Calculo Diferencial e Integral - N. Piskunov

 PISKUnOV

álculo diferencial e integral

oma I Editorial r í f L a 1  Mir Mosc

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H3JJATE JIbCTBO «HAVKA» MOCKBAN. PISKUNOV

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

3" edición TOMO

I

EDITORIAL MIR • MOSCU

Traducido del ruso por c! ingeniero K. MEDKOV

(aa úcnaHcxou nsuxe)

Impreso on la CHSS Traducción al español. Editorial Mir. 197

INDICE

7

PREFACIO

CAPITULO I. NUMERO. VARIABLE. FUNCION § 1. Números reales. Representación de números reales por

F U N C I O N E S   D E   V A R I A S   V A R I A B L E S

C A P I T U L O  7

s 1. DEFINICION DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Examinando las [unciones de una sola variable, ya hemos indicado que el estudio de diferentes fenómenos obliga a utilizar las funciones de dos y más variables independientes. Demos algunos ejemplos.

Ejemplo 1. El área S de un rectángulo do lados x e y, se da por la fórmula:

A cada par do valores de x e y, corresponde un valor determinado del área S; S es una función de dos variables.

S—x y.

Ejemplo 2. El volumen V de un paralelepípedo recto, en que las aristas tienen longitudes iguales a x, y, i, se da por la formula:

V**xyz.

C A P I T U L O  8

Aquí, V es una función de tres variables: x, y, t.

Ejemplo 3. El alcance R de un proyoctil lanzado a la velocidad inicial i'o, bajo el ángulo 9 respecto al horizonte, se expresa por la fórmula:

_ vi sen     2tp     S

R

(despreciando la resistencia del aire). El símbolo g en la fórmula representa ia aceleración debida a la fuexza de gravedad. Pera cada par de valores v 0  y 9 la fórmula da un determinado valor de /?, es decir, ñ es una función de dos  variables, v0 y cp.

C A P I T U L O  9

Ejemplo 4.

T/i + x* '

Aquí, u es una función do cuatro variables x, y, s, 1.

Definición de los funciones de varias variables

209

Definición 1. Si a cada par (z, y) de valores de dos variables, x e y, independientes  una de otra, tomadas de cierto campo D de su variación, le corresponde un valor  determinado do la magnitud z, se dice que z es una función de dos variables  independientes x e y, definida en el campo D.En forma simbólica una función de dos  variables se representa asi: z — f {x, y), z = F (x, y), etc.

Una función de dos variables puede expresarse por medio de una tabla o analíticamente mediante una fórmula (como se ba hecho on los  cuatro ejemplos examinados). La fórmula permite formar la tabla de los valores que toma la función para cada par de valores de las variables   independientes. Para el ejemplo f se puede formar la Siguiente tabla: 5 = xy

y.

En la tabla el valor de la función S se encuentra en la intersección de los renglones y columnas correspondientes a los valores buscados de x e 

Definición de los funciones de varias variables

209

Si   la  dependencia  funcional   2   =  f  (x,   y)  resulta  de   las   mediciones   de   la  magnitud  z   durante   el   estudio  experimental   de  un   fenómeno,  obtenemos la tabla en que z se determina como función de dos variables. En este caso, la función se da sólo mediante, la tabla.

La función de dos variables igual que la función de una sola variable puede no estar definida para todos los valores arbitrarios de x e y.

Definición 2. B1 conjunto de los pares (x, y) de los valores de x e y, para los cuales esté definida la función z = f (z, y), se llama dominio de   definición o dominio de existencia de la función.

12

Funciones de parías variables

El dominio de existencia de una función puede ser interpretado geométricamente. Si  cada par de valores, x e y, lo representamos mediante un punto M (x, y) en el plano  Oxy, el dominio de definición de la función será representado por el conjunto de  puntos en este plano. Llamemos también a este conjunto de puntos, dominio de  definición de la función. En particular, todo el plano Oxy puede ser este dominio. En  lo ulterior los dominios de definición que estudiaremos estarán constituidos por las  parles del plano limitadas por unas líneas. La línea que limita el dominio dado se  llama frontera de este dominio. Los puntos del dominio que no pertenecen a la  frontera se llaman puntos interiores del dominio. Todo dominio integrado solamente  de puntos interiores se llama dominio abierto.Un dominio que incluye también los  puntos do la frontera se llama dominio cerrado.

