Calculo Diferencial - Moises Villena

April 2, 2017 | Author: Santiago Fabian Valarezo Torres | Category: N/A
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Calculo Diferencial - Moises Villena. ESPOL, Guayaquil. Ecuador....

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Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

LÍMITE EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES TEOREMAS SOBRE LÍMITES CÁLCULO DE LÍMITES LÍMITES AL INFINITO LÍMITES INFINITOS OTROS LÍMITES

OBJETIVOS: • • • •

Definir Límites. Realizar demostraciones formales de límites. Describir gráficamente los límites. Calcular límites.

1

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1.1 LÍMITE EN UN PUNTO El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, veremos más adelante que los dos conceptos principales del Calculo, la Derivada y la Integral Definida, están basados en límites. Conceptualizar límites determinando el comportamiento de una función e interpretarlo en su gráfica, ayudará bastante en el inicio de nuestro estudio.

1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra intención y el estudio de los límites va a permitir esto. Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple inspección concluir y tener una idea del concepto de límite. Ejemplo 1 Veamos como se comporta la función la cercanía de x = 2 .

f con regla de correspondencia f ( x) = 2 x + 1 en

Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 :

x 1.90

y = 2x + 1 4.80

1.95 1.99 " 2.01 2.05 2.10

4.90 4.98 " 5.02 5.10 5.20

En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5. Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente forma: lím (2 x + 1) = 5

x→2

Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica, observe la figura 1.1:

Fig. 1.1

2

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Ejemplo 2 Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia f ( x) =

x 2 + 5x − 6 , en la cercanía de x = 1 . x −1

Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:

x 0.90 0.95 0.99 " 1.01 1.05 1.10

y=

x2 + 5x − 6 x −1 6.90 6.95 6.99 " 7.01 7.05 7.10

Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x x 2 + 5x − 6 =7. x →1 x −1

se aproxima a tomar el valor de 1, es decir lím

Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación. Por

otro

lado,

la

regla

de

correspondencia

f ( x) =

x 2 + 5x − 6 x −1

es

equivalente

a

f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 (¿POR QUÉ?). Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica, observe la figura 1.2:

Fig. 1.2

De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía, podemos emitir la siguiente definición:

3

Cap. 1 Límites de Funciones

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Una función f tiene límite L en un punto x0 , si f se aproxima a tomar el valor L cada vez que su variable x se aproxima a tomar el valor x0 . Esto se denota como: lím f ( x) = L x→ x0

Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo; es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características de su comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones.

1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL Suponga que se plantea el problema de demostrar que lím 2 x + 1 = 5 o que x →2

x + 5x − 6 = 7. x −1 2

lím x →1

Para

esto,

debemos

garantizar

formalmente

el

acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valores no nos sirve, el hecho que se cumpla para algunos valores no indica que se cumpla para todos los valores próximos al punto. La demostración consistirá en escribir matemáticamente, lenguaje formal, la metodología del proceso, lo cual nos lleva a la necesidad de tener una definición formal de límite y no sólo para estos dos ejemplos, sino para cualquier función. Antes, de llegar a la definición requerida, precisemos lo siguiente: PRIMERO, para un lenguaje formal, decir que punto

x0

x

toma valores próximos a un

(que x está en torno a x0 ), bastará con considerarla perteneciente a

un intervalo o vecindad, centrado en cual denotaremos con la letra griega

x0 ,

de semiamplitud muy pequeña, la

∂ (delta). Es decir:

x0 − ∂ < x < x 0 + ∂ Transformando la expresión anterior tenemos: x0 − ∂ <

x < x0 + ∂

x0 − ∂ − x0 < x − x0 < x0 + ∂ − x0 − δ < x − x0 < δ x − x0 < δ

4

Restando " x0 " Empleando la definición de valor absoluto

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Y, para que

x

no sea

x0 , bastará con proponer que 0 < x − x0 < ∂

¿POR

QUÉ?.

SEGUNDO, para decir que f está próxima a L (en torno a L ), podemos expresar que pertenece a un intervalo o vecindad, centrado en L de semiamplitud muy pequeña, la cual denotaremos con la letra griega ε (épsilon). Es decir:

L − ε < f ( x) < L + ε Transformando la expresión anterior tenemos: L − ε < f ( x) < L + ε − ε < f ( x ) − L < +ε

Restando " L "

f ( x) − L < ε

Aplicando la definición de valor absoluto

Con todo lo anterior, definimos formalmente límite de una función en un punto, de la siguiente manera:

Sea f una función de variable real y sean ε y ∂ cantidades positivas muy pequeñas. Suponga que f se aproxima a L cuando x se aproxima a x0 , denotado como lím f ( x) = L , esto x→ x0

significa que para toda proximidad que se desee estar con f en torno a L , deberá poderse definir un intervalo en torno a x0 en el cual tomar x , sin que necesariamente x = x0 , que nos garantice el acercamiento. Es decir:

( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − x x → x0

0

< δ ⇒ f ( x) − L < ε

La definición indica que para asegurar que una función tiene límite deberíamos establecer una relación entre ∂ y ε . Una manera de interpretar gráficamente lo mencionado es:

5

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Fig. 1.3

Con esta definición, ya podemos realizar demostraciones formales. Ejemplo 1 Demostrar formalmente que lím (2 x + 1) = 5 . x →2

SOLUCIÓN: Cuando hicimos la tabla de valores, sólo para seis valores percibimos que el límite de esta función era 5, se trata ahora de demostrarlo. Debemos garantizar que cuando tomemos a la x como cualquier número cercano a 2 el valor de y correspondiente es un número cercano a 5, y mientras la x esté más cerca de 2 la y estará más cerca de 5; esto quiere decir que la diferencia entre los valores que resultan en

2 x + 1 con 5 deberán ser cantidades muy pequeñas, menores que cualquiera tolerancia ε que nos fijemos. Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 5 con y = 2 x + 1 , tanto como nos propusiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir:

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 2 < δ



(2 x + 1) − 5 < ε

En la implicación, vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente. Observe el consecuente, su forma algebraica nos guiará en el procedimiento a seguir:

(0 <

x−2 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 1 < δ Ahora transformamos el antecedente:

(0 <

⇒ 0 < ( x + 6) − 7 < δ ⇒

x −1

x 2 + 5x − 6 −7 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x − 2 < δ ⇒ f ( x) + 1 < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x 0 < −3 − x < δ ⇒ f ( x) − 2 < ε

f (−3) = f (2 ) = 0 y f (0) = 5

Bosqueje el gráfico de una función que cumpla las condiciones siguientes: • Dom f = R • • • • • •

f es creciente en ( −∞,0 ) ∪ ( 0,3) f decreciente en (3, ∞ )

[ ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x < δ ⇒ f ( x) < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x − 3 < δ ⇒ f ( x) − 5 < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x 0 < − x < δ ⇒ f ( x) − 3 < ε

f (−3) = f (3) = f (6) = 0 y f (0) = 2

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Cap. 1 Límites de Funciones

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1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1.3.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE

Sean f y

g funciones con límite en x0 ;

es decir, suponga que

lím f ( x) = L

x→ x0

y

lím g ( x) = M . Entonces:

x→ x0

1. lím k = k , ∀k ∈ R x → x0

2. lím x = x0 x → x0

3. lím kf ( x) = k lím f ( x) = kL , ∀k ∈ R x → x0

x → x0

4. lím [ f ( x) + g ( x)] = lím f ( x) + lím g ( x) = L + M x → x0

x → x0

x → x0

5. lím [ f ( x) − g ( x)] = lím f ( x) − lím g ( x) = L − M x→ x x→ x x→ x 0

0

0

6. lím [ f ( x) g ( x)] = lím f ( x) lím g ( x) = LM x → x0

x → x0

x → x0

f ( x) L ⎡ f ( x) ⎤ xlím → x0 = = 7. lím ⎢ x → x0 g ( x ) ⎥ g ( x) M ⎣ ⎦ xlím →x

;siempre que lím g ( x) ≠ 0 x → x0

0

n

8. lím [ f ( x)] = ⎡⎢ lím f ( x) ⎤⎥ = Ln , x→ x ⎣ x→ x ⎦ n

0

∀n ∈ N

0

9. lím n f ( x) = n lím f ( x) = n L x → x0

x → x0

siempre que

lím f ( x) ≥ 0 cuando n es par.

x → x0

Demostraciones 1.

( lím k = k ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x

0 / 0 < x − x x → x0

0

Si ∂ = ε la proposición es verdadera.

24

0

< ∂ ⇒ x − x0 < ε

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3.

( lím kf ( x) = kL ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x

< ∂ ⇒ kf ( x) − kL < ε

0

x → x0

Observe

el

consecuente,

la

expresión

kf ( x) − kL < ε

es

equivalente

a

k ( f ( x) − L ) < ε . Por hipótesis, en la cercanía de x 0 , f se aproxima a L , es decir; se cumple que:

∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) − L < ε Si tomamos ε =

ε

⇒ f ( x) − L <

k

ε k

⇒ k f ( x) − L < ε ⇒ kf ( x) − kL < ε por tanto kf se aproximará a kL .

4. Debemos demostrar que si lím f ( x) = L lím g ( x) = M entonces x → x0

x → x0

lím [ f ( x) + g ( x)] = L + M

x → x0

lím f ( x) = L significa que:

Asegurar que

x → x0

∀ε 1 > 0, ∃∂ 1 > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ 1 ⇒ f ( x) − L < ε 1 Y asegurar que

lím g ( x) = M significa que:

x → x0

∀ε 2 > 0, ∃∂ 2 > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ 2 ⇒ g ( x) − M < ε 2 Tomemos ε1 = ε 2 =

ε 2

, entonces , si trabajamos con ∂ = min {∂ 1 , ∂ 2 } se cumple que:

ε ⎧ ⎪⎪ f ( x) − L < 2 0 < x − x0 < ∂ ⇒ ⎨ ⎪ g ( x) − M < ε ⎪⎩ 2 Sumando término a término la desigualdad resulta: f ( x) − L + g ( x) − M < Y por la desigualdad triangular Por lo tanto

( f ( x) − L ) + (g ( x) − M ) ≤

ε 2

+

ε 2

f ( x) − L + g ( x) − M

( f ( x ) + g ( x ) ) − (L + M ) < ε

Finalmente, se observar que:

∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ( f ( x) + g ( x) ) − (L + M ) < ε

lo que nos asegura que

5.

lím [ f ( x ) + g ( x)] = L + M

x → x0

Debemos demostrar que si lím f ( x) = L lím g ( x) = M entonces x → x0

x → x0

lím [ f ( x) g ( x) ] = LM

x → x0

Igual que en el anterior, tenemos dos hipótesis:

H1 : lím f ( x) = L ≡ ∀ε1 > 0, ∃∂ 1 > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ 1 ⇒ f ( x) − L < ε1 x → x0

H 2 : lím g ( x) = M ≡ ∀ε 2 > 0, ∃∂ 2 > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ 2 ⇒ g ( x) − M < ε 2 x → x0

En la segunda hipótesis, asumamos que ε 2 = 1 , entonces

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Cap. 1 Límites de Funciones

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g ( x) − M < 1 −1 < g ( x ) − M < 1 M −1 < g ( x) < M + 1 Por la desigualdad triangular: M +1 < M + 1 ≡ −( M + 1) < M +1< M + 1

M + ( −1) < M + −1 ≡ − ( M + 1 ) < M − 1 < M + 1

Como g ( x ) < M + 1 y M + 1 < M + 1 se concluye que g ( x ) < M + 1 Como M − 1 < g ( x ) y − ( M + 1 ) < M − 1 se concluye que − ( M + 1 ) < g ( x ) Entonces: g ( x ) < M + 1 y además g ( x ) f ( x) − L < ε1 ( M + 1 )

Bien, se observa que si trabajamos con ∂ = min {∂1 , ∂ 2 } ⎧⎪ g ( x ) f ( x) − L < ε1 ( M + 1 ) 0 < x − x0 < ∂ ⇒ ⎨ ⎪⎩ g ( x) − M < ε 2 Si decidimos que ε1 =

ε M +1

y ε2 =

ε L

Entonces

ε ⎧ ⎪ g ( x ) f ( x) − L < 2 M + 1 ( M + 1 ) ( ) ⎪ ⎨ ε ⎪ g ( x) − M < ⎪ 2L ⎩ ε ⎧ ⎪⎪ g ( x ) f ( x) − L < 2 ⎨ ⎪ L g ( x) − M < ε ⎪⎩ 2 Sumando término a término: g ( x ) f ( x) − L + L g ( x) − M < ε

Por la desigualdad triangular:

g ( x )( f ( x) − L ) + L ( g ( x) − M ) ≤ g ( x ) f ( x) − L + L g ( x) − M < ε

 

  a

b

a

a

f ( x) g ( x ) − Lg ( x ) + Lg ( x ) − LM < ε f ( x) g ( x ) − LM < ε

Hemos concluido que:

∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) g ( x ) − LM < ε Es decir:

26

lím [ f ( x) g ( x) ] = LM L.Q.Q.D.

x → x0

Cap. 1 Límites de Funciones

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El resto de las demostraciones se deja como ejercicio para el lector. Observe que el recíproco del teorema anterior es falso. Ejemplo ⎧1 ; x > 0 Suponga que se tiene f ( x ) = ⎨ ⎩0 ; x ≤ 0

y

⎧0 ; x ≥ 0 g ( x) = ⎨ ⎩1 ; x < 0

⎧1 ; x ≠ 0 entonces ( f + g )( x) = ⎨ ⎩0 ; x = 0 Observe que: lím f ( x ) no existe y que lím g ( x ) tampoco existe, sin embargo lím ( f + g ) ( x ) = 1 x →0

x →0

(existe). Es decir, “ Si

(f

asegurar que

también tienen límite en ese punto”

f

y

g

+ g)

x→0

es una función con límite en un punto, entonces no podemos

El teorema principal de límite permite establecer límites de ciertas funciones. Ejemplo

(

Calcular lim x 2 + 3 x − 2 x→2

)

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema principal de límites, tenemos:

(

)

lim x 2 + 3 x − 2 = lim x 2 + lim 3 x − lim 2 (inciso 4 y 5)

x→2

x →2

x →2

x→2

2

= ⎛⎜ lim x ⎞⎟ + 3 lim x − 2 (inciso 8, 3 y 1) x→2 ⎝ x→2 ⎠ = 2 2 + 3( 2) − 2 =8

Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta.

1.3.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN

Sea f una función polinomial o una función racional, entonces lím f ( x) = f ( x0 ) x→ x0

siempre que f ( x0 ) esté definida y que el denominador no sea cero para el caso de una función racional.

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Cap. 1 Límites de Funciones

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De principio o de final, en el cálculo de límite, se empleará el teorema de sustitución. Ejemplo

(

Calcular lim x 2 + 3 x − 2 x→2

)

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución, tenemos:

(

)

lim x 2 + 3x − 2 = 2 2 + 3(2) − 2 = 8

x→2

Veamos el siguiente otro teorema, muy poco utilizado pero necesario en ciertas situaciones.

1.3.3 TEOREMA DEL EMPAREDADO

Sean f , g y h funciones tales que g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) para toda x próxima a " x0 " con la posible excepción de " x0 ". Si y

lím g ( x) = L

x→ x0

lím h( x) = L

x→ x0

entonces

lím f ( x) = L .

x→ x0

DEMOSTRACIÓN. Tenemos tres hipótesis: H1 : H2 : H3 :

( lím g ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x < ∂ ⇒ g ( x) − L < ε ( lím h( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x < ∂ ⇒ h( x) − L < ε x → x0

1

1

x → x0

2

2

0

0

1

2

∃∂ 3 > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ 3 ⇒ g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x)

Ahora, suponiendo que ε 1 = ε 2 = ε y tomando ∂ = min{∂1, ∂ 2 , ∂ 3} , tenemos: ⎧ g ( x) − L < ε ⎪⎪ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ⎨ h( x) − L < ε ⎪ ⎪⎩ g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) ⎧L − ε < g ( x) < L + ε ⎪ Que quiere decir que: ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ⎨ L − ε < h( x) < L + ε ⎪ g ( x) ≤ f ( x ) ≤ h( x) ⎩

28

1

2

Cap. 1 Límites de Funciones

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Lo cual significa que: L − ε < g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) < L + ε , Y de manera simplificada se podría decir que: L − ε < f ( x) < L + ε Por lo tanto ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ f ( x ) − L < ε , Que no es otra cosa que

lím f ( x) = L

L.Q.Q.D.

x → x0

Ahora veamos ejercicios donde se emplea el teorema del emparedado Ejemplo 1 Sea 1 − x 2 ≤ f ( x) ≤ x 2 + 1 para toda

x próxima a 0, excepto en 0. Hallar lím f ( x) . x→ 0

SOLUCIÓN: 2 2 Llamemos g ( x) = 1 − x y h( x) = x + 1 . Calculando límites tenemos: lím g ( x) = lím (1 − x 2 ) = 1 x →0

x →0

y

lím h( x) = lím ( x 2 + 1) = 1 . x →0

x →0

Y como g ( x) ≤ f ( x ) ≤ h( x) en la vecindad de x = 0 , por el teorema del emparedado se concluye que: lím f ( x) = 1 x →0

(

O más simplemente: lím 1 − x x →0

2

) ≤ lím f ( x) ≤ lím ( x x →0

x →0

2

+ 1)

1 ≤ lím f ( x) ≤ 1 x →0

por lo tanto lím f ( x) = 1 x →0

Ejemplo 2 ⎛1⎞ ⎝x⎠

Use el teorema del emparedado para demostrar que: lím x sen⎜ ⎟ = 0 x →0

SOLUCIÓN: ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ No se puede aplicar la propiedad del producto de los límites debido a que lím ⎢sen ⎜ ⎟ ⎥ no existe. x →0 ⎣ ⎝ x ⎠⎦ También hacerlo en término de ∂ − ε , sería dificilísimo, ¿Por qué? . Por tanto hay que recurrir a otro mecanismo. ⎛1⎞ ⎛1⎞ La función f ( x) = sen⎜ ⎟ es acotada, es decir que 0 ≤ sen⎜ ⎟ ≤ 1 . ⎝x⎠ ⎝ x⎠

⎛1⎞ Al multiplicar por x tenemos: x 0 ≤ x sen⎜ ⎟ ≤ x 1 ; ⎝ x⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ luego tomando límite resulta lím 0 ≤ lím x sen⎜ ⎟ ≤ lím x , que equivale a 0 ≤ lím x sen⎜ ⎟ ≤ 0 x →0 x →0 x →0 ⎝ x ⎠ x →0 ⎝ x⎠ ⎛1⎞ y llegamos a lo que queríamos, es decir: lím x sen⎜ ⎟ = 0 . x →0 ⎝ x⎠

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Cap. 1 Límites de Funciones

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Ejemplo 3 Hallar lím

x→0

Senx x

SOLUCIÓN: Para emplear el teorema del emparedado, acotemos la función f ( x) =

Senx x

R1 tg x

1 R2

sen x

x

R3

cos x

Fig. 1.9

1

Del gráfico tenemos que: AreaR1 =

(tg x )(1) 2

Observe que AR1 ≥ AR2 ≥ AR3 , entonces

, AR2 =

(1) 2 (x ) (cos x )(sen x) , AR3 = 2 2

(tg x )(1) ≥ (1)2 (x ) ≥ cos x sen x 2

2

2

PRIMERO: Si x → 0+ . Multiplicando por 2 y dividiendo para sen x resulta: 2(tg x )(1) 2( x ) 2 cos x sen x ≥ ≥ 2 sen x 2 sen x 2 sen x 1 x ≥ ≥ cos x cos x sen x sen x 1 que es lo mismo que cos x ≤ ≤ x cos x sen x 1 tomando límite lím cos x ≤ lím ≤ lím x →0 + x →0 + x x →0 + cos x sen x sen x entonces lím 1 ≤ lím ≤1 =1 x →0 + x x →0 + x SEGUNDO: En cambio, si x → 0 − . Multiplicando por 2 y dividiendo para sen x resulta: 1 x ≤ ≤ cos x (Se invierte el sentido de la desigualdad porque sen x < 0 cos x sen x sen x 1 ≤ que es lo mismo que: cos x ≤ cos x x sen x 1 tomando límite: lím cos x ≤ lím ≤ lím x →0 − x →0 − x x →0 − cos x sen x sen x entonces 1 ≤ lím ≤1 lím =1 x →0 − x x →0 − x Finalmente lím x →0

sen x =1 x

Observe la gráfica:

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Cap. 1 Límites de Funciones

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Fig. 1.10

y=

sen x x

Note que en su gráfica se observa la conclusión anterior.

Ejercicios Propuestos 1.3 1.

Realice las demostraciones de los incisos 5, 6 y 7 del Teorema principal de límite.

2.

Use el teorema del emparedado para demostrar que:

lím x 4 Sen 2

a.

x→ 0

⎡ lím ⎢(x − 1)2 sen

b.

3.

1 =0 x 1 ⎤ ⎥=0 x −1 ⎦

x →1+ ⎣

Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA O FALSA, en caso de ser verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa dé un contraejemplo. a.

lím ( f ( x ) ) = L ⇒

lím ( f ( x ) − L ) = 0

x → x0

x → x0

b.

Si lím ( f ( x) − g ( x) ) existe, entonces también existen lím f ( x ) y lím g ( x)

c.

Si g (x ) + 5 ≤ 3(4 − x ) , entonces lím g (x ) = −5

d.

Si f ( x0 ) no está definida, entonces el lím f ( x ) no existe

e.

Si f ( x0 ) existe, entonces lím f ( x) existe

f.

Suponga que g es una función tal que lím g ( x) = 0 . Si f es una función cualquiera,

x → x0

x → x0

x → x0

2

x→4

x → x0

x → x0

entonces lím ( fg )( x ) = 0

x→0

x →0

g.

Si f ( x) ≠ g ( x) para toda x , entonces el lím f ( x) ≠ lím g ( x) x → x0

x → x0

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Cap. 1 Límites de Funciones

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1.4 CALCULO DE LÍMITES En el cálculo de límites, la aplicación del teorema de sustitución puede bastar. Ejemplo 1 Calcular lím+ ( x − a x b) x →1

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución:

lím ( x − a x b) = 1 − ced1+ fhg = 1 − 1 = 0 (El entero mayor de números ligeramente mayores que 1 es igual a 1)

x →1+

Ejemplo 2 Calcular lím− ( x − a x b) x →1

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución

lím ( x − a x b) = 1 − ced1− fhg = 1 − 0 = 1 (El entero mayor de números ligeramente menores que 1 es igual a 0)

x →1−

Ejemplo 3 Calcular lím− (a 2 x − 1b + Sgn ( x − 1) ) x →1

SOLUCIÓN:

Aplicando el teorema principal de límites y el teorema de sustitución:

lím (a 2 x − 1b + Sng ( x − 1) ) = lím− (a 2 x − 1b) + lím− ( Sng ( x − 1) )

x →1−

x →1

x →1

= ced 2(1− ) − 1fhg + sng (1− − 1) = ced1− fhg + sng ( 0− ) = 0 −1 = −1

Ejercicios Propuestos 1.4 Calcular: 1. 2. 3. 4.

32

lím 2 x − 6 − 4

x →4 +

lím

x →3+

7.

x − 4 −1 3− x

8.

lím+ ( x − 2Sgnx )

x →0

lím

x → 3+

a xb − 3 3− x

lím+

x →0

μ ( x)

lím asen x b x→

9.

a tan x b + Sgn ( x 2 )

π

2

lím + ced cos ( x + π2 )fhg

x →−

π

2

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

5.

lím

x −1 x a b+1

lím+

c x 2 f − a x b2 ed hg x2 −1

x → 0+

6.

x →1

10.

lím ⎡⎣ μ ( x + 5 ) + μ ( x − 1) − μ ( x − 3) ⎤⎦

x → 5+

En otros casos, al calcular límites, una vez aplicado el teorema de sustitución, se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la forma: 0 0 ∞ ∞ ∞−∞ 0•∞ 1∞ 00 ∞0

Los resultados de la forma mencionada son llamados indeterminaciones debido a que corresponden a cualquier valor. Por ejemplo, tomemos suponga que sea igual a una constante sería verdadera para todo

c , es decir

0 =c 0

entonces

0 , 0

0 = 0c

c . Analice el resto de indeterminaciones.

Ejemplo 1 Calcular lím x →1

x2 + 5x − 6 x −1

SOLUCIÓN: Empleando el teorema de sustitución tenemos

lím x →1

2 x 2 + 5 x − 6 1 + 5 (1) − 6 0 = = x −1 1 −1 0

una

indeterminación, para destruirla vamos a simplificar la expresión, es decir factorizando:

( x + 6 )( x − 1) x2 + 5x − 6 = lím = lím ( x + 6 ) x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 Y finalmente aplicando el teorema de sustitución: lím ( x + 6 ) = 1 + 6 = 7 lím

x →1

33

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 2 x 2 − 7 x + 10 x→2 x−2 SOLUCIÓN:

Calcular lím

2 2 − 7(2 ) + 10 0 = (Indeterminación) 2−2 0

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión:

lím x→2

( x − 2 )( x − 5) x 2 − 7 x + 10 = lím = lím( x − 5) 2 x → x→2 x−2 ( x − 2)

Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:

lím( x − 5) = 2 − 5 = −3 x→2

Ejemplo 3 Calcular lím

x + 5 x − 14 x −2

x→4

SOLUCIÓN: 4 + 5 4 − 14

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

4 −2

=

0 (Indeterminación) 0

Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión:

lím

x + 5 x − 14

x→4

x −2

= lím

(

x +7

)(

x −2

x −2

x →4

) = lím x →2

(

x +7

)

Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:

lím x→4

(

)

x +7 = 4 +7 = 9

SEGUNDO METODO: Podemos hacer un Cambio de Variable: x = u 2 . Este caso u = x , y cuando x → 4 , u → 2 Por tanto el límite en la nueva variable sería:

u 2 + 5u − 14 u →2 u−2

lím

Simplificando la expresión y aplicando en teorema de sustitución:

( u + 7 )( u − 2 ) u 2 + 5u − 14 = lím = lím ( u + 7 ) = 9 u →2 u→2 u→2 u−2 u−2

lím

Ejemplo 4 Calcular lím x →1

x −1 x −1

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: Racionalizando el numerador y simplificando:

34

1 −1 0 = (Indeterminación) 1−1 0

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

⎡ x −1 x + 1⎤ x −1 lím ⎢ • = lím ⎥ = lím x →1 x → 1 x + 1⎦ ( x − 1) x + 1 x →1 ⎣ x −1

(

)

(

1

)

x +1

=

1 2

Ejemplo 5 x −1

Calcular lím

x −1

x →1 3

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 −1 1 −1

3

=

0 (Indeterminación) 0

Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar uno de los siguientes métodos:

PRIMER METODO:

Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos:

⎡ x −1 x +1 • • lím ⎢⎢ 3 x →1 x −1 x +1 ⎢⎣

( x − 1) lím

((

3

x

)

( x − 1) (

x →1

2

( x) ( x) 3

3

+ 3 x + 1⎤ ⎥ 2 ⎥ 3 + x + 1⎥ ⎦ 2

) = (( 1) +

+ 3 x +1

)

x +1

2

3

(

3

)=3

1 +1

)

1 +1

2

SEGUNDO METODO: 6 Cambio de Variable: x = u . Entonces Si x → 1 ⇒ u → 1

u6 −1

Reemplazando tenemos: lím

u →1 3

u6 −1

u3 −1 u →1 u 2 − 1

= lím

( u − 1) ( u 2 + u + 1) ( u 2 + u + 1) = (12 + 1 + 1) = 3 = lím u →1 u →1 2 ( u − 1)( u + 1) ( u + 1) (1 + 1)

Y factorizando: lím

Ejemplo 6 Calcular lím−

a3 x − 2 b

2− x

x −4 2

x→2

SOLUCIÓN:

(

) ⎛⎝

Aplicando el teorema principal de límite consideramos lím− a3 x − 2b ⎜ lím−

(

x→2

)

x→2

2− x ⎞ ⎟ x2 − 4 ⎠

Entonces, para el primer límite tenemos: lím− a3 x − 2b = 3 ¿Por qué? x→2

Y para el segundo límite, resulta:

2−x 2−x − (x − 2) = lím = lím = lím = x 2 − 4 x→2− x 2 − 4 x→2− (x − 2)(x + 2) x→2− (x − 2)(x + 2) −1 1 =− lím− x →2 ( x + 2 ) 4 lím−

2− x

x →2

Por lo tanto lím− x→2

a3 x − 2 b x −4 2

2− x

3 ⎛ 1⎞ = (3) ⎜ − ⎟ = − 4 ⎝ 4⎠

35

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejercicios Propuestos 1.5 Calcular: 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.

3

x2 − 9 x →3 x − 3 2− x lím x→2 x 2 − 4

1.

10.

lím

2.

lím

4. 5. 6. 7. 8.

x −2 lím x→4 x − 4

9.

lim x→2

x −2 x −8 3

x3 − 8 x→2 x − 2 x 2 − 9 x + 20 lim 2 x → 4 x − 3x − 4 3x 2 − x − 10 lim 2 x → 2 x + 5 x − 14 x3 + x 2 − 5 x + 3 lim 3 x →1 x + 2 x 2 − 7 x + 4 2 x 3 + x 2 − x + 10 lim x →−2 x 3 + 2 x 2 − 2 x − 4

3.

lím

x →8

11.

lím

12.

lím

13.

14.

