Calculo i Barroso

Universidad Católica Boliviana San Pablo Unidad Académica Tarija

Abel Barroso López Profesor del Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas de la Universidad Católica Boliviana San Pablo

Edición: Preliminar – Primavera de 2011 Tarija – Bolivia

Universidad Católica Boliviana San Pablo – Unidad Académica Tarija Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas

Estimado estudiante: El presente trabajo te lo he dedicado a ti que eres estudiante de la asignatura Cálculo I de la Universidad Católica Boliviana San Pablo, Unidad Académica Tarija, pues tendré el privilegio de ser tu guía en esta aventura que iniciamos, por lo que me dirigiré en segunda persona: Tu serás mi discípulo y yo tu profesor, tu mentor. En este contexto, hay un compromiso que nos une a los dos y, para cumplirlo, ambos debemos poner nuestro propio esfuerzo. Y, es que, para cumplir en parte con ese compromiso de ser tu guía, he preparado para ti el presente texto que, para hacer alusión precisamente a mi función, lo he titulado “Apuntes Universitarios de Cálculo I”. No es nada perfecto y, seguro que tiene muchos errores. Sin embargo, aspiro a que su contenido te guiará hasta alcanzar las competencias que busca desarrollarse con la asignatura y a que culmines con éxito este proceso de enseñanza - aprendizaje que iniciamos juntos. Pero, para alcanzar esa aspiración que compartimos, debo hacer hincapié en las competencias que esta importante asignatura busca desarrollar en ti, y es que buscamos que seas capaz de resolver diferentes tipos de problemas con funciones reales de una variable independiente - que te serán de utilidad en futuras situaciones – utilizando los métodos del análisis matemático. Debo recordarte que todo el esfuerzo que yo pudiera realizar por ti de nada serviría si es que tú no estudias este documento y no te concentras, con toda tu voluntad, para apropiarte de los conceptos y procedimientos que en él encontrarás, para así poder alcanzar las competencias que te ayudarán notablemente en el desarrollo de tu formación profesional. Ahora, debo confesarte que no conozco otra manera de aprender matemáticas si no es estudiando ordenada y sistemáticamente, y resolviendo muchos ejercicios y problemas. Por ello te aconsejo que sigas religiosamente los siguientes sietes pasos: 1. Nunca faltes ni llegues tarde a las clases de esta materia. 2. Pon atención a todas las explicaciones que se dan en el aula, toma apuntes ordenados y participa activamente en el desarrollo de cada uno de las clases (participar significa hacer preguntas si tienes dudas, realizar todos los ejercicios dados en clases, consultar al profesor si tu procedimiento es correcto, pensar y tratar de dar respuestas a las preguntas que se formulan en las clases, etc.). 1 Apuntes Universitarios de Calculo I

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3. Una vez concluida cada clase, y antes de ir a dormir, toma lápiz y papel y repasa los apuntes del tema avanzado en ese día. 4. Resuelve por tu cuenta los ejercicios que se resolvieron durante la clase. 5. Si durante este proceso tienes dudas, anótalas y busca absolverlas por ti mismo y, si no puedes, consúltale a tu profesor. 6. Para que alcances seguridad, resuelve por tu cuenta algunos ejercicios de la bibliografía básica que te di en la Guía Didáctica y, si tienes mayores dudas, llévalas a la próxima clase. 7. Estudiar Cálculo equivale a practicar resolviendo muchos ejercicios y problemas y es una tarea que debes realizar, por lo menos, entre una a dos horas al día en forma constante, según tus conocimientos previos. No es difícil cumplir con estas recomendaciones, sólo necesitas tener la voluntad para hacerlo. Ese será tu esfuerzo; será la parte que pones en este proceso para que tengas el éxito que ambos deseamos. Yo, como tu guía, siempre estaré cerca de ti y cumpliré con mi parte. No me falles. Te deseo éxitos.

Abel Barroso López Tu profesor.

2 Apuntes Universitarios de Calculo I

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CONTENIDO UNIDAD DIDÁCTICA 1: FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 1.- Introducción 2.- Definición y análisis del concepto de función 3.- Caracterización de los elementos que componen a una función 4.- Representación gráfica de funciones 5.- Operaciones con funciones 6.- Estudio de algunas funciones especiales 7.- Funciones pares y funciones impares 8.- Crecimiento y acotación de funciones

5 5 6 11 16 24 34 34

UNIDAD DIDÁCTICA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 1- Conceptos Básicos 2.- Idea intuitiva de límites 3.- Límite de una función 4.- Límites laterales 5.- Propiedad de los límites de funciones 6.- Límites fundamentales 7.- Límites al infinito 8.- Técnicas para el cálculo de límites 9.- Continuidad de funciones en un punto 10.- Continuidad en un intervalo 11.- Tipos de discontinuidad

37 37 39 39 41 46 48 50 63 37 69

UNIDAD DIDÁCTICA 3: DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL 1.- Introducción histórica de la derivada 2.- Definición de la derivada de una función 3.- Interpretación geométrica de la derivada 4.- Función derivada 5.- Cálculo de la derivada de una función en un punto 6.- Derivadas laterales 7.- Derivabilidad y continuidad 8.- Técnicas para el cálculo de derivadas 9.- Derivadas de orden superior 10.- Derivación implícita 11.- Aplicaciones de la derivada.

77 79 80 81 81 82 84 86 99 100 104

3 Apuntes Universitarios de Calculo I

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UNIDAD DIDÁCTICA 4: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES REALES 1. Introducción 2. La integral definida 3. Teoremas fundamentales 4. La integral indefinida 5. Métodos de integración 6. Integración de funciones racionales 7. Integración de funciones irracionales por sustitución trigonométrica 8. Integrales impropias 9. Aplicaciones de la integral definida

120 120 124 125 126 138 146 150 152

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Unidad Didáctica 1 FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 1. INTRODUCCIÓN La noción de función aparece, por primera vez, en una forma más general durante el siglo XIV en las escuelas de filosofía natural de Oxford y París. Galileo estaba empezando a entender el concepto aún con mayor claridad a través de sus estudios sobre el movimiento que contienen una clara comprensión de la relación entre variables. Asimismo, otra parte de sus matemáticas muestra que estaba empezando a captar el concepto de mapeo entre conjuntos. Casi al mismo tiempo que Galileo, confluye a estas ideas Descartes con la introducción del álgebra a la geometría expuesta en su obra La Géometrie (La geometría). En ella afirma que una curva puede dibujarse al permitir que una variable tome sucesivamente un número infinito de valores distintos. Esto de nuevo lleva el concepto de función a la construcción de una curva. Antes de llegar a la primera vez que se usó la palabra 'función' es importante entender que el concepto se desarrolló con el paso del tiempo; su significado fue cambiando y también fue siendo definido con mayor precisión a través de los años. Como tantos otros términos matemáticos, la palabra función fue usada por primera vez con su significado no-matemático por Leibniz en agosto de 1673. Se puede decir que en 1748 el concepto de función saltó a la fama en matemáticas debido a Leonhard Euler, quien publicó su obra “Introductio in analysin infinitorum”. Euler definió una función en el libro como sigue: “Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes”. A partir de los siglos XVIII y XIX el concepto de función se concibe como el eje central de las matemáticas, su estudio a través del cálculo y sobre todo de las ecuaciones diferenciales se hace totalmente indispensable para llevar adelante todo el desarrollo científico y tecnológico. Fue Goursat, en 1923, quien dio la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día: “Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación: y = ƒ(x)” 2.- DEFINICIÓN Y ANÁLISIS DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN. Definición: Si tenemos un conjunto de números reales S  R, y los números x e y, tales que x S e y  R; se define por función real del conjunto S en el conjunto R a toda expresión lógica matemática perfectamente definida – que denominaremos la ley – que vincula a un número real x  S, denominado variable independiente, con un único número real y  R, llamado variable dependiente, imagen o función, y se denota: y = f (x) 5 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Como para cada valor asignado a x, se obtiene un único valor para y, resulta pues que cada función es un conjunto de pares ordenados (x, y) creados por la ley y = f (x), generándose un conjunto de los puntos que pueden representarse en el plano cartesiano; por lo que otra idea de función es la que la define como un conjunto de pares ordenados caracterizados por la expresión y = f (x) y cuya notación es la siguiente: f = {(x, y)/ y = f (x)} En síntesis, una función es una ley lógica que vincula dos variables reales “x” e “y” (denominadas respectivamente variable independiente y variable dependiente), de modo que a cada valor de la variable independiente “x”, le corresponde uno y solo un valor de la variable dependiente “y”. El conjunto de todos los valores numéricos que puede asumir la variable independiente x conforman un conjunto de números reales denominado dominio de la función y se designa Df, y el conjunto de todos los valores que corresponden a la variable dependiente y, conforman un conjunto de números reales denominado conjunto imagen, recorrido o rango de la función y se designa: Rf. Del simple análisis del concepto de función observamos tres componentes: i. ii. iii.

La expresión matemática o ley que la define f, El conjunto de valores que asume la variable independiente x o dominio de la función Df, El conjunto de valores de la variable dependiente y o rango de la función Rf

3 CARACTERIZACIÓN DE LOS ELEMENTOS QUE COMPONEN UNA FUNCIÓN 3.1. La ley: Como ya se dijo, una función real está definida por una proposición lógica que se formula por medio de una expresión matemática que vincula a la variable independiente “x”, con la variable dependiente “y”, es decir, la ley es la expresión que define una dependencia de la variable y respecto de la variable x. Por tanto, esta ley, al ser expresión matemática, tiene las mismas características de todas estas expresiones y, en general, puede asumir una de las formas de la siguiente clasificación:

  Polinómicas   A lg ebraicas  Racionales   Irracionales   Funciones  Logarítmicas   Trascendentes  Exponenciales  Trigonométricas  

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3.2. El dominio de la función: Como se dijo anteriormente, el dominio de la función f (dominio de definición) es el conjunto de todos los valores reales x  S  R que tienen imagen en R y denotamos con Df. El dominio de una función puede estar limitado en los siguientes casos: 1) Por el propio significado y naturaleza del problema que representa. Para entender, veamos los siguientes ejemplos: a) La fórmula del área de un cuadrado de lado l está dada por la expresión: A = l 2, que relaciona el área del cuadrado con su lado; ésta es una función cuyo dominio lo forman los números reales positivos. En este caso, el dominio viene pues determinado, por la propia naturaleza del problema que no admite lados de cuadrados negativos. Luego el dominio de la función es: DA = R+ b) En la función definida por f (x) = x 2, atendiendo al aspecto analítico de la función no habría inconveniente en calcular la imagen de un número real negativo; por ejemplo:

Luego, para este caso, resulta:

f (–8) = (– 8)2 = 64. Df = R.

2) Por la expresión matemática que define a la función. En este último caso hay que analizar la expresión que define a la función y tener en cuenta las condiciones fundamentales de la expresión matemática que la concreta, así pues tendremos en cuenta: a) Si la función es irracional, debemos identificar si la raíz tiene índice par, en cuyo caso, el radicando debe ser positivo. b) Si la función es racional, debemos verificar que el divisor sea distinto de cero. c) Si la función es trascendente, del tipo logarítmico, verificaremos que la expresión sublogarítmica asuma valores mayores que cero.

x2 f (x) = 2

Ejemplo 1.- Veamos cuál es el dominio de la función definida por:

Como esta función está dentro de las clasificadas como polinómicas, la variable independiente x no se encuentra ni en denominadores ni en raíces ni en logaritmos, por lo que podemos calcular la imagen para cualquier número real, por tanto: Df = R Ejemplo 2.- Ahora, determinemos el dominio de la función dada por:

f (x) =

x 1

Ya que ésta es una función irracional, hay que tener en cuenta que el radicando de una raíz de índice par debe ser positivo, por lo tanto debemos exigir: x – 1  0  x  1  Df = [1, +  [ Ejemplo 3.- Veamos ahora, la función definida por:

f (x) =

3x  4 x 1

Ya que se trata de una función racional, tendremos que tener en cuenta que los valores que no puede asumir x, son aquellos que anulan al denominador. Podemos ver que si: x – 1 = 0,  7 Apuntes Universitarios de Calculo I

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x = 1  Df; por tanto el dominio de f estará definido por todos los números reales menos el 1, es decir: Df = R – {1} Ejemplo 4.- Veamos ahora cómo es el dominio de la función definida por: f (x) = 1  x 2 Al ser una función irracional de índice par, tenemos que exigir que: 1 – x2  0  (1 – x)( 1 + x)  0. Por la regla de los signos del producto de dos factores, se debe cumplir: [1 – x > 0  1 + x > 0]  [1 – x < 0  1 + x < 0] De donde:

[x < 1  x > –1]  [x > 1  x < –1]  –1 < x < 1

Resultando finalmente que los valores que puede asumir x están al intervalo [–1, 1]; luego: Df = [–1, 1] Ejemplo 5.- Veamos ahora cómo determinamos el dominio de la función: f (x) = ln (x4 + 2x3 – 13x2 – 38x – 24) Siendo una función logarítmica, debe cumplirse la inecuación: x4 + 2x3 – 13x2 – 38x – 24 > 0 Para resolver esta inecuación, primeramente debemos factorizarla, por lo que, aplicaremos la técnica de Gauss al polinomio: P(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 38x – 24, Cuyas raíces enteras están entre los divisores de 24. Por tanto, pueden ser raíces de P(x) los números 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6,– 6, 8, – 8, 12 – 12 24 y – 24. Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente cada una de ellas aplicando la regla de Ruffini o para no trabajar demasiado, aplicamos primero el teorema del resto para verificar cuál de estos valores da como resto cero. Probemos con 1: P(1) = 14 + 213 – 1312 – 381 – 24 = – 72 Puesto que el resto, – 72, es distinto de 0, se concluye que P(x) no es divisible por x – 1, o lo que es lo mismo, 1 no es raíz de P(x). Probemos ahora con –1: P(– 1) = (– 1)4 + 2(– 1)3 – 13(– 1)2 – 38(– 1) – 24 = 0 Por tanto, –1 es raíz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1; apliquemos la regla de Ruffini: 1 2 – 13 – 38 – 24 8 Apuntes Universitarios de Calculo I

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–1 1 Luego, tenemos:

–1 1

–1 – 14

14 –24

24 0

P(x) = (x + 1)(x3 + x2 – 14x – 24)

Para hallar las otras raíces de P(x), obtenemos las raíces del nuevo polinomio: P1(x) = x3 + x2 – 14x – 24. Se prueba de nuevo con – 1: P1(– 1) = (– 1)3 + (– 1)2 – 14(– 1) – 24 = – 10 Por tanto, – 1 no es raíz de P1(x). Probando ahora con –2: P1(–2) = (–2)3 + (–2)2 – 14(–2) – 24 = 0 Por lo que, –2 es raíz de P1(x) y, por tanto resulta: P(x) = (x + 1)(x + 2)(x2 – x – 12) Factoricemos la ecuación cuadrática que resulta: x2 – x – 12 = (x – 4)(x + 3). Luego nos queda: P(x) = (x + 1)(x + 2) (x + 3) (x – 4) Luego, para determinar el dominio: f (x) = ln (x4 + 2x3 – 13x2 – 38x – 24) Debe cumplirse: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x – 4) > 0 Como las raíces de: x4 + 2x3 – 13x2 – 38x – 24 = 0 resultan: x = –1; x = –2; x = –3; x = 4 Para determinar el dominio de f (x), seguimos el procedimiento del método gráfico o de las cruces:

x < – 3  –2 < x < –1  x > 4 Resultando: Df = {x/ x < – 3  –2 < x < –1  x > 4} = ]–,–3[] –2, –1[]4, [ Cuya representación gráfica es la siguiente: 9 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Ejercicios para el aula: Determinemos el dominio de las siguientes funciones: 1 x3

1) f (x) = x2 – 3x

2) f (x) =

5) f(x) = 4  x 2

6) f (x) = x 2  4

3) f (x) =

7) f (x) =

3x  5 x2

4) f (x) = x 2  4

3

8) f (x) =

2

x  5x  4 x2  9

9) f (x) =

x2

10) f (x)=

7

11) f (x) =

x 2  9x 2  4

x5 2 x

x 3 x2

12) f (x)=ln

x2 x2

Ejercicios para resolver en domicilio: Determina el domino de las siguientes funciones: 1)

y=

x 1

2)

y = 3 x 1

3)

y=

4)

y=

x2  2

5)

y = x x2  2

6)

y=

7)

y=

x

8)

y=

11)

y

1

x  x3

9)

2 x

10)

x 2  3x  2 x 1

y = log

1 x2  x  2

12)

1 4  x2

2  x  x2 2 x y = log 2 x y

x3 (1  x) 2

3.3. El Rango de la función f o Recorrido de f: Se lo define como el conjunto de todos los números y R que son imágenes de los valores que asume x, y se denota por R f, por lo tanto depende del Df. Ejemplos: Calculemos las imágenes para los valores de x de: 0, 1, 2, y 10 en las siguientes funciones: 3x  1 1) f (x) = 2) g(x) = x 2  1 3) h(x) = x2 2 4 x Resolución:

y

x 3x  1 4x

2

y  x2 1 y = x2

0 1  2 1  R 0

1 2

3 0 1

2  3 4

10

29 R  96 99 100

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Ejercicios para el aula: Calculemos las imágenes para los valores de x de: – 5, – 4 , – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5 en las siguientes funciones:

1

1) f (x) =

x2 1

2) f (x) =

1 x 3

3) f (x) =

3x  5 x2

4) f (x) = x 2  4

Ejercicios para domicilio: Calcula las imágenes para los valores de x de: – 5, – 4 , –3, –2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5 en las siguientes funciones: 1) f (x) = 4  x 2 2

x 9

4) f (x) = 7) f (x) =

5) f (x)=

x2 2  x  x2

3) f (x) =

2) f (x) = x 2  4

8) f (x) =

x  5x  4

7

x

2



3 2

2

9 x  4

x



6) f (x) =

x5 2 x

9) f (x) = x x 2  2

4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 4.1 Definición La gráfica de la función f es el conjunto de todos los puntos del plano euclidiano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación que define a la función: y = f (x). De la definición de función se infiere que la gráfica de toda función se caracteriza porque no hay dos puntos de su gráfica que estén situados sobre la misma recta vertical. Ejemplo.- Representemos la gráfica de la función definida por: y = x 2 – 5x + 6. Resolución: Para representar la gráfica de una función, seguiremos los siguientes pasos: i.

ii.

iii.

En primer lugar, tendremos que determinar el dominio de f. Para este ejemplo, estando la función definida por: y = x2 – 5x + 6, es claro que se trata de una función polinómica que no tiene divisores ni raíces ni expresiones logarítmicas en las que se involucre la variable x, por lo que podemos calcular la imagen para cualquier número real, por tanto: Df = R. En segundo lugar, determinamos algunos pares de valores (x, y) asumiendo algunos valores para x, dentro de su dominio, y calculando los correspondientes valores de y utilizando la expresión que define la función. Los pares de valores (x, y) se deben presentar en una tabla como la que se muestra a continuación: x 0 1 2 4 y 6 2 0 2 Luego, graficamos cada uno de estos pares de valores (x, y) en un sistema de coordenadas rectangulares y, finalmente, los unimos mediante una curva suave (ver figura 1.1) 11 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Figura 1.1 4.2 Gráficas de algunas funciones especiales: A. Función valor absoluto: f (x) = |x| Por definición de valor absoluto de un número, se tiene:  x si x  0 |x| =   x si x  0 El dominio de esta función es R. Por tanto: si x < 0  y = – x, y si x > 0  y = x, luego, la gráfica de f es la siguiente:

Figura 1.2 12 Apuntes Universitarios de Calculo I

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B. Función entero mayor E(x): Se define como el entero mayor de un número x, al mayor entero que es menor o igual que x, y se denota E(x). Por tanto, el dominio de E(x) es R y su rango, el conjunto de todos los números enteros Z. Para graficar la función entero mayor f (x) = E(x), tenemos que determinar los valores de E(x) en intervalos de entero en entero, por ejemplo, si queremos graficar E(x) en el intervalo [–5, 5[ tenemos que operar del modo siguiente: Para

– 5  x < – 4  E(x) = – 5

Para

– 4  x < – 3  E(x) = – 4

Para

– 3  x < – 2  E(x) = – 3

Para

– 2  x < – 1  E(x) = – 2

Para

– 1  x < – 0  E(x) = – 1

Para

– 0  x < 1  E(x) = 0

Para

1  x < 2  E(x) = 1

Para

2  x < 3  E(x) = 2

Para

3  x < 4  E(x) = 3

Para

4  x < 5  E(x) = 4

Obteniéndose la gráfica que se muestra en la figura 1.3

Figura 1.3 13 Apuntes Universitarios de Calculo I

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C. Función polinomial: Grafiquemos la siguiente función polinómica: f (x) = (x – 2)(x – 1)(x + 1) Para graficar esta función se procede en forma similar que el ejemplo 1, ver la figura 1.4

Figura 1.4 Ejercicios para el aula: Grafiquemos las siguientes funciones: x 1) f (x)=|x – 1| 2) f (x)=|x + 1| 3) f (x)= x x x x 4) f (x)= 5) f (x)=x + 6) f (x)=|x| – x x x 7) f (x)=|x| x 8) f (x)=|x| + |x| x 9) f (x)=(x + 1)3 10) f (x)=3(x + 1)2

11) f (x)=(x – 2)(x – 1)(x + 1) x x  2 12) f (x)=3x2–4x–1 13) f (x) =  ; 14) f (x) = x3 – 6x2 + 9x 3 x  2  1 15) f (x)=3x2–12x+9 16) f (x)= x4 – 4x2 17) y = x 1 x  21 1 18) y = 19) y = 20) y = x + x 1 x2 x 21) y =

22) y =

x

24) f (x)=x – E(x) x 27) f (x)= E (x ) 30) y =

2

x 1

x3

23) y =

3

x2

25) f (x)=x + E(x)

26) f (x) = x E(x)

28) f (x)=E(x) – x

29) f (x) = |x | – E(x)

31) y =

x x 2

3  x 2  32) y =  2  x 

si

x 1

si

x 1

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Ejercicios para resolver en domicilio: Grafica las funciones siguientes: 1).- Funciones polinómicas: 1)

y = x3 – 9x2

2)

y = x4 – 5x2 + 4

4)

y = x4 – 8x2 – 9

5)

y = x3 – 6x2 + 9x – 1 6)

y = (1 – x)3

7)

y = 2 – x3

8)

y = x5 + 2

9)

y = – x4 – x2

10)

y = x – x2

11) y = (x – 2)(x – 1)(x + 1) y = – 4x3+2x

14)

y = x4– x3

16)

y = – x4 + 2x2

17)

y = – 4x3 + 4x

2)

y

3)

y

5)

y

6)

y

9)

y

x 1 x 1

12)

y

x2 2 x

15)

y

18)

y

12) f (x) = (x–2)(x–1)(x+1) 13) 15)

y = 4x3 – 3x2

18)

y = x5 – 5x3 + 4x

2).- Funciones racionales: x2 1) y x 1 4)

y

7)

y

10)

y

13)

y

16)

y

x2 x2 1 x

x2 1 x2  1 1 x2 1

x3 1 x2

x2

x2  1

x2 x2  1 y x

8)

x2 1

x 1

11)

y

14)

y

17)

y

x2 1 x2  1 1 x2  1

x3 (1  x) 2

3)

y = x3 – 2x2 + x

1 x3

1 x2

x x 2  5x  4

1 x2  x  2

3).- Función valor absoluto y entero mayor:

1 | x|

1)

y = |x 2 – 2|

2)

y=

3)

y = |x 2 – 5x + 6|

4)

y=-|x 2 – 1|

5)

y=|x – 1| + |x + 1|

6)

y = (|x| – x)/2

7)

y = x + |x|/x

8)

y = |x| + |x|/x

9)

y = x·|1 + 1/x|

10)

y = E(x) + x

11) y = (–1)E(x)

12)

y = |x 2 – 2|

13)

y = x 2 – |x| – 2 14) y = |x 2 + 2x – 3|

15)

y =|x 2 – 4| 15

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16)

y = E(x) – x

17)

y = E(x) + |x|

18)

y=

x E (x )

4).- Función exponencial y logarítmica 1)

y = ln(x2 – 4)

2)

y = ln(x2 – 6x + 8)

3)

y = x.e–x

4)

y = ln(x2 – 5x + 6)

5)

y=ln(x2 + 1)

6)

y = ln(x2)

7)

y = ln|x|

8)

y = e–x

9)

y = – ex

10)

y = 2x

11)

y = x.ex

12)

y = 2–x

13)

y = x.lnx

14)

2 y  x 2 .e  x

15)

y = x2.e x

16)

y = 2x + 2-x

17)

y

y  x 2  6x  5

2)

y

x3 x2

5)

f (x) =

ex x

ln x x

18)

y

3)

f (x) =

x2  4

6)

f (x) =

x5 2 x

12)

f (x) = 4  x 2

5).- Función irracional. 1)

4)

7)

f (x) =

f (x) =

3 x x3

4x  8 x 1

x2 9 x

8)

f (x) =

2

9  x2 x

5.- OPERACIONES CON FUNCIONES 5.1. Suma y diferencia de funciones. Definición.- Sean dos funciones reales de una variable real, definidas por las expresiones: y1 = f1 (x) y y2 = f2 (x). La función suma o la diferencia de ambas dos funciones, es la función determinada por la siguiente expresión: ys = y1  y2 = f1(x)  f2(x). Propiedad. El dominio de la función suma, y también el de la función diferencia, es el conjunto definido por la intersección de los dominios de las funciones que se suman. Ejemplos. Calcula la función suma de las siguientes funciones y determina sus dominios respectivos: 16 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Ejemplo 1.

f1 (x) = x 2 + 1;

f2 (x) = – 2 x 2 + 4

La suma está dada por:

ys = f1(x) + f2(x) = x2 + 1 – 2x2 + 4 = – x2 + 5.

Y, su dominio es:

Df1 = R; Df2 = R;  D ys = R  R = R

Ejemplo 2.

f1(x) =

x 1 ; x

 x 1 x 1

f2(x) =

La suma está dada por: ys = f1(x) + f2(x) =

x 1  x  1 ( x  1)( x  1)  x( x  1) + = x x 1 x( x  1)

x2  1  x2  x x 1 1 = = x( x  1 ) x( x  1 ) x

ys = f1(x) + f2(x) = Y, su dominio es:

Df1 = R – {0};

Df2 = R – {1}

Luego:

D ys = (R – {0})  ( R – {1}) = R – {0, 1}

Observación: Observa que si sólo consideras la expresión que determina la función resultante, su dominio será el conjunto de los números reales exceptuando el cero. Este conjunto no coincide con la intersección de los dominios de las funciones dadas. Por ello, no debes calcular el dominio trabajando con la expresión que define la función resultante sino con la intersección de los dominios de las funciones sumando. Ejercicios para el aula: Calculemos las funciones suma y diferencia de las siguientes funciones y determina sus dominios respectivos: 1)

f1(x) =

x;

f2(x) =

3)

f1(x) =

x 1 ; f2(x) = x

x 1 x

x2 x2

2)

f1(x) =

x 1 ;

4)

f1(x) =

x;

f2(x) = f2(x) =

x 1 x4

x 1 x4

5.2. Producto y cociente de funciones. Definición.- Sean dos funciones reales de variable real definidas por las expresiones: y1 = f1 (x) y y = f2 (x). Se llama función producto de ambas, a la función determinada por la expresión: yp = y1 × y2 = f1(x) × f2(x) Análogamente podemos definir la función cociente como: yc =

f ( x) y1 = 1 y2 f 2 ( x) 17

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Propiedad.- El dominio del producto de dos funciones y del cociente de dos funciones es la intersección de los dominios de ambas funciones. Pero además, en la función cociente, habrá que quitar todos los puntos que anulen a f2(x) que es el denominador de dicha función cociente. Ejemplos Ejemplo 1. Dadas las funciones f1(x) = x + 1  f2(x) = x + 2, determina yp así como yc con sus dominios respectivos. El producto es: Y, el cociente es: Y, sus dominios son:

yp = (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 x 1 yc = x2 Df1 = R; Df2 = R D yp = R  R = R;

Dyc = R – {–2}

Puesto que el número real –2 anulará el denominador de la función cociente. Ejemplo 2. Ídem con las siguientes funciones:

f1(x) =

x 1 y x2

f2(x) =

x 1 x2

x 1 x 1 x 2 1 =  D yp = (R – {2})  (R – {–2}) = R – {–2, 2} x2 x2 x2  2 x 1 ( x  1)( x  2) yc = x  2 =  D yC = (R - 2 )  (R –  2 ) – {1} = R -  2,1,2 x 1 ( x  1)( x  2) x2 Observa que en la función cociente también hemos quitado del dominio el punto 1 puesto que la función yc se anula para dicho punto.

yp =

Ejercicios para el aula: Calculemos yp así como yc en los siguientes casos: x 1 x 1 x 1 a) f1(x) = ; f2(x) = b) f1(x) = ; f2(x) = x2 – 1 x 1 x2 x3 5.3. Función compuesta. Definición.- Dadas dos funciones definidas por y = f (x)  z = g (y). A la función que se obtiene de sustituir “y” por f(x) en la función g, es decir z = g (f(x)), se la denomina función compuesta, y se denota gof, es decir: (gof)(x) = g(f (x)) Observación.- Analizando el esquema de la figura 1.5, observamos que para que exista la función compuesta es necesario que el rango de la función f quede totalmente incluido en el dominio de la función g, es decir R f  D g.

