CALCULO DIFERENCIAL
December 28, 2016 | Author: Torimat Cordova | Category: N/A
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Universidad Nacional Federico Villarreal Facultad de Educación
Matemática - Física
MATEMATICA PURA
CALCULO DIFERENCIAL Toribio Córdova C.
TEMAS: LÍMITES CONTINUIDAD DERIVADAS
CALCULO DIFERENCIAL
1.
UNFV – BASE 2009
Definición de límite. 𝐱 𝟐 −𝟑𝐱+𝟐
a) 𝑳𝒊𝒎
𝒙⟶𝟏 𝐱 𝟐 −𝟒𝐱+𝟑
b)
=
𝟏 𝟐
𝑳𝒊𝒎 √𝐱 + 𝟑 = 𝟐 𝒙⟶𝟏
Resolución a) 𝑳𝒊𝒎
𝒙⟶𝟏
𝒙𝟐 −𝟑𝒙+𝟐
𝒙𝟐 −𝟒𝒙+𝟑
Resolución
=
𝟏 𝟐
1
∀𝜀 > 0 , ∃ 𝛿 > 0 / x ∈ Dom f ⋀ 0< |𝑥 − 1| < 𝛿 ⟺ �𝑓(𝑥) − 2� < 𝜀 1
�𝑓(𝑥) − 2� < 𝜀
�
𝑥 2 − 3𝑥 + 2 1 − � 0, ∃δ > 0 / x ∈Domf ( x ) ∧ si 0 < x − 2 < δ ⇒ f ( x ) < − M ⇒= f (x)
Si 0 < x − 2 < δ1 =
1− x < − M ……………………………..….(1) ( x − 2)2
1 1 1 1 3 ⇒ − < x − 2 < ⇒ < x −1< 2 2 2 2 2
Como: ( x − 2)2 > 0; siendo x ≠ 2 ⇒ multiplicamos la expresión anterior por: ⇒
1 x −1 3 < < 2 2 2( x − 2) ( x − 2) 2( x − 2)2
⇒ −
3 1− x 1 …………………...(2) < M 2( x − 2)2
1 1 1 ⇒ ( x − 2)2 < ⇒ x −2 < M 2M 2M
Si 0 < x − 2 < δ se toma: δ =
Toribio Córdova Condori
1 ( x − 2)2
1 2M
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CALCULO DIFERENCIAL
∴ 8.
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𝟏
𝜹 = {𝜹𝟏 ; 𝜹𝟐 } = 𝒎í𝒏 � ; � 𝟐
𝟏
𝟐𝑴
� Rpta
Calcular: (𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙) + 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 − (𝒔𝒊𝒏 𝒙)𝟐 + 𝟎. 𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 𝑳𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙𝟑 (𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙) Resolución 2 Sea f ( x ) = ( tgx − 2senx ) +3 senx .tgx − sen x + 0, 5sen2x
x (1 − senx + cosx )
Reduciendo la función:
senx 1 − 2 + senx . − sen2 x + 0, 5 × 2senx .cosx senx cosx cosx f (x ) = x 3(1 − senx + cosx )
senx 1 −2+ − senx + cosx senx cos cos x x f (x ) = x 3(1 − senx + cosx ) senx 1 − 1+ − 1 − senx + cosx senx x x cos cos f (x ) = x 3(1 − senx + cosx ) cosx senx 1 − + − 1 − senx + cosx senx cosx cosx cosx f (x ) = 3 x (1 − senx + cosx ) 1 − cosx + senx − (1 − cosx + senx ) senx cosx f (x ) = 3 x (1 − cosx + senx )
1 − 1 senx (1 − cosx + senx ) cosx f (x ) = 3 x (1 − cosx + senx )
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CALCULO DIFERENCIAL
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1 − cosx senx 2x senx (1 − cosx ) tgx ⋅ 2sen 2 cos x cos x = = f (x ) = 3 3 3
x
x
x
x x x sen2 sen2 sen2 tgx tgx 1 tgx 2 = 2 = 2 f (x ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 x x x 2 x x x 4 2 2
Reemplazando en el límite: 1 tgx ⋅ lim f ( x ) = lim ⋅ x→0 x→0 2 x
x x sen2 sen2 x 1 tg 2 = lim 2 = 1 ⋅ 1⋅ 1 ⋅ lim 2 2 x→0 x→0 x 2 2 x x 2 2
∴ 9.
𝑳𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝒙→𝟎
𝟏 𝟐
Rpta
Sea f la función definida por:
𝐟(𝐱) = |𝐱 + 𝟓| +
𝟓 |𝐱| − 𝟒
Bosqueje el gráfico de f mostrando sus asíntotas. Resolución El dominio de la función f(x) será: ) Domf ( x =
{x ∈ ¡
/ x − 4 ≠ 0}=
{x ∈ ¡
/ x ≠ 4}= {x ∈ ¡ / x ≠ 4 ∨ x ≠ −4}
Redefiniendo la función:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −5, 𝑥 = 0 (𝑥 ≠ 0)
Se tienen 3 intervalos: Toribio Córdova Condori
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∗ x < −5 ⇒
x+5 = −( x + 5) ∧
⇒ f1( x ) = −( x + 5) + ∗ −5≤ x < 0 ⇒
∗ x >0
⇒
x = −x
5 ; x < −5 −x − 4
x+5 = x +5 ∧
⇒ f2 ( x )= x + 5 −
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x = −x
5 ; − 5 ≤ x < 0 , x ≠ −4 x +4
x+5 =x + 5 ∧
⇒ f3 ( x ) = x + 5 +
x =x
5 ; x ≥ 0, x ≠ 4 x −4
Luego:
5 − x + 5 + x + 4 ; x < −5 5 f ( x= ) x + 5 − ; − 5 ≤ x < 0 , x ≠ −4 x +4 5 ; x ≥ 0, x ≠ 4 x + 5 + x −4
Asíntotas verticales:
Las posibles asíntotas verticales de la gráfica de f(x) serán en los puntos de acumulación del dominio (𝑥 = ±4).
5 5 ∗ lim − f ( x ) =lim − x + 5 − =−4 + 5 − − =1 + ∞ =+∞ x →−4 x →−4 x +4 0 5 5 ∗ lim + f ( x ) =lim + x + 5 − =−4 + 5 − + =1 − ∞ =−∞ x →−4 x →−4 x +4 0
∴ 𝒙 = −𝟒 es una Asíntota Vertical
5 5 ∗ lim− f ( x ) =lim− x + 5 + =4 + 5 + − =9 − ∞ =−∞ x →4 x →4 x −4 0
5 5 ∗ lim+ f ( x ) =lim+ x + 5 + =4 + 5 + + =9 + ∞ =+∞ x →4 x →4 x −4 0
∴ 𝒙 = 𝟒 es una Asíntota Vertical Toribio Córdova Condori
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Asíntotas horizontales:
5 ∗ lim f ( x ) = lim x + 5 + = +∞ + 0 = +∞ ∉ ¡ x →+∞ x →+∞ x −4
5 ∗ lim f ( x ) = lim − x + 5 + = − ( −∞ + 0 ) = +∞ ∉ ¡ x →−∞ x →−∞ x +4
∴ No tiene Asíntota Horizontal
Asíntotas oblicuas: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 A.O.D:
x +5+
f (x ) m lim = lim = x →+∞ x x →+∞
b =
x
lim f ( x ) − mx =
x →+∞
5 x −= 4
lim x + 5 +
x →+∞
5 lim 1 + +
x →+∞
5
x −4 ∴
A.O.I:
x
x −=
5 1 = x ( x − 4 )
lim 5 +
x →+∞
5 = 5
x − 4
y= x + 5
5
−x + 5 + f (x ) 5 5 x 4 + m =lim =lim = − lim 1 + + = −1 x →−∞ x x →−∞ x →−∞ x x x ( x + 4 )
b=
lim f ( x ) − mx =
x →−∞
5 lim − x + 5 + + x = x +4
x →−∞
∴
lim −x − 5 −
x →−∞
5 5 + x = lim −5 − = −5 x →−∞ x +4 x − 4
y = −x − 5
Gráfico:
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CALCULO DIFERENCIAL X=-4
y
UNFV – BASE 2009 X=4
5
x
-5
10.
Dada la función definida por:
𝒇(𝒙) =
𝑺𝒈𝒏(𝒙𝟐 − 𝟖) − 𝟑; 𝒙 ≤ −𝟑
𝒙 𝒙 � � + 𝟓𝒔𝒈𝒏(𝒙 − 𝟓); −𝟑 < 𝑥 < 𝟎 𝟑 𝒙−𝟑 ; 𝒙≥𝟎 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔
Determinar los puntos de discontinuidad. Determinar el tipo de discontinuidad y si es posible redefinir la función para evitar la discontinuidad. Resolución Redefiniendo la función f(x). Para ello hallaremos:
∗ Si: x ≤ −3 ⇒ x 2 ≥ 9 ⇒ x 2 − 8 ≥ 1 > 0 ⇒ sgn( x 2 − 8 ) = 1
∗ 𝑆𝑖: − 3 < 𝑥 < 0 ⟹ −1 < Toribio Córdova Condori
𝑥 𝑥 < 0 ⟹ � � = −1 3 3
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CALCULO DIFERENCIAL
∗ Si: − 3 < x < 0 ⇒
∗
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− 8 < x − 5 < −5 ⇒ sgn( x − 5) =−1
x −3 x −3 1 ; x ≥ 0, x ≠ 3 = = ( )( ) x − 3 x + 2 x +2 x −x −6 2
Luego:
−2 ; x ≤ −3 f ( x ) = −x − 5 ; − 3 < x < 0 1 ; x ≥ 0, x ≠ 3 x + 2
1 − 3 ; x ≤ −3 f ( x )= x ( −1) + 5( −1) ; − 3 < x < 0 ⇔ 1 x ≥0 ; x + 2
Graficando f(x):
y
1/2 -3
-2 3
x
-2
-5
Se observa que la función es discontinua en x=0. El tipo de discontinuidad es inevitable. Lo que me indica que no es posible redefinir la función para hacerla continua en dicho punto. Rpta
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CALCULO DIFERENCIAL
11.
UNFV – BASE 2009
Resolver: a) Sea 𝒇(𝒙) =
𝟑
�𝟔+ 𝟔√𝒙 −𝟐 𝒙−𝟔𝟒
; 𝒙 ≠ 𝟔𝟒; ¿Cómo debe ser definida
f(64), de modo que la función sea continua en x= 64?
b) Un automóvil viaja de noche por una carretera en forma de parábola con vértice en el origen, el vehículo parte de un punto a 100 m al oeste y a 100 m al norte del origen y viaja en
dirección general
hacia el este. Hay una estatua a 100 m al este y 50 m al norte de origen ¿en qué punto de la carretera los faros del automóvil la iluminaria? Resolución a) Debemos redefinir la función en x=64 a fin de hacerla continua en dicho punto.
Aplicamos límite de una función cuando x tiende a 64: = lim f ( x ) x → 64
3 6+ 6 x −2 0 = lim x → 64 x − 64 0
Levantando la indeterminación:
(Forma indeterminada)
3 3 6+ 6 x −2 6 + 6 x − 2 3 ( 6 + 6 x )2 + 3 6 + 6 x .2 + 22 = = lim ⋅ lim f ( x ) lim x → 64 x → 64 x → 64 3 x − 64 x − 64 ( 6 + 6 x )2 + 3 6 + 6 x .2 + 22
6+ 6 x −8 1 ⋅ x → 64 x − 64 3 ( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4
= lim f ( x ) lim x → 64
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CALCULO DIFERENCIAL
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x − 2 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + 6 x 3 ⋅ 22 + ... + 25 lim f ( x ) lim = ⋅ ⋅ 6 x → 64 x → 64 3 ( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4 x − 64 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + x 3 ⋅ 22 + ... + 25 6
1
x − 64 1 ⋅ 6 x → 64 x → 64 3 ( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4 x − 64 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + x 3 ⋅ 22 + ... + 25 1 1 1 1 lim f ( x ) = ⋅ = ⋅ 5 5 x →64 3 ( 6 + 2)2 + 2 3 6 + 2 + 4 6 ⋅ 2 3 ⋅ 4 6 ⋅ 2 1
= lim f ( x ) lim
lim f ( x ) =
x → 64
⋅
1 2304
La función redefinida será: 3 6 + 6 x −2 ; x ≠ 64 f ( x ) = x − 64 1 ; x = 64 2304
b) Graficando:
Rpta
N
y O
E S
Partida
100 50
Estatua
x
100
-100 P(a,b)
Ecuación general de la parábola con vértice en el origen:
y = ax 2 ...........................
(1)
2 Pero ( −100; 100 ) ∈ Parábola ⇒ En la Ec.(1) : 100 =a( −100 ) ⇒ a =
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1 100
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⇒
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1 y =x 2 .............................. (2) 100
Hallando la ecuación de la recta LT de la iluminación en el punto P: Para ello consideramos el punto de paso (100; 50): (de la estatua) y − 50 = m( x − 100 ) ⇒ y = mx + 50 − 100m .............................
(3)
Cálculo de la pendiente “m” con la ecuación de la parábola: 2 1 m =y ¢= x ⇒ m= x 100 50
Reemplazando en (3):
⇒ y=
1 2 x − 2x + 50 .........................(4) 50
Igualando las ecuaciones (2) y (4):
1 2 1 2 x= x − 2x + 50 100 50
0= x 2 − 200x + 5000
Resolviendo: x =
200 ± 2002 − 4(1)( 5000 ) 200 ± 100 2 = 2 2
x = 100 ± 50 2 ⇒ x 1 = 100 − 50 2 ∨ x 2 = 100 + 50 2
En la ecuación (2): ⇒ y =
1 (100 − 50 2 )2 = (10 − 5 2 )2 = 150 − 100 2 100
Finalmente el punto P pedido es:
∴
𝑷(𝒂; 𝒃) = (𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟎√𝟐; 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎√𝟐)
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Rpta
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CALCULO DIFERENCIAL
12.
UNFV – BASE 2009
Hallar c y d para que f(x) sea continua: x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2 c ; x < −1 3 7 − x + 5 − x 2 − 4 f ( x ) = cd −1 ; x = −1 −2 5 31 − x − 6 x − 8 d ; x > −1 3 26 − x − 5x − 8
(
)
Resolución x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2 d −2 ( 5 31− x − 6 x − 8) ; x < −1 ∧ f2 ( x ) Sea f1( x ) c ; x > −1 = = 3 3 7− x + 5− x 2 − 4 x x 26 5 8 − − −
La función f(x) será continua en x 0 = −1 ⇔ se cumplen las tres condiciones siguientes: i) ∃f ( −1) = cd −1
x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2 d −2 ( 5 31− x − 6 x − 8) = lim+ 3 3 7 − x + 5 − x 2 − 4 x→−1 26 − x − 5 x − 8
ii) lim f1( x ) = lim f2 ( x ) ⇔ lim c x →−1−
x →−1+
x →−1−
x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2 ( x 2 + 8 − 3) − ( 3 x 2 − 24 x + 2 − 3) c c lim = ∗ lim− f1( x ) lim = − 3 x →−1 x →−1− 7 − x + 5 − x 2 − 4 x →−1 ( 3 7 − x − 2) + ( 5 − x 2 − 2)
Multiplicando cada término por sus factores racionalizantes: ( x 2 + 8 − 3)⋅
lim− f1( x ) = c lim−
x →−1
x →−1
x →−1
x →−1
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x2 +8 +3
( 3 7 − x − 2)⋅
x2 +8 −9 lim− f1( x ) = c lim−
x2 +8 +3
−
− ( 3 x 2 − 24 x + 2 − 3)⋅
3
( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32
3
( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32
3
(7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22
3
(7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22
+ ( 5 − x 2 − 2)⋅
5− x 2 +2 5− x 2 +2
x 2 − 24 x + 2 − 27
( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32 [7 − x − 8] 5− x2 − 4 + 3 (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22 5− x2 +2
x2 +8 +3
3
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CALCULO DIFERENCIAL x 2 −1 lim− f1( x ) = c lim−
x →−1
−
x →−1
2
x →−1
x −1 x →−1
2
( x +1) ( x − 25)
−
−
2
3
x − 25
( x − 24 x + 2) + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9 −1 x −1 − 2 3 3 (7 − x ) + 2 7 − x + 4 5− x2 +2
x +8 +3
x →−1
3
( x − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9 ( x +1) ( x −1) − ( x +1) − 3 (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 4 5− x2 +2
x +8 +3
lim− f1( x ) = c lim−
lim− f1( x ) = c lim−
x 2 − 24 x − 25
( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9 −( x +1) −( x 2 −1) + 3 (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 4 5− x2 +2
x2 +8 +3
( x +1) ( x −1) x →−1
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2
3
2
Evaluando el límite:
−2 −26 1 26 17 − − + 68 6 3(9) lim− f1( x ) = c⋅ c ⋅ 3 27 = c ⋅ 27 = c = 1 1 5 45 −1 −2 x →−1 − − + 3(4) 2(2) 12 2 12
5 31− x − 6 x − 8 −2 ( 5 31− x − 2) − 6( x +1) −2 = ∗ lim+ f2 ( x ) d= lim+ 3 d lim+ 3 x →−1 x →−1 x →−1 ( 26 − x − 3) − 5( x +1) 26 − x − 5 x − 8
Multiplicando por sus factores racionalizantes: ( 5 31− x − 2)⋅
lim f2 ( x ) = d
−2
x →−1+
lim
x →−1+
5
(31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24
5
(31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24
( 3 26 − x − 3)⋅
3
(26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32
3
(26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32
− 6( x +1)
− 5( x +1)
31− x − 32
lim f2 ( x ) = d
x →−1+
−2
lim
x →−1+
Toribio Córdova Condori
5
− 6( x +1) (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24 26 − x − 27 − 5( x +1) 3 (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32
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CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
− ( x +1)
lim f2 ( x ) = d
−2
x →−1+
lim
5
x →−1+
− 6 ( x +1) (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24 − ( x +1) − 5 ( x +1) 3 (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32
−1 lim f2 ( x ) = d
−2
x →−1+
lim
5
x →−1+
(31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24 −1 −5 3 (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32
−6
Evaluando el límite:
−1 1 481 −6 − −6 4 481×27 =d −2 ⋅ 80 =d −2 ⋅ 80 =d −2 ⋅ lim+ f2 ( x ) =d −2 ⋅ 5⋅2 −1 1 136 x →−1 80×136 −5 − −5 2 27 27 3⋅3
⇒ lim f ( x ) = lim− f1( x ) = lim+ f2 ( x ) ⇒ x →−1
x →−1
cd −1 ⇒ iii) lim f ( x ) = x →−1
x →−1
68 481×27 c= d −2 ⋅ cd −1 = 45 80 ×136
Igualando: ∗
45 68 c = c d −1 ⇒ d = 68 45
∗ 𝑐𝑑 −1 = 𝑑 −2 .
481𝑥27 80𝑥136
Rpta 1 481𝑥27
⟹𝑐= .
𝑑 80𝑥136
∴
Toribio Córdova Condori
68 481×27 c= d −2 ⋅ 45 80×136
𝒄=
𝟏𝟒𝟒𝟑 𝟖𝟎𝟎
⟹𝑐=
68 481𝑥27
.
45 80𝑥136
Rpta
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CALCULO DIFERENCIAL
13.
UNFV – BASE 2009
Halle el área de la región comprendida por la recta tangente normal a la curva cuya ecuación es 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 +
𝒚𝟐 = 𝟕 en el punto (1;2) y la asíntota oblicua derecha a la gráfica de la función:
𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 + 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝟐 + �𝒙𝟐 + 𝟔 𝒙 −𝒙−𝟔 Resolución 7 en el Sean LT y LN rectas tangente y normal respectivamente a la curva x 2 + xy + y 2 =
punto (1;2).
Entones:
⇒ y= mx + 2 − m ………………………..
