; c) es normal al plano. El fácil ver que dos planos son paralelos si sus normales lo son. Example 15 a) Determinar la ecuación del plano que pasa por los puntos P0 = (1; 1; 2), P1 = (2; 1; 1) y P2 = ( 1; 2; 3). b) Hallar un vector normal N al plano del inciso a). c) Expresar la ecuación del plano en suf orma cartesiana ax + by + cz + d = 0.

P1 U P0

P2 V

2.3. CILINDROS Y SUPERFICIES CUADRICAS

41

a) Los vectores U = P1 V = P2

P0 = (2; 1; 1) (1; 1; 2) = (1; 2; 1) P0 = ( 1; 2; 3) (1; 1; 2) = ( 2; 3; 1)

se encuentran sobre el plano. Como el plano pasa por P0 = (1; 1; 2) su ecuación vectorial es X

= P0 + sV + tU = (1; 1; 2) + s (1; 2; 1) + t ( 2; 3; 1)

b) Puesto que los vectores U y V es ^{ N=U V= 1 2

están sobre el plano, un vector normal al plano ^j 2 3

k^ 1 1

= 5^{ + ^j + 7k^ = (5; 1; 7)

c) Si X = (x; y; z) es un punto cualquiera del plano, el vector X P0 se encuentra sobre el plano y debe ser, por tanto, perpendicular al vector normal N . Es decir N (X P0 ) = 0 (5; 1; 7) ((x; y; z) (1; 1; 2)) = (5; 1; 7) (x 5x + y + 7z 18 = 0

1; y + 1; z

2) = 0

Si N es un vector normal al plano que pasa por el punto P0 , la distancia d del punto P al plano está dado por d

2.3 2.3.1

(3; 2; 1) N p = ((1; 2; 3) (0; 0; 4)) jN j 14 1 2 p = p (1; 2; 1) (3; 2; 1) = 14 14 r 2 = 7 =

(P

P0 )

CILINDROS Y SUPERFICIES CUADRICAS Cilindros

Una ecuación de la forma f (x; y) = 0 determina una super…cie en el espacio xyz. Su grá…ca en el espacio se obtiene deslizando la curva f (x; y) = 0 del plano xy en forma continua y paralelamente al eje z -variable que no …gura en

42

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA

la ecuación de la super…cie - (Ver …gura 2.6).

f(x,y) = 0

Fig. 2.6

Similarmente se obtienen las grá…cas de super…cies cilíndricas paralelas a los otros ejes. Example 16 Gra…car las super…cies cilíndricas a) y = x2 y b) z = y 2 . Solución. a) La grá…ca de y = x2 en el plano xy es una parábola. Deslizando paralelamente al eje z se obtiene su grá…ca (…gura 2.7a). b) La grá…ca de z = y 2 es una parábola en el plano yz. La grá…ca de la super…cie z = y 2 en el espacio se obtiene deslizando la parábola paralelamente al eje x (…gura 2.7b).

y = x2

z = y2 Fig. 2.7

2.3.2

Fig. 2.8

Super…cies cuádricas

La grá…ca en el espacio de una ecuación polinomial de segundo grado se llama super…cie cuádrica. Así por ejemplo, las grá…cas de x2 + y 2 + z 2 = 1 , x2

2xy + y 2

z 2 = 10 , y 2

z2 = 4

son super…cies cuádricas. Algunas super…cies cuádricas ya conocidas son la esfera (x2 + y 2 + z 2 = R2 ) y el cilindro (x2 + y 2 = R2 ). Existen también otras que son particularmente importantes.

2.3. CILINDROS Y SUPERFICIES CUADRICAS

43

Para gra…car una super…cie cuádrica es conveniente seguir ordenadamente los siguientes pasos: 1. Encontrar las intersecciones de la super…cie con los planos coordenados (llamadas trazas). 2. Encontrar las intersecciones de la super…cie con los ejes coordenados. 3. Gra…car algunas secciones planas de la super…cie. Example 17 Gra…car la super…cie cuádrica x2 + y 2

4z 2

2x = 0.

Procedemos siguiendo las recomendaciones generales dadas: 1. Trazas. Haciendo z = 0 hallamos la intersección de la super…cie con el plano xy: x2 + y 2

4z 2

x2 + y 2

2x = 0 z=0

)

(x

2x = 0

2

1) + y 2 = 1 (circunferencia)

Haciendo y = 0 hallamos la intersección de la super…cie con el plano xz: x2 + y 2

4z 2

x2

2x = 0 y=0

)

(x

2x 2

4z 2 = 0

4z 2 = 1 (hipérbola)

1)

Haciendo x = 0 hallamos la traza en el plano yz: x2 + y 2

4z 2

y2

2x = 0 x=0

)

(y

4z 2 = 0

2z) (y + 2z) = 0 (dos rectas )

2. Haciendo x = 0, y = 0 obtenemos la intersección de la super…cie con el eje z: x2 + y 2 4z 2 2x = 0 ) 4z 2 = 0 ) z = 0 x = 0; y = 0 con x = 0, z = 0 obtenemos la intersección con el eje y: x2 + y 2

4z 2

2x = 0

x = 0; z = 0

) y2 = 0 ) y = 0

y haciendo y = 0, z = 0 tenemos la intersección con el eje x x2 + y 2

4z 2

2x = 0

y = 0; z = 0

)

x2 x (x

2x = 0 2) = 0

44

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA

3. Ahora averiguemos cómo es la super…cie a diversas alturas del espacio, es decir; sobre los planos de la forma z = k (k constante).

x2+y 2-4z2-2x=0

Fig. 2.9

x2 + y 2

2x = 4k 2 ) (x

2

1) + y 2 = 4k 2 + 1 (circunferencia)

Estos nos dice que si se corta la super…cie con el plano z = k se obtiene la circunferencia: 2 (x 1) + y 2 = 4k 2 + 1 Además, observamos que a medida que el corte con el plano z = k se efectúa a mayor altura (k cada vez más grande), el radio de la circunferencia aumenta. Gra…cando cada una de las trazas, y teniendo en cuenta las intersecciones con los ejes coordenados; y considerando que las circunferencias en cada plano de corte son más grandes a mayor altura, hacia arriba o hacia abajo, se obtiene la grá…ca de la …gura 2.8.

2.3.3

Super…cies cuádricas importantes

Procediendo como en el ejemplo ## se obtienen las grá…cas de super…cies cuádricas importantes, grá…cas que se muestran en las …guras que siguen:

Fig. 2.10

x2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c2 Elipsoide

Fig. 2.11

x2 y2 + =1 a2 b2 Paraboloide elíptico

2.4. COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS

45

z

z

Fig. 2.13 Fig. 2.12

y y x

x

x2 y2 z2 + 2 =1 2 a b c2 Hiperboloide de una hoja

z2 y2 x2 =1 2 2 c b a2 Hiperboloide de dos hojas

z

z

Fig. 2.14

y

y Fig. 2.15

x 2

x 2

2

x y z + 2 = 2 2 a b c Cono

x2 y2 = cz a2 b2 Paraboloide hiperbólico

Notemos que si intercambiamos los símbolos x, y, z en cualquiera de las anteriores ecuaciones, el tipo de la super…cie no cambia.

2.4

COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS

Muchas super…cies cuyas ecuaciones cartesianas son relativamente complicadas, se describen de manera simple en otro sistema de coordenadas adecuadamente elegido.

46

2.4.1

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA

Coordenadas cilíndricas z

z

r x

(x,y,z)

(x,y,z)

y

y x

Fig. 2.16

Fig. 2.17

El punto (x; y; z) del espacio se puede determinar también mediante las coordenadas (r; ; z) donde x = r cos ; 0 r y = r sin ; 0 2 (2.7) z=z En el espacio xyz las coordenadas cilíndricas se interpretan así: r: es la longitud del radio vector proyección de (x; y; z) sobre el plano xy. : es el ángulo que hay entre el eje x positivo y el radio vector r. z: cntinua siendo la altura del punto. Las ecuaciones dadas anteriormente permiten pasar del sistema de coordenadas cartesianas al de coordenadas cilíndricas. Para el proceso inverso se tiene p r = x2 + y 2 (2.8) = arctan xy z=z Example 18 La grá…ca de x2 +y 2 = z 2 es un cono. En coordenadas cilíndricas, este mismo cono está representado simplemente por r=z

2.4.2

Coordenadas Esféricas

El punto (x; y; z) del espacio puede localizarse también por medio de las coordenadas ( ; ; ). Las ecuaciones que relacionan ambos sistemas son: x = sin cos y = sin sin z = cos

(2.9)

donde 0, 0 ; ,0 2 . En el espacio xyz las coordenadas esféricas admiten la siguiente interpretación: : es la longitud del radio vector que va del origen al punto (x; y; z).

2.5. EJERCICIO RESUELTOS

47

: es el ángulo medio entre el eje z positivo y el radio vector. : como en coordenadas cilíndricas es el ángulo medio sobre el plano xy entre el eje x positivo y la proyección del radio vector sobre el plano xy. Por cálculo directo se demuestra que 2 = x2 + y 2 + z 2 . Example 19 La grá…ca de x2 + y 2 + z 2 = R2 es una esfera de radio R. Su ecuación en coordenadas esféricas es simplemente r=R

2.5

EJERCICIO RESUELTOS

2.5.1

La Recta

Dos puntos o un punto y un vector (direccional) determina completamente a una recta. 1. Hallar la ecuación vectorial y cartesiana, dela recta que pasa por el punto P0 = (1; 1; 2) con vector direccional V = (2; 1; 1). Solución. como la recta pasa por P0 = (1; 1; 2) y su vector direccional es V = (2; 1; 1), su ecuación vectorial es X = P0 + tV = (1; 1; 2) + t (2; 1; 1) Con X = (x; y; z) e igualando componentes obtenemos la ecuación cartesiana de la recta (x; y; z) = (1; 1; 2) + t (2; 1; 1) x = 1 + 2t y = 1+t z = 2+t 2. Hallar la ecuación de la recta que para por los puntos P0 = (1; 2; 3) y P1 = ( 2; 1 2).

P1 P1 P1-P0 P1-P0

d

P2 recta

P0 Fig. 2.18

Fig. 2.19

48

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA

Solución. El vector P1 P0 , que va de P0 a P1 , se encuentra sobre la recta y es, por tanto, un vector direccional de la recta. Calculando: V

= P1 P0 = ( 2; 1; 2) = ( 3; 1; 1)

(1; 2; 3)

Como para por P0 , la ecuación de la recta pedida es X = P0 + tV = (1; 2; 3) + t ( 3; 1; 1) o también: x = y = z =

1 2 3

3t t t

3. Mostrar que la distancia del punto P1 a la recta X = P0 + tV está dada por (P1 P0 ) V d = (P1 P0 ) V 2 jV j Solución. Para mayor claridad lo haremos detalladamente. Teniendo en cuenta la …gura ###, el vector P1 P0 va del punto P0 a P1 , la proyección de este vector sobre la recta es igual a su proyección sobre el vector direccional V , es decir: Proyección sobre la recta (P1 P0 ) jVV j multiplicando por el vector unitario V se obtiene el vector proyección sobre la recta (P1

P0 )

V V : jV j jV j

Por tanto, la distancia del punto a la recta es: d = (P1

P0 )

(P1

P0 ) V 2

jV j

V

4. Calcular la distancia del punto (1; 2; 1) a la recta X = (1; 1; 1) + t (2; 1; 1) : Solución. Con P0 = (1; 2; 1), P1 = (1; 1; 1) y V = (2; 1; 1) y de acuerdo al ejercicio anterior tenemos P1

(P1

P0

P0 ) V

= (1; 2; 1) = (0; 1; 0) = =

(1; 1; 1)

(0; 1; 0) (2; 1; 1) 1

2.5. EJERCICIO RESUELTOS

49

2

2

Ademas jV j = 22 + 12 + ( 1) = 6. Por tanto d = (P1

(P1

P0 )

P0 ) V 2

jV j

1 (2; 1; 1) = 6

V = (0; 1; 0)

r

5 6

5. Hallar la distancia del punto ( 2; 1; 3) a la recta x=t

;

y=1

t

;

z = 2 + 3t

Solución. Para poder aplicar la fórmula, previamente expresamos la ecuación de la recta en su forma vectorial. Como x = t ; y = 1 t ; z = 2 + 3t X = (0; 1; 2) + t (1; 1; 3) entonces, por P0 = (0; 1; 2), V = (1; 1; 3) y P1 = ( 2; 1; 3), tenemos P1

P0 = ( 2; 1; 3)

(P1

(0; 1; 2) = ( 2; 0; 1)

P0 ) V = ( 2; 0; 1) (1; 1; 3) = 1 2

2

jV j = 12 + ( 1) + 32 = 11. De donde d = (P1

(P1

P0 )

P0 ) V 2

jV j

V = ( 2; 0; 1)

1 1p (1; 1; 3) = 594 11 11

6. Calcular la distancia del punto P0 = (1; 0; 2) a la recta que pasa por los puntos P1 = (1; 2; 1) y P2 = (2; 1; 3). Solución. La recta que pasa por los puntos P1 y P2 tiene como vector direccional a P2

P1 = (2; 1; 3)

(1; 2; 1) = (1; 3; 2) .

