CALCULO I

Marília Brasil Xavier REITORA

Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

MATERIAL DIDÁTICO EDITORAÇÃO ELETRONICA Odivaldo Teixeira Lopes ARTE FINAL DA CAPA Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) F676c Fonseca, Rubens Vilhena Cálculo / Rubens Vilhena Fonseca – Belém: UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011. 128 p.; iI. ISBN: 978-85-88375-59-8 1.Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. I. Universidade Estadual do Pará. II. Título. CDU: 517.23 CDD: 515.33 Índice para catálogo sistemático 1. Cálculo: 517.23

BELÉM – PARÁ – BRASIL - 2011 -

Capítulo 1

LIMITES O cálculo diferencial e integral se baseia em um procedimento conhecido como limite. O objetivo desse procedimento é avaliar o que acontece com uma função quando a variável independente tende a um certo valor. O limite de uma função pode ser avaliado das seguintes formas: Graficamente, analisando o comportamento gráfico da função em um software matemático; Numericamente, substituindo valores na função; Analiticamente, a partir das técnicas algébricas de resolução.

REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA A operação matemática chamada limite se representa da seguinte forma:

lim f ( x )

x

p

Devemos ler essa expressão da seguinte forma: “limite de f(x) quando x tende a p”. A expressão do limite encerra a seguinte pergunta:

Qual é o valor da função quando x tende a p ?

EXEMPLO

Leia o limite abaixo:

lim x 2 1 x 1

SOLUÇÃO

O limite deve ser lido da seguinte forma: “Limite de x2+1 quando x tende a 1”.

5|

CAPÍTULO 1

LIMITES ANÁLISE GRÁFICA Esse tipo de análise permite afirmar o valor de um limite apenas olhando o seu gráfico. Por exemplo, considere a função dada no exemplo anterior:

x2 1

y

O seu gráfico é dado por:

y

5

x2 1

y tende a 2 4

3

2

x tende a 1 0.5

1

1.5

2

Pelo gráfico podemos perceber que, quando x tende a 1, y tende a 2. Então o limite é igual a:

lim x 2 x 1

1 2

ANÁLISE NUMÉRICA Considerando o limite:

lim f ( x )

x

p

A análise numérica consiste em avaliar o valor da função quando x vai se aproximando de p. Essa aproximação deve ser feita de duas maneiras: Diminuindo o valor de x até chegar em p; Aumentando o valor de x até chegar em p. EXEMPLO

Fazer a análise numérica do limite:

lim x 2 1 x 1

6|

CAPÍTULO 1

LIMITES SOLUÇÃO

Para facilitar o entendimento, vamos construir a seguinte tabela: x diminuindo até p=1

x aumentando até p=1

x

y = x2+1

x

y = x2+1

1,1

2,21

0,9

1,81

1,01

2,0201

0,99

1,9801

1,001

2,002001

0,999

1,998001

...

...

...

...

1

2

1

2

É muito importante saber que não estamos interessados no valor da função no ponto x=1, mas o que acontece com a função quando x se aproxima cada vez mais de 1.

AVALIAÇÃO ANALÍTICA A avaliação analítica de um limite é feita basicamente através de teoremas e de um pouco de álgebra. A escolha de uma dentre as várias técnicas de solução depende de como a função se comporta num determinado valor de x. Existem dois comportamentos que podem ser esperados de uma função: Continuidade; Descontinuidade. Dizemos que uma função é contínua num ponto se não existe nenhum tipo de interrupção na sua trajetória nesse local. Por outro lado, uma função descontínua apresenta interrupção na sua trajetória em um ou mais pontos. EXEMPLO

Imagine duas pessoas subindo um pequeno morro. A pessoa que vem pela esquerda, no ponto P, percebe que chegou a uma altura de 2 metros. A outra pessoa que vem pela direita, no mesmo ponto P, percebe que chegou a uma altura de 5 metros. Podemos então concluir que existe uma descontinuidade (interrupção) no ponto P, pois o morro apresentou um salto nesse ponto (de 2 metros para 5 metros).

7|

CAPÍTULO 1

LIMITES CONCEITO INFORMAL DE CONTINUIDADE

Observe os gráficos abaixo:

No primeiro gráfico, à medida que nos aproximamos de p pela direita ou pela esquerda, a função tende a f(p). Identificamos esse tipo de gráfico como sendo de uma função contínua. No segundo gráfico, à medida que nos aproximamos de p pela direita e pela esquerda, a função apresenta valores diferentes. Nesse caso, a função tem uma descontinuidade do tipo salto. Existe ainda uma terceira situação em que a função tem uma descontinuidade do tipo buraco, ou seja, a função não pode ser calculada em p embora o limite exista.