El dominio se llama acolado, si existe una magnitud constante C tal que la distancia entre todo punto M del dominio y el origen de coordenadas   sea menor que C: | OM |  —u»>0 ó x»+»«0

6 y> — x.

17

Funciones de parías variables

El dominio natural de definición do la función 2 es por consiguiente, el semiplano situado por arriba do la recta y = — x, excluyendo la propia rocta (fig. 105).

Representación geométrica de una función de dos variables____________________27t

Ejemplo 8. El área S de un triángulo es una función do la base x y la altura y:El dominio do  dofinición do esta función, os evidentemente el dominio x > 0, y > 0 (puesto que la baso y la  altura del triángulo pueden ser expresadas solamente por números positivos). Notemos, que  el dominio do dofinición do la función examinada no coincide con el dominio natural de  dofinición de la expresión analítica, quo determina a esta función, puesto que el dominio

natural de definición de la expresión ocupa, evidentemente, todo el plano Oxy.

La definición de función de dos variables, puedo extenderse fácilmente al caso do tres y más variables.

Definición 3. Si a todo conjunto estudiado do valores de las variables  x, y, z, . . ., u, t  corresponde un valor determinado do la variable  w,  entonces esta última es /unción de las variables independientes x, y, z, . . .i u, t, es decir: w = F (x, y, z, . . ., u, t) o w = = f (x, y, z, . . ., u, t), etc.

Análogamente al caso de una función de dos variables, existe el dominio de definición de la función do tres, cuatro y más variables.

Representación geométrica de una función de dos variables____________________27t

Por ejemplo, el dominio de definición do una función de tres variables es un conjunto de ternas de números (x, y, z).

Observemos que cada terna de números define un punto M (x, y, z) en el espacio Oxyz. Por tanto, el dominio de definición de una función de  tres variables es un cierto conjunto de puntos en el espacio.

De manera análoga se puede determinar el dominio de difinición de una función de cuatro variables u => / (x, y, z,  = Vi — I* — j/* — S» — U«.

Aquí, w es una función do cuatro variables r, y, j, u, definida para los valores de las variables quo satisfacen a la correlaclón:

Representación geométrica de una función de dos variables____________________27t

§ 2. REPRESENTACION GEOMETRICA DE UNA FUNCION DF. DOS VARIABLES

Sea la función: * = / y),

(f)

definida en el dominio G del plano Oxy (este dominio puede ocupar, en particular, todo el plano), y Oxyz, un sistema de coordenadas

22

Fundones de varias variables

cartesianas en el espacio (fig. 166). En cada punto (x, y) del dominio G levantemos  una perpendicular al plano Oxy y marquemos en ésta un segmento igual a / (x, y).  Así obtenemos en el espacio un punto P do coordenadas x, y, z = / (x, y).

El lugar geométrico de los puntos P, cuyas coordenadas satisfacen a la ecuación (1), se llama gráfica de la función de dos variables.

Del curso de Geometría analítica sabemos que la ecuación (1)  espacio. Así la gráfica de una función

determina una superficie en el 

de dos variables es una superficie cuya proyección sobre el plano  esta función. Cada perpendicular al plano Oxy corta la superficie  punto.

Oxy, es el dominio de definición de  z = / {x, y) no más que en un solo 

23 Fundones de varias variables Ejemplo. Por lo Geometría analítica sabemos que la gráfica de la función i = x* + u' es un paraboloide de revolución (fig. 167).

Observación. Es imposible dar la representación geométrica en el espacio de la gráfica de una función de tres o más variables.

$ 3. INCREMENTO PARCIAL Y TOTAL DE LA FUNCION

Examinemos la curva PS de intersección de la superficie z = / (x, y)

con el plano y — consl, paralelo al plano Oxz (fig. 168).

24

Fundones de varias variables

Puesto que y es constante en todos los puntos del plano indicado, z variará a lo largo de la curva PS sólo en función de x. Demos a la variable  independiente x un incremento Az, entonces el incremento correspondiente de z recibirá el nombro de incremento parcial de z respecto a x que  designemos con el símbolo A«z (el segmento SS' en la figura 168), así que:

A*z = / (x + Az, y) —1 (*, y).