Como, en particular, la recta pasa por P1 , la distancia de P0 a la recta es d = (P1

P0 )

(P1

P0 ) V 2

jV j

V = (0; 2; 1)

Simpli…cando d=

r

(0; 2; 1) (1; 3; 2) 2

12 + ( 3) + 22

(1; 3; 2)

3 7

7. Dadas las rectas X = (2; 1; 3) + t (3; 4; 1), X = (2; 0; 1) + t (5; 2; 0), calcular el ángulo entre las dos rectas. Solución. De las ecuciones dadas, los vectores U = (3; 4; 1) y V = (5; 2; 0) son vectores direccionales de la primera y segunda recta dada

50

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA respectivamente. Teniendo en cuenta que el ángulo entre dos rectas es el ángulo entre sus vectores direccionales, el ángulo buscando obtenemos de 7 U V (3; 4; 1) (5; 2; 0) p p =p cos = = jV j jV j 26 29 754 = 75 130 8. Mostrar que la distancia entre las rectas no paralelas X = P0 + tU

; X = P1 + tV

está dada por d = (P1

P0 )

Solución. Por una parte el vector U

U V jU V j V es perpendicular a U y V .

P1 U ×V

P1-P0

P2 P0

P0

P1 Fig. 2.21

Fig. 2.20

Por otra parte, el vector P1 P0 va del punto P0 (en una de las rectas) a P1 (en la otra recta). Entonces, la distancia entre las dos rectas es la proyección del vector P1 P0 sobre el vector U V . (Fig. ###). Es decir U V d = (P1 P0 ) jU V j donde se ha tomando el valor absoluto para evitar distancias negativas. 9. Dadas las rectas x = 3 x = t

t ; y = 2 + 2t ; y =1+t

; z=1 t ; z = 2t

calcular a) el ángulo que forman y b) la distancia entre ellas. Solución. Antes que nada, conviene expresar cada recta en su forma vectorial: X X

= =

(x; y; z) = (3; 2; 1) + t ( 1; 2; 1) = P0 + tU (x; y; z) = (0; 1; 0) + t (1; 1; 2) = P1 + tV

2.5. EJERCICIO RESUELTOS

51

a) El ángulo que forman las rectas se obtiene de cos

b) Como P1

U V jU j jV j

= =

P0 = (0; 1; 0) i

U

1

V = 1

( 1; 2; 1) (1; 1; 2) p p = 1+4+1 1+1+4 99 350

1 6

(3; 2; 1) = ( 3; 1; 1) j k 2 1 1 2

= 5i + j

3k = (5; 1; 3)

y, de acuerdo al ejercicio 8, la distancia entre las rectas es d = (P1

U jU

P0 )

V (5; 1; 3) 16 = ( 3; 1; 1) p =p Vj 25 + 1 + 9 35

EL PLANO Un plano está completamente determinado por tres puntos del plano, o un punto del plano y dos vectores no paralelos sobre el plano; o también por un punto del plano y un vector normal al plano. 10. Dados los puntos P0 = ( 1; 2; 1), P1 = (3; 2; 1), P2 = (0; 1; 2). Hallar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos a) en su forma vectorial, b) en su forma casteriana. Solución. a) Los vectores P1 P2

P0 P0

= (3; 2; 1) ( 1; 2; 1) = (4; 0; 2) = (0; 1; 2) ( 1; 2; 1) = (1; 1; 1)

se encuentran sobre el plano. Por tanto, los dos vectores generan el plano pedido y su ecuación vectorial es X X

= P0 + sU + tV = ( 1; 2; 1) + s (4; 0; 2) + t (1; 1; 1)

b) La ecuación catesiana del plano se obtiene de la ecuación vectorial simplemente igualando componentes y eliminando las variables s y t: X = (x; y; z) = ( 1; 2; 1) + s (4; 0; 2) + t (1; 1; 1) donde x = y = z = x+y y+z

1 + 4s + t 2 t 1 2s + t = =

1 + 4s 3 2s

x + 3y + 2z = 7

52

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA

11. Hallar la ecuación cartesiana del plano cuya ecuación vectorial es X = (1; 1; 2) + t (2; 1; 3) Solución. Igualando componentes y eliminando las variables s y t: X = (1; 1; 2) + s (3; 1; 2) + t (2; 1; 3) x = 1 + 3s + 2t x 2y = 3 + 5s y = 1 s + t =) =) x 3y z = 5 + 5s z = 2 + 2s + 3t

5y + z = 8

12. Hallar la ecuación vectorial del plano cuya ecuación cartesiana es x

y + 2y = 1

Solución. determinamos tres puntos del plano a partir de los cuales obtendremos dos vectores sobre el plano. Si x = 0 ; y = 0 ) z = 21 entonces P0 = 0; 0; 12 x = 0 ; z = 0 ) y = 1 entonces P1 = (0; 1; 0) y=0; z=0)x=1 entonces P2 = (1; 0; 0) Los vectores U = P1 P0 = 0; 1; 21 y V = 1; 0; 12 están sobre el plano. Teniendo en cuenta que el plano pasa por (1; 0; 0), su ecuación vectorial es X = (1; 0; 0) + s 0; 1

1 2

+ t 1; 0;

1 2

13. Mostrar que el vector (a; b; c) es perpendicular al plano ax+by+cz+d = 0.

(a,b,c)

P

P0 Fig. 2.22

P1

U

P-P0

P0 V Fig. 2.23

Solución. Es su…ciente mostrar que el vector (a; b; c) es perpendicular a cualquier vector que esté sobre el plano. Con x = 0, y = 0 de la ecuación del plano se tiene z = dc ; entonces el

2.5. EJERCICIO RESUELTOS

53

punto P0 = 0; 0; dc está en el plano. Si P = (x; y; z) es cualquier otro punto del plano, el vector P P0 = x; y; z + dc se encuentra sobre el plano. Como (a; b; c) x; y; z + dc = ac + by + c z + dc = ax + by + cz + d = 0. Esto dice que el vector (a; b; c) es perpendicular a cualquier vector que está sobre el plano y, por tanto, es perpendicular al plano. 14. Hacer pasar una recta por el punto (1; 4; 2), perpendicular al plano x + 2y + 3z = 10. Solución. De la ecuación del plano se sigue que el vector (1; 2; 3) es perpendicular al plano (ejercicio anterior) y, por tanto, sirve como vector direccional de la recta pedida. Como la recta debe pasar por el punto (1; 4; 2), la recta pedida es X = (1; 4; 2) + t (1; 2; 3) PROBLEMAS VARIOS 15. Encuentre la ecuación del plano que pasa por P1 = (2; 1; 2) y contiene a la recta X = (1; 0; 2) + t (3; 2; 1). Solución. Recordemos que necesitamos dos vectores no paralelos para generar un plano. Como la recta X = P0 + tV = (1; 0; 2) + t (3; 2; 1) está contenida en el plano, el vector V = (3; 2; 1) está sobre el plano pedido. Por otra parte, por pasar el plano por los puntos P0 y P1 , el vector U = P1 P0 = (2; 1; 2) (1; 0; 2) = (1; ; 1; 0) está sobre el plano. Por tanto U y V generan el plano pedido. Luego, teniendo en cuenta que debe pasar por P1 la ecuación del plano pedid es X = P1 + sU + tV = (2; 1; 2) + s (1; 1; 0) + t (3; 2; 1) 16. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P0 = (3; 1; 2), P1 = (1; 2; 1) y es perpendicular al plano x 3y + 2z = 8.

P

P0 N x

d

P1 n

P0

Fig. 2.25 Fig. 2.24

54

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA

Solución. Por una parte, de la ecuación del plano dado se tiene que el vector M = (1; 3; 2) es perpendicular a dicho plano. Por otra parte, si X = (x; y; z) es cualquier punto del plano pedido, los vectores U V

= X = X:

P0 = (x 3; y P1 = (x 1; y

1; z + 2) 2; z 1)

se encuentra sobre el plano. Entonces el vector N = U V es perpendicular al plano pedido. Como los planos deben ser perpendiculares, deben serlo también sus normales M y N ; es decir 1 M N = M (U

V)=

x x

3 3 y 1 y

2 1 z+2 2 z 1

=0

Desarrollando el determinante se obtiene: 11x + 7y + 5z = 25, que es la ecuación del plano pedido. 17. Mostrar que la distancia del punto P al plano que pasa por P0 con vector normal n está dado por: d = (P

n jnj

P0 )

Solución. El vector P P0 va de P0 a P y la proyección de este vector sobre el vector normal n da la distancia del punto P al plano (…gura. ###). Es decir n d = (P P0 ) jnj 18. Calcular la distancia del punto P = ( 1; 3; 4) y el plano X = s (1; 3; 1) + t (2; 1; 2). Solución. De la ecuación del plano X = s (1; 3; 1) + t (2; 1; 2) se ve que pasa por P0 = (0; 0; 0) el (el origen) y, por otra parte; el vector n = (1; 3; 1)

(2; 1; 2) =

i 1 2

j 3 1

k 1

= (7; 4; 5)

2

es perpendicular o normal al plano. Según el ejercicio 17, la distancia de P = ( 1; 3; 4) al plano es d = (P

P0 )

n = ( 1; 3; 4) jnj

(7; 4; 5) 13 (0; 0; 0) p =p 49 + 16 + 25 10

2.5. EJERCICIO RESUELTOS

55

19. Mostrar que la distancia entre un plano y una recta (paralelos) está dada por n d = (Pp Pr ) jnj donde n es unvector normal al plano, Pp y Pr son puntos del plano y la recta respectivamente. Solución. Como son paralelos, la distancia entre el plano y la recta es igual a la distancia de un punto cualquiera Pr de la recta al plano. Por tanto, según el ejercicio 17, la distancia de la recta al plano es d = (Pp

Pr )

n jnj

20. Hacer pasar un plano que contenga a la recta x = 1 y además sea paralelo al plano x + y 2z = 5.

P0 X-P0

t, y = 2 + t, z = 3t

V X

P1

Fig. 2.26

X n P2

Fig. 2.27

Solución. De X = (x; y; z) = (1; 2; 0) + t ( 1; 1; 3) se ve que la recta pasa por P0 = (1; 2; 0) con vector direccional V = ( 1; 1; 3). Por otra parte, el vector n = (1; 1; 2) es normal al plano x + y 2z = 5 (ejercicio 13) y como el plano perdido debe ser paralelo al dado, n también debe ser normal al plano pedido. Si X = (x; y; z) es un plano cualquiera del plano pedido, el vector X P0 está sobre dicho plano. Por tanto este vector debe ser perpendicular a la norma n, es decir n (X P0 ) (1; 1; 2) (x 1; y 2; z) de donde x+y es la ecuación del plano pedido.