(1)
1 1 1 ( x −1) ⇒ y =− x + 2 + …………………….. m m m
(2)
LT : y − 2= m( x −1)
LN : y − 2 =−
Calculando “m”:
7 Derivando implícitamente la ecuación de la curva x 2 + xy + y 2 = 2 x + y + xy ¢+ 2 yy ¢= 0 ⇒ ( x + 2 y ) y ¢= - (2 x + y )
⇒ y ¢= m = -
En (1,2) la pendiente m será: m = -
2x + y x +2y
2(1) + 2 4 =− 1+ 2(2) 5
Reemplazando en las ecuaciones (1) y (2): 4 14 5 3 LT : y = − x+ ∧ LN : y =x + 5 5 4 4
Calculando ahora, la asíntota oblicua derecha a la gráfica de la función: Toribio Córdova Condori
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26
CALCULO DIFERENCIAL = f (x)
UNFV – BASE 2009 2 x 3 + 3 x +1 + x2 +6 2 x − x −6
Sea la ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x):
= y ax + b
………….(3)
Hallando “a” y “b”:
2 x 3 + 3 x +1 + x2 +6 2 2 x 3 + 3 x +1 f (x) x2 +6 6 x x − − a lim = ∗ = lim = lim + x →+∞ x x →+∞ x →+∞ x ( x 2 − x − 6) x x
3 1 6 3 1 x 3 2 + 2 + 3 x 1+ 2 2+ 2 + 3 x x x = x x + 1+ 6 + a = lim lim 1 6 x →+∞ x →+∞ x 1 6 x2 1− − 2 x 3 1− − 2 x x x x
= a
Evaluando:
2+0+0 + 1+ 0 ⇒ = a 3 1− 0 − 0
2 x 3 + 3 x +1 ) − ax ] lim 2 b lim [f ( x= ∗= + x 2 + 6 −3x x →+∞ x →+∞ x − x − 6 2 2 2 x 3 + 3 x +1 ( x 2 + 6 − x ) lim 2 x 2 +15 x +1+ ( x 2 + 6 − x )⋅ x 2 + 6 + x b lim 2 = − 2 x += x →+∞ x − x − 6 x →+∞ x − x − 6 x + 6 + x
2 15 1 x 2 + x + x 2 2 x 2 +15 x +1 x 2 + 6 − x 2 6 b lim 2 + lim = + = 2 x →+∞ x →+∞ 1 6 x x 6 − − 2 6 x x 6 + + x 1− − 2 x 1+ +1 x x x 2
2 6 =2 + 0 ⇒ b =2 1 ∞⋅2
Evaluando el límite se obtiene: b = + En la ecuación (3):
= y 3x +2
(Ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x))
Con las rectas obtenidas, determinamos sus puntos de intersección: 4 14 5 3 LT : y = − x+ ∧ LN : y =x + 5 5 4 4
∧ A.O.D: y =+ 3x 2
4 50 5 1 Resolviendo se obtienen: (1;2), ; , − ; − 19 19 7
7
Graficando las ecuaciones de rectas halladas:
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27
CALCULO DIFERENCIAL LT
y
UNFV – BASE 2009 A.O.D.
LN
B 4 ; 50 19 19
A
C
(1;2)
f (x)
x
5 1 − ;− 7 7
Finalmente el área sombreada: Area =
AB ⋅ AC ………………………………(4) 2
2
2
AB=
4 50 −1 + − 2 = 19 19
AC =
5 1 1+ + 2 + = 7 7
2
En (1):
𝟑√𝟒𝟏 𝟑√𝟒𝟏 . 𝟕 𝟏𝟗
𝑨𝒓𝒆𝒂 =
14.
2
𝟐
2
2
15 12 3 41 + = 19 19 19 2
2
12 15 3 41 + = 7 7 7
⟹
∴
𝑨𝒓𝒆𝒂 =
𝟑𝟔𝟗 𝟐𝟔𝟔
Rpta
Sea
x 3 nπx +1 2 nπx +1 = f (x) cos − sen +1 4 + mx nx nx
f (x)= − Hallar n m si: xlim →+∞ 2
Toribio Córdova Condori
1 24
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28
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
Resolución Transformando f(x):
f (x) =
x 3 nπx +1 2 nπx +1 cos − sen +1 4 + mx nx nx
= f (x)
x 3 nπx +1 2 nπx +1 2 nπx +1 2 nπx +1 cos − sen + sen + cos 4 + mx nx nx nx nx
= f (x)
x 3 nπx +1 2 nπx +1 cos + cos 4 + mx nx nx 3
x nπx +1 nπx +1 f ( x ) =⋅cos 1+ cos 4 + mx nx nx
x3 nπx +1 2 nπx +1 f ( x ) = ⋅cos ⋅2cos 4 + mx nx 2nx = f (x)
(x) f=
2x3 1 π 1 ⋅cos π+ ⋅ cos + 4 nx 2 2nx x +m x 2x2 1 1 ⋅ −cos ⋅ −sen 4 nx 2nx +m x
2
2
1 sen2 −2 x 1 1 −2 1 2nx f ( x ) = ⋅cos ⋅sen2 = ⋅ cos ⋅ 4 1 nx 2nx 4 + m nx +m x x x2 2
1 1 1 sen2 sen − 2 −2 1 2nx =2n ⋅cos 1 ⋅ 2nx f ( x ) = ⋅cos ⋅ 4 1 nx 4n2 ⋅ 1 4 + m nx +m 2 2 x x x 2n 4n x
Luego, por condición: lim f ( x ) = − x →+∞
2
1 24 2
1 1 sen − 2 1 1 2nx = ⇒ lim 2n ⋅cos ⋅ − 1 x →+∞ 4 24 nx +m x 2nx
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29
CALCULO DIFERENCIAL
⇒
−
1 1 2n2 ⋅(1)⋅(1)2 = − m 24
Rpta
∴ 𝒏𝟐 𝒎 = 𝟏𝟐
15.
UNFV – BASE 2009
Calcular: 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟏
𝟑
𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟐 − �|𝒙 + 𝟓| − 𝒙 �|𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓|
Resolución
Dominio |𝑥 2 + 6𝑥 + 5| > 0|𝑥 2 + 6𝑥 + 5| = 𝑥 2 + 6𝑥 + 5 lim
𝑥→−1+
3
𝑥 2 √𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥 �|𝑥 2 + 6𝑥 + 5|
𝑥 → −1+ → 𝑥 > −1
lim
𝑥→−1+
3
𝑥 2 √𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥 �|𝑥 2 + 6𝑥 + 5|
= lim+ 𝑥→−1
= lim+ 𝑥→−1
∴𝑥+5>4 3
𝑥+1 >0
lim+
x→−1
3
�(x + 5)(x + 1)
− lim+ x→−1
�|𝑥 + 5||𝑥 + 1|
|𝑥 + 5| = 𝑥 + 5
|𝑥 + 1| = 𝑥 + 1
𝑥 2 � √𝑥 + 2 − 1� − �√𝑥 + 5 − 2� − (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) �(𝑥 + 5)(𝑥 + 1)
Dividiendo entre 𝑥 + 1 = �(𝑥 + 1)2 x 2 � √x + 2 − 1�
3
𝑥 2 √𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥
�√x + 5 − 2�
�(x + 5)(x + 1)
+ lim+ x→−1
(x − 2)(x + 1)
�(x + 5)(x + 1)
… . (∗)
𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 3
𝑎 = √𝑥 + 2 ∧ 𝑏 = 1 3
3
3
𝑥 + 2 − 1 = � √𝑥 + 2 − 1�( �(𝑥 + 2)2 + √𝑥 + 2 + 1) Toribio Córdova Condori
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30
CALCULO DIFERENCIAL 3
√𝑥 + 2 − 1 =
lim +
𝑥→−1
𝑥2
UNFV – BASE 2009 𝑥+1
3
3
�(𝑥 + 2)2 + √𝑥 + 2 + 1
𝑥+1 .3 = lim 3 �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1) �(𝑥 + 2)2 + √𝑥 + 2 + 1 𝑥→−1+ �
lim+
𝑥→−1
�(𝑥 + 5) − 2
.
�(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1)
�(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1) �(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1) = lim+ 𝑥→−1
lim +
(𝑥−2)(𝑥+1)
= lim +
√𝑥 + 1
(𝑥 + 5)�(𝑥 +
= lim+ 𝑥→−1
�(𝑥 + 5) ��(𝑥 + 5) + 2�
(𝑥−2)
𝑥→−1 √𝑥+5
𝑥→−1 �(𝑥+5)�(𝑥+1)
3
𝑥 2 �(𝑥 + 1) 2)2
3
+ √𝑥 + 2 + 1
=0
�(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1)𝑥 + 1 ��(𝑥 + 5) + 2�
=0
=0
En *
∴ 16.
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟏
𝟑
𝒙𝟐 √𝒙+𝟐−�|𝒙+𝟓|−𝒙 ��𝒙𝟐 +𝟔𝒙+𝟓�
=𝟎−𝟎−𝟎=𝟎
Rpta
Calcular. Hallar la derivada de: 𝟑
𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟑 (�𝟏 − 𝒙)
Resolución
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31
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009 3
𝜃 =( √1 − 𝑥)
𝑓´(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃(𝑐𝑜𝑠𝜃) ´
𝑓´(𝑥) = ( 3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)(−𝜃¨𝑠𝑒𝑛𝜃) 3
𝑓´(𝑥) = − 3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃. ( �1 − 𝑥)´. 𝑠𝑒𝑛𝜃
1 𝑠𝑒𝑛𝜃 (−1). 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑓´(𝑥) = −3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃( ). 3 3 ( √1 − 𝑥 )2
𝒇´(𝒙) =
∴
17.
𝟑
𝒄𝒐𝒔𝟐 ( √𝟏−𝒙). 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝟑
( √𝟏−𝒙)𝟐
Rpta
Sea f una función definida por la regla de correspondencia 𝒙𝟐 + 𝒙+𝟏 𝒙+𝒂
F(x)=
; 𝒔𝒊 𝒙 < 1
𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟑 ; Resolución F(x) =
lim
ℎ→0
𝒔𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 ≤
𝟑 𝟐
𝑓(𝑥𝑜+ℎ)−𝑓(𝑥𝑜) ℎ
X0 = 1
(1° ∃ la derivada )
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32
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
𝑓(𝑥) − 𝑓(1) 𝑥→1 𝑥−1
𝑓(𝑥)lim
∗ 𝑓(𝑥) lim+ 𝑥→1
𝑓(𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 − 5𝑥 + 3) − 𝑓(1 + 𝑏 − 2) 𝑥−1
X>1
𝑓(𝑥) = lim+ 𝑥→1
𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 − 5𝑥 + 3 − 𝑏 + 1 𝑥−1
𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 5𝑥 + 4 − 𝑏 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑥→1 𝑥−1 1 1
b
-5
1
b+1
1 b+1
𝑓(𝑥 ) = lim+ 𝑥→1
4-b b-4
b-4
0
(𝑥−1)�𝑥 2 +(𝑏+1)𝑥+(𝑏−4)� 𝑥−1
⟹ 1 + b + 1 + b - 4 = 2b – 2 ………………………(1)
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚− 𝑥→1
X 1 ∨ 𝑥 < −1
Hallar f”(x) suponiendo que f´(x) existe sobre el dominio de f(x)
Resolución
Para x0 = -1
𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 − (𝐴 − 𝐵 + 𝐶) = lim+ 𝑥→−1 𝑥→−1 𝑥+1 𝑥+1
∗ 𝑓 ′ _(−1) = lim
𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 − 𝐴 + 𝐵 − 𝐶) lim 𝑥→−1+ 𝑥+1 lim+
𝑥→−1
lim+
𝑥→−1
lim+
𝑥→−1
𝐴(𝑥 2 − 1) + 𝐵(𝑥 + 1) 𝑥+1
𝐴(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 1) 𝑥+1
𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵 = 𝐴(−1 − 1) + 𝐵 = 𝐵 − 2𝐴 1 𝑓+` (−1) = 𝐵 − 2𝐴
𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) ∗ 𝑓(−1) lim− = lim 𝑥→−1 𝑥→−1 𝑥+1 Toribio Córdova Condori
1−𝑥 2 −0
1+𝑥 2
𝑥+1
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36
CALCULO DIFERENCIAL lim−
𝑥→−1
UNFV – BASE 2009
1 − 𝑥2 −(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) −(−1 − 1) 2 = lim− = = =1 2 (1 + 𝑥 )(𝑥 + 1) 𝑥→−1 (1 + 𝑥 2 )(𝑥 + 1) 1+1 2 𝑓(−1) = 1
𝑓 ′ + (−1) = 𝑓 ′ _(−1)
B – 2A = 1 ……………….(1)
Para x0 = 1
𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) ∗ 𝑓 ′ + (−1) lim+ = lim+ 𝑥→−1 𝑥→−1 𝑥+1 lim−
𝑥→−1
1−𝑥 2 −0
1+𝑥 2
𝑥−1
−(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) −2 = = −1 (1 + 𝑥 2 )(𝑥 − 1) 2 𝑓 ′ + (1) = −1
𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 − (𝐴 + 𝐵 + 𝐶) = lim− ∗ 𝑓 _(1) = lim− 𝑥→1 𝑥→1 𝑥−1 𝑥−1 ′
lim−
𝑥→1
𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 − 𝐴 − 𝐵 − 𝐶) 𝑥−1 lim−
𝑥→1
lim−
𝑥→1
𝐴(𝑥 2 − 1)𝐵(𝑥 − 1) 𝑥−1
𝐴(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 − 1) 𝑥−1 lim−
𝑥→1
𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵 1
𝑓 ′ _(1) = 2𝐴 + 𝐵
B +2A = -1 ……………….(2)
DE (1) Y (2) se tiene:
Toribio Córdova Condori
B= 0 y A = -1/2
Rpta
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37
CALCULO DIFERENCIAL
19.
UNFV – BASE 2009
Si: 3
f ¢(2 x +1) = Halle:
3
2 x 2 + 6 x −16 ; y= f ( x + 3); u=
3x +3
dy en x = 2 du
Resolución Se pide
dy du
dy dy dx ⋅ ………………………….. du dx du
Pero: =
Calculando la derivada: De:
Luego:
(1)
dy dx
3
3
2
= y f ( x + 3) Sea: g( x ) = x + 3 ⇒ g¢( x ) =3 x ⋅D x x + 0 2 x ⇒ g¢( x )= 3 x ⋅ = 3 x x x
dy = f ¢( g( x ))⋅ g¢( x ) ………… (2) dx
y= f ( g( x )) ⇒
Por otro lado como f ¢(2 x += 1)
3
( x + 3) + 4 ( x + 3) − 37 = 2
3
Entonces: f ¢( g( x )) =
3
2 x 2 + 6 x −16 ⇒ f ¢(= x)
3
2
6
3
6
3
x 2 + 4 x − 37 2 3
3
x + 6 x + 9 + 4 x +12 − 37 2
3
x +10 x −16 3 ⇒ f ¢( g( x )) = 2
dy = Reemplazando en (2): dx
Calculando la derivada:
Toribio Córdova Condori
6
3
3
x +10 x −16 2
⋅3 x x ……………..…
(3)
dx du
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38
CALCULO DIFERENCIAL
De u =
3x +3 ⇒ x =
(3) y (4) en (1):
dy = du
u2 − 3 dx 2u 2 3 x + 3 ⇒ = = ……………… 3 du 3 3
6
3
UNFV – BASE 2009 (4)
3
x +10 x −16 2 3x +3 ⋅3 x x ⋅ 2 3
Finalmente, evaluando para x=2: dy = du
3
26 +10 ⋅23 −16 2 3⋅2 + 3 ⋅3⋅2 ⋅2 ⋅ 2 3
∴ 20.
𝒅𝒚
𝒅𝒖
= 𝟗𝟔 Rpta
Usando la definición de límite, probar que: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎
𝒚
𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 � � 𝒙 𝟏
�𝒙 + 𝟐� (𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙)
=𝟎
Resolución 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 (1/2)
lim
𝑥 →𝑜 (𝑥+1/2 ) (2+𝑠𝑒𝑛 𝑥)
i)
ii)
|𝑥|2 |𝑠𝑒𝑛(1/𝑥)|
|𝑥+1/2||2+𝑠𝑒𝑛 𝑥| ʆ1 =
0, ∃ 𝑓 > 0/𝑥 𝜖 𝐷𝑓, 0 < (𝑥 − 𝑜) < ∝ 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 (1/𝑥)
(𝑥 +1/2) (2+𝑠𝑒𝑛𝑥)
– 0 /< 𝜖
1 1
� − 0�
2 2
ʆ1 =
1 4
…𝜶
Toribio Córdova Condori
en i) lo reemplazamos:
1, 2, 3
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39
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
En 𝜶 tenemos:
|𝑥| <
iii)
1
|𝑥|2 |𝑠𝑒𝑛(1/𝑥)|
1
|𝑥+1/2||2+𝑠𝑒𝑛 𝑥|
4
−1 1 𝑏 > 0 �𝑥 2 −𝑎�−1 𝑥−𝑏
�𝑥 2 −𝑎�−1 −𝑥−𝑏
Analizando la continuidad
, 𝑥>𝑏 ,𝑥 < 𝑏
𝑓(𝑏) ∄
𝑙𝑖𝑚+
𝑥→𝑏 𝑥>𝑏
�𝑥 2 −𝑎�−1 |𝑥|−𝑏
= 𝑙𝑖𝑚+ 𝑥→𝑏
−�𝑥 2 −𝑎�−1 𝑥−𝑏
=
−𝑏2 +𝑎−1 𝑏−𝑏
= +∞
𝑥 > 𝑏 ⟹ 𝑥 2 > 𝑏 2 ⟹ 𝑥 2 − 𝑎 > 𝑏 2 − 𝑎 ⟹ |𝑥 2 − 𝑎| = −(𝑥 2 − 𝑎)
Toribio Córdova Condori
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48
CALCULO DIFERENCIAL
𝑙𝑖𝑚−
𝑥→𝑏
�𝑥 2 −𝑎�−1 −𝑥−𝑏
= 𝑙𝑖𝑚− 𝑥→𝑏
−(𝑥 2 −𝑎)−1 −𝑥−𝑏
UNFV – BASE 2009
= 𝑙𝑖𝑚− 𝑥→𝑏
−𝑥 2 +𝑎−1 −𝑥−𝑏
=
−𝑏2 +𝑎−1 −2𝑏
𝑥 > 𝑏 ⟹ 𝑥 2 > 𝑏 2 ⟹ 𝑥 2 − 𝑎 > 𝑏 2 − 𝑎 ⟹ |𝑥 2 − 𝑎| = −(𝑥 2 − 𝑎) ⟹ 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑖𝑚+𝑓(𝑥) ≠ 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑏
𝑥→𝑏
⟹ 𝑓(𝑏) ≠ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑏
⟹ 𝑓 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑏
∴ 𝒇 𝒆𝒔 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝑰𝒏𝒆𝒗𝒊𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆
b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 − 𝟏
𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 3 = 0
= 3(𝑥 2 − 1) = 0
= 3(𝑥 − 1)(𝑥 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 1 , 𝑥 = −1 (𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠)
Max
x< -1 𝑓 ′ >0
x>1
-1 < x < 1 -1
f creciente
Toribio Córdova Condori
Min
𝑓 ′< 0
f decreciente
-1
𝑓 ′> 0
f creciente
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49
CALCULO DIFERENCIAL
puntos críticos
𝒇(−𝟏) = 𝟏 ⟹ (−𝟏, 𝟏) 𝒇(𝟏) = −𝟑 ⟹ (𝟏, 𝟑)
26.
