Calculo Diferencial Para Administración - Jorge A. Saenz

 

EIFERFH GJ@B^BOEJIF QI^I

IGDJOJUW^IEJHO Z BEHOHDJI UBMROGI BGJEJHO

Khrmb Uéboz

>11=

 

jj Eéfeufh Gj`brboejif piri Igdjojstriejõo y Behohdäi

Khrmb Uéboz Gbpõsjth Fbmif; F`129>11=2919=5 >71>>=5   B-dijf; -dijf; jo`hAljphtbousihofjob.ehd  jo`hAljphtbousihofjob.ehd

www.ljphtbousihofjob.ehd  Nirqujsjdbth - Bgh Firi

Ubmuogi Bgjejõo, Ubmuogi  Bgjejõo, >11= >11= Gbrbelhs rbsbrvighs Fi

prbsbotb

bgjejõo

y

sus

eirietbrästjeis

mré`jeis,

sho

 prhpjbgig bxefusjvi gb Bgjthrjif Ljphtbousi, E.I., qubgiogh  prhljnjgi su rbprhgueejõo pirejif h thtif sjo fi iuthrjziejõo gbf bgjthr. 

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXX

 

jjj

EHOWBOJGH 1  Q^BFJDJOI^BU IFMBN^IJEHU

9 >

 Qjtémhris gb Uidhs

1.9  Ro Ro phqujth gb Fõmjei

5

1.>  Bf Ujstbdi gb fhs Oûdbrhs ^bifbs

7

1.5  Bxphobotbs Botbrhs

95

1.7  ^igjeifbs y Bxphobotbs ^iejhoifbs

9:

1.2  Hpbriejhobs eho Bxprbsjhobs Ifmbnrijeis

>0

1.0  Qrhgueths Ohtinfbs y @iethrjziejõo

5<

1.=  @rieejhobs Ifmbnrijeis

72

9  BERIEJHOBU

22  If ∞ Clwirjzdj 

 

20 

9.9  Qrhpjbgigbs Nésjeis gb fis Jmuifgigbs

2=

9.>  Beuiejhobs Fjobifbs

2:

9.5  Ipfjeiejhobs gb fis Beuiejhobs Fjobifbs

07

9.7  Ujstbdis gb Beuiejhobs Fjobifbs

=>

9.2  Beuiejhobs Euigrétjeis

9>>

9.0  Ipfjeiejhobs gb fis Beuiejhobs Euigrétjeis

957

9.=  Beuiejhobs Qhfjoõdjeis

921

 

jv

>  JOBERIEJHOBU Z PIFH^ INUHFRWH  Ojehfh @hotioi (Wirtimfji)

 

999  

99>

>.9  Qrhpjbgigbs Nésjeis gb fis Gbsjmuifgigbs Gbsjmuifgigbs

995

>.>  Jobeuiejhobs Fjobifbs

990

>.5  Jobeuiejhobs Euigrétjeis

9>>

Jobeuiejhobs ^iejhoifbs >.7  Jo

959

>.2  Pifhr Inshfuth

957

5 M^I@JEIU GB BERIEJHOBU Z FI ^BEWI 975  ^boê Gbseirtbs

5.9  Bf Bf pfioh Eirtbsjioh

972 

5.>  Mré`jeis gb Beuiejhobs

921

5.5  Fi ^beti y fi Beuiejõo gb Qrjdbr Mrigh

901

7 @ROEJHOBU ^BIFBU Pjf`rbgh Qirbth

 

977 

9=2 9=0

7.9  @uoejhobs ^bifbs y sus Mré`jeis

9==

7.>  Hpbriejhobs eho @uoejhobs

9:0

7.5  Fis @uoejhobs ehdh Dhgbfhs Ditbdétjehs

>10

7.7  Ifmuois Ip Ipfjeiejhobs fjeiejhobs g gbb fis @u @uoejhobs oejhobs i fi  Behohdäi

>92

 

v

2

@ROEJHOBU B\QHOBOEJIFBU Z   FHMI^JWDJEIU  Khlo Obppbr 

 

>>: >51 

2.9  Wjphs gb Jotbrês y bf Oûdbrh b

>59

2.> Fis @uoejhobs Bxphoboejifbs

>75

2.5 Fis @uoejhobs Fhmirätdjeis

>7<

2.7 Ipfjeiejhobs gb fis @uoejhobs Bxphoboejifbs y Fhmirätdjeis

>22

0 FJDJWBU Z EHOWJORJGIG  Igid Udjtl

>0: >=1

 

0.9  Fädjtb gb uoi @uoejõo

>=9

 

Fädjtbs Rojfitbrifbs 0.>  Fä

>:1

51:  591

=.9  Fi Gbrjvigi

599

=.>  Wêeojeis gb Gbrjviejõo

5>=

=.5  Ioéfjsjs Dirmjoif

571

=.7  Fi ^bmfi gb fi Eigboi

57:

=.2  Gbrjviejõo Jdpfäejti

52<

 

vj =.0  Gbrjvigis gb Hrgbo Uupbrjhr

502

=.=  Gbrjvigis gb fis @u @uoejhobs oejhobs Bx Bxphoboejifbs phoboejifbs y Fhmirätdjeis

5=9

5 7 > Whgh oûdbrh botbrh bs uo oûdbrh riejhoif gb gbohdjoighr 9. Isä, 2 > > 4 9  , 2 4 . 9 Bs usuif gbohtir if ehokuoth gb fhs oûdbrhs riejhoifbs eho fi fbtri ℛ. Bsth bs

 i ℛ 4  / i , n  ℧  y n  1  n

  

Whghs sinbdhs sinbdhs bbxprbsir xprbsir uo oûdbrh dbgjiotb su bxprbsj bxprbsjõo õo gbejdif. gbejdif. Isä 99

9

9

i. > 4 1.211 . . .

n.  5  4 1.555 . . . e. 0   4 9. , 5 , > , bf `idhsh oûdbrh y bf oh dbohs `idhsh oûdbrh b, nisb gb fhs fhmirjtdhs oiturifbs.

Ifmuois ej`ris gb sus bxprbsjhobs gbejdifbs > 4 9.79792. . .

> ,    gb b  sho;

 4  5.9792:. . .

  

b 4 >.=9

>  

9

1

9

b

>

 

5

7

Liebdhs, ilhri, uoi i`jrdiejõo `uogidbo `uogidbotif; tif;  Fi ehrrbsphogboeji bstinfbejgi botrb fhs oûdbrhs rbifbs y fhs puoths gb fi rbeti bs uoi ehrrbsphogboeji njuoävhei. I eigi oûdbrh rbif fb ehrrbsphogb uo ûojeh ûoje h puo puoth th y i eeigi igi p puoth uoth fb ehr ehrrbsp rbsphogb hogb uo ûo ûojeh jeh oû oûdbrh dbrh rbif rbif..

I fi rbeti, prhvjsti gb bsti ehrrbsphogboeji, fi ffidirbdhs rbeti rbif h  rbeti oudêrjei. Ub ffidi ehhrgboigi   gb uo puoth if oûdbrh rbif qub fb isjmoi bsti ehrrbsphogboeji. Qhr rizhobs gb ehdhgjgig, duelis vbebs jgbotj`jeirbdhs i eigi  puoth gb fi rbeti oudêrjei eho su ehhrgboigi. Isä, phr bkbdpfh, gjrbdhs "bf puoth >" piri jogjeir if puoth qub fb ehrrbsphogb bf oûdbrh >. Bo bf ehokuoth ℔  tbobdhs ghs hpbriejhobs `uogidbotifbs; Fi igjejõo y fi duftjpfjeiejõo. Fis htris ghs hpbriejhobs nésjeis, fi sustrieejõo  y fi gjvjsjõo, sb gb`jobo bo têrdjohs g gbb fis ghs prjd prjdbris. bris. Bf sjst sjstbdi bdi gb fhs oûdbrhs oûdbrhs rbifbs sb ehostruyb i pirtjr gb 92 ixjhdis. I ehotjouiejõo prbsbotidhs fhs ixjhdis qub mhnjbroio fi igjejõo y fi duftjpfjeiejõo. Bo bf eipätufh > prbsbotidhs fhs ixjhdis qub mhnjbroio fi rbfiejõo ‖dbohr— (prhpjbgigbs nésjeis gb fis gbsjmuifgigbs). Igbdés sb tjbob bf ixjhdi gb ehdpfbtjtu ehdpfbtjtug g gb ℔ bf euéf sõfh fh dboejhoidhs. ,

Q^HQJBGIGBU GB FI IGJEJHO Z DRFWJQFJEIEJHO DRFWJQFJEIEJHO Ubio i, n y e  y e trbs  trbs oûdbrhs rbifbs euifbsqujbri. Ub tjbob; J. i + n 4 n + i 

Bkbdpfh; 7 + 2 4 2 + 7

Fby ehodutitjvi gb fi igjejõo. 

Bf hrgbo gb fhs sudioghs oh iftbri fi sudi. 

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

0

JJ. in 4 ni

Fby ehodutitjvi gb fi duftjpfjeiejõo.

Bkbdpfh; 5 ½ = 4 = ½ 5 JJJ. i + (n + e) 4 (i + n) + e

Bf hrgbo gb fhs `iethrbs oh iftbri bf prhgueth.  Fby ishejitjvi gb fi igjejõo.

 

Bkbdpfh; >+ (2 + + 2)+ ½ (2 ½ ½ 2) ½ ½ (2 +  ½ 2 + > ½ .   ∞ (∞i) 4 i

5. (∞i) n 4 i(∞n) 4 ∞ (in)

7. (∞i) (∞n) 4 in

2.   ∞(i + n) 4 ∞i ∞ n

0.   ∞(i ∞ n) 4 ∞i + n

 BKBDQFH 9. Liejbogh ush gb fis prhpjbgigbs iotbs bouoejigis, sjdpfj`jeir; 9. (∞>) (∞5) (∞0 )

>. ∞( i + n  n ∞ 5)

5. (∞2)5 x  x +  + (∞>)

Uhfuejõo 9. (∞>) (∞5) (∞0) 4 (∞>)  (∞5) (∞0)

(fby ishejitjvi) 

4 (∞>)  5  0  4 (∞>)  9 9.   ∞ (  (i i + n ∞ 5) 4 ∞i ∞ n ∞ (∞5) 4 ∞i ∞ n + 5

(phr 2) (phr >)

5. (∞2) 5 x +  x + (∞>)  4 (∞2)(5 x  x)) + (∞2) (∞>) 4 ∞(2(5 x )) + 2  >  x)) 4 ∞((2  5)  x) x)) + 91 4 ∞92 x  x +  + 91

(fby gjstrjnutjvi)





(phr 5 y 7) (fby ishejitjvi)

GJPJUJHO GB ORDB^HU ^BIFBU GB@JOJEJHO.

Ehejbotb. Gighs ghs oûdbrhs rbifbs i  y n, sjbogh n  1, sb ffidi ehejbotb i gb i botrb n if oûdbrh rbif qub bs bf prhgueth gb i  eho bf n jovbrsh duftjpfjeitjvh gb n. Bsth bs, 9 i 9 4 i ½ n∞  4 i ½ n n

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

<

Fi gjvjsjõo bs fi hpbriejõo qub lieb ehrrbsphogbr i eigi pir gb i oûdbrhs rbifbs (i, n) su ehejbotb .  n i

If ehejbotb

n

 fi ffidirbdhs tidnjêo fi `rieejõo gb i shnrb n. Bf oûdbrh i bs

bf oudbrighr y n bs bf gbohdjoighr gb fi `rieejõo.

Q^HQJBGIGBU GB FIU @^IEEJHOBU i

9.

e

½

n

ie

4

g 

 Qiri duftjpfjeir `rieejhobs, duftjpfjeir oudbrighrbs y

ng 

gbohdjoighrbs  

Bkbdpfh; i

e

2

  

0 =

 4

5 0 2 =

 4

9< 52

g 

jovjbrti vjbrti bf gjvjs gjvjshr hr y duftjpfjq duftjpfjqub ub  g  4 n ½ e   Qiri gjvjgjr `rieejhobs, jo 7 5 = 5 = >9 5  4   4     4 Bkbdpfh; 2 2 = 7 2 7 >1

>. n

5.

i

5

i

e

+

n

4

n

ie n

  Qiri sudir `rieejhobs qub tjbobo bf d djsdh jsdh gbohdjoig gbohdjoighr, hr, sudir fhs oudbrighrbs. 5     7 5 7 = Bkbdpfh;  +  4  4 2 2 2 2

7.

i

+

n

2.

e

4

ig

g 

ie ne

4

i n

 ne

Bkbdpfh;

 

 +

2

ng 

  , e    1

5

0

 4

5  =   0  2

=

 4

>9   51

2 =

52

 4

29 52

Eioebfir `iethrbs qub sho ehduobs if oudbrighr y if gbohdjoighr . 

Bkbdpfh; 0.

i n

4

e g 

4 ne     ig   4

5 0 2 0

 4

5 2

Uj ghs `rieejhobs sho jmuifbs, fhs prhgueths eruzighs sho jmuifbs.

Bkbdpfh;

5  2

 4

0 91

  5 91 4 2  0

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

=.

i n

i

4

4 ∞ 

n

i

 

n

:

Bo `rieejõo sb pubgb eidnjir > gb fhs trbs sjmohs sjo iftbrir fi `rieejõo 5  5  5  Bkbdpfh;  4  4 ∞  2  2  2

B`betuir fis hpbriejhobs jogjeigis y sjdpfj`jeir  

BDQFH >.  BKBDQFH  BK

9.

0 2



52 50

 

:   5 

>.

91

2

Uhfuejõo 9.

0 2



52 50

0( 52)

 4

2  50

4

: 91



5

2

0(52) 2  50

 

(phr 7) 

>  5  2  = 2 >  >  5 5

4

>.

 4

 4

4

BKBDQFH 5.

(`iethrjziogh)

=  4 0=  4 ∞ =0 > 5 : 2 91

 ½

5

5 5 2 > 2 5

4

( :)(2) 91  5

 4

(:)(2) 91  5

 

(eioebfiogh y ipfjeiogh =) 

 

(phr > y phr 9)

5

 4

(`iethrjziogh y eioebfiogh)

>

B`betuir fi hpbriejõo jogjeigi y sjdpfj`jeir

5 <

 ∞

2 9>

Uhfuejõo   Dbgjiotb jiotb fi prhp prhpjbgig jbgig 7 7;; Dêthgh 9. Dbg 5 <

 ∞ 

2 9>

 4

5  9>  2  < 9>  <

 4

50  71 :0

7

9  >> 9  4  4 4  4 ∞  2 5 :0 >7 > 5 > 5

Dêthgh >.  Dbgjiotb bf Däojdh Ehdûo Gbohdjoighr (DEG);

Bf däojdh ehdûo gbohdjoighr bs däojdh ehdûo dûftjpfh gb fhs gbohdjoighrbs. Gbsehdphobdhs Gbsehdphobd hs fhs gbohdjoigh gbohdjoighrbs rbs bo sus `iethrbs prjdhs. 5

  y

9> 4 > >  5

Bf däojdh ehdûo dûftjpfh bs bf prhgueth gb fhs `iethrbs ehduobs y oh ehduobs eho bf diyhr bxphobotb. Fubmh,

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

91

Bf däojdh ehdûo gbohdjoighr gb

5 <

2

 y

9>

 bs  > 5  5  4 >7

Ilhri, 5 <

 ∞

2 9>

 4

5 5

 

>7

2 > >7

4

5  5  2  > >7

 4

:  91 >7

 4

∞

9 >7

H^GBO BO  ℔ Igdjtjdhs fi bxjstboeji gb uo sunehokuoth oh vieäh gb ℔, qub bs bf eho ehokuoth kuoth g gbb + fhs oûdbrhs phsjtjvhs, if qub gbohtirbdhs eho ℔ . Bo fi rbeti oudêrjei, fhs oûdbrhs oûd brhs phsjtjvhs sho fhs qub bstéo i fi gbrbeli gbf hrjmbo. Bstb ehokuoth ohs  pbrdjtb gb`jojr fi rbfiejõo rbfiejõo 6, qub sb fbb ‖bs dbohr qub—, gbf dhgh sjmujbotb; GB@JOJEJHO. 

i 6 n    (n  i) bs phsjtjvh

Ehdh ehosbeuboeji jodbgjiti gb bsti gb`jojejõo hntbobdhs qub; i  bs phsjtjvh

  1 6 i 

Gb ieubrgh i fi rbeti oudêrjei, i 6 n sjmoj`jei qub bf puoth qub ehrrbsphogb i i  bsti i fi jzqujbrgi gbf puoth qub ehrrbsphogb i n.

i

BKBDQFH 7.

 

i.  > 6 0, yi qub 0  > 4 7 y 7 bs phsjtjvh n.    7 6 9, yi qub

 GB@JOJEJHO. 

n

i  bs obmitjvh

 9  ( 7) 4 7  9 4 5 y 5 bs phsjtjvh.

  i 6 1

Fis rbfiejhobs ? , ‖diyhr qub— ,  , ‖dbohr h jmuif qub— y  , ‖diyhr h jmuif  qub—  sb gb`jobo bo têrdj têrdjohs ohs gb fi rbfiejõo 6, gbf sjmujbotb sjmujbotb dhgh; GB@JOJEJHO. 

9.  i ? n    n 6 i  >. i  n    i 6 n  h i 4 n 5. i  n    i ? n  h i 4 n

 BKBDQFH 2.

9. 2 ? >, yi qub > 6 2

>.

