calculo I
March 29, 2017 | Author: Equipe Gabaritocerto | Category: N/A
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CÁLCULO: VOLUME I
MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Departamento de Análise - IME UERJ
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Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total
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PREFÁCIO
"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora? Isso depende bastante de até onde você quer chegar." Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas Através dos séculos a Matemática tem sido a mais poderosa e efetiva ferramenta para a compreensão das leis que regem a Natureza e o Universo. Os tópicos introdutórios que apresentamos neste livro originaram-se, inicialmente, dos problemas práticos que surgiram no dia a dia e que continuaram impulsionados pela curiosidade humana de entender e explicar os fenônemos que regem a natureza. Historicamente, o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável estuda dois tipos de problemas: os associados à noção de derivada, antigamente chamados de tangências e os problemas de integração, antigamente chamados de quadraturas. Os relativos à derivação envolvem variações ou mudanças, como por exemplo, a extensão de uma epidemia, os comportamentos econômicos ou a propagação de poluentes na atmosfera, dentre outros. Como exemplos de problemas relacionados à integração destacam-se o cálculo da áreas de regiões delimitadas por curvas, do volume de sólidos e do trabalho realizado por uma partícula. Grande parte do Cálculo Diferencial e Integral foi desenvolvida no século XVIII por Isaac Newton para estudar problemas de Física e Astronomia. Aproximadamente na mesma época, Gottfried Wilhelm Leibniz, independentemente de Newton, também desenvolveu considerável parte do assunto. Devemos a Newton e Leibniz o estabelecimento da estreita relação entre derivada e integral por meio de um teorema fundamental. As notações sugeridas por Leibniz são as universalmente usadas. O principal objetivo do livro foi apresentar os primeiros passos do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável com simplicidade, através de exemplos, mas sem descuidar do aspecto formal da disciplina, dando ênfase à interpretação geométrica e intuitiva dos conteúdos. O livro inclui a maioria da teoria básica, assim como exemplos aplicados e problemas. As provas muito técnicas ou os teoremas mais sofisticados que não foram provados no apêndice, foram ilustrados através de exemplos, aplicações e indicações bibliográficas adequadas e estão incluidos como referência ou leitura adicional para os leitores interessados. Os conceitos centrais do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável são relativamente profundos e não se espera que possam ser assimilados de uma só vez. Neste nível, o importante é que o leitor desenvolva a habilidade de calcular e adquira a compreensão intuitiva dos problemas. As expressões do tipo "é facil ver"ou semelhantes, que aparecem no texto, não devem ser encaradas de forma literal e tem o propósito de dar um aviso ao leitor de que naquele lugar a apresentação é resumida e os detalhes, perfeitamente acessíveis, deverão ser preenchidos. Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao Cálculo Diferencial e Integral de uma variável. Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, cri-
4 teriosa, dos softwares de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complemento útil ao aprendizado da disciplina. Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e do IME-UERJ que, de algum modo, nos motivaram e deram condições para escrever estas notas e à Sra. Sonia M. Alves pela digitação. Certamente, todos os erros são exclusivamente de responsabilidade dos autores.
Mauricio A. Vilches - Maria Luiza Corrêa Rio de Janeiro
Conteúdo 1
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INTRODUÇÃO 1.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Plano Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Equação da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Equação Geral da Reta . . . . . . . . . . . 1.5.2 Equação Reduzida da Reta . . . . . . . . . 1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas 1.6 Equações das Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL 2.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Função Modular ou Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . 2.4 Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Função Polinomial do Primeiro Grau ou Afim . . . 2.4.2 Função Polinomial de Segundo Grau ou Quadrática 2.4.3 Função Polinomial de Grau n . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Funções Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Interseção de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Álgebra de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Composta de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Inversa de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Método para Determinar a Inversa . . . . . . . . . . 2.9 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 Economia: Cálculo de Juros Compostos . . . . . . . 2.10.2 Crescimento e Decrescimento Exponencial . . . . . 2.10.3 Função Logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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31 31 38 43 44 44 47 49 50 53 54 56 56 59 61 64 67 67 67 68
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2.11 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.1 Desintegração Radioativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.1 Função Seno e Função Co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.2 Função Tangente e Função Secante . . . . . . . . . . . . . . 2.12.3 Função Co-tangente e Função Co-secante . . . . . . . . . . 2.13 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.1 Função Arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.2 Função Arco co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.3 Função Arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.4 Funções Arco co-tangente, Arco secante e Arco co-secante 2.14 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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LIMITE E CONTINUIDADE 3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Cálculo de Limites de Funções Racionais . 3.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Símbolos de Indeterminação . . . . . . . . . . . . 3.6 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Esboço Aproximado de Funções Racionais 3.8 Continuidade de Funções . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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99 99 106 110 111 113 116 116 120 120 122 130
DERIVADA 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Derivada da Função Composta . . . . . . . . . . . . . 4.6 Derivadas das Funções Elementares . . . . . . . . . . 4.6.1 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . 4.6.5 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . 4.6.6 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita 4.8 Famílias de Curvas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . 4.9 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . 4.10 Aproximação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Velocidade e Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . .
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141 141 141 145 150 152 154 154 155 156 158 160 161 164 165 170 171 173 176
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4.12 A Derivada como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5
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APLICAÇÕES DA DERIVADA 5.1 Variação de Funções . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Funções Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Determinação de Máximos e Mínimos . . . . . 5.4 Concavidade e Pontos de Inflexão de Funções 5.5 Esboço do Gráfico de Funções . . . . . . . . . 5.6 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . 5.7 Teorema de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Outros tipos de indeterminações . . . . 5.8 Diferencial de uma Função . . . . . . . . . . . . 5.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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191 191 197 201 206 210 216 226 227 231 232
INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Outros Tipos de Substituições . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Integrais de Produtos e Potências de Funções Trigonométricas 6.5 Método de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Método de Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Método para Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . 6.8 Mudança: Tangente do Ângulo Médio . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Aplicações da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.1 Obtenção de Famílias de Curvas . . . . . . . . . . . . . . 6.9.2 Outras aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INTEGRAÇÃO DEFINIDA 7.1 Intodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Definição e Cálculo da Integral Definida . 7.3 Métodos para Calcular Integrais Definidas 7.4 Construção de Primitivas . . . . . . . . . . 7.5 Aplicações da Integral Definida . . . . . . . 7.5.1 Aceleração, velocidade e posição . . 7.6 Cálculo de Áreas . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Volume de Sólidos de Revolução . . . . . . 7.7.1 Cálculo do Volume dos Sólidos . . . 7.7.2 Outros Eixos de Revolução . . . . . 7.7.3 Método das Arruelas . . . . . . . . . 7.8 Cálculo do Comprimento de Arco . . . . . 7.9 Definição de Logaritmo Natural . . . . . . . 7.9.1 Logaritmo como Área . . . . . . . . 7.10 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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271 271 276 280 284 287 287 289 304 306 311 314 317 320 320 321
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CONTEÚDO
8 7.11 Exercícios 8
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333 333 333 338 339 343
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347 347 350 356 364
10 APÊNDICE 10.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Funções Integráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373 373 374 378
11 RESPOSTAS 11.1 Capítulo 1 11.2 Capítulo 2 11.3 Capítulo 3 11.4 Capítulo 4 11.5 Capítulo 5 11.6 Capítulo 6 11.7 Capítulo 7 11.8 Capítulo 8
381 381 381 384 385 386 388 389 391
9
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados 8.2.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Integrais de Funções Descontínuas . . . . . . 8.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXEMPLOS DIVERSOS 9.1 Limites . . . . . . . . 9.2 Continuidade . . . . 9.3 Derivada . . . . . . . 9.4 Integração . . . . . .
Bibliografia Básica
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392
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
Neste capítulo apresentaremos uma breve revisão de alguns tópicos do grau essenciais para o estudo do Cálculo de uma Variável Real. Admitiremos a familiaridade do leitor com o conjunto dos números reais, denotado por , com as operações fundamentais e suas respectivas propriedades, bem como com a visualização geométrica de como uma reta e dos números reais como pontos dessa reta.
1.1 Desigualdades A representação geométrica dos números reais sugere que estes podem ser ordenados. Usando os símbolos usuais para maior ( ), maior ou igual ( ), menor ( ), menor ou igual ( ), podemos ver, por exemplo, que se e , então ; no eixo coordenado temos que está à esquerda de . Para todo temos: ou , ou , ou .
1.2
Intervalos
Muitos subconjuntos de são definidos através de desigualdades. Os mais importantes são os intervalos. Sejam tais que . Intervalo aberto de extremidades e , denotado por "! é definido por:
#!$ &%(') +*,)'- /.10 (
)
a
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Figura 1.1: Intervalo aberto. Intervalo fechado de extremidades e , denotado por 2 3 é definido por:
2 435 &%('- +*67'- /.10 9
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
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a
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Figura 1.2: Intervalo fechado. Intervalo semi-aberto e intervalo semi-fechado, são denotados e definidos, respectivamente, por:
2 "! %(') +* ') /.
e
3 %(') $* ') /.10
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a
b
Figura 1.3: Intervalos semi-abertos e semi-fechados. Os quatro intervalos assim definidos são ditos limitados. Introduzindo os símbolos os quais não são números reais, podemos definir os intervalos ilimitados:
! (% ') $* ' . 4 ! %() ' $*6' .
e
,
4 3 & %(') +* ' 1. ! & %(') +* ' 1. 0 e 2 e
Note que ! . Os intervalos aparecem de forma natural na resolução de inequações, pois, a solução é, em geral, dada por um intervalo ou uma reunião de intervalos.
Desigualdades Lineares: Determinemos o conjunto-solução de:
+'
0
! . Se
a $' ; logo, se , ') ; o conjunto-solução é 2 ' + é equivalente , ' ; o conjunto-solução é
( 0 Desigualdades Quadráticas:
Seja +' ' a equação de segundo grau. Denotemos por o discriminante da equação e , as raízes reais da equação ( & ). O conjunto-solução de uma desigualdade quadrática depende do sinal de e de .
' Para . Se , a desigualdade $' e +' ' tem conjunto-solução 2 53
tem conjunto-solução 32 !
tem conjunto-solução 2 3 e $' ' tem
Se , a desigualdade +' '
conjunto-solução 3 72 $ ! .
1.3. VALOR ABSOLUTO
11
' ' tem conjunto-solução e +'
Para . Se , a desigualdade +' tem conjunto-solução % . . Se ) , a desigualdade $' conjunto-solução .
' ' tem conjunto-solução % . e $' tem
Para . Se , a desigualdade +' ' tem conjunto-solução e +' ' ' tem conjunto-solução . Se )& , a desigualdade $' tem conjunto-solução e ' tem conjunto-solução . +' Exemplo 1.1.
' ' . Fatorando ' ' ' ' ! ' ! ; então, ' ' é [1] Ache a solução de: ! ' ! , da qual obtemos '7& ou '7 . O conjunto-solução equivalente a ' ' é:
( ! ! 0
[2] Ache a solução de:
'
'
0
Note que não é equivalente a ' ' ! . Se ' , isto é ' ; a desigualdade ! '
' ' ' então, , de onde obtemos . Se , isto é ' ; então, ' ' ! , de onde obtemos ' . Logo, o conjunto-solução é:
2 ( [3] Ache a solução de:
'
'
!0 '
' 0
' , que é equivalente a ! ' ' ' ! ' ou '- . Logo, o conjunto-solução é: '-
Resolvemos
'
'
, da qual obtemos
( 1 0
1.3
Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real , denotado por é definido como o maior número do conjunto %/ . , ou equivalentemente:
,
se se 0
Observe que o valor absoluto de um número real é sempre não negativo e possui as seguintes propriedades imediatas. Sejam ; então:
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
12 1.
, para todo
2. se e somente se 4! ,
3. / 1
4. se e somente se ou
, se . 6. 5.
Exemplo 1.2.
. é equivalente a: ' ' ou ' ' . Pelas propriedades anteriores, ' ' , então ' ' ! e '- ou '- ; se ' ' , então ' , Se ' ' [1] Achar a solução de: ' 7'
o que é impossível. O conjunto-solução é:
4 ! ! 0
[2] Achar a solução de:
' ' .
') ' ou
' ' é equivalente a: Pela propriedades anteriores, Se '- ' , então ' ') ' ; logo,
Se
') ' , então
')
0
' , que não possui solução. O conjunto-solução é:
' '
1.3.1
' ' ;
0
Distância
Usando o valor absoluto podemos definir a distância entre dois números reais. A distância entre os números reais e é . Então é a distância de à origem. Exemplo 1.3. [1] A distância entre os números
[2] A distância entre os números e números e é ! .
[3] A distância entre os números
é
e é:
é
e
! 1
.
&
!
0
e a distância entre os
1.4. PLANO COORDENADO
13
1.4 Plano Coordenado Um par ordenado de números reais é uma dupla de números reais ' ! , tais que ' ! ' ! se e somente se ' . O elemento ' do par ordenado é chamado primeira coordenada do par e é chamado a segunda coordenada do par. De forma análoga à representação geométrica dos reais, podemos representar geometricamente os pares ordenados. Para isto consideramos duas retas, que por conveniência impomos que se intersectem perpendicularmente. A reta horizontal é chamada eixo das abscissas ou eixo dos ' e a reta vertical é chamada eixo das ordenadas ou eixo dos . A interseção das retas é chamada origem, à qual associamos o par 4 ! e atribuimos sentidos a estas retas, que descrevem um plano, chamado plano coordenado. As quatros regiões determinadas no plano por estas retas são chamadas quadrantes. A representação de um par ordenado como um ponto do plano ( e reciprocamente), é feita de forma análoga a do eixo coordenado. Por exemplo, os seguintes pontos ! ! ( ! ( ! , tem a seguinte representação no plano coordenado: y A
2
B
1
-2
1
0
x
-1
C -2
D
Figura 1.4: Usando o teorema de Pitágoras podemos definir a distância entre dois pontos do plano coordenado. y
B
y2
d
y1
A
x1
x2
Figura 1.5:
x
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
14 Sejam
'( ! e
' ! pontos do plano. A distância entre
!$
e
é:
!
' 7' !
A distância possui as seguintes propriedades imediatas. Proposição 1.1. Sejam
! e
!$
!
2. 3.
1.
,
e pontos do plano, então:
!$ se e somente se
.
!
!.
!.
Exemplo 1.4. [1] Calcule a distância entre os pontos
!+
(
! e
! . Aplicando a fórmula:
! !
!
0
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
Figura 1.6: [2] Determine o ponto , que divide na razão o segmento de reta que liga os pontos ( e !. Sejam &
( ! , ! os pontos dados e ( ! pontos auxiliares como no desenho:
' ! o ponto procurado e
' (
! !,
1.5. EQUAÇÃO DA RETA
15 R Q
P
S
T
Figura 1.7: Os triângulos
e
são semelhantes; logo:
! ! Por outro lado,
!
! !
! !
e
!
e
!$
! 0 !
!
$! ' , ! ' ; logo & !.
Aplicando a fórmula da distância, temos que: Obtemos o sistema:
que tem como solução: '
1.5 Equação da Reta 1.5.1
Equação Geral da Reta
Sejam
' ( ! e
0
' ! dois pontos distintos no plano: y
P2
y2 y1
P1
x1
x2
Figura 1.8: A equação da reta que passa pelos pontos
+'
e
é:
x
e . !
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
16 onde
, ' 7' e ' ' . Veja [TA], [LB].
a reta é horizontal; se a reta é vertical. O ponto .
Se
se +' +'
Exemplo 1.5.
' ! pertence à reta
! e ( ! . e ; logo, a equação é: '
[1] Ache a equação da reta que passa pelos pontos
,
Neste caso:
.
y 4
2
-1
1
2
3
x
-2
-4
Figura 1.9: A reta ' [2] Determine
& O ponto
tal que o ponto
. se, e somente se
! pertença à reta '
! pertence à reta '
.
. y 4
3
2
1
-1
1
2
3
4
5
x
-1
Figura 1.10: A reta '
e o ponto * 1! .
. Fazendo:
1.5.2 Equação Reduzida da Reta Se uma reta não é paralela ao eixo dos , então
' 7'
e
'
7' ' 7'
; logo,
1.5. EQUAÇÃO DA RETA
17
obtemos a equação reduzida da reta:
'
é chamado coeficiente angular da reta e coeficiente linear da reta. É fácil ver que a equação da reta que passa pelo ponto ' ! e tem coeficiente angular é:
'7' !
Exemplo 1.6. [1] Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos
e fazemos
Neste caso: ou ' .
ou
; então, se '
e
! e 1! . , temos, '
y 2
1
-1
1
2
3
x
-1
-2
'
Figura 1.11: A reta
[2] Escreva na forma reduzida a equação: ' A forma reduzida é do tipo
1.5.3
'
.
; então,
.
'
Paralelismo e Perpendicularismo de Retas
Sejam ' somente se:
e
'
as equações de duas retas. As retas são paralelas se, e $
0
As retas são perpendiculares se, e somente se:
0 &
e '
Logo, as retas de equações ' somente se:
0
são perpendiculares, se, e
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
18 Exemplo 1.7. [1] Ache o valor de
(b)
(a)
'
e ' sejam paralelas. e #' sejam perpendiculares.
! '
tal que as retas::
(a) As retas são paralelas se os coeficientes angulares são iguais; logo, (b) As retas são perpendiculares se:
/!$ , donde
; donde
.
.
y
y
2.0
2.0
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5 -0.4
-0.2
0.2
x
0.4
-1.0
-0.5
-0.5
0.5
1.0
x
Figura 1.12: As retas do exemplo (a) e (b), respectivamente. [2] Determine a reta que passa pelo ponto de interseção das retas '+ e é perpendicular a ' .
e '
Primeiramente, determinemos o ponto de interseção das retas, resolvendo o sistema:
'
'
Obtemos o ponto onde
$
' tal que , ' ; logo, e . Como
! . A reta que procuramos tem equação
é o coeficiente angular da reta '
a reta passa por
0
! , a reta procurada é '
.
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
Figura 1.13: As retas do exemplo [2].
1.6. EQUAÇÕES DAS CÔNICAS
19
1.6 Equações das Cônicas A equação do segundo grau em duas variáveis:
'
'
sendo e não simultanemente nulas representa, em geral, uma curva no plano chamada cônica, cuja natureza depende dos coeficientes , , , e . Podemos considerar dois casos: e e .
Caso 1 : Se e , completando quadrados dos binômios nas variáveis ' e , a equação acima pode ser escrita como:
onde
,
e
!
'
. Se
!
, o lugar geométrico é um ponto.
Se e ou tem sinais opostos, não existe lugar geométrico. Se escrita como:
, a equação pode ser
! ! 0
Se ( e tem o mesmo sinal) e tem o mesmo sinal de ou , a equação ! pode ser escrita como: ! ' ! ! onde e . A equação ! representa uma elipse centrada em ( ! e eixos
paralelos aos eixos coordenados; no caso particular , a equação representa um círculo de raio , centrado em ( ! : ! ! ' ( e tem sinais opostos). Se e (ou e ), a equação ! pode Se ser escrita como: ! ! ' ! e . onde
e (ou e ), a equação ! pode ser escrita como: Se ! ' ! '
!
!
onde e . As equações ! e ! representam uma hipérbole de eixos paralelos aos eixos coordenados.
Se , a equação pode ser escrita como: retas que se intersectam. Caso 2: Se
ou . Supondo
'
!
e , a equação é:
'
!
, que representa duas
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
20 que representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos ' . Se
e & a equação é:
' '
que é a equação de uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos . Se representa uma reta.
, a equação
Exemplo 1.8. Diga o que representam as seguintes equações: [1] ' [2] '
'
.
[5] '
' . [3] ' . . [4] ' '
Soluções:
[6] ' [7] '
.
.
.
e ; logo, , , , e , . A equação representa uma elipse centrada no ponto 1! de equação:
[1]
,
'
,
;
' !
1!
0
[2] , ; , e ; logo, , , e . A . equação representa um círculo centrado em 4 ! , de raio e tem a forma: ' ! y
y
10
2
8
1
6
-1
1
2
3
x
4
-1
2
1
2
3
4
5
6
x
-2
Figura 1.14: Desenhos do exemplo [1] e [2], respectivamente. [3] Como
6
1
, , e , temos: , , e . A equação representa uma hipérbole e pode ser escrita como:
'
0
,
1.6. EQUAÇÕES DAS CÔNICAS
,
[4] Como e
,
21
,
e
, temos:,
. A equação representa uma hipérbole: '
!
!
,
, ,
,
0
y
y 4
3
2 2 1
-4
-2
2
4
x
-2
2
x
4
-1 -2 -2
-3 -4
Figura 1.15: Desenhos do exemplo [3] e [4], respectivamente.
[5] Como
' ' ' .
[6] Como
e , a equação representa duas retas concorrentes; de fato: ! . Logo, ' ! ! ; então, ' ou ' !
, &
, a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos ' .
y
y
3 2 2
1
-4
-2
1
2
4
x -1
1
2
3
4
-1
-2
-1
-3 -2 -4
Figura 1.16: Desenhos do exemplo [5] e [6], respectivamente.
[7] Como &
, a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos .
5
x
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
22 y 2.0
1.5
1.0
0.5
-3
-2
-1
1
2
3
x
-0.5
-1.0
Figura 1.17: Desenho do exemplo [7].
1.7 Trigonometria Inicialmente faremos uma revisão do conceito de radiano. Sabemos que arcos de círculos que subtendem o mesmo ângulo central são semelhantes e que a razão da semelhança é a razão entre os raios. Num círculo de centro e raio , seja o comprimento do arco subtendido pelo ângulo central .
B l α
O
r
A
Figura 1.18:
é diretamente proporcional a e à medida do ângulo . Admitindo que o arco e o raio sejam ! a medida do ângulo , temos medidos com a mesma unidade e denotando por ! , onde a constante depende da unidade de medida de ângulos escolhida. Radiano , ou seja, tal que ! . Em é a unidade de medida de ângulos para a qual resumo, a medida do ângulo em radianos é dada pela razão: * , onde é o comprimento do arco subtendido no círculo cujo centro é o vértice do ângulo e é o raio do círculo. Como o comprimento de um semi-círculo ou arco de é , então radianos; logo,
0
Note que a medida de um ângulo em radianos não depende da unidade de comprimento considerada. No plano coordenado consideremos um círculo orientado no sentido anti-horário, centrado na origem e de raio igual a . Este círculo é denominado círculo trigonométrico. O ponto , interseção do círculo com o semi-eixo positivo das abscissas é chamado origem. Os pontos , , , , interseções do círculo com os eixos coordenados o dividem em quatro partes congruentes.
1.7. TRIGONOMETRIA
23
B
II
I
C
A III
IV
D
Figura 1.19:
Como a equação do círculo é ' . Portanto, a medida de , seu comprimento é qualquer arco deste círculo é igual a sua medida em radianos. Considere o ângulo que determina sobre o círculo de raio , o arco de origem 4 ! e ' ! tais que , ' e 1 , como no desenho: extremidade
M
α O
A
P
Figura 1.20:
$ !$ 0 O co-seno do ângulo é denotado por ! e definido por: !$ ' 0 A tangente do ângulo é denotada por ! e definida por: ! se ' ; equivalentemente, !$ $ ! ! se ! 0 se ; equiva A co-tangente do ângulo é denotada por ! e definida por !+ lentemente, ! !$ $ ! se $ ! 0 Identidade Fundamental : Do triângulo e como ' , tem-se: ! ! 0
O seno do ângulo é denotado por $ ! e definido por:
As definições de seno, co-seno, tangente e co-tangente de um ângulo agudo são coerentes com nossa definição. Por simetria, podemos obter os valores para os arcos maiores que * . Como
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
24
dois arcos são congruentes se suas medidas diferirem por um múltiplo de , temos que dois arcos congruentes tem a mesma origem e a mesma extremidade, portanto o mesmo seno, co seno, etc. É comum representar todos os arcos congruentes ao arco por , onde é um número inteiro. A partir das relações anteriores, definimos a secante e a co-secante do ângulo por:
!+
!
'
e
!$
$
!
! $ ! e , respectivamente. A seguir apresentamos algumas propriedades: Se
* : ! ! 0 Se * : , ! 1 ! 0 Se : ! $ ! e ! 0 ! 0 Observamos que para qualquer ângulo tem-se:
onde
Adição dos arcos :
$
!
!
!
$ ! ! ! ! ! ! ! ! 0
$ ! $ ! $
!0 !0
A verificação destas propriedades pode ser considerada como exercício. Usando as definições é possível deduzir muitas outras propriedades ou identidades trigonométricas. Por exemplo: 1.
$
$ !
!$
1 ! 2. !$
!
, !
3.
4.
!
6 !$
!
!$
A seguir os valores mais utilizados de seno e co-seno:
$
!
!
*
$
!
!
*
* * *
*
* * *
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* *
*
0
*
* *
* * *
*
1.7.1 Aplicações
Lei dos Senos Para qualquer triângulo
$
onde
,
,
!
verifica-se:
$
!
$ 5!
são os lados opostos aos ângulos 7
, respectivamente. Considere o seguinte desenho:
, 7
e
1.8. EXERCÍCIOS
25 B β D a
c γ
α A
C
b
Figura 1.21: Seja o ponto obtido pela interseção da reta que passa por Logo:
$
!
$ !
o que implica: obtemos:
$
!
$
$
! . Portanto:
$
!
e é perpendicular ao lado
!
$ 5!
.
. Analogamente,
0
Área de um triângulo : Como aplicação direta da lei dos senos, obtemos a área do triângulo :
$
!
$
!
$
!0
1.8 Exercícios 1. Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto solução: (a) '
7'
(b) '
(c) '
(i)
' '-
(d) ' 1! (e) '
'
(j)
!
' ' (g) ' ' (h) ' (f) '
(k) (l) (m) (n) (o)
'
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' & ' 1! ' ' ' ' '
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
26 (p) '
'
' ' ' (r) '
'
(q) '
2. Determine os valores de ' tais que: (a) (b) (c)
(g) ' 1
(d) ' ' 1 ' (e) ' ' (f) '
' ' ' ! ' ' ' '
' '
(h) '
3. Verifique se é verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de serem falso: (a) Para todo ' ,
e : '
(b) para todo ' e : '
, ' e
' .
4. Marque os seguintes pontos no plano coordenado e calcule a distância entre eles: (a) (b) (c) (d)
1 ! ( 1! 1 ! ( 1! ( ! ( 1! ! !
(e) (f) (g) (h)
1! !
(i) 1!
! ! ! ! 1! ( ! ( ! !
(j)
,
!
! , ! , ! são coli-
5. Utilize a fórmula da distância para verificar que os pontos neares.
6. Utilize a fórmula da distância para verificar que os comprimentos das diagonais de um retângulo são iguais.
7. Verificar que os seguintes pontos: ( triângulo equilátero.
!,
! e
! à reta '
0
' 10. Determine a distância entre as retas ,'
11. Ache a equação da reta que passa pelos pontos:
! são os vértices de um
! e ! .
8. Determine os pontos equidistantes dos pontos ( 9. Verifique que a distância do ponto '
e ,'
é
.
1.8. EXERCÍCIOS
27
! ! (b) ! 1! (c) ! !
! (e) ! ! (f) f) ! ( !
(d)
(a)
12. Obtenha a equação da reta paralela à reta ' ( ! .
e '
e que passa pelo ponto
'
13. Ache a equação da reta perpendicular à reta & ! . 14. Verifique que as retas '
( !
e que passa pelo ponto
são perpendiculares.
15. Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equações: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
' ' 6 '
' 6 ' ' ' ,' 6' 6' 6'
6' 6 ' (i) 6' ' (j) ' (k) ' ' ' (l) ' ' (m) ' ' (n) ' (h) '
0
0
0 1
0
16. Seja um ponto numa parábola ou numa elipse. Uma reta que passe por é dita tangente à parábola ou à elipse no ponto se a parábola ou a elipse estão contidas inteiramente é tangente num dos semi-planos determinado pela reta. Verifique que a a reta ' ' à parabola +' no ponto ! . 17. Dada a reta
'
e o círculo '
, determine
tal que:
(a) sejam secantes; (b) sejam tangentes. 18. Para que valores de
a reta
' é tangente ao círculo '
19. Obter o valor simplificado de: (a) (b)
(c) (d)
! $ !
?
! (f)
(e)
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
28 20. Verifique as seguintes identidades trigonométricas: (a)
(b)
' !
$ '
(c)
!
' !+
'5!
' ! ! ' ! '
$ ' !
(d)
(e)
!
'5! '5!
!
' ! !+
21. Prove as seguintes propriedades:
! ! ! (b) ! $ ! (c) $ ! (d) $ ! $ ! (a)
22. Num triângulo de ângulos $ e
(a)
!
(b)
(c) A área do triângulo é de Herón.
7
,
e
e
) (b)
, verifique:
0
!$ 0
! #! ! . Esta expressão é chamada Fórmula
, verifique:
(c)
,
!
são os lados opostos aos ângulos
, respectivamente.
24. Determine a área do triângulo (a)
! !
(a) (b)
23. Lei dos Co-senos: Para qualquer triângulo
onde
e lados e tal que
,
, se:
7 (d) (c)
25. Sejam a reta ' e o ângulo formado pela reta e o eixo positivo dos ' . Verifique que ! . Determine a equação da reta que passa pelo ponto indicado e forme com o eixo dos ' o ângulo dado.
1.8. EXERCÍCIOS (a) (b) (c)
29
& 1! & 1! & ' !
(d) 7 (e) 7 (f) 7
26. Dada a equação
& ' ! & 4 ! & ( !
(g) 7
(h) 7
!
& !
! , sendo ! ' ! '
:
(a) Para que valores de a equação tem soluções reais? (b) Para que valores de a equação admite raízes reais negativas? 27. Resolva as inequações: (a) (b)
$ '5! ' !
' !
(c) (d)
' ! , ' !
se '- 2 3
28. Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a de uma parede plana e vertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do poste na parede. Saben e que a altura do poste é , determine a inclinação dos do que esta sombra tem raios solares em relação ao plano horizontal.
29. Um retângulo com lados adjacentes medindo $ ! e tro igual a Calcule a área do retângulo.
! com
tem períme-
30. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos , e . O comandante, quando o navio está em , observa um farol e calcula o ângulo . Quantas milhas separa . Após navegar milhas até , verifica o ângulo o farol do ponto ?
30
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Capítulo 2
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL 2.1 Definições e Exemplos Neste capítulo estudaremos uma das noções fundamentais da Matemática, o conceito de função. Uma função de uma variável real é uma regra que descreve como uma quantidade é determinada por outra quantidade, de maneira única. Existem várias alternativas para definir formalmente uma função. Escolhemos a seguinte:
Definição 2.1. Sejam associa a cada elemento ') As notações usuais são:
. Uma função
definida em um único elemento .
e com valores em
é uma regra que
' ! ou ') '5! 0
tal que
O número ' é chamado variável independente da função e
variável dependente da função.
Exemplo 2.1. [1] A seguinte tabela, que mostra a vazão semanal de água de uma represa, representa uma função: Dia
*
2
3 870
4 870
5 950
6 497
7 510
De fato, a tabela representa uma função, pois a cada dia fica associada uma única quantidade de vazão. Note que, possivelmente, não existe uma fórmula matemática para expressar a função do exemplo, mas, a definição de função é satisfeita. [2] Foi feita uma pesquisa de preços (em R$) de produtos da cesta básica em três supermercados 31
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
32
de um determinado bairro, obtendo-se a seguinte tabela: Produto
Sup. A
0 0 0 0 0 0
Sup. C
0
0
Sup. B
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0
0
Esta tabela não representa uma função, pois a cada produto corresponde mais de um preço. [3] A área de qualquer círculo é função de seu raio.
Se o raio do círculo é denotado por , então, ! . Um círculo de raio igual a 0 0 ,
0 ; um círculo de raio igual a , 0 0 , tem área , ! ,,, 0 . tem área 1! 0 0 =unidades de comprimento) e ( 0 0 =unidades de área). (
[4] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve ter a forma de um cilin dro circular reto de ( metros) de altura, com um hemisfério em cada extremidade. O volume do tanque é descrito em função do raio .
r
Figura 2.1: Tanque de raio . O volume do cilindro é
Por exemplo, se o raio for
e o dos dois hemisférios é
!
1!
, o volume é
!
; logo, o volume total é:
0
.
[5] Dois satélites artificiais estão circulando ao redor do Equador em uma órbita de raio igual a . O comprimento que separa os satélites, se eles tiverem uma separação angular 0 , onde é o raio. de (em radianos), é
2.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS
33
s
θ
Figura 2.2: Satélites em órbita. Logo, podemos descrever o comprimento em função da separação angular:
!
0
! 0
[6] Lei de Boyle: O volume de uma massa gasosa é inversamente proporcional à pressão a que ela está submetida, isto é, o produto da pressão pelo volume é constante, se a temperatura do gás é constante. Denotamos a pressão por , o volume por e a temperatura constante por ; . Podemos escrever a pressão em função do volume: então,
!
7
ou o volume em função da pressão:
!
0
[7] Lei do fluxo laminar de Poiseuille: (Fluxo sanguíneo através de um vaso, como artérias ou veias). Como as quantidades envolvidas são pequenas, podemos considerar que vasos tem formato cilíndrico não elástico.
R
Figura 2.3: Vaso de raio .
Denotemos por o raio e o comprimento. Devido a fricção nas paredes do vaso, a velocidade do sangue é maior ao longo do eixo central do vaso e decresce se a distância do eixo à parede cresce e é zero na parede. A relação entre a velocidade da circulação e é dada por: + !
!
onde é a viscocidade do sangue e a diferença entre a pressão de entrada e a da saída do sangue no vaso. Experimentalmente, para o sangue humano numa veia: 0 , , , e & , logo:
+ !
0
0
*
0
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
34
[8] Temos ,, metros de arame para fazer um curral de formato retangular. Podemos escrever a área do curral em função de um dos lados. De fato, se ' e são os lados do curral, seu ! ,, perímetro é ' e a área do retângulo é ' ; logo:
'5! ' , 7'5! , '7' 0
[9] Fisiologistas desenvolveram uma fórmula para determinar a superfície corporal de animais em função de seu peso. Se denotamos por a superfície corporal, então:
!
onde é o peso em quilos do animal e é uma constante que depende do animal. Experi para primatas. Por exemplo, mentalmente, é conhecido que 0 para humanos e 0 um homem de quilos tem uma superfície corporal aproximada de:
!$ 0
0
uma criança de quilos tem uma superfície corporal aproximada de:
!+ 0
' !
' 0
e
0
! 0
[10] Considere
0
0 0 0 0 0
0
20 54 70 86 90 120
0
0 0
0
0 0
a regra que associa a cada número real '&
, o seu cubo, isto é:
Por exemplo, ao número associamos o número ! ! ; ao número associa ! $ associamos o número , ao número mos o número !$ ! ; aonúmero ! ! , etc. associamos o número
'
-1 2
!
'5!
'
! ! !
!
!
2.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS
35
2 ! e a regra que associa a cada número real ') sua raiz quadrada, isto é: ao número associamos o número !$ '5!$ ' 0 Por exemplo, ; ao número e ao número não podemos associar nenhum número associamos o número ! real, pois, não é um número real.
[11] Seja
' !
' 0 2 4 -4
e a seguinte função :
[12] Seja
' ! [13] Seja
-1
-3
e a seguinte função :
!
'5!
se se
!
!
' ! '' sese ')') Ao número associamos o número ! ! ! ; ao número associamos o número '
!
indefinido
'
0
; ao número associamos o número ! ! , etc. 2
!
'- ' *
0
Por exemplo, ao número associamos o número ! ; ao número associamos o núme ro ! ; ao número associamos o número é irracional; !$ ; ! , pois .
'
' !
-1
2
Nos exemplos [3], [4], [5], [6],[7], [8], [9], [10], [11] e [12] as funções são definidas por equações (que fornecem quando são atribuidos valores a ' ). No exemplo [13], a função não é dada por uma equação, mas, a definição de função é satisfeita. Em geral, nem todas as funções são necessariamente, definidas de maneira explícita. Por exemplo: [14] Se, durante o verão de 2006, no Rio de Janeiro, registrássemos a temperatura máxima ocorrida em cada dia, obteríamos uma função. De fato, a cada dia, está associado uma única
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
36
temperatura máxima, isto é, a temperatura é função do dia. Embora não exista uma fórmula explícita para expressar a função do exemplo, a definição de função é satisfeita. Em geral, a maioria das funções usadas nas aplicações são dadas por fórmulas ou equações. Mas é preciso ter um pouco de cuidado, pois nem toda equação de duas variáveis define uma temos dois função. Por exemplo, a equação ' não define uma função, pois para ' valores para , a saber: ; mas ' dá origem a duas funções: ( '5! ' e ) ' ! ' 0 Podemos imaginar uma função como uma máquina que utiliza uma certa matéria prima (input) para elaborar algum produto final (output) e o conjunto dos números reais como um depósito de matérias primas. Fica evidente que é fundamental determinar, exatamente, neste depósito, qual matéria prima faz funcionar nossa máquina; caso contrário, com certeza, a estragaremos; esta analogia nos leva às seguintes definições:
x
f(x)
Figura 2.4: Definição 2.2.
1. O conjunto de todos os ') que satisfazem a definição de função é chamado domínio da função !0 e é denotado por
2. O conjunto de todos os função e é denotado por
tais que !.
' ! , onde '
! é chamado imagem da
! , ! , e que ! é o conjunto dos valores da variável inÉ claro que dependente para os quais é definida; ! é o conjunto dos valores da variável dependente calculados a partir dos elementos do domínio. Duas funções e são ditas idênticas se tem o mesmo domínio e '5!$ ' ! , para todo '7 ; por exemplo as funções ' !$ ' ' e '5! ' ' são diferentes pois seus domínios são diferentes. Antes de ver alguns exemplos, voltamos a insistir que para estudar qualquer função, devemos sempre determinar os ! e !0 conjuntos
Exemplo 2.2.
[1] A área de um círculo de raio é
[2] Considere a função logo, temos que: e
' !$
;
!
!
!
sendo o raio, temos: ; logo,
!0
' ; é claro que não existem restrições para o número real ' ;
' , para todo '- ; então
!
! , então: ! 2 ! 0
! &2
2.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS
37
' !
[3] Considere a função
' . Uma raiz quadrada existe somente se '- ; então:
!
!0
2
Como todo número real '- possui raiz quadrada:
!
2
!0
' ! ' . Como no caso anterior, [4] Considere a função ; resolvendo a inequação temos: '
!
( 3 72 ! e, novamente, temos:
'5!
[5] Considere a função que:
; é claro que
'
!$
existe somente se 2
!0
é definida se e somente se '
; logo temos
4 ! 7 !
! %/ .
'
por outro lado, uma fração é nula se e somente se o numerador é nulo; então
! %/ .10
' ! ; como no caso anterior o denominador da fração não ' e: ; então, ' pode ser nulo; logo '
[6] Considere a função
[7] Considere a função é positiva ou negativa,
! %
' !
! %/ .10
' ; como a raiz cúbica de um número positivo ou negativo
.
!
!
0
[8] Considere a função '5! ' ' . A função é definida se ' simultaneamente. Resolvendo as inequações, obtemos ') ; logo,
!
!
2
e
!
e '
!0
Agora que determinamos nos exemplos os domínios e imagens das funções, podemos avaliar, sem perigo, estas funções.
[10] Se '5!
, !
' , então 1!
[9] Se '5! positivo.
'
e '
!
! , calculamos , se e '
'
. '
, pois '
é sempre
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
38
2.2 Gráficos de Funções A representação geométrica de uma função de uma variável real é dada por seu gráfico no plano coordenado ' .
' ! é o seguinte subconjunto do plano: ! . ! &% ' ' ! ! * '7 Geometricamente ! é, em geral, uma curva no plano. Nos exemplos [1], [13] e [14] da seção 2.1, ! não é uma curva. Nos casos em que ! é uma curva, intuitivamente podemos ! e ! representam a “largura” e “altura” máxima da curva, pensar que os conjuntos Definição 2.3. O gráfico de uma função
respectivamente. Inicialmente, a construção dos gráficos será realizada fazendo uma tabela, onde as entradas da tabela são os elementos do domínio e as saídas, as respectivas imagens. Este processo é demorado e ineficiente e será abandonado nos capítulos seguintes, quando serão dadas técnicas mais eficientes para fazer o gráfico. É importante não confundir a função com seu gráfico, pois o gráfico é um subconjunto do plano. Exemplo 2.3. [1] Esboce o gráfico da função dada pela seguinte tabela, que mostra a vazão semanal de água de uma represa: Dia
*
O gráfico desta função não representa uma curva. A primeira coluna da tabela representa a abscissa e a segunda coluna as respectivas ordenadas; logo, obtemos: 1000
800
600
400
200
1
2
3
4
5
6
7
Figura 2.5: Gráfico da vazão semanal de água da represa.
2.2. GRÁFICOS DE FUNÇÕES
39
' . Note que
[2] Esboce o gráfico da função ' ! tabela:
' !
'
* *
!
2 ! . Fazendo a
'
* * *
*
!+ e
' & para todo ' , os pontos de abscissas ' e ' tem a mesma ordenada -
' . Logo,
o gráfico de fica situado no primeiro e segundo quadrante. Observando a tabela, conclui-se que se o valor de ' aumenta, os valores da correspondente ordenada aumentam mais rapidamente. Se os valores de ' aproximam-se a zero, os valores correspondentes da ordenada aproximam-se mais rapidamente de zero. 1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
-0.5
0.5
1
Figura 2.6: Gráfico de ' !
' . Note que
[3] Esboce o gráfico da função ' !
*
*
*
!
!
' !
'
' .
. Fazendo a tabela:
'
* * *
Se ') , então e se ') , então . Logo, o gráfico está situado no primeiro e terceiro quadrantes. Observando a tabela, vemos que quando ' e ' cresce, os valores correspondentes da ordenada também crescem e mais rapidamente. Quando ' e ' decresce, os valores correspondentes da ordenada decrescem e mais rapidamente. O gráfico de é:
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
40
1 0.75 0.5 0.25 -1
-0.5
0.5
1
-0.25 -0.5 -0.75 -1
Figura 2.7: Gráfico de ' ! [4] Esboce o gráfico da função tabela:
' !
. Note que
* , * * *
!
%/ . . Fazendo a
'
,
!
' ! '
' .
*
*
Se ') , então e se '- , então . Logo, o gráfico está situado no primeiro e terceiro quadrantes. Observando a tabela, vemos que quando ' e ' cresce, os valores correspondentes da ordenada aproximam-se de zero e à medida que ' aproxima-se de zero, os valores correspondentes da ordenada aumentam muito. Quando ' e ' cresce, os valores correspondentes da ordenada decrescem e à medida que ' decresce, os valores correspondentes da ordenada aproximam-se de zero. O gráfico de é:
3 2 1
-3
-2
-1
1
2
3
-1 -2 -3
Figura 2.8: Gráfico de ' !
*' .
2.2. GRÁFICOS DE FUNÇÕES
41
'7'
'5!
[5] Esboce o gráfico da seguinte função :
'
'
'
se se se
0.5
1
') ' ' 0 )
0.4
0.2
-1.5
-1
-0.5
1.5
-0.2
-0.4
[6] Determine a função
Figura 2.9: Gráfico de ' ! do exemplo [5]. cujo gráfico é: 2
-1
1
2
3
5
Figura 2.10:
Claramente, ' ! se ' e ' . Determinemos os segmentos de reta que ligam os pontos 4 ! e ! , ! e 4 ! , respectivamente. A equação da reta que passa por 4 ! e ! é ' ! . A equação da reta que passa por ! e 4 ! é ' ! ; então:
'5!
se se se se
' ! ' !
Observação 2.1.
'- ' 0 ' '
Os gráficos de ' ! , ' !, ' ! e '5! ( &
) podem ser obtidos diretamente do ! ' ! ' pode ser obtido a partir do gráfigráfico de ' ! . De fato. O gráfico de 5
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
42
co de transladando-o ao longo do eixo dos ' em unidades para a esquerda se , ou transladando-o ao longo do eixo dos ' em unidades para a direita se . O gráfico de ' !$ , pode ser obtido do gráfico de transladando-o ao longo do ' ! eixo dos em unidades para cima se ou unidades para baixo se . O gráfico de '5! pode ser obtido "esticando-se"o gráfico de verticalmente '5! , pode ser obtido "comprimindo-se"o gráfico de ' !, pelo fator . O gráfico de ' ! horizontalmente pelo fator . ' ! , pode ser obtido "comprimindo-se"o gráfico de vertiO gráfico de ' ! ' !, calmente pelo fator . O gráfico de '5! pode ser obtido "esticando-se"o gráfico de horizontalmente pelo fator . O gráfico de ' ! '5! pode ser obtido pela reflexão do gráfico de em torno do eixo dos ' . O gráfico de ' ! '5! pode ser obtido pela reflexão do gráfico de em torno do eixo dos . Em cada caso é conveniente especificar os domínios e imagens.
Exemplo 2.4.
[1] Na esquerda, os gráficos de !$ ! ' ' (verde).
'5!
' (azul), de
' (azul), de
' ! [2] Na direita, os gráficos de ' !$ ' ! (verde):
'
' !
!
'
' (vermelho) e
! (vermelho) e
y 1.4
5
1.2 4
1.0 3
0.8 0.6
2
0.4 1
0.2 -2
-1
1
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Figura 2.11: Gráficos dos exemplos [1] e [2], respectivamente. [3] Os gráficos de ' (verde):
' !
' (azul), de
'
! ' ! (vermelho) e
y 6
4
2
-2
-1
1
2
x
-2
-4
Figura 2.12: Gráficos do exemplo [3].
' !$
2.3. FUNÇÃO MODULAR OU VALOR ABSOLUTO
43
A seguir daremos vários exemplos de funções, com seus respectivos domínios, imagens e gráficos. A idéia é formar um "catálogo"das funções mais usadas, as quais serão utilizadas nos exemplos e exercícios.
Exemplos de Funções 2.3 Função Modular ou Valor Absoluto Esta função é definida por:
' !
'
Note que ! & e ! 2 ! , pois o valor absoluto de um número real é sempre não negativo. O gráfico é constituido de duas semi-retas de coeficientes angulares e , respectivamente, que se intersectam em 4 ! 0
y 2
1
-3
-2
-1
0
1
2
Figura 2.13: Gráfico de '5!
3
x
' .
Observe que os gráficos de ' ! e de ' ! podem ser obtidos do gráfico de ' ! . De fato, '5! '5! é obtido refletindo através do eixo dos ' , no primeiro e segundo quadrantes a porção do gráfico de que esteja no terceiro e quarto quadrantes. Como exercício, diga como pode ser obtido o gráfico de ' ! .
Exemplo 2.5. Esboce os gráficos de:
[1] ' !$ '
.
[2] ' ! ' .
; então, o gráfico de é obtido a partir do gráfico Seja '5! ' ; logo, ' ! ' ! da função transladando-o ao longo do eixo dos ' em unidade para a direita e unidades para cima. O gráfico é constituido de dois segmentos de retas de coeficientes angulares e , passando por (1,2) e (0,3), respectivamente.
Por outro lado ' !
'(! .
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
44 5
0.2
4
-2
3
0.15
2
0.1
1
0.05
-1
1
2
3
4
-1
-0.5
0.5
1
Figura 2.14: Gráficos de e , respectivamente.
2.4 Funções Polinomiais 2.4.1 Função Polinomial do Primeiro Grau ou Afim Esta função é definida por:
'5! e !
'
onde . Note que ! . Usando a definição de distância entre pontos do plano não é difícil provar que dados três pontos no gráfico de , estes são colineares; o gráfico de é a reta de coeficiente angular passando por #! . E, reciprocamente, dados dois pontos que determinem uma reta não vertical existe uma função afim cujo gráfico é a reta. (Verifique!). Note que:
!
) , . Logo, ! & , ! !
. Logo, ! , para todo
para todo
! !
, ! ! ; em geral, ! !0 0 ! "0 0 formam uma progressão
aritmética de razão . A propriedade que caracteriza as funcões polinomiais de primeiro grau ! ' ! é que ' depende apenas de , isto é a acréscimos iguais dados a ' correspondem acréscimos iguais para . É esta característica que deve ser utilizada nas aplicações. Quando , a função é chamada constante e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo dos ' que passa pelo ponto "! .
Exemplo 2.6. Usando as observações 2.1, temos:
(negro), e [1] À esquerda, os gráficos de '5! ' (vermelho), respectivamente.
[2] À direita, os gráficos de ' ! (vermelho), respectivamente:
'
' !
(negro), e '
'
'
(azul) e
(azul) e
' ! '
'5!
'
2.4. FUNÇÕES POLINOMIAIS
-2
45
3
3
2
2
1
1
-1
1
2
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
2
Figura 2.15: Quando , obtemos um tipo importante de função, chamada função linear. Portanto, a função linear é definida por:
' !
'
e é modelo matemático para resolver problemas que envolvem proporcionalidade. Seu gráfico é uma reta de coeficiente angular passando pela origem.
Proposição 2.1. Seja
!
3. Quando
.
uma função linear:
' !. , temos que: ' ' ! ' ! ! ! , ! ; em geral, ' !
1. Para todo ' ( ' 2. Como
, temos:
'5!
'
' ! para todo '
e
que é chamada função identidade. Seu gráfico é uma reta de coeficiente angular .
Exemplo 2.7. [1] Suponha que os seguintes dados foram coletados num experimento. Se a teoria subjacente à experiência indica que os dados tem uma correlação afim, ache tal função afim.
Seja
' !
0
+'
'
0
0 0
0
0
0 0
0 0
. Pelas propriedades das funções afins:
0 1!+ 0 0 ! 0 e ; logo, '5!
0 0 Resolvendo o sistema, obtemos:
0 ' .
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
46
y 20
10
-10
-5
5
10
x
-10
-20
Figura 2.16: A reta
' .
Note como o gráfico de uma função afim é uma reta, podemos tomar qualquer par de pontos e obtemos a mesma função; por exemplo:
0 0
0 1!$ 0 0 1!+ 0
0
[2] Sabemos que a pressão da água do mar é função da profundidade. Denotemos por a pressão e a profundidade relativa ao nível do mar. Experimentalmente verifica-se que a pressão da água ao nível do mar é de , ( atmosfera) e que acréscimos iguais na profundidade correspondem a acréscimos iguais na pressão. Logo, ao passar de um ponto do ( metro) de profundidade, haverá um aumento da pressão mar para outro situado a . Passando do nível do mar a uma profundidade de de aproximadamente , a pressão 0 . A pressão da água, em atmosferas, é dada pela função polinomial do aumentará primeiro grau:
&
! 0
0
y 10
8
6
4
2
20
40
60
80
Figura 2.17: Gráfico de
A pressão da água a uma profundidade de , é pressão da água é de , a profundidade é 0
100
x
!.
, ! 0
,
; logo,
.
