CALCULO DIFERENCIAL

Universidad Nacional Federico Villarreal Facultad de Educación

Matemática - Física

MATEMATICA PURA

CALCULO DIFERENCIAL Toribio Córdova C.

TEMAS:  LÍMITES  CONTINUIDAD  DERIVADAS

CALCULO DIFERENCIAL

1.

UNFV – BASE 2009

Definición de límite. 𝐱 𝟐 −𝟑𝐱+𝟐

a) 𝑳𝒊𝒎

𝒙⟶𝟏 𝐱 𝟐 −𝟒𝐱+𝟑

b)

=

𝟏 𝟐

𝑳𝒊𝒎 √𝐱 + 𝟑 = 𝟐 𝒙⟶𝟏

Resolución a) 𝑳𝒊𝒎

𝒙⟶𝟏

𝒙𝟐 −𝟑𝒙+𝟐

𝒙𝟐 −𝟒𝒙+𝟑

Resolución

=

𝟏 𝟐

1

∀𝜀 > 0 , ∃ 𝛿 > 0 / x ∈ Dom f ⋀ 0< |𝑥 − 1| < 𝛿 ⟺ �𝑓(𝑥) − 2� < 𝜀 1

�𝑓(𝑥) − 2� < 𝜀

�

𝑥 2 − 3𝑥 + 2 1 − � 0, ∃δ > 0 / x ∈Domf ( x ) ∧ si 0 < x − 2 < δ ⇒ f ( x ) < − M ⇒= f (x)

Si 0 < x − 2 < δ1 =

1− x < − M ……………………………..….(1) ( x − 2)2

1 1 1 1 3 ⇒ − < x − 2 < ⇒ < x −1< 2 2 2 2 2

Como: ( x − 2)2 > 0; siendo x ≠ 2 ⇒ multiplicamos la expresión anterior por: ⇒

1 x −1 3 < < 2 2 2( x − 2) ( x − 2) 2( x − 2)2

⇒ −

3 1− x 1 …………………...(2) < M 2( x − 2)2

1 1 1 ⇒ ( x − 2)2 < ⇒ x −2 < M 2M 2M

Si 0 < x − 2 < δ se toma: δ =

Toribio Córdova Condori

1 ( x − 2)2

1 2M

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13

CALCULO DIFERENCIAL

∴ 8.

UNFV – BASE 2009

𝟏

𝜹 = {𝜹𝟏 ; 𝜹𝟐 } = 𝒎í𝒏 � ; � 𝟐

𝟏

𝟐𝑴

� Rpta

Calcular: (𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙) + 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 − (𝒔𝒊𝒏 𝒙)𝟐 + 𝟎. 𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 𝑳𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙𝟑 (𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙) Resolución 2 Sea f ( x ) = ( tgx − 2senx ) +3 senx .tgx − sen x + 0, 5sen2x

x (1 − senx + cosx )

Reduciendo la función:

senx  1  − 2  + senx . − sen2 x + 0, 5 × 2senx .cosx senx  cosx cosx   f (x ) = x 3(1 − senx + cosx )

senx  1  −2+ − senx + cosx  senx  cos cos x x   f (x ) = x 3(1 − senx + cosx ) senx  1  − 1+ − 1 − senx + cosx  senx  x x cos cos   f (x ) = x 3(1 − senx + cosx ) cosx senx  1  − + − 1 − senx + cosx  senx  cosx cosx cosx   f (x ) = 3 x (1 − senx + cosx )  1 − cosx + senx  − (1 − cosx + senx ) senx  cosx   f (x ) = 3 x (1 − cosx + senx )

 1  − 1 senx (1 − cosx + senx )  cosx   f (x ) = 3 x (1 − cosx + senx )

Toribio Córdova Condori

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CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

 1 − cosx  senx 2x  senx  (1 − cosx ) tgx ⋅ 2sen  2   cos x   cos   x = = f (x ) = 3 3 3

x

x

x

x  x  x  sen2   sen2   sen2   tgx tgx 1 tgx 2 = 2 = 2 f (x ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 x x x 2 x x  x  4    2 2

Reemplazando en el límite: 1 tgx ⋅ lim f ( x ) = lim ⋅ x→0 x→0 2 x

x  x  sen2   sen2   x 1 tg 2   = lim  2  = 1 ⋅ 1⋅ 1 ⋅ lim 2 2 x→0 x→0 x 2 2 x  x      2 2

∴ 9.

𝑳𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝒙→𝟎

𝟏 𝟐

Rpta

Sea f la función definida por:

𝐟(𝐱) = |𝐱 + 𝟓| +

𝟓 |𝐱| − 𝟒

Bosqueje el gráfico de f mostrando sus asíntotas. Resolución El dominio de la función f(x) será: ) Domf ( x =

{x ∈ ¡

/ x − 4 ≠ 0}=

{x ∈ ¡

/ x ≠ 4}= {x ∈ ¡ / x ≠ 4 ∨ x ≠ −4}

Redefiniendo la función:

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −5, 𝑥 = 0 (𝑥 ≠ 0)

Se tienen 3 intervalos: Toribio Córdova Condori

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CALCULO DIFERENCIAL

∗ x < −5 ⇒

x+5 = −( x + 5) ∧

⇒ f1( x ) = −( x + 5) + ∗ −5≤ x < 0 ⇒

∗ x >0

⇒

x = −x

5 ; x < −5 −x − 4

x+5 = x +5 ∧

⇒ f2 ( x )= x + 5 −

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x = −x

5 ; − 5 ≤ x < 0 , x ≠ −4 x +4

x+5 =x + 5 ∧

⇒ f3 ( x ) = x + 5 +

x =x

5 ; x ≥ 0, x ≠ 4 x −4

Luego:

5    −  x + 5 + x + 4  ; x < −5   5 f ( x= ) x + 5 − ; − 5 ≤ x < 0 , x ≠ −4 x +4   5 ; x ≥ 0, x ≠ 4 x + 5 + x −4 

Asíntotas verticales:

Las posibles asíntotas verticales de la gráfica de f(x) serán en los puntos de acumulación del dominio (𝑥 = ±4).

5  5  ∗ lim − f ( x ) =lim −  x + 5 −  =−4 + 5 − − =1 + ∞ =+∞ x →−4 x →−4  x +4 0 5  5  ∗ lim + f ( x ) =lim +  x + 5 −  =−4 + 5 − + =1 − ∞ =−∞ x →−4 x →−4  x +4 0

∴ 𝒙 = −𝟒 es una Asíntota Vertical

5  5  ∗ lim− f ( x ) =lim−  x + 5 +  =4 + 5 + − =9 − ∞ =−∞ x →4 x →4  x −4 0

5  5  ∗ lim+ f ( x ) =lim+  x + 5 +  =4 + 5 + + =9 + ∞ =+∞ x →4 x →4  x −4 0

∴ 𝒙 = 𝟒 es una Asíntota Vertical Toribio Córdova Condori

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CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

Asíntotas horizontales:

5   ∗ lim f ( x ) = lim  x + 5 +  = +∞ + 0 = +∞ ∉ ¡ x →+∞ x →+∞  x −4

5   ∗ lim f ( x ) = lim −  x + 5 +  = − ( −∞ + 0 ) = +∞ ∉ ¡ x →−∞ x →−∞  x +4

∴ No tiene Asíntota Horizontal

Asíntotas oblicuas: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃  A.O.D:

x +5+

f (x ) m lim = lim = x →+∞ x x →+∞

b =

x

lim f ( x ) − mx = 

x →+∞ 

5 x −= 4

 lim x + 5 +

x →+∞  

5  lim 1 + +

x →+∞  

5

x −4 ∴

 A.O.I:

x

 x −= 

5  1 = x ( x − 4 ) 

 lim 5 +

x →+∞  

5  = 5

x − 4 

y= x + 5

5

  −x + 5 +  f (x ) 5 5   x 4  +  m =lim =lim = − lim  1 + + = −1 x →−∞ x x →−∞ x →−∞  x x x ( x + 4 ) 

b=

lim f ( x ) − mx =

x →−∞ 

5     lim −  x + 5 +  + x = x +4  

x →−∞  

∴

 lim −x − 5 −

x →−∞  

5 5    + x = lim  −5 − = −5 x →−∞ x +4 x − 4   

y = −x − 5

Gráfico:

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CALCULO DIFERENCIAL X=-4

y

UNFV – BASE 2009 X=4

5

x

-5

10.

Dada la función definida por:

𝒇(𝒙) =

𝑺𝒈𝒏(𝒙𝟐 − 𝟖) − 𝟑; 𝒙 ≤ −𝟑

𝒙 𝒙 � � + 𝟓𝒔𝒈𝒏(𝒙 − 𝟓); −𝟑 < 𝑥 < 𝟎 𝟑 𝒙−𝟑 ; 𝒙≥𝟎 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔

Determinar los puntos de discontinuidad. Determinar el tipo de discontinuidad y si es posible redefinir la función para evitar la discontinuidad. Resolución Redefiniendo la función f(x). Para ello hallaremos:

∗ Si: x ≤ −3 ⇒ x 2 ≥ 9 ⇒ x 2 − 8 ≥ 1 > 0 ⇒ sgn( x 2 − 8 ) = 1

∗ 𝑆𝑖: − 3 < 𝑥 < 0 ⟹ −1 < Toribio Córdova Condori

𝑥 𝑥 < 0 ⟹ � � = −1 3 3

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CALCULO DIFERENCIAL

∗ Si: − 3 < x < 0 ⇒

∗

UNFV – BASE 2009

− 8 < x − 5 < −5 ⇒ sgn( x − 5) =−1

x −3 x −3 1 ; x ≥ 0, x ≠ 3 = = ( )( ) x − 3 x + 2 x +2 x −x −6 2

Luego:

 −2 ; x ≤ −3  f ( x ) = −x − 5 ; − 3 < x < 0  1  ; x ≥ 0, x ≠ 3 x + 2

 1 − 3 ; x ≤ −3  f ( x )= x ( −1) + 5( −1) ; − 3 < x < 0 ⇔  1  x ≥0 ; x + 2

Graficando f(x):

y

1/2 -3

-2 3

x

-2

-5

Se observa que la función es discontinua en x=0. El tipo de discontinuidad es inevitable. Lo que me indica que no es posible redefinir la función para hacerla continua en dicho punto. Rpta

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CALCULO DIFERENCIAL

11.

UNFV – BASE 2009

Resolver: a) Sea 𝒇(𝒙) =

𝟑

�𝟔+ 𝟔√𝒙 −𝟐 𝒙−𝟔𝟒

; 𝒙 ≠ 𝟔𝟒; ¿Cómo debe ser definida

f(64), de modo que la función sea continua en x= 64?

b) Un automóvil viaja de noche por una carretera en forma de parábola con vértice en el origen, el vehículo parte de un punto a 100 m al oeste y a 100 m al norte del origen y viaja en

dirección general

hacia el este. Hay una estatua a 100 m al este y 50 m al norte de origen ¿en qué punto de la carretera los faros del automóvil la iluminaria? Resolución a) Debemos redefinir la función en x=64 a fin de hacerla continua en dicho punto.

Aplicamos límite de una función cuando x tiende a 64: = lim f ( x ) x → 64

3 6+ 6 x −2 0 = lim x → 64 x − 64 0

Levantando la indeterminación:

(Forma indeterminada)

3 3 6+ 6 x −2 6 + 6 x − 2 3 ( 6 + 6 x )2 + 3 6 + 6 x .2 + 22 = = lim ⋅ lim f ( x ) lim x → 64 x → 64 x → 64 3 x − 64 x − 64 ( 6 + 6 x )2 + 3 6 + 6 x .2 + 22

6+ 6 x −8 1 ⋅ x → 64 x − 64 3 ( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4

= lim f ( x ) lim x → 64

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CALCULO DIFERENCIAL

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x − 2 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + 6 x 3 ⋅ 22 + ... + 25 lim f ( x ) lim = ⋅ ⋅ 6 x → 64 x → 64 3 ( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4 x − 64 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + x 3 ⋅ 22 + ... + 25 6

1

x − 64 1 ⋅ 6 x → 64 x → 64 3 ( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4 x − 64 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + x 3 ⋅ 22 + ... + 25 1 1 1 1 lim f ( x ) = ⋅ = ⋅ 5 5 x →64 3 ( 6 + 2)2 + 2 3 6 + 2 + 4 6 ⋅ 2 3 ⋅ 4 6 ⋅ 2 1

= lim f ( x ) lim

lim f ( x ) =

x → 64

⋅

1 2304

La función redefinida será: 3 6 + 6 x −2  ; x ≠ 64  f ( x ) =  x − 64  1 ; x = 64  2304

b) Graficando:

Rpta

N

y O

E S

Partida

100 50

Estatua

x

100

-100 P(a,b)

Ecuación general de la parábola con vértice en el origen:

y = ax 2 ...........................

(1)

2 Pero ( −100; 100 ) ∈ Parábola ⇒ En la Ec.(1) : 100 =a( −100 ) ⇒ a =

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1 100

21

CALCULO DIFERENCIAL

⇒

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1 y =x 2 .............................. (2) 100

Hallando la ecuación de la recta LT de la iluminación en el punto P: Para ello consideramos el punto de paso (100; 50): (de la estatua) y − 50 = m( x − 100 ) ⇒ y = mx + 50 − 100m .............................

(3)

Cálculo de la pendiente “m” con la ecuación de la parábola: 2 1 m =y ¢= x ⇒ m= x 100 50

Reemplazando en (3):

⇒ y=

1 2 x − 2x + 50 .........................(4) 50

Igualando las ecuaciones (2) y (4):

1 2 1 2 x= x − 2x + 50 100 50

0= x 2 − 200x + 5000

Resolviendo: x =

200 ± 2002 − 4(1)( 5000 ) 200 ± 100 2 = 2 2

x = 100 ± 50 2 ⇒ x 1 = 100 − 50 2 ∨ x 2 = 100 + 50 2

En la ecuación (2): ⇒ y =

1 (100 − 50 2 )2 = (10 − 5 2 )2 = 150 − 100 2 100

Finalmente el punto P pedido es:

∴

𝑷(𝒂; 𝒃) = (𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟎√𝟐; 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎√𝟐)

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Rpta

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CALCULO DIFERENCIAL

12.

UNFV – BASE 2009

Hallar c y d para que f(x) sea continua:   x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2  c   ; x < −1   3 7 − x + 5 − x 2 − 4    f ( x ) = cd −1 ; x = −1  −2 5 31 − x − 6 x − 8 d ; x > −1  3 26 − x − 5x − 8  

(

)

Resolución  x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2  d −2 ( 5 31− x − 6 x − 8)  ; x < −1 ∧ f2 ( x ) Sea f1( x ) c  ; x > −1 = = 3  3 7− x + 5− x 2 − 4  x x 26 5 8 − − −  

La función f(x) será continua en x 0 = −1 ⇔ se cumplen las tres condiciones siguientes: i) ∃f ( −1) = cd −1

 x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2  d −2 ( 5 31− x − 6 x − 8) = lim+ 3  3 7 − x + 5 − x 2 − 4  x→−1 26 − x − 5 x − 8  

ii) lim f1( x ) = lim f2 ( x ) ⇔ lim c  x →−1−

x →−1+

x →−1−

 x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2  ( x 2 + 8 − 3) − ( 3 x 2 − 24 x + 2 − 3)   c c lim = ∗ lim− f1( x ) lim = − 3 x →−1 x →−1−  7 − x + 5 − x 2 − 4  x →−1 ( 3 7 − x − 2) + ( 5 − x 2 − 2) 

Multiplicando cada término por sus factores racionalizantes: ( x 2 + 8 − 3)⋅

lim− f1( x ) = c lim−

x →−1

x →−1

x →−1

x →−1

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x2 +8 +3

( 3 7 − x − 2)⋅

x2 +8 −9 lim− f1( x ) = c lim−

x2 +8 +3

−

− ( 3 x 2 − 24 x + 2 − 3)⋅

3

( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32

3

( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32

3

(7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22

3

(7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22

+ ( 5 − x 2 − 2)⋅

5− x 2 +2 5− x 2 +2

x 2 − 24 x + 2 − 27

( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32 [7 − x − 8] 5− x2 − 4 + 3 (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22 5− x2 +2

x2 +8 +3

3

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CALCULO DIFERENCIAL x 2 −1 lim− f1( x ) = c lim−

x →−1

−

x →−1

2

x →−1

x −1 x →−1

2

( x +1) ( x − 25)

−

−

2

3

x − 25

( x − 24 x + 2) + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9 −1 x −1 − 2 3 3 (7 − x ) + 2 7 − x + 4 5− x2 +2

x +8 +3

x →−1

3

( x − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9 ( x +1) ( x −1) − ( x +1) − 3 (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 4 5− x2 +2

x +8 +3

lim− f1( x ) = c lim−

lim− f1( x ) = c lim−

x 2 − 24 x − 25

( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9 −( x +1) −( x 2 −1) + 3 (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 4 5− x2 +2

x2 +8 +3

( x +1) ( x −1) x →−1

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2

3

2

Evaluando el límite:

−2 −26 1 26 17 − − + 68 6 3(9) lim− f1( x ) = c⋅ c ⋅ 3 27 = c ⋅ 27 = c = 1 1 5 45 −1 −2 x →−1 − − + 3(4) 2(2) 12 2 12

5 31− x − 6 x − 8 −2 ( 5 31− x − 2) − 6( x +1) −2 = ∗ lim+ f2 ( x ) d= lim+ 3 d lim+ 3 x →−1 x →−1 x →−1 ( 26 − x − 3) − 5( x +1) 26 − x − 5 x − 8

Multiplicando por sus factores racionalizantes: ( 5 31− x − 2)⋅

lim f2 ( x ) = d

−2

x →−1+

lim

x →−1+

5

(31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24

5

(31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24

( 3 26 − x − 3)⋅

3

(26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32

3

(26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32

− 6( x +1)

− 5( x +1)

31− x − 32

lim f2 ( x ) = d

x →−1+

−2

lim

x →−1+

Toribio Córdova Condori

5

− 6( x +1) (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24 26 − x − 27 − 5( x +1) 3 (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32

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CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

− ( x +1)

lim f2 ( x ) = d

−2

x →−1+

lim

5

x →−1+

− 6 ( x +1) (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24 − ( x +1) − 5 ( x +1) 3 (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32

−1 lim f2 ( x ) = d

−2

x →−1+

lim

5

x →−1+

(31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24 −1 −5 3 (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32

−6

Evaluando el límite:

−1 1 481 −6 − −6 4 481×27 =d −2 ⋅ 80 =d −2 ⋅ 80 =d −2 ⋅ lim+ f2 ( x ) =d −2 ⋅ 5⋅2 −1 1 136 x →−1 80×136 −5 − −5 2 27 27 3⋅3

⇒ lim f ( x ) = lim− f1( x ) = lim+ f2 ( x ) ⇒ x →−1

x →−1

cd −1 ⇒ iii) lim f ( x ) = x →−1

x →−1

68 481×27 c= d −2 ⋅ cd −1 = 45 80 ×136

Igualando: ∗

45 68 c = c d −1 ⇒ d = 68 45

∗ 𝑐𝑑 −1 = 𝑑 −2 .

481𝑥27 80𝑥136

Rpta 1 481𝑥27

⟹𝑐= .

𝑑 80𝑥136

∴

Toribio Córdova Condori

68 481×27 c= d −2 ⋅ 45 80×136

𝒄=

𝟏𝟒𝟒𝟑 𝟖𝟎𝟎

⟹𝑐=

68 481𝑥27

.

45 80𝑥136

Rpta

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25

CALCULO DIFERENCIAL

13.

UNFV – BASE 2009

Halle el área de la región comprendida por la recta tangente normal a la curva cuya ecuación es 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 +

𝒚𝟐 = 𝟕 en el punto (1;2) y la asíntota oblicua derecha a la gráfica de la función:

𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 + 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝟐 + �𝒙𝟐 + 𝟔 𝒙 −𝒙−𝟔 Resolución 7 en el Sean LT y LN rectas tangente y normal respectivamente a la curva x 2 + xy + y 2 =

punto (1;2).

Entones:

⇒ y= mx + 2 − m ………………………..