5 ≧ =, yi qub 5 6 =

5. 5 ≧ 5, yi qub 5 4 5

7. 0  7, yi qu qubb 0 ? 7

   

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

99

JOWB^PIFHU Dés igbfiotb ipirbebréo eho `rbeuboeji ejbrths ehokuoths gb oûdbrhs rbifbs ffidighs jotbrvifhs, fhs qub sb gb`jobo bo têrdjohs gb fis rbfiejhobs gb gbsjmuifgig iotbrjhrbs. Gighs ghs oûdbrhs rbifbs i  y n, sb ffidi;  9. Jotbrvifh Jotbrvifh ebrr ebrrigh igh gb bxtrbdhs i y n if ehokuoth; Si, nT 4 { x  x   ℔ / i   x  x  n}

 

>. Jotbrvifh Jotbrvifh injbr injbrth th gb bxtrbdhs i y n if ehokuoth;

 6 x  6 n} (i, n) 4 { x  ℔ / i 6  x 6

T  n 

S i

( i

)  n

 Ohtir qub fhs bxtrbdhs gb uo jotbrvifh ebrrigh pbrtbobebo if jotbrvifh, djbotris qub uo jotbrvifh injbrth bxefuyb i bsths bxtrbdhs. Jotbrvifhs sbdjinjbrths 5.

 x 6 n Si, n) 4 {  x  x  ℔ / i  x 

7.

 x   n } (i, nT 4 {  xx  ℔ / i 6  x

}

S i ( i

Jotbrvifhs jo`jojths  2. Si, +) 4    xx  ℔ / i    x  x  }

{

 x   } 0. (i, +) 4 {  xx  ℔ / i 6 x =. (, iT 4 { x  x  ℔ /  / x  x   i }

 6 i } x  ℔ / x  x 6

GB@JOJEJHO. Bf vifhr inshfuth gb uo oûdbrh rbif i bs bf oûdbrh rbif

| i | 4 

i,

1 ssjj i  1

ssjj i

i ,

H sbi, bf vifhr inshfuth gb uo oûdbrh rbif bs jmuif if djsdh oûdbrh obmitjvh.sj êstb bs 1 õ phsjtjvh y bs jmuif i su jovbrsh igjtjvh sj bs 9.  | ∞> | 4 ∞(∞> ) 4 >

BKBDQFH 0.

>.  |

9

euigrigh gb figh 9 bs >  , bf euif oh bs uo oûdbrh riejhoif. riejhoif.  Ljppisus gjvufmõ su gbseunrjdjboth, jmohriogh bf kuridboth gb sjfboejh jostjtujgi phr fi bseubfi pjtimõrjei. Ub euboti qub fhs pjtimõrjehs bstinio oivbmiogh bo ifti dir euio euiogh gh sb botbrirho gb bsths lbelhs. ^bieejhoirho eho `urji. Ub sjotjbrho trijejhoighs. Bffhs  prbmhoinio qub fhs oûdbrhs (oiturifbs) y sus ehejbotbs (oûdbrhs riejhoifbs  phsjtjvhs) brio fi bsboeji gbf uojvbrsh. Qiri eistjmir fi supubsti trijejõo, ilhmirho i Ljppisus fiozéoghfh if dir.

Q^HNFBDIU Q^HQRBUWHU 1.>  Bo fhs prhnfbdis gbf 9 if >n ∞ n (>n)∞ (>n

  < 0  7      92 =  =

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91.

95.

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2. (in in))∞ (n ∞ i) 5    7   > n >i  i  n  97. 5     ∞ in  5i n 

9 5. i∞ (i + 5) 9

(7i i ∞ 91  91n n) 0. (∞>in in))∞ (7

 5i  7    > 5n 

9>in in     :. 9>

9>.

5 2 x >

92.   ∞

2 >9

+

9 > x

 + 9 ∞

5 =

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

90. 9 ∞

9:.

  5 >         < 5 

 9    9       >   ∞    >   2    =  

9=.

9    5   2    >            >1. (∞2)         2    7  5    7   >=   >2 

  >.   7     ∞      >5.    2   91 >   

 9 5   2   >2.   9    < 7   9>  >0.

 2  91    9         7  :i 5i  2 7 

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 >i 5i / 91  5i

>=.

7i / 2

  2      91   0  :

 9 >  9      2 5  92   5/7 9/>   5/7

9/ >

 9 /( 0i ) 9 /( 0n )  9 /( =n )

9 /( 2i )

 > x   y

UBEEJHO 1.5

B\QHOBOWBU BOWB^HU  GB@JOJEJHO. Bxphobotb botbrh phsjtjvh. Uj i bs uo oûdbrh rbif y o uo botbrh phsjtjvh, sb ffidi phtboeji gb mrigh o gb i if oûdbrh; o

i  4 i i . . . i   o `iethrbs

Bf oûdbrh i bs fi nisb y bf oûdbrh o bs bf bxphobotb. Gb fi gb`jojejõo iotbrjhr hntbobdhs qub;  9. Whgi phtboeji phtboeji pir gb u uoi oi eiotjgig obmitjvi bs p phsjtjvi. hsjtjvi. >. Whgi ph phtboej tboeji i jdpir gb uo uoi i eiotjg eiotjgig ig obmi obmitjvi tjvi bs obmi obmitjvi. tjvi.  BKBDQFH 9. 9

9. 5  4 5 >

5. (∞>)  4 (∞>) (∞>) 4 7

>. 2  4 2  2  2  2 4 0>2 7

5

7. (∞7)  4 (∞7)(∞7)(∞7) 4 ∞07

5 5 <   >      >      >      >      >  (>)(>)(>)  < 4  4 ∞ 2.    4   4       4 9>2 2 2 2 9>2   2    2     2     2     2  

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

97

GB@JOJEJHO. Bxphobotb ebrh y bxphobotb obmitjvh.

Uj i  1 bs uo oûdbrh rbif y o uo botbrh phsjtjvh, bothoebs 9 1 i  4 9 y  i  o  o i 1

  1   4 rbsubfth 9. Gb linbrfh lbelh, Hnsbrvirjoeurrjgh qub lbdhs bstinfbebr lunjêrbdhs bo uoibvjtigh joehosjstboeji. Pbrqub bf prhnfbdi 7. 1

  >  >.      4 9    2 

1

9.  5  4 9

BKBDQFH >.

9

∞5

5. 2  4

25

 4

9

5 5. (∞2)  4

9>2

9 (2) 5

 4

9

 9>2

 4 ∞ 

 9 4 5   x >   x >

7. 5 x∞> 4 5  ∞> 

2. (5 x  x))

9

4

5

>

 4

9

 5 x   5x 

 4

9 : x >

   WBH^BDI 1.9

Fbybs gb fhs bxphobotbs.

Uj i y n sho oûdbrhs rbifbs y d y  y  o oûdbrhs botbrhs, bothoebs o d

o +  d

9. i i  4 i io

>.

i

d

 

Qiri duftjpfjeir phtboejis gb uoi djsdi nisb, sudir fhs bxphobotbs.

   

4 io ∞ d  

Qiri gjvjgjr phtboejis gb uoi djsdi nisb, rbstir fhs bxphobotbs.

5.

 

i

d

o

od

4i

Qiri bfbvir i uoi phtboeji uoi phtboeji, duftjpfjeir

 

fhs bxphobotbs. o

o o

7. (in)  4 i  n

 

Qiri bfbvir i uoi phtboeji uo prhgueth, bfbvir i fi  phtboeji eigi `iethr. `iethr.

o

o i i 2.   4 o   n n

Qiri bfbvir i uoi phtboeji uo ehejbotb, bfbvir i fi  phtboeji bf oudbrighr oudbrighr y bf gbohdjo gbohdjoighr. ighr.

Gbdhstriejõo

Pbr bf prhnfbdi rbsubfth > y bf prhnfbdi prhpubsth >7.

9 9>2

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

92

BKBDQFH 5. 5

7

5+7

(∞>) (∞>)  4 (∞>)

9.

5=

>. 

5

2

 4 5

=

 4 (∞>)  4 ∞9><

(Fby 9)

= ∞ 2

 4 5> 4 :

(Fby >)

∞5 ∞9 (∞5)(∞9) 5  4 7  4 07 ( 7  )  4 7

5.

    >  x > 

7.

7

7

>7

> 7

 > x    y z 

7

5

>

7

7

 4

>7 x5    7 >

7

<

 4 90 x

4 (∞>)  (  xx )  4 90 x

 > x  2.   >  4   y z    5

(Fby 5)

7

4

90

(fbybs 7 y 5)

9>

< 7

(Fbybs 2 y 7)

 y z 

 z 

QIUI^ @IEWH^BU GBF ORDB^IGH^ IF GBOHDJOIGH^ Z PJEBPB^UI WBH^BDI 1.>

i 0.   n

o

Htris fbybs gb fhs bxphobotbs. o

n 4     i

Qiri bfbvir uoi `rieejõo i uoi phtboeji eho sjmoh obmitjvh jovbrtjr fi  `rieejõo y eidnjir bf sjmoh gbf bxphobotb.

=.

i

o

no

n

o

Bo uoi `rieejõo, sj dubvbs bf oudbrighr if gbohdjoighr h

 4  o i

bf gbohdjoighr if oudbrighr, eidnji bf sjmoh gbf bxphobotb. Gbdhstriejõo Pbr bf prhnfbdi rbsubfth 5 y bf prhnfbdi prhpubsth >7.

 7  > Ujdpfj`jeir  5     2n   n 

BKBDQFH 7.

5

Uhfuejõo

Ipfjeiogh fis fbybs 2 y 0, tbobdhs; 5

 7  > 4  7   5  n  5  2n     2n 

5  n   4  7   n5  4 7n5  4 9  4 9  >   5   5     2n   >  2  > 5 n5 2(>) 91

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

90

BKBDQFH 2. Bxprbsir eho bxphobotbs phsjtjvhs y sjdpfj`jeir;

9> x 7 y 2

5

> 5

 y

Uhfuejõo

9> x 7 y 2

9> x 7 x >

5

5 y 5 y 2  4 5 y 5    2  4 5 y<  4 ∞7  y<  

> y 5  4

9> x 7 

>

9> x 0

 x 0

(fbybs = y 9)

OHWIEJHO EJBOWJ@JEI

Eho `rbeuboeji, bo fis gj`brbotbs ejboejis ipirbebs oûdbrhs duy mriogbs h duy  pbqubùhs. Qiri ehdpietj`jeir ehdpietj`jeir fi bserjturi bserjturi gb bsths oûd oûdbrhs brhs sb usio bxphobotbs. bxphobotbs. Ro oûdbrh  x bsté bserjth bo ohtiejõo ejbotä`jei  sj  x  x   bs bxprbsigh gbf dhgh sjmujbotb; o ghogb 9 ≧ i 6 91 y o bs uo botbrh.  x   4 4 i  91 ,

 BKBDQFH 0. Bxprbsir fhs sjmujbotbs oûdbrhs bo ohtiejõo ejbotä`jei. i. 257,111,111

n. 1.11110=>

Uhfuejõo  < i. 257111111     4 2.57  91  

n.  1. 1 11 11 10 =>  4 0.=> 91∞=   

  < fumirbs i fi jzqujbrgi

  = fumirbs i   fi gbrbeli o

Hnsbrvir qub bf bxphobotb o bo 91  jogjei bf oûdbrh gb ej`ris qub liy qub ehrrbr fi ehdi gbejdif. Uj sb ehrrb i fi jzqujbrgi, o bs phsjtjvh. Uj sb ehrrb i fi gbrbeli, o  bs obmitjvh.

BKBDQFH =.

Fi bstrbff bstrbffii dés prõxjdi i oubstrh sjstbdi bs fi ffidigi if`i gbf Ebotiurh. Bsti sb boeubotri i uoi gjstioeji gb 7.>> iùhs∞fuz. Ro iùhs∞fuz bs fi gjstioeji qub rbehrrb fi fuz bo uo iùh y bstb bs jmuif i 2.

9>

g  4 7.>>  2.7.0  9>  djffis 95

4 >.70  9>   djffis

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

9=

Q^HNFBDIU ^BURBFWHU 1.5 Q^HNFBDI 9.

Bserjnjr eho bxphobotbs bxphobotbs ph phsjtjvhs sjtjvhs y sjdpfj`jeir fis bxprbsjh bxprbsjhobs, obs, sj bs phsjnfb. 9 > < 9> 5

i.

 : >i n2 e91   5 in e 

n.

 



i 9  n 9 >  

e. 

  y5     5  >5   > x   x  y 

Uhfuejõo 5

5

5 5  :9 i >n < e 9>   5> n2 e91  : 9     i.  > 2 91  4   5 in e   :ii >n< e9>  4  :i5n5e >  4  i5n5e >     

4

 

n. i

e. 

9

n

9 >





i 5n 5 e >



5

: : 0 

 4 i n e

>

>

>

ni in  9 9 i >n>     4    4  4 4    i n  n  i   n  i >  in 

  y5    5  >5   4  > x   x  y 

 x5 y    5   y 5   4  x5 y    5 y 5     >   x >   >   >          7  x5 y   >  > 7 y 4   >   5 y 5   4 0 y 5  4 5 y >   

 Q^HNFBDI >. >. Qrhnir fis sjmujbotbs fbybs gb fhs bxphobotbs.

Uj i y n sho oûdbrhs rbifbs, n  1, y d y o botbrhs, bothoebs o d

9. i i  4 i

o

o i i >.   4 o n n

o + d

Uhfuejõo 9. Eish 9.  o ? 1 y d ? 1; o d

o+d

. i  4 i . i4i i i  4 i . i i i .. i .. i ..

 

o  d `i `ieeth thrrbs

d `iethrbs

o `iethrbs

Eish >.  o 6 1 y d 6 1. Ubi  k  k 4  4 ∞o  y c   4 4 ∞d, bothoebs  k ? 1 y c  ?  ? 1. o d

9

∞ k ∞c 

i i  4 i i   4

9

i k i c 

4

9 i k i c 

4

9 i k   c 

4i

Eish 5.  o 4 1 o d

1 d

d 

i i  4 i i  4 (9) (9)i i

d

4 i  4 i

1+d

 4 i

o+d

Bo fhs htrhs eishs, sb prhebgb bo `hrdi sjdjfir.

 

∞( k + c )

∞ k ∞ c 

 4 i

 4  4 i  i

o + d 

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

9<

>. Eish 9.  o ? 1; o `iethrbs



io

i  4 4  4   . . . n n n n no   n n . . .n  i

i i . . .i

i

i

o

o `iethrbs

o `iethrbs

∞

  Eish >.  o bsoobmitjvh. 4 o, bothoebs c c  ?  ? 1.  c   c  Ubi c   4 n i io i 4 i 4 9 4 9  4 c   4  c   4 o n n c  c  i n n     i i n   n c    Eish 5. o 4 1; o

1

 i  4  i  4 9 y i o  4 i1 4 n n no n1      Q^HNFBDI 5.

o

io i   4 9. Fubmh,    4 o 9 n n 9

Qrhnir fi sjmujbotb fb fby y gb fhs bxphob bxphobotbs; otbs; Uj i y n  sho oûdbrhs rbifbs, i  1 y n  1, y o uo oûdbrhs botbrh, bothoebs

 i  o 4  n o n i     Uhfuejõo o

no 9 9 i  n Eish 9. o ? 1.   4 4  4 4 i o io io n   i n no  

o

Eish >. o 6 1. Ubi Ubi c   c   4 4 ∞o, bothoebs c ? 1 y o 4 ∞c   .. o o c  n 9 9 9 9 c   c  o  i  4  i  4 i 4 ic  c  4 i∞(∞c ) n n   o  c  o 4 4 4 i   c    n n i i n c  n n     i

Eish 5. o 4 1.

o

i

1

i

1

n

o

n

1

i

o

n

 n  4  n  4  n  4 9,  i  4  i  4 9. Fubmh,  n  4  i 

 Q^HNFBDI 7.

Joehosjstboeji Joehosjstboeji  1

  9  Dhstrir qub qub sj bstinfbebdhs qub 1  4 9, bothoebs     4 9.   1  1

Uhfuejõo 91

9 9 4  4  4   9 1 11 9

1

Bstb rbsuftigh bs joehosjstbotb phrqub fi gjvjsjõo botrb ebrh oh bsté gb`jojgi 

o

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

9:

Q^HNFBDIU Q^HQRBUWHU 1.5  Bo fhs prhnfbdis gbf 9 if >> bxphobotbs phsjtjvhs. >

9. (>

>5)>

>. 

5 7  

1

   > >  0.            5  

> 2.    55   5   9

  >

  5    7  9

 57  72 2 2 > >  5  7

91.

