Calculo Diferencial - Capitulo 4 - Jesus del Valle

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Capítulo 4 Aplicaciones de la derivada

Contenido breve Módulo 20 Interpretaciones geométrica y física de la derivada En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto y terminan empatados. El teorema del valor medio permite demostrar que sus velocidades fueron iguales en algún instante de la carrera.

Módulo 21 Valores extremos de una función de variable real Módulo 22 Teorema del valor medio (TVM) para derivadas

Presentación En el capítulo anterior se presentaron todas las herramientas básicas como medio para resolver una serie de problemas en los que interviene la derivada, que son de gran importancia práctica y que de otra forma no podrían ser resueltos. En este capítulo se exponen las aplicaciones más elementales e interesantes de la derivación a problemas del análisis matemático (estudio de la variación de las funciones, extremos relativos, concavidad, puntos de inflexión y, en general, el trazado completo de curvas), de la geometría (rectas tangentes y normales), de la física (movimiento variado) y en problemas de la vida diaria en los cuales se precisa minimizar costos, obtener beneficios máximos, etc., y para ellos la teoría de la derivación proporciona información suficiente.

Módulo 23 Criterio de la primera derivada Módulo 24 Criterio de la segunda derivada Módulo 25 Análisis y trazado de curvas Módulo 26 Problemas de máximos y mínimos Módulo 27 La derivada como razón de cambio Módulo 28 La diferencial Ejercicios Capítulo 4, módulos 20 al 28

20 Interpretaciones geométrica y física de la derivada Introducción El problema de la tangente a una curva en uno de sus puntos es muy antiguo y se remonta a la época del gran matemático griego Arquímedes (287-212 a.C.). El problema de la velocidad instantánea es más reciente. Creció con los intentos de Keppler (1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento. Estos dos problemas, el uno geométrico y el otro físico, en apariencia no están muy relacionados; sin embargo, conducen al mismo límite de cocientes incrementales, esto es, al concepto de derivada.

Objetivos del módulo 1. Interpretar la derivada de una función en un punto como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa la función en dicho punto. 2. Interpretar físicamente la derivada s´(t) como la velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta mediante la función s(t), que permite calcular para cada t el espacio recorrido s. 3. Interpretar s´´(t) como la aceleración de la partícula.

Preguntas básicas 1. Determine las ecuaciones de la recta tangente LT y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuación y = f ( x ) = x 2 − 8, en el punto P (3, 1). 2. Si un objeto es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una altura S0 (pies), con una velocidad inicial v0 (pies/s), y si s es la altura sobre el piso después de t segundos, puede demostrarse que la posición S como función del tiempo viene dada por S = f (t ) = −16t 2 + v0 ⋅ t + S0 . 3. Supóngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/s. a. ¿Cuándo el objeto alcanza la altura máxima? b. ¿Cuál es la altura máxima? c. ¿Cuándo llega al piso? d. ¿Con qué velocidad llega al piso? e. ¿Cuál es su aceleración en el instante t = 2 s?

Contenidos del módulo 20.1 Interpretación geométrica de la derivada 20.2 Interpretación física de la derivada

Si un clavadista se lanza desde una plataforma situada a S0 pies de altura con una velocidad v0 (hacia arriba), ¿cuándo llegará al agua y con qué velocidad? El modelo clásico presentado al final del módulo da la respuesta.

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Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada

20.1 Interpretación geométrica de la derivada Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo: data del gran científico griego Arquímedes (287-212 a.C.), se llama problema de las tangentes y se describe a continuación. Se da una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (figura 20.1).

Figura 20.1

Sea P un punto fijo de la curva y Q un punto móvil de la curva y próximo a P. La recta que pasa por P y Q se denomina recta secante. Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces la posición límite (si existe) de la secante se denomina recta tangente a la curva en P. Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son, respectivamente, P ( c, f (c) ) ,

Q ( c + h, f (c + h) ) (figura 20.2), entonces la pendiente de la recta secante PQ denotada por msec PQ viene dada por

msec PQ = tan α =

f (c + h ) − f ( c ) . h

En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical) es la recta cuya pendiente mT viene dada por mT = lim msec PQ = lim P →Q

h→0

f (c + h) − f (c ) = f ′(c). h

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Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Vea el módulo 20 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

Figura 20.2

De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en P ( c, f (c) ) es y − f (c) = f ′(c)( x − c) (forma punto-pendiente de la recta) (sección 2.4, apéndice II).

Ejemplo 20.1 Determine las ecuaciones de la recta tangente LT y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuación y = f ( x ) = x 2 − 8 en el punto P (3, 1). Solución Note en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva (figura 20.3).

Figura 20.3

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Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada La pendiente de LT viene dada por ⎛ dy ⎞ mT = ⎜ ⎟ = f ′(3). ⎝ dx ⎠ P (3,1) 1 2 −1 2 Pero f ′( x) = 2 (2 x)( x − 8) =

x x −8 2

.