(1)

Análogamente, si x es constante y damos a y un incremento Ar/, el incremento correspondiente de z recibirá el nombre de incremento

25

Fundones de varias variables

parcial de z respecto a y que designemos con el simbolo A„z (el segmento TV en la figura 168): A„z  = f ( x , y + A y ) ­ V  (z, y).

(2)

La función recibo el incremento A„z «a lo largo do la curva» de intersección de la superficie  z — f (x, y) con el plano x — const, paralelo al plano  Oyz.

Por último, si damos simultáneamente un incremento Az a la variable x y un incremento A y a la variablo y obtenemos el incre

mento correspondiente de z, Az, que se llama  incremento total de la  función z y que se determina por la fórmula: Az = f (x + Az, y + Áy) ­ f (*, y). (3)

El incremento Az está representado por el segmento  QQ' en la figura 168.

Notemos que, en general, el incremento total no es igual a la suma de incrementos parciales, es decir, Az A»z + A„z.

Ejemplo: z=*xy. =

26

Fundones de varias variables

lí—xy — yAz,

A„s = x (|( + Ají) — xy = xAy.

Aí = (l + Al) (ff­f Ay)— iy=íAx­f íA|/+AxAí.

27 Para *=1, p=.2. Ai ­ 0,2, A y —0,3, tenemos: AjS^O.í, A,j — 0,3, As —0,76.

Fundones de varias variables

De manera somejante se determinan los incrementos parciales y total de la función de cualquier número de variables. Así, para una función de  tres variables u = / (z, y, t) tenemos:

Ax u   = f ( x +  Az, y, t) ­ f (z, y, t), A„u = /(*,» + Ay, i) ­ / (z, y,  0, existe un número r > 0 tal que para todos los puntos M (x, y), cuando cada punto M (x, y) tiende a M¡,  (x„, ya), se cumple la desigualdad MM0 ­ 0. s

La expresión encerrada entre corchetes en la igualdad (1*) es el incremento total  Az  de la función  z.  Por consiguiente, se puede escribir la  igualdad (f") en la forma:

lím Az = 0. A» 0

■¿86

Funciones de varios variables

(I'")

Una función, continua en cada punto de un cierto dominio, se llama continua en este dominio.

Si la condición (1) no se cumple en cierto punto N (x0, yo) éste se llama punto de discontinuidad de la función z =» / (x, y). Demos algunos ejemplos  en que la condición (f) no se cumple: 1) z = ™ / (*> y) está definida en todos los puntos de cierta vecindad del punto A' (xo, y 0), excepto el mismo  punto N (x0, y0); 2) la función z — f (x, y) está definida en todos los puntos de una vecindad del punto N (xo, yo), pero no existe el límite lím / (x, y);

X­MtQ v*uo

3) la función está definida ep todos los puntos de la vecindad N (Xo, yo) y existe el límite: lím / (x, y),

X­*Xf

■¿86

Funciones de varios variables

34

Funciones de varias variables

Ejemplo 1. La función

es continua para todos los valores de x e y. es decir, on coda punto del plano Oxy. En efecto, cualesquiera quo sean los números x ti y, ax y Ay, tenemos:

35

A L = 1(1 + A*)» + (» + A»)1] — \X* + = 2x&x + 2yA|| ­f Al' + Ay',

por tanto,

Funciones de varias variables

36

lím Az —0. áx—o 41/­.0

Demos ahora un ojemplo.de la función discontinua. Ejemplo 2. La función

Funciones de varias variables

37

Funciones de varias variables

._ Zxy *'+y'

ostá definida on todos los puntos, oicopto en el punto x — O, y = O (fie. 170, 171).

38

Funciones de varias variables

Examinemos loa valores quo toma z on los puntos situados sobre la recta y = kx (A— const). Es evidente que para todos los puntos de la recta:

Fig. 170

2fcr*

39

Funciones de varias variables

es docir, sobro cada recta quo pasa por el origen de coordonadas, la función x tiene un valor constante, que dependo del coeficiente angular k de esta recta.

