Lord Livin Barrera Bocanegra
M ATEMÁTICA I
Un libro de aplicaciones orientado a las áreas de: C IENCIAS I NGENIERÍA E CONOMÍA A DMINISTRACIÓN N EGOCIOS M EDICINA
LIMA - PERU 2012
Lord Livin Barrera Bocanegra
[email protected] Universidad Cesar Vallejo Los Olivos Lima - Perú
Matemática I c Lord Livin Barrera Bocanegra
Edición a cargo: Fondo Editorial Lima, Marzo de 2012 Primera edición Tiraje: 000 ejemplares ISBN: 000-0000-00-000-0 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú: 2012-00000 Impreso en Perú Printed in Perú
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A mis Padres
IV
Índice general Prefacio
IX
Introducción
XV
1. Funciones, Gráficas y sus Aplicaciones 1.1. El Concepto de Función y sus Operaciones . . . . 1.1.1. ¿Qué es una Función? . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Gráficando Funciones . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Operaciones Aritméticas de Funciones . . 1.1.4. Composición de Funciones . . . . . . . . . 1.1.5. Funciones Inyectivas y sus Inversas . . . . 1.1.6. Funciones Crecientes y Decrecientes . . . . 1.2. Funciones Elementales y sus Aplicaciones . . . . . 1.2.1. Función Constante . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Función Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Función Cuadrática . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Funciones Polinómicas . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . 1.3. Funciones Exponenciales y Logarítmicas . . . . . . 1.3.1. ¿Qué es una Función Exponencial? . . . . . 1.3.2. La Función Logaritmo . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Modelos de Crecimiento y de Decaimiento 1.4. Funciones Trigonométricas y sus Inversas . . . . . 1.4.1. Funciones Trigonométricas y sus Inversas . V
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ÍNDICE GENERAL
VI
2. Límite de Funciones 2.1. Comprendiendo el Concepto de Límite 2.2. Propiedades de los Límites . . . . . . . . 2.3. Límite de Funciones Trigonométricas . . 2.4. Técnicas para Evaluar Límites . . . . . . 2.5. Límites Laterales . . . . . . . . . . . . . 2.6. Definición Rigurosa de Límite . . . . . .
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129 129 136 145 150 154 160
3. Continuidad 165 3.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.2. Teorema del Valor Intermedio (TVI) . . . . . . . . . . . . . 176 3.3. Límites que Involucran Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . 182 4. La Derivada 4.1. Introducción y Motivación . . . . . . . . . . . . . 4.2. El Concepto de Derivada . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Propiedades de la Derivada . . . . . . . . . . . . 4.4. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Motivación y Definición . . . . . . . . . . 4.4.2. Regla General de Potencias . . . . . . . . 4.4.3. Combinando Funciones Trigonométricas 4.4.4. Combinando Funciones Exponenciales . 4.5. Derivación Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Diferenciación de Ecuaciones Implícitas . 4.5.2. Calculando Recta Tangente . . . . . . . . 4.5.3. Aplicaciones en Economía . . . . . . . . . 4.5.4. Relacionando Razones de Cambio . . . .
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193 194 204 210 229 230 237 243 247 253 253 257 262 264
5. Aplicaciones de la Derivada 5.1. Aproximación Lineal y Aplicaciones . . 5.2. Criterio de Crecimiento y Decrecimiento 5.3. Extremos Relativos . . . . . . . . . . . . 5.4. Extremos Absolutos . . . . . . . . . . . . 5.5. Concavidad y Puntos de Inflexión . . .
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271 272 279 284 292 298
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5.6. Elasticidad de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 6. Integración 6.1. Antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Técnicas de Integración . . . . . . . . . . . 6.2.1. Técnica General de Potencia . . . . 6.2.2. Técnica de Sustitución . . . . . . . 6.2.3. Técnica de Integración por Partes 6.3. La Integral Definida . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Tasas Acumuladas . . . . . . . . . 6.3.2. Definición de Integral Definida . . 6.4. Evaluando Integrales . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Teorema Fundamental del Cálculo 6.4.2. Reglas de Integración . . . . . . .
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313 313 330 330 334 338 344 345 348 353 353 356
7. Aplicaciones de Integración 7.1. Valor Promedio y Área entre Curvas . . . . . . 7.1.1. Valor Promedio . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Área Entre Curvas . . . . . . . . . . . . 7.2. Demanda y Consumo . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Gastos de Consumo . . . . . . . . . . . 7.2.2. Disposición para Gastar . . . . . . . . . 7.2.3. Exceso de Consumo . . . . . . . . . . . 7.3. Oferta y Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Ingreso de Producción . . . . . . . . . . 7.3.2. Disposición y Capacidad de Producción 7.3.3. Exceso de Producción . . . . . . . . . . 7.3.4. Equilibrio y Beneficio Social . . . . . . .