Así que mT = f ′(3) = 3. Usando ahora la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta (sección 2.4, apéndice II) se tiene entonces que para LT, y − 1 = 3( x − 3) ⇔ 3 x − y − 8 = 0 es la ecuación de la recta tangente. 1 Ahora, como mT ⋅ mN = −1, se deduce que mN = − . 3

Usando nuevamente la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta se tiene 1 que, para LN, y − 1 = − ( x − 3) ⇔ x + 3 y − 6 = 0 es la ecuación de la recta normal. 3

Ejemplo 20.2 Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación y = f ( x ) = x 3 + 1, que es paralela a la recta de ecuación x + 12 y − 6 = 0. Solución En la figura 20.4 aparece la gráfica de la curva y de la recta dada.

Figura 20.4

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Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Si se denota por LN la recta normal, como LN es paralela a x + 12 y − 6 = 0 se tiene que mN = −

1 . 12

Para determinar la ecuación de LN hace falta conocer el punto P(x1, y1) de tangencia. Para ello, se usa el hecho de que mT = 12 (mT: pendiente de la tangente). De otro lado, mT = f ′( x1 ) = 3x12 . Así que 3 x12 = 12 ∴ x1 = ±2. Este último resultado indica que existen dos puntos de tangencia, a saber: P1 (2, 9) y P2 ( − 2, − 7). En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las condiciones iniciales del problema. Una de ellas pasa por P1 (2, 9) y tiene pendiente 1 1 . Su ecuación viene dada por y − 9 = − ( x − 2) ⇔ x + 12 y − 110 = 0. 12 12

mN = −

La otra pasa por P2 ( − 2, − 7) y tiene pendiente mN = − por y − (−7) = −

1 . Su ecuación viene dada 12

1 ( x − (−2)) ⇔ x + 12 y + 86 = 0. 12

Ejemplo 20.3 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 8( x 2 + y 2 ) 2 = 100( x 2 − y 2 ) en el punto (3, 1). Solución En primer lugar note que 8(32 + 12 ) 2 = 100(32 − 12 ), lo cual indica que el punto (3, 1) pertenece a la curva. ⎛ dy ⎞ Ahora, mT = ⎜ dx ⎟ . ⎝ ⎠(3,1)

Para determinar

dy se usa derivación implícita en la ecuación 8( x 2 + y 2 ) 2 = 100( x 2 − y 2 ) . dx

Esto es, 16 ( x 2 + y 2 ) ⋅ ( 2 x + 2 y ⋅ y ′ ) = 100 ( 2 x − 2 yy ′ ) .

32 x 3 + 32 x 2 yy ′ + 32 xy 2 + 32 y 3 y ′ = 200 x − 200 yy ′.

y ′ ( 32 x 2 y + 32 y 3 + 200 y ) = 200 x − 32 x3 − 32 xy 2 .

de donde y ′ =

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dy 200 x − 32 x3 − 32 xy 2 . = dx 32 x 2 y + 32 y 3 + 200 y

Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada

200 ⋅ 3 − 32 ⋅ 33 − 32 ⋅ 3 ⋅12 600 − 864 − 96 360 ⎛ dy ⎞ m = = = =− . Por tanto, T ⎜ dx ⎟ 2 3 288 + 32 + 200 520 32 ⋅ 3 + 32 ⋅1 + 200 ⋅1 ⎝ ⎠(3,1)

Es decir, mT = −

9 . 13

Así que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1) viene dada por y −1 = −

9 ( x − 3) ⇔ 9 x + 13 y − 40 = 0. 13

20.2 Interpretación física de la derivada Velocidad promedio y velocidad instantánea Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre sí 100 km, en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 km/h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado. Pero, durante el viaje, el velocímetro marcó con frecuencia lecturas diferentes de 50 km/h. Inicialmente marcó 0, a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0. Surge entonces la siguiente pregunta: ¿qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedio, sino la llamada velocidad instantánea. Considere un ejemplo más preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto parte del reposo en caída libre, la posición S del objeto, como función del tiempo, viene dada por S = 1 6 t 2 (S en pies, t en segundos).

Así, en el primer segundo cae 16 pies y en el siguiente segundo cae 16 (2)2 = 64 pies. Por tanto, en el intervalo de t = 1 s a t = 2 s, P cae (64 – 16) pies, de manera que su velocidad promedio será: V prom =

64 − 16 pies . = 48 2 −1 s

En el intervalo de t = 1 s a t = 1.5 s, P cae (16 (1.5)2 – 16) pies. En consecuencia, su velocidad promedio será:

V prom =

16(1.5) 2 − 16 20 pies = = 40 . 1.5 − 1 0.5 s

En forma similar, en los intervalos de tiempo de t = 1 s a t = 1.1 s, y de t = 1 s a t = 1.01 s, P caerá, respectivamente, (16 (1.1)2 – 16) pies y (16 (1.01)2 – 16) pies, y sus velocidades promedio serán, respectivamente:

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Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Vprom =