. Se a
[3] Sabe-se que , ( =gramas) de soja contem de proteínas e , de lentilhas contem de proteínas. Um adulto médio num, clima moderado, necessita de de proteínas diárias em sua alimentação. Uma pessoa deseja prover estas de proteínas somente com
2.4. FUNÇÕES POLINOMIAIS
47
soja e/ou lentilhas. Se ' é a quantidade de soja e a quantidade de lentilhas diárias (' e medidas em unidades de , ), qual é a relação entre ' e ?
A quantidade de proteína na soja é ' e a quantidade de proteína nas lentilhas é por dia (ambas medida em gramas). O total de proteínas diário é ; logo, temos a equação de primeiro grau:
'
' !
'
0
y 2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
Figura 2.18: Gráfico de '
2.0
x
.
' . Os pontos do gráfico são as possíveis combinações de soja e lentilhas para fornecer
gramas de proteínas diárias.
[4] (Lei de Hooke): Se um peso de ' unidades for pendurado em uma mola esta se alonga em um valor que é diretamente proporcional a ' , isto é,
' !
A constante de ).
' 0
depende da rigidez da mola (quanto mais rígida for a mola, menor será o valor
2.4.2 Função Polinomial de Segundo Grau ou Quadrática Esta função é definida por:
onde
. Claramente
' ! $' ! .
'
Para todo , ' ! '5! é uma função afim em ' . A ! e o gráfico de dependem essencialmente do discriminante da equação do grau $' ' e do coeficiente do termo principal. Não é difícil verificar que o gráfico da função ' ! +' é uma parábola de foco * ! e diretriz * . Fazendo uma translação adequada dos eixos coordenados ' é uma parábola cujo eixo de simetria é verifica-se que o gráfico da função ' ! +' paralelo ao eixo dos , tem foco "* / ! * ! e diretriz ! * . ' é o ponto onde a parábola intersecta seu eixo e é dado O vértice da parábola +'
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
48
por "* ( * ! . Se , então é o ponto da parábola de menor altura, pois o ponto mais próximo da diretriz é o vértice. Se 7& , então é o ponto da parábola de maior '5! ' ! , então altura. Não é difícil ver que se é a abscissa do vértice da parábola , onde ' ! para todo ') . Usando completamento dos quadrados: ' ! ' ! !.
Gráficos da Função Quadrática
Figura 2.19: Gráficos para ,
,
ou
, respectivamente .
Figura 2.20: Gráficos para ,
,
ou
, respectivamente .
Exemplo 2.8.
[1] A área de uma esfera é função quadrática de seu raio. De fato, 1!
.
[2] (Lei do fluxo laminar de Poiseuille): Fluxo sanguíneo através de um vaso, como artérias ou veias. É uma função quadrática em : + !
0
! 0
e , logo: * 0 0
Para o sangue humano numa veia: + !
0 ,
,
,
[3] A trajetória de um corpo lançado obliquamente, desprezando a resitência do ar, é dada por uma função polinomial do segundo grau. A partir de seu deslocamento horizontal (ao longo do eixo dos ' ), obtemos sua altura . Por exemplo, um objeto é lançado no ar. Se sua altura,
2.4. FUNÇÕES POLINOMIAIS
49
4 ! em metros, segundos após o lançamento é dada por máxima atingida pelo objeto e em que instante ele a atinge?
, qual é a altura
Determinemos o vértice da parábola , 1, , e Logo, a altura máxima é de , atingida segundo após o lançamento.
;
!.
10
8
6
4
2
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 2.21: A parábola do exemplo [3].
' !
[4] Pelas observações 2.1, os gráficos de
e
' ! ' (verde), são:
' (azul),
'
'
(vermelha)
4
3
2
1
-2
-1
0
1
2
Figura 2.22: As parábolas do exemplo [4].
2.4.3 Função Polinomial de Grau n A função polinomial de grau n é definida por:
' !
'
'
000000
Onde 0 0 0 0 0 0 0 4 ; ; ! , mas a ! e o gráfico de dependem es sencialmente do grau do polinômio e de . Esta função é, claramente, a generalização natural das funções anteriores. Como exemplo, vejamos as funções: ' ! &' ' e '5! ' ; !$ e !$ 2 ! . Seus respectivos gráficos são:
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
50 0.5
-1
1
1
-0.5
Figura 2.23: Gráficos de
-1
1
e , respectivamente.
2.4.4 Funções Pares e Ímpares Definição 2.4. 1. Uma função
é dita par se, para todo ')
! então ')
'5! ' ! ! então ') 2. Uma função é dita ímpar se, para todo ') '5! ' !
! e
! e
Pelas definições de função par e de função ímpar é fácil ver que o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Exemplo 2.9.
[1] Seja
'
.
! %/ . , a primeira parte das definições é verificada e:
logo,
' ! ' !
5 ' !
'
'
' !
é função par.
[2] Seja como
logo,
' ! '
' ! !
'
7' . a primeira parte das definições é verificada e:
é função ímpar.
' !
'5! ' !
' !
'
'5!
2.4. FUNÇÕES POLINOMIAIS
51 0.2
5
4
0.1
3
-1.0
-0.5
0.5
1.0
2
-0.1 1
-1
-0.2
1
Figura 2.24: Gráficos dos exemplos [1] e [2], respectivamente. [3] Seja
' !
' ,
.
tal que
A função é par se é par e é ímpar se é ímpar. Para ' ! , tem-se: ' ' ' ' ' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , isto é, quanto maior o valor de , menor o valor da função. Consequentemente, o gráfico de ' , está abaixo do gráfico de ' , que também está abaixo do gráfico de ' , e assim sucessivamente. Para valores de ' próximos de zero, as potências menores dominam e quanto maior o expoente , os gráficos ficam cada vez mais “planos” (quase paralelos ! , tem-se: ' ' ' ' ' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , ou seja para ao eixo dos ' ). Para ' valores grandes de ' , as potências de maior grau dominam as de menor grau.
1
1
-1
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
' !
Figura 2.25: Gráficos de
1
'
-1
para -
e -
, respectivamente.
Algumas vezes, para esboçar o gráfico de uma função é conveniente verificar se a função é par ou ímpar, pois a simetria presente nos gráficos destas funções facilitará o desenho. Note que existem muitas funções que não são pares e nem ímpares.
' ; como ! e ' ! Por exemplo, seja ' ! ' '5! ' ! ; então, não é função par nem ímpar.
' ' ; logo, ' !
' ! e
! tal que os Achar os ' tais que ' ! é equivalente a determinar os elementos do pontos do gráfico de , estão acima da reta - . Achar os ' tais que ' ! é equivalente ! tal que os pontos do gráfico de , estão abaixo da reta a determinar os elementos do .
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
52 Exemplo 2.10.
[1] Se '5! ' , então, ' ! é equivalente a determinar os elementos do . os pontos do gráfico de , estão acima da reta
[2] ' ! ' ' ! ; então, ' ! é equivalente a determinar os elementos do que os pontos do gráfico de , estão abaixo da reta .
! tal que
! tal
1
-1
1
Figura 2.26: Gráficos dos exemplos [1] e [2], respectivamente.
Podemos afirmar que o gráfico de uma função é, em geral, uma curva no plano coordenado; a recíproca nem sempre é verdadeira, isto é, nem toda curva no plano coordenado (ou conjunto do plano) é o gráfico de alguma função. Geometricamente uma curva no plano coordenado é o gráfico de uma função se toda reta paralela ao eixo dos intersecta a curva no máximo num ponto (por que?). Por exemplo, a seguinte curva não representa uma função:
Figura 2.27:
[3] O conjunto % ' ! +* ' . não é o gráfico de uma função. De fato, temos 7' ; logo, para todo '- ! existe mais de um tal que ' ! .
2.5. INTERSEÇÃO DE GRÁFICOS
53 1
-1
1
-1
Figura 2.28: O conjunto .
2.5 Interseção de Gráficos
Sejam '5! e ' ! tais que seus gráficos se intersectam no ponto ; então, as coordenadas de são: & '( ' ! ! ' ( ' #! ! , logo ' ! ' ! ; equivalentemente, ' é solução do sistema:
' !
' ! 0
Exemplo 2.11.
[1] Achar os pontos de interseção dos gráficos de '5!
' e '5! ' . Resolvemos o sistema:
'
' donde ' '
' '
! , logo ' ' ! e ' ou ' . Os pontos são 4 ! e 4 ! . 1
-1
1
Figura 2.29:
[2] Achar os pontos de interseção dos gráficos de ' ! o sistema:
' 7 ' ' '
donde ' 4 ! .
' ' e ' ! '
' . Resolvemos
!$ e ' ou ' . Os pontos são 4 ! e ' ' 7' , logo ' ' ' '
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
54
0.4
-1
1
Figura 2.30:
2.6 Álgebra de Funções A seguir, veremos como construir novas funções a partir de outras já conhecidas.
' ! e
Definição 2.5. Sejam
' ! funções.
1. Adição e subtração de funções:
!# '
!$
' !
!# '
!$
' ! '5!
'5!
2. Multiplicação de funções:
3. Divisão de funções:
'5! se '5!
' !
'5!
!# ' ! ' ! 0 Antes de apresentar exemplos destas Em particular, se 7 , temos que definições, determinemos os respectivos domínios.
!
!
!
!
! ! %(')
!
! * '5!+ .10
Geometricamente o gráfico da soma, diferença, produto ou quociente de e tem, em cada ponto uma ordenada que é respectivamente, a soma, diferença, produto ou quociente das ordenadas de e nos pontos correspondentes. A aplicação destas definições é, em geral, muito simples, como observaremos nos exemplos.
2.6. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES
55
Exemplo 2.12. [1] A adição e a subtração de funções afins são funções afins. De fato, se ; então: '5!$ '
Por exemplo, se ' !
'
!# '5!$
, ' !$
'
! ' ; então,
!0
' !
'
e
' e !# ' ! ' .
!# ' !
5
-2
-1
1
2
-5
-10
Figura 2.31: Gráficos de , ,
e
.
[2] A adição e a subtração de funções polinomiais quadráticas são, em geral, funções polinomi ' ' ais quadráticas. De fato, se ' ! & ' e ' ! & ' tais que & ; então:
!# '5!$
Por exemplo, se ' ! ' . !# '5!$ ' '
'
! '
0 ' #! ' ! ' ' ' ; então, e
, '5!
! '
10 8 6 4 2
-4
-2
2
4
-2 -4
Figura 2.32: Gráficos de , ,
' [3] Sejam ' ! e !# '5!$ ' !
e '5! ' . Logo, #! ' !+ ' ! ; os domínios são: ! ( 3 72 !
e
' !
.
'5!$
! 0
'
' ! ,
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
56
'5! ' !
'5!
'
; o domínio é
'
( ! 72 ! 0
2.6.1 Funções Racionais Sejam ' ! e ' ! polinômios de coeficientes reais. Podemos definir a seguinte função, chamada racional:
' !
' ! ' !
Da definição, temos que ! %(' * '5! . ; em outras palavras, o domínio de uma função racional é o conjunto dos números reais menos as raízes do polinômio que aparece no denominador. Note que as funções polinomiais são um caso particular das funções para todo '- . racionais; basta considerar ' !
Exemplo 2.13.
[1] A função '5!
'
,
é modelo matemático de problemas que envolvem quantidades
inversamente proporcionais. Por exemplo, a lei de Boyle.
' , ' 7' . ' ' ,' ' ' !# ' ' 1! ' Fatorando '5! &' , tem-se: ' ! se ' logo, ! % . . '
[2] Seja ' !$
[3] Seja ' !$
.
, ' ' ' !# ' ! , tem-se: ' ! Fatorando ' ! ' ,' ' ' ; logo, ! % . . '
;
se '7
, '7
ou
' [4] Seja ' $ ! . ' ,' , tem-se: Fatorando '5! ' ,' ' !# ' ! ' ! não possui raízes reais; logo
2.7
! .
Composta de Funções
Definição 2.6. Sejam e funções tais que denotada por e definida por:
!
! '5! '5! !
Observe que a definição faz sentido pois '5!
! &%(')
! . A composta das funções
e
é
! . Por outro lado:
'5!
!*
! .10
Esta definição produz, a partir de funções conhecidas, novas funções, como veremos mais adiante. A definição de composta de funções é de fácil manejo, como veremos nos exemplos.
2.7. COMPOSTA DE FUNÇÕES
57
Exemplo 2.14. [1] A composta de funções afins é uma função afim.
De fato, sejam '5! ' e ' ! ; então, ' !# ' ! ' . Por exemplo, e se ' ! !# ' ! ' e !# 5' !$ ' .
-6
!# '5!+ '-
! '
, então, e '5! '
4 -6
Figura 2.33: Gráficos de , ,
'
[2] Sejam '5! respectivamente.
!$ 2
! e
e '5! ' ; calcule
e
.
,
!# ' ! ' ! ! ' ! ! ( 3 72 ! 0
! .
4
e
. Logo,
'
( 3 2 ! ; logo, não podemos calcular a menos que ! . De fato: ! !# ' ! consideremos um domínio menor para de modo que ! ' . Temos: '5! !$ ' ! ' '
!
e
!
!# '5! ' ! !
!# '5!$
' !
' !!!
'
!
'
(
! !
'
!# '5! ' ! ! ! ! ' . !
3 72
!
(
!$
3 ! '
.
. Logo,
!0
! 0
(
3 2
Dos exemplos anteriores podemos concluir que, em geral:
!0 '
2
!# '5!
!# ' !
!0
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
58
[3] Suponha que uma mancha de poluente que contamina uma lagoa tem a forma de um disco ) e sua área (em ) é função do raio. Se o raio cresce em função do tempo de raio (em (em ) pela lei 4! 0 1! , determine a área da mancha em função do tempo.
; devemos calcular ! , por outro lado ! !# 4! 4! ! ; logo, 0 ! 0 1! 0 1! [4] A função ' ! pode ser escrita como a composta de duas outras funções. ' ' '5! ' De fato, ' !$ !# '5! , onde '5! ' e .
A área é
! 4 ! !
'
2
1
-2
-1
Figura 2.34: Gráficos de
1
2
(azul), (vermelho) e .
[5] Esboce o gráfico de ' . A função ' ! ' pode ser escrita como a composta das funções ' ! ' e ' ! ' ; logo, . Pelas observações 2.1, o gráfico de '5! '5! é
1
-1
1
-1
Figura 2.35: Gráfico de '5! [6] Determine i) ii)
i) Se
' !
7'
' !$ ' e '5!
' ! , se:
e
'
+
, - "0 0 0 0 0 . , - "0 0 0 0 0 .
$
, então:
'5! .
2.8. INVERSA DE UMA FUNÇÃO
'5!
'5! '5!
59
!# ' !$ !# ' !$ !# ' !$
'5! !
7'
7'
' 0
'
' ! $ '
!
!$ '
7'
'
' '
Observando as expressões anteriores podemos afirmar que:
ii) Se
' !$
! ' ! ' 0 !
' ! ' , então:
/ ' ! !# '5!$ '/!$ ' ' ! / '5! !$ ' ! ' ' ! '5! !$ '(! ' ' ! '5! !$ ' ! ' 0
, - Note que: , expressões anteriores podemos afirmar que:
'5! '
e
. Observando as
0
2.8 Inversa de uma Função Observe as seguintes tabelas:
!
!
A primeira tabela foi obtida num estudo sobre a população de baleias corcundas num certo setor costeiro utilizado como ponto de reprodução pela espécie. O tamanho da população de baleias é medido anualmente, durante anos. O número de baleias é função do ano em que é realizada a medição: ! . Suponha que, em certo instante, os biológos mudam o ponto de vista e ficam interessados no tempo estimado para que a população de baleias atinja um certo número de indivíduos , ou seja, desejam obter em função de : ! . Tal função é chamada de inversa de ! . Veja a segunda tabela.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
60 50
6
40
5 4
30
3
20 2
10
1
1
2
3
4
5
6
10
Definição 2.7. A função é dita função inversa de
!$
! e
2. Para todo ') é dita invertível.
!
!
!# '
30
40
! e ! , respectivamente.
Figura 2.36: Gráfico da
1.
20
se:
!.
!$ ' e para todo '-
!# '5!
!
' . Em tal caso
Exemplo 2.15.
De fato,
') e ' ! ' '- são inversas. !+ ! ! 2 3, ! 2 ( 3 e:
' ,
[1] '5!
!# '
' ! !+ '
!$
!
! '
!# ' ! ' ! !+
' ! ' 0
' , '- e ' ! ' , '- são inversas.
[2] '5! De fato,
!
2
!,
!
!
'5! !$ ' !
!# ' !+
'
2
! e,
!# ' ! ' ! !
' !$ ' 0
Seja uma função invertível. Denotemos por sua inversa. Dizer que é a função inversa de é equivalente dizer que e são a função identidade. Em outras palavras, é ! , temos; se bijetora, ou seja, a função é invertível se, e somente se para todo ' # ' é invertível e ' ' , então ' ! ' ! . Se é invertível então ! . Note que ' ! '5! ! . O gráfico de é simétrico ao gráfico de em relação à reta ' .
2.8. INVERSA DE UMA FUNÇÃO
61
Figura 2.37: Gráficos de
2.8.1 Método para Determinar a Inversa
e
.
Escreva a equação '5! que define a função . Resolva a equação ' ! , para ' em ! e, a seguir, permute ' por . A equação obtida define função de para obter ' .
Note que, a rigor, a função toma valores nos ! . É possível determinar geometricamente se uma função possui ou não função inversa. Para isto, desenhe qualquer reta paralela ao eixo dos ' ; se a reta intersecta o gráfico da função no máximo num ponto, então a função possui inversa.
Figura 2.38: Função sem inversa. Exemplo 2.16. [1] Funcionamento de um termômetro: O volume de uma quantidade de mercúrio é função da sua temperartura. Usando a função inversa, determinamos a temperatura através de seu volume. [2] A inversa de uma função afim não constante é afim. De fato, se
!$
#! . Permutando ' por ,
'5!
' "! .
'5!+
'
; então,
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
62
Figura 2.39: Uma função afim e sua inversa.
[3] Seja ' ! ' , & . Sabemos que se é par a função é par e se ímpar. Logo possui inversa para '- se é par:
é ímpar a função é
1
-1
1
-1
Figura 2.40: Desenho para
possui inversa paraa todo '7 se ' !$ ' . tando ' por ,
ímpar.
é ímpar. A inversa para ambas é
!+
. Permu-
1
1
Figura 2.41: Desenho para
[4] Seja '5! ' , temos,
$' ' , ; fazendo: '
par.
$' ' e resolvendo a equação em relação a
2.8. INVERSA DE UMA FUNÇÃO
logo
se '
se ou, equivalentemente, ' ' !$ '
!
63
, que é a inversa de .
[5] Uma bola de borracha está sendo inflada e seu volume é função do tempo (em 1 ! . Quanto tempo demora a bola até atingir o volume de ? sendo !
Devemos determinar a função inversa de
)
!$
. Como
e
então
1!$
e
0
[6] É comum, em diferentes Ciências da Natureza, utilizar duas escalas para medir temperaturas, Fahrenheit e Celsius.
i) Determine a função que relaciona a temperatura em graus Celsius à temperatura ' em graus Fahrenheit, sabendo que seu gráfico é uma reta. ii) Determine
.
. Por outro lado, sabemos ! ,
i) Se o gráfico é uma reta a função deve ser do tipo: '5! ' ! , pois a água se congela a graus Celsius. 7 que: ) ferve a , graus Celsius. Portanto:
logo '5!
'
ii) Seja
'-
!
! !
e
.
! ; então, '
e
'5!
'
, pois a água
. Logo, estas são as regras de
conversão entre temperaturas dadas em graus Celsius e graus Fahrenheit.
Figura 2.42: Gráfico do exemplo [6]. [7] Calcule a inversa de uma função polinomial de segundo grau.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
64
' !
' ; observando o gráfico de temos que fazer ' (ou ' ) para obter a inversa. Resolvendo ' ' ou ' ' + ! , temos 1 1
Seja
que: '
'
1 1 !
Analogamente se
'5!
. Então: se
e
!
1
1
se
0
se
0
' , ou equivalentemente:
1
1 '
se
e
' !
1
+
1 '
Funções Elementares A seguir apresentamos uma classe importante de funções que tem um papel fundamental nas aplicações que serão tratadas nos capítulos posteriores.
2.9 Função Exponencial A função exponencial está associada a fenômenos de crescimento ou decrescimento, como por exemplo, crescimento populacional e desintegração radioativa. Exemplo 2.17. Suponha que após 7 meses de observação foram obtidos os seguintes dados de uma população de formigas: M Q V
, ,, ,, 1
,
9000 9540 10112 10719 11362 12044
M é o mês, Q é a quantidade de formigas em cada mês da observação e V é a variação mensal da população. Dividindo a quantidade de formigas de um mês em relação ao mês anterior, obtemos um fator constante 0 , o que mostra que a população de formigas cresce, aproximadamente, ao mês. Temos:
, ,, ,,, então ,, ,,, então 1 ,,, então
se ' então ,,,
se ' se ' se '
0 0 0 0
1!
1!
1!
1! 0
2.9. FUNÇÃO EXPONENCIAL
65
Em geral, decorridos ' meses após a primeira observação, a população de formigas é dada por:
' !
,,, 0 1! 0
200000
150000
100000
50000
1
2
3
4
5
! , .
Se
!
, então
então '
, onde
e
. A função exponencial de base é denotada e definida
! , !
0"0"0
7
,,, 0 1! .
Figura 2.43: Gráfico de ' ! Definição 2.8. Seja tal que por:
6
' ! , ! e seu gráfico depende de ser
n vezes. Se
e
, então
%/ . , e:
. Se '
ou
,
0
Se '& * , isto é, ' é um número irracional como , , que sentido tem a expresão e ? A resposta rigorosa a esta pergunta será respondida em níveis de estudos mais elevados que o destas notas introdutórias. Por enquanto, vejamos uma idéia intuitiva:
Exemplo 2.18.
Considere ; o número irracional é aproximadamente 0 0"0(0 Por outro lado, os seguintes números são racionais: 0 , 0 , 0 , 0 , etc. Logo, pela observação anterior sabemos calcular , , , 50"0"0 e podemos obter um valor aproximado para . Observe a tabela:
' 1.7 1.73 1.732 1.73205 .. .
3.249009 3.317278 3.321880 3.321995 .. .
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
66
Proposição 2.2. Seja ' !
1.
'
, tal que
' ! ' ! . Isto é:
' !
para todo ' # ' 2.
.
' !$ '5! "! . Isto é:
!
!
para todo ' 0
Toda progreção geométrica (P.G.) é uma função exponencial quando ' . De fato, seja a ' ' "0 0 0 0 0 0 0 0 ! ' ' !, progressão aritmética de razão : ' ' ; então, ' ' ! ' ! ! ' ! ' ! ; em geral, ' ! ' ! ; logo obtemos uma progressão geométrica de razão .
Pelas propriedades anteriores, cada vez que a abscissa aumenta uma unidade a ordenada é multiplicada por e cada vez que a abscissa diminui uma unidade a ordenada é multiplicada , então, a distância da curva ao eixo dos ' cresce quando ' cresce e decresce por . Se ocorre o contrário. Um caso particular e importante de função quando ' decresce. Se exponencial é quando é a constante de Euler . Gráficos para :
y
1
-1
Figura 2.44: Gráficos para
:
x
1
(verde),
(azul) e
(vermelho).
2.10. APLICAÇÕES
67
y
1
-1
Figura 2.45:
1
(verde),
(azul) e
x
(vermelho).
2.10 Aplicações As funções exponenciais ou compostas de exponenciais tem um importante papel em Matemática Aplicada. A seguir, apresentamos algumas destas aplicações.
2.10.1
Economia: Cálculo de Juros Compostos
Se uma quantia inicial em dinheiro for investida a uma taxa de juros compostos de vezes ao ano, o montante do investimento, após anos será dado por:
,
0
Por exemplo, suponha que ,, reais são investidos a uma taxa de juros compostos de ao ano, o montante acumulado após anos, se os juros forem capitalizados semestralmente é de
logo
2.10.2
0
,,
0
reais.
Crescimento e Decrescimento Exponencial
Uma quantidade que cresce de acordo com a lei 4! um crescimento exponencial com valor inicial ! situações.
; é dita que experimenta . Este modelo se aplica em diversas
Exemplo 2.19.
[1] Projeta-se que em anos, a população de um estado será de 4! milhões de habitantes. Qual é a população atual? Qual será a população em 20 anos, se a população continuar crescendo nesta proporção? A população atual é !$
milhões e: !$
0
milhões.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
68
[2] Biólogos determinaram que em condições ideais uma colônia de bactérias cresce exponen cialmente. Se, inicialmente existem ,, bactérias e após minutos estão presentes ,, , quantas bactérias estarão presentes após uma hora?
Note que ! Logo,
,,
!$
, pois !
,,
,, ; por outro lado ,, !
,,
,,
,,
,,
e
.
bactérias.
50 30 000
40
25 000
30
20 000 15 000
20 10 000
10
-20
5000
20
40
60
10
20
30
40
50
60
Figura 2.46: Gráficos de [1] e [2], respectivamente. Uma quantidade que decresce de acordo com a lei !$ menta um decrescimento exponencial com valor inicial !
; .
é dita que experi-
[3] Em Farmacologia, sabe-se que a concentração de penicilina e outras drogas tem um decrescimento exponencial, em relação ao tempo da aplicação da droga.
O modelo utilizado é 4! , onde é uma constante que depende da droga. Outras aplicações serão vistas nos próximos parágrafos.
2.10.3
Função Logística
O modelo exponencial é interessante, pois é simples e serve como base para outros modelos mais complexos que estudam situações mais gerais. Por outro lado, crescimentos exponenciais não acontecem na natureza, pelo menos por tempo ilimitado. No entanto, durante breves intervalos de tempo populações crescem com este modelo. Observa-se que os níveis de natalidade de uma população diminui quando a população aumenta. Os motivos podem ser variados, como fatores sociais, econômicos ou suprimento limitado de alimentos e de espaço. A população eventualmente se estabilizaria num nível compatível com o que o meio ambiente pode sustentar, sem a extinção da espécie. Um ótimo modelo para o estudo deste tipo de situação é a função logística, definida por:
4 !
onde e são constantes positivas. Este modelo também é usado no estudo da propagação de epidemias, da propagação de doenças infecciosas e na propagação de boatos ou notícias.
2.11. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
69
Exemplo 2.20. [1] Uma população de moscas drosófilas num ambiente limitado é dada por:
/ 4 !
1,
onde denota o número de dias transcorridos. Qual é a população inicial? Qual é a população no dia? moscas; ! Note que inicialmente, temos ! 0 ; aproximadamente moscas.
[2] Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram após dias, num certo bairro, é dada por:
4 !
,,,
0
Quantas pessoas ficaram doentes após o primeiro dia? Quantas pessoas ficaram doentes após
dias? 0 ; aproximadamente doentes e 1!+ 0 ; Note que inicialmente, temos ! doentes. aproximadamente
400
10000 8000
300
6000 200
4000 100
2000
5
10
15
20
25
10
30
Figura 2.47: Gráficos de
e
20
30
40
50
, respectivamente.
2.11 Função Logarítmica
Como qualquer reta paralela ao eixo dos ' intersecta o gráfico da função exponencial no máximo num ponto, ela possui uma inversa denominada função logarítmica de base , que é denotada por:
'5!
'5!
e definida por:
'5!
onde é tal que . Note que ou seu gráfico depende de ser
'
!,
!$ , !+ , !+ . Gráficos para :
!
e
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
70
y
1
1
x
2
-1
(verde),
Figura 2.48: Gráficos para
:
(vermelho).
(azul) e
y
x
1
Figura 2.49:
(verde),
(vermelho).
(azul) e
Usando novamente o fato de da exponencial temos as seguintes ' ! ser a inversa ' para todo '- ! . identidades: ! ' , para todo '- e
'
Proposição 2.3. Seja 1.
2.
'
'
3. 4.
"'
!
!
' ' "!
'
!
' ! , para todo '
' "'
' ! 0 ' !
! 0
!$
:
! , e tal que '
' ! '
' ! 0
!
'( '
para todo
5. 6.
! , isto é:
' ! !
'5!
!0
0
0
Um caso particular e importante de função logarítmica é quando é a constante de Euler, o ' ! $ ' ! , chamado número . Em tal caso a notação usual é '5! logaritmo natural de ' . Veja o capítulo V.
2.11. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
71
y
x
1
$ '5! .
Figura 2.50: Gráfico de ' ! A relação entre onde
$
e
é:
!.
Exemplo 2.21.
[1] Determine o domínio da função ' !
$ $ '
!!.
$ $ '
Note que $ ! é definido se ) ; logo, para que '5! e ! !. que $ ' ! ; logo ')
! ! esteja definido é necessário
0.5
2
4
6
8
10
-0.5
-1.0
$ $ '
Figura 2.51: Gráfico de ' !
!!.
. Fazendo ) ! e ! ou, ' e aplicando logaritmo de base a ambos os lados: ! '
[2] Determine a inversa da função '5!
Equivalentemente,
' !$
' !
!
!
0
, (') ) que é a inversa da função dada.
de madeira comercializável, a qual au[3] Uma floresta possui, aproximadamente, 1,, de madeira menta na razão de 0
ao ano. Outra floresta possui, aproximadamente, ,, comercializável com a mesma razão de crescimento da primeira.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
72
(a) Quantos anos devem trascorrer para que a primeira floresta tenha a mesma quantidade de madeira da segunda? (b) Quantos ano são necessários para que ambas as florestas tripliquem a quantidade de madeira?
1,, Denotemos por 4! modelam cada floresta. Então:
0
0
(a) Devemos ter 4! ,, ; logo, 1,, logaritmo natural a ambos os lados:
$
$
(b) Devemos ter ! ,, e ! logaritmo natural a ambos os lados: :
,, 0
e 4 !
!
+ $
!
. Aplicando
e 0
. . Aplicando
0 anos 0
0 1!
1,, , então 0
$
,, , então 0
0 anos 0
0 1!
as funções exponenciais que
2.11.1 Desintegração Radioativa Considere uma amostra de material que contém uma certa quantidade de isótopo radioativo. Foi experimentalmente observado que uma fração constante desse material radioativo decairá espontaneamente (em outro elemento ou em outro isótopo do mesmo elemento) durante uma unidade de tempo. A meia-vida de um isótopo radioativo é o tempo necessário para a metade dele decair. Por exemplo, a meia-vida do Carbono-14 é de 5730 anos, a do Tório-234 é de 24.5 dias, aproximadamente. Esta é a chave do método para a determinação da idade de objetos orgânicos utilizando Carbono-14. Este isótopo é acumulado durante toda a vida e começa a decair com a morte. Como a meia-vida do Carbono-14 é de 5730 anos aproximadamente, quantidades mensuráveis de Carbono-14 estão presentes muitos anos após a morte do objeto orgânico. Por exemplo, um osso após 5700 anos possui a metade da quantidade de Carbono14 que existia quando estava vivo; após 11000 anos possui uma quarta parte da quantidade de Carbono-14 que existia quando estava vivo; após 16000 anos possui uma oitava parte de Carbono-14 que existia quando estava vivo. Para determinar a função que representa o exemplo, consideramos 5730 anos como unidade. Seja a quantidade inicial de Carbono-14; então a quantidade de Carbono-14 após unidades de tempo é calculada por:
!
Em geral, se a meia-vida de um isótopo radioativo é após unidades de tempo é determinada por:
! onde
é a quantidade inicial.
0
anos, então a quantidade de isótopo
2.11. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
73
Escrevamos a função que representa o decaimento radioativo do Carbono-14 utilizando a fun ção exponencial:
4!
. Devemos deteminar
logaritmo a ambos os lados:
$
!
tal que
e:
0 ,,
4!
. Aplicando
0
1
5000
10000
15000
Figura 2.52: Gráfico de
!.
Exemplo 2.22. [1] Se uma amostra de carvão vegetal achada contem 63 % de Carbono-14, em relação a uma amostra atual de igual massa, determine a idade da amostra achada.
0
4!
; aplicando logaritmo a ambos os lados:
$
0 !
0 ,,
0
que é igual, aproximadamente, a 3800 anos. [2] O elemento radioativo polônio-210 tem uma meia-vida de 140 dias aproximadamente. Sabendo que uma amostra pesa miligramas inicialmente, quanto restará após duas semanas?
4!
e !
; como a meia-vida do polônio-210 é de 140 dias, então,
e
$ !
1
0 miligramas.
0 , ; portanto,
!$
1 !)
; logo,
[3] A população de uma cidade é de 20000 habitantes, de acordo com um censo realizado em 1990 e 25000 habitantes de acordo de um censo realizado em 1995. Sabendo que a população tem um crescimento exponencial, pergunta-se: (a) qual era a população no ano de 1980? (b) quando a cidade atingirá uma população de 40000 habitantes?
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
74 (a)
!
,,,
1!+
; por outro lado, ,,
,,,
e
! ,,, ! , habitantes. e $ ,,, , então 0 ; aproximadamente, 15 anos. (b) Se 4! 1
; logo,
0
40 000
30 000
20 000
10 000
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
Figura 2.53: Gráfico da evolução da população. [4] Se a população de uma certa espécie de peixes num ambiente limitado é dada por:
!
,,,
onde denota o número de semanas transcorridas, quanto tempo será necessário para a população atingir ,,, peixes?
Devemos determinar para
,,, , temos
! , onde
4 ! ; logo,
0 semanas.
!
,,,
. Então,
50 000 10
8
30 000 6
4
10 000
2
0
2
4
6
8
10
12
14
Figura 2.54: Gráficos de
0
e
10 000
20 000
30 000
40 000
50 000
, respectivamente.
2.12 Funções Trigonométricas Fenômenos de natureza cíclica ou periódicos são associados às funções trigonométricas. Por exemplo, o batimento cardíaco, as ondas de rádio, o ritmo oscilatório dos braços durante uma
2.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
75
corrida, o movimento periódico dos planetas e a vibração de átomos em cristais.
Definição 2.9. Uma função ! e '5! ' ! .
é periódica de período ,
, quando para todo '
!,'
O gráfico de uma função periódica de período se repete em cada intervalo de comprimento . Veja os exercícios.
2.12.1 Função Seno e Função Co-seno As funções trigonométricas podem ser estendidas para todos os números reais de modo que sejam preservadas todas as suas propriedades básicas. Veja a seção1.7. A forma de estender é a seguinte: considere um círculo centrado na origem de raio e fixe o ponto 4 ! em tal círculo; considere como sentido positivo, o sentido anti-horário; analogamente, o sentido negativo é o sentido horário. Para cada ' assosiamos um ponto de modo que:
Se 7 ' , partimos de e percorremos o círculo no sentido positivo até obter um arco cujo comprimento seja ' . O ponto onde o arco termina é .
Se ' , partimos de e percorremos o círculo no sentido negativo até obter um arco cujo comprimento seja ' . O ponto onde o arco termina é . Assim a cada número real corresponde um ponto .
Se ' será necessario dar mais uma volta no círculo, no sentido positivo, para atingir a . Assim a cada número da forma ' ( ) extremidade do arco. Idem para ' corresponderá um ponto do círculo. Veja seção 1.7.
Definição 2.10. 1. Função Seno A ordenada de :
2. Função Co-seno A abscissa de :
'5!
$ '
' !
'5! 0
! 0
Por exemplo $ , ! indica que estamos calculando o seno de , radianos. Veja a seção ! e ! 2 3 ; seno é uma função ímpar e 1.7. Nas duas funções temos que co-seno é uma função par; ambas são periódicas de período .
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
76
y 1
x
-1
Figura 2.55: Gráfico do Seno. Observe que se
'5!
translação de
do gráfico do seno.
$ '
! , então '
'5! ; logo, o gráfico do co-seno é uma
y 1
x
-1
Figura 2.56: Gráfico do Co-seno.
2.12.2 Função Tangente e Função Secante Definição 2.11. Se
'5! , definimos:
1. Função Tangente :
'5!
'5!
'
$ ' ! '5!
' !
2. Função Secante :
Veja a seção 1.7. Nas duas funções temos que
!
' !
!
!
%('
+* '
inteiro . ,
( 3 2 ! ; tangente é uma função ímpar e secante é uma
! e função par; ambas são periódicas de períodos
e
, respectivamente. Seus gráficos são:
2.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
77 y 4
2
-4
-2
2
x
4
-2
-4
Figura 2.57: Gráfico da Tangente. y 4
2 -4
-2
2
x
4
0
-2
-4
Figura 2.58: Gráfico da Secante.
2.12.3 Função Co-tangente e Função Co-secante
Definição 2.12. Se $ ' ! , definimos:
1. Função Co-tangente :
' !
' !
' !+
' !
$ '
!
2. Função Co-secante :
' !$
$ '
!
!$ %(' +* ' inteiro . . !+ Veja seção 1.7. Nas duas funções temos que e ! ( 3 72 ! ; co-tangente e co-secante são funções ímpares; ambas são periódicas de períodos e , respectivamente.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
78
y 4
2
-6
-4
-2
0
2
4
x
6
-2
-4
Figura 2.59: Gráfico da Co-tangente.
4 3 2 1 -6
-4
-2
2
4
6
-1 -2 -3 -4
Figura 2.60: Gráfico da Co-secante.
Observe os gráficos de seno e co-secante, co-seno e secante: y
y 2
2
1
1
1
2
3
4
5
6
x 1
-1
-1
-2
-2
Figura 2.61:
Tangente e co-tangente:
2
3
4
5
6
x
2.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
79
y 2
1
0.0
1.0
1.5
2.0
2.5
x
3.0
-1
-2
Figura 2.62: Exemplo 2.23. [1] O fluxo de ar através da traquéia é uma função periódica do tempo ' e se dá em ambos os sentidos dos pulmões (inspiração e expiração). O fluxo pode ser representado pela função:
' !
$ )'
!
onde é o fluxo máximo durante a expiração e inspiração; é o período respiratório; & e é o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo. A função ' ! é, certamente, uma aproximação, pois varia de indivíduo a indivíduo. Mas, estudos experimentais mostram que é uma "boa"aproximação da realidade.
2
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-2
Figura 2.63: Gráfico para
e ,
e
.
[2] O ritmo oscilatório dos braços durante uma corrida pode ser representado por:
'5!
'
'
onde é o ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical e ' é o tempo medido em segundos. O período é segundos por ciclo, isto é, uma oscilação completa, obtida quando o braço descreve o ciclo para frente e para trás, é concluida em segundos.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
80 0.3
1
2
3
4
-0.3
$
Figura 2.64: Gráfico de '5!
! para '- 2 3 .
[3] O movimento harmônico simples descreve a posição das oscilações regulares em torno de uma posição de equilíbrio e que variam suavemente, como um pêndulo que oscila continuamente na vertical sem nehum tipo de restrição, como por exemplo, a fricção. Estas posições são muito bem descritas pelas funções:
!
onde -
e
a frequência
$
"!
4 !$
ou
. O período é o tempo
"!
necessário para uma oscilação completa e
é o número de oscilações por unidade de tempo. O movimento harmônico
amortecido descreve fenômenos de oscilação onde são impostas restrições, como por exemplo, um pêndulo que oscila com fricção. Tal tipo de movimento é descrito por:
' !
$ '
!
0
0.8
0.4
1
2
3
4
-0.4
-0.8
$ '
Figura 2.65: Gráfico para ' !
!.
[4] Se é uma função periódica de período , então a função definida por ' ! periódica de período , se . De fato:
'
'
Por exemplo, as funções '5!
$
'5! e ' !
'
!
'
!
'
'5! 0
' ! são periódicas de período
.
! é
2.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
81
Determinemos o período da função '5!
de período ; ' !$ de período .
'
' . Seja ' ! $ '5! que é periódica
' ; logo, a função é periódica '
1.0
0.5
-4
-2
2
4
-0.5
-1.0
Figura 2.66: Gráfico de (vermelho) e de
$ ' ! .
[5] Esbocemos o gráfico de '5!
! 2 3 , é uma função par e periódica de período
! , Como estudar ' ! no primeiro quadrante.
(verde).
$ '
! se '-
.
; então, basta
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-6
-4
Como
período
! e
2
4
$ '
.
! , então,
!
,
; logo, basta estudar ' ! no primeiro quadrante. ! 2
1
-10
-5
5
10
Figura 2.68: Gráfico de '5!
[7] Esboce os gráficos de: ' !
'
$ '
! e ' !+ '
6
$ ' ! .
Figura 2.67: Gráfico de '5!
[6] Esbocemos o gráfico de '5!
-2
$ '5! .
.
é uma função periódica de
,
:
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
82
se
!
!
!
!
. Utilizando a observação 2.1, temos que os respectivos gráficos são:
-10
10
4
5
2
-5
5
-6
10
-4
-2
-2
-10
-4
(vermelho) e
'
4
6
e , respectivamente.
[8] Também pela observação 2.1, temos que os gráficos das funções
'
2
-5
Figura 2.69: Gráficos de
! ! ; a função não é periódica. Por outro lado, é ímpar; !- , !
, e !+ !$ ; a função não é periódica. Por outro lado, é par, !$ , e
$ '5!
(azul),
(negro) são: 1
-6
-3
3
6
-1
Figura 2.70: Gráfico do exemplo [8]..
2.13 Funções Trigonométricas Inversas
É claro que a função ) $ ' ! não possui uma inversa, pois para cada existem infinitos ' que satisfazem a relação $ ' ! . Geometricamente, qualquer reta paralela ao eixo dos ' de equação com 2 3 , intersecta o gráfico da função infinitas vezes. Para evitar esta situação, restringimos o domínio de $ ' ! para obter uma nova função que não apresentará este problema. A rigor estas duas funções são diferentes, pois tem domínios diferentes. Isto será feito para cada função trigonométrica.
2.13. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
83
2.13.1 Função Arco seno Definamos a função :
tal que ' !
2
3
$ '5! . Esta nova função possui inversa chamada função arco seno. 2 3
$ ' ! e definida por: $ ' ! $ ! ' Para representar graficamente a função '5! $ '5! , usamos a simetria de é denotada por
' !
e
relação a
' . O gráfico é:
em
1.5
-1
1
-1.5
Figura 2.71: Gráfico de '5!
$ '5! .
O domínio usado para definir a função arco-seno, poderia ser substituido por qualquer dos
intervalos seguintes: outras funções trigonométricas.
0 0 0 , etc.; esta observação também será válida para as
Exemplo 2.24. [1] Calcule
.
Devemos resolver a equação solução desta equação é [2] Calcule
; então
.
Observe primeiramente que
* 2
, que é equivalente a calcular
3 ; então, não podemos escrever
.
0
$ !
. A
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
84
Mas
pois
e
2
3 ; então,
e
são inversas.
' , ' . [3] Verifique que $ ' ! !
; de ! ! , segue que Se $ ' ! , então $ ! ' ,
e , ! , ! 7' ; logo, ! 7 ' , pois
$ '
2.13.2 Função Arco co-seno
7' 0
!!
Como no caso anterior, definamos a função : +2 3 2 3 tal que ' ! nova função possui inversa chamada função arco co-seno. ' !
2 3 2 3 é denotada por y= '5! e definida por:
'
Para representar graficamente a função relação a ' .
! ' !
! '
'
! , usamos a simetria de
' ! ; esta
e
em
1.5
-1
Figura 2.72: Gráfico de ' !
1
'
!.
O domínio usado para definir a função arco co-seno poderia ser substituido por qualquer dos intervalos seguintes: 2 3 2 3 0 0 0 , etc.
Exemplo 2.25. [1] Calcule
!.
Devemos resolver a equação ; logo solução desta equação é [2] Calcule
.
! , que é equivalente a calcular ! .
!
. A
2.13. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
; logo,
Devemos resolver a equação
solução desta equação é
, que é equivalente a calcular !
[3] Determine o domínio da função ' !
. A
.
'
. '
' ! é definido se, e somente se 2 3 , logo para que esteja ' ' ' definido é necessário que 2 3 . Então: ; resolvendo as inequações ' ' e ') ; logo, ! . temos que '- A função
85
$ ' ! ' ! .
Como $ ! . Logo, $ ' ! $ ' '5! $ ' ! ; então, $ ' ! ' !$ 0 [4] Verifique que
! ' ; logo temos que
2.13.3 Função Arco tangente
Como antes, definamos a função : possui inversa chamada função arco tangente. 1 ' ! é denotada por
Para representar graficamente a função relação a ' .
' !
tal que ' !
' !
' ! . Esta nova função
'5! e definida por: !$ ' '5! , usamos a simetria de
e
em
y 2
1
-4
-2
2
4
x
-1
-2
Figura 2.73: Gráfico de '5!
' !.
O domínio usado para definir a função arco-tangente, poderia ser substituido por qualquer dos intervalos seguintes: , 1 50 0 0 , etc.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
86 Exemplo 2.26.
[1] Calcule
!.
Devemos resolver a equação solução desta equação é ; logo,
[2] Calcule
.
desta equação é
Sejam
Resolvamos a equação
[3] Se ' !
, que é equivalente a calcular
!
' , 7'
!+ ' 7'
! ! !
!
!
. A
!
. A solução
; logo:
' ! , verifique que : '5!
' 7'
Logo, $ !
a calcular ! , que é equivalente
! .
0 ' ! . 7'
' ! e ! ; pelas definições temos:
!+ '
! ; então,
!$
0
.
2.13.4 Funções Arco co-tangente, Arco secante e Arco co-secante Analogamente aos casos anteriores, as outras inversas são denotadas e definidas, respectivamente por: Arco co-tangente:
Note que
! e
Arco secante:
Note que
Arco co-secante:
Note que
!
' !$
' ! 0
!.
' !
'
! ( 3 72 ! e
'5!
' !$
!
' !
! ( 3 72 ! e
!
10
'5!$
.
0
'
4
.
2.13. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
87
Novamente para representar graficamente a função relação a ' .
y
, usamos a simetria de
e
em
y 3
3
2 -2
2
2
4
x
1
1
-4
0
-2
2
4
Figura 2.74: Gráficos de ' !
x
'5! e ' !
'5! , respectivamente.
y 1
-4
-2
2
x
4
-1
Figura 2.75: Gráfico de '5! Exemplo 2.27. [1] Calcule
!.
!.
Devemos resolver a equação ! desta equação é ;
[2] Calcule Como ! calcular !
'
!.
! , que é equivalente a calcular
. !+
. A solução
!
, devemos resolver a equação & , que é equivalente a
. A solução desta equação é ; logo, !$ . [3] Calcule . Como , devemos resolver a equação , que é
equivalente a calcular $ ! . A solução desta equação é ; logo: 0
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
88
2.14 Funções Hiperbólicas As funções hiperbólicas são definidas como combinações de funções exponenciais e estão relacionadas com a hipérbole, da mesma maneira que as funções trigonométricas estão relacionadas com o círculo. As funções seno e co-seno hiperbólico são denotadas e definidas respectivamente como:
Seno hiperbólico: '5!
Co-seno hiperbólico: '5!
Note que respectivos são:
!
'5!
0
' !
!
0
!
e
! ; seus gráficos
!
2
6
5
4
4
2 3
-3
-2
-1
1
2
3
2
-2 1
-4 -6
Figura 2.76: Gráficos de ' !
-2
' ! e '5!
-1
1
2
'5! , respectivamente.
Usando as definições, é fácil verificar que 1 '5! , '5! , “análoga” à identidade ' ! '5! ' !, trigonométrica e '5! . A diferença é que se fizermos temos + , que é a equação de uma hipérbole no plano , o que “justifica”, de alguma forma, o nome de hiperbólico.
As outras funções hiperbólicas são denotadas e definidas, respectivamente, como:
' !+ 0 '5!+
'5! Co-tangente hiperbólica: ' ! '5! Secante hiperbólica: '5! ' !$ Co-secante hiperbólica: '5! Tangente hiperbólica:
! Note que %/ . , ! ! gráficos são:
! , ! 3 e
0
0
0
! ! ! & ! ( ! ! ; seus respectivos
2.14. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
89
1
3 2
0.5
1 -2
-1
1
2
-3
-2
-1
1
2
3
1
2
3
-1 -0.5
-2 -3
-1
Figura 2.77:
1
3 2 1
0.5
-3
-2
-1 -1 -2
-3
-2
-1
1
2
-3
3
Figura 2.78:
As função hiperbólicas tem importantes aplicações.
Exemplo 2.28.
[1] A velocidade de uma onda marinha de comprimento profundidade de metros é descrita por:
onde é a constante gravitacional,
!
e
, onde o solo marinho está a uma
!#
. O desenho descreve a velocidade de uma
onda de , metros de comprimento; note que a velocidade aumenta quando a profundidade aumenta:
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
90 12 10 8 6 4 2
0
50
100
150
200
250
Figura 2.79: [2] No estudo das linhas de transmissão de energia elétrica, a configuração de equilíbrio de um cabo homogêneo e flexível sob a ação de seu peso e suspenso por dois pontos tem por expressão:
'
,
onde é uma constante positiva. O gráfico desta curva é chamado catenária. 3
2
1
-2
-1
Figura 2.80: Desenhos para
2.15
1
,
2
, e
.
Exercícios
1. Exprima como função de ' : (a) a área de um triângulo de base ' se sua altura é o dobro de sua base. (b) o volume de uma esfera de raio ' . (c) o volume de um cone circular reto de raio ' se sua altura é o triplo do raio da base. (d) o volume e a área de um cilindro circular reto de raio ' sendo sua altura igual a do raio da base. 2. Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
2.15. EXERCÍCIOS
'5!
(a)
'
'5!
(b)
91
'5!
'5!
(d) (e)
'5!
(f)
(h)
'
'
' ; determine
'5!
' '5! ' '5! ' ' '5!
(e) (f) (g) (h)
(p)
' !
' ! ' ! ' !
! ; calcule ! e verifique que ! .
e calcule
5. Simplifique a seguinte expressão:
(o)
4. Determine o domínio de ' !
(a) (b) (c) (d)
(n)
(m)
3. Seja ' !$
' ' ' '
'5! (i) '5! (j) '5! $ '5! (k) '5! (l) '5!
' 7'
'5!
(c)
'5!
(g)
'5! '5!
e '5!
.
' , se:
'
(i)
'5! ' ' '5!
(j)
' ! ' !
'
6. Repita o exercício anterior para um qualquer e compare os resultados obtidos. 7. Fazendo uma tabela, esboce os gráficos das seguintes funções:
! !
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
' ' ' ' ' '
(g) (h)
(i) (j)
'5!
' '
(k)
e ) ' se ' ' ! se ' . se '- e ' se ' . (n) '
(m)
7' '
7'
9. Esboce os gráficos no mesmo desenho:
' ' (l)
8. Verifique se as seguintes funções são constantes: (a)
(b)
' !
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
92
' ' '
' '
(a) (b)
10. Determine
' !
,
,
(c) (d)
e * , se:
' ' $ ! ' ' ! ' ' !$ ' '5!$ ' ' ! ' ' ! ' '5!$ '
(a)
(b)
(c)
(d)
. Calcule
11. Seja
' !
se:
' ' $ ! ' ' ! ' ' + ! '
(a)
' !
