Calculo Diferencial Para Ingenieria

Cálculo diferencial para ingeniería

Cálculo diferencial para ingeniería Carlos Daniel Prado Pérez Escuela Superior de Física y Matemáticas Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (CINVESTAV) Instituto Politécnico Nacional Rubén Dario Santiago Acosta Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México José Luis Gómez Muñoz Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (CINVESTAV) Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey Ma. de Lourdes Quezada Batalla Escuela Normal Superior, Universidad Autónoma de Guerrero Sección de Matemática Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (CINVESTAV) Instituto Politécnico Nacional

Revisión técnica Fernando Vallejo Aguirre Maestro en Ciencias Profesor de tiempo completo de la Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas, Instituto Politécnico Nacional

Leopoldo Zúñiga Silva Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey campus San Luis Potosí Javier Pulido Cejudo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Santa Fe Lázaro Barajas de la Torre Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México Andrés González Nucamendi Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Ciudad de México Gerardo Pioquinto Aguilar Sánchez Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México

Datos de catalogación bibliográfica PRADO, SANTIAGO, GÓMEZ, QUEZADA, ZÚÑIGA, PULIDO, BARAJAS, GONZÁLEZ Y AGUILAR Cálculo diferencial para ingeniería.










PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006 ISBN: 970-26-0803-1 Área: Universitarios Formato: 20 × 25.5 cm

Editor: Editor de desarrollo: Supervisor de Producción:

Páginas: 512

Luis Miguel Cruz Castillo e-mail: [email protected] Astrid Mues Zepeda Rodrigo Romero Villalobos

PRIMERA EDICIÓN, 2006 D.R. © 2006 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco No. 500 – 5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0803-1 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 09-08-07-06

Contenido

Unidad 1 Conceptos básicos de funciones

1

1.1 El concepto de función El concepto de función: diversas formas de describirla El uso de las funciones en la modelación Algunos aspectos sobre graficación de funciones Operaciones con funciones

2 5 15 19 22

1.2 Biblioteca de funciones básicas Funciones polinomiales Funciones Racionales Funciones algebraicas Funciones Seccionadas

37 39 49 53 59

Unidad 2 Funciones trascendentes

83

2.1 Funciones exponenciales y logarítmicas Función exponencial Gráfica de la función exponencial Funciones inversas Función logaritmo Funciones Hiperbólicas

84 86 87 90 93 97

vi

Contenido

2.2 Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas Otras funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas inversas Unidad 3 Límites y continuidad

104 105 113 117 133

3.1 Límites Concepto de Límite Teoremas sobre límites Límites de funciones racionales Límites laterales y límites infinitos Límites al infinito Límites especiales

134 136 147 150 152 160 164

3.2 Continuidad Continuidad en un punto Teorema del valor intermedio Estudio de las funciones racionales

181 182 184 192

Unidad 4 La derivada como razón de cambio

207

4.1 El concepto de derivada. El problema de la velocidad El problema de la recta tangente La derivada en un punto

208 210 214 217

4.2 La función derivada La derivada de una función Aplicaciones de la derivada Relación entre continuidad y derivabilidad

233 234 239 240

Unidad 5 Cálculo de derivadas 5.1 Reglas de derivación Derivadas de polinomios Reglas de derivación de productos y cocientes Reglas de derivación de funciones trigonométricas y sus inversas Reglas de derivación de otras funciones Derivadas de segundo orden y de orden superior

253 254 255 260 263 264 265

vii

Contenido

5.2 La regla de la cadena La regla de la cadena Definición de la regla de la cadena La cadena de multiplicaciones

271 272 279 282

5.3 Derivadas, implícita y logarítmica Diferenciación implícita Diferenciación logarítmica

291 292 297

Unidad 6 Aplicaciones de la derivada

307

6.1 Aplicaciones de las rectas tangente y normal Recta tangente El método de Newton El método de Euler

308 310 315 321

6.2 Razones de cambio relacionadas Problemas de razones de cambio relacionadas

335 336

Unidad 7 Pilares del cálculo diferencial

351

7.1 pilares del cálculo diferencial Tres pilares del cálculo diferencial Unidad 8 Monotonía y teoría de extremos

352 353 371

8.1 Extremos relativos Teoría de máximos y mínimos

372 376

8.2 Monotonía de funciones Funciones monótonas

391 392

8.3 Extremos absolutos Extremos absolutos Aplicaciones que involucran un extremo absoluto en un intervalo cerrado

406 407

Unidad 9 Graficación

413 425

9.1 Concavidades y puntos de inflexión Concavidad de una curva

426 427

9.2 Graficación La molécula

445 445

viii

Contenido

Unidad 10 Optimización 10.1 Optimización Problemas de Optimización

465 466 467

Presentación

Para el Tecnológico de Monterrey es un orgullo contar con equipos docentes capacitados en el desarrollo y la creación de conocimiento, de investigación y de herramientas útiles para el aprendizaje de nuestros estudiantes. “Cálculo Diferencial”, es un ejemplo de ello, al ser una publicación funcional que te guiará a través de la aprehensión, a comprender de manera práctica y didáctica, el cálculo y sus aplicaciones. El uso de actividades que fomentan el aprendizaje colaborativo, la aplicación de problemas al contexto de nuestra cotidianeidad, la utilización de un gran número de ejercicios con su respectiva solución y la base de un modelo educativo capaz de explotar el aprendizaje simbólico, numérico, gráfico y verbal, hacen de este libro un excelente refuerzo para tu incursión al mundo del cálculo. El libro cuenta además, con un CD basado en prácticas de exploración computacional de conceptos matemáticos, que te servirá de apoyo al agudizar tu capacidad de análisis mediante ejercicios interactivos, permitiéndote ser aún más ágil en la resolución de problemas prácticos. “Cálculo Diferencial” está elaborado con estricto apego al programa vigente de la materia impartida en nuestro sistema, y refleja los años de experiencia del cuerpo docente que le ha dado vida, teniendo como principal incentivo, la vocación a la enseñanza y el impulso al desarrollo educativo de nuestra comunidad. Además de complementar tu aprendizaje a través del semestre, “Cálculo Diferencial” te servirá de consulta aún después de haber adquirido de los conocimientos que alberga. Por ello, te invito a que disfrutes de esta publicación y aproveches al máximo la investigación, y el trabajo invertido por parte de sus autores, en esta herramienta que resultará funcional para ti, en la medida en que te tomes el tiempo y la paciencia necesarias para cultivar tu aprendizaje. Dr. Pedro Luis Grasa Soler Director General Tecnológico de Monterrey, Campus Estado de México

Prólogo

“No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opinión, me he comportado como un niño que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra más pulida y una concha más bonita de lo normal, mientras que el gran océano de la verdad se exponía ante mí completamente desconocido” Isaac Newton Antes de cualquier otra cosa, deseamos darte la bienvenida al estudio de este libro que, sin lugar a dudas, aborda uno de los logros científicos más grandes de todos los tiempos, el Cálculo Diferencial. Quizá semejante calificativo te parezca exagerado, pero bastará revisar la historia de su desarrollo y las diversas aplicaciones que tiene actualmente, para convencerte de que tal calificativo apenas es el apropiado. Sus orígenes se remontan a la época de la Grecia Clásica (aproximadamente 300 años a.C.). Por increíble que pudiera parecer, los antiguos griegos estuvieron inSir Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz teresados en determinar una recta tangente que pasara (1642-1727) (1646-1716) por un punto dado de una curva. Posteriormente, hacia el siglo XVII, dos matemáticos franceses, Descartes y Fermat, desarrollaron métodos para resolver parcialmente problemas de este tipo basados en álgebra y geometría analítica. Sin embargo, la humanidad tuvo que esperar todavía unos años más, hasta que Newton (británico) desarrolló su teoría de las fluxiones y Leibniz (alemán) su teoría de diferenciales, de manera más o menos simultánea e inde-

xii

Prólogo

pendiente. A partir de ahí, la historia está llena de aplicaciones, particularmente en la mecánica, y de múltiples intentos por formalizar la teoría. No debes pensar que el cálculo diferencial se desarrolló tal y como se presenta ahora en la mayor parte de los textos sobre el tema. En sus orígenes, varios científicos la rechazaron debido a que sus principios parecían envueltos por un halo misterioso. Por 150 años se le intentó formalizar, pero no fue sino hasta 1821, cuando el matemático francés Augustin Cauchy escribió la obra “Tours d´analyse”, que el cálculo tomó un carácter más formal; esto permitió a los matemáticos del siglo XIX continuar el desarrollo del área sobre bases más sólidas. Finalmente, con los trabajos de los alemanes Karl Weierstrass (1815-1897) y de Richard Dedekind (1831-1916), se logró fundamentar debidamente esta disciplina. Desde sus orígenes, los científicos han aplicado el cálculo diferencial en casi todas las áreas del conocimiento humano; actualmente, es el lenguaje natural con el que podemos conocer e interpretar el mundo en el que vivimos. Su éxito se debe, fundamentalmente, a que permite modelar fenómenos físicos, químicos, sociales, etc., al relacionar las variables del fenómeno con sus razones de cambio (derivadas). Por ello, sin temor a equivocarnos, podemos afirmar que Newton y Leibniz nunca llegaron a imaginar el enorme poder, impacto e importancia que tendría su invención en los siglos venideros. De esta forma, el libro que tienes en tus manos fue escrito pensando tanto en su aplicabilidad como en la precisión de los conceptos matemáticos involucrados, manteniendo el equilibrio entre el desarrollo de la teoría y la importancia de las aplicaciones. Para ello dividimos la obra en 10 capítulos, los dos primeros los dedicamos al estudio de las funciones, el tercero al desarrollo de los conceptos de límite y continuidad, en los capítulos 4, 5 y 6 abordamos el concepto y las aplicaciones de la derivada, en el capítulo 7 se analizan tres pilares básicos del cálculo diferencial, y los últimos tres capítulos están dedicados al estudio del significado geométrico de la primera y segunda derivada y a las aplicaciones, tanto en graficación como en optimización de funciones. El libro en conjunto se distingue por las siguientes particularidades. a) A lo largo de sus diez capítulos, la teoría se propone con un buen nivel de generalización y precisión, buscando en todo momento su conexión con la práctica de los conocimientos. b) Se incorporan problemas originales y actuales con situaciones que darán sentido a tu esfuerzo y al estudio de los conceptos y teoremas que te presentamos. La lista de las aplicaciones con las que se te propone trabajar (en un ambiente de equipo y con apoyo de la tecnología) es sumamente amplia. c) Cada capítulo contiene una buena cantidad de ejemplos completamente resueltos, un listado amplio de ejercicios, todos ellos con respuesta, y una sección de autoevaluación que te ayudará a valorar los progresos logrados durante tu estudio. d) El material que te ofrecemos cubre aquellos temas que todo estudiante de cálculo diferencial debe conocer, pero no más que eso. e) El texto viene apoyado y complementado con un CD que contiene una enorme variedad de prácticas matemáticas. Tres son los aspectos que hemos considerado en su elaboración, a saber, • La exploración de conceptos matemáticos mediante tablas y gráficas que te permitirán entender más profundamente los conceptos del cálculo.

Prólogo

• La resolución de problemas con tecnología, que es una forma de potenciar las herramientas que provee el cálculo. • La evaluación de conceptos y algoritmos relacionados con el cálculo. Los autores creemos, estimado lector, que obtendrás el mayor provecho de esta obra en la medida en que tú mismo puedas valorar la importancia que tienen un lápiz y varias hojas de papel al estudiar matemáticas. Quizá en algún momento te desalientes al considerar que tus avances son modestos, pero no olvides que este libro es una síntesis de aproximadamente 2300 años de logros y fracasos del pensamiento de muchos hombres y mujeres en esta área. Esperamos que tu esfuerzo, dedicación y tenacidad sean suficientes para conocer las excelencias de esta área del conocimiento humano.

xiii

Unidad

Aplicaciones

Prácticas

• El caso del libro de la editorial Pearson Educación • Envases y matemáticas • Impuestos por sueldos y salarios • De inflación en inflación • La ciencia y tecnología en México

• • • •

2: Funciones trascendentes

• Conflicto mercantil: el caso de la señora Celia Reyes Lujano • Obtención de una tasa de crecimiento de población usando Excel • Ganancias por exportaciones • El elevador • El clima de la ciudad de Veracruz

• La función inversa • El interés compuesto, población y funciones exponenciales • ¿Que tienen en común las escalas para medir intensidad de terremotos, los intervalos musicales, la acidez química, el brillo de las estrellas, y el volumen de los sonidos? • Funciones hiperbólicas • Funciones trigonométricas

3: Límites y continuidad

• • • • • •

Las misceláneas Historia de marcas deportivas Comparación Depreciación de tractores Coincidencia Sistemas de impuestos

• • • •

El juego ED Sanidad y elecciones El juego AB Diseño de una botella de refresco

4: La derivada como razón de cambio

• • • •

¿Quién es el hombre más rápido? El comerciante de las sillas El Eurotúnel Curvas de transferencia

• • • •

Recta secante a recta tangente La función Calibración de un velocímetro La función de Weierstrass

5: Cálculo de derivadas

• El auto deportivo • Construcción de un plotter con piezas de LegoMR • Movimiento de una grúa torre • Curvas famosas • Ecuaciones diferenciales • Velocidad de escape

• • • •

Sobre la función derivada Practicando derivadas Practicando derivación logarítmica Los plotters

1: Conceptos básicos de funciones

• • • • •

Operaciones aritméticas en Excel Cuidados con el Excel Dominio de funciones Graficación de funciones racionales con Excel Funciones polinomiales y racionales Construyendo tu graficador Operaciones de traslación y escala El tronco circular Modelación y Excel

Unidad

Aplicaciones

6: Aplicaciones de la derivada

• • • • • • • •

7: Pilares del cálculo diferencial

• Cálculo e infracciones de tránsito • El Arca de Noé • Velocidad de las olas por efecto de un tsunami

• El teorema del valor medio y el teorema de Rolle • Series de Taylor

8: Monotonía y teoría de extremos

• Estudio de la torca automotriz con derivadas • El secreto de los barriles austriacos de vino • Tarifa óptima del Metrobus • El dilema de Carlos • El paquete • El gran café • Viajes educativos • Islote Botafoc

• Criterio de la primera derivada • Anita, la exploradora

9: Graficación

• La ley de Snell • La propagación del SIDA • Modelo para predecir el crecimiento poblacional • La molécula • Graficación a través de Taylor • Decisiones en el mercado accionario

• Concavidad de curvas y la segunda derivada • Graficación de curvas famosas

• Diseño de envases • Recipientes térmicos • Tarifa óptima del Metro

• Los triángulos inscrito y circunscrito • La venta del libro

10: Optimización

Accidentes en montañas rusas Sobre tangentes y normales Lanzamiento de martillo Dispositivo robótico Velocidades entre planetas Engrane elíptico Empacadora de aguacates Factores de crecimiento en la industria

Prácticas • Rectas tangentes y normales que pasan por un punto • Método de Newton para polinomios y método de la secante • Análisis de la caída con resistencia del aire usando Excel • Problema de la caída de la escalera

Unidad

Conceptos básicos de funciones Contenido de la unidad 1.1 El concepto de función 1.2 Biblioteca de funciones básicas

Introducción a la unidad Cada uno de nosotros debe tomar decisiones a cada paso: cuando decides casarte o cuando decides ir al juzgado para entablar un juicio contra otra persona. La vida humana gira en torno a la toma de decisiones: los dirigentes de empresas, de laboratorios, de talleres y de gobiernos toman decisiones de carácter organizativo. El médico toma una decisión al dar su diagnóstico, al prescribir el medicamento, al determinar el método de tratamiento o cuando da de alta al paciente. Un guía de turistas toma una decisión al formar un itinerario para promover un plan turístico o al modificarlo con base en la aceptación o rechazo de los interesados. El científico toma una decisión al escoger la metodología para realizar un experimento o para demostrar un resultado, y una vez que ha logrado lo último, toma una decisión sobre la conclusión de su trabajo. Podríamos continuar con una lista interminable de ejemplos y llegaríamos cada vez a la misma conclusión: la especie humana se apoya para su supervivencia en las decisiones que toma; todo acontecimiento nos obliga a tomar decisiones. Por desgracia, buena parte de nuestras decisiones no están bien pensadas y en otras ocasiones se toman decisiones sin una buena justificación o que simplemente no son las mejores. Tal vez el principal obstáculo para tomar decisiones adecuadas no sólo sea la frivolidad con la que se toman, sino la falta de información, o en su defecto, la falta de capacidad para organizarla adecuadamente de manera que bajo cierta estructura, toda ella permita tener un panorama general de una situación y así vislumbrar un pronóstico con mediana certeza de las consecuencias de esa decisión. Pues bien, en este capítulo se estudiará un elemento básico de las matemáticas: la “función”, cuyo concepto te ayudará a estructurar tus fuentes de información y de conocimiento.

2

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

En tu recorrido por este estudio te acompañan aproximadamente los últimos 400 años, periodo en el cual se ha podido constatar que el hombre logró más avances –sobre todo de tipo tecnológico una vez que logró sintetizar sus ideas en unos cuantos símbolos– que en toda su historia civilizada. Creemos sin lugar a dudas, que el concepto de función y las demás ideas que serán consideradas en el desarrollo de esta obra, te permitirán establecer una forma racional de plantear y resolver problemas. Mediante el concepto de función iniciarás la construcción de modelos matemáticos y verás cómo éstos te ayudarán a dar conclusiones mejor fundamentadas y a anticipar eventos, lo que tanta ventaja ha proporcionado a la subsistencia humana. Para concluir, es cierto que las matemáticas no te darán respuestas a las preguntas fundamentales de la vida, por ejemplo: ¿cómo saber con quién casarte?, ¿con quiénes organizarte para formar un negocio?, ¿deberías o no comprar algún bien en este momento? Lo que sí es cierto es que te pueden ser útiles para modelar situaciones relacionadas con tu vida profesional, en las cuales lo menos que se esperará de ti es que des una respuesta fundamentada a tus decisiones.

1.1 El concepto de función Las leyes de la naturaleza sólo son pensamientos matemáticos de Dios. Johannes Kepler

El caso del libro de la editorial Pearson Educación

FIGURA 1. Un libro de la editorial Pearson Educación.

Al elaborar un libro, las compañías editoriales toman en cuenta diversos aspectos como son su contenido, precio, tamaño, número de hojas, tipo de papel y uso del color. El objetivo, desde luego, es impactar al mercado de tal suerte que se obtengan las máximas ganancias posibles y se reduzcan al mínimo los costos de producción. Por ejemplo, la editorial Pearson Educación tiene planeado publicar una nueva obra en el área de matemáticas dirigida primordialmente al mercado nacional. Para ampliar las potenciales ganancias planea, además de implementar una nueva estrategia de ventas, reducir los costos de edición a través del diseño de las hojas de papel que conformarán la obra. Se sabe que los últimos libros de la editorial se han elaborado en hojas de 21.5 cm de ancho por 27.9 cm de largo, con márgenes de 5.1 cm en el lado derecho (para colocar figuras, comentarios, notas históricas, etc.), 2 cm en el lado izquierdo, y 3 cm en las partes inferior y superior de la hoja.

3

1.1: El concepto de función

La compañía estima, con base en un reciente estudio de mercado, que el número de libros que se pueden vender dependerá del precio de venta, tal y como se muestra en la tabla 1.

Tabla 1 Estimación de ventas en función del precio de venta unitario.

Precio por libro

Número de libros vendidos

$ 270.00

2 250

$ 266.50

2 282

$ 263. 00

2 314

También estima que se producirán cambios en los costos de la obra modificando el número de tintas usadas, el tipo de papel y los tirajes, como se destaca en la tabla 2.

Tabla 2 Costos por libro en términos del tiraje y las características del papel empleado para la obra.

Características

Costos fijos

No más de 500 libros

Más de 500 y menos de 1 400 libros

Más de 1 400 libros

Una tinta en papel bond 36

$ 52 000

$ 54

$ 52.30

$ 50.20

Dos tintas en papel bond 36

$ 58 000

$ 54

$ 52.30

$ 50.20

Cuatro tintas en papel bond 36

$ 63 000

$ 54

$ 52.30

$ 50.20

Una tinta en papel coudcar 40

$ 54 000

$ 62

$ 60.20

$ 58.40

Dos tintas en papel coudcar 40

$ 61 000

$ 62

$ 60.20

$ 58.40

Cuatro tintas en papel coudcar 40

$ 68 000

$ 62

$ 60.20

$ 58.40

por libro

por libro excedente al 500

por libro excedente al 1 400

Si suponemos que todos los libros elaborados por la editorial se venden, la empresa desea responder los siguientes cuestionamientos: a) Sin cambiar el área de impresión, ¿la compañía puede reducir sus costos si disminuye el tamaño de la hoja? b) ¿Sugieren los datos de la tabla 1 algún precio que permita obtener el mayor ingreso posible para Pearson Educación? c) ¿Cuál sería el número de ejemplares de este libro que produciría la mayor ganancia para la empresa?

4

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

Introducción Las funciones son una de las herramientas más importantes en el análisis y descripción matemáticas del mundo real. Pueden ser encontradas tanto en áreas científicas y tecnológicas como en el análisis de situaciones económicas, demográficas y sociales. Por ejemplo, en física se estudia la relación que guarda el tiempo de caída de un objeto con la altura a la que se suelta. A los biólogos les interesa el cambio de la población de animales en vías de extinción en el tiempo. A un empresario podría resultarle útil conocer la relación existente entre el número de artículos que vende con sus ganancias. En fin, las aplicaciones que tienen las funciones son amplias y de diversos tipos. Para ilustrar la potencia del concepto, considera que queremos establecer una clave de identificación única de la población (CURP) que permita identificar claramente a todas y cada una de las personas de un país determinado. Esta clave serviría para unificar todos los documentos legales de una persona, facilitaría la prestación de bienes y servicios, y fortalecería las condiciones de seguridad jurídica de la población. Desde luego que dos personas no deberían tener la misma clave, ¿por qué es importante que no ocurra esto?, ¿qué pasaría si dos personas tuvieran la misma clave? Para continuar nuestro ejemplo, considera la forma de establecer la CURP en México. Aquí la CURP está formada por 18 letras o dígitos. La primera de ellas corresponde a la primera letra del apellido paterno, la segunda es la primera vocal del mismo apellido, la tercera es la primera letra del segundo apellido y la cuarta es la primera letra del primer nombre. Así, por ejemplo, tanto para Pedro Gómez Sánchez como para Pánfilo González Sarmiento tendrían una CURP que comienza con las letras GOSP. Después se añade la fecha de nacimiento en el formato año, mes y día; aún así puede suceder que las personas anteriores hayan nacido en la misma fecha, por ejemplo, 13 de abril de 1979, por lo que la CURP de ambos sería hasta ahora GOSP790413. A continuación, se añaden tres letras a la clave: la primera para el género de la persona y las dos siguientes para el lugar de nacimiento. Así, si nuestros amigos Pedro y Pánfilo hubieran nacido en el D.F., su CURP sería GOSP790413HDF. Hasta aquí estas identificaciones son insuficientes para evitar duplicaciones, por lo que se asignan tres letras más que representan: la segunda consonante del apellido paterno, la segunda consonante del apellido materno y la segunda consonante del nombre. En nuestros ejemplos, esto ya produce dos claves CURP diferentes, aún así, la dependencia federal Registro Nacional de Población (RENAPO) añade otros dos dígitos para que todos tengamos una única CURP. Este ejemplo y la situación de la editorial Pearson Educación insinúan la importancia de las funciones y son una invitación para estudiarlas. Hablando vagamente, su importancia radica en que este concepto permite establecer el vínculo que existe entre dos conjuntos de objetos, y no sólo eso, también facilita el análisis de situaciones y las respuestas a cuestionamientos a los que sería imposible llegar usando únicamente nuestro lenguaje coloquial. Pues bien, en esta sección trataremos con este concepto básico de las matemáticas.

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1.1: El concepto de función

Objetivos Al terminar esta sección tendrás la capacidad de: a) b) c) d)

Reconocer cuándo una relación corresponde a una función. Describir qué es el dominio y qué es la imagen de una función. Identificar el dominio y la imagen de algunas funciones elementales. Reconocer funciones mediante palabras, fórmulas, tabulaciones y diagramas. e) Generar nuevas funciones a partir de sus cinco operaciones básicas.

El concepto de función: diversas formas de describirla Para iniciar el análisis, considera que deseas medir la temperatura de un objeto durante un día determinado y debes planear cómo registrar los resultados. Una primera posibilidad es escribir parejas del tipo (t, T), donde t indicaría la hora en que hiciste la medición y T señalaría la temperatura del objeto. Desde luego que podrías obtener cualquier pareja imaginable porque, en este proceso de planeación, no sabrías a ciencia cierta qué temperatura tendría el objeto en un tiempo determinado. Al conjunto de todas las parejas posibles de resultados se le conoce como el producto cartesiano. En general, tenemos la siguiente definición.

Definición de producto cartesiano. Sean A y B dos conjuntos, definimos el producto cartesiano como el conjunto de parejas ordenadas de puntos donde la primera coordenada es un elemento del primer conjunto y la segunda coordenada es un elemento del segundo conjunto. Es decir: A × B = {( x, y) x ∈ A, y ∈ B}.

Al realizar el experimento, sin embargo, no esperarías que el objeto tuviera dos temperaturas diferentes al mismo tiempo. Es decir, no todos los conjuntos de resultados serían permitidos. Distinguimos los resultados permitidos de los no permitidos definiendo los conceptos de relación y de función. En nuestro ejemplo, cualquier conjunto de resultados definen una relación, mientras que un conjunto de resultados permitidos determinan una función.

Definición de relación. Una relación R entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A × B. Es decir R = {( x, y) x ∈ A, y ∈ B}.

6

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

Definición de función. Una función f = {( x, y) x ∈ A, y ∈ B} es un conjunto de parejas de elementos tales que si (x, y1) y (x, y2) pertenecen ambos a f, entonces y1 = y2. En otras palabras, una función es un subconjunto del producto cartesiano, una relación donde dos pares distintos del conjunto no tienen el mismo primer elemento.

Ahora bien, si el experimento se realiza durante un tiempo máximo, por ejemplo tres horas, no esperaríamos tener resultados donde el tiempo fuera mayor. Decimos entonces que el dominio de nuestro experimento es el intervalo [0, 3]. Más aún, decimos que la imagen de nuestro experimento es el conjunto de temperaturas obtenidas en ese intervalo. En general, tenemos las siguientes dos definiciones:

Definición de dominio e imagen (o rango). • Si f es una función, el dominio de f es el conjunto de todos los “x” para los que existe algún “y” tal que (x, y) ∈ f, denotaremos al dominio de la función por Df . • La imagen o rango de f es el conjunto I f = {y | existe ( x, y) ∈ f }.

Es posible que en ocasiones no estemos interesados en precisar el conjunto de imágenes de una función, si éste es el caso, podríamos imaginar un conjunto más grande en el cual se encuentra inmersa la imagen de la función. A este conjunto más amplio se le conoce como contradominio de la función. También es útil considerar una función como una “caja negra”, en la que para cada elemento del dominio que entra en la caja, se tiene una única salida en el contradominio.

f

Entrada (Dominio)

Salida (Contradominio)

Figura 2. Representación de una función.

Regresemos a nuestro ejemplo. Supón que ya hiciste el experimento, registraste la temperatura del objeto cada media hora y obtuviste los siguientes resultados: {(0, 9.85476), (0.5, 12.4619), (1, 14.5262), (1.5, 15.781), (2, 15.9595), (2.5, 14.7952), (3, 12.0214)}.

7

1.1: El concepto de función

Esto significa, por ejemplo, que el objeto tenía la temperatura 9.85476 °C al iniciar el experimento y, al cabo de tres horas alcanzó la temperatura de 12.0214 °C. Otras formas de presentar estos datos son, por ejemplo, por medio de una tabla de valores o por un esquema gráfico de conjuntos, como se muestra en la tabla 3 y en la figura 3. Tabla 3 Resultados del experimento de

tiempo (horas)

medir la temperatura de un objeto.

t (horas)

0.0

T (ºC)

9.85476 0.5

0.0

9.85476

0.5

12.4619

1.0

14.5262

1.5

Temperatura(°C)

1.0

12.4619 14.5262

1.5

15.781

15.7810

2.0

15.9595

2.0

15.9595

2.5

14.7952

2.5

14.7952

3.0

3.0

12.0214

12.0214

FIGURA 3. Esquema de conjuntos para presentar los datos del experimento de medir la temperatura de un objeto.

Una tercera posibilidad consiste en mostrar las parejas ordenadas como puntos en un esquema gráfico. En este caso construimos dos ejes perpendiculares, cuya intersección es el origen. En el eje horizontal colocamos los tiempos y en el eje vertical las temperaturas. Así la pareja (0, 9.85476) se representaría como un punto con coordenadas: cero en el eje horizontal y 9.85476 en el vertical. En la figura 4 se muestran todos los puntos obtenidos en nuestro experimento.

20

T

15 10 5 t

⫺1

1

2

3

4

⫺5

FIGURA 4. Esquema gráfico para representar los puntos del experimento.

En general, es conveniente definir el plano cartesiano y la gráfica de una función.

8

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

Definición del plano cartesiano y de la gráfica de una función. El plano cartesiano 2 es el conjunto de puntos  2 = {( x, y) | x, y ∈} . Sea y = f(x) una función. Su gráfica es el conjunto de parejas ordenadas: Gr ( f ) =

{( x, y) ∈

2

}

| y = f ( x ) con x ∈ D f .

Una última forma de presentar los datos es por medio de una fórmula algebraica o regla de correspondencia que relacione la temperatura con el tiempo. Más adelante, explicaremos cómo determinar una fórmula de este tipo a partir de un conjunto de puntos. Por el momento, basta con indicar que una expresión que permite calcular la temperatura de nuestro objeto en el tiempo, es: T (t ) = 9.85476 + 5.57937t − 0.552381t 2 − 0.355556t 3 . Con esta regla podemos estimar los valores de la temperatura aún en tiempos donde no hayamos tomado medidas. En general, si (x, y) ∈ f, escribiremos y = f (x). Además, a la variable “x” le llamaremos variable independiente, mientras que a la variable “y” la llamaremos variable dependiente. Asimismo, diremos que “y” es la imagen de “x” bajo la función f y que, f (x) es la regla de correspondencia que asocia valores de x con y. En muchas ocasiones hablamos de la función indicando sólo la regla de correspondencia; en esos casos, si no se restringe explícitamente el dominio, se sobreentiende que el dominio está formado por todos aquellos números para los cuales la regla tiene sentido. Por ejemplo, una función como f ( x) =

x + 2 x −1 − x2 − 4 x +1

tiene dominio D f = {x ∈ | x ≠ −2, x ≠ −1, x ≠ 2}. Por otra parte, no todas las curvas representan una función. En efecto, por la definición de función, no puede haber dos elementos (x, y1) y (x, y2) con y1 ≠ y2. Por lo tanto, tenemos el siguiente criterio gráfico para determinar si una curva puede representar una función.

Criterio de la recta vertical. Una curva es la gráfica de una función y = f (x) si cada recta vertical corta a la curva a lo más en un punto.

De acuerdo con el criterio anterior, la curva de la figura 5a representa la gráfica de una función y = f (x), mientras que la curva de la figura 5b no representa una función, pues cualquier recta vertical, por ejemplo, la recta x = 2, corta la gráfica en dos puntos.

9

1.1: El concepto de función

a)

b)

y

1.5

5

1

4

y

3 1

⫺

2

3

4

5

6

7 x

1

⫺1 ⫺1.5

2

⫺1

a)

4

6

8

10 x

b)

FIGURA 5. ¿Qué gráfica representa a una función de la forma y = f (x)?

Por ultimo, es erróneo pensar que una función siempre se debe representar por medio de una “fórmula”; bastará que leas un periódico para darte cuenta de que una función también puede representarse por otros medios. Por ejemplo, un periodista que desee mostrar cómo está cambiando la cotización del dólar frente al peso, seguramente lo hará con una tabla de valores o, en el mejor de los casos, con una gráfica, pero nunca con una fórmula. Y ni qué decir al respecto de que muchas leyes científicas tienen en ocasiones enunciados más cómodos y descriptivos que los que podría dar una fórmula. Por ejemplo, la ley de la gravitación universal de Newton se enuncia así: “Dos cuerpos cualesquiera se atraen entre sí con una fuerza cuya magnitud es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa a sus centros”. En conclusión, existen diversas formas de representar a una función, entre ellas tenemos las descripciones verbales, las algebraicas, las numéricas y las gráficas. Analizaremos cada una de estas formas en los ejemplos y capítulos siguientes.

Ejemplos Ejemplo 1. La temperatura en la Ciudad de México el 30 de septiembre de 2005, entre las 7:00 y las 12:00 horas, se muestra en la siguiente tabla. Describe la variable independiente, la variable dependiente y el dominio para la función anterior. Bosqueja la gráfica de esta función. Hora (h) Temperatura (T) en ºC

7:00

7:30

8:00

8:30

9:00

9:30

11

11

13

13

15

18

10:00 10:30 11:00 11:30 12.00 19

20

22

24

27

solución Como la temperatura depende de la hora del día (y no la hora de la temperatura), T es la variable dependiente, mientras que h es la variable independiente, es decir, T = f (h). Observa que la regla de correspondencia está dada por la tabla y que en este caso no contamos con una fórmula para f. El dominio consta de los valores de entrada de la función, los valores del primer renglón, esto es: D f = {7, 7.5, 8, 8.5, 9, 9.5, 10, 10.5, 11, 11.5, 12}.

10

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

Los números del segundo renglón son las imágenes bajo la función. La gráfica de esta función consta de los 11 puntos:

{(7, 11),

(7.5, 11), (8, 13), (8.5, 13), (9, 15), (9.5, 18), (10, 19), (10.5, 20), (11, 22), (11.5, 24), (12, 27)}

El bosquejo de la gráfica se muestra en la figura 6. T

T 30

30

25

25

20

20

15

15

10

10

5

5

a)

8

9

10

11

12

h

b)

8

9

10

11

12

h

FIGURA 6. La gráfica de T = f (h) en sus esquemas discreto y continuo. En a) se consideran sólo sus 11 puntos. En b) los 11 puntos se han unido para obtener un trazo continuo.

Ejemplo 2. ¿La siguiente tabla representa una función? x y

7 0

2 3

–4 1

4 –18

2 –7

solución Si suponemos que y es la variable dependiente y x la independiente, la tabla anterior no representa una función, debido a que para el mismo valor del dominio (entrada) tenemos dos imágenes diferentes (salidas), más concretamente, al elemento 2 se le asignan los números 3 y –7. Si consideramos a y como la variable independiente y a x como la variable dependiente, la tabla sí representa una función, pues a cada punto del dominio {0, 3, 1, −18, −7} le corresponde exactamente una imagen, luego x = f (y).

Ejemplo 3. Determina el dominio y la imagen de la función f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 .

11

1.1: El concepto de función

solución Para determinar el dominio debemos considerar que la regla de correspondencia tiene sentido siempre que la expresión subradical sea no negativa. Es decir, el dominio está formado por todos los puntos donde se cumple que: x 2 − 2x − 3 ≥ 0. Si completamos el trinomio cuadrado de esta expresión tenemos: x2 − 2x +1 ≥ 3 +1 ( x − 1) 2 ≥ 4 Para resolver esta última desigualdad recordemos que a2 ≥ b > 0 si, y sólo si a ≥ b o a ≤ − b . En nuestro caso, se tiene: x−1≥2 x≥3 x ∈ [3, ∞)

x − 1 ≤ −2 x ≤ −1 x ∈ (−∞, −1]

o o o

Ahora bien, recuerda que el conectivo “o” se traduce dentro del lenguaje de conjuntos en una unión de conjuntos, mientras que el conectivo “y” en una intersección. Así, lo que dicen las anteriores restricciones es que, una vez encontrados los conjuntos solución de ambas desigualdades, éstos deberán unirse. Por lo que el dominio es: Dom f = ( −∞, −1] ∪ [3, ∞) .

Ejemplo 4. Considera la función f dada por f ( x ) = x 2 + 2 x + 2. a) Encuentra la imagen de los números 2 y

3.

f ( x + h) − f ( x ) . h c) Determina la imagen de la función. b) Calcula y simplifica la expresión

solución a) En el lugar que ocupa x dentro de la función, sustituimos 2: f (2) = 2 2 + 2(2) + 2 = 10. De la misma forma, f ( 3) =

( 3)

2

+2

( 3) + 2 = 5 + 2

3.

b) El único término que requiere algún comentario es f (x + h). La idea es la misma que en a), donde aparece x en la función colocaremos el nuevo argumento x + h. De esta manera,

12

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

[

2 2 f ( x + h ) − f ( x ) ( x + h ) + 2( x + h ) + 2 − x + 2 x + 2 = h h

=

]

x 2 + 2 hx + h 2 + 2 x + 2 h + 2 − x 2 − 2 x − 2 h

2 hx + h 2 + 2 h h(2 x + h + 2) = h h = 2x + h + 2 =

2 c) En cuanto a la imagen, notamos que f ( x ) = ( x + 1) + 1 ≥ 1, de donde deducimos que: If = [1, +∞).

Ejemplo 5. Para cada una de las siguientes funciones determina el dominio correspondiente. 2 2 a) f ( x ) = 1 − x + x − 4

2 b) f ( x ) = 1 − 4 − x +

1 4

x x2 − 3

solución Antes de empezar, recordemos que: • a2 ≤ b

[

]

si y sólo si a ∈ − b , b .

• a2 ≥ b > 0

si y sólo si a ∈( −∞, − b ] ∪ [ b , ∞) .

Si regresamos a nuestros ejercicios, observa que en ambos incisos necesitamos exigir que las expresiones subradicales no sean negativas, por tener raíces de índice par y porque queremos mantener nuestro trabajo en el campo de los números reales. a) En el primer ejercicio necesitamos que: 1 ≥0 4

1 − x2 ≥ 0

y

x2 −

x2 ≤ 1

y

x2 ≥ 1/4

x ∈[ −1, 1]

y

1 1 x ∈ −∞, −  ∪  , ∞ .  2 2 

de donde,

Si recordamos que el conectivo “y” indica que al final debemos intersecar los conjuntos, hallamos el dominio de la función 1 1 D f = −1, −  ∪  ,1 . 2 2  

13

1.1: El concepto de función

b) En este ejercicio las condiciones requeridas son 4 − x2 ≥ 0,

1− 4 − x2 ≥ 0

x2 − 3 ≠ 0.

y

Al resolver las desigualdades y la inecuación tenemos que: 1 ≥ 4 − x2 4 ≥ x2

1 ≥ 4 − x2

x ∈[ −2, 2]

x2 ≥ 3

(

] [

x ∈ −∞, − 3 ∪

x ≠± 3.

y

)

3, ∞ .

Si intersecamos los conjuntos obtenemos que:

[

) (

D f = −2, − 3 ∪

]

3, 2 .

Ejemplo 6.

ax+b a) ¿Para qué valores de a, b, c y d; c ≠ 0 la función f ( x ) = satisface que f ( f ( x )) = x , para toc x+d −d do x ≠ ? c 3x + 2 b) Verifica que la función f ( x ) = satisfaga la condición impuesta del inciso a). Determina su 2x − 3 dominio e imagen.

solución ax + b  ax + b  = x . En cuanto al cálculo de f  a) Tenemos que f ( f ( x )) = x equivale a f  , la idea es  cx + d   cx + d  la misma, donde aparezca x en la fórmula de f, sustituiremos el nuevo argumento ax + b , por lo tanto: cx + d ax + b   a +b  cx + d  a( ax + b) + b(cx + d ) x= = , ax + b  c( ax + b) + d (cx + d )  c +d  cx + d  entonces, x=

a 2 x + ab + bcx + bd , o acx 2 + bcx + cdx 2 + d 2 x = a 2 x + ab + bcx + bd . acx + bc + cdx + d 2

Si en la última ecuación transponemos términos y factorizamos, hallamos que:

(

)

c( a + d ) x 2 + d 2 − a 2 x − b( a + d ) = 0 , válida para todo x ≠

−d . c

Como una ecuación cuadrática puede tener a lo más dos soluciones, a no ser que todos sus coeficientes sean iguales a cero, concluimos que c(a + d) = 0, d2 − a2 = 0 y −b(a + d) = 0. Ya que c ≠ 0,

14

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

las tres ecuaciones anteriores se cumplen si, y sólo si d = −a. En conclusión, para que la función f cumpla la condición f ( f ( x )) = x se requiere que f sea de la forma f ( x) =

ax + b . cx − a

3x + 2 es del tipo de funciones descritas en la conclusión del ejercicio 2x − 3 anterior. En cuanto al dominio, debemos tener cuidado de no realizar divisiones entre cero. Por lo tan-

b) Claramente la función f ( x ) = to D f =  − {3 2}.

Para hallar la imagen debemos trabajar un poco más. Queremos determinar para qué valores de y 3x + 2 existe un x ∈ Df tal que y = f ( x ) = se cumpla. De esta ecuación se tiene que: 2x − 3 2 xy − 3 y = 3 x + 2 , x (2 y − 3) = 3 y + 2 . Despejando la variable x, x=

3y + 2 , 2y − 3

3 que tendrá sentido siempre y cuando y ≠ . De aquí concluimos que I f =  − {3 2} . 2

Ejemplo 7. Si f ( x ) = x 2 + 4 x + 6, determina dos funciones g, para las cuales f ( g( x )) = x 2 − 4 x + 5. Para cada una de las funciones halladas, determina su dominio e imagen.

solución Requerimos que: f ( g( x )) = ( g( x )) + 4 g( x ) + 6 = x 2 − 4 x + 5 . 2

Después de trasponer y agrupar términos, esta ecuación equivale a

(g( x ))2 + 4 g( x ) + (4 x + 1 − x 2 ) = 0. Si identificamos a y = g(x) como nuestra incógnita y usamos la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado, determinamos que:

g( x ) =

(

−4 ± 16 − 4 4 x + 1 − x 2 2

) = −2 ±

(

)

4 − 4x + 1 − x2 .

Debido a la presencia del doble signo ± inferimos que y = g(x) no será función, a menos que los separemos; deducimos de ello la existencia de dos funciones, a saber:

15

1.1: El concepto de función

(

)

( x − 2)2 − 1 ,

(

)

( x − 2)2 − 1 .

g 1 ( x ) = −2 + 4 − 4 x + 1 − x 2 = −2 + x 2 − 4 x + 3 = −2 + y

g 2 ( x ) = −2 − 4 − 4 x + 1 − x 2 = −2 − x 2 − 4 x + 3 = −2 −

2 Respecto a los dominios, requerimos que ( x − 2) − 1 ≥ 0 , de lo cual resulta que x ≤ 1 o x ≥ 3. En conclusión:

Dg1 = Dg2 = ( −∞,1] ∪ [3, +∞) . En cuanto a las imágenes de las funciones, éstas no son iguales. En efecto,

( x − 2)2 − 1 ≥ 0 , por lo cual

g 1 ( x ) = −2 +

( x − 2)2 − 1 ≥ −2, para todo x ∈ Dg1

g 2 ( x ) = −2 −

( x − 2)2 − 1 ≤ −2, para todo x ∈ Dg2.

mientras que

De aquí resulta que Ig1 = [ −2, +∞) mientras que Ig2 = ( −∞, −2].

El uso de las funciones en la modelación Las funciones suelen aparecer en diferentes contextos; en mayor medida aparecen en problemas de modelación matemática, donde, a partir de descripciones, se busca establecer una relación algebraica entre diferentes variables. Conociendo esta relación, es posible analizar con mayor detalle y profundidad la situación o problema que se trate. Generalmente, en los problemas se necesitará restringir el dominio de la función obtenida a un dominio donde tenga sentido la situación tratada. Supón, por ejemplo, que en la fórmula A = x(200 − 2x), x representa la longitud de un lado de un rectángulo y A su área. Entonces, aunque matemáticamente x podría tomar cualquier valor real, x se debe restringir de tal manera que 0 < x < 100, pues de otra forma se violaría el contexto natural de la situación; incluso, por la conveniencia de los resultados matemáticos, es posible ampliar el dominio a 0 ≤ x ≤ 100, pero no más de esto. Nosotros llamaremos a este dominio restringido el dominio implícito de f y lo denotaremos por Df (imp).

Ejemplos Ejemplo 8. Un vendedor recibe un salario mensual base de $10 000 más una comisión de $300.00 por cada artículo que venda. Determina las variables dependiente e independiente, encuentra una función que describa el salario del vendedor en términos del número de unidades que venda al mes, y especifica el dominio y el dominio implícito de esta función.

16

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

solución Denotemos con S el salario del vendedor que depende del número de unidades n que venda al mes. Así, la variable independiente es n, mientras que la variable dependiente es S. Con esta notación, 300n es la cantidad que recibe el vendedor por comisión, así que su salario es 10 000 + 300n. Es decir: S = f(n) = 10 000 + 300n. Si consideramos sólo la fórmula para S, es perfectamente posible sustituir valores negativos para n y obtener un número real. Por ejemplo: f(−10) = 10 000 + 300(−10) = 7 000, por lo que Df = . Sin embargo, en el contexto del problema, no es posible que se venda una cantidad negativa de artículos, el peor de los panoramas es que no venda nada en algún mes. Tampoco es claro si se pueden vender o no fracciones de unidades, por lo tanto, consideramos que Df (imp) = [0, +∞). Nota: Por el contexto del problema, es muy probable que n pertenezca al conjunto de los enteros no negativos; sin embargo, para poder utilizar las herramientas del cálculo, es necesario ampliar este dominio a un intervalo tal y como lo hemos hecho. En la práctica se sigue esta estrategia, después se interpretan los resultados, de forma que los valores de la variable tengan el sentido de la situación.

Ejemplo 9. Una empresa de turismo alquila un camión de pasajeros a $200 por persona hasta 30 pasajeros. Si se tienen más de 30 pasajeros, por cada persona adicional el precio se reduce en $1.50 por pasajero. El cupo máximo es 40 y el mínimo es 25 pasajeros. Determina la función para el costo del alquiler del camión en términos del número de pasajeros.

solución Denotamos con x el número de pasajeros. Dividimos la regla de correspondencia en dos casos: 1. Si se tienen de 25 a 30 pasajeros el precio es de 200x. 2. Si el número de pasajeros es mayor a 30 y máximo 40, el precio de cada pasaje disminuye en 1.50. El número de pasajeros arriba de 30 es x − 30. La reducción en el precio de cada pasajero es 1.50(x − 30) y cada pasajero deberá pagar 200 − 1.5(x − 30). Por lo tanto, el costo total es [200 − 1.5(x − 30)]x. Éste es un ejemplo de una función seccionada y la regla de correspondencia se escribe como:

200 x  f ( x) =  2 245 x − 1.5 x

si 25 ≤ x ≤ 30 si 30 < x ≤ 40

17

1.1: El concepto de función

Ejemplo 10. Una empresa se dedica a construir tiendas de campaña a partir de lonas cuadradas de 20 pies de lado. Para la construcción de las tiendas puedes cortar partes de las cuatro esquinas, como se ve en la figura 7, de modo que las cuatro partes restantes se puedan doblar y formar así la tienda con la forma de una pirámide con base cuadrada.

10–x

x

FIGURA 7. Lonas cuadradas para la construcción de tiendas de campaña.

a) Si la base es cuadrada determina el volumen V de la tienda como una función de x. b) Usa algún apoyo de graficación para ilustrar la función V(x). Explica lo que observes de ella.

solución a) El volumen de una pirámide de base A y altura h es “un tercio del área de la base por la altura”. Ahora bien, como la base es cuadrada y su lado es 2x, resulta que el área de la base es 4x2. En cuanto a la altura “h”, ésta podrá obtenerse como el valor de un cateto del triángulo rectángulo que se muestra en la figura 8.

10–x h

x FIGURA 8. Figura auxiliar para la determinación de la altura de la casa de campaña.

18

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

Como puedes observar, h = (10 − x )2 − x 2 = 100 − 20 x ; luego, V = V ( x) =

4 2 x 100 − 20 x . 3

De donde, DV (imp) = [0, 5]. b) La función V(x) no tiene una estructura simple, así que elaboramos una tabla para conocer algo más de ella. En la tabla 4 se muestran los resultados obtenidos, y en la figura 9 un bosquejo de la gráfica del volumen. Observando la tabla y la gráfica puede intuirse que, con el valor de x = 4 se obtendrá el máximo valor para el volumen.

Tabla 4 Resultados obtenidos al calcular el volumen para varios valores de x.

x

V(x V( (x) V x) 100 V(

0.0

0.0

0.5

3.16228

80

1.0

11.9257

70

1.5

25.0998

2.0

41.3118

2.5

58.9256

3.0

75.8947

3.5

89.4614

4.0

95.4056

4.5

85.3815

5.0

0.0

60 40 20 ⫺1

⫺20

1

2

3

4

5

x 6

FIGURA 9. La gráfica de la función V = V(x) obtenida en el paquete Mathematica con la instrucción Plot[(4/3)x^2*Sqrt[100-20x],{x,0,5}].

Nota. Una tabla de valores es un paso previo para construir la gráfica de la función. En realidad, debemos señalar que, a menos que uses un paquete computacional, este método de graficación tiene grandes carencias. Posteriormente desarrollaremos en el libro herramientas poderosas para construir gráficas.

19

1.1: El concepto de función

Algunos aspectos sobre graficación de funciones Para construir la gráfica de una función, suele ser útil considerar algunos aspectos de simetría. Para ello necesitamos formular antes algunas definiciones.

Funciones pares e impares. • f (x) es una función par si f ( − x ) = f ( x ) , para cada x en el dominio de f. • f (x) es una función impar si f ( − x ) = − f ( x ) , para cada x en el dominio de f.

Si una función es par, toma el mismo valor en x y en −x; esto significa que la gráfica de la función tiene la misma altura para los valores simétricos x y −x del eje horizontal, luego la gráfica es simétrica respecto al eje y. Dicho de otra manera, si doblas sobre el eje vertical la parte derecha de la gráfica, ésta deberá coincidir con la parte izquierda de la misma. Si una función es impar, las alturas correspondientes a los valores simétricos x y −x del eje horizontal son iguales pero de signos contrarios. Esto produce una simetría que se conoce como simetría respecto al origen. Dicho de otra manera, si la parte derecha de la gráfica de una función se dobla con respecto al eje vertical, y después se vuelve a doblar con respecto al eje horizontal, ésta deberá coincidir con la parte izquierda de la gráfica. En la figura 10 se muestran gráficas de una función par y de una función impar.

⫺44

⫺33

⫺22

⫺

1

2

3

4

x

⫺44

⫺33

⫺22

2

b) FIGURA 10. La gráfica de funciones pares e impares. En a) se muestra una función par, nota que las altura en x = 2 y en x = −2 son iguales y que la gráfica es simétrica respecto al eje y. En b) se muestra una función impar que es simétrica respecto al origen.

Sin embargo, no todas las funciones son pares o impares. Por ejemplo, f(x) = x3 + x2 no es par y tampoco es impar. Otro aspecto importante que debiéramos considerar en el proceso de graficación corresponde a la siguiente situación general sobre traslaciones y cambios de escala: conocida la gráfica de una función y = f(x), determinar la gráfica de la función y = af(bx + c) + d, donde a, b, c y d son constantes. La idea general es que la gráfica de y = af(bx + c) + d

3

4

x

20

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

es básicamente la misma que la gráfica de y = f (x), salvo por traslaciones, reflexiones, contracciones o amplificaciones. Las figuras 11-14 muestran cada uno de los casos de la situación general. a) La gráfica de y = f(x) + c, pintada en color negro, se traslada “c > 0” unidades hacia arriba respecto a la gráfica de y = f(x) (dibujada en color azul); en caso de que c < 0, la gráfica se desplazará “c” unidades hacia abajo. En el caso mostrado c = 3. y 6 4 2 ⫺3

⫺2

⫺1

1

2

3 x

⫺2 FIGURA 11. La curva y = f(x) + c.

b) La gráfica de y = f(x + c) (en color negro) se traslada “c > 0” unidades a la izquierda respecto a la gráfica de y = f(x) (en color azul). En caso de que c < 0, la gráfica se desplazará “c” unidades hacia la derecha. En el caso mostrado c = 1. 6

y

4 2 ⫺6

⫺4

⫺2

2

⫺2

4

6 x

⫺4 ⫺6

FIGURA 12. La curva y = f(x + c).

c) La gráfica de y = cf(x) (en color negro) se amplifica “sobre el eje y” para |c| > 1. Para |c| < 1, la gráfica se “contrae sobre el eje y”. Además, si c < 0 la gráfica se refleja sobre el eje “x”. Aquí, c = −2.

6

y

4 2 ⫺3

⫺2

⫺1

⫺2

1

2

3 x

⫺4 ⫺6

FIGURA 13. La curva y = cf(x).

21

1.1: El concepto de función

d) La gráfica de y = f(cx) (en color negro) se amplifica “sobre el eje x” para |c| < 1. Para |c| > 1, la gráfica se “contrae sobre el eje x”. Además, si c < 0 la gráfica se refleja sobre el eje “y”. Aquí, c = 2. 2

y

1.5 1 0.5 ⫺1.5

⫺1

⫺0.5 ⫺0.5

0.5

1

1.5 x

⫺1

FIGURA 14. La curva y = f(cx).

Sin entrar todavía en muchos tecnicismos, podemos decir que el siguiente proceso constituye una buena referencia para bosquejar la gráfica de una función.

Elementos de apoyo para el proceso de graficación: a) Calcula el dominio de la función. b) Calcula las raíces de la función, en caso de ser posible. Esto es, los puntos x ∈ D f para los cuales f(x) = 0; éstas proporcionan las intersecciones con los ejes coordenados. c) Determina si la función tiene paridad. d) Utiliza las operaciones de traslación y escala en la medida de lo posible. e) Analiza el comportamiento de la función para valores de la variable independiente “muy grandes” (precisaremos esto en las secciones que abordan el tema de límites).

Ejemplos Ejemplo 11. Con los elementos de apoyo para el proceso de graficación, elabora un bosquejo de la gráfica de la función f(x) = x4 − x2.

solución a) Claramente el dominio de la función es Df = . Por lo tanto, la gráfica deberá extenderse a lo largo de todo el eje horizontal en el plano cartesiano.

22

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

b) Observa que f(x) = x4 − x2 = x2(x2 − 1), de donde inferimos que las raíces son x = 0, y x = ±1. Estos puntos pertenecen al dominio e indican dónde la gráfica de f corta al eje horizontal. Además con x = 0, y = 0, por lo tanto, el único punto donde la gráfica intercepta al eje vertical es el origen de coordenadas (0, 0). Es decir, la función es negativa o cero en el intervalo [−1, 1], y es positiva fuera de ese intervalo. c) Tenemos que f(−x) = (−x)4 − (−x)2 = x4 − x2 = f(x), así que f es una función par. d) Nota que para valores de x “muy grandes” (tanto positivos como negativos) x4 es mayor que x2 y la gráfica se comportará como la gráfica de la curva y = x4. El bosquejo de la gráfica se muestra en la figura 15. y

x ⫺1.5

⫺1

1

1.5

FIGURA 15. Gráfica de la función f(x) = x4 − x2.

Operaciones con funciones Existen cinco operaciones básicas que podemos realizar con funciones, a saber: suma, resta, multiplicación, división y composición. Las primeras cuatro son muy similares a las operaciones que usas con números, la quinta operación es muy distinta. A continuación las definimos.

Definición Operaciones con funciones. Sean f y g dos funciones: I. La suma, f + g, es la función que tiene regla de correspondencia (f + g)(x) = f(x) + g(x) y dominio Df + g = Df ∩ Dg. II. La diferencia, f − g, es la función que tiene regla de correspondencia (f − g)(x) = f(x) − g(x) y dominio Df − g = Df ∩ Dg. III. El producto, fg, es la función con regla de correspondencia (fg)(x) = f(x) g(x) y dominio Df g = Df ∩ Dg.

23

1.1: El concepto de función

f f  f ( x) , es la función con regla de correspondencia   ( x ) = y g g( x )  g dominio D f / g = D f ∩ Dg − {x ∈ | g( x ) = 0}.

IV. El cociente,

V. La composición de f seguida de g, g  f, es la función con regla de correspondencia ( g o f )( x ) = g( f ( x )) y dominio Dgo f = x ∈ D f | f ( x ) ∈ Dg .

{

}

La primeras cuatro operaciones tienen una aritmética similar a la de los números reales. Por ejemplo, tienen las propiedades de asociatividad y conmutatividad. La quinta operación se puede utilizar para visualizar funciones complejas, reescribiéndolas en términos de funciones más simples. Observa que la regla de correspondencia de la composición g  f tiene sentido cuando x está en el dominio de la primera función, f en este caso; y su imagen, f(x), está en el dominio de la segunda función, g.

Ejemplos Ejemplo 12. 3 Sean f ( x ) = 2 x −

g 3 3 2 y g( x ) = x + + 5 . Encuentra las funciones f + g, f − g, fg, . f x x

solución Los dominios de las funciones f y g son: D f = Dg =  − {0}. La función suma tiene regla de correspondencia:

( f + g)( x ) =

f ( x ) + g( x ) = 2 x 3 −

3 3 + x2 + + 5 = 2x3 + x2 + 5 x x

y su dominio es: D f + g = D f ∩ Dg =  − {0}. Observa que el dominio se obtiene con la intersección de los dominios de cada función y no con la regla de correspondencia final. La función resta tiene regla de correspondencia:

( f − g)( x ) = 2 x 3 + x 2 −

6 − 5. x

El dominio es igual que para el caso de la suma: D f − g = D f ∩ Dg =  − {0}. La regla de correspondencia de la función producto es:

( f g)( x ) =

3 3 9 15 f ( x ) g( x ) =  2 x 3 −   x 2 + + 5 = 2 x 5 + 10 x 3 + 6 x 2 − 3 x − 2 − .     x x x x

24

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

El dominio es igual que para los casos anteriores: Df g = Df ∩ Dg =  − {0}. En el caso de la función cociente, se tiene la regla de correspondencia: 3 x2 + + 5  g x 3 + 5x + 3 x = .   ( x) = 3 2x4 − 3  f 2x3 − x Observa que el dominio se encuentra a partir de los dominios de cada función, eliminando aquellos valores en los cuales se anula el denominador. Nota que no se usa la regla de correspondencia simplificada para el cálculo del dominio. Dg / f = Dg ∩ D f − {x | f ( x ) = 0} 3 = ( − {0}) −  x | 2 x 3 − = 0  x    3 3 =  − 0, 4 , − 4 . 2 2 

Ejemplo 13. Determina las reglas de correspondencia de h  ϕ y ϕ  h si ϕ ( x ) = 5 x + 2 y h( x ) =

2 . x2 − 3

solución Observa que Dϕ = [−2, ∞) y Dh =  − ción es:

{

}

3 , − 3 . La regla de correspondencia de la primera composi-

(h o ϕ )( x ) = h(ϕ ( x )) = h(5

)

x+2 =

2

(5

x+2

)

2

−3

=

2 . 25 x + 47

El dominio es como sigue:

{

Dhoϕ = x ∈ Dϕ | ϕ ( x ) ∈ Dh

}

{

{ 3}

= x ∈[ −2, ∞) | 5 x + 2 ∈ −

{

= x ∈[ −2, ∞) | 5 x + 2 ≠

3, − 3

}}

Así que, determinamos el valor para el cual 5 x + 2 = 3 y lo quitamos del intervalo: 5 x + 2 = 3 ⇔ 25( x + 2) = 3 ⇔ x = − Por lo tanto, el dominio es: 47 47 Dhoϕ = −2, −  ∪  − , ∞ .   25 25  

47 . 25

25

1.1: El concepto de función

Para la segunda composición ϕ  h, tenemos que: 2  2 2x2 − 4 =5 2 +2 =5 . x − 3 x −3 x2 − 3 El dominio de esta composición es:

(ϕ o h)( x ) = ϕ (h( x )) = ϕ 

{

Dϕoh = x ∈ Dh | h( x ) ∈ Dϕ =  x ∈ − 

{

2

}

} x 2− 3 ∈[−2, ∞) = x ∈ − {

3, − 3 :

2

} x 2− 3 ≥ −2.

3, − 3 :

2

Para resolver esta última desigualdad, observemos que tenemos dos casos, a saber: x2 > 3 y x2 < 3. Si x2 > 3

Si x2 < 3

2 ≥ −2( x 2 − 3);

2 ≤ −2( x 2 − 3);

2 ≥ −2 x 2 + 6;

2 ≤ −2 x 2 + 6;

2 x 2 ≥ 4;

2 x 2 ≤ 4;

x 2 ≥ 2.

x 2 ≤ 2.

De donde, como se deben cumplir las dos desigualdades x2 > 3 y x2 ≥ 2 se tiene que:

(

) (

x ∈ −∞, − 3 ∪

3, ∞

De donde, como se deben cumplir las dos desigualdades x2 < 3 y x2 < 2 se tiene que:

[

)

]

x ∈ − 2, 2 .

Finalmente el dominio es:

(

) [

] (

Dϕoh = −∞, − 3 ∪ − 2 , 2 ∪

)

3, ∞ .

Nota. Es importante señalar que, el dominio de una composición de funciones se obtiene de acuerdo con la definición de composición, no con la regla de correspondencia de la función compuesta.

Ejemplo 14. Determina la regla de correspondencia de la composición p  q si p(t ) =

3 6 y q(t ) = . t −1 t

solución Los dominios son Dp =  − {0} y Dq =  − {1}. La regla de correspondencia es:

( p o q)(t ) = p(q(t )) = p

3  6 = = 2t − 2 . 3  t −1 t −1

26

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

El dominio es 3   Dpoq = t ∈ − {1} ∈ − {0}  =  − {1}. 1 t −   Observa que el dominio  − {1} no coincide con el dominio de la regla de correspondencia de la función compuesta .

1. ¿Todas las relaciones son funciones?, ¿todas las funciones son relaciones? 2. Para cada una de las siguientes funciones determina su dominio, y haz lo que se pide (en caso de pedirse). a) f ( x ) =

x2 . Calcula f(2), f(−4), f(2 + a). 16 − x 2

b) f ( x ) =

x+ x+2 . 4−x

c) f ( x ) =

x+3 x+2 . 4−x

d) f ( x ) =

x −3 f (3 + h) − f (3) . Calcula ; h > 0. x−2 h

e) Considera la función g( x ) =

x −3 . ¿La función f del inciso anterior y g son la misma función? x−2

f ) f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9 . Calcula

f (0 + h) − f (0) . h

3. En cada uno de los siguientes incisos, determina si la función dada es par, impar, o no tiene paridad. a) f ( x ) = −2 x 2 + 3 x 4 + x 6

d) f ( x ) = 3 x 3 + 2 x 5 − x 7

b) f ( x ) =

x2 − 3 x4 + 5

e) f ( x ) =

c) f ( x ) =

2x3 x2 + 7

f ) f ( x) = x − x 3

x2 + 2x +1 x 4 + 5x 2 + 1

g) f ( x ) = x 2 / 3

27

1.1: El concepto de función

4. Utiliza la gráfica de la función y = f(x), mostrada en la figura 16, para graficar la función dada en cada caso.

4

y

3 2 1 ⫺4

⫺2

2

⫺1

4

x

FIGURA 16. La gráfica de la función y = f(x) del ejercicio 4.

a) y = f(x + 2)

e) y = 2f(x − 1)

i) y = 1 − 3f(x + 2)

b) y = 3f(x)

f ) y = f(x − 1) + 3

j) y = 3 + 2f(x − 1)

c) y = f(x) − 4

g) y = −f(x + 2)

k) y = 1 + 2f(2x − 4)

d) y = f(x − 3)

h) y = 2 − f(x)

l) y = −1 + 3f(0.5x − 1)

5. Dadas f(x) = x + 2 y g( x ) =

1 , determina cuáles de los siguientes enunciados son correctos. x +1  f c)   ( −1) = 0  g

a) Df  g = Dg  f b) ( g o f )( x ) = 6. Si f ( x ) =

x +1 x −1 2

 f d)   ( −2) = 0  g

1 x +3

y g(x) = 4x2 − 1, indica la opción que contiene el dominio de f/g.

1 1 a)  − −1, − , ,1 2 2  

c) 

b)  − ( −1,1)

d) ( −∞, −1) ∪ (1, ∞)

1 , que se muestra en la figura 17, y de las traslaciones y x cambios de escala discutidos en esta sección, grafica en el mismo sistema de referencia:

7. A partir de la gráfica de la función f ( x ) =

a) Las funciones g( x ) =

x 4 y h( x ) = 1 + , e identifica los valores de x para los cuales se cumple: 2 x x 4 >1+ . 2 x

28

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

b) Las funciones g( x ) =

2 3 y h( x ) = , e identifica los valores de x para los cuales: x +1 x −1 3 2 < x −1 x +1

c) Para los incisos anteriores, confirma analíticamente las respuestas halladas respecto a x. y

x

FIGURA 17. La gráfica del ejercicio 7.

8. Elabora un bosquejo de la gráfica de la función f(x) = x4 − 4x3. Considera que g(x) = 2x − 4, construye la gráfica de la función h(x) = 6(fog)(x) + 1 sobre el bosquejo del inciso anterior. 9. Sea f cualquier función con dominio simétrico al origen, de manera tal que, si x ∈ Df, entonces −x ∈ 1 1 Df . Si g( x ) = [ f ( x ) + f ( − x )] y h( x ) = [ f ( x ) − f ( − x )] , muestra que g es una función par, mientras 2 2 que h es una función impar. 10. El diámetro d de un cubo es la distancia entre dos de sus vértices opuestos. Expresa a d como una función del lado x del cubo. 11. Un despacho contable fue construido sobre un área de 46 m2 y distribuido en dos salas, una de espera y una oficina de acuerdo a la siguiente figura.

Sala de espera

Oficina

y

FIGURA 18. El despacho del ejercicio 11.

x

29

1.1: El concepto de función

Si cada puerta tiene una extensión de 90 centímetros, y las paredes tienen una altura de 3 metros, determina: b) La expresión que proporciona la longitud y como una función del ancho x. c) Como una función de x, el costo que tuvo la construcción del despacho, si el costo del piso fue de $70.00 el metro cuadrado, el del techo fue de $350.00 el metro cuadrado y el de las paredes fue de $230.00 el metro cuadrado. Desprecia la porción de pared en el espacio de las puertas. 12. Desde un punto exterior P que se encuentra a h unidades de una circunferencia de radio r0, se traza una recta tangente a la circunferencia como muestra la figura 19. Sea y la distancia del punto P al punto de tangencia T. a) Expresa a y como una función de h. b) Sea r0 el radio de la Tierra y h la altitud de un transbordador espacial. Observa que en este contexto, y representa la distancia máxima (desde la Tierra) a la que un astronauta puede ver desde el transbordador. Calcula y aproximadamente suponiendo que h = 200 millas.

T y

p

r

c

h

FIGURA 19. La imagen del ejercicio 12.

13. Se rellena con agua un recipiente cuya forma es la de un cono invertido, como se muestra en la figura 20. Expresa el volumen del agua del depósito en función de la altura alcanzada.

10

r 20 h

FIGURA 20. El cono del ejercicio 13.

30

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

14. De un tronco circular de diámetro d se corta una viga rectangular de ancho x, observa la figura 21. Expresa el área de la sección de la viga en función de x e indica el dominio implícito de la función.

x

d

FIGURA 21. La sección transversal del tronco del ejercicio 14.

15. El triángulo rectángulo de la figura 22 se hace girar alrededor del cateto AC, a fin de formar un cono. Expresa el volumen del cono en función de la longitud x del otro cateto. Calcula el dominio implícito de la función encontrada. C

10

A

x

B

FIGURA 22. El triángulo del ejercicio 15.

16. Un camión debe recorrer 360 kilómetros en una carretera plana a velocidad constante de v kilómetros v2 por hora. Supón que el combustible cuesta $6.50 por litro y que el consumo es de 10 + litros por 120 hora. Si el conductor cobra P0 (constante) pesos por hora, determina el costo del viaje en función de v. 17. Un cilindro se obtiene haciendo girar alrededor del eje x un rectángulo tal que, su base está en el eje x horizontal y queda contenido en la región comprendida entre la curva y = 2 y el eje x, como se x +1 muestra en la figura 23. Determina el volumen de este cilindro como una función de x. y

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1

x

FIGURA 23. La gráfica del ejercicio 17.

31

1.1: El concepto de función

Problemas para trabajar en equipo

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones. 1) “El caso del libro de la editorial Pearson Educación”

Con base en la teoría desarrollada en este capítulo, discute con tus compañeros el problema de la introducción y da una respuesta fundamentada a las preguntas que ahí se formulan. 2) “Envases y matemáticas”

En la figura 24 se muestran los datos de un envase de leche de un litro. Las líneas punteadas indican los lugares donde se dobla o corta el cartón que sirve para construir el envase. El envase del que hablamos tiene una base rectangular y una altura h hasta donde puede llegar la leche. a) Determina una expresión que proporcione la cantidad de material empleado para el envase en función de la variable “d”. b) Encuentra después el valor de “h” y “d” que producen la menor cantidad de material en tu diseño. c) Investiga si tus resultados se aproximan a alguno de los envases utilizados por la industria de lácteos, explica.

1.2 cm 4d/5

h

3d/5 1.0 cm

d

FIGURA 24. Envases de leche con capacidad de un litro.

32

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

1. Una estación meteorológica suelta un globo para observación a una distancia de 200 m de ella. El globo se eleva a razón de 1.5 m/s. Determina la opción que contiene la distancia D del globo a la estación, en función del tiempo t transcurrido desde el lanzamiento. a) D = 40 000 + 1.5t 2

c) D = 40 000 + 2.25t 2

b) D = 200 + 1.5 t

d) D = 40 000 + 2.25 t

2. Sea g( x ) = 4 − x 2 para −2 ≤ x ≤ 2. Elige la opción que contiene la proposición verdadera. a)

1 2 − g( x ) = 2 + g( x ) x2

c)

1 2 + g( x ) = g( x ) x2

b)

g( x ) x2 = 2 + g( x ) 2 − g( x )

d)

g( x ) 2 + g( x ) = 2 − x2 x2

3. Determina la opción que contiene una función par y otra impar cuya suma es la función f ( x) = 2x2 x ; h( x ) = 2 x2 −1 x −1 1 x b) g( x ) = 2 ; h( x ) = 2 x +1 x −1 a) g( x ) =

2 . x −1

2 x ; h( x ) = 2 1− x2 x −1 2x 2 d) g( x ) = 2 ; h( x ) = 2 x −1 x −1 c) g( x ) =

4. Elige la opción que contiene la función g que satisface: (f  g)(x) = x, si f ( x ) = x−2 x+3 x+3 b) g( x ) = x−2 a) g( x ) =

5. Sea f ( x ) =

x+2 x+3 3− x d) g( x ) = x−2

2x + 3 . x −1

c) g( x ) =

1 , determina la opción que proporciona el dominio de la función g = f  (1/ f ). x −1

a) Dg =  − {1}

c) Dg =  − {1, 2}

b) Dg =  − {2}

d) Dg =  − {0, 1, 2}

6. Relaciona las funciones que aparecen en la columna A con su dominio, imagen y propiedades de simetría que aparecen en la columna B. Columna A a) f(x) = x3 − 3x b) f(x) = x + 4x + 4 2

Columna B i. Dom( f ) =  ii. Dom( f ) = [0, ∞)

33

1.1: El concepto de función

c) y =

1 x +4

Dom( f ) = [1.5, ∞) Dom( f ) = [3, ∞) Imag( f ) =  Imag( f ) = [0, ∞) Imag( f ) = (0, 0.25] f(x) es par f(x) es impar f(x) no es par y no es impar

iii. iv. v. vi. vii. viii. ix. x.

2

d) y = 4 x 2 − 9

Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. No. La relación,  = {(2, 3), (3, 4), (4, −1), (2, 5)} no es una función, pues (2, 3) y (2, 5) ∈ . Toda función es una relación. 2. a) f (2) = 1 3 ; f(−4) no está definido. f (2 + a) =

( a + 2)2 2 y Df =  − {−4, 4}. 16 − ( a + 2)

b) Df = [−2, 4). c) Df = (−∞, 4). d)

f (3 + h) − f (3) = h

f)

f (0 + h) − f (0) = h

1

. Df = (−∞, 2) ∪ [3, +∞). h +h e) No son la misma función, pues Df ≠ Dg, ya que Dg = [3, +∞). 2

4h 2 − 12 h + 9 − 3 ; Df = . h

3. a) b) c) d) e) f) g)

f es una función par. f es una función par. f es una función impar. f es una función impar. f no tiene paridad. f no tiene paridad. f es una función par.

4. En cada caso, la gráfica inicial de y = f(x) es la de color azul. La respuesta para cada inciso es la gráfica que aparece en color negro.

34

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

y

y

x

4

b) 6 5 3 2

x

x

⫺4

⫺ 4

y

⫺4

⫺2

7 6 5 4 3 2 1 ⫺4

⫺2

2

⫺1 ⫺2 ⫺3

x

4

⫺4

g)

y

y

4 3 2 1

3 2 1

⫺2 ⫺1 ⫺2 ⫺3

4 3 2 1 2

h) 7 6 5 4 3 2

4

x

j)

4

x

⫺4

⫺2

⫺4

⫺2 ⫺1 ⫺2 ⫺3 ⫺4

y 6

y

4

x

y

2

4

x

i)

4 2 ⫺4

1 2

3

k)

2

4

x

⫺2

2 ⫺2

x

l)

5. b) y d) son correctos. 6. d). 7. La gráfica de ambas funciones es: y 4 2 ⫺6

⫺4

⫺2

2

4

6

x

⫺2 ⫺4 ⫺6

De la gráfica se desprende que la solución a la desigualdad dada es: (−2, 0) ∪ (4, +∞).

35

1.1: El concepto de función

y 2 1.5 1

a) La gráfica en color azul es la de g( x ) =

0.5

3 , x −1

⫺2.5 ⫺0.5

⫺5

⫺7.5

2 la de color negro es la de h( x ) = . x +1 La solución pedida es: (−∞, −5).

2.5

7.5 x

5

8. a)

50 y

b)

50

y

40 30

⫺2

20

⫺1 ⫺10

1

2

3

4

⫺50

10 ⫺2

⫺1

1

2

3

4

5

x

⫺20

⫺100 ⫺150

⫺30

La gráfica en color azul corresponde a la función y = f(x), la de color negro a la de y = h(x). 9. Tenemos que g( − x ) = h( − x ) =

1 1 f ( − x ) + f ( −( − x ))] = [ f ( − x ) + f ( x )] = g( x ), además: [ 2 2

1 1 1 f ( − x ) − f ( −( − x ))] = [ f ( − x ) − f ( x )] = − [ f ( x ) − f ( − x )] = − h( x ) [ 2 2 2

10. d = d ( x ) = 3 x . 11. C = C( x ) = 18 078 + 2 070 x +

63 480 . x

12. a) y = 2 r0 h + h 2 ; b) 1 280.6 millas. 13. V = V (h) =

π 3 h . 12

14. A = A( x ) = x d 2 − x 2 , DA(imp) = [0, d]. 1 15. V = V ( x ) = πx 2 100 − x 2 , DV(imp) = [0, 10]. 3

5

x

36

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

16. C = C(v) =

360 [ P0 + 65] + 19.5 v . v

17. V = V ( x ) = π

1. 2. 3. 4. 5. 6.

x 2 ( x − 1)

(x

2

)

+1

2

.

c) a) d) b) c) (a, i, v, ix), (b, i, vi, x), (c, i, vii, viii), (d, vi, viii)

1.2: Biblioteca de funciones básicas

37

1.2 Biblioteca de funciones básicas Uno de los principales objetivos de la investigación teórica es encontrar el punto de vista desde el cual un tema aparece en su forma más simple. Josiah Willard Gibbs

Impuestos por sueldos y salarios Los gobiernos, para financiar el gasto público, gravan con impuestos a la población. Estos recursos sirven para fortalecer los servicios que el estado ofrece, para propiciar la distribución de la riqueza y para fomentar la producción y el empleo. Con todo, los impuestos son un tema que preocupa a gobernantes y ciudadanos porque, aunque todos debiésemos aportar dinero de forma proporcional y equitativa ya que todos salimos beneficiados, no se cuenta con un esquema justo. Pero ¿por qué es tan difícil ponerse de acuerdo en la cantidad que debe aportar cada quien? Para entender la problemática, recordemos que básicamenFIGURA 1. Las facturas son un mecanismo que te existen tres tipos de impuestos (al consumo, al patrimonio y permite determinar cuánto al ingreso) y cada uno de ellos tiene características diferentes. impuesto se paga por un artículo. Al primero también se le conoce como impuesto al valor agregado (IVA), y se aplica a todos los bienes que son sujetos de compra. El impuesto al patrimonio es el que se paga por tener propiedades (vehículos, casas o terrenos). Mientras que el impuesto al ingreso es el que se paga por recibir un salario o sueldo, este último también es conocido como impuesto sobre la renta (ISR). El dilema es el siguiente: Si se aplica un IVA a todos los bienes, por ejemplo, el 10% de su valor, el sistema de recaudación sería simple pero las personas con menos recursos pagarían proporcionalmente lo mismo que las personas con mayores ingresos. Si se aplica sólo el ISR, entonces los mecanismos de recaudación serían complejos pero pagarían más los que obtienen más recursos. Casi siempre una combinación de estos dos impuestos es la mejor solución. Sin embargo, ¿por qué es complicado el cálculo de los impuestos?, ¿sería posible generar una fórmula simple y compacta que los contribuyentes pudiéramos usar para calcular nuestros impuestos? Para responder a estos cuestionamientos, considera que sólo se aplica el ISR y que éste se encuentra diferenciado en función de los ingresos totales. Por ejemplo, en la tabla 1 se muestran los datos para el cálculo del ISR para sueldos y salarios en México para el año 2004.

38

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

Tabla 1 Tarifas mexicanas ISR en el ejercicio fiscal 2004, según el artículo 177 de la Ley del ISR (LISR).

Límite inferior

Límite superior

Cuota fija

Porcentaje sobre excedente

$0.01

$5 270.20

$0.00

3.00 %

$5 270.21

$44 732.10

$158.07

10.00 %

$44 732.11

$78 612.70

$4 104.20

17.00 %

$78 612.71

$91 383.85

$9 864.06

25.00 %

$91 383.86

$109 411.33

$13 056.85

32.00 %

$109 411.34

En adelante

$18 825.55

33.00 %

• ¿Cómo podrías definir entonces una función f(x) cuyos valores correspondan al impuesto que ha de pagar alguien que tenga ingresos gravables por x pesos? ¿Cómo sería su gráfica? • Después de reducir los impuestos, ¿cuál sería el ingreso neto I(x) de un contribuyente que ganara x pesos?, ¿cómo sería su gráfica?

Introducción En esta sección presentamos un conjunto de funciones básicas: polinomiales, racionales, algebraicas y seccionadas. Discutiremos el dominio y la imagen de cada una de ellas y estableceremos diversos mecanismos para obtener sus gráficas. Las utilizaremos para resolver diversos problemas. Las funciones polinomiales suelen ser muy utilizadas porque pueden aproximarse a una variedad de fenómenos (depreciación lineal, áreas, volúmenes, etc.). Las funciones racionales y algebraicas son usadas en muchos ámbitos; por ejemplo, en física se utilizan para modelar la fuerza gravitacional o el cambio de la masa inercial. Las funciones seccionadas abren muchas posibilidades de análisis; por ejemplo en economía, para el estudio de los impuestos. La situación inicial sobre el cálculo del ISR nos hace ver la importancia de su estudio.