EXEMPLO

Encontrar o limite:

x2 4 lim x 2 x 2 SOLUÇÃO

Ao tentarmos substituir x=2 na função aparecerá zero no denominador. Isso aparentemente nos levaria a pensar que o limite não tem solução. Analisando numericamente esse limite:

x 2,1 2,01 2,001 ... 2

8|

f (x)

x2 4 x 2

4,1 4,01 4,001 ... 4

x 1,9 1,99 1,999 ... 2

f (x)

x2 4 x 2

3,9 3,99 3,999 ... 4

CAPÍTULO 1

LIMITES Como podemos explicar que o limite quando x tende a 2 é igual a 4 e não seja possível substituir x=2 na função ? vamos enxergar a situação no gráfico: 5 4.5 4 3.5 3 2.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Chegamos à conclusão que encontrar um determinado limite não quer dizer simplesmente calcular o valor da função num ponto. Nesse exemplo, a finalidade do limite é descobrir o comportamento da função quando x tende a 2 e não quando x é igual a 2. Fica mais fácil verificar que o limite é igual a 4 fazendo a fatoração do numerador:

lim x

2

x2 4 x 2

(x 2) (x 2) 2 x 2

lim x

lim(x 2) 2 2 4 x

2

Na verdade, o que fizemos foi encontrar uma função equivalente à original que fornecesse os mesmos valores de y quando x tende a 2. Note que a bola aberta no gráfico significa que a função original não é definida no ponto x=2. O resultado desse limite fornece a localização do buraco na função. Podemos resumir as três situações mostradas no seguinte quadro: Quando a função é contínua

lim f ( x) f (p)

x

p

Quando a função não é contínua lim f ( x ) não existe quando a função apresenta salto em p. x

p

lim f ( x )

x

p

L quando a função não é definida em p.

9|

CAPÍTULO 1

LIMITES PROPRIEDADES DO LIMITE O limite apresenta as propriedades listadas abaixo:

(a) lim k f ( x ) x

k lim f (x)

p

x

(b) lim[f (x) g(x)] x

p

x

(c) lim f ( x ) g( x ) x

p

limf (x) limg(x) p

x

p

lim f ( x) lim g( x)

p

x

p

x

p

lim f ( x )

f (x) (d) lim x p g( x )

x

p

lim g ( x )

x

, desde que lim g( x ) x

p

0

p

EXEMPLO

Calcular os limites: 1) lim 3x 2

3 lim x 2

2) lim (3x 2

2x ) lim 3x 2

x 1

x 1

x 1

3) lim 3x 2 5 x

x 1

5

x 1

lim 5

3 5 8

3 5

x 1

x

3 2 5

x 1

x 1

lim 3x 2

3x 2

lim 2x

lim 3x 2 lim 5 x

x 1

4) lim

31 3

x 1

x

x 1

lim ( x 2 9)

x2 9 5) lim x 3 x 3

x

3

lim ( x 3) x

já que lim ( x 3) x

3

0 e não atende à propriedade (d).

3

Nesse caso, podemos apenas fatorar o numerador para obter:

x2 9 3 x 3

lim x

( x 3) ( x 3) 3 ( x 3)

lim x

lim ( x 3) x

3

6

Para usar essas propriedades, é necessário que os limites existam::

lim f ( x ) e lim g( x )

x

10 |

p

x

p

CAPÍTULO 1

LIMITES LIMITES LATERAIS A noção de limite lateral surge da necessidade de definirmos qual é o limite de uma função quando a variável independente tende pela direita e pela esquerda do ponto considerado. Essa noção é muito importante na caracterização de uma função que possui salto num ponto. O limite da função f(x) quando x tende a p pela direita é representado da seguinte maneira:

lim f ( x ) x

p

Da mesma forma, o limite da função quando x tende a p pela esquerda é representado por:

lim f ( x ) x

p

Quando os limites laterais forem diferentes:

lim f ( x ) x

p

lim f ( x ) x

lim f ( x ) não existe

x

p

p

Nesse caso, a função f(x) apresenta uma descontinuidade do tipo salto em x=p. EXEMPLO

Calcule os limites laterais em x=1 da seguinte função:

f (x)

x 2 , se x 1 2x , se x 1

SOLUÇÃO

lim f ( x )

lim 2x

x 1

x 1

lim f ( x )

lim x 2

x 1

x 1

2 1 2

12

1

Como os limites à esquerda e à direita são diferentes, a função apresenta um salto em x=1 e é considerada descontínua. Podemos usar um artifício bem simples para calcular os limites laterais:

lim f ( x ) x

p

Nesse caso, substituímos x por p+h e fazemos h tender a zero.