!
' ' !+ '
!
'5! ' $ 5 ' ! ' !$ '
'
'
' ! !# ' ! ' ? 12. Seja ' ! +' . Para que valores de e vale: 13. Se ' ! ' e ' ! , determine o domínio de e esboce o gráfico de . ! e determine se: ! 14. Verifique que ' ! ' ' (a) ' ! ' (d) ' ! ' '5!$ ' '5!$ ' !$ (e) ' ! ' (b) ' ! ' ' ' !$ (c) ' ! ' (f) ' ! ' !+ (b)
(c)
5 ' ! ' !
' '5! ' ! ' !+ ' ' ! ' ' ! ' !$
(f) (h)
$ '5!
' !
(e) (g)
' !
(d)
15. Escreva '5! como composta de duas outras funções: (a) (b)
'
'5!$
!
' 1 !
'5!$
16. Determine
, se
'5! '
(c)
(d)
e
17. Esboce o gráfico das seguintes funções: (a)
'
(b)
' 7' ' !
(d)
18. Ache o domínio das seguintes funções:
(c)
'
$ '5! !
' !
' !
$
, -
(e) (f)
'5! '5!
$
"0 0 0 0 0 0 .
(e)
'5!
(f)
' !
!
2.15. EXERCÍCIOS
'5!
(a)
'5!
(d)
'5!
(e)
'5!
(f)
(h)
(i)
(j)
(k)
$ '
!
(l)
19. Determine a inversa das seguintes funções:
'5!
(a) (b)
'5! '5!
'
'- '5! ' ' ') '5!
(c) (d) (e)
'5!
' ,'
(g)
'5!
(h)
7' e ' !+
20. Sejam ' !$ mente.
(f)
'5!
(b) Se (c)
e são funções ímpares então
e são funções ímpares então
'5!
'5!
' ! ' !
' !
' !
' !
! (a) ' ! (b) '
24.
' !
' '
(i)
(k)
!# '
' !
' !
' !
(l)
' !
(j)
! $ ' ! $ '5!
'-
e
!!
'-
'
!
são funções pares.
são funções ímpares.
' ! ! ' ! !
e '5!
' ! ! ! '5!
,
. Verifique que:
'5!
'5!
(a) Se ' !
(b) Se ' !
(c)
' !
' ! , verifique que: ! #!$ . , verifique que: ' ! ' ! ' (d)
.
(c) Analise o caso
23. Esboce o gráfico das seguintes funções exponenciais:
(b)
'
é função par e ' ! ' ! é função ímpar para toda função . Então toda função pode ser escrita como soma de uma função par e de uma função ímpar.
22. Sejam ' !
(a)
. Verifique que: e são as inversas de e respectiva-
21. Verifique: (a) Se
' !
(g)
$ '5!
'5!
(c)
'5!
(b)
93
25. Esboce o gráfico das seguintes funções logarítmicas:
!.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
94 (a)
(b)
$
' ! ') $ ' !
(d)
' $ '5!
' ! ! ' ! ! , calcule: 27. Se ' ! e . (a) ! , se
! , ! , se , . '5! , '5! 28. Verifique que ' ! (b) !
' !$
funções ímpares e
'5! ,
(f)
26. Verifique que:
!
' ! se, e somente se, ! ' . (b) ' ! se, e somente se, ! ' . (c) '5! se, e somente se, ! ' . (d) ' ! se, e somente se, !$ ' . ' ! se, e somente se, ! ' . (e) ' ! se, e somente se, !$ ' . (f)
Verifique que: (a) (b)
(c)
' '5!$ ' ' !$
, ') ' , ') , ' , ' ') 3 '
(d) '5!+ ' !+ (e) , (f) '5!+
' !+
, '
(g) Esboce o gráfico de cada uma destas funções.
30. Se ' !
, determine
$ '
! e calcule:
!
' !.
' !, ' ! ' ! e '5! ' ! são funções pares. ' !
29. As inversas das funções hiperbólicas são definidas por: (a)
(e) $ '5!
(c)
' ! são
2.15. EXERCÍCIOS
95
!# ' ! (b) !# ' ! /!
! (d) !
(a)
(c)
Determine em cada caso as condições para as compostas.
'
31. Quando uma função polinomial do primeiro grau verifica: Esta propriedade vale ou não para: (a) (b)
'5!
'
'5!
(c) (d)
'
32. Verifique: (a) (b)
' !
!
'5!
'
'5!
' !
(e)
'
(c)
(d)
!
'
34. Esboce os gráficos de: (a) (b)
'5!
2 2 ' 3 3 2 2 ' 3 3 33 2 2'
'5!
(c) (d)
' !
'
!
'
33. Defina a funcão: ' ! 2 2 ' 3 3 , onde 2 2 ' 3 3 denota o maior número inteiro e '5! , se ' 2 ! . Calcule Por exemplo 2 2 3 3 , 22 33 esboce o gráfico de .
' ! ' !
' !+
'5! ' !
tal que !,
' . ! e
2 2 ' 3 3 ' ! '2 2 ' 3 3
35. Escreva de forma mais simples as seguintes funções:
! '5! ! ' !
$ '5! ! '- ' ! '5!
"! ' !
' !
36. Determine os vértices das seguintes parábolas: (a) (b)
' ' ' '
' ' (d) '7' (c)
37. Determine a função afim tal que !$ , !$ e ! .
38. Verifique que $
'5! !
!
e
' , ' .
!
e a função quadrática tal que
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
96
39. Verifique que
' !
7
'
40. Determine o domínio da função '5!
!.
41. Seja ' ! 42. Se
"! e
"!
43. Verifique que a função '5!
$
! ! . Determine
'
! . '
! e calcule 1 ! .
, determine .
'2 2 ' 3 3 é periódica de período .
44. Verifique que se é uma função periódica de periódo , então também é periódica de período , .
45. A função :
' !
se '- se ' *
é periódica para algum período? 46. Prove que a função afim tem como gráfico uma reta não vertical. 47. Prove que a função polinomial de segundo grau tem como gráfico uma parábola com eixo paralelo ao eixo dos . 48. Prove que se
(a) '
é uma função periódica de periódo , então:
! é periódica de periódo , para todo .
(b) $'5! é periódica de periódo , para todo %/ . . 49. Para pequenas variações de temperatura, o modelo para a dilatação de uma barra de ! , onde metal homogênea submetida à mudanças de temperatura é é o comprimento da barra quando a temperatura é , é o comprimento inicial da barra na temperatura e é uma constante que depende do tipo de metal.
(a) Verifique se
é função linear de .
(b) Supondo que a barra, inicialmente mede , a uma temperatura de e que , esboce o gráfico que expresse o comprimento da para o metal com que foi feita barra em função da temperatura.
2.15. EXERCÍCIOS
97
50. O custo em 0 0 (unidades monetárias) para remover ' num aterro é dado por:
dos detritos tóxicos despejados
para '
' !$
0 ' , 7'
, .
,
(a) Determine o custo referente à remoção de 1 gráfico de ' ! .
e
dos detritos. Esboce o
(b) Que porcentual de detritos pode ser removido por 0 ,, 0
51. Para calcular a dosagem de medicamentos que pode ser prescrita para crianças de anos é utilizada a função
4!
onde
a
é a dose para adultos em e é a idade em anos. Determine a dose que pode ser indicada para uma criança de anos se a dose adulta é de 1, .
52. Num sítio arqueológico foram encontrados ossos que contem de . Faça uma estimativa da idade dos ossos.
da quantidade original
[54] A meia-vida do fósforo-32 é de 14.2 dias. Sabendo que , desta substância estão presentes no início, obtenha uma fórmula para a quantidade presente após anos. Que quantidade de fósforo-32 restará após dias? 53. Em ciências naturais, meia-vida é o tempo necessário para que uma quantidade atinja a metade de seu valor inicial. O processo de eliminação de uma substância pelo organismo dos mamíferos é análogo ao de decaimento radioativo; logo, utiliza-se o modelo de decrescimento exponencial. Se de uma droga aplicada num paciente é eliminada após horas, qual é a meia-vida da droga? 54. Sabendo que a população de um certo país foi estimada em 23 milhões em 1990 e de 27 milhões em 1995, e supondo que a população tem um crescimento exponencial, determine quando a população atingirá 46 milhões.
55. Suponha que ,,, 0 0 são investidos a uma taxa de juros compostos de ao ano. Determine o montante acumulado após anos se os juros forem capitalizados mensalmente, semestralmente e mensalmente.
56. Numa epidemia de gripe, o número de pessoas num bairro que pegaram gripe após dias é dado por :
4 !
,,,
0
(a) Quantas pessoas foram infectadas após dia; após dias? (b) Em quantos dias ,,, pessoas ficaram com gripe?
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
98
57. Utilizando exemplos determine o comportamento do gráfico da função logística se vari amos , e . 58. A magnitude de um terremoto na escala Richter é dada por
onde
!
é a energia liberada pelo terremoto em Jules e
Note que
.
0 , onde 0 é para o maior terremoto registrado.
(a) O terremoto de São Francisco nos EEUU em 1906 liberou aproximadamente
0
. Qual foi sua magnitude?
(b) Se o terremoto de Koebe no Japão teve uma magnitude de 0 , quanta energia liberou?
Capítulo 3
LIMITE E CONTINUIDADE 3.1
Limites
O desenvolvimento teórico de grande parte do Cálculo foi feito utilizando a noção de limite. Por exemplo, as definições de derivada e de integral definida, independente de seu significado geométrico ou físico, são estabelecidas usando limites. Inicialmente desenvolveremos a idéia intuitiva de limite, estudando o comportamento de uma ' ! nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu função domínio. Por exemplo, seja
' !
' 7 ' '
'
'
!
!# '
0
! % . . Estudaremos a função nos valores de ' que ficam próximos de É claro que , mas sem atingir . Para todo ' ! temos que ' ! ' . Vamos construir uma ) e pela direita (' ) e os tabela de valores de ' aproximando-se de , pela esquerda (' correspondentes valores de '5! :
'
0 0 0 0 0 0 0 0 0
' !
')
0 0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0 ,
0 ,,
'5!
0 ,,, 0 ,,,,
0 ,,,,,
0 0 0 0 0 , 0 ,, 0 ,,, 0 ,,,,
Observando as tabelas, podemos verificar que: “à medida que ' vai se aproximando de , os valores de '5! vão aproximando-se de ”. A noção de proximidade pode ficar mais precisa utilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer '
é ' . aproxima-se de zero, então Assim a frase escrita entre aspas, pode ser expressa por: se ' 99
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
100
também se aproxima de zero; em outras palavras: para que '5! seja pequeno é também seja pequeno. O número é chamado limite de '5! quando ' necessário que ' ' ; logo, a distância de ' ! a é igual está próximo de . No exemplo, temos '5! , aproxima-se a duas vezes a distância de ' a . É claro que quando ' aproxima-se de , ' de zero e consequentemente ' !$ também aproxima-se de zero. Mais ainda, poderemos tornar ' ! tão perto de quanto desejarmos, bastando para tal considerar ' suficientemente próximo de . Por exemplo, se desejarmos que ' ! seja igual a , basta considerar '7 + ; agora, se desejarmos que ' ! 4 , basta considerar '7 4 . ' !
De um modo geral, considerando qualquer número real positivo (letra grega epsilon), tão , teremos que pequeno quanto se deseje e definindo o número real (letra grega delta),
a distância de '5! a é menor que , desde que a distância de ' a seja menor que . Então para todo número real positivo existe outro número real positivo , que depende de , tal que , então ' ! se ' ' . Note que todos os intervalos abertos que contém intersectam % . de forma não vazia.
3
1
Figura 3.1:
uma função e 7 tais que para todo intervalo aberto , contendo Definição 3.1. Sejam , tem-se % /.6! . O número real é o limite de ' ! quando ' aproxima-se de quando para todo número , existe & ( dependendo de ), tal que, se ' e ' 5 então ' ! . A notação é:
' !
A definição é equivalente a dizer: Para todo
, existe tal que se ')
!
L+ε L L- ε
b- δ
b
b δ
Figura 3.2:
7% /. , então '5! ) 1
!.
3.1. LIMITES
101
'
Exemplo 3.1. Verifique que
.
Pela definição temos que, dado , devemos obter um tal que se ' então ' $ . Mas ' ' ' e desejamos que este produto fique menor que estará para ' suficientemente próximo de . Intuitivamente, se ' está próximo de , ' próximo de e ' ficará próximo de zero. Logo ' ' ficará próximo de zero; estamos, pois em condições de tornar ' desde que ' fique suficientemente próximo de . A ' primeira coisa a fazer é limitar o fator . Há várias maneiras de fazer isto. Por exemplo, ' ou ' ; logo, ' 1 ' ' se '- , teremos ' . Portanto, dado , considerando o menor entre os números e e ' ' , teremos que, se ' , então ' . É recomendável fazer uma tabela, como no exemplo anterior.
Observe que o limite de uma função '5! num ponto , depende apenas dos valores que assume nas proximidades de , ou seja, num pequeno intervalo aberto de centro .
Proposição 3.1. Unicidade do limite Se
e
' !
$
; ( (
' !$
), então
0
Em outras palavras se o limite existe (é um número real), ele é único. Para a prova veja o apêndice.
'5! exceto num ponto , então: ' !
Corolário 3.1. Se as funções ' ! e ' ! são tais que '5!
' !
desde que exista um dos limites. Esta propriedade nos permite "simplificar"antes de calcular o limite, como no primeiro exemplo. Exemplo 3.2.
[1] Sejam '5!
Logo, ' !
' 7 ' e ' ! ' '5! se ' ; então,
'
' !
.
' ! , como já foi verificado.
[2] não existe. ' Se existisse, então para valores de ' muito muito próximos de zero, a função ' ' deveria se aproximar de um valor fixo, que seria o limite. Mas isto não ocorre. De fato, consi , ( ), ' ficará próximo de zero se for muito grande. Mas, derendo ' !
'
!
!
!
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
102
e a função ficará oscilando entre (se existir.
(se é ímpar). Logo, o limite de não pode
é par) e
1.0
0.5
-3
-2
-1
1
2
3
-0.5
-1.0
Figura 3.3: Gráfico de $
[3] Se
, então:
"! '
!.
0
De fato, devemos verificar que, para todo número ) , existe outro número , tal que: ' #!$ #! 5 se ' 0 Mas, ' "!$ "! ' ; logo basta tomar , se . Se , todo serve. logo, por exemplo:
'
[4] Seja
Calcule
'5! ' !.
! 0
'
se se
' ' 0
' ! ' 1! 0 Proposição 3.2. Se '5! e '5! , existem, então para todo $ 1. '5! '5! '5! ' ! 0 2. ' ! '5! ' ! '5! 0 ' ! '5! 3. ' ! '5! , se '5! 0
Observemos que !+ , mas o valor do limite da função quando ' tende a se ' ; logo: do valor da função no ponto , pois '5! '
:
não depende
3.1. LIMITES
' ! , se . 4. ' ! ' ! ' ! , se '5! e é qualquer natural, ou 5. negativo ou nulo e é um natural ímpar. 6. '5! '5! se '5! 0 7. Se '5! ' ! e existe tal que '5! '5! ' ! , para então ' ! .
103
'5! positivo,
'
,
Provas no apêndice. Segue diretamente da proposição 10.3:
' !
(a) Se '5! é uma função polinomial, então:
'5! é uma função racional e ' !
(b) Se ' !
! 0
' !
! , então:
! 0
Exemplo 3.3.
Calcule os seguintes limites: [1]
[2] [3]
'
'
' ' ! ' . Neste caso '5! '
'
'
'
. Como '
' . Como '
numerador:
para todo '
' ' ! '
'
'
. Logo:
'
' ' ; logo:
' ! !
0
, podemos aplicar a proposição 10.3; então,
!
' '
'
'
1! 0 !
! , não podemos aplicar a proposição 10.3; mas fatorando o
'
' '
'
' '
! ' ! ' '
'
! 0
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
104 [4] Determine o valor de tal que
exista.
'
'
numerador:
$ ' ' '
'
! . Dividindo ' +' por ' ; obtemos, que a divisão seja exata devemos 1! - ! ; logo, para '
' 1!$ ' ! ' ! : +' ' ' ' 0
' ! ' ' ' +' ' ! ' ; logo, ' + ter ' ' ' Note que '
' [5] Como
.
, não podemos aplicar diretamente a proposição 10.3; mas racionalizando o
. Logo:
'
'
'
0
1
0.75
0.5
0.25
-1
1
2
[6]
Figura 3.4: Gráfico de '5!
3
4
, perto da origem.
' . '
Para calcular este limite façamos a mudança de variáveis '
Se '
[7]
, então
'
'
' '
; logo:
.
' '
!
; então:
! ! ! 0
0
3.1. LIMITES
105
. . Como
De fato,
' %/
, para todo '
%/ . ; logo ' ' ' , para todo ' ' ! ; pela proposição 10.3, temos:
'
'
0
0.01
-0.2
-0.1
0.1
0.2
-0.01
'
Figura 3.5: Gráfico de ' !
, perto da origem.
[8] Seja '5! uma função tal que ' ! ' ; então, De fato. Pela proposição 10.3, ítem 7, temos: ' ! 1 ' [9] Verifique que , . '
' ! . , o que implica,
' ! .
Se
+'
, então:
00000
Se
e
, -
;
'
'
'
'
7 '7
'
,'
; denotando por '5!
'
'
0
e
; logo:
0
e , então '
'
' ! !$
. Fazendo '
, temos:
00000
'
' do segundo caso:
'
+'
'
, fazendo -
pelo caso anterior, temos:
, temos:
'
Se
'
0
'
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
106
3.2 Limites Laterais
Sejam uma função definida em um domínio de intervalos).
(que pode ser um intervalo ou uma reunião
Definição 3.2.
! . O número real é o limite à direita de ' ! , 1. Seja tal que existem e "! quando ' se aproxima de pela direita se para todo , existe tal que '5! , se ') . Notação:
' !
! . O número real é o limite à esquerda 2. Seja tal que existem e 4! ' ! , quando ' se aproxima de pela esquerda se para todo , existe tal que de 5 '5! , se ' . Notação:
L
'5!
.
.
L
.
.
+
-
a
a
Figura 3.6: Limite à direita e à esquerda, respectivamente.
[1] Calcule Exemplo 3.4.
' ! e
' ! , se:
'5!
'
se se se
'
'- ' ' 0
Para calcular estes limites observemos que ' significa que ' fica perto de , para valores de ' maiores que e ' significa que ' fica perto de , para valores de ' menores que . Assim:
' !
'
!
e
' !
1 !$ 0 '
3.2. LIMITES LATERAIS
107 8
6
4
2
-4
-2
2
-2
[2] Calcule
' ! e
4
Figura 3.7: Gráfico de , perto de .
' ! , se:
'5!
'
'
se
'
se
' 0
Novamente, para calcular estes limites observemos que ' significa que ' fica perto de , significa que ' fica perto de , para valores ' menores para valores ' maiores que e ' que . Primeiramente, escrevamos a função da seguinte maneira:
Assim
' !
' ! e '5!
' ' 0
se se
!$ .
1
-3
-2
-1
1
-1
[3] Calcule
3
Figura 3.8: Gráfico de .
' ! e
' ! , se:
Calculando diretamente
2
' ! ' !
' '
'5!$
se se
') ' )
e
' !
' .
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
108
8
6
4
2
-2
-1
1
2
3
Figura 3.9: Gráfico de , perto de . [4] (Contração de Lorentz): Na teoria da relatividade especial, temos que o comprimento de um objeto é função de sua velocidade:
onde é o comprimento do objeto em repouso e é a velocidade da luz. A velocidade da luz * . Da teoria da relatividade é conhecido que nenhum objeto é de aproximadamente : pode ir além da velocidade da luz; logo
!
!$ 0
Isto significa que para um observador parado o objeto desaparece.
Teorema 3.2. Seja '5! uma função com domínio nas condições das definições. Então se e somente se os limites laterais existem e '5! ' !$ .
Para a prova, veja o apêndice.
Teste para determinar quando não existe um limite
'5! ' ! ou se um dos limites laterais não existe, então '5! não existe.
Se
Exemplo 3.5. [1] Calcule
' ! , se:
'5!
'
'
se se se
'- ' ' 0
' !
3.2. LIMITES LATERAIS
109
Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. Do exemplo1] das páginas anteriores temos '5! e '5! . Pelo teorema, temos que ' !
.
[2] Calcule
' ! , se:
'5!
se se
' ! e Pelo teorema, temos que '5! não existe. [3] Calcule ' ! , se:
' ' 0
Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes.
'5!
' '
se se
' !
! 0
'- ' 0 -
Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. Do exemplo [3] da página anterior, temos
Logo,
' !
e
0
' !
'5! não existe.
[4] A função degrau unitário é definida como:
' !$
se se
') ' )
'5! e ' ! ; logo, onde . Logo, [5] Calcule 2 2 ' 3 3 . Veja o exercício 33 do capítulo anterior.
' ! não existe.
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
Se
,
Figura 3.10: Gráfico de '5!
2 2' 3 3
2 2 ' 3 3 existe. (Por que?).
e
2 2 ' 3 3
; logo,
2 2' 3 3 .
2 2 ' 3 3 não existe. Se
, então
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
110
3.3 Limites no Infinito Definição 3.3.
! . Diz-se que 1. Seja que '5! se '- 0
2. Seja "! . Diz-se que se '- 0 que '5!
Exemplo 3.6.
[1] Verifique que
'
. [2] Verifique que '
'
'
De fato, pois para todo
Observe que '
existe
existe
'
'
.
0
implica ') e '
1. Devemos provar que para todo
se 2 é análoga a do item 1.
quando para todo
, tal que se '
tal
, existe
, então
, então
, existe
quando para todo
, tal que se ')
'5!
.
Proposição 3.3. Para todo número natural
1. 2.
' !
.
De fato, pois para todo
* '
implica '- .
tal
'
e
.
e para %/ . , tem-se:
existe
tal que
se '
, ou seja, se ')
; logo basta considerar
Figura 3.11: Gráficos de ' !
'
para diferentes .
. De fato,
. A prova de
3.3. LIMITES NO INFINITO
111
para todo $ ' ! e ' ! existem, então, 0 ' ! ' ! ' ! 0 ' ! '5! '5! ' ! '5! ' ! 0 ' ! '5! se '5! 0
Proposição 3.4. Se
:
'5!
As provas são análogas às das propriedades dos limites num ponto.
Exemplo 3.7.
[1] Calcule
'
.
Aplicando diretamente a proposição anterior:
'
'
0
5
[2] Calcule
quando '
Figura 3.12: Gráfico de
' .
Aplicando diretamente a proposição anterior :
'
.
' 0
3.3.1 Cálculo de Limites de Funções Racionais Proposição 3.5. Seja
onde ' ! & ' ' de coeficientes reais de graus
00000
e
'5!
'5! '5!
e ' ! ' , respectivamente, isto é
'5! '5!
'
e se -
se
0 0 0 0 0 são polinômios
. Então:
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
112 De fato:
'5! ' ' ! '
' 4'
00000000 00000000
'
0 0 0 0 0 0 0 0 00000000 0
' Aplicando limite e as propriedades da proposição 3.4, obtemos o resultado. Para 7
, veja o
próximo parágrafo. Exemplo 3.8.
[1] Calcule
' 6 ' ' '
.
' Como , temos: '
6' ' ' . [2] Calcule ' ' , temos: Como - 0 ' ' [3] Calcule . '
0
Neste problema, a função não é racional, mas utilizaremos a mesma idéia dos exercícios anteriores. Reescrevendo a expressão temos:
'
então:
[4] Calcule
'
'
'
'
'
'
'
'
'
0
.
Aparentemente este limite é análogo ao do exemplo [3]; mas devemos ter cuidado, pois, ' , significa que ') ; logo, consideramos ' ' :
'
'
0
[5] Fractal de Koch A seguinte curva é chamada de Koch e é obtida a partir da linha poligonal constituída pelos lados de um triângulo equilátero de lado unitário. A cada passo substitui-se o terço médio de cada segmento da linha poligonal por dois segmentos que formariam um triângulo equilátero com o terço médio que foi retirado, conforme os desenhos abaixo:
3.4. LIMITES INFINITOS
113
Figura 3.13: Denote por
a área comprendida pela linha poligonal após , , em geral: ,
,
se ; então,
passos; logo,
,
. Fica como exercício interpretar o limite.
3.4 Limites Infinitos
Seja uma função definida num domínio , que pode ser um intervalo ou uma reunião de intervalos. Seja um ponto que não pertence necessariamente a , mas tal que nas proximidades de existam pontos de ; em outras palavras, qualquer intervalo aberto que contem intersecta de forma não vazia.
1. Diz-se que '5! ' . 2. Diz-se que ' !$ e ' .
Definição 3.4.
, quando para todo , existe tal que ' ! , quando para todo
, existe tal que ' !
, se '- , se ')
e
Exemplo 3.9.
[1]
' ! Como ' !
[2]
.
tal que '5!
'
.
!
, se '
se
, isto é, se '
'
0
, então para todo
, existe
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
114
Como
' ' .
se '
Diz-se que '5! '-0 Diz-se que '5! . '-
, então para todo
, existe
Analogamente podemos definir limites laterais infinitos. Assim: , quando para todo
, quando para todo
, existe , existe
tal que ' !
tal que ' !
tal que ' !
se
se se
Proposição 3.6. Para todo número natural , temos:
1. 2.
'
. '
se se
é par é ímpar
Proposição 3.7. Sejam ' ! e '5! funções tais que ' ! e '5!$ ' ! '5! 1. se ' ! '5! para valores de ' próximos de . ' ! '5! 2. ' ! se '5! para valores de ' próximos de .
. Então
As provas das proposições são deixadas como exercícios.
[1] Calcule Como ' Exemplo 3.10.
' . ' !
' e aplicando o teorema, logo: '
[2] Calcule ' ! . Como ' ! e
e !
! , observando que se '- , mas ' , então ' . ' !
que se ' , observando '
e aplicando o teorema, temos: . ' !
'
!
, mas '
, então
Analogamente podemos definir outros tipos de limites. Como exercício, defina os seguintes limites:
'5!
'5!
e
'5!
' !
.
3.4. LIMITES INFINITOS
115
Corolário 3.3. Para funções racionais, temos:
Exemplo 3.11.
[1]
[3]
[4]
'
' '
'
'
'
'
'
' 6 ' '
Como
' ! ' !
0
se
; temos, ' ' ' . ' ; temos, ' ' ' .
'
; temos,
.
, pelo corolário anterior:
se - se
' ' ' ' . Como ' ' ' ' ' . Como ' ' ' ' '
' '
'
' ' . Como
'
'
[2]
'
' ' 6 '
.
0
[5] Na teoria da relatividade especial, a massa de uma partícula é função de sua velocidade:
! onde
é a massa da partícula em repouso e é a velocidade da luz. Logo,
!
em outras palavras, se a velocidade de uma partícula aumenta, sua massa aumenta em ralação a sua massa inicial .
[6] Considere o fractal de Koch e denote por logo:
em geral, o limite.
, se
; então,
o perímetro da linha poligonal após
passos;
. Fica como exercício interpretar
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
116
3.5
Símbolos de Indeterminação
Nas operações com limites, muitas vezes aparecem os símbolos:
/
chamados símbolos de indeterminação. Quando aparece um destes símbolos no cálculo de um limite, nada se pode dizer sobre este limite. Ele poderá existir ou não, dependendo da expressão da qual se está calculando o limite. Exemplo 3.12.
[1] Se ' !
'
! e ' !+
'
! , onde e são definidas em % . , então, '5! '5!
. mas ' ! ' ! ' ! [2] Se ' ! $ e , onde e são definidas em % . , ' ' ! ' ! , mas ' ! '5! não existe. então, '5! '5!$ '5! ' e '5! $ '5! , onde e são definidas para ' , então, '5! [3] Se , mas '5! ' ! . De fato, $ '5! ' para todo ' ; então e ' !+
$ '
$
$
; logo, . Aplicando limite a ambas partes e usando o item [7] da proposição 10.3, válida também para limites no infinito, temos o resultado.
!
[4] Se ' !
e
3.6
' !$
'
'5!
, mas
'
e ' !$
'5!
' para '
$ ' ! , onde e são definidas em ' ! ' ! , não existe.
'
%/ . , então,
' !
Limites Fundamentais
$ ' ! '
[1] Primeiro limite fundamental:
Antes de provar este limite faremos uma tabela, usando o fato de que função par:
'
0
0 0 0 0 ,
' !
0 0 0 0
0 0
' !
é uma
3.6. LIMITES FUNDAMENTAIS
117
Prova: Considere o seguinte desenho:
T P
Θ O
Q
S
Figura 3.14: Denotemos por setor circular
e respectivamente e por e as áreas dos triângulos 0 Por outro lado, se . Claramente ,
$ !
Então, da desigualdade acima: ! , temos !
mo ! $ !
! ; logo, $
!
$ ! !
, segue que ! .
!
e
$ !
0
! ; e, como $ ! se ! se . Co-
. Por ser
Figura 3.15: Gráfico da função '5! [2] Segundo limite fundamental:
'
se '
e !
uma função par:
1
a área do
$ ! ! ! , ou
.
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
118
' !
')
Façamos uma tabela usando a função ' !
'
0 0 0
0
'5!
')
0 0
, 0 0
6 5 4 3 2 1
-4
-2
2
Figura 3.16: Gráfico de '5! É possível provar que:
'
4
'
para ' .
0 0 0 0 é o número de Euler. A prova direta desta propriedade poderá ser encononde trada na bibliografia intermediária ou avançada.
[3] Terceiro limite fundamental. Seja
'
, então:
$
!
Em particular, é a única base da exponencial tal que:
'
$ !
Veja o próximo exemplo, item [7].
[1] Calcule
Exemplo 3.13.
' !
'
.
'
'5!
$ ' ! ' '5!
$ ' ! '
'5! 0
3.6. LIMITES FUNDAMENTAIS
119
$ ' ! [2] Calcule $ ' ! . $ ' ! $ ' ! ' $ ' ! ' ! $ ' ! ! ' . Seja ' ; se ' então ; logo: [3] Calcule ' 0 [4] Calcule , onde é um número real. ' Seja , então: 0 ' [5] Calcule , onde é um número real. ' Seja ' , então: ' 0
0
[6] Sabemos que se uma quantia é investida a uma taxa de juros compostos, capitalizados ! . Se os juros forem vezes ao ano, o saldo 4! , após anos é dado por ! capitalizados continuamente, o saldo deverá ser:
[8] Verifique que [7] Calcule
!$
'
'
Seja
temos que
'
[10] Se
'
e:
$
!.
$
! ; logo ' $ !$
'
'
'
'
0
'
0
$ ! . Quando ' $ !
! ' e
$ ! $ ! $ $ !
!
$
!
$
$
!0
$ ! $ "!
0
4!
!
, onde e
e
Primeiramente, note que , donde
$
, onde é um número real.
'
; então $ !
[9] Calcule
'
.
'
'
! , determine $ ! . ' ; então, $ ! . Por outro lado e . Portanto, $ ! .
; logo,
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
120
3.7 Assíntotas Definição 3.5. A reta ) é uma assíntota horizontal ao gráfico da função ) uma das seguintes afirmações é verdadeira:
' !
ou
' !
/0
0
'5! se pelo menos
Exemplo 3.14. [1] Esboce o gráfico da função logística:
4 !
onde
e a curva passa por ! . Por outro lado ! ; logo, ) é uma assíntota horizontal. !$ ; logo, 7 é uma assíntota horizontal. No caso em que 4! descreve o crescimento de uma população, o valor é dito valor limite da população
!
e corresponde ao número máximo de indivíduos que um ecossistema pode suportar. y
x
[2] A função ' !
Figura 3.17: Gráfico da função logística.
' ! possui uma assíntota horizontal
.
Definição 3.6. A reta ' é uma assíntota vertical ao gráfico da função das seguintes afirmações é verdadeira:
Em geral, se o
' !$
ou
' !
' ! se pelo menos uma
0
! , então o gráfico de não possui assíntotas verticais.
3.7.1 Esboço Aproximado de Funções Racionais
Seja ' ! e
' ! tal que * '5!
! , isto é, !
/ ! ; analogamente ' ! ')! '5! ,
, temos ' ! Então '5! 1 .
' !
( ' ! , onde / ' !
; então, '5!
' !
/ ' ! ,
e ! . Se , fazendo ' ! é uma função definida em . ' !
3.7. ASSÍNTOTAS
121
a
a
ao redor do ponto , para
Figura 3.18: Gráficos de
par e ( ! .
ímpar e
a a
Figura 3.19: Gráficos de
ao redor do ponto , para
ímpar e
par e ( ! .
Logo, a função possui uma assíntota vertical em cada raiz do polinômio ' ! . Exemplo 3.15. [1] Esboce o gráfico de
'
.
'
/ ' ! . e a curva passa por 4 ! . Por outro lado ' ! , onde / ' ! ' ' , '5! , Analogamente: ' ! e / ! ; então, ; '5! ' / ' ! , onde / '5! '' ; e / ! , então: ' ! e ' ! ; e ' são assíntotas verticais. Por outro lado, logo, ' ' ! ; logo, é uma
!
%
assíntota horizontal.
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
Figura 3.20: gráfico de [2] Esboce o gráfico de
' . '
.
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
122
'5! . e a curva passa por 4 ! . Por outro lado '5! , onde / ' ! ' ' e / ! ; então, ' ! '5! . Analogamente: ' ! ; , ' ' ; '5! / ' ! , onde / ' ! ' ; e ( ! ; então, '5! e ' e ' são assíntotas verticais. Por outro lado, logo ' '5! ; logo, é uma
!
%
assíntota horizontal.
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
Figura 3.21: gráfico de
.
3.8 Continuidade de Funções A noção de continuidade em Matemática é a que utilizamos no dia a dia, isto é, onde não há interrupção ou, então, onde não existem partes separadas umas das outras. Nos parágrafos ' ! para valores de ' próximos anteriores, estudamos o comportamento de uma função de um ponto . Pode acontecer que o limite de '5! quando ' tende a exista, mas que não seja definida em ; ou ainda, pode acontecer que o limite seja diferente de ! . Estudaremos, agora, uma classe especial de funções, onde se verifica que:
' !
! 0
! , onde Definição 3.7. Seja uma função e de intervalos abertos. é dita contínua em , se:
1. 2.
Se
! é um intervalo aberto ou uma reunião
' ! existe. ' !
!.
não verifica qualquer das condições da definição,
é dita descontínua em .
Exemplo 3.16. [1] Considere:
'5!
' '
se
'
se
'
0
3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Note que
!$
Veja o desenho:
, mas não é contínua em . De fato,
'5!
123
!
'
!.
2
1 Figura 3.22:
Observe que se redefinirmos a função, fazendo ! pontos de . Verifique este fato.
, a função será contínua em todos os
[2] Seja:
A função degrau unitário
'5!
') ' 0 )
se se
' ! não é contínua em , pois não existe
' !.
1
c
Figura 3.23: Função degrau unitário. Intuitivamente, a continuidade de uma função em um ponto indica que o gráfico da função não apresenta saltos nesse ponto (veja o desenho anterior).
' [3] '5! é uma função contínua em todo ponto de seu domínio. ' se ' e ' ! . De fato '5! ' '5! '
[4] O potencial de uma distribuição de carga num ponto do eixo dos ' é dado por:
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
124
' !
De fato, como
7 ; é contínua em .
'5!
contínua em .
7 ' ' ' '
,
'5!
se '- se ' 0
existe e
' !
' !+ ! . Então, é
[5] Seja
'5!
Ache
e
tais que
' '
'
' ' 2 3 ' 0
se se se
seja uma função contínua em .
e ' são ' ' ! '5! ' ! ' !
. Utilizando a definição,
Os pontos problemáticos do domínio de contínua se:
e . Então:
'
'5!
é
que é equivalente ao sistema:
logo,
se se se
'
'
') ') ' 0 )
20
15
10
5
-3
-2
-1
1
2
3
-5
-10
Figura 3.24:
existe
A continuidade também pode ser expressa em função de nifica que: para todo
tal que, se '
e . De fato,
' ! ! e '
! sig, então
3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
125
! . Em outras palavras, é contínua em quando para todo ' ! tal que '5! ! 1 ! ! desde que ') 4 ! ! .
Proposição 3.8. Sejam
1.
, existe
e funções contínuas no ponto . Então:
são contínuas em , para todo $ .
é contínua em . é contínua em , se 3. 2.
.
As provas destas propriedades decorrem imediatamente das definições.
& se
Definição 3.8. Uma função é dita contínua em , então, é contínua em . contínua em e
é contínua em cada ponto de
. Se
é
Exemplo 3.17. [1] Os polinômios são funções contínuas em , pois são expressos por somas e produtos de funções contínuas em . [2] As funções racionais são funções contínuas no seu domínio.
[3] As funções '5!
$ '
' ! são contínuas em .
! e '5!
[4] As funções exponenciais são funções contínuas em . [5] As funções logarítmicas são funções contínuas em [6] A seguinte função é contínua em :
'5!
'
'
!.
se ' se ' 0
0.8
0.6
0.4
0.2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
-0.2
[7] A função ' !
Figura 3.25: Gráfico de [6]
2 2 ' 3 3 é descontínua para cada '-
. Veja exercício 33 do capítulo anterior.
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
126 3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
Figura 3.26: Gráfico de '5!
$ '
'
2 2' 3 3 .
! . De fato, $ ' ! é contínua ' ! é contínua em ! ; o polinôem ! e ' ! é contínua em , logo $ ' !
* ! , então é contínua em ! ! , mio ' possui raízes reais ') e
[8] A função '5!+
!
' !
é contínua em ! 7
que é o domínio de .
3
2
1
1
2
3
4
-1 -2
Figura 3.27:
Proposição 3.9. Sejam
e
funções tais que ' ! e é contínua no ponto . Então: '5! '5!
A prova segue das definições. Exemplo 3.18.
é contínua em ; logo, se existe '5! 0
Como aplicação direta desta propriedade temos: [1] A função ' !+
[2] As funções ' ! ' ! , então:
$ '
! e ' !
'5! , então:
' ! são funções contínuas em ; logo, se existe
3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
' !
$ '
[3] A função ' !$
127
'5!
! é contínua em
'5!
'5! ! ; logo, se ' ! ' ! 0
' ' ' ' . ' ' [5] $ ' ! $ '5! $ ! ' ! . [6] [7] ' $ ' ! !$ .
[4]
' ! 0 ! , então:
.
Teorema 3.4. Sejam e funções tais que contínua em ! , então é contínua em .
esteja bem definida. Se
é contínua no ponto e é
! ! . Como é contínua em ! , para todo existe tal que , então ! #! $ . Por outro lado é contínua em ; logo, ! tale que . Logo, ! e ' , então ' ! ! '5! se '7 !7 4 ! , ' ! ! ! ! .
Prova: se existe se '-
Exemplo 3.19.
' é uma função contínua em , pois é a composta das seguintes [1] A função ' !+ ' ' e ' !+ ' ; ambas funções são contínuas em . (Verifique !). funções: '5! '
[2] A função '5!
[3] A função '5!
'
'
é contínua. (Verifique !). 7'
é contínua. (Verifique !).
O teorema seguinte estabelece que com hipóteses adequadas, uma função , definida num intervalo fechado 2 3 , assume todos os valores entre ! e "! ; em outras palavras, para que passe de ! a #! tem que passar por todos os valores intermediários. A definição anterior de continuidade foi feita considerando como domínios intervalos abertos ou reunião de intervalos abertos; então necessitamos da seguinte definição:
Definição 3.9. Seja
2 3
;
é contínua em 2 43 se:
é contínua em " ! . 2. '5! existe e ' ! ! . 3. ' ! existe e '5! "! . 1.
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
128
As condições 2 e 3, são chamadas continuidades laterais, à direita e à esquerda, respectivamente.
Teorema 3.5. (do Valor Intermediário) 2 3 é uma função contínua em 2 3 e ! Se #! tal que ! .
#! ou "! ! , então existe
Para a prova, veja [TA], [RC] ou [WR]. Exemplo 3.20.
Seja 2 3 contínua e . !
tal que ' ! ' 5' ! ; então assume o valor . De fato é ! ! ; logo, do teorema, temos que existe ! tal que
3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Figura 3.28:
Corolário 3.6. Seja 2 43 uma função contínua em 2 43 . Se ! e "! tem sinais opostos, ou seja ! #! , então existe "! tal que ! .
c
c
a
b
c
Figura 3.29:
Este resultado pode ser utilizado para localizar as raízes reais de um polinômio de grau ímpar. 0 0 0 0 0 0 0 ' uma função polinomial de grau ímpar, De fato, seja ' ! ' ' . Para os ' , escrevemos:
' !
'
'
0000000 '
,0
3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Como
0000000 '
'
'5! e ' !$ pois, é e ' ! . é contínua no intervalo 2 ' ' 3 ;
; então,
ímpar. Logo, existem ' ' tais que ' ! ! & . Se pelo corolário, existe ' ( ' ! tal que não possui raízes reais. ' !$ '
Exemplo 3.21.
é par, a conclusão é falsa. O polinômio
possui raízes reais distintas.
' ! ' ' é contínua em ; logo, é contínua em qualquer intervalo ! ! , existe ( ! tal que ! . Como ! ! tal que ! . Como ! !$ , existe ! tal que ! .
De fato, a função fechado. Como , existe !
[1] A equação ' '
129
2
-2
-1
1
2
Figura 3.30: Exemplo [1] [2] A equação
$ '
no intervalo 2 3 .
!
'
!
possui pelo menos raízes reais distintas
De fato, a função é contínua em 2 3 e ! 0 , 0 1! 0 e ! 0 ; logo: ! 0 1! , existe Se 0 1! ! , existe
0 4 ! tal que ! . Se 4 0 1! ! tal que . Se 0 1! ! ; então, existe
-1
1
2
Figura 3.31: Exemplo [2]
[3] A função ' ! Considere a função ' !$
'
' !
'5! , atinge o valor
no intervalo 2 3 .
; é função contínua no intervalo 2 3 e
! !
0 1! 0 , !- 0 , ( 0 1! tal que !+ . ! 0 1! ; então, existe 0 ! tal que ! .
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
130 logo, existe
! tal que #! , isto é,
!
.
0.5
1
Figura 3.32: O seguinte algoritmo serve para determinar aproximadamente as raízes de uma equação, utilizando o corolário:
i) Seja
contínua em 2 3 . Se
! .
! "!
#! tal que
, então, existe pelo menos um
! , achamos a raiz. Caso contrário, ! ! ou ! "! . iii) Se ! ; se ! , então, ' ! tem solução em 2 3 . Considere ! , achamos a raiz. Caso contrário ! ! ou ! ! . , se iv) Se ! !) , então, '5! tem solução em 2 3 ; seja ! , achamos a raiz. Caso contrário ! ! ou ! ! . Continuando obtemos tal que ! ! é menor que a metade do comprimento do ii) Considere
; se
último intervalo. Exemplo 3.22.
No exemplo [1] temos ' !
i) !
' '
.
, como ! e ! ! & , então, procuramos a solução . ! ! , então, procuramos a solução no intervalo 2 ( 3 ; . Assim, continuando podemos, por exemplo, obter seja 0 no intervalo 2 0 0 3 e tal que ! 0 ,,, . ! ; seja no intervalo 2 ( 3 ; seja ii) Como ! e
3.9
Exercícios
1. Calcule os seguintes limites usando tabelas:
3.9. EXERCÍCIOS
(a) ' ! (b) ' ! ' (c) 6' ' (d) ' (e) '
2. Determine
(a) (b) '
(f) (g) (h) (i)
tal que:
'
'
1! '
!
'
' '
' , , ' ! '
'
'
!
(c) ' 7' (d) '
'
'
'
'
4. Calcule os seguintes limites:
,' 6' (a) ' ' '' 6' (b) ' ' ' (c) ' ' ' ' (d) '' (e) ' ' +' (f) ' ' (g) ! ' (h) ' (i) ' 7 ' ,' (j) ' '
'
(b)
'
'
'
'
!
'
3. Verifique se são corretas as seguintes afirmações: (a)
(j) ' (k) ' ' ' ! (l) '
'
131
' (k) 6' ' 6' ,' (l) ' ' (m) ' ' (n) ' ' '5! (o) ' ' ' 7' (p) ' ' (q) ' (r) '5! ' (s)
!
' 7
' 7'5!
132
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
(t) (u)
'
(v)
'
' ' 7' ' '
5. Calcule os seguintes limites laterais:
!
'!
"!
'
' !
6. Verifique se os seguintes limites existem:
' (a) ' (b) ' ' ' (c) ' ' ' '
(d) ' ' '' (e) ' ' '
' 6 ' ' 6 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ! ' ' '
'
' ' ' '
'
2 2 ' 3 3
' (f) ' (g) '5! 2 2 $ '5! 3 3 ! (h) $ '5! 2 2 ' ! 3 3 ! ' (i) ' ' (j) 2 2 3 3
7. Calcule os seguintes limites no infinito:
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)
!
'
(k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s)
'
'
'
'
'
'
'
'
'
' ' ' ' 7' ' '
'
'
' ' '
'
!
3.9. EXERCÍCIOS
(t) (u) (v)
(w) (x)
' '
' ' ' ' '
'
'
'
133
' ' ! '
'
'
8. Calcule os seguintes limites infinitos:
' ' (a) ' ' ' ' (b) ' ' (c) ' ' ' 7' (d) ,' 6' 6' (e) 6' ' (f) ' (g) ' 7 ' (h) '
!
' e '5!
(a) (b) (c) (d) (e)
!# ' !
!# '5!
'5!
'5!
10. Calcule os seguintes limites:
$ ' ! (a) ' ' (b) $ ' !
(f) !# ' ! (g) !# '5! (h) !# ' ! !# ' ! (i) (j) $ ' ! !
' !
, calcule:
'
' (r) $ ' ! ' ' (s) ' ' (t) ' ' (u) ' (v)
!# ' !
(q)
9. Se ' !
' (i) ' ' (j) ' ' ' (k) ' ' 6 ' (l) ' $ '5 ,!' (m) ' $ ' ! ' (n) ' (o) $ ' ! ' ! (p) '
'
' ! (k) ' ! (l) ' '5! (m) ' '5! (n) ' ' !
' ! (c) $ ,'5! $ ' ! (d) '
134
$ '5! (e) ' (f) ' $ ! ' ' !' (g) ' ' ! (h) ' ! (i) ' (j) ' ! (k) ' (l)
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
(m) ' (n) ' (o) $ ' ! $ '5! (p) ' ' ! , ' ! (q) ' '5! (r) ! ' (s) ! '
'
11. Calcule
' !
(a)
' !
(b)
' !
(c) (d) (e)
' ! ! e '
!
! , se:
'
(f)
'
(g)
' 7 ' ' ! ' ' ! '
12. Se ' !
13. Verifique que
' ! ' !
(h) (i) (j)
'
7' !
'5!
' ! ' ! ' ! $ ' ! ' !
, para todo ' , verifique que:
! '
'
'
'
' !
0 ' , 7' , '- , .
num aterro é dado por ' !
(a) Calcule
'5! ! . '
0
14. No problema 51 do capítulo II, foi visto que o custo para remover '
de resíduos tóxicos
' !.
(b) Interprete o resultado obtido. 15. Suponha que ,, reais são investidos a uma taxa de juros anual de capitalizados continuamente.
(a) Qual é o saldo ao final de anos? E de anos?
e os juros são
3.9. EXERCÍCIOS
135
de juros capitalizados (b) Que quantia deveria ser investida hoje a uma taxa anual de continuamente, de modo a se transformar, daqui a 20 anos, em ,,, reais? 16. Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram, num certo bair ro, após dias é dado por
4 !
,,,, ,
.
(a) Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos pela doença.
(b) Esboce o gráfico de . 17. Esboce o gráfico das seguintes funções: (a)
(b)
(c)
! ' !
(d)
! ' ! ! ' ! '
(e)
'
'
'
(f)
(a) ' $ ' ! ! ' (b) ' (c)
'
! ' ! ' ! ' ! ' ! ' ' ' ! ' ! ' !
18. Use a continuidade da função para calcular os seguintes limites:
(d) '5! $ ' $ ' ! ! ! (e) ' , ' ! (f) ' !
19. Verifique se as seguintes funções são contínuas:
!
!
!
' ! ' ! #! ' ! ' ! '5! ' ' ! ' ! $ '5! ' ! ' ! ! ' ! ' !
!
' !
' !
!
'
se se
' '
'- ' se
'
se
'
Esboce os gráficos correspondentes.
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
136
20. Seja ' !
!
' . Verifique que:
'
' !
!
'
21. Determine o valor de
!
'5!
"!
' !
!
' !
!
'5!
'5!
!
'
'
' '
se
'
se
'
se se
'- , no ponto ' . ' -
se se
') , no ponto ' . ')
se
'
se
'
' !
para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
se
' '
7' ' '
, no ponto '
.
, no ponto '
.
se se
!
é contínua em .
'
"!
se
'' '
se '-
, no ponto '
.
. , no ponto ' ' -
22. Verifique se as seguintes funções são contínuas.
!
'5!
$ '5!
' !
!
' !
' ' '
' !
!
' !
7'
' '
' !
')
! '
6 '
'
'5!
!
'
!
'/!
'
') ' -
!
'
$
7'
'
' 6' ' 6'
"!
'
'
')
'-
')
2 2' 33 ' ! '
23. Determine em que pontos as seguintes funções são contínuas:
'- '-
3.9. EXERCÍCIOS
'5!
(a)
(b)
$ ' ! ' ' ' !
' '5! $ ' ! ! ' ' 7' '5! ' !
(e) (f)
! '/! $ ' ' ! ' ! ' 5 ' ! 1!# ! '
(d)
(c)
137
' !
2 2' 3 3 ! 2 2 ' 3 3
24. Verifique se as seguintes equações admitem, pelo menos, uma raiz real:
' ,'
(a) '
'5! ' (c) $ '5! 7'
(b)
contínua em '
26. Sendo ' !
7 ' 25. Seja ' !$
, ' . Como escolher o valor de ! , para que a função seja '
?
' ' (e) ' ' (f) ' '
(d)
seja contínua em '
, '
'
, é possível escolher o valor de ! tal que a função
?
27. Determine ! de modo que as seguintes funções sejam contínuas em '
'5! ; ' '5! . c) ' ! '
(a) ' !
(b) '5!
' $ '
Verifique se '5!
$ ' ! e ' !$ '
$ ' !
:
! 7' $ ' ! ;
28. A função sinal de ' é definida por:
se se se
') ' ' 0 )
$ ' ! são funções contínuas.
29. Dê um exemplo de duas funções descontínuas cuja soma seja contínua. 30. Verifique que a equação '
'
31. Seja ' ! sua resposta.
$ '
!
' ! tem uma infinidade de raízes reais.