16(1.1)2 − 16 3.36 pies = = 33.6 , 1.1 − 1 0.1 s

Vprom =

16(1.01)2 − 16 0.3216 pies = = 32.16 . 1.01 − 1 0.01 s

Lo que se ha hecho hasta ahora es calcular la velocidad promedio sobre los intervalos de tiempo cada vez más cortos pero próximos a 1 s. Cuanto más nos aproximamos a t = 1 s, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1 s. Los números 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedio, hacen «sospechar» que la velocidad instantánea es de 32 pies/s. El ejemplo anterior nos permite definir de una manera más precisa los conceptos de velocidad promedio y de velocidad instantánea. Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posición S en cada instante t es una función S = f (t). En el instante t = c, el objeto está en f (c). En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h) (figura 20.5). Por tanto, la velocidad promedio durante este intervalo es: Vprom =

f (c + h ) − f ( c ) . h

Y se define la velocidad instantánea V en el instante t = c así: V = lim V prom = lim h →0

h →0

f (c + h) − f (c ) = f ′(c). h

Figura 20.5

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Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada Observación Existe una distinción técnica entre las palabras velocidad y rapidez. La velocidad tiene un signo asociada a ella, es decir, puede ser positiva o negativa. La rapidez se define como el valor absoluto de la velocidad. Así por ejemplo, si un objeto se mueve a lo largo del eje coordenado de modo que su posición en cualquier instante t satisface la ecuación S = f (t ) = 2t 2 − 12t + 8,

entonces v(t ) =

dS = 4t − 12. dt

Así, v(2) = −4 cm s, v(3) = 0, v(4) = 4 cm s.

De esta forma, la rapidez en t = 2 s es −4 = 4cm s. El medidor de la mayoría de los automóviles es un «rapidómetro» (celerómetro) y siempre da valores no negativos.

d 2S , que dt 2 mide la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir,

Ahora se quiere dar una interpretación física de la segunda derivada

d 2 S d ⎛ dS ⎞ dv = ⎜ ⎟= y que se llama aceleración. Si la denotamos por la letra a, dt 2 dt ⎝ st ⎠ dt entonces: a=

d 2 S d ⎛ dS ⎞ dv = ⎜ ⎟= . dt 2 dt ⎝ st ⎠ dt

En el ejemplo anterior: S = f (t ) = 2t 2 − 12t + 8,

v=

dS = 4t − 12, dt

a=

dv = 4 cm/s 2 . dt

Esto significa que la velocidad aumenta a razón constante de 4 cm/s cada segundo y escribimos 4 cm/s2.

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Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Problemas de caída de los cuerpos Si un cuerpo es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una altura S0 (pies), con una velocidad inicial v0 (pies/s), y si S (pies) es la altura sobre el piso después de t segundos, entonces puede demostrarse que la posición S como función del tiempo viene dada por S = f (t ) = −16t 2 + v0 t + S0 .

Esto presupone que el experimento tiene lugar cerca del nivel del mar y que se desprecia la resistencia del aire. La figura 20.6 ilustra la situación.

Figura 20.6

Supóngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/s. a. ¿Cuándo el objeto alcanza la altura máxima? b. ¿Cuál es la altura máxima? c. ¿Con qué velocidad llega al piso? d. ¿Cuál es su aceleración en el instante t = 2 s? Solución Como S0 =160 y v0 = 64, la ecuación de movimiento viene dada por S = f (t ) = −16t 2 + 64t + 160 (S: pies y t: s).

Así, v = a=

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(1)

dS = −32t + 64, dt

(2)

dv = −32. dt

(3)

Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada a.

El objeto alcanza la altura máxima en el instante en el cual la velocidad es cero. Así que,

−32t + 64 = 0 ⇒ t = 2 s. Al sustituir en (1), se tiene que b.

S = −16(2) 2 + 64(2) + 160 = 224 pies (altura máxima).

c.

El objeto golpea el piso cuando S = 0. Esto es, −16t 2 + 64t + 160 = 0 ⇔ t 2 − 4t − 10 = 0,

de donde, t =

4 ± 16 + 40 = 2 ± 14. 2

El objeto llega al piso a los t = 2 + 14 s. Al sustituir este valor de t en (2) se obtiene v = −32(2 + 14 ) + 64 ≈ −119.73 pies s.

El objeto llega al piso con una rapidez de 119.73 pies/s. d.

De acuerdo a (3), la aceleración permanece constante e igual a 32 pies/s2. Esta es la aceleración de la gravedad cerca del nivel del mar.

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21 Valores extremos de una función de variable real Introducción Joseph Louis Lagrange

Se ha visto en el módulo 20 que la existencia de la derivada de una función en un punto c significa geométricamente que la curva y = f (x) tiene una recta tangente en el punto (c, f (c)) y además mT = f ´(c). Este hecho permite determinar, entre otros, aquellos puntos de la curva en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo la ecuación f’(x) = 0.

Joseph Louis Lagrange nació el 25 junio de 1736 en Turín y falleció el 10 de abril de 1813 en París.

Una mirada atenta a la siguiente figura permite visualizar de manera intuitiva los elementos que son objeto de estudio en esta primera parte, como los siguientes: f (c1) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c1. Se dice entonces que f (c1) es un máximo relativo de f (x). Nótese, además, que en el punto P1(c1, f (c1)) la pendiente de la recta tangente a la curva es cero, esto es, f '(c1 ) = 0. Igualmente, f (c3) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c3. Así que f (c3) es otro máximo relativo de f (x).