Objetivos Al terminar esta sección tendrás la capacidad para: a) Conocer las funciones polinomiales, racionales, algebraicas y seccionadas. b) Construir las gráficas de funciones lineales y cuadráticas. c) Resolver problemas que requieren funciones lineales. d) Resolver problemas de optimización donde aparecen funciones cuadráticas.

1.2: Biblioteca de funciones básicas

e) Modelar situaciones que requieren funciones polinomiales, racionales, algebraicas y seccionadas. f) Determinar el dominio de funciones polinomiales, racionales, algebraicas y seccionadas. g) Conocer las funciones valor absoluto, escalón unitario y máximo entero.

Funciones polinomiales Definición de función polinomial. Una función polinomial de grado n es una función con regla de correspondencia f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ⋅⋅⋅ + a1 x + a0 donde los coeficientes a0, a1,…, an son constantes reales arbitrarias y an ≠ 0.

El dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales, mientras que la imagen depende del grado. Los tipos más simples de funciones polinomiales son las lineales y las cuadráticas. Analicemos con mayor detalle estas funciones.

I. Funciones lineales. Las funciones polinomiales de grado cero o uno, f(x) = a1x + a0, se conocen como funciones lineales.

La gráfica de estas funciones es una línea recta y para construirla basta con conocer dos puntos, (x1, y1) y (x2, y2), que estén sobre ella. El significado de los coeficientes que aparecen en la función es claro: a1es la pendiente de la recta y a0 es la ordenada al origen o intersección de la recta con el eje vertical y. En efecto, como y1 = a1 x1 + a0 y y2 = a1 x 2 + a0 la pendiente de la recta que une los puntos es: m=

y2 − y1 ( a1 x 2 + a0 ) − ( a1 x1 + a0 ) a1 x 2 − a1 x1 = = a1 = x 2 − x1 x 2 − x1 x 2 − x1

Para obtener la ordenada al origen basta con sustituir x = 0 en la función, así que f(0) = a0. Observa que a0 = y1 − a1x1, de donde obtenemos que: f ( x ) = a1 x + a0 = a1 x + y1 − a1 x1 = a1 ( x − x1 ) + y1

39

40

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

ésta es una forma alternativa de escribir una función lineal y se aplica cuando se conoce la pendiente y un punto por donde pasa la recta. En la figura 2 se muestran la gráfica de una función lineal y sus características.

y y1 1



1  y0  x 1 0

0

y0 a0  y 

a0 x0

x1 x1 

1x1

x

0

FIGURA 2. La gráfica de una función lineal. Sobre la recta se tienen los puntos (x0, y0) y (x1, y1). Observa que a0 está sobre el eje vertical, mientras que a1 se identifica con la pendiente de la recta.

Finalmente, la imagen de una función lineal depende del coeficiente a1. En efecto,

Imagen de una función lineal f(x) = a1x + a0. • Si a1 = 0, entonces, la imagen es el conjunto {a0}. • Si a1 ≠ 0, entonces, la imagen es el conjunto de los números reales .

Otro tipo de funciones de gran utilidad, y que siguen en simplicidad a las lineales, son las funciones cuadráticas, que se definen como sigue:

II. Funciones cuadráticas. Las funciones polinomiales de grado dos, f(x) = ax2 + bx + c con a, b y c constantes arbitrarias y a ≠ 0, se conocen como funciones cuadráticas.

Las gráficas de este tipo de funciones son parábolas con eje focal paralelo al eje y. Recuerda que, en este caso, la parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0, tal y como se muestra en la figura 3.

41

1.2: Biblioteca de funciones básicas

y

y

x x

a)

b)

FIGURA 3. Aspecto general de una función cuadrática. En la ilustración a) la parábola abre hacia arriba porque a > 0. La curva abre hacia abajo cuando a < 0, como se muestra en la ilustración b).

La imagen de la función se determina claramente si se conoce la altura a la que se encuentra el vértice de la parábola. Para calcularlo observa que:  b2  c b2  b ax 2 + bx + c = a  x 2 + x + 2  + − 2  a 4 a  a 4 a   2  4 ac − b 2  b = a  x +  +   2a  4a 2  

de aquí resulta que y = ax2 + bx + c equivale a y−

2 4 ac − b 2 b = a x +  ,  4a 2a 

de donde el vértice de la parábola es  b 4 ac − b 2  V = − , 4 a   2a y la imagen de la función cuadrática es:  4 ac − b 2   −∞, 4 a   If =  2   4 ac − b , ∞    4 a  

si a < 0 si a > 0

Este resultado permite establecer el siguiente criterio, que usaremos en los ejercicios.

42

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

Criterio de valores máximos y mínimos de una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c. b Si a > 0, la función obtiene su valor mínimo en x = − y ese valor es 2 2 a 4 ac − b . fmín = 4a b Si a < 0, la función obtiene su valor máximo en x = − y ese valor es 2a 4 ac − b 2 . fmáx = 4a

Ejemplos Ejemplo 1. Supón que una máquina se deprecia linealmente. Su valor hace 5 años era de $200 000.00 y ahora vale $110 000.00. Determina el valor de la máquina en términos del número de años transcurridos, así como el precio de la máquina para el siguiente año. Bosqueja su gráfica y determina su dominio implícito.

solución Denotemos con V el valor de la máquina (en miles de pesos) y con n el tiempo transcurrido (en años) desde hace 5 años, es decir, n = 0 hace 5 años. Observa que V es la variable dependiente. Como la depreciación es lineal, los datos dados corresponden a dos puntos por donde pasa la recta (0, 200) y (5, 110), así que la pendiente es V − V0 90 =− = −18 m= 1 n1 − n0 5 y la ecuación que relaciona V con n es V (n) = −18n + 200. Observa que la pendiente indica la depreciación anual de la máquina (en miles de pesos). Es decir, cada año la máquina se deprecia m = 18 mil pesos. El valor de la máquina para el año siguiente se obtiene sustituyendo n = 6 en la fórmula anterior, esto es: V(6) = −18(6) + 200 = 92 mil pesos Por otro lado, nota que V(n) no puede ser negativa, y que si la máquina se compró exactamente hace 5 años, como supondremos, tampoco n puede ser negativa. En este caso, la gráfica queda en el primer cuadrante; pero si la máquina se hubiera comprado hace más de 5 años, son válidos algunos valores negativos para n, y parte de la gráfica estaría también en el segundo cuadrante. Advierte también que el dominio no es el intervalo [0, ∞), porque para ciertos valores de n, como por ejemplo n = 100, el valor

43

1.2: Biblioteca de funciones básicas

de V resulta negativo; entonces, ¿hasta qué valor de n tiene sentido V? La respuesta es simple: hasta que V(n) = −18n + 200 = 0, es decir, hasta que la depreciación lleve a la máquina a no tener valor. Al despejar 100 100  . En la obtenemos n = , por lo que el dominio implícito de esta función es el intervalo 0, 9  9  figura 4 se muestra la gráfica de la depreciación lineal.

V 250 200 150 100 50 4 2 50 50

2

4

6

8

10

12

n 14

FIGURA 4. Gráfica del problema de depreciación lineal.

Ejemplo 2. Bosqueja la gráfica de la parábola y = 2x2 − 12x + 19 y determina su imagen.

solución Antes de construir la gráfica necesitamos reescribir la función y determinar el vértice de la parábola. Factorizando el coeficiente del término cuadrático obtenemos 19 y = 2  x 2 − 6 x + . 2  El coeficiente del término lineal se divide entre 2 y se eleva al cuadrado, después se suma y se resta la misma cantidad para no alterar la expresión original, así obtenemos

(

)

19 y = 2  x 2 − 6 x + ( −3)2 + − ( −3)2  2  

(

)

19 = 2  x 2 − 6 x + 9 + − 9. 2   Al factorizar y simplificar encontramos que: y = 2( x − 3)2 + 1 La gráfica es una parábola que abre hacia arriba con vértice en el punto (3, 1) y puede obtenerse a partir de la gráfica de y = 2x2, trasladando esta última tres unidades hacia la derecha y una unidad hacia arriba; la gráfica de la función pedida se muestra en la figura 5. Claramente, la imagen es el intervalo [1, ∞).

44

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

8

y

6 4 2

4

x

2

2

4

6

22 FIGURA 5. La gráfica inicial de y = 2x2 (en línea punteada) se convierte en la gráfica de y = 2(x − 3)2 + 1 al trasladarla 3 unidades a la derecha y una hacia arriba.

Ejemplo 3. Determina las dimensiones del terreno rectangular de mayor área que se puede cercar con 2p metros de alambre.

solución

y

x FIGURA 6. El rectángulo de área máxima con el perímetro dado es el cuadrado.

Sean x y y las dimensiones del terreno. El perímetro es 2p metros por lo que 2x + 2y = 2p, de aquí y = p − x Por lo tanto, el área es A = xy = x ( p − x ) = − x 2 + px. La gráfica del área es una parábola que abre hacia abajo, por lo cual existe un valor de x que produce un área máxima. Para obtener este valor, observemos que la parábola tiene vértice en  b 4 ac − b 2   p 4( −1)(0) − p 2   p p 2  − , = − ,  2a  =2, 4  4 a   2( −1) 4( −1)     y que el valor máximo corresponde a la segunda coo rdenada p2/4, que se obtiene cuando x = p/2 metros. Es decir, si las dimensiones del terreno son: x=

p p p y, y = p − = , ambas medidas en metros, 2 2 2

45

1.2: Biblioteca de funciones básicas

entonces, el área máxima será: Am áx =

p2 , medida en metros cuadrados. 4

Por lo tanto, el rectángulo de área máxima con perímetro dado es el cuadrado.

Ejemplo 4. Se pretende fabricar una caja con tapa partir de una pieza rectangular de cartón de 44 centímetros de largo y 18 de ancho. Para ello se cortarán rectángulos y cuadrados en las esquinas, como se muestra en la figura 7. Posteriormente, se doblará la pieza sobre las líneas punteadas para formar la caja. a) Encuentra el volumen V de la caja en función de x y determina el dominio implícito de la función. b) Esboza la gráfica de la función V = V(x). c) Estima la situación óptima, ¿cuál es la imagen de la función?

x x 18 cm

base

tapa

x x 44 cm

FIGURA 7. Base para la construcción de la caja.

solución a) Sin entrar en muchos detalles, el volumen de la caja es el área de su base A por la altura de la caja x, es decir, V = Ax. Ahora bien, para determinar el área de la base, sea “a” su largo y “b” su ancho. Observa que: x + a + x + a = 44, o 2x + 2a = 44 o x + a = 22 de manera similar, x + b + x = 18 o b + 2x = 18. De esto, resulta que: a = 22 − x

y

b = 18 − 2x,

por lo tanto, V = V ( x ) = Ax = (22 − x ) (18 − 2 x ) x

46

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

Por otra parte, para el dominio implícito de la función, debemos considerar que x no puede ser negativa, esto es, x ≥ 0. Además, como a = 22 − x ≥ 0 y b = 18 − 2x ≥ 0, debe cumplirse que x ≤ 22 y x ≤ 9; como deben satisfacerse ambas condiciones, concluimos que x ≤ 9. Así resulta que D f (imp) = [0, 9] b) Con la función V(x) construimos la tabla 2, y con ésta nos ayudamos para hacer un esbozo de la gráfica (ver figura 8). c) Determinar la condición óptima de una situación significa sacar el mejor provecho de los recursos con los que se cuentan. Por ejemplo, en este caso, desearíamos obtener la caja de mayor volumen que puede fabricarse con la pieza rectangular de cartón descrita. Como puedes apreciar, la gráfica no permite dar con exactitud el valor de x donde pueda hallarse el valor máximo del volumen; no obstante, sí nos deja intuir que este valor es cercano a x = 4. Si comparas la gráfica de la figura 8 con la tabla 2, observarás nuevamente que el valor donde se alcanza el máximo de la función es cercano a x = 4. Finalmente, si aceptamos que V es máximo cuando x = 4, deducimos que Iv = [0, 720]. Tabla 2 Tabulación básica de V  V(x).

x

800

V(x V( (x)

0

0

1

336

2

560

3

684

3.2

697.856

3.4

708.288

3.6

715.392

3.8

719.264

4.0

720

4.2

717.696

5

680

6

576

7

420

8

224

9

0

V x) V(

600 400 200

2

2

4

6

200 200

FIGURA 8. El volumen de la caja.

8

x 10

47

1.2: Biblioteca de funciones básicas

Ejemplo 5. Un comerciante renueva y vende llantas para automóviles. El costo de renovación de cada llanta es de $200.00 incluyendo gastos fijos y variables. Actualmente, el comerciante vende cada llanta en $300.00, y a ese precio puede asegurarse la venta de 280 llantas al mes (en promedio). Él quiere mejorar sus ganancias, y con este fin, decide incrementar su precio unitario de venta. Por intuición, considera que por cada incremento de $20.00 al precio de venta, el número de unidades vendidas disminuirá en 10. a) ¿Qué relación existe entre las utilidades y el número de incrementos de $20.00 en el precio de venta unitario? b) Encuentra la relación que existe entre el precio de venta unitario y el número de incrementos de $20.00. c) Halla una relación entre las utilidades y el precio de venta de cada llanta. d) ¿Qué precio debería fijar el comerciante a la venta unitaria para obtener una utilidad máxima? e) De acuerdo al inciso d), haz una comparación entre sus ingresos actuales y los que podría obtener si modificara su precio de venta unitario. f) Determina el dominio implícito e imagen de la función hallada. Considera que: • Todo lo que el comerciante renueva se vende. • Se desprecia el efecto que tenga el incremento o decremento en la producción sobre los costos.

solución La tabla 3 condensa la idea general de la solución. En ella las columnas indican: n: p: N: I: U:

el número de incrementos de $20.00 sobre el valor actual de venta. el precio de venta unitario. el número de llantas vendidas al mes en promedio. los ingresos mensuales totales. las utilidades totales mensuales.

Tabla 3 La tabla condensa la idea general del razonamiento.

n

p

N

I

U

0

300 + 20(0)

280 − 10(0)

[300 + 20(0)][280 − 10(0)]

[300 + 20(0)][280 − 10(0)] − 200[280 − 10(0)]

1

300 + 20(1)

280 − 10(1)

[300 + 20(1)][280 − 10(1)]

[300 + 20(1)][280 − 10(1)] − 200[280 − 10(1)]

2

300 + 20(2)

280 − 10(2)

[300 + 20(2)][280 − 10(2)]

[300 + 20(2)][280 − 10(2)] − 200[280 − 10(2)]

…

…

…

…

…

n

300 + 20(n)

280 − 10(n)

[300 + 20(n)][280 − 10(n)]

[300 + 20(n)][280 − 10(n)] − 200[280 − 10(n)]

48

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

Aunque no siempre es posible desglosar la solución de un problema como en este caso, observa que, de ser posible, el enfoque aritmético proporcionaría la generalización algebraica. De la tabla anterior, podemos generar fácilmente las siguientes respuestas. a) De la última columna y la última fila de la tabla 3, leemos que: U (n) = [300 + 20(n)][280 − 10(n)] − 200[280 − 10(n)] = [300 + 20(n) − 200][280 − 10(n)] = 200[5 + n][28 − n] observa que, es aquí donde se usa la consistencia en los costos de producción y el hecho de que todo lo que se produce se vende. b) Considera la última fila de la segunda columna de la tabla 3. Encontramos ahí que: p = p(n) = 300 + 20 n c) Ahora, deseamos hallar una expresión que proporcione las utilidades del comerciante en térmip − 300 nos del precio de venta unitario. De b) obtenemos que n = ; luego, si utilizas a), halla20 rás que: p − 300   p − 300  U ( p) = 200 5 + 28 −   20  20    1 = [ p − 200][860 − p] 2 d) Nota que la gráfica de U = U(p) corresponde a una parábola que abre hacia abajo, luego, la función presenta un máximo precisamente en el vértice. Aunque tenemos una fórmula para hallar el vértice de una parábola, la siguiente es una idea alternativa: Si calculamos las raíces de una función cuadrática, el vértice es el punto medio entre éstas. Por lo tanto, si en este caso las raíces son p = 200 y p = 860, entonces, el máximo se hallará cuando p = 530. En estas condiciones, la utilidad máxima ascendería a $54 450.00 mensuales. e) Si contrastas el monto del inciso d) con la utilidad actual, que asciende a $28 000.00 mensuales, llegarás a la conclusión de que, bajo este modelo, el comerciante está dejando de percibir $26 450.00 mensuales. f) Claramente p ≥ 0, y en términos razonables, esperaríamos que U ( p) =

1 [ p − 200][860 − p] ≥ 0. 2

Por lo tanto debe suceder que p ≥ 200 y p ≤ 860. Si nos quedamos con las condiciones más restrictivas a fin de que todas las condiciones se cumplan, concluiremos que DU(imp) = [200, 860]. Finalmente, por d), obtenemos de manera inmediata que IU = [0, 54 450].

49

1.2: Biblioteca de funciones básicas

Funciones Racionales Definición de función racional. Una función racional se define como el cociente de dos funciones polinomiales. Es decir: a x n + an −1 x n −1 + ⋅⋅⋅ + a1 x + a0 f ( x) = n m , bm x + bm −1 x m −1 + ⋅⋅⋅ + b1 x + b0 con an ≠ 0 y bm ≠ 0 es una función racional. Su dominio es:

{

}

D f = x ∈  bm x m + bm −1 x m −1 + ⋅⋅⋅ + b1 x + b0 ≠ 0

Dejaremos para más adelante el estudio general de la graficación de estas funciones. Por el momento, sólo explicaremos un método muy sencillo para construir las gráficas de funciones racionales del tipo f ( x) =

1 1 y f ( x) = 2 . ax + b ax + bx + c

El método se basa en el siguiente resultado de números recíprocos:

Regla de números recíprocos. Si u > 1, entonces 0 <

1 1 < 1; y si u < −1, entonces −1 < < 0 . u u

Paso 1. Graficar la función g(x) = ax + b (o f(x) = ax2 + bx + c) y las rectas y = ±1 sobre un mismo esquema. Paso 2. Determinar las raíces de las ecuaciones ax + b = 0 (o ax2 + bx + c = 0) y gra−b − b ± b 2 − 4 ac ficar la recta vertical x = (o las rectas verticales x = ) sobre a 2a el esquema anterior. Paso 3. Aplicar el resultado de los recíprocos. En otras palabras: en la región donde la recta (o parábola) tenga una ordenada mayor que 1, la curva recíproca tendrá imagen entre 0 y 1; en donde la recta (o parábola) sea menor que −1, la curva buscada estará entre −1 y 0, etc.

Por ejemplo, si queremos construir la gráfica de la función f(x) = 1/x, primero graficamos g(x) = x y las rectas y = ±1, x = 0 sobre un mismo esquema. Posteriormente, aplicamos

50

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

la regla de los recíprocos. Así, construimos las gráficas de las funciones (ver figuras 9a-9d): f ( x) =

1 1 1 y f ( x) = 2 2 , f ( x) = 2 x x +1 x −1

cx + d se obtienen ax + b haciendo primero la división de polinomios y posteriormente efectuando operaciones de x traslación y escala. Las gráficas de funciones del tipo f ( x ) = 2 requieren ax + bx + c considerar los casos en que la variable x es positiva o negativa, y cuándo es mayor o meNota. Generalmente, las gráficas de funciones como f ( x ) =

nor, en magnitud, a 1. x En las figuras 9e y 9f se muestran las gráficas de las funciones f ( x ) = 2 y x −1 x f ( x) = 2 . x +1 y

y

y

3

3

2

2

2

1

1

1

3

x 3 2 1

1

2

x

3 2 1

3

1

2

3

x 3 2 1

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

1 a) f ( x ) = x

1 b) f ( x ) = 2 x

y

c) f ( x ) =

y 3

3

2

2

2

1

1

1

x 1

2

3

1 x2 + 1

x 3 2 1 1

1

2

3

x 3 2 1 1

2

2

2

3

3

3

1 d) f ( x ) = 2 x −1

3

y

3

3 2 1 1

2

x e) f ( x ) = 2 x −1

f ) f ( x) =

FIGURA 9. Gráficas de funciones racionales usando la regla de los números recíprocos.

1

2

x x2 + 1

3

51

1.2: Biblioteca de funciones básicas

En el capítulo 3, relativo a límites y continuidad, mostraremos que, en general, las funciones racionales delatan un comportamiento muy interesante cerca de los puntos donde la función no está definida. Sin más detalles, sólo indicaremos que estas gráficas pueden presentar huecos y saltos infinitos.

Ejemplos Ejemplo 6. Un objeto está ubicado en un punto A entre dos fuentes luminosas (ver figura 10). Si las fuentes están separadas entre sí 20 metros y una es tres veces más potente que la otra, ¿qué expresión proporciona la intensidad de la iluminación en el objeto?

x

A

3Po

20 – x Po

FIGURA 10. Distribución de las distancias entre las fuentes luminosas y el punto.

solución Para resolver el problema es necesario recordar que la intensidad de iluminación I, producida por una fuente en un punto Q, es directamente proporcional a su potencia e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de separación entre la fuente y el punto. Es decir, si P es la potencia y d la distancia, P entonces I = k 2 , donde k es una constante de proporcionalidad. d Por otro lado, si la potencia de la fuente menos potente es P0, entonces la otra tendrá una potencia igual a 3P0. Si las distancias de las fuentes al punto A son como se muestran en la figura 10, entonces, para ciertas constantes de proporcionalidad, k1 y k2, tenemos que: I=

3 k1 P0 k2 P0 + , 2 x (20 − x ) 2

que es una función racional con DI(imp) = (0, 20). Suponiendo que las constantes de proporcionalidad son iguales se tiene que: 3  1 I = k1 P0  2 + 2 x (20 − x )  1 3 y de su suma; salvo por el factor, 2 , y2 = (20 − x ) 2 x ésta es la gráfica de la intensidad. Observa que alrededor de x = 12 se tiene la intensidad de iluminaLa figura 11 muestra la gráfica de y1 = ción mínima.

52

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

y 0.2 0.15 0.1 0.05 x 5

10

15

20

0.05 FIGURA 11. La gráfica de la intensidad de iluminación.

Ejemplo 7. Se quiere construir una lata para refresco en forma de cilindro circular recto con un volumen de 355 ml. Si suponemos que la cantidad de material es uniforme en cada parte de la lata, determínala como una función del radio de la base.

solución Para resolver este problema, considera que r es el radio de la base, h la altura de la lata y C la cantidad de material utilizado para construir la lata. Esta última cantidad está formada por los materiales de la base y de la tapa, que son círculos, más el material del cuerpo del cilindro, que es un rectángulo (ver figura 12), es decir: C = πr 2 + πr 2 + 2 πrh = 2 πr 2 + 2 πrh

cm 2

r h







FIGURA 12. Descomposición de las áreas de una lata cilíndrica.

Observa que C quedó expresada en términos de dos variables independientes, el radio y la altura, por lo que es necesario escribir la altura en términos del radio. El volumen de un cilindro es π r2h, por las

53

1.2: Biblioteca de funciones básicas

355 condiciones del problema sabemos que éste es igual a 355ml = 355cm3, así que h = cm . Por lo π r2 tanto, C = f (r ) = 2π r 2 + 2π r

355 710 = 2π r 2 + . 2 πr r

Observa que en este problema r debe ser positiva, por lo tanto DC(imp) = (0, +∞). Tabla 4 Los valores de C  C(r).

r

C(r) r

3.5

279.826

r

C(r) r

1

716.283

3.6

278.652

2

380.133

3.7

277.909

3

293.215

3.8

277.571

4

278.031

3.9

277.619

5

299.080

4

278.031

400

6

344.528

4.1

278.791

200

7

409.305

4.2

279.883

8

490.874

4.3

281.292

9

587.827

4.4

283.006

10

699.319

4.5

285.012

C 800 600

2

4

6

8

10

FIGURA 13. La función C = C(r).

x

En la figura 13 se muestra la gráfica de la función C(r) y sus funciones componentes. En la tabla 4 se muestra el comportamiento numérico de la misma función C(r). En ambos esquemas, se deduce que la cantidad de material mínima es 277.57cm2, que se obtiene cuando r ≈ 3.8.

Funciones algebraicas

Definición de función algebraica. Una función algebraica fundamental se define como f(x) = (Q(x))1/n, donde Q(x) es una función racional. En general, una función algebraica es aquélla donde aparece, al menos, una función algebraica fundamental.

54

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

Las funciones algebraicas elementales que nos interesan, por el momento, son las siguientes: f ( x) = x − a , f ( x) = a2 − x 2 , f ( x) = x 2 + a2 y f ( x) = x 2 − a2 . Las gráficas de todas ellas son parte de alguna curva cónica y, por esa razón, muy simples de graficar. En efecto, si consideramos la función f ( x ) = x − a y hacemos y = f(x), tenemos que:

y

y= x−a a

x (x)

√ −a

FIGURA 14. La gráfica de la función algebraica elemental que es parte de una parábola.

o

y2 = x − a

que corresponde a una parábola que abre hacia el lado positivo del eje x; de esta gráfica sólo debemos considerar aquella que cumple y ≥ 0. En la figura 14 se muestra la gráfica de la función; claramente, el dominio y la imagen son, respectivamente, Df = [a, ∞) e If = [0, ∞). De la misma forma, f ( x ) = a 2 − x 2 es la parte superior de un círculo de radio a ya que, si hacemos y = f(x), se tiene que: y2 = a2 − x2

x2 + y2 = a2

o

De forma similar, las gráficas de las otras funciones son parte de hipérbolas. En la figura 15 se muestran las gráficas, los dominios y las imágenes de todas estas funciones.

y

y

y

a

a a

a

x

x

a

a

x

a) f ( x ) = a 2 − x 2 ,

b) f ( x ) = x 2 + a 2 ,

c) f ( x ) = x 2 − a 2 ,

D f = [ − a, a] e I f = [0, a]

D f = ( −∞, ∞) e I f = [a, ∞)

D f = ( −∞, − a] ∪ [ a, ∞) e I f = [0, ∞)

FIGURA 15. Las gráficas de funciones algebraicas fundamentales que forman parte de una cónica.

55

1.2: Biblioteca de funciones básicas

Ejemplos Ejemplo 8. 1

Construir la gráfica de las funciones f ( x ) = x 2 + 4 x − 5 − 1 y g( x ) =

x + 4x − 5 − 1 2

.

solución Primero, reescribimos el radicando usando el proceso de completar el trinomio cuadrado: x 2 + 4 x − 5 = x 2 + 4 x + 4 − 9 = ( x + 2)2 − 9 Si hacemos y = f(x) obtenemos y = ( x + 2 ) 2 − 9 − 1. Al despejar la raíz y elevar al cuadrado resulta ( y + 1) 2 = ( x + 2) 2 − 9. Si simplificamos, se obtiene finalmente que: 1=

( x + 2)2 ( y + 1) 2 − . 9 9

Ésta es la ecuación de una hipérbola con centro en el punto (−2, −1), que se abre alrededor del eje horizontal y = −1 y que tiene vértices en (−5, −1) y (1, −1). Recuerda que los vértices se obtienen haciendo y = −1 en la ecuación y despejando la variable x. Para construir la gráfica de y = g(x), utilizamos la regla de los números recíprocos; ambas gráficas se muestran en la figura 16.

8

y

3

6

y

2

4

1

2 x 8

6

4

2

22

2

4

x 10 8

6



2 22

44

a) f ( x ) = x 2 + 4 x − 5 + 1

b) g( x ) =

1 x + 4x − 5 − 1 2

FIGURA 16. Las figuras de dos funciones algebraicas recíprocas.

4

6

56

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

Ejemplo 9. Obtener la gráfica de las funciones f(x) = x1/3 y g(x) = x2/3.

solución La primera función es impar y la segunda es par. En efecto, f(−x) = (−x)1/3 = −x1/3 = −f(x) y g(−x) = (−x)2/3 = ((−x)2)1/3 = (x2)1/3 = x2/3 = g(x). Esto significa que la primera curva es simétrica respecto al origen y la segunda es simétrica respecto al eje y. Observa además que, si aumentamos el valor de x para x > 0, en ambas funciones aumenta el valor de y. Finalmente, con la ayuda de la tabla 5, podemos construir la gráfica de ambas funciones (ver figura 17). Tabla 5 Algunos valores

a)

de las funciones f(x) y g(x)

x

x1/3

6

0

0

1

1

1

8

2

4

27

3

9

64

4

16

15

5

2 60 40 4 20 2



y

10

4

x2/3

0

b)

y

2 20

x 4  60 60 40

4 40

2 20



10 10



15 15

4 40

x 60

FIGURA 17. En a) se muestra la gráfica de la función y = f(x), en b) la gráfica de y = g(x).

Ejemplo 10. Construir las gráficas de f ( x ) =

1 1− x

2

y de g( x ) =

1

(1 + x )

2 3/ 2

.

solución Para construir la gráfica de la primera función aplicamos la regla de los recíprocos, ya que conocemos la gráfica de y = 1 − x 2 (ver figura 18a). Esta función f aparece de forma natural en la mecánica relativista de Einstein como un factor que permite relacionar diversas cantidades físicas en reposo con sus correspondientes cantidades en movimiento. Por ejemplo, la ecuación para la masa relativista es m0 m( v ) = , donde m0 es la masa en reposo, m es la masa inercial, c es la velocidad de la luz en 2 1 − v c2 el vacío y v es la velocidad del objeto. De nuestra gráfica se infiere que la masa inercial aumenta sin medida para velocidades que se acercan a la velocidad de la luz, sin llegar a sobrepasarla.

57

1.2: Biblioteca de funciones básicas

3 25 2.5 2 15 1.5 1 1.5

1

y

0.5 0 0.5 0.5 11

a) f ( x ) =

15 1.5

y

1 05 0.5

0.5 .

1

x 1.5 . 3

2

1

1

2

x 3

0.5 05

1 1− x

b) g( x ) =

2

1

(1 + x )

2 3/ 2

FIGURA 18. Las gráficas de las funciones del ejemplo 10.

Para construir la gráfica de y = g(x), observa que la función es par, sólo toma valores positivos, tiene valor máximo igual a 1 cuando x = 0 y, a partir de este punto, decrece para valores cada vez mayores de x (ver figura 18b). La función g es un caso particular de la familia conocida como función de densidad T de Student, que aparece en la teoría de probabilidades:  x2  fv ( x ) = A1 +  v 

v +1  −  2 

, con v = 1, 2, 3…

Ejemplo 11. Un cilindro tiene iguales medidas de altura y diámetro. Expresa su volumen V, en función de su superficie lateral S. r

h

FIGURA 19. Cilindro con altura y diámetro iguales.

solución Sea r el radio del cilindro y su altura h = 2r. Su volumen es V = πr 2 h = π r 2 (2 r ) = 2πr 3

58

Unidad 1: Conceptos básicos de funciones

mientras que su superficie lateral es S = 2π r h = 4π r 2 . Despejando r de esta última relación y sustituyendo en V se tiene que: 3

3

 S  1 V = 2π  S2  , o bien, V ( S ) = 4 π  4π 

Ejemplo 12. Se inscribe un cilindro dentro de una esfera de radio R. Determina una expresión para el volumen del cilindro en términos del radio de su base.

solución En la figura 20 se muestra un cilindro inscrito dentro de una esfera de radio R. Supongamos que el cilindro tiene una altura h y un radio de base r. De la figura se tiene que: 2

 h  + r 2 = R2  2 De donde, h = 2 R2 − r 2 Usando esta relación, se tiene que el volumen del cilindro en términos del radio r es: V (r ) = πr 2 h = 2πr 2 R 2 − r 2

r h/2 / /2 R

FIGURA 20. El cilindro inscrito en la esfera.

59

1.2: Biblioteca de funciones básicas

Funciones Seccionadas En algunas situaciones, no siempre es posible que una única regla de correspondencia defina con claridad una función. Por ejemplo, algunas compañías telefónicas ofrecen un precio por llamada si se realizan menos de n llamadas, y una reducción en el precio por llamada si el número es superior. En este caso es conveniente utilizar un tipo de función, que llamaremos seccionada, para describir la situación, y cuya definición presentamos a continuación.

Definición de función seccionada. Una función seccionada es una función que, para relacionar x con y, requiere de varias reglas de correspondencia. Cada una de estas reglas tiene su propio dominio y, para asegurar que se tiene una función, la intersección de los dominios tomadas por parejas es vacía. Es decir, una función seccionada tiene la forma  f1 ( x )  f ( x)  2 f ( x) =   L  fn ( x )

si x ∈ D1 si x ∈ D2 L L si x ∈ Dn

con Di ∩ D j = ∅ para i, j = 1, 2,…, n e i ≠ j.

El dominio de este tipo de función es la unión de los dominios de cada una de sus secciones D f = D1 ∪ D2 ∪ L Dn . La imagen es la unión de todos los resultados factibles cuando se aplica la regla de correspondencia en cada sección de la función, en otras palabras, la imagen es la unión de las imágenes de cada regla de correspondencia restringida a su dominio. La gráfica se construye trazando por separado la gráfica de cada sección. Para evaluar una función seccionada en un punto se debe ubicar en que sección está el punto y aplicar la regla de correspondeny cia respectiva. 1 Por ejemplo, considera la función seccionada: x

 x f ( x) =  2 1 − x

si x 0”. Estamos ahora en condición de enunciar la definición formal de límite.

143

3.1: Límites

Definición formal de límite. Si f es una función definida sobre un intervalo abierto alrededor del punto x0, excepto tal vez en x0, entonces expresamos que lím f ( x ) = L

x → x0

si para todo ε > 0 existe un número δ > 0 tal que f ( x ) − L < ε siempre que 0 < x − x0 < δ .

Con el fin de comprender el significado de esta definición, es útil introducir el concepto de entorno.

Definición de entorno Un entorno del punto x0 con un radio r es un intervalo abierto que contiene al punto x0 como punto medio. Este entorno se expresará como E ( x 0 , r ) = x x − x 0 < r .

{

}

Insistimos que la desigualdad f ( x ) − L < ε expresa formalmente el hecho de que f se acerca tanto como se quiera al límite L, ya que tal función se encuentra dentro de un intervalo abierto de radio ε en torno al límite L. Por otra parte, 0 < x − x 0 < δ implica dos desigualdades. La primera, x − x 0 > 0, significa que x ≠ x0, para incluir así el hecho de que f podría estar indefinida en x0. La segunda, x − x 0 < δ , establece que x se encuentra dentro de un entorno de radio δ alrededor del punto x0. Esta definición implica un proceso en el que dada alguna ε > 0, se restringe al dominio encontrando alguna δ > 0 tal que si x ≠ x0, x esté dentro de una distancia δ de x0. Mostraremos ahora el uso de esta definición mediante algunos ejemplos.

Ejemplos Ejemplo 1. Emplea la definición formal de límite para demostrar que lím (8 x − 10) = 6 . x →2

solución Debemos mostrar que existe un entorno de radio δ > 0 alrededor de x0 = 2, tal que las imágenes de x bajo la función f, se encuentren dentro de otro entorno de radio ε > 0 alrededor de L = 6. Esto es, requerimos que 0 < x − 2 < δ implique f ( x ) − 6 < ε

144

Unidad 3: Límites y continuidad

La elección de δ depende del valor que se indique para ε, por lo que se requiere establecer la conexión que existe entre los entornos x − 2 < δ y f ( x ) − 6 < ε . Determinaremos así el valor de δ > 0, a partir del requerimiento impuesto por la selección de una ε > 0. Así, tenemos que: (8 x − 10) − 6 < ε 8 x − 16 < ε 8 x−2 0, tal que si x −

(2 x + 1) − 2 < ε 2x −1 < ε x−

1 ε < 2 2

Por comparación, identificamos

δ=

ε . 2

Usando este valor de δ, habremos demostrado que ⎛ 4 x 2 − 1⎞ lím ⎜ ⎟ = 2 , como en el ejemplo anterior. 1 x→ ⎝ 2 x − 1 ⎠ 2

Ejemplo 3. Determina un valor de δ adecuado para demostrar que lím x 2 = 4 . x →2

solución De nuevo, estableceremos la conexión existente entre x 2 − 4 < ε y x − 2 < δ . Para ello, observemos que x2 − 4 = x + 2 x − 2 . Supongamos que | x − 2 |< 1, entonces −1 < x − 2 < 1 1< x < 3 De forma que x + 2 < 5. Podemos establecer ahora que x 2 − 4 = x + 2 x − 2 < 5 x − 2 < 5δ = ε , de donde deducimos que δ =

ε . Sin embargo, como esto se dedujo considerando que 5 ε | x − 2 |< 1 , debemos elegir δ = mín ⎧⎨1, ⎫⎬. ⎩ 5⎭

146

Unidad 3: Límites y continuidad

Ejemplo 4. Demuestra que lím ( x 2 − 2 x ) = 3 . x →3

solución De la definición formal de límite, dada una ε > 0 debemos encontrar alguna δ > 0 tal que si 0 < x − 3 < δ ⇒ x 2 − 2 x − 3 < ε . Para ello, consideremos que x − 3 < 1. En este caso, se tiene que: x +1 = x − 3 + 4 < x − 3 + 4 < 5, de donde x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3)( x + 1) = x − 3 x + 1 < 5δ = ε . Como esta relación es válida cuando x − 3 < 1, elegimos para el caso general ε > 0 a

ε δ = mín ⎧⎨1, ⎫⎬ ⎩ 5⎭

Ejemplo 5. Se requiere tornear un eje cilíndrico de manera que tenga una sección transversal con un área de 4.00 cm2. ¿Cuál es la máxima tolerancia que puede tener el radio del cilindro para que la sección transversal se encuentre dentro de un margen de 0.01 cm2 de tolerancia?

solución Deseamos calcular el intervalo de valores del radio dentro del cual, los valores del área de la sección transversal estén dentro de la tolerancia permitida. En otras palabras, queremos determinar el intervalo r0 − δ < r < r0 + δ dentro del cual A − 4 < ε , con ε = 0.01 cm2. Como el área de la sección transversal de un cilindro es A = π r2, queremos que 3.99 < π r2 < 4.01. De donde 3.99 4.01 0, puedes encontrar x→a

x→a

δ1 > 0 y δ2 > 0 de tal manera que, si 0 < x − a < δ1 y 0 < x − a < δ 2 , entonces puedes asegurar que

ε ε y g( x ) − L2 < . 2 2 Sea δ = min(δ1, δ2), es decir, el menor de los números dentro del paréntesis. Por tanto, si 0 < x − a < δ , entonces puedes asegurar, por la desigualdad del triángulo, que f ( x ) − L1 <

f ( x ) + g( x ) − ( L1 + L2 ) = ( f ( x ) − L1 ) + ( g( x ) − L2 ) ≤ f ( x ) − L1 + g( x ) − L2 <

ε ε + = ε, 2 2

Este resultado muestra que la afirmación enunciada en el inciso a) del teorema es cierta.

La importancia de este teorema radica en que puedes calcular límites, como los que veremos a continuación.

Ejemplos Ejemplo 7. Sea f(x) = x2, calcula lím f ( x ) . x →2

solución Observa que x2 es una función producto de g(x) = x consigo misma. Por tanto, de nuestra discusión anterior y del inciso b) del teorema 1, puedes concluir que lím f ( x ) = 2 2 = 4 . x →2

Ejemplo 8. Calcula el límite de f(x) = 5x2 + 4, cuando x se acerca a 3.

149

3.1: Límites

solución Usando el ejemplo 1 y los incisos b) y c) del teorema 1, es fácil observar que lím f ( x ) = (5)(32 ) + 4 = 49 ,

x →3

dado que el límite de cualquier función constante en cualquier punto, siempre será esa constante.

Ejemplo 9. Calcula lím f ( x ) si f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ⋅⋅⋅ + a1 x + a0 , donde a0, a1, a2, …, an son constantes reales. x →2

solución Realizando las mismas observaciones que en el ejemplo anterior, es claro que el límite buscado es f (2) = an 2 n + an −1 2 n −1 + ⋅⋅⋅ + a1 2 + a0 . En realidad, el punto 2 –en el que calculamos el límite– puede ser sustituido por cualquier número x0; de suerte que, lím f ( x ) = f ( x 0 ) = an x 0 n + an −1 x 0 n −1 + ⋅⋅⋅ + a1 x 0 + a0 . →

Observa que este resultado nos indica que el límite de una función polinomial en x0, se obtiene sustituyendo este valor en la función.

Ejemplo 10. Supón que f(x) y g(x) son dos funciones polinomiales y x0 es un número real fijo tal que g(x0) ≠ 0. Calf ( x) cula el lím . x → x 0 g( x )

solución Sabemos que lím f ( x ) = f ( x 0 ) y lím g( x ) = g( x 0 ) ≠ 0 , por lo que una aplicación x → x0

x → x0

directa del inciso c) del teorema 1, nos asegura que lím

x → x0

f ( x ) f ( x0 ) . = g( x ) g( x 0 )

Después de los ejemplos tratados en este apartado, se podría pensar que el cálculo de los límites se reduce simplemente a calcular la función en el punto en el que deseamos calcular el límite; en realidad, esto será así en un buen número de ejemplos. Más adelante, definiremos explícitamente este hecho como continuidad de la función en el punto en cuestión. Sin embargo, esta situación no siempre se presentará, y será necesario establecer algunos criterios que nos permitan calcular el valor del límite.

150

Unidad 3: Límites y continuidad

Límites de funciones racionales Supón que tienes dos funciones polinomiales f(x) y g(x) que satisfacen f(a) = g(a) = 0, f ( x) y que quieres determinar el comportamiento de la función h( x ) = cerca de x = a. Clag( x ) ramente, este punto no está en el dominio de la función y no es posible auxiliarnos del teorema 1. Sin embargo, podemos describir el comportamiento considerando que a es una raíz de p(x) y q(x); esto nos permite reescribir los polinomios como f(x) = (x − a)f1(x) y g(x) = (x − a) g1(x). Si además suponemos, sin perder generalidad, que g1(a) ≠ 0, se tiene que: h( x ) =

( x − a) f1 ( x ) f1 ( x ) = . ( x − a) g1 ( x ) g1 ( x )

Esta identidad es válida para x ≠ a y por lo tanto, lím h( x ) = lím

x→a

x→a

( x − a) f1 ( x ) f ( x ) f1 ( a) = lím 1 = . x → a ( x − a) g1 ( x ) g1 ( x ) g1 ( a)

Es decir, a pesar de que h(x) no está definida en x = a, sí tiene un comportamiento predecible cerca de ese punto. Este comportamiento lo obtenemos calculando el límite.

Ejemplos Ejemplo 11. x2 − 1 . x →1 x − 1

Calcula el lím

solución

Como x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), tenemos que

x2 −1 = x + 1 es una relación válida para x ≠ 1. Aprovechanx −1

do este resultado, tenemos que: x2 − 1 ( x − 1)( x + 1) = lím = lím ( x + 1) = 2 x →1 x − 1 x →1 x →1 x −1 lím

Ejemplo 12. x2 + 2x + 1 . x → −1 x +1

Calcula el lím

151

3.1: Límites

solución Siguiendo la misma estrategia que en el ejemplo anterior, factorizamos el numerador para obtener x 2 + 2 x + 1 ( x + 1) 2 = = x + 1, válido para x ≠ −1, x +1 x +1 de donde x2 + 2x +1 = lím ( x + 1) = −0 x →−1 x →−1 x +1 lím

Ejemplo 13. x3 − 1 . x →1 x − 1

Calcula lím

solución Análogamente a los ejercicios anteriores, tenemos que: x3 − 1 ( x − 1)(1 + x + x 2 ) = lím = lím (1 + x + x 2 ) = 3. x →1 x − 1 x →1 x →1 x −1 lím

Ejemplo 14. tan(θ ) . θ →0 sen(θ )

Calcula lím

solución De la definición de tan(θ ) =

sen(θ ) tan(θ ) 1 , tenemos que ; por lo tanto, = cos(θ ) sen(θ ) cos(θ ) lím

θ →0

Ejemplo 15. Calcula el lím

π θ→ 2

cot(θ ) . cos(θ )

tan(θ ) 1 = lím =1 sen(θ ) θ → 0 cos(θ )

152

Unidad 3: Límites y continuidad

solución cos(θ ) De forma semejante al ejercicio anterior, tenemos que cot(θ ) = ; de donde cot(θ ) = 1 y, por lo sen( θ ) cos(θ ) sen(θ ) tanto, cot(θ ) 1 lím = lím = 1. π π θ → cos(θ ) θ → sen(θ ) 2

2

Estos ejemplos muestran que el cálculo de límites de funciones racionales es relativamente simple. Todo depende del valor del numerador en el punto donde queremos calcular el límite. Si numerador y denominador se anulan, entonces se debe simplificar la expresión antes de calcular el límite. Aprovechamos el momento, y el proceso para calcular límites de cocientes de funciones trigonométricas. Los siguientes resultados lím cos(θ ) = 1, lím sen(θ ) = 0, lím cos(θ ) = 0 y lím sen(θ ) = 1,

θ →0

θ →0

θ →π / 2

θ →π / 2

fueron usados en los ejemplos, y se requieren para resolver los ejercicios; encontraremos su justificación en la sección de continuidad.

En el siguiente apartado, analizaremos el cálculo de límites cuando la variable independiente crece sin medida y cuando, al acercarse a un punto dado, la función toma valores, en magnitud, cada vez más grandes.

Límites laterales y límites infinitos Antes de enunciar formalmente algunos otros resultados sobre límites, recurramos nuevamente a considerar algunos aspectos intuitivos. Piensa que queremos calcular lím f ( x ) y lím f ( x ) con x →1

x →−1

f ( x) =

x −1 x3 + x2 − x −1

Podemos hacer una primera estimación mediante un argumento numérico. En las tablas 3a, 3b, 3c y 3d, se ilustra el comportamiento de la función cuando x tiende a ±1. Observa las tablas 3a y 3b: cuando x tiende a −1 con números mayores, la función toma valores cada vez más grandes. En ese caso, decimos que el límite por la derecha es infinito y lo denotamos como x −1 ⎞ = ∞. lím + ⎛ 3 ⎝ x → −1 x + x 2 − x − 1⎠ En el otro caso: cuando x tiende a −1 con números menores, la función también crece sin medida. Aquí, decimos que el límite por la izquierda es infinito y lo escribimos como x −1 ⎞ = ∞. lím ⎛ 3 2 x →−1− ⎝ x + x − x − 1⎠

153

3.1: Límites

Para el cálculo de lím f ( x ) , usamos las tablas 3c y 3d. Aquí, los límites por la derex →1 cha e izquierda son iguales a 0.25, lo cual escribimos como x −1 x −1 ⎞ = lím ⎛ ⎞ = 0.25. lím+ ⎛ 3 2 3 +⎝ ⎝ ⎠ x →1 x →1 x + x − x −1 x + x 2 − x − 1⎠

Tabla 3 Procedimiento numérico para calcular los límites de f(x) cuando la variable tiende a 1 o a 1

x

x

f(x) f(

0.00000

1.000

2.00000

1.000

0.50000

4.000

1.50000

4.000

0.90000

100.000

1.10000

100.000

0.99000

10 000.000

1.01000

10 000.000

0.99900

1 000 000.000

1.00100

1 000 000.000

0.99990

99 999 999.942

1.00010

100 000 000.163

0.99999

9 999 999 132.628

1.00001 10 000 004 763.654

a)

b)

x

f(x) f(

x

f(x) f(

2.00000

0.11111

0.00000

1.00000

1.50000

0.16000

0.50000

0.44444

1.10000

0.22676

0.90000

0.27701

1.01000

0.24752

0.99000

0.25252

1.00100

0.24975

0.99900

0.25025

1.00010

0.24998

0.99990

0.25003

1.00001

0.25000

0.99999

0.25000

c)

d)

En general, tenemos las siguientes definiciones de límites laterales, donde el proceso de límite en un punto, se hace sólo por un lado (derecha e izquierda).

154

Unidad 3: Límites y continuidad

Definición 1. Si f(x) está definida en un intervalo (c, a) y queremos calcular el límite de f (x) en a, sólo podemos acercarnos por puntos menores que a. En esta situación, diremos que lím− f ( x ) = L , si para cada ε > 0 existe δ > 0, tal que si 0 < a − x < δ, x→a

entonces f ( x ) − L < ε. En otras palabras, en una situación así, diremos que L es el límite por la izquierda de f(x) en a.

Definición 2. Si f(x) está definida en un intervalo (a, b) y queremos calcular el límite de f(x) en a, sólo podemos acercarnos por puntos mayores que a. En esta situación, diremos que lím+ f ( x ) = L, si para cada ε > 0 existe δ > 0, tal que si 0 < x − a < δ, entonces x→a

f ( x ) − L < ε. En otras palabras, en una situación así, diremos que L es el límite por la derecha de f(x) en a.

Inmediatamente tenemos un resultado sobre la existencia del límite en términos de los límites laterales.

Teorema sobre la existencia del límite en términos de la existencia de los límites laterales. Cuando existe lím f ( x ) = L, entonces existen ambos límites laterales y lím− f ( x ) = L x→a

x→a

= lím+ f ( x ); e inversamente, cuando existen ambos límites laterales y lím− f ( x ) = L = x→a

x→a

lím f ( x ), entonces existe lím f ( x ) y es L.

x→a+

x→a

Formalizamos el caso de los límites infinitos mediante la siguiente definición.

Definición 3. a) Decimos que lím − f ( x ) = ∞ cuando dado N, un número real arbitrariamenx → x0

te grande, podemos encontrar δ > 0 que asegure que f(x) > N, siempre que 0 < x0 − x < δ.

155

3.1: Límites

b) Decimos que lím + f ( x ) = ∞ cuando dado N, un número real arbitrariamente x → x0 grande, podemos encontrar δ > 0 que asegure que f(x) > N, siempre que 0 < x − x0 < δ. c) Decimos que lím f ( x ) = ∞ cuando dado N, un número real arbitrariamente grande, x → x0

podemos encontrar δ > 0 que asegure que f(x) > N, siempre que 0 < x − x 0 < δ . Para definir los límites correspondientes que tienden a −∞, debes escribir f(x) < N donde aparece f(x) > N, en cada uno de los incisos anteriores.

Nota. El uso de los límites laterales es una excelente herramienta para determinar el valor de límites de expresiones racionales, donde el numerador y el denominador tienden a cero o infinito.

Para terminar con este apartado definiremos el concepto de asíntota vertical.

Definición 4. Cuando lím± f ( x ) = ±∞, diremos que f(x) tiene una asíntota vertical en x = x0. x → x0

Observa que la asíntota vertical tiene por ecuación x = x0 y, que una función y = f (x) puede tener 0, 1, 2 o infinitas asíntotas verticales (figura 12). Cuando algún límite lateral es infinito, el comportamiento asintótico será por el lado correspondiente. y 1 0.5 6

4

2

2

4

x

0.5 1

FIGURA 12. Una función con dos asíntotas verticales. Las ecuaciones de dichas asíntotas son x = −5 y x = 2.

El estudio de los límites laterales e infinitos es de mucho provecho, particularmente en situaciones como las descritas en los siguientes ejemplos.

156

Unidad 3: Límites y continuidad

Ejemplos Ejemplo 16. ¿Existirá el lím

x →0

x ? x

solución Para analizar este caso, notemos que x ⎧−1 si x < 0 =⎨ x ⎩ 1 si 0 < x por lo tanto, lím−

x→0

x = −1 x

y lím + x→0

x = 1. x

x Observa que, aunque existen los límites laterales, éstos no son iguales y, en consecuencia, el lím no x →0 x existe.

Ejemplo 17. Sea f(x) = x, ¿existirá el lím f ( x )? x →3

solución La respuesta es negativa, y radica en que lím− f ( x ) = 2, mientras que lím+ f ( x ) = 3. x →3

x →3

Ejemplo 18. Decide si existe o no lím

x →1

x +1 . x2 − 1

solución Si aplicamos el método de factorizar el denominador y cancelar, encontramos que lím

x →1

x +1 1 = lím . 2 x → 1 x −1 x −1

A primera vista, podrías decir que el límite no existe y punto. Sin embargo, vale la pena analizarlo con cuidado. Observa que a medida que x se acerca a 1 por la izquierda, se obtienen cocientes donde el numerador es negativo y el denominador cada vez más cercano a cero. En consecuencia, los resultados serán números negativos con magnitud cada vez más grande, es decir, lím

x →1 −

1 = −∞. x −1

157

3.1: Límites

Aun cuando −∞ no es un número, nos ayuda a precisar el proceso que estás observando. Por otra parte, si x tiende a 1 por la derecha, se obtienen resultados cada vez más grandes; en consecuencia, lím

x →1 +

1 = ∞. x −1

1 Reuniendo los dos resultados, podemos concluir que no existe el lím y, por consiguiente, tampox →1 x − 1 x +1 co el lím 2 . x →1 x − 1

Ejemplo 19. Determina si existe o no lím

x →1

x +1 . x2 − 1

solución De lo visto en el ejemplo anterior, se tiene que: lím

x →1

x +1 1 = lím . 2 x → 1 x −1 x −1

Observa que al calcular los dos límites laterales, el término

1 1 = , se hará arbitrariamente granx −1 x −1

de cuando x se acerque a 1; por consiguiente, x +1 = ∞. 2 x →1 x − 1 lím El límite no existe.

Ejemplo 20. Calcula el lím+ ln( x ) x→0

solución Para calcular este límite, debemos recordar que la función logaritmo es la inversa de la exponencial. De ésta sabemos que para valores muy pequeños negativos de x, ex es positivo y muy cercano a 0; de hecho, mientras más pequeño es x más cercano a cero es ex. La situación inversa nos conduce a lím+ ln( x ) = −∞ . x→0

Las indeterminaciones que examinaste anteriormente y que denotamos por 0 , tienen su contraparte 0 con límites infinitos, y las denotaremos por ∞ ; éstas denotan situaciones como las que ilustran los ∞ siguientes ejemplos.

158

Unidad 3: Límites y continuidad

Ejemplo 21. 1 x Calcula el lím , si es que existe. x →0 1 x2

solución 1 tiende a ∞ cuando x se acerca a 0, tanto por la x derecha como por la izquierda. Análogamente, esto ocurre para el denominador 1 ; por consiguiente, x2 tanto el numerador como el denominador no tienen límite cuando x tiende a cero. Ahora, analicemos el comportamiento del cociente. Consideremos el límite lateral por la izquierda; cuando x es menor a cero, el cociente es 1 −x = −x 1 x2 Para entender este ejemplo, nota que el numerador

en esta última expresión, cuando nos acercamos a 0, el cociente también se acerca a 0; por lo tanto, 1 x lím− =0 1 x→0 x2 En el caso del límite lateral por la derecha, se tiene que: 1 x = x y, por tanto, lím 1 x→0− 2 x De donde concluimos que 1 x lím = 0. x→0 1 x2

Ejemplo 22. 1 3 x Calcula el lím . x →0 1 x

1 x = 0. 1 x2

159

3.1: Límites

solución Calculamos primero el límite lateral por la izquierda; en este caso tenemos que: ⎛ ⎜ lím− ⎜ x→0 ⎜ ⎝

1 ⎞ ⎛ x 3 ⎟ = lím ⎜ − 1 ⎟ x→0 − ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠

1 ⎞ x 3 ⎟ = lím ⎛ − 1 ⎞ = −∞. 1 ⎟ x→0 − ⎝ x 2 ⎠ ⎟ x ⎠

Para el límite lateral por la derecha, se tiene que: ⎛ ⎜ lím+ ⎜ x→0 ⎜ ⎝

1 ⎞ ⎛ x 3 ⎟ = lím ⎜ 1 ⎟ x→0 + ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠

1 ⎞ x 3 ⎟ = lím 1 = ∞. 1 ⎟ x→0 + x 2 ⎟ x ⎠

De donde puedes concluir que el límite no existe.

Ejemplo 23. 1 f ( x ) = sen . ¿Existirá el lím f ( x )? x →0 x

solución La respuesta es negativa. Te puedes convencer si observas su gráfica, donde por cierto, no podemos más que insinuar cómo es cerca del origen. y 1 0 75 0.75 05 0.5 0 25 0.25 . 0.5 0 0.255 1 0.75 0.25 0 25

0.25 25

0.5 .

0.75 7

1

x

0.5 05 0.75 0 75 0.75 1

FIGURA 13. Una función que no tiene límites laterales.

Éste ejemplo muestra que para algunas funciones no existe ninguno de los límites laterales, esto permite completar nuestro breve estudio de este tipo de límites.

160

Unidad 3: Límites y continuidad

Límites al infinito Construir una tabla, y elaborar la gráfica correspondiente, es de gran utilidad para desarrollar una idea intuitiva sobre el comportamiento de una función dada. Consideremos la función x

1 f ( x ) = ⎛1 + ⎞ , ⎝ x⎠ ¿cómo se comporta para valores grandes de x? Para responder a la pregunta, construimos la tabla 4. Tabla 4 Acercamiento numérico para analizar el ⎛ comportamiento en infinito de f ( x ) = 1 + ⎝

x f(x)

200

400

600

800

1⎞

x

x⎠

.

1 000 1 200

1 400

1 600

1 800

2 000 10 000

2.7115 2.7149 2.7160 2.7166 2.7169 2.7172 2.7173 2.7174 2.7175 2.7176 2.7181

Observamos que conforme aumenta el valor de x, la función estudiada tiende hacia un valor, sin llegarlo a alcanzar. Este valor es el importante número e = 2.71828182846…, que hemos estudiado en el capítulo de funciones trascendentes y que es la base para los logaritmos naturales y tiene una gran relevancia en el campo de las ciencias. Si graficamos los valores que hemos tabulado, observaremos la tendencia hacia ese valor límite (ver figura 14).

3

y

2 1

2

2

4

6

8

x

10

1

x

⎛ 1⎞ FIGURA 14. La ilustración muestra cómo se comporta la función f ( x ) = 1 + cuando x ⎝ x⎠ tiende a infinito. El resultado que se obtiene es el número e.

De esa manera, mostramos que 1 x lím ⎛1 + ⎞ = e = 2.71828182846... x → ∞⎝ x⎠

161

3.1: Límites

Formalizamos ahora algunas de las ideas sobre los significados de límites al infinito y asíntota horizontal.

Definición de límites al infinito. a) Decimos que lím f ( x ) = L si dada ε > 0 podemos encontrar un número real nex → −∞

gativo N de magnitud suficientemente grande, de tal manera que f ( x ) − L < ε siempre que x < N < 0. b) Decimos que lím f ( x ) = L si dada ε > 0 podemos encontrar un número real x →∞

N suficientemente grande, de tal manera que f ( x ) − L < ε siempre que N < x

Definición de asíntota horizontal. Cuando lím f ( x ) = L o lím f ( x ) = L , diremos que la función tiene una asíntota x →∞

x →−∞

horizontal en y = L.

Dos funciones que tienen un límite al infinito y que nos interesan son: la función re1 cíproca de la función potencial, f ( x ) = n con n > 0, y la función exponencial g(x) = ex. x En la figura 15 mostramos las gráficas de ambas funciones; de ahí, es simple inferir que lím

x →∞

1 = 0 y lím e x = 0 x → −∞ xn y

y 3 25 2.5 2 15 1.5 1 00.55 5

4

3

2

a)

1 0.5 05 11

3 2 1 4 3 1

x

2 1

1

2

3

4

x

11 22 33

b)

FIGURA 15. En a) se muestra el comportamiento de la función exponencial cuando x tiende a −∞, mientras que en b) se muestra el comportamiento de una función g(x) = 1/xn con n par cuando x tiene a ±∞.

162

Unidad 3: Límites y continuidad

Terminamos la discusión de este apartado presentando las definiciones de asíntota oblicua y curva asintótica.

Definición de asíntota oblicua. Si f(x) se puede escribir como f(x) = mx + b + g(x) donde lím g( x ) = 0 y m ≠ 0, x → ±∞

decimos que la recta y = mx + b es asíntota oblicua de f(x).

Definición curva asintótica. Si en la definición anterior f(x) se puede escribir como f(x) = h(x) + g(x) donde lím g( x ) = 0 , decimos que la gráfica y = h(x) es una asíntota curva de f(x). x →∞

xe x + 1 Por ejemplo, la función f ( x ) = tiene a la curva y = ex como curva asintótica, x ya que 1 xe x + 1 1 = ex + y lím = 0. x →∞ x x x Nota. Cuando los límites en las definiciones anteriores son exclusivamente hacia infinito o hacia menos infinito, las asíntotas serán unilaterales.

Ejemplos Ejemplo 24. 3 x 2 +2 , si es que existe. x →∞ x + 1

Calcula lím

solución Estos casos también son muy comunes y la recomendación es hacer la división entre los dos polinomios 3 x 2 +3 x + 2 2 ; nota que cuando x tiende a infinito, el primer término tiende a ∞ = 3x + x +1 x +1 3x 2 + 3x + 2 pero el segundo a 0 y, por tanto, lím = ∞ . Lo interesante de este ejemplo es que el x →∞ x +1 para escribir

comportamiento asintótico de la función cuando x tiende a ∞, es acercarse a la recta y = 3x.

163

3.1: Límites

Ejemplo 25. Calcula el lím e x . x →∞

solución Las funciones exponencial y logarítmica son crecientes y si N es un número positivo arbitrariamente grande, sabemos que eln N = N y, para todo x > lnN, tendremos que ex > N, de tal manera que lím e x = ∞. x →∞

Ejemplo 26. Calcula lím e − x. x →∞

solución Este límite es equivalente a lím e x , que es cero, ya que el comportamiento de e−x es simétrico al de ex. x → −∞

Ejemplo 27. Calcular lím L∞ (1 − e − k ( t − t 0 ) ) con L∞, k y t0 constantes; k > 0. t →∞

solución Claramente, lím L∞ (1 − e − k ( t − t 0 ) ) = L∞ − L∞ lím e − k ( t − t 0 ) ,

t →∞

t →∞

y, como k(t − t0) tiende a ∞ cuando t tiende a ∞, del ejemplo anterior tenemos que: lím e − k ( t − t 0 ) = 0

t →∞

y, por lo tanto, lím L∞ (1 − e − k ( t − t 0 ) ) = L∞ .

t →∞

La función L(t) = L∞(1 − e−k(t−t )) es muy usada para medir la talla al tiempo t de muchos animales. Se le conoce como el modelo de crecimiento de Von Bertallanfy, y al coeficiente L∞ se le llama talla máxima. 0

Ejemplo 28. Considera la función f ( x ) =

x3 + 2x2 + x + 3 ¿Podrías decir algo acerca de lím f ( x )? x →∞ 4x3 + x2 − 2x + 1

164

Unidad 3: Límites y continuidad

solución Este tipo de ejemplo es muy común y nuestra recomendación para calcular el límite es: primero, identificar el grado más alto al que está elevado x, en este caso 3; posteriormente, dividir numerador y denominador entre x3; y finalmente, simplificar la expresión: 2 1 3 2 1 3 x 3 ⎛1 + + 2 + 3 ⎞ 1 + + 2 + 3 ⎝ ⎠ x + 2x + x + 3 x x x x x x f ( x) = 3 = = 4x + x2 − 2x + 1 x3⎛ 4 + 1 − 2 + 1 ⎞ 4 + 1 − 2 + 1 ⎝ x x2 x3 x x2 x3 ⎠ 3

2

y cuando hagas tender x a infinito, todos los términos que tienen a x en el denominador se irán a cero 1 para obtener lím f ( x ) = . x →∞ 4

Límites especiales A continuación, enunciamos un poderoso teorema que permite asegurar la existencia del límite de funciones que están acotadas por arriba y por abajo por funciones de las que puedes calcular fácilmente el límite.

Teorema 3. Sean f(x), g(x) y h(x) tres funciones que satisfacen f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para cada x en el dominio común de estas tres funciones. Supongamos que lím f ( x ) = lím g( x ) = L , x → x0 x → x0 entonces también se satisface lím h( x ) = L . x → x0

Demostración. La existencia de ambos límites implica que dado ε > 0, podemos encontrar una δ > 0 para la cual las dos siguientes desigualdades son válidas, −ε < f(x) − L < ε

y - ε < g(x) −L < ε,

siempre que 0 < x − x 0 < δ . Por la desigualdad que satisfacen las tres funciones, tenemos que −ε < f(x) − L < h(x) − L < g(x) −L < ε, de donde lím h( x ) = L . x → x0

sen( x ) Apliquemos el teorema para probar que lím = 1. La utilidad de este rex→0 x sultado se hará patente más adelante.

165

3.1: Límites

C B  A

E



D

F G

FIGURA 16. El círculo unitario y su utilidad para demostrar lím

x→0

sen( x ) x

= 1.

Consideremos el círculo unitario centrado en el origen. Primero, consideremos que θ es el ángulo positivo medido en radianes que forman los segmentos AB y AD. Sea DB el arco que extiende el ángulo θ. Nota que la longitud de AD es 1, la longitud de BE es sen(θ), la longitud de AE es cos(θ), la longitud del arco DB es θ y la del segmento CD es tan(θ). De la figura anterior, es claro que sen(θ) ≤ θ ≤ tan(θ), por tanto, si dividimos cada uno de los miembros de esta desigualdad por sen(θ), tendremos θ 1 , 1≤ ≤ sen(θ ) cos(θ ) que al tomar los recíprocos de cada término de la desigualdad, nos da cos(θ ) ≤

sen(θ ) ≤ 1. θ

Veremos ahora lo que acontece cuando θ es negativo. En este caso, EF es −sen(θ), DG es −tan(θ), el arco DF tiene longitud −θ. Por tanto, se satisface la relación −sen(θ) ≤ −θ ≤ −tan(θ). Como −sen(θ) es positivo, al dividir cada término de la desigualdad por esta cantidad, tenemos la desigualdad 1≤

θ 1 , ≤ sen(θ ) cos(θ )

que, al considerar los recíprocos, nos da cos(θ ) ≤

sen(θ ) ≤ 1. θ

166

Unidad 3: Límites y continuidad

Es decir, esta última desigualdad se satisface para todo θ cercano a 0. Si usamos el teorema 3, podemos concluir que como lím cos(θ ) = lím (1) = 1, entonces θ →0 θ →0 sen(θ ) lím = 1. θ →0 θ

Nota. Este resultado es válido cuando el ángulo se mide en radianes, ya que su deducción depende de las comparaciones realizadas. Si midiéramos los ángulos en otras unidades, el resultado sería diferente.

1. Responde las siguientes cuestiones. a) b) c) d)

Indica dos razones por las que el límite de una función podría no existir. Describe la relación que existe entre el concepto de límite y el concepto de tolerancia en las mediciones. Describe la importancia del concepto de límite. Expresa con tus palabras qué entiendes por lím f ( x ) = L . x → x0

e) ¿Cuál es, a tu juicio, la importancia de los límites laterales? f) Define explícitamente lím + f ( x ) = −∞, lím − f ( x ) = −∞ y lím f ( x ) = −∞. ¿Qué significado geox → x0

x → x0

x → x0

métrico tienen? g) ¿En qué situaciones aparecen las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas? Da un ejemplo para cada caso. x2 −1 h) Haz la gráfica de f ( x ) = ¿Qué diferencia hay entre ésta y la gráfica de g(x) = x − 1? ¿Cuál x +1 es el dominio de cada una de ellas? i) Haz un dibujo donde aparezcan tres funciones que cumplan las condiciones que satisfacen el teorema 3 y busca un ejemplo donde se aplique. 2. En cada uno de los siguientes ejercicios, elabora una tabla y estima el límite de la función dada. Analiza el comportamiento para números mayores y menores a x0. sen( x ) x →0 x x 2 − 5x + 6 b) lím 2 x → 3 x + x − 12 1 − cos ( x ) c) lím x→ 0 x2 1 d) lím x sen ⎛ ⎞ ⎝ x⎠ x→ 0 a) lím

x −1 x →1 x − 1 x4 − 9 f) lím 2 x →3 x − 3 e) lím

g) lím x 2 − 9 x →3

h) lím

x →0

1 x

2x − 1 x→0 x

i) lím

j) lím x sen( x ) x →0

167

3.1: Límites

3. En cada uno de los siguientes ejercicios, analiza si existe el límite de las funciones proporcionadas en el punto dado y, de ser así, determina el valor de tal límite. En este caso, estima δ para el ε proporcionado. a) f(x) = x2 + 2 si x0 = 6 y ε = 0.1 b) f(x) = 3x + 2 si x0 = 2 y ε = 0.01 c) f(x) = x − 3 si x0 = 2 y ε = 0.01 2

d) f(x) = x2 + 2x − 3 si x0 = 2 y ε = 0.1 e) f(x) = 2x + 5 si x0 = −3 y ε = 0.01 x f) f ( x ) = si x0 = 4 y ε = 0.01 x−4

g) f ( x ) = x + 1 si x0 = 0 y ε = 0.01 1 si x0 = 4 y ε = 0.01 x i) f(x) = 2x2 + 4x si x0 = −1 y ε = 0.1 h) f ( x ) =

j) f(x) = 3 − x2 si x0 = 2 y ε = 0.1

4. En cada uno de los ejercicios siguientes, usa la definición formal de límite para demostrar su existencia. En caso de que no exista el límite, indica la razón. a) lím( x + 5) x →3

f) lím x + 3 x → 33

b) lím ( x 2 + 1) x →1

g) lím sen(θ ) θ →π 2

1 x →2 x

c) lím ( x + 2 x )

h) lím

d) lím (7 x + 4)

i) lím x 2

2

x→ −2

x→ 3

x−5 e) lím x→5 x − 5

x →2

j) lím x x →1

5. Encuentra el límite de las siguientes funciones en el punto. 5x 2 + 3x − 2 en x0 = 2 x+4 sen( x ) b) f ( x ) = en x0 = π x

a) f ( x ) =

2

π e ln( x ) tan( x ) d) f ( x ) = en x 0 = 4 x e) f(x) = cot(x) en x 0 =

π 4

c) f(x) = 3(1 − e−x) en x0 = 4 6. Evalúa los siguientes límites. 2

x4 −1 x →1 x − 1

a) lím

e ln( x ) tan( x ) x →0 x

e) lím

b) lím cot( x )sen( x )

f) lím

x2 − x − 2 c) lím x→2 x−2

g) límπ

x →0

x − x−6 x2 − 2x − 3 2

d) lím

x →3

x→0

x→

[

2

cos( x )

]

1 + cot 2 ( x ) sen 2 ( x ) cos( x )

[1 + tan ( x )]cos ( x ) 2

2

x 3 + 4 x 2 + 5x + 2 x → −1 x 2 + 3x + 2

h) lím

168

Unidad 3: Límites y continuidad

7. Determina si existe o no el límite indicado y justifica tu respuesta. En caso de que exista, determínalo. x x

a) lím+ x→0

b) lím

x →0

c) lím

x →0

h) lím

x →1

x x

x −1 x −1

i) lím ( x − 1) x →1 x − 1

x

j) lím tan( x ) +

x2

x→

d) lím+ x + [ x ] y lím− x + [ x ] x →3

x →3

e) lím x + [ x ]

π 2

k) lím tan( x ) − x→

π 2

x →3

f) lím+ x→0

g) lím+ x →1

x + [ x] x + [ x] y lím− x x→0 x

l) lím tan( x ) x →0 cot( x )

x −1 x −1

8. Para las siguientes funciones, debes determinar si hay asíntotas verticales, horizontales, oblicuas o curvas. Puede haber funciones para las que existan los tres tipos de asíntotas. a) f ( x ) =

x x

f ) f ( x) =

1 −x2 2 e 2π

b) f ( x ) =

x2 +1 x

g) f ( x ) =

x2 + 2x + 2 x+2

c) f ( x ) =

x x −1

h) f ( x ) =

x2 x + x + 3 x2 +1

d) f ( x ) =

1 π (1 + x 2 )

i) f ( x ) =

3 + 3x x−5

e) f ( x ) = 5 +

3 3 1+ t

9. Calcula los siguientes límites. 1 a) lím sen⎛ ⎞ ⎝ x →∞ x⎠ 1 b) lím x 2 sen⎛ ⎞ ⎝ x⎠ x→0 π cos⎛ x − ⎞ ⎝ 2⎠ c) lím x→0 x

d) lím

tan( x ) x cos( x )

e) lím

sen(3 x ) sen(2 x )

x →0

x →0

169

3.1: Límites

10. Por experiencia, se sabe que la cantidad de pintura necesaria para pintar un muro de longitud x está dada por f(x) = 3x2 + 2. Supongamos que la longitud del muro es aproximadamente dos metros y que la cantidad de pintura requerida difirió de 14 litros en no más de un décimo de litro, ¿qué tan cerca de dos metros está la longitud real del muro? Da una cota que sea irrefutable. Sugerencia: revisa la definición de límite. 11. Calcula los siguientes límites. 2 − 3x + x 2 2 x →∞ 7 + 4 x − 5 x

k) lím

2x3 3 x → −∞ 1 + x

l) lím ⎛⎝ 2 x 2 + 3 x − 2 x 2 − 5 ⎞⎠ x → −∞

3 − 2x x →∞ x + 5

1 m) lím ⎛1 + ⎞ x →∞ ⎝ x⎠

2x2 − x + 5 2 x → −∞ 5 x + 6 x − 1

1 x n) lím ⎛1 + ⎞ x →∞ ⎝ x⎠

2 x 3 − 3x 2 + 1 3 x →∞ 5 x − 4 x + 7

o) lím

3x 3 − 4 x + 1 2 2 x → −∞ ( x + 1)( x − 1)

p) lím

a) lím

b) lím

c) lím

d) lím

e) lím

f) lím

g) lím

3

x →∞

h) lím

x → −∞

1 + 8x 2 x2 + 4 2x + 1 x2 + 3

i) lím ⎛⎝ 2 x 2 + 3 − 2 x 2 − 5 ⎞⎠ x →∞ j) lím

y → −∞

9 y3 + 1 y2 − 2 y + 2

3x 2 + x + 1 2 x →∞ 2 x − 1

10

2

4 x 3 + 3x − 4 x 2 + 2 9 x 3 + 5x − 1

x →∞

x → −∞

x2 − 2x + 3 x+5

q) lím ⎛⎝ 3 x 3 + x − 3 x 3 + 1⎞⎠ x → −∞ r) lím

x 2 − 5x + 6 x2 − 6x + 8

s) lím

x+4 x2 − 2x + 5

x →∞

x →∞

6t 2 + 5t x → −∞ (1 − t )(2t − 3)

t) lím

12. En tus propias palabras, explica el significado de la ecuación lím f ( x ) = 5. ¿Es posible que esta ecuax→2 ción sea verdadera y que f(2) = 3? 13. Explica con tus palabras el significado de cada uno de los siguientes límites. a) lím f ( x ) = ∞

c) lím f ( x ) = 5

b) lím+ f ( x ) = −∞

d) lím f ( x ) = 3

x→2

x →1

x →∞

x → −∞

170

Unidad 3: Límites y continuidad

14. Para la función g, cuya gráfica se proporciona, calcula y

a) lím g( x ) x →∞

b) lím g( x )

2 1.5

c) lím + g( x )

1 0.5

x → −∞

x → −5

30

d) lím+ g( x )

200

10 1

x→2

e) lím− g( x ) x→2

f) La ecuación de sus asíntotas.

10

0.5 1 1.5 2

x 20

FIGURA 17. La figura del ejercicio 14.

15. Grafica la función f ( x) =

9x 2 + 4 . 3x − 9

a) ¿Cuántas asíntotas verticales y horizontales observas en la gráfica? b) Usa la gráfica para estimar lím

x →∞

9x 2 + 4 3x − 9

y lím

x → −∞

9x 2 + 4 3x − 9

c) Muestra algebraicamente que tus estimaciones son correctas. 16. Determina el valor de los siguientes límites. a) lím (3 x − 7); x→5

(

g) lím 3

)

b) lím x 2 + 2 x − 1 ; x→2

(

)

c) lím z 3 + 8 ; z → −2

4x − 5 d) lím ; x →3 5x − 7 t2 − 5 ; 3 t → 2 2t + 6 8r + 1 f) lím ; r →1 r+3 e) lím

x→4

x 2 − 3x + 4 ; 2x2 − x − 1

x 2 − 49 ; x→7 x − 7

h) lím

i) lím 3 x→− 2

4x2 − 9 ; 2x + 3

3s 2 − 8s − 16 ; 2 x → 4 2 s − 9s + 4

j) lím

k) lím

y → −3

y2 − 9 ; 2 y + 7y + 3 2

3

l) lím

h→ 0

h +1 −1 ; h

2 x 3 − 5x 2 − 2 x − 3 ; 3 2 x → 3 4 x − 13 x + 4 x − 3

m) lím

171

3.1: Límites

17. Determina los límites unilaterales, por la derecha, por la izquierda, y el límite en general. ⎧2 ⎪ a) f ( x ) = ⎨−1 ⎪−3 ⎩

x 1

⎧2 r + 3 ⎪ d) g(r ) = ⎨2 ⎪7 − 2 r ⎩

r 1

⎧t + 4 b) f ( x ) = ⎨ ⎩4 − t

t ≤ −4 −4 < t

x2

⎧x 2 c) f ( x ) = ⎨ ⎩8 − 2 x

x≤2 2 0 existe δ > 0 de tal manera que si 0 < x − x 0 < ε entonces f(x) = L b) Dado ε > 0 existe δ > 0 de tal manera que si 0 < x − x 0 < δ entonces f ( x ) − L < ε c) Dado ε > 0 existe δ > 0 de tal manera que si 0 < x − x0 < δ entonces f ( x ) − L < ε d) Dado ε > 0 existe δ > 0 de tal manera que si 0 < x0 − x < δ entonces f ( x ) − L < ε x4 − x2 + 2 ? 4 x →∞ 3 x − 2 x + 1

2. ¿Cuál es la opción que contiene la solución de lím a) 0

c) 3

b) ∞

d) 1 3

3. Si una especie de camarón crece de acuerdo a la siguiente relación L(t) = 20(1 − e−.02(t − 0.01)), donde t es el tiempo en días y L(t) es la longitud en centímetros de un camarón al tiempo t. ¿Cuál es la longitud máxima limitante? a) 0.02

c) 1−e

b) 20 e−0.02

d) 20

x −1 4. Calcula lím 3 . x →1 x − 1 a)

3

b) 3

3

c) 1 − 3 3 d) 1

5. Si en el modelo de crecimiento del camarón L(t) = 20(1 − e−.02(t-0.01)) del problema 3, puedes aceptar como satisfactorio el tamaño máximo limitante menos un octavo de centímetro, ¿a partir de qué momento puedes sacar el camarón a la venta?

177

3.1: Límites

Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) Porque los límites laterales son reales pero diferentes, o porque uno es infinito y el otro es un número real. b) Generalmente en problemas de tolerancia, se da la tolerancia de la variable independiente y se quiere calcular la tolerancia en la variable dependiente. En el caso del límite, es al contrario. c) Es útil en los conceptos de continuidad, derivada e integral. d) Cuando nos aproximamos a x0, los valores de la función se van aproximando a L. e) Nos permiten analizar el comportamiento de cada lado de x0 por separado; cuando éstos coinciden, podemos asegurar que el límite existe y cuando difieren, podemos asegurar que el límite no existe. f) Decimos que lím − f ( x ) = −∞ cuando dado N, un número real arbitrariamente pequeño, podemos enx → x0

contrar δ > 0 que asegure que f(x) < N siempre que 0 < x0 − x < δ. Decimos que lím + f ( x ) = −∞ cuando x → x0

dado N, un número real arbitrariamente pequeño, podemos encontrar δ > 0 que asegure que f(x) < N siempre que 0 < x − x0 < δ. Decimos que lím f ( x ) = −∞ cuando dado N, un número real arbitrariamenx → x0

te pequeño, podemos encontrar δ > 0 que asegure que f(x) < N siempre que 0 < x − x 0 < δ . g) Las asíntotas horizontales aparecen cuando lím f ( x ) = ±∞ , las verticales cuando lím ± f ( x ) = ±∞, x → x0

x → ±∞

y las oblicuas cuando f(x) = mx + b + g(x) con lím g( x ) = 0. Por ejemplo, en las siguientes funciones, x →∞

aparecen asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, respectivamente, f(x) = e−x, f ( x ) =

x2 + 2 x+4 h) Ambas gráficas son iguales, salvo que la primera no está definida en −1. El dominio de la primera es el conjunto de los números reales excluyendo al 1, mientras que el dominio de la segunda es el conjunto de los números reales. 1 i) Una aplicación se da para mostrar que lím x sen⎛ ⎞ = 0, el dibujo puede ser el siguiente. ⎝ x⎠ x→0 f ( x) =

.