(1)

1 1 1 ( x −1) ⇒ y =− x + 2 + …………………….. m m m

(2)

LT : y − 2= m( x −1)

LN : y − 2 =−

Calculando “m”:

7 Derivando implícitamente la ecuación de la curva x 2 + xy + y 2 = 2 x + y + xy ¢+ 2 yy ¢= 0 ⇒ ( x + 2 y ) y ¢= - (2 x + y )

⇒ y ¢= m = -

En (1,2) la pendiente m será: m = -

2x + y x +2y

2(1) + 2 4 =− 1+ 2(2) 5

Reemplazando en las ecuaciones (1) y (2): 4 14 5 3 LT : y = − x+ ∧ LN : y =x + 5 5 4 4

Calculando ahora, la asíntota oblicua derecha a la gráfica de la función: Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

26

CALCULO DIFERENCIAL = f (x)

UNFV – BASE 2009 2 x 3 + 3 x +1 + x2 +6 2 x − x −6

Sea la ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x):

= y ax + b

………….(3)

Hallando “a” y “b”:

2 x 3 + 3 x +1 + x2 +6 2 2 x 3 + 3 x +1 f (x) x2 +6 6 x x − − a lim = ∗ = lim = lim + x →+∞ x x →+∞ x →+∞ x ( x 2 − x − 6) x x

3 1 6 3 1  x 3  2 + 2 + 3  x 1+ 2 2+ 2 + 3 x  x x = x x + 1+ 6 + a = lim lim 1 6 x →+∞ x →+∞ x  1 6  x2 1− − 2 x 3 1− − 2  x x  x x 

= a

Evaluando:

2+0+0 + 1+ 0 ⇒ = a 3 1− 0 − 0

 2 x 3 + 3 x +1  ) − ax ] lim  2 b lim [f ( x= ∗= + x 2 + 6 −3x  x →+∞ x →+∞  x − x − 6  2  2   2 x 3 + 3 x +1  ( x 2 + 6 − x ) lim  2 x 2 +15 x +1+ ( x 2 + 6 − x )⋅ x 2 + 6 + x  b lim  2 = − 2 x  += x →+∞  x − x − 6   x →+∞  x − x − 6 x + 6 + x 

 2  15 1    x  2 + x + x 2    2 x 2 +15 x +1 x 2 + 6 − x 2  6 b lim  2 + lim  = + =   2 x →+∞ x →+∞ 1 6     x x 6 − − 2 6  x x 6 + +   x 1− − 2  x  1+ +1    x x  x 2    

2 6 =2 + 0 ⇒ b =2 1 ∞⋅2

Evaluando el límite se obtiene: b = + En la ecuación (3):

= y 3x +2

(Ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x))

Con las rectas obtenidas, determinamos sus puntos de intersección: 4 14 5 3 LT : y = − x+ ∧ LN : y =x + 5 5 4 4

∧ A.O.D: y =+ 3x 2

4 50 5 1 Resolviendo se obtienen: (1;2),  ;  ,  − ; −   19 19   7

7

Graficando las ecuaciones de rectas halladas:

Toribio Córdova Condori

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27

CALCULO DIFERENCIAL LT

y

UNFV – BASE 2009 A.O.D.

LN

B  4 ; 50   19 19 

A

C

(1;2)

f (x)

x

 5 1 − ;−   7 7

Finalmente el área sombreada: Area =

AB ⋅ AC ………………………………(4) 2

2

2

AB=

 4   50   −1 +  − 2  =  19   19 

AC =

 5  1 1+  +  2 +  =  7  7

2

En (1):

𝟑√𝟒𝟏 𝟑√𝟒𝟏 . 𝟕 𝟏𝟗

𝑨𝒓𝒆𝒂 =

14.

2

𝟐

2

2

 15   12  3 41   +  = 19  19   19  2

2

 12   15  3 41   +  = 7 7 7

⟹

∴

𝑨𝒓𝒆𝒂 =

𝟑𝟔𝟗 𝟐𝟔𝟔

Rpta

Sea

x 3   nπx +1  2  nπx +1 = f (x) cos   − sen   +1  4 + mx   nx   nx  

f (x)= − Hallar n m si: xlim →+∞ 2

Toribio Córdova Condori

1 24

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

28

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

Resolución Transformando f(x):

f (x) =

x 3   nπx +1  2  nπx +1  cos   − sen   +1  4 + mx   nx   nx  

= f (x)

 x 3   nπx +1 2  nπx +1 2  nπx +1 2  nπx +1 cos   − sen   + sen   + cos   4 + mx   nx   nx   nx   nx 

= f (x)

x 3   nπx +1 2  nπx +1  cos   + cos    4 + mx   nx   nx   3

x  nπx +1   nπx +1 f ( x ) =⋅cos   1+ cos   4 + mx  nx    nx  

x3  nπx +1 2  nπx +1 f ( x ) = ⋅cos   ⋅2cos   4 + mx  nx   2nx  = f (x)

(x) f=

2x3 1    π 1   ⋅cos  π+  ⋅ cos  +  4   nx    2 2nx  x  +m x  2x2   1    1  ⋅ −cos   ⋅ −sen  4  nx     2nx  +m  x

2

2

 1  sen2   −2 x  1  1  −2  1  2nx  f ( x ) = ⋅cos   ⋅sen2  = ⋅ cos ⋅    4 1  nx   2nx  4 + m  nx  +m x x x2 2

  1   1  1 sen2  sen − 2    −2  1  2nx  =2n ⋅cos  1  ⋅  2nx   f ( x ) = ⋅cos   ⋅   4 1   nx  4n2 ⋅ 1  4 + m  nx   +m    2 2 x x x 2n    4n x 

Luego, por condición: lim f ( x ) = − x →+∞

2

1 24 2

  1  1 sen − 2   1  1  2nx   = ⇒ lim 2n ⋅cos   ⋅ − 1 x →+∞ 4 24   nx   +m   x  2nx 

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29

CALCULO DIFERENCIAL

⇒

−

1 1 2n2 ⋅(1)⋅(1)2 = − m 24

Rpta

∴ 𝒏𝟐 𝒎 = 𝟏𝟐

15.

UNFV – BASE 2009

Calcular: 𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟏

𝟑

𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟐 − �|𝒙 + 𝟓| − 𝒙 �|𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓|

Resolución

Dominio |𝑥 2 + 6𝑥 + 5| > 0|𝑥 2 + 6𝑥 + 5| = 𝑥 2 + 6𝑥 + 5 lim

𝑥→−1+

3

𝑥 2 √𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥 �|𝑥 2 + 6𝑥 + 5|

𝑥 → −1+ → 𝑥 > −1

lim

𝑥→−1+

3

𝑥 2 √𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥 �|𝑥 2 + 6𝑥 + 5|

= lim+ 𝑥→−1

= lim+ 𝑥→−1

∴𝑥+5>4 3

𝑥+1 >0

lim+

x→−1

3

�(x + 5)(x + 1)

− lim+ x→−1

�|𝑥 + 5||𝑥 + 1|

|𝑥 + 5| = 𝑥 + 5

|𝑥 + 1| = 𝑥 + 1

𝑥 2 � √𝑥 + 2 − 1� − �√𝑥 + 5 − 2� − (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) �(𝑥 + 5)(𝑥 + 1)

Dividiendo entre 𝑥 + 1 = �(𝑥 + 1)2 x 2 � √x + 2 − 1�

3

𝑥 2 √𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥

�√x + 5 − 2�

�(x + 5)(x + 1)

+ lim+ x→−1

(x − 2)(x + 1)

�(x + 5)(x + 1)

… . (∗)

𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 3

𝑎 = √𝑥 + 2 ∧ 𝑏 = 1 3

3

3

𝑥 + 2 − 1 = � √𝑥 + 2 − 1�( �(𝑥 + 2)2 + √𝑥 + 2 + 1) Toribio Córdova Condori

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30

CALCULO DIFERENCIAL 3

√𝑥 + 2 − 1 =

lim +

𝑥→−1

𝑥2

UNFV – BASE 2009 𝑥+1

3

3

�(𝑥 + 2)2 + √𝑥 + 2 + 1

𝑥+1 .3 = lim 3 �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1) �(𝑥 + 2)2 + √𝑥 + 2 + 1 𝑥→−1+ �

lim+

𝑥→−1

�(𝑥 + 5) − 2

.

�(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1)

�(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1) �(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1) = lim+ 𝑥→−1

lim +

(𝑥−2)(𝑥+1)

= lim +

√𝑥 + 1

(𝑥 + 5)�(𝑥 +

= lim+ 𝑥→−1

�(𝑥 + 5) ��(𝑥 + 5) + 2�

(𝑥−2)

𝑥→−1 √𝑥+5

𝑥→−1 �(𝑥+5)�(𝑥+1)

3

𝑥 2 �(𝑥 + 1) 2)2

3

+ √𝑥 + 2 + 1

=0

�(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1)𝑥 + 1 ��(𝑥 + 5) + 2�

=0

=0

En *

∴ 16.

𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟏

𝟑

𝒙𝟐 √𝒙+𝟐−�|𝒙+𝟓|−𝒙 ��𝒙𝟐 +𝟔𝒙+𝟓�

=𝟎−𝟎−𝟎=𝟎

Rpta

Calcular. Hallar la derivada de: 𝟑

𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟑 (�𝟏 − 𝒙)

Resolución

Toribio Córdova Condori

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31

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009 3

𝜃 =( √1 − 𝑥)

𝑓´(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃(𝑐𝑜𝑠𝜃) ´

𝑓´(𝑥) = ( 3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)(−𝜃¨𝑠𝑒𝑛𝜃) 3

𝑓´(𝑥) = − 3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃. ( �1 − 𝑥)´. 𝑠𝑒𝑛𝜃

1 𝑠𝑒𝑛𝜃 (−1). 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑓´(𝑥) = −3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃( ). 3 3 ( √1 − 𝑥 )2

𝒇´(𝒙) =

∴

17.

𝟑

𝒄𝒐𝒔𝟐 ( √𝟏−𝒙). 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝟑

( √𝟏−𝒙)𝟐

Rpta

Sea f una función definida por la regla de correspondencia 𝒙𝟐 + 𝒙+𝟏 𝒙+𝒂

F(x)=

; 𝒔𝒊 𝒙 < 1

𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟑 ; Resolución F(x) =

lim

ℎ→0

𝒔𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 ≤

𝟑 𝟐

𝑓(𝑥𝑜+ℎ)−𝑓(𝑥𝑜) ℎ

X0 = 1

(1° ∃ la derivada )

Toribio Córdova Condori

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32

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

𝑓(𝑥) − 𝑓(1) 𝑥→1 𝑥−1

𝑓(𝑥)lim

∗ 𝑓(𝑥) lim+ 𝑥→1

𝑓(𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 − 5𝑥 + 3) − 𝑓(1 + 𝑏 − 2) 𝑥−1

X>1

𝑓(𝑥) = lim+ 𝑥→1

𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 − 5𝑥 + 3 − 𝑏 + 1 𝑥−1

𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 5𝑥 + 4 − 𝑏 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑥→1 𝑥−1 1 1

b

-5

1

b+1

1 b+1

𝑓(𝑥 ) = lim+ 𝑥→1

4-b b-4

b-4

0

(𝑥−1)�𝑥 2 +(𝑏+1)𝑥+(𝑏−4)� 𝑥−1

⟹ 1 + b + 1 + b - 4 = 2b – 2 ………………………(1)

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚− 𝑥→1

X 1 ∨ 𝑥 < −1

Hallar f”(x) suponiendo que f´(x) existe sobre el dominio de f(x)

Resolución

Para x0 = -1

𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 − (𝐴 − 𝐵 + 𝐶) = lim+ 𝑥→−1 𝑥→−1 𝑥+1 𝑥+1

∗ 𝑓 ′ _(−1) = lim

𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 − 𝐴 + 𝐵 − 𝐶) lim 𝑥→−1+ 𝑥+1 lim+

𝑥→−1

lim+

𝑥→−1

lim+

𝑥→−1

𝐴(𝑥 2 − 1) + 𝐵(𝑥 + 1) 𝑥+1

𝐴(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 1) 𝑥+1

𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵 = 𝐴(−1 − 1) + 𝐵 = 𝐵 − 2𝐴 1 𝑓+` (−1) = 𝐵 − 2𝐴

𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) ∗ 𝑓(−1) lim− = lim 𝑥→−1 𝑥→−1 𝑥+1 Toribio Córdova Condori

1−𝑥 2 −0

1+𝑥 2

𝑥+1

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36

CALCULO DIFERENCIAL lim−

𝑥→−1

UNFV – BASE 2009

1 − 𝑥2 −(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) −(−1 − 1) 2 = lim− = = =1 2 (1 + 𝑥 )(𝑥 + 1) 𝑥→−1 (1 + 𝑥 2 )(𝑥 + 1) 1+1 2 𝑓(−1) = 1

𝑓 ′ + (−1) = 𝑓 ′ _(−1)

B – 2A = 1 ……………….(1)

Para x0 = 1

𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) ∗ 𝑓 ′ + (−1) lim+ = lim+ 𝑥→−1 𝑥→−1 𝑥+1 lim−

𝑥→−1

1−𝑥 2 −0

1+𝑥 2

𝑥−1

−(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) −2 = = −1 (1 + 𝑥 2 )(𝑥 − 1) 2 𝑓 ′ + (1) = −1

𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 − (𝐴 + 𝐵 + 𝐶) = lim− ∗ 𝑓 _(1) = lim− 𝑥→1 𝑥→1 𝑥−1 𝑥−1 ′

lim−

𝑥→1

𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 − 𝐴 − 𝐵 − 𝐶) 𝑥−1 lim−

𝑥→1

lim−

𝑥→1

𝐴(𝑥 2 − 1)𝐵(𝑥 − 1) 𝑥−1

𝐴(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 − 1) 𝑥−1 lim−

𝑥→1

𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵 1

𝑓 ′ _(1) = 2𝐴 + 𝐵

B +2A = -1 ……………….(2)

DE (1) Y (2) se tiene:

Toribio Córdova Condori

B= 0 y A = -1/2

Rpta

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37

CALCULO DIFERENCIAL

19.

UNFV – BASE 2009

Si: 3

f ¢(2 x +1) = Halle:

3

2 x 2 + 6 x −16 ; y= f ( x + 3); u=

3x +3

dy en x = 2 du

Resolución Se pide

dy du

dy dy dx ⋅ ………………………….. du dx du

Pero: =

Calculando la derivada: De:

Luego:

(1)

dy dx

3

3

2

= y f ( x + 3) Sea: g( x ) = x + 3 ⇒ g¢( x ) =3 x ⋅D x x + 0 2 x ⇒ g¢( x )= 3 x ⋅ = 3 x x x

dy = f ¢( g( x ))⋅ g¢( x ) ………… (2) dx

y= f ( g( x )) ⇒

Por otro lado como f ¢(2 x += 1)

3

( x + 3) + 4 ( x + 3) − 37 = 2

3

Entonces: f ¢( g( x )) =

3

2 x 2 + 6 x −16 ⇒ f ¢(= x)

3

2

6

3

6

3

x 2 + 4 x − 37 2 3

3

x + 6 x + 9 + 4 x +12 − 37 2

3

x +10 x −16 3 ⇒ f ¢( g( x )) = 2

dy = Reemplazando en (2): dx

Calculando la derivada:

Toribio Córdova Condori

6

3

3

x +10 x −16 2

⋅3 x x ……………..…

(3)

dx du

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38

CALCULO DIFERENCIAL

De u =

3x +3 ⇒ x =

(3) y (4) en (1):

dy = du

u2 − 3 dx 2u 2 3 x + 3 ⇒ = = ……………… 3 du 3 3

6

3

UNFV – BASE 2009 (4)

3

x +10 x −16 2 3x +3 ⋅3 x x ⋅ 2 3

Finalmente, evaluando para x=2: dy = du

3

26 +10 ⋅23 −16 2 3⋅2 + 3 ⋅3⋅2 ⋅2 ⋅ 2 3

∴ 20.

𝒅𝒚

𝒅𝒖

= 𝟗𝟔 Rpta

Usando la definición de límite, probar que: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎

𝒚

𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 � � 𝒙 𝟏

�𝒙 + 𝟐� (𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙)

=𝟎

Resolución 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 (1/2)

lim

𝑥 →𝑜 (𝑥+1/2 ) (2+𝑠𝑒𝑛 𝑥)

i)

ii)

|𝑥|2 |𝑠𝑒𝑛(1/𝑥)|

|𝑥+1/2||2+𝑠𝑒𝑛 𝑥| ʆ1 =

0, ∃ 𝑓 > 0/𝑥 𝜖 𝐷𝑓, 0 < (𝑥 − 𝑜) < ∝ 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 (1/𝑥)

(𝑥 +1/2) (2+𝑠𝑒𝑛𝑥)

– 0 /< 𝜖

1 1

� − 0�

2 2

ʆ1 =

1 4

…𝜶

Toribio Córdova Condori

en i) lo reemplazamos:

1, 2, 3

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39

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

En 𝜶 tenemos:

|𝑥| <

iii)

1

|𝑥|2 |𝑠𝑒𝑛(1/𝑥)|

1

|𝑥+1/2||2+𝑠𝑒𝑛 𝑥|

4

−1 1 𝑏 > 0 �𝑥 2 −𝑎�−1 𝑥−𝑏

�𝑥 2 −𝑎�−1 −𝑥−𝑏

Analizando la continuidad

, 𝑥>𝑏 ,𝑥 < 𝑏

𝑓(𝑏) ∄

𝑙𝑖𝑚+

𝑥→𝑏 𝑥>𝑏

�𝑥 2 −𝑎�−1 |𝑥|−𝑏

= 𝑙𝑖𝑚+ 𝑥→𝑏

−�𝑥 2 −𝑎�−1 𝑥−𝑏

=

−𝑏2 +𝑎−1 𝑏−𝑏

= +∞

𝑥 > 𝑏 ⟹ 𝑥 2 > 𝑏 2 ⟹ 𝑥 2 − 𝑎 > 𝑏 2 − 𝑎 ⟹ |𝑥 2 − 𝑎| = −(𝑥 2 − 𝑎)

Toribio Córdova Condori

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48

CALCULO DIFERENCIAL

𝑙𝑖𝑚−

𝑥→𝑏

�𝑥 2 −𝑎�−1 −𝑥−𝑏

= 𝑙𝑖𝑚− 𝑥→𝑏

−(𝑥 2 −𝑎)−1 −𝑥−𝑏

UNFV – BASE 2009

= 𝑙𝑖𝑚− 𝑥→𝑏

−𝑥 2 +𝑎−1 −𝑥−𝑏

=

−𝑏2 +𝑎−1 −2𝑏

𝑥 > 𝑏 ⟹ 𝑥 2 > 𝑏 2 ⟹ 𝑥 2 − 𝑎 > 𝑏 2 − 𝑎 ⟹ |𝑥 2 − 𝑎| = −(𝑥 2 − 𝑎) ⟹ 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑖𝑚+𝑓(𝑥) ≠ 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑏

𝑥→𝑏

⟹ 𝑓(𝑏) ≠ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑏

⟹ 𝑓 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑏

∴ 𝒇 𝒆𝒔 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝑰𝒏𝒆𝒗𝒊𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆

b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 − 𝟏

𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 3 = 0

= 3(𝑥 2 − 1) = 0

= 3(𝑥 − 1)(𝑥 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 1 , 𝑥 = −1 (𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠)

Max

x< -1 𝑓 ′ >0

x>1

-1 < x < 1 -1

f creciente

Toribio Córdova Condori

Min

𝑓 ′< 0

f decreciente

-1

𝑓 ′> 0

f creciente

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49

CALCULO DIFERENCIAL

puntos críticos

𝒇(−𝟏) = 𝟏 ⟹ (−𝟏, 𝟏) 𝒇(𝟏) = −𝟑 ⟹ (𝟏, 𝟑)

26.