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Figura 1.5 Si no se verificara esta condición podríamos construir una función compuesta realizando una restricción en aquellos puntos donde no existen problemas. En todo caso, el dominio de definición de la nueva función sería: D (gof) = {x/xDf tal que f (x)Dg} Ejemplos Ejemplo 1. Estudiar la existencia de la función compuesta gof de las siguientes funciones y, en caso afirmativo calcularla: f (x) = x + 1  g(x) = x2 + 1 En este caso el dominio de la función g es todo R. Cuando esto ocurra, la función compuesta existe y el dominio de la misma coincidirá con el dominio de f. Por tanto, en este caso la función compuesta existe y D (gof) = Df = R. Además (gof) (x) = g(f (x)) = (f (x))2 + 1 = (x + 1)2 + 1 = x2 + 2x + 1 + 1 = x2 + 2x + 2 Ejemplo 2. Estudiar la existencia de gof en el caso: f (x) =

x 1  g(x) = x2 x 1

En este caso, Dg = R y D f =]   , -1]  ]1, +  [, luego la función gof existe en el siguiente dominio: D (gof) = Df = ]   , –1]  ]1, +  [ 2

Siendo además:

 x 1   = x 1 (gof )(x) = g(f (x) = (f (x)) =   x 1  x 1  2

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Ejemplo 3. Dadas las funciones: f (x) =

x 1 1  g(x) = + 3; estudiar la existencia de gof y de x2 x

fog. Dgof = {x/x  Df, pero f (x)  Dg}

Solución g o f:

D g = R – {0} y D f = R – {–2}. Por tanto, si existe algún punto del dominio de f tal que f (x) = 0 entonces, para ese punto, no existirá gof. Es decir: x 1 f (x) = 0  ≠0  x–1≠0  x≠1 x2 Por tanto, para determinar D (gof) bastará con quitar al dominio de f los puntos que verifican que f (x) = 0. Como:

Df = R – {–2}

D(gof) = R – {–2,1} x2 (gof)(x) = 3 x 1 Dfog = {x/x  Dg, pero g (x)  Df}

Siendo: Solución f o g:



Como Df = R – {–2} y D g = R – {0}. Por tanto habrá que comprobar si existe algún punto tal que g(x) = – 2. Es decir: 1 1 1 g(x) = – 2  +3=–2  =–5  x=  x x 5 Por tanto, para determinar D(fog) bastará con quitar al dominio de g los puntos que verifican que g(x)= –2, es decir: Como:

Dg = R – {0}

Siendo:



D(fog) = R – {–1/5, 0}

1    3  1 1  2x x  (fog)(x) =  = 1  5x 1    3  2 x 

Observación: Observa que si solo consideras la expresión que determina la función resultante, su dominio será el conjunto de los números reales exceptuando el –1/5. Este conjunto no coincide con el dominio determinado por el análisis de los dominios de las funciones dadas. Por ello, no debes calcular el dominio trabajando con la expresión que define la función resultante sino con el análisis de los dominios de las funciones dadas. Ejercicios para el aula: 1) Dadas las funciones f (x) = 3x – 7 y g(x) = 2x + k, determinemos k para que gof = fog. 2) Dadas la funciones: f (x)= x  1 y g(x)=

x2 , calculemos, si es posible, la función gof y la x3

función fog y su respectivos dominios. 20 Apuntes Universitarios de Calculo I

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3) Dada la función f (x) = 1 –

1 , comprobemos que (fofof)(x) = x x

4) Estudiemos la función gof siendo f (x) = 8x – 3 y g(x) =

x 1 x 2  5x  6

.

Ejercicios para domicilio: Realiza los siguientes ejercicios de funciones compuestas: 1) Estudia las funciones gof y fog en el caso f(x) =

x 1 x2 y g(x) = , y determina sus x 1 x 2 1

respectivos dominios. 2) Halla f (f (f (x))) si f (x) =

1 . 1 x

3) Halla f (x+1) si f (x - 1) = x2 4) Dada f (x) = log

5) Dadas: f (x) =

1 x , demuestra que: 1 x

f (x) + f (y) = f (

x y ) 1  xy

1 x 1 (a + a –x ) y g (x) = (a x – a –x ), demuestra que: 2 2

f (x+y) = f (x) f (y) + g (x) g (y) 6. Estudia las funciones gof y fog en el caso f(x) =

 x2  x 1  , y determina sus y g(x) = ln  x 1  x 2 1

respectivos dominios. 7. Estudiar las funciones gof y fog en el caso f(x) = respectivos dominios.

x  1 y g(x) = ln (x +2) y, determina sus

5.4. Función inversa. Definiciones. i. ii.

Se llama función identidad a aquella función en la que a cada número real le hace corresponder el mismo número y se denota por I (x) = x. Una función f se dice inyectiva o función uno a uno si verifica que dos puntos distintos de su dominio no tienen la misma imagen, es decir que, de todos los pares (x, y) pertenecientes a la función, los valores de “y” no se repiten. En todo caso: f es inyectiva   x1, x2  f (x1) = f (x2)  x1 = x2

La definición de función inyectiva, gráficamente, se caracteriza porque no hay dos puntos de la gráfica de la función situados sobre la misma recta horizontal 21 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Ejemplo: Comprobar analíticamente si la siguiente función es inyectiva o no: x 1 f (x) = x Resolución: Por definición, para dos valores x1  x2, se analiza: x 1 x 1 f (x1) = f (x2)  1 = 2  (x1 + 1) x2 = (x2 + 1) x1 x1 x2  x1 x2 + x2 = x2 x1 + x1  x1 = x2 Luego, la función dada es inyectiva. Ejercicios para el aula: Comprobemos analíticamente si las siguientes funciones son inyectivas o no, y si no lo son, determinemos el dominio para el cual si sean inyectivas: 1) f (x) = x3; 5) f (x) =

x2  1

2) f (x) = 6) f (x) =

x 1 ; x 1

4  x2

3) f (x) = x2 7) f (x) =

4) f (x) = sen (x) x3

8) f (x) = cos (x)

Definición de función inversa Si y = f (x) es una función inyectiva, definida en su dominio. Llamamos función inversa de f (en caso de que exista) y denotamos f –1(x), a aquella función que verifica: (f –1 o f)(x) = (f o f –1)(x) = x Ejemplo: Dada la función f (x) = x3, determinemos f –1(x) Resolución: Primero debemos verificar si f es inyectiva. Por definición, podemos escribir: f (f –1(x)) = x Por la función f en composición con f -1, tenemos:

f (f –1(x)) = [f –1(x)]3

Si sustituimos en la anterior expresión, obtenemos:

[f –1(x)]3 = x.

Despejando f -1(x), finalmente tenemos:

f –1(x) = 3 x

Que es la función inversa de f que pedimos determinar en el presente ejemplo. Probemos por otro lado: Partimos de la expresión f (x) = y = x3. Despejando x: x= 3 y Cambiemos las denominaciones de x por y y de y por x:

y= 3x.

Que es la expresión que define la función inversa de f. Las gráficas de ambas funciones se observan en la figura 1.6 22 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Figura 1.6 Observación: Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la gráfica de la función identidad I(x) = x. Veámoslo en la figura 1.6 Procedimiento para determinar la función inversa de una función dada: se puede seguir la siguiente lógica: Se verifica si la función es inyectiva. i) Se despeja la variable independiente x. ii) Se intercambia las designaciones de las variables “x” por “y”, y de “y” por “x”. iii) Se comprueba que (f –1of) (x) = x La función así obtenida es la inversa de la función dada. Ejemplo.- Determinemos, si es posible, la función inversa de: f (x) =

x2 . x 1

Resolución: Seguimos el procedimiento antes indicado: i) En primer lugar debemos estudiar si la función en cuestión es inyectiva o no: x 2 x 2 f (x1) = f (x2)  1 = 2  (x1 – 2)(x2 + 1) = (x2 – 2)(x1 + 1) x1  1 x 2 1  x1x2 + x1 – 2x2 – 2 = x2x1 + x2 – 2x1 – 2  3x1 = 3x2  x1 = x2 Con esto queda probado que la función f es inyectiva y por tanto f –1 existe. ii) Despejamos la variable x x2 y=  y(x + 1) = x – 2  y x + y = x – 2  x (y - 1) = – y – 2 x 1  y 2  x= y 1 23 Apuntes Universitarios de Calculo I

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iii) Intercambiamos las designaciones de x por y, y de y por x, obteniéndose:  x2 y = f –1(x) = x 1 iv) Finalmente, comprobamos si (f –1of) (x) = x:

x2 f -1( )= x 1



x2  x  2  2x  2 2  3x x 1 x 1 = = = x = I (x) x2 x  2  x 1  3 1 x 1 x 1

Ejercicios para el aula: Determinemos la función inversa de las siguientes funciones: 1) f (x) = x; 5) f (x) =

2) f (x) = x2  1

6) f (x) =

x 1 ; x 1

3) f (x) = x2

4  x2

7) f (x) =

4) f (x) = sen x x3

8) f (x) =

x 1 . x3

9 ¿Existe la función inversa de f (x) = x2? Analicemos su existencia en función de su dominio. 10) Dada la función f (x) = 4

e x  ex x – 6; verifiquemos si existe f –1 y calculemos f –1 2

Ejercicios para el domicilio: Dadas las siguientes funciones, verifica si tienen f determínalas: 1)

f (x) = x2 + 1

2) f(x) = 2x + 4.

4)

f (x) = x2 – 1

5) f (x) = 1  x 3

7)

f (x) =

10)

f (x) =

13) 16)

x 1 ; x 1

x2  1 x 1 f (x) = . x 3 e x  ex y= 2

3

f (x) = x2

9) f (x) = sen x

11)

f (x) =

4  x2 x y = log 2 1 x y = ln 1 x

12)

f (x) =

15)

y = 1 x3

18)

y=

17)

y

3) f (x) = 2x + 3 x 6) f (x) = log 2

8)

14)

–1

x3

3

e x  ex e x  e x

6. ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES. 6.1. Funciones circulares y sus inversas. Las funciones circulares o trigonométricas que conocemos desde la secundaria son: y = sen(x), y = cos(x), y = tg(x), y = sec(x), y = cosec(x), y = ctg(x) 24 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Donde la variable independiente x es un arco medido en radianes. En cada caso, existe un dominio (para cada función circular), para el cual la función es inyectiva, por lo que existen las correspondientes funciones inversas. Las funciones circulares inversas son: y = arc sen(x), y =arc cos(x), y =arc tg(x), y =arc sec(x), y =arc cosec(x), y =arc ctg(x) Ejercicios para el aula: 1.- Determina los dominios de las funciones trigonométricas para los cuales son inyectivas. 2.- Grafica cada una de las funciones circulares inversas. 6.2.- Funciones exponenciales y logarítmicas 6.2.1. La función exponencial Si a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x. Como ax > 0 para todo x  R, la función exponencial es una función de R en R+. En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial. Leyes de los Exponentes: Sean a y b dos número reales positivos y x, y  R, entonces: 1.

a x a y = a x+y

2.

ax a

y

= a x-y

3.

a x y = a

6.

a   b

x

4.

(a b) x = a x b x

ax a 5.    . b bx

x

xy

b   a

x

7. Cuando a > 1, si x < y, entonces, a x < a y. Es decir, cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio. 8. Cuando 0 < a < 1, si x < y, entonces, a x > a y .Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en su dominio. 9. Si: a x = a y  x = y 10. Si 0 < a < b, se tiene:

Si x > 0  a x < b x

Si x < 0  a x > b x

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. 11. Cualquiera que sea el número real positivo y0, existe un único número real x0 tal que y0 = a xo

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Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real. 6.2.2. Gráfica de la Función Exponencial En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas anteriormente, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales. En las figuras 1.7 y 1.8, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (figura 1.7) y de base a < 1 (figura 1.8). Nótese que cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial y = a x (figura 1.7) no está acotada superiormente. Es decir, a x crece sin límite al aumentar el valor de la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es, a x tiende a cero, cuando x decrece indefinidamente. Del mismo modo, cuando la base a < 1, la función exponencial y = a x no está acotada superiormente. Así, a x crece sin límite, cuando la variable x toma valores mas pequeños y, a x tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes. El hecho de ser la función exponencial a x con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica). En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva.

Figura 1.7

Figura 1.8

Observación. - Cuando a = e, siendo e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284…., la función exponencial ex se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) = e x .

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6.2.3. La función logarítmica La igualdad N = a x, donde N es un número real y a x, es una expresión exponencial; da lugar a dos problemas fundamentales: i. ii.

Dada la base a y el exponente x, encontrar N (Potencia). Dados N y a, encontrar x (Logaritmo).

El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos, aplicando las leyes de los exponentes. Para el segundo siempre existe un número real x tal que N = a x, cuando N y a son reales positivos y a  1. Lo anterior da lugar a la siguiente definición: Definición.- Sea a un número real positivo constante, a  1 y, sea x cualquier real positivo, entonces: y = log a x  ay=x La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base a  1, denotada por y = log a x ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número log a x, se llama logaritmo de x en la base a. La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que: el logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos. Propiedades de los logaritmos Si a > 0, y b es cualquier número real positivo, x e y reales positivos, entonces: 1. log a (a b) = a log a b = b. 2. log a a = 1 3. log a 1 = 0 4. log a (x y) = log a x + log a y

x 5. log a   = log a x – log a y y

6. log a ( x n) = n log a x ; n  R.

7. Cuando a > 1, si 0 < x < y , entonces, log a x < log a y. Es decir, la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio. 8. Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y, entonces, log a x > log a y. Esto es, la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio. 9. Para todo número real yo, existe un único número real xo tal que log a xo = yo. Esta propiedad indica que la función logarítmica es inyectiva. 10. log b x =

log a x ; b  1. log a b

11. log a x = log a y  x = y

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12. Si log b m = x , y,   0 , entonces, log  m  = x. (Invarianza) b Demostración. Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior. A manera de ilustración, se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el estudiante. 1. Sea: y = log a (a b). De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 de las funciones exponenciales, se tiene: y = log a (a b)  a y = a b  y = b Esto es:

b= log a (a b)

Nuevamente por definición se tiene: Es decir:

y = log a b  a y = b

a log a b = b

De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que :

…(1)

… (2 ).

log a (x b) = a log a b .

4. Sea:  = log a x y  = log a y, entonces:

log a x =   a  = x

… (1)

log a y =   a  = y

… (2)

Multiplicando miembro a miembro:

a  a  = x y  a    = x y  log a (x y) =  +  Es decir:

log a (x y) = log a x + log a y.

7. Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean:  = log a x y  = log a y. Se prueba que  <  . En efecto, si    , y como a > 1, se tendría, por la propiedad 7 del teorema de las propiedades de las funciones exponenciales que a   a  , es decir, x  y que contradice la hipótesis. Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1. Observaciones. a) La igualdad log a (a b) = b, dada en la propiedad 1, es también válida para b < 0 . b) Las propiedades 7 y 8 de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades 7 y 8 de los exponentes, ponen de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones 28 Apuntes Universitarios de Calculo I

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exponenciales y logarítmicas en una misma base. Es decir, si una de ellas es continua y creciente (o continua y decreciente), la otra también lo es. c) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número e (número de EULER). Los logaritmos de base e son llamados logaritmos Naturales o Neperianos y se denotan por ln, o simplemente L. Sin embargo, los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la práctica son los correspondientes a los de base 10, los cuales son llamados logaritmos decimales o vulgares y se denotan por log 10 o simplemente, log x. 6.2.4. Gráfica de la Función Logarítmica En las figuras 1.9 y 1.10, aparecen las gráficas de las funciones y = log 2 x  y = log 1/2 x, en concordancia con las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior. En la figura 1.11, se han trazado conjuntamente las curvas: y = ex  y = ln (x). Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación b). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x. Ejercicios para domicilio: Grafica las siguientes funciones: 1. 5.

y = ln(x2 – 4) y=ln(x2 + 1)

2. 6.

9.

y = – ex

10.

13.

y = x.lnx

14

y = ln(x2 – 6x + 8) y = ln(x2)

3. 7.

y = x.e–x y = ln|x|

y = 2x

11.

y = x.ex 12

y = x2 exp(–x2)

15

y = 2 x + 2 –x

Figura 1.9. y = log 2 (x)

4. 8.

y = ln(x2 – 5x + 6) y = e–x y = 2–x

Figura 1.10. y = log 1/2 (x)

29 Apuntes Universitarios de Calculo I

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y = ex

y = ln(x)

Figura 1.11 6.3. Las funciones hiperbólicas y sus inversas 5.3.1- Funciones hiperbólicas. Las funciones hiperbólicas y sus gráficas, se presentan así: Seno Hiperbólico: f (x) = sh (x) =

e x  ex , x  R. 2

Figura 1.12. Función sh (x) Coseno hiperbólico: f (x) = ch (x) =

e x  ex , x  R. 2

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Figura 1.13. Función ch (x) Tangente hiperbólica: f (x) = tgh (x) =

e x  ex e x  e x

, x  R.

Figura 1.14. Función tgh (x) Cotangente hiperbólica: f (x) = ctgh (x) =

e x  ex e x  ex

, x  0.

Figura 1.15. Función ctgh (x)

31 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Secante hiperbólica: f (x) = sech (x) =

2 e  e x x

, x  R.

Figura 1.16. Función sech (x) Cosecante hiperbólico: f (x) = csech (x) =

2 e x  e x

, x  0.

Figura 1.17. Función csech (x) Propiedades: 1).- Si: sh (x) = 0  x = 0 y cosh (x) = 1  x = 0 2).- Las funciones: f (x) = sh (x) ; f (x) = tgh (x);

f (x) = ctgh (x) y f (x) = csch (x)

Son funciones impares, es decir: f (–x) = – f (x) y, por tanto sus gráficas son simétricas respecto al origen. 3).- Las funciones:

f (x) = ch (x) y

f (x) = sech (x)

Son funciones pares, es decir: f (–x) = f (x) y, por tanto sus gráficas son simétricas respecto al eje y.

32 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Identidades hiperbólicas.- Las funciones hiperbólicas, verifican ciertas identidades, similares a las que satisfacen las funciones circulares. La identidad fundamental de la trigonometría hiperbólica es: ch ² (x) – sh ² (x) = 1 De esta identidad, se deducen las siguientes expresiones: sech ² (x) + tgh ² (x) = 1 ctgh ² (x) – csech ² (x) = 1 sh (x ± y) = sh (x) ch (y) ± ch (x) sh (y) ch (x ± y) = ch (x) ch (y) ± sh (x) sh (y) sh (2x) = 2 sh (x) ch (x) ch (2x) = ch ² (x) + sh ² (x) tgh (2x) =

2tgh( x) tgh 2 ( x)  1

Observación: De las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico se infiere que los valores de estas funciones están relacionados a las coordenadas de los puntos de una hipérbola equilátera (Figura 1.17), de manera similar a la que los valores de las correspondientes funciones circulares están relacionados a las coordenadas de los puntos de la circunferencia trigonométrica. 6.3.2. Funciones hiperbólicas inversas.

x

Figura 1.18

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Como hemos visto, en toda función hiperbólica la variable dependiente y se vincula a la variable independiente x a través de expresiones exponenciales de la forma e  x , donde x recibe el nombre de argumento de la función hiperbólica. Para determinar la función inversa de una función hiperbólica, primeramente se deben intercambiar las notaciones de x por y, y recíprocamente de y por x y, luego despejar el exponente de la ahora variable y; así tenemos: Para Para Para Para Para Para

y = sh (x) y = ch (x) y = tgh (x) y = sech (x) y = cosech (x) y = ctgh (x)

     

x = sh (y), de donde se obtiene: y = arg sh (x) x = ch (y), de donde se obtiene: y = arg ch (x) x = tgh (y), de donde se obtiene: y = arg tgh (x) x = sech (y), de donde se obtiene: y = arg sech (x) x = cosech (y), de donde se obtiene: y = arg cosech (x) x = ctgh (y), de donde se obtiene: y = arg ctgh (x)

Ejercicios para domicilio 1. Determina, para cada función hiperbólica inversa, su dominio 2. Halla, para cada función hiperbólica inversa, una expresión algebraica obtenida a partir de la definición de cada una de la correspondiente funcione hiperbólica. 7.- FUNCIONES PARES Y FUNCIONES IMPARES Definiciones i)

Una función y = f (x) se dice función par si para todo x del dominio se verifica: f (– x) = f (x).

ii)

Una función y = f (x) se dice función impar si para todo x del dominio se verifica: f (– x)= – f (x)

Propiedades 1. Las funciones pares son funciones simétricas respecto del eje de ordenadas. 2. Las funciones impares son funciones que gozan de una simetría central respecto del origen de coordenadas. Ejercicios para domicilio: Estudia la paridad de las siguientes funciones: 1)

f (x) = x2 – 1; 2)

5)

f (x) =

9)

f (x) = tg (x) 10)

1 ; x

6)

f (x) = x3 + 3; f (x) = f (x) =

x3 x2 3

;

e x  ex 2

x2  4 ; 4) 4

3)

f (x) =

7)

f (x) = sen(x); 8)

11)

f (x) =

f (x)= x f (x) = cos(x)

e x  e x 2

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8.- CRECIMIENTO Y ACOTACIÓN DE FUNCIONES Definiciones a) Una función y = f (x) se dice monótona creciente si para dos puntos cualesquiera x1 y x2, pertenecientes al dominio de f, tales que x1 0, se denomina vecindad o entorno del punto xo, al intervalo abierto que tiene por extremos los números xo – h y xo + h, y se denota:

N (xo, h) = {x / xo – h < x < xo + h} O también:

N (xo) =]xo – h, xo + h[

Es decir que, por definición una vecindad o entorno de un punto, es un intervalo abierto. El número positivo h se denomina radio de vecindad o radio del entorno. 

Vecindad con excepción o entorno reducido

Se define por vecindad con excepción o entorno reducido de un punto xo, al conjunto que resulta de la diferencia entre la vecindad del punto xo y el conjunto que contiene a dicho punto, y se denota: N *(xo, h) = N (xo) - {xo} = N *(xo) 1.2 Vecindades laterales La vecindad izquierda de un punto xo, está determinada por el intervalo cuyos extremos son los puntos xo – h y xo y se denota:

N (x o ) =] xo – h, xo] La vecindad derecha de un punto xo, está determinada por el intervalo cuyos extremos son los puntos xo y xo + h y se denota:

N (x o ) = [xo, xo + h [ La vecindad con excepción izquierda de un punto xo, está determinada por el intervalo cuyos extremos son los puntos xo – h y xo y se denota:

N *(x o ) =]xo – h, xo[ La vecindad con excepción derecha de un punto xo, está determinada por el intervalo cuyos extremos son los puntos xo y xo + h y se denota:

N* (x o ) = ]xo, xo + h[ 2. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE Para el caso de una función y = f (x), en la que la variable independiente es un número real, las posibilidades de movimiento a lo largo del eje de abscisas son tres: 37 Apuntes Universitarios de Calculo I

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a) La variable x se dirige hacia un punto fijo del eje de abscisas (x0), por lo que se debe observar el comportamiento de la función cuando x se acerca a ese punto. b) Cuando la variable x tiende hacia +, se puede estudiar el comportamiento de la función. c) Cuando la variable x tiende hacia -, se puede estudiar el comportamiento de la función. Ejemplo: Nos planteamos analizar cuál es el comportamiento de la función y = x2 en el caso de que la variable independiente x se acerque a 2

Figura 2.1 Podemos observar el comportamiento de f (x) construyendo una tabla de los valores que asume la variable x en las vecindades izquierda y derecha de 2, es decir:

x=1 y=1

1.5 2.25

x  N *(2  ) 1.8 1.9 3.24 3.61

1.99 3.96

1.999 2.001 3,996 4,004 y  N *(4)

2.01 4.04

x  N *(2  ) 2.1 2.2 4.41 4.84

2.5 6.25

3 9.00

Observamos, en este caso, que el valor de la función y se acerca al valor de 4. Esto se expresa diciendo que si x  2  f (x)  4 o que el valor de y = 4 es el límite de f (x) cuando x tiende a 2 y se denota:

lim f (x) = lim x2 = 4 x2

x2

Ejercicios para el aula: Calcula por el procedimiento anterior los siguientes límites: x2 x2 x  3

b) lim (x2 – 1).

a) lim

e)



x2



lim x 5 x  1 x 

c)

f)

lim x2

lim

x 

ln 2  x  x

g)

x2 x lim x 

lim x2

d)

x2

x3 x 1 38

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Observación: Estudiar el límite de una función, en cualquiera de los casos anteriores, por el procedimiento utilizado, además de ser un trabajo pesado, no tiene mucha fiabilidad. Solo te puede servir para intuir cual será el límite. 3 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Se dice que el límite de una función f (x) es un el valor b cuando x se aproxima al valor de x0, y se denota: lim f ( x ) = b xx0

Si para cada entorno N (b) en el rango de f existe, en el dominio de f, un entorno N *(x0), tal que:  x  N *( x0 )  f (x)  N ( b ) Definición que puede interpretarse en la figura 2.2.

Figura 2.2 4 LÍMITES LATERALES 

Se dice que el número b es el límite por la izquierda de una función y = f (x) cuando x  tiende a x0, si x varía en N * ( x 0 ), y se denota: lim f ( x) = b x x0

Es decir, que b es el valor al que tiende f (x) para puntos muy próximos a x0, pero menores que éste valor. 

Se dice que el número b es el límite por la derecha de una función y = f (x) cuando x  tiende a x0, si x varía en N * ( x 0 ), y se denota:

lim f ( x) = b x  x0

Es decir, que b es el valor al que tiende f (x) para puntos muy próximos a x0, pero mayores que éste valor. 39 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Ejemplos: Ejemplo 1.- En el ejemplo siguiente los límites por la derecha y por la izquierda coinciden:

lim( 2 x  1) = lim( 2 x  1) = 7 x 3

x 3

Ejemplo 2.- En el siguiente ejemplo los límites laterales no coinciden. Sea la función:

 x 2  1 x  2  x  1 x  2

f (x) = 

La gráfica de esta función se muestra en la figura 2.3.

Figura 2.3 El límite de una función en un punto existe sí y solo sí los límites laterales son iguales. Proposición de los límites funcionales Si el lim f ( x ) existe, entonces éste es un valor único y finito; esto se puede expresar x x0

también como sigue:

lim f ( x )  b   x x0  b  b' Si lim f ( x )  b'   x  x0  Si

Ejercicios para resolver en el aula: 3  x si x  2 1.- Dada la función: f (x) =   0 si x  2 Hallar: lim f (x); lim f (x); x2

x 2 

y lim f (x). x2

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2.- Calcula el límite de las siguientes funciones (si existe) en los puntos determinados. a) c)

e)

 x 2 f (x) =  2 x  1 x 1 f (x) =  x 1

si si si si

x 1 x 1

2 x  3 si x  2 f (x) =  en xo = 2  x  1 si x  2 x  0 2 x  1 si x  1 d) f (x) =  en  0  x0  1  x  2 si x  1

en xo = 1

b)

x 1 x 1 en  0 x 1  x0  4

 x 2  x si x  0 f (x)=  en xo=0  x  1 si x  0

3.- Dada la función: f (x) =

f)

x  1  x  1 si  x  1  f (x) =  0 si  1  x  1 en  0  x0  1 2 x  3 si x 1 

1

,cuya gráfica se muestra en la figura 2.4; calcular según la x2 1 gráfica lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) y lim f ( x) . x 1

x 1

x 

x  

x0

Figura 2.4

 1  x  4.- Dada la función f ( x)   x  2  

x0

si

si 0  x  2 , en su gráfica determinar: si x2

lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) y lim f ( x) .

x 0 

x 0

x 

x  

x 2

5 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE FUNCIONES 5.1 Propiedades fundamentales de los límites funcionales.Ya se vio en el numeral 2.3 que: f (x) – b<   lim f ( x ) = b … (1) x x0

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x – x0< h

Y que también:

… (2)

Donde h es el radio de la vecindad con excepción de x0 en el dominio de f y que  es el radio de la vecindad de b en el rango de dicha función. La expresión lógica (1) expresa que el primer miembro: f (x) – b<  es equivalente al segundo miembro lim f ( x) = b, es decir que, mediante algunas operaciones lógicas x x0

aplicadas en el primer miembro, se puede llegar a segundo miembro. Siguiendo esta lógica, se analiza el primer miembro cuando x  x0, es decir:

lim

lim 

f( x)b <

x x0

… (3)

x x0

Como x  x0 < h, si x  x0 entonces resulta que lim h = 0 y por lo tanto: x x0

lim  = 0

… (4)

x x0

Es decir: El límite de un radio de vecindad es cero. Estas cantidades pequeñas cuyos límites son cero, definen un concepto fundamental del Cálculo que reciben el nombre de infinitésimos, cantidades infinitesimales o simplemente diferenciales, que da origen al nombre de esta rama de las matemáticas: Cálculo Infinitesimal o Cálculo Diferencial. De las expresiones (3) y (4) resulta:

lim

f( x)b < 0

x x0

Pero, el valor el valor absoluto f ( x )  b , por definición no puede ser negativo, luego resulta:

lim

f( x)b = 0

x x0

Y más propiamente:

lim x x0

 f ( x )  b = 0

… (5)

Comparando esta expresión con el segundo miembro de la proposición (1), debe admitirse que: … (6) lim  f ( x )  b = lim f(x) – lim b x x0

x x0

x x0

Es decir: El límite es una operación distributiva respecto de la suma algebraica. Luego escribirse: lim f(x) – lim b = 0 x x0

x x0

O bien:

lim f(x) = lim b x x0

x x0

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Comparando nuevamente esta expresión con el segundo miembro de la proposición (1) y para admitir la equivalencia de ambos miembros, debe admitirse que:

lim b = b

… (7)

x x0

Es decir: El límite de una constante es la misma constante. De todo el anterior desarrollo lógico, se desprenden las siguientes tres propiedades fundamentales de los límites funcionales: i)

El límite de un radio de vecindad es cero, es decir: lim  = 0

ii)

El límite es una operación distributiva respecto de la suma algebraica. Es decir, si f y g dos funciones, tales que lim f(x) = A y lim g(x) = B:

x  x0

x  x0

x  x0

lim  f  g  x  = lim f  x   lim g  x  = A  B

x  x0

iii)

x  x0

x  x0

El límite de una constante es la misma constante, es decir:

lim b = b x  x0

5.2 Propiedades de los Infinitésimos. Como un hito importante, hay que destacar las siguientes características de las operaciones con infinitésimos: i) ii) iii) iv) v)

La suma algebraica de dos infinitésimos es otro infinitésimo del mismo orden de infinitud. La suma de un infinitésimo y una cantidad finita es la misma cantidad finita, ya que todo infinitésimo tiene valor despreciable frente a toda cantidad finita. El producto de dos infinitésimos es un infinitésimo de segundo orden de infinitud, es decir una cantidad infinitamente menor. El producto de un infinitésimo por una cantidad finita es un infinitésimo del mismo orden de infinitud. El cociente de dos infinitésimos del mismo orden de infinitud es una cantidad finita.