. A função atinge o valor no intervalo 2
3 ? Justifique
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
138
32. Uma esfera oca de raio está carregada com uma unidade de eletricidade estática. A intensidade de um campo elétrico '5! num ponto localizado a ' unidades do centro da esfera é determinada pela função:
'5!
Verifique se a função
se ) ' se ' ' ' se ') 0
'5! é contínua. Esboce o gráfico de .
33. A função de Heaviside é utilizada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento de corrente elétrica ou de voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada e, é definida por:
4!
(a) Discuta a contínuidade de ! tivos gráficos em 2 3 .
!
se se
! e de !$
$
! ! . Esboce os respec-
(b) A função 4! ! ( ) é chamada rampa e representa o crescimento gradual na voltagem ou corrente num circuito elétrico. Discuta a continuidade de e esboce seu . gráfico para (c) Verifique que
4! (d) Se !$ 4!
!.
se se
, verifique que 4 !
4! !
!
4!
!.
34. A aceleração devida a gravidade varia com a altitude em relação à superfície terreste. é função de (a distância ao centro da terra) e, é dada por:
!
se se
onde é o raio da terra, a massa da terra e a constante gravitacional. Verifique se é contínua. Esboce o gráfico de .
2 3 2 3 contínua. Verifique que existe ' 2 3 tal que ' ! ' . 36. Sejam 2 43 contínuas tais que ! ! e "! "! . Verifique que existe ' 2 43 ' ! ' ! 35. Seja
tal que
.
3.9. EXERCÍCIOS
139
37. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias, minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função:
4!
se
se
0
Explique por que a população deve ser de 10000 bactérias em algum momento entre e . 38. Verifique que a função .
&
definida por ' !$
$ '5!
assume o valor
140
CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
Capítulo 4
DERIVADA 4.1 Introdução Neste capítulo estabeleceremos a noção de derivada de uma função. A derivada envolve a variação ou a mudança no comportamento de vários fenômenos. Inicialmente apresentaremos a definição de reta tangente ao gráfico de uma função. Posteriormente, definiremos funções deriváveis e derivada de uma função num ponto, dando ênfase ao seu significado geométrico.
4.2 Reta Tangente Seja:
uma função definida num domínio que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos, ou ainda, tal que para todo intervalo aberto que contenha ' , se tenha: %(' .6! . 0 0 0 0 0 0 ) pontos no gráfico de , ; Considere ' ' ! ! e ' ' ! ! ( seja a reta secante que passa por e ; seu coeficiente angular é:
Fixemos o ponto ' ' ! ! tal que é:
' ! ' '
'
!
0
e movamos sobre o gráfico de em direção a , até um ponto ; seja a reta secante que passa por e ; seu coeficiente angular
' ! ' ' '
! 0
Suponha que os pontos ( 0 0 0 0 0 0 ) vão se aproximando sucessivamente do ponto (mas sem atingir ), ao longo do gráfico de ; repetindo o processo obtemos "0 0 0 , retas secantes de coeficientes angulares ( "0 0 0 , respectivamente. É possível provar, rigorosamente, que quando os pontos vão se aproximando cada vez mais de , os respectivos, variam cada vez menos, tendendo a um valor limite constante, que denotaremos por .
141
CAPÍTULO 4. DERIVADA
142 rn
r2
Q3
Qn
r3
Q2
r1
Q1 f(x)
P
x0
xn
x3
x2
x1
Figura 4.1: Definição 4.1. A reta passando pelo ponto e tendo coeficiente angular ao gráfico de no ponto ' ' ! ! .
Se
existe, fazendo a mudança
, é chamada reta tangente
'5! ' ! '7'
' ' , temos:
'
!
'
! 0
Como ' é um ponto arbitrário, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de para qualquer ponto ' ' ! ! :
Assim,
'
!
' !
só depende ' .
Definição 4.2. Se ' ' ! ! é:
for contínua em '
, então, a equação da reta tangente ao gráfico de
'
!$
'7' !
se o limite existe,
Exemplo 4.1.
[1] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ' !
7' , no ponto ! .
no ponto
4.2. RETA TANGENTE
143
o coeficiente angular Denotemos por da reta tangente à parábola 7' passando pelo ponto ! ! ! . Seja ! e ' ' ! pontos da parábola; o coeficiente angular da reta secante à parábola passando por e é:
'
! '
!
! 0
'
P Q
x0
1
Figura 4.2: Do desenho, é intuitivo que se aproxima-se de (' lares de ambas as retas ficarão iguais; logo:
+
aproxima-se de ), os coeficientes angu-
0
A equação da reta tangente ao gráfico de , no ponto ! é '
temente, .
! ou, equivalen-
'
4
3
2
1
-1
1
Figura 4.3: Reta tangente a
2
' , no ponto ! .
[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ' ! Seja
'
, no ponto ! .
o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
! . Seja
! e
' '
'
passando pelo ponto
pontos da curva; o coeficiente angular da reta secante à
CAPÍTULO 4. DERIVADA
144 curva passando por
e é:
'
! '
'
0
P
Q 1/2
x0
Figura 4.4: Novamente do desenho, é intuitivo que se aproxima-se de ficientes angulares de ambas as retas ficarão iguais; logo:
aproxima-se de
os coe-
0
'
A equação da reta tangente ao gráfico de , no ponto ! é ' . temente,
'
! ou, equivalen-
4
0.5
Figura 4.5: Reta tangente a
, no ponto ! .
[3] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de Utilizemos agora diretamente a definição:
4 !
!
!
' !
' '
!$
, no ponto ! .
0
4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS Logo
145
. A equação da reta tangente ao gráfico de , no ponto ! é
'
.
3
2
1
-2
-1
1
2
Figura 4.6: Da definição segue que a equação da reta normal ao gráfico de
'
!
'7'
se
no ponto '
' ! ! é:
4.3 Funções Deriváveis
uma função definida num domínio que pode ser um intervalo aberto Definição 4.3. Seja ou uma reunião de intervalos abertos ou ainda, tal que para todo intervalo aberto que contenha ' , . é derivável ou diferenciável no ponto ' quando existe o seguinte se tenha: 7 %(' .6! limite:
Fazendo a mudança
'7' , temos:
' !
' ! é chamada a derivada de
calcular a derivada de
Assim
' !$
é função de ' e
' ! ' ! '7'
'
!
'
no ponto ' . Como ' !; para qualquer ponto ')
!
Definição 4.4. Uma função em cada ponto '- .
' !
'
4 !
0 é um ponto arbitrário, podemos
'5!
' ! . é derivável (ou diferenciável) em
Outras notações para a derivada de
5 ' ! são:
'
ou
, se é derivável ou diferenciável
.
CAPÍTULO 4. DERIVADA
146 Exemplo 4.2.
!
Logo,
!
'
4 !
'
' 0
'
'
!
'
'
7' 0
.
.
'
'5!
!
! se ' !
' !
'
! .
!$
[4] Calcule
! se ' ! ' .
[3] Calcule
Logo,
'5!
4 !
'
7' . 4! ' '
!
Logo,
! se ' !
' !$
e
! , se ' ! ' .
' !
[2] Calcule
! e
[1] Calcule
Logo,
'
'5!
.
'
!
' !
5
'
' !
'
'
' !$
'
' 0
'
0
! .
Interpretação Geométrica A função
%(' .6!
, definida por
' !
'5! ' ' '
!
representa, geometricamente, o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de passando pelos pontos ' ' ! ! e ' '5! ! . Logo, quando é derivável no ponto ' , a reta de coeficiente angular ' ! e passando pelo ponto ' ' ! ! é a reta tangente ao gráfico de no ponto ' ' ! ! . Se admite derivada no ponto ' , então, a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto ' ' ! ! é:
' ! ' ! '7' ! A equação da reta normal ao gráfico de no ponto ' ' ! ! é: ' ! ' ! '7' ! se ' !
4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS
147
' !.
Figura 4.7: As retas tangente e normal ao gráfico de Exemplo 4.3.
' !
[1] Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de . ponto de abscissa '
Se ' então ' é ! . Temos:
!
!
'5!
'
, no
; logo, a reta tangente passa pelo ponto ! e seu coeficiente angular
' !
4 !
'
e as respectivas equações são:
'
!
' e
'
!
' 0
' .
3
2
1
-1
1
' !.
Figura 4.8: As retas tangente e normal ao gráfico de
[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ' ! . '
' que seja paralela à reta
Para determinar a equação de uma reta, necessitamos de um ponto ' ! e do coeficiente angular ' ! . Neste problema, temos que determinar um ponto. Sejam a reta tangente, a reta dada, e os correspondentes coeficientes angulares; como e são paralelas, ; mas ' ! , onde ' é a abscissa do ponto então e como procurado;
' !
'
, resolvendo a equação
' .
' !
, obtemos '
e !
; a equação é
CAPÍTULO 4. DERIVADA
148
1
1
2
Figura 4.9: Reta tangente ao gráfico de ' !
' paralela à reta '
[3] Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de ' !
' .
diculares à reta
'
.
que sejam perpen-
Sejam a reta tangente, a reta dada, e os correspondentes coeficientes angulares; como e são perpendiculares, então ; mas e ' ! , onde ' é a abscissa do , temos ' ! &' e ' ; as equações ' ! ponto procurado; resolvendo a equação são: '
e ' .
Teorema 4.1. Se
Figura 4.10: é derivável em '
então f é contínua em '
.
Para a prova veja o apêndice. Exemplo 4.4.
Seja '5! ' . é contínua em todo ; em particular em ' não existe; de fato:
Calculemos os limites laterais:
!$
' ! '
!
' '
0
. Mas a derivada de
em
4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS
149
Logo,
'
'
' '
! não existe. Para ') %/ . ,
'5!
' '
'
0 '
'5! existe e:
') '- 0
se se
Do teorema segue que não existe a derivada de no ponto ' se é descontínua no ponto ' Também não existe a derivada de no ponto ' nos eguintes casos: i) Se existe "quina"no gráfico da função contínua no ponto de abscissa ' do exemplo anterior.
, como no ponto '
ii) Se é contínua em ' e se possui reta tangente vertical passando pelo ponto de abscissa ' Neste caso, '5! 1 .
Figura 4.11: Funções não deriváveis. Exemplo 4.5.
[1] Seja '5!
'
$ '
!
se
'
se
!
' 0
logo, a derivada em existe; então,
[2] '5!
'5! ! '
'
$ '
! !
é contínua em .
' é contínua em todo e não é diferenciável em ' . De fato:
!$
' ! ! '
'
0
.
.
CAPÍTULO 4. DERIVADA
150
1
-2
-1
1
2
-1
Figura 4.12: Gráfico do exemplo [2].
4.4 Regras de Derivação
[1] Se '5! [2] Se '5!
' ! .
, então
'
e
, então
' !
.
De fato, a função é contínua e seu gráfico coincide com sua reta tangente em qualquer ponto; logo, tem o mesmo coeficiente angular. Equivalentemente,
4 !
'
' !
' ;
De fato: '
!
' '
[3] Se '5!
0
, então
' !$ '
!
' !
' !
'
'
'
'5!
.
5
!
'
'
0
00000
'
"! ! 7'
e:
'
' ! e '5! funções deriváveis; então:
Proposição 4.1. Sejam
1. Regra da soma: As funções
são deriváveis e
2. Regra do produto: A função
! ' !
'5!
'5!
é derivável e
! '5!
'5! '5!
'5! '5!
3. Regra do quociente: A função é derivável, e
'5!
'5! '5! ' ! '5! 5 ' !!
se
' !
00000
4.4. REGRAS DE DERIVAÇÃO
151
Veja as provas no apêndice. Da regra do produto temos: constante . Da regra do quociente, '5! ! '5! , para toda ' ! ' . temos: se '5! ' ' , com , então 5
Exemplo 4.6.
Note que: ' !$
'
'
'
' ! sendo '5!
.
, temos:
'
'
;'
'
'
' ! [2] Calcule
' '
' ! , sendo ' !
[1] Calcule
'
'
! '
'
6'
0
! ' ! .
Aplicando diretamente as regras:
'
' !
'
'5!
e
'
'
! ' ! !
' ' . '
' ' '
' ! '5!
! ! ' ! '
' ' .
' ! , sendo ' !
[3] Calcule
logo,
'
' ! '
'
' ! '
! ' ! '
'5!# '
!
7' ! . ' 7'
'
[4] Determine as equações das retas tangentes aos gráficos de:
' que passa pelo ponto ( ! .
(a) '5!
'
(b) ' !
' 7' , paralelas à reta
' .
(a) O ponto dado não pertence ao gráfico de . Por outro lado a equação da reta tangente ao ' ! ' ! '7' ! , onde ' ! ' gráfico de no e ponto ' ' ! ! é '5! ' ! ' ' . O ponto ( ! pertence à reta tangente, logo, obtemos:
5 !$ ' Resolvendo a equação, obtemos: ' e '
.
'
'
e'
!#
' 7' ! '
0
. Então, as equações obtidas são
' é ' ! (b) O coeficiente angular da reta tangente no ponto ; logo, ' coeficiente angular da reta dada; então ' ' e ' . tangentes são
'
e deve ser igual ao . As equações das retas
'
CAPÍTULO 4. DERIVADA
152
-1
1
3 -4
Figura 4.13: Gráficos do exemplo [4].
4.5 Derivada da Função Composta
Suponha que desejamos derivar a seguinte expressão: ' ! ' ' ! com as regras dadas. Só temos a possibilidade de desenvolver o trinômio e aplicar sucessivamente a regra da soma ou escrever como produto de ,, polinômios e usar a regra do produto. Como ambas as possibilidades são tediosas, vamos tentar reescrever esta função. Seja '5! ' ' !# ' ! . Logo, se soubermos derivar a composta e '5! ' ; é claro que '5! de funções o problema estará resolvido. O seguinte teorema nos ensina a derivar uma função composta em termos das derivadas de e , que são mais simples.
Teorema 4.2. Regra da Cadeia Sejam e funções, tais que esteja bem definida. Se então é derivável em ' e:
é derivável em ' e é derivável em ' ! ,
! '5! ' ! !
Outra maneira de escrever o último parágrafo é: se teorema, temos que:
Para a prova, veja o apêndice. Aplicação: Seja ' !$ '5! ! , onde
'
'
'5!
'5! e '
! , nas hipóteses do
. Então: '5!
'5! !
' !.
Exemplo 4.7. [1] Calcule ' ! se ' !$ Neste caso '5! ' !$
[2] Calcule
'
'
' !! se
'
'
!
; logo,
! ' !$ '
' !
,, '5! !
.
'
' '5!
' e ' ' !$
e -
,, '
.
,, ; então: ' ! '
' !0
4.5. DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA Pela regra da cadeia:
'
'
5
153
!$ '
! . Calcule !# ' ! , onde '5! ' Observemos que '5! ' ! ! '5! , e '5!7 ' . Logo, ' !7 ' ! ' ! . em ' , temos que: !+ e ' , calcule . [4] Se
[3] Seja uma função derivável e ' !+
'
!
0
! se !$ .
; pela regra da cadeia:
' !
. Calculando a última expressão
'
Pela regra da cadeia:
'
' '
5! ' ' !
'
' !!
' ' !
ou, fazemos a composta das funções:
[5] Determine
' ! e ' !
Pela regra da Cadeia:
! se ' !
' !
'5! ! ! , !$ e ! . ' ! ' ! ! ' ! ! ! ; logo,
Teorema 4.3. Função Inversa Seja uma função definida num intervalo aberto . Se derivável e: então possui inversa
! ' !$
! ' !
'
' ' !0
.
!+
é derivável em
e
' ! para todo '7
,
' !!
Para a prova da primeira parte veja a bibliografia avançada. A fórmula pode ser obtida dire tamente da regra da cadeia. De fato, !# ' ! ' para todo ' . Derivando ambos os lados, temos que:
Exemplo 4.8.
' !
[1] Seja
'5! !
' ' ; logo sua inversa é ' . Aplicando o teorema:
[2] Seja ' ! ' ; logo sua inversa é ' . Aplicando o teorema:
' !!
' e
! ' !$
' e
0
' !
' se ' ; logo,
' 0 '
'5!
! ' !
' !
! ' !
'
'5!
' 0
' se ' ;
' ! !
CAPÍTULO 4. DERIVADA
154
' , então: '5!
[3] Se
, para todos os valores de ' tais que
' seja definida.
De fato, seja ' par, ' e para ímpar, ' não tem restrições; a inversa de ! ' ; para ' '5! ' e ' !$ ; ' ! se ' . Aplicando o teorema, temos:
'
[4] Calcule
logo, '5!
e
'
! , se ' !
' !
'5!
' !
, !$
' !
0
e
, onde '5! '
' !$
'5! ! ' !!
.
!$
' ! é uma função derivável e '5!
' !
'
' !!
. Escrevemos ' ' ; então: ' !$ '5! !
'5 ! , se '5!
[5] Determine
logo,
'5! !
Em geral, pela regra da cadeia, se então, '5! '5! ! ' !.
é
' !! ,
' e '5!
'
;
;
.
'
. Pela regra da cadeia:
!
4.6 Derivadas das Funções Elementares 4.6.1 Função Exponencial Seja tal que
Seja
'5!
De fato,
e
' !
Então,
$ !
'5!
$ ! . Em particular, se , temos : !
' ! uma função derivável e considere a função:
$ !
' !
De fato, que '5!$ em particular,
' !
' !
; usando a regra da cadeia para ' e '5! ! ! !# 5 ' ! ; então ' !+
!
'5!
O crescimento ou decrescimento exponencial, expresso pela função
!
!
ee
Então:
'5! '5! $ ! , temos ' ! ' ! $ ! ; logo,
4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
155
4! , isto é, a sua derivada é proporcional à função. Aliás, isto tem a propriedade ! é o que caracteriza a função exponencial. Nos desenhos, a função exponencial em azul e sua e , respectivamente: derivada em vermelho; para
Figura 4.14: Exemplo 4.9.
.
[1] Seja
Fazendo ' ! [2] Seja
' , temos
.
Fazendo ' !
!
' !
$
' !
$ !
, temos
.
!
.
[3] Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
Derivando ' ; 7 ! passando pelo ponto 5 ! ! , é
'
4.6.2 Função Logarítmica
Seja
tal que e e ' ! , temos que:
De fato,
' !
'5!
e 5 !
.
no ponto de abscissa .
; logo, a equação da reta tangente
'
! . Usando o teorema da função inversa para
' !$
!
'
. Em particular, se
$ '5! !
'
Usemos a regra da cadeia para calcular a derivada de função derivável. Em tal caso:
'5!
:
!
'5!
'5! '5!
' ! ! onde ' ! é uma
CAPÍTULO 4. DERIVADA
156
:
Em particular, se
' ! '5!
$ ' ! ! !
1
1
Figura 4.15: Função logarítmica em azul e sua derivada em vermelho; para respectivamente.
e - ,
4.6.3 Aplicações
Para todo , se ' ! ' , ' Aplicando logaritmo à expressão temos
'5! ' !
$ ! ! ou seja,
'
'
'5! '5! !
' ! 0
' !!
; temos que,
' ! ' ! ' !
'5! $ ' ! ! Então, se
0
'5! ! , onde '5! . Aplicando logaritmo à expressão $ ! ' ! $ ' ! ! . Derivando, temos:
Seja
' ' ' ! ! , onde '5! e
, temos:
Em geral, se ' !
; logo,
'
. De fato, seja ; então, '5! ' ! ' '5! . '5! ' : temos, $ ! $ ' ! ! $ ' ! . Derivando,
' !!
:
'5! !
' !
e
' ! $ '5! !
'5! '5! $ ' ! !
'5! '5! ' !
' ! ' ! 0 '5!
4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES Exemplo 4.10.
[1] Calcule a derivada de Aqui 7
' , '- .
, respectivamente; logo:
e 7
, 7
' '
157
[2] Calcule a derivada de
'
'
'
6'
.
' ! .
'
Aplicando logaritmo à função e usando as propriedades da função logarítmica, temos:
$ ! $
' !
Derivando:
5 ' !
'
$ !
,logo:
'
' ! 0 ' $ '
' ' ' '
[3] Calcule a derivada de
$ '5!
' ! $ '
' ! ' ' '
' 0 ' ' '
') .
Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:
$ !$ ' $ '
[4] Calcule a derivada de
'
$ '5!
! . Derivando:
e,
!$ $ ' ! ! ' 0
'5! $ ' !
'- .
Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:
$ !$ $ '
!
' . Derivando:
$ '5!
' $ '5! 5 ' ! '
, logo:
'
'
$ '5!
'
[5] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de '5! ' .
5'
'
, (' ) no ponto de abscissa
0
Aplicando logaritmo a ambos os lados de ' , temos que: $ ! ' $ '5! ; derivando, '5! ' $ ' ! ! ; ! e a equação da reta tangente é obtemos ' $ ' ! 7' .
1
1
Figura 4.16: Gráfico de ' !
'
.
CAPÍTULO 4. DERIVADA
158
[6] Seja ' !$ $ ' ! . Sabendo que !$ , verifique que: ! ! $ ! ! $ ! ; logo: ! . então,
!
! !
.
!
Tabela Sejam ' ! , ' ! funções diferenciáveis e [1]
.
[2]
' , então
[3]
[4]
' !
[5]
' ! ' ! , então
[6]
[7]
[8]
[9]
' ! ! , então
$
'5! ! , então
, então
'5! .
'5! !
$ !
'5!
!
'5! '5! .
'5! '5! ' ! '5! . 5 ' !! ' !.
' ! . ' !
' ! . ' !
' !.
' ! ' !
' ! ! , , então
[12] Seja
'5!
, então
, então
[11]
, então
' ! , então
' ! '5! ' !
[10]
.
' ! , então
uma constante. Se:
, onde
'5! !
' ! , então
' !.
' !!
4.6.4 Funções Trigonométricas Se
'5!
$ '5! , então $ ' ! $ ' ! $ 5! $ ' ! $ ' ! $ ! '
'5! $ ' ! !
' !
! , onde
$ 5!
' ! ' ! 0 '5!
. Logo:
'
!
'5!
onde, para calcular o último limite usamos um limite fundamental. Se ' ! , sabendo que '5! $ 7' ! e utilizando a regra da cadeia com ' ! ' , temos:
4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
' ! !
Se
5 ' ! , sabendo que ' !
Se Se Se
$ '5! , então ' ! , então
'5! , então
$ '
'5!
7'
$ '5! 0
e utilizando a regra do quociente, temos:
!
'5!
' ! .
$ ' ! ' ! 1 '
'5!
159
!
, ' !
Se
Se
Se
' ! 0
'5! , então
'
! , então
' ! '5! ' ! ' !
'5! , então
' !.
Tabela Sejam ' ! , '5! funções diferenciáveis e [13] Se
[14] Se
$
'5! ! , então
'5! !
' ! ! , então
$
uma constante. Se:
'5! .
' !!
'5! .
[15] Se '5! ! , então ' ! ! ' ! . ' ! ! , então 5' ! ! '5! . [16] Se [17] Se '5! ! , então ' ! ! ' ! ! ' ! . ' ! ! , então '5! ! ' ! ! [18] Se
' !.
Exemplo 4.11.
$
[1] Se
'5! , .
' , temos
Fazendo ' !
' ! ; utilizando a tabela, temos que
'5! .
Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo.
[2] Seja
Fazendo anterior, temos:
' ! , onde %/ . .
' !7
$
' ! ! , derivando como uma potência e usando o exercício
'5!
'5! 0
Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo.
[3] Seja Fazendo
$ ' ! ! . ' ! $ ' ! , temos
' !
' ! ; logo, temos que
[4] Determine as retas tangentes ao gráfico de igual a .
$ '
' !
$ '
!!.
! que tenham o coeficiente angular
CAPÍTULO 4. DERIVADA
160 Sabemos que se ' !
, ou seja, ' !
$ '
! , então
, que tem soluções '
'
'
!
!
'5! ; logo, devemos resolver a equação
, onde . As equações são:
'5!
se '
se '
'5!
e
0
1
-3
3
.
Figura 4.17: Desenho para [5] Determine os pontos onde o gráfico da função zontal. Devemos resolver a equação
abscissas '
,
$ '
'
ou, equivalentamente, '5!
4.6.5 Funções Trigonométricas Inversas
$ '
; logo, os pontos tem
.
Figura 4.18: Desenho para
Seja &
! possui reta tangente hori-
.
! . A função arco seno, definida para ' 2 3 é a função inversa da função
. ' ! '5! se ' ! . Usando a fórmula do ' ! $ ' ! , se '- ' ! $ ' ! , ou seja, $ ! ' , então: teorema da função inversa, temos: se
! ' !
' !!
$ '
!!
! 0
4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES Mas,
!
161
! , pois ! . Então: se '- ! 0 7 ! '
$ '5! , temos: $ ' ! ! ; logo, ' ! . Como ' !$ se '- ! 0 7'
Seja
Tabela Sejam ' ! , '5! funções diferenciáveis e [19] Se
$
' ! ! , então
[20] Se
' ! ! , então
[21] Se
[22] Se
' ! ! , então
[23] Se
'5! ! , então
[24] Se
'5! ! , então
uma constante. Se:
'5! . ' !
' !
'5!
' !
.
'5!
' !
'5!
' ! ! , então
.
.
'5!
'5!
' ! .
'5!
'5!
' !
' ! . '5!
4.6.6 Funções Hiperbólicas
As derivadas das funções hiperbólicas são calculadas diretamente, pois todas elas envolvem ! ; derivando, temos: '5! 0 exponenciais. Por exemplo, seja ' !
Tabela Seja '5! derivável. Usando a regra da cadeia, temos:
[26] Se
[27] Se
[28] Se
[25] Se
' ! ! , então ' ! ! , então
' ! ! , então '5! ! , então
'5! !
'5! .
'5! !
'5! .
' !! ' !. 5 ' ! ! '5! .
CAPÍTULO 4. DERIVADA
162 [29] Se
[30] Se
'5! ! , então ' ! ! , então
' !!
'5! !
' !!
'5! .
' !!
'5! .
Exemplo 4.12. Calcule as derivadas
[1]
.
Fazendo ' !
$ $ '
[2]
$
Fazendo ' !
$ '5! , temos
' . Então
'
'5! , temos
; usando a tabela:
'5! ' !
' $ '5!
' . ' ' $ '5! ! . [4]
'
$ '
Fazendo ' !
' ! ! ; usando a tabela: ' ! $ $ '5! ! 0 ' ! $ ' ! !
! , temos
[5]
' !.
Fazendo ' !
' , temos
[6]
!.
Fazendo ' !
, temos
$ $ '
Fazendo ' !
[8]
$
!!.
$ '5! , temos
$
, '5! ! .
Fazendo ' !
, '5! , temos
'5!
6'
0 '
' !
'5!
'
0
'5! ! ; usando a tabela:
' !
' ! ! ; usando a tabela:
[7]
' ! ! ; usando a tabela:
' !
$
$ ' ! !
' ! !
'
' ! ! ; usando a tabela:
'5! ' !
'5!#0
0
'5!
.
'
e
.
' . ' ' 5' ! ! ; como , temos que
'
'5! ! ; logo:
'5!
!!.
Fazendo ' ! [3]
, sendo:
'
, temos '
4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES [9]
$ ''
Fazendo ' !
!!.
$
! , temos
' ! ! ; usando a tabela:
'5! ' ! '
[10]
Fazendo
163
$ '5! ! . ' ! $ '5! , temos
'
!0
'
'5! ! ; usando a tabela:
')
se
se
')
0
[11] Calcule a área do triângulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta tangente à
curva
no ponto '
.
A reta tangente à curva
'
' !7
'
no ponto '
é:
! '
! . Como
' ) . Se ' , então ; se , então ') . A altura do triângulo é igual a e a base é igual a . Logo, a área do triângulo é: !
, a equação da reta tangente é:
0 0
1
1
Figura 4.19:
[12] Uma partícula move-se ao longo da curva ' . Quando ' pela tangente à curva. Determine a equação da reta de escape.
A equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa é ! ' ; logo, '5! ' e ! ; a equação é: ' ' !$
a partícula escapa
! 0 '
! , onde
CAPÍTULO 4. DERIVADA
164
3
Figura 4.20:
4.7 Derivação Implícita Seja
' ! uma equação nas variáveis ' e .
' ! é definida implicitamente pela equação ' '5! !$ 0 Em outras palavras, quando '5! satisfaz à equação ' !$ .
' ! , quando
Definição 4.5. A função
Exemplo 4.13.
; a função ' ! ' é definida 7' /! ' !! ' . ' ; a função ' ! ' é definida 7 [2] Seja a equação ' ! , onde ' ! implicitamente pela equação ' !$ , pois ' ' ! ! 7'5! ' . ; esta equação define implicitamente [3] Seja a equação ' ! , onde ' ! ' uma família de funções; por exemplo ' !
7' , '5!
7' ; em geral,
' se '-
[1] Seja a equação ' ! , onde ' ! ' implicitamente pela equação ' !$ , pois '
para cada
[4] Seja
' !
1! .
, onde
'
'-
se
' ; então, as funções definidas implicitamente pela equação ' ! , pois: ' ' ! !+ ' ' ! 0 ' !
' !
'5!
'
são
Observemos que nada garante que uma função definida implicitamente seja contínua, derivável, etc. Na verdade, nem sempre uma equação ' ! define implicitamente alguma função. Por exemplo, considere a seguinte equação:
'
'
'
!
$ '
!
$ '
! 0
4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
165
4.7.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita
Podemos calcular a derivada de uma função definida implicitamente sem necessidade de explicitá-la. Para isto usaremos novamente a regra da cadeia. Suponha que ' ! define implicitamente uma função derivável ' ! . Através de exemplos mostraremos que podemos calcular sem conhecer .
Exemplo 4.14.
' ! uma função derivável definida implicitamente pela equação ' . [1] Calcule . ' é definida implicitamente por ' e calcule [2] Verifique que a função ' ! . . Derivando em relação a ' ambos os lados da igualdade Como ' ! , temos ' ' ! ! e usando a regra da cadeia, obtemos: ' !! ! ! ' ! '5! ' ! ' !$ 0 ' ! ' ' ' ' Então, '5! . Logo, '5! ' Seja
É imediato que a função ' !+ ' ' ' ! .
0
' é definida implicitamente pela equação '
e
7'
Método de Cálculo Dada uma equação que define do seguinte modo:
implicitamente como uma função derivável de ' , calcula-se
Deriva-se ambos os lados da equação em relação a ' , termo a termo. Ao fazê -lo, tenha em mente que é uma função de ' e use a regra da cadeia, quando necessário, para derivar as expressões nas quais figure . O resultado será uma equação onde figura não somente ' e , mas também função de ' e . Tal processo é chamado explicitar . Exemplo 4.15. Calcule
se
. Expresse
em
'5! é uma função derivável, definida implicitamente pelas equações dadas:
' . ' é igual a ' ' ' ! ! '5! ! ' ; derivando Note que ' ' ' ! ! ! ' ! ambos os lados da equação, obtemos: ' / ! ' '5! ! ! ; então, ' ! ' !! 0 ' ' ' !! ' ' ! '5! ! ' Logo, ' ' . Expressando em função de ' e :
[1] '
'
CAPÍTULO 4. DERIVADA
166
'
[2] '
$ '5!
'
' ' '
0 !
$ ! $ ' ! . Derivando ambos os lados ' ' ! . Expressando em função de ' e : '5! ' $ ! ' ! $ ' ! 0 ' ! ' ' ! . Derivando ambos os lados
'
$ ! '
!
'5!#
[3] $ ' ! Expressando
em função de ' e :
$ ' ! '5!
' '
! !
!
$ '
!.
0
O processo de derivar implicitamente pode ser usado somente se a função determinada pela forma implícita é derivável. Mas, para os exemplos e exercícios, sempre consideraremos esta exigência satisfeita. [4] Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função implícita definida por:
no ponto
' '
!
.
Derivando a equação implicitamente:
' '
Expressando
ponto
em função de ' e :
, temos que
'
e a equação desta reta é
'
!0
; lembrando que '
,
' ! e
é o coeficiente angular da reta tangente no
' .
1
-2
1
-1
Figura 4.21:
4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
167
[5] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função
"! ' ' ! !$ ' no ponto .
implícita definida por: '
Derivando a equação implicitamente
Lembrando que ') tangente no ponto ' .
,
'
' ' !0
'5! '
' ! e
,temos que
e a equação desta reta é
!
'
é o coeficiente angular da reta
. A equação da reta normal é
1
-1
1
-1
Figura 4.22: [6] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função implícita definida por:
'
em qualquer ponto; ( e constantes não nulas). Derivando a equação implicitamente:
' Expressando se
em função de ' e :
, temos:
'
' !
e a equação desta reta é:
'
0
; lembrando que '
' ,
' ! e
, que é o coeficiente angular da reta tangente no ponto '
'
'7' ! . Ou, equivalentemente,
'
'
'
!,
!
CAPÍTULO 4. DERIVADA
168 A equação da reta normal é:
'
'7' !
.
se '
Estas são as equações da reta tangente e da reta normal num ponto qualquer ' ! da elipse. , temos todas as retas tangentes e normais num ponto qualquer Em particular se - ' ! de um círculo de raio .
Figura 4.23: A elipse e suas tangentes. [7] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função implícita definida por:
' em qualquer ponto; ( e são constantes não nulas). Derivando a equação implicitamente:
'
Explicitando mos
' !
:
'
' e lembrando que '&
0 ' ,
'5! e
'
! , se
, te-
, que é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto
' ! e a equação desta reta é:
'
'
A equação da reta normal é:
'
$ '7' !
4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
169
. Estas são as equações da reta tangente e da reta normal a uma hipérbole num ponto ' ! arbitrário.
se '
Figura 4.24: A hipérbole e suas tangentes. [8] Ache a equação da reta tangente ao gráfico das funções implícitas definidas por: i) ' ii)
'
'
, no ponto ! . (Folium de Descartes).
' (! , no ponto ! . (Lemniscata de Bernoulli).
"!
i) Derivando a equação implicitamente:
No ponto ! ,
' 0 '
e a equação da reta tangente é '
.
ii) Derivando a equação implicitamente:
'
' ! ' ! 0
e a equação da reta tangente é ') No ponto ! , Folium de Descartes e da Lemniscata de Bernoulli, repectivamente: 6
1
. Desenhos do
2
4
1 2
-2 -2
2
-2
4
2
4
6
-1
Figura 4.25: Folium de Descartes e Lemniscata de Bernoulli, respectivamente.
CAPÍTULO 4. DERIVADA
170
4.8
Famílias de Curvas Ortogonais
As famílias de curvas ortogonais são muito utilizadas em diferentes áreas. Na Física, por exemplo, as linhas de força de um campo eletrostático são ortogonais às linhas de potencial constante e as curvas isotérmicas (de igual temperatura) são ortogonais ao fluxo do calor. Definição 4.6. Duas curvas são ditas ortogonais num ponto de interseção se suas retas tangentes nesse ponto são perpendiculares. Uma família de curvas é ortogonal a outra família de curvas se cada curva de uma família é ortogonal a todas as curvas da outra família.
Exemplo 4.16.
+' é ortogonal à família de elipses '
[1] A família de parábolas
.
Derivamos as equações implicitamente e comparamos os coeficientes angulares. Sejam os coeficientes angulares correspondentes à família de parábolas e os coeficientes angulares correspondentes à família de elipses. Logo,
+
e
e
'
'
.
Figura 4.26: [2] A família de círculos '
+' é ortogonal à família de círculos '
.
Derivamos as equações implicitamente e comparamos os coeficientes angulares. Sejam os coeficientes angulares correspondentes à família ' +' e os coeficientes angulares correspondentes à família ' . Logo,
e
.
+
'
7' '
e
'
' '
4.9. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
171
Figura 4.27:
4.9
Derivadas de Ordem Superior
Definição 4.7. Seja uma função derivável. Se a derivada é uma função derivável, então sua derivada é chamada derivada segunda de e é denotada por ! . Se é uma função derivável, então . Em geral, se a derivada de sua derivada é chamada derivada terceira de e é denotada por ! ordem ! de é uma função derivável, sua derivada é chamada derivada -ésima de e é denotada ! por .
Notações:
, , ,
'
'
' , calcule
' ! ' ' ' ! ' '
Logo,
Exemplo 4.17. [1] Sendo '5!
'5!
, etc.
.
'
'5!
' ! 0
'5! , se .
24
'5! (verde) e suas derivadas. Em geral, se é uma função polinomial de grau , então, ' ! e Figura 4.28: Gráficos de
.
'5!
para
CAPÍTULO 4. DERIVADA
172
[2] Sendo '5!
' ! '
' !
'
[3] Sendo '5!
' !
' !
Logo,
' !
' !
'5!
'5!
, para todo
! , calcule
$ ' ! $ ' ! $ ' ' ! $ '
'5! '
.
, para todo
' !
' !
$ ' ! ' !$
' !$
$ '
$ ' $ '
' !$
$ '
' !$
'
.
!
!
!
!0
'
$ '5! e
' . ; então:
'
' $ '5! ' ! ' 0 ' , determine o valor das
e .
'
' '
. Verifique que '
constantes
'
.
' ' ' $ '5! , / ' ' $ '5! ' , Derivando: $ '5! ! ' 7' ' ! satisfaz à equação [6] Se '
[5] Seja
!
' !
!
' !
.
.
.
'5! ' '5! '
, para todo
, calcule
Logo,
$ '
'5!
'5!
' !
!
[4] Sendo '5!
.
'5!
'
Logo,
, calcule
Calculando as derivadas:
'
logo a equação fica: [7] Calcule
!
'
1! , se '5! '
' !$
'5!
'5!
'
'
'
! '
' ! ' !
'5!
e !
'
'
e
da qual obtemos
' ! '
!
'5! , ! , !
' !
'
e .
.
' ! !
'
' !!
!
4.10. APROXIMAÇÃO LINEAR logo,
1!
173
.
Em geral, nada garante que quando calculamos sucessivamente as derivadas de uma função, estas sejam funções deriváveis.
' ' . Então,
[7] Seja '5!
Logo mas
' !
' '
se ' se ' 0
' ' , para todo ' ; analogamente temos que não é derivável no ponto ' . Verifique. ' !
'5! ' para todo ' - ;
4.10 Aproximação Linear É intuitivo pensar que uma função derivável restrita a um pequeno intervalo contido em seu domínio "comporta-se"como uma função polinomial do primeiro grau.
'5! ' . Estudando Por exemplo, consideremos , por exemplo , ' 2 0 0 3 obtemos:
'
0 0
0
0 , 0
num pequeno intervalo contendo
' !
0 ,
0 ,, , 0
A reta tangente ao gráfico de no ponto '- é dada por ' ; seu coeficiente angular 0 1! ! , é . Determinemos os coeficientes angulares das retas passando pelos pontos 0 ! ! e 0 , 0 , ! ! , ! ! , respectivamente:
! 0 1! 0
0
e
0 , ! ! 0 ,
0 , 0
1 1
Figura 4.29:
CAPÍTULO 4. DERIVADA
174
de . Observe que se ' são valores bastante próximos ' ! ' fica próxima de ' . De fato: e
1
' !
'
(' perto de ), então
1 0 '
Isto nos leva a estabelecer a seguinte definição:
Definição 4.8. Seja ' ! uma função derivável em ' é denotada por ' ! e definida por:
' se ' '
'
!
6! , pequeno.
1 '
!
. A aproximação linear de
em torno de '
' ! '' !
A função ' ! também é chamada linearização de ao redor do ponto ' . A proximidade de ' ! e ' ! nos permitirá fazer algumas aplicações. A notação para ' ! próxima a '5! é ' ! '5! . ' ! ' ! e satisfaz à seguinte condição: O erro da aproximação é ' !
' ! '7'
' ! ' ! '7'
' ! 0
Exemplo 4.18. [1] Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos resolver os seguintes problemas:
i) Se '5!
' !
representa a temperatura num arame, calcule a temperatura 0 ! .
representa o crescimento de uma população de bactérias, calcule a população ii) Se 4! de bactérias para 0 .
!
iii) Calcule, aproximadamente 0 ,
i) Vamos determinar ' !$
tal que
!
' !
tal que
1 0
'
'5!
no intervalo
0
(pequeno). Como 0
1 ! , temos, 0 ! 0 ! ! ' ! , com ! 1
(pequeno). Como 0
ii) Vamos determinar '5!$ ; então: ! 0
.
0 , !
! ' . Derivando:
'5!
$
!
1 0
no intervalo
0
! , se 0
' !
; então:
6!
$ ! 0 graus. 0 . Derivando, obtemos:
1
6!
, então, 1 0 0 0
4.10. APROXIMAÇÃO LINEAR
175
' iii) Considere a função '5!$ ' ; logo, ' ! ' ' e !
0 , . Então, para ' e'
'5! ! ' ! 0 , , para todo ' próximo de . Em particular, para ' 0 , ! 0 , ! 0 ,
!
'
!$ !
, temos !+
,
!
0 ,
0
1
20
1
Figura 4.30: Gráficos de i), ii) e iii), respectivamente:
[2] Considere a função logística ! : Derivando:
onde,
!
!$
. Determine sua aproximação linear no ponto
! ; logo, 4! !
!
! 1
. 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
Figura 4.31: Desenhos para
e
-1
1
2
3
, respectivamente.
[3] Calcule o valor aproximado do volume de uma esfera, construida de uma folha de aço de 0
de espessura sendo seu raio interno igual a .
O volume de uma esfera é
1!
. Seja ; então, a linearização do volume é: ! ! 0
CAPÍTULO 4. DERIVADA
176
Logo, 0 1! erro cometido é:
0
da esfera é . O verdadeiro volume . 0 1! 0 1 !$ 0
0
. Note que o
4.11 Velocidade e Aceleração Da Física elementar sabemos que a velocidade percorrida por um móvel em linha reta é dada pelo quociente da distância percorrida pelo tempo transcorrido. Usaremos a definição de derivada para determinar a velocidade instantânea de um móvel que se move ao longo de qualquer trajetória derivável.
4! . Se 2 3 é um Suponha que uma partícula move-se ao longo do gráfico da função pequeno intervalo contido no domínio de , a velocidade média da partícula no intervalo 2 3 é:
v
"! ! 0 +
distância tempo
ab
v
a
ac
b
c
Figura 4.32:
é o coeficiente angular da reta passando por ! ! e "! ! . não dá informação
sobre a velocidade da partícula no tempo
tantânea em , consideremos o intervalo 2 Analogamente para .
. Se estamos interessados na velocidade ins ! ! . 3 ; então,
Definição 4.9. A velocidade instantânea de uma partícula que se move ao longo do gráfico da função derivável 4! em $ , é:
!$
!
De forma análoga definimos a aceleração média:
"! !
+
.
4.11. VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
177
Definição 4.10. A aceleração instantânea de uma partícula que se move ao longo do gráfico da função duas vezes derivável 4! em , é:
! 4!
!
O movimento harmônico simples ! é caracterizado por 7 ! ! 4! ( ). movimento harmônico amortecido por 4!
4 !
(
)eo
Exemplo 4.19. [1] Uma partícula move-se ao longo da curva + ! instante em que a velocidade é zero. Se 4 !
. Calcule a aceleração no
ou . A
; se !$ temos que ; logo ! ou ! .
, então !
aceleração no instante é 4 !
[2] Uma sonda é lançada para cima verticalmente, sendo a distância acima do solo no instante dada por ! 5 ,, ! . i) Determine em que instante e com que velocidade a sonda atinge o solo. ii) Qual é a altura máxima que a sonda atinge?
i) A sonda atinge o solo quando 4! ,, 4! atinge o solo após ,, e a velocidade é !+ O sinal negativo é porque a sonda está caindo.
! ii) Se $
, então , e , !
,,,
ou seja quando $ ou , , ; a sonda !+ ,, e , , ! , , * .
.
[3] Um ponto move-se ao longo do gráfico de tal modo que sua abscissa ' de ' varia com uma velocidade constante de * . Qual é a velocidade da ordenada quando ? '
Sejam '& ' 4! e instante tal que '
!
5 ! a abscissa e a ordenada no instante , respectivamente. Seja
. Queremos calcular a velocidade de
palavras, queremos calcular
para
*
'
'
'
.
o ; em outras
. Usando a regra da cadeia:
O ponto tem velocidade constante igual a ; logo,
no instante
'
'
0 e
' . Para ' ! temos que
de altura afasta-se de um farol situado a 0
do solo, com uma [4] Um homem de 0 velocidade de 0
do farol, com que velocidade sua sombra * . Quando ele estiver a estará crescendo neste ponto e qual o comprimento da sombra?
CAPÍTULO 4. DERIVADA
178
4.5
1.80
y
x
Figura 4.33: Seja o comprimento da sombra e ' a distância entre o homem e o ponto do solo acima do qual está o farol. Pela semelhança de triângulos:
Como
'
0 , temos:
*
'
0
'
e
0
; logo,
'
'
0 ' ; então: 0
0
e o comprimento da sombra é
.
4.12 A Derivada como Taxa de Variação A velocidade de uma partícula que se move ao longo do gráfico da função derivável ) 4! 4! e representa a razão do deslocamento por unidade de variação de no tempo é 4! tempo. ! expressa a taxa de variação de 4! por unidade de tempo:
!$
!
4! 0
'5! é função derivável, então '5! é a taxa de variação de em relação a ' . A interpretação da derivada como taxa de variação se aplica em diversas áreas da ciência. Por exemplo, se 4! mede a concentração de glóbulos vermelhos no sangue no instante , mede a taxa de variação média da concentração de glóbulos vermelhos durante o 3 ! intervalo de tempo 2 e mede a taxa de variação instantânea de glóbulos vermelhos Se
no instante
.
Exemplo 4.20.
[1] Uma partícula move-se ao longo do gráfico de ' , de modo que quando ' a * . Qual é a velocidade de crescimento da ordenada abscissa cresce a uma velocidade de nesse instante?
Seja '
; devemos calcular:
' ! a abscissa no instante e '
'
'
0
4.12. A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO
Temos:
*
'
' e
'
; logo,
'
179
. A ordenada cresce a uma razão de
[2] Um ponto move-se ao longo da elipse de equação '
elipse que satisfazem à equação
'
. Determine os pontos da
.
' 4! e 5 ! são a abscissa e a ordenada do ponto no instante , derivando implicita ' mente a equação da elipse: ' e usando a condição dada: Se '-
'
'
'
'
!. e [3] O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico cujo diâmetro cresce à razão de 6* ( =metros). Determine a taxa de variação do volume do sua altura cresce à razão de *6 e sua altura é . tronco quando o diâmetro é
logo, '
. Da equação da elipse obtemos:
e os pontos são: ! e
(
Seja
!
o raio no instante e
!
a altura no instante . O volume é
; derivando implicitamente: o raio é a metade do diâmetro: , ,, ; logo, , *6
devemos calcular
e
4!
;
, ; então:
0
' . Quando a partícula passa [4] Uma partícula move-se ao longo da curva de equação pelo ponto ! , sua abscissa cresce à razão de * . Com que velocidade está variando a distância da partícula à origem nesse instante?
Sejam ' ' 4! e 7 # 4! a ordenada e a abcissa no instante e ' o quadrado da distância da origem ao ponto ' ! . Derivando implicitamente ambos os lados:
logo,
'
'
, pois
' . Logo
'
'
*
.
[5] Um reservatório de água está sendo esvaziado. A quantidade de água no reservatório, em litros, horas após o escoamento ter começado é dada por ! 4! . Calcule:
i) A taxa de variação do volume da água, após horas de escoamento. ii) A quantidade de água que sai do reservatório, nas primeiras horas de escoamento. i) A taxa de variação é
,
, 4 ! ; calculando em , temos que:
* . O sinal negativo é porque o volume da água está diminuindo com o tempo,
já que o reservatório está sendo esvaziado.
CAPÍTULO 4. DERIVADA
180 ii)
!
litros.
1!
* . Se o raio da base do funil [6] De um funil cônico a água escoa a uma velocidade de e a altura é de , calcule a velocidade com a qual o nível de água está descendo, é de quando o nível estiver a do tôpo.
Sejam
o raio do círculo que forma o nível da água e
! , 4 !
e
a altura no tempo , respectivamente.
é o volume do cone de raio e altura .
12
24
r
h
Figura 4.34:
; então e 0
Pela semelhança de triângulos, temos:
Mas, está diminuindo e , pois o volume , obtemos: * .
.
; resolvendo a equação
[7] Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de * , enquanto os outros dois lados diminuem, de tal modo que o retângulo resultante permanece com área . Qual é a velocidade com que o perímetro diminui quando o comprimenconstante de , ? Quais são as dimensões do retângulo, quando o perímetro to do lado que aumenta é de deixar de diminuir?
i) Seja ' o lado que aumenta e o lado que diminui no tempo ; logo ' ' ! e 5 ! ; o ! e a área é ' , . Derivando estas expressões em , temos: perímetro é '
, então ; como
Se ')
* .
'
'
'
; então, ,' 4! 5 !
'
'
0
, da última equação, temos que
ii) O perímetro deixa de diminuir quando
e
; logo, ' 4!
'
, o que é equivalente a
'
'
; logo:
; mas
5 ! ; e o retângulo é um quadrado de área
4.12. A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO
181
, ' ; ou seja, um quadrado de de lado. [8] Uma escada de de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se a extremidade
inferior da escada começa a deslizar horizontalmente à razão de 0
* , com que velocidade o topo da escada percorrerá a parede, quando a extremidade inferior estiver a do solo?
10
y
x
Figura 4.35:
4! os lados do triângulo formado pela parede, a escada e o solo, no Sejam ' ' 4! e , ; derivando implicitamente: instante . Pelo teorema de Pitágoras '
' Devemos calcular
'
0
, e ' 0 ; logo, '
. Como , então ' '
a escada está deslizando a uma velocidade de
*
.
[9] A dilatação de um disco de cobre aquecido é tal que o raio cresce com a velocidade de 0 ? * . Com que velocidade cresce a área do disco quando o raio tem
Sejam ' ' 4 ! o raio e Derivando:
para '
e
'
velocidade de 0
0 , tem-se: ( * .
' .
4! a área do disco no instante , respectivamente. Então
'
0
'
*
. A área do disco cresce com uma
[10] A lei de Boyle para gases confinados a uma temperatura constante é , onde é , a pressão é de * e o volume e a pressão. Se em certo instante o volume é de , a pressão cresce à razão de * , com que taxa está variando o volume nesse instante? 6*
Sejam
4! o volume e
4! a pressão no instante , respectivamente. Escrevamos o
volume como função da pressão: Usando a regra da cadeia:
!$
.
CAPÍTULO 4. DERIVADA
182 para
, , e
*
.
, temos:
*
. O volume decresce à razão de
[11] (Sistema de Lotka-Volterra) No estudo de ecossistemas, modelos de presa-predador são utilizados para estudar a interação entre as espécies. Se uma população de lobos siberianos é dada por ! e uma população de cervos por ! , a interação das duas espécies pode ser medida pelo sistema:
onde , , e são constantes positivas. Determine estáveis para 0 , 0 , , 0 e 0 ,, .
e
que levem as populações a ficar
As populações ficam estáveis quando suas taxas de crescimento são nulas; então devemos resolver o sistema:
!