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

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Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Sin embargo, en el punto la derivada de f (x) no existe (se presenta un pico), lo cual indica que en un punto donde ocurre un máximo relativo no necesariamente debe anularse la derivada. f (c2) es el menor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c2. Se dice, entonces, que f (c2) es un mínimo relativo de f (x). De la misma manera que en el caso anterior en el punto P2(c2, f (c2)),ocurre que f’(c2) = 0. Si se comparan ahora todos los valores que toma la función f (x) en el intervalo [a, b], se puede notar de la figura que f (a) es el menor valor y que f (c3) es el mayor valor. A f (a) y f (c3) se les llama, respectivamente, el mínimo absoluto y el máximo absoluto de f (x) en [a, b]. Los conceptos antes mencionados serán presentados aquí en forma rigurosa, así como las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relativos. Al final se enunciará un teorema y se dará un procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado.

Objetivos del módulo 1. Usar la derivación en el trazado de curvas en lo concerniente a la determinación de los extremos de una función. 2. Notar la diferencia entre un extremo relativo y un extremo absoluto.

Preguntas básicas 1. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un río recto de 300 m de ancho. El punto D está a 600 m de B y en su misma orilla (figura 21.2). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es 25% más caro bajo el agua que por tierra, ¿cómo se debe tender el cable para que el costo total sea mínimo?

Contenidos del módulo 21.1 Valores máximos y mínimos de una función de variable real 21.2 Extremos relativos 21.3 Extremos absolutos

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Módulo 21: Valores extremos de una función de variable real

21.1 Valores máximos y mínimos de una función de variable real Definiciones Sea f una función de variable real y sea c ∈ D f (dominio de f). Entonces: i.

f (c) es un valor máximo relativo de f si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal que f (c) ≥ f ( x), para todo x ∈ I .

ii.

f (c) es un valor mínimo relativo de f si existe un intervalo abierto I que concontiene a c tal que f (c) ≤ f ( x), para todo x ∈ I .

iii.

f (c) es un valor máximo absoluto de f, en un intervalo I, si f (c) ≥ f ( x), para todo x ∈ I .

iv.

f(c) es un valor mínimo absoluto de f, en un intervalo I, si f (c) ≤ f ( x), para todo x ∈ I .

A los valores máximos y mínimos relativos de una función se les llama extremos relativos. A los valores máximos y mínimos absolutos de una función se les llama extremos absolutos. Observaciones Puede ocurrir que un extremo absoluto sea simultáneamente extremo relativo, como sucede por ejemplo con f (c3) en la función cuya gráfica aparece en la figura de la página 207. El llamado teorema de los valores extremos enunciado al final del módulo garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. A pesar de que estos valores son únicos, la función puede tomarlos en diferentes puntos del intervalo.

21.2 Extremos relativos El siguiente teorema establece una condición necesaria para que una función tenga un extremo relativo en un punto en el cual f es derivable. Teorema 1: Condición necesaria para extremos relativos (f tiene un extremo relativo en x = c ⇒ f ′(c) = 0) Sea f una función que tiene un extremo relativo en c para el cual f ´(c) existe. Entonces, f ´(c) = 0.

Joseph Louis Lagrange Astrónomo y matemático franco-italiano, Lagrange era de ascendencia francesa, aunque nació y se crió en Italia. De niño, en el colegio, se encontró con un ensayo de Edmund Halley sobre análisis matemático y al momento decidió dedicarse a esta ciencia. La habilidad matemática de Lagrange fue reconocida por Leonhard Euler a partir de un memorando que recibió de aquél sobre el cálculo de variaciones, sobre el que el propio Euler ya había trabajado. Tan impresionado quedó Euler por esta obra, que permitió que fuera publicada antes que la suya. Lagrange aplicó su facilidad matemática a una sistematización de la mecánica, que ya había comenzado con Galileo. Utilizando el análisis de las variaciones, dedujo unas ecuaciones muy generales con las que se podían resolver todos los problemas de la mecánica. También dedujo la forma de aplicar las matemáticas a los movimientos de sistemas que influían en más de dos cuerpos, tales como el sistema Tierra-Luna-Sol y el de Júpiter con sus cuatro lunas. La revolución francesa también le dio una oportunidad de prestar un servicio a la ciencia, al recibir el encargo de dirigir una comisión que estudiara un nuevo sistema de pesos y medidas. Como resultado apareció el sistema métrico decimal, el más lógico de los sistemas de medidas que jamás se han inventado.

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Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Demostración Caso 1 Si f es la función constante, el teorema es evidente. Vea el módulo 21 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

Caso 2 Supóngase que f no es constante y que además f tiene un máximo relativo en c. Como f ´(c) existe, entonces, de acuerdo a la observación hecha a la definición (2) del módulo 9, f ′(c ) = lim x →c lim x →c

f ( x ) − f (c ) existe, y además, x−c

f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) = lim+ = lim− = f ′(c). (1) x→c x →c x−c x−c x−c

Siendo f (c) un máximo relativo, existe un intervalo I = (x1, x2) que contiene al punto c y tal que f (c) ≥ f ( x), para todo x ∈ I ⇔ f ( x) − f (c) ≤ 0, para todo x ∈ I .

Si x → c + , entonces x − c > 0.

