Cálculo escalera

PROYECTO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO PARA ESCALERAS Victorio Hernández Balat Juan Francisco Bissio

1.-

GEOMETRÍA

Dado que en general la geometría de las escaleras viene definida por el proyectista de arquitectura, los datos que se adjuntan tienen un mero carácter ilustrativo.

p

p a

a

h

h h’

h’

α

α Figura 1.1

Las fórmulas que relacionan la huella o pedada con la contrahuella o alzada varían según los autores. Citaremos dos referencias: K = 59 cm (edificios de vivienda) Blondel:

p+2*a= K = 66 cm (edificios públicos)

Neufert:

p + 2 * a = 61 a 64 cm p – c = 12 cm

Una relación usual es a = 17 cm y p = 25 cm. La pendiente media de la escalera resulta: tg α = a / p . Lo anterior conduce a escaleras con pendientes entre 30° y 35°. Los anchos varían de acuerdo al destino del edificio y de la escalera dentro del edificio pero no deberían ser inferiores a 1 metro. Desde el punto de vista del proyecto existen un par de detalles que no deben omitirse al realizar los planos de encofrado. Tal como puede verse en las figuras 1.2 y 1.3, es importante conocer los niveles de piso terminado y espesores de mezcla de asiento y contrapiso a efectos de dar los niveles adecuados al primer y al último escalón. En efecto, en todos los casos la estructura de h° del último escalón resulta más bajo que la de los precedentes dado que su altura se completa con el espesor de

1

contrapiso, mezcla de asiento y piso correspondientes a la planta superior. Simétricamente, en escaleras que se desarrollan entre dos losas consecutivas de un edificio, la estructura de h° del primer escalón es más alta que las subsiguientes dado que su altura debe absorber el espesor de contrapiso, mezcla de asiento y solado de la planta de arranque.

a a

Figura 1.3

Figura 1.2

2.-

CÁLCULO DE SOLICITACIONES EN VIGAS INCLINADAS

Este punto tiende solamente a repasar conceptos de Estática ya vistos en materias anteriores pero que deben manejarse con solvencia al encarar el cálculo de solicitaciones en escaleras. Antes de comenzar convendría hacer un comentario respecto a las sobrecargas reglamentarias que se aplican en escaleras. Estas cargas, cuyos valores más frecuentes veremos más adelante, se dan siempre en proyección horizontal es decir que se consideran aplicadas sobre la superficie horizontal de los escalones y descansos.

g’

Fig. 2.1

a) ¿ Cómo se calcula el peso propio de una barra inclinada?

g

Dado que se trata de una losa en la que las solicitaciones se calculan por unidad de ancho, el área de la sección transversal resulta ser (Fig. 2.1):

h h’ α

A=1*h

l’ = l / cos α

g=γ*A

y por lo tanto

El peso total de la barra será: G = g * l’ = g * l / cos α

l

Definiremos, para su siguientes, la magnitud:

2

uso

en

puntos

g’= g / cos α = γ * b * h / cos α = = γ * b * h’ = γ * 1 * h’ b)

Momentos flectores producidos por el peso propio

La carga “g” puede descomponerse según la dirección de la barra y según la normal a la misma. Para calcular correctamente los valores de estas componentes se debe tener en cuenta que la carga total debe permanecer constante. Proyectando según la normal a la barra: G * cos α = g normal * l’ es decir g * cos α * l / cos α = g normal * l / cos α G * sen α = g paralela * l’ es decir g * sen α * l / cos α = g paralela * l / cos α Con lo que resulta: g * cos α

=

g’ * cos2α

g paralela = g * sen α

=

g’ * sen α * cos α

g normal =

El momento flector máximo debido al peso propio será: mg = g normal * l’ 2 / 8 = g’ * cos2α * (l / cosα)2 / 8 = g’ * l2 / 8 En otras palabras, el momento es el correspondiente al de una viga cuya longitud es la longitud de la viga proyectada sobre la horizontal cuyo peso se calcula en base a la altura de la pieza tomada según la dirección vertical. c)

Momentos flectores producidos por la sobrecarga “q”

Vale lo visto en el punto a) pero, puesto que la carga ya viene dada en proyección horizontal resulta: mq = q * l2 / 8

3.-

CÁLCULO DE SOLICITACIONES POLIGONALES DE BARRAS

EN

ESTRUCTURAS

La Figura 3.1 representa una viga poligonal sometida a la acción de una carga vertical uniforme. Se trata de un elemento isostático y, al no existir reacciones horizontales, el momento flector en cualquier punto se obtiene como: M(x) = V * x – q * x2 / 2 independientemente de la geometría de la viga. Los momentos flectores son todos de un mismo signo.