2z = 3

= =

0 0

56

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA

21. Hallar la ecuación cartesiana del plano que equidista de los puntos P1 = (1; 2; 1) y P2 = (3; 0; 2).

P1 V (a,b,c,) P0 O

X

Fig. 2.29

Fig. 2.28

Solución. Si X = (x; y; z) es un punto cualquiera del plano pedido, la distancia de X a P1 de X a P2 deben ser iguales. Es decir q (x

jX

2

1) + (y

P1 j = jX P2 j q 2 2 2 2 2) + (z + 1) = (x 3) + y 2 + (z + 2)

tomando cuadrados, desarrollando y después de simpli…car obtenemos 4x

2y

2z = 7

ecuación pedida. 22. Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta X = (1; 2; 3) + t ( 1; 0; 2) y que contenga al origen. Solución. Si X = (x; y; z) es un punto cualquiera del plano, entonces teniendo en cuenta que el plano pasa por el origen 0 = (0; 0; 0), el vector X

0 = X = (x; y; z)

está sobre el plano pedido. Además, por ser la recta perpendicular al plano, su vector direccional V = ( 1; 0; 2) es perpendicular al plano y por tanto V (X 0) = ( 1; 0; 2) (x; y; z) = 0 x + 2z = 0 es la ecuación del plano pedido. 23. Mostrar que la distancia del punto P1 = (x1 ; y1 ; z1 ) al plano ax + by + cz + d = 0 es jax1 + by1 + cz1 + dj p d= a2 + b2 + c2

2.5. EJERCICIO RESUELTOS

57

Solución. Haciendo x = 0, y = 0 en la ecuación del plano se obtiene el punto P0 = 0; 0; dc sobre el plano. Como el vector P1 P0 va del punto P0 a P1 y el vector (a; b; c) es normal al plano (ejercicio 13), la proyección del vector P1 P0 sobre este vector normal da la distancia del punto al plano (Fig. ###). Es decir d

=

d

=

d

=

(a; b; c) j(a; b; c)j d (a; b; c) x1 ; y1 ; z1 + c j(a; b; c)j jax1 + by1 + cz1 + dj p a2 + b2 + c2 (P1

P0 )

donde se ha tomado el valor absoluto para evitar distancias negativas. 24. Hallar la distancia del punto P1 = ( 2; 15; 7) al plano 5x 14y + 2z = 0. Solución. De acuerdo al ejercicio anterior, la distancia d del punto al plano es d

=

d

=

j5 ( 2) 14 (15) + 2 ( 7) + 9j jax1 + by1 + cz1 + dj p q = 2 a2 + b2 + c2 52 + ( 4) + 22

j 225j p = 15 225

25. Hallar el punto del plano 5x 14y + 2z + 9 = 0 que está más próximo al punto P = ( 2; 15; 7). Solución. De la ecuación del plano se tiene que el vector n = (5; 14; 2) es perpendicular al plano. La recta que pasa por P con vector direccional n intersecta al plano dado precisamente en el punto del plano más próximo a P.

n X

P

58

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA

Entonces, si X = (x; y; z) es el punto pedido, (x; y; z) = P + tn = ( 2; 15; 7) + t (5; 14; 2) por estar en la recta. ó x = y = z =

2 + 5t 15 14t 7 + 2t

igualando componentes y reemplazando en la ecuación del plano dado (por estar X en el plano). 5x

14y + 2z + 9 = 5 ( 2 + 5t)

14 (15

14t) + 2 ( 7 + 2t) = 0.

De donde se obtiene t = 1 x = y = z =

2+5=3 15 14 = 1 7+2= 5

Por tanto, el punto X = (3; 1; 5) es el punto del plano más próximo a P = ( 2; 15; 7). 26. Hallar la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la recta x = 2t, y = t y z = 3t en el origen y es paralela a plano x + y + z = 1. Solución. Sea X = (x; y; z) un punto cualquiera de la recta pedida. Como las rectas se cortan en el origen, la recta pedida pasa obviamente por el orige 0 y, por tanto, el vector X 0 = X está sobre la recta. Entonces el vector X = (x; y; z) es un vector direccional de la recta pedida. Además, de la ecuación de la recta dada X = (x; y; z) = t (2; 1; 3) se ve que V = (2; 1; 3) es un vector direccional de esta recta. Como las rectas son perpendiculares, lo son también sus vectores direccionales X y V ; es decir V X=0

ó

(2; 1; 3) (x; y; z) = 0

(1)

Por otra parte, por ser paralela al plano x + y + z = 1, la recta pedida es perpendicular a la normal n = (1; 1; 1) del plano. En particular, el vector direccional de la recta, X, es perpendicular a la normal del plano n. Es decir n X = 0 ó (1; 1; 1) (x; y; z) = 0 (2) De las ecuaciones (1) y (2) se tiene 2x + y 3z = 0 x+y+z =0

(3)

2.5. EJERCICIO RESUELTOS

59

expresando todas las variables en términos de una de ellas, digamos z, tenemos x = 4z 2x + y 3z = 0 x 4z = 0 =) =) y = 5z x+y+z =0 y 5z = 0 z=z

(4)

de donde, cambiando z por t en (4), obtenemos la ecuación cartesiana de la recta pedida: x = 4t ; y =

5t ; z = t

27. Un punto se desplaza en el espacio de modo que en el instante t su posición viene dada por el vector X (t) = (1 t; 2 3t; 2t 1). a) Mostrar que el punto se mueve a lo largo de una recta (digamos L). b) Hallar un vector paralelo a L. c) En qué instante el punto toca al plano 2x+3y+2z+1 = 0? d) Hallar la ecuación cartesiana del plano paralelo al de la parte c) y que contiene al punto X (2). e) Hallar la ecuación cartesiana del plano perpendicular a L que contenga a X (2). Solución. a) Como X (t) = (1 t; 2 3t; 2t 1) = (1; 2; 1)+t ( 1; 3; 2) el punto se mueve a lo largo de la recta L (que pasa por P0 = (1; 2; 1) con vector direccional V = ( 1; 3; 2). b) Como la dirección de la recta está dada por su vector direccional V , un vector paralelo a L es el mismo V = ( 1; 3; 2). c) Cuando el punto X (t) = (1 t; 2 3t; 2t 1) esté en el plano 2x + 3y + 2z + 1 = 0 se tendrá 2 (1

t) + 3 (2

3t) + 2 (2t

1) + 1 = 0

de donde resolviendo, se tiene t = 1. Por tanto, el punto está en el plano en el instante t = 1. d) Primero localizamos el punto X (3) = (1 3; 2 3 (3) ; 2 (3) 1) = ( 2; 7; 5). El vector n = (2; 3; 2) es normal al plano 2x + 3y + 2z + 1 = 0 (ejercicio 13) y debe ser también normal al plano pedido (por ser paralelos los planos dado y pedido). Por tanto, teniendo en cuenta que debe pasar por el punto X (3) = ( 2; 7; 5), obtenemos n (X P ) = 0 ) (2; 3; 2) [(x; y; z) ( 2; 7; 5)] = 0 ) 2x + 3y + 2z + 15 = 0. e) Primeramente localizamos X (2) = (1 2; 2 6; 4 1) = ( 1; 4; 3). Si X (x; y; z) es el punto cualquiera del plano y como el punto X (2) también está sobre el plano pedido. Por otra parte, como la recta L y el plano son perpendiculares, el vector direccional V es perpendicular a cualquier vector que esté sobre el plano

60

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA (Fig. ###). Es decir.

P2

V

P3

n

X(2)

A

X

P1

P0 Fig. 2.31

Fig. 2.32

V (X

X (2)) = 0

ó ( 1; 3; 2) [(x; y; z)

( 1; 4; 3)] = 0

de donde, …nalmente, obtenemos x + 3y

2z + 19 = 0

la ecuación cartesiana del plano pedido. 28. Dados los puntos P0 = (1; 1; 3) y P1 = (2; 2; 0) que se encuentran sobre el plano x + 2y z = 6, determinar los demás vértices del cuadrado sobre el plano cuyos vértices adyacentes son P0 y P1 . Solución. Para determinar los otros vértices del cuadrado P2 y P3 (Fig. ###) necesitamos determinar el vector A = P2 P0 = P3 P1 . El vector n = (1; 2; 1) es perpendicular al plano (Ejercicio 13). Como A está sobre el plano es perpendicular al vector n; y además, por estar sobre un lado del cuadrado es perpendicular al vector P1 P0 . P1

P0 = (1; 1; 3)

De acuerdo al signi…cado del producto vectorial, A es paralelo al vector n (P1 P0 ) n

(P1

P0 ) =

i j k 1 2 1 1 1 3

= (7; 4; 1)

Por lo tanto A = k (7; 4; 1) Como jAj y jP1

(1)

P0 j son lados del cuadrado jAj = jP1

P0 j = j(1; 1; 3)j =

p

11

2.5. EJERCICIO RESUELTOS

61

De acuerdo a (1) p jAj = jkj j(7; 4; 1)j = jkj 66 1 1 k= p jkj = p 6 6 Tomando k = P2 P3

p1 , 6

A=

p1 6

(7; 4; 1). De donde,

1 7 4 = P0 + A = (1; 1; 3) + p (7; 4; 1) = 1 + p ; 1 p ; 3 6 6 6 1 7 4 1 = P1 + A = (2; 2; 0) + p (7; 4; 1) = 2 + p ; 2 + p ; p 6 6 6 6

1 p 6

son los otros vértices del cuadrado. Nota. Tomando k = p16 , de manera similar, obtenemos otra solución. CILINDROS Y SUPERFICIES 29. Gra…car la super…cie cuya ecuación es x = 2z.

z

z

y

y Fig. 2.33

Fig. 2.34

x

x

Solución. Antes que nada, observamos que en la ecuación no …gura la variable y. Además, en el plano xz, la ecuación x = 2z representa una recta. Deslizando esta recta paralelamente al eje y, obtenemos la super…cie pedida (un plano). Su grá…ca se muestra en la …gura ###. 30. Gra…car la super…cie cuya ecuación es x2 2x + 4y 2 = 0. Solución. Como la variable z no …gura en la ecuación, su grá…ca debe ser paralela al eje z. Es super…cie, por tanto, trazar la grá…ca de la ecuación sobre el plano xy y luego deslizarla paralelamente al eje z. De x2 2x + 4y 2 x2 2x + 1 + 4y 2 2 (x 1) + 4y 2

= 0 = 1 = 1

62

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA se ve que la traza en el plano xy es una elipse con centro en (1; 0); con semieje mayor igual a 1 y semieje menor 21 . Deslizando la anterior elipse paralelamente al eje z obtenemos el cilindro elíptico que se muestra en la …gura ###.

31. Identi…car y gra…car la super…cie cuádrica x2 + y 2 = z 2 .

z

z

y

y x

Fig. 35

x

Fig. 36

Solución. Teniendo en cuenta las super…cies dadas en la página ###, se ve que la super…cie es un cono. Para gra…car procedemos siguiendo las recomendaciones generales. 1. Trazas. En el plano xy: con z = 0 ) x2 + y 2 = 0 =) x = 0; y = 0 (un punto). En el plano xz: con y = 0 ) x2 = z 2 ) x = z (dos rectas). En el plano yz: con x = 0 ) y 2 = z 2 ) y = z (dos rectas). 2. Interesecciones con los ejes. Con el eje x: con y = 0, z = 0 ) x2 = 0 ) x = 0 (el origen). Con el eje y: con x = 0, z = 0 ) y 2 = 0 ) y = 0 (el origen). Con el eje z: con x = 0, y = 0 ) z 2 = 0 ) z = 0 (el origen). 3. Algunas secciones planas. Con z = k: x2 + y 2 = k 2 (circunferencia). Esto dice que cortando la super…cie con planos horizontales (z = k) se obtienen circunferencias. Además, las circunferencias tienen mayor radio (= jkj) cuando z (= k) esté más alejado del origen. Reuniendo la información obtenida, se traza la grá…ca pedida (Fig. ###). 32. Identi…car y gra…car la super…cie cuádrica x2 + y 2 = z. Solución. Teniendo en cuenta las ecuaciones de las super…cies dadas en la página ###, inmediatamente reconocemos la ecuación como la de un paraboloide elíptico. Siguiendo las recomendaciones generales: 1. Trazas. En el plano xy: con z = 0 ) x2 + y 2 = 0 ) x = 0, y = 0 (un punto). En el plano xz: con y = 0 ) x2 = z (una parábola). En el plano yz: con x = 0 ) y 2 = z (una parábola). 2. Intersecciones con los ejes.

2.5. EJERCICIO RESUELTOS

63

Con el eje x: y = 0; z = 0 ) x2 = 0 ) x = 0 (el origen). Con el eje y: x = 0; z = 0 ) y 2 = 0 ) y = 0 (el origen). Con el eje z: x = 0; y = 0 ) z = 0 (el origen). 3. Algunas secciones planas. Un corte horizontal se efectúa haciendo z = k. Es decir: x2 + y 2 = k

una circunferencia. Inmediatamente observamos que k debe ser 0. Esto dice que el plano z = 3 (por ejemplo) no corta a la super…cie, por tanto la super…cie está situada por encima del plano z = 0 (o plano xy). Además, si el corte se realiza a mayor altura (es decir z = k, k más grande), la circunferencia que se obtiene tiene maor radio. Con toda la información obtenida trazamos la grá…ca pedida (Fig. ###).