Así que

f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) ≤ 0 ⇒ lim+ ≤ 0 (ejercicio propuesto 5, capítulo 1), x →c x−c x−c

⇒ f ′(c) ≤ 0.

(2)

Igualmente, si x → c − , entonces x − c < 0 .

Así que

f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) ≥ 0 ⇒ lim− ≥ 0 (ejercicio propuesto 5, capítulo 1), x → c x−c x−c

⇒ f ′(c) ≥ 0.

(3)

De (2) y (3) se concluye que f ′(c) = 0. Caso 3 Supóngase que f no es constante y que además f tiene un mínimo relativo en c. La demostración es similar a la del caso 2 y se deja por tanto como ejercicio para el lector. Observaciones El teorema anterior significa geométricamente que si una función f tiene un extremo relativo en c, y f ´(c) existe, entonces la recta tangente a la curva en el punto (c, f (c)) es horizontal (figura 21.1a).

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Módulo 21: Valores extremos de una función de variable real

Figura 21.1

El recíproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, en una función se puede cumplir que f ´(c) = 0 para algún punto c de su dominio, y sin embargo f no presenta extremos relativos en c, como sucede por ejemplo con la función f (x) = x3 (figura 21.1b).

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Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Note que f ′( x) = 3x 2 , f ′(0) = 0, pero la función no presenta ni máximos ni mínimos relativos en el origen puesto que a la izquierda del origen f es negativa y a la derecha f es positiva. Mas aun, una función puede tener un extremo relativo en un punto y ni siquiera ser derivable allí, como sucede por ejemplo con la función f ( x) = x (figura 21.1c) que tiene un mínimo relativo en x = 0, pero f ´(0) no existe (observación a de la sección 10.1). Definición Sea f una función definida en un intervalo abierto I. Un punto c ∈ I se llama valor crítico de f si f ´(c) = 0 o f ´(c) no existe. Así por ejemplo, para la función y = f ( x) = (3 x − 2) ⋅ 3 x = (3 x − 2) ⋅ x1 3 se tiene que: 1 y ′ = f ′( x) = 3 ⋅ x1 3 + (3x − 2) ⋅ x − 2 3 , 3 = 3x1 3 +

3x − 2 12 x − 2 = . 3x 2 3 3x 2 3

Los valores críticos de f son, por tanto, x = 0 y x = 1/6 (¿por qué?).

21.3 Extremos absolutos El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es de gran importancia en la teoría de extremos de una función. Aunque tiene una fácil interpretación geométrica, exige para su demostración elementos de cálculo avanzado que están más allá del alcance de este texto. Teorema 2: Teorema de los valores extremos Toda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto). El alumno puede verificar gráficamente el teorema 2 intentando dibujar la gráfica de una función que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b]. Cada intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada en el teorema siempre se cumple. Observación El teorema 2 garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado, pero no dice cómo determinarlos. Sin embargo, es evidente que un extremo absoluto que no sea simultáneamente extremo relativo se tiene que presentar en los extremos a o b del intervalo. Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente:

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Módulo 21: Valores extremos de una función de variable real

2.

Se determinan los valores críticos c1, c2, c3, ...,cn de f (resolviendo f ′( x) = 0, o donde f ´(x) no existe). Se calcula f (a) y f (b).

3.

Máximo absoluto de f = max { f (a), f (b), f (c1 ), f (c2 ),..., f (cn )} .

1.

Mínimo absoluto de f = min { f (a), f (b), f (c1 ), f (c2 ),..., f (cn )} . Ejemplo 22.1 Determine, si existen, los extremos absolutos (máximo y mínimo) de la función f ( x ) = x 4 − 8 x 2 + 16 en el intervalo [–3, 2].

Solución Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está garantizada por el teorema 2. Para determinarlos se aplica la regla práctica dada en la observación del mismo teorema. Considere los valores críticos por medio de la derivada f ′( x ) = 4 x 3 − 16 x = 0 ⇔ 4 x ( x − 2)( x + 2) = 0

⇒ x = 0, x = 2, x = −2 son los únicos valores críticos. Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores: f (−3), f (2), f (0) y f (−2), f ( −3) = ( −3) 4 − 8(−3) 2 + 16 = 81 − 72 + 16 = 25, f (2) = 24 − 8 ⋅ 22 + 16 = 16 − 32 + 16 = 0,

f (0) = 04 − 8 ⋅ 02 + 16 = 16, f (−2) = ( −2) 4 − 8(−2) 2 + 16 = 16 − 32 + 16 = 0.

