Calculo Diferencial - Moises Villena
April 2, 2017 | Author: Santiago Fabian Valarezo Torres | Category: N/A
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Calculo Diferencial - Moises Villena. ESPOL, Guayaquil. Ecuador....
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Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
LÍMITE EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES TEOREMAS SOBRE LÍMITES CÁLCULO DE LÍMITES LÍMITES AL INFINITO LÍMITES INFINITOS OTROS LÍMITES
OBJETIVOS: • • • •
Definir Límites. Realizar demostraciones formales de límites. Describir gráficamente los límites. Calcular límites.
1
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1.1 LÍMITE EN UN PUNTO El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, veremos más adelante que los dos conceptos principales del Calculo, la Derivada y la Integral Definida, están basados en límites. Conceptualizar límites determinando el comportamiento de una función e interpretarlo en su gráfica, ayudará bastante en el inicio de nuestro estudio.
1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra intención y el estudio de los límites va a permitir esto. Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple inspección concluir y tener una idea del concepto de límite. Ejemplo 1 Veamos como se comporta la función la cercanía de x = 2 .
f con regla de correspondencia f ( x) = 2 x + 1 en
Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 :
x 1.90
y = 2x + 1 4.80
1.95 1.99 " 2.01 2.05 2.10
4.90 4.98 " 5.02 5.10 5.20
En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5. Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente forma: lím (2 x + 1) = 5
x→2
Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica, observe la figura 1.1:
Fig. 1.1
2
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Ejemplo 2 Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia f ( x) =
x 2 + 5x − 6 , en la cercanía de x = 1 . x −1
Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:
x 0.90 0.95 0.99 " 1.01 1.05 1.10
y=
x2 + 5x − 6 x −1 6.90 6.95 6.99 " 7.01 7.05 7.10
Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x x 2 + 5x − 6 =7. x →1 x −1
se aproxima a tomar el valor de 1, es decir lím
Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación. Por
otro
lado,
la
regla
de
correspondencia
f ( x) =
x 2 + 5x − 6 x −1
es
equivalente
a
f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 (¿POR QUÉ?). Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica, observe la figura 1.2:
Fig. 1.2
De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía, podemos emitir la siguiente definición:
3
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Una función f tiene límite L en un punto x0 , si f se aproxima a tomar el valor L cada vez que su variable x se aproxima a tomar el valor x0 . Esto se denota como: lím f ( x) = L x→ x0
Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo; es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características de su comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones.
1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL Suponga que se plantea el problema de demostrar que lím 2 x + 1 = 5 o que x →2
x + 5x − 6 = 7. x −1 2
lím x →1
Para
esto,
debemos
garantizar
formalmente
el
acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valores no nos sirve, el hecho que se cumpla para algunos valores no indica que se cumpla para todos los valores próximos al punto. La demostración consistirá en escribir matemáticamente, lenguaje formal, la metodología del proceso, lo cual nos lleva a la necesidad de tener una definición formal de límite y no sólo para estos dos ejemplos, sino para cualquier función. Antes, de llegar a la definición requerida, precisemos lo siguiente: PRIMERO, para un lenguaje formal, decir que punto
x0
x
toma valores próximos a un
(que x está en torno a x0 ), bastará con considerarla perteneciente a
un intervalo o vecindad, centrado en cual denotaremos con la letra griega
x0 ,
de semiamplitud muy pequeña, la
∂ (delta). Es decir:
x0 − ∂ < x < x 0 + ∂ Transformando la expresión anterior tenemos: x0 − ∂ <
x < x0 + ∂
x0 − ∂ − x0 < x − x0 < x0 + ∂ − x0 − δ < x − x0 < δ x − x0 < δ
4
Restando " x0 " Empleando la definición de valor absoluto
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Y, para que
x
no sea
x0 , bastará con proponer que 0 < x − x0 < ∂
¿POR
QUÉ?.
SEGUNDO, para decir que f está próxima a L (en torno a L ), podemos expresar que pertenece a un intervalo o vecindad, centrado en L de semiamplitud muy pequeña, la cual denotaremos con la letra griega ε (épsilon). Es decir:
L − ε < f ( x) < L + ε Transformando la expresión anterior tenemos: L − ε < f ( x) < L + ε − ε < f ( x ) − L < +ε
Restando " L "
f ( x) − L < ε
Aplicando la definición de valor absoluto
Con todo lo anterior, definimos formalmente límite de una función en un punto, de la siguiente manera:
Sea f una función de variable real y sean ε y ∂ cantidades positivas muy pequeñas. Suponga que f se aproxima a L cuando x se aproxima a x0 , denotado como lím f ( x) = L , esto x→ x0
significa que para toda proximidad que se desee estar con f en torno a L , deberá poderse definir un intervalo en torno a x0 en el cual tomar x , sin que necesariamente x = x0 , que nos garantice el acercamiento. Es decir:
( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − x x → x0
0
< δ ⇒ f ( x) − L < ε
La definición indica que para asegurar que una función tiene límite deberíamos establecer una relación entre ∂ y ε . Una manera de interpretar gráficamente lo mencionado es:
5
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Fig. 1.3
Con esta definición, ya podemos realizar demostraciones formales. Ejemplo 1 Demostrar formalmente que lím (2 x + 1) = 5 . x →2
SOLUCIÓN: Cuando hicimos la tabla de valores, sólo para seis valores percibimos que el límite de esta función era 5, se trata ahora de demostrarlo. Debemos garantizar que cuando tomemos a la x como cualquier número cercano a 2 el valor de y correspondiente es un número cercano a 5, y mientras la x esté más cerca de 2 la y estará más cerca de 5; esto quiere decir que la diferencia entre los valores que resultan en
2 x + 1 con 5 deberán ser cantidades muy pequeñas, menores que cualquiera tolerancia ε que nos fijemos. Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 5 con y = 2 x + 1 , tanto como nos propusiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir:
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 2 < δ
⇒
(2 x + 1) − 5 < ε
En la implicación, vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente. Observe el consecuente, su forma algebraica nos guiará en el procedimiento a seguir:
(0 <
x−2 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 1 < δ Ahora transformamos el antecedente:
(0 <
⇒ 0 < ( x + 6) − 7 < δ ⇒
x −1
x 2 + 5x − 6 −7 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x − 2 < δ ⇒ f ( x) + 1 < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x 0 < −3 − x < δ ⇒ f ( x) − 2 < ε
f (−3) = f (2 ) = 0 y f (0) = 5
Bosqueje el gráfico de una función que cumpla las condiciones siguientes: • Dom f = R • • • • • •
f es creciente en ( −∞,0 ) ∪ ( 0,3) f decreciente en (3, ∞ )
[ ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x < δ ⇒ f ( x) < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x − 3 < δ ⇒ f ( x) − 5 < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x 0 < − x < δ ⇒ f ( x) − 3 < ε
f (−3) = f (3) = f (6) = 0 y f (0) = 2
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1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1.3.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE
Sean f y
g funciones con límite en x0 ;
es decir, suponga que
lím f ( x) = L
x→ x0
y
lím g ( x) = M . Entonces:
x→ x0
1. lím k = k , ∀k ∈ R x → x0
2. lím x = x0 x → x0
3. lím kf ( x) = k lím f ( x) = kL , ∀k ∈ R x → x0
x → x0
4. lím [ f ( x) + g ( x)] = lím f ( x) + lím g ( x) = L + M x → x0
x → x0
x → x0
5. lím [ f ( x) − g ( x)] = lím f ( x) − lím g ( x) = L − M x→ x x→ x x→ x 0
0
0
6. lím [ f ( x) g ( x)] = lím f ( x) lím g ( x) = LM x → x0
x → x0
x → x0
f ( x) L ⎡ f ( x) ⎤ xlím → x0 = = 7. lím ⎢ x → x0 g ( x ) ⎥ g ( x) M ⎣ ⎦ xlím →x
;siempre que lím g ( x) ≠ 0 x → x0
0
n
8. lím [ f ( x)] = ⎡⎢ lím f ( x) ⎤⎥ = Ln , x→ x ⎣ x→ x ⎦ n
0
∀n ∈ N
0
9. lím n f ( x) = n lím f ( x) = n L x → x0
x → x0
siempre que
lím f ( x) ≥ 0 cuando n es par.
x → x0
Demostraciones 1.
( lím k = k ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x
0 / 0 < x − x x → x0
0
Si ∂ = ε la proposición es verdadera.
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0
< ∂ ⇒ x − x0 < ε
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3.
( lím kf ( x) = kL ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x
< ∂ ⇒ kf ( x) − kL < ε
0
x → x0
Observe
el
consecuente,
la
expresión
kf ( x) − kL < ε
es
equivalente
a
k ( f ( x) − L ) < ε . Por hipótesis, en la cercanía de x 0 , f se aproxima a L , es decir; se cumple que:
∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) − L < ε Si tomamos ε =
ε
⇒ f ( x) − L <
k
ε k
⇒ k f ( x) − L < ε ⇒ kf ( x) − kL < ε por tanto kf se aproximará a kL .
4. Debemos demostrar que si lím f ( x) = L lím g ( x) = M entonces x → x0
x → x0
lím [ f ( x) + g ( x)] = L + M
x → x0
lím f ( x) = L significa que:
Asegurar que
x → x0
∀ε 1 > 0, ∃∂ 1 > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ 1 ⇒ f ( x) − L < ε 1 Y asegurar que
lím g ( x) = M significa que:
x → x0
∀ε 2 > 0, ∃∂ 2 > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ 2 ⇒ g ( x) − M < ε 2 Tomemos ε1 = ε 2 =
ε 2
, entonces , si trabajamos con ∂ = min {∂ 1 , ∂ 2 } se cumple que:
ε ⎧ ⎪⎪ f ( x) − L < 2 0 < x − x0 < ∂ ⇒ ⎨ ⎪ g ( x) − M < ε ⎪⎩ 2 Sumando término a término la desigualdad resulta: f ( x) − L + g ( x) − M < Y por la desigualdad triangular Por lo tanto
( f ( x) − L ) + (g ( x) − M ) ≤
ε 2
+
ε 2
f ( x) − L + g ( x) − M
( f ( x ) + g ( x ) ) − (L + M ) < ε
Finalmente, se observar que:
∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ( f ( x) + g ( x) ) − (L + M ) < ε
lo que nos asegura que
5.
lím [ f ( x ) + g ( x)] = L + M
x → x0
Debemos demostrar que si lím f ( x) = L lím g ( x) = M entonces x → x0
x → x0
lím [ f ( x) g ( x) ] = LM
x → x0
Igual que en el anterior, tenemos dos hipótesis:
H1 : lím f ( x) = L ≡ ∀ε1 > 0, ∃∂ 1 > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ 1 ⇒ f ( x) − L < ε1 x → x0
H 2 : lím g ( x) = M ≡ ∀ε 2 > 0, ∃∂ 2 > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ 2 ⇒ g ( x) − M < ε 2 x → x0
En la segunda hipótesis, asumamos que ε 2 = 1 , entonces
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g ( x) − M < 1 −1 < g ( x ) − M < 1 M −1 < g ( x) < M + 1 Por la desigualdad triangular: M +1 < M + 1 ≡ −( M + 1) < M +1< M + 1
M + ( −1) < M + −1 ≡ − ( M + 1 ) < M − 1 < M + 1
Como g ( x ) < M + 1 y M + 1 < M + 1 se concluye que g ( x ) < M + 1 Como M − 1 < g ( x ) y − ( M + 1 ) < M − 1 se concluye que − ( M + 1 ) < g ( x ) Entonces: g ( x ) < M + 1 y además g ( x ) f ( x) − L < ε1 ( M + 1 )
Bien, se observa que si trabajamos con ∂ = min {∂1 , ∂ 2 } ⎧⎪ g ( x ) f ( x) − L < ε1 ( M + 1 ) 0 < x − x0 < ∂ ⇒ ⎨ ⎪⎩ g ( x) − M < ε 2 Si decidimos que ε1 =
ε M +1
y ε2 =
ε L
Entonces
ε ⎧ ⎪ g ( x ) f ( x) − L < 2 M + 1 ( M + 1 ) ( ) ⎪ ⎨ ε ⎪ g ( x) − M < ⎪ 2L ⎩ ε ⎧ ⎪⎪ g ( x ) f ( x) − L < 2 ⎨ ⎪ L g ( x) − M < ε ⎪⎩ 2 Sumando término a término: g ( x ) f ( x) − L + L g ( x) − M < ε
Por la desigualdad triangular:
g ( x )( f ( x) − L ) + L ( g ( x) − M ) ≤ g ( x ) f ( x) − L + L g ( x) − M < ε
a
b
a
a
f ( x) g ( x ) − Lg ( x ) + Lg ( x ) − LM < ε f ( x) g ( x ) − LM < ε
Hemos concluido que:
∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) g ( x ) − LM < ε Es decir:
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lím [ f ( x) g ( x) ] = LM L.Q.Q.D.
x → x0
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El resto de las demostraciones se deja como ejercicio para el lector. Observe que el recíproco del teorema anterior es falso. Ejemplo ⎧1 ; x > 0 Suponga que se tiene f ( x ) = ⎨ ⎩0 ; x ≤ 0
y
⎧0 ; x ≥ 0 g ( x) = ⎨ ⎩1 ; x < 0
⎧1 ; x ≠ 0 entonces ( f + g )( x) = ⎨ ⎩0 ; x = 0 Observe que: lím f ( x ) no existe y que lím g ( x ) tampoco existe, sin embargo lím ( f + g ) ( x ) = 1 x →0
x →0
(existe). Es decir, “ Si
(f
asegurar que
también tienen límite en ese punto”
f
y
g
+ g)
x→0
es una función con límite en un punto, entonces no podemos
El teorema principal de límite permite establecer límites de ciertas funciones. Ejemplo
(
Calcular lim x 2 + 3 x − 2 x→2
)
SOLUCIÓN: Aplicando el teorema principal de límites, tenemos:
(
)
lim x 2 + 3 x − 2 = lim x 2 + lim 3 x − lim 2 (inciso 4 y 5)
x→2
x →2
x →2
x→2
2
= ⎛⎜ lim x ⎞⎟ + 3 lim x − 2 (inciso 8, 3 y 1) x→2 ⎝ x→2 ⎠ = 2 2 + 3( 2) − 2 =8
Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta.
1.3.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN
Sea f una función polinomial o una función racional, entonces lím f ( x) = f ( x0 ) x→ x0
siempre que f ( x0 ) esté definida y que el denominador no sea cero para el caso de una función racional.
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Cap. 1 Límites de Funciones
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De principio o de final, en el cálculo de límite, se empleará el teorema de sustitución. Ejemplo
(
Calcular lim x 2 + 3 x − 2 x→2
)
SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución, tenemos:
(
)
lim x 2 + 3x − 2 = 2 2 + 3(2) − 2 = 8
x→2
Veamos el siguiente otro teorema, muy poco utilizado pero necesario en ciertas situaciones.
1.3.3 TEOREMA DEL EMPAREDADO
Sean f , g y h funciones tales que g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) para toda x próxima a " x0 " con la posible excepción de " x0 ". Si y
lím g ( x) = L
x→ x0
lím h( x) = L
x→ x0
entonces
lím f ( x) = L .
x→ x0
DEMOSTRACIÓN. Tenemos tres hipótesis: H1 : H2 : H3 :
( lím g ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x < ∂ ⇒ g ( x) − L < ε ( lím h( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x < ∂ ⇒ h( x) − L < ε x → x0
1
1
x → x0
2
2
0
0
1
2
∃∂ 3 > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ 3 ⇒ g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x)
Ahora, suponiendo que ε 1 = ε 2 = ε y tomando ∂ = min{∂1, ∂ 2 , ∂ 3} , tenemos: ⎧ g ( x) − L < ε ⎪⎪ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ⎨ h( x) − L < ε ⎪ ⎪⎩ g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) ⎧L − ε < g ( x) < L + ε ⎪ Que quiere decir que: ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ⎨ L − ε < h( x) < L + ε ⎪ g ( x) ≤ f ( x ) ≤ h( x) ⎩
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1
2
Cap. 1 Límites de Funciones
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Lo cual significa que: L − ε < g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) < L + ε , Y de manera simplificada se podría decir que: L − ε < f ( x) < L + ε Por lo tanto ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ f ( x ) − L < ε , Que no es otra cosa que
lím f ( x) = L
L.Q.Q.D.
x → x0
Ahora veamos ejercicios donde se emplea el teorema del emparedado Ejemplo 1 Sea 1 − x 2 ≤ f ( x) ≤ x 2 + 1 para toda
x próxima a 0, excepto en 0. Hallar lím f ( x) . x→ 0
SOLUCIÓN: 2 2 Llamemos g ( x) = 1 − x y h( x) = x + 1 . Calculando límites tenemos: lím g ( x) = lím (1 − x 2 ) = 1 x →0
x →0
y
lím h( x) = lím ( x 2 + 1) = 1 . x →0
x →0
Y como g ( x) ≤ f ( x ) ≤ h( x) en la vecindad de x = 0 , por el teorema del emparedado se concluye que: lím f ( x) = 1 x →0
(
O más simplemente: lím 1 − x x →0
2
) ≤ lím f ( x) ≤ lím ( x x →0
x →0
2
+ 1)
1 ≤ lím f ( x) ≤ 1 x →0
por lo tanto lím f ( x) = 1 x →0
Ejemplo 2 ⎛1⎞ ⎝x⎠
Use el teorema del emparedado para demostrar que: lím x sen⎜ ⎟ = 0 x →0
SOLUCIÓN: ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ No se puede aplicar la propiedad del producto de los límites debido a que lím ⎢sen ⎜ ⎟ ⎥ no existe. x →0 ⎣ ⎝ x ⎠⎦ También hacerlo en término de ∂ − ε , sería dificilísimo, ¿Por qué? . Por tanto hay que recurrir a otro mecanismo. ⎛1⎞ ⎛1⎞ La función f ( x) = sen⎜ ⎟ es acotada, es decir que 0 ≤ sen⎜ ⎟ ≤ 1 . ⎝x⎠ ⎝ x⎠
⎛1⎞ Al multiplicar por x tenemos: x 0 ≤ x sen⎜ ⎟ ≤ x 1 ; ⎝ x⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ luego tomando límite resulta lím 0 ≤ lím x sen⎜ ⎟ ≤ lím x , que equivale a 0 ≤ lím x sen⎜ ⎟ ≤ 0 x →0 x →0 x →0 ⎝ x ⎠ x →0 ⎝ x⎠ ⎛1⎞ y llegamos a lo que queríamos, es decir: lím x sen⎜ ⎟ = 0 . x →0 ⎝ x⎠
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Cap. 1 Límites de Funciones
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Ejemplo 3 Hallar lím
x→0
Senx x
SOLUCIÓN: Para emplear el teorema del emparedado, acotemos la función f ( x) =
Senx x
R1 tg x
1 R2
sen x
x
R3
cos x
Fig. 1.9
1
Del gráfico tenemos que: AreaR1 =
(tg x )(1) 2
Observe que AR1 ≥ AR2 ≥ AR3 , entonces
, AR2 =
(1) 2 (x ) (cos x )(sen x) , AR3 = 2 2
(tg x )(1) ≥ (1)2 (x ) ≥ cos x sen x 2
2
2
PRIMERO: Si x → 0+ . Multiplicando por 2 y dividiendo para sen x resulta: 2(tg x )(1) 2( x ) 2 cos x sen x ≥ ≥ 2 sen x 2 sen x 2 sen x 1 x ≥ ≥ cos x cos x sen x sen x 1 que es lo mismo que cos x ≤ ≤ x cos x sen x 1 tomando límite lím cos x ≤ lím ≤ lím x →0 + x →0 + x x →0 + cos x sen x sen x entonces lím 1 ≤ lím ≤1 =1 x →0 + x x →0 + x SEGUNDO: En cambio, si x → 0 − . Multiplicando por 2 y dividiendo para sen x resulta: 1 x ≤ ≤ cos x (Se invierte el sentido de la desigualdad porque sen x < 0 cos x sen x sen x 1 ≤ que es lo mismo que: cos x ≤ cos x x sen x 1 tomando límite: lím cos x ≤ lím ≤ lím x →0 − x →0 − x x →0 − cos x sen x sen x entonces 1 ≤ lím ≤1 lím =1 x →0 − x x →0 − x Finalmente lím x →0
sen x =1 x
Observe la gráfica:
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Cap. 1 Límites de Funciones
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Fig. 1.10
y=
sen x x
Note que en su gráfica se observa la conclusión anterior.
Ejercicios Propuestos 1.3 1.
Realice las demostraciones de los incisos 5, 6 y 7 del Teorema principal de límite.
2.
Use el teorema del emparedado para demostrar que:
lím x 4 Sen 2
a.
x→ 0
⎡ lím ⎢(x − 1)2 sen
b.
3.
1 =0 x 1 ⎤ ⎥=0 x −1 ⎦
x →1+ ⎣
Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA O FALSA, en caso de ser verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa dé un contraejemplo. a.
lím ( f ( x ) ) = L ⇒
lím ( f ( x ) − L ) = 0
x → x0
x → x0
b.
Si lím ( f ( x) − g ( x) ) existe, entonces también existen lím f ( x ) y lím g ( x)
c.
Si g (x ) + 5 ≤ 3(4 − x ) , entonces lím g (x ) = −5
d.
Si f ( x0 ) no está definida, entonces el lím f ( x ) no existe
e.
Si f ( x0 ) existe, entonces lím f ( x) existe
f.
Suponga que g es una función tal que lím g ( x) = 0 . Si f es una función cualquiera,
x → x0
x → x0
x → x0
2
x→4
x → x0
x → x0
entonces lím ( fg )( x ) = 0
x→0
x →0
g.
Si f ( x) ≠ g ( x) para toda x , entonces el lím f ( x) ≠ lím g ( x) x → x0
x → x0
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Cap. 1 Límites de Funciones
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1.4 CALCULO DE LÍMITES En el cálculo de límites, la aplicación del teorema de sustitución puede bastar. Ejemplo 1 Calcular lím+ ( x − a x b) x →1
SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución:
lím ( x − a x b) = 1 − ced1+ fhg = 1 − 1 = 0 (El entero mayor de números ligeramente mayores que 1 es igual a 1)
x →1+
Ejemplo 2 Calcular lím− ( x − a x b) x →1
SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución
lím ( x − a x b) = 1 − ced1− fhg = 1 − 0 = 1 (El entero mayor de números ligeramente menores que 1 es igual a 0)
x →1−
Ejemplo 3 Calcular lím− (a 2 x − 1b + Sgn ( x − 1) ) x →1
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema principal de límites y el teorema de sustitución:
lím (a 2 x − 1b + Sng ( x − 1) ) = lím− (a 2 x − 1b) + lím− ( Sng ( x − 1) )
x →1−
x →1
x →1
= ced 2(1− ) − 1fhg + sng (1− − 1) = ced1− fhg + sng ( 0− ) = 0 −1 = −1
Ejercicios Propuestos 1.4 Calcular: 1. 2. 3. 4.
32
lím 2 x − 6 − 4
x →4 +
lím
x →3+
7.
x − 4 −1 3− x
8.
lím+ ( x − 2Sgnx )
x →0
lím
x → 3+
a xb − 3 3− x
lím+
x →0
μ ( x)
lím asen x b x→
9.
a tan x b + Sgn ( x 2 )
π
2
lím + ced cos ( x + π2 )fhg
x →−
π
2
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
5.
lím
x −1 x a b+1
lím+
c x 2 f − a x b2 ed hg x2 −1
x → 0+
6.
x →1
10.
lím ⎡⎣ μ ( x + 5 ) + μ ( x − 1) − μ ( x − 3) ⎤⎦
x → 5+
En otros casos, al calcular límites, una vez aplicado el teorema de sustitución, se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la forma: 0 0 ∞ ∞ ∞−∞ 0•∞ 1∞ 00 ∞0
Los resultados de la forma mencionada son llamados indeterminaciones debido a que corresponden a cualquier valor. Por ejemplo, tomemos suponga que sea igual a una constante sería verdadera para todo
c , es decir
0 =c 0
entonces
0 , 0
0 = 0c
c . Analice el resto de indeterminaciones.
Ejemplo 1 Calcular lím x →1
x2 + 5x − 6 x −1
SOLUCIÓN: Empleando el teorema de sustitución tenemos
lím x →1
2 x 2 + 5 x − 6 1 + 5 (1) − 6 0 = = x −1 1 −1 0
una
indeterminación, para destruirla vamos a simplificar la expresión, es decir factorizando:
( x + 6 )( x − 1) x2 + 5x − 6 = lím = lím ( x + 6 ) x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 Y finalmente aplicando el teorema de sustitución: lím ( x + 6 ) = 1 + 6 = 7 lím
x →1
33
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2 x 2 − 7 x + 10 x→2 x−2 SOLUCIÓN:
Calcular lím
2 2 − 7(2 ) + 10 0 = (Indeterminación) 2−2 0
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión:
lím x→2
( x − 2 )( x − 5) x 2 − 7 x + 10 = lím = lím( x − 5) 2 x → x→2 x−2 ( x − 2)
Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:
lím( x − 5) = 2 − 5 = −3 x→2
Ejemplo 3 Calcular lím
x + 5 x − 14 x −2
x→4
SOLUCIÓN: 4 + 5 4 − 14
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
4 −2
=
0 (Indeterminación) 0
Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión:
lím
x + 5 x − 14
x→4
x −2
= lím
(
x +7
)(
x −2
x −2
x →4
) = lím x →2
(
x +7
)
Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:
lím x→4
(
)
x +7 = 4 +7 = 9
SEGUNDO METODO: Podemos hacer un Cambio de Variable: x = u 2 . Este caso u = x , y cuando x → 4 , u → 2 Por tanto el límite en la nueva variable sería:
u 2 + 5u − 14 u →2 u−2
lím
Simplificando la expresión y aplicando en teorema de sustitución:
( u + 7 )( u − 2 ) u 2 + 5u − 14 = lím = lím ( u + 7 ) = 9 u →2 u→2 u→2 u−2 u−2
lím
Ejemplo 4 Calcular lím x →1
x −1 x −1
SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: Racionalizando el numerador y simplificando:
34
1 −1 0 = (Indeterminación) 1−1 0
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
⎡ x −1 x + 1⎤ x −1 lím ⎢ • = lím ⎥ = lím x →1 x → 1 x + 1⎦ ( x − 1) x + 1 x →1 ⎣ x −1
(
)
(
1
)
x +1
=
1 2
Ejemplo 5 x −1
Calcular lím
x −1
x →1 3
SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
1 −1 1 −1
3
=
0 (Indeterminación) 0
Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar uno de los siguientes métodos:
PRIMER METODO:
Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos:
⎡ x −1 x +1 • • lím ⎢⎢ 3 x →1 x −1 x +1 ⎢⎣
( x − 1) lím
((
3
x
)
( x − 1) (
x →1
2
( x) ( x) 3
3
+ 3 x + 1⎤ ⎥ 2 ⎥ 3 + x + 1⎥ ⎦ 2
) = (( 1) +
+ 3 x +1
)
x +1
2
3
(
3
)=3
1 +1
)
1 +1
2
SEGUNDO METODO: 6 Cambio de Variable: x = u . Entonces Si x → 1 ⇒ u → 1
u6 −1
Reemplazando tenemos: lím
u →1 3
u6 −1
u3 −1 u →1 u 2 − 1
= lím
( u − 1) ( u 2 + u + 1) ( u 2 + u + 1) = (12 + 1 + 1) = 3 = lím u →1 u →1 2 ( u − 1)( u + 1) ( u + 1) (1 + 1)
Y factorizando: lím
Ejemplo 6 Calcular lím−
a3 x − 2 b
2− x
x −4 2
x→2
SOLUCIÓN:
(
) ⎛⎝
Aplicando el teorema principal de límite consideramos lím− a3 x − 2b ⎜ lím−
(
x→2
)
x→2
2− x ⎞ ⎟ x2 − 4 ⎠
Entonces, para el primer límite tenemos: lím− a3 x − 2b = 3 ¿Por qué? x→2
Y para el segundo límite, resulta:
2−x 2−x − (x − 2) = lím = lím = lím = x 2 − 4 x→2− x 2 − 4 x→2− (x − 2)(x + 2) x→2− (x − 2)(x + 2) −1 1 =− lím− x →2 ( x + 2 ) 4 lím−
2− x
x →2
Por lo tanto lím− x→2
a3 x − 2 b x −4 2
2− x
3 ⎛ 1⎞ = (3) ⎜ − ⎟ = − 4 ⎝ 4⎠
35
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 1.5 Calcular: 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
3
x2 − 9 x →3 x − 3 2− x lím x→2 x 2 − 4
1.
10.
lím
2.
lím
4. 5. 6. 7. 8.
x −2 lím x→4 x − 4
9.
lim x→2
x −2 x −8 3
x3 − 8 x→2 x − 2 x 2 − 9 x + 20 lim 2 x → 4 x − 3x − 4 3x 2 − x − 10 lim 2 x → 2 x + 5 x − 14 x3 + x 2 − 5 x + 3 lim 3 x →1 x + 2 x 2 − 7 x + 4 2 x 3 + x 2 − x + 10 lim x →−2 x 3 + 2 x 2 − 2 x − 4
3.
lím
x →8
11.
lím
12.
lím
13.
14.