UNFV – BASE 2009
Sea la función f definida por: 𝟑
𝟑− √𝟐𝒙+𝟏𝟓 𝟑
𝑓 (𝑥 ) =
𝒂� √𝒙+𝟐 − 𝟐�
𝒂𝒃 , 𝒙 = 𝟔 �𝒙𝟐 −𝟑𝟓−𝟏 𝒙−𝒄
,𝒙 < 6
,𝒙 > 𝟔
Hallar a, b y c de modo que f sea continua en todos los ℝ , si c es natural. Toribio Córdova Condori
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50
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
Resolución Hallemos la continuidad en x = 6 i)
ii)
𝑓(6) = 𝑎𝑏 ………….. (1)
𝑥 2 − 35 − 1 √𝑥 2 − 35 − 1 √𝑥 2 − 35 − 1 𝑙𝑖𝑚 . = 𝑙𝑖𝑚+ 2 − 35 − 1 𝑥→6+ 𝑥→6 𝑏(𝑥 − 𝑐)(√𝑥 2 − 35 − 1) 𝑏(𝑥 − 𝑐) √𝑥 𝑥>6 𝑥>6 𝑙𝑖𝑚+
𝑥→6
(𝑥 + 6) (𝑥 − 6)
𝑏(𝑥 − 𝑐) (√𝑥 2 − 35 − 1)
Para poder cancelar la indeterminada necesariamente “c” tiene que ser 6 =>
𝑙𝑖𝑚+
𝑥→6
𝑙𝑖𝑚
𝑥→6− 𝑥 1 � + � = 𝟒 , (𝒙 ≠ 𝒚) 𝒚 𝒙 Resolución 2
𝑥 𝑦 �� + � � = 42 𝑦 𝑥 𝑥
+ 2 + =16
𝑦
𝑥
+ = 14
�
𝑦 ′ 𝑥 + � =0 𝑥 𝑦
𝑦
𝑦 𝑥
𝑦 𝑥
(𝑥𝑦 ′ + 𝑦𝑥 ′ )′ = 0
𝑦 ′ − 𝑥𝑦 −2 . 𝑦 ′ + 𝑦′𝑥 −1
𝑦 ′ (𝑥 −1 − 𝑥𝑦 2 ) = 𝑦𝑥 −2 − 𝑦 −1
𝑦′ = 𝑦′ =
𝑦𝑥 −2 −𝑦 −1 𝑥 −1 −𝑥𝑦 −2 𝑦2 −𝑥2 𝑥2 𝑦 2 𝑦 −𝑥2 𝑥𝑦2
Toribio Córdova Condori
=
=
𝑦 1 −𝑦 2 𝑥 1 𝑥 − 𝑥 𝑦2
�𝑦 2 −𝑥 2 �(𝑥𝑦2 ) 𝑥 2 𝑦 (𝑦 2 −𝑥 2 )
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59
CALCULO DIFERENCIAL
𝑦′ =
UNFV – BASE 2009
𝑦 𝑥
𝑦 ′ = 𝑦𝑥 −1
𝑦 ′′ = 𝑦 ′ 𝑥 −1 − 𝑦𝑥 −2
𝑦 ′′ =
𝑦′ 𝑥
−
𝑦
𝑥2
𝑦 1
𝑦 ′′ = . − 𝑥 𝑥
𝑦 ′′ =
𝑦
𝑥2
−
𝑦
𝑥2
𝑦
𝑥2
∴ 32.
𝒚′′ = 𝟎
Rpta
Determinar el punto de intersección de la recta L : 2x + y – 5 = 0, con la recta Tangente a la gráfica de la curva Resolución 𝑦
𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 �𝑥 � − 𝐿𝑛�√𝑥 2 + 𝑦 2 � = 0 en el punto Po (1,0) 𝐿: 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0
𝑦 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 � � − 𝐿𝑛 ��𝑥 2 + 𝑦 2 � = 0 𝑥
Toribio Córdova Condori
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60
CALCULO DIFERENCIAL 𝑦1
�𝑥 �
1ra. Derivada: (𝑦. 𝑥 −1 )1 1+
𝑦2 𝑥2
𝑦′ =
−
−1�2
1 (�𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 2 √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑥+𝑦
∴
𝑥−𝑦
Luego: ⟶
𝑦 2 1+ �𝑥�
𝐸𝑐. 𝐿 𝑇 =
UNFV – BASE 2009 1
��𝑥 2 + 𝑦2 �
�√𝑥 2 + 𝑦 2
=0
=0
𝑚𝐿𝑇 = 𝑦+0 𝑥−1
1+0 1−0
=1
=1
𝐿𝑇 = 𝑦 − 𝑥 + 1 = 0
Se intersecta con
⟶ 𝑥=2 ,
𝑦=1
∴
Toribio Córdova Condori
2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0
𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 (𝟐; 𝟏)
Rpta
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61
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
33. Analice y clasifique los puntos de discontinuidad de la función f(x) en su dominio señalando los resultados del análisis sobre la gráfica de f(x) donde: 𝟐 , 𝒙 𝐼 = ∫
�6−𝑥�𝑑𝑥
3 2 1 �4 ��𝑥− � − � 2 2
=∫
�6−𝑥�𝑑𝑥
2 2���𝑥− 32� − 12�
= 12 ∫
�6−𝑥�𝑑𝑥
3 2 1 − 2� 2
���𝑥− �
Por Sustitución trigonométrica: Sea: 𝑥 −
=>
3 2
1
=
𝐼= ∫ 2 1
9
= ∫� − 2 2
1
√2
𝑠𝑒𝑐𝜃
3
�6− 2−
1
=> 𝑑𝑥 =
1
√2
𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃
1 1 sec𝜃� sec𝜃 tg𝜃 d𝜃 √2 √2 2
�� 1 sec𝜃� − 1 2 √2
9
1
= ∫� 2
9
�2−
1 1 sec𝜃�. sec𝜃tg𝜃 d𝜃 √2 √2 1 tg𝜃 √2
�
1
sec𝜃� 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = ∫ sec𝜃 d𝜃 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃d𝜃 4 2√2 √2
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76
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
1 9 𝑡𝑔𝜃 + 𝐶1 𝐼 = 𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃| = 4 2√2 3
Como: 𝑥 − 2 =
=> 𝐼 =
=> 𝐼 =
9
4
𝐿𝑛 �
9
4
𝑥−
√2 (2𝑥 2
3 2
3 2 1 ��𝑥 − � − 2 2
1
√2
− 3) + √2 . − 3) +
√2 2
√4𝑥 2 − 12𝑥+7 4
�−2
1
√2
4𝑥 2 −12𝑥+7
. √2 � 1
√2 √2 2
√4𝑥 2 − 12𝑥 + 7� − 2
.
4
�
+ 𝐶1
4𝑥 2 −12𝑥+7 4
+ 𝐶1
1
= 𝐿𝑛 �
√2 (2𝑥 2
9
+ 𝐿𝑛�2𝑥 − 3 + √4𝑥 2 − 12𝑥 + 7� − √4𝑥 2 − 12𝑥 + 7 + 𝐶1 4 4
4
= 𝐿𝑛 4
∴
sec𝜃
=>
√2 (2𝑥 2
𝐿𝑛 �
9
√2
3 𝑥−2 1 √2
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
1
√2 2
− 3 + √4𝑥 2 − 12𝑥 + 7)� − √4𝑥 2 − 12𝑥 + 7 + 𝐶1 4
9
𝟗
1
𝟏
𝑰 = 𝑳𝒏�𝟐𝒙 − 𝟑 + √𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟕� − √𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟕 + 𝑪𝟏 𝟒
Toribio Córdova Condori
𝟒
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
Rpta
77
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009 𝒏
𝒂𝒙+𝒃
II.- INTEGRAL DE LA FORMA: ∫ 𝑹 �𝒙 , � � 𝒅𝒙 𝒄𝒙+𝒅 𝟏
42.
𝑰=∫ � 𝒙
𝒙−𝟗 𝒙+𝟗
dx
Resolución
Sea:
=>
𝑢=�
𝐼=∫ 4 µ2
1−µ4
𝑥+9
=>
1−µ2
9 (1+ µ2 )
𝑥=
9 (1 + 𝜇2 )
𝑑𝑥 =
. 𝑢.
1−𝜇 2
36 𝜇 𝑑𝜇
(1−𝜇 2 )2
36 µ dµ
(1−µ2 )2
4 µ2
= (1−µ2 )(1−µ)(
= =
𝑥−9
1+µ )
=∫ =
36 µ dµ 1−µ4
𝐴µ+B 1+µ2
+
𝑐
1−𝜇
+
𝐷
1−𝜇
(𝐴µ+B)�1−µ2 � +c �1−µ2 �(1+µ)+ D �1+µ2 �(1−µ) (1+µ2 )(1−µ)(1+µ)
(−𝐴 + C − D)µ3 + (−𝐵 + 𝐶 + 𝐷)µ2 + (A + C − D)µ + (B + C + D) (1 + µ2 )(1 − µ)(1 + µ)
-A +C -D = 0
- B + C + D = 4 => A = 0, B = - 2, C = 1 , D = 1 A+ C–D= 0
B + C + D = 0
Toribio Córdova Condori
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
78
CALCULO DIFERENCIAL
4 𝜇2
1−𝜇 4
=
−2
1+𝜇
2 +
1
+
1−𝜇
4 𝜇2
UNFV – BASE 2009
1
1+𝜇
𝑑𝜇
𝑑𝜇
𝑑𝜇
∫ 1−𝜇4 𝑑𝑢 = −2 ∫ 1+𝜇2 + ∫ 1−𝜇 + ∫ 1+𝜇
= −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑢) − 𝐿𝑛|1 − 𝑢| + 𝐿𝑛|1 + 𝑢| d+µ �+ c 1−µ
= −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(µ) + Ln � = −2𝑎𝑟𝑐𝑡�
∴
𝑥−9 𝑥+9
𝑥−9
1+ �𝑥+9
+ 𝐿𝑛 �
�+𝑐
𝑥−9
1− �𝑥+9
𝑰 = −𝟐𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈�
𝒙−𝟗 𝒙+𝟗
+ 𝑳𝒏 �
√𝒙+𝟗 + √𝒙−𝟗 � √𝒙+𝟗 – √𝒙−𝟗
+ 𝑪
Rpta
III.- INTEGRAL DE LA FORMA: (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒑𝟏/𝒒𝟏 (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒑𝟐/𝒒𝟐 (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒑𝒌/𝒒𝒌 � 𝑹 �𝒙, , … � 𝒅𝒙 𝒄𝒙 + 𝒅 𝒄𝒙 + 𝒅 𝒄𝒙 + 𝒅
43.
𝑰=∫
𝟑
𝒙− √𝒙−𝟐 𝟑
𝒙𝟐− �(𝒙−𝟐)𝟐
𝒅𝒙
Resolución Toribio Córdova Condori
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
79
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
Sea 𝑥 − 2 = 𝜇 3 = > x = 𝑥 = 𝜇 3 + 2 = > 𝑑𝑥 = 3𝜇 2 𝑑𝑢
=>
𝐼=∫
(𝜇3 + 2)− 𝜇
(𝜇3 + 2)2 − 𝜇
. 3𝑢2 𝑑𝑢 = 3 ∫ 2
𝜇5 −𝜇3 + 2𝜇2
= 3 ∫ (𝜇+1)(𝜇2
=
=
−𝜇+2)(𝜇3 −𝜇+2)
𝜇5 −𝜇3 + 2𝜇2
(𝜇+1)(𝜇2 −𝜇+2)(𝜇3 −𝜇+2)
=
𝜇2 (𝜇3 − 𝜇+2)
(𝜇3 + 2)2 − 𝜇2
. du = 3 ∫
𝜇5 −𝜇3 + 2𝜇2
(𝜇3 + 𝜇+2)− (𝜇3 + 2− 𝜇)
𝑑𝑢
𝑑𝑢 …… (*) 𝐴
𝑢+1
+
𝐵𝑢+𝑐
𝜇2 −𝜇+2
+
𝐷𝜇2 + 𝐸𝜇+𝐹 𝜇3 −𝜇+2
𝐴(𝜇2 − 𝜇 + 2)(𝜇3 − 𝜇 + 2) + ( 𝐵𝜇 + 𝐶)(𝑢 + 1)(𝜇3 − 𝜇 + 2 ) + (𝐷𝜇2 + 𝐸𝜇 + 𝐹)(𝜇 + 1)(𝜇2 − 𝜇 + 2 ) (𝜇 + 1)(𝜇2 − 𝜇 + 2)(𝜇 3 − 𝜇 + 2)
( 𝐴+𝐵+𝐷)𝜇5 +�−𝐴+𝐵+𝐶+𝐸) 𝜇4 +(𝐴−𝐵+𝐶+𝐷+𝐹�𝜇3 + (3𝐴+𝐵−𝐶+2𝐷+𝐸)𝜇2 +(−4𝐴+2𝐵+𝐶+2𝐸+𝐹)𝜇+(4𝐴+2𝐶+2𝐹) (𝜇+1)(𝜇2 −𝜇+2)(𝜇3 −𝜇+2)
-A +C +D=1 -A + B + C + E = 0 A-B+C+D+F=-1 3A+B – C + 2D + E = 2 -4A+ 2B + C + 2E + F = 0 4A + 2C + 2F = 0
= > A = ¼ , B = 3/4 , C = -1/2 , D = 0, E = 0, F = 0
𝜇 5 − 𝜇 3 + 2𝜇 2 => (𝜇+1)(𝜇2 −𝜇+2)(𝜇 3 −𝜇+2)
Toribio Córdova Condori
=
1 4
𝜇+1
+
3 1 𝜇− 4 2 𝜇 2 −𝜇+2
+
0
𝜇 3 −𝜇+2
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
80
CALCULO DIFERENCIAL 𝜇 5 − 𝜇 3 + 2𝜇2 =>∫ (𝜇+1)(𝜇 2 −𝜇+2)(𝜇 3 −𝜇+2)
3 1 𝜇−2 4 𝜇 2 −𝜇+2
1
Por Sust. Trigonométrica:
𝜇−2=
II = ∫
3 1 √7 1 tg𝜃�− � 4 2 2 2 7 𝑆𝑒𝑐 2 𝜃 4
2
3
.
= √7 ∫ � + 7 8 2
1
3
d𝜃
=> II =
2 7
3 1
= ∫� � + 4 2 2
3
2
3
1 2
√7 tg𝜃� 2
− � √7 𝑑𝜃 2 7
1
1
� = 7 √7 �8 √7 ∫ tg𝜃𝑑𝜃 − 8 ∫ 𝑑𝜃� 8
1
= √7 � √7 𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃| − 𝜃� 7 8 8
tg𝜃 =
√7 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 4
− � d𝜃 = √7 � √7tg𝜃 − � 𝑑𝜃 2 7 8 8
3
Pero:
√7 𝑡𝑔𝜃 4
=>d𝜇 = 𝑑𝑢 =
= √7 �∫ √7 tg𝜃d𝜃 − ∫ 7 8 2
𝑑𝑢
1
√7 𝑆𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 2
3√7 tg𝜃 8
1
II
𝑑𝑢 = ∫
� � +
3
�4𝜇−2�
𝑑𝜇
= ∫ + 2 𝑑𝑢 … … (∆) 𝜇 −𝜇+2 4 𝜇+1
3 1 𝜇−2 4 1 2 7 �𝜇−2� +4
II = ∫
UNFV – BASE 2009
1
𝜇−2 √7 2
3
=>
√7 �8 √7 Ln �
Toribio Córdova Condori
𝜃
1 2 7
�𝜇−2� +4 √7 2
1 2
��𝜇 − � +
�−
7 4
𝜇−
√7 2
1 8
arctg �
1 2
1
𝜇−2 √7 2
��
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
81
CALCULO DIFERENCIAL 3
=> II =
4
𝐿𝑛 �
2
√7
2
UNFV – BASE 2009
��𝜇 − 1� + 7� − √7 arctg �2𝜇−1� + 𝐶1 2
28
4
√7
II en (∆)
𝜇 5 − 𝜇3 + 2𝜇 2
∫ (𝜇+1)(𝜇2 −𝜇+2)(𝜇3 −𝜇+2) =
1
4
𝐿𝑛 |𝜇 + 1| +
3
Ln � 4
2
√7
2
��𝜇 − 1� + 7� − √7 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �2𝜇−1� + 𝐶1 2 4 28 √7
Remplazar en (*) 1
3
=>I=3� 𝐿𝑛 |𝜇 + 1| + 𝐿𝑛 � 4
3
4
9
=> I= Ln|𝜇 + 1| + 𝐿𝑛 � Pero:
4
4
2
√7
√2 3
2
𝟑
𝟑
𝟗
𝟐
√𝟕
2
2
4
2𝜇−1 √7 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � + 𝐶1 � 28 √7
��𝜇 − 1� + 7� − 3√7 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �2𝜇−1� + 𝐶
𝑥 − 2 = 𝜇 3 => 𝑢 = √𝑥 − 2
𝑰 = 𝟒 𝑳𝒏� √𝒙 − 𝟐 + 𝟏� + 𝟒 𝑳𝒏 �
2
��𝜇 − 1� + 7� −
2
4
28
𝟐
√7
𝟑
𝟏 𝟕 𝟑√𝟕 𝟐 √𝒙−𝟐 −𝟏 𝟑 ��√𝒙 − 𝟐 − 𝟐� + 𝟒� − 𝟐𝟖 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 � �+ 𝑪 √𝟕
Rpta
IV.- INTEGRALES DE LA FORMA: ∫ Toribio Córdova Condori
𝑷𝒏(𝒙)𝒅𝒙
�𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙+𝒄
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
82
CALCULO DIFERENCIAL
44.
𝑰=∫
𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙+𝟒 �𝟑+𝟐𝒙−𝒙𝟐
UNFV – BASE 2009
𝒅𝒙
Resolución 2𝑥 2 −4𝑥+4
𝑑𝑥
∫ √3+2𝑥−𝑥 2 𝑑𝑥 = (𝐴𝑥 + 𝐵)√3 + 2𝑥 − 𝑥 2 + 𝜆 ∫ √3+2𝑥−𝑥 2
Derivando: 2𝑥 2 −4𝑥+4
√3+2𝑥−𝑥 2
= 𝐴√3 + 2𝑥 − 𝑥 2 +
(𝐴𝑥+𝐵)(2−2𝑥) 2√3+2𝑥−𝑥 2
+
λ
√3+2𝑥−𝑥 2
2𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 𝐴(3 + 2𝑥 − 𝑥 2 ) + (𝐴𝑥 + 𝐵)(1 − 𝑥 ) + 𝜆 2𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = (−2𝐴)𝑥 2 + (3𝐴 − 𝐵)𝑥 + (3𝐴 + 𝐵 + 𝜆) −2𝐴 = 2 3𝐴 − 𝐵 = 4 ⟹ 𝐴 = −1, 𝐵 = 1, 𝜆 = 6 3𝐴 + 𝐵 + 𝜆 = 4
2𝑥 2 −4𝑥+4
𝑑𝑥
∫ = (−𝑥 + 1)√3 + 2𝑥 − 𝑥 2 + 6 ∫ 2 √3+2𝑥−𝑥 √3+2𝑥−𝑥 2 = (−𝑥 + 1)√3 + 2𝑥 − 𝑥 2 + 6 ∫ ∴
Toribio Córdova Condori
�4−(𝑥−1)2
𝒙−𝟏
𝑰 = (−𝒙 + 𝟏)√𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝟔𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 �
𝟐
𝑑𝑥
�+ 𝒄
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
Rpta
83
CALCULO DIFERENCIAL
V.-
UNFV – BASE 2009
INTEGRALES DE LA FORMA:
45.
𝑰=∫
(𝒙+𝟐)𝒅𝒙
∫
𝒅𝒙
(𝒙−𝒂)𝒏 �𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙+𝒄
(𝒙−𝟏)�𝒙𝟐 +𝟏
Resolución 𝑥+2 𝑥−1
=1+
3
𝑥−1
𝐼 = ∫(1 +
3
𝑥−1
)
𝑑𝑥
√𝑥 2 +1
=∫
𝑑𝑥
√𝑥 2 +1
+ 3∫
𝑑𝑥
(𝑥−1)√𝑥 2 +1
…..(*)
II
𝑑𝑥
𝐼𝐼 = ∫ (𝑥−1)√𝑥 2 +1 1 𝑥−1= 𝑡
=> 𝑑𝑥 = −
𝐼𝐼 = ∫ = −∫
𝑑𝑡 𝑡2
−𝑑𝑡 𝑡2
2 1 ��1+ 1� +1 𝑡 𝑡
𝑑𝑡
1 2 1
�2��𝑡 + � + � 𝑡 4
Toribio Córdova Condori
=−
= −∫ 1
∫ √2
1 𝑡
𝑑𝑡
2 𝑡
𝑡� 2 + 1+ + 1 𝑑𝑡
= −∫
𝑑𝑡
√2𝑡 2 + 2𝑡+1
2
��𝑡 + 1� + 1 𝑡 4
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
84
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
1 1 2 1 = 𝐿𝑛 �𝑡 + + ��𝑡 + � + � + 𝑐 2 𝑡 4 √2 1
=
1
𝐿𝑛 �𝑡 +
√2
1 2
1
2 + 2𝑡 + 1� + c √2𝑡 2
+
√
1
Reemplazar: 𝑡 = 𝑥−1 𝐼𝐼 = − =− =−
√2
𝐿𝑛 �
1
𝐿𝑛 �
1
𝐿𝑛 �
√2
√2
𝐼𝐼 = − =−
1
1
√2
1
√2
1
𝑥−1
+
1 2
1
+ +
1
+ +
𝑥−1
𝑥−1
𝐿𝑛 �
1 2
1
+ 1
√2
1
2
+ � √2 (𝑥−1)2
� 1
𝑥 2+ 1
(𝑥−1)2
√2(𝑥−1)
𝑥+1
√𝑥 2 +1
+
(𝑥−1)
+ 1�
�+𝑐
√𝑥 2 + 1� + 𝑐
2
2(𝑥−1)
2
√2(𝑥−1)
�+𝑐
1 𝑥+1 1 �𝑥 2 + 1�� + 𝑐 � + 𝑥−1 2 √2
𝐿𝑛 �
Toribio Córdova Condori
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
85
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
Reemplazar en (*) 𝑰 = 𝑳𝒏�𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏� −
𝟑
𝑳𝒏 �
√𝟐
VI.- Integral de la forma:
46.