5.3 Propiedades suplementarias de los límites funcionales. a) Límite del un producto de dos funciones. Sean f y g dos funciones, tales que:

lim f(x) = A x x0



lim g(x) = B x x0

Y cuyas gráficas se representan en la figura 2.5. De la misma se puede extraer: f (x) = A +  (x) 43 Apuntes Universitarios de Calculo I

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g(x) = B +  (x) Donde  (x) y  (x) son infinitésimos de primer orden. Multiplicando miembro a miembro las anteriores igualdades, resulta: f (x) g(x) = (A +  (x) ).( B +  (x) ) De donde: f(x) g(x) = A.B + A.  (x)+  (x). B +  (x)  (x) Tomando límites en ambos miembros cuando x  x0 y aplicando la segunda propiedad fundamental de los límites en el segundo miembro, se obtiene:

lim [f(x) g(x)] = lim (A.B) + lim A. (x) + lim  (x). B + lim  (x)  (x) x x0

x x0

x x0

x x0

x x0

Figura 2.5 Por la tercera propiedad de fundamental de los límites y por las propiedades de los infinitésimos, resulta: lim (A.B) = A.B x x0

lim A.  (x) = 0 x x0

lim  (x). B = 0 x x0

lim  (x)  (x) = 0 x x0

Luego, la anterior igualdad se reduce a: 44 Apuntes Universitarios de Calculo I

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lim [f(x) g(x)] = A.B

x  x0

A = lim f(x)

Pero:



B = lim g(x)

x x0

x x0

Resultado finalmente:

lim [f(x) g(x)] = lim f(x). lim g(x) x x0

x x0

x x0

Es decir: El límite de un producto de dos funciones convergentes es igual al producto de los límites de cada una de ellas. b) Límite de un factor constante por una función. Sean f una función convergente tal que: lim f(x) = A, y K una constante real, de modo que se tiene el producto: K.f(x), al que se le x x0

aplica el límite cuando x  x0 y la propiedad correspondiente, obteniéndose:

lim K.f(x) = lim K. lim f(x) x x0

x x0

x x0

Y, por la tercera propiedad fundamental de los límites, resulta:

lim K.f(x) = K. lim f(x) x x0

x x0

Es decir: un factor constante puede introducirse o extraerse del símbolo “ lim ” sin que se x  x0

altere el valor de la expresión. c) Límite de un cociente de funciones.- Sean f y g dos funciones, tales que:

lim f(x) = A Haciendo:

lim g(x) = B  0



x x0

x x0

f ( x) = F(x) y despejando f(x), se obtiene: g ( x) f(x) = F(x).g(x)

Tomando límites cuando x  x0 y, aplicando la anterior propiedad de los límites, resulta:

lim f(x) = lim F(x). lim g(x) x x0

x x0

x x0

Despejando lim F(x), se obtiene: x x0

lim f ( x)

lim F(x) = x x0

x  x0

lim g ( x) x  x0

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Sustituyendo:

f(x) = F(x), se tiene: g( x ) lim f ( x) f(x) x  x0 = lim lim g ( x) x x0 g ( x ) x  x0

Es decir: El límite de un cociente de dos funciones convergentes es igual al cociente de los límites de cada una de ellas, si el denominador no es nulo. Como se ha demostrado, los límites son distributivos respecto de la suma, del producto y cociente de funciones y, como estas son operaciones que dan origen a las otras operaciones algebraicas, en general se puede enunciar que los límites funcionales son distributivos respecto de todas las operaciones algebraicas. 6 LÍMITES FUNDAMENTALES. Se presentan los siguientes casos: sen( x) =1 x x 0

i) lim

 ii) lim 1  x  

y

x

1  = e = 2.71828… x

sen( x) = 1.- Se considera la circunferencia trigonométrica de la figura 2.6, en x x 0 la cual el arco QT = x, el segmento PQ = sen(x) y el segmento TN = tg(x)

Caso i) lim

Figura 2.6 Comparando las líneas de la circunferencia trigonométrica dada en la figura 2.6, se tiene: sen(x) < x < tg(x) 46 Apuntes Universitarios de Calculo I

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O también:

sen(x) < x <

sen( x ) cos( x )

Dividiendo entre sen(x), se obtiene: x 1 < sen( x ) cos( x ) Tomando límites cuando x  0, resulta: x 1 lim 1 < lim < lim x 0 x  0 sen(x ) x 0 cos( x ) De donde resulta: x 1  lim 1 x 0 sen(x ) De cuya lógica se debe escribir: x lim =1 sen (x) x 0 Y finalmente resulta: sen( x) lim =1 x x 0 Esta expresión puede tener otras formas, de acuerdo a las identidades trigonométricas que se relacionan con el sen (x), por ejemplo: tg ( x) lim =1 x 0 x

1<

 Caso ii) lim 1  x  

x

1  = e = 2.71828… x

Se parte del desarrollo del binomio de Newton: x

2

3

x( x  1)( x  2)  1   1  1  x( x  1)  1  1 1   = 1 + x   +   +   +… +   2!  x  3!  x x  x x Efectuando las operaciones indicadas en el anterior desarrollo, se obtiene: x

x

x

1 1 1 1 2  1 1 1   = 1 + 1 + (1 - ) + (1 - )(1 - ) + … +   2! x 3! x x  x x Tomando límites cuando x   , y aplicando las propiedades de los límites, resulta: x

1 1 1 1 1  1 lim 1   = 2 + + + + + +… x 2! 3! 4! 5! 6! x  

Finalmente: x

 1 lim 1   = 2.71828… = e x x   Esta expresión puede también escribirse de esta otra forma: 1 x

lim 1 x  = 2.71828… = e

x0

47 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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7 LÍMITES AL INFINITO Una función es divergente cuando su límite es  . Se ilustrarán los siguientes casos de límites al infinito: 1) lim f  x    ó lim f  x    x x 0

2) lim f  x   b

3) lim f  x   

x

x x 0

x 

1

Caso 1: lim f  x    Sea la función: f(x) =

x2

xx0

Para calcular el límite de esta función en el punto x0 = 0, hay que estudiar los valores que toman las imágenes de puntos próximos a cero. y

f(x)=1/x^2

4

3

2

1

x -3

-2

-1

1

2

3

Figura 2.7 De la observación de la gráfica de la función deducimos: Para valores próximos a 0, en la vecindad izquierda de 0 (valores negativos), la función toma valores cada vez mayores. Esto implica que: 1 lim 2   . x 0 x Para valores próximos a 0, en la vecindad derecha de 0 (valores positivos), la función toma valores cada vez mayores. Esto implica que: 1 lim 2   x 0 x Por tanto:

lim

x0

1 x2

f  x   b : Sea la función: y = Caso 2: xlim 

 lim x0

1 x2

 

x , cuya gráfica es la que se muestra en la x 1

figura 2.8. 48 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

Universidad Católica Boliviana San Pablo – Unidad Académica Tarija Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas

Observando la gráfica de esta función, se ve que a medida que x toma valores cada vez mayores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a infinito es 1, es decir: x lim 1 x  x  1 De la observación de la gráfica se deduce que a medida que x toma valores cada vez menores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a -  es también 1, es decir: x lim 1 x  x  1 y

f(x)=x/(x-1)

4 3 2 1

x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4

Figura 2.8 3

f  x    : Sea la función f(x) = Caso 3: xlim 

x , cuya gráfica es la que se muestra en la

figura 2.9. y

f(x)=x^(1/3)

2

1

x -3

-2

-1

1

2

3

-1

-2

Figura 2.9 49 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

Universidad Católica Boliviana San Pablo – Unidad Académica Tarija Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas

Observando la gráfica se ve claramente que cuando x tiende a más infinito, la función también tiende a más infinito. Es decir, a valores cada vez mayores de x, corresponden valores cada vez mayores de la función. Por tanto: lim 3 x   x

Y, cuando x toma valores cada vez menores, la función también toma valores cada vez menores. Por lo tanto: lim 3 x   x 

8. TÉCNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES 8.1 Límites de funciones polinómicas. Una función polifónica tiene la forma general: P(x) = a0 + a1x +a 2x2 + … + anxn El cálculo de su límite se reduce a sustituir la variable x por el valor al que tiende, es decir:

lim P(x) = a0 + a1 x0 +a2 x0 2 + … + an x0 n = b. x x0

El valor que pueda asumir b es función directa del valor al que tiende x. 8.2 Cálculo de límites de funciones racionales

P( x) , donde P(x) y Q(x) Q( x) son polinomios. Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos: P( x) a) Límite de una función racional en un punto finito x0: lim x x0 Q( x) P( x) b) Límite de una función racional en el infinito: lim x  Q( x ) Una función racional es una función que toma la forma: f(x) =

a) Límite de una función racional en un punto finito x0.- Como una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite en un punto finito, se puede aplicar la regla para el cálculo del límite del cociente de dos funciones: lim P( x) x  x0 P( x ) = lim lim Q( x) x x0 Q( x ) x  x0

Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas. Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.

50 Apuntes Universitarios de Calculo I

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a.1) El límite del denominador es distinto de cero: lim Q(x)  0 x x0

Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente. a.2) El límite del denominador es cero: lim Q(x) = 0 x x0

Si el denominador se anula en x0, puede ocurrir que el numerador también se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0. a.2.1. El límite del numerador es también cero: lim Q(x) = 0 y lim P(x) = 0 x x0

x x0

0 0 Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0) = 0 y P(x0) = 0, entonces x0 es raíz P( x) de los polinomios P(x) y Q(x) y por tanto el cociente se puede simplificar. Q( x)

Es este caso se presenta la indeterminación

Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P (x) y Q (x) entre (x - x0) ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados. a.2.2. El límite del numerador no es cero. lim P ( x)

El cálculo del límite del cociente da como resultado:

x x0

0 Para resolver esta situación es necesario estudiar los límites laterales en el punto x0 de la P( x) función f(x) = . Q( x) Si ambos límites laterales son iguales, entonces el límite de la función tiende hacia  o hacia  , o si ambos límites no son iguales, en ambas situaciones, la función no tiene límite.

Ejemplos: Cálculo de límites de funciones racionales cuando x  x0 Ejemplo 1.- Calcular el límite de la función f (x) = 3

Resolución:

2x3 1 3x 2  4

cuando x  1

lim (2 x 3  1)

1 = x1 = 2 7 x 1 3 x  4 lim (3 x  4)

lim

2x 1 2

x 1

Ejemplo 2.- Calcular el límite de la función f (x) =

x 3  2 x 2  6 x  12 x 2  3 x  10

cuando x  2

Resolución:

51 Apuntes Universitarios de Calculo I

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lim

x 3  2 x 2  6 x  12 2

x 2



lim x 3  2 x 2  6 x  12

=

x 2



2

lim x  3 x  10

x  3 x  10

x 2



 =

0 3  20 2  60  12 2

=

0  30  10

0 0

Esta indeterminación se resuelve factorizando numerador y denominador la diferencia de la variable x menos el límite al que tiende, en este caso, la diferencia (x- 2). Es usual, para efectuar esta factorización, aplicar la regla de Ruffini, obteniéndose la descomposición de los polinomios: P(x) = x3 - 2x2 - 6x +12 y Q (x) = x2 + 3x -10. Descomposición factorial de P(x): 1

-2 2x1 = 2 0

2 1

-6 2 x0 = 0 -6

12 2x(-6) = -12 0

P(x) = x3 - 2x2 - 6x +12 = (x - 2)(x2 - 6) Descomposición factorial de Q(x): 1

3 2x1 = 2 5

2 1

Q (x) = x2 + 3x –10 = = (x – 2)(x + 5)

–10 2 x5 = 10 0

El límite del cociente P(x)/Q(x) resulta:

lim x 2

x 3  2 x 2  6 x  12 2

=

x  3 x  10

lim ( x  2)( x 2  6)

lim ( x 2  6)

x 2

x 2

lim ( x  2)( x  5)

=

x 2

lim ( x  5)

=

2 7

x 2 2

Ejemplo 3.- Calcular el límite de la función f (x) =

3x  4 x cuando x  0 x

Resolución:

lim (3 x 2  4 x) 3x 2  4 x 0 x 0 lim = = Indeterminación x 0 lim ( x) x 0 x 0

Se factoriza x en el numerador y se simplifican numerador y denominador, obteniéndose: lim (3x  4)( x) 3x 2  4 x lim = x 0 = lim (3x – 4) = – 4 x lim ( x) x 0 x 0 x 0

Ejemplo 4.- Calcular: lim

1

x 3 ( x  3) 2

52 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Resolución:

lim

1

x 3

2

=

1 = + 0

( x  3) Para confirmar este valor, se estudian los límites laterales de la función en el punto x0 = 3. 1 lim =+  x 3 ( x  3) 2 1 lim =+   x 3 ( x  3) 2 1 1 Como los límites laterales son iguales, lim = = + 0 x 3 ( x  3) 2 Ejemplo 5.- Calcular el límite de la función f (x) =

1 cuando x  1 x 1

Resolución: 1 1 = = 0 x 1 ( x  1)

lim

Se estudian los límites laterales: 1 1 = = + 0 x 1 ( x  1)

lim

1 1 = = - 0 x 1 ( x  1)

lim



Como los dos límites laterales son distintos, la función f(x) =

1 , no tiene límite cuando ( x  1)

x tiende al valor de 1. Ejercicios para resolver en el aula: Calcula los siguientes límites: 1) 3)

lim

x 2 x 2  3 x  2 2

lim x 5

5)

lim xa

7)

x2  4

lim h 0

x  3 x  10 x 2  25 x 2  (1  a ) x  a x3  a 3

 x  h 4  x 4 h

2) 4)

lim

x3 1

x  1 x 2  1 2

lim x  1

x 1

x 2  3x  2

6)

 1 3   lim   x 1  1  x 1  x 3 

8)

lim h 0

xh  x h

b) Límite de una función racional en el infinito Las reglas de cálculo de límites de funciones cuando x   , son las mismas que las empleadas para límites de sucesiones.

53 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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El límite de una función racional cuando x   es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y denominador. P(x) = a o + a 1 x + a 2 x2 +… + a n xn

Si:

Q(x) = b o + b 1 x + b 2 x2 +… + b m xm

a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n a a P( x) lim = lim = lim n x n m = n lim xn-m 2 m bm x  x  Q( x ) x  b  b x  b x  ...  b x x  b m 0 1 2 m El valor de este límite depende del valor que tengan n y m: 

Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el límite es   , dependiendo de que los signos de los cocientes an y b m sean iguales o distintos.



Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m), el límite es a igual al cociente n . bm



Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n < m), el límite es cero.

Ejemplos: Cálculo de límites de funciones racionales cuando x   Ejemplo 1.- Calcular el límite de la función f (x) =

3x 2  2 x  5 cuando x   x4

Resolución: En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador, 1, por tanto el límite es  . 3x 2  2 x  5 3x 2 = lim = lim 3x = +  x4 x  x  x x 

lim

Ejemplo 2.- Calcular el límite de la función f (x) =

x3  6  x2  4

cuando x  

Resolución: El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de mayor grado tienen signos distintos, por tanto:

lim

x3  6

x   x

2

= lim

4

x3

x   x

2

x =  x   1

= lim

54 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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Ejemplo 3.- Calcular lim

 3x 2  2 x  5 4x 2  4

x 

Resolución: El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por tanto:

lim x 

Ejemplo 4.- Calcular lim x 

 3x 2  2 x  5 2

4x  4

= lim

 3x 2

x 

4x

2

=

3 4

x 2  x 1 x 3  4x  3

Resolución: El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por tanto: 1 x 2  x 1 x2 lim = lim = lim = 0 3 3 x  x  4 x  3 x  x x  x Ejercicios para resolver en el aula: Calcula los siguientes límites: 1)

lim x 

3)

lim x 

5)

9)

3x 3  x  1 ( 2 x  3) 3 (3 x  2) 2 x5  5 2x 2  x  3

2)

lim

( x  1) 2

x 2 1 x 2  5x  3 lim 3x  7 x  x 

4) 6)

 1 2 3 x 1   lim     ...  2 2 2 x   x x x x2 

 1  3  5  ...  (2 x  1) 2 x  1  lim    x 1 2  x  

8)

lim

1 1  1 1 lim   2  3    x  x   2 2 2 2 

10)

lim x 

7)

(2 x  3)(3x  5)(4 x  6)

3

x  8x  5

x 

2 x 1  3 x 1 2 x  3x

 1  22  32    x 2 lim  x  x3 

  

8.3 Cálculo de límites de funciones irracionales Una función es irracional cuando la variable independiente aparece bajo el signo de raíz. Son funciones irracionales las siguientes: x 1 x f (x) = x  3 ; g (x) = 3x – x 2  5 ; h (x) = ; k (x) = ; etc. x x El modo de calcular el límite de una función irracional se torna análogo al cálculo del límite de una función racional si se hace un cambio de variable con el fin de hacer desaparecer los radicales o si se utiliza la multiplicación por expresiones conjugadas.

55 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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A.- Cálculo del límite de una función irracional en un punto x0 finito.- Estos límites se resuelven, en general, como si de una función racional se tratara, utilizando cualquiera de las operaciones enunciadas en el anterior párrafo. En el caso de que calculando el límite aparezca una indeterminación, ésta suele resolverse multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador o del denominador. Ejemplos: Cálculo de límites de funciones irracionales cuando x  x0

x 1 x 1 x  1 Resolución: Resolveremos el ejercicio, utilizando las dos formas indicadas anteriormente. x 1 1 1 0 lim = = , Indeterminación 11 0 x 1 x  1 a) Por multiplicación con la expresión conjugada: Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por el conjugado del numerador x +1, obteniéndose: Ejemplo 1.- Calcular lim

x 1 x 1 x 1 x 1 = lim = lim = x 1 x  1 x 1 x  1 x  1 x 1 ( x  1)( x  1) 1 1 1 = lim = = x 1 x  1 1 1 2 b) Por cambio de variable: En este caso hacemos x  t , luego si x  1  t  1; resultando:  t  1 = x 1 t 1 1 1 = lim 2 = lim = lim lim x1 x  1 t 1 t  1 t 1  t  1 t  1 t 1 t  1 2 lim

Ejemplo 2.- Calcular lim x5

x 5 x 5

Resolución: x 5 5 5 0 = = , indeterminación x5 x 5 55 0 a) Por multiplicación con la expresión conjugada: Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por x + 5 , obteniéndose:

lim

lim x5

= lim x5

x 5 = lim x5 x 5 x 5

 x  5 

x 5



x 5 x 5

= lim x5

x 5

= x 5 1 1 = x 5 2 5

b) Por cambio de variable: En este caso hacemos x  t , luego si x  5  que t  5 ; resultando: t 5 1 x 5 t 5 1 = lim 2 = lim = lim = lim x5 t 5 t  5 t 5 t  5 t  5 t 5 t  5 x 5 2 5











56 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Ejercicios para resolver en el aula: Calcula los siguientes límites:

x  1 1

lim

1)

lim

3)

lim

5)

2 x3

x 7

x 8

x 8 3

lim

2)

x 0 3 x  1  1

lim

4)

x 1 3

x 2

3 5  x

x 2  49 x 1 x 1

1 x  1 x x x 0 lim

6)

x 4 1  5  x

B.- Cálculo del límite de una función irracional en el infinito

 

B.1. Límites indeterminados de la forma

Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación

 , ésta se 

resuelve aplicando la regla dada para la misma situación en funciones racionales. Ejemplos: Cálculo de límites indeterminados de la forma

 

Ejemplo 1.- Calcular el límite de la función definida por: f (x) =

4x 3  2

cuando x  

x 3 Resolución:

4x 3  2

 , indeterminación.  x  x 3 Haciendo uso de la regla mencionada, resulta: 1 Grado del numerador = 3, grado del denominador = . Por tanto: 2 3 4x  2 = lim x  x 3

lim

=

Ejemplo 2.- Calcular el límite de la función definida por: f (x) =

5x  3

cuando

x 2  3x  1

x  Resolución: Calculando el límite del numerador y del denominador se obtiene: 5x  3  = , indeterminación lim  x  x 2  3x  1 Estudiando los grados: Grado del numerador = 1; grado del denominador = 1 (puesto que x 2  x ). Por lo tanto, el límite es: 5x  3

lim x 

x 2  3x  1

=

5 1

=5 57

Apuntes Universitarios de Calculo I

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x 5  3x  6 3 x x  4 x  2

Ejemplo 3.- Calcular lim

x 5  3x  6

Resolución: lim x 

3

=

x  4x  2

Grado del numerador =

 , indeterminación 

5 5 ; grado del denominador = 3, como < 3; por lo tanto, el límite 2 2

x 5  3x  6

lim

es:

x3  4x  2

x 

=0

B.2. Límites indeterminados de la forma  -  Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación  -  , generalmente se resuelve multiplicando y dividiendo la función por su conjugada. Ejemplos: Cálculo de límites indeterminados de la forma    Ejemplo 1.- Calcular el límite de la función y =

x 2  3 x – x, cuando x  

Resolución:

lim ( x 2  3 x – x) =  -  , Indeterminación. x 

x 2  3 x + x, se tiene:

Multiplicando y dividiendo la función por su conjugada

 x 2  3 x  x  x 2  3 x  x       

2

lim ( x  3 x – x) = lim x 

= lim

x 2  3x  x 2 x 2  3x  x

x 

x 2  3x  x

x 

3x

= lim x 

= lim

x 2  3x  x

Ejemplo 2.- Calcular el límite de la función y =

x 

x3 –

=

3

=

x 2  3x  x x

3 2

x  3 , cuando x  

Resolución:

lim ( x  3 –

x  3 ) =  -  , Indeterminación.

x 

Se multiplica y divide por su conjugado

lim x 



x 3  x 3



x 3 +

x3  x3

x 3  x 3

x  3 , obteniéndose:

=

lim x 

x  3  x  3

=

x 3  x 3

58 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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6

=0 x 3  x 3 Ejemplo 3.- Calcular el límite de la función f(x) = x  1 - x, cuando x   lim

x 

Resolución:

lim ( x  1 – x) =  –  , Indeterminación. x 

x  1 + x, obteniéndose:

Se multiplica y divide por su conjugada lim



x 1  x



x 1  x

=

x 1  x

x

x 1  x 2

lim x

x 1  x

 x 2  x 1

= lim x

=– 

x 1  x

Ejercicios para resolver en el aula: Calcula los siguientes límites: 1) lim

x 4  16

x7  x2  1

2) lim

x 2 x 3  8

x  2 x 7  x 3  300

4) lim  x 2  2 x  3  x 2  2 x  3   x  

6)

3) lim

 x  1100 lim x  2 x  50 100

x3  1

x  x 2  1

x  81

5) lim x 81

x 9

x  1x  2 x   x  3 x  4 

cos x x  senx  1

7) lim

8) lim

2

8.4 Cálculo de límites de funciones exponenciales y logarítmicas Ejemplos:

 1 Ejemplo 1.- Hallar lim 1   x x  

x

Resolución: x

 1  1 lim 1   = lim 1   x  x   x  x  

 x ( 1)

  1  x  = lim  1    x  x     

1

… (1)

Haciendo y = -x, se obtiene:  1  x  lim  1    x  x     

1

 1  y  = lim  1    y  y     

1

=

1  1 lim 1   y y  

y

=

1 = e-1 e

Sustituyendo en (1), resulta: x

 1 lim 1   = e-1 x x   59 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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 x 1  Ejemplo 2.- Hallar lim   x  2 x  1  Resolución:

x

x

x

1  x 1   x 1     x  1   x x = lim    = lim    = xlim x  2 x  1   2 x  1 x    2  1  x  x   x

 1 1   e e 1 x lim  = = = =0 x x 1 x   2 1    1  2 e lim  2  1  2   x x   2 x     x 1 Ejemplo 3.- Hallar lim   x   x  1  Resolución:

x

 x   x 1 lim   = lim  x   x  1  x    

x

x  1 x 1  1    x x  = lim  = x  1  x  1  x  1   x  x 

x

 1 lim 1   e 1 x x   = = = e–2 x e  1 lim 1   x x   x

 k Ejemplo 4.- Demostrar que lim 1   = e k (hágalo el estudiante) x x  

Ejercicios para resolver en el aula: Calcula los límites que se indican a continuación: 2  x

x

x

1)

 lim 1  x  

3)

 x 1  lim   x   x  3 

5)

lim

ln( 1  x ) x x 0

6)

7)

1 1 x   lim  ln 1  x  x 0 x

8)

2) x2

4)

 x  lim   x   x  1   e x 1   lim    x x 0   sh ( x)  lim   x 0 x 

lim xln  x  1  ln( x)

x

60 Apuntes Universitarios de Calculo I

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1

9)

 ch( x)  1   lim  x 0 x2 

10)

 1 x lim   x 0 1  x 

8.5 Cálculo de límites de funciones trigonométricas. Ejemplos:  tg (5 x)  Ejemplo 1.- Hallar lim   x  0 x  Resolución:  sen(5 x)     sen (5 x)  cos(5 x)   tg (5 x)   lim  = lim  =  = lim  x  0 x cos(5 x)  x x  0 x  x  0      1  1  sen(5 x)  5sen(5 x)  = lim   = lim   5 = (5 x)  x  0 cos(5 x) (5 x)  x  0 cos(5 x)   1   sen(5 x)    5 lim    = 5 lim  x  0 cos(5 x )  x  0 (5 x )  

1

1

1 x

 sen(2 x)  Ejemplo 2.- Hallar lim   x  x  0 Resolución: 1 x

 sen (2 x)  lim   x  x  0

1 x

 sen(2 x)   = lim  2 (2 x)  x  0

1 x 1 x  sen( 2 x) 

 

= lim 2

x0  lim (1 x )

 lim (1 x )  sen(2 x)  x0  lim =  2 x 0  2 x  0 (2 x)    

1

 (2 x) 

=

=2

Ejercicios para resolver en el aula: Calcula los límites que se indican a continuación: 1)

 sen(5 x)   lim  x  0 sen( 2 x) 

2)

3)

 sen( x)  sen(a )  lim   xa x  a 

4)

5)

 1  cos( x)   lim   x  0 x2 

6)

 x  sen (2 x)   lim  x  0 x  sen (3 x) 

7)

 cos( x)  cos(a)  lim   xa x  a 

8)

 1  sen ( x)  1  sen( x)   lim   x x  0 

 1  cos( x)   lim  x  0 x2   tg ( x )  sen ( x)   lim  x  0 x3 

61 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Ejercicios para resolver en domicilio: Calcula los límites que se indican:

1. lim

( x  1)( x  2)( x  3) x3

x 

 x 

4. lim

7. lim

x 1 

5. lim

8. lim

x 1 x 4

 6 x 3  13x 2  12 x  4

13.

x 2  3x  10 x 2  25 x 5

16.

lim

19.

22.

25.

x2  x

x 1 x 3

17.

 3x  4

 1 3   20. lim   x 1  1  x 1  x 3   x 1   lim  x 1 x  1 

lim x0

6.

23. lim

4

ax a x

2x 2  x  3 x3  8x  5

3

2

x2  4

11. lim

x 

12. lim

x2 x 2  3x  2

x 2  3x  2 4 x 1 x  4 x  3 lim

lim x7

5 x

18.

lim

x 3

29.

x2  x x 0 x  x

xa  x

lim

lim

x 2  ( a  1) x  a x3  a 3 x 1

x 1 3 x  1

x 2  2x  6  x 2  2 x  6 x 2  4x  3

24. lim

 x  lim

x 2  2x 2 x2 x  4 x  4

x  49

26.

x3  1

15.

21.

2

x x x

x  1 x 2  1

x a

2 x3

x

9. lim



27.

lim  x 2  5 x  6  x   x  

30.

1  cos x x0 x2

28.

 x 

31.

 senx   lim  x 0 tgx 

32.

1  senx  1  senx  2 33. lim x.sen  x x0 x  x

34.

 sen( x  1)   lim  x 1 x 2  3 x  2 

35.

senx  sena xa x a

lim x  3 1  x 3



x2 1

x  x  2 x  3x  1

3 5 x

x4 1 

lim x 

 2 12   14. lim   x 3 x  3 x 2  9 

lim

( x  1) 2

x5  x 4  6x3  6x2  x  1

x 1

x 4  2 x 3  2x 1

lim

3.

x 

x 2  5x  1 3x  7 x 

x

x 4 1

10. lim

2 x  3x

x 

2 x 2  3x  4

x 

2 x 1  3 x 1

2. lim

lim

lim

lim

lim

36.

senx  cos x  1  tgx x

lim

4

62 Apuntes Universitarios de Calculo I

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39.

x 2 lim x 1 1  x

41.

 x 1 lim   x   x  1 

44.

 2 lim 1   x x  

47.

 2x  1  lim   x   2 x  3 

cos

37.

x  sen 2 x lim x  0 x  sen3 x

40.

 x. ln(1  x)  lim   x 0 1  cos x  x

43. 46.

 x  lim   x   x  1   e x 1  lim  x  0  x 

39.

1  cos x x2 x0

42.

 x2  2   lim  x   2 x 2  1 

45.

 x lim 1   n n  

48.

 x 1  lim   x x  3  

x

x

x 2

lim

x2

n

x2

9. CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN UN PUNTO Una línea continua es un trazo que no se corta, que no se rompe, que no se interrumpe y que se puede dibujar en un papel sin levantar el lápiz. La representación gráfica de una función continua es una línea continua. 9.1 Definición de función continua en un punto Una dada función f se dice que es continua en un punto x0 cuando existe el límite de la función en x0 y coincide con el valor que toma la función en dicho punto, es decir si:

lim f (x) = f (x0) x x0

Esto implica que se deben cumplir las siguientes tres condiciones: i) ii) iii)

La función está definida para la abscisa x0, es decir, existe f(x0). El límite de f (x) cuando x tiende al valor x0 existe, es decir, sus límites laterales son iguales. Y debe satisfacerse que: lim f(x) = f(x0) x  x0

Si alguna de las tres condiciones anteriores no se cumple, se dice que la función es discontinua en el punto x0. Ejemplos: Ejemplo 1.- Sea la función: f (x) =

x2  4 , ¿cómo debe definirse f en x = 2 para que sea x2

continua? Resolución: i) La función f no está definida en x = 2, puesto que: 2Df, dado que: f (2) =

22  4 0 = , es una indeterminación. 22 0 63

Apuntes Universitarios de Calculo I

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( x  2)( x  2) x2  4 = lim = lim (x + 2) = 4 x2 x2 x  2 x2 x 2 iii) Luego, resulta que: lim f (x)  f (2)

ii)

lim

x2

Del anterior análisis resulta que la función f no es continua en x = 2; sin embargo, para que sí lo sea, el par ordenado (2, 4) debe pertenecer a f, es decir, que para que f sea continua en x = 2 debe definirse como f (2) = 4. Ejemplo 2- Analizar la continuidad de la función definida por:  x3  1 f (x) =  En el punto x0 = 3 x  2  x  3 Resolución:

Figura 2.10 i) Observemos que 3 Df. Por lo tanto f no está definida en x0 = 3 ii) El cálculo del límite de la función cuando x tiende a 3 es 1, ya que los dos límites laterales coinciden:

lim f (x) = 1  lim f (x)= 3 – 2 = 1

x 3

x 3

ii) Sin embargo, no se cumple la primera condición de continuidad al no estar definida función en x0 = 3, ya que no existe f (3), en razón a que el número 3 no está en su dominio. Por tanto:

lim f (x)  f (3) x 3

Resulta que la función f es discontinua en x0 = 3. Ejemplo 3.-Analicemos la continuidad de la función definida por:  x 2  1  x  2 f (x) =   4  x2 En el punto x0 = 2 Resolución: Existe el límite de la función cuando x  2, ya que los dos límites laterales coinciden: 64 Apuntes Universitarios de Calculo I

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lim f (x) = 22 – 1 = 3

x 2

lim f (x) = 22 – 1 = 3

x 2

La función está definida para x = 2 y tiene el valor de 4: f (2) = 4.