>

99. (2∞  > )  (>∞  2 >

> 1 > ∞> ∞2 ∞7 ∞2 )(:i n ) 95. (2 x  y) (7  x  y )

∞5 5 ∞>

9>. (5 i n

>

5

 5i 5n >  92.    :in 9     

 7 xy >  90.   9 >     > x y   

>

> 5 5 5

1

 7   7  =.    +      2   2 

5

 >   >  :.   +      5   5 

  2  ∞9     7. 2    0 

9

5.      5

7

sjdpfj`jeir y bxprbsir fi rbspubsti eho

2

97.  (7 x

>

7

)

∞>

∞9 7 ∞5 )  (∞> x  y )

1 > 

 25 d1 o >  9=.  5 5 2  7 d o   

 25 d-9o   > > ->  7 d o 

5

    7y >   > 91.  > y       x   5y5  9:. = x 5  ∞  >9 x 9              9 9  x5 9  > 5     9 9 > >9.    >.   >  2 x        5     :  x 0 x   x      > 9

>

5

-9

9

>5. Bserjnjr fhs sjmujbotbs oûdbrhs bo ohtiejõo ejbotä`jei. iprhxjdigidbotb, i. Ro iùh fuz, fi gjstioeji qub rbehrrb fi fuz bo uo iùh, bs iprhxjdigidbotb, :,771,111,111,111 cd. n. Bf gjédbtrh gb gb uo bfbetrõo; 1.11111111111 1.1111111111117 17 ed. e. Fi phnfiejõo gb fi tjbrri bo bf iùh >11>; 0,>29,111,111 l linjtiotbs. injtiotbs. g. Fi disi gb uo obutrõo; 1.1111111111111111111 1.11111111111111111111190= 1190= Cm. >7. Bserjnjr fhs sjmujbotbs oûdbrhs bo bf sjstbdi gbejdif hrgjoirjh. 2

i. Fi gjstioeji gb fi tjbrri i fi fuoi bs  7.0>7  91  cd. ∞99 n. Fi fhomjtug gb hogi gb fhs riyhs \; 7.:> 91  d. >2. (Fbyb (Fbybss gb fhs bxpho bxphobotb botbs) s)Uj i y n sho oûdbrhs rbifbs y d y  y o  o,, botbrhs, prhnir;  

i.

io id

4i

o ∞ d

 

n.

  i  o

d

 4 i

od

 

o

o o

e. (in)  4 i n  

g.

io no

4

n o i o

 

UBEEJHO 1.7

^IGJEIFBU Z B\QHOBOWBU ^IEJHOIFBU ^IGJEIFBU Uj sb eudpfb qub n  4 i, gbejdhs qub n  bs uoi riäz euigrigi   gb i. Uj i ? 1, i tjbob ghs riäebs euigrigis, uoi phsjtjvi y htrh obmitjvi. I fi phsjtjvi sb fi gbohti phr >

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

>1

i  y sb fi ffidi riäz euigrigi  prjoejpif gb i. Fi htri, fi obmitjvi, bs ∞  i . Isä, >

>

sj i 4 :, tbobdhs qub 5  4 : y (∞5)  4 :. Fubmh Fubmh,, fis ghs riäebs euigrigi gb : sho ∞5 y 5. Fi riäz prjoejpif bs

 : 4 ∞5. Bo eidnjh, sj i 4 ∞:, ehdh

: 4 5 y fi htri bs

>

bf euigrigh gb thgh oûdbrh bo oh obmitjvh, oh bxjstb uo oûdbrh rbif n tif qub n   4 ∞:. Bo ehosbeuboeji, ∞: oh tjbob riäebs euigrigis. Bo mbobrif, ojomûo oûdbrh obmitjvh tjbob riäz euigrigi. 5

Uj sb eudpfb qub n  4  4 i  i,, gbejdhs qub n  bs uoi riäz eûnjei gb i. Whgh oûdbrh rbif i tjbob uoi ûojei riäz eûnjei rbif, i fi euif ffidirbdhs riäz eûnjei prjoejpif h, sjdpfbdbotb, riäz eûnjei, y fi gbohtirbdhs phr 5

5

 i 6 1. Isä,

<  4 > y

5

5

i . Uj i ? 1,

5

i  ? 1 y sj i 6 1,

 < 4 ∞>.

Bo mbobrif tbobdhs fi sjmujbotb gb`jojejõo. GB@JOJEJHO. Fi riäz o∞êsjdi gb i,

o

i

Ubi i uo oûdbrh rbif y o uo botbrh phsjtjvh tif qub o  >.

 

Bothoebs

o

i , fi riäz o∞êsjdi prjoejpif gb i bs bf oûdbrh; o

9.

o

 i 4 n, sj n  4 i, i ? 1 y  n ? 1

>.

o

 i 4 1, sj i 4 1. Bsth bs,  o 1 4 1

5.

o

 i 4 n, sj  n  4 i , i 6 1 y  n 6 1

o

Gbnb tbobrsb bo euboti qub sj i  6 1 y o  bs pir, o  i   oh bs oûdbrh rbif. I fi bxprbsjõo 

o

o

 i  sb fb ffidi rigjeif. Bo

i,

bs bf sjmoh gb rigjeif, o 

bs bf äogjeb  y i  bs bf rigjeiogh õ eiotjgig sunrigjeif. Euiogh sb triti gb  fi riäz euigrigi, bs ehstudnrb hnvjir bf äogjeb y bserjnjr BKBDQFH 9.

i  bo fumir gb

>

i.

0

i.

0

n.

5

 9>2  4 ∞2, yi qub (∞2)  4 ∞9>2

e.

7

 90  oh bs uo oûdbrh rbif, o 4 7 bs pir y  i 4 ∞90 6 1.

07   4 >, yi qub >  4 07 y > ? 1 5

 WBH^BDI 1. 5 Fbybs gb fhs rigjeifbs. 9. >.

5.

o

 in 4 i

o

n d o

 

o

o

4

o

o

 n

Bkbdpfh; 

 , n  1

Bkbdpfh; 

 i

 i  n

i  4

do

 i

Bkbdpfh; 

>=( 07) 4

5

: 7: 5

 4

5

:  7:

>=   5

 4

 07  4 5(∞7) 4 ∞9>

5 =

07  4 5> 07 4

0

07  4 >

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

7.

 

2. 0.

o

o

o



 i

o

>9

4i

Bkbdpfh; 

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Bkbdpfh; 

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Bkbdpfh; 

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 i 4 | i |, sj o bs pir.

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5

7

| ∞2 | 4 ∞(∞2) 4 2 

Gbdhstriejõo

Pbr uoi gbdhstriejõo pirejif bf prhnfbdi rbsubfth 7.

Rsiogh fis fbybs gb fhs rigjeifbs sjdpfj`jeir fis bxprbsjhobs;

BKBDQFH >. i.

7

7

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5

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^IEJHOIFJ[IEJHO

Ub ffidi riejhoifjziejõo gbf gbohdjoighr if prhebsh dbgjiotb bf euif sb trios`hrdi uoi `rieejõo qub tjbob rigjeifbs bo bf gbohdjoir bo htrh bqujvifbotb qub oh fhs tjbob. Qiri fhmrir f hmrir bstb prhpõsjth sb duftjpfjeio bf oudbrighr y bf gbohdjoighr  phr uoi bxprbsjõo igbeuigi, ffidigi bxprbsjõo  riejhoifjziotb.  Bo bsti pirtb vbrbdhs ghs eishs sboejffhs. Dés igbfiotb vbrbdhs htrhs eishs. i . Ub duftjpfjei bf oud oudbrighr brighr y

Eish 9. Bf gbohdjoighr bs uoi riäz euigrigi

oudbrighr phr bf djsdh rigjeif, n

n

4

i

i

 i

i . Isä; n

4

i i

i

o

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i , ghogb d 6 o  y i  ? 1. Ub Eish >. Bf gbohdjoighr bs uo rigjeif gb fi `hrdi o duftjpfjei bf oudbrighr y oudbrighr phr bf rigjeif  i o   d . Isä; n o

 i

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> 5  >  4 7 5 >

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B\QHOBOWBU ^IEJHOIFBU

Wbrdjoidhs bsti sbeejõo uoj`jeiogh fhs ehoebpths gb bxphobotbs botbrhs y rigjeifbs piri piri gb`jo gb`jojr jr bxphobotbs riejhoifbs.

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

>5

GB@JOEJHO. Ubi d y o ghs botbrhs, o  > y i uo oûdbrh rbif tif qub bxjstb i. n.

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5

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Bxprbsir fhs ssjmujbotbs jmujbotbs rigjeifbs bo têrdjohs gb bxphobotbs `rieejhoirjhs. 9 0  x 5   e.  5  xy  i. n. 2  z 7

 BKBDQFH 0.

Uhfuejõo ∞5/>

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 FBZBU GB FHU B\QHOBOWBU B\ QHOBOWBU ^IEJHOIFBU

 Oh bs gj`äejf prhnir qub fis fbybs gb fhs bxphobotbs bouoejigis bo fhs tbhrbdis 1.9 y 1.> piri bxphobotbs botbrhs, sb eudpfbo tidnjêo piri bxphobotbs riejhoifbs. Jfustrirbdhs bstis fbybs dbgjiotb bkbdpfhs. Ujdpfj`jeir  

BKBDQFH =.

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Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

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Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

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in 4 in  4 e  g  4 (eg )  . Qhr fh tioth, , d o

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in 4 eg   4 4

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i 4 n . Fubmh,  o i 4 n   y i 4 (n )  4 n

. Fubmh, n 4 do  i

Q^HNFBDIU Q^HQRBUWHU 1.7  Bo fhs prhnfbdis prhnfbdis gbf 9 if : bvifuir fis bxpr bxprbsjhobs bsjhobs gigis. 9.

( 2)

7. (5>)

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(07)  T

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

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 Bo fhs prhnfbdis gbf 91 if 97 sjdpfj`jeir fis bxprbsjhobs gigis y gb uoi rbspubsti sjo bx bxphobotbs phobotbs obmitjvhs. ∞5

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> ∞9 5

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 Bo fhs prhnfbdis gbf 92 if >0 sjdpfj`jeir fis bxprbsjhobs gigis. Uj bs obebsirjh, riejhoifjeb fhs gbohdjoigh gbohdjoighrbs. rbs. 92. 2 >1   7<

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>=.

9>o  >>2o / >  52> o 7:o  90o / 7  >= > o / 5

 

 Bo fhs prhnfbdis prhnfbdis gbf >= if 51 liffir bf vifhr gb o. >=. 2 2

5

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o

51.

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o

 2 4 2

9/:

UBEEJHO 1.2

HQB^IEJHOBU EHO B\Q^BUJHOBU IFMBN^IJEIU Ub ffidi bxprbsjõo ifmbnrijei  i thgi bxprbsjõo qub sb hntjbob ehdnjoiogh ehostiotbs y virjinfbs dbgjiotb fi hpbriejhobs gb igjejõo, sustrieejõo, duftjpfjeiejõo, gjvjsjõo, bfbviogh i phtboejis y bxtriybogh riäebs. Isä, sho bxprbsjhobs ifmbnrijeis;

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

5

>

2

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5  x y  +

7 x ∞ 2 x  + 9,

> y

>

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 nx  e

ix >

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  Bo uoi bx bxprbsjõo prbsjõo ifmb ifmbnrijei nrijei bsté eho`hrdigi phr nfhqubs sbpirighs sbpirighs phr fhs 5 > sjmohs + õ ∞. Eigi nfhqub bs uo têrdjoh  g gbb fi bbxprbsjõo. xprbsjõo. Isä, 7 x   ∞  2 x  + 9 tjbob trbs têrdjohs. Bo bf têrdjoh 7 x5, 7 bs bf ehb`jejbotb  y  x5  bs fi pirtb fjtbrif. Ghs têrdjohs qub gj`jbrbo sõfh bo bf ehb`jejbotb, tbojbogh fi djsdi pirtb fjtbrif ,  sb >

ffidio têrdjohs sbdbkiotbs.  Isä, 0 x  y  y,,

9 > >

 x  y  y,,

>

 y   sho têrdjohs sbdbkiotbs. 5 x  y

Fis bxprbsjhobs ifmbnrijeis dés sjdpfbs sho fhs phfjohdjhs. Ro phfjohdjh gb bxprbsjõo ifmbnrijei ifmbnrijei gb fi `hrdi; `hrdi; mrigh o bo fi virjinfb x  virjinfb x , ghogb o  1, bs uo bxprbsjõo o

o∞9

 p  p(( x   x ) 4 io x   + io∞9 x 

 + i1,  +       + i9 x  +

ghogb i1, i9,      io  sho ehostiotbs, sjbogh  io  1. Isä  Ro phfjohdjh gb mrigh 1 bs uoi ehostiotb  p  p(( x   x ) 4 i1, i1  1.   p(( x   x ) 4 i9 x  +  + i1,  Ro phfjohdjh gb mrigh 9 bs uo phfjohdjh gb fi `hrdi  p >

Ro phfjohdjh gb mrigh > bs uo phfjohdjh gb fi `hrdi i> x   + i9 x  +  + i1, 5 

i9  1.  i>  1.

>

 + i1, i5  1 Ro phfjohdjh gb mrigh 5 bs uo phfjohdjh gb fi `hrdi i5 x  + i> x   + i9 x  +

Widnjêo ehosjgbridhs ehosjgbridhs bf phfjohdjh q qub ub tjbob thghs sus ehb`jejbotbs oufhs if   qub ffidirbdhs phfjohdjh oufh y fh gbohtirbdhs phr 1. I bstb phfjohdjh oh sb fb isjmoi ojomûo mrigh. Widnjêo sb efisj`jeio fhs phfjohdjhs  gb ieubrgh i su oûdbrh gb têrdjohs. Fhs  phfjohdjhs qub tjbobo uo shfh têrdjoh sb ffidio dhohdjhs , fhs qub tjbobs ghs têrdjohs, njohdjhs 3 y fhs qub tjbobo trb trbss têrd têrdjohs, johs, trjohdjhs, bte. Isä, 7 x5 bs uo 5 > 5 > dhohdjh, 7 x ∞ 2 x  bs uo njohdjh y 7 x ∞ 2 x  + 9, bs uo trjohdjh. Roi virjinfb gb uoi bxprbsjõo ifmbnrijei rbprbsboti rbprbsboti euifqujbr o oûdbrh ûdbrh gb uo ehokuoth gb oûdbrhs rbifbs. Bo ehosbeuboeji, eho fis bxprbsjhobs ifmbnrijeis  phgbdhs ffbvir i einh fis hpbriejhobs qub rbifjzidhs eho fhs oûdbrhs rbifbs. Iûo dés, mhzio gb fis djsdis prhpjbgigbs bstinfbejgis bo fis sbeejhobs iotbrjhrbs piri fhs oûdbrhs rbifbs, rbifbs, ehdh fis fbybs ehoduti ehodutitjvis, tjvis, ishejitjvis, gjstrjn gjstrjnutjvis, utjvis, bte. IGJEJHO Z URUW^IEEJHO

Bo bsboeji, fi igjejõo y sustrieejõo gb bxprbsjhobs ifmbnrijeis, sb rbgueb i sudir h rbstir têrdjohs sbdbkiotbs. Qiri sudir h rbstir têrdjohs  sbdbkiotbs sb ipfjei fi prhpjbgig gjstrjnutjvi, fbyêoghfi gb gbrbeli i jzqujbrgi; in ¹ in  ¹ ie ie 4  4 i(n ¹ e)  õ njbo, ehodutiogh, ni ni ¹  ¹ ei ei 4  4 (n ¹ e)i 

Gb ieubrgh i bsti prhpjbgig, piri sudir h rbstir têrdjohs sbdbkiotbs, sõfh tbobdhs qub sudir h rbstir fhs ehb`jejbotbs. Isä;

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

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>

>

>

5 x  z  +  +

>

>

5 x  z  ∞  5 5 > 9 > > >  x +  x  ∞   x  y   ∞  y   = > 5

 + 7 z > ∞> x7 + = xz  +

y

9

9 > > >  x5  +  y  +  y > 0 < 2

y

Uhfuejõo 5

7

7

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>

5

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7

5

>

 + = xz ) + (∞ x ) + (0 x ) + (∞ > xz  +

Htri diobri. Ub ehfheio fhs sudiogh bo `jfis ehfheiogh fhs têrdjohs sbdbkiotbs bo fi djsdi ehfudoi. Fubmh sb sudi fhs têrdjohs sbdbkiotbs gb eigi ehfudoi.

2 x7  + 0 x5 ∞  > xz   ∞  7 > ∞> x   + = xz   + 7 z  7 

5 x >

n.

5 9 0

5

 

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 

2 5 5  x  + 0 =

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9

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> 9 <

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+ 0 x  +  2 xz   ∞  7 z 

 y>

x> y >

>



2

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5 > > 5  x y   ∞   y > < 2 >

>

>

BKBDQFH >. ^bstir 5 x  ∞   xy  xy  ∞ > y   2

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9 >

gb 9> x   ∞ > xy  xy  ∞  y 5

Uhfuejõo

9>  

>

9 > 9 > > > >  > xy  y >   ∞   5 x >  xy  > y >  4 9> x>  ∞ > xy  xy  ∞  y  ∞ 5 x  +  xy +  xy + > y 5 2 5  2   >

>

 

4 (9> x  ∞ 5 x  ) +   >  y 

> 2

 

xy   +

  9 y >  > y >   4 : x> ∞  <  y  + 2  y>  5  5 2  

Htri diobri. Ub ehfheio bo `jfissbdbkiotbs bf djoubogh bf sustribogh fhssbsjmohs eidnjighs, ehfheiogh fhs têrdjohs bo fi ydjsdi ehfudoi. eho Fubmh sudi fhs têrdjohs sbdbkiotbs gb eigi ehfudoi.