1 , x+4

y

x

178

Unidad 3: Límites y continuidad

2. a) 1

f) 12

b) 1/7

g) 0

c) /2

h) No existe.

d) 0

i) ln(2)

e) No existe.

j) 0

a) δ < 1/50

f) No existe.

b) δ < 0.01/3

g) δ < 0.02

c) δ < 0.0025

h) δ < 0.15

d) δ < 0.02

i) δ < 0.05

e) δ < 0.005

j) δ < 0.025

a) δ = ε

f) δ < ε2 − 12ε

b) δ < 1 − ε

g) δ < sen−1(1 − ε) − π/2

c) δ < 1 + 1 − ε

h) δ < 4ε/(1 + 2ε)

d) δ < ε/7

i) δ < −2 + 4 − ε

e) No existe.

j) No existe.

a) 6 c) 2.9450530833338

d) π 4 e) 1

a) 0

e) 4

b) 1

f) 1

c) 3

g) 0

d) 5/4

h) 2

a) 0

g) ∞

b) No existe, pues x no está definido para los números reales negativos.

h) No existe.

c) 1

j) −∞

d) 6 y 5

k) ∞

e) No existe.

l) 0

1

3.

4.

5. b) 0

6.

7.

f) 1 y −∞

i) No existe.

179

3.1: Límites

8. a) No tiene asíntotas. b) En 0 tiene una asíntota vertical y una oblicua cuando x → ±∞. c) Tiene una asíntota vertical en x = 1 y una horizontal en y = 1 cuando x → ±∞. d) Tiene a la recta y = 0 como asíntota horizontal cuando x → ±∞. e) Tiene una asíntota horizontal en y = 5 cuando x → ±∞. f) Tiene como asíntota el eje x cuando x → ±∞. g) Tiene una asíntota vertical en x = −2 y una asíntota oblicua cuando x → ±∞. h) Tiene como asíntota cuando x → ∞ a la curva y = ln x. i) Tiene una asíntota vertical cuando x = 5 y una oblicua cuando x → ±∞. 9. a) 0

d) 1

b) 0

e) 3/2

c) 1 10. Usando la sugerencia, vemos que la pregunta se reduce a estimar en qué intervalo deberá estar x para asegurar que 14 − (3 x 2 + 2) < 0.1, de donde 13.9 < 3x2 + 2 < 14.1; debido a esto, restando 2, 11.9 < 3x2 < 12.1, dividiendo entre tres, y sacando raíz cuadrada, obtenemos podemos concluir que

11.9 12.1 . Con esto f(b)) y f(a) < c < f(b) (o bien f(b) < c < f(a)), entonces existe un punto x0 en el intervalo abierto (a, b), de tal manera que f(x0) = c; es decir, todos los puntos intermedios entre f(a) y f(b) están en la imagen de la función.

La idea intuitiva de este último resultado es que la gráfica de una función continua no tiene huecos, idea sobre la cual se apoyan algunos métodos numéricos (como el método de bisección) para el cálculo aproximado de la solución de una ecuación.

y

f ( b) a

x x0 b

f (a)

FIGURA 2. Una raíz de función continua.

Por ejemplo, si sabes que una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] para la cual se cumpla que f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces el teorema del valor intermedio asegura que existe un x0 ∈ (a, b) para el cual f(x0) = 0.

Ejemplos Ejemplo 1. ⎧ x − 1 si x ∈ (−1, ∞), x ≠ 1 ⎪ 2 Sea f ( x ) = ⎨ x − 1 determina si f(x) es continua en 1. 1 ⎪ si x = 1 ⎩ 2

186

Unidad 3: Límites y continuidad

solución 3

y

2 2.5 2 1.5 .5 1 0.5 ⫺1 ⫺0.5

1

2

3

4

5

6

x

⫺1 FIGURA 3. La función f(x) es continua en x = 1.

Observa que el punto x = 1 está en el intervalo (−1, ∞) y que 1 1 x −1 = lím = = f (1) 2 x →1 x − 1 x →1 x + 1 2

lím f ( x ) = lím x →1

Se puede concluir que la función es continua en 1.

Ejemplo 2. Sea f(x) = anxn + an−1 xn−1 +…+ a1x + a0 un polinomio, determina si f(x) es continua en x0 = 2.

solución En la sección 1, vimos que lím f ( x ) = an 2 n + a n−1 2 n −1 + ⋅⋅⋅ + a1 2 + a0 = f (2)

x →2

Por tanto, la función es continua en 2. En realidad 2 no es un valor peculiar; cualquier valor real de x0 permitiría concluir que la función es continua en x0. Nota. Si f(x) y g(x) son dos polinomios, resulta del ejemplo anterior y del segundo teorema de esta f ( x) sección, que la función racional h( x ) = es continua en , con excepción de aquellos puntos g( x ) donde g(x) sea igual a cero.

Ejemplo 3. Sea h( x ) =

x+4 , determina el máximo dominio donde h(x) es continua. x2 − 1

187

3.2: Continuidad

solución Como el denominador se anula exclusivamente en {−1, 1}, entonces (lee nuevamente la nota anterior) la función es continua en (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞).

Ejemplo 4. ⎧ sen(2 x ) si ⎪ Sea f ( x ) = ⎨ x si ⎩⎪ 1

x≠0 x=0

, ¿qué puedes decir acerca de la continuidad de f(x) en x0 = 0?

solución sen( x ) sen(2 x ) 2sen(2 x ) = 1, entonces lím = lím x→0 x→0 x→0 x x 2x

Vimos en la sección anterior que lím = 2 lím x→0

sen(2 x ) = 2 ≠ f (0), 2x

por tanto, la función no es continua en 0. De hecho, de acuerdo a la clasificación dada sobre discontinuidades, f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = 0. y 2 1 1.5 1 0.5 24

2

22

4

x

20.5

FIGURA 4. La función f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = 0.

Nota. Este ejemplo muestra que no todas las funciones son continuas en cada punto de su dominio.

Encontrar el máximo dominio de definición de una función, de manera que además en ese dominio la función sea continua, es un asunto muy importante. En muchas ocasiones es posible hacer ligeras modificaciones en la regla de correspondencia para lograr una extensión del dominio donde la función sea continua. El siguiente ejemplo ilustra lo anterior.

188

Unidad 3: Límites y continuidad

Ejemplo 5. x2 − 1 Sea f ( x ) = con dominio (−∞, 1) ∪ (1, ∞). ¿Puede definirse una función h(x) continua en , de x −1 tal manera que en (−∞, 1) ∪ (1, ∞) coincida con f(x)?

solución Se ve de manera inmediata que la función es discontinua en x = 1, no obstante, como lím f ( x ) = x →1

( x + 1)( x − 1) = lím ( x + 1) = 2 existe, podemos concluir que la discontinuidad es evitable. Si definilím x →1 x →1 x −1 ⎧ f ( x) , x ≠ 1 mos h( x ) = ⎨ , tenemos que h(x) es continua en todos los reales y coincide con f(x) en (−∞, ⎩ 2, x =1 1) ∪ (1, ∞). De hecho, h(x) = x + 1 es la extensión buscada. La figura 5 ilustra la situación estudiada. y

y

4

4

3

3

2

2

1

1 x

22

21

1

2

22

2 21

1

2

x

21

21

22

22 a)

b)

FIGURA 5. a) Gráfica de la función inicial f(x), b) gráfica de la extensión h(x).

Nota. Siempre que una función tenga una discontinuidad evitable en un punto, será posible extender su dominio de tal manera que, en ese punto la función extendida sea continua.

Ejemplo 6. Analiza la continuidad de la función f ( x ) =

x −1 en x = −1 y en x = 1. x2 − 1

solución Lo primero que notamos es que la función no está definida en ninguno de estos puntos, por lo tanto, la función en ellos es discontinua. A pesar de esta característica común entre x = −1 y x = 1, hay una gran 1 f ( x ) = , en tanto que lím f ( x ) no existe. Por lo tanto, diferencia cualitativa entre −1 y 1, pues lím x →1 2 x → −1

189

3.2: Continuidad

en x = 1 tenemos una discontinuidad evitable, mientras que en x = −1 hay una discontinuidad esencial. Si definimos: ⎧ x − 1 ; x ≠ 1 , x ≠ −1 ⎪ 2 h( x ) = ⎨ x − 1 , 1 ⎪ ; x =1 2 ⎩ entonces la única discontinuidad de h(x) es −1; cabe insistir en que no es posible hacer algo semejante en −1 pues lím f ( x ) no existe. Observa que f(x) y h(x) coinciden en  – {−1, 1}. x → −1

y

y (1, 0.5)

5

(1, 0.5)

2.5 x –1.5 –1

–0.5 –2.5

0.5

1

x –2

–1.5

–1

–0.5 –2.5

–5

–5

–7.5

–7.5

–10

–10 a)

0.5

1

b)

FIGURA 6. La función f(x) en a), y su extensión h(x) en b).

Ejemplo 7. ⎧ ⎛ 1⎞ ⎪ x sen⎝ x ⎠ ⎪ Sea f ( x ) = ⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎩

si

x≠0 , demuestra que f(x) es continua en todos los reales.

si

x=0

solución 1 Dado que la función –1 ≤ sen(t) ≤ 1para todo t ∈ , es fácil verificar que − x ≤ x sen⎛ ⎞ ≤ x para cada ⎝ x⎠ 1 x diferente de cero. Adicionalmente, lím − x = lím x = 0 luego, lím x sen⎛ ⎞ = 0 (revisa la primera ⎝ x⎠ x→0 x→0 x→0 sección de este capítulo). Como f(0) = 0, podemos concluir que f(x) es continua en 0. En realidad, x = 0 es el único punto donde es difícil calcular el límite de la función, porque si x0 ≠ 0, puedes verificar ⎛ 1⎞ 1 que lím x sen⎛ ⎞ = x 0 sen⎜ ⎟ . Podemos concluir que la función es continua en todos los reales. ⎝ x⎠ x → x0 ⎝ x0 ⎠

190

Unidad 3: Límites y continuidad

y

0.4 0.2

–0.75 –0.5

–0.25

0.25

0.5

0.75

x

–0.2

FIGURA 7. Pese a la apariencia de la función y a lo “irregular” de la gráfica, ésta es continua en .

Notación. Al operar con límites infinitos, escribiremos

i ) lím + x → x0

A para referirnos a: 0+

f ( x) f ( x) , o ii ) lím − x → x 0 g( x ) g( x )

En el primer caso, queremos decir que lím + f ( x ) = A, A ≠ 0 y que, para todo ε > 0, existe δ > 0; tal que x → x0

0 < x – x0 < δ, implica que 0 < g(x) < ε. El significado en ii) es análogo; de manera similar, definimos el A símbolo − . En ambos casos, se tiene un numerador que tiende a un valor constante y a un denominador 0 que tiende a cero por valores que son mayores o menores que cero. Puede probarse que: +∞, si A > 0 +∞, si A < 0 i) A = ⎧⎨ y A = ⎧⎨ + − A 0 −∞ , si < 0 0 ⎩ ⎩−∞, si A > 0

Ejemplo 8. ( x − 4) ⎧ ⎪ ( x − 2)( x − 5) , si x > 0; x ≠ 4.5 ⎪ Sea f ( x ) = ⎨ 2, si x = 0, analiza las posibles discontinuidades de la función. ⎪ 2 − x 2 , si x < 0 ⎪ ⎩ Donde sea posible, redefine a la función de manera que la extensión sea continua.

solución Los puntos que vamos estudiar son aquellos donde la fórmula de correspondencia cambia, y aquellos otros donde algún denominador dentro de la función se anula. Por lo tanto, estudiaremos los puntos

191

3.2: Continuidad

x = 0, x = 4 y x = 5. Respecto a x = 0, que es el punto donde la fórmula de correspondencia cambia, calculamos los límites unilaterales y tenemos que:

(

)

lím f ( x ) = lím− 2 − x 2 = 2; lím+ f ( x ) = lím+

x→0−

x→0

x→0

x→0

(

x−4

)

x − 2 ( x − 5)

=−

2 5

De estos cálculos, deducimos que lím f ( x ) no existe, pues los límites unilaterales son x →0

diferentes; por lo tanto, la función tiene una discontinuidad esencial de salto en x = 0. Ahora, observa que x = 4 ∉ Df, pero que lím f ( x ) = lím

x→4

x→4

(

x−4

)

x − 2 ( x − 5)

= lím

x→4

(

)( x + 2) = lím ( x − 2)( x − 5) x −2

x→4

x +2 = −4. x−5

Así que, x = 4 es una discontinuidad evitable. La gráfica de f(x) debe exhibir un hueco en el punto (4, −4). Si redefinimos a la función en x = 4 como f(4) = −4, habremos logrado una extensión del dominio de la función que abarca a x = 4 como punto de continuidad. La función extendida quedaría de la siguiente manera: ( x − 4) ⎧ ⎪ ( x − 2)( x − 5) , si x > 0; x ≠ 4.5 ⎪ −4, si x = 4 ⎪ f ( x) = ⎨ 2, si x = 0 ⎪ 2 − x 2 , si x < 0 ⎪ ⎪ ⎩ Finalmente, x = 5 ∉ Df, pero ahora lím f ( x ) = lím−

x →5−

x→5

(

x−4

)

x − 2 ( x − 5)

=

1 = −∞; lím+ f ( x ) = lím+ 0− x →5 x →5

(

x−4

)

x − 2 ( x − 5)

=

1 = +∞ 0+

Por lo tanto, la función tiene una discontinuidad esencial infinita en x = 5. La figura 8 muestra la función original a) y su extensión b). y 8 6 4 2 –2

–2 –4 –6 –8

a)

8 6 4 2 2

4

6

8

x

–2

y

–2 –4 –6 –8

2

4

6

8

b)

FIGURA 8. Una función con los tres tipos de discontinuidad: salto, evitable e infinita.

x

192

Unidad 3: Límites y continuidad

Estudio de las funciones racionales Cerramos esta sección con un estudio más detallado de las funciones racionales. El ejemplo 2 mostró que todo polinomio es una función continua en ; de esto se desprende que sus gráficas, en general, son curvas suaves sin interrupciones, ni “saltos infinitos”; por el contrario, las gráficas de las funciones racionales pueden presentar interrupciones (huecos) y “saltos infinitos”. De hecho, uno de los aspectos más peculiares de una función racional es su comportamiento asintótico. Ten presente que, al tipo de recta a la cual se “aproxima” la gráfica de una función se le llama asíntota de la gráfica o de la función. Hablando sólo de rectas, una función racional puede tener asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, como se muestra en la siguiente figura.

y

y 40 20

x –4

2

–2

x 4

6

–20

Asíntona horizontal

Asíntonia vertical y

x

Asíntonia oblicua

FIGURA 9. Tipos posibles de rectas asíntotas de una función racional.

A fin de que tengas una metodología de graficación de funciones racionales, te pedimos que consideres la siguiente guía general.

193

3.2: Continuidad

Guía general para graficar funciones racionales. 1. Primero, encuentra el dominio de la función. Para ello, debes igualar el denominador con cero y omitir los puntos obtenidos. 2. Después, encuentra las intersecciones con los ejes coordenados: a) Sustituye x = 0 para determinar la intersección con el eje y. b) Si no fuera excesivamente complicado, iguala el numerador con cero para encontrar las intersecciones con el eje x. 3. Ahora, utiliza los puntos donde el denominador se hizo cero para investigar si en ellos se tienen asíntotas verticales. Calcula los límites unilaterales en estos valores para conocer el comportamiento de la función cerca de ellos. 4. Para continuar, determina la asíntota horizontal de la función (si existe); esto te obligará a calcular los límites al infinito. Si no hay asíntotas horizontales, la función tendrá una recta asíntota oblicua o una curva asintótica. 5. Por último, revisa si la función es par o impar para determinar algún tipo de simetría.

Nota. El siguiente teorema, que puede probarse fácilmente a partir del cálculo de los límites al infinito, te permitirá determinar las asíntotas horizontales de una función.

Teorema para el cálculo de asíntotas horizontales de funciones racionales. Sea f ( x ) = ≠ 0.

am x m + am −1 x m −1 + L + a0 una función racional, donde am ≠ 0 y bn bn x n + bn −1 x n −1 + L + b0

Entonces: a) Para m = n: y =

am es una asíntota horizontal de la función. bn

b) Para m < n: y = 0 es una asíntota horizontal de la función. c) Para m > n: la función no tiene ninguna recta asíntota horizontal.

Ejemplos Ejemplo 1. Bosqueja la gráfica de f ( x ) =

x2 − 4 . x2 − 2x − 3

194

Unidad 3: Límites y continuidad

solución Seguiremos los pasos mencionados en la guía de graficación de funciones racionales. 1. Como x2 – 2x – 3 = 0 tiene por solución x = −1 y x = 3, el dominio es Df =  − {−1, 3}. Recuerda que posiblemente haya asíntotas verticales en los puntos que no están en el dominio. 4 2. a) La gráfica interseca al eje y en el punto f (0) = . 3 b) Las intersecciones con el eje x se obtienen al resolver x2 – 4 = 0, es decir, la gráfica de f(x) interseca al eje horizontal en x = 2 y en x = −2, ambos en el dominio de la función. 3. Para examinar el comportamiento de la función cerca de −1 y de 3, calculamos los límites unilaterales de la función. Tenemos que: lím − f ( x ) = lím −

x → −1

x → −1

lím− f ( x ) = lím−

x →3

x →3

−3 x2 − 4 = = −∞, ( x + 1)( x − 3) 0 +

lím + f ( x ) = lím +

x → −1

x → −1

x2 − 4 −3 = = +∞; ( x + 1)( x − 3) 0 −

5 5 x2 − 4 x2 − 4 = − = −∞, lím+ f ( x ) = lím+ = + = +∞. ( x + 1)( x − 3) 0 0 x →3 x → 3 ( x + 1)( x − 3)

Así tenemos que, tanto x = −1 como x = 3, son asíntotas verticales (discontinuidades esenciales infinitas), y conocemos además los respectivos comportamientos de la gráfica antes y después de cada una. 4. Dado que el numerador y el denominador tienen el mismo grado, deducimos del teorema sobre 1 asíntotas horizontales que, y = = 1 es la asíntota horizontal de la función. Es decir, f(x) → 1 cuan1 do x → + ∞, y f(x) → 1 cuando x → − ∞. 5. La función no es par ni impar. Los elementos que se han discutido son más que suficientes para bosquejar la gráfica de la función. Para realizar el trazo de la gráfica, primero dibuja con líneas punteadas las asíntotas verticales y horizontales (ver figura 10). Recuerda que en las asíntotas verticales la gráfica se interrumpe. En cuanto a la asíntota horizontal, la gráfica puede ir por arriba o por debajo de la recta; en caso de que tengas alguna duda, la tabulación de algún punto te puede decir cuál de los dos casos se presenta. y 6 4 2 x –4

–2

2 –2

FIGURA 10. La gráfica de la función x2 − 4 f ( x) = 2 . x − 2x − 3

–4

4

6

195

3.2: Continuidad

Ejemplo 2. Dibuja la gráfica de la función g( x ) =

x2 − 9 . 6 − x − x2

solución 1. El dominio de la función es el conjunto  – {2, −3}, ya que el denominador se anula precisamente en x = 2 y en x = −3. 2. a) La gráfica interseca al eje y en g(0) = −1.5. b) Como x2 – 9 = 0, parece ser que las intersecciones con el eje x son x = 3 y x = −3, pero x = −3 ∉ Dg, por lo tanto, la única intersección con el eje horizontal es x = 3. 3. Para determinar las asíntotas verticales de la función, la estudiamos en aquellos puntos donde el denominador es cero. Tenemos que: lím g( x ) = lím

( x + 3)( x − 3) 6 x−3 = lím = − = −1.2; 5 + 3)(2 − x ) x → −3 2 − x

lím g( x ) = lím−

( x + 3)( x − 3) x − 3 −1 = lím = = −∞; ( x + 3)(2 − x ) x → 2 − 2 − x 0 +

lím g( x ) = lím+

( x + 3)( x − 3) x − 3 −1 = lím = = +∞ ( x + 3)(2 − x ) x → 2 + 2 − x 0 −

x → −3

x→2 −

x →2 +

x → −3 ( x

x→2

x →2

La primera conclusión que resulta de estos cálculos es que la recta x = −3 ¡no es una asíntota vertical!; esto se debe a que g( x ) → − 6 5 cuando x → −3. La pregunta natural es, si no hay asíntota vertical en x = −3, entonces, ¿qué hay en la gráfica? La respuesta es ¡nada!, es decir, en la gráfica hay un hueco en el punto correspondiente a ( −3, − 6 5). Nota que podemos reducir los cálculos anteriores si simplificamos la función racional desde un principio: x2 − 9 ( x − 3)( x + 3) x − 3 , siempre que x ≠ −3; = 2 = 6−x−x (2 − x )( x + 3) 2 − x x−3 y eliminar el punto corres2−x pondiente a x = −3. Esta idea se puede utilizar en cualquier caso: simplifica antes de determinar las asíntotas verticales; las raíces del denominador que resulten después de esta simplificación, serán los valores donde la función tiene asíntotas verticales. por lo que basta graficar la función racional simplificada f ( x ) =

4. De acuerdo al teorema para determinar asíntotas horizontales, la recta y = −1 es la asíntota horizontal. 5. La función no es par ni impar. La gráfica de la función se muestra en la figura 11.

196

Unidad 3: Límites y continuidad

y 6 4 2 x 6

4 –2 (–3, –1.2)

–4

FIGURA 11. La gráfica de la función g( x ) =

x2 − 9 6 − x − x2

.

Ejemplo 3. Dibuja la gráfica de la función h( x ) =

x 3 + 2 x 2 − 11x − 12 . 2 x 4 − 11x 3 + 11x 2 + 15 x − 9

solución 1. El dominio de esta función es Dh =  − {−1, 1 2 , 3} (observa la descomposición en factores del denominador en el punto tres, a continuación). −12 4 = (intersección con el eje ‘y’). −9 3 b) h(x) = 0 para x = −4, x = −1 y x = 3 (observa ahora los factores del numerador que se proporcionan en el siguiente punto). Ahora, ni x = −1 ni x = 3 pertenecen al dominio, por lo tanto, el único punto donde la gráfica interseca al eje horizontal es x = −4.

2. a) Tenemos que h(0) =

3. Para el cálculo de las asíntotas verticales, primero simplificamos. Obtenemos: x 3 + 2 x 2 − 11x − 12 x+4 ( x − 3)( x + 4)( x + 1) = = . 4 3 2 2 x − 11x + 11x + 15 x − 9 (2 x − 1)( x − 3)2 ( x + 1) (2 x − 1)( x − 3) 1 y x = 3. En x = −1 no hay 2 asíntota vertical, sólo un hueco en la gráfica. Establecemos ahora el comportamiento “antes” y “después” de cada asíntota vertical mediante el cálculo de los límites unilaterales correspondientes. De la ecuación simplificada, vemos que las asíntotas verticales son x =

lím−

x+4 4.5 x+4 4.5 = + = +∞; lím+ = − = −∞ 1 (2 x − 1)( x − 3) 0 0 x → 2 (2 x − 1)( x − 3)

lím−

x+4 7 x+4 7 = − = −∞, lím+ = + = +∞ x → 3 ( 2 x − 1)( x − 3) (2 x − 1)( x − 3) 0 0

x → 12

x →3

197

3.2: Continuidad

4. De acuerdo al teorema para el cálculo de asíntotas horizontales, y = 0; es decir, el eje ‘x’ es la asíntota horizontal. 5. Por último, la función no es ni par ni impar. Con estos elementos, podemos bosquejar la gráfica de la función h(x) la cual aparece en la figura 12. y (–1, 0.25)

–2

2

–1

1

2

3

4

x 5

–2 –4 –6

FIGURA 12. Gráfica de la función h( x ) =

x 3 + 2 x 2 − 11x − 12 4

2 x − 11x 3 + 11x 2 + 15 x − 9

.

Ejemplo 4. Bosqueja la gráfica de F( x ) =

2 x 3 − x 2 − 7x + 6 . x2 − 4x + 3

solución 1. El denominador se anula en 1 y en 3, el dominio es DF =  – {1, 3}. 2. a) La intersección con el eje ‘y’ queda F(0) = 2. b) Al factorizar el numerador y el denominador de la función obtenemos: F( x ) =

2 x 3 − x 2 − 7 x + 6 (2 x − 3)( x + 2)( x − 1) (2 x − 3)( x + 2) = = , ( x − 3)( x − 1) x−3 x2 − 4x + 3

3 de donde podemos decir que la gráfica interseca al eje x en y en −2, pues ambos valores están 2 en el dominio. 3. De la simplificación, concluimos en primer lugar que x = 1 es una discontinuidad evitable de la función, por lo tanto, allí, la gráfica de la función tendrá un hueco. De la misma expresión simplificada, concluimos que x = 3 es la única asíntota vertical, de hecho lím−

x →3

(2 x − 3)( x + 2) 15 (2 x − 3)( x + 2) 15 = − = −∞; lím+ = + = +∞; x →3 x−3 x−3 0 0

198

Unidad 3: Límites y continuidad

4. Del teorema para el cálculo de asíntotas horizontales, concluimos que la función no tiene asíntotas horizontales. Como dijimos, cuando esto ocurre, la función tiene una recta como asíntota oblicua o, más generalmente, una curva asintótica. El método general para hallar la recta o curva asintótica se muestra en el siguiente recuadro:

Método para hallar una recta o curva asintótica (cuando exista). Si F( x ) =

P( x ) es una función racional con el grado del polinomio P(x) mayor al Q( x )

grado del polinomio Q(x), entonces al dividir podemos escribir F ( x ) = C( x ) +

R( x ) Q( x )

donde C(x) es un polinomio llamado cociente y R(x) es un polinomio llamado residuo y cuyo grado es menor que Q(x). Se concluye que y = C(x) es una recta o R( x ) = 0. curva asintótica de la función F(x), pues lím x → ± ∞ Q( x )

Regresando a nuestra función F(x), como el numerador tiene mayor grado que el denominador, tenemos una asíntota oblicua o una curva asintótica. Para determinarla, dividimos (2 x − 3)( x + 2) 15 = 2x + 7 + x −3 x −3 15 Observa ahora que si x → + ∞ o x → −∞, entonces la fracción → 0. Por esto, la función se x−3 comporta (para valores de x suficientemente grandes, tanto positivos como negativos) como la recta y = 2x + 7; ésta es precisamente la recta oblicua asintótica de la función. 5. La gráfica no tiene ningún tipo de simetría. La figura 13 representa la gráfica de la función F(x). y 40 20

–5

–25

25 –20

FIGURA 13. Gráfica de la función 2 x 3 − x 2 − 7x + 6 . F( x ) = x2 − 4x + 3

–40 (1, 1.5)

5

75

10

x

199

3.2: Continuidad

Ejemplo 5. Bosqueja la gráfica de G( x ) =

x4 + 2x3 − x2 − x + 2 . x2 + x − 2

solución 1. El dominio de la función es DG =  – {−2, 1}, pues el denominador se anula en x = −2 y en x = 1. 2. a) Como G(0) = −1, la intersección con el eje ‘y’ es el punto (0, −1). b) Si se factoriza el numerador y denominador de la función, obtenemos G( x ) =

x 4 + 2 x 3 − x 2 − x + 2 ( x + 2)( x 3 − x + 1) x 3 − x + 1 = = ( x − 1)( x + 2) x −1 x2 + x − 2

Debido a que x3 – x + 1 = 0 no tiene soluciones racionales, dejamos de lado la búsqueda de los puntos donde la gráfica interseca al eje horizontal. 3. De la simplificación del inciso anterior, determinamos que x = −2 es una discontinuidad evitable de la función, lo cual se reflejará como un hueco dentro de la gráfica. La única asíntota vertical de la función es x = 1, además, lím− G( x ) = lím−

x →1

x →1

x3 − x + 1 1 x3 − x + 1 1 = − = −∞; lím+ G( x ) = lím+ = + = +∞ x →1 x →1 x −1 x −1 0 0

4. Como el grado del numerador de G(x) es mayor que el grado del denominador, concluimos que la función no tiene asíntotas horizontales. Sin embargo, al dividir el numerador entre el denominador de la función determinamos que: 1 , x −1 por lo tanto, y = x2 + x es la curva asintótica de la función G(x). 5. En este caso tampoco hay simetrías. La gráfica de la función, así como la de su curva asintótica, se muestran en la figura 14. G( x ) = x 2 + x +

y 15 (–2, 1.6) 10 5 x –6 FIGURA 14. Gráfica de la función x4 + 2x3 − x2 − x + 2 G( x ) = . x2 + x − 2

–4

–2

2 –5 –10

4

200

Unidad 3: Límites y continuidad

1. Preguntas conceptuales. a) Expresa con tus palabras lo que entiendes por continuidad de una función en un punto. b) Da un ejemplo de una función y una discontinuidad que pueda removerse. c) Ofrece un ejemplo de una función que tenga una cantidad infinita de discontinuidades. 2. Ejercicios. a) Determina si las siguientes funciones son continuas en el punto en cuestión. Escribe claramente tus razones. 5x 2 + 3x − 2 en x0 = 2. x+4 sen( x ) ii) f ( x ) = en x0 = π. x iii) f(x) = ln(x − 3) en x0 = 2. i) f ( x ) =

tan( x ) en x0 = 0. x π v) f(x) = xcot(x) en x 0 = . 4

iv) f ( x ) =

b) Encuentra las discontinuidades de las siguientes funciones, en caso de que las haya, y explica por qué lo son. e − x cot ( x ) f ( x) = x2 2

i)

ii) f(x) = ex cot(x). iii)

f ( x) =

x2 − x − 6 x2 − 2x − 3

iv)

f ( x) =

cos ( x ) (1 + cot 2 ( x ))sen ( x )

v)

f ( x) =

cos( x ) (1 + tan 2 ( x ))cos 2 ( x )

vi)

f ( x) =

x 2 +2 x + 4 x+2

c) Determina las discontinuidades de las siguientes funciones y verifica si es posible extender la función de tal manera que el número de sus discontinuidades disminuyan. x3 − 1 x −1 x −1 ii) v) f ( x ) = 3 x −1 tan ( x ) iii) f(x) = x vi) f ( x ) = cot ( x ) 3. Determina los valores de c y k para hacer que las siguientes funciones sean continuas en todos los reales. i)

1 f ( x ) = sen⎛ ⎞ ⎝ x⎠ sen 2 ( x ) f ( x) = x

⎧ 3 x + 6c ⎪ a) f ( x ) = ⎨3cx − 7k ⎪ x − 12 k ⎩

iv)

si si si

x < −3 −3≤ x ≤3 x>3

⎧ 2 x + 1 si x ≤ 3 ⎪ b) f ( x ) = ⎨cx + k si 3 < x < 5 ⎪ x 2 si x ≥ 5 ⎩

f ( x) =

⎧mx + 2 n si x < 1 ⎪ c) f ( x ) = ⎨ 16 si x = 1 ⎪3mx 2 − n si x > 1 ⎩

201

3.2: Continuidad

4. Identifica los puntos de discontinuidad de la siguiente función y clasifícalos. ⎧ ( x 2 − 8 x )(5 x + 2)( x + 3) , si x < 0 ⎪⎪ ( x − 1)( x + 5)( x + 2 5) f ( x) = ⎨ 2 ⎪ ( x + 6 x )( x − 1)( x + 4) + 1, si x ≥ 0 ⎪⎩ ( x − 1)( x − 6)( x − 3) 5. Haz una discusión completa de las siguientes funciones racionales (conforme a la guía proporcionada) y elabora el bosquejo de sus gráficas. a) f ( x ) =

2 x 2 + 3x − 2 x 3 − 7x − 6

b) f ( x ) =

3 x 3 − 23 x 2 + 40 x + 16 . Sugerencia: una raíz de la función es x = −1/3. x 2 + x − 20

c) f ( x ) =

2 x 2 − 8 x − 24 x2 + 2x − 3

d) f ( x ) =

(2 x 3 − 2 x + 1)(2 x + 1) 2 x 2 + 3x + 1

Problemas para trabajar en equipo

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen a continuación. 1. Revisa cuidadosamente lo referente a la “Coincidencia” a la que hacemos referencia en el inicio de esta sección. Modela la línea de producción de tal manera que puedas aplicar el estudio de continuidad, de manera particular, el teorema del valor intermedio. Revisa si las condiciones te sugieren o no continuidad. 2. Ciertos “Sistemas de Impuestos” hacen cargos tributarios en esquemas diferenciados, en función del nivel de ingresos. Supón que un sistema de impuestos está determinado por ⎧ 1 ⎪0.2x +10 x si x > 10 000 la función f ( x) = ⎨ , mientras que otro sistema de impues5 000 ⎪ 0.2x si x ≤10 000 ⎩ tos está regido simplemente por g(x) = 0.2x, independientemente del nivel de ingresos. En una ciudad donde se aplica el régimen de impuestos dado por g(x), una persona gana $ 14 500.00 y otra gana $ 15 500.00. Supón ahora que ambos calculan lo que pagan de impuestos e imaginan pagarle a una tercera persona un sueldo que genere un impuesto equivalente al promedio de lo que paga cada uno. Bajo este criterio, ¿podrían asignarle un sueldo a la tercera persona en la ciudad donde se aplica el régimen dado por f(x)?, ¿es posible hacerlo en la ciudad donde se aplica el régimen dado por g(x)?, ¿cuál es el sueldo o sueldos (si aplica en ambos casos) que podrían pagar?





202

Unidad 3: Límites y continuidad

1. Indica la opción que contiene la definición de continuidad de una función en un punto x0 de su dominio. a) Una función es continua en un punto si su gráfica pasa por ese punto. b) Dado ε > 0 existe δ > 0, de tal manera que, si 0 < ⎜x − x0 ⎜ < δ entonces ⎜f(x) − L⎜ < ε. c) Dado ε > 0 existe δ > 0 de tal manera que, si ⎜x − x0 ⎜ < δ entonces ⎜f(x) − f(x0)⎜ < ε. d) Una función es continua si la gráfica está definida en ese punto. 2. Elige la opción que responde correctamente al siguiente cuestionamiento: ¿es posible extender x3 − 1 f ( x) = 2 mediante una función que sea continua en 1 y que coincida con f(x) en su domix −1 nio?, ¿cuál es el valor de la extensión de la función en x = 1? a) Sí y vale 3.

c) Sí y vale

b) Sí y vale 2.

d) No.

3 . 2

3. Determina el conjunto de discontinuidades de la función f(x) = sec(x). a) ⎧⎨− π , π ⎫⎬ ⎩ 2 2⎭

c) Los puntos de la forma

kπ donde k es un entero . 2

b) {0, π}

d) Los puntos de la forma

(2 k + 1)π donde k es un entero . 2

2 ⎛ 1⎞ 4. Determina si la función f ( x ) = sen es continua en . Explica tu respuesta. ⎝ x⎠ π a) No lo es porque el denominador se anula en cero.

1 2 c) Sí lo es porque lím sen⎛ ⎞ = f ⎛ ⎞ . 2 ⎝ ⎝ ⎠ x π⎠ x→ π

1 d) No lo es porque lím sen⎛ ⎞ = 1. 2 ⎝ x⎠ x→

1 b) Sí lo es porque lím sen⎛ ⎞ = 0 . 2 ⎝ x⎠ x→

π

π

5. ¿Existe un valor de k de tal manera que, la función sea continua en x = 0? ⎧ 3⎛ ⎪ cos ⎝ x − ⎪ x2 ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ k ⎪ ⎪ ⎩

π⎞ 2⎠

si

x≠0

si

x=0

203

3.2: Continuidad

Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Respuestas a preguntas conceptuales. a) Una función es continua en un punto, si su límite en ese punto y el valor de la función coinciden. x2 − 2 b) f ( x ) = tiene a 2 como discontinuidad pero, si definimos x−2 ⎧ x2 − 2 ⎪ ⎪ x−2 h( x ) = ⎨ ⎪ 4 ⎪ ⎩

si

x≠2

si

, ambas funciones coinciden fuera de 2 y la última es continua en 2. x=2

c) f(x) = tan(x). 2. Ejercicios. a) i) Sí, el límite existe y coincide con el valor de la función en el punto en cuestión. ii) Sí, el límite existe y coincide con el valor de la función en el punto en cuestión. iii) No, porque la función no está definida en 2. iv) No, porque la función no está definida en cero. v) Sí, pues existe el límite y coincide con el valor de la función en el punto en cuestión. b) i) Es discontinua en todos los puntos donde se anula el seno, es decir, los puntos de la forma kπ donde k es un entero. ii) Tiene como discontinuidades todos los puntos donde se anula el seno, es decir, los puntos de la forma kπ donde k es un entero. iii) Es discontinua en 3 y en −1 porque el denominador se anula. iv) Es discontinua donde se anula el seno; sin embargo, sus discontinuidades son removibles, pues la función f(x) = senx cosx la extiende. v) Es discontinua donde se anula el coseno, pero se puede extender con la función coseno. vi) Es discontinua en −2, pero se puede extender por medio de f(x) = x + 2. c) ii) Es discontinua en cero y es imposible extenderla. ⎧ sen 2 ( x ) ⎪ si x ≠ 0 ii) Es discontinua en cero, pero puede extenderse a f ( x ) = ⎨ x ⎪⎩ sen( x ) si x = 0

204

Unidad 3: Límites y continuidad

iii) Es discontinua en cada entero y es imposible extenderla. iv) Es discontinua en 1 y es posible extenderla mediante f(x) = 1 + x + x2. v) Es discontinua en 1, pero es posible extenderla a f ( x ) =

1 . 1 + x + x2

vi) Es discontinua en los puntos de la forma x = kπ donde k es un entero, donde se anula el coseno; (2 k + 1)π donde k es un entero , donde se anula el coseno. Se y en los puntos de la forma x = 2 puede extender a h(x) = tan2(x), que tan sólo tiene discontinuidades en los puntos de la forma (2 k + 1)π x= donde k es un entero . 2 3. a) k = −3, c = 2. b) k = −20, c = 9. c) n = 32 7 , m = 48 7 . 4. x = −5: esencial infinita; x = −2 5 : evitable; x = 0: esencial de salto; x = 1: evitable; x = 3: esencial infinita; x = 6: esencial infinita. 5. b)

a)

y

y 4 2 x 2

4

6

x –20

–10

10

20

–2 –4 La función tiene una discontinuidad evitable en x = −2, y discontinuidades esenciales infinitas en x = −1 y x = 3.

La función tiene una discontinuidad evitable en x = 4 (el hueco sobre la gráfica no se muestra), una discontinuidad esencial infinita en x = −5 y una recta asintótica con ecuación y = 3x − 26.

205

3.2: Continuidad

c)

d) y

y 6

4 2 –15

–10

–

5

10

15

x –2

x

–1 –2

1

2

–4 –6 La función tiene dos discontinuidades esenciales infinitas en x = −3 y en x = 1.

1. 2. 3. 4. 5.

c) c) d) c) Sí, para k = 0.

La función tiene una discontinuidad esencial infinita en −1 x = −1, una discontinuidad evitable en x = 2 y una 2 curva asintótica y = 2x – 2x.

Unidad

La derivada como razón de cambio Contenido de la unidad 4.1 El concepto de derivada 4.2 La función derivada

Introducción a la unidad Imagina que eres el ingeniero encargado del mantenimiento de una autopista. Para decidir con qué tipo de material se deben reparar los baches y cuánto aumentar el peralte de las curvas peligrosas, necesitas conocer la velocidad de los automóviles que la recorren. La distancia total es de 300 kilómetros y sabes que un automóvil típico la recorre en 3 horas. Al dividir la distancia entre el tiempo, se obtiene una velocidad promedio de 100 kilómetros por hora. Pero esto no significa que el velocímetro del automóvil haya marcado exactamente 100 durante todo el recorrido. Quizá, el conductor aceleró en los tramos rectos hasta que el velocímetro marcó 140, y se vio obligado a desacelerar en las curvas hasta que el velocímetro marcó 80 kilómetros por hora. Para tomar las decisiones adecuadas, te interesa conocer qué marca el velocímetro en el instante que pasa por la curva o la reparación del bache que estás estudiando. En otras palabras, como ingeniero, te interesa más la velocidad instantánea que la velocidad promedio del automóvil. La situación anterior muestra la diferencia entre tasas de cambio promedio e instantáneas. Otro ejemplo podría ser el enfriamiento de un motor después de haber estado trabajando. Si su temperatura cambia de 300 grados a 100 grados en 10 minutos, entonces su tasa de enfriamiento promedio es de 20 grados por minuto, pero esto no significa que en todo momento se haya estado enfriando exactamente con esa tasa. Es seguro que al principio, cuando su temperatura es mayor, se enfría a una tasa superior (quizá 30 grados por minuto); mientras que al final, se enfría a una tasa mucho menor puesto que la variación de la temperatura es menor. Como algunos materiales pueden perder sus propiedades e incluso fracturarse si se enfrían muy rápidamente, conocer la tasa instantánea de enfriamiento es importante para decidir con qué materiales debe fabricarse el motor. Esta cantidad tan importante, la tasa instantánea de cambio, recibe un nombre especial: la derivada. En este capítulo aprenderás a calcular derivadas utilizando límites. También aprenderás sobre su significado geométrico y

208

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

en qué condiciones existe la derivada de una función. Más adelante en tu carrera, es poco probable que utilices las técnicas de este capítulo para derivar; seguramente usarás las técnicas y fórmulas del capítulo siguiente de este libro. Sin embargo, este capítulo es muy importante para que realmente comprendas qué significa la derivada y, al comprenderla, puedas utilizarla de manera adecuada en tu vida profesional.

4.1 El concepto de derivada

Lo que conduce y arrastra al mundo no son las máquinas sino las ideas. Víctor Hugo

¿Quién es el hombre más rápido? La carrera de los 100 metros es la prueba reina de atletismo. En todos los juegos olímpicos de la era moderna y en los mundiales de la especialidad, los ganadores han sido considerados los hombres más rápidos del orbe. En 2005, el corredor jamaiquino Asafa Powell registró un tiempo de 9.77 segundos en la distancia. Sin embargo, ha sido cuestionada la veracidad de que él es el hombre más rápido del mundo porque el corredor estadounidense, Michael Johnson, tiene el récord mundial de los 200 metros en 19.32 segundos. ¿Quién de los dos es realmente el hombre más rápido del orbe? En las tablas siguientes se muestran los tiempos que realizaron ambos corredores. FIGURA 1. Asafa Powell.

Tabla 1 La carrera de Asafa Powell para obtener el récord mundial de los 100 metros planos

Tiempo (segundos)

0

1.78

2.81

3.72

4.59

5.44

6.29

7.14

8.00

8.87

9.77

Distancia (metros)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tabla 2 La carrera de Michael Johnson para obtener el récord mundial de los 200 metros planos

Tiempo (segundos)

0

6.3 10.12 11.10 12.09 13.06 13.97 14.83 15.61 16.40 17.26 18.23 19.32

Distancia (metros)

0

50

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

209

4.1: El concepto de derivada

Con estos datos: a) ¿Cuál fue la velocidad media de ambos corredores en los primeros 100 metros? b) ¿Cuál fue la velocidad media de Johnson en sus primeros 100 metros? ¿y en sus segundos 100 metros? c) ¿Cómo se compara la velocidad media de cada corredor en cada uno de los intervalos proporcionados? d) Si consideramos que los tiempos de reacción de Powell y Johnson fueron 0.171 y 0.161 segundos respectivamente, ¿cómo se modifica la velocidad media de cada uno en los primeros 100 metros? e) Ahora consideremos que Asafa Powell corrió toda la carrera con una velocidad del viento a favor de 0.7 m/s, y que Johnson corrió sus primeros 100 metros con viento a favor de 0.8 m/s ¿cómo se comparan ahora sus velocidades medias? f ) A la luz de estos resultados ¿quién crees que es más rápido? Por otro lado, la tabla 3 muestra cómo se ha ido reduciendo el tiempo necesario para cubrir la distancia de los 100 metros, desde 1912 hasta 2005. g) ¿Cuál es el razón de cambio promedio del récord mundial? h) ¿En qué intervalo se obtuvo la razón de cambio promedio más significativa?

Tabla 3 El récord mundial de los 100 metros planos en el tiempo. Año

1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 1983 1988 1991 1992 1994 1996 1999 2002 2005

Tiempo 10.6 10.4 10.3 10.2 10.1

10

9.95 9.93 9.92

9.9

9.86 9.85 9.84 9.79 9.78 9.77

Introducción Una rápida mirada a lo que ocurre a nuestro alrededor nos haría concluir que nada es estático y que la constante es el cambio. Los seres vivos se mueven sobre la faz de la tierra, nuestro planeta se mueve alrededor del sol quien, a su vez, avanza errante por el Universo. El cambio no sólo se presenta en la naturaleza, también aparece en casi todas las actividades humanas. Por ejemplo, todos los días podemos abrir el periódico y leer que el clima cambia de región a región, que se modifica el valor del dólar ante el peso, que varía la inflación, que aumenta o disminuye el producto interno bruto (PIB), y sólo por citar algunos ejemplos. Para analizar cómo cambian algunas cantidades surgió, en el siglo XVII, el concepto de derivada, que posteriormente se convirtió en la herramienta matemática por excelencia para el análisis del cambio. En sus orígenes, la derivada se limitó a resolver problemas físicos relacionados con la velocidad y geométricos relacionados con la recta tangente. Más adelante, se convirtió en el lenguaje que físicos, ingenieros, economistas y científicos en general, usan para describir fenómenos donde existen variables, ya sea en el tiempo o en el espacio. En esta sección, estudiaremos los conceptos básicos que llevaron a establecer la derivada y sus interpretaciones físicas y geométricas.

210

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

Objetivos Al terminar este capítulo tendrás la capacidad de: a) Definir la razón media de cambio de una función en un intervalo. b) Definir la derivada en un punto como la razón instantánea de cambio e interpretarla de manera geométrica. c) Obtener la derivada de una función en un punto. d) Usar la derivada en un punto como una razón de cambio a través de su forma numérica y geométrica.

El problema de la velocidad En 2004 durante los Juegos Olímpicos de Atenas, Xiang Liu igualó el récord mundial de los 110 metros con vallas. Este corredor chino realizó un tiempo de 12.91 segundos para así convertirse en la mayor sorpresa del evento. La prueba consiste en recorrer 110 metros saltando 10 obstáculos uniformemente separados en el menor tiempo posible. En la tabla 4 se muestran sus resultados y en la figura 3 se muestra cómo fue avanzando en la carrera. FIGURA 2. El corredor chino Xiang Liu.

Tabla 4 Distancia contra tiempo en el récord mundial de los 110 metros con vallas para hombres

Distancia (m)

Tiempo (seg)

10

2.57

20

3.58

30

4.56

40

5.53

50

6.51

60

7.46

70

8.45

80

9.46

Distancia 120 100 80 60

90

10.48

100

11.53

110

12.91

40 20 2 20 20

2

4

6

8

10

12

14

FIGURA 3. Gráfica de la distancia recorrida contra el tiempo transcurrido para que Xiang Liu alcanzara el récord mundial.

Tiempo

211

4.1: El concepto de derivada

Observemos que, en promedio en toda la carrera, Xiang Liu recorrió 8.5205 metros en cada segundo. Este resultado se obtiene al dividir la distancia recorrida (110 metros) entre el tiempo total de la carrera (12.91 segundos). Al cociente se le conoce como la velocidad media. Podemos precisar más cómo cambia la velocidad media, considerando ahora intervalos más pequeños. Por ejemplo, los primeros 10 metros los recorrió en 2.57 segundos, esto significa que en promedio recorrió 3.891 metros en cada segundo en esa primera fase. Posteriormente, en los siguientes 1.01 segundos recorrió otros 10 metros. Es decir, recorrió 9.90 metros en cada segundo. En la tabla 5 se muestran las velocidades medias en cada uno de los intervalos de la carrera. Por otro lado, ¿cómo cambia la velocidad? Observemos que, al terminar el primer intervalo tenemos una velocidad media y, al terminar el segundo intervalo tenemos otra velocidad media diferente; el cambio en la velocidad es 9.90 − 3.891 = 6.009 y el tiempo para lograr este cambio es 1.01 segundo. Es decir, la velocidad cambia 5.95 m/s en cada segundo. A este cambio se le conoce como aceleración media.

Tabla 5 La velocidad media y la aceleración media en la carrera de los 110 metros con vallas.

Tiempo (seg)

Distancia (m)

Velocidad media (m/seg)

0

0

2.57

10

10 − 0 v = = 3.891 1 2.57 − 0

3.58

20

20 − 10 v = = 9.90 2 3.58 − 2.57

a1 =

4.56

30

30 − 20 = 10.204 4.56 − 3.58

v2 =

5.53

40

10.309

0.108

6.51

50

10.204

−0.107

7.46

60

10.526

0.339

8.45

70

10.101

−0.430

9.46

80

9.901

−0.198

10.48

90

9.804

−0.095

11.53

100

9.524

−0.267

12.91

110

7.246

−1.650

v3 =

Aceleración media (m/seg)

9.90 − 3.891 = 5.950 3.58 − 2.57

10.204 − 9.90 = 0.300 4.56 − 3.58

En general, a la razón de cambio promedio de la posición se le llama velocidad media y se define como sigue.

212

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

Definición de velocidad media. Si un móvil se encuentra en la posición xi en el tiempo ti y pasa a la posición xf en el tiempo tf , se define la velocidad media como el cociente v=

x f − xi t f − ti

Donde se llama xf − xi a la distancia recorrida y tf − ti al tiempo transcurrido.

Si suponemos que la velocidad media en (xi, xf) es la misma en todo el intervalo, entonces podríamos estimar la posición en cualquier punto al interior del intervalo. En efecto, si en el tiempo t ∈ (ti, tf) el móvil se encuentra en x ∈ (xi, xf), entonces la velocidad también se podría calcular como: v=

x − xi t − ti

de donde x = xi + v(t − ti). De la misma manera, a la razón de cambio promedio de la velocidad se le llama aceleración media y se define como sigue.

Definición de aceleración media. Si un móvil tiene velocidad vi en el tiempo ti y velocidad vf en el tiempo tf, se define entonces la aceleración media como el cociente a=

v f − vi t f − ti

Nos preguntamos ahora, ¿qué velocidad tiene el corredor en un instante dado? Para responder a la pregunta, considera que la carrera se puede modelar con el siguiente polinomio de cuarto grado: x (t ) = −0.18307 + 0.0971157t + 2.04934t 2 − 0.162341t 3 + 0.00421548t 4 . En la figura 4 se muestra la gráfica del polinomio sobrepuesta con la gráfica de los puntos.

213

4.1: El concepto de derivada

120 100 80 60 40 20 2

22 20 20

4

6

8

122

100

144

FIGURA 4. Gráfica del polinomio de ajuste de la distancia recorrida por el corredor chino.

Con este polinomio podemos calcular con más fineza la velocidad del corredor. Por ejemplo, una estimación de la velocidad media entre 7 y 8 segundos es: v=

65.889 − 55.353 = 10.536 m/s 8−7

Claramente podemos seguir el procedimiento para hacer más fino el valor de la velocidad media. En la tabla siguiente se muestran las velocidades considerando intervalos de 0.1, 0.01, 0.001 y 0.00001 segundos.

Tabla 6 El proceso para obtener la velocidad instantánea

tf

ti

xf

xi

v

7.1

7

56.42229

55.3528

10.6949

7.01

7

55.4599

55.3528

10.70618

7.001

7

55.3635

55.3528

10.70727

7.0001

7

55.3542

55.3528

10.70752

7.00001

7

55.3529

55.3528

10.70754

7.000001

7

55.3528

55.3528

10.7076

Como podemos observar, la velocidad se empieza a estabilizar alrededor del valor 10.7076. A la velocidad que se obtiene al considerar el límite tf → ti se le conoce como velocidad instantánea. De forma similar podemos definir la aceleración instantánea.

214

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

Definición de velocidad y aceleración instantánea. Si un móvil se encuentra en la posición xi en el tiempo ti y pasa a la posición xf en el tiempo tf , se define la velocidad instantánea como el límite v = lím

t f → ti

x f − xi t f − ti

Análogamente, si el móvil tiene velocidad vi en el tiempo ti y pasa a la velocidad vf en el tiempo tf , se define la aceleración instantánea como a = lím

t f → ti

v f − vi t f − ti

Ejemplos Ejemplo 1. Un vehículo se mueve de acuerdo a la función de posición x(t) = t2 + 4t + 3 • Determina la velocidad media en el intervalo de tiempo (1, 3). • Determina la velocidad instantánea en el tiempo t = 1.

solución La velocidad media en el intervalo (1, 3) se calcula usando v=

x (3) − x (1) 24 − 8 = = 8 m/s. 3 −1 2

Para la velocidad instantánea usamos la definición v = lím⎛ t →1 ⎝

⎛ t 2 + 4t + 3 − 8 ⎞ ⎛ t 2 + 4t − 5 ⎞ x (t ) − x (1) ⎞ (t + 5)(t − 1) ⎞ = lím⎜ = lím⎜ = lím⎛ = lím(t + 5) = 6 m/s ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ t →1 t → 1 t → 1 t → 1 t −1 t −1 t −1 ⎝ ⎠ ⎝ t −1 ⎠

El problema de la recta tangente Determinar la tangente a una curva dada en un punto es un problema con un desarrollo histórico interesante. Griegos como Apolonio (262-190 a.C) y Arquímedes (287-212 a.C.), pudieron construir rectas tangentes a las curvas cónicas y espirales mediante artificios geométricos. Descartes (1596-1650), desarrolló su método de las raíces iguales para calcular las tangentes a círculos y parábolas. Posteriormente, Fermat (1601-1665), construyó un método para calcular las tangentes a un polinomio f(x). El método de Fermat es simple, se calcula f(x + h) − f(x), que resulta ser un polinomio en h. Después,

215

4.1: El concepto de derivada

se divide entre el factor h y se eliminan los términos restantes que lo contengan. El resultado es la ecuación de la recta tangente. Sin embargo, fue hasta el siglo XVII cuando se desarrolló un método general, que te presentaremos más adelante, para resolver el problema. Considera la ilustración 5a, en ella graficamos la función y = f(x) y mostramos los puntos (a, f(a)) y (a + h, f(a + h)). El cambio en la variable independiente x es Δx = h, mientras que el cambio en la variable independiente es Δf = f(a + h) − f(a). Entonces, la pendiente de la recta secante es msec =

Δf f ( a + h) − f ( a) = Δx h

Y la ecuación de la recta es y = f(a) + msec(x − a) En la figura 5b se muestra el proceso de considerar a h cada vez más pequeño. A la recta que se obtiene (si existe) al considerar el límite h → 0, se le conoce como recta tangente. En la ilustración 5c te mostramos la recta tangente obtenida. En conclusión:

Para determinar la ecuación de la recta tangente se calcula primero mtan = lím

Δx → 0

Δf f ( a + h) − f ( a) = lím Δx h → 0 h

Si el límite existe, entonces la ecuación de la recta tangente es y = f(a) + mtan(x − a)

FIGURA 5. El problema de las tangentes. En la figura a) se muestra la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (a + h, f(a + h)). En la ilustración b) se muestra el proceso dinámico que transforma las rectas secantes en la recta tangente. Finalmente, en la ilustración c) se muestra la recta tangente obtenida.

216

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

Para concretar ideas, consideremos la función y = x2, la pendiente de la recta secante que une los puntos (1, 1) y (1 + h, (1 + h)2) es msec =

(1 + h)2 − 1 1 + 2 h + h 2 − 1 2 h + h 2 = = =2+h h h h

La ecuación de la recta secante es y = 1 + (2 + h)(x − 1) Si calculamos el límite h → 0, obtenemos la pendiente y la ecuación de la recta tangente. mtan = 2 e y = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1 Nota. De geometría básica, sabemos que una recta tangente a un círculo sólo lo toca en un punto, sin cruzarlo. En general, este resultado no es válido para cualquier curva. Observa la figura 6. En la ilustración 6a, se ha trazado una recta vertical que toca la curva en un solo punto y, sin embargo, la recta no es tangente. En la ilustración 6b, se muestra una recta tangente que toca la curva en dos puntos. y

y

x

a)

x

b)

FIGURA 6. En la gráfica a) se muestra una recta vertical que a todas luces no es una recta tangente. En la gráfica b) se muestra una recta tangente que corta la curva en dos puntos.

Ejemplos Ejemplo 2. Para la función f ( x ) =

x determina x +1

• las ecuaciones de las rectas secantes que pasan por el punto (0, 0) considerando que h = 1, 0.1, 0.01, 0.001. • la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto (0, 0).

217

4.1: El concepto de derivada

solución La pendiente de la recta secante que une los puntos (0, 0) y (h, f(h)) es

Tabla 7 Ecuaciones de las rectas secantes. Observa cómo el proceso numérico induce el valor de la pendiente de la recta tangente y de su ecuación.

h −0 1 f (h) − f (0) h + 1 = = msec = h h h +1 La ecuación de la recta es

h

Pendiente

Ecuación

1

0.5

y  0.5x

0.5

0.6667

y  0.6667x

0.1

0.9091

y  0.9091x

0.01

0.9901

y  0.9901x

0.001

0.9990

y  0.9990x

0.0001

0.9999

y  0.9999x

1 x y=0+ ( x − 0) = h +1 h +1 Al considerar el límite h → 0 se obtiene mtan = 1 y la ecuación de la recta tangente y = x. En la tabla se muestran las pendientes y ecuaciones de las rectas secantes.

La derivada en un punto Consideremos ahora cualquier función y = f (x), definimos la razón media de cambio y la razón instantánea como sigue.

Definición Sea y = f (x) una función con dominio en el intervalo [b, c], definimos: • la razón media de cambio de la función como el cociente f =

f (c ) − f ( b ) c−b

• la razón instantánea de cambio de la función o derivada en el punto a ∈ (b, c) como f ( x ) − f ( a) f ( a) = lím x→a x−a

La derivada puede escribirse de una forma alternativa. En efecto, si consideras que h = x − a, entonces f ( a) = lím

h →0

f ( a + h) − f ( a) h

De la discusión presentada en las secciones previas tenemos que:

218

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

• Interpretación física de la derivada. La derivada de la función posición de un móvil en el tiempo t = a se interpreta como la velocidad instantánea del móvil en ese tiempo. • Interpretación geométrica de la derivada. La derivada de una función en el punto x = a se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en ese punto. f ( a + h) − f ( a) mtan = f ( a) = lím h→ 0 h

Notación. Leibniz introdujo la siguiente simbología para la derivada: f ( a) =

dy dx x = a

Ejemplos Ejemplo 3. Determina las derivadas de las funciones siguientes en los puntos indicados. Usa la definición de razón instantánea de cambio. a) f(x) = x1/3 en a = 0. b) g( x ) = x + 1 en a = 3. c) F( x ) =

x+4 en a = 0. x2 + 3

solución Directamente de la definición se tiene que: h1/ 3 − 0 1 = lím 2 / 3 = ∞ . Es obvio que la derivada no existe, pero la recta tangente h→ 0 h→ 0 h h es vertical.

a) f (0) = lím

b) g(3) = lím

h→ 0

⎛ = lím ⎜ h→ 0⎝ = lím

(3 + h ) + 1 − 4 4+h − 4 = lím h→ 0 h h 4+h − 4⎞ ⎛ 4+h + 4⎞ ⎟ ⎟ ⎜ h ⎠ ⎝ 4+h + 4⎠ 4+h−4

(

)

4+h + 4 1 1 1 = = lím = h→ 0 4 + h + 4 2 4 4 h→ 0

h

Aplicamos la definición Multiplicamos y dividimos por el conjugado Simplificamos Calculamos el límite

219

4.1: El concepto de derivada

h+4 4 − 2 c) F(0) = lím h + 3 3 h→ 0 h 3(h + 4) − 4(h 2 + 3) = lím h→ 0 3h(h 2 + 3) 3h + 12 − 4h 2 − 12 = lím h→ 0 3h(h 2 + 3) 3h − 4h 2 = lím 2 h → 0 3h( h + 3) 3 − 4h 3 1 = lím = = 2 h → 0 3( h + 3) 9 3

Usamos la definición Simplificamos Desarrollamos Simplificamos Calculamos el límite

Ejemplo 4. Para la función f(x) = 3ex + 4sen(x) + 2tan(x), determina la • razón media de cambio en el intervalo [0, 1]. • la razón instantánea de cambio en (x = 0).

solución La razón media de cambio en el intervalo [0, 1] es f (1) − f (0) = (3e + 4sen(1) + 2 tan(1)) − (3) ≈ 11.6355449 1 Para determinar la razón instantánea de cambio necesitamos los siguientes tres resultados, que ya fueron discutidos en el capítulo anterior: f =

sen(h) =1 h→ 0 h lím

tan(h) =1 h→ 0 h lím

eh − 1 =1 h→ 0 h lím

Siguiendo la definición de derivada se tiene que:

(

)

3e h + 4sen(h) + 2 tan(h) − (3) f (h) − f (0) f (0) = lím = lím h→ 0 h→ 0 h h h 3e − 3 + 4sen(h) + 2 tan(h) = lím h→ 0 h ⎡ 3e h − 3 4sen(h) 2 tan(h) ⎤ ⎥ + + = lím ⎢ h→ 0 ⎢ h h h ⎥ ⎣ ⎦ 3 eh − 1 4sen(h) 2 tan(h) = lím + lím + lím h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h eh − 1 sen(h) tan(h) + 4 lím + 2 lím = 3 lím h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h = 3(1) + 4(1) + 2(1) = 9

(

)

(

)

Desarrollando términos

(

)

Usamos propiedades de los límites

(

)

Sacamos constantes de los límites Usamos los resultados anteriores

220

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

Ejemplo 5. Determina la derivada de la función f(x) = x2x en el punto a = 1.

solución Para determinar la derivada necesitamos los siguientes dos resultados: (1 + h) ah − 1 =0 h→ 0 h

lím(1 + h) ah = 1

lím

h→ 0

En la figura 7 se muestran dos gráficas y dos tablas que representan gráfica y numéricamente el proceso de límite h → 0, con esto podemos inducir el valor de los límites.

(1  h)h 5

h

(1

h)h

h

4

1.44982

−0.7

2.32282

0.5

1.22474

−0.5

1.41421

0.25

1.05737

−0.25

1.07457

0.1

1.00958

−0.1

1.01059

0.01

1.0001

−0.01

1.0001

0.001

1.0000001

−0.001

1.0000001

2 1 h 0.5 1

a)

(1  h)h  1 h 4 3 2 1 1

h)h

0.7 3

1

(1

h

((1 )h 1)/h

h

((1 )h 1)/h

0.7

0.642601

−0.7

−1.88974

0.5

0.44949

−0.5

−0.828427

0.25

0.229485

−0.25

−0.29828

2

0.1

0.0957658

−0.1

−0.105918

3

0.01

0.00995083

−0.01

−0.0100508

0.001

0.000999501

−0.001

−0.0010005

h

0.5 1

4

b)

FIGURA 7. En la gráfica a) se muestra el comportamiento de (1 + h)h cuando h se acerca a cero. Las tablas que aparecen al lado muestran numéricamente el comportamiento. En la gráfica b) y en la tabla adjunta se muestra el comportamiento de ((1 + h)h − 1)/h cuando h se aproxima a cero. Las gráficas y las tablas inducen los valores de los dos límites.

221

4.1: El concepto de derivada

Podemos mostrar la veracidad de los límites anteriores si usamos el binomio de Newton (en el capítulo siguiente se revisarán criterios para mostrar que este resultado es válido aun cuando la potencia n no sea un número natural) ( a + b) n = a n + na n −1b +

n(n − 1) n − 2 2 a b L 2

solución En efecto, si usamos la fórmula del binomio se tiene que: lím(1 + h) ah = lím ⎛1 + ah(h) + h → 0⎝

h→ 0

ah( ah − 1) 2 h + K⎞ = 1 ⎠ 2

Calcular el segundo límite es un poco más complicado pero el proceso es similar. ah( ah − 1) 2 ⎞ ⎛⎡ 1 + ah(h) + h + K⎤⎥ − 1 ⎟ ⎜ ⎣⎢ (1 + h) ah − 1 2 ⎦ = lím ⎜ lím ⎟ h→ 0 h→ 0 h h ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎛ ah(h) + ah( ah − 1) h 2 + K⎞ ⎟ 2 = lím ⎜⎜ ⎟ h→ 0 h ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ah( ah − 1) = lím ⎛ ah + h + K)⎞ = 0 ⎠ h → 0⎝ 2

Usamos el teorema del binomio

Desarrollamos términos

Calculamos el límite

Ahora, calcularemos la derivada de la función propuesta en x = 0. De la definición de derivada se tiene que: f (1 + h) − f (1) (1 + h) 2(1+ h ) − 1 = lím h→ 0 h→ 0 h h (1 + h)2 (1 + h) 2 h − 1 = lím h→ 0 h (1 + 2 h + h 2 )(1 + h)2 h − 1 = lím h→ 0 h (1 + h)2 h − 1 + (2 h + h 2 )(1 + h)2 h = lím h→ 0 h ⎛ (1 + h) 2 h − 1 ⎞ = lím ⎜ + (2 + h)(1 + h)2 h ⎟ h→ 0⎝ h ⎠ (1 + h) 2 h − 1 = lím + lím(2 + h)(1 + h) 2 h h→ 0 h→ 0 h =0+2=2

f (1) = lím

Desarrollamos el numerador

Reagrupamos los términos Separamos términos Usamos los límites anteriores

222

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

Ejemplo 6. Los siguientes datos, tomados del portal de Internet de la Secretaría de Energía, muestran el precio diario de la mezcla mexicana de petróleo crudo de exportación a finales de agosto de 2005. Fecha

19-Ago

20-Ago

21-Ago

22-Ago

23-Ago

24-Ago

Precio (en dólares americanos)

50.7

50.8

51.36

51.8

51.9

51.3

a) Determina la razón de cambio diaria del precio de la mezcla. b) Ajusta una función polinomial de grado tres para el precio en función del tiempo (considera el 19 de agosto como t = 0 días). Usa esta función para determinar la razón instantánea de cambio el 21 de agosto.

solución En la tabla siguiente se muestran las razones de cambio diarias del precio de la mezcla. Para obtenerlas, sólo restamos el precio entre periodos. Fecha

19-Ago

Razón media de cambio del precio

20-Ago

21-Ago

22-Ago

23-Ago

24-Ago

0.1

0.56

0.44

0.1

0.6

Un ajuste simple, usando el paquete Excel, produce la función y = -0.0598t 3 + 0.3533t 2 - 0.1501t + 50.69 En la figura 8 se muestran tanto los datos de la producción como la función ajustada. En la figura 8b hemos colocado la gráfica de las razones medias de cambio. Para determinar la razón instantánea de cambio el 21 de agosto, necesitamos derivar la función ajustada del precio en t = 2. Entonces, −0.0598(2 + h)3 + 0.3533(2 + h)2 − 0.1501(2 + h) + 50.69 − (51.3246) h→ 0 h

f (2) = lím = lím h→ 0

(

−0.0598(8 + 12 h + 6h 2 + h 3 ) + 0.3533( 4 + 4h + h 2 ) − 0.1501(2 + h) + 50.69 − (51.3246) h

)

= lím −0.0598(12 + 6h + h 2 ) + 0.3533( 4 + h) − 0.1501 h→ 0

= −0.0598(12) + 0.3533( 4) − 0.1501 = 0.5455 Observa que un valor ligeramente diferente se obtiene de evaluar la función ajustada de las razones de cambio en el punto t = 2. En efecto, ese valor es 0.4876.

223

4.1: El concepto de derivada

y  0.0598 t3  52

t2

y  0.1794 t2 

0.1501 t  50.69

t  0.1501

0.8 06 0.6

51 8 51.8 51 6 51.6 51 4 51.4

t

1 

51 2 51.2 t

1 

1

3

2

4

1

3

2

5

4



5

 0.8

50.6 50 6

a)

b)

FIGURA 8. En la gráfica a) se muestra el valor de la mezcla mexicana. En la gráfica b) se muestra la derivada del precio de la mezcla.

1. Las siguientes gráficas muestran la posición de un automóvil como función del tiempo. Estima la velocidad media de cada automóvil en toda su trayectoria y cada hora. Indica en qué intervalo se tiene la velocidad mayor.

30

y

y

30 20

20



10

y

1

2

3

4

5

6

x 

20

a)

2

3

4

5

6x

3

2

1



2

3

4

x



b)

c)

2. La posición de un automóvil está dada por las siguientes funciones. Para cada una de ellas, determina la velocidad media entre los tiempos t0 y t1 y la velocidad instantánea en t0. a) y = 3t2 + 4t − 2; t0 = 1, t1 = 1.1 b) y = t − t − 2; t0 = 1, t1 = 1.5 2

c) y = t2 + t − 2; t0 = 1, t1 = 0.5

d) y =

t2 ; t = 1, t1 = 0.5 t+2 0

e) y = cos(t); t0 = 0, t1 = 0.01

224

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

3. En la tabla siguiente se muestran la distancia recorrida y el tiempo transcurrido en una carrera de caballos de 440 yardas. Tiempo (seg.)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Distancia (yardas)

0

30

64

100

138

177

217

259

302

347

397

Obtén las velocidades medias cada dos segundos. Supón que la última velocidad media se mantenga, ¿es posible que la carrera termine antes de 22 segundos? 4. Para cada una de las funciones siguientes, encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto indicado y elabora un gráfico que muestre la curva y la recta tangente. a) y = x2 + 2x en x = 0

c) y = x2 − x + 2 en x = 1

b) y = −2x2 + 4x + 3 en x = 0

d) y = −x2 + 5x en x = 2

5. Para las siguientes curvas, encuentra la recta secante que une los puntos P y Q indicados y posteriormente, usa el proceso de límite para determinar las ecuaciones de las rectas tangentes en P. a) f ( x ) = x 2 + x; P(1, f (1)) y Q(1 + h, f (1 + h)). b) f ( x ) = 3 x 2 + 2 x; P( −1, f ( −1)) y Q( −1 + h, f ( −1 + h)). c) f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + x; P(3, f (3)) y Q(3 + h, f (3 + h)). 2 d) f ( x ) = ; P(1, f(1)) y Q(1 + h, f(1 + h)). x +1 e) f ( x ) =

x2 + x ; P(2, f(2)) y Q(2 + h, f(2 + h)) 2x + 3

6. Para cada gráfica que aparece a continuación, estima los valores de la derivada de f(x) en los puntos x = −1, 0, 1, 2, 3. y

y

2

2

2

1

1

1

1

2

3

4

x

2

1

1

11

11

22

22

33

33 44

44

a)

b)

2

3

4

x

225

4.1: El concepto de derivada

4

y

y

5

3

4

2

3

1

2

2 1

1

3

2

4

1

x

 22

2

1

1

2

3

4

x

11

c)

d d)

7. Calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos indicados. Usa la definición. a) f(x) = 4x + 3;

a=1

b) f(x) = x2 + 3x − 5;

a=2

c) f(x) = −2x2 + 2x + 3;

a = −1

d) f(x) = −x3 + x2 + 2x − 1; x3 − 1 e) f ( x ) = a=2 x+2

f) f(x) = e2x + cos(x);

a=0

g) f(x) = 2x + sen(x);

a=0

h) f(x) = tan(2x) + sen(3x); a = 0

a=1

i) f(x) = 2xx;

a=1

j) f(x) = (x + 1)x;

a=2

8. Las siguientes funciones representan el costo (en pesos) de producir x unidades de ciertos artículos. Para cada una de ellas, determina la razón media de cambio de x0 a x1 artículos y la razón instantánea del cambio en el costo (el costo marginal) en x0. a) C(x) = 50 000 + 100x + 0.5x2; b) C(x) = 2 000 + 10x + 0.2x ; 2

x0 = 100; x0 = 100;

x1 = 110. x1 = 120

c) C(x) = 10 000 + 12x + 0.3x2 + 0,2x3;

x0 = 50;

d) C(x) = 50 000 + 4x + 0.7x2 + 0.3x3;

x0 = 200;

x1 = 70. x1 = 205.

9. En la tabla siguiente se muestra la temperatura del ambiente en un día de diciembre en la Ciudad de México. Los resultados se registraron cada dos horas, de la medianoche al mediodía. Usa estos datos para estimar la razón instantánea de cambio en la temperatura a las 11 A.M. Sugerencia: ajusta una función polinomial. t (hrs.)

0

2

4

6

8

10

12

T (°C)

4

2

1

5

9

14

21

10. Los datos siguientes muestran la producción (en millones de pesos, a precios corrientes) de la industria de refrescos y bebidas no alcohólicas en el intervalo de 1994 a 2004 (fuente INEGI, encuesta industrial anual). Determina la producción media anual de la producción.

226

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

PERIODO

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

Producción (millones de pesos a 14236.4 18366.2 23592.3 28128.9 36495.0 43929.8 55498.4 61133.6 69203.7 75795.9 75935.3 precios corrientes)

11. Los siguientes datos muestran la producción nacional de petróleo crudo en miles de barriles diarios

Año

Total crudo

Pesado

Ligero

Superlijero

2000

3 012

1 774

733

505

2001

3 127

1 997

659

471

2002

3 177

2 167

552

458

2003

3 371

2 419

512

439

2004

3 383

2 458

790

135

2005

3 330

2 406

792

132

a) Determina la razón media de cambio anual de la producción total y de las tres variedades de crudo. b) ¿Qué variedad tiene la razón de cambio que aumenta más rápidamente? 12. La siguiente tabla muestra el volumen de agua empleada (en hm3) para generar energía eléctrica en varias hidroeléctricas del país. Determina la razón media de cambio anual en cada una de ellas. 1999

2000

2001

2002

2003

Balsas

41 524

32 596

25 992

45 588

30 969

Río Bravo

2 503

2 867

2 067

1 550

1 110

Lerma-Santiago-Pacífico

13 468

6 122

4 126

5 572

7 792

Frontera Sur

62 322

92 365

65 821

44 454

34 056

13. En la siguiente tabla se muestra la capacidad efectiva de generación de energía eléctrica en megawatts, por tipo de planta. Determina la razón media de cambio de la generación de energía en cada tipo de planta. Centrales

1998

1999

2000

2001

2002

2003

Hidroeléctricas

9.700

9.618

9.619

9.619

9.615

9.615

Termoeléctricas

20.895

21.327

21.772

22.639

23.264

2.3264

Carboeléctricas

2.600

2.600

2.600

2.600

2.600

2.600

Nucleoeléctricas

1.309

1.368

1.365

1.365

1.365

1.365

Geotérmicas

0.75

0.75

0.855

0.838

0.843

0.96

4.1: El concepto de derivada

Problemas para trabajar en equipo

Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones. 1. “¿Quién es el hombre más rápido?”, presentada en la introducción. 2. “El comerciante de las sillas”. Un empresario que se dedica a construir muebles de madera acaba de recibir un pedido por 80 sillas a $250.00 cada una y ofrece, para aumentar sus ganancias, reducir el precio por silla en $2.00 por cada silla adicional. El empresario considera que, mientras el número de sillas no exceda a 80, el precio de construcción de cada silla será de $50.00 a) Elabora una tabla a que contenga las columnas de: número de decrementos de $2.00, precio por silla, número de sillas, ingresos, primeras diferencias de ingresos y segundas diferencias de ingresos. Explica el significado de los valores que obtuviste en las dos últimas columnas. b) Traza la gráfica número de sillas contra ingresos. c) Traza la gráfica precio por silla contra ingresos. d) Traza la gráfica número de decrementos de $2.00 contra ingresos. e) ¿Cuáles son los precios que puede cobrar para tener ingresos mayores a los actuales? f) ¿En qué condiciones tiene primeras diferencias de ingresos iguales a cero? g) ¿En qué conjunto de valores las gráficas son crecientes? Explica lo que significa en cada caso. h) ¿En qué conjunto de valores las gráficas son decrecientes? Explica lo que significa en cada caso. i) Interpreta la pendiente de dos valores consecutivos en cada una de las gráficas. j) ¿Qué precios debe cobrar si quiere tener ingresos superiores a $21 000.00? k) Elabora ahora una tabla b que contenga las columnas: número de decrementos de $2.00, precio por silla, número de sillas, ganancia por silla, primeras diferencias de ganancias y segundas diferencias de ganancias. l) ¿Cuánto debe cobrar por silla para obtener las mayores ganancias posibles? m) ¿Cuál es la máxima ganancia? n) ¿Qué pasa con la primera diferencia de ganancias cuando la ganancia es máxima? Explica. o) Escribe tres preguntas sobre el problema, y respóndelas. p) Inventa un nuevo problema inspirado en éste, incorporando otros factores que lo hagan más real.

227

228

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

1. ¿Un paso intermedio en el cálculo de la derivada de y = a) lím

h→ 0

8 3(3 + h)

c) lím

h→ 0

4(1 + h) − 4(3 + h) h→ 0 3h(3 + h)

b) lím

4x en el punto a = 1 es? x+2

12(1 + h) − 4(3 + h) 3(3 + h)2

8h + 8 2 h → 0 (3 + h )

d) lím

2. Determina la ecuación de la recta secante a la curva f(x) = 5x2 − 3x + 2 que pasa por los puntos (1, f(1)) y (1 + h, f(1 + h)). a) y = (7h + 5)(x − 1) b) y = 7x − 7

c) y = (5h + 7)(x − 1) + 4 d) y = 5x − 5

3. La función de costo (en pesos) de producir x unidades de cierto artículo está dada por C(x) = 30 000 + 10x + 0.6x2 Determina la razón media del costo de producir de 100 a 120 artículos, y la razón instantánea del cambio en el costo cuando se producen 100 artículos. a) c = 2 840 ; c(100) = 1 300

c) c = 2 840 ; c(100) = 6.5

b) c = 284 ; c(100) = 6.5

d) c = 142 ; c(100) = 130

4. Un automóvil se mueve de acuerdo a la función de posición x(t) = 5t3 + 4t2 − 2t + 4, determina la velocidad instantánea en el punto t = 2. c) −2 m/s d) 18 m/s

a) 74 m/s b) 16 m/s

5. Considera la función de posición x(t) = t3 − t2 + 3t + 14, relaciona las afirmaciones de la columna A con las respuestas de la columna B. Columna A a) La razón media de cambio de t = 5 a t = 10. b) Derivada en t = 1. c) Velocidad en t = 2. d) Razón media de cambio de t = 2 a t = 4.

Columna B i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii.

25 3 116 163 4 29 11 125

229

4.1: El concepto de derivada

Respuestas a los Ejercicios y problemas 1.