UNFV – BASE 2009

Sea la función f definida por: 𝟑

𝟑− √𝟐𝒙+𝟏𝟓 𝟑

𝑓 (𝑥 ) =

𝒂� √𝒙+𝟐 − 𝟐�

𝒂𝒃 , 𝒙 = 𝟔 �𝒙𝟐 −𝟑𝟓−𝟏 𝒙−𝒄

,𝒙 < 6

,𝒙 > 𝟔

Hallar a, b y c de modo que f sea continua en todos los ℝ , si c es natural. Toribio Córdova Condori

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50

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

Resolución Hallemos la continuidad en x = 6 i)

ii)

𝑓(6) = 𝑎𝑏 ………….. (1)

𝑥 2 − 35 − 1 √𝑥 2 − 35 − 1 √𝑥 2 − 35 − 1 𝑙𝑖𝑚 . = 𝑙𝑖𝑚+ 2 − 35 − 1 𝑥→6+ 𝑥→6 𝑏(𝑥 − 𝑐)(√𝑥 2 − 35 − 1) 𝑏(𝑥 − 𝑐) √𝑥 𝑥>6 𝑥>6 𝑙𝑖𝑚+

𝑥→6

(𝑥 + 6) (𝑥 − 6)

𝑏(𝑥 − 𝑐) (√𝑥 2 − 35 − 1)

Para poder cancelar la indeterminada necesariamente “c” tiene que ser 6 =>

𝑙𝑖𝑚+

𝑥→6

𝑙𝑖𝑚

𝑥→6− 𝑥 1 � + � = 𝟒 , (𝒙 ≠ 𝒚) 𝒚 𝒙 Resolución 2

𝑥 𝑦 �� + � � = 42 𝑦 𝑥 𝑥

+ 2 + =16

𝑦

𝑥

+ = 14

�

𝑦 ′ 𝑥 + � =0 𝑥 𝑦

𝑦

𝑦 𝑥

𝑦 𝑥

(𝑥𝑦 ′ + 𝑦𝑥 ′ )′ = 0

𝑦 ′ − 𝑥𝑦 −2 . 𝑦 ′ + 𝑦′𝑥 −1

𝑦 ′ (𝑥 −1 − 𝑥𝑦 2 ) = 𝑦𝑥 −2 − 𝑦 −1

𝑦′ = 𝑦′ =

𝑦𝑥 −2 −𝑦 −1 𝑥 −1 −𝑥𝑦 −2 𝑦2 −𝑥2 𝑥2 𝑦 2 𝑦 −𝑥2 𝑥𝑦2

Toribio Córdova Condori

=

=

𝑦 1 −𝑦 2 𝑥 1 𝑥 − 𝑥 𝑦2

�𝑦 2 −𝑥 2 �(𝑥𝑦2 ) 𝑥 2 𝑦 (𝑦 2 −𝑥 2 )

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59

CALCULO DIFERENCIAL

𝑦′ =

UNFV – BASE 2009

𝑦 𝑥

𝑦 ′ = 𝑦𝑥 −1

𝑦 ′′ = 𝑦 ′ 𝑥 −1 − 𝑦𝑥 −2

𝑦 ′′ =

𝑦′ 𝑥

−

𝑦

𝑥2

𝑦 1

𝑦 ′′ = . − 𝑥 𝑥

𝑦 ′′ =

𝑦

𝑥2

−

𝑦

𝑥2

𝑦

𝑥2

∴ 32.

𝒚′′ = 𝟎

Rpta

Determinar el punto de intersección de la recta L : 2x + y – 5 = 0, con la recta Tangente a la gráfica de la curva Resolución 𝑦

𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 �𝑥 � − 𝐿𝑛�√𝑥 2 + 𝑦 2 � = 0 en el punto Po (1,0) 𝐿: 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0

𝑦 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 � � − 𝐿𝑛 ��𝑥 2 + 𝑦 2 � = 0 𝑥

Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

60

CALCULO DIFERENCIAL 𝑦1

�𝑥 �

1ra. Derivada: (𝑦. 𝑥 −1 )1 1+

𝑦2 𝑥2

𝑦′ =

−

−1�2

1 (�𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 2 √𝑥 2 + 𝑦 2

𝑥+𝑦

∴

𝑥−𝑦

Luego: ⟶

𝑦 2 1+ �𝑥�

𝐸𝑐. 𝐿 𝑇 =

UNFV – BASE 2009 1

��𝑥 2 + 𝑦2 �

�√𝑥 2 + 𝑦 2

=0

=0

𝑚𝐿𝑇 = 𝑦+0 𝑥−1

1+0 1−0

=1

=1

𝐿𝑇 = 𝑦 − 𝑥 + 1 = 0

Se intersecta con

⟶ 𝑥=2 ,

𝑦=1

∴

Toribio Córdova Condori

2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0

𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 (𝟐; 𝟏)

Rpta

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

61

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

33. Analice y clasifique los puntos de discontinuidad de la función f(x) en su dominio señalando los resultados del análisis sobre la gráfica de f(x) donde: 𝟐 , 𝒙 𝐼 = ∫

�6−𝑥�𝑑𝑥

3 2 1 �4 ��𝑥− � − � 2 2

=∫

�6−𝑥�𝑑𝑥

2 2���𝑥− 32� − 12�

= 12 ∫

�6−𝑥�𝑑𝑥

3 2 1 − 2� 2

���𝑥− �

Por Sustitución trigonométrica: Sea: 𝑥 −

=>

3 2

1

=

𝐼= ∫ 2 1

9

= ∫� − 2 2

1

√2

𝑠𝑒𝑐𝜃

3

�6− 2−

1

=> 𝑑𝑥 =

1

√2

𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃

1 1 sec𝜃� sec𝜃 tg𝜃 d𝜃 √2 √2 2

�� 1 sec𝜃� − 1 2 √2

9

1

= ∫� 2

9

�2−

1 1 sec𝜃�. sec𝜃tg𝜃 d𝜃 √2 √2 1 tg𝜃 √2

�

1

sec𝜃� 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = ∫ sec𝜃 d𝜃 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃d𝜃 4 2√2 √2

Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

76

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

1 9 𝑡𝑔𝜃 + 𝐶1 𝐼 = 𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃| = 4 2√2 3

Como: 𝑥 − 2 =

=> 𝐼 =

=> 𝐼 =

9

4

𝐿𝑛 �

9

4

𝑥−

√2 (2𝑥 2

3 2

3 2 1 ��𝑥 − � − 2 2

1

√2

− 3) + √2 . − 3) +

√2 2

√4𝑥 2 − 12𝑥+7 4

�−2

1

√2

4𝑥 2 −12𝑥+7

. √2 � 1

√2 √2 2

√4𝑥 2 − 12𝑥 + 7� − 2

.

4

�

+ 𝐶1

4𝑥 2 −12𝑥+7 4

+ 𝐶1

1

= 𝐿𝑛 �

√2 (2𝑥 2

9

+ 𝐿𝑛�2𝑥 − 3 + √4𝑥 2 − 12𝑥 + 7� − √4𝑥 2 − 12𝑥 + 7 + 𝐶1 4 4

4

= 𝐿𝑛 4

∴

sec𝜃

=>

√2 (2𝑥 2

𝐿𝑛 �

9

√2

3 𝑥−2 1 √2

𝑠𝑒𝑐𝜃 =



1

√2 2

− 3 + √4𝑥 2 − 12𝑥 + 7)� − √4𝑥 2 − 12𝑥 + 7 + 𝐶1 4

9

𝟗

1

𝟏

𝑰 = 𝑳𝒏�𝟐𝒙 − 𝟑 + √𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟕� − √𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟕 + 𝑪𝟏 𝟒

Toribio Córdova Condori

𝟒

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

Rpta

77

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009 𝒏

𝒂𝒙+𝒃

II.- INTEGRAL DE LA FORMA: ∫ 𝑹 �𝒙 , � � 𝒅𝒙 𝒄𝒙+𝒅 𝟏

42.

𝑰=∫ � 𝒙

𝒙−𝟗 𝒙+𝟗

dx

Resolución

Sea:

=>

𝑢=�

𝐼=∫ 4 µ2

1−µ4

𝑥+9

=>



1−µ2

9 (1+ µ2 )

𝑥=

9 (1 + 𝜇2 )

𝑑𝑥 =

. 𝑢.

1−𝜇 2

36 𝜇 𝑑𝜇

(1−𝜇 2 )2

36 µ dµ

(1−µ2 )2

4 µ2

= (1−µ2 )(1−µ)(

= =

𝑥−9

1+µ )

=∫ =

36 µ dµ 1−µ4

𝐴µ+B 1+µ2

+

𝑐

1−𝜇

+

𝐷

1−𝜇

(𝐴µ+B)�1−µ2 � +c �1−µ2 �(1+µ)+ D �1+µ2 �(1−µ) (1+µ2 )(1−µ)(1+µ)

(−𝐴 + C − D)µ3 + (−𝐵 + 𝐶 + 𝐷)µ2 + (A + C − D)µ + (B + C + D) (1 + µ2 )(1 − µ)(1 + µ)

-A +C -D = 0

- B + C + D = 4 => A = 0, B = - 2, C = 1 , D = 1 A+ C–D= 0

B + C + D = 0

Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

78

CALCULO DIFERENCIAL 



4 𝜇2

1−𝜇 4

=

−2

1+𝜇

2 +

1

+

1−𝜇

4 𝜇2

UNFV – BASE 2009

1

1+𝜇

𝑑𝜇

𝑑𝜇

𝑑𝜇

∫ 1−𝜇4 𝑑𝑢 = −2 ∫ 1+𝜇2 + ∫ 1−𝜇 + ∫ 1+𝜇

= −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑢) − 𝐿𝑛|1 − 𝑢| + 𝐿𝑛|1 + 𝑢| d+µ �+ c 1−µ

= −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(µ) + Ln � = −2𝑎𝑟𝑐𝑡�

∴

𝑥−9 𝑥+9

𝑥−9

1+ �𝑥+9

+ 𝐿𝑛 �

�+𝑐

𝑥−9

1− �𝑥+9

𝑰 = −𝟐𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈�

𝒙−𝟗 𝒙+𝟗

+ 𝑳𝒏 �

√𝒙+𝟗 + √𝒙−𝟗 � √𝒙+𝟗 – √𝒙−𝟗

+ 𝑪

Rpta

III.- INTEGRAL DE LA FORMA: (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒑𝟏/𝒒𝟏 (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒑𝟐/𝒒𝟐 (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒑𝒌/𝒒𝒌 � 𝑹 �𝒙, , … � 𝒅𝒙 𝒄𝒙 + 𝒅 𝒄𝒙 + 𝒅 𝒄𝒙 + 𝒅

43.

𝑰=∫

𝟑

𝒙− √𝒙−𝟐 𝟑

𝒙𝟐− �(𝒙−𝟐)𝟐

𝒅𝒙

Resolución Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

79

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

Sea 𝑥 − 2 = 𝜇 3 = > x = 𝑥 = 𝜇 3 + 2 = > 𝑑𝑥 = 3𝜇 2 𝑑𝑢

=>

𝐼=∫

(𝜇3 + 2)− 𝜇

(𝜇3 + 2)2 − 𝜇

. 3𝑢2 𝑑𝑢 = 3 ∫ 2

𝜇5 −𝜇3 + 2𝜇2

= 3 ∫ (𝜇+1)(𝜇2 

=

=

−𝜇+2)(𝜇3 −𝜇+2)

𝜇5 −𝜇3 + 2𝜇2

(𝜇+1)(𝜇2 −𝜇+2)(𝜇3 −𝜇+2)

=

𝜇2 (𝜇3 − 𝜇+2)

(𝜇3 + 2)2 − 𝜇2

. du = 3 ∫

𝜇5 −𝜇3 + 2𝜇2

(𝜇3 + 𝜇+2)− (𝜇3 + 2− 𝜇)

𝑑𝑢

𝑑𝑢 …… (*) 𝐴

𝑢+1

+

𝐵𝑢+𝑐

𝜇2 −𝜇+2

+

𝐷𝜇2 + 𝐸𝜇+𝐹 𝜇3 −𝜇+2

𝐴(𝜇2 − 𝜇 + 2)(𝜇3 − 𝜇 + 2) + ( 𝐵𝜇 + 𝐶)(𝑢 + 1)(𝜇3 − 𝜇 + 2 ) + (𝐷𝜇2 + 𝐸𝜇 + 𝐹)(𝜇 + 1)(𝜇2 − 𝜇 + 2 ) (𝜇 + 1)(𝜇2 − 𝜇 + 2)(𝜇 3 − 𝜇 + 2)

( 𝐴+𝐵+𝐷)𝜇5 +�−𝐴+𝐵+𝐶+𝐸) 𝜇4 +(𝐴−𝐵+𝐶+𝐷+𝐹�𝜇3 + (3𝐴+𝐵−𝐶+2𝐷+𝐸)𝜇2 +(−4𝐴+2𝐵+𝐶+2𝐸+𝐹)𝜇+(4𝐴+2𝐶+2𝐹) (𝜇+1)(𝜇2 −𝜇+2)(𝜇3 −𝜇+2)

-A +C +D=1 -A + B + C + E = 0 A-B+C+D+F=-1 3A+B – C + 2D + E = 2 -4A+ 2B + C + 2E + F = 0 4A + 2C + 2F = 0

= > A = ¼ , B = 3/4 , C = -1/2 , D = 0, E = 0, F = 0

𝜇 5 − 𝜇 3 + 2𝜇 2 => (𝜇+1)(𝜇2 −𝜇+2)(𝜇 3 −𝜇+2)

Toribio Córdova Condori

=

1 4

𝜇+1

+

3 1 𝜇− 4 2 𝜇 2 −𝜇+2

+

0

𝜇 3 −𝜇+2

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

80

CALCULO DIFERENCIAL 𝜇 5 − 𝜇 3 + 2𝜇2 =>∫ (𝜇+1)(𝜇 2 −𝜇+2)(𝜇 3 −𝜇+2)

3 1 𝜇−2 4 𝜇 2 −𝜇+2

1

Por Sust. Trigonométrica:

𝜇−2=

II = ∫

3 1 √7 1 tg𝜃�− � 4 2 2 2 7 𝑆𝑒𝑐 2 𝜃 4

2

3

.

= √7 ∫ � + 7 8 2

1

3

d𝜃

=> II =

2 7

3 1

= ∫� � + 4 2 2

3

2

3

1 2

√7 tg𝜃� 2

− � √7 𝑑𝜃 2 7

1

1

� = 7 √7 �8 √7 ∫ tg𝜃𝑑𝜃 − 8 ∫ 𝑑𝜃� 8

1

= √7 � √7 𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃| − 𝜃� 7 8 8

tg𝜃 =

√7 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 4

− � d𝜃 = √7 � √7tg𝜃 − � 𝑑𝜃 2 7 8 8

3

Pero:

√7 𝑡𝑔𝜃 4

=>d𝜇 = 𝑑𝑢 =

= √7 �∫ √7 tg𝜃d𝜃 − ∫ 7 8 2

𝑑𝑢

1

√7 𝑆𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 2

3√7 tg𝜃 8

1

II

𝑑𝑢 = ∫

� � +

3

�4𝜇−2�

𝑑𝜇

= ∫ + 2 𝑑𝑢 … … (∆) 𝜇 −𝜇+2 4 𝜇+1

3 1 𝜇−2 4 1 2 7 �𝜇−2� +4

II = ∫

UNFV – BASE 2009

1

𝜇−2 √7 2

3

=>

√7 �8 √7 Ln �

Toribio Córdova Condori

𝜃

1 2 7

�𝜇−2� +4 √7 2

1 2

��𝜇 − � +

�−

7 4

𝜇−

√7 2

1 8

arctg �

1 2

1

𝜇−2 √7 2

��

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

81

CALCULO DIFERENCIAL 3

=> II =

4

𝐿𝑛 �

2

√7

2

UNFV – BASE 2009

��𝜇 − 1� + 7� − √7 arctg �2𝜇−1� + 𝐶1 2

28

4

√7

II en (∆)

𝜇 5 − 𝜇3 + 2𝜇 2

 ∫ (𝜇+1)(𝜇2 −𝜇+2)(𝜇3 −𝜇+2) =

1

4

𝐿𝑛 |𝜇 + 1| +

3

Ln � 4

2

√7

2

��𝜇 − 1� + 7� − √7 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �2𝜇−1� + 𝐶1 2 4 28 √7

Remplazar en (*) 1

3

=>I=3� 𝐿𝑛 |𝜇 + 1| + 𝐿𝑛 � 4

3

4

9

=> I= Ln|𝜇 + 1| + 𝐿𝑛 � Pero:

4

4

2

√7

√2 3

2

𝟑

𝟑

𝟗

𝟐

√𝟕

2

2

4

2𝜇−1 √7 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � + 𝐶1 � 28 √7

��𝜇 − 1� + 7� − 3√7 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �2𝜇−1� + 𝐶

𝑥 − 2 = 𝜇 3 => 𝑢 = √𝑥 − 2

𝑰 = 𝟒 𝑳𝒏� √𝒙 − 𝟐 + 𝟏� + 𝟒 𝑳𝒏 �

2

��𝜇 − 1� + 7� −

2

4

28

𝟐

√7

𝟑

𝟏 𝟕 𝟑√𝟕 𝟐 √𝒙−𝟐 −𝟏 𝟑 ��√𝒙 − 𝟐 − 𝟐� + 𝟒� − 𝟐𝟖 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 � �+ 𝑪 √𝟕

Rpta

IV.- INTEGRALES DE LA FORMA: ∫ Toribio Córdova Condori

𝑷𝒏(𝒙)𝒅𝒙

�𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙+𝒄

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

82

CALCULO DIFERENCIAL

44.

𝑰=∫

𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙+𝟒 �𝟑+𝟐𝒙−𝒙𝟐

UNFV – BASE 2009

𝒅𝒙

Resolución 2𝑥 2 −4𝑥+4

𝑑𝑥

∫ √3+2𝑥−𝑥 2 𝑑𝑥 = (𝐴𝑥 + 𝐵)√3 + 2𝑥 − 𝑥 2 + 𝜆 ∫ √3+2𝑥−𝑥 2

Derivando: 2𝑥 2 −4𝑥+4

√3+2𝑥−𝑥 2

= 𝐴√3 + 2𝑥 − 𝑥 2 +

(𝐴𝑥+𝐵)(2−2𝑥) 2√3+2𝑥−𝑥 2

+

λ

√3+2𝑥−𝑥 2

2𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 𝐴(3 + 2𝑥 − 𝑥 2 ) + (𝐴𝑥 + 𝐵)(1 − 𝑥 ) + 𝜆 2𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = (−2𝐴)𝑥 2 + (3𝐴 − 𝐵)𝑥 + (3𝐴 + 𝐵 + 𝜆) −2𝐴 = 2 3𝐴 − 𝐵 = 4 ⟹ 𝐴 = −1, 𝐵 = 1, 𝜆 = 6 3𝐴 + 𝐵 + 𝜆 = 4

2𝑥 2 −4𝑥+4

𝑑𝑥

 ∫ = (−𝑥 + 1)√3 + 2𝑥 − 𝑥 2 + 6 ∫ 2 √3+2𝑥−𝑥 √3+2𝑥−𝑥 2 = (−𝑥 + 1)√3 + 2𝑥 − 𝑥 2 + 6 ∫ ∴

Toribio Córdova Condori

�4−(𝑥−1)2

𝒙−𝟏

𝑰 = (−𝒙 + 𝟏)√𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝟔𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 �

𝟐

𝑑𝑥

�+ 𝒄

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

Rpta

83

CALCULO DIFERENCIAL

V.-

UNFV – BASE 2009

INTEGRALES DE LA FORMA:

45.

𝑰=∫

(𝒙+𝟐)𝒅𝒙

∫

𝒅𝒙

(𝒙−𝒂)𝒏 �𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙+𝒄

(𝒙−𝟏)�𝒙𝟐 +𝟏

Resolución 𝑥+2 𝑥−1

=1+

3

𝑥−1

𝐼 = ∫(1 +

3

𝑥−1

)

𝑑𝑥

√𝑥 2 +1

=∫

𝑑𝑥

√𝑥 2 +1

+ 3∫

𝑑𝑥

(𝑥−1)√𝑥 2 +1

…..(*)

II

𝑑𝑥

𝐼𝐼 = ∫ (𝑥−1)√𝑥 2 +1 1 𝑥−1= 𝑡

=> 𝑑𝑥 = −

 𝐼𝐼 = ∫ = −∫

𝑑𝑡 𝑡2

−𝑑𝑡 𝑡2

2 1 ��1+ 1� +1 𝑡 𝑡

𝑑𝑡

1 2 1

�2��𝑡 + � + � 𝑡 4

Toribio Córdova Condori

=−

= −∫ 1

∫ √2

1 𝑡

𝑑𝑡

2 𝑡

𝑡� 2 + 1+ + 1 𝑑𝑡

= −∫

𝑑𝑡

√2𝑡 2 + 2𝑡+1

2

��𝑡 + 1� + 1 𝑡 4

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

84

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

1 1 2 1 = 𝐿𝑛 �𝑡 + + ��𝑡 + � + � + 𝑐 2 𝑡 4 √2 1

=

1

𝐿𝑛 �𝑡 +

√2

1 2

1

2 + 2𝑡 + 1� + c √2𝑡 2

+

√

1

Reemplazar: 𝑡 = 𝑥−1 𝐼𝐼 = − =− =−

√2

𝐿𝑛 �

1

𝐿𝑛 �

1

𝐿𝑛 �

√2

√2

𝐼𝐼 = − =−

1

1

√2

1

√2

1

𝑥−1

+

1 2

1

+ +

1

+ +

𝑥−1

𝑥−1

𝐿𝑛 �

1 2

1

+ 1

√2

1

2

+ � √2 (𝑥−1)2

� 1

𝑥 2+ 1

(𝑥−1)2

√2(𝑥−1)

𝑥+1

√𝑥 2 +1

+

(𝑥−1)

+ 1�

�+𝑐

√𝑥 2 + 1� + 𝑐

2

2(𝑥−1)

2

√2(𝑥−1)

�+𝑐

1 𝑥+1 1 �𝑥 2 + 1�� + 𝑐 � + 𝑥−1 2 √2

𝐿𝑛 �

Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

85

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

Reemplazar en (*) 𝑰 = 𝑳𝒏�𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏� −

𝟑

𝑳𝒏 �

√𝟐

VI.- Integral de la forma:

46.