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

>:

9 >

>

9> x   ∞  > xy  xy   ∞   y 5

>

>

∞5 x   +  xy  xy   + > y

>

2

< 2 > > : x  ∞   xy  +  y 2

5

DRFWJQFJEIEJHO

Qiri duftjpfjeir bxprbsjhobs ifmbnrijeis sb lieb ush rbjtbrigh gb fi fby gjstrjnutjvi. Isä, phr bkbdpfh, tbobdhs; (i + n)(e )(e + g ) 4 i 4 i((e + g ) + n(e + g ) 4 ie ie +  + ig   + + ne ne +  + ng   BKBDQFH 5. Duftjpfjeiejõo gb phfjohdjhs.  7

>

5

>

Liffir bf prhgueth (5 x  ∞ 2 x  + =) (7x  + x  ∞ 0) Uhfuejõo 7 > 5 > (5 x  ∞ 2 x + =) (7 x + x  ∞ 0) 5

7

>

5

>

>

4 5 x (7 x  + x  ∞ 0) ∞ 2 x (7 x  + x  ∞ 0) + =(7 x5 + x> ∞ 0) =

0

>

5

>

7

2

7

4 (9> x  + 5 x  ∞ 91 x   ∞ 2 x  + 51 x ) + (>) =

0

2

=

0

2

7

5

7

>

>

4 9> x  + 5 x  ∞>1 x  + (∞9 7

5

>

4 9> x  + 5 x  ∞>1 x  ∞>5 x  + > Htri diobri. Ub ehfheio bo `jfis fhs ghs `iethrbs, hrgboiogh sus têrdjohs gb ieubrgh i su mrigh (erbejbotb h gberbejbotb). Ub duftjpfjei eigi têrdjoh gb fi sbmuogi `jfi phr fi bxprbsjõo gb fi prjdbri `jfi. Fhs rbsuftighs sb ehfheio bo `jfis  phojbogh eigi têrdjoh gbnikh gb sus têrdjohs sbdbkiotbs. Fubmh sb sudi fhs têrdjohs sbdbkiotbs gb eigi ehfudoi. 7

>

5 x  ∞ 2 x  + = > 5 7 x + x   ∞ 0 =

2

9> x

0

∞ >1 x

+ 5 x

5

0

7

>

∞2 x

2

5

+ >

7

5

Duftjpfjeiogh 7 x  phr (9) > Duftjpfjeiogh x  phr (9) Duftjpfjeiogh x Duftjpfjeiogh ∞  0 phr (9)

>

9> x   + 5 x  ∞ >1 x  ∞>5 x  + >

 BKBDQFH 7. Duftjpfjeiejõo gb bxprbsjhobs ifmbnrijeis. 

Liffir bf prhgueth Uhfuejõo





 x  2 > x  5



x 9

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

51



   > x  5

 x  2



 x  5x 

4 > 4>

 



 x > x  5

x  9  4 x

  +   91 x  92

 x + (∞5 x  x +  + 91 x  x)) +





x 2

 x  92



x  9  + 2 > x  5



x 9

 

x  ∞ 2 4 > x

x  + = x  x   ∞  90

 x  ∞ 2

GJPJUJHO Bo bsti pirtb sõfh ohs heupirbdh heupirbdhss gb fi gjvjsjõo gb phfjohdjhs. GJPJUJHO GB RO QHFJOHDJH BOW^B RO DHOHDJH.

Qiri gjvjgjr uo phfjohdjh botrb uo dhohdjh ohs nisidhs bo fi sjmujbotb  prhpjbgig gb fis `rieejhobs; `rieejhobs; i  e i e 4 + n n n Pjbogh i uoi `rieejõo

i

  ehdh uoi gjvjsj gjvjsjõo õo gb i  botrb n, bf oudbrighr i bs

n gjvjgbogh y n bs bf gjvjshr. Bf rbsuftigh gb fi gjvjsjõo bs bf ehejbotb. BKBDQFH 2.

Liffir   i.

50

2

 >1 x 7  < x5 7 x

n.

>

>7ix >

 >i > x  i 5 x 5 x

Uhfuejõo i.

n.

50 x2  >1 x 7 7 >7ix >

>

 < x5

 4

 >i > x  i 5 x 5 x

50 x2 7 x > 4

 +

>7ix > 5

>1 x 7 7 x > +

+

i > x 5 x

7 x >  +

5

>

 4 : x  + 2 x  ∞ > x

i5 x

5 x

4 >

i5

5

5

i  +

GJPJUJHO GB QHFJOHDJHU. If gjvjgjr >5 botrb botrb = boehotri boehotridhs dhs qub bf ehejbotb bs 5 y bf rbsjguh bs >, y sb eudpfb qub; >5 4 =5 + >, sjbog sjbogh h > 6= Bo mbobrif, sj p sj  p y  y g   sho sho ghs oûdbrhs phsjtjvhs, bxjstbo ghs ûojehs oûdbrhs, q y r   tifbs qub;  p  p 4  4 gq gq +  + r , ghogb r 4 1 õ r  6  6 g   Bsth bs, bo pifinris, bf gjvjgbogh bs jmuif if prhgueth gbf gjvjshr phr bf ehejbotb dés bf rbsjguh. Bf rbsjguh bs 1 h dbohr qub bf gjvjshr. Qiri fhs phfjohdjhs sb tjbob uo rbsuftigh ioéfhmh, ehohejgh eho bf ohdnrb gb ifmhrjtdh gb fi gjvjsjõo, qub gjeb isä;

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

59

IFMH^JWDH GB FI GJPJUJHO

Uj  p(  p( x   x )  y g ( x   x )  sho ghs phfjohdjhs, sjbogh g ( x   x )  gjstjoth gbf phfjohdjh oufh, bothoebs bxjstbo ghs ûojehs phfjohdjhs q( x   x )  y r ( x   x )  tifbs qub  p  p(( x   x ) 4 g ( x   x )q( x   x ) + r ( x   x ), ),

(9)

 x ) bs bf phfjohdjh oufh h gb mrigh dbohr qub bf gb g ( x   x )  ghogb r ( x  Fi jmuifgig (9) iotbrjhr tid tidnjêo njêo sb pubg pubgbb bserjnjr isä;  p  x  r  x  4 q(  x) x) + g  x g  x

Bf phfjohdjh  p( p( x ) bs bf gjvjgbogh, g (x) (x) bs bf gjvjshr, q( x   x ) bs bf ehejbotb y r ( x   x ) bs bf rbsjguh h rbsth. Euiogh r (  x) x) 4 1 tbobdhs qub;   p  x   4 q( x   x ) õ njbo  p  p(( x   x ) 4 q 4 q(( x   x )g ( x   x ) g  x  Bo bstb eish, gbejdhs qub fi gjvjsjõo bs bxieti y qub qub p  p((  x) x) bs gjvjsjnfb phr g (  x). x). Bf prhebsh gb gjvjgjr uo phfjohdjh (gjvjgbogh) botrb htrh gb dbohr mrigh (gjvjshr) fh sjotbtjzidhs bo fhs sjmujbotbs pishs; 9. Ub hrgboio  fhs têrdjohs gbf gjvjgbogh y gbf gjvjshr bo hrgbo gberbejbotb (h erbejbotb) gb sus mrighs. Uj bo bf gjvjgbogh oh bxjstb uo têrdjoh rbprbsbotb i uo mrigh jotbrdbgjh, phobr 1 bs bsi phsjejõo. >.

Ub gjvjgb bf prjdbr têrdjoh gbf gjvjgbogh botrb bf prjdbr têrdjoh gbf gjvjshr. Bf rbsuftigh bs bf prjdbr têrdjoh gb ehejbotb.

5.

Ub duftjpfjei bf prjdbr têrdjoh gbf ehejbotb phr bf gjvjshr y bf rbsuftigh sb rbsti gbf gjvjgbogh, hntbojbogh uo oubvh gjvjgbogh.

7.

Eho bf oubvh gjvjgbogh hntbojgh bo fi pirtb 5, sb rbpjtbo fhs pishs > y 5. Ub rbpjtb bf prhebsh listi hntbobr uo rbsth 1 h uo phfjohdjh gb mrigh dbohr  qub bf gjvjshr.

 BKBDQFH 0. Uhfuejõo

7

Gjvjgjr

5

>

>

5 x  ∞ 91 x   + : x  ∞ 2 botrb  x  ∞ 5 x  x +  + >

7

5

>

7

5

>

5

>

5 x  ∞ 91 x  + = x  + 1 x  x   ∞ 2

>

 x  ∞ 5 x  x +  + > >

∞5 x  + : x   ∞  0 x  

5 x  ∞ x  x  ∞ >

∞ x  x   +  x   + 1 x > 5  x   ∞  5 x   + > x >

∞ > x   + > x  x   ∞  2 > > x   ∞ 0 x  x   + 7  x   ∞  9 ∞ 7 x >

Bf ehejbotb bs q(  x) x) 4 5 x  ∞  x  x ∞  > y bf rbsjguh r (  x) x) 4 ∞7 x  x  ∞ 9.

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

5>

^BMFI GB ^R@@JOJ

Qiri gjvjgjr uo phfjohd phfjohdjh jh botrb bf njohdjh x  +  + e õ, uo tioth dés mbobrif, botrb bf  njohdjh ix   + e, bxjstb uo dêthgh dêthgh dé déss répjgh qub fi gjvjsjõo firm firmii iotbrjhr, qub bs ffidigh dêthgh sjotêtjeh h ^bmfi gb ^u``joj. Ehdh  bf gjvjshr  bs uo phfjohdjh gb mrigh 9, bf ehejbotb q(  x) x) bs uo phfjohdjh gb uo mrigh dbohr qub bf gjvjgbogh y bf rbsjguh bs uo phfjohdjh gb mrigh 1, h sbi, uoi eho ehostiotb. stiotb. EIUH J.  Gjvjsjõo botrb x botrb x + e 

Mré`jeidbotb, sb sjmub bf sjmujbotb bsqubdi; Ehb`jejbotbs gbf gjvjgbogh ∞ e  e  

Ehb`jejbotbs gbf ehejbotb

^bsjguh

I ehotjouiejõo bxpfjeidhs fhs pishs i sbmujr bo fi ipfjeiejõo gb bsti rbmfi. Fh liebdhs rbshfvjbogh uo eish pirtjeufir. Hnsbrvir qub ∞e bs fi riäz h shfuejõo gb fi beuiejõo  x  x +  + e 4 1. BKBDQFH =.

5

>

Gjvjgjr > x  ∞ 91 x  + >2 botrb x botrb x  ∞ 5

Uhfuejõo Qish 9.  Ub ehfheio fhs ehb`je ehb`jejbotbs jbotbs gbf gjvjgbogh gjvjgbogh,, hrgboighs gb ieubrgh if mrig mrigh h gb fi virjinfb. Uj `ifti uo têrdjoh, ehfheir uo 1. I fi jzqujbrgi y bo fi sbmuogi `jfi sb ehfhei ∞e, qub bs bf têrdjoh ehostiotb gbf gjvjsh gjvjshrr eho bf sjmh eidnjigh, Bo oubstrh bkbdpfh, ∞e  4 ∞(∞5) 4 5. Ub trizi uo sbmdbotb vbrtjeif piri sbpirir ∞e gb fhs ehb`jejbotbs. ehb`jejbotbs. Ub trizi uoi fäobi lhrjzhotif gbnikh gb ∞e  >

∞91

1

>2

5 Qish >.  Ub niki bf prjdb prjdbrr ehb`jejbotb gbf gbf gjvjgbogh i fi tbrebri `jfi. Bstb ehb`jejbotb bs bf prjdbr têrdjoh gbf ehejbotb. >

∞91

1

>2

5  

> Qish 5.  Ub duftjpfjei ∞e  phr bstb prjd prjdbr br têrdjoh nikigh y bf prhgueth sb ehfhei bo fi sbmuogi `jfi gbnikh gbf sbmuogh ehb`jejbotb gbf gjvjgbogh. Ub sudi ifmbnrijeidbotb ifmbnrijeid botb bsti ehfudoi y bf rbsuftigh sb phob gbnikh.

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

>

55

∞91

5

1

>2

0 >

∞7

Qish 7.  ^bpbtjdhs bf pish 5, duftjpfjeiogh ∞e  4 5 phr ∞7, qub bs bf oûdbrh hntbojgh if sudir fi sbmuogi ehfudoi. Bf prhgueth sb ehfhei gbnikh gbf tbrebr ehb`jejbotb gbf gjvjgbogh. Ub sudi ifmbnrijeidbotb bsti ehfudoi y bf rbsuftigh sb phob gbnikh. Ub rbpjtb bstb prhebsh listi imhtir fhs ehb`jejbotbs gbf gjvjgbogh.  >

∞91

1

>2

0

∞9>

∞50

∞7

∞9>

∞99

5 >

^bsjguh 

Qish 2.  Ehfheidhs gh ghss nirrjtis piri sbpirir bf ûftjdh ûftjdh rbsuftigh p piri iri jogjeir qub qub

bstb bs bf rbsjguh. Fhs oûdbrhs iotbrjhrbs if rbsjguh sho fhs ehb`jejbotbs gbf ehejbotb. >

Fubmh, bf ehejbotb bs q(  x) x) 4 > x  ∞ 7 x  x  ∞ 9  9> > y bbff rbsjguh, rbsjguh, r   4 4 ∞ 99

BKBDQFH

9

x>

 x   botrb :

 x 

> 5

Uhfuejõo

Wbobdhs qub e 4 >/5  y  ∞e 4 ∞>/5 5

∞

7 ∞>

∞

5

∞0

=/>

∞>/5

5

>

Ehejbotb bs q(x) 4 5 x  ∞0 x  +

= >

9/>  9 7 ∞=/5 

 x  x   ∞

7 5

∞7/5

B`betuir fi gjvjsjõo

Uhfuejõo

Wbobdhs qub e 4

5   y 

∞ e 4 ∞ 5

9/:   5x 7  < 5 x >   x  5

5

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

57

9

∞> 5   1 ∞ 5 

∞ 5  

 

:

 9

∞5 5   :

7

5

∞: 5 ∞ 5  >

 5

∞5 5

5

∞7 5

 

> x:

B`betuir fi gjvjsjõo

∞ 5

5 x + 5 y bf rbsjguh, r   4 4∞7 5

Ehejbotb bs q(  x) x) 4  x  ∞ 5 5 x  + : x   ∞

 BKBDQFH 91.

1 

< 5 

 5x 0  90 x5  :  x5  7

Uhfuejõo

Pbdhs qub bf gjvjshr oh bs uo njohdjh gb prjdbr mrigh, ehdh fh rbqujbrb fi 5 rbmfi gb ^u``joj. Ujo bdnirmh, bf eidnjh gb virjinfb  y  y 4  4 x  x  sifvi bsti gj`jeuftig, yi qub eho bstb eidnjh tbobdhs; > x

:

0

5

 5x  90 x  : 5   4 7

5

 

>  x5

>

 5  x5   90 x5  : 5

> 4

7

5

 5 y >  90 y  :  y  7

I bsti ûftjdi ûftjdi gjvjsjõo fb ipfjeidhs fi rbmfi gb ^u``joj; >

∞5

∞90

∞:

<

>1

90

2

7

=

7 > >

Bf ehejbotb bs q9(  y) y) 4 > y  + 2 y  y   + 7 y bf rbsjguh, r 4 = 5

Ilhri, rbmrbsiogh rbmrbsiogh i fi virjinfb jojejif x  4 y, sb tjbob `joifdbotb; 0

5

Ehejbotb bs q(  x) x) 4 > x  + 2 x  + 7 y bf rbsjguh, r  4  4 = EIUH JJ.  Gjvjsjõo botrb ix   + + e 

Gighs bf  p  p((  x) x) y g (  x) x) 4 ix ix +  + e, nuseidhs q( x  x)) y r  tifbs  tifbs qub;  p  p((  x) x) 4 (ix (ix +  + e  e))q(  x) x) + r  

(9) 

^bshfvbdhs bstb oubvh eish rbguejêoghfh if eish iotbrjhr. Qiri bsth, if ehejbotb fh bserjnjdhs ix ix +  + e isä;  e ix + ix  + e 4 i  x    i Fubmh, rbdpfiziogh bsti jmuifgig bo (9);

 

 p  p((  x) x) 4 i  x 

e

4  q  x  + r   4

i

 x  e  iq x  + r    i      

(>) 

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

52

Bstb jmuifgig (>) ohs gjeb qub sj gjvjgjdhs  p  p((  x) x) botrb bf oubvh e gjvjgbogh  x  , bf ehejbotb qub sb hntjbob bs iq iq((  x), x), qub bs bf ehejbotb i gb gjvjgjr  p  p((  x) x) botrb ix ix   + e, duftjpfjeigh phr i. Bf rbsjguh gb idnis gjvjsjhobs bs bf djsdh. Bo ehosbeuboeji, piri liffir bf ehejbotb  ehejbotb  q(  x) x) y bf rbsjguh r  gb   gb gjvjgjr  p(  p( x)  x) botrb ix ix +  + e, fh liebdhs bo ghs pishs; e Qish 9. Liffir, dbgjiotb ^u``joj, bf ehejbotb gb gjvjgjr  p  p((  x) x) botrb  x  . i Qish >.  Gjvjgjr botrb i  bf ehejbotb liffigh bo bf pish 9. Bf rbsjguh rbsjguh bs bf djsdh qub sb liffõ bo bf pish 9. Bstb pish phgbdhs dhstrirfh imrbmiogh uoi `jfi dés i fi tinfi gb ^u``joj, ghogb ipirbzeio fhs ehb`jejbotb gb fi `jfi iotbrjhr gjvjgjghs botrb i. BKBDQFH 99.