Máximo absoluto de f en [–3, 2] es f ( − 3) = 25. Mínimo absoluto de f en [–3, 2] es f ( − 2) = f (2) = 0. Ejemplo 21.2 Determine, si existen, los extremos absolutos de la función f ( x ) = 1 − ( x − 3) 2 3 en el intervalo [–5, 4]. Solución La continuidad de f en el intervalo [–5, 4] garantiza la existencia de extremos absolutos de f en dicho intervalo. Se deben determinar primero los valores críticos por medio de la derivada

Escuche el audio Lagrange, un genio amable en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

213

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Cuidado con los valores extremos

f ′( x) = El deseado máximo o mínimo ocurre siempre en el número crítico. Tal vez esté pensando que cuando sólo hay un número crítico es inútil comparar el valor con él los valores extremos del intervalo. Por desgracia, eso no es siempre cierto. En 1945, dos prestigiosos ingenieros aeronáuticos dedujeron una función como modelo del alcance de un avión. Su intención era usarla para maximizar el alcance. Encontraron un número crítico (correspondiente a repartir todo el peso del avión en las alas) y argumentaron que debía dar el máximo alcance. El resultado fue el famoso avión «Flying wing». Años más tarde se vio que ese número crítico correspondía a un mínimo de la función alcance. En defensa de los ingenieros hay que decir que no disponían de las técnicas de cálculo actuales. Curiosamente, ese diseño recuerda mucho al bombardero B-2 Stealth.

−2 . 3( x − 3)1 3

El único valor crítico de f es x = 3, donde la derivada no existe (note que f ´(x) = 0 carece de solución). Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores: f (−5), f (4) y f (3), f (−5) = 1 − (−5 − 3) 2 3 = 1 − (−8) 2 3 = −3, f (4) = 1 − (4 − 3) 2 3 = 1 − 1 = 0,

f (3) = 1 − (3 − 3) 2 3 = 1 − 0 = 1.

Máximo absoluto de f en [–5, 4] es f (3) = 1. Mínimo absoluto de f en [–5, 4] es f (–5) = –3.

Esta historia salió a la luz con motivo de la construcción del B-2. La moraleja es evidente: compruebe los valores de la función en los números críticos y en los extremos del intervalo. No acepte, por supuesto, aun cuando haya un solo número crítico, que el número crítico proporciona el máximo o el mínimo que está buscando.

Ejemplo 21.3 Considere la función f definida por ⎧3x − 4 f ( x) = ⎨ 2 ⎩x − 2

si

−3 ≤ x 0 para todo x en (c, b), f (c) no es un extremo relativo (figura 23.1d).

d.

Si f ′( x) < 0 para todo x en (a, c) y f ′( x) < 0 para todo x en (c, b), f (c) no es un extremo relativo (figura 23.1f).

Módulo 23: Criterio de la primera derivada

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

231

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Figura 23.1

Demostración a.

Si f ′( x) > 0 en (a, c), se tiene por el teorema 1 que f es creciente; en consecuencia, para todo x tal que a < x < c se tiene que f (x) < f (c).

(1)

Ahora, como f ′( x) < 0 en (c, b), entonces f es decreciente (teorema 1) y, de esta forma, para todo x tal que c < x < b se cumple que f (c) > f (x).

(2)

De (1) y (2) se concluye que f (c) > f (x) para todo x en (a, b) y esto significa que f (c) es un máximo relativo. b.

232 U de @ - Educación no presencial

Esta demostración es similar a la parte a.

Módulo 23: Criterio de la primera derivada c.

Si f ′( x) > 0 en (a, c) y f ′( x) > 0 en (c, b), entonces por el teorema 1 se tiene que f (x) < f (c) para todo x en (a, c) y f (c) < f (x) para todo x en (c, b), de lo cual se concluye que f (c) no puede ser ni máximo ni mínimo relativo.

d.

Esta demostración es similar a la parte c.

Observación En el lenguaje corriente, las partes a y b del teorema 2 se expresan, respectivamente, en la siguiente forma: Si la derivada pasa de positiva a negativa, el valor crítico corresponde a un máximo relativo; y si la derivada pasa de negativa a positiva, el valor crítico corresponde a un mínimo relativo. En los ejemplos resueltos 1, 2 y 3 del módulo 25 se ilustra cómo determinar para la gráfica de una función dada los intervalos donde crece y donde decrece la curva, así como también los extremos relativos. Para ello se explica el método gráfico que es mucho más expedito que el método analítico. Ilustramos, sin embargo, la aplicación de los dos teoremas de la sección, justificando lo que se plantea en la pregunta básica en el inicio del módulo. Ejemplo 23.1 El contenido de información o entropía de una fuente binaria (tal como un telégrafo que trasmite puntos y líneas), cuyos dos valores ocurren con probabilidades p y (1 − p), se define como: H ( p) = − p · ln p − (1 − p) ·ln (1 − p), donde 0 < p < 1. 1 Pruebe que H (p) tiene un máximo en p = . 2

Solución H ′( p ) = −1 · ln p − p ·

⎛ −1 ⎞ 1 1− p . − ⎜ − ln(1 − p ) + (1 − p) · ⎟ = ln 1 p − p p ⎝ ⎠

De esta manera, H ′( p ) = ln

1− p 1− p 1 =0 ⇔ = e0 = 1 ⇔ p = es el único valor crítico. p p 2

Para analizar el signo de la derivada, se debe tener en cuenta el signo de dependiendo de que 0 < p <

1− p , p

1 1 , o < p < 1. 2 2

1 Si 0 < p < , entonces 2

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

233

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 1 > 2 p ⇔ 1 > p + p ⇔ 1− p > p ⇔

y, en consecuencia, H ′( p) = ln

1− p > 1, p

1− p > 0, lo que indica, de acuerdo al teorema 1, que p

la función H (p) es creciente en dicho intervalo. Si 1 < 2 p ⇔ 1 < p + p ⇔ 1− p < p ⇔

y, en consecuencia, H ′( p ) = ln

1 < p < 1, entonces 2

1− p < 1, p

1− p < 0, 1 lo que indica, de acuerdo al teorema 1, p

que la función H (p) es decreciente en dicho intervalo. Como la derivada pasa de positiva a negativa en p = 1 2, el teorema 2 garantiza que en p = 1 2 la función H (p) tiene un máximo relativo.