11 |

CAPÍTULO 1

LIMITES EXEMPLO

Calcular o limite:

lim 2x 3 x

2

SOLUÇÃO

Fazendo as devidas substituições:

lim 2x 3 x

2

lim 2 (p h) 3

h

0

lim 2 (2 h ) 3

h

0

7

lim f ( x ) x

p

Nesse caso, substituímos x por p-h e fazemos h tender a zero. EXEMPLO

Calcular o limite:

lim 2x 3 x

2

SOLUÇÃO

Fazendo as devidas substituições:

lim 2x 3 x

2

lim 2 (p h) 3

h

0

lim 2 (2 h) 3

h

0

7

O SÍMBOLO Até uma certa fase dos nossos estudos em matemática, não tínhamos idéia do resultado da seguinte divisão:

1 0

Vamos agora mostrar o que isso significa. Para isso, chamaremos o denominador dessa fração de x e diminuiremos o seu valor até zero.

x 1 0,1 0,01 0,001 ... 0

12 |

f (x) 1 10 100 1000 ...

1 x

CAPÍTULO 1

LIMITES Podemos perceber pela tabela que, diminuindo o valor de x cada vez mais, o valor da divisão aumenta cada vez mais. Quando x é exatamente zero, então a divisão é exatamente o que definimos como infinito. Representaremos o infinito pelo símbolo:

Infinito = A idéia de infinito é de um número tão grande quanto você possa imaginar. Na verdade, se você imaginar qualquer número nesse momento, então o infinito ainda é maior do que você imaginou. O equivalente negativo do infinito é representado pelo símbolo número negativo que você pode imaginar.

e significa o menor

LIMITES NO INFINITO Existem algumas situações em que necessitamos encontrar o limite de uma função quando a variável independente tende ao infinito. Esses tipos de limite são expressos por:

lim f (x) e lim f (x)

x

x

EXEMPLO

Calcular o limite:

lim

x

1 x

SOLUÇÃO

Vamos fazer uma tabela para avaliar numericamente esse limite: X 1 10 1000 ... +

f (x)

1 x

1 0,1 0,001 ... 0

Então:

lim

x

1 x

0

13 |

CAPÍTULO 1

LIMITES Graficamente, podemos ver melhor o resultado desse limite:

À medida que x caminha na direção positiva, f(x) tende a zero. Por outro lado, o limite:

lim

x

1 x

0

À medida que x caminha na direção negativa, f(x) também tende a zero. Os limites abaixo também resultam no mesmo valor:

lim

x

1 x

lim

x

1 x

lim

2

x

1 x

3

lim

x

1 x

4

...

lim

x

1 xn

0 , para qualquer n>0.

Esses resultados são utilizados quando precisarmos calcular um limite do tipo:

lim

x

P( x ) , sendo P(x) e Q(x) dois polinômios. Q( x )

A técnica se resume a dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x existente nos polinômios P(x) e Q(x), aplicando em seguida o limite. EXEMPLO

Calcular o limite:

lim

x

5x 5 3x 3 4x

5

2x

x 1 2

2

SOLUÇÃO

Dividindo o numerador e o denominador por x5:

14 |

CAPÍTULO 1

LIMITES 5

lim

x

5

3

5x 3x x 1 5 2 4x 2x 2

lim

x

3 x2 4

1 x4 2 x3

1 x5 2 x5

Aplicando as propriedades dos limites, teremos como resultado:

lim

5x 5 3x 3 4x 5

x

x 1

2x 2

2

5 4

LIMITES INFINITOS Ao calcularmos os limites laterais de uma função, às vezes nos deparamos com um crescimento (ou decrescimento) ilimitado. Um exemplo disso são os limites:

lim x

0

1 1 e lim x x 0 x

O gráfico da função pode nos fornecer essa informação valiosa:

Aproximação pela direita

Aproximação pela esquerda

À medida que x vai se aproximando pela direita de zero, a função tende a crescer ilimitadamente. Já quando z se aproxima de zero pela esquerda, a função tende a decrescer ilimitadamente. Isso faz com que os limites respectivamente sejam iguais a:

lim x

0

1 x

e lim x

0

1 x

Chegamos assim à conclusão que os limites não existem.