15. 16.
x −1
x +x−2 2
x →1
x 2 − (1 + a )x + a x →1 x −1 ⎛ 3 x2 − 2 3 x +1⎞ ⎟ lim⎜ 2 ⎟ x →1⎜ ( ) − x 1 ⎝ ⎠ ⎛ 3 2 ⎞ ⎟ lím⎜⎜ − x →1⎝ 1 − x 1 − 3 x ⎟⎠ 7+3 x −3 x −8
lím
x →8
lím
a3 x − 2 b
2− x
x2 − 4
x → 2+
x −1 −1 x−2
sen x = 1 que en forma x →0 x
Otros límites se calculan empleando la expresión lím
sen u = 1; donde u = u ( x) u →0 u
generalizada sería: lím
Ejemplo 1 Calcular lím
sen ( kx )
x →0
x
SOLUCIÓN:
sen ( k ( 0 ) )
0 = (Indeterminación) 0 0 Para encontrar el valor de esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por k , y luego aplicamos el teorema principal de límites: sen ( kx ) sen kx = k lím = k (1) = k lím k x→0 x → 0 kx kx
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
1
Se podría decir que
36
lím u →0
sen ( k u ) u
=k;
k ∈\
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2 sen 3x sen 5 x SOLUCIÓN: Calcular lím x →0
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
sen ( 3 ( 0 ) )
sen ( 5 ( 0 ) )
=
0 (Indeterminación) 0
Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación dividimos el numerador y el denominador entre x , y luego aplicamos el teorema principal de límites y la formula anterior: 3
sen 3 x sen 3 x lím sen 3 x x→0 x =3 lím = lím x = x → 0 sen 5 x x → 0 sen 5 x sen 5 x 5 lím x→0 x x
5
Ejemplo 3 1 − cos x x2 SOLUCIÓN:
Calcular lím x →0
1 P 1 − cos0 0 Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: = (Indeterminación) 02 0 Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente: 2 x
sen 1 − cos 2 x ⎡1 − cos x 1 + cos x ⎤ lím ⎢ lím • = 2 x→0 1 + cos x ⎥⎦ x → 0 x 2 (1 + cos x ) ⎣ x
⎛ sen 2 x sen 2 x ⎞ ⎛ 1 ⎞ = ⎜ lím 2 ⎟ ⎜ lím ⎟ x → 0 x (1 + cos x ) x →0 x → 0 1 + cos x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= lím
2
2
sen x ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ = ⎜ lím ⎟ ⎜ ⎟= ⎝ x→0 x ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2
Ejemplo 4 Calcular lím
1 − cos ( kx )
x →0
x2
SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 1 − cos ( k 0 ) 1 − cos ( 0 ) 1 − 1 0 = = = (Indeterminación) 02 0 0 0 Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente: ( )
1 − cos 2 ( kx ) sen 2 kx
⎡1 − cos ( kx ) 1 + cos ( kx ) ⎤ lím ⎢ • ⎥ = lím x→0 1 + cos ( kx ) ⎦⎥ x → 0 x 2 (1 + cos ( kx ) ) x2 ⎣⎢ = lím x →0
sen 2 ( kx )
⎞ ⎛ sen 2 ( kx ) ⎞ ⎛ 1 = ⎜⎜ lím ⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ lím 2 x → x → 0 0 1 + cos ( kx ) ⎠ x (1 + cos ( kx )) ⎝ x ⎠⎝ 2
sen ( kx ) ⎞ ⎛ 1 ⎞ k 2 ⎛ = ⎜ lím ⎟ ⎜ ⎟= x→0 x ⎝2⎠ 2 ⎝
⎠ 2
k
37
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1 − cos ( k u ) k 2 = u →0 2 u2
Se puede decir que lím Ejemplo 5
1 − cos x x SOLUCIÓN:
Calcular lím x →0
1 − cos 0 0 = (Indeterminación) 0 0 Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades: 1 − cos 2 x ⎡1 − cos x 1 + cos x ⎤ lím ⎢ • = lím ⎥ x→0 x 1 + cos x ⎦ x → 0 x (1 + cos x ) ⎣
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
sen 2 x sen x sen x lím = lím x → 0 x (1 + cos x ) x →0 x x → 0 1 + cos x 0 ⎞ ⎛ ⎞⎛ P sen x ⎟ ⎜ sen 0 ⎟ 0 ⎜ = ⎜ lím ⎟= =0 x →0 x ⎟⎟⎜⎜ 1 + cos N0 ⎟ 2 ⎜ 1 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠
= lím
1 − cos ( k u ) =0 u →0 u
Se puede decir que lím Ejemplo 6 Calcular lím x→a
sen x − sen a x−a
SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
sen a − sen a 0 = (Indeterminación) a−a 0
PRIMER MÉTODO:
Cambiando variable u = x − a . Entonces si x → a , u → 0 y además x = u + a Reemplazando y simplificando tenemos:
( )
sen u + a
lím u →0
sen ( u + a ) − sen a u
( sen u cos a + cos u sen a ) − sen a = lím u →0
u
sen u cos a + cos u sen a − sen a = lím u →0 u sen u cos a + ( cos u − 1) sen a = lím u →0 u ( cos u − 1) sen a sen u cos a = lím + lím u →0 u → 0 u u ⎡ ( cos u − 1) ⎤ sen u ⎤ ⎡ = cos a ⎢lím + sen a ⎢lím ⎥ u →0 u →0 u ⎥⎦ u ⎣ ⎣ ⎦ 1
= cos a (1) + sena (0) = cos a
SEGUNDO MÉTODO:
38
0
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
⎛ x+a⎞ ⎛ x−a⎞ ⎟ sen ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ x+a⎞ ⎛ x−a⎞ 2cos ⎜ ⎟ sen ⎜ ⎟ sen x − sen a 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ lím = lím x→a x→a x−a x−a Al denominador lo dividimos y multiplicamos por 2, y luego separamos los límites aplicando el teorema principal de límites (el límite del producto es el producto de los límites) ⎛x+a⎞ ⎛ x−a⎞ ⎛ x+a⎞ ⎛ x−a⎞ 2cos ⎜ 2cos ⎜ sen ⎜ ⎟ sen ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 2 ⎠ = cos a lím lím = lím x→a x → a x → a x−a x−a 2 2 2 2
Empleando la identidad: sen x − sen a = 2cos ⎜
1
Ejemplo 7 Calcular lím
1 + sen ( 32π x )
( x − 1)
x →1
2
SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
1 + sen ( 32π )
(1 − 1)
2
=
1−1 0 = (Indeterminación) 0 0
Haciendo cambio de variable: u = x − 1 entonces x = u + 1 y si x → 1 entonces u → 0 Reemplazando y simplificando:
lím x →1
1 + sen ( 32π x )
( x − 1)
2
= lím
1 + sen ( 32π ( u + 1) ) u2
u →0
= lím
1 + sen ( 32π u + 32π ) u2
u →0
= lím
1 + sen ( 32π u ) cos ( 32π ) + cos ( 32π u ) sen ( 32π )
u →0
= lím
1 + sen (
3π 2
u2 u ) ( 0 ) + cos ( 32π u ) ( −1)
u →0
= lím u →0
1 − cos ( 32π u )
u2
u2
El último límite se lo puede calcular directamente con la formula lím
1 − cos ( k u )
u →0
u
2
=
k2 2
k ⎛P ⎞ 1 − cos ⎜ 32π u ⎟ ⎜ ⎟ ( 3π )2 9π 2 9π 2 ⎝ ⎠= 2 = 4 = lím u →0 u2 2 2 8
El resultado se lo puede comprobar, realizando todo el procedimiento lógico. Multiplicando por el conjugado y simplificando: ⎡1 − cos ( 32π u ) ⎤⎦ ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ 1 − cos 2 ( 32π u ) = lím ⎣ lím 2 2 u →0 u → 0 u ⎡1 + cos 3π u ⎤ u ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ ( 2 )⎦ ⎣ = lím u →0
sen 2 ( 32π u )
u 2 ⎣⎡1 + cos ( 32π u ) ⎦⎤
⎡ sen ( 32π u ) ⎤ 1 = lím ⎢ ⎥ lím u →0 u → 0 ⎡1 + cos 3π u ⎤ u ( 2 )⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣ 2
39
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Multiplicando y dividiendo por
3π y obteniendo límite: 2
⎡ 3π sen ( 3π u ) ⎤ 1 lím ⎢ 2 3π 2 ⎥ lím u →0 u ⎢⎣ ⎥⎦ u → 0 ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ 2 2
⎡ sen ( 3π u ) ⎤ 2 1 = ( 32π ) lím ⎢ 3π 2 ⎥ lím u →0 u ⎦⎥ u → 0 ⎡ ⎤ 2 ⎣⎢ ⎢1 + cos ( 32π u ) ⎥
⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦ 2
⎛ 3π ⎞ ⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠ 9π 2 = 8 2
Ejemplo 8 Calcular lím− x →0
x 1 − cos x
SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
0− 1 − cos 0
=
0− (Indeterminación) 0
Multiplicando por el conjugado del radical, simplificando y luego calculando: x 1 + cos x x 1 + cos x lím = lím x → 0− 1 − cos x 1 + cos x x → 0− 1 − cos 2 x = lím−
x 1 + cos x
x →0
= lím−
sen 2 x 1 + cos x
x →0
sen 2 x x 1 + cos x = lím− x →0 sen x x 1 + cos x = lím− sen x x →0 − x 1 + cos 0 N 1 = sen x − x N 1
=− 2
40
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios propuestos 1.6 Calcular: 1. 2. 3.
4. 5.
6.
lím
x → 0+
sen 2 x + tan 3 x x
7.
x sen x lím x→0 2 − 2 cos x 1 + sen 3x lím x → π2 x − π 2 2
3
+
(
8.
)
lím (1 − x ) tan π2 x
9.
tan (π x )
10.
x →1
lím
x →−2
π⎞ ⎛ sen ⎜ x − ⎟ 3⎠ ⎝ lím π 1 − 2cos x x→
x+2
⎛π ⎞ cot ⎜ − x ⎟ 2 ⎝ ⎠ lím x→0 tan ( 2 x )
arcsen x x arctan 2 x lím x → 0 sen 3 x
lím x→0
⎛π ⎞ cos ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠ lím x →1 1 − x
Otro tipo de límite interesante, cuyo resultado nos va ha resultar útil en el 1 cálculo de otros límites, es el de f ( x) = (1 + x ) x cuando x tiende a “ 0 ”. Hagamos una tabla de valores: x
y = (1 + x ) x
− 0.10
2.86797
− 0.05
2.7895
− 0.01
2.7319
7 0.01
7 2.7048
0.05
2.65329
0.10
2.5937
1
Se observa que: lím (1 + x ) x = e ¡HAY QUE DEMOSTRARLO! x →0 1
Fig. 1.11
e
y = (1 + x )
1
x
41
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Más generalmente tenemos que lím (1 + u )
1
= e donde u = u ( x) .
u
u →0
Ejemplo 1 Calcular lím (1 + sen x )
1
x
x →0
SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos
(1 + sen 0) 10
= 1∞ (Indeterminación)
Para calcular el valor de esta indeterminación utilizamos lím (1 + u )
1
u
u →0
=e.
Si consideramos u = sen x , notamos que necesitamos en el exponente el recíproco de esta expresión, por tanto al exponente lo multiplicamos y dividimos por sen x :
(
lím 1 + sen x x →0
)
sen x ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ sen x ⎝ x ⎠
⎛ ⎞ 1 = lím ⎜ (1 + sen x ) sen x ⎟ x → 0 ⎜
⎟ e ⎝ ⎠
1
sen x x
= e1 = e
Ejemplo 2 Calcular lím ( cos x )
1
x
x →0
SOLUCIÓN: Note que la expresión dada es una indeterminación de la forma Para utilizar lím (1 + u ) u →0
1
u
1∞ .
= e primero sumemos y restemos 1 a la base, es decir vamos a tener: lím (1 + (cos x − 1)) x →0
1
x
luego consideramos u = cos x − 1 y multiplicamos y dividimos al exponente por esta expresión:
⎡ ⎤ ⎥ lím ⎢(1 + ( cos x − 1) ) x → 0 ⎢
⎥ e ⎣ ⎦ cos x−1 x
cos x−1 x
0
lím
= e x →0
cos x −1 x
Por tanto:
lím ( cos x ) x →0
1
x
= e0 = 1 .
Ejemplo 3 ⎛ 2 ⎞ Calcular lím ⎜ ⎟ x →1 x + 1 ⎝ ⎠ SOLUCIÓN:
x 2 + x +1 x2 − x
⎛ 2 ⎞ Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ⎜ ⎟ ⎝ 1+1⎠ Sumamos y restamos 1 a la base:
42
12 +1+1 12 −1
3
∞ ⎛ 2 ⎞0 = ⎜ ⎟ = (1) (Indeterminación) ⎝2⎠
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
⎛ 2 ⎞ lím ⎜ ⎟ x →1 x + 1 ⎝ ⎠
x 2 + x +1 x2 − x
⎛ ⎛ 2 ⎞⎞ = lím ⎜1 + ⎜ − 1⎟ ⎟ x →1 ⎝ ⎝ x +1 ⎠⎠
x 2 + x +1 x2 − x
⎛ ⎛ 2 − ( x + 1) ⎞ ⎞ = lím ⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟⎟ x →1 ⎜ ⎝ ⎝ x +1 ⎠⎠ ⎛ ⎛1− x ⎞⎞ = lím ⎜1 + ⎜ ⎟⎟ x →1 ⎝ ⎝ x +1⎠⎠
x 2 + x +1 x2 − x
x 2 + x +1 x2 − x
⎛ 1− x ⎞ ⎟: ⎝ x +1⎠
Multiplicamos y dividimos el exponente por ⎜
2 ⎛ 1− x ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 2 x − x ⎟⎠
1 ⎡ ⎤ ⎝ x +1 ⎠⎜⎝ ⎞ 1− x ⎥ ⎢⎛ ⎜ ⎛ 1 − x ⎞ ⎟ x u+ 1 ⎥ lím ⎢⎜ 1 + ⎜ ⎟⎟ ⎥ x →1 ⎢ ⎝ x +1⎠ ⎢⎜ ⎟ ⎥ u ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦
=e
=e
2 ⎛ 1− x ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞ lím ⎜ ⎟ ⎟⎜ x→1⎝ x +1 ⎠ ⎜ x 2 − x ⎟ ⎝ ⎠
⎛ − ( x −1) ⎞ ⎛ x 2 + x +1 ⎞ lím ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟ x →1 ⎝ x +1 ⎠⎝ x ( x −1) ⎠
=e =e
2 ⎛ −1 ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞ lím ⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ x→1⎝ x +1 ⎠ ⎜ x ⎝ ⎠ 2 ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1 +1+1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎝ 1+1 ⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠
=e
−
3 2
Ejemplo 4 3x ⎞ ⎛ Calcular lím ⎜ 4 − ⎟ x →k k ⎠ ⎝ SOLUCIÓN:
⎛π x ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x →k k ⎠ ⎝
⎛π x⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠
3k ⎞ ⎛ = ⎜4− ⎟ k ⎠ ⎝
⎛πk ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠
= ( 4 − 3)
⎛π ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝2⎠
= 1∞ (Indeterminación)
Cambiemos el 4 por 1+3 y multipliquemos y dividimos el exponente por el término que necesitamos:
3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝
⎛πx⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠
3x ⎞ ⎛ = lím ⎜1 + 3 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝
⎛π x ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠
⎛ 3x ⎞ ⎛ π x ⎞ ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟ k ⎠ ⎝ 2k ⎠
⎡ 1 ⎤⎝ ⎢⎛ ⎛ 3x ⎞ ⎞ 3− 3 x ⎥ = lím ⎢⎜1 + ⎜ 3 − ⎟ ⎟ k ⎥ x→k k ⎠⎠ ⎝ ⎢⎝
⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ e π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 3− 3 x ⎟ tan ⎜ x ⎟ k ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 2 k ⎟⎠
lím ⎜⎜⎝
= e x→k
Dediquémonos al exponente. Hagamos el cambio de variable u = x − k x → k entonces u → 0 .
de donde
x = u + k y si
43
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
⎛ 3 (u + k ) ⎞ ⎛ π (u + k ) ⎞ 3x ⎞ ⎛ ⎛πx⎞ lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟ tan ⎜ ⎟ ⎟ = lím ⎜ 3 − x →k k ⎠ k ⎝ ⎝ 2 k ⎠ u →0 ⎝ ⎠ ⎝ 2k ⎠ 3u + 3k ⎞ ⎛ ⎛ πu +π k ⎞ = lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟ u →0 k ⎠ ⎝ ⎝ 2k ⎠ π⎞ ⎛ 3k − 3u − 3k ⎞ ⎛π = lím ⎜ ⎟ tan ⎜ u + ⎟ u →0 2⎠ k ⎝ ⎠ ⎝ 2k
π⎞ ⎛π sen ⎜ u + ⎟ 2k 2⎠ ⎛ −3u ⎞ ⎝ = lím ⎜ ⎟ u →0 ⎝ k ⎠ cos ⎛ π u + π ⎞ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2k 0 1 P P π π ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sen ⎜ u ⎟ cos + cos ⎜ u ⎟ sen 3 2k ⎠ 2 2k ⎠ 2 ⎝ ⎝ = − lím ( u ) π π k u →0 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ cos ⎜ u ⎟ cos − sen ⎜ u ⎟ sen 2 2 ⎝ 2k ⎠ N ⎝ 2k ⎠ N 0
⎛π ⎞ cos ⎜ u ⎟ 3 ⎝ 2k ⎠ = − lím ( u ) k u →0 ⎛π ⎞ − sen ⎜ u ⎟ ⎝ 2k ⎠ 1
⎛ π P0 ⎞ ⎛ cos ⎜ u ⎟ ⎜ 2k ⎟ 3 3⎜ 1 ⎝ ⎠ = lím ( u ) = ⎜ k u→0 ⎛ ⎛ π ⎞⎞ k ⎜ π sen ⎜ u ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2k π ⎜⎜ ⎝ 2k ⎠ ⎟ u π 2k ⎜ ⎟ u ⎟ ⎜ 2k ⎝
⎠
1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
1
3x ⎞ ⎛ ⎛πx⎞ 6 lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟= x →k k ⎠ ⎝ ⎝ 2k ⎠ π
3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x →k k ⎠ ⎝
Finalmente:
⎛π x⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠
6
= eπ
Ejemplo 5 a kx − 1 x →0 x SOLUCIÓN:
Calcular lím
Sustituyendo tenemos
a k (0) − 1 0 = . 0 0
Considerando u = a kx − 1 , entonces x =
1 k ln a
ln(u + 1) y si x → 0 también u → 0
Haciendo cambio de variable, tenemos:
lím u →0
1 k ln a
⎛ ⎞ u u u = lím k ln a = k ln a ⎜⎜ lím ⎟ u → 0 ln ( u + 1) ⎟ ln ( u + 1) u → 0 ln ( u + 1) ⎝ ⎠
Multiplicando, numerador y denominador por
1 , resulta: u
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ( )u ⎞ 1 1 1 ⎜ ⎟ k ln a ⎜ lím 1 = k ln a ⎜ lím = k ln a = k ln a = k ln a 1 ⎟ ⎜ u → 0 ln ( u + 1) ⎟⎟ u →0 u ln e 1 ln ⎡( u + 1) ⎤ ⎟ u ⎝ ⎠ ⎜ ⎣ ⎦ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ e 1 u
44
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
ak u −1 = k ln a puede ser utilizado para calcular otros límites. u →0 u
El resultado lím
Ejemplo 4 32 x − 1 x →0 x SOLUCIÓN:
Calcular lím
Empleando el resultado anterior:
32 x − 1 = 2 ln 3 x →0 x
lím
Ejemplo 5 32 x − 54 x x →0 x SOLUCIÓN:
Calcular lím
Primero restamos y sumamos 1 al numerador y luego separamos para calcular los límites:
32 x − 54 x 32 x − 1 − 54 x + 1 = lím x →0 x →0 x x 32 x − 1 − ( 54 x − 1) = lím x →0 x 2x 3 −1 54 x − 1 = lím − lím x →0 x 0 → x x 32 x − 54 x = 2 ln 3 − 4ln 5 lím x →0 x lím
Ejercicios Propuestos 1.7 Calcular: 1.
lím (1 + tan x )
2.
lím (1 + cos x ) x→
8. lím csc x
π
9.
2
3.
lím ( cos x )
4.
lím ( sen x )
1
x2
x →0
x →π
tan x
10.
2
x2 + x + 2
5.
e3 x − 1 x →0 x
csc x
x →0
⎛ 4 ⎞ x2 − 2 x − 3 lím ⎜ ⎟ x →3 x + 1 ⎝ ⎠
11. 12.
x2 + 2 x + 6
6.
⎛ 3 ⎞ x2 − x − 2 lím ⎜ ⎟ x→2 x + 1 ⎝ ⎠
7.
lím ( 4 − 3x ) x →1
⎛π ⎞ tan ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠
e ax − e bx x →0 sen 3 x e 2 x − e3 x lím x →0 tan x lím
2 ax − 2 bx x →0 x a x + h + a x − h − 2a x lím ;a > 0 h→0 h lím
13.
lím ( x + e x )
14.
lím
x →0
x →0
1
x
ln ( cos ( ax ) ) ln ( cos ( bx ) )
Para otros tipos de límites habrá que extremarse con el uso de los recursos algebraicos.
45
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1 Demuestre que lím x →0
n
1+ k x −1 k = x n
SOLUCIÓN: Por producto notable se puede decir que:
⎡⎣(1 + kx ) − 1⎤⎦ =
(
n
=
(
n
)(
1 + kx − n 1 ⎡ n 1 + kx ⎢⎣
)(
)
n −1
)
+
(
n
1 + kx
(
) ( 1) + ( n−2
1
n
n
1 + kx
) ( 1) n −3
n
2
+"+
( 1) n
n −1
⎤ ⎥⎦
)
n −1 n−2 + n 1 + kx + " + 1⎤ 1 + kx − 1 ⎡ n 1 + kx ⎢ ⎣
⎦⎥ n términos
Entonces, multiplicando por el factor racionalizante, simplificando y calculando el límite: 1+ k x −1 = lím lím x →0 x→0 x n
= lím x→0
= lím x→0
= lím x→0
= =
(
n
(
n
) • ⎡⎢⎣( ⎡ ( ⎣⎢
1+ k x −1 x
n
) 1 + kx ) 1 + kx
(1 + k x − 1)
(
)
n −1
(
)
n −1
x ⎡ n 1 + kx ⎣⎢
n
+
(
+
(
n
1 + kx
n −1
n −1
( +( +
n
n
) 1 + kx ) 1 + kx
)
n−2
+ " + 1⎤ ⎦⎥
)
n−2
+ " + 1⎤ ⎦⎥
n−2
n−2
+ " + 1⎤ ⎥⎦ + " + 1⎤ ⎦⎥
kx x ⎡ n 1 + kx ⎣⎢
(
n
+
(
) (
n
1 + kx
1 + k (0)
)
n −1
n−1
+
n
1 + kx
k n
1 + kx
)
n− 2
k 1 + k ( 0)
)
+" +1
n−2
+"+1
k 1 +1+ "+
1 n veces
1+ k x −1 k lím = x →0 x n n
⎡ n 1 + k u − 1⎤ k ⎥ = puede u →0 u ⎣⎢ ⎦⎥ n
El resultado anterior puesto de forma general lím ⎢ ser utilizado para calcular rápidamente otros límites. Ejemplo 2 27 − x − 3 x SOLUCIÓN:
Calcular lím
3
x →0
Aunque este límite se lo puede calcular empleando el factor racionalizante para diferencia de cubos (no deje de hacerlo), vamos a emplear el resultado que obtuvimos en el ejercicio anterior. 27 − x − 3 lím = lím x →0 x →0 x
27 ( 27 − x ) x 3 −3 27 3 1 − −3 27 27 = lím x →0 x x
3
3
⎛ 1 ⎞ Pn 1 + − ⎜ ⎟ x −1 ⎛ 1 ⎞ 3 1 27 ⎠ ⎝
3 1+ ⎜− ⎟ x − 3 − ⎝ 27 ⎠ k 27 = lím = 3lím =3 x →0 x→0 3 x x 3 27 − x − 3 1 =− lím x →0 27 x 3
46
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 3 Calcular lím
5
x →30
x+2 −2 x − 30
SOLUCIÓN: Primero es necesario un cambio de variable, de modo que la nueva variable tienda a tomar el valor de cero, para poder utilizar la formula. Hagamos u = x − 30 de donde x = u + 30 y u → 0 . Reemplazando, simplificando y calculando el límite: 5
lím
x → 30
5 5 x+2 −2 u + 30 + 2 − 2 u + 32 − 2 = lím = lím 0 0 u → u → x − 30 u + 30 − 30 u
32 ( u + 32 ) u 32 3 −2 + −2 32 5 32 32 32 = lím = lím u →0 u →0 u u ⎛ ⎞ 1 1 2 ⎜⎜ 5 1 + u − 1⎟⎟ 2 5 1+ u − 2 32 32 ⎠ = lím = lím ⎝ u →0 u →0 u u 1 ⎛ 1 ⎞ 5 1+ u −1 ⎜ ⎟ 32 = 2 lím = 2 ⎜ 32 ⎟ u →0 5 u ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ 5
5
lím
x → 30
x+2 −2 1 = 80 x − 30
Ejemplo 4 ⎛ 4 1 + 2 x − 1 − 3x ⎞ Calcular lim ⎜⎜ ⎟⎟ 3 x →0 1− x −1 ⎝ ⎠
SOLUCIÓN: Restamos y sumamos 1 al numerador, dividimos para x y luego separaramos los límites: 4
lim x →0
4 1 + 2 x − 1 − 3x 1 + 2 x − 1 − 1 − 3x + 1 = lim 3 3 x → 0 1− x −1 1− x −1 4
= lim x →0
1 + 2x −1 − 3
(
)
1 − 3x − 1
1− x −1
1 + 2x −1 1 − 3x − 1 − x x = lim 3 x →0 1− x −1 x 4 1 + 2x −1 1 − 3x − 1 lim − lim x →0 x →0 x x = 3 1− x −1 lim x →0 x 2 ⎛ 3⎞ − − 4 1 + 2 x − 1 − 3 x ⎞ 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = = −6 ⎟ 3 ⎟ 1 1− x −1 ⎠ − 3 4
⎛ lim ⎜⎜ x →0 ⎝
47
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 5 ⎛ 4 14 + 2 x − 2 4 − 3x ⎞ Calcular lim ⎜⎜ ⎟⎟ 3 x →1 2 − x −1 ⎝ ⎠
SOLUCIÓN: Aquí u = x − 1 de donde x = u + 1 y u → 0 . Reemplazando, simplificando y calcular el límite: 4
lim x→1
4 14 + 2 ( u + 1) − 2 4 − 3 ( u + 1) 14 + 2 x − 2 4 − 3x = lim 3 u → 0 3 2 − ( u + 1) − 1 2 − x −1
= lim
4
14 + 2u + 2 − 2 4 − 3u − 3 3 2 − u −1 −1
4
16 + 2u − 2 1 − 3u 3 1− u −1
u →0
= lim u →0
16 (16 + 2u ) − 2 1 − 3u 16 = lim 3 u →0 1− u −1 4
u − 2 1 − 3u 8 3 1 − u −1
2 4 1+ = lim u →0
⎛ ⎞ u 2 ⎜⎜ 4 1 + − 1 − 3u ⎟⎟ 8 ⎠ = lim ⎝ 3 u →0 1− u −1 4
= 2 lim u →0
4
1+
= 2 lim u →0
u − 1 − 3u 8 3 1− u −1
1+
u − 1 − 1 − 3u + 1 8 3 1 − u −1
u −1 ⎛ 1 − 3u − 1 ⎞ 8 − ⎜⎜ ⎟⎟ u u ⎝ ⎠ = 2 lim 3 u →0 1− u −1 u u 4 1+ −1 ⎛ 1 − 3u − 1 ⎞ 8 lim − lim ⎜⎜ ⎟⎟ u →0 u →0 u u ⎝ ⎠ =2 3 1− u −1 lim u →0 u 1 1 3 8 − ⎛ −3 ⎞ + ⎜ ⎟ 4 14 + 2 x − 2 4 − 3x 4 ⎝ 2 ⎠ 32 2 = −6 ⎛ 49 ⎞ = − 147 lim 2 2 = = ⎜ ⎟ 3 x→1 1 1 − 16 2 − x −1 ⎝ 32 ⎠ − 3 3 4
1+
Ejercicios Propuestos 1.8 Calcular: 3
1. 2.
48
lím
x →6
x+2 − x−2 x+3 −3
⎛ 3 x + 26 − 4 80 + x ⎞ ⎟ lím⎜⎜ ⎟ x →1 x+8 −3 ⎝ ⎠
3.
⎛ x + 2 − 3 x + 20 ⎞ ⎟ lím⎜⎜ ⎟ 4 x →7 x+9 −2 ⎝ ⎠
4.
lím+
x→2
3x − 2 − 3 3x + 2 4 − x2
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1.5 LÍMITES AL INFINITO. En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una función cuando la x toma valores muy grandes, diremos cuando x tiende al infinito. Suponga que f se aproxima a tomar un valor L cuando la variable x toma valores muy grandes, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím f ( x ) = L x →∞
Ejemplo 1
Fig. 1.12
Formalmente sería:
Decir que lím f ( x) = L significa que x→∞
f
puede estar tan cerca de L, tanto como se pretenda estarlo ( ∀ε > 0 ), para lo cual deberá poderse determinar el intervalo en el cual tomar a x, ∃N (una número muy grande), que lo garantice. Es decir:
( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0 x →∞
tal que
x > N ⇒ f ( x) − L < ε
49
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2
Fig. 1.13
Suponga ahora que f se aproxima a tomar un valor L cuando la x toma valores muy grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím f ( x) = L . x →−∞
Ejemplo 1
Fig. 1.14
Formalmente sería:
Decir que lím f ( x) = L significa que f x→−∞
puede estar tan cerca de L , tanto como se pretenda estarlo, ∀ε > 0 , para lo cual deberá poderse determinar el intervalo en el cual tomar a x , ∃N (una número muy grande), que lo garantice. Es decir:
( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0 x →−∞
50
tal que
x < − N ⇒ f ( x) − L < ε
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2
Fig. 1.15
Observe que para los casos anteriores significa que la gráfica de f tiene una asíntota horizontal y = L . Aquí también podemos hacer demostraciones formales.
Ejemplo Demostrar formalmente que lím
x→∞
1 =0 x
SOLUCIÓN:
Empleando la definición tenemos:
1 ⎛ ⎞ ⎜ lím = 0 ⎟ ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0 tal que ⎝ x →∞ x ⎠ Transformando el antecedente:
x>N⇒
1 −0 N 1 1 < x N
Se observa que tomando N =
1
ε
aseguraríamos el acercamiento. Siempre y cuando ε sea un número
pequeño que origine un N muy grande. 1 1 esté a menos de ε = 0.01 de 0, bastaría con tomar a x > Por ejemplo si se quisiera que y = 0.01 x es decir x > 100 .
Para calcular límites al infinito, usualmente un recurso útil es dividir para x de mayor exponente si se trata de funciones racionales.
51
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1 2 x 2 + 3x − 1 x →∞ 5 x 2 + x − 1
Calcular lím
SOLUCIÓN: Aquí se presenta la indeterminación:
∞ ∞
Dividiendo numerador y denominador para x 2 , tenemos:
2 x 2 3x 1 3 1 2+ − 2 + 2− 2 2 x x x x x = 2 (No olvide que = lím lím 2 x →∞ 5 x x →∞ 1 1 x 1 5+ − 2 5 + 2− 2 2 x x x x x Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) =
2 x 2 + 3x − 1 5x2 + x − 1
k ≈ 0 ;k ∈ \ ∞
)
tiene una asíntota horizontal
y=
2 5
Ejemplo 2 Calcular lím
x →+∞
x −1 x + x +1 2
SOLUCIÓN: Aquí se presenta la indeterminación:
∞ ∞
Dividiendo numerador y denominador para x : lím
x →+∞
x −1 x 2 x + x +1 x
Al introducir la x dentro del radical quedará como x 2 :
lím
x →+∞
x 1 1 − 1− x x x = lím =1 x →+∞ 1 1 x2 x 1 + + 1 + + x x2 x2 x2 x2
Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) =
x −1 x2 + x + 1
tiene una asíntota horizontal
infinito positivo.
Ejemplo 3 Calcular lím
x →−∞
x −1 x + x +1 2
SOLUCIÓN: Ahora se presenta la indeterminación:
−∞ ∞
Aquí hay que dividir numerador y denominador para − x : lím
x →∞
52
x −1 −x x2 + x + 1 −x
y =1
en el
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Al introducir la − x dentro del radical quedará como x 2 :
x 1 1 − −1 + −x −x x = −1 = lím 2 x →−∞ 1 1 1 x x 1+ + 2 + 2+ 2 2 x x x x x
lím
x →−∞
x −1
Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) =
x2 + x + 1
tiene una asíntota horizontal y = −1 en el
infinito negativo.
Ejemplo 4 Calcular lim
x →+∞
(
x2 + x + 1 − x2 − x − 1
)
SOLUCIÓN: Ahora se presenta la indeterminación: ∞ − ∞ . Vamos primero a racionalizarla y luego dividimos para el x con mayor exponente:
lim
x →+∞
(
= lim
)
x2 + x + 1 − x2 − x − 1 ⋅
(x
+ x + 1) − ( x 2 − x − 1)
2
x2 + x + 1 + x2 − x − 1 x2 + x + 1 + x2 − x − 1 = lim
2 ( x + 1)
x + x +1 + x − x −1 x + x + 1 + x2 − x − 1 1 1+ ⎛1⎞ x = 2 lim = 2⎜ ⎟ = 1 x →+∞ 1 1 1 1 ⎝2⎠ 1+ + 2 + 1− − 2 x x x x x →+∞
2
2
x →+∞
2
En otros ejercicios de cálculo de límite al infinito se puede requerir emplear la
identidad: lím (1 + u →∞
)
1 u u
= e ¡DEMUÉSTRELA!
Ejemplo Calcular lím (1 + 2x ) . x
x→∞
Solución: Para utilizar la forma anterior, transformamos el límite:
( )
⎡ lím ⎢ 1 + x →∞ ⎣
Se puede concluir que: lím (1 + u →∞
)
k u u
1 x 2
x 2
2
⎤ 2 ⎥ =e ⎦
= ek
53
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios propuestos 1.9 1. Demostrar formalmente que lím
x → −∞
1 =0 x
2. Calcular: 1. 2.
5 x3 − 3x 2 + 4 x − 3 x →∞ x3 + 3x + 1 3x lím x →−∞ 2 x 2 − 5 x + 1
lím
(2 x + 3) (3x − 2) 3
3. 4.
5.
lím
x →∞
lím
13. 14.
15.
x+3 x
16.
x →∞
x
lím
x →∞
x+ x+ x
x2 + 1 lím x →∞ x +1 2 ( x − 3)( 3x + 5 )( 4 x − 6 ) lím x →∞ 3x3 + x − 1 x sen (x!) lím x→∞ x 2 + 1 3x − 3 lím x →∞ x2 + 1 3
6. 7. 8. 9.
10.
lím
x →−∞
11.
lím
12.
lím
x →∞
x →−∞
x →−∞
lím
x →−∞
2
x5 + 5 (2 x + 3)
5x x−2
3x3 + 2 x 2 − x + 1 x3 − 8
17. 18. 19. 20. 21.
2x2 −1 3x x−5
lím
lím
x2 + 2 3x + 1
x →−∞
lím
x2 −1 5 x3 − 1
x →−∞
2 + x6
lím x 2 + x − x x →∞
(
lím x x 2 − 1 − x
x → +∞
)
( x + x +1 − x − x ) lím ( x − x − x + 2 ) 2
lím
2
x →∞
2
x →+∞
lím
x →+∞
x
4
(
2
x+3− x+2
)
x
22.
⎛ x −1⎞ lím ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x + 1 ⎠
23.
⎛ x −1 ⎞ lím ⎜ ⎟ x →∞ x + 3 ⎝ ⎠
24.
⎡ ⎛ x + 2 ⎞⎤ lím ⎢ x ln ⎜ ⎟ x →∞ x − 5 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎣
x+2
x2 + 1 x
1.6 LÍMITES INFINITOS Suponga que cuando x toma valores próximos a un punto x0 , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes positivo; es decir
lím f ( x) = ∞ . Diremos, en este caso, que f crece sin límite o que f no x→ x 0
tiene límite en x0 .
54
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Sea M un número muy grande positivo. Entonces lím f ( x) = ∞ significa que cuando x→ x0
a x está próxima a " x0 “, a una distancia no mayor de ∂ ( 0 < x − x0 < ∂ ), f
será
mayor que M. Es decir: ⎛ ⎞ ⎜ lím f ( x) = ∞ ⎟ ≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ f ( x) > M ⎝ x → x0 ⎠
Ejemplo
Fig. 1.16
Puede ocurrir también que cuando la x toma valores próximos a un punto x0 , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes negativos; es decir lím f ( x) = −∞ . Diremos, en este caso, que f decrece sin x → x0
límite o que f no tiene límite en x0 . Es decir:
Sea M una cantidad muy grande positiva. Entonces: ⎞ ⎛ ⎜ lím f ( x) = −∞ ⎟ ≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) < − M x → x 0 ⎠ ⎝
55
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo
Fig. 1.17
Para otro caso, puede ocurrir que cuando la x toma valores próximos a un punto x 0 , sólo por su derecha, f toma valores muy grandes; es decir lím+ f ( x) = ∞ . Lo cual significa: x → x0
Sea M un número muy grande positivo. Entonces: lím f ( x) = ∞
x → x0 +
≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) > M
Ejemplo
Fig. 1.18
Observe que este comportamiento significa que la gráfica tiene una asíntota vertical x = x0 .
56
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1 Calcular lim x →1
1
( x − 1)
2
SOLUCIÓN:
Empleando el teorema de sustitución: 1 1 1 lim = = = +∞ (No existe) 2 2 x →1 ( x − 1) (1 − 1) 0 La gráfica de f ( x ) =
1
( x − 1)
2
tiene una asíntota vertical x = 1 y tanto por izquierda como por derecha la grafica
crece sin límite.
Ejemplo 2 Calcular lim+ x→2
x+3 x−2
SOLUCIÓN: Empleando el teorema de sustitución:
lim+
x→2
x + 3 2 + + 3 5+ = = = +∞ (No existe) x − 2 2 + − 2 0+
x+3 La gráfica de f ( x ) = tiene una asíntota vertical x = 2 y por su derecha la grafica crece sin límite. x−2 PREGUNTA: ¿Qué ocurre a la izquierda?.