𝑰=∫

𝟒

�𝟏+𝒆𝟒𝒙 𝒆𝒙

𝟏

𝒙−𝟏

�

𝒙+𝟏 𝟐

+

𝟏

√𝟐

√𝒙𝟐 + 𝟏�� + 𝒄 Rpta

∫ 𝒙𝒎 (𝒂 + 𝒃𝒙𝒏 )𝒑 𝒅𝒙

𝒅𝒙

Resolución

Sea: 𝑡 = 𝑒 𝑥 -> 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 => 𝐼 = ∫

4

√1+𝑒 4𝑥 𝑒 2𝑥

1� 4 𝑑𝑡

. 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡 −2 (1 + 𝑡 4 )

1 𝑚+1 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑚 = −2, 𝑛 = 4, 𝑝 = , +𝑝 =0 ∈𝑍 4 𝑛 ⟹ 𝑧 4 𝑡 4 = 1 + 𝑡 4 ⟹ 𝑧 4 = 𝑡 −4 + 1

⟹ 𝑑𝑡 = −𝑡 5 𝑧 3 𝑑𝑧 ⟹𝐼=

1

∫ 𝑡 −2 (𝑧 4 𝑡 4 )4 (−𝑡 5 𝑧 3 𝑑𝑧)

= − � �1 +

4

4

= − ∫ 𝑡 𝑧 𝑑𝑧 = − ∫

𝑑𝑧 1 � 𝑑𝑧 = − �� 𝑑𝑧 + � � 𝑧4 − 1 𝑧4 − 1

Toribio Córdova Condori

𝑧4

𝑧 4−1

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

𝑑𝑧

86

CALCULO DIFERENCIAL

𝐼 = − ∫ �1 +

1

𝑍 4 −1

𝑑𝑧

� 𝑑𝑧 = − �∫ 𝑑𝑧 + ∫ 4 � 𝑧 −1

𝑑𝑧

𝐼 = − ∫ 𝑑𝑧 − ∫ 4 ….. (*) 𝑧 −1 1

= 𝑧 4 −1 (

UNFV – BASE 2009

1

𝑧+1)(𝑧−1)(𝑧

𝐴

2 +1) = 𝑧+1 +

𝐵

𝑐𝑧+𝐷

+ 𝑧−1 𝑧 2 +1

A (z − 1) (𝑧 2 + 1) + B(Z + 1)(𝑧 2 + 1) + (Cz + D)(𝑧 2 − 1) = (𝑧 + 1)(𝑧 − 1)(𝑧 2 + 1) (A + B + C)𝑧 3 + (−A + B + D)𝑧 2 + (A + B − C)Z + (−𝐴 + 𝐵 − 𝐷) = (𝑧 + 1)(𝑧 − 1)(𝑧 2 + 1)

 A+B+C=0 - A + B + D = 0 => A = - 1/4, B = 1/4 , C = 0, D = -1/2 A+B–C=0 - A+B-D=1 1

1

1

− − 1 4 4 2 = + + 4 2 𝑧 −1 𝑧+1 z−1 𝑧 +1 1

1

𝑑𝑧

 ∫ 4 = − ∫ + 𝑧 −1 4 𝑧+1 =

−1 4

1

𝑑𝑧

1

𝑑𝑧

− ∫ 2 ∫ 4 𝑧−1 2 𝑧 +1 1

1

𝐿𝑛|𝑧 + 1| + 𝐿𝑛|𝑧 − 1| − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 + 𝑐1 4

2

1 1 = [𝐿𝑛 |𝑧 − 1| − 𝐿𝑛 |𝑧 + 1|] − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 + 𝑐1 2 4

Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

87

CALCULO DIFERENCIAL



𝑑𝑧

1

𝑧−1

UNFV – BASE 2009

1

∫ 𝑧 4−1 = 4 𝐿𝑛 �𝑧+1� − 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 + 𝑐1

Reemplazar en (*) 1

𝐼 = −𝑧 − 𝐿𝑛 � 4

𝑧−1 𝑧+1

4 4

𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑧 𝑡 = 1 + 𝑡

⟹ 𝐼=− ⟹ 𝐼=−

4

1

� + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧+c 2

√1+𝑡 4

4

𝑡

√1+𝑡 4 𝑡

4

1 + 𝑡4 √1 + 𝑡 4 ⟹ 𝑧 = ⟹ 𝑧= 𝑡4 𝑡

4

4

1

− 𝐿𝑛 � 4

1

4 �1+𝑡4 −1 𝑡 4 �1+𝑡4 𝑡

4

� + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �

√1+𝑡 4 − 𝑡

− 𝐿𝑛 � 4 4

+1

1

√1+𝑡 4 +𝑡

2

1

4

√1+𝑡 4

� + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � 2

𝑡

4

�+𝑐

√1+𝑡 4 𝑡

�+𝑐

Como: 𝑡 = 𝑒 𝑥

𝑰=−

𝟒

�𝟏+𝒆𝟒𝒙 𝒆𝒙

𝟏

𝟒

�𝟏+𝒆𝟒𝒙 −𝒆𝒙

− 𝟒 𝑳𝒏 � 𝟒

𝟏

� + 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 � 𝒙

�𝟏+𝒆𝟒𝒙 +𝒆

𝟒

�𝟏+𝒆𝟒𝒙 𝒆𝒙

�+𝒄

Rpta

VII.- Integral de la forma: ∫ 𝑅 , (𝑥, √𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑑𝑥

Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

88

CALCULO DIFERENCIAL

47.

𝑰= ∫

UNFV – BASE 2009

�𝒙𝟐 +𝟑𝒙�𝒅𝒙

(𝒙−𝟏)�𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏𝟎

Resolución 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑎 = 1 > 0 ⟹ �𝑥2 − 2𝑥 + 10 = √1𝑥 + 𝑡 = 𝑥 + 𝑡

⟹ 𝑥 2 − 2𝑥 + 10 = 𝑥 2 + 𝑡 2 + 2𝑡𝑥 10 − 𝑡 2 = 2𝑡𝑥 + 2𝑥

10 − 𝑡 2 = 2𝑥(𝑡 + 1)

 𝑥= 𝐼=∫

10−𝑡 2

⟹ 𝑑𝑥 =

2(𝑡+1)

−�𝑡 2 +2𝑡+10� 2(𝑡+1)2

2 10−𝑡2 10−𝑡2 (𝑡2 +2𝑡+10) +3 � 𝑑𝑡 . � �� 2(𝑡+1) 2(𝑡+1) 2(𝑡+1)2 10−𝑡2 3(10−𝑡2 )

−��

�2(𝑡+1)−1�� 2(𝑡+1) + 𝑡� 2

= −�

�10−𝑡2 � +6�10−𝑡2 �(𝑡+1)

𝐼=∫ 1

4(𝑡+1)

2

�8−2𝑡−𝑡2 �(𝑡2 +2𝑡+10)

4(𝑡+1)

2

.

(10−𝑡 2 )2 +6 (𝑡+1)(10−𝑡 2 ) (𝑡 2 +2𝑡+10 (8−2𝑡−𝑡 2 )(𝑡 2 +2𝑡+10)

= ∫ 2

.

2(𝑡+1)2

𝑡 4 −6𝑡 3 − 26𝑡 2 +60𝑡+160 𝑡 4 +4𝑡 3 −3𝑡 2 −14𝑡−8

Toribio Córdova Condori

−∫

(𝑡2 + 2𝑡 + 10) 2(𝑡 + 1)

𝑑𝑡

2

�

2 (10−𝑡2 ) 3(10−𝑡2 ) (𝑡2 +2𝑡+10) + 2(𝑡+1) � . 𝑑𝑡 2 4(𝑡+1) 2(𝑡+1)2 8−2𝑡−𝑡2 𝑡2 +2𝑡+10

� 2(𝑡+1) �� 2(𝑡+1) �

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑡

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

89

CALCULO DIFERENCIAL 1

= ∫ �1 − 2

10𝑡 3 + 23𝑡 2 − 74𝑡−168

𝐼 = �∫ 𝑑𝑡 − ∫ 2

= =

� 𝑑𝑡

(𝑡+1)2 (𝑡 2 +2𝑡−8)

1



UNFV – BASE 2009

10𝑡 3 +23𝑡 2 −74𝑡−168𝑑𝑡 (𝑡+1)2 (𝑡+4)(𝑡−2)

10𝑡 3 +23𝑡 2 −74𝑡−168 (𝑡+1)2 (𝑡+4)(𝑡−2)

=

𝐴

(𝑡+1)

2 +

� …. (*)

𝐵

𝑡+1

+

𝐶

𝑡+4

+

𝐷

𝑡−2

𝐴 (𝑡+4)(𝑡−2)+𝐵(𝑡+1)(𝑡+4)(𝑡−2)+𝐶 (𝑡+1)2 (𝑡−2)+𝐷 (𝑡+1)2 (𝑡+4) (𝑡+1)2 (𝑡+4)(𝑡−2) (𝐵+𝐶+𝐷)𝑡 3 + (𝐴+3𝐵+6𝐷)𝑡 2 +(2𝐴−6𝐵−3𝐶+9𝐷)𝑡 +(−8𝐴−8𝐵−2𝐶+4𝐷) (𝑡+1)2 (𝑡+4)(𝑡−2)

B + C + D = 10

A + 3B + 6D = 23

2A - 6B - 3C+ 9D = -74

=> A = 9, B = 0, C = 8/3, D = -8/3

-8A - 8B - 2C + 4D = -168

10𝑡 3 +23𝑡 2 −74𝑡−168 => (𝑡+1)2 (𝑡+4)(𝑡−2)

∫

10𝑡 3 +23𝑡 2 −74𝑡−168 (𝑡+1)2 (𝑡+4)(𝑡−2)

=

(𝑡+1)

= 9∫ =

Toribio Córdova Condori

9

2 +

9

10

𝑡+1

(𝑡+1)2

+

8/3

𝑡+4

+ 10 ∫

+

−8/3

9

+

𝑡+1

𝑡−2

8

𝑑𝑡

8

𝑑𝑡

− ∫ ∫ 3 𝑡+4 3 𝑡−2

−9 8 8 + 10𝐿𝑛 |𝑡 + 1| + 𝐿𝑛|𝑡 + 4| − 𝐿𝑛|𝑡 − 2| 𝑡+1 3 3

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

90

CALCULO DIFERENCIAL −9

=

En (*)

𝑡+1

UNFV – BASE 2009 8

+ 10𝐿𝑛|𝑡 + 1| + 𝐿𝑛 � 3

𝑡+4 𝑡−2

�

−9 8 1 𝑡+4 − 10𝐿𝑛 |𝑡 + 1| − 𝐿𝑛 � 𝐼 = �𝑡 + �� 𝑡+1 3 2 𝑡−2 𝑡

𝐼= + 2

−9

2(𝑡+1)

− 5𝐿𝑛 |𝑡 + 1| −

4 3

𝐿𝑛 �

𝑡+4 𝑡−2

�+𝑐

Como: √𝑥 2 − 2𝑥 + 10 = 𝑥 + 𝑡 

𝑰=

𝑡 = √𝑥 2 − 2𝑥 + 10 − 𝑥

√𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 – 𝒙 𝟗 + − 𝟓𝑳𝒏 �𝟏 − 𝒙 + �𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎� − 𝟐 𝟐 𝟐�𝟏 − 𝒙 + √𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 �

𝟒 𝟑

𝑳𝒏 �

𝟒−𝒙+�𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏𝟎

�+𝑐

−𝟐−𝒙+ �𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏𝟎

Rpta

VIII.- INTEGRAL DE LA FORMA: ∫ 𝑹 �𝒙 √𝒂𝒙 + 𝒃 , √𝒄𝒙 + 𝒅� 𝒅𝒙

48.

𝑰=∫

Resolución

Toribio Córdova Condori

�𝒙(𝒙+𝟏)

√𝒙 + √𝒙+𝟏

𝒅𝒙

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

91

CALCULO DIFERENCIAL

Sea: 𝑥 = 𝑧 2 

𝐼=∫

⟹

�𝑧 2 (𝑧 2 + 1) 𝑧+√𝑧 2 +1

UNFV – BASE 2009

𝑑𝑥 = 2𝑧𝑑𝑧

. 2𝑧𝑑𝑧 = ∫

𝑧√𝑧 2 +1 (2𝑍𝑑𝑍) 𝑧+√𝑧 2 +1

𝐶𝑜𝑚𝑜: 𝑎 = 1 > 0 ⟹ �𝑧 2 + 1 = 𝑧 + 𝑡

= 2∫

𝑧 2 √𝑧 2 +1

𝑧+√𝑧 2 +1

𝑑𝑍

ELEVANDO ALCUADRADO

𝑧 2 + 1 = 𝑧 2 + 𝑡 2 + 2𝑡𝑧 ⟹ 𝑧=

1−𝑡 2

𝐼 = −2 ∫ 𝐼 = −2 �

⟹

2𝑡

𝑑𝑧 =

2 1−𝑡2 1−𝑡2 � � � +𝑡� 2𝑡 2𝑡 1−𝑡2 1−𝑡2 + +𝑡 2𝑡 2𝑡

(1−𝑡 2 )2 (𝑡 2 +1) 4𝑡 2

1 𝑡

2𝑡

.

−(𝑡 2 +1) 2𝑡 2

(𝑡 2 +1) 2𝑡 2

𝑑𝑡

𝑑𝑡

(𝑡 2 + 1) (1 − 𝑡 2 )2 (𝑡 2 + 1) (𝑡 2 + 1) . 𝑑𝑡 = −2 � . 𝑑𝑡 2𝑡 2 8𝑡 2 2𝑡 2

1 (1 − 𝑡 2 )2 (𝑡 2 + 1)(𝑡 2 + 1) 1 (1 − 𝑡 4 )2 1 (1 + 𝑡 8 − 2𝑡 4 ) 𝐼=− � 𝑑𝑡 = − � 𝑑𝑡 = − � 𝑑𝑡 8 8 𝑡4 8 𝑡4 𝑡4

1 −1 𝐼 = − �(𝑡 4 + 𝑡 2 − 2)𝑑𝑡 = �� 𝑡 −4 𝑑𝑡 + � 𝑡 2 𝑑𝑡 − 2 � 𝑑𝑡� 8 8 1 𝑡 −3

𝐼=− (

8 −3

+

𝑡3 3

Toribio Córdova Condori

− 2𝑡) UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

92

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

1 𝑡3 𝑡 𝐼= − + +𝑐 24𝑡 3 24 4

𝑃𝑒𝑟𝑜: √𝑧 2 + 1 = 𝑧 + 𝑡 ⟹ 𝑡 = √𝑧 2 + 1 − 𝑧 ⟹ 𝑡 = √𝑥 + 1 − √𝑥

𝑰 = 𝟐𝟒(

𝟏

− 𝒙)𝟑

√𝒙+𝟏−√

(√𝒙+𝟏−√𝒙)𝟑 𝟐𝟒

+

√𝒙+𝟏−√𝒙 𝟒

+𝒄

Rpta

∫ 𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 𝒅𝒙

49.

Resolución

I= ∫ 𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑𝑥 u

d(v)

 Por partes:

∫ 𝒖 . 𝒅(𝒗) = 𝒖. 𝒗 − ∫ 𝒗. 𝒅(𝒖) 𝑢 = 𝑒 2𝑥

𝑑(𝑢) = 2𝑒 2𝑥 𝑑(𝑥)

𝑑(𝑣) = 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑑(𝑥) 𝑣=−

𝑐𝑜𝑠3𝑥 3

 En I:

I=− 13 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − ∫ − 23 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑(𝑥) Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

93

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

I=− 13 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 23 ∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑(𝑥)

I=− 13 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 23 ∫ 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑(𝑥) = − 13 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 23

*

*

*

 En :

*=∫ e2x cos3x d(x) u

d(v)

𝑢 = 𝑒 2𝑥

𝑑(𝑢) = 2𝑒 2𝑥 𝑑(𝑥)

*= *= 

1 2𝑥 𝑒 𝑠𝑒𝑛3𝑥 − 3 1 2𝑥 𝑒 𝑠𝑒𝑛3𝑥 − 3

*en I :

∫

𝑠𝑒𝑛3𝑥 3

𝑑(𝑣) = 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑(𝑥) 𝑣=

𝑠𝑒𝑛3𝑥 3

2𝑥

2𝑒 𝑑(𝑥)

2

2𝑥 𝑒 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑(𝑥) ∫ 3

I

1 2 1 2 𝐼 = − 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + ( 𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 − 𝐼) 3 3 3 3 1 2 4 𝐼 = − e2x cos3x + e2x sen3x − I 3 9 9 Toribio Córdova Condori

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94

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

4 1 2 𝐼 + 𝐼 − 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 9 3 9

13 1 2𝑥 2 − 𝑒 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 9 3 9

𝐼=

𝟑

𝟐

𝑰 = − 𝟗 𝒆𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 + 𝟏𝟑 𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 + 𝑪

∴

Rpta

(𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙)𝟐

𝑰= ∫ 𝒅𝒙 (𝒙𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙)𝟐

50.

Resolución 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 I=∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑥 (𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥−𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥)2

u

𝑢=

𝑑𝑥

d(v)

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑥

𝑑 (𝑢 ) =

𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑑 (𝑥 ) 𝑥2

𝑑 (𝑣 ) =

𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑑(𝑥) (𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 )2

𝑣=−

1 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

 En I:

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

𝑑𝑥

I=𝑥 (𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥−𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥) + ∫ 𝑥 2

Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

95

CALCULO DIFERENCIAL

∴

𝑰=

𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙

𝒙 (𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙−𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙)

UNFV – BASE 2009

𝟏

− +𝑪

𝒄𝒐𝒔𝒙+𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙−𝟏 (𝒔𝒆𝒏𝒙−𝒙)𝟐

𝒅𝒙

𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥−(𝑠𝑒𝑛𝑥)2 −(𝑐𝑜𝑠𝑥)2 (𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)2

𝑑𝑥

I=∫

51.

Rpta

𝒙

Resolución

I=∫ I=∫

−𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)−𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥−1) (𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)2 −𝑠𝑒𝑛𝑥

I=∫ (𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥) 𝑑𝑥 +∫

𝑑𝑥

−𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥−1) (𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)2

J

𝑑𝑥

 En J :

J=∫ −𝑐𝑜𝑠𝑥 u

(𝑐𝑜𝑠𝑥−1) (𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)2

d(v)

𝑑𝑥

𝑢 = −𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑑(𝑢) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑(𝑥)

Toribio Córdova Condori

𝑑(𝑣) =

𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 𝑑(𝑥) (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥)2

𝑣=−

1 (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥)

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

96

CALCULO DIFERENCIAL 𝑐𝑜𝑠𝑥

J=

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑑𝑥 +

𝑐𝑜𝑠𝑥

∴

𝑰=

𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥

+∫

𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥

UNFV – BASE 2009

 En I :

I=∫ −

52.

(𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)

𝑰=∫

𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥

+∫

𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒆𝒏𝒙−𝒙

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥

+𝒄

𝑑𝑥

Rpta

�𝟐𝝔𝟒 +𝝔𝒕 �𝒅𝒕 𝝔𝟐𝒕 −𝝔𝒕 −𝟐

Resolución

Factor izando y acomodando: I=∫

(2𝜚4 +1)𝜚𝑡 𝑑𝑡

(𝜚𝑡 +1)(𝜚𝑡 −2)

Sea: 𝜚𝑡 =x dx =𝜚𝑡 𝑑𝑡 I =∫ ⟹

(2x+1)

(x+1)(x−2) (2𝑥+1)

(𝑥+1)(𝑥−2)

Toribio Córdova Condori

dx = ∫ �

A

𝑥+1

𝑥−2

=

𝐴

x+1

+

𝐵

+

B

� dx . . . . (∗)

x−2

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

97

CALCULO DIFERENCIAL

2𝑥+1

(𝑥+1)(𝑥−2)

=

𝐴(𝑥−2)+ 𝐵(𝑥+1)

=

(𝐴+𝐵)𝑥+(𝐵−2𝐴)

UNFV – BASE 2009

(𝑥+1)(𝑥−2)

(𝑥+1)(𝑥−2)

A + B = 2 ⟹ 2B + 2A = 4 B – 2A = 2 ⟹ B – 2A = 1 3B = 5

⟹ B=

En (*)

I=∫ I=

1 3

5 3

1 3

𝑥+1

⋀ A=

1 3

dx + ∫

𝑥−2

𝐿𝑛|𝑥 + 1| + 1 3

5 3

5 3

dx

𝐿𝑛|𝑥 − 2|+ C 5 3

I = Ln |(𝑥 + 1)| + Ln �(𝑥 − 2) �+ C = Ln |(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)

∴ 53.

𝟏

𝒕

𝒕

𝑰 = 𝟑 𝑳𝒏�(𝝔 + 𝟏)(𝝔 −

∫

1

5 |3

𝟏

𝟐)𝟓 �𝟑

+𝒄

+C

Rpta

�𝟔 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒕.𝒄𝒐𝒔𝒕−𝟑𝒔𝒆𝒏𝒕𝒄𝒐𝒔𝒕+𝒄𝒐𝒔𝒕� 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒕−𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒕

dt

Resolución Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

98

CALCULO DIFERENCIAL

Factor izando:

I=∫

�6𝑠𝑒𝑛2 𝑡−3𝑠𝑒𝑛𝑡 +1� 𝑠𝑒𝑛3 𝑡−𝑠𝑒𝑛2 𝑡

UNFV – BASE 2009

. costdt

x= sen t ≫ dx = cost dt I= ∫ I= ∫

�6𝑥 2 −3𝑥 +1� 𝑥 3 𝑡−𝑥 2

�6𝑥 2 −3𝑥 +1� 𝑥 2 (𝑥−1)

6𝑥 2 −3𝑥+1 𝑥 2 (𝑥−1)

=

dx = ∫

�6𝑥 2 −3𝑥 +1�

𝐴

𝑥 2 (𝑥−1) 𝐵

dx

𝐶

= ∫ �𝑥 2 + 𝑥 + 𝑥−1� dx

(𝐵+𝐶 )𝑥 2 +(𝐴−𝐵)𝑥−𝐴 𝑥 2 (𝑥−1)

B+C=6 A–B=-3 - A=1 ⇒A=-1⇒ B=2 ⇒ C=4 1

2

4

∫ �− 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑥−1� dx = -∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 2 ∫ 1

I = 𝑋 +2 Ln |𝑥 |+4 Ln |𝑥 − 1|+c

𝑑𝑥

𝑑𝑥

+ 4 ∫ 𝑥−1 𝑥

1

I = 𝑋 + Ln |𝑥 |2 + Ln |𝑥 − 1|4 + c 1

I = 𝑋 + Ln |𝑥 2 . (𝑥 − 1)4 | + c Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

99

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

1

1

I = 𝑋 + Ln |𝑥 . (𝑥 − 1)2 |2 + c = 𝑥 + 2Ln |𝑥(𝑥 − 1)2 | + c 𝟏

𝑰 = 𝒔𝒆𝒏𝒕 + 2Ln �𝒔𝒆𝒏𝒕 (𝒔𝒆𝒏𝒕 − 𝟏)𝟐 � + 𝒄

∴

𝑰= ∫

54.

𝒙+𝟐

Rpta

dx

(𝒙−𝟏)�𝒙𝟐 +𝟏

Resolución

1er. Paso: Divido el Numerador con el factor (x-1); y separó 2 integrales: 𝑥−1

3

∫ (𝑥−1)√𝑥 2 +1dx + ∫ (𝑥−1)√𝑥 2 +1dx 𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

∫ 𝑥 2 +1 + 3 ∫ 𝑥−1 √𝑥 2 +1 ⟹ Ln �𝑥 + √𝑥 2 + 1�+ 3∫ 𝑥−1 √𝑥 2 +1 2do. Paso: Resolvemos y (x-1) lo sustituimos por 1�𝑇 𝑑𝑥

∫ 𝑥−1 √𝑥 2 +1 ⟶ Reemplazamos:

∫

−𝑑𝑟 𝑇2

2 1 ��1+ 1 � +1 𝑇 𝑇

1 𝑇= 𝑥−1

= ∫

Toribio Córdova Condori

1

𝑥−1= 𝑇

⟶ Donde: dx =

−𝑑𝑟 𝑇2 2 1�2𝑇 +2𝑇+1 𝑟 � 𝑇2

=-∫

−𝑑𝑡 𝑇2

𝑑𝑇

=-∫

√2𝑇 2 +2𝑇+1

��2𝑇 2 +

𝑑𝑇

2 1 1 2 � +� � √2 √2

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

100

CALCULO DIFERENCIAL

−

1

∫ √2

√2𝑇

=2

2 1 1 ��2𝑇 2 + � + � � √2 √2

Sustituimos T = -

1

√2

1

√2

√2 � 𝑥−1

Ln

La respuesta de la Integral es:

∫

𝒙+𝟐

UNFV – BASE 2009

. Ln �√2 +

+

1

√2

dx = Ln �𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏� −

(𝒙−𝟏)�𝒙𝟐 +𝟏

55.

𝑰=∫

𝟑

𝑥−1

√𝟐

𝟑

√𝒙

+ √2𝑇 2 + 2𝑇 + 1�

�

√𝟐

Ln�𝒙−𝟏 +

√𝒙�(𝟏+√𝒙)𝟑 + �𝟐− √𝒙 𝟑

√2

√𝑥 2 +1

+

𝟑

1

𝟏

√𝟐

+

�𝒙𝟐 +𝟏 𝒙−𝟏

�+𝒄

Rpta

𝒅𝒙

Resolución

1er. Paso: Separamos Integrales:

∫

4

3

√𝑥 . �(1+ √𝑥)3 3

√𝑥

𝑑𝑥 + ∫

4

∫ �(1 + √𝑥)3 𝑑𝑥 + ∫

�2− 3√𝑥 3

√𝑥

�2− 3√𝑥 3

√𝑥

dx

dx

2do. Paso: Resolvemos cada Integral: 4

3

a) ∫ ��1 + √𝑥� dx → x = 𝑎2 Toribio Córdova Condori

dx= 2a da

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

101

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

4

∫ �(1 + 𝑎)3 2𝑎 𝑑𝑎 ⟹1 + a = 𝑏 4 3

� 𝑏 . 2 (𝑏

da =4𝑏 3 𝑑𝑏

⟹ 8 �(𝑏

− 1) . 4𝑏 𝑑𝑏

4

3

10

−𝑏

6

) 𝑑𝑏

⟶

7 8𝑏 7 8 4 (7𝑏 (1 + 𝑎)4 . (7𝑎 − 4) ⟶ − 11) ⟶ 77 77

8𝑏11 11

−

8𝑏7 7

7 8 ⟶ �1 + √𝑥�4 �7√𝑥 − 4� 77

b)

∫

�2− 3√𝑥

∫�

3

√𝑥

�2−𝑝 𝑝

dx ⟹ x = 𝑝3

dx = 3𝑝3 . 𝑑𝑝

𝑑𝑥 ⟹ 2 – p = q2

dp = - dq . 2q

∫ 𝑞 . 3 (2 − 𝑞 2 ) – dq . 2q = - 6 ∫(2𝑞 2 − 𝑞 4 ) . dq ⟹ - 12

𝑞3 3

+

3

6𝑞5 5

3� 2

⟹ -4 (2 − √𝑥 ) 𝑰=

𝟖

𝟕𝟕

𝟕 𝟒

3� 6 2 + (2 5

⟹- 4(2 − 𝑝) 6

+ 5 (2 − 3√𝑥 ) 𝟑

5� 2

𝟑 𝟐

�𝟏 + √𝒙� (𝟕√𝒙 − 𝟒)- 𝟒�𝟐 − √𝒙� +

5� 2

− 𝑝)

𝟔 𝟓

𝟑

𝟓 𝟐

�𝟐 − √𝒙� + 𝒄 Rpta

Toribio Córdova Condori

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102

CALCULO DIFERENCIAL

∫

56.

√𝒙

𝟐

𝟑

�𝟏+ √𝒙�

UNFV – BASE 2009

𝒅𝒙

Resolución

I= ∫ .x

1/ 2

(

. 1 + x1 / 3

)

−2

.dx

 Se tiene : m=1/2 , n=1/3, p=-2, como

p=-2 € Z.

x = t 6 ..............dx = 6t 5 dt

•

( )

6 I= ∫ . t

1/ 2

I= ∫ .t .[1 + t 3

[(

( )

. 1+ t6

]

2 −2

1/ 3

)]

−2

.6t dt = 6 ∫ 5

.6t 5 dt

t8

(1 + t )

2 2

dt

 4 4t 2 + 3  2 dt = I= 6 ∫ t − 2t + 3 − 2 2  + t 1  

(

)

 t 5 2t 3 4t 2 + 3  dt = I= 6 ∫  5 − 3 + 3t − ∫ 2 2  t + 1  

(

)

ii POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Toribio Córdova Condori

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103

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

t = tgθ ......................dt = sec 2 θ .dθ Ii= ∫

4t 2 + 3

(t

2

)

+1

2

dt = ∫

(4tg θ + 3).sec 2

sec 4 θ

2

θ .dθ = ∫

(4tg θ + 3).dθ 2

sec 2 θ

= ∫ (4 sen 2θ + 3 cos 2 θ ).dθ

= ∫ (3 + sen 2θ ).dθ = 3∫ dθ + ∫ sen 2θ .dθ = 3θ +

θ sen2θ − 2 4

=

7θ sen 2θ 7θ 2 senθ cos θ − +c = − +c 2 4 2 4

=

7θ senθ . cos θ − +c 2 2 1+ t 2 t

1

7θ 1 t 1 7θ t − . . +c = − +c 2 2 2 2 2 2 t 2 . + 1 t +1 t +1 Ii =

(

)

7 t arctgc − +c 2 2 2 ( + 1 ) t Ii=

Pero:

t =

6

x

Toribio Córdova Condori

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104

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

36 x 66 5 6 6 x − 4 x + 18 x − 21arctg ( x) + 3 + c I= 5 1+ x

𝑰=∫

57.

Resolución

(

5 −1 x x 1 + ∫

Rpta

𝒅(𝒙)

𝟑

𝒙 �𝟏+𝒙𝟓

)

−1 / 3

dx

 Se tiene : m=-1 , n=5, p=-1/3, como

m+1 =0 ∈ 𝑍 3

1 + x5 = t 3 5 x 4 .dx = 3t 2 dt 3 dx = x − 4 t 2 dt 5

( )

−1 3 ∫x t

( )

−1 3 x ∫ t

−1 / 3

−1 / 3

3 . x − 4 .t 2 .dt 5

3 . x − 4 .t 2 .dt 5

3 −5 x .t.dt ∫ 5 =

Toribio Córdova Condori

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105

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

3 t.dt ∫ 3 = 5 t −1 ii

t t A Bt + c = = + t 3 − 1 (t − 1) t 2 + t + 1 t − 1 t 2 + t + 1

(

)

t = A(t 2 + t + 1) + ( Bt + c)(t − 1) t = ( A + B )t 2 + ( A − B + C )t + ( A − C ) A+ B = 0 A− B +C =1 A−C = 0

A=1/3, B=-1/3, C=1/3

1 dt − 1 / 3t + 1 / 3dt t.dt = + ∫ t 3 −1 3∫ t −1 ∫ t 2 + t +1

(t − 1) .dt 1 dt 1 − ∫ 2 ∫ 3 t −1 3 t + t +1 (t − 1) .dt 1 1 ln t − 1 − ∫ 2 3  1 3 = 3 t +  + 2 4 

(t − 1) − 3

1 1 2 .dt ln t − 1 − ∫ 2 3 3  1 3 = t +  + 2 4 

Toribio Córdova Condori

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106

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

   1 t +    dt 3 1 1 2   .dt − ∫ ln t − 1 − ∫ 2 2  2  1 3 3 3  1 3 = t + +    t +  +    2  4  2  4 

1 Sea........u = t + ............du = dt 2   t.dt dt  3 1 1  u.du ∫ t 3 − 1 = 3 ln t − 1 − 3 ∫ 2 3 − 2 ∫ 2 3   u + u +   4  4

dt 1 1 1 2u.du 1 ln t − 1 − . ∫ + ∫ 3 3 2 2 3 2 2 3 u + u + 4 4     u 1 1 3 1 1 2 +c ln t − 1 − ln u + + . .arctg   3 3 6 4 2 3   2  2 

 2  1  t.dt 1 1  1 3 1 t t arctg ln 1 + + = − − +    . t + 2  + c ∫ t 3 −1 3 6  2 4 3   3 2

 2  1  1 1  1 3 3 arctg  . t +  + c = I ln t − 1 −  t +  + + 5 10  2  4 5 3  3  2  2

Como

t = 3 1 + x5

 2 3 1 3 1 3 1 3 3 1  5 5 5 x x arctg x ln 1 1 1 + + + = + − − + + . 1  +c     I 5 10  2 4 5 3 2   3 2

Rpta

Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

107

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

58. Hallar el área comprendida por la siguiente

función: f(x) =

𝟐𝒙 + 𝟖; −𝟒 ≤ 𝒙 ≤ −𝟐 𝟐 𝒙 ; −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 −𝟑𝒙 + 𝟏𝟖; 𝟑≤𝒙≤𝟔

Y el eje “x” mediante el cálculo del límite de las sumas de RIEMANN.

Resolución

⇒

Graficando la función:

A1

A2

𝑎 = −4

 Para A1 : 𝑥 ∈ [−4, −2] ⇒ ∆𝑥 =

Toribio Córdova Condori

A3

(−2) − (−4) 2 = 𝑛 𝑛

𝑏 = −2

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 8

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

108

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009 2

 𝑥1 = 𝑎 + ∆𝑥𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 = −4 + 𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 = 2𝑖

 𝑓(𝑥𝑖 ) = 2 � − 4� + 8 = 𝑛

A1= A1=

𝑛

4𝑖 𝑛

lim𝑛→∞ ∑𝑛𝑖=1 𝐴1 = lim𝑛→∞ ∑𝑛𝑖=1 lim𝑛→∞

8 (𝑛)(𝑛+1)

𝑛2

2

8𝑖

𝑛2

2𝑖 𝑛

−4

8

= lim𝑛→∞

𝑛2

1 1

∑𝑛𝑖=1 𝑖

= lim𝑛→∞ 4 �1 + � = 4 ⇒ A1= 4 𝑛

 Para A2 :

𝑥 ∈ [−2, −3] ⇒ ∆𝑥 =  𝑥1 = 𝑎 +

𝑏 − 𝑎 3 − (−2) 5 = = 𝑛 𝑛 𝑛

(𝑏−𝑎)

𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 = −2 +

𝑛

2

5𝑖

 𝑓(𝑥𝑖 ) = � − 2� = 𝑛

Ai=𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥𝑖 = (25𝑖 𝑛2

2

A2 = A2 =

lim𝑛→∞ ∑𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 lim𝑛→∞ (

Toribio Córdova Condori

=

−

25𝑖 2 𝑛2

20𝑖 𝑛

6

20𝑖 𝑛

5

𝑛

−

125𝑖 2

100 (𝑛+1)𝑛 𝑛2

2

5𝑖

−2

𝑛

+4

+ 4) = 𝑛

⇒ 𝑥𝑖 =

𝑛3

125𝑖 2 𝑛 lim𝑛→∞ ∑𝑖=1( 3 𝑛

125 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 𝑛3

−

5𝑖

−

−

100𝑖 𝑛2

100𝑖 𝑛2

+ 20)

+

+

20 𝑛

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

20 𝑛

)

109

CALCULO DIFERENCIAL

A2 = A2 =

lim𝑛→∞ (

125 3

125 6

UNFV – BASE 2009

1

1

(1 + )(2 + ) − 𝑛

− 50 + 20 =

35 3

𝑛

⟹A2=

100 (𝑛+1)𝑛 𝑛2

2

35

+ 20)

3

 Para A3 :

𝑥 ∈ [3,6] ⇒ ∆𝑥 =

 𝑥1 = 𝑎 +

𝑏−𝑎 6−3 3 = = 𝑛 𝑛 𝑛 (𝑏−𝑎) 𝑛

3𝑖

𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 = 3 +

3𝑖 𝑛

 𝑓(𝑥𝑖 ) = −3 � + 3� + 18 = 9 − 𝑛

Ai =𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥𝑖 = (9 − 9𝑖𝑛) 𝑛3 = 27𝑛 − 27𝑖 𝑛2 A3 = lim𝑛→∞ ∑𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 A3 =

lim𝑛→∞ (

27 𝑛

27

= lim𝑛→∞ ∑𝑛𝑖=1 �

∑𝑛𝑖=1(1) −

27

𝑛2

𝑛

⇒ 𝑥𝑖 =

9𝑖 𝑛

−

27𝑖 𝑛2

3𝑖 𝑛

+3

�

∑𝑛𝑖=1(𝑖) )

27 1 A3 = lim𝑛→∞( 27 − 𝑛27 (𝑛)(𝑛+1) ) = lim𝑛→∞ ( 27 − (1)(1 + ) ) 2 2 𝑛 2

A3 =27 − 272 = 272 Toribio Córdova Condori

⟹

A3=272

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

110

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

A1 + A2 + A3 = 𝟒 + 59. Hallar

el

área

𝟑𝟓 𝟑

+

𝟐𝟕 𝟐

=

𝟏𝟕𝟓 𝟔

comprendida

Rpta

entre

las

siguientes curvas cuando 𝒙 ∈ [𝟏, 𝟑]:

𝒚𝟏= 𝒙𝟐

𝒚𝟐= 𝟒𝒙𝟐 −𝟑𝒙

Resolución

⇒

Graficando la función:

 Hallando los puntos de intersección:

Toribio Córdova Condori

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111

CALCULO DIFERENCIAL

𝑥 3 = 4𝑥 2 − 3𝑥 𝑥 2 − 4𝑥 2 + 3𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 0

UNFV – BASE 2009

⇒ ∆𝑥 = 𝑏 −𝑛 𝑎 = 3 −𝑛 1 = 𝑛2 𝑥1 = 𝑎 + ∆𝑥𝑖 = 1 +

2𝑖 𝑛

∆𝒊 = 𝒚𝟐 (𝒙𝒊 ) − 𝒚𝟏 (𝒙𝒊 )

2 2𝑖 2 2𝑖 2𝑖 ∆𝑥 = �4 �1 + � − 3 �1 + � − (1 + )3 � 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2

4𝑖 4𝑖 2 6𝑖 2𝑖 2𝑖 2 2𝑖 ∆𝑖 = �4 �1 + + 2 � − 3 − − �1 + 3 � � + 3 � � + ( )3 �� 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 16𝑖 16𝑖 2 6𝑖 6𝑖 12𝑖 2 8𝑖 3 2 ∆𝑖 = �4 + + 2 −3− −1− − 2 − 3� 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 8𝑖 8𝑖 2 16𝑖 3 ∆𝑖 = 2 + 3 − 4 𝑛 𝑛 𝑛

∆

𝒏

= 𝐥𝐢𝐦 � 𝑨𝒊 𝒏→∞

𝒊=𝟏

𝒏

𝟖𝒊 𝟖𝒊𝟐 𝟏𝟔𝒊 = 𝐥𝐢𝐦 � � 𝟐 + 𝟑 − 𝟒 � 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏 𝒊=𝟏

8(1 + 2+. . . . 𝑛) 8(12 + 22 + ⋯ 𝑛2 ) 16(13 + 23 + ⋯ 𝑛3 ) ∆= lim + − 𝑛→∞ 𝑛2 𝑛3 𝑛4