-
!$
; a solução é e ; logo, para os valores das constantes dados , . As populações ficam em equilíbrio quando tem lobos e , cervos.
com
e
[12] Se uma barra é feita de material homogêneo, então sua densidade é uniforme e é dada pela massa por unidade de comprimento, medida em quilogramas/metros. Se a barra não é homogênea, mas se sua massa é dada por ' ! do início ao ponto ' da barra, então, a massa ' ! entre os pontos ' e ' é dada por ' ! e sua densidade média é dada por . A densidade linear da barra é a taxa de variação da massa em relação ao comprimento e é dada por:
Sabendo que uma barra de comprimento determine a densidade no centro da barra.
4.13
'
0 '
tem massa dada por
! '
0
*
'5!
'
' ,
0
Exercícios
1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
4.13. EXERCÍCIOS
183
7 ' ' ' ' $ '5! ' ' ' ' ' 7' ' $ ' !
(a) (b) (c)
' ' ' ' '
(d) (e) (f)
(k)
(l) (m)
'
(h) (i) (j)
(n)
'
(o)
'
'
(p)
6 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
(g)
! ' ! ' ' ! ! ' $ '
$ '
' '
'
'
' ' (r) ' ' !
(q)
2. Calcule a constante para que a reta
'
6 ' seja tangente à curva '
3. Determine as equações das retas tangentes à curva
.
' , nos pontos de abscissa '
.
4. Determine o ponto onde a curva ) ' tem tangente paralela à reta tangente à mesma curva no ponto de abscissa ' . Determine a equação da reta tangente nesse ponto. 5. Determine as equações das retas tangentes e das retas normais às curvas, nos pontos de abscissas dadas:
(b)
(a)
'
!
'
'
(e) (f)
(c)
' ! ' '5! '
(d)
'
$
!
' e 7
'
' ' onde as retas tangentes passando '
tem retas tangentes paralelas com abscissa
! . Calcule ! se !$ . 9. Seja uma função derivável e ' !+ ' ' "! . Calcule ' ! . ! . Calcule ! se ! e !$ . (a) Seja uma função derivável e ' !+ ' (b) Seja ' ! '5! ! em que e são funções deriváveis. Se ! , ! e 1!$ , determine ! . 10. Determine ' ! se ' ! '5! e ' ! são funções deriváveis e: 8. Seja
$ !
'
(g) ' ! ' ' ! $ '5! (h) '
' 6. Determine os pontos da curva por esses pontos intersectam a origem. 7. Sabendo que as curvas comum, determine-as.
' '
uma função derivável e ' !+
CAPÍTULO 4. DERIVADA
184 (a) (b)
' !
' ! ' !
' !
'5!
'5!
' !
'5!
11. Use [10] para calcular
' !
(c)
' !
(d)
'5! se:
(a)
' !
'
' ! ' ' ! ' !
(c)
(b)
' !
'
' !
(d)
12. Usando a regra da cadeia, determine
, sendo:
(b)
(c)
(d)
1 ! ' ' ! '5! ! ' ' ' ' ! 1 ' '5! ' ' 1! /!
(e)
(f)
(g)
'
'5!
' !
' ! ' !
' !
' ' ! $ ' ' ' $ ' ' ! '
(a)
' !
(h) (i) (j) (k)
' !
' '
! '
!
! ' ' ' ' ! ' '
' '
(f)
(g)
$
$ !
(c)
'
(d)
15. Calcule
'
'
(b)
'
:
' !!
(e)
(f) (g)
(h)
'
'
' ! ' '/!
!
!
(j)
(i)
$ '5!
(i)
:
$ ' ! ! $ ! $ $ '5! ! !
(h)
!
14. Usando a derivada de logaritmo, calcule (a)
'
$ '
(e)
! '
' 1 ! ! ' ' ! '
13. Calcule as derivadas das funções: (a) (b) (c) (d)
!
(j) (k) (l)
'
' ! $ '5!
4.13. EXERCÍCIOS
(a)
(c)
(b)
185
' ! '
(g) (h) (i)
!
(d)
' ! ' ' ! ' !
(f)
' ! 7' !
'5! , ' ! (j) $ ' ! (k) '5! (l) $ !
(e)
'5!
(n)
(o)
(p)
(q)
(r)
(m)
' '/! ! ' ' ! ! $ ' ! ! $ '5! !
16. Verifique que as derivadas das funções hiperbólicas inversas, são: (a) Se
' ! ! , então
(b) Se
' ! ! , então
(c) Se
(d) Se
(e) Se
(f) Se
17. Calcule
:
'5! ! , então ' ! ! , então ' ! ! , então
(b) (c)
(d)
(e)
(f)
(g)
' ! '5! . ' !
' !
' !
' 1 ' !
'5!
' !
.
' !
.
' !
' !
' ! .
' !
(i) (j) (k) (l) (m)
, ' !
18. Usando derivação implícita, calcule
(n)
:
.
'5!
' ! ! $ ' ! ! ' '5! ' ' ! ' !
(h)
' !
' ! 5 ' ! ' !
' ! ! , então
' $ ' ! ' ! ' ' '
(a)
' ! . '5!
'
'
CAPÍTULO 4. DERIVADA
186
(a) '
(b) ' ' (c) '
(j) '
' (e) 1 '
!+ (g) ' (h) $ ! (i) ' (f)
!
(o)
'
' ! $ $' ! (q) ' $! ' ' !$ (r) ' !
(p)
' ! 7 ' ' !
'
! ' ! '5! (l) $ 7'5! $ $ '5! (m)
(n) $ ' !$
'
$ '
(k)
'
(d)
!
19. Determine os pontos da curva ' ' pontos sejam perpendiculares à reta '
nos quais as retas tangentes nesses .
' é ortogonal à reta ,'
20. Em que pontos a curva
'
?
21. A reta ' intersecta a curva num ponto e a curva ' num ponto . Para que valor (ou valores) de as tangentes a essas curvas em paralelas?
'
e
' são
, constante, no ponto ' ! . Ve22. Determine a equação da reta tangente à curva ' rifique que ' ! é o ponto médio do segmento de reta determinado pela reta tangente no ponto e os eixos coordenados.
no ponto ' ! . Calcule 23. Determine a equação da reta tangente à curva ' a distância entre os pontos e , onde e são as interseções da reta tangente com os eixos coordenados. 24. Verifique que as seguintes famílias de curvas são ortogonais: (a) ' (b) (c) (d) (e)
' ' ' ' ! $ ! ' ! ' ' 7'
25. Determine a segunda derivada de:
!
4.13. EXERCÍCIOS
(f)
(a) (b) (c) (d) (e)
'
187
'
(g)
$ '(! 1 '5! , '5!
(h)
'
'
' !
(i)
'
'
'
$ ' ! ! (j)
!
26. Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem
(c)
' ' -
' ' - 7' -
(d)
(e)
(a)
(b)
'
'
dada:
'
(l)
'
(m)
(g)
(p)
(h)
(q)
(i)
27. Seja
(o)
$ +'
!
-
'
(r)
, mostre que
'
'5! e
29. Para
33. Calcule
$
(m)
(n)
(o)
'5!
'5! .
.
.
' ' . Verifique que: '7' ! ' ! '
'
'5! se:
7' !
! - $ ' ! ! ' ! ! - $ '5! ! ' $ $ '5! ! $$ '5'5!! ,
.
verifique a equação:
! . Calcule
.
' ! , mostre que
' ! , mostre que
31. Determine tal que 32. Seja
uma função duas vezes derivável e ' !
28. Se
30. Se
'
(j)
(l)
$ $ '5! ! $ ' ! ! '5! '/! ! '
$ ' ! ! - ' ! $
(n)
- $ ' ! - ' -
(f)
(k)
(k)
1 ' ' 0
CAPÍTULO 4. DERIVADA
188
(a) '
35. Calcule
34. Calcule
$ '5! $ ' (e) $ ! (f) ! $ ' ! '
(b) (c)
'
! , se '5!
(d)
(e)
' !
'5! ,
0
(b)
(c)
!$
,
!
e
.
e 1!$
!
, das seguintes funções: '
' ' ' 1 ! (h) $ ' (i) ' ' ! (g)
'
(f)
37. Calcule aproximadamente: (a)
! '
' ! , 1!$ , 1!$ , 1!$
1! , se ' !
$ ' ! '5!
36. Determine a linearização no ponto ' (a)
' 7'5!
(d)
' (b) ' ! 1 (! (c) '
$
!
!
(d) 0 ,
$
0 ,
(e)
!
(f)
0 !
0
38. Polinômio de Taylor de ordem no ponto : Seja uma função vezes derivável no ponto ' . O polinômio de Taylor de ordem , ( 0 0 0 0 ), no ponto ' é denotado por '5! e definido por:
' !$
' !
' ! '7' !
' !
'7' ! 000000000
(a) ' !
é
' !
(b) ' !
(c) ' !
'5!
é é
' !
(d) Esboce o gráfico de ,
!
'
' !
!
'
, das funções:
! .
.
'
! .
' !, ' ! e
' ! no mesmo sistema de coordenadas.
(e) Compare '5! e ' ! . Que conclusões pode tirar? É possível utilizar aproximações de ?
'' ! 0
Verifique que o polinômio de Taylor de ordem , no ponto '
$ '5!
para fazer
4.13. EXERCÍCIOS
189
39. Calcule o valor aproximado do volume de um cubo, se o comprimento de cada aresta para 0 . varia de
40. Influências externas produzem aceleração numa partícula de tal forma que a equação de seu movimento é , onde é o deslocamento e é o tempo. (a) Quais são as equações da velocidade e da aceleração da partícula num tempo ?
(b) Quando a partícula para de mover-se? 41. Um estoque de sangue é guardado num freezer no instante . Após horas, sua temperatura, em graus centígrados, é 4! ! . Qual é a velocidade de resfriamento após horas? 42. Deve-se drenar uma piscina. Se é o número de litros de água na piscina minutos após , ! , qual é a velocidade de escoamento da água o início da drenagem e 4! ? após
43. Um corpo em queda livre tem como equação do movimento: ! , onde 0 * , ! é a distância, (em metros), percorrida pelo corpo em segundos, desde o início da queda. Determine a velocidade e a aceleração do corpo em queda livre.
44. Uma partícula lançada verticalmente para cima com velocidade de * , atinge a altura de 4! 0 após segundos. Qual deve ser a velocidade inicial para que a partícula atinja antes de iniciar a queda?
45. O lado de um triângulo equilátero mede cidade crescerá a área do triângulo?
e cresce à razão de
* . Com que velo
46. Qual é a variação das diagonais de um cubo se os lados crescem a uma razão de
*
?
* 47. O raio da base de um cone cresce à razão de e sua altura decresce à razão de * e sua altura ? . Como variará o volume total do cone quando o raio é
48. Um balão esférico está sendo inflado. Seu volume cresce à razão de , mine a razão com que varia o raio no instante em que o diâmetro é de
*
.
. Deter-
49. Mostre que a função logística 4! satisfaz à equação . Se representa o crescimento populacional, quando a população se estabiliza?
!
50. A redução de oxigênio na água de uma lagoa, devido ao despejo de esgoto, só volta a níveis normais dias após o despejo do esgoto. Sabendo que a quantidade de oxigênio que permanece, após dias é dada por:
!$ ,
, ,
medido em do nível normal de oxigênio, determine a velocidade com que a quantidade de oxigênio está sendo reduzida, após , , e dias após o despejo.
CAPÍTULO 4. DERIVADA
190
51. Ao meio dia o barco está a oeste do barco . O barco navega para o leste a * e o barco navega para o norte a
* . Qual é a taxa de variação da distância entre os barcos às e ?
52. A frequência da vibração da corda de um violino é dada por
onde é o comprimento da corda, é a tensão sobre a corda e é densidade linear de massa da corda. Determine a taxa de varição de em relação a (com e constantes); a taxa de varição de em relação a (com e constantes); a taxa de varição de em relação a (com e constantes) e interprete os resultados.
Capítulo 5
APLICAÇÕES DA DERIVADA 5.1 Variação de Funções Definição 5.1. Seja 1.
uma função e '
!.
possui um ponto de máximo relativo ou de máximo local no ponto ' intervalo aberto que contem ' tal que:
A imagem de ' 2.
'
, '
!
' !
para todo
'-
!
! , é chamada valor máximo local de .
possui um ponto de mínimo relativo ou de mínimo local no ponto ' intervalo aberto que contem ' tal que:
A imagem de '
, '
, se existe um pequeno
'5! '
!
para todo
'-
!
! , é chamada valor mínimo local de .
Max
Min
Figura 5.1: Pontos de mínimo e máximo. Em geral, um ponto de máximo ou de mínimo é chamado ponto extremo. 191
, se existe um pequeno
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
192 Exemplo 5.1.
'5!
[1] Seja
todo ' ) e
'- e
$ ' !
. Observe que '
!
de . De fato :
$
é um ponto de máximo relativo, pois $ ' ! para !,'
;' ; ' é um ponto de mínimo relativo, pois $ ' ! , para todo
!
, para todo
!$
!
, são também pontos extremos
0
[2] Seja '5! ' , ') ; ' é um ponto de mínimo relativo, pois ' para todo '- e ! . Na verdade ' é o único ponto extremo de .
[3] Seja ' ! ' , ' ) ; ' & é um ponto de mínimo relativo, pois ' para todo '7 ) e ! . Como no exemplo anterior, ' é o único ponto extremo de .
[4] Seja '5! ' , ' . não possui pontos de máximo ou mínimo relativos em . Se é de máximo relativo. Se é restrita ao restrita ao intervalo , então possui o ponto ' de máximo relativo e o ponto ' de mínimo intervalo 2 3 , então possui o ponto ' relativo. Se é restrita ao intervalo ! , então não possui pontos de máximo relativo ou de mínimo relativo.
Estes exemplos nos indicam a importância dos domínios das funções quando queremos determinar pontos extremos.
Proposição 5.1. Se , então ' ! .
é uma função derivável no intervalo "! e '
"! é um extremo relativo de
A proposição nos indica que num ponto de máximo ou de mínimo relativo de uma função , a reta tangente ao gráfico de nesses pontos é paralela ao eixo dos ' . Para a prova veja o apêndice.
Figura 5.2:
A proposição não garante a existência de pontos extremos; por exemplo: ' ! ' é uma função derivável em e ' ! ' ; logo ! , mas ' não é ponto de máximo nem de mínimo relativo de ; de fato, ! ! ! . A proposição nos dá uma condição necessária para que um ponto seja extremo.
5.1. VARIAÇÃO DE FUNÇÕES
Definição 5.2. Seja ponto crítico de .
193
uma função derivável no ponto '
! . Se
' !
,'
é chamado
Pela proposição anterior, todo ponto extremo é ponto crítico. A recíproca é falsa. (Veja exemplo anterior). Exemplo 5.2.
[1] Calcule os pontos críticos de ' ! $ ' ! . Para calcular os pontos críticos da função , devemos resolver a equação: ' ! , ou seja, '5! . Então, os pontos ' , onde
, são os pontos críticos.
[2] Seja '5!
[3] Seja ' ! críticos de .
' ; resolvemos '
'5!
' ; resolvemos
' ; então ' é o único ponto crítico de . '5!
'
e ') são os pontos
; então, ')
-1
1
Figura 5.3: Pontos críticos de ' !
'
' .
Na verdade um ponto "candidato"a máximo ou mínimo relativo de uma função derivável sempre deve satisfazer à equação:
' !
Mais adiante saberemos descartar dos pontos críticos, aqueles que não são extremais. Definição 5.3.
1. O ponto onde uma função atinge o maior valor (se existe) é chamado máximo absoluto da função. ! , tem-se ' ! ' ! . O ponto ' é de máximo absoluto de quando para todo ')
2. O ponto onde uma função atinge o menor valor (se existe) é chamado mínimo absoluto da função. ! , tem-se ' ! ' ! . O ponto ' é de mínimo absoluto de quando para todo ')
Um ponto de máximo absoluto é um ponto de máximo local. A recíproca é falsa; analogamente para mínimo absoluto.
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
194
max. abs max. local
min. local
max. local min. local min. abs
Figura 5.4: Pontos de máximos e mínimos Exemplo 5.3.
é um ponto de máximo absoluto de . De [1] Seja ' ! ' tal que '7 2 3 . O ponto ' ! , para todo ' 2 3 e ' é um ponto de mínimo absoluto de , pois fato: '5! ' ! ! , para todo ' 2 3 . Se é definida em ! , não possui máximos nem mínimos.
' !
[2] Seja
' tal que ' &2
3. '
e'
são pontos de máximos locais, mas é máximo absoluto de , pois '5! ' ! , para todo ' 2 3 e ' é um ! ! , para todo '- 2 3 . mínimo absoluto de , pois '
O teorema seguinte, devido a Weierstrass, garante a existência de pontos extremos de uma função, sem a hipótese de que a função seja derivável. A prova deste teorema será omitida. Para mais detalhes veja a bibliografia avançada.
Teorema 5.1. (Weierstrass) Seja 2 3 contínua. Então existem '
'
!
e'
em 2 3 tais que:
'5! ' ! para todo '-
2 3 0
No teorema as hipóteses de que o domínio seja um intervalo do tipo 2 43 e de que a função seja contínua são condições essenciais. De fato, a função contínua ' ! ' não possui pontos de máximo nem de mínimo em qualquer intervalo aberto. A função descontínua ' ! se ' e ! , não possui ponto de máximo nem de mínimo no intervalo 2 3 .
Teorema 5.2. (Rolle) Seja 2 3$ contínua, derivável em "! e tal que ! ' "! tal que ' !$ .
"! . Então, existe pelo menos um
Prova: Se é uma função constante, então para todo ' "! , '5! . Se não é constante, então, pelo Teorema de Weierstrass, possui pontos extremos. Suponha que ' é
"! , pois, caso contrário, por exemplo se ' , teríamos: ponto de máximo; então ' ! ' ! "! . Mas pela hipótese, ! "! e seria constante; logo, ' "! . Analogamente se ' é ponto de mínimo. Portanto, ' ! .
5.1. VARIAÇÃO DE FUNÇÕES
195
Figura 5.5: Teorema de Rolle.
' ! uma função definida no intervalo 2 3 ; . VerifiqueAplicação: Seja ' ! ' mos que existe um único ponto que divide o intervalo 2 3 na razão . A função é contínua
em 2 3 e derivável em ! ; pelo teorema de Rolle, existe pelo menos um ' ! tal que ' ! ' ! . ' ! & é equivalente ' ! . Por outro lado, '5! ' ' ! ' , donde, ' a ' ! . O ponto ' divide o intervalo 2 3 em segmentos
de comprimentos '
e ' ; logo:
'
7'
0
Teorema 5.3. (do Valor Médio) 2 3 contínua e derivável em "! . Então existe pelo menos um ' Seja
' !
"! !
"! tal que:
Em outras palavras, existe um ponto no gráfico de , onde a reta tangente nesse ponto é paralela à reta secante que liga ! ! e "! ! . Para a prova do teorema, veja o apêndice.
f(b)
f(a)
a
x0
Figura 5.6: Teorema do Valor Médio.
b
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
196
Sabemos que uma função constante tem derivada nula. O Teorema do Valor Médio nos fornece a recíproca desta propriedade, como veremos a seguir. Corolário 5.4.
1. Seja uma função contínua em 2 43 e derivável em #! . Se então é constante. 2. Sejam
e
' !
funções contínuas em 2 3 e deriváveis em "! . Se ' ! , onde é uma constante.
') #! , então '5!
para todo ' #! ,
' !
'5! para todo
1. De fato. Sejam ' ( ' 2 3 ; suponha que ' ' . Pelo Teorema do Valor Médio, temos que existe ' ' ' ! tal que ' !# ' ' !$ ' ! ' ! . Como, por hipótese, ' !$ ' ! . Como ' e ' são arbitrários, temos que é constante. para todo ' , então ' !
Para 2, basta considerar
' !
' !+
' ! e aplicar 1.
Exemplo 5.4.
[1] Suponhamos que um carro percorre uma distância de em horas. Denotando por 4! a distância percorrida pelo carro após horas, a velocidade média durante esse período de tempo é:
!
!
7
*
0
Do Teorema do Valor Médio, temos que o carro deve ter atingido a velocidade de * pelo menos uma vez nesse período de tempo.
' 7' definida em 2 3 . Determine '
[2] Seja ' !$
1! tal que
' ! .
!-
1! ; Usamos o Teorema de Rolle ( é contínua em 2 3 e derivável em 1! ); ! então, existe ' 1! tal que ' ! ; mas ' ! ' ' . ' ! é equivalente a ' 7' ! ; logo, ' ou ' ; mas, somente 1! .
[3] Seja ' ! ' ' gráfico de no ponto '
definida em 2 3 . Determinar '
! tal que a reta tangente ao ' ! ! seja paralela à secante que liga os pontos ! ! e ! ! .
Usamos o Teorema do Valor Médio ( é contínua em 2 3 e derivável em ! ); então existe ' ! , tal que:
Mas ou '
' !
'
' !
! !
' ; logo, temos ' '
; mas, somente
! .
0
; resolvendo a equação, temos que '
5.2. FUNÇÕES MONÓTONAS
197
Figura 5.7: .
[4] Verifique que $ !
$
! - ; para todo .
Se &
$ '
é evidente. Suponha ; definamos a função ' ! ! ! ; logo: Valor Médio, existe ' ! tal que ' !$
$
' ! sabendo que
5.2
' ! , obtemos o resultado.
! $ ! -
' ! uma função definida num domínio
.
Definição 5.4.
2.
! . Pelo Teorema do
Funções Monótonas
Seja
1.
se para todo '
é crescente em
'
é decrescente em , se para todo '
3. Em ambos os casos,
'
com '
' ! . ' , tem-se ' ! ' ! .
' " tem-se ' !
com '
é dita monótona.
Figura 5.8: Funções crescente e decrescente, respectivamente.
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
198 Exemplo 5.5.
[1] Seja
' ! '
Sejam '
'
tal que '
%/ . .
;
decrescente.
' !
[2] Seja
Sejam ' ' crescente.
' ;
tal que '
2
' ; então:
'
'
. Logo,
' ! '
!. ' ; então:
'
'
' . Logo, ' !
! e
é monótona
! e
é monótona
' ! ' ; . Sejam ' ' tal que ' ' ; então: ' ' , se 7 ' e 7 ' e ' ' , se ' e ! e ' ! ' ! em 4 ! ; é monótona crescente ' . Logo, ' ! ' ! em 2
[3] Seja
em
! e monótona decrescente em
4 ! .
O exemplo anterior nos mostra que, em geral, uma função pode ter partes do domínio onde é crescente e partes onde é decrescente. Proposição 5.2. Seja 1. Se 2. Se
uma função contínua em 2 3 e derivável em #! .
' ! para todo '- "! , então ' ! para todo '- "! , então
é crescente em 2 3 . é decrescente em 2 3 .
Figura 5.9:
Prova: 1. Sejam ' ' #! tal que ' ' ; como é contínua em 2 ' ' 3 e derivável em ' ' ! , pelo Teorema do Valor Médio, existe '- ' ' ! tal que ' ! ' ! '5! ' ' ! . Como ' ! para todo '- "! , temos que ' ! ' !. A prova de 2 é análoga.
Exemplo 5.6.
[1] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de '5!
'
.
Derivando temos ' !$ ' ; logo, '5! se, e somente se ' e ' ! se, e somente se '- . Logo, é crescente em ! e decrescente em 4 ! ; note que !$ .
5.2. FUNÇÕES MONÓTONAS
199
'
[2] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de '5!
'
.
! ' ! ; logo, '5! se, e somente se ' Derivando temos ' !$ '+ ' Logo, é crescente em ( ! ! e decrescente em ! .
.
3
2
1
-2
-1
1
-1
'
Figura 5.10: Gráfico de ' !
2
'
.
[3] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de '5! Derivando
temos
'
!# ' ! ; logo, ' !$ se, e somente se ' ' ! ' ! Intervalos ' ! ' '5! ') decrescente ') decrescente crescente ') ' crescente
é crescente em
'
(
'
.
.
! ! e decrescente em 4 ! 7 ! . 4
2
-2
-1
1
2
-2
-4
Figura 5.11: Gráfico de ' ! ' '
[4] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de '5!
Derivando temos ' ! ' , ' e ' .
' '
' ' '
! ; logo, ! '
'
' !
'
7'
.
se, e somente se
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
200
' '
Intervalos
')
'5!
!
! '
') ') '
crescente decrescente crescente decrescente
4 ! 7 ! e decrescente em ! ( ! .
é crescente em
7 6 5 4 3 2 1 -2
-1
1
Figura 5.12: Gráfico de ' ! [5] A função seu nome.
!
(
) é crescente se
'
2
'
7'
e decrescente se
, o que justifica
[6] (Lei de resfriamento de Newton): A taxa de variação da temperatura ! de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura ambiente (constante) e a temperatura ! , isto é:
!!
! 0
Se , então , de modo que a temperatura 4! é decrescente. Logo, se a temperatura do corpo é maior que a do ambiente, o corpo está resfriando.
, então
Se , de modo que a temperatura 4! é crescente. Logo, se a temperatura do corpo é menor que a do ambiente, o corpo está esquentando. Se
, de modo que a temperatura é constante. , então
[7] Crescimento populacional inibido: Considere uma colônia de coelhos com população inicial numa ilha sem predadores. Seja ! a população no instante . Estudos ecológicos mostram que a ilha pode suportar uma quantidade máxima de indivíduos. Sabemos que este fenômeno é modelado pela função logística que satisfaz à equação:
Se
, então
$ !
! 0
, de modo que a população 4! cresce.
5.3. DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
Se
, então
Se
, então
201
, de modo que a população 4! decresce.
, de modo que a população 4! fica estável.
5.3 Determinação de Máximos e Mínimos Teorema 5.5. Seja ponto ' .
uma função contínua em 2 43 e derivável em #! , exceto possivelmente num
' ! para todo ' '
1. Se
'5! para todo '- ' , então '
e
é ponto de máximo de .
f’(x0 ) =0
f’(x)> 0
f’(x) < 0
+
− x0
Figura 5.13: Máximo local. 2. Se
' ! para todo ' '
e
'5! para todo '- ' , então '
f’(x) < 0
é ponto de mínimo de .
f’(x) > 0
x0
f’(x0) =0
−
+
Figura 5.14: Mínimo local.
Prova: 1. Se ' ! para todo ' &' e ' ! e decrescente em ' "! ; logo, '5! A prova de 2. é análoga.
'
'5! & para todo ' ' , então ! para todo ' ' .
é crescente em
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
202
Do teorema 5.5 segue que num ponto de máximo ou de mínimo de uma função contínua nem sempre existe derivada. Exemplo 5.7.
[1] Seja ' ! ' , definida em ; claramente ' não existe. De fato. Para todo ' , tem-se:
'5!
é um ponto de mínimo de , mas
se se
') ') 0
!
[2] ' ! ' . O ponto crítico é a solução da equação ' ! ou, equivalentemente, ' ; então, ' & . Por outro lado, '5! ' , se ' ; logo, ' não é ponto de máximo nem de mínimo de .
[3] '5! ' . As soluções da equação ' ! são ' e ' . Do exemplo 2 ' do parágrafo anterior, ' ! , se ') ( ! 7 ! e '5! , se '- ! :
+
−
− +
−1
1
Figura 5.15: Esquematicamente Então, '
é ponto de máximo e '
é ponto de mínimo de .
1
-2
-1
1
-1
[4] '5!
2
'
Figura 5.16: Gráfico de '5!
'
' , '- . não é derivável em . De fato, '5!$ se ' . Por outro lado, ' ! se ') e é o valor máximo. ' é ponto de máximo e !
1.0
0.5
-2
-1
1
-0.5
Figura 5.17: Gráfico de ' !
2
' .
.
' ! se ') . Então,
5.3. DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS Teorema 5.6. Seja 1. 2.
uma função duas vezes derivável e '
203
um ponto crítico de . Se:
' ! , então '
é um ponto de mínimo relativo de .
' ! , então '
é um ponto de máximo relativo de .
Prova: 1. Como
' ! e:
'5! '7'
' !
então existe tal que: , para todo ' ' ' ! (veja o apêndice); então, ' ! , se ' ' e '5! , se ' ' . Pelo teorema 5.5, temos que ' é um ponto de mínimo local de . 2. A prova é análoga.
Dos teoremas 5.5 e 5.6 temos que os candidatos a pontos de máximos e mínimos são não só pontos críticos, mas também, podem ser os pontos do domínio onde a função não é derivável.
No caso em que o domínio de é um intervalo do tipo 2 43 , após determinar os pontos de máximo e de mínimo no intervalo "! , devemos calcular os valores da função nos extremos do intervalo e comparar estes valores com os valores máximos e mínimos obtidos anteriormente nos pontos críticos; o maior valor corresponderá ao máximo absoluto e o menor valor ao mínimo absoluto da função e os pontos correspondentes serão, respectivamente, os pontos de máximo e de mínimo absolutos.
No caso em que ' ! , o teorema 5.6 não afirma nada; quando acontecer isto, recomendamos usar o teorema 5.5. Exemplo 5.8.
' !7
[1] Calcule os pontos extremos de
' ; e
+'
diferenciavel calculemos os pontos críticos de . ' ! ´ em todo ponto, se, e somente, se: ' que é o ponto crítico de . ' !$ ; então,
'5! '5!
Logo, o vértice ' absoluto se .
[2] Calcule os pontos extremos de ' ! Como
'
se '- 2
'5!
' ! ,
se e um ponto de mínimo
3.
é diferenciavel ´ em todo ponto, calculemos os pontos críticos de :
é
se 0
se
é um ponto de máximo absoluto de
'
. Como
+' e
' ' ! 0
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
204
' !
se, e somente, se: '
,'
e'
, que são os pontos críticos de . A
segunda derivada:
logo, '
teorema 5.5:
' !$
e' ' !
'
' e
se
' !
se
!
!
utilizamos o
; logo, ' é ponto de e ; logo,
'
, !
!
e
são pontos de máximo absolutos,
e
e
são pontos de mínimo relativo de . Como
máximo relativo de . Por outro lado
' !$
são pontos de mínimo absolutos. Veja o
desenho: 4
2
-2
-1
1
Figura 5.18: Gráfico de ' !
'
[3] Calcule os pontos extremos de ' !
'
2
.
.
Calculemos os pontos críticos de :
Logo, ' ! se, e somente se, ' derivada de :
' ! '
'
!
'
0
, que é o ponto crítico de . Calculando a segunda
' !
'
'
!0
Então ! e o teorema 5.6 não pode ser aplicado; mas usamos o teorema 5.5 para analisar a mudança do sinal da primeira derivada de . Como ' ! , então é sempre crescente; logo, no ponto ' não muda o sinal da primeira derivada de ; portanto ' não é ponto de máximo nem de mínimo relativo de . Veja o desenho:
5.3. DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
205
4
2
1
2
3
'
'
Figura 5.19: Gráfico de ' ! [4] Calcule os pontos extremos de ' !
4
'
.
.
' ! se ' ou Calculemos os pontos críticos de ; então, ' ! ' '- ! . Logo, ' ' ' ' ! . Então ' . Calculando a segunda derivada de : '5! ! ; logo, ' é ponto de mínimo relativo de . ! e o teorema não pode ser aplicado; mas usamos o teorema 5.5 para analisar a mudança do sinal de . Como '5! para todo '- 2 3 , então ' não é ponto de máximo nem de mínimo. Veja o desenho:
4
Figura 5.20: Gráfico de ' !
'5!
'5!
' !
Então, os pontos críticos são '
:
'5!
$
' !
$ '
.
$ '5! $ ' ! , 7
'-
em ! . Derivando, '5! '5! '5!
[5] Calcule os pontos extremos de ' ! Calculemos os pontos críticos de
'
, ' !.
e '
.
' !
,0
. Calculando a segunda derivada de
e ; logo, ' é ponto de
é ponto de mínimo relativo de . Por outro lado, ! , e o máximo relativo e ' teorema não pode ser aplicado; mas, usamos o teorema A para analisar a mudança do sinal de
. Como
'5! para todo ' pertencente a um intervalo de centro contido em
como, por exemplo,
, então '
,
não é ponto de máximo nem de mínimo. Por outro
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
206
lado ! o desenho:
; logo, é ponto de mínimo absoluto e
é ponto máximo absoluto. Veja
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
Figura 5.21: Gráfico de ' !
$
'5!
$ '5! , 7
'- .
5.4 Concavidade e Pontos de Inflexão de Funções
' ! uma função derivável em Seja intervalos abertos. Definição 5.5. 1. 2.
é dita côncava para cima em é dita côncava para baixo em
se
, onde
se
é um intervalo aberto ou uma reunião de
'5! é crescente em . '5! é decrescente em .
Intuitivamente, quando um ponto se desloca ao longo do gráfico de uma função , da esquerda para a direita e a reta tangente nesse ponto vai girando no sentido anti-horário, isto significa que o coeficiente angular dessa reta tangente cresce à medida que ' aumenta. Neste caso a função tem a concavidade voltada para cima.
Figura 5.22: Função côncava para cima.
Analogamente, quando um ponto se desloca ao longo do gráfico de uma função , da esquerda para a direita e a reta tangente nesse ponto vai girando no sentido horário, isto significa que o coeficiente angular dessa reta tangente decresce à medida que ' aumenta. Neste caso a função tem a concavidade voltada para baixo.
5.4. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO DE FUNÇÕES
207
Figura 5.23: Função côncava para baixo. Não confundir concavidade com crescimento ou decrescimento de uma função. No desenho a seguir, o gráfico de uma função crescente e côncava para cima e o de uma função decrescente e côncava para cima, respectivamente.
Figura 5.24: No desenho abaixo, o gráfico de uma função crescente e côncava para baixo e o de uma função decrescente e côncava para baixo, respectivamente.
Figura 5.25:
' ! uma função duas vezes derivável em . 1. Se ' ! para todo ') , então é côncava para cima em . , então é côncava para baixo em . 2. Se ' ! para todo ')
Proposição 5.3. Seja
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
208 A prova segue diretamente das definições. Exemplo 5.9.
Considere a função '5! [1] Determine, onde [2] Determine, onde
'
7' .
é côncava para cima. é côncava para baixo.
Calculando a segunda derivada:
Logo,
' !
(
se '
côncava para cima em
(
! 7
! 7
' !0
' !
! e
' !
se '
! . é côncava para baixo em
! . Então,
é
!.
1
-0.5
0.5
-2
Figura 5.26: Gráficos de Definição 5.6. Um ponto ' um pequeno intervalo "!
1.
2.
(vermelho) e
(azul).
é côncava para cima em '
! e côncava para baixo em ' "! , ou
é côncava para baixo em '
! e côncava para cima em ' "! .
Se a função é duas vezes derivável, para obter os pontos ' resolvemos a equação:
' ! ! do gráfico de uma função é um ponto de inflexão de , se existe tal que '
"! e:
, candidatos a pontos de inflexão,
' !
e estudamos o sinal de '5! para ' ' e ' ' (' solução da equação). ' ! não ' ; implica em que ' seja abscissa de um ponto de inflexão; de fato, ' ! ' , ' ! logo, ' ! se ' e ' é um ponto de mínimo (verifique!). Note que se ' ! e ' ! , então, ' é um ponto de inflexão. Num ponto de inflexão, não necessariamente existe a segunda derivada da função. De fato, seja ' ! ' ' ; se ' temos ' ! e se ' temos ' ! ; então, é um ponto de inflexão e ! não existe. Como exercício esboce o gráfico de .
5.4. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO DE FUNÇÕES Exemplo 5.10.
[1] Seja ' !+ ' ; então: '5!+ ' . Por outro lado, logo, ' é ponto de inflexão de .
[2] Seja '5!
'
' ; então:
Então '
e '
' !
se
'- (
' !
se
'-
$
'5!
, '
'5! '5!
' ! se ' ;
0
-0.5
0.5
1.0
' !
Figura 5.27: Gráfico de '5!
[3] Seja '5!
Então '
'5! se ' e
são os pontos de inflexão de .
-1.0
!0
'
'5!
209
'
7' .
$ ' ! , 7'- ; então: $ ' ! $ '5! $ ' ! ' ! 4 10 se '- se '- ( 4 0
! e '
! são os pontos de inflexão de .
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
Figura 5.28: Gráfico de ' !
$
' !
$ '5! , 7
')
.
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
210
5.5 Esboço do Gráfico de Funções Para obter o esboço do gráfico de uma função, siga os seguintes passos:
a) Determine o
!.
b) Calcule os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados. c) Calcule os pontos críticos. d) Determine se existem pontos de máximo e mínimo. e) Estude a concavidade e determine os pontos de inflexão. f) Determine se a curva possui assíntotas. g) Esboço. Exemplo 5.11. Esboce o gráfico das seguinte funções: [1]
a)
'5! ' ! .
!.
b) Interseções com os eixos coordenados: Se ' curva passa pelos pontos 4 ! , 4 ! e ( ! .
, então
e se
c) Pontos críticos de : '5! ' ' ! ; logo, resolvendo a equação e ' , que são os pontos críticos de . ' , '
, então ' ' !
;a
, obtemos
d) Máximos e mínimos relativos de : '5! ' ! ' ! . Logo, ! e é ponto de mínimo relativo de . ! e o teorema 5.6 não pode ser aplicado; mas, usamos o teorema 5.5 para analisar a mudança do sinal da primeira derivada de .
' ! para todo '7 ; então '- não é ponto extremo de . não é ponto extremo de . então ' ' ! ' ! ' ! e) Estudemos a concavidade de :
'
.
' ! ' !
se se
') ')
( ! (
!
é côncava para cima em e côncava para baixo em e ' . de são '
f) A curva não possui assíntotas.
!0
' ! para todo '7 ; implica em '
e
!0
!
. As abscissas dos pontos de inflexão
5.5. ESBOÇO DO GRÁFICO DE FUNÇÕES
g) Esboço do gráfico: O gráfico de o ponto de mínimo de .
211
4 ! e ( ! , onde ( ! é
passa pelos pontos 4 ! ,
1
-1
1
-1
[2]
a)
'5! $ ' ! ' ! , 7'- ! 2 3 .
!.
'
Figura 5.29: Gráfico de .
b) Interseções com os eixos coordenados: se , então $ ' ! ou ' ; a curva passa pelos pontos 4 ! , 4 ! e 4 ! . c) Pontos críticos de obtemos '
em
!:
'5!
que são os pontos críticos de .
d) Máximos e mínimos relativos de
em
!:
o que implica em '
; logo, resolvendo a equação
' !
. Logo,
' !
,
!
e ! ; então ' é ponto de máximo relativo e ' é ponto de mínimo relativo de . Por outro lado, ! absoluto e é ponto ! ; logo, é ponto de máximo de mínimo absoluto de .
e) Estudemos a concavidade de logo, ' ; ' . Então,
em
' ! ' !
é côncava para cima em do ponto de inflexão de .
4 ! e
f) A curva não possui assíntotas. g) Esboço do gráfico: O gráfico de
' !+ implica em $ ' !$ ou
' !+ ;
' 4 ! se ' ! 0
passa pelos pontos 4 ! ,
se
é côncava para baixo em
! , que é o ponto de máximo de ; de ; 4 ! é o ponto de inflexão de .
!:
! ; logo, '
é a abscissa
4 ! , 4 !
! !
! ! ( ! , que é o ponto de mínimo
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
212 0.5
-3
-2
-1
1
2
3
-0.5
a)
.
'5! ' . ! % . . '
[3]
Figura 5.30: Gráfico de
b) Interseções com os eixos coordenados: se ' ponto ( ! .
' !
c) Pontos críticos de . crítico de .
d) Máximos e mínimos relativos de . relativo de .
; logo
'5!
, então
'5!
; logo, a curva passa pelo
implica em que '
.
, que é o ponto
! & ; logo, é ponto de máximo
' ! se ' ( ou ' , '5! se ' . e) Concavidade de . * ! ; é côncava para baixo em ! e côncava para cima em ( ! ! . logo, o gráfico de não possui pontos de inflexão. f) Assíntotas.
'
. Logo, é uma assíntota horizontal da curva.
'
Logo, '
'
' '
'
e ' são assíntotas verticais da curva.
g) Esboço do gráfico:
'
0
' '
'
0
5.5. ESBOÇO DO GRÁFICO DE FUNÇÕES
213
4
2 -2
-1
0
1
2
3
0
-2
-4
[4] a)
Figura 5.31: Gráfico de
.
'5! ' 7'"! . ! .
b) Interseções com os eixos coordenados: Se ' , então ; logo, a curva passa pelo ponto ; logo, a curva passa pelos pontos 4 ! , 4 ! e 4 ! . 4 ! . Se , então ' ou '
c) Pontos críticos de : Se '
; então,
'5!
.
' ' ! é contínua para todo ') . Mas não existe ! ; logo, no ponto A função ' !$ 4 ! do gráfico deve existir uma "cúspide"como foi observado no gráfico do valor absoluto. Se ' , os pontos críticos de são ' e ' .
d) Máximos e mínimos relativos de . Se '
; então,
' !
.
!
e
! ; logo, ' e '- são pontos de máximos relativos de . Se ' , estudamos o sinal da derivada de para valores à esquerda e à direita de ' : ' ! & se ) ' e ' ! , se '- ; logo, ' é um ponto de mínimo local de .
e) Concavidade de . f) Assíntotas. ticais.
g) Esboço do gráfico:
' ! para todo '- %/ . .
' ' ! . Logo,
é côncava para baixo em %/ . .
não possui assíntotas horizontais e nem ver-
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
214
-1.0
-0.5
1.0
7' ! .
'
Figura 5.32: Gráfico de ' !
0.5
' ! , onde - , representa uma família de curvas é e chamada função [5] densidade de probabilidade normal padrão, que tem um papel relevante em Probabilidade e Estatística. a)
! .
b) A curva passa pelo ponto
c) Pontos críticos de :
'5!
!.
d) Máximos e mínimos relativos de : ponto de máximo relativo de .
; logo, '
' !
e) As abscissas dos pontos de inflexão são: '
f) Assíntotas:
, ,
Figura 5.33: Gráfico de
'
!
e
1
.
1
[6]
. Logo, é a assíntota horizontal da curva.
g) Esboço dos gráficos para
é o ponto crítico de .
2
.
,( ), que representa uma família de curvas. '
.
; logo, é
5.5. ESBOÇO DO GRÁFICO DE FUNÇÕES
b) Se '
, então
c) Pontos críticos:
; então, se , é , ! % ..
' a) A solução da equação ' , ! % . e se
215
, ( ). Neste caso, o ponto crítico é ' ! e ! d) Máximos e mínimos: ' ! se '
e) Resolvendo f) Assíntotas.
Assíntotas verticais: , Se
'
e '
'
.
'
'
'
. Se
!.
' ! , obtemos '
Assíntotas horizontais:
!+ , se
, se . Neste caso, a interseção com o eixo dos é ! .
'5!
de máximo relativo se
; logo, '
é ponto
, temos dois pontos de inflexão.
; então, é assíntota horizontal.
e se ,
'
. '
são assíntotas verticais da curva, para
e , respectivamente.
g) Esboço dos gráficos: 5
4 1 -3
-2
-1
1
2
3
3
2 -1
1
-3
Figura 5.34: Esboço dos gráficos para
-2
, respectivamente.
e
1
0.5
-3
-2
-1
0
1
Figura 5.35: Esboço para
[7]
2
-1
3
.
' ' , ( ), que representa uma família de curvas.
1
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
216
a)
! .
b) Interseções com os eixos coordenados: 4 ! .
c) Pontos críticos de : de .
d) Máximos e Mínimos: relativo de
e
!
e) Pontos de inflexão: ' f) Assíntotas:
' !
' !
; logo, '
, '
e '
; se
;
& , '-
!
e '-
são os pontos críticos
; logo, '
é ponto de máximo
é ponto de mínimo relativo de . (
.
).
é assíntota horizontal da curva.
g) Esboço dos gráficos. Observe que a função é ímpar.
-3
-2
0.4
0.4
0.2
0.2
-1
1
2
-3
3
-2
-1
1
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
Figura 5.36: Esboço dos gráficos para
,
,e
,
2
3
5.6 Problemas de Otimização Nesta seção apresentaremos problemas de maximização e minimização aplicados à diversas áreas. O primeiro passo para resolver este tipo de problema é determinar, de forma precisa, a função a ser otimizada. Em geral, obtemos uma expressão de duas variáveis, mas usando as condições adicionais do problema, esta expressão pode ser reescrita como uma função de uma variável derivável e assim poderemos aplicar os teoremas. Exemplo 5.12.
[1] Determine dois números reais positivos cuja soma é e tal que seu produto seja o maior possível.
; logo, ' 2 63 ; o produto é: Considere ' tal que ' que devemos maximizar. Como 7' , substituindo em :
2 6'3
crítico é
'5! ' ' 7'5! 0
é uma função derivável. Derivando:
' !
'
'
0 Esta é a função
'5! ; o ponto
. Analisando o sinal de , é claro que este ponto é ponto de máximo para
5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
e
; logo,
!+ !$ .
217
, é o produto máximo. Os números são '&
. Note que
mais próximos da origem. ' Seja ' ! um ponto da curva e considere: 4 ! / ' ! ! . Minimizar é equi valente a minimizar 1 4 ! / ' ! ! ' ; mas como ' ! pertence à curva, temos que [2] Determine os pontos da curva '
'
; logo, obtemos a seguinte função:
'5! Derivando e igualando a zero:
derivada de :
' !
'
'5!
'
'
'
0
, obtem-se ')
'
, que é sempre positiva; logo, '-
( ! .
pontos mais próximos da origem são ! e
. Calculando a segunda
são pontos de mínimo; os
1
-1
1
-1
Figura 5.37: Exemplo [2]. [3] Determine as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito na elipse
'
0
y x
Figura 5.38: Exemplo [3].
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
218
Pela simetria da figura, estudaremos o problema no primeiro quadrante e multiplicaremos o resultado por quatro. A área do retângulo é ' , mas otimizaremos o quadrado de área
' ; como ' , então:
' ' , ' 0 '5! ' ' ! , obtem-se '
' !+
Derivando e igualando a zero: do o sinal da derivada de
temos que ')
é ponto de máximo de
área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse é: e . são '
. Estudan-
e
; logo, a
. As dimensões do retângulo
. Determine as dimensões da lata, [4] Uma lata cilíndrica sem tampa superior tem volume
de modo que a quantidade de material para sua fabricação seja mínima.
r
h
Figura 5.39: Exemplo [4].
Devemos minimizar a área. A área do cilindro e da tampa inferior são: e respectivamente, onde e são o raio e a altura do cilindro; logo, devemos minimizar:
Mas o volume é ; logo, temos:
Derivando e igualando a zero:
e
é o ponto de mínimo e
!
1!$
!
0
; substituindo
na expressão a minimizar,
0
, obtem-se
7
,
.
. Logo, as dimensões da lata são
.
5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
219
[5] Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, me de largura e de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída virando os dindo lados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo.
15 15-2 x x
8-2 x
8
x
Figura 5.40: Exemplo [5].
A altura da caixa é ' ; a largura é Logo, devemos maximizar:
' !$ '
' e o comprimento é
' , observando que '- .
' 0 ' ! ' '
' !
' ' '1! '- ! , obtemos
'- ou '- . Mas. ) * ! ; então, ' é o único ponto crítico de ; logo, estudando o 0 e 0 . (Verifique!). sinal de , ' é ponto de máximo. Então, '
Derivando e igualando a zero:
' !
[6] Calcule as dimensões de um cone circular de volume máximo que pode ser inscrito numa esfera de raio .
h a r
Figura 5.41: Uma vista bidimensional do exemplo [6].
Usando o teorema de Pitágoras temos que
; logo,
!
, sendo
!
.
O volume é
. Derivando e igualando a zero:
220
!
ponto de máximo e
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
; não é solução; então, éo
, obtemos ou .
[7] Um tanque cônico de aço, sem tampa, tem capacidade de ,, . Determine as dimensões do tanque que minimiza a quantidade de aço usada na sua fabricação.
r
r
h
h
l
l
Figura 5.42: Exemplo [7].
, onde na última igualdade usamos o teorema de ; logo, ,,
e Pitágoras. Por outro lado, o volume do tanque é de ,, ,, ; substituindo na expressão a minimizar:
A área do cone é:
Como antes, minimizaremos
!
vando e igualando a zero:
0 1 e
, , ! 0
! . Logo:
, obtemos
0
é o ponto de mínimo e
e
0
0
A, temos que
!
, onde
,, ! . Deri-
. Usando o teorema
. As dimensões do tanque são
[8] Um pescador está a de um ponto de uma praia e deseja alcançar um depósito de de . Sua velocidade na água é de
por hora e na terra combustível no ponto , a é de por hora. Determine o ponto da praia que deve ser alcançado pelo pescador para chegar ao depósito no tempo mínimo .
5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
221
x
A
B
2
y
Figura 5.43: Exemplo [8].
' . A função a minimizar é:
No desenho
'5! Derivando e igualando a zero:
e, calculando a , obtemos '
'
. Logo, e ' é o ponto procurado. '
'5!
' !$
derivada segunda de :
' ' 7 0
[9] Uma folha de aço de metros de comprimento e metros de largura é dobrada ao meio para fazer um canal em forma de V de metros de comprimento. Determine a distância entre as margens do canal, para que este tenha capacidade máxima.
w/2 h 2
2 α Figura 5.44: Exemplo [9].
Observemos que
$
como função de . De fato,
! e
$
!$
e igualando a zero, obtemos que
! ; logo,
! . Então, podemos escrever a área do triângulo
$ ! , ! . Derivando ! ! se . Calculando a derivada segunda:
é ponto de máximo e
$
!
metros.
[10] Em que ponto da curva 7' , a reta tangente à curva nesse ponto forma no primeiro quadrante um triângulo de área mínima? Determine a área.
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
222
C
P
B A
Figura 5.45: Exemplo [10]. Seja é )
' ! o ponto procurado. A equação da reta tangente à curva passando pelo ponto ' , temos ' ' ' . Se ' , ' ' ' ! . Como ' ' . O triângulo é formado por 4 ! , ' e se , ' 4 ' ' e ' ! . A área é: ! ' ' ! ' 0 ' ! ' ! ' . Calculando a se Derivando, e igualando a zero, obtemos ' ' '
gunda derivada:
como para todo '
,
'5! , '
'
'
'
é ponto de mínimo. A área é
.
[11] Um fóton (raio de luz) parte de um ponto para um ponto sobre um espelho plano, sendo refletido quando passa pelo ponto . Estabeleça condições para que o caminho seja o mais curto possível.
B A a
b α
x
β
d−x
P
Figura 5.46: Exemplo [11]. Devemos minimizar o comprimento vando,
'
'
7'
do percurso: ' !