33. Identi…car y gra…car la super…cie x2 y 2 z 2 = 1. Solución. Comparando con las ecuaciones de la página ###, reconocemos a la ecuación dada como la de un paraboloide de dos hojas con eje, el eje x. Procediendo según las recomendaciones generales: 1. Trazas. En el plano xy: con z = 0 ) x2 y 2 = 1 (hipérbola). En el plano xz: con y = 0 ) x2 + z 2 = 1 (hipérbola). En el plano yz: con x = 0 ) y 2 z 2 = 1 ) x2 + z 2 = 1 (no hay traza). 2. Intersecciones con los ejes. Con el eje x: y = 0, z = 0 ) x2 = 1 ) x = 1 (dos puntos). Con el eje y: x = 0, z = 0 ) y 2 = 1 (no hay intersección). Con el eje z: x = 0, y = 0 ) z 2 = 1 (no hay intersección). 3. Algunas secciones planas. Conviene analizar a varias alturas de x. Con x = k se tiene: x2

y2

z2 = 1

) y2 + z 2 = k2

1

(1)

lo que tiene sentido si k 2 1 0, es decir si k 1 ó k 1. Por tanto, una parte de la super…cie está delante de x = 1 y la otra parte queda por detrás de x = 1. Además, de (1) se ve que los cortes a determinadas alturas de x producen circunferencias; y el radio aumenta a medida que nos alejamos del origen. Reuniendo toda la información obtenida trazamos la grá…ca que se muestra

64

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA en la …gura ###.

1 -1

2.6

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar las ecuaciones vectorial y cartesiana de la recta que pasa por el punto P0 con vector direccional V , cuando: a) P0 = (0; 0; 0), V = (1; 1; 1) ; b) P0 = (5; 3; 2) ; V = (2; 3; 2); c) P0 = ( 1; 3; 5) ; V = ( 2; 7; 3); d) P0 = (3; 2; 1), V = (1; 5; 4). 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a) (0; 0; 0) y (1; 1; 1); b) (8; 3; 2) y (5; 0; 0); c) (5; 8; 1) y (2; 6; 1); d) (1; 1; 1) y ( 3; 2; 1) 3. Calcular la distancia del punto P1 a la recta dada: a) P1 = (1; 1; 1) ; X = (1; 2; 1) + t (3; 4; 1). b) P1 = (0; 0; 1) ; X = (1; 0; 1) + t (1; 2; 3). c) P1 = (5; 5; 0) ; x = t ; y = 1 t ; z = 3 + t. d) P1 = (4; 1; 2) ; x = 1 + 3t ; y = 2t ; z = t. 4. Calcular la distancia del punto P0 a la recta que pasa por los puntos P1 y P2 : a) P0 = (5; 3; 1) ; P1 = (4; 0; 2) ; P2 = (5; 0; 0). b) P0 = (1; 0; 10) ; P1 = (10; 5; 0) ; P2 = (5; 10; 0). c) P0 = ( 1; 2; 3) ; P1 = ( 1; 1; 3) ; P2 = (4; 1; 3). 5. Calcular el ángulo entre las rectas: a) X = (1; 2; 1) + t (4; 1; 1) y X = (2; 0; 0)+t (1; 1; 0). b) X = (1; 0; 5)+t (1; 1; 2), X = (1; 1; 3)+t (4; 1; 2). c) x = 4 2t , y = 3 + 2t , z = t y x = 1 + t , y = 1 + 3t , z = 1 3t. d) x = 1 , y = 1 , z = t y x = t , y = 1 , z = 1. 6. Hallar los ángulos que forma la recta x = t , y = 2t, z = t con los ejes coordenados. 7. Mostrar que las siguientes rectas forman un triángulo rectángulo en el espacio: X = (1; 5; 3) + t (1; 1; 5) ; X = (3; 6; 1) + t (1; 2; 1) ; X = (1; 2; 3) + t (2; 1; 4).

2.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

65

8. Calcular la distancia entre las siguientes rectas: a) X = (1; 3; 2)+t (1; 1; 0) y X = (0; 1; 2) + t (4; 1; 1). b) X = (4; 2; 5) + t (1; 0; 1) y X = (1; 1; 2) + t (2; 0; 1). c) x = t , y = 2t , z = 3t y x = 1 t , y = 2 + 2t, z = 1 3t. d) x = 2 + t , y = t , z = 1 + 3t y x = 2t , y = 1 + 2t , z = 2 + 6t. EL PLANO 9. Hallar la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos: a) P0 = (7; 2; 3) , P1 = (4; 5; 6) , P2 = ( 1; 0; 1). b) P0 = (0; 0; 0) , P1 = (1; 0; 0) , P2 = (0; 1; 0). c) P0 = (0; 0; 5) , P1 = (4; 3; 0) , P2 = (1; 5; 7). 10. Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por los puntos: P0 = (1; 2; 1) , P1 = (2; 1; 0) , P2 = (4; 1; 2). b) P0 = (1; 1; 0) , P1 = (4; 2; 3) , P2 = (1; 2; 3). c) P0 = (2; 1; 5) , P1 = (0; 1; 0), P2 = (0; 0; 1). 11. Hallar la distancia del punto P al plano dado: a) P = (0; 0; 0) ; plano X = (1; 2; 3) + s (4; 1; 0) + t (1; 3; 1). b) P = ( 1; 2; 1) ; plano X = (4; 0; 1) + s (0; 1; 0) + t (0; 0; 1). c) P = (4; 1; 3) ; plano x + y + z = 6. d) P = (1; 2; 3) ; plao x y = 5. PROBLEMAS VARIOS 12. Hallar la intersección de la recta X = (3; 1; 3) + t (1; 1; 1) con cada uno de los planos coordenados. 13. Determinar el punto donde la recta que pasa por (1; 3; 1) y es ortogonal al plano 3x 2y + 5z = 15, intersecta a dicho plano. 14. Mostrar que los planos X = (2; 0; 4) + s (1; 7; 3) + t ( 3; 8; 0) y X = (3; 2; 3) + s (4; 1; 3) + t (9; 5; 9) son paralelos y encuentre la distancia entre ellos. 15. Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1; 2; 3) y contiene a la recta X = (1; 1; 1) + t (5; 2; 3). 16. Una recta con vector direccional V es paralela a un plano M si V es paralelo a M . Sea L la recta que pasa por (1; 1; 1) y tiene vector direccional (2; 1; 3), determinar si L es paralela a cada uno de los planos siguientes: a) Plano que pasa por (1; 1; 2) y generado por (2; 1; 3) y 43 1; 1 . b) Plano que paa por (1; 1; 2), (3; 5; 2) y (2; 4; 1). c) Plano de ecuación cartesiana x + 2y + 3z = 3. 17. Hallar la rcta que pasa por (1; 2; 3) y es perpendicular al plano x y +2z = 0. 18. Mostrar que la distancia d del punto P1 a la recta X = P0 + tV está dada por: V d = (P1 P0 ) jV j

66

CHAPTER 2. GEOMETRIA ANALITICA SOLIDA

19. Mostrar que la distancia d del punto P1 a la recta X = P0 + sU + tV y X = P1 + sU + tV está dada por d = (P1

P0 )

U jU

V Vj

20. Mostrar que la distancia d entre los planos paralelos ax + by + cz = d1 , ax + by + cz = d2 está dada por d= p

jd2 d1 j a2 + b2 + c2

Chapter 3

CURVAS Una curva es una función de R en Rn (con n = 2 o n = 3). Si n = 2 la curva se llama curva plana y si n = 3 la curva se dice que está en el espacio. Example 20 La función f (t) = (cos t; sin t; t) es una curva en el espacio (…gura 3.1). Esta función también se puede escribir como x = cos t, y = sin t, z = t; se la denomina hélice. Example 21 La función f (t) = t; t2 es una curva plana. También se puede expresar como x = t, y = t2 (Fig. 3.2) y es la conocida parábola (notemos que y = x2 ).

z

y

f f x

y t

t x

3.1

Fig. 3.1

Fig. 3.2

DERIVADA DE UNA CURVA

Consideremos una función f de R en Rn . Cuando el límite existe, el vector f 0 (t) de…nido por f (t + h) f (t) (3.1) f 0 (t) = lim h!0 h se denomina la derivada de f en el punto t. 67

68

CHAPTER 3. CURVAS

La derivada de una curva se puede expresar en términos de derivadas de funciones de R en R. Example 22 Si n = 3 y escribiendo f (t) = (x (t) ; y (t) ; z (t)) la derivada f 0 (t) se convierte en dx dy dz ; ; (3.2) f 0 (t) = dt dt dt (La derivada se obtiene derivando componente a componente). Example 23 a) Si f (t) = (cos t; sin t; t) entonces f 0 (t) = ( sin t; cos t; 1) b) Si f (t) = t; t2 entonces f 0 (t) = (1; 2t).

3.1.1

Signi…cado geométrico

Geométricamente de…nimos a f 0 (t) como vector tangente a la curva en el punto f (t0 ). La recta que pasa por f (t0 ) con vector direccional f 0 (t0 ), es la recta tangente a la curva en el punto f (t0 ).

3.1.2

Signi…cado físico

Físicamente, si t denota el tiempo, entonces f (t) describe la trayectoria de una partícula, y f (t0 ) representa la posición de la partícula en el instante t0 . La derivada f 0 (t0 ) se llama vector velocidad; además el número jf 0 (t0 )j es su rapidez. La segunda derivada, f 00 (t0 ), da la aceleración de la partícula en el instante t0 . Example 24 Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola f (t) = t; t2 en el punto (2; 4).

(2,4) Fig. 3.3.

Solución. De f (t0 ) = t0 ; t20 = (2; 4) se tiene t0 = 2. La recta tangente que debe pasar por el punto (2; 4) tiene como vector direccional. f 0 (t0 ) = (1; 2t0 ) = (1; 4) , con t0 = 2

3.2. REGLAS DE DERIVACIÓN

69

Por tanto la ecuación de la recta tangente es (x; y) = (2; 4) + t (1; 4) o, igualando componentes, x = 2+t y = 4 + 4t Example 25 La posición de una partícula está dada por f (t) = t; t2 ; t3 , t 0. En qué instante la partícula está en el plano x + z = 0 y con qué rapidez se mueve en ese instante? Solución. De f (t) = t; t2 ; t3 se tiene x = t, y = t2 , z = t3 . La partícula está en el plano x + z = 0 cuando t + t3 = 0 ) t 1 + t2 = 0 ) t = 0 Es decir, cuando t = 0 (al empezar el movimiento) la partícula está sobre el plano x + z = 0. Además, su rapidez en ese instante es jf 0 (t)j = j(1; 0; 0)j = 1, con t = 0.

3.2

REGLAS DE DERIVACIÓN

Como la derivada de una curva se expresa en términos de las derivadas de sus componentes, las reglas de derivación son básicamente las mismas que han sido estudiadas en el Cálculo I. I. Si f (t) y g (t) son dos curvas derivables, entonces d d d (f (t) + g (t)) = f (t) + g (t) dt dt dt (La derivada de la suma es la suma de las derivadas). II. Si a es un número y f (t) es una curva derivable, d d (af (t)) = a f (t) dt dt (se pueden extraer las constantes del signo de derivación). III. Si c (t) es una función de R en R derivable y f (t) una curva derivable, entonces d d d (c (t) f (t)) = c (t) f (t) + f (t) c (t) dt dt dt IV. Si f (t) y g (t) son dos curvas derivables, entonces d d d (f (t) g (t)) = f (t) g (t) + f (t) g (t) dt dt dt (esto es una generalización de la derivada del producto del Cálculo I a la derivada del producto escalar de dos curvas).