Toribio Córdova Condori

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112

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

8 𝑛(𝑛 + 1) 8 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 16 𝑛2 (𝑛 + 1) ∆= lim + − 𝑛→∞ 2 6 4 𝑛2 𝑛3 𝑛4 1 𝑛

8 6

1 𝑛

1 𝑛

1 𝑛

∆= lim 4 �1 + � + �1 + � �2 + � − 4(1 + )2 𝑛→∞

8 8 ∆= 4 + (2) − 4 = 6 3

∴

𝟖

∆= 𝒖𝟐

Rpta

𝟑

60. 𝑰 = 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝟐𝒙)𝒆𝟓𝒙 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + ∫

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙+𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙+𝟔

Resolución

𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝟐𝒙)𝒆𝟓𝒙 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + � A

𝒅𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙 + 𝟔 B

1

 𝐴 = ∫(𝑥 2 𝑒 7𝑥 𝑒 𝑥𝑙𝑛2 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥)2𝑥 2

1 1 2 (7+𝑙𝑛2)𝑥 = �𝑥 𝑒 𝑑𝑥 − � 𝑥 2 𝑒 3𝑥 𝑒 𝑥𝐿𝑛2 𝑑𝑥 2 2

Toribio Córdova Condori

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113

CALCULO DIFERENCIAL

=

UNFV – BASE 2009

1 1 � 𝑥 2 𝑒 (7+𝑙𝑛2) 𝑑𝑥 − � 𝑥 2 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 𝑑𝑥 2 2

1 2 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 = �𝑥 � − − � − �� � 2𝑥𝑑𝑥� 2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2

1 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 = �𝑥 2 � − � − 2𝑥 � − � + �� − � 2𝑑𝑥� 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 2

1 2 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 𝑒 (7+𝑙𝑛2)𝑥 𝑒 (3+𝐿𝑛2)𝑥 = �𝑥 � − � − 2𝑥 � − � + 2� − �� 2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 7 + 𝑙𝑛2 3 + 𝑙𝑛2 ∴ 𝑨=



𝒙𝟐 𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙 � − �−𝒙� − �+� − � 𝟐 𝟕 + 𝒍𝒏𝟐 𝟑 + 𝒍𝒏𝟐 𝟕 + 𝒍𝒏𝟐 𝟑 + 𝒍𝒏𝟐 𝟕 + 𝒍𝒏𝟐 𝟑 + 𝒍𝒏𝟐

𝐵=∫ =�

𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑠𝑒𝑛4 𝑥+𝑐𝑜𝑠4 𝑥+6

𝑑𝑥

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 (2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥)(2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)

1 (2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑐𝑜𝑠2𝑥 = � 𝑑𝑥 (2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥)(2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 2

1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = � 𝑑𝑥 + � 𝑑𝑥 2 (2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 2 (2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥)

𝟏 𝟏 ∴ 𝑩 = − 𝑳𝒏|𝟐 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙| + 𝑳𝒏|𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙| 𝟐 𝟐

Toribio Córdova Condori

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114

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

𝐼 =𝐴+𝐵 ∴

𝒙𝟐 𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙 𝑰= � − � − 𝒙� − �+� − � 𝟐 𝟕 + 𝒍𝒏𝟐 𝟑 + 𝒍𝒏𝟐 𝟕 + 𝒍𝒏𝟐 𝟑 + 𝒍𝒏𝟐 𝟕 + 𝒍𝒏𝟐 𝟑 + 𝒍𝒏𝟐 𝟏 𝟏 − 𝑳𝒏|𝟐 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙| + 𝑳𝒏|𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙| 𝟐 𝟐

61.

Rpta

𝒅𝒙

∫ √𝒙−𝟏√𝟐−𝒙�𝟒√𝒙−𝟏+𝟑√𝟐−𝒙� Resolución

Damos forma a la expresión 1

=

√𝑥 − 1√2 − 𝑥�4√𝑥 − 1 + 3√2 − 𝑥�



4

√2−𝑥(25𝑥−34)

= =



→

3 √𝑥−1(25𝑥−34) 1

=

−4 √2−𝑥

25(𝑥−2)+16

√𝑥 − 1√2 − 𝑥�16(𝑥 − 1) − 9(2 − 𝑥)�

=

−4

√2−𝑥

−4 √2−𝑥

16−25√2−𝑥

2

=

−4 √2−𝑥 2

�5√2−𝑥� −4 2

�5√2 − 𝑥 − 4��5√2 + 𝑥 − 4� 3 √𝑥−1

25(𝑥−1)−9

√𝑥−1√2−𝑥�4√𝑥−1+3√2−𝑥�

=

=

3 √𝑥−1

�5√𝑥−1−3��5√𝑥−1+3� −4 √2−𝑥

�5√2−𝑥−4��5√2+𝑥−4�

Hallamos la integral de cada parte

Toribio Córdova Condori

4√𝑥 − 1 + 3√2 − 𝑥

+

3 √𝑥−1

�5√𝑥−1−3��5√𝑥−1+3�

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

115

CALCULO DIFERENCIAL −4 √2−𝑥

UNFV – BASE 2009

1 2√2−𝑥

1 2√2−𝑥

∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ �5√2−𝑥−4��5√2+𝑥−4� 5√2−𝑥−4 5√2−𝑥+4 5

1

5

1 1 2√2−𝑥 2√2−𝑥 = � 𝑑𝑥 − � 𝑑𝑥 5 5 √2 − 𝑥 − 4 5 5√2 − 𝑥 + 4 1

𝐼1 = 5 ln�5√2 − 𝑥 − 4� − 5 ln�5√2 − 𝑥 + 4�  ∫

3 √𝑋−1

=∫

�5√𝑋−1−3��5√𝑋−1+3�

1 2√𝑥−1

5√𝑥−1−3 5

𝑑𝑥 − ∫

1 2√𝑥−1

5√𝑥−1+3

𝑑𝑥

5

1 1 2√𝑥−1 2√𝑥−1 = � 𝑑𝑥 − � 5 5 √𝑥 − 1 − 3 5 5 √𝑥 − 1 + 3

1

1

𝐼2 = 5 ln�5√𝑥 − 1 − 3� − 5 ln�5√𝑥 − 1 + 3� Luego 𝐼 = 𝐼1 − 𝐼2 =

1 1 1 1 ln�5√2 − 𝑥 − 4� − ln�5√2 − 𝑥 + 4� − ln�5√𝑥 − 1 − 3� − ln�5√𝑥 − 1 − 3� 5 5 5 5

∴

62.

𝟏

𝑰 = 𝐥𝐧 � 𝟓

𝟓√𝟐−𝒙−𝟒

𝟓√𝟐−𝒙+𝟒

𝟏

� − 𝐥𝐧 � 𝟓

𝟓√𝒙−𝟏−𝟑

𝟓√𝒙−𝟏+𝟑

�+𝒄

Rpta

x 5 / 2 dx ∫ (9 − 3 x )3

Resolución

Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

116

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

x 2 x dx 2 ∫ (9 − 3 x )3 → x = y → dx = 2 ydy 2 y 4.y y5 y 5 dy dy = 2 dy = 2 ∫ (9 − 3 y)3 ∫ (9 − 3 y)3 ∫ 27(3 − y)3

3-y = w  - dy = dw  dy = -dw

−2 27

(3 − w) 5 2 ( w − 3) 5 = dw dw ∫ w3 27 ∫ w3

2 ( w5 − 15w4 + 90w3 − 270w 2 + 405w − 243) dw 27 ∫ w3

2 270 405 243 + 2 − 3 ] dw [ w 2 − 15w + 90 − ∫ w w w 27

2 w3 15w 2 405 243 − 90 w − 270 ln w − + [ − ]+ c w 2 w3 27 3 2 Como w =3 -

x

2 5 2 30 9 (3 − x ) 3 − (3 − x ) 2 + (3 − x )20 ln 3 − x − + +c 81 9 3 (3 − x ) (3 − x )

Rpta

𝑿𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

63.

∫ (𝒕𝒈𝒙−𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝟐 𝒅𝒙

Resolución

=�

𝑥 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥

1

2

�𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥 �𝑐𝑜𝑠2 𝑥��

Toribio Córdova Condori

=�

𝑥 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑐𝑜𝑠 4 𝑥𝑑𝑥 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥 = � (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

117

CALCULO DIFERENCIAL

=∫

𝑥 2 𝑐𝑡𝑔2 𝑥𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑥−𝑥)2

UNFV – BASE 2009

2𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑑𝑥

1

= ∫ 𝑥 2 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 �(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥)2� 2 u

dv

Integración por partes ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢  dv =

2𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑑𝑥

(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥)2

−𝑑

(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥) 2(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)𝑑𝑥 −(𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = = = 𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 𝑣 = �𝑑�

1 1 =𝑣 �= (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥) 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥

 u = 𝑥 2 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 → 𝑑𝑢 = �2𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + 2𝑥 2 𝑐𝑡𝑔𝑥(−𝑐𝑠𝑐 2 𝑥)�𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 − �𝑑 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥(𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥) = 2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥 � 𝑑𝑢 =

�

2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥 1 1 2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥 = (𝑥 2 𝑐𝑡𝑔2 𝑥) � �− �� �� � (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

𝑥 2 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 = − � 2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥

Luego hallamos (por partes)

2 ∫ 𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 = 2 � u

dv

−𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 2

−∫

−𝑐𝑡𝑔2 𝑥 2

𝑑𝑥�

u = x → dx = du dv = 𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

118

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

−𝑐𝑡𝑔2 𝑥

v =∫ 𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 =

2

Resolvemos

−𝑐𝑡𝑔2 𝑥 −𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 2� −� 𝑑𝑥� = −𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + � 𝑐𝑡𝑔2 𝑥𝑑𝑥 2 2 = −𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + �(𝑐𝑠𝑐2 𝑥 − 1)𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + � 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 − � 𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥

→ ∫ 2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥 Finalmente

�

𝑿𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝟏 𝒅𝒙 = (𝒙𝟐 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙) � � + −𝒙𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈𝒙 − 𝒙 + 𝒄 𝟐 𝟐 (𝒕𝒈𝒙 − 𝒙𝒔𝒆𝒄 𝒙) 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒙

Rpta

∫

64.

x +1

6 6

x + 7

4

x

5

dx

Resolución Sea t12 = x  12𝑡11 dt = dx

(t 2 + 1)12 t" t 13 dt t" dt ∫ t 14 + t 15 + 12∫ t 14 (1 + t ) + 12 ∫ t 14 (1 + t )

12 ∫ =

dt dt + 12 ∫ 3 t (1 + t ) t (1 + t )     I1

Toribio Córdova Condori

I2

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119

CALCULO DIFERENCIAL

I1 =

1 A B ( A + B) t + A = + = ⇒ A =1 , B =1 t (1 + t ) t 1 + t t (1 + t )

1  1 I1 = 12 ∫  +  t 1 + t 

I2 =

UNFV – BASE 2009

dt

= 12 ln t − 12 ln 1 + t = 12 ln

t 1 + t ………………… α

1 A B C d = + 2+ 3+ = ( A + D) t 3 + ( A + B ) t 2 + (C + B ) t + C t (t + 1) t t t t +1 3

 A = 1,

B = -1 , C = 1 , D = -1

1  1 1 1 I 2 = 12 ∫  − 2 + 3 − dt t t + 1 t t I 2 = 12 ln t +

I 2 = 12 ln

4 1 − 4 − 2 ln t + 1 3 4t t

t 4 1 + 3− 4 t +1 t 4t

I = I1+I2

𝟏𝟐

𝑰 = 𝟐𝟒𝑳𝒏 � 𝟏𝟐

√𝒙

√𝒙+𝟏

65.

I

x =∫

2

𝟒

�+𝟒 − √𝒙

𝟏

𝟑

𝟒 √𝒙

+ 𝒄 Rpta

e 2 x sen x dx

Resolución I = ∫ x 2 e 2 x sen x dx

Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

120

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

Sea : u = x2 du = 2x dx

du = e sen x dx  2x

u = ∫ e 2 x sen d dx  p = sen x → dp = cos x dx     dq = e 2 x dx → q = 1 e 2 x    2  

u= =

1 2x 1 e sen x − ∫ e 2 x cos x dx 2 2

1 1 2x e sen x − ∫ e 2 x cos x dx 2 2

 r = cos x → dr = − sen x dx     ∆k = e 2 x dx → k = 1 e 2 x    2   1 1 1 1  u = e 2 x sen x −  e 2 x cos x − ∫ e 2 x (− sen x dx) 2 2 2 2 

u=

1 2x 1 1 e sen x − e 2 x cos x − ∫ e 2 x sen d dx 2 4 4

5 1 1 u = e 2 x sen x − e 2 x cos x 4 2 4

2 1 2 1 I = x 2 ( e 2 x sen x − e 2 x cos x) − ∫ ( e 2 x sen x − e 2 x cos x) 2 x dx 5 5 5 5

I=

2 2 2x 1 4 2 x e sen x − x 2 e 2 x cos x − ∫ xe 2 x sen x dx + ∫ x e 2 x cos x dx 5 5 5   5  A

66.

B

Rpta

∫ 𝒙𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙

Resolución Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

121

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

u = x  du = dx du = e 2 x sen x dx → u = ∫ e 2 x sen x dx =

2 2x 1 e sen x − e 2 x cos x 5 5

1 2x 2 2x 1 2x   2 2x  e sen x − e cos x  − ∫ ( e sen x − e cos x) dx 5 5 5   A=x 5 =

  2 2x 1 2 1 1 1 x e Sen x − x e 2 x cos x − [u ] +  e 2 x cos x + ∫ e 2 x Sen x dx  5 5 5 5 2 2    u  

=

2 2x 1 2 1 1 xe sen x − x e 2 x cos x − u + e 2 x cos x + u 5 5 5 10 10

2 2x 1 4 3 2x e sen x x e sen x − x e 2 x cos x + e 2 x cos x − 5 25 25 A= 5

B = ∫ xe 2 x cos x dx u = x  du = dx

du = e2x cos x dx  u =

∫e

2x

cos x dx

=

1 2x 1 e cos x + ∫ e 2 x sen x dx 2 2

=

1 2x 1 2 1  e cos x +  e 2 x sen x − e 2 x cos x  2 2 5 5 

1 1 1 U = e 2 x cos x + e 2 x sen x − e 2 x cos x 2 5 10 2 1 U = e 2 x cos x + e 2 x sen x 5 5

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122

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

2 2x 1 1  2 e cos x + e 2 x sen x) − ∫  e 2 x cos x + e 2 x sen x dx 5 5  5 B=x(5 =

1 2 2 2x 1 xe cos x + x e 2 x sen x − ∫ e 2 x cos x − ∫ e 2 x sen x dx 5 5 5 5

=

2 2x 1 2 1 1  1 xe cos x + x e 2 x sen x −  e 2 x cos x + ∫ e 2 x sen x dx  − ∫ e 2 x sen x dx 5 5 5 2 2  5

=

2 2x 1 1 1 1 xe cos x + x e 2 x sen x − e 2 x cos x − ∫ e 2 x sen x − ∫ e 2 x sen x dx 5 5 5 5 5

2 2x 1 1 2 xe cos x + xe 2 x sen x − e 2 x cos x − ∫ e 2 x sen x 5 5 5 5

2 2x 1 3 4 xe cos x + x e 2 x sen x − e 2 x cos x − e 2 x sen x 5 25 25 B= 5

I=

2 2 2x 1 4 2 1 4 3  x e Sen x − x 2 e 2 x cos x −  xe 2 x sen x − x e 2 x cos x + e 2 x cos x − e 2 x sen x  + 5 5 5 5 5 25 25  2  2 2x 1 3 4  x e cos x + xe 2 x sen x − e 2 x cos x − e 2 x sen x   5 5 5 25 25 

2 2 2x 1 8 4 16 2 x 12 2 x x e senx − x 2 e 2 x cos x − x e 2 x sen x + x e 2 x cos x − e cos x + e sen x + 5 5 25 25 125 125

4 2 6 2x 8 2x x e 2 x cos x + x e 2 x sen x − e cos x − e sen x 25 25 125 125

∴I =

2 2 2x 1 6 8 4 2x 22 2 x e sen x − e cos x + C x e sen x − x 2 e 2 x cos x − x e 2 x sen x + xe 2 x cos x + 5 5 25 25 125 125

Rpta

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123

CALCULO DIFERENCIAL

I =∫

67.

UNFV – BASE 2009

dx x(3Ln 3 x + Ln 4 x) 2

Resolución Sea u = Ln x  du =

I=

∫ (3u

3

𝑑𝑥 𝑥

du du du =∫ =∫ 6 4 2 3 2 +u ) [u (u + 3)] u (u + 3) 2

1 A B C D E F G H = 6 + 5 + 4 + 3+ 2 + + + 2 2 (u + 3) (u + 3) u (u + 3) u u u u u u 6

1 = (F+H) u7 + (E+6F + G+3H)u6 + (D+6E+9F)u5 + (C+6D+9E)u4 + (B+6C+9D)u3 + (A+6B+9C) u2 + (6A +9B)u + (9ª)

F+H=0 E + 6F + G + 3H = 0

A = 1/9

E = -13/2187

D + 6E + 9F = 0

B = - 2/27

F = 22/6561

C + 6D + 9E = 0

C = 1/243

G = -1/243

B + 6C + 9D = 0

D = 4/729

H = -22/6561

A + 6B + 9C = 0 6A + 9B = 0 9A = 1

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124

CALCULO DIFERENCIAL

∫u

6

UNFV – BASE 2009

1 du 1 du 2 du 1 du 4 du 13 du 22 du 1 = ∫ 6 − + + − + − − 2 5 4 3 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 9 u 27 u 243 u 729 u 2187 u 6561 u 243 (u + 3) 2 (u + 3)

du 22 6561 ∫ (u + 3) 1  −1  2  −1  1  −1  4  −1  13  − 1  22 1  −1  Ln µ − −   +  2 −  3 +  5 −  4 + 9  5u  27  4u  243  3u  729  2u  2187  u  6561 243  u + 3  22 Ln u + 3 6561

Pero : µ = Ln x −1 1 1 2 13 22 + − − + + Ln Ln x + 5 4 3 2 Ln x 2187 6561 Ln x Ln x Ln x Ln x 45 54 729 729 I= 1 22 − Ln 3 + Ln x 243(3 + Ln x) 6561

∴I =

Ln x −1 1 1 2 13 1 22 + − − + + + Ln +C 5 4 3 2 45Ln x 54 Ln x 729 Ln x 729 Ln x 2187 Ln x 243(3 + Lnx) 6561 3 + Ln x

Rpta

68.

∫

𝟐𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙+𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒙 (𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒙+𝒄𝒐𝒔𝒉𝟑 𝒙)𝟐

𝒅𝒙

Resolución

� �

2𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 + 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥2𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑑𝑥 (1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ3 𝑥)2 2𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥(1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥) 𝑑𝑥 (1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ3 𝑥)2

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125

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 = 1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥

→� 2� 2�

2𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 (𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ3 𝑥)2

𝑐𝑜𝑠ℎ3 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ4 𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)2

1 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)2

𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 = 𝑢 → 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 → 𝑑𝑥 = ⟹ �

𝑑𝑢

(1 + 𝑢)𝑢√𝑢2 − 1 −1

∫ (1+𝑢)√𝑢2 −1 𝑑𝑢

1

∫ 𝑢√𝑢2−1 𝑑𝑢

+

𝐼1

𝐼2

Para 𝐼1

ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 + 1 = ⟹ −� −� �

1 𝑠

1

1

𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

−1

1 1 ⟹ 𝑑𝑢 = − 2 𝑑𝑠 𝑠 𝑠

�( −1)2 − 1 𝑆 𝑠

−1 𝑑𝑠 𝑠2

1 1 𝑑𝑠 1 2 𝑠 ( 1 − 2 + 1 − 1)2 𝑠 𝑠2 𝑠

𝑑𝑠 𝑑𝑠 1 𝑑(−2𝑠) = � = − � 2 √1−2𝑠 2 2 √1 − 2𝑠 1−2𝑠 𝑠 𝑠

�

1

𝑠2

𝑠2

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 1 − 2𝑠

3

1 𝑑𝑢 1 𝑢2 1 3 − � = − 3 = − 𝑢2 2 √𝑢 2 3 2

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126

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

Reemplazando todo los valores se obtiene 1 1 𝐼1 = − �1 − 2 � �� 3 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 1 2 1 𝐼1 = � � 3 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 1

Para 𝐼2

𝐼2 = �

1

𝑑𝑢

𝑢√𝑢2 − 1

Sea 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑧 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑧𝑡𝑎𝑛𝑧𝑑𝑧 𝐼2 = �

𝑠𝑒𝑐𝑧𝑡𝑎𝑛𝑧𝑑𝑧

𝑠𝑒𝑐𝑧√𝑠𝑒𝑐 2 − 1

=�

𝐼2 = � 𝑑𝑧 = 𝑧 + 𝐶

𝑡𝑎𝑛𝑧𝑑𝑧 𝑡𝑎𝑛𝑧

Pero 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑢

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠

𝐼2 = arcsec (𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)

𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2

∴

69.