15. 16.

x −1

x +x−2 2

x →1

x 2 − (1 + a )x + a x →1 x −1 ⎛ 3 x2 − 2 3 x +1⎞ ⎟ lim⎜ 2 ⎟ x →1⎜ ( ) − x 1 ⎝ ⎠ ⎛ 3 2 ⎞ ⎟ lím⎜⎜ − x →1⎝ 1 − x 1 − 3 x ⎟⎠ 7+3 x −3 x −8

lím

x →8

lím

a3 x − 2 b

2− x

x2 − 4

x → 2+

x −1 −1 x−2

sen x = 1 que en forma x →0 x

Otros límites se calculan empleando la expresión lím

sen u = 1; donde u = u ( x) u →0 u

generalizada sería: lím

Ejemplo 1 Calcular lím

sen ( kx )

x →0

x

SOLUCIÓN:

sen ( k ( 0 ) )

0 = (Indeterminación) 0 0 Para encontrar el valor de esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por k , y luego aplicamos el teorema principal de límites: sen ( kx ) sen kx = k lím = k (1) = k lím k x→0 x → 0 kx kx 

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1

Se podría decir que

36

lím u →0

sen ( k u ) u

=k;

k ∈\

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 2 sen 3x sen 5 x SOLUCIÓN: Calcular lím x →0

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

sen ( 3 ( 0 ) )

sen ( 5 ( 0 ) )

=

0 (Indeterminación) 0

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación dividimos el numerador y el denominador entre x , y luego aplicamos el teorema principal de límites y la formula anterior: 3

  sen 3 x sen 3 x lím sen 3 x x→0 x =3 lím = lím x = x → 0 sen 5 x x → 0 sen 5 x sen 5 x 5 lím x→0 x x

 5

Ejemplo 3 1 − cos x x2 SOLUCIÓN:

Calcular lím x →0

1 P 1 − cos0 0 Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: = (Indeterminación) 02 0 Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente: 2 x

sen   1 − cos 2 x ⎡1 − cos x 1 + cos x ⎤ lím ⎢ lím • = 2 x→0 1 + cos x ⎥⎦ x → 0 x 2 (1 + cos x ) ⎣ x

⎛ sen 2 x sen 2 x ⎞ ⎛ 1 ⎞ = ⎜ lím 2 ⎟ ⎜ lím ⎟ x → 0 x (1 + cos x ) x →0 x → 0 1 + cos x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= lím

2

2

sen x ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ = ⎜ lím ⎟ ⎜ ⎟= ⎝ x→0 x ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

Ejemplo 4 Calcular lím

1 − cos ( kx )

x →0

x2

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 1 − cos ( k 0 ) 1 − cos ( 0 ) 1 − 1 0 = = = (Indeterminación) 02 0 0 0 Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente: ( )

  1 − cos 2 ( kx ) sen 2 kx

⎡1 − cos ( kx ) 1 + cos ( kx ) ⎤ lím ⎢ • ⎥ = lím x→0 1 + cos ( kx ) ⎦⎥ x → 0 x 2 (1 + cos ( kx ) ) x2 ⎣⎢ = lím x →0

sen 2 ( kx )

⎞ ⎛ sen 2 ( kx ) ⎞ ⎛ 1 = ⎜⎜ lím ⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ lím 2 x → x → 0 0 1 + cos ( kx ) ⎠ x (1 + cos ( kx )) ⎝ x ⎠⎝ 2

sen ( kx ) ⎞ ⎛ 1 ⎞ k 2 ⎛ = ⎜ lím ⎟ ⎜ ⎟= x→0 x ⎝2⎠ 2 ⎝

⎠ 2

k

37

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1 − cos ( k u ) k 2 = u →0 2 u2

Se puede decir que lím Ejemplo 5

1 − cos x x SOLUCIÓN:

Calcular lím x →0

1 − cos 0 0 = (Indeterminación) 0 0 Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades: 1 − cos 2 x ⎡1 − cos x 1 + cos x ⎤ lím ⎢ • = lím ⎥ x→0 x 1 + cos x ⎦ x → 0 x (1 + cos x ) ⎣

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

sen 2 x sen x sen x lím = lím x → 0 x (1 + cos x ) x →0 x x → 0 1 + cos x 0 ⎞ ⎛ ⎞⎛ P sen x ⎟ ⎜ sen 0 ⎟ 0 ⎜ = ⎜ lím ⎟= =0 x →0 x ⎟⎟⎜⎜ 1 + cos N0 ⎟ 2 ⎜ 1 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠

= lím

1 − cos ( k u ) =0 u →0 u

Se puede decir que lím Ejemplo 6 Calcular lím x→a

sen x − sen a x−a

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

sen a − sen a 0 = (Indeterminación) a−a 0

PRIMER MÉTODO:

Cambiando variable u = x − a . Entonces si x → a , u → 0 y además x = u + a Reemplazando y simplificando tenemos:

( )

  sen u + a

lím u →0

sen ( u + a ) − sen a u

( sen u cos a + cos u sen a ) − sen a = lím u →0

u

  sen u cos a + cos u sen a − sen a = lím u →0 u sen u cos a + ( cos u − 1) sen a = lím u →0 u ( cos u − 1) sen a sen u cos a = lím + lím u →0 u → 0 u u ⎡ ( cos u − 1) ⎤ sen u ⎤ ⎡ = cos a ⎢lím + sen a ⎢lím ⎥ u →0 u →0 u ⎥⎦ u ⎣ ⎣ ⎦ 1

= cos a (1) + sena (0) = cos a

SEGUNDO MÉTODO:

38

0

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

⎛ x+a⎞ ⎛ x−a⎞ ⎟ sen ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ x+a⎞ ⎛ x−a⎞ 2cos ⎜ ⎟ sen ⎜ ⎟ sen x − sen a 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ lím = lím x→a x→a x−a x−a Al denominador lo dividimos y multiplicamos por 2, y luego separamos los límites aplicando el teorema principal de límites (el límite del producto es el producto de los límites) ⎛x+a⎞ ⎛ x−a⎞ ⎛ x+a⎞ ⎛ x−a⎞ 2cos ⎜ 2cos ⎜ sen ⎜ ⎟ sen ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 2 ⎠ = cos a lím lím = lím x→a x → a x → a x−a x−a 2 2 2 2



Empleando la identidad: sen x − sen a = 2cos ⎜

1

Ejemplo 7 Calcular lím

1 + sen ( 32π x )

( x − 1)

x →1

2

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 + sen ( 32π )

(1 − 1)

2

=

1−1 0 = (Indeterminación) 0 0

Haciendo cambio de variable: u = x − 1 entonces x = u + 1 y si x → 1 entonces u → 0 Reemplazando y simplificando:

lím x →1

1 + sen ( 32π x )

( x − 1)

2

= lím

1 + sen ( 32π ( u + 1) ) u2

u →0

= lím

1 + sen ( 32π u + 32π ) u2

u →0

= lím

1 + sen ( 32π u ) cos ( 32π ) + cos ( 32π u ) sen ( 32π )

u →0

= lím

1 + sen (

3π 2

u2 u ) ( 0 ) + cos ( 32π u ) ( −1)

u →0

= lím u →0

1 − cos ( 32π u )

u2

u2

El último límite se lo puede calcular directamente con la formula lím

1 − cos ( k u )

u →0

u

2

=

k2 2

k ⎛P ⎞ 1 − cos ⎜ 32π u ⎟ ⎜ ⎟ ( 3π )2 9π 2 9π 2 ⎝ ⎠= 2 = 4 = lím u →0 u2 2 2 8

El resultado se lo puede comprobar, realizando todo el procedimiento lógico. Multiplicando por el conjugado y simplificando: ⎡1 − cos ( 32π u ) ⎤⎦ ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ 1 − cos 2 ( 32π u ) = lím ⎣ lím 2 2 u →0 u → 0 u ⎡1 + cos 3π u ⎤ u ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ ( 2 )⎦ ⎣ = lím u →0

sen 2 ( 32π u )

u 2 ⎣⎡1 + cos ( 32π u ) ⎦⎤

⎡ sen ( 32π u ) ⎤ 1 = lím ⎢ ⎥ lím u →0 u → 0 ⎡1 + cos 3π u ⎤ u ( 2 )⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣ 2

39

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Multiplicando y dividiendo por

3π y obteniendo límite: 2

⎡ 3π sen ( 3π u ) ⎤ 1 lím ⎢ 2 3π 2 ⎥ lím u →0 u ⎢⎣ ⎥⎦ u → 0 ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ 2 2

⎡ sen ( 3π u ) ⎤ 2 1 = ( 32π ) lím ⎢ 3π 2 ⎥ lím u →0 u ⎦⎥ u → 0 ⎡ ⎤ 2 ⎣⎢ ⎢1 + cos ( 32π u ) ⎥ 

⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦ 2

⎛ 3π ⎞ ⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠ 9π 2 = 8 2

Ejemplo 8 Calcular lím− x →0

x 1 − cos x

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

0− 1 − cos 0

=

0− (Indeterminación) 0

Multiplicando por el conjugado del radical, simplificando y luego calculando: x 1 + cos x x 1 + cos x lím = lím x → 0− 1 − cos x 1 + cos x x → 0− 1 − cos 2 x = lím−

x 1 + cos x

x →0

= lím−

sen 2 x 1 + cos x

x →0

sen 2 x x 1 + cos x = lím− x →0 sen x x 1 + cos x = lím− sen x x →0 − x 1 + cos 0 N 1 = sen x − x N 1

=− 2

40

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejercicios propuestos 1.6 Calcular: 1. 2. 3.

4. 5.

6.

lím

x → 0+

sen 2 x + tan 3 x x

7.

x sen x lím x→0 2 − 2 cos x 1 + sen 3x lím x → π2 x − π 2 2

3

+

(

8.

)

lím (1 − x ) tan π2 x

9.

tan (π x )

10.

x →1

lím

x →−2

π⎞ ⎛ sen ⎜ x − ⎟ 3⎠ ⎝ lím π 1 − 2cos x x→

x+2

⎛π ⎞ cot ⎜ − x ⎟ 2 ⎝ ⎠ lím x→0 tan ( 2 x )

arcsen x x arctan 2 x lím x → 0 sen 3 x

lím x→0

⎛π ⎞ cos ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠ lím x →1 1 − x

Otro tipo de límite interesante, cuyo resultado nos va ha resultar útil en el 1 cálculo de otros límites, es el de f ( x) = (1 + x ) x cuando x tiende a “ 0 ”. Hagamos una tabla de valores: x

y = (1 + x ) x

− 0.10

2.86797

− 0.05

2.7895

− 0.01

2.7319

7 0.01

7 2.7048

0.05

2.65329

0.10

2.5937

1

Se observa que: lím (1 + x ) x = e ¡HAY QUE DEMOSTRARLO! x →0 1

Fig. 1.11

e

y = (1 + x )

1

x

41

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Más generalmente tenemos que lím (1 + u )

1

= e donde u = u ( x) .

u

u →0

Ejemplo 1 Calcular lím (1 + sen x )

1

x

x →0

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos

(1 + sen 0) 10

= 1∞ (Indeterminación)

Para calcular el valor de esta indeterminación utilizamos lím (1 + u )

1

u

u →0

=e.

Si consideramos u = sen x , notamos que necesitamos en el exponente el recíproco de esta expresión, por tanto al exponente lo multiplicamos y dividimos por sen x :

(

lím 1 + sen x x →0

)

sen x ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ sen x ⎝ x ⎠

⎛ ⎞ 1 = lím ⎜ (1 + sen x ) sen x ⎟ x → 0 ⎜ 

⎟ e ⎝ ⎠

1

 sen x x

= e1 = e

Ejemplo 2 Calcular lím ( cos x )

1

x

x →0

SOLUCIÓN: Note que la expresión dada es una indeterminación de la forma Para utilizar lím (1 + u ) u →0

1

u

1∞ .

= e primero sumemos y restemos 1 a la base, es decir vamos a tener: lím (1 + (cos x − 1)) x →0

1

x

luego consideramos u = cos x − 1 y multiplicamos y dividimos al exponente por esta expresión:

⎡ ⎤ ⎥ lím ⎢(1 + ( cos x − 1) ) x → 0 ⎢ 

⎥ e ⎣ ⎦ cos x−1 x

cos x−1 x

0

  lím

= e x →0

cos x −1 x

Por tanto:

lím ( cos x ) x →0

1

x

= e0 = 1 .

Ejemplo 3 ⎛ 2 ⎞ Calcular lím ⎜ ⎟ x →1 x + 1 ⎝ ⎠ SOLUCIÓN:

x 2 + x +1 x2 − x

⎛ 2 ⎞ Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ⎜ ⎟ ⎝ 1+1⎠ Sumamos y restamos 1 a la base:

42

12 +1+1 12 −1

3

∞ ⎛ 2 ⎞0 = ⎜ ⎟ = (1) (Indeterminación) ⎝2⎠

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

⎛ 2 ⎞ lím ⎜ ⎟ x →1 x + 1 ⎝ ⎠

x 2 + x +1 x2 − x

⎛ ⎛ 2 ⎞⎞ = lím ⎜1 + ⎜ − 1⎟ ⎟ x →1 ⎝ ⎝ x +1 ⎠⎠

x 2 + x +1 x2 − x

⎛ ⎛ 2 − ( x + 1) ⎞ ⎞ = lím ⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟⎟ x →1 ⎜ ⎝ ⎝ x +1 ⎠⎠ ⎛ ⎛1− x ⎞⎞ = lím ⎜1 + ⎜ ⎟⎟ x →1 ⎝ ⎝ x +1⎠⎠

x 2 + x +1 x2 − x

x 2 + x +1 x2 − x

⎛ 1− x ⎞ ⎟: ⎝ x +1⎠

Multiplicamos y dividimos el exponente por ⎜

2 ⎛ 1− x ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 2 x − x ⎟⎠

1 ⎡ ⎤ ⎝ x +1 ⎠⎜⎝ ⎞ 1− x ⎥ ⎢⎛ ⎜ ⎛ 1 − x ⎞ ⎟ x u+ 1 ⎥ lím ⎢⎜ 1 + ⎜ ⎟⎟ ⎥ x →1 ⎢ ⎝ x +1⎠ ⎢⎜  ⎟ ⎥ u ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦

=e

=e

2 ⎛ 1− x ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞ lím ⎜ ⎟ ⎟⎜ x→1⎝ x +1 ⎠ ⎜ x 2 − x ⎟ ⎝ ⎠

⎛ − ( x −1) ⎞ ⎛ x 2 + x +1 ⎞ lím ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟ x →1 ⎝ x +1 ⎠⎝ x ( x −1) ⎠

=e =e

2 ⎛ −1 ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞ lím ⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ x→1⎝ x +1 ⎠ ⎜ x ⎝ ⎠ 2 ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1 +1+1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎝ 1+1 ⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠

=e



3 2

Ejemplo 4 3x ⎞ ⎛ Calcular lím ⎜ 4 − ⎟ x →k k ⎠ ⎝ SOLUCIÓN:

⎛π x ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x →k k ⎠ ⎝

⎛π x⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠

3k ⎞ ⎛ = ⎜4− ⎟ k ⎠ ⎝

⎛πk ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠

= ( 4 − 3)

⎛π ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝2⎠

= 1∞ (Indeterminación)

Cambiemos el 4 por 1+3 y multipliquemos y dividimos el exponente por el término que necesitamos:

3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝

⎛πx⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠

3x ⎞ ⎛ = lím ⎜1 + 3 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝

⎛π x ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠

⎛ 3x ⎞ ⎛ π x ⎞ ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟ k ⎠ ⎝ 2k ⎠

⎡ 1 ⎤⎝ ⎢⎛ ⎛ 3x ⎞ ⎞ 3− 3 x ⎥ = lím ⎢⎜1 + ⎜ 3 − ⎟ ⎟ k ⎥ x→k k ⎠⎠ ⎝ ⎢⎝

⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ e π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 3− 3 x ⎟ tan ⎜ x ⎟ k ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 2 k ⎟⎠

lím ⎜⎜⎝

= e x→k

Dediquémonos al exponente. Hagamos el cambio de variable u = x − k x → k entonces u → 0 .

de donde

x = u + k y si

43

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

⎛ 3 (u + k ) ⎞ ⎛ π (u + k ) ⎞ 3x ⎞ ⎛ ⎛πx⎞ lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟ tan ⎜ ⎟ ⎟ = lím ⎜ 3 − x →k k ⎠ k ⎝ ⎝ 2 k ⎠ u →0 ⎝ ⎠ ⎝ 2k ⎠ 3u + 3k ⎞ ⎛ ⎛ πu +π k ⎞ = lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟ u →0 k ⎠ ⎝ ⎝ 2k ⎠ π⎞ ⎛ 3k − 3u − 3k ⎞ ⎛π = lím ⎜ ⎟ tan ⎜ u + ⎟ u →0 2⎠ k ⎝ ⎠ ⎝ 2k

π⎞ ⎛π sen ⎜ u + ⎟ 2k 2⎠ ⎛ −3u ⎞ ⎝ = lím ⎜ ⎟ u →0 ⎝ k ⎠ cos ⎛ π u + π ⎞ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2k 0 1 P P π π ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sen ⎜ u ⎟ cos + cos ⎜ u ⎟ sen 3 2k ⎠ 2 2k ⎠ 2 ⎝ ⎝ = − lím ( u ) π π k u →0 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ cos ⎜ u ⎟ cos − sen ⎜ u ⎟ sen 2 2 ⎝ 2k ⎠ N ⎝ 2k ⎠ N 0

⎛π ⎞ cos ⎜ u ⎟ 3 ⎝ 2k ⎠ = − lím ( u ) k u →0 ⎛π ⎞ − sen ⎜ u ⎟ ⎝ 2k ⎠ 1

  ⎛ π P0 ⎞ ⎛ cos ⎜ u ⎟ ⎜ 2k ⎟ 3 3⎜ 1 ⎝ ⎠ = lím ( u ) = ⎜ k u→0 ⎛ ⎛ π ⎞⎞ k ⎜ π sen ⎜ u ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2k π ⎜⎜ ⎝ 2k ⎠ ⎟ u π 2k ⎜ ⎟ u ⎟ ⎜ 2k ⎝



1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠

1

3x ⎞ ⎛ ⎛πx⎞ 6 lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟= x →k k ⎠ ⎝ ⎝ 2k ⎠ π

3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x →k k ⎠ ⎝

Finalmente:

⎛π x⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠

6

= eπ

Ejemplo 5 a kx − 1 x →0 x SOLUCIÓN:

Calcular lím

Sustituyendo tenemos

a k (0) − 1 0 = . 0 0

Considerando u = a kx − 1 , entonces x =

1 k ln a

ln(u + 1) y si x → 0 también u → 0

Haciendo cambio de variable, tenemos:

lím u →0

1 k ln a

⎛ ⎞ u u u = lím k ln a = k ln a ⎜⎜ lím ⎟ u → 0 ln ( u + 1) ⎟ ln ( u + 1) u → 0 ln ( u + 1) ⎝ ⎠

Multiplicando, numerador y denominador por

1 , resulta: u

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ( )u ⎞ 1 1 1 ⎜ ⎟ k ln a ⎜ lím 1 = k ln a ⎜ lím = k ln a = k ln a = k ln a 1 ⎟ ⎜ u → 0 ln ( u + 1) ⎟⎟ u →0 u ln e 1 ln ⎡( u + 1) ⎤ ⎟ u ⎝ ⎠ ⎜ ⎣ ⎦ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ e 1 u

44

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

ak u −1 = k ln a puede ser utilizado para calcular otros límites. u →0 u

El resultado lím

Ejemplo 4 32 x − 1 x →0 x SOLUCIÓN:

Calcular lím

Empleando el resultado anterior:

32 x − 1 = 2 ln 3 x →0 x

lím

Ejemplo 5 32 x − 54 x x →0 x SOLUCIÓN:

Calcular lím

Primero restamos y sumamos 1 al numerador y luego separamos para calcular los límites:

32 x − 54 x 32 x − 1 − 54 x + 1 = lím x →0 x →0 x x 32 x − 1 − ( 54 x − 1) = lím x →0 x 2x 3 −1 54 x − 1 = lím − lím x →0 x 0 → x x 32 x − 54 x = 2 ln 3 − 4ln 5 lím x →0 x lím

Ejercicios Propuestos 1.7 Calcular: 1.

lím (1 + tan x )

2.

lím (1 + cos x ) x→

8. lím csc x

π

9.

2

3.

lím ( cos x )

4.

lím ( sen x )

1

x2

x →0

x →π

tan x

10.

2

x2 + x + 2

5.

e3 x − 1 x →0 x

csc x

x →0

⎛ 4 ⎞ x2 − 2 x − 3 lím ⎜ ⎟ x →3 x + 1 ⎝ ⎠

11. 12.

x2 + 2 x + 6

6.

⎛ 3 ⎞ x2 − x − 2 lím ⎜ ⎟ x→2 x + 1 ⎝ ⎠

7.

lím ( 4 − 3x ) x →1

⎛π ⎞ tan ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠

e ax − e bx x →0 sen 3 x e 2 x − e3 x lím x →0 tan x lím

2 ax − 2 bx x →0 x a x + h + a x − h − 2a x lím ;a > 0 h→0 h lím

13.

lím ( x + e x )

14.

lím

x →0

x →0

1

x

ln ( cos ( ax ) ) ln ( cos ( bx ) )

Para otros tipos de límites habrá que extremarse con el uso de los recursos algebraicos.

45

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1 Demuestre que lím x →0

n

1+ k x −1 k = x n

SOLUCIÓN: Por producto notable se puede decir que:

⎡⎣(1 + kx ) − 1⎤⎦ =

(

n

=

(

n

)(

1 + kx − n 1 ⎡ n 1 + kx ⎢⎣

)(

)

n −1

)

+

(

n

1 + kx

(

) ( 1) + ( n−2

1

n

n

1 + kx

) ( 1) n −3

n

2

+"+

( 1) n

n −1

⎤ ⎥⎦

)

n −1 n−2 + n 1 + kx + " + 1⎤ 1 + kx − 1 ⎡ n 1 + kx ⎢ ⎣

⎦⎥ n términos

Entonces, multiplicando por el factor racionalizante, simplificando y calculando el límite: 1+ k x −1 = lím lím x →0 x→0 x n

= lím x→0

= lím x→0

= lím x→0

= =

(

n

(

n

) • ⎡⎢⎣( ⎡ ( ⎣⎢

1+ k x −1 x

n

) 1 + kx ) 1 + kx

(1 + k x − 1)

(

)

n −1

(

)

n −1

x ⎡ n 1 + kx ⎣⎢

n

+

(

+

(

n

1 + kx

n −1

n −1

( +( +

n

n

) 1 + kx ) 1 + kx

)

n−2

+ " + 1⎤ ⎦⎥

)

n−2

+ " + 1⎤ ⎦⎥

n−2

n−2

+ " + 1⎤ ⎥⎦ + " + 1⎤ ⎦⎥

kx x ⎡ n 1 + kx ⎣⎢

(

n

+

(

) (

n

1 + kx

1 + k (0)

)

n −1

n−1

+

n

1 + kx

k n

1 + kx

)

n− 2

k 1 + k ( 0)

)

+" +1

n−2

+"+1

k 1 +1+ "+

1 n veces

1+ k x −1 k lím = x →0 x n n

⎡ n 1 + k u − 1⎤ k ⎥ = puede u →0 u ⎣⎢ ⎦⎥ n

El resultado anterior puesto de forma general lím ⎢ ser utilizado para calcular rápidamente otros límites. Ejemplo 2 27 − x − 3 x SOLUCIÓN:

Calcular lím

3

x →0

Aunque este límite se lo puede calcular empleando el factor racionalizante para diferencia de cubos (no deje de hacerlo), vamos a emplear el resultado que obtuvimos en el ejercicio anterior. 27 − x − 3 lím = lím x →0 x →0 x

27 ( 27 − x ) x 3 −3 27 3 1 − −3 27 27 = lím x →0 x x

3

3

⎛ 1 ⎞ Pn 1 + − ⎜ ⎟ x −1 ⎛ 1 ⎞ 3 1 27 ⎠ ⎝

3 1+ ⎜− ⎟ x − 3 − ⎝ 27 ⎠ k 27 = lím = 3lím =3 x →0 x→0 3 x x 3 27 − x − 3 1 =− lím x →0 27 x 3

46

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 3 Calcular lím

5

x →30

x+2 −2 x − 30

SOLUCIÓN: Primero es necesario un cambio de variable, de modo que la nueva variable tienda a tomar el valor de cero, para poder utilizar la formula. Hagamos u = x − 30 de donde x = u + 30 y u → 0 . Reemplazando, simplificando y calculando el límite: 5

lím

x → 30

5 5 x+2 −2 u + 30 + 2 − 2 u + 32 − 2 = lím = lím 0 0 u → u → x − 30 u + 30 − 30 u

32 ( u + 32 ) u 32 3 −2 + −2 32 5 32 32 32 = lím = lím u →0 u →0 u u ⎛ ⎞ 1 1 2 ⎜⎜ 5 1 + u − 1⎟⎟ 2 5 1+ u − 2 32 32 ⎠ = lím = lím ⎝ u →0 u →0 u u 1 ⎛ 1 ⎞ 5 1+ u −1 ⎜ ⎟ 32 = 2 lím = 2 ⎜ 32 ⎟ u →0 5 u ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ 5

5

lím

x → 30

x+2 −2 1 = 80 x − 30

Ejemplo 4 ⎛ 4 1 + 2 x − 1 − 3x ⎞ Calcular lim ⎜⎜ ⎟⎟ 3 x →0 1− x −1 ⎝ ⎠

SOLUCIÓN: Restamos y sumamos 1 al numerador, dividimos para x y luego separaramos los límites: 4

lim x →0

4 1 + 2 x − 1 − 3x 1 + 2 x − 1 − 1 − 3x + 1 = lim 3 3 x → 0 1− x −1 1− x −1 4

= lim x →0

1 + 2x −1 − 3

(

)

1 − 3x − 1

1− x −1

1 + 2x −1 1 − 3x − 1 − x x = lim 3 x →0 1− x −1 x 4 1 + 2x −1 1 − 3x − 1 lim − lim x →0 x →0 x x = 3 1− x −1 lim x →0 x 2 ⎛ 3⎞ − − 4 1 + 2 x − 1 − 3 x ⎞ 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = = −6 ⎟ 3 ⎟ 1 1− x −1 ⎠ − 3 4

⎛ lim ⎜⎜ x →0 ⎝

47

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 5 ⎛ 4 14 + 2 x − 2 4 − 3x ⎞ Calcular lim ⎜⎜ ⎟⎟ 3 x →1 2 − x −1 ⎝ ⎠

SOLUCIÓN: Aquí u = x − 1 de donde x = u + 1 y u → 0 . Reemplazando, simplificando y calcular el límite: 4

lim x→1

4 14 + 2 ( u + 1) − 2 4 − 3 ( u + 1) 14 + 2 x − 2 4 − 3x = lim 3 u → 0 3 2 − ( u + 1) − 1 2 − x −1

= lim

4

14 + 2u + 2 − 2 4 − 3u − 3 3 2 − u −1 −1

4

16 + 2u − 2 1 − 3u 3 1− u −1

u →0

= lim u →0

16 (16 + 2u ) − 2 1 − 3u 16 = lim 3 u →0 1− u −1 4

u − 2 1 − 3u 8 3 1 − u −1

2 4 1+ = lim u →0

⎛ ⎞ u 2 ⎜⎜ 4 1 + − 1 − 3u ⎟⎟ 8 ⎠ = lim ⎝ 3 u →0 1− u −1 4

= 2 lim u →0

4

1+

= 2 lim u →0

u − 1 − 3u 8 3 1− u −1

1+

u − 1 − 1 − 3u + 1 8 3 1 − u −1

u −1 ⎛ 1 − 3u − 1 ⎞ 8 − ⎜⎜ ⎟⎟ u u ⎝ ⎠ = 2 lim 3 u →0 1− u −1 u u 4 1+ −1 ⎛ 1 − 3u − 1 ⎞ 8 lim − lim ⎜⎜ ⎟⎟ u →0 u →0 u u ⎝ ⎠ =2 3 1− u −1 lim u →0 u 1 1 3 8 − ⎛ −3 ⎞ + ⎜ ⎟ 4 14 + 2 x − 2 4 − 3x 4 ⎝ 2 ⎠ 32 2 = −6 ⎛ 49 ⎞ = − 147 lim 2 2 = = ⎜ ⎟ 3 x→1 1 1 − 16 2 − x −1 ⎝ 32 ⎠ − 3 3 4

1+

Ejercicios Propuestos 1.8 Calcular: 3

1. 2.

48

lím

x →6

x+2 − x−2 x+3 −3

⎛ 3 x + 26 − 4 80 + x ⎞ ⎟ lím⎜⎜ ⎟ x →1 x+8 −3 ⎝ ⎠

3.

⎛ x + 2 − 3 x + 20 ⎞ ⎟ lím⎜⎜ ⎟ 4 x →7 x+9 −2 ⎝ ⎠

4.

lím+

x→2

3x − 2 − 3 3x + 2 4 − x2

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1.5 LÍMITES AL INFINITO. En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una función cuando la x toma valores muy grandes, diremos cuando x tiende al infinito. Suponga que f se aproxima a tomar un valor L cuando la variable x toma valores muy grandes, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím f ( x ) = L x →∞

Ejemplo 1

Fig. 1.12

Formalmente sería:

Decir que lím f ( x) = L significa que x→∞

f

puede estar tan cerca de L, tanto como se pretenda estarlo ( ∀ε > 0 ), para lo cual deberá poderse determinar el intervalo en el cual tomar a x, ∃N (una número muy grande), que lo garantice. Es decir:

( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0 x →∞

tal que

x > N ⇒ f ( x) − L < ε

49

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 2

Fig. 1.13

Suponga ahora que f se aproxima a tomar un valor L cuando la x toma valores muy grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím f ( x) = L . x →−∞

Ejemplo 1

Fig. 1.14

Formalmente sería:

Decir que lím f ( x) = L significa que f x→−∞

puede estar tan cerca de L , tanto como se pretenda estarlo, ∀ε > 0 , para lo cual deberá poderse determinar el intervalo en el cual tomar a x , ∃N (una número muy grande), que lo garantice. Es decir:

( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0 x →−∞

50

tal que

x < − N ⇒ f ( x) − L < ε

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 2

Fig. 1.15

Observe que para los casos anteriores significa que la gráfica de f tiene una asíntota horizontal y = L . Aquí también podemos hacer demostraciones formales.

Ejemplo Demostrar formalmente que lím

x→∞

1 =0 x

SOLUCIÓN:

Empleando la definición tenemos:

1 ⎛ ⎞ ⎜ lím = 0 ⎟ ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0 tal que ⎝ x →∞ x ⎠ Transformando el antecedente:

x>N⇒

1 −0 N 1 1 < x N

Se observa que tomando N =

1

ε

aseguraríamos el acercamiento. Siempre y cuando ε sea un número

pequeño que origine un N muy grande. 1 1 esté a menos de ε = 0.01 de 0, bastaría con tomar a x > Por ejemplo si se quisiera que y = 0.01 x es decir x > 100 .

Para calcular límites al infinito, usualmente un recurso útil es dividir para x de mayor exponente si se trata de funciones racionales.

51

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1 2 x 2 + 3x − 1 x →∞ 5 x 2 + x − 1

Calcular lím

SOLUCIÓN: Aquí se presenta la indeterminación:

∞ ∞

Dividiendo numerador y denominador para x 2 , tenemos:

2 x 2 3x 1 3 1 2+ − 2 + 2− 2 2 x x x x x = 2 (No olvide que = lím lím 2 x →∞ 5 x x →∞ 1 1 x 1 5+ − 2 5 + 2− 2 2 x x x x x Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) =

2 x 2 + 3x − 1 5x2 + x − 1

k ≈ 0 ;k ∈ \ ∞

)

tiene una asíntota horizontal

y=

2 5

Ejemplo 2 Calcular lím

x →+∞

x −1 x + x +1 2

SOLUCIÓN: Aquí se presenta la indeterminación:

∞ ∞

Dividiendo numerador y denominador para x : lím

x →+∞

x −1 x 2 x + x +1 x

Al introducir la x dentro del radical quedará como x 2 :

lím

x →+∞

x 1 1 − 1− x x x = lím =1 x →+∞ 1 1 x2 x 1 + + 1 + + x x2 x2 x2 x2

Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) =

x −1 x2 + x + 1

tiene una asíntota horizontal

infinito positivo.

Ejemplo 3 Calcular lím

x →−∞

x −1 x + x +1 2

SOLUCIÓN: Ahora se presenta la indeterminación:

−∞ ∞

Aquí hay que dividir numerador y denominador para − x : lím

x →∞

52

x −1 −x x2 + x + 1 −x

y =1

en el

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Al introducir la − x dentro del radical quedará como x 2 :

x 1 1 − −1 + −x −x x = −1 = lím 2 x →−∞ 1 1 1 x x 1+ + 2 + 2+ 2 2 x x x x x

lím

x →−∞

x −1

Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) =

x2 + x + 1

tiene una asíntota horizontal y = −1 en el

infinito negativo.

Ejemplo 4 Calcular lim

x →+∞

(

x2 + x + 1 − x2 − x − 1

)

SOLUCIÓN: Ahora se presenta la indeterminación: ∞ − ∞ . Vamos primero a racionalizarla y luego dividimos para el x con mayor exponente:

lim

x →+∞

(

= lim

)

x2 + x + 1 − x2 − x − 1 ⋅

(x

+ x + 1) − ( x 2 − x − 1)

2

x2 + x + 1 + x2 − x − 1 x2 + x + 1 + x2 − x − 1 = lim

2 ( x + 1)

x + x +1 + x − x −1 x + x + 1 + x2 − x − 1 1 1+ ⎛1⎞ x = 2 lim = 2⎜ ⎟ = 1 x →+∞ 1 1 1 1 ⎝2⎠ 1+ + 2 + 1− − 2 x x x x x →+∞

2

2

x →+∞

2

En otros ejercicios de cálculo de límite al infinito se puede requerir emplear la

identidad: lím (1 + u →∞

)

1 u u

= e ¡DEMUÉSTRELA!

Ejemplo Calcular lím (1 + 2x ) . x

x→∞

Solución: Para utilizar la forma anterior, transformamos el límite:

( )

⎡ lím ⎢ 1 + x →∞ ⎣

Se puede concluir que: lím (1 + u →∞

)

k u u

1 x 2

x 2

2

⎤ 2 ⎥ =e ⎦

= ek

53

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejercicios propuestos 1.9 1. Demostrar formalmente que lím

x → −∞

1 =0 x

2. Calcular: 1. 2.

5 x3 − 3x 2 + 4 x − 3 x →∞ x3 + 3x + 1 3x lím x →−∞ 2 x 2 − 5 x + 1

lím

(2 x + 3) (3x − 2) 3

3. 4.

5.

lím

x →∞

lím

13. 14.

15.

x+3 x

16.

x →∞

x

lím

x →∞

x+ x+ x

x2 + 1 lím x →∞ x +1 2 ( x − 3)( 3x + 5 )( 4 x − 6 ) lím x →∞ 3x3 + x − 1 x sen (x!) lím x→∞ x 2 + 1 3x − 3 lím x →∞ x2 + 1 3

6. 7. 8. 9.

10.

lím

x →−∞

11.

lím

12.

lím

x →∞

x →−∞

x →−∞

lím

x →−∞

2

x5 + 5 (2 x + 3)

5x x−2

3x3 + 2 x 2 − x + 1 x3 − 8

17. 18. 19. 20. 21.

2x2 −1 3x x−5

lím

lím

x2 + 2 3x + 1

x →−∞

lím

x2 −1 5 x3 − 1

x →−∞

2 + x6

lím x 2 + x − x x →∞

(

lím x x 2 − 1 − x

x → +∞

)

( x + x +1 − x − x ) lím ( x − x − x + 2 ) 2

lím

2

x →∞

2

x →+∞

lím

x →+∞

x

4

(

2

x+3− x+2

)

x

22.

⎛ x −1⎞ lím ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x + 1 ⎠

23.

⎛ x −1 ⎞ lím ⎜ ⎟ x →∞ x + 3 ⎝ ⎠

24.

⎡ ⎛ x + 2 ⎞⎤ lím ⎢ x ln ⎜ ⎟ x →∞ x − 5 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎣

x+2

x2 + 1 x

1.6 LÍMITES INFINITOS Suponga que cuando x toma valores próximos a un punto x0 , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes positivo; es decir

lím f ( x) = ∞ . Diremos, en este caso, que f crece sin límite o que f no x→ x 0

tiene límite en x0 .

54

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Sea M un número muy grande positivo. Entonces lím f ( x) = ∞ significa que cuando x→ x0

a x está próxima a " x0 “, a una distancia no mayor de ∂ ( 0 < x − x0 < ∂ ), f

será

mayor que M. Es decir: ⎛ ⎞ ⎜ lím f ( x) = ∞ ⎟ ≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ f ( x) > M ⎝ x → x0 ⎠

Ejemplo

Fig. 1.16

Puede ocurrir también que cuando la x toma valores próximos a un punto x0 , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes negativos; es decir lím f ( x) = −∞ . Diremos, en este caso, que f decrece sin x → x0

límite o que f no tiene límite en x0 . Es decir:

Sea M una cantidad muy grande positiva. Entonces: ⎞ ⎛ ⎜ lím f ( x) = −∞ ⎟ ≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) < − M x → x 0 ⎠ ⎝

55

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo

Fig. 1.17

Para otro caso, puede ocurrir que cuando la x toma valores próximos a un punto x 0 , sólo por su derecha, f toma valores muy grandes; es decir lím+ f ( x) = ∞ . Lo cual significa: x → x0

Sea M un número muy grande positivo. Entonces: lím f ( x) = ∞

x → x0 +

≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) > M

Ejemplo

Fig. 1.18

Observe que este comportamiento significa que la gráfica tiene una asíntota vertical x = x0 .

56

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1 Calcular lim x →1

1

( x − 1)

2

SOLUCIÓN:

Empleando el teorema de sustitución: 1 1 1 lim = = = +∞ (No existe) 2 2 x →1 ( x − 1) (1 − 1) 0 La gráfica de f ( x ) =

1

( x − 1)

2

tiene una asíntota vertical x = 1 y tanto por izquierda como por derecha la grafica

crece sin límite.

Ejemplo 2 Calcular lim+ x→2

x+3 x−2

SOLUCIÓN: Empleando el teorema de sustitución:

lim+

x→2

x + 3 2 + + 3 5+ = = = +∞ (No existe) x − 2 2 + − 2 0+

x+3 La gráfica de f ( x ) = tiene una asíntota vertical x = 2 y por su derecha la grafica crece sin límite. x−2 PREGUNTA: ¿Qué ocurre a la izquierda?.