𝑰=∫
𝟒
�𝟏+𝒆𝟒𝒙 𝒆𝒙
𝟏
𝒙−𝟏
�
𝒙+𝟏 𝟐
+
𝟏
√𝟐
√𝒙𝟐 + 𝟏�� + 𝒄 Rpta
∫ 𝒙𝒎 (𝒂 + 𝒃𝒙𝒏 )𝒑 𝒅𝒙
𝒅𝒙
Resolución
Sea: 𝑡 = 𝑒 𝑥 -> 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 => 𝐼 = ∫
4
√1+𝑒 4𝑥 𝑒 2𝑥
1� 4 𝑑𝑡
. 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡 −2 (1 + 𝑡 4 )
1 𝑚+1 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑚 = −2, 𝑛 = 4, 𝑝 = , +𝑝 =0 ∈𝑍 4 𝑛 ⟹ 𝑧 4 𝑡 4 = 1 + 𝑡 4 ⟹ 𝑧 4 = 𝑡 −4 + 1
⟹ 𝑑𝑡 = −𝑡 5 𝑧 3 𝑑𝑧 ⟹𝐼=
1
∫ 𝑡 −2 (𝑧 4 𝑡 4 )4 (−𝑡 5 𝑧 3 𝑑𝑧)
= − � �1 +
4
4
= − ∫ 𝑡 𝑧 𝑑𝑧 = − ∫
𝑑𝑧 1 � 𝑑𝑧 = − �� 𝑑𝑧 + � � 𝑧4 − 1 𝑧4 − 1
Toribio Córdova Condori
𝑧4
𝑧 4−1
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
𝑑𝑧
86
CALCULO DIFERENCIAL
𝐼 = − ∫ �1 +
1
𝑍 4 −1
𝑑𝑧
� 𝑑𝑧 = − �∫ 𝑑𝑧 + ∫ 4 � 𝑧 −1
𝑑𝑧
𝐼 = − ∫ 𝑑𝑧 − ∫ 4 ….. (*) 𝑧 −1 1
= 𝑧 4 −1 (
UNFV – BASE 2009
1
𝑧+1)(𝑧−1)(𝑧
𝐴
2 +1) = 𝑧+1 +
𝐵
𝑐𝑧+𝐷
+ 𝑧−1 𝑧 2 +1
A (z − 1) (𝑧 2 + 1) + B(Z + 1)(𝑧 2 + 1) + (Cz + D)(𝑧 2 − 1) = (𝑧 + 1)(𝑧 − 1)(𝑧 2 + 1) (A + B + C)𝑧 3 + (−A + B + D)𝑧 2 + (A + B − C)Z + (−𝐴 + 𝐵 − 𝐷) = (𝑧 + 1)(𝑧 − 1)(𝑧 2 + 1)
A+B+C=0 - A + B + D = 0 => A = - 1/4, B = 1/4 , C = 0, D = -1/2 A+B–C=0 - A+B-D=1 1
1
1
− − 1 4 4 2 = + + 4 2 𝑧 −1 𝑧+1 z−1 𝑧 +1 1
1
𝑑𝑧
∫ 4 = − ∫ + 𝑧 −1 4 𝑧+1 =
−1 4
1
𝑑𝑧
1
𝑑𝑧
− ∫ 2 ∫ 4 𝑧−1 2 𝑧 +1 1
1
𝐿𝑛|𝑧 + 1| + 𝐿𝑛|𝑧 − 1| − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 + 𝑐1 4
2
1 1 = [𝐿𝑛 |𝑧 − 1| − 𝐿𝑛 |𝑧 + 1|] − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 + 𝑐1 2 4
Toribio Córdova Condori
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
87
CALCULO DIFERENCIAL
𝑑𝑧
1
𝑧−1
UNFV – BASE 2009
1
∫ 𝑧 4−1 = 4 𝐿𝑛 �𝑧+1� − 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 + 𝑐1
Reemplazar en (*) 1
𝐼 = −𝑧 − 𝐿𝑛 � 4
𝑧−1 𝑧+1
4 4
𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑧 𝑡 = 1 + 𝑡
⟹ 𝐼=− ⟹ 𝐼=−
4
1
� + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧+c 2
√1+𝑡 4
4
𝑡
√1+𝑡 4 𝑡
4
1 + 𝑡4 √1 + 𝑡 4 ⟹ 𝑧 = ⟹ 𝑧= 𝑡4 𝑡
4
4
1
− 𝐿𝑛 � 4
1
4 �1+𝑡4 −1 𝑡 4 �1+𝑡4 𝑡
4
� + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �
√1+𝑡 4 − 𝑡
− 𝐿𝑛 � 4 4
+1
1
√1+𝑡 4 +𝑡
2
1
4
√1+𝑡 4
� + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � 2
𝑡
4
�+𝑐
√1+𝑡 4 𝑡
�+𝑐
Como: 𝑡 = 𝑒 𝑥
𝑰=−
𝟒
�𝟏+𝒆𝟒𝒙 𝒆𝒙
𝟏
𝟒
�𝟏+𝒆𝟒𝒙 −𝒆𝒙
− 𝟒 𝑳𝒏 � 𝟒
𝟏
� + 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 � 𝒙
�𝟏+𝒆𝟒𝒙 +𝒆
𝟒
�𝟏+𝒆𝟒𝒙 𝒆𝒙
�+𝒄
Rpta
VII.- Integral de la forma: ∫ 𝑅 , (𝑥, √𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑑𝑥
Toribio Córdova Condori
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
88
CALCULO DIFERENCIAL
47.
𝑰= ∫
UNFV – BASE 2009
�𝒙𝟐 +𝟑𝒙�𝒅𝒙
(𝒙−𝟏)�𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏𝟎
Resolución 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑎 = 1 > 0 ⟹ �𝑥2 − 2𝑥 + 10 = √1𝑥 + 𝑡 = 𝑥 + 𝑡
⟹ 𝑥 2 − 2𝑥 + 10 = 𝑥 2 + 𝑡 2 + 2𝑡𝑥 10 − 𝑡 2 = 2𝑡𝑥 + 2𝑥
10 − 𝑡 2 = 2𝑥(𝑡 + 1)
𝑥= 𝐼=∫
10−𝑡 2
⟹ 𝑑𝑥 =
2(𝑡+1)
−�𝑡 2 +2𝑡+10� 2(𝑡+1)2
2 10−𝑡2 10−𝑡2 (𝑡2 +2𝑡+10) +3 � 𝑑𝑡 . � �� 2(𝑡+1) 2(𝑡+1) 2(𝑡+1)2 10−𝑡2 3(10−𝑡2 )
−��
�2(𝑡+1)−1�� 2(𝑡+1) + 𝑡� 2
= −�
�10−𝑡2 � +6�10−𝑡2 �(𝑡+1)
𝐼=∫ 1
4(𝑡+1)
2
�8−2𝑡−𝑡2 �(𝑡2 +2𝑡+10)
4(𝑡+1)
2
.
(10−𝑡 2 )2 +6 (𝑡+1)(10−𝑡 2 ) (𝑡 2 +2𝑡+10 (8−2𝑡−𝑡 2 )(𝑡 2 +2𝑡+10)
= ∫ 2
.
2(𝑡+1)2
𝑡 4 −6𝑡 3 − 26𝑡 2 +60𝑡+160 𝑡 4 +4𝑡 3 −3𝑡 2 −14𝑡−8
Toribio Córdova Condori
−∫
(𝑡2 + 2𝑡 + 10) 2(𝑡 + 1)
𝑑𝑡
2
�
2 (10−𝑡2 ) 3(10−𝑡2 ) (𝑡2 +2𝑡+10) + 2(𝑡+1) � . 𝑑𝑡 2 4(𝑡+1) 2(𝑡+1)2 8−2𝑡−𝑡2 𝑡2 +2𝑡+10
� 2(𝑡+1) �� 2(𝑡+1) �
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
89
CALCULO DIFERENCIAL 1
= ∫ �1 − 2
10𝑡 3 + 23𝑡 2 − 74𝑡−168
𝐼 = �∫ 𝑑𝑡 − ∫ 2
= =
� 𝑑𝑡
(𝑡+1)2 (𝑡 2 +2𝑡−8)
1
UNFV – BASE 2009
10𝑡 3 +23𝑡 2 −74𝑡−168𝑑𝑡 (𝑡+1)2 (𝑡+4)(𝑡−2)
10𝑡 3 +23𝑡 2 −74𝑡−168 (𝑡+1)2 (𝑡+4)(𝑡−2)
=
𝐴
(𝑡+1)
2 +
� …. (*)
𝐵
𝑡+1
+
𝐶
𝑡+4
+
𝐷
𝑡−2
𝐴 (𝑡+4)(𝑡−2)+𝐵(𝑡+1)(𝑡+4)(𝑡−2)+𝐶 (𝑡+1)2 (𝑡−2)+𝐷 (𝑡+1)2 (𝑡+4) (𝑡+1)2 (𝑡+4)(𝑡−2) (𝐵+𝐶+𝐷)𝑡 3 + (𝐴+3𝐵+6𝐷)𝑡 2 +(2𝐴−6𝐵−3𝐶+9𝐷)𝑡 +(−8𝐴−8𝐵−2𝐶+4𝐷) (𝑡+1)2 (𝑡+4)(𝑡−2)
B + C + D = 10
A + 3B + 6D = 23
2A - 6B - 3C+ 9D = -74
=> A = 9, B = 0, C = 8/3, D = -8/3
-8A - 8B - 2C + 4D = -168
10𝑡 3 +23𝑡 2 −74𝑡−168 => (𝑡+1)2 (𝑡+4)(𝑡−2)
∫
10𝑡 3 +23𝑡 2 −74𝑡−168 (𝑡+1)2 (𝑡+4)(𝑡−2)
=
(𝑡+1)
= 9∫ =
Toribio Córdova Condori
9
2 +
9
10
𝑡+1
(𝑡+1)2
+
8/3
𝑡+4
+ 10 ∫
+
−8/3
9
+
𝑡+1
𝑡−2
8
𝑑𝑡
8
𝑑𝑡
− ∫ ∫ 3 𝑡+4 3 𝑡−2
−9 8 8 + 10𝐿𝑛 |𝑡 + 1| + 𝐿𝑛|𝑡 + 4| − 𝐿𝑛|𝑡 − 2| 𝑡+1 3 3
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
90
CALCULO DIFERENCIAL −9
=
En (*)
𝑡+1
UNFV – BASE 2009 8
+ 10𝐿𝑛|𝑡 + 1| + 𝐿𝑛 � 3
𝑡+4 𝑡−2
�
−9 8 1 𝑡+4 − 10𝐿𝑛 |𝑡 + 1| − 𝐿𝑛 � 𝐼 = �𝑡 + �� 𝑡+1 3 2 𝑡−2 𝑡
𝐼= + 2
−9
2(𝑡+1)
− 5𝐿𝑛 |𝑡 + 1| −
4 3
𝐿𝑛 �
𝑡+4 𝑡−2
�+𝑐
Como: √𝑥 2 − 2𝑥 + 10 = 𝑥 + 𝑡
𝑰=
𝑡 = √𝑥 2 − 2𝑥 + 10 − 𝑥
√𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 – 𝒙 𝟗 + − 𝟓𝑳𝒏 �𝟏 − 𝒙 + �𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎� − 𝟐 𝟐 𝟐�𝟏 − 𝒙 + √𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 �
𝟒 𝟑
𝑳𝒏 �
𝟒−𝒙+�𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏𝟎
�+𝑐
−𝟐−𝒙+ �𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏𝟎
Rpta
VIII.- INTEGRAL DE LA FORMA: ∫ 𝑹 �𝒙 √𝒂𝒙 + 𝒃 , √𝒄𝒙 + 𝒅� 𝒅𝒙
48.
𝑰=∫
Resolución
Toribio Córdova Condori
�𝒙(𝒙+𝟏)
√𝒙 + √𝒙+𝟏
𝒅𝒙
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
91
CALCULO DIFERENCIAL
Sea: 𝑥 = 𝑧 2
𝐼=∫
⟹
�𝑧 2 (𝑧 2 + 1) 𝑧+√𝑧 2 +1
UNFV – BASE 2009
𝑑𝑥 = 2𝑧𝑑𝑧
. 2𝑧𝑑𝑧 = ∫
𝑧√𝑧 2 +1 (2𝑍𝑑𝑍) 𝑧+√𝑧 2 +1
𝐶𝑜𝑚𝑜: 𝑎 = 1 > 0 ⟹ �𝑧 2 + 1 = 𝑧 + 𝑡
= 2∫
𝑧 2 √𝑧 2 +1
𝑧+√𝑧 2 +1
𝑑𝑍
ELEVANDO ALCUADRADO
𝑧 2 + 1 = 𝑧 2 + 𝑡 2 + 2𝑡𝑧 ⟹ 𝑧=
1−𝑡 2
𝐼 = −2 ∫ 𝐼 = −2 �
⟹
2𝑡
𝑑𝑧 =
2 1−𝑡2 1−𝑡2 � � � +𝑡� 2𝑡 2𝑡 1−𝑡2 1−𝑡2 + +𝑡 2𝑡 2𝑡
(1−𝑡 2 )2 (𝑡 2 +1) 4𝑡 2
1 𝑡
2𝑡
.
−(𝑡 2 +1) 2𝑡 2
(𝑡 2 +1) 2𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(𝑡 2 + 1) (1 − 𝑡 2 )2 (𝑡 2 + 1) (𝑡 2 + 1) . 𝑑𝑡 = −2 � . 𝑑𝑡 2𝑡 2 8𝑡 2 2𝑡 2
1 (1 − 𝑡 2 )2 (𝑡 2 + 1)(𝑡 2 + 1) 1 (1 − 𝑡 4 )2 1 (1 + 𝑡 8 − 2𝑡 4 ) 𝐼=− � 𝑑𝑡 = − � 𝑑𝑡 = − � 𝑑𝑡 8 8 𝑡4 8 𝑡4 𝑡4
1 −1 𝐼 = − �(𝑡 4 + 𝑡 2 − 2)𝑑𝑡 = �� 𝑡 −4 𝑑𝑡 + � 𝑡 2 𝑑𝑡 − 2 � 𝑑𝑡� 8 8 1 𝑡 −3
𝐼=− (
8 −3
+
𝑡3 3
Toribio Córdova Condori
− 2𝑡) UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
92
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
1 𝑡3 𝑡 𝐼= − + +𝑐 24𝑡 3 24 4
𝑃𝑒𝑟𝑜: √𝑧 2 + 1 = 𝑧 + 𝑡 ⟹ 𝑡 = √𝑧 2 + 1 − 𝑧 ⟹ 𝑡 = √𝑥 + 1 − √𝑥
𝑰 = 𝟐𝟒(
𝟏
− 𝒙)𝟑
√𝒙+𝟏−√
(√𝒙+𝟏−√𝒙)𝟑 𝟐𝟒
+
√𝒙+𝟏−√𝒙 𝟒
+𝒄
Rpta
∫ 𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 𝒅𝒙
49.
Resolución
I= ∫ 𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑𝑥 u
d(v)
Por partes:
∫ 𝒖 . 𝒅(𝒗) = 𝒖. 𝒗 − ∫ 𝒗. 𝒅(𝒖) 𝑢 = 𝑒 2𝑥
𝑑(𝑢) = 2𝑒 2𝑥 𝑑(𝑥)
𝑑(𝑣) = 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑑(𝑥) 𝑣=−
𝑐𝑜𝑠3𝑥 3
En I:
I=− 13 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − ∫ − 23 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑(𝑥) Toribio Córdova Condori
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
93
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
I=− 13 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 23 ∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑(𝑥)
I=− 13 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 23 ∫ 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑(𝑥) = − 13 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 23
*
*
*
En :
*=∫ e2x cos3x d(x) u
d(v)
𝑢 = 𝑒 2𝑥
𝑑(𝑢) = 2𝑒 2𝑥 𝑑(𝑥)
*= *=
1 2𝑥 𝑒 𝑠𝑒𝑛3𝑥 − 3 1 2𝑥 𝑒 𝑠𝑒𝑛3𝑥 − 3
*en I :
∫
𝑠𝑒𝑛3𝑥 3
𝑑(𝑣) = 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑(𝑥) 𝑣=
𝑠𝑒𝑛3𝑥 3
2𝑥
2𝑒 𝑑(𝑥)
2
2𝑥 𝑒 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑(𝑥) ∫ 3
I
1 2 1 2 𝐼 = − 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + ( 𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 − 𝐼) 3 3 3 3 1 2 4 𝐼 = − e2x cos3x + e2x sen3x − I 3 9 9 Toribio Córdova Condori
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
94
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
4 1 2 𝐼 + 𝐼 − 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 9 3 9
13 1 2𝑥 2 − 𝑒 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 9 3 9
𝐼=
𝟑
𝟐
𝑰 = − 𝟗 𝒆𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 + 𝟏𝟑 𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 + 𝑪
∴
Rpta
(𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙)𝟐
𝑰= ∫ 𝒅𝒙 (𝒙𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙)𝟐
50.
Resolución 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 I=∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑥 (𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥−𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥)2
u
𝑢=
𝑑𝑥
d(v)
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑥
𝑑 (𝑢 ) =
𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑑 (𝑥 ) 𝑥2
𝑑 (𝑣 ) =
𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑑(𝑥) (𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 )2
𝑣=−
1 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
En I:
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
𝑑𝑥
I=𝑥 (𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥−𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥) + ∫ 𝑥 2
Toribio Córdova Condori
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
95
CALCULO DIFERENCIAL
∴
𝑰=
𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙
𝒙 (𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙−𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙)
UNFV – BASE 2009
𝟏
− +𝑪
𝒄𝒐𝒔𝒙+𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙−𝟏 (𝒔𝒆𝒏𝒙−𝒙)𝟐
𝒅𝒙
𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥−(𝑠𝑒𝑛𝑥)2 −(𝑐𝑜𝑠𝑥)2 (𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)2
𝑑𝑥
I=∫
51.
Rpta
𝒙
Resolución
I=∫ I=∫
−𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)−𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥−1) (𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)2 −𝑠𝑒𝑛𝑥
I=∫ (𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥) 𝑑𝑥 +∫
𝑑𝑥
−𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥−1) (𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)2
J
𝑑𝑥
En J :
J=∫ −𝑐𝑜𝑠𝑥 u
(𝑐𝑜𝑠𝑥−1) (𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)2
d(v)
𝑑𝑥
𝑢 = −𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑(𝑢) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑(𝑥)
Toribio Córdova Condori
𝑑(𝑣) =
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 𝑑(𝑥) (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥)2
𝑣=−
1 (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥)
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
96
CALCULO DIFERENCIAL 𝑐𝑜𝑠𝑥
J=
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑥 +
𝑐𝑜𝑠𝑥
∴
𝑰=
𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥
+∫
𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥
UNFV – BASE 2009
En I :
I=∫ −
52.
(𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)
𝑰=∫
𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥
+∫
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙−𝒙
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥
+𝒄
𝑑𝑥
Rpta
�𝟐𝝔𝟒 +𝝔𝒕 �𝒅𝒕 𝝔𝟐𝒕 −𝝔𝒕 −𝟐
Resolución
Factor izando y acomodando: I=∫
(2𝜚4 +1)𝜚𝑡 𝑑𝑡
(𝜚𝑡 +1)(𝜚𝑡 −2)
Sea: 𝜚𝑡 =x dx =𝜚𝑡 𝑑𝑡 I =∫ ⟹
(2x+1)
(x+1)(x−2) (2𝑥+1)
(𝑥+1)(𝑥−2)
Toribio Córdova Condori
dx = ∫ �
A
𝑥+1
𝑥−2
=
𝐴
x+1
+
𝐵
+
B
� dx . . . . (∗)
x−2
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97
CALCULO DIFERENCIAL
2𝑥+1
(𝑥+1)(𝑥−2)
=
𝐴(𝑥−2)+ 𝐵(𝑥+1)
=
(𝐴+𝐵)𝑥+(𝐵−2𝐴)
UNFV – BASE 2009
(𝑥+1)(𝑥−2)
(𝑥+1)(𝑥−2)
A + B = 2 ⟹ 2B + 2A = 4 B – 2A = 2 ⟹ B – 2A = 1 3B = 5
⟹ B=
En (*)
I=∫ I=
1 3
5 3
1 3
𝑥+1
⋀ A=
1 3
dx + ∫
𝑥−2
𝐿𝑛|𝑥 + 1| + 1 3
5 3
5 3
dx
𝐿𝑛|𝑥 − 2|+ C 5 3
I = Ln |(𝑥 + 1)| + Ln �(𝑥 − 2) �+ C = Ln |(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
∴ 53.
𝟏
𝒕
𝒕
𝑰 = 𝟑 𝑳𝒏�(𝝔 + 𝟏)(𝝔 −
∫
1
5 |3
𝟏
𝟐)𝟓 �𝟑
+𝒄
+C
Rpta
�𝟔 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒕.𝒄𝒐𝒔𝒕−𝟑𝒔𝒆𝒏𝒕𝒄𝒐𝒔𝒕+𝒄𝒐𝒔𝒕� 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒕−𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒕
dt
Resolución Toribio Córdova Condori
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98
CALCULO DIFERENCIAL
Factor izando:
I=∫
�6𝑠𝑒𝑛2 𝑡−3𝑠𝑒𝑛𝑡 +1� 𝑠𝑒𝑛3 𝑡−𝑠𝑒𝑛2 𝑡
UNFV – BASE 2009
. costdt
x= sen t ≫ dx = cost dt I= ∫ I= ∫
�6𝑥 2 −3𝑥 +1� 𝑥 3 𝑡−𝑥 2
�6𝑥 2 −3𝑥 +1� 𝑥 2 (𝑥−1)
6𝑥 2 −3𝑥+1 𝑥 2 (𝑥−1)
=
dx = ∫
�6𝑥 2 −3𝑥 +1�
𝐴
𝑥 2 (𝑥−1) 𝐵
dx
𝐶
= ∫ �𝑥 2 + 𝑥 + 𝑥−1� dx
(𝐵+𝐶 )𝑥 2 +(𝐴−𝐵)𝑥−𝐴 𝑥 2 (𝑥−1)
B+C=6 A–B=-3 - A=1 ⇒A=-1⇒ B=2 ⇒ C=4 1
2
4
∫ �− 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑥−1� dx = -∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 2 ∫ 1
I = 𝑋 +2 Ln |𝑥 |+4 Ln |𝑥 − 1|+c
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+ 4 ∫ 𝑥−1 𝑥
1
I = 𝑋 + Ln |𝑥 |2 + Ln |𝑥 − 1|4 + c 1
I = 𝑋 + Ln |𝑥 2 . (𝑥 − 1)4 | + c Toribio Córdova Condori
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99
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
1
1
I = 𝑋 + Ln |𝑥 . (𝑥 − 1)2 |2 + c = 𝑥 + 2Ln |𝑥(𝑥 − 1)2 | + c 𝟏
𝑰 = 𝒔𝒆𝒏𝒕 + 2Ln �𝒔𝒆𝒏𝒕 (𝒔𝒆𝒏𝒕 − 𝟏)𝟐 � + 𝒄
∴
𝑰= ∫
54.
𝒙+𝟐
Rpta
dx
(𝒙−𝟏)�𝒙𝟐 +𝟏
Resolución
1er. Paso: Divido el Numerador con el factor (x-1); y separó 2 integrales: 𝑥−1
3
∫ (𝑥−1)√𝑥 2 +1dx + ∫ (𝑥−1)√𝑥 2 +1dx 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
∫ 𝑥 2 +1 + 3 ∫ 𝑥−1 √𝑥 2 +1 ⟹ Ln �𝑥 + √𝑥 2 + 1�+ 3∫ 𝑥−1 √𝑥 2 +1 2do. Paso: Resolvemos y (x-1) lo sustituimos por 1�𝑇 𝑑𝑥
∫ 𝑥−1 √𝑥 2 +1 ⟶ Reemplazamos:
∫
−𝑑𝑟 𝑇2
2 1 ��1+ 1 � +1 𝑇 𝑇
1 𝑇= 𝑥−1
= ∫
Toribio Córdova Condori
1
𝑥−1= 𝑇
⟶ Donde: dx =
−𝑑𝑟 𝑇2 2 1�2𝑇 +2𝑇+1 𝑟 � 𝑇2
=-∫
−𝑑𝑡 𝑇2
𝑑𝑇
=-∫
√2𝑇 2 +2𝑇+1
��2𝑇 2 +
𝑑𝑇
2 1 1 2 � +� � √2 √2
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
100
CALCULO DIFERENCIAL
−
1
∫ √2
√2𝑇
=2
2 1 1 ��2𝑇 2 + � + � � √2 √2
Sustituimos T = -
1
√2
1
√2
√2 � 𝑥−1
Ln
La respuesta de la Integral es:
∫
𝒙+𝟐
UNFV – BASE 2009
. Ln �√2 +
+
1
√2
dx = Ln �𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏� −
(𝒙−𝟏)�𝒙𝟐 +𝟏
55.
𝑰=∫
𝟑
𝑥−1
√𝟐
𝟑
√𝒙
+ √2𝑇 2 + 2𝑇 + 1�
�
√𝟐
Ln�𝒙−𝟏 +
√𝒙�(𝟏+√𝒙)𝟑 + �𝟐− √𝒙 𝟑
√2
√𝑥 2 +1
+
𝟑
1
𝟏
√𝟐
+
�𝒙𝟐 +𝟏 𝒙−𝟏
�+𝒄
Rpta
𝒅𝒙
Resolución
1er. Paso: Separamos Integrales:
∫
4
3
√𝑥 . �(1+ √𝑥)3 3
√𝑥
𝑑𝑥 + ∫
4
∫ �(1 + √𝑥)3 𝑑𝑥 + ∫
�2− 3√𝑥 3
√𝑥
�2− 3√𝑥 3
√𝑥
dx
dx
2do. Paso: Resolvemos cada Integral: 4
3
a) ∫ ��1 + √𝑥� dx → x = 𝑎2 Toribio Córdova Condori
dx= 2a da
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101
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
4
∫ �(1 + 𝑎)3 2𝑎 𝑑𝑎 ⟹1 + a = 𝑏 4 3
� 𝑏 . 2 (𝑏
da =4𝑏 3 𝑑𝑏
⟹ 8 �(𝑏
− 1) . 4𝑏 𝑑𝑏
4
3
10
−𝑏
6
) 𝑑𝑏
⟶
7 8𝑏 7 8 4 (7𝑏 (1 + 𝑎)4 . (7𝑎 − 4) ⟶ − 11) ⟶ 77 77
8𝑏11 11
−
8𝑏7 7
7 8 ⟶ �1 + √𝑥�4 �7√𝑥 − 4� 77
b)
∫
�2− 3√𝑥
∫�
3
√𝑥
�2−𝑝 𝑝
dx ⟹ x = 𝑝3
dx = 3𝑝3 . 𝑑𝑝
𝑑𝑥 ⟹ 2 – p = q2
dp = - dq . 2q
∫ 𝑞 . 3 (2 − 𝑞 2 ) – dq . 2q = - 6 ∫(2𝑞 2 − 𝑞 4 ) . dq ⟹ - 12
𝑞3 3
+
3
6𝑞5 5
3� 2
⟹ -4 (2 − √𝑥 ) 𝑰=
𝟖
𝟕𝟕
𝟕 𝟒
3� 6 2 + (2 5
⟹- 4(2 − 𝑝) 6
+ 5 (2 − 3√𝑥 ) 𝟑
5� 2
𝟑 𝟐
�𝟏 + √𝒙� (𝟕√𝒙 − 𝟒)- 𝟒�𝟐 − √𝒙� +
5� 2
− 𝑝)
𝟔 𝟓
𝟑
𝟓 𝟐
�𝟐 − √𝒙� + 𝒄 Rpta
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102
CALCULO DIFERENCIAL
∫
56.
√𝒙
𝟐
𝟑
�𝟏+ √𝒙�
UNFV – BASE 2009
𝒅𝒙
Resolución
I= ∫ .x
1/ 2
(
. 1 + x1 / 3
)
−2
.dx
Se tiene : m=1/2 , n=1/3, p=-2, como
p=-2 € Z.
x = t 6 ..............dx = 6t 5 dt
•
( )
6 I= ∫ . t
1/ 2
I= ∫ .t .[1 + t 3
[(
( )
. 1+ t6
]
2 −2
1/ 3
)]
−2
.6t dt = 6 ∫ 5
.6t 5 dt
t8
(1 + t )
2 2
dt
4 4t 2 + 3 2 dt = I= 6 ∫ t − 2t + 3 − 2 2 + t 1
(
)
t 5 2t 3 4t 2 + 3 dt = I= 6 ∫ 5 − 3 + 3t − ∫ 2 2 t + 1
(
)
ii POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
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103
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
t = tgθ ......................dt = sec 2 θ .dθ Ii= ∫
4t 2 + 3
(t
2
)
+1
2
dt = ∫
(4tg θ + 3).sec 2
sec 4 θ
2
θ .dθ = ∫
(4tg θ + 3).dθ 2
sec 2 θ
= ∫ (4 sen 2θ + 3 cos 2 θ ).dθ
= ∫ (3 + sen 2θ ).dθ = 3∫ dθ + ∫ sen 2θ .dθ = 3θ +
θ sen2θ − 2 4
=
7θ sen 2θ 7θ 2 senθ cos θ − +c = − +c 2 4 2 4
=
7θ senθ . cos θ − +c 2 2 1+ t 2 t
1
7θ 1 t 1 7θ t − . . +c = − +c 2 2 2 2 2 2 t 2 . + 1 t +1 t +1 Ii =
(
)
7 t arctgc − +c 2 2 2 ( + 1 ) t Ii=
Pero:
t =
6
x
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104
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
36 x 66 5 6 6 x − 4 x + 18 x − 21arctg ( x) + 3 + c I= 5 1+ x
𝑰=∫
57.
Resolución
(
5 −1 x x 1 + ∫
Rpta
𝒅(𝒙)
𝟑
𝒙 �𝟏+𝒙𝟓
)
−1 / 3
dx
Se tiene : m=-1 , n=5, p=-1/3, como
m+1 =0 ∈ 𝑍 3
1 + x5 = t 3 5 x 4 .dx = 3t 2 dt 3 dx = x − 4 t 2 dt 5
( )
−1 3 ∫x t
( )
−1 3 x ∫ t
−1 / 3
−1 / 3
3 . x − 4 .t 2 .dt 5
3 . x − 4 .t 2 .dt 5
3 −5 x .t.dt ∫ 5 =
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105
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
3 t.dt ∫ 3 = 5 t −1 ii
t t A Bt + c = = + t 3 − 1 (t − 1) t 2 + t + 1 t − 1 t 2 + t + 1
(
)
t = A(t 2 + t + 1) + ( Bt + c)(t − 1) t = ( A + B )t 2 + ( A − B + C )t + ( A − C ) A+ B = 0 A− B +C =1 A−C = 0
A=1/3, B=-1/3, C=1/3
1 dt − 1 / 3t + 1 / 3dt t.dt = + ∫ t 3 −1 3∫ t −1 ∫ t 2 + t +1
(t − 1) .dt 1 dt 1 − ∫ 2 ∫ 3 t −1 3 t + t +1 (t − 1) .dt 1 1 ln t − 1 − ∫ 2 3 1 3 = 3 t + + 2 4
(t − 1) − 3
1 1 2 .dt ln t − 1 − ∫ 2 3 3 1 3 = t + + 2 4
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106
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
1 t + dt 3 1 1 2 .dt − ∫ ln t − 1 − ∫ 2 2 2 1 3 3 3 1 3 = t + + t + + 2 4 2 4
1 Sea........u = t + ............du = dt 2 t.dt dt 3 1 1 u.du ∫ t 3 − 1 = 3 ln t − 1 − 3 ∫ 2 3 − 2 ∫ 2 3 u + u + 4 4
dt 1 1 1 2u.du 1 ln t − 1 − . ∫ + ∫ 3 3 2 2 3 2 2 3 u + u + 4 4 u 1 1 3 1 1 2 +c ln t − 1 − ln u + + . .arctg 3 3 6 4 2 3 2 2
2 1 t.dt 1 1 1 3 1 t t arctg ln 1 + + = − − + . t + 2 + c ∫ t 3 −1 3 6 2 4 3 3 2
2 1 1 1 1 3 3 arctg . t + + c = I ln t − 1 − t + + + 5 10 2 4 5 3 3 2 2
Como
t = 3 1 + x5
2 3 1 3 1 3 1 3 3 1 5 5 5 x x arctg x ln 1 1 1 + + + = + − − + + . 1 +c I 5 10 2 4 5 3 2 3 2
Rpta
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107
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
58. Hallar el área comprendida por la siguiente
función: f(x) =
𝟐𝒙 + 𝟖; −𝟒 ≤ 𝒙 ≤ −𝟐 𝟐 𝒙 ; −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 −𝟑𝒙 + 𝟏𝟖; 𝟑≤𝒙≤𝟔
Y el eje “x” mediante el cálculo del límite de las sumas de RIEMANN.
Resolución
⇒
Graficando la función:
A1
A2
𝑎 = −4
Para A1 : 𝑥 ∈ [−4, −2] ⇒ ∆𝑥 =
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A3
(−2) − (−4) 2 = 𝑛 𝑛
𝑏 = −2
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 8
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108
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009 2
𝑥1 = 𝑎 + ∆𝑥𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 = −4 + 𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 = 2𝑖
𝑓(𝑥𝑖 ) = 2 � − 4� + 8 = 𝑛
A1= A1=
𝑛
4𝑖 𝑛
lim𝑛→∞ ∑𝑛𝑖=1 𝐴1 = lim𝑛→∞ ∑𝑛𝑖=1 lim𝑛→∞
8 (𝑛)(𝑛+1)
𝑛2
2
8𝑖
𝑛2
2𝑖 𝑛
−4
8
= lim𝑛→∞
𝑛2
1 1
∑𝑛𝑖=1 𝑖
= lim𝑛→∞ 4 �1 + � = 4 ⇒ A1= 4 𝑛
Para A2 :
𝑥 ∈ [−2, −3] ⇒ ∆𝑥 = 𝑥1 = 𝑎 +
𝑏 − 𝑎 3 − (−2) 5 = = 𝑛 𝑛 𝑛
(𝑏−𝑎)
𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 = −2 +
𝑛
2
5𝑖
𝑓(𝑥𝑖 ) = � − 2� = 𝑛
Ai=𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥𝑖 = (25𝑖 𝑛2
2
A2 = A2 =
lim𝑛→∞ ∑𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 lim𝑛→∞ (
Toribio Córdova Condori
=
−
25𝑖 2 𝑛2
20𝑖 𝑛
6
20𝑖 𝑛
5
𝑛
−
125𝑖 2
100 (𝑛+1)𝑛 𝑛2
2
5𝑖
−2
𝑛
+4
+ 4) = 𝑛
⇒ 𝑥𝑖 =
𝑛3
125𝑖 2 𝑛 lim𝑛→∞ ∑𝑖=1( 3 𝑛
125 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 𝑛3
−
5𝑖
−
−
100𝑖 𝑛2
100𝑖 𝑛2
+ 20)
+
+
20 𝑛
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
20 𝑛
)
109
CALCULO DIFERENCIAL
A2 = A2 =
lim𝑛→∞ (
125 3
125 6
UNFV – BASE 2009
1
1
(1 + )(2 + ) − 𝑛
− 50 + 20 =
35 3
𝑛
⟹A2=
100 (𝑛+1)𝑛 𝑛2
2
35
+ 20)
3
Para A3 :
𝑥 ∈ [3,6] ⇒ ∆𝑥 =
𝑥1 = 𝑎 +
𝑏−𝑎 6−3 3 = = 𝑛 𝑛 𝑛 (𝑏−𝑎) 𝑛
3𝑖
𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 = 3 +
3𝑖 𝑛
𝑓(𝑥𝑖 ) = −3 � + 3� + 18 = 9 − 𝑛
Ai =𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥𝑖 = (9 − 9𝑖𝑛) 𝑛3 = 27𝑛 − 27𝑖 𝑛2 A3 = lim𝑛→∞ ∑𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 A3 =
lim𝑛→∞ (
27 𝑛
27
= lim𝑛→∞ ∑𝑛𝑖=1 �
∑𝑛𝑖=1(1) −
27
𝑛2
𝑛
⇒ 𝑥𝑖 =
9𝑖 𝑛
−
27𝑖 𝑛2
3𝑖 𝑛
+3
�
∑𝑛𝑖=1(𝑖) )
27 1 A3 = lim𝑛→∞( 27 − 𝑛27 (𝑛)(𝑛+1) ) = lim𝑛→∞ ( 27 − (1)(1 + ) ) 2 2 𝑛 2
A3 =27 − 272 = 272 Toribio Córdova Condori
⟹
A3=272
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
110
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
A1 + A2 + A3 = 𝟒 + 59. Hallar
el
área
𝟑𝟓 𝟑
+
𝟐𝟕 𝟐
=
𝟏𝟕𝟓 𝟔
comprendida
Rpta
entre
las
siguientes curvas cuando 𝒙 ∈ [𝟏, 𝟑]:
𝒚𝟏= 𝒙𝟐
𝒚𝟐= 𝟒𝒙𝟐 −𝟑𝒙
Resolución
⇒
Graficando la función:
Hallando los puntos de intersección:
Toribio Córdova Condori
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
111
CALCULO DIFERENCIAL
𝑥 3 = 4𝑥 2 − 3𝑥 𝑥 2 − 4𝑥 2 + 3𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 0
UNFV – BASE 2009
⇒ ∆𝑥 = 𝑏 −𝑛 𝑎 = 3 −𝑛 1 = 𝑛2 𝑥1 = 𝑎 + ∆𝑥𝑖 = 1 +
2𝑖 𝑛
∆𝒊 = 𝒚𝟐 (𝒙𝒊 ) − 𝒚𝟏 (𝒙𝒊 )
2 2𝑖 2 2𝑖 2𝑖 ∆𝑥 = �4 �1 + � − 3 �1 + � − (1 + )3 � 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2
4𝑖 4𝑖 2 6𝑖 2𝑖 2𝑖 2 2𝑖 ∆𝑖 = �4 �1 + + 2 � − 3 − − �1 + 3 � � + 3 � � + ( )3 �� 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 16𝑖 16𝑖 2 6𝑖 6𝑖 12𝑖 2 8𝑖 3 2 ∆𝑖 = �4 + + 2 −3− −1− − 2 − 3� 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 8𝑖 8𝑖 2 16𝑖 3 ∆𝑖 = 2 + 3 − 4 𝑛 𝑛 𝑛
∆
𝒏
= 𝐥𝐢𝐦 � 𝑨𝒊 𝒏→∞
𝒊=𝟏
𝒏
𝟖𝒊 𝟖𝒊𝟐 𝟏𝟔𝒊 = 𝐥𝐢𝐦 � � 𝟐 + 𝟑 − 𝟒 � 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏 𝒊=𝟏
8(1 + 2+. . . . 𝑛) 8(12 + 22 + ⋯ 𝑛2 ) 16(13 + 23 + ⋯ 𝑛3 ) ∆= lim + − 𝑛→∞ 𝑛2 𝑛3 𝑛4
Toribio Córdova Condori
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
112
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
8 𝑛(𝑛 + 1) 8 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 16 𝑛2 (𝑛 + 1) ∆= lim + − 𝑛→∞ 2 6 4 𝑛2 𝑛3 𝑛4 1 𝑛
8 6
1 𝑛
1 𝑛
1 𝑛
∆= lim 4 �1 + � + �1 + � �2 + � − 4(1 + )2 𝑛→∞
8 8 ∆= 4 + (2) − 4 = 6 3
∴
𝟖
∆= 𝒖𝟐
Rpta
𝟑
60. 𝑰 = 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝟐𝒙)𝒆𝟓𝒙 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + ∫
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙+𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙+𝟔
Resolución
𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝟐𝒙)𝒆𝟓𝒙 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + � A
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙 + 𝟔 B
1
𝐴 = ∫(𝑥 2 𝑒 7𝑥 𝑒 𝑥𝑙𝑛2 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥)2𝑥 2
1 1 2 (7+𝑙𝑛2)𝑥 = �𝑥 𝑒 𝑑𝑥 − � 𝑥 2 𝑒 3𝑥 𝑒 𝑥𝐿𝑛2 𝑑𝑥 2 2
Toribio Córdova Condori
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
113
CALCULO DIFERENCIAL
=
UNFV – BASE 2009
1 1 � 𝑥 2 𝑒 (7+𝑙𝑛2) 𝑑𝑥 − � 𝑥 2 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 𝑑𝑥 2 2
1 2 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 = �𝑥 � − − � − �� � 2𝑥𝑑𝑥� 2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2
1 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 = �𝑥 2 � − � − 2𝑥 � − � + �� − � 2𝑑𝑥� 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 2
1 2 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 = �𝑥 � − � − 2𝑥 � − � + 2� − �� 2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 ∴ 𝑨=
𝒙𝟐 𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙 � − �−𝒙� − �+� − � 𝟐 𝟕 + 𝒍𝒏𝟐 𝟑 + 𝒍𝒏𝟐 𝟕 + 𝒍𝒏𝟐 𝟑 + 𝒍𝒏𝟐 𝟕 + 𝒍𝒏𝟐 𝟑 + 𝒍𝒏𝟐
𝐵=∫ =�
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑠𝑒𝑛4 𝑥+𝑐𝑜𝑠4 𝑥+6
𝑑𝑥
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 (2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥)(2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)
1 (2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑐𝑜𝑠2𝑥 = � 𝑑𝑥 (2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥)(2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 2
1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = � 𝑑𝑥 + � 𝑑𝑥 2 (2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 2 (2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥)
𝟏 𝟏 ∴ 𝑩 = − 𝑳𝒏|𝟐 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙| + 𝑳𝒏|𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙| 𝟐 𝟐
Toribio Córdova Condori
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
114
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
𝐼 =𝐴+𝐵 ∴
𝒙𝟐 𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙 𝑰= � − � − 𝒙� − �+� − � 𝟐 𝟕 + 𝒍𝒏𝟐 𝟑 + 𝒍𝒏𝟐 𝟕 + 𝒍𝒏𝟐 𝟑 + 𝒍𝒏𝟐 𝟕 + 𝒍𝒏𝟐 𝟑 + 𝒍𝒏𝟐 𝟏 𝟏 − 𝑳𝒏|𝟐 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙| + 𝑳𝒏|𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙| 𝟐 𝟐
61.