' '5! . Deri
' 7'5! e igualando a zero, obtemos:
5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
223
'
' que é equivalente a caminho
'
. Esta é a condição para que o
seja o mais curto. De fato, o ponto crítico '
em particular,
7'
7' !
, donde obtemos que ' 7
'
' !
'5!
'
! 7' !
é de mínimo, pois,
.
[12] A luz se propaga de um ponto a outro segundo uma trajetória que requer tempo mínimo. Suponha que a luz tenha velocidade de propagação no ar e na água ( ). Se a luz vai de um ponto no ar a um ponto na água, que lei determina este percurso? P α a D
R
O
x
β b
β
Q
d−x
Figura 5.47: Exemplo [12].
Sejam , , necessários para o raio de luz ir de
O tempo total de percurso de a
'
se
'
, ' , ! e & a e de a são, respectivamente:
é
e
'
'
7'5!
' 7 7'5!
$
0
. Minimizemos
!
! . Os tempos
'5! , '- 2 3 .
$
! 0
, equação conhecida como lei de Snell. Para verificar que a condição:
$
!
$
!
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
224
corresponde ao percurso de tempo mínimo, mostraremos que é côncava para cima em todo ponto. 7' ! /! ' (! 0 ' ! 7' ! ! '
' ! para todo ' , pois todas as quantidades envolvidas são positivas.
[13] Um quadro de altura a está pendurado em uma parede vertical, de modo que sua borda inferior está a uma altura acima do nível do olho de um observador. A que distância da parede deve colocar-se o observador para que sua posição seja a mais vantajosa para contemplar o quadro, isto é, para que o ângulo visual seja máximo? Perfil do problema:
a
h α β
Figura 5.48: Exemplo [13]. Seja
. Logo, !+
!
Maximizemos a seguinte função:
!$
' !
$'
' '
$'
. Então, !
e !+
; logo:
0
0
Derivando : '5!7 . O ponto crítico é ' ! ; observe que e o dominador de são positivos; logo, examinemos o numerador de . é crescente se ' ! e é decrescente se ! ' ; então, ' é o ponto de máximo de . Para que o ! ângulo visual seja máximo, o observador deve colocar-se à distância de da parede.
[14] Implante de Vasos Sanguíneos: Suponha que um cirurgião necessite implantar um vaso sanguíneo numa artéria, a fim de melhorar a irrigação numa certa área. Como as quantidades envolvidas são pequenas, podemos considerar que vasos e artérias tem formato cilíndrico não elástico. Denotemos por e o início e o final da artéria e suponhamos que se deseje implantar o vaso num ponto da artéria, de modo que a resistência ao fluxo sanguíneo entre e seja a menor possível. A lei de Poiseuille afirma que a resistência do sangue no vaso é: , onde é o comprimento do vaso,
5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
225
é o raio do vaso e uma constante positiva que depende da viscosidade do sangue. Nossa estratégia será determinar o melhor ângulo do implante. Para isto, consideremos o seguinte diagrama:
D r2
r1
α
A
B
C Figura 5.49: .
Sem perda de generalidade, podemos supor que - e ! . Denotemos por o comprimento do segmento , o comprimento do segmento , o comprimento do : segmento , ' o comprimento do segmento e o ângulo
D
d2
β
A
d0
α
B
C d1
x
Figura 5.50: Esquema. A resistência total é:
,
,0
e são constantes. Escrevamos em função de . Do desenho: $ ! ; logo, $ ! , ! ' e ! ' ; logo, ! ! . ! ! ! . Então, ! e , onde Observamos que
,
!
!
!
!
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
226
! e
é o ponto crítico. ! ! ! !
então,
'5! ! 7' , temos que: Sabendo que $ . Logo, o melhor ângulo para fazer o implante é . que é 3 vezes , obtemos e 7
0
!
, onde
! . Por exemplo, supondo
5.7 Teorema de L’Hôpital
'
Comumente, ao estudar limites, aparecem expressões indeterminadas. Por exemplo:
onde a expressão indeterminada é do tipo ! . O teorema de L’Hôpital nos indica um método para fazer desaparecer estas indeterminações e calcular limites de uma forma mais eficiente.
Teorema 5.7. (L’Hôpital) Sejam e funções deriváveis num domínio que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos, exceto possivelmente num ponto e ' ! , para todo ' .
1. Se
2. Se
' !
' !
'5!
'5! e ' ! , então: ' ! '5! ' ! '5! ' ! e ' ! , então: ' ! '5! ' ! '5!
'5!
satisfazem às hipóteses do teorema e ' ! '5!
Para a prova do teorema veja o apêndice. O teorema também é válido para limites laterais e para limites no infinito. Se
' ! logo; ' ! Em geral se
e
e
'5! ' !
' !
'5!
'5! ' !
.
satisfazem às hipóteses do teorema e
' ! '5!
, então:
, então:
5.7. TEOREMA DE L’HÔPITAL
227
'5! '5!
' ! '5!
0
Se a função da qual estamos calculando o limite é vezes derivável, podemos derivar sucessivamente até "eliminar"a indeterminação. Para indicar o tipo de indeterminação, denotamos ! , ! , etc.
Exemplo 5.13.
' ' . Primeiramente observamos que o limite apresenta uma inde[1] Calcule ' 7 ' terminação do tipo ! . Aplicando o teorema, derivamos o numerador e o denominador da
função racional duas vezes; então:
[2] Calcule ma:
'
' ' ' 7 '
' '
0
. O limite apresenta uma indeterminação do tipo ! . Aplicando o teore-
$
!
$ ! 0
$ '5! [3] Calcule . O limite apresenta uma indeterminação do tipo ' ma: $ ' ! ' ! 0 ' '
! . Aplicando o teore-
5.7.1 Outros tipos de indeterminações O teorema de L’Hôpital nos indica somente como resolver indeterminações do tipo ! e ! . , podem ser resolvidos transformando-os nos Outros tipos, como ! , , , e tipos já estudados no teorema.
[1] Calcule ' $ '5! . O limite é uma forma indeterminada do tipo ! ; então fazemos: $ '5! ' $ ' ! 0 ' $ '5! é uma forma indeterminada do tipo ! . Aplicando o teorema:
Caso
'
$ ' ! $ ' ! ' $ ' !
'
'
' '
' ! 0
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
228
[2] Um objeto de massa é deixado cair a partir do repouso. Sua velocidade após segundos, ! , onde é aceleração devida tendo em conta a resistência do ar, é dada por: . O limite é uma forma indeterminada do tipo ! ; à gravidade e . Calculemos
então fazemos:
que é uma forma indeterminada do tipo ! . Aplicando o teorema:
Como exercício, interprete este limite.
[1] Calcule Caso
0
fazemos:
'
'
' !
. O limite é uma forma indeterminada do tipo
' ! ' '5! 0
! ; então
' ! ' ' ! é uma forma indeterminada do tipo ! . Aplicando o teorema: ' ! ' ! ' ' ' ! ' ' ! ' ' ' ! 0 '5! Observamos que é uma forma indeterminada do tipo ! e novamente apli ' ' '5! camos o teorema ao último limite: '5! , ' ! 0 ' '5! ' '5! ' ' ' ! [2] Calcule ' ! '5! . O limite é uma forma indeterminada do tipo ! ; então fazemos: $ ' ! $ '5! ' ! 0 ' ! ' ! '5! ' ! $ '5! ! e novamente aplicamos o teorema: '5! é uma forma indeterminada do tipo $ ' ! ' !$ 0 '
'
' !
'5!
5.7. TEOREMA DE L’HÔPITAL
229
! ; fazendo: ' [1] Calcule . O limite é uma forma indeterminada do tipo '5! ' ' ! $ ' ! temos: ' ! '5! $ ' ! . Este limite é uma forma indeterminada do tipo ! ; então, aplicamos o caso A: $ ' ! '5! $ ' !+ ' ! $ ' ! ' ! é uma forma indeterminada do tipo ! . Aplicando o teorema: $ ' ! '5! ' ! ' ! ' . Como $ ' ! é uma função contínua em seu domí '5! logo; nio, temos: ' 0 ' Da última igualdade: ' . . O limite é uma forma indeterminada do tipo ! ; então fazemos: [2] Calcule ' Caso
então,
' !
' !
'
'
' '
'
'
. O limite é uma forma indeterminada do tipo
'
então aplicamos o caso A:
' 0 '
O limite é uma forma indeterminada do tipo ! . Aplicando o teorema:
'
' !$
'
O limite é uma forma indeterminada do tipo
! e novamente aplicamos o teorema: '
'
'
' 0
Como $ ' ! é uma função contínua em seu domínio, temos:
0
!;
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
230
Da última igualdade:
Caso
[1] Calcule
' !
' . '
0 '
. O limite é uma forma indeterminada do tipo
4 '
'5!
!
$ '
!
! ; fazemos:
$ '5! então, '5! . O limite é uma forma indeterminada do tipo ! e novamente aplicamos o teorema: $ '5! '5! ' 0 Como $ ' ! é uma função contínua em seu domínio, temos: ' ! ' ! 0 . Da última igualdade: ' ! [2] Calcule . O limite é uma forma indeterminada do tipo ! ; fazemos: '
'5!
então,
'
'
'5!
' ' ! . O limite é uma forma indeterminada do tipo
' !
te aplicamos o teorema:
' ' !
' !
Sendo $ ' ! uma função contínua em seu domínio, temos:
'
'
'
' !
0
Da última igualdade: . ' Caso [1] Calcule ' . O limite é uma forma indeterminada do tipo
0
! ; fazemos:
! e novamen-
5.8. DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO
231
' ! $ ' ! ' $ ' ! ' ! ' $ ' ! . O limite é uma forma indeterminada do tipo aplicamos o teorema: $ ' ! ' !$ ' ! 0
então:
! e novamente
'
Sendo $ ' ! uma função contínua em seu domínio, temos:
$ ' ! $
. Da última igualdade: ' [2] Calcule . O limite é uma forma indeterminada do tipo ! ; fazemos: ' ! ! ' !$ $ '5!
'5! então: 7' '5! . O limite é uma forma indeterminada do tipo e novamente aplicamos o teorema:
$ '5! 0 ' $ ! 7 ' ' ! ' ' ! Sendo $ ' ! uma função contínua em seu domínio, temos: 0 ' ! ' ! . Da última igualdade: ' !
' ! 0
!
Em geral, nos casos de potências indeterminadas, usamos a função logarítmica $ '5! para poder aplicar o teorema de L’Hôpital. A continuidade da função logarítmica $ ' ! e de sua permite resolver este tipo de limite. inversa
5.8 Diferencial de uma Função
A diferencial de uma função será introduzida de maneira formal. Ao leitor interessado recomendamos a bibliografia avançada. Seja e ' ! uma função definida num domínio ' diferenciável no ponto ' . Denotemos por ' o número (não nulo), tal que ' . Definição 5.7.
1. Para cada ' por ' !
, a diferencial de ' .
2. O incremento de
' ! em '
' ! no ponto '
é denotado por
é denotada por
e definido por
ou
'
'
! e definida
'5!
'
!.
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
232
Para ' fixado, é uma função linear sobre o domínio de todos os valores possíveis de ' e sobre o domínio de todos os valores possíveis de ' . Seja ' ' ' , então:
é uma função
0 Se
' '
' ! '
!
:
' !
0 temos que
! é uma função tal que
' ' ! , onde ' '
' ! '
Compare com linearização. Exemplo 5.14.
' ;
Seja ' ! ' logo
'' ! ''
'7'
Por outro lado, '
'
' ; no ponto ' :
'5! . Então:
'
'
'
'' !
é uma "boa"aproximação para
'
' e '
' !
'
.
'7'
!
' ' !; '
'7' ! 0 '
'7' ! ' 7' '7' ! ' , então '7'
' ' !
:
'7'
'
'
''
e
'7' ! .
Propriedades
1. 2.
5.9
'5! e
Sejam então:
!# ' !
!# ' !
' ! funções definidas num domínio e diferenciáveis no ponto '
!# ' !
' !
!# ' !
!# ' ! .
'
!
,
!# ' ! .
Exercícios
1. Verifique as condições do teorema de Rolle e determine os ' do teorema:
' !
, no intervalo 2 3 ' ! ' ' , no intervalo 2 3 ' , no intervalo 2 3 ' ! ' '
' ! $ ' ! ' ! , no intervalo 2 3
(a)
(b)
(c)
(d)
'
correspondentes à conclusão
'
2. Verifique as condições do teorema do valor médio e determine os ' conclusão do teorema. (a) (b)
' !
'
' , no intervalo 2 3 ' ! ' ' , no intervalo 2 3
correspondentes à
5.9. EXERCÍCIOS (c) (d)
'5!
233
' ' , no intervalo 2 3 '5! $ ' ! , no intervalo 2 3
3. Calcule os pontos críticos (se existem) de:
(a)
'
(b)
'
(c)
(d)
(e)
'
(g) (h)
(m) (n) (o)
!
(p)
'5!
' 1! ' ' ' ' ' ! ' ' ! ,
(l)
7'
$ '
$ ' ! 7'
(k)
! !# '
' 6 ' ' ' ,'
(f)
' !
(j)
'7'
'
(i)
e
4. Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções: (a) (b) (c) (d) (e) (f)
'5!
'
'5!
'5!
' ' '
'
$ ' ! ' $ '5!
'5!
'
(n)
6 ' ' ,' (j) ' ! (k) ' !# ' #! ' ' $ ' ! (i)
(m)
' 6 '
'
(l)
'5!
(h)
'
'5!
(g)
(o) (p)
'
'
' '
5. Calcule os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existem) de:
' 6'
(a)
(b)
,'' '
(c)
(e)
'
(d)
(f)
'
'
' ,'
' '
'
! ' ' (h) ' (g)
!
(i)
' '
'
'
! 1 ' ! (k) ' 7' ' (l) ' ' (j)
'
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
234
' 7'
'
'
(m)
' '
(n) (o)
(p)
' '
(q)
'
'
(r)
! ! '
!
'
6. Calcule os pontos de inflexão (se existem) e estude a concavidade de:
' ' ' ' ' ' '
(a) (b)
(c)
'
(d)
'
(e)
'
(g)
7. Esboce os gráficos de:
(d)
' ,' ' 7' ' ' !# ' ! ' ! $ '
(e)
(f)
(g)
(a) (b) (c)
(j)
'
(k)
'
(l)
' '
(n) (o)
'
(h)
'7' ' '
(p)
(i)
'
(q)
'
'
'
$ '
(n)
'
'
/
'
(r)
'
7' 7' 0
'
'
(s)
'
!
' '
'
' !
(t) (u)
(v) (w)
' 7' ! ' ' ! '
8. Determine o valor de tal que a função . em ' 9. Seja
(l)
' ' ' ! ' ! ' '
(m)
' ! (m)
$ '5!
(k)
' ' ' !
(f)
' ! ' (i) ' 7' (j) '
(h)
(x) (y)
! '
'
1 '5!
' ' ! ' '
'
'(! $ ' !
' '
!
admita um ponto de inflexão
e .
(a) Determine o único ponto de inflexão de . (b) Verifique que
'
tem um ponto de máximo e um ponto de mínimo se
.
5.9. EXERCÍCIOS 10. Seja (a) Se (b) Se
'
235
' ! , onde
são números naturais. Verifique:
é par,
tem um ponto de mínimo em '
.
é par,
tem um ponto de mínimo em '
.
11. Esboce o gráfico da família de curvas
'
' ,
. '
Problemas de Otimização 1. Determine a área do retângulo máximo, com base no eixo dos ' e vértices superiores 7' . sobre a parábola
2. Com uma quantidade de material dada deve-se construir um depósito de base quadrada e paredes verticais. Determine as dimensões que dão o volume máximo.
3. Uma reta passando por ! corta o eixo dos ' em 4 ! e o eixo dos em Determine o triângulo de área mínima para e positivos.
"! .
4. Um cartaz deve conter cada, na de matéria impressa com duas margens de cada. Determine as parte superior e na parte inferior e duas margens laterais de dimensões externas do cartaz de modo que sua área total seja mínima.
5. Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa em torno de um de seus catetos, gerando um cone circular reto. Determine o cone de volume máximo. 6. Determine o ponto da curva
' ! situado a menor distância da origem.
7. Determine o volume do maior cilindro circular reto que pode ser inscrito numa esfera de raio .
. Deter8. Deseja-se construir uma piscina de forma circular, com volume igual a
mine os valores do raio e da profundidade (altura), de modo que a piscina possa ser construida com a menor quantidade de material possível.
9. Determine a altura do maior cone que pode ser gerado pela rotação de um triângulo em torno de um dos catetos. retângulo de hipotenusa igual a
10. Determine o ponto do eixo dos ' cuja soma das distâncias a ( 1! e
! é mínima.
11. Entre todos os retângulos de área dada , qual o que tem menor perímetro?
12. Determine os catetos de um triângulo retângulo de área máxima sabendo que sua hipotenusa é .
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
236
13. Uma janela tem formato retangular com um semi-círculo no topo. Determine as dimen sões da janela de área máxima, se o perímetro é de metros. 14. Determine a área do maior retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados e que 7' e . pode ser inscrito na região limitada pelas curvas 15. Para fazer um cilindro circular reto de um retângulo de folha de aço colam-se duas bordas paralelas da folha. Para dar rigidez ao cilindro cola-se um arame de comprimento ao longo da diagonal do retângulo. Ache a tangente do ângulo formado pela diagonal e o lado não colado, de tal modo que o cilindro tenha volume máximo.
16. Um sólido é construido, colando um cilindro circular reto de altura e raio a uma semi-esfera de raio . Se a área do sólido é , determine e para que o volume seja máximo.
17. Suponha que a resistência de uma viga retangular é dada pela fórmula: , onde e são, respectivamente, a largura e a altura da seção da viga. Determine as dimensões da viga mais resistente que pode ser cortada de um tronco de árvore cilíndrico de raio . 18. Uma janela tem forma de um retângulo, tendo acima um triângulo equilátero. Sabendo que o perímetro da janela é igual a metros, determine as dimensões do retângulo que proporciona a área máxima para a janela. 19. A diferença de dois número é . Determine os números de modo que o produto seja o menor possível.
20. A soma de duas vezes um números e cinco vezes um segundo número é . Determine os números de modo que o produto seja o maior possível. 21. Determine as dimensões do retângulo de maior perímetro que pode ser inscrito na elipse centrada
' ; .
22. Suponha que numa experiência realizada foram coletados os seguintes pares de dados:
'( ! ' ! "0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 '
! , tais que os ' não são todos iguais. A teoria subjacente à experiência sugere que os dados devem estar ao longo de uma reta ' . Devido a erros experimentais, os pontos não são colineares. O problema consiste em determinar a reta que melhor se ajusta aos dados, ou seja, consiste em determinar de modo que a soma dos desvios verticais seja mínima. O ponto sobre a reta ' que está mais próximo (distância vertical) dos pontos dados tem coordenadas ' ' ! ; logo . o quadrado da distância vertical a estes pontos é: ' !
"
! '
(a) Minimize a função:
!
00000000
(b) Ache a reta que melhor se ajusta aos pontos
(
'
!.
! , 4 ! , ! , ! e ! .
5.9. EXERCÍCIOS
237
23. Se a velocidade de uma onda de comprimento , em águas profundas, é dada por:
onde e são constantes positivas, qual é o comprimento da onda que minimiza a velocidade? 24. A taxa aeróbica de uma pessoa com ' anos de idade é dada por:
sendo '-
'5!
$ ' ! !
'
. Em que idade a pessoa tem capacidade aeróbica máxima?
25. Com um fio de comprimento constroi-se um arco de círculo de modo que a área do segmento circular que determina seja máxima. Qual é o raio? 26. Se uma droga é injetada na corrente sanguínea, sua concentração minutos depois é dada ! , onde é uma constante positiva. por 4!
(a) Em que instante ocorre a concentração máxima? (b) Que se pode dizer sobre a concentração após um longo período de tempo? 27. Determine o maior comprimento que deve ter uma escada para passar de um corredor de metros de largura a outro, perpendicular, de metros de largura?
(k) $ ' ! $ ' ! (l) ' (m) ' (n) $ '5! ! ' ! (o) ! (p) ' ! ' ! ' (q) ' '$ ' ! (r) ' $ ' ! (s) ' !!
28. Usando L’Hôpital, calcule os seguintes limites:
' (a) ,' ' ' 6' (b) ' ' $ '5! (c) (d) $ ' ! $ ' ! (e) '5! ! $ ' ! (f) ' ! (g) ' (h) ' ! ! (i) ' (j) '
238
' !! (t) ' ! (u) ' $ $ ' ! ! (v) $ $ ' ' ! $ ' ' ! ! ! (w) '
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
(x)
7'5!
'
'
'
! (y) ' ! ' $ $ ' ! ! (z) $ ' $ '5! !
Capítulo 6
INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 6.1 Introdução Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua derivada. Este problema é chamado de integração indefinida.
Definição 6.1. Uma função ' , tem-se:
' ! é chamada uma primitiva da função ' ! no intervalo se para todo
'5!
'5!
Muitas vezes não faremos menção ao intervalo , mas a primitiva de uma função sempre será definida sobre um intervalo. Exemplo 6.1.
' !
[1] Seja
'
'5!
'5!
'
, para todo
' !
'
é uma primitiva de
é também uma primitiva de
[2] Seja '5!
' !$
' , então
' !.
é primitiva de pois
$ '
' ! , então ' !$
' !$
em , pois
!
[3] Seja:
em , pois
'5!
' ! '
, para todo
' !
'
' !.
'5!
'
' !.
'5! . Na verdade,
é uma primitiva de . De fato,
') 2 3 ' * 2 3 0
Não existe função definida em todo cuja derivada seja igual a '5! . Por outro lado, considere a seguinte função:
'5!
' 239
'- '- 2 3 '- 0
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
240
'5! é uma função contínua em todo e de em "! .
'5! se '
' !
"! . Logo,
é uma primitiva
Em geral, uma função admite uma infinidade de primitivas sobre um intervalo. É o que assegura a seguinte proposição:
Proposição 6.1. Seja uma primitiva da função também primitiva de no intervalo .
no intervalo . Então,
'5!+
'5!
, ,é
A pergunta natural que surge, a seguir, é: se e são primitivas de uma função sobre um intervalo, será que e estão relacionadas de alguma forma? A resposta a esta questão é dada pela seguinte proposição:
Proposição 6.2. Se e são primitivas de uma função '5! '5! , para todo ') .
num intervalo , então existe
- tal que
' $ ! ' ! ' ! ; então, para todo '- , temos que: ' ! '5! '5! '5! . Como consequência do Teorema do Valor Médio, para todo ' , '5!$ 0 então, para todo '- , '5!
Prova: Seja
' $ ! ' ! ;
Em outras palavras, duas primitivas de uma função diferem por uma constante. Logo, se conhecemos uma primitiva de uma função, conhecemos todas as primitivas da função. De fato, basta somar uma constante à primitiva conhecida para obter as outras. Exemplo 6.2.
[1] Seja ' ! é do tipo ' !+
' ! . Uma primitiva desta função é '5! $ ' ! .
$ '5! ; logo, toda primitiva de
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
[2] Seja 5 ' !$ é do tipo ' !+
Figura 6.1: Gráficos de
-2
e algumas primitivas de
. Uma primitiva desta função é
,
.
'5!+
' ! .
; logo, toda primitiva de
Definição 6.2. Seja '5! uma primitiva da função '5! no intervalo . A expressão é chamada a integral indefinida da função e é denotada por:
' ! '
' !
'5!
6.1. INTRODUÇÃO
241
Note que
' ! '
'5!
'5!
'5!
em particular:
' ! 0
'5! '
Teorema 6.1. (Linearidade da Integral) Sejam , primitivas de , e: intervalo e . Então, é uma primitiva de
'5!
Prova: Se
' !
e
são primitivas de ' ! ; logo:
' !
' !
'5!
' ! '
'
'
'5!
' ! '
' !
' ! ' ' !
' ! é primitiva de
'5!
' !
e , respectivamente, num
e , respectivamente, então
'5! ' 0
Exemplo 6.3. Calcule as seguintes integrais: [1]
'5!
[2]
[3]
' ! ' .
' ! ' .
'5! '
' .
[1] Usando o Teorema, podemos decompor a integral em duas outras integrais:
Sabemos que
'5!
'5! '5!
'5!
' ! ' !
' ! '
$ '
' ! e
' ! '
!!
' !
' ! '5! ' '5! , então:
' ! '
'5! ' 0
'5! '
[2] Usando o Teorema de linearidade, podemos escrever a integral como:
'
'
'
' '
0
' !
$ '
!
0
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
242 Como
e
'
[3] Observe que
, então:
'
'
0
'
' ! ! ; logo: ' ' ! ! ' ! ' '
'5!
$
'5!
0
Assim o processo de integrar se reduz a descobrir uma função conhecendo apenas sua derivada; usando a tabela de derivadas do capítulo anterior, obtemos uma lista de integrais chamadas imediatas. Esta lista pode ser comprovada derivando cada resultado da integral e consultando a tabela de derivada. Por exemplo, na tabela de derivadas do capítulo anterior temos que:
'5! !
'
' '
então
0
' !
No entanto, não incluimos como imediatas, por exemplo, integrais do tipo $ ' ! ' , pois não é evidente encontrar uma função que tem como derivada $ '5! . Para resolver este impasse, estudaremos os chamados métodos de integração, que nos permitirão calcular integrais não imediatas.
6.2 Tabela Usaremos como variável independente .
1.
2.
4.
9.
$
3.
!
%
,( )
$ !
5.
6.
$
7.
!
8.
! !
5!
.
$ !
10.
!
11.
13.
14.
!
15.
5!
!
5!
$ 5!
!
5!
!
!
12.
5!
5! !
!
6.3. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO
16.
17.
18.
19.
!
5!
!
!
20.
!
!
!
243
!
23.
!
!
5!
22.
!
21.
5!
5!
!
Métodos de Integração Nas próximas seções apresentaremos os métodos mais utilizados que nos permitirão determinar uma grande quantidade de integrais não imediatas. O primeiro a ser estudado se baseia na regra da cadeia.
6.3 Método de Substituição
esteja Sejam uma primitiva de num intervalo e uma função derivável tal que definida. Usando a regra da cadeia; temos, ' ! ! ' ! ! ' ! ' ! ! ' ! . Logo, '5! ! é uma primitiva de ' ! ! ' ! , então:
fazendo
'5! , tem-se
'5! !
'5! !
'5! '
' ! ' ; substituindo na expressão anterior:
' ! !
5!
'5! '
!
Exemplo 6.4. Calcule as seguintes integrais: [1]
'
'
' 0 Fazendo '
' [2]
' , então
'
' ! '5! ' 0 Fazendo
$ '
' ! ' ! '
'
$
' . Substituindo na integral:
!
! , então
$ '
! 0
' ! ' . Substituindo na integral:
'5! 0
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
244
'
! . Fazendo ) '
[3]
, então ) ' ou, equivalentemente, '
tuindo na integral:
$ '
[5]
! '
[4]
'
' ! '
'
'5! '
$
. Substituindo na integral:
!
'5! '
' ! ' '5!
$
'5!
'
'
'
Se
'5! ,
' ! ' . Substituindo na integral:
$ !
.
$
'
. Reescrevemos a integral como: ' ' Fazendo , então . Substituindo na integral: [7]
0
' !
$ ' ! 0
$
. Substituindo na integral:
' ! ' ou, equivalentemente,
'
' . Substi-
0 ' !
5!
! , então
!
. Reescrevemos a integral fazendo:
então
'
' ! '
'
$ ' [6]
' , então
$ '
' . Fazendo
' . Fazendo
,
!
5!
' ! !
0
'
.
' 0
Muitas vezes, antes de efetuar uma substituição adequada, é necessário fazer algumas manipulações, como, por exemplo, o completamento de quadrados. [8] Calcule
Fazendo
'
'
' '
. Completando os quadrados ' '
, teremos
' '
'
' ! '
'
!
0
' . Substituindo na integral:
'
0
; então,
6.4. INTEGRAIS DE PRODUTOS E POTÊNCIAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 245
6.3.1
Outros Tipos de Substituições
Exemplo 6.5. Calcule as seguintes integrais:
'
[1]
'
. Fazendo ' '
' '
[2]
!
'
' '
'
!
'
' '
6.4
e '
! ! ! ' ' ! 0 '
1
,
.
e
; '
.
0 !
Integrais de Produtos e Potências de Funções Trigonométricas
Exemplo 6.6. Calcule as seguintes integrais: [1]
. Logo,
5!
0 '
. Fazendo
'5!
0 '
! e ' ! ;
' !
;
' !
' , então '
' ! ; então, ' ' . Seja ' '
[3]
!
[4]
. Fazendo
, então ' e '
$
' !
$
'5! ' . Se , utilizamos :
$
então:
$
' !
'5!
$
$
' !
) ! '5! ! ' !
' ! '
) ! ' ! ! '5! ' ! '5! ) ! '5! 0 -
e
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
246
[2]
, utilizamos
Se
$ '
' !
'5! ' . Como
' !
[4]
' ! '
' !
' !
' !
' ! ' !
'5!
' !
!
'5!
'5!
$
'
'5!
'
1 '
'5!
!
' !
'5! '5! , fazendo
' ! ! '5! '
'5!
' !
' !
' ! ' . Fatorando ' !
; então:
' '5!
'5!
'5! '
[3]
' ! ' e:
! , temos
' ! '
, ' !
0
;
!
' !
' !
0
' ! ' 0
Fazendo
'5! ' ' !
' !
'5! , temos
' ! '5 ! ' ! '5!
' !
'
'5! ' '5!
'5!
' !
1 '
$
'5!
'5!
'5!
'5! ' 0 ' !
! ! ' . Substituindo na integral:
$ '5!
!
' ! !
0
Estes exemplos nos mostram que para determinar a primitiva de uma integral que envolve produtos ou potências de funções trigonométricas é necessário, em primeiro lugar, transformar a função a integrar por meio de identidades trigonométricas conhecidas, para depois usar alguns dos métodos.
6.5 Método de Integração por Partes Sejam
e funções deriváveis no intervalo . Derivando o produto
ou, equivalentemente, ' !
fazendo:
' ! e
' ! '5!
'5!
'5!
' !
' !
' !!
'5!
' !
'5!
:
' !
'5! . Integrando ambos os lados:
'5! ' ! ' ! ' , temos: '5! ' e
' ! '
' !
'5! '
'5! . Logo:
6.5. MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES
'5!
247
' ! '
Este método de integração nos permite transformar a integração de na integração de . É importante saber “escolher” a substituição e na integral de partida. Devemos escolher tal que permita determinar . As expressões de e devem ser mais simples que as de e , respectivamente. Exemplo 6.7. Calcule as seguintes integrais:
$ '
[1]
'
'
$ '5!
$ '5!
'
' $ ' !
' ; então,
'
$ '5!
0
; logo:
'
'
'
' '5!
' ; então,
' e
' ; logo:
' ' $ '5! 7'
e
' e '
0
'5! ; logo:
' ! ' 0
' , novamente por partes. Fazendo ' e ' ! ' , temos
! ' ;
'
$ '
'
$ ' !
. Façamos
! '
'
! '
$ '
'5! 0 !
$ '5!
'5!
' ; então,
'
! ' , novamente integrando por partes. Fazendo
'5! ' ' e , temos
'
! ' '
e
$ '
!
' ! ! 0
; logo:
' ' ' !
$ ' Calculemos
$ '5!
$ '
[4]
'
'
' ! ' '
'
Calculemos agora ' '5! ' e $ '5! ; logo:
Então:
' e
'
' ; então,
' . Façamos ' e
'
' . Façamos '
[3]
! '
$ ' ! e
$ ' [2]
! ' . Façamos
! ' 0
' e
(6.1)
e
; logo:
$ '
!
$ '
! ' 0
(6.2)
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
248
$ '
Denotemos por
! ' . Então, de 6.1 e 6.2, temos:
$ '
!
'5!
Pois a última integral é exatamente a integral procurada e podemos passá-la ao outro lado da igualdade:
Logo, [5]
$ '
!
$ ' ! '
'5!
$ '5!
' ; então,
'
' ou
' ' ! ' '
!
$ 4 !
$ ! :
' ! ! 0
' ; então,
' '
Integrando por partes: fazemos
'
'
$
! ; então,
$ ! !
! 0
' ;
e
$ '
' ! '
!! 0
' . Aqui usamos, novamente, os dois métodos:
Substituição: seja
'
e
Integrando por partes, fazemos
'
' ' ! '
[7]
$ '5!
' ' ! ' . Aqui usamos os dois métodos:
Substituição: seja
[6]
' ! ! .
' ou
!
' ;
0
; então,
'
e
'
e
0 ' !
' ! ' . Aqui usamos, novamente, os dois métodos:
Substituição: seja
' ; então, $ ,' '
$
' ou ' ' e '
' ! '
$ 4 ! 0
;
:
6.6. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
Integrando por partes: fazemos
'
$
e
249
$ ! ; então,
e
' ! ' $ ! $ 0 $ ' ! ' ' ! !
! :
6.6 Método de Substituição Trigonométrica Este método é usado quando a expressão a integrar envolve alguns dos seguintes tipos de radicais:
onde .
Caso 1:
Para , seja Denotando por
:
$
! ; então,
a
!
. Logo
. Logo
! .
u
θ c
Figura 6.2: Caso 1
Caso 2:
Para , seja Denotando por
:
! ; então,
d
u
θ a
Figura 6.3: Caso 2
!
!.
250
Caso 3:
Para
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
ou , seja ! . Denotando por
! ; então, :
u
!
!
. Logo
e
θ a
Figura 6.4: Caso 3. Exemplo 6.8. Calcule as seguintes integrais:
[1]
7'
Seja '
$
' .
7'
$
! e
7' ; logo, $ !
[2]
'
; 4
!
! ' ' ! !!: ' ! '
'
a
$
x
θ
; onde
'
a
'
! ; estamos no caso 1:
'
! '
!
' ' '
'
7'
e
x
θ c
onde
. Substituindo no resultado da integral:
! !
!
! ; então, '
! 0
; então,
e
e 7 ' !. ! $
7'
d
!
$ !
. Seja '
Estamos no caso 2: do:
!
'
'
! ; então, '
!
;
!
0
. Logo, $ !
0
. Em tal caso
$ !
0
. Substituin-
6.6. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
$
'
. Seja ' ' ' !:
[3]
! ; então, '
'
a
x
'
[4]
!
'
'
'
ou ( 7 !
!
x
'
e
'
'
!
'
!
'
!
; logo,
$
! ; então, '
!
!:
. Seja '7
!
!
!
; então,
!.
0
'
$
' ! ). Neste caso, '
. Neste caso,
0
; logo,
'
θ onde Estamos no caso 3: 1/3 Substituindo no resultado da integral:
. Reescrevendo a integral:
' ! ;
! ;
Estamos no caso 1: c onde Substituindo no resultado da integral: θ
251
e
' '
!
!
0
!
.
0
. Seja ') ! ; então, ' ! ! ; ou . ' ' Neste caso ' ! e: ' $ ! ! 0 ! ' ' [5]
'
x
e
onde ' ; logo, $ ! ! 4 Estamos no caso 3: , devemos ter cuidado, pois ' é definida para ') e ') . θ
Se '
e
i) '- :
:
. Para calcular
! e , onde - . Se ' , então ! , onde . Mas e ) ! ! ; logo, para
, onde ; substituindo no resultado da integral: ' ' ' 0 ' ' ' ' ' ' onde . 7
, então
' ,
ii) '-
'
'
'
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
252
' . Primeiramente completamos os quadrados: '7' ' 7 ' ! ' . Substituindo na integral: , temos fazendo ' [6]
Seja
' ' 7' ! $ ! ; então ! ;
Estamos no caso 1:
' ' 7' ! !
' ' 7' !
!
!;
0
!
1 ! .
! 0
!
'
. Substituindo no resultado da integral:
e
' 0
'7'
' ' ' ! ' . Completando os quadrados: ,' ; fazendo ' ' , temos ' ' . Substituindo na integral: ' ! ' 0 ' '
! e ! : Seja ; então [7]
!
Estamos no caso 2: da integral:
'
'
!
' '
6.7
!
'
'
!
!
! ! e '
!
!
!
0
' ' . Substituindo no resultado
'
'
'
!
0
Método para Integração de Funções Racionais
Um polinômio ' ! de coeficientes reais pode ser sempre expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos. Naturalmente esta decomposição depende essencialmente do grau de '5! . i) ' ! ii) ' !$
' ! ' ! 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' ! ou '! ' ! 0 0 0 0 0 0 0 0 ' ! ou
' ! ' ! 0 0 0 0 0 0 ' ! ou ' ! ' ! 0 0 0 0 0 0 ' ! ! $' . iv) ' $ iii) '5!
+'
6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS Exemplo 6.9. [1] ' !
'
[2] ' !
'
'
'
253
!.
! '
,' 6 ' ! ' !. ' ' ' ! ' ! . [3] ' ! ' ' ' 6' ' ' ' 6 ' ' [4] ' ! '
! ' ! ' ! .
'
'5! . A decomposição de uma função racional em frações mais ' ! simples, depende do modo em que o polinômio '5! se decompõe em fatores lineares e/ou quadráticos. Se numa função racional o grau de '5! é maior ou igual ao grau de '5! , então podemos dividir os polinômios. De fato, se , ' ! ! , '5! ! então Seja uma função racional
' ! ' !
onde , que:
,
'5! !
' !
'5! ! ; então,
' !
' !
'5! Logo, basta estudar o caso em 0
'5!
,
' ! !
' !
'5!
' !!
pois, caso contrário efetuamos a divisão dos polinômios.
Caso 1:
se decompõe em fatores lineares distintos.
Então:
' ! ' !# ' ! 0 0 0 0 0 0 ' ! onde
são distintos dois a dois; então
#
onde
' !
Calculemos Fazendo
50 0 0 0 0 0 0
' ! ' ' !
'
' ' !
' . ' !
'7 ; então,
'5! ' onde
50 0 0 0 0 0 0
são constantes a determinar.
' ! 0000000000 ' ! ' ! ' ! ' ! ' !
$ '
!
$
' 0000000000 ' !
!
$ '
$ ' !
são constantes a determinar.
0000000
' !
! ; logo:
$ '
'
!
0
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
254 Exemplo 6.10. Calcule as seguintes integrais:
, 6 ' 7 ' ' . Observe que ' ! ! ' ! ! . Dividindo os polinô ' ' 6' 7' , ' ' ' ! ' 0 ' ' '
'
[1]
mios:
A seguir, aplicamos o método à última parcela da direita:
' ' ! ' ' ' ' ' . Fatorando: ' Calculemos ' ' ' ' '
' '
'
'
' ' 0 ' '
'
' ' 1 ! ' ! ; temos: ' !
1! ' 0 ' ' ' 1! / ' ! Comparando os numeradores: ' . As raízes do polinômio '5! são ' e '7 ; agora substituimos cada raiz na última expressão. Se '7 teremos e . Se '- , então e . Logo, podemos decompor a fração inicial em:
0 ' 1 ! ' ' ' ! ' ! ' $ ' $ ' ! 0 A integral procurada é: ' ' ' $ ' ! $ ' ! 0 '
Então, pelo Caso 1:
'
[2]
6' 6 ' ' ' . Note que , ' ! ! ' ' '
mios:
Então:
' ' ' ' ' 0 ' '
' ' '
'
' '
' '
Aplicando o método à última parcela da direita, calculemos
' ' ' ' ! '
ro observemos que '
' '
' ' '
'
'
'
'5! ! . Dividindo os polinô-
' ' '5!
,
!:
' ! '
!
'
' 1! 0 ' ' ,' '
' ' 0 ' ' . Primei ' '
' ' ! ' '
' ' ! 0
6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS
255
' ' ! ' ! ! Comparando os numeradores: ' ' ' !; ' ' as raízes do polinômio ' ! são ' , ' e ' ; agora substituimos cada raiz na última expressão. Se ') & , então, ; se '- então, e se ') , então, . A fração inicial pode ser decomposta em:
' ' ' ' ' $ ' ! $ $ ' ! '
Pelo Caso 1, temos:
'
' !
' ! $ $ ' !
'
'
!
! . A integral procurada é:
$ '
0
! 0
Nos exemplos anteriores a forma de determinar os coeficientes é equivalente a resolver um sistema de equações. ' ' ! ' ! ' ' ! ' ' ! . Consideremos o exemplo 2. ' ' ! ' Ordenando o segundo membro em potências de ' , temos: ' Comparando os polinômios e sabendo que dois polinômios são ! ' iguais se e somente se os coeficientes dos termos do mesmo grau são iguais, temos que resolver o seguinte sistema:
que tem como solução: [3]
,
,
$
e
.
,
.
! ; aplicando o método: ! ! 0 ! ! ; as raízes do polinômio ! são Comparando os numeradores: e ; agora e substituimos cada raiz na última expressão. Se , então, se , então, . A fração inicial pode ser decomposta em: ! 0 ! 5! !
! ! ; e
!
Pelo Caso 1, temos:
$ !
$
!
Aplicamos esta última fórmula para completamento de quadrados.
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
256 Exemplo 6.11. Calcule as seguintes integrais:
[1]
'
. Como ' ,'
' , ' temos ' . Substituindo:
'
' ,'
'
! :
' ,'
'
'
'
''
!
0 Fazendo '
,
onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior.
[2]
'
7' ,'
temos
' . Substituindo:
'
7' ,'
'
. Completando os quadrados ' ,'
! e fazendo '
,
' '
onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior.
Caso 2:
se decompõe em fatores lineares, alguns deles repetidos.
Seja ' o fator linear de ' ! de multiplicidade e a maior potência da fatoração. Então, a cada fator linear repetido associamos uma expressão do tipo:
' ! onde # mos:
50 0 0 0 0 0 0
' !
0000000000
' !
são constantes a determinar. Em tal caso, integrando esta expressão obte-
$ '
!
'
0000000
!# '
!
Os fatores lineares não repetidos são tratados como no caso 1. Exemplo 6.12. Calcule as seguintes integrais:
[1]
'
' ' ' . Como , ' ! ! '
' !! e'
'
'7 ' ' ! . O fator
!' tem multiplicidade 2 e o fator ' é como no caso 1. ' ' ' ' ' ! 0 ' ' ' ! ' ' ' ! ' ' Comparando os numeradores: ' . As raízes do polinômio '5! são: ' e ' ; agora, substituimos cada raiz na última expressão. Se ' , então e se ' , então . Falta determinar . Para calcular o valor '
6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS
257
da constante , formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos ' ! ' ! ' ; então: polinômios. '
obtemos, facilmente, ; então: ' ' ' ' ! ' ' ' ' ' ' 0 logo, ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' . [2] ' ' Como , '5! ! , ' ! ! ; ' ' ' ' ! ' ! . O fator ' tem multiplicidade 2 ' ' Como sabemos os valores de
e
são como no caso 1.
e os fatores
'
' ' , ' '
Comparando os numeradores:
'
'
'
'
'
0
' ' ! ' ' ! ' ! ! ; as ' ' ! ' ! ' raízes do polinômio ' ! são: '- , ') e ') . Agora substituimos cada raiz na última ; se ' , então e se ' , então . Falta expressão. Se ' , então
determinar . Para calcular o valor da constante da comparação dos coeficientes dos polinômios.
' '
! '
, formamos o sistema de equações obtido
+
note que o coeficiente da potência cúbica nos dá o valor de então .
logo:
'
' ' ' '
' ' ' '
' !
'
! ' 0 0 0 0 . De fato, sendo
,
' ! ' ' ' ' . '
Caso 3: se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que os fatores quadráticos não se repetem A cada fator quadrático '
onde
' de '5! associamos uma expressão do tipo: ' $' '
são constantes a determinar. Os fatores lineares são tratados como no caso 1 e 2.
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
258 Exemplo 6.13. Calcule as seguintes integrais:
' ' [1] Calcule ' ' . ' ' ' ' Primeiramente observamos que , '5! ! , ' ! ! . Fatorando ' ! ' ! ' . O único fator quadrático irredutível é ' ; o fator ' é como no caso 1. ' ' ' 0 ' ' ,' ' ' Comparando os numeradores:
' '
' ! ' ! ' ! ! ' ! ' . A raiz real do polinômio ' ! é ' ; agora substituimos esta raiz na última expressão. Se ' , então . Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos , logo e implica em . polinômios:
' '
' 0 ' ' ' ' ' ' ! ! ' $ ' ' ! ! Portanto: $ ' , onde a última inte '
gral é resolvida usando substituição simples.
' ' . [2] Calcule ' ' ' ' ' Primeiramente observamos que , '5! ! , ' ! ! . Fatorando ' ' . O fator ' é como ' ! ' ' ! . O único fator quadrático irredutível é ' '
no caso 1.
' ' ' ' ' 0 ' ' '
'
Comparando os numeradores:
! ' ! ' ! ! ' 5 ! ' ; ; substituindo esta raiz na última expressão: Se a raiz real do polinômio '5! é ' ' , então . Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios: ; logo e $ ; logo . Então: '
' ' ' ' ' ' ! ' ' '
'
'
'
logo:
'
'
'
'
'
onde a última integral é resolvida usando substituições; de fato: ' ' e: ; logo Então, considere '
'
'
!
.
6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS
'
'
'
'
259
0
A segunda integral é imediata, pois:
Na primeira integral fazemos
e:
'
'
; logo
'
$ '
'
(0
'
'
!
.
'
' são fatores quadráticos irredutíveis. Temos: ' ' ' ' 0 ' ! ' ,' ! ' ' '
Comparando os numeradores:
$ !
:
'
' !# ' ' ! ' . Observemos que , ' ! ! '
[3] Calcule e '
'
! '
! '
,
! '
'5! ! ; '
!.
Formando o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios:
Resolvendo o sistema:
, , e ; logo: ' ' ' ' ! ' ' ! ' 0 ' ' '
+
Integrando, após a decomposição da função integranda, obtemos quatro integrais, a primeira é resolvida por substituição simples, a segunda é imediata, a terceira e quarta são resolvidas por completamento de quadrados.
$ '
' ! ' !
'
'5!
0
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
260
Caso 4: se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que alguns dos fatores quadráticos se repetem
de '5! tem multiplicidade , a esse fator quadrático
Se um fator quadrático ' ' associamos uma expressão do tipo:
' ' 000000000 ! $' ' $' ' ! +' ' "0 0 0 0 '
onde são constantes a determinar, casos 1, 2 e 3.
. Os outros fatores são tratados como nos
Exemplo 6.14. Calcule as seguintes integrais:
! ' . ' ' '
[1] Calcule
'
Primeiramente observamos que , irredutível, de multiplicidade 2.
' ! ' '
'
Comparando os numeradores:
'
'
! '
'
,
'5! !
'
'
'
' !! e'
! '
é o único fator quadrático
' 0 ' !
! '
. Formando e resolvendo o sistema de equações obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios e lembrando que '5! tem uma raiz real ' , obtemos, , , , e 0 Logo: . Calculando as integrais correspondentes:
' ' ' $ ! ' ' ! ' ' ' ' ' ' . ' ! '
'
[2] Calcule
Primeiramente observamos que , irredutível, de multiplicidáde 3.
'
,
'5! !
' ' ' ' ' !
'
'
'5!
'
' !! e'
'
'
0
é o único fator quadrático
!
'
'
!
0
Formando e resolvendo o sistema de equações obtido da comparação dos coeficientes dos po , B=1 e 0 Logo: linômios; obtemos,
e
$
'
!
'
'
'
'
'
' !
'
.
'
'
!
'
6.8. MUDANÇA: TANGENTE DO ÂNGULO MÉDIO
261
6.8 Mudança: Tangente do Ângulo Médio
Se a função integranda envolve expressões do tipo: destas, utilizamos a mudança ; logo:
$ '5!
Por exemplo:
'
$ ' !
'
' ! Exemplo 6.15.
'
$ '5! . Neste caso
[1] Calcule
! !
0
' ! ou combinações
!,
e '
' !
$ '
!
0
; logo:
e
'
$ '
!
'
'5!
[2] Calcule
Utilizando as mudanças:
'
' !
$ '5!
$ '5 ! .
' ! 0
!
!
; logo:
' ! 0 '5! $ '5!
6.9 Aplicações da Integral Indefinida 6.9.1 Obtenção de Famílias de Curvas
'5! uma função derivável. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de Seja no ponto ' ' ! ! é '5! . Inversamente, se um coeficiente angular é dado por ' !, '5! por integração determina-se uma família de funções: , onde é uma constante arbitrária.
Exemplo 6.16. [1] Obtenha a equação de uma família de curvas, sabendo que o coeficiente angular da reta tangente à cada curva, num ponto, é igual a menos duas vezes a abscissa do ponto. Obtenha a equação da curva que passa pelo ponto ! .
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
262 Temos
' ; integrando:
; então,
e
'
'
.
0 No ponto ! , tem-se ' '
5 !
'5! tem-se que ' . Obtenha a equação da [2] Em todos os pontos de uma curva . curva, se esta passa pelo ponto ! e a reta tangente nesse ponto é paralela à reta ' ' ; integrando: Temos
' ! '
'
7'
0
O coeficiente angular da reta: ' é e a reta tangente à curva no ponto (1,1) . Integrando e é paralela a esta reta: ; logo, ! ' (azul). temos e Usando o fato de que ! novamente: (verde).
2
1
-2
-1
1
2
-1
Figura 6.5:
6.9.2 Outras aplicações Exemplo 6.17. [1] A taxa de produção de uma mina de cobre anos após a extração ter começado foi calculada como ! mil toneladas por ano. Determine a produção total de cobre ao final do ano .
4! a produção total ao final do ano ; então, a taxa de produção é !$ !$ ; integrando:
Seja
4!
,,
0
! ; logo,
! 0
Ao final do ano zero a produção é zero; logo, ! , donde obtemos produção total de cobre ao final do ano é dada por:
,, ; portanto, a
4! ,, 0 ! ,, 0 [2] A temperatura de um líquido é . Coloca-se o líquido em um depósito cuja temperatura, mantida constante é igual a . Passados minutos a temperatura do líquido é . Sabendo
6.9. APLICAÇÕES DA INTEGRAL INDEFINIDA
263
que a velocidade de resfriamento é proporcional à diferença que existe entre a temperatura do líquido e a do depósito, qual é a temperatura do líquido após minutos?
4! a temperatura do líquido no instante , ! e 1! . A velocidade Seja de resfriamento é proporcional à diferença que existe entre a tenperatura do líquido e a do depósito. Então, 4! ! 1! , . Devemos determinar 4! .
4! 4!
. Como 4! , então: 4! $ ! 4!
1!
logo, $
!
1!$
; então:
$ $
donde
$
! ; logo, $
$
1!
$
1!
1!$
4!
$ !
1!$
! 1!
$ !
1 !$
0
! e 4!
; então:
[3] (Lei de resfriamento de Newton): A taxa de variação da temperatura ! de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura ambiente (constante) e a temperatura ! , isto é:
4! !