Se pueden describir otros comportamientos.

1.7 OTROS LÍMITES. Para decir lím f ( x) = ∞ , f x →∞

toma valores muy grandes positivos cada vez

que la x toma valores también grandes positivos; debemos asegurar que: ∀M > 0, ∃N > 0 tal que

x > N ⇒ f ( x) > M

Ejemplo

Fig. 1.19

57

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1.7.1 Asíntotas Oblicuas. Si se observa que lím ⎡⎣ f ( x) − ( mx + b ) ⎤⎦ = 0 se dice que la gráfica de f tiene x →∞ por asíntota oblicua la recta y = mx + b . En tal caso los siguientes límites existen: ⎡ f ( x) ⎤ m = lim ⎢ ⎥ x →∞ ⎣ x ⎦

b = lim ⎡⎣ f ( x ) − mx ⎤⎦ ¿PORQUÉ?

y

x →∞

Y sería la manera de calcular los elementos de la recta. y

+ mx y=

b y = f ( x)

Fig. 1.20

x

Ejercicios Propuestos 1.10 1.

Defina formalmente y describa gráficamente: a) lím f ( x) = −∞ x → x0 +

b) c) d) e) f) 2.

lím f ( x) = −∞

x → x0 −

lím f ( x) = −∞

x →∞

lím f ( x) = ∞

x → −∞

lím f ( x) = −∞

x → −∞

Demuestre formalmente que: a) b)

58

lím f ( x) = ∞

x → x0 −

1 = +∞ x 1 lím = −∞ x →0 − x

lím

x →0 +

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

3.

Calcular:



1 ⎤

1. lim+ ⎢1 + x →1 ⎣ x − 1 ⎥⎦

x6 x +1 6 − 4 x 2 + x3 7. lim x →∞ 4 + 5 x − 7 x 2 6. lim

⎡ x ⎤

2. lim− ⎢ x →1 ⎣ x − 1 ⎥ ⎦ 3. lim− x →3

x+3 x2 − 9 x2 + 1

4. lim− x →−7

5. lim+ x→4

4.

5.

x →∞

9. lim

1 − 2x

10. lim

1 + x5 x

x →−∞

x 2 − 49 x 2 − 16 4− x

x →∞

) [

(

] (

)



f ( x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −1



∀N > 0, ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < −2 − x < ∂ ⇒ f ( x) > N ]



∀N > 0, ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) > N ]



∀ε > 0, ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε ⎤⎦



∀ε > 0, ∃M > 0 , ∀x ⎡⎣ x < − M ⇒ f ( x) − 1 < ε ⎤⎦



f (0) = 1

Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes: • ∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 1 < ε

[

]

∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣ 0 < − x < ∂ ⇒ f ( x) + 1 < ε ⎤⎦ ∀ε > 0 ∃N > 0, ∀x x > N ⇒ f ( x) < ε



[ ] ∀M > 0 ∃∂ > 0, ∀x[0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M ]



f (0) = 0



Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes: •

∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 2 < ε ⎤⎦ ∀N > 0 ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > N ]



∀N > 0 ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < − x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) < − N ]



∀ε > 0 ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x > M ⇒ f ( x) − ( 2 x + 1) < ε ⎤⎦



∀ε > 0 ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x < − M ⇒ f ( x) < ε ⎤⎦



7.

8. lim 2 x

Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • Dom f = −∞,−2 ∪ −1,1 ∪ 2,+∞



6.

5

x →−∞

Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes: •

∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε ⎤⎦ ∀N > 0 ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − N ]



∀N > 0 ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) > N ]



∀ε > 0 ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x < − M ⇒ f ( x) + x − 1 < ε ⎤⎦



∀ε > 0 ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x > M ⇒ f ( x ) + 1 < ε ⎤⎦



59

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Misceláneos 1.

Califique cada una de las proposiciones siguientes como verdadera o falsa. Justifique formalmente. 1.

Si

2.

Si

f ( x) − 5 = 3 , entonces lím f ( x) = 0 x→2 x−2 f y g son funciones tales que lím f ( x) = 1

lím x→2+

+

lím f ( x)

x →0 +

3.

Sea

x →0+

entonces

=1

una función de variable real tal que

f

lím g ( x) = ∞ ,

y

x →0 +

g ( x)

existe y

lím f ( x)

x→a +

lím x→a +

x−a = 1 . Entonces f ( x)

lím f ( x) = 0 .

x→a +

4.

f

lím

f ( x) g ( x)

Sean

f

x→a +

5.

y

Sean

g

funciones tales que

lím f ( x) = ∞

y

lím g ( x) = e

y

x→a +

lím g ( x) = ∞ .

x→a +

Entonces el

no existe. y

g

funciones tales que

lím ( f D g )( x) = 1

x→a +

f ( x) = ln (g ( x) ) .

Entonces

x→a +

6.

Si lím

x →0+

7.

Si

8.

Si

9.

Si

10. Si

f ( x) = 1 entonces lím f ( x) = 0 x x →0 +

[ f ( x) + g ( x)] lím x→a f ( x) ≠ g (x )

existe, entonces existen

para toda

lím g (x ) x→a

x , entonces lím f ( x) ≠ lím g (x ) x→a x→a

(

lím

x→a +

x − x−a −a

(

))

2

x−a

existe entonces

12. Si

[ f ( x) g ( x )] lím x→ a

existe y

13. Si

lím f ( x) = +∞ x→a

entonces

14.

y

⎡ f ( x) ⎤ lím ⎢ f ( x) = 0 entonces lím g ( x) = 0 ⎥ existe y lím x→a x→a x→a ⎣ g ( x) ⎦ f y g son funciones definidas en IR entonces: ∀a ∈ IR lím f ( g ( x)) = f lím g ( x) x→a x→a 2

11. Si

lím f ( x) x→ a

lím f ( x) x→a

a = 0.

existe entonces

lím g ( x) x→ a

existe.

lím f ( x) = −∞

x→−a

( lím (3x − 1) = 2) ⇔ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣0 < x − 1 < ∂ ⇒ (3x − 1) − 2 < ε ⎤⎦ x →1

15. Si lím f ( x) = 0 y lím g ( x) = ∞ entonces lím f ( x) g ( x) = 0 . x →0 +

x →0 +

16. Existen dos funciones de variable real

x →0 +

f

y

g

tales que

lím f ( x) = lím g ( x) = 0 y

x →0+

x →0+

f ( x) lím =e + ( x) g x →0 ⎛ f ( x) ⎞ g ( x) = 0 ⎟ = 2 entonces lím x →∞ ⎝ g ( x) ⎠

17. Si lím f ( x) = 0 y lím ⎜ x →∞

x →∞

18. No existen dos funciones f y g tales que lím f ( x ) = 0 , lím g ( x ) = 0 y lím x→0

x→0

19. Si lím f ( x) = 3 , lím g ( x) = −2 , entonces lím x→a

60

x→a

x →a 3

x→0

f ( x) + g ( x) − 1 f ( x) + g ( x) − 1

f ( x) =5 g ( x)

=1

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

2.

Empleando la definición de límite, demuestre que:

x⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ = 2 x→4 2⎠ ⎝

1.

+

2. 3.

3.

lím

2x2 − x − 1 =3 x −1

lím

x2 − 4 = −4 x+2

x →1+

x → −2 +

4.

lím x − 3 = 0

5.

lím x − 1 = 2

x →3+

x →5+

Determine 1.

lím ced x 2 + 2 x fhg

x → 3+

e − cos 2 x sen 4 x cos x − cos 3x lím x →0 x2 3x

2.

3.

4.

6.

⎡ 2x + 3 ⎤ lím ⎥ x → +∞ ⎢ ⎣ 2x − 5 ⎦

3x

lím

x →1+

xe x − e x −1

tan

9.

lím+ ( sen 2 x )

14.

4

tan 2 2 x

π

4

lím x →0

e 2 x − cos 3x sen 5 x

lím ⎣⎡ln ( 2 x + 1) − ln ( x + 2 ) ⎤⎦

x →+∞

⎡ ⎛ x ⎞⎤ lím ⎢arctan ⎜ ⎟⎥ 2 ⎝ 1 + x ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢

x →−∞

(

ln 1 + e x x x → +∞ lím

lím

x 2 −1

15. lím+ (1 + cot x ) x→

)

x 2 − x −1 −1

x →1+

lím

23.

⎛ arcsen x − arcsen 12 ⎞ ⎟⎟ lím1 ⎜⎜ x − 12 x→ ⎠ 2⎝

2x − x 2 −1

x →1

sen x x

x→0

πx

8.

x→

22.

25. lím+ ⎡⎣Sgn( x ) (a x + 1b + μ ( x − 1) ) ⎤⎦

⎡ π − 2arctan x ⎤ ⎥ lím ⎢ 3 x →∞ ⎢ ⎥ x e −1 ⎣ ⎦

13.

x −1

x →0

3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x → 2+ ⎝ 2 ⎠

12.

x −1

x →1

24. lím+

⎛ cos x ⎞ ⎟ lím ⎜ π + π ⎜ x− 2 ⎟ ⎠ ⎝ x→

⎤ 1⎞ ⎟ − sen x ⎥ x⎠ ⎦

arctan ( x 2 ) − arctan1

21. lím+

+

7.

11.





x →0+

2

10.



lím

2

5.



20. lím ⎢sen⎜ x + x →∞

sec x

π

2

16. lím f ( x ) x →0

donde

⎧1 − cos3x ;x < 0 ⎪ x2 ⎪ 5 ;x = 0 f ( x) = ⎨ ⎪ sen10 x − tan x ⎪ ;x > 0 sen 2 x ⎩

26.

sen (sen x ) x

lím x→0+

(a xb + a− xb) 28. lím (π − x ) tan ( ) π 27. lím x →0

x 2

x→

x2 + 2 x + 5

⎛ 3 ⎞ x2 − x − 2 29. lím ⎜ ⎟ x→2 x + 1 ⎝ ⎠ 3 30. lím ⎡ x 2

x →+∞

⎣⎢

(

)

x3 + 1 − x3 − 1 ⎤ ⎦⎥

⎛ sen ( x −

⎞ 6) ⎟⎟ x cos − ⎝ ⎠ 1 − cos x 2 32. lím 2 x → 0 x sen x 2 31. límπ ⎜ ⎜ x→ 6

π

3 2

33. lím (1 + 2 x ) 2ln x 1

x →+∞

⎛ x −8⎞ ⎜ 3 x − 4 ⎟⎟ ⎝ ⎠

34. lím ⎜ x → 64

1

⎛ 1 + 5x ⎞ 2x 35. lím ⎜ ⎟ x →0 1 − 3x ⎝ ⎠ 36. lím (1 − cos x ) cot x x→0

⎛ xe −5 x − cos 2 x − x + 1 ⎞ ⎟ x→0 x2 ⎝ ⎠

37. lím ⎜

⎛ e3 x − cos 2 x ⎞ ⎟ ⎝ sen 5 x − x ⎠

38. lím ⎜ x→0



x ⎞ ⎟ ⎝ 1− x − 1+ x ⎠

39. lím ⎜ x→0

61

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

e 2 x − e7 x x → 0 sen 2 x + tan 9 x ⎡ 1 1 ⎤ − 18. lím ⎢ ⎥ + x →1 ⎣ ⎢ x − 1 x − 1 ⎦⎥

40. lím

17. lím+

x →∞

(

3

x +1 − 3 x

⎛ x+a⎞ ⎟ ⎝ x−a⎠

41. lím ⎜ x →∞

⎛ x sen 3x ⎞ ⎟ ⎠

19. lím ⎜

x → 0 + ⎝ 1 − cos 2 x

Calcular

5.

Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • ∀ε > 0, ∃∂ > 0 : 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε

6.

lím f ( x) x→0 +

si



∀N > 0, ∃∂ > 0 : 0 < x + 3 < ∂ ⇒ f ( x) > N

• •

∀N > 0, ∃∂ > 0 : 0 < −3 − x < ∂ ⇒ f ( x) < − N ∀ε > 0, ∃M > 0 : x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε



∀ε > 0, ∃M > 0 : x < − M ⇒ f ( x) < ε

Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • Dom f = ( −∞, −1) ∪ ( −1,1) ∪ (1, +∞ ) •

[

∀ε > 0, ∃∂ > 0 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) < ε

]



∀M > 0, ∃∂ > 0 [0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] ∀M > 0, ∃∂ > 0 [0 < 1 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]



∀M > 0, ∃∂ > 0 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M



∀ε > 0, ∃N > 0 x > N ⇒ f ( x) + 1 < ε





62

f ( x) < 1 para x ≠ 0 x

4.

[

[ ∀ε > 0, ∃N > 0 [x < − N ⇒

f ( x) < ε

]

]

]

x

)

Respuestas

Moisés Villena Muñoz

CAPITULO 1: Límites Ejercicios Propuestos 1.1 1. a) ∂ =∈ f)

b) ∂ =

∈ 2

∂ =∈

c) ∂ =∈

[

g) ∂ =∈ 7

2

3

d) ∂ =

( ) + 4]

+27

1

∈ 2

e) ∂ =

∈ 2

( 2 + 2)

3

h) ∂ =∈ 3 (a − 1)2 + 3 a (a − 1) + a 2 3

2. a) ∂ = 0.003

(

b)

∂=

)

1 10 2a + 1

c) ∂ = 0.08

8

3. ∂ = 0.01 8 + 3 = 0.05 4. 0.9 < x < 1.1

Ejercicios Propuestos 1.2 3. a) lím f ( x) = no existe

b)

x →1

c) lím f (x ) = −3

lím f (x ) = no existe

x → −2

lím f ( x ) = 1 x →2

d) lím f (x ) = no existe

x→2

x →0

lím f ( x) = −

e) lím f ( x) = no existe x → −1

x→− 5

2

11 2

Ejercicios Propuestos 1.3 3. a) V

b) F

c) V

d) F

e) F

f) F

g) F

Ejercicios Propuestos 1.4 1) 2 6) 0

2) 1 7) 1

3) -2 8)0

4) 0 9) -1

3) 12

4)

8)

9)

5) -1 10) 1

Ejercicios Propuestos 1.5 1) 6

2)

− 14

6)

4 5

7)

15 2

11)

1 9

12) 1 − a

16)

1

1 4

13)

1 9

− 15 1 2

14)

11 9

5)

1 2

10)

1 12

15)

1 72

Ejercicios Propuestos 1.6 1) 5

2) 1

6) π

7)

3) 9

3 3

4) 2

2

8) 1

2

5) π

π

9) 1

10) 2

4) 1

5)

3

Ejercicios Propuestos 1.7 1)

e

2)

6)

e −2

7) e

3) e

1 6

π

8)

3

−1

2

9)

(a − b )

3

e



7 8

10) −1

1

Respuestas

Moisés Villena Muñoz

11) (a − b ) ln 2

12) 0

( b)

2

13) e 2

14) a

3) 112

4) − 1

3) 72

4) 2

5) 1

Ejercicios Propuestos 1.8 2) 1

1) −1

6

27

8

Ejercicios Propuestos 1.9 1) 5

2) 0

6) 0

7) 8

8) 0

3

12) −1

13) −

16) −5

17) 1 2

18) − 1 2

21) 1 2

−2

11)

22) e

23) e

3 2

−4

9) 3

10)

14) −1

15) −3

19) 1

20) 1 2

24)

5

7

Ejercicios Propuestos 1.10 3.

1) +∞ 6) −∞

2) −∞ 7) +∞

3) −∞ 8) +∞

4) +∞ 9) +∞

5) −∞ 10) +∞

Misceláneos de límites 1. 1) F 10) V 19) F 2. 1) δ =

3) V 12) F

ε +2

2) δ = ε

2

4) F 13) F

( 3 + 2)

5) V 14) V

6) V 15) F

3) δ = ε

7) F 16) V

8) F 17) V

9) F 18) F

4) δ = 2ε

5) δ = ε

6

− 12

2) 3 4

3) 4

4) e

5) 3e

6) −1

7) e π

8) 2 3

10) 2 5

11) ln 2

12) π 4

13) 1

14) 1 2

15) e

16) 9 2

17) − 511 18) 0

19) 3 2

20) 0

21) 1 2

22) ∞

23)

24) 1

25) 1

26) 1

28) 2

29) e

30) 1

31) 2

32) 1 2

33) 1

34) 3

35) e

40) 0

2a

3. 1) 15

37) −3

2

2) F 11) V

−13

38) 3 4

9

39) −1

12

2 3 3

41) e

9) e

27) 0 4

36) 0

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

2 2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO 2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON 2.3 2.4

FUNCIONES CONTINUIDAD EN UN INTERVALO TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

OBJETIVOS: • Definir formalmente continuidad de una función de una variable real en un punto y en un intervalo. • Realizar demostraciones formales de continuidad. • Construir funciones continuas.

63

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

Hasta aquí nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de una función en la cercanía de un punto; ahora nos proponemos definir su comportamiento justamente en el punto.

2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera alzar la mano. Esto en términos formales sería: 2.1.1 DEFINICIÓN

Sea f una función de una variable real definida en un intervalo abierto (a, b) y sea x0 ∈ (a, b) . Se dice que f es continua en " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 ) . Es decir, si x→ x0

se cumplen tres cosas: 1. f ( x0 ) está definida 2. lím f ( x) = L (existe); y x→ x 0

3. L = f ( x0 ) Caso contrario, se dice que f es discontinua en " x0 " Ejemplo Una función continua en un punto x0

Fig. 2.1

Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto x0 , tenemos:

64

Moisés Villena Muñoz

Cap. 2 Continuidad de funciones

Ejemplo 1

Fig. 2.2

La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe x → x0

Ejemplo 2

Fig. 2.3

La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe x → x0

Ejemplo 3

Fig. 2.4

La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) ≠ f ( x 0 ) x→ x

0

65

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una discontinuidad esencial. Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad removible, porque sería cuestión de definir a f en el punto " x0 " con el valor de L para tener ya una función continua en ese punto. A propósito, observe que sólo en este caso el límite existe. Ejemplo 4 x 2 + 5x − 6 no está definida en x = 1 y su gráfica es la de f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 que x −1 no es continua en x = 1 . (tiene un hueco) f ( x) =

Fig. 2.5

⎧ x 2 + 5x − 6 ;x ≠1 ⎪ Definiéndola continua tenemos f ( x) = ⎨ x − 1 ⎪ 7 ;x =1 ⎩

Ejemplo 5 Determine el valor de " A ", de ser posible, para que

⎧ x2 − 4 ⎪ ;x ≠ 2 f ( x) = ⎨ x − 2 ⎪A ;x = 2 ⎩

sea continua en x = 2 . SOLUCIÓN: Para que f sea continua en x = 2 será cuestión de definirla en este punto con el valor de lím f ( x) si es x→ 2

que existe; es decir, hacer que A = f (2) = lím f ( x) . x→ 2

Calculando el límite tenemos:

(x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4 . x2 − 4 = lím x→2 x − 2 x→2 x→2 x−2 lím

Por tanto A = 4

66

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 6 Calcular el valor de “ A ", de ser posible, para que

⎧ e2x − 1 ⎪ ;x ≠ 0 f ( x) = ⎨ x ⎪A ;x = 0 ⎩

sea continua en x = 0 . SOLUCIÓN:

La función está definida para todo número real excepto x = 0 . El asunto será definirla en este punto con el valor de lím f ( x) si es que existe; es decir, A = f (0) = lím f ( x) . x →0

x→0

Calculando el límite tenemos:

e 2x − 1 =2. x →0 x lím

(Recuerde que lím x →0

a kx − 1 = k ln a ) x

Por tanto A = 2

Ejercicios Propuestos 2.1 1.

Grafique las funciones dadas y determine los puntos de discontinuidad.

⎧ 1 ⎪

x 2 − 16 x−4 ⎧⎪( x + 2 )2 ; x ≠ −2 2. f ( x ) = ⎨ ; x = −2 ⎪⎩ 2 1. f ( x) =

6. f ( x ) = ⎨ x − 1

⎪⎩ x − 1 ; x < 2

⎧ 1 ⎪⎪ x + 1 ; x < 0 7. f ( x ) = ⎨ ⎪ 1 ;x ≥ 0 ⎩⎪ x − 1

⎧x2 ; x < 0 ⎪⎪ 3. f ( x) = ⎨− x ;0 ≤ x ≤ 1 ⎪x ;x >1 ⎪⎩

2.

4.

⎧ 2 − 3x ⎪ f ( x) = ⎨ 5 ⎪ x2 − 2 x + 3 ⎩

5.

⎧1 + 2 x − x f ( x) = ⎨ ⎩2 x − 5

2

8.

f ( x) = μ ( x − 2) + Sgn( x + 2) c 1f f ( x) = dd x + gg 2h e

; x ≤ −1

9.

; x > −1

10.

f ( x) = a x b − x

11.

f ( x) = asen x b ; x ∈ ( −2π , 2π )

;x ≤ 3 ;x > 3

Calcular el valor de " A ", de ser posible, para que f sea continua en todo R

⎧ 3− x ⎪

1. f ( x) = ⎨ x 2 − 9

;x ≥ 2

;x ≠ 3

⎪A ;x = 3 ⎩ ⎧ x−2 −2 ;x≠6 ⎪ 2. f ( x ) = ⎨ x − 6 ⎪ A ;x = 6 ⎩

⎧ 2x2 + x − 3 ; x ≠1 ⎪ 3. f ( x ) = ⎨ 3 x − 1 ⎪ A ; x =1 ⎩

.

⎧ 3+ 3 x −2 ⎪ ;x ≠1 4. f ( x ) = ⎨ x −1 ⎪ A ;x =1 ⎩ 5.

⎧ sen x ;x ≠ 0 ⎪ f ( x) = ⎨ x ⎪A ;x = 0 ⎩

67

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES Si operamos funciones se obtienen nuevas funciones cuya continuidad se la puede determinar haciendo uso del siguiente teorema. 2.2.1 TEOREMA

Sean f y g funciones de variable real continuas en el punto " x0 ", entonces también lo serán: k f , f + g , f − g , f .g , f g

( g ( x0 ) ≠ 0) , f n , n f ( f ( x0 ) > 0

si n es par

)

Demostración. Demostremos lo siguiente:

"Si f y g son funciones continuas en el punto " x 0 " entonces

f + g también es continua en " x 0 "

Las hipótesis serían

H 1: lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0

y

H 2: lim g ( x ) = g ( x0 ) x → x0

Como lim [ f ( x) + g ( x) ] = lim f ( x) + lim g ( x) x → x0

x → x0

x → x0

entonces

lim [ f ( x) + g ( x) ] = f ( x0 ) + g ( x0 )

x → x0

Es decir

C : lim ⎡⎣( f + g ) ( x) ⎤⎦ = ( f + g ) ( x0 ) x → x0

Lo cual indica que la función f + g también es continua en " x0 "

Las demostraciones del resto del teorema se la dejamos como ejercicio al lector. Se puede hacer analogía con el teorema principal de límites si surge la interrogante de saber lo que ocurre con el recíproco del teorema, es decir, que si tenemos una función suma (u otra, resultado de las operaciones indicadas) continua, se podría decir que las funciones que la formaron son también continuas. Para el caso de la función compuesta tenemos.

68

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

2.2.2 TEOREMA DEL LÍMITE DE LA COMPOSICIÓN.

Sean f y g funciones de variable real. Si g es continua en " x0 " y f continua en g ( x0 ) entonces f D g es continua en " x0 " Demostración. Tenemos las siguientes hipótesis: H1 : g es continua en x0 , es decir lim g ( x ) = g ( x0 ) , lo cual significa que x → x0

∀ε1 > 0 , ∃∂1 > 0 tal que, si x − x0 < ∂1 entonces g ( x ) − g ( x0 ) < ε1 H 2 : f es continua en g ( x0 ) , es decir

lim f ( x) = f ( g ( x0 ) ) , lo cual significa que

x → g ( x0 )

∀ε 2 > 0 , ∃∂ 2 > 0 tal que, si x − g ( x0 ) < ∂ 2 entonces f ( x ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2

En la segunda hipótesis si hacemos x = g ( x ) tenemos: g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2

En la primera hipótesis, el consecuente de la implicación se cumple si ε1 = ∂ 2 . Considerando las dos hipótesis juntas: ⎡ x − x0 < ∂1 ⇒ g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⎤ ⎣ ⎦



⎡ g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2 ⎤ ⎣ ⎦

Se cumple que: x − x0 < ∂1 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε

O lo que es lo mismo lim f ( g ( x ) ) = f ( g ( x0 ) ) . Esto indica que f D g es continua en " x0 " x → x0

En límites nos interesaba indicar si la función se aproximaba a un punto, en cambio en continuidad estamos interesados, además, en indicar si la función toma el valor correspondiente en ese punto. Esto puede ocurrir en ambas direcciones de acercamiento, como lo acabamos de definir, o en una sola dirección, como lo vamos a decir a continuación.

69

Moisés Villena Muñoz

Cap. 2 Continuidad de funciones

2.3 CONTINUIDAD LATERAL 2.3.1 CONTINUIDAD POR DERECHA

Sea f una función de variable real. f es continua por la derecha de " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 )

x → x0 +

Ejemplo

Fig. 2.6

Es decir, f sólo por la derecha de x0 se aproxima y llega a ser f ( x0 ) . 2.3.2 CONTINUIDAD POR IZQUIERDA

Sea f una función de variable real. f es continua por la izquierda de " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 )

x → x0 −

Es decir, f sólo por la izquierda de x0 se aproxima y llega a ser f ( x0 ) . Ejemplo

Fig. 2.7

70

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

En conclusión, si f es continua en x0 significa que tanto por derecha como por

izquierda f se aproxima y llegar a ser f ( x0 ) .

Bien, lo anterior es sólo en un punto, si la función fuera continua en todo \ , bastaría con decir existe continuidad en todo punto de \ . Es decir:

Sea f una función de variable real. f es continua en \ si ∀x0 ∈ \ ⎡ lím f ( x) = f ( x0 ) ⎤ ⎣⎢ x→ x0 ⎦⎥ Existen funciones que ya se han tratado en cursos anteriores que son continuas en todo \ , como las funciones lineales, las funciones cuadráticas y en general todas las funciones polinomiales, las funciones trigonométricas seno y coseno. Otras funciones en cambio son continuas sólo en intervalos, sería importante aquí indicar lo que ocurre en los extremos del intervalo.

2.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 2.4.1 CONTINUIDAD EN (a, b )

Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo abierto (a, b ) si es continua en todo punto interior de (a, b ) . Es decir ∀x0 ∈ ( a, b ) ; lím f ( x) = f ( x0 ) x→ x0

Ejemplo 1 Una función continua en (a, b )

Fig. 2.8

71

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 2 Otra función continua en (a, b )

Fig. 2.9

2.4.2 CONTINUIDAD EN [a, b]

Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b ) y además continua a la derecha de a ( xlím f ( x) = f (a) ) y a la →a +

izquierda de b ( xlím →b



f ( x) = f (b) ).

Ejemplo Una función continua en [a, b]

Fig. 2.10

72

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

2.4.3 CONTINUIDAD EN [a, b )

Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo semiabierto [a, b) , si es continua en (a, b ) y además continua a la derecha de a . Ejemplo 1 Una función continua en

[a, b) Fig. 2.11

Ejemplo 2 Otra función continua en

[a, b) Fig. 2.12

73

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

2.4.4 CONTINUIDAD EN (a, b]

Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo semiabierto (a, b] , si es continua en (a, b ) y además continua a la izquierda de b . Ejemplo 1

Fig. 2.13

Ejemplo 2

Fig. 2.14

Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos. Ejercicio resuelto 1 ⎧ x 2 − 2a ; x < 2 ⎪ ; x = 2 sea continua en todo Hallar " a ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ 8 ⎪5 x + a ; x > 2 ⎩

SOLUCIÓN:

74

\.

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

Note que f está definida con funciones polinomiales y por tanto f será continua en los respectivos intervalos. Debemos procurar que f sea continua en x = 2 , lo que significa que:

lím ( x 2 − 2a ) = lím+ (5 x + a) = f ( 2 )

x → 2−

x →2

4 − 2a = 10 + a = 8 a = −2 ⎧ x2 + 4 ; x < 2 ⎪ ; x=2 Es decir, que la función f ( x) = ⎨ 8 ⎪5 x − 2 ; x > 2 ⎩

será continua en todo R .

Ejercicio resuelto 2 ⎧2x2 + a ; x < 1 ⎪ Hallar " a ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ 5 ; x = 1 sea continua en todo ⎪ x − 3a ; x > 1 ⎩

\.

SOLUCIÓN:

Igual que el ejercicio anterior, debemos procurar que f sea continua en x = 1 , lo que significa que:

lím(2 x 2 + a) = lím( x − 3a ) = f (1) +

x →1−

x →1

2 + a = 1 − 3a = 5 Aquí ocurre una inconsistencia, entonces no existe valor de a para que f sea continua en \ .

Ejercicio resuelto 3 ⎧2 x − a ⎪

Hallar los valores de " a " y " b ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ax + b ⎪b − 5 x ⎩

; x < −3 ;−3 ≤ x ≤ 3 ;x > 3

sea continua en todo \ . SOLUCIÓN: Aquí igual que las anteriores, f está definida con funciones lineales y por tanto será continua en los respectivos intervalos. Debemos procurar que f sea continua en x = −3 y en x = 3 , lo que significa dos cosas:

lím (ax + b) = lím+ (b − 5 x) = f ( 3)

lím (2 x − a ) = lím+ (ax + b) = f ( −3)

x →−3−

1.

x → 3−

x →−3

2(3) − a = 3a + b

2.

x →3

a (3) + b/ = b/ − 5(3) 3a = −15

2a − b = 6

reemplazando el valor de

a = −5

a

en la primera ecuación obtenida, resulta:

⎧ 2x + 5 ⎪ Es decir, que la función f ( x) = ⎨ −5 x − 16 ⎪ −16 − 5 x ⎩

; x < −3 ; −3 ≤ x ≤ 3 ;x > 3

2(−5) − b = 6 b = −16

será continua en todo R .

75

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejercicio resuelto 4 9−x x−6

Analizar la continuidad de la función f ( x) =

SOLUCIÓN: El asunto aquí es sinónimo al de establecer el dominio natural (¿por qué?). Entonces debemos resolver la 9− x inecuación ≥0. x−6 Se concluye que f tendrá gráfica sólo en el intervalo ( 6,9] , que será también su intervalo de continuidad.

Ejercicio resuelto 5 CALIFIQUE COMO VERDADERA O FALSA LA PROPOSICIÓN. Justifique formalmente su respuesta. es una función de variable real continua en \ y se conoce que “Si f ⎛ f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ⎞ lim ⎜ ⎟⎟ = 1 , entonces f (1) = f ( 0 ) + 2 .” x →0 ⎜ sen ( 3 x ) ⎝ ⎠

SOLUCIÓN: Primero calculemos lim ( f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ) . x →0

⎛ f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ⎞ lim ( f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ) = lim ⎜ sen ( 3x ) ⎟ ⎟ x →0 x →0 ⎜ sen 3 x ( ) ⎝ ⎠ ⎛ f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ⎞ = lim ⎜ sen ( 3x ) ⎟⎟ lim x →0 ⎜ x →0 sen ( 3 x ) 

⎝ ⎠ 

0 1

= (1)( 0 )

lim ( f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ) = 0 x →0

Como f es continua, entonces:

lim ( f ( x + 1) − f ( x ) + x 3 − 2 ) = f ( 0 + 1) − f ( 0 ) + 03 − 2 x →0

= f (1) − f ( 0 ) − 2

Finalmente, igualamos los dos resultados:

f (1) − f ( 0 ) − 2 = 0 ⇒

f (1) = f ( 0 ) + 2

Por tanto la proposición es VERDADERA.

Ejercicio resuelto 6 Bosqueje el gráfico de una función

76

f que satisfaga las siguientes condiciones:

1.

Dom f = \

2.

f

3.

∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 2 < ε

es continua en (−∞,−2 ) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ )

[

]

4. 5. 6.

∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x + 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M ] ∀M > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒ f ( x) < − M ]

7.

∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x − ∂ < x + 2 < 0 ⇒ f ( x) + 2 < ε

8.

[ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒

9.

f ( −2) = 1 , f (0) = 1 , f (−1) = 0 , f (3) = 0 , f (2) = 1

f ( x) − 2 < ε

]

]

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz SOLUCIÓN:

Las condiciones dadas significan: 1. Intervalos de continuidad (−∞,−2 ) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ ) 2. lím f ( x) = 2 asíntota horizontal y = 2 para x negativos. x → −∞

3.

lím f ( x) = −∞ asíntota vertical x = −2 por derecha

x → −2 +

4. lím f ( x) = ∞ asíntota vertical x = 1 por derecha x →1+

5. lím f ( x) = −∞ x →∞

6.

lím f ( x) = −2 límite por izquierda de x = −2

x → −2 −

7. lím f ( x) = 2 límite por izquierda de x = 1 x →1−

8. Puntos que pertenecen a f Por tanto la grafica sería:

Fig. 2.15

Ejercicios Propuestos 2.2 1.

Hallar los valores de " a " y " b " , de ser posible, para que f sea continua en R .

⎧x 2 ⎪⎪ 1. f ( x) = ⎨ax + b ⎪2 x − 6 ⎪⎩

;x ≤1 ;1 < x < 4 ;x ≥ 4

;x ≤1 ⎧x ⎪ 2. f ( x ) = ⎨ax + b ;1 < x < 4 ⎪− 2 x ;x ≥ 4 ⎩ ⎧x + 1 ⎪ 3. f ( x ) = ⎨ax + b ⎪3 x ⎩

;x 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 5 < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε

[ [

ƒ ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M

]

ƒ ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − M

]

]

6. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

f es continua en

(−∞,0] ∪ (0,3) ∪ (3, ∞ )

[ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[− ∂ < x < 0 ⇒

∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) < ε

f ( x) − 2 < ε

∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 3 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]

ƒ

[ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒

ƒ

f (3) = f (5) = 2 , f (7) = 0

ƒ

]

∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x − 3 < ∂ ⇒ f ( x) < ε f ( x) + 1 < ε

]

]

]

2.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS

Sea f una función de variable real definida en el intervalo cerrado [a, b] . Si f es continua en [a, b] entonces para toda f ( x) ∈ ⎡⎣ f ( a ) , f ( b ) ⎤⎦ existe un x0 ∈ [ a, b ] .