Figura 2.11 Sin embargo, el valor del límite de la función cuando x  2 no coincide con f (2) ya que: f (2) = 4  lim f (x) = 3 x2

Por lo que resulta que la función es discontinua en x0 = 2 9.2 Propiedades de la continuidad en un punto. i.- Unicidad del límite. Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto. ii.- Teorema del signo. Si f es una función continua en el punto x = a y f (a) ≠ 0, entonces existe una vecindad en el punto x = a en la que todos los valores que toma f tienen el mismo signo de f (a).

Figura 2.12 65 Apuntes Universitarios de Calculo I

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iii.- Anulación de la función. Si una función f es continua en x = a y f(x) toma valores de signos opuestos en cualquier vecindad simétrica del punto x = a, entonces la función se anula en dicho punto. iv.- Acotación de la función. Si una función es continua en el punto x = a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe una vecindad simétricA de x = a en el que la función está acotada. 9.3. Continuidad lateral a) Continuidad por la derecha.- Una función es continua por la derecha de x0 si: lim f(x) = f(x0) x  x0

b) Continuidad por la izquierda.- Una función es continua por la izquierda de x0 si: lim f (x) = f (x0) x  x0

Una función es continua en x0 si es continua por la izquierda y por la derecha de x0. Ejemplos: Ejemplo 1.-Analicemos la continuidad de la función definida por:  2  x0 f (x) =   1  x  0 En el punto x0 = 0 Resolución: Por la gráfica de f observamos que ésta no es una función continua en x = 0. Para probar la discontinuidad de la función en x0 = 0, hay que analizar la función, en dicho punto, en el marco de las condiciones de continuidad y determinar cual de ellas no se cumple:

Figura 2.13 i) La función f está definida en x = 0, puesto que 0  Df y f (0) = 2. 66 Apuntes Universitarios de Calculo I

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ii) La función cuando x tiende a 0 no tiene límite; en razón a que los límites laterales no son iguales, es decir:

lim f (x) = –1 y

x 0 

iii) Finalmente:

lim f (x) = 2

x 0

 lim f (x) NO EXISTE y, x 0

lim f (x)  f (0) x 0

Consiguientemente, la función es discontinua en x0 = 0. Ejemplo 2.- Haz el análisis la continuidad lateral en el punto x = 0 para la función E (x) definida en el intervalo [-1, 1[. Hágalo el estudiante por su cuenta. 10. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO. Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en cada uno de sus puntos. Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en cada uno de los puntos de (a, b) y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. Ejercicios para resolver en aula 1.- ¿Es la función f(x) = x2 continua en el intervalo (–1, 1)? ¿Y en el intervalo [–3, 4]? 2.- ¿Es la función f(x) =

1 continua en el intervalo [–1,1]? x

x 2 3.- Estudiemos la continuidad de la función f (x) =  2



x 1



x 1

en el intervalo [0, 1]

10.1. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo. a) Teorema de Bolzano Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b] de modo que f(a) > 0 > f(b), o que f (a) < 0 < f(b); entonces existe al menos un punto c  ]a, b[ tal que: f (c) = 0 La figura 2.13 explica el teorema de Bolzano para el caso f (a) < 0 < f(b). El estudiante analice por su cuenta la situación f(a) > 0 > f(b).

67 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Figura 2.14 b) Teorema de los valores intermedios Si f una función continua en [a, b] y f(a)  f(b). Entonces f toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b). O también si k es un valor intermedio entre f(a) y f(b), tal que f(a) < k < f(b) o f(b) < k < f(a), entonces existe un punto c  (a, b) tal que: f (c) = k c) Teorema de Weierstrass Si f es una función continua en [a, b], entonces f alcanza sus valores máximo y mínimo en dicho intervalo, es decir, existen dos puntos x1, x2  [a, b] tales que: f (x1)  f (x)  f (x2)  f (x)  x  [a, b].

Figura 2.15 68 Apuntes Universitarios de Calculo I

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d) Teorema de Darboux Si una función es continua en el intervalo [a, b], la función toma en ese intervalo todos los valores comprendidos entre el máximo y el mínimo. 11. TIPOS DE DISCONTINUIDAD Desarrollaremos el concepto de discontinuidad, indicando, en primer lugar que, para que una función f(x) sea discontinua en un punto x0, deberá darse, al menos una de las siguientes condiciones: a) b) c)

No existe uno de sus dos límites laterales. Los límites laterales existen pero son diferentes. El límite de la función en x0 existe pero no es igual a f (x0), es decir:

lim f ( x )  b  b  f ( x0 )

x  x0

Dependiendo de qué condición se verifique, los puntos en los que una función es discontinua, se clasifican en puntos de discontinuidad evitable y en puntos de discontinuidad no evitable (o inevitable). 11.1. Discontinuidad evitable La discontinuidad de una función es evitable en un punto x = a si existe lim f  x  y éste es x a

número finito. Se pueden presentar dos situaciones de discontinuidad evitable: 1. La función no está definida en x = a y 2. La imagen no es igual al límite.

1. La función no está definida en x = a. En este caso no existe f (a). Ejemplo. Sea la función definida por:

 x 2 si x  2 f  x    4 si x  2 Cuya gráfica se muestra en la figura 2.16. Observamos que el límite cuando x  2 existe, es decir: lim f  x   lim f  x   4 x 2

x 2

Sin embargo, no existe f (2).

69 Apuntes Universitarios de Calculo I

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F i gu r a 2 .1 6 2 . La imagen no coincide con el límite. En este caso, se tiene que: lim f  x   f (a ) x a

Ejemplo. Sea la función definida por:  x 2 si x  2  f  x   4 si x  2 6 si x  2  Cuya gráfica se muestra en la figura 2.17, En la que observamos que: f (2 ) = 6 y lim f  x   lim f  x   4  lim f  x   f (2 ) x 2

x 2

x2

F i gu ra 2 .1 7 Observación: Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua. Las dos funciones estudiadas anteriormente las redefinimos de modo que sea una función continua, haciendo que: lim f  x  = f (2) x2

Para lo cual debemos hacer:

 x 2 si x  2 f  x    4 si x  2 70

Apuntes Universitarios de Calculo I

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En cuyo caso la gráfica de la función se observa en la figura 2.18

F i gu ra 2 .1 8

11.2. Discontinuidad inevitable o de primera especie. Una discontinuidad es inevitable o de primera especie los límites laterales en x = a son distintos, es decir si: lim f  x   lim f  x  x a

x a

Siendo el salto el valor absoluto de la diferencia de estos límites laterales, es decir: Sa l to = lim f  x   lim f  x  x a

x a

Según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable: 1. Discontinuidad inevitable de salto finito: La diferencia entre los límites laterales es un número real finito, es decir: lim f  x   lim f  x  = k  R

x a 

Ejemplo. Sea la función:

x a

2  x si x  2 f  x    1 si x  2

Cuya gráfica es la que se muestra en la figura 2 .19 Observamos que: lim f  x   lim x 2  4 x 2

x 2

lim f  x   lim 1  1 x 2

x 2

lim f  x   lim f  x  = 3

x 2 

x 2

Luego, en el punto x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito igual a 3.

71 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Figura 2.19 2. Discontinuidad inevitable de salto infinito: Se presenta cuando la diferencia entre los límites laterales es infinito, es decir:

lim f  x   lim f  x  = 

x a 

x a

2

 x si x  2  Ejemplo. Sea la función: f  x   2 si x  2  x2 Cuya gráfica se muestra en la figura 2.20

Figura 2.20 lim f  x   lim x 2  4

Observamos que:

x  2

x 2

lim f  x   lim

x2

Luego:

x2

2  x2

 lim f  x   lim f  x   =  x 2 

x 2 

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12.3. Discontinuidad esencial o de segunda especie. Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a. Ejemplo. Sea la función definida por: f ( x) = x 2 si x  2, cuya gráfica es la que se muestra en la figura 2.21

Figura 2.21 Observamos que: lim f  x   lim x  4 , pero sin embargo, lim f  x  no existe. 2

x 2

x 2

x 2

Por tanto, en x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha. Ejercicios para resolver en aula: 1. Estudia el tipo de las discontinuidades de la función: x3  3 x  14 x3  3 x  4 1) f (x) = en x = – 3 y x = 2. 2) f (x) = en x = – 1 y x = 2. x2  x  6 x3  x 2  4 x  4 2. Estudiar la continuidad de la función: f (x) =

x 2  4x  3 x 3

en x = 3

3. Estudiar la continuidad de la función f (x) especificando el tipo de discontinuidad en los puntos en los que no sea continua. x f (x) = x 4. Estudiar la continuidad de la función:  x si x  0  f (x) =  0 si x  0  2 si x  0 x 5. Explica para qué valores de x son continuas las siguientes funciones y decir de qué tipo son los puntos de discontinuidad, si los tuviera. 73 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Universidad Católica Boliviana San Pablo – Unidad Académica Tarija Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas a) f (x) = x2 + 5

b)

c) f (x) = E(x)

d)

f (x) = |x | 2 x si f (x) =  2  x si

x0 x0

6. Estudiar la continuidad de la función: f (x) =

x5 5 en x = 0 x

7. Estudiar la continuidad de f (x) en el punto que se indica:

 x 2  1 si x  0 f (x) =  en x = 0 2 x  1 si x  0 8. Estudiar la continuidad de f (x) en los puntos que se indican:  1 / x si x  1 f (x) =  2 x  1 si x  1

en x = 0 y x = 1

9. Estudiar la continuidad de f (x) en el punto que se indica:  x4  1  f (x) =  x 3  1 si x  1 en x = 1  3 / 4 si x  1

10. Estudiar la continuidad de la siguiente función en el punto que se indica:

 x4  1  f (x) =  x 3  1 si x  1 en x = 1   3 / 4 si x  1 Ejercicios para el domicilio: 1. Estudia la continuidad de la siguiente función en los puntos que se indican:

 2 x3  9 x 2  12 x  4 si x  2  3 2 f (x) =  x  2 x  4 x  8 en x = 2 y x = – 2 3  si x  2  4 2. Averigua en qué puntos son discontinuas las funciones: a) f (x) =

2  x 1 x3

74 Apuntes Universitarios de Calculo I

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b)

 1 si x  1  f (x) =  x  1 1  si x  1 3  x

3. Determina el valor de k para que la función sea continua. a)

 x  7 si x  4 f (x) =  kx  1 si x  4

kx  1 si x  2 f (x) =  2  kx si x  2

b)

4. Determina los valores de c y k para que la función sea continua.

a)

x si x  1   f (x) = cx  k si 1  x  4   2 x si x  4 

 x  2c si x  2  f (x) = 3cx  k si  2  x  1  3 x  2 k si x  1 

b)

5. Analiza la continuidad de las siguientes funciones (e indica en cada caso qué tipo de discontinuidad presenta): a)

y=

x2 x2

3

d) f(x)= x +3x - 5

3  x si x  -2  g) f ( x)   x 2  3 si - 2  x  1  x  2 si x  1 

 6  x  2 si x  1  j) f ( x)  2 x si 1  x  3  3  si x  3 x1

b)

y=

1 x 2 1 x

e) f ( x) 

x 1 x2  4

3  x si x  -1 - 1 si x  -1  h) f ( x)   2  x  1 si - 1  x  2 1 - x si x  2   x  3 si x  0 4 si 0  x  2  k) f ( x)   1  x - 2 si 2  x  3  2x - 5 si 3  x

c)

y=

7 x 3 x2  4

1 si x   ,0  f) f ( x)   1  x si x  (0,  ) 2 x  5 si x  -1 x  1 si - 1  x  3  i) f ( x)   ln(x - 3) si 3  x  4 x - 4 si x  4

 x  4 si x  0 2x  4 si 0  x  2  l) f ( x)  e x si 2  x  3   1 si 3  x  x - 3

75 Apuntes Universitarios de Calculo I

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6 Calcula el valor de "k" para que:

 x + 1 si x  1 a) f(x) =  3 - kx 2 si x > 1

 x3  b) f ( x)    k

Sea continua en x = 1

 5x 2  8x  4 x 2  4x  4 si x  2

si x  2

sea continua en x = 2

k si x = 0  si x  0 sea continua en x = 0 c) f(x) =  4x 2  3  x  2x 2 1   x  1  x 1 si x  1 sea continua en x = 1 d) f ( x)   5 x  3     k si 1  x

 1  x  1 si x  2  e) f ( x)   x - 1 si 2  x  5 sea continua en x = 5  2  x  k si x  5  1  3 x  1 x  2  si x  2 Calcula “k” para que f sea continua en x = 2 f) f ( x )   2 x  3     si x  2 k 1  2 x  1 x  3  si x  3 Calcula “k” para que f sea continua en x = 3 g) f ( x )   x  4     si x  3 k

7. Calcula los valores de “a” y “b” para que sean continuas las siguientes funciones (si es posible):

 x  4 si x  0 2x  a si 0  x  2  a) f ( x)   5x  b si 2  x  3 3x - 1 si x  3

x  2  x  3 si x  0  b) f ( x )   x  a si 0  x  2 b si x  2  

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Unidad Didáctica 3 DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL 1 INTRODUCCIÓN HISTÓRICA A LA DERIVADA Los problemas típicos que dieron origen al Cálculo Infinitesimal comenzaron a plantearse en la época clásica de la Grecia del siglo III AC, pero, no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después – en el siglo XVII – por obra de Newton y de Leibnitz. En lo que se refiere a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico: el problema de la tangente a una curva – concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático de Arquímedes – y el problema de los extremos – máximos y mínimos – que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como Cálculo Diferencial. El problema de la tangente a una curva, fue analizado y resuelto primeramente por Apolonio (año 200 AC). En el libro II de su obra, hace el estudio de los diámetros conjugados y de las tangentes a una cónica. Por ejemplo – véase la figura 3.1 (a) – si P es un punto cualquiera de una hipérbola de centro C, entonces, Apolonio demuestra que la tangente en el punto P corta las asíntotas en los puntos L y L’ que equidistan de P. En el caso de la elipse, si Q es un punto de la curva – véase la figura 3.1. (b) – Apolonio traza la perpendicular QN desde el punto Q al eje AA’, y halla el conjugado armónico T de N con respecto a A y A’, es decir, el punto T que divide externamente al segmento AA’ en la misma razón en que N divide internamente a AA’. Entonces, la recta que pasa por T y Q será tangente a la elipse. Igualmente, en el libro CÓNICAS V.8., Apolonio demuestra un teorema relativo a la normal a una parábola, que actualmente podría formar parte de un curso completo de Cálculo Diferencial.

(a)

(b) Figura 3.1.

En cuanto al problema de los extremos relativos de una función, fue Pierre de Fermat (1601 – 1665) quien en el año 1629, hizo dos importantes descubrimientos que están relacionados con sus trabajos sobre lugares geométricos. En el más importante de ellos, titulado Methodus ad 77 Apuntes Universitarios de Calculo I Abel Barroso López

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disquirendam maximan et miniman ("Métodos para hallar máximos y mínimos"), Fermat expone un método muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma y = f (x), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un cierto punto, con el valor de f (x + E) en un punto próximo; en general, estos dos valores son distintos, pero, en una "cumbre" o en el fondo de un "valle" de una curva "lisa" la diferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores máximos o mínimos de una función, Fermat iguala f (x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son "casi iguales". Cuanto mas pequeña sea la diferencia E entre los dos puntos, mas cerca está la igualdad de ser verdadera. Así, después de dividir todo por E, hace E = 0. El resultado le permite calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica. Aquí se puede ver, ya en esencia, el proceso que ahora se llama diferenciación, ya que el método de Fermat es equivalente a calcular: f ’(x) e igualar esta función a cero. Esta fue la razón que asistió a Laplace al aclamar a Fermat como el verdadero descubridor del Cálculo Diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a Newton (sir Isaac Newton. 1642 – 1727. Nacido en Woolstharpe (Inglaterra)) y a Leibnitz (Gottgried Wilhelm Leibnitz. 1646 – 1716. Nacido en Leipzig (Alemania)) a quienes se les puede atribuir justificadamente la invención de las derivadas y de las integrales. Newton tardó mucho en dar a conocer sus resultados. La notación que usaba era mas sugestiva: lo que ahora se denota con f (x) ó y, él lo denominaba "cantidades fluentes", y a la derivada, D f (x) la llamaba "fluxión". Además, se le escribía AB en lugar de D f (x). El mismo Newton escribía cosas como las siguientes: "Los momentos – las actuales diferenciales – dejan de ser momentos cuando alcanzan un valor finito, y deben por lo tanto considerarse como magnitudes finitas nacientes". Frases tan confusas, que Newton debía entenderlas muy bien, pero, para otro que no fuera el inventor del método, suenan bastante incomprensibles. En el año de 1669, Isaac Barrow (1630 – 1677) recibió de su alumno Isaac Newton un folleto titulado De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas. Contenía, nada menos, que el esbozo casi completo del Cálculo Diferencial e Integral. Aquel mismo año, Barrow decidió que su alumno sabía mucho más que él, y que tenía por lo tanto mucho más derecho a la cátedra de matemáticas con más merecimientos que el propio Barrow; su titular, con una generosidad y un desinterés difíciles de igualar, Barrow cedió su cátedra a Newton. A los 40 años, siendo profesor de matemáticas de Cambridge, Newton escribió los Principia Mathematica, quizá el tratado científico de mayor influencia jamás publicado. En el aplicó los conceptos del cálculo para explorar el universo, incluyendo los movimientos de la tierra, la luna y los planetas alrededor del sol. Se dice que un estudiante observó: "ahí va el hombre que escribió un libro que ni él ni los demás comprenden". Leibnitz, comparte con Isaac Newton el crédito del descubrimiento del cálculo. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez años antes. La historia ha dictaminado que Newton fue el primero en concebir las principales ideas (1665 – 1666), pero que Leibnitz las descubrió independientemente durante los años de 1673 – 1676. 78 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Leibnitz fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres del dy Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral, así como la introducción de los símbolos para la dx derivada y  f ( x) dx la integral de una función f (x). Fue, también, el primero en utilizar el término "función" y el uso del símbolo " = " para la igualdad. Por esta razón, debido a la superioridad del simbolismo, el cálculo se desarrolló con mucha mayor rapidez en el continente europeo que en Inglaterra, de donde era oriundo Newton. 2 DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Consideremos y = f (x), una función definida y continua en todos los puntos de un intervalo abierto I que contiene los puntos x1 y x. Incremento absoluto. Se denomina incremento absoluto a la variación que experimenta la variable independiente al pasar de un valor “x1” a un valor “x” y se denota: x = x – x1, De donde: x = x1 + x Nota: También, para el incremento absoluto, se suele utilizar la notación h. Incremento funcional. Se denomina incremento funcional a la variación que experimenta la variable dependiente “y” cuando la variable independiente x experimenta un incremento x, y se denota: y = f (x) – f (x1) = f (x), O también: y = f (x1 + x) – f ( x1) Razón incremental. Se denomina razón incremental al cociente del incremento funcional sobre el incremento absoluto, es decir:

 y f ( x1   x )  f ( x1 )  x x Definición y notación de la derivada de una función en un punto. Se define por derivada de f en el punto x1, si existe, al valor de: f  x1   x   f  x1  y lim = lim x 0 x  x 0 x y Como x  0, entonces el lim , es un cociente de diferenciales o cantidades infinitesimales. x 0 x A este nuevo concepto lo denotamos: f ( x1   x )  f ( x1 ) y dy df ( x) lim = y’ = f ’(x1) = lim = = = Dx f (x) x 0 x  x 0 x dx dx 79 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Expresión y notaciones que definen la derivada de f en un punto. Diremos que f es derivable, ó que f es diferenciable, o que f tiene una derivada en el punto x1 si dicho límite es un número real. 3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Consideremos una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene definida por la función y = f (x) (Figura 3.2.). Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P. La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.

Figura. 3.2. Cuando el punto Q se aproxima al punto P desplazándose sobre la curva, ocupando sucesivamente las posiciones: Q1, Q2, Q3, ... , Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, es la recta la recta tangente a la curva en P. Ahora bien, si las coordenadas del puntos P están dadas por: P(x1, f(x1)) y las correspondientes al punto Q por Q(x1 + x; f(x1 + x)) (Ver figura 3.2.), entonces la pendiente de la recta secante, que denotamos con ms, viene dada por:

ˆ = ms = tg P

f  x1  x   f  x1  x

En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente mT que viene dada por: f  x1  x   f  x1  = f ’(x1) x x 0

ˆ = lim mT = lim m s  = lim tg P x 0

x  0

De esta manera, la ecuación de la recta tangente a la curva en P(x1, f (x1)), es: y – f (x1) = f ’ (x1)(x – x1) Luego, la derivada de una función en un punto, geométricamente, se interpreta como la pendiente de la recta tangente, en dicho punto, al gráfico de dicha función. 80 Apuntes Universitarios de Calculo I

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4. FUNCIÓN DERIVADA La expresión por la cual determinamos la derivada de una función nos permite encontrar otra expresión matemática que tiene a x como variable y, en general, también resulta ser otra función; en todo caso, si f es derivable en todos los puntos x  I, la función que se obtiene al aplicar la definición de derivada: f ( x  x)  f ( x) f ’(x) = lim … (1) x x  0 Denominaremos función derivada de f con respecto a x. Posteriormente veremos el método para calcular la función derivada de una función dada. Ejemplo: Utilizando la expresión (1), calculemos la función derivada de la función f (x) = x2. ( x  x) 2  x 2 f ( x  x )  f ( x ) = lim  x 0  x 0 x x 2 2 2 x  2 xx  x  x 2 xx  x 2 f ’(x) = lim = lim  x 0  x 0 x x f ’(x) = lim (2x + x ) = 2 x

Resolución: f ’(x) = lim

 x 0

Que es una función lineal. Ejercicios para resolver en el aula: Utilizando la expresión (1) de la definición, calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: 1) f (x) = x sen(x)

2) f (x) = x2 + 3

3) f (x) = x cos(x)

4) f (x) = x3

5. CÁLCULO DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Como ya vimos: x = x1 + x De aquí resulta que si x  0, entonces la variable x  x1. Asimismo, de esta expresión obtenemos: x = x – x1 Al hacer las sustituciones correspondientes en la expresión que define f ’(x), obtenemos la siguiente expresión equivalente para la derivada en x1: f ( x )  f ( x1 ) f ’(x1) = lim … (2) x x1 x  x1 Las expresiones (1) y (2) expresan la definición de la derivada de una función f, mientras que la expresión (1) define la derivada en cualquier punto xD f, la expresión (2) representa a la derivada de f en un punto definido x1D f. Ejemplo. Utilizando la expresión (2), determinemos la derivada de la función f (x) = x 2 en x = 3. f ( x )  f ( x1 ) x 2  32 f ’(x) = lim = lim x x1 x 3 x  3 x  x1 81 Apuntes Universitarios de Calculo I

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( x  3 )( x  3 ) = lim (x + 3) = 6 x 3 x 3 ( x  3) Ejercicios para resolver en el aula: f ’(x) = lim

Utilizando la expresión (2) de la definición, calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 1 a) f (x) = – x2 + x en x = 3 b) f (x) = en x = 2 c) f (x) = x 2 – 8 x + 3 en x = 0 x x 1  d) f (x)= en x = 1 e) f (x)= en x = 1 f) f (x)= sen (x) en x = 2 x2 4 1 x Ejercicios para resolver en domicilio: Utilizando la definición de derivada de una función en un punto determinado, calcula: f ( x)   x 2  x

a)

f ' (3) si

c)

f ' (2) si

e)

f ' (1) si

g)

f (x) =

f ( x) 

f ' ( 1) si

d)

f ' (2) si

2 x  5 si x  0 f) f ( x)   2 si x  0  3x

1 1 x

i)

x x 1

b)

2

en x = 1

f (x) = x 2 – 8 x + 3 en x = 0

f ’(2)

si

f ( x)  x  2

 x  4 si x  2  f ( x)    4 si x  2  x x f ( x)  2 x

h)

f (x) =

1 en x =2 x

j)

f (x) =

x en x = 1 x2

 x 2 si  f ( x)   x  1 - x

x0

k)

 x  1 si x  0 en x = 0 f x   si x  0 1

m)

1 1   2 si x  0  x.sen si x  0  x .sen en x = 0 n) en x = 0 f ( x)   f ( x )  x x  0 0 si x  0 si x  0

o)

 x 2  3 si x  0 f ( x)   en x = 0 p)  x  3 si x  0

l)

si

x0

 x 2 si x  0 f(x)   x si x  0

en x = 0

en x = 0

6. DERIVADAS LATERALES i) La derivada por la derecha de x1 de una función f , denotada por f ' (x1), se define: f ( x )  f ( x1 ) f ' (x1) = lim x x1 x  x1 ii) La derivada por la izquierda de x1 de una función f , denotada por f ' (x1), se define: f ( x )  f ( x1 ) f ' (x1) = lim x x1 x  x1 82 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Definición: Se dice que una función f es derivable en un punto x1 si ambas derivadas laterales de f en dicho punto son iguales. Las derivadas laterales, son útiles para determinar analíticamente la derivabilidad o existencia o no de la derivada de una función a tramos, en los puntos extremos de los subdominios. Ejemplo: Para la función f definida por:

 x 2  x  1 x  1 f ( x)    4 x  1 x 1 Deseamos determinar la existencia o no de la derivada de f en el punto x1 = 1, las derivadas laterales: f ' (1) y f ' (1) proporcionan la información. Es decir:

f ' (1) = lim x1

f ( x )  f (1) ( x2  x  1 )  3 x2  x  2 = lim = lim x 1 x1 x 1 x1 x 1

= lim x1

Resultando de este modo:

( x  2 )( x  1 ) = lim ( x  2 ) = 3 x 1 x1

f ' (1) = 3

….

(1)

Por otra parte, se tiene: f ' (1) = lim x1

Resultando luego:

f ( x )  f (1) ( 4x 1)  3 4x  4 4( x  1 ) = lim = lim = lim =4 x1 x1 x  1 x1 x 1 x 1 x 1

f ' (1) = 4

….

(2)

Figura 3.3

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Por los resultados presentados en las expresiones (1) y (2), podemos notar que las derivadas laterales en x = 1 son diferentes, y en consecuencia, (1) no existe. La figura 3.3 muestra el comportamiento de la función f en el punto x = 1. Notemos que en el punto P(1, 3) la función es continua, sin embargo, su gráfica presenta un "quiebre" en dicho punto, indicando con esto de manera intuitiva que f no es derivable allí. Ejercicios para resolver en el aula: Analizar la derivabilidad de la función dada en su punto de quiebre:  x 2 si x  0 2 x  5 si x  0  1) f ( x)   1 2) f (x) =  2 si x  0 si x  0  3x  1 - x  x si  f ( x)   x  1  3 x 2 si

3)

x0

4)

x0

4  x si x  2  f (x) =   4 si x  2  x

Ejercicios para resolver en domicilio: Analiza la derivabilidad de las siguientes funciones: a) c)

e)

f ' ( 3 ) si

f ( x )  x2  x

b)

 2 x  5 si x  0 f(x)  2 si x  0  3x

d)

f ' (1 )

si

f ' ( 2)

si

f ( x) 

f ' ( 1 ) si

f'(2)

x x 1

f)

g) ¿Es f (x) = |x| derivable en x = 0?

f ’(2)

f(x) x2

si

si

 x  4 si x  2  f(x)  4 si x  2  x

f ( x) 

x 2x

h).- ¿Es f (x) = |x+1| derivable en x = -1?

i) Halla las derivadas laterales de f (x) = |x 2 - 1| en los puntos x = 0, x = 1, x = -1 ¿en cuáles de esos puntos es derivable? 7. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN El siguiente teorema, establece una relación entre las funciones continuas y las funciones derivables. Teorema 1. “Si f es derivable  es continua” Si f es una función derivable en el punto x1, entonces f es continua en x1. Demostración: Para demostrar que f es continua en x1, es suficiente demostrar que:

lim f  x  = f(x1)

x  x1

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lim f  x  – f(x1) = 0

o, equivalentemente:

x  x1

En efecto, como:

f(x) – f(x1) =

f ( x)  f ( x1 ) ( x  x1 ) x  x1 f ( x)  f ( x1 ) ( x  x1 ) x  x1 x  x1

lim  f ( x)  f ( x1 ) = lim

Se tiene que:

x x1

 f ( x)  f ( x1 )    =  lim   lim ( x  x1 ) = f’(x1).0 = 0 x  x1  x  x1   x  x1  Observación 1: El recíproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, existen funciones que siendo continuas en un punto x1, no son derivables en dicho punto. Considérese por ejemplo la función f (x) = x . Puede demostrarse fácilmente que f es continua en x = 0. Sin embargo, f ’(0) no existe (es decir, f no es derivable en x = 0). En efecto: f’(0) = lim

 x 0

x f ( 0  x )  f ( 0 ) f ( x )  f ( 0 ) = lim = lim  x 0  x 0  x x x

Para determinar la existencia o no del último límite se hace uso de los límites laterales. Esto es: lim 

 x 0

lim 

 x 0

x x = lim  = lim  ( 1 ) = 1  x 0 x  x 0  x

x  x = lim  = lim  ( 1 ) = –1  x 0 x  x 0  x

Como los límites laterales son distintos, entonces: f’ (0) = lim

x

no existe, y de esta forma, x la función: f(x) = x no es derivable en x = 0, sin embargo, es continua en dicho punto. x 0

Observación 2: En la gráfica de la función f (x) =x puede notarse que en el punto x = 0, la función es continua, pero en ese punto, se presenta una esquina aguda o un "quiebre", encontrando con esto un argumento sencillo para determinar los puntos del dominio en los cuales una función no es derivable. Observación 3: Muchas veces es útil considerar el contra recíproco del teorema 1, es decir: Si f no es continua en x1, entonces f no es derivable en dicho punto. Ejemplo: Esta aplicación ilustra la manera de usar el teorema 1 en su forma equivalente del contra recíproco. Sea f la función definida por: 85 Apuntes Universitarios de Calculo I

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 x  f ( x)   x  2

x 1 x 1

Demostrar que f (x) no es derivable en x = 1. En efecto, al hacer el análisis de la continuidad de f en x = 1, se tiene: lim f ( x )  lim x  1 x1   lim f ( x ) no existe. x 1 x 1 lim f ( x )  lim   x 1 x1 2 2

x1

En consecuencia, f no es continua en x = 1, y por lo tanto, f no es derivable, es decir, f ’ (1) no existe en x = 1. Ejercicios para resolver en el aula: 1. Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones 1 si x < 1 2 x  2 si x  1  a) f ( x )   x si 1  x < 3 b) f ( x)   2  x  1 si x > 1  2 x  6 x  12 si x  3  4x  + 4 si x < -1  c) d) f (x) = |x| es derivable en x = 0? f(x) =  x 2  2 x  3 si - 1  x  2 2x - 5 si x > 2  e)

f (x)= |x+1| es derivable en x = –1?