! 0
!
Para determinar , integramos ! em relação a :
logo,
4!
. Se a temperatura inicial é
4!
$
obtendo
!
!
!
; então, &
e:
0
[4] (Crescimento populacional inibido): Considere uma colônia de coelhos com população ! é pequena, ela tende a crescer inicial numa ilha sem predadores. Se a população a uma taxa proporcional a si mesma; mas, quando ela se torna grande, há uma competição crescente por alimento e espaço e cresce a uma taxa menor. Estudos ecológicos mostram que indivíduos, se a taxa de crescimento da a ilha pode suportar uma quantidade máxima de população é conjuntamente proporcional a e a $ ; logo: $ ! ! 0 ! Para determinar
, integramos ! em relação a , aplicando o método de frações parciais:
!
logo,
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
264 e:
$
$
Como
$
!
,
$
logo,
!
(0
! ; então,
!
$
!
$
donde:
4!
$
que é uma função logística de população limite
!
.
6.10 Exercícios 1. Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(a)
' '
(b)
' 1 ! '
(c) (d) (e) (f) (g)
!# '
! '
(h) (i)
' ' ' ! '
(j) (k)
! ' '
' '
#! ' '
' ' 7' ! ' '
! '
(l) (m) (n)
' ' ' '
(q)
' ! ' '
'
'5!
'
(r) (s)
'
(t)
(p)
'
'
(o)
'
!
' ' ! ' '
' ' ' '
' '
'
! '
' '
2. Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: (a)
(b) (c)
'
' '
'
(d)
'
(e)
'
(f)
'
'
(g)
5 !
,' ' '
(h) (i)
' !
'
!
'
6 '
' '
6.10. EXERCÍCIOS (j)
$ '
(k)
$
!
'
'
' !
(l)
265
!
'
'5! '
(q)
' ! '
(r)
' ! ' $ ' ! ' ' $ ' ! ! ' ' '
(m)
(s)
'
(w)
'
(t)
'
'
!!
6' !
' ' $ '5!
(u)
'
'
'
' ! ' ' '
' ' ! '
(y)
'
7'
(x)
!
$ $ '5! !
!
$
(v)
$
(o)
(n)
'
(p)
(z)
3. Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:
(a)
'
'
'
use '
'
(d)
use ' $ 4!
'
(c)
!
use '
'
(b)
'
(e)
(f)
'
'
'
'
'
$ 4 !
'
use ' 7 ' use
'
use
'
4. Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
(a)
'
(b)
'
'
$ ' '
! '
(d)
$ $ '
(e)
!! '
'5! '
(g)
' ! '
(h)
'
(i)
'5! '
'5! '
'
'
' ' ' ' ! ' '
(m)
'
(n)
'
(o)
'
(q)
'
(p)
(r)
'
(l)
(k)
!
'
(j)
' 5 ' ! 4!
(c)
(f)
'
'5!
'
(t)
'
(u)
'
(x)
'
(z)
' ! '
'
$ '5! '
' ! '
'5! '
' $ ' ! '
(y)
'5! '
'
(w)
'
7' '5!
(v)
' ! '
$ '5! ' '!' '
(s)
'
'
'
'
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
266
5 Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois, integração por partes:
' '
(a) (b) (c)
'
' $ '5! ' ' '
(d)
' ! '
(e)
$ ' ! ! '
(f)
6 Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funções trigonométricas: (a) (b) (c) (d) (e)
'5! '
' !
'5! ' ! ' '5! ' ! ' '5! ' ' ! $ ' !
'
'5!
(i)
' !
(h)
(j)
' !
(g)
(f)
' ! ! '
'
' ! '
! ! ' !
' !
' !
'
5. Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
7 ' ' '
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
(g)
'
' ' ' 7' ' ' ' '
' ' ' ''
(i) (j) (k) (l)
'
' !
' ,'7' !
(h)
'
'
' !
7' ! '
'
(n)
'
7'
'
(p)
'
(q)
'
(o)
'
'
1 ! , '
'
'
'
(m)
' '
'
'
'
'5! ' '
'
6. Usando primeiramente o método de substituição simples, seguido do método de substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:
!
$ '5! '
!!
'
#!
'
' $ ' ! ! !
!
' ! ' ' !
6.10. EXERCÍCIOS
267
[ 7. Completando quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais: (a) (b) (c) (d)
' ' , ' ' 7' ' ' ! ' ' ' '
'
(e)
'
(f)
'
(g) (h)
' ' 7 '
' ' ' ' ' ' 7 ' ' ' '7'
(i) (j)
8. Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k)
'
'
(l)
'
' ,' ' ' ' ! ' ' ! ' ' ' ' ' ' ' ' ' ! ' ' 7' ' !# ' ' ' ! ' ' ' ,' 1! ' ' ' ' ! ' ' ' ' ,'
1!
'
(n) (o)
(q)
!
'
'
(r) (s)
'
(t) (u)
'
9. Calcule as seguintes integrais:
(v)
' ' '
'
' ' '
'
!# ' ' ! '
' ' ' 6 ' '
(p)
' '
'
' ' ' ' ' 7' ' ' ' ' 7'
(m)
'
'
' ' ' 6 ' , ' ' 7' ' ,' ,' ' ' ' ' ! ' ' '
' ' ' '
' ' ' ' ' '
'
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
268
' ! $ $ ' ! ! '
(a)
(b)
'
(c)
'
'
' ! '
(e) (f)
(h) (i) (j) (k) (l)
'
! '
(g)
(p)
'
'
(r)
'
'
'
'
'
'
'
! '
' ' ! ' ' ' $ ' ! 1 5' ! '
'5!
'
'
'
' '
!
' '
'
! ' $ ' ! ' '5! ' ! '
(u)
1 ! '
(t)
' '
'
(s)
'
(q)
' '
' ' ' ' ' ' ' ' ' ! ' ' ! '
(o)
' ! '
'
(n)
'5! ' ! ' ' ! '5!
(d)
(m)
(v)
'
(w) (x)
!
'
' ! ' '
'
10. Calcule as seguintes integrais: (a)
$ '
$ '
!
(b)
'
!
'
' !
' !
' ' ! '5! ' $ '5! '5!
(c) (d)
11. Verifique, utilizando exemplos, se é verdadeiro ou falso que se & de grau , então:
' !
'
!
' !
.
' ! é um polinômio
' ! tem-se que ' ! $ ' ! . Obte12. Em todos os pontos de uma curva nha a equação da curva, se esta passa pelo ponto ! e a reta tangente nesse ponto é perpendicular à reta ' .
6.10. EXERCÍCIOS
269
13. Em alguns estudos, a degradação ambiental produzida por detritos tóxicos é modelada pela equação de Haldane:
onde , 4! é a concentração do substrato ( a substância do resíduo na qual as bactérias agem). Determine 4! .
Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após , horas?
270
CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Capítulo 7
INTEGRAÇÃO DEFINIDA 7.1 Intodução Neste capítulo introduziremos a noção de integral definida, cuja origem foi a formalização matemática da idéia do cálculo de áreas de regiões planas delimitadas pelos gráficos de funções. Observemos que somente "sabemos"calcular, efetivamente, a área de regiões limitadas por segmentos de retas como retângulos, triângulos ou composições destes. Como motivação, começaremos com um problema.
2 43 funções contínuas.. Calcule a área da região plana '5! , '5! , ' . delimitada pelo gráfico das funções contínuas
Problema: Sejam
f g a
b
Figura 7.1: Área da região dada no problema.
Solução do Problema: O subconjunto de ordem do intervalo 2 3 se:
%(' '( "0 0 0 0 0 0 '
.
2 3 é chamado de partição
'
'
Subdividamos o intervalo 2 3 em memos os seguintes subintervalos:
' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 '
'
0
subintervalos, escolhendo os pontos da partição
2 ' ' 3 2 ' ( ' 3 "0 0 0 0 0 0 0 0 /2 ' 271
' 30
. For-
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
272
Denotemos qualquer destes subintervalos por 2 ' " ' 3 , variando de ' ' o comprimento do subintervalo 2 ' " ' 3 , variando de até bintervalos não tem necessariamente o mesmo comprimento. Para cada consideremos o retângulo limitado pelas retas ') &' , ') ' , 2' ' 3 .
até . Seja '
. Note que estes su , variando de até , ! e ! , onde
Figura 7.2: Subdivisão da região. Obtemos assim retângulos . É intuitivo que a soma das áreas dos retângulos é uma "aproximação"da área da região . Se é muito grande ou, equivalentemente, se cresce, então ' ou seja a base do retângulo correspondente é muito pequena e a soma das áreas dos retângulos aproxima-se cada vez mais da área da região .
A área de cada é:
é
Figura 7.3: Subdivisão da região.
!
! ' (base por altura); a soma
!
das áreas dos
retângulos
! ' 0
é chamada soma de Riemann da função . Denotemos por ' o maior dos ' . A área de uma região plana delimitada pelo gráfico das funções contínuas ' ! , ' ! definidas no intervalo 2 43 e pelas retas ' e ' é:
7.1. INTODUÇÃO
273
!
!
! ' 0
É possível provar, com rigor matemático que este limite sempre existe e é igual a área de ; mais ainda, este limite não depende da escolha da partição do intervalo 2 3 ou da escolha dos pontos . Para mais detalhes veja a bibliografia intermediária e avançada.
Exemplo 7.1.
' !$
[1] Calcule a área da região limitada pelo gráfico da função . retas ' e '
' , o eixo dos ' e pelas
1
1
' !
Figura 7.4: Área limitada por
' .
' e ' !+ ; então ' !$ ' !
O intervalo de integração é 2 3 , ' !
'5! ' .
a) Consideremos a seguinte partição de ordem de 2 3 :
'
'
'
' , para cada . Os subintervalos são: 2 , e , então, ! , !
Se escolhemos
,
,
e :
'
3, 2 ,
'
3 , 2 3 e 2 3 . Se escolhemos !$ , ! ; logo:
0
,
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
274 1
0.25
0.5
0.75
1
Figura 7.5: Partição da região.
#!
,
! ! ,
! ; logo:
,
0
É intuitivo que
0
!
b) Consideremos a seguinte partição de ordem :
'$ '
'
'
. Se escolhemos
!
!
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 '
, ,............, : 0000000000
0000000000
0
Se escolhemos
,
,
0
,
'
,............,
:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ! !
! ) ! 0
!
7.1. INTODUÇÃO
275 1
1
Figura 7.6: Nova partição da região.
Então,
então,
!$
!
0 Por outro lado:
! - !
!
.
!
' e pelas
3
' , ' !
Figura 7.7: Área limitada por ' !
' , '5!
[2] Calcule a área da região limitada pelos gráficos das funções '5! retas ' e ' .
' !
O intervalo de integração é 2 3 ; então, ' !+
' e pelas retas ' e '
' !
'7' , se '-
. .
a) Consideremos a seguinte partição de ordem de 2 3 :
' ' '
' , para cada . Se escolhemos ! , ! , ! , !
'
'
'
, , , , ! e !
,
e,
! 0
'
e
, obtemos:
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
276 b) Consideremos a seguinte partição de ordem :
'
'
'
'
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 '
0 0 0 0 0 . Logo: !+ . Seja , para todo ! , ! . Em geral:
'
!
0
, !+
,
e:
! '
Lembrando que
!
e
área procurada é:
7.2
!$
!
, temos
!
0
. Então, a
0
Definição e Cálculo da Integral Definida
Definição 7.1. Sejam uma função definida no intervalo 2 3 , uma partição qualquer do intervalo 2 43 e um ponto qualquer em cada subintervalo definido pela partição. A integral definida de de até é denotada por:
e definida por:
' !
' ! '
'
! '
se o limite existe. Se o limite da definição existe, é independente das escolhas feitas, como no caso da definição de área. Portanto, deve ter sempre um único valor.
Se é contínua e não negativa em 2 3 a definição de integral definida coincide com a definição de área da região delimitada pelo gráfico de , pelas retas ' , ' & e pelo eixo dos ' ( ):
7.2. DEFINIÇÃO E CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA
277
Figura 7.8: A região .
&% ' !*6'- Neste caso teremos:
!$
'5! .
' ! '
Os números e são chamados limites inferior e superior de integração. Definição 7.2. Uma função existe.
definida em 2 3 é dita integrável em 2 3 se sua integral definida
Algumas das provas deste capítulo serão omitidas, pois fogem do objetivo destas notas. Um leitor interessado pode recorrer à bibliografia indicada. Teorema 7.1. Se a função
é contínua em 2 3 , então é integrável em 2 3 .
Observemos que a recíproca deste teorema é falsa. Por exemplo, considere a função:
' !
se se
') 2 3 ') 3 0
1
1
Figura 7.9: Gráfico de .
2
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
278
é descontínua, mas a região limitada pelo gráfico de , possui área igual a no intervalo 2 3 e zero no intervalo 3 ; logo, é integrável. Proposição 7.1. Se
e são funções integráveis em 2 3 , então:
1. Linearidade da Integral.
'5!
é função integrável em 2 3 , para todo $ e:
' !
'
2. Monotonicidade da Integral. Se '5!
' ! '
' ! '
' !
'5! em 2 43 ; então,
')
' ! '
3. é integrável e:
' !
'
'5! '
e uma função integrável em 2 3 e 2 3 respectivamente. Então é integrável
4. Sejam em 2 43 e:
' !
'
' ! '
'5! '
Para a prova, veja o apêndice. Até agora conhecemos a definição e as propriedades mais importantes da integral definida. Mostraremos, a seguir, como calculá -la. Teorema 7.2. Fundamental do Cálculo. Se
é uma função integrável em 2 3 e admite uma primitiva
' ! '
"!
' ! em 2 43 , então: !
O teorema nos diz que para calcular a integral definida de uma função, basta procurar uma primitiva da função e avaliá-la nos limites de integração. A integral definida é um número real. Para a prova do teorema, veja o apêndice.
Notação:
'5!
"!
!.
Corolário 7.3. Na hipótese do teorema 7.2 temos:
7.2. DEFINIÇÃO E CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA
279
' ! ' ' ! ' . ' ! ' .
1.
2.
Exemplo 7.2. Calcule as seguintes integrais definidas:
[1]
'
' . Usando a linearidade, podemos escrever a integral como:
'
'
'
'
0 '
Como:
' !
'
e
' !$
'
'
'
' '
Logo,
'
[2]
$ '5! '
'
'
' !$
$ '5! ' ' $ '5!
$ '
! '
6 '5! ! !
'5!
' !
'
'
0
$ ' ! ' . Observamos que $ ' ! se ' e $ ' ! se ') . $ '5! ' '5! 0
7' ; logo:
[3]
'
. Utilizamos integração por partes:
'
! ! ! !0
$ ' ! então:
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
280
' !
Logo,
$
' ! '
'
[4]
'
' !
' . Se
'
Logo,
$ '5! '
, então:
!
!!
$ '
!
! '
!
'
!!
' !
0
, então ' ' .
'
' '
'
! 0
; então, '
'
'
[5] Seja
' !
!
!
0
'
se
'
se
0
. Logo, Verifique se é contínua em . Calculando diretamente: ' '5! ; então: "! ! 7 0 '
Por outro lado, aplicando L’Hôpital:
'5!
logo,
é contínua em
.
$ #!
!
$ ! !
7.3 Métodos para Calcular Integrais Definidas Método de Substituição Se
'5! , então
'5! ' ; logo,
'5! !
' ! '
!
7.3. MÉTODOS PARA CALCULAR INTEGRAIS DEFINIDAS
281
Integração por Partes
' !
' ! '5!
' ! '
Exemplo 7.3.
'
'
, então
[2] Calcule
' ' .
Fazamos então . Utilizando frações parciais:
[3] Calcule
'
' , então,
'
e
!
'
0
; se ' ,
!
!
0
; se
' . Se: ' , então,
$
!0
! e
' $ ' !
'
$ '
$ !
$ 4! . 4 ! $ 4! 4! , fazemos ' $ ! ; logo,
'
' ; então,
' e
0
4! . Se , então ' ;
, então '
. Assim:
$ 4 ! ' , então
Integrando por partes:
' $ ' ! '
se
$
Usando o método de integração por partes temos: . Assim ' $ ' ! ' . Logo:
Como $
!
' $ ' ! ' .
[4] Calcule
[5] Calcule
; logo,
' ' . Se: '7 , então
! . Se ' , então
!
. Assim:
.
'
, então ' '
Se
'
' ! '
; logo,
' !
'
[1] No [4] da página anterior, fizemos exemplo ; se ' , então . Assim:
$ 4!
' e
'
'
'
'
'
' 0
; logo:
' e
'
'
0
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
282
[6] Calcule
'
. ' ' Usaremos o método de substituição trigonométrica. Seja ; observamos que ' ! $! ! ; então, e ! , implicam em e ; ' . ' ! 0 ' ' ' ! [7] Verifique que , sendo tal que o integrando seja definido. ' '5! 7' ! ' ! Seja ' . Fazendo ' , então ' : '5! 7' !
logo,
[8] Usemos [7] para calcular
'
'
Consideramos '5! [9] Calcule
'
'
Então:
Aplicação : Seja
'
'
'
'
7' !
7 ' !
7' !
7' !
' !
' !
'
'
' 0
' .
'
' '
'
' ' '
!
'
' em [5].
' ! ' .
'
'
5!
7'5!
'
Integrando por partes
Agora calculamos
5!
!
'5! ' !
'
'
'5! , ' ' ; então,
'5! '
'
'5!
'
'
'
'5! '
'
'5!
' '
uma função integrável sobre 2 4 3 . Se
'5!
'
' ! '
'
' . Integramos a função racional. Logo,
e
'5!
;
' 0
0
!0
é uma função par:
0
7.3. MÉTODOS PARA CALCULAR INTEGRAIS DEFINIDAS
283
é uma função ímpar:
Se
'5! '
De fato:
' !
'
' ! '
Façamos a seguinte substituição
é uma função par, segue a) e se
' !
'
'5! '
'5! ' 0
' , então:
Se
' !
'
5! 0
é uma função ímpar, segue b).
Exemplo 7.4.
' ! '
[1] Calcule
A função '5!
'
' .
é ímpar, logo:
'
'5!
'
' 0
0.3
-0.75
0.75
-0.3
Figura 7.10: Gráfico da função ' ! [2] Calcule
A função '5!
.
' ! ! ' . ' '
'5!
é par, logo:
' ' ! ! '
' ' ! ! '
0
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
284
2
-1
1
'
Figura 7.11: Gráfico da função '5!
7.4 Seja
' ! .
Construção de Primitivas
2 3
uma função contínua. Definamos a função:
'5!$
4! 0
Por exemplo, se '5! ' ! , então ' ! 4! $ $ '5! ; por outro lado, '5! ' ! . Este fato pode ser generalizado. É o que estabelece o seguinte teorema.
Teorema 7.4. Seja 2 3
uma função contínua. A função ' !$
'5!
' ! ou
' !
'
'5!
4! é derivável e: 4! '5!
Este resultado implica que toda função contínua possui uma primitiva. Veja o apêndice para a prova. Existem funções integráveis que não possuem primitivas (não podem ser contínuas). ; não é derivada de nenhuma Por exemplo, a função definida por ' !$ se ' e !$ função ( ' !$ 4! para todo ' ).
Corolário 7.5. Seja ' !
tais que !
De fato. Seja
! , onde
. Então é derivável e:
é contínua e ' !$
tal que ' !
derivável;
+ '5! ! '5! ! . Pelo teorema
Utilizando a regra da cadeia e o teorema novamente
'5!
'
' ! ! ' !
' ! !
' ! 0
e
são intervalos
é uma função derivável.
7.4. CONSTRUÇÃO DE PRIMITIVAS Exemplo 7.5.
[1] Calcule
anterior:
'
!
[2] Calcule
se
'
'
! $
4!
é contínua em , pelo teorema
0 ' 7'
! .
! é contínua em ; ' !+ ' é derivável em e
Como 4! corolário anterior:
[3] Calcule
A função
.
285
se
Como 4! tais que
!
' ! !
' !
' ! '
/ '5! !
'5!
' ! ! ' !
! . Pelo
! 0 ' '
.
é contínua em , ( '5! ' e ' ! ! , pelo corolário anterior: !
'
!
'
'
são funções deriváveis
'
!
0
[4] Seja
Mostre que
'5!
i) Seja
e
!+
' !$
' 0
' ! é constante em 4 ! e em ! . Calcule tais constantes.
' ! '5! '5! se ') .
ii)
; então,
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se ' e ' ! . Logo '5! e '5!
' !
'5!
' !
; analogamente,
[5] A função :
'5!
0
é chamada de Fresnel e aparece no estudo da difração de ondas de luz: Calcule O limite apresenta uma indeterminação do tipo ! ; aplicamos L’Hôpital,
'5!
'
logo
'5! '
' ! '
0
'5! . '
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
286 0.6 0.4 0.2
-3
-2
-1
1
2
3
-0.2 -0.4 -0.6
Figura 7.12: Gráfico de '5! . [6] A função:
'5!
é chamada função erro. Calcule a derivada de:
i) '
ii)
'5! .
'5! .
i) Pela regra do produto:
ii) !
'
'
e + '5!$
' !
' !
' ; então, + '5! !
'
!
'
'
' !
e '5!
' ! !
' !
'
0
. Logo:
' !$
'
0
1.0
0.5
-3
-2
-1
1
2
3
-0.5
-1.0
Figura 7.13: Gráfico de [7] Calcule
se ' !+
Denotemos por 4 !
.
e ' !+
' ; então, ' ! !
'5! .
' !$
; logo:
'5!
'
.
7.5. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
287
1.0
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1.0
[8] Se '
$ '5!
Figura 7.14: Gráfico de e .
os lados da igualdade:
Para '
'
'
4! , onde
$ '5!
, temos:
$
é uma função contínua, calcule ! . Derivando a ambos
'
4!
!
!$
' ! ' 0 ! . Então, !
$ ' ! '
! , logo
-
' !$
.
7.5 Aplicações da Integral Definida 7.5.1 Aceleração, velocidade e posição A relação entre aceleração, velocidade e a posição de uma partícula pode ser obtida utilizando diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Suponhamos que uma partícula move-se ao longo do gráfico da função com segunda derivada contínua ' ' ! com velocidade 4! , de classe e aceleração, 4! em cada instante . A aceleração da partícula é: 4! . Pelo Teorema:
!
! !
então:
!
!
!
!0
Logo, conhecendo a aceleração e a velocidade inicial da partícula, podemos obter a velocidade . Pelo Teorema: em cada instante . A velocidade da partícula é: 4!
então:
6!
'
' 4! 7' !
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
288
' !
! !
' ! 0
!
' ! ' ! é chamado o deslocamento da partícula. Logo, conhecendo a velocidade
e a posição inicial da partícula, podemos obter sua posição em cada instante . Um dos movimentos mais simples é quando a partícula tem aceleração constante: ! , para todo . É comum nas aplicações considerar que o tempo inicial seja . Denotando a velocidade e posição inicial respectivamente por !$ e ' !+ ' , obtemos: De (1): !
e de ! : ' !
'
6!
!
' .
Logo,
' 4!
' 0
Neste caso, conhecendo a velocidade e a posição inicial da partícula obtemos sua trajetória. No deslocamento vertical de uma partícula, escolhemos o eixo dos do sistema de coordenadas para a posição. Consideramos para cima a parte positiva do eixo dos . O efeito da gravidade na partícula é diminuir a altura bem como a sua velocidade. Desprezando a resistência do * é a aceleração gravitacional na ar, a aceleração é constante ! , onde 0 superfície da terra. Então:
!
0
0
' !
e
'
' 4! medido em metros. Exemplo 7.6.
[1] A velocidade de um foguete é de ,, * após os primeiros de seu lançamento. * Determine a distância percorrida pelo foguete. Primeiramente, fazemos a conversão de para * multiplicando pela fração , donde obtemos:
, , , , * , ; logo !$ 0 e obtemos: ) !+ 0 percorre uma distância de 0 .
0
*
0
0 . O foguete nos primeiros
[2] Se uma bola é jogada diretamente para cima a partir do chão com velocidade inicial de * . Determine seu deslocamento. Primeiramente, ' e ; logo, 4! 0 sua altura máxima quando ; então, a altura máxima é atingida no tempo: . A bola atinge 0 . Logo,
' 0 1 !$ 0
0 1 !
0
0
0
7.6. CÁLCULO DE ÁREAS
289
7.6 Cálculo de Áreas O cálculo da área de uma região plana pode ser feito via integral definida. A seguir, estudaremos as situações mais comuns.
Teorema 7.6. 2 3+ Sejam funções contínuas
funções contínuas. A área de uma região plana delimitada pelo gráfico das '5! , ' ! e pelas retas ' e ' é:
Se ' ! e '5!$
!$
' !
' ! '
, para todo '- 2 3 , então:
onde:
!$
' ! '
'5! .
&% ' !* ')
y=f(x)
R
a
Se ' ! e '5!$
Figura 7.15:
b
% ' !* '-
, para todo '- 2 3 , então:
onde
!
' ! . .
'5! '
&% ' !* ') '5! . a
b R
Figura 7.16:
&% ' !* ') ' ! .
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
290
Se ' !
'5! , para todo ') 2 43 , então:
onde
!
' !
' !
'
' ! .
&% ' !* ') ' !
f
R
g a
b
&% ' !* ') '5!
Figura 7.17:
Se ' !
'5! , '-
'5! ,
e '5!
'- ; então,
&% ' !* '- '5!
&% ' !* ') / '5!
!
' !
' !
'
'5! .
a
Figura 7.18:
b
.
e
' ! '
' !
c
, onde:
' ! .
g
f
' ! . .
7.6. CÁLCULO DE ÁREAS
291
Exemplo 7.7. [1] Se em 1970, foram utilizados 20.3 bilhões de barris de petróleo no mundo todo e se a demanda mundial de petróleo cresce exponencialmente ao ano, então a demanda a uma taxa de ( em 1970). Se a demanda continua ! anual de petróleo no tempo é 4! 0 crescendo a uma taxa de ao ano, qual será a quantidade de petróleo consumida entre os anos de 1970 e 2005?
A quantidade de petróleo utilizada nesse período de tempo é a área sob a curva de demanda entre e $
.
0
,
0
0 0
30
35
Logo, foram consumidos 5038.02 barris de petróleo.
400
300
200
100
5
10
15
20
25
Figura 7.19: A região do exemplo [1]. [2] Calcule a área da região limitada pelo eixo dos ' e pelo gráfico de 5' . Neste problema e não são dados claramente os intervalos de integração; mas, as interseções com os eixos são os pontos: ! , 4 ! e 4 ! . 4
3
2
1
-2
-1
1
2
Figura 7.20: A região do exemplo [2]. Logo,
&% ' ! *
'-
' . . Usando o fato de que a função é par:
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
292
7' ! '
7' ! '
'
'
!
0 0
[3] Calcule a área da região limitada pelo eixo dos ' e pelo gráfico de Determinemos a interseção da curva com os eixos coordenados:
'
'
.
; o ponto de interseção é ! . e ' são raizes do , clarametente ' ii) Fazendo ; então, ' ' polinômio; logo, ' ' ' ! ' ! ' ! ; os pontos de interseção são 4 ! , 4 ! , 4 ! e 4 ! . i) Fazendo ' ; então,
É fácil verificar que ' é ponto de máximo local e ' . Logo, onde:
&% ' ! *) '-
&% ' ! ) * '- &% ' ! * ')
'
'
são pontos de mínimo local de
' .
'
' . e
.10 '
1
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
Figura 7.21: Gráfico de Logo,
'
! ' '
'
.
! ' '
'
! ' . '
A função é par. Usando a simetria da região, calculamos a área da região no primeiro e quarto quadrantes e multiplicamos o resultado por :
'
! ' '
'
! ' '
[4] Calcule a área da região limitada pelos gráficos de
' e '
.
0 0
7.6. CÁLCULO DE ÁREAS
293
2
1
-2
-1
1
2
Figura 7.22: A região do exemplo [4]. Novamente neste problema não são dados, claramente, os intervalos de integração. i) Calculemos as interseções dos gráficos; em outras palavras, resolvamos o seguinte sistema de equações:
'6
e '
ou seja, resolvamos ' 7 ' ; temos: ' e ! . ii) Notemos que ' ' se ' 2 3 ; logo:
'
'
7' ! '
'
. Os pontos de interseção são
'
[5] Calcule a área da região limitada pelos gráficos de
-1
'
' 7'
e
!
0 0 '
.
1
-1
Figura 7.23: A região do exemplo [5]. i) Calculemos as interseções dos gráficos; em outras palavras, resolvamos o seguinte sistema de equações:
' 7 ' '
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
294 ou seja, resolvamos ' 4 ! .
; temos: ' e ' . Os pontos de interseção são 4 ! e
ii) Notemos que ' 7'
se ') 2 3 ; utilizando a simetria da região:
'
'
! '
'
! '
0 0
[6] Calcule a área da região limitada pelos gráficos das seguintes curvas: $' e ' se . As curvas são parábolas.
+' ,
' ,
Figura 7.24: A região do exemplo [6]. Pela simetria da região, podemos calcular a área da região situada no primeiro quadrante e multiplicar o resultado por . i) Observemos primeiro que
+' não é função de ' .
ii) Calculemos a interseção das curvas, resolvendo o sistema: 5
Então, '
; logo '
'
+' 0
' , cujas raízes: ' e ' são os limites de integração.
iii) A região no primeiro quadrante, cuja área queremos calcular é limitada superiormente pela +' e inferiormente por +' , logo: função
' +'
'
[7] Calcule a área da região limitada pelas curvas:
' '
' ! e .
0 0
7.6. CÁLCULO DE ÁREAS
295
-1
Figura 7.25: A região do exemplo [7].
' ! , se '- Se '- & , então i) Calculemos as interseções das curvas: 0 e se ' , então ; logo, temos os pontos ! e 4 e ( ! .
, então
ii) Pela simetria da região, podemos calcular a área da região situada no primeiro quadrante e multiplicar o resultado po .
!$
'5!
'
$ '5!
'
' ' !
0 0
Observação Importante Muitas vezes os problemas ficam mais simples de resolver se integramos em relação a e não em relação a ' . Podemos repetir o processo de partição num intervalo que fica no eixo dos e a obtenção das somas de Riemann. Seja a região plana limitada pela direita pela função ') ! , pela esquerda por '- ! e pelas retas e .
N(y)
d
c
Figura 7.26: .
M(y)
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
296
! e
Não é difícil provar que se as funções
! são contínuas em 2 3 , então:
!
!
Por isso, para resolver os problemas de área é sempre indicado fazer o desenho da região correspondente.
Exemplo 7.8. [1] Calcule a área da região limitada pelas curvas
! e ! .
i) As interseções das curvas são ( ii) Sejam '
e ' !
!$
' e ' .
.
4
2
-2
2
4
6
8
10
-2
-4
Figura 7.27: A região do exemplo [1]. Então:
0 0
Sugerimos ao aluno fazer este problema integrando em relação a ' , para "sentir"as dificuldades. [2] Calcule a área da região limitada pelas curvas i) As interseções das curvas são ! e ( ii) Sejam '
!$
e '
!$
!.
.
e ' . '
7.6. CÁLCULO DE ÁREAS
297 2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
Figura 7.28: A região do exemplo [2]. Então, pela simetria:
3
2
3
2
Exemplos Diversos
$ '5!
[1] Calcule a área da região limitada pelos gráficos de
0 0
$
e
' ! , '-
.
1
3
-1
Figura 7.29: A região do exemplo [1].
'
$ '
$
$ '5!
e ' ! para ' 2 3 , temos que ' , ' . A interseção das curvas ocorre em 4 ! , ! e 4 ! . Dividamos a região em duas:
Resolvendo
!
' !
&% ' !* '-
&% ' !* '-
Então,
$ ' !
$ '
!
'
$ '
$
$ ' !
$ '5! .1 $ '5! .10
! ' !
$
[2] Calcule a área da região limitada pelo gráfico das curvas:
' !
'
' 7'
0 . e
'7' .
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
298
0.5
1
Figura 7.30: A região do exemplo [2]. Determinemos o intervalo de integração, resolvendo o sistema:
Logo, '
e '
' ' ' 7'(! ' !0 '' ' 7
; então, o intervalo de integração é 2 3 . '7'
' 7' '
[3] Calcule a área comum a '
'7'
' e '
'
'
'
0 0
.
2
-2
1
2
4
-2
Figura 7.31: A região do exemplo [3]. Determinamos o intervalo de integração, resolvendo o sistema:
'
'
,' 0
Então, '- e . A equação ' ,' corresponde a um círculo de raio centrado . Pela simetria da em 4 ! ; de fato, completando os quadrados obtemos: ') ! região, calculamos somente a área da região:
% ' !*
') 7' .
7.6. CÁLCULO DE ÁREAS
299
no primeiro quadrante (em verde) e multiplicamos o resultado por quatro. Integrando em relação a :
!
[4] Calcule a área da região limitada pelos gráficos das curvas: '
0 0
e '
.
Determinemos o intervalo de integração, resolvendo o sistema:
Então,
e
' 7'
0
. A interseção das curvas ocorre em
!
! e !.
(
0 0
2
1
-3
-2
-1
1
-1
Figura 7.32: A região do exemplo [4]. [5] Calcule a área da região limitada pelos gráficos das seguintes curvas: ' .
' '' e
' '' ' '5! ' 1! ; a curva intersecta o eixo dos ' nos pontos 4 ! , 4 ! e 4 ! . Por outro lado, considerando ' ' ' , temos ' ' e ' ;
e são, respectivamente, de máximo local e de mínimo local. então, os pontos críticos Para obter as interseções das curvas, resolvemos o sistema:
logo, ' ' , '
' ' ' ' e ' .
'
' '7'
! ' 1! ; as curvas se intersectam nos pontos de abscissas
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
300
2
5
Figura 7.33: A região do exemplo [5]. A região é subdividida em duas regiões
e
, onde:
&% ' !* ) ' ' '7' ' .1 & % ' !* ) ' '7 ' '7 ' 1. 0
Logo:
'
'
' '
' '7' '
' ' ! '
'
' '
0 0
[6] Calcule a área da região limitada pelos gráficos das seguintes curvas: 7' .
' '
10
1 -1
1
2
3
Figura 7.34: A região do exemplo [6]. As curvas se intersectam nos pontos de abscissas '
7' ' ,' ! '
e ' ; então:
'
' ! '
0 0
e
7.6. CÁLCULO DE ÁREAS
301
! '
[7] Calcule a área limitada pela curva ordenada e pelo eixo dos ' .
, pela tangente a esta curva no ponto de
3
2
1
-4
-2
2
4
Figura 7.35: A região do exemplo [7].
Se , então ' . A equação da reta tangente no ponto ! é a equação da reta ! tangente é ' ! ' ; para obter , derivamos implicitamente em relação a ' a ! - ' ; temos: ! . No ponto ! , temos: ! ; logo, equação , ' ! ' . Integrando em relação a , teremos: ' ! ! e
! ! !
[8] Determine a área da região limitada pela curva:
1!
0 0
; .
Figura 7.36: A região do exemplo [8]. As interseções com os eixos são 4 ! , 4 ! , #! e ( "! . Como a curva é simétrica em relação aos eixos coordenados, podemos calcular a área da região situada no primeiro quadrante e multiplicar o resultado por . Então, consideramos:
7' !
no primeiro quadrante. A área desta região é:
7' !
'
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
302 fazendo a mudança de variáveis: '
A área pedida é:
4! $
5
7' !
4!
usando a identidade
$ 4 ! , temos
13 , sendo
$
0 0
0 0 '
'
e o eixo dos ' , sabendo que
.
,
[9] Calcule a soma das áreas limitadas pela curva
'- 2
! :
4!
4! 4 !
e '
'
Figura 7.37: A região do exemplo [9].
Vemos que
'-&
'
!
'
e
00000000
'
'
considerando:
Logo,
de termos de uma P.A.
' 000000 ! '
'
' ' 0
, onde é a área limitada pela curva, o eixo dos ' , se 0 0 0 - , ou seja,
'
00000
'
' '
' , se é ímpar. Integrando por partes temos:
' '
'
!!
!
!0
0 0 , pois, 0 0 0 0 0
[10] Calcule a área da região limitada pela astróide
'
, .
! é soma
7.6. CÁLCULO DE ÁREAS
303
As interseções da curva com os eixos coordenados são 4 ! , 4 ! , 4 ! e ( ! . Pela simetria da curva, calculamos a área da região no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado por .
Figura 7.38: A região do exemplo [10]. Seja
' ; logo,
Fazendo a mudança '
'
logo:
'
' 0
4! , obtemos , ! , ' 4! ! ; então, 4! ! ' ! 4! + 4!
4 !
!
4 !
0 0
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
304
7.7 Volume de Sólidos de Revolução Se giramos uma região plana em torno de uma reta, obtemos o que é chamado um sólido de revolução. A reta em torno da qual a região é girada chama-se eixo de revolução. Por exemplo, considere a seguinte região no plano:
Figura 7.39: Girando a região em torno do eixo dos ' , obtemos:
Figura 7.40: Sólido gerado pela região. Exemplo 7.9. [1] Seja a região limitada pelas curvas - em torno do eixo dos ' , obtemos:
' , '
e o eixo dos ' . Se giramos a região
1
-1
1
-1
Figura 7.41: A região e o sólido, respectivamewnte.
7.7. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO [2] Seja a região limitada pelas curvas dos , obtemos
305
' e
. Se giramos a região em torno do eixo
1
-1
1
Figura 7.42: A região e o sólido, respectivamente. [3] Seja a região limitada pelo gráfico de
$ '
! para ') 2
3 e o eixo dos ' .
Se giramos a região em torno do eixo dos ' obtemos o sólido do desenho à esquerda e se giramos a região em torno do eixo dos , obtemos o sólido do desenho à direita:
1
1
3
6
-1
Figura 7.43: A região e os sólidos, respectivamente.
[4] Seja a região limitada pelos gráficos de a região em torno do eixo dos ' , obtemos:
' , '
, '
e pelo eixo dos ' . Se giramos
4
1
1
2
Figura 7.44: A região e o sólido, respectivamente.
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
306
7.7.1 Cálculo do Volume dos Sólidos Sejam
2 3
uma função contínua tal que ' ! em 2 3 e a região:
'5! .
&% ' !* '-
Figura 7.45: A região e o sólido, respectivamente.
Fazendo girar a região ao redor dos eixo dos ' , obtemos um sólido de revolução . Considere a seguinte partição do intervalo 2 3 : ' ' ' 0 0 0 0 0 ' . Como antes,
' ' ' é o comprimento de cada subintervalo 2 ' ( ' 3 , variando de até . Em cada subintervalo 2 ' " ' 3 , escolha , variando de até . Seja o retângulo de altura ! e base ' , variando de até .
f(x) Ri
a
x i-1 c i x i
b
Figura 7.46:
Girando
' .
em torno do eixo dos ' obtemos um cilindro circular reto
de volume
!
7.7. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
307
Rj
Ri
Cj
Ci
∆x i ∆ xj
Figura 7.47: A soma dos volumes dos
cilindros é:
! ' 0
é uma aproximação do volume do sólido de revolução, quando ' aproxima-se de , ou, equivalentemente, se cresce. Intuitivamente estamos “preenchendo” o sólido de revolução por cilindros de altura pequena, dos quais sabemos efetivamente calcular o volume. Seguindo o mesmo raciocínio utilizado quando definimos área de uma região plana, temos:
!
! '
' ! '
se o limite existe. É possível demonstrar que este limite sempre existe e é independente das escolhas feitas. Se a função é negativa em algum subconjunto de 2 3 , o sólido de revolução obtido a partir da região limitada pelo gráfico de , o eixo dos ' e as retas ' e ' coincide com o sólido de revolução obtido a partir da região limitada pelo gráfico de , o eixo dos ' e as retas ') e ' . O fato de que o integrando '5! , implica em que seja válida a mesma fórmula para ambos os casos.
1
1
Proposição 7.2. Sejam
2 3
Figura 7.48:
uma função contínua tal que ' ! em 2 3 e a região:
&% ' !* ')
'5! .
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
308
Considere o sólido de revolução obtido girando a região ao redor do eixo dos ' . Então o volume do sólido é:
$!
$!
' ! '
Em geral, este processo, pode ser feito para qualquer região limitada pelos gráficos de funções contínuas. 2 3 funções contínuas tais que ' ! ' ! para todo ' 2 3 e a Sejam região:
' ! .
&% ' !* ') ' !
f
R
g a
Figura 7.49:
b
&% ' !* ') '5!
' ! . .
O volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos ' é:
De forma análoga, sejam todo 2 3 e a região:
!
2 3
' !
' !
'
funções contínuas tais que
&% ' !*
! ')
! .
d N(y) M(y)
R c
Figura 7.50:
&% ' !*
! ')
! . .
!
! para
7.7. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
309
O volume do sólido de revolução obtido girando ao redor dos eixo dos
Em particular, para a reta '
$!
!
é:
!
! , ou seja, o eixo dos .
!$
!
Exemplo 7.10. [1] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos ' a região ' 2 3 e o eixo dos ' . limitada pela curva $ '5! , -
1
1
3
6
-1
Figura 7.51: Região e o sólido do exemplo [1]. Pela simetria do sólido, calculamos o volume da metade do sólido e multiplicamos o resultado por 2:
$!
' ! '
0 0
[2] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos ' a região , ' 2 43 e o eixo dos ' , ( ). limitada pela curva
Figura 7.52: Região e o sólido do exemplo [2].
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
310
Pela simetria do sólido, calculamos o volume da metade do sólido e multiplicamos o resultado por 2:
!$
'
'
'
0 0
[3] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos ' a região limitada pela curva 7' , ') e o eixo dos ' .
!$
2 7' 3 '
0 0
Observe que o volume de revolução é o de uma esfera de raio . 1
-1
1
Figura 7.53: Região e o sólido do exemplo [3]. [4] Calcule o volume do sólido de girando em torno do eixo dos ' a região revolução obtido ' e 7 '
. limitada pelos gráficos de 4
1
-3
-1
1
2
Figura 7.54: Região e o sólido do exemplo [4] Os limites de integração são '
!
e '
.
7'
' 2 3 2 3 '
2
' 1 ' 3 ' '
[5] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos . limitada pelo gráfico de ' "! ,
0 0 a região
7.7. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
311
y b
a
a
-a Figura 7.55: Região e o sólido do exemplo [5]. Sejam ! ; então:
Note que
!
e
!
!
!
. Os limites de integração são
!
$
e
0
é a área da região limitada por um círculo de raio ; logo,
. A superfície de revolução obtida é chamada toro.
[6] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos ' a região , ') e o eixo dos ' . limitada pelo gráfico de
4
1
-1
1
Figura 7.56: Região e o sólido do exemplo [5].
!
7.7.2
'
/!
0 .
Outros Eixos de Revolução
Sejam 2 3 uma função contínua tal que ' ! , ') 2 3 e a região limitada pelo gráfico de , pelas retas ' , ' e . Considere o sólido de revolução obtido girando a região ao redor da reta . Então, o volume ! do sólido é:
!
' !
!
'
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
312
! , Analogamente, se a região é determinada pelo gráfico da função contínua ' e ' , então o volume do sólido de revolução obtido
2 3 e pelas retas , girando ao redor da reta ' é:
!
!
Exemplo 7.11.
, a região
[1] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da reta limitada pela curva ' , ') e pela reta .
4
2
1
2
Figura 7.57: Região e o sólido do exemplo [1].
$!
3 2' '
0 0
[2] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da reta '7 e pelas retas limitada pelo gráfico de ' .
a região
1
1
2
-1
Figura 7.58: Região e o sólido do exemplo [2]. Os limites de integração são
$!
!
.
2 3
0 0
7.7. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
313
a região
[3] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da reta ' limitada pelo gráfico de ' e pela reta ' .
4
1
4
6
-4
Figura 7.59: Região e o sólido do exemplo [3].
!
Os limites de integração são
.
1! 1!
[4] Determine o valor de tal que se a região limitada pelas curvas ' , girar em torno da reta , o sólido gerado tenha volume igual a Para obter , devemos resolver a equação:
-
' , '
Fazendo
' em (*), obtemos:
donde
e
$
'
'
!0
!0
4
1
Figura 7.60: A região do exemplo [4].
.
'
0 0 ,
e
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
314
7.7.3 Método das Arruelas
2 3
Sejam
função contínua tal que '5! em 2 3 e a região:
&% ' !* '-
'5! .10
Fazendo girar a região ao redor dos eixo dos , obtemos um sólido de revolução . Se , o sólido possui um espaço vazio internamente. y
y=f(x) R a
b
x
Figura 7.61: Como antes, considere a seguinte partição do intervalo 2 3 : ' ' ' 0 0 0 0 0' .
' ' ' 2 ' ( ' 3 , variando de até . Em é o comprimento de cada subintervalo
cada subintervalo 2 '
( ' 3 , escolha
'
'
, o ponto médio do subintervalo 2 '
( ' 3 ,
variando de até . Seja o retângulo de altura ! e base ' , variando de até . Fazendo girar em torno do eixo dos obtemos uma arruela cilíndrica de raio médio e altura ! .
y
Ri
O volume de
é
Figura 7.62:
! ' . A soma dos volumes dos cilindros é:
! ' 0
é uma aproximação do volume do sólido de revolução, quando ' aproxima-se de , ou equivalentemente, se cresce. Intuitivamente estamos “fatiando” o sólido de revolução por
7.7. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
315
inúmeras arruelas de altura pequena, das quais sabemos efetivamente calcular o volume. Seguindo o mesmo raciocínio anterior, temos:
!
! '
'
' ! '
se o limite existe. É possível demonstrar que este limite sempre existe e é independente das escolhas feitas. Em geral, este processo pode ser feito para qualquer região limitada pelos 2 3 funções contínuas tais que '5! gráficos de funções contínuas. Sejam '5! para todo ' 2 3 , e a região % ' !* '- / ' ! '5! . .
f
R
g a
b
&% ' !* '- '5!
Figura 7.63:
'5! .
O volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos
$!
' ' !
é:
' !! '
Exemplo 7.12. [1] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos limitada pelo gráfico de $ ' ! , '- e o eixo dos ' .
1
3
Figura 7.64: Região e o sólido do exemplo [1]. O volume é:
'
$ '
! '
0 0
a região
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
316
[2] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos ' ! ; limitada pela curva ' e o eixo dos ' .
a região
1
1
2
6
9
12
-1
Figura 7.65: Região e o sólido do exemplo [2]. O volume é
'
Como
, onde:
' ! ' '
' ! ' '
$ '5!
'5! ' ' ! '
, então,
' ! ' '
!
'
' ! ' 0
0 0
[3] Calcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo dos obtido girando 7' e ' , '- . limitada pelas curvas
a região
1
1
-1
Figura 7.66: Região e o sólido do exemplo [3].
'
7'
7' ! '
0 0
[4] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos e o eixo dos ' . limitada pela curva ' ! , ')
a região
7.8. CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCO
317
1
1
2
Figura 7.67: Região e o sólido do exemplo [4].
! '
' '
0 0
7.8 Cálculo do Comprimento de Arco
Seja 2 3 uma função derivável. A porção do gráfico de , comprendida entre os pontos: ! ! e "! ! é chamado arco. Nosso interesse é medir o comprimento deste arco. Se a curva é uma reta, para calcular o comprimento de arco da reta, compreendido entre os pontos ' # ' ! ! e ' ' ! ! , usamos o Teorema de Pitágoras e obtemos:
' ! ! 0 Generalizando esta idéia para o gráfico da função contínua , fazemos uma partição de ordem do intervalo 2 3 : ' ' 0 0 0 0 0 0 ' ; denotamos por ' ' ! ! , . ' !
' 7' !
Q i-1 Q
Q Q
0
Q
n
i
1
a=x 0
x i-1
xi
b= x n
Figura 7.68:
Ligando cada a ( ) por um segmento de reta, obtemos uma linha poligonal formada pela reunião dos segmentos de reta. Como sabemos calcular o comprimento de cada segmento de reta, sabemos calcular o comprimento da poligonal. Intuitivamente, o comprimento da poligonal é bastante próximo do comprimento do arco da curva; então:
'
'
!
' !
'
!!
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
318
é o comprimento da poligonal. Aplicando o Teorema do Valor Médio a em cada subintervalo 2 ' ( ' 3 , vemos que existe ' " ' ! tal que ' ! ' ! ! ' ' ! , para cada de até ; logo,
'
7'
!
!# '
7'
!!
!! '
'
!
!! '
onde ' ' ' . Novamente observamos que quando cresce muito, ' aproxima-se de zero e aproxima-se do comprimento do arco. Se para cada partição do intervalo 2 43 , os são escolhidos como antes, temos que o comprimento do arco da curva é:
!! ' 0
Se ' ! é uma função contínua em 2 3 , é possível provar que o limite anterior sempre existe e é igual a , para qualquer escolha da partição e dos . Em tal caso, temos que:
'5! ! '
Se a curva é o gráfico de uma função ' anteriores, temos que:
! definida no intervalo 2 3 , com as hipóteses
d g(y)
c
Figura 7.69:
! !
Exemplo 7.13. [1] Calcule o comprimento de arco da curva Temos que:
' entre os pontos ! e
1 ! .
7.8. CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCO
319
10
8
6
4
2
-30
-20
-10
10
20
30
' .
Figura 7.70: Gráfico de Então:
' ! logo:
'
'
'
' !
' . Seja
'5! ! e '
; logo,
'
( 0 0 unidades de comprimento.)
'
'
' .
! 0 0
'- . ! ' ! e ! ' ; ' ! ' ; logo, Primeiramente: então: ' ' 0 0 ' ' ' no intervalo 2 3 , tal que [3] Calcule o comprimento de arco da catenária [2] Calcule o comprimento de arco da curva
tal que
( ).
; logo,
Figura 7.71: Gráfico da catenária.
; então:
' '
0 0
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
320
$ '
[4] Calcule o comprimento de arco da curva
.
! ! tal que ')
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.1
-0.2
-0.3
'5! . Logo,
!
'
$ '5! ! .
Figura 7.72: Gráfico de
'5! . Então:
$ '5!
! '
' !!
$
!
0 0
7.9 Definição de Logaritmo Natural Definição 7.3. A função
!
é definida por:
$ '
$ '
!
! é chamado logaritmo natural de ' .
Proposição 7.3. Das propriedades da integral definida e do Teorema Fundamental do Cálculo, segue que:
1. $ !
2. $ ' ! se ')
'
3. $ ' ! se '-
5. A função logarítmica é crescente.
7.9.1 Logaritmo como Área Seja
4. 2 $ '5! 3
a região limitada pelo gráfico da função 4 !
, o eixo dos x e as retas
e ' .
7.10. TRABALHO
321
1
1
.
Figura 7.73: A região
Geometricamente, $ ' ! é definido por
$ '
!
área área
!
'
se se
!