Se pueden describir otros comportamientos.
1.7 OTROS LÍMITES. Para decir lím f ( x) = ∞ , f x →∞
toma valores muy grandes positivos cada vez
que la x toma valores también grandes positivos; debemos asegurar que: ∀M > 0, ∃N > 0 tal que
x > N ⇒ f ( x) > M
Ejemplo
Fig. 1.19
57
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1.7.1 Asíntotas Oblicuas. Si se observa que lím ⎡⎣ f ( x) − ( mx + b ) ⎤⎦ = 0 se dice que la gráfica de f tiene x →∞ por asíntota oblicua la recta y = mx + b . En tal caso los siguientes límites existen: ⎡ f ( x) ⎤ m = lim ⎢ ⎥ x →∞ ⎣ x ⎦
b = lim ⎡⎣ f ( x ) − mx ⎤⎦ ¿PORQUÉ?
y
x →∞
Y sería la manera de calcular los elementos de la recta. y
+ mx y=
b y = f ( x)
Fig. 1.20
x
Ejercicios Propuestos 1.10 1.
Defina formalmente y describa gráficamente: a) lím f ( x) = −∞ x → x0 +
b) c) d) e) f) 2.
lím f ( x) = −∞
x → x0 −
lím f ( x) = −∞
x →∞
lím f ( x) = ∞
x → −∞
lím f ( x) = −∞
x → −∞
Demuestre formalmente que: a) b)
58
lím f ( x) = ∞
x → x0 −
1 = +∞ x 1 lím = −∞ x →0 − x
lím
x →0 +
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
3.
Calcular:
⎡
1 ⎤
1. lim+ ⎢1 + x →1 ⎣ x − 1 ⎥⎦
x6 x +1 6 − 4 x 2 + x3 7. lim x →∞ 4 + 5 x − 7 x 2 6. lim
⎡ x ⎤
2. lim− ⎢ x →1 ⎣ x − 1 ⎥ ⎦ 3. lim− x →3
x+3 x2 − 9 x2 + 1
4. lim− x →−7
5. lim+ x→4
4.
5.
x →∞
9. lim
1 − 2x
10. lim
1 + x5 x
x →−∞
x 2 − 49 x 2 − 16 4− x
x →∞
) [
(
] (
)
•
f ( x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −1
•
∀N > 0, ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < −2 − x < ∂ ⇒ f ( x) > N ]
•
∀N > 0, ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) > N ]
•
∀ε > 0, ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε ⎤⎦
•
∀ε > 0, ∃M > 0 , ∀x ⎡⎣ x < − M ⇒ f ( x) − 1 < ε ⎤⎦
•
f (0) = 1
Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes: • ∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 1 < ε
[
]
∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣ 0 < − x < ∂ ⇒ f ( x) + 1 < ε ⎤⎦ ∀ε > 0 ∃N > 0, ∀x x > N ⇒ f ( x) < ε
•
[ ] ∀M > 0 ∃∂ > 0, ∀x[0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M ]
•
f (0) = 0
•
Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes: •
∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 2 < ε ⎤⎦ ∀N > 0 ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > N ]
•
∀N > 0 ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < − x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) < − N ]
•
∀ε > 0 ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x > M ⇒ f ( x) − ( 2 x + 1) < ε ⎤⎦
•
∀ε > 0 ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x < − M ⇒ f ( x) < ε ⎤⎦
•
7.
8. lim 2 x
Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • Dom f = −∞,−2 ∪ −1,1 ∪ 2,+∞
•
6.
5
x →−∞
Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes: •
∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε ⎤⎦ ∀N > 0 ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − N ]
•
∀N > 0 ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) > N ]
•
∀ε > 0 ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x < − M ⇒ f ( x) + x − 1 < ε ⎤⎦
•
∀ε > 0 ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x > M ⇒ f ( x ) + 1 < ε ⎤⎦
•
59
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Misceláneos 1.
Califique cada una de las proposiciones siguientes como verdadera o falsa. Justifique formalmente. 1.
Si
2.
Si
f ( x) − 5 = 3 , entonces lím f ( x) = 0 x→2 x−2 f y g son funciones tales que lím f ( x) = 1
lím x→2+
+
lím f ( x)
x →0 +
3.
Sea
x →0+
entonces
=1
una función de variable real tal que
f
lím g ( x) = ∞ ,
y
x →0 +
g ( x)
existe y
lím f ( x)
x→a +
lím x→a +
x−a = 1 . Entonces f ( x)
lím f ( x) = 0 .
x→a +
4.
f
lím
f ( x) g ( x)
Sean
f
x→a +
5.
y
Sean
g
funciones tales que
lím f ( x) = ∞
y
lím g ( x) = e
y
x→a +
lím g ( x) = ∞ .
x→a +
Entonces el
no existe. y
g
funciones tales que
lím ( f D g )( x) = 1
x→a +
f ( x) = ln (g ( x) ) .
Entonces
x→a +
6.
Si lím
x →0+
7.
Si
8.
Si
9.
Si
10. Si
f ( x) = 1 entonces lím f ( x) = 0 x x →0 +
[ f ( x) + g ( x)] lím x→a f ( x) ≠ g (x )
existe, entonces existen
para toda
lím g (x ) x→a
x , entonces lím f ( x) ≠ lím g (x ) x→a x→a
(
lím
x→a +
x − x−a −a
(
))
2
x−a
existe entonces
12. Si
[ f ( x) g ( x )] lím x→ a
existe y
13. Si
lím f ( x) = +∞ x→a
entonces
14.
y
⎡ f ( x) ⎤ lím ⎢ f ( x) = 0 entonces lím g ( x) = 0 ⎥ existe y lím x→a x→a x→a ⎣ g ( x) ⎦ f y g son funciones definidas en IR entonces: ∀a ∈ IR lím f ( g ( x)) = f lím g ( x) x→a x→a 2
11. Si
lím f ( x) x→ a
lím f ( x) x→a
a = 0.
existe entonces
lím g ( x) x→ a
existe.
lím f ( x) = −∞
x→−a
( lím (3x − 1) = 2) ⇔ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣0 < x − 1 < ∂ ⇒ (3x − 1) − 2 < ε ⎤⎦ x →1
15. Si lím f ( x) = 0 y lím g ( x) = ∞ entonces lím f ( x) g ( x) = 0 . x →0 +
x →0 +
16. Existen dos funciones de variable real
x →0 +
f
y
g
tales que
lím f ( x) = lím g ( x) = 0 y
x →0+
x →0+
f ( x) lím =e + ( x) g x →0 ⎛ f ( x) ⎞ g ( x) = 0 ⎟ = 2 entonces lím x →∞ ⎝ g ( x) ⎠
17. Si lím f ( x) = 0 y lím ⎜ x →∞
x →∞
18. No existen dos funciones f y g tales que lím f ( x ) = 0 , lím g ( x ) = 0 y lím x→0
x→0
19. Si lím f ( x) = 3 , lím g ( x) = −2 , entonces lím x→a
60
x→a
x →a 3
x→0
f ( x) + g ( x) − 1 f ( x) + g ( x) − 1
f ( x) =5 g ( x)
=1
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
2.
Empleando la definición de límite, demuestre que:
x⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ = 2 x→4 2⎠ ⎝
1.
+
2. 3.
3.
lím
2x2 − x − 1 =3 x −1
lím
x2 − 4 = −4 x+2
x →1+
x → −2 +
4.
lím x − 3 = 0
5.
lím x − 1 = 2
x →3+
x →5+
Determine 1.
lím ced x 2 + 2 x fhg
x → 3+
e − cos 2 x sen 4 x cos x − cos 3x lím x →0 x2 3x
2.
3.
4.
6.
⎡ 2x + 3 ⎤ lím ⎥ x → +∞ ⎢ ⎣ 2x − 5 ⎦
3x
lím
x →1+
xe x − e x −1
tan
9.
lím+ ( sen 2 x )
14.
4
tan 2 2 x
π
4
lím x →0
e 2 x − cos 3x sen 5 x
lím ⎣⎡ln ( 2 x + 1) − ln ( x + 2 ) ⎤⎦
x →+∞
⎡ ⎛ x ⎞⎤ lím ⎢arctan ⎜ ⎟⎥ 2 ⎝ 1 + x ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢
x →−∞
(
ln 1 + e x x x → +∞ lím
lím
x 2 −1
15. lím+ (1 + cot x ) x→
)
x 2 − x −1 −1
x →1+
lím
23.
⎛ arcsen x − arcsen 12 ⎞ ⎟⎟ lím1 ⎜⎜ x − 12 x→ ⎠ 2⎝
2x − x 2 −1
x →1
sen x x
x→0
πx
8.
x→
22.
25. lím+ ⎡⎣Sgn( x ) (a x + 1b + μ ( x − 1) ) ⎤⎦
⎡ π − 2arctan x ⎤ ⎥ lím ⎢ 3 x →∞ ⎢ ⎥ x e −1 ⎣ ⎦
13.
x −1
x →0
3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x → 2+ ⎝ 2 ⎠
12.
x −1
x →1
24. lím+
⎛ cos x ⎞ ⎟ lím ⎜ π + π ⎜ x− 2 ⎟ ⎠ ⎝ x→
⎤ 1⎞ ⎟ − sen x ⎥ x⎠ ⎦
arctan ( x 2 ) − arctan1
21. lím+
+
7.
11.
⎣
⎝
x →0+
2
10.
⎛
lím
2
5.
⎡
20. lím ⎢sen⎜ x + x →∞
sec x
π
2
16. lím f ( x ) x →0
donde
⎧1 − cos3x ;x < 0 ⎪ x2 ⎪ 5 ;x = 0 f ( x) = ⎨ ⎪ sen10 x − tan x ⎪ ;x > 0 sen 2 x ⎩
26.
sen (sen x ) x
lím x→0+
(a xb + a− xb) 28. lím (π − x ) tan ( ) π 27. lím x →0
x 2
x→
x2 + 2 x + 5
⎛ 3 ⎞ x2 − x − 2 29. lím ⎜ ⎟ x→2 x + 1 ⎝ ⎠ 3 30. lím ⎡ x 2
x →+∞
⎣⎢
(
)
x3 + 1 − x3 − 1 ⎤ ⎦⎥
⎛ sen ( x −
⎞ 6) ⎟⎟ x cos − ⎝ ⎠ 1 − cos x 2 32. lím 2 x → 0 x sen x 2 31. límπ ⎜ ⎜ x→ 6
π
3 2
33. lím (1 + 2 x ) 2ln x 1
x →+∞
⎛ x −8⎞ ⎜ 3 x − 4 ⎟⎟ ⎝ ⎠
34. lím ⎜ x → 64
1
⎛ 1 + 5x ⎞ 2x 35. lím ⎜ ⎟ x →0 1 − 3x ⎝ ⎠ 36. lím (1 − cos x ) cot x x→0
⎛ xe −5 x − cos 2 x − x + 1 ⎞ ⎟ x→0 x2 ⎝ ⎠
37. lím ⎜
⎛ e3 x − cos 2 x ⎞ ⎟ ⎝ sen 5 x − x ⎠
38. lím ⎜ x→0
⎛
x ⎞ ⎟ ⎝ 1− x − 1+ x ⎠
39. lím ⎜ x→0
61
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
e 2 x − e7 x x → 0 sen 2 x + tan 9 x ⎡ 1 1 ⎤ − 18. lím ⎢ ⎥ + x →1 ⎣ ⎢ x − 1 x − 1 ⎦⎥
40. lím
17. lím+
x →∞
(
3
x +1 − 3 x
⎛ x+a⎞ ⎟ ⎝ x−a⎠
41. lím ⎜ x →∞
⎛ x sen 3x ⎞ ⎟ ⎠
19. lím ⎜
x → 0 + ⎝ 1 − cos 2 x
Calcular
5.
Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • ∀ε > 0, ∃∂ > 0 : 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε
6.
lím f ( x) x→0 +
si
•
∀N > 0, ∃∂ > 0 : 0 < x + 3 < ∂ ⇒ f ( x) > N
• •
∀N > 0, ∃∂ > 0 : 0 < −3 − x < ∂ ⇒ f ( x) < − N ∀ε > 0, ∃M > 0 : x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε
•
∀ε > 0, ∃M > 0 : x < − M ⇒ f ( x) < ε
Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • Dom f = ( −∞, −1) ∪ ( −1,1) ∪ (1, +∞ ) •
[
∀ε > 0, ∃∂ > 0 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) < ε
]
•
∀M > 0, ∃∂ > 0 [0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] ∀M > 0, ∃∂ > 0 [0 < 1 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]
•
∀M > 0, ∃∂ > 0 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M
•
∀ε > 0, ∃N > 0 x > N ⇒ f ( x) + 1 < ε
•
•
62
f ( x) < 1 para x ≠ 0 x
4.
[
[ ∀ε > 0, ∃N > 0 [x < − N ⇒
f ( x) < ε
]
]
]
x
)
Respuestas
Moisés Villena Muñoz
CAPITULO 1: Límites Ejercicios Propuestos 1.1 1. a) ∂ =∈ f)
b) ∂ =
∈ 2
∂ =∈
c) ∂ =∈
[
g) ∂ =∈ 7
2
3
d) ∂ =
( ) + 4]
+27
1
∈ 2
e) ∂ =
∈ 2
( 2 + 2)
3
h) ∂ =∈ 3 (a − 1)2 + 3 a (a − 1) + a 2 3
2. a) ∂ = 0.003
(
b)
∂=
)
1 10 2a + 1
c) ∂ = 0.08
8
3. ∂ = 0.01 8 + 3 = 0.05 4. 0.9 < x < 1.1
Ejercicios Propuestos 1.2 3. a) lím f ( x) = no existe
b)
x →1
c) lím f (x ) = −3
lím f (x ) = no existe
x → −2
lím f ( x ) = 1 x →2
d) lím f (x ) = no existe
x→2
x →0
lím f ( x) = −
e) lím f ( x) = no existe x → −1
x→− 5
2
11 2
Ejercicios Propuestos 1.3 3. a) V
b) F
c) V
d) F
e) F
f) F
g) F
Ejercicios Propuestos 1.4 1) 2 6) 0
2) 1 7) 1
3) -2 8)0
4) 0 9) -1
3) 12
4)
8)
9)
5) -1 10) 1
Ejercicios Propuestos 1.5 1) 6
2)
− 14
6)
4 5
7)
15 2
11)
1 9
12) 1 − a
16)
1
1 4
13)
1 9
− 15 1 2
14)
11 9
5)
1 2
10)
1 12
15)
1 72
Ejercicios Propuestos 1.6 1) 5
2) 1
6) π
7)
3) 9
3 3
4) 2
2
8) 1
2
5) π
π
9) 1
10) 2
4) 1
5)
3
Ejercicios Propuestos 1.7 1)
e
2)
6)
e −2
7) e
3) e
1 6
π
8)
3
−1
2
9)
(a − b )
3
e
−
7 8
10) −1
1
Respuestas
Moisés Villena Muñoz
11) (a − b ) ln 2
12) 0
( b)
2
13) e 2
14) a
3) 112
4) − 1
3) 72
4) 2
5) 1
Ejercicios Propuestos 1.8 2) 1
1) −1
6
27
8
Ejercicios Propuestos 1.9 1) 5
2) 0
6) 0
7) 8
8) 0
3
12) −1
13) −
16) −5
17) 1 2
18) − 1 2
21) 1 2
−2
11)
22) e
23) e
3 2
−4
9) 3
10)
14) −1
15) −3
19) 1
20) 1 2
24)
5
7
Ejercicios Propuestos 1.10 3.
1) +∞ 6) −∞
2) −∞ 7) +∞
3) −∞ 8) +∞
4) +∞ 9) +∞
5) −∞ 10) +∞
Misceláneos de límites 1. 1) F 10) V 19) F 2. 1) δ =
3) V 12) F
ε +2
2) δ = ε
2
4) F 13) F
( 3 + 2)
5) V 14) V
6) V 15) F
3) δ = ε
7) F 16) V
8) F 17) V
9) F 18) F
4) δ = 2ε
5) δ = ε
6
− 12
2) 3 4
3) 4
4) e
5) 3e
6) −1
7) e π
8) 2 3
10) 2 5
11) ln 2
12) π 4
13) 1
14) 1 2
15) e
16) 9 2
17) − 511 18) 0
19) 3 2
20) 0
21) 1 2
22) ∞
23)
24) 1
25) 1
26) 1
28) 2
29) e
30) 1
31) 2
32) 1 2
33) 1
34) 3
35) e
40) 0
2a
3. 1) 15
37) −3
2
2) F 11) V
−13
38) 3 4
9
39) −1
12
2 3 3
41) e
9) e
27) 0 4
36) 0
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
2 2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO 2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON 2.3 2.4
FUNCIONES CONTINUIDAD EN UN INTERVALO TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
OBJETIVOS: • Definir formalmente continuidad de una función de una variable real en un punto y en un intervalo. • Realizar demostraciones formales de continuidad. • Construir funciones continuas.
63
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Hasta aquí nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de una función en la cercanía de un punto; ahora nos proponemos definir su comportamiento justamente en el punto.
2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera alzar la mano. Esto en términos formales sería: 2.1.1 DEFINICIÓN
Sea f una función de una variable real definida en un intervalo abierto (a, b) y sea x0 ∈ (a, b) . Se dice que f es continua en " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 ) . Es decir, si x→ x0
se cumplen tres cosas: 1. f ( x0 ) está definida 2. lím f ( x) = L (existe); y x→ x 0
3. L = f ( x0 ) Caso contrario, se dice que f es discontinua en " x0 " Ejemplo Una función continua en un punto x0
Fig. 2.1
Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto x0 , tenemos:
64
Moisés Villena Muñoz
Cap. 2 Continuidad de funciones
Ejemplo 1
Fig. 2.2
La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe x → x0
Ejemplo 2
Fig. 2.3
La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe x → x0
Ejemplo 3
Fig. 2.4
La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) ≠ f ( x 0 ) x→ x
0
65
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una discontinuidad esencial. Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad removible, porque sería cuestión de definir a f en el punto " x0 " con el valor de L para tener ya una función continua en ese punto. A propósito, observe que sólo en este caso el límite existe. Ejemplo 4 x 2 + 5x − 6 no está definida en x = 1 y su gráfica es la de f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 que x −1 no es continua en x = 1 . (tiene un hueco) f ( x) =
Fig. 2.5
⎧ x 2 + 5x − 6 ;x ≠1 ⎪ Definiéndola continua tenemos f ( x) = ⎨ x − 1 ⎪ 7 ;x =1 ⎩
Ejemplo 5 Determine el valor de " A ", de ser posible, para que
⎧ x2 − 4 ⎪ ;x ≠ 2 f ( x) = ⎨ x − 2 ⎪A ;x = 2 ⎩
sea continua en x = 2 . SOLUCIÓN: Para que f sea continua en x = 2 será cuestión de definirla en este punto con el valor de lím f ( x) si es x→ 2
que existe; es decir, hacer que A = f (2) = lím f ( x) . x→ 2
Calculando el límite tenemos:
(x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4 . x2 − 4 = lím x→2 x − 2 x→2 x→2 x−2 lím
Por tanto A = 4
66
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 6 Calcular el valor de “ A ", de ser posible, para que
⎧ e2x − 1 ⎪ ;x ≠ 0 f ( x) = ⎨ x ⎪A ;x = 0 ⎩
sea continua en x = 0 . SOLUCIÓN:
La función está definida para todo número real excepto x = 0 . El asunto será definirla en este punto con el valor de lím f ( x) si es que existe; es decir, A = f (0) = lím f ( x) . x →0
x→0
Calculando el límite tenemos:
e 2x − 1 =2. x →0 x lím
(Recuerde que lím x →0
a kx − 1 = k ln a ) x
Por tanto A = 2
Ejercicios Propuestos 2.1 1.
Grafique las funciones dadas y determine los puntos de discontinuidad.
⎧ 1 ⎪
x 2 − 16 x−4 ⎧⎪( x + 2 )2 ; x ≠ −2 2. f ( x ) = ⎨ ; x = −2 ⎪⎩ 2 1. f ( x) =
6. f ( x ) = ⎨ x − 1
⎪⎩ x − 1 ; x < 2
⎧ 1 ⎪⎪ x + 1 ; x < 0 7. f ( x ) = ⎨ ⎪ 1 ;x ≥ 0 ⎩⎪ x − 1
⎧x2 ; x < 0 ⎪⎪ 3. f ( x) = ⎨− x ;0 ≤ x ≤ 1 ⎪x ;x >1 ⎪⎩
2.
4.
⎧ 2 − 3x ⎪ f ( x) = ⎨ 5 ⎪ x2 − 2 x + 3 ⎩
5.
⎧1 + 2 x − x f ( x) = ⎨ ⎩2 x − 5
2
8.
f ( x) = μ ( x − 2) + Sgn( x + 2) c 1f f ( x) = dd x + gg 2h e
; x ≤ −1
9.
; x > −1
10.
f ( x) = a x b − x
11.
f ( x) = asen x b ; x ∈ ( −2π , 2π )
;x ≤ 3 ;x > 3
Calcular el valor de " A ", de ser posible, para que f sea continua en todo R
⎧ 3− x ⎪
1. f ( x) = ⎨ x 2 − 9
;x ≥ 2
;x ≠ 3
⎪A ;x = 3 ⎩ ⎧ x−2 −2 ;x≠6 ⎪ 2. f ( x ) = ⎨ x − 6 ⎪ A ;x = 6 ⎩
⎧ 2x2 + x − 3 ; x ≠1 ⎪ 3. f ( x ) = ⎨ 3 x − 1 ⎪ A ; x =1 ⎩
.
⎧ 3+ 3 x −2 ⎪ ;x ≠1 4. f ( x ) = ⎨ x −1 ⎪ A ;x =1 ⎩ 5.
⎧ sen x ;x ≠ 0 ⎪ f ( x) = ⎨ x ⎪A ;x = 0 ⎩
67
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES Si operamos funciones se obtienen nuevas funciones cuya continuidad se la puede determinar haciendo uso del siguiente teorema. 2.2.1 TEOREMA
Sean f y g funciones de variable real continuas en el punto " x0 ", entonces también lo serán: k f , f + g , f − g , f .g , f g
( g ( x0 ) ≠ 0) , f n , n f ( f ( x0 ) > 0
si n es par
)
Demostración. Demostremos lo siguiente:
"Si f y g son funciones continuas en el punto " x 0 " entonces
f + g también es continua en " x 0 "
Las hipótesis serían
H 1: lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0
y
H 2: lim g ( x ) = g ( x0 ) x → x0
Como lim [ f ( x) + g ( x) ] = lim f ( x) + lim g ( x) x → x0
x → x0
x → x0
entonces
lim [ f ( x) + g ( x) ] = f ( x0 ) + g ( x0 )
x → x0
Es decir
C : lim ⎡⎣( f + g ) ( x) ⎤⎦ = ( f + g ) ( x0 ) x → x0
Lo cual indica que la función f + g también es continua en " x0 "
Las demostraciones del resto del teorema se la dejamos como ejercicio al lector. Se puede hacer analogía con el teorema principal de límites si surge la interrogante de saber lo que ocurre con el recíproco del teorema, es decir, que si tenemos una función suma (u otra, resultado de las operaciones indicadas) continua, se podría decir que las funciones que la formaron son también continuas. Para el caso de la función compuesta tenemos.
68
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
2.2.2 TEOREMA DEL LÍMITE DE LA COMPOSICIÓN.
Sean f y g funciones de variable real. Si g es continua en " x0 " y f continua en g ( x0 ) entonces f D g es continua en " x0 " Demostración. Tenemos las siguientes hipótesis: H1 : g es continua en x0 , es decir lim g ( x ) = g ( x0 ) , lo cual significa que x → x0
∀ε1 > 0 , ∃∂1 > 0 tal que, si x − x0 < ∂1 entonces g ( x ) − g ( x0 ) < ε1 H 2 : f es continua en g ( x0 ) , es decir
lim f ( x) = f ( g ( x0 ) ) , lo cual significa que
x → g ( x0 )
∀ε 2 > 0 , ∃∂ 2 > 0 tal que, si x − g ( x0 ) < ∂ 2 entonces f ( x ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2
En la segunda hipótesis si hacemos x = g ( x ) tenemos: g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2
En la primera hipótesis, el consecuente de la implicación se cumple si ε1 = ∂ 2 . Considerando las dos hipótesis juntas: ⎡ x − x0 < ∂1 ⇒ g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⎤ ⎣ ⎦
∧
⎡ g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2 ⎤ ⎣ ⎦
Se cumple que: x − x0 < ∂1 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε
O lo que es lo mismo lim f ( g ( x ) ) = f ( g ( x0 ) ) . Esto indica que f D g es continua en " x0 " x → x0
En límites nos interesaba indicar si la función se aproximaba a un punto, en cambio en continuidad estamos interesados, además, en indicar si la función toma el valor correspondiente en ese punto. Esto puede ocurrir en ambas direcciones de acercamiento, como lo acabamos de definir, o en una sola dirección, como lo vamos a decir a continuación.
69
Moisés Villena Muñoz
Cap. 2 Continuidad de funciones
2.3 CONTINUIDAD LATERAL 2.3.1 CONTINUIDAD POR DERECHA
Sea f una función de variable real. f es continua por la derecha de " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 )
x → x0 +
Ejemplo
Fig. 2.6
Es decir, f sólo por la derecha de x0 se aproxima y llega a ser f ( x0 ) . 2.3.2 CONTINUIDAD POR IZQUIERDA
Sea f una función de variable real. f es continua por la izquierda de " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 )
x → x0 −
Es decir, f sólo por la izquierda de x0 se aproxima y llega a ser f ( x0 ) . Ejemplo
Fig. 2.7
70
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
En conclusión, si f es continua en x0 significa que tanto por derecha como por
izquierda f se aproxima y llegar a ser f ( x0 ) .
Bien, lo anterior es sólo en un punto, si la función fuera continua en todo \ , bastaría con decir existe continuidad en todo punto de \ . Es decir:
Sea f una función de variable real. f es continua en \ si ∀x0 ∈ \ ⎡ lím f ( x) = f ( x0 ) ⎤ ⎣⎢ x→ x0 ⎦⎥ Existen funciones que ya se han tratado en cursos anteriores que son continuas en todo \ , como las funciones lineales, las funciones cuadráticas y en general todas las funciones polinomiales, las funciones trigonométricas seno y coseno. Otras funciones en cambio son continuas sólo en intervalos, sería importante aquí indicar lo que ocurre en los extremos del intervalo.
2.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 2.4.1 CONTINUIDAD EN (a, b )
Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo abierto (a, b ) si es continua en todo punto interior de (a, b ) . Es decir ∀x0 ∈ ( a, b ) ; lím f ( x) = f ( x0 ) x→ x0
Ejemplo 1 Una función continua en (a, b )
Fig. 2.8
71
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2 Otra función continua en (a, b )
Fig. 2.9
2.4.2 CONTINUIDAD EN [a, b]
Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b ) y además continua a la derecha de a ( xlím f ( x) = f (a) ) y a la →a +
izquierda de b ( xlím →b
−
f ( x) = f (b) ).
Ejemplo Una función continua en [a, b]
Fig. 2.10
72
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
2.4.3 CONTINUIDAD EN [a, b )
Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo semiabierto [a, b) , si es continua en (a, b ) y además continua a la derecha de a . Ejemplo 1 Una función continua en
[a, b) Fig. 2.11
Ejemplo 2 Otra función continua en
[a, b) Fig. 2.12
73
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
2.4.4 CONTINUIDAD EN (a, b]
Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo semiabierto (a, b] , si es continua en (a, b ) y además continua a la izquierda de b . Ejemplo 1
Fig. 2.13
Ejemplo 2
Fig. 2.14
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos. Ejercicio resuelto 1 ⎧ x 2 − 2a ; x < 2 ⎪ ; x = 2 sea continua en todo Hallar " a ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ 8 ⎪5 x + a ; x > 2 ⎩
SOLUCIÓN:
74
\.
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Note que f está definida con funciones polinomiales y por tanto f será continua en los respectivos intervalos. Debemos procurar que f sea continua en x = 2 , lo que significa que:
lím ( x 2 − 2a ) = lím+ (5 x + a) = f ( 2 )
x → 2−
x →2
4 − 2a = 10 + a = 8 a = −2 ⎧ x2 + 4 ; x < 2 ⎪ ; x=2 Es decir, que la función f ( x) = ⎨ 8 ⎪5 x − 2 ; x > 2 ⎩
será continua en todo R .
Ejercicio resuelto 2 ⎧2x2 + a ; x < 1 ⎪ Hallar " a ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ 5 ; x = 1 sea continua en todo ⎪ x − 3a ; x > 1 ⎩
\.
SOLUCIÓN:
Igual que el ejercicio anterior, debemos procurar que f sea continua en x = 1 , lo que significa que:
lím(2 x 2 + a) = lím( x − 3a ) = f (1) +
x →1−
x →1
2 + a = 1 − 3a = 5 Aquí ocurre una inconsistencia, entonces no existe valor de a para que f sea continua en \ .
Ejercicio resuelto 3 ⎧2 x − a ⎪
Hallar los valores de " a " y " b ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ax + b ⎪b − 5 x ⎩
; x < −3 ;−3 ≤ x ≤ 3 ;x > 3
sea continua en todo \ . SOLUCIÓN: Aquí igual que las anteriores, f está definida con funciones lineales y por tanto será continua en los respectivos intervalos. Debemos procurar que f sea continua en x = −3 y en x = 3 , lo que significa dos cosas:
lím (ax + b) = lím+ (b − 5 x) = f ( 3)
lím (2 x − a ) = lím+ (ax + b) = f ( −3)
x →−3−
1.
x → 3−
x →−3
2(3) − a = 3a + b
2.
x →3
a (3) + b/ = b/ − 5(3) 3a = −15
2a − b = 6
reemplazando el valor de
a = −5
a
en la primera ecuación obtenida, resulta:
⎧ 2x + 5 ⎪ Es decir, que la función f ( x) = ⎨ −5 x − 16 ⎪ −16 − 5 x ⎩
; x < −3 ; −3 ≤ x ≤ 3 ;x > 3
2(−5) − b = 6 b = −16
será continua en todo R .
75
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejercicio resuelto 4 9−x x−6
Analizar la continuidad de la función f ( x) =
SOLUCIÓN: El asunto aquí es sinónimo al de establecer el dominio natural (¿por qué?). Entonces debemos resolver la 9− x inecuación ≥0. x−6 Se concluye que f tendrá gráfica sólo en el intervalo ( 6,9] , que será también su intervalo de continuidad.
Ejercicio resuelto 5 CALIFIQUE COMO VERDADERA O FALSA LA PROPOSICIÓN. Justifique formalmente su respuesta. es una función de variable real continua en \ y se conoce que “Si f ⎛ f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ⎞ lim ⎜ ⎟⎟ = 1 , entonces f (1) = f ( 0 ) + 2 .” x →0 ⎜ sen ( 3 x ) ⎝ ⎠
SOLUCIÓN: Primero calculemos lim ( f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ) . x →0
⎛ f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ⎞ lim ( f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ) = lim ⎜ sen ( 3x ) ⎟ ⎟ x →0 x →0 ⎜ sen 3 x ( ) ⎝ ⎠ ⎛ f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ⎞ = lim ⎜ sen ( 3x ) ⎟⎟ lim x →0 ⎜ x →0 sen ( 3 x )
⎝ ⎠
0 1
= (1)( 0 )
lim ( f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ) = 0 x →0
Como f es continua, entonces:
lim ( f ( x + 1) − f ( x ) + x 3 − 2 ) = f ( 0 + 1) − f ( 0 ) + 03 − 2 x →0
= f (1) − f ( 0 ) − 2
Finalmente, igualamos los dos resultados:
f (1) − f ( 0 ) − 2 = 0 ⇒
f (1) = f ( 0 ) + 2
Por tanto la proposición es VERDADERA.
Ejercicio resuelto 6 Bosqueje el gráfico de una función
76
f que satisfaga las siguientes condiciones:
1.
Dom f = \
2.
f
3.
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 2 < ε
es continua en (−∞,−2 ) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ )
[
]
4. 5. 6.
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x + 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M ] ∀M > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒ f ( x) < − M ]
7.
∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x − ∂ < x + 2 < 0 ⇒ f ( x) + 2 < ε
8.
[ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒
9.
f ( −2) = 1 , f (0) = 1 , f (−1) = 0 , f (3) = 0 , f (2) = 1
f ( x) − 2 < ε
]
]
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz SOLUCIÓN:
Las condiciones dadas significan: 1. Intervalos de continuidad (−∞,−2 ) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ ) 2. lím f ( x) = 2 asíntota horizontal y = 2 para x negativos. x → −∞
3.
lím f ( x) = −∞ asíntota vertical x = −2 por derecha
x → −2 +
4. lím f ( x) = ∞ asíntota vertical x = 1 por derecha x →1+
5. lím f ( x) = −∞ x →∞
6.
lím f ( x) = −2 límite por izquierda de x = −2
x → −2 −
7. lím f ( x) = 2 límite por izquierda de x = 1 x →1−
8. Puntos que pertenecen a f Por tanto la grafica sería:
Fig. 2.15
Ejercicios Propuestos 2.2 1.
Hallar los valores de " a " y " b " , de ser posible, para que f sea continua en R .