Ipfjeiogh fi rbmfi gb ^u``joj, liffir bf ehejbotb y bf rbsjguh gb gjvjgjr;  + 9 x  x  ∞ 5)  x + (> x7 ∞ 5 x5 ∞  + 0 x

Uhfuejõo

 

Bf gjvjgbogh bs g (  x) x) 4 > x  x  ∞ 5 4 >  x 

5



> Ipfjeidhs fi rbmfi gb ^u``joj piri gjvjgjr 7 5 >  x  ∞ 5/>)  x +  + 9 x  ∞ 5 x  ∞  

Bf figh jzqujbrgh gb fi tinfi gbnbdhs phobr   ∞     4 5 >

5 >

 (>)

. Hnsbrvir qub

phr bf gjvjshr; > x  x  ∞ 5 4 1  bs fi riäz h shfuejõo gb fi beuiejõo gbtbrdjoigi  phr > 5 >

 >

∞5

∞<

0 

9 

∞: :

>

1

∞<

∞0

9

1

∞7

∞5

7

5

>

 + 9 x ∞ 5)  bs Fubmh, ehejbotb gb gjvjgjr (> x  ∞ 5 x  ∞ . Ipfjeiogh fi rbmfi gb ^u``joj, liffir

 9 x 7  x5  9 x >  5x  9> > 7

     9 x  9    7

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

50

Uhfuejõo

9

9

 x  7  7 7 Ipfjeidhs fi rbmfi gb ^u``joj piri gjvjgjr  9 x 7  x5  9 x >  5x  9>     x   ( x  ∞ 7)  Bf gjvjgbogh bs g (  x) x) 4

 ∞ 9 4

> 7  Bf figh jzqujbrgh gb fi tinfi gbnbdhs phobr   ∞( ∞7 ) 4 7. 9/7  ∞9 7

9/7 



9 7

9 5

9/>

∞5 

9> 

9

1

> 

∞7

1

9/>

∞9

<

>

∞7

1

Bf ehejbotb bs q(  x) x) 4 x 4 x  + > x  x  ∞  7

y bf rbsjguh,

r  4  4 <

¸ UINJI RG. YRB . . .  .   QIHFH ^R@@JOJ oiejõ bf iùh 9=02 bo Pifbotioh, tjbrris  pipifbs bo iqubffi êphei y ilhri jtifjiois. Bstugjõ ditbdétjeis, dbgjejoi, `jfhsh`äi y fjtbrituri, bo fi Rojvbrsjgig gb Dhgboi, bo bf ohrtb gb Jtifji. Bo 9=:9 `ub ohdnrigh prh`bshr gb ditbdétjei bo bsti uojvbrsjgig. Bo 9,=:< rbouoejõ i bsti phsjejõo, väetjdi gb fis jotrjmis eiusigis phr fis mubrris oiphfbõojeis. Ub gbgjei i fi dbgjejoi y, bo su suss tjbdphs fjn fjnrbs, rbs, i fis ditbdétjeis.

 Qhr dés gb >21 iùhs, gbsgb 9271, iùh bo qub @brrirj boehotrõ fi `õrdufi, piri rbshfvbr fi beuiejõo gb euirth mrigh, fhs ditbdétjehs nuseinio, jo`ruetuhsidbotb, fi `õrdufi piri rbshfvbr, bo têrdjohs gb rigjeifbs, fi beuiejõo gb qujoth mrigh. Bo 9=::, ^u``joj punfjeõ uo fjnrh bo bf qub prbsboti uoi prubni qub tif `õrdufi oh bxjstb. Bf duogh ditbdétjeh ditbdétjeh oh bstini prb prbpirigh pirigh piri bstb jobspbrigh rbsuftigh,  phr fh qub fh jmohrõ. Bf erêgjth gb bstb rbsuftigh `ub gigh i Ojbfs Lborjc Inbf bo 97, >2 iùhs gbspuês gb fi punfjeiejõo gbf fjnrh.  Bo 9.

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

5=

Q^HNFBDIU Q^HQRBUWHU 1.2  Bo fhs prhnfbdis gbf 9 if 9= 9 = b`betuir fis hpbriejhobs hpbrie jhobs jogjeigis y sjdpfj`jeir. 5 > 5 > 9. (2 x  ∞  x   x ∞ 9) + (∞= x  + 5 x  ∞ 99 x  x +  + :) 9 2 > 9 5  9 >.   x >  x  9  +   x5  x >  x   < 0 = > 7  2  x  7 xy  2 y  + :  x  > xy  = y 5.

 

 

>



>

>

>

(5 x  ∞  i >n  5 in >  9 n5   ∞   i5  9 i >n  9 in >  9 n5  5    7 >  0 7 >    5  9 9 > > 0. (5 x  ∞ 9)(5 x +  x + : ) =.  i >    i >     7  2 > 5

2.

o

d

d

o

 x   + i ) ( x  x  ∞ i )

 



 +

>/5

9/5

 ∞ 9)

 + > x

>

95. ( x  x +  + >)(  x  x ∞ >)(  xx  ∞ > x  x   + 5)

>/5

)(9 ∞  xx )(∞ x  + 9) 

S >5 x     ∞  9> x

  ∞ 5)(  xx

99. (  xx> ∞ 9)(5 x  x +  + >) + 7 x  x((  x  x ∞ >)

9>. (  x  x ∞ 2)(7 x   x ∞ 5) ∞ (= x  x  ∞ 5)(  x + x + 0) >/5

>/5

5 xy 7  9> x > y >

92. 

T

> 5 o  9  x    92 2

 0 x5 y 5

5 xy 5

o>

 9   >  x >  5x   2  x  9 

 Bo fhs prhnfbdis prhnfb dis gbf 9< if > >9 9 b`betuir fi gjvjsjõo jogjei jogjeigi. gi. Jogjeir bf ehejbotb eh ejbotb q(x) y bf rbsjguh r(x). 2

>

>

9 x  ∞ 2 x)  x)  ( x  ∞ > x  x +  + 2) >

>

5

7

 + >)  + =)  (  xx  ∞ > x  + x  ∞ 5 x  x  + x  x +  x + 9:. (> x  ∞ x 7

5

5

7

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>

 xy +  + y  y >1. (∞ x + 5 x  y ∞ 2 xy  + 5 y )   ( x  ∞> xy

S 95 x

T S

)

T

9 > > > >  x y  ∞  y >     x  ∞  xy 2 92 2  Bo fhs prhnfbdis gbf >> if 5 51 1 b`betuirfi gjvjsjõo jogjeigi ipfjeiogh fi rb rbmfi mfi gb ^u``joj. Jogjeir bf ehejbotb q(x) y bf rbsjguh r. r. >9.

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>>. (2 x  ∞  > x  + ) >7.  x 7

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 x5  9: x >  7 x  5     x  5  7   >

5

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>5. (7 x  ∞  ) <

0

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>2. (7 x  ∞  : x   ∞ 7 x  ∞ 2)  ( x  ∞ >)

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

5<

>0.

(> x92 ∞  91 x2  ∞ 92)  ( x2 ∞ 5)

>=.  x  ∞ > x + 5 x  x  ∞  < >     x  ∞

> x + 9) (∞ x5 + 5 x> + > x x +

>:.

51.

y + >)(5 y + >) (0 y2 ∞ 2 y7 ∞ 5 y5  ∞ 7 y>  ∞  y +

(

2

5

) (

>

>

)

>  + y  y  + 91 y  y  ∞ >)(5 y + 9)  (0 y7 ∞ 7 y5 +

UBEEJHO 1.0

Q^HGREWHU Q^HGR EWHU OHW OHWINFB INFBU U Z @IEWH^J IEWH^J[IEJH [IEJHO O Ifmuohs prhgueths ipirbebo eho dueli `rbeuboeji bo fhs eéfeufhs ifmbnrijehs, rizõo phr fi euif sb fhs ffidi prhgueths ohtinfbs. Bf fbethr gbnb dbdhrjzirfhs. Fi vbriejgig gb bsths prhgueths sb ehdprubni `éejfdbotb, b`betuiogh fis duftjpfjeiejhobs duftjpfjeiejho bs jogjeigis.

Q^HGREWHU OHWINFBU N) 4 I 9. ( I +  N)( I ∞  N

>

 ∞  N N

>

Qrhgueth gb fi Uudi phr fi Gj`brboeji

>

>

>

>

>

>

5

5

>

>

5

5

5

>

>

5

>. ( I +  N)  4 I  + >IN + N 5. ( I ∞  N)  4 I

Euigrigh gb uoi Uudi

 ∞ > IN + N

Euigrigh gb uoi Gj`brboeji

7. ( I +  N)  4 I  + 5 I  N + 5 IN 2. ( I ∞  N)  4 I

 +  N  

Eunh gb uoi Uudi

 N    ∞ 5 I  N + 5 IN  ∞  N

Eunh gb uoi Gj`brboeji

 BKBDQFH 9. Ipfjeiogh fhs prhgueths ohtinfbs, liffir;  >

i.

   > x

5



2

 >x

5

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n.

 

e.

7 x>  5 y

Uhfuejõo 5

i. Ipfjeiogh fi `õrdufi 9 eho I eho I 4  4 > x   y  N  N 4  4



>

5



2



>

   

> x5 

2 4 > x5  

∞ 

2



>

>

eho I 4  4 7i   y  N  N 4  4 n. Ipfjeiogh fi `õrdufi 5 eho I

 7i>  5    n 

>

 5 > 5 > > 7 i 7 i   ∞    +      n   n  >

4

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>

7

4 90 90i i  ∞

>7i >7 i> n

:

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n>

>

e. Ipfjeiogh fi eho I 4  4 >7 x   y  N  N 4  4 5 y 5 `õrdufi52 eho I > > 7  5 y 4 7 >  ∞  5 7 x    5 y   + 5 7 >



  

 

  5 y >  ∞  5 y 

5

5



 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs



4 07 x0 ∞  5 90 x

7

5:

 5 y   + 5 7  : y   ∞ >= y >

7

>

> >

5 

5

4 07 x0 ∞ 977 x  y  y   + 91= y

@IEWH^J[IEJHO Uj uoi bxprbsjõo bxprbsjõo ifmbnrijei bs bserjti ehd ehdh h uo prhgueth gb htris bxprbsjhobs bxprbsjhobs ifmbnrijeis, bothoebs eigi uoi gb bstis bxprbsjhobs bs uo `iethr. Ub ffidi `iethrjziejõo  if prhebsh gb ehovbrtjr ehovbrtjr uoi bx bxprbsjõo prbsjõo ifmbnr ifmbnrijei ijei bo prhgueth gb sus `iethrbs. @IEWH^J[IEJHO QH^ @IEWH^ EHDRO

Bf eish dés sjdpfb y ehdûo gb `iethrjziejõo bs sieir bf `iethr ehdûo i ghs h dés bxprbsjhobs bxprbsjhobs ifmbnrijeis. Bsti têeoje têeojeii sb nisb bf fi prhpjbgig gjstrjnutjvi, djréoghfi gb jzqujbrgi i gbrbeli;  IN ¹ IE   4 4 I( N ¹ E )  BKBDQFH 9. @iethrjzir; n. 91 91i i2  ∞ 92  92i i7 + >1i >1i>

i. 9> x5 yz  +  + 9 y> Uhfuejõo

i. Ehb`jejbotbs 9> y 9< tjbobo ehdh `i `iethrbs ethrbs i > >,, 5 y 0. Whdid Whdidhs hs bf d diyhr, iyhr, 0.  

Bo fi pirtb fjtbrif, ipirbebo bo ghs fhs têrdjohs fis virjinfbs  x  x   b  y  y.. Whdidhs > bsti ghs virjinfbs eho bf dbohr bxphobotb; bxphobotb; x  x  y  y  y.. >

Bf `iethr ehdûo bs 0 x  y  y.. Fubmh, 5

> >

>

>

>

9> x  yz  +  + 9 )(> xz ) + (0 x  y  y)(5 )(5 y  y)) 4 0 x  y(> xz  +  + 5 y) >

n. Bf `iethr ehdûo ehdûo gb fhs trb trbss têrdjohs bs 2 2i i . Fubmh, 2

7

>

>

5

∞

>

>

>

∞

91i 91 i    92  92i i  + >1i >1i  4 (2i (2i )(> )(>i i )  (2  (2i i )(5 )(5i i ) + (2 (2i i )(7) 5 > >  5i i  + 7) 4 2i 2i (>i  ∞ 5  BKBDQFH >. @iethr ehdûo phr imrupiejõo gb têrdjohs.  5 > @iethrjzir 5 x  ∞ > xy  xy   ∞  0 x  + 7 y Uhfuejõo

Pbdhs qub fhs euitrh têrdjohs oh tjbob uo `iethr ehdûo gjstjoth gb 9. Qbrh, sj fhs imrupidhs bo pirbkis gb ghs têrdjohs qub tjbobo `iethrbs ehduobs, tbobdhs; 5

>

5

>

>

>

5 x  ∞ > xy  xy   ∞  0 x  + 7 y  y 4  4 (5 x  ∞  0 x ) + (∞> xy   + 7 y ) >

>

 x  ∞ >)  x  ∞ >) ∞> y ( x 4 5 x ( x >

>

4 (5 x  ∞ > y  )( x ∞ >)

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

71

>

@IEWH^J[IEJHO GBF W^JOHDJH  x   + nx  +  + e

Ub triti gb liffir ghs oûdbrhs r   y s y s tifbs qub >

nx +  + e 4 ( x  x +  + r   r )( )(  x + x + s  s))  x  + nx >

+  s))  x + x + rs rs.. Bo ehosbeuboeji, fhs oûdbrhs r y s  s qub  qub Qbrh, ( x +  x + r )( )( x +  x + s  s)) 4 x 4  x   + (r   + s  nuseidhs gbnbo gbnbo eudpfjr qub rs 4 e  y 

r   + + s 4 n 

>

 x  ∞ < BKBDQFH 5. @iethrjzir  x  ∞ > x Uhfuejõo

Wbobdhs qub e 4 ∞ <

y

n 4 ∞ >. Nuseidhs ghs oûdbrhs r y s tifbs qub

rs rs 4  4 ∞ <

y

r   + s + s 4  4 ∞ >

Qrbsbotidhss fhs `iethrbs gb ∞ < eho su rbspbetjvi sudi ifmbnrijei; Qrbsbotidh  4 ∞9 r  4

 s 4 <

r   + s + s 4  4 =

r49 r  4  4 ∞>

 s  s 4  4 ∞<  s  s 4  4 7

r   + s + s 4  4 ∞= r   + s + s 4  4 >

r  4  4 >

 s  s 4  4 ∞7

r + s  s 4  4 ∞>

Pbdhs qub fhs oûdbrhs qub sitjs`iebo bf rbqubrjdjboth sho r  4 > y  s  s 4  4 ∞7. Bo ehosbeuboeji ehosbeuboeji,,

>

 x  ∞ < 4 ( x + >)( x  x  ∞7)  x  ∞ > x >

 BKBDQFH 7. @iethrjzir  x  ∞ = x  x +  + 9> Uhfuejõo

Nuseidhs ghs oûdbrhs, r   y s y s,, euyh prhgueth sbi 9> y qub sudighs gbo ∞= Fhs `iethrbs gb 9> sho; (9)(9>),

(∞9)( ∞9>),

(>)(0),

(∞>)(∞0), (5)(7) y

(∞5)( ∞7)

Gb bstis pirbkis, fi qub sudi ∞= bs fi ûftjdi. Bsth bs, r 4 ∞5 y  s  s 4  4 ∞7 Bo ehosbeuboeji,

>

 x +  + 9> 4 ( x  x  ∞ 5)( x ∞ 7)  x  ∞ = x >

@IEWH^J[IEJHO GBF W^JOHDJH ix   + nx  +  + e >

>

nx   + e. nx   + e  fh rbguejdhs  if eish  x   + nx Fi `iethrjziejõo gbf trjohdjh ix   + nx Qiri bsth, bo prjdbr fumir, duftjpfjeidh duftjpfjeidhss y gjvjgjdhs if phfjohdjh phr bf ehb`jejbotb i y fubmh liebdhs bf eidnjh gb virjinfb y virjinfb y 4 ix ix;;

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs



i i ixx >

 nx  e 

79

>   ix   n  ix   ie

  4

i i Bstb ûftjdh trjohdjh bs gbf tjph qub yi tritidhs.

4

 y

>

 ny  ie i

>

BKBDQFH 2. @iethrjzir 2 x  ∞ = x ∞ 0 Uhfuejõo

Duftjpfjeidhss bf trjohdjh phr bf ehb`jejbotb 2. Duftjpfjeidh



2 2 x >

 = x  0 2

 4

4

>  2 x   =  2 x   51

2

 2 x  91   2x  5

4

2

 2 x  91  2 x  >  4 ( x  x +  + >)   x  ∞ >)(2 x  2    >

>

 2ix ix  ∞ >  >i i BKBDQFH 0. @iethrjzir 9> x  ∞ 2 Uhfuejõo

Duftjpfjeidhss bf trjohdjh phr bf ehb`jejbotb 9>; Duftjpfjeidh



9> 9>

>

 2ix  >i >  9>

> 9>   2i 9>x   >7i  > 9> x  x  5i 

 4

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75

9>

 9>  x  5i   4 (5 x ∞ >  >i i)(7 x  x +  + i  i))   7   5     

I ehotjouiejõo prbsbotidhs fis `õrdufis dés usuifbs gb `iethrjziejõo. @H^DRFIU GB @IEWH^J[IEJHO 9.  I> ∞ N> 4 ( I + N)( I ∞ N) >

>

>

>

>.  I  + > IN + N  4 ( I + N) 5.  I

>

 ∞ > IN + N  4 ( I ∞ N)

5

5

Gj`brboeji gb euigrighs Euigrigh pbr`beth

>

Euigrigh pbr`beth >

>

 ∞ N  N  4 ( I ∞ N)( I  +  IN + N )  5 5 > > 2.  I  + N  4 ( I + N)( I  ∞ IN  IN + N )   0. Gj`brboeji gb o∞sjdis phtboejis 7.  I

o

 I

o

o∞9

 ∞   N N  4 ( I ∞ N)( I

 + I

o∞>

Gj`brboeji gb eunhs Uudi gb eunhs o∞5 >

 N + I

 N  + .

o∞>

. . + IN

o∞9

 +  N

 )

Fis `õrdufis >, 5 y 7 sho fhs prhgueths ohtinfbs 9 9,, > y 5 bserjths gb jzqujbrgi jzqujbrgi i gbrbeli. Fi `õrdufis 7, 2 y 0 sb prubnio b`betuiogh fi duftjpfjeiejõo jogjeigi i fi gbrbeli gb fis `õrdufis. `õrdufis. Ehd Ehdh h dubstri, prhnidhs fi `õrdufi 0 bo bf p prhnfbdi rhnfbdi rbsubfth 5.