Rpta
𝒅𝒙
∫ √𝒙−𝟏√𝟐−𝒙�𝟒√𝒙−𝟏+𝟑√𝟐−𝒙� Resolución
Damos forma a la expresión 1
=
√𝑥 − 1√2 − 𝑥�4√𝑥 − 1 + 3√2 − 𝑥�
4
√2−𝑥(25𝑥−34)
= =
→
3 √𝑥−1(25𝑥−34) 1
=
−4 √2−𝑥
25(𝑥−2)+16
√𝑥 − 1√2 − 𝑥�16(𝑥 − 1) − 9(2 − 𝑥)�
=
−4
√2−𝑥
−4 √2−𝑥
16−25√2−𝑥
2
=
−4 √2−𝑥 2
�5√2−𝑥� −4 2
�5√2 − 𝑥 − 4��5√2 + 𝑥 − 4� 3 √𝑥−1
25(𝑥−1)−9
√𝑥−1√2−𝑥�4√𝑥−1+3√2−𝑥�
=
=
3 √𝑥−1
�5√𝑥−1−3��5√𝑥−1+3� −4 √2−𝑥
�5√2−𝑥−4��5√2+𝑥−4�
Hallamos la integral de cada parte
Toribio Córdova Condori
4√𝑥 − 1 + 3√2 − 𝑥
+
3 √𝑥−1
�5√𝑥−1−3��5√𝑥−1+3�
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115
CALCULO DIFERENCIAL −4 √2−𝑥
UNFV – BASE 2009
1 2√2−𝑥
1 2√2−𝑥
∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ �5√2−𝑥−4��5√2+𝑥−4� 5√2−𝑥−4 5√2−𝑥+4 5
1
5
1 1 2√2−𝑥 2√2−𝑥 = � 𝑑𝑥 − � 𝑑𝑥 5 5 √2 − 𝑥 − 4 5 5√2 − 𝑥 + 4 1
𝐼1 = 5 ln�5√2 − 𝑥 − 4� − 5 ln�5√2 − 𝑥 + 4� ∫
3 √𝑋−1
=∫
�5√𝑋−1−3��5√𝑋−1+3�
1 2√𝑥−1
5√𝑥−1−3 5
𝑑𝑥 − ∫
1 2√𝑥−1
5√𝑥−1+3
𝑑𝑥
5
1 1 2√𝑥−1 2√𝑥−1 = � 𝑑𝑥 − � 5 5 √𝑥 − 1 − 3 5 5 √𝑥 − 1 + 3
1
1
𝐼2 = 5 ln�5√𝑥 − 1 − 3� − 5 ln�5√𝑥 − 1 + 3� Luego 𝐼 = 𝐼1 − 𝐼2 =
1 1 1 1 ln�5√2 − 𝑥 − 4� − ln�5√2 − 𝑥 + 4� − ln�5√𝑥 − 1 − 3� − ln�5√𝑥 − 1 − 3� 5 5 5 5
∴
62.
𝟏
𝑰 = 𝐥𝐧 � 𝟓
𝟓√𝟐−𝒙−𝟒
𝟓√𝟐−𝒙+𝟒
𝟏
� − 𝐥𝐧 � 𝟓
𝟓√𝒙−𝟏−𝟑
𝟓√𝒙−𝟏+𝟑
�+𝒄
Rpta
x 5 / 2 dx ∫ (9 − 3 x )3
Resolución
Toribio Córdova Condori
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116
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
x 2 x dx 2 ∫ (9 − 3 x )3 → x = y → dx = 2 ydy 2 y 4.y y5 y 5 dy dy = 2 dy = 2 ∫ (9 − 3 y)3 ∫ (9 − 3 y)3 ∫ 27(3 − y)3
3-y = w - dy = dw dy = -dw
−2 27
(3 − w) 5 2 ( w − 3) 5 = dw dw ∫ w3 27 ∫ w3
2 ( w5 − 15w4 + 90w3 − 270w 2 + 405w − 243) dw 27 ∫ w3
2 270 405 243 + 2 − 3 ] dw [ w 2 − 15w + 90 − ∫ w w w 27
2 w3 15w 2 405 243 − 90 w − 270 ln w − + [ − ]+ c w 2 w3 27 3 2 Como w =3 -
x
2 5 2 30 9 (3 − x ) 3 − (3 − x ) 2 + (3 − x )20 ln 3 − x − + +c 81 9 3 (3 − x ) (3 − x )
Rpta
𝑿𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙
63.
∫ (𝒕𝒈𝒙−𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝟐 𝒅𝒙
Resolución
=�
𝑥 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
1
2
�𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥 �𝑐𝑜𝑠2 𝑥��
Toribio Córdova Condori
=�
𝑥 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑐𝑜𝑠 4 𝑥𝑑𝑥 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥 = � (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
117
CALCULO DIFERENCIAL
=∫
𝑥 2 𝑐𝑡𝑔2 𝑥𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑥−𝑥)2
UNFV – BASE 2009
2𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑑𝑥
1
= ∫ 𝑥 2 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 �(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥)2� 2 u
dv
Integración por partes ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 dv =
2𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑑𝑥
(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥)2
−𝑑
(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥) 2(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)𝑑𝑥 −(𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = = = 𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 𝑣 = �𝑑�
1 1 =𝑣 �= (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥) 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥
u = 𝑥 2 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 → 𝑑𝑢 = �2𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + 2𝑥 2 𝑐𝑡𝑔𝑥(−𝑐𝑠𝑐 2 𝑥)�𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 − �𝑑 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥(𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥) = 2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥 � 𝑑𝑢 =
�
2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥 1 1 2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥 = (𝑥 2 𝑐𝑡𝑔2 𝑥) � �− �� �� � (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑥 2 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 = − � 2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥
Luego hallamos (por partes)
2 ∫ 𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 = 2 � u
dv
−𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 2
−∫
−𝑐𝑡𝑔2 𝑥 2
𝑑𝑥�
u = x → dx = du dv = 𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 Toribio Córdova Condori
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118
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
−𝑐𝑡𝑔2 𝑥
v =∫ 𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 =
2
Resolvemos
−𝑐𝑡𝑔2 𝑥 −𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 2� −� 𝑑𝑥� = −𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + � 𝑐𝑡𝑔2 𝑥𝑑𝑥 2 2 = −𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + �(𝑐𝑠𝑐2 𝑥 − 1)𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + � 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 − � 𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥
→ ∫ 2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥 Finalmente
�
𝑿𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝟏 𝒅𝒙 = (𝒙𝟐 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙) � � + −𝒙𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈𝒙 − 𝒙 + 𝒄 𝟐 𝟐 (𝒕𝒈𝒙 − 𝒙𝒔𝒆𝒄 𝒙) 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒙
Rpta
∫
64.
x +1
6 6
x + 7
4
x
5
dx
Resolución Sea t12 = x 12𝑡11 dt = dx
(t 2 + 1)12 t" t 13 dt t" dt ∫ t 14 + t 15 + 12∫ t 14 (1 + t ) + 12 ∫ t 14 (1 + t )
12 ∫ =
dt dt + 12 ∫ 3 t (1 + t ) t (1 + t ) I1
Toribio Córdova Condori
I2
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119
CALCULO DIFERENCIAL
I1 =
1 A B ( A + B) t + A = + = ⇒ A =1 , B =1 t (1 + t ) t 1 + t t (1 + t )
1 1 I1 = 12 ∫ + t 1 + t
I2 =
UNFV – BASE 2009
dt
= 12 ln t − 12 ln 1 + t = 12 ln
t 1 + t ………………… α
1 A B C d = + 2+ 3+ = ( A + D) t 3 + ( A + B ) t 2 + (C + B ) t + C t (t + 1) t t t t +1 3
A = 1,
B = -1 , C = 1 , D = -1
1 1 1 1 I 2 = 12 ∫ − 2 + 3 − dt t t + 1 t t I 2 = 12 ln t +
I 2 = 12 ln
4 1 − 4 − 2 ln t + 1 3 4t t
t 4 1 + 3− 4 t +1 t 4t
I = I1+I2
𝟏𝟐
𝑰 = 𝟐𝟒𝑳𝒏 � 𝟏𝟐
√𝒙
√𝒙+𝟏
65.
I
x =∫
2
𝟒
�+𝟒 − √𝒙
𝟏
𝟑
𝟒 √𝒙
+ 𝒄 Rpta
e 2 x sen x dx
Resolución I = ∫ x 2 e 2 x sen x dx
Toribio Córdova Condori
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120
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
Sea : u = x2 du = 2x dx
du = e sen x dx 2x
u = ∫ e 2 x sen d dx p = sen x → dp = cos x dx dq = e 2 x dx → q = 1 e 2 x 2
u= =
1 2x 1 e sen x − ∫ e 2 x cos x dx 2 2
1 1 2x e sen x − ∫ e 2 x cos x dx 2 2
r = cos x → dr = − sen x dx ∆k = e 2 x dx → k = 1 e 2 x 2 1 1 1 1 u = e 2 x sen x − e 2 x cos x − ∫ e 2 x (− sen x dx) 2 2 2 2
u=
1 2x 1 1 e sen x − e 2 x cos x − ∫ e 2 x sen d dx 2 4 4
5 1 1 u = e 2 x sen x − e 2 x cos x 4 2 4
2 1 2 1 I = x 2 ( e 2 x sen x − e 2 x cos x) − ∫ ( e 2 x sen x − e 2 x cos x) 2 x dx 5 5 5 5
I=
2 2 2x 1 4 2 x e sen x − x 2 e 2 x cos x − ∫ xe 2 x sen x dx + ∫ x e 2 x cos x dx 5 5 5 5 A
66.
B
Rpta
∫ 𝒙𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙
Resolución Toribio Córdova Condori
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121
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
u = x du = dx du = e 2 x sen x dx → u = ∫ e 2 x sen x dx =
2 2x 1 e sen x − e 2 x cos x 5 5
1 2x 2 2x 1 2x 2 2x e sen x − e cos x − ∫ ( e sen x − e cos x) dx 5 5 5 A=x 5 =
2 2x 1 2 1 1 1 x e Sen x − x e 2 x cos x − [u ] + e 2 x cos x + ∫ e 2 x Sen x dx 5 5 5 5 2 2 u
=
2 2x 1 2 1 1 xe sen x − x e 2 x cos x − u + e 2 x cos x + u 5 5 5 10 10
2 2x 1 4 3 2x e sen x x e sen x − x e 2 x cos x + e 2 x cos x − 5 25 25 A= 5
B = ∫ xe 2 x cos x dx u = x du = dx
du = e2x cos x dx u =
∫e
2x
cos x dx
=
1 2x 1 e cos x + ∫ e 2 x sen x dx 2 2
=
1 2x 1 2 1 e cos x + e 2 x sen x − e 2 x cos x 2 2 5 5
1 1 1 U = e 2 x cos x + e 2 x sen x − e 2 x cos x 2 5 10 2 1 U = e 2 x cos x + e 2 x sen x 5 5
Toribio Córdova Condori
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122
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
2 2x 1 1 2 e cos x + e 2 x sen x) − ∫ e 2 x cos x + e 2 x sen x dx 5 5 5 B=x(5 =
1 2 2 2x 1 xe cos x + x e 2 x sen x − ∫ e 2 x cos x − ∫ e 2 x sen x dx 5 5 5 5
=
2 2x 1 2 1 1 1 xe cos x + x e 2 x sen x − e 2 x cos x + ∫ e 2 x sen x dx − ∫ e 2 x sen x dx 5 5 5 2 2 5
=
2 2x 1 1 1 1 xe cos x + x e 2 x sen x − e 2 x cos x − ∫ e 2 x sen x − ∫ e 2 x sen x dx 5 5 5 5 5
2 2x 1 1 2 xe cos x + xe 2 x sen x − e 2 x cos x − ∫ e 2 x sen x 5 5 5 5
2 2x 1 3 4 xe cos x + x e 2 x sen x − e 2 x cos x − e 2 x sen x 5 25 25 B= 5
I=
2 2 2x 1 4 2 1 4 3 x e Sen x − x 2 e 2 x cos x − xe 2 x sen x − x e 2 x cos x + e 2 x cos x − e 2 x sen x + 5 5 5 5 5 25 25 2 2 2x 1 3 4 x e cos x + xe 2 x sen x − e 2 x cos x − e 2 x sen x 5 5 5 25 25
2 2 2x 1 8 4 16 2 x 12 2 x x e senx − x 2 e 2 x cos x − x e 2 x sen x + x e 2 x cos x − e cos x + e sen x + 5 5 25 25 125 125
4 2 6 2x 8 2x x e 2 x cos x + x e 2 x sen x − e cos x − e sen x 25 25 125 125
∴I =
2 2 2x 1 6 8 4 2x 22 2 x e sen x − e cos x + C x e sen x − x 2 e 2 x cos x − x e 2 x sen x + xe 2 x cos x + 5 5 25 25 125 125
Rpta
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123
CALCULO DIFERENCIAL
I =∫
67.
UNFV – BASE 2009
dx x(3Ln 3 x + Ln 4 x) 2
Resolución Sea u = Ln x du =
I=
∫ (3u
3
𝑑𝑥 𝑥
du du du =∫ =∫ 6 4 2 3 2 +u ) [u (u + 3)] u (u + 3) 2
1 A B C D E F G H = 6 + 5 + 4 + 3+ 2 + + + 2 2 (u + 3) (u + 3) u (u + 3) u u u u u u 6
1 = (F+H) u7 + (E+6F + G+3H)u6 + (D+6E+9F)u5 + (C+6D+9E)u4 + (B+6C+9D)u3 + (A+6B+9C) u2 + (6A +9B)u + (9ª)
F+H=0 E + 6F + G + 3H = 0
A = 1/9
E = -13/2187
D + 6E + 9F = 0
B = - 2/27
F = 22/6561
C + 6D + 9E = 0
C = 1/243
G = -1/243
B + 6C + 9D = 0
D = 4/729
H = -22/6561
A + 6B + 9C = 0 6A + 9B = 0 9A = 1
Toribio Córdova Condori
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CALCULO DIFERENCIAL
∫u
6
UNFV – BASE 2009
1 du 1 du 2 du 1 du 4 du 13 du 22 du 1 = ∫ 6 − + + − + − − 2 5 4 3 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 9 u 27 u 243 u 729 u 2187 u 6561 u 243 (u + 3) 2 (u + 3)
du 22 6561 ∫ (u + 3) 1 −1 2 −1 1 −1 4 −1 13 − 1 22 1 −1 Ln µ − − + 2 − 3 + 5 − 4 + 9 5u 27 4u 243 3u 729 2u 2187 u 6561 243 u + 3 22 Ln u + 3 6561
Pero : µ = Ln x −1 1 1 2 13 22 + − − + + Ln Ln x + 5 4 3 2 Ln x 2187 6561 Ln x Ln x Ln x Ln x 45 54 729 729 I= 1 22 − Ln 3 + Ln x 243(3 + Ln x) 6561
∴I =
Ln x −1 1 1 2 13 1 22 + − − + + + Ln +C 5 4 3 2 45Ln x 54 Ln x 729 Ln x 729 Ln x 2187 Ln x 243(3 + Lnx) 6561 3 + Ln x
Rpta
68.
∫
𝟐𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙+𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒙 (𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒙+𝒄𝒐𝒔𝒉𝟑 𝒙)𝟐
𝒅𝒙
Resolución
� �
2𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 + 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥2𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑑𝑥 (1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ3 𝑥)2 2𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥(1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥) 𝑑𝑥 (1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ3 𝑥)2
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125
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 = 1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥
→� 2� 2�
2𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 (𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ3 𝑥)2
𝑐𝑜𝑠ℎ3 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ4 𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)2
1 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)2
𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 = 𝑢 → 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 → 𝑑𝑥 = ⟹ �
𝑑𝑢
(1 + 𝑢)𝑢√𝑢2 − 1 −1
∫ (1+𝑢)√𝑢2 −1 𝑑𝑢
1
∫ 𝑢√𝑢2−1 𝑑𝑢
+
𝐼1
𝐼2
Para 𝐼1
ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 + 1 = ⟹ −� −� �
1 𝑠
1
1
𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
−1
1 1 ⟹ 𝑑𝑢 = − 2 𝑑𝑠 𝑠 𝑠
�( −1)2 − 1 𝑆 𝑠
−1 𝑑𝑠 𝑠2
1 1 𝑑𝑠 1 2 𝑠 ( 1 − 2 + 1 − 1)2 𝑠 𝑠2 𝑠
𝑑𝑠 𝑑𝑠 1 𝑑(−2𝑠) = � = − � 2 √1−2𝑠 2 2 √1 − 2𝑠 1−2𝑠 𝑠 𝑠
�
1
𝑠2
𝑠2
𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 1 − 2𝑠
3
1 𝑑𝑢 1 𝑢2 1 3 − � = − 3 = − 𝑢2 2 √𝑢 2 3 2
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126
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
Reemplazando todo los valores se obtiene 1 1 𝐼1 = − �1 − 2 � �� 3 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 1 2 1 𝐼1 = � � 3 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 1
Para 𝐼2
𝐼2 = �
1
𝑑𝑢
𝑢√𝑢2 − 1
Sea 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑧 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑧𝑡𝑎𝑛𝑧𝑑𝑧 𝐼2 = �
𝑠𝑒𝑐𝑧𝑡𝑎𝑛𝑧𝑑𝑧
𝑠𝑒𝑐𝑧√𝑠𝑒𝑐 2 − 1
=�
𝐼2 = � 𝑑𝑧 = 𝑧 + 𝐶
𝑡𝑎𝑛𝑧𝑑𝑧 𝑡𝑎𝑛𝑧
Pero 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑢
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠
𝐼2 = arcsec (𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2
∴
69.