2.

a)

b)

c)

ti

tf

vm

ti

tf

vm

ti

tf

vm

−2

−1

16

1

2

0.693

−3

−2

−6

−1

0

2

2

3

0.405

−2

−1

−4

0

1

−6

3

4

0.287

1

0

−2

1

2

−8

4

5

0.223

0

1

0

2

3

−4

1

2

2

3

4

6

2

3

4

4

5

22

a) Vm = 10.3; v(1) = 10 b) Vm = 1.5; v(1) = 1 c) Vm = 1.25; v(0) = 1

d)Vm = 0.756098; v(2) = 0.75 e) Vm = −0.00499996; v(0) = 0

3. Sí termina la carrera antes de 22 segundos Tiempo (seg.)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Distancia (yardas)

0

30

64

100

138

177

217

259

302

347

397

15

17

18

19

19.5

20

21

21.5

22.5

25

Velocidad media (yardas/seg.) 4. 2 a) y  2x

b) y  4x  3

y 8

y 10 5

4

22

1

1 4

x 2

22

1

1 55 10 10

2

x

230

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

d yx4 d)

c) y  x  1 y

y 8

6

6 4 4 2

2

1

5.

1

3

2

x

1

1

2

4

3

x

22

a) Recta secante y = −1 + h(x − 1) + 3x; Recta tangente y = −1 + 3x. b) Recta secante y = −4x − 3 + 3h(x + 1); Recta tangente y = −4x − 3. c) Recta secante y = 3 + (10 + 6h + h2) (x − 3); Recta tangente y = 10x − 27. d) Recta secante y =

3+h− x 3− x ; Recta tangente y = . 2+h 2

e) Recta secante y =

−4 + 23 x + h(7 x − 2) −4 + 23 x ; Recta tangente y = . 49 + 14h 49

6.

a

f (a)

a

f(a)

a

f(a)

a

f(a)

−1

−0.3

−1

−1.4

−1

0.5

−1

1.9

0

1

0

0

0

0.5

0

0

1

0.3

1

−1.4

1

0.5

1

−1.9

2

2.2

2

0.08

2

−1.2

2

−1.8

3

1.4

3

−2.8

3

−3.3

3

−0.8

a)

b)

c)

d)

7. a) 4

c) 6

e) 41/16

g) 3

i) 2

b) 7

d) 1

f) 2

h) 5

j) 2.3861

8. a) 205, 200

c) 2 228, 1 542

b) 54, 50

d) 37 195, 36 284

231

4.1: El concepto de derivada

9. Una función que se ajusta a los datos es T(x) = −0.0104x3 + 0.4107x2 − 2.0298x + 4.0714. La razón instantánea de cambio en t = 11 es T (11) = 3.2304. 10. PERIODO Producción media anual

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

4 129.8 5 226.1 4 536.6 8 366.1 7 435 11 569 5 635.2 8 070.1 6 592.2 139.4

11. Las razones de cambio anuales se muestran en la tabla siguiente. Las mayores razones de cambio las tiene el crudo pesado.

Año

Total crudo

Pesado

Ligero

Superlijero

2001

115

223

−74

−34

2002

50

170

−107

−13

2003

194

252

−40

−19

2004

12

39

278

−304

2005

−53

−52

2

−3

12. Las razones de cambio se muestran en la tabla siguiente. 2000

2001

2002

2003

−8 928

−6 604

19 596

−14 619

364

−800

−517

−440

Lerma-Santiago-Pacífico

−7 346

−1 996

1 446

2 220

Frontera Sur

30 043

−26 544

−21 367

−10 398

Balsas Río Bravo

13. Las razones de cambio son Centrales

1998

1999

2000

2001

2002

2003

Hidroeléctricas

9.700

9.618

9.619

9.619

9.615

9.615

Termoeléctricas

20.895

21.327

21.772

22.639

23.264

2.3264

Carboeléctricas

2.600

2.600

2.600

2.600

2.600

2.600

Nucleoeléctricas

1.309

1.368

1.365

1.365

1.365

1.365

Geotérmicas

0.75

0.75

0.855

0.838

0.843

0.96

232

1. 2. 3. 4. 5.

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

a) c) d) a) (a, iv), (b, v), (c, vii), (d, i)

233

4.2: La función derivada

4.2 La función derivada

En el espacio de casi precisamente un siglo se forjó el Cálculo, el instrumento de calcular por excelencia, y casi tres siglos de uso constante no han agotado este instrumento incomparable. Nicholas Bourbaki

El Eurotúnel

Q(22, 20)

Folkestone P(20, 17)

Calais

FIGURA 1. El Eurotúnel pasa por debajo del mar en el Canal de la Mancha desde Calais hasta Folkestone.

En 1994 se terminó de construir el Eurotúnel, una de las grandes maravillas de la ingeniería moderna. El túnel tiene 50 kilómetros de largo, recorre 39 kilómetros por debajo del mar y se empezó a construir en dos diferentes puntos: el primero situado en la ciudad de Folkestone en Gran Bretaña y el segundo en la ciudad de Calais en Francia. Los dos equipos de construcción se reunieron en un punto bajo el Canal de la Mancha el 6 de mayo. Unos meses antes, los ingenieros tuvieron que replantear la trayectoria que seguían ambos equipos porque se habían desviado algunas decenas de metros. En la figura 1 se muestra un esquema del Eurotúnel. Por simplicidad, considera que los puntos P y Q donde los ingenieros replantearon la trayectoria tienen coordenadas P(20, −17) y Q(22, −20) medidas en kilómetros desde Folkestone y que, en ese sistema de coordenadas, la ciudad de Calais tiene coordenadas (40, −30).

• Si suponemos que los dos equipos tuvieron que cambiar su trayectoria para reunirse en un punto intermedio del recorrido, ¿qué posibles trayectorias pudieron haber seguido?

• ¿Qué condiciones tuvieron que imponer los ingenieros de la obra sobre la trayectoria para minimizar posibles accidentes futuros en la sección faltante?

• ¿Cómo se relaciona la derivada con estas condiciones?

234

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

Introducción La derivada tiene infinidad de aplicaciones en diversas áreas de la ciencia y la tecnología. Por ejemplo, en Economía se utiliza para analizar el comportamiento de variables económicas en el tiempo como la inflación, el desempleo, el producto interno bruto, etc. En Física suele ser la herramienta básica para describir y modelar fenómenos de diversa índole, por ejemplo, aparece relacionando variables como la fuerza y la energía con la posición o la velocidad de una partícula. También aparece en modelos donde un cambio en alguna variable produce cambios en otra. Pero, ¿cuáles son las condiciones matemáticas para que exista? ¿Cuándo es posible calcularla? ¿Qué significado geométrico le damos a su existencia? En esta sección abordaremos tres aspectos cruciales de la derivada; el primero tiene que ver con su existencia en algún intervalo, el segundo con posibles aplicaciones y el tercero, y no por eso el menos importante, con la relación que existe entre derivabilidad y continuidad.

Objetivos Al terminar esta sección tendrás la capacidad de: a) b) c) d) e) f)

Definir la función derivada. Obtener la derivada de una función utilizando la definición. Interpretar la derivada en situaciones prácticas e indicar sus unidades. Establecer el teorema que relaciona la derivabilidad con la continuidad. Determinar derivadas unilaterales en un punto. Determinar la derivada de funciones seccionadas.

La derivada de una función Estudiamos en la sección anterior el concepto de derivada en un punto f(a), establecimos que una posible interpretación física de la derivada es la velocidad instantánea cuando x = f(t) representa una función de posición. Más aún, hicimos notar que la derivada de cualquier función y = f(x) en x = a podía interpretarse, geométricamente, como la pendiente de la recta tangente. Sin embargo, es posible que en algunos puntos no podamos calcular la derivada. Para analizar estos puntos necesitamos la siguiente definición.

Definición de la función derivada. Decimos que la función f es derivable en el intervalo abierto (a, b) si para todo x ∈ (a, b) se tiene que: lím

h→ 0

f ( x + h) − f ( x ) existe. h

En este caso, el límite se designa por f (x) y recibe el nombre de función derivada de f.

235

4.2: La función derivada

Es claro que f(x) es también una función de la variable x. En los capítulos siguientes estudiaremos ampliamente su uso. Por ahora, bastará con aplicar la definición para bosquejar la gráfica de la derivada o para calcular de manera algebraica la función derivada. Dos reglas que son útiles para esto son, la regla gráfica y la regla de los cuatro pasos, que describimos a continuación.

Regla para bosquejar la gráfica de la derivada de una función. 1. Se elige un conjunto de puntos (xi, f(xi)) que se encuentren en la gráfica de la función y = f(x). 2. Se estima gráficamente la derivada f (xi). Para esto, basta con graficar segmentos de recta tangente en cada punto y estimar la pendiente de esta recta. 3. Se grafican los puntos (xi, f (xi)).

Regla de los cuatro pasos para calcular derivadas. 1. Se calcula y simplifica f(x + h). 2. Se calcula y simplifica f(x + h) – f(x). f ( x + h) − f ( x ) 3. Se divide la expresión anterior entre h para obtener . h f ( x + h) − f ( x ) 4. Se calcula el límite lím . h→ 0 h

Ejemplos Ejemplo 1. En la figura 2 se muestra la gráfica de una función. Haz un bosquejo de la gráfica de su función derivada. 4

y

3 2

2 1



2

3

4x

 33 44

FIGURA 2. La gráfica de una función a derivar.

236

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

solución Grafiquemos rectas tangentes en los puntos x = −2, −1, 0, 1, 2, 3. En la figura 3 se muestran los segmentos de rectas obtenidos. Las pendientes de estas rectas se estiman considerando la altura entre la base del triángulo que se forma en cada punto (m ≈ h/b). En la tabla siguiente se muestran las pendientes obtenidas, que claramente son nuestras estimaciones de la derivada.

4 y 3 2 1 2

11

1

2

3

4x

2

h

x

33 44 4

b

−2 −1 0 1 2 3

y

3 2

f(x (x) 0 −2 −2.8 −2 0 3.5

1 2



11

1

2

3

Por último, con esos puntos se elabora una gráfica estimada de la función derivada. Observa que esta última gráfica es sólo una estimación; podremos elaborar una gráfica exacta hasta el capítulo 10 sobre graficación. Sin embargo, puedes ya observar que la derivada indicará si la función está aumentando o disminuyendo su valor.

4x

22 33 44 FIGURA 3. La gráfica de la derivada de una función estimada por métodos gráficos.

Ejemplo 2. Usa la regla de los cuatro pasos para determinar la derivada de la función f(x) = 3x3 + 2x2 + 4x − 2

solución Paso 1: Calculamos y simplificamos f(x + h). f ( x + h) = 3( x + h)3 + 2( x + h)2 + 4( x + h) − 2 = 3( x 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 ) + 2( x 2 + 2 xh + h 2 ) + 4( x + h) − 2 = 3 x 3 + 9 x 2 h + 9 xh 2 + 3h 3 + 2 x 2 + 4 xh + 2h 2 + 4 x + 4h − 2 = 3 x 3 + 2 x 2 + 4 x − 2 + h(9 x 2 + 4 x + 4) + h 2 (9 x + 2) + 3h 3

237

4.2: La función derivada

Paso 2: Restamos f(x) a esta última expresión y obtenemos: f ( x + h) − f ( x ) = 3 x 3 + 2 x 2 + 4 x − 2 + h(9 x 2 + 4 x + 4) + h 2 (9 x + 2) + 3h 3 − (3 x 3 + 2 x 2 + 4 x − 2) = h(9 x 2 + 4 x + 4) + h 2 (9 x + 2) + 3h 3 Paso 3: Dividiendo entre h se obtiene: f ( x + h) − f ( x ) h(9 x 2 + 4 x + 4) + h 2 (9 x + 2) + 3h 3 = h h = 9 x 2 + 4 x + 4 + h(9 x + 2) + 3h 2 Paso 4: Al calcular el límite obtenemos: lím

h→ 0

f ( x + h) − f ( x ) = lím 9 x 2 + 4 x + 4 + h(9 x + 2) + 3h 2 h→ 0 h

(

)

= 9x 2 + 4x + 4

Ejemplo 3. Calcula la derivada de la función f(x) = sen(2x) + 5x

solución Nuevamente seguimos la regla de los cuatro pasos para calcular la derivada. Paso 1: Calculamos f(x + h). f ( x + h) = sen(2( x + h)) + 5( x + h) = sen(2 x )cos(2 h) + cos(2 x )sen(2 h) + 5 x + 5h Paso 2: Si restamos f(x) se tiene: f ( x + h) − f ( x ) = sen(2 x )cos(2h) + cos(2 x )sen(2 h) + 5h − sen(2 x ) Paso 3: Si dividimos entre h y simplificamos resulta: f ( x + h) − f ( x ) cos(2h) − 1⎞ sen(2h) ⎞ = sen(2 x )⎛ + cos(2 x )⎛ +5 ⎝ ⎠ ⎝ h h h ⎠ Paso 4: Al calcular el límite cuando h → 0 obtenemos: lím

h→ 0

f ( x + h) − f ( x ) cos(2 h) − 1⎞ sen(2 h) ⎞ = sen(2 x ) lím ⎛ + cos(2 x ) lím ⎛ +5 ⎠ h→ 0⎝ h→ 0⎝ h h h ⎠ = 2 cos(2 x ) + 5

Donde hemos utilizado que lím t →0

sen(t ) = 1, estudiado en el capítulo 3. En efecto, tenemos: t

238

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

lím ⎛ h→ 0⎝

⎛ cos 2 (h) − sen 2 (h) − 1⎞ cos(2 h) − 1⎞ = lím ⎜ ⎟ ⎠ h→ 0⎝ h h ⎠

⎛ −2sen 2 (h) ⎞ sen(h) ⎞ = lím ⎜ = −2 lím ⎛ sen(h) = 0, ⎟ ⎝ h→ 0⎝ h → 0 h h ⎠ ⎠ y lím ⎛ h→ 0⎝

sen(2 h) ⎞ sen(2 h) ⎞ = 2 lím ⎛ = 2. ⎠ ⎝ h→ 0 h 2h ⎠

Ejemplo 4. Calcula la derivada de la función f(x) = 3(1 + 2x)1/2

solución Apliquemos directamente la definición de derivada. 3(1 + 2( x + h))

− 3(1 + 2 x )1/ 2

1/ 2

f ( x ) = lím h→ 0

usando la definicion

h 3(1 + 2( x + h))

1/ 2 − 3(1 + 2 x )1/ 2 ⎛ 3(1 + 2( x + h)) + 3(1 + 2 x )1/ 2 ⎞ 1/ 2 ⎜ 1/ 2 ⎟ h ⎝ 3(1 + 2( x + h)) + 3(1 + 2 x ) ⎠

1/ 2

= lím h→ 0

= lím

h→ 0

= lím

h→ 0

= lím

h→ 0

= lím h→ 0

=

=

9(1 + 2( x + h)) − 9(1 + 2 x )

(

h 3(1 + 2( x + h))

1/ 2

+ 3(1 + 2 x )

1/ 2

9 + 18 x + 18h − 9 − 18 x

(

3h (1 + 2( x + h))

1/ 2

+ (1 + 2 x )

1/ 2

18h

(

3h (1 + 2( x + h))

1/ 2

+ (1 + 2 x )

1/ 2

6

) )

)

multiplicando por el conjugado

simplificando

simplificando

simplificando

dividiendo entre 3h

(1 + 2( x + h)) + (1 + 2 x ) 1/ 2

(1 + 2 x )

1/ 2

3

(1 + 2 x )1/ 2

6 + (1 + 2 x )1/ 2

1/ 2

calculando el limite

simplificando

239

4.2: La función derivada

Aplicaciones de la derivada Existen diferentes aplicaciones de la derivada en todos los ámbitos económicos, sociales y científicos. Por ejemplo:

Costo marginal. La función de costo total C = f(q) nos indica el costo de producir q artículos de un cierto producto. La razón de cambio instantánea de C respecto a q se llama costo marginal.

Podemos decir que el costo marginal es el costo aproximado de producir una unidad adicional cuando ya se han producido q unidades. En efecto, de acuerdo con la aproximación lineal se tiene que: C(q + 1) ≈ C(q) + C(q)(q + 1 − q) De donde, C(q + 1) − C(q) ≈ C(q).

Ingreso marginal. La función de ingreso total I = f(q) nos indica el ingreso total obtenido al producir q artículos de un cierto producto. La razón de cambio instantánea de I respecto a q se llama ingreso marginal.

También aquí podemos decir que el ingreso marginal es aproximadamente el ingreso adicional, obtenido al vender una unidad más cuando ya se han vendido q unidades.

Relación de la fuerza con la energía potencial. Considera un sistema físico con energía potencial dada por U = f(x). La razón de cambio de −U respecto a x es la fuerza que siente el sistema. Es decir, si F denota la fuerza entonces, F=−

dU . dx

240

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

Ejemplos Ejemplo 5. Supón que el ingreso obtenido al vender x computadoras es I(x) = 2x + x2 miles de pesos. Determina el ingreso marginal.

solución Calculamos la razón de cambio usando la definición 2( x + h ) + ( x + h ) 2 − 2 x − x 2 2 h + 2 xh + h 2 = lím = lím(2 + 2 x + h) = 2 + 2 x h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h

I( x ) = lím

Ejemplo 6. Determina la fuerza que siente la masa conectada a un resorte no lineal, si la energía potencial está dada por U(x) = 2x2 + 0.1x3

solución Calculemos la razón de cambio usando la definición f = −U( x ) 2( x + h)2 + 0.1( x + h)3 − 2 x 2 − 0.1x 3 h→ 0 h

= − lím

4 xh + 2 h 2 + 0.3 x 2 h + 0.3 xh 2 + 0.1h 3 h→ 0 h

= − lím

= − lím( 4 x + 2 h + 0.3 x 2 + 0.3 xh + 0.1h 2 ) = −4 x − 0.3 x 2 h→ 0

Relación entre continuidad y derivabilidad Nuestra definición de derivada aplica para intervalos abiertos. Para el caso de intervalos cerrados, podemos definir derivadas unilaterales por la derecha e izquierda, de manera similar a como se definen los límites unilaterales.

Definición a) Si f(x) está definida en [a, b], definimos la derivada lateral derecha en x = a por f + ( a) = lím+ ⎛ h→ 0 ⎝

f ( a + h) − f ( a) ⎞ ⎠ h

241

4.2: La función derivada

b) Si f(x) está definida en [a, b], definimos la derivada lateral izquierda en x = b por f − (b) = lím− ⎛ h→ 0 ⎝

f (b + h) − f (b) ⎞ ⎠ h

Siempre que los límites existan.

Inmediatamente, tenemos el siguiente resultado que ofrecemos sin demostración.

Teorema. Una función definida en un intervalo abierto que contenga al punto x = a es diferenciable en ese punto si, y sólo si los límites laterales existen y son iguales.

Con objeto de favorecer el desarrollo de nuestra intuición, consideremos las gráficas de algunas funciones y analicemos su derivada a partir de su significado geométrico. En la figura 4 se muestran varias gráficas y un conjunto de rectas secantes que pasan por el punto (0, 0). Como puedes observar, no es posible encontrar una recta tangente única con pendiente real en esos puntos. y

y

x

a) La curva tiene un pico o esquina y las rectas secantes se aproximan a rectas tangentes diferentes.

x

b) La curva tiene una cúspide y las pendientes de  infinito por el lado derecho y a – y

y

x

c) La curva tiene un punto donde las rectas secantes se aproximan a una recta tangente vertical.

x

dd) La curva no es continua y por eso las pendientes de las rectas secantes tienden a valores diferentes.

FIGURA 4. Casos donde no existe la derivada de f(x).

242

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

Las implicaciones son interesantes, por ejemplo: 1. Si una función es continua en un punto, no necesariamente será derivable en ese punto. 2. Si una función no es continua en x = a, forzosamente no tendrá derivada en ese punto. En resumen, una función no es derivable en x = a por alguna de las siguientes razones: la función no es continua, o la función es continua pero no tiene una recta tangente única al acercarse por derecha o izquierda, o tiene una recta tangente vertical. Sin embargo, queda por destacar un punto importante.

Teorema. Si f(x) existe en x = a entonces y = f(x) es continua en x = a.

Demostración Como f (a) existe, se tiene que f(a) está definida y que f(x) existe en un intervalo abierto alrededor de x = a. Falta probar que lím f ( a + h) = f ( a). Si h ≠ 0 h→ 0 entonces, f ( a + h) = ( f ( a + h) − f ( a)) + f ( a) =⎛ ⎝

f ( a + h) − f ( a) ⎞ h + f ( a) ⎠ h

Cuando h → 0 se tiene que: lím f ( a + h) = lím ⎛ h→ 0 h → 0⎝

f ( a + h) − f ( a) ⎞ h + f ( a) ⎠ h

f ( a + h) − f ( a) ⎞ . lím h + f ( a) ⎠ h→ 0 h = f ' ( a)(0) + f ( a) = f ( a)

= lím ⎛ h → 0⎝

Con lo cual queda demostrada la proposición.

Kart Weierstrass ofreció un ejemplo de una función continua en todo punto, cuya derivada no existe en ninguno de ellos. Este tipo de funciones desafía nuestra intuición geométrica y fue el germen para realizar investigaciones más profundas sobre el cálculo y dar origen al Análisis Matemático. Está fuera del alcance de este trabajo mostrar que la función ∞

f ( x) =

cos(3n x ) 2n n=0

∑

243

4.2: La función derivada

es continua en todo el conjunto de los números reales, pero no es derivable en ninguno. Para tener una idea de la complejidad de la función, te mostramos las gráficas de las funciones y sus derivadas, que se obtienen considerando 3, 30 y 300 términos de la suma. Las gráficas fueron elaboradas en el paquete Mathematica.

3

6

y

4 

3

2

4

x 6

6 44

3 6

2   

y

3 2 4

x 6

6 4 2

x 6

4

 3

y

6 4 

y

2

2

4

x 6

6

4

x 6

6 

4

x 6

FIGURA 5. Una función con infinidad de picos que es continua en los reales, pero que no tiene derivada. En la parte superior aparecen aproximaciones de la función calculada con 3, 30 y 300 términos y abajo sus derivadas respectivas.

Ejemplos Ejemplo 7. Calcula la derivada de y = | x |.

solución Calculemos la derivada de la función en cualquier punto. Si x < 0 se tiene |x+h|−|x| f ( x ) = lím h→ 0 h −( x + h ) − ( − x ) = lím h→ 0 h −h = lím h→ 0 h = −1

Si x > 0 obtenemos |x+h|−|x| f ( x ) = lím h→ 0 h x+h−x = lím h→ 0 h h = lím h→ 0 h =1

Si x = 0 resulta |0+h|−|0| h→ 0 h |h| = lím h→ 0 h ⎧−1, h < 0 = lím ⎨ h → 0 ⎩ 1, h>0

f (0) = lím

244

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

La función derivada no existe en x = 0 porque la derivada debe ser única, y en nuestro cálculo obtenemos dos posibles valores. En la figura 6 se muestran la función y su derivada. y 3

1. 0. 3

2

x 2

0.

1

2

x 3



0 3

1

1

1

2

1.5

3

FIGURA 6. La función valor absoluto y su derivada.

Ejemplo 8. Analiza la derivada de la función ⎧x 2 , x < 0 f ( x) = ⎨ ⎩2 x, x ≥ 0 ¿Qué ocurre con la derivada en el punto (0, 0)?

solución Si x < 0 obtenemos f ( x ) = lím

h→ 0

Si x > 0 se tiene

f ( x + h) − f ( x ) h

= lím

( x + h) − x h

= lím

x 2 + 2 xh + h 2 − x 2 h

h→ 0

h→ 0

2

2 xh + h 2 h→ 0 h = lím (2 x + h) = lím

h→ 0

= 2x

2

f ( x + h) − f ( x ) h 2( x + h ) − 2 x = lím h→ 0 h 2 x + 2h − 2 x = lím h→ 0 h 2h = lím h→ 0 h =2

f ( x ) = lím

h→ 0

Si x = 0, calculamos a) la derivada lateral derecha f (0 + h) − f (0) h 2h − 0 = lím+ =2 h→ 0 h

f (0) = lím+ h→ 0

b) calculamos la derivada lateral izquierda f (0 + h) − f (0) f (0) = lím− h→ 0 h = lím− h→ 0

h2 − 0 = lím− (h) = 0 h→ 0 h

Como las dos derivadas laterales son diferentes podemos afirmar que la derivada no existe en x = 0.

245

4.2: La función derivada

En la figura 7 se muestran tanto la gráfica de la función como la función derivada.

15

y

4

y

12.5 10 x

7.5

4 3 2 1

5

2

2

2

3

4

2 3 4

x 4

1

4

FIGURA 7. Una función seccionada con una esquina, donde no existe la derivada.

Ejemplo 9. Analiza la derivada de la función ⎧ −x , x < 0 f ( x) = ⎨ 2 x≥0 ⎩ x en el punto (0, 0).

solución En este punto necesitamos calcular la derivada por la derecha y por la izquierda.

Si hacemos el cálculo por la derecha resulta: f (0) = lím+ h→ 0

f (0 + h) − f (0) h

h2 − 0 h→ 0 h = lím+ h = 0 = lím+ h→ 0

Para la derivada lateral por la izquierda obtenemos: f (0) = lím− h→ 0

= lím− h→ 0

f (0 + h) − f (0) h −h − 0 h

⎛ −h . −h ⎞ = lím− ⎜ ⎟ h→ 0 ⎝ h − h ⎠ ⎛ −h ⎞ = lím− ⎜ ⎟ h→ 0 ⎝ h − h ⎠ ⎛ −1 ⎞ = lím− ⎜ ⎟ h→ 0 ⎝ − h ⎠ = −∞

FIGURA 8. Una función cuya derivada en (0, 0) no existe.

246

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

Así, podemos afirmar que la derivada no existe en x = 0. En la figura 8 se muestra cómo cambian las rectas secantes. Si el punto Q(h, f(h)) se acerca al punto P(0, 0) por la derecha, las pendientes de las rectas se acercan a cero. Si se acerca Q a P por la izquierda, las rectas secantes tienden a ser verticales.

Ejemplo 10. Consideremos ahora la función f(x) = x2/3. ¿Qué ocurre con la derivada en el punto (0, 0)?

solución En este punto necesitamos calcular la derivada por la derecha y por la izquierda. Si hacemos el cálculo por la derecha resulta f + (0) = lím+ h→ 0

f (0 + h) − f (0) h2/3 − 0 1 = lím+ = lím+ 1/ 3 = ∞. h h h→ 0 h→ 0 h

Análogamente, en el caso de la derivada lateral por la izquierda obtenemos f − (0) = lím− h→ 0

f (0 + h) − f (0) h2/3 − 0 1 = lím− = lím− 1/ 3 = −∞. h h h→ 0 h→ 0 h

En consecuencia, la derivada en x = 0 no existe. Lo que es más, como ninguno de los resultados anteriores da un valor real, concluimos que ninguna de las derivadas unilaterales existe.

Ejemplo 11. Calcula la derivada de la función ⎧ x 2 + 3 x si x ≥ 0 f ( x) = ⎨ 3 si x < 0 ⎩ 4x

en x = 0.

solución Calculamos las derivadas laterales de la función. Por la izquierda resulta f − (0) = lím− h→ 0

f (0 + h) − f (0) 4h 3 − 0 = lím− = lím− 4h 2 = 0 h h h→ 0 h→ 0

Por la derecha obtenemos f + (0) = lím+ h→ 0

f (0 + h) − f (0) h 2 + 3h − 0 = lím+ = lím+ (h + 3) = 3 h h h→ 0 h→ 0

Por lo tanto, podemos afirmar que la derivada de la función en x = 0 no existe, ya que las derivadas laterales son diferentes.

247

4.2: La función derivada

Ejemplo 12. Calcula la derivada de f(x) = x1/5 en el punto (0, 0).

solución Calculamos las derivadas laterales. Por la derecha resulta f + (0) = lím+ h→ 0

f (0 + h) − f (0) h1/ 5 − 0 1 = lím+ = lím+ 4 / 5 = ∞ h h h→ 0 h→ 0 h

En el caso de la derivada lateral por la izquierda obtenemos f − (0) = lím− h→ 0

f (0 + h) − f (0) h1/ 5 − 0 1 = lím− = lím− 4 / 5 = ∞ h h h→ 0 h→ 0 h

La derivada no existe, pero la curva tiene una recta tangente vertical.

1. Determina las derivadas de las funciones siguientes usando la regla de los cuatro pasos. a) f(x) = x2 − x

f) f(x) = x1/3 + x

b) f(x) = 3x2 + 4x − 3 c) f(x) = x3 – x2 + 2x − 1 d) f(x) = x – x3 x2 e) f ( x ) = x +1

g) f ( x ) = x + 1 + 3 x 2 h) f ( x ) = 2 x − 3 i) f(x) = sen(2x) + tan(3x) j) f(x) = e4x + 3e2x

2. Determina si las funciones siguientes son derivables en el punto indicado. Si lo son, calcula su derivada; si no lo son, explica por qué. ⎧−3 x si x < 0 a) f ( x ) = ⎨ ⎩ 4 x si x ≥ 0 ⎧− x 2 b) f ( x ) = ⎨ 3 ⎩4x

en x = 0.

si x < 0 en x = 0. si x ≥ 0

⎧ 5x + x 2 si x < 1 c) f ( x ) = ⎨ 3 en x = 1. ⎩2 x + 3 x + 1 si x ≥ 1

⎧−4 x + 2 x 2 d) f ( x ) = ⎨ ⎩ 4x − 8

si x < 2 en x = 2. si x ≥ 2

⎧− x − x 3 si x < 0 e) f ( x ) = ⎨ en x = 0. 2 si x ≥ 0 ⎩ x+x ⎧ 2 x − 3x 3 f) f ( x ) = ⎨ 2 ⎩2 x + 4 x

si x < 0 en x = 0. si x ≥ 0

248

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

⎧ x2/3 si x < 0 g) f ( x ) = ⎨ en x = 0. 1/ 3 si x ≥ 0 x − x ⎩

⎧ x + sen( x ) si x < 0 i) f ( x ) = ⎨ en x = 0. ⎩ x + tan( x ) si x ≥ 0

⎧ 2 − x 2 si x ≤ 1 h) f ( x ) = ⎨ 2 en x = 1. ⎩ x + 3 x si x ≥ 1

⎧x 3 + 4 x 2 j) f ( x ) = ⎨ ⎩ 3x − 1

si x < 3 en x = 3. si x ≥ 3

3. Para las siguientes funciones, determina la ecuación de la recta tangente en los puntos indicados. Elabora una gráfica de la función y de la recta tangente. a) y = x4/5 en x = 0.

d) y = e−| x − 2 | en x = 2.

b) y = x – x3/5 en x = 0.

e) y = sen(| x + 3 |) en x = −3.

c) y = x + x 2

1/3

en x = 0.

4. Elabora la gráfica de la función f ( x ) = x + x en el intervalo (−2, 2). Calcula las derivadas laterales en los puntos x = −2, −1, 0, 1, 2. ¿En qué puntos no existe la derivada? 5. El costo de producir x artículos es C(x) = 3 000 + 20x + 0.1x2 pesos. Determina el ingreso marginal en x = 20 usando la definición de derivada. ¿Cuál es el significado de este resultado? 6. Relaciona las gráficas a), b), c) y d) con la gráfica de sus derivadas en I-IV. Explica las razones de tu selección.

y

y

y 1 0.8 0.6 0.4

30 20 10 4

2

2

10 20 30

4

x

2

a)

I)

x

1 2 3 4

2

4

6

x

4 2 6

4

2

2 4

c)

y

30

6

2

20

6

0.5 2

II)

4

x

y

10 6 4 2

6

4

1

4

4

40

1.5 2

2

d)

y 2

x 0.25 0.5 0.75

4

2

y

2

2

b)

0.75 0.5 0.25 4

6 4

0.2 4

y 6

4

6

x 4

2

2

III)

4

x

4

2

2 2 4

IV)

x

249

4.2: La función derivada

Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones. 1. “El Eurotúnel”. Situación presentada en la introducción. 2. “Curvas de Transferencia”. Es usual que en la construcción de carreteras, los trabajos se realicen por tramos rectos y más adelante se unan los puntos terminales por medio de curvas, de tal suerte que la trayectoria sea continua y suficientemente suave (primera y segunda derivadas continuas). A las curvas construidas así se les conoce como curvas de transferencia. a) Considera que se han construido dos secciones rectas de una carretera y que la función que describe estos tramos es ⎧0 si x ≤ 0 f ( x) = ⎨ ⎩1 si x ≥ 1 Encuentra un polinomio de grado 5 que una los tramos de la carretera y que produzca una función continua con primera y segunda derivadas continuas. Elabora la gráfica de la función. b) Determina un polinomio de grado 5 que sirva como curva de transferencia para los tramos rectilíneos descritos por la función ⎧0 si x ≤ 0 f ( x) = ⎨ ⎩ x si x ≥ 1 Traza la gráfica de la función. ¿Sería posible efectuar esto con un polinomio de grado 4? c) Determina un polinomio que una los dos segmentos de las curvas dadas, de tal suerte que la curva sea continua y sus dos primeras derivadas también lo sean. ⎧ 4x2 + 2x • f ( x) = ⎨ 2 ⎩5 x + 4 − x ⎧ − x 2 + 5x f ( x ) = ⎨ • 2 ⎩−2 x + 3 x

x3 x 5

250

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

1. Indica la opción que contiene la derivada lateral derecha en x = 0 de ⎧ 4x2 + 5 x ≤ 0 f ( x) = ⎨ 2 x>0 ⎩5 − x + x c) −1 d) 5

a) 0 b) 8

2. Halla la opción que contiene la derivada de f ( x ) =| x | − | 2 − x | en x = 2. a) 2 b) −2

c) 0 d) No existe

3. Un paso intermedio en el cálculo de la función derivada de f ( x ) = x + 4 es: 1 1 a) lím c) lím h→ 0 x + h + 4 + x + 4 h→ 0 2 x + 4 b) lím

h→ 0

x+h h( x + h + 4 + x + 4 )

d) lím

h→ 0

x+h+4 − x+4 x+h+4 + x+4

4. Determina la ecuación de la recta tangente a la curva y = x1/7 en x = 0 a) y = 0 b) y = 1/7

c) x = 0 d) No existe la recta tangente.

5. Encuentra en la columna B las derivadas indicadas de las funciones proporcionadas que aparecen en la columna A. Columna A a) f +(0) si f(x) = x

1/2

Columna B +x

1/3

i.

1

b) f  +(1) si f(x) = | x + 2 | + | x − 1|

ii.

∞

c) f (0) si f(x) = | sen(x) |

iii.

−∞

d) f −(3) si f(x) = | x – 3x |

iv.

No existe

e) f +(0) si f(x) = | x – 3x |

vi.

−1

vii.

2

viii.

−3

2

2

251

4.2: La función derivada

Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) f(x) = 2x − 1

g) f ( x ) =

b) f(x) = 6x + 4 c) f(x) = 3x2 – 2x + 2

h) f ( x ) =

d) f(x) = 1 − 3x2 e) f ( x ) =

x2 + 2x ( x + 1)2

f) f ( x ) =

1 −2 / 3 x +1 3

1 + 6x 2 x +1 1 2x − 3

i) f(x) = 2cos(2x) + 3sec2(3x) j) f(x) = 4e4x + 6e2x

2. a) No, f +(0) = 4, f  −(0) = −3

f) Sí, f (0) = 2

b) Sí, f(0) = 0

g) No, se tiene recta tangente vertical en x = 0

c) No, f +(1) = 9, f −(1) = 7

h) No, la función no es continua en x = 1

d) Sí, f (2) = 4

i) Sí, f(0) = 2

e) No, f +(0) = 1, f −(0) = −1

j) No, la función no es continua en x = 3

3. a) Las derivadas laterales son f +(0) = ∞ y f  −(0) = −∞ b) La recta tangente es vertical y su ecuación es x = 0. c) La recta tangente es vertical y su ecuación es x = 0. d) Las derivadas laterales son f +(2) = −1 y f −(2) = 1. No existen ni la derivada ni la recta tangente. e) Las derivadas laterales son f  +(−3) = 1 y f −(−2) = −1 y no existe la recta tangente. 4. No existe la derivada en x = 0; f ( −2) = 1 −

1 2 2

; f (−1) = 1/2; f (1) = 3/2;

f (2) = 1 +

1 2 2

5. $24.00. Significa que el artículo 21 tendrá un costo de $24.00. 6. (a, III), (b, I), (c, IV), (d, III).

252

Unidad 4: La derivada como razón de cambio

1. 2. 3. 4. 5.

c) d) a) c) (a, ii), (b, vii), (c, iv), (d, viii), (e, v)

Unidad

Cálculo de derivadas

Contenido de la unidad 5.1 Reglas de derivación 5.2 La regla de la cadena 5.3 Derivadas, implícita y logarítmica

Introducción a la unidad ¿Te gustaría poder calcular derivadas mediante fórmulas que te simplifiquen el trabajo, sin tener que recurrir cada vez a la definición por límite que estudiaste en el capítulo anterior? Seguramente tu respuesta es sí. En este capítulo, estudiaremos las reglas y fórmulas que existen para determinar derivadas. Es importante que no olvides que todas las derivadas de funciones y = f (x) se pueden hallar mediante el límite que define la derivada geométricamente, es decir, lím

Δx → 0

f ( x + Δx ) − f ( x ) Δx

Sin embargo, los procesos pueden resultar bastante laboriosos y complejos. Para simplificar el trabajo en estos procesos, se han establecido fórmulas para todas las funciones y operaciones básicas. El capítulo se divide en tres secciones. La primera trata sobre las propiedades básicas de la derivada y las reglas para derivar funciones elementales que resultan de la combinación de sumas, restas, multiplicaciones o divisiones de potencias de la variable independiente. En la segunda, se estudia la llamada regla de la cadena que sirve para calcular las derivadas de funciones compuestas (que estudiamos en el primer capítulo). Y por último, en la tercera sección se trata la forma de calcular derivadas de funciones implícitas, es decir, funciones que no están dadas en la forma explícita y = f(x), sino que su estructura es tal que las variables involucradas están “revueltas” (la y no está despejada). ¡Adelante!

254

Unidad 5: Cálculo de derivadas

5.1 Reglas de derivación

…Esta rama moderna de las matemáticas[…] admite la concepción de lo infinitamente pequeño, y así concuerda con la principal condición del movimiento (continuidad absoluta) y por ello corrige el inevitable error que la mente humana no puede evitar cuando se manejan elementos separados del movimiento en lugar de examinar el movimiento continuo. Conde Lev Nikolgevich Tolstoy

El auto deportivo Imagina que perteneces a un equipo de ingenieros que trabajan en la industria automotriz a quienes se les ha asignado el trabajo de investigar cómo cambia el “gasto” (en litros de gasolina por hora) de un automóvil cuando varía su “consumo” (en litros de gasolina por kilómetro) debido a una aceleración brusca. El vehículo que estás estudiando consume un litro de gasolina en una distancia de 12 kilómetros cuando corre a una velocidad de 80 km/h en línea recta. Si el auto acelera aumentando su velocidad a una tasa de 14 km/h cada segundo, entonces el consumo de gasolina sube con una tasa de 0.05 litros por kilómetro cada segundo. ¿A qué tasa en litros por hora se incrementa el “gasto” en estas condiciones cada segundo? Hay distintas formas de obtener la respuesta correcta. En el trabajo en equipo de esta sección lo resolverás usando la regla de derivación de un producto que aprenderás en esta sección.

Introducción En todo trabajo de ingeniería aparecen tasas de cambio, como las mencionadas en el problema del auto deportivo. Esto también es cierto en Economía y en otras ciencias. Las tasas de cambio son derivadas, como las que estuviste calculando en el capítulo anterior. Cuando calculas una derivada, el proceso de obtención del límite puede volverse largo y complicado. De ahí, surge la necesidad de tener métodos para obtener rápidamente las derivadas. Estos métodos son los que vas a estudiar en esta sección; con ellos y con la regla de la cadena, que estudiarás en la siguiente sección, podrás calcular la derivada de cualquier función escrita, en términos de las funciones elementales que ya manejas.

255

5.1: Reglas de derivación

Objetivos Al terminar este capítulo tendrás la capacidad de: a) Aplicar los teoremas sobre derivadas de: función constante, función

xn, una constante por una función, suma y diferencia de funciones, producto y cociente de funciones, funciones trigonométricas y sus inversas, funciones exponenciales, logarítmicas y funciones hiperbólicas. b) Definir la segunda derivada de una función y darle interpretación geométrica. c) Obtener derivadas de orden superior.

Derivadas de polinomios En el capítulo anterior calculaste derivadas mediante límites. Tal vez observaste que al resolver diferentes ejercicios, algunos cálculos se repiten una y otra vez. Esto nos permite establecer reglas de derivación que podemos memorizar para calcular derivadas de manera rápida, sin tener que usar explícitamente los límites. Por ejemplo, si quieres calcular la derivada de la función f(x) = 4, se realiza el siguiente procedimiento: f ( x) = 4 ⇒

f ( x + h) − f ( x ) d 4−4 0 f ( x ) = lím = lím = lím = lím 0 = 0 h→ 0 h→ 0 h h→ 0 h h→ 0 h dx

Si quieres derivar g(x) = 7, el procedimiento es idéntico: g( x ) = 7 ⇒

g( x + h) − g( x ) d 7−7 0 g( x ) = lím = lím = lím = lím 0 = 0 h→ 0 h→ 0 h h→ 0 h h→ 0 h dx

En lugar de hacer una y otra vez el mismo cálculo, cada vez que quieras derivar una constante, estableces como válido un resultado general para cualquier constante c y lo aprendes de memoria: f ( x) = c ⇒

f ( x + h) − f ( x ) 0 d c−c f ( x ) = lím = lím = lím = lím 0 = 0 h→ 0 h→ 0 h h→ 0 h h→ 0 dx h

Así tienes la primera regla de derivación.

Derivada de una función constante. Si c es una constante y f (x) = c, entonces f (x) = 0. En la notación de Leibniz, esta regla se escribe: d (c ) = 0 dx Una constante no cambia, por eso su razón de cambio (o sea, su derivada) es cero.

256

Unidad 5: Cálculo de derivadas

A continuación, verás otras reglas que te permitirán derivar cualquier polinomio. Veamos primero cómo se deriva f(x) = x2:

f ( x) = x 2

⇒

f ( x + h) − f ( x ) d ( x + h)2 − x 2 f ( x ) = lím = lím h→ 0 h→ 0 dx h h

2 xh + h 2 x 2 + 2 xh + h 2 − x 2 (2 x + h)h = lím = lím = lím (2 x + h) = 2 x h→ 0 h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h Ahora, observa el cálculo de la derivada de g(x) = x3: = lím

g( x ) = x 3

⇒

g( x + h) − g( x ) d x 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 − x 3 ( x + h )3 − x 3 g( x ) = lím = lím = lím h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h dx

(

)

3 x 2 + 3 xh + h 2 h 3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 = lím 3 x 2 + 3 xh + h 2 = 3 x 2 = lím = lím h→ 0 h → h→ 0 0 h h

(

)

Una vez más, ambos cálculos son tan parecidos que sugieren la existencia de una regla que los incluya como casos particulares. Ésa es la regla de derivación de xn, cuya demostración puedes ver a continuación, en el caso que n es un entero positivo: f ( x) = x n

⇒

f ( x + h) − f ( x ) d ( x + h)n − x n f ( x ) = lím = lím h→ 0 h→ 0 h h dx

[x = lím

n

+ nx n −1h +

n ( n −1) 2

h→ 0

= lím

nx

h n −1

n( n −1) 2

x

+

n ( n −1) 2

x n − 2 h + L + nxh n − 2 + h n −1 h

+

n ( n −1) 2

h+

(nx = lím

(

= lím nx h→ 0

n −1

h + L + nxh n −1 + h n h

n−2 2

h→ 0

h→ 0

]

x n − 2 h 2 + L + nxh n −1 + h n − x n

h

n −1

x

n−2

h + L + nxh n − 2 + h n −1

)

)

= nx n −1 En la demostración anterior se asumió que n es un entero positivo. Sin embargo, aunque la demostración cae fuera de los alcances de este trabajo, esta regla es válida para cualquier n constante. La regla de derivación queda de la siguiente manera:

Derivada de una función potencia. Si n es una constante y f (x) = xn, entonces f (x) = nxn−1. En la notación de Leibniz, esta regla se escribe: d n x = nx n −1 dx Un caso particular importante de esta regla es cuando n = 1, en este caso nxn−1 = d (1)x0 = 1. Entonces (x) = 1 . dx

( )

257

5.1: Reglas de derivación

Cuando tenemos una constante que multiplica a otra función, obtenemos otra regla de derivación: g( x ) = c ⋅ f ( x ) ⇒

g( x + h) − g( x ) c ⋅ f ( x + h) − c ⋅ f ( x ) d g( x ) = lím = lím h → 0 h → 0 dx h h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤ = lím c ⋅ ⎢ ⎥ h→ 0 h ⎣ ⎦ ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤ = c ⋅ lím ⎢ ⎥ h→ 0 ⎣ h ⎦ d = c⋅ f (x) dx

A continuación puedes ver la regla correspondiente.

Derivada del múltiplo constante de una función. Si c es una constante, f (x) es una función derivable y g(x) = c f (x), entonces g(x) = c f (x). En la notación de Leibniz, esta regla se escribe: d d c f ( x )] = c f (x) [ dx dx Esta regla significa que, si una función se hace c veces “más grande”, entonces su razón de cambio también se hace c veces “más grande”.

Si tienes una función que es la suma de otras dos funciones, entonces: F( x ) = f ( x ) + g( x ) ⇒

F( x + h) − F( x ) d F( x ) = lím h→ 0 dx h f ( x + h) + g( x + h) − [ f ( x ) + g( x )] = lím h→ 0 h f ( x + h) − f ( x ) + g( x + h) − g( x ) = lím h→ 0 h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) g( x + h) − g( x ) ⎤ = lím ⎢ + ⎥ h→ 0 ⎣ h h ⎦

f ( x + h) − f ( x ) g( x + h) − g( x ) + lím h→ 0 h→ 0 h h d d = f (x) + g( x ) dx dx = lím

A continuación puedes ver esta regla de derivación.

258

Unidad 5: Cálculo de derivadas

Derivada de una suma de funciones. Si f(x) y g(x) son funciones derivables y h(x) = f(x) + g(x), entonces h(x) = f (x) + g(x). En la notación de Leibniz, esta regla se escribe: d d d f ( x ) + g( x )] = f (x) + g( x ) [ dx dx dx Es decir, la derivada de una suma es la suma de las derivadas.

En forma similar, la derivada de una resta es la resta de las derivadas.

Derivada de una diferencia de funciones. Si f(x) y g(x) son funciones derivables y h(x) = f(x) − g(x), entonces h(x) = f (x) − g(x). En la notación de Leibniz, esta regla se escribe: d d d f ( x ) − g( x )] = f (x) − g( x ) [ dx dx dx

Ejemplos Ejemplo 1. Deriva y = 10 x 3 + 5 x 4 − 7 x

solución

(

dy d = 10 x 3 + 5 x 4 − 7 x dx dx Aplica la regla de derivación de una suma de funciones:

(

)

)

(

dy d d = 10 x 3 + 5x 4 − 7 x dx dx dx

)

Aplica la regla de derivación de una diferencia de funciones:

(

)

( )

(

dy d d d = 10 x 3 + 5x 4 − 7 x dx dx dx dx

)

Aplica a cada término la derivación de una constante que multiplica a una función:

( )

( )

dy d 3 d 4 d = 10 x +5 x −7 dx dx dx dx

( x)

259

5.1: Reglas de derivación

Reescribe

1

x como x 2 :

( )

( )

1 dy d 3 d 4 d = 10 x +5 x − 7 ⎛ x 2⎞ ⎠ dx dx dx dx ⎝

Aplica a cada término la derivación la función potencia:

[ ] [ ]

dy 1 −1 = 10 3 x 2 + 5 4 x 3 − 7⎡⎢ x 2 ⎤⎥ dx ⎣2 ⎦ Ya está calculada la derivada. Sólo resta hacer un poco de álgebra para simplificar el resultado. La resdy puesta final es dx = 30 x 2 + 20 x 3 − 2 7 x .

Ejemplo 2. x≤3 ⎧ 10 − 2 x Deriva y = ⎨ 2 x − 2 x + 1 x>3 ⎩

solución Para valores de x menores a 3, tenemos que: d d d d (10 − 2 x ) = (10) − (2 x ) = 0 − 2 ( x ) = −2 ⋅ (1) = −2 dx dx dx dx Para valores de x mayores a 3, tenemos que:

(

)

d 2 d 2 d d d x − 2x +1 = ( x ) − (2 x ) + (1) = 2 x − 2 ( x ) + 0 = 2 x − 2 dx dx dx dx dx Para x igual a 3, tenemos que calcular las derivadas laterales f +(3) y f −(3). Recuerda que si ambas derivadas son iguales, entonces su valor corresponde al valor de la derivada en 3; si son diferentes, entonces la derivada no está definida en x = 3. A diferencia de los cálculos del capítulo anterior donde procedimos vía límites, ahora tenemos que:

(

)

d 2 f + (3) = ⎡⎢ x − 2 x + 1 ⎤⎥ = [2 x − 2]x = 3 = 2(3) − 2 = 4 ⎣ dx ⎦ x =3 d f − (3) = ⎡⎢ (10 − 2 x )⎤⎥ = [ −2]x = 3 = −2 ⎣ dx ⎦ x =3 En este caso f +(3) y f −(3) son diferentes, por lo cual la derivada no está definida en x = 3. −2 , x3 ⎩ 2x − 2,

260

Unidad 5: Cálculo de derivadas

Reglas de derivación de productos y cocientes Si tienes una función que es el producto (multiplicación) de dos funciones derivables, entonces: F( x ) = f ( x ) ⋅ g( x ) ⇒ F( x + h) − F( x ) d F( x ) = lím h → 0 dx h f ( x + h) ⋅ g( x + h) − [ f ( x ) ⋅ g( x )] = lím h→ 0 h f ( x + h) ⋅ g( x + h) − f ( x + h) ⋅ g( x ) + f ( x + h) ⋅ g( x ) − [ f ( x ) ⋅ g( x )] = lím h→ 0 h ⎡ f ( x + h) ⋅ g( x + h) − f ( x + h) ⋅ g( x ) f ( x + h) ⋅ g( x ) − [ f ( x ) ⋅ g( x )] ⎤ = lím ⎢ + ⎥ h→ 0 ⎢ h h ⎥⎦ ⎣

f ( x + h) ⋅ g( x ) − [ f ( x ) ⋅ g( x )] f ( x + h) ⋅ g( x + h) − f ( x + h) ⋅ g( x ) + lím h→ 0 h→ 0 h h g( x + h) − g( x ) f ( x + h) − f ( x ) = lím f ( x + h) ⋅ + lím g( x ) ⋅ h→ 0 h→ 0 h h g( x + h) − g( x ) f ( x + h) − f ( x ) = lím f ( x + h) ⋅ lím + lím g( x ) ⋅ lím h→ 0 h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h g( x + h) − g( x ) f ( x + h) − f ( x ) = f ( x ) ⋅ lím + g( x ) ⋅ lím h→ 0 h→ 0 h h d d = f ( x ) ⋅ g( x ) + g( x ) ⋅ f (x) dx dx = lím

A continuación, puedes ver esta regla de derivación. Cabe la aclaración de que se ha hecho uso de la continuidad en el cálculo del límite de f (x  h)

Derivada de una multiplicación de funciones. Si f(x) y g(x) son funciones derivables y F(x) = f(x)  g(x), entonces F(x) es derivable y F(x) = f (x)  g(x) + g(x)  f (x) En la notación de Leibniz, esta regla se escribe: d d d f (x) f ( x ) ⋅ g( x )] = f ( x ) ⋅ g( x ) + g( x ) ⋅ [ dx dx dx Es decir, la primera por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera.

261

5.1: Reglas de derivación

Observa en la regla anterior que, a diferencia de lo que pasó con la suma, la derivada de una multiplicación no se puede obtener multiplicando las derivadas correspondientes. En los ejercicios de esta sección demostrarás la siguiente regla de derivación para la división de funciones:

Derivada de una división de funciones. f (x)

Si f (x) y g(x) son funciones derivables y h( x ) = g( x ) , entonces h( x ) =

g( x ) ⋅ f ( x ) − f ( x ) ⋅ g( x )

[g( x )]2

En la notación de Leibniz, esta regla se escribe: d ⎡ f ( x) ⎤ ⎢ ⎥= dx ⎣ g( x ) ⎦

g( x ) ⋅

d d f ( x ) − f ( x ) ⋅ g( x ) dx dx [g( x )]2

Ejemplos Ejemplo 3. Deriva y =

x2 + 3 usando la regla para derivar divisiones. 2x

solución

(

) (

)

d 2 d 2x ⋅ x + 3 − x 2 + 3 ⋅ (2 x ) d ⎛ x 2 + 3⎞ dx dx = dx ⎜⎝ 2 x ⎟⎠ (2 x ) 2 =

La respuesta es

dy 1 3 = − 2 dx 2 2 x

(

)

2 x ⋅ (2 x + 0 ) − x 2 + 3 ⋅ 2 4x

2

=

4x − 2x − 6 2x2 − 6 = 4x2 4x2

=

2x2 6 1 3 − 2 2 − 2 = 2 2x 4x 4x

2

2

262

Unidad 5: Cálculo de derivadas

Ejemplo 4. Otra vez deriva y =

x2 + 3 usando ahora la regla para derivar un producto de funciones. 2x

solución d ⎛ x 2 + 3 ⎞ d ⎛ x 2 + 3 −1 ⎞ = ⋅x ⎟ dx ⎜⎝ 2 x ⎟⎠ dx ⎜⎝ 2 ⎠ =

x 2 + 3 d −1 d ⎛ x 2 + 3⎞ ⋅ x + x −1 ⋅ ⎜ 2 dx dx ⎝ 2 ⎟⎠

=

x2 + 3 1 d 2 x +3 ⋅ − x −2 + x −1 ⋅ 2 2 dx

=

x2 + 3 ⎛ 1 ⎞ 1 ⋅ − 2 + x −1 ⋅ (2 x ) ⎝ ⎠ 2 2 x

( )

(

)

(

)

3 x2 + 3 x2 − +1 2 +1 = − 2x 2x2 2x2 1 3 1 3 = − − 2 +1 = − 2 2 2x 2 2x =−

La respuesta es la misma que en el ejemplo anterior:

dy 1 3 = − 2 dx 2 2 x

Ejemplo 5. Ahora deriva y =

x2 + 3 sin usar las reglas para derivar multiplicaciones ni divisiones. 2x

solución d ⎛ x 2 + 3⎞ d ⎛ x 2 3 ⎞ d ⎛x 3 ⎞ = + ⎟= + ⎜ ⎟ ⎜ dx ⎝ 2 x ⎠ dx ⎝ 2 x 2 x ⎠ dx ⎝ 2 2 x ⎠ d ⎛ x⎞ d ⎛ 3 ⎞ 1 d 3 d ⎛ 1⎞ + = x) + ( dx ⎝ 2 ⎠ dx ⎝ 2 x ⎠ 2 dx 2 dx ⎝ x ⎠ 1 3 d −1 1 3 1 3 = + x = + − x −2 = − 2 2 2 dx 2 2 2 2x

=

( )

(

)

Este ejemplo pudo ser resuelto de tres maneras distintas. La respuesta es la misma que en los dos ejemdy 1 3 plos anteriores: = − dx 2 2 x 2

263

5.1: Reglas de derivación

Reglas de derivación de funciones trigonométricas y sus inversas En este apartado utilizaremos dos límites estudiados en los capítulos 3 y 4. El primero sen(h) cos(h) − 1 = 1; también requerimos la identidad = 0 y el segundo es lím es lím h→ 0 h→ 0 h h sen(a + b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b). Hallamos ahora la derivada de la función sen(x): sen( x + h) − sen( x ) d sen( x ) = lím h→ 0 dx h sen( x ) cos(h)`+ cos( x ) sen(h) − sen( x ) = lím h→ 0 h sen( x )(cos(h) − 1)`+ cos( x ) sen(h) = lím h→ 0 h sen( x )(cos(h) − 1)` cos( x ) sen(h) = lím + lím h→ 0 h→ 0 h h (cos(h) − 1)` + cos( x ) lím sen(h) = sen( x ) lím h→ 0 h→ 0 h h = sen( x ) ⋅ 0 + cos( x ) ⋅ 1 = cos( x ) Es decir, la derivada de la función seno es la función coseno. De forma similar, se puede mostrar cuál es la derivada de la función coseno, y utilizando esas dos reglas junto con las reglas de derivación de multiplicaciones y divisiones, se pueden mostrar las reglas de derivación de las otras funciones trigonométricas que se muestran en la siguiente tabla.

Derivadas de funciones trigonométricas. d sen( x ) = cos( x ) dx d cos( x ) = − sen( x ) dx d tan( x ) = sec 2 ( x ) dx

Ejemplos Ejemplo 6. Deriva y = sen(x)cos(x) + 3tan(x).

d csc( x ) = − csc ( x ) ⋅ cot ( x ) dx d sec ( x ) = sec ( x ) ⋅ tan( x ) dx d cot ( x ) = − csc 2 ( x ) dx

264

Unidad 5: Cálculo de derivadas

solución d d d sen( x ) cos( x ) + 3 tan( x )) = sen( x ) cos( x )) + 3 ( tan( x )) ( ( dx dx dx d d = sen( x ) cos( x ) + cos( x ) sen( x ) + 3 sec 2 ( x ) dx dx = − sen( x ) sen( x ) + cos( x ) cos( x ) + 3 sec 2 ( x ) = cos 2 ( x ) − sen 2 ( x ) + 3 sec 2 ( x ) La respuesta es

dy = cos 2 ( x ) − sen 2 ( x ) + 3 sec 2 ( x ) dx

Reglas de derivación de otras funciones A continuación, se muestran otras reglas de derivación que no demostraremos, pero que sí serán utilizadas en el resto de este libro y en aplicaciones en ingeniería.

Derivadas de funciones trigonométricas inversas. d 1 arcsen( x ) = dx 1− x2 d 1 arccos( x ) = − dx 1− x2 d 1 arctan( x ) = dx 1+ x2

d 1 arccsc( x ) = − dx x x2 −1 d 1 arcsec ( x ) = dx x x2 −1 d 1 arccot( x ) = − dx 1+ x2

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. d 1 ln( x ) = ; dx x

d x (e ) = e x ; dx

d x ( a ) = a x ln( a) dx

Derivadas de funciones hiperbólicas. d senh( x ) = cosh( x ) dx

d cosh( x ) = senh( x ) dx

d tanh( x ) = sech 2 ( x ) dx

Observa que la derivada del coseno hiperbólico es positiva, mientras que, la derivada del coseno trigonométrico del apartado anterior es negativa.

265

5.1: Reglas de derivación

Ejemplos Ejemplo 7. Deriva y = 6ex cosh(x) + 3 arctan(x) + ln(2x)

solución Para poder derivar ln(2x), aprovecharemos la regla del logaritmo de un producto ln(AB) = ln(A) + ln(B), de esta manera ln(2x) = ln(2) + ln(x) = 0.693147 + ln(x): d 6e x cosh( x ) + 3 arctan( x ) + ln(2 x ) dx d = 6e x cosh( x ) + 3 arctan( x ) + ln(2) + ln( x ) dx d = 6e x cosh( x ) + 3 arctan( x ) + 0.693147 + ln( x ) dx d x d d d e cosh( x ) + 3 (arctan( x )) + (0.693147) + (ln( x )) =6 dx dx dx dx 1 1 d d ⎡ ⎤ = 6 ⎢e x (cosh( x )) + cosh( x ) dx e x ⎥ + 3 1 + x 2 + 0 + x ⎣ dx ⎦ 3 1 = 6 e x senh( x ) + e x cosh( x ) + 2 + x 1+ x

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

[

La respuesta es

]

[

]

dy 3 1 = 6 e x senh( x ) + e x cosh( x ) + 2 + dx x 1+ x

Derivadas de segundo orden y de orden superior La derivada dydx también es llamada la primera derivada de y respecto a x. A su vez, la derivada de la derivada de y es llamada la segunda derivada de y respecto a x. y =

d ⎛ d ⎞ d2y y = dx ⎝ dx ⎠ dx 2

La tercera derivada de y respecto a x es y =

d ⎛ d ⎛ d ⎞⎞ d3y y ⎟= ⎜ dx ⎝ dx ⎝ dx ⎠ ⎠ dx 3

En general, la derivada “enésima” es y(n) =

d n y d ⎛ d n −1 y ⎞ = ⎜ ⎟ dx n dx ⎝ dx n −1 ⎠

Observa que se escribe (n), entre paréntesis, para indicar que no se trata de un exponente; es la aplicación de la derivada n veces.

266

Unidad 5: Cálculo de derivadas

Ejemplos Ejemplo 8. Calcula y, y, y para y = 3x + x3.

solución

(

)

y =

d x d x d 3 + x3 = (3 ) + ( x 3 ) = 3 x ln(3) + 3 x 2 dx dx dx

y =

d d d x 3 ln(3) + 3 x 2 = ln(3) ⋅ (3 x ) + 3 ⋅ ( x 2 ) = ln(3) ⋅ 3 x ln(3) + 6 x = 3 x ln 2 (3) + 6 x dx dx dx

y =

d d d x 2 3 ln (3) + 6 x = ln 2 (3) ⋅ (3 x ) + 6 ⋅ ( x ) = ln 2 (3) ⋅ 3 x ln(3) + 6 = 3 x ln 3 (3) + 6 dx dx dx

(

)

(

)

La primera derivada es y = 3x ln(3) + 3x2, la segunda derivada es y = 3x ln2(3) + 6x, la tercera derivada es y = 3x ln3(3) + 6.

Calcula la derivada de las siguientes funciones. 1. y = ex(1 + x2)

7. y = | x |

2. y = ex(1 + x4)

⎧ x 2 + 8 x + 16 x ≤ −2 ⎪ 2 x −2 < x < 2 8. y = ⎨ ⎪− x 2 + 8 x − 8 x≥2 ⎩

3. y = (1 + x2)cos(x) 4. y =

sen( x ) x + ex

x + ex 5. y = sen( x ) 6. y = (x + e )arctan(x) x

1 ⎧ ⎪ 1 + x2 9. y = ⎨ 113 104 ⎪ − x + x2 25 ⎩ 25

x≤2 x>2

10. Para resolver correctamente este ejercicio, toma en cuenta que ex es una función, pero eπ es sólo un nú⎧1 + sen( x ) x < π ⎪ mero, es decir, una constante. Deriva y = ⎨ eπ x ≥π ⎪⎩ e x

267

5.1: Reglas de derivación

Problemas para trabajar en equipo

“El auto deportivo”

a) Con tu equipo, responde el problema inicial de esta sección: b) Lean otra vez el enunciado del problema, y con ayuda de las unidades, identifiquen cuáles funciones y derivadas les están proporcionando. c) Identifiquen también qué derivada es la que deben calcular para responder el problema. d) Usen las reglas de derivación que aprendieron en este capítulo para responder el problema. Tomen en cuenta que dichas reglas, además de aplicarse cuando se cuenta con expresiones analíticas, también se pueden aplicar cuando únicamente se conocen los valores numéricos de las funciones.

1. Elige la opción que contiene la derivada de y = cosh(x)  cos(x). dy dy = cos( x ) senh( x ) − cosh( x ) sen( x ) = senh( x ) sen( x ) a) c) dx dx b)

dy = cos( x ) senh( x ) + cosh( x ) sen( x ) dx

2. Elige la opción que contiene la derivada de y = a)

dy ex = dx 1+ ex

b)

dy =1 dx

(

)

2

d)

dy = − senh( x ) sen( x ) dx

ex . 1+ ex c)

dy 1 = dx 2

d)

dy 1− ex = 2 dx 1+ ex

(

)

268

Unidad 5: Cálculo de derivadas

⎧ sen( x ) ⎪ x ⎪ 3. Elige la opción que contiene la derivada de y = ⎨ 1 ⎪ sen( x ) ⎪ ⎩ x ⎧ x cos( x ) − sen( x ) ⎪ x2 dy ⎪ = ⎨ no definida a) dx ⎪ x cos( x ) − sen( x ) ⎪ x2 ⎩

x0

x0

⎧ cos( x ) dy ⎪ = ⎨no definida dx ⎪ ⎩ cos( x )

x0

⎧ x cos( x ) − sen( x ) ⎪ x2 dy ⎪ =⎨ 0 d) dx ⎪ x cos( x ) − sen( x ) ⎪ x2 ⎩

⎧cos( x ) x < 0 dy ⎪ b) =⎨ 1 x=0 dx ⎪ x ⎩cos( ) x > 0

x0

4. Selecciona la opción que proporciona los valores de a y de b para los cuales la siguiente fun⎧a ⋅ x + b x < 3 ción y su derivada son continuas: y = ⎨ 2 x≥3 ⎩ x a) a = 2

b=3

b) a = 6

b = −9

8 b =1 3 d) a = 0 b = 9

c) a =

5. Elige la opción que contiene la derivada de y = dy = −2e − x cos( x ) dx dy b) = −2e − x sen( x ) dx a)

1 (cos( x ) + sen( x )) en su forma simplificada. ex dy c) = e − x ( − sen( x ) + cos( x )) dx dy d) = − e − x ( − sen( x ) + cos( x )) dx

1 6. Elige la opción que contiene la derivada de y = x e dy a) c) = 2e − x cos( x ) sen( x ) dx dy b) d) = e − x sen( x ) cos( x ) dx

⋅ cos( x ) ⋅ sen( x ) en su forma simplificada.

(

7. Determina la opción que contiene la derivada de y =

a)

(

)(

) (

)

dy = e − x cos 2 ( x ) − cos( x ) sen( x ) − sen 2 ( x ) dx dy = − e − x ( − sen( x ) + cos( x )) dx

)(

x 2 + tan( x ) . x 2 + cot( x )

)

x 2 + cot( x ) 2 x + sec 2 ( x ) − 2 x − csc 2 ( x ) x 2 + tan( x ) dy = 2 dx x 2 + cot( x )

(

)

269

5.1: Reglas de derivación

( ) ( ) dy (2 x + sec ( x )) − (2 x − csc ( x )) c) = dx ( x + cot( x )) dy (2 x − csc ( x ))( x + tan( x )) d) = dx ( x + cot( x )) b)

2 x + sec 2 ( x ) dy = dx 2 x − csc 2 ( x ) 2

2

2

2

2

2

2

2

8. Determina la opción que contiene la derivada de y = ex(1 − x2)sen(x).

(

)

a)

dy = e x 1 − x 2 cos( x ) − 2 xe x sen( x ) dx

b)

dy = 2 xe x cos( x ) dx

c)

dy = (1 − 2 x )e x cos( x ) dx

d)

dy = e x 1 − x 2 cos( x ) − 2 xe x sen( x ) + e x 1 − x 2 sen( x ) dx

(

)

(

)

9. Determina la opción que contiene la derivada de y = x(ln(x)−1) en su forma simplificada. a)

dy = ln( x ) dx

c)

dy =1 dx

b)

dy = x ln( x ) dx

d)

dy = ( x − 1) ln( x ) dx

10. Reescribe y =  x2 − 4  como una función seccionada, y escoge la opción que proporciona su derivada. 2x x < -2 ⎧ ⎪no definida x = −2 dy ⎪⎪ −2 < x < 2 a) dx = ⎨ −2 x ⎪no definida x=2 ⎪ ⎪⎩ 2x x>2

b)

dy ⎧−2 x =⎨ dx ⎩ 2 x

x2

270

Unidad 5: Cálculo de derivadas

Respuestas a los Ejercicios y problemas

( (

)

dy = e x x 2 + 2 x + 1 = e x ( x + 1)2 dx dy 2. = ex x4 + 4x3 + 1 dx dy 3. = 2 x cos( x ) − 1 + x 2 sen( x ) dx 1.

)

(

(

)

(

)

)

(

)

4.

x + e x cos( x ) − 1 + e x sen( x ) dy = 2 dx x + ex

5.

dy = 1 + e x csc( x ) − x + e x cot( x ) csc( x ) dx

(

)

(

)

dy x + e x 6. = + 1 + e x arctan( x ) dx x 2 + 1

(

−1 ⎧ dy ⎪ 7. = ⎨no definida dx ⎪ 1 ⎩

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

a) a) d) b) b) c) a) d) a) a)

)

x0

x < −2 ⎧ 2x + 8 ⎪no definida x = −2 dy ⎪⎪ 2x −2 < x < 2 8. dx = ⎨ ⎪ 4 x=2 ⎪ ⎪⎩ 8 − 2 x x>2 ⎧ −2 x 2 ⎪ 2 ⎪ x +1 4 dy ⎪ =⎨ − 25 9. dx ⎪ ⎪ 2 x − 104 25 ⎪ ⎩

(

)

x2

⎧ ⎪cos( x ) x < π dy ⎪ x =π = ⎨ −1 10. dx ⎪ eπ x >π ⎪⎩ − e x

5.2: La regla de la cadena

271

5.2 La regla de la cadena

La Mecánica es el paraíso de las ciencias matemáticas, mediante ella uno llega a sus frutos. Leonardo da Vinci

Construcción de un plotter con piezas de LegoMR

FIGURA 1. A la izquierda, plotter construido con piezas de LegoMR por estudiantes de la Vrije Universiteit Brussel, en el 2004. Puedes encontrar más información sobre este plotter en http://student.vub.ac.be/~tdescham/plotter/. A la derecha, la pluma del plotter se encuentra en las coordenadas (x, y), las cuales se miden en centímetros desde una esquina del papel.

Imagina que formas parte de un equipo de estudiantes de ingeniería que va a construir un plotter con piezas de LegoMR, como el que se muestra en la figura 1. Se requiere que el plotter sea capaz de dibujar, en un solo movimiento, la curva y = 12 + 10 cos(x), donde tanto x como y están en centímetros, y la función coseno se evalúa en radianes. Parte del diseño (motores, engranes y otros componentes) ya está definido. Con este diseño, el movimiento en x no se puede modificar y viene dado por x = t3 − 0.152t4, donde x está dada en centímetros y t va desde 0 hasta 4.93 segundos. Para el movimiento en y, tienen que escoger entre dos diseños: el más barato da una componente en y de la velocidad, que varía desde −100 hasta + 100 cm/seg; mientras que el diseño caro, puede dar desde −120 hasta + 120 cm/seg. ¿Es posible utilizar el diseño barato para dibujar la curva en un solo movimiento?

272

Unidad 5: Cálculo de derivadas

Introducción En la sección anterior, aprendiste a derivar funciones como f(x) = x2 y g(x) = cos(x). Ahora, vas a aprender la regla de la cadena, que sirve para derivar una función que es una composición de otras funciones, por ejemplo h(x) = g(f(x)) = cos(x2). En el primer apartado de esta sección, verás cómo surge en forma natural esta regla al analizar el plotter del problema introductorio de esta sección. En el segundo apartado, encontrarás su definición precisa y la forma práctica de aplicarla. Finalmente, en el tercer apartado, verás cómo su aplicación repetida crea una cadena de multiplicaciones. Los apartados y ejemplos de esta sección están diseñados para que, al estudiarlos poco a poco y en orden, vayas adquiriendo una intuición de porqué y cómo funciona la regla de la cadena.

Objetivos Al terminar esta sección tendrás la capacidad de: a) Enunciar el teorema de la regla de la cadena. b) Explicar con argumentos geométricos por qué funciona la regla de la

cadena. c) Aplicar la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.

La regla de la cadena El objetivo de este primer apartado es que tú descubras la regla de la cadena. Para lograrlo, analizarás el plotter de LegoMR del problema inicial de esta sección. Se presentan dos casos: en el primero, el plotter dibuja una recta a velocidad constante; mientras que en el segundo, dibuja una curva a velocidad variable. Podrás apreciar cómo funciona la regla de la cadena cuando compares ambos casos. Después, en los ejemplos de este apartado, verás que puedes aplicar esta regla a diferentes cálculos, incluso cuando no involucren la solución de un problema similar al del plotter. Caso 1: El plotter se mueve horizontalmente a velocidad constante y dibuja una línea recta. En este primer caso, analizarás una versión simplificada del problema inicial de esta sección. Imagina: la pluma del plotter tiene un movimiento en x dado por x = 5t, con x en centímetros y t en segundos, y se va a dibujar la recta y = 23 x , donde tanto x como y están en centímetros (figura 2). A continuación, verás cómo se obtiene la componente vertical de la velocidad de la pluma en estas condiciones.

273

5.2: La regla de la cadena

FIGURA 2. El plotter dibuja la recta y = (2/3)x con movimiento horizontal dado por x = 5t.

En este problema, tanto x como y se miden en centímetros, pero es conveniente indicar que x se mide en “centímetros horizontales” y que y se mide en “centímetros verticales”. En la tabla 1 se muestran algunos valores de la posición horizontal x = 5t.

Tabla 1 Algunos valores de la posición horizontal x para el plotter en el primer caso.

t segundos 0 1 2 3 4

t horizontales 0 5 10 15 20

Observa en la tabla 1 que, el valor de x se incrementa 5 centímetros cada vez que t se incrementa un segundo, es decir, la componente horizontal de la velocidad es cm horizontales =5 vx cm horizontales segundo segundo Por otro lado, recuerda que se va dibujar la recta y = 23 x . La pendiente de esta recta indica cuántos “centímetros verticales” se avanza por cada “centímetro horizontal”. Al escribir la recta y = 23 x de la forma y = mx + b = 23 x + 0, puedes ver que la pendiente es verticales 2 cm verticales = m cmcmhorizontales 3 cm horizontales Las unidades de la pendiente m y de la componente horizontal de la velocidad vx indican que si las multiplicamos, obtenemos cuántos centímetros verticales avanza la pluma por cada segundo, es decir, obtenemos la componente vertical de la velocidad:

274

Unidad 5: Cálculo de derivadas

verticales ⎤ ⎡ cm verticales ⎤ ⎡ cm horizontales ⎤ vy cmsegundo ⎥ = ⎢m cm horizontales ⎥ × ⎢vx ⎥ segundo

⎡ ⎢ ⎣

⎦

⎣

⎦ ⎣

⎦

verticales ⎤ ⎡ 2 cm verticales ⎤ ⎡ cm horizontales ⎤ vy cmsegundo ⎥ = ⎢ 3 cm horizontales ⎥ × ⎢5 ⎥ segundo

⎡ ⎢ ⎣

⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎦

⎣

⎦ ⎣

⎦

verticales ⎤ 10 cm verticales vy cmsegundo ⎥= 3 segundo

El valor obtenido de vy indica que el valor de y se incrementa 103 centímetros verticales cada segundo, como se ve en la figura 2. También, se puede decir que la variable y se incrementa 10 centímetros verticales cada 3 segundos. Si estos datos fueran los del problema inicial de esta sección, entonces bastaría con el diseño barato, ya que este puede dar hasta 100 centímetros verticales por cada segundo. Pero lo más importante de este primer cálculo es que veas el papel que jugaron las unidades, ya que al utilizarlas en una forma similar en el siguiente caso, surgirá la regla de la cadena. Caso 2: El plotter se mueve horizontalmente con velocidad variable y dibuja una curva Ahora, usarás los datos del problema al inicio de esta sección. Es decir, el plotter tiene un movimiento en x dado por x = t3 − 0.152t4, con x en centímetros y t en segundos; y se dibuja la curva y = 12 + 10 cos(x), donde tanto x como y, están en centímetros y la función coseno se evalúa en radianes (figura 3). A continuación, verás cómo se obtiene la componente vertical de la velocidad de la pluma en este caso. Durante este cálculo surgirá en forma natural la regla de la cadena, el método para derivar una composición de funciones.

FIGURA 3. El plotter dibuja la curva y = 12 + 10cos(x) con movimiento horizontal dado por x = t3−0.152t4.