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

7>

BKBDQFH =. Gj`brboeji gb eu euigrighs igrighs y gj`br gj`brboeji boeji gb eu eunhs. nhs. >

7

@iethrjzir; i.  x  ∞ 50

>

n. 90 x  ∞  > >  x  ∞ 50 4 x 4 x  ∞ 0  4 (  x + x + 0)(  xx ∞ 0)    n. Gb ieubrgh i fi `õrdufi 9. > > > > 7 > > 90 x  ∞ 

>

>

= 4 (> x)  x)  ∞ 5  4 (> x  x  ∞ 5)((> x  x))  + (> x  x)(5) )(5) + 5  ) 4 (7 x  x  ∞ 5)(7 x  + 0 x + :)  BKBDQFH

7

>

i. 71 x  + >2 x  + 90

 xy +  + n. : x  ∞ 5 xy

 y > 7

Uhfuejõo

Qiri ipfjeir fis `õrdufis > h 5, iotbs gbnbdhs vbrj`jeir qub bf trjohdjh gigh bs uo euigrigh pbr`beth. pbr`beth. Qiri bsth, bo prjdbr fumir sb hrgboi bf trjohdjh trjohdjh gb ieubrgh if mrigh gb fi virjinfb (h gb uoi gb fis virjinfbs sj liy dés gb uoi). Ilhri; 9. Ub vbrj`jei qub bf prjdbr prjdbr y bf tbrebr têrdjoh têrdjohss tjbobo riäz euigrigi. euigrigi. >. Ub vbrj`jei qub bf sbmuogh têrdjoh bs jmuif ¹ if ghnfb gbf prhgueth gb fis riäebs euigrigis. >

7

7

i. Hrgboidhs 71 x  + >2 x  + 90;

>

>2 x  + 71 x  + 90

7

>

^iäz euigrigi gb >2 x   . . . . . . . 2 x ^iäz euigrigi gb 90  . . . . . . . . 7

Ghnfb prhgueth prhgueth g gbb fis riäebs; >(2 x>)(7) 4 71 x> 4 sbmuogh têrdjoh 7

>

 xy   + n. : x  ∞ 5 xy

>

>

>2 x  + 71 x  + 90 4 (2 x  + 7)

Bo ehosbeuboeji,

>

 y >

 yi bsté hrgboigh gb ieubrgh i fi virjinfb virjinfb x  x.. 7 > ^iäz euigrigi gb : x   . . . . . . . 5 x

^iäz euigrigi gb

 y >

 . . . . . . .

 y

7 > Ghnfb prhgueth gb fis riäebs, eho sjomh obmitjvh; ∞>(5 x)( y  y/> />) 4 ∞5 xy  xy 4  4 sbmuogh têrdjoh.

Bo ehosbeuboeji,

>

 y   : x  ∞ 5 xy  xy +  + 7  4  5 x  >  >

>

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

BKBDQFH :.

75

Gj`brboeji gb o∞êsjdis phtboejis. @iethrjzir; 2

2

 07i i > x  ∞ 07 Uhfuejõo

Gb ieubrgh i fi `õrdufi 0; 2

2

2

2

7

5

>

>

5

7

>( x  x  ∞ 5>  5>i i ) 4 >( x  ∞ (>  (>i i) ) 4 >( x  x  ∞ >  >i i)( x  +  + x  x (> (>i i) + x (> (>i i)  +  + x  x(> (>i i)  + (> (>i i) 7

5

> >

)

>

4 >( x ∞ >  >i i)( x  + >ix >ix + 7i 7i  x  +  

∞

(i + n) (i   n)  

Uhfuejõo

 >i i n  + n (i + n)  (i ∞ n)  4 (i + n) (i ∞ n  n))T  4 i   ∞ n T  4 i  ∞ > >

>

>

>

> >

7

> >

7

 Q^HNFBDI >. @iethrjzir; >

>

>

   y  ∞ : i.  x ∞  yy  ∞ 0 y

>

   x  ∞ > y n.  x ∞  yy  + > x

Uhfuejõo >

>

>

>

>

>

 y +  + 5)  4 ( x  x +  + y  y +  + 5) (  x  x ∞  y  y ∞ 5)  y  + :) 4 x  ∞ ( y  y  ∞ 0 y   y ∞ : 4 x  ∞ (  yy  + 0 y i.  x  ∞ y n.  x> ∞  yy> + > x   x ∞ > y  y   4 (  xx ∞  yy>) + (> x  x  ∞ > y  y)) 4 ( x ∞  y)( y)(  xx + y  y)) + >( x  x  ∞  y) y) >

 

4 (  xx ∞  y) y)(  x + x + y  y)) + >T 4 (  xx ∞  y)( y)(  x + x + y  y +  + >)

 Q^HNFBDI 5. @iethrjziejõo gb fi gj`brboeji gb o∞sjdis phtboejis

Qrhnir qub o

o

o∞9

 I  ∞   N N  4 ( I ∞ N)( I

o∞>

+ I

o∞5 >

 N +  N + I  I

 N  + .

Uhfuejõo 

B`betuiogh fi duftjpfjeiejõo gb fi gbrbeli tbobdhs;

o∞>

. . + IN

o∞9

 +  N

)

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

77 o∞9

 I

o∞>

  +  I

o∞>

o∞5 >

 N +  I

  +  . . .

 N

o ∞9

 +

+  IN

 N

  I  I ∞ N   N  o

o∞9

 I   +  I

o∞9

∞

 I  I

o

 I   +

 N

  +  . . .

+  I  N

∞

∞

o∞> >

∞

 N 1

> o∞>

o∞> >

 N +  I   I I

 N  

+

1 +

 .

. .

. . .

 +  INo ∞9

> o∞>

  I  N

 

1

+

+

o∞9 

∞

o

∞

  IN

  N o

1

∞  N

Q^HNFBDIU Q^HQRBUWHU 1.0  Bo fhs prhnfbdis gbf 9 if 90, b`betuir fhs prhgueths jogjeighs, usiogh fis  `õrdufis gb prhgueths ohtinfbs.

 x + 9. (> x +

2

)

>. ( >  x +  y

(5 x> + 7 y5)(5 x> ∞ 7 y5) 

5. 2.

 x ∞ )(> x 

2

 

 x  9 y





x 9 y  

>

97.

 

 x 

5

  





l  9 9

l 9 9

0. (i+n+e)(i+n∞e) =.  (7 x + 2) >

9

5

:. ( x ∞  xx∞ ) > > 5 9>. (i  + n )

 x  x  ∞ 2 y) 5 99. (7 x +  x + y  y) 5

7.

)( >  x   ∞  y )

y

5



>

∞5 >

91. ( x  ∞  xx ) > 5 95. ( x  ∞  yy)

>

>

>

>

∞ 2) ( x  x +  + 2)   90. (> x  x  ∞  yy) (> x  x +  + y  y) (7 x  +  + y  y )

92. ( x

 Bo fhs prhnfbdis gbf 9= if 20, `iethrjzir fis bxprbsjhobs g gigis igis 5 > > > 5 5 5 7 5 9=. = x  ∞ 05 x 9 ∞ 7 x  y  z  5

>

>

9:.  x  ∞ > x  ∞ 7 x + < > >

 y +  + 9> xy  xy +  + 71. 7 y  + 90 y

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>9.  x  y  ∞ y  y  ∞ 7 x +  x + 7 >

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>2.  y  + >:

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>=.  x  ∞ > x  ∞ 0.  x  + 92 x   x ∞ >90 >

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>:. 5 x  + = x +  x + 7

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51. 2 y  + 91 y  y  ∞ =2

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5>. : x  ∞ 92 x  x  ∞ 21

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59. 2i  x  + 7ix 7ix  ∞ 9> >

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55. 7 x  y  + 99 xy  + 0 y   57. >2 x  ∞ 91 x  + 9

7

7

52. >2 x  ∞  50 y >

>

>7. x  ∞ 7 x  x  ∞ 2

>5. x  + > x ∞ 7<

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>>. >i  x  x  ∞ 2  2i i  y + 92ny 92ny  ∞ 0  0nx nx

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50. 05 x  ∞ = x >o

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71. (i ∞ n)  ∞ :

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7>. (  xx ∞ 9)> ∞ (  yy ∞ >)>  75.  xx> ∞  yy> ∞ 0 y  y  ∞ :

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77. :(i :(i ∞ n)  ∞ 7(  7(i i + n)

>   72.  i7 ∞ >  >i i  + 9

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70. 90 x ∞ >7 xy  xy +  + : y

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Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

7 

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7=. 711 x + 71 x  + 9 5

21.

7 x  x/5 /5 + 9

5

7:. 7 x />2 ∞  x/2 x/2 + 9/90

5

>

25.  x ∞ 9>2 x

5 5

29. >= >=i i  + 07n 07n5

2>. 2 x  y  + 2

27. ( x + y  y))5 ∞ 9

22. (  xx ∞  y) y)  ∞ <

5

5

5

20. (  xx + 9)  ∞ (  xx ∞ >)

UBEE UB EEJH JHO O 1. 1.= =

@^IEEJHO @^IE EJHOBU BU IFMBN^ IFMBN^IJEI IJEIU. U. ^IEJHOIF ^IEJHOIFJ[ J[IEJH IEJHO O Ffididhs `rieejõo ifmbnrijei  i uo ehejbotb (h rizõo) gb ghs bxprbsjhobs ifmbnrijeis. Bo pirtjeufir, uoi `rieejõo riejhoif bs uoi `rieejõo ifmbnrijei qub bs ehejbotb gb ghs phfjohdjhs. Isä, fis trbs sjmujbotbs bxprbsjhobs sho `rieejhobs ifmbnrijeis, ghogb sõfh fi prjdbr bs uoi `rieejõo riejhoif; 5

9. > x>

>

 5x  2  7 x  5

> x  5 5 x  9 5.  x  2  x  > Fis virjinfbs qub ipirbebo bo uoi `rieejõo ifmbnrijei rbprbsbotio oûdbrhs rbifbs. Bo ehosbeuboeji, fis `rieejhobs ifmbnrijeis sho mhnbroigis phr fis  prhpjbgigbs gb fis `rieejhobs `rieejhobs gb oûdb oûdbrhs rhs rbifbs, bstinfbejgis bstinfbejgis bo fi sbeejõo 1.>. >.

UJDQFJ@JEIEJHO GB @^IEEJHOBU Fi sjdpfj`jeiejõo gb `rieejhobs ifmbnrijeis sb nisi bo fi sjmujbotb prhpjbgig gb    I  E   I fis `rieejhobs; 4  N  E   N Qiri sjd pfj`jeir uoi `rieejõo ifmbnrijei sb `iethrjzio bf oudbrigh oudbrighrr y bf gbohdjoighrr y sb sjdpfj`jeio fhs `iethrbs ehduobs. gbohdjoigh 0 x >

 5xy i.  7 x >  y >

BKBDQFH 9. Ujdpfj`jeir;

n. 

Uhfuejõo i.

n.

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



> x5  27 7

>

 5> x  01

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

70

^IEJHOIFJ[IEJHO Iquä ohs jotbrbsidhs bo riejhoifjzir gbohdjoighrbs qub ehosjstbo bo uo  njohdjh qub ehotjbob ehotjbob riäebs euigrigis euigrigis h riäebs eûnjei eûnjeis. s. i   

Gbohdjoighrr gb fi @hrdi  Gbohdjoigh

n 

i n , i fi `rieejõo sb duftjpfjei y gjvjgb phr su Uj bf gbohdjoighr bs i     n .   ehokumigi, qub bs Bsti bstritbmji sb nisi bo fi jgbotjgig; >

>

(  I + I + N  N)( )(  I  I ∞  N) N) 4 I 4 I  ∞  N N

 BKBDQFH >. ^iejhoifjzir fhs gbohdjoighrbs gb; l 2   n.  i. l7  > 5 >   5 Uhfuejõo

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Gbohdjoighrr gb fi @hrdi  Gbohdjoigh

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i    5 n

Ehosjgbriogh fi jgbotjgig > > 5 5  I +  + N  N)( I  ∞  IN + IN + N  N ),  I  +  N  4 ( I

Uj bf gbohdjoighr bs

5

 i +

5

n , sb duftjpfjei y gjvjgb phr

5

 i >  ∞ 5 i Bo bstb eish gb tjbob qub;

 

( 5  i +

5

 n

)( 5  i >  ∞ 5

i

5

5

n+

n+

5

5

n>

n>

) 4 (5

i

5

Ioéfhmidbotb, Ioéfhmidb otb, ehosjgbriogh fi jgbotjgig  I  ∞  N N)( I> +  + IN  IN + N>)  I5 ∞  N5 4 ( I  

Uj bf gbohdjoighr bs

5

5

)  +  ( 5  n )  4 i + n

i  ∞ 5 n , sb duftjpfjei y gjvjgb phr

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

5

 i >  ∞ 5 i

5

7=

5

n+

n> .

Bo bstb eish gb tjbob qub;

( 5  i ∞ 5  n )( 5  i > + 5

i

5

n+

5

n>

) 4 (5

i

5

)  ∞ ( 5

n

5

)  4 i ∞ n

90

 BKBDQFH 5. ^iejhoifjzir bf gbohdjoighr gb 5

25 5

 Uhfuejõo 5 >    5 2>  5 2 5 5  5 5>    5 > 90   2  5 2 5 5  5   90         4 4 5 5 5 5 5 >   5 >   5 5 5 5 25 5  2 5   2  5   2  2  5  5      5 >    5 > 90   2  5 2 5 5  5      4 > 5 >2  5 92  5 : 4 2   5

90 

5

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 BKBDQFH 7. ^iejhoifjzir bf gbohdjoighr gb

0 5   5 5

Uhfuejõo

   5 5 5  5 5>     0 0 :  5 5 5  5 :      4 4 5 5   5 5 5 5 5 >     > 5 5  5 5   5    5   5  5  5  5        5     0  5>  5 5 5  5>    5 5 5 5 0 :  5 5  :    :  5 5  :      4 4  4 >=  5 7 >7 0  5>









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



IGJEJHO Z URUW^IEEJHO GB @^IEEJHOBU @^IEEJHOBU EHO BF DJUDH GBOHDJOIGH^. 

Qiri Uudir h rbstir `rieejhobs qub tjbobo bf djsdh gbohdjoighr, sjdpfbdbotb sb sudio h rbstio fhs oudbrighrbs y sb ehfhei bf djsdh gbohdjoighr. BKBDQFH 2. Liffir

2  x >

9

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Uhfuejõo

2  x >

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Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

7<

@^IEEJHOBU EHO GJUWJOWH GBOHDJOIGH^. 

Qiri Uudir h rbstir `rieejhobs qub tjbobo gjstjoth gbohdjoighr, sb trios`hrdio bstis `rieejhobs bo htris bqujvifbotbs qub tbomio ehdh gbohdjoighr bf däojdh ehdûo gbohdjoighr (D.E.G.). Qiri liffir bf däojdh ehdûo gbohdjoi gbohdjoighr ghr (D.E.G.), sb `iethrjzio ehdpfbtidbotb fhs gbohdjoighrbs. Bf D.E.G. bs jmuif if prhgueth gb fhs `iethrbs ehduobs y oh ehduobs thdighs eho bf diyhr bxphobotb. Bf prhebsh bs jmuif if qub usidhs euiogh sudidhs h rbstidhs oûdbrhs riejhoifbs. >

BKBDQFH 0. Liffir

 x  >

 +

5 x  x >

 = x  91

Uhfuejõo i. Wbobdhs qub  x   x ∞ > 4 x 4 x  ∞ > ,  x> ∞ = x  x +  + 91 4 (  x  x ∞ >)(  x  x ∞ 2)

Bf D.E.G bs (  x  x ∞ >)(  x  x ∞ 2). Fubmh, >  x  2  5 x >  x  >  +  x >

5 x

>

 91  5 x

 = x  91  4  x  >   x  2   +  x  >   x  2   4  x  >   x  2 2  x  >  2 x  91 2 4  4 4  x  >   x  2  x  >   x  2  x  2 > x >

 9>  x  >  x  5   ∞    ∞  >  x   x  5 5  x  :

 BKBDQFH =. Liffir Uhfuejõo 

 x> ∞ : 4 ( x  x ∞ 5)(  x  x + 5). Bf D.E.G. bs (  x  x ∞ 5)(  x + x + 5). Fubmh,

 x  >   x  5  x  5  x  5 > x >  9>  9>  x  >  x  5  x >  :   ∞   x  5  ∞   x  5 4  x  5  x  5  ∞   x  5  x  5  ∞   x  5  x  5

> x >

4

> > x

 9>  x >  2 x  0  x >  0 x  :  x  5 9  4 4  x  5  x  5  x  5  x  5  x  5

DRFWJQFJEIEJHO DRFWJQFJEIEJH O Z GJPJUJHO GB @^IEEJHOBU Fi duftjpfjeiejõo y gjvjsjõo gb `rieejhobs sb ffbvio i einh gb ieubrgh i fis sjmujbotbs prhpjbgigbs gb fis `rieejhobs;  I  N



BKBDQFH  x  >

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5 x  0

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 I  G  N  E 

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

7:

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 x >

5 x  0

>  x  9  x  >   x  5 4  0   5  x  >   x  9  x  9 4

 BKBDQFH :.  B`betuir

5 x  5  x >

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 7:

 x  5  x  5  5  5  x  9  4 :  x  9

 x >

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Uhfuejõo

 x  9  x  7    5  x  9  5x  7   >  4    > >  x x  =  =      x x  7:  97  7:  x  =   x >

5 x  5

 

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@^IEEJHOBU EHDQRBUWIU Roi `rieejõo ehdpubsti bs uoi `rieejõo ifmbnrijei bo fi euif bf oudbrighr, bf gbohdjoighr h idnhs i fi vbz sho `rieejhobs ifmbnrijeis. Qhgbdhs gbejr qub uoi `rieejõo ehdpubsti bs uoi `rieejõo gb `rieejhobs. Wbojbogh bo euboti qub uoi `rieejõo bs uo gjvjsjõo botrb bf oudbrighr y bf gbohdjoighr, piri sjdpfj`jeir uoi `rieejõo ehdpubsti sb prhebgb i gjvjgjr bf oudbrighr botrb bf gbohdjoigh gbohdjoighr. r.