𝟐
𝑰= �
𝟏
𝟑 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙−𝟏
∫
� + 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄(𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙) + 𝑪
Rpta
𝟓
𝒙𝟒 �𝒙𝟐 +𝟑𝒙−𝟏
Resolución
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127
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
Por cambio de variable: 𝑥=
𝑑𝑡 1 → 𝑑𝑥 = − 2 𝑡 𝑡
Remplazando: −�
5
𝑡2
1
1
𝑑𝑥
1
( 𝑡 ) 4 �𝑡 2 + 3 𝑡 − 1
= −�
1
𝑡
5𝑑𝑡
1+3𝑡−𝑡 2
� 2
𝑡2
Haciendo método Ostrogradski �
−5𝑡𝑑𝑡
√+3𝑡 − 𝑡 2
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜
= −5 �
𝑡 3 𝑑𝑡
√1 + 3𝑡 − 𝑡 2
= (𝐴𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 𝑐)�−𝑡 2 + 3𝑡 + 1 + 𝜆 �
𝑑𝑡
√−𝑡 2 + 3𝑡 + 1
−5𝑡 3 = (2𝐴𝑡 + 𝐵)(�−𝑡 2 + 3𝑡 + 1)2 + (𝐴𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 𝑐)(−𝑡 + 3) + 𝜆
−5𝑡 3 = −2𝑡 3 + 5𝐴𝑡 2 + 2𝐴𝑡 − 𝐵𝑡 2 + 3𝐵𝑡 + 𝐵 − 𝐴𝑡 3 − 𝐵𝑡 2 − 𝐶𝑡 + 3𝐴𝑡 2 + 3𝐵𝑡 + 3𝐶 + 𝜆 −5𝑡 3 = −3𝐴𝑡 3 + (9𝐴 − 2𝐵)𝑡 2 + (2𝐴 + 6𝐵 − 𝐶)𝑡 + (𝑏 + 3𝐶 + 𝜆)
Igualando tenemos 𝐴=
5 15 145 305 ;𝐵 = ;𝐶 = ;𝜆 = − 3 2 3 2
15𝑡 145 305 𝑑𝑡 5 + � �−𝑡 2 + 3𝑡 + 1 − � 𝐼 = � 𝑡2 + 3 2 3 2 √−𝑡 2 + 3𝑡 + 1
5 15𝑡 145 305 2 2𝑡 𝐼 = � 𝑡2 + + � �−𝑡 2 + 3𝑡 + 1 − � 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 � �� 3 2 3 2 √13 √13 Reemplazando 𝑡 =
𝑰=�
𝟓
𝟑𝒙𝟐
70.
+
𝟏𝟓 𝟐𝒙
+
𝟏𝟒𝟓 𝟑
1
𝑥
𝟏
𝟑
� �− 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 −
𝟑𝟎𝟓 𝟐
�
𝟐
√𝟏𝟑
𝒂𝒓𝒄𝒐𝒔 �
𝟐
𝒙√𝟏𝟑
�� + 𝑪
Rpta
𝟑
𝑰 = ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙√𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙𝒅𝒙
Resolución Toribio Córdova Condori
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128
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 3
⟹ � 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 �1 + 𝑠𝑒𝑛3 𝑥𝑑𝑥 Pero como 𝑑𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 3
⟹ � 2𝑠𝑒𝑛𝑥 �1 + 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 𝑑𝑠𝑒𝑛𝑥 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑢 3
2 � 𝑢 �1 + 𝑢3 𝑑𝑢
1
Sea 𝑡 3 = 𝑢−3 + 1 ⟹ 𝑢3 = 𝑡 3 −1
−𝑡 2 𝑑𝑡 ⟹ 3𝑡 𝑑𝑡 = −3𝑢 𝑑𝑢 ⟹ 𝑑𝑢 = −4 = −𝑡 2 𝑢4 𝑑𝑡 𝑢 2
−4
3
2 � 𝑢 �1 + 3
2 �𝑢� −2 � −2 �
5 1 1 5 2 4 (−𝑡 𝑢 𝑑𝑡) ⟹ 𝑢 = � 3 � 𝑡3 − 1 √𝑡 3 − 1
𝑡3 (−𝑡 2 𝑢4 𝑑𝑡) 𝑡3 − 1
𝑡3
𝑡 1 (−𝑡 2 ) 5 𝑑𝑡 3 −1 � √𝑡 3 − 1 �
𝑡3
(𝑡 3−1 )2
3
𝑑𝑡
2 � 𝑢 �1 + 𝑢3 𝑑𝑢
𝑢3 + 1 1 3 ⟹ 𝑢 = 𝑠𝑒𝑎 𝑡 = 𝑢3 𝑡3 − 1 3
3𝑡 2 𝑑𝑡 ⟹ 3𝑡 𝑑𝑡 = −3𝑢 𝑑𝑢 ⟹ 𝑑𝑢 = −3𝑢−4 2
−4
3
− � 𝑢5 �1 + 3
− �( �𝑡 3
𝑡3
− 1)
5
1 𝑡 2 𝑑𝑡 −1 3
3
√𝑡 3
√𝑡 3
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−1
𝑡 2 𝑑𝑡 UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
129
CALCULO DIFERENCIAL −�−
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3𝑡 3 𝑡 2 𝑑𝑡 3(𝑡 3 − 1)2
1 𝑡 3 𝑑𝑡 3 − � 3 3 (𝑡 − 1)2 1 𝑧𝑑𝑧 − � 3 (𝑧 − 1)2
𝑧 𝐴 𝐵 = + 2 (𝑧 − 1) 𝑧 − 1 (𝑧 − 1)2 Operando se obtiene: A=1; B=1 1 1 1 − � 𝑑𝑧 + � 𝑑𝑧 6 (𝑧 − 1)2 (𝑧 − 1)2 1 − ln|𝑧 − 1| − (𝑧 − 1)−1 6 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑧 = 𝑡 3
1 − ln|𝑡 3 − 1| − (𝑡 3 − 1)−1 6 Pero 𝑡 3 = 𝑢−3 + 1
1 − ln|𝑢−3 | − (𝑢−3 )−1 6 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
∴
71.
𝟏
𝑰 = − 𝒍𝒏�𝒔𝒆𝒏−𝟑 𝒙� − (𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙)𝟏 + 𝑪 𝟔
Rpta
𝒅𝒙
𝑰 = ∫ 𝟑𝟑𝒙 +𝟐.𝟑(𝟐𝒙+𝟏) +𝟓.𝟑𝒙 Resolución
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130
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 3𝑥 → 𝑑𝑢 = 3𝑥 ln 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑥 = →� →
𝑑𝑢 𝑑𝑢 = 3𝑥 ln 3 𝑢 ln 3
𝑢 ln 3 (𝑢3
𝑑𝑢 + 2𝑢2 3 + 5)
𝑑𝑢 1 � 2 2 ln 3 𝑢 (𝑢 + 6𝑢 + 5)
Por fracciones parciales; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢2 + 6𝑢 + 5 = (𝑢 + 5)(𝑢 + 1)
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 1 + 2+ + = 2 2 𝑢 𝑢 (𝑢 + 5) 𝑢 + 1 𝑢 (𝑢 + 6𝑢 + 5)
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐴= →
6 1 61 37 ;𝑏 − ;𝐶 = − 𝑦𝐷= 25 5 100 100
1 6 1 𝑑𝑢 61 𝑑𝑢 37 𝑑𝑢 �� 𝑑𝑢 − � 2 − � + � � ln 3 25 5 𝑢 100 𝑢 + 5 100 𝑢 + 5
1 −1 61 37 1 6 � ln 𝑢 − − ln(𝑢 + 5) + ln(𝑢 + 1)� 5 𝑢 100 100 𝑙𝑛3 25 Pero
1 6 1 61 37 � ln 3𝑥 + 𝑥 − ln(3𝑥 + 5) + ln(3𝑥 + 1)� + 𝐶 𝑙𝑛3 25 53 100 100
∴
𝑰=
𝟔
𝟐𝟓
𝒙+
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𝟏
𝟓𝒍𝒏𝟑
. 𝟑−𝒙 +
𝟔𝟏 𝒍𝒏 (𝟑𝒙 +𝟓)
𝟏𝟎𝟎
𝒍𝒏𝟑
+
𝟑𝟕 𝒍𝒏 (𝟑𝒙 +𝟏)
𝟏𝟎𝟎
𝒍𝒏𝟑
+𝑪
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Rpta
131
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
𝒏
72.
Sea 𝑰𝒏 = ∫(𝟗 − 𝟗𝒙)𝟐 𝒅𝒙 ; 𝒏 ∈ 𝒁, hallar la regla la fórmula
de recurrencia Resolución
1 Haciendo 𝜃
�1 − 𝑥 2
x
x = cosθ
dx = dcosθ = senθdθ
→ In = −3n � senn θsenθdθ = 3n � senθ(n+1) θdθ Sea n = par
n
−3n � sen(n+1) θdθ = −3n �(1 + cosn θ)2 senθdθ n
= 3n �(1 + cos2 θ)2 dcosθ
para n = 2 ∶ 32 �(1 + x 2 ) dx = 32 �x + 4
para n = 4 ∶ 3 �(1 + x
2 )2
x5 x3 dx = 3 � + 2 + x� 5 3 4
para n = 6 ∶ 36 �(1 + x 2 )3 dx = 34 �
En general
x3 � 3
x7 x5 x3 + 3 + 3 + x� 7 5 3
𝒏 𝒏 𝒙𝒏+𝟏 𝒙𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟑 𝟐 𝟐 𝑰𝒏 = 𝟑 � + 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 +⋯� 𝒏+𝟏 𝒏−𝟏 𝒏−𝟑
1
𝒏
Sea n = impar
In=∫ sennθdθ Toribio Córdova Condori
x 𝜃
�1 − 𝑥 2
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132
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
𝐼𝑛= ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛−1𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 = −𝑠𝑒𝑛𝑛−1 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + (𝑛 − 1) � 𝑠𝑒𝑛𝑛−2 𝜃𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝜃
𝐼𝑛=−𝑠𝑒𝑛𝑛−1𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃+(𝑛−1)�∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛−2𝜃𝑑𝜃−∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝜃𝑑𝜃� 𝐼𝑛−2
𝐼𝑛 = −𝑠𝑒𝑛𝑛−1 θcosθ + (𝑛 − 1)[𝐼𝑛−2 − 𝐼𝑛 ] 𝐼𝑛 − 𝐼𝑛 (𝑛 − 1) =
𝐼𝑛
−𝑠𝑒𝑛𝑛−1 θcosθ + (n − 1)𝐼𝑛−2 𝑛
𝐼𝑛 = −𝑠𝑒𝑛𝑛−1 θcosθ + (n − 1)𝐼𝑛−2 Reemplazando:
𝑰𝒏 = 73.
−(�𝟏−𝒙𝟐 )(𝒏−𝟏) 𝒙+(𝒏−𝟏)𝑰𝒏−𝟐 𝒏
Rpta
Calcular : 𝐥𝐧(𝒙𝟒 + 𝟏) − 𝐥𝐧(𝒙𝟒 ) 𝟒 �𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 � 𝒙𝟕
Resolución �
�
𝐥𝐧 �
𝒙𝟒 +𝟏
𝒙𝟒 𝟓 𝒙
� √𝒙𝟒 + 𝟏 . 𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝟏
𝟏
𝐥𝐧 �𝟏 + 𝒙𝟒 � . �𝟏 + 𝒙𝟒
Como:
𝒙𝟓
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𝒅𝒙
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133
CALCULO DIFERENCIAL 𝟓
𝒅� 𝟏 � == −𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝒙𝟒
→ � 𝐥𝐧 �𝟏 + Como:
→
𝟏 𝟏 � . �𝟏 + 𝟒 . 𝒅 𝟏 𝟒 𝒙 𝒙 𝒙𝟒
UNFV – BASE 2009
𝒅( 𝟏 ) 𝒅𝒙 𝟒 = − 𝒙 𝟓 𝟒 𝒙
𝟏 =𝒖 𝒙𝟒
� 𝐥𝐧(𝟏 + 𝒖). √𝟏 + 𝒖 . 𝒅𝒖
Haciendo: 1+u = t
→ � 𝐥𝐧 𝒕. √𝒕 . 𝒅𝒕 u
dv
𝟐
𝟒𝟑
Integramos por partes: = 𝐥𝐧 𝒕 .
𝟑
𝟑
𝟏 𝒕𝟐 − � 𝐥𝐧 � � . 𝟑 . 𝒅𝒕 𝒕
𝒕𝟐 𝟑 𝟐
𝟐
𝟑
𝟑 𝟐 𝒕𝟐 𝟑 = 𝐥𝐧 𝒕 . 𝒕𝟐 − . 𝟑 𝟐 𝟑
𝟑
𝟑
𝑰= 𝟐 𝐥𝐧 𝒕 . √𝒕𝟐 − Como:
𝟐
𝟒 𝟑 𝟗
. √𝒕𝟐
T= u+1 𝟏
U= 𝒙𝟒 + 𝟏 𝟐
𝑰 = 𝐥𝐧 � 𝟑
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𝟏+𝒙𝟒 𝒙𝟒
𝟑
� . ��
𝟏
𝒙𝟒
𝟏+𝒙𝟒
+ 𝟏� − �� 𝟑
𝒙𝟒
𝟐
� + 𝑪
Rpta
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134
CALCULO DIFERENCIAL
74.
UNFV – BASE 2009
Calcular : 𝑰=�
𝟏 − √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐
𝒅𝒙
Resolución 𝑰= �
𝒙 + 𝟏 − 𝒙 − √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐
particionando la integral: 𝑰=� 𝑰=� 𝑰=� 𝑰=�
𝒙+𝟏
𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒙+𝟏
𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐
𝒅𝒙 − �
𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐
𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐
𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙 − � 𝒅𝒙
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 − 𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 − 𝒙 + 𝒙𝟐
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 − 𝒙 −(𝟏 + 𝒙)
𝑰 = − � 𝒙 𝒅𝒙 + � �𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒅𝒙 − 𝒙 𝑰=−
𝒙𝟐 𝟐
− 𝒙 + ∫ √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒅𝒙 … … … … … … . . (𝟏) 𝑰𝟐
𝟐 𝟑 𝟏 � 𝑰𝟐 = � + � + 𝒙� 𝒅�𝟏+𝒙� 𝟒 𝟐 𝟐
Haciendo:
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135
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
𝟏 + 𝒙=𝒖 𝟐 𝑰𝟐 =
𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 �𝒖� + 𝒖𝟐 + 𝐥𝐧 �𝒖 + �𝒖𝟐 + �� + 𝒄 … … … (𝟐) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟒
Reemplanzando (2)en (1) Como: 𝟏
U=𝟐 + 𝒙 𝑰=−
𝑰=−
75.
𝒙𝟐 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 − 𝒙 + �𝒖� + 𝒖𝟐 + 𝐥𝐧 �𝒖 + �𝒖𝟐 + �� + 𝒄 𝟐 𝟒 𝟒 𝟒 𝟐
𝒙𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
− 𝒙 + �� + 𝒙� √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝐥𝐧 �� + 𝒙� + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 �� + 𝒄 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Rpta
Calcular: 𝟑 𝒏 𝒏 𝒏 � +� + ⋯ … … . . +� 𝐥𝐢𝐦 �𝟏 + � 𝒏→∞ 𝒏 𝒏+𝟑 𝒏+𝟔 𝒏 + 𝟑 (𝒏 − 𝟏 )
Resolución 1 𝑛 𝑛 𝑛 lim 3 � + � 2 +� 2 + ⋯ … … . . +� 2 � 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 (𝑛 + 3) 𝑛 (𝑛 + 6) 𝑛 [𝑛 + 3(𝑛 − 1)] 1 𝑛 𝑛 𝑛 lim 3 � + � 2 +� 2 + ⋯ … … . . +� 2 � 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 (𝑛 + 3) 𝑛 (𝑛 + 6) 𝑛 [𝑛 + 3(𝑛 − 1)] Toribio Córdova Condori
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136
CALCULO DIFERENCIAL 1
lim𝑛→∞ 3 � + � 𝑛
0
0
1
𝑛(𝑛+3)
0
+� 0
1
𝑛(𝑛+6)
0
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+ ⋯ … … . . +� 0
1
𝑛[𝑛+3(𝑛−1)]
0
�
0
⎡1 ⎤ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎥ lim 3 ⎢ + � � − �+� � − � + ⋯ … … . . +� � − � 𝑛→∞ ⎢𝑛 3 𝑛 𝑛+3 6 𝑛 𝑛+6 3(𝑛 − 1) 𝑛 𝑛 + 1 ⎥ 3(𝑛−1) ⎣ ⎦
∴ 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞ 𝟑[𝟎] = 𝟎 76.
Rpta
Suponga que en número x (t) de lagartos en un pantano satisface la ecuación diferencial 𝒅𝒙 𝒅𝒕
=(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏)𝒙𝟐 − (𝟎. 𝟎𝟏)𝒙, sabiendo que en un principio
hay 25 lagartos resuelva esta ecuación ¿puede usted
afirmar lo que ocurrirá con esta población a largo plazo?
Resolución 𝑑𝑥 = (0.001)𝑡 2 − (0.01)𝑡 𝑑𝑡 𝑥(𝑡) =⋕ 𝑙𝑎𝑔𝑎𝑟𝑡𝑜𝑠
𝑑𝑥 = (0.0001𝑡 2 − 0.01𝑡)𝑑𝑡 𝑥
𝑡
∫25 𝑑𝑥 = ∫0 (0.0001𝑡 2 − 0.01𝑡)𝑑𝑡
𝑡3 𝑡2 (𝑥 − 25) = �(0.0001) − (0.01) � 3 2
𝑥 − 25 =
t 0
(0.0001) 3 (0.01) 2 𝑡 − 𝑡 3 2
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137
CALCULO DIFERENCIAL
∴
77.
UNFV – BASE 2009
(𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏) 𝟑 𝒕 𝟑
𝒙(𝒕) = 𝟐𝟓 +
−
𝟐𝒏𝟐 +𝟑𝒏+𝟏
Calcular 𝒍𝒊𝒎𝒏→∞ �
(𝟎.𝟎𝟏) 𝟐 𝒕 𝟐
Rpta
𝒏
� 𝟐𝒏𝟐 +𝒏+𝟐
Resolución 𝑛 2𝑛 lim �1 + 2 � 𝑛→∞ 2𝑛 + 𝑛 + 2
lim �1 +
𝑛→∞
1
2𝑛2 +𝑛+2 2𝑛
�lim𝑛→∞ �1 + =𝑒
�
2𝑛2 +𝑛+2 2𝑛 )𝑛( 2 ) 2𝑛 2𝑛 +𝑛+2
(
1
2𝑛2 +𝑛+2 2𝑛
2𝑛2 lim𝑛→∞ 2 2𝑛 +𝑛+2
=𝑒
2𝑛2 +𝑛+2 ( ) 2𝑛
�
lim𝑛→∞
�
𝑛(
2 1 2 2+ + 2 𝑛 𝑛
2𝑛 ) 2𝑛2 +𝑛+2
= 𝑒1
𝟐𝒏𝟐 +𝟑𝒏+𝟏
𝒍𝒊𝒎𝒏→∞ �
78.
1 𝑥 lim �1 + � = 𝑒 𝑛→∞ 𝑥
𝟐𝒏𝟐 +𝒏+𝟐
𝒏
� =𝒆
Rpta
Sea L la recta tangente a la hipérbola 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏en el 𝒆𝒏 +𝒆−𝒏 𝒆𝒏 +𝒆−𝒏
punto 𝑨 = (
en el punto ( (𝟎, −
𝒆𝒏 +𝒆−𝒏
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𝟐
).