3

V M(x )

Fig. 3.1

V M(x ) x

C B V M(x )

y

Fig. 3.2

H A V x A ’

M(x )

4B’

C’

H

La Figura 3.2 representa un pórtico que tiene igual geometría que la viga poligonal anterior. Sin embargo, al poseer un nudo rígido y un grado de hiperestaticidad, genera empujes por lo que los momentos flectores se obtienen como: M(x) = V * x – q * x2 / 2 – H * y Los momentos flectores máximos resultan en consecuencia menores que los de la viga poligonal. Además, se tienen en este caso momentos de distinto signo lo cual debe ser tenido en cuenta no sólo en el dimensionamiento sino en el trazado de las armaduras. El cálculo del pórtico anterior puede simplificarse si se lo reemplaza por una viga continua de dos tramos equivalente. En efecto, si se supone que las barras tienen rigidez axil infinita, siendo los apoyos “A” y “C” fijos, el punto “B” también resulta fijo por lo que el pórtico puede reemplazarse, a los efectos del cálculo de momentos flectores, por la viga continua que se encuentra en la parte inferior de la Figura 3.2. Para obtener las reacciones correctas del pórtico habría que llevar la reacción en “B’” a “B’ ” y descomponerla según la dirección de las barras. La componente según la barra “BC” dará la magnitud el empuje “H”. Todo esto sólo tiene sentido si se dispone de tablas y/o programas para el cálculo de vigas continuas y no de programas para el cálculo de pórticos. Día a día esta última opción se vuelve más y más común por lo que se hace menos interesante recurrir a este tipo de simplificaciones. No obstante, desde el punto de vista conceptual este tipo de razonamientos ayuda a comprender el funcionamiento estructural. En las escaleras más comunes, se tienen condiciones de apoyo intermedias entre las de la Fig. 3.1 y 3.2. La simplificación más frecuente que se realiza en los cálculos consiste en utilizar para el dimensionamiento de las armaduras el momento flector correspondiente al esquema de la Fig. 3.1 tomando previsiones en el armado para cubrir los eventuales momentos flectores correspondientes a un funcionamiento estructural como el indicado en la estructura de la Fig. 3.2. Volveremos sobre este tema más adelante. Adicionalmente, se debe notar que se desarrollan solicitaciones axiles inevitables en todos los casos: Para esquemas isostáticos (3.1) aparecen compresiones en el tramo inclinado inferior y tracciones en el superior, con axiles nulos en el descanso; mientras que para el caso 3.2 se generan axiles de igual signo pero involucrando también a los segmentos de descanso correspondientes.

4.-

ANÁLISIS DE CARGAS

p

Los elementos cuyo peso es necesario tener en cuenta en el análisis de cargas de una escalera convencional son:

a

hm h'm

•

h α

5

Peso propio de la losa de hormigón y sus escalones

• •

Peso propio del revestimiento de las huellas y contrahuellas Peso propio de la mezcla de asiento