15 |

CAPÍTULO 1

LIMITES APLICAÇÃO DE LIMITES INFINITOS O conceito de limites infinitos tem aplicações interessantes dentro da Física. Por exemplo, considere a famosa lei de Ohm:

V

R I

Onde: V é a tensão aplicada em Volts; R é a resistência elétrica em

(Ohms);

I é a corrente elétrica em Ampéres. Rearranjando a lei de Ohm:

V R

I

Vamos agora analisar o significado do seguinte limite:

V 0R

lim

R

Sabemos que o resultado desse limite é + . Isso significa que, quando a resistência tende a zero, a corrente elétrica tende ao infinito. Se dois fios desencapados de um eletrodoméstico se tocarem, a resistência elétrica entre esses dois fios será igual a zero e, portanto, a corrente tenderá ao infinito. Esse altíssimo valor de corrente é muito perigoso, pois pode provocar incêndios de grandes proporções.

ASSÍNTOTAS VERTICAIS Quando os limites são iguais a:

lim f ( x )

x

p

ou lim f ( x ) x

p

Estamos diante de uma informação importante: a assíntota vertical. A assíntota vertical é uma reta imaginária que passa exatamente na descontinuidade da função.

16 |

CAPÍTULO 1

LIMITES A equação da reta imaginária é então dada por:

x p EXEMPLO

Encontrar a assíntota vertical da função:

1

f (x)

x 1

SOLUÇÃO

A assíntota está localizada em x=1, já que os limites são iguais a:

1

lim

e lim

x 1

x 1

x 1

1 x 1

Portanto, a equação da reta vertical imaginária é igual a:

x 1 O gráfico da função pode ser conferido ao lado.

ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS Quando os limites no infinito forem iguais a:

lim f ( x )

x

L ou lim f ( x ) x

L

A função f(x) se aproxima de uma reta imaginária – a assíntota horizontal. A equação da reta imaginária é dada então por:

y

L

EXEMPLO

Encontrar a assíntota horizontal da função:

f (x)

2x 1 x

17 |

CAPÍTULO 1

LIMITES SOLUÇÃO

Tomando o limite:

2x 1 x

lim

x

lim 2

x

1 x

2

Dessa forma, a equação da reta horizontal imaginária é igual a:

y

2

O gráfico da função pode ser conferido ao lado.

APLICAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS Um exemplo de aplicação da assíntota horizontal é o carregamento da bateria do seu aparelho celular. Podemos expressar o percentual de carga P, em função do tempo, pela seguinte função:

P(t) 100 (1 e

kt

)

Onde k é uma constante que depende da bateria usada no aparelho. Ao calcularmos o limite: t

lim P( t )

Encontraremos a sua assíntota horizontal:

t

lim P( t )

y 100 %

18 |

t

lim 100 (1 e

kt

) 100 (1 e

) 100 %

CAPÍTULO 1

LIMITES Isso quer dizer que a carga completa (100% da capacidade da bateria) ocorrerá teoricamente apenas num tempo infinito após iniciar o carregamento. Por isso, o fabricante recomenda no manual do aparelho uma carga de 1 hora (em média) que corresponde a aproximadamente 90% da sua capacidade máxima.

LIMITE DE FUNÇÃO COMPOSTA Algumas funções são compostas de duas ou mais funções elementares, como por exemplo:

y ln(x 2 1) Podemos enxergar essa função da seguinte maneira:

ln u , sendo u

y

x2

1

Desejamos conhecer os limites de tais tipos de funções. Considere o limite:

lim f [g(x)] x

p

Se fizermos:

u

g(x )

Então:

a quando x

u

p

limf [g(x)] limf (u) x

p

u

a

Isso só será válido se lim f (u ) existir. u

a

EXEMPLO

Calcular o limite:

lim ln( x 2 1)

x

0

SOLUÇÃO

19 |

CAPÍTULO 1

LIMITES Fazendo: x2

u

1

Pela equação anterior, podemos concluir que:

u

1 quando x

0

Então:

lim ln( x 2 1)

x

0

lim ln u u 1

ln 1 0

TEOREMA DO CONFRONTO O teorema do confronto é um dos teoremas mais úteis no cálculo de limites porque permite encontrar um resultado baseado em comparações com outros limites conhecidos. Vamos supor que num determinado intervalo:

g( x )

f (x)

h(x)

Se:

lim g( x )

L

lim f ( x )

L

x

p

lim h ( x )

x

p

Então: x

p

O teorema do confronto nos diz que se f(x) for maior ou igual a g(x) e menor ou igual a h(x) num determinado intervalo e se as funções g(x) e h(x) tenderem a um mesmo limite, então f(x) tenderá a esse limite também. Graficamente, é mais fácil mostrar o significado desse importante teorema:

20 |

CAPÍTULO 1

LIMITES

LIMITES IMPORTANTES Vamos discutir dois limites importantes, pois precisaremos dos seus resultados mais adiante no capítulo de derivadas. Os dois limites são:

1 lim 1 x x sen( x ) lim x 0 x

x

Primeiramente, vamos mostrar numericamente que:

lim 1

x

1 x

x

2,7182 ...

e

Para avaliar esse limite, vamos montar a seguinte tabela: x 1 100 1.000 1.000.000 1.000.000.000 ... +

1 1 x

x

2 2,704813... 2,716923... 2,718280... 2,718281... ... e

21 |

CAPÍTULO 1

LIMITES Podemos notar que, à medida que x aumenta, a função dada tende a um valor constante que chamaremos de e (número de Euler). Já vimos anteriormente que um limite desse tipo define uma assíntota horizontal dada pela equação: y e O gráfico da função e da sua assíntota é mostrado abaixo:

-

x

x

+

Observando atentamente o gráfico, também podemos afirmar que:

lim 1

x

1 x

x

e

Queremos agora mostrar que:

sen(x) 0 x

lim

x

1

Para avaliar esse limite, vamos montar a seguinte tabela:

x 0,1 0,01 0,001 ... 0 O gráfico dessa função é dado por:

22 |

sen(x) x 0,99833 0,99998 0,99999 ... 1

CAPÍTULO 1

LIMITES

Poderíamos ter calculado o limite através do teorema do confronto. Para isso, devemos saber que é verdadeira a desigualdade (veja a demonstração no apêndice 2):

sen( x )

tg( x ) , para qualquer | x | 0 .

x

Vamos dividir os três membros por sen(x):

x sen(x)

1

tg(x) sen(x)

A tangente do ângulo x é dada pela seguinte relação trigonométrica:

tg(x)

sen(x) cos(x)

Substituindo na desigualdade, obteremos:

x sen(x)

1

Para qualquer x

1 cos(x) 0 , podemos fazer:

sen(x) x

1

cos(x)

Vamos calcular os limites das seguintes funções quando x tende a zero:

lim 1 1

x

0

lim cos(x)

x

0

Então, conforme o teorema do confronto:

sen(x) 0 x

lim

x

1

LIMITES IMPORTANTES E FUNÇÃO COMPOSTA

23 |

CAPÍTULO 1

LIMITES Às vezes, os dois limites importantes mostrados anteriormente não estão na sua forma padrão. Quando isso acontece, devemos usar o conceito de limite de função composta. EXEMPLO

Calcular o limite:

sen(5x) 0 x

lim

x

SOLUÇÃO

Primeiro, multiplicamos e dividimos a função por 5:

5 sen(5x) 5 x

f (x)

5

sen(5x) 5x

Agora, fazemos:

u

5x

Pela equação anterior, podemos concluir que:

u

0 quando x

0

Portanto, o limite é igual a:

sen(5x) 0 x

lim

x

lim 5

u

0

sen(u) u

sen(u) 0 u

5 lim u

5 1 5

EXEMPLO

Calcular o limite:

lim 1

x

2 x

x

SOLUÇÃO

Para transformar esse limite na forma padrão, devemos fazer:

2 x

1 u

x

2u

Pela equação anterior, podemos concluir que:

u

quando x

Isso faz com que o limite seja igual a:

24 |

CAPÍTULO 1

LIMITES 2 lim 1 x x

x

1 lim 1 u u

2u

1 lim 1 u u

u

2

e2

CONCEITO RIGOROSO DE LIMITE Os conceitos de limite mostrados até agora são informais. Matematicamente, precisamos de uma definição mais precisa. O limite:

lim f ( x )

x

p

É igual a L se, dado um número >0, existe um número >0 (dependendo de ) tal que:

f ( x) L

quando x

p

A definição afirma que, escolhendo qualquer positivo de forma que o limite L esteja entre L+ e L- , existirá um valor positivo tal que p estará entre p+ e p- . Em poucas palavras queremos dizer que, para pontos vizinhos de p, a função se aproxima do seu limite L. Essa definição de limite pode ser verificada através do seguinte gráfico:

EXEMPLO

Demonstre o limite abaixo:

25 |

CAPÍTULO 1

LIMITES x2 4 lim x 2 x 2

4

SOLUÇÃO

Pela definição de limite: quando x

f ( x) 4

2

Substituindo a expressão de f(x):

x2 4 x 2

4

Fatorando o numerador:

( x 2) ( x 2) x 2

4

O resultado é igual a:

(x 2) 4 x 2 Se escolhermos

então a função f(x) se aproximará de 4 quando x tender a 2.