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361 362 362 366 372 372 375 380 385 386 388 392 396
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8. Proyectos de Matemática 403 8.1. Aplicaciones en Robótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 8.2. Colisión de Cometas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 Bibliografía
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Índice Alfabético
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Prefacio E L CÁLCULO es una de las mayores conquistas del intelecto humano. Inspirados por problemas en astronomía, Newton y Leibniz desarrollaron las ideas del cálculo hace 300 años. Desde entonces, el cálculo ha sido una herramienta fundamental para resolver problemas en matemática, ciencias físicas, ingeniería y las ciencias sociales y biológicas.
Origen del texto: Un pedido urgente Mi interés en escribir este libro fue motivado por la necesidad de alcanzar al estudiante y al docente lo que se pide hoy en las universidades: me refiero al cálculo aplicado a los negocios, economía, administración, ciencias e ingeniería. Seguramente hay buenos libros de cálculo en una variable pero que pueden resultar formales, también estoy seguro que existen excelentes aplicaciones matemáticas dispersas en interesantes textos cuyas explicaciones pueden cansar al lector.
Presentación: Intuitiva y simple Aunque la palabra “intuitiva” tiene muchas interpretaciones, su uso aquí significa “basado en la experiencia y sin demostraciones”. Lo que hago aquí es presentar el cálculo con un enfoque atractivo y amigable, manteniendo un lenguaje bastante comprensible para que el estudiante no demore en su aprendizaje. En mi experiencia docente he notado que una buena forma de despertar el interés matemático en el estudiante es haciendo que la matemática tenga significado en su vida práctica y específicamente en su carrera profesional. Por esas razones decidí escribir un libro con una lectura amena y con bastantes ejemplos cuyas explicaciones son detalladas; también se presentan ilustraciones visuales que ayudarán a comprender mejor el desarrollo de cada aplicación.
X
Prefacio
Orientación: Ciencias, ingeniería y negocios Los temas contenidos en este libro forman parte de un curso tradicional de cálculo de una variable, y está dirigido a estudiantes que cursan ciencias e ingeniería y especialmente para aquellos estudiantes involucrados en las carreras profesionales de negocios, administración y economía. Yo como matemático les digo que hay una necesidad urgente de apreender la matemática mediante este tratamiento moderno que interactúa con la vida cotidiana.
Contribución: Adaptación e imitación No soy un creador de todos los ejemplos que el lector podrá leer, lo que hice simplemente es imitar el estilo impuesto por matemáticos extrangeros, varios de ellos citados en la bibliografía. Debo destacar aquí mi especial predilección por las obras de Latorre [La], Harshbarger y Reynolds [Ha], Ron Larson [Lar], Soo Tan [Ta], Anton [An] y Hungerford [Hu]. Estos autores como los demás enfatizan la matemática con buen nivel y muchas aplicaciones en las ciencias sociales y la vida, transmitiendo con gran didáctica lo que el estudiante espera de este curso.
Contenidos El contenido de los temas representa una visión moderna del cálculo. Su flexibilidad y suficiencia se acomoda a los requerimientos de un curso de matemática I. Capítulo 1: Funciones, gráficas y sus aplicaciones. En este capítulo se introduce el concepto de función, su gráfica y sus operaciones. Para entender funciones de manera rápida no había modo de evitar comenzar con funciones elementales tales como: funciones lineales, polinómicas y racionales, con las
Prefacio
XI
que estamos familiarizados desde la escuela. A continuación se estudian funciones exponenciales y logarítmicas siendo una inversa de la otra; entre algunas de sus aplicaciones aparecen los pronósticos de crecimiento y decrecimiento poblacional así como el cálculo de intereses compuestos. En la última sección de este capítulo pasamos ligeramente por el estudio de funciones trigonométricas con la finalidad de aplicar en algunos modelos relacionados a ingeniería. Capítulo 2: Límite de Funciones. Matemática superior se basa en el concepto de límite y en este capítulo vemos su desarrollo. Aunque éste es uno de los conceptos más difíciles de la matemática, nuestra presentación deja de ser misteriosa. Desarrollamos propiedades de límites y algunas técnicas para evaluarlas. Varios modelos en física son tratados usando límites laterales y algunos modelos en negocios y economía se resuelven usando límites involucrando infinitos. Para no perder el rigor del concepto de límite, la última sección está dedicada a explicar su definición en términos de deltas y épsilon. Capítulo 3: Continuidad. Aquí vemos el concepto de continuidad como una consecuencia del concepto de límite. Su relevancia es fundamental en los problemas cotidianos y en este capítulo se modelan problemas de negocios, administración e ingeniería. Para ayudar a comprender mejor este concepto se hacen ilustraciones gráficas y nos apoyamos en propiedades vistas en el capítulo 2.