No es necesario considerar el peso de las barandas dado que se considera que la sobrecarga actúa aún en el ancho ocupado por ellas. Sí se deben considerar las cargas de eventuales muros que apoyen en la losa de la escalera. Son excepcionales los casos en que las escaleras lleven contrapiso. El caso más frecuente es que la mezcla de asiento se aplique directamente sobre el hormigón del escalón. Dado que las escaleras se calculan como losas, es decir por metro de ancho, suele realizarse el análisis de cargas por metro cuadrado de elemento. Para evitar errores es recomendable hacer el análisis de cargas analizando un escalón. Asimismo, tal como se vio anteriormente, en el momento de considerar el peso propio de la losa se calcula “g’ ” y no “g”. Para el caso de la Figura 4.1 resulta: h’m = h / cos α + a / 2 g’ = h’m * γhormigón + Peso Una Huella + Peso Una Contrahuella + Peso Mezcla Asiento p Si la cara inferior de la escalera quedara expuesta a la vista se debe sumar también el peso del cielorraso que, en general, será aplicado y no suspendido. Los pesos de la expresión anterior están referidos a un metro de ancho de escalera. Los valores de pesos unitarios necesarios para el cálculo de “g’ ” se obtienen del Reglamento CIRSOC 101 “Cargas y sobrecargas gravitacionales para el cálculo de las estructuras de edificios”. En la misma fuente se obtienen los valores de las sobrecargas “q” que completan el análisis de cargas. A continuación se transcriben algunos valores de pesos unitarios y sobrecargas dados por el CIRSOC 101: Hormigón Normal Mortero de Cemento Baldosas cm) Cerámicos Madera para Pisos Cielorraso Aplicado Cielorraso Suspendido

24 kN/m3 21 kN/m3 22 kN/m3 20 kN/m3 9 kN/m3 0.1 kN/m2 0.2 kN/m2

Sobrecarga en escaleras para viviendas Idem para oficinas o edificios públicos

(espesores comunes entre 2 y 2.5 (espesores comunes ~0.8 cm)

(*) (*) 3 kN/m2 4 kN/m2

6

Si los cielorrasos se aplican sobre la cara inferior de una escalera y ésta se calcula con su longitud proyectada, los valores indicados con (*) deben dividirse por cos α. Dado que los escalones representan un peso suplementario, un esquema típico de cargas tiene la forma:

5.-

TIPOLOGÍAS ESTRUCTURALES MÁS FRECUENTES

Salvo las escaleras helicoidales, cuyo uso no esy frecuente, las escaleras están constituidas por combinaciones de placas planas que se intersectan en aristas. Estructuralmente estamos frente a una tipología denominada lámina plegada. Dado que el cálculo afinado de este tipo de estructuras es muy laborioso, veremos a continuación una serie de esquemas usuales de escaleras y las simplificaciones de cálculo que se aplican a ellos.

5.1.- Disposiciones en planta más usuales para escaleras de tramos rectos

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Figura 5.1 En la Figura 5.1 se indican disposiciones frecuentes de escaleras para viviendas unifamiliares y edificios. Para las alturas de piso corrientes en este tipo de construcciones las escaleras llevan por lo menos un descanso intermedio. La solución 5.1.(e), representa una escalera de las denominadas compensadas. Estas escaleras permiten un ahorro interesante de espacio respecto a las soluciones (c) y (d) pero involucran mayor mano de obra de encofrados y terminaciones. El cálculo

7

riguroso de las escaleras compensadas es extremadamente laborioso. Se suele simplificar su análisis suponiendo que se trata de losas planas. A continuación se muestra una serie de tipologías frecuentes en escaleras de edificios:

Fig.5.2.1 Se trata de una de las soluciones mas comunes de escaleras para edificios en altura, ya que la zona de arranque y llegada es la misma (esto vale para 5.2.2, 3 y 4). Para las vigas que toman los tramos no es imprescindible contar con las columnas exactamente en la posición indicada, mientras que en el caso del descanso es conveniente por las consideraciones que se hacen en 5.2.-

Fig 5.2.2 Variante de la anterior, se utiliza normalmente cuando en el filo exterior no existe una alineación de columnas o si por motivos arquitectónicos la zona de descansos debe aparecer como un bloque exento. Desde el punto de vista de las flexiones en la losa el descanso es un voladizo y la acción sobre la viga del descanso resulta mayor que en el caso anterior. En caso de existir una pared sobre el extremos del voladizo es necesario prevenir excesivas deformaciones que pueden originar fisuración en la tabiquería. Las tres columnas dibujadas normalmente no aparecen simultáneamente, sino que muestran tres variantes de apoyo: La columna central y una lateral, dos columnas externas (caso mas común), o una columna central. En este último caso el estado de carga con sobrecarga en un tramo solamente genera en aquella flexiones importantes.