2. Halla las derivadas laterales de f (x) = |x2 – 1| en los puntos x = 0, x = 1, x = –1 ¿en cuáles de esos puntos es derivable? 8. TÉCNICAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS. En este numeral veremos los teoremas que nos permiten desarrollar las técnicas más usuales para el cálculo de derivadas. 8.1 Derivación de expresiones algebraicas.Teorema 1.- Derivada de una constante.- Si f(x) = C, siendo C una constante real, la derivada de una constante es cero, es decir: f ’(x) = 0 o también:

dC = 0. dx

86 Apuntes Universitarios de Calculo I

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f ( x  x)  f ( x) C C = lim = lim 0 = 0 x x0 x 0 x x 0

f ’(x) = lim

Prueba:

Teorema 2.- Derivada de la función identidad.- Si la función: f(x) = x, la derivada de la dx función identidad es igual a uno, es decir: f’(x) = 1. Se suele escribir: = 1. dx

f ( x  x)  x x  x  x x = lim = lim = lim 1 = 1 x x x  0 x0 x  0 x x 0

f’(x) = lim

Prueba:

Teorema 3.- Derivada de una suma de funciones.- Si f(x) y g(x) son dos funciones derivables en un mismo punto x, la derivación es una operación distributiva respecto de la suma de estas funciones (f(x)+g(x)) o la diferencia de estas funciones (f(x) – g(x)), es decir: h(x) = f(x) ± g(x)  h’(x) = f’(x) ± g’(x) Teorema 4.- Derivada de un producto de funciones.- Si f(x) y g(x) son dos funciones derivables en un mismo punto x, la derivada del producto de estas dos funciones es igual a la suma de los productos de la derivada del primer factor por el segundo sin derivar más el primer factor por la derivada del segundo, es decir: Si t (x) = f (x). g (x)  t ‘(x) = f ’ (x). g (x) + f (x). g’ (x) t ( x  x)  t ( x) f ( x  x ) g ( x  x )  f ( x ) g ( x ) = lim x x x  0 x  0

Prueba:

t’(x) = lim

= lim

f ( x  x ) g( x  x )  g ( x  x ) f ( x )  g ( x  x ) f ( x )  f ( x ) g ( x ) x

= lim

f ( x  x ) g( x  x )  g ( x  x ) f ( x )  g ( x  x ) f ( x )  f ( x ) g ( x ) x

x 0

x 0

= lim

 f ( x  x)  f ( x)g ( x  x)  f ( x)g ( x  x)  g ( x) x

x  0

f ( x  x)  f ( x) g ( x  x )  g ( x ) lim g ( x  x) + lim f ( x) lim x x x0 x 0 x0 x 0

= lim

Resultando finalmente:

t’(x) = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x)

Teorema 5.- Derivada del producto de una función por un factor constante.- Si f(x) es una funciones derivable en un punto x y g(x)= C, la derivada del producto de f(x) por la constante C es igual al producto de la constante C por la derivada de la función f(x). es decir: dC. f ( x ) df ( x ) = C. dx dx

87 Apuntes Universitarios de Calculo I

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En otras palabras: un factor constante puede introducirse o extraerse del símbolo de derivación sin que ello cambie la expresión. Prueba: (demuestre el alumno como una aplicación de la derivada de un producto de dos funciones). Teorema 6.- Derivada de una potencia.- Si: y = xn, la derivada de la potencia enésima de la variable x igual al producto del exponente de la base por la potencia n – 1 de la base x. Es decir: dy  n  R – {0}  = n xn-1 dx Prueba: Caso 1: n  Z (n es un número entero) Cuando n  Z + la prueba se hace por inducción sobre n. Para n = 1, se sabe que

Sea k  Z +. Supóngase que

En efecto:

d 1 dx = 1 = 1.x1-1 x = dx dx

d k d k 1 x = k xk - 1 y observe que x = (k + 1) x(k + 1) - 1 dx dx

d k 1 d d k dx = = x. k xk – 1 + xk. 1 x x .x k = x. x + xk. dx dx dx dx

= k xk + xk = (k + 1) xk = (k + 1) x(k+1)-1 Cuando n < 0, se hace n = – m, con m > 0. De esta manera:

dx n dx m d  1   mx m1 = = = – m x-m-1 = n xn-1   = m 2 dx dx dx  x m  (x )

Caso 2: n  Q (n es un número racional) 1 Considere primero que n = q  Z, debiendo cumplirse que x  0. q n

En este caso, la función: y = f (x) = x , puede escribirse en la forma: y = f(x) = x

1 q

De acuerdo a la definición de derivada, se tiene que: 1 q

f ( x  x)  f ( x) ( x  x )  x dy = f’(x) = lim = lim dx x x x0 x0

1 q

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Para eliminar la indeterminación en este último límite, se multiplica numerador y denominador por el factor racionalizante: 1  ( x  x) q     

q 1

1   + ( x  x) q   

f ’ (x) = lim

De lo que resulta:

x  0

q 2 1

1

x q +… + (x q )q-1

1  q    x   x  

 1   q x   x  x    

   

q

  1  q   x    

q 1

    

q

 1  q  x  

    

q 1 

   

Es importante notar que aquí se utilizó la identidad: a n – bn = (a – b)(an-1 an-2 b + … + b n-1) f ’ (x) = lim x  0

 1   q x   x  x     1

f’(x) = lim x  0

 x  x  Sustituyendo: q =

x  x  x

1 , n

q 1 q

 x

resulta: f’(x) =

q 1 q

1 q

q 1

q 1 q

 1  q  x  

    

q 1 

   

1

=

1 x

Considerase ahora que: n =

   

x

q 1 q

 x

q 1 q

=

1 q

1 x

q 1 q

= n xn-1

p , con p, q  Z positivo. q

En este caso, la función potencia: y = f(x) = xn puede escribirse en la forma:

89 Apuntes Universitarios de Calculo I

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p q

 1 y = x = y = f(x) =  x q   

p

1 q

Que, para derivarla, se aplicará la regla de la cadena, haciendo: u = x , resulta: p

 1 y =  x q  = up.   Entonces:

1 dy dy du = = p u p-1. .x q dx du dx

1 1 q

 1 p q = x  q   

p 1

x

1 1 q

p 1 1

  1 p = xq q q q

p

p q 1 dy = x = n xn-1 q dx Caso 3: n  R (Demuestre el alumno como una práctica) Teorema 7.- La derivada de la raíz enésima de x.- Sea y = n x . La derivada de la raíz enésima de x es igual al inverso de producto del índice de la raíz por la raíz enésima de la potencia n – 1 de x, es decir: dn x 1 = n dx n x n 1

Prueba: (Demuestre el alumno como una aplicación de la derivada de una potencia de x). Teorema 8.- Derivada de la recíproca de una función.- Si g(x) es una función derivable en x, y g(x)  0, la derivada de su recíproca es igual al cociente negativo de la derivada de la función g(x) sobre el cuadrado de la misma función sin derivar, es decir: t (x) =

g ' ( x) 1  t’ (x) = – g ( x) g ( x)2

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Prueba:

1 1  t ( x  x)  t ( x) g ( x  x ) g ( x ) t’(x) = lim = lim x x x0 x  0

g ( x  x )  g ( x ) 1 g ( x )  g ( x  x ) . = – lim x g ( x  x).g ( x) x  0 x 0 x.g ( x  x ).g ( x )

= lim

g ( x  x )  g ( x) 1 . lim x x 0 x0 g ( x  x ).g ( x )

= lim

1

= – g’(x).

=–

2

g ( x )

g ' ( x)

g ( x )2

Teorema 8.1. Derivada de un cociente de funciones.- Si f(x) y g(x) son dos funciones f( x) derivables en un mismo punto x, la derivada del cociente es igual a otro cociente, cuyo g( x ) denominador es el cuadrado del denominador dado y cuyo numerador es la diferencia de los productos de la derivada el numerador por el denominador sin derivar menos el numerador por la derivada del denominador, es decir: t(x) =

f ( x) f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x) con g(x)  0  t’(x) = g ( x) g ( x)2

Prueba:

t(x) =

 1  f ( x) = f(x).   g ( x)  g ( x) 

Aplicando la derivada de un producto, de tiene: d  1   df ( x)   1  t’(x) =  . + f (x).    dx  g ( x)   dx   g ( x)  Y, por la anterior regla:

t’ (x) =

t’ (x) =

f ' ( x) + f(x) g ( x)

 g ' ( x)     g ( x )2 

f ' ( x) f ( x).g ' ( x) f ' ( x).g ( x)  f ( x).g ' ( x) = 2 g ( x) g ( x) g ( x)2

Teorema 9.- Derivada de una función compuesta de una variable compuesta (Regla de la Cadena).- Si: y = f (u) y u = g (x), entonces resulta que: y = (f o g) (x) = f (g(x)) es una función compuesta con una variable compuesta u.

91 Apuntes Universitarios de Calculo I

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La derivada de una función compuesta a una variable compuesta es igual al producto de las derivadas de las funciones que la componen. Es decir: [f (g (x))]’ = (f o g)’(x) = f’(u) . g’(x) dy = f ’ (u) du

Prueba:

du = g’(x) dx

Multiplicando miembro a miembro ambas expresiones, se tiene: dy du = f’(u)g’(x) du dx

O también:

dy du = f’(u)g’(x) dx du

Y, finalmente:

dy = f’(u)g’(x) dx

Observación: Muchas veces, la regla de la cadena se recuerda más fácilmente, usando la notación de Leibnitz para la derivada. Esto es, si y = f (u) y u = g (x) entonces: dy dy du = dx du dx

Teorema 9.1.- Generalización de la Regla de la cadena para funciones compuestas Si y = f (u), u =g (t), t = h (x), entonces:

dy dy du dt = dx du dt dx

Teorema 10.- Derivada de la función inversa.- Sea y = f (x) una función derivable de x, y su función inversa x = f 1 (y). La derivada de la función inversa es igual al recíproco de la derivada de la función directa, es decir:

dx 1 = dy dy dx O también:

df 1 ( y ) 1 = dy f'( x)

Prueba: (Demuestre el estudiante). 92 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Ejercicios para resolver en el aula: Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 1)

1

f (x)=

1 x

4) 7)

10)

f (x) = f (x)=

2

x x2

5 ( x  4) 5

f (x) =

1 x 2 1 x

13)

2)



2

2 

y=

x 3 - 3x + 1 x -1

3)

5)

y = ( x5 – x3 + 2x – 4)7

8)

(1  x) 3 f (x) = 2

f (x) = x2 – 8 x + 3 6)

f (x)=

9) f (x) = (1 – x)(x + 1)

11) y = 4 4 x  x 2

12) y = (x + 2)3



15) y =

y = x 3  x . 2x 2  2

14) y 

x 1 x 1

3( x  7) 5 5

x3 +1 x2 -1

8.2. Derivación de funciones circulares. Teorema 11.- Sea y = sen(x). La derivada de la función seno es la función coseno, es decir: d sen (x ) = cos(x) dx Prueba: y = sen(x) Aplicando la definición de derivada: sen( x  x)  sen( x) d … (a) sen(x) = lim x dx x  0 ( x  x)  x ( x  x )  x Pero: sen(x +  x) – sen(x) = 2 cos . sen 2 2 2 x  x x sen(x +  x) – sen(x) = 2 cos . sen 2 2 x x 2 cos( x  ) sen( ) d 2 2 Sustituyendo en (a): sen(x) = lim x dx x  0 x sen( ) d 2 cos( x  x ) O también: sen (x ) = lim x dx 2 x  0 2 x sen( ) d 2 lim cos( x  x ) = lim cos( x  x ) sen (x ) = lim  x x  0 dx 2 2 x  0 x  0 2 d Finalmente: sen(x) = cos(x) dx Teorema 12.- Sea y = cos(x). La derivada de la función coseno es la función seno con signo opuesto, es decir: 93 Apuntes Universitarios de Calculo I

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d cos(x) = – sen(x) dx

Prueba: (Hágalo el estudiante) Teorema 13.- Sea: y = tg(x). La derivada de la función tangente es el cuadrado de la función secante, es decir: d tg (x ) = sec2(x) dx Prueba: (Hágalo el estudiante) Teorema 14.- Sea: y = ctg(x). La derivada de la función cotangente es el cuadrado de la función cosecante con signo opuesto, es decir: d ctg (x) = – csec2(x) dx Prueba: (Hágalo el estudiante) Teorema 15.- Sea: y = sec(x). La derivada de la función secante es el producto de la función secante por la función tangente, es decir: d sec( x ) = sec(x)tg(x) dx Prueba: (Hágalo el estudiante) Teorema 16.- Sea: y = csec(x). La derivada de la función cosecante es el producto de la función cosecante por la función cotangente con signo opuesto, es decir: d csec(x) = – csec(x)ctg(x) dx Prueba: (Hágalo el estudiante) Ejercicios para resolver en el aula: Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 1)

y  sen( x 3  2 x)  cos

x 2

 tg x 2  1

2) y  sen ( x 2  5 x  )

x 1 3)

y

sen x  cos x sen x  cos x

4) y  2 xsenx  ( x 2  2) cos 3 x







3senx  2 cos x tg 2 x  1 tg 4 x  10tg 2 x  1 6) y  1  sec x 3tg 3 x 8.3 derivación de las funciones circulares inversas 5)

y3

Las funciones ciclométricas o circulares inversas son las siguientes: y = arc sen(x);

y = arc cos(x);

y = arc tg(x);

y = arc sec(x);

y = arc csc(x);

y = arc ctg(x) 94

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Teorema 17.- Sea: y = arc sen(x). La derivada de la función arco seno es igual al valor recíproco de la raíz cuadrada de la unidad menos el cuadrado de la variable x, es decir: d arc sen(x) = dx

1

1  x2 y = arc sen(x)

Prueba: Partimos de la función dada: Su función inversa es:

x = sen (y)

…(a)

Derivando respecto de y:

dx d = sen (y) = cos(y) = 1  sen 2 ( y ) dy dy

De (a) y (b) se obtiene:

dx = 1 x2 dy

Invirtiendo ambos miembros:

dy = dx

Finalmente resulta:

d arcsen  x  = dx

…(b)

1 1  x2 1 1  x2

Teorema 18.- Sea: y = arc cos(x). La derivada de la función arco coseno es igual al valor negativo del recíproco de la raíz cuadrada de la unidad menos el cuadrado de la variable x, es decir: d 1 arc cos (x) = – dx 1  x2 Prueba: (Hágalo el estudiante) Teorema 19.- Sea: y = arc tg(x). La derivada de la función arco tangente es igual al valor recíproco de la unidad más el cuadrado de la variable x, es decir: d 1 arc tg (x) = dx 1  x2 Prueba: (Hágalo el estudiante) Teorema 20.- Sea: y = arc ctg(x). La derivada de la función arco cotangente es igual al valor negativo del recíproco de la unidad más el cuadrado de la variable x, es decir: d 1 arc tg (x) = – dx 1  x2 Prueba: (Hágalo el estudiante) Teorema 21.- Sea: y = arc sec(x). La derivada de la función arco secante es igual al valor recíproco del producto de la variable x por la raíz cuadrada del cuadrado de la variable x menos la unidad, es decir: d 1 arc sec (x) = dx x x2  1 95 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Prueba: (Hágalo el estudiante) Teorema 22.- Sea: y = arc csc(x). La derivada de la función arco cosecante es igual al valor negativo del recíproco del producto de la variable x por la raíz cuadrada del cuadrado de la variable x menos la unidad, es decir: d 1 arc csc (x) = – dx x x2  1 Prueba: (Hágalo el estudiante) Ejercicios para resolver en el aula: Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 1)

y  arctg

1 x 1 x

2)

1 1 (1  x 2 ) arctgx  1 x 2 2

4)

y

6)

y  x arcsen x

8)

y  arc sec

y  arc sec x

7)

x 1 x 1

5)

x

3) y  arcsen

1 x 2

y  arcsen x

y  (1  x 2 ) arc sec x 

9) y  x arc sec x

1 1 x 2

10)

y  arccos

1 x 1 x

8.4.- Derivación de las funciones logarítmicas y exponenciales. Teorema 23.- Sea: y = log (x). La derivada de la función logaritmo decimal es igual al valor recíproco de la variable independiente multiplicado por el logaritmo decimal del número irracional e. Es decir: d log( x ) 1 = log (e) dx x Prueba: Se parte de la relación y = log (x) y se siguen los cuatro pasos para el cálculo de la derivada de una función, o sea: i) ii)

Se incrementa la variable independiente, obteniéndose: y +  y = log (x +  x) Se calcula el incremento funcional:

 y = log(x +  x) – log (x) = log (1 + iii)

x ) x

Se calcula la razón incremental: x log(1  ) y x = x 1 1 log (1 + x ) = x x x x x

96 Apuntes Universitarios de Calculo I

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1 x x 1 x x log (1 + ) = log (1 + )

iv)

y 1 1 = x x x x Pasamos al límite cuando  x  0

x

y 1 x = lim log (1 + ) x x 0 x x 0 x

lim

x

1 x x

=

x

1 1 log [ lim (1 + ) x 1 x  x x

1 x x

]

x

Pero:

Resultando: Y, finalmente:

lim (1 +

1  x x

1 ) x x

1 x x

=e

dy 1 = log (e) dx x d log( x ) 1 = log (e) dx x

Teorema 24.- Sea: y = ln (x). La derivada de la función logaritmo natural es igual al valor recíproco de la variable independiente. Es decir: d 1 ln  x   dx x Prueba: Se parte de la relación y =ln (x) y se aplica el teorema 23, recordando que ln (e)=1. Teorema 25.- Sea: y = ax. La derivada de la función exponencial con base a es igual al producto de la misma función exponencial por el logaritmo natural de la base. Es decir: d x a = a x ln (a) dx Prueba: Partimos de la relación y = ax. Tomando logaritmos naturales en ambos miembros y aplicando propiedades de estos logaritmos, se tiene: ln (y) = ln (a x) = x ln (a) d d d [ln (y)] = [ x ln (a)] = ( x) ln (a) dx dx dx 1 dy Luego: = ln (a) y dx dy Despejando la derivada de y respecto de x: = y ln (a) dx d x Y, finalmente: a = a x ln (a) dx

Derivando ambos miembros:

97 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Universidad Católica Boliviana San Pablo – Unidad Académica Tarija Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas Teorema 26.- Sea: y = ex. La derivada de la función exponencial con base e es igual a la misma d x función exponencial. Es decir: e = ex dx Prueba: Se parte de la relación y = ex y se aplica el teorema anterior, recordando que ln(e)=1 -

Teorema 27.- Sea: y = e x. La derivada de la función exponencial de –x con base e es igual a de  x valor negativo de la misma función exponencial. Es decir: = – ex dx Prueba: Se parte de la relación y = ex y se aplica el teorema anterior, y el teorema 9, recordando además que ln(e) = 1

Ejercicios para resolver en el aula: Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

 

1)

y  ln  arcsen x 5   

2)

y  e x arc sec(x)

3)

y  e  x ( x 2  1)

4)

y  ln2  x   ln ln  x  

5)

y  a x cos(x )

6)

y

7)

y  x 3 ln( x) 

8)

y  log( x) ln( x)  ln( a ) log( x)

x3 3

x2 ln x

8.5 Derivación de las funciones hiperbólicas y sus inversas En la Unidad Didáctica 1 ya se estudiaron las expresiones que definen a las funciones hiperbólicas: Seno hiperbólico del argumento x Coseno hiperbólico del argumento x Tangente hiperbólica del argumento x

e x  ex 2 x e  e x ch(x) = 2 sh ( x) e x  ex tgh(x) = = ch( x) e x  e x

sh(x) =

ch( x) 1 e x  ex = = tgh( x) sh( x) e x  e x 1 2 sech(x) = = Secante hiperbólico del argumento x ch( x) e x  e  x 1 2 csech(x) = = Cosecante hiperbólico del argumento x sh( x) e x  e  x Dado que estas funciones están definidas por funciones exponenciales y por operaciones algebraicas entre estas, a manera de practicar el estudiante deberá demostrar las siguientes derivadas: d d 1. 2. sh (x) = ch(x) ch(x) = sh(x) dx dx Cotangente hiperbólica del argumento x

ctgh(x) =

98 Apuntes Universitarios de Calculo I

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3.

d tgh(x) = sech 2(x) dx

4.

d ctgh(x) = – csech2(x) dx

5.

d sec h( x ) = – sech(x)tgh(x) dx

6.

d csech(x) = – csech(x)ctgh(x) dx

Demuestre el alumno que las funciones hiperbólicas inversas están determinadas por las siguientes expresiones: Argumento seno hiperbólico del argumento x

arg sh(x) = ln x  x 2  1

Argumento coseno hiperbólico del argumento x

arg ch(x) = ln x  x 2  1

Argumento tangente hiperbólica del argumento x

arg tgh(x) = ln

Argumento cotangente hiperbólica del argumento x

1 x 1 x x 1 arg ctgh(x) = ln x 1 1 1 x2 x

Argumento secante hiperbólico del argumento x

arg sech(x) = ln

Argumento cosecante hiperbólico del argumento x

arg csech(x) = ln

1  1  x2 x

Ejercicios para resolver en el aula: 1. Calcula las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas: 1) y = arg sh (x) 2) y = arg ch (x) 3) y = arg th (x) 4) y = arg cth (x) 5) y = arg sech (x) 6) y = arg csech (x) 2. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: arg tgh( x) a) y  arg sh( x).arcsen( x) b) y  1 x 2  x2 1  c) y     arg sh( x) d) y  arg sh 2 ( x ). arg cos( x ) 2 4  9. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Hasta ahora, se ha estudiado la derivada de una función, o la primera derivada de una función, ó la derivada de primer orden de una función. Muchas veces, interesa el caso en el cual la función derivada f’(x) se puede derivar nuevamente en un intervalo I, obteniéndose de esta forma la segunda derivada de la función. Es decir, si

99 Apuntes Universitarios de Calculo I

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f ' ( x  x )  f ' ( x ) se llamará: la segunda derivada de f, o también, la derivada de x x  0

existe, lim

segundo orden y se denotará por cualquiera de los símbolos: f’’(x), D 2 f , y’’, x

d2y dx 2

.

Igualmente, se puede analizar si f ’’ es derivable, en cuyo caso, a la función resultante se llama: la tercera derivada de f, ó, la derivada de tercer orden y que se denotará por: f ’’’(x), f ’’’, Dx3 f , y’’’,

d3y dx 3

.

Siguiendo este proceso, se puede preguntar por la existencia o no, de la derivada enésima o la derivada de enésimo orden de f, la cual se denotará por: f (n)(x) , f (n), D

xn

f (x) , y (n),

dny dx n

.

Observación: Todas estas notaciones se extienden a las llamadas: derivadas de orden superior. Observemos dy d 2 y d 3 y , , dx dx 2 dx 3 d  dy  resulta ser la más apropiada y natural, al menos así lo pensaba él al escribir:   dx  dx 

que, si bien la notación de Leibnitz para las derivadas es complicada

como

d2y dx 2

;

d  d  dy  d3y o como .   dx  dx  dx  dx 3

Ejercicios para resolver en el aula: Calcula las siguientes derivadas sucesivas 1) Halla las cinco primeras derivadas de las funciones: a) f (x) = 7x 6 + 4 x 2 - 1;

b) g(x) = cos(x)

2) Halla las derivadas sucesivas de las siguientes funciones, intentando dar su fórmula enésima: a) c)

f (x) = ln(1 + x) f (x) = e-3x

b) d)

f (x) = x.ex f (x) = x.ln(x)

3) Sea f (x)=3 x 4 + 5 x 2 + 1. Halla: f ’(0), f ’’(0), f ’’’(0), f iv(0) y f v(0) 4) Hallar las seis primeras derivadas de las funciones: a)

y = ln(a + x)

b)

y=

1 x2

c)

y = tg(x)

10. DERIVACIÓN IMPLÍCITA Supóngase que las variables x e y, están relacionadas por alguna ecuación de la forma: F(x, y) = 0

… (1). 100

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Así como en ecuaciones de esta forma como las siguientes: x2 + y2 – 25 = 0

… (2)

x3 + xy2 + y6 = 0

… (3)

y3 + 7y = x3

… (4)

x2 + y2 + 25 = 0

… (5)

Definición: Si una función f, definida en un intervalo I, es tal que la ecuación (1) se transforma en una identidad cuando la variable y se reemplaza por f (x), se dice que f está definida implícitamente por medio de la ecuación (1). Ejemplo: La ecuación (2) define implícitamente las siguientes funciones: y=

25  x 2 

y=–

25  x 2 en el intervalo [–5, 5].

La sustitución de cada una de estas funciones en (2) da lugar a la siguiente identidad: 2

x2 +   25  x 2  – 25 = 0.   Observación: No toda ecuación de la forma F(x, y) = 0, define de manera implícita una función, como sucede por ejemplo, con la ecuación (5), para la cual no existe ninguna pareja (x, y) que la satisfaga dado que x2 + y2 + 25 es siempre un número positivo. Supongamos ahora que las variables x e y, están relacionadas por alguna ecuación de la forma: F(x, y) = 0

… ()

Si existe una función f, definida en un intervalo I, tal que la ecuación (), como se indicó anteriormente, se transforma en una identidad cuando la variable y se reemplaza por f(x), se dice que f está definida implícitamente por medio de la ecuación (1). Determinemos, pues, una expresión que nos permita calcular

a partir de la función implícita

F(x, y) = 0, para lo cual seguimos los pasos utilizados en la determinación de la función derivada. i) Partimos de la expresión: z = F(x, y) = 0 (a) ii) Incrementamos x en un x, por lo que y se incrementa en y y la expresión anterior también se incrementa en z, es decir: z + z = F(x + x, y + y) (b) iii) Calculamos el incremento z, restando la expresión (b) – (a): z = F(x + x, y + y) – F(x, y) 101 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Si al segundo miembro de esta expresión, restamos y sumamos F(x, y + y), podemos escribir: z = F(x + x, y + y) – F(x, y + y) + F(x, y + y) – F(x, y) (c) Pero en la diferencia F(x + x, y + y) – F(x, y + y), se mantiene y + y, resultando que ésta es un incremento parcial de F respecto de la variable x. Y, del mismo modo, en la diferencia F(x, y + y) – F(x, y), se mantiene x, resultando que ésta es un incremento parcial de F respecto de la variable y. Ello nos permite introducir la siguiente notación: x z = F(x + x, y + y) – F(x, y + y) = y F(x, y) y z = F(x, y + y) – F(x, y) = y F(x, y) Sustituyendo en la expresión (c), obtenemos: z = y F(x, y) + x F(x, y) iv) Calculemos la razón incremental, dividiendo ambos miembros entre x: z  y F  x, y   x F x, y    0 x x x O también: z  y F x, y  y  x F  x, y    0 x y x x v) Calculemos el límite de esta igualdad cuando x  0:  y F  x, y   F  x, y  y lim lim  lim x 0 d  x  x x x y x Expresión en la que se tienen las siguientes derivadas:

lim x  0

 y F x , y  y

 Fy  x , y  

F  x , y  Derivada parcial de F (x, y) con respecto y

ay

 x F x , y  F  x , y   Fx  x , y   Derivada parcial de F (x, y) con respecto x  0 x x lim

ax y dy  Derivada de y con respecto a x. x dx Reemplazando estas expresiones en (d) obtenemos: F  x, y  dy F  x, y   0 y dx x lim

 x 0

De donde despejamos

obteniéndose finalmente:

F  x , y  F x , y  dy   x  x F  x , y  dx Fy  x , y  y Expresión que nos permite calcular la derivada de una función implícita definida por la expresión F (x, y) = 0. 102 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Ejemplo. Para la función dada a continuación, calculemos: F(x, y) = x 2 + y 2 - 25 = 0

F  x, y   2y y F  x, y   2x x

F  x, y  dy 2x   x   F  x , y  dx 2y y

x dy = y dx

De donde resulta:

Ejercicios para resolver en el aula: Calcular las derivadas implícitas de las siguientes expresiones 1) x 2 + y 2 = 9

2) 3 x 3+2 x 2 y 3 + 6 x y + 8 = 0

4) y 2 – x 2 = 6

5)

y 3+ x 3=1

7) sen (y 2) – cos ( x 2) = 1

8)

y 3 + cosec (x 3) = 1

3) y 3 + x 2 = x x2 y2 6)  1 a2 b2 3

9)

3

x2 a2



3

y2

3

b2

1

Ejercicios para resolver en domicilio: 1.-Deriva utilizando reglas de derivación: a ) y = (x 5  x 3  2 x  4) 7

d) y =

(1 - x)3 2

1 x

3(x - 7) 5 5

c) y =

e) y = 4 log 4 4 x

g) y = (x 3  x) 2 .( 2 x 2  2)

j) y =

b) y =

k)

1 x

a x

3



(x + 4)5

f ) y = ln(x + 2)

h) y = (x - 1)(x + 1)

y=

5

b x3 x

i) y = ln

l)

1- x 1+ x 3

y = x2 x2

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m) y =

ex ; ln x

n) y 

p) y = 3.7 x -lnx ;

v) Si f ’(1) = - 4

o) y =

q) y = 4 sen x ;

x+1 ; x -1

s) y = sen

x 1 ; x 1

t) y = ln y

f  x 

ln(x + 1) x +1

r) y = e 1- x .(1  x) e ;

1 + senx ; 1 - senx

u) y = ln

arcsenx 2 x2 1

xa calcula “a” xa

2. Calcula las siguientes derivadas implícitas: a)

x2+ y2= 9

b)

3 x3+ 2 x2 y3+ 6 x y + 8 = 0

c)

y3+ x2= x

d)

y2– x2= 6

e)

y3+ x3= 1

f)

g)

x – y + x3 = 0

h)

y - x5 – 5y3 + 4x = 1 seny x y =0 2 arc tg (x + y) – x = 0 y x 2  y 2 = arc tg x x y 3 y =0 x y

i) 3

k) m)

x y a 0

j)

3 x2  3 y2  a2  0

l)

x y – y x= 0 y x e

n)



x =c y x q) y – a sen (y) = x r) x y = arc tg y 3. Realiza los siguientes ejercicios de derivadas sucesivas:

o)

ln (x) +

=c

p)

ln (x) +

1) Halla las cinco primeras derivadas de las funciones f (x) = 7 x 6 + 4 x 2 - 1; g (x) = cos (x) 2) Halla las derivadas sucesivas de las siguientes funciones, intentando dar su fórmula enésima: a) c)

f (x) = ln (1+x) f (x) = e -3x

b) d)

f (x) = x.ex f (x) = x.ln (x)

3) Halla las derivadas de segundo orden de las siguientes funciones 3

a)

y = x8 +7x6 +5x +4

b)

y = ln 1  x 2

c)

y = ln (x + a 2  x 2 )

d)

y = (1 +x 2) arc tg (x)

4) Hallar las seis primeras derivadas de las funciones:

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a)

y = ln(1 + x)

b)

y=

1 x2

c)

y = tg (x)

d)

y = sen (x)

e)

y=

x

f)

y = arc tg (x)

11. APLICACIONES DE LA DERIVADA 11.1. Aplicación física de la derivada: Velocidad promedia y velocidad instantánea Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, distantes 100 km entre sí, en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 km./h. Esto es, la velocidad promedio es igual a la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado. Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50 Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0. Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedia, sino la llamada velocidad instantánea. Consideremos un ejemplo más preciso: Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto parte del reposo en caída libre, la posición S del objeto, como 1 función del tiempo viene dada por: S = gt 2 2 Siendo g = 9.8 m/s2, la aceleración de la gravedad y, t el tiempo transcurrido en segundos Así, luego de 1 segundo, se desplaza en caída vertical 4.9 m. Luego de 2 segundos, cae: 4.9 (2)2 = 19,6 m. En el intervalo de t =1 s a t =2 s, el objeto cae: (4.9 (2)2 – 4.9) m = 14.7 m. Así que, su velocidad promedio, en este espacio recorrido será: 4.9(2) 2  4.9 m V prom  = 14.5 2 1 s

En el intervalo del t =1 s al t =1.5 s, el objeto cae (4.9(1.5)2 – 4.9) m = 11,025 m. Su velocidad promedio será de:

V prom 

4.9(1.5) 2  4.9 m = 12.25 1 .5  1 s

En forma similar, en los intervalos de tiempo: de t =1 s a t =1.1 s, de t =1 s a t =1.01 s, y de t =1 s a t =1.001 s, el objeto caerá respectivamente: (4.9(1.1)2 – 4.9) m = 1,029 m, (4.9(1.01)2 – 4.9) m = 0,09849 m, y 105 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Universidad Católica Boliviana San Pablo – Unidad Académica Tarija Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas (4.9 (1.001)2 – 4.9) m = 0,0090045 m Sus velocidades promedio serán respectivamente:

V prom 

4.9(1.1) 2  4.9 m = 10,29 1 .1  1 s

V prom 

4.9(1.01) 2  4.9 m = 9,849 1.01  1 s

V prom 

4.9(1.001) 2  4.9 m = 9,8049 1.001  1 s

Lo que se ha hecho hasta ahora, es calcular la velocidad promedia sobre los intervalos de tiempo cada vez más cortos pero próximos a 1 s. Cuanto más nos aproximamos a t = 1 s, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1 s. Los valores: 14.7, 12.25, 10.29, 9.849 y 9.8049 correspondientes a las velocidades medias, hacen "sospechar" que la velocidad instantánea en t =1 s, es de 9.8 m/s. El ejemplo anterior nos permite definir de una manera más precisa los conceptos de velocidad promedia y de velocidad instantánea. En general, supongamos que el objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posición S en cada instante t es una función S = f (t). En el instante t = c, el objeto está en f (c). En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h). Por lo tanto, la velocidad promedia durante este intervalo es: V prom 

f (c  h )  f (c ) h

Se define la velocidad instantánea V en el instante t = c del siguiente modo: f(c  h) f(c) = f’(c) h h0

V = lim V prom  lim h 0

Luego, la derivada de una función – que determina el espacio recorrido por un móvil en función del tiempo – en un punto, físicamente, se interpreta como la velocidad instantánea del móvil, en dicho punto.