')
0
Se ' , é um segmento de reta; logo, a área ! e $ !7 . Por outro lado, $ ! , para todo ' ! . De fato: verefiquemos que $ ' ! $ '5!
$ '
!
Fazendo
$ '
e:
!
, tem-se, '
$ '
'
$ '
'
$
!
!
$
$ ' !
!0
. Fazendo
$ '
0
, tem-se,
!0
! ; ' .
'
! '- e . De fato $ '
Em particular,
e:
$ '
!
$
!$
$ '
!
$
!0
Podemos agora definir a função exponencial assim: se, e somente se ' $ ! . Todas as propriedades da função exponencial podem ser demonstradas a partir desta definição.
7.10
Trabalho
Consideremos uma partícula de massa que se desloca ao longo de uma reta sob a influência de uma força . Da segunda lei de Newton, sabemos que é dada pelo produto da massa pela . Se a aceleração é constante, então a força também é constante. O sua aceleração : trabalho realizado pela partícula para deslocar-se ao longo de uma reta, percorrendo uma , medido em (Joule). distância é dado pelo produto da força pela distância:
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
322
' ! ( função contínua ) atua sobre um objeto situado no ponto ' Se uma força variável - do eixo dos ' , o trabalho realizado por esta força quando o objeto se desloca de até ao longo deste eixo, é dado por:
medido em
' ! '
(Joule).
De fato, suponhamos que a partícula desloca-se ao longo do eixo dos ' de ' até ' . Consideremos a função contínua 2 3 . Subdividamos o intervalo 2 3 efetuando uma partição de ordem tal que os subintervalos 2 ' " ' 3 tem o mesmo comprimento ' . Seja 2 ' " ' 3 ; a força no ponto é ! . Se ' ' ' , para , a função ( ' 3 é quase constante (varia muito pouco); então o contínua restrita ao subintervalo 2 ' realizado pela partícula para mover-se de ' até ' é: !
' eo trabalho trabalho total , é ! ' . É possível provar, com rigor matemático, que o seguinte limite sempre existe e é igual ao trabalho realizado pela partícula:
! ' 0
E mais ainda, este limite não depende da escolha da partição do intervalo ou da escolha dos pontos . Exemplo 7.14.
da origem. Uma força de ' [1] partícula é localizada a uma distância de ' ' Uma até '7 . Qual é o trabalho ' ! age sobre a partícula quando a mesma se move de ' realizado pela partícula para deslocar-se?
'
' ' '
[2] Qual é o trabalho realizado ao se esticar uma mola em ? ( =Newton) estica em De acordo com a lei de Hooke, a força de que estica em ' , temos onde é uma constante. Como ' 0 e realizado será:
0 sabendo que a força de
a
, ' '- 0
a mola é dada por ' , , e , ' . O trabalho
0
[3] Energia Cinética: O trabalho realizado por uma força atuando sobre uma partícula de massa que se move de ' até ' é . Usando a segunda lei de Newton, a regra da cadeia e considerando que e são as velocidades da partículas em ' e ' , obtemos: !
' !
'
. A expressão pois, é chamada energia cinética do corpo em movimento com velocidade . Logo, o trabalho realizado por uma força é igual à variação da energia cinética do corpo e o cálculo desta variação dará o trabalho realizado. Qualquer fenômeno que possa ser estudado utilizando partições pode ser modelado por integrais definidas. Outras aplicações da integral definida podem ser encontradas nos exercícios.
7.11. EXERCÍCIOS
323
7.11 Exercícios 1. Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(a)
(b)
'
'
' ! ' '5! ' ! $ '5! ' 1 ' ! ' '5! $ '5! ' ! ' ' $ '5! $ ' ! !
(c)
'
(m)
'
(d)
(e)
' ' ' ! ' '
(o)
(g)
' !
(h)
(i)
'
(k)
'
'
!
'
'
'
'
! ' ' '
'
'
+''
$ $ ' '
(x)
$ '
(w)
'
'
'
'!
(v)
'
$ '5! $
(t)
'
(s)
$ '5!
'
'
(u)
'
(r)
'
(q)
'
'
(j)
(l)
(p)
(f)
'
$ ! '
(n)
!!
!
'5!
'
' !
'
'
'
2. Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
'
(a) (b)
'
(e)
$
'
'
'5! '
'5! '
(c) (d)
'5! '
' ! '
' ' '
(g) (h)
' $
(f)
'
'
(i)
! '
(j)
'
(l)
$
(k)
'5! '
'5!
'
'5! '
$ '5! ! '
'5! '
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
324 (m)
' !
(n)
(o)
(p)
'
(q)
'
(r)
' ! '
(s)
'5! '
(t)
'
' ! '
$ '5! ' '5! '
(w)
' ! '
(x)
'
'5! $
'
(b)
$ '5! !
'
(e) (f)
(g)
(i) (j) (k) (l)
' ! '
'
'
' '
(p)
'
' !
(h)
'
(o)
' ! '
' '5! ' ' ' ' ! ' ' ! ' ' ! ' ' ' ! $ ' ! 1 ' ! ! '
' !
4. Calcule as seguintes derivadas:
' ' ! ' ' ' ! ' ' ' ' 1! ' ' ' ! ' ! ' ' ' ' ' ' ' '
(m) (n)
' ! '5! '5!
(d)
'
'
'
(c)
(q)
(r)
' '
(s) (t) (u)
'
'
! '
'
' ! ' (v) ' ! ' 7' (w) ' ' ' ' (x) '
! '
!
! '
$
' ! '
3. Calcule as seguintes integrais: (a)
' $ ' ! '
(v)
'
(u)
'
'
' ! '
7.11. EXERCÍCIOS
(a)
(b)
(c)
5. Seja
'
'
!
$ !
(f)
'
(e)
(d)
$ 4 !
'
325
' '
(h)
$ !
'
!
'
uma função contínua em 2 43 e suponha que
Determine
(g)
e .
4!
' , para todo ' 2 3 .
6. A seguinte função é utilizada em Engenharia Elétrica:
$ 4 !
' !
') ! 0
Determine os pontos extremos e esboce seu gráfico.
7. O número )
' ! '
é chamado valor médio da função
Calcule o valor médio das funções nos intervalos indicados: (a) (b)
'5!
' ! ; 2 3
(c)
'5! ' ! ; 2 3
(d)
' !
$ '
' !
!;2 3
; 2 3
(e) (f)
no intervalo 2 3 .
' ! ' !
'
; 2
; 2
3
3
8. Diga qual das integrais é maior, sem calculá-las:
' ' ou
(a) (b)
' ou
'
'
' .
e suponha que 2 4 3 por:
9. Seja
é uma função contínua no intervalo 2 4 3 . Defina
'5!
4!
4!
para todo '- 2 4 3 . (a) Verifique que '5!
, para todo '- 2 4 3 .
(b) Use a parte a) para verificar que ' !$ , para todo '- 2 4 3 . (c) Conclua que:
!
! 0
em
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
326
10. Calcule as seguintes integrais sem utilizar métodos de integração:
!
' '
' ! ' ' !
'
11. Verifique que para todo
! (c)
$
12. Calcule
deriváveis (
15. Calcule ! se ' !$
17. Seja '5!
-
se se
'5!
' ! ! ' !
para todo '- .
' ! '
se se
-
'- '-
são funções
. Verifique que:
' ! !
'5! 0
.
18. Esboce o gráfico de '5!
Áreas Calcule a área sob o gráfico de
.
. Verifique que
$
é contínua e
contínua. Sabendo que
'5!
$ ' !
' ! ' ' ' ' ' !
' !
); e intervalos tais que !
14. Calcule '5! se '5!
,
$
! , onde
$
#!
se se
' , onde ' !
16. Seja
13. Seja '5!
'5!
#!
' ! '
' !
' ! '
'
:
' !
4!
, calcule
' ! '
é uma função contínua ímpar e que ' !&' ,
' ! entre '
e ' , esboçando cada região, se:
7.11. EXERCÍCIOS
'5!
1.
'5!
3.
'5!
4.
'5!
5. 6. 7.
7' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' $ ' ! ' '
'5!
2.
'5!
327
' !
8.
' !
9.
12.
, '5! ' '
'5! ' ' '
13. 14.
' '
' ' ' '
'5!
11.
'5!
10.
' ' 1! ' '
' ' ' ! ' ' '5! ' ' ' '5! ' ' '5! ' 7' ' '
Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas: 1.
'6
2.
'
'
3. 7' ' 4. ' 6 '
'6 '
10.
11. '
13.
'
14.
15.
16.
'
17.
'
18.
' 7'
19.
'
'
$ '5!
'5! ')
'
'
' '
! '
' '
7'5!
$ ' ! , ')
! ' ! e os eixos 32. '
'
'
'
"! ' ' ' ')
30.
$ ' ! '5! ' '5! '5!
31.
'5!
28.
29.
'
' '
12.
27.
'
25.
26.
'
'
22.
' ' 6. ' ' 7. ' ' 8. 7' ' '6
24.
21.
5.
9.
23.
' ' ! ' $ ' ! 1 ' ! ' ! ' $ ' ! '
20.
'
coordenados
' '
'
'
33.
34. ' 35.
36.
e o eixo dos '
' , '
e o eixo dos
' '
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
328
38.
37.
39. 40. 41. 42. 43. 44.
' ' '
'
' ' ' ' ' ' ' ! ' ' ' ' 6 ' '
' ' , onde é a 45. ' abscissa do ponto de inflexão da curva
mo
47. - mo 48. ' 49. ' 50. '
'
46.
'
'
, onde é o máxi, onde
' ' e '
é o máxi-
Volumes de Revolução Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos ' , da região limitada pelas seguintes curvas:
2.
' ' ' ' '
3.
' '
'
1.
7. '
'
6.
' ! '-
9. 10.
e '
8. '
'5! $ ' ! ' ' 4. ' 5. ' ' '
,
'
e '
11. O triângulo de vértices 4 ! , ! e !
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região limitada pelas seguintes curvas:
$ '
13.
7' , no primeiro quadrante
14. ' 15. 16.
!
12.
$
'
! '
,' , e ' , ' , e
' e ' 18. ' 17.
'
' ' , ' e ' 20. ' 19.
21.
7' , ' e '
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno a reta indicada, da região limitada pelas seguintes curvas:
7.11. EXERCÍCIOS 22.
'
23.
329
e o eixo do
'-
24.
' ; a reta
25.
'
27.
'7' ; a reta
28.
a reta
' , no primeiro quadrante; a reta
'
; a reta
26.
7' ,
29.
' ,
; a reta
; a reta '
e '
Comprimento de Arco Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
! e ! ' ' ; ! e ! 2. 3. ' ; ! e ! '
1.
4.
$ '
5.
6. '
8. 9.
7.
! ; ' ! tal que
10.
'
! ; ' ! tal que '-
4!
,
2. Verifique que: $ '5!
3. Se '-
' !$
do ponto 4 ! até
! , do ponto !
1. Verifique que: $ '5!
, do ponto 4 ! até
Logaritmo
')
.
4 ! até
11
' , do ponto 4 ! até !
11.
' , do ponto 4 ! até !
12.
13.
14.
15.
(
' ; ! e !
;
'
até '
, de '
até '
, de '
$ $ ' ! ! , de ' $ ' ! ! , de '
16.
17.
18.
19.
'
! , de '
$ '5! !
' de '
até '
de '
$ !
até '
até '
a '
a ' de '
a '
.
' ! , onde ' ! ' !
'5!
'
!
! e
'
e ) ' , mostre que: '5! ' ! . ( ' ! do exercício [2]).
' ! com ' ! $ '5! ' ! 4. Usando os exercícios anteriores conclua que: $ '5! ' ! . Equivalentemente, ' ! aproxima $ '5! superiormente, com erro ' ! não superior a ' ! .
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
330
5. Calcule aproximadamente $ 0 ! e
0 !.
6. Repita os exercícios 2, 3, 4 e 5 escrevendo:
. Quando vale a igualdade? ! ' , para todo ') . $ '
.
7. Verifique que: $ '5! ' 8. Verifique que
Trabalho
1. Uma partícula move-se ao longo do eixo dos ' do ponto até o ponto sob a ação de uma força ' ! , dada. Determine o trabalho realizado, sendo:
(a) ' !
(b) ' !
(c) ' !
'
(d) ' !
'
(e) '5!
'
(f) ' !
(g) ' !
' ; , '7' ; , , ; '
$ '
'
! ' ! ; ,
!; ,
$ '5! '5! ; $ '5! ; ,
,
quando a bola está 2. Uma bola de ferro é atraída por um imã com uma força de ' a ' metros do imã. Qual o trabalho realizado para empurrá-la no sentido contrário ao do imã, do ponto onde ' ao ponto onde ' ?
3. Uma partícula está localizada a uma distância de ' metros da origem. Uma força de ' é aplicada sobre a partícula. Qual é o trabalho realizado para mover a partícula de '5! até ' ? '
4. Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo dos ' atua uma força cuja componente na direção do deslocamento é '5!+ . Calcule o trabalho realizado pela força quando até ' . a partícula se desloca de '
5. Uma mola tem comprimento de
e uma força de trabalho realizado para esticar a mola de
a
?
a estica 0
. Qual é o
6. Um imã atrai uma bola de ferro com uma força de '5! quando a bola está a ' metros do imã. Calcule o trabalho realizado para empurrá-la no sentido contrário ao do imã de um ponto onde ' a um ponto onde ' .
e uma força de ,, 7. Uma mola suportando um carro tem comprimento de . Calcule o trabalho realizado para comprimi-la de a . comprime 0
a
7.11. EXERCÍCIOS
331
, e , se encontram no eixo dos ' , respectivamente 8. Duas cargas elétricas nos pontos ' e ' . Calcule o trabalho realizado para mover a segunda carga . Sugestão: Use a segunda lei de Coulomb. até o ponto '
9. Quando um gás se expande mum pistão cilíndrico de raio , em qualquer instante de tempo a pressão é função do volume ! . A força exercida pelo gás sobre o pistão é o produto da pressão pela área do pistão .
Figura 7.74:
Verifique que o trabalho realizado pelo gás quando o volume se expande de
a
é:
0
10. Centro de massa: Intuitivamente o centro de massa de uma lâmina fina é o ponto da lâmina onde, se a levantamos a partir de paralelamente a um plano horizontal ela permanece paralela (em equilíbrio) em relação ao plano onde foi levantada. .
P
Figura 7.75: Considere uma lâmina com densidade uniforme no plano dada por:
&% ' ! * '- '5!
' ! .1
onde e são funções contínuas em 2 3 . Pesquise na bibliografia e verifique que o centro de massa da lâmina, chamado de centróide de , é o ponto ' ! tal que:
' onde
' ' !
' !
'
' !
' ! '
é a área de . Determine o centróide da lâmina , determinada por:
CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
332 (a) (b)
' , ' , , ' e ' '
(c)
' ! ' , e
Capítulo 8
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 8.1 Introdução Na definição de integral definida, consideramos a função integranda contínua num intervalo fechado e limitado. Agora, estenderemos esta definição para os seguintes casos:
Funções definidas em intervalos do tipo 2 ! , ' ou ' ou para todo '- , respectivamente.
43 ou ! , ou seja para todo
A função integranda é descontínua em um ponto tal que
2 3 .
As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. As integrais impróprias são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática como por exemplo, na solução de equações diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e no estudo das probabilidades, em Estatística.
8.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados Antes de enunciar as definições estudemos o seguinte problema: Calcular a área da região determinada pelo gráfico de , ') e o eixo dos ' . Primeiramente note que a região região.
'
é ilimitada e não é claro o significado de "área"de uma tal
1
Figura 8.1: Gráfico de 333
, ')
.
CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
334 Seja a região determinada pelo gráfico de
'- , acima do eixo dos ' .
e
'
1
A área de é:
!
'
'
Figura 8.2: Gráfico de
'
'- .
,
0
é uma boa aproximação
É intuitivo que para valores de muito grandes a região limitada da região ilimitada . Isto nos induz a escrever:
!
quando o limite existe. Neste caso:
É comum denotar
!
!
!
'
'
! por:
'
!
0 0
0
'
Esta integral é um exemplo de integral imprópria com limite de integração infinito. Motivados pelo raciocínio anterior temos as seguintes definições: Definição 8.1.
é uma função integrável em 2
1. Se
2. Se
é uma função integrável em
! , então:
' !
'
3 , então:
' !
'
' ! ' '5! '
8.2. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 3. Se
! , então:
'
é uma função integrável em
' !
335
'5! '
'5! '
Se nas definições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas convergentes; caso contrário são ditas divergentes. Exemplo 8.1. Calcule as seguintes integrais impróprias:
[1]
[2]
'
' . ' '
[3]
'
'
' !
'
'
'
'
'
Então,
' ! ' '
!
' ' ' : . Seja ' ; logo ' ! ' ' ! '
[4]
' .
' .
'
"!
!
0
0
!$
'
0
! 0
' ' ! '
'
'
! 0 '
[5] Calcule a área da região, no primeiro quadrante, determinada pelo gráfico de eixo dos ' e à direita do eixo dos .
[6] Seja
!
. Calcule
'
'
'
$ !
'
.
'
'
!
$
!
0 0
,o
336
a) Se
CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
temos:
; logo,
'
b) Se
'
temos:
; logo,
'
'
, temos: c) Se
'
0
'
'
'
Portanto, a integral converge para
$ "!
se se
0 Em geral:
'
0
'
0
e diverge para .
1
1
1
4
Figura 8.3: Gráficos de
1
e
, para ') , são,respectivamente.
[7] Calcule a área da região limitada por '5!
4
'
e o eixo dos ' .
1
Figura 8.4: Gráfico de ' !
.
8.2. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS
'
'
' ' ' ' 0 ' ' "! ! "!
'
'
337
0 0
Muitas vezes não é possível calcular o valor exato de uma integral imprópria, mas, podemos indagar se uma integral imprópria converge ou diverge. Proposição 8.1. Sejam ' .
'5! '
1. Se
2. Se
e
funções integráveis em 2
converge, então
'5!-
para todo
'5! ' converge.
' ! '
' ! ' diverge, então
! tais que ' !
diverge.
A prova, segue diretamente das definições. Seja '5! , para todo '- . Para mostrar a convergência da integral de , é preciso que seja menor que uma função cuja integral converge. Para mostrar a divergência da integral de , é preciso que seja maior que uma função cuja integral diverge.
Exemplo 8.2.
$ '
[1] Analise a convergência da integral:
'
!
' .
Considere a seguinte desigualdade:
'
Por outro lado: diverge.
'
$ '
'
'
!
0
' diverge; logo, pela proposição, parte 2, temos que a integral dada
[2] Analise a convergência da integral
' .
CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
338 1
1
Figura 8.5: Gráfico de Claramente
em vermelho, respectivamente.
; então, como
, para todo '-
em azul e de
'
!
temos que a integral dada converge.
8.2.1 Aplicação Uma função positiva integrável em é chamada densidade de probabilidade se:
' ! '
Assim denotamos e definimos a probabilidade de um número ' estar comprendido entre e ( ); por:
' "!
'5! '
Analogamente definimos as outras possibilidades. Também podemos definir o valor esperado do número ' , como
' !
'
'5! ' 0
Exemplo 8.3. Seja , a função
' !
é de densidade de probabilidade. De fato:
'5!
'
'
'- '-
se se
'
!$
0
8.3. INTEGRAIS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS
339
Por outro lado,
') !
e
' !+
'
'
'
0
8.3 Integrais de Funções Descontínuas Problema: Calcular a área da região determinada pelo gráfico de
' . Notamos que a região é ilimitada pois a função
a região determinada pelo gráfico de
'
, '-
nem é definida no ponto '
,
'-
e
'
e o eixo dos
. Seja
pequeno.
9
Figura 8.6: A região A área de
é:
!
' '
'
.
0 0
É intuitivo que para valores de muito pequenos a região limitada da região ilimitada . Isto nos induz a escrever:
'
'
!
!
' '
é uma boa aproximação
0 0
é um exemplo de integral imprópria com integrando ilimitado. Motivados pelo racio-
cínio anterior, temos as seguintes definições: Definição 8.2.
CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
340
é uma função integrável em 3 , então:
1. Se
' !
'
' ! '
é uma função integrável em 2 "! , então:
2. Se
' ! '
'5! '
y=f(x) +
-
a
b Figura 8.7:
3. Se
, então:
é uma função integrável em 2 3 exceto em tal que
' !
'
' ! '
'5!
'
' ! '
' ! '
Se nas definições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas convergentes; caso contrário, são ditas divergentes. Exemplo 8.4. Calcule as seguintes integrais impróprias:
[1]
' !
$ '
Fazendo
' .
!
$ '
! temos:
'5!
$ '
' !
$ '5!
'
[2]
' . 7 '
' 7 '
!
' '
$ ' !
$ '
' $
! . Logo,
!
$ 6! !
$
0
!!
0
8.3. INTEGRAIS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS [3]
'
'
341
.
2 3 .
Observe que a função integranda não é definida em
'
'
[4] Calcule o comprimento da astróide
!
'
'
'
!
'
!
!0
'
'
'
!
, .
Figura 8.8: A astróide. A curva não é diferenciável nos pontos de interseção com os eixos coordenados; pela simetria, calcularemos o comprimento da curva no primeiro quadrante e multiplicaremos o resultado por 4. Derivando implicitamente a equação da astróide ' em relação a ' :
'
' '
[5] Calcule a área limitada por ' !$
'
'
Na última igualdade usamos o fato de que
!
então
' '
'
0
; logo,
, e pelas retas '
e '
!
. .
0 0
CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
342
1
1
2
3
4
5
Figura 8.9: Gráfico de '5!
' '
' '
.
'
0 0
Numa integral imprópria com limite superior infinito e cuja função integranda não é definida no limite inferior, procedemos assim: Se é integrável em ! então
' !
'
' ! '
' ! '
; analogamente nos outros casos.
onde
Exemplo 8.5.
[1]
'
'
.
'
'
'
' ' ' ' ' ' ' ! ' ! ' ! ' !
'
0
[2] Calcule a área da região limitada pelo gráfico de
' '
! e o eixo dos ' .
8.4. EXERCÍCIOS
343 1
1
3
6
9
Figura 8.10: Gráfico de '5!
.
'
' ! , então: ' ' ! ' ' ' ! ' ' ! ' ' ! ' ' ' ! '5! ,!
"!
Como
0 0
8.4 Exercícios 1. Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a)
'
'
(b)
'
(d)
(e)
(g)
'
'
!
'
'5!
(l)
'5!
$ '
(n)
'
'5! ' !
'
'
'
'
$ !
'
'
(m)
(k)
' ' $ ' !
(j)
'
'
'
#! ' ' '
(i)
(c)
(f)
'
'
(h)
'
'
'
!
'
CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
344
(o)
'
(p)
'
'
! '
(r)
(s)
'
!
' '
!
!
' '
'
(w)
'
' '
"!
'
'
! '
(x)
'5!
$ '
'
'
'
'
(v)
2. Calcule a área das regiões determinadas por:
!
(u)
$ '
(t)
' '
(q)
'
'
'5!
')
e
e o eixo dos ' .
3. Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a)
(c)
!
'
7'
(d)
'
(f)
'
'
'
'
(e)
'
'
'5!
'
'
' '7'
'
(o)
(q)
'
'
'
'5!
'
$ '
'
'
(u)
'
' '
(r)
(t)
'
(s)
!
' !
(n)
(p)
'
'
(m)
' $ ' ! !
' ' 7' ' (i) 7'5! ' (j) ' 7' ' (k) 7'
(h)
(l)
'
'
(b)
(g)
'
'
'
!
$
'
' !
'
'
! '
8.4. EXERCÍCIOS
'
(v)
345
$ '
'
!
4. Determine o valor de tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
(a)
(b)
(c)
(d)
$ !
(f)
(g)
(b) Se
'
'
$ '
!!
, '- ; esta função é chamada função gama. Verifique:
' . Determine de modo que seja função de densidade '
para que 4 !
8. Verifique que
se se
de probabilidade. 7. Determine
!$
+'
6. Seja '5!
'5! , '- .
,
(h)
! '
5. Seja '5! (a) '
(e)
! ! '5! '
'
seja função de densidade de probabilidade.
'
; 7
.
9. Se é função de densidade de probabilidade, defina a probabilidade de um número ' ser maior que , ser menor que .
10. Numa fábrica de circuitos impressos, a vida útil desses circuitos tem uma distribuição , onde ' é medido descrita pela densidade de probabilidade ' ! 0 , se '- em horas.
(a) Qual é a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de , horas? (b) Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após , horas?
346
CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Capítulo 9
EXEMPLOS DIVERSOS Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ, por ceder, gentilmente estes exercícios.
9.1 Limites [1] Determine o valor da constante
para que exista
limite.
' +' ! e calcule o '
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
' +' ! '
' ' ' ' ' '
' $ $ '5! ' '5! ' $ + '5! ' ' ' !! ' $'5! ! ' $'5! ! ' $'5! ! 0 +' !
Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é, ; então:
[2] Calcule:
' +' ! ' $ ' ! .
' $'5! ! 0
'
Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão:
$ '5! ' $ '
!
Fazendo e: então
, temos que
$ ' ! ' $ '5!
347
0
. Por outro lado observamos que se '
0
,
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
348
$ ' ! ' '5! [3] Calcule: Logo:
4 !
!
!
.
1 '5! , temos
Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo e que ' !
'5!$
Por outro lado observamos que se '
' !
0
' ! '5! , então
[4] Determine as constantes tais que
e:
0
0
0
' ' '
Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão:
' '
Sabemos que
.
'
'
,
'
'
' ! ' ! se , !
[5] Calcule:
'
'
' ! '
'
! . Logo,
'
'
7'
0
e , ou seja
'
' 0
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
'
'
'
'
'
'
'
' ' ' '
'
'
' '
'
'
'
' '
'
'
'
'
'
' '
'
0
'
'
e
9.1. LIMITES
349
Logo:
'
'
'
[6] Determine a função definida por:
'5! , então !$
Solução : Observe que, se '
Se '-
!
, temos:
logo '5!
se '-
'
'
Então:
' !
[7] Calcule:
'
'
se se se
'
'
0
:
'
' 0
) ' ' ' 0 )
0"0"0(0"0"0 ' ' '
0
temos:
'- 0
; se '
'
'
'
. Agora estudemos o caso '-
'
'
0
Solução : Dividindo os polinômios:
' "0 0"0/0"0"0 ' ' ' ! '5! ' ' "0 0"0 ! ' - ! ' . Logo: ' 0""0 0(0"0"0 ' ' ' ' ' ! ! 0 '
'
onde
' !$ '
Por outro lado,
[8] Calcule:
'
!+
0"0"0(0"0"0
' ! 2 2 $ ' ! 3 3
')
! - !
.
.
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
350
') , então ' ! 2 2 $ ' ! 3 3 . Se Solução : Seja '5! '5! . Se ' então $ '5! , logo '5! ' ! ' ! . Se ' , então 2 2 3 3 e . Logo
'5!
Então
Consequentemente,
'5!
' ! ' !
$ ' !
$ ' !
'
'5! '5!
Logo:
pois $ ' ! , então:
0
' '5! 0 ' !
Solução : Primeiramente reescrevamos o numerador:
' ! 2 2 $ '5! 3 3 não existe.
[9] Calcule:
'
se ' ' se 0 se '
'5!
'5! '5!
$ '5! e 2 2 $ ' ! 3 3 e 2 2 $ ' ! 3 3 , logo
'5!
' !
$ ' ! ' !
' !
' " ' ! ' !
$ '
' !
!
'5!
' !
$ '5! ' ! '5!
$ ' ' !
! '5!
0
0
9.2 Continuidade Analise a continuidade das seguintes funções:
[1] '5!
se ' se '
0
Solução : Claramente, o problema é determinar se
'5!
é contínua em . Reescrevamos a função: se ' ' se se ' 0
9.2. CONTINUIDADE Logo,
Então
351
$ '5! '
'5!
e
$ ' ! '
' !
0
não é contínua em . 1
0.5
-6
-4
-2
2
4
6
-0.5
-1
[2] '5!
.
Solução : Reescrevamos a função:
Sabendo que
Então,
Figura 9.1: Gráfico de .
'5!
' !
e
, temos: e
'5!
0
não é contínua em . 1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
[3] '5!
Figura 9.2: Gráfico de '5!
.
0
352
Solução : Se ') , então,
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
!
e
. Logo,
0
Se '- , então:
Então,
, então
Se '
Logo:
'
,0
' 0
. Reescrevendo a função:
' !
'
se '- ' se '- 0
é contínua em .
3
-3
3
Figura 9.3: Gráfico de . Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas:
[1] '5!
' se se ') 0 se '-
'
Solução : Se '
'
! . Por outro lado: e ' ' !
, então
'5!
!
'
0
9.2. CONTINUIDADE
353
' '5!
Como os limites laterais devem ser iguais, temos que ! . Por outro lado: então !
e
e
, isto é,
'5!
Como os limites laterais devem ser iguais, temos que
'5!
'
. Se ')
,
0
se ) ' se '- se ') 0
, isto é, - . Logo:
1
-3
3
-1
Figura 9.4: Gráfico de .
[2] '5!
se ' se ' se '
0
Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:
'
Por outro lado: e:
$
Se '
, então !
' ' ' '
' , ! '
' '
, fazendo $ '
'
'
!
!!
' !
' ' '' ! ' '
!!
'
, temos que '
. Logo:
' !
! ' 1! 0 ! ' !
' '
0
, então
0
,
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
354 Então,
e:
' !
se ) ' ' se ' se )
0
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
5
-1
6
Figura 9.5: Gráfico de .
[3] '5!
' !
' se se ') 0 se '-
Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:
'
Se '
, então !
' ' ' ' '
' ! $ ' ' ! '
!
, e:
logo,
0
' ! $ ' ! $ '5! ' ' ' ! '5! . Se ' , então ! , e: '5! ' ! ' ! ' ! ' ' ! ' ! ' ! '
logo,
!
- . Então, temos o sistema:
que tem soluções
e -
.
'5!
se ) ' ') se 0 se ')
9.2. CONTINUIDADE
355 4
3
2
1
-2
[4] '5!
Solução : Se '
2
4
6
Figura 9.6: Gráfico de .
se ')
se ' se ') 0
. Logo, necessáriamente devemos ter que: !$ '5!
, então !
$ '5! ' ' ' ! ' , '5! , '5! , ' ! 0 , '5! Como: , ' ! !$ , , temos, , e: por outro lado, ' ! ! , temos que - isto é,
. Por outro lado:
' !
-0.1
-0.05
se ') se ' se ') 0
0.05
Figura 9.7: Gráfico de .
0.1
' !
, ;
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
356
9.3 Derivada
[1] Considere a função '5!
!
! ! determine / e .
Solução : Primeiramente note que ! obtemos o sistema:
Por outro lado,
,
e
,
' !
!
,
e ; logo,
'5! 5 ' ! 0
' ! 0
.
e -
[2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva no ponto onde a curva intersecta o eixo dos ' . Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos ' . Se
' !,
1 ' ! 5 , ' ! , logo: ' ! e ' ! ' ! ' ! ' ! ' !
' !+
,
,
; então:
Então
! e que pode ser escrita na forma ' !
cuja solução é
' ! ' ! , onde
. Sabendo que ,
'
'
'
, temos:
0
Logo, o único ponto de interseção é 4 ! . Por outro lado, os coeficientes angulares da reta tangente e da reta normal à curva são, respectivamente:
+
'7'
/ !$
'7'
!
0
Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente:
' '
!
!
[3] Determine a equação da reta normal à curva
'
'
0
' $ ' ! , que é paralela à reta '
.
9.3. DERIVADA
357
Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficiente angular da reta ' é . O coeficiente angular da reta normal à curva é:
Como as retas são paralelas, temos que
$ ' ! $ /!
$ '
'
. A equação da reta normal à curva que passa pelo
'
0 !
!$
$ '
, isto é:
logo, temos que ponto ( ! é:
7'
0
0.6
0.4
0.2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
-0.2
-0.4
7'
Figura 9.8: A reta
[4] Determine os parâmetros , e - tais que a parábola ' no ponto de abscissa e passe pelo ponto 4 ! .
.
Solução : Como o ponto que:
+'
' tangencie a reta
4 ! deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos
!
0
Como a parábola deve tangenciar a reta ' no ponto de abscissa , temos que se , então ' . Isto é, o ponto ! é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que:
!
O coeficiente angular da reta é , logo ! $'
0
e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é . Como + : 0 !
Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema:
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
358 cuja solução é:
e
.
2
1
1
Figura 9.9: Exemplo [4]. [5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação '- . Um caçador, munido de um rifle está localizado no ' , sendo ' segura? ponto 4 ! . A partir de que ponto da colina, a fauna estará , Solução : Denotemos por ' ! o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo caçador, situado no ponto 4 ! . A fauna estará a salvo, além do ponto onde a reta que liga 4 ! à colina seja tangente à mesma.
2
Figura 9.10: Vista bidimensional do problema. Observe que ' no ponto , temos
'
é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo, e a equação da reta tangente é:
! '7' ! 0 '
Como a reta passa por 4 ! , temos:
! O ponto
'
! 7' ! 0
também pertence à parábola; então:
!
' '
0
9.3. DERIVADA
359
Igualando (1) e (2):
' ' Então,
'
! '
! '
0
e
. ' no ponto ! é também tangente à curva em '
1! e a fauna estará a salvo a partir de '-
[6] A reta tangente à curva - ' um outro ponto. Ache este ponto.
' ' Solução : O coeficiente angular da reta tangente à curva é , como ! . A equação da reta tangente que passa é um ponto comum à reta e a curva, temos ! . Para determinar os pontos comuns à curva e à reta tangente, pelo ponto ! é: ' resolvemos o sistema:
obtendo '
'
' ! e '
'
' '
'
. O ponto procurado é 4 ! .
2
-1
1
Figura 9.11: Exemplo [6]
[7] O ponto 1! pertence à parábola ' tais que a normal em passe por
. Determine todos os pontos
da parábola
Solução : Um ponto arbitrário da parábola é & e o coeficiente angular da reta normal à curva é: . A equação da reta normal à curva no ponto é:
'! 0
Mas a normal passa pelo ponto 1! , logo:
!
Os pontos procurados são
1!
+ ! ,
! e
1 ! .
!
! 0
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
360
9
4 1 -4
-2
6
Figura 9.12: Exemplo[7].
[8] Nos pontos de interseção da reta ' com a curva &' '
, traçam-se as normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtende os referidos pontos de interseção.
com a curva:
Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta '
' ' 0 '
' ! ' ! ; então ' e ' ; logo temos os pontos Obtemos ' ' e 1! . Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por:
!
e
!$
!
'
. As equações das normais em 7' '
e
, são respectivamente:
0
Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais:
' '
obtemos e ' , onde:
. Seja . A área do triângulo de vértices , e é dada por
1*
0 0
9.3. DERIVADA
361
6
4
2
1
4
6
Figura 9.13: Exemplo [8]. [9] Esboce o gráfico da curva
' '
!.
Solução : Primeiramente observamos que se mudamos por , a equação da curva não muda; , logo logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos ' . Por outro lado, '5!+ ' ' ! 2 ! . Se ' , então e se , então ' ou ' . A curva intersecta os eixos coordenados nos pontos 4 ! e 4 ! . Determinemos os pontos críticos, derivando ' ! e igualando a zero:
'
! '
'
0
Note que ! não existe e é contínua em ' ; como ! 2 ! , no ponto ' a reta tangente à curva é vertical. Determinemos os pontos extremos, estudando o sinal de ao redor do ponto ' :
logo, ' é ponto de mínimo local e , o ponto consideramos ' ' inflexão ou assíntotas.
') ' )
. Pela simetria em relação ao eixo dos ' , se ! é de máximo. A curva não possui pontos de
2
1
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
Figura 9.14: Exemplo [9].
[10] Dada uma circunferência de raio , determine o comprimento de uma corda tal que a soma desse comprimento com a distância da corda ao centro da circunferência seja máxima?
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
362 Solução : y
y x
r
Figura 9.15: Exemplo [9].
Com as notações do desenho, ' ; então 7' . O comprimento da corda é ; logo & 7 ' . Logo, a função que devemos maximizar é: ' ! ' 7' . Derivando e igualando a zero:
' !
'
7'
Derivando novamente:
Logo,
' !
'
7' !
é ponto de máximo e
'
7'
.
'
0
0
[11] Determine o cilindro circular reto de volume máximo que pode ser inscrito num cone circular reto. Solução : A
D
y x B
E
C
Figura 9.16: Seção bidimensional do problema.
Com as notações do desenho, sejam e a altura do cilindro. Por outro lado, o
o raio e a altura do cone, respectivamente; ' e o raio é semelhante ao ; temos:
'
7' !
!0
9.3. DERIVADA
363
O volume do cilindro é
'
; logo, de ! temos que a função a maximizar é:
'5!
' 7' ! 0
Derivando e igualando a zero:
como '
'5!
' ! '
'
. Estudemos o sinal de '- '- '- ') 0
, o único ponto crítico é '
'
ou
0
' :
Então ') é ponto de máximo. Logo, o cilindro de volume máximo inscrito num cone tem raio da base igual a * do raio da base do cone e altura igual a * da altura do cone. [12] Determine o trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio .
Solução : y
D
x
C
h
n A
B
2r
Figura 9.17:
O triângulo é retângulo pois é inscrito num semi-círculo; note que 7 . Sabemos que num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre a hipotenusa; logo: '
'
-
Então, o perímetro , é:
' ! '
'
e
' !
Derivando e igualando a zero:
'5!
'
-
'
0
'
' 0
'
0
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
364 Derivando novamente:
' !$
! 0
Logo, . O trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio tem base maior igual a , base menor igual a e lados não paralelos iguais a .
9.4 Integração
'5! $ ' ! ' ! Solução : Fazendo : '
[1] Calcule
' .
!
$ ' ! ' ! [2] Calcule ' ! Solução : Fazendo : $ ' ! $
' .
'
' !
' . ' ' ! ' ' ! ' ' ! Solução : Note que
. Então:
0
'5! ' . Então: /!
, '5! 0
'
[3] Calcule
então;
' ' ! '
Agora, fazendo:
'
logo,
[4] Calcule
'
' 0
'
' ' !
'
'
' 0
! ' . '5! $ '
Solução : Integramos por partes:
$ '
'
!
'5! '
'
' '
'
' ! ' 0
' !,
9.4. INTEGRAÇÃO
365
Denotemos por
'
'5! ' . Para achar , novamente integramos por partes:
'
' !
'
'
'
' 0
Logo:
Voltando a :
'
'
' !
' !
Então:
'
Solução : Fazendo ' lado:
' !
$ '5! ' !
, ' ' $ ' ! '
[5] Calcule
4 !
' ! 7'
'5!
' !
' '
'
0
e:
' ! '
$ ' !
' 0
' !
' .
; se ' , então + e se ' , então + 4 ! $
4! 4! $ ! 0 4! 4!
!
$ 4 ! !
Logo:
'
'5!
!
'
' ! 7'
'
'
' ' ! ' '5!
'
$ ! 4!
$ ' ! '
Logo
!
.
[6] Verifique que: 7' ! '
! 0
Observe que a integral definida não depende da variável de integração. Fazendo então $ ' ! ' e:
. Por ouro
! 0
!
' 0
' ! ,
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
366
! Solução : Fazendo ' $ 4! , ' outro lado, 7'/! ' 4 !
7' !
integrando por partes:
4!
isto é
4!
!
!
. Por
4!
4!
!
4!
'
, como
$ !
, então +
; se ' , então + e se ' 4 ! $ ! , então:
, logo:
$
+
.. .
Multipliquemos ! por
4
!
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0" 0"0
!
!
!0
!
0"0"0 0"0"0
, então:
! ! ! " 0 " 0 0
0""0 0 ! !
!
! !
0"0"0
!
! 0
[7] Determine a área da região limitada pelas curvas '
e '
! , onde
.
Solução : Se mudamos ' por ' , as equações não mudam, logo as curvas são simétricas em relação ao eixo dos . Determinemos as interseções das curvas com os eixos coordenados. Se
9.4. INTEGRAÇÃO
'
, então -
367
e
!
; se -
, então '
; logo os pontos 4 ! e ! são os e , pontos de interseção das curvas com os eixos coordenados. Escrevendo
determinamos a interseção das curvas, resolvendo o sistema:
donde, ' ' ; fazendo ' temos e' . Note que ' é o único ponto crítico de ambas as curvas; para a parábola é um ponto de mínimo e para a outra curva é um ponto de máximo.
Figura 9.18: Região do exemplo [7]. Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado por 2:
'
'
[8] Determine a área da região limitada pela curva '
'
'
0 0
e pelos eixos coordenados.
Solução : Se mudamos ' por ' e por , a equação não muda, logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos ' e dos . Determinemos os pontos de interseção da curva com os eixos coordenados. Se ' , então e se , então ' ' ! ; logo os pontos 4 ! , 4 ! e 4 ! são os pontos de interseção da curva com os eixos. Consideramos ' 7' ; logo ' 2 3 . Não é difícil ver que em ' a curva possui um ponto de mínimo local e que ' são pontos de máximo local.
0.4
-1
1
Figura 9.19: Região do exemplo [8].
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
368
Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado por .
Fazendo '
$ 4 ! , então
4! e '
'
! $
7' '
! !
7' ' 0
'
, 4! 1 4! ; então:
$ ! !
!
0 0
'
[9] Determine a área da região limitada pelas curvas e o eixo dos . 7'
, - '
,
Solução : Determinemos as interseções das curvas:
!
De ! obtemos logo ' .
7' 7 '
!
' 7 7'
!
7' '
, logo ') ; de ! obtemos , logo ') e de ! obtemos ,
10 9
5 4
1
2
3
4
5
6
Figura 9.20: Região do exemplo [9]. Logo:
[10] Determine o volume da calota esférica de altura
0 0
se a esfera tem raio .
9.4. INTEGRAÇÃO
369
R
h
Figura 9.21: Região do exemplo [10].
7' e a
Solução : Fazendo uma rotação da esfera se for necessário, consideramos seguinte região:
R-h R
Figura 9.22: Logo:
7' '
7' '
'
'
Em particular, se , então é o volume da semi-esfera de raio ; se é o volume da esfera de raio .
!
0 0
então
[11] Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelas e o eixo dos ' , em torno do eixo dos ' . curvas ,
Solução : Determinemos os pontos de interseção das curvas:
' $ ! 0
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
370
3
2
1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
Figura 9.23: Região do exemplo [11]. Logo:
'
0 0
' situado dentro do círculo '
[12] Calcule o comprimento de arco da curvas
' '
!
1!
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
Figura 9.24: Região do exemplo [12].
Pela simetria da curva, consideremos '
Fazendo
, obtemos:
, derivando '
0
0 0
; então:
'
.
Solução : Determinemos os pontos de inteseção das curvas:
0
9.4. INTEGRAÇÃO
371
[13] Calcule a área da região determinada por
e sua assíntota,
.
Solução : Se mudamos por , a equação não muda, logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos ' . Note que a curva intersecta os eixos na origem.
Figura 9.25: Região do exemplo [13].
A equação da assíntota é '
Fazendo '
; então consideramos
' ' 7'
1 4! , temos que '
' ' 7' Temos, '
e '
' ' 7'
Logo:
$ 6!
$
' ' 7 '
; se
6!
4!
0
. Então:
$ !
$ !
$ 6!
$
' ' 0 7'
e:
'
, 4!
$ 4 ! 4 ! . Por outro lado:
[14] Calcule a área da região limitada pela curva
6!
0
0 .
' '
Solução : Devemos calcular a área da região ilimitada:
! , ') e o eixo dos ' .
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
372
Figura 9.26: Região do exemplo [14]. Logo:
'
'
! ! ' ' ' ' $ ! ' $ "! ' ' ' $ ! $ ! $ ! 0 0
$
!
Capítulo 10
APÊNDICE 10.1 Limites Proposição 10.1. (Unicidade do limite)
e ;( Se
"!
), então
#
. Em outras palavras se o limite existe (é um
número real), ele é único. Prova: Se -
/04
-
/" JA
I
+T6
>
8 9
. Se
-5+76
, então para todo
, então para todo
existe
$%'&)( 6
&(
*
, tal que se
&)(
existe *
1>
$
-
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-3+)*
;/"1
@?0 BA9/DCE1F3, G H
-+ * * e * . /M Em particular, 6 . Seja * o menor entre * /M1 /O I P>Q I @/O /0 I -N+D* e -SRLtal que (K+L- I /O U 6 ; logo, -S+ , para todo &D( ; consequentemente, . $
0/21
, tal que se (:+,-
&(
=1/
(,+.-
I @/M
- *
1 > *
+dc %,e
2. Exercício. Proposição 10.3. Se f
1.
i flk
2.
f
m>0j
4.
f
f
onp g
8
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f k
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3.
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8
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, existem, então para todo i
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, se v
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373
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[ A/QC1F ]
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tem-se ; logo,
. +
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.
CAPÍTULO 10. APÊNDICE
374
5.
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f
f
, se
f
e v é qualquer natural, ou (
f
e
+2(
é um natural v
ímpar.
6.
f
8 n v
8 f 8
7. Se
k
v
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k f
pd
fhg
se
f
e existe
&Q( e
tal que
*J&,(
.
f
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8 R
8 R g
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-
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-q+,*
, então
Prova: Provaremos e . As demais propriedades ficam como exercícios. 2. Sejam f
-
8 Z/M
O)
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Como
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7. Para todo b/ (J+7-
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-
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-
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tal que (
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Teorema 10.1. Seja
$
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se
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.
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(J+7-
(
b/
$
um
e se ;
-P+2*
$
uma função com domínio
somente se os limites laterais existem e
a/
tal que se (M+'0> ; considere $ .
8 /M - M/ + - + *
/M -S+ m -q+ 6
@X /O -u-SR [ l m ] 6 -
. Por outro lado também existe * &Q( 8 tal que 4/ ; analogamente, existe * b&#( tal que - g 8
/M
Z/ > e * > ; então: -NR - g g [ ; / U @ ] , se (K+ e 6 6 -S+V* , onde 6
, existem "/ , 8 então,
8
>Q
existe (
-S+Q* -@+#*
&7(
, de definição:
g
Z/0
8
+ se (K J /
(
8
e f
+*
f
)
nas condições das definições. Então
-,
f
8 9
f
se e
.
Prova:
A condição 8necessária segue das definições. Reciprocamente, se os limites laterais existem e 9 E > , temos que dado então &2( existem * * & ( , tais que se + + * f f
*
-
q/Y
-N+
,
e se
s/
$
*
+
(arranje exemplos). Caso *
3G
+
, então
*
-
q$ /Y
, considere *
-N+
mín
C *
Prova: Como
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é derivável em
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8
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. Devemos provar que
8 ;/O
. A recíproca do teorema é falsa.
3
.
4 4 funções deriváveis; então: Regra da soma: As funções 365(4 são deriváveis e 3654 &0 3 0 5(4 0
Proposição 10.4. Sejam 1.
então f é contínua em
, o que é equivalente a
B 8 /M 8
/
.
$
10.2 Funções Deriváveis Teorema 10.2. Se
* . Note que * e podem ser iguais ou diferentes, EF / 8 / * ; então se -_+V* temos que -
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CAPÍTULO 11. RESPOSTAS
382
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1
1
2
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1
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2
2.5
3
1.5
1 0.8
1
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0.5
1
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1
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2
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[16] : 2 : : / : : : : :2 : 2 9 : [18] : : 2 : = : : , , + : : & : : 3= : : 3= 3= :: : : 2 = : 2: & 3: & 3: [19]
: : : : + :* + : : 2 & : : : 2 . . e + + : : & : [20] +
/ ou [23] / / . [24] 2 / 2 / 2 / / . [22] [21]
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2 [3] a) x) y) z)
>
11.7. CAPÍTULO 7
389
+ : j) 3: l) : k) : m)
: p) o) n) 2 : +
: 7 = 2 : = : r) : / : q) v) : t) :: u) /
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f
11.7 Capítulo 7 [1] Método de substituição:
7
#
: m
h)
/
d) e) f) g) i) j) k) l) b) c) : : & 7 : 2 2 r) o) p)& q) s) t) m) n) ?2 u) v) w) x) [2] Método de integração por partes: 4! e) & f) g) b) d) a) - c) : , l) - m) . n) o) p) h) i) j) k) q) , 7 v) - w) x) r) - s) t) u) /
#
' c) d) e) f) g) [3] a) b) h) : 2: 3
i) j) k) / l) 2 / / m) n) 7 # o) q) r) v) - s) t) u)
/ p)w) :
# 2 x) - b) c) d) e) [4] a)
& f) g) h) [5] [6] Pontos críticos: .
( Se par é ponto se ímpar é ponto de máximo. [7] c) d) e)
de'mínimo; f) [8] Use & [10] a) , b) , pois ambos os integrandos são funções ímpares. [12] : : : & : [15] 0 0 [14] [16] Use o método de substituição. a)
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CAPÍTULO 11. RESPOSTAS
390
Áreas 0.4
1
0.5
0.8
0.2
0.5
0.6
0.4
0.2
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-1
1
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1
-1
-0.5
0.5
1
-0.2
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c
c
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1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.1
0.05
-1
-0.5
0.5
1
-0.05
-0.1
0.4 0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
0.4 0.2
1
2
3
6
4
5
6
3.5
15 3
5
12.5 2.5
4
2
c
10
3
2 1
2
4
6
8
10
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1.5
5 2.5
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0.4
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0.5
15
0.1 12.5
10
-1
2.5
1
2
3
c
Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas: /
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[15] % / [25] [24] [34] [35] [36] % l/ [45]
[14]
[7] - [8] - [9] - [10] - [11] - [12] [19] - [20] - [21] - [22] - [23] - [24] - [18] - [30] [29]
- [6] [2] [3] [4] - [5] : ! [14] - [15] [16] - [17] >"> % [25] - [26] - [27] - [28]
[1] [13]
1
-0.1
[5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] > / / / % [18] [19] [20] / [21] [22] [23] / /
% % % % c [28] [29] [30] [31] [32] [33] v
t m> [39] [40] [41] [42] [43] [44]
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[10]
[19]
4/
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>
/
[11] v
/
P P
[12]
[20]
11.8. CAPÍTULO 8
391
Logarítmos
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[2] Sugestão: Escreva
3
Trabalho
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[6] - .
(
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[2] a) - b)
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[8] Da segunda lei de Coulomb
11.8 Capítulo 8 [1] a)
3 >
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g
[2] e [3]
[10] a)
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[4] [5]
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, diverge.
u) o limite não existe. v) - w)
f) diverge. g) diverge. h)
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s)
> %
i)
j)
t) diverge. u) diverge. v)
[4] a) :&2( b) Para todo ;& ( c) ;& d) :& ( e) & f) ;& g) Sugestão: Faça Utilize limites fundamentais e o teorema de comparação de integrais imprópias. + . c a > h) Sugestão: Faça t : t :- t e na segunda integral faça limites fundamentais para aplicar o teorema de comparação de integrais imprópias. +
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