78

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

Fig. 2.16

Ejemplo Demuestre que la ecuación x + 3 x − 2 = 0 tiene una solución real entre "0" y "1". SOLUCIÓN: 3

Definamos la función f ( x) = x3 + 3 x − 2 . Observamos que: f (0) = −2 y f (1) = 2

Fig. 2.17 y como f es continua en [0,1] , por ser polinomial; aplicando el Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si f ( x) = 0 existirá un x elemento de [0,1] que lo satisfaga. Es decir: ∃x ∈ [0,1] tal que f ( x) = x3 + 3x − 2 = 0

Ejercicios Propuestos 2.3 1.

(Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Bolzano.

2.

(Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Weierstrass.

3.

Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y en caso de ser falsa, dé un contraejemplo.

[ ]

[ ]

a)

Si f es continua y no tiene ceros en a, b , entonces f ( x) > 0 para toda x en a, b

b)

Si f es continua en x0 y f ( x0 ) > 0 , hay un intervalo (x0 − ∂ , x0 + ∂ ) tal que f ( x ) > 0 en ese

f ( x) < 0 , ∀x ∈ [a, b]

o

intervalo. c)

El producto de dos funciones f y g es continua en " x0 " , si f es continua en " x0 " pero g no.

79

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz d)

Si f es continua en " x0 " y g es discontinua en " x0 ", entonces f + g es discontinua en " x0 ".

e)

Toda función continua en (a, b ) es acotada.

f)

Toda función acotada en a, b es continua en a, b

g)

Si f es continua e inyectiva en a, b entonces su función inversa f

[ ]

[ ]

[ ]

−1

[ ]

es continua en a, b

4.

Demuestre que la ecuación: x − 4 x − 3x + 1 = 0 tiene una solución en el intervalo [2,3].

5.

Si el peso de un niño al nacer es de 8 libras y después de un año el mismo niño tiene un peso de 16 libras, demuestre, empleando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, que en algún instante de tiempo el niño alcanzó un peso de 11 libras.

5

3

Misceláneos 1.

Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y en caso de ser falsa, dé un contraejemplo. a) lím f ( x ) = lím f ( x) entonces f es continua en x = a . x→a x →a +



b) Si f y g son funciones continuas en x = a entonces la función fg también es continua en x = a .

⎧ x − 2 + x−2 ;x > 2 ⎪ es x2 − 4 ⎪ 2 ;x ≤ 2 ⎩

c) La función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨

continua en x = 2 . d) Si f es una función tal que dom f = IR y ∀a ∈ IR lím f ( x ) existe, entonces f es continua en x→ a

todo su dominio. e) Si f es una función continua en a, b tal que f ( a) > 0 y f (b) < 0 entonces existe al menos un

c ∈ (a, b ) tal que f (c) = 0 .

[ ]

[

]

f) Si f es una función de IR en IR tal que f ( x ) = sen x entonces f es continua en x = π .

[ ]

[ ]

g) Sea f una función continua en a, b tal que f ( a) • f (b) > 0 entonces no existe un valor c ∈ a, b tal que f (c) = 0 .

h) Si f y g son funciones que no son continuas en x = a entonces la función f + g no es continua en x =a.

⎧⎪1 − x

i) La función f ( x ) = ⎨ ⎪ 2

;x < 2

⎩x − 2x ; x ≥ 2

j) Sea f

es continua en todo su domino.

⎧1 − cos x ; x≠0 ⎪ , x2 ⎪ 0 ; x 0 = ⎩

una función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨

entonces f es continua en todo su dominio.

π ⎧ x ⎪ cot x − 2 cos x ; x < 2. Determine el valor de "a" para que f ( x ) = ⎨ ⎪ ax − 1 ;x ≥ ⎩

π 2 π 2

sea continua en x = π 2

⎧ 1 − x2 ; x ≤ −1 ⎪ ⎪⎪ Ax5 + Bx 4 − Ax − B ;−1 < x < 1 3. Sea f una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨ x2 − 1 ⎪ ⎪ x2 ;x ≥1 ⎩⎪ Determine los valores de A y B para que f sea continua en todos los reales.

80

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

4.

Realice el bosquejo de la gráfica de una función f que satisfaga cada una de las siguientes proposiciones: • • •

x → −∞



∀N > 0 ∃δ > 0 [0 < x − 1 < δ ⇒ f ( x) > N ]



∀ε > 0 ∃M > 0 x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε

[

∀x ∈ (3,5) [ f ( x) < 0]

]

Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:

ƒ

Domf = (− ∞,−1) ∪ [0,+∞ ) rgf = [1, e ) ∪ (e,+∞ ] f (0) = 1

ƒ

∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x > N ⇒ f ( x) − e < ε

ƒ ƒ

ƒ 6.

x →0



• 5.

f es continua en los intervalos (−∞,0) ; [0,1] ; (1,+∞ ) . f (0) = f (3) = f (5) = 0 f (1) = f (2) = 1 lim f ( x) = −1 lim f (x) = −∞

[

]

∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[−∂ < x + 1 < 0 ⇒ f ( x) > M ]

Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: ƒ Dom f=IR, f ( x) > 0 para x ∈ (−∞,−1 ∪ (0,1) ƒ

]

ƒ

f (−1) = 1 ∧ f (0) = f (1) = 0 ∧ lím+ f ( x) = 1

ƒ

∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 1 < ε

ƒ

[ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒

x→0

f ( x) + 1 < ε

]

]

ƒ

∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]

ƒ

∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M

ƒ

∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < − x < ∂ ⇒ f ( x) − f (0) < ε

ƒ

[

[ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒

f ( x) < ε

]

]

]

81

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3 3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. 3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA 3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA 3.4 FORMA ALTERNATIVA 3.5 DIFERENCIABILIDAD 3.6 DERIVACIÓN 3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN 3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA 3.6.6 DERIVACIÓN POLAR 3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

3.7

FUNCIONES HIPERBÓLICAS 3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.7.4

FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS

OBJETIVOS: • • • •

Definir derivada. Calcular ecuaciones de rectas tangentes y rectas normales a una curva. Realizar demostraciones formales de derivada. Calcular derivadas.

83

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se da inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) junto con ISAAC NEWTON (1642-1727), preocupado por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una trayectoria, después veremos que es el mismo problema. Empecemos primero estudiando el problema geométrico.

3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f , en un punto x0 , Fig. 3.1. y

y = f ( x)

y0

x

x0

Fig. 3.1

La ecuación de la recta tangente estaría dada por:

y − f ( x0 ) = mtg ( x − x 0 ) Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe la Fig. 3.2

84

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

f ( x0 + h )

f ( x0 )

N

N

y = f ( x)

y

f ( x0 + h ) − f ( x0 )

h

x0

x

x0 + h

Fig. 3.2

La pendiente de la recta secante entre los puntos

( x0 + h, f ( x0 + h) ) sería msec =

( x0 , f ( x0 ) )

y

f ( x0 + h) − f ( x0 ) h

La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:

mtg = lím h→0

f ( x0 + h) − f ( x0 ) h

3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA Suponga que se tengan la ecuación del espacio que sea función del tiempo; es decir determinar la velocidad media estaría dada por:

vm =

vm

e = f (t ) .

e

recorrido por un móvil, y

Suponga ahora que se quiere

en un intervalo de tiempo

[t0 , t0 + h] , esta

Δe f ( t0 + h ) − f ( t0 ) = Δt t0 + h − t 0

La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de tiempo Δt cada vez más pequeño; es decir:

85

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

f ( t0 + h ) − f ( t 0 ) Δe = lim Δt →0 Δt h →0 h

v = lim vm = lim Δt →0

Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma que la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo. De aquí se dará la definición de la derivada.

3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA

Sea f una función de variable real. Sea x0 un punto del dominio de f . La derivada de f en " x0 ", denotada como f ´( x0 ) , se define como: f ´(x0 ) = lím h →0

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h

Siempre que este límite exista.

Cuando la derivada en " x0 " existe se dice que es f es diferenciable en " x0 ". Otras notaciones que se emplean para la derivada son: Leibniz utilizó la notación



o

dy . dx

En cualquier caso, la derivada en " x " sería:

f ´( x) = lím h →0

86

f ( x + h) − f ( x ) h

Dx y .

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3.4 FORMA ALTERNATIVA Presentaremos ahora una forma un tanto diferente para la derivada, que para algunos casos resulta muy útil. En la expresión para la derivada, haciendo cambio de variable: h = x − x0

f ´( x0 ) = lím h →0

f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ( x0 + x − x0 ) − f ( x0 ) = lím x→ x0 h x − x0 = lím

x→ x0

f ( x) − f ( x0 ) x − x0

Lo anterior lo podemos observar de la pendiente de la recta tangente, Fig. 3.3. y = f ( x)

f ( x)

f ( x0 )

N

N

y

f ( x ) − f ( x0 )

x − x0

x0

x

x

Fig. 3.3

La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x 0 , f ( x 0 ) ) y (x, f ( x) ) sería:

msec =

f ( x) − f ( x0 ) . Entonces la pendiente de la recta tangente estaría dada x − x0

por:

mtg = lím x→ x0

f ( x) − f ( x0 ) x − x0

87

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = 2 x + 1 SOLUCIÓN:

f ´( x) = lím h →0

= lím

f ( x + h) − f ( x ) h ⎡⎣ 2 ( x + h ) + 1⎤⎦ − [ 2 x + 1]

h→0

h 2 x + 2h + 1 − 2 x − 1 = lím h→0 h 2h = lím h→0 h = lím 2 h→0

f ´( x) = 2 Empleando la forma alternativa:

f ( x) − f ( x0 ) x − x0

f ´( x0 ) = lím

x → x0

= lím

( 2 x + 1) − ( 2 x0 + 1) x − x0

x → x0

= lím

2 x + 1 − 2 x0 − 1 x − x0

= lím

2 x − 2 x0 x − x0

x → x0

x → x0

= lím

x → x0

2 ( x − x0 )

( x − x0 )

= lím 2 x → x0

f ´( x0 ) = 2

Ejemplo. 2 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = x 2 SOLUCIÓN: f ´(x) = lím

h →0

= lím

f ( x + h) − f ( x ) h

(x + h )2 − x 2

h→0

h

x + 2 xh + h 2 − x 2 h→0 h h(2 x + h ) = lím h→0 h = lím (2 x + h ) = lím

h→0

f ´(x) = 2 x

88

2

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz Empleando la forma alternativa:

f ´( x0 ) = lím

x → x0

= lím

x → x0

= lím

f ( x) − f ( x0 ) x − x0 x 2 − x0 2 x − x0

( x − x0 )( x + x0 ) x − x0

x → x0

= lím ( x + x0 ) x → x0

= x0 + x0 f ´( x0 ) = 2 x0

Ejercicios propuestos 3.1 1.

Sea

f ( x ) = x2 − 2 x + 1 .

f (2.5) − f (2) 0.5 f (2.3) − f (2) b) Calcule el valor de 0.3 f (2.1) − f (2) c) Calcule el valor de 0.1 a) Calcule el valor de

d) Calcule el valor de

2.

Hallar

.

f ´( 2 ) Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado.

f ´(3) , considerando la gráfica:

y = f ( x)

3.

Empleando la definición, determine la derivada de: a)

f ( x) = 3x + 2

d)

f ( x) = −2 x 2 + x − 1

b)

f ( x) = −2 x + 1

e)

f ( x) = 2 x 3

c)

f ( x) = x 2 + 2 x − 3

f) f ( x ) =

1 3x + 2

89

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3.5 DIFERENCIABILIDAD Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una función de una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será derivable o diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a derivabilidad para funciones de una variable real. 3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD.

Si f es diferenciable en " x0 ", es decir f ´(x0 ) existe, entonces f es continua en " x0 "

Demostración. Expresemos lo siguiente:

f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) + f ( x0 )

Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicándolo por (x − x0 ) , suponga x ≠ x0 , tenemos:

f ( x) =

f ( x) − f ( x0 ) (x − x0 ) + f ( x0 ) x − x0

Ahora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta:

lím f ( x) = lím

x → x0

La expresión lím

x → x0

x → x0

f ( x) − f ( x0 ) lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 ) x → x0 x → x0 x − x0

f ( x) − f ( x0 ) es igual f ´(x 0 ) , debido a que de hipótesis se dice que f es x − x0

derivable en x 0 . Entonces: cons tan te

 f ( x) − f ( x0 ) lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 ) lím f ( x) = lím x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x − x0  



f (x ) 0 f ´( x0 )

= f ´(x0 )[0] + f ( x 0 ) = 0 + f ( x0 ) lím f ( x) = f ( x0 )

x → x0

Por tanto, la última expresión indica que f es continua en " x 0 ". L.Q.Q.D.

90

0

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Al analizar el teorema, se concluye que si una función es discontinua en " x0 " entonces no es diferenciable en " x0 ". También debe entenderse que no toda función continua es diferenciable. Ejemplo Hallar

f ´(1)

para

f ( x) = x − 1

SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa de la derivada: f ( x) − f (1) f ´(1) = lím x→1 x −1 x −1 − 0 = lím x→1 x − 1 x −1 = lím x→1 x − 1 El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir: x −1 1. lím+ = lím 1 = 1 x →1 x − 1 x →1+ −(x − 1) 2. lím = lím (− 1) = −1 − x −1 x →1 x →1− Como los límites laterales son diferentes, entonces f ´(1) = lím

x→1

x −1 x −1

no existe.

Observando la gráfica de y = x − 1 , Fig. 3.4

Fig. 3.4

Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda de x = 1 , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en x = 1 . Esta función aunque es continua en x = 1 , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica diferenciabilidad.

91

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3.5.2 DERIVADAS LATERALES. Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla unilateralmente. 3.5.2.1 Derivada por derecha

La derivada por derecha del punto " x0 " de una función f se define como: f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) o por la forma h →0 h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 + ) = lím x→ x x − x0 +

f ´(x0 ) = lím +

+

0

3.5.2.2 Derivada por izquierda.

La derivada por izquierda del punto " x0 " de una función f se define como: f ( x0 + h) − f ( x0 ) o por la forma h →0 h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 − ) = lím x→ x x − x0 −

f ´(x0 ) = lím −



0

Por tanto, para que f ´(x0 ) exista, se requiere que las derivadas laterales +



existan y sean iguales. Es decir, si f ´(x 0 ) ≠ f ´(x 0 ) , se dice que f no es derivable en " x0 " y su gráfica no será suave en ese punto. Ejemplo ⎧⎪2 x − 1; x < 2 2 ⎩⎪ x − 1; x ≥ 2

Hallar f ´(2) para f ( x) = ⎨

SOLUCIÓN: Primero veamos si que es continua en x = 2 .

(

)

Como lim (2 x − 1) = 3 y lim x 2 − 1 = 3 entonces f si es continua en x = 2 x→2−

x →2+

Segundo. Para hallar f ´(2) debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente definición a la izquierda y la derecha de x = 2 .

92

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

f ´(2 − ) = lim− x →2

f ´(2 + ) = lim+

(2 x − 1) − (2(2) − 1) =

(x

x→2

x−2

2

) (

)

lim

x→2−

2(x − 2) 2x − 4 = lim =2 x − 2 x →2− x − 2

(x + 2)(x − 2) = 4 −1 − 2 2 −1 x2 − 4 = lim+ = lim+ x→2 x − 2 x→2 x−2 x−2

( )

− + Por tanto, Como f ´(2 ) ≠ f ´ 2 entonces f ´(2) no existe

Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y suave, en un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto. Ejemplo Sea f ( x ) = 3 x hallar f ´(0) SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa: f ( x) − f (0) f ´(0) = lím x→0 x−0

= lím

x→0

= lím

x→0

3

x −0 x 1 2

x 3 f ´(0) = ∞ (no existe) Lo que ocurre es que la recta tangente, en

x = 0 , es vertical (pendiente infinita); observe su gráfica. Fig 3.5

Fig. 3.5

Por tanto, si una función es diferenciable en un punto " x0 " ocurren tres cosas: 1. Es continua en ese punto 2. Es suave en ese punto 3. La recta tangente no es vertical en ese punto 93

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Un problema de diseño Ejemplo ⎧⎪mx + b ; x < 2 Sea: f ( x) = ⎨ 2 Determine "m" y "b" para que f sea diferenciable en todo su dominio. ⎪⎩ x ;x ≥ 2 SOLUCIÓN: Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser continua y en todo punto su gráfica debe ser suave. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que debemos centrarnos en dos cosas: 1. f debe ser continua en x = 2 , es decir:

lím ( mx + b ) = f ( 2 ) = lím+ ( x 2 )

x → 2−

x→2

2m + b = 4 2.

f debe ser suave en x = 2 , es decir: f ´(2 + ) = f ´(2 − )

(x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4 f ( x) − f (2) x2 − 4 = lím = lím x−2 x−2 x→2+ x→2+ x − 2 x→2+ x →2+ ( ) ( ) f x − f mx + b − m + b mx + b − 2m − b m(x − 2 ) ( ) ( 2 ) 2 f ´(2 − ) = lím = lím = lím = lím =m x−2 x−2 x−2 x→2− x→2− x→2− x→2− x − 2

f ´(2+ ) = lím

Por tanto m = 4 y al reemplazar en la primera ecuación 2(4) + b = 4 tenemos b = −4

Ejercicios Propuestos 3.2 1.

Hallar

⎧2 x + 1; x < 1 f ´(1) para f ( x) = ⎨ 2 ⎩2 + x ; x ≥ 1

2.

Hallar

⎧⎪− x 2 + 10; x < 3 f ´(3) para f ( x ) = ⎨ ⎪⎩− 6 x + 17; x ≥ 3

3.

Hallar

⎧⎪2 x + 1 ; x < −2 f ´(−2) para f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x − 7; x ≥ −2

4.

Sea la función f definida por f ( x ) = ⎨

⎧⎪ x 2 + 2 x ; x ≤ 2 . ⎩⎪ax + b ; x > 2

Determine, si es posible, los valores de a y b para que f sea derivable en x = 2 5.

Sea la función f definida por

; x ≤1 ⎧⎪3ax + b f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ax − 3bx + 2 ; x > 1

Determine los valores para " a " y " b " para f que sea derivable en todo su dominio.

6.

Sea la función f definida por

⎧ax 2 + bx + c ; x ≤ 1 ⎪ . f ( x) = ⎨ 1 ; x >1 ⎪ ⎩x

Determine " a ", " b " y " c " para que f ´(1) exista.

94

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3.6 DERIVACIÓN El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este trabajo se dispone de técnicas y reglas. 3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN. Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las fórmulas siguientes:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Dx (k ) = 0 ; ∀k ∈ R Dx ( x) = 1

Dx ( x n ) = n(x n −1 )

D x (e x ) = e x Dx (a x ) = a x ln a 1 Dx (ln x) = x 1 D x (log a x) = x ln a Dx (sen x) = cos x D x (cos x) = − sen x Dx (tan x) = sec 2 x Dx (cot x) = − csc 2 x

Dx (sec x) = sec x tan x Dx (csc x) = − csc x cot x

Demostraciones: Las Demostraciones de algunas de las fórmulas anotadas serían: 1. Sea f ( x ) = k . Hallaremos su derivada empleando la definición: f ´( x) = lím h→0

Dx (k ) = lím

h→0

f ( x + h) − f ( x ) h

0 k −k = lím = 0 (La derivada de una constante es cero) h →0 h h

95

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

2. Sea f ( x ) = x entonces: Dx ( x) = lím h →0

3. Sea f ( x ) = x

n

( x + h ) − x = lím h = 1 h→0

h

entonces: Dx ( x ) = lím n

( x + h)

h →0

n

h

− xn

h

. Consideraremos n ∈ ` .

Desarrollando el

binomio y simplificando: Dx ( x ) = lím n

( x + h)

h →0

n

− xn

h

⎡ x n + nx n −1h + n( n2−1) x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n ⎤ − x n ⎦ = lím ⎣ h→0 h = lím

nx n −1h +

n ( n −1) 2

h →0

h/ ⎡ nx n −1 + = lím ⎣

x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n h

n ( n −1) 2

x n − 2 h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎤ ⎦ h →0 h/ ⎡ ⎤ n ( n −1) n −1 n−2 ⎥ = lím ⎢ nx n −1 + 2 x n − 2 h + ... + nxh + hN N 

h →0  0 ⎢⎣ 0 ⎥ 0 0 ⎦

Dx ( x n ) = n ( x n −1 )

4. Sea f ( x ) = e x entonces: e x ( eh − 1) e h − 1) ( ex+h − ex e x eh − e x x Dx (e ) = lím = lím = lím = e lím = ex 0 0 0 → → → h →0 h h h h h h h

 x

1

6. Sea f ( x ) = ln x entonces: ⎛ x+h⎞ ⎛ h⎞ 1 ln⎜ ln⎜1 + ⎟ ⎟ ln (x + h ) − ln x x ⎠ x⎠ ⎛ h⎞ h Dx (ln x) = lím = lím ⎝ = lím ⎝ = lím ln⎜1 + ⎟ h →0 h →0 h →0 h→0 ⎝ h h h x⎠ ⎡ ⎛ h⎞ = ln ⎢ lím ⎜1 + ⎟ ⎢h →0⎝ x⎠ ⎣ 1 Dx (ln x) = x

1

1

h x

⎤x 1 ⎥ = ln⎛⎜ e x ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦

8. Sea f ( x ) = sen x entonces:

[sen x cosh + senh cos x] − sen x sen( x + h) − sen x = lím h →0 h h sen x(cosh − 1) + senh cos x sen x(cosh − 1) senh cos x = lím = lím + lím h →0 h→0 h →0 h h h (cosh − 1) senh = sen x lím + cos x lím = (sen x )(0) + (cos x )(1) h →0 h →0 h h Dx (sen x) = cos x

Dx (sen x) = lím

h→0

La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector.

96

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1 Si f ( x ) = 4 entonces f ´( x ) = 0

(FORMULA 1)

Ejemplo 2 Si f ( x ) = x 2 entonces f ´( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x

(FORMULA 3)

Ejemplo 3 Si f ( x ) = x = ( x )

1

2

entonces f ´( x ) =

1 2

( x)

1 −1 2

=

1

(FORMULA 3)

2 x

Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) = x 3 en x = 1 SOLUCIÓN: Observe la Fig. 3.6

Recta tangente

f ( x) = x

3

Fig. 3.6

La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por: y − y 0 = m( x − x 0 ) El punto sería:

x0 = 1

y

y0 = f ( x0 ) = (1) = 1 3

La pendiente sería:

mtg = f ´( x0 ) = f ´(1) = 3 x 2

x =1

=3

Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: y − 1 = 3( x − 1)

Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos casos. 97

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN

Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces: 1. d (kf ( x)) = kf ´( x) (Múltiplo constante) 2. 3. 4. 5.

dx d ( f ( x) + g ( x)) = f ´( x) + g´( x) (Suma) dx d ( f ( x) − g ( x)) = f ´( x) − g´( x) (Resta) dx d ( f ( x) g ( x)) = f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x) (Producto) dx d ⎛ f ( x) ⎞ f ´( x) g ( x) − f ( x) g´( x) (Cociente) ⎜ ⎟= 2 dx ⎝ g ( x) ⎠ [ g ( x)]

Demostración La justificación de las dos primeras de estas reglas sería:

1. d kf ( x + h) − kf ( x) (kf ( x)) = lím h → 0 dx h k [ f ( x + h) − f ( x ) ] = lím h →0 h f ( x + h) − f ( x ) = k lím h →0 h = kf ´( x) 2. [ f ( x + h) + g ( x + h) ] − [ f ( x ) + g ( x ) ] d ( f ( x) + g ( x)) = lím h → 0 dx h f ( x + h) − f ( x ) ] + [ g ( x + h) − g ( x ) ] [ = lím h→0 h ( + ) − ( ) f x h f x [ ] + lím [ g ( x + h) − g ( x)] = lím h→0 h →0 h h = f ´( x) + g´( x) 3. [ f ( x + h) g ( x + h) ] − [ f ( x ) g ( x ) ] d ( f ( x) g ( x)) = lím h → 0 dx h Al numerador le sumamos y restamos f ( x ) g ( x + h ) lím

f ( x + h) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h ) + f ( x ) g ( x + h )

h →0

Agrupando y aplicando propiedades de los límites:

98

h

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

⎡ f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x + h ) ⎤⎦ + ⎡⎣ f ( x ) g ( x + h ) − f ( x) g ( x) ⎤⎦ lím ⎣ h →0 h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦ g ( x + h) + ⎡⎣ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦ f ( x ) lím ⎣ h →0 h ⎡⎣ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦ ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦ lím g ( x + h) + lim ⎣ f ( x) h →0 h→0 h h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦ ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦ lím ⎣ lim g ( x + h) + f ( x ) lim ⎣ h →0 h →0 h→0 h h f ´( x ) ⎣⎡ g ( x ) ⎦⎤ + f ( x ) ⎣⎡ g´( x ) ⎦⎤

La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector. Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de correspondencias un tanto más complejas en su forma.

Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante) Si f ( x ) =

4 3

x

= 4x−

1

3

entonces f ´( x ) = 4

(

) (

)

d − 13 4 4 − 1 −1 x = 4 − 13 x 3 = − x − 3 dx 3

Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta) 2 + 3 entonces x d d d ⎛ 1 ⎞ −2 f ´( x ) = 4 x − 2 x −1 + ( 3 ) = 4 ⎜ ⎟ + 2x + 0 dx dx dx ⎝2 x⎠

Si f ( x ) = 4 x −

(

)

(

)

Ejemplo 3 (Derivada del producto) ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ Si f ( x ) = xe x entonces f ´( x ) = ⎢ ( x ) ⎥ e x + x ⎢ ( e x ) ⎥ = 1e x + xe x = e x (1 + x ) ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦

Ejemplo 4 (Derivada del producto)

(

)(

)

Si f ( x ) = x 2 + 2 x3 + 1 entonces: ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ ( x 2 + 2 ) ⎥ ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 ) ⎢ ( x3 + 1) ⎥ dx dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ( 2 x + 0 ) ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 )( 3 x 2 + 0 ) = 2 x 4 + 2 x + 3x 4 + 6 x 2 = 5x4 + 6x2 + 2 x

99

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:

d [ f ( x) g ( x)h( x)] = f ´( x) g ( x)h( x) + f ( x) g´( x)h( x) + f ( x) g ( x)h´( x) dx ¡Generalícela! Ejemplo 5 (Derivada del producto) Si

f ( x ) = e x senx ln x

entonces

⎡d ⎤ ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ e x ⎥ senx ln x + e x ⎢ senx ⎥ ln x + e x senx ⎢ ln x ⎥ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎛1⎞ = e x senx ln x + e x cos x ln x + e x senx ⎜ ⎟ ⎝ x⎠

Ejemplo 6 (Derivada de cociente) x2 + 2 entonces x3 + 1 ⎡d 2 ⎤ 3 ⎡d 3 ⎤ 2 ⎢⎣ dx ( x + 2 ) ⎥⎦ ( x + 1) − ( x + 2 ) ⎢⎣ dx ( x + 1) ⎥⎦ ( 2 x ) ( x3 + 1) − ( x 2 + 2 )( 3x 2 ) = f ´( x ) = 2 2 ( x3 + 1) ( x3 + 1)

Si f ( x ) =

=

2 x 4 + 2 x − 3x 4 − 6 x 2

(x

3

+ 1)

2

=

− x4 − 6 x2 + 2 x

(x

3

+ 1)

2

Con lo anterior, podemos resolver otros tipos problemas. Ejemplo 7 Determine f ′(0), si f ( x ) = x ( x + 1)( x + 2 ) ...( x + 100 ) . SOLUCIÓN: La derivada de f sería f ´( x ) = ⎡⎣(1)( x + 1)( x + 2 )"( x + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣ x (1)( x + 2 )"( x + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣ x ( x + 1)(1) ...( x + 100 )⎤⎦ + " Ahor a evaluamos la derivada en cero:

f ´( 0 ) = ⎡⎣(1)( 0 + 1)( 0 + 2 )"( 0 + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣0 (1)( 0 + 2 )"( 0 + 100 )⎤⎦ + ⎡⎣ 0 ( 0 + 1)(1) ...( 0 + 100 )⎤⎦ + "  

f ´( 0 ) = (1)( 2 )"(100 ) = 100!

100

0

0

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 8 Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( −2, −5 ) y que son tangentes a la curva definida por la ecuación y = x 2 + 4 x . SOLUCIÓN: Primeramente grafiquemos la curva y el punto. Fig. 3.7

f ( x ) = x2 + 4 x

( x0 , y0 )

( x0 , y0 )

Fig. 3.7 ( −2, −5)

Note que el punto ( −2, −5 ) no pertenece a la curva. Buscaremos ahora el punto de tangencia (observe que hay dos). La pendiente de la recta tangente es la derivada f evaluada en x = x0 , es decir

mtg = f ´( x0 ) = 2 x + 4 x = x = 2 x0 + 4 0

La pendiente de esta recta también se la puede calcular por los puntos ( −2, −5 ) y ( x0 , y0 ) , es decir:

mtg =

y0 − ( − 5 )

x0 − ( −2 )

=

y0 + 5 x0 + 2

El punto ( x0 , y0 ) pertenece a la curva, por tanto debe satisfacer su ecuación; es decir: y0 = x0 2 + 4 x0 . Al

reemplazar en la ecuación anterior, se obtiene:

mtg =

y0 + 5 x0 2 + 4 x0 + 5 = x0 + 2 x0 + 2

Ahora igualamos las pendientes y encontramos x0 :

2 x0 + 4 =

x0 2 + 4 x0 + 5 x0 + 2

2 x0 2 + 8 x0 + 8 = x0 2 + 4 x0 + 5 x0 2 + 4 x0 + 3 = 0

( x0 + 3)( x0 + 1) = 0 x0 = −3 ∨ x0 = −1

101

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Estos valores los reemplazamos en y0 = x0 2 + 4 x0 , y obtenemos los respectivos y0 :

y0 = ( −3) + 4 ( −3) = 9 − 12 = −3 2

y0 = ( −1) + 4 ( −1) = 1 − 4 = −3 2

Por tanto, los puntos de tangencia son ( −3, −3) y ( −1, −3) . Las respectivas pendientes serían:

mtg = 2 ( −3) + 4 = −2 mtg = 2 ( −1) + 4 = +2 Finalmente las ecuaciones de las rectas tangentes serían:

y − ( − 3 ) = −2 ( x − ( − 3 ) ) y + 3 = −2 ( x + 3 )

y − ( −3) = 2 ( x − ( −1) ) y

y = −2 x − 9

y + 3 = 2 ( x + 1) y = 2x −1

Ejemplo 9 Si f , g y h son funciones tales que h( x) =

f ( x) g ( x) , f (1) = 3 , g (1) = −3 , 2 f ( x) + 3 g ( x)

f ´(1) = −2 , g´(1) = 1 . Determine h´(1) .

Solución: La derivada de h sería: ⎡ f ( x ) g ( x) ⎤ h´( x) = Dx ⎢ ⎥ ⎣ 2 f ( x) + 3 g ( x) ⎦ D [ f ( x) g ( x) ][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) Dx [ 2 f ( x) + 3 g ( x)] = x 2 [ 2 f ( x) + 3 g ( x)] =

[ f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x)][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) [ 2 f ´( x) + 3g´( x)] 2 [ 2 f ( x) + 3 g ( x)]

Ahora evaluando en 1:

[ f ´(1) g (1) + f (1) g´(1)][ 2 f (1) + 3g (1)] − f (1) g (1) [ 2 f ´(1) + 3g´(1)] 2 [ 2 f (1) + 3g (1)] [(−2)(−3) + (3)(1)][ 2(3) + 3(−3)] − (3)(−3) [ 2(−2) + 3(1)] = 2 [ 2(3) + 3(−3)] [6 + 3][6 − 9] + 9[ −4 + 3] = 2 [ 6 − 9] [9][ −3] + 9 [ −1] = 2 [ −3]

h´(1) =

−36 9 h´(1) = −4 =

102

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 10 Demuestre que las gráficas de f ( x ) = 2 senx y g ( x ) = 2 cos x se intersecan en ángulo recto en cierto punto tal que 0 ≤ x ≤

π 2

SOLUCIÓN:

2 sen x = 2 cos x , de aquí se obtiene

La intersección se obtiene igualando las ecuaciones, es decir:

tg x = 1 , lo cual quiere decir que x =

π 4

Fig. 3.8 Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son perpendiculares, es decir m1 m 2 = −1 . Fig. 3.8 Si f ( x ) =

2 sen x , entonces f ´( x ) = 2 cos x que en el punto tenemos: ⎛ 2⎞ ⎟ =1 m1 = 2 cos π4 = 2 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

Si g ( x ) =

2 cos x , entonces g´( x ) = − 2 sen x que en el punto tenemos: m 2 = − 2 sen

π 4

⎛ 2⎞ ⎟ = −1 = − 2 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

Por tanto: m1 m 2 = (1)(−1) = −1 L.Q.Q.D.

Ejercicios Propuestos 3.3 1.

Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a) f ( x ) = 4 3 x + 2ln x − 3e x

(

b) f ( x ) = x + 2 3

)( x

2

+ 1)

c) f ( x ) = ( x − senx )( x + cos x ) d) f ( x ) =

2.

f ( x) =

xe x senx + 1

f)

f ( x) =

1 2 x x e ln x 2

x2 + 1 x senx

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación punto

3.

e)

f ( x ) = x2 + 2 x + 2

en el

(1,5) .

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia

f ( x ) = 3 x 2 + 4 y que sea paralela a la recta 3x + y + 2 = 0 .

103

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

4.

Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto por la ecuación

5.

y = 4x − x

2

( 2,5)

y que son tangentes a la curva definida

.

Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por f ( x ) = 2 x + 3 x − 24 x y 3

2

que son paralelas a la recta cuya ecuación es 12 x − y + 7 = 0 . 6.

Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación

y = x2 .

Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en ese punto y logre alcanzar el punto (4,15). 7.

Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación

y = 7 − x 2 . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la partícula por primera vez. 8.

Determine f ′(0 ), si f (x ) = x(x − 1)(x − 2)...(x − 50)

9.

Si f , g y h son funciones tales que h( x) =

f ( x) g ( x ) , f (3) = 2 , g (3) = −2 , f ´(3) = −1 , 3 f ( x ) − 4 g ( x)

g´(3) = 2 . Determine h´(3) .

Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena. 3.6.2.1 Regla de la Cadena

Sea y = f (u ) y u = g ( x) . Si g es diferenciable en " x0 " y f diferenciable " g ( x0 ) "

en

compuesta

entonces

la

función

( f D g )( x ) = f ( g ( x ) )

es

diferenciable en " x 0 " y d ( f ( g ( x) ) = f ´( g ( x0 )) [ g´( x0 )] dx x = x0

O lo que es lo mismo dy dy du = dx du dx

u=g( x)

Ejemplo 1

(

)

20

y = x 2 + 2 entonces haciendo u = g ( x) = x 2 + 2 dy du = 20u 19 y = 2x . du dx

Si

104

tenemos

y = f (u ) = u 20

de donde

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Por tanto

(

)

dy dy du = = 20u 19 (2 x ) que al reemplazar " u " resulta dx du dx 19 19 dy = 20 x 2 + 2 (2 x ) = 40 x x 2 + 2 dx

(

(

)

)

(

)

El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida. Ejemplo 2

(

(

)

) [ (

)][

]

Si y = sen x 3 − 3 x entonces y´= Du (senu )D x x 3 − 3x = cos x 3 − 3x 3x 2 − 3 

u

Ejemplo 3 ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ Si y = ⎢ ⎥ x 2 − 1 ⎦⎥ ⎣⎢ 

30

entonces

u 29

⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ y´= 30 ⎢ ⎥ Dx ⎢ ⎥ 2 2 ⎣ x −1 ⎦ ⎣ x −1 ⎦ 29 ⎡ 2 2 3 2 ⎤ ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎢ ( 3x + 6 x + 1)( x − 1) − ( x +3 x + x ) ( 2 x ) ⎥ = 30 ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ x −1 ⎦ ( x 2 − 1) ⎣ ⎦

Para el caso de funciones de la forma

y = f ( g (v) ) y ahora dy dy du dv y = f ( u ) ; entonces . = dx du dv dx

v = h( x )

tenemos

O más simplemente

y = f ( g (h( x) ) haciendo que haciendo que u = g (v ) tenemos

y´= ⎡⎣ f ´( g (h( x)) ) ⎤⎦ [ g´(h( x))][ h´( x)]

Ejemplo 4

( )

Si y = cos 3 x 4

2

4

⎡ ⎤ = ⎢cos N 3 x 2 ⎥ entonces: ⎢⎣ v ⎥ 



( ) u

105

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

[ ( )] D [cos(3x )] = 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )]D (3x ) = 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )][6 x ]

y´= 4 cos 3 x 2

3

2

x

2 3

2

2

x

2 3

2

Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos: Ejercicio Resuelto 1 Si f (2 ) = 4 , f ´(4 ) = 6 , f ´(2 ) = −2 hallar: a)

d [ f (x)]3 en x = 2 dx

b) ( f D f )´(2)

SOLUCIÓN: a)

d [ f ( x)]3 = 3[ f ( x)]2 f ´(x) que en x = 2 sería: dx 3[ f (2)]2 f ´(2) = 3(4 )2 (− 2 ) = −96

4⎤ ⎡  b) ( f D f )´(2) = [ f ( f (2)]´= ⎢ f ´( f (2))⎥[ f ´(2)] = [ f ´(4)][ f ´(2)] = (6)(−2) = −12 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Ejercicio Resuelto 2 Si H =

f Dg y además: h(2) = −1; g (2 ) = 3; f (3) = 2; h′(2 ) = −2; f ′(3) = 5; g ′(2) = −3 ; determine h

H ′(2) . SOLUCIÓN:

Como H ( x) =

f Dg entonces: h

⎡ f ( g ( x)) ⎤ D x [ f ( g ( x))]h( x) − f ( g ( x))h´(x) H ´(x) = D x ⎢ ⎥= [h( x)]2 ⎣ h( x ) ⎦ [ f ´(g ( x))]g´(x)h( x) − f ( g ( x))h´(x) = [h( x)]2

que en x = 2 sería: 3 ⎤ ⎡  ⎢ f ´( g (2))⎥ g´(2)h(2) − f ( g (2))h´(2) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ H ´(2) = [h(2)]2 [ f ´(3)](−3)(−1) − [ f (3)](−2) = (−1) 2 (5)(−3)(−1) − (2)(−2) = 1 H ´(2) = 19

106

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejercicio Resuelto 3 Demuestre que la derivada de una función par es una función impar SOLUCIÓN: Sea f una función par, entonces se cumple que f ( − x) = f ( x) . Ahora tomando derivada a ambos

D x [ f (− x)] = D x [ f ( x)]

miembros de la igualdad tenemos:

[ f ´(− x)](− 1) =

f ´(x )

− f ´(− x) = f ´(x) f ´(− x ) = − f ´(x )

La última igualdad nos indica que f ´ es una función impar. L.Q.Q.D

Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:

Sea u = u (x) , entonces: 1. Dx (u n ) = n(u n −1 )u´ 2. Dx (e u ) = e u u´ 3. Dx (a u ) = a u (ln a ) u´ 1 u´ u

4.

D x (ln u ) =

5.

1 u´ u ln a D x (sen u ) = (cos u ) u´

6. 7. 8. 9.

D x (log a u ) =

D x (cos u ) = (− sen u )u´

Dx (tan u ) = ( sec 2 u ) u´

Dx (cot u ) = ( − csc2 u ) u´

10. Dx (sec u ) = ( sec u tan u ) u´ 11. Dx (csc u ) = ( − csc u cot u ) u´

107

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejercicios Propuestos 3.4 1.

2.

Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a)

f ( x ) = x2 − 2x + 2

b)

f ( x) =

⎛ senx ⎞ ⎟ ⎝ cos 2 x ⎠

e) f ( x ) = ⎜

1



−x

c)

f ( x) =

e −e e x + e− x

d)

f ( x) =

x2 − 1 x2 + 1

(

)⎦

2 f) f ( x ) = ln ⎡ ln x + 1 ⎤

2x − 3 x

3

g) f ( x ) =

1 ⎛ x ⎞ 1 ln ⎜ 2 ⎟− 2 4 ⎝ x −4⎠ x −4 2

Si V = { f / f es una función derivable en un int ervalo I } . Demuestre que:

∀f ∈ V [ f ( − x) = − f ( x) ⇒ f ' (− x) = f ' ( x)] (La derivada de una función impar es una función par) ′

f (u ) = e u

2

u = g (x ) = 4 1 + cos 2 (2 x )

3.

Hallar ( f D g ) (x ) , si

4.

Sean f, g y h funciones diferenciales para todo x ∈ IR , tales que:

y

g (a ) = 2, g ′(a ) = −2, h(2 ) = 3, h ′(2) = −1, f (3) = 3, f ′(3) = −5, f (a ) = a, f ′(a ) = −2 . h(a) = a, h´(a ) = 4 En x = a determine el valor de: a) (g D f )´ d)

( f D h D g )´

b) (g D h )´

′ ⎛ f DhD g −hD g ⎞ ⎟⎟ gD f ⎝ ⎠

e) ⎜⎜

5.

Sea f (0) = 0 y f ' (0) = 2 , encuentre la derivada de f ( f ( f ( f ( x)))) en x = 0 .

6.

Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos x1 y x2 tales que f ( x1 ) = x2 y f ( x2 ) = x1 . Sea

7.

Pruebe que si un polinomio p(x) es divisible entre (ax + b ) entonces p ' ( x ) es divisible entre (ax + b ) .

g (x ) = f ( f ( f ( f (x )))) pruebe que g ' ( x1 ) = g ' ( x2 )

2

Sugerencia: Escriba el polinomio de la forma

108

c) (h D g )´

p ( x ) = ⎣⎡ c ( x ) ⎦⎤ ( ax + b ) y derívelo. 2

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de esta función y así sucesivamente. Es decir:

Sea y = f ( x) una función " n " veces derivable, entonces: La primera derivada es: y´= f ´(x) =

dy f ( x + h) − f ( x) = Dx y = lím h→0 dx h

La segunda derivada es: Dx ( y´) = y´´= f ´´(x) =

d2y f ´(x + h) − f ´(x) = Dx2 y = lím 2 h →0 dx h

La tercera derivada es: d3y f ´´(x + h) − f ´´(x) Dx ( y´´) = y´´´= f ´´´(x) = 3 = Dx3 y = lím h → 0 dx h

En fin, La n − ésima derivada es: y n = f n ( x) =

dny f n −1 ( x + h) − f n −1 ( x) n D y = = lím x h→0 dx n h

Ejemplo 1 ⎛

1 ⎞ ⎟ ⎝ 1 − 2x ⎠

Hallar D xn ⎜

SOLUCIÓN: Aquí tenemos:

y=

1 −1 = (1 − 2 x ) . 1 − 2x

Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta:

y´= −(1 − 2 x )−2 (− 2 ) = (1 − 2 x )−2 2 = 1! (1 − 2 x )−2 21 y´´= 2(− 2 )(1 − 2 x )−3 (− 2) = 2(1 − 2 x )−3 2 2 = (2! )(1 − 2 x )−3 2 2 y´´´= 2(− 3)(1 − 2 x )− 4 (− 2)2 2 = (2 × 3)(1 − 2 x )− 4 2 3 = (3! )(1 − 2 x )− 4 2 3 y IV = (2 × 3)(−4)(1 − 2 x )−5 (−2)2 3 = (2 × 3 × 4)(1 − 2 x )−5 2 4 = (4!)(1 − 2 x )−5 2 4 Directamente la quinta derivada sería

y V = (5!)(1 − 2 x ) 2 5

n Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y = (n!)(1 − 2 x )

−6

− (n +1)

2n

109

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 2 ⎛ 1 ⎞ Hallar Dxn ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 3x ⎠

SOLUCIÓN: Aquí tenemos: y =

1 −1 = (1 + 3x ) . 1 + 3x

Obteniendo derivadas:

y´= − (1 + 3 x )

−2

y´´= +2 (1 + 3 x )

( 3) −3

(3 ) 2

y´´´= − ( 2 × 3)(1 + 3x )

−4

(3 ) 3

y IV = +(2 × 3 × 4) (1 + 3 x ) (34 ) −5

Directamente la quinta derivada sería yV = − ( 5!)(1 + 3 x ) Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y n = ( −1)

Ejemplo 3

n

−6

(3 ) 5

( n !)(1 + 3x ) (

− n +1)

(3 ) n

( )

Demuestre que D xn x n = n! ; n ∈ ` SOLUCIÓN: Como y = x n entonces: y´= nx n −1 y´´= n ( n − 1) x n − 2 y´´´= n ( n − 1)( n − 2 ) x n − 3 "

y n = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)"( n − ( n − 1) ) x n − n = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)"(1) = n!

Ejercicio Propuesto 3.5 1.

Calcular las derivadas de orden superior indicadas.

a.

d4 dx

b.

c.

110

4

[cos (x )] 2

d 2 ⎡ x sen2 (πx ) ⎤ ⎢ ⎥ dx 2 ⎢⎣ 1 + x ⎥⎦ dn dx n

[xe ] x

n⎛

5 ⎞ ⎟ ⎝4− x⎠

d. Dx ⎜

e. Dx f.

30 ⎡1 +

d 35 dx35

x⎤ ⎢1 − x ⎥ ⎦ ⎣

[xsenx]

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎢x ⎜ ⎟⎥ dx ⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎥ ⎣ ⎦

2.

Determine

3.

Usando el símbolo factorial, encuentre una fórmula para:

(

)

D xn a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 , n ∈ ` 4.

Determine un polinomio P de grado 3 tal que P (1) = 1 , P´(1) = 3 , P´´(1) = 6 , P´´´(1) = 12 .

Hasta aquí hemos tratado con funciones cuyas reglas de correspondencia estaban dadas por una ecuación de la forma y = f ( x ) , esta forma la llamaremos en adelante EXPLÍCITA; suponga ahora que la ecuación de una función esté dada en la forma F ( x, y ) = 0 , forma que le llamaremos IMPLÍCITA, y suponga que se desea obtener la derivada y´ de esta ecuación sin necesidad de despejar y ; de ahí la necesidad de mencionar mecanismo de derivación para este tipo de problema.

3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Para obtener y´ en una función implícita F ( x, y ) = 0 sin necesidad de despejar y ; es más, suponga que no se pueda despejar y , hay que considerarla como F ( x, f ( x)) = 0 y derivando cada miembro de la ecuación tomando en cuenta las reglas mencionadas lograríamos lo deseado. Ejemplo Sea x − y = 0 la ecuación de una función (asegúrese que en verdad representa una función) la derivada la podemos obtener por una de las siguientes formas: 4

5

1. Despejando y (forma explícita: y = x

4

5

) entonces:

4 − 15 x 5 4 5 2. Sin despejar y (forma implícita: x − y = 0 ).

y´=

La consideraremos como x − ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ = 0 . Ahora derivamos cada miembro de la ecuación: 5

4

5 Dx ⎡ x 4 − ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ⎤ = Dx [ 0] ⎣ ⎦

4 x3 − 5 ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ f ´( x ) = 0 Ahora despejamos f ´( x ) : 4

f ´( x ) =

4 x3 5 ⎣⎡ f ( x ) ⎦⎤

4

Por ahora podemos comprobar que los resultados son los mismos, simplemente habría que reemplazar

f ( x) = x 5 : 4

111

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

f ´( x ) =

4 x3 5 ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦

4

=

4 x3 5 ⎡x 5 ⎤ ⎣⎢ ⎥⎦ 4

4

=

4 x3 16

5x

5

=

4 − 15 x 5

Ejemplo 2 Sea x + y = 1 con y ≥ 0 (semicircunferencia), hallar y´ SOLUCIÓN: 2

2

PRIMER MÉTODO. 2 Como es posible despejar y , tenemos y = + 1 − x

y´= Entonces:

1 2

(1 − x ) ( −2 x )

=−

1 2 − 2

x 1− x

2

=−

x y

SEGUNDO MÉTODO.

Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como x + [ f ( x)] = 1 y tomar derivada a ambos 2

miembros de la igualdad:

(

2

)

Dx x 2 + [ f ( x)]2 = Dx (1) 2 x + 2 f ( x) f ´(x) = 0

que es lo mismo que: 2 x + 2 yy´= 0 despajando y´ resulta: y´= −

x x =− y 1 − x2

Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico. Ejemplo Suponga que la ecuación fuese x 2 + y 2 = −1 Esta ecuación no representa lugar geométrico, sin embargo obtener y´ sería de la misma forma que el ejemplo anterior.

En los ejemplos anteriores se demuestra que la derivación implícita es válida, la comprobación no siempre va a ser posible. Pero lo que se requiere es obtener la derivada y es lo que hemos dejado explicado. Observe además que las ecuaciones implícitas podrían representar no sólo funciones sino una relación cualquiera, entonces estaríamos en capacidad de obtener la derivada en cualquier punto de esa relación. Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.

112

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejercicio Resuelto 1 Hallar y´ para 4 x 3 + 7 xy 2 = 2 y 3 SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros y resolviendo tenemos:

(

) ( ) + (7 y + 7 x 2 yy´) = 6 y y´ Dx 4 x3 + 7 xy 2 = Dx 2 y 3

12 x

2

2

2

12 x 2 + 7 y 2 + 14 xyy´= 6 y 2 y´ Despejando y´ resulta: y´=

12 x 2 + 7 y 2 6 y 2 − 14 xy

Ejercicio Resuelto 2

( )

Hallar y´ para x + ln x 2 y + 3 y 2 = 2 x 2 − 1 SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:

(

( )

)

(

)

Dx x + ln x 2 y + 3 y 2 = Dx 2 x 2 − 1 1+

1

[2xy + x y´]+ 6 yy´= 4 x 2

x2 y

1+

2 y´ + + 6 yy´= 4 x x y

Despejando y´ resulta:

y´=

4x − 1 − 6y +

2 x

1 y

Ejercicio Resuelto 3

( )

Hallar y´ para cos xy 2 = y 2 + x x + y SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:

( ( ))

(

Dx cos xy 2 = Dx y 2 + x x + y

( )[ ] sen (xy ) − 2 xyy´sen(xy ) = 2 yy´+

)

− sen xy 2 1 y 2 + x 2 yy´ = 2 yy´+1 x + y + x

− y2

2

2

[ (x + y ) 1 2

− 12

(1 + y´)]

x xy´ x+ y + + 2 x+ y 2 x+ y

Despejando y´ resulta:

( )

− y 2 sen xy 2 − x + y − y´= 2y +

x 2 x+ y

( )

x + 2 xy sen xy 2 2 x+ y

113

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejercicio Resuelto 4 Determinar la ecuación de la recta normal a la curva cuya ecuación es P(0,0). SOLUCIÓN: La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto m normal = −

x cos y = sen( x + y )

en

1 m tg

D x (x cos y ) = D x (sen (x + y ))

Ahora m tg = y´ (0,0 ) . Obteniendo y´ resulta: 1 cos y + x(− sen yy´) = cos( x + y )[1 + y´] En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir: x = 0 y y = 0 y luego

cos 0 + 0(− sen 0 y´) = cos(0 + 0)[1 + y´] . despejar y´ : 1 + 0 = 1 + y´ y´= 0

Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con pendiente

mnormal = −

1 = −∞ 0

Y su ecuación será:

y−0 = −

1 (x − 0) (el eje y ). 0

x=0

Ejercicio Resuelto 5 Sea x y − 2 y = 2 . Encuentre SOLUCIÓN: Primero se encuentra y ' : 2

3

(

y' ' en (2,1).

)

D x x 2 y − 2 y 3 = D x (2) 2 xy + x y´−6 y 2 y´= 0 2

En (2,1) sería:

2(2)(1) + (2) 2 y´−6(1) 2 y´= 0 y´= 2

Ahora encontramos

y' ' volviendo a derivar implícitamente:

(

)

D x 2 xy + x 2 y´−6 y 2 y´ = D x (0)

(

)

2 y + 2 xy´+2 xy´+ x y´´− 12 yy´ y´+6 y y´´ = 0 2

2

2(1) + 2(2)(2) + 2(2)(2) + (2) 2 y´´−12(1)(2)(2) − 6(1) 2 y´´= 0 2 + 8 + 8 + 4 y´´−48 − 6 y´´= 0 En (2,1) sería: y´´= 15

114

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejercicios Propuestos 3.6 1.

2.

dy para: dx

Encontrar

2

d. sec y + tan y = xy

2

a.

x 3 + y 3 =1

b.

ln ( xy ) + y = 1

c.

e xy + ln y = 0

e. ln ( xy ) +

y =5

2 3 2 2 Demuestre que la rectas tangente a las curvas definidas por las ecuaciones y = 4x y 2 x + 3 y = 14 en el punto

(1,2) son perpendiculares entre sí.

3.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x3 + 3 xy 3 + y = 5 en el punto

4.

3 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de x 2 + y 2 = 8 x 2 y 2 en el punto (1,−1)

5.

(1,1)

)

(

[2

]

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy − sen π (x + y ) + 1 = 2 en el punto (1,1)

6.

3

3

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x 2 + y 2 = 2 que es paralela a la recta x + y + 6 = 0

7.

2 2 Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación x y = ( y + 1)2 (4 − y )2 en

8.

Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación x cos(2 y ) = 3 sen (x + y ) en el

9.

2 3 Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación x + y = 2 xy donde la recta tangente

el punto (0,−2) .

punto (0,0) .

a f sea horizontal. 10. Encuentre y ' ' si 11. Calcula:

d2y dx

2

x3 − 4 y 2 + 3 = 0 para

2

x

3

+y

2

3

=1

12. Para la función y = f (x) dada en forma implícita por la ecuación

x − tg y + e

y − π4

= 2 determine

d2y dx 2

( )

en el punto 2, π . 4

3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA Las ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma: ⎧ x = x(t ) C:⎨ ⎩ y = y (t ) Tanto x como y están expresadas en términos del parámetro t , el objetivo dy será hallar directamente . dx

115

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3.6.5.1 Teorema de la derivada de funciones definidas por ecuaciones paramétricas.

Suponga que x = x(t ) y y = y (t ) son funciones continuamente diferenciables, y que x´(t ) ≠ 0 para cualquier " t " de cierto intervalo. Entonces las ecuaciones paramétricas definen a " y " como una función diferenciable de " x " y su derivada es: dy dy dy dt = = dt dx dx dt dx dt Ejemplo 1 Sea la circunferencia con ecuación cartesiana x 2 + y 2 = 1 , la derivada también puede ser hallada partiendo

dy

⎧ x = cos t dy cos t x = dt = =− de su ecuación paramétrica C : ⎨ , es decir: dx dx − sen t y y = t sen ⎩

dt Esta manera representaría un tercer método para hallar la derivada, tal como se puede observar.

Ejemplo 2 ⎧⎪ x = e t cos t

Sea ⎨

⎩⎪ y = e sent SOLUCIÓN: t

hallar

dy dx

dy et sent + et cos t sent + cos t dy = dt = t = dx dx e cos t − et sent cos t − sent dt

Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera derivada es función de " t ", es decir que

dy = y´(t ) ; por tanto: dx

Segunda derivada:

116

d2y dx 2

d [y´(t )] = d [y´(t )] dt = = dx dt dx

d [ y´(t )] dt = y´´(t ) dx dt

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

d [ y´´(t )] dt d = Tercera Derivada: 3 = [ y´´(t )] = dx dt dx dx d3y

d [ y´´(t )] dt = y´´´(t ) dx dt

Y así sucesivamente. Ejemplo 1 ⎧ x = cos t d3 y Sea C : ⎨ hallar . dx3 ⎩ y = sen t SOLUCIÓN: dy dy cos t = dt = = − cot ( t ) Ya encontramos la primera derivada: dx dx − sen t dt d d y´ − cot t ) − ( − csc 2 t ) d 2 y dt ( ) dt ( = = = = − csc3 t La segunda derivada sería: 2 dx dx dx − sent dt dt d d y´´ − csc3 t ) −3csc 2 t − csc t cot gt d 3 y dt ( ) dt ( ( ) = −3csc4 t cot gt = = = La tercera derivada sería: dx dx dx 3 −sent dt dt

Ejemplo 2 ⎧⎪ x = e t cos t

Sea ⎨

hallar

d2y dx 2

⎪⎩ y = e sent SOLUCIÓN: La primera derivada ya la encontramos: dy et sent + et cos t sent + cos t dy = dt = t = dx dx e cos t − et sent cos t − sent dt La segunda derivada sería: d ⎛ sent + cos t ⎞ d ( y´) dt ⎜⎝ cos t − sent ⎟⎠ d2y = dt = dx dx dx 2 dt dt ( cos t − sent )( cos t − sent ) − ( sent + cos t )( − sent − cos t ) t

( cos t − sent )

=

et cos t − et sent

( cos t − sent ) + ( sent + cos t ) 2 ( cos t − sent ) = 2

=

2

2

= et cos t − et sent cos 2 t − 2cos tsent + sen 2t + sen 2t + 2cos tsent + cos 2 t et ( cos t − sent )

3

d2y 2 = dx 2 et ( cos t − sent )3

117

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 3 Calcular

dny dx n

⎧⎪ x = ln t para: ⎨ ⎪⎩ y = t m ; m ∈ R

SOLUCIÓN: Hallando las primeras derivadas, suficientes hasta poder generalizar, tenemos: dy dy mt m −1 mt mt −1 = dt = = = mt m Primera derivada: dx 1 dx t −1 dt t

d [ y´(t )] m 2 t m −1 dt = = = m 2t m Segunda derivada: −1 2 dx dx t dt d [ y´´(t )] d3y m 3 t m −1 dt = = = m 3t m Tercera derivada: dx dx 3 t −1 dt d2y

Directamente, la cuarta derivada sería: Por tanto:

dny dx

n

d4y dx 4

= m 4t m

= mnt m

Ejercicios Propuestos 3.7 1. Hallar

dy para: dx a.

⎧ x = a (cos t + tsent ) ⎨ ⎩ y = a (sent − t cos t )

b.

⎧ 2 ⎪⎪ x = t + 1 t −1 ⎨ ⎪y = 2 ⎪⎩ t +1

⎧ x = a(t − sen t ) π en t = ( ) = − y a 1 cos t 2 ⎩

2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨

⎧⎪ x = 2t − t 2

3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨

⎪⎩ y = 3t − t 3

en el punto (1,2)

⎧ x = 4 sen 2t − 3 cos 3t en t = 0 ⎩ y = 3 sen t + 4 cos 2t

4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨

⎧⎪ x = t 2

5. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨

⎪⎩ y = 2t 3 + 4t − 1

; t ∈ IR . Encontrar las ecuaciones de las

rectas tangentes a C y que pasen por el origen.

⎧⎪ y = cos t d2y d3y . Calcule a) y b) ⎪⎩ x = ln ( cos t ) dx 2 dx 3

6. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨

118

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3.6.6 DERIVACIÓN POLAR Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares, para encontrar la derivada procedemos del mismo modo que para ecuaciones paramétricas.

⎧ x = r cos( θ ) ⎩ y = r sen (θ )

Si tenemos r = f (θ ) y como ⎨

⎧ x = f (θ ) cos( θ ) ⎩ y = f (θ ) sen (θ )

Al reemplazar queda ⎨

dy f ´(θ ) senθ + f (θ ) cosθ dy = dθ = Entonces f ´(θ ) cosθ − f (θ ) senθ dx dx dθ Para encontrar la ecuación de la recta tangente: y

Fig. 3.13

r = f (θ )

( r0 ,θ0 ) r0 y0

θ0

x0

x

Considere que la ecuación cartesiana de una recta, definida por un punto y su pendiente, es de la forma:

y − y 0 = m ( x − x0 )

Entonces:

119

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

x0 = f (θ 0 )cosθ 0 y0 = f (θ 0 )senθ 0

dy dy m= = dθ dx dx dθ

=

f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0 f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0

θ =θ 0

Ejemplo Encuentre la ecuación de la recta tangente a r = f ( θ ) = 4 sen 3θ en θ 0 = SOLUCIÓN: Observa la gráfica:

π 4

Fig. 3.14

x0 = f ( θ 0 ) cos( θ 0 ) = f ( π ) cos( π )

En este caso

[

] 4

4

= 4 sen 3 π cos π 2 =4 2

y 0 = f ( θ 0 ) sen( θ 0 ) = f ( π ) sen( π )

4

y

4

2 2

[

2 =4 2

x0 = 2

] 4

4

4

= 4 sen 3 π sen π 4

2 2

y0 = 2

Para la pendiente, tenemos: f ´(θ) = 12 cos 3θ Entonces: m= =

f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0 f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0

[12 cos 3 π4 ]sen π4 + [4sen3 π4 ]cos π4 [12 cos 3 π4 ]cos π4 − [4sen3 π4 ]sen π4

⎡ 2⎤ ⎢ − 12 2 ⎥ ⎣ ⎦ = ⎡ 2⎤ ⎢ − 12 2 ⎥ ⎣ ⎦ −6+2 = −6−2 1 m= 2

2 ⎡ 2⎤ 2 + ⎢4 ⎥ 2 ⎣ 2 ⎦ 2 2 ⎡ 2⎤ 2 − ⎢4 ⎥ 2 2 2 ⎣ ⎦

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente estaría dada por:

120

y − y 0 = m(x − x0 ) y−2=

1 2

( x − 2)

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejercicios propuestos 3.8 en θ 0 = π 4 r = 4sen 3θ en θ 0 = π 6

1.

Hallar la ecuación de la recta tangente a r = − 4 cos 3θ

2.

Hallar la ecuación de la recta tangente a

3.

Hallar la ecuación de la recta tangente a r =

4.

Hallar la ecuación de la recta tangente a

en θ 0 = π 6 r = 3 − 4 sen 3θ en θ 0 = π 3 2 sen 3θ

3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.7.1 Teorema de existencia de la función inversa.

Si f es una función estrictamente monótona en su dominio entonces f tiene una inversa. El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de la función inversa.

3.6.7.2 Teorema de la derivada de la función inversa.

Sea f una función derivable y estrictamente monótona en un intervalo I . Si f ´(x) ≠ 0 en cierto " x " en I , entonces f −1 es derivable en el punto correspondiente " y ", y 1 ⎡ d −1 ⎤ ( ) f y = ⎢⎣ dx ⎥⎦ f ´(x)

121

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de la recta −1 tangente a f ( m1 ) y la pendiente de la recta tangente a f ( m2 ) se relacionan de la forma

m2 =

1 m1

. Y que se puede encontrar la derivada de la inversa f

−1

,

trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir, sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f

−1

.

Fig. 3.15 Ejemplo 1 ⎡d 5 Sea f ( x ) = x + 2 x + 1 una función estrictamente monótona. Hallar ⎢ f ⎣ dx SOLUCIÓN: En este caso "4" es rango para

⎡d ⎢ dx f ⎣

f

por tanto habrá que encontrar el correspondiente

x

−1 ⎤

⎥ (4 ) ⎦

para reemplazarlo en:

−1 ⎤

1 ⎥ (4) = f ´(x ) ⎦

5 Entonces, teniendo 4 = x + 2 x + 1 por inspección deducimos que x = 1 la satisface.

⎡d

f Por lo tanto, ⎢ ⎣ dx

−1 ⎤

1 1 1 = ⎥ (4) = f ´(1) = 4 ⎦ 5(1) + 2 7

No olvide que este resultado significa que la recta tangente a

por tanto su ecuación sería: y − 4 = 7(x − 1) En cambio, la recta tangente a ecuación: y − 1 =

122

1 (x − 4 ) 7

f

−1

f

en el punto (1,4 ) tiene pendiente m = 7 y

en el punto correspondiente (4,1) tiene pendiente m =

1 y por 7

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 2 Obtenga la derivada para la función inversa de f ( x) = e empleando el teorema de la derivada de la función inversa. SOLUCIÓN: 1 ⎡ d −1 ⎤ De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Función Inversa ⎢ f ⎥(x ) = dx f ´ (y) ⎣ ⎦ x

Como f ( x ) = y = e x tenemos que f ´(x ) = e x y f ´( y ) = e y y además al cambiar la variable resulta

x = e y , lo cual nos permite decir que: f ´( y ) = x ⎡d f ⎣ dx

Bien, reemplazando ⎢

−1 ⎤

1 1 ⎥ ( x) = f ´( y ) = x ⎦

(No olvide la inversa de la función exponencial es la logarítmica, es decir: determinamos con su definición)

f −1 ( x) = ln x

, cuya derivada la

3.6.7.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas 1 D x (arcsen x ) = ; −1 < x < 1 1− x2 1 D x (arccos x ) = − ;−1 < x < 1 1− x2 1 D x (arctg x ) = 1+ x2 1 Dx ( arc co tg x ) = − 1 + x2 1 D x (arc sec x ) = ; x >1 x x2 −1

Demostración: Demostraremos la primera. Planteemos el problema de la siguiente manera: Sea

[

f ( x) = y = sen x hallar D x f

−1

]

( x) = D x [arcsen x ]

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de la Derivada de la función inversa tenemos:

[

Dx f

−1

]

( x) = D x [arcsenx] =

1 f ´( y )

Entonces, f ´( y ) = cos y . Ahora habrá que encontrar cos y , sabiendo que x = seny (cambiando la variable en la función dada). Por trigonometría, decir que seny =

x significa que cos y = 1 − x 2 (observe la figura 3.16) 1

123

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Fig. 3.16

Por lo tanto, D x [arcsenx] =

1 1 = L.Q.Q.D. cos y 1− x2

Las fórmulas anteriores pueden ser generalizadas para una función u = u (x)

D x (arcsen u ) =

1

D x (arccos u ) = −

1− u2 1

u´ ;−1 < u < 1

1− u2

u´ ;−1 < u < 1

D x (arctg u ) =

1 u´ 1+ u2 1 D x (arc sec u ) = u´ ; u > 1 u u 2 −1 Ejemplo ⎛ y⎞ Hallar y´ para arc tg⎜ ⎟ = ln ⎝x⎠

x2 + y2

SOLUCIÓN: Derivando implícitamente, tenemos:

[ (

)] (

⎡ ⎛ y ⎞⎤ Dx ⎢arc tg ⎜ ⎟⎥ = Dx 1 ln x 2 + y 2 2 ⎝ x ⎠⎦ ⎣ 1 1 ⎛ y⎞ 1 D ⎜ ⎟= Dx x 2 + y 2 2 x⎝ x ⎠ 2 2 x + y2 y⎞ ⎛ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ ⎡ y´x − y (1) ⎤ 1 [2 x + 2 yy´] ⎢ ⎥= 2 2 x2 ⎦ 2x +y

1

(

y2 1+ 2 ⎣ x

)

⎡ xy´− y ⎤ 2/ (x + yy´) 1 ⎢ ⎥= x 2 + y 2 ⎣ x 2 ⎦ 2/ x 2 + y 2

(

x

2

x 2 (xy´− y )

x + yy´ = x2 x2 + y2 x2 + y 2 xy´− y = x + yy´

(

)

xy´− yy´= x + y y´=

124

x+ y x− y

)

)

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejercicios Propuestos 3.9 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟(6 ) ⎝ dx ⎠

1.

Si f (x ) = x + 3 x + 2 hallar ⎜

2.

2 Si f (x ) = x − 3x + 1 para x > 3

3.

⎛ dg ⎞ π , si g es la función inversa de Hallar ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ 4

4.

Si f es una función inversible y diferenciable. Si en el punto ( 2,4) ∈ f , la recta tangente es paralela a la

7

3

2

; hallar

()

⎛ d −1 ⎞ f ⎟ (5) . ⎜ ⎝ dx ⎠ f tal que: f (x ) = ln x + arc tg x

⎛ d −1 ⎞ f ⎟(4 ) . ⎝ dx ⎠

recta x − 3 y + 2 = 0 determine el valor de ⎜ 5.