La componente horizontal de la velocidad era constante en el caso anterior, por eso pudiste obtenerla de una tabla. En este caso es variable, y por ello, debe calcularse derivando x respecto a t: dx cm horizontales = . vx cm horizontales segundo dt segundo De forma similar, la componente vertical de la velocidad que estamos buscando es la derivada de y respecto a t: verticales dy cm verticales = . vy cmsegundo dt segundo

275

5.2: La regla de la cadena

En el caso anterior se dibujó una recta y pudiste utilizar su pendiente, la cual indica cuántos centímetros verticales se avanza por cada centímetro horizontal. Ahora que se quiere dibujar una curva, tienes que utilizar la pendiente de la recta tangente a esa curva, es decir, la derivada de y respecto a x: verticales dy cm verticales mtangente cmcmhorizontales = . dx cm horizontales Como en el caso anterior, las unidades indican que vy se obtiene multiplicando vx y mtangente: verticales ⎤ ⎡ cm verticales ⎤ ⎡ cm horizontales ⎤ vy cmsegundo ⎥. ⎥ = ⎢mtangente cm horizontales ⎥ × ⎢vx segundo

⎡ ⎢ ⎣

⎦

⎦ ⎣

⎣

⎦

Reemplaza vy, mtangente y vx por las derivadas correspondientes: ⎡ dy cm verticales ⎤ ⎡ dy cm verticales ⎤ ⎡ dx cm horizontales ⎤ ⎥. ⎢ dt segundo ⎥ = ⎢ dx cm horizontales ⎥ × ⎢ dt segundo ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ Sustituye la expresión y = 12 + 10cos(x) y calcula la derivada respecto a la variable x: ⎡d cm verticales ⎤ ⎡ d cm verticales ⎤ ⎡ dx cm horizontales ⎤ ⎥ ⎢ dt (12 + 10 cos( x )) segundo ⎥ = ⎢ dx (12 + 10 cos( x )) cm horizontales ⎥ × ⎢ dt segundo ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎡d cm verticales ⎤ ⎡ cm verticales ⎤ ⎡ dx cm horizontales ⎤ ⎥. ⎢ dt (12 + 10 cos( x )) segundo ⎥ = ⎢−10 sen( x ) cm horizontales ⎥ × ⎢ dt segundo ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ Ahora sustituye la expresión x = t3 − 0.152t4:

(

(

d 12 + 10 cos t 3 − 0.152t 4 dt

)) = [−10 sen(t

3

)]

(

)

d 3 t − 0.152t 4 ⎤⎥. − 0.152t 4 ⋅ ⎡⎢ ⎣ dt ⎦

Finalmente, calcula la derivada respecto al tiempo t y simplifica:

(

(

)) = [−10 sen(t

(

(

)) = (6.08t

d 12 + 10 cos t 3 − 0.152t 4 dt d 12 + 10 cos t 3 − 0.152t 4 dt

3

3

)] [

− 0.152t 4 ⋅ 3t 2 − 0.608t 3

)

(

]

)

− 30t 2 ⋅ sen t 3 − 0.152t 4 ,

es decir, vy = (6.08t3 − 30t2) ⋅ sen(t3 − 0.152t4) centímetros verticales por segundo. Más adelante, en el trabajo de equipo, utilizarás este resultado para responder el problema planteado al inicio de esta sección, pero ahora lo más importante es que observes que en el procedimiento anterior surgió la siguiente relación: dy dy dx = ⋅ . dt dx dt

276

Unidad 5: Cálculo de derivadas

Esta relación es general, funciona en otros problemas y ejercicios, aunque no se refieran a un movimiento como el del plotter, y se llama regla de la cadena. De esa manera, si debes calcular la siguiente derivada,

(

))

(

d 12 + 10 cos t 3 − 0.152t 4 , dt entonces haya o no haya plotter, la respuesta es la siguiente:

(

)) [ ( )] ( = (6.08t − 30t ) ⋅ sen(t − 0.152t )

(

)

d d 12 + 10 cos t 3 − 0.152t 4 = −10 sen t 3 − 0.152t 4 ⋅ ⎡⎢ t 3 − 0.152t 4 ⎤⎥ dt ⎣ dt ⎦ 3

2

3

4

En la sección anterior aprendiste cómo derivar funciones sencillas como cos(t). Ahora, has visto cómo se obtiene la derivada de la función cos(t3 − 0.152t4), la cual es una composición de la función y = cos(x) con la función x = t3 − 0.152t4. De forma similar, puedes calcular la derivada de cualquier otra función que sea la composición de funciones derivables, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplos Ejemplo 1. Obtén dy/dt, si sabes que y = x y que x = 1 + t2.

solución Como en el segundo caso del plotter descrito más arriba, puedes imaginarte que y = x es una curva que se quiere dibujar, y que x = 1 + t2 da la componente horizontal de la posición de la pluma del plotter, y que dy/dt es la componente vertical de la velocidad. Entonces, ⎡ dy cm verticales ⎤ ⎡ dy cm verticales ⎤ ⎡ dx cm horizontales ⎤ ⎢ dt segundo ⎥ = ⎢ dx cm horizontales ⎥ × ⎢ dt ⎥. segundo ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ Quita las unidades y nos queda la regla de la cadena: dy dy dx = ⋅ . dt dx dt Sustituye y = x y calcula la derivada respecto a la variable x d dt

d x =⎛ ⎝ dx

dx x⎞ ⋅ ⎠ dt

d dt

⎛ 1 ⎞ dx x =⎜ ⎟⋅ . ⎝ 2 x ⎠ dt

277

5.2: La regla de la cadena

Sustituye x = 1 + t2

(

)

d 1 d 1 + t2 = 1 + t2 . ⋅ 2 dt 2 1 + t dt Calcula la derivada respecto a la variable t y simplifica d 1 1 + t2 = ⋅ 2t dt 2 1 + t2 d t 1 + t2 = . dt 1 + t2 La respuesta es

dy t = . dt 1 + t2

Ejemplo 2. Obtén dy/dt, si sabes que y = 1/x y que x = t4 + sen(t).

solución Otra vez usarás la regla de la cadena: dy dy dx = ⋅ . dt dx dt Sustituye y = 1/x y calcula la derivada respecto a la variable x. d ⎛ 1 ⎞ ⎛ d ⎛ 1 ⎞ ⎞ dx =⎜ ⎟⋅ dt ⎝ x ⎠ ⎝ dx ⎝ x ⎠ ⎠ dt d ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ dx = − ⋅ dt ⎝ x ⎠ ⎝ x 2 ⎠ dt Ahora, sustituye x = t4 + sen(t): ⎛ ⎞ d ⎛ 1 1 ⎜− = ⎟ ⎜ 4 4 dt ⎝ t + sen(t ) ⎠ ⎜ t + sen(t ) ⎝

(

)

⎞ d 4 ⎟ t + sen(t ) . 2 ⋅ ⎟ dt ⎠

(

)

Calcula la derivada respecto a la variable t y simplifica: ⎛ ⎞ d ⎛ 1 1 ⎜− = ⎟ ⎜ 4 dt ⎝ t + sen(t ) ⎠ ⎜ t 4 + sen(t ) ⎝

(

)

⎞ 3 ⎟ 2 ⋅ 4t + cos(t ) ⎟ ⎠

⎞ 4t 3 + cos(t ) d ⎛ 1 = − 2 . dt ⎜⎝ t 4 + sen(t ) ⎟⎠ t 4 + sen(t )

(

)

(

)

278

Unidad 5: Cálculo de derivadas

La respuesta es

4t 3 + cos(t ) dy =− 2 . dt t 4 + sen(t )

(

)

Ejemplo 3. Obtén dy/dt, si sabes que y = sen(t3).

solución Para derivar y = sen(t3), puedes utilizar el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores si identificas x = t3. Entonces: dy dy dx = ⋅ dt dx dt d d dx sen( x ) = sen( x ) ⋅ dt dx dt d dx sen( x ) = cos( x ) ⋅ dt dt

( ) ( ( )) ( )

d d 3 sen t 3 = cos t 3 ⋅ t dt dt

( ) ( ( ))

d sen t 3 = cos t 3 ⋅ 3t 2 dt La respuesta es

( )

dy = 3t 2 cos t 3 . dt

Ejemplo 4. Obtén dy/dt, si sabes que y = sen3(t).

solución Ahora que tienes y = sen3(t) = (sen(t))3, puedes usar el mismo procedimiento de los ejemplos anteriores si identificas x = sen(t). Entonces, dy dy dx = ⋅ dt dx dt d 3 d 3 dx x = x ⋅ dt dx dt

279

5.2: La regla de la cadena

d 3 dx x = 3x 2 ⋅ dt dt d 2 d sen 3 (t ) = 3(sen(t )) sen(t ) dt dt d 2 sen 3 (t ) = 3(sen(t )) cos(t ) dt dy = 3 sen 2 (t ) ⋅ cos(t ) . Es importante que compares y entiendas las diferencias entre este dt ejemplo, donde se derivó sen3(t), y el ejemplo anterior, en el cual se derivó sen(t3). La respuesta es

Ejemplo 5. Obtén dr/dz, si sabes que r = (z2 − z3)17.

solución Aplicando la regla de la cadena, obtenemos al considerar x  z2  z3. dr dr dx = ⋅ dz dx dz d 17 d 17 dx x = x ⋅ dz dx dz d 17 dx x = 17 x 16 ⋅ dz dz

(

)

= 17 z 2 − z 3

(

)

= 17 z 2 − z 3

d 2 z − z3 dz d 2 z − z3 dz La respuesta es

(

dr = 17 z 2 − z 3 dz

17

17

(

)

(

) ⋅ ( 2 z − 3z )

16

16

⋅

(

d 2 z − z3 dz

)

2

) (2z − 3z ). 16

2

Definición de la regla de la cadena En el apartado anterior se utilizó el movimiento de un plotter para darte una idea intuitiva del funcionamiento de la regla de la cadena. Sin embargo, como se ilustró en aquellos ejemplos, esta regla funciona siempre que queramos derivar una función compuesta, aún en ejercicios que no tengan nada que ver con un plotter. En este segundo apartado, verás

280

Unidad 5: Cálculo de derivadas

la definición precisa de la regla de la cadena, así como un esquema que permite aplicarla fácilmente en la solución de ejercicios. Veremos la regla de la cadena expresada en dos notaciones distintas. El uso de estas dos notaciones tiene orígenes históricos. El cálculo diferencial que estudias en este libro fue inventado a fines del siglo XVII, principios del siglo XVIII, por Isaac Newton en Inglaterra, y Gottfried Leibniz en Alemania. Estos dos grandes científicos eran rivales y hubo grandes discusiones entre ellos y entre sus respectivos seguidores acerca de cuál de los dos había sido el primero en inventar el Cálculo. Actualmente, se reconoce a ambos como padres del cálculo diferencial, pero hubo algo en lo cual Leibniz decididamente triunfó sobre Newton: en el uso de una notación adecuada y útil que permitió que todavía después de la muerte de ambos científicos, las investigaciones sobre el cálculo diferencial avanzaran más en Europa continental que lo que avanzaron en Inglaterra. A continuación, puedes ver cómo se escribe la regla de la cadena en la notación de Leibniz.

Regla de la cadena en notación de Leibniz. Si y es una función derivable de x, y además x es una función derivable de t, entonces, dy dy dx = ⋅ . dt dx dt

En la siguiente sección, verás que la notación de Leibniz de la regla de la cadena es útil en un procedimiento llamado derivación implícita. También, es útil en otras técnicas avanzadas que quedan fuera del alcance de este libro, por ejemplo, en algunos métodos de solución de ecuaciones diferenciales. Respecto al siguiente resultado, toma en cuenta que ambas notaciones representan la misma regla.

Regla de la cadena en notación de composición de funciones. Si y = f(x) y x = g(t) son ambas funciones derivables, entonces su composición y = f(g(t)) es una función derivable y su derivada viene dada por d d f ( g(t )) = f ′( g(t )) ⋅ g(t ). dt dt

Esta última notación muestra que, al usar la regla de la cadena, trabajamos el proceso de derivación de afuera hacia adentro: primero, se deriva la función exterior (evaluada en la función interior) y luego, se multiplica por la derivada de la función interior. d dt

{f

función exterior

(t )) (1g2 3

evaluada en la función interior

=

f′ {

derivada de la función exterior

(t )) (1g2 3

evaluada en la función interior

⋅

d g(t ) dt23 1

derivada de la función interior

281

5.2: La regla de la cadena

En los siguientes ejemplos podrás apreciar la aplicación de este esquema para obtener rápidamente las derivadas de funciones compuestas.

Ejemplos Ejemplo 6. Utiliza la notación de composición de funciones para obtener rápidamente dy/dt, si sabes que y = sen(t3).

solución Aquí puedes ver el esquema aplicado a la derivación de sen(t3).

( )

d d sen t 3 = dt dt

función exterior

t ) ({ 3

sen {

evaluada en la función interior

=

t ) ({ 3

cos {

derivada de la función exterior

evaluada en la función interior

⋅

t2 3{

derivada de la función interior

( )

= 3t 2 cos t 3

Como puedes ver, todo el procedimiento quedó en una sola línea, y obtuvimos el mismo resultado que en dy = 3t 2 cos t 3 . el Ejemplo 3 del apartado anterior. La respuesta es dt

( )

Ejemplo 7. Utiliza la notación de composición de funciones para obtener rápidamente dy/dt, si sabes que y = sen3(t).

solución Aquí puedes ver el esquema aplicado a la derivación de sen3(t). "elevar al cubo" es la función exterior

d d d 3 sen 3 (t ) = (sen(t )) = dt dt dt

derivada de la función exterior

64748 64748 3 2 sen t sen(t )) ⋅ cos(t ) = 3 sen 2 (t ) ⋅ cos(t ) = 3 ( )) (123 (123 123 4 4

evaluada en la función interior

evaluada en la función interior

derivada de la función interior

Como puedes ver, todo el procedimiento quedó en una sola línea, y obtuvimos el mismo resultado dy = 3 sen 2 (t ) ⋅ cos(t ) . que en el Ejemplo 4 del apartado anterior. La respuesta es dt

Ejemplo 8. Utiliza la notación de composición de funciones para obtener rápidamente dz/dx, si sabes que z = ln(x7 sen(x)).

282

Unidad 5: Cálculo de derivadas

solución Aquí puedes ver el esquema aplicado a la derivación de ln(x7 sen(x)). Observa que al derivar la función interior, tiene que aplicarse la regla para derivar multiplicaciones. derivada de la función exterior

(

)

d d ln x 7 sen( x ) = dx dx

La respuesta es

6474 8 1 x sen( x ) = 14243 x 7 sen( x ) 1424 3 evaluada

(

ln {

función exterior

7

en la función interior

)

⋅

)

derivada de la función interior

evaluada en la función interior

(

(

d 7 x sen( x ) dx44244 1 3

)

=

1 1 ⋅ x 7 cos( x ) + 7 x 6 sen( x ) = 7 ⋅ x 6 ( x cos( x ) + 7 sen( x )) x sen( x ) x sen( x )

=

x cos( x ) + 7 sen( x ) x sen( x )

7

dz x cos( x ) + 7 sen( x ) = . dx x sen( x )

La cadena de multiplicaciones La regla de la cadena se llama así porque cuando se aplica a una composición de tres o más funciones, se genera una cadena de multiplicaciones. Por ejemplo, si y es función de u, u es función de x, y finalmente x es función de t, entonces con la notación de Leibniz, la regla de la cadena genera una cadena de tres multiplicaciones. dy dy du dx = ⋅ ⋅ dt du dx dt También puedes ver la cadena de multiplicaciones en la notación de composición de funciones. Por ejemplo, al derivar f(g(h(t))), tienes que aplicar la regla de la cadena dos veces, y obtienes

(

)

(

)

(

)

(

)

d d d f g(h(t )) = f ′ g(h(t )) ⋅ g(h(t )) = f ′ g(h(t )) ⋅ g ′(h(t )) ⋅ h(t ) = f ′ g(h(t )) ⋅ g ′(h(t )) ⋅ h ′(t ) dt dt dt 144424443 1442443 primera aplicación de la regla de la cadena

segunda aplicación de la regla de la cadena

Podrás apreciar mejor la cadena de multiplicaciones en los siguientes ejemplos.

283

5.2: La regla de la cadena

Ejemplos Ejemplo 9. Obtén dy/dt, si sabes que y = sen(t2 − 7t)3.

solución Para derivar a y tienes que aplicar dos veces la regla de la cadena.

(

d sen t 2 − 7t dt

)

3

(

)

(

)

(

) (

)

(

primera aplicación de la regla de la cadena

(

) ( 3

= cos t 2 − 7t ⋅ 3 t 2 − 7t

segunda aplicación de la regla de la cadena

)

2

⋅ (2t − 7)

Como puedes observar, se genera una cadena de tres multiplicaciones. La respuesta es 3 2 dy = cos t 2 − 7t ⋅ 3 t 2 − 7t ⋅ (2t − 7). dt

(

) (

)

Ejemplo 10. Obtén dr/dθ, si sabes que r = ln( tan(θ ))

solución Observa que antes de derivar es conveniente escribir la raíz cuadrada como potencia. d dθ

(

)

1 d ln( tan(θ )) 2 dθ −1 1 d = ln( tan(θ )) 2 ⋅ ln( tan(θ )) 2 dθ −1 1 1 d = ln( tan(θ )) 2 ⋅ ⋅ tan(θ ) 2 tan(θ ) dθ

ln( tan(θ )) =

= =

La respuesta es

)

3 d 3 3 2 d t 2 − 7t = cos t 2 − 7t ⋅ 3 t 2 − 7t ⋅ t 2 − 7t = cos t 2 − 7t ⋅ dt 1444424444 3 1444 42dt 4444 3

(

)

(

)

(

)

1 ln( tan(θ )) 2

(

− 12

sec 2 (θ )

⋅

1 ⋅ sec 2 (θ ) tan(θ )

2 tan(θ ) ln( tan(θ ))

sec 2 (θ ) dr = . dθ 2 tan(θ ) ln( tan(θ ))

)

284

Unidad 5: Cálculo de derivadas

Ejemplo 11. e3x

Obtén dy/dx, si sabes que y =

x2 + 4

.

solución Obtenemos la solución al aplicar la regla para derivar una división, junto con la regla de la cadena, donde sea necesaria. Tenemos que: ⎛ x 2 + 4 ⋅ d e3x ⎞ − ⎛ e3x ⋅ d x 2 + 4 ⎞ ⎠ ⎝ ⎠ d ⎛ e3x ⎞ ⎝ dx dx = 2 dx ⎜⎝ x 2 + 4 ⎟⎠ ⎛ x2 + 4⎞ ⎝ ⎠ =

[

⎛ x 2 + 4 ⋅ e3 x ⋅ d 3x ⎞ − ⎛ e3 x ⋅ 1 x 2 + 4 ( )⎠ ⎜ ⎝ ⎝ dx 2

]

⋅

d 2 ⎞ x +4 ⎟ ⎠ dx

[

]

− 12

[ x + 4] ⎛ x + 4 ⋅ e ⋅ 3⎞ − ⎛⎜ e ⋅ 1 x + 4 [ ] ⋅ 2 x⎞⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 = [ x + 4] ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 3e [ x + 4] ⎟ − ⎜ xe [ x + 4] ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = [ x + 4] ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ = ⎜ 3e [ x + 4] ⎟ − ⎜ xe [ x + 4] ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

)

2

3x

2

3x

− 12

2

2

3x

1

2

3x

2

− 12

2

2

3x

− 12

2

3x

−32

2

e3x

Otra forma de obtener este resultado es escribiendo y =

= e3 x x 2 + 4

−1

2

para utilizar la derix +4 vada de una multiplicación. Observa en qué puntos del cálculo se utiliza la regla de la cadena.

[

d ⎛ 3x 2 ⎜e ⋅ x + 4 dx ⎝

]

[

− 12 ⎞

⎛ 3x d 2 x +4 ⎟ = ⎜e ⋅ ⎠ ⎝ dx

]

⎛ 2 ⎟ +⎜ x +4 ⎠ ⎝

− 12 ⎞

1 ⎛ = ⎜ e3x ⋅ ⎛ − ⎞ x 2 + 4 ⎝ 2⎠ ⎝

]

−32

1 ⎛ = ⎜ e3x ⋅ ⎛ − ⎞ x 2 + 4 ⎝ 2⎠ ⎝

]

−32

[ [

[

⎛ = ⎜ − xe 3 x x 2 + 4 ⎝

]

[

2

−32 ⎞

⋅

]

− 12

⋅

d 3x ⎞ e ⎟ ⎠ dx

d 2 ⎞ ⎛ x + 4 ⎟ + ⎜ x2 + 4 ⎠ ⎝ dx

[

] [

⎞ ⎛ ⋅ 2 x⎟ + ⎜ x 2 + 4 ⎠ ⎝

[

[

⎛ 3x 2 ⎟ + ⎜ 3e x + 4 ⎠ ⎝

]

]

− 12

− 12 ⎞

Por supuesto, éste es el mismo resultado que se había obtenido.

⎟ ⎠

]

− 12

⎞ ⋅ e 3 x ⋅ 3⎟ ⎠

⋅ e3x ⋅

d ⎞ (3x )⎟ ⎠ dx

285

5.2: La regla de la cadena

Obtén la derivada de cada una de las siguientes funciones. 1. y = tan(7x)

6. y = ln(2x + x8)

2. y = tan (7x)

7. y = ln(2x +(6x − 5)8)

3

3. y = (tan (7x) + 5x) 3

4. y = x +

(

8. y = ln(2x + (6tan(x) − 5)8)

4

9. y = ln(2x + (6tan(x2 − x7)−5)8)

1 x

5. y = tan 3 (7 x ) + 5 x

)

4

⋅ x+

1 x

10. y = 30e

x

6

2π ⎞ cos⎛ x ⎝ 3 ⎠

Problemas para trabajar en equipo

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones. “Construcción de un plotter con piezas de LegoMR”

Con tu equipo, vas a responder el problema inicial de esta sección. Para ello, usarás la componente vertical de la velocidad que fue obtenida en el segundo caso del primer apartado. Además, debes volver a leer con cuidado el problema, ya que hay más información importante que debes tomar en cuenta. El objetivo es que averigües si es posible usar el diseño barato para que el plotter dibuje la curva en un solo movimiento. Si no es posible, entonces averigua si el diseño caro sí permite dibujar la curva en un solo movimiento.

FIGURA 4. Plotter construido con piezas de LegoMR.

286

Unidad 5: Cálculo de derivadas

“Movimiento de una grúa torre (tower crane).”

Ahora, con tu equipo, tomarás el papel de un instructor que quiere explicarles a sus estudiantes cómo funciona la regla de la cadena. Para ello, crearás un problema sobre el movimiento de una grúa torre (tower crane), como la de la figura 5. Es importante el papel de las unidades, y que los valores numéricos que utilices sean realistas. Además del problema, debes diseñar la solución paso a paso, de manera que la regla de la cadena surja en forma natural durante el procedimiento. Debes pensar que estás escribiendo para estudiantes que jamás han visto la regla de la cadena, y tu objetivo como instructor es que la comprendan.

FIGURA 5. Grúa torre.

1 , donde p(t) es la proporción 1 + ae − k t de la población que conoce el rumor en el tiempo t. El valor p = 0 significa que nadie conoce el rumor, mientras que p = 1 significa que todos en la población lo conocen. Selecciona entre las siguientes opciones aquella que tiene la expresión correcta para la tasa de propagación del rumor.

1. Un modelo para la propagación de un rumor es p(t ) =

a)

dp 1 = dt 1 + ae − k t

b)

dp a k e−k t = dt 1 + ae − k t

(

(

)

c)

dp 1 = dt − a k e − k t

d)

dp k e k t = dt a

2

)

2

287

5.2: La regla de la cadena

2. La aceleración de cualquier partícula que se mueva a lo largo de una línea es la segunda derivada de su posición respecto al tiempo. Si una partícula tiene movimiento armónico simple, entonces su posición viene dada por s = A cos(ωt + δ), donde las constantes A, ω y δ son llamadas amplitud, frecuencia angular y fase, respectivamente. Selecciona entre las siguientes opciones aquella que tiene la expresión correcta para la aceleración de la partícula. a) a = −ω2 A cos(ωt + δ)

c) a = −Asen(ω)

b) a = −Acos(ω)

d) a = −(ωt + δ)2 Acos(ωt + δ)

3. Selecciona entre las siguientes opciones aquella que tiene la expresión correcta para la derivada de y = 1 + 1 + 1 + x .

a)

1+ 1+ 1+ x dy = dx 8 1 + x 1 + 1 + x

b)

dy = dx

1 8 1+ x 1+ 1+ x 1+ 1+ 1+ x

c)

dy 1 1 1 = 1+ 1+ 1+ x 1+ 1+ x 1+ x dx 2 2 2

d)

dy 1+ x 1+ 1+ x = dx 2 1+ 1+ 1+ x

4) Selecciona entre las siguientes opciones aquella que tiene la expresión correcta para la derivada de y = cos⎛⎝ x 3 + x 4 ⎞⎠. dy = a) dx

dy b) = dx dy c) = dx dy d) = dx

(

)(

)

−(6 + 24 x ) 6 x + 12 x 2 3 x 2 + 4 x 3 sen⎛⎝ x 3 + x 4 ⎞⎠ 2 x3 + x4

(

)(

)

− 6 x + 12 x 2 3 x 2 + 4 x 3 sen⎛⎝ x 3 + x 4 ⎞⎠ 2 x3 + x4

(

)

− 3 x 2 + 4 x 3 sen⎛⎝ x 3 + x 4 ⎞⎠ 2 x3 + x4 − sen⎛⎝ x 3 + x 4 ⎞⎠ 2 x3 + x4

288

Unidad 5: Cálculo de derivadas

5. Selecciona entre las siguientes opciones aquella que tiene la expresión correcta para la derivada de y = ln(sec(x2 + x3) + tan(x)).

(

) ( ) ( ) ( ) dy (2 x + 3 x ) sec( x + x ) ⋅ tan( x + x ) + sec ( x ) = b) dx sec( x + x ) + tan( x ) dy sec( x + x ) ⋅ tan( x + x ) + sec ( x ) c) = dx sec( x + x ) + tan( x ) dy sec(2 x + 3 x ) ⋅ tan(2 x + 3 x ) + sec ( x ) d) = dx sec( x + x ) + tan( x )

2 2 3 2 3 2 dy (2 + 6 x ) 2 x + 3 x sec x + x ⋅ tan x + x + sec ( x ) a) = dx sec x 2 + x 3 + tan( x ) 2

2

3

2

2

3

3

2

3

2

2

2

3

2

3

2

2

2

2

3

6. Selecciona entre las siguientes opciones aquella que tiene la expresión correcta para la derivada de y = e

(x

3

−x2

).

dy ( x 3 − x 2 ) 3x 2 − 2 x (6 x − 2)(6) =e dx dy ( x 3 − x 2 ) 3 x 2 − 2 x (6 x − 2 ) =e b) dx a)

(

)

(

)

7. Selecciona la función cuya derivada es

dy ( x 3 − x 2 ) 3x 2 − 2 x =e dx dy (x3 − x2 ) =e d) dx

(

c)

dy = dx

x x +9 2

.

a) y = x 2 + 9

c) y = x 2 x 2 + 9

b) y = 2 x 2 + 9

d) y =

8. Selecciona la función cuya derivada es

( )

1 2x e sen e 2 x 2 1 b) y = e 2 x sen e 2 x 4 a) y =

( )

9. Selecciona la función cuya derivada es

(

a) y =

1 ln x 2 + 9 2

b) y =

1 2 2 x 1 3 3 x + 9x

)

1 2 x2 + 9

( )

dy = e 2 x cos e 2 x . dx 1 c) y = e sen ( 2 x ) 2 1 d) y = sen e 2 x 2

( )

dy x = 2 . dx x + 9 c) y =

d) y =

(x (

1 2

+9

)

2

1

2 x +9 2

)

)

289

5.2: La regla de la cadena

10. Selecciona entre las siguientes opciones aquella que tiene la expresión correcta para la derivada de y = ln(7x3). a)

dy 3 = dx x

c)

dy 21 = dx x 2

b)

dy 1 = 2 dx 7 x

d)

dy = ln 21x 2 ⋅ 42 x dx

(

)

Respuestas a los Ejercicios y problemas

(

1.

dy = 7 sec 2 (7 x ) dx

3.

dy = 4 tan 3 (7 x ) + 5 x dx

2.

dy = 21 tan 2 (7 x ) ⋅ sec 2 (7 x ) dx

4.

1 − 12 dy x = dx 2 x + 1 x

) (

(

4

tan 3 (7 x ) + 5 x ⋅ 1 − dy 5. = dx 2 x+ 1

1 x2

)

(

+ 4 tan 3 (7 x ) + 5 x

) (21 tan (7x ) ⋅ sec (7x ) + 5) 3

2

) (21 tan (7x ) ⋅ sec (7x ) + 5) ⋅ 3

2

2

x+

2

1 x

x

6.

dy 2 + 8 x 7 = dx 2 x + x 8

7.

dy 2 + 48(6 x − 5) = 8 dx 2 x + (6 x − 5)

2 dy 2 + 48(6 tan( x ) − 5) sec ( x ) = 8 dx 2 x + (6 tan( x ) − 5) 7

8. 7

( (

) ) ( (

(

7

)(

2 7 2 2 7 6 dy 2 + 48 6 tan x − x − 5 sec x − x ⋅ 2 x − 7 x 9. = 8 dx 2 x + 6 tan x 2 − x 7 − 5

10.

x dy = 5e dx

6

2π ⎞ x − 20π e cos⎛ ⎝ 3 ⎠

x

6

) )

2π ⎞ sen⎛ x ⎝ 3 ⎠

)

290

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Unidad 5: Cálculo de derivadas

b) a) b) c) b) c) a) d) a) a)

291

5.3: Derivadas, implícita y logarítmica

5.3 Derivadas, implícita y logarítmica En las matemáticas es donde el espíritu encuentra los elementos que más ansía: la continuidad y la perseverancia. Jacques Anatole France

Curvas famosas Las primeras curvas en matemáticas aparecieron como una necesidad, al intentar resolver los problemas griegos clásicos, como la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo. Entre ellas están las secciones cónicas, la cisoide de Diocles, la concoide de Nicomedes, la espiral de Arquímedes, etc. Con el desarrollo de la geometría analítica (Fermat y Descartes, s. XVII), aparecen nuevas curvas como la Géométrie y el folium de Descartes, y la serpentina de Newton. Asimismo, con el cálculo diferencial e integral de Newton y Leibniz (1665-1672) y el estudio de nuevos problemas, aparecen la catenaria, la tractriz, la trisectriz de Maclaurin, la lemniscata de Bernoulli, la bruja de Agnesi, etc. Su importancia histórica es tal, que el gran desarrollo de métodos infinitesimales que surgen a partir del s. XVI, se debió en gran parte, al trabajo realizado al calcular áreas y tangentes relacionadas con estas curvas. Por ejemplo, Johann Bernoulli propuso (alrededor de 1692) la curva llamada astroide, también conocida como hipocicloide de cuatro cúspides, la cual está definida por la ecuación x2/3 + y2/3 = a2/3, donde a es una constante distinta de cero. ¿Cuántas y cuáles funciones explícitas y = f(x) define esta ecuación?, ¿dónde no define a y como una función implícita de x esta ecuación?, ¿tiene esta curva puntos en donde la recta tangente sea horizontal?, ¿y donde sea vertical?

Introducción A lo largo de la historia, en sus intentos por describir los fenómenos reales, muchos matemáticos nos han hecho observar que la naturaleza está plagada de líneas curvas. Desde las más conocidas por su utilidad y su estudio en la geometría analítica, tales como la recta, la parábola, el círculo, etc., hasta otras no tan conocidas en el ámbito escolar pero que son también muy importantes en el estudio de las matemáticas, como las curvas mencionadas en la situación presentada en el apartado precedente. En el capítulo 4 estudiamos cómo determinar rectas tangentes y normales a gráficas de funciones y = f(x), es decir, a funciones dadas en forma explícita, determinadas por una ecuación con la variable y despejada. Sin embargo, diversas situaciones producen frecuentemente ecuaciones donde la regla de

292

Unidad 5: Cálculo de derivadas

Introducción correspondencia entre las variables no está en forma explícita; por ejemplo, la ecuación del folium de Descartes x3 + y3 = 3axy (“a” constante) o la ecuación

⎛

de Van der Waal ⎜ P +

⎝

n2 a ⎞ ⎟ (V − nb) = nRT, la cual representa la relación entre V2 ⎠

la presión (P), el volumen (V), y la temperatura (T) de un gas o un líquido, para constantes positivas a, b, n y R. En este tipo de ecuaciones, también interesa determinar sus pendientes y rectas tangentes, o bien, calcular cuál es la razón de cambio de una de las variables respecto a otra. En esta sección, estudiaremos cómo se pueden determinar las derivadas de este tipo de ecuaciones (recuerda que tanto la pendiente como la razón de cambio son interpretaciones de la derivada).

Objetivos Al terminar esta sección tendrás la capacidad de: a) Definir una función implícita. b) Obtener la derivada de funciones implícitas. c) Describir y aplicar el proceso de diferenciación logarítmica.

Diferenciación implícita Función implícita

Definición de función implícita. Una función y = f(x) está definida en forma implícita por una ecuación F(x, y) = c si al sustituir y por f (x) en esta ecuación, se reduce a una identidad.

Una ecuación de la forma y = x2 + 5 define una relación explícita donde y es una función de x, puesto que y = f(x) con f(x) = x2 + 5. La ecuación 3y − 3x2 = 15 define la misma función f(x), ya que al despejar y resulta y = x2 + 5. Se dice entonces que 3y − 3x2 = 15 define implícitamente la función f(x). De acuerdo a la definición, si sustituimos y por f(x) en la ecuación 3y − 3x2 = 15, obtenemos 3f(x) − 3x2 = 15, es decir 3(x2 + 5) − 3x2 = 15, de lo cual resulta 3x2 + 15 − 3x2 = 15. Esta última ecuación es una identidad, puesto que es válida para todo número x en el dominio de f(x) (observa que el término 3x2 se cancela y sólo queda 15 = 15). Por supuesto, una ecuación en x y y puede definir a más de una función implícita. Por ejemplo, la ecuación x − 1 = y2 involucra dos funciones del tipo y = f(x). Al despe-

293

5.3: Derivadas, implícita y logarítmica

jar la variable y, obtenemos y = ± x − 1, es decir, una función y1 = x − 1, y otra función y2 = − x − 1. Gráficamente, x − 1 = y2 es la parábola de la figura 1, mientras que y1 = x − 1 es la mitad superior de la misma, y y2 = − x − 1 es la mitad inferior, como se muestra en las figuras 2 y 3, respectivamente. Más adelante, en el ejemplo 1, se explica cómo determinar la derivada de estas funciones implícitas.

y

y

y x

1

1

x 1

FIGURA 1. Gráfica de x − 1 = y2.

FIGURA 2. Gráfica de y1 =

x − 1.

x

FIGURA 3. Gráfica de y2 = − x − 1.

Diferenciación implícita. El método para determinar la derivada de una función implícita definida por una ecuación en las variables x y y, se conoce como diferenciación implícita (o derivación implícita) y consiste en los siguientes dos pasos: 1. Se deriva la ecuación respecto a la variable x, término a término. dy 2. Se despeja la derivada de y respecto a x, es decir, se despeja . dx

Ejemplos Ejemplo 1. Encuentra

dy , si x − 1 = y2. dx

solución De acuerdo al paso 1 del método, se debe derivar cada término de la ecuación respecto a la variable independiente x, es decir, d d d 2 ( x ) − (1) = (y ) dx dx dx Para los términos del miembro izquierdo de esta ecuación, tenemos inmediatamente d d d 2 d 2 que ( x) = 1 y (1) = 0, es decir, 1 − 0 = ( y ) o lo que es lo mismo 1 = ( y ), dx dx dx dx

294

Unidad 5: Cálculo de derivadas

pero se debe tener cuidado con la derivada del miembro derecho. Recuerda que la ecuación x − 1 = y2 define implícitamente una función y = f(x). De acuerdo a la fórmula para derivar una función de la forma d n du d n dy un, es decir , si hacemos y = u, queda (u ) = nu n −1 ( y ) = ny n −1 . Usando esta última dx dx dx dx fórmula en la parte derecha de la ecuación con n = 2, resulta 1 = 2 y Finalmente (paso 2), despejamos

dy . dx

dy dy 1 y queda la respuesta (y ≠ 0). = dx dx 2 y

Ejemplo 2. Determina la derivada de y respecto a x de la ecuación sen(y) = x + y5.

solución La derivada término a término significa d d d (sen ( y)) = ( x ) + ( y 5 ), es decir, dx dx dx cos( y)

Ahora, despejando

dy dy = 1 + 5y 4 dx dx

dy dy 1 , queda la respuesta , cos(y) − 5y4 ≠ 0. = dx dx cos( y) − 5 y 4

Nota. Este método para derivar implícitamente es muy útil cuando es muy complicado o imposible despejar y en función de x de la ecuación dada. Sin embargo, se debe tener siempre presente que al aplicar el método, debe suponerse que y representa una función diferenciable de x; pero si no se asegura la validez de esta suposición, los cálculos realizados podrían no tener sentido. Por ejemplo, si se deriva dy dy x = 0 ; de manera que implícitamente la ecuación x2 + y2 + 1 = 0, resulta 2 x + 2 y = − . Sin emdx dx y bargo, esta derivada no tiene sentido, porque no existe función alguna y = f(x) que satisfaga la ecuación x2 + y2 + 1 = 0 (porque x2 + y2 ≥ 0 para cualquier (x, y), y sumado con 1, nunca puede dar cero). Por otra parte, no siempre es posible probar que una ecuación en x y y define una o más funciones implícitas y = f(x). Por lo tanto, en los ejemplos que siguen, se asumirá que las ecuaciones propuestas para derivar sí cumplen con la definición dada al inicio de este apartado. Es importante aclarar que se pueden establecer condiciones en las que una función implícita existe y es diferenciable en ciertos números de su dominio, pero su demostración requiere de conocimientos matemáticos más avanzados de los que se consideran en esta obra.

295

5.3: Derivadas, implícita y logarítmica

Ejemplo 3. Calcula

dy , si 3 xy 2 − 5 xy = 2 . dx

solución Primero, se debe advertir que la ecuación dada es equivalente a 3xy2 − 5(xy)1/2 = 2. Ahora, de acuerdo al paso 1 del método, al derivar término a término respecto a la variable independiente x, se tiene que: d d d (3 xy 2 ) − [5( xy)1/ 2 ] = (2) dx dx dx Aplicando las propiedades operacionales de la derivada, obtenemos 3 lizando las derivadas indicadas, resulta

d d ( xy 2 ) − 5 ( xy)1/ 2 = 0, y readx dx

d d 1 −1/ 2 d 3⎡⎢ x ( y 2 ) + y 2 ( x )⎤⎥ − 5⎡⎢ ( xy) ( xy)⎤⎥ = 0 dx ⎦ ⎣ 2 dx ⎣ dx ⎦ Como

d 2 dy d d d d dy (y ) = 2y , ( x) = 1 y ( xy) = x ( y) + y ( x ) = x + y , queda dx dx dx dx dx dx dx dy ⎡ ⎤ ⎡1 ⎤ −1/ 2 ⎛ dy 3⎢ x ⎛ 2 y ⎞ + y 2 (1)⎥ − 5⎢ ( xy) x + y⎞ ⎥ = 0 . ⎝ dx ⎠⎦ ⎣ ⎝ dx ⎠ ⎦ ⎣2

Simplificando esta última expresión, obtenemos dy 5 x dy 5y 6 xy + 3y 2 − − =0 dx 2 xy dx 2 xy Ahora, de acuerdo al paso 2, debemos despejar ecuación los términos que tienen

dy , y en el otro dejaremos los términos que no lo tienen. Queda endx

tonces 6 xy Factorizando

dy , para lo cual, dejaremos en un miembro de la dx

dy 5 x dy 5y − = − 3y 2 . dx 2 xy dx 2 xy

dy en el lado izquierdo de esta última ecuación, tenemos que: dx dy ⎛ 5x ⎞ 5y = − 3 y 2, 6 xy − ⎜ ⎟ dx ⎝ 2 xy ⎠ 2 xy

5y − 3y 2 5 y − 6 y 2 xy dy 2 xy de manera que . = = 3 dx 6 xy − 5 x 12( xy) 2 − 5 x 2 xy

296

Unidad 5: Cálculo de derivadas

Ejemplo 4. Determina los puntos de la curva xy2 − 2 = 2y donde se encuentran rectas tangentes horizontales y verticales.

solución dy , a fin de simplificar la simbología. Derivando cada parte, dx y2 . se obtiene 2xy y + y2 = 2y. Al despejar y, resulta y ′ = − 2 xy − 2 En este ejemplo usaremos y en lugar de

Para determinar los puntos donde hay rectas tangentes horizontales hacemos y = 0, es decir, y2 − = 0, lo cual tiene por solución y = 0. Sin embargo, al sustituir este valor en la ecuación de la 2 xy − 2 curva x(0)2 − 2 = 2(0), resulta que −2 = 0; este absurdo nos indica que no existe valor alguno de x para el que la pendiente de la recta tangente, es decir, la derivada, sea cero. Por lo tanto, la curva no tiene rectas tangentes horizontales. Para calcular los puntos donde hay rectas tangentes verticales, debemos resolver 2xy − 2 = 0 (porque la única forma de que y no exista, en este caso, es que su denominador sea cero). Tenemos entonces que xy = 1, o lo que es lo mismo x = 1/y. Sustituyendo esta equivalencia de x en la curva original, obtenemos (1/y)y2 − 2 = 2y, de donde resulta que y = −2. Evaluamos este valor en la curva y resulta x(−2)2 − 2 = 2(−2), de donde x = −1/2. Por lo tanto, concluimos que la curva tiene una recta tangente vertical en el punto (−1/2, −2).

Ejemplo 5. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de x2y2 − 4 = 2x − 4y en el punto (2, −2).

solución Primero, calculamos la derivada de y respecto a x (recuerda que la derivada es la pendiente de la recta tangente que necesitamos para determinar la ecuación que se pide). Al derivar ambos lados respecto a x, se obtiene 2x2y  y + 2xy2 = 2 − 4y. Si agrupamos los términos que tienen y en el lado izquierdo de la ecuación y los que no lo tienen 2 − 2 xy 2 en el derecho, resulta (2x2y + 4)y = 2 − 2xy2. Al despejar y, queda y ′ = 2 , donde 2x2y + 4 ≠ 0 2x y + 4 Al sustituir x = 2 y y = −2 en esta última ecuación, se obtiene la pendiente de la recta tangente: y ′( 2 ) =

2 − 2(2)( −2)2 7 = 2(2) 2 ( −2) + 4 6

Finalmente, usando la forma punto-pendiente de una recta, tenemos que: 7 7 13 y + 2 = ( x − 2), o bien, en forma explícita y = x − . 6 6 3 Esta última es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de x2y2 − 4 = 2x − 4y en el punto (2, −2).

297

5.3: Derivadas, implícita y logarítmica

Diferenciación logarítmica En las dos secciones precedentes de este capítulo hemos visto cómo determinar la derivada de funciones en forma de potencias; como y = un, en donde la base u es una función de x y el exponente n es una constante, o como y = au, donde la base a es una constante y el exponente u es una función de x. Sin embargo, no hemos estudiado al momento, cómo derivar una función en forma de potencia en donde tanto la base como el exponente sean funciones de x; es decir, funciones del tipo y = uv, donde u = u(x) y v = v(x). El método para determinar la derivada de este tipo de funciones es el siguiente: 1. Se aplican logaritmos naturales en ambos miembros de la ecuación y = uv, y se simplifica la parte derecha mediante propiedades de los logaritmos. 2. A la ecuación que resulte del paso anterior, se le aplica el método de diferenciación implícita.

Ejemplos Ejemplo 6. Determina la derivada de f(x) = xx.

solución Primero, para facilitar el trabajo algebraico, cambiaremos f(x) por y; de manera que tenemos y = xx. Ahora, según el paso 1 del método, aplicando logaritmos naturales a ambos lados, resulta ln y = ln xx. Usamos ahora la propiedad de los logaritmos lnab = blna, para simplificar la parte derecha de esta última ecuación, y tenemos que ln y = xlnx. Posteriormente, como paso 2, usamos la diferenciación implícita (observa que esta última ecuación define una función implícita y = f(x); si despejas y, resulta y = ex ln x), de manera que, al derivar término a término (paso 1 del método de derivación implícita) obtenemos: 1 dy 1 1 dy = x + ln x, es decir, = 1 + ln x y dx x y dx Finalmente, despejando

dy (paso 2 del método de derivación implícita), se tiene que: dx

dy dy = (1 + ln x ) x x . = (1 + ln x ) y ; pero como y = xx (la función original), resulta que dx dx

Ejemplo 7. Calcula la derivada de la función y = x(sen(x))x.

298

Unidad 5: Cálculo de derivadas

solución Dado que la función tiene forma de producto, al usar la fórmula y′ = x

d (uv) = uv ′ + vu ′, resulta dx

d (sen ( x )) x + (sen ( x )) x (1). Para determinar la derivada que quedó indicada, es decir dx

d (sen ( x )) x, se procede como sigue: le damos un nombre a la expresión (sen(x))x para poder aplicar dx el método. Llamémosle y1, de modo que y1 = (sen(x))x. Ahora, aplicando logaritmos naturales en ambos lados de la ecuación (paso 1), resulta ln y1 = ln(sen(x))x; y usando la propiedad para el logaritmo de una potencia, tenemos que ln y1 = xln(sen(x)). Continuamos aplicando el método de diferenciación im1 1 plícita (paso 2), y obtenemos y y1′ = x sen ( x ) cos x + ln(sen ( x )) . Al despejar y1, resulta y1 = [x cot(x) 1 cos( x ) = cot ( x ), y y1 = (sen(x))x. Finalmente, sustituyendo + ln(sen(x))](sen(x))x, donde se han sustituido sen ( x ) y1 en y, tenemos que: y = x[x cot(x) + ln(sen(x))](sen(x))x + (sen(x))x

Otro uso del método. La diferenciación logarítmica sirve también para calcular la derivada de ciertas funciones complejas que involucran expresiones en forma de potencias, productos, o cocientes. La introducción del logaritmo antes del proceso de derivación, da la ventaja de un cálculo que, generalmente, es más sencillo que el empleo directo de fórmulas básicas.

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8.

(

Calcula la derivada de la función y = x 2 + 4

)

2x −1 . 2x +1

299

5.3: Derivadas, implícita y logarítmica

solución Aplicamos logaritmos naturales en ambos lados de la ecuación (paso 1), ⎡ ln ( y) = ln ⎢ x 2 + 4 ⎣

(

)

2x −1 ⎤ ⎥ 2x +1 ⎦

Ahora, antes de derivar, usamos la propiedad ln ab = ln a + ln b en el lado derecho, y obtenemos

(

2x −1 2x +1

)

ln ( y) = ln x 2 + 4 + ln

La raíz cuadrada en el argumento del segundo logaritmo de la derecha se puede reescribir mediante propiedades de raíces y exponenciales, así tenemos que:

(

)

ln ( y) = ln x 2 + 4 + ln

(2 x − 1)1/ 2 (2 x + 1)1/ 2

a Usando ahora la propiedad ln⎛ ⎞ = ln a − ln b, resulta ⎝ b⎠ ln(y) = ln(x2 + 4) + ln(2x − 1)1/2 − ln(2x + 1)1/2 Para concluir la simplificación de esta expresión, empleamos la propiedad ln ab = bln a en los dos últimos 1 1 logaritmos, y queda ln ( y) = ln x 2 + 4 + ln(2 x − 1) − ln(2 x + 1). 2 2 Finalmente, derivamos término a término (paso 2) y obtenemos

(

)

1 1 1 1 1 1 y′ = 2 2x + 2− 2 y 2 (2 x − 1) 2 (2 x + 1) x +4 ⎡ 2x + 1 − 1 ⎤y Al despejar y, resulta y ′ = ⎢ 2 , de aquí, ⎣ x + 4 2 x − 1 2 x + 1 ⎥⎦

(

2x 1 1 ⎤ 2 y ′ = ⎡⎢ 2 x +4 + − ⎣ x + 4 2 x − 1 2 x + 1 ⎥⎦

)

2x −1 . 2x +1

300

Unidad 5: Cálculo de derivadas

1. Contesta las siguientes preguntas. a) ¿Qué es una función implícita? Descríbela con tus propias palabras (no reproduzcas la definición dada). b) ¿Qué diferencia hay entre una función expresada en forma explícita y otra dada en forma implícita? c) Sea F(x, y) = c una ecuación que define dos o más funciones implícitas y = f(x). ¿Puede la gráfica de esta ecuación tener dos o más rectas tangentes distintas, en un mismo valor de la variable x? Justifica tu respuesta. 2. En cada inciso, supón que y = f(x) queda definida implícitamente por las ecuaciones dadas. Determina dy . dx a) xy = 5x2 − 4y2

d) e4y − 2x = ln y

b) x2y3 + x − 2 = 6y − 4xy

e)

⎧− 1 , − 3 ≤ x < 0 c) y 2 = ⎪⎨ x ⎪x 2 , 0 ≤ x ≤ 3 ⎩

f)

x = y2 + 3 x−y sen 3 ( xy 2 ) + 1 = y

d2y para las funciones definidas implícitamente por las ecuaciones. dx 2 a) x3 + y3 = 1 b) y2 − xsenx = 0, en el punto (π, 0).

3. Calcula

4. Realiza lo que se indica en cada inciso. a) Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a las gráficas de las funciones dadas implícitamente en los puntos indicados. En cada caso, traza las gráficas en un mismo plano con algún software computacional (la gráfica de la ecuación dada y su recta tangente). i) x5y2 + 4 = xy3; (1, 2) ii) 2x3 + y3 − x2y = 1; (2, −3) iii) La lemniscata de Bernoulli (x2 + y2)2 = 4xy; (1, 1) iv) La cisoide de Diocles 2y2 − xy2 = x3; (1, 1) b) Halla los puntos del folium de Descartes x3 + y3 = 9xy, en donde existan rectas tangentes horizontales. Apoyándote en algún software, traza la gráfica del folium y las rectas tangentes en los puntos hallados. c) Se dice que dos curvas son ortogonales si sus rectas tangentes son perpendiculares en sus puntos de intersección. Determina si las curvas siguientes son ortogonales. Dibuja las curvas y las rectas tangentes en un mismo plano. Usa alguna herramienta computacional, si es necesario. i) xy = 1; x3 = 3y

ii) 2x2 + 3y2 = 5; y2 = x3

d) Determina las ecuaciones de dos rectas que pasen por el origen y que sean tangentes a la curva x2 − 4x = −(y2 + 3).

301

5.3: Derivadas, implícita y logarítmica

5. Aplica diferenciación logarítmica para hallar la derivada de la función indicada. a) y = (sen x3)x + 1

d) y = tan2(ln x)x − 2x

b) y = x2 − (ln x)cos x

e) y = 3

c) f ( x ) =

( x 2 + 1) x ex

( x − 3)2 ( x + 4)3

f) g( x ) = 4e sen x + ln

( x + 2)3 / 2 ( x 2 + 7) 4 / 3

6. Aplica el método de diferenciación logarítmica para deducir la forma general de la derivada de y = uv, donde u = f(x) y v = g(x). 7. Usa la fórmula encontrada en el problema anterior para calcular la derivada de las funciones siguientes. x ⎛ 1⎞ a) f(x) = (cos x)sen x b) g( x ) = 1 + ⎝ x⎠

Problemas para trabajar en equipo

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve lo que se te propone a continuación. 1. Contesta las preguntas planteadas en la situación con que iniciamos esta sección, “Curvas famosas”. Usa una herramienta computacional para graficar el astroide y las rectas tangentes encontradas en un mismo plano. 2. Supongamos que la ecuación de Van der Waal (comentada en la introducción de esta sec3 ⎞ ⎛ ción), para un gas determinado, es P + 2 (V − 0.01) = 5.94 . ⎝ V ⎠ Considerando el volumen V como función de la presión P, usa diferenciación implícita para calcular la razón de cambio del volumen del gas respecto a la presión, cuando V = 1. ¿Qué significa el valor obtenido? 3. Muestra que la gráfica de x3 + y3 + 1 = 3xy no tiene puntos en donde la recta tangente sea horizontal. Explica por qué la gráfica de esta ecuación consiste sólo en la recta y = −x − 1, y el punto aislado (1, 1). 4. Ecuaciones diferenciales. Muchos problemas del mundo real, tales como el crecimiento poblacional, la contaminación por radiactividad, el comportamiento de los componentes de un circuito eléctrico, el análisis de las vibraciones en el movimiento de las alas de un avión, etc., se modelan con un tipo muy especial de ecuaciones, llamadas ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial es, simplemente, aquella que contiene derivadas o diferenciales en su estructura.

302

Unidad 5: Cálculo de derivadas

dy 1 , es una ecuación = dx 2 y diferencial, puesto que contiene una derivada en su estructura. En general, lo que resulta al derivar una función explícita o una ecuación que define una o más funciones implícitas, es siempre una ecuación diferencial. Por otra parte, encontrar la solución de una ecuación diferencial, significa hallar una función (dada en forma explícita o implícita) que satisfaga la ecuación, es decir, que al sustituir esa función y sus derivadas en la ecuación diferencial, resulte una identidad. Para el ejemplo 1 mencionado, la ecuación x − 1 = y2 es una solución dy 1 = implícita particular de la ecuación diferencial porque al derivarla implícitamente, dx 2 y resulta precisamente, la ecuación diferencial (como se mostró en ese ejemplo). Si usas estos conceptos sobre las ecuaciones diferenciales y lo que significa resolverlas, compruebas que el folium de Descartes x3 + y3 = 3cxy (c constante), es una solución implícita de la ecuación dy diferencial x (2 y 3 − x 3 ) − y( y 3 − 2 x 3 ) = 0 . dx Por ejemplo, la derivada implícita obtenida en el ejemplo 1, es decir

5. Velocidad de escape. La relación entre la velocidad v de una partícula proyectada verticalmente fuera de la Tierra (en dirección de su radio) y la distancia r que recorre, está dada por la ecuación v2 =

2 gR 2 + v02 − 2 gR r

En esta ecuación, g es la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra, R es el radio de la Tierra, y v0, es la velocidad inicial de la partícula. a) Analiza la ecuación y deduce que la velocidad mínima para que la partícula escape de la atracción gravitacional de la Tierra, está dada por ve = 2 gR . Esta velocidad es la llamada velocidad de escape. b) Calcula la velocidad de escape de la Tierra, si su radio mide aproximadamente 3960 millas y la gravedad g es, también aproximadamente, 32.16 pies por segundo. c) Determina una ecuación para la aceleración de la partícula respecto a la distancia variable r (recuerda que a = dvdt y v = drdt). d) Usa la ecuación obtenida en el inciso anterior para determinar la aceleración de una partícula que se aleja de la Tierra, justo cuando está a 100 millas de altura. Aclaremos que, cuando la partícula se conceptualiza como un cohete de propulsión espacial, se deben considerar factores como la resistencia del aire en las primeras millas del lanzamiento. En este caso, los métodos usados para el análisis están más allá de los alcances de este libro.

303

5.3: Derivadas, implícita y logarítmica

1. Indica la opción que corresponde a la derivada dydx de la función y = f (x), dada implícitamente por la ecuación x2 − xy = 7 − y2. dy 2 x − y dy y − 2 x a) c) = = dx 2 y + x dx 2 y − x b)

dy x − 2 y = dx y−x

d)

dy x − 2y = dx 2 y + 2 x

2. Halla la ecuación de la recta tangente a la siguiente curva en el punto dado. x2 cos2y = seny; (0, π) 3. Determina la derivada de la función f(t) = t(t + 1)t − t. 4. Usa diferenciación implícita para calcular la derivada dey y = 3

( x + 1)( x + 2) . ( x 2 + 1)( x 2 + 2)

5. En la columna B, encuentra las derivadas dydx de las ecuaciones que aparecen en la columna A. Columna A a) y = (ex)x

i.

b) sen2 y = x c)

x + y =1

ii.

d) y = eln x

Columna B dy 1 = dx cos 2 y dy = dx

1 2 x

1 + 2 1y

iii.

⎤ dy ⎡ x 2 = ⎢ + (ln e)(2 x )⎥ e x dx ⎣ e ⎦

iv.

dy 1 = dx 2seny cos y

v.

dy =1 dx

vi.

dy = 2x ex dx

vii.

dy ⎡ ln x ln e ⎤ ln x = + (e) dx ⎢⎣ e x ⎦⎥

viii.

dy 2 xy − y = dx x

( )

( )

x

x

304

Unidad 5: Cálculo de derivadas

Respuestas a los Ejercicios y problemas dy 10 x − y = dx x + 8y

d)

dy 2y = dx 4 ye 4 y − 1

b)

dy −(2 xy 3 + 4 y + 1) = dx 3x 2 y 2 + 4 x − 6

e)

dy y = dx x − 2 y( x − y)2

c)

⎧ −x dy ⎪ 2 , − 3 ≤ x < 0 = ⎨ 2x dx ⎪ 0≤ x≤3 ⎩1,

f)

dy 3 y 2 sen 2 ( xy 2 )cos( xy 2 ) = dx 2 1 + sen 3 ( xy 2 ) − 6 xysen 2 ( xy 2 )cos( xy 2 )

2. a)

3. a) b)

d 2 y 2 x 4 − 2 xy 3 = dx 2 y5 d 2 y xsen 2 x − x 2 − (1 + x 2 )sen 2 x ; en (π, 0) no está definida. = 3 dx 2 4( xsenx ) 2

4. a) i) y = 12 x + 12 ; ii) y + 3 = − 36 23 ( x − 2 ) ;

iii) y + 3 = − 36 23 ( x − 2 ) iv) y = −x + 2

b) El folium de Descartes tiene una recta tangente horizontal en el punto (3 3 2 , 3 3 4 ) . c)

d)

i) Sí son ortogonales. Hay dos puntos de intersección, ( 4 3 ,1

4

3 ) y (− 4 3, − 1

4

3 ) , y en ambos, las 1 pendientes de las rectas tangentes son recíprocas y de signo contrario, m1 = − y m2 = 3 . 3 ii) Sí son ortogonales, se intersecan en los puntos (1, 1) y (1, −1). En ambos, las pendientes de las rectas tangentes son recíprocas y de signo contrario. y1 =

3 − 3 x ; y2 = x 3 3

5. a) y = C(3x3 + 3x2)cot x3 + ln(sen x3D(sen x3)x+1 ⎛ cos x − (senx ) ln(ln x )⎞ (ln x ) cos x b) y ′ = 2 x − ⎝ x ln x ⎠ ⎡ 2x2 ⎤ ( x 2 + 1) x ⎢ 2 + ln( x 2 + 1) + 1⎥ ⎣ x +1 ⎦ c) f ′( x ) = ex 1 d) y ′ = 2 tan(ln x ) x sec 2 (ln x ) x ⎡⎢ + ln(ln x )⎤⎥(ln x ) x ⎣ ln x ⎦

305

5.3: Derivadas, implícita y logarítmica

2 1 ⎤ 3 ( x − 3)2 − e) y ′ = ⎡⎢ ⎣ 3 x − 9 x + 4 ⎥⎦ x + 4 f) g ′( x ) = 4(cos x )e senx +

3 4 x ( x + 2)

−

8x 3 x + 21 2

dy ⎡ v du dv =⎢ + ln u ⎤⎥ u v dx ⎣ u dx dx ⎦

6.

7.

a)

dy = [ −sen x tan x + cos x ln cos x ](cos x )sen x . dx

b)

dy ⎡ 1 = − + ln(1 + 1 x )⎤⎥ (1 + 1 x ) x . dx ⎢⎣ x + 1 ⎦

1. La opción correcta es la c). 2. y = π. t 3. f ′(t ) = t ⎡⎢ + ln(t + 1)⎤⎥(t + 1)t + (t + 1)t − 1 . 1 t + ⎣ ⎦ dy y ⎛ 1 1 2x 2x ⎞ = + − 2 − 2 . ⎝ dx 3 x + 1 x + 2 x + 1 x + 2 ⎠ 5. a) vi; b) iv; c) viii; d) v. 4.

Unidad

Aplicaciones de la derivada Contenido de la unidad 6.1 Aplicaciones de las rectas tangente 6.2 Razones de cambio relacionadas

Introducción a la unidad Durante el siglo XVIII, las contribuciones matemáticas fueron de tal magnitud que el aspecto de la ciencia se modificó hasta el punto en que su estructura se hizo casi irreconocible. En un breve periodo que abarca alrededor de 250 años se lograron mayores avances que los ocurridos durante 5 mil años, desde los días de los antiguos egipcios. Hoy día no hay duda de que uno de los detonantes de esta explosión de la ciencia fue la invención del Cálculo. Una retrospectiva de su historia revela que el entusiasmo suscitado por el éxito de la aplicación del Cálculo en la mecánica de Newton, provocó el nacimiento de problemas apasionantes que impulsaron de manera considerable la creación de nuevos trabajos y descubrimientos. Aunque es probable que la presentación actual de los temas tradicionales del Cálculo en los libros de texto haga pensar al lector neófito que el desarrollo de esta herramienta fundamental de la ciencia se desarrolló dentro una secuencia de ideas con vínculos puramente lógicos de poca utilidad, la realidad histórica nos convence justamente de lo contrario: su desarrollo y el interés que originó en connotados científicos se relaciona en todo caso con el convencimiento de su utilidad. En efecto, habiendo formulado problemas físicos y geométricos, los creadores del Cálculo y sus sucesores se pusieron a trabajar y, atentos a su eficacia, manipularon las fórmulas y encontraron valiosas conclusiones. A menudo se sirvieron de la física para verificar sus conclusiones y justificar ciertos procesos. Sin embargo, esos matemáticos estaban conscientes de la necesidad de las demostraciones y de la falta de rigor de sus procedimientos; pero como las tentativas emprendidas para clarificar el Cálculo resultaron infructuosas, los matemáticos del siglo XVIII (y parte del XIX) no pudieron dejar de escoger la vía de las aplicaciones y prefirieron construir, elaborar e inventar, más que asegurar las bases lógicas del nuevo instrumento. En la actualidad, las bases teóricas del Cálculo han quedado bien establecidas y sus potenciales usos no se han agotado: se aplica con éxito en disciplinas tan ajenas entre sí que difícilmente se podría imaginar que éstas

308

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

pudieran utilizar una herramienta en común. Por ejemplo, en medicina existen modelos dentro de la farmacología que permiten estudiar cómo se asimila una sustancia en el cuerpo; en las ciencias sociales, el Cálculo ha permitido que la demografía establezca pronósticos poblacionales; permite hallar y analizar curvas de aprendizaje de individuos y organizaciones en la psicología; en el ámbito de la economía, estudia las variaciones de funciones de utilidad en términos de los factores de producción que las afectan; en las finanzas, se utiliza, por ejemplo, para calcular el interés compuesto y la amortización de préstamos; en epidemiología se estudia la propagación de una enfermedad o de una bacteria y, en mercadotecnia, el impacto que puede tener un producto en las ventas dentro de un mercado. En cuanto a las ciencias exactas, como la física y la ingeniería en general, le deben a su invención no sólo aplicaciones esporádicas sino que, más allá de esto, sobre el Cálculo descansan muchas de sus concepciones, teorías y procedimientos. Te invitamos a recordar lo que sobre las aplicaciones del Cálculo se ha señalado en capítulos anteriores, sin embargo, lo mejor está por venir. A partir de este capítulo se presentan los resultados más importantes que sobre esta teoría ha desarrollado lo mejor de la inteligencia humana.

6.1 Aplicaciones de las rectas tangente y normal Las matemáticas comparan los más diversos fenómenos y descubren las analogías secretas que los unen. Joseph Fourier

Accidentes en montañas rusas

FIGURA 1. Sección de una montaña rusa.

Viajar en las montañas rusas es una de las atracciones favoritas de adolescentes y adultos, tal vez porque se sienten aceleraciones extremas durante todo el recorrido. Podrías pensar que es un juego mecánico con muchos riesgos y que, por lo tanto, es común que se presenten accidentes. Esto no es así; los ingenieros y diseñadores de las montañas rusas toman toda clase de precauciones y suelen construir montañas muy seguras, tanto que estadísticamente es mucho más probable sufrir un accidente al tomar una curva en carretera que en una montaña rusa. Sin embargo, los riesgos existen, y en los últimos años ocurrieron dos accidentes graves. El primero sucedió en 1999 en el Lago Darién, cuando un viajero de 180 kilogramos no cerró correctamente su arnés y en el trayecto estuvo a punto de soltarse. El segundo ocurrió en una montaña rusa de Nueva Inglaterra en 2004, allí desafortunadamente un hombre murió al salir despedido de la montaña rusa. Otro riesgo, quizá aún mayor, apareció documentado en un reporte de octubre de 2005. En él se indica que algunas personas podrían sufrir

309

6.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

trastornos cerebrales producidos por las altas aceleraciones a las que se ven sometidas en las montañas rusas (http://www.biausa.org/Pages/blue_final_report. html, visitado en octubre de 2005).

v

h 70

300

60

250

50

200

40

150

30

100

20

5

10 x 10

20

30

40

50

60

70

80

10

20

30

a)

40

50

60

70

x 80

b)

FIGURA 2. En la figura a) se muestra una gráfica de la altura contra la posición en una sección de la montaña rusa. En la figura b) se muestra la rapidez (magnitud de la velocidad) que lleva un tren típico contra la posición.

Supón que la gráfica a) de la figura 2 representa una sección de una montaña rusa (Six Flags de México) y que se quiere realizar una simulación de posibles accidentes. Supón además que los vagones corren con una rapidez promedio constante de 120 km/hora. Si una persona puede sufrir un accidente en cualquier punto, a) ¿En qué dirección saldría despedida la persona? b) ¿Cuánto tiempo tardaría en llegar al suelo? c) ¿A qué velocidad? Desde luego que la situación anterior es una aproximación, pues la rapidez de los vagones depende de la posición. Supón ahora que la gráfica b), en la figura 2, representa la velocidad en términos de la distancia x al punto de partida. Con esta información responde nuevamente las preguntas anteriores. Existen, por otro lado, dos tipos de aceleraciones: la aceleración tangencial, que produce el cambio de la rapidez, y la aceleración centrípeta, que está asociada a los cambios de dirección. Usa la gráfica b) para estimar la aceleración tangencial. ¿Cómo se compara con la aceleración de la gravedad g = 9.8m/s2?

Introducción Dos de las competencias más importantes de las pruebas de campo en el atletismo son los lanzamientos de disco y del martillo. Las dos tienen sus orígenes en la Grecia clásica y son las pruebas de lanzamiento más antiguas conocidas. La primera de las pruebas consiste en girar sobre sí mismo soste-

310

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

niendo un disco con borde y centro de metal, después de adquirir alguna velocidad de giro, se extiende el brazo y se suelta el disco. En la segunda prueba también se gira sobre uno mismo y al terminar se suelta el martillo (una bola de metal sujeta a un cable). En ambas pruebas se gira para obtener la mayor velocidad angular w posible, y se estiran los brazos para tener el mayor radio de giro r. El disco (o el martillo) se moverá, después de ser soltado, en la línea tangente al círculo descrito al girar con velocidad v = wr. Desde luego que los atletas consideran todavía el ángulo en que debe salir el disco para obtener el mayor alcance posible. Esta situación te muestra una posible aplicación de la recta tangente a una curva y la importancia de su estudio.

La rotación del cuerpo es clave para un buen lanzamiento.

En un primer momento, el deportista se concentra y mueve el disco hacia adelante y hacia atrás. Los brazos y hombros están relajados.

FIGURA 3. Las ilustraciones muestran los movimientos en el lanzamiento del martillo y del disco.

Objetivos Al terminar esta sección tendrás la capacidad de: a) Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva, b) c) d) e)

en un punto de la curva. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva, que pasan por un punto que no pertenece a la curva. Aplicar la ecuación de la recta tangente, vista como aproximación lineal de curvas, a problemas prácticos. Aplicar los métodos de Newton y de la secante para determinar raíces de ecuaciones. Aplicar el método de Euler para determinar la posición de partículas a partir de la velocidad.

Recta tangente En el capítulo 4 mostramos que la derivada f (a) se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en x = a. Más aún, encontramos que: La ecuación de la recta tangente es: y = f(a) + f (a)(x − a) A esta ecuación también se le conoce como aproximación lineal de la función y = f(x) en x = a.

311

6.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

Es posible definir una recta perpendicular a la recta tangente que cruza la curva en el mismo punto (a, f(a)). Para determinar la ecuación de esta segunda recta, que llamaremos recta normal, recordemos que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a −1. Es decir, la pendiente de la recta normal se relaciona con la pendiente de la recta tangente por medio de: mnor =

−1 −1 ; f ' ( a) ≠ 0 = mtan f ' ( a)

Ahora es fácil determinar la ecuación de la recta normal, pues contamos con la pendiente mnor y un punto (a, f(a)) por donde cruza. Obtenemos así que:

La ecuación de la recta normal es: y = f ( a) −

1 ( x − a) ; f ' ( a) ≠ 0 f ' ( a)

En la figura 4 se muestran la curva y las rectas tangente y normal en un punto.

y

Recta tangente

(a, f (a)) Recta normal

x

FIGURA 4. Las rectas tangente y normal a una curva en un punto (a, f(a)).

Nota. • En el caso f (a) = 0, las ecuaciones de las rectas tangente y normal son y = f(a) y x = a, respectivamente. • En el caso f (a) = ∞, se tiene que x = a es la ecuación de la recta tangente y y = f(a) es la ecuación de la recta normal.

312

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

Ejemplos Ejemplo 1. Determina la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 + 3x + 2, que es paralela a la recta y = 5x + 3.

solución En la figura 5 se muestran tanto la parábola como la recta. Por cada punto de la parábola se tiene una recta tangente. ¿Cuál de estas rectas es la que buscamos? y

y 12

15

10

10

8 6

5

4 –22

–11

1

2

3

x

2

–15

0.5

a)

1

1.5

x 2

b)

FIGURA 5. En la gráfica a) se muestran la curva y la recta proporcionadas. En la gráfica b) se muestran algunas rectas tangentes a la curva.

Para responder a la pregunta, buscamos la recta tangente que tiene pendiente m = 5, ya que éste es el valor de la pendiente de la recta proporcionada. Como sabemos que la derivada es la pendiente de la recta tangente en cualquier punto, tenemos que: mtan =

d ( x 2 + 3 x + 2) = 2 x + 3. dx

Igualando la pendiente de las dos rectas obtenemos: 2 x + 3 = 5; x=

5−3 =1 2

El valor de la ordenada y se obtiene al sustituir el valor hallado x = 1 en la ecuación original. Es decir, y = (1)2 + 3(1) + 2 = 6. Finalmente, la ecuación de la recta tangente se obtiene al sustituir los datos obtenidos en y = f(a) + f (a)(x − a). En nuestro caso, se tiene que: y = 6 + 5( x − 1) y = 5x + 1 En la figura 6 se muestran tanto la gráfica de la curva como las dos rectas.

313

6.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

y 12 10 8 6 4 2 0.5

1

1.5

2

x

FIGURA 6. En la gráfica se muestran la curva, la recta proporcionada y la recta tangente obtenida.

Ejemplo 2. Determina la ecuación de la recta normal a la curva y = e−4x, que es perpendicular a la recta 2y + 4x + 3 = 0.

solución Primero, calculemos la derivada de la función. En este caso, tenemos que: dy = −4e −4 x dx Despejando la variable y en la ecuación de la recta dada se tiene que: 3 y = −2 x − 2 Identificamos la pendiente de esta recta con el coeficiente de la variable x, y tenemos que m = −2. Esta recta y la recta normal son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es −1. Es decir, m * mnor = −1 −1 = mtan mnor Por lo que basta con igualar la pendiente de la recta dada con la derivada de la función. Obtenemos entonces que: −2 = −4e−4x Despejando x obtenemos: m=

e −4 x = 1 / 2 −1 ln(2) x= ln(1 / 2) = 4 4 La ordenada del punto de tangencia es y = 1 la ecuación de la recta normal es: y=

2

y la pendiente de la recta normal es mnor =

1 1⎛ ln(2) ⎞ + x− 2 2⎝ 4 ⎠

1 . Así que, 2

314

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

Ejemplo 3. 2 ¿Para qué valor de x las curvas y1 = x3 + x2 − 3x + 2 y y2 = x 3 + 2 x 2 + 5 x − 7 tienen rectas tangentes 3 paralelas? Encuentra las ecuaciones de dichas rectas.

solución Como las rectas tangentes buscadas deben ser paralelas, igualamos las derivadas de las dos funciones dadas y obtenemos que: 3x2 + 2x − 3 = 2x2 + 4x + 5 Simplificando x2 − 2x − 8 = 0, las raíces de esta ecuación son: x1 = −2 y x2 = 4. Para la raíz x1 = −2 se tiene: Curva y1 = x3 + x2 − 3x + 2

y2 =

2 3 x + 2 x 2 + 5x − 7 3

Ordenada del punto de tangencia y1 = (−2)3 + (−2)2 − 3(−2) + 2 = 4

y2 =

2 43 ( −2)3 + 2( −2) 2 + 5( −2) − 7 = − 3 3

Pendiente de la recta tangente mtan = 3(−2)2 + 2(−2) − 3 = 5

mtan = 2(−2)2 + 4(−2) + 5 = 5

Ecuación de la recta tangente y = 4 + 5(x + 2)

y=−

43 + 5( x + 2) 3

Para la raíz x2 = 4 se tiene: Ordenada del punto de tangencia y2 =

y1 = (4)3 + (4)2 − 3(4) + 2 = 70

2 3 263 ( 4) + 2( 4)2 + 5( 4) − 7 = 3 3

Pendiente de la recta tangente mtan = 3(4)2 + 2(4) − 3 = 53

mtan = 2(4)2 + 4(4) + 5 = 53

Ecuación de la recta tangente y = 70 + 53(x − 4)

y=

263 + 53( x − 4) 3

En la figura 7 se muestran las curvas y las rectas tangentes obtenidas.

315

6.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

y 150 125 100 75 50 25 –4

2

–2

4

6

x

–25

FIGURA 7. Rectas tangentes a las curvas dadas en los puntos x = −2 y x = 4.

Ejemplo 4. Juan toma una cuerda de un extremo y la hace girar en un plano paralelo al piso, la cuerda sujeta una pelota de goma en su otro extremo. Si el radio de giro de la pelota es de dos metros y Juan la suelta cuando pasa por el punto 2 , 2 , ¿en qué dirección sale disparada la pelota?

(

)

solución La pelota se mueve sobre el círculo x2 + y2 = 4; después de que Juan suelte la pelota, ésta se moverá sobre la recta tangente y empezará a caer por efecto de la gravedad. Para determinar la ecuación de la recta tangente, despejamos la variable y y obtenemos: y = 4 − x2 Ahora, derivamos esta función y calculamos la pendiente de la recta tangente en x = 2 , y tenemos entonces que: dy −x − 2 mtan = = = = −1 2 dx x = 2 4−2 4 − x x= 2 Concluimos que la pelota sale disparada sobre la recta y = 2 − ( x − 2 ) = 2 2 − x.

El método de Newton Una aplicación útil de la recta tangente es el cálculo de las raíces de ecuaciones. Supón que quieres determinar la raíz de la ecuación y = f(x) y que x0 es un valor cercano a la raíz. La ecuación de la recta tangente a la curva en x0 es: y = f(x0) + f (x0)(x − x0)

316

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

Si f (x0) ≠ 0, entonces el punto donde la recta corta el eje horizontal tiene coordenadas (x1, 0). Al sustituir en la ecuación anterior, se tiene que: 0 = f(x0) + f (x0)(x1 − x0) Despejamos x1 y obtenemos: 0 = f ( x 0 ) + f ( x 0 )( x1 − x 0 ) f ( x 0 )( x1 − x 0 ) = − f ( x 0 ) x1 = x 0 −

f ( x0 ) f ( x 0 )

En la figura 8a se muestran la curva, los puntos (x0, f(x0)), (x1, 0), y la recta tangente que los une. El valor que obtuvimos para x1 es una primera aproximación a la raíz de la ecuación, repetimos nuevamente el proceso para obtener una segunda aproximación x2, y se cumple entonces que: x 2 = x1 −

f ( x1 ) f ( x1 )

Una tercera aproximación, siguiendo el mismo proceso, nos lleva a x3 = x 2 −

f ( x2 ) f ( x 2 )

x0, f x0 x2, 0

x1, 0

x1, f x 1

a)

b)

x2, f x2 x3, 0

c)

FIGURA 8. Proceso para determinar una raíz de una ecuación utilizando el método de Newton, basado en la recta tangente.

6.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

En general se tiene el siguiente método, debido a Newton, para determinar soluciones de ecuaciones.

Método de Newton Para determinar una raíz de la ecuación f(x) = 0 se realizan los siguientes pasos: a) Hacer una estimación inicial x0 de la raíz. b) Calcular una sucesión de aproximaciones mediante la relación de recurrencia x n +1 = x n −

f ( xn ) ; n = 0,1, 2, 3,K f ( x n )

c) Calcular | x n +1 − x n | . Si esta cantidad es menor que la precisión deseada, terminamos el proceso y la raíz es xn+1, en caso contrario seguimos calculando aproximaciones.

Cuando el proceso lleva a una raíz lo hace con pocas repeticiones. Sin embargo, para que el método proporcione buenos resultados se requiere que la ecuación tenga solución, que el valor inicial esté cerca de la raíz buscada y que la derivada no se anule en el proceso. En la figura 9 se muestran dos casos donde el método falla.

FIGURA 9. Casos en donde falla el método de Newton. En el primero no existe la raíz y en el segundo el punto inicial está muy lejos de la raíz.

Conocer la derivada de f(x) es fundamental en el método de Newton. En los casos en que su cálculo sea difícil, es recomendable utilizar su aproximación numérica. f ( x n ) =

f ( x n ) − f ( x n −1 ) x n − x n −1

Obtenemos entonces el método de la secante.

317

318

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

Método de la secante. Para determinar la raíz de la ecuación f(x) = 0 se realizan los siguientes pasos: a) Hacer dos estimaciones iniciales x0 y x1 de la raíz. b) Calcular una sucesión de aproximaciones mediante la relación de recurrencia x n +1 = x n −

f ( x n )( x n − x n −1 ) f ( x n ) − f ( x n −1 )

; n = 1, 2, 3,K

c) Calcular | x n +1 − x n | . Si esta cantidad es menor que la precisión deseada, terminamos el proceso y la raíz es xn+1, en caso contrario seguimos calculando aproximaciones.

Ejemplos Ejemplo 1. Determina la única raíz real de la ecuación y = x3 − 5x2 + x + 20 por medio del método de Newton.

solución La figura 10 muestra la gráfica de la función. Aquí, observamos que existe una raíz real en el intervalo (−2, 0). Así que, elegimos nuestra primera estimación de la raíz como x0 = −1. Gráfica de y = x3 –5 x2 + x + 20 400 30 200 10 –4

2

–2

4

6

x

–10

FIGURA 10. La gráfica de y = x3 − 5x2 + x + 20. Observa que existe una raíz cerca de x = −2.

Para continuar necesitamos la derivada de la función, su cálculo nos lleva a: f (x) = 3x2 − 10x + 1 De acuerdo con el método, obtenemos una segunda aproximación usando la relación de recurrencia:

6.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

x1 = x 0 −

f ( x0 ) f ( x 0 )

= −1 −

f ( −1) f ( −1)

( −1)3 − 5( −1)2 + ( −1) + 20 3( −1)2 − 10( −1) + 1 = −1.92857 = −1 −

Calculamos ahora x2: x 2 = −1.92857 − = −1.92857 −

f ( −1.92857) f ( −1.92857) ( −1.92857)3 − 5( −1.92857)2 + ( −1.92857) + 20 3( −1.92857)2 − 10( −1.92857) + 1

= −1.68373 El cálculo para x3 es similar: x3 = −1.68373 − = −1.68373 −

f ( −1.68373) f ( −1.68373) ( −1.68373)3 − 5( −1.68373) 2 + ( −1.68373) + 20 3( −1.68373) 2 − 10( −1.68373) + 1

= −1.65975 Finalmente, la cuarta aproximación de la raíz es: x 4 = −1.65975 − = −1.65975 −

f ( −1.65975) f ( −1.65975) ( −1.65975)3 − 5( −1.65975)2 + ( −1.65975) + 20 3( −1.65975)2 − 10( −1.65975) + 1

= −1.65952 Ésta es una muy buena aproximación de la raíz, ya que x3 y x4 coinciden en sus tres primeras cifras decimales.

Ejemplo 2. Determina el punto donde la recta tangente a la curva y = e2x + x2 e−3x es paralela al eje x.

solución La pendiente de la recta tangente buscada debe ser cero, así que la derivada de la función debe igualarse a cero. Como la derivada de la función es dy = 2e 2 x + 2 xe −3 x − 3 x 2 e −3 x , dx

319

320

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

se tiene que resolver la ecuación: 2e2x + 2xe−3x − 3x2e−3x = 0. Para aplicar el método de Newton, identificamos la función f(x) = 2e2x + 2xe−3x − 3x2 e−3x. Al calcular su derivada obtenemos: f(x) = 4e2x + 2e−3x − 12xe−3x + 9x2e−3x Considera ahora como punto inicial a x0 = 0. Nuestra primera aproximación es: x1 = x 0 −

f ( x0 ) f (0) 2 =0− = − = −0.333333. f ( x 0 ) f ' (0) 6

La segunda aproximación queda como sigue: x 2 = x1 −

1 f ( −1 / 3) f ( x1 ) =− − = −0.253100 3 f ' ( −1 / 3) f ( x1 )

En la tabla 1 puedes observar la tercera y la cuarta aproximación, y el valor de la función en cada una de ellas. Claramente el proceso nos conduce a una raíz. Tabla 1 Aproximaciones a la raíz de la ecuación 2e2x − 2xe−3x − 3x2e−3x = 0.

x

f(x (x)

fⴕ( )

−1.69145

21.0816

−0.333333

−0.28672

14.4065

−0.2531

−0.127045

13.153

−0.233198

−0.0000277137

13.0957

−0.23223

−1.32547x10−10

13.0956

0.0

Ejemplo 3. Usa el método de la secante para determinar el punto donde se intersecan las curvas y = x2 + e2x − 1 y y = 3cos(x).

solución En la figura 11 mostramos las gráficas de las dos curvas. Observa que un punto de intersección está en el intervalo (0, 1), donde se satisface la condición x 2 + e 2 x − 1 = 3 cos( x ) x + e 2 x − 1 − 3 cos( x ) = 0 Para aplicar el método de la secante, considera la función f(x) = x2 + e2x − 1 −3 cos(x) y las dos primeras aproximaciones, x0 = 0 y x1 = 1. Para obtener la tercera aproximación, usamos la fórmula del método. 2

x 2 = x1 −

f ( x1 )( x1 − x 0 ) f ( x1 ) − f ( x 0 )

=

(e

e 2 − 3 cos(1) 2

)

− 3 cos(1) − ( −3)

= 0.342147

321

6.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

En la tabla 2 se muestran los resultados de las siguientes aproximaciones. La séptima aproximación tiene cuatro cifras decimales correctas. La segunda raíz se encuentra en el intervalo (−2, −1) y en la tabla 3 se muestran las aproximaciones obtenidas empezando con x0 = −2 y x1 = −1. Tabla 2 La primera raíz del

Tabla 3 La segunda raíz del

ejemplo 3.

ejemplo 3.

n

xn

f ( n)

n

xn

f ( n)

2

0.342147

−0.712733

2

−1.25826

0.0296377

3

0.493705

0.208829

3

−1.31266

−0.000426766

4

0.600495

−0.0167166

4

−1.30706

−6.723x10−7

5

0.576322

−0.000348636

5

−1.30714

0

6

0.578114

6.0085x107

7

0.578152

6.56542x108

y 10 8 6 4 2 x –3

–2

–1

–2

1

2

3

FIGURA 11. Las dos curvas del ejemplo 3 y sus puntos de intersección.