70

3.3

CHAPTER 3. CURVAS

LONGITUD DE UNA CURVA

f(b) f(a)

Fig. 3.4

La longitud L de una curva f (t) desde f (a) hasta f (b) se de…ne como la integral de la rapidez desde a hasta b. Es decir Z b L= jf 0 (t)j dt (3.3) a

Example 26 Calcular la longitud de una circunferencia de radio R. Solución. La ecuación paramétrica de una circunferencia de radio R es f (t) = (R cos t; R sin t), con 0 t 2 . Buscamos la longitud de la curva desde f (0) = (R; 0) hasta f (2 ) = (R; 0) - el mismo punto, después de dar una vuelta a la circunferencia -, además como f 0 (t) = ( R sin t; R cos t), jf 0 (t)j = R, se tiene Z Z b

L=

a

3.4

2

jf 0 (t)j dt =

Rdt = 2 R

0

REGLA DE LA CADENA z f

g

t

s

y

fg x

Fig. 3.5

Consideremos una función g = g (s) de R en R y una función f = f (t) de R en Rn . Si ambas funciones son derivables, la composición f g es también derivable, además 0 (f g) (s) = f 0 (g (s)) g 0 (s)

3.5. ALGUNAS PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS CURVAS

3.5

71

ALGUNAS PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS CURVAS

Conviene considerar a la curva f = f (t) como describiendo la posición de una partícula en movimiento. El vector unitario T de…nido por T =

f 0 (t) jf 0 (t)j

(3.4)

se llama vector tangente unitario. Como se sabe, este vector T es un vector direccional de la recta tangente a la curva en el punto f (t). El vector unitario N dado por N=

(f 0 (t) j(f 0 (t)

f 00 (t)) f 00 (t))

f 0 (t) f 0 (t)j

(3.5)

se llama normal principal a la curva y es perpendicular al vectr tangente T . N z

T f(t1)

N T

circ. osc. en f(t 1) y

f(t2) circ. osc. en f(t 2)

Fig. 3.6

Fig. 3.7

x

El plano que pasa por f (t) y es generado por los vectores T y N se llama plano osculador. El plano osculador a la curva en el punto f (t) es el plano que mejor se ajusta o adapta a la curva en el punto f (t). Por ejemplo, si la curva es plana (no necesariamente una recta) el plano osculador coincide con el pano que contiene a la curva. El número no negativo k dado por k=

jf 0 (t)

f 00 (t)j 3

jf 0 (t)j

(3.6)

se llama curvatura. Cuando k 6= 0, su inverso se denomina radio de curvatura y se simboliza por . Es decir = k1 . En general la curvatura, y por tanto el radio de curvatura, varía según varia el punto f (t) a lo largo de la curva. La círculo sobre el plano osculador, de radio , centro ubicado sobre la normal principal y pasando por f (t) se llama círculo osculador en f (t). El

72

CHAPTER 3. CURVAS

círculo osculador en f (t) es el círculo que mejor se ajusta a la curva. Por ejemplo, el círculo osculador en cualquier punto de una circunferencia es la misma circunferencia. Si R es el radio de la circunferencia, entonces la curvatura es R1 . Intuitivamente, cuando k es grande en un punto, la curva se ”curvea” más en ese punto; y si k es bastante pequeño, la curva se ”curvea”tan solo levemente en dicho punto. En el caso extremo, si k = 0 en un punto de la curva, entonces la curva no se ”curvea” en ese punto y, dehecho, puede considerarse a la curva como una recta en ese punto. La curvatura de una recta en todos sus puntos es cero.

3.6

EJERCICIOS PROPUESTOS

Derivada y recta tangente. El cálculo de la derivada de una curva se reduce a la derivada de sus componentes. Geométricamente la derivada da un vector tangente a la curva.

1. Mostrar que si f (t) = (x (t) ; y (t) ; z (t)) entonces f 0 (t) = (x0 (t) ; y 0 (t) ; z 0 (t)); (asumir la existencia de f 0 (t)). Solución. Suponiendo que f 0 (t) existe, se tiene:

f 0 (t)

f (t + h) f (t) h!0 h 1 = lim [(x (t + h) ; y (t + h) ; z (t + h)) (x (t) ; y (t) ; z (t))] h!0 h x (t + h) x (t) y (t + h) y (t) z (t + h) z (t) = lim ; lim ; lim h!0 h!0 h!0 h h h 0 0 0 = (x (t) ; y (t) ; z (t)) =

lim

2. Calcular la derivada primera y segunda de las siguientes funciones. a) f (t) = t2 ; 2t 1 , b) f (t) = (3 cos t; sin 2t; 2t) , c) f (t) = t2 ; 1 t; 4 t3 en t = 1. Solución. a) f (t) = t2 ; 2t 1 ) f 0 (t) = (2t; 2) ) f 00 (t) = (2; 0); f 0 (1) = (2; 2) , f 00 (t) = (2; 0). b) f (t) = (3 cos t; sin 2t; 2t) ) f 0 (t) = ( 3 sin t; 2 cos 2t; 2) ) f 00 (t) = ( 3 cos t; 4 sin 2t; 0). c) f (t) = t2 ; 1 t; 4 t3 ) f 0 (t) = 2t; 1; 3t2 ) f 00 (t) = (2; 0; 6t) ; f 0 (1) = (2; 1; 3) , f 00 (t) = (2; 0; 6).

3.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

73

3. Trazar la curva f (t) = (cos t; t; sin t) :

Solución. Haciendo (x; y; z) = (cos t; t; sin t) tenemos x = cos t, y = t, z = sin t. Observamos que: x x2 x2 + z 2 x2 + z 2

= cos t ; z = sin t = cos2 t ; z 2 = sin2 t = cos2 t + sin2 t = 1 (circunferencia)

Esto dice que la proyección de la curva sobre el plano xz describe una circunferencia. Como al variar t, la segunda componente y = t obviamente varía; la curva va dando vueltas alrededor del eje y a la vez que se desplaza en torno a este eje, describiendo una curva parecida a un resorte. La grá…ca de la curva se mustra en la Fig. ###. 4. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva f (t) = (t; cos t; sin t): a) En cualquier punto ; b) en el punto (1; 1; 0). Solución. a) Un vector direccional de la recta tangente en el punto f (t) es f 0 (t) = (1; sin t; cos t) y como además pasa por el punto f (t) = (t; cos t; sin t), su ecuación es X = (t; cos t; sin t) + s (1;

sin t; cos t)

con s real. b) De (t; cos t; sin t) = (1; 1; 0) e igualando componentes vemos que el punto (1; 1; 0) le corresponde a t = 1. De la parte a) con t = 1 tenemos X X

= (1; co ; sin ) + s (1; sin ; cos ) = (1; 1; 0) + s (1; 0; )

ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1; 1; 0).

74

CHAPTER 3. CURVAS 5. Encontrar la recta tangente a la cúbica f (t) = 1; 21 t2 ; t3 paralela a la recta x = t, y = 2 t, z = 1 + 3t. Solución. Habiendo X = (x; y; z) = (t; 2 t; 1 + 3t) = (0; 2; 1)+t (1; 1; 3) vemos que un vector direccional de la recta dada es U = (1; 1; 3). Un vector direccional de la recta tangente a la cúbica en f (t) es V = f 0 (t) = 1; t; 3t2 Como la recta dada y la recta tangente deben ser paralelas, sus vectores direccionales también deben serlo. Es decir V = kU ) 1; t; 3t2 = k (1; 1; 3) ) 1 = k ; t =

k ; 3t2 = 3k

de donde t = 1. Por tanto, la recta tangente a la curva, paralela a la recta dada, es la tangente en el punto f ( 1): 1 1; ; 1 + t (1; 1; 3) 2

X = f ( 1) + tf 0 ( 1) =

6. Consideremos el arco de hélice f (t) = (cos t; sin t; t) con 0

t.

7. Encontrar todos los puntos en que la curva f (t) = (sin t; cos t; sin 3t) tiene un vector tangente paralelo al plano xy. Solución. Un vector tangente a la curva en el punto f (t) es f 0 (t) = (cos t;

sin t; 3 cos 3t)

el cual es paralelo al plano xy si su tercera componente es cero. Es decir 3 cos 3t

=

0 ) 3t = (2k + 1)

t

=

(2k + 1)

6

2

; k = 0; 1; 2; :::

; k = 0; 1

2; :::

Dando valores a k se obtienen los puntos: 0)t=

k

=

k

= (1; 0; 1) ! p 1 3 = ; ;1 = 2)t=5 )f 5 6 6 2 2 ! p 1 3 = 3)t=7 )f 7 = ; ; 1 6 6 2 2

6

=

1)t=

k

=

4)t=3

k

=

k k

2

)f

6

)f

2

= ( 1; 0; 1) ! p 1 3 5 ) t = 11 ) f 11 = ; ; 1 6 6 2 2 2

)f 3

=

! p 1 3 ; ;1 . 2 2

2

3.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

75

Para otros valores de k se obtienen los mismos puntos. Estos son todos los puntos en que la tangente a la curva es paralela al plano xy. 8. Mostrar que un rayo de luz que emana del foco de una parábola se re‡eja paralelamente al eje.

y

y

Q

x

F Fig. 3.10

x Fig. 3.9

Solución. Simplemente hay que recordar dos cosas. En un espejo plano, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de re‡exión (Fig. ###); en un espejo curvo, la re‡exión en un punto se realiza como si se re‡ejará en el espejo plano tangente. Para simpli…car, consideremos la parábola x = y 2 ó, mejor su parametrización f (t) = t2 ; t . El foco de la parábola se encuentra en F 41 ; 0 y designemos que Q = t20 ; t0 el punto donde se re‡eja el rayo (Fig. ###). La tangente en Q tiene la dirección de f 0 (t0 ) = (2t0 ; 1). El vector Q F tiene la dirección del rayo de luz que va del foco F al punto de re‡exión Q. El ángulo de incidencia está determinado por cos

=

=

=

t2 f 0 (t0 ) (Q F ) =q 0 0 jf (t0 )j jQ F j t20 q q

1 2 2 t0

2t30

1 2 2 t0

t20 t0 t20

+

+

1 16

+ t0 p + t20 4t20 +

1 (2t0 ; 1) 4 ; t0 p 1 2 + t20 4t20 + 1 4 2t0 t20 + 41 =q q 2 1 t20 14 2 t20

+

1 4

1 4

Por otra parte, el ángulo entre la recta tangente y la recta que parte de Q paralela al eje X, está determinado por cos

=

Por tanto

f 0 (t0 ) (1; 0) (2t0 ; 1) (1; 0) 2t0 = p 2 = q jf 0 (t0 )j j(1; 0)j 4t0 + 1 2 t20 + cos = cos

1 4

t0 =q 2 t0 +

1 4

76

CHAPTER 3. CURVAS Esto dice que el rayo que parte del punto Q paralelo al eje X, eje de la parábola, es el rayo de re‡exión. Esto muestra que el rayo que emana del foco de una parábola se re‡eja paralelamente al eje. 9. Mostrar que todos los vectores tangentes a la hélice f (t) = (a cos t; a sin t; bt) forman un ángulo constante con el eje Z y que el coseno de ese ángulo es p

b a2 + b2

Solución. Un vector direccional dela recta tangente a la hélice en f (t) es f 0 (t) = ( a sin t; a cos t; b). El coseno del ángulo que forma la recta tangente a la curva y el eje z es igual al que forman sus vectores direccionales. Entonces cos

= =

( a sin t; a cos t; b) (0; 0; 1) f 0 (t) (0; 0; 1) = p jf 0 (t)j j0; 0; 1j a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 b 0+0+b q =p 2 a + b2 a2 sin2 t + cos2 t + b2

10. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva de intersección del cono x2 + y 2 = z 2 y el plano x + y + z = 4, en el punto (0; 2; 2). Solución. Antes que nada conviene parametrizar la curva, esto se logra expresando en términos de una de las variables a las otras dos: x+y+z =4 z = (4 z y) =) 2 =) (4 x2 + y 2 = z 2 z = x2 + y 2

2

y) = x2 + y 2

x

de donde desarrollando y simpli…cando se tiene 8+xy = 4x+4y expresando y en términos de x: y=4

2 2 =4 1+ 4 x 4

x x

=4+

8 x

4

Ahora también podemos expresar z en términos de x, z=4

x

y=4

x

4

8 x

4

=

8

x

x

4

Cambiamos de parámetro haciendo x = t; entonces la curva se puede expresar en forma paramétrica por f (t) = (x; y; z) =

De (0; 2; 2) =

t; 4 +

8

; t

t; 4 + 8

8 t

4

; t

8 t

4

e igualando componentes es ve t 4 t 4 que el punto (0; 2; 2) le corresponde a t = 0.

3.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

77

Un vector direccional de la recta tangente en (0; 2; 2) (es decir con t = 0) es ! 3 1 1 8 = 1; f 0 (t) = 1; ; 2; 1 + 2 2 2 (t 4) (t 4) Por tanto, la recta tangente pedida es X = (0; 2; 2) + s 1;

1 ; 2

1 2

VECTOR POSICION 11. Determinar el punto donde la curva f (t) = t; 1 2t; t2 intersecta al plano x + y + z = 7. Solución. Si el punto (x; y; z) es el de intersección, tenemos: (x; y; z) = t; 1 2t; t2 (por estar en la curva) ó x = t ; y = 1 2t ; z = t2 (igualando componentes). Además: x + y + z = 7 (por estar en el plano). t+(1 2t)+t2 = 7 (por estar en el plano). t2 t 6 = 0 ) (t 3) (t + 2) = 0 ) t = 3 , t = 2. Por tanto, la curva intersecta al plano cuando t = 3 y cuando t = 2 es decir en los puntos t (3) = (3; 5; 9)

y

f ( 2) = ( 2; 5; 4)

12. Una partícula viaja hacia arriba en una espiral en el espacio, su posición en el tiempo t está por f (t) = (cos t; sin t; t). En el tiempo t0 = toma vuelo sobre una tangente, dejando el camino de la espiral y viajando en línea recta a velocidad constante. Dónde está la partícula en el tiempo t=3 ?