⎧x 2 ⎪⎪ 1. f ( x) = ⎨ax + b ⎪2 x − 6 ⎪⎩
;x ≤1 ;1 < x < 4 ;x ≥ 4
;x ≤1 ⎧x ⎪ 2. f ( x ) = ⎨ax + b ;1 < x < 4 ⎪− 2 x ;x ≥ 4 ⎩ ⎧x + 1 ⎪ 3. f ( x ) = ⎨ax + b ⎪3 x ⎩
;x 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 5 < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε
[ [
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M
]
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − M
]
]
6. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
f es continua en
(−∞,0] ∪ (0,3) ∪ (3, ∞ )
[ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[− ∂ < x < 0 ⇒
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) < ε
f ( x) − 2 < ε
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 3 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]
[ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒
f (3) = f (5) = 2 , f (7) = 0
]
∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x − 3 < ∂ ⇒ f ( x) < ε f ( x) + 1 < ε
]
]
]
2.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS
Sea f una función de variable real definida en el intervalo cerrado [a, b] . Si f es continua en [a, b] entonces para toda f ( x) ∈ ⎡⎣ f ( a ) , f ( b ) ⎤⎦ existe un x0 ∈ [ a, b ] .
78
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Fig. 2.16
Ejemplo Demuestre que la ecuación x + 3 x − 2 = 0 tiene una solución real entre "0" y "1". SOLUCIÓN: 3
Definamos la función f ( x) = x3 + 3 x − 2 . Observamos que: f (0) = −2 y f (1) = 2
Fig. 2.17 y como f es continua en [0,1] , por ser polinomial; aplicando el Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si f ( x) = 0 existirá un x elemento de [0,1] que lo satisfaga. Es decir: ∃x ∈ [0,1] tal que f ( x) = x3 + 3x − 2 = 0
Ejercicios Propuestos 2.3 1.
(Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Bolzano.
2.
(Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Weierstrass.
3.
Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y en caso de ser falsa, dé un contraejemplo.
[ ]
[ ]
a)
Si f es continua y no tiene ceros en a, b , entonces f ( x) > 0 para toda x en a, b
b)
Si f es continua en x0 y f ( x0 ) > 0 , hay un intervalo (x0 − ∂ , x0 + ∂ ) tal que f ( x ) > 0 en ese
f ( x) < 0 , ∀x ∈ [a, b]
o
intervalo. c)
El producto de dos funciones f y g es continua en " x0 " , si f es continua en " x0 " pero g no.
79
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz d)
Si f es continua en " x0 " y g es discontinua en " x0 ", entonces f + g es discontinua en " x0 ".
e)
Toda función continua en (a, b ) es acotada.
f)
Toda función acotada en a, b es continua en a, b
g)
Si f es continua e inyectiva en a, b entonces su función inversa f
[ ]
[ ]
[ ]
−1
[ ]
es continua en a, b
4.
Demuestre que la ecuación: x − 4 x − 3x + 1 = 0 tiene una solución en el intervalo [2,3].
5.
Si el peso de un niño al nacer es de 8 libras y después de un año el mismo niño tiene un peso de 16 libras, demuestre, empleando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, que en algún instante de tiempo el niño alcanzó un peso de 11 libras.
5
3
Misceláneos 1.
Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y en caso de ser falsa, dé un contraejemplo. a) lím f ( x ) = lím f ( x) entonces f es continua en x = a . x→a x →a +
−
b) Si f y g son funciones continuas en x = a entonces la función fg también es continua en x = a .
⎧ x − 2 + x−2 ;x > 2 ⎪ es x2 − 4 ⎪ 2 ;x ≤ 2 ⎩
c) La función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨
continua en x = 2 . d) Si f es una función tal que dom f = IR y ∀a ∈ IR lím f ( x ) existe, entonces f es continua en x→ a
todo su dominio. e) Si f es una función continua en a, b tal que f ( a) > 0 y f (b) < 0 entonces existe al menos un
c ∈ (a, b ) tal que f (c) = 0 .
[ ]
[
]
f) Si f es una función de IR en IR tal que f ( x ) = sen x entonces f es continua en x = π .
[ ]
[ ]
g) Sea f una función continua en a, b tal que f ( a) • f (b) > 0 entonces no existe un valor c ∈ a, b tal que f (c) = 0 .
h) Si f y g son funciones que no son continuas en x = a entonces la función f + g no es continua en x =a.
⎧⎪1 − x
i) La función f ( x ) = ⎨ ⎪ 2
;x < 2
⎩x − 2x ; x ≥ 2
j) Sea f
es continua en todo su domino.
⎧1 − cos x ; x≠0 ⎪ , x2 ⎪ 0 ; x 0 = ⎩
una función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨
entonces f es continua en todo su dominio.
π ⎧ x ⎪ cot x − 2 cos x ; x < 2. Determine el valor de "a" para que f ( x ) = ⎨ ⎪ ax − 1 ;x ≥ ⎩
π 2 π 2
sea continua en x = π 2
⎧ 1 − x2 ; x ≤ −1 ⎪ ⎪⎪ Ax5 + Bx 4 − Ax − B ;−1 < x < 1 3. Sea f una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨ x2 − 1 ⎪ ⎪ x2 ;x ≥1 ⎩⎪ Determine los valores de A y B para que f sea continua en todos los reales.
80
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
4.
Realice el bosquejo de la gráfica de una función f que satisfaga cada una de las siguientes proposiciones: • • •
x → −∞
−
∀N > 0 ∃δ > 0 [0 < x − 1 < δ ⇒ f ( x) > N ]
•
∀ε > 0 ∃M > 0 x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε
[
∀x ∈ (3,5) [ f ( x) < 0]
]
Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
Domf = (− ∞,−1) ∪ [0,+∞ ) rgf = [1, e ) ∪ (e,+∞ ] f (0) = 1
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x > N ⇒ f ( x) − e < ε
6.
x →0
•
• 5.
f es continua en los intervalos (−∞,0) ; [0,1] ; (1,+∞ ) . f (0) = f (3) = f (5) = 0 f (1) = f (2) = 1 lim f ( x) = −1 lim f (x) = −∞
[
]
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[−∂ < x + 1 < 0 ⇒ f ( x) > M ]
Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: Dom f=IR, f ( x) > 0 para x ∈ (−∞,−1 ∪ (0,1)
]
f (−1) = 1 ∧ f (0) = f (1) = 0 ∧ lím+ f ( x) = 1
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 1 < ε
[ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒
x→0
f ( x) + 1 < ε
]
]
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M
∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < − x < ∂ ⇒ f ( x) − f (0) < ε
[
[ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒
f ( x) < ε
]
]
]
81
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3 3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. 3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA 3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA 3.4 FORMA ALTERNATIVA 3.5 DIFERENCIABILIDAD 3.6 DERIVACIÓN 3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN 3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA 3.6.6 DERIVACIÓN POLAR 3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
3.7
FUNCIONES HIPERBÓLICAS 3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.7.4
FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
OBJETIVOS: • • • •
Definir derivada. Calcular ecuaciones de rectas tangentes y rectas normales a una curva. Realizar demostraciones formales de derivada. Calcular derivadas.
83
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se da inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) junto con ISAAC NEWTON (1642-1727), preocupado por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una trayectoria, después veremos que es el mismo problema. Empecemos primero estudiando el problema geométrico.
3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f , en un punto x0 , Fig. 3.1. y
y = f ( x)
y0
x
x0
Fig. 3.1
La ecuación de la recta tangente estaría dada por:
y − f ( x0 ) = mtg ( x − x 0 ) Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe la Fig. 3.2
84
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f ( x0 + h )
f ( x0 )
N
N
y = f ( x)
y
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h
x0
x
x0 + h
Fig. 3.2
La pendiente de la recta secante entre los puntos
( x0 + h, f ( x0 + h) ) sería msec =
( x0 , f ( x0 ) )
y
f ( x0 + h) − f ( x0 ) h
La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:
mtg = lím h→0
f ( x0 + h) − f ( x0 ) h
3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA Suponga que se tengan la ecuación del espacio que sea función del tiempo; es decir determinar la velocidad media estaría dada por:
vm =
vm
e = f (t ) .
e
recorrido por un móvil, y
Suponga ahora que se quiere
en un intervalo de tiempo
[t0 , t0 + h] , esta
Δe f ( t0 + h ) − f ( t0 ) = Δt t0 + h − t 0
La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de tiempo Δt cada vez más pequeño; es decir:
85
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f ( t0 + h ) − f ( t 0 ) Δe = lim Δt →0 Δt h →0 h
v = lim vm = lim Δt →0
Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma que la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo. De aquí se dará la definición de la derivada.
3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA
Sea f una función de variable real. Sea x0 un punto del dominio de f . La derivada de f en " x0 ", denotada como f ´( x0 ) , se define como: f ´(x0 ) = lím h →0
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h
Siempre que este límite exista.
Cuando la derivada en " x0 " existe se dice que es f es diferenciable en " x0 ". Otras notaciones que se emplean para la derivada son: Leibniz utilizó la notación
y´
o
dy . dx
En cualquier caso, la derivada en " x " sería:
f ´( x) = lím h →0
86
f ( x + h) − f ( x ) h
Dx y .
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.4 FORMA ALTERNATIVA Presentaremos ahora una forma un tanto diferente para la derivada, que para algunos casos resulta muy útil. En la expresión para la derivada, haciendo cambio de variable: h = x − x0
f ´( x0 ) = lím h →0
f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ( x0 + x − x0 ) − f ( x0 ) = lím x→ x0 h x − x0 = lím
x→ x0
f ( x) − f ( x0 ) x − x0
Lo anterior lo podemos observar de la pendiente de la recta tangente, Fig. 3.3. y = f ( x)
f ( x)
f ( x0 )
N
N
y
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
x0
x
x
Fig. 3.3
La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x 0 , f ( x 0 ) ) y (x, f ( x) ) sería:
msec =
f ( x) − f ( x0 ) . Entonces la pendiente de la recta tangente estaría dada x − x0
por:
mtg = lím x→ x0
f ( x) − f ( x0 ) x − x0
87
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = 2 x + 1 SOLUCIÓN:
f ´( x) = lím h →0
= lím
f ( x + h) − f ( x ) h ⎡⎣ 2 ( x + h ) + 1⎤⎦ − [ 2 x + 1]
h→0
h 2 x + 2h + 1 − 2 x − 1 = lím h→0 h 2h = lím h→0 h = lím 2 h→0
f ´( x) = 2 Empleando la forma alternativa:
f ( x) − f ( x0 ) x − x0
f ´( x0 ) = lím
x → x0
= lím
( 2 x + 1) − ( 2 x0 + 1) x − x0
x → x0
= lím
2 x + 1 − 2 x0 − 1 x − x0
= lím
2 x − 2 x0 x − x0
x → x0
x → x0
= lím
x → x0
2 ( x − x0 )
( x − x0 )
= lím 2 x → x0
f ´( x0 ) = 2
Ejemplo. 2 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = x 2 SOLUCIÓN: f ´(x) = lím
h →0
= lím
f ( x + h) − f ( x ) h
(x + h )2 − x 2
h→0
h
x + 2 xh + h 2 − x 2 h→0 h h(2 x + h ) = lím h→0 h = lím (2 x + h ) = lím
h→0
f ´(x) = 2 x
88
2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz Empleando la forma alternativa:
f ´( x0 ) = lím
x → x0
= lím
x → x0
= lím
f ( x) − f ( x0 ) x − x0 x 2 − x0 2 x − x0
( x − x0 )( x + x0 ) x − x0
x → x0
= lím ( x + x0 ) x → x0
= x0 + x0 f ´( x0 ) = 2 x0
Ejercicios propuestos 3.1 1.
Sea
f ( x ) = x2 − 2 x + 1 .
f (2.5) − f (2) 0.5 f (2.3) − f (2) b) Calcule el valor de 0.3 f (2.1) − f (2) c) Calcule el valor de 0.1 a) Calcule el valor de
d) Calcule el valor de
2.
Hallar
.
f ´( 2 ) Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado.
f ´(3) , considerando la gráfica:
y = f ( x)
3.
Empleando la definición, determine la derivada de: a)
f ( x) = 3x + 2
d)
f ( x) = −2 x 2 + x − 1
b)
f ( x) = −2 x + 1
e)
f ( x) = 2 x 3
c)
f ( x) = x 2 + 2 x − 3
f) f ( x ) =
1 3x + 2
89
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.5 DIFERENCIABILIDAD Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una función de una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será derivable o diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a derivabilidad para funciones de una variable real. 3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD.
Si f es diferenciable en " x0 ", es decir f ´(x0 ) existe, entonces f es continua en " x0 "
Demostración. Expresemos lo siguiente:
f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) + f ( x0 )
Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicándolo por (x − x0 ) , suponga x ≠ x0 , tenemos:
f ( x) =
f ( x) − f ( x0 ) (x − x0 ) + f ( x0 ) x − x0
Ahora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta:
lím f ( x) = lím
x → x0
La expresión lím
x → x0
x → x0
f ( x) − f ( x0 ) lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 ) x → x0 x → x0 x − x0
f ( x) − f ( x0 ) es igual f ´(x 0 ) , debido a que de hipótesis se dice que f es x − x0
derivable en x 0 . Entonces: cons tan te
f ( x) − f ( x0 ) lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 ) lím f ( x) = lím x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x − x0
f (x ) 0 f ´( x0 )
= f ´(x0 )[0] + f ( x 0 ) = 0 + f ( x0 ) lím f ( x) = f ( x0 )
x → x0
Por tanto, la última expresión indica que f es continua en " x 0 ". L.Q.Q.D.
90
0
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Al analizar el teorema, se concluye que si una función es discontinua en " x0 " entonces no es diferenciable en " x0 ". También debe entenderse que no toda función continua es diferenciable. Ejemplo Hallar
f ´(1)
para
f ( x) = x − 1
SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa de la derivada: f ( x) − f (1) f ´(1) = lím x→1 x −1 x −1 − 0 = lím x→1 x − 1 x −1 = lím x→1 x − 1 El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir: x −1 1. lím+ = lím 1 = 1 x →1 x − 1 x →1+ −(x − 1) 2. lím = lím (− 1) = −1 − x −1 x →1 x →1− Como los límites laterales son diferentes, entonces f ´(1) = lím
x→1
x −1 x −1
no existe.
Observando la gráfica de y = x − 1 , Fig. 3.4
Fig. 3.4
Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda de x = 1 , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en x = 1 . Esta función aunque es continua en x = 1 , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica diferenciabilidad.
91
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.5.2 DERIVADAS LATERALES. Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla unilateralmente. 3.5.2.1 Derivada por derecha
La derivada por derecha del punto " x0 " de una función f se define como: f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) o por la forma h →0 h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 + ) = lím x→ x x − x0 +
f ´(x0 ) = lím +
+
0
3.5.2.2 Derivada por izquierda.
La derivada por izquierda del punto " x0 " de una función f se define como: f ( x0 + h) − f ( x0 ) o por la forma h →0 h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 − ) = lím x→ x x − x0 −
f ´(x0 ) = lím −
−
0
Por tanto, para que f ´(x0 ) exista, se requiere que las derivadas laterales +
−
existan y sean iguales. Es decir, si f ´(x 0 ) ≠ f ´(x 0 ) , se dice que f no es derivable en " x0 " y su gráfica no será suave en ese punto. Ejemplo ⎧⎪2 x − 1; x < 2 2 ⎩⎪ x − 1; x ≥ 2
Hallar f ´(2) para f ( x) = ⎨
SOLUCIÓN: Primero veamos si que es continua en x = 2 .
(
)
Como lim (2 x − 1) = 3 y lim x 2 − 1 = 3 entonces f si es continua en x = 2 x→2−
x →2+
Segundo. Para hallar f ´(2) debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente definición a la izquierda y la derecha de x = 2 .
92
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f ´(2 − ) = lim− x →2
f ´(2 + ) = lim+
(2 x − 1) − (2(2) − 1) =
(x
x→2
x−2
2
) (
)
lim
x→2−
2(x − 2) 2x − 4 = lim =2 x − 2 x →2− x − 2
(x + 2)(x − 2) = 4 −1 − 2 2 −1 x2 − 4 = lim+ = lim+ x→2 x − 2 x→2 x−2 x−2
( )
− + Por tanto, Como f ´(2 ) ≠ f ´ 2 entonces f ´(2) no existe
Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y suave, en un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto. Ejemplo Sea f ( x ) = 3 x hallar f ´(0) SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa: f ( x) − f (0) f ´(0) = lím x→0 x−0
= lím
x→0
= lím
x→0
3
x −0 x 1 2
x 3 f ´(0) = ∞ (no existe) Lo que ocurre es que la recta tangente, en
x = 0 , es vertical (pendiente infinita); observe su gráfica. Fig 3.5
Fig. 3.5
Por tanto, si una función es diferenciable en un punto " x0 " ocurren tres cosas: 1. Es continua en ese punto 2. Es suave en ese punto 3. La recta tangente no es vertical en ese punto 93
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Un problema de diseño Ejemplo ⎧⎪mx + b ; x < 2 Sea: f ( x) = ⎨ 2 Determine "m" y "b" para que f sea diferenciable en todo su dominio. ⎪⎩ x ;x ≥ 2 SOLUCIÓN: Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser continua y en todo punto su gráfica debe ser suave. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que debemos centrarnos en dos cosas: 1. f debe ser continua en x = 2 , es decir:
lím ( mx + b ) = f ( 2 ) = lím+ ( x 2 )
x → 2−
x→2
2m + b = 4 2.
f debe ser suave en x = 2 , es decir: f ´(2 + ) = f ´(2 − )
(x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4 f ( x) − f (2) x2 − 4 = lím = lím x−2 x−2 x→2+ x→2+ x − 2 x→2+ x →2+ ( ) ( ) f x − f mx + b − m + b mx + b − 2m − b m(x − 2 ) ( ) ( 2 ) 2 f ´(2 − ) = lím = lím = lím = lím =m x−2 x−2 x−2 x→2− x→2− x→2− x→2− x − 2
f ´(2+ ) = lím
Por tanto m = 4 y al reemplazar en la primera ecuación 2(4) + b = 4 tenemos b = −4
Ejercicios Propuestos 3.2 1.
Hallar
⎧2 x + 1; x < 1 f ´(1) para f ( x) = ⎨ 2 ⎩2 + x ; x ≥ 1
2.
Hallar
⎧⎪− x 2 + 10; x < 3 f ´(3) para f ( x ) = ⎨ ⎪⎩− 6 x + 17; x ≥ 3
3.
Hallar
⎧⎪2 x + 1 ; x < −2 f ´(−2) para f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x − 7; x ≥ −2
4.
Sea la función f definida por f ( x ) = ⎨
⎧⎪ x 2 + 2 x ; x ≤ 2 . ⎩⎪ax + b ; x > 2
Determine, si es posible, los valores de a y b para que f sea derivable en x = 2 5.
Sea la función f definida por
; x ≤1 ⎧⎪3ax + b f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ax − 3bx + 2 ; x > 1
Determine los valores para " a " y " b " para f que sea derivable en todo su dominio.
6.
Sea la función f definida por
⎧ax 2 + bx + c ; x ≤ 1 ⎪ . f ( x) = ⎨ 1 ; x >1 ⎪ ⎩x
Determine " a ", " b " y " c " para que f ´(1) exista.
94
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6 DERIVACIÓN El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este trabajo se dispone de técnicas y reglas. 3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN. Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las fórmulas siguientes:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
Dx (k ) = 0 ; ∀k ∈ R Dx ( x) = 1
Dx ( x n ) = n(x n −1 )
D x (e x ) = e x Dx (a x ) = a x ln a 1 Dx (ln x) = x 1 D x (log a x) = x ln a Dx (sen x) = cos x D x (cos x) = − sen x Dx (tan x) = sec 2 x Dx (cot x) = − csc 2 x
Dx (sec x) = sec x tan x Dx (csc x) = − csc x cot x
Demostraciones: Las Demostraciones de algunas de las fórmulas anotadas serían: 1. Sea f ( x ) = k . Hallaremos su derivada empleando la definición: f ´( x) = lím h→0
Dx (k ) = lím
h→0
f ( x + h) − f ( x ) h
0 k −k = lím = 0 (La derivada de una constante es cero) h →0 h h
95
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
2. Sea f ( x ) = x entonces: Dx ( x) = lím h →0
3. Sea f ( x ) = x
n
( x + h ) − x = lím h = 1 h→0
h
entonces: Dx ( x ) = lím n
( x + h)
h →0
n
h
− xn
h
. Consideraremos n ∈ ` .
Desarrollando el
binomio y simplificando: Dx ( x ) = lím n
( x + h)
h →0
n
− xn
h
⎡ x n + nx n −1h + n( n2−1) x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n ⎤ − x n ⎦ = lím ⎣ h→0 h = lím
nx n −1h +
n ( n −1) 2
h →0
h/ ⎡ nx n −1 + = lím ⎣
x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n h
n ( n −1) 2
x n − 2 h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎤ ⎦ h →0 h/ ⎡ ⎤ n ( n −1) n −1 n−2 ⎥ = lím ⎢ nx n −1 + 2 x n − 2 h + ... + nxh + hN N
h →0 0 ⎢⎣ 0 ⎥ 0 0 ⎦
Dx ( x n ) = n ( x n −1 )
4. Sea f ( x ) = e x entonces: e x ( eh − 1) e h − 1) ( ex+h − ex e x eh − e x x Dx (e ) = lím = lím = lím = e lím = ex 0 0 0 → → → h →0 h h h h h h h
x
1
6. Sea f ( x ) = ln x entonces: ⎛ x+h⎞ ⎛ h⎞ 1 ln⎜ ln⎜1 + ⎟ ⎟ ln (x + h ) − ln x x ⎠ x⎠ ⎛ h⎞ h Dx (ln x) = lím = lím ⎝ = lím ⎝ = lím ln⎜1 + ⎟ h →0 h →0 h →0 h→0 ⎝ h h h x⎠ ⎡ ⎛ h⎞ = ln ⎢ lím ⎜1 + ⎟ ⎢h →0⎝ x⎠ ⎣ 1 Dx (ln x) = x
1
1
h x
⎤x 1 ⎥ = ln⎛⎜ e x ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦
8. Sea f ( x ) = sen x entonces:
[sen x cosh + senh cos x] − sen x sen( x + h) − sen x = lím h →0 h h sen x(cosh − 1) + senh cos x sen x(cosh − 1) senh cos x = lím = lím + lím h →0 h→0 h →0 h h h (cosh − 1) senh = sen x lím + cos x lím = (sen x )(0) + (cos x )(1) h →0 h →0 h h Dx (sen x) = cos x
Dx (sen x) = lím
h→0
La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector.
96
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1 Si f ( x ) = 4 entonces f ´( x ) = 0
(FORMULA 1)
Ejemplo 2 Si f ( x ) = x 2 entonces f ´( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x
(FORMULA 3)
Ejemplo 3 Si f ( x ) = x = ( x )
1
2
entonces f ´( x ) =
1 2
( x)
1 −1 2
=
1
(FORMULA 3)
2 x
Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) = x 3 en x = 1 SOLUCIÓN: Observe la Fig. 3.6
Recta tangente
f ( x) = x
3
Fig. 3.6
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por: y − y 0 = m( x − x 0 ) El punto sería:
x0 = 1
y
y0 = f ( x0 ) = (1) = 1 3
La pendiente sería:
mtg = f ´( x0 ) = f ´(1) = 3 x 2
x =1
=3
Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: y − 1 = 3( x − 1)
Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos casos. 97
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces: 1. d (kf ( x)) = kf ´( x) (Múltiplo constante) 2. 3. 4. 5.
dx d ( f ( x) + g ( x)) = f ´( x) + g´( x) (Suma) dx d ( f ( x) − g ( x)) = f ´( x) − g´( x) (Resta) dx d ( f ( x) g ( x)) = f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x) (Producto) dx d ⎛ f ( x) ⎞ f ´( x) g ( x) − f ( x) g´( x) (Cociente) ⎜ ⎟= 2 dx ⎝ g ( x) ⎠ [ g ( x)]
Demostración La justificación de las dos primeras de estas reglas sería:
1. d kf ( x + h) − kf ( x) (kf ( x)) = lím h → 0 dx h k [ f ( x + h) − f ( x ) ] = lím h →0 h f ( x + h) − f ( x ) = k lím h →0 h = kf ´( x) 2. [ f ( x + h) + g ( x + h) ] − [ f ( x ) + g ( x ) ] d ( f ( x) + g ( x)) = lím h → 0 dx h f ( x + h) − f ( x ) ] + [ g ( x + h) − g ( x ) ] [ = lím h→0 h ( + ) − ( ) f x h f x [ ] + lím [ g ( x + h) − g ( x)] = lím h→0 h →0 h h = f ´( x) + g´( x) 3. [ f ( x + h) g ( x + h) ] − [ f ( x ) g ( x ) ] d ( f ( x) g ( x)) = lím h → 0 dx h Al numerador le sumamos y restamos f ( x ) g ( x + h ) lím
f ( x + h) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h ) + f ( x ) g ( x + h )
h →0
Agrupando y aplicando propiedades de los límites:
98
h
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
⎡ f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x + h ) ⎤⎦ + ⎡⎣ f ( x ) g ( x + h ) − f ( x) g ( x) ⎤⎦ lím ⎣ h →0 h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦ g ( x + h) + ⎡⎣ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦ f ( x ) lím ⎣ h →0 h ⎡⎣ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦ ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦ lím g ( x + h) + lim ⎣ f ( x) h →0 h→0 h h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦ ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦ lím ⎣ lim g ( x + h) + f ( x ) lim ⎣ h →0 h →0 h→0 h h f ´( x ) ⎣⎡ g ( x ) ⎦⎤ + f ( x ) ⎣⎡ g´( x ) ⎦⎤
La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector. Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de correspondencias un tanto más complejas en su forma.
Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante) Si f ( x ) =
4 3
x
= 4x−
1
3
entonces f ´( x ) = 4
(
) (
)
d − 13 4 4 − 1 −1 x = 4 − 13 x 3 = − x − 3 dx 3
Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta) 2 + 3 entonces x d d d ⎛ 1 ⎞ −2 f ´( x ) = 4 x − 2 x −1 + ( 3 ) = 4 ⎜ ⎟ + 2x + 0 dx dx dx ⎝2 x⎠
Si f ( x ) = 4 x −
(
)
(
)
Ejemplo 3 (Derivada del producto) ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ Si f ( x ) = xe x entonces f ´( x ) = ⎢ ( x ) ⎥ e x + x ⎢ ( e x ) ⎥ = 1e x + xe x = e x (1 + x ) ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦
Ejemplo 4 (Derivada del producto)
(
)(
)
Si f ( x ) = x 2 + 2 x3 + 1 entonces: ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ ( x 2 + 2 ) ⎥ ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 ) ⎢ ( x3 + 1) ⎥ dx dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ( 2 x + 0 ) ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 )( 3 x 2 + 0 ) = 2 x 4 + 2 x + 3x 4 + 6 x 2 = 5x4 + 6x2 + 2 x
99
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:
d [ f ( x) g ( x)h( x)] = f ´( x) g ( x)h( x) + f ( x) g´( x)h( x) + f ( x) g ( x)h´( x) dx ¡Generalícela! Ejemplo 5 (Derivada del producto) Si
f ( x ) = e x senx ln x
entonces
⎡d ⎤ ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ e x ⎥ senx ln x + e x ⎢ senx ⎥ ln x + e x senx ⎢ ln x ⎥ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎛1⎞ = e x senx ln x + e x cos x ln x + e x senx ⎜ ⎟ ⎝ x⎠
Ejemplo 6 (Derivada de cociente) x2 + 2 entonces x3 + 1 ⎡d 2 ⎤ 3 ⎡d 3 ⎤ 2 ⎢⎣ dx ( x + 2 ) ⎥⎦ ( x + 1) − ( x + 2 ) ⎢⎣ dx ( x + 1) ⎥⎦ ( 2 x ) ( x3 + 1) − ( x 2 + 2 )( 3x 2 ) = f ´( x ) = 2 2 ( x3 + 1) ( x3 + 1)
Si f ( x ) =
=
2 x 4 + 2 x − 3x 4 − 6 x 2
(x
3
+ 1)
2
=
− x4 − 6 x2 + 2 x
(x
3
+ 1)
2
Con lo anterior, podemos resolver otros tipos problemas. Ejemplo 7 Determine f ′(0), si f ( x ) = x ( x + 1)( x + 2 ) ...( x + 100 ) . SOLUCIÓN: La derivada de f sería f ´( x ) = ⎡⎣(1)( x + 1)( x + 2 )"( x + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣ x (1)( x + 2 )"( x + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣ x ( x + 1)(1) ...( x + 100 )⎤⎦ + " Ahor a evaluamos la derivada en cero:
f ´( 0 ) = ⎡⎣(1)( 0 + 1)( 0 + 2 )"( 0 + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣0 (1)( 0 + 2 )"( 0 + 100 )⎤⎦ + ⎡⎣ 0 ( 0 + 1)(1) ...( 0 + 100 )⎤⎦ + "
f ´( 0 ) = (1)( 2 )"(100 ) = 100!
100
0
0
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 8 Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( −2, −5 ) y que son tangentes a la curva definida por la ecuación y = x 2 + 4 x . SOLUCIÓN: Primeramente grafiquemos la curva y el punto. Fig. 3.7
f ( x ) = x2 + 4 x
( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
Fig. 3.7 ( −2, −5)
Note que el punto ( −2, −5 ) no pertenece a la curva. Buscaremos ahora el punto de tangencia (observe que hay dos). La pendiente de la recta tangente es la derivada f evaluada en x = x0 , es decir
mtg = f ´( x0 ) = 2 x + 4 x = x = 2 x0 + 4 0
La pendiente de esta recta también se la puede calcular por los puntos ( −2, −5 ) y ( x0 , y0 ) , es decir:
mtg =
y0 − ( − 5 )
x0 − ( −2 )
=
y0 + 5 x0 + 2
El punto ( x0 , y0 ) pertenece a la curva, por tanto debe satisfacer su ecuación; es decir: y0 = x0 2 + 4 x0 . Al
reemplazar en la ecuación anterior, se obtiene:
mtg =
y0 + 5 x0 2 + 4 x0 + 5 = x0 + 2 x0 + 2
Ahora igualamos las pendientes y encontramos x0 :
2 x0 + 4 =
x0 2 + 4 x0 + 5 x0 + 2
2 x0 2 + 8 x0 + 8 = x0 2 + 4 x0 + 5 x0 2 + 4 x0 + 3 = 0
( x0 + 3)( x0 + 1) = 0 x0 = −3 ∨ x0 = −1
101
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Estos valores los reemplazamos en y0 = x0 2 + 4 x0 , y obtenemos los respectivos y0 :
y0 = ( −3) + 4 ( −3) = 9 − 12 = −3 2
y0 = ( −1) + 4 ( −1) = 1 − 4 = −3 2
Por tanto, los puntos de tangencia son ( −3, −3) y ( −1, −3) . Las respectivas pendientes serían:
mtg = 2 ( −3) + 4 = −2 mtg = 2 ( −1) + 4 = +2 Finalmente las ecuaciones de las rectas tangentes serían:
y − ( − 3 ) = −2 ( x − ( − 3 ) ) y + 3 = −2 ( x + 3 )
y − ( −3) = 2 ( x − ( −1) ) y
y = −2 x − 9
y + 3 = 2 ( x + 1) y = 2x −1
Ejemplo 9 Si f , g y h son funciones tales que h( x) =
f ( x) g ( x) , f (1) = 3 , g (1) = −3 , 2 f ( x) + 3 g ( x)
f ´(1) = −2 , g´(1) = 1 . Determine h´(1) .
Solución: La derivada de h sería: ⎡ f ( x ) g ( x) ⎤ h´( x) = Dx ⎢ ⎥ ⎣ 2 f ( x) + 3 g ( x) ⎦ D [ f ( x) g ( x) ][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) Dx [ 2 f ( x) + 3 g ( x)] = x 2 [ 2 f ( x) + 3 g ( x)] =
[ f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x)][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) [ 2 f ´( x) + 3g´( x)] 2 [ 2 f ( x) + 3 g ( x)]
Ahora evaluando en 1:
[ f ´(1) g (1) + f (1) g´(1)][ 2 f (1) + 3g (1)] − f (1) g (1) [ 2 f ´(1) + 3g´(1)] 2 [ 2 f (1) + 3g (1)] [(−2)(−3) + (3)(1)][ 2(3) + 3(−3)] − (3)(−3) [ 2(−2) + 3(1)] = 2 [ 2(3) + 3(−3)] [6 + 3][6 − 9] + 9[ −4 + 3] = 2 [ 6 − 9] [9][ −3] + 9 [ −1] = 2 [ −3]
h´(1) =
−36 9 h´(1) = −4 =
102
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 10 Demuestre que las gráficas de f ( x ) = 2 senx y g ( x ) = 2 cos x se intersecan en ángulo recto en cierto punto tal que 0 ≤ x ≤
π 2
SOLUCIÓN:
2 sen x = 2 cos x , de aquí se obtiene
La intersección se obtiene igualando las ecuaciones, es decir:
tg x = 1 , lo cual quiere decir que x =
π 4
Fig. 3.8 Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son perpendiculares, es decir m1 m 2 = −1 . Fig. 3.8 Si f ( x ) =
2 sen x , entonces f ´( x ) = 2 cos x que en el punto tenemos: ⎛ 2⎞ ⎟ =1 m1 = 2 cos π4 = 2 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
Si g ( x ) =
2 cos x , entonces g´( x ) = − 2 sen x que en el punto tenemos: m 2 = − 2 sen
π 4
⎛ 2⎞ ⎟ = −1 = − 2 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
Por tanto: m1 m 2 = (1)(−1) = −1 L.Q.Q.D.
Ejercicios Propuestos 3.3 1.
Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a) f ( x ) = 4 3 x + 2ln x − 3e x
(
b) f ( x ) = x + 2 3
)( x
2
+ 1)
c) f ( x ) = ( x − senx )( x + cos x ) d) f ( x ) =
2.
f ( x) =
xe x senx + 1
f)
f ( x) =
1 2 x x e ln x 2
x2 + 1 x senx
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación punto
3.
e)
f ( x ) = x2 + 2 x + 2
en el
(1,5) .
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia
f ( x ) = 3 x 2 + 4 y que sea paralela a la recta 3x + y + 2 = 0 .
103
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
4.
Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto por la ecuación
5.
y = 4x − x
2
( 2,5)
y que son tangentes a la curva definida
.
Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por f ( x ) = 2 x + 3 x − 24 x y 3
2
que son paralelas a la recta cuya ecuación es 12 x − y + 7 = 0 . 6.
Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
y = x2 .
Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en ese punto y logre alcanzar el punto (4,15). 7.
Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
y = 7 − x 2 . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la partícula por primera vez. 8.
Determine f ′(0 ), si f (x ) = x(x − 1)(x − 2)...(x − 50)
9.
Si f , g y h son funciones tales que h( x) =
f ( x) g ( x ) , f (3) = 2 , g (3) = −2 , f ´(3) = −1 , 3 f ( x ) − 4 g ( x)
g´(3) = 2 . Determine h´(3) .
Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena. 3.6.2.1 Regla de la Cadena
Sea y = f (u ) y u = g ( x) . Si g es diferenciable en " x0 " y f diferenciable " g ( x0 ) "
en
compuesta
entonces
la
función
( f D g )( x ) = f ( g ( x ) )
es
diferenciable en " x 0 " y d ( f ( g ( x) ) = f ´( g ( x0 )) [ g´( x0 )] dx x = x0
O lo que es lo mismo dy dy du = dx du dx
u=g( x)
Ejemplo 1
(
)
20
y = x 2 + 2 entonces haciendo u = g ( x) = x 2 + 2 dy du = 20u 19 y = 2x . du dx
Si
104
tenemos
y = f (u ) = u 20
de donde
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Por tanto
(
)
dy dy du = = 20u 19 (2 x ) que al reemplazar " u " resulta dx du dx 19 19 dy = 20 x 2 + 2 (2 x ) = 40 x x 2 + 2 dx
(
(
)
)
(
)
El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida. Ejemplo 2
(
(
)
) [ (
)][
]
Si y = sen x 3 − 3 x entonces y´= Du (senu )D x x 3 − 3x = cos x 3 − 3x 3x 2 − 3
u
Ejemplo 3 ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ Si y = ⎢ ⎥ x 2 − 1 ⎦⎥ ⎣⎢
30
entonces
u 29
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ y´= 30 ⎢ ⎥ Dx ⎢ ⎥ 2 2 ⎣ x −1 ⎦ ⎣ x −1 ⎦ 29 ⎡ 2 2 3 2 ⎤ ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎢ ( 3x + 6 x + 1)( x − 1) − ( x +3 x + x ) ( 2 x ) ⎥ = 30 ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ x −1 ⎦ ( x 2 − 1) ⎣ ⎦
Para el caso de funciones de la forma
y = f ( g (v) ) y ahora dy dy du dv y = f ( u ) ; entonces . = dx du dv dx
v = h( x )
tenemos
O más simplemente
y = f ( g (h( x) ) haciendo que haciendo que u = g (v ) tenemos
y´= ⎡⎣ f ´( g (h( x)) ) ⎤⎦ [ g´(h( x))][ h´( x)]
Ejemplo 4
( )
Si y = cos 3 x 4
2
4
⎡ ⎤ = ⎢cos N 3 x 2 ⎥ entonces: ⎢⎣ v ⎥
⎦
( ) u
105
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
[ ( )] D [cos(3x )] = 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )]D (3x ) = 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )][6 x ]
y´= 4 cos 3 x 2
3
2
x
2 3
2
2
x
2 3
2
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos: Ejercicio Resuelto 1 Si f (2 ) = 4 , f ´(4 ) = 6 , f ´(2 ) = −2 hallar: a)
d [ f (x)]3 en x = 2 dx
b) ( f D f )´(2)
SOLUCIÓN: a)
d [ f ( x)]3 = 3[ f ( x)]2 f ´(x) que en x = 2 sería: dx 3[ f (2)]2 f ´(2) = 3(4 )2 (− 2 ) = −96
4⎤ ⎡ b) ( f D f )´(2) = [ f ( f (2)]´= ⎢ f ´( f (2))⎥[ f ´(2)] = [ f ´(4)][ f ´(2)] = (6)(−2) = −12 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio Resuelto 2 Si H =
f Dg y además: h(2) = −1; g (2 ) = 3; f (3) = 2; h′(2 ) = −2; f ′(3) = 5; g ′(2) = −3 ; determine h
H ′(2) . SOLUCIÓN:
Como H ( x) =
f Dg entonces: h
⎡ f ( g ( x)) ⎤ D x [ f ( g ( x))]h( x) − f ( g ( x))h´(x) H ´(x) = D x ⎢ ⎥= [h( x)]2 ⎣ h( x ) ⎦ [ f ´(g ( x))]g´(x)h( x) − f ( g ( x))h´(x) = [h( x)]2
que en x = 2 sería: 3 ⎤ ⎡ ⎢ f ´( g (2))⎥ g´(2)h(2) − f ( g (2))h´(2) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ H ´(2) = [h(2)]2 [ f ´(3)](−3)(−1) − [ f (3)](−2) = (−1) 2 (5)(−3)(−1) − (2)(−2) = 1 H ´(2) = 19
106
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicio Resuelto 3 Demuestre que la derivada de una función par es una función impar SOLUCIÓN: Sea f una función par, entonces se cumple que f ( − x) = f ( x) . Ahora tomando derivada a ambos
D x [ f (− x)] = D x [ f ( x)]
miembros de la igualdad tenemos:
[ f ´(− x)](− 1) =
f ´(x )
− f ´(− x) = f ´(x) f ´(− x ) = − f ´(x )
La última igualdad nos indica que f ´ es una función impar. L.Q.Q.D
Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:
Sea u = u (x) , entonces: 1. Dx (u n ) = n(u n −1 )u´ 2. Dx (e u ) = e u u´ 3. Dx (a u ) = a u (ln a ) u´ 1 u´ u
4.
D x (ln u ) =
5.
1 u´ u ln a D x (sen u ) = (cos u ) u´
6. 7. 8. 9.
D x (log a u ) =
D x (cos u ) = (− sen u )u´
Dx (tan u ) = ( sec 2 u ) u´
Dx (cot u ) = ( − csc2 u ) u´
10. Dx (sec u ) = ( sec u tan u ) u´ 11. Dx (csc u ) = ( − csc u cot u ) u´
107
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 3.4 1.
2.
Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a)
f ( x ) = x2 − 2x + 2
b)
f ( x) =
⎛ senx ⎞ ⎟ ⎝ cos 2 x ⎠
e) f ( x ) = ⎜
1
⎣
−x
c)
f ( x) =
e −e e x + e− x
d)
f ( x) =
x2 − 1 x2 + 1
(
)⎦
2 f) f ( x ) = ln ⎡ ln x + 1 ⎤
2x − 3 x
3
g) f ( x ) =
1 ⎛ x ⎞ 1 ln ⎜ 2 ⎟− 2 4 ⎝ x −4⎠ x −4 2
Si V = { f / f es una función derivable en un int ervalo I } . Demuestre que:
∀f ∈ V [ f ( − x) = − f ( x) ⇒ f ' (− x) = f ' ( x)] (La derivada de una función impar es una función par) ′
f (u ) = e u
2
u = g (x ) = 4 1 + cos 2 (2 x )
3.
Hallar ( f D g ) (x ) , si
4.
Sean f, g y h funciones diferenciales para todo x ∈ IR , tales que:
y
g (a ) = 2, g ′(a ) = −2, h(2 ) = 3, h ′(2) = −1, f (3) = 3, f ′(3) = −5, f (a ) = a, f ′(a ) = −2 . h(a) = a, h´(a ) = 4 En x = a determine el valor de: a) (g D f )´ d)
( f D h D g )´
b) (g D h )´
′ ⎛ f DhD g −hD g ⎞ ⎟⎟ gD f ⎝ ⎠
e) ⎜⎜
5.
Sea f (0) = 0 y f ' (0) = 2 , encuentre la derivada de f ( f ( f ( f ( x)))) en x = 0 .
6.
Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos x1 y x2 tales que f ( x1 ) = x2 y f ( x2 ) = x1 . Sea
7.
Pruebe que si un polinomio p(x) es divisible entre (ax + b ) entonces p ' ( x ) es divisible entre (ax + b ) .
g (x ) = f ( f ( f ( f (x )))) pruebe que g ' ( x1 ) = g ' ( x2 )
2
Sugerencia: Escriba el polinomio de la forma
108
c) (h D g )´
p ( x ) = ⎣⎡ c ( x ) ⎦⎤ ( ax + b ) y derívelo. 2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de esta función y así sucesivamente. Es decir:
Sea y = f ( x) una función " n " veces derivable, entonces: La primera derivada es: y´= f ´(x) =
dy f ( x + h) − f ( x) = Dx y = lím h→0 dx h
La segunda derivada es: Dx ( y´) = y´´= f ´´(x) =
d2y f ´(x + h) − f ´(x) = Dx2 y = lím 2 h →0 dx h
La tercera derivada es: d3y f ´´(x + h) − f ´´(x) Dx ( y´´) = y´´´= f ´´´(x) = 3 = Dx3 y = lím h → 0 dx h
En fin, La n − ésima derivada es: y n = f n ( x) =
dny f n −1 ( x + h) − f n −1 ( x) n D y = = lím x h→0 dx n h
Ejemplo 1 ⎛
1 ⎞ ⎟ ⎝ 1 − 2x ⎠
Hallar D xn ⎜
SOLUCIÓN: Aquí tenemos:
y=
1 −1 = (1 − 2 x ) . 1 − 2x
Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta:
y´= −(1 − 2 x )−2 (− 2 ) = (1 − 2 x )−2 2 = 1! (1 − 2 x )−2 21 y´´= 2(− 2 )(1 − 2 x )−3 (− 2) = 2(1 − 2 x )−3 2 2 = (2! )(1 − 2 x )−3 2 2 y´´´= 2(− 3)(1 − 2 x )− 4 (− 2)2 2 = (2 × 3)(1 − 2 x )− 4 2 3 = (3! )(1 − 2 x )− 4 2 3 y IV = (2 × 3)(−4)(1 − 2 x )−5 (−2)2 3 = (2 × 3 × 4)(1 − 2 x )−5 2 4 = (4!)(1 − 2 x )−5 2 4 Directamente la quinta derivada sería
y V = (5!)(1 − 2 x ) 2 5
n Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y = (n!)(1 − 2 x )
−6
− (n +1)
2n
109
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2 ⎛ 1 ⎞ Hallar Dxn ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 3x ⎠
SOLUCIÓN: Aquí tenemos: y =
1 −1 = (1 + 3x ) . 1 + 3x
Obteniendo derivadas:
y´= − (1 + 3 x )
−2
y´´= +2 (1 + 3 x )
( 3) −3
(3 ) 2
y´´´= − ( 2 × 3)(1 + 3x )
−4
(3 ) 3
y IV = +(2 × 3 × 4) (1 + 3 x ) (34 ) −5
Directamente la quinta derivada sería yV = − ( 5!)(1 + 3 x ) Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y n = ( −1)
Ejemplo 3
n
−6
(3 ) 5
( n !)(1 + 3x ) (
− n +1)
(3 ) n
( )
Demuestre que D xn x n = n! ; n ∈ ` SOLUCIÓN: Como y = x n entonces: y´= nx n −1 y´´= n ( n − 1) x n − 2 y´´´= n ( n − 1)( n − 2 ) x n − 3 "
y n = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)"( n − ( n − 1) ) x n − n = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)"(1) = n!
Ejercicio Propuesto 3.5 1.
Calcular las derivadas de orden superior indicadas.
a.
d4 dx
b.
c.
110
4
[cos (x )] 2
d 2 ⎡ x sen2 (πx ) ⎤ ⎢ ⎥ dx 2 ⎢⎣ 1 + x ⎥⎦ dn dx n
[xe ] x
n⎛
5 ⎞ ⎟ ⎝4− x⎠
d. Dx ⎜
e. Dx f.
30 ⎡1 +
d 35 dx35
x⎤ ⎢1 − x ⎥ ⎦ ⎣
[xsenx]
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎢x ⎜ ⎟⎥ dx ⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎥ ⎣ ⎦
2.
Determine
3.
Usando el símbolo factorial, encuentre una fórmula para:
(
)
D xn a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 , n ∈ ` 4.
Determine un polinomio P de grado 3 tal que P (1) = 1 , P´(1) = 3 , P´´(1) = 6 , P´´´(1) = 12 .
Hasta aquí hemos tratado con funciones cuyas reglas de correspondencia estaban dadas por una ecuación de la forma y = f ( x ) , esta forma la llamaremos en adelante EXPLÍCITA; suponga ahora que la ecuación de una función esté dada en la forma F ( x, y ) = 0 , forma que le llamaremos IMPLÍCITA, y suponga que se desea obtener la derivada y´ de esta ecuación sin necesidad de despejar y ; de ahí la necesidad de mencionar mecanismo de derivación para este tipo de problema.
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Para obtener y´ en una función implícita F ( x, y ) = 0 sin necesidad de despejar y ; es más, suponga que no se pueda despejar y , hay que considerarla como F ( x, f ( x)) = 0 y derivando cada miembro de la ecuación tomando en cuenta las reglas mencionadas lograríamos lo deseado. Ejemplo Sea x − y = 0 la ecuación de una función (asegúrese que en verdad representa una función) la derivada la podemos obtener por una de las siguientes formas: 4
5
1. Despejando y (forma explícita: y = x
4
5
) entonces:
4 − 15 x 5 4 5 2. Sin despejar y (forma implícita: x − y = 0 ).
y´=
La consideraremos como x − ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ = 0 . Ahora derivamos cada miembro de la ecuación: 5
4
5 Dx ⎡ x 4 − ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ⎤ = Dx [ 0] ⎣ ⎦
4 x3 − 5 ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ f ´( x ) = 0 Ahora despejamos f ´( x ) : 4
f ´( x ) =
4 x3 5 ⎣⎡ f ( x ) ⎦⎤
4
Por ahora podemos comprobar que los resultados son los mismos, simplemente habría que reemplazar
f ( x) = x 5 : 4
111
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f ´( x ) =
4 x3 5 ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦
4
=
4 x3 5 ⎡x 5 ⎤ ⎣⎢ ⎥⎦ 4
4
=
4 x3 16
5x
5
=
4 − 15 x 5
Ejemplo 2 Sea x + y = 1 con y ≥ 0 (semicircunferencia), hallar y´ SOLUCIÓN: 2
2
PRIMER MÉTODO. 2 Como es posible despejar y , tenemos y = + 1 − x
y´= Entonces:
1 2
(1 − x ) ( −2 x )
=−
1 2 − 2
x 1− x
2
=−
x y
SEGUNDO MÉTODO.
Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como x + [ f ( x)] = 1 y tomar derivada a ambos 2
miembros de la igualdad:
(
2
)
Dx x 2 + [ f ( x)]2 = Dx (1) 2 x + 2 f ( x) f ´(x) = 0
que es lo mismo que: 2 x + 2 yy´= 0 despajando y´ resulta: y´= −
x x =− y 1 − x2
Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico. Ejemplo Suponga que la ecuación fuese x 2 + y 2 = −1 Esta ecuación no representa lugar geométrico, sin embargo obtener y´ sería de la misma forma que el ejemplo anterior.
En los ejemplos anteriores se demuestra que la derivación implícita es válida, la comprobación no siempre va a ser posible. Pero lo que se requiere es obtener la derivada y es lo que hemos dejado explicado. Observe además que las ecuaciones implícitas podrían representar no sólo funciones sino una relación cualquiera, entonces estaríamos en capacidad de obtener la derivada en cualquier punto de esa relación. Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.
112
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicio Resuelto 1 Hallar y´ para 4 x 3 + 7 xy 2 = 2 y 3 SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros y resolviendo tenemos:
(
) ( ) + (7 y + 7 x 2 yy´) = 6 y y´ Dx 4 x3 + 7 xy 2 = Dx 2 y 3
12 x
2
2
2
12 x 2 + 7 y 2 + 14 xyy´= 6 y 2 y´ Despejando y´ resulta: y´=
12 x 2 + 7 y 2 6 y 2 − 14 xy
Ejercicio Resuelto 2
( )
Hallar y´ para x + ln x 2 y + 3 y 2 = 2 x 2 − 1 SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:
(
( )
)
(
)
Dx x + ln x 2 y + 3 y 2 = Dx 2 x 2 − 1 1+
1
[2xy + x y´]+ 6 yy´= 4 x 2
x2 y
1+
2 y´ + + 6 yy´= 4 x x y
Despejando y´ resulta:
y´=
4x − 1 − 6y +
2 x
1 y
Ejercicio Resuelto 3
( )
Hallar y´ para cos xy 2 = y 2 + x x + y SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:
( ( ))
(
Dx cos xy 2 = Dx y 2 + x x + y
( )[ ] sen (xy ) − 2 xyy´sen(xy ) = 2 yy´+
)
− sen xy 2 1 y 2 + x 2 yy´ = 2 yy´+1 x + y + x
− y2
2
2
[ (x + y ) 1 2
− 12
(1 + y´)]
x xy´ x+ y + + 2 x+ y 2 x+ y
Despejando y´ resulta:
( )
− y 2 sen xy 2 − x + y − y´= 2y +
x 2 x+ y
( )
x + 2 xy sen xy 2 2 x+ y
113
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicio Resuelto 4 Determinar la ecuación de la recta normal a la curva cuya ecuación es P(0,0). SOLUCIÓN: La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto m normal = −
x cos y = sen( x + y )
en
1 m tg
D x (x cos y ) = D x (sen (x + y ))
Ahora m tg = y´ (0,0 ) . Obteniendo y´ resulta: 1 cos y + x(− sen yy´) = cos( x + y )[1 + y´] En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir: x = 0 y y = 0 y luego
cos 0 + 0(− sen 0 y´) = cos(0 + 0)[1 + y´] . despejar y´ : 1 + 0 = 1 + y´ y´= 0
Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con pendiente
mnormal = −
1 = −∞ 0
Y su ecuación será:
y−0 = −
1 (x − 0) (el eje y ). 0
x=0
Ejercicio Resuelto 5 Sea x y − 2 y = 2 . Encuentre SOLUCIÓN: Primero se encuentra y ' : 2
3
(
y' ' en (2,1).
)
D x x 2 y − 2 y 3 = D x (2) 2 xy + x y´−6 y 2 y´= 0 2
En (2,1) sería:
2(2)(1) + (2) 2 y´−6(1) 2 y´= 0 y´= 2
Ahora encontramos
y' ' volviendo a derivar implícitamente:
(
)
D x 2 xy + x 2 y´−6 y 2 y´ = D x (0)
(
)
2 y + 2 xy´+2 xy´+ x y´´− 12 yy´ y´+6 y y´´ = 0 2
2
2(1) + 2(2)(2) + 2(2)(2) + (2) 2 y´´−12(1)(2)(2) − 6(1) 2 y´´= 0 2 + 8 + 8 + 4 y´´−48 − 6 y´´= 0 En (2,1) sería: y´´= 15
114
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 3.6 1.
2.
dy para: dx
Encontrar
2
d. sec y + tan y = xy
2
a.
x 3 + y 3 =1
b.
ln ( xy ) + y = 1
c.
e xy + ln y = 0
e. ln ( xy ) +
y =5
2 3 2 2 Demuestre que la rectas tangente a las curvas definidas por las ecuaciones y = 4x y 2 x + 3 y = 14 en el punto
(1,2) son perpendiculares entre sí.
3.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x3 + 3 xy 3 + y = 5 en el punto
4.
3 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de x 2 + y 2 = 8 x 2 y 2 en el punto (1,−1)
5.
(1,1)
)
(
[2
]
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy − sen π (x + y ) + 1 = 2 en el punto (1,1)
6.
3
3
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x 2 + y 2 = 2 que es paralela a la recta x + y + 6 = 0
7.
2 2 Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación x y = ( y + 1)2 (4 − y )2 en
8.
Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación x cos(2 y ) = 3 sen (x + y ) en el
9.
2 3 Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación x + y = 2 xy donde la recta tangente
el punto (0,−2) .
punto (0,0) .
a f sea horizontal. 10. Encuentre y ' ' si 11. Calcula:
d2y dx
2
x3 − 4 y 2 + 3 = 0 para
2
x
3
+y
2
3
=1
12. Para la función y = f (x) dada en forma implícita por la ecuación
x − tg y + e
y − π4
= 2 determine
d2y dx 2
( )
en el punto 2, π . 4
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA Las ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma: ⎧ x = x(t ) C:⎨ ⎩ y = y (t ) Tanto x como y están expresadas en términos del parámetro t , el objetivo dy será hallar directamente . dx
115
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.5.1 Teorema de la derivada de funciones definidas por ecuaciones paramétricas.
Suponga que x = x(t ) y y = y (t ) son funciones continuamente diferenciables, y que x´(t ) ≠ 0 para cualquier " t " de cierto intervalo. Entonces las ecuaciones paramétricas definen a " y " como una función diferenciable de " x " y su derivada es: dy dy dy dt = = dt dx dx dt dx dt Ejemplo 1 Sea la circunferencia con ecuación cartesiana x 2 + y 2 = 1 , la derivada también puede ser hallada partiendo
dy
⎧ x = cos t dy cos t x = dt = =− de su ecuación paramétrica C : ⎨ , es decir: dx dx − sen t y y = t sen ⎩
dt Esta manera representaría un tercer método para hallar la derivada, tal como se puede observar.
Ejemplo 2 ⎧⎪ x = e t cos t
Sea ⎨
⎩⎪ y = e sent SOLUCIÓN: t
hallar
dy dx
dy et sent + et cos t sent + cos t dy = dt = t = dx dx e cos t − et sent cos t − sent dt
Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera derivada es función de " t ", es decir que
dy = y´(t ) ; por tanto: dx
Segunda derivada:
116
d2y dx 2
d [y´(t )] = d [y´(t )] dt = = dx dt dx
d [ y´(t )] dt = y´´(t ) dx dt
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
d [ y´´(t )] dt d = Tercera Derivada: 3 = [ y´´(t )] = dx dt dx dx d3y
d [ y´´(t )] dt = y´´´(t ) dx dt
Y así sucesivamente. Ejemplo 1 ⎧ x = cos t d3 y Sea C : ⎨ hallar . dx3 ⎩ y = sen t SOLUCIÓN: dy dy cos t = dt = = − cot ( t ) Ya encontramos la primera derivada: dx dx − sen t dt d d y´ − cot t ) − ( − csc 2 t ) d 2 y dt ( ) dt ( = = = = − csc3 t La segunda derivada sería: 2 dx dx dx − sent dt dt d d y´´ − csc3 t ) −3csc 2 t − csc t cot gt d 3 y dt ( ) dt ( ( ) = −3csc4 t cot gt = = = La tercera derivada sería: dx dx dx 3 −sent dt dt
Ejemplo 2 ⎧⎪ x = e t cos t
Sea ⎨
hallar
d2y dx 2
⎪⎩ y = e sent SOLUCIÓN: La primera derivada ya la encontramos: dy et sent + et cos t sent + cos t dy = dt = t = dx dx e cos t − et sent cos t − sent dt La segunda derivada sería: d ⎛ sent + cos t ⎞ d ( y´) dt ⎜⎝ cos t − sent ⎟⎠ d2y = dt = dx dx dx 2 dt dt ( cos t − sent )( cos t − sent ) − ( sent + cos t )( − sent − cos t ) t
( cos t − sent )
=
et cos t − et sent
( cos t − sent ) + ( sent + cos t ) 2 ( cos t − sent ) = 2
=
2
2
= et cos t − et sent cos 2 t − 2cos tsent + sen 2t + sen 2t + 2cos tsent + cos 2 t et ( cos t − sent )
3
d2y 2 = dx 2 et ( cos t − sent )3
117
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 3 Calcular
dny dx n
⎧⎪ x = ln t para: ⎨ ⎪⎩ y = t m ; m ∈ R
SOLUCIÓN: Hallando las primeras derivadas, suficientes hasta poder generalizar, tenemos: dy dy mt m −1 mt mt −1 = dt = = = mt m Primera derivada: dx 1 dx t −1 dt t
d [ y´(t )] m 2 t m −1 dt = = = m 2t m Segunda derivada: −1 2 dx dx t dt d [ y´´(t )] d3y m 3 t m −1 dt = = = m 3t m Tercera derivada: dx dx 3 t −1 dt d2y
Directamente, la cuarta derivada sería: Por tanto:
dny dx
n
d4y dx 4
= m 4t m
= mnt m
Ejercicios Propuestos 3.7 1. Hallar
dy para: dx a.
⎧ x = a (cos t + tsent ) ⎨ ⎩ y = a (sent − t cos t )
b.
⎧ 2 ⎪⎪ x = t + 1 t −1 ⎨ ⎪y = 2 ⎪⎩ t +1
⎧ x = a(t − sen t ) π en t = ( ) = − y a 1 cos t 2 ⎩
2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎧⎪ x = 2t − t 2
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎪⎩ y = 3t − t 3
en el punto (1,2)
⎧ x = 4 sen 2t − 3 cos 3t en t = 0 ⎩ y = 3 sen t + 4 cos 2t
4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎧⎪ x = t 2
5. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨
⎪⎩ y = 2t 3 + 4t − 1
; t ∈ IR . Encontrar las ecuaciones de las
rectas tangentes a C y que pasen por el origen.
⎧⎪ y = cos t d2y d3y . Calcule a) y b) ⎪⎩ x = ln ( cos t ) dx 2 dx 3
6. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨
118
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.6 DERIVACIÓN POLAR Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares, para encontrar la derivada procedemos del mismo modo que para ecuaciones paramétricas.
⎧ x = r cos( θ ) ⎩ y = r sen (θ )
Si tenemos r = f (θ ) y como ⎨
⎧ x = f (θ ) cos( θ ) ⎩ y = f (θ ) sen (θ )
Al reemplazar queda ⎨
dy f ´(θ ) senθ + f (θ ) cosθ dy = dθ = Entonces f ´(θ ) cosθ − f (θ ) senθ dx dx dθ Para encontrar la ecuación de la recta tangente: y
Fig. 3.13
r = f (θ )
( r0 ,θ0 ) r0 y0
θ0
x0
x
Considere que la ecuación cartesiana de una recta, definida por un punto y su pendiente, es de la forma:
y − y 0 = m ( x − x0 )
Entonces:
119
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
x0 = f (θ 0 )cosθ 0 y0 = f (θ 0 )senθ 0
dy dy m= = dθ dx dx dθ
=
f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0 f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0
θ =θ 0
Ejemplo Encuentre la ecuación de la recta tangente a r = f ( θ ) = 4 sen 3θ en θ 0 = SOLUCIÓN: Observa la gráfica:
π 4
Fig. 3.14
x0 = f ( θ 0 ) cos( θ 0 ) = f ( π ) cos( π )
En este caso
[
] 4
4
= 4 sen 3 π cos π 2 =4 2
y 0 = f ( θ 0 ) sen( θ 0 ) = f ( π ) sen( π )
4
y
4
2 2
[
2 =4 2
x0 = 2
] 4
4
4
= 4 sen 3 π sen π 4
2 2
y0 = 2
Para la pendiente, tenemos: f ´(θ) = 12 cos 3θ Entonces: m= =
f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0 f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0
[12 cos 3 π4 ]sen π4 + [4sen3 π4 ]cos π4 [12 cos 3 π4 ]cos π4 − [4sen3 π4 ]sen π4
⎡ 2⎤ ⎢ − 12 2 ⎥ ⎣ ⎦ = ⎡ 2⎤ ⎢ − 12 2 ⎥ ⎣ ⎦ −6+2 = −6−2 1 m= 2
2 ⎡ 2⎤ 2 + ⎢4 ⎥ 2 ⎣ 2 ⎦ 2 2 ⎡ 2⎤ 2 − ⎢4 ⎥ 2 2 2 ⎣ ⎦
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente estaría dada por:
120
y − y 0 = m(x − x0 ) y−2=
1 2
( x − 2)
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios propuestos 3.8 en θ 0 = π 4 r = 4sen 3θ en θ 0 = π 6
1.
Hallar la ecuación de la recta tangente a r = − 4 cos 3θ
2.
Hallar la ecuación de la recta tangente a
3.
Hallar la ecuación de la recta tangente a r =
4.
Hallar la ecuación de la recta tangente a
en θ 0 = π 6 r = 3 − 4 sen 3θ en θ 0 = π 3 2 sen 3θ
3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.7.1 Teorema de existencia de la función inversa.
Si f es una función estrictamente monótona en su dominio entonces f tiene una inversa. El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de la función inversa.
3.6.7.2 Teorema de la derivada de la función inversa.
Sea f una función derivable y estrictamente monótona en un intervalo I . Si f ´(x) ≠ 0 en cierto " x " en I , entonces f −1 es derivable en el punto correspondiente " y ", y 1 ⎡ d −1 ⎤ ( ) f y = ⎢⎣ dx ⎥⎦ f ´(x)
121
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de la recta −1 tangente a f ( m1 ) y la pendiente de la recta tangente a f ( m2 ) se relacionan de la forma
m2 =
1 m1
. Y que se puede encontrar la derivada de la inversa f
−1
,
trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir, sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f
−1
.
Fig. 3.15 Ejemplo 1 ⎡d 5 Sea f ( x ) = x + 2 x + 1 una función estrictamente monótona. Hallar ⎢ f ⎣ dx SOLUCIÓN: En este caso "4" es rango para
⎡d ⎢ dx f ⎣
f
por tanto habrá que encontrar el correspondiente
x
−1 ⎤
⎥ (4 ) ⎦
para reemplazarlo en:
−1 ⎤
1 ⎥ (4) = f ´(x ) ⎦
5 Entonces, teniendo 4 = x + 2 x + 1 por inspección deducimos que x = 1 la satisface.
⎡d
f Por lo tanto, ⎢ ⎣ dx
−1 ⎤
1 1 1 = ⎥ (4) = f ´(1) = 4 ⎦ 5(1) + 2 7
No olvide que este resultado significa que la recta tangente a
por tanto su ecuación sería: y − 4 = 7(x − 1) En cambio, la recta tangente a ecuación: y − 1 =
122
1 (x − 4 ) 7
f
−1
f
en el punto (1,4 ) tiene pendiente m = 7 y
en el punto correspondiente (4,1) tiene pendiente m =
1 y por 7
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2 Obtenga la derivada para la función inversa de f ( x) = e empleando el teorema de la derivada de la función inversa. SOLUCIÓN: 1 ⎡ d −1 ⎤ De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Función Inversa ⎢ f ⎥(x ) = dx f ´ (y) ⎣ ⎦ x
Como f ( x ) = y = e x tenemos que f ´(x ) = e x y f ´( y ) = e y y además al cambiar la variable resulta
x = e y , lo cual nos permite decir que: f ´( y ) = x ⎡d f ⎣ dx
Bien, reemplazando ⎢
−1 ⎤
1 1 ⎥ ( x) = f ´( y ) = x ⎦
(No olvide la inversa de la función exponencial es la logarítmica, es decir: determinamos con su definición)
f −1 ( x) = ln x
, cuya derivada la
3.6.7.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas 1 D x (arcsen x ) = ; −1 < x < 1 1− x2 1 D x (arccos x ) = − ;−1 < x < 1 1− x2 1 D x (arctg x ) = 1+ x2 1 Dx ( arc co tg x ) = − 1 + x2 1 D x (arc sec x ) = ; x >1 x x2 −1
Demostración: Demostraremos la primera. Planteemos el problema de la siguiente manera: Sea
[
f ( x) = y = sen x hallar D x f
−1
]
( x) = D x [arcsen x ]
SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de la Derivada de la función inversa tenemos:
[
Dx f
−1
]
( x) = D x [arcsenx] =
1 f ´( y )
Entonces, f ´( y ) = cos y . Ahora habrá que encontrar cos y , sabiendo que x = seny (cambiando la variable en la función dada). Por trigonometría, decir que seny =
x significa que cos y = 1 − x 2 (observe la figura 3.16) 1
123
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Fig. 3.16
Por lo tanto, D x [arcsenx] =
1 1 = L.Q.Q.D. cos y 1− x2
Las fórmulas anteriores pueden ser generalizadas para una función u = u (x)
D x (arcsen u ) =
1
D x (arccos u ) = −
1− u2 1
u´ ;−1 < u < 1
1− u2
u´ ;−1 < u < 1
D x (arctg u ) =
1 u´ 1+ u2 1 D x (arc sec u ) = u´ ; u > 1 u u 2 −1 Ejemplo ⎛ y⎞ Hallar y´ para arc tg⎜ ⎟ = ln ⎝x⎠
x2 + y2
SOLUCIÓN: Derivando implícitamente, tenemos:
[ (
)] (
⎡ ⎛ y ⎞⎤ Dx ⎢arc tg ⎜ ⎟⎥ = Dx 1 ln x 2 + y 2 2 ⎝ x ⎠⎦ ⎣ 1 1 ⎛ y⎞ 1 D ⎜ ⎟= Dx x 2 + y 2 2 x⎝ x ⎠ 2 2 x + y2 y⎞ ⎛ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ ⎡ y´x − y (1) ⎤ 1 [2 x + 2 yy´] ⎢ ⎥= 2 2 x2 ⎦ 2x +y
1
(
y2 1+ 2 ⎣ x
)
⎡ xy´− y ⎤ 2/ (x + yy´) 1 ⎢ ⎥= x 2 + y 2 ⎣ x 2 ⎦ 2/ x 2 + y 2
(
x
2
x 2 (xy´− y )
x + yy´ = x2 x2 + y2 x2 + y 2 xy´− y = x + yy´
(
)
xy´− yy´= x + y y´=
124
x+ y x− y
)
)
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 3.9 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟(6 ) ⎝ dx ⎠
1.
Si f (x ) = x + 3 x + 2 hallar ⎜
2.
2 Si f (x ) = x − 3x + 1 para x > 3
3.
⎛ dg ⎞ π , si g es la función inversa de Hallar ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ 4
4.
