Calculo en Varias Aplicaciones de Integrales Triples

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN FACULTAD DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN Y SERVICIOS

ESCUELA PROFESIONAL INGENIERÍA ELECTRÓNICA APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES TRIPLES AL CENTRO DE MASA CURSO: CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES ALUMNOS: -VALDEZ LUQUE Jhosep Jeanpool -HUACASI LUQUE Yonathan Lenin DOCENTE: Mg. María Teresa Cárdenas Rivera GRUPO:

“B”

Arequipa – Perú 2018

INTRODUCCIÓN: En este documento se presentan los resultados de una investigación realizada por alumnos: Valdez Luque Jhosep Jeanpool, Huacasi Luque Yonathan Lenin, del segundo semestre en la facultad de Ingeniería de Producción y Servicios, en la prestigiosa escuela de Ingeniería Electrónica, con la finalidad de conocer la importancia del curso “Cálculo en varias variables“, en esta

oportunidad con el tema de Integrales múltiples aplicadas al centro de masa, sobre una región en el espacio. Estas integrales se conocen como integrales múltiples y se definen como el límite de las sumas de Riemann, de manera similar al caso de las integrales de una variable que se presentaron en el semestre anterior. Presentaremos algunas aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo incluyendo cálculo de centros de masa. Primero partimos de la siguiente hipótesis :“¿Las integrales  múltiples, son muy poco utilizadas en la carrera?”, siguiendo con una investigación

documental sobre las aplicaciones a diversas áreas de Ingeniería Electrónica en este caso nos dio como resultado : los circuitos electrónicos, Redes de Markov, teorema de Bayes, sumas de Riemann, análisis de sistemas y señales, eliminación de ruido, series de Fourier, transformada Z, circuitos eléctricos, robótica, modelado en tercera dimensión, etc., lo que llevó a una posible conclusión adelantada: “El cálculo integral es una herramienta muy útil en la carrera de ingeniería electrónica”. Más tarde se nos pusimos a investigar por

medio de internet, libros, tesis de universidades de prestigio como la UNI, San Marcos y claro nuestra alma matter, preguntamos a nuestros profesores, buscamos información en páginas científicas certificadas. Y nos dimos cuenta que las integrales son una herramienta muy importante en la vida profesional de los ingenieros electrónicos donde se combinan las ciencias básicas estudiadas con sus aplicaciones a la vida cotidiana luego sintetizamos toda esta información mediante herramientas de investigación.

MOTIVACIONES: Lo que nos motivó a realizar este trabajo de investigación, fue nuestra docente, del curso de cálculo en una variable: María Teresa Cárdenas Rivera, a la cual dedicamos este trabajo de investigación .También nos dimos cuenta de que la electrónica está presente en todos los aspectos de nuestra vida. Podemos encontrar a la ingeniería electrónica en los campos de telecomunicaciones, en el sector industrial y en el diseño y fabricación de nuevo hardware que satisface las necesidades de las personas y las empresas. Ya que existe una gran demanda laboral, porque través de la experiencia que los ingenieros electrónicos adquieren durante su trabajo pueden contemplar la opción de crear su propia empresa en la cual ofrezca soluciones electrónicas a diferentes empresas. Inclusive puede vincularse con profesionales de otras áreas para ofrecer soluciones más integrales, como es el caso de la bioingeniería en la cual la medicina, va de la mano con la electrónica.

También queremos dar a conocer a través de este trabajo de investigación de que nosotros como futuros ingenieros electrónicos, tenemos una gran misión, que es el de aportar nuestra creatividad a nuestro mundo ya que nosotros tenemos la capacidad de, transmitir, generar y controlar a los pequeños electrones.

DEFINICIONES: Integrales triples:

Así como las integrales dobles nos permiten tratar con situaciones más generales que las integrales simples, las integrales triples nos permiten resolver problemas aún más generales. Usamos las integrales triples para calcular los volúmenes de formas tridimensionales y el valor promedio de una función sobre una región tridimensional. Las integrales triples también se usan en el estudio de campos vectoriales y el flujo de fluidos en tres dimensiones.