Solución. Cuando t0 = , la partícula está en el punto f ( ) = ( 1; 0; ). La recta tangente en el punto donde la partícula toma vuelo es X

= ( 1; 0; ) + sf 0 ( ) = = ( 1; 0; ) + s ( sin ; cos ; 1) = ( 1; 0; ) + s (0; 1; 1)

78

CHAPTER 3. CURVAS Notemos que cuando s = 0, entonces X = ( 1; 0; ). Es decir la partícula está en el punto donde va a tomar vuelo siguiendo la recta tangente. El tiempo s que transcurre desde t0 = hasta t1 = 3 es s=3

=2

Por tanto, en su desplazamiento a lo largo de la recta tangente y cuando t = 3 ; la partícula está en X = ( 1; 0; ) + 2 (0; 1; 1) = ( 1; 2 ; 3 ) Longitud de curva. 13. Calcular la longitud de la curva descrita por f (t) = (cos t; sin t) al variar t desde t = 0 hasta t = 4 . Solución. Procedimiento 1. Como f 0 (t) = ( sin t; cos t), entonces la longitud de la curva desde que t = 0 hasta t = 4 está dada por L=

Z

0

4 0

jf (t)j dt =

Z

0

4

Z p 2 2 sin t + cos tdt =

4

dt = 4

0

Procedimiento 2. La curva f (t) = (cos t; sin t) describe una circunferencia de radio 1. Al variar t desde t = 0 hasta t = 4 describe dos vueltas de circunferencia. Como la longitud de una circunferencia de radio 1 es 2 , en total la longitud de la curva que describe es 2 2 =4 14. Calcular la longitud del arco parabólico descrito por f (t) = t2 ; 2t desde (0; 0) hasta (1; 2). Solución. Igualando componentes se ve que el punto (0; 0) = t2 ; 2t le corresponde a t = 0 y el punto (1; 2) = t2 ; 2t a t = 1. Como f 0 (t) = (2t; 2), la longitud del arco descrito es Z 1r Z 1 Z 1p 1 0 2 L = jf (t)j dt = 1 + 1 + 4t dt = 2 + t2 dt 2 0 0 0 r p p p 3 1 + ln 2+ 3 ln 2 = 2 2 Curvatura - normal principal. 15. Hallar T , N , k para la curva f (t) = t; t2 ; t3 . a) En cualquier punto b) Cuando t = 0. Solución. a) Para calcular el vector tangente unitario T , la normal principal N y la curvatura k, requerimos hasta la segunda derivada de f (t): f (t) = t; t2 ; t3

; f 0 (t) = 1; 2t; 3t2

; f 00 (t) = (0; 2; 6t)

3.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

79

Además, teniendo en cuenta las expresiones que …guran en las fórmulas correspondientes debemos calcular: f 0 (t)

(f 0 (t)

t00 (t) =

f 00 (t)) f 0 (t) =

i 6t2 1

i 1 0

j 2t 2

k 3t2 6t

j

= 6t2 ; 6t; 2

k 2 3t2

6t 2t

=2

2t

9t3 ; 1

9t4 ; 3t + 6t3

p p 1 + 4t2 + 9t2 ; jf 0 (t) f 00 (t)j = 2 9t4 + 9t2 + 1 p j(f 0 (t) f 00 (t)) t0 (t)j = 2 81t8 + 107t6 + 54t4 + 13t2 + 1

jf 0 (t)j =

Reemplazando en las fórmulas correspondientes tenemos: T

=

N

=

k

=

1; 2t; 3t2 f 0 (t) p = jf 0 (t)j 9t4 + 4t2 + 1 2t 9t3 ; 1 9t4 ; 3t + 6t3 (f 0 (t) f 00 (t)) f 0 (t) p = j(f 0 (t) f 00 (t)) f 0 (t)j 81t8 + 107t6 + 54t4 + 13t2 + 1 p jf 0 (t) f 00 (t)j 2 9t4 + 9t2 + 1 = 3 3=2 jf 0 (t)j (1 + 4t2 + 9t4 )

b) Evaluando en t = 0: T = (1; 0; 0), N =

1 1

(0; 2; 0) = 0; 21 ; 0 ; R = 2.

16. A partir de la fórmula dada para k, mostrar que para una curva plana descrita por f (t) = (x (t) ; y (t)), la curvatura viene dada por: k (t) =

jx0 (t) y 00 (t) 2

y 0 (t) x00 (t)j 2

x0 (t) + y 0 (t)

3 2

Solución. Se sabe que la curvatura de una curva en el espacio está dada por: jf 0 (t) f 00 (t)j k (t) = 3 jf 0 (t)j como f (t) = (x (t) ; y (t)) ) f 0 (t) = (x0 (t) ; y 0 (t)) , f 00 (t) = (x00 (t) ; y 00 (t)) a f 0 (t) y f 00 (t) se les puede considerar como vectores del espacio escribiendo f 0 (t) = (x0 (t) ; y 0 (t) ; 0) ; f 00 (t) = (x00 (t) ; y 00 (t)) entonces 0

f (t)

00

f (t) =

^j ^{ k^ 0 x (t) y (t) 0 x00 (t) y 00 (t) 0 0

= (0; 0; x0 (t) y 00 (t)

y 0 (t) x00 (t))

80

CHAPTER 3. CURVAS y además q 3 2 2 2 2 x0 (t) + y 0 (t) ) jf 0 (t)j = x0 (t) + y 0 (t)

jf 0 (t)j = jf 0 (t)

f 00 (t)j =

q 0 + 0 + (x0 (t) y 00 (t)

2

y 0 (t) x00 (t)) = x0 (t) y 00 (t) y 0 (t) x00 (t)

…nalmente reemplazando obtenemos k=

jf 0 (t)

f 00 (t)j 3

jf 0 (t)j

=

jx0 (t) y 00 (t)

x00 (t) y 0 (t)j

2

2

x0 (t) + y 0 (t)

3 2

p 17. Mostrar que el radio de curvatura de f (t) = et ; e t ; 2t está dado por 2

(et + e t ) p 2 p p Solución. Como f (t) = et ; e t ; 2t ) f 0 (t) = et ; e t ; 2 f 00 (t) = (et ; e t ; 0) =

y además,

^ p t p t pk f (t) f (t) = 2e ; 2e ; 2 2 = 0 q p 2 jf 0 (t)j = e2t + 2 2t + 2 = (et + e t ) = et + e t p p q p 2 jf 0 (t) f 00 (t)j = 2e 2t + 2e2t + 4 = 2 (et + e t ) = 2 et + e 0

00

^j e t e t

^{ et et

t

Por tanto, teniendo en cuenta que el radio de curvatura es el recíproco de la curvatura, 3

=

3

2

1 (et + e t ) jf 0 (t)j (et + e t ) p = = 0 =p 00 t t k (t) jf (t) f (t)j 2 (e + e ) 2

18. Mostrar que en el vértices de una parábola el radio de curvatura alcanza su valor mínimo.

3.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

81

Solución. Consideremos la ecuación paramétrica de la parábola. f (t) = (x (t) ; y (t)) = t; pt2 entonces = t ) x0 (t) = 1 ) x00 (t) = 0 2 = pt ) y 0 (t) = 2pt ) y 00 (t) = 2p

x (t) x (t)

y por tanto, reemplazando 2

2

x0 (t) + y 0 (t)

(t)

1 = 0 k (t) jx (t) y 00 (t) x00 (t) y 0 (t)j 2 2 1 + 4p t 1 + 4p2 t2 = j2pj 2 jpj

= =

0

Ahora,

(t) =

1 2jpj

8p2 t = 0

)

2

4p jpj

00

3 2

t = 0 es un punto crítico. Más aún,

(t) = > 0; lo que implica que en t = 0, el radio de curvatura es un mínimo. Como f (0) = (0; 0) es el vértice de la parábola, hemos mostrado que el radio de curvatura alcanza su valor mínimo en el vértice. t3 2 3 ;t ;t

19. Hallar la curvatura de f (t) = t b) Cuando t = 0. Solución. a) Derivando tenemos: f (t)

=

f 0 (t) f 00 (t)

= =

t

+

t3 3

. a) En cualquier punto,

t3 2 t3 ;t ;t + 3 3

t2 ; 2t; 1 + t2 ( 2t; 2; 2t) 1

además i f 0 (t)

f 00 (t) =

jf 0 (t)j =

simpli…cando 0

jf (t) de donde,

1

q (1

2

q f (t)j = 2 (t2

k (t) =

jf 0

k 1 + t2 2t

= 2t2 2

t2 ) + 4t2 + (1 + t2 ) =

00

jf 0 (t)

j 2t 2

t2 2t

(t)j

p

2 t2 + 1

p 2 2 1) + 4t2 + (t2 + 1) = 2 2 t2 + 1

f 00 (t)j 3

2; 4t; 2t2 + 2

p 2 2 t2 + 1 = p 2 (t2 + 1)

3

=

1 (t2

2

+ 1)

b) Evaluando en t = 0, obtenemos la curvatura pedida: k (0) = 1.

82

CHAPTER 3. CURVAS

3.7

EJERCICIOS PROPUESTOS

Gra…car las siguientes curvas: 1. f (t) = (cos 2t; sin 2t) , 0

t

2 .

2. f (t) = (sin 2t; cos 2t) , 0

t

.

3. f (t) = (t; t). 4. f (t) = ( t; t). 5. f (t) = (t; cos t; sin t). 6. f (t) = 1; t; t2 . DERIVADAS Encontrar las derivadas de las siguientes curvas: 7. f (t) = (t; t

1; 2t + 1).

8. f (t) = t; t2 ; t3 . 9. f (t) = (cos 3t; sin 3t). 10. f (t) = (a cos t; b sin t; t). 11. f (t) = (et ; cos t; sin t). 12. f (t) = (sin 2t; ln (1 + t) ; t). RECTA TANGENTE Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto indicado. 13. f (t) = (cos t; sin t)

en (0; 1).

14. f (t) = t; 2t; t2

en (1; 2; 1).

15. f (t) = t; t3 ; t4

en (1; 0; 0).

16. f (t) = (1 + t; 4 + 3t; 1

2t) en

(1; 1; 1).

t2 ; t 3

en

(2; 0; 1).

17. f (t) = t + 1; t

18. La curva determinada por la intersección de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 25 y el plano z = 3, en (4; 0; 3). 19. La curva determinada por la intersección del cilindro x2 + y 2 = 25 y el plano x + y + z = 5, en el punto (3; 4; 2).

3.7. EJERCICIOS PROPUESTOS

83

20. Encontrar la recta tangente a la curva f (t) = t; 0; t2 trazada desde el punto (0; 3; 4). VECTOR POSICION 21. Determinar los instantes en que la curva f (t) = 2t2 ; 1 secta al plano 3x 14y z = 10.

t; 3 + t2 inter-

22. Dos partículas se mueven siguiendo las trayectorias dadas por f (t) = et ; e2t ; 1 e t y g (t) = (1 t; cos t; sin t); determinar si las trayectorias se intersectan. 23. a) Una partícula viaja en el espacio de tal manera que su velocidad es V (t) = (2; 5 + 6t; 0) y su posición en t = 0 es (1; 0; 3). Encontrar su posición en t = 1. b) Repetir el problema a), donde V (t) = 3t2 ; 2t + 7; cos t y la posición en t = 0 es (1; 5; 0). 24. Una partícula está viajando en una curva en el espacio exterior de tal manera que su posición en el tiempo t está dada por f (t) = 1 + t; t2 ; 2t . Pero en el tiempo t = 2 la partícula deja la curva y se mueve en la línea tangente con velocidad constante. Dónde está la partícul en t = 4?. LONGITUD DE CURVA 25. Encontrar la longitud de una vuelta de la hélida f (t) = (cos t; sin t; t). 26. Calcular la longitud de f (t) = (cos 2t; sin 2t; 3t) entre t = 1 y t = 3. 27. Calcular la longitud de f (t) = (t

sin t; 1

cos t) desde (0; 0) hasta (2 ; 0).

28. Calcular la longitud de f (t) = t; 2t; t2 desde el punto (1; 2; 1) hasta el punto (3; 6; 9). 2

2

2

29. Calcular la longitud de la astroide x 3 +y 3 = a 3 (Sugerencia: Parametrizar la curva). 30. a) Obtener la fórmula Z bq 2 L= (r0 ) + r2 d a

que da la longitud de arco desde = a hasta = b de una curva expresada en coordenadas polares. b) Calcular la longitud de la circunferencia de radio 1. 31. Dos puntos A y B de un círculo unidad de centro 0 determinan en él un sector circular AOB. Mostrar que la longitud de arco AB es igual a dos veces el área del sector. 32. Establecer integrales para las longitudes de las curvas cuyas ecuaciones son: a) y = ex 0 x 1.