El método de Euler Supón que tienes un automóvil que se mueve con velocidad constante v0, entonces, su posición en todo tiempo está dada por: x = x0 + v0t, donde x0 es la posición inicial del automóvil. La fórmula anterior es válida sólo cuando la velocidad es constante. Cuando la velocidad no es constante, puedes estimar la posición en cualquier tiempo si haces algunas suposiciones. Primero, considera que en el pequeño intervalo (0, t1) la velocidad se mantiene constante. Eso claramente no es cierto, pero si el intervalo es realmente pequeño puedes esperar un error insignificante. Supón entonces que, en ese primer intervalo, la velocidad casi no cambia y es igual a

322

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

v(0). En ese caso, podemos estimar la posición final x1 por medio de la relación x1 = x0 + v(0)t1 Si el automóvil se mueve en un segundo intervalo de tiempo (t1, t2), que nuevamente consideramos pequeño, con velocidad aproximadamente igual a v(t1), entonces podemos estimar la posición final x2 con: x2 = x1 + v(t1)(t2 − t1) En general obtenemos, si se sigue este proceso, que el automóvil se mueve con velocidad v(tn−1) en el intervalo (tn−1, tn) y que la posición final xn es: xn = xn−1 + v(t n−1)(tn − tn−1) Es decir, se puede reconstruir numéricamente a la función original partiendo de su derivada y de un valor inicial, a este procedimiento se le conoce como el método de Euler. Estamos ahora en condiciones de establecer el método en su forma más general.

Método de Euler. dy = f ( x ) y y(x0) = y0, entonces la curva de origen y = f(x) se puede reconsdx truir numéricamente utilizando las relaciones de recurrencia Si

x n +1 = x n + h

yn = yn −1 + f ( x n −1 )( x n − x n −1 )

El número h se conoce como el tamaño de paso.

Nota. a) Para obtener buenos resultados es indispensable utilizar tamaños de paso pequeños, ya que el error en el método se propaga en cada paso. b) La relación de recurrencia para la variable dependiente y se puede identificar claramente como la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (x n−1, f(x n−1)). c) El método puede generalizarse para determinar las curvas que satisfacen dy = g( x, y) y y(x0) = y0 con sólo utilizar las siguientes relaciones de recurrencia: dx x n +1 = x n + h

yn = yn −1 + g( x n −1 , yn −1 )( x n − x n −1 )

323

6.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

Ejemplos Ejemplo 1. Un automóvil, que parte del origen y del reposo, se mueve con velocidad v(t) = t3 + 4t2 m/s. Grafica la posición del automóvil en el intervalo (0, 1). Utiliza tamaños de paso iguales a 1/10 seg.

solución La velocidad en el tiempo t = 0 es v(0) = 0. De acuerdo al método, en el primer intervalo no hay cambio en la posición del automóvil. En efecto, x1 = x0 + v(0)t1 = 0 + 0(1/10) = 0. La velocidad en el segundo intervalo es, usando la expresión para la velocidad proporcionada en el enunciado del problema, v(t1) = v(0.1) = 0.041 m/s y la posición final es: x 2 = x1 + v(t1 )(t2 − t1 ) = 0 + v(0.1)(0.1 − 0) = 0.1 * v(0.1) = 0.1 * (0.041) = 0.0041 m Para el tercer intervalo de tiempo se tiene que: x3 = x 2 + v(t2 )(t3 − t2 ) = 0.0041 + 0.168(0.2 − 0.1) = 0.0209 En la tabla 4 se muestran tiempos, velocidades y posiciones finales en cada intervalo. En la figura 12 se muestra la posición del automóvil en el tiempo. Tabla 4 El método de Euler aplicado en la determinación de la posición de un automóvil que se mueve con velocidad v(t).

Tiempo inicial

Tiempo final

Velocidad

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.041 0.168 0.387 0.704 1.125 1.656 2.303 3.072 3.969

y

Posición 0 0.0041 0.0209 0.0596 0.13 0.2425 0.4081 0.6384 0.9456 1.3425

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x 0.2

0.4

0.6

0.8

FIGURA 12. La posición del automóvil en el intervalo (0, 1).

324

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

Ejemplo 2. En todas las escuelas de paracaidismo, es usual que el principiante se lance junto con el instructor desde una altura que varía de 2 mil a 3 mil metros. En ese caso, por seguridad, se abre el paracaídas casi inmediatamente después de haber saltado. Supón que dos personas, cuya masa conjunta es de 140kg, se lanzan desde una altura de 2 mil metros y que sobre ellos sólo actúa la gravedad y la resistencia del aire, que es proporcional a la velocidad con constante de proporcionalidad k = 95kg/s. ¿Cuál es la velocidad que tienen los paracaidistas cada segundo durante los siguientes 10 segundos, si abren el paracaídas cuando FIGURA 13. Caída de dos paracaidistas. http://www.paracaidismocelaya. su velocidad es de 200m/s? com.mx/fotos/index.htm

solución De acuerdo con la Segunda Ley de Newton de la mecánica clásica, las fuerzas que actúan producen una aceleración, la gravedad acelera el cuerpo hacia abajo mientras que la fuerza del aire se opone. La relación que satisfacen es: ma = mg − kv a= g−

k v m

De forma que, para conocer la velocidad en todo tiempo, tenemos que resolver: vn+1 = vn + a(tn+1 − tn); n = 0, 1, 2… Al sustituir el valor de la aceleración encontrada (observa que la aceleración depende de la velocidad), obtenemos: k vn +1 = vn + ⎛ g − vn ⎞ (tn +1 − tn ); n = 0, 1, 2,K ⎝ m ⎠ Si aplicamos la relación anterior para conocer la velocidad un segundo después de que se abre el paracaídas hallamos que: k v1 = v0 + ⎛ g − v0 ⎞ (t1 − t0 ) ⎝ m ⎠ 95 = 200 + ⎛ 9.8 − (200)⎞ (1 − 0) ⎝ ⎠ 140 = 74.0857 m / s Una segunda aplicación de la fórmula de Euler nos proporciona la velocidad a los dos segundos. k v2 = v1 + ⎛ g − v1 ⎞ (t2 − t1 ) ⎝ m ⎠ 95 = 74.0857 + ⎛ 9.8 − ( 74.0857)⎞ (1 − 0) ⎝ ⎠ 140 = 33.6133 m / s

325

6.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

En la tabla 5 se muestran los tiempos y las velocidades finales en cada intervalo. En la figura 14 se muestran los puntos obtenidos y la velocidad en el tiempo. Tabla 5 El método de Euler aplicado en la determinación de la velocidad de los paracaidistas.

Tiempo inicial

Tiempo final

Velocidad

0

1

74.0857

1

2

33.6133

2

3

20.6043

3

4

16.4228

4

5

15.0788

5

6

14.6467

6

7

14.5079

7

8

14.4632

8

9

14.4489

9

10

14.4443

80

y

60 40 20 x 2

4

6

8

FIGURA 14. La velocidad de los paracaidistas en el intervalo (0, 10). Observa que la velocidad se acerca al valor límite, ese valor se conoce como velocidad terminal.

1. Determina las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las curvas dadas en los puntos indicados, grafica la curva y las rectas pedidas. a) f (x) = 2x2 + 5x − 3 en x = 2. b) g(x) = x + 4x − 3 en el punto (1, 2). 2

c) h(x) = x2 + 7x + 6 en el punto (−1, 0). 2 d) f ( x ) = en el punto (1, 1). x +1 8 en el punto dado (4, 2). 4 + 3x f) h(x) = sec x − 2 cosx en el punto (π/3, 1). e) g( x ) =

g) f (x) = x − 4x + 2x + 3 en x = 1. 3

2

h) f ( x ) = x + 9 x + 3 en x = 2. 2

x2 + 3 en x = 1. x 2 x 2 + 3x − 4 j) f ( x ) = 2 en x = 1. x + x−3 x2 + 7 k) f ( x ) = 3 en x = 1. x +1

i) f ( x ) =

l) f (x) = x3/2 − x2/3 en x = 1. m) f(x) = x5/3 − x7/5 en x = 0. n) f(x) = x5/3 − x2/5 en x = 1. o) f(x) = ex−5 en x = 5.

326

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

p) f(x) = xe2x+3 + 3x en x = −3/2.

u) f(x) = cos(x2 + 5x) en x = 0.

q) f(x) = 32x+1 en x = 2.

v) f(x) = 2xtan(6x) en x = π/8.

r) f ( x ) = 5

x2 +4x−7

en x = 1.

w) f(x) = cos(tan(x)) en x = π/4.

s) f(x) = (x + x) cos(2x) en x = π/4.

x) f(x) = arctan(x2) en x = 1.

t) f(x) = x sen(2x) en x = π/8.

y) f(x) = (x + 1) arctan(x) en x = 1

2

2. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva dada y = f(x), que son paralelas a la recta proporcionada. a) Curva y = x2 + 3x − 2, recta y + x − 3 = 0. b) Curva f(x) = 3x2 + 5x + 7, recta y + 4x + 4 = 0. c) Curva f(x) = − x2 + 3x − 2, recta 2y − 3x + 2 = 0. d) Curva y = x3 + 3x2 − 5x + 3, recta x + 2y − 5 = 0. e) Curva y =

x −1 , recta x − 2y = 2. x +1

f ) Curva y = 2x3 + 2x2 + x − 2, recta 3x − y + 2 = 0. 3. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva dada y = f(x), que son perpendiculares a la recta proporcionada. a) Curva y = x2 + x − 2, recta 2y + x − 3 = 0. b) Curva y = x2 + 5x + 1, recta y + 3x + 2 = 0. c) Curva y = 2x3 + 2x2 − x − 2, recta x − y + 1 = 0. d) Curva y = x3 + x2 − 5x + 3, recta x + 2y − 5 = 0. 2x − 1 e) Curva y = , recta x + y − 2 = 0. x +1 4. Determina las ecuaciones de las rectas normales a la curva dada y = f(x), que son paralelas a la recta proporcionada. a) Curva f(x) = 4x2 + 2x + 5, recta 2y − 3x + 4 = 0. b) Curva y = 2x2 + x − 2, recta y + x + 5 = 0. c) Curva y = x3 − 2x2 − x − 2, recta x − 2y + 1 = 0. d) Curva f(x) = x/(x + 1), recta y + x − 3 = 0. 5. Encuentra los valores de x donde las gráficas de las siguientes funciones tienen una tangente horizontal. a) f(x) = x3 − 3x2

d) f(x) = (2x + 3)e−2x

b) f(x) 3x5 − 5x3

e) f(x) = (x2 + 2x − 1)e−2x

1 f ) f(x) = x + 2sen(x) x+2 6. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x2 que pasan por el punto (0, −1). c) f ( x ) = 4 x +

7. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = 1/x que pasan por el punto (1, −1).

327

6.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

8. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y =

x que pasan a través del punto (1, 2). x +1

9. Para este ejercicio considera la curva y = x3 − 4x2 + 2x + 3. a) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva en x = 1. b) Usa la ecuación de la recta tangente como una aproximación lineal de la curva para estimar el valor de y cuando x = 1.01. c) ¿En cuánto varía esta estimación del valor correcto? 10. Determina la aproximación lineal a la función indicada en los puntos proporcionados. 2 a) f ( x ) = 2 en x = 1 x + 4x − 1 b) f (x) = 4 tan(2x + 1) en x = 0 c) f (x) = 43x−2 en x = 0 11. Usa el método de Newton, con la aproximación inicial dada y el número de aproximaciones indicado, para determinar una solución de las siguientes ecuaciones. a) x3 + 4x2 + x − 4 = 0; x0 = 1; n = 3. b) x3 + 5x2 + x + 42 = 0; x0 = 1; n = 10. c) x4 + 4x3 −5x2 + 3x − 7 = 0; x0 = 2; n = 5. d) 2x4 − x3 + 2x2 − 5x + 1 = 0; x0 = −2; n = 7. 1 e) − 4e x = 0 ; x0 = −2; n = 7. 1 + x2

f ) e−x − 5x − 2 = 0; x0 = 0; n = 3. g) ex − x3 + 2x2 + x − 2 = 0; x0 = 0; n = 4. h) sen(x) = 2x + cos(3x); x0 = −0.5; n = 3. i) x2 + 10cos(x) − 5x = 0; x0 = 0; n = 4. j) ex + xe2x − 4 = 0; x0 = 0; n = 7.

12. Las siguientes gráficas corresponden al par de curvas indicadas. Considera las aproximaciones x0 y x1 de sus puntos de intersección, y determina sus puntos de intersección utilizando el método de la secante. a) y = x2 + 4x − 2 y y = 2x + sen(2x) − 1

b) y = x + ex y y = x3 + 2x + 2

i) x0 = −2; x1 = −3; x6.

x0 = 1; x1 = 2; x5.

ii) x0 = 2; x1 = −3; x6.

20

y 20

15

15

10

10

5

y

5 x

x –4

–3

–2

–1

2 –5

–10 FIGURA 15.

3

4

–2

–1

1 –5 –10 Figura 16.

2

3

328

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

c) y =

d) y = x3 + 5x2 − 3x + 2 y y = x4 + 4x3 + 6x − 7

2x y y = x4 − 3 1 + x2

i) x0 = −6; x1 = −4; x7. ii) x0 = 1; x1 = 2; x6.

i) x0 = −2; x1 = −1; x6. ii) x0 = 1; x1 = 2; x7. y 6

200

4

150

y

100 2 50 x –2 –1.5 –1 –0.5 –2

0.5

1

1.5

x

2

–6

–4

–2

2

4

6

–50 –100

–4

FIGURA 17.

Figura 18.

t . Si el movimiento inicia en el origen en el tiempo t +1 t = 0 y termina en t = 1, usa el método de Euler con h = 0.1 para graficar la posición de la partícula en el intervalo indicado. ¿Cómo se modifica la gráfica si se consideran incrementos de h = 0.05?

13. Una partícula se mueve con velocidad v(t ) =

14. Una población de bacterias crece con un ritmo dP =4 t , dt donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días. Si el tamaño inicial de la población es 500, estima la población a los 7 días usando el método de Euler con h = 1, h = 0.5 y h = 0.1. 15. Utiliza el método de Euler para graficar en el intervalo dado la curva que satisface: a) y = x − x3, con la condición y(0) = 1, con h = 0.1 en el intervalo (0, 2). b) y' =

x , con la condición y(0) = 1, con h = 0.1 en el intervalo (0, 1). 1 + x2

c) y' = e1− x , con la condición y(0) = 1, con h = 0.2 en el intervalo (0, 3). 2

d) y = x cos(x), con la condición y(0) = 0, con h = 0.2 en el intervalo (0, 3). e) y = xe−x, con la condición y(0) = 0, con h = 0.5 en el intervalo (0, 10). f) y = y cos(x + y), con la condición y(0) = 1, con h = 0.2 en el intervalo (0, 10).

6.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

Problemas para trabajar en equipo

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones. 1. “Accidentes en montañas rusas” presentada en la introducción. 2. Sobre tangentes y normales. a) Análisis gráfico para obtener la recta tangente. i) Usa papel cuadriculado para construir la gráfica de la función y = x2 en el intervalo (−5, 5). ii) A partir del punto (3, 5), traza rectas tangentes a la curva. iii) En la gráfica, estima los valores de los puntos de tangencia y con ellos determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva que pasan por (3, 5). b) Análisis algebraico para obtener la recta tangente. i) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 que toca a la curva en el punto (a, a2). ii) Determina los valores de a que permiten que la recta tangente pase por el punto (3, 5). iii) Usa el resultado del inciso anterior para determinar las ecuaciones de las rectas tangentes que pasan por el punto (3, 5). c) Análisis gráfico para obtener la recta normal. i) En otro papel cuadriculado traza una recta normal a la curva que pase por el punto (18, 0). ii) Usa la gráfica para estimar la ecuación de la recta normal a la curva que pasa por (18, 0). d) Análisis algebraico para obtener la recta normal. i) Determina la ecuación de la recta normal a la curva y = x2 que toca a la curva en el punto (a, a2). ii) Determina los valores de a que permiten que la recta normal pase por el punto (18, 0). iii) Usa el resultado del inciso anterior para determinar las ecuaciones de las rectas normales que pasan por el punto (18, 0). e) Método general i) Escribe un método que te permita determinar las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a la curva y = f(x) que pasen por el punto (a, b). ii) Aplica tu método para determinar las ecuaciones de tres rectas diferentes que pasen por el punto (3, 10) y que sean normales a la parábola y = x2. iii) Aplica el método para determinar las ecuaciones de las rectas tangentes a y = e2x que pasan por el punto (1, 0). iv) Aplica el método para determinar las ecuaciones de las rectas normales a y = e2x que pasan por el punto (1, 1).

329

330

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

3. Situación: Lanzamiento de martillo La deportista polaca Kamila Skolimowska ganó la medalla de oro en la prueba de lanzamiento de martillo en los Juegos Olímpicos de Sydney 2000. Su lanzamiento de 71.16 metros estuvo a punto de caer sobre un juez. Considera que Kamila giró en sentido contrario a las manecillas del reloj y que el martillo lo llevaba a una distancia de 2.7 m, aproximadamente, de su eje de giro. Es decir, el martillo giró a lo largo de la circunferencia x2 + y2 = 7.29 a) Si el martillo salió en el punto (2.01, 1.8) metros, ¿en qué lugar estaba el juez? Considera que Kamila estaba en el origen de coordenadas y que los lanzamientos se consideran válidos sólo si caen entre las rectas y = x y y = −x. ¿Estuvo Kamila en peligro de no ganar la medalla de oro?

1. Indica la opción que contiene la ecuación de una recta tangente a y = x2 que pasa por el punto (5, 9). a) y = 4x − 3

c) y = 2x + 1

b) y = 3x − 2

d) y = 18x − 81

2. Usa el método de Newton para determinar la cuarta aproximación de una raíz de la ecuación y = x5 + 4x4 − 3x3 − 12x2 + 16x − 27, iniciando con x0 = 3. a) 1.73087

c) 1.7225

b) 2.43

d) 1.80801

3. Un automóvil se mueve con velocidad v = 3t. Usando el método de Euler con h = 0.1, determina la posición en el tiempo t = 0.5, suponiendo que el automóvil parte del origen. a) 0.45

c) 0.18

b) 0.09

d) 0.3

4. Determina una recta tangente a y = x3 + 4x2 − 3x + 2 que sea perpendicular a la recta y = 4x − 3. a) y = −0.597201 + 4x

c) y = 29.3526 − 0.25x

b) y = 19.2531 − 0.25x

d) y = 32.7453 + 4x

331

6.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

5. Relaciona las rectas pedidas de la columna A con las ecuaciones proporcionadas en la columna B. Columna A a) Recta normal a y = 3sen(2x) + 4cos(3x) en x = 0. b) Recta tangente a y = e2x en x = 0. c) Recta tangente a y = x2 + 2x que pasa por (1, −1). 5 d) Recta normal a y = x 2 + x + 2 perpendicular a y = −2x + 3. 2

Columna B i) y + 6x − 4 = 0 ii) x + 6y − 24 = 0 iii) y = 2x iv) 2y − x − 2 = 0 v) y − 8x + 9 = 0 vi) y = 6x + 4 vii) y + 9x − 8 = 0 viii) y − 2x + 1 = 0

Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Recta tangente a) y = −11 + 13x b) y = −4 + 6x c) y = 5 + 5x d) y = (3 − x)/2 e) y = (44 − 3x)/16 f) y = −4.4414 + 5.19615x g) y = 5 − 3x h) y = (24 + 13x)/10 i) y = 6 − 2xy j) y = 25 − 34x k) y = 9 − 5x l) y = (5x − 5)/6 m) y = 0 n) y = (19x − 19)/15 o) y = x − 4 p) y = x − 4.5 q) y = −824.851 + 533.926x r) y = −0.346265 + 0.386265x s) y = 2.20265 − 2.8045x t) y = −0.21809 + 1.26247x u) y = 1 v) y = −3.7011 + 7.42478x w) y = 1.86208 −1.68294x x) y = x − 0.214602 y) y = −0.214602 + 1.7854x

Recta normal y = (197 − x)/13 y = (13 − x)/6 y = −(x + 1)/5 y = 2x − 1 y = (16x − 58)/3 y = 1.20153 − 0.19245x y = (x + 5)/3 y = (85 − 10x)/13 y = (7 + x)/2 y = (x − 307)/34 y = (19 + x)/5 y = (6 − 6x)/5 x=0 y = (15 − 15x)/19 y=6−x y = −x − 7.5 y = 243.004 − 0.00187292x y = 2.6289 − 2.5889x y = −0.28005 + 0.35657x y = 0.588737 − 0.7921x x=0 y = −0.732508 − 0.134684x y = 0.0736206 + 0.594198x y = 1.7854 − x y = 2.1309 − 0.560099x

332

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

2. a) y = −6 − x b) y = −4x − 1/4 23 3 + x c) y = − 16 2

d) y = −0.5x + 17.4057; y = −0.5x + 1.59431

a) y = 2x − 9/4

h) y = −50/27 − 2x; y = −2 − 2x

b) y = (3x − 40)/9

i) x = x; y = x + 4

c) y = −46/27 − x; y = −2 − x

j) x = 0, 2

d) y = 13.051 + 2x; y = −2.23623 + 2x

k) x = 0, 1, −1

e) y = 6.461 + x; y = −0.464102 + x 2 41 f) y = − x + 3 9 g) y = −2 + x

l) x = −5/2, −3/2

e) y = (x − 1)/2; y = (x + 7)/2 f) y = 3x; y = 3x − 64/27

3.

m) x = −1 n) x = −2, 1 o) x = −2π/3, 2π/3

4. y = −1 − 2x; y = −1 + 2x 5. y = 4.82843 − 5.82843x; y = −0.828427 − 0.171573x 6. y = 1.866 + 0.134x; y = 0.134 + 1.866x. 7.

8.

a) y = 5 − 3x b) 1.97

c) 0.03

a) y = (5 − 3x)/4

c) y =

b) y = 6.2296 + 27.4042x

1 3 ln( 4) + x 16 16

9. a) x3 = −1.47068

f) x3 = −0.164289

b) x10 = −6

g) x4 = 0.358313

c) x5 = 1.29504

h) x3 = −0.387479

d) x7 = 0.21781

i) x4 = 1.12095

e) x7 = −4.39976

j) x7 = 0.619853

a) i) x6 = −2.67454, ii) x6 = 0.73299

c) i) x6 = −1.19145, ii) x7 = 1.40923

b) x6 = 1.88569

d) i) x7 = −4.60321, ii) x6 = 1.07799

10.

333

6.1: Aplicaciones de las rectas tangente y normal

11. y

y 0.3

0.25

0.25

0.2

0.2

0.15

0.15

0.1

0.1 0.05

0.05 x 0.2

0.4

0.6

0.8

x 0.2

1

a)

0.6

0.4

1

0.8

b)

12. 543, 546 y 549. 13. y

y 1.3

1

1.25 0.5 x 1

0.5

1.5

1.2 1.15 1.1 1.05

2

–0.5

x 0.2

a)

0.8

1

b) y

y 0.5 0.25

3.5 3

x

2.5 2 1.5 x 0.5

c)

0.6

0.4

1

1.5

2

2,5

– 0.25 –0.5 –0.75 –1 –1.25

3

d)

0.5

1

1.5

2

2,5

3

334

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

y

y

1 1

0.8

0.8

0.6

0.6 0.4

0.4

0.2

0.2

x 2

4

6

e)

1. 2. 3. 4. 5.

8

x

10

2

f f)

d) a) d) b) (a, ii), (b, viii), (c, v), (d, iv)

4

6

8

10

335

6.2: Razones de cambio relacionadas

6.2 Razones de cambio relacionadas Las ciencias, […] construyen modelos principalmente. Por modelo se entiende una construcción matemática que, con la adición de ciertas interpretaciones verbales, describe los fenómenos observados. John Von Neuman

Dispositivo robótico El modelado del funcionamiento de los componentes de un robot es esencial para su diseño, construcción, corrección de errores o ajustes, según las necesidades del ámbito donde se emplean. Una empresa donde se fabrican robots tiene un problema en un dispositivo del brazo de un cierto modelo. La situación es la siguiente: Una parte del brazo de ese modelo de robot consta de un dispositivo electromecánico compuesto por un disco metálico de 10 cm de radio y un sensor que está a 30 cm de distancia del centro del disco (en un mismo plano, como se muestra en la figura 1). El sensor calcula continuamente la distancia entre él y un punto específico P que se mueve sobre la circunferencia del disco, con una velocidad constante. Como parte del trabajo que se ha de realizar para resolver el problema, es necesario dar respuesta a las preguntas siguientes: i) ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre el sensor y el punto en la circunferencia del disco al tiempo t? ii) ¿Cuál es la razón de cambio de esa distancia cuando el ángulo formado entre la línea que va del sensor al centro del disco y la que va del centro del disco al punto P es de π/2? iii) ¿Cuál es la razón de cambio de esa distancia cuando ésta es la más grande posible? iv) ¿Cuál es la rapidez cuando esa distancia es la más pequeña? v) ¿Cuál es el significado de las respuestas a las preguntas de los incisos (iii) y (iv)?

P

sensor

FIGURA 1.

336

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

Introducción Recordemos que la derivada dy/dx de una función y = f(x) es su razón de cambio instantánea, respecto a la variable independiente x. Por ejemplo, cuando una función define la posición de un objeto, la razón de cambio de ésta es la rapidez (velocidad) con la que se mueve ese objeto. En general, la derivada da respuesta a la pregunta ¿qué tan rápido cambia una cantidad? Así, cuando decimos que un automóvil viaja a 70 km/h, significa que la rapidez con que cambia su posición es tal que recorre 70 km en una hora. Pues bien, existen en la vida real muchas situaciones prácticas en donde hay dos o más razones de cambio involucradas. Por ejemplo, si un globo esférico se desinfla a una razón conocida (es decir, se conoce la razón a la que decrece su volumen), podríamos preguntarnos cómo calcular la razón a la que está decreciendo su radio, su diámetro, o el área de su superficie, en algún momento determinado. En general, en este tipo de problemas, se trata de determinar la razón a la que cambia alguna cantidad que está relacionada con otras cantidades cuyas razones de cambio son conocidas.

Objetivos Al terminar esta sección tendrás la capacidad de: a) Resolver problemas de razones de cambio relacionadas.

Problemas de razones de cambio relacionadas A continuación, te presentamos algunos aspectos importantes que debes tomar en cuenta al intentar resolver un problema de razones de cambio relacionadas.

Guía para la solución de razones de cambio. 1. Leer cuidadosamente el enunciado a fin de tener claro cuál es el problema específico que se trata, es decir, qué es lo que se pide calcular, y cuáles son los datos que se ofrecen. 2. Hacer un dibujo apropiado de la situación que se presenta, dar nombre a las variables y escribir las constantes involucradas. 3. Hacer una lista de todas las cantidades usando una simbología adecuada (indicar los valores de las razones de cambio conocidas y expresar simbólicamente las razones desconocidas, en términos de derivadas). 4. Determinar una ecuación general que relacione todas las variables y constantes. 5. Derivar implícitamente la ecuación obtenida en el paso anterior para hallar una relación general entre las razones de cambio. Cuando las variables están cambiando en el tiempo, la derivación se realiza respecto a t. 6. Sustituir los valores y las razones de cambio conocidas en la ecuación derivada del paso anterior, y despejar de ahí la razón de cambio desconocida.

337

6.2: Razones de cambio relacionadas

En este tipo de problemas, la dificultad mayor estriba en la formulación matemática, es decir, en la modelación matemática del problema (punto 4 de la guía). En algunas situaciones se requiere de un poco de ingenio, y en algunos casos es útil recurrir a la estrategia de prueba y error. No te frustres si en los primeros intentos no resultan las cosas como se espera; todos los problemas planteados mediante un enunciado requieren de práctica, de un poco de esfuerzo de tu parte para entender la forma en que se deben abordar para lograr resolverlos. Después de todo, recuerda que un problema es aquella situación en la que no se sabe plenamente cómo proceder en cada paso del proceso de su resolución, porque si se supiera, ya no habría problema.

Nota. Debes tener cuidado al tratar las cantidades involucradas. Un error bastante frecuente consiste en sustituir los valores numéricos antes de establecer las relaciones generales entre tales cantidades. Se debe realizar la sustitución una vez que se ha derivado implícitamente. Para esto, es muy importante tener claro, desde el inicio de la resolución del problema, cuáles son las cantidades fijas y cuáles las que cambian al pasar el tiempo.

Ejemplos Ejemplo 1. Un globo aerostático esférico se infla, en forma tal, que su volumen se incrementa a razón de 84.951 dm3/min. ¿Con qué rapidez aumenta el diámetro del globo, cuando el radio es de 3.05 dm?

solución Las variables involucradas en el problema son: t = tiempo transcurrido a partir del momento en que comienza a inflarse el globo. V = volumen del globo al tiempo t. r = radio del globo. D = diámetro del globo. Tenemos entonces que

dV dD = 84.951 dm3/min, y queremos saber cuál es el valor de , cuando dt dt

r = 3.05. La ecuación general que relaciona el volumen de una esfera y su radio, está dada por la fórmula

3 4 3 4 D 1 π r , la cual, en términos del diámetro, puede escribirse como V = π ⎛ ⎞ , o bien V = π D3 . 3 3 ⎝ 2⎠ 6 Entonces, para hallar la relación general entre las razones de cambio del volumen y el diámetro del globo, debemos derivar esta última expresión respecto al tiempo. Resulta:

V=

dV 1 dD = π D2 dt 2 dt

338

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

Despejando la razón de cambio del diámetro, tenemos que: dD 2( dV dt ) = dt π D2 Cuando r = 3.05, el diámetro es D = 6.1, por lo que finalmente resulta: dD 2(84.951) = ≈ 1.4534 dm min , dt π (6.1)2 donde se ha considerado el valor de π como 3.1416.

Ejemplo 2. Una cámara de televisión graba el lanzamiento (vertical) de un transbordador espacial. La cámara está localizada a 3 kilómetros de la plataforma de lanzamiento. ¿Cuál es la razón a la que debe cambiar el ángulo de inclinación de la cámara para mantener al transbordador en el objetivo, en el momento en que éste se encuentra a 4500 metros sobre el punto de lanzamiento y se desplaza a 1000 km por hora?

solución De acuerdo al enunciado del problema, lo que se pide calcular es la rapidez con que debe cambiar el ángulo de inclinación de la cámara justo en el momento en que el transbordador está a 4.5 km del punto de lanzamiento y viaja a 1000 km por hora. Las variables en juego en este problema son las siguientes: t = tiempo transcurrido a partir del momento del lanzamiento. θ = ángulo de inclinación o elevación de la cámara. h = altura del transbordador espacial al pasar el tiempo. Por otra parte, la cámara está en un punto fijo, por lo que su distancia a la plataforma de lanzamiento es siempre de 3 km. dh La rapidez (razón de cambio) del transbordador en el momento t está dada, simbólicamente, por ; es dt dh dθ = 1000 km/h. Mientras que, la razón de cambio del ángulo de elevación de la cámara es . decir dt dt

Transbordador

h

Plataforma de lanzamiento

Cámara 3 km

FIGURA 2.

339

6.2: Razones de cambio relacionadas

La relación entre las cantidades se puede establecer a partir de la figura 2. Podemos observar que en el triángulo rectángulo formado, el ángulo de elevación de la cámara, la distancia entre la cámara y la plataforma de lanzamiento, y la altura del transbordador, se relacionan con la ecuación h 3 Ahora, derivamos implícitamente respecto a la variable independiente t (tanto θ como h dependen del tiempo) para obtener la relación general entre las razones de cambio involucradas, es decir, tan(θ ) =

sec 2 (θ )

dθ 1 dh = dt 3 dt

De aquí, despejamos la razón de cambio que interesa, dθ/dt, de manera que dθ dh 1 = 2 dt 3 sec (θ ) dt Observa que esta ecuación indica que, para determinar la razón de cambio del ángulo (dθ/dt), sólo necesitamos la razón de cambio del transbordador (dh/dt) y el valor de sec(θ). dθ En el problema se pide calcular en el momento preciso en que h = 4.5 km. La distancia entre la dt cámara de televisión y el transbordador en ese momento es, de acuerdo al teorema de Pitágoras, d = (3)2 + ( 4.5) 2 ≈ 5.4083, por lo tanto, sec(θ ) = Finalmente,

5.4083 ≈ 1.8028 (redondeando al cuarto dígito). 3

dθ 1 (1000) ≈ 102.56 radianes / h, = dt (3)(1.8028) 2

ó, dθ ≈ 0.028 radianes / s. dt

Ejemplo 3. Dos barcos están compitiendo, con velocidad constante, en una carrera hacia un punto de llegada. El barco Acuario navega desde el Sur a 13 nudos y el barco Tritón se acerca desde el Este. En el instante en que están a la misma distancia de la meta, la distancia entre los dos barcos es de 16 millas y ésta decrece a razón de 17 nudos. ¿Cuál de los dos barcos ganará la carrera?

solución Lo primero que debemos advertir es que, para contestar la pregunta, necesitamos saber cuál es la velocidad del barco Tritón. Éste es el punto central del problema. Analicemos los datos y demos nombre a las variables en juego:

340

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

t = tiempo x = distancia entre el Tritón y la meta y = distancia entre el Acuario y la meta z = distancia entre los dos barcos dy = 13 nudos. Lo que se quiere saber es la rapidez del barco Tritón, es dt dx dz = 17 . decir, el valor de , justo en el momento en que z = 16, y dt dt La situación se esquematiza en la figura siguiente: La rapidez del Acuario es

T x

meta y

z

A

FIGURA 3.

De acuerdo al dibujo, la ecuación general que relaciona las distancias está determinada por el teorema de Pitágoras, es decir, z2 = x2 + y2 (por ser un triángulo rectángulo). Derivamos esta ecuación implícitamente respecto al tiempo, para obtener la relación general entre las razones de cambio, resultando dx dy dz 2z = 2x + 2y , dt dt dt de manera que, dx z dz y dy = − dt x dt x dt

(*)

Ahora, considerando que x es igual a y en el momento en que z = 16 (porque en el enunciado del problema dice que “En el instante en que están a la misma distancia de la meta, la distancia entre los dos barcos es de 16 millas,…”), tenemos que (16)2 = x2 + x2. Despejando x, resulta x ≈ 11.31. Finalmente, sustituyendo todos los datos en la ecuación (*), tenemos que dx 16 11.31 = (17) − (13) ≈ 11.05 nudos, dt 11.31 11.31 que es la rapidez con que navega el Tritón. Este resultado nos indica que el barco que ganará la carrera es el Acuario, porque navega a una rapidez mayor.

341

6.2: Razones de cambio relacionadas

1. Contesta las preguntas siguientes: a) ¿Es lo mismo razón de cambio, rapidez, velocidad y tasa de variación? Investiga sobre el significado de estos términos en Cálculo y argumenta lo más ampliamente posible tu respuesta. b) ¿Qué es la aceleración de una partícula? c) ¿En qué consiste un problema de razones de cambio relacionadas? 2. Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 1 milla y a una velocidad de 750 millas por hora y pasa justo sobre el lugar donde tú te encuentras. Determina la razón a la que el avión se aleja del lugar donde estás, justo cuando aquél está a 2 millas de distancia de ese lugar. Realiza el proceso contestando cada uno de los incisos siguientes: a) ¿Qué es lo que se pide? b) ¿Cuáles son las cantidades que se dan en el problema? c) Traza el dibujo de la situación para cualquier momento t e indica la razón de cambio dada y la que se pide hallar, en términos simbólicos, usando derivadas (de acuerdo a las variables que uses en el dibujo). d) Determina una ecuación general que relacione las cantidades. e) Encuentra la relación general entre las razones de cambio involucradas y termina de resolver el problema. 3. El ángulo de elevación del Sol decrece a razón de 0.25 rad/h. ¿Con qué rapidez aumenta la sombra proyectada por un edificio de 15 metros de alto cuando el ángulo de elevación del Sol es de π/6 radianes? 4. ¿A qué velocidad aumenta el área de la superficie del globo aerostático del ejemplo 1, en esas mismas condiciones? 5. La posición de un pistón de motor de automóvil (en su movimiento arriba y abajo dentro del cilindro), está relacionada con su velocidad, arriba del centro del cilindro, por la ecuación s2 + v2 = 16 (ver figura 4). Si la posición se mide en milímetros y la velocidad en milímetros por segundo, calcula la aceleración de este pistón en el momento en que se encuentra 2 milímetros arriba del centro.

0

FIGURA 4.

342

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

6. Un barco petrolero tiene un accidente y el petróleo se derrama a razón de 175 galones por minuto. Supongamos que el petróleo se esparce sobre el agua en un disco circular de 0.2 pulgadas de espesor. Determina la razón a la cual el radio de la mancha está creciendo cuando el radio tiene 85 pies. 7. Este problema se refiere a la Ley de Boyle, la cual establece que para una cantidad fija de gas a temperatura constante, la presión (P) y el volumen (V) tienen relación inversa. De esta forma, para alguna k constante, se tiene que PV = k. Si una cantidad de gas ocupa 10 cm3 a la presión constante de 2 atmósferas, y la presión aumenta mientras la temperatura permanece constante: a) El volumen, ¿aumenta o disminuye? b) Si la presión aumenta con una rapidez de 0.05 atmósferas/minuto cuando la presión es de 2 atmósferas, calcula la rapidez con la que cambia el volumen en ese momento. 8. Un helicóptero está volando hacia el Norte a 100 km/h y a una altura constante de 450 metros. Abajo, un automóvil está avanzando hacia el Oeste a una velocidad de 95 km/h sobre una carretera. En el momento en que el helicóptero cruza la carretera, el automóvil está 2 km al Este del helicóptero. a) ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia entre el automóvil y el helicóptero en el momento en que éste cruza la carretera? b) ¿Está aumentando o disminuyendo la distancia entre ellos en ese momento? 9. Una cubeta para agua tiene la forma de un cono truncado de 2 pies de altura, un radio inferior de 6 pulgadas y un radio superior de 12 pulgadas. Si sale agua de la cubeta a 10 pulgadas3/minuto, ¿con qué razón decrece el nivel del agua cuando la profundidad del agua en la cubeta es de un pie? 10. ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre la punta del minutero de un reloj y la marca de las 6 cuando el minutero apunta a las 2 en punto? 11. El volumen de un globo esférico aumenta a razón de ocho metros cúbicos por minuto. ¿Con qué rapidez aumenta el diámetro cuando éste tiene dos metros? 12. Juan vuela una cometa a una altura de 20 metros en la Marquesa, Estado de México. Juan se mantiene fijo y suelta la cuerda de manera que la cometa se mueve horizontalmente con una velocidad de dos metros por segundo. ¿Con qué rapidez Juan afloja la cuerda cuando su longitud es de 30 metros? Supón que la cometa no sube ni baja y que la cuerda se halla tensa. 13. Un carro de volteo deja caer arena sobre un montón en forma de cono a razón de quince metros cúbicos por minuto. Supón que la altura siempre es dos veces el radio de la base del cono, ¿cuál es la razón de cambio de la altura cuando ésta es de un metro? 14. Un cono de papel se llena de agua con una velocidad de dos centímetros cúbicos por segundo. Suponiendo que las dimensiones del cono son 9.5 centímetros de altura y 6.8 centímetros de diámetro, calcula la rapidez con que aumenta el nivel del agua cuando éste es de 5 centímetros. 15. Un automóvil A se desplaza hacia el Norte a una velocidad de 80 km/hora. Un segundo auto B viaja a una velocidad de 60 km/hora hacia el Este; ambos se acercan a un punto de cruce. Cuando el auto A está a 100 metros de dicho punto, ve pasar al auto B ¿Con qué rapidez se separan, 10 minutos después de que el auto B pasa por el punto de cruce?

343

6.2: Razones de cambio relacionadas

16. Una mujer jala una lancha con una cuerda a una velocidad de 10 metros por minuto, la mujer se encuentra a dos metros sobre el nivel de la lancha, ¿con qué rapidez se aproxima la lancha al muelle cuando la cantidad de cuerda suelta es de cinco metros? 17. Juan se encuentra situado a 20 metros de la plataforma de lanzamiento de un cohete de juguete. En ese momento, el cohete sale disparado con una velocidad de 40 metros por segundo. Determina el cambio en el ángulo de visión de Juan respecto a la horizontal cuando este ángulo es de 45°? 18. Un hombre de 1.80 metros de estatura camina con una velocidad de dos metros por segundo y se aleja de una fuente de luz que está a cuatro metros de altura ¿A qué ritmo está cambiando la longitud de su sombra? ¿A qué ritmo se mueve el extremo de su sombra? 19. Una escalera de cuatro metros de largo está recargada sobre una pared, el apoyo en el piso está a 1.5 metros de la pared y se separa de ésta a una velocidad de 0.5 metros por segundo. Encuentra la razón de cambio del extremo superior de la escalera. 20. Una alberca olímpica tiene longitud y ancho de 50 y 20 metros, respectivamente. La profundidad en su parte más honda es de 3.40 metros y en la parte menos honda es de 1.60 metros. Encuentra la razón de cambio en la profundidad h (ver figura) cuando ésta es de dos metros. Supón que la alberca se está llenando de agua a razón de 10 metros cúbicos por minuto.

50m 20m

1.70m

h 3.40m

FIGURA 5.

Problemas para trabajar en equipo

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones. 1. Dispositivo robótico a) Contesta las preguntas planteadas en la situación “Dispositivo robótico”, con la que iniciamos esta sección.

344

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

b) Para un componente innovador del dispositivo electromecánico del robot, se necesita resolver el siguiente problema: la figura 6 muestra un sector que está sobre el disco. Este sector está compuesto por la unión del triángulo T y del casquete S. La función para la que fue diseñado este componente requiere que el vector radial r gire en sentido contrario a las manecillas del reloj con una velocidad angular constante de w radianes por segundo. Para dar solución al problema, a tu equipo de trabajo se la ha pedido probar que el área del sector cambia con velocidad constante pero que, ni el área de T ni la de S, cambian con velocidad constante.

S r

T

FIGURA 6.

2. Velocidades entre planetas Los astrónomos han determinado con mucha precisión las relaciones entre las distancias y velocidades entre el Sol y todos los planetas de nuestro sistema solar. Uno de los fenómenos que más interesa es el referente a lo que sucede respecto a Venus, el planeta vecino más cercano. La figura 7 muestra al Sol (S), a Venus (V) y a la Tierra (T) formando un triángulo. Considera que las distancias del Sol a Venus y del Sol a la Tierra son constantes, en forma tal que TS ≈ 1.5 × 108 km y VS ≈ 1.023 × 108 km. El ángulo θ con vértice en la Tierra 1.47 π varía de 0° a 47° y crece a razón de radianes por año. 180 a) ¿Con qué rapidez se acerca Venus a la Tierra cuando su distancia a ella es de 1.023 × 108 km?

V

T S

FIGURA 7.

345

6.2: Razones de cambio relacionadas

b) La pregunta del inciso anterior se basa en el supuesto de que las distancias Sol-Venus y Sol-Tierra son constantes, sin embargo, en la realidad no es así (aunque para ciertos cálculos, tal suposición arroja resultados bastante precisos). Como has de saber, las trayectorias del planeta Venus y de la Tierra, respecto al Sol, son elípticas (siguen una trayectoria en forma de elipse en la que el Sol está en uno de los focos). Investiga todo lo que esté a tu alcance, tanto en medios impresos como en Internet, sobre las implicaciones del problema planteado, si se consideraran estas trayectorias elípticas reales. Redacta con tu equipo un escrito sobre lo investigado y expliquen cómo se resolvería el problema. 3. Engrane elíptico Parte de un sistema mecánico consiste en un engrane elíptico que está dispuesto como se muestra en la figura 8. Éste gira alrededor del foco F, tomado como eje, obligando al rodillo que hay en P a moverse hacia arriba y hacia abajo a lo largo de la recta FP. Los semiejes mayor y menor del engrane son de 5 y 3 cm, respectivamente. El engrane gira a razón de 240 rpm. a) Un problema de funcionamiento, en este mecanismo, hace necesario determinar la velocidad a la que se moverá el rodillo en el momento en que el eje mayor del engrane forme un ángulo de 60° con la línea de movimiento del rodillo. Resuelvan este problema en equipo. b) Con el fin de conocer el funcionamiento global del mecanismo, se necesita determinar la velocidad del rodillo para cualquier ángulo θ. A tu equipo se le pide que haga un análisis completo a partir de la gráfica de velocidad contra tiempo. El análisis debe comprender la gráfica y el análisis de movimiento del rodillo.

A

a

P u

b

r F

FIGURA 8. Engrane elíptico.

4. Empacadora de aguacates En una empresa empacadora es muy importante optimizar los procesos que emplean recursos tecnológicos, a fin de controlar los costos de operación y mantenimiento. Considera la siguiente situación de una empacadora de aguacates en la que es necesario resolver un problema en uno de los procesos:

346

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

Una caja con aguacates de exportación se cuelga de una cuerda que pasa por una polea, como se muestra en la figura 9. El otro extremo de la cuerda está sujeto a un aparato que jala (en forma automática) horizontalmente a 0.5 m/s, en un riel que está a 2 metros sobre el piso. La cuerda tiene una longitud de 12 metros y la polea está a una altura de 6 metros sobre el piso. Como parte del trabajo para resolver el problema que se tiene, se ha pedido a tu equipo de trabajo que calcule la rapidez con que sube la caja cuando está a 3 metros sobre el piso. ¿Qué solución propondrán a la empacadora?

6m

Caja

Riel

0.5 m/s

2m

FIGURA 9.

5. Factores de crecimiento en la industria Una de las variables con las cuales se mide el nivel de desarrollo de un país, es la referente al nivel de crecimiento en la producción de su industria. En el ámbito de la economía, la tasa de crecimiento en la producción industrial depende de diversos factores (de hecho, la expresión tasa de crecimiento, se usa en términos relativos, no absolutos); entre los más importantes se encuentran los relativos a la cantidad de personas en la fuerza de trabajo al pasar el tiempo, y a la producción promedio por persona de esa fuerza de trabajo. ¿Qué información se requiere para determinar la tasa de crecimiento anual de la producción total, si se consideran únicamente estos dos factores?, ¿cómo se determinaría esa tasa de crecimiento? Investiga todo lo que creas conveniente, a fin de dar respuesta a estas preguntas.

1. ¿Cuál es la razón a la que está cambiando la distancia entre el transbordador espacial y la cámara del Ejemplo 1, en esas mismas condiciones? a) 673.25 km/h b) 832.05 km/h

c) 950 km/h d) 1 000.08 km/h

347

6.2: Razones de cambio relacionadas

2. El perímetro de un rectángulo se supone fijo en 24 cm. Si su base b crece a razón de 1 cm por segundo, ¿a partir de qué valor de b empieza a decrecer el área del rectángulo? a) 6 cm b) 7.5 cm

c) 8 cm d) 9.5 cm

3. Un automóvil A se mueve hacia el Oeste a 85 km/h, y otro B, hacia el Norte a 95 km/h. Ambos se dirigen hacia la intersección de sus caminos. ¿Con qué rapidez se aproximan entre sí en el momento en que el automóvil A está a 600 metros y el B a 750 metros de la intersección? a) 97.3 km/h b) 102.45 km/h

c) 120 km/h d) 127.34 km/h

4. Se bombea agua a un tanque que tiene la forma de un cono circular invertido (la base hacia arriba). El tanque mide 6 metros de altura y su base tiene un perímetro de 8π. Si el agua se bombea a razón de 3m3/min, encuentra la razón a la que sube el nivel del agua cuando ésta tiene una profundidad de 4.5 metros. a) 0.0116 m/min b)0.0923 m/min

c)0.1061 m/min b)0.2469 m/min

5. Un avión que vuela a una velocidad de 670 km/h, pasa sobre una estación de radar a una altura de 1.2 kilómetros y asciende en un ángulo de 32°. ¿Con qué razón aumenta la distancia entre el avión y la estación de radar un minuto más tarde? a) 590 km/h b) 640.5 km/h

c) 663.3 km/h d) 682.9 km/h

6. Resuelve los problemas que aparecen en la columna A y relaciónalos con las respuestas correspondientes que aparecen en la columna B. Columna A a) El área de un círculo crece con una velocidad de 2 cm2/seg. ¿Cómo cambia el radio cuando el área del círculo es 64 cm2? b) El área de un cuadrado crece con una velocidad de 2 cm2/seg. ¿Cómo cambia el lado cuando el área del cuadrado es 64 cm2? c) El volumen de un cubo crece con una velocidad de 2 cm2/seg. ¿Cómo cambia el lado cuando el volumen del cubo es 64 cm3? d) El volumen de una esfera crece con una velocidad de 2 cm3/seg. ¿Cómo cambia el radio cuando el volumen de la esfera es 64 cm3?

Columna B i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii.

0.04167 0.33334 0.16667 1.63334 0.12500 0.02585 3.25000 0.07052

348

Unidad 6: Aplicaciones de la derivada

Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Las razones de cambio son derivadas. Un problema de razones de cambio es un problema donde aparecen varias derivadas de funciones que se relacionan entre sí. 2. a) Calcular la rapidez con que se aleja el avión del lugar en donde estoy. b) La altura a la que vuela el avión: 1 milla. La velocidad del avión: 750 millas por hora. Lo que se pide se debe calcular justo cuando la distancia es de 2 millas. c) Dibujo: v = 750 mi/h

x

1 mi z

dx dz es la razón de cambio que se pide calcular. = 750 mi/h; dt dt d) La relación entre las cantidades es z2 = x2 + 1. dx dz =x e) La relación entre las razones de cambio es z . dt dt dz = 375 3 mi/h. dt 3.

1 metro por hora. 2

4. 55.70 dm2/min, aproximadamente. 5. –2 milímetros por segundo. 6. 2.62 pies por segundo. 7. a) El volumen está disminuyendo. 1 b) − cm3/min. 4 8. a) 92.68 kilómetros por hora; b) La distancia está disminuyendo. 9.

10.

−10 ≈ −0.0393 pulgadas/min. 81π

π l cm/min (en donde l es la longitud del minutero). 60

349

6.2: Razones de cambio relacionadas

11.

4 m/min. π

2 5 12. m/seg. 3 13.

60 m/min. π

14. 0.1988 cm/seg. 15. 99.9993 km/hora.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

b) a) d) c) c) (a, viii), (b, v), (c, i), (d, vi)

16. 10.9109 m/min. 17. 1 rad/seg. 18. 1.63636 m/seg, 3.63636 m/seg. 19. 0.20226 m/seg. 20. −0.0121419 m/min.

Unidad

Pilares del cálculo diferencial Contenido de la unidad 7.1 Pilares del cálculo diferencial

Introducción a la unidad ¿Te gustaría contar con los conocimientos necesarios para analizar, comprender y explicar el comportamiento de las olas del mar en un tsunami como el ocurrido en diciembre de 2004 en el océano Índico, y que dañó terriblemente la isla de Sumatra? En este capítulo aprenderemos los conocimientos necesarios para analizar un fenómeno natural como ése. Particularmente, estudiaremos tres de los teoremas más importantes del cálculo diferencial de una variable: el teorema de Rolle, el teorema del valor medio, y el teorema de Taylor. Éstos son fundamentales porque proporcionan los elementos teóricos necesarios para optimizar funciones, es decir, para analizar y determinar los valores más grandes o más pequeños que alcanza una función, lo cual constituye uno de los conocimientos matemáticos con más aplicaciones prácticas (las cuales estudiaremos en el último capítulo). El llamado teorema de Rolle fue propuesto por Michel Rolle (1652-1719), matemático francés autodidacta que también publicó un tratado de álgebra (1690). El teorema del valor medio fue establecido por Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813), matemático francés de origen italiano que desarrolló una gran variedad de trabajos sobre dinámica, cálculo integral, ecuaciones diferenciales, cálculo de determinantes, mecánica analítica y astronomía. Por su parte, el teorema de Taylor fue presentado por Brook Taylor (1685-1731), matemático inglés que fue discípulo de Newton, quien realizó trabajos sobre cambios de variable, diferencias finitas, y dio las primeras soluciones a los problemas de las cuerdas vibrantes y los centros de oscilación. Lagrange retomó los trabajos de Rolle y se basó en ellos (particularmente en el ahora llamado teorema de Rolle) para descubrir y enunciar el teorema del valor medio. Fue también Lagrange quien rescató los trabajos de Taylor (los cuales permanecieron prácticamente ignorados por cerca de 50 años) y resaltó su importancia en el desarrollo del cálculo diferencial.

352

Unidad 7: Pilares del cálculo diferencial

7.1 Pilares del cálculo diferencial

De hecho, el teorema del valor medio es un lobo con piel de cordero y es el teorema fundamental del cálculo diferencial. Robert G. Bartle

Cálculo e infracciones de tránsito Como seguramente sabes, las épocas vacacionales son tiempos con un alto índice de accidentes automovilísticos en carretera. Por esta razón las patrullas federales tienen entre sus funciones principales estar al pendiente de que los límites de velocidad sean respetados. Rodrigo, a quien le gusta la velocidad, es amigo de uno de los autores de este libro y contó que en una ocasión, al viajar de la Ciudad de México hacia Acapulco, recibió una infracción por exceso de velocidad. Lo que le pareció extraño es que, aunque sabe que los policías cuentan con aparatos que miden la velocidad vehicular, no vio a nadie que lo detectara durante su recorrido. A Rodrigo se le dijo que aleatoriamente habían registrado el tiempo de su vehículo entre la salida de una caseta y el ingreso a la siguiente y que este tiempo había sido de 42 minutos; de lo cual, sabiendo que la distancia entre ambas casetas es de aproximadamente 90 kilómetros y que la velocidad máxima permitida es de 110 kilómetros por hora, se sabía con seguridad que en algún momento del recorrido había violado el límite de velocidad. Como no tuvo ningún argumento en su favor, no le quedó más remedio que aceptar la infracción; no obstante, quedó muy intrigado por el suceso. Imagina que te ocurriera lo mismo que a Rodrigo, responde a los siguientes cuestionamientos: a) ¿Te parece justificada la infracción que le aplicaron a Rodrigo?, es decir, ¿crees que él haya violado en algún momento de su recorrido el límite de velocidad permitido? Explica. b) ¿Qué opinión tendrías sobre la misma pregunta del inciso anterior si Rodrigo hubiera hecho 50 minutos para recorrer el tramo entre caseta y caseta? Fundamenta tus razones. c) No es evidente que dos conceptos aparentemente diferentes, velocidad instantánea y velocidad promedio, puedan tener alguna relación entre sí. ¿Crees que exista alguna conexión entre estos conceptos? Si la hay, ¿cómo se justificaría desde un punto de vista geométrico?

353

7.1: Pilares del cálculo diferencial

Introducción La situación “Cálculo e infracciones de tránsito” se sitúa dentro de un resultado teórico general conocido como teorema del valor medio. Este teorema es la piedra angular sobre la cual se construirá la teoría de optimización del cálculo de una variable, tema que resulta ser uno de los descubrimientos más importantes de la ciencia matemática teórica y aplicada.

Objetivos Al terminar esta sección tendrás la capacidad de conocer, establecer y aplicar los siguientes resultados: a) b) c) d)

Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Teorema de Taylor para el desarrollo de una función alrededor de un punto. La regla de L´Hôpital.

Tres pilares del cálculo diferencial Teorema de Rolle Hemos señalado que el teorema del valor medio es la piedra angular de los resultados de las siguientes secciones, sin embargo, antes de llegar a éste requerimos el teorema de Rolle. La siguiente tabla contiene las alturas y velocidades instantáneas correspondientes al lanzamiento de una piedra efectuado por una persona que mide 1.75 m de estatura: Tabla 1 Se muestra numéricamente el teorema de Rolle.

t = tiempo (segundos)

y = f (t): altura (m)

Velocidad ánea f

0

1.75

0.9

1

2.56

0.72

2

3.19

0.54

3

3.64

0.36

4

3.91

0.18

5

4

0

6

3.91

-0.18

7

3.64

-0.36

8

3.19

-0.54

9

2.56

-0.72

10

1.75

-0.9

y 4 f ´(t) = 0

3 2

f (0) = f (10)= 1.75 1

2

4

6

8

t 10

FIGURA 1. Ilustración gráfica del teorema de Rolle, f (0) = f (10) = 1.75 y f (5) = 0.

354

Unidad 7: Pilares del cálculo diferencial

Es verdad que la tabla y la correspondiente gráfica adjunta, abordan un caso particular (el correspondiente al tiro parabólico), sin embargo, muestran una situación de carácter general, a saber: si f(a) = f(b), existe al menos un instante a < t0 < b para el cual f (t0) = 0 (ver tabla 1). Claro que en el caso presentado, esto no podría ser de otra manera; porque en caso contrario, la piedra no regresaría jamás, sino que se alejaría indefinidamente de la atracción terrestre. A continuación te mostramos el resultado de carácter general conocido como el teorema de Rolle y te proporcionamos un bosquejo de su demostración.

Teorema de Rolle. Sea f una función que satisface las siguientes tres condiciones: i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. ii) f es derivable en el intervalo abierto (a, b). iii), f (a) = f (b) Entonces, existe al menos un número c con a < c < b tal que f (c) = 0.

Demostración. Existen tres casos posibles: a) f (x) = k, donde k es una constante. En este caso, f (x) = 0, y c puede ser entonces cualquier número en (a, b). b) f(x) > f(a) para algunas x en (a, b). Puesto que la función es continua en el intervalo [a, b], debe tener en éste un valor máximo M en algún punto de [a, b]. Dado que f(a) = f(b), f alcanza ese valor máximo en algún punto c del intervalo (a, b). Ahora bien, si la función toma su valor máximo cuando x = c, donde c es diferente de a y de b, es decir, si f(c) = M, entonces, tanto para h > 0 como para h < 0: f(c + h) − f(c) ≤ 0. Por lo tanto, f (c + h ) − f (c ) ≤ 0 si h > 0, h f (c + h ) − f (c ) ≥ 0 si h < 0, h puesto que la derivada en el punto c existe, podemos pasar al límite cuando h tiende a cero y encontramos que: f+ (c) = lím+

f (c + h ) − f (c ) = f  (c ) ≤ 0 h

f− (c) = lím−

f (c + h ) − f (c ) = f  (c ) ≥ 0 h

h→ 0

y

h→ 0

355

7.1: Pilares del cálculo diferencial

Pero las condiciones f (c) ≤ 0 y f (c) ≥ 0 implican que f (c) = 0, lo que demuestra el teorema en este caso. c) Finalmente, si f(x) < f(a) para algunas x en (a, b), se realiza una prueba similar a la del inciso b) utilizando ahora el valor mínimo m de la función, mismo que se alcanza en algún punto c del intervalo (a, b). El teorema de Rolle tiene una interpretación geométrica muy sencilla. Si una curva continua en el intervalo cerrado [a, b] tiene tangente en cada uno de los puntos del intervalo (a, b), y si además f(a) = f(b), entonces existe por lo menos un valor c con a < c < b donde la tangente sea horizontal.

y 4 3 M (a,f(a))

N(b,f (b))

2 1 0.5

1

1.5

2

2.5

x

3

FIGURA 2. Ilustración gráfica del teorema de Rolle.

Teorema del valor medio. Si en el teorema de Rolle se elimina la condición de que f(a) = f(b), la conclusión de este resultado ya no se cumple. Sin embargo, podemos observar en la figura 3 que el segmento de línea recta que pasa por los puntos M(a, f(a)) y N(b, f(b)) parece desempeñar un papel similar al del segmento horizontal M(a, f(a)) y N(b, f(b)) del teorema de Rolle (ve la figura 2). Asi-

2.5 2 11.5 .5 1 0.5

menos un punto sobre la gráfica, en el cual la tangente sea paralela al segmento MN. Es decir, dado que la f (b) − f ( a) pendiente del segmento MN es , la figub−a ra sugiere la existencia de al menos un número c con f (b) − f ( a) a < c < b tal que f (c) = . Esta conjetub−a ra es verdadera y su enunciado formal constituye el

y

M(a, f( f a))

mismo, la figura 3 parece sugerir que debe existir al

–2

–1

–0.5 –1

A B

1

2

3

x

N b, f( N( f b))

teorema del valor medio para la derivada. FIGURA 3. Ilustración gráfica del teorema del valor medio para derivadas.

356

Unidad 7: Pilares del cálculo diferencial

Teorema del valor medio para la derivada. Sea f una función que satisface las siguientes condiciones: i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b] ii) f es derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número c con a < c < b tal que f (c) =

f (b) − f ( a) . b−a

Demostración. La prueba de este resultado se apoya en el teorema de Rolle y en la consideración del segmento AB que se muestra en la figura 3 que tiene en los puntos M y N longitud igual a cero (es aquí donde entrará el teorema de Rolle). La recta que une los puntos M(a, f(a)) con N(b, f(b)) tiene como ecuación: y − f ( a) =

f (b) − f ( a) ( x − a) b−a

Por lo tanto, la longitud del segmento AB es el valor absoluto de la diferencia: g( x ) = f ( x ) − f ( a) −

f (b) − f ( a) ( x − a) b−a

Dadas las condiciones de continuidad y derivabilidad de la función f, se concluye que g es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), además se observa que: g( a) = f ( a) − f ( a) −

f (b) − f ( a) f (b) − f ( a) ( a − a) = 0 y que g(b) = f (b) − f ( a) − (b − a) = 0, b−a b−a

luego, por el teorema de Rolle, existe al menos un número c con a < c < b tal que g(c) = 0. Sin embargo, g  (c) = f  (c) −

f (b) − f ( a) f (b) − f ( a) . = 0, de lo cual se desprende que f (c) = b−a b−a

Nota. Observa cómo este resultado vincula una cantidad global, la razón de cambio promedio de una función en un intervalo cerrado [a, b], con una cantidad de carácter local, a saber, la razón de cambio instantánea f (c). Teorema de Taylor. Para analizar el comportamiento de una función f en las proximidades de un cierto punto x0, un buen recurso suele ser aproximar localmente, cerca de x = x0, la función dada por medio de funciones más simples. Se espera que si las cosas van bien, del examen de éstas puedan sacarse conclusiones acerca del comportamiento de f. Bajo esta perspectiva, se debe tener presente que cuanto mejor sea la aproximación, mejor será el estudio que se realice en la cercanía del punto en cuestión.

357

7.1: Pilares del cálculo diferencial

Como se ha visto en secciones anteriores, si la función f es derivable en x = x0, entonces la ecuación de la recta tangente es y = f(x0) + f (x0)(x − x0) y se comprende que en un entorno de x = x0 se “confunden” la función con la recta tangente en el punto (x0, f (x0)); esto es, la recta tangente es una aproximación lineal de una función diferenciable en un punto x = x0. Una manera más precisa de escribir esto es la siguiente: f(x) ≈ p1(x) = f(x0) + f (x0)(x − x0) cuando x ≈ x0 o f(x) = p1(x) + o[(x − x0)2] donde la notación o[(x − x0)2] representa un error por lo menos de orden cuadrático. El error no puede ser lineal, puesto que la mejor aproximación lineal es la recta tangente. En símbolos tenemos que: lím o[( x − x 0 )2 ] = lím

x → x0

x → x0

f ( x ) − p1 ( x ) =0 ( x − x0 )2

Es importante notar que las derivadas de órdenes 0 y 1 de f(x) y p1(x) en x = x0 coinciden. Si se desea una mejor aproximación, es posible incorporar una potencia más de la forma (x − x0)2 a fin de obtener el polinomio p2(x) = f(x0) + f (x0)(x − x0) + k(x − x0)2 para cierta constante k. Si hacemos ahora que las derivadas de orden 2 de f(x) y p2(x) coincidan en x = x0, tendríamos que: f (x0) = p2(x0) = 2k o k = de aquí, f ( x ) ≈ p2 ( x ) = f ( x 0 ) + f  ( x 0 )( x − x 0 ) +

f  ( x0 ) , 2

f  ( x0 ) ( x − x 0 )2 , cuando x ≈ x0; o 2

f(x) = p2(x) + o[(x − x0)3], donde o[(x − x0)3] representa un error por lo menos de orden cúbico. Repitiendo la idea, se buscaría un polinomio de grado 3 de la forma p3 ( x ) = f ( x 0 ) + f  ( x 0 )( x − x 0 ) + f  ( x0 ) ( x − x 0 )2 + k ( x − x 0 )3. Derivando tres veces este polinomio y haciendo que sus 2 derivadas hasta orden 3 coincidan con las de f en el punto x = x0, se puede probar que: k=

f  ( x0 ) , donde n! = n(n − 1)  2  1 3!

Con esto, tendríamos que la mejor aproximación cúbica de la función f sería: f ( x ) ≈ p3 ( x ) = f ( x 0 ) + f  ( x 0 )( x − x 0 ) +

f  ( x0 ) f  ( x0 ) ( x − x 0 )3 , ( x − x0 )2 + 2! 3!

cuando x ≈ x0, es decir, f(x) = p3(x) + o[(x − x0)4]. De estos razonamientos se desprende el siguiente resultado general:

358

Unidad 7: Pilares del cálculo diferencial

Teorema de Taylor. Sea f es una función continua, con derivadas hasta de orden n también continuas en el intervalo [a, b]. Si la derivada de orden n + 1 existe en el intervalo (a, b) entonces para x y x0 en (a, b), se cumple que: f ( x ) = f ( x 0 ) + f  ( x 0 )( x − x 0 ) + +

f

f  ( x0 ) f  ( x0 ) ( x − x 0 )3 + L + ( x − x0 )2 + 2! 3!

(n)

.

( x0 ) ( x − x 0 ) n + o[( x − x 0 ) n +1 ] n!

donde o[(x − x0)n+1] es un error de orden n + 1.

El resultado anterior puede ilustrarse gráficamente como se muestra en la figura 4.

y

y 300

300

200

200

100

100 x

x –4

–2

2

–4

–2

2

–100 0

–100 100

–200

–200

–300

–300

Gráfica de f ( x ) y p1 ( x ) calculado en x0 = 1/ 2 y

Gráfica de f ( x ) y p2 ( x ) calculado en x0 = 1/ 2 y

300

300

200

200

100

100 x

x –4

–2

2

–4

–2

2

–100 0

–100 100

–200

–200

–300

–300

Gráfica de f ( x ) y p3 ( x ) calculado en x0 = 1/ 2

Gráfica de f ( x ) y p4 ( x ) calculado en x0 = 1/ 2

FIGURA 4. Ilustración gráfica del teorema del Taylor.

359

7.1: Pilares del cálculo diferencial

Nota. Si en el teorema de Taylor, x0 = 0 entonces los polinomios correspondientes se conocen como polinomios de Maclaurin. Es tal la utilidad de estos polinomios que, aunque éstos son un caso particular de los de Taylor, vale la pena considerarlos por separado. En secciones anteriores se discutió la importancia e interés que tienen los límites del 0 tipo . Como recordarás, el álgebra jugó un papel fundamental para su cálculo; sin em0 bargo, este tipo de “indeterminaciones matemáticas” y otras, pueden abordarse desde la perspectiva de un resultado muy importante, consecuencia simple del teorema de Taylor. Supón que f y g son dos funciones continuas con derivadas hasta de orden n también continuas en el intervalo [a, b], y además con derivadas de orden n + 1 en el intervalo (a, b). Si x0 pertenece al intervalo abierto (a, b) y si: f(x0) = g(x0) = f (x0) = g(x0) =  = f (n−1)(x0) = g(n−1)(x0) = 0, pero f (n)(x0) ≠ 0 o g(n)(x0) ≠ 0 Entonces: lím

x → x0

f ( x) f ( n )( x ) f ( n )( x 0 ) = lím ( n ) = , siempre y cuando g(n)(x0) ≠ 0 g( x ) x → x0 g ( x ) g ( n )( x 0 )

Demostración (bosquejo). Si calculamos los polinomios de Taylor hasta de orden n para f y g: f ( x 0 ) f (n) ( x0 ) ( x − x0 )2 + L + ( x − x 0 ) n + o[( x − x 0 ) n +1 ] f ( x) n 2 ! ! lím = lím x → x 0 g( x ) x → x0 g ( x 0 ) g(n) ( x0 ) g( x 0 ) + g( x 0 )( x − x 0 ) + ( x − x 0 ) n + o[( x − x 0 ) n +1 ] ( x − x0 )2 + L + n! 2! f ( x 0 ) + f ( x 0 )( x − x 0 ) +

f (n) ( x0 ) ( x − x 0 ) n + o[( x − x 0 ) n +1 ] f (n) ( x ) = lím ( n )n! = (n) 0 x → x0 g ( x 0 ) g ( x0 ) ( x − x 0 ) n + o[( x − x 0 ) n +1 ] n! Aunque no analizaremos la situación general, cabe decir que esta “regla” puede extenderse a otros casos quedando en su forma más amplia de la siguiente manera:

Regla de L´Hôpital. Si lím f ( x ) = lím g( x ) = l , donde l = 0, +∞, −∞ y si lím x→a

entonces

x→a

x→a

f ( x) f ( x ) = lím =L x → a g( x ) x → a g( x ) lím

donde a = x0, x0+, x0−, +∞, −∞, indistintamente.

f ( x ) = L ( finito, +∞, −∞), g( x )

360

Unidad 7: Pilares del cálculo diferencial

Omitimos los detalles de la demostración. f ( x ) también es indeterminado, si f  y g satisx → a g( x ) facen las condiciones de la regla de L´Hôpital, ésta se puede aplicar de manera iterada para f f f f (n) obtener lím = lím = lím = lím ( n ) hasta llegar a un límite ya determinado. x→a g x → a g x→a g x→a g Nota. Con frecuencia ocurre que lím

Ejemplos Ejemplo 1. Comprueba que se cumple el teorema de Rolle para la función f(x) = x3 + 5x2 − 6x en el intervalo [0, 1].

solución En primer lugar observa que f(0) = f(1) = 0. Ahora bien, queremos hallar un valor de x tal que se cumpla 1 1 f (x) = 3x2 + 10x − 6 = 0. Esta ecuación se satisface para c1 = −5 + 43 y para c2 = −5 − 43 . 3 3 Se ve que c1 satisface las condiciones del teorema de Rolle.

(

)

(

)

Ejemplo 2. Dentro de sus gastos de operación anual, Laboratorios Ayerst, S.A. de C.V., requiere considerar sus fuertes costos de promoción para un nuevo paquete de cosméticos. La empresa tiene como política considerar el valor medio pronosticado de ventas de sus nuevos productos en un lapso de 12 meses desde el lanzamiento, de tal manera que una vez alcanzada la venta promedio anual, se haga una drástica disminución en sus costos de publicidad. Si el departamento de mercadotecnia del laboratorio pronostica 9 ⎞ que se venderán V (t ) = 100⎛12 − paquetes durante el primer año, encuentra en qué mes la empresa ⎝ 3+ t⎠ podrá considerar una disminución en sus costos de publicidad para este nuevo paquete de cosméticos.

solución La gráfica de la función de ventas, así como la línea recta cuya pendiente coincide con el valor medio V (12) − V (0) = 20, se muestran en la figura 5. Estamos buscando el mes (aproximado) en el cual la ra12 − 0 zón de cambio de las ventas coincide con el valor medio, en símbolos, V(t0) = 20. Por lo tanto, después 900 de derivar, determinamos que la ecuación a resolver es = 20. Las soluciones de esta ecuación (3 + t 0 ) 2

(

)

(

)

son −3 1 + 5 ≈ −9.708 y 3 5 − 1 ≈ 3.708. Del contexto del problema, se deduce que la empresa debe disminuir sus gastos de promoción a partir de los t0 = 3.708 meses.

361

7.1: Pilares del cálculo diferencial

v 1200 1150 1100 1050 1000 950 900 850

to t 2

4

6

8

12

10

FIGURA 5. Gráfica de la función de ventas.

Ejemplo 3. Determina el número de raíces reales que tiene la ecuación x5 + x3 + x + 1 = 0.

solución Considera la función f(x) = x5 + x3 + x + 1 y observa que ésta satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Como la función es continua, y dado que f(−1) = −2 y f(0) = 1, podemos aseverar que la función tiene una raíz en algún punto a ∈ (−1, 0). Toma ahora cualquier otro valor b ∈  −{a}, entonces por el teorema del valor medio aplicado al intervalo entre a y b, tenemos: f (b) − f ( a) = f  (c ) ; b−a f (b) = f  (c) = 5c 4 + 3c 2 + 1 > 0, puesto que f(a) = 0. De aquí se concluye que f(b) ≠ 0 para cualb−a quier b ∈  −{a}, y en consecuencia, la ecuación tiene exactamente una sola raíz real, ver figura 6. luego

y 4 2

–2

x

–1

1

2

–2 –4

FIGURA 6. Gráfica de la función f(x) = x5 + x3 + x + 1. Observa que la función tiene una única raíz en el intervalo (−1, 0).

362

Unidad 7: Pilares del cálculo diferencial

Ejemplo 4. Un circuito eléctrico tiene una resistencia de R ohms, una inductancia de L henrys y una fuerza electromotriz de E voltios donde R, L y E son positivos. Si I amperes es la corriente que fluye en el circuito t segundos después de que se cierre su interruptor, entonces, I=

− Rt E⎛ L⎞ ⎜1 − e ⎟ ⎠ R⎝

Si t, E y L son constantes, encuentra lím+ I . R→ 0

solución − Rt ⎛ ⎞ − Rt E⎛ 1− e L 0 L⎞ ⎟ . Éste tiene la forma , Se requiere calcular el límite lím+ I = lím+ ⎜1 − e ⎟ = E lím+ ⎜ ⎝ ⎠ R ⎟ 0 R→ 0 R→ 0 R R→ 0 ⎜ ⎝ ⎠

− Rt

⎛ 1− e por lo cual, al aplicar la regla de L´Hôpital: lím+ I = E lím+ ⎜ R R→ 0 R→ 0 ⎜ ⎝

L

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ − Rt L te ⎜ = E lím+ ⎜ L 1 R→ 0 ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ = Et . L ⎟ ⎟ ⎠

Ejemplo 5. Usa un polinomio apropiado de Maclaurin para obtener la aproximación A ≈

r2 t3 del área sombreada 12

de la siguiente figura. C

h t

t/2 r

a)

r

0

B

b)

FIGURA 7. Cálculo aproximado del área sombreada por medio de un adecuado polinomio de Taylor.

363

7.1: Pilares del cálculo diferencial

solución El área sombreada A es igual al área del sector circular delimitado por OBC menos el área del triángulo Δ OBC. Ahora bien, el área del sector circular es

BC ⋅ h r2 t mientras que el área del triángulo es . Co2 2

t ⎛t⎞ mo h = r cos , mientras que BC = 2 r sen⎛ ⎞ , se tiene que: ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ r 2t A= − 2

t t 2 r 2 sen⎛ ⎞ cos⎛ ⎞ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ r 2 t r 2 sen(t ) = − 2 2 2

donde hemos usado la identidad sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ). Si ahora calculamos un polinomio de Maclaurin de grado 3 de la función f(t) = sen(t), obtenemos f (t) = cos(t), f (t) = −sen(t) y f (t) = −cos(t), de donde f (0) f (0) 2 f  (0) 3 t3 p3 (t ) = f (0) + t+ t + t = t − . De aquí se sigue que: 1! 2! 3! 6 A≈

r 2t r 2 − 2 2

⎛ t3 ⎞ r2 t3 ⎜ t − 6 ⎟ = 12 . ⎝ ⎠

1. En cada caso, muestra que la función f satisface las condiciones del teorema del valor medio en el inf (b) − f ( a) tervalo dado y determina el valor c ∈ (a, b) que satisfaga la ecuación f (c) = . b−a a) f(x) = x2 + 2x − 1, [0, 1] b) f(x) = Arcsen(x), [−1, 1] 1 2. Sea f ( x ) = x + , 0.5 ≤ x ≤ 2. x a) Determina la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos (0.5, f(0.5)) y por (2, f(2)). b) ¿Existe una recta tangente a la curva de pendiente igual a la calculada en el inciso anterior en el intervalo dado? Si tu respuesta es afirmativa, encuéntrala. 3. Halla los siguientes límites: e x − e− x x → 0 sen( x )

a) lím

b) lím

x→0

tan( x ) − x x − sen( x )

364

Unidad 7: Pilares del cálculo diferencial

c) lím x→

π 2

e x sen( x ) − x 2 5 x → 0 3x + x

ln(sen( x )) ( π − 2 x )2

e) lím

x + 1⎞ 2 ln⎛ ⎝ x ⎠ d) lím x →+∞ 2 Arctan( x ) − π

⎡ x 1 ⎤ f) lím ⎢ − x →1⎣ x − 1 ln( x ) ⎥⎦

En los incisos del g) al i) usa: uv = Exp[vln(u)] y la continuidad de la función Exp. g)

1 lím x 1− x x →1

⎛ sen(φ) ⎞ i) lím ⎜ ⎟ φ→ 0⎝ φ ⎠

1

φ2

a x h) lím ⎛1 + ⎞ x →+∞⎝ x⎠ 4. En cada uno de los siguientes casos, obtén el polinomio de Maclaurin pn(x) que se solicita. a) f(x) = ln(cos(x)); p4(x)

c) f(x) = Arcsen(x); p3(x)

b) f(x) = cosh(x); p4(x)

d) f ( x ) = ln⎛⎝ x + 1 + x 2 ⎞⎠ ; p3(x)

5. a) Muestra que para cualquier valor de k ∈  se cumple que: k k ( k − 1) 2 k ( k − 1)L( k − n + 1) n (1 + x ) k = 1 + x + x +L+ x + o[ x n +1 ] 1! 2! n! 1444444444 2444444444 3 pn ( x )

b) Toma x =

b en el inciso a), y deduce que: a

( a + b) k ≈ a k +

k k −1 k ( k − 1) k − 2 2 k ( k − 1)L( k − n + 1) k − n n a b+ a b +L+ a b 1! 2! n!

Problemas para trabajar en equipo

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones. 1. Cálculo e infracciones de tránsito Con base en la teoría desarrollada en esta sección, lee nuevamente el problema “Cálculo e infracciones de tránsito” planteado en la introducción de esta sección y da respuesta fundamentada a las preguntas que ahí se formulan.