XII
Prefacio
Capítulo 4: la Derivada. En este capítulo, nuestro desarrollo de los temas se enriquece exponencialmente. Cada vez que hablamos de derivadas queremos decir “razón de cambio”, y las razones de cambio aparecen en todas partes, incluso cuando el lector lee esta línea ¿cómo? La razón de cambio motivó a Newton y Leibniz a fundamentar el cálculo, y este es el eje central en toda la matemática. En este capítulo se estudia con detalle todas las propiedades de derivadas, haciendo gran énfasis en la regla de la cadena y en derivación implícita. Muchas aplicaciones relacionadas a los negocios, economía e ingeniería son vistas con base en datos reales, explicando línea por línea; además se plantea una gran variedad de ejercicios que en su mayoría el lector no tendrá dificultad para resolverlos, aunque algunos de ellos pueden reducirse a cálculos formales simples. Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada. Ya habíamos dicho en el capítulo anterior que las derivadas proveen gran cantidad de material, y aquí lo que hacemos es continuarlo. En este capítulo se hace especial énfasis en aproximaciones lineales y optimización. En situaciones relacionadas ha empresas, el problema de maximizar o minimizar recursos es indispensable y aquí se resuelven tales problemas. Aquí también se describe de manera ligera el comportamiento geométrico de curvas mediante el uso de la primera y la segunda derivada, y los conceptos comunes en esta parte son la concavidad, punto crítico y punto de inflexión. Esto último proporciona al estudiante algunas técnicas de optimización que podrá revisarlo con más amplitud en un curso de matemática II.
Prefacio
XIII
Capítulo 6: Integración. Aunque la idea de integral es más antigua que la idea de derivada, tradicionalmente es estudiado en el orden de este libro. Integrar es el proceso inverso a derivar, o sea, hallar la función que originó la derivada, y nuestro entrenamiento en derivadas nos facilita este trabajo. Aquí también se desarrollan técnicas de integración, que son procedimientos similares a los que aparecen en el capítulo de derivadas. Inicialmente se presenta a la integral indefinidas y se estudian algunas de sus propiedades, luego se usan aproximaciones del cálculo de área para conseguir definir integral definida. Finalmente, haciendo uso del teorema fundamental del cálculo se estudian integrales definidas aplicándolos a modelos matemáticos concretos. Capítulo 7: Aplicaciones de Integración. Aquí nos dedicamos a las aplicaciones en economía y negocios. Se estudian algunas aplicaciones de oferta y demanda como: gasto de consumo, capacidad para gastar, exceso de consumo, equilibrio, producción, exceso de producción y beneficio social total. Para facilitar nuestra comprensión nos apoyamos en los conceptos vistos en el capítulo 1 y en las propiedades de derivadas. Una gran variedad de ejemplos pueden verse con soluciones simples. También se desarrollan valores promedios de funciones de producción y costos, interpretándolos en términos de áreas de regiones planas.
Prefacio
XIV
Capítulo 8: Aplicaciones de Integración. Finalizamos el libro con lo que se llama “horizonte matemático”. Se presentan algunos proyectos interesantes de matemática: Aplicaciones a la Robótica y Colisión de Cometas. En estos tópicos volcamos nuestra experiencia en matemática I. Cada material está diseñado de modo que el alumno debe resolver los ejercicios sugeridos para completar la solución del proyecto. Una visión para estos proyectos es presentarlo computacionalmente. Debo reconocer que en este capítulo he sido influenciado por la obra de Anton [An] que con magnífica pedagogía explica cada proyecto.
Agradecimientos Bueno, sin pretender cansarlos debo agradecer a las personas que colaboraron por ayudarme a sacar adelante esta obra. Fueron muchos los que participaron directa e indirectamente en este trabajo, a todos ellos mi más rendido agradecimiento. L ORD L IVIN B ARRERA B OCANEGRA Universidad Cesar Vallejo Lima - Perú Marzo, 2012