84

CHAPTER 3. CURVAS b) f (t) = (t + ln t; t ln t) 1 p t e. Probar que la segunda longitud es el producto de la primera por 2. CURVATURA, NORMAL PRINCIPAL

33. Dada la curva f (t) = (3 cos t; 3 sin t; 4t) encontrar T , N , k en cualquier punto. 34. Dada la curva f (t) = t; t2 ; 32 t3 encontrar la ecuación del plano osculador cuando t = 1. 35. Encontrar la ecuación del círculo osculador de f (t) = t; t2 en el punto (0; 0). 36. Encontrar el radio de curvatura de f (t) = (t; ln t). Determinar el punto donde el radio de curvatura es mínima. 37. Si una curva plana tiene la ecuación cartesiana y = f (x); mostrar que la curvatura en el punto (x; f (x)) es jf 00 (x)j

k=

2

1 + f 0 (x)

3 2

38. Aplicando la fórmula anterior (ejercicio 39) calcular la curvatura de y = x2 2x en cualquier punto. 39. Mostrar que la hélice f (t) = (a cos !t; a sin !t; b!t) tiene curvatura constante a k= 2 a + b2 PROBLEMAS VARIOS 40. Determinar todos los puntos en que la curva dada tiene un vector tangente horizontal o vertical, a) f (t) = t3 ; t2 + 2t , b) f (t) = t4 4t; t3 , c) f (t) = (cos 2t; cos 2t tan t) con 3 t 3. 2

1 t 2t , mostrar que el ángulo formado por 41. Dada la curva f (t) = 1+t 2 ; 1+t2 f (t) y f (t) es constante (es decir, independiente de t).

42. Mostrar que las curvas x = 2 t, y = 1t , z = 2t2 ; x = 1 + t, y = sin t 1, z = 2 cos t; se cortan en ángulo recto en (1; 1; 2). Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado. 43. x2 + 2y 2 + 2z 2 = 5, 3x 44. 9x2 + 4y 2

2y

z = 0 en (1; 1; 1).

36z = 0, 3x + y + z

z2

45. 4z 2 = xy, x2 + y 2 = 8z en (2; 2; 1).

1 = 0 en (2; 3; 2).

3.7. EJERCICIOS PROPUESTOS

85

46. Una recta perpendicular a la recta tangente a una curva plana se llama recta normal. Si en cada punto de una cierta curva plana C se trazan la normal y una recta vertical, estas dos rectas interceptan sobre el eje X un segmento de longitud 2. Hallar la ecuación cartesiana de esa curva si pasa por el punto (1; 2). Son posibles dos soluciones. 47. Un punto se mueve en el espacio siguiendo la curva f (t) = (4 cos t; 4 sin t; 4 cos t) a) Mostrar que la trayectoria es una elipse y hallar la ecuación del plano que p contiene dicha elipse. b) Mostrar que el radio de curvatura es (t) = 2 2 1 + sin2 t . 48. Cuatro arañas están en el suelo de una habitación cuadrada, una en cada esquina. Comienzan a moverse simultáneamente a la misma velocidad, cada una moviéndose hacia la araña de su derecha, la cual también se está moviendo de la misma manera. Encontrar el camino que sigue cada araña suponiendo que cada pared tiene 10 metros de largo. 49. En el problema anterior, las arañas se encuentran eventualmente en el centro de la habitación. Calcular la distancia total recorrida por cada araña.

86

CHAPTER 3. CURVAS

Chapter 4

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES En este capítulo principalmente se estudia la derivada de una función de varias variables. Primeramente se realiza un repaso de la terminología de funciones en general y se introducen algunos términos referentes a las funciones de varias variables en particular. Con esto se de…ne la derivada de una función de Rn en Rm , de tal manera que la derivada de una función de una sola variable y la derivada de una curva resultan ser casos particulares. Se hace un amplio tratamiento de la Regla de la Cadena para derivar funciones compuestas, acompañando en cada caso con diagramas aclaratorios. También se tratan las derivadas de funciones implícitas y funciones inversas.

4.1

FUNCIONES DE Rn EN Rm

Se designa por Rn al conjunto de n-uplas (x1 ; x2 ; ; xn ). Una función f de Rn en Rm asigna a cada vector (x1 ; x2 ; ; xn ) de Rn uno y solo un vector (y1 ; y2 ; ; ym ) de Rm . Se escribe también f : Rn ! Rm . El dominio de f es Rn , mientras que su codominio es Rm ; las variables del dominio (es decir x1 ; ; xn ) se llaman variables independientes y las variables del codominio (es decir y1 ; ; ym ) se llaman variables dependientes. Example 27 La regla que asigna a cada número real x su cuadrado x2 es una función de una sola variable (Fig. 4.1). Se simboliza por f (x) = x2 o y = x2 Example 28 La regla que a cada vector (x; y) de R2 le asigna la diferencia de los cuadrados de sus componentes, es una función de dos variables (…gura ###). Escribimos f (x; y) = x2

y 2 o z = x2 87

y2

88

CHAPTER 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

y (x,y)

x

x2

x

z=x 2-y2

z

Fig. 4.2

Fig. 4.1.

Example 29 La regla que a cada (x; y) de R2 le asigna el par (x + y; x y) también de R2 , es una función de R2 en R2 (…gura ###). Escribimos f (x; y) = (x + y; x y). Llamando u, v a las variables dependientes escribimos. (u; v) = (x + y; x

y) ó u = x + y, v = x

y

z

v

y

(x+y,x-y) (x,y)

(t,t2,1-t)

y

u

x

Fig. 4.3

x

Example 30 La regla que a cada número real t le asigna el vector t; t2 ; 1 t de R3 es una función de R en R3 (…gura ###). Escribimos f (t) = t; t2 ; 1 t . Llamando x, y, z a las variables dependientes tenemos (x; y; z) = t; t2 ; 1

t

de donde x = t y = t2 z = 1 t Example 31 f (x; y) = (0; 0)- en R2 .

x2

x y ; 2 2 + y x + y2

es una función de R2 - sin el

4.2. COMPOSICION DE FUNCIONES

89

En general, una regla cualquiera de…ne una función, sin tomar en cuenta los elementos que no tienen imágen y restringiendo la regla de modo que a cada elemento del dominio le corresponda una sola imágen. Por ejemplo, la regla p f (x; y) = x y es una función restringiendo el dominio al subconjunto de R2 donde x y 0 (pues si x y < 0, el elemento (x; y) no tendría imágen). p Por conveniencia, decimos que f (x; y) = x y es una función de R2 en R, sobreentendiendo que el dominio es el mayor subconjunto de R2 donde la regla tiene sentido.

4.2

COMPOSICION DE FUNCIONES

La composición de funciones f y g, cuando f (x) está en el dominio de g, se de…ne por (g f ) (x) = g (f (x)) (es decir, toma la imágen por g, de la imágen de x por f ). Notemos que si f es de Rn en Rs y g de Rs en Rm ; la composición g f es de Rn en Rm . Es decir f : Rn ! Rs , g : Rs ! Rm =) g f : Rn ! Rm

g

f Rn

Rs

Rm

f(x)

x

g(f(x))

gf

Fig. 4.4

Example 32 Si f (t) = t; t2 ; t3 y g (x; y; z) = xy +z, entonces la composición de f y g -en ese orden- es (g f ) (t) = g (f (t)) = g t; t2 ; t3 = (t) t2 + t3 = 2t3 (ver …gura ###) Example 33 Si f (x; y) = x + y y g (x) = x; x2 , la composición de f y g -en ese orden- es 2

(g f ) (x; y) = g (f (x; y)) = g (x + y) = x + y; (x + y)

(ver …gura ###)

90

CHAPTER 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

(x,y)

(t,t2,t3) f

g

f

(x+y,(x+y) 2)

g (x+y)

t

2t3

gf

gf Fig. 4.6

Fig. 4.5

4.3

LIMITE Y CONTINUIDAD

Los conceptos de límite y continuidad para funciones de una sola variable tratados en el Cálculo I se generaliza de una manera natural a funciones de varias variables. En el Cálculo I, cuando a medida que x se aproxima a a, las imágenes f (x) se aproxima a L, se dice que el límite de f cuando x tiende a a es L y se escribe lim f (x) = L

x!a

4.3.1

De…nición de Límite

La de…nición de límite para funciones de varias variables se expresa así: Con f : Rn ! Rm (función de Rn en Rm ), si a medida que x (vector de Rn ) se aproxima a a (vector de Rn ), -es decir, si jx aj es cada vez más pequeño- las imágenes f (x) (vectores de Rm ) se aproxima a L (vector de Rm ) -es decir, si jf (x) Lj se hace cada vez más pequeño- se dice que el limite de f en a es L y se simboliza por lim f (x) = L x!a

Para el caso particular de funciones de Rm en Rn (curvas, estudiadas en el capítulo anterior) el límite se calcula fácilmente por lim f (x)

x!a

= =

Example 34 Si f (x) = x2 lim f (x)

x!1

lim (f1 (x) ; f2 (x) ;

; fn (x))

x!a

lim f1 (x) ; lim f2 (x) ;

x!a

x!a

2x; 3x = =

x!a

1 , entonces

lim x2

x!1

(1

; lim fn (x)

2; 3

2x; lim 3x x!1

1

1) = ( 1; 2)

4.4. DERIVADA DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

91

En general, para funciones de varias variables, esto se cumple. Por ejemplo, si f (x; y) = x2 y; xy y 2 , entonces lim

(x;y)!(1;2)

f (x; y)

= =

lim

(x;y)!(1;2)

12

x2

2; 1 2

y2

y; xy

22 = ( 1; 2)

Esto signi…ca que a medida que (x; y) se aproxima a (1; 2), las imágenes f (x; y) se aproxima a ( 1; 2).

4.3.2

De…nición de continuidad

La de…nición de continuidad para funciones de varias variables es similar a la de…nición para funciones de una sola variable. Se dice que f : Rn ! Rm es continua en a (vector de Rn ) si lim f (x) = f (a)

x!a

Si f es continua en cada punto de un conjunto, se dice que f es continua en dicho conjunto. Example 35 Como para f (x; y) = x2

2x; 3x

1 se tiene

lim

(x;y)!(1;2)

f (x; y) =

( 1; 2) y además, f (1; 2) = ( 1; 2); entonces f es continua en (1; 2). En general se tiene que si lim

(x;y)!(a;b)

f (x; y) = f (a; b)

para todo (a; b) de R2 , entonces f es continua en todo el plano R2 y recíprocamente

4.4

DERIVADA DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Las derivadas de funciones de una sola variable como las estudiadas en el Cálculo I y en el capítulo anterior, se generalizan para funciones de varias variables de la siguiente manera:

4.4.1

De…nición

Si f : Rn ! Rm (función de Rn en Rm ), se dice que f es derivable en X -vector de Rn - si hay una matriz A tal que f (X + H) = f (X) + AH + r (H) H lim r (H) = 0

y

(4.1)

H!0

La matriz A, de orden m n, se llama la derivada de f en X y también se simboliza por f (X) ó Df (X). El resto r (H) es también una matriz m n.

92

CHAPTER 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Example 36 Si f (x) = x2 , evaluando en x + h tenemos f (x + h)

2

= (x + h) = x2 + 2xh + h2 = x2 + 2xh + hh = f (x) + 2xh + r (h) h

con f (x) = x2 , r (h) = h por comparación con (1) y con lim r (h) = lim h = 0

h!0

h!0

entonces, por comparación con (1), tenemos que la derivada de f en x es A = 2x o f 0 (x) = 2x (notemos que A = 2x es una matriz 1

1).