6.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la inversa de la función f ( x) = x + 2 x − 3 en el punto 3

(0, f

−1

(0)

)

Determine la ecuación de la recta tangente a la función y = f −1( x ) en el punto

( −2, f

−1

(−2) ) donde

f ( x) = 3 x3 + 2 x + 3, x ∈ IR 7.

Hallar la ecuación de la recta normal a la inversa de

f en

( 2a, f

−1

(2a) )

si se conoce que

f ´(a ) = f (a ) = 2a . 8.

⎛ d −1 ⎞ f ⎟(0) conociendo que la ecuación cos(xy ) + x − 3 y = 2 define una función invertible Hallar ⎜ ⎝ dx ⎠

(y =

f (x) ) en un intervalo que contiene el punto x = 1 y f (1) = 0 dy 9. Calcular , para : dx a.

⎡ ⎤ y = xarcsenx − ln ⎢ x + x 2 + 1 ⎥ ⎣ ⎦

⎛ 4senx ⎞ c. y = arctg ⎜ ⎟ ⎝ 3 + 5 cos x ⎠

b.

⎛x⎞ y = xarctg ⎜ ⎟ − ln x 2 + 4 ⎝2⎠

d.

(

)

(

3 y = e arctg x + senx

)

3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son un tanto g ( x) complicadas o cuando son funciones potenciales de la forma y = f ( x ) , lo mejor será aplicar logaritmo y derivar implícitamente. Ejemplo 1 Hallar

dy para y = x x dx

SOLUCIÓN:

Primero, aplicando logaritmo, tenemos:

ln y = ln x x ln y = x ln x Ahora derivando implícitamente, resulta:

125

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Dx (ln y ) = Dx (x ln x ) 1 ⎛1⎞ y´= (1) ln x + x⎜ ⎟ y ⎝x⎠ y´= y[ln x + 1] y´= x x [ln x + 1]

Ejemplo 2 Hallar

dy para y = [sen 2 x ]arctg x dx

SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos:

(

)

ln y = ln [sen 2 x ]arctg x ln y = arctg x ln (sen 2 x )

Ahora derivando implícitamente, resulta: Dx ln y = Dx [arctg x ln (sen 2 x )]

1 1 ⎡ 1 (cos 2 x )(2)⎤⎥ y´= ln (sen 2 x ) + arctg x ⎢ 2 y 1+ x ⎣ sen 2 x ⎦

⎡ ln (sen 2 x ) 2 arctg x cos 2 x ⎤ y´= y ⎢ + ⎥ sen 2 x ⎣ 1 + x2 ⎦ ( ) x x cos 2 x ⎤ ln sen 2 2 arctg ⎡ y´= [sen 2 x ]arctg x ⎢ + ⎥ 2 sen 2 x ⎣ 1+ x ⎦

Ejemplo 3 Hallar

dy dx

para

y = xx

x

SOLUCIÓN:

Ahora, hay que aplicar dos veces logaritmo. Primero, aplicando logaritmo tenemos:

( )

ln y = ln x x

x

ln y = x x ln x Luego, volvemos a aplicar logaritmo:

(

ln (ln y ) = ln x x ln x

)

ln(ln y ) = ln x + ln(ln x) x

ln(ln y ) = x ln x + ln(ln x) Y ahora sí, derivamos implícitamente:

126

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz D x [ln(ln y )] = D x [x ln x + ln(ln x)] 1 1 1 1 1 y´= (1) ln x + x + ln y y x ln x x 1 ⎤ ⎡ y´= y ln y ⎢ln x + 1 + x ln x ⎥⎦ ⎣ x x ⎡ 1 ⎤ y´= x x ln x x ⎢ln x + 1 + ln x x ⎥⎦ ⎣ x 1 ⎤ ⎡ y´= x x x x ln x ⎢ln x + 1 + x ln x ⎥⎦ ⎣

Existen situaciones en que es recomendable emplear la derivación logarítmica Ejemplo Hallar

dy para y = dx

x 2 + 2 3 1 + arctg x 4

1 + ex

SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos: ⎡ x 2 + 2 3 1 + arctg x ⎤ ⎥ ln[ y ] = ln ⎢ 4 x ⎢ ⎥ 1 + e ⎣ ⎦ ln y =

1 ln 2

(x

2

)

(

+ 2 + 13 ln (1 + arctg x ) − 14 ln 1 + e x

)

Ahora derivando implícitamente, resulta:

)

( (

(

Dx (ln y ) = Dx 1 ln x 2 + 2 + 1 ln (1 + arctgx ) − 1 ln 1 + e x 2

3

4

)

( )

⎞ ⎛ 1 1 1 (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ − 1 1 x e x y´= y 2 x2 + 2 3 1 + arctgx ⎝ 1 + x ⎠ 4 1 + e ⎡1 1 ⎛ y´= y ⎢ (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 2 + 2 3 1 arctgx ⎝1+ x ⎣⎢ x + 2

( )

⎤ ⎞ 1 1 ⎟− ex ⎥ ⎟ 4 x 1+ e ⎥⎦ ⎠

Finalmente, reemplazando resulta: y´=

x 2 + 2 3 1 + arctgx ⎡ 1 1 ⎛ (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 ⎢ 2 2 + 3 1 arctgx 4 x ⎝ 1+ x ⎣⎢ x + 2 1+ e

( )

⎤ ⎞ 1 1 ⎟− ex ⎥ ⎟ 4 x 1+ e ⎥⎦ ⎠

Ejercicios Propuestos 3.10 1. Calcular

a.

y=

dy , para : dx

sec 5 x

3

tgx + 1

e.

y = xnnx

f.

⎡ arcsen sen 2 x ⎤ y=⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ arccos cos x ⎦⎥

csc x 3 − 4 b.

y=

4

x 3 cos 4 x

3

1− x2

(4x − x )

3 5

( (

) )

arctg 2 x

127

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

c.

x −1

y= 3

d.

2.

( x + 2 ) ( x + 3) 2

y=x

(

(

h.

y = (ln(sen(3x)))arctg(cos(3x))

i.

(x + y ) y

= x2 + y2

j.

y = (1 + x 2 )

2

arcsen(e x )

3

3x

g.

y = arcsen 1 + e 2 x

))

sec x

x

(

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y = 1 + e x

)ln(x+1) en el

punto (0,1)

y x 3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación. x + y = 2 en el punto (1,1) . 4. Determine

d2y dx

3.7

2

(1,2) , si existe, para

x y + xy = 3

FUNCIONES HIPERBÓLICAS.

Existen funciones especiales, denominadas Hiperbólicas, que se definen a partir de la función exponencial. 3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO

Su regla de correspondencia es

e x − e− x y = f ( x) = senhx = 2

Por tanto su gráfica sería:

Fig. 3.17

3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO

Su regla de correspondencia es:

128

e x + e −x y = f ( x) = cosh x = 2

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Por tanto su gráfica sería:

Fig. 3.18

3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA Su regla de correspondencia es:

senhx e x − e − x = y = f ( x) = tghx = cosh x e x + e − x Por tanto, su gráfica sería:

Fig. 3.19

Se puede demostrar que

cosh 2 x − senh 2 x = 1

129

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS

D x (senh x ) = cosh x

D x (cosh x ) = senh x

D x (tgh x ) = sec h 2 x

D x (c tgh x ) = − csc h 2 x

D x (sec hx ) = − sec hx tgh x

D x (csc hx ) = − csc hxc tgh x

¡Demuéstrelas!

Misceláneos 1.

Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta. a)

⎛ d( f D g)⎞ Si f ´(2) = g´(2) = g ( 2) = 2 entonces ⎜ ⎟ ( 2) = 4 ⎝ dx ⎠

b)

La función f ( x) = sen x no es derivable en x = 0

c)

Si

d)

3 La ecuación de la recta tangente a la curva y = x en el punto (1,1) es y − 1 = 3(x − 1) .

e)

f y g son derivables en x = c y f ´(c) = g (c) = 0 y h( x) = f ( x) g ( x) entonces h´(c) = 0 .

La expresión lim x→

sen x − 1 x− π

π 2

es la derivada de f ( x) = sen x cuando x = π . 2

2

f)

La función f ( x ) = 6 x3 + 5 x − 3 no tiene rectas tangentes con pendiente 4.

g)

Si y ( x) = x

h)

Si g ( x) = f e

i)

Si f es una función continua en el intervalo cerrado a, b y f ( a ) = f (b) entonces en algún punto

j)

1 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟( x ) = Si f es una función invertible entonces ⎜ . dx f ´( x) ⎝ ⎠

k)

Si

xx

entonces y´(x ) = x

xx x⎛

1⎞ x ⎜ ln x + ln 2 x + ⎟ x⎠ ⎝

( f ( x) ) tal que f (0) = ln 2 , f ´(0) = −2 y f ´(2) = 3 entonces g´(0) = −12 [ ]

del intervalo abierto (a, b ) , la función f tiene una recta tangente que es paralela al eje x .

f ,

g

y

h

son funciones tales que

(f

D g D h )´(2) = 4 ,

g (1) = g´(1) = −1 y

h(2) = h´(2) = 1 entonces f ´(−1) = 0 l)

Si

f

es una función inversible y derivable tal que

⎛ d −1 ⎞ f ⎟ ( −2 ) = 1 . ⎜ ⎝ dx ⎠

130

f ´(1) = 4 y

f (1) = −2 entonces

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

m) Si h( x) = f (1 + f (1 + f ( x)) ) , f (1) = 1 , f ( 2) = −1 , f ´(1) = 5 , f ´(2) = −2 y f ´(0) = 3 entonces h´(1) = −30

n)

⎧2 x − 1; x ≥ 1 ⎪ x ; 0 ≤ x < 1 es derivable ⎪ 3x ; x < 0 ⎩

La función de variable real f con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨ en todo su dominio.

;x ≤ 0 ⎧ g ( x) ⎪⎪ 2 o) Existen funciones g y h tales que la función f ( x ) = ⎨3 x − 5 x + 4 ;0 < x < 1 es derivable en ⎪ h( x) ;x ≥1 ⎪⎩

\.

todo p)

Si tenemos las curvas

f ( x ) = x 2 + ax + b y g ( x ) = x3 + cx . Entonces no existen valores

a, b, c ∈ \ , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto (2,2) . y

= y x define una función y = f (x) entonces la ecuación de la recta tangente a f en el punto (1,1) es y = x − 1 .

q)

Si la ecuación x

r)

Si g es la función inversa de f ( x) = 2 x + ln x entonces g´(2) = 2 . 5

s)

Si f es una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨ ⎪ 2

t)

⎩x + 2 ; x > 1

u)

Si f (c) = g (c ) = 0 y h( x) = f ( x) g ( x) entonces h´(c) = 0

v)

Si

C es

un

lugar

geométrico

plano

cuyos

puntos

satisfacen

entonces la recta tangente a

P (x0 , y0 )∈ C , tiene por ecuación

y y + 0 =1 b2

Encuentre

b.

y ( x) = x 2 + 1

2

(

x0 y a2

ecuación:

C en cualquier punto

\ en \ tales que f ´= g´ entonces f = g

2

)ln x sen (ln 2 (cos x + e3 x )

c.

y ( x) =

d.

x y arctg⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 − ⎝ y⎠ y2 x

y ( x) = xe + e x y ( x) =

la

dy para dx

x 2 y 2 + ecos(x + y ) = x cos y

g.

el

x y + 2 = 1 ; a, b ∈ \ − {0} , 2 a b

a.

f.

en

2

w) Si f y g son funciones de

e.

entonces f ´(1) existe.

f ´(2) = g´(2) = g (2) = 2 entonces ( f D g )´(2) = 4 .

2

2.

;x ≤1

⎧⎪ 3x

i.

y ( x) = (sen3 x )arctg (x

j.

2 y ( x) = arcsen(ln x ) + earctg x

k.

ln (x + y ) = arctg⎛⎜ ⎝

l.

y ( x) = e tg x tg e x

m.

(x + y ) y = x 2

x

2 + 3x 2 − 3x

3 1 + arctg x

y ( x) =

x cos x + x

y ( x) = ln

x2 + 2

h.

4

1 + ex 2

)

x⎞ y ⎟⎠

( )

131

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3.

[

]

d [ f ( x)]2 + 1 dx

Hallar

⎧ 4 ⎛ 1 ⎞ ⎪ x sen⎜⎝ x 4 ⎟⎠ ⎪ 4. Determine los valores para " a ", " b " y " c " de modo que la función f ( x ) = ⎨ ax + b ⎪ 2 ⎪ cx + d ⎩ Sea

continua

en

x=0

[ f ´(−2)].[ f (12 )] − f ´(π + 1)

5.

y

derivable

;x < 0 ;0 ≤ x ≤ 1 ;x > 1

x = 1 . Además determine, de ser posible,

en

⎧ x = 2 sec t ⎩ y = 2tant

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨ en t = −

π 6

(x + 1)2 + 3

determine el valor de (g D f )´(1) .

6.

2 Si f ´(x) = x3e x , f (1) = 0 y g ( x) =

7.

Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva definida por las ecuaciones paramétricas

⎧ x = cos t en el punto (0,0) . ⎨ ⎩ y = sen t cos t 8.

Determine la ecuación de la recta tangente a la función f en x = 1 donde f , g y h son funciones

)

(

2 diferenciables en todo IR . f tiene como regla de correspondencia a f ( x ) = h x g ( x) y se conoce que

g (1) = 2 , g´(1) = −2 , h´(2) = −3 y h(2) = −1 9.

[

[ ]

]

Determine los puntos del intervalo −1,2 donde la función f ( x ) = x + x − 1 sea derivable.

1 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟(1) = 2 . Considere que k + 5k ⎝ dx ⎠

10. Determine los valores reales que puede tomar " k " para que ⎜

f (4) = 1 y f ´(x) = − x 2 + 10 x . ⎧ x = arccos t , t ∈ (−1,1) determine ⎩ y = arcsen t − t

11. Para la función y = f (x) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨

d3y dx3

.

⎧⎪ x = 1 + t 2 d3y , t > 0 determine en el ⎪⎩ y = t ln t dx3

12. Para la función y = f (x) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨ punto ( 2,0)

13. Determine a, b y c conociendo que las curvas y = x 2 + ax + b y y = cx − x 2 tienen una recta tangente común en el punto (1,0) .

(

)

y 14. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es ln x 2 − y − tg = xy en el punto x

(1,0) . 15. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva C en el punto (1,2) . Donde C está definida por las

⎧x = ⎪ ecuaciones paramétricas ⎨ ⎪y = ⎩

132

2t 2 t +1 , t ∈ IR − {−1,0} 3−t t

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

16. Hallar

d2y dx

17. Hallar

2

⎧⎪ x = et cos t

para ⎨

⎪⎩ y = et sen t

, t ∈ IR

dy 2 en el punto (0, π ) donde x e y satisfacen la ecuación xy + sen (x + y ) − x = 0 . dx

18. Sea y = f (x) función tal que h = f

−1

. Sea y ≥ 0 si h( y ) =

y 2 − calcular f ´(1) y +1 y + 2

19. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva definida por las ecuaciones paramétricas 3 3 ⎧⎪ x = a cos3 t ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ 2⎞ ; t ∈ 0,2π ; a > 0 en el punto ⎜ − a⎜ , a⎜ 2 ⎟ ⎟ . ⎟ ⎨ 2 2 ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎠ ⎝ ⎪

[

⎩ y = a sen t

]





20. Determine los valores de a, b, c para que las funciones f y f ´ sean continuas en todo su dominio; donde f

⎪⎧sen x + a ; x ≥ 0 . x ⎩⎪ be + c ; x < 0

es una función tal que f ( x ) = ⎨

21. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas

⎧ x = (1 + cos t )cos t en t = π . ⎨ 2 ⎩ y = (1 + cos t )sen t

( )

22. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y + cos xy 2 + 3 x 2 = 4 ; en el punto (1,0) . 23. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy + ln y = 1 ; en el punto (1,1) .

⎧⎪ x = 2t − t 2

24. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨

⎪⎩ y = 3t − t 3

en el punto (1,2 ) .

[

]

25. Demuestre que la derivada de F ( x ) = sen x f (cos x) es una función Par. 26. Determine el valor de k de manera que la recta definida por 3 x − y + k = 0 sea tangente a la parábola definida por y = 2 x − 5 x + 1 . 2

27. Hallar

d 50 ⎡ 1 − x ⎤ ⎢ ⎥ dx50 ⎣1 + x ⎦

28. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas

⎧⎪ x = e 2t − 1 cuando t = 0 ⎨ ⎪⎩ y = e − 2t + 2 29. Determine la ecuación de la recta tangente a la función

f cuya regla de correspondencia es

f ( x) = x − 6 x + 6 , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la 2

parábola. 30. Si f es una función de

\ en \ inversible y con regla de correspondencia f ( x) = x3 + 3 x − 10

⎡ d −1 ⎤ f ⎥ (4) ⎣ dx ⎦

entonces determine ⎢

133

CAPITULO 3: La Derivada Ejercicios Propuestos 3.1 1) a) 2.5

b) 2.3

1 2 3) a) f ´( x ) = 3

c) 2.1

d) f ´( 2 ) = 2

2) f ´( 3 ) =

e) f ´( x ) = 6 x

b) f ´( x ) = −2 2

− 32

f) f ´(x) =

c) f ´( x ) = 2 x + 2

d) f ´( x ) = −4 x + 1

(3x + 2)

− 32

Ejercicios Propuestos 3.2 1)

f ´(1) = 2

2) No existe

4) a = 6 , b = −4

3) No existe

6) a = c − 2 ∧ b = 3 − 2c

5) a = 3 , b = −1



c∈R

Ejercicios Propuestos 3.3 2 − 3e x x 4 2 b) f ´( x ) = 5 x + 3 x + 4 x

a) f ´( x ) = 43 x

1)

− 23

+

c) f ´( x ) = 2 x + cos x (1 − x − cos x ) − senx (1 + x − senx ) d) f ´( x ) = e) f ´( x ) = f) f ´( x ) =

2 x 2 − 1 cos x ( x + 1) − 2 x senx xsen 2 x

e x ⎡⎣(1 + x )( senx + 1) − x cos x ⎤⎦

( senx + 1)

2

xe x ⎡( x + 2 ) ln x + 1⎤⎦ 2 ⎣

2) y = 4 x + 1

13 4 4) y = 2 x + 1 ; y = −2 x + 9 5) y = 12 x + 81 ; y = 12 x − 44 6) P (3,9) 3) y = −3 x +

7) 3 5 8) 50! 9)

10 49

Ejercicios Propuestos 3.4 1.

a) f ´( x ) = c) f ´( x ) =

x −1 x2 − 2x + 2

(e

4e 2 x 2x

+ 1)

b) f ´( x ) = d) f ´( x ) =

2

−x

( 2 x − 3)

3

2

2x

(x

2

− 1)

1

2

(x

⎛ senx ⎞ ⎛ cos x cos 2 x + 2 senxsen 2 x ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ cos 2 2 x ⎝ cos 2 x ⎠ ⎝ ⎠ 2x 8 f) f ´( x ) = g) f ´( x ) = 2 2 ( x + 1) ln ( x + 1) x ( x − 4)

e) f ´( x ) = 3 ⎜

2

2

+ 1)

3

2

3. ( f D g )´(x) = 4.

a) 4

5.

16

− (sin 4 x ) e

1+ cos 2 2 x

1 + cos 2 2 x

b) −8

c) 2

e) −6

d) -10

Ejercicios Propuestos 3.5 d4

1. a)

dx b)

4

[cos(x )] = 48x sin (x )+ (16x 2

2

2

4

) ( )

− 12 cos x 2

d 2 ⎡ xsen2 (πx ) ⎤ 2π (sin 2πx + πx cos 2πx ) ⎢ ⎥= dx 2 ⎢⎣ 1 + x ⎥⎦ (1 + x )3 dn

[ ]

xe x = ne x + xe x dx n 5 (n!) n⎛ 5 ⎞ d) Dx ⎜ ⎟= 4 x − ⎠ (4 − x )n +1 ⎝ c)

n ⎡1 +

2(n!)

x⎤

entonces Dx e) Dx ⎢ ⎥= ⎣ 1 − x ⎦ (1 − x )n +1 f)

x⎤ 2(30!) ⎢1 − x ⎥ = ⎣ ⎦ (1 − x )31

30 ⎡ 1 +

⎧(− 1) +1 (n sin x + x cos x ) ; ⎪ [ ] = x sin x ⎨ n dx ⎪⎩(− 1) +1 (n cos x − x sin x ) ; n +1 2

dn

n 2

d 35 dx35

si n es impar

entonces

si n es par

[x sin nx] = −35 sin x − x cos x

d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤ 2(1 − 2 x ) ⎜ ⎟⎥ = ⎢x dx ⎣⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎦⎥ (1 + x )4

2.

3. an (n!)

4. p( x ) = 2 x − 3 x + 3 x − 1 3

2

Ejercicios Propuestos 3.6 1. a) y´= − 3 c) y´= − e) y´= − 3. y =

b) y´= −

y 2e xy xye xy + 1

(

2y

x 2+ y x+

d) y´=

y x ( y + 1)

y sec y tan y + sec2 y − x

) 4. y = x − 2

5. y = − x + 2

6. y = − x + 2

7. x = 0

8. y = 32 x

9. (1,1)

10. y´´=

12.

− 53

y x

y´´= −3

8 5

48 xy 2 − 9 x 4 64 y

3

11. y´´=

1 4

3x 3 y

1

3

Ejercicios Propuestos 3.7 t +1

(

1. a) y´= tan(t )

b) y´=

2. y = x + 4 −π a

3. y = 3x − 1

2

5. y = 5 x

)

t t2 +1

4. y = 3 x + 41 8

6. a) y´´= cos t ,

8

b) y´´´= cos t

Ejercicios Propuestos 3.8 y = 2x − 2

1.

(

12 3 + 3 4. y − 3 3 = x− 3 12 − 3 3

2

2

)

y = − 3x + 8

2.

3. y = − 3 x + 2 2

Ejercicios Propuestos 3.9 1

1 16 5. x − 5 y + 5 = 0

2.

6. x − 11 y − 9 = 0

7. 2ax + y − 2a (a + 1) = 0

9. a) y´= arcsin x +

x

b) y´= arctg x

1.

c) y´=

3. 2

5 −

1 − x2

3

4. 3 8. 3

(2 )

1 x2 + 1

4 3 cos x + 5

d) y´= e

(

arctg x 3 + senx

3x 2 + cos x ⎤⎥ ⎢1 + x3 + senx 2 ⎥ ⎦ ⎣

)⎡⎢

(

)

Ejercicios Propuestos 3.10 sec5 x 3 tgx + 1 ⎡ 1 sec x 3 x 2 csc x3ctgx3 ⎤ + ⎢5tgx + ⎥ 3 senx + cos x 2 csc x3 − 4 ⎦⎥ csc x3 − 4 ⎣⎢

1. a) y´=

4

b) y´=

c)

1 − x2 ⎡ 3 2 x 20 + 15 x3 ⎤ − ⎥ ⎢ − tg 4 x − 5 2 3 1− x 4 x + x3 ⎦⎥ 4 x − x3 ⎣⎢ 4 x 3

x3 cos 4 x

(

)

⎤ ⎡ ⎥⎡ ⎢ 2 ⎢ 1 x ⎛ 2 2 xe 2 3 ⎥⎥ ⎢ x −1 ⎢ y´= arcsen⎜ e x − − + ⎢ ⎜ ⎢ 2(x − 1) 3(x + 2) 2(x + 3) ⎥ ⎢ 3 2⎞ 2 ⎛ ⎝ 2 3 (x + 3) ⎥ ⎢⎣ (x + 2) ⎢ arcsen⎜ e x ⎟ 1 − e 2 x ⎟ ⎜ ⎥ ⎢ ⎠ ⎝ ⎦ ⎣

⎤ ⎞⎥ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠ ⎥⎦

x 1⎤ ⎡ d) y´= x 3 3 x ⎢ln 3 ln x + ⎥ x⎦ ⎣

⎡n ⎤ e) y´= x n n x ⎢ + ln n ⎥ ⎣x ⎦ f)

⎧ ⎡ ⎪ ⎢ ⎡ 2 ⎤ 1 1 ⎢ ⎪⎪ 2 arctan x ⎢ arcsin(sin x) ⎥ ln − y´= y ⎨ + 2 arctan 2 x sin x cos x ⎢ ⎢ ⎥ arccos ⎪ 1 + x2 ⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ 2 4 2 ⎥ ⎣ ⎦ arccos⎜ cos x ⎟ 1 − cos 4 x ⎪ ⎢ arcsin⎜ sin x ⎟ 1 − sin x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎣

(

(

g) y´= arcsin 1 + e 2 x

⎡ 2 sec xe x sec x tan x ln arcsin 1 + e 2 x + ⎢ arcsin 1 + e 2 x − 2 + e 2 x ⎣⎢

)

(

sec x ⎢

(

)

(

) (

⎡ 3 cos 3 x arctan(cos 3 x ) 3 sin 3 x ln(ln(sin 3 x )) ⎤ h) y´= [ln(sin 3 x )]arctan(cos 3 x ) ⎢ − ⎥ 1 + cos 2 3 x ⎦ ⎣ ln(sin 3 x ) sin 3 x i) y´=

(x + y )(x

(

(

2 x (x + y ) − y x 2 + y 2

2

)

(

)

)

+ y 2 ln (x + y ) + y x 2 + y 2 − 2 y (x + y )

) (

)

x⎡ 2x2 ⎤ ⎥ j) y´= 1 + x 2 ⎢ln 1 + x 2 + 1 + x 2 ⎦⎥ ⎣⎢

)

⎤ ⎥ ⎥ ⎦⎥

⎤⎫ ⎥⎪ ⎥ ⎪⎪ ⎥⎬ ⎥⎪ ⎥⎪ ⎦ ⎪⎭

2.

(ln 2)x − y + 1 = 0

3.

x+ y−2 = 0

4. 14

Misceláneos 1. a) V f) V k) F p) F u) V

b) V g) V l) F q) F v) F

c) F h) V m) V r) F w) F

d) V i) F n) F s) F

e) V j) F o) V t) V

) ( ) 2. a) y´= ) + x sin y 2 x y − 2 y sin (x + y )e ( ⎡ ln (x + 1) 2 x ln x ⎤ + b) y´= (x + 1) ⎢ x (x + 1)⎥⎥⎦ ⎢⎣ cos(ln (cos x + e ))ln (cos x + e )(3e − sin x ) c) y´= sin (ln (cos x + e ))(cos x + e ) cos y − 2 xy 2 + 2 x sin x 2 + y 2 ecos (x 2

2

+ y2

cos x 2 + y 2

2

ln x

2

2

2

2

2

3x

2

d)

3x

3x

3x

3x

1

y´=

3

2

x y 1 + − y 2 arctan y y2 + 1 y

⎛ x e ⎞⎟ x x x ex e) y´= x ⎜ e ln x + + e x (ln x + 1) x

⎜ ⎝

f) y´=

x ⎟⎠

cos x + x



(2

4 x+ x

2 x 6

g) y´=

4 − 9 x2

1 + arctan x ⎡ x 1⎛ 1 1 ⎛ ex ⎞ 1 ⎢ + ⎜ − ⎜ ⎟ 2 2 4 4 ⎜⎝ 1 + e x ⎢⎣ x + 2 3 ⎝ 1 + arctan x ⎠ 1 + x 1 + ex

x2 + 2

h) y´=

i)

y´= ( sin 3 x )

j) y´= k) y´=

)

x + 1 sin x + x

3

arctan x 2

1 x 1 − ln 2 x x( y − x )

2 arctan x earctan

tan x

(sec

2

x tan e x + e x sec2 e x

2 y − x x+ y ln (x + y ) +

y x+ y

3. 2 f ( x) f ´(x ) 4. a = 2c ∧ b = 1 ∧ d = c + 1 ∧ c ∈ R 5. y = −2 x + 2 3

[

]

6. Dx (g D f ) (1) =

e 2 7. y = x ∧ y = − x 8. y = −6 x + 5

2

1 + x2

2 x 2 + xy + y 2

l) y´= e

m) y´=

+

⎡ 2x ⎤ 2 ⎢1 + x 4 ln ( sin 3x ) + 3arctan x cot an3x ⎥ ⎣ ⎦

)

x

⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦

9. f es derivable en (−1,0 ) ∪ (0,1) ∪ (1,2 ) 10. k = −8 ∨ k = 3 11.

12. 13.

d3 y = − 1− t2 dx 3 d3y dx3

=− t =1

1 8

a = −3 , b = −4 , c = 1

14. y = 2 x − 2 3

3

15. y = 1 x + 3 2

2

16.

d y dx

2

2

=

2

e (cos t − sin t )3 t

dy =π2 −2 dx 2 18. f ´(1) = 27 17.

3

⎛ 2⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 20. a = c + 1 ∧ b = 1 ∧ c ∈ R 19. y = x − 2a⎜

21 y = x + 1 22. y = 6 x − 6 23. y = − 1 x + 3 2

2

24. y = 3x − 1 25. De F (x ) tenemos F ´(x) = cos x f (cos x ) − sin x f ´(cos x ) 2

y como

F ´(− x) = cos(− x ) f (cos(− x )) − sin 2 (− x ) f ´(cos(− x )) = F ( x)

Por tanto F ´(x) es PAR 26. k = −7

d 50 ⎡ 1 − x ⎤ 2(50!) ⎢ ⎥= dx50 ⎣1 + x ⎦ (1 + x )51 28. y = − x + 3

27.

29. y = − x − 1

4

1 ⎡ d −1 ⎤ f ⎥ (4 ) = 15 ⎣ dx ⎦

30. ⎢

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

4 4.1 4.2 4.3 4.4

MONOTONÍA MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONCAVIDAD ELABORACIÓN DE GRÁFICAS

4.5

SOFISTICADAS TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA

4.6 4.7 4.8

DERIVADAS TEOREMA DE TEOREMA DE TEOREMA DE

ROLLE CAUCHY L´HOPITAL

OBJETIVOS: • • • • • •

Determinar intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento Determinar extremos Determinar intervalos de Concavidad. Graficar funciones sofisticadas. Utilizar el teorema del valor medio para derivadas. Calcular indeterminaciones empleando derivadas.

109

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

4.1 MONOTONÍA La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. 4.1.2 Teorema de Monotonía

Sea ƒ una función continua en un intervalo [a, b] y diferenciable en todo punto interior de [a, b] . Entonces: 1. Si f ´(x) > 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es creciente en [a, b] 2.Si f ´(x) < 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es decreciente en [a, b] . DEMOSTRACIÓN. Se demostrará el primer inciso del teorema. Suponga que f ´(x) > 0 entonces lím

x → x0

f ( x) − f ( x 0 ) f ( x ) − f ( x0 ) > 0 ; es decir >0. x − x0 x − x0

Suponga ahora que x 0 < x , entonces f ( x 0 ) < f ( x) , lo cual indica que f es creciente. Si x < x0 entonces f ( x) < f ( x0 ) lo cual también indica que f es creciente Para el caso f ´(x) < 0 , la demostración es análoga.

Ejemplo 1 2 Analice la monotonía de f ( x ) = 2 x − 4 x + 5

SOLUCIÓN: De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento analizamos la primera derivada de f . Es decir, a f ´(x) = 4 x − 4 El asunto es determinar en que intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene valores negativos, para lo cual factorizamos f ´(x ) = 4( x − 1) ; se observa que:

x

x 1

110

f ´(x) Negativa (-) Positiva(+)

f decrece crece

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejemplo 2 Analice la monotonía de f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3 SOLUCIÓN: Analizando la primera derivada f ´( x) = 3x 2 − 6 x En la forma factorizada f ´( x) = 3 x ( x − 2 ) se observa que:

x

x x0 , dividiendo por x − x 0 tenemos ≤0 x − x0 Ahora obteniendo límite lím + x → x0

f ( x) − f ( x 0 ) ≤ lím + 0 resulta f ´(x 0 + ) ≤ 0 . x − x0 x → x0

Para x < x 0 , tenemos, obteniendo límite lím − x → x0

f ( x) − f ( x 0 ) ≥ lím − 0 resulta f ´(x 0 − ) ≥ 0 x − x0 x → x0

Suponga que f es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) = 0 ; es decir x 0 es un punto crítico estacionario. Suponga que f no es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) no existe; es decir x 0 es un punto crítico singular. La demostración sería análoga para el caso de que f ( x 0 ) sea un valor mínimo.

113

MOISES VILLENA MUÑOZ

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

Por lo tanto, los valores extremos de una función se producirán siempre en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos.

Además, el teorema anterior nos hace concluir que: • Si “ x0 ” no es un punto crítico entonces no será extremo. • Necesariamente los extremos se producen en los puntos críticos. • Es suficiente que f ( x0 ) sea un extremo para que “ x0 ” sea un punto crítico. • Que “ x0 ” sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es suficiente. Es decir, no todo punto crítico es extremo. En las gráficas anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran extremos. Esto nos hace pensar que deben existir criterios para clasificar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no son necesarios, un simple análisis basta.

114

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejemplo 1 2 Determinar los extremos para f ( x ) = 2 x − 4 x + 5 en [0,3]

SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: x 0 = 0 y x 0 = 3

2. Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos analizamos la derivada f ´( x ) = 4 x − 4 Ahora

f ´(x ) = 0 , entonces sería: x 0 = 1 . 4( x − 1) = 0

3. Puntos críticos Singulares: valores de x para los cuales la derivada no existe. Al observar la derivada notamos que se define para toda x ; por tanto, no existe puntos críticos singulares. Es lo que se espera debido a que las funciones polinomiales son continuas y derivables en todo \ . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la función en los puntos críticos (Esto es suficiente debido a que se trata de una función polinómica, más adelante aprenderemos criterios más fuertes, para otros casos):

f (0 ) = 2(0 )2 − 4(0 ) + 5 = 5

f (3) = 2(3)2 − 4(3) + 5 = 11 f (1) = 3 Por inspección, se determina que: En x 0 = 3 se encuentra el Valor Máximo f . Y en x 0 = 1 se encuentra el Valor Mínimo de f .