234 U de @ - Educación no presencial

24 Criterio de la segunda derivada Introducción Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente, o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen) se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva. Como vimos en el módulo 23, la monotonía de una curva coincide con el signo de la primera derivada; igualmente, como veremos ahora, la concavidad coincide con el signo de la segunda derivada. Completaremos de esta forma todos los elementos teóricos necesarios para el trazado de una curva con todos sus elementos, lo cual será el objetivo principal del módulo 25.

Un avión comienza a descender desde una milla de altura y situado a cuatro millas de la pista. Es posible determinar una función polinómica p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d que describe la trayectoria suave del aterrizaje.

Objetivos del módulo 1. Establecer, usando la segunda derivada, otro criterio para determinar extremos relativos de una función. 2. Usar la segunda derivada para determinar los intervalos de concavidad de una curva y dónde ocurren posiblemente los llamados puntos de inflexión. 3. Completar los elementos teóricos necesarios para el trazado de curvas.

Preguntas básicas 1. Sean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. Supongamos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulan en el mismo intervalo. Sean F ( x) = ln f ( x), y G ( x) = ln g ( x). a. b. c. d. e.

Si F es cóncava hacia arriba, ¿lo es f necesariamente? Si f es cóncava hacia arriba, ¿lo es F necesariamente? Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ( f + g) lo es? Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ( f · g) lo es? Si F y G son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ln ( f · g) lo es?

Analice sus respuestas.

Contenidos del módulo 24.1 Concavidad y puntos de inflexión 24.2 Teorema 1: Criterio de la segunda derivada para concavidad 24.3 Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

235

236 U de @ - Educación no presencial

Módulo 24: Criterio de la segunda derivada

24.1 Concavidad y puntos de inflexión Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de tipo intuitivo. Considere la función f cuya gráfica aparece en la figura 24.1. Note que la curva que f representa tiene tangente en todos sus puntos.

Figura 24.1

Se observa que en los puntos «cercanos» a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por «debajo» de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia abajo en el punto x1. Igualmente se observa que en los puntos «cercanos» a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por «encima» de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad «cambia» se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva. A pesar de que las ideas que se acaban de presentar son más de carácter visual que analítico, éstas pueden demostrarse analíticamente utilizando el teorema del valor medio para derivadas y el criterio de monotonía (vea el ejemplo 1 de este mismo módulo). Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones: Definiciones Sea f una función derivable en un punto c. i.

f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x ≠ c, se cumple que Z ( x) = N f ( x) − f ′(c)( x − c) − f (c) > 0   

(figura 24.2a). y y c

t

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

237

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Vea el módulo 24 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

Figura 24.2

yc: y de la curva; yt : y de la tangente. ii.

f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x ≠ c, se cumple que Z ( x) = f ( x) − f ′(c)( x − c) − f (c) < 0 (figura 24.2b).

iii.

f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de I.

iv.

Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión si existe un intervalo abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los subintervalos (a, c) y (c, b).

Se usará el símbolo ∪ para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cóncava positiva. Igualmente, se empleará el símbolo ∩ para denotar que una curva es cóncava hacia abajo o cóncava negativa.

238 U de @ - Educación no presencial

Módulo 24: Criterio de la segunda derivada El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, establece una condición suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

24.2 Teorema1: Criterio de la segunda derivada para concavidad Sea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto I. Entonces: i.

Si f ′′( x) > 0 para todo x ∈ I , f es cóncava hacia arriba en I.

ii.

Si f ′′( x) < 0 para todo x ∈ I , f es cóncava hacia abajo en I.

Observaciones 1.

En muchas ocasiones el teorema anterior se enuncia diciendo que el signo de la concavidad coincide con el signo de la segunda derivada.

2.

En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de la curva sin existir punto de inflexión; en este caso, simplemente se dice que «hay inflexión» sin existir punto de inflexión. La gráfica de la figura 24.3 indica esta posibilidad. Allí se muestran inicialmente los intervalos de concavidad para una curva dada.

Figura 24.3

Note que los puntos A (c1, f (c1)), B (c2, f (c2)), C (c3, f (c3)) son puntos de inflexión. En c4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexión. Como es de suponer, los puntos para los cuales f ′′( x) = 0 o f ′′( x) no existe, son «candidatos» viables para ser puntos de inflexión. Puede suceder que para un valor de c del dominio de una función se cumpla que f ′′(c) = 0, y sin embargo el punto P (c, f (c)) no es punto de inflexión.