365

7.1: Pilares del cálculo diferencial

2. El Arca de Noé En el capítulo 6, versículo 15 del libro del Génesis, se hace una breve descripción de las dimensiones del arca de Noé. De acuerdo a esta descripción, se ha determinado que el arca era un navío muy parecido a una “caja rectangular cerrada” construida con madera de “gofer” (posiblemente ciprés). Actualmente se sabe que el arca fue la embarcación más grande jamás construida hasta que se botó el Eturia de la Cunard en el año de 1884. En teología, es tema de debate el hecho de que Noé y su familia (8 personas en total) hubiesen podido construir un navío de tales dimensiones. Tu trabajo consiste en estimar la cantidad (en toneladas) de madera que un navío de esta naturaleza hubiese requerido. Considera la siguiente guía de solución. a) Investiga qué establecen la ley de Hooke y la segunda ley de Newton. b) Enuncia el principio de Arquímedes que habla acerca de un cuerpo parcial o totalmente sumergido en un líquido. c) Supón que después del diluvio el mar se hubiese comportado como una gran piscina y que “x” hubiera sido el nivel del agua sobre el arca medida desde la posición de equilibrio, no determinada, y que por efecto de la gravedad y del empuje del agua sobre el arca, ésta hubiese oscilado hacia arriba y hacia abajo con un periodo igual a 0.8 segundos. Usa la ley de Hooke, la ley de Newton y el principio de Arquímedes, para establecer la ecuación diferencial que habría regido el movimiento del arca. Cabe la aclaración de que d2x + a 2 x = 0 ; ¿cuál es el valor de a? Requerirás leer la ecuación buscada tiene la forma dt 2 el capítulo 6, versículo 15 del libro del Génesis. d) Sea x = x(t) una solución de la ecuación hallada en c). Propón un polinomio de Maclaurin de grado 8 como aproximación de la solución, esto es, 8

x (t ) ≈

∑A t j

j

= A 0 + A 1 t + A 2 t 2 + K + A 8 t 8. Sustituye esta aproximación en la

j =0

ecuación diferencial

d2x + a 2 x = 0 y determina los coeficientes A0, A1, A2,…, A8. dt 2

e) Calcula los polinomios de Maclaurin de grados 5 y 6 de las funciones f(t) = cos(t) y g(t) = sen(t), respectivamente, vincula el resultado con lo que hallaste en d). f ) Usando identidades trigonométricas, muestra que: x = C 1 cos( a t ) + C 2 sen( at ) = C12 + C22 sen( a t + φ) De tu solución en e) y de la identidad anterior, determina el periodo de la oscilación del arca en términos de W. g) Ahora, estima la cantidad de madera (en toneladas) que se requirió para construir este navío. h) ¿Cómo se modifican tus resultados si el valor del periodo obtenido en el inciso c) cambia? Ajusta tus cálculos para llenar la siguiente tabla para los valores del periodo que se indican en la primera columna. Emite tu opinión sobre el impacto de este dato en tus cálculos.

366

Unidad 7: Pilares del cálculo diferencial

Tabla 2 Esquema numérico de la relación entre el periodo T y la cantidad de madera.

Periodo (T)

Cantidad de madera (toneladas)

0.6 0.8 1.0 1.2 i) Complementa esta actividad con tus conclusiones (caben todas las opiniones relacionadas). Fundamenta tus observaciones en tus cálculos y en todo aquello que consideres útil al respecto de este problema. 2. Velocidad de las olas por efecto de un tsunami Un tsunami reciente (ocurrido el domingo 26 de diciembre de 2004 a las 07:58:53 hora local de Indonesia), y el más devastador de los registrados hasta hoy, se presentó en la costa Oeste de Sumatra a causa de un gran terremoto de magnitud 9.0 que fue localizado en la costa Oeste de Sumatra (ver http://www.ineter.gob.ni/geofisica/tsunami/com/20041226-indonesia/#anchor187866 ). La siguiente situación tiene que ver con la velocidad de una ola (o serie de ellas) causada por efecto del fenómeno natural llamado “tsunami”.

FIGURA 8. Los tsunamis provocan oleajes devastadores.

En la página WEB http://www.angelfire.com/nt/tsunamis/ se escribe lo siguiente: “Un TSUNAMI (del japonés TSU: puerto o bahía, NAMI: ola) es una ola o serie de ellas que se producen en una masa de agua al ser empujada violentamente por una fuerza que la desplaza verticalmente. Como puede suponerse, los tsunamis pueden ser ocasionados por terremotos locales o por terremotos ocurridos a distancia. De ambos, los primeros son los que producen daños más devastadores debido a que no se alcanza a contar con tiempo suficiente para evacuar la zona (generalmente se producen entre 10 y 20 minutos después del terremoto). Las MAREJADAS se producen habitualmente por la acción del viento sobre la superficie del agua y sus olas tienen una periodicidad que usualmente es de 20 segundos y

367

7.1: Pilares del cálculo diferencial

como máximo suelen propagarse unos 150 metros tierra adentro, como observamos en los temporales o huracanes. Un TSUNAMI, en cambio, presenta un comportamiento opuesto, ya que el brusco movimiento del agua desde la profundidad genera un efecto de ‘latigazo’ hacia la superficie que es capaz de lograr olas de magnitud impensable. Los análisis matemáticos indican que la velocidad es igual a la raíz cuadrada del producto entre la fuerza de gravedad y la profundidad. Para tener una idea de esta velocidad tomemos la profundidad habitual del Océano Pacífico, que es de 4 000 m, esto nos daría una ola que podría moverse a 200 m/s, o sea a 700 km/h. De acuerdo con esto, las olas pierden su fuerza sólo cuando llegan a la costa, al disminuir la profundidad del océano. Sin embargo, aún en este caso, la altura de las olas puede incrementarse hasta superar los 30 metros.” Se tienen estudios de que la velocidad v de una ola está relacionada con la longitud de onda L y la profundidad media del agua d (ver figura 9), de hecho, puede demostrarse que: ⎛ g L⎞ ⎛ 2πd⎞ . v= ⎜ ⎟ tanh⎝ L ⎠ ⎝ 2π⎠ a) Demuestra que en agua profunda v ≈

gL . 2π

b) En el texto de arriba se afirma: “Los análisis matemáticos indican que la velocidad es igual a la raíz cuadrada del producto entre la fuerza de gravedad y la profundidad”. Calcula un polinomio de Maclaurin de f(x) = tanh(x) de grado adecuado a fin de que éste d tenga tres términos no nulos y demuestra que, cuando es pequeño, la afirmación del L texto es correcta; es decir, demuestra que v ≈ g d . De esta manera, en agua poco profunda, la velocidad de la onda es independiente de la longitud de onda. c) Encuentra una estimación para el valor de L en el caso del tsunami que se generó en el océano Índico en el mes de diciembre de 2004.

L

d

FIGURA 9. La velocidad de la onda depende tanto de su longitud L como de la profundidad media del agua d.

368

Unidad 7: Pilares del cálculo diferencial

1. Escoge la opción que contiene la aproximación cuadrática de f ( x ) = a) p2 ( x ) = x +

x2 2

c) p2(x) = x − x2

b) p2 ( x ) = 1 −

x x2 + 2 2

d) p2 ( x ) = 1 + x −

x en (0, 0). x +1

x2 2

2. Considera el cálculo de los siguientes límites y elige la opción que contenga la proposición verdadera: x 1 a) Si se usa la regla de L´Hôpital: lím+ = lím+ = lím+ x = 0. x → 0 ln( x ) x→0 ⎛ 1 ⎞ x→0 ⎝ x⎠ b) Mediante un polinomio de Maclaurin de grado 3, podemos mostrar que: ln( x + 1) = x −

x2 x3 x +1 x +1 + + o[ x 4 ] , luego: lím = lím =0 x →∞ ln( x + 1) x →∞ ⎛ 2 3 x2 x3 ⎞ 4 ⎜ x − 2 + 3 ⎟ + o[ x ] ⎝ ⎠

1 1 c) lím+ ⎛ − cot ( x )⎞ = 0, pues → +∞ y cot(x) → +∞ cuando x → 0+. ⎠ x x→0 ⎝ x x d) Para el cálculo de lím+ , proponemos el cambio x = 1 z . Entonces: x → 0 ln( x ) ⎛ 1⎞ ⎝ z⎠ x 1 lím+ = lím = lím = 0. 1 z →+∞ z →+∞ − z ln( z ) x → 0 ln( x ) ln⎛ ⎞ ⎝ z⎠ 3. Determina el valor del coeficiente de x4 en el polinomio correspondiente de Maclaurin para la 1 función f ( x ) = . 1 − sen( x ) a)

2

b)

−7

3 9

c)

6

d)

−5

7 3

4. Determina el polinomio de Maclaurin de grado 6 de la función f(x) = cos(x). Después elige la opción que proporciona el valor de la derivada g(18)(0), donde g(x) = cos(x3). a) b)

−18! 36 !

120 720

c) d)

−18!

720

36 ! 520

369

7.1: Pilares del cálculo diferencial

5. Relaciona cada inciso de la columna A con el inciso que le corresponde en la columna B. Columna A

Columna B

a) lím+ x sen ( x )

i) 2

x→0

b) p2(x) para sen (x) alrededor de x = 0. 2

iii) 1 −

2cosh( x ) c) lím x →+∞ senh( x ) d) p4(x) para

ii) 1 + x +

sen( x ) alrededor de x = 0. x

x2 2

x2 x4 + 3! 5!

iv) No existe v) x2 x3 x5 vi) 1 + + 3 5 vii) 1

Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) f es continua en [0, 1] y diferenciable en (0, 1). Buscamos c tal que f (c) = 2c + 2 =

2 − ( −1) ; 2c = 1, c = 1 2 . 1

f (1) − f (0) . Tenemos: 1− 0

b) f es continua en [−1, 1] y diferenciable en (−1, 1). Buscamos c ∈ (−1, 1) tal que f (c) = De aquí resulta:

1 1 − c2

=

arcsen(1) − arcsen( −1) 1 − ( −1)

f (1) − f ( −1) . 1 − ( −1)

π ⎛ π⎞ − − 2 ⎝ 2⎠ π = = . 2 2 Es decir,

1 − c2 =

2 4 o c = ± 1 − 2 ≈ ±0.771 . π π

2. a) Como f(2) = f(0.5), deducimos de manera inmediata que la pendiente de la recta secante que pasa por (0.5, f(0.5)) y (2, f(2)) es cero. Por lo tanto, su ecuación es y = f(2) = 2.5. b) Puesto que f es continua en [0.5, 2], diferenciable en (0.5, 2) y además f(2) = f(0.5), se cumplen las condiciones del teorema de Rolle. Por lo tanto, podemos hallar un punto c ∈ (0.5, 2) tal que f (c) = 0. 1 Para encontrarlo, debemos resolver la ecuación 1 − 2 = 0, de donde c = ±1. Como c ∈ (0.5, 2), nos c quedamos únicamente con c = 1.

370

Unidad 7: Pilares del cálculo diferencial

3. a) 2

f)

b) 2

g)

c)

−1

1

i)

e

1

6 e

3

x2 x4 4. a) p4 ( x ) = − − 2 12 b) p4 ( x ) = 1 +

1. 2. 3. 4. 5.

2

1

h) ea

8

d) −1 e)

1

x2 x4 + 2 24

c) d) a) c) (a, vii), (b, v), (c, i), (d, iii)

x3 ( ) = + p x x c) 3 6 d) p3 ( x ) = x −

x3 6

Unidad

Monotonía y teoría de extremos Contenido de la unidad 8.1 Extremos relativos 8.2 Monotonía de funciones 8.3 Extremos absolutos

Introducción a la unidad Los procesos naturales del cuerpo eliminan poco a poco el medicamento que toman los pacientes bajo tratamiento médico. Por eso se deben tomar dosis cada determinado tiempo, de tal manera que la cantidad del medicamento sea suficiente para que sea efectivo. Sin embargo, hay que tener cuidado, porque demasiado medicamento es peligroso, incluso puede provocar la muerte. La gráfica muestra la cantidad de medicamento en la sangre de cierto paciente como función del tiempo. Miligramos 500 400 300 200 100

5

10

15

20

25

30

35

Horas

372

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

Al observar la gráfica adjunta, puedes determinar cuál es el intervalo en horas entre una dosis y la siguiente, así como la cantidad en miligramos por dosis. La gráfica nos dice que este paciente recibe en su sangre 200 miligramos del medicamento cada ocho horas. Supón que para que este medicamento sea efectivo, el paciente debe tener en su sangre más de 180 miligramos del medicamento durante 50 horas. Sin embargo, más de 550 miligramos, aunque sea por un instante, podrían provocarle la muerte. Si tú fueras el médico y vieras esta gráfica, ¿Continuarías dándole 200 miligramos cada ocho horas?, ¿por qué? Además de que las discontinuidades nos indican el momento en el cual el paciente recibe la dosis, la gráfica también nos muestra que los mínimos de medicamento ocurren justo antes de tomar la siguiente dosis, y que la cantidad de medicamento decrece entre dosis y dosis. En esta unidad estudiarás los mínimos, máximos y la monotonía de las funciones, su relación con la derivada, su aplicación a diversos problemas: la torca automotriz (a veces llamada par o torque) y la determinación de la tarifa óptima del Metrobús en la Ciudad de México. El cálculo diferencial tiene una íntima relación con las aplicaciones pues surgió y evolucionó en conjunto con la solución de problemas prácticos. Kepler, por ejemplo, descubrió las leyes del movimiento planetario, las cuales podrían parecer muy alejadas de las aplicaciones útiles en su época, pero también resolvió problemas “terrenales” y de importancia práctica, como te darás cuenta al estudiar y resolver en este capítulo la determinación de la capacidad de barriles de vino austriaco. Uno de los objetivos de este libro es que tu capacidad de análisis de las funciones, sus gráficas y sus aplicaciones, sea una función del tiempo creciente.

8.1 Extremos relativos

No es sorprendente que durante más de un siglo, después de que se hiciera del dominio público, el Cálculo y sus aplicaciones atrajeran a casi todos los hombres más capaces. E. T. Bell

Estudio de la torca automotriz con derivadas Para las marcas estadounidenses, los sedanes grandes siempre han significado un segmento en el que ofrecen las mejores cualidades y lo último en tecnología con el fin de conquistar a los compradores. Por esta razón, aspectos como la seguridad, la potencia, la estética y la comodidad del automóvil, son tan importantes. En la siguiente tabla te proporcionamos un registro con los valores de la función P = P(r), el comportamiento del “par” que ofrece el Chevrolet Impala LS modelo 2000 en función de las revoluciones por minuto del motor.

373

8.1: Extremos relativos

Tabla 1 Mediciones hechas con un dinamómetro BOSCH FLA 203.

(r) Revoluciones del motor (rpm)

(P) Par (kg-m)

1000

25.4

1300

27.1

1600

30.8

1900

31.1

2200

30.5

2500

31.5

2800

33.9

3100

33.2

3400

32.7

3700

32.1

4000

31.8

4300

30.3

4600

29.6

Fuente: Butrón, Jorge y equipo de pruebas, “Sabor americano”, Automóvil, año 6 núm. 5, mayo de 2000.

FIGURA 1. Chevrolet, Impala LS, modelo 2000.

Las siguientes son las gráficas que corresponden a la tabulación de estos valores:

374

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

FIGURA 2. Cada inciso va mostrando la forma mediante la cual se lleva un proceso discreto, como el de la tabla 1, a un proceso de tipo continuo, lo que permite el subsiguiente análisis usando la derivada.

8.1: Extremos relativos

Este tipo de información abunda en las aplicaciones, pero ¿qué significado tiene? Con tus compañeros, piensa y da respuesta a los siguientes cuestionamientos: a) ¿Observas alguna relación entre las raíces de la función derivada P y los puntos donde la función P obtiene sus valores máximos y mínimos (relativos)? b) Como en la lectura de cualquier texto coloquial, una gráfica debe leerse de izquierda a derecha. Observa los puntos donde se obtiene un valor máximo, ¿cómo cambia el signo de la primera derivada en esos puntos?, ¿cómo lo hace en aquellos otros donde la función P logra valores mínimos? Escribe tus conclusiones. c) Haz un bosquejo de la gráfica correspondiente a la segunda derivada sobre el mismo sistema que se muestra en la figura 2h. ¿Qué puedes decir al respecto de los signos de la segunda derivada en aquellos puntos donde la función P logra un valor máximo o mínimo? Escribe tus conclusiones. Los resultados de la sección anterior nos permitirán establecer ahora métodos y criterios para una fuente de diversas aplicaciones de la ciencia y la ingeniería: la teoría de los máximos y mínimos de una función.

Introducción Diversas aplicaciones del Cálculo van encaminadas a la determinación de las condiciones óptimas de una situación, esto es, a la localización de puntos que proporcionen el valor máximo o mínimo de una función que modela cierta realidad. Pues bien, el propósito de esta sección es mostrarte la extraordinaria conexión que existe entre el comportamiento de una función y el de su derivada; en efecto, la derivada nos proporcionará los puntos ‘candidatos’ para lograr los estados óptimos y además nos ofrecerá los ‘criterios de decisión’ por los cuales disiparemos la interrogante de si un punto es o no un valor extremo de una función. De entre estos criterios destacan, tal vez por el énfasis de los actuales libros de texto, los criterios de la primera y de la segunda derivada; sin embargo, apoyados en la teoría de la sección anterior, estaremos en la posibilidad de proporcionarte los esquemas de prueba más generales.

Objetivos Al terminar la sección tendrás la capacidad de: a) Definir los siguientes conceptos: Puntos críticos de primer orden de

una función, valor máximo y mínimo relativo (o local) de una función. b) Enunciar y aplicar el teorema que establece que todo número donde ocurre un extremo local de una función es un punto crítico. c) Establecer y aplicar los criterios de esta sección para decidir si un punto crítico de una función es o no un valor extremo relativo.

375

376

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

Teoría de máximos y mínimos Antes de empezar, requerimos de la siguiente definición que formará parte del lenguaje que emplearemos de aquí en adelante:

Definición Sea f una función definida en un intervalo I, y x0 un punto cualquiera de I. Se dice que f tiene un máximo relativo o local (respectivamente mínimo relativo o local) en x0, si existe un entorno E(x0, r) de x0 tal que para cualquiera que sea x ∈ I ∩ E(x0, r), se verifica que f(x) ≤ f(x0) (respectivamente, f(x) ≥ f(x0)). A los máximos y mínimos relativos se les llama extremos relativos y a las respectivas evaluaciones f (x0) valores extremos relativos.

Nota. 1. De las definiciones anteriores se deduce que si en un punto interior x = x0 de I, f tiene un valor extremo, entonces para todo h suficientemente pequeño: i) f(x0 + h) − f(x0) ≤ 0 si tiene lugar un máximo relativo en x = x0. ii) f(x0 + h) − f(x0) ≥ 0 si tiene lugar un mínimo relativo en x = x0. 2. Si x0 ∈ I es un punto frontera, i) y ii) se mantienen a condición de que h > 0 o h < 0 con el fin de que x0 + h ∈ I.

Las siguientes gráficas muestran todas las posibilidades donde puede presentarse un extremo relativo.

y

y 4 3 x2 x0

x1

x3

x4

2

x

1 a a) Máximos y mínimos relativos en puntos x0, x1, x2, x3, x4 donde la derivada de la función es igual a cero.

x0

b

x

b) Una función f definida en [a, b] para la cual se tienen máximos relativos en x = a y x = b (puntos frontera) y un mínimo relativo en el punto x0 donde la derivada de la función es igual a cero.

377

8.1: Extremos relativos

y

y

6 5.5

6 5.5

5

5

4.5

4.5

4

4

3.5

3.5

0.5

0.5

x

x0

2

1.5

x

0.5

0.5

2

1.5 x0

x0 c) Máximo relativo en el punto x0 donde la función es discontinua y en consecuencia no tiene derivada.

d) Mínimo relativo en el punto x0 donde la función es discontinua y en consecuencia no tiene derivada.

y

1

3 2.5 2 1.5 1 0.5

y

0.8 0.6 0.4 0.2 x0

x

2

c) Mínimo relativo en el punto x0 donde la función no tiene derivada debido a que f+(x0) ≠ f−(x0).

1

x0

1

2

x

d) Mínimo relativo en el punto x0 donde la función no tiene derivada debido a que lím f ( x ) = ± ∞ . x → x0

FIGURA 3. Ilustración gráfica de los posibles casos donde puede presentarse un extremo relativo.

Teorema del extremo relativo de Fermat (condición necesaria). Sea f una función definida en un intervalo I, y derivable en un punto interior x0 de I. Si f tiene un extremo relativo en x = x0, entonces la derivada en este punto es igual a cero.

Demostración. Supón que en x = x0, f presentará un máximo relativo (para el caso de un mínimo relativo se razona de manera similar). Entonces: a) Para h > 0 suficientemente pequeño:

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) ≤ 0, así h

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) ≤ 0. Análogamente, para h < 0 suficientemente pequeño: h f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) ≥ 0. ≥ 0 , por lo cual f− ( x 0 ) = lím− h h h→ 0 lím

h→ 0 +

378

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

Como f tiene derivada en x = x0, se concluye que f(x0) = f+(x0) ≤ 0 y f(x0) = f−(x0) ≥ 0, de donde resulta que f(x0) = 0. Nota. El recíproco del teorema anterior es falso en general. Por ejemplo, para la función f(x) = x3, f(x) = 0 si x = 0. Sin embargo, la gráfica de f revela, en x = 0 que no tiene máximo ni mínimo relativo.

y 1 0.75 0.5 0.25 1

0.5

x 0.25 0.5

0.5

1

0.75 1 FIGURA 4. Una función puede cumplir f(x0) = 0 sin tener extremo relativo en x = x0.

Considera f(x0 + h) − f(x0) = (x0 + h)3 − x03 de manera algebraica. Como se ha señalado, esta expresión debería tener para h suficientemente pequeño un mismo signo en caso de extremo relativo; no obstante, con x0 = 0: f(x0 + h) − f(x0) = (x0 + h)3 − x03 = h3 que cambia de signo dependiendo del signo de h, sin importar que tan pequeño sea h. De aquí se concluye nuevamente que f no tiene extremo relativo en x0 = 0. ¿En dónde se presentan los valores extremos? Los extremos relativos pueden presentarse en tres categorías de puntos: aquellos donde la derivada es igual a cero (puntos estacionarios), aquellos donde la derivada no existe (puntos singulares) y aquellos que están en la frontera del intervalo. A fin de tener un lenguaje apropiado con el cual se pueda hacer mención de todos ellos, establecemos la siguiente definición:

Definición Sea f una función definida en un intervalo [a, b]. Un punto x0 ∈ [a, b] es un punto crítico de f si satisface alguna de las siguientes condiciones: a) x0 ∈ (a, b) y f (x0) = 0 (punto estacionario), o b) x0 ∈ (a, b) y f (x0) no existe (punto singular), o c) x0 es un punto frontera de [a, b], esto es, x0 = a o x0 = b

Cabe insistir en el siguiente hecho, una función no necesariamente tiene un extremo relativo en un punto crítico. Por ello, los puntos críticos sólo son puntos “candidatos” a

379

8.1: Extremos relativos

máximos o mínimos relativos de f. Una vez obtenidos los puntos críticos de una función, queda como tarea determinar su naturaleza, es decir, debemos decidir si en ellos hay valores extremos de la función o no. Para responder a esto existen varios criterios que te presentamos a continuación. Por cuestiones de claridad, repetimos un criterio de carácter algebraico del que se habló en la definición de extremo relativo.

Criterio algebraico. Sea f una función definida en un intervalo I y x0 ∈ I. Si para toda h suficientemente pequeño, x0 + h ∈ I y: i) f (x0 + h) − f (x0) ≤ 0, entonces f tiene un máximo relativo en x = x0. ii) f (x0 + h) − f (x0) ≥ 0, entonces f tiene un mínimo relativo en x = x0.

Criterio de la primera derivada para extremos relativos. Supón que f es una función continua en todos los puntos del intervalo abierto (a, b) que contiene al punto crítico x0, y supón que f  existe en todos los puntos de un entorno E(x0, r), excepto posiblemente en x0. i) Si f (x) > 0 para todo x cercano y a la izquierda de x0; y, f (x) < 0 para todo x cercano y a la derecha de x0, entonces f tiene un máximo relativo en x = x0. ii) Si f (x) < 0 para todo x cercano y a la izquierda de x0; y, f (x) > 0 para todo x cercano y a la derecha de x0, entonces f tiene un mínimo relativo en x = x0.

Demostración de i). Supón que h < 0 es suficientemente pequeño. En el intervalo [x0 + h, x0] se satisfacen las condiciones del teorema del valor medio, luego existe un valor c tal que x0 + h < c < x0 f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = f  (c) > 0 . Como h < 0, deducimos que f(x0 + h) − f(x0) para el cual h < 0. De manera similar, para h > 0 suficientemente pequeño, considera el intervalo [x0, x0 + h], en éste se cumplen las condiciones del teorema del valor medio. Así, existe un f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = f  (c) < 0 . Como h > 0 valor c tal que x0 < c < x0 + h para el cual h concluimos que f(x0 + h) − f(x0) < 0. En consecuencia f(x0 + h) − f(x0) ≤ 0, para todo h suficientemente pequeño, y esto implica que f tiene un máximo relativo en x = x0.

380

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

La demostración de la parte ii) de este criterio es similar.

Criterio de la segunda derivada para extremos relativos. Supón que la función f tiene en un entorno del punto x = x0, derivadas primera y segunda continuas, y además considera que x = x0 es un punto crítico estacionario, esto es, f (x0) = 0, entonces: i) f (x0) > 0 implica que f tiene un mínimo relativo en x = x0. ii) f (x0) < 0 implica que f tiene un máximo relativo en x = x0. iii) El criterio falla si f (x0) = 0.

Demostración de i). Supón que se cumplen las condiciones de este inciso. En el teorema de Taylor toma x − x0 = h, entonces: f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = f  ( x 0 )(h) +

f  ( x0 ) 2 (h) + o[h 3 ] 2

Como f (x0) < 0 y como para h suficientemente pequeño o[h3] ≈ 0, concluimos que: f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) ≈

f  ( x0 ) 2 (h) > 0, 2

de aquí, f tiene un mínimo relativo en x = x0. La demostración de la parte ii) es similar. Cuando f (x0) = 0 y f (x0) = 0, puedes usar el siguiente criterio más general:

Criterio de la derivada n-ésima para extremos relativos. Si la función f tiene en un entorno del punto x = x0, derivadas continuas hasta de orden n inclusive, y si: f (x0) = f (x0) =  = f (n−1)(x0) = 0, y f (n)(x0) ≠ 0, entonces: a) Para n impar, la función no tiene valores extremos en x = x0. b) Para n par, la función tiene un máximo relativo si f (n)(x0) < 0. c) Para n par, la función tiene un mínimo relativo si f (n)(x0) > 0.

Demostración. Aunque podría bosquejarse una demostración similar a la dada en el criterio de la segunda derivada, preferimos ofrecerte una visión geométrica que haga plausible la veracidad de la afirmación del criterio anterior. En efecto, para analizar el comportamiento de una función f en las proximidades de un cierto punto x = x0, un buen recurso es aproximar localmente (por medio de un desarrollo de Taylor apropiado) la función dada por medio de funciones que sean de más fácil

381

8.1: Extremos relativos

estudio. Como dijimos, se espera que si las cosas van bien, del examen de éstas se puedan sacar las conclusiones correspondientes para f. En nuestro caso, si f ( x ) = f ( x 0 ) + f  ( x 0 )( x − x 0 ) + +

f

( n −1)

( x0 ) f ( x − x 0 ) n −1 + (n − 1)!

f  ( x0 ) f  ( x0 ) ( x − x 0 )3 + L + ( x − x0 )2 + 2 3!

(n)

( x0 ) ( x − x 0 ) n + o[( x − x 0 ) n +1 ] n!

f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n n! para x suficientemente cerca de x0. La figura 5 ilustra las diferentes posibilidades que se pueden presentar desde un punto de vista gráfico. Dado que f (x0) = f (x0) =  = f (n−1)(x0) = 0, resulta que: f ( x ) ≈

y

y

x0

x

a) Éste es el tipo de gráfica al que se parece localmente la gráfica de la función f cerca de x = x0 para el caso n impar y f (n)(x0) > 0. De aquí se infiere que la función f NO tiene extremo relativo en x = x0.

x0

b) Éste es el tipo de gráfica al que se parece localmente la gráfica de la función f cerca de x = x0 para el caso n impar y f (n)(x0) < 0. De aquí se infiere que la función f NO tiene extremo relativo en x = x0. y

y

x0

x0

x

x

x

c) Éste es el tipo de gráfica al que se parece localmente la gráfica de la función f cerca de x = x0 para el caso n par y f (n)(x0) > 0. De aquí se infiere que la función f tiene un mínimo relativo en x = x0.

d) Éste es el tipo de gráfica al que se parece localmente la gráfica de la función f cerca de x = x0 para el caso n par y f (n)(x0) < 0. De aquí se infiere que la función f tiene un máximo relativo en x = x0.

FIGURA 5. Análisis local de una función apoyado en Taylor.

382

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

Ejemplos Ejemplo 1. En cada caso, considera la función f definida por: a) f(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 7. b) f(x) = 2(x − 1)2(x + 4)3x. Determina los puntos críticos de cada función y haz un estudio del comportamiento local que se tiene en ellos.

solución En ambos casos se observa que los únicos puntos críticos que se pueden tener son de tipo estacionario, esto es, puntos para los cuales f (x0) = 0. a) Hallamos la primera derivada de la función: f (x) = 4x3 − 12x2 + 12x − 4 = 4(x − 1)3. De este cálculo se obtiene que x = 1 es el único punto crítico. Ahora bien, f (x) = 12(x − 1)2, y en consecuencia, f (1) = 0. También, f (x) = 24(x − 1); por lo cual f (1) = 0; por último, f (4)(x) = 24 > 0. Con base en el criterio de la derivada n-ésima, concluimos que f tiene un mínimo relativo en x = 1. b) Si calculamos la primera derivada por medio de: (uvw) = uvw + uvw + uvw, para u = u(x), v = v(x) y w = w(x) obtenemos: f (x) = 2(x − 1)2(x + 4)3 + 6(x − 1)2(x + 4)2x + 4(x − 1)(x + 4)3x = 2(x − 1)(x + 4)2[(x − 1)(x + 4) + 3x(x − 1) + 2x(x + 4)] = 4(x − 1)(x + 4)2[3x2 + 4x − 2] = 0 Observa que, para el cálculo de los puntos críticos, ha resultado conveniente no desarrollar la expresión, sino mantenerla factorizada. Al resolver la ecuación anterior, hallarás los siguientes puntos 1 1 críticos estacionarios: x0 = −4, x1 = −2 − 10 ≈ −1.72, x 2 = −2 + 10 ≈ 0.387 y x3 = 1. El tipo 3 3 de función del que se trata en el presente caso nos deja ver que el criterio de la primera derivada es adecuado para analizar a la función y sus puntos críticos. Determinamos ahora el correspondiente comportamiento de la función a partir de los signos de la primera derivada. Resumimos la información en la figura 6.

(

)

(

)

Comportamiento de f

 Signos de f 

x0



x1



x2



x3



Aquí, ↑ o ↓ significa que la función es creciente o decreciente, respectivamente, en el intervalo correspondiente. Del anterior diagrama concluimos que la función tiene mínimos relativos en x1 y en x3, y un máximo relativo en x2. En el punto x0, la función no tiene extremo relativo.

383

8.1: Extremos relativos

y f

5

f 4

3

2

1

x 1

FIGURA 6. Observa la relación que existe entre la variación de signos de la función derivada (en azul) y los extremos relativos de la función f.

Ejemplo 2. ⎧ 2 x 1 ⎪⎩ 2 en x = 1.

solución Lo primero que debemos notar es que esta función no es continua en x = 1. En efecto, como lím− f ( x ) = 1, x →1

1 mientras que lím+ f ( x ) = , concluimos que f tiene una discontinuidad esencial de salto en x = 1. 2 x →1 Esto implica que ninguno de los criterios sobre primera, segunda o n-ésima derivada aplica. Sin embargo, sí podrás usar el criterio algebraico. Toma un h (suficientemente pequeño) y considera f(x0 + h) − f(x0) = f(1 + h) − f(1). Dado que la función es seccionada, debemos considerar los casos h > 0, h < 0 y h = 0 por separado. Tenemos: 5 5 − 3 = −2 h − < 0 , pues h es suficientemente pequeño. 2 2 Caso h < 0: f(1 + h) − f(1) = (1 + h)2 − 3 = h2 + 2h − 2 < 0, pues h es suficientemente pequeño. Caso h > 0: f (1 + h) − f (1) = −2(1 + h) +

Caso h = 0: evidentemente, f(1 + h) − f(1) = f(1) − f(1) = 0. En síntesis, en cualquiera de los tres casos concluimos que f(1 + h) − f(1) ≤ 0, por lo tanto la función f tiene un máximo relativo en x = 1.

Ejemplo 3. Considera la función f (x) = sen(2x) + 2cosh(x). Determina sus extremos relativos, si acaso tiene alguno.

384

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

solución En primer lugar, debes averiguar si la función tiene puntos críticos. Si calculas la primera derivada de la función, obtendrás que f (x) = 2cos(2x) + 2senh(x). Así que, hallar puntos críticos se convierte, en este caso, en resolver la ecuación 2cos(2x) + 2senh(x) = 0. Aplicando el método de Newton, encontrarás una solución (aproximada) con r = −0.506812. Ahora bien, una aproximación local de la función por medio de un polinomio de grado 2 alrededor de r = −0.506812, te conducirá a: p2(x) = 1.41365 + 2.82871(x + 0.506812)2, ¡una parábola que abre hacia arriba! Es decir, la función f (x) = sen(2x) + 2cosh(x) se “parece” a p2(x) cerca del punto r = −0.506812. De aquí se deduce que la función tiene un mínimo relativo en su (único) punto crítico.

f

f

FIGURA 7. Muestra simultáneamente las gráficas de la función y su derivada, observa que la derivada cambia su signo alrededor del punto crítico de valores negativos a valores positivos.

Ejemplo 4. Ahora considera la función f ( x ) = 3 4 x 2 − x 3 , haz un estudio de la función para encontrar (si existen) sus extremos relativos.

solución Observa en primer lugar que la función está definida y es continua en todo número real. Al calcular la primera derivada, encontrarás que: f ( x ) =

8 − 3x 3

3 x(4 − x )2

Por lo tanto, la derivada existe en todos los puntos con excepción de x = 0 y x = 4. De esta manera, la función tiene 3 puntos críticos: x = 0, x = 4 que son puntos críticos singulares y x = 8 3 que es un punto crítico estacionario. Nota ahora que lím− f ( x ) = −∞ y que lím+ f ( x ) = +∞; deducimos de esto que x→0 x→0 para x “suficientemente pequeño”, x < 0 implica que f (x) < 0; mientras que para x > 0, f (x) > 0. De esto concluimos que f tiene un mínimo relativo en x = 0. Si calculas ahora la segunda derivada de la función, 32 8 hallarás f  ( x ) = − 4 3 es un punto crítico estacionario, podrás utilizar el cri5 . Como x = 3 3 9 x (4 − x )

385

8.1: Extremos relativos

32

terio de la segunda derivada, tenemos que f (8 3) = −

5 < 0 , por lo tanto, la función tiene 8⎞ ⎛ 8⎞ 3 ⎛ 9 4− ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 8 un máximo relativo en x = 3 . Por último, para el punto x = 4 observa que:

lím− f ( x ) = lím−

x→4

x→4

8 − 3x 3

3 x(4 − x )

2

4

3

= −∞ y lím+ f ( x ) = lím+ x→4

x→4

8 − 3x 3

3 x ( 4 − x )2

= −∞

Esto significa que para todos los valores de x suficientemente próximos a 4 (tanto a la derecha como a la izquierda de este punto), la derivada es negativa. En consecuencia, en este punto, la función no tiene máximo ni mínimo.

1. Considera las siguientes funciones y determina sus extremos relativos en los dominios indicados; en caso de que éstos no se señalen, considera que son los más amplios posibles. a) y = −x4 + 2x2

g) y =

b) y = 3x5 − 125x3 + 2160x c) y = 2 − ( x − 1)

2

d) y = 3 − 2( x + 1) e) y = x e

h) y = cos(x) + sen(x); −

3 1

x ln( x )

i) y = x + tan(x)

3

π π ≤x≤ . 2 2

j) y = ex sen(x)

−x

f) y =

x 2 − 3x + 2 x 2 + 3x + 2

k) y =

a2 b2 ; aquí a y b son constantes positivas. Analiza los casos: a = b y a ≠ b. + x a−x

x −1 ⎧ ⎪ Exp⎛ 2 ⎞ , si x ≠ 0 l) y = ⎨ , donde Exp(a) = ea. ⎝ x ⎠ ⎪⎩ 0, si x = 0 m) y = cos(x)Exp(tan(x)); 0 ≤ x ≤ π ; x ≠

π . 2

386

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

f ( x) 1− x2 , y estudia a z = g( x ) = , para x > 0. x 4 a) Determina los puntos críticos estacionarios de la función g. b) Estudia el comportamiento de la función g cuando x → 0+ y cuando x → +∞. c) A partir de los incisos a) y b) indica cuántas raíces debe tener la función f.

2. Considera la función f ( x ) = x ln( x ) +

1 , y responde a los siguientes cuestionamientos para x > 0: x a) Determina los puntos críticos (si existen) de la función f e indica su naturaleza. b) Estudia el comportamiento de la función f cuando x → 0+ y cuando x → +∞. c) A partir de los incisos a) y b) deduce cuántas raíces debe tener la función f y los intervalos en los que éstas se encuentran.

3. Considera la función f ( x ) = 2 ln( x ) − 1 +

Problemas para trabajar en equipo

Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Con base en la teoría desarrollada en esta sección, vuelve con tus compañeros al problema “Estudio de la torca automotriz con derivadas” de la introducción y da respuesta fundamentada a las preguntas que ahí se formulan. 2. El secreto de los barriles austriacos de vino Johannes Kepler (1571-1630) es mejor conocido como astrónomo, sobre todo por sus tres leyes del movimiento planetario. Sin embargo, sus descubrimientos se debieron ante todo a su brillantez como matemático. A partir de la observación hecha por Johannes Kepler, en su propia casa, de cómo un vinatero austriaco medía rápida y misteriosamente la capacidad de diferentes barricas de vino que había comprado días antes, Kepler decidió investigar las leyes geométricas de esta medición doméstica de tanta utilidad. El resultado de su trabajo, la Nova Stereometria Doliorum Vinariorum —Nueva geometría sólida de las barricas de vino; más detalles en http://thales.cica.es/epsilon/art04.htm—, publicada en Linz en 1615, habría de ayudar a establecer los fundamentos del Cálculo Diferencial e Integral y a impulsar la aplicación de las matemáticas a la solución de problemas de la vida real. Su estudio sobre estos barriles abarcó, a grandes rasgos, las siguientes observaciones: i) Cada barril tenía un agujero en la mitad de su costado. El comerciante de vino insertaba una varilla en el agujero hasta alcanzar el rincón más lejano y luego anunciaba el volumen. Kepler analizó primero el problema para el caso de un barril cilíndrico, hasta donde limitaremos nuestro estudio.

387

8.1: Extremos relativos

ii) Como recordarás, el volumen del cilindro es V = π y2 h, donde y es el radio del cilindro y h su altura. Con fines de simplificación toma h = 2x, de este modo V = 2π y2 x. Toma a z como la medida de la varilla y establece la relación existente entre el radio, la altura del cilindro y la longitud de la varilla. iii) El misterio para Kepler era cómo calcular V conociendo solamente z. La observación clave hecha por Kepler era que los barriles de vino austriacos estaban hechos con la misma razón entre la altura y el diámetro (para nosotros x y ). Considera t = x y y dez2 muestra que 2 = t 2 + 4 . y iv) Usa el inciso iii) para reemplazar y2 en la fórmula del volumen. Luego reemplaza x de 2πz 3t acuerdo a la relación que determinaste en ii) y demuestra que V = . En esta 3 2 2 4+t fórmula, t es una constante, de manera que el comerciante podía medir z y hacer un estimativo rápido del volumen. Sin embargo, aún no hemos dicho a qué es igual t.

(

)

v) Encuentra el valor de t que maximiza el volumen para un z dado. Kepler verificó que, en efecto, ¡ésta es la razón usada en la construcción de los barriles de vino austriacos!

a)

2y

z 2x

b)

FIGURA 8. Acercamiento al problema de los barriles de vino austriacos.

388

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

1. Una función f continua y diferenciable en (0, 6) satisface las siguientes condiciones: f(0) = 3; f (3) = 0; f (6) = 4; f (3) = 0; f (x) < 0 en (0, 3); f (x) > 0 en (3, 6); f (x) > 0 en (0, 5); f (x) < 0 en (5, 6). Escoge la opción que contiene una afirmación falsa acerca de la función. a) La función es decreciente en el intervalo (5, 6). b) La función tiene un mínimo relativo en x = 3. c) La función tiene un máximo relativo en x = 6. d) La función tiene un mínimo absoluto en x = 3. 2. Elige la opción que contiene la proposición verdadera respecto a la siguiente información: Si una función f tiene derivadas continuas hasta de orden 3 en un entorno de x = c y cumple además que f (c) = f (c) = 0 y f (c) > 0, entonces: a) La función tiene un máximo relativo en x = c. b) La función no tiene valores extremos en x = c. c) La función tiene un mínimo relativo en x = c. 3. Considera la función dada por f(x) = @ x3 − 9x @. Escoge el inciso que contiene la afirmación correcta. a) La función no tiene puntos críticos, por lo tanto no tiene valores máximos ni mínimos. b) La función tiene 3 mínimos relativos en x = ± 3 y en x = 0; tiene además 2 máximos relativos en x = ± 3 . c) La función tiene tres máximos relativos en x = ± 3 y en x = 0; tiene además 2 mínimos relativos en x = ± 3 . d)La función tiene un máximo relativo en x = − 3 , y un mínimo relativo en x = 3 . 4. Elige la opción que proporciona la afirmación correcta para la función f(x) = x4 − x2 − ln(x). a) La función tiene un máximo relativo en x =

1+

5

2

≈ 0.899 .

b) La función no tiene extremos relativos. c)La función tiene un mínimo relativo en x =

1+ 2

5

≈ 0.899 .

d) La función tiene un máximo relativo en x = 0.7913 (aproximado).

389

8.1: Extremos relativos

5. Encuentra en la columna B las respuestas correspondientes a los cuestionamientos de la columna A. Columna A

Columna B 1

a) De la función f ( x ) = x decirse que: b) De la función f ( x ) =

x

puede

x 2 − 2 x − 21 puede 6 x + 14

decirse que: c) De la función f(x) = x4(x − 1)3 + 1 puede decirse que: d) De la función f ( x ) =

( x + 3) puede ( x + 2)2 3

decirse que:

i) f (4)(0) < 0, por lo tanto la función correspondiente tiene un máximo relativo en x = 0. ii) No tiene valores extremos en ningún punto. iii) f (3)(−3) > 0, por lo tanto la función tiene un mínimo relativo en x = −3. iv) Tiene un máximo relativo en 1 Qe, e e R. v) Tiene un máximo relativo en x = −7 3 . vi) f (4)(0) > 0, por lo tanto la función correspondiente tiene un mínimo relativo en x = 0. vii) Tiene un mínimo relativo en 1 Qe, e e R.

viii) f (3)(−3) ≠ 0, por lo tanto la función no tiene un valor extremo en x = −3.

Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) ymáx = 1 para x = ±1; ymín = 0 para x = 0. b) ymáx = 3834 para x = 3; ymín = 3712 para x = 4; ymáx = −3712 para x = −4 y ymín = −3834 para x = −3. c) ymáx = 2 para x = 1. d) No hay máximo ni mínimo. e) ymín = 0 en x = 0; ymáx =

1 para x = 1/2. e

4+3 2 4−3 2 ≈ −33.97 para x = − 2 ; ymín = ≈ −0.0294 para x = 2 . Observa cómo en 4−3 2 4+3 2 este caso un valor máximo relativo puede ser numéricamente menor que un mínimo relativo.

f) ymáx =

390

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

g) ymín = e para x = e.

π . 4 i) No hay máximo ni mínimo. 3 π j) Mínimo para x = 2 k π − ; máximo para x = 2 k π + π . 4 4 a2 a2 a k) Caso a ≠ b: máximo para x = ; mínimo para x = . Si a = b, sólo hay mínimo para x = . a−b a+b 2 h) ymáx = 2 para x =

l) La función es continua en x = 0, de hecho, ymín = 0 para x = 0; ymáx = e

1

4

para x = 2.

m) La función tiene dos mínimos relativos en x = 0 y en x = π. 2. a) Los puntos críticos estacionarios de g son x = 2 ± 3 . De aquí se deduce que el máximo y mínimo son de signos contrarios. b) Si x → 0+, z → +∞, y si x → +∞, z → −∞. c) De a) y b) se deduce la existencia de tres raíces: α, 1 y β. 1 3. a) La función tiene un mínimo relativo en ⎛ , 1 − 2 ln( 2 )⎞ . ⎝2 ⎠ b) lím+ f ( x ) = + ∞, lím f ( x ) = + ∞. x→ 0

x→ + ∞

c) La función tiene una raíz en x = 1, y del estudio de las respuestas en a) y b) se deduce que debe tener 1 una segunda raíz α tal que 0 < α < . 2

1. 2. 3. 4. 5.

a) b) b) c) (a, iv), (b, ii), (c, i), (d, viii)

391

8.2: Monotonía de funciones

8.2 Monotonía de funciones

Comprender las cosas que nos rodean es la mejor preparación para comprender las cosas que hay mas allá. Hipatia1

Tarifa óptima del Metrobús Las autoridades del gobierno de la Ciudad de México administran la línea del Metrobús, el cual la recorre de Norte a Sur por la Avenida de los Insurgentes. En la página del gobierno del D.F., http://www.setravi.df.gob.mx/noticias/detalleNoticias. html?id_noticia=463, puedes encontrar la siguiente información: “…un recorrido completo consta de 40 kilómetros de longitud, por lo que el conjunto de los 72 autobuses cada día transita 20 mil 160 kilómetros. De igual modo, cada unidad transporta 3 mil 472 pasajeros por día…” La tarifa por viaje es de $3.00. Las autoridades están pensando en incrementarla a $3.50 para obtener mayores ingresos; por lo tanto, solicitan un estudio a la empresa consultora formada por ti y tu equipo de trabajo. Las autoridades estiman que por cada incremento de $0.50 en la tarifa, la cantidad de pasajeros se reducirá en 1000 pasajeros por día. ¿Cuáles son las recomendaciones que tu empresa consultora hace a las autoridades del gobierno de la Ciudad de México? ¿Es conveniente aumentar la tarifa? Si es así, ¿qué cantidad es la adecuada?

FIGURA 1. El Metrobús.

Introducción Situaciones como la anterior y otras más que analizaremos en esta sección, serán resueltas con las ideas, conceptos y definiciones que estudiaremos, como el uso de la derivada para analizar las propiedades de las graficas de funciones, determinando los intervalos en los cuales sus gráficas crecen o decrecen.

Objetivos Al terminar esta sección tendrás la capacidad de: a) Indicar cuándo una función es creciente o decreciente, mediante el uso de la derivada. b) Obtener la gráfica de la función derivada y viceversa, dada la gráfica de una función.

1

Filósofa y matemática egipcia (aprox. 370- 415).

392

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

Funciones monótonas En los periódicos, frecuentemente podemos leer noticias en las que se proporcionan datos y graficas como la siguiente: Población total, 1895 a 2000 110 100 M i l l o n e s

91.2

97.5

81.2

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

66.8 48.2 34.9 25.8 12.6

13.6

15.2

14.3

16.6

19.7

1895 1900 1910 1921 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 1995 2000

FUENTE:

INEGI. Censos de Población y Vivienda, 1895-2000. Para 1995: INEGI. Conteo de Población y vivienda. FIGURA 2.

De la grafica anterior podemos inferir que en México, desde 1895 al 2000, la población total ha aumentado. Si unimos los extremos de cada barra, podemos observar que la población total puede representarse mediante una grafica de una función creciente, como se ve en la figura 3. Población total, 1895 a 2000 110 100 M i l l o n e s

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

91.2

97.5

81.2 66.8 48.2 34.9 25.8 12.6

13.6

15.2

14.3

16.6

19.7

1895 1900 1910 1921 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 1995 2000

FUENTE:

INEGI, Censos de Población y Vivienda, 1895-2000. Para 1995: INEGI. Conteo de Población y Vivienda. FIGURA 3.

393

8.2: Monotonía de funciones

Definiremos a continuación los conceptos básicos de monotonía en un punto y en un intervalo, los cuales nos servirán para determinar el crecimiento y decrecimiento de las gráficas de funciones como la mostrada anteriormente.

Definición de monotonía en un punto. Sea f una función definida en un intervalo I, y a un punto en el intervalo. f es monótona en a si se cumple una de las dos condiciones siguientes para todo x y x en un cierto entorno de a Si x < a < x y f (x) < f (a) < f (x), entonces f crece en a. Si x < a < x y f (x) > f (a) < f (x), entonces f decrece en a.

Teorema. Sea f derivable en a, si: 1. 2. 3. 4.

f (a) > 0, entonces f crece en a. f (a) < 0, entonces f decrece en a. f crece en a, entonces f (a) ≥ 0. f decrece en a, entonces f (a) ≤ 0.

f crece en a

f(a)

x

a

x

x FIGURA 4.

Demostración. Parte 1: Suponemos que existe f (a) y sabemos que si f (a) > 0, entonces f ( x ) − f ( a) f ( x ) − f ( a) > 0 , luego lím > 0 cerca de a; es decir, para todo x de un x→a x−a x−a cierto entorno de a, los términos del cociente f (x) − f (a) y x − a tienen el mismo signo. Por esto, podemos analizar para x en un entorno de a: • x − a < 0 y f(x) − f(a) < 0, o bien x < a ⇒ f(x) < f(a) y • x − a > 0 y f(x) − f(a) > 0, es decir x > a ⇒ f(x) > f(a),

394

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

Concluimos que f es creciente en el punto a. Nota. Si f (a) < 0, la demostración se hace de manera similar. Parte 2: Si f crece en a, entonces f (a) ≥ 0; efectivamente, de no ser así, se verificaría f (a) < 0 y, de acuerdo con el resultado anterior, f sería decreciente en a, lo cual contradice la hipótesis. Nota. Si f es decreciente, la demostración se hace de forma análoga.

Definición de monotonía en un intervalo. Sea f una función definida en un intervalo I. f es monótona en I si se cumple una de las condiciones siguientes (para cualquiera x1 y x2 en I): • Si x1 < x2 y f (x1) ≤ f (x2), entonces f crece en I. • Si x1 < x2 y f (x1) ≥ f (x2), entonces f decrece en I.

Teorema. Si f es derivable en I, entonces se verifica que: • f (x) ≥ 0, para todo x ∈ I si y sólo si f crece en I. • f (x) ≤ 0, para todo x ∈ I si y sólo si f decrece en I.

Si los valores de f se relacionan por los signos < y >, se dice que el crecimiento y decrecimiento son en sentido estricto; si los signos que aparecen son ≤ y ≥, se obtiene la monotonía en sentido amplio. y

f crece en I

x1 FIGURA 5.

x2

I

x

395

8.2: Monotonía de funciones

Demostración. Primera parte: Supongamos que f es creciente en I, entonces para cualquier x ∈ I y si f ( x + h) − f ( x ) f ( x + h) − f ( x ) x + h ∈ I, se cumple que ≥ 0 , es decir ≥ 0, luego lím h→ 0 h h f (x) ≥ 0. Nota. Si f es decreciente, la demostración es similar. Segunda parte: Supongamos ahora que f (x) ≥ 0, para todo x ∈ I. Sean x1 y x2 dos puntos distintos cualesquiera de I, tales que x1 < x2; en el intervalo [x1, x2], para un cierto ξ ∈ (x1, x2), se cumple que f(x2) − f(x1) = f (ξ)(x2 − x1). Como f (x) ≥ 0 para todo x ∈ I, f (ξ) ≥ 0; con lo que tenemos f(x2) − f(x1) ≥ 0; es decir, hemos obtenido que para x1, x2 ∈ I, x1 < x2, entonces f(x1) ≤ f(x2) luego f es creciente en I. Nota. Si f (x) ≤ 0, para todo x ∈ I, se procede de la misma forma.

Ejemplos En las funciones de los ejemplos siguientes, determina en cuáles los valores de x son crecientes y en cuáles son decrecientes.

Ejemplo 1. f(x) = x3 − 27x.

solución El dominio de f (x) es . Obtenemos f (x) = 3x2 − 27 y calculamos los puntos críticos (que fueron definidos en la sección anterior), igualando la derivada a cero f (x) = 3x2 − 27 = 0. Al resolver esta ecuación, obtenemos que los puntos críticos son x = −3 y x = 3. Con el objeto de determinar el intervalo en que f(x) crece y en el que decrece, revisamos los valores en los cuales f (x) > 0 y en los que f (x) < 0. Al analizar la derivada, observamos que f (x) > 0 cuando 3x2 − 27 > 0; es decir, si 3(x2 − 9) > 0 o bien si |x| > 3, por lo cual, concluimos que la función crece en los intervalos (−∞, −3) y (3, ∞). Por otra parte, f (x) < 0 cuando 3x2 − 27 < 0; es decir, si 3(x2 − 9) < 0 o bien si |x| < 3, por lo cual, concluimos que la función decrece en el intervalo (−3, 3). Esta información se puede concentrar en la tabla. Tabla 1

Intervalo

Signo de f

ón sobre f

(−, −3)

+

f es creciente

(−3, 3)

−

f es decreciente

(3, )

+

f es creciente

396

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

Debido a que la función es continua en todo su dominio, podemos abreviar nuestro análisis. Tomamos su dominio y marcamos en él los puntos críticos de primer orden; estos puntos dividen al dominio de f (x) en los intervalos en que la derivada es positiva o negativa. Posteriormente, evaluamos en f (x) algún valor numérico que esté contenido en cada intervalo. Para la función que estamos analizando (tabla 2): Tabla 2

Intervalo

Valor de prueba

Signo de f

Conclusión sobre f

(−, −3)

−4

+

f es creciente

(−3, 3)

0

−

f es decreciente

(3, )

4

+

f es creciente

Con esta información, podemos hacer un esbozo gráfico de la función (figura 6).

y 40 20 6

4

x

2

2

4

6

20 40

FIGURA 6.

Ejemplo 2. f ( x) = 5x

2

3

− 2x

5

3

solución El dominio de f (x) es . Calculamos f ( x ) =

10 −1 3 10 2 3 x − x ; simplificando, tenemos f ( x ) = 3 3

10 2 3 10 − 10 x . Para obtener los puntos críticos, igualamos la derivada a cero y, analizamos x = 1 3 3x 3 3x 3 en qué puntos no existe la derivada. Determinamos que los puntos críticos son x = 0, pues f (0) no está definida, y x = 1, puesto que ahí f (x) = 0. Realizamos nuestro análisis en la tabla 3. 10

1

−

397

8.2: Monotonía de funciones

Tabla 3

Intervalo

Valor de prueba

Signo de f

Conclusión sobre f

(−, 0)

−1

−

f es decreciente

(0, 1)

0.5

+

f es creciente

(1, )

2

−

f es decreciente

Con esta información, realizamos un esbozo gráfico de la función (figura 7). y

10 5 2

x

1

1

2

3

4

5 FIGURA 7.

Ejemplo 3. f ( x) =

x2 +1 1− x2

solución El dominio de f(x) es {x ∈  | x ≠ ±1}. Obtenemos f ( x ) =

4x

(1 − x )

2 2

y calculamos los puntos críticos,

obteniendo x = 0. Observa que f (x) no está definida en x = −1 y en x = 1, pero estos puntos no son elementos del dominio de la función, por lo cual no son números críticos. Analizamos los signos de la derivada en los intervalos, como se ilustra en la tabla 4. Tabla 4

Intervalo

Valor de prueba

Signo de f

Conclusión sobre f

(−, −1)

−2

−

f es decreciente

(−1, 0)

−0.5

−

f es decreciente

(0, 1)

0.5

+

f es creciente

(1, )

2

+

f es creciente

398

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

Con esta información, podemos hacer un esbozo gráfico de la función (figura 8):

y

x2  1 1  x2 15 10 5

6

4

x

2

2

4

6

5 10 15

FIGURA 8.

Ejemplo 4. f(x) = x2 ln(x)

solución El dominio de f(x) es {x ∈  | x > 0}. Obtenemos f (x) = x(1 + 2ln(x)) y calculamos los puntos críticos 1 al igualar la derivada a cero; obtenemos x = . Observa que al igualar la derivada a cero, también e obtenemos el punto x = 0, pero este punto no pertenece al dominio de la función, por lo cual no es número crítico. Analizamos los signos de la derivada en los intervalos (tabla 5):

Tabla 5

Valor de prueba

Signo de f

Conclusión sobre f

⎛ 1 ⎞ ⎜ 0, ⎟ ⎝ e⎠

0.2

−

f es decreciente

⎛ 1 ⎞ , ∞⎟ ⎜ ⎝ e ⎠

−0.5

+

f es creciente

Intervalo

Con esta información, podemos hacer un esbozo gráfico de la función (figura 9):

399

8.2: Monotonía de funciones

y 0.4 0.3 0.2 0.1 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

0.1 FIGURA 9.

Ejemplo 5. f(x) = xex

solución El dominio de f (x) es . Obtenemos f (x) = ex(x + 1) y calculamos los puntos críticos. Al igualar la derivada a cero, obtenemos que x = −1. Analizamos los signos de la derivada en los intervalos (tabla 6): Tabla 6

Intervalo

Valor de prueba

Signo de f

Conclusión sobre f

(−, −1)

−2

−

f es decreciente

(−1, )

0

+

f es creciente

Con esta información, hacemos un esbozo gráfico de la función (figura 10). y 0.4 0.2 8

6

4

2

2

x

0.2 FIGURA 10.

400

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

1. Escribe con tus propias palabras la definición de una función creciente en un intervalo. De manera similar, define una función decreciente. 2. Ejercicios: a) Enseguida se muestra la gráfica (figura 11), publicada por el INEGI, de la distribución porcentual de la población económicamente activa ocupada según el sector de actividad: primaria, secundaria y terciaria, desde el año 1895 hasta el año 2000. Une con una curva suave los porcentajes de cada actividad, utiliza un color diferente para cada tipo de actividad. Analiza las gráficas de las funciones que obtuviste. ¿Qué puedes decir acerca de la actividad primaria desde el año 1895 hasta el año 2000?, ¿y de la actividad secundaria en ese mismo período?, ¿y de la actividad terciaria?, ¿qué puedes concluir de estas tres actividades?, particularmente, ¿cómo han evolucionado desde 1895 hasta el 2000? Distribución de la población económicamente activa (PEA) ocupada según el sector de actividad de 1895 a 2000 77.4

80.0 70.0 P o r c e n t a j e

73.2 67.0

65.9

68.0

67.3 60.9

60.0

54.6

50.0 40.0

17.4

17.4

16.8

30.0 15.6

16.7

15.2

20.0

22.4

41.8 33.8 36.5 34.3 29.2 24.4 26.3

24.5

16.7

19.1

22.6

19.6 12.5

15.0

10.1

11.8

13.1

1895

1900

1910

1921

1930

1940

1950

Primario a

a b c

28.7 16.3

10.0 0.0

NOTA:

28.8 23.5

55.0

52.9

47.8

1960

1970

Secundario b

1980

1990

1995

2000

Terciario c

De 1895 a 1930 no se hace referencia a ningún corte de edad para determinar la PEA; desde 1940 a la fecha, con excepción de 1960, todas las personas de 12 y más años son consideradas económicamente activas; para 1960 la PEA se constituye por la población de 8 y más años de edad. Para 1950 se especifica que además de las personas ocupadas se incluye a quienes estaban desocupadas en el periodo de 12 semanas antes del levantamiento censal. Para 1990, 1995 y 2000, los datos se refieren a la población ocupada.

Agrupa actividades relativas a agricultura, ganadería, silvicultura, caza y pesca. Reúne actividades referentes a minería, extracción de petróleo y gas, industria manufacturera, electricidad. Se refiere a actividades relacionadas con el comercio, transporte, gobierno y otros servicios.

FUENTE:

INEGI. Censos de Población y Vivienda, 1895-2000. Para 1995: INEGI. Conteo de Población y Vivienda. FIGURA 11.

401

8.2: Monotonía de funciones

b) La siguiente gráfica del INEGI (figura 12) muestra el número de hombres por cada 100 mujeres desde 1895 hasta el 2000. ¿Qué información puedes inferir de la gráfica?, ¿qué hechos históricos crees que influyeron para que el número de hombres haya decrecido desde 1895 hasta 1921? Indica los intervalos en los que la función crece y en los que decrece.

Número de hombres por cada cien mujeres

Índice de masculinidad, 1895 a 2000 100.0 99.5 99.0

99.6

99.0 98.5 98.0

98.0

97.7

97.4

97.1

97.0

97.0 96.3

96.0

96.5 95.4

95.5

95.0 94.0 1895

FUENTE:

1900

1910

1921

1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

1995

2000

INEGI. Censos de Población y Vivienda, 1895-2000. Para 1995: INEGI. Conteo de Población y Vivienda. FIGURA 12.

c) ¿Cuál es la evolución que ha tenido el ahorro de energía eléctrica en GWh/año desde 1991 a la fecha? Entra a la página del Fideicomiso para el ahorro de energía eléctrica http://www.fide.org.mx/, investiga, y responde la pregunta inicial. Realiza la gráfica que corresponde a la evolución de ahorros acumulados de energía. d) Uno de los factores importantes que determinan la integridad estructural de un avión es su edad. Al aumentar la edad de la nave, habrá más posibilidades de que ésta falle. La gráfica de las funciones f, en la figura 13, se conocen como la “curva de la bañera” en la industria aeronáutica. Las gráficas representan 6 tipos de fallas diferentes (A, B, C, D, E y F) y proporcionan la tasa de daños (daños debidos a la corrosión, a accidentes o a la fatiga del metal) en una flota típica de aviación comercial, en función de la cantidad de años de servicio. Indica los intervalos en los que las funciones crecen y en los que decrecen, así como los intervalos donde permanecen constantes.

402

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

MORTALIDAD PREMATURA

DESGASTE

4% (A) 68% (F)

BUEN DESEMPEÑO Tasa de fallas

14% (E) 7% (D) 5% (C) 2% (B) TIEMPO DE USO

4

8

12

16

18

años

FIGURA 13.

e) La altura (en pies) alcanzada por un cohete, t segundos después de despegar, está dada por la función t3 f (t ) = − + 3t 2 + 33t + 10 . ¿Cuándo sube y cuándo baja el cohete? 3 3. Encuentra los intervalos donde cada función sea creciente y donde sea decreciente. a) f(x) = 3x5 − 5x3 b) f(x) = x4 − 2x2 x − 10 x 2 + 3x x d) y = 2 x +1 e) f(x) = x2(e−x) c) y =

f) f(x) = e−x g) f ( x ) =

2

ln( x ) x

x ln( x ) i) f(x) = sen(x) − cos(x) para x ∈ [0, 2π] h) f ( x ) =

j) f(x) = 2sen(x) − x para x ∈ [0, 2π]

403

8.2: Monotonía de funciones

Problemas para trabajar en equipo

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones. 1. Para el problema presentado al inicio de esta sección, “Tarifa óptima del Metrobus”, contesta las preguntas siguientes: ¿Cuáles son las recomendaciones que tu empresa consultora les hace a las autoridades del gobierno de la Ciudad de México? ¿Es conveniente subir la tarifa?. Si es así, ¿qué cantidad es la adecuada? ¿Para cuál tarifa es creciente el ingreso y para cuál es decreciente? 2. El Dilema de Carlos. Carlos Montes de Oca es Licenciado en Administración de Empresas, recién egresado de la Universidad y trabaja como gerente de compras en una gran tienda departamental que regularmente vende 600 televisores por año. Los televisores se piden a la fábrica por lotes de 100, y se entregan en una bodega cercana para almacenarlos mientras se venden a cada cliente individualmente. Si no hay “periodos pico” durante el año y si los aparatos se venden de modo bastante regular, el inventario promedio a la mano en la bodega en cualquier tiempo será de 50 televisores. Consecuentemente, la tienda incurre en costos corrientes substanciales debidos a derechos de almacenamiento, seguro e interés sobre el efectivo para pagar el inventario. Para bajar estos costos corrientes, el gerente puede decidir pedir los televisores en lotes más pequeños, volviendo a pedir tan pronto como sea necesario a intervalos regulares. Para determinar el tamaño de los pedidos, deben considerarse otros factores además de los gastos corrientes, ya que cada vez que los televisores se vuelven a ordenar se hacen gastos extras, tales como papel, mano de obra, tarifas de carga, embalaje, etc. Obviamente, órdenes más pequeñas redundarán en la necesidad de volver a pedir más a menudo, y así, incrementarían los costos de pedido mientras que los costos corrientes han sido reducidos. Tomando en cuenta ambos tipos de gastos, Carlos necesita decidir qué tan grandes deben ser las órdenes (número de televisores pedidos) que debe pedir la tienda departamental, si quiere conservar sus costos totales al mínimo. Se ha pedido a tu equipo de trabajo colaborar en la resolución de este problema.

1 1. Dada f ( x ) = x + , selecciona la opción correcta. x a) f es creciente en (−∞, −1). c) f decrece en (1, +∞). b) f crece en (0, 1).

d) f crece en (−1, 1).

404

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

2. Dada y = f(x) = x2/3 − x1/3, elige la opción correcta. 1 a) f decrece en ⎛ , ∞⎞ ; b) f crece en ⎝8 ⎠

⎛ 1 , ∞⎞ ; c) f crece en (−∞, 0); d) f crece en ⎛ −∞, 1 ⎞ . ⎝8 ⎠ ⎝ 8⎠

3. Una compañía que produce galletas de mantequilla desea envasar su producto en cajas cuadradas de lámina; por ello, desean construir una caja sin tapa con una lámina cuadrada estampada de 18 cm de lado, cortando de cada esquina un cuadrado de x cm de lado y doblando las caras laterales. Indica la opción correcta sobre el volumen de la caja. a) El volumen crece si x ∈ (3, 9)

c) El volumen crece si x ∈ (0, 3)

b) El volumen decrece si x ∈ (0, 3)

d) El volumen decrece si x ∈ (9, ∞)

4. Una compañía de publicidad desea hacer un volante de una página rectangular que contenga 100 centímetros cuadrados de texto e imágenes, y con márgenes de 2 centímetros de cada lado. Indica la opción que representa una afirmación correcta sobre la función que representa el área de la página. a) El área crece si x ∈ (4, 14)

c) El área crece si x ∈ (14, ∞)

b) El área decrece si x ∈ (−6, 7)

d) El área decrece si x ∈ (−6, 10)

Respuestas a los Ejercicios y problemas 3.

a) Crece en (−∞, −1) ∪ (1, ∞), decrece en (−1, 1). b) Crece en (−1, 0) ∪ (1, ∞), decrece en (−∞, −1) ∪ (0, 1).

(

) (

)

(

) (

)

c) Crece en 10 − 30 , 0 ∪ 0, 10 + 30 , decrece en ( −∞, − 3) ∪ −3, 10 − 30 ∪ 10 + 30 , ∞ . d) Crece en (−1, 1), decrece en (−∞, −1) ∪ (1, ∞). e) Crece en (0, 2), decrece en (−∞, 0) ∪ (2, ∞). f) Crece en (−∞, 0), decrece en (0, ∞). g) Crece en (0, e), decrece en (e, ∞). h) Crece en (e, ∞), decrece en (−∞, 1) ∪ (1, e). 3π ⎞ ⎛ 7π 3π 7π ⎞ i) Crece en ⎛ 0, ∪ , 2 π⎞ , decrece en ⎛ , . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 4 4 4 4⎠ π 5π π 5π ⎞ j) Crece en ⎛ 0, ⎞ ∪ ⎛ , 2 π⎞ , decrece en ⎛ , . ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝3 3 ⎠

8.2: Monotonía de funciones

1. 2. 3. 4.

a) b) c) c)

405

406

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

8.3 Extremos absolutos

No podemos resolver problemas usando el mismo tipo de pensamiento que usamos cuando los creamos. Albert Einstein

El paquete En la página WEB del Servicio Postal Mexicano: http://www.sepomex.gob.mx/

Sepomex/Individual/Entrega/Paquetería+Nacional/, aparece la siguiente descripción acerca de la paquetería que se puede enviar dentro de México: Paquetería Nacional: “Paquetería: son los envíos de mercancías y/o promocionales que, por sus dimensiones y peso, deben presentarse en cajas o tubos. Los envíos deben ser depositados con el empaque abierto, paquetes o cajas de cartón envueltos con papel Manila y atados con hilo resistente”.

Determina las dimensiones de la caja de volumen máximo que puede enviarse con las siguientes condiciones:

Máximos Largo + Ancho + Alto 200 centímetros Arista 105 centímetros Mínimos Frente 9 por 14 centímetros

407

8.3: Extremos absolutos

Introducción Problemas como el anterior pueden resolverse matemáticamente empleando los conceptos de este capítulo. En esta sección desarrollaremos una estrategia para resolver problemas de extremos absolutos utilizando las herramientas del cálculo diferencial.

Objetivos Al terminar esta sección tendrás la capacidad de: a) Definir extremos absolutos y distinguir la diferencia entre éstos y los extremos relativos. b) Conocer y aplicar los principales resultados del cálculo diferencial para la localización de los extremos absolutos de una función si éstos existen. c) Resolver problemas que involucren extremos absolutos.

Extremos absolutos Primero presentaremos la definición de extremo absoluto. Recuerda que al utilizar la palabra “extremo” nos referimos a un máximo o a un mínimo para la función.

Máximo absoluto en un intervalo. La función f(x) tiene un valor máximo absoluto en un intervalo si existe un número c en el intervalo tal que f(c) ≥ f(x) para toda x del intervalo. El número f(c) es el valor máximo absoluto de f (x) en el intervalo.

Mínimo absoluto en un intervalo. La función f(x) tiene un valor mínimo absoluto en un intervalo si existe un número c en el intervalo tal que f(c) ≤ f(x) para toda x del intervalo. El número f(c) es el valor mínimo absoluto de f (x) en el intervalo.

408

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

Ejemplos Ejemplo 1. Considera la función f(x) definida por f(x) = 6 − x2 cuya gráfica se muestra en la figura 1. La función tiene un valor máximo absoluto en el intervalo (−3, 2]. Observa que la función es continua y que el intervalo (−3, 2] no “cierra” en x = −3, razón por la cual esta función no tiene un mínimo absoluto. y valor máximo absoluto 5 2.5 4

3

1 2.5

2

1

2

3

x

5 FIGURA 1.

Ejemplo 2. Si consideras la función f(x) definida por f(x) = 4x (ver figura 2), observarás que la función tiene un valor mínimo absoluto en [−2, 2), pero como el intervalo [−2, 2) no “cierra” en x = 2, no existe un valor máximo absoluto en [−2, 2).

y 15 10 5 2

2 5 10

valor mínimo absoluto 15

FIGURA 2.

x 4

409

8.3: Extremos absolutos

Ejemplo 3. x2 +1 no tiene máximo ni mínimo absoluto en ninguno de los dos 1− x2 casos mostrados: A) Df =  −{−1, 1}, B) Df = [0, 2] − {1}, ve las figuras 3 y 4, respectivamente. En este caso, puede decirse que la función no tiene extremos absolutos porque en ambos dominios la función es discontinua. La función f(x) definida por f ( x ) =

a)

b) y

6

4

2

x2  1 1  x2

y

x2  1 1  x2

15

15

10

10

5

5 6

4

2

x

x

2

5

5

10

10

15

15

FIGURA 3.

4

6

FIGURA 4.

Ejemplo 4.

⎧ 2 x + 1 si - 2 ≤ x < 1 Si ahora consideras la gráfica en la figura 5 de la función f(x) definida por f ( x ) = ⎨ 2 , ⎩− x + 4 si 1 ≤ x ≤ 3 observarás que esta función tiene máximo y mínimo absoluto en [−2, 3]. Claro que aquí, f es una función continua en un intervalo cerrado y acotado a saber, [−2, 3].

y 2 3

2

1

2

1

4 6

FIGURA 5.

2

3

x 4

410

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

Las observaciones de los ejemplos anteriores nos permiten inferir el siguiente resultado sobre extremos absolutos:

Teorema del valor extremo. Si la función f (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces: a) Existe un punto x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) es un valor máximo absoluto en [a, b]. b) Existe un punto x1 ∈ [a, b] tal que f(x1) es un valor mínimo absoluto en [a, b].

Nota. El teorema anterior establece condiciones suficientes para garantizar que una función tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en el intervalo. Sin embargo, estas condiciones no son condiciones necesarias. Por ejemplo, la función f(x) = sen(x) tiene un máximo y un mínimo absoluto en el intervalo abierto (0, 2π), ve la figura 6. y 1 0.5

1

2

3

4

5

6

7

x

0.5 1 FIGURA 6.

Así, se ha señalado que una función continua en un intervalo cerrado [a, b], tiene tanto un máximo como un mínimo absoluto. El siguiente teorema señala dónde pueden ocurrir estos extremos:

Teorema sobre la localización de extremos absolutos. Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces sus extremos absolutos ocurren en puntos críticos del intervalo, es decir, en x = a o en x = b o en puntos críticos estacionarios o en puntos críticos singulares.

411

8.3: Extremos absolutos

Este teorema permite establecer el siguiente método para determinar los valores extremos absolutos de una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a, b].

Guía para obtener los extremos absolutos de una función f(x) continua en [a, b]. 1. Encuentra los puntos críticos de la función en [a, b] y calcula los valores de f (x) en ellos. 2. El mayor de los valores obtenidos en el paso anterior es el valor máximo absoluto y el menor de los valores encontrados es el valor mínimo absoluto.

Ejemplos Si existen, determina los extremos absolutos de las funciones dadas en el intervalo indicado.

Ejemplo 1. f ( x) = 5x

2

3

5

− 2 x 3 ; [−2, 3]

solución f(x) es continua en [−2, 3], por lo cual podemos seguir el procedimiento indicado antes: 10 −13 10 2 3 x − x y determinamos los puntos críticos de primer orden. Igualamos 1. Obtenemos f ( x ) = 3 3 la derivada a cero y analizamos en qué puntos la derivada no existe, obtenemos que los puntos críticos son: x = 0 pues f (0) no está definida y f (x) = 0 en x = 1. Ahora, el valor de la función en esos puntos críticos son f(0) = 0 y f(1) = 3. También, evaluamos la función en los extremos del in5 5 2 2 tervalo f ( −2) = 5( −2) 3 − 2( −2) 3 = 14.2866 y f (3) = 5(3) 3 − 2(3) 3 = −2.08. 2. De la comparación de las evaluaciones anteriores, concluimos que el valor máximo absoluto es f (−2) = 14.2866 y el valor mínimo absoluto es f(3) = −2.08. La gráfica se muestra enseguida: y

10 5 2

x

1

1

2

3

4

5 FIGURA 7.

412

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

Ejemplo 2. ⎛ x2 ⎞ f ( x ) = arctan⎜ ⎟ ; [−2, 1]. ⎝ 3⎠

solución f(x) es continua en [−2, 1], por lo cual podemos seguir el procedimiento indicado antes: 2 3x y determinamos los puntos críticos de primer orden. Igualamos la derivada 3 + x4 a cero y analizamos en qué puntos la derivada no existe. Observa que sólo hay un punto crítico, x = 0. El valor de la función en dicho número es f(0) = 0. También, evaluamos la función en los extremos ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞ del intervalo f ( −2) = arctan⎜ ⎟ = 0.523599 ⎟ = 1.16216 y f (1) = arctan⎜ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

1. Obtenemos f ( x ) =

2. El valor máximo absoluto es f(−2) = 1.16216 y el valor mínimo absoluto es f(0) = 0 La gráfica se muestra enseguida:

y 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 3

2

1

1

2

3

x

FIGURA 8.

Ejemplo 3. ⎧ x + 2 si − 3 ≤ x < −1 ⎪ 1 si − 1 ≤ x < 0 ; [−3, 2] f ( x) = ⎨ ⎪2 xx+ 1 si 0 ≤ x ≤ 2 ⎩

solución f(x) no es continua en [−3, 2], por lo cual no podemos utilizar el teorema del valor extremo. Pero podemos graficar la función en el intervalo indicado y determinar si tiene extremos absolutos.

413

8.3: Extremos absolutos

y 5

1

2 1 2

3

x

FIGURA 9.

De la gráfica, podemos inferir que la función tiene un valor máximo absoluto en x = 2 y que no tiene mínimo absoluto.

Aplicaciones que involucran un extremo absoluto en un intervalo cerrado Ahora aplicaremos el teorema del valor extremo a problemas en los que la solución es un extremo absoluto de una función en un intervalo cerrado.

Ejemplos Ejemplo 1. La Comisión Federal de Electricidad quiere suministrar energía eléctrica al ingenio azucarero San Martín situado en la rivera del río San Juan desde una planta que se encuentra a 3 kilómetros en el extremo opuesto del río.

Figura 10.

414

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

El río mide 1.414 kilómetros de ancho (ver figura 11) y se debe considerar que tender cable por debajo del río cuesta 3 veces más que por tierra (costo por kilómetro instalado).

3 km

x

cable 1.414 km

Planta

FIGURA 11.

¿Cuál debe ser el punto de llegada x del cable para que el costo de instalación sea el mínimo?

solución Sean C(x) la función que representa el costo del tendido de cables eléctricos y c0 el costo unitario (por kilómetro) del cable que se tiende sobre tierra; de la figura podemos inferir que: ⎛ Costo del cable ⎞ ⎛ cantidad de cable⎞ ⎛ Costo del cable ⎞ ⎛ cantidad de cable ⎞ Costo = ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎜ ⎟. ⎝ tendido por agua⎠ ⎝ tendido por agua ⎠ ⎝ tendido por tierra⎠ ⎝ tendido por tierra⎠ Usando el teorema de Pitágoras para obtener la cantidad de cable tendido por agua, tenemos que la función costo en términos de x puede escribirse como: C(x) = (3c0) ⎛ (1.414)2 + x 2 ⎞ + (c0)(3 − x); el dominio de ⎝ ⎠ la función de costo C(x) (el dominio implícito del problema) es x ∈ [0, 3]. Para resolver nuestro problema debemos encontrar el valor mínimo absoluto de C(x) en el intervalo cerrado [0, 3], esto proporcionará el costo mínimo del tendido de cables. Ahora, observa que C(x) es continua en [0, 3], por lo cual podemos seguir el procedimiento establecido antes: ⎛ ⎞ 3x 1. Obtenemos: f ( x ) = ⎜ − 1⎟ c0 y determinamos los puntos críticos de primer ⎜ (1.414)2 + x 2 ⎟ ⎝ ⎠ orden, al igualar la derivada a cero, obtenemos el punto crítico x = 0.49924 ≈ 0.5. El valor de la función en este punto es f(0.5) ≈ 7c0. Evaluamos ahora a la función en los extremos del intervalo: f (0) = ⎡⎢(3)⎛ ⎣ ⎝

(1.414)2 + 0 2 ⎞⎠ + (1)(3 − 0)⎤⎥c0 = 7.242c0 y f (3) = ⎡⎢(3)⎛⎝ (1.414)2 + 32 ⎞⎠ + (1)(3 − 3)⎤⎥c0 = 9.9496 c0 ⎦

⎣

⎦

415

8.3: Extremos absolutos

2. El valor mínimo absoluto es f(0.5) = 7c0. Por lo cual, para que el costo de instalación sea el mínimo, el punto de llegada del cable debe ser x = 0.5 km La grafica se muestra enseguida:

C(x)

13

7 km 0.5

FIGURA 12.

Ejemplo 2. La empresa Figuras Decorativas S. A. se dedica a realizar figuras de alambre para decoración y una de sus prioridades es optimizar el uso del material. El señor Gómez, encargado de hacer figuras geométricas de cuadrados y círculos, tiene trozos de alambre de 1 metro de largo y necesita cortarlos en dos partes; la primera parte la dobla para formar un cuadrado y el resto lo dobla para formar un círculo. El señor Gómez necesita determinar cómo debe cortarse el alambre de manera que la suma de las áreas de las figuras sea: a) Máxima. b) Mínima.

FIGURA 13.

solución Sea x el lugar donde debe cortarse el alambre, la figura 14 ilustra la situación: x

1x

FIGURA 14.