Por eso el valor limito de la función s depende del camino quo recorra el punto (r, y) Cuando esto punto (r, u) on el plano Oxy tiende al origen de coordenadas, lo  quo significa quo la función / (z, y) no tiene límite. Por consiguiente, la fun ­ ción   es   discontinua   on   esto   punto.   No   se   puede   hacer   una   determinación  adicional   do  esta   función   on   el   origen   do   coordenados   para   convertirla   en continua. Es fácil ver, por otra parte, quo on todos los demás puntos esta función  es continua.

Fig. 171

Derivadas parciales de la función de varias variables

40

Indiquemos sin demostración algunas importantes propiedades de la función de  varias variables, continua on el dominio cerrado y acotado. Estas propiedades son  semejantes a las de la función de una variable y continua en el segmento (véase §  10, cap. II).

Propiedad 1. Si una función / (x, y, . . .) está definida y es continua en el dominio  D cerrado acotado, entonces en este dominio existe por lo  menos un­ punto N (x, y¡¡, ...) tal, que para todos los demás puntos del dominio se cumpla la correlación: / (*o. ío, • • .)>/(*, y, . . .),

y existe por lo menos un punto N (x„, y0) tal que para todos los demás puntos del dominio se cumpla la correlación:

/fo, tfo. ...)j OII el punto (2; 3). para Ax = 0,1, Ay 0,2.

Incremento total y diferencial total

Solución. Ac

dz

dz = — dx ­f­ — dy = y dx {­ x dy « yA* x\y.

Por consiguiente,

(ij + by)— xy ­ySx ­f xÁy , \y,

dz

m

Incremento total y diferencial total

A: • 3*0,1­{­2­0,2­} 0,1­0,2*­0,72: dz­ 3­0,1 }­2.0,2 = 0,7.

Lo figura 173 ilustru esto ejemplo 1.

m

47

dx dy

Funciones de jjarias variables

Los razonamientos y definiciones anteriores pueden extenderse, de modo  correspondiente, a las funciones de cualquier número de argumentos.Sea w = I (z,  y, z, u, . . ., t), una función de cualquier número de variables en la que todas las  derivadas parciales al

son continuas en el punto (z, y, z, u, . . ., t), la expresión: dx

dw=°ldx + ^Ldy + ­?Ldz­f ... + °Ldt dy dz

dt

será la parte principal del incremento total de la función y se llamará diferencial total. Del modo semejante que en el caso de una función de dos  variables se puede demostrar que la diferencia Ato — dw es una infinitesimal de orden superior con relación a V(Az)J 4­ (A/) + . . . + (Ai)'­

Ejemplo 2. Hallar la diferencial total de la función u = e**+l,s ^n' x, de tres variables x, y, s.

48

Funciones de jjarias variables

bservando que las derivadas parciales ax

~ ^"­"Vscn':, dy

«Ü _ os

sen j eos; .»" »' sen 2i

49 son continuas par» lodos los valores do x, y. :, tenemos:

Funciones de jjarias variables

du^^­dj | — dy dz

dz oy

(2x sen* : de + Zy smit ; dy +sen dz).

oz

§ 8. APLICACION DE LA DIFERENCIAL TOTAL PARA CALCULOS APROXIMADOS

Supongamos que la función z = / (z, IJ) es derivable en el punto (z, y). Hallamos el incremento total do esta función:

Az = / (z 4­ Az, y + A y) — / (z, y),

de donde:

50

Funciones de jjarias variables

y (75)2 _ (32)*

0,00275 radianes =9'38".

75 y (75)2 _

De tal modo:

32

A= arcsen ^ ­J 9'38\

6. Determinado el cateto b = 121,56 m y el ángulo A 25*21'40" dr un triángulo rectángulo ABC', los errores absolutos máximos cometidos en el curso de la  evaluación de estas magnitudes son respectivamente | A*b ] = 0,05 m y | AM | ­= 12".

Determinar el error absoluto máximo cometido en el cálculo del cateto a por la fórmula a = bigA.