Podemos explicar essa situação de uma maneira bem mas simples. Se escolhermos

0,1

então para valores de x entre 2,1 (=p+ ) e 1,9 (=p- ), o limite da função estará entre 4,1 (=L+ ) e 3,9 0,1 . (=L- ) já que

LIMITES NO MATHEMATICA O software Mathematica permite o cálculo de limites através de um comando muito simples: Limit[expressão, x->a] Note que o símbolo -> é um sinal de subtração seguido de um sinal de maior. EXEMPLO

Calcular o limite abaixo no Mathematica:

26 |

CAPÍTULO 1

LIMITES 5x 5 3x 3

lim

4x

x

5

2x

x 1 2

2

O seguinte comando deve ser digitado e executado: Limit[(5*x^5+3*x^3+x+1)/(4*x^5+2*x^2+2), x->Infinity] O Mathematica fornece 5/4 como resultado. Podemos também calcular os limites laterais da função através dos seguintes comandos: Limit[expressão, x->a, Direction->1] Limit[expressão, x->a, Direction->-1] No primeiro caso, o comando calcula o limite lateral à esquerda de a na expressão. Já o segundo caso, o comando calcula o limite lateral à direita de a na expressão.

EXERCÍCIOS 1 – Encontre os seguintes limites:

x2 9 3 x 3

a) lim x

4x 2 1 b) lim 1 2x 1 x

x2

f) lim

x 1

3x 2 x 1

tg(x) 0 x

g) lim x

2

c) lim x

0

x

2

x

x 0 sen(2x )

h) lim x

x

x 1 d) lim x 1 x 1

i) lim x

5x 4 3x 2 x4 1

l) lim 1 x

5 x

x

1 m) lim 1 x 5x

x 1

2 n) lim 1 x x o) lim 1 2x x

x

1 x

0

27 |

CAPÍTULO 1

LIMITES e) lim x

2

x2

4x 4 x 2

j) lim x

2 – Calcule o limite:

f (x h) f (x) 0 h

lim

h

Para cada um dos casos abaixo:

28 |

a) f ( x )

2

b) f ( x )

3x

c) f ( x )

3x

d) f (x)

5x 2

e) f (x)

5x 2 3x 2

2

5x 2 3x

2

2x 3 x 1

Capítulo 2

DERIVADAS A derivada de uma função é considerada a ferramenta mais importante do cálculo diferencial. Essa popularidade é resultado das inúmeras aplicações dessa poderosa ferramenta. Por exemplo, o desenvolvimento de novos aparelhos e o aperfeiçoamento dos já existentes, de alguma forma, depende do conhecimento da derivada de uma função. É interessante saber que a derivada nasceu de uma idéia bem simples: o cálculo do coeficiente angular de uma reta usando limites.

CONCEITO DE DERIVADA Antes de formalizar a definição de derivada, vamos começar com um exemplo numérico.

EXEMPLO

Considere a seguinte função:

f ( x) x 2 Primeiramente, vamos escolher dois valores de x:

x0

1 e x1

2

Os valores de y correspondentes a esses pontos são:

y0

f (1) 12

1 e y1

f (2)

22

4

Então, a curva da função passa pelos pontos:

P (x 0 , y0 ) (1,1) Q

( x 1 , y1 )

(2,4)

Podemos traçar uma reta que passa por P e Q cujo coeficiente angular é dado por:

m

29 |

y x

y1 x1

y0 x0

4 1 2 1

3 1

3

CAPÍTULO 2

DERIVADAS O denominador do coeficiente angular é igual a:

x

x1 x 0

1

Graficamente, podemos enxergar melhor essa situação:

Agora vamos fazer:

x1

1,1

y1

f (1,1) 1,12

Então:

1,21

Portanto, o ponto Q tem as seguintes coordenadas:

Q

( x 1 , y1 )

(1,1 , 1,21)

O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:

m

y x

y1 x1

y0 x0

1,21 1 1,1 1

0,21 0,1

2,1

Sendo que:

x

x1 x 0

1,1 1 0,1

Novamente, vamos fazer:

x1

1,01

y1

f (1,01) 1,012

Então:

1,0201

As coordenadas do ponto Q são iguais a:

30 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Q

( x 1 , y1 )

(1,1 , 1,0201 )

O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:

y1 x1

y x

m

y0 x0

1,0201 1 1,01 1

0,0201 0,01

2,01

Sendo que:

x

x1 x 0

1,01 1 0,01

Vamos colocar todos os resultados obtidos na seguinte tabela: x 1 0,1 0,01 ... 0

m 3 2,1 2,01 ... 2

À medida que x se aproxima de zero, o ponto Q se aproximará cada vez mais de P e a reta que corta a função passará a tangenciá-la. O coeficiente angular da reta tangente a f(x) é igual a 2. A situação, quando x tende a zero, pode ser vista no gráfico abaixo:

Note que esse é um processo limite dado por:

m

lim x

0

y x

Onde m é o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Vamos formalizar o conceito de derivada comparando com o exemplo numérico mostrado. Definimos a derivada de uma função f(x) pelo seguinte limite:

lim x

0

f (x

x) f (x) x

31 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Vamos mostrar, de uma forma genérica, o significado dessa expressão. Começamos colocando no gráfico os pontos P e Q:

Note que podemos traçar uma reta que passa por P e Q. O coeficiente angular dessa reta é dado por:

m

y x

y1 x1

y0 x0

f (x (x

x) f (x) x) x

f (x

x) f (x) x

À medida que x tende a zero, o ponto Q se aproxima cada vez mais de P:

x 0

No limite, quando x tende a zero, a reta tangenciará a função no ponto P. O coeficiente angular dessa reta é então conhecido como derivada da função: Derivada = lim x

0

f (x

x) f (x) x

Alguns autores costumam calcular a derivada através da fórmula equivalente:

f (x h) f (x) 0 h

Derivada = lim h

A representação de derivada é feita colocando-se um apóstrofo após o símbolo f em f(x):

32 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS f (x) Então:

f (x)

lim x

0

f (x

x) f (x) x

Pela definição, notamos que a derivada depende do valor de x. Isso significa que podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) para qualquer valor de x escolhido. No capítulo 1, vimos que o coeficiente angular de uma reta fornece a taxa de variação da variável y em relação à variável x (por exemplo, graus Celsius por hora ou milhões por ano). Portanto, a derivada mede a taxa de variação da função f(x) num determinado ponto x, ou seja, quanto maior o valor da derivada em x então mais inclinada será a função f(x) nesse ponto. Vamos verificar essa afirmação através do seguinte gráfico:

Podemos perceber que a reta r tem inclinação menor que a reta s. Nesse caso, a derivada em x1 é menor que a derivada em x2. O resultado é que a função f(x) em x2 é mais inclinada que em x1.

ENCONTRANDO A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO Vamos aplicar o limite que define a derivada para estabelecermos as regras de derivação de algumas funções.

33 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS f (x)

5 f (x

x)

f (x)

lim

f (x)

lim

x

x

5 (para qualquer valor de x, a função será sempre igual a 5)

f (x

0

5 5 0 x

x) f (x) x 0

Resumo: A derivada de uma função constante é igual a zero.

f ( x ) 5x f (x

x ) 5( x

f (x)

lim

f (x)

lim

f (x)

lim

x

x

x

f (x

0

x ) 5x

5 x

x) f (x) x

5x 5 x 5x 0 x

5 x 0 x

lim 5 5 x

0

Resumo: A derivada de uma função linear é igual ao seu coeficiente angular.

f (x) 5x 2 f (x

x) 5(x

f (x

x) 2

5(x 2

2x x

x) f (x) x

f (x)

lim

f (x)

lim

f (x)

lim

f (x)

lim (10 x 5 x) 10 x

x

x

x

x

0

5x 2

x 2 ) 5x 2 10x x 5 x 2

5 x2

10 x x

0

10 x x 5 x 2 0 x

5x 2

x

lim x

0

x (10 x 5 x ) x

0

f ( x ) 5 (2 x ) Resumo: A derivada de uma função quadrática é igual à sua constante (5) multiplicada pelo valor do expoente (2) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade.

f (x) 5x 3

34 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS x) 3

5(x 3

3x 2 x 3x x 2

f (x

x) 5(x

f (x

x) 5x 3 15x 2 x 15x x 2 5 x 3

f (x

x) f (x) x

f (x)

lim

f (x)

lim

f (x)

15 x 2 x 15 x x 2 lim x 0 x

f (x)

lim (15 x 2

x

x

x

x3 )

0

5x 3 15 x 2 x 15 x x 2 0 x

0

5 x3

5 x 3 5x 3

lim x

0

x (15 x 2 15 x x 5 x 2 ) x

5 x 2 ) 15 x 2

15 x x

f (x) 5 (3 x 2 ) Resumo: A derivada de uma função cúbica é igual à sua constante (5) multiplicada pelo valor do expoente (3) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade. A regra geral para o caso de funções com potências de x é dada por:

f ( x)

k xn

f ( x)

k n xn

1

EXEMPLO

Calcular a derivada da função:

f (x) 10 x 5

SOLUÇÃO

Pela regra geral:

f (x) 10 5 x 5

1

50 x 4

Outras funções podem ser enquadradas na forma geral mostrada anteriormente. Por exemplo:

35 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS f ( x)

2

x

Primeiramente, vamos modificar essa função:

f (x)

2

x

1

1 x2

Aplicando a regra da derivada vista anteriormente:

f ( x)

k n xn 1

1 2 f (x) 1 x 2

1

1

1 x 2

1 2

1 1 2 1 x2

1 2

2

x

Resumo: A derivada da função raiz quadrada é formada colocando 1 no numerador, 2 (índice da raiz) no denominador, seguido da raiz quadrada de x.

f ( x)

3

x

Primeiramente, vamos modificar essa função: 1

f (x)

3

x1

x3

Aplicando a regra da derivada:

f ( x)

k n xn 1

1 3 f (x) 1 x 3

1

1

1 x 3

2 3

1 3

1 2 x3

1 3

3

x2

Resumo: A derivada da função raiz cúbica é formada colocando 1 no numerador, 3 (índice da raiz) no denominador, seguido da raiz cúbica de x elevado à potência 2.

f (x)

4

x3

Primeiramente, vamos modificar essa função: 3

f (x)

4

x3

x4

Aplicando a regra da derivada:

f ( x)

36 |

k n xn

1

CAPÍTULO 2

DERIVADAS 3

3 4 f (x) 1 x 4

1

1 4

3 x 4

3 1 4 1 x4

3 4

4

x1

Resumo: A derivada da função é formada colocando 3 no numerador (potência de x dentro da raiz), 4 (índice da raiz) no denominador seguido da raiz quarta de x elevado à potência 1. A regra geral para o caso de funções raiz é dada por:

f (x) k

q

x p , com q>p

k p

f (x) q

q

xq

p

EXEMPLO

Encontrar a derivada da função: 5

f (x) 5

x2

SOLUÇÃO

Aplicando a regra para funções raiz:

5 2

f (x) 5

f (x)

5

10

x5

2

5

5

x3

1 x

Primeiramente, vamos modificar essa função:

f (x)

1 x

1

x

1

Aplicando a regra da derivada:

f ( x)

k n xn

1

f (x) 1 ( 1) x

1 1

1 x

2

1 x2

Resumo: A derivada da função é formada colocando -1 no numerador, seguido de x elevado à potência 2 no denominador.

37 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS f (x)

1 x2

Primeiramente, vamos modificar essa função:

f (x)

1 x

2

x

2

Aplicando a regra da derivada:

f ( x)

k n xn

1

f (x) 1 ( 2) x

2 1

2

3

2 x

x3

Resumo: A derivada da função é formada colocando -2 no numerador, seguido de x elevado à potência 3 no denominador.

f (x)

1 x3

Primeiramente, vamos modificar essa função:

f (x)

1 x

3

x

3

Aplicando a regra da derivada:

f ( x)

k n xn

1

f (x) 1 ( 3) x

3 1

3 x

3

4

x4

Resumo: A derivada da função é formada colocando -3 no numerador, seguido de x elevado à potência 4 no denominador.

A regra geral esse tipo de função é dada por:

f (x) k f (x)

38 |

1

xn k ( n) xn

1

CAPÍTULO 2

DERIVADAS EXEMPLO

Encontrar a derivada da função:

f (x)

3 x4

SOLUÇÃO

Aplicando a regra estabelecida:

f (x)

3 ( 4) x

4 1

12 x5

EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE Sabemos calcular o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Nesse ponto, vamos encontrar a equação que define a reta tangente a f(x).

EXEMPLO

Encontrar a equação da reta tangente a f (x)

x 2 no ponto x 0

3.

SOLUÇÃO

O coeficiente angular da reta tangente à função f (x)

f (x) No ponto x 0

x 2 é dada por:

2x

3 , o valor do coeficiente angular é igual a:

f (x 0 ) f (3) 2 3 6 Se quisermos saber a equação dessa reta basta saber em que ponto ela passa. No caso, quando x 0

3:

y0

f (x 0 ) f (3) 32

9

39 |

CAPÍTULO 2

DERIVADAS Então, a reta tangente passa pelo ponto P:

P

(x 0 , y 0 )

f(x)=x2

(3,9)

Logo, a equação procurada é dada por:

y=6x-9

( y y 0 ) m (x x 0 )

( y y 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ) ( y 9)

6 ( x 3)

y 6x

9

O resultado é mostrado no gráfico ao lado.

É importante notar que o sinal do coeficiente angular indica se a função é crescente ou decrescente em determinados intervalos. No exemplo anterior, quando x>0, a derivada será sempre positiva o que quer dizer que a função será sempre crescente nesse intervalo. Por outro lado, quando x