Ejemplo 2 Determinar los extremos para f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3 en [ −2,3] SOLUCIÓN: Primero determinamos los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: x´0 = −2 y x0 = 3 2 2. Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada f ´( x) = 3 x − 6 x , tenemos:

f ´( x) = 0 3x 2 − 6 x = 0 3 x( x − 2) = 0 Entonces serían: x 0 = 0 y x0 = 2 .

3. Puntos críticos Singulares: No hay. Bien, ahora evaluando en la función:

f ( −2 ) = ( −2 ) − 3 ( −2 ) + 3 = −8 − 12 + 3 = −17 3

2

f ( 3 ) = (3)3 − 3(3) 2 + 3 = 27 − 27 + 3 = 3 f (0) = 3 f (2) = (2)3 − 3(2) 2 + 3 = −1

115

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máximo de la función es 3, que se produce tanto en x0 = 3 como en x0 = 0 ; y, el valor mínimo de la función es -17 que se produce en x0 = −2 .

Ejercicios Propuestos 4.2 1. 1.

Determine el valor máximo y el valor mínimo :

f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17

4.

f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5

5.

f (x ) = x 2 − 1

5

x 4 − x 3 en [ −3,3] 5 3 1 3. f ( x ) = x 3 − 4 x + 2 en [ −5,3] 3 2. f ( x ) =

en [ −2,3]

6.

(

(

)

f ( x) = x 3 − 1

4

)

4

en [ −1,1]

en [ −2, 2]

en [ −1, 2]

Hasta el momento nos habíamos preocupado de determinar el mayor de todos los valores de la función y el menor de todos en todo su dominio o en un intervalo de su dominio, pero esto nos deja insatisfechos con respecto a puntos críticos que bien pudieron ser extremos, u otros puntos que los pudiéramos considerar máximos o mínimos cuando no lo son.

4.2.5 Máximos y Mínimos Locales O Relativos

Sea f una función de variable real. Sea “ x0 ” un punto del dominio de f . Entonces: 1. f ( x0 ) es un valor máximo local de f , si existe un intervalo (a, b ) en el dominio de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 )

es el valor máximo de f en (a, b ) . 2. f ( x0 ) es un valor mínimo local de f , si existe un intervalo (a, b ) en el dominio de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 )

es el valor mínimo de f en (a, b ) . 3. f ( x0 ) es un valor extremo local de f , si es un máximo o un mínimo local. Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará extremos absolutos. Observe el siguiente gráfico: 116

MOISES VILLENA MUÑOZ

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

Un criterio para clasificar a los extremos locales es el que sigue.

4.2.6 Teorema: Criterio de la primera derivada.

Sea f continua en (a, b ) que contiene al punto crítico “ x0 ”. Entonces: 1. Si f ´(x) > 0, ∀x ∈ (a, x0 ) y f ´(x) < 0, ∀x ∈ ( x0 , b ) entonces f ( x0 ) es un valor máximo local de f . 2.Si f ´(x) < 0, ∀x ∈ (a, x0 ) y f ´(x) > 0, ∀x ∈ ( x0 , b ) entonces f ( x0 ) es un valor mínimo local de f . 3.Si f ´(x) tiene el mismo signo a ambos lados de “ x0 ” entonces f ( x0 ) NO es un valor extremo de f .

117

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

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Ejemplo Para f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 Analizando la primera derivada f ´( x) = 3 x ( x − 2 ) se observó que:

x

f ´(x) Positiva (+) Negativa (-) Positiva (+)

x 0, ∀x ∈ I entonces f es cóncava hacia arriba en I. 2.Si f ´´(x) < 0, ∀x ∈ I entonces f es cóncava hacia abajo en I. Ejemplo 1 Analizar la concavidad de f ( x ) = x SOLUCIÓN:

4

3

4 − 15 x 5 4 − 65 4 x =− entonces la segunda derivada es f ´´( x) = − 25 25 5 x 6 Como la primera derivada de f es f ´( x) =

Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que:

x

f ´´(x)

f

x0

Certificando con esto que la gráfica de f es la que se proporcionó.

Otra definición importante es la que presentamos a continuación. 4.3.2 Puntos de Inflexión

Sea

continua en “ x0 ”, llamamos a (x0 , f ( x0 )) un punto de inflexión de la gráfica de f , si es cóncava hacia arriba a un lado de “ x0 ” y cóncava hacia abajo al otro lado. f

121

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

Es decir, en un punto de inflexión la segunda derivada cambiará de signo, o de positiva a negativa o de negativa a positiva. Ejemplo 2 Analizar la concavidad de f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 SOLUCIÓN: Como la primera derivada de f es f ´( x) = 3 x 2 − 6 x

entonces la segunda derivada es

f ´´( x) = 6 x − 6 = 6( x − 1) x

f ´´(x)

f

x 1

Negativa (-) Positiva (+)

Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

Esto confirma la gráfica de f proporcionada anteriormente y además completa la información del comportamiento de la función.

f ( x) = x3 − 3x 2 + 3

Note que en la función del ejemplo anterior hay un punto donde su gráfica cambia de concavidad, éste es el punto de inflexión. Ejercicios Propuestos 4.5 Determine los intervalos de concavidad:

122

1.

f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17

2.

f ( x) =

x5 4 3 − x 5 3

3.

f ( x) =

1 3 x − 4x + 2 3

4.

f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5

5.

f (x ) = x 2 − 1

6.

f ( x) = x 3 − 1

(

(

)

4

)

4

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

Para clasificar los puntos críticos estacionarios en máximos y mínimos, también se podría aplicar este otro criterio.

4.3.3 Teorema: Criterio de la segunda derivada

Supóngase que f ´ y f ´´ existen en (a, b ) que contiene a “ x0 ” y que f ´(x0 ) = 0 . 1. Si f ´´( x0 ) < 0 entonces f ( x0 ) es un valor

máximo local de f .

2.Si

f ´´( x0 ) > 0 entonces

f ( x0 )

es un

valor mínimo local de f . Ejemplo Determinar los extremos aplicando el criterio de la segunda derivada para f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios. Puntos críticos Estacionarios: x = 0 y x = 2 . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual:

f ´´( x ) = 6 x − 6 a) f ´´(0) = 6(0) − 6 = −6 < 0 (negativo) por tanto aquí hay un MÁXIMO. b) f ´´(2) = 6 ( 2 ) − 6 = 6 > 0 (positivo) por tanto aquí hay un MÍNIMO.

123

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

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4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS Para elaborar gráficas de funciones con reglas de correspondencias sofisticadas se sugiere seguir los ochos pasos siguientes:

1.Establecer el dominio de la función. 2.Establecer la simetría de las gráficas. Es decir, determinar si es par, impar o ninguna. 3.Establecer las asíntotas horizontales, verticales u oblicuas. 4.Establecer los puntos críticos de frontera, estacionarios y singulares. 5.Analizar la monotonía. Es decir, determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento. 6. Establecer los extremos relativos. 7.Analizar la concavidad. Es decir, determine los intervalos donde es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo. 8. Establecer los Puntos de Inflexión. Ejemplo 1 Graficar f ( x) =

243 x x + 243 4

SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom f = R Paso 2. SIMETRÍA: f (− x) =

124

243 ( − x ) (− x) + 243 4

=−

243x = − f ( x) por tanto f es IMPAR. x + 243 4

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

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Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: No hay (¿por qué?) HORIZONTALES: Calculamos límite al infinito 243 x 243 243 x 0 x4 x3 = = = =0 lím lím x →∞ x 4 + 243 x →∞ 243 x 4 1 x→∞ 243 + 1 243 + 0 + 4 x x4 x4

lím

Note que idéntico resultado se obtendría tomando límite a menos infinito, es decir:

lím

x →−∞

243 x =0 x 4 + 243

Por tanto el eje x ( y = 0 ) es asíntota horizontal tanto para el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay. ¿Por qué? • P.C.E: f ´( x) = 243

(x

4

+ 243) − x(4 x3 )

(x

+ 243)

= 243

243 − 3 x 4

(x

+ 243)

= 243

3 ( 81 − x 4 )

(x 3 ( 9 − x )( 9 + x ) 3 ( 3 − x )( 3 + x ) ( 9 + x ) = 243 = 243 ( x + 243) ( x + 243) 4

2

2

4

2

2

+ 243)

2

=

2

2

4

4

2

4

por lo tanto tenemos P.C.E: x0 = 3 y x0 = −3

• P.C.S: no hay. ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA:

Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: f´ −−−−−− f

decrece

−−−−−−

++++++

crece

−3

decrece

3

Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En x0 = −3 la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo local. 2. En x0 = 3 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada 2 ⎡ (81 − x 4 ) ⎤⎥ = 729 −4 x3 ( x 4 + 243) − (81 − x 4 ) 2 ( x4 + 243)( 4 x3 ) f ´´( x) = Dx ⎢729 2 4 ⎢ ( x 4 + 243) ⎥⎦ ( x 4 + 243) ⎣

= 729

4 ( x 4 + 243) ⎡⎣ − x 3 ( x 4 + 243) − ( 81 − x 4 ) 2 ( x3 ) ⎤⎦

(x

4

+ 243)

4

4 ⎡ − x 7 − 243x 3 − 162 x3 + 2 x 7 ⎤⎦ = 729 ⎣ 3 ( x4 + 243) 4 ⎡ x 7 − 405 x3 ⎤⎦ = 729 ⎣ 3 ( x 4 + 243) = 729

= 729

4 x3 ⎡⎣ x 4 − 405⎤⎦

(x

(

+ 243)

3

)(

4 x3 x 2 − 405 x 2 + 405

(

(x

4

+ 243)

)(

)

3

)(

4 x x − 405 x + 4 405 x 2 + 405 3

= 729

4

4

(x

4

+ 243)

)

3

125

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ Entonces:

f ´´ − − − − − − f

−−−−−−

++++++

− 4 405

0

4

++++++

405

Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN Como la segunda derivada cambia de signo tanto en x = 0 , x =

(

(

tres puntos de inflexión: − 4 405, f − 4 405

) ) , (0,0) y (

4

4

405 y x = − 4 405 entonces existen

405, f

(

4

405

)) .

En conclusión:

x

f ´(x)

f ´´(x )

x < − 4 405

-

0

x = − 4 405 − 4 405 < x < −3

-

+

x = −3

0

+

−3 < x < 0

+

+

x=0 0< x 4 405

f ( x) =

243 x x 4 + 243

+

Decrece y cóncava hacia abajo Punto de inflexión Decrece y cóncava hacia arriba Punto crítico estacionario, Mínimo local Crece y cóncava hacia arriba Punto de inflexión Crece y cóncava hacia abajo Punto crítico estacionario, Máximo local Decrece y cóncava hacia abajo Punto de inflexión Decrece y cóncava hacia arriba

2.25

( 4.49;1.68 )

( −4.49; − 1.68) −2.25

126

f

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejemplo 2 Graficar f ( x ) =

x2 +1 x2 −1

SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom f = R − {−1, 1} Paso 2. SIMETRÍA: f ( − x) =

(− x )2 + 1 = x 2 + 1 = (− x) 2 − 1

f ( x) por tanto f es PAR.

x 2 −1

Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: x = −1 y x = 1 (calcule los límites laterales) HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito x2 2

lím

x +1

x →∞ x 2 − 1

2

= lím x x →∞ x 2 x2

+ −

1 x2 = 1 1 x2

Por tanto, y = 1 es la asíntota horizontal tanto el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay. ¿Por qué? • P.C.E: f ´(x) =

(

)(

)

2 x x 2 − 1 − x 2 + 1 (2 x)

(x − 1) 2

2

=

2 x3 − 2 x − 2 x3 − 2 x

(x − 1)

2

2

=

− 4x

(x − 1)

2

2

Por lo tanto tenemos x 0 = 0



P.C.S: no hay. ¿Por qué?

Paso 5. MONOTONÍA:

Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que:

f´ f

++++++

crece

++++

−1

−−−−−−

−−−−

crece

decrece

0

decrece

1

Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: En x 0 = 0 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada

( ) ( )

( )

2⎞ ⎛ 2 2 ⎡ ⎤ (− 4 )⎜⎜ x − 1 ⎟⎟ − (− 4 x )(2 ) x − 1 2 x 4 − x ⎝ ⎠ ⎥= f ´´(x) = Dx ⎢ 2⎥ 2 ⎢ 2 2⎤ ⎡ 2 ⎢⎣ x − 1 ⎥⎦ 1 − x ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

( )

=

− 4 x 2 + 4 + 16 x 2

(x − 1) 2

f ´´=

3

12 x 2 + 4

(x − 1)3 (x + 1)3

Entonces:

f ´´ + + + + + + f

−1

++++++

−−−−−−−−−−−

1

127

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN: No hay En conclusión:

x

f ´(x)

f ´´(x)

f

x < −1 x = −1 −1 < x < 0 x=0

+

+

+ 0

-

0 < x 1

-

+

Crece y cóncava hacia arriba Asíntota vertical Crece y cóncava hacia abajo Punto crítico estacionario, Máximo local Decrece y cóncava hacia abajo Asíntota vertical Decrece y cóncava hacia arriba

y=

x2 +1 x2 −1

Ejemplo 3 Graficar f ( x ) =

x2 x +1

SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom f = R − {−1}

(−x) x2 , = (−x) +1 −x +1 2

Paso 2. SIMETRÍA: f (− x) =

por tanto f no es par ni impar.

Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: Por inspección de la regla de correspondencia, en x = −1 la función no se define (división entre cero) por tanto aquí hay una asíntota vertical. Además:

lím−

x →−1

x2 = −∞ y x +1

x →−1

HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito

128

lím+

x2 = +∞ x +1

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

2

lím

x →∞

x2 x2

x 1 1 = = = =∞ 1 1 x +1 x + 1 + 2 0 2 2 x x x x

Por tanto, no hay asíntota horizontal. ASÍNTOTA OBLICUA:

En ciertas funciones se cumple que: lím ⎡⎣ f ( x) − ( mx + b ) ⎤⎦ = 0 x →∞

f ( x) y b = lím [ f ( x) − mx] x →∞ x Si los límites existen, se dice que la gráfica de f tiene una asíntota oblicua

donde m = lím

x →∞

y = mx + b Entonces, para esta función sería: x2 x2 2 2 1 1 x = lím 2 x = lím = =1 m = lím x + 1 = lím 2 x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ 1 1 x x +x x x 1+ + x x2 x2 ⎡ x2 ⎤ ⎡ x2 − x2 − x ⎤ ⎡ −x ⎤ − x ⎥ = lím ⎢ = −1 b = lím ⎢ ⎥ = lím x →∞ x + 1 x →∞ x →∞ ⎢ x − 2 ⎥ − 2 x ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Por tanto, hay una asíntota oblicua y = x − 1 Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay • P.C.E:

2 ⎡ x 2 ⎤ ( 2 x )( x + 1) − x (1) f ´( x) = Dx ⎢ = ⎥ 2 ( x + 1) ⎣ x + 1⎦

=

2x2 + 2 x − x2

( x + 1) x ( x + 2) f ´( x) = 2 ( x + 1)

2

=

x2 + 2 x

( x + 1)

2

por lo tanto, tenemos P.C.E: x = 0 y x = −2

• P.C.S: no hay Paso 5. MONOTONÍA:

Analizando el signo de f ´ −−−−−−

f´ + ++ + ++ f

crece

−2

++++++

decrece

0

crece

Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En x = −2 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. 2. En x = 0 la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo local. Paso 7. CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada

129

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

⎡ x 2 + 2 x ⎤ ( 2 x + 2 )( x + 1) − ( x 2 + 2 x ) ( 2 )( x + 1) f ´´( x) = Dx ⎢ ⎥= 2 2 ⎢⎣ ( x + 1) ⎥⎦ ⎡( x + 1)2 ⎤ ⎣ ⎦ 2

= = f ´´( x) =

( x + 1) ⎡⎣( 2 x + 2 )( x + 1) − ( x 2 + 2 x ) ( 2 )⎤⎦ 4 ( x + 1) 2x2 + 4x + 2 − 2x2 − 4x

( x + 1)

3

2

( x + 1)

3

Entonces: −−−−−−

f ´´

++++++

f

−1

Paso 8. PUNTOS DE INFLEXIÓN NO HAY. Aunque la segunda derivada tiene signo diferente en x = −1 , pero como no es punto del dominio, tiene asíntota, entonces no es un punto de inflexión. En conclusión:

x

f ´(x)

f ´´(x)

f

x < −2 x = −2

+ 0

-

−2 < x < −1

-

-

−1 < x < 0

-

+

x=0

0

+

x>0

+

+

Crece y cóncava hacia abajo Punto Crítico Estacionario, Máximo local Decrece y cóncava hacia abajo Decrece y cóncava hacia arriba Punto Crítico Estacionario, Mínimo local Crece y cóncava hacia arriba

x = −1

f ( x) =

130

x2 x +1

y = x −1

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

Cuando no se dispone de la regla de correspondencia, se deberá tener condiciones que nos permitan concluir sobre la gráfica de una función. Ejemplo Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones: Dom f = \

1. 2.

f continua en (−∞,0 ) ∪ (0, ∞ )

3.

f ( −1) = 0 , f ( 32 ) = f (4) = 0 , f ( −3) = f (0) = 2 , f (−2) = 4 , f (3) = −2 ,

4.

∀ε > 0, ∃N > 0; ∀x : x < − N ⇒ f ( x) − 1 < ε

5.

∀ε > 0, ∃∂ > 0; ∀x : 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε

f (1) = 1

lím f ( x) = −∞

6.

x →0 −

lím [ f ( x) − ( x − 3)] = 0

7.

x → +∞

9.

f ' (−2) = 0 , f ' ( x) > 0 para x < −2 ∨

10.

f ' ( x) < 0 ,para −2 < x < 0 ∨

11. 12.

f ' ' (1) = 0 f ' ' ( x) > 0 para x < −3 ∨ 1 < x < 3

13.

f ' ' ( x) < 0 para −3 < x < 0 ∨

8.

x>3, 0< x 0 en (0,1) y ⎜ ,3 ⎟ ⎝2 ⎠

ƒ

f ' ' (2) = 0

(32 ) = −1 ,

2

ƒ

∀M > 0, ∃∂ > 0; ∀x : 0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) < − M

ƒ

∀ε > 0, ∃N > 0; ∀x : x < − N ⇒ f ( x) − 2 < ε

ƒ ƒ

lím [ f ( x) − x ] = 0

x →+∞

f ' ( x) > 0, para x ∈ (−∞,0) ∪ (2, ∞ ); f ' ( x) < 0, para x ∈ (0,2)

f ' ' ( x) > 0, para x ∈ (−∞,−1); f ' ' ( x) < 0, para x ∈ (−1,2 ) ∪ (2, ∞ )

Suponga que

f '( x ) = ( x − 3)( x − 1) 2 ( x + 2 )

esboce una gráfica para

5.

f (2) = − 1 , f (0) = 0

Bosqueje el gráfico de una función f tal que: ƒ Dominio f =IR ƒ Contínua en (−∞,2 ) ∪ (2, ∞ ) ƒ f(-1)=4, f(0)=6, f(2)=-3, f(3)=0 ƒ ∀ε > 0, ∃∂ > 0; ∀x : 0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) + 1 < ε

ƒ

4.

f ( x) = f (− x) lím f ( x) = −2

f

Bosqueje el gráfico de una función

Bosqueje el gráfico de una función

f (3) = 3

f (1) = 0 , f ( −2 ) = 5 , f (3) = −5

,

.

f

continua en

f (1) = 6 , f ( −1) = −7 , f ( 2 ) = −3

6.

y

f

IR

tal que

f (−4) = f (5) = 0 , f (0) = 8 ,

y además la gráfica de su derivada es:

continua en

IR

tal que

f (−2) = 4 , f (1) = 0 , f (2) = 1 ,

y además la gráfica de su derivada es:

133

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

7.

Bosqueje el gráfico de una función

f (4) = 0

8.

f

continua en

Bosqueje el gráfico de una función

f (2) = −1 , f ( −

7 2

f

continua en

tal que

f (−1) = 2 , f (0) = 0 , f (2) = 1 ,

IR tal que f (−1) = 1 , f (0) = 3 , f (1) = 5 ,

) = −4 y además la gráfica de su derivada es:

D

D

134

IR

y además la gráfica de su derivada es:

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

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4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS (TEOREMA DE LAGRANGE)

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b ) entonces, existe al menos un número “ x0 ” en (a, b ) tal que f ´(x0 ) =

f (b) − f (a ) b−a

Lo que nos indica este teorema es que si la función es continua en un intervalo cerrado y suave en su interior entonces existirá un punto en ese intervalo para el cual la recta tangente y la recta secante en los extremos del intervalo tienen igual pendiente. Recta Secante Recta Tangente

y = f (x)

f ( b) - f ( a )

f (b)

b- a

f (a )

a

b

x0

Demostración: Sea S ( x ) = f ( x ) − g ( x) donde g es la recta entre los puntos (a, f ( a ) ) y (b, f (b) ) ,

y − y 0 = m( x − x 0 )

entonces podemos obtener su ecuación:

y = g ( x) = f (a) +

y − f (a) =

f (b) − f (a) (x − a ) b−a

, es decir f (b) − f (a ) (x − a ) b−a

135

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

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Reemplazando, resulta:

f (b) − f (a) ⎡ (x − a )⎤⎥ S ( x) = f ( x) − ⎢ f (a) + b−a ⎣ ⎦

f (b) − f (a ) ⎡ (a − a )⎤⎥ = 0 y b−a ⎣ ⎦ f (b) − f (a) ⎡ (b − a )⎤⎥ = 0 S (b) = f (b) − ⎢ f (a) + b−a ⎦ ⎣ Por tanto, ∃x 0 ∈ (a, b ) tal que S´(x 0 ) = 0

Obtengamos S ( a ) = f ( a ) − ⎢ f ( a ) +

⎡ f (b) − f (a) ⎤ ⎡ f (b) − f (a) ⎤ y S´(x 0 ) = f ´(x 0 ) − ⎢ ⎥ ⎥⎦ = 0 ⎣ b−a ⎦ ⎣ b−a f (b) − f (a ) Por lo último f ´(x 0 ) = L.Q.Q.D. b−a

Para lo cual S´(x ) = f ´(x ) − ⎢

Ejemplo 1 Encuentre el número “ x 0 ” garantizado por el teorema del valor medio para derivadas si f ( x ) = x 2 en [ −1, 2] .

SOLUCIÓN: Observe que f es continua en [ −1, 2] y como f ´( x) = 2 x por tanto es diferenciable en cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, por tanto la existencia de

f ´( x0 ) =

x0

f (2) − f (−1) está garantizada y lo podemos encontrar. 2 − ( −1)

Para lo cual f ´( x0 ) = 2 x0

f (2) − f (−1) 4 − 1 3 = = =1 2 − ( −1) 3 3

y

2 x0 = 1

Igualando y despejando, resulta:

x0 =

1. 2

Geométricamente.

Re

nte ca e S cta

f ( x) = x 2

ct Re

[

136

0.5

nte ge an T a

]

en

( −1, 2 ) se ( −1, 2 ) tal que

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

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Ejemplo 2 Use el teorema del valor medio para demostrar que: sen b − sen a ≤ a − b SOLUCIÓN: Usemos f ( x) = senx . Note que es una función continua en [ a, b ] y derivable en ( a, b ) por tanto de acuerdo al teorema de Lagrange , existe un x0 ∈ ( a, b ) tal que f ´( x0 ) =

f (b) − f (a ) . b−a

Reemplazando y simplificando cos x0 =

senb − sena b−a

Por otro lado

0 ≤ cos x0 ≤ 1 senb − sena ≤1 b−a Aplicando propiedades del valor absoluto y despejando. senb − sena ≤1 b−a

Entonces

0≤

senb − sena ≤ b − a

Que es lo que se quería demostrar.

Ejemplo 3 Dos carros de la policía de transito equipadas con radar están situadas a 7 kilómetros de distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 90 km por hora; 4 minutos después al pasar junto al otro coche, éste le mide 70 km por hora. Aunque el camión bajó la velocidad, pruebe que en algún momento en esos 4 minutos ha superado el límite de velocidad permitida que es de 100 km por hora. SOLUCIÓN: Sea e = f ( t ) , el espacio recorrido por el camión, una función del tiempo, continua y diferenciable en el cualquier intervalo de tiempo mientras dure el movimiento. Primeramente calculemos la velocidad media del camión en esos 4 minutos:

vm =

Δe 7 km = = 105 km h 4 Δt horas 60

Sea t1 el momento en que se le mide al camión una velocidad de v1 = 90 km

h

y sea t2 el momento en que

se mide una velocidad de v2 = 70 km . De acuerdo al teorema de Lagrange existe un t0 ∈ ( t1 , t2 ) en el cual

h

de = f ´( t0 ) , la velocidad instantánea del camión, fue igual a la velocidad media ( 105 km ), lo cual h dt demuestra que ha superado el límite de velocidad ( 100 km ). h

Como particularidad del teorema de Lagrange tenemos el teorema de Rolle.

137

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

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4.6 TEOREMA DE ROLLE

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b ) y si f (a) = f (b) entonces, existe al menos un número “ x0 ” en (a, b ) tal que f ´(x0 ) = 0

El teorema del valor medio para dos funciones sería:

Ejercicios Propuestos 4.7 1.

La función f ( x) = x satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,2]. Diga si esto es verdadero o falso, justificando apropiadamente su respuesta.

2.

Sea f ( x) = x − 2 x . Hallar todos los valores de " x 0 " en el intervalo [-2,2] que satisfacen el teorema de 4

2

Rolle. 3.

La altura que alcanza una bola "t" segundos después de ser lanzada, está dada por la siguiente función:

f (t ) = −16t 2 + 48t + 32 . a) b) 4.

Sea

Comprobar que f (1) = f (2). Según el teorema de Rolle, ¿qué velocidad ha llevado en algún momento del intervalo [1,2]?

f ( x) = αx 2 + βx + ∂ ; α , β , δ ∈ IR.

Encontrar el valor de " x 0 " que satisfaga el teorema del

valor medio para derivadas en [a,b].

138

5.

Dos carros patrullas equipadas con radar están situadas a 5 millas de distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 55 millas por hora; 4 minutos después al pasar junto a otro coche, éste le mide 50 millas por hora. Probar que en algún momento en esos 4 minutos ha superado el límite de velocidad de 70 millas por hora.

6.

Use el teorema del valor medio para demostrar que: cos b − cos a ≤ b − a

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

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7.

Considere f ( x ) = x

4

5

en el intervalo [ −1, 2] . Demuestre que no se cumple la conclusión del Teorema de

Lagrange. Justifique. 8.

Considere f ( x ) =

3

x en el intervalo [ −1,8] . Verifique que no se cumple una de las hipótesis del Teorema

de Lagrange, sin embargo la conclusión sí se cumple. Justifique.

4.7 TEOREMA DE CAUCHY

Sean f y g funciones continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b ) entonces, existe al menos un número “ x0 ” en (a, b ) tal f ´(x 0 ) f (b) − f (a ) = g´(x0 ) g (b) − g (a )

que No olvide demostrarlo.

Con los resultados del teorema anterior, se pueden calcular indeterminaciones.

4.8 TEOREMA DE L’HOPITAL

Suponga

que

lím f ( x) = lím g ( x) = 0 x →u

f ´(x) existe g´(x) f ( x) f ´(x) lím = lím x →u g ( x ) x →u g´( x )

lím f ( x) = lím g ( x) = ∞ . x →u

x →u

o infinito; entonces: Donde

x →u

Si

lím x→u

o

también

en sentido finito

u = a, a + , a − ,+∞,−∞

No olvide demostrarlo.

Ejemplo 1 Calcular

lím x →0

SOLUCIÓN:

sen x x

Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:

lím

x →0

sen x cos x = lím = cos 0 = 1 x →0 1 x

139

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

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Ejemplo 2 Calcular lím (1 + x )

1

x →0

x

SOLUCIÓN: Transformando la expresión primero, resulta:

lím (1 + x )

1

x →0

x

= lím e ln (1+ x ) x →0

1

x

= lím e

ln (1+ x ) x

x →0

lím

= e x →0

ln (1+ x ) x

Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos:

1 ln(1 + x) x =1 1 + = lím lím x →0 x →0 1 x Por tanto, lím (1 + x )

1

x →0

= e1 = e

x

Ejemplo 3 Calcular lím

sen x − x x3

x →0

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:

lím

sen x − x

x →0

x

3

= lím

x →0

cos x − 1 3x 2

Como se mantiene la indeterminación, volvemos a aplicar la regla de L´Hopital, y así tantas veces como sea necesario: lím

cos x − 1

x →0

3x

2

= lím

x →0

1 − sen x =− 6x 6

Ejemplo 4 Calcular lím

3x 2 − 5 x + 1

x →∞ 4 x 2

+ 2x − 3

SOLUCIÓN: ∞ ∞

Note que aquí tenemos:

Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: lím

6x − 5

x →∞ 8 x + 2

6 3 = x →∞ 8 4

Volviendo a aplicar L´Hopital resulta: lím

Ejemplo 5 π

Calcular lím (2 − x )tg 2 x x →1

SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos 1∞ . Entonces la regla de L´hopital no es aplicable directamente. Transformando la expresión primero, resulta:

lím (2 − x ) x →1

140

π tg x 2

= lím e ln (2 − x )

tg

x →1

π x 2

lím

ln (2 − x )

(tg π x )[ln (2 − x )] = e x →1 cot g 2 x = lím e 2 x →1

π

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

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Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos: 1 − −1 2 ln(2 − x) − x 2 = lím = π = lím x →1 cot g π x x →1 − csc 2 π x π π − 2 2 2 2

(

π

)

2

Por tanto, lím (2 − x )tg 2 x = e π x →1

Ejemplo 6 1 ⎤ ⎡ 1 Calcular lim ⎢ − x − 1 ⎥⎦ x →1 ⎣ ln x SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos ∞ − ∞ .. Transformando la expresión primero, resulta: 1 ⎤ x − 1 − ln x ⎡ 1 lim ⎢ − = lim x →1 ⎣ ln x x − 1 ⎥⎦ x →1 (ln x )(x − 1) Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:

1 x −1 1− 0 − x − 1 − ln x x −1 x x lim = lim = lim = lim 1 x →1 (ln x )(x − 1) x →1 1 x →1 x →1 x − 1 + ln x (x − 1) + ln x(1) 1 − + ln x x x x −1 1 1 Volviendo a aplicar L´hopital: lim = lim = 1 2 x →1 x − 1 + ln x x →1 1+ x

Ejercicios Propuestos 4.8 Calcular: 1. lim

x 2 + 3x − 10

+

x 2 − 4x + 4 x − 2 sen x 2. lim tg x x →0 x →2

sen x + tg x

3. lim

9. lim (cos x ) x 1

x →0

10.

lim (cos 2 x )

(

lim 1 + x 2

e x − e− x 1 4. lim c tg x − x x →0 5. lim (1 − cos x ) c tg x

12.

lim x

cos x − 1 6. lim x →0 − 1 − cos x

13.

lim

x →0

7. lim

x →∞

x

8. lim x x →0

1

x

sen x

x2

x→ 0

11.

x →0 −

3

x →0

x →0

x→0

14. 15.

)

1 x

⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 4 + ln x ⎠

ln (cos 3x ) 2x 2

⎛ x ⎞ lim ⎜ ⎟ x →0 ⎝ x + 1 ⎠

x

lim (c tg x )sen x

x →0

141

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

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Misceláneos 1. Bosqueje el grafico de f analizando dominio, simetría , asíntotas, intervalos de monotonía y concavidad, extremos locales y puntos de inflexión

x−2 x −1 x−2

a)

f ( x) =

b)

f ( x) =

c)

f ( x) =

d)

f ( x) =

e)

f ( x) = x (8 − x )

f)

f ( x) = xe 3 + 1

g)

f ( x) =

h) f ( x) = x 3 + x 2 − 5 x − 5 i) f ( x) = x 5 − x 3

x −1 x 2

j) f ( x) = x

x −1 2 2

k) f ( x) =

x 2 −1

2

3

(x − 8) 2

x2 − 4x 2

x − 4x + 3

3

2

x

x 2 −1 x

2. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características:

• • • • •

f es continua en toda su extensión f (−4) = −3 , f (0) = 0 , f (3) = 2 f ´(−4) = 0 , f ´(3) = 0 , f ´(x) > 0 para x < −4 , f ´(x) > 0 para −4 < x < 3 , f ´(x) < 0 para x > 3 . f ´´(−4) = 0 , f ´´(0) = 0 , f ´´(x) < 0 para x < −4 f ´´(x) > 0 para −4 < x < 0 , f ´´(x) < 0 para x > 0

3. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características:



lím f ( x) = +∞

lím f ( x) = 0 lím f ( x) = −∞ a < b < 0 < d < e

x→a

x → −∞

x → +∞



f (c) = f (e) = 0 , f (b) = 5 , f (0) = 3 , f (a ) = f (d ) = 1



f ´´(b) = 0 , f ´´(c) no existe, f ´(d ) = 0 , f ´´(d ) < 0 ,

• •

∀x ∈ (−∞, a ) ∪ (c, d )[ f ´(x) > 0] ,

∀x ∈ (a, c ) ∪ (d ,+∞ )[ f ´(x) < 0]

∀x ∈ (−∞, a ) ∪ (a, b )[ f ´´(x) > 0] , ∀x ∈ (b, c ) ∪ (c,+∞ )[ f ´´(x ) < 0]

4. Grafique f tal que la gráfica de su derivada f ´ es: y

−3

Suponga que f ( −1) = −1

142

x

−1

2

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

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5. Grafique f tal que la gráfica de su derivada f ´ es:

5

−2 2

−5

Suponga que f (0) = 0

6. Calcular : a) lim (senx )

x2

x →0 +

b) lim

sec x − 2tgx 1 + cos 4 x 4

c) lim

tgx − x arc senx − x

2

x →π

x →0

2

e x − cos x

d) lim

x2

x →0



e) lim ⎜ 2 x tan x − π

x→ 2



π ⎞

⎟ cos x ⎠

143

CAPITULO 4: Temas adicionales de la Derivada Ejercicios Propuestos 4.1 1. f crece en ( −1,0 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f decrece en ( −∞, −1) ∪ ( 0, 2 ) 2. f crece en ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f decrece en ( −2,0 ) ∪ ( 0, 2 ) 3. f crece en ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f decrece en ( −2, 2 ) 4. f es creciente ∀x ∈ R 5. f crece en ( −1,0 ) ∪ (1, +∞ ) ; f decrece en ( −∞, −1) ∪ ( 0,1) 6. f crece en (1, +∞ ) ; f decrece en ( −∞,1)

Ejercicios Propuestos 4.2 1. f ( −2 ) = 73 Máximo

; f ( 2 ) = −15 Mínimo

2. f ( 3) = 63

; f ( −3) = − 63

5 22 f − 2 = 3. ( )

Máximo

3

Máximo

4. f (1) = 7 Máximo 6. f ( 2 ) = 7 Máximo

Mínimo

3

Mínimo

; f ( −1) = −23 Mínimo

5. f ( −2 ) = 81 Máximo 4

5 ; f ( −5 ) = − 59

; f (1) = f ( −1) = 0 Mínimo ; f (1) = 0 Mínimo

Ejercicios Propuestos 4.3 1. f ( 0 ) = 17 Máximo Local 2. f ( −2 ) = 64

15

3. f ( −2 ) = 22

3

; f ( 2 ) = −15 Mínimo Local ; f ( −1) = 12 Mínimo Local

Máximo Local ; Máximo Local ;

4. No hay extremo local 5. f ( 0 ) = 1 Máximo Local ;

f ( 2 ) = − 64 f ( 2 ) = −10

15

3

Mínimo Local

Mínimo Local

f ( −1) = 0 Mínimo Local ; f (1) = 0 Mínimo Local

6. f (1) = 0 Mínimo Local

Ejercicios Propuestos 4.4 1.