Si f es una función inversible y diferenciable. Si en el punto ( 2,4) ∈ f , la recta tangente es paralela a la
7
3
2
; hallar
()
⎛ d −1 ⎞ f ⎟ (5) . ⎜ ⎝ dx ⎠ f tal que: f (x ) = ln x + arc tg x
⎛ d −1 ⎞ f ⎟(4 ) . ⎝ dx ⎠
recta x − 3 y + 2 = 0 determine el valor de ⎜ 5.
6.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la inversa de la función f ( x) = x + 2 x − 3 en el punto 3
(0, f
−1
(0)
)
Determine la ecuación de la recta tangente a la función y = f −1( x ) en el punto
( −2, f
−1
(−2) ) donde
f ( x) = 3 x3 + 2 x + 3, x ∈ IR 7.
Hallar la ecuación de la recta normal a la inversa de
f en
( 2a, f
−1
(2a) )
si se conoce que
f ´(a ) = f (a ) = 2a . 8.
⎛ d −1 ⎞ f ⎟(0) conociendo que la ecuación cos(xy ) + x − 3 y = 2 define una función invertible Hallar ⎜ ⎝ dx ⎠
(y =
f (x) ) en un intervalo que contiene el punto x = 1 y f (1) = 0 dy 9. Calcular , para : dx a.
⎡ ⎤ y = xarcsenx − ln ⎢ x + x 2 + 1 ⎥ ⎣ ⎦
⎛ 4senx ⎞ c. y = arctg ⎜ ⎟ ⎝ 3 + 5 cos x ⎠
b.
⎛x⎞ y = xarctg ⎜ ⎟ − ln x 2 + 4 ⎝2⎠
d.
(
)
(
3 y = e arctg x + senx
)
3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son un tanto g ( x) complicadas o cuando son funciones potenciales de la forma y = f ( x ) , lo mejor será aplicar logaritmo y derivar implícitamente. Ejemplo 1 Hallar
dy para y = x x dx
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
ln y = ln x x ln y = x ln x Ahora derivando implícitamente, resulta:
125
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Dx (ln y ) = Dx (x ln x ) 1 ⎛1⎞ y´= (1) ln x + x⎜ ⎟ y ⎝x⎠ y´= y[ln x + 1] y´= x x [ln x + 1]
Ejemplo 2 Hallar
dy para y = [sen 2 x ]arctg x dx
SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
(
)
ln y = ln [sen 2 x ]arctg x ln y = arctg x ln (sen 2 x )
Ahora derivando implícitamente, resulta: Dx ln y = Dx [arctg x ln (sen 2 x )]
1 1 ⎡ 1 (cos 2 x )(2)⎤⎥ y´= ln (sen 2 x ) + arctg x ⎢ 2 y 1+ x ⎣ sen 2 x ⎦
⎡ ln (sen 2 x ) 2 arctg x cos 2 x ⎤ y´= y ⎢ + ⎥ sen 2 x ⎣ 1 + x2 ⎦ ( ) x x cos 2 x ⎤ ln sen 2 2 arctg ⎡ y´= [sen 2 x ]arctg x ⎢ + ⎥ 2 sen 2 x ⎣ 1+ x ⎦
Ejemplo 3 Hallar
dy dx
para
y = xx
x
SOLUCIÓN:
Ahora, hay que aplicar dos veces logaritmo. Primero, aplicando logaritmo tenemos:
( )
ln y = ln x x
x
ln y = x x ln x Luego, volvemos a aplicar logaritmo:
(
ln (ln y ) = ln x x ln x
)
ln(ln y ) = ln x + ln(ln x) x
ln(ln y ) = x ln x + ln(ln x) Y ahora sí, derivamos implícitamente:
126
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz D x [ln(ln y )] = D x [x ln x + ln(ln x)] 1 1 1 1 1 y´= (1) ln x + x + ln y y x ln x x 1 ⎤ ⎡ y´= y ln y ⎢ln x + 1 + x ln x ⎥⎦ ⎣ x x ⎡ 1 ⎤ y´= x x ln x x ⎢ln x + 1 + ln x x ⎥⎦ ⎣ x 1 ⎤ ⎡ y´= x x x x ln x ⎢ln x + 1 + x ln x ⎥⎦ ⎣
Existen situaciones en que es recomendable emplear la derivación logarítmica Ejemplo Hallar
dy para y = dx
x 2 + 2 3 1 + arctg x 4
1 + ex
SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos: ⎡ x 2 + 2 3 1 + arctg x ⎤ ⎥ ln[ y ] = ln ⎢ 4 x ⎢ ⎥ 1 + e ⎣ ⎦ ln y =
1 ln 2
(x
2
)
(
+ 2 + 13 ln (1 + arctg x ) − 14 ln 1 + e x
)
Ahora derivando implícitamente, resulta:
)
( (
(
Dx (ln y ) = Dx 1 ln x 2 + 2 + 1 ln (1 + arctgx ) − 1 ln 1 + e x 2
3
4
)
( )
⎞ ⎛ 1 1 1 (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ − 1 1 x e x y´= y 2 x2 + 2 3 1 + arctgx ⎝ 1 + x ⎠ 4 1 + e ⎡1 1 ⎛ y´= y ⎢ (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 2 + 2 3 1 arctgx ⎝1+ x ⎣⎢ x + 2
( )
⎤ ⎞ 1 1 ⎟− ex ⎥ ⎟ 4 x 1+ e ⎥⎦ ⎠
Finalmente, reemplazando resulta: y´=
x 2 + 2 3 1 + arctgx ⎡ 1 1 ⎛ (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 ⎢ 2 2 + 3 1 arctgx 4 x ⎝ 1+ x ⎣⎢ x + 2 1+ e
( )
⎤ ⎞ 1 1 ⎟− ex ⎥ ⎟ 4 x 1+ e ⎥⎦ ⎠
Ejercicios Propuestos 3.10 1. Calcular
a.
y=
dy , para : dx
sec 5 x
3
tgx + 1
e.
y = xnnx
f.
⎡ arcsen sen 2 x ⎤ y=⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ arccos cos x ⎦⎥
csc x 3 − 4 b.
y=
4
x 3 cos 4 x
3
1− x2
(4x − x )
3 5
( (
) )
arctg 2 x
127
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
c.
x −1
y= 3
d.
2.
( x + 2 ) ( x + 3) 2
y=x
(
(
h.
y = (ln(sen(3x)))arctg(cos(3x))
i.
(x + y ) y
= x2 + y2
j.
y = (1 + x 2 )
2
arcsen(e x )
3
3x
g.
y = arcsen 1 + e 2 x
))
sec x
x
(
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y = 1 + e x
)ln(x+1) en el
punto (0,1)
y x 3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación. x + y = 2 en el punto (1,1) . 4. Determine
d2y dx
3.7
2
(1,2) , si existe, para
x y + xy = 3
FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
Existen funciones especiales, denominadas Hiperbólicas, que se definen a partir de la función exponencial. 3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO
Su regla de correspondencia es
e x − e− x y = f ( x) = senhx = 2
Por tanto su gráfica sería:
Fig. 3.17
3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO
Su regla de correspondencia es:
128
e x + e −x y = f ( x) = cosh x = 2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Por tanto su gráfica sería:
Fig. 3.18
3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA Su regla de correspondencia es:
senhx e x − e − x = y = f ( x) = tghx = cosh x e x + e − x Por tanto, su gráfica sería:
Fig. 3.19
Se puede demostrar que
cosh 2 x − senh 2 x = 1
129
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
D x (senh x ) = cosh x
D x (cosh x ) = senh x
D x (tgh x ) = sec h 2 x
D x (c tgh x ) = − csc h 2 x
D x (sec hx ) = − sec hx tgh x
D x (csc hx ) = − csc hxc tgh x
¡Demuéstrelas!
Misceláneos 1.
Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta. a)
⎛ d( f D g)⎞ Si f ´(2) = g´(2) = g ( 2) = 2 entonces ⎜ ⎟ ( 2) = 4 ⎝ dx ⎠
b)
La función f ( x) = sen x no es derivable en x = 0
c)
Si
d)
3 La ecuación de la recta tangente a la curva y = x en el punto (1,1) es y − 1 = 3(x − 1) .
e)
f y g son derivables en x = c y f ´(c) = g (c) = 0 y h( x) = f ( x) g ( x) entonces h´(c) = 0 .
La expresión lim x→
sen x − 1 x− π
π 2
es la derivada de f ( x) = sen x cuando x = π . 2
2
f)
La función f ( x ) = 6 x3 + 5 x − 3 no tiene rectas tangentes con pendiente 4.
g)
Si y ( x) = x
h)
Si g ( x) = f e
i)
Si f es una función continua en el intervalo cerrado a, b y f ( a ) = f (b) entonces en algún punto
j)
1 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟( x ) = Si f es una función invertible entonces ⎜ . dx f ´( x) ⎝ ⎠
k)
Si
xx
entonces y´(x ) = x
xx x⎛
1⎞ x ⎜ ln x + ln 2 x + ⎟ x⎠ ⎝
( f ( x) ) tal que f (0) = ln 2 , f ´(0) = −2 y f ´(2) = 3 entonces g´(0) = −12 [ ]
del intervalo abierto (a, b ) , la función f tiene una recta tangente que es paralela al eje x .
f ,
g
y
h
son funciones tales que
(f
D g D h )´(2) = 4 ,
g (1) = g´(1) = −1 y
h(2) = h´(2) = 1 entonces f ´(−1) = 0 l)
Si
f
es una función inversible y derivable tal que
⎛ d −1 ⎞ f ⎟ ( −2 ) = 1 . ⎜ ⎝ dx ⎠
130
f ´(1) = 4 y
f (1) = −2 entonces
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
m) Si h( x) = f (1 + f (1 + f ( x)) ) , f (1) = 1 , f ( 2) = −1 , f ´(1) = 5 , f ´(2) = −2 y f ´(0) = 3 entonces h´(1) = −30
n)
⎧2 x − 1; x ≥ 1 ⎪ x ; 0 ≤ x < 1 es derivable ⎪ 3x ; x < 0 ⎩
La función de variable real f con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨ en todo su dominio.
;x ≤ 0 ⎧ g ( x) ⎪⎪ 2 o) Existen funciones g y h tales que la función f ( x ) = ⎨3 x − 5 x + 4 ;0 < x < 1 es derivable en ⎪ h( x) ;x ≥1 ⎪⎩
\.
todo p)
Si tenemos las curvas
f ( x ) = x 2 + ax + b y g ( x ) = x3 + cx . Entonces no existen valores
a, b, c ∈ \ , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto (2,2) . y
= y x define una función y = f (x) entonces la ecuación de la recta tangente a f en el punto (1,1) es y = x − 1 .
q)
Si la ecuación x
r)
Si g es la función inversa de f ( x) = 2 x + ln x entonces g´(2) = 2 . 5
s)
Si f es una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨ ⎪ 2
t)
⎩x + 2 ; x > 1
u)
Si f (c) = g (c ) = 0 y h( x) = f ( x) g ( x) entonces h´(c) = 0
v)
Si
C es
un
lugar
geométrico
plano
cuyos
puntos
satisfacen
entonces la recta tangente a
P (x0 , y0 )∈ C , tiene por ecuación
y y + 0 =1 b2
Encuentre
b.
y ( x) = x 2 + 1
2
(
x0 y a2
ecuación:
C en cualquier punto
\ en \ tales que f ´= g´ entonces f = g
2
)ln x sen (ln 2 (cos x + e3 x )
c.
y ( x) =
d.
x y arctg⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 − ⎝ y⎠ y2 x
y ( x) = xe + e x y ( x) =
la
dy para dx
x 2 y 2 + ecos(x + y ) = x cos y
g.
el
x y + 2 = 1 ; a, b ∈ \ − {0} , 2 a b
a.
f.
en
2
w) Si f y g son funciones de
e.
entonces f ´(1) existe.
f ´(2) = g´(2) = g (2) = 2 entonces ( f D g )´(2) = 4 .
2
2.
;x ≤1
⎧⎪ 3x
i.
y ( x) = (sen3 x )arctg (x
j.
2 y ( x) = arcsen(ln x ) + earctg x
k.
ln (x + y ) = arctg⎛⎜ ⎝
l.
y ( x) = e tg x tg e x
m.
(x + y ) y = x 2
x
2 + 3x 2 − 3x
3 1 + arctg x
y ( x) =
x cos x + x
y ( x) = ln
x2 + 2
h.
4
1 + ex 2
)
x⎞ y ⎟⎠
( )
131
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.
[
]
d [ f ( x)]2 + 1 dx
Hallar
⎧ 4 ⎛ 1 ⎞ ⎪ x sen⎜⎝ x 4 ⎟⎠ ⎪ 4. Determine los valores para " a ", " b " y " c " de modo que la función f ( x ) = ⎨ ax + b ⎪ 2 ⎪ cx + d ⎩ Sea
continua
en
x=0
[ f ´(−2)].[ f (12 )] − f ´(π + 1)
5.
y
derivable
;x < 0 ;0 ≤ x ≤ 1 ;x > 1
x = 1 . Además determine, de ser posible,
en
⎧ x = 2 sec t ⎩ y = 2tant
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨ en t = −
π 6
(x + 1)2 + 3
determine el valor de (g D f )´(1) .
6.
2 Si f ´(x) = x3e x , f (1) = 0 y g ( x) =
7.
Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = cos t en el punto (0,0) . ⎨ ⎩ y = sen t cos t 8.
Determine la ecuación de la recta tangente a la función f en x = 1 donde f , g y h son funciones
)
(
2 diferenciables en todo IR . f tiene como regla de correspondencia a f ( x ) = h x g ( x) y se conoce que
g (1) = 2 , g´(1) = −2 , h´(2) = −3 y h(2) = −1 9.
[
[ ]
]
Determine los puntos del intervalo −1,2 donde la función f ( x ) = x + x − 1 sea derivable.
1 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟(1) = 2 . Considere que k + 5k ⎝ dx ⎠
10. Determine los valores reales que puede tomar " k " para que ⎜
f (4) = 1 y f ´(x) = − x 2 + 10 x . ⎧ x = arccos t , t ∈ (−1,1) determine ⎩ y = arcsen t − t
11. Para la función y = f (x) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨
d3y dx3
.
⎧⎪ x = 1 + t 2 d3y , t > 0 determine en el ⎪⎩ y = t ln t dx3
12. Para la función y = f (x) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨ punto ( 2,0)
13. Determine a, b y c conociendo que las curvas y = x 2 + ax + b y y = cx − x 2 tienen una recta tangente común en el punto (1,0) .
(
)
y 14. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es ln x 2 − y − tg = xy en el punto x
(1,0) . 15. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva C en el punto (1,2) . Donde C está definida por las
⎧x = ⎪ ecuaciones paramétricas ⎨ ⎪y = ⎩
132
2t 2 t +1 , t ∈ IR − {−1,0} 3−t t
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
16. Hallar
d2y dx
17. Hallar
2
⎧⎪ x = et cos t
para ⎨
⎪⎩ y = et sen t
, t ∈ IR
dy 2 en el punto (0, π ) donde x e y satisfacen la ecuación xy + sen (x + y ) − x = 0 . dx
18. Sea y = f (x) función tal que h = f
−1
. Sea y ≥ 0 si h( y ) =
y 2 − calcular f ´(1) y +1 y + 2
19. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva definida por las ecuaciones paramétricas 3 3 ⎧⎪ x = a cos3 t ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ 2⎞ ; t ∈ 0,2π ; a > 0 en el punto ⎜ − a⎜ , a⎜ 2 ⎟ ⎟ . ⎟ ⎨ 2 2 ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎠ ⎝ ⎪
[
⎩ y = a sen t
]
⎝
⎠
20. Determine los valores de a, b, c para que las funciones f y f ´ sean continuas en todo su dominio; donde f
⎪⎧sen x + a ; x ≥ 0 . x ⎩⎪ be + c ; x < 0
es una función tal que f ( x ) = ⎨
21. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = (1 + cos t )cos t en t = π . ⎨ 2 ⎩ y = (1 + cos t )sen t
( )
22. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y + cos xy 2 + 3 x 2 = 4 ; en el punto (1,0) . 23. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy + ln y = 1 ; en el punto (1,1) .
⎧⎪ x = 2t − t 2
24. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨
⎪⎩ y = 3t − t 3
en el punto (1,2 ) .
[
]
25. Demuestre que la derivada de F ( x ) = sen x f (cos x) es una función Par. 26. Determine el valor de k de manera que la recta definida por 3 x − y + k = 0 sea tangente a la parábola definida por y = 2 x − 5 x + 1 . 2
27. Hallar
d 50 ⎡ 1 − x ⎤ ⎢ ⎥ dx50 ⎣1 + x ⎦
28. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧⎪ x = e 2t − 1 cuando t = 0 ⎨ ⎪⎩ y = e − 2t + 2 29. Determine la ecuación de la recta tangente a la función
f cuya regla de correspondencia es
f ( x) = x − 6 x + 6 , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la 2
parábola. 30. Si f es una función de
\ en \ inversible y con regla de correspondencia f ( x) = x3 + 3 x − 10
⎡ d −1 ⎤ f ⎥ (4) ⎣ dx ⎦
entonces determine ⎢
133
CAPITULO 3: La Derivada Ejercicios Propuestos 3.1 1) a) 2.5
b) 2.3
1 2 3) a) f ´( x ) = 3
c) 2.1
d) f ´( 2 ) = 2
2) f ´( 3 ) =
e) f ´( x ) = 6 x
b) f ´( x ) = −2 2
− 32
f) f ´(x) =
c) f ´( x ) = 2 x + 2
d) f ´( x ) = −4 x + 1
(3x + 2)
− 32
Ejercicios Propuestos 3.2 1)
f ´(1) = 2
2) No existe
4) a = 6 , b = −4
3) No existe
6) a = c − 2 ∧ b = 3 − 2c
5) a = 3 , b = −1
∧
c∈R
Ejercicios Propuestos 3.3 2 − 3e x x 4 2 b) f ´( x ) = 5 x + 3 x + 4 x
a) f ´( x ) = 43 x
1)
− 23
+
c) f ´( x ) = 2 x + cos x (1 − x − cos x ) − senx (1 + x − senx ) d) f ´( x ) = e) f ´( x ) = f) f ´( x ) =
2 x 2 − 1 cos x ( x + 1) − 2 x senx xsen 2 x
e x ⎡⎣(1 + x )( senx + 1) − x cos x ⎤⎦
( senx + 1)
2
xe x ⎡( x + 2 ) ln x + 1⎤⎦ 2 ⎣
2) y = 4 x + 1
13 4 4) y = 2 x + 1 ; y = −2 x + 9 5) y = 12 x + 81 ; y = 12 x − 44 6) P (3,9) 3) y = −3 x +
7) 3 5 8) 50! 9)
10 49
Ejercicios Propuestos 3.4 1.
a) f ´( x ) = c) f ´( x ) =
x −1 x2 − 2x + 2
(e
4e 2 x 2x
+ 1)
b) f ´( x ) = d) f ´( x ) =
2
−x
( 2 x − 3)
3
2
2x
(x
2
− 1)
1
2
(x
⎛ senx ⎞ ⎛ cos x cos 2 x + 2 senxsen 2 x ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ cos 2 2 x ⎝ cos 2 x ⎠ ⎝ ⎠ 2x 8 f) f ´( x ) = g) f ´( x ) = 2 2 ( x + 1) ln ( x + 1) x ( x − 4)
e) f ´( x ) = 3 ⎜
2
2
+ 1)
3
2
3. ( f D g )´(x) = 4.
a) 4
5.
16
− (sin 4 x ) e
1+ cos 2 2 x
1 + cos 2 2 x
b) −8
c) 2
e) −6
d) -10
Ejercicios Propuestos 3.5 d4
1. a)
dx b)
4
[cos(x )] = 48x sin (x )+ (16x 2
2
2
4
) ( )
− 12 cos x 2
d 2 ⎡ xsen2 (πx ) ⎤ 2π (sin 2πx + πx cos 2πx ) ⎢ ⎥= dx 2 ⎢⎣ 1 + x ⎥⎦ (1 + x )3 dn
[ ]
xe x = ne x + xe x dx n 5 (n!) n⎛ 5 ⎞ d) Dx ⎜ ⎟= 4 x − ⎠ (4 − x )n +1 ⎝ c)
n ⎡1 +
2(n!)
x⎤
entonces Dx e) Dx ⎢ ⎥= ⎣ 1 − x ⎦ (1 − x )n +1 f)
x⎤ 2(30!) ⎢1 − x ⎥ = ⎣ ⎦ (1 − x )31
30 ⎡ 1 +
⎧(− 1) +1 (n sin x + x cos x ) ; ⎪ [ ] = x sin x ⎨ n dx ⎪⎩(− 1) +1 (n cos x − x sin x ) ; n +1 2
dn
n 2
d 35 dx35
si n es impar
entonces
si n es par
[x sin nx] = −35 sin x − x cos x
d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤ 2(1 − 2 x ) ⎜ ⎟⎥ = ⎢x dx ⎣⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎦⎥ (1 + x )4
2.
3. an (n!)
4. p( x ) = 2 x − 3 x + 3 x − 1 3
2
Ejercicios Propuestos 3.6 1. a) y´= − 3 c) y´= − e) y´= − 3. y =
b) y´= −
y 2e xy xye xy + 1
(
2y
x 2+ y x+
d) y´=
y x ( y + 1)
y sec y tan y + sec2 y − x
) 4. y = x − 2
5. y = − x + 2
6. y = − x + 2
7. x = 0
8. y = 32 x
9. (1,1)
10. y´´=
12.
− 53
y x
y´´= −3
8 5
48 xy 2 − 9 x 4 64 y
3
11. y´´=
1 4
3x 3 y
1
3
Ejercicios Propuestos 3.7 t +1
(
1. a) y´= tan(t )
b) y´=
2. y = x + 4 −π a
3. y = 3x − 1
2
5. y = 5 x
)
t t2 +1
4. y = 3 x + 41 8
6. a) y´´= cos t ,
8
b) y´´´= cos t
Ejercicios Propuestos 3.8 y = 2x − 2
1.
(
12 3 + 3 4. y − 3 3 = x− 3 12 − 3 3
2
2
)
y = − 3x + 8
2.
3. y = − 3 x + 2 2
Ejercicios Propuestos 3.9 1
1 16 5. x − 5 y + 5 = 0
2.
6. x − 11 y − 9 = 0
7. 2ax + y − 2a (a + 1) = 0
9. a) y´= arcsin x +
x
b) y´= arctg x
1.
c) y´=
3. 2
5 −
1 − x2
3
4. 3 8. 3
(2 )
1 x2 + 1
4 3 cos x + 5
d) y´= e
(
arctg x 3 + senx
3x 2 + cos x ⎤⎥ ⎢1 + x3 + senx 2 ⎥ ⎦ ⎣
)⎡⎢
(
)
Ejercicios Propuestos 3.10 sec5 x 3 tgx + 1 ⎡ 1 sec x 3 x 2 csc x3ctgx3 ⎤ + ⎢5tgx + ⎥ 3 senx + cos x 2 csc x3 − 4 ⎦⎥ csc x3 − 4 ⎣⎢
1. a) y´=
4
b) y´=
c)
1 − x2 ⎡ 3 2 x 20 + 15 x3 ⎤ − ⎥ ⎢ − tg 4 x − 5 2 3 1− x 4 x + x3 ⎦⎥ 4 x − x3 ⎣⎢ 4 x 3
x3 cos 4 x
(
)
⎤ ⎡ ⎥⎡ ⎢ 2 ⎢ 1 x ⎛ 2 2 xe 2 3 ⎥⎥ ⎢ x −1 ⎢ y´= arcsen⎜ e x − − + ⎢ ⎜ ⎢ 2(x − 1) 3(x + 2) 2(x + 3) ⎥ ⎢ 3 2⎞ 2 ⎛ ⎝ 2 3 (x + 3) ⎥ ⎢⎣ (x + 2) ⎢ arcsen⎜ e x ⎟ 1 − e 2 x ⎟ ⎜ ⎥ ⎢ ⎠ ⎝ ⎦ ⎣
⎤ ⎞⎥ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠ ⎥⎦
x 1⎤ ⎡ d) y´= x 3 3 x ⎢ln 3 ln x + ⎥ x⎦ ⎣
⎡n ⎤ e) y´= x n n x ⎢ + ln n ⎥ ⎣x ⎦ f)
⎧ ⎡ ⎪ ⎢ ⎡ 2 ⎤ 1 1 ⎢ ⎪⎪ 2 arctan x ⎢ arcsin(sin x) ⎥ ln − y´= y ⎨ + 2 arctan 2 x sin x cos x ⎢ ⎢ ⎥ arccos ⎪ 1 + x2 ⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ 2 4 2 ⎥ ⎣ ⎦ arccos⎜ cos x ⎟ 1 − cos 4 x ⎪ ⎢ arcsin⎜ sin x ⎟ 1 − sin x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎣
(
(
g) y´= arcsin 1 + e 2 x
⎡ 2 sec xe x sec x tan x ln arcsin 1 + e 2 x + ⎢ arcsin 1 + e 2 x − 2 + e 2 x ⎣⎢
)
(
sec x ⎢
(
)
(
) (
⎡ 3 cos 3 x arctan(cos 3 x ) 3 sin 3 x ln(ln(sin 3 x )) ⎤ h) y´= [ln(sin 3 x )]arctan(cos 3 x ) ⎢ − ⎥ 1 + cos 2 3 x ⎦ ⎣ ln(sin 3 x ) sin 3 x i) y´=
(x + y )(x
(
(
2 x (x + y ) − y x 2 + y 2
2
)
(
)
)
+ y 2 ln (x + y ) + y x 2 + y 2 − 2 y (x + y )
) (
)
x⎡ 2x2 ⎤ ⎥ j) y´= 1 + x 2 ⎢ln 1 + x 2 + 1 + x 2 ⎦⎥ ⎣⎢
)
⎤ ⎥ ⎥ ⎦⎥
⎤⎫ ⎥⎪ ⎥ ⎪⎪ ⎥⎬ ⎥⎪ ⎥⎪ ⎦ ⎪⎭
2.
(ln 2)x − y + 1 = 0
3.
x+ y−2 = 0
4. 14
Misceláneos 1. a) V f) V k) F p) F u) V
b) V g) V l) F q) F v) F
c) F h) V m) V r) F w) F
d) V i) F n) F s) F
e) V j) F o) V t) V
) ( ) 2. a) y´= ) + x sin y 2 x y − 2 y sin (x + y )e ( ⎡ ln (x + 1) 2 x ln x ⎤ + b) y´= (x + 1) ⎢ x (x + 1)⎥⎥⎦ ⎢⎣ cos(ln (cos x + e ))ln (cos x + e )(3e − sin x ) c) y´= sin (ln (cos x + e ))(cos x + e ) cos y − 2 xy 2 + 2 x sin x 2 + y 2 ecos (x 2
2
+ y2
cos x 2 + y 2
2
ln x
2
2
2
2
2
3x
2
d)
3x
3x
3x
3x
1
y´=
3
2
x y 1 + − y 2 arctan y y2 + 1 y
⎛ x e ⎞⎟ x x x ex e) y´= x ⎜ e ln x + + e x (ln x + 1) x
⎜ ⎝
f) y´=
x ⎟⎠
cos x + x
−
(2
4 x+ x
2 x 6
g) y´=
4 − 9 x2
1 + arctan x ⎡ x 1⎛ 1 1 ⎛ ex ⎞ 1 ⎢ + ⎜ − ⎜ ⎟ 2 2 4 4 ⎜⎝ 1 + e x ⎢⎣ x + 2 3 ⎝ 1 + arctan x ⎠ 1 + x 1 + ex
x2 + 2
h) y´=
i)
y´= ( sin 3 x )
j) y´= k) y´=
)
x + 1 sin x + x
3
arctan x 2
1 x 1 − ln 2 x x( y − x )
2 arctan x earctan
tan x
(sec
2
x tan e x + e x sec2 e x
2 y − x x+ y ln (x + y ) +
y x+ y
3. 2 f ( x) f ´(x ) 4. a = 2c ∧ b = 1 ∧ d = c + 1 ∧ c ∈ R 5. y = −2 x + 2 3
[
]
6. Dx (g D f ) (1) =
e 2 7. y = x ∧ y = − x 8. y = −6 x + 5
2
1 + x2
2 x 2 + xy + y 2
l) y´= e
m) y´=
+
⎡ 2x ⎤ 2 ⎢1 + x 4 ln ( sin 3x ) + 3arctan x cot an3x ⎥ ⎣ ⎦
)
x
⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦
9. f es derivable en (−1,0 ) ∪ (0,1) ∪ (1,2 ) 10. k = −8 ∨ k = 3 11.
12. 13.
d3 y = − 1− t2 dx 3 d3y dx3
=− t =1
1 8
a = −3 , b = −4 , c = 1
14. y = 2 x − 2 3
3
15. y = 1 x + 3 2
2
16.
d y dx
2
2
=
2
e (cos t − sin t )3 t
dy =π2 −2 dx 2 18. f ´(1) = 27 17.
3
⎛ 2⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 20. a = c + 1 ∧ b = 1 ∧ c ∈ R 19. y = x − 2a⎜
21 y = x + 1 22. y = 6 x − 6 23. y = − 1 x + 3 2
2
24. y = 3x − 1 25. De F (x ) tenemos F ´(x) = cos x f (cos x ) − sin x f ´(cos x ) 2
y como
F ´(− x) = cos(− x ) f (cos(− x )) − sin 2 (− x ) f ´(cos(− x )) = F ( x)
Por tanto F ´(x) es PAR 26. k = −7
d 50 ⎡ 1 − x ⎤ 2(50!) ⎢ ⎥= dx50 ⎣1 + x ⎦ (1 + x )51 28. y = − x + 3
27.
29. y = − x − 1
4
1 ⎡ d −1 ⎤ f ⎥ (4 ) = 15 ⎣ dx ⎦
30. ⎢
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
4 4.1 4.2 4.3 4.4
MONOTONÍA MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONCAVIDAD ELABORACIÓN DE GRÁFICAS
4.5
SOFISTICADAS TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA
4.6 4.7 4.8
DERIVADAS TEOREMA DE TEOREMA DE TEOREMA DE
ROLLE CAUCHY L´HOPITAL
OBJETIVOS: • • • • • •
Determinar intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento Determinar extremos Determinar intervalos de Concavidad. Graficar funciones sofisticadas. Utilizar el teorema del valor medio para derivadas. Calcular indeterminaciones empleando derivadas.
109
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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4.1 MONOTONÍA La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. 4.1.2 Teorema de Monotonía
Sea ƒ una función continua en un intervalo [a, b] y diferenciable en todo punto interior de [a, b] . Entonces: 1. Si f ´(x) > 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es creciente en [a, b] 2.Si f ´(x) < 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es decreciente en [a, b] . DEMOSTRACIÓN. Se demostrará el primer inciso del teorema. Suponga que f ´(x) > 0 entonces lím
x → x0
f ( x) − f ( x 0 ) f ( x ) − f ( x0 ) > 0 ; es decir >0. x − x0 x − x0
Suponga ahora que x 0 < x , entonces f ( x 0 ) < f ( x) , lo cual indica que f es creciente. Si x < x0 entonces f ( x) < f ( x0 ) lo cual también indica que f es creciente Para el caso f ´(x) < 0 , la demostración es análoga.
Ejemplo 1 2 Analice la monotonía de f ( x ) = 2 x − 4 x + 5
SOLUCIÓN: De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento analizamos la primera derivada de f . Es decir, a f ´(x) = 4 x − 4 El asunto es determinar en que intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene valores negativos, para lo cual factorizamos f ´(x ) = 4( x − 1) ; se observa que:
x
x 1
110
f ´(x) Negativa (-) Positiva(+)
f decrece crece
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Ejemplo 2 Analice la monotonía de f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3 SOLUCIÓN: Analizando la primera derivada f ´( x) = 3x 2 − 6 x En la forma factorizada f ´( x) = 3 x ( x − 2 ) se observa que:
x
x x0 , dividiendo por x − x 0 tenemos ≤0 x − x0 Ahora obteniendo límite lím + x → x0
f ( x) − f ( x 0 ) ≤ lím + 0 resulta f ´(x 0 + ) ≤ 0 . x − x0 x → x0
Para x < x 0 , tenemos, obteniendo límite lím − x → x0
f ( x) − f ( x 0 ) ≥ lím − 0 resulta f ´(x 0 − ) ≥ 0 x − x0 x → x0
Suponga que f es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) = 0 ; es decir x 0 es un punto crítico estacionario. Suponga que f no es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) no existe; es decir x 0 es un punto crítico singular. La demostración sería análoga para el caso de que f ( x 0 ) sea un valor mínimo.
113
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Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
Por lo tanto, los valores extremos de una función se producirán siempre en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos.
Además, el teorema anterior nos hace concluir que: • Si “ x0 ” no es un punto crítico entonces no será extremo. • Necesariamente los extremos se producen en los puntos críticos. • Es suficiente que f ( x0 ) sea un extremo para que “ x0 ” sea un punto crítico. • Que “ x0 ” sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es suficiente. Es decir, no todo punto crítico es extremo. En las gráficas anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran extremos. Esto nos hace pensar que deben existir criterios para clasificar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no son necesarios, un simple análisis basta.
114
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Ejemplo 1 2 Determinar los extremos para f ( x ) = 2 x − 4 x + 5 en [0,3]
SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: x 0 = 0 y x 0 = 3
2. Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos analizamos la derivada f ´( x ) = 4 x − 4 Ahora
f ´(x ) = 0 , entonces sería: x 0 = 1 . 4( x − 1) = 0
3. Puntos críticos Singulares: valores de x para los cuales la derivada no existe. Al observar la derivada notamos que se define para toda x ; por tanto, no existe puntos críticos singulares. Es lo que se espera debido a que las funciones polinomiales son continuas y derivables en todo \ . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la función en los puntos críticos (Esto es suficiente debido a que se trata de una función polinómica, más adelante aprenderemos criterios más fuertes, para otros casos):
f (0 ) = 2(0 )2 − 4(0 ) + 5 = 5
f (3) = 2(3)2 − 4(3) + 5 = 11 f (1) = 3 Por inspección, se determina que: En x 0 = 3 se encuentra el Valor Máximo f . Y en x 0 = 1 se encuentra el Valor Mínimo de f .