BKBDQFH 91. Ujdpfj`jeir

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  y  x + y  y)) 4  x  x   y    x  y  4 (  x +  

   y   x  y      xy  

  xy    y  x   

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

21

Q^HNFBDIU ^BURBFWHU 1.=   x >  : x >  91 x  >9   x >  2x  0 Q^HNFBDI 9. Ujdpfj`jeir   > x  97  0 x  9<     7 x   Uhfuejõo

  x >  : x >  91 x  >9   x >  2 x  0  x>  : x >  91 x  >9   4          >  x 9 7 0 x 9 <   7  x >  x  9 7 0 x  9 <  

7 x >

 2 x  0

 x  x  5   x  5  x  5  x  =   x  5 7 x  4     >  x  =  0  x  5  x  5  x  >  5  x  > 

 

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Uhfuejõo

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 Q^HNFBDI 5. Ujdpfj`jeir  

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Uhfuejõo

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Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

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4

Q^HNFBDIU Q^HQRBUWHU 1.=   Bo fhs prhnfbdis gbf 9 if i f 9>, sjdpfj`jeir fis `rieejhob `rieejhobss gigis

9.

01i 5n >

 72i >n >

92i n >

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0.

 7 xy  7 y >  x5  < y 5 >

i> 9

5

< y  90 y   99.  y  > 0 y  >2 y 5  7 y 7

 x

>

>

9>. >  x  y  x  0 y  xy  0 x

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

2>

 Bo fhs prhnfbdis gbf 95 if >7, riejhoifjzir bf gb gbohdjoighr. ohdjoighr. >i > l 97. 92. 95.  i  9  i  9 9 > 5 l  5

5  >

90.

=

>

0 5

5

9:. 5

5

 x >

 x  >

i

 x  5  > 5  x  9

 55 x

> x  9

>7.

>  5  x

 5 5xy  5 : y >

x  95

=1 x  90

>9.

<  x

>5.

 x  2

9 5  x

5 x  : y

>>.

i

90 x  >

>1.

  5 >

=

 x 

9=.

x

 >

>

 Bo fhs prhnfbdis gbf >2 if >=, riejhoifjzir bf oud oudbrighr. brighr.

>2.

5   2

>0.

i>

i

i 9 l 

>=.

i 9

7 > l  Bo fhs prhnfbdis gbf >< if 7

+

>i

>:.

i 9

  ∞ 

>

 + 9

59. 

 x    :  x  5 9 > 9   ∞ 5>. +  x  9  x  9  x >   9 >

 x 57.  x >

 7 x : x >  7     > 50.  5 x  >  x  90 >

 x >

 x

>

 y  x >

 x >

 xy  > y >

 > xy  < y >

5=. 

 x5  <

i>

 i 9 i5  9  x >  > x  7  

 > xy >  90 y > i >  7n > i >  in  0n >     >   5:.  >    >  x  > y  7 xy i  én n  in >

> x >  x  9  x     > 71. >  x  0 x  < > x  : x  7 7

7>.

>

 ∞ 

 x  >  ∞  x >  2 x  97  ∞  x >  < x  =   52.  y >  x>    xy

 x >

5

 x  >  x >   9  x  2  x 9 + > 55. > +  > x  9  7 x  2  x  2

9

0

 y  x  y   ∞   x  y  x  y

  x  9  0 x  0      x >  x >  x  >  5 x  5 > x  7 

79.

>2 >2

>

5

 x

   

 91 x  9

0 x >

 95 x  0 92 x >  = x  >

5 >      5 x  0  x  x  75. 5 x  5 > x  7  > x  0 5x  0 

 

Eipätufh 1 Qrbfjdjoirbs Ifmbnrijehs

 i5  77. 9  5   n   

25

 7 x >  >1 x  72.  x  >    x  >2  

in   n   ni  

  x >   >  9   7=.   x  9   >  x  9   x  9   

  x >  x  y  70.  >  x  y >  9   y  9  x  9   7<    x >       x 9   

 >i  9  i       i  9  i >  9  >    i >   i   Bo fhs prhnfbdis gbf 7: 7 : if 25, sjdpfj`jeir fis `rieejho `rieejhobs bs ehdpubstis gigis.

9

i

 x >

7:.  x 9

 x

> 21. n 9

9

n>

2>. 9

9



9

9

∞



9 9

25.  9 >

n i> 9 i> 9

29. i ∞ 

n i n



n i

i> >7

i  5

i 9

¸ERIF BU BF ORDB^H DIU M^IOGB YRB RG. QRBGB  JDIMJOI^8  Bgmirg Cisobr,  ditbdétjeh idbrjeioh mriguigh gb fi Rojvbrsjgig gb Ehfudnji, bstini jotbrbsigh bo bxpfjeir fi gj`brboeji botrb oûdbrhs jodbosidbotb 911  mriogbs bf jo`jojth. EhrräiBo bf oubstri iùh 9:5< euioghejbotä`jei, bserjnjõ bf qub eho 9 y fby sjmubo 911 ebrhs. ohtiejõo 91 oûdbrh . Fubmh sb ehdjbozi prbmuotõ ¸quê ohdnrb fb phomh8 Qhr ilä ebrei kumini su shnrjoh gb : iùhs, Djftho Ujrhtti. ¡Elidh¡, fb gjkh. ¸Yuê ohdnrb fb phomh i bstb oûdbrh8. Djftho, jospjrigh bo uoi ehdjqujti gb iqubffi êph êphei, ei, rbsphogjõ bo vhz ifti;

¡MHHMHF!  Z isä qubgõ niutjzigh bstb oûdbrh.

 Qbrh, ¸qub tio mriogb bs uo mhhmhf8. Jovheidhs if  Lhdnrb qub Eifeufini,  piri qub eifeufb bf oûdbrh gb lhkis qub tjbobo thghs fhs érnhfbs gbf duogh h bf oûdbrh gb mriojths gb irboi qub liy bo thgis fis pfiyis gb tjbrri. Bsths oûdbrhs  sho dbohrbs qub uo mhhmhf. Bo b`beth, bstb pir gb oûdbrh bs dbohr qub bf oûdbrh 4 2, yi qub fi jmuifgig jmuifgig 5 + > 4 2 bs vbrgigbri. Ub ffidi ehokuoth shfuejõo gb uoi beuiejõo if ehokuoth `hrdigh  phr thgis sus shfuejhobs. shfuejhobs. Ghs beuiejhobs sho bqujvifbotbs sj tjbobo bxietidbotb fis djsdis riäebs. Bf prhebsh gb boehotrir fis riäebs gb uoi beuiejõo sb gbohdjoi rbshfvbr fi beuiejõo. Fhs pishs i sbmujr piri rbshfvbr uoi beuiejõo bstéo nisighs bo fis ghs sjmujbotbs prhpjbgigbs gb fis jmuifgigbs gb bxprbsjhobs ifmbnrijeis.

 

2<

Eipätufh 9 Beuiejhobs

Q^HQJBGIGBU NIUJEIU GB FI JMRIFGIGBU GB B\Q^BUJHOBU IFMBN^IJEIU Ubio  I,  N, E bxprbsjhobs ifmbnrijeis y e uoi ehostiotb.

4 N  E   9.  I 4 N   I  E   4

>.  I 4 N   eI 4 eN, e  1  I 4 N   

 I e

 4

 N e

, e  1

Qrhpjbgig Igjtjvi. Uudiogh h rbstiogh euifqujbr bxprbsjõo ifmbnrijei i idnhs fighs gb uoi beuiejõo sb hntjbob htri beuiejõo bqujvifbotb Qrhpjbgig Duftjpfjeitjvi. Duftjpfjeiogh h gjvjgjbogh phr uoi ehostiotb oh oufi idnhs fighs gb uoi beuiejõo sb hntjbob htri beuiejõo bqujvifbotb

WBH^BDI 9.9

Wriosphsjejõo 9.  I E 4 N    I 4 N   E  Ub pubgb triosphobr uoi bxprbsjõo ifmbnrijei gb uo figh gb uoi beuiejõo if htrh, eidnjéoghfi gb sjmoh. >. eI 4 N   I 4

 N e

,

sjbogh e  1

Whgi ehostiotb oh oufi qub bsti duftjpfjeiogh uo figh gb uoi beuiejõo, pubgb triosphobrsb if htrh figh, gjvjgjbogh.

5.

 I e

 4 N   I 4 eN,

sjbogh e  1

Whgi ehostiotb oh oufi qub bsti gjvjgjbogh uo figh gb uoi beuiejõo, pubgb triosphobrsb if htrh figh, duftjpfjeiogh. 

Gbdhstriejõo Pbr bf prhnfbdi rbsubfth 9 ¸UINJI RG. RG. YRB . . .  ^HNB^W ^BEH^GB (9291∞922. 5.

 I e

 4 N    I 4 eN,



 E 

sjbogh e  1 sjbogh e  1

Uhfuejõo 9.  I  E  4  4 N   ( I  E ) + (  E ) 4 N    E      I + (  E     E ) 4 N   E      I + 1 4 N    E    I 4 N   E >. eI 4 N   

9

 eI 4

e

9

(Qrhpjbgig igjtjvi) (Qrhpjbgig ishejitjvi) (Qrhpjbgig gbf jovbrsh igjtjvh) (Bfbdboth obutrh gb fi igjejõo) 

(Qrhpjbgig duftjpfjeitjvi)

 N

e

   9 e  I  4  N

(Qrhpjbgig ishejitjvi)

  9½ I 4  N

(Qrhpjbgig gbf jovbrsh duftjpfjeitjvh)

e 

e

e

   I 4  N

 

e

(Bfbdboth obutrh gb fi duftjpfjeiejõo) 

5. Ujd Ujdjfi jfir i >.

UBEEJHO 9.>

BERIEJHOBU FJOBIFBU

Roi beuiejõo fjobif bo uoi virjinfb bs uoi beuiejõo gb fi `hrdi; ix + n 4 1, i  1

Fi shfuejõo gb ix + n 4 1  bs  x 4 ∞

n i

 BKBDQFH 9. ^bshfvbr fi sjmujbotb beuiejõo, kustj`jeiogh eigi pish. Uhfuejõo

5(  xx ∞ 7) 4 7 ∞ >(  xx +5)

 

01

Eipätufh 9 Beuiejhobs

9. 5(  xx ∞ 7) 4 7 ∞ >(  xx + 5)

  5 x ∞ 9> 4 7 ∞ > x ∞ 0   5 x + > x 4 7 ∞ 0 + 9>   2 x 4 91    x 4 91/>    x 4 >

(Fby gjstrjnutjvi) (Wriosphojbogh) (Ujdpfj`jeiogh) (Wriosphojbogh)

 BKBDQFH >. ^bshfvbr fi sjmujbotb beuiejõo 9  9  x  >  x  5 + ∞   4 ∞ 5 0 > 7 Bo prjdbr fumir, bfjdjoidhs fhs gbohdjoighrbs duftjpfjeiogh phr bf Däojdh Ehdûo Gbohdjoighr (DEG) gb fhs gbohdjoighrbs, qub bs bf däojdh ehdûo Dûftjpfh gb fhs gbohdjoighrbs. gbohdjoighrbs. Bf DEG, h sbi bf däojdh ehdûo dûftjpfh gb >, 5, 7 y 0, bs 9>. Fubmh, 9  x  9  x  >  x  5  x  9  x  >  x  5   9   + ∞   4 ∞    9> + 9> ∞ 9>  4 9>       5 0 5 > 7 > 7   0      0(  xx + 9) + 7(  xx + >) ∞ 5(  xx + 5) 4 ∞>   0 x + 0 + 7 x + < ∞ 5 x ∞ : 4 ∞>    0 x + 7 x ∞ 5 x 4 ∞> ∞ 0 ∞ < + :    = x 4 ∞=    x 4 ∞9

BKBDQFH 5. ^bshfuejõo gb uoi beuiejõo fjtbrif.  ^bshfvbr fis sjmujbotbs beuiejhobs piri x;

9.  x(i + x) 4 (  xx ∞ i)>, i  1

>. i(  xx ∞ i) 4 n(  xx ∞ n), i  n

Uhfuejõo 9.  x(i + x) 4 (  xx ∞ i)>    ix + x> 4 x>  ∞ >ix + i>    ix  4 ∞ >ix + i>   5ix  4 i>   ix + >ix 4 i>

   x 4  >. i( x  x ∞ i) 4 n( x  x ∞ n)

 

i>

   x 4

5i

> > ix ∞ i  4 nx ∞ n  

  (i ∞ n)  xx 4    x 4  

 

>

> i  ∞ n  

i  n i  n i n

 

i

5

> > ix ∞ nx  4 i  ∞ n

i>

 n>    x 4  in

   x 4 i + n 

 

09 

Eipätufh 9 Beuiejhobs

BKBDQFH 7. Gbspbkiogh uoi virjinfb. Uinbdhs qub uo eipjtif  Q  jovbrtjgh   jovbrtjgh guriotb t iùhs i uo jotbrês sjdpfb gb 911r  %   % prhgueb uo dhoth dhoth gb gb  D  4  4 Q (9+ (9+ rt )

Bxprbsir (gbspbkir) fi virjinfb t  bo  bo têrdjoh gb fis htris.

Uhfuejõo 4 Q (9+ (9+ rt )   D  4  4 Q + Qrt     Q  4 D ∞ Q   t 4  D   4  Q + Qrt 4 D    Qrt   Qrt  4

   Q   Qr 

BERIEJHOBU YRB EHOGREBO I BERIEJHOBU FJOBIFBU Bxjstbo beuiejhobs oh fjobifbs fjobifbs qub bo bf prhebsh gb rbshfvbrfi, rbshfvbrfi, sb rbguebo i beuiejhobs fjobifbs.

BKBDQFH 2. ^bshfuejõo gb uoi beuiejõo `rieejhoirji ^bshfvbr fi beuiejõo; 7 + >  4 5> 9  9  x >  9

Uhfuejõo Fi téetjei bs trios`hrdir bsti beuiejõo `rieejhoirji bo htri qub oh fh bs. Qiri bsth, duftjpfjeidhs fi beuiejõo phr bf däojdh ehdûo gbohd gbohdjoighr joighr (DEG). Wbobdhs qub x> ∞ 9 4 (  xx + 9)(  xx ∞ 9). Fubmh, DEG 4 (  xx + 9)(  xx ∞ 9). Ilhri,

 7  >    4  x  9 x  9 5>         >  x  9  x  9    x 9 x 9    x  9   7(  xx + 9) + >(  xx ∞ 9) 4 5> 7 x + 7 + > x ∞ > 4 5> 0 x 4 51

   

   x 4 2

Qubgb suebgbr qub bo bf prhebsh gb bfjdjoir bsths gbohdjoighrbs, qub oh sho ehostiotbs, sb pubgbo jotrhguejr shfuejhobs bxtriùis, h sbi shfuejhobs qub oh ehrrbsphogio i fi beuiejõo jojejif. Qhr tif dhtjvh, sb gbnb vbrj`jeir qub fis shfuejhobs boehotrigis sitjs`iebo fi beuiejõo jojejif. Ehdprhnbdhs qub x 4 2 bs uoi shfuejõo gb fi beuiejõo jojejif; ^bbdpfiziogh x 4 2 bo bf djbdnrh gb fi jzqujbrgi; > > 7 9 7 7  4  +  4 9 +   4  + 0 2 9 2 9 7 5 5   ^bbdpfiziogh x 4 2 bo bf djbdnrh gb fi gbrbeli;

 

0>

Eipätufh 9 Beuiejhobs

7 5>  4 5 2 >  9 >7 B`betjvidbotb, x 4 2 bs uoi shfuejõo gb fi beuiejõo jojejif. 5>

 4

BKBDQFH 0. ^bshfuejõo gb uoi beuiejõo `rieejhoirji. 9>  x  9  x  0  ∞   4 >  x  9  x  >  x  x  > Uhfuejõo Bfjdjoidhs fhs gbohdjoighrb gbohdjoighrbs; s; >  x  + x + > 4 (  xx ∞ 9)(  xx + >). Fubmh, bf DEG bs ( x ∞ 9) (  xx + >)

Ilhri, duftjpfjeiogh duftjpfjeiogh phr (  xx ∞ 9) (  xx + >); 9  x  0 ( x  x ∞ 9) (  xx + >)   ∞ (  x x ∞ 9) (  xx + >)  4 (  xx ∞ 9) (  xx + >) 9  x  >     ( x  x + >)(  xx + 9) ∞ (  xx ∞ 9)(  xx + 0) 4 9>     x> + 5 x + > ∞ (  xx> + 2 x ∞ 0) 4 9>     x>+ 5 x + > ∞   xx>∞ 2 x + 0 4 9>   ∞> x 4 7    x  4 ∞>

9> >

 x  >

Qbrh, ∞> oh bs shfuejõo gb fi beuiejõo jojejif, yi qub êsti oh bsté gb`jojgi piri  x 4 ∞>. Fubmh, ∞> bs uoi shfuejõo bxtriùi. Bo ehosbeuboeji, fi beuiejõo jojejif oh tjbob shfuejhobs.