Notación. De la expresión f (X + H) = f (X) + AH + r (H) H se ve que los vectores de Rn (dominio de f ) deben escribirse como vectores columna n 1 y los vectores de Rm (codominio de f ) deben escribirse como vectores columna m j. Esto se hará siempre que se determine la derivada A de f según la x de…nición. Así, (x; y) se escribirá como . y Example 37 Según la de…nición, hallar la derivada de f (x; y) = 3x y 2 . Como f es una función de R2 en R, su derivada es una matriz 1 2, entonces x conviene escribir a (x; y) como vector columna 2 1, es decir como . y x+h Evaluando f en tenemos y+k f

x+h y+k

= 3 (x + h)

2

(y + k) = 3x + 3h

y 2 + 2yk + k 2

expresando en la forma (4.1) f

x+h y+k

=

3x

y 2 + 3h

=

3x

y 2 + (3; 2y) x y

= f

2yk

kk h k

+ (0; k)

h k

+ (3; 2y)

+ r (h; k)

h k h k

(con r (h; k) = (0; k)) y como lim r (H) =

H!0

lim

(h;k)!(0;0)

r (h; k) =

lim

(h;k)!(0;0)

Entonces, comparando con (4.1), la derivada de f es f 0 (x; y) = (2; 2y) En particular, la derivada de f en (1; 1) es f 0 (1; 1) = (3; 2)

(0; k) = (0; 0)

;

4.5. DERIVADAS PARCIALES

4.5

93

DERIVADAS PARCIALES

Si z = f (x1 ; x2 ; ; xn ) es una función de Rn en R, entonces la variable z depende de las variable independientes x1 ; x2 ; ; xn . Al límite, cuando existe, lim

f (x1 ;

; xi + h;

; xn ) h

h!0

f (x1 ;

; xi ;

; xn )

se llama derivada parcial de z con respecto a xi y se simboliza por Es decir, f (x1 ; @f = lim h!0 @xi

; xi + h;

; xn ) h

f (x1 ;

; xi ;

@z @f ó . @xi @xi

; xn )

(4.2)

Como se ve, esta derivada parcial es el límite de la función incrementada en xi , menos la función sin incrementar, sobre el incremento y cuando el incremento tiende a cero. Esta derivada parcial da aproximadamente la relación que hay entre una pequeña variación h en la dirección de xi y la variación que esto produce en las imágenes al variar f (x1 ; ; xi ; ; xn ) hasta f (x1 ; ; xi + h; ; xn ). De la de…nición (4.2) se ve que la derivada parcial con respecto a xi es la derivada ordinaria con respecto a xi , manteniendo a las demás variables como constante. @f @f , si f (x; y) = 2x2 3xy + 1. @x @y Derivando con respecto a x, manteniendo y constante, tenemos

Example 38 Hallar

@f = 4x @x

3y

y derivando con respecto a y, manteniendo x constante, tenemos @f = @y

4.6

3x

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Como una derivada parcial es otra vez una función de varias variables, podemos derivarla nuevamente y así obtenemos la segunda derivada parcial; así sucesivamente se obtienen las terceras derivadas parciales, etc. Estas derivadas parciales se simbolizan por @ @x

@f @x

=

@2f @ , 2 @x @y

@f @x

=

@2f @ , @y@x @y

@f @y

=

@2f , etc. @y 2

94

CHAPTER 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Example 39 Hallar todas las segundas derivadas parciales de f (x; y) = xy 3 + sin x: Como @2f @2f @f = sin x ; = x3 + cos x =) = 3y 2 2 @x @x @y@x y como @2f @f @2f = 6xy , = 3xy 2 =) = 3y 2 @y @y 2 @x@y @2f @2f = , es decir las derivadas @x@y @y@x cruzadas son iguales. Esto siempre ocurre cuando una de ellas (y por tanto, también la otra derivada cruzada) es continua. En este último ejemplo se a obtenido

df , mientras que si f depende Notación. Si f depende sólo de x se escribe dx @f además de otras variables se escribe , para representar la derivada de f con @x respecto a x. El cálculo de la derivada de una función de varias variables, se simpli…ca enormemente en la mayor parte de los casos. Cuando todas las primeras derivadas parciales son continuas, la derivada de una función f : Rn ! Rm (función de Rn en Rm ) es una matriz m n cuya iésima …la está constituida por las derivadas parciales de la iésima variable dependiente con respecto a cada una de las variables independientes. (Ver ejercicio 43). Así, f (x; y) = (u; v) (función de R2 en R2 , su derivada es una matriz 2 2). entonces ux uy f 0 (x; y) = vx vy donde ux =

@u @u , uy = , etc. @x @y

Si f (x; y) = (u; v; w) (función de R2 en R3 , entonces 2 ux f 0 (x; y) = 4 vx wx Si z = f (x1 ; x2 ; entonces

su derivada es una matriz 3 3 uy vy 5 wy

; xn ) (función de Rn en R, su derivada es una matriz 1 z0 =

@z @z ; ; @x1 @x2

;

@z @xn

2),

n), (4.3)

En particular la derivada (4.3), derivada de una función de Rn en R, se llama también gradiente de la función. En general, a la derivada de una funcion f de Rn en Rm se la llama también matriz jacobiana de f .

4.7. REGLA DE LA CADENA

95

Example 40 Calcular el gradiente de z = x2 xy 2 . Su gradiente es @z @z z0 = ; = 2x y 2 ; 2xy @x @y Example 41 Calcular la derivada de f (x; y) = (x cos y; x sin y). Su derivada es f 0 (x; y) =

ux vx

uy vy

=

cos y sin y

x sin y x cos y

(con f (x; y) = (x cos y; x sin y) = (u; v); es decir u = x cos y, v = x sin y). El Hessiano de una función f : Rn ! R es la segunda derivada de f . Notemos que la primera derivada es una función de Rn en Rn dada por f 0 (x1 ; x2 ;

; xn ) = (fx1 ; fx2 ;

; fxn )

Por tanto, la segunda derivada, es decir; el Hessiano de f , es una matriz n y está dada por 2 3 fx1 x1 fx1 x2 fx1 xn 6 fx2 x1 fx2 x2 fx2 xn 7 6 7 f 00 (x1 ; x2 ; ; xn ) = 6 7 .. .. .. . . 4 5 . . . . fxn x1 fxn x2 fxn xn

n

Notemos que la …la iésima del Hessiano está constituida por las derivadas parciales de la iésima componente de la primera derivada con respecto a cada una de las variables independientes. Frecuentemente, el Hessiano de f (x1 ; x2 ; ; xn ) también se simboliza por H (x1 ; x2 ; ; xn ). Example 42 Calcular el Hessiano de f (x; y; z) = x2 + y 2 z 2 . Como la primera derivada es f 0 (x; y; z) = 2x; 2yz 2 ; 2y 2 z El Hessiano de f es 2

2 H (x; y; z) = 4 0 0

4.7

0 2z 2 4yz

3 0 4yz 5 2y 2

REGLA DE LA CADENA

La Regla de la Cadena permite expresar la derivada de una función compuesta en términos de las derivadas de sus funciones componentes.

96

CHAPTER 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Si f es una función de Rn en Rm y g una función de Rm en Rs se puede componer f con g y obtener una función g f de Rn en Rs ; es decir f : Rn ! Rm , g : Rm ! Rs entonces g f : Rn ! Rs

En estas condiciones: La derivada de g f en el punto X (matriz s n) es igual al producto matricial de la derivada de g en f (X) (matriz s m) por la derivada de f en X (matriz m n). Es decir 0

(g f ) (X) = g 0 (f (X)) f 0 (X)

f

g RS

Rm Rn

Fig. 4.8

f(x)

x

(g f)(x)

v

y

g

gf f Fig. 4.7

x t

u

gf

Example 43 Si f (t) = (x (t) ; y (t)) y g (x; y) = (u (x; y) ; v (x; y)). Por una parte 2 3 du 6 dt 7 0 (g f ) (t) = 4 dv 5 dt Por otra parte 2 32 3 @u @u dx 6 @y 7 6 dt 7 g 0 (x; y) f 0 (t) = 4 @x @v @v 5 4 dy 5 @x @y dt Aplicando la Regla de la Cadena tenemos: 2 3 2 32 3 2 3 @u @u @u dx @u dy du dx 6 dt 7 6 @x @y 7 6 dt 7 6 @x dt @y dt 7 4 dv 5 = 4 @v @v 5 4 dy 5 = 4 @v dx @v dy 5 dt @x @y dt @x dt @y dt Igualando componentes obtenemos fórmulas sumamente útiles para du @u dx @u dy = + dt @x dt @y dt

,

dv @v dx @v dy = + dt @x dt @y dt

du dv , dt dt

4.8. DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS

4.8

97

DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS

En general, haciendo las restriciones debidas, un sistema de ecuaciones de…ne una función implícitamente. Example 44 Dado el sistema u+v

z + 3x2 y + 10 = 0 2uv z 2 + xy+ = 0

En este sistema de dos ecuaciones existen cinco variables. Notemos que dando valores a tres de las variables (digamos x; y, z) se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (u, v en este caso), resolviendo el sistema se obtienen los valores de u, v correspondientes a los valores asignados a x, y, z. Luego, el anterior sistem se puede considerar como función de R3 en R2 que a cada (x; y; z) de R3 le asigna un (u; v) de R2 .

v

z

y

u Fig. 4.9

x Para derivar una función implícita (que puede estar de…nida por un sistema de ecuciones) no es necesarias las variables dependientes en términos de las independientes. Esto se muestra en el siguiente ejemplo: Example 45 Si u + v z + 3x2 v + 10 = 0 2uv z 2 + xy + 3 = 0

(1)

Calcular la derivada de la función implícita de…nida por este sistema, considerando a x, y, z como variables independientes y a u, v como variables dependientes. La derivada es la matriz 2 3: ux vx

uy vy

uz vz

(2)

Para calcular esta matriz procedemos de la siguiente manera: Derivando cada una de las ecuaciones del sistema (1) con respecto a x y teniendo en cuenta que

98

CHAPTER 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

u, v son variables dependientes de x: @u @v + + 6x = 0 @x @x @v @u + 2u +y = 0 2v @x @y Resolviendo por el método de Cramer (o método de los determinantes) se tiene:

@u @x

@v @x

=

=

6x 1 y 2u 1 1 2v 2u 1 2v 1 2v

6x y 1 2u

=

12xu + y 2u 2v

=

y + 12xv 2u 2v

Derivando cada una de las ecuaciones del sistema (1) con respecto a y, y re@u @v solviendo para y se obtiene @y @y @u 2u + x = @y 2u 2v

;

@v 2x 2v = @y 2u 2v

@u Finalmente, derivando el sistema (1) con respecto a z, y resolviendo para y @z @v se obtiene @z @u 2u + 2z u+z = = @z 2u 2v u v

,

@v 2z + 2v z+v = = @z 2u 2v u v

Reemplazando los valores obtenidos en la matriz dada por (2) se obtiene la derivada de la función implícita de…nida por el sistema de ecuaciones (1).

4.9

DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS

Si f es una función de Rn en Rm , haciendo las restricciones necesarias, en general existe su función inversa f 1 (es decir, si f (x) = y, entonces f 1 = x). La derivada de f (función de Rn en Rn ) es una matriz cuadrada n n y la derivada de la función inversa f 1 es también una matriz n n; más aun, es la matriz inversa de la matriz derivada de f . Es decir, 1 Df 1 (y) = (Df (x)) con f (x) = y

4.10. TEOREMA DEL VALOR MEDIO

99

Rn

Rn

Rn

Rn

f

f-1 f(x)=y

x

x

y=f(x)

Fig. 4.10

Example 46 Si f (r; ) = (r cos ; r sin ); o lo que es lo mismo, x = r cos , y = r sin ; calcular Df 1 . Como Df (r; ) =

cos sin

r sin r cos

,

entonces tomando la inversa de esta matriz, se obtiene Df

1

(x; y) =

cos sin

r sin r cos

1

=

1 r

r cos sin

r sin cos

donde, por supuesto x = r cos y = r sin

4.10

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

El Teorema del Valor Medio para funciones de una variable, se generaliza a funciones de dos variables de la siguiente manera:

4.10.1

Teorema del valor medio

Si f (x; y) es continua en una región errada (es decir, que contiene a su contorno) y si las primeras derivadas parciales existen en la región abierta (es decir, excluídos los puntos del contorno) se tiene: f (x0 + h; y0 + k)

f (x0 ; y0 ) = hfx (x0 + h; y0 + k) + kfy (x0 + h; y0 + k)

con 0<

< 1.

Notemos que (x0 + h; y0 + k) es un punto que está en la línea que une (x0 ; y0 ) con (x0 + h; y0 + k). El teorema de Taylor para funciones de una variable también se extiende a funciones de más variables. En particular, tenemos:

100

CHAPTER 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4.10.2

Teorema de Taylor

Si todas las primeras n-ésimas derivadas parciales de f (x; y) son continuas en una región cerrada y si las (n + 1)-ésimas derivadas parciales existen en la región abierta, se tiene: f (x0 + h; y0 + k)

@ @ 1 +k (x0 ; y0 ) + @x @y 2! n @ @ f (x0 ; y0 ) + Rn h +k @x @y

= f (x0 ; y0 ) + h +

1 n!

h

@ @ +k @x @y

2

donde el resto Rn está dado por Rn =

1 (n + 1)!

h

@ @ +k @x @y

n+1

f (x0 + h; y0 + k) , 0 <