Ejemplo 2 Determinar los extremos para f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3 en [ −2,3] SOLUCIÓN: Primero determinamos los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: x´0 = −2 y x0 = 3 2 2. Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada f ´( x) = 3 x − 6 x , tenemos:
f ´( x) = 0 3x 2 − 6 x = 0 3 x( x − 2) = 0 Entonces serían: x 0 = 0 y x0 = 2 .
3. Puntos críticos Singulares: No hay. Bien, ahora evaluando en la función:
f ( −2 ) = ( −2 ) − 3 ( −2 ) + 3 = −8 − 12 + 3 = −17 3
2
f ( 3 ) = (3)3 − 3(3) 2 + 3 = 27 − 27 + 3 = 3 f (0) = 3 f (2) = (2)3 − 3(2) 2 + 3 = −1
115
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máximo de la función es 3, que se produce tanto en x0 = 3 como en x0 = 0 ; y, el valor mínimo de la función es -17 que se produce en x0 = −2 .
Ejercicios Propuestos 4.2 1. 1.
Determine el valor máximo y el valor mínimo :
f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17
4.
f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5
5.
f (x ) = x 2 − 1
5
x 4 − x 3 en [ −3,3] 5 3 1 3. f ( x ) = x 3 − 4 x + 2 en [ −5,3] 3 2. f ( x ) =
en [ −2,3]
6.
(
(
)
f ( x) = x 3 − 1
4
)
4
en [ −1,1]
en [ −2, 2]
en [ −1, 2]
Hasta el momento nos habíamos preocupado de determinar el mayor de todos los valores de la función y el menor de todos en todo su dominio o en un intervalo de su dominio, pero esto nos deja insatisfechos con respecto a puntos críticos que bien pudieron ser extremos, u otros puntos que los pudiéramos considerar máximos o mínimos cuando no lo son.
4.2.5 Máximos y Mínimos Locales O Relativos
Sea f una función de variable real. Sea “ x0 ” un punto del dominio de f . Entonces: 1. f ( x0 ) es un valor máximo local de f , si existe un intervalo (a, b ) en el dominio de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 )
es el valor máximo de f en (a, b ) . 2. f ( x0 ) es un valor mínimo local de f , si existe un intervalo (a, b ) en el dominio de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 )
es el valor mínimo de f en (a, b ) . 3. f ( x0 ) es un valor extremo local de f , si es un máximo o un mínimo local. Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará extremos absolutos. Observe el siguiente gráfico: 116
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Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
Un criterio para clasificar a los extremos locales es el que sigue.
4.2.6 Teorema: Criterio de la primera derivada.
Sea f continua en (a, b ) que contiene al punto crítico “ x0 ”. Entonces: 1. Si f ´(x) > 0, ∀x ∈ (a, x0 ) y f ´(x) < 0, ∀x ∈ ( x0 , b ) entonces f ( x0 ) es un valor máximo local de f . 2.Si f ´(x) < 0, ∀x ∈ (a, x0 ) y f ´(x) > 0, ∀x ∈ ( x0 , b ) entonces f ( x0 ) es un valor mínimo local de f . 3.Si f ´(x) tiene el mismo signo a ambos lados de “ x0 ” entonces f ( x0 ) NO es un valor extremo de f .
117
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Ejemplo Para f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 Analizando la primera derivada f ´( x) = 3 x ( x − 2 ) se observó que:
x
f ´(x) Positiva (+) Negativa (-) Positiva (+)
x 0, ∀x ∈ I entonces f es cóncava hacia arriba en I. 2.Si f ´´(x) < 0, ∀x ∈ I entonces f es cóncava hacia abajo en I. Ejemplo 1 Analizar la concavidad de f ( x ) = x SOLUCIÓN:
4
3
4 − 15 x 5 4 − 65 4 x =− entonces la segunda derivada es f ´´( x) = − 25 25 5 x 6 Como la primera derivada de f es f ´( x) =
Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que:
x
f ´´(x)
f
x0
Certificando con esto que la gráfica de f es la que se proporcionó.
Otra definición importante es la que presentamos a continuación. 4.3.2 Puntos de Inflexión
Sea
continua en “ x0 ”, llamamos a (x0 , f ( x0 )) un punto de inflexión de la gráfica de f , si es cóncava hacia arriba a un lado de “ x0 ” y cóncava hacia abajo al otro lado. f
121
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Es decir, en un punto de inflexión la segunda derivada cambiará de signo, o de positiva a negativa o de negativa a positiva. Ejemplo 2 Analizar la concavidad de f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 SOLUCIÓN: Como la primera derivada de f es f ´( x) = 3 x 2 − 6 x
entonces la segunda derivada es
f ´´( x) = 6 x − 6 = 6( x − 1) x
f ´´(x)
f
x 1
Negativa (-) Positiva (+)
Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
Esto confirma la gráfica de f proporcionada anteriormente y además completa la información del comportamiento de la función.
f ( x) = x3 − 3x 2 + 3
Note que en la función del ejemplo anterior hay un punto donde su gráfica cambia de concavidad, éste es el punto de inflexión. Ejercicios Propuestos 4.5 Determine los intervalos de concavidad:
122
1.
f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17
2.
f ( x) =
x5 4 3 − x 5 3
3.
f ( x) =
1 3 x − 4x + 2 3
4.
f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5
5.
f (x ) = x 2 − 1
6.
f ( x) = x 3 − 1
(
(
)
4
)
4
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Para clasificar los puntos críticos estacionarios en máximos y mínimos, también se podría aplicar este otro criterio.
4.3.3 Teorema: Criterio de la segunda derivada
Supóngase que f ´ y f ´´ existen en (a, b ) que contiene a “ x0 ” y que f ´(x0 ) = 0 . 1. Si f ´´( x0 ) < 0 entonces f ( x0 ) es un valor
máximo local de f .
2.Si
f ´´( x0 ) > 0 entonces
f ( x0 )
es un
valor mínimo local de f . Ejemplo Determinar los extremos aplicando el criterio de la segunda derivada para f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios. Puntos críticos Estacionarios: x = 0 y x = 2 . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual:
f ´´( x ) = 6 x − 6 a) f ´´(0) = 6(0) − 6 = −6 < 0 (negativo) por tanto aquí hay un MÁXIMO. b) f ´´(2) = 6 ( 2 ) − 6 = 6 > 0 (positivo) por tanto aquí hay un MÍNIMO.
123
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4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS Para elaborar gráficas de funciones con reglas de correspondencias sofisticadas se sugiere seguir los ochos pasos siguientes:
1.Establecer el dominio de la función. 2.Establecer la simetría de las gráficas. Es decir, determinar si es par, impar o ninguna. 3.Establecer las asíntotas horizontales, verticales u oblicuas. 4.Establecer los puntos críticos de frontera, estacionarios y singulares. 5.Analizar la monotonía. Es decir, determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento. 6. Establecer los extremos relativos. 7.Analizar la concavidad. Es decir, determine los intervalos donde es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo. 8. Establecer los Puntos de Inflexión. Ejemplo 1 Graficar f ( x) =
243 x x + 243 4
SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom f = R Paso 2. SIMETRÍA: f (− x) =
124
243 ( − x ) (− x) + 243 4
=−
243x = − f ( x) por tanto f es IMPAR. x + 243 4
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: No hay (¿por qué?) HORIZONTALES: Calculamos límite al infinito 243 x 243 243 x 0 x4 x3 = = = =0 lím lím x →∞ x 4 + 243 x →∞ 243 x 4 1 x→∞ 243 + 1 243 + 0 + 4 x x4 x4
lím
Note que idéntico resultado se obtendría tomando límite a menos infinito, es decir:
lím
x →−∞
243 x =0 x 4 + 243
Por tanto el eje x ( y = 0 ) es asíntota horizontal tanto para el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay. ¿Por qué? • P.C.E: f ´( x) = 243
(x
4
+ 243) − x(4 x3 )
(x
+ 243)
= 243
243 − 3 x 4
(x
+ 243)
= 243
3 ( 81 − x 4 )
(x 3 ( 9 − x )( 9 + x ) 3 ( 3 − x )( 3 + x ) ( 9 + x ) = 243 = 243 ( x + 243) ( x + 243) 4
2
2
4
2
2
+ 243)
2
=
2
2
4
4
2
4
por lo tanto tenemos P.C.E: x0 = 3 y x0 = −3
• P.C.S: no hay. ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA:
Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: f´ −−−−−− f
decrece
−−−−−−
++++++
crece
−3
decrece
3
Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En x0 = −3 la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo local. 2. En x0 = 3 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada 2 ⎡ (81 − x 4 ) ⎤⎥ = 729 −4 x3 ( x 4 + 243) − (81 − x 4 ) 2 ( x4 + 243)( 4 x3 ) f ´´( x) = Dx ⎢729 2 4 ⎢ ( x 4 + 243) ⎥⎦ ( x 4 + 243) ⎣
= 729
4 ( x 4 + 243) ⎡⎣ − x 3 ( x 4 + 243) − ( 81 − x 4 ) 2 ( x3 ) ⎤⎦
(x
4
+ 243)
4
4 ⎡ − x 7 − 243x 3 − 162 x3 + 2 x 7 ⎤⎦ = 729 ⎣ 3 ( x4 + 243) 4 ⎡ x 7 − 405 x3 ⎤⎦ = 729 ⎣ 3 ( x 4 + 243) = 729
= 729
4 x3 ⎡⎣ x 4 − 405⎤⎦
(x
(
+ 243)
3
)(
4 x3 x 2 − 405 x 2 + 405
(
(x
4
+ 243)
)(
)
3
)(
4 x x − 405 x + 4 405 x 2 + 405 3
= 729
4
4
(x
4
+ 243)
)
3
125
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ Entonces:
f ´´ − − − − − − f
−−−−−−
++++++
− 4 405
0
4
++++++
405
Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN Como la segunda derivada cambia de signo tanto en x = 0 , x =
(
(
tres puntos de inflexión: − 4 405, f − 4 405
) ) , (0,0) y (
4
4
405 y x = − 4 405 entonces existen
405, f
(
4
405
)) .
En conclusión:
x
f ´(x)
f ´´(x )
x < − 4 405
-
0
x = − 4 405 − 4 405 < x < −3
-
+
x = −3
0
+
−3 < x < 0
+
+
x=0 0< x 4 405
f ( x) =
243 x x 4 + 243
+
Decrece y cóncava hacia abajo Punto de inflexión Decrece y cóncava hacia arriba Punto crítico estacionario, Mínimo local Crece y cóncava hacia arriba Punto de inflexión Crece y cóncava hacia abajo Punto crítico estacionario, Máximo local Decrece y cóncava hacia abajo Punto de inflexión Decrece y cóncava hacia arriba
2.25
( 4.49;1.68 )
( −4.49; − 1.68) −2.25
126
f
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Ejemplo 2 Graficar f ( x ) =
x2 +1 x2 −1
SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom f = R − {−1, 1} Paso 2. SIMETRÍA: f ( − x) =
(− x )2 + 1 = x 2 + 1 = (− x) 2 − 1
f ( x) por tanto f es PAR.
x 2 −1
Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: x = −1 y x = 1 (calcule los límites laterales) HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito x2 2
lím
x +1
x →∞ x 2 − 1
2
= lím x x →∞ x 2 x2
+ −
1 x2 = 1 1 x2
Por tanto, y = 1 es la asíntota horizontal tanto el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay. ¿Por qué? • P.C.E: f ´(x) =
(
)(
)
2 x x 2 − 1 − x 2 + 1 (2 x)
(x − 1) 2
2
=
2 x3 − 2 x − 2 x3 − 2 x
(x − 1)
2
2
=
− 4x
(x − 1)
2
2
Por lo tanto tenemos x 0 = 0
•
P.C.S: no hay. ¿Por qué?
Paso 5. MONOTONÍA:
Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que:
f´ f
++++++
crece
++++
−1
−−−−−−
−−−−
crece
decrece
0
decrece
1
Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: En x 0 = 0 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada
( ) ( )
( )
2⎞ ⎛ 2 2 ⎡ ⎤ (− 4 )⎜⎜ x − 1 ⎟⎟ − (− 4 x )(2 ) x − 1 2 x 4 − x ⎝ ⎠ ⎥= f ´´(x) = Dx ⎢ 2⎥ 2 ⎢ 2 2⎤ ⎡ 2 ⎢⎣ x − 1 ⎥⎦ 1 − x ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
( )
=
− 4 x 2 + 4 + 16 x 2
(x − 1) 2
f ´´=
3
12 x 2 + 4
(x − 1)3 (x + 1)3
Entonces:
f ´´ + + + + + + f
−1
++++++
−−−−−−−−−−−
1
127
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN: No hay En conclusión:
x
f ´(x)
f ´´(x)
f
x < −1 x = −1 −1 < x < 0 x=0
+
+
+ 0
-
0 < x 1
-
+
Crece y cóncava hacia arriba Asíntota vertical Crece y cóncava hacia abajo Punto crítico estacionario, Máximo local Decrece y cóncava hacia abajo Asíntota vertical Decrece y cóncava hacia arriba
y=
x2 +1 x2 −1
Ejemplo 3 Graficar f ( x ) =
x2 x +1
SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom f = R − {−1}
(−x) x2 , = (−x) +1 −x +1 2
Paso 2. SIMETRÍA: f (− x) =
por tanto f no es par ni impar.
Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: Por inspección de la regla de correspondencia, en x = −1 la función no se define (división entre cero) por tanto aquí hay una asíntota vertical. Además:
lím−
x →−1
x2 = −∞ y x +1
x →−1
HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito
128
lím+
x2 = +∞ x +1
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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2
lím
x →∞
x2 x2
x 1 1 = = = =∞ 1 1 x +1 x + 1 + 2 0 2 2 x x x x
Por tanto, no hay asíntota horizontal. ASÍNTOTA OBLICUA:
En ciertas funciones se cumple que: lím ⎡⎣ f ( x) − ( mx + b ) ⎤⎦ = 0 x →∞
f ( x) y b = lím [ f ( x) − mx] x →∞ x Si los límites existen, se dice que la gráfica de f tiene una asíntota oblicua
donde m = lím
x →∞
y = mx + b Entonces, para esta función sería: x2 x2 2 2 1 1 x = lím 2 x = lím = =1 m = lím x + 1 = lím 2 x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ 1 1 x x +x x x 1+ + x x2 x2 ⎡ x2 ⎤ ⎡ x2 − x2 − x ⎤ ⎡ −x ⎤ − x ⎥ = lím ⎢ = −1 b = lím ⎢ ⎥ = lím x →∞ x + 1 x →∞ x →∞ ⎢ x − 2 ⎥ − 2 x ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Por tanto, hay una asíntota oblicua y = x − 1 Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay • P.C.E:
2 ⎡ x 2 ⎤ ( 2 x )( x + 1) − x (1) f ´( x) = Dx ⎢ = ⎥ 2 ( x + 1) ⎣ x + 1⎦
=
2x2 + 2 x − x2
( x + 1) x ( x + 2) f ´( x) = 2 ( x + 1)
2
=
x2 + 2 x
( x + 1)
2
por lo tanto, tenemos P.C.E: x = 0 y x = −2
• P.C.S: no hay Paso 5. MONOTONÍA:
Analizando el signo de f ´ −−−−−−
f´ + ++ + ++ f
crece
−2
++++++
decrece
0
crece
Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En x = −2 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. 2. En x = 0 la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo local. Paso 7. CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada
129
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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⎡ x 2 + 2 x ⎤ ( 2 x + 2 )( x + 1) − ( x 2 + 2 x ) ( 2 )( x + 1) f ´´( x) = Dx ⎢ ⎥= 2 2 ⎢⎣ ( x + 1) ⎥⎦ ⎡( x + 1)2 ⎤ ⎣ ⎦ 2
= = f ´´( x) =
( x + 1) ⎡⎣( 2 x + 2 )( x + 1) − ( x 2 + 2 x ) ( 2 )⎤⎦ 4 ( x + 1) 2x2 + 4x + 2 − 2x2 − 4x
( x + 1)
3
2
( x + 1)
3
Entonces: −−−−−−
f ´´
++++++
f
−1
Paso 8. PUNTOS DE INFLEXIÓN NO HAY. Aunque la segunda derivada tiene signo diferente en x = −1 , pero como no es punto del dominio, tiene asíntota, entonces no es un punto de inflexión. En conclusión:
x
f ´(x)
f ´´(x)
f
x < −2 x = −2
+ 0
-
−2 < x < −1
-
-
−1 < x < 0
-
+
x=0
0
+
x>0
+
+
Crece y cóncava hacia abajo Punto Crítico Estacionario, Máximo local Decrece y cóncava hacia abajo Decrece y cóncava hacia arriba Punto Crítico Estacionario, Mínimo local Crece y cóncava hacia arriba
x = −1
f ( x) =
130
x2 x +1
y = x −1
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Cuando no se dispone de la regla de correspondencia, se deberá tener condiciones que nos permitan concluir sobre la gráfica de una función. Ejemplo Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones: Dom f = \
1. 2.
f continua en (−∞,0 ) ∪ (0, ∞ )
3.
f ( −1) = 0 , f ( 32 ) = f (4) = 0 , f ( −3) = f (0) = 2 , f (−2) = 4 , f (3) = −2 ,
4.
∀ε > 0, ∃N > 0; ∀x : x < − N ⇒ f ( x) − 1 < ε
5.
∀ε > 0, ∃∂ > 0; ∀x : 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε
f (1) = 1
lím f ( x) = −∞
6.
x →0 −
lím [ f ( x) − ( x − 3)] = 0
7.
x → +∞
9.
f ' (−2) = 0 , f ' ( x) > 0 para x < −2 ∨
10.
f ' ( x) < 0 ,para −2 < x < 0 ∨
11. 12.
f ' ' (1) = 0 f ' ' ( x) > 0 para x < −3 ∨ 1 < x < 3
13.
f ' ' ( x) < 0 para −3 < x < 0 ∨
8.
x>3, 0< x 0 en (0,1) y ⎜ ,3 ⎟ ⎝2 ⎠
f ' ' (2) = 0
(32 ) = −1 ,
2
∀M > 0, ∃∂ > 0; ∀x : 0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) < − M
∀ε > 0, ∃N > 0; ∀x : x < − N ⇒ f ( x) − 2 < ε
lím [ f ( x) − x ] = 0
x →+∞
f ' ( x) > 0, para x ∈ (−∞,0) ∪ (2, ∞ ); f ' ( x) < 0, para x ∈ (0,2)
f ' ' ( x) > 0, para x ∈ (−∞,−1); f ' ' ( x) < 0, para x ∈ (−1,2 ) ∪ (2, ∞ )
Suponga que
f '( x ) = ( x − 3)( x − 1) 2 ( x + 2 )
esboce una gráfica para
5.
f (2) = − 1 , f (0) = 0
Bosqueje el gráfico de una función f tal que: Dominio f =IR Contínua en (−∞,2 ) ∪ (2, ∞ ) f(-1)=4, f(0)=6, f(2)=-3, f(3)=0 ∀ε > 0, ∃∂ > 0; ∀x : 0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) + 1 < ε
4.
f ( x) = f (− x) lím f ( x) = −2
f
Bosqueje el gráfico de una función
Bosqueje el gráfico de una función
f (3) = 3
f (1) = 0 , f ( −2 ) = 5 , f (3) = −5
,
.
f
continua en
f (1) = 6 , f ( −1) = −7 , f ( 2 ) = −3
6.
y
f
IR
tal que
f (−4) = f (5) = 0 , f (0) = 8 ,
y además la gráfica de su derivada es:
continua en
IR
tal que
f (−2) = 4 , f (1) = 0 , f (2) = 1 ,
y además la gráfica de su derivada es:
133
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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7.
Bosqueje el gráfico de una función
f (4) = 0
8.
f
continua en
Bosqueje el gráfico de una función
f (2) = −1 , f ( −
7 2
f
continua en
tal que
f (−1) = 2 , f (0) = 0 , f (2) = 1 ,
IR tal que f (−1) = 1 , f (0) = 3 , f (1) = 5 ,
) = −4 y además la gráfica de su derivada es:
D
D
134
IR
y además la gráfica de su derivada es:
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4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS (TEOREMA DE LAGRANGE)
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b ) entonces, existe al menos un número “ x0 ” en (a, b ) tal que f ´(x0 ) =
f (b) − f (a ) b−a
Lo que nos indica este teorema es que si la función es continua en un intervalo cerrado y suave en su interior entonces existirá un punto en ese intervalo para el cual la recta tangente y la recta secante en los extremos del intervalo tienen igual pendiente. Recta Secante Recta Tangente
y = f (x)
f ( b) - f ( a )
f (b)
b- a
f (a )
a
b
x0
Demostración: Sea S ( x ) = f ( x ) − g ( x) donde g es la recta entre los puntos (a, f ( a ) ) y (b, f (b) ) ,
y − y 0 = m( x − x 0 )
entonces podemos obtener su ecuación:
y = g ( x) = f (a) +
y − f (a) =
f (b) − f (a) (x − a ) b−a
, es decir f (b) − f (a ) (x − a ) b−a
135
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Reemplazando, resulta:
f (b) − f (a) ⎡ (x − a )⎤⎥ S ( x) = f ( x) − ⎢ f (a) + b−a ⎣ ⎦
f (b) − f (a ) ⎡ (a − a )⎤⎥ = 0 y b−a ⎣ ⎦ f (b) − f (a) ⎡ (b − a )⎤⎥ = 0 S (b) = f (b) − ⎢ f (a) + b−a ⎦ ⎣ Por tanto, ∃x 0 ∈ (a, b ) tal que S´(x 0 ) = 0
Obtengamos S ( a ) = f ( a ) − ⎢ f ( a ) +
⎡ f (b) − f (a) ⎤ ⎡ f (b) − f (a) ⎤ y S´(x 0 ) = f ´(x 0 ) − ⎢ ⎥ ⎥⎦ = 0 ⎣ b−a ⎦ ⎣ b−a f (b) − f (a ) Por lo último f ´(x 0 ) = L.Q.Q.D. b−a
Para lo cual S´(x ) = f ´(x ) − ⎢
Ejemplo 1 Encuentre el número “ x 0 ” garantizado por el teorema del valor medio para derivadas si f ( x ) = x 2 en [ −1, 2] .
SOLUCIÓN: Observe que f es continua en [ −1, 2] y como f ´( x) = 2 x por tanto es diferenciable en cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, por tanto la existencia de
f ´( x0 ) =
x0
f (2) − f (−1) está garantizada y lo podemos encontrar. 2 − ( −1)
Para lo cual f ´( x0 ) = 2 x0
f (2) − f (−1) 4 − 1 3 = = =1 2 − ( −1) 3 3
y
2 x0 = 1
Igualando y despejando, resulta:
x0 =
1. 2
Geométricamente.
Re
nte ca e S cta
f ( x) = x 2
ct Re
[
136
0.5
nte ge an T a
]
en
( −1, 2 ) se ( −1, 2 ) tal que
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Ejemplo 2 Use el teorema del valor medio para demostrar que: sen b − sen a ≤ a − b SOLUCIÓN: Usemos f ( x) = senx . Note que es una función continua en [ a, b ] y derivable en ( a, b ) por tanto de acuerdo al teorema de Lagrange , existe un x0 ∈ ( a, b ) tal que f ´( x0 ) =
f (b) − f (a ) . b−a
Reemplazando y simplificando cos x0 =
senb − sena b−a
Por otro lado
0 ≤ cos x0 ≤ 1 senb − sena ≤1 b−a Aplicando propiedades del valor absoluto y despejando. senb − sena ≤1 b−a
Entonces
0≤
senb − sena ≤ b − a
Que es lo que se quería demostrar.
Ejemplo 3 Dos carros de la policía de transito equipadas con radar están situadas a 7 kilómetros de distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 90 km por hora; 4 minutos después al pasar junto al otro coche, éste le mide 70 km por hora. Aunque el camión bajó la velocidad, pruebe que en algún momento en esos 4 minutos ha superado el límite de velocidad permitida que es de 100 km por hora. SOLUCIÓN: Sea e = f ( t ) , el espacio recorrido por el camión, una función del tiempo, continua y diferenciable en el cualquier intervalo de tiempo mientras dure el movimiento. Primeramente calculemos la velocidad media del camión en esos 4 minutos:
vm =
Δe 7 km = = 105 km h 4 Δt horas 60
Sea t1 el momento en que se le mide al camión una velocidad de v1 = 90 km
h
y sea t2 el momento en que
se mide una velocidad de v2 = 70 km . De acuerdo al teorema de Lagrange existe un t0 ∈ ( t1 , t2 ) en el cual
h
de = f ´( t0 ) , la velocidad instantánea del camión, fue igual a la velocidad media ( 105 km ), lo cual h dt demuestra que ha superado el límite de velocidad ( 100 km ). h
Como particularidad del teorema de Lagrange tenemos el teorema de Rolle.
137
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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4.6 TEOREMA DE ROLLE
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b ) y si f (a) = f (b) entonces, existe al menos un número “ x0 ” en (a, b ) tal que f ´(x0 ) = 0
El teorema del valor medio para dos funciones sería:
Ejercicios Propuestos 4.7 1.
La función f ( x) = x satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,2]. Diga si esto es verdadero o falso, justificando apropiadamente su respuesta.
2.
Sea f ( x) = x − 2 x . Hallar todos los valores de " x 0 " en el intervalo [-2,2] que satisfacen el teorema de 4
2
Rolle. 3.
La altura que alcanza una bola "t" segundos después de ser lanzada, está dada por la siguiente función:
f (t ) = −16t 2 + 48t + 32 . a) b) 4.
Sea
Comprobar que f (1) = f (2). Según el teorema de Rolle, ¿qué velocidad ha llevado en algún momento del intervalo [1,2]?
f ( x) = αx 2 + βx + ∂ ; α , β , δ ∈ IR.
Encontrar el valor de " x 0 " que satisfaga el teorema del
valor medio para derivadas en [a,b].
138
5.
Dos carros patrullas equipadas con radar están situadas a 5 millas de distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 55 millas por hora; 4 minutos después al pasar junto a otro coche, éste le mide 50 millas por hora. Probar que en algún momento en esos 4 minutos ha superado el límite de velocidad de 70 millas por hora.
6.
Use el teorema del valor medio para demostrar que: cos b − cos a ≤ b − a
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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7.
Considere f ( x ) = x
4
5
en el intervalo [ −1, 2] . Demuestre que no se cumple la conclusión del Teorema de
Lagrange. Justifique. 8.
Considere f ( x ) =
3
x en el intervalo [ −1,8] . Verifique que no se cumple una de las hipótesis del Teorema
de Lagrange, sin embargo la conclusión sí se cumple. Justifique.
4.7 TEOREMA DE CAUCHY
Sean f y g funciones continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b ) entonces, existe al menos un número “ x0 ” en (a, b ) tal f ´(x 0 ) f (b) − f (a ) = g´(x0 ) g (b) − g (a )
que No olvide demostrarlo.
Con los resultados del teorema anterior, se pueden calcular indeterminaciones.
4.8 TEOREMA DE L’HOPITAL
Suponga
que
lím f ( x) = lím g ( x) = 0 x →u
f ´(x) existe g´(x) f ( x) f ´(x) lím = lím x →u g ( x ) x →u g´( x )
lím f ( x) = lím g ( x) = ∞ . x →u
x →u
o infinito; entonces: Donde
x →u
Si
lím x→u
o
también
en sentido finito
u = a, a + , a − ,+∞,−∞
No olvide demostrarlo.
Ejemplo 1 Calcular
lím x →0
SOLUCIÓN:
sen x x
Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:
lím
x →0
sen x cos x = lím = cos 0 = 1 x →0 1 x
139
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Ejemplo 2 Calcular lím (1 + x )
1
x →0
x
SOLUCIÓN: Transformando la expresión primero, resulta:
lím (1 + x )
1
x →0
x
= lím e ln (1+ x ) x →0
1
x
= lím e
ln (1+ x ) x
x →0
lím
= e x →0
ln (1+ x ) x
Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos:
1 ln(1 + x) x =1 1 + = lím lím x →0 x →0 1 x Por tanto, lím (1 + x )
1
x →0
= e1 = e
x
Ejemplo 3 Calcular lím
sen x − x x3
x →0
SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:
lím
sen x − x
x →0
x
3
= lím
x →0
cos x − 1 3x 2
Como se mantiene la indeterminación, volvemos a aplicar la regla de L´Hopital, y así tantas veces como sea necesario: lím
cos x − 1
x →0
3x
2
= lím
x →0
1 − sen x =− 6x 6
Ejemplo 4 Calcular lím
3x 2 − 5 x + 1
x →∞ 4 x 2
+ 2x − 3
SOLUCIÓN: ∞ ∞
Note que aquí tenemos:
Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: lím
6x − 5
x →∞ 8 x + 2
6 3 = x →∞ 8 4
Volviendo a aplicar L´Hopital resulta: lím
Ejemplo 5 π
Calcular lím (2 − x )tg 2 x x →1
SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos 1∞ . Entonces la regla de L´hopital no es aplicable directamente. Transformando la expresión primero, resulta:
lím (2 − x ) x →1
140
π tg x 2
= lím e ln (2 − x )
tg
x →1
π x 2
lím
ln (2 − x )
(tg π x )[ln (2 − x )] = e x →1 cot g 2 x = lím e 2 x →1
π
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos: 1 − −1 2 ln(2 − x) − x 2 = lím = π = lím x →1 cot g π x x →1 − csc 2 π x π π − 2 2 2 2
(
π
)
2
Por tanto, lím (2 − x )tg 2 x = e π x →1
Ejemplo 6 1 ⎤ ⎡ 1 Calcular lim ⎢ − x − 1 ⎥⎦ x →1 ⎣ ln x SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos ∞ − ∞ .. Transformando la expresión primero, resulta: 1 ⎤ x − 1 − ln x ⎡ 1 lim ⎢ − = lim x →1 ⎣ ln x x − 1 ⎥⎦ x →1 (ln x )(x − 1) Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:
1 x −1 1− 0 − x − 1 − ln x x −1 x x lim = lim = lim = lim 1 x →1 (ln x )(x − 1) x →1 1 x →1 x →1 x − 1 + ln x (x − 1) + ln x(1) 1 − + ln x x x x −1 1 1 Volviendo a aplicar L´hopital: lim = lim = 1 2 x →1 x − 1 + ln x x →1 1+ x
Ejercicios Propuestos 4.8 Calcular: 1. lim
x 2 + 3x − 10
+
x 2 − 4x + 4 x − 2 sen x 2. lim tg x x →0 x →2
sen x + tg x
3. lim
9. lim (cos x ) x 1
x →0
10.
lim (cos 2 x )
(
lim 1 + x 2
e x − e− x 1 4. lim c tg x − x x →0 5. lim (1 − cos x ) c tg x
12.
lim x
cos x − 1 6. lim x →0 − 1 − cos x
13.
lim
x →0
7. lim
x →∞
x
8. lim x x →0
1
x
sen x
x2
x→ 0
11.
x →0 −
3
x →0
x →0
x→0
14. 15.
)
1 x
⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 4 + ln x ⎠
ln (cos 3x ) 2x 2
⎛ x ⎞ lim ⎜ ⎟ x →0 ⎝ x + 1 ⎠
x
lim (c tg x )sen x
x →0
141
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Misceláneos 1. Bosqueje el grafico de f analizando dominio, simetría , asíntotas, intervalos de monotonía y concavidad, extremos locales y puntos de inflexión
x−2 x −1 x−2
a)
f ( x) =
b)
f ( x) =
c)
f ( x) =
d)
f ( x) =
e)
f ( x) = x (8 − x )
f)
f ( x) = xe 3 + 1
g)
f ( x) =
h) f ( x) = x 3 + x 2 − 5 x − 5 i) f ( x) = x 5 − x 3
x −1 x 2
j) f ( x) = x
x −1 2 2
k) f ( x) =
x 2 −1
2
3
(x − 8) 2
x2 − 4x 2
x − 4x + 3
3
2
x
x 2 −1 x
2. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características:
• • • • •
f es continua en toda su extensión f (−4) = −3 , f (0) = 0 , f (3) = 2 f ´(−4) = 0 , f ´(3) = 0 , f ´(x) > 0 para x < −4 , f ´(x) > 0 para −4 < x < 3 , f ´(x) < 0 para x > 3 . f ´´(−4) = 0 , f ´´(0) = 0 , f ´´(x) < 0 para x < −4 f ´´(x) > 0 para −4 < x < 0 , f ´´(x) < 0 para x > 0
3. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características:
•
lím f ( x) = +∞
lím f ( x) = 0 lím f ( x) = −∞ a < b < 0 < d < e
x→a
x → −∞
x → +∞
•
f (c) = f (e) = 0 , f (b) = 5 , f (0) = 3 , f (a ) = f (d ) = 1
•
f ´´(b) = 0 , f ´´(c) no existe, f ´(d ) = 0 , f ´´(d ) < 0 ,
• •
∀x ∈ (−∞, a ) ∪ (c, d )[ f ´(x) > 0] ,
∀x ∈ (a, c ) ∪ (d ,+∞ )[ f ´(x) < 0]
∀x ∈ (−∞, a ) ∪ (a, b )[ f ´´(x) > 0] , ∀x ∈ (b, c ) ∪ (c,+∞ )[ f ´´(x ) < 0]
4. Grafique f tal que la gráfica de su derivada f ´ es: y
−3
Suponga que f ( −1) = −1
142
x
−1
2
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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5. Grafique f tal que la gráfica de su derivada f ´ es:
5
−2 2
−5
Suponga que f (0) = 0
6. Calcular : a) lim (senx )
x2
x →0 +
b) lim
sec x − 2tgx 1 + cos 4 x 4
c) lim
tgx − x arc senx − x
2
x →π
x →0
2
e x − cos x
d) lim
x2
x →0
⎛
e) lim ⎜ 2 x tan x − π
x→ 2
⎝
π ⎞
⎟ cos x ⎠
143
CAPITULO 4: Temas adicionales de la Derivada Ejercicios Propuestos 4.1 1. f crece en ( −1,0 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f decrece en ( −∞, −1) ∪ ( 0, 2 ) 2. f crece en ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f decrece en ( −2,0 ) ∪ ( 0, 2 ) 3. f crece en ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f decrece en ( −2, 2 ) 4. f es creciente ∀x ∈ R 5. f crece en ( −1,0 ) ∪ (1, +∞ ) ; f decrece en ( −∞, −1) ∪ ( 0,1) 6. f crece en (1, +∞ ) ; f decrece en ( −∞,1)
Ejercicios Propuestos 4.2 1. f ( −2 ) = 73 Máximo
; f ( 2 ) = −15 Mínimo
2. f ( 3) = 63
; f ( −3) = − 63
5 22 f − 2 = 3. ( )
Máximo
3
Máximo
4. f (1) = 7 Máximo 6. f ( 2 ) = 7 Máximo
Mínimo
3
Mínimo
; f ( −1) = −23 Mínimo
5. f ( −2 ) = 81 Máximo 4
5 ; f ( −5 ) = − 59
; f (1) = f ( −1) = 0 Mínimo ; f (1) = 0 Mínimo
Ejercicios Propuestos 4.3 1. f ( 0 ) = 17 Máximo Local 2. f ( −2 ) = 64
15
3. f ( −2 ) = 22
3
; f ( 2 ) = −15 Mínimo Local ; f ( −1) = 12 Mínimo Local
Máximo Local ; Máximo Local ;
4. No hay extremo local 5. f ( 0 ) = 1 Máximo Local ;
f ( 2 ) = − 64 f ( 2 ) = −10
15
3
Mínimo Local
Mínimo Local
f ( −1) = 0 Mínimo Local ; f (1) = 0 Mínimo Local
6. f (1) = 0 Mínimo Local
Ejercicios Propuestos 4.4 1.