106 Apuntes Universitarios de Calculo I

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11.2. Aplicación Geométrica de la derivada A. Valores máximos y mínimos de una función de variable real. La interpretación geométrica de la derivada, permite determinar las abscisas de los puntos de una curva en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo la ecuación: f ’ (c) = 0. Analicemos las posibilidades que se pueden presentar en una función derivable en un intervalo [a; b] (figura 3.5) Una atenta mirada a la figura 3.4 nos permite visualizar de manera intuitiva los puntos que son objeto de estudio, y estos son los siguientes: i) f (c1) es el mayor valor que toma la función en una vecindad N (c1) del punto c1. En este caso se dice que f (c1) es un máximo relativo de f (x). Notamos además, que en el punto P1(c1, f (c1)), la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f es cero, esto es, f ’ (c1) = 0.

Figura 3.4. También observamos que, f (c3) es otro valor máximo que toma la función en la vecindad N (c3) del punto del punto c3. Esto indica que f (c3) es otro máximo relativo de f (x) en [a; b]. Sin embargo, en el punto P3(c3, f(c3)), la derivada de f (x) no existe – ya que se presenta un quiebre – por cuanto sus derivadas laterales son diferentes, lo cual indica que en un punto máximo relativo no necesariamente debe anularse la derivada. ii) f (c2) es un valor mínimo que toma la función en la vecindad N (c2) del punto c2. Se dice, entonces, que f (c2) es un mínimo relativo de f (x). De la misma manera que en el caso anterior en el punto P2(c2, f(c2)), se tiene que f ’ (c2) = 0.

107 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Si comparamos ahora, todos los valores que toma la función f (x) en el intervalo [a, b], se puede observar en la figura 3.4 que f (a) es el menor valor y que f (c3) es el mayor valor. Los valores f (a) y f (c3) se llaman respectivamente el mínimo absoluto y el máximo absoluto de f (x) en [a, b]. Definiciones: Sea f una función continua y derivable de variable real y sea c Df. Entonces: i.

f (c) es un valor máximo relativo de f, si existe una vecindad N (c) del punto c tal que: f (c)  f (x)  x  N (c).

ii.

f (c) es un valor mínimo relativo de f, si existe una vecindad N (c) del punto c tal que: f (c)  f (x)  x  N (c)

iii. iv.

f (c) es un valor máximo absoluto de f, en un intervalo [a; b], si: f (c)  f (x)  xDf. f (c) es un valor mínimo absoluto de f, en un intervalo [a; b], si: f (c)  f (x)  xDf.

A los valores máximos y mínimos relativos de una función se les llama: extremos relativos y a los valores máximos y mínimos absolutos de una función se les llama: extremos absolutos. Observaciones: Puede ocurrir que un extremo absoluto sea simultáneamente extremo relativo como sucede por ejemplo con f (c3) en la figura 3.5 El llamado teorema de los valores extremos, garantiza la existencia de extremos absolutos para toda función continua en un intervalo cerrado [a, b]. A pesar de que estos valores son únicos, la función puede tomarlos en diferentes puntos del intervalo. B. Extremos relativos Teorema 1. (Condición necesaria para extremos relativos) Si la función f es derivable y tiene un extremo relativo en c  f ’ (c) = 0. Demostración: Caso 1. Si f es la función constante, el teorema es evidente. Caso 2. Supóngase que f no es constante y que además f tiene un máximo relativo en c. f ( x )  f (c ) existe y además, xc xc

Como f’(c) existe, entonces, f’(c) = lim

f ( x )  f (c ) f ( x )  f (c ) f ( x )  f (c ) = lim = lim = f’(c) xc xc xc xc xc xc lim

… (1)

Siendo f (c) un máximo relativo, existe un intervalo I = ]x1, x2[que contiene al punto c y tal que: f(c)  f(x)  x  I  f(x) - f(c)  0,  x  I

108 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Universidad Católica Boliviana San Pablo – Unidad Académica Tarija Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas Si x  c+, entonces, x – c >0. Así que:

f ( x )  f (c ) f ( x )  f (c )  0  lim  0  f’(c)  0 xc xc xc

… (2)

Igualmente, si x  c, entonces, x – c < 0. Así que:

f ( x )  f (c ) f ( x )  f (c )  0  lim  0  f’(c)  0 xc xc xc

… (3)

De (2) y (3) se concluye que f’(c) = 0. Caso 3. Supóngase que f no es constante y que además f tiene un mínimo relativo en c. (Resuélvalo el estudiante). Observaciones: i.

ii.

iii.

El teorema anterior, significa geométricamente que si una función f tiene un extremo relativo en c, y f ’ (c) existe, entonces, la recta tangente a la curva en el punto (c, f (c)) es horizontal (figura 3.6. (a)). El recíproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, en una función se puede cumplir que f ’ (c) = 0 para algún punto c de su dominio, y sin embargo, f no presentar extremos relativos en dicho c; como sucede, por ejemplo, con la función f(x) = x3 (Figura 3.6. (b)). Nótese que f ’ (x) = 3x2, resultando f ’ (0) = 0 pero, la función no presenta ni máximos ni mínimos relativos en x = 0; puesto que a la izquierda de este punto f es negativa y a la derecha es positiva.

Más aún, una función puede tener un extremo relativo en un punto y ni siquiera ser derivable allí, como sucede, por ejemplo, con la función f(x) = x , (fig. 3.6.(c)) que tiene un mínimo relativo en x = 0, pero f ’ (0) no existe.

(a)

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(b)

(c) Figura 3.6.

Definición: Sea f una función definida en un intervalo abierto I. Un punto c  I se llama punto crítico de f si f ’ (c) = 0 ó si f ’ (x) no existe. Así por ejemplo, para la función: 1

y = f(x) = (3x – 2) 3 x = (3x –2) x 3 , se tiene: 1 1 2 12 x  2 y’ = f ’ (x) = 3 x 3 + (3x – 2) x 3 = 2 3 3x 3

Observando la figura 3.7, los puntos críticos de f son entonces: En x = 0, f no tiene derivada, ya que: f ‘ (0) =  , y En x = 1/6, la derivada de f es cero, es decir: f ‘ (1/6) = 0

Figura 3.7

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Extremos Absolutos Teorema 2 (Teorema de los Valores Extremos).- Toda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto). El estudiante puede verificar gráficamente el teorema 2 intentando dibujar la gráfica de una función que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b]. Cada intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada en el teorema, siempre se cumple. Observación: El teorema 2 garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado, pero, no dice como determinarlos. Sin embargo, es evidente que un extremo absoluto que no sea simultáneamente extremo relativo, se tiene que presentar en los extremos a o b del intervalo. Criterio de la primera derivada.- La primera derivada no sólo es útil en el trazado de curvas para determinar los extremos relativos, sino, también, para determinar los intervalos donde crece y decrece la curva. Al analizar en forma intuitiva el comportamiento de la función cuya gráfica aparece en la figura 3.8, se puede notar que: 1. Entre las abscisas a y b, a medida que nos desplazamos hacia la derecha, (ó en sentido positivo del eje x) la curva es ascendente, en cuyo caso se dice que la función es creciente en el intervalo [a, b], y entre las abscisas b y c la curva es descendente, en cuyo caso se dice que la función es decreciente en el intervalo [b, c]. 2. La pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos A, B y C (separan los tramos de crecimiento y de decrecimiento) es cero, o lo que es equivalente, la recta tangente es horizontal. En el punto P que pertenece a un tramo de crecimiento, la pendiente de la recta tangente a la curva es positiva y por lo tanto, su derivada es positiva. En cambio, en el punto Q que pertenece a un tramo decreciente de la curva, la pendiente y por lo tanto, la primera derivada es negativa.

B Q

A

Figura 3.8. Las ideas antes comentadas están justificadas en las definiciones y teoremas dados a continuación. 111 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Teorema 3: Teorema de Rolle Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:   

f es una función continua definida en un intervalo cerrado [a, b] f es derivable sobre el intervalo abierto ]a, b[ y, f (a) = f (b)

Entonces: existe un número c en el intervalo (a, b) tal que f '(c) = 0. En otras palabras, si una curva regular sale y llega a la misma cota, en algún punto su tangente será horizontal.

Figura 3.9 En la figura 3.9 se ven tres casos distintos. En el primer caso, si la función empieza subiendo, tendrá, en algún punto, que bajar para reencontrar el valor de su cota inicial, entre la subida y la bajada, se tiene un punto donde la función alcanza un máximo, y es en éste donde f ' se anula. Lo mismo sucede en la segunda figura: si la función empieza bajando, luego tendrá que subir para reencontrar su cota inicial y, será en el punto donde empieza a subir, donde f ' se anula y que corresponde a un valor mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c, ya que la función presenta un máximo y un mínimo. Demostración:  



Por la continuidad de f, siendo el dominio [a, b], un conjunto conexo, el rango es también un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen. El conjunto imagen o rango, definido por una función continua de un conjunto compacto es también un conjunto compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitud finita: es de la forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo. Si m = M, la función es constante, y en cualquier punto c]a, b[, f ´ se anula. Descartado este caso, si m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a f (a) = f (b). Supongamos que sea M. Entonces M > f (a) = f (b), como corresponde al primer caso, por lo tanto el máximo M está alcanzado en el interior del intervalo. 112

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

Sea c  ]a, b[ tal que f (c) = M. Por definición del máximo: M = f (c) ≥ f (x) para todo x  [a, b]. Entonces el cociente [f (c) – f (x)] / (c – x) es positivo cuando x < c (porque su numerador es siempre positivo y su denominador es positivo no nulo), y es negativo cuando x > c (el denominador se vuelve negativo no nulo). Pero f '(c) es por definición el límite de este cociente cuando x tiende hacia c. El límite por la izquierda, f ´ (c) positivo, tiene que ser igual al límite por la derecha, f ´ (c). Por lo tanto este límite común es nulo, o sea f ' (c) = 0.

La prueba es muy parecida si es el mínimo que está alcanzado en (a, b). Teorema 4: Teorema de Valor Medio, de Lagrange o de los Incrementos Finitos. Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades: i. ii.

f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. f es derivable en el intervalo abierto ]a, b[.

Entonces, existe por lo menos un punto c ]a, b[ tal que: f ’ (c) =

f (b )  f ( a ) . ba

Antes de ver la demostración del teorema, analícese su significado geométrico. En la figura 3.10 se muestra la gráfica de una función que satisface las hipótesis del Teorema del f (b )  f ( a ) Valor Medio. El término es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por ba los puntos A y B. De esta forma, se puede interpretar geométricamente el teorema del modo siguiente: Existe un punto P sobre la curva de abscisa c  ]a, b[, tal que la recta tangente a la curva en P cuya pendiente es f’(c), es paralela a la recta secante AB . Demostración: Usando la forma dos puntos de la ecuación de la recta, se deduce para la recta secante, la siguiente ecuación: y – f (a) =

De donde:

y = f (a) +

f (b )  f ( a ) (x – a) ba

f (b )  f ( a ) (x – a) ba

Definamos ahora la función F (x) como la función distancia vertical entre cada punto (x, f(x)) de la gráfica de f y el correspondiente (x, y) de la secante AB (segmento d. de la fig. 3.11). Así que:

F(x) = f(x) – y = f(x) – [f(a) +

f (b )  f ( a ) (x – a)] ba 113

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Esto es,

F(x) = f(x) –f(a) –

f (b )  f ( a ) (x – a) ba

… (1)

Figura 3.10. La función F (x) así definida satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo [a, b]. En efecto, es decir: F (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). f (b )  f ( a ) ba

Derivando (1) se obtiene:

F’(x) = f ’(x) –

Si hacemos x = a en (1), se tiene:

F(a) = f (a) –f (a) –

Si hacemos x = b en (1), se tiene:

F(b) = f(b) –f(a) –

… (2)

f (b )  f ( a ) (a – a) = 0 ba

f (b )  f ( a ) (b – a) = 0 ba

En consecuencia, de acuerdo al teorema de Rolle, existe por lo menos un punto c  ]a, b[ tal que F’(c) = 0, el que, aplicado en la expresión (2), permite escribir: F’(c) = f’(c) –

De donde resulta que:

f ’(c) =

f (b )  f ( a ) =0 ba

f (b )  f ( a ) . ba

Teorema 5: Criterio para crecimiento y decrecimiento Sea f una función de variable real continua en [a, b] y derivable en (a, b). i. ii.

Si f ’ (x) > 0  x  ]a, b[  f es creciente en [a, b]. Si f ’ (x) < 0  x  ]a, b[  f es decreciente en [a, b]. 114 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Demostración: i.

Sean x1 y x2 dos puntos de [a, b] tales que x1 < x2. Evidentemente, f es continua en [x1, x2] y derivable en] x1, x2[, luego por el Teorema del Valor Medio, existe por lo menos un punto c  ] x1, x2[tal que: f ’ (c) =

f  x2   f  x1  x2  x1

… (1)

Como x1 < x2, entonces resulta: x2 - x1 > 0 y como por hipótesis f ’(c) > 0, entonces de (1) se deduce: f (x2) – f (x1) = f ’ (c)( x2 - x1) > 0 Luego, f (x2) > f (x1) y por tanto, f es creciente en [a, b]. ii.

Se demuestra de manera similar.

Observación: El crecimiento y el decrecimiento de una curva coinciden con el signo de la primera derivada. Así, se tiene que donde f ’(x) > 0 (derivada positiva), f (x) es creciente y, donde f ’(c) < 0 (derivada negativa), f(x) es decreciente. Teorema 6: Criterio de la primera derivada para extremos relativos Sea f una función continua en un intervalo I; sean los puntos a, b, c  I, tal que a < c < b y c un punto crítico de f, es decir: f ’ (c) = 0 o f ’ (c) no existe. . Entonces: i.

Si f ’ (x) > 0 para todo x]a, c[ y f ’ (x) < 0 para todo x  ]c, b[, entonces, f(c) es un máximo relativo (figura 3.11. (a) y figura 3.11. (b)).

ii.

Si f ’ (x) < 0 para todo x]a, c[ y f ’ (x) > 0 para todo x]c, b[, entonces, f(c) es un mínimo relativo (figura 3.11. (c) y figura 3.11. (d)). 115 Apuntes Universitarios de Calculo I

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iii.

Si f ’ (x) > 0 para todo x]a, c[ y f ’ (x) > 0 para todo x]c, b[, entonces, f(c) no es un extremo relativo (figura 3.11. (e)).

iv.

Si f ’ (x) < 0 para todo x]a, c[ y f ’ (x) < 0 para todo x]c, b[, entonces, f(c) no es un extremo relativo (figura 3.11. (f)).

Demostración: i.

Si f ’ (x) > 0 en ]a, c[,por el Teorema 5 se tiene que f es creciente, luego para todo x ]a, c[ se tiene: f (x) < f (c) … (1) Ahora bien, como f ’ (x) < 0 en ]c, b[, entonces f es decreciente (Teorema 5) y de esta forma, para todo x  ]c, b[b, se cumple: f (c) > f (x) … (2) De (1) y (2) se concluye que f (c) es un máximo relativo.

ii. iii.

iv.

Similar a la parte i. Si f ’ (x) > 0 en ]a, c[ y f ’(x) > 0 en ]c, b[, entonces, por el Teorema 5 se tiene que f (x) < f (c) para todo x en ]a, c[ y f (c) < f (x) para todo x en ]c, b[; de lo cual se concluye que f (c) no puede ser ni máximo ni mínimo relativo. Similar a la parte iii.

Observación: Si la derivada de una función, al aumentar la abscisa, pasa de valores positivos a negativos, entonces, el punto crítico corresponde a un máximo relativo; y, recíprocamente, si la derivada pasa de valores negativos a positivos, el punto crítico corresponde a un mínimo relativo. 116 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Concavidad y Puntos de Inflexión de una Curva Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva. Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de tipo intuitivo. Consideremos la función f cuya gráfica aparece en la figura 3.12. Notemos, en primer lugar, que la curva que representa f, tiene tangente en todos sus puntos (es derivable en todos sus puntos). Observemos también que en los puntos "cercanos" a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por "debajo" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia abajo en el punto x1.Igualmente observemos que en los puntos "cercanos" a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por "encima" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto P(c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad "cambia" recibe el nombre de punto de inflexión de la curva.

Figura 3.12. Definiciones: Sea f una función derivable en un punto c de su dominio (Figura 3.13). i.

Se dice que f es cóncava hacia arriba en c o que tiene concavidad positiva en c, si existe un intervalo abierto ]a, b[ al cual pertenece c, tal que para todo x (a, b), x  c se cumple que: z (x) = yc – yt > 0

Siendo yc : la ordenada que corresponde al punto de abscisa x de la curva ; yt : la ordenada del punto de igual abscisa en la recta tangente, o también: z (x) = f (x) – f ’ (x)(x – c) – f (c) > 0

(Ver figura 3.13. (a))

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(a)

(b) Figura 3.13.

ii.

Se dice que f es cóncava hacia abajo en c o que tiene concavidad negativa en c, si existe un intervalo abierto ]a, b[ al cual pertenece c, tal que para todo x (a, b), x  c se cumple que: z (x) = f (x) – f ’ (x)(x – c) – f (c) < 0 (Ver figura 3.13. (b))

iii.

Se dice que f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de I.

iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los subintervalos: ]a, c[ y ]c, b[. Se usará el símbolo , para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cóncava positiva. Igualmente, se emplea el símbolo , para denotar que una curva es cóncava hacia abajo o cóncava negativa. Teorema 7: Criterio de la segunda derivada para concavidad Sea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto I: i. ii.

Si f ’’(x) > 0 para todo x  I, entonces, f es cóncava hacia arriba en I. Si f ’’(x) < 0 para todo x  I, entonces, f es cóncava hacia abajo en I.

Los puntos para los cuales f ‘’ (x) = 0 o f ’’(x) no existe, son "candidatos" viables para ser puntos de inflexión. Sin embargo, puede suceder que, para un valor de c del dominio de una función, se cumpla que f ’’(c) = 0 y el punto P (c, f (c)) no es punto de inflexión. Ejemplo. Consideremos la función definida por: f (x) = x4 y cuya gráfica aparece en la figura 3.14. Como:

f (x) = x4,

f ’(x) = 4x3,

f ’’(x) =12 x2 118

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Universidad Católica Boliviana San Pablo – Unidad Académica Tarija Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas Para c = 0, se tiene: f ’’(0) = 12(0)2 = 0 sin embargo el punto P (0, f (0)) = P(0, 0) no corresponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de x anteriores y posteriores a x = 0, f ’’(x) > 0 y no cambia la concavidad de la curva.

Figura 3.14

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Unidad Didáctica 4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES REALES 1. INTRODUCCIÓN La integración se relaciona con dos problemas clásicos del Análisis Matemático, aparentemente no relacionados:  

El cálculo del área debajo de una curva definida por una función matemática y, La obtención de una función – denominada primitiva – cuya derivada es la función dada, realizando la "operación inversa" a la derivación.

Fueron Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes dieron forma al teorema fundamental del cálculo, que establece la íntima relación en la solución de ambos problemas. En este contexto, llamaremos Integral Definida al número obtenido que cuantifica el área bajo una curva, e Integración Indefinida a la operación inversa de la derivación que permite determinar la primitiva o antiderivada de una función dada. En esta unidad didáctica intentaremos determinar el área de aquellas regiones (figura 4.1) que están limitadas por el eje horizontal x, las rectas verticales que pasan por los puntos de coordenadas (a, 0) y (b, 0), y la gráfica de una función f . Convendremos en denotar a esta región por R(f, a, b).

Figura 4.1

figura 4.2

El número que se establecerá como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre el intervalo[a, b]. Si f tiene una gráfica semejante a la de la figura 4.2, la integral representará la diferencia entre las áreas de las regiones de marcadas con signo “+” y de la región marcada con el signo “–” (área algebraica de R(f, a, b)). 2 LA INTEGRAL DEFINIDA Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función continua definida por y = f (x). Se intentará encontrar el área S de la superficie limitada por el 120 Apuntes Universitarios de Calculo I

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gráfico de y = f (x) > 0, el eje de las abscisas x y las rectas verticales que pasan por los puntos x = a y x = b (Figura 4.3).

Figura 4.3 Para resolver este problema procederemos como sigue: i.

Particionemos el intervalo [a, b] en n partes, no necesariamente iguales, denominadas subintervalos. I1 = [a, x1];

ii.

I2 = [x1, x2];

I3 = [x2, x3]; …; Ii = [xi-1, xi]; … ; In = [xn-1, b]

Calculamos la longitud de cada uno de dichos subintervalos: x1 = x1 – a , x2 = x2 – x1, x3 = x3 – x2 …, xi = xi – xi-1,

iii.

t2 [x1, x2],

t3 [x2, x3], ...,

ti [xi-1, xi],

…,

tn [xn-1, b]

Calculamos los valores de f (x) para cada uno de estos puntos: y1 = f (t1), y2 = f (t2),

v.

xn = b – xn-1

En cada subintervalo, seleccionamos, arbitrariamente, un punto ti (con i = 1, 2, 3, … n): t1[a, x1],

iv.

…,

y3 = f (t3), …, yi = f (ti),

…,

yn = f (tn)

Determinamos la sumatoria de los productos f (ti)xi.: Sn = f (t1) x1 + f (t2) x2 + f (t3) x3 +… + f (ti) xi + … + f (tn) xn Es evidente que Sn es igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 4.3. Cuanto más pequeñas sean las longitudes xi de los subintervalos [xi-1, xi], más próximo se hallará el valor Sn al del área S. Consiguientemente, si tuviéramos la suma de tales valores por partición del intervalo [a, b] en partes cada vez más pequeñas, es decir, cuando n es cada vez más grande, entonces la suma Sn tenderá a S. 121 Apuntes Universitarios de Calculo I

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vi.

Si suponemos que n crece indefinidamente entonces, la longitud del mayor intervalo, xi, tenderá a cero, en ese caso resultará: i n

i n

 f (t i )x i = nlim  f (t i )xi  x  0

S = lim i

i 1

i 1

in

El cálculo del área buscada se reduce a calcular el lim

 f (ti )xi , de este modo, se obtiene

xi 0 i 1 i n

in

 f (t i )x i x  0

una definición rigurosa del concepto de área: es el lim i

 f (t i )xi . n 

o lim

i 1

i 1

i n

El lim

 f (t i )x i

se llama integral definida de Riemann de la función f (x) en el intervalo

xi 0 i 1

[a, b], y se nota por: b

i n

 f (t i )x i x  0 lim i

i 1

=

 a

in

 f (t i )xi n 

f ( x) dx = lim

i 1

La expresión f (x)dx se llama integrando; los números a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, b es el límite superior, x se denomina variable de integración y,  es el símbolo integral o de integración. Ejemplos: Utiliza la definición de la integral de Riemann en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1: Calcular el área A bajo la gráfica de f (x) = x + 3 en el intervalo [0, 4] n

 f (t i )x i , para resolver el ejercicio, tratemos de seguir la lógica n 

Resolución Como: A = lim

i 1

que nos permitió deducir la fórmula de la integral de Riemann, es decir: i) Particionemos el intervalo [0, 4], pero con una partición igualitaria, obtenemos entonces longitudes iguales para todos, es decir: ba 40 4 x i = =  n n n ii) En cada subintervalo, seleccionamos un punto ti de modo que, obedezcan a una ley lógica que nosotros imponemos, hagamos: 40 4 ti = a + i xi = 0 + i =i n n iii) Calculamos los valores de f (x) para cada uno de estos puntos: 4 f (ti) = ti + 3 = i + 3 n 122 Apuntes Universitarios de Calculo I

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iv) Calculemos los productos f (ti)xi:

4 4 f (ti)xi = ( i + 3) n n

v) Determinamos la sumatoria de los productos f (ti)xi. es decir: n

f t i xi =

 i 1

n  4 4 n  4  4 4 n 4i i  3 = (  3 ) = i  3       1  n  n i 1  n n i 1 n i 1  n i 1  n

n

i = 1 + 2 + … + i + … + n =

Pero como:

i 1

n(n  1) y 2

n

 1 = n(1) = n i 1

n

1 4  4 n(n  1)     3n  = 8(1  )  12  n n n 2  i 1   vi) Para llegar a la expresión de Riemann, aplicamos límites cuando n  , resultando:

 f t x

Resulta:

i

n

 f t x n 

A = lim

i

i 1

i

i

=

1 1   = lim 8(1  )  12 = 8 lim (1 + ) + lim 12 = 8 + 12 = 20 n n n   n  n  

Ejemplo 2: Determina el área A bajo la gráfica de f(x) = 4 – x2 en el intervalo [–2, 2]. Resolución:Sigamos la misma lógica que nos permitió deducir la fórmula de la integral de Riemann, es decir: i) Particionemos el intervalo [–2, 2], pero con una partición igualitaria, obtenemos entonces longitudes iguales para todos, es decir: ba 2   2  4 = x i =  n n n ii) En cada subintervalo, seleccionamos un punto ti de modo que, obedezcan a una ley lógica que nosotros imponemos, hagamos: 4 ti = a + i xi = –2 + i n iii) Calculamos los valores de f (x) para cada uno de estos puntos: 4 2 f (ti) = 4 – ti 2 = 4 – (–2 + i ) n 4 2 4 iv) Calculemos los productos f (ti)xi: f (ti)xi = [4 – (–2 + i ) ] n n v) Determinamos la sumatoria de los productos f (ti)xi. es decir: 2 n 4 n   4i   4 n   16i 16i 2  4 n  16i 16i 2   = f ( t )  x = 4   2      =  4  4     i i 2  n   n n i 1   n   n i 1   n i 1 n n 2   i 1     n 4  16 n 16 n 2  f ( t i ) x i =  i  i n  n i 1 n 2 i 1  i 1 vi) Para llegar a la expresión de Riemann, aplicamos límites cuando n  , resultando: 123 Apuntes Universitarios de Calculo I

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n

A = lim n 

 i 1

4  16 n 16 n 2  4  16 n( n  1) 16 n( n  1)(2n  1)   i  i = lim     2 6 n  n  n i 1 n2 n 2 i 1  n  n  n  4  16 n (n  1) 16 n (n  1)(2n  1)   A = lim   2 6 n  n  n n2 

f t i xi = lim

1 32 1 1  64 32  A = lim  32(1  )  (1  )(2  )  = 32 – = n 3 n n  3 3 n   3 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INFINITESIMAL. 3.1. Primer teorema fundamental.Sea f una función integrable sobre [a, b] y x  ]a, b[. Si F es la función definida por: x

F(x) =

 f ( x)dx a

Entonces:

F’(x) = f (x)



d dx

x

 f ( x)dx = f (x) a

Definición: Se dice que una función F(x) es una primitiva o antiderivada de otra función f(x) sobre un intervalo ]a, b[, si para todo x contenido en ]a, b[ se tiene que F’(x) = f(x). Este primer teorema fundamental del Cálculo puede también expresarse: x

F(x) =

 f ( x)dx



F’(x) = f(x)

 x  ]a, b[

a x

Luego, si f es continua, entonces f es la derivada de la función F(x) =

 f ( x)dx . a

3.2 Segundo teorema fundamental del cálculo integral.Sea f es integrable sobre [a, b] y sea F alguna función tal que: F' (x) = f (x), entonces: b

 f ( x)dx = F (b) – F (a) a

Esta igualdad es conocida como la fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva o antiderivada de la 124 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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misma. Este teorema se constituye así un el enlace entre el cálculo diferencial y el cálculo integral. Muchos de los problemas concretos de las matemáticas se resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece que la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia se acostumbra a escribir así: b

F ( x ) a = F (b) – F (a) '

 x3  Ejemplo: La igualdad:   = x2, muestra que la función  3    2 x . Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz, se obtiene: a

x3 = x dx  3

a

2

0

= 0

 x3    es una primitiva de la función  3   

a3 03 a3 – = 3 3 3

3.3. Propiedades de la integral definida Si f (x) y g (x) son dos funciones continuas en el intervalo de integración [a, b], entonces: a

1.

b

 f ( x)dx 0

2.

a b

c

 a

4.

a b

b

b

 cf ( x)dx  c  f ( x)dx a

5.

 f ( x)dx    f ( x)dx a

b

3.

a

b

b

  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx a

a

a

b

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx , cuando a < c < b c

a

4. LA INTEGRAL INDEFINIDA 4.1 La primitiva y la integral indefinida.- Teorema.- Sean F1(x) y F2(x) dos primitivas de la función f(x) en el intervalo ]a, b[, entonces, para todo x de ]a, b[, F1(x) – F2(x) = constante. Es decir, dada una función f(x) sus primitivas difieren en una constante (en adelante se denotaremos por C a una constante cualquiera). Definición.- El conjunto de todas las primitivas de una función f(x) definida en el intervalo ]a, b[ se denomina integral indefinida de f(x) y se denota por  f ( x )dx . De manera que, si F(x) es una primitiva de f(x), resulta:

 f ( x )dx =

F(x)+ C 125

Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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4.2 Propiedades de la integral indefinida. d 1. f ( x) dx = f(x) 2.  0 = C 3.  f ( x)dx = F(x)+ C dx  4.  ,   R,  f ( x)  g ( x )dx =   f ( x)dx +   g ( x )dx





5 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. Un método de integración es el conjunto de operaciones que se aplican a una función para determinar su primitiva. 5.1 Método de integración por fórmulas o de las integrales inmediatas.Denominadas también integración por tablas, son formulas de integración que se deducen de las formulas de derivación ya conocidas. Las más usuales son las siguientes: 1.

n  x dx 

3.

e

x

x n1 C n 1

n  1

2.

dx  e x  C

4.

 sen( x)dx   cos( x)  C 7. sec ( x) dx  t g ( x )  C  9. sec( x)tg ( x ) dx  sec( x)  C  11. tg ( x ) dx   ln cos( x )  C  13. sec( x )dx  ln sec( x )  tg ( x )  C  dx 15.  1  x  arcsen( x)  C

 cos( x)dx  s e n( x)  C 8. csc ( x ) dx  ctg ( x )  C  10. c sec( x ) ctg ( x )dx  c sec( x )  C  12. ctg ( x ) dx  ln sen( x )  C  14. cs e c( x ) dx  ln c sec( x )  ctg ( x )  C 

5.