Fig. 5.2.3 Normalmente se la denomina “Escalera a descanso libre”, y se la utiliza generalmente por motivos arquitectónicos. La resolución de esta estructura se debe realizar mediante un análisis tridimensional mas riguroso. Se generan solicitaciones torsionales de equilibrio, por lo que los espesores estructurales son grandes para cubrir las necesidades de rigidez (en este caso no son aplicables los criterios de predimensionamiento para losas comunes) y resistencia a flexión y corte. Es usual la necesidad de disponer estribos.

8

Fig. 5.2.4 Esta tipología aprovecha normalmente la existencia de un tabique cuya función principal es otra (generalmente, resistir acciones laterales de viento y/o sismo). Su funcionamiento estructural es claro (ver 6.2), pero plantea dificultades para la construcción del tabique salvo en los casos en que éste se ejecuta primero, dejando conexiones adecuadas para hormigonar la escalera en segunda etapa. En este caso se produce una exagerada perforación de los encofrados si se deja armadura en espera. La solución consiste en utilizar dispositivos de empalme adecuados.

Fig. 5.2.5 Esta disposición geométrica (igual que 5.2.6, 7 y 8) no es utilizable en general en edificios de altura, ya que los puntos de arranque y llegada se encuentran alejados y es necesario disponer de un pasillo extenso para conectarlos. Para ese tipo de edificación, y cuando se debe cumplir con reglamentaciones contra incendios modernas, que exigen el aislamiento de la escalera y sus circulaciones, esta tipología se hace inviable. Estructuralmente el funcionamiento es muy claro, con sus losas apoyadas en sendas vigas cada una.

Figs 5.2.6 y 5.2.7 Variantes de 5.2.5, con una disposición tal vez mas económica de los apoyos. En cualquiera de los dos casos la losa del primer tramo de subida está claramente apoyada en vigas (en 5.2.7 con un voladizo), mientras que la otra losa apoya superiormente en una viga e inferiormente en la otra losa (ver 6.1).

9

Fig. 5.2.8 Esta es una disposición que evita el apoyo de una losa sobre la otra, mediante la colocación una viga diagonal bajo el descanso. En general su viabilidad está condicionada por la visibilidad de la viga desde la PB. Por tratarse de luces cortas, en ocasiones las dos columnas del descanso pueden ser reemplazadas por una central, pero en este caso se deben hacer consideraciones especiales sobre los estados de carga para tomar en cuenta las posibles solicitaciones de flexión compuesta oblicua en la columna.

En todos los casos descriptos se entiende que la disposición de las columnas puede ser diferente siempre que las condiciones de apoyo de las losas (determinadas por las vigas) sean las mismas. Por ejemplo en los casos 5.2.5 a 5.2.8, las vigas que sustentan las losas en los niveles de pisos (no en el descanso) pueden ser simplemente un sector de una viga mas larga, con mayor separación entre columnas.