2.
3.
( −∞,1 − 7 ) ∪ (1 + 7, +∞ ) ; f es cóncava hacia abajo en (1 − 7,1 + 7 ) f es cóncava hacia arriba en ( − 2, 0 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f es cóncava hacia abajo en ( −∞, − 2 ) ∪ ( 0, 2 ) f
es cóncava hacia arriba en
f
es cóncava hacia arriba en;
f 4.
f
( 13 , ∞ ) ; es cóncava hacia abajo en ( −∞, 13 )
es cóncava hacia arriba en
f f
5.
( 0, ∞ ) es cóncava hacia abajo en ( −∞, 0 )
es cóncava hacia arriba en
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ , +∞ ⎟ ; ⎜ −∞, − ⎟∪⎜ 7⎠ ⎝ 7 ⎝ ⎠
⎛ 1 1 ⎞ , ⎜− ⎟ 7 7⎠ ⎝ ⎛ 2 ⎞ f es cóncava hacia arriba en ( −∞, 0 ) ∪ ⎜⎜ 3 , +∞ ⎟⎟ ; ⎝ 11 ⎠ ⎛ ⎞ 2 f es cóncava hacia abajo en ⎜⎜ 0, 3 ⎟⎟ 11 ⎠ ⎝ f
6.
es cóncava hacia abajo en
Ejercicios Propuestos 4.5 1)
P.I.
•
(−1, 12 )
(0,17•)
Máx. Local
y = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17
P.C.E:
•(−0.55, 14.32)
P.C.E: Mín. Local
(1.21, − 1.35•) P.I.
(2,−• 15) P.C.E: Mín. Absoluto
2)
y = 3 x 5 − 20 x 3
(− 2, 64) •
(− •
2 , 39.6
)
•
(
)
•
2 ,−39.6
(− 2•, − 64)
3) y = 13 x 3 − 9 x + 2
(− 3,20) •
(0,2)
•
(3•,−16)
4) y 6 y = 3 x − 3 x + 12 x − 5 3
2
4
2
x
0 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
(
P.I.
1 3
-2
1
− 11 9
1.5
)
-4
5) y = ( x 2 − 1) 4
(− •
1 7
, 0.54
•
)
•
(
•
1 7
, 0.54
•
)
2
2.5
6)
(
)
f ( x) = x 3 − 1
•
(3
)
2 11
, 0.45
Ejercicios Propuestos 4.6 1 1) f ( x) = x 2 4 − x
(165 , 9.16) •
•(1.9;5.2)
•
4
2)
(
f ( x) = 3 2 5 3 x 2 − 3 x 5
(− 1, 6 2 ) • 3
(2,•6)
3)
f ( x) = e − x
(−
1 2
,
1 e
)•
•( 12 ,
1 e
2
)
4)
f ( x) =
( x − 2 )2 x2
1 P.I. (3, 4 )
•
P.C.E.
)
5) f ( x) =
3x − 5 x−2
6)
f ( x) =
2x 2 9 − x2
P.C.E Mín. Local
7) f ( x) = e
(−
1 2
; e −2
•
)
1
x
8) (2, 4 ) 3
f ( x) = ( x + 2) − ( x − 2) 2
3
2
3
(− 2, − 4 ) 3
9)
f ( x) =
2 + x − x2 (x − 1)2
• • (5;−1.125) (7; − 1.11)
10) y = −x
f ( x) =
2 + x − x2 x −1
11)
f ( x) =
(x + 2)2 x y = x+4
(2•,8)
•
12)
f ( x) =
x3 − 4 x2
(− 2,−3) •
y=x
13)
f ( x) =
y=x+3
x2 x −3
(6,12)
3
3
14)
f ( x) = xe
1
x
y = x +1
•
(1, e)
Ejercicios Propuestos 4.7 2. x = 0 , x =
1 2
, x=−
1 2
3. a) f (1) = f (2) = 64 4. x 0 =
. b) f ´(x 0 ) = 0 para algún x 0 ∈ [1,2]
a+b 2
Ejercicios Propuestos 4.8 1) +∞ ,
2) −1 ,
3) 1
4) 0
5) 0
6) −1 11) e
7) 1 12) e 3
8) 1 13) − 94
9) 1 14) 1
10) e −6 15) 1
Misceláneos 1)
a)
f ( x) =
x−2 x −1
b)
f ( x) =
x−2 x2 − 1
•
(0.23;1.87 ) •
c)
f ( x) =
x x −1 2
d)
f ( x) =
2 x2 − 1
e) f ( x) = 3 x (8 − x )
f)
2
x
f ( x) = xe 3 + 1
(− 1•.5;0.45)
g) y=x
x2 − 1 x
f ( x) =
h) 9
y
8 7
f ( x) = x + x − 5 x − 5 3
2
6 5 4 3 2 1
x
0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
i)
f ( x) = x 5 − x3
j)
f ( x) = x
2
3
(x
2
− 8)
k)
f ( x) =
6) a) 1
b)
1 4
c) 0
x2 − 4x x − 4x + 3 2
d) 32
e) −2
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
5 5.1 RAZÓN DE CAMBIO 5.2 PROBLEMAS PRÁCTICOS DE MÁXIMOS MÍNIMOS 5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES 5.4 POLINOMIO DE TAYLOR
Y
OBJETIVOS: :
Resolv er problemas de razón de cambio. Resolv er problemas de máxim os y mínimos. Aprox im ar v alores. Aprox im ar funciones mediante polinomios
145
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
5.1 RAZÓN DE CAMBIO Como la derivada expresa el cambio instantáneo que experimenta una variable con respecto a otra variable, para una función y f (x) , se podría obtener la derivada o razón de cambio de las variables " x " y " y " con respecto al tiempo dy dx " t ", es decir: " " y " ". Lo cual nos va a permitir resolver problemas de dt dt aplicación. Ejemplo 1 Hacia un tanque de forma de cono invertido fluye agua a razón de 5
m3 , si la altura min
del tanque es de 10 m. y el radio de la base es de 5 m. a) ¿Qué tan rápido se esta elevando el nivel del agua cuando tiene 3 m. de altura?. SOLUCIÓN: Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:
5
5
m3 min
r 10
h
Llamemos:
M Cantidad de agua que entra en m3 Q Cantidad de agua que sale en m3 V Cantidad de agua alojada en m3
Para este tipo de problema, de manera general se puede proponer: M Q V Derivando con respecto al tiempo, resulta:
dM dQ dV dt dt dt Ahora de acuerdo a la información proporcionada, tenemos:
146
dM m3 5 y dt min dQ m3 0 . dt min
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
El volumen del agua alojada depende de la geometría del recipiente. En este caso deberíamos usar la formula del volumen de un cono , es decir: V 13 r 2 h . Ahora hay que tener la función volumen en término de una variable, lo más indicado es que sea en función de h (¿por qué?). Las secciones transversales son triángulos semejantes, esto nos permite relacionar r con h .
h r h entonces r 10 5 2
5
reemplazando en la formula para el volumen del agua alojada, resulta: 2
h 3 V 13 h 12 h 2
r
10 h
por tanto
dV 2 dh h dt 4 dt
Entonces:
dM dQ dV dt dt dt dh 5 0 4 h 2 dt dh 20 m dt h 2 min En h 3 resulta:
dh 20 20 m 2 dt 3 9 min
b) Suponga ahora que se produce una perforación en lo bajo del recipiente y empieza m3 a salir agua a razón de 2 , Calcule la rapidez con que se está elevando el min nivel de agua cuando tiene 3 m. de altura?.
dM dQ dV dt dt dt dh 5 2 4 h 2 dt dh 12 m dt h 2 min dh 12 12 m En h 3 resulta: 2 dt 3 9 min
147
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Ejemplo 2 Una piscina tiene 10 m de largo y 5 m de ancho, 2.5 m de profundidad en el extremo mas hondo y 1 m en el extremo menos profundo, el fondo es rectangular, se esta bombeando agua a razón de 4 m3/min. ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando tiene: a) 0.5 m b) 1.5 m SOLUCIÓN: Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:
4
m3 min
10
5
1
2.5
Note que aquí tenemos un recipiente de doble geometría, por tanto antes que el nivel del agua sea 1.5 m. es una situación y otra situación después de los 1. 5 m. a) 0 h 1.5 10
b
1.5
h
De manera análoga al problema anterior
m3 m3 m3 Entra sale Alojado min min min El volumen de agua alojada en el recipiente se lo calcula con la fórmula para un prisma de base triangular, es decir V
bh 5 (5) bh . 2 2
La relación entre b y h se la obtiene considerando los triángulos semejantes; entonces: que resulta: b
20 h. 3
Por tanto, el volumen queda: V
148
5 20 50 2 h . h h 2 3 3
b h , 10 1.5
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
De aquí resulta
dV 100 dh h . dt 3 dt
Reemplazando, se obtiene:
m3 m3 dV Entra sale Alojada min min dt 100 dh 40 h 3 dt dh 3 m 0 h 1.5 dt 25h min En h 0.5 resulta
dh 3 6 m3 dt 25(0.5) 25 min
b) si 1.5 h 2.5 , tenemos: 10
h
V2
Variable
V1
Contante
2.5
El volumen de agua alojada se lo puede calcular de la siguiente manera:
V V1 V2 V 12 (1.5)(10)(5) 10h(5) V entonces
75 50h 2
dV dh 50 y al reemplazarlo resulta: dt dt m3 m3 dV Entra sale Alojada min min dt dh 4 0 50 dt dh 2 m3 dt 25 min
Note que es independiente de h. Note también que como el volumen de la parte inferior del recipiente es constante, entonces su rapidez de cambio es "0"; por tanto no existiría ningún inconveniente si sólo trabajáramos con la parte superior de recipiente, pero con un nuevo nivel de referencia.
149
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Ejemplo 3 Un aeroplano que vuela hacia el norte a 640 millas/h pasa sobre cierta ciudad al medio día (12h00). Un segundo aeroplano que va hacia el este a 600 millas/h, esta directamente encima de la misma ciudad 15 min. mas tarde. Si los aeroplano están volando a la misma altitud, que tan rápido se están separando a la 1:15 p.m.(13h15). SOLUCIÓN:
Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos: Referencia: 12h15 e t e vt v
1 e 640 160 4
z 2 x 2 160 y 2 derivando con respecto al tiempo dz dx dy 2z 2 x 2 160 y dt dt dt dx dy x 160 y dz dt dt dt z
x 600 millas En 1 hora: y 640 millas z
Por tanto:
6002 640 1602
1000 millas
dz 600(600) (160 640)(640) millas 872 dt 1000 hora
Ejercicios Propuestos 5.1 1.
De un tubo sale arena a razón de 16 pies 3/seg. Formando en el suelo una pirámide cónica cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base. ¿Con qué rapidez aumenta la altura de la pirámide cuando la misma tiene 4 pies de longitud?
2.
Un depósito cónic o de 12 m. de altura y radio de la base 4 m., tiene inic ialm ente 10 m 3 de agua. En t=0 comienza a fluir agua al interior del depósito a una razón de 8 m 3/h, y al mismo tiempo, por el fondo comienza a salir agua a razón de 5 m 3/h. Determine la razón a la que está variando el niv el del líquido después de 3 horas?
3.
En un depósito de forma cónic a se está vertiendo agua a razón de 225 litros por minuto . El cono tiene 6 metros de profundidad y 3 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el niv el del agua sube a razón de 2.5 centímetros por minuto, cuando el agua tiene 4.8 metros de profundidad, ¿con qué rapidez escapa agua del
depósito? 1 Litro 103 m3
150
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
4.
Considere el reserv orio de la figura adjunta, al cual se está vertiendo agua a razón de 50 m 3/min. Determine ¿con qué rapidez sube el niv el del agua, cuando éste tiene?: a) 2 m. b) 5 m.
1
2 m.
3
4 m. 2 5.
La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pies de largo y 30 pies de ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 4 a 9 pies en un tramo horizontal de 40 pies y después continúa al mismo niv el los 20 pies restantes, como se ilustra en la figura. La piscina se está llenando a razón de 50 pie 3/min de agua. Calcule aprox im adamente la RAPIDEZ DE CAMBIO del niv el de agua en el momento que la profundidad es:
4'
a) 4 pies
9' b) 6 pies
20'
6.
40'
Suponga que se vacía el agua de un tanque esféric o de radio 10 pies. Si el niv el del agua en el tanque es 5 pies y ésta decreciendo a razón de 3 pies/seg., ¿con qué razón dis minuye el radio r de la superficie del agua?
10 r
7.
Una pis cina tiene 20 pies de ancho, 4 pies de profundidad en un extremo y 10 pies de profundidad en el otro ex tremo. La piscina se l ena bombeando agua a razón de 40 pies cúbic os por minuto. Encuentre la rapidez con la que sube el niv el del agua para cualquier v alor de h, donde h es la profundidad del agua.
50 4
20
25
15
8. Un avión que vuela a velocidad constante de 300 Km/h pasa sobre una estación terrestre de radar a una altura de 1 Km. Y se eleva a un ángulo de 30º. ¿A qué v elocidad aumenta la distancia entre el av ión y la estación de radar 1 minuto más tarde? 9. Un aeroplano v uela hacia el oeste a 500 Km. Por hora y pasa sobre cierto pueblo a la 11:00 a.m.; un segundo aeroplano v uela a la misma altura hacia el sur a 400 Km. por hora y pasa por el mismo pueblo a mediodía. ¿Qué tan rápido se separan a la 1:00 p.m.?
151
MOISES VILLENA MUÑOZ
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
10. La rueda moscovita que se muestra en la figura dá una v uelta cada dos minutos. ¿Con qué rapidez se eleva una pasajera en el instante en que se encuentra a 54 pies por encim a del suelo?
R 64 pies
R= 60 pies
5.2 PROBLEMAS PRACTICOS DE MÁXIMOS Y MINIMOS Con lo expuesto en el capitulo anterior es posible resolver problemas prácticos de optimización. Ejemplo 1 Se desea construir una caja con tapa utilizando un cartón rectangular que mide 5 pies x 8 pies. Esta se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando por las líneas discontinuas, ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z que maximizan el volumen de la caja? SOLUCIÓN:
De acuerdo a la figura, la tendrá un volumen que se la formula
caja formada así puede calcular con V xyz .
Observe 5 2 x z , por tanto z 5 2 x Observe también que 8 2 x 2 y , por tanto y 4 x
152
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
V x4 x (5 2 x) (4 x x 2 )(5 2 x)
Reemplazando, el volumen sería:
V 2 x3 13x 2 20x La derivada es:
dV 6 x 2 26x 20 dx
dV 0 dx Obteniendo los puntos críticos, tenemos: 6 x 2 26x 20 0
x 1
x 103 3.33
Escogemos x 1 p , porque no es posible que x 2.5 Por tanto y 4 x 4 1 3 p y z 5 2x 5 2(1) 3 p
serían las dimensiones
para obtener un volumen máximo. Cuyo valor es: Vmáx xyz 1(3)(3) 9 p3
Ejemplo 2 Un triángulo isósceles tiene un vértice en el origen, la base paralela al eje x con los extremos en la curva 12y = 36 - x2. Determínese las dimensiones del triángulo de área máxima. SOLUCIÓN: Haciendo un esquema con la información proporcionada, tenemos:
El área de triángulo se la calcula con la formula Se observa que h y 3
x2 12
A
bh 2
y que b 2 x
Reemplazando, obtenemos el área en función de una sóla variable:
A
12
2 x 3 x
2
2 x3 A 3x 12 Derivando para obtener los puntos críticos, resulta:
dA x2 3 dx 4
153
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
dA 0 dx Ahora, por tanto, despejando resulta x 2 3 x2 3 0 4 Las dimensiones del triangula de área máxima sería:
b 2x 2 2 3 4 3 por consiguiente: Amáx
y h y 3
b h 4 3 2 4 3 u2 2 2
2 3 x2 3 12 12
2
3 1 2
Ejemplo 3 Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de radio “R” y altura “H”. SOLUCIÓN: Haciendo un esquema tenemos:
El volumen del cilindro se lo calcula con la formula V r h Para poner el volumen en función de una sola variable, relacionamos r y h por semejanza de triángulos: 2
Del gráfico observamos que:
rH HR hR Entonces: hR HR rH HR rH h R
r H h R H
Reemplazando, tenemos:
HR rH H 2 V r 2 h r 2 r R r3 R R
Entonces:
154
dV H 2rR 3r 2 dr R
dV 0 dr H 2rR 3r 2 0 y para el óptimo: R r 0 r 23 R
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Por lo tanto: h
2 HR rH HR 3 RH 1 H R R 3
Ejemplo 4 A las 7:00 a.m. un barco estaba a 60 millas en dirección este de un segundo barco. Si el primero navega hacia el oeste a 20 millas por hora y el segundo al sur este a 30 millas por hora, ¿en qué momento se encuentra más próximos el uno del otro? SOLUCIÓN: Esquemáticamente tenemos:
Aplicando la ley del coseno para calcular la distancia de separación z , resulta:
z 2 60 x 2 y 2 260 x y cos 45
Además como v
e entonces e vt y para cada distancia tenemos: t x v x t 20t y y v y t 30t
Reemplazando queda:
z 2 60 x 2 y 2 260 x y cos 45
z 60 20t 30t 260 20t 30t 2
2
2
2 2
Maximizar z es lo mismo que maximizar z por tanto si z D tenemos: 2
2
D 60 20t 2 30t 2 260 20t 30t
2 2
Derivando y simplificando resulta:
155
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
dD 260 20t (20) 230t (30) 2 2030t 22 260 20t 30 dt dD 2 2 2 2400 800t 1800 1200 2 t 3600 2 1200 2 t dt dD 600 1800 2 800 1200 2 t dt
Y para el óptimo:
2 2
dD 0 dt
600 1800 2 800 1200 2 t 0 t
600 1800 2
800 1200 2 t 1.15 horas Es decir las 8:09 a.m. estarán más próx imos uno del otro
Ejercicios propuestos 5.2 1.
Usted debe construir una caja rectangular cerrada con volumen 576 pulgadas cúbic as y cuy o fondo sea el doble de largo que de ancho como se muestra en la figura:
x 2x Determine las dimensiones de la caja que minim izarán el área total de su superficie. 2.
Determine las dim ensiones del rectángulo de mayor área que tiene dos vértic es en el eje x y sus otros dos vértices pertenecen a la parábola cuya ecuación es: y 8 x 2 , y 0 .
3.
Determine la LONGITUD de la escalera MÁS CORTA que llega desde el pis o, sobre un muro de 8 pies de altura, hasta una pared de un edific io, a 1 pie de distancia del muro.
E d i f i c i o
Escalera 1'
Pared Piso
4.
156
Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña, que se encuentra a 10 km. de distancia por el bosque y también a 2 km. de la carretera (v er figura). Puede caminar a una velocidad de 8 km/h por la carretera pero solamente a 3 km/h por el bosque. Así decide caminar primero hacia la carretera, después por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaña. ¿Qué ángulo minim izará el tiempo total necesario para que el excursionis ta llegue a su cabaña? ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque?
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
10 km Excursionista
Cabaña
2 km Bosque
Carretera
5.
Determine el área máxima posible de un trapecio inscrito en un círculo de radio 1, como lo muestra la figura.
1
6.
Hallar el v alor del área máx im a del rectángulo que se puede circunscribir a otro rectángulo dado de longitud L y ancho W.
W L
7.
Se v a a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de v olumen dado, con el mismo eje y con el vértice del cono interior tocando la base del cono ex terior. Encuentre la razón entre las alturas de dic hos conos para que el volumen del cono inscrito tenga el máximo volumen.
8.
Calcule las dim ensiones del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio igual a 10 cm.
9.
Inscribir en una esfera dada un cilindro de v olumen máximo.
10. Encuentre las dimensiones de los triángulos is ósceles inscritos en la región comprendida entre el gráfico de
1 f x x 2 4 y el eje x, de manera que el área de la región sombreada sea máxima.
y
x 11. Se tiene 80 pies de tela de alambre con la que se planea cerrar un corral rectangular al lado de un granero de 100 pies de largo como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de máxim a área?
GRANERO CORRAL
157
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
12. Dos aeroplanos A y B vuelan horizontalmente a la misma altura. La posic ión del aeroplano B es al suroeste del A, a 20 km. al oeste y 20 km. al sur de A. Si el aeroplano A v uela hacia el oeste a 16 km/min y el B vuela hacia el norte a 64/3 km/min. a) ¿En cuántos segundos estarán los más cerca uno del otro? b) ¿Cuál será su dis tancia más corta? 13. Halle la altura de un prisma triangular regular de volumen máximo inscrito en una esfera de radio R. Nota: Recuerde que en un triángulo equilátero las alturas y medianas coinciden y se intersecan en un punto P de 2 modo que AP AM C 3
P
M
B
A
5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES 5.3.1 DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL
Supongase que y f (x) es diferenciable en “ x ” y que dx , la diferencial de una variable independiente “ x ”, designa un incremento arbitrario de “ x ”. La diferencial de “ y ” correspondiente a la variable dependiente “ y ” se define como:
158
dy f ´(x)dx
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
5.3.2 APROXIMACIONES Observe la gráfica
Note que x dx Y que, si x 0 entonces y dy , es decir: y f ´(x)x
Entonces: f ( x0 x) f ( x0 ) f ´(x0 )x Es decir: f ( x0 x) f ( x0 ) f ´(x0 )x
Ejemplo 1 Aproximar 4.6 SOLUCIÓN: Debemos emplear la función Note que
f ( x) x .
4.6 4 0.6 , entonces x0 4 y x 0.6
Para emplear la formula f ( x0 x) f ( x0 ) f ´( x0 )x , Obtenemos:
f ( x0 x) x0 x 4 0.6 , f ( x0 ) x0 4 2 y
Entonces:
f ´( x0 )
1 2 x0
1 2 4
1 4
1 4 0.6 2 0.6 4 4.6 2.15
159
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Ejemplo 2 Aproximar sen 31 SOLUCIÓN: Para este caso empleamos f ( x) sen x , por tanto f ´( x) cos x Para aplicar la formula f ( x0 x) f ( x0 ) f ´( x0 )x , para la cual definimos: x0 30
, x 1 entonces: 6 180 sen(x0 x) sen(x0 ) cos(x0 )x
sen(30 1) sen(30) cos30 180 3 sen 31 0.5 2 180 sen 31 0.501
5.3.3 ESTIMACION DE ERRORES Sea y f (x) la variación en y cuando varía x se la se la calcula empleando la formula y f ´(x)x
Ejemplo El lado de un cubo se midió en 11.4 cm. con un posible error de ± 0.05 cm. Calcule el volumen del cubo y proporcione una estimación para el posible error de este valor. SOLUCIÓN: El volumen del cubo se lo obtiene con la formula V l 3 . Como l 11.4cm entonces V 11.43 1481.5cm3 . Pero como hay un margen de error (variabilidad) en la medición del lado: l 0.05cm , se propaga un error en el valor del volumen calculado. dV l Es decir: Este margen de error en el volumen se lo calcula de la siguiente manera: V dl
V 3l 2 l V 3(11.4) 2 (0.05) V 19.5cm 3 Esto quiere decir que V 1481.5 19.5cm3
Ejercicios Propuestos 5.3 1.
En los siguientes ejercicios use diferenciales para calcular v alores aproxim ados de los números dados. Compare con los valores reales: a)
2.
160
402
b) 3 26.91
c)
35.9
d) 6 64.05
El diámetro ex terior de un delgado casquete esférico es de 12 pies. Si el casquete tiene 0.3 pulgadas de espesor, use diferenciales para calcular el volumen aproximado de la región interior del mismo.
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ 3.
Un rodillo cilíndrico mide exactamente 12 pulgadas de longitud y se ha estimado su diámetro en 6 0.005 pulgadas. Calc ule su volumen con una estimación del error.
4.
Se mide el radio de una esfera con un instrumento cuya precis ión es de 0.05 cm.. Si la medición registra un radio de 15 cm. Determine el error que tendrá el volumen de la esfera
5.4 POLINOMIO DE TAYLOR La
ecuación
de
la recta tangente en el punto y f ( x0 ) f ´(x0 )x x0 es decir y f ( x0 ) f ´(x0 )x x0 .
x0 , f ( x0 )
es
En la vecindad de x 0 , y f (x) ; por tanto una buena aproximación para una función diferenciable en un punto sería la recta tangente en ese punto; es decir:
f ( x) f ( x0 ) f ´(x0 )x x0 . Lo anterior corresponde a la aproximación de una función mediante un polinomio lineal. Para mayor orden tenemos:
f ( x) f ( x0 ) f ´(x0 )x x0
n f ´´(x0 ) x x0 2 f ´´´(x0 ) x x0 3 ... f ( x0 ) x x0 n 2! 3! n!
El Polinomio de Taylor de orden “n” para una función. NO OLVIDE DEMOSTRARLO. Si x0 0 se llama Polinomio de Mclaurin. En tal caso sería:
f ( x) f (0) f ´(0)x
f ´´(0) 2 f ´´´(0) 3 x x ... 2! 3!
Ejemplo Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para f ( x) e x y empleelo para calcular e 0.1 . SOLUCIÓN: f ( x) f ( x0 ) f ´( x0 )x x0
e x e0 e0 x 0
IV f ´´( x0 ) x x0 2 f ´´´( x0 ) x x0 3 f ( x0 ) x x0 4 2! 3! 4!
0 0 e0 x 02 e x 03 e x 04 2! 3! 4!
x 2 x3 x 4 2 6 24 bien, ahora reemplazando x 0.1 resulta: f (0.1) 1 0.1 0.005 0.000166666 0.000004166 f (0.1) 1.105170833 ex 1 x
161
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Ejercicios Propuestos 5.4 1.
Hallar el polinomio de Maclaurin de orden “n” para: a)
f x e3x ; n=4
d) f ( x) cosh x
b)
f ( x) x 2 e x ; n=4
e) f ( x)
1 x 1 2
e x e x ; n=10 2
; n=4
c) f ( x) sen x ; n=3 2.
Hallar el polinomio de Taylor de grado n, alrededor de x0 a)
1 f ( x) ; n=4; x0 1 x
b)
f ( x) x ; n=4; x0 4
. c) f ( x) ln x ; n=4; x0 1
Misceláneos 1. Se tiene un tanque esférico de radio igual a 10m. En el tanque ingresa agua a razón de 2 m
3
¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua es de 5m.
2 NOTA: Volumen del casquete esférico V h R
h
.
h Observar la figura. 3
2. En la ribera de un río de 0. 9 Km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera a 3 Km. Corriente arriba, hay una fábrica y la fábrica necesita energía eléctrica por lo que se debe tender cables entre la planta eléctrica y la fábrica. Tender los cables por tierra cuesta $3 por metro y hacerlo por el agua cuesta $5 por metro. ¿Cuál es la forma más económica de tender los cables entre la fábrica y la planta eléctrica?. RESP. 1125 m. por agua y 2325 por tierra 3. En un recipiente cónico de 10m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de
5m
3
min
. Con que rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando
éste tiene de 3m. 4. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de radio 4 cm. 5. Dos puntos A y B parten del origen de coordenadas. El punto A se mueve sobre la dirección positiva del eje x con la ley del movimiento x x(t ) 2t , en donde x se da en centímetros y t 2
en minutos. El punto B se mueve sobre la recta y x a una rapidez constante de 2 cm
min
.
Determine la rapidez a la que estos dos puntos se están alejando uno del otro después de 2 min. De haberse comenzado a mover. 6. Tres puntos A, B y C se encuentran de tal manera que el ángulo ABC es de 60° y la distancia entre A y B es de 3Km. Del punto A sale, dirigiéndose hacia B, un corredor a una velocidad de 18 Km/h. En el mismo instante sale B, dirigiéndose hacia C, un ciclista a una velocidad de 27 Km/h. Encuentre el momento en que el corredor se encuentra más próximo del ciclista. 3
7. En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de 0.2 m por minuto. El cono tiene 8 metros de profundidad y 4 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua sube a razón de 2 centímetros por minuto, cuando el agua tiene 5 metros de profundidad, ¿con qué rapidez escapa agua del depósito? 8. Una pequeña isla está a 2 millas en línea recta del punto más cercano P de la ribera de un gran lago. Si un hombre puede navegar desde la isla en su bote de motor a 20 millas por hora, y caminar a 4 millas por hora, ¿en qué lugar desembarcar para llegar en el tiempo más corto a un pueblo que dista 10 millas al sur del punto P?
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Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
9. Del filtro cónico de una cafetera cae café a razón de 10 pul 3 min . (Ver figura). a) ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del café en la jarra, cuando el café tiene 5 pulgadas de profundidad en el cono?. b) ¿Con qué rapidez baja el nivel de café del cono en ese instante? 10. En un triángulo rectángulo isósceles se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados reposa sobre la hipotenusa. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir de esa manera, considerando que los catetos del triángulo miden 2 m. 11. Dos barcos navegan a partir de un mismo puerto isleño, uno hacia el norte a 24 millas por hora y el otro hacia el este a 30 millas por hora. El barco de la ruta NORTE partió a las 9: 00 A.M., y el de la ruta ESTE a las 11:00 A.M.. ¿Con qué rapidez aumenta la distancia entre ellos a las 2:00 P.M.? 12. Encuentre las dimensiones del rectángulo de máxima área que se puede inscribir en un semicírculo de radio R.? 13. Se tiene un tanque esférico de radio 15 pies. En el tanque sube el nivel del agua a razón de 2 pies por segundo. ¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua es de 5 pies? Observe la figura 14. Un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados se encuentra en el primer cuadrante de modo que sus vértices están sobre el origen, el eje X positivo, el eje Y positivo y sobre la recta 2 x y 100 . Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área posible que se encuentra localizado de la manera señalada. 15. En una página de un libro debe haber 150 cm2 de texto escrito. Los márgenes laterales deben ser de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm. Determine las dimensiones de la hoja para que se gaste la menor cantidad de papel posible. 16. En el interior de un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 18 cm., se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados reposa sobre la hipotenusa. Calcular las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse de esa manera. 17. En un recipiente cónico de 10 m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de 5 m3 min . ¿Con qué rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando
éste tiene un nivel de 3m. ?. 18. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de radio 4 cm., donde uno de los lados es el diámetro del semicírculo. 19. El tumor del cuerpo de una persona es de forma esférica y su radio aumenta a razón de 0,001 cm
por día. Determine con qué rapidez aumenta el área superficial del tumor cuando su diámetro es de 1cm. 20. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede ubicarse en el primer cuadrante, donde dos de sus vértices pertenecen al eje X, y los otros dos vértices pertenecen respectivamente a las rectas y 2 x y 3x y 30 . 21. Las rectas L1 : y x 2 y L2 : y 2 x 10 forman un triángulo con el eje x . Encuentre las dimensiones del rectángulo de may or área, con un lado contenido en el eje x , que puede inscribirse en el triángulo dado. 22. La diagonal de un cubo está aumentando a razón de 4 pulgadas/min. Calc ule la razón con la que varía el área total del cubo en el instante que la diagonal mide 5 pulgadas. 23. Dos buses parten de una mis ma estación a las 09h00. Las carreteras por las que viajan forman un ángulo recto entre sí. Determine la rapidez con la que varía la dis tancia que los separa al cabo de media hora de viaje, si la velocidad de los buses es de 90 Km/h y 110 Km/h respectiv amente. 24. Un escenario circular con radio de 3 metros de longitud, da una vuelta cada dos min utos, tal como se muestra en la figura. Una cámara fija en el punto P, está a 3 2 m. del centro O del escenario, y enfoca a una persona que se encuentra en el punto M. Determine a qué v elocidad v aría la distancia entre la cámara y la persona, en el m instante que los segmentos OM y OP forman un ángulo de 45 . Resp. 3 min P O
M
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