55 Solución: Según la fórmula (2):

|A*«|=|lg/1|l A«H+­

Funciones de i arias variables

56 Funciones de i arias variables Sustituyendo los valores correspondientes (y expresando | A * .­1 | en radianes). tenemos:

 — 0 (en virtud do la con tinuidad de las funciones u y v). Pero, en este caso Vi y Y2 igualmente tienden a  cero. Pasando al limite para Ax­*­0, obtenemos:

lím —

67

liin

Funciones de i arias variables

• i¡nl _ dv

a* ­* o Ax dz A* o Ax dz A* — o Ax dz

A*­* D

liin y, = 0; lím y2 = 0 Ax­*0

Derivada de una /unción compuesta. Derivada total

291

dz _ dF du | dF dv dx du dx di i dx

Si damos un incremento Ay a la variable y, conservando x invariable, obtenemos análogamente: dz _________________________________ dF du ^ dF dv dy du dy dv dy

Ejemplo 2.

19»

^

i~ln(u2 + r); u — tfx+J/3, p = i« + v; dz __ 2u . JÜL­¡ ' d y ' d i   ' d ¡ /   '

ÜL d i

19»

Utilizando las fórmulas (4) y (4'), tenemos:

ii ­ 2" . **+«» + 1 .|2j = 2 («»+!'' + X),

Las fórmulas (4) y (4') se generalizan naturalmente para un mayor número de variables.

Por ejemplo, si w  =  F (z, u, v. s) es una función de cuatro argumentos z,  u, v, s, y cada uno de  fórmulas (4) y (4') toman la forma:

________________________________

Si la función i = F (x, y, u, v) es tal que las variables y, u, v dependen, a su vez, del argumento x:

19»

éstos   depende   do  x  e  y,  las 

y = / (x); u = 9 (x)\ v = i|> (i), entonces, z, en esencia, es función de una sola variable x, y se puede, por tanto, hallar la  derivada dx

19»

■¿86

Funciones de varios variables

Esta derivada se calcula por la primera de las fórmulas (5)i dz_________________________________dzdx dz dy dzdu dz dv

dx dx dx dy dx du dx dv dx' pero, como y, u, v no dependen más que de una sola variable xf las derivadas parciales  correspondientes son de hecho las derivadas

ordinarias; además, ~ = 1, por tanto: dz_________________________________dz dz dy dzdu 3z dv  sen i.

Funciones de varios variables

dz n dx 1 dy

­r— =12x; ——=.­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­— ; —7— eos x. dx dy 2 Y y 

1 En el § II doi capitulo III liemos resuelto el problema de derivación de las funcionos   implícitas do una variable. Hemos examinado algunos ejemplos, sin obtener la formula   gonoral   para   hallar   la   derivada   de   la   función   implícita.   Tampoco   hornos   aclarado   las   condiciones de existencia de esta derivada.

Según la fórmula (fi) tenemos dz ds dz dy . . 1 , , I -------------------------------------

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Funciones de varios variables

-----—»2xH­­­­­­­­­­­­—eos x =2x

dx dx ' dy dx

2 Vi

2 l/senx

i^a diferencia de la derivada parcial j

i II. DERIVADA I)E UNA FUNCION DEFINIDA IMPLICITAMENTE

Comencemos el análisis de este problema con el estudio de la función implicita de una sola variable*. Sea   y  una función de  x  definida por la  ecuación P (x, y) = 0

comprobemos el teorema siguiente. Teorema. Sea y una función continua de x definida implícitamente por la ecuación F (x, y) = 0 donde F (x, y), F„ (x, y), F¡¡ (x, y) son funciones continuas en cierto dominio D que contiene el punto (x, y), cuyas coordenadas satisfacen a la   ecuación (lj; además, en este punto F'y (x, y) ^fc 0. Entonces la función y de x tiene la derivada: F­Jx, y)

y. = —

F"y(x, y)

■¿86

Funciones de varios variables

Demostración. Supongamos que a un cierto valor de z corresponde un valor de la función y. Aqui F (z, y) = 0.

Demos   a  la  variable  independiente  x  un  incremento  Az.  La  función  y  recibe  el  incremento   Ai/,   es  decir,  al   valor  x  +  Az  del  argumento  le  corresponde el valor y + Ay de la función. En virtud de la ecuación F (z, y) — 0 tenemos:

F (z + Az, y + A y) = 0.