𝟐

𝑰= �

𝟏

𝟑 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙−𝟏

∫

� + 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄(𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙) + 𝑪

Rpta

𝟓

𝒙𝟒 �𝒙𝟐 +𝟑𝒙−𝟏

Resolución

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127

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

Por cambio de variable: 𝑥=

𝑑𝑡 1 → 𝑑𝑥 = − 2 𝑡 𝑡

Remplazando: −�

5

𝑡2

1

1

𝑑𝑥

1

( 𝑡 ) 4 �𝑡 2 + 3 𝑡 − 1

= −�

1

𝑡

5𝑑𝑡

1+3𝑡−𝑡 2

� 2

𝑡2

Haciendo método Ostrogradski �

−5𝑡𝑑𝑡

√+3𝑡 − 𝑡 2

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜

= −5 �

𝑡 3 𝑑𝑡

√1 + 3𝑡 − 𝑡 2

= (𝐴𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 𝑐)�−𝑡 2 + 3𝑡 + 1 + 𝜆 �

𝑑𝑡

√−𝑡 2 + 3𝑡 + 1

−5𝑡 3 = (2𝐴𝑡 + 𝐵)(�−𝑡 2 + 3𝑡 + 1)2 + (𝐴𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 𝑐)(−𝑡 + 3) + 𝜆

−5𝑡 3 = −2𝑡 3 + 5𝐴𝑡 2 + 2𝐴𝑡 − 𝐵𝑡 2 + 3𝐵𝑡 + 𝐵 − 𝐴𝑡 3 − 𝐵𝑡 2 − 𝐶𝑡 + 3𝐴𝑡 2 + 3𝐵𝑡 + 3𝐶 + 𝜆 −5𝑡 3 = −3𝐴𝑡 3 + (9𝐴 − 2𝐵)𝑡 2 + (2𝐴 + 6𝐵 − 𝐶)𝑡 + (𝑏 + 3𝐶 + 𝜆)

Igualando tenemos 𝐴=

5 15 145 305 ;𝐵 = ;𝐶 = ;𝜆 = − 3 2 3 2

15𝑡 145 305 𝑑𝑡 5 + � �−𝑡 2 + 3𝑡 + 1 − � 𝐼 = � 𝑡2 + 3 2 3 2 √−𝑡 2 + 3𝑡 + 1

5 15𝑡 145 305 2 2𝑡 𝐼 = � 𝑡2 + + � �−𝑡 2 + 3𝑡 + 1 − � 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 � �� 3 2 3 2 √13 √13 Reemplazando 𝑡 =

𝑰=�

𝟓

𝟑𝒙𝟐

70.

+

𝟏𝟓 𝟐𝒙

+

𝟏𝟒𝟓 𝟑

1

𝑥

𝟏

𝟑

� �− 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 −

𝟑𝟎𝟓 𝟐

�

𝟐

√𝟏𝟑

𝒂𝒓𝒄𝒐𝒔 �

𝟐

𝒙√𝟏𝟑

�� + 𝑪

Rpta

𝟑

𝑰 = ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙√𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙𝒅𝒙

Resolución Toribio Córdova Condori

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128

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 3

⟹ � 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 �1 + 𝑠𝑒𝑛3 𝑥𝑑𝑥 Pero como 𝑑𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 3

⟹ � 2𝑠𝑒𝑛𝑥 �1 + 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 𝑑𝑠𝑒𝑛𝑥 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑢 3

2 � 𝑢 �1 + 𝑢3 𝑑𝑢

1

Sea 𝑡 3 = 𝑢−3 + 1 ⟹ 𝑢3 = 𝑡 3 −1

−𝑡 2 𝑑𝑡 ⟹ 3𝑡 𝑑𝑡 = −3𝑢 𝑑𝑢 ⟹ 𝑑𝑢 = −4 = −𝑡 2 𝑢4 𝑑𝑡 𝑢 2

−4

3

2 � 𝑢 �1 + 3

2 �𝑢� −2 � −2 �

5 1 1 5 2 4 (−𝑡 𝑢 𝑑𝑡) ⟹ 𝑢 = � 3 � 𝑡3 − 1 √𝑡 3 − 1

𝑡3 (−𝑡 2 𝑢4 𝑑𝑡) 𝑡3 − 1

𝑡3

𝑡 1 (−𝑡 2 ) 5 𝑑𝑡 3 −1 � √𝑡 3 − 1 �

𝑡3

(𝑡 3−1 )2

3

𝑑𝑡

2 � 𝑢 �1 + 𝑢3 𝑑𝑢

𝑢3 + 1 1 3 ⟹ 𝑢 = 𝑠𝑒𝑎 𝑡 = 𝑢3 𝑡3 − 1 3

3𝑡 2 𝑑𝑡 ⟹ 3𝑡 𝑑𝑡 = −3𝑢 𝑑𝑢 ⟹ 𝑑𝑢 = −3𝑢−4 2

−4

3

− � 𝑢5 �1 + 3

− �( �𝑡 3

𝑡3

− 1)

5

1 𝑡 2 𝑑𝑡 −1 3

3

√𝑡 3

√𝑡 3

Toribio Córdova Condori

−1

𝑡 2 𝑑𝑡 UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

129

CALCULO DIFERENCIAL −�−

UNFV – BASE 2009

3𝑡 3 𝑡 2 𝑑𝑡 3(𝑡 3 − 1)2

1 𝑡 3 𝑑𝑡 3 − � 3 3 (𝑡 − 1)2 1 𝑧𝑑𝑧 − � 3 (𝑧 − 1)2

𝑧 𝐴 𝐵 = + 2 (𝑧 − 1) 𝑧 − 1 (𝑧 − 1)2 Operando se obtiene: A=1; B=1 1 1 1 − � 𝑑𝑧 + � 𝑑𝑧 6 (𝑧 − 1)2 (𝑧 − 1)2 1 − ln|𝑧 − 1| − (𝑧 − 1)−1 6 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑧 = 𝑡 3

1 − ln|𝑡 3 − 1| − (𝑡 3 − 1)−1 6 Pero 𝑡 3 = 𝑢−3 + 1

1 − ln|𝑢−3 | − (𝑢−3 )−1 6 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

∴

71.

𝟏

𝑰 = − 𝒍𝒏�𝒔𝒆𝒏−𝟑 𝒙� − (𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙)𝟏 + 𝑪 𝟔

Rpta

𝒅𝒙

𝑰 = ∫ 𝟑𝟑𝒙 +𝟐.𝟑(𝟐𝒙+𝟏) +𝟓.𝟑𝒙 Resolución

Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

130

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 3𝑥 → 𝑑𝑢 = 3𝑥 ln 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑥 = →� →

𝑑𝑢 𝑑𝑢 = 3𝑥 ln 3 𝑢 ln 3

𝑢 ln 3 (𝑢3

𝑑𝑢 + 2𝑢2 3 + 5)

𝑑𝑢 1 � 2 2 ln 3 𝑢 (𝑢 + 6𝑢 + 5)

Por fracciones parciales; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢2 + 6𝑢 + 5 = (𝑢 + 5)(𝑢 + 1)

𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 1 + 2+ + = 2 2 𝑢 𝑢 (𝑢 + 5) 𝑢 + 1 𝑢 (𝑢 + 6𝑢 + 5)

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐴= →

6 1 61 37 ;𝑏 − ;𝐶 = − 𝑦𝐷= 25 5 100 100

1 6 1 𝑑𝑢 61 𝑑𝑢 37 𝑑𝑢 �� 𝑑𝑢 − � 2 − � + � � ln 3 25 5 𝑢 100 𝑢 + 5 100 𝑢 + 5

1 −1 61 37 1 6 � ln 𝑢 − − ln(𝑢 + 5) + ln(𝑢 + 1)� 5 𝑢 100 100 𝑙𝑛3 25 Pero

1 6 1 61 37 � ln 3𝑥 + 𝑥 − ln(3𝑥 + 5) + ln(3𝑥 + 1)� + 𝐶 𝑙𝑛3 25 53 100 100

∴

𝑰=

𝟔

𝟐𝟓

𝒙+

Toribio Córdova Condori

𝟏

𝟓𝒍𝒏𝟑

. 𝟑−𝒙 +

𝟔𝟏 𝒍𝒏 (𝟑𝒙 +𝟓)

𝟏𝟎𝟎

𝒍𝒏𝟑

+

𝟑𝟕 𝒍𝒏 (𝟑𝒙 +𝟏)

𝟏𝟎𝟎

𝒍𝒏𝟑

+𝑪

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

Rpta

131

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

𝒏

72.

Sea 𝑰𝒏 = ∫(𝟗 − 𝟗𝒙)𝟐 𝒅𝒙 ; 𝒏 ∈ 𝒁, hallar la regla la fórmula

de recurrencia Resolución

1 Haciendo 𝜃

�1 − 𝑥 2

x

x = cosθ

dx = dcosθ = senθdθ

→ In = −3n � senn θsenθdθ = 3n � senθ(n+1) θdθ Sea n = par

n

−3n � sen(n+1) θdθ = −3n �(1 + cosn θ)2 senθdθ n

= 3n �(1 + cos2 θ)2 dcosθ

para n = 2 ∶ 32 �(1 + x 2 ) dx = 32 �x + 4

para n = 4 ∶ 3 �(1 + x

2 )2

x5 x3 dx = 3 � + 2 + x� 5 3 4

para n = 6 ∶ 36 �(1 + x 2 )3 dx = 34 �

En general

x3 � 3

x7 x5 x3 + 3 + 3 + x� 7 5 3

𝒏 𝒏 𝒙𝒏+𝟏 𝒙𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟑 𝟐 𝟐 𝑰𝒏 = 𝟑 � + 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 +⋯� 𝒏+𝟏 𝒏−𝟏 𝒏−𝟑

1

𝒏

Sea n = impar

In=∫ sennθdθ Toribio Córdova Condori

x 𝜃

�1 − 𝑥 2

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

132

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

𝐼𝑛= ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛−1𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 = −𝑠𝑒𝑛𝑛−1 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + (𝑛 − 1) � 𝑠𝑒𝑛𝑛−2 𝜃𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝜃

𝐼𝑛=−𝑠𝑒𝑛𝑛−1𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃+(𝑛−1)�∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛−2𝜃𝑑𝜃−∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝜃𝑑𝜃� 𝐼𝑛−2

𝐼𝑛 = −𝑠𝑒𝑛𝑛−1 θcosθ + (𝑛 − 1)[𝐼𝑛−2 − 𝐼𝑛 ] 𝐼𝑛 − 𝐼𝑛 (𝑛 − 1) =

𝐼𝑛

−𝑠𝑒𝑛𝑛−1 θcosθ + (n − 1)𝐼𝑛−2 𝑛

𝐼𝑛 = −𝑠𝑒𝑛𝑛−1 θcosθ + (n − 1)𝐼𝑛−2 Reemplazando:

𝑰𝒏 = 73.

−(�𝟏−𝒙𝟐 )(𝒏−𝟏) 𝒙+(𝒏−𝟏)𝑰𝒏−𝟐 𝒏

Rpta

Calcular : 𝐥𝐧(𝒙𝟒 + 𝟏) − 𝐥𝐧(𝒙𝟒 ) 𝟒 �𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 � 𝒙𝟕

Resolución �

�

𝐥𝐧 �

𝒙𝟒 +𝟏

𝒙𝟒 𝟓 𝒙

� √𝒙𝟒 + 𝟏 . 𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝟏

𝟏

𝐥𝐧 �𝟏 + 𝒙𝟒 � . �𝟏 + 𝒙𝟒

Como:

𝒙𝟓

Toribio Córdova Condori

𝒅𝒙

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

133

CALCULO DIFERENCIAL 𝟓

𝒅� 𝟏 � == −𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝒙𝟒

→ � 𝐥𝐧 �𝟏 + Como:

→

𝟏 𝟏 � . �𝟏 + 𝟒 . 𝒅 𝟏 𝟒 𝒙 𝒙 𝒙𝟒

UNFV – BASE 2009

𝒅( 𝟏 ) 𝒅𝒙 𝟒 = − 𝒙 𝟓 𝟒 𝒙

𝟏 =𝒖 𝒙𝟒

� 𝐥𝐧(𝟏 + 𝒖). √𝟏 + 𝒖 . 𝒅𝒖

Haciendo: 1+u = t

→ � 𝐥𝐧 𝒕. √𝒕 . 𝒅𝒕 u

dv

𝟐

𝟒𝟑

Integramos por partes: = 𝐥𝐧 𝒕 .

𝟑

𝟑

𝟏 𝒕𝟐 − � 𝐥𝐧 � � . 𝟑 . 𝒅𝒕 𝒕

𝒕𝟐 𝟑 𝟐

𝟐

𝟑

𝟑 𝟐 𝒕𝟐 𝟑 = 𝐥𝐧 𝒕 . 𝒕𝟐 − . 𝟑 𝟐 𝟑

𝟑

𝟑

𝑰= 𝟐 𝐥𝐧 𝒕 . √𝒕𝟐 − Como:

𝟐

𝟒 𝟑 𝟗

. √𝒕𝟐

T= u+1 𝟏

U= 𝒙𝟒 + 𝟏 𝟐

𝑰 = 𝐥𝐧 � 𝟑

Toribio Córdova Condori

𝟏+𝒙𝟒 𝒙𝟒

𝟑

� . ��

𝟏

𝒙𝟒

𝟏+𝒙𝟒

+ 𝟏� − �� 𝟑

𝒙𝟒

𝟐

� + 𝑪

Rpta

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

134

CALCULO DIFERENCIAL

74.

UNFV – BASE 2009

Calcular : 𝑰=�

𝟏 − √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐

𝒅𝒙

Resolución 𝑰= �

𝒙 + 𝟏 − 𝒙 − √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐

particionando la integral: 𝑰=� 𝑰=� 𝑰=� 𝑰=�

𝒙+𝟏

𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒙+𝟏

𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐

𝒅𝒙 − �

𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐

𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐

𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐

𝒅𝒙

𝒅𝒙

𝒅𝒙 − � 𝒅𝒙

(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 − 𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 − 𝒙 + 𝒙𝟐

(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 − 𝒙 −(𝟏 + 𝒙)

𝑰 = − � 𝒙 𝒅𝒙 + � �𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒅𝒙 − 𝒙 𝑰=−

𝒙𝟐 𝟐

− 𝒙 + ∫ √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒅𝒙 … … … … … … . . (𝟏) 𝑰𝟐

𝟐 𝟑 𝟏 � 𝑰𝟐 = � + � + 𝒙� 𝒅�𝟏+𝒙� 𝟒 𝟐 𝟐

Haciendo:

Toribio Córdova Condori

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135

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

𝟏 + 𝒙=𝒖 𝟐 𝑰𝟐 =

𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 �𝒖� + 𝒖𝟐 + 𝐥𝐧 �𝒖 + �𝒖𝟐 + �� + 𝒄 … … … (𝟐) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟒

Reemplanzando (2)en (1) Como: 𝟏

U=𝟐 + 𝒙 𝑰=−

𝑰=−

75.

𝒙𝟐 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 − 𝒙 + �𝒖� + 𝒖𝟐 + 𝐥𝐧 �𝒖 + �𝒖𝟐 + �� + 𝒄 𝟐 𝟒 𝟒 𝟒 𝟐

𝒙𝟐 𝟐

𝟏

𝟏

𝟑

𝟏

− 𝒙 + �� + 𝒙� √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝐥𝐧 �� + 𝒙� + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 �� + 𝒄 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

Rpta

Calcular: 𝟑 𝒏 𝒏 𝒏 � +� + ⋯ … … . . +� 𝐥𝐢𝐦 �𝟏 + � 𝒏→∞ 𝒏 𝒏+𝟑 𝒏+𝟔 𝒏 + 𝟑 (𝒏 − 𝟏 )

Resolución 1 𝑛 𝑛 𝑛 lim 3 � + � 2 +� 2 + ⋯ … … . . +� 2 � 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 (𝑛 + 3) 𝑛 (𝑛 + 6) 𝑛 [𝑛 + 3(𝑛 − 1)] 1 𝑛 𝑛 𝑛 lim 3 � + � 2 +� 2 + ⋯ … … . . +� 2 � 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 (𝑛 + 3) 𝑛 (𝑛 + 6) 𝑛 [𝑛 + 3(𝑛 − 1)] Toribio Córdova Condori

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136

CALCULO DIFERENCIAL 1

lim𝑛→∞ 3 � + � 𝑛

0

0

1

𝑛(𝑛+3)

0

+� 0

1

𝑛(𝑛+6)

0

UNFV – BASE 2009

+ ⋯ … … . . +� 0

1

𝑛[𝑛+3(𝑛−1)]

0

�

0

⎡1 ⎤ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎥ lim 3 ⎢ + � � − �+� � − � + ⋯ … … . . +� � − � 𝑛→∞ ⎢𝑛 3 𝑛 𝑛+3 6 𝑛 𝑛+6 3(𝑛 − 1) 𝑛 𝑛 + 1 ⎥ 3(𝑛−1) ⎣ ⎦

∴ 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞ 𝟑[𝟎] = 𝟎 76.

Rpta

Suponga que en número x (t) de lagartos en un pantano satisface la ecuación diferencial 𝒅𝒙 𝒅𝒕

=(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏)𝒙𝟐 − (𝟎. 𝟎𝟏)𝒙, sabiendo que en un principio

hay 25 lagartos resuelva esta ecuación ¿puede usted

afirmar lo que ocurrirá con esta población a largo plazo?

Resolución 𝑑𝑥 = (0.001)𝑡 2 − (0.01)𝑡 𝑑𝑡 𝑥(𝑡) =⋕ 𝑙𝑎𝑔𝑎𝑟𝑡𝑜𝑠

𝑑𝑥 = (0.0001𝑡 2 − 0.01𝑡)𝑑𝑡 𝑥

𝑡

∫25 𝑑𝑥 = ∫0 (0.0001𝑡 2 − 0.01𝑡)𝑑𝑡

𝑡3 𝑡2 (𝑥 − 25) = �(0.0001) − (0.01) � 3 2

𝑥 − 25 =

t 0

(0.0001) 3 (0.01) 2 𝑡 − 𝑡 3 2

Toribio Córdova Condori

UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

137

CALCULO DIFERENCIAL

∴

77.

UNFV – BASE 2009

(𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏) 𝟑 𝒕 𝟑

𝒙(𝒕) = 𝟐𝟓 +

−

𝟐𝒏𝟐 +𝟑𝒏+𝟏

Calcular 𝒍𝒊𝒎𝒏→∞ �

(𝟎.𝟎𝟏) 𝟐 𝒕 𝟐

Rpta

𝒏

� 𝟐𝒏𝟐 +𝒏+𝟐

Resolución 𝑛 2𝑛 lim �1 + 2 � 𝑛→∞ 2𝑛 + 𝑛 + 2

lim �1 +

𝑛→∞

1

2𝑛2 +𝑛+2 2𝑛

�lim𝑛→∞ �1 + =𝑒

�

2𝑛2 +𝑛+2 2𝑛 )𝑛( 2 ) 2𝑛 2𝑛 +𝑛+2

(

1

2𝑛2 +𝑛+2 2𝑛

2𝑛2 lim𝑛→∞ 2 2𝑛 +𝑛+2

=𝑒

2𝑛2 +𝑛+2 ( ) 2𝑛

�

lim𝑛→∞

�

𝑛(

2 1 2 2+ + 2 𝑛 𝑛

2𝑛 ) 2𝑛2 +𝑛+2

= 𝑒1

𝟐𝒏𝟐 +𝟑𝒏+𝟏

𝒍𝒊𝒎𝒏→∞ �

78.