BKBDQFH =. ^bshfuejõo gb uoi beuiejõo eho rigjeifbs.  ^bshfvbr fi beuiejõo;  y >

 5 y  4 y + 0

Uhfuejõo Fi téetjei bs trios`hrdir bsti beuiejõo eho rigjeifbs bo htri qub oh fhs tbomi. Qiri bsth, bfbvidhs i idnhs djbdnrhs gb fi beuiejõo i fi phtboeji qub bfjdjob fhs rigjeifbs. Bo oubstrh eish, bfbvidhs if euigrigh. Fis shfuejhobs liffigis gbnbo vbrj`jeirsb qub sho shfuejhobs gb fi beuiejõo jojejif, phrqub pubgb suebgbr qub ipirbzeio shfuejhobs bxtriùis.  y

>

 5 y  4 y + 0  

     y

>

>

> >  y  + 5 y 4 y  y  + 9> y + 50  5 y 4 (  yy + 0)>   y

 5 y  4 9> y + 50   ∞ : y  4 50   y 4 ∞ 7  Ehdprhnbdhs qub y 4 ∞ 7 bs uoi shfuejõo gb fi beuiejõo jojejif; djbdnrh jbdnrh gb gb fi jzqujbrgi; jzqujbrgi; ^bbdpfiziogh y 4 ∞ 7 bo bf d

 

05 

Eipätufh 9 Beuiejhobs

(7) >  5(7)  4

90  9> 4

7 4 > 4 >.

^bbdpfiziogh ^bbdpfizio gh y 4 ∞ 7 bo bf d djbdnrh jbdnrh gb gb fi gbrbeli; gbrbeli; ∞ 7

+04>

B`betjvidbotb, y 4 ∞ 7 bs uoi sh shfuejõo fuejõo gb fi beuiejõo beuiejõo jojejif.

Q^HNFBDIU Q^HQRBUWHU 9. >  Bo fhs prhnfbdis gbf 9 if i f 91, rbshfvbr fis beuiejhobs gigis.

9. 2(  xx ∞ 5) 4 5(  xx + =) + x 9 9 5.    >  x  9  4 5  x   >  7 > 9 >  4 2. 5 2  9 >  5 x 7 x  5  4 =. ∞  = 5 97  9  x  >  x  9  x  = 4 + :. + 7 91 2 0

>.  y  ∞ (0 ∞ > y) 4 )  x  x = 7 7.   ∞   4  ∞ 7 5 0 5 = z  9 5 5 z   +  4 0. > 7 0  x  5 > x  9 2 x  > 9 91. ∞    2  x  9 ∞   5  x  9 4 : 0 > 5

 Bo fhs prhnfbdis gbf 99 if 97, rbguejr fis beuiejhobs gigis i beuiejhobs fjobifbs y rbshfvbrfis.  > > 99. ( x 9>. (  xx ∞ 2) (  xx + 9) 4 (  xx + >) (  xx ∞ 5) + 95  x ∞ 5)  4 ( x  x ∞ 9) >

95. (> x ∞ 2)(  xx ∞ 9) + x  4 (5 x ∞ 9)(  xx + >) + 9 5 > 97. )( x  x ∞ 9) 4 (> x + 9)  ∞ (> x + 5)  Bo fhs prhnfbdis gbf 92 9 2 if >>, rbshfvbr fis beuiejhobs fjtbrifbs (gbspb (gbspbkir kir x).  >

92. 2(2 x ∞ i) 4 i (  xx ∞ 9)

90. i( x  x + n) + x(n ∞ i) 4 >n(>i ∞ x)

9=.  x> + n> + n(n ∞ 9) 4 (  xx + n)>

9 x5 4 9>i5 ∞ (  xx ∞ i)5

9:. >9.

 x   i n

 i  x i

+ ∞ 

n i n x n

 4 >  4

>1. 

>   i  n  in

 

>>.

 5d d>  x  i in

+

 +

 >d do in in

4

4∞

  n in

9 d

+

  n in

 

07

Eipätufh 9 Beuiejhobs

 Bo fhs prhnfbdis gbf gb f >5 if >0 gbspbkir gbspbki r fi virjinfb jogjeigi bo têrdjohs gb fis htris. 

>5.

9  r o >7. U  4  4 i , i  9  r  9 9 9 >0. + 4 ,  x

>  I 4   (r   + rs),  s

>2. U 4

 ` 

, l

 L  l  x  y i  Bo fhs prhnfbdis gbf >= if 51, rbguejr fis beuiejhobs `rieejhoirjis i beuiejhobs fjobifbs y rbshfvbrfis.   x  0

>=.

4

 x  0  x  0

+

0

> x  9>

>:.

 x  x  >

 ∞ 

 x  x  >

 4

 x  92  x >

7 0 7 x  9 7 x  9 51. 4 + 7 x  9 7 x  9 90 >  9

 Bo fhs prhnfbdis gbf 59 if 5 x  5 4 1 9 / >

55.    2 x  9

5>.

 x

  9   4

>

9< 5 / > 55 57.    y  :   4 7

 4 =

52.

 x >

 2  4 2 ∞  xx

50.

5=.

: x >  91 x  4 5 x ∞ >

5 x  Fi bgig gbf ljkh lieb 91 iùhs bs;  x ∞ 91 Fi bgig gbf pigrb lieb 91 iùhs bs; > x ∞ 91 Gb ieubrgh if bouoejigh gbf prhnfbdi tbobdhs fi beuiejõo;

 

02 

Eipätufh 9 Beuiejhobs

> x ∞ 91 4 5(  xx ∞ 91) ^bshfvbdhs fi beuiejõo; > x ∞ 91 4 5(  xx ∞ 91)  > x ∞ 91 4 5 x ∞ 51  ∞  xx 4 ∞ >1

  > x ∞ 5 x 4    x 4 >1

∞ 51

+ 91 

Fi bgig ietuif gbf ljkh bs >1 iùhs y fi gbf pigrb bs >(>1) 4 71 iùhs

BKBDQFH >.

Liffir trbs oûdbrhs botbrhs ehosbeutjvhs tifbs qub  fhs 7/2 gbf diyhr dés fi djtig gbf jotbrdbgjh bqujvifb if dbohr iudbotigh bo 0.

Uhfuejõo  Uj bf oûdbrh dbohr bs x, bothoebs Bf oûdbrh jotbrdbgjh bs; Bf oûdbrh diyhr bs; 7  gbf oûdbrh diyhr bs; 2 Fi djtig gbf oûdbrh jotbrdbgjh bs;

 x + 9  x + >

7

(  xx + >) 4

 7  x  > 

2 2  x  9 9  x  9  4 > > Gb ieubrgh if bouoejigh gbf prhnfbdi tbobdhs fi beuiejõo; 7  x  >   x  9 +  4 x + 0 2 > ^bshfvbdhs fi beuiejõo. DEG gb 2 y > bs 91. Fubmh, 7  x  >   x  9 7   x  >    x  9 +  4 x + 0   91  + 91  4 91(  xx + 0)   2 > 2 > ) + 2(  xx + 9) 4 91(  xx + 0)   o ∞5

Fhs oûdbrhs oûdbrhs pirbs qub qub fb sjmubo sjmubo i  x 4 >o sho;  x + > 4 >o + > y  x + 7 4 >o 4 7

Uudiogh fhs 2 oûdbrhs tbobdhs; ( x  x ∞9) + (  xx∞5) + x + (  xx + >) + (  xx + 7) 4 >1> ^bshfvbdhs fi beuiejõo; ( x  x ∞9) + (  xx∞5) + x + (  xx + >) + (  xx + 7) 4 >1> 2 x 4 >11 Bf oûdbrh pir nuseigh bs 71.

Q^HNFBDI >.

  2 x + > 4 >1>      x 4 71

Ro ehdbrejiotb ehdbrejiotb tjbob uo eipjtif eipjtif gjsphojnfb. Gb bstb bstb eipjtif, bf 52 % fh usiré piri pimir uoi gbugi, 72 % piri piri jovbrtjrfh bo dbreigbräi. Uj iûo fb shnrio $ 9>1,111, liffir bf dhoth gbf eipjtif gjsphojnfb.

Uhfuejõo Ubi  x bf eipjtif gjsphojnfb. Bothoebs Qirtb gbf eipjtif piri pimir fi gbugi; Qirtb gbf eipjtif piri ehdprir dbreioeäi;

1.52 x  1.72 x 

Bf eipjtif bs fi sudi gb gb fhs misths dés fh qu qubb thgiväi fb qubgi. qubgi. Fubmh, 1.52 x + 1.72 x + 9>1,111 4 x 

 

=1

Eipätufh 9 Beuiejhobs

^bshfvbdhs fi beuiejõo;  x 4 1.52 x + 1.72 x + 9>1,111    x ∞ 1.52 x ∞ 1.72 x 4 9>1,111

  1.> x 4 9>1,111    x 4 011,111 Bf eipjtif jojejif bs gb $ 011,111. 011,111.

Q^HNFBDI 5. Wjrikb gb uoi rbvjsti. Roi rbvjsti, gb punfjeiejõo punfjeiejõo sbdioif, sbdioif, sb vbogb i $ > bf bkbdpfir. bkbdpfir. Bf ehsth gb eigi bkbdpfir bs gb $ >.9. Bf jomrbsh phr punfjejgig bs gbf >2 % gbf jomrbsh gb fi vboti gb fis rbvjstis qub shnrbpisio fhs 9,111 prjdbrhs bkbdpfirbs. ¸Euéf gbnb gbnb sbr bf tjrikb sj sb qujbrb tbobr uoi mioioeji gb $ :,211 sbdioifbs8 Ub suphob qub thgis fis rbvjstis punfjeigis (thgh bf tjrikb) sho vbogjgis.

Uhfuejõo Ubi x bf tjrikb gb fi rbvjsti. Bothoebs Jomrbsh phr vboti gb fis rbvjstis; Jomrbsh phr punfjejgig;

> x  (1.>2)(>)(  xx ∞ 9,111) 4 1.2( x ∞ 9,111)

Ehsth gbf tjrikb;

>.9 x 

Gbnbdhs tbobr qub; Mioioeji 4 Jomrbsh phr vboti gb rbvjstis+Jomrbsh phr punfjejgig ∞ Ehsth gbf tjrikb; :,211 4 > x + 1.2(  xx ∞ 9,111) ∞ >.9 x  ^bshfvbdhs fi beuiejõo; :,211 4 > x + 1.2(  xx ∞ 9,111) ∞ >.9 x    :,211 4 > x + 1.2 x ∞ 211 ∞ >.9 x  > x + 1.2 x ∞ >.9 x 4 :,211 + 211      1,7 x 4 91,111    x 4 >2,111 Fubmh, sbdioifdbotb sb gbnbo punfjeir >2,111 bkbdpfirbs.

Q^HNFBDI 7. Pbotis. Roi jodhnjfjirji jodhnjfjirji ehdprõ uoi uoi eisi y uo uo ipirtidboth, ipirtidboth, pimiogh  phr idnhs, $ >11,111. Pbogjõ idnhs jodubnfbs gb urmboeji. Bo fi eisi mioõ bf 92 % y bo bf ipirtidboth ipirtidboth pbrgjõ pbrgjõ 91 %. If If `joif gb idnis triosieejhobs, tuvh uoi mioioeji gb $ 91,111 ¸Euéoth  pimõ fi jodhnjfjirji phr phr eigi jodubnfb8 Uhfuejõo Ubi x bf prbejh qub pimõ fi jodhnjfjirji phr fi eisi. Bothoebs Qrbejh qub qub pimõ pimõ fi jodhnjfjirji phr bf ipirtidboth; >11,111 ∞  xx 

 

=9 

Eipätufh 9 Beuiejhobs

Mioioeji bo fi eisi; Qêrgjgi bo bf ipirtidboth;

1.92 x  1.91(>11,111 ∞  xx) 

Ub tjbob qub; Mioioeji bo fi eisi ∞ Qêrgjgi bo bf ipirtidboth 4 Mioioeji `joif 1.92 x ∞ 1.91(>11,111 ∞  xx)  4 91,111 ^bshfvbdhs fi beuiejõo; 1.92 x ∞ 1.91(>11,111 ∞  xx)  4 91,111   1.92 x ∞ >1,111 + 1.9 x  4 91,111 >1,111   1.92 x + 1.9 x  4 91,111 + >1,111   1.>2 x  4 51,111   x  4 51 ,111  4 9>1,111 1.>2 Fubmh, phr fi eisi pimõ pimõ $ 9>1,111 y phr bf ipirtidboth, ipirtidboth, $ >11,111 ∞ 9>1,111 4 $ 15. 7. (Bgigbs gbs) Fi bgig ietuif gb uo pigrb bs bf trjpfb gb fi bgig ietuif gb su ljkh. Fi sudi gb fis bgigbs qub bffhs tboäio lieb 2 iùhs bs jmuif i fi bgig qub tbogré bf  pigrb gbotrh gb 0 iùhs. iùhs. Liffir fis bgigbs ietuifbs. ietuifbs. 2. (Kubmhs (Kubmhs gb eirtis eirtis)) I y N bdpjbzio uo kubmh gb eirtis eho jmuif jmuif sudi gb gjobrh. Euiogh Euiogh I li pbrgjgh 5/7 gb su gjobrh, gjobrh, fh qub li mioigh N bs jmuif i $ >11 dés fi djtig gb fh f h qub fb qubgi i I. ¸Eho euéoth gjobrh bdpbzirho8 0. (Gjd (Gjdbo bosj sjho hobs bs gb uo uo pitjh) pitjh) Bf firmh gb uo pitjh rbetiomufir bxebgb if ioelh bo < d. Uj if firmh sb gjsdjouyb 0 d y if ioelh sb fb iudboti 7, bf érbi oh viräi. Liffir fis gjdbosjhobs gbf pitjh.  Roi¸Bo ehdpiùäi is`iftiis`iftiräio uoi eiffb =. (Wjbdp (Wj h rbqubr rbq ubrjgh jgh piri piri liebr lie uo trini trinikh) bo bdph 7 gäis y uoi ehdpiùäi N fhbris`ifti bo 0kh)gäis. euéoth I tjbdph fi eiffb fis ghs ehdpiùäis trinikiogh kuotis8

 

=>

Eipätufh 9 Beuiejhobs

1 %. Uj gbspuês gbf iudboth y rbgueejõo, bf subfgh qubgõ bo $ 2=0 ¸Euéf bri bf subfgh jojejif8 Roeiotjgig ilhrrjstifhjovjbrtb gb If su gjobrh 9> %rbejnb iouif. 91.. (Jov 91 (JBfovbr brsj sjho hobs bs))bsti ghnfb gb jovj jovjbrtb brtbuoi if eiotjgig : % iouif. `joif `joif gbfif iùh rbejn b$ 011 gb mioioeji bo idnis jovbrsjhobs. ¸Yuê eiotjgig jovjrtjõ bo eigi tisi8

99. (Jovbr (Jovbrsjho sjhobs) bs) Ub gbphsjtiréo uo eipjtif gb $ >7,111 >7,111 bo uo nioeh, qub pimi tisis iouifbs gb 0 % i fi vjsti y 91 % i pfizh pfizh `jkh. ¸Euéoth ¸Euéoth gbnb gbphsjtirsb bo eigi dhgifjgig, sj sb bspbri qub if `jo gbf iùh sb hntbomi uo nbob`jejh bqujvifbotb if .. (Jov 9> (Jovbr brsj sjho hobs bs)) Ub jovjbrtbo $ =,111 if : % iouif y $ 92,111 if 0 % iouif. I quê tisi iouif gbnb jovbrtjrsb $ 91,111 piri hntbobr, hntbobr, if `jo gbf iùh, gbf iùh, uoi botrigi gb $ >,=518 95.. (Gbs 95 (Gbseu eubo both th)) Ro ehdbrejiotb h`rbeb bf 51 % gb gbseuboth shnrb bf prbejh direigh (QPQ) bo ejbrth qub fb ehstõ eho bf gbseuboth, bf ehdbrejiotb mioiré 9> % irtäeufh, gb su jovbrsjõo. ¸Euéf$bs21. bf Iuo prbejh direigh (bf QPQ) bo bf irtäeufh8

97. (Pbo (Pboti ti gb eirr eirrhs hs)) Ro vbogbghr gb eirrhs usighs ehdprõ uoi eidjhobti y uo iuthdõvjf phr phr $ 51,111. Pbogjõ Pbogjõ fi eidjh eidjhobti obti mioiogh bf 92 % y vbogjõ bf iuthdõvjf pbrgjbogh bf < %. Iûo Iûo isä, fis fis ghs triosieejhobs fb gbkirho gbkirho if `joif uoi mioioeji gb $ 9,=71. ¸Euéoth pimõ bf vbogbghr phr eigi vbläeufh8 vbläeufh8 92.. (Wjr 92 (Wjrik ikb) b) Eigi bkbdpfir gb uo gjirjh bs vbogjgh i $ 1.2. Bf ehsth gb eigi bkbdpfir bs gb $ 1.0. Bf jomrbsh phr punfjejgig bs gbf 71 % gbf jomrbsh gb fi vboti gb fhs bkbdpfirbs bkbdpfirbs qub shnrbpisio fhs 2,111 prjdbrhs. ¸Euéf gbnb gbnb sbr bf tjrikb sj sb qujbrb tbobr uoi mioioeji gb $ 5,111 gjirjhs8 Ub suphob qub thghs fhs pbrjõgjehs punfjeighs (thgh bf tjrikb) sho vbogjghs.

UBEEJHO 9.7

UJUWBDIU GB BERIEJHOBU FJOBIFBU

Ro  sjstbdi gb ghs beuiejhobs fjobifbs eho ghs joeõmojtis  x   y  yy, bs uo pir gb beuiejhobs fjobifbs eho virjinfbs x y y;

 i9 x     i> x 

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