𝟐
𝒆𝒏 −𝒆−𝒏 𝟐
,
𝟐
), probar que L corta el eje X
, 𝟎) y al eje y en el punto
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138
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
Resolución Y
L en + e−n en + e−n A=( , ) 2 2
X
x2 − y2 = 1
L: y = ax + b
x, y > 0
y = �x 2 − 1
dy 𝑥 = 𝑑𝑥 √x 2 − 1
a=
en +e−n 2 n e −e−n
�(
2
)2
=
en +e−n en −e−n
en + e−n en + e−n en − e−n en − e−n = = n � �+𝑏 −n 2 2 �(en − e−n )2 e − e 𝑏= 𝑦=
en − e−n 1 (en + e−n )2 − 2 2 en − e−n en + e−n en − e−n 𝑥 − en − e−n 2
𝐲=𝟎
en + e−n en − e−n 0= n .𝑥 − e − e−n 2 𝑥=
en +e−n en −e−n 2
�en+e−n�
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139
CALCULO DIFERENCIAL 𝑥=
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en − e−n 2
x=0
∴
79.
𝟏
𝒚 = − (𝐞𝐧 − 𝐞−𝐧 ) 𝟐
Rpta
Expresar el siguiente limite como una integral definida: 𝒏
𝐥𝐢𝐦 � �(𝒙𝒊 − 𝒙𝒊 − 𝟏)𝟐 + [𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒊 ) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒊 − 𝟏)]𝟐 , [𝟎, 𝝅]
𝒏→∞
𝒊=𝟏
Resolución 𝑛
lim � �(∆𝑥𝑖 )2 + [𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑖 ) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑖 − 1)]2
𝑛→∞
𝑖=1
𝑛
𝑓(𝑥 )−𝑓(𝑥𝑖 −1) 𝜋 𝑓́ (𝑥𝑖 ) = 𝑖 , ∆𝑥𝑖 = ∆𝑥𝑖
lim �
𝑛→∞
∴
𝑖=1
𝜋 �1 + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥𝑖 ) ⏟ 𝑛
𝑛
∆𝑥𝑖
𝒏
𝝅
1
𝐥𝐢𝐦 � �(𝒙𝒊 − 𝒙𝒊 − 𝟏)𝟐 + [𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒊 ) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒊 − 𝟏)]𝟐 = � [1 + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥𝑖 )]2 𝑑𝑥
𝒏→∞
80.
𝟎
𝒊=𝟏
Rpta
Determine f(x) si 𝐟"(𝐱) = 𝟔𝐱 + 𝟏 y además 𝐟́(𝟎) = 𝟐, 𝐟(𝟏) = 𝟎 Resolución
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140
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
� 𝑓"(𝑥𝑖 )𝑑𝑥 = �(6𝑥 + 1)𝑑𝑥 𝑓́(𝑥𝑖 ) =
6𝑥 2 6(0)2 + 𝑥 + 𝑐1 𝑓́ (𝑥) = + 0 + 𝑐1 ⟹ 𝑐1 = 2 2 2
𝑓́(𝑥) = 3𝑥 2 + 𝑥 + 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑓(1) = 1 +
↦
𝑥2 + 2𝑥 + 𝑐2 2
� 𝑓́(𝑥) = �(3𝑥 2 + 𝑥 + 2)𝑑𝑥
1 + 2(1) + 𝑐2 = 06 2
⟶
3 + 2 + 𝑐2 = 6 2
∴ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 81.
𝒙𝟐 𝟐
+ 𝟐𝒙 −
𝑐2 = − 𝟕 𝟐
7 2
Rpta
Sea s y c dos funciones reales tales que 𝒔́ (𝒙) = 𝒄(𝒙) y 𝒄́(𝒙) = −𝒔(𝒙), ∀𝒙 ∈ 𝑹,
si se cumple que 𝒔(𝒙) = 𝟎,
𝒄(𝟎) = 𝟏 demostramos que:
[𝒔(𝒙)]𝟐 + [𝒄(𝒙)]𝟐 = 𝟏
Resolución 𝐜́(𝐱) = −𝐬(𝐱)
(x) −c"(x) = ś� c(x)
c"(x) + c(x) = 0
→ −c"(x) = c(x)
Ensayando una solución : c"(x) = 𝛼 2 𝑒 𝛼𝑥 Toribio Córdova Condori
c(x) = 𝑒 𝛼𝑥
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
141
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
Remplazando : (𝛼 2 + 1)𝑒 𝛼𝑥 = 0
𝛼 = +𝑖
Solución general : c(x) = 𝐴𝑒 𝑖𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑥
ć (x) = 𝑆(𝑥) = 𝐴𝑖𝑒 𝑖𝑥 − 𝐵𝑖𝑒 −𝑖𝑥 Tenemos las condiciones iniciales: 𝑠(𝑥) = 0
∧ 𝑐(0) = 1
Remplazando: 𝐴+𝐵 =1
∧
𝐴=𝐵 =
1 2
𝐴=𝐵
1 𝑖𝑥 −𝑖𝑥 c(x) = �𝑒�� ��� + 𝑒�� � 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥
∴
82.
a.
∧
𝑠(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥
[𝒔(𝒙)]𝟐 + [𝒄(𝒙)]𝟐 = [𝒔𝒆𝒏𝒙]𝟐 + [𝒄𝒐𝒔𝒙]𝟐 = 𝟏
Rpta
Evaluar 𝑰=∫
𝟏
𝟒
− 𝟐(𝟏+𝒙𝟒 )𝟐 +(𝟏+𝒙𝟑 ) 𝟑
Toribio Córdova Condori
𝒙𝟑
𝒅𝒙
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
142
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
Resolución 4
1
1 4 (1 + 𝑥 4 )2 (1 + 𝑥 3 )−3 −3 4 2 −3 3 −3 𝐼 = 2� 𝑑𝑥 + � 𝑑𝑥 = 2 � 𝑥 (1 + 𝑥 ) 𝑑𝑥 + � 𝑥 (1 + 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑥3 𝑥3 ������������� �������������
𝐴
1
𝐴 = ∫ 𝑥 −3 (1 + 𝑥 4 )2 𝑑𝑥 𝑚 = −3, 𝑛 = 4,
𝑃=
1
1 2
1 1 𝑚+1 +𝑝 =− + =0 ∈Ζ 2 2 𝑛
⟹ 1 + x4 = 𝑡2 𝑥4
x 4 = 𝑡 2 −1
𝐵
⟹
𝑡 2 = 𝑥 −4 +1
2𝑡 𝑑𝑡 = −4x −5 𝑑𝑥
1 𝑑𝑥 = − 𝑡𝑥 5 𝑑𝑡 2
1 1 1 1 1 t2 1 𝐴 = � x −3 (t 2 x 4 )2 �− 𝑡𝑥5 � dt = − � t 2 x 4 𝑑𝑡 = − � t 2 � 2 � 𝑑𝑡 = − � � 2 � 𝑑𝑡 𝑡 −1 2 2 2 𝑡 −1 2
1 1 1 1 1 1 𝑡−1 𝑡 1 𝑡−1 = − � �1 + 2 � 𝑑𝑡 = − �� 𝑑𝑡 + � � 2 � 𝑑𝑡� = − �t + ln � �� = − − 𝑙𝑛 � � 2 𝑡 −1 2 𝑡 −1 2 2 𝑡+1 2 4 𝑡+1
Pero
𝑡=
𝐴=−
�𝑥4 +1
𝑥2
√𝑥 4 +1
−1 +1 1 𝑥2 − 𝑙𝑛 � � + 𝑐1 √𝑥 4 +1 2𝑥 2 4 + 1 𝑥2
√𝑥 4
𝐴=− 4
√𝑥 4 + 1 1 √𝑥 4 + 1 − 𝑥 2 − 𝑙𝑛 � � + 𝑐1 2𝑥 2 4 √𝑥 4 + 1 + 𝑥 2
𝐵 = ∫ x −3 (1 + x 3 )−3 𝑑𝑥 𝑚 = −3, 𝑛 = 3,
Toribio Córdova Condori
4 3 𝑚+1 2 4 6 + 𝑝 = − − = − = −2 ∈ Ζ 𝑛 3 3 3
𝑃=−
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
143
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
⟹ 1 + x3 = 𝑡3 𝑥3 ⟹ t 3 = 𝑥 −3 + 1
⟹ 3t 2 𝑑𝑡 = −3𝑥 −4 𝑑𝑥 2 4
1 x = 3 𝑡 −1 3
𝑑𝑥 = −t x 𝑑𝑡
4
𝑡=
3
√1 + x 3 𝑥
𝐵 = � x −3 (t 3 x 3 )−3 (−t 2 x 4 )𝑑𝑡 = � x −3 𝑡 −4 x −4 (−t 2 x 4 )𝑑𝑡 = − � x −3 t −2 𝑑𝑡 = − � = −�
𝑑𝑡
t2(
1
𝑡 3 −1
)
=−�
𝑡3 − 1 1 1 t2 1 𝑑𝑡 = − � �𝑡 − � 𝑑𝑡 = − �(𝑡)𝑑𝑡 + � � � 𝑑𝑡 = − − + 𝑐2 2 𝑡 t2 t2 t2
𝑑𝑡 x3 t2
3
1 �1 + x3 𝑥 𝐵=− ( )− 3 + 𝑐2 2 𝑥 �1 + x3
3
�(1 + x 3 )2 𝑥 √𝑥 4 + 1 1 √𝑥 4 + 1 − 𝑥 2 𝐼 = 2 �− − 𝑙𝑛 � � − −3 �+𝑐 2 2 2𝑥 2𝑥 4 √1 + x 3 √𝑥 4 + 1 + 𝑥 2
∴
b.
𝑰=−
�𝒙𝟒 +𝟏 𝒙𝟐
𝟏
− 𝒍𝒏 � 𝟐
�𝒙𝟒 +𝟏−𝒙𝟐 �𝒙𝟒 +𝟏+𝒙
�− 𝟐
𝟑
�(𝟏+𝐱 𝟑 )𝟐 𝟐𝒙𝟐
−𝟑
𝒙
�𝟏+𝐱 𝟑
+𝒄
Rpta
𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙+𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙
∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙−𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 Resolución 1 1 cos 4 x + sen4 x = 1 − 2sen2 xcos 2 x = 1 − 4sen2 xcos 2 x = 1 − sen2 2x 2 2
Reemplazando en la integral:
Toribio Córdova Condori
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144
CALCULO DIFERENCIAL �
1
1 − 2 sen2 2x 1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑑𝑥 = � 1
1
UNFV – BASE 2009
1 − 2 (1 − cos 2 2x) 1
2 𝑑𝑥 + 2 ∫ ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑐𝑜𝑠2 2𝑥
𝑑𝑥 = �
1
1
1 − 2 + 2 cos2 2x 1
cos2x
𝑑𝑥 1
𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
1 1 = � 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 + � 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 2 2
11 1 = � 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 22 2 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙+𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙
∴
𝟏
𝟏
Rpta
∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙−𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝟒 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 + 𝒕𝒈𝟐𝒙| + 𝟒 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒄
c. 𝑰 = ∫ 𝒙 𝒍𝒏(√𝟑𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝟑
Resolución
1 𝐼 = � 𝑥𝑙𝑛(3𝑥 + 1)𝑑𝑥 3
𝑢 = ln(3𝑥 + 1) ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 ⟹ 𝑣 =
𝑥2 2
3 3𝑥 + 1
𝑰 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
𝑥2 1 𝑥2 ln(3𝑥 + 1) − � 𝑑𝑥 6 2 3𝑥 + 1
𝑥2 1 1 ln(3𝑥 + 1) − � �3𝑥 − 1 + � 𝑑𝑥 6 18 3𝑥 + 1
∴
𝑰=
𝒙𝟐 𝟐
Toribio Córdova Condori
𝒍𝒏(𝟑𝒙 + 𝟏) −
𝒙𝟐
𝟏𝟐
+
𝒙
𝟏𝟖
−
𝟏
𝟓𝟒
𝒍𝒏(𝟑𝒙 + 𝟏) + 𝒄
Rpta
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
145
CALCULO DIFERENCIAL
d. 𝑰 = ∫ [
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙
()
]
𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒙 +𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒙) 𝟐
UNFV – BASE 2009
𝒅𝒙
Resolución
∫
coshx x
u
𝑢=
dv
𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑑𝑥 [𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥]2
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥
𝑑𝑟 = 𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑑𝑥 ⟹
𝑐𝑜𝑠ℎ −(𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥)𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2
𝑑𝑣 =
−
𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 = 𝑟
𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑑𝑥 [𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥+𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥]2
𝑰 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖 1
− ∫− (𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥+𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)
(𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥+𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥) 𝑥2
∴
𝑰= −
e. 𝑰 = ∫
(𝟏+𝒔𝒆𝒏 𝒙)
Resolución
𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
⟹ 𝑣=
𝟐
𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑑𝑟 𝑑𝑟 −1 = ⟹𝑣= [𝑟]2 𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑟2 𝑟
−1 𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
−1 𝑑𝑥 (𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥+𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)
𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙
𝒙(𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙+𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙)
√𝒔𝒆𝒏𝒙
𝑑𝑣 =
𝑑𝑟 = 𝑑𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
𝟏
+ +𝒄 𝒙
Rpta
𝒅𝒙
1 + sen2 x = 2 − cos2 𝑥 (2+cos2 x)
∫ 2cos2x√senx dx 2dx
= ∫ 2cos2 x
(cos2 x)
− ∫ 2cos2 x senx dx √senx √
Toribio Córdova Condori
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
146
CALCULO DIFERENCIAL =�
dx
cos 2 x
√senx
1
∫ cos2x
√senx
1 1 � dx 2 √senx
−
senx = u2 ⟹
𝑑𝑥 =
𝑑𝑥 = ∫
3
= 2 �(1 − u2 )−2 𝑑𝑢
u = senθ
UNFV – BASE 2009
2𝑢
√1 − u2 2𝑢
𝑑𝑢
(1−u2 )√1−u2 𝑢
→ du = cosθdθ 3
𝑑𝑢
1
= 2 ∫(1 − sen2 θ)−2 cosθdθ = 2 ∫ cos3θ cosθdθ = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 dθ = 2tanθ = 2tan (arcsen(u)) =2
=
𝑢
√1 − 𝑢2 2√𝑠𝑒𝑛𝑥
,
√1 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑢 = √𝑠𝑒𝑛𝑥
=2
√𝑠𝑒𝑛𝑥
√𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
1 1 ⟹− � 𝑑𝑥, 2 √𝑠𝑒𝑛𝑥
1 1 ⟹− � 𝑑𝑥 , 2 √𝑠𝑒𝑛𝑥 1
1
cosθ
u
√𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 = u2 𝑠𝑒𝑛𝑥 = u2
2𝑢
→ du = cosθ dθ
𝜃
�1 − 𝑢 2
=2
⟹ ∫ 𝑑𝑢 2 (�1−𝑢2 )𝑢
u = senθ
1
1 𝑑𝑢 =− � 2 √1 − 𝑢2 1
𝑐𝑜𝑠𝜃
1
=− ∫ 𝑑𝜃 = − ∫ 𝑑𝜃 = − 𝜃 2 √1−𝑠𝑒𝑛2 𝜃 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 1 1 = − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑢) = − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(√𝑠𝑒𝑛𝑥) 2 2 Toribio Córdova Condori
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147
CALCULO DIFERENCIAL
(𝟏+𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙)
∴
∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
√𝒔𝒆𝒏𝒙
f. 𝑰 = ∫ Resolución
UNFV – BASE 2009
𝟏
𝒅𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙√𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏�√𝒔𝒆𝒏𝒙� + 𝒄 𝟐
𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙+𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙+𝟑𝒄𝒐𝒔𝒙
Rpta
𝒅𝒙
Aplicamos el método siguiente: �
Entonces:
𝒄𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒅𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒙 + 𝑩 𝒍𝒏|𝒂𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙| + 𝒄 𝒂𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙
3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 � 𝑑𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑙𝑛|2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥| + 𝑐 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥
��
Derivando:
3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐵(2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥) =𝐴+ 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 3𝑠𝑒𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥
2𝑠𝑒𝑛𝑥+3𝑐𝑜𝑠𝑥
=
2A − 3B = 3
3A + 2B = 2
A=
12 , 13
B=−
5 13
2𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥+3𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥−3𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥+3𝑐𝑜𝑠𝑥
3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥(2𝐴 − 3𝐵) + 𝑐𝑜𝑠𝑥(3𝐴 + 2𝐵)
∴
83.
a.
𝑰=
𝟏𝟐 𝟏𝟑
𝒙−
𝟓
𝟏𝟑
𝒍𝒏|𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟑𝒄𝒐𝒔𝒙| + 𝒄
Rpta
Evaluar
𝑰 = ∫(𝒙 − 𝒂)𝒑−𝟏 (𝒙 − 𝒃)−𝒑−𝟏 𝒅(𝒙);
Toribio Córdova Condori
𝒑 ≥ 𝟎, 𝒂 ≠ 𝒃
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148
CALCULO DIFERENCIAL
UNFV – BASE 2009
Resolución 𝑝−1
(x − a)p−1 (x − a) =� 𝑑𝑥 = � � � p+1 (x − b) (x − b)
1 𝑑𝑥 (x − b)2
Sea: 𝑢=
𝑥−𝑎 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ⟹ = 𝑥−𝑏 (𝑎 − 𝑏) (𝑥 − 𝑏)2
Reemplazando: =�
(x − a)p−1 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = � u(𝑝−1) p+1 (x − b) (a − b) =
𝑥−𝑎
𝑢 = 𝑥−𝑏: �
∴
1 1 𝑢𝑝 � u(𝑝−1) 𝑑𝑢 = +∁ (a − b) (a − b) 𝑝
(x − a)p−1 1 𝑥−𝑎 𝑝 𝑑𝑥 = � � +∁ (x − b)p+1 p(a − b) 𝑥 − 𝑏 𝟏
𝒙−𝒂 𝒑
∫(𝒙 − 𝒂)𝒑−𝟏 (𝒙 − 𝒃)−𝒑−𝟏 𝒅(𝒙) = 𝐩(𝐚−𝐛) �𝒙−𝒃� + 𝒄
b.
𝑰 = ∫(
𝒙𝟐 −𝟏
)
𝟏
𝒙𝟐 +𝟏 �𝟏+𝒙𝟒
Rpta
𝒅(𝒙)
Resolución Dividiendo entre x:
Toribio Córdova Condori
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149
CALCULO DIFERENCIAL 𝐼 = �(
1
x−𝑥
1
1)
x + 𝑥 √1 + x 4
UNFV – BASE 2009
d(x);
1
Sea 𝑡 = 𝑥 + 𝑥 :
1 √1 + x 4 2 � t =x + 2+2⟹ t −2= 𝑥 𝑥 2
2
dt = �1 −
c.
𝑰=∫
�𝒙𝟐 −𝟏�
(𝒙𝟒 +𝟑𝒙𝟐 +𝟏)𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈�
1 dt � dx ⟹ = dx 1 𝑥2 �1 − �
𝒙𝟐 +𝟏 � 𝒙
𝑥2
𝒅(𝒙)
Resolución 𝑥2 + 1 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 � � 𝑥
𝑑(𝑢) =
(𝑥 2 −1)
𝑥 4 +3𝑥 2 +1
𝑑(𝑥)
𝑑(𝑥) =
Remplazamos: (𝑥 2 −1)
∫ (𝑥 4 +3𝑥 2+1).𝑢 ∴
∫
�𝒙𝟐 −𝟏�
(𝑥 4 +3𝑥 2 +1)
(𝒙𝟒 +𝟑𝒙𝟐 +𝟏)𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈�
Toribio Córdova Condori
(𝑥 2 −1)
𝒙𝟐 +𝟏 𝒙
�
𝑑(𝑣) = ∫
𝑥 4 +3𝑥 2 +1 (𝑥 2 −1)
𝑑(𝑢)
𝑑(𝑢) 𝑢
𝒙𝟐 +𝟏
𝒅(𝒙) = 𝒍𝒏 �𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 �
𝒙
�� + 𝒄
Rpta
UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física
150
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