6.

2

2

19.

x



dx 2

1 x

 arc sec( x)  C

18.

1 x

 ln x  1  x 2  C

20.

x 1

dx 1 x2

dx

16.

2

17.

dx  ln x  C x ax x a dx  C  ln a



2

 arctg ( x)  C

dx

x

2



1 1 x ln C 2 1 x

dx 1 x2

  ln

1 1 x2 C x

Ejemplos: 2

 1   dx Ejemplo 1: Hallar la integral:   x  x  Resolución: 2  2   1   x  2 x 1  1 dx =  x  2  1 dx   = x  dx      2 x x x x   2

 1  x2   x  dx =  2 x  ln x  C    2 x 126 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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Ejemplo 2: Hallar la integral:

( x  1) 2

 x3  x

dx

Resolución:

( x  1) 2

 x3  x

dx = 

1 ( x 2  1)  2 x x 2  2x 1 2  dx =ln x +2arctg(x)+C dx =  dx =    2 2 2 x( x  1) x( x  1)  x x 1 

Ejemplo 3: Hallar la integral: Resolución:

 tg ( x)  ctg ( x)

2

dx

 tg ( x)  ctg ( x)  dx =  tg ( x)  2tg ( x)ctg ( x)  ctg ( x) dx = =  tg 2 ( x)  2  ctg 2 ( x) dx =  tg 2 ( x)  1  1  ctg 2 ( x)dx = =  tg 2 ( x)  1dx   1  ctg 2 ( x)dx =  sec 2 ( x)dx   csc 2 ( x)dx 2  tg ( x)  ctg ( x) dx = tg(x) – ctg(x) + C 2

2

2

Ejercicios para resolver en el aula: Empleando las fórmulas de integración inmediata, calcular las siguientes integrales: 1)

3)

5) 7) 9) 11)

2  2  3   a  x 3  dx

3

   dx  

 x2  7 dx



8  x2 dx



adx



(

4)

 10  x 2



a x

4 dx

dx

6)



8)



5x  2

 ax

x  1)( x  x  1)dx

2)

 2  x2  2  x2   4 x4 xdx 1 x 4 x  ln( x) dx x

10)



12)

 3x 2  5

ax

dx  

dx

5.2 Método de integración por partes.Este método se basa en la formula de la diferencial del producto de dos funciones u y v, es decir: d (uv) = u dv + v du Integrándola, se tiene:

 d ( uv ) =  udv +  vdu

De donde se obtiene:

uv =  udv +  vdu 127

Apuntes Universitarios de Calculo I

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Universidad Católica Boliviana San Pablo – Unidad Académica Tarija Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas

 udv  uv   vdu

Despejando, finalmente se obtiene:

Formula que se conoce con el nombre de integral por partes. Ejemplos. Ejemplo 1: Hallar la integral de: Resolución: Hacemos: De donde: du = 2x.dx

x

e dx

u = x2 v = ex



x

2 x

2 x

e dx = x2 ex –

Donde debemos calcular la integral

 2 xe

x

dx

… (1)

x

 2 xe dx , utilizando el mismo método, es decir: x x  2 xe dx = 2 xe dx

u=x du = dx

 

2  xe x dx = 2(xex -

e

Nuevamente se hace: De donde se obtiene:

dv = exdx



dv = exdx v = ex x

dx ) = 2 xex – 2ex

… (2)

Finalmente, sustituyendo (1) en (2): 2 x

2

 x e dx = (x Ejemplo 2: Hallar la integral de:  e x sen( x)dx

– 2 x + 2)ex + C

u = ex   v = - cos(x)

Resolución: Hacemos: De donde: du = ex dx

e

x

sen( x)dx = - ex cos(x) +  e x cos( x)dx … (a)

Donde debemos calcular la integral nuevamente se hace: u = e

e

x

x

cos( x)dx , utilizando el mismo método, es decir,



dv = cos(x)dx

du = exdx

De donde se obtiene:

e

dv =sen(x) dx

x

 x

cos( x)dx = e sen(x) -

v = sen(x)

e

x

sen( x)dx

… (b)

Sustituyendo (b) en (a):

e

x

sen( x)dx = - ex cos(x) + ex sen(x) –

e

x

sen( x)dx

Finalmente se obtiene:

e

x

sen( x)dx =

Ejemplo 3: Hallar la integral de:



Resolución: Hacemos: De donde:

du = 

1 [– ex cos(x) + ex sen(x)] + C 2

a 2  x 2 dx

u=

xdx

a2  x2





dv = dx

v= x

a2  x2

128 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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a 2  x 2 dx = x a 2  x 2 +



Donde debemos calcular la integral

x 2 dx



2

a x a  (a  x )dx =  = a2  x2 2

Obteniéndose:



2

2

x 2 dx



=

2



a 2  a 2  x 2 dx 2

a x 2



a dx a2  x2

x 2 dx

… (1)

a2  x2

 x = a 2 arcsen   – a a2  x2



–



2

=

a 2  x 2 dx a2  x2

a 2  x 2 dx

... (2)

Sustituyendo (2) en (1):



 x a 2  x 2 dx = x a 2  x 2 + a 2 arcsen   – a



a 2  x 2 dx

Y, finalmente:



a 2  x 2 dx =

1  x [x a 2  x 2 + a 2 arcsen   ] + C 2 a

Ejercicios para resolver en el aula: 2)

7)

 ln( x)dx ax  e xdx 3  sec ( x)dx

10)

 arc sec(x)dx

1) 4)

3)

8)

 x cos( x)dx ax 2  e x dx  arcsen( x )dx

11)

 xarctg ( x)dx

12)

5)

6) 9)

 x ln( x)dx 2  sen ( x)dx  arctg ( x)dx ln( x)

 ( x  1) 2 dx

5.3 Método de integración por sustitución o cambio de variable.Sea  f ( x)dx donde a su vez x = g(t),  dx = dg(t) = g'(t) dt , por lo que resulta:

 f ( x )dx =  f ( g (t ))• g ' (t )dt Se pueden presentar los siguientes casos: i) Integrando irracional.- Para este caso, se aplica un cambio de variable que haga desaparecer todos los radicales. Ejemplos Ejemplo 1: Sea integrar:

1

dx x 1 Resolución: Sustituimos: x - 1 = t2  x = 1 + t 2  dx = 2t dt

x

129 Apuntes Universitarios de Calculo I

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1



1 t 2



2tdt  

t2

1

1  t .t 2

1

x Ejemplo 2: Integra:

2t

x 1

dt  2 

1 1 t 2

dt  2 arctg (t )

dx = 2arctg x  1 + C

dx

3 x

x

Sustituimos: x = t 6  dx = 6t 5 dt  t = 6 x

1

3 x

x

dx = 

1 3 6

t  t6

6t 5 dt = 

6t 5 t2  t3

dt 

6t 3

dt

 1 t

  1   t 3 t 2  2  dx = 6 t  t  1 dt  dt =6   t  ln( 1  t ) 3 x x  1  t   3 2      Retornando a la variable original: 6 3 6 2  1 x  x  6 6  3 x  x dx = 6  3  2  x  ln(1  x )  + C  



1



ii) Integrando exponencial o logarítmica: sustitución a f(x) = t ó log f(x) = t Ejemplo. Integrar:

ex

 1  e2 x dx

Resolución: Efectuando la sustitución ex = t  x = ln(t)  dx = ex

t

1

1 dt t

1

 1  e 2 x dx   1  t 2 • t dt   1  t 2 dt  arctg (t )  arctg (e

x

) +C

iii) Integrando trigonométrico: a) Impar en seno: Sustitución cos (x) = t  x = arc cos(t)  dx =

1 1 t

Ejemplo. Integrar:

dt 2

sen( x)

 1  4 cos 2 ( x) dx

Resolución: sen ( x)

 1  4 cos 2 ( x)

dx =

sen( x)

1 t 2

 1  4t 2 1

•

1

dt =

1 t 2

1

 1  2t 2 dt

1

 1  4 cos 2 ( x) dx =  2 arctg (2t ) = =  2 arctg (2 cos( x)) C b) Impar en coseno: Sustitución sen (x) = t  x = arcsen(t)  dx =

1 1 t

Ejemplo. Integrar:

 sen

2

dt 2

( x) cos( x) dx 130

Apuntes Universitarios de Calculo I

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Resolución: 2 2 2  sen ( x) cos( x) dx   t • 1  t

1 1 t 2

dt   t 2 dt 

t 3 sen 3 ( x)  +C 3 3

1 dt 1 t2 1 1  y también que sen(x) 1  tg 2 x 1 t 2

c) Par en seno y coseno: Sustitución tg(x) = t  x = arctg(t)  dx = Por si fuera necesario conviene recordar que cos(x) = = cos(x) · tg(x) =

t 1 t2

Ejemplo. Integrar:  tg 2 ( x)dx t2 2  tg ( x) dx  

Resolución:

sen 2 ( x)

dx   1  t 2 1 cos ( x)

2

•

1

dt =

1 t 2

1 t 2 2  tg ( x)dx =

 tg

2

t2

1

 1  t 2 dt   1dt   1  t 2 dt =

( x)dx = t – arctg(t) = tg(x) -arctg(tg(x)) + C = tg(x) - x + C

iv) Integrando función trigonométrica inversa: Por ejemplo para el arcsen(x) la sustitución es arcsen(x) = t  x = sen(t)  dx = cos(t) dt Ejemplo. Integrar:



arcsenx

dx

2

 x 1

Resolución:

arcsenx

 

2

 x 1

arcsenx

dx =

 x 2 1



 x(5 x

2





t

cos tdt 2

 sen t  1

t 1  sen 2 t

dt =  t dt 

t2 +C 2

1  sen 2 t arcsen( x) 2 + C arcsenx dx = 2  x 2 1

Ejercicios para resolver en el aula: dx 1)  2 x x 2 3)

dx =

 3) 7 dx

dx

2)

 e x 1

4)



xdx x 1

131 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

Universidad Católica Boliviana San Pablo – Unidad Académica Tarija Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas

5)



7)



cos( x)dx

6)

1  sen 2 x dx

8)

 1

10)

2x 1 x 2 1 dx



x dx

dx xdx



5x  2 1 x

9)

x

e x 1

5.4 Método de integración trigonométrica 1.- Las integrales de la forma

 sen

n

(ax)·cos(ax) dx o

 cos

n

(ax)·sen (ax) dx son integrales

inmediatas del tipo potencial y no requieren de un trato especial. 2.- Las integrales de la forma

 sen

m

(ax) dx o

 cos

m

(ax) dx no son integrales inmediatas y se

resuelven según el valor del exponente m, es decir : (a) Si m es impar: Se descompone en un producto de un factor de potencia par y otro de potencia impar, de modo que se pueda usar la identidad: sen2(x)+cos2(x) = 1 para obtener suma de integrales inmediatas: Ejemplo: Integrar:

 sen

5

( x) dx   sen 4 ( x)·sen( x) dx   (1  cos 2 ) 2 ·sen( x) dx    sen( x) dx   cos 4 ( x)·sen( x) dx   2 cos 2 ( x )·sen( x) dx  5  sen ( x)dx   cos( x) 

cos5 ( x) cos3 ( x) 2 K 5 3

(b) Si m es par: Se aplican las fórmulas del ángulo mitad, es decir:

1  cos(2 x)  1  cos( ) sen 2 ( )   sen 2 ( x)  2 2 2 1  cos(2 x)  1  cos( ) cos 2 ( )   cos 2 ( x)  2 2 2

Ejemplo:

2

1  cos(6 x)   sen (3x) dx   ( sen (3x)) dx    2  dx  1  cos 2 (6 x)  2 cos(6 x)  dx  4 4



2

2

cos 2 (6 x) 2 cos(6 x) 1 dx   dx   dx  4 4 4 132

Apuntes Universitarios de Calculo I

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

1 1 1 1 dx   cos 2 (6 x) dx   cos(6 x) dx   4 4 2

1 1 1  cos(12 x) 1  ·x   dx   6·cos(6 x) dx  4 4 2 12 

1 1 1 1 cos(12 x ) 1 .x   dx   dx  sen (6 x )  4 4 2 4 2 12

1 1 1 1  ·x  ·x  12 cos(12 x) dx  sen(6 x)   4 8 8·12 12

 sen

4

3 1 1 (3 x)dx  ·x  sen(12 x)  sen(6 x)  K 8 96 12

3.- Las integrales de la forma

 sen

m

( ax )·cos n ( ax ) dx . Con m o n impar y la otra potencia par,

se toma la función que tiene el exponente impar, se la descompone un factor impar, y los restantes con exponente par de modo que se pueda usar la identidad: sen2(x)+cos2(x)=1. Ejemplo:

 sen

3

(5 x) cos 2 (5 x) dx   sen 2 (5 x) cos 2 (5 x)sen(5 x) dx    (1  cos 2 (5 x)) cos 2 (5 x) sen(5 x) dx 





  cos 2 (5 x) sen(5 x)  cos 4 (5 x) sen(5 x) dx  ( 1) 1 cos 2 (5 x)·( sen(5 x))·5 dx  cos 4 (5 x)·( sen(5 x))·5 dx   5 5 



 1 cos3 (5x) 1 cos5 (5 x)  cos3 (5 x) cos5 (5 x) ·  · K   K 5 3 5 5 15 25

Ejercicios para resolver en el aula: Calcula las siguientes integrales por el método de integrales trigonométricas:

a)

 sec( x)dx

b)

e)

4  tg ( x)dx

f)

i)

 sen

4

( x)dx

 cos

3

(3 x) sen 2 (3 x)dx

3  cos ( x)dx

k)

 cos

2

c)

g)

( x)sen 2 ( x)dx

dx

 cos 4 ( x) cos 5 ( x)

 sen 3 ( x)dx l)

 cos

4

dx

d)

 sen 3 ( x)

h)

 sen

5

( x)dx

( x)sen 2 ( x)dx

5.5. Método de integración por sustitución trigonométrica.Si en el integrando aparecen expresiones de la forma: 133 Apuntes Universitarios de Calculo I

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a2  x2 ,

a2  x2 o

x2  a2

Se recomienda hacer el cambio de la variable independiente por una función trigonométrica sobre la base de un triángulo rectángulo. La nueva variable será un ángulo  del triángulo. Del triángulo se obtiene x y dx, de acuerdo a las siguientes sustituciones:

a2  x2

i) Para la expresión:

x a

Se hace: x = a sen(t)  sen(t) = Resultando: dx = a cos(t)dt

a2  x2 x Se hace: x = a tg(t)  tg(t) = a Resultando: dx = a sec2(t)dt

ii) Para la expresión:

iii) Para la expresión:

x2  a2 x a

Se hace: x = a sec(t)  sec(t) = Resultando: dx = a séc(t)tg(t)dt

Ejemplos.Ejemplo 1: Integrar:



dx

x

2

2



3 2

.

Resolución: Esta es una integral que se resuelve mediante el caso ii) por sustitución trigonométrica, es decir, se hace el siguiente cambio de variable: x x = 2 tg (t)  tg (t) =  dx = 2 sec2(t)dt. 2 Es decir que el triángulo rectángulo tiene 2 por cateto adyacente al ángulo t y, por cateto opuesto al lado x, entonces, la hipotenusa, tendrá el valor:

x2  2

134 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

Universidad Católica Boliviana San Pablo – Unidad Académica Tarija Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas

Sustituyendo en la integral dada, se tiene: dx 2 sec 2 ( t )dt = =  2 3  2 3 2 2 2tg ( t )  2 ( x  2)







2 sec 2 ( t )dt 3

3

=

 2  2  tg 2 ( t )  1 2

1 sec 2 ( t )dt = 3 2 2 2 sec ( t )





1 dt 1 1 1 sec 2 ( t )dt =  =  cos( t )dt = sen (t) + C  3 2 sec( t ) 2 sec ( t ) 2 2 Para volver a la variable de integración original, hay que reemplazar: x sen (t) = x2  2 Obteniéndose finalmente: dx 1 x  2 3 = 2 x2  2 + C ( x  2 )2 =

Ejemplo 2: Integrar:



x 2 dx x2  6

Resolución: Esta es una integral que se resuelve mediante el caso iii) por sustitución trigonométrica, es decir, se hace el siguiente cambio de variable: x x = 6 sec(t)  sec(t) =  dx = 6 sec(t)tg(t)dt. 6 Es decir que el triángulo rectángulo tiene a x por hipotenusa y, a 6 por cateto adyacente al ángulo t, luego, el cateto opuesto, tendrá el valor: x 2  6 Sustituyendo en la integral dada, se tiene: 6 sec 2 ( t ) 6 sec( t )tg( t )dt 6 sec3 ( t )tg( t )dt x 2 dx = = = 6 sec3 ( t )dt (a)   x2  6  2 2 6 sec ( t )  1 tg ( t ) Pero para resolver esta integral, primero hay que resolver la integral

3

 sec ( t )dt , la misma que

se resuelve por el método de integración por partes, es decir, se hace: u = sec(t) y dv = sec2(t)  du = sec(t)tg(t)dt y v = tg(t) Resultando:  sec3 ( t )dt = sec(t) tg(t) –  tg( t )sec( t )tg( t )dt = = sec(t) tg(t) –  tg 2 ( t )sec( t )dt = sec(t) tg(t) – = sec(t) tg(t) –

  sec ( t )  1 sec( t )dt 2

=

  sec ( t )  sec( t ) dt 3

Obteniéndose: 3

 sec ( t )dt

= sec(t) tg(t) –

3

 sec ( t )dt

+

 sec( t )dt

De donde: 2  sec3 ( t )dt = sec(t) tg(t) +  sec( t )dt = sec(t) tg(t) + ln (sec(t) + tg(t)) Resultando: 3

 sec ( t )dt =

1 1 sec(t) tg(t) + ln (sec(t) + tg(t)) 2 2

(b)

Reemplazando (b) en (a): 135 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

Universidad Católica Boliviana San Pablo – Unidad Académica Tarija Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas



x 2 dx

= 6  sec3 ( t )dt = 3 sec(t) tg(t) + 3 ln (sec(t) + tg(t)) + C

2

x 6 Para retornar a la variable x se debe tener en cuenta el cambio originalmente realizado, obteniéndose:

x

sec(t) = 2

Luego:



x dx

x2  6 Finalmente se obtiene:

=3

6

2

x

x 6

6

6

x 2 dx

x 2

+ 3 ln(

x 6

6 2

x 6

+

6

x

x 2  6 + 3 ln(

+

)+C

x2  6

)+C 6 6 x2  6 x 2 dx Ejemplo 3: Integrar:  . 4  x2 Esta es una integral que se resuelve mediante el caso i) por sustitución trigonométrica, es decir, se hace el siguiente cambio de variable: x x = 2 sen(t)  sen(t) =  dx = 2 cos(t)dt. 2 Es decir que el triángulo rectángulo tiene a 2 por hipotenusa y, a x por cateto opuesto al ángulo t,



=

x2  6

y tg(t) =

luego, el cateto adyacente, tendrá el valor: 4  x 2 Sustituyendo en la integral dada, se tiene: 4sen2 ( t )2 cos( t )dt x 2 dx sen 2 ( t )2 cos( t )dt = = 4  4  x 2  4  4sen2 ( t )  4 1  sen2 ( t ) =





x 2 dx

=4

4  x2

sen2 ( t )2 cos( t )dt 2 1  sen 2 ( t )

x 2 dx



4 x

2

= 4



sen2 ( t )2 cos( t )dt 2 cos( t )

= 4  sen 2 ( t )dt

(c)

Pero para resolver esta integral, primero hay que resolver la integral

2

 sen ( t )dt , la misma que

se resuelve por partes, es decir, se hace: u = sen(t) y dv = sen(t)dt  du = cos(t)dt y v = – cos(t) Resultando: 2

 sen ( t )dt

= – sen(t)cos(t) –  (  cos( t ))cos( t )dt =





= – sen(t)cos(t) +  cos 2 ( t )dt = – sen(t)cos(t) +  1  sen 2 ( t ) dt 2

 sen ( t )dt

= – sen(t)cos(t) +  dt –

2

 sen ( t )dt

De donde resulta: 2

2

 sen ( t )dt

= – sen(t)cos(t) + t 136

Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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Obteniéndose: 2

= –

 sen ( t )dt Sustituyendo (d) en (c), resulta: x 2 dx



1 1 sen(t)cos(t) + t + C 2 2

(d)

= 4  sen 2 ( t )dt = – 2 sen(t)cos(t) + 2t + C

4 x2

Para retornar a la variable x se debe tener en cuenta el cambio originalmente realizado, obteniéndose: sen(t) =

x 2

4  x2 2

cos(t) =

x t = arc sen( ) 2

Por reemplazo se obtiene:



x 2 dx 4  x2

=–2

x 2

4  x2 x + 2 arc sen( ) + C 2 2

=–

x 2

4x

y finalmente resulta:



x 2 dx 4  x2

Ejercicios para resolver en el aula: x 2 dx 1) Demostremos: =

x 2  8

2) Demostremos:

3)



6)



9)



x 2 dx



x 3 dx 2 x2 x 2 dx

9  x 2 3

dx

=

x3 x2  9

4)



7)



1 x2

3 2

x + 2 arc sen( ) + C 2

x

+ ln  x  x2  8  + C   x 8 2

x2 9 18 x

2

x 2  a 2 dx x dx

+

1 x arc sec( ) + C 54 3

5)



8)



x x2  4 10)



x 2 1 dx x dx x2 4  x2

16  x 2 dx x2

Ejercicios para resolver en domicilio: A.- Por el método de integrales inmediatas, resuelve las siguientes integrales: x  ln x dx dx x 2  1 dx x 2  x  1 dx 1)  2)  2 3)  4)  x x 1 x 1 3x  5













137 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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x arctg dx  5 x  7 dx x 2  5 x  6 dx arcsenx 2 5)  6)  7)  dx 8)  x3 x2  4 1  x2 4  x2 B.- Por el método de integración por partes, resuelve las siguientes integrales:

x



2



1) 4)



2) 5)

3) 6)

ln ln x  dx x C.- Por el método de integración por sustitución cambio de variable, resuelve las siguientes integrales:

7)

 xsenxdx

1)

x 3n1dx x 2n  1



5)

dx  ex 1



8)

2)

6)

2

9)

ln xdx

xdx





x

3)

x4 1

cos x dx sen 2 x  1

7)

dx

x





4)

x2  2

senx 3 dx

8)

cos x





arcsenx 2 dx 1 x2

e 2 x dx e x 1

D.- Por el método de integración trigonométrica, resuelve las siguientes integrales: 1)

 sec xdx 6

5)



3xdx

 cos

2

x 3 dx 5 2 2

3  x 

6)

6)

 sen

3 xsen 4 xdx

5

x

xdx

3)

dx

 sen

3

x

dx

 cos

3

8)

 sen

4

8)



4)

xdx

xdx x E.- Por el método de sustitución trigonométrica, resuelve las siguientes integrales: 3 x 2 dx 3 x dx x 2 dx 2  x2  x  1)  2) 3) 4) dx 12  x  12  2 23 4 4 x 2  4 x  5 x  a 2 5)

 cos

2)

7)

dx 2

4x

2

7)

 sen



4

x2 1 dx x

1  x 2 dx

6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Pueden presentarse tres casos: i) El grado numerador > grado denominador ii) El grado numerador = grado denominador iii) El grado numerador < grado denominador Los tres casos se reducen al tercero aplicando las propiedades del cociente: Pm ( x) R( x)  C ( x)   Pn ( x) Pn ( x)

Pm ( x)

R( x)

 Pn ( x) dx =  C( x )dx +  Pn ( x) dx 138

Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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Donde la integral de C(x) es inmediata y R(x) es un polinomio de menor grado que Pn(x) y por lo tanto estamos en el tercer caso. 6.1 Integración de funciones racionales En el presente numeral, resolveremos integrales de la forma

px 

 qx dx , en las que p(x) y q(x)

son polinomios. En general, si p(x) es el polinomio dividendo, q(x) el polinomio divisor, c(x) el polinomio cociente y r(x) el resto (que puede ser una constante o un polinomio de menor grado que q(x)), se tendrá:

p x  r x  = c(x) + q x  qx  Por consiguiente:

p x 

r x 

 q x dx =  c x dx +  qx dx Donde

 c x dx es

una integral inmediata y resulta que 

rx dx es una integral racional q x 

irreductible. 6.1.1 Integrales racionales inmediatas Son aquellas que se convierten en suma de integrales inmediatas cuando el p(x) es divisible entre q(x), en cuyo caso, es condición que el grado de p(x) sea mayor o igual que el grado de q(x). Ejemplos: 1) Calculemos



x2

dx x2  1

Resolución: Efectuando la división de x ² entre x ² + 1, resulta:



x2

1   1 1  dx =  dx   dx dx = x – arc tg(x) + C    x2  1 x2  1  x2  1

2) Calculemos

x 2  5x  4  x  1 dx

Resolución: Realizando la factorización del polinomio dividiendo, obtenemos: x ²  5 x + 4 = (x + 1) (x  6) + 10 Es decir, el cociente es x  6 y el resto 10, luego tenemos:

10 1 x 2  5x  4  x  1 dx =   x  6 dx +  x  1dx =  xdx  +  dx +10  x  1dx x 2  5x  4 x2  x  1 dx = 2  6 x + 10 (ln |x + 1|) + C 139 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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No obstante, existen integrales racionales que no se convierten tan fácilmente en inmediatas. Para resolverlas es preciso hacer uso de la descomposición en fracciones simples. Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios en las cuales el grado del numerador es estrictamente de menor que el grado del denominador, cuyo denominador tiene una de las formas siguientes: (ax + b)n  (ax ² + bx + c)n Siendo que el polinomio ax ² + bx + c no tiene raíces reales, y n es un número natural. Las siguientes fracciones:

3 ; x4

5x  2 x2  x  3

;

x 3

2 x  13

son fracciones simples. 6.1.2 Integración de cocientes Al hacer el estudio de integrales de la forma

p x 

 q x dx , se supondrá que el grado del numerador,

p(x), es estrictamente menor que el grado del denominador, pues si el grado del numerador fuese mayor o igual al grado del denominador, se dividiría p(x) entre q(x), obteniéndose un cociente c(x) y un resto r(x), en cuyo caso la integral

La integral

p x 

rx

 q x dx se convierte en  c x dx +  q x dx . r x 

 c x dx es inmediata por tratarse de un polinomio y la integral  q x dx es del caso

supuesto, ya que el grado del resto, r(x), en una división de polinomios, es estrictamente menor que el grado del divisor q(x). Método de integración por descomposición en fracciones simples Para resolver el tipo de integrales

p x 

 q x dx , se procede del siguiente modo:

1. Se factoriza el polinomio q(x), es decir, se hallan las raíces de la ecuación q(x) = 0. 2. Se descompone la fracción

p x  en suma de fracciones simples. q x 

3. Se integran los sumandos que resulten. Al resolver la ecuación q(x) = 0 es posible encontrar resultados distintos y se pueden presentar en tres casos: a) q(x) = 0 tiene raíces simples (ninguna raíz está repetida). b) q(x) = 0 tiene raíces múltiples (al menos hay una raíz repetida). c) q(x) = 0 tiene raíces imaginarias (números complejos). Estudiaremos, pues, cada uno de los casos. A) q(x) = 0 tiene raíces reales simples. Si x1, x2, ..., xn son las raíces simples de q(x),se tiene:

140 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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p x 

 A

A

A



n 1 2  q x dx =   x  x  x  x    x  x dx  1 2 n

px 

A

A

A

2 n 1  qx dx =  x  x dx +  x  x dx +…+  x  x dx 1 2 n

Donde A1, A2,… An son constantes que se tienen que determinar. Por lo demás, todas las integrales que resultan son inmediatas. Ejemplo:

x 3  3x 2  1 1) Calculemos la integral  dx x2  1 Resolución: Siendo 3 el grado del numerador, que es mayor que 2 el grado del denominador, podemos factorizar el polinomio dividendo, obteniendo: x³ - 3 x ² + 1 = (x ²  1) (x 3) + (x  2)





x 3  3x 2  1 x 2  1  x  3  x  2  Luego tenemos que:  dx =  dx = x2  1 x2  1



=  x  3 



x2  x2 dx =  xdx  3  dx +  2 dx 2 x  1 x 1

… (a)

Calculamos las raíces de: x ²  1 = 0  (x + 1)(x  1) = 0  x = ±1 Ahora, descomponemos

x2

en fracciones simples, es decir:

x2  1 A B x2 A x  1  B  x  1  A  B x   A  B  = + = = x2  1 x  1 x  1 x2  1 x2  1

Puesto que los denominadores son iguales, los numeradores también deben de serlo: x  2 = (A + B)x + (A  B). Para determinar A y B, igualamos los coeficientes de x y los términos independientes: A+B=1  A–B=2 Resolviendo el sistema anterior, resulta: A =  1/2  B = 3/2 Así pues:

x2 x2  1

=

1 1 3 1 + 2 x 1 2 x 1

Sustituyendo en (a):

1 1 3 1 x 3  3x 2  1 dx +  dx dx =  xdx  3  dx    2 2 x 1 2 x 1 x 1 Finalmente, resulta:

141 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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x2 1 3 x 3  3x 2  1 =  3x  ln x  1+ ln x + 1+ C dx  2 2 2 x2  1 B) q(x) = 0 tiene raíces reales múltiples. Si a es una raíz múltiple de multiplicidad n (está repetida n veces), la descomposición, entonces:

px 

p x 

 q x dx = 

x  a n

dx

Ahora podemos escribir las fracciones simples de

px 

x  a n

px 

x  a n

:

A1 A2 A3 An + + +…+ x  a  x  a 2  x  a 3 x  a n

=

Dónde: A1, A2, A3, ..., An son constantes a determinar y las integrales que resultan inmediatas al presentar la forma: i  Ai  x  a  dx

Ejemplo: 1) Calculemos:

x 2  3x  5 dx  3 x  3x  2

Resolución: Como el numerador tiene grado 2 que es menor que el grado 3 del denominador, los polinomios no son divisibles. Las raíces del polinomio x³  3 x + 2 se obtienen aplicando la regla de Ruffini, luego resulta: x³  3 x + 2 = (x  1) ² (x + 2) El polinomio tiene una raíz simple,  2, y una raíz múltiple, 1, de multiplicidad dos. Ahora descomponemos en fracciones simples obteniendo:

x 2  3x  5

A B C Ax  1x  2   B x  2   C  x  12 + + = = 2 x3  3x  2 x  1  x  12 x  2 x  1 x  2 =

=

Ax 2  Ax  2 A  Bx  2 B  Cx 2  2Cx  C

=

=

x  12 x  2  A  C x 2   A  B  2C x  2 A  2 B  C  x  12 x  2

Igualamos los numeradores: x ² + 3 x  5 = (A+C) x2 + (A + B – 2C) x – (2A  2B  C) Luego igualamos los coeficientes y términos independientes correspondientes, resultando: A + C = 1; A + B – 2C = 3; 2A  2B  C = 5 Resolvemos el sistema para determinar A, B y C, resultando: 142 Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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C = 1 – A;  A + B – 2(1 – A) = 3; 2A  2B  (1 – A) = 5 3A + B = 5; 3A  2B = 6 Restando miembro a miembro: 3B =  1;  B =  1/3. Sustituyendo el valor de B en la segunda ecuación: 3A  2( 1/3) = 6  A = 16/9; Resultando: C = 1 – 16/9  C =  7/9. Sustituimos los valores de A, B y C, en:

x 2  3x  5

A C B + + , tenemos: x3  3x  2 x  1  x  12 x  2

x 2  3x  5

=

1 16 7   3 2 x  3x  2 9x  1 3 x  1 9 x  2 =

Luego, la integral dada resulta:

1 dx x 2  3x  5 16 dx 7 dx     = dx =   3 2 9  x 1 3  x  1 9 x  2 x  3x  2 =

16 1 7 ln |x  1|  [(x  1)1/(1)]  ln |x + 2| + C = 9 3 9 16 7 1 = ln |x  1|  ln |x + 2| + +C 9 9 3x  1

C) q(x) = 0 tiene raíces imaginarias Si un polinomio con coeficientes reales tiene una raíz imaginaria x1 = α + i β, su conjugada, x2 = α  i β, también es raíz del polinomio. Si se multiplican los factores (x – x1) y (x – x2), se obtiene: (x  α  i β)  (x  α + i β) = (x  α) ² + β ² (El número imaginario i verifica i ² = - 1). Cada par de raíces imaginarias conjugadas determina una fracción simple de la forma:

Ax  B

x   2   2 

, por lo que desarrollaremos la técnica de resolución de integrales de la forma

Ax  B

x   2   2

dx .

1. Sumamos y se restamos al numerador A α y descomponemos en las dos integrales:



Ax  B

x   2  

A x     B  A  dx = x      2 x   2   2 Ax    B  A =  dx + dx x   2   2 x   2   2

dx =  2

Ax  B  A  A

dx = 

Estas dos integrales son inmediatas aplicando la siguiente lógica: 2. Al ser [(x  α) ² + β ]´ = 2(x  α), 



Ax   

x   2   2

dx =

A 2 x    dx  2  x   2   2 143

Apuntes Universitarios de Calculo I

Abel Barroso López

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

3.



B  A 2

x   



2

Ax   

x   2   2

dx =

B  A



2



dx =

A ln (x  )2 + 2 + C1 2

dx 2

=

 x     1   

dx 

B  A  2   x     1   

Como la derivada de (x  α)/ β es 1/ β, resulta:



B  A 2

x   



2

dx =

dx 

B  A B  A x  = arc tg + C2  2     x     1   

4. Concluyendo, tenemos:



Ax  B 2

x   



2

dx =

A B  A x  ln (x  )2 + 2+ arc tg +C 2  

Para este tercer caso sólo se estudiarán las integrales en las que las raíces imaginarias del denominador sean simples. Ejemplos Resueltos. Ejemplo 1: Calcular la integral: 1

 x 2  4 x  13dx Resolución: Expresamos el denominador como el cuadrado perfecto de un binomio: x2 + 4x + 13 = (x + 2)2 – 4 + 13 = (x + 2)2 + 9 Luego resulta:

1

1

1

 x 2  4 x  13dx =  ( x  2) 2  9dx = 9 

1

dx = 2  x2   1  3 

 x2 d   3 

1  x2 = arctg   +C  2 3  x2  3    1  3  Ejemplo 2: Calcular la integral: 1  2 x 2  4 x  10dx Resolución: Expresamos el denominador como el cuadrado perfecto de un binomio, factorizando previamente el coeficiente del término cuadrático: =

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Abel Barroso López

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2x2 - 4x + 10 = 2[x 2 – 2x + 5] = 2[(x -1)2 -1 + 5] = 2[(x -1)2 + 4] Luego se obtiene: 1 4   x 1 2   1  2  1  x 1 Finalmente:  2 x 2  4 x  10dx = arctg  2  + C Ejemplo 3: Calcular la integral: 3x  2  x 2  4 x  8dx Resolución: Buscamos replicar en el numerador del integrando la derivada del denominador 2x – 4 y luego procedemos a separar en dos integrales, expresando el denominador, de la segunda integral, como el cuadrado de un binomio. 2 4 4 x 2x  2x  4  4  3 3 3x  2 3 3 3  x 2  4 x  8dx = 3 x 2  4 x  8dx = 2  x 2  4 x  8dx = 2  x 2  4 x  8 dx = 16 x2 d 3 3 2x  4 3 2 x  4 3 2 =  dx =  = dx +  dx + 4  2 2  x  2 2  4 2 x 2  4x  8 2 x 2  4x  8  x2   1  2  3 3x  2  x2 Finalmente:  dx = ln x 2  4 x  8 + 4 arctg   +C 2 2  2  x  4x  8 6.2. Integrandos racionales 1

1

1

 x 1 d   2 

 2 x 2  4 x  10dx = 2  x  12  4dx

=

Al integrar una función racional se deben seguir los siguientes pasos: 1. División de los polinomios.- Si el grado del numerador es igual o mayor que el del denominador, la primera operación consiste en efectuar la división. P( x) R( x) = C (x) + Q( x) Q ( x) Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, la primera es inmediata, por ser la integral de un polinomio, y la segunda es más fácil que la integral dada, ya que el grado del numerador R (x) es menor que el del denominador Q(x). P ( x) R ( x)  Q( x)dx =  C ( x)dx +  Q( x)dx 2. Factorización del denominador.- Pueden darse los siguientes casos: a) El denominador tiene solo raíces reales simples. b) El denominador tiene solo raíces reales, aunque algunas de ellas son múltiples. c) Entre las raíces del denominador las hay complejas simples, alguno de los factores es polinomio de segundo grado irreducible. 145 Apuntes Universitarios de Calculo I

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d) Entre las raíces del denominador las hay complejas múltiples, alguno de los factores es polinomio de segundo grado irreducible que se repite. R( x) 3. Descomponer la fracción en fracciones más simples.- En esta operación, la Q( x) determinación de los coeficientes se puede hacer por dos métodos: 1. Identificando los coeficientes de los términos del mismo grado de x. 2. Dando valores arbitrarios a x. Nota: En todo momento debemos comprobar si la fracción que vamos a integrar es o no una fracción elemental, o la derivada de un logaritmo natural. Ejemplos. Ejemplo 1: Hallar la integral:

2 x 3  3 x 2  6 x  12

dx x2  4 Resolución: Efectuamos la división de los polinomios: 2 x 3  3 x 2  6 x  12 2x = 2x + 3 + x2  4 x2  4 Con lo cual, la integral dada se transforma en dos integrales, que en este caso, ambas resultan inmediatas, la primera por ser polinómica y la segunda por ser la derivada de un logaritmo:



2 x 3  3 x 2  6 x  12 2



dx =

x 4

Ejemplo 2: Hallar la integral:



2x

 (2 x  3)dx +  x 2  4dx = x

2

+ 3x + ln x 2  4 + C

2 x 3  5 x 2  4 x  13 dx x2  4x  4

Resolución: Efectuamos la división de los polinomios: 2 x 3  5 x 2  4 x  13 x 2  4x  4



= 2x + 3 +

1 x 2  4x  4

2 x 3  5 x 2  4 x  13 1 dx =  (2 x  3)dx +  2 dx = 2 x  4x  4 x  4x  4 = x 2 + 3x +

 x  2

2

dx = x 2 + 3x 

1 +C x2

7. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS Se trata de transformar una integral de la forma:

En una integral de la forma:

2    R x , ax  ba  c dx

 Rsen z  cos z dz

Para ello, transformamos el trinomio del radicando:

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b 2 b2 ) + (c  ) 2a 4a b Y hacemos el siguiente cambio de variables: t = x +  dt =dx 2a  b 2  2 De lo cual Resulta: ax  ba  c = at 2   c   4a   ax2 + bx + c = a(x +

Para lo que se presentan tres casos

b2 I. Cuando: a  0  c  >0 4a b2 Entonces podemos hacer: a = m  c  = n2 4a 2

2

De lo que obtenemos: ax  ba  c = Con lo que la integral dada se transforma: 2    R x , ax  ba  c dx

=

m 2t 2  n 2

2 2 2   R t , m t  n dx

Expresión en la que hacemos el siguiente cambio de variable:

n n 2 tg (z) = t  dt = sec (z) dz m m 2 2

2

2

2

2

2

Con lo que el resulta: m t  n = n tg  z   n = n tg z   1 = n  sec(z) Y, sobre la base de transformaciones trigonométricas, la integral dada toma la forma: 2    R x , ax  ba  c dx =  R sen  z , cos  z dz

II. Cuando: a  0  c 

b2 0 4a

b2 = n2 4a

Entonces podemos hacer: a =  m2  c  2

De lo que obtenemos: ax  ba  c = Con lo que la integral dada se transforma: 2    R x , ax  ba  c dx

=

 m 2t 2  t 2

2 2 2   R t , n  m t dx

Expresión en la que hacemos el siguiente cambio de variable:

n n sen (z) = t  dt = cos (z) dz m m Con lo que el resulta:

n 2  m 2t 2 =

n 2  n 2 sen 2  z  = n 1  cos 2  z  = n  cos(z)

Y, sobre la base de transformaciones trigonométricas, la integral dada toma la forma: 2    R x , ax  ba  c dx =  R sen z , cos z dz

Ejercicio para resolver en aula 1) Calculemos la integral:

2  4  x dx

Podemos aplicar el caso III, con m = 1 y n = 2; lo que nos permite el siguiente cambio de variables: x = 2 sen (t)



dx = 2 cos (t)

Y pasamos a una integral trigonométrica del siguiente modo: 2 2 2 2  4  x dx =  4  4 sen t 2 cos t dt = 4  cos t  cos t dt = 4  cos t dt …(a)

Ahora resolvemos por partes la integral: Hacemos: u = cos (t)

2  cos t dt =  cos t  cos t dt

 dv = cos (t) dt  du =  sen(t) dt 

…(b)

v = sen(t)

2  cos t  cos t dt = sen (t) cos (t)   sent  sen t dt = sen (t) cos (t) +  sen t dt =





2 2  cos t  cos t dt = sen (t) cos (t) +  1  cos t  dt = sen (t) cos (t) +  dt   cos t dt 2  cos t  cos t dt = sen (t) cos (t) + t   cos t dt

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Sustituimos en (b): 2 2  cos t dt = sen (t) cos (t) + t   cos t dt

1

2  cos t dt = 2 [sen (t) cos (t) + t]



Sustituimos esta expresión en (a), resulta: 2 2  4  x dx = 4  cos t dt = 4 

1 [sen (t) cos (t) + t] = 2[sen (t) cos (t) + t] … (c) 2

Retornamos ala variable original x: 2

x x  x 1 x = 2 sen (t)  sen (t) =  cos (t) = 1    = 4  x 2  t = arc sen 2 2 2 2 Sustituimos estas expresiones en (c) resultando:

x

2 2  4  x dx = 2 4  x

+ 2 arc sen

x +C 2

8. . INTEGRALES IMPROPIAS Se llaman integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo. 8.1 Integrales impropias de primera especie.b

Convergencia.- Sea f (x) continua  x  a. Si existe lim b  

 f ( x)dx , se dice que f tiene una a

integral impropia convergente en el intervalo [a, +  ), y se define: b



 f ( x )dx = a

lim b  

 f ( x)dx a

Si no existe el límite, se dirá que f tiene una integral impropia divergente en el intervalo [a, +  ). De igual modo, se define también: 

b

b

lim  f ( x)dx , y también la integral:  f ( x) dx =  f ( x)dx = a  





a

c

=

lim a  

b

 f ( x)dx

+

a

lim b  

Ejemplo: Calculemos el área que determina y =

 f ( x)dx , si los límites existen. c

1 x2

con el eje de las abscisas, a partir del punto

de abscisa x=1. 

b

b

 x 1   1  dx = lim dx = lim   = lim   1 = 1  x2  2 b   b   x    1 1 b   b 1 1

1

1

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Figura 4.4 8.2 Integrales impropias de segunda especie. Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a. Si b

existe lim

b

b

 f ( x)dx , se definen:  f ( x)dx

 0  a 

a

=

lim

 f ( x)dx . Si el límite no existe, se dirá

 0  a 

b

que

 f ( x)dx es divergente. a

Ejemplos: Ejemplo 1: Sea f (x) = ln (x) continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Se calculará el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será: 1

1

 ln( x )dx = lim 0

 0



 ln( x )dx

0

=

lim [x ln (x) – x] 1 = – 1 –

 0 

lim (  ln  ) = – 1.

 0 

El recinto tendrá 1 unidad de área.

Figura 4.5 Ejemplo 2: Calcular el área del recinto que determina f (x) =

1 ( x  1) 2

entre x = 0 y x = 2.

150 Apuntes Universitarios de Calculo I

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La función no está acotada en x = 1. 1

S=

2

1

1

1

 ( x  1) 2 dx +  ( x  1) 2 dx =  lim  0  0

0 ( x  1)

1

1

 1  = lim    0   x  1 0

2

1 2

dx + lim





1

 0 1 ( x  1)

2

dx =

2

1 1  1  + lim  = lim ( - 1) + lim (- 1 + ) = .    0   x  11  0    0 

Luego, la integral impropia es divergente.

Figura 4.6 9. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. 9.1 Área bajo la gráfica de una función. Esta es una aplicación inmediata de la integral de Riemann. Se calcula el área A de la región limitada por el eje x , la gráfica de la función no negativa f (x) en el intervalo [a, b] y las rectas, paralelas el eje y que pasan por los puntos x = a  x = b (semejante a la que se muestra en la figura 4.7).

Figura 4.7 151 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Como ya se vio en el numeral 4.2, subdividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de distinta longitud xi , calculándose el área A aproximada de la región, mediante la suma de las áreas de todos los rectángulos Ri inscritos en dicha región, siendo: R1 = f (x1) x1 ; R2 = f (x2) x 2 ; … Ri = f (xi) xi ; … Rn = f (xn) x n n

A  R1 + R2 + … + Rn =

Resulta:

 Ri , i 1

n

Cumpliéndose que:

A>

 Ri i 1

Resulta entonces: n

A  f (x1) x1 + f (x2) x 2 + … + f (xi) xi + … + f (xn) x n n =

 f ( x i ) x i i 1

Figura 4.8 Es razonable pensar que cuando se divide el intervalo [a, b] en más rectángulos de bases xi más pequeñas, esto es, cuando x  0, entonces el número de rectángulos n crece sin límite, es decir n   y el área total es cada vez más próxima al número A. Con estos antecedentes, ahora es posible definir el concepto de área bajo una gráfica: Resultando, finalmente, de acuerdo a la definición de la integral definida de Riemann, que el área A se calcula mediante: b

A=

 f ( x)dx a

Definición: Sea f una función continua definida en el intervalo [a, b] y f (x)  0 para todo x  [a, b] . Se define el área bajo la gráfica en el intervalo [a, b] como: b

n

A = lim



n  i 1

f ( x i ) x i =

 f ( x)dx a

Ejemplo: Calcula el área del primer cuadrante de la elipse

x2 a2



y2 b2

 1.

152 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Resolución: El primer cuadrante de la elipse dada está definido por los valores positivos de y entre los puntos x = 0 y x = a, luego: b y= a2  x2 a Luego, el área a calcular está determinada por: a

A=

b a 2  x 2 dx a 0

Efectuando la integración por métodos conocidos, se obtiene el valor del área pedida: ab A= 4 9.2. Área de la región comprendida entre dos curvas. Una aplicación muy importante de la integral definida está orientada a encontrar el área de la región comprendida entre dos curvas. b

Como se vio en el numeral anterior si f (x) es continua en el intervalo [a, b] ,entonces

 f ( x)dx a

representa, geométricamente, el área de la región comprendida entre la gráfica de f (x) y el eje x, b

desde x = a hasta x = b. Si g(x) es continua en el mismo intervalo [a,b], entonces

 g ( x)dx a

representa también el área de la región comprendida entre la curva g(x), el eje x y los límites x = a y x = b. Si g(x)  f (x); luego, el área de la región comprendida entre f (x) y g(x), en dicho intervalo [a, b] estará dada por: b

A=

b

 f ( x)dx   g ( x)dx a

a

Aplicando propiedades de la integral definida: b

A=

  f ( x)  g ( x) dx

… (A)

a

Gráficamente, se tiene la siguiente región:

Figura 4.9 153 Apuntes Universitarios de Calculo I

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Análogamente, el área de la región comprendida entre x = f (y) y x = g(y) desde y = a hasta y = b, siendo f y g continuas en [a, b] y con g(x)  f (x), se tendrá que el área A es: b

A=

  f ( y )  g ( y )dy

… (B)

a

Ejemplos: Ejemplo 1: Hallar el área limitada por las rectas y = x + 4; y = – 1; x = 0; x = 3 Resolución: Grafiquemos el escenario:

Figura 4.10 De la gráfica se observa que el área buscada es del tipo (A) , entonces f (x) = x + 4 y g(x) = – 1, pues g(x)  f (x), luego: 3

3

3

 x2  39 A =  ( x  4)  (1)dx =  ( x  5)dx =   5x =  2  0 2 0 0 Ejemplo 2: Calcula el área de la región limitada por las rectas x = a, x = b y la parábola: y2 = 2px, siendo b > a > 0. Resolución: La parábola dada puede descomponerse en dos funciones las que se muestran en la figura 4.11: f (x) = 2 px , g (x) = – 2 px El área a calcular resulta: 3   3 b b  2 2  4 A =   f ( x)  g ( x)dx =  2 2 px dx = 2 pb  a  3   a a  

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f

a

b

g Figura 4.11 9.3. Volumen de un sólido de revolución. Se llama sólido de revolución al cuerpo que se genera al hacer girar una superficie plana alrededor de una recta fija, que no la corte, llamada eje de revolución. a) Primer caso: Cuando el eje de giro está adyacente al área que se va a hacer girar. Consideremos un rectángulo elemental de altura ri, anchura xi , el que hacemos girar alrededor del eje de revolución, tal como lo indica la figura 4.12:

a)

b) Figura 4.12

Puede observarse que al hacer girar repetidas veces el rectángulo alrededor del eje de revolución se genera un cilindro cuyo volumen es:

Vi =  ri2 xi Como en la figura 4.11 se tiene ri = f (xi), entonces: Vi =  [f (xi)]2 xi El volumen total aproximado de cuerpo de revolución resulta: n

V  

  f ( xi )2 xi i 1

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Cuando se divide el intervalo [a, b] en más rectángulos de bases x i más pequeñas, esto es, cuando x  0, entonces el número de rectángulos n crece sin límite, es decir n   y el volumen total es cada vez más próximo al número V, luego, resulta que: n

V =  lim n 

b

  f ( xi ) i 1

2

2

xi =    f ( x) dx a

Ejemplo: Calcular el volumen de una esfera de radio r. Resolución: La esfera se genera por la rotación de un semicírculo cuya circunferencia tiene por ecuación: y=

r 2  x 2 , con x [-r, r]

Para el presente caso asumimos como eje de rotación al eje de las abscisas; luego: r

V =   (r 2  x 2 )dx = r

4 3 r 3

b) Segundo caso: Cuando el eje de giro no está adyacente al área que se va a hacer girar (como lo muestra la figura 4.13).

Figura 4.13 Entonces, el sólido se divide en placas circulares huecas de espesor xi . Si uno de los planos que dividen el sólido pasa por Y, la placa circular hueca con una base en este plano es, aproximadamente, un cilindro circular hueco, cuyos radios exterior e interior son respectivamente f (x) y g (x). Por tanto, su volumen es: Vi =  [(f (xi))2 – (g(xi))2] xi Si se tienen n cilindros huecos, siendo b – a = n xi , resulta: n

V 

  f ( x i ) 2  g ( x i )2 xi i 1

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Y el volumen del sólido hueco total será igual al límite de la suma de estos cilindros huecos cuando n   ; por tanto: n

 [(f (x))2 – (g(x))2] x  n 

V = lim

i 1

b





V =    f ( x) 2   g ( x) 2 dx

Es decir:

a

Fórmula que permite el cálculo el volumen de un cuerpo de revolución hueco cuando el eje de giro es el eje de las abscisas. De manera análoga, si el eje de revolución es el de las ordenadas, entonces: b





V =    f ( y )  2   g ( y ) 2 dy a

Ejemplo: Hallar el volumen de sólido anular (toro) que se genera al hacer girar un círculo de radio a alrededor de un eje de su plano, exterior al círculo, que tiene una distancia b de su centro. Resolución. Sea la ecuación del círculo: x2 + (y – b)2 = a2

… (i)

Y sea el eje de las abscisas el eje de rotación. De la ecuación (i) se obtienen dos funciones: y = f (x) = b + a 2  x 2

(Semicírculo superior) y,

y = g (x) = b – a 2  x 2

(Semicírculo inferior)

Luego, el volumen se calcula utilizando la fórmula: b





V =    f ( x)  2   g ( x) 2 dx

… (ii)

a

Observando la figura 4.14, podemos calcular el volumen del toro, integrando desde: x = a hasta x = a, o sea: a

V= 

2 2   f ( x)  g ( x)  dx a

2

(f (x)) = (b + a  x )2 = b2 + 2b a 2  x 2 + a2 – x2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

… (iii)

2

(g (x)) = (b – a  x ) = b – 2b a  x + a – x Restando miembro a miembro (iii) y (iv), se obtiene: (f (x))2 – (g (x))2 = 4b a 2  x 2 Sustituyendo (v) en (ii) e integrando, resulta: a

V = 4 b  a

… (iv)

… (v) a

x 2 a2 x a  x dx = 4 b  a  x2  arcsen  = 2  2 a 2 b 2 a 2 a 2

2

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Figura 4.14 9.4. Longitud de un arco de curva plana Con referencia a la curva que se muestra en la figura 4.15, dividimos el arco de curva AB, en cualquier número de partes (como en C, D, E) y unimos los puntos sucesivos (como AC, CD, DE, EB), formando una poligonal. La longitud de un arco de curva se define como el límite de la suma de los lados de la poligonal cuando el número de puntos de división tiende a infinito, al mismo tiempo que cada uno de los lados de la poligonal tiende a cero. Puesto que ese límite será también la medida de la longitud de algún segmento rectilíneo, el hallar la longitud de un arco de curva, se denomina rectificar la curva. Considerando uno, cualquiera de los lados de esta poligonal por ejemplo el lado DE, de longitud ds, cuyos extremos tienen las coordenadas siguientes: D (x, y) y E (x + dx, y + dy). Entonces, aplicando el teorema de Pitágoras, resulta: DE = ds =

(dx) 2  (dy) 2 . 2

 dy  ds = 1    dx .  dx  Integrando desde x = a hasta x = b, se obtiene:

De donde:

b

s=

 a

2

 dy  1    dx =  dx 

b



1   f ' ( x) 2 dx

a

158 Apuntes Universitarios de Calculo I

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y + dy y

x

x + dx

Figura 4.15 Expresión que permite calcular, en función de x la longitud de un arco de curva plana AB. Ejemplo. Hallar la longitud de la circunferencia de radio r, cuya ecuación es: x2 + y2 = r2

... (a)

Resolución: Calculando en (a) la derivada implícita: dy x = dx y

Con referencia a la figura 4.16, para calcular la longitud de la circunferencia, se calculará la longitud del cuarto de circunferencia definido por el arco AB y al valor calculado, se le multiplica por 4, es decir: r

Arco AB =  1   f ' ( x) 2 dx 0 r

Arco AB =

 0

 1    

2

x  dx y 

De donde resulta: r

Arco AB =  0

y2  x2 y2

dx

… (b)

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Figura 4.16 De la expresión (a), se obtiene:

y2 = r2 - x2, valor que sustituimos en (b) r

Arco AB =  0

r2 2

r x

r

dx = r  2 0

dx 2

r  x2

r

x    .r  Arco AB = r arcsen  = r   0  = a 0 2 2   l = 2  r.

Luego, la longitud total de la circunferencia es: 9.5. Área de una superficie de revolución

Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, que gira alrededor de una recta del mismo plano, que no la corta, llamada eje de rotación. El teorema del centroide de Pappus dice que el área de una superficie de revolución generada por la rotación de una curva plana C que gira alrededor de un eje contenido en el mismo plano, que no corta a C, es igual a la longitud de C multiplicada por la distancia recorrida por su centroide. Si la curva está definida por el grafico de la función y = f(x) y gira alrededor del eje de las abscisas, la integral se transforma en: b

A = 2  yds a

b

2

 dy  A = 2  y 1    dx  dx  a

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Para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas, la integral es: 2

d

 dx  A = 2  x 1    dy  dy  c

Ejemplo: Calcula la superficie de una esfera de radio unitario. Resolución: La esfera, con radio unitario, puede estar generada por la rotación, alrededor de eje x, de la circunferencia definida por las ecuaciones: x = cos(t)  y = sen(t), luego se empleará la siguiente integral: 2

b

 dy  A = 2  y 1    dx  dx  a Para calcular el área de superficie de la esfera de radio unitario, realizaremos las siguientes precisiones: a) Haremos girar el cuarto de circunferencia del primer cuadrante alrededor del eje x, obteniendo así la mitad del área pedida. b) Los límites de integración para la variable x serán a = 0 y b = 1, correspondiendo, para la variable para la variable t los siguientes valores:  Consiguientemente, si a =0  t = y si b = 1  t = 0. Luego, se tendrá que efectuar 2  la integración con los límites inferior y superior y 0. 2 c) Asimismo, siendo: x = cos (t)  y = sen (t), calculamos las diferenciales de x  y, obteniéndose: d x = - sen (t) d t; d y = cos (t) d t. Tomando en cuenta las precisiones a), b) y c) y la fórmula de integración elegida, se puede escribir: 0  cos(t )  A  = 2  sen(t ) 1   2 sen ( t )   

2

0

 sen(t ) dt  2  sen(t )dt  2

2

Finalmente:

0

 

A  4 cos( t )  4 cos 0  cos 2

  4 . 2 

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