416

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

El perímetro del cuadrado debe ser Pcuadrado = x y el perímetro del círculo debe ser Pcirc = 1 − x, de las x relaciones Pcuadrado = x = 4l y Pcirc = 1 − x = 2πr obtenemos que el lado del cuadrado es l = y el 4 1− x radio del círculo es r = , con esto podemos escribir la función que represente la suma de las áreas 2π 2 2 2 x 1− x⎞ x 2 (1 − x ) + de las figuras: A( x ) = ⎛ ⎞ + π ⎛ , o bien A( x ) = . El dominio de la función (el do⎝ 4⎠ ⎝ 2π ⎠ 16 4π minio implícito del problema) es x ∈ [0, 1]. Para resolver nuestro problema, debemos encontrar los valores máximo y mínimo absolutos de A(x) en el intervalo cerrado [0, 1]; esto dará las áreas mínima y máxima. A(x) es continua en [0, 1], por lo cual podemos seguir el procedimiento establecido antes: −4 + ( 4 + π ) x 1. Obtenemos f ( x ) = y determinamos los puntos críticos de primer orden. Al igualar la 8π 4 4 ⎞ ≈ 0.043312. derivada a cero, obtenemos el punto crítico: x = , el valor de la función es f ⎛ ⎝ 4+π 4 + π⎠ Evaluamos la función en los extremos del intervalo f (0) =

2 0 2 (1 − 0) 12 (1 − 1) + = 0.07957 y f (1) = + = 0.0625 16 4π 16 4π 2

4 ⎞ ≈ 0.043312 y el valor máximo absoluto es 2. El valor mínimo absoluto es f ⎛ ⎝ 4 + π⎠ f (0) =

0 2 (1 − 0) + = 0.07957 . Por lo cual, para que el área sea mínima, el alambre debe cortarse en 16 4π 2

4 m; y para que el área sea máxima, el alambre no debe cortarse, y con él debe cons4+π 1 m. truirse solamente el círculo, cuyo radio debe medir r = 2π La gráfica se muestra enseguida: x=

y 0.2 0.15 0.1 0.05 x 0.25

0.5

0.75

1

FIGURA 15.

1.25

1.5

417

8.3: Extremos absolutos

1. Escribe con tus propias palabras la definición de extremos absolutos. 2. Encuentra los extremos absolutos de las funciones siguientes en el intervalo indicado: a) f(x) = x4 − 2x2; [−2, 1]

x2 − x + 2 ; (0, ∞) x ⎧ 2 ⎪ x − 5 si x ≤ 0 ⎪ i) f ( x ) = ⎨ x 2 + 1 si 0 < x ≤ 2 ; ⎪−2 x + 3 si x > 2 ⎪ ⎩

h) f ( x ) =

b) f(x) = x3 − 3x2 − 2; [−2, 2] c) f(x) = xln(x); (0, e2]

π d) f(x) = xcos(x); ⎡⎢ , π ⎤⎥ ⎣2 ⎦ x −1 e) f ( x ) = ; [0, 2] 2x +1 1 f ) f ( x) = x − ; (0, 3] x 1 g) f ( x ) = x + 2 ; (0, 4] x

⎧x −3 ⎪ j) f ( x ) = ⎨1 − x 2 ⎪ x +1 ⎩

si x ≤ −1 si − 1 < x ≤ 3 ; si x > 3

3. Resuelve los problemas siguientes: a) Considera el ejemplo 2 de la empresa Figuras Decorativas S.A. Ahora, el señor Gómez, encargado de hacer figuras geométricas tiene trozos de alambre de 10 metros de largo y necesita cortarlos en dos partes; la primera parte la dobla para formar un cuadrado y el resto lo dobla para formar un triángulo equilátero. El señor Gómez necesita determinar cómo debe cortarse el alambre de manera que la suma de las áreas de las figuras sea: i) Máxima. ii) Mínima. b) La compañía Envases de Cartón S.A. ha recibido un pedido para hacer cajas para pizzas. Las cajas deben ser rectangulares y con tapa. El licenciado José Martínez, diseñador de la empresa, desea utilizar piezas de cartón de 20 por 50 pulgadas, haciendo recortes de cuadrados iguales como se muestra en la figura 16 y doblando las líneas punteadas. El licenciado Martínez necesita saber cuál debe ser la medida del lado de los cuadrados que se van a recortar para obtener las cajas con el mayor volumen posible. 50 pulg. x x

20 pulg.

FIGURA 16.

418

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

c) Para tender cables a dos casas vecinas, la compañía Teléfonos de México, S.A. de C.V. necesita colocar un poste en una calle de un pequeño poblado. La altura del poste está a la misma altura que el nivel de las casas donde se harán las conexiones. Determina el lugar en el cual se debe colocar el poste de tal manera que se use la menor cantidad de cable.

30 m. 20 m.

50 m.

d)

FIGURA 17.

Considera ahora que la compañía Teléfonos de México, S.A. de C.V. desea tender un cable desde la población de Balsas Norte hasta la población de Balsas Sur que se encuentran separadas por el río del mismo nombre cuyo ancho en ese punto es de 300 metros; además la segunda población se encuentra sobre la ribera sur del río a 600 metros a la derecha de la población de Balsas Norte (ver figura 18). Si el costo por metro de cable es 25% más caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo debe tenderse el cable para que el costo total sea el mínimo para la compañía? Balsas Norte

300 m

Río Balsas

Balsas Sur

600 m

FIGURA 18.

e) Un trasbordador para pasajeros viaja desde una población hasta una isla que dista 7 millas de la población y 3 millas en línea recta de la playa (ver figura 19). El trasbordador navega a lo largo de la playa hasta algún punto y luego avanza directamente hacia la isla. Si el trasbordador navega a 12 mi/h a lo largo de la playa y a 10 mi/h cuando avanza hacia el mar, determina la ruta que tenga un tiempo de recorrido mínimo.

Isla 3 millas

Población

7 millas

FIGURA 19.

8.3: Extremos absolutos

419

f) Un granjero quiere cercar un terreno rectangular con área de 2 400m2. También quiere utilizar algo de cerca para construir una división interna paralela a dos de las secciones del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? g) La compañía Envases Metálicos, S.A. diseña cajas de metal utilizando tres cuadrados grandes de metal, cada uno de 100 cm de lado, recortando cuatro pequeños cuadrados en sus esquinas. Los doce pequeños cuadrados resultantes deben ser del mismo tamaño. Las tres piezas grandes en forma de cruz se doblan y se soldan (por separado) para formar cajas sin tapa, y los doce cuadrados pequeños se usan para formar dos cubos pequeños. ¿Cómo deben cortarse los cuadrados pequeños para que el volumen total de las 5 cajas sea el máximo? La compañía requiere forzosamente que se fabriquen las 5 cajas puesto que las cajas grandes las vende al doble del precio de venta de los cubos pequeños. h) En el aserradero El Fortín se venden vigas y polines, Carlos Pérez, encargado de ventas tiene que surtir el siguiente pedido: una viga rectangular de mayor resistencia cuya diagonal mida 144 centímetros y que tenga 2 metros de largo. Carlos Pérez ha investigado que la resistencia de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cuadrado del espesor, pero ahora necesita tu ayuda para determinar las dimensiones de la viga que debe cortar de un tronco con forma de un cilindro circular recto de 2 metros que cumpla con las características pedidas. i) Determina el área del rectángulo más grande que tenga dos vértices en el eje x y los otros dos en la parábola y = a2 − x2, por arriba del eje x. Considera diversos valores de a por ejemplo a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. ¿Puedes generalizar alguna fórmula para el área del rectángulo más grande?

Problemas para trabajar en equipo

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Retoma la situación “El paquete” que se te presentó al principio de esta sección; imagina que tu equipo y tú están comisionados para determinar las dimensiones de la caja de volumen máximo que puede enviarse con las condiciones impuestas por el Servicio Postal Mexicano (SEPOMEX). Resuelve este problema utilizando las ideas y resultados que se han discutido en esta sección. 2. El señor Ernesto López, dueño de la cafetería El gran café, desea hacer cambios en su local pero necesita conocer el número de asientos que optimizarán su ganancia. Por experiencia, el señor López estima que si existen lugares para 40 a 80 personas, la ganancia semanal será de ocho pesos por lugar. Sin embargo, si la capacidad de asientos sobrepasa los 80 lugares, la ganancia semanal en cada lugar se verá reducida en a centavos por el número de lugares excedentes. a) Obtén un modelo matemático que exprese el ingreso bruto como una función del número de asientos.

420

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

b) Considera que la reducción de la tarifa es de cuatro centavos de peso (a = 4), determina el número de asientos con los que debe contar la cafetería a fin de que el señor López obtenga el máximo ingreso. c) Considera que la reducción de la tarifa es de seis centavos de peso (a = 6), determina el número de asientos con los que debe contar la cafetería a fin de que el señor López obtenga el máximo ingreso. d ) ¿Qué puedes inferir acerca del máximo ingreso y el valor de a? 3. La agencia ‘Viajes Educativos’ puede transportar a un total de 250 estudiantes en una excursión a la ciudad de Puebla. El costo por alumno es de 200 pesos si su número no excede a 150; por cada alumno que exceda a los 150 estudiantes, la agencia ofrece una reducción en la tarifa de a pesos. a) Obtén un modelo matemático que exprese el ingreso bruto como una función del número de estudiantes que asistirán a la excursión. b) Considera que la reducción de la tarifa es de cinco pesos (a = 5) y determina el número de estudiantes que deben asistir a la excursión para que la agencia de viajes obtenga el máximo ingreso bruto. c) Considera que la reducción de la tarifa es de siete pesos (a = 7) y determina el número de estudiantes que deben asistir a la excursión para que la agencia de viajes obtenga el máximo ingreso bruto. d) ¿Qué puedes inferir acerca del máximo ingreso bruto y el valor de a? 4. Un excursionista se encuentra en el faro del Islote Botafoc y desea ir a la Isla de Ibiza, al centro de la ciudad del mismo nombre. Determina la ruta del faro a la ciudad que le lleve el menor tiempo posible si el excursionista puede remar a 4 km/h y caminar a 5 km/h. a) Investiga (en Internet, enciclopedias, etc.) la distancia del Islote a la Isla. b) Considera: i) Un punto A sobre el islote (el faro) y ii) Un punto B, el más cercano en línea recta (esta línea puede ser el dique) sobre la Isla, iii) Que la costa es recta de este punto B al centro de la ciudad de Ibiza c) Analiza y determina las posibles rutas del faro al centro.

FIGURA 20. Isla y faro de Botafoc, Ibiza, Baleares, España. Autor: Xavier Durán.

421

8.3: Extremos absolutos

1. Indica la opción que contiene los extremos absolutos de y = f ( x ) = x 2 +

1 2 en [ , 2] . 2 x

a) Valor máximo absoluto f (1) = 3. Valor mínimo absoluto f (2) = 5. b) Valor mínimo absoluto f (1) = 3. Valor máximo absoluto f (0.5) = 4.25. c) Valor máximo absoluto f (2) = 5. Valor mínimo absoluto f (1) = 3. d) Valor mínimo absoluto f (1) = 3. Valor máximo absoluto f (0.5) = 4.25. 2. Determina los valores máximos y mínimos absolutos de la función f(x) = x1/3(x − 16) en [0, 10]. a) Valor máximo absoluto f(0) = 0. Valor mínimo absoluto f(1) = −15. b) Valor máximo absoluto f ( 4) = 12 3 4 . Valor mínimo absoluto f(0) = 0. c) Valor máximo absoluto f(1) = −15. Valor mínimo absoluto f ( 4) = −12 3 4 . d) Valor máximo absoluto f(0) = 0. Valor mínimo absoluto f ( 4) = −12 3 4 . 3. Determina los valores máximos y mínimos absolutos de la función f(x) = x4 ln(x) en (0, e]. 1 ⎛ 1 ⎞ a) Valor máximo absoluto f(e) = e4. Valor mínimo absoluto f ⎜ 4 ⎟ = − . ⎝ e⎠ 4e 1 ⎛ 1 ⎞ b) Valor máximo absoluto no tiene. Valor mínimo absoluto f ⎜ 4 ⎟ = − . ⎝ e⎠ 4e ⎛ 1 ⎞ 1 c) Valor máximo absoluto f ⎜ 4 ⎟ = . Valor mínimo absoluto f(0) = 0. ⎝ e ⎠ 4e 1 ⎛ 1 ⎞ d) Valor máximo absoluto f(0) = 0. Valor mínimo absoluto f ⎜ 4 ⎟ = − . ⎝ e⎠ 4e 4. Determina el área del rectángulo más grande que tenga dos vértices en el eje x y los otros dos en la parábola y = 16 − x2, por arriba del eje x. a) A =

128 3 3

b) A =

256 3 3

c) A =

4 3

d) A =

32 3

5. Se va a construir una caja sin tapa con una lámina de cartón cuadrada de 18 cm de lado, cortando de cada esquina un cuadrado de lado x cm y doblando las caras laterales. Encuentra el valor de x que maximiza el volumen de la caja. a) máximo en x = 9.

b) máximo en x = 2.

c) máximo en x = 3.

b) máximo en x = 4.

422

Unidad 8: Monotonía y teoría de extremos

Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Revisa la parte teórica. 2. a) Valor máximo absoluto f(−2) = 8, valor mínimo absoluto f(−1) = f(1) = 1. b) Valor máximo absoluto f(0) = −2, valor mínimo absoluto f(−2) = −22. 1 1 c) Valor máximo absoluto f(e2) = 2e2, valor mínimo absoluto f ⎛ ⎞ = − . ⎝ e⎠ e

( )

d) Valor máximo absoluto f π 2 = 0 , valor mínimo absoluto f(π) = −π. e) Valor máximo absoluto f (2) = 1 5 , valor mínimo absoluto f(0) = −1. 1 + 3 , no tiene valor mínimo absoluto. 3 1 g) No tiene valor máximo absoluto, valor mínimo absoluto f 3 2 = 3 2 + 3 . 2 4− 2 h) No tiene valor máximo absoluto, valor mínimo absoluto f 2 = . 2 i) Valor máximo absoluto f(2) = 5, no tiene valor mínimo absoluto. f) Valor máximo absoluto f (3) = −

( ) ( )

j) No tiene valor máximo absoluto, valor mínimo absoluto f(3) = −8. 3. a) i) Suma máxima de áreas S(100) = 795.775 m2, no debe cortarse el alambre y debe construirse sólo el cuadrado ⎛ 40 3 ⎞ 2 ii) Suma mínima de áreas S⎜ ⎟ = 2 . 71853 m . ⎝9+ 4 3⎠ ⎛ b) V = ⎝

50 − 3 x ⎞ (20 − 2 x ) x; [0, 10], Volumen máximo V(4.04567) ≈ 912.091 pulg3. 2 ⎠

c) Sea x el lugar donde debe colocarse el poste sobre la calle, la cantidad de cable necesario debe ser 2 C( x ) = (30)2 + x 2 + (20)2 + (50 − x ) ; [0, 50], la mínima cantidad de cable es C(30) = 70.7107 m. d) Sea x el lugar hasta donde debe llegar el cable desde Balsas Norte a la ribera opuesta, la función cos5k to puede expresarse como C( x ) = k (600 − x ) + (300)2 + x 2 ; [0, 600], donde k pesos es el costo 4 por metro de cable tendido, el costo mínimo es cuando x = 400 y es de T(400) = 825k pesos. e) Sea x el lugar hasta donde debe navegar el barco a lo largo de la playa, el tiempo de recorrido es la dis9 + (7 − x )2 x tancia entre la velocidad por lo cual T ( x ) = + ; [0, 7], la ruta que tiene un tiempo de 12 10 recorrido mínimo es cuando x = 2.47733 y el tiempo es T(2.47733) = 0.749165 h.

423

8.3: Extremos absolutos

f) Si x y y son la base y la altura del terreno rectangular, respectivamente; si la división interna es paralela a 7 200 y, la longitud de la cerca necesaria es L( x ) = 2 x + 3 y = 2 x + , la longitud mínima es L(60) = 240. x g) Si x es el lado de los cuadrados que se van a recortar, entonces el volumen de las 5 cajas es V(x) = 50 4 − 2 ≈ 18.4699 y el valor del vo3x(100 − 2x)2 + 2x3; se tiene el volumen máximo cuando x = 7 50 ⎛ ⎞ 4 − 2 = 232 943. lumen es V ⎝ 7 ⎠

(

(

)

h) El ancho es 48 3 cm y el grosor 48 6 cm. i) Fórmula general del área A =

1. 2. 3. 4. 5.

c) d) a) b) c)

4 3 a. 3 3

)

Unidad

Graficación

Contenido de la unidad 9.1 Concavidades y puntos de inflexión 9.2 Graficación

Introducción a la unidad Dos parámetros importantes del motor de un automóvil son su potencia máxima y su torque máximo. Si lo que deseas es un vehículo de carga con un motor fuerte, o bien un vehículo que responda bien en ciudad a bajas revoluciones por minuto, entonces deberás buscar un alto torque máximo aunque la potencia máxima no sea muy alta. Por otro lado, si lo que deseas es un vehículo con capacidad de ser revolucionado para responder en autopista a altas velocidades, entonces deberás buscar alta potencia máxima aunque el torque máximo no sea muy alto. La gráfica muestra la potencia en caballos de fuerza (hp) y el torque en libras-pie (lb-ft) para el motor de un Ford Focus SVT, graficados como funciones de la velocidad angular de su motor en revoluciones por minuto (rpm). Como puedes observar, la máxima potencia es de 170 hp y se alcanza a las 7 000 RPM, mientras que el máximo torque es de 145 lb-ft y se alcanza a las 5500 rpm. Además, observa que las gráficas tienen mucha estructura, no son simples parábolas. Por ejemplo, la curva de torque tiene un máximo local aproximadamente a las 2 600 rpm, y un mínimo local aproximadamente a las 4 000 rpm. Algo importante debe ocurrir en el motor en cada uno de esos dos puntos. Para un ingeniero que intentara mejorar este motor, seguramente sería útil saber qué le sucede en esos valores de velocidad angular.

426

Unidad 9: Graficación

La situación anterior ilustra cómo la forma de una gráfica es muy importante en las aplicaciones. Esto es cierto en muy diferentes campos del conocimiento. En uno de los problemas para trabajar en equipo de este capítulo, analizarás gráficas para justificar decisiones de compra-venta en el mercado de valores. En otro problema, estudiarás gráficas sobre la propagación del SIDA para llevar a cabo predicciones útiles en salud pública. “Una imagen dice más que mil palabras”, eso puede ser cierto si sabes leer la imagen; en este capítulo, aprenderás a construir y a leer un importante tipo de imágenes.

9.1 Concavidades y puntos de inflexión

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes

La ley de Snell Tal vez el más impresionante resultado obtenido por el Cálculo en el siglo XVII, fue la resolución de ciertas cuestiones teóricas muy antiguas relacionadas con fenómenos naturales. Algunas de ellas suponen profundos conocimientos de física para poder comprenderlas, pero otras pueden ser explicadas de manera rápida con un mínimo de antecedentes científicos. Dos de las aplicaciones clásicas más simples se relaciona con el comportamiento de la luz: las leyes de refracción y reflexión. Cuando la luz incide en un espejo o en cualquier otra superficie, sus rayos se reflejan siempre de manera tal, que su ángulo de incidencia es igual a su ángulo de reflexión (figura 1). Esta ley de reflexión fue descubierta por Euclides alrededor del año 300 a.C. 1 n1 FIGURA 1 En a) se muestra la ley de reflexión, mientras que en b) se muestra la ley de refracción.

1

2 2

n2

a)

b)

Más tarde, el matemático griego Herón de Alejandría, quien vivió alrededor del siglo I, probó que esta ley sigue, lógicamente, a la hipótesis de que los rayos de luz viajan de un punto a otro tomando la trayectoria más corta posible. Herón efectuó esta demostración usando los principios de la geometría euclidiana. El mismo Euclides en su obra Óptica y catóptrica menciona el fenómeno de la refracción de la luz que ocurre cuando ésta cruza de un medio a otro; en ambos viaja en línea recta, pero en la superficie de separación cambia la dirección del rayo de luz.

427

9.1: Concavidades y puntos de inflexión

La ley de refracción fue descubierta finalmente en 1621 por un matemático holandés llamado Wilebrod Snell, por lo que usualmente esta ley es conocida como la ley de Snell. Originalmente, Snell justificó su ley basándose en experimentos físicos, pero más adelante, Fermat demostró que la ley podía ser probada con razonamientos matemáticos únicamente. La ley de Snell establece que el rayo incidente, la normal y el rayo transmitido o refractado, se encuentran en el mismo plano y que n1sen(φ1) = n2sen(φ2), donde n1 y n2 son los índices de refracción de cada medio y φ1 es el ángulo de incidencia y φ2 el ángulo refractado (ver la figura 1.b).

Introducción En esta sección, analizaremos lo que se entiende por concavidad hacia arriba, concavidad hacia abajo y punto de inflexión, en la gráfica de una función. Ya hemos estudiado en las secciones precedentes (capítulo 8) cómo utilizar la primera derivada de una función para calcular sus valores máximos y mínimos. Ahora, estudiaremos la utilidad que tiene la segunda derivada de una función, tanto para analizar el comportamiento de su gráfica como para resolver problemas aplicados. La ley de Snell presentada es, precisamente, una de las aplicaciones de este tema.

Objetivos Al terminar esta sección tendrás la capacidad de: • Utilizar la segunda derivada para indicar cuándo una función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. • Identificar los puntos de inflexión de una curva dada.

Concavidad de una curva En economía, el costo de producción de bienes depende no solamente de los precios de los factores de producción sino también de la productividad con que se les usa, es decir, de los costos marginales. Esta idea es clave para entender cómo deciden las empresas el número de trabajadores que van a contratar y la cantidad que van a producir. En la figura 2 se muestra una función típica de costos, con su respectiva recta tangente en x0, con la cual se calcula el costo marginal de producir un artículo extra cuando ya se han producido x0 artículos. Para el empresario es importante saber si la recta se encuentra arriba o abajo de la función de costos pues le permite decidir si es conveniente o no la producción de un artículo adicional. CT CMeT

Costes

CMg CV CMeV CF

FIGURA 2.

428

Unidad 9: Graficación

Para determinar si la recta tangente a una curva dada, como las mostradas anteriormente, se encuentra arriba o debajo de la curva en un intervalo, haremos uso de la teoría que se desarrolla en esta sección. Para este efecto, estableceremos primero la definición siguiente.

Definición Sea f una función definida en un entorno U de un punto a ∈ . Supongamos que f es derivable en x = a y que la recta tangente en ese punto tiene ecuación T(x) = f (a)(x − a) + f (a). Definimos δ(x) = f (x) − T(x) (diferencia entre las ordenadas de la curva y de su tangente en a). La curva y = f (x) en x = a • es cóncava hacia arriba si δ(x) > 0 para todo x de un entorno reducido de a. • es cóncava hacia abajo si δ(x) < 0 para todo x de un entorno reducido de a. • tiene un punto de inflexión si δ(x) > 0 en un semientorno reducido de a, y δ(x) < 0 en el semientorno opuesto.

En las figuras 3, 4 y 5 se muestran los tres casos de esta definición. En la figura 3 se presenta una función que tiene concavidad hacia arriba. Observa que la diferencia f(x) − T(x) es positiva (δ > 0), dado que f(x) es mayor que T(x). En la figura 4, la curva es cóncava hacia abajo porque la diferencia f(x) − T(x) es negativa (δ < 0), puesto que f(x) es menor que T(x). Finalmente, en la figura 5, se presenta una curva con un punto de inflexión en a; antes de este punto, la diferencia f (x) − T(x) es negativa, y después, positiva. Esto significa que el punto de inflexión en a es precisamente el punto donde f(x) cambia su concavidad.

y

y T(x)

f(x)

}

T(x)

0

␦0

x a

x

FIGURA 3.

} ␦0

f(x)

0

x a

x

FIGURA 4.

429

9.1: Concavidades y puntos de inflexión

y

f(x)

}␦0

T(x) T(x)

} ␦0

f(x)

0

x x

a

x

FIGURA 5.

Las gráficas siguientes (figuras 6, 7 y 8) son cóncavas hacia arriba: para cualquier valor x que escojas cerca del punto de tangencia, la diferencia f(x) − T(x) es positiva. Verifica esto con base en la figura 3.

FIGURA 6.

FIGURA 7.

FIGURA 8.

Las gráficas de las figuras 9, 10 y 11 son cóncavas hacia abajo: para todo x cerca del punto de tangencia, la diferencia f(x) − T(x) es negativa. Verifícalo con base en la figura 4.

FIGURA 9.

FIGURA 10.

FIGURA 11.

430

Unidad 9: Graficación

En las figuras 12 y 13 se muestran dos puntos de inflexión. Observa que la concavidad cambia de sentido en los puntos marcados. Como ejercicio, dibuja estas curvas en tu cuaderno, traza enseguida las rectas tangentes en los puntos marcados, y verifica la condición sobre puntos de inflexión como en la figura 5.

punto de inflexión

punto de inflexión

FIGURA 12.

FIGURA 13.

Veamos ahora la siguiente propiedad, basada en la definición anterior.

Propiedad. Si la función f es n veces derivable en x = a y se verifica f (a) = 0,…, f (n−1)(a) = 0 y f (n)(a) ≠ 0 entonces, según la paridad de n y el signo de f (n)(a), tenemos: • si n es par y f (n)(a) > 0 entonces y = f (x) es cóncava hacia arriba en x = a. • si n es par y f (n)(a) < 0 entonces y = f (x) es cóncava hacia abajo en x = a. • si n es impar entonces y = f (x) tiene un punto de inflexión en x = a.

Demostración. Por definición δ(x) = f(x) − T(x) = f(x) − [f (a)(x − a) + f(a)]. Utilizando el criterio de monotonía y de extremos relativos vistos en secciones anteriores, y aplicándolos en la función δ (δ es n veces derivable en a y sus derivadas son δ(a) = 0 y δ(h)(a) = f (h)(a) para h = 2, 3,…, n.), se obtiene que: • si n es par y f (n)(a) > 0 entonces y = δ(x) tiene un mínimo relativo en x = a. De donde concluimos que y = f(x) es cóncava hacia arriba en x = a. • si n es par y f (n)(a) < 0 entonces y = δ(x) tiene un máximo relativo en x = a. De donde se concluye que y = f(x) es cóncava hacia abajo en x = a. • si n es impar entonces y = δ(x) es estrictamente monótona en x = a. Nota. Los puntos que pertenecen al dominio de la función donde la segunda derivada es cero o no existe, se conocen como puntos críticos de segundo orden. Esta definición es similar a la presentada para los puntos críticos de primer orden.

431

9.1: Concavidades y puntos de inflexión

Ejemplos En todas las funciones de los ejemplos siguientes, determina los intervalos donde las funciones dadas son cóncavas hacia arriba y en los que son cóncavas hacia abajo.

Ejemplo 1. f ( x) =

x 4 27 x 2 − 4 2

solución El dominio de f(x) es Df = . Obtenemos f (x) = x3 − 27x y f (x) = 3x2 − 27, y calculamos los puntos críticos de segundo orden igualando la segunda derivada a cero, f (x) = 3x2 − 27 = 0. Resolviendo la ecuación, obtenemos que los posibles puntos de inflexión son x = −3 y x = 3. Con el objeto de determinar el intervalo en que f(x) es cóncava hacia arriba y en el que es cóncava hacia abajo, revisamos los valores en los cuales f (x) > 0 y en los que f (x) < 0. Analizando la segunda derivada, observamos que f (x) > 0 cuando 3x2 − 27 > 0, es decir, si 3(x2 − 9) > 0 o bien si |x| > 3, por lo cual, concluimos que la función es cóncava hacia arriba en los intervalos (−∞, −3) y (3, ∞). Por otra parte, f (x) < 0 cuando 3x2 − 27 < 0, es decir, si 3(x2 − 9) < 0 o bien, si |x| < 3, por lo cual concluimos que la función es cóncava hacia abajo en el intervalo (−3, 3). Podemos concentrar esta información en la tabla 1.

Tabla 1

Intervalo

Signo de f 

Conclusión sobre f

(−, −3)

+

f es cóncava hacia arriba

x = −3

(−3, 3)

La función tiene punto de 405 ⎞ ⎛ inflexión en −3, − ⎝ 4 ⎠ −

x=3

(3, )

f es cóncava hacia abajo La función tiene punto de 405 ⎞ ⎛ inflexión en 3, − ⎝ 4 ⎠

+

f es cóncava hacia arriba

Debido a que la función es continua en todo su dominio, podemos abreviar nuestro análisis si tomamos el dominio de la función f(x) y marcamos en él los puntos críticos de segundo orden; estos puntos lo dividen en intervalos en los que la segunda derivada es positiva o negativa. Posteriormente, evaluamos en f (x) algún valor numérico que esté contenido en cada intervalo, para la función que estamos analizando (tabla 2).

432

Unidad 9: Graficación

Tabla 2

Intervalo

Valor de prueba

Signo de f 

Conclusión sobre f

(−, −3)

−5

+

f es cóncava hacia arriba

x = −3

La función tiene punto de 405 ⎞ ⎛ inflexión en −3, − ⎝ 4 ⎠

(−3, 3)

−

0

x=3

f es cóncava hacia abajo La función tiene punto de 405 ⎞ ⎛ inflexión en 3, − ⎝ 4 ⎠

(3, )

+

5

f es cóncava hacia arriba

(

) (

Te queda como ejercicio demostrar que la función es creciente en − 27 , 0 ∪

(−∞, −

) (

27 ∪ 0,

)

)

27 , ∞ , decreciente en

729 ⎞ . 27 , que tiene un máximo relativo en (0, 0) y mínimo relativo en ⎛ ± 27 , − ⎝ 4 ⎠

Con esta información, podemos hacer la gráfica de la función (figura 14). y 200 100 7.5

2.5

7.5 x

2.5

100

Puntos de inflexión

FIGURA 14.

Ejemplo 2. x2 f ( x) = 2 x +1

solución El dominio de f (x) es Df = . Calculamos f ( x ) =

2x

(1 + x )

2 2

y f ( x ) =

2 − 6x2

(1 + x )

2 3

, y obtenemos los

puntos críticos de segundo orden (igualamos la segunda derivada a cero y analizamos también dónde no −1 existe la segunda derivada). Determinamos que los puntos críticos de segundo orden son x = y 3 1 x= . Realizamos nuestro análisis en la tabla 3. 3

433

9.1: Concavidades y puntos de inflexión

Tabla 3

Intervalo

Valor de prueba

Signo de f 

−1

−

−1 ⎞ ⎛ ⎜ −∞, ⎟ ⎝ 3⎠ x=

f es cóncava hacia abajo

−1

La función tiene punto ⎛ 1 1⎞ de inflexión en ⎜ − , ⎟ ⎝ 3 4⎠

3

⎛ −1 1 ⎞ , ⎜ ⎟ ⎝ 3 3⎠ x=

Conclusiónsobre f

+

0

f es cóncava hacia arriba

1

La función tiene punto ⎛ 1 1⎞ de inflexión en ⎜ , ⎟ ⎝ 3 4⎠

3

⎛ 1 ⎞ ,∞⎟ ⎜ ⎝ 3 ⎠

−

2

f es cóncava hacia abajo

Resulta sencillo demostrar que la función crece en (0, ∞) y decrece en (−∞, 0); tiene un mínimo en (0, 0) y una asíntota horizontal con ecuación y = 1. Con esta información, hacemos un esbozo gráfico de la función (figura 15). y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 3

2

1

puntos de inflexión 1

3

2

x FIGURA 15.

Ejemplo 3. f ( x) =

1+ x2 1− x2

solución El dominio de f(x) es Df =  − {−1, 1}. Calculamos f ( x ) =

(x

4x

)

2

y f ( x ) = −

( (x

4 1 + 3x 2

)

3

),

−1 −1 y obtenemos los puntos críticos de segundo orden. Observa que al igualar la segunda derivada a cero, 2

2

434

Unidad 9: Graficación

obtenemos valores complejos, por lo que no hay puntos críticos en los que f (x) = 0. Además, la función tiene asíntotas verticales x = −1 y x = 1 donde f (x) no está definida; pero estos puntos no son elementos del dominio de la función, por lo cual, no son puntos críticos de segundo orden. Analizamos los signos de la segunda derivada en los intervalos (−∞, −1), (−1, 1) y (1, ∞) (tabla 4). Tabla 4

Intervalo

Valor de prueba

Signo de f 

Conclusión sobre f

(−, −1)

−2

−

f es cóncava hacia abajo

x = −1

Asíntota vertical

(−1, 1)

+

0

f es cóncava hacia arriba

x=1

Asíntota vertical

(1, )

−

2

f es cóncava hacia abajo

La función es creciente en (0, 1) ∪ (1, ∞); decreciente en (−∞, −1) ∪ (−1, 0) con valor mínimo relativo f(0) = 1. Con esta información, podemos hacer la gráfica de la función (figura 16).

y

x2  1 1 x2 15 10 5

6

4

x

2

2

4

6

5 10 15

FIGURA 16.

Ejemplo 4. f(x) = xln2(x)

solución El dominio de f(x) es Df = {x ∈  | x > 0}. Obtenemos f (x) = 2ln(x) + ln2(x) y f ( x ) =

2(1 + ln( x ))

,y x calculamos los puntos críticos de segundo orden. Al igualar la segunda derivada a cero, determinamos que

435

9.1: Concavidades y puntos de inflexión

1 el único punto crítico de segundo orden es x = . Observa que la segunda derivada no está definida en el e punto x = 0, pero este punto no pertenece al dominio de la función, por lo que no es un punto crítico. Ana⎛ 1 ⎞ y ⎛ 1 , ∞⎞ lizamos los signos de la segunda derivada en los intervalos 0, (tabla 5). ⎝ e⎠ ⎝ e ⎠ Tabla 5

Intervalo ⎛ 0, 1 ⎞ ⎝ e⎠ x=

Valor de prueba

de f

Conclusión sobre f

0.2

−

f es cóncava hacia abajo

1

La función tiene punto 1 1 de inflexión en ⎛ , 2 ⎞ ⎝e e ⎠

e

⎛ 1 , ∞⎞ ⎝e ⎠

+

0.8

f es cóncava hacia arriba

La función es creciente en el intervalo (0, e−2) ∪ (1, ∞); decreciente en (e−2, 1); con un máximo en el punto (e−2, 4e−2) y mínimo en (1, 0). Con esta información, podemos hacer la gráfica de la función (figura 17).

y 0.6 punto de inflexión

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

x 0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75 FIGURA 17.

Ejemplo 5. f(x) = x3ex

solución El dominio de f(x) es Df = . Obtenemos f (x) = ex(x3 + 3x2) y f (x) = ex(x3 + 6x2 + 6x), y calculamos los puntos críticos de segundo orden. Observa que al igualar la segunda derivada a cero, obtenemos

436

Unidad 9: Graficación

x = 0, x = −3 − 3 y x = −3 + 3. Analizamos los signos de la segunda derivada en los intervalos de la tabla 6.

Tabla 6

Intervalo

Valor de prueba

Signo de f 

Conclusión sobre f

(−∞, −3 − 3 )

−6

−

f es cóncava hacia abajo

x = −3 − 3

(−3 −

3 , −3 + 3

La función tiene punto de inflexión en ⎛ −3 − 3 , −3 − 3 3 e −3− 3 ⎞ ≈ ( −4.73205, − 0.93335) ⎝ ⎠

(

)

−3

+

x = −3 + 3

(−3 +

3, 0

)

f es cóncava hacia arriba La función tiene punto de inflexión en ⎛ −3 + 3 , −3 + 3 3 e −3+ 3 ⎞ ≈ ( −1.26795, − 0.573644) ⎝ ⎠

(

−0.5

−

)

f es cóncava hacia abajo

x 0 (0, )

)

La función tiene punto de inflexión en (0, 0) +

1

f es cóncava hacia arriba

Es fácil probar que la función es creciente en (−3, 0) ∪ (0, ∞); decreciente en (−∞, −3), con un mínimo en (−3, −27e−3) ≈ (−3, −1.34425) y con asíntota horizontal y = 0. Con esta información, realizamos la gráfica de la función (figura 18). y puntos de inflexión 2 1

8

6

4

x

2 1

FIGURA 18.

437

9.1: Concavidades y puntos de inflexión

1. Escribe con tus propias palabras la definición de una función cóncava hacia arriba en un intervalo. De manera similar, define una función cóncava hacia abajo. 2. La siguiente gráfica muestra el rendimiento de una inversión. ¿Qué representan la concavidad hacia arriba, el punto de inflexión y la concavidad hacia abajo de la figura 19?

Rendimiento

Inversión FIGURA 19.

3. Inicialmente, sólo algunos estudiantes de una institución de educación superior escucharon el rumor de que un profesor de matemáticas pondría 100 de calificación a sus alumnos. El rumor creció, y después de t horas, el número ha aumentado a P(t). La gráfica de la función P(t) aparece en la figura 20.

P(t) 200 150 100

Po

50 t 2

4

6

8

10 FIGURA 20.

438

Unidad 9: Graficación

• • • •

Describe la difusión del rumor en términos de su velocidad de dispersión. ¿Cuántos estudiantes conocían el rumor, inicialmente? Explica el significado del punto de inflexión Po en la gráfica de P(t). ¿Cuál fue el número total de estudiantes que conocieron el rumor?

4. En la guardería ‘Lindavista’ fueron detectados algunos casos de niños con varicela. Rápidamente, los niños fueron separados del resto del grupo y enviados a su casa. Después de t días, el número de niños infectados ha aumentado a I(t). La gráfica de la función I(t) aparece en la figura 21.

I(t) 20 15 Io 10 5 t 2

4

6

10

8

FIGURA 21.

• • • •

Describe el contagio de la varicela en términos de su velocidad de propagación. ¿Cuántos niños tenían varicela, inicialmente? Explica el significado del punto de inflexión Io en la gráfica de I(t). ¿Cuál fue el número total de niños contagiados?

5. Para las funciones siguientes, encuentra los puntos de inflexión, los intervalos donde cada función sea cóncava hacia arriba y en los que sea cóncava hacia abajo. a) f(x) = x4 − 2x2 b) f(x) = x(x − 3)2 c) f ( x ) =

x −x+2 x 2

x3 d) f ( x ) = 2 x −1 e) f(x) = e−x

2

g) f ( x ) =

ln( x ) x

h) f ( x ) =

2x −1 2x +1

i) f(x) = x2 ln(x) ⎛ x2 ⎞ j) f ( x ) = arctan⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ k) f(x) = sen(x) − cos(x) para x ∈ [0, 2π]

f) f(x) = (1 − x)e

x

l) f(x) = 2sen(x) − x para x ∈ [0, 2π]

439

9.1: Concavidades y puntos de inflexión

Problemas para trabajar en equipo

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones. 1. Retomemos la situación con que iniciamos esta sección, “La ley de Snell”. En equipo, realicen la demostración de la ley de refracción siguiendo el desarrollo que hizo Fermat. Sigan los pasos siguientes: a) Investiguen los conocimientos que se tenían en física sobre la luz, hasta el momento en que Fermat hizo la demostración (por ejemplo, cómo viaja la luz, la velocidad de la luz en diferentes medios, etc.). b) Describan cómo es la velocidad del rayo de luz durante la reflexión. c) Determinen la relación que existe entre la trayectoria de la distancia mínima y la trayectoria del tiempo mínimo de un rayo de luz al viajar de un punto a otro. d) Deduzcan la ley de la refracción de Snell. Supongan que tienen dos medios, cada uno de densidad uniforme, por ejemplo, aire y agua, y ayúdense con la figura siguiente (figura 22), usada por Fermat.

P

a

Medio 1 x

R P

c Medio 2 b 2

Q

FIGURA 22.

e) Determinen el principio que explica ambos fenómenos ópticos, reflexión y refracción. f) Obtengan la gráfica de la función de tiempo mínimo, calculando los puntos de inflexión, los intervalos en los que es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo.

440

Unidad 9: Graficación

2. La propagación del SIDA. Uno de los padecimientos más temidos por la humanidad en la actualidad es, sin lugar a dudas, el VIH/SIDA. La preocupación mundial por tal padecimiento obedece, entre otras cosas, a sus implicaciones en los ámbitos social, económico, laboral y sanitario, así como a su rápida propagación. Las estadísticas actuales del pandemia del siglo XX son alarmantes, particularmente por la consideración de que mucha gente puede estar infectada sin siquiera saberlo. En esta actividad, nos proponemos hacer un estudio de propagación de este mal en nuestro país que permita hacer algunos pronósticos y generar algunas conclusiones respecto a este padecimiento. En primer lugar, se les proponen las ideas generales de un modelo matemático fuertemente aceptado en el estudio de propagación de enfermedades (modelo logístico), y a continuación se les solicitará que completen todos los detalles, dando respuesta (dentro del formato usual de presentación de reportes, con todos y cada uno de sus elementos) a las preguntas formuladas. Consideraciones generales.

1. Ei representa el número de personas infectadas. 2. Estudios recientes permiten señalar que la razón de cambio de personas infectadas es una función cuadrática de la forma a + bEi + cEi2; ya que al comienzo de una epidemia hay pocos enfermos, y luego este número aumenta y se espera que después disminuya. 3. Se supone que En representa el número de personas no infectadas y que E es el número que representa la población total en México. Deberán determinar lo siguiente:

1. La razón de cambio de las personas infectadas en términos del número de personas enfermas Ei y de personas sanas En (¿por qué será necesario considerar ambas poblaciones?). 2. La solución de la ecuación diferencial planteada en el punto anterior (habrá que entender lo que significa esto). En uno de los problemas de equipo de la sección sobre derivación implícita y logarítmica se explica la ecuación diferencial. 3. La gráfica de la función Ei = Ei(t), donde t es tiempo, en años. 4. Si el modelo ajusta los datos conocidos, comparen los resultados que predice con los datos reales que se tienen sobre el particular; háganlo para al menos dos datos (cercanos en tiempo a aquellos que se han considerado en los cálculos). 5. ¿Qué predice su modelo respecto al número de personas infectadas para el año 2010? 6. Si la tendencia continúa, ¿en qué año se esperaría tener en México el doble de las personas infectadas que se tienen en la actualidad? 6. Según su modelo, ¿en qué época o año crece con mayor rapidez el número de personas infectadas? 8. Si la tendencia continúa, ¿en qué año debiera esperarse una desaceleración en la propagación de este padecimiento? Apoyos para la solución.

1. Determinen la razón de cambio de Ei en los momentos que corresponden a Ei = 0 y Ei = E, expliquen sus respuestas.

9.1: Concavidades y puntos de inflexión

2. A partir del punto anterior, determinen los valores de a, b y c de manera que el modelo propuesto, se simplifique a la determinación de una sola de las constantes. 3. Determinen qué significa resolver una ecuación diferencial. 4. Elijan un año del lustro 1990-1995 y determinen el número Ei = E0, el cual constituirá su dato inicial, es decir, señalará su t = 0. 5. Si requieren conocer el valor de alguna otra constante, elijan otro dato cercano al anterior y utilícenlo para hallar la constante buscada. 3. Modelo para predecir el crecimiento poblacional. Desarrollaremos este problema de acuerdo a cuatro puntos importantes: el modelo, el ajuste de datos, la solución, y la interpretación. Respecto al modelo:

a) Supongan que una población cambia exclusivamente por la ocurrencia de nacimientos y muertes (es decir, no por inmigraciones o emigraciones). Sean β(t) y δ(t) los índices de natalidad y mortalidad, respectivamente. b) Escriban de manera precisa (fórmulas) y digan en sus propias palabras qué son los índices de natalidad y mortalidad. dβ dδ dρ c) ¿Qué relaciones encuentras entre , ρ(t), δ(t), β(t) y , ; donde β(t) y δ(t) son, dt dt dt respectivamente, el número de nacimientos y muertes que han ocurrido (desde t = 0) en el instante “t” y ρ(t) es la población al tiempo t? d) En un hábitat “cerrado” con frecuencia se observa que el índice de natalidad disminuye cuando la población aumenta (a menudo esto se debe a la limitación de los recursos alimentarios). Suponga, por ejemplo, que β(t) = β0 − β1ρ(t), donde β0 y β1 son constantes dρ positivas. Si permanece constante δ = δ0, expresen en función de ρ(t). dt Respecto al ajuste de datos:

a) Investiguen todo lo referente a la población de la ballena gris en el golfo de California. Con base en los datos encontrados establezcan una selección de la mayor cantidad posible de constantes que aparecen en los incisos a) y b) del punto anterior (respecto al modelo). Tomen como t = 0 el año 1968. Referencia sugerida: http://sepultura.semarnat.gob.mx/upsec/programas/prog_cvs/ballena.htm Respecto a la solución:

a) Encuentren una solución analítica ρ = ρ(t) y grafiquen esta solución. b) Ecuaciones diferenciales: Consideren la ecuación y = xy, y(0) = 1 y determinen la solución aproximada usando el método de Euler que se presentó en el capítulo sobre aplicaciones de la derivada, con h = 0.1.

441

442

Unidad 9: Graficación

c) Ahora apliquen el método de Euler (si es posible) para resolver la ecuación encontrada en el inciso c) del primer punto (respecto al modelo) con h = 0.1. Sobre el mismo sistema de ejes, grafiquen ρ = ρ(t) y los puntos p1, p2, p3,…, pn, hallados por el método de Euler. Anoten cualquier observación que tengan al respecto. Respecto a la interpretación:

a) Interpreten sus resultados con respecto a la población de ballenas grises en el golfo de California.

1. Dada f(x) = x4 − 8x3, selecciona la opción correcta. a) f es cóncava hacia arriba en (−∞, −4). b) f es cóncava hacia arriba en (4, ∞). c) f es cóncava hacia abajo en (−∞, 0). d) f es cóncava hacia abajo en (−∞, ∞). 2. Dada f ( x ) = 3 x + 2 , selecciona la opción correcta. a) f es cóncava hacia arriba en (−∞, ∞). b) f es cóncava hacia arriba en (−2, ∞). c) f es cóncava hacia abajo en (−2, ∞). d) f es cóncava hacia abajo en (−∞, ∞). 2x2 , selecciona la opción correcta. x −1 a) f es cóncava hacia arriba en (−∞, 1).

3. Dada f ( x ) =

b) f es cóncava hacia arriba en (2, ∞). c) f es cóncava hacia abajo en (−1, ∞). d) f es cóncava hacia abajo en (−∞, 1).

443

9.1: Concavidades y puntos de inflexión

4. Un fabricante hace sus recipientes de lámina de forma cilíndrica. Un cliente le pide que éstos tengan una capacidad de 27 litros, y evidentemente, el cliente quiere que se gaste lo mínimo en lámina. Indica la opción que representa una afirmación correcta sobre la función que indica la superficie de las latas en términos de radio. a) La gráfica de la superficie es cóncava hacia arriba en (−∞, ∞). b) La gráfica de la superficie es cóncava hacia abajo en (−∞, 1). c) La gráfica de la superficie es cóncava hacia arriba en (1, ∞). d) La gráfica de la superficie es cóncava hacia abajo en (−∞, 2). 5. Una tienda pone un anuncio de 400 cm2 en un periódico y el pago es según la superficie del anuncio. El periódico tiene como requisito que todo anuncio tenga márgenes de 2 cm en cada lado, que también se pagan. Indica la opción que representa una afirmación correcta sobre la función que muestra la superficie del área escrita del anuncio. a) La gráfica de la superficie escrita es cóncava hacia arriba en (−∞, ∞). b) La gráfica de la superficie es cóncava hacia abajo en (10, 30). c) La gráfica de la superficie es cóncava hacia arriba en (10, ∞). d) La gráfica de la superficie es cóncava hacia abajo en (−∞, 10).

Respuestas a los Ejercicios y problemas 3. 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 ⎛ ⎞ , , ∞⎟ , cóncava hacia abajo ⎜ − a) Cóncava hacia arriba en ⎜ −∞, − ⎟. ⎟, ⎜ ⎝ ⎝ 3 3⎠ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ b) Cóncava hacia arriba en (2, ∞), cóncava hacia abajo (−∞, 2). c) Cóncava hacia arriba en (0, ∞), cóncava hacia abajo (−∞, 0). d) Cóncava hacia arriba en (−1, 0), (1, ∞), cóncava hacia abajo (−∞, −1), (0, 1). 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 ⎛ ⎞ , e) Cóncava hacia arriba en ⎜ −∞, − , ∞⎟ , cóncava hacia abajo ⎜ − ⎟, ⎜ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 f) Cóncava hacia arriba en (−∞, −1), cóncava hacia abajo (−1, ∞).

(

3

)

(

g) Cóncava hacia arriba en e 2 , ∞ , cóncava hacia abajo 0, e h) Cóncava hacia arriba en (−∞, 0), cóncava hacia abajo (0, ∞).

3

2

).

1 ⎞ ⎟. 2⎠

444

Unidad 9: Graficación

⎛ 1 ⎞ i) Cóncava hacia arriba en ⎜ 3 , ∞⎟ , cóncava hacia abajo ⎝e 2 ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎜ 0, 3 2 ⎟ . ⎝ e ⎠

j) Cóncava hacia arriba en (−1, −1), cóncava hacia abajo (−∞, −1), (1, ∞).

π 5π π 5π ⎞ k) Cóncava hacia arriba en ⎛ 0, ⎞ , ⎛ , 2π ⎞ , cóncava hacia abajo ⎛ , . ⎝ 4⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝4 4 ⎠ l) Cóncava hacia arriba en (π, 2π), cóncava hacia abajo (0, π).

1. 2. 3. 4. 5.

b) c) d) c) b)

445

9.2: Graficación

9.2 Graficación

El Cálculo puede ahora enseñarse sin rastros de misterio. Ya no hay razón alguna para que este instrumento básico de las ciencias no sea comprendido por toda persona educada. Richard Courant

La molécula Parece al menos creíble que una imagen dice más que mil palabras. Una imagen nos permite describir situaciones de diversos tipos en un solo vistazo. Nos deja ver si existe una situación óptima, las tendencias a la larga y la presencia de “ciertas dificultades”, que generalmente son más difíciles de descubrir a partir de una “fórmula”. Así pues, no es extraño que una gráfica resulte por una parte, la culminación de un proceso, pero al mismo tiempo, el inicio de nuevos descubrimientos, es decir, la materia prima para la deducción de nuevas relaciones. Ahora bien, en el contexto actual de la tecnología existente, el sentido común nos dicta de manera natural una pregunta, ¿por qué insistir en el análisis de la “fórmula” de una función, cuando el software con el que se cuenta hoy en día, nos podría evitar una tarea que en ocasiones se torna verdaderamente trabajosa? Podemos dar muchas respuestas a esta pregunta, sin embargo, la siguiente nos parece la más acertada: el análisis mismo de una función, análisis que se convierte en gráfica, permite contemplar muchas propiedades que de otra manera sería difícil apreciar. Es más, en ocasiones puede resultar materialmente imposible (por la magnitud de las cantidades involucradas) ver una gráfica de manera legible, a no ser que el usuario de un equipo de cómputo sepa lo que está buscando y dónde lo está buscando. Lo anterior sucede en el problema de La molécula que presentamos y pedimos que consideres a continuación.

La molécula Cuando observan las fuerzas entre átomos, con frecuencia los físicos y químicos modernos modelan sus interacciones (para gases nobles) por el así llamado potencial “6-12” o potencial de Lennard-Jones. En este modelo, la función de energía potencial entre dos átomos está dada por una función de la forma

U (r ) =

a b − , r12 r 6

donde r es la distancia entre los núcleos de los átomos medida en metros, y a y b son constantes que pueden ser determinadas de manera espectroscópica. En especial, para el monóxido de carbono (CO), estos valores son a = 0.124 × 10−120 eV × m12 y b = 1.488 × 10−60 eV × m6, donde U es medida en electrovolts (eV). a) Elabora una gráfica de la función de energía potencial interatómica como función de la separación entre átomos. Puedes intentar en primer lugar, el uso de una calculadora programable o de algún software especializado.

446

Unidad 9: Graficación

b) ¿Cuál es el valor mínimo de la función de energía potencial? c) De la gráfica de energía potencial, determina la que corresponde a la función de fuerza que se calcula mediante la expresión F = −

dU . dr

Introducción Los elementos que se te han mostrado en las secciones anteriores son extremadamente útiles para analizar funciones. La siguiente tabla presenta el esquema general que usualmente se sigue para la construcción de la gráfica de una función.

Esquema general para la construcción de la gráfica de una función. i) Determina el dominio de definición de la función. ii) Calcula (si las hay, y el cálculo no es extremadamente complicado) las raíces de la función. iii) Halla los puntos de discontinuidad de la función. iv) Encuentra las ecuaciones de las asíntotas horizontales, verticales y en general, de las curvas o rectas asintóticas que la función pudiera tener. v) Calcula la primera derivada de la función, y determina los intervalos donde la función sea creciente y donde sea decreciente. De estos cálculos, determina los puntos donde la función tiene máximos o mínimos. vi) Encuentra la segunda derivada de la función, y determina los intervalos donde la función sea cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, así como los puntos de inflexión de la curva.

En contraste con la simple tabulación de algunos puntos (tal y como se indica en muchos libros), los elementos de la tabla anterior te permitirán orientar mucho mejor tu proceso de graficación. La idea general es, hacer pasar a la curva a través de puntos mejor pensados en los cuales se presentan las propiedades importantes de la función.

Nota. Si la función posee paridad, será suficiente con obtener su gráfica para los valores positivos de la variable independiente; el resto podrá obtenerse a partir de las simetrías, con el eje “y” o con el origen, de acuerdo a que la función sea par o impar, respectivamente.

447

9.2: Graficación

Objetivos Al terminar esta sección tendrás la capacidad de: • Aplicar los conceptos de monotonía, extremos relativos, concavidades, puntos de inflexión y asíntotas para construir la gráfica de una función.

Ejemplos Para cada una de las siguientes funciones, aplica los elementos del esquema general de graficación y elabora la gráfica correspondiente.

Ejemplo 1. y = f(x) = 2sen(x) + cos(2x).

solución i) Esta función está definida para todo número real; sin embargo, como es periódica con periodo 2π, será suficiente estudiarla en el intervalo [0, 2π]. ii) Para el cálculo de las raíces, debemos resolver la ecuación 2sen(x) + cos(2x) = 0 para x ∈ [0, 2π]. Como cos(2x) = cos2(x) − sen2(x), deducimos que 2sen(x) + 1 − 2sen2(x) = 0 o bien, 2sen2(x) − 2sen(x) − 1 = 0; de aquí, hallamos x1 ≈ 3.516 y x2 ≈ 5.908 (ambas en [0, 2π]). iii) y iv) Por el tipo de función del que se trata aquí, ésta no tiene ningún tipo de asíntota ni de discontinuidad. v) Al calcular la primera derivada, se tiene que: f (x) = 2cos(x) − 2sen(2x) = 2(cos(x) − 2sen(x)cos(x)) = 2cos(x)[1 − 2sen(x)]. Esta función sólo puede tener puntos críticos estacionarios, luego, debemos resolver la ecuación 2cos(x)[1 − 2sen(x)] = 0,

π 3π π 5π ≈ 0.524 , x 4 = ≈ 1.571, x5 = ≈ 4.712 . En la ta≈ 2.618 , x6 = 6 2 2 6 bla 1, se proporciona el análisis correspondiente de estos puntos (basado en el criterio de la primera derivada). de donde resultan x3 =

vi) Respecto a la segunda derivada, se encuentra que f (x) = −2sen(x) − 4cos(2x); por lo cual, para determinar los puntos críticos de segundo orden, debemos resolver la ecuación −2sen(x) − 4cos(2x) = 0.

448

Unidad 9: Graficación

Esta ecuación se resuelve de manera similar a la ecuación en v), hallamos que x7 = 1.003, x8 = 2.139, x9 = 3.776, x10 = 5.648. Con estos “puntos inteligentes” x1,…, x10 y la información que proviene de las primeras dos derivadas, obtendremos una idea muy precisa de la gráfica que representa a la función. Resumimos toda la información pertinente en la tabla 1. Notación: Como se ha indicado, ↑(↓) significa que la función crece ( o decrece) en el intervalo correspondiente. Ahora, ∪c (∩c) indica que la gráfica es cóncava hacia arriba (o hacia abajo) en el intervalo correspondiente.

Tabla 1 Resumen de observaciones para la gráfica de y  f(x)  2 sen (x)  cos (2x).

Intervalo o punto

f

f

f

[0, 0.524)

+

+

−

x = 0.524

1.5

0

+

−

(0.524, 1.003) x = 1.003 (1.003, 1.571) x = 1.571 (1.571, 2.139) x = 2.139 (2.139, 2.618) x = 2.618 (2.618, 3.516) x = 3.776

1.26 +

−

1

0

+

+

1.26 +

+

1.5

0

+

−

−0.89 −3.52

Arriba de X / c / ºc Máximo relativo

−

Arriba de X / T / ºc

0

Punto de inflexión

+

Arriba de X / T / ªc Mínimo relativo

+

Arriba de X / c / ªc

0

Punto de inflexión

−

Arriba de X / c / ºc Máximo relativo

−

Arriba de X / T / ºc

0

Punto de inflexión

+

Abajo de X / T / ªc

(3.516, 4.712)

−

−

x = 4.712

−3

0

(4.712, 5.648)

−

+

+

Abajo de X / c / ªc

x = 5.648

−0.89

3.52

0

Punto de inflexión

(5.648, 2p)

+

+

−

Arriba de X / c / ºc

Mínimo relativo

449

9.2: Graficación

Valores máximos relativos Valor mínimo o

y 2

2

y

1 x 1

2

3

4

5

6

5

1

2.5

5

x 7.5 100 12.5 2

11 22

2

3

3 áfica delatan los puntos de inflexión.

En esta gráfica se aprecia el caracter periódico de la función.

FIGURA 1. Gráfica de la función y = f(x) = 2sen(x) + cos(2x).

Ejemplo 2. Considera la función y = f(x) = xx + 2. Analiza lo que ocurre en x = 0, ¿es posible extender el dominio de la función a fin de que éste incluya a x = 0? En caso afirmativo, grafica la función en el dominio extendido.

solución i) Dado que xx = Exp[xln(x)], deducimos que la función f está definida sólo para los números reales positivos; sin embargo, cabe la posibilidad de que éste pueda ser extendido para incluir a “0”, a condición de que el lím+ x x exista. Ahora bien, aquí tenemos x→0

una forma indeterminada del tipo 00, lo que impide indicar a priori lo que ocurrirá con el límite. Calculamos el límite lím+ x x de la siguiente manera: x→0

lím x = lím+ Exp[ x ln( x )] = Exp[ lím+ x ln( x )] , x

x→0 +

x→0

x→0

donde hemos usado, para el paso a límite, la continuidad de la función exponencial. Tenemos que: ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ( ) ln x lím+ x x = Exp[ lím+ x ln( x )] = Exp ⎢ lím+ ⎥. x→0 x→0 ⎢ x→0 ⎛ 1 ⎞ ⎥ ⎝ x ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ A este último límite puede aplicarse la regla de L´Hopital, por lo cual, ⎤ ⎡ ⎡ ⎥ ⎢ ⎢ ( ) ln x x lím+ x = Exp ⎢ lím+ ⎥ = Exp ⎢ lím+ 1 x→0 ⎢ x→0 ⎛ ⎞ ⎥ ⎢ x→0 ⎝ x ⎠ ⎦⎥ ⎢⎣ ⎣

1 ⎤ x ⎥ = Exp ⎡− lím x ⎤ = 1. ⎢⎣ x → 0 + ⎥⎦ −1 ⎥ 2 ⎥ x ⎦

450

Unidad 9: Graficación

De aquí, concluimos que lím+ f ( x ) = 3 . Extendemos ahora a la función dada como x→0

⎧x x + 2 , x > 0 f ( x) = ⎨ . ⎩ 3, x = 0 Ésta es la función que graficaremos. ii) La función no tiene raíces. Esto se desprende del hecho de que xx = Exp[xln(x)] > 0, por lo cual, f(x) > 2. iii) y iv) Como xx = Exp[xln(x)], se sigue de la continuidad de las funciones Exp y ln en el intervalo (0, ∞), que la función f es continua en [0, ∞); es más, por el inciso i), podemos decir que f es continua en todo el intervalo [0, ∞). De esto último, se sigue que la gráfica de f no posee asíntotas verticales. Como lím x x = +∞, resulta que la gráfica de f no posee asíntotas horizontales. x →+∞

v) El cálculo de la primera derivada de f nos lleva a la expresión f (x) = xx(1 + ln(x)). Observamos que, los únicos posibles puntos críticos de primer orden deben ser estacionarios. Como de hecho xx = Exp[xln(x)] > 0, la ecuación xx(1 + ln(x)) = 0 equivale a 1 + ln(x) = 0, de lo cual, se desprende que x = e−1 ≈ 0.368. 1 2 vi) La segunda derivada es f ( x ) = x x ⎡⎢ + (1 + ln( x )) ⎤⎥, de la cual, resulta f (x) > 0. ⎣x ⎦ La tabla 2 proporciona en resumen las observaciones que corresponden a esta función.

Tabla 2 Resumen de observaciones para la gráfica de y  f (x)  x2  2.

Intervalo o punto

f

f

f

Interpretaci n acerca de la gr fica

[0, e1)







Arriba de X / T / ªc

x  e1

2.692

0

(e1, )





Mínimo relativo 

Arriba de X / c / ªc

y 4 3 2 1 x 0.5

1

1.5

2

2.5

FIGURA 2. Gráfica de la función y = f(x) = xx + 2.

451

9.2: Graficación

Nota. Habitualmente, dibujar una curva de la forma f(x, y) = 0 es un problema laborioso y complicado. El siguiente esquema te dará un panorama general de lo que se puede hacer en estos casos. a) Si f(x, y) = 0 es de segundo grado en x o en y, se despeja la variable en cuestión y se dibujan las curvas correspondientes. b) En ocasiones, es preferible utilizar otro tipo de coordenadas en lugar de las cartesianas (x, y). Por ⎧ x = r cos(θ ) ejemplo, las coordenadas polares, que se relacionan con las cartesianas por medio de ⎨ , ⎩ y = r sen(θ ) permiten simplificaciones importantes con la consecuente facilidad para la graficación. De manera más concreta, una ecuación como (x2 + y2)2 − k2(x2 − y2) = 0 equivale en coordenadas polares a r2 = k2 cos(2θ) —Lemniscata de Bernoulli— cuya gráfica puede generarse con cierta facilidad. c) En otras ocasiones, resulta conveniente reducir el estudio de una curva de la forma f (x, y) = 0 introduciendo las ecuaciones paramétricas de la curva. Por ejemplo, el folium de Descartes x3 + y3 − 3xy = 0, puede expresarse y estudiarse por medio de las ecuaciones paramétricas x =

3t 1 + t3

3t 2 , y= . En esta sección no entraremos en los detalles de ninguna de estas tres posibilidades, 1 + t3 esto será estudiado en un trabajo posterior. Sin embargo, tenemos una cuarta alternativa. d) Aplicar los elementos utilizados en la construcción de curvas de la forma y = f(x) como se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3. Construye la gráfica de la curva f(x, y) = xy2 − x2 − 2y = 0.

solución a) Extensión de la gráfica. Aquí no hablaremos de dominio porque en general, no consideraremos funciones. No obstante, es conveniente cuestionarnos sobre la extensión de la gráfica. Concretamente, 1 ± 1 + x3 si despejamos a y, resulta y = , x ≠ 0; deducimos que x debe ser mayor o igual que −1. Es x decir, no hay gráfica para x < −1. No pierdas de vista que x sí puede ser cero (en cuyo caso, el despeje anterior no es válido), de hecho, x = 0 implica y = 0. Si ahora despejamos a x, encontramos y2 ± y 4 − 8y . Ahora, debemos cuidar que y4 − 8y ≥ 0, esto es, y(y − 2)(y2 + 2y + 4) ≥ 0 o 2 y(y − 2) ≥ 0, pues y2 + 2y + 4 > 0 para todo y. Así, debe cumplirse que y ≤ 0 o y ≥ 2; es decir, no hay gráfica en la zona 0 < y < 2. x=

b) Simetría. Recuerda que si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplazada por −y, la curva es simétrica respecto al eje x. De la misma manera, si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazada por −x, la curva es simétrica respecto al eje y. Como la ecuación inicial cambia al reemplazar x por −x, lo mismo que cuando y es reemplazada por −y, concluimos que no existen simetrías.

452

Unidad 9: Graficación

c) Intersecciones con los ejes coordenados. Para y = 0 (intersección con el eje x), x = 0; para x = 0 (intersección con el eje y), y = 0. Por lo tanto, el único punto de intersección con los ejes coordenados es el origen (0, 0). 1 ± 1 + x3 , notamos que vale la pena estudiar lo que ocurre cuando x → 0. x x2 2 2 De xy2 − x2 − 2y = 0, obtenemos x = 2 + ≈ para y → ±∞. De aquí que x → 0+ implica y → +∞; y y y

d) Asíntotas. De y =

y x → 0− implica y → −∞; es decir, x = 0 es una asíntota vertical de la curva. Asimismo, y = y=

1 ± 1 + x3 implica que la curva no tiene asíntotas horizontales, pero como x

1 1 ± 1 + x3 ≈ ± x 2 para x → +∞, concluimos que x = y2 es una curva asintótica. x

e) Determinación de los puntos donde hallamos que

dy = 0 o no existe. Calculamos ahora la primera derivada y dx

dy 2 x − y 2 = . Estamos interesados en determinar dónde vale cero esta derivada y dx 2 xy − 2

dónde no existe, pues esto proporciona información valiosa sobre la gráfica. Observa que

dy = 0 , si dx

2 y2 ⎪⎧2 x − y = 0 . De la primera ecuación, x = ; si ahora sustituyes en la segunda ecuación, en⎨ 2 2 ⎪⎩ xy − x 2 − 2 y = 0 contrarás que y(y − 2)(y2 + 2y + 4) = 0, de donde y = 0 y y = 2. De aquí resultan dos puntos, P1(0, 0) y P2(2, 2), en los cuales la recta tangente es horizontal. ⎧ xy − 1 = 0 Por otro lado, la derivada no existe en los puntos que satisfagan ⎨ 2 . De la primera 2 ⎩ xy − x − 2 y = 0 1 ecuación, vemos que xy ≠ 0; luego, podemos expresar x = , que al sustituir en la segunda ecuación, y produce 1 + y3 = 0; de aquí y = −1. Por lo tanto, hay un único punto P3(−1, −1) donde la recta tangente es vertical. A partir del análisis anterior, deducimos que la curva tiene la apariencia de la figura 3.

Nota. Puesto que en general f(x, y) = 0 no determina una función y = y(x), no es posible aplicar el análisis de la primera y segunda derivada para generar información acerca de la monotonía, los extremos relativos y las concavidades.

453

9.2: Graficación

y f x, y)  0 f( 4

2 Curva asintótica

2

4

6

x

2

4

Asíntota vertical

FIGURA 3. Gráfica de f(x, y) = xy2 − x2 − 2y = 0.

Ejemplo 4. Con los elementos indicados en el esquema general de graficación, haz el análisis de la función y = f ( x ) = 3 2 x 2 − x 3 y elabora su gráfica.

solución i) Esta función está definida para todo número real. ii) Dado que y = x 2 / 3

3

2 − x , concluimos que f tiene dos raíces, x = 0 y x = 2.

iii) La función es continua en . iv) Apoyados en el inciso anterior, vemos que la función no tiene asíntotas verticales. Además, como lím f ( x ) = m ∞ , deducimos que la función no tiene asíntotas horizontales. ¿Cabe la posibilidad x→ ± ∞

de que exista alguna asíntota oblicua? Para responder a esta pregunta nota que 2 f ( x) = x 3 − 1 ≈ − x . x→ ± ∞ x Por esto, debiéramos esperar una recta asintótica de la forma y = −x + b. Por otro lado, si para x → ±∞ se cumple que f(x) ≈ −x + b, deducimos de esto que 2x2 − x3 + x3

3

b = lím ( f ( x ) + x ) = lím ( 2 x 2 − x 3 + x ) = lím x → ±∞

x → ±∞

x → ±∞

(

2x2 − x3

)

2

3

(

− x 2x2 − x3

)

1

. 3

+ x2

454

Unidad 9: Graficación

Es decir b = lím

x → ±∞

2x2

2 x 2 ⎛ − 1⎞ ⎝x ⎠ 2 es la recta y = − x + . 3

2

3

2 − x 2 ⎛ − 1⎞ ⎝x ⎠

1

3

+ x2

2 = . Esto es, la asíntota oblicua de esta función 3

v) Al calcular la derivada de esta función, encontrarás que f ( x ) = ción posee tres puntos críticos, uno estacionario en x =

4

vi) Si calculas la segunda derivada, hallarás que f  ( x ) = −

3

4 − 3x 3

3 x (2 − x ) 2

. Por lo tanto, la fun-

y dos más singulares en x = 0 y x = 2. 8

; luego, no hay puntos críticos 5 9 x 3 (2 − x ) 3 de segundo orden donde la segunda derivada se anule; sin embargo, en x = 0 y en x = 2, la doble derivada no existe, por lo cual nuestro análisis deberá incluirlos. Sintetizamos el análisis de la función por medio de la tabla 3. 4

Tabla 3 Resumen de observaciones para la gráfica de y = f ( x ) =

3

2x2 − x3 .

Intervalo o punto

f

f

f

Interpretaci n acerca de la gr fica

(−, 0)

+

−

−

Arriba de X / T / ºc

x=0

0

4

+

+

(0, /3)

x = 4/3

No existe No existe

1.058

0

4

( /3, 2)

−

−

x=2

0

(2, +)

−

−

Arriba de X / c / ºc Máximo relativo

−

No existe No existe −

Raíz, mínimo relativo

+

Arriba de X / T / ºc Punto de inflexión Abajo de X / T / ªc

Nota. a) El análisis de los signos que toma la función f puede realizarse más cómodamente si escribes f ( x) = 3 2 x 2 − x 3 = x 3

2 −1 . x

b) Para x = 0, hemos concluido que f tiene un mínimo relativo con base en el criterio de la primera derivada. Dado que x = 0 no es un punto crítico estacionario, el criterio de la segunda derivada no aplica.

455

9.2: Graficación

y 3 2

Má crí Punto de inflexión: en éste la segunda derivada no existe

1 2

1

2

4

x

Mínimo relativo en un punto 2 crítico í singular 4 Recta asintótica

3

2 3 FIGURA 4. Gráfica de la función y = f ( x ) = 2 x − x .

1. Analiza y construye la gráfica de cada una de las siguientes funciones. Tu análisis debe señalar los extremos relativos, los puntos de inflexión y las asíntotas. a) f ( x ) =

x2 x2 + 3

b) f ( x ) = x +

d) f(x) = cos3(x) + sen3(x), 0 ≤ x < 6

4 x2 +1

c) f ( x ) = 3( x − 1)

2

3

e) y = f ( x ) = x e − x − ( x − 1)2

2. Te presentamos a continuación la función con la que culmina un estudio realizado1 a un circuito eléctrico: 6 ⎛ − 3t ⎞ i (t ) = ⎜ e 4 − e − 5 t ⎟ . ⎠ 17 ⎝ Aquí, t ≥ 0 representa al tiempo e i(t) a la corriente en el inductor del circuito. Ahora bien, ¿realmente puedes decir algo, al menos cualitativamente, acerca del comportamiento de esta corriente? Realiza lo que se te pide en los siguientes incisos.

1

Scout, Donald E., Introducción al Análisis de Circuitos- un Enfoque Sistémico, primera edición, México D.F., McGrawHill, 1989, págs. 227 y 228.

456

Unidad 9: Graficación

a) ¿Existe un valor donde esta corriente tenga un valor máximo?, ¿mínimo? b) Si la corriente inicial es i(0) = 0, ¿qué ocurre en el transcurso del tiempo?, ¿aumenta? ¿disminuye?, y si hace una cosa o la otra, ¿hasta qué instante lo hace? Un comportamiento u otro, ¿se perpetúa? c) ¿Qué pasa con la corriente en el largo plazo? 3. Siguiendo los pasos del ejemplo 3 resuelto, analiza y elabora la gráfica de las siguientes curvas expresadas en la forma f(x, y) = 0. 2

a) y2(x − 2) = x3 − 1

b) x

3

+y

2

3

=1

4. Considera la siguiente gráfica, correspondiente a la derivada de una función f. Con la información adjunta y la gráfica dada, responde los siguientes cuestionamientos. Datos. y

f(0) = 0; f(1) = −0.25; f(2) = 0; f(0.422) = −0.11; f(1.577) = −0.11.

1.5 1

2

1

  1.5

Cuestionamientos. a) ¿Cuáles son los puntos críticos de 1° y 2° orden? b) ¿Dónde crece y dónde decrece la función f? c) ¿Dónde tiene extremos relativos la función? d) ¿Cómo son las concavidades de f?, ¿en qué intervalos se presentan? e) ¿Existen puntos de inflexión? Construye la gráfica de f a partir de tus conclusiones.

422 1

2 1.577

3

x

457

9.2: Graficación

Problemas para trabajar en equipo

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones. 1. Con base en la teoría desarrollada en esta sección, vuelve con tus compañeros al problema “La molécula” de la introducción y da respuesta fundamentada a las preguntas que ahí se formulan. 2. Graficación a través de Taylor. En lugar de un estudio detallado de la primera y segunda derivada, el empleo de polinomios de Taylor permite precisar la construcción de la gráfica de una función y = f (x). Con tus compañeros, aplica los pasos que se indican en el inciso a) y construye la gráfica de cada una de las funciones que se dan a continuación. 1 ⎞ a) y = f ( x ) = x 2 arctan⎛ ⎝1+ x⎠ Te sugerimos la siguiente solución. i) Estudia el comportamiento de la función en sus puntos de discontinuidad, en caso de que los tenga. 1 ii) Para x tendiendo a infinito, haz el cambio de variable x = . Con esto, determina z un desarrollo de Maclaurin conveniente de la función y obtén una aproximación de c la forma f ( x ) ≈ a + bx + . A partir de esto, deduce cuál es la ecuación de la asíntota x oblicua de la función. iii) De la aproximación anterior, determina la ubicación de la curva respecto a la asíntota oblicua calculada en ii). iv) Es conveniente estudiar (en caso de que aplique) la posible intersección de la función con su asíntota. v) Construye la gráfica de las siguiente funciones. 1

b) y = f ( x ) =

e 1

e

x

+1

x

−1

c) y = f ( x ) =

x2 1 x e x +1

3. Decisiones en el mercado accionario. Cuando se invierte en el mercado accionario, el principal objetivo consiste en comprar a precio bajo y vender a precio alto. La toma de decisiones se apoya, generalmente, en la experiencia de los corredores de bolsa y en el comportamiento del valor de las acciones. Sendas tablas de información, como la de la siguiente figura, se van actualizando constantemente para conocer el comportamiento accionario.

458

Unidad 9: Graficación

Tabla 4 Registro del valor de las acciones de "CINTRA A" (26 de octubre de 2005).

Máx.

Mín.

Anterior

Último

Cambio

5.99

5.51

5.56

5.86

0.30

Var. %

Volumen

Importe

Postura Compra

Postura Venta

5.40

8 500

49 810.00

5.85

5.86

Vol. Com. 22 000

Vol. Venta Num. Ops. Imp. Acumulado Vol. Acumulado 104 400

431

44 756 704.00

7 773 884

De manera adicional a la tabla anterior, se van generando gráficas como la de la figura 5, pero el punto crucial es ¿cómo saber si un precio ha llegado a su punto más alto? Es más, cuando un precio accionario baja, se puede ver que estaba en un valor más alto, pero si la reacción se produce en ese momento, ¡es demasiado tarde para hacer algo! Es aquí donde el concepto de concavidad puede ayudar a este respecto. Considera los siguientes cuestionamientos y ofrece una respuesta fundamentada para los mismos. a) Supón que el precio de una acción en un intervalo de tiempo está creciendo y además, que la curva en ese intervalo es cóncava hacia arriba. ¿Porqué debería sospecharse que seguirá subiendo? ¿Es buen momento para comprar? b) Ahora, supón que el precio está creciendo pero que la curva es cóncava hacia abajo, ¿porqué el accionista debería prepararse para vender? c) Supón que el precio está decreciendo y que la curva es cóncava hacia arriba, ¿es buen tiempo para comprar o para vender? ¿Qué recomendación harías, si el precio estuviera decreciendo pero la curva fuera cóncava hacia abajo?

9 8 7 6 5 4 Nov. Dic. Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. 2004 2005

Jul. Ago. Sep. Oct.

FIGURA 5. Información general e histórica de “CINTRA A” en el periodo de noviembre 2004 a octubre de 2005. (Fuente: Anuario Bursátil , Bolsa Mexicana de Valores http://www.bmv.com.mx/BMV/JSP/quote.jsp?compara=NULL&vesocinv=null&tiempo= year&cantidad=1&emision=CINTRA.A&tipo=1&idemis=0.

459

9.2: Graficación

1. Elige la opción que contiene la proposición verdadera. a) Si f es continua en [a, b] y f(a) = f(b) = 0, entonces existe algún punto c ∈ (a, b), tal que f (c) = 0. b) Si (c, f(c)) es un punto sobre una gráfica en la que ésta es continua y f (c) = 0, entonces (c, f(c)) es un punto de inflexión. c) Si f(c) es un extremo relativo, entonces f (c) > 0 o f (c) < 0. d) Una función continua en un intervalo cerrado [a, b] tiene un máximo y un mínimo absolutos. 2. Una función f tiene las siguientes propiedades. i) Su dominio es el conjunto de los números reales y tiene dos raíces, una en x = 1 y otra en x = 6. ii) Tiene un máximo relativo en (1, 0) y un mínimo relativo en (3, − 3(2)

2

3

).

iii) f (x) > 0 en (−∞, 1] ∪ [3, +∞), y f (x) < 0 en [1, 3]. iv) La función derivada f  es creciente en el intervalo [1, +∞). Con base en estas propiedades, determina la afirmación correcta para la función f. a) La función es cóncava hacia abajo en el intervalo [1, +∞). b) La función es decreciente en el intervalo [0, 1). c) lím f ( x ) = + ∞ . x→ + ∞

d) La función es cóncava hacia arriba en el intervalo (−∞, 1] ∪ [3, +∞). x

1 3. Haz un estudio de la función f ( x ) = ⎛1 + ⎞ , y determina qué inciso contiene una afir⎝ x⎠ mación falsa acerca de ella. a) x = 0 es una asíntota vertical de la gráfica de f. b) La función es creciente en todo su dominio (−∞, −1) ∪ (0, +∞). c) La gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo (−∞, −1), cóncava hacia abajo en (0, +∞) y no tiene puntos de inflexión. d) y = e es una asíntota horizontal de la curva. x −1 4. Haz un estudio de la función f ( x ) = Exp ⎡⎢ 2 ⎤⎥ (donde Exp[a] = ea), y determina qué ⎣ x ⎦ inciso contiene una afirmación verdadera acerca de ella. a) La función tiene un máximo relativo pero no absoluto en x = 2. b) La función es decreciente en el intervalo (2, ∞). c) La función tiene una discontinuidad esencial asintótica en x = 0. d) La función es decreciente en el intervalo (0, 2).

460

Unidad 9: Graficación

5. En la columna B, encuentra las propiedades que corresponden a las funciones de la columna A. Columna A

Columna B

a) f ( x ) =

1 4 3 2 x − x + 2x + 5 4 2

b) f ( x ) =

2x − 4x x +1

c) f ( x ) = x

i) La función tiene un máximo relativo en

(−1 − (−1 +

2

2

3

− 2x

1

)) y un mínimo relativo en 3 )) .

(

3 , 4 −2 +

ii) Para x > 8, la función es creciente y cóncava hacia abajo.

3

d) f(x) = 2x − tan(x); −

(

3, − 4 2 + 3

π π