1 𝑥 lim �1 + � = 𝑒 𝑛→∞ 𝑥

𝟐𝒏𝟐 +𝒏+𝟐

𝒏

� =𝒆

Rpta

Sea L la recta tangente a la hipérbola 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏en el 𝒆𝒏 +𝒆−𝒏 𝒆𝒏 +𝒆−𝒏

punto 𝑨 = (

en el punto ( (𝟎, −

𝒆𝒏 +𝒆−𝒏

Toribio Córdova Condori

𝟐

).

𝟐

𝒆𝒏 −𝒆−𝒏 𝟐

,

𝟐

), probar que L corta el eje X

, 𝟎) y al eje y en el punto

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138

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

Resolución Y

L en + e−n en + e−n A=( , ) 2 2

X

x2 − y2 = 1

L: y = ax + b

x, y > 0

y = �x 2 − 1

dy 𝑥 = 𝑑𝑥 √x 2 − 1

 a=

en +e−n 2 n e −e−n

�(

2

)2

=

en +e−n en −e−n

en + e−n en + e−n en − e−n en − e−n = = n � �+𝑏 −n 2 2 �(en − e−n )2 e − e 𝑏= 𝑦=

en − e−n 1 (en + e−n )2 − 2 2 en − e−n en + e−n en − e−n 𝑥 − en − e−n 2

𝐲=𝟎

en + e−n en − e−n 0= n .𝑥 − e − e−n 2 𝑥=

en +e−n en −e−n 2

�en+e−n�

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139

CALCULO DIFERENCIAL 𝑥=

UNFV – BASE 2009

en − e−n 2

x=0

∴

79.

𝟏

𝒚 = − (𝐞𝐧 − 𝐞−𝐧 ) 𝟐

Rpta

Expresar el siguiente limite como una integral definida: 𝒏

𝐥𝐢𝐦 � �(𝒙𝒊 − 𝒙𝒊 − 𝟏)𝟐 + [𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒊 ) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒊 − 𝟏)]𝟐 , [𝟎, 𝝅]

𝒏→∞

𝒊=𝟏

Resolución 𝑛

lim � �(∆𝑥𝑖 )2 + [𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑖 ) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑖 − 1)]2

𝑛→∞

𝑖=1

𝑛

𝑓(𝑥 )−𝑓(𝑥𝑖 −1) 𝜋 𝑓́ (𝑥𝑖 ) = 𝑖 , ∆𝑥𝑖 = ∆𝑥𝑖

lim �

𝑛→∞

∴

𝑖=1

𝜋 �1 + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥𝑖 ) ⏟ 𝑛

𝑛

∆𝑥𝑖

𝒏

𝝅

1

𝐥𝐢𝐦 � �(𝒙𝒊 − 𝒙𝒊 − 𝟏)𝟐 + [𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒊 ) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒊 − 𝟏)]𝟐 = � [1 + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥𝑖 )]2 𝑑𝑥

𝒏→∞

80.

𝟎

𝒊=𝟏

Rpta

Determine f(x) si 𝐟"(𝐱) = 𝟔𝐱 + 𝟏 y además 𝐟́(𝟎) = 𝟐, 𝐟(𝟏) = 𝟎 Resolución

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140

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

� 𝑓"(𝑥𝑖 )𝑑𝑥 = �(6𝑥 + 1)𝑑𝑥 𝑓́(𝑥𝑖 ) =

6𝑥 2 6(0)2 + 𝑥 + 𝑐1 𝑓́ (𝑥) = + 0 + 𝑐1 ⟹ 𝑐1 = 2 2 2

𝑓́(𝑥) = 3𝑥 2 + 𝑥 + 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑓(1) = 1 +

↦

𝑥2 + 2𝑥 + 𝑐2 2

� 𝑓́(𝑥) = �(3𝑥 2 + 𝑥 + 2)𝑑𝑥

1 + 2(1) + 𝑐2 = 06 2

⟶

3 + 2 + 𝑐2 = 6 2

∴ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 81.

𝒙𝟐 𝟐

+ 𝟐𝒙 −

𝑐2 = − 𝟕 𝟐

7 2

Rpta

Sea s y c dos funciones reales tales que 𝒔́ (𝒙) = 𝒄(𝒙) y 𝒄́(𝒙) = −𝒔(𝒙), ∀𝒙 ∈ 𝑹,

si se cumple que 𝒔(𝒙) = 𝟎,

𝒄(𝟎) = 𝟏 demostramos que:

[𝒔(𝒙)]𝟐 + [𝒄(𝒙)]𝟐 = 𝟏

Resolución 𝐜́(𝐱) = −𝐬(𝐱)

(x)  −c"(x) = ś� c(x)

c"(x) + c(x) = 0

→ −c"(x) = c(x)

Ensayando una solución : c"(x) = 𝛼 2 𝑒 𝛼𝑥 Toribio Córdova Condori

c(x) = 𝑒 𝛼𝑥

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141

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

Remplazando : (𝛼 2 + 1)𝑒 𝛼𝑥 = 0

𝛼 = +𝑖

Solución general : c(x) = 𝐴𝑒 𝑖𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑥

ć (x) = 𝑆(𝑥) = 𝐴𝑖𝑒 𝑖𝑥 − 𝐵𝑖𝑒 −𝑖𝑥 Tenemos las condiciones iniciales: 𝑠(𝑥) = 0

∧ 𝑐(0) = 1

Remplazando: 𝐴+𝐵 =1

∧

𝐴=𝐵 =

1 2

𝐴=𝐵

1 𝑖𝑥 −𝑖𝑥 c(x) = �𝑒�� ��� + 𝑒�� � 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥

∴

82.

a.

∧

𝑠(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥

[𝒔(𝒙)]𝟐 + [𝒄(𝒙)]𝟐 = [𝒔𝒆𝒏𝒙]𝟐 + [𝒄𝒐𝒔𝒙]𝟐 = 𝟏

Rpta

Evaluar 𝑰=∫

𝟏

𝟒

− 𝟐(𝟏+𝒙𝟒 )𝟐 +(𝟏+𝒙𝟑 ) 𝟑

Toribio Córdova Condori

𝒙𝟑

𝒅𝒙

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142

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

Resolución 4

1

1 4 (1 + 𝑥 4 )2 (1 + 𝑥 3 )−3 −3 4 2 −3 3 −3 𝐼 = 2� 𝑑𝑥 + � 𝑑𝑥 = 2 � 𝑥 (1 + 𝑥 ) 𝑑𝑥 + � 𝑥 (1 + 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑥3 𝑥3 ������������� �������������

𝐴

1

𝐴 = ∫ 𝑥 −3 (1 + 𝑥 4 )2 𝑑𝑥 𝑚 = −3, 𝑛 = 4,

𝑃=

1

1 2

1 1 𝑚+1 +𝑝 =− + =0 ∈Ζ 2 2 𝑛

⟹ 1 + x4 = 𝑡2 𝑥4

x 4 = 𝑡 2 −1

𝐵

⟹

𝑡 2 = 𝑥 −4 +1

2𝑡 𝑑𝑡 = −4x −5 𝑑𝑥

1 𝑑𝑥 = − 𝑡𝑥 5 𝑑𝑡 2

1 1 1 1 1 t2 1 𝐴 = � x −3 (t 2 x 4 )2 �− 𝑡𝑥5 � dt = − � t 2 x 4 𝑑𝑡 = − � t 2 � 2 � 𝑑𝑡 = − � � 2 � 𝑑𝑡 𝑡 −1 2 2 2 𝑡 −1 2

1 1 1 1 1 1 𝑡−1 𝑡 1 𝑡−1 = − � �1 + 2 � 𝑑𝑡 = − �� 𝑑𝑡 + � � 2 � 𝑑𝑡� = − �t + ln � �� = − − 𝑙𝑛 � � 2 𝑡 −1 2 𝑡 −1 2 2 𝑡+1 2 4 𝑡+1

Pero

𝑡=

𝐴=−

�𝑥4 +1

𝑥2

√𝑥 4 +1

−1 +1 1 𝑥2 − 𝑙𝑛 � � + 𝑐1 √𝑥 4 +1 2𝑥 2 4 + 1 𝑥2

√𝑥 4

𝐴=− 4

√𝑥 4 + 1 1 √𝑥 4 + 1 − 𝑥 2 − 𝑙𝑛 � � + 𝑐1 2𝑥 2 4 √𝑥 4 + 1 + 𝑥 2

𝐵 = ∫ x −3 (1 + x 3 )−3 𝑑𝑥 𝑚 = −3, 𝑛 = 3,

Toribio Córdova Condori

4 3 𝑚+1 2 4 6 + 𝑝 = − − = − = −2 ∈ Ζ 𝑛 3 3 3

𝑃=−

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143

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

⟹ 1 + x3 = 𝑡3 𝑥3 ⟹ t 3 = 𝑥 −3 + 1

⟹ 3t 2 𝑑𝑡 = −3𝑥 −4 𝑑𝑥 2 4

1 x = 3 𝑡 −1 3

𝑑𝑥 = −t x 𝑑𝑡

4

𝑡=

3

√1 + x 3 𝑥

𝐵 = � x −3 (t 3 x 3 )−3 (−t 2 x 4 )𝑑𝑡 = � x −3 𝑡 −4 x −4 (−t 2 x 4 )𝑑𝑡 = − � x −3 t −2 𝑑𝑡 = − � = −�

𝑑𝑡

t2(

1

𝑡 3 −1

)

=−�

𝑡3 − 1 1 1 t2 1 𝑑𝑡 = − � �𝑡 − � 𝑑𝑡 = − �(𝑡)𝑑𝑡 + � � � 𝑑𝑡 = − − + 𝑐2 2 𝑡 t2 t2 t2

𝑑𝑡 x3 t2

3

1 �1 + x3 𝑥 𝐵=− ( )− 3 + 𝑐2 2 𝑥 �1 + x3

3

�(1 + x 3 )2 𝑥 √𝑥 4 + 1 1 √𝑥 4 + 1 − 𝑥 2 𝐼 = 2 �− − 𝑙𝑛 � � − −3 �+𝑐 2 2 2𝑥 2𝑥 4 √1 + x 3 √𝑥 4 + 1 + 𝑥 2

∴

b.

𝑰=−

�𝒙𝟒 +𝟏 𝒙𝟐

𝟏

− 𝒍𝒏 � 𝟐

�𝒙𝟒 +𝟏−𝒙𝟐 �𝒙𝟒 +𝟏+𝒙

�− 𝟐

𝟑

�(𝟏+𝐱 𝟑 )𝟐 𝟐𝒙𝟐

−𝟑

𝒙

�𝟏+𝐱 𝟑

+𝒄

Rpta

𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙+𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙

∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙−𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 Resolución 1 1 cos 4 x + sen4 x = 1 − 2sen2 xcos 2 x = 1 − 4sen2 xcos 2 x = 1 − sen2 2x 2 2

Reemplazando en la integral:

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144

CALCULO DIFERENCIAL �

1

1 − 2 sen2 2x 1

𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑑𝑥 = � 1

1

UNFV – BASE 2009

1 − 2 (1 − cos 2 2x) 1

2 𝑑𝑥 + 2 ∫ ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑐𝑜𝑠2 2𝑥

𝑑𝑥 = �

1

1

1 − 2 + 2 cos2 2x 1

cos2x

𝑑𝑥 1

𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥

1 1 = � 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 + � 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 2 2

11 1 = � 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 22 2 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙+𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙

∴

𝟏

𝟏

Rpta

∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙−𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝟒 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 + 𝒕𝒈𝟐𝒙| + 𝟒 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒄

c. 𝑰 = ∫ 𝒙 𝒍𝒏(√𝟑𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝟑

Resolución

1 𝐼 = � 𝑥𝑙𝑛(3𝑥 + 1)𝑑𝑥 3

𝑢 = ln(3𝑥 + 1) ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 ⟹ 𝑣 =

𝑥2 2

3 3𝑥 + 1

𝑰 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖

𝑥2 1 𝑥2 ln(3𝑥 + 1) − � 𝑑𝑥 6 2 3𝑥 + 1

𝑥2 1 1 ln(3𝑥 + 1) − � �3𝑥 − 1 + � 𝑑𝑥 6 18 3𝑥 + 1

∴

𝑰=

𝒙𝟐 𝟐

Toribio Córdova Condori

𝒍𝒏(𝟑𝒙 + 𝟏) −

𝒙𝟐

𝟏𝟐

+

𝒙

𝟏𝟖

−

𝟏

𝟓𝟒

𝒍𝒏(𝟑𝒙 + 𝟏) + 𝒄

Rpta

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145

CALCULO DIFERENCIAL

d. 𝑰 = ∫ [

𝟐

𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙

()

]

𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒙 +𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒙) 𝟐

UNFV – BASE 2009

𝒅𝒙

Resolución

∫

coshx x

u

𝑢=

dv

𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑑𝑥 [𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥]2

𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥

𝑑𝑟 = 𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑑𝑥 ⟹

𝑐𝑜𝑠ℎ −(𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥)𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2

𝑑𝑣 =

−

𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 = 𝑟

𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑑𝑥 [𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥+𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥]2

𝑰 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖 1

− ∫− (𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥+𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)

(𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥+𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥) 𝑥2

∴

𝑰= −

e. 𝑰 = ∫

(𝟏+𝒔𝒆𝒏 𝒙)

Resolución

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙

⟹ 𝑣=

𝟐

𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑑𝑟 𝑑𝑟 −1 = ⟹𝑣= [𝑟]2 𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑟2 𝑟

−1 𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

−1 𝑑𝑥 (𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥+𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)

𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙

𝒙(𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙+𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙)

√𝒔𝒆𝒏𝒙

𝑑𝑣 =

𝑑𝑟 = 𝑑𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

𝟏

+ +𝒄 𝒙

Rpta

𝒅𝒙

1 + sen2 x = 2 − cos2 𝑥 (2+cos2 x)

∫ 2cos2x√senx dx 2dx

= ∫ 2cos2 x

(cos2 x)

− ∫ 2cos2 x senx dx √senx √

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146

CALCULO DIFERENCIAL =�

dx

cos 2 x

√senx

1

∫ cos2x

√senx

1 1 � dx 2 √senx

−

senx = u2 ⟹

𝑑𝑥 =

𝑑𝑥 = ∫

3

= 2 �(1 − u2 )−2 𝑑𝑢

u = senθ

UNFV – BASE 2009

2𝑢

√1 − u2 2𝑢

𝑑𝑢

(1−u2 )√1−u2 𝑢

→ du = cosθdθ 3

𝑑𝑢

1

= 2 ∫(1 − sen2 θ)−2 cosθdθ = 2 ∫ cos3θ cosθdθ = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 dθ = 2tanθ = 2tan (arcsen(u)) =2

=

𝑢

√1 − 𝑢2 2√𝑠𝑒𝑛𝑥

,

√1 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

𝑢 = √𝑠𝑒𝑛𝑥

=2

√𝑠𝑒𝑛𝑥

√𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

1 1 ⟹− � 𝑑𝑥, 2 √𝑠𝑒𝑛𝑥

1 1 ⟹− � 𝑑𝑥 , 2 √𝑠𝑒𝑛𝑥 1

1

cosθ

u

√𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥 = u2 𝑠𝑒𝑛𝑥 = u2

2𝑢

→ du = cosθ dθ

𝜃

�1 − 𝑢 2

=2

⟹ ∫ 𝑑𝑢 2 (�1−𝑢2 )𝑢

u = senθ

1

1 𝑑𝑢 =− � 2 √1 − 𝑢2 1

𝑐𝑜𝑠𝜃

1

=− ∫ 𝑑𝜃 = − ∫ 𝑑𝜃 = − 𝜃 2 √1−𝑠𝑒𝑛2 𝜃 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 1 1 = − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑢) = − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(√𝑠𝑒𝑛𝑥) 2 2 Toribio Córdova Condori

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147

CALCULO DIFERENCIAL

(𝟏+𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙)

∴

∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

√𝒔𝒆𝒏𝒙

f. 𝑰 = ∫ Resolución

UNFV – BASE 2009

𝟏

𝒅𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙√𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏�√𝒔𝒆𝒏𝒙� + 𝒄 𝟐

𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙+𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙+𝟑𝒄𝒐𝒔𝒙

Rpta

𝒅𝒙

Aplicamos el método siguiente: �

Entonces:

𝒄𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒅𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒙 + 𝑩 𝒍𝒏|𝒂𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙| + 𝒄 𝒂𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙

3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 � 𝑑𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑙𝑛|2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥| + 𝑐 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥

��

Derivando:

3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐵(2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥) =𝐴+ 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 3𝑠𝑒𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥

2𝑠𝑒𝑛𝑥+3𝑐𝑜𝑠𝑥

=

2A − 3B = 3

3A + 2B = 2

A=

12 , 13

B=−

5 13

2𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥+3𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥−3𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥+3𝑐𝑜𝑠𝑥

3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥(2𝐴 − 3𝐵) + 𝑐𝑜𝑠𝑥(3𝐴 + 2𝐵)

∴

83.

a.

𝑰=

𝟏𝟐 𝟏𝟑

𝒙−

𝟓

𝟏𝟑

𝒍𝒏|𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟑𝒄𝒐𝒔𝒙| + 𝒄

Rpta

Evaluar

𝑰 = ∫(𝒙 − 𝒂)𝒑−𝟏 (𝒙 − 𝒃)−𝒑−𝟏 𝒅(𝒙);

Toribio Córdova Condori

𝒑 ≥ 𝟎, 𝒂 ≠ 𝒃

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148

CALCULO DIFERENCIAL

UNFV – BASE 2009

Resolución 𝑝−1

(x − a)p−1 (x − a) =� 𝑑𝑥 = � � � p+1 (x − b) (x − b)

1 𝑑𝑥 (x − b)2

Sea: 𝑢=

𝑥−𝑎 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ⟹ = 𝑥−𝑏 (𝑎 − 𝑏) (𝑥 − 𝑏)2

Reemplazando: =�

(x − a)p−1 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = � u(𝑝−1) p+1 (x − b) (a − b) =

𝑥−𝑎

𝑢 = 𝑥−𝑏: �

∴

1 1 𝑢𝑝 � u(𝑝−1) 𝑑𝑢 = +∁ (a − b) (a − b) 𝑝

(x − a)p−1 1 𝑥−𝑎 𝑝 𝑑𝑥 = � � +∁ (x − b)p+1 p(a − b) 𝑥 − 𝑏 𝟏

𝒙−𝒂 𝒑

∫(𝒙 − 𝒂)𝒑−𝟏 (𝒙 − 𝒃)−𝒑−𝟏 𝒅(𝒙) = 𝐩(𝐚−𝐛) �𝒙−𝒃� + 𝒄

b.

𝑰 = ∫(

𝒙𝟐 −𝟏

)

𝟏

𝒙𝟐 +𝟏 �𝟏+𝒙𝟒

Rpta

𝒅(𝒙)

Resolución Dividiendo entre x:

Toribio Córdova Condori

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149

CALCULO DIFERENCIAL 𝐼 = �(

1

x−𝑥

1

1)

x + 𝑥 √1 + x 4

UNFV – BASE 2009

d(x);

1

Sea 𝑡 = 𝑥 + 𝑥 :

1 √1 + x 4 2 � t =x + 2+2⟹ t −2= 𝑥 𝑥 2

2

dt = �1 −

c.

𝑰=∫

�𝒙𝟐 −𝟏�

(𝒙𝟒 +𝟑𝒙𝟐 +𝟏)𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈�

1 dt � dx ⟹ = dx 1 𝑥2 �1 − �

𝒙𝟐 +𝟏 � 𝒙

𝑥2

𝒅(𝒙)

Resolución 𝑥2 + 1 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 � � 𝑥

𝑑(𝑢) =

(𝑥 2 −1)

𝑥 4 +3𝑥 2 +1

𝑑(𝑥)

𝑑(𝑥) =

Remplazamos: (𝑥 2 −1)

∫ (𝑥 4 +3𝑥 2+1).𝑢 ∴

∫

�𝒙𝟐 −𝟏�

(𝑥 4 +3𝑥 2 +1)

(𝒙𝟒 +𝟑𝒙𝟐 +𝟏)𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈�

Toribio Córdova Condori

(𝑥 2 −1)

𝒙𝟐 +𝟏 𝒙

�

𝑑(𝑣) = ∫

𝑥 4 +3𝑥 2 +1 (𝑥 2 −1)

𝑑(𝑢)

𝑑(𝑢) 𝑢

𝒙𝟐 +𝟏

𝒅(𝒙) = 𝒍𝒏 �𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 �

𝒙

�� + 𝒄

Rpta

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150