5.2.- Disposiciones más usuales para apoyo de descansos Piso Superior

Piso Superior

Nivel Descanso

Fig 5.3

Fig 5.2

Nivel

Piso

Piso Inferior

Piso Superior

Piso Superior

Nivel Descanso

Nivel Descanso

Piso Inferior

Piso

Figura 5.4

Figura 5.5 10

Las Figuras 5.2 a 5.5 representan algunos ejemplos de disposiciones estructurales destinadas a dar apoyo a los descansos de escaleras. Por supuesto que no agotan las posibilidades. Normalmente el apoyo se materializa a través de una viga ubicada a media altura entre los pisos que toma la acción de apoyo de la escalera. De esta manera las vigas ubicadas en la planta superior no toman en forma directa la acción de la escalera. En general se trata de utilizar las columnas comunes al resto de la estructura (caso 5.2), pero esto no es siempres posible (5.3). Una solución tentadora desde el punto de vista del análisis estructural es la de disponer tensores que tomen la viga sobre la que apoya el descanso (5.4) . En este caso se debe tener en cuenta que el proceso constructivo normal (creciente en cota) puede complicarse ya que es necesario contar con la viga superior para ejecutar la escalera, por lo que hay que encofrar y hormigonar ambos elementos al mismo tiempo, con especiales consideraciones sobre el tiempo de desencofrado. También se debe considerar en el esquema de cálculo que la deformabilidad de los tensores es usualmente mayor que la de los elementos comprimidos, ya que el acero es 7 veces mas rígido que el hormigón, mientras que la relación de resistencias es del orden de 20. Cuando un descanso está muy cerca del piso inferior, y especialmente cuando se trata de una planta baja, puede ocurrir que los primeros escalones (los que llevan a ese primer descanso) se ejecuten directamente sobre un relleno de contrapiso o de ladrillos huecos, es decir, que no se proyecte una estructura portante para ellos.

6.-

ALGUNOS COMENTARIOS REFERIDOS AL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS SIMPLES PARA ESCALERAS

6.1.- Luces de Cálculo Como ya se ha comentado, la mayoría de las escaleras se comportan como láminas plegadas. Sin embargo, para simplificar su cálculo se las suele considerar simplemente como losas o placas y, dado que éstas se calculan como vigas de un metro de ancho, el cálculo termina reduciéndose en la mayoría de los casos a un análisis de una estructura de barras de un metro de ancho. Cuando las losas apoyan directamente sobre vigas las luces de cálculo no requieren de ninguna consideración especial. Apoyos B

Luz de cálculo

A

Figura 6.1

Luz de cálculo

En la Figura 6.1 se muestra un caso típico en el que una de las losas no apoya francamente en una viga o en un elemento de fundación. En efecto, la losa “B” tiene un apoyo “indirecto” en la losa “A”. En estos casos suele calcularse la losa “B” con una luz

11

intermedia entre su luz libre y su longitud total. No debe olvidarse considerar su reacción como acción sobre la losa “A”.

6.2.- El vector momento estático total Es interesante analizar en cada caso la dirección del vector momento estático total y cómo éste es resistido por la estructura. Veremos enseguida que en algunos casos muy comunes la estructura se ve sometida a flexión oblicua aunque en general la descomposición de esta solicitación en dos flexiones rectas no disminuye inaceptablemente la seguridad por lo que se recurre a esta simplificación a los efectos del dimensionamiento y distribución de armaduras. Veremos qué ocurre cuando una escalera como la de las figuras 5.1.(e) y 5.2.4 se desarrolla apoyada solamente en un tabique central ubicado en el ojo de la escalera. M1

M tot d

α

M2

En este caso, la escalera está empotrada en el tabique mencionado. Para realizar el análisis que sigue se considerará la zona central del tramo, suficientemente alejada de los descansos como para suponer atenuados los efectos de borde que se originan en los extremos del tabique. Considerando que las cargas actuantes tienen dirección vertical, el vector momento estático total ( Mtot) resulta con dirección horizontal. Como consecuencia de esto, la sección transversal de la escalera está sometida a flexión oblicua, siendo los momentos según los ejes “principales” M1 y M2. En ocasiones se está tentado de abordar la resolución de este problema subdividiendo la sección según los planos verticales que definen los escalones, y calculando cada uno de ellos con su momento estático correspondiente. Resulta evidente que para que este esquema sea viable sería necesario que el bloque comprimido del escalón superior tuviera la misma deformación que el talón superior (traccionado) del inferior, situación incompatible con la continuidad del material. De lo anterior se deduce que es necesario analizar la sección completa de la escalera, con lo que se tiene una forma muy esbelta de la misma (por ejemplo, b=4.70m y h=0.20m ), por lo que la inclinación del eje neutro con respecto al plano medio de la losa será muy pequeño, y de esta manera el efecto de oblicuidad queda muy disminuído. Ejemplo:

Suponiendo una inclinación de la escalera de unos 30°, la relación entre momentos resulta:

M1 = 0.87 M tot M2 = 0.50 M tot El momento M1 es resistido con la altura “d” y el M2 hace trabajar a todo el tramo como viga de gran altura, conduciendo a armaduras muy pequeñas.

12