Por tanto,

F (z + Az, y + Ai/) ­ F (z, y) = 0.

El primer miembro de la última igualdad que es el incremento total de la función de dos variables, en virtud de la fórmula (5') § 7 se puede   escribir dF dF

dx

F (z + Az, y ­f Ay) — F(x, y) = — Az + — Ay + y, Az + y2 Ay, dy

donde Vi y Y: tienden a cero, cuando Ai ­+ 0 y Ay ­*■ 0. Como el primer miembro de la última expresión es igual a cero, se puede escribir dF 0F

■¿86

------------------------------------------------------------------Az H­­­­­­­­­­Ay + y, Az ­+­ y. Ay = 0. dx dy

Funciones de varios variables

Dividamos la igualdad obtenida por Az y calculemos : dF

A ­R—I" Yi Ay___________________________________________________ dx

^ ' — + Y* Oy

Aproximemos Az a cero. Teniendo en cuenta que y, y y2 tam­

bién tienden a cero y que =5¿= 0, obtenemos como el límite:

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dF

Funciones de varios variables

Oy

Hemos   demostrado   la   existencia   de   la   derivada  y'x  de   la  función   definida   implícitamente   y  hemos   obtenido   la   fórmula   para   calcular   esta  derivada.

■¿86

Ejemplo 1. La ecuación

f y» —1=0

Funciones de varios variables

■¿86

Funciones de varios variables

define ¡/ como función implícita de T. Aquí: =

Por consiguiente, según ta fórmula (1): d* ~ 2y

i, '

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Funciones de varios variables

Observemos que la ecuación dada define dos funciones distintas (puesto que a cada valor de x en el intervalo (— 1. 1) corresponden dos valores de p |; sin  embargo, el valor hallado de y'x es válido para ambas funciones. Kiemplo 2. Sea la ecuación t»— e' + xy

Aquí: F (x. y) cV—eizx 1­xy, r dF dx

dy

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Funciones de varios variables

Por tanto, según la fórmula (I) obtenemos:  dy                                                                                                                            — r*­I­ y r     x  — y 

dx

t'­' x J­r "

Examinemos ahora la ecuación del tipo F (.t, y, z) = 0.

(2)

Si a cada par de números x e y, pertenecientes a cierto dominio, le corresponden uno o varios valores de z que satisfacen a la ecuación (2). ésta  define implícitamente una o varias funciones univocas z de x e y.

Por ejemplo, la ecuación x' ­ jr + z! ­ = 0

define implícitamente dos funciones continuas z de J; e y, que pueden expresarse explícitamente, resolviendo la ecuación respecto a z; en este caso  obtenemos:

i^ _

as parciales — y — de la función impll­ r parciales — y — r

cita z de x e y definida por la ecuación (2).

Ox uy Ox ai

 Derivada de   uno  función definida Implícitamente    ________________________82

Para buscar , supongamos que y es constante. Por eso, podemos utilizar aquí la  fórmula (1), considerando z como una función de la variable independiente x. Por  tanto:

De modo semejante hallamos:

Aqui es natural suponer que

f^O­ dz

Del mismo modo se definen las funciones implicitas de cualquier número de variables y se calculan las derivadas parciales de las mismas.

 Derivada de   uno  función definida Implícitamente    ________________________83

Kjemplo 3. dz

2i _ x Oz

dx

2z ~~ z * dy ~ z

y

Derivando esta función como si fuera explícita (resolviendo esta ecuacióo respecto a z), obtenemos el mismo resultado.

 Derivada de   uno  función definida Implícitamente    ________________________84

Kjemplo 4.

r' M'í + l | ! 0.

 Derivada de   uno  función definida Implícitamente    ________________________85

Aqui f {', «, *) = e> + z'y + ,+!¡, df' •> df , Bf —— 2xy; —­­ = x»; ­tt— = e* ­f 1; Ox

dz

dy

dz

. dz

xl

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Funciones de varios variables

Í­­ , 1 'Observación: Todos los razonamientos del párrafo anterior los hemos realizado, suponiendo que la ecuación F (x, y) => 0  define cierta función de una variable y =