Si F(x, y, z) es una función definida en una región cerrada D y acotada en el espacio, como la región ocupada por una bola sólida o un montón de arcilla, entonces la integral de F sobre D se define de la siguiente manera. Partimos una región en forma de caja rectangular que contiene a D en celdas rectangulares mediante planos paralelos a los ejes coordenados. Numeramos las celdas que están dentro de D desde 1 hasta n en algún orden, donde la k-ésima celda tiene las dimensiones Dxk por Dyk por Dzk y un volumen .Seleccionamos un punto en cada celda y formamos la suma:

Estamos interesados en lo que pasa cuando D se parte en celdas cada vez más pequeñas, de manera que Dxk, Dyk, Dzk y la norma de la partición el valor máximo entre Dxk, Dyk, Dzk tienden a cero. Cuando se obtiene un único valor límite, sin importar la forma de elegir las particiones y puntos, decimos que F es integrable sobre D. como antes, se demuestra que cuando F es continua y la superficie de la frontera D está formada por un número finito de superficies regulares unidas a lo largo de un número finito de curvas regulares, entonces F es integrable. Cuando y el número de celdas n tiende a , las sumas Sn tienden a un límite. Llamamos a este límite la integral triple de F sobre D y la escribimos como:

Las regiones D sobre las que las funciones continuas son integrables, son aquellas que tienen fronteras “razonablemente suaves”.

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las aplicaciones de las dobles. Sus definiciones se obtienen a partir de la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación se presentan de una vez con la integral triple correspondiente para cada una de ellas. Las aplicaciones que se mencionan a continuación son: volúmenes de sólidos en el espacio, masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia de cuerpos en el espacio. 

VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

En el capítulo 2 se definió la integral triple de una función f sobre una región tridimensional, como el límite de una triple suma de Riemann. Si la función f es igual a la unidad; es decir, f (x,y,z) =1, entonces, la integral triple representa el volumen V del sólido B , resultando la siguiente integral:



MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

Considere una región tridimesional B , no homogénea, esto es que su densidad ρ varía en cada punto ( x,y,z B ) ∈ , donde la función densidad está expresada en unidades de masa por unidad de volumen, entonces la masa se obtiene como la integral triple de la función densidad sobre la región B, tal como se define a continuación:



MOMENTOS ESTÁTICOS

El momento estático de una región B tridimensional respecto a los planos coordenados xy, yz y xz, se definen de la siguiente manera:



CENTRO DE MASA

A continuación se define el centro de masa para un sólido tridimensional como un punto P (x, y, z), donde las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones:

Entonces:



MOMENTOS DE INERCIA

Los momentos de inercia del sólido B respecto a los planos coordenados, se obtienen como sigue:

Centros de masa:

Si d(x, y, z) es la densidad (masa por unidad de volumen) de un objeto que ocupa una región D en el espacio, la integral de d sobre D nos proporciona la masa del objeto. Para ver por qué, imagine que el objeto se divide en n elementos de masa como el de la figura 15.34. La masa del objeto es el límite:

El primer momento de una región sólida D con respecto a un plano coordenado se define como la integral triple sobre D de la distancia de un punto (x, y, z) en D al plano multiplicada por la densidad del sólido en ese punto. Por ejemplo, el primer momento con respecto al plano yz es la integral:

El centro de masa se obtiene a partir de los primeros momentos. Por ejemplo, la coordenada x del centro de masa es: Para un objeto bidimensional, como una placa plana y delgada, calculamos los primeros momentos con respecto a los ejes coordenados eliminando simplemente la coordenada z. De esta forma, el primer momento con respecto al eje y es la integral doble sobre la región R de la distancia al eje multiplicada por la densidad, es decir:

La posición del centro de masas de un sistema de partículas viene dada por la expresión:

donde M es la masa total del sistema de partículas. Esta es una ecuación vectorial, cada una de las componentes de la posición del centro de masas vendrá dada por:

FÓRMULAS: Los momentos de inercia respecto de los ejes vienen dados por:

EJEMPLOS: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

BIBLIOGRAFÍA: 1. Cálculo en varias variables. George B. Thomas Jr.

Thomas, G.B. (2010). Cálculo en varias variables (12° edición). México: PEARSON.http://robertocastellanos.com/Libros/Calculo%20Varias%20Vari ables%20-%20Thomas%20 2. Teoría de centros de masa. Jose Javier Sandonís Ruiz.

http://personales.unican.es/junqueraj/JavierJunquera_files/Fisica1/Teoria_Centros_de_Masa.pdf 3. Integrales Múltiples y sus Aplicaciones. Geraldine Cisneros.

http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/Aplicaciones.pdf 4. Fórmulas de integrales triples.

https://cdn.geogebra.org/material/DHgkrfPPVJ2UEleCf4ZpV2GAXY56ThP 1/material-jZEMM3Qx.pdf 5. Aplicaciones de integrales dobles y triples.

https://sergioyansen.files.wordpress.com/2011/12/aplicaciones-deintegrales-triples-y-dobles.pdf