2.

3.

( −∞,1 − 7 ) ∪ (1 + 7, +∞ ) ; f es cóncava hacia abajo en (1 − 7,1 + 7 ) f es cóncava hacia arriba en ( − 2, 0 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f es cóncava hacia abajo en ( −∞, − 2 ) ∪ ( 0, 2 ) f

es cóncava hacia arriba en

f

es cóncava hacia arriba en;

f 4.

f

( 13 , ∞ ) ; es cóncava hacia abajo en ( −∞, 13 )

es cóncava hacia arriba en

f f

5.

( 0, ∞ ) es cóncava hacia abajo en ( −∞, 0 )

es cóncava hacia arriba en

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ , +∞ ⎟ ; ⎜ −∞, − ⎟∪⎜ 7⎠ ⎝ 7 ⎝ ⎠

⎛ 1 1 ⎞ , ⎜− ⎟ 7 7⎠ ⎝ ⎛ 2 ⎞ f es cóncava hacia arriba en ( −∞, 0 ) ∪ ⎜⎜ 3 , +∞ ⎟⎟ ; ⎝ 11 ⎠ ⎛ ⎞ 2 f es cóncava hacia abajo en ⎜⎜ 0, 3 ⎟⎟ 11 ⎠ ⎝ f

6.

es cóncava hacia abajo en

Ejercicios Propuestos 4.5 1)

P.I.



(−1, 12 )

(0,17•)

Máx. Local

y = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17

P.C.E:

•(−0.55, 14.32)

P.C.E: Mín. Local

(1.21, − 1.35•) P.I.

(2,−• 15) P.C.E: Mín. Absoluto

2)

y = 3 x 5 − 20 x 3

(− 2, 64) •

(− •

2 , 39.6

)



(

)



2 ,−39.6

(− 2•, − 64)

3) y = 13 x 3 − 9 x + 2

(− 3,20) •

(0,2)



(3•,−16)

4) y 6 y = 3 x − 3 x + 12 x − 5 3

2

4

2

x

0 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

(

P.I.

1 3

-2

1

− 11 9

1.5

)

-4

5) y = ( x 2 − 1) 4

(− •

1 7

, 0.54



)



(



1 7

, 0.54



)

2

2.5

6)

(

)

f ( x) = x 3 − 1



(3

)

2 11

, 0.45

Ejercicios Propuestos 4.6 1 1) f ( x) = x 2 4 − x

(165 , 9.16) •

•(1.9;5.2)



4

2)

(

f ( x) = 3 2 5 3 x 2 − 3 x 5

(− 1, 6 2 ) • 3

(2,•6)

3)

f ( x) = e − x

(−

1 2

,

1 e

)•

•( 12 ,

1 e

2

)

4)

f ( x) =

( x − 2 )2 x2

1 P.I. (3, 4 )



P.C.E.

)

5) f ( x) =

3x − 5 x−2

6)

f ( x) =

2x 2 9 − x2

P.C.E Mín. Local

7) f ( x) = e

(−

1 2

; e −2



)

1

x

8) (2, 4 ) 3

f ( x) = ( x + 2) − ( x − 2) 2

3

2

3

(− 2, − 4 ) 3

9)

f ( x) =

2 + x − x2 (x − 1)2

• • (5;−1.125) (7; − 1.11)

10) y = −x

f ( x) =

2 + x − x2 x −1

11)

f ( x) =

(x + 2)2 x y = x+4

(2•,8)



12)

f ( x) =

x3 − 4 x2

(− 2,−3) •

y=x

13)

f ( x) =

y=x+3

x2 x −3

(6,12)

3

3

14)

f ( x) = xe

1

x

y = x +1



(1, e)

Ejercicios Propuestos 4.7 2. x = 0 , x =

1 2

, x=−

1 2

3. a) f (1) = f (2) = 64 4. x 0 =

. b) f ´(x 0 ) = 0 para algún x 0 ∈ [1,2]

a+b 2

Ejercicios Propuestos 4.8 1) +∞ ,

2) −1 ,

3) 1

4) 0

5) 0

6) −1 11) e

7) 1 12) e 3

8) 1 13) − 94

9) 1 14) 1

10) e −6 15) 1

Misceláneos 1)

a)

f ( x) =

x−2 x −1

b)

f ( x) =

x−2 x2 − 1



(0.23;1.87 ) •

c)

f ( x) =

x x −1 2

d)

f ( x) =

2 x2 − 1

e) f ( x) = 3 x (8 − x )

f)

2

x

f ( x) = xe 3 + 1

(− 1•.5;0.45)

g) y=x

x2 − 1 x

f ( x) =

h) 9

y

8 7

f ( x) = x + x − 5 x − 5 3

2

6 5 4 3 2 1

x

0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i)

f ( x) = x 5 − x3

j)

f ( x) = x

2

3

(x

2

− 8)

k)

f ( x) =

6) a) 1

b)

1 4

c) 0

x2 − 4x x − 4x + 3 2

d) 32

e) −2

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

5 5.1 RAZÓN DE CAMBIO 5.2 PROBLEMAS PRÁCTICOS DE MÁXIMOS MÍNIMOS 5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES 5.4 POLINOMIO DE TAYLOR

Y

OBJETIVOS: :    

Resolv er problemas de razón de cambio. Resolv er problemas de máxim os y mínimos. Aprox im ar v alores. Aprox im ar funciones mediante polinomios

145

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

5.1 RAZÓN DE CAMBIO Como la derivada expresa el cambio instantáneo que experimenta una variable con respecto a otra variable, para una función y  f (x) , se podría obtener la derivada o razón de cambio de las variables " x " y " y " con respecto al tiempo dy dx " t ", es decir: " " y " ". Lo cual nos va a permitir resolver problemas de dt dt aplicación. Ejemplo 1 Hacia un tanque de forma de cono invertido fluye agua a razón de 5

m3 , si la altura min

del tanque es de 10 m. y el radio de la base es de 5 m. a) ¿Qué tan rápido se esta elevando el nivel del agua cuando tiene 3 m. de altura?. SOLUCIÓN: Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:

5

5

m3 min

r 10

h

Llamemos:

M  Cantidad de agua que entra en m3 Q  Cantidad de agua que sale en m3 V  Cantidad de agua alojada en m3

Para este tipo de problema, de manera general se puede proponer: M  Q  V Derivando con respecto al tiempo, resulta:

dM dQ dV   dt dt dt Ahora de acuerdo a la información proporcionada, tenemos:

146

dM m3 5 y dt min dQ m3 0 . dt min

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

El volumen del agua alojada depende de la geometría del recipiente. En este caso deberíamos usar la formula del volumen de un cono , es decir: V  13 r 2 h . Ahora hay que tener la función volumen en término de una variable, lo más indicado es que sea en función de h (¿por qué?). Las secciones transversales son triángulos semejantes, esto nos permite relacionar r con h .

h r h  entonces r  10 5 2

5

reemplazando en la formula para el volumen del agua alojada, resulta: 2

h  3 V  13   h  12 h 2

r

10 h

por tanto

dV  2 dh  h dt 4 dt

Entonces:

dM dQ dV   dt dt dt dh 5  0  4 h 2 dt dh 20 m  dt  h 2 min En h  3 resulta:

dh 20 20 m   2 dt   3 9 min

b) Suponga ahora que se produce una perforación en lo bajo del recipiente y empieza m3 a salir agua a razón de 2 , Calcule la rapidez con que se está elevando el min nivel de agua cuando tiene 3 m. de altura?.

dM dQ dV   dt dt dt dh 5  2  4 h 2 dt dh 12 m  dt  h 2 min dh 12 12 m   En h  3 resulta: 2 dt   3 9 min

147

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejemplo 2 Una piscina tiene 10 m de largo y 5 m de ancho, 2.5 m de profundidad en el extremo mas hondo y 1 m en el extremo menos profundo, el fondo es rectangular, se esta bombeando agua a razón de 4 m3/min. ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando tiene: a) 0.5 m b) 1.5 m SOLUCIÓN: Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:

4

m3 min

10

5

1

2.5

Note que aquí tenemos un recipiente de doble geometría, por tanto antes que el nivel del agua sea 1.5 m. es una situación y otra situación después de los 1. 5 m. a) 0  h  1.5 10

b

1.5

h

De manera análoga al problema anterior

m3 m3 m3 Entra  sale  Alojado min min min El volumen de agua alojada en el recipiente se lo calcula con la fórmula para un prisma de base triangular, es decir V 

bh 5 (5)  bh . 2 2

La relación entre b y h se la obtiene considerando los triángulos semejantes; entonces: que resulta: b 

20 h. 3

Por tanto, el volumen queda: V 

148

5  20  50 2 h .  h h  2 3  3

b h  , 10 1.5

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

De aquí resulta

dV 100 dh  h . dt 3 dt

Reemplazando, se obtiene:

m3 m3 dV Entra  sale  Alojada min min dt 100 dh 40  h 3 dt dh 3 m  0  h  1.5 dt 25h min En h  0.5 resulta

dh 3 6 m3   dt 25(0.5) 25 min

b) si 1.5  h  2.5 , tenemos: 10

h

V2

Variable

V1

Contante

2.5

El volumen de agua alojada se lo puede calcular de la siguiente manera:

V  V1  V2 V  12 (1.5)(10)(5)  10h(5) V entonces

75  50h 2

dV dh  50 y al reemplazarlo resulta: dt dt m3 m3 dV Entra  sale  Alojada min min dt dh 4  0  50 dt dh 2 m3  dt 25 min

Note que es independiente de h. Note también que como el volumen de la parte inferior del recipiente es constante, entonces su rapidez de cambio es "0"; por tanto no existiría ningún inconveniente si sólo trabajáramos con la parte superior de recipiente, pero con un nuevo nivel de referencia.

149

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejemplo 3 Un aeroplano que vuela hacia el norte a 640 millas/h pasa sobre cierta ciudad al medio día (12h00). Un segundo aeroplano que va hacia el este a 600 millas/h, esta directamente encima de la misma ciudad 15 min. mas tarde. Si los aeroplano están volando a la misma altitud, que tan rápido se están separando a la 1:15 p.m.(13h15). SOLUCIÓN:

Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos: Referencia: 12h15 e t e  vt v

1 e  640    160 4

z 2  x 2  160  y 2 derivando con respecto al tiempo dz dx dy 2z  2 x  2 160  y  dt dt dt dx dy x  160  y  dz dt  dt dt z

x  600 millas En 1 hora: y  640 millas z

Por tanto:

6002  640  1602

 1000 millas

dz 600(600)  (160  640)(640) millas   872 dt 1000 hora

Ejercicios Propuestos 5.1 1.

De un tubo sale arena a razón de 16 pies 3/seg. Formando en el suelo una pirámide cónica cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base. ¿Con qué rapidez aumenta la altura de la pirámide cuando la misma tiene 4 pies de longitud?

2.

Un depósito cónic o de 12 m. de altura y radio de la base 4 m., tiene inic ialm ente 10 m 3 de agua. En t=0 comienza a fluir agua al interior del depósito a una razón de 8 m 3/h, y al mismo tiempo, por el fondo comienza a salir agua a razón de 5 m 3/h. Determine la razón a la que está variando el niv el del líquido después de 3 horas?

3.

En un depósito de forma cónic a se está vertiendo agua a razón de 225 litros por minuto . El cono tiene 6 metros de profundidad y 3 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el niv el del agua sube a razón de 2.5 centímetros por minuto, cuando el agua tiene 4.8 metros de profundidad, ¿con qué rapidez escapa agua del



depósito? 1 Litro  103 m3

150



Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

4.

Considere el reserv orio de la figura adjunta, al cual se está vertiendo agua a razón de 50 m 3/min. Determine ¿con qué rapidez sube el niv el del agua, cuando éste tiene?: a) 2 m. b) 5 m.

1

2 m.

3

4 m. 2 5.

La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pies de largo y 30 pies de ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 4 a 9 pies en un tramo horizontal de 40 pies y después continúa al mismo niv el los 20 pies restantes, como se ilustra en la figura. La piscina se está llenando a razón de 50 pie 3/min de agua. Calcule aprox im adamente la RAPIDEZ DE CAMBIO del niv el de agua en el momento que la profundidad es:

4'

a) 4 pies

9' b) 6 pies

20'

6.

40'

Suponga que se vacía el agua de un tanque esféric o de radio 10 pies. Si el niv el del agua en el tanque es 5 pies y ésta decreciendo a razón de 3 pies/seg., ¿con qué razón dis minuye el radio r de la superficie del agua?

10 r

7.

Una pis cina tiene 20 pies de ancho, 4 pies de profundidad en un extremo y 10 pies de profundidad en el otro ex tremo. La piscina se l ena bombeando agua a razón de 40 pies cúbic os por minuto. Encuentre la rapidez con la que sube el niv el del agua para cualquier v alor de h, donde h es la profundidad del agua.

50 4

20

25

15

8. Un avión que vuela a velocidad constante de 300 Km/h pasa sobre una estación terrestre de radar a una altura de 1 Km. Y se eleva a un ángulo de 30º. ¿A qué v elocidad aumenta la distancia entre el av ión y la estación de radar 1 minuto más tarde? 9. Un aeroplano v uela hacia el oeste a 500 Km. Por hora y pasa sobre cierto pueblo a la 11:00 a.m.; un segundo aeroplano v uela a la misma altura hacia el sur a 400 Km. por hora y pasa por el mismo pueblo a mediodía. ¿Qué tan rápido se separan a la 1:00 p.m.?

151

MOISES VILLENA MUÑOZ

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

10. La rueda moscovita que se muestra en la figura dá una v uelta cada dos minutos. ¿Con qué rapidez se eleva una pasajera en el instante en que se encuentra a 54 pies por encim a del suelo?

R 64 pies

R= 60 pies

5.2 PROBLEMAS PRACTICOS DE MÁXIMOS Y MINIMOS Con lo expuesto en el capitulo anterior es posible resolver problemas prácticos de optimización. Ejemplo 1 Se desea construir una caja con tapa utilizando un cartón rectangular que mide 5 pies x 8 pies. Esta se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando por las líneas discontinuas, ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z que maximizan el volumen de la caja? SOLUCIÓN:

De acuerdo a la figura, la tendrá un volumen que se la formula

caja formada así puede calcular con V  xyz .

Observe 5  2 x  z , por tanto z  5  2 x Observe también que 8  2 x  2 y , por tanto y  4  x

152

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

V  x4  x (5  2 x)  (4 x  x 2 )(5  2 x)

Reemplazando, el volumen sería:

V  2 x3  13x 2  20x La derivada es:

dV  6 x 2  26x  20 dx

dV 0 dx Obteniendo los puntos críticos, tenemos: 6 x 2  26x  20  0

x 1 

x  103  3.33

Escogemos x  1 p , porque no es posible que x  2.5 Por tanto y  4  x  4  1  3 p y z  5  2x  5  2(1)  3 p

serían las dimensiones

para obtener un volumen máximo. Cuyo valor es: Vmáx  xyz  1(3)(3)  9 p3

Ejemplo 2 Un triángulo isósceles tiene un vértice en el origen, la base paralela al eje x con los extremos en la curva 12y = 36 - x2. Determínese las dimensiones del triángulo de área máxima. SOLUCIÓN: Haciendo un esquema con la información proporcionada, tenemos:

El área de triángulo se la calcula con la formula Se observa que h  y  3 

x2 12

A

bh 2

y que b  2 x

Reemplazando, obtenemos el área en función de una sóla variable:



A

  12 

2 x  3  x 

2

2 x3 A  3x  12 Derivando para obtener los puntos críticos, resulta:

dA x2  3 dx 4

153

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

dA 0 dx Ahora, por tanto, despejando resulta x  2 3 x2 3 0 4 Las dimensiones del triangula de área máxima sería:

 

b  2x  2 2 3  4 3 por consiguiente: Amáx 

y h  y  3

 

b  h 4 3 2   4 3 u2 2 2

 

2 3 x2  3 12 12

2

 3 1  2

Ejemplo 3 Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de radio “R” y altura “H”. SOLUCIÓN: Haciendo un esquema tenemos:

El volumen del cilindro se lo calcula con la formula V  r h Para poner el volumen en función de una sola variable, relacionamos r y h por semejanza de triángulos: 2

Del gráfico observamos que:

rH  HR  hR Entonces: hR  HR  rH HR  rH h R

r H h  R H

Reemplazando, tenemos:



 HR  rH  H 2 V  r 2 h  r 2  r R r3  R R  

Entonces:

154



dV H  2rR  3r 2 dr R





dV 0 dr H 2rR  3r 2  0 y para el óptimo: R r  0  r  23 R





Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

Por lo tanto: h 

2 HR  rH HR  3 RH 1   H R R 3

Ejemplo 4 A las 7:00 a.m. un barco estaba a 60 millas en dirección este de un segundo barco. Si el primero navega hacia el oeste a 20 millas por hora y el segundo al sur este a 30 millas por hora, ¿en qué momento se encuentra más próximos el uno del otro? SOLUCIÓN: Esquemáticamente tenemos:

Aplicando la ley del coseno para calcular la distancia de separación z , resulta:



z 2  60  x 2  y 2  260  x  y  cos 45 

Además como v 



e entonces e  vt y para cada distancia tenemos: t x  v x t  20t y y  v y t  30t

Reemplazando queda:



z 2  60  x 2  y 2  260  x  y  cos 45 



 

z  60  20t   30t   260  20t 30t  2

2

2

2 2

Maximizar z es lo mismo que maximizar z por tanto si z  D tenemos: 2

2

 

D  60  20t 2  30t 2  260  20t 30t 

2 2

Derivando y simplificando resulta:

155

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

dD  260  20t (20)  230t (30)  2 2030t  22   260  20t 30 dt    dD 2 2 2  2400 800t  1800 1200 2 t  3600 2  1200 2 t dt dD  600  1800 2  800  1200 2 t dt



Y para el óptimo:

2 2

  



dD 0 dt





 600  1800 2  800  1200 2 t  0 t

600  1800 2

800  1200 2 t  1.15 horas Es decir las 8:09 a.m. estarán más próx imos uno del otro

Ejercicios propuestos 5.2 1.

Usted debe construir una caja rectangular cerrada con volumen 576 pulgadas cúbic as y cuy o fondo sea el doble de largo que de ancho como se muestra en la figura:

x 2x Determine las dimensiones de la caja que minim izarán el área total de su superficie. 2.

Determine las dim ensiones del rectángulo de mayor área que tiene dos vértic es en el eje x y sus otros dos vértices pertenecen a la parábola cuya ecuación es: y  8  x 2 , y  0 .

3.

Determine la LONGITUD de la escalera MÁS CORTA que llega desde el pis o, sobre un muro de 8 pies de altura, hasta una pared de un edific io, a 1 pie de distancia del muro.

E d i f i c i o

Escalera 1'

Pared Piso

4.

156

Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña, que se encuentra a 10 km. de distancia por el bosque y también a 2 km. de la carretera (v er figura). Puede caminar a una velocidad de 8 km/h por la carretera pero solamente a 3 km/h por el bosque. Así decide caminar primero hacia la carretera, después por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaña. ¿Qué ángulo minim izará el tiempo total necesario para que el excursionis ta llegue a su cabaña? ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque?

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

10 km Excursionista

Cabaña

2 km Bosque 

 Carretera

5.

Determine el área máxima posible de un trapecio inscrito en un círculo de radio 1, como lo muestra la figura.



1



6.

Hallar el v alor del área máx im a del rectángulo que se puede circunscribir a otro rectángulo dado de longitud L y ancho W.

 W L

7.

Se v a a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de v olumen dado, con el mismo eje y con el vértice del cono interior tocando la base del cono ex terior. Encuentre la razón entre las alturas de dic hos conos para que el volumen del cono inscrito tenga el máximo volumen.

8.

Calcule las dim ensiones del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio igual a 10 cm.

9.

Inscribir en una esfera dada un cilindro de v olumen máximo.

10. Encuentre las dimensiones de los triángulos is ósceles inscritos en la región comprendida entre el gráfico de





1 f x   x 2  4 y el eje x, de manera que el área de la región sombreada sea máxima.

y

x 11. Se tiene 80 pies de tela de alambre con la que se planea cerrar un corral rectangular al lado de un granero de 100 pies de largo como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de máxim a área?

GRANERO CORRAL

157

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

12. Dos aeroplanos A y B vuelan horizontalmente a la misma altura. La posic ión del aeroplano B es al suroeste del A, a 20 km. al oeste y 20 km. al sur de A. Si el aeroplano A v uela hacia el oeste a 16 km/min y el B vuela hacia el norte a 64/3 km/min. a) ¿En cuántos segundos estarán los más cerca uno del otro? b) ¿Cuál será su dis tancia más corta? 13. Halle la altura de un prisma triangular regular de volumen máximo inscrito en una esfera de radio R. Nota: Recuerde que en un triángulo equilátero las alturas y medianas coinciden y se intersecan en un punto P de 2 modo que AP  AM C 3

P

M

B

A

5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES 5.3.1 DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL

Supongase que y  f (x) es diferenciable en “ x ” y que dx , la diferencial de una variable independiente “ x ”, designa un incremento arbitrario de “ x ”. La diferencial de “ y ” correspondiente a la variable dependiente “ y ” se define como:

158

dy  f ´(x)dx

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

5.3.2 APROXIMACIONES Observe la gráfica

Note que x  dx Y que, si x  0 entonces y  dy , es decir: y  f ´(x)x

Entonces: f ( x0  x)  f ( x0 )  f ´(x0 )x Es decir: f ( x0  x)  f ( x0 )  f ´(x0 )x

Ejemplo 1 Aproximar 4.6 SOLUCIÓN: Debemos emplear la función Note que

f ( x)  x .

4.6  4  0.6 , entonces x0  4 y x  0.6

Para emplear la formula f ( x0  x)  f ( x0 )  f ´( x0 )x , Obtenemos:

f ( x0  x)  x0  x  4  0.6 , f ( x0 )  x0  4  2 y

Entonces:

f ´( x0 ) 

1 2 x0



1 2 4



1 4

1 4  0.6  2   0.6 4 4.6  2.15

159

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejemplo 2 Aproximar sen 31 SOLUCIÓN: Para este caso empleamos f ( x)  sen x , por tanto f ´( x)  cos x Para aplicar la formula f ( x0  x)  f ( x0 )  f ´( x0 )x , para la cual definimos: x0  30 

  , x  1  entonces: 6 180 sen(x0  x)  sen(x0 )  cos(x0 )x

   sen(30  1)  sen(30)  cos30   180   3     sen 31  0.5    2  180    sen 31  0.501

5.3.3 ESTIMACION DE ERRORES Sea y  f (x) la variación en y cuando varía x se la se la calcula empleando la formula y  f ´(x)x

Ejemplo El lado de un cubo se midió en 11.4 cm. con un posible error de ± 0.05 cm. Calcule el volumen del cubo y proporcione una estimación para el posible error de este valor. SOLUCIÓN: El volumen del cubo se lo obtiene con la formula V  l 3 . Como l  11.4cm entonces V  11.43  1481.5cm3 . Pero como hay un margen de error (variabilidad) en la medición del lado: l  0.05cm , se propaga un error en el valor del volumen calculado. dV l Es decir: Este margen de error en el volumen se lo calcula de la siguiente manera: V  dl

V  3l 2 l V  3(11.4) 2 (0.05) V  19.5cm 3 Esto quiere decir que V  1481.5  19.5cm3

Ejercicios Propuestos 5.3 1.

En los siguientes ejercicios use diferenciales para calcular v alores aproxim ados de los números dados. Compare con los valores reales: a)

2.

160

402

b) 3 26.91

c)

35.9

d) 6 64.05

El diámetro ex terior de un delgado casquete esférico es de 12 pies. Si el casquete tiene 0.3 pulgadas de espesor, use diferenciales para calcular el volumen aproximado de la región interior del mismo.

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ 3.

Un rodillo cilíndrico mide exactamente 12 pulgadas de longitud y se ha estimado su diámetro en 6  0.005 pulgadas. Calc ule su volumen con una estimación del error.

4.

Se mide el radio de una esfera con un instrumento cuya precis ión es de 0.05 cm.. Si la medición registra un radio de 15 cm. Determine el error que tendrá el volumen de la esfera

5.4 POLINOMIO DE TAYLOR La

ecuación

de

la recta tangente en el punto y  f ( x0 )  f ´(x0 )x  x0  es decir y  f ( x0 )  f ´(x0 )x  x0  .

x0 , f ( x0 )

es

En la vecindad de x 0 , y  f (x) ; por tanto una buena aproximación para una función diferenciable en un punto sería la recta tangente en ese punto; es decir:

f ( x)  f ( x0 )  f ´(x0 )x  x0  . Lo anterior corresponde a la aproximación de una función mediante un polinomio lineal. Para mayor orden tenemos:

f ( x)  f ( x0 )  f ´(x0 )x  x0  

n f ´´(x0 ) x  x0 2  f ´´´(x0 ) x  x0 3  ...  f ( x0 ) x  x0 n 2! 3! n!

El Polinomio de Taylor de orden “n” para una función. NO OLVIDE DEMOSTRARLO. Si x0  0 se llama Polinomio de Mclaurin. En tal caso sería:

f ( x)  f (0)  f ´(0)x 

f ´´(0) 2 f ´´´(0) 3 x  x  ... 2! 3!

Ejemplo Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para f ( x)  e x y empleelo para calcular e 0.1 . SOLUCIÓN: f ( x)  f ( x0 )  f ´( x0 )x  x0  

e x  e0  e0 x  0 

IV f ´´( x0 ) x  x0 2  f ´´´( x0 ) x  x0 3  f ( x0 ) x  x0 4 2! 3! 4!

0 0 e0 x  02  e x  03  e x  04 2! 3! 4!

x 2 x3 x 4   2 6 24 bien, ahora reemplazando x  0.1 resulta: f (0.1)  1  0.1  0.005 0.000166666 0.000004166 f (0.1)  1.105170833 ex  1  x 

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Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejercicios Propuestos 5.4 1.

Hallar el polinomio de Maclaurin de orden “n” para: a)

f x   e3x ; n=4

d) f ( x)  cosh x 

b)

f ( x)  x 2 e  x ; n=4

e) f ( x) 

1 x 1 2

e x  e x ; n=10 2

; n=4

c) f ( x)  sen x ; n=3 2.

Hallar el polinomio de Taylor de grado n, alrededor de x0 a)

1 f ( x)  ; n=4; x0  1 x

b)

f ( x)  x ; n=4; x0  4

. c) f ( x)  ln x ; n=4; x0  1

Misceláneos 1. Se tiene un tanque esférico de radio igual a 10m. En el tanque ingresa agua a razón de 2 m

3

¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua es de 5m.



2 NOTA: Volumen del casquete esférico V  h  R 



h

.

h  Observar la figura. 3

2. En la ribera de un río de 0. 9 Km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera a 3 Km. Corriente arriba, hay una fábrica y la fábrica necesita energía eléctrica por lo que se debe tender cables entre la planta eléctrica y la fábrica. Tender los cables por tierra cuesta $3 por metro y hacerlo por el agua cuesta $5 por metro. ¿Cuál es la forma más económica de tender los cables entre la fábrica y la planta eléctrica?. RESP. 1125 m. por agua y 2325 por tierra 3. En un recipiente cónico de 10m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de

5m

3

min

. Con que rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando

éste tiene de 3m. 4. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de radio 4 cm. 5. Dos puntos A y B parten del origen de coordenadas. El punto A se mueve sobre la dirección positiva del eje x con la ley del movimiento x  x(t )  2t , en donde x se da en centímetros y t 2

en minutos. El punto B se mueve sobre la recta y  x a una rapidez constante de 2 cm

min

.

Determine la rapidez a la que estos dos puntos se están alejando uno del otro después de 2 min. De haberse comenzado a mover. 6. Tres puntos A, B y C se encuentran de tal manera que el ángulo ABC es de 60° y la distancia entre A y B es de 3Km. Del punto A sale, dirigiéndose hacia B, un corredor a una velocidad de 18 Km/h. En el mismo instante sale B, dirigiéndose hacia C, un ciclista a una velocidad de 27 Km/h. Encuentre el momento en que el corredor se encuentra más próximo del ciclista. 3

7. En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de 0.2 m por minuto. El cono tiene 8 metros de profundidad y 4 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua sube a razón de 2 centímetros por minuto, cuando el agua tiene 5 metros de profundidad, ¿con qué rapidez escapa agua del depósito? 8. Una pequeña isla está a 2 millas en línea recta del punto más cercano P de la ribera de un gran lago. Si un hombre puede navegar desde la isla en su bote de motor a 20 millas por hora, y caminar a 4 millas por hora, ¿en qué lugar desembarcar para llegar en el tiempo más corto a un pueblo que dista 10 millas al sur del punto P?

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Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

9. Del filtro cónico de una cafetera cae café a razón de 10 pul 3 min . (Ver figura). a) ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del café en la jarra, cuando el café tiene 5 pulgadas de profundidad en el cono?. b) ¿Con qué rapidez baja el nivel de café del cono en ese instante? 10. En un triángulo rectángulo isósceles se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados reposa sobre la hipotenusa. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir de esa manera, considerando que los catetos del triángulo miden 2 m. 11. Dos barcos navegan a partir de un mismo puerto isleño, uno hacia el norte a 24 millas por hora y el otro hacia el este a 30 millas por hora. El barco de la ruta NORTE partió a las 9: 00 A.M., y el de la ruta ESTE a las 11:00 A.M.. ¿Con qué rapidez aumenta la distancia entre ellos a las 2:00 P.M.? 12. Encuentre las dimensiones del rectángulo de máxima área que se puede inscribir en un semicírculo de radio R.? 13. Se tiene un tanque esférico de radio 15 pies. En el tanque sube el nivel del agua a razón de 2 pies por segundo. ¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua es de 5 pies? Observe la figura 14. Un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados se encuentra en el primer cuadrante de modo que sus vértices están sobre el origen, el eje X positivo, el eje Y positivo y sobre la recta 2 x  y  100 . Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área posible que se encuentra localizado de la manera señalada. 15. En una página de un libro debe haber 150 cm2 de texto escrito. Los márgenes laterales deben ser de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm. Determine las dimensiones de la hoja para que se gaste la menor cantidad de papel posible. 16. En el interior de un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 18 cm., se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados reposa sobre la hipotenusa. Calcular las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse de esa manera. 17. En un recipiente cónico de 10 m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de 5 m3 min . ¿Con qué rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando

éste tiene un nivel de 3m. ?. 18. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de radio 4 cm., donde uno de los lados es el diámetro del semicírculo. 19. El tumor del cuerpo de una persona es de forma esférica y su radio aumenta a razón de 0,001 cm

por día. Determine con qué rapidez aumenta el área superficial del tumor cuando su diámetro es de 1cm. 20. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede ubicarse en el primer cuadrante, donde dos de sus vértices pertenecen al eje X, y los otros dos vértices pertenecen respectivamente a las rectas y  2 x y 3x  y  30 . 21. Las rectas L1 : y  x  2 y L2 : y  2 x  10 forman un triángulo con el eje x . Encuentre las dimensiones del rectángulo de may or área, con un lado contenido en el eje x , que puede inscribirse en el triángulo dado. 22. La diagonal de un cubo está aumentando a razón de 4 pulgadas/min. Calc ule la razón con la que varía el área total del cubo en el instante que la diagonal mide 5 pulgadas. 23. Dos buses parten de una mis ma estación a las 09h00. Las carreteras por las que viajan forman un ángulo recto entre sí. Determine la rapidez con la que varía la dis tancia que los separa al cabo de media hora de viaje, si la velocidad de los buses es de 90 Km/h y 110 Km/h respectiv amente. 24. Un escenario circular con radio de 3 metros de longitud, da una vuelta cada dos min utos, tal como se muestra en la figura. Una cámara fija en el punto P, está a 3 2 m. del centro O del escenario, y enfoca a una persona que se encuentra en el punto M. Determine a qué v elocidad v aría la distancia entre la cámara y la persona, en el m  instante que los segmentos OM y OP forman un ángulo de 45 . Resp. 3 min P O

 M

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