Escuche el audio Un problema para detectives en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

Considere, por ejemplo, la función definida por f (x) = x4, cuya gráfica aparece en la figura 24.4. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

239

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Figura 24.4

Como f ( x ) = x 4 , f ′( x) = 4 x 3 , f ′′( x) = 12 x 2 . Para c = 0, f ′′(0) = 12 · (0) 2 = 0. Sin embargo, el punto P (0, f (0)) = P(0, 0) no corresponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de x anteriores y posteriores a x = 0, f ′′(0) > 0, y no cambia la concavidad de la curva. A continuación se enuncia, sin demostración, un teorema conocido como el criterio de la segunda derivada para extremos relativos, el cual permite, en algunos casos, determinar de una manera más fácil si un valor crítico dado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo.

24.3 Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Sea f una función dos veces derivable en un intervalo abierto I, y sea c un punto de I, tal que f ′(c) = 0. Entonces: i.

Si f ′′(c) < 0, entonces f presenta un máximo relativo en c.

ii.

Si f ′′(c) > 0, entonces f presenta un mínimo relativo en c.

Observación Si f ′′(c) = 0, entonces la naturaleza del valor crítico c no queda determinada, como lo ilustran los siguientes casos: La función f (x) = x4 satisface f ′(0) = 0 y f ′′(0) = 0. Sin embargo, f (x) presenta un mínimo relativo en x = 0 (figura 24.5a).

240 U de @ - Educación no presencial

Módulo 24: Criterio de la segunda derivada Igualmente, la función g (x) = − x4 satisface g ′(0) = 0 y g ′′(0) = 0. Sin embargo, g (x) presenta un máximo relativo en x = 0 (figura 24.5b). También la función h (x) = x3 satisface h′(0) = 0 y h′′(0) = 0, pero h (x) es creciente en todo el eje real y no presenta extremo relativo en x = 0 (figura 24.5c).

Figura 24.5

El teorema 2 tiene mayor utilidad en los problemas de optimización en los cuales, para un valor crítico dado, se analiza si corresponde a un máximo o mínimo relativo, sin determinar los cambios de signo de la primera derivada.

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

241

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada En los ejercicios resueltos 1, 2 y 3 del módulo 25 se ilustra cómo determinar para la gráfica de una función dada los intervalos de concavidad, así como también los posibles puntos de inflexión. Para ello se explica el método gráfico que es mucho más expedito que el método analítico. Ilustramos, sin embargo, la aplicación de los dos teoremas de la sección, justificando lo que se plantea en la pregunta básica en el inicio del módulo. Ejemplo 24.1 Utilice el TVM para probar que la gráfica de una función f cóncava hacia arriba siempre está por encima de su recta tangente, es decir, demostrar que: f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c), siempre que x ≠ c.

Solución Caso 1: Supongamos que x > c.

Por el TVM,

f ( x ) − f (c ) = f ′( a ), para algún a ∈ (c, x ). x−c

De aquí, f ( x) − f (c) = f ′( a)( x − c), para algún a ∈ (c, x).

(1)

Ahora, como f es cóncava hacia arriba, de acuerdo al teorema 1, f ′′ > 0 ⇔ ( f ′)′ > 0, y por el teorema de monotonía (teorema 1, módulo 23) f ´es creciente en el intervalo (c, x). Es decir, c < a < x ⇒ f ′(a) > f ′(c).

(2 )

De (1) y (2) se deduce entonces que f ( x) − f (c) = f ′(a )( x − c) > f ′(c)( x − c). Por tanto, f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c), para x > c.

Caso 2: Supongamos que x < c.

Por el TVM,

f (c ) − f ( x ) = f ′(a ), para algún a ∈ ( x, c ). c−x

De aquí, f (c) − f ( x) = f ′(a )(c − x), para algún a ∈ ( x, c).

(1)

Ahora, como f es cóncava hacia arriba, de acuerdo al teorema 1, f ′′ > 0 ⇔ ( f ′)′ > 0, y por el teorema de monotonía (teorema 1, módulo 23) f ´es creciente en el intervalo ( x, c). Es decir, x < a < c ⇒ f ′(c) > f ′(a).

242 U de @ - Educación no presencial

(2 )

Módulo 24: Criterio de la segunda derivada De (1) y (2) se deduce que f (c) − f ( x) = f ′(a )(c − x) < f ′(c)(c − x). Es decir, − f ( x) < − f (c) + f ′(c)(c − x) ⇔ f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c). Por tanto, f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c) para x < c. En consecuencia, f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c), siempre que x ≠ c. Ejemplo 24.2 Sean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. Supongamos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulan en el mismo intervalo. Sean F ( x) = ln f ( x) y G ( x) = ln g ( x). a. b. c. d. e.

Si F es cóncava hacia arriba, ¿lo es f necesariamente? Si f es cóncava hacia arriba, ¿lo es F necesariamente? Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que (f + g) lo es? Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que (f ⋅ g) lo es? Si F y G son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ln (f ⋅ g) lo es?

Solución a.

La pregunta puede formularse de la siguiente manera: ¿Si F ′′( x) > 0, entonces f ′′( x) > 0? f ′( x) En primer lugar, si F ( x) = ln f ( x), entonces F ′( x) = f ( x) , y F ′′( x ) =

f ′′( x) f ( x) − ( f ′( x)) 2 . f ( x) 2

F ′′( x) > 0 ⇔

f ′′( x) f ( x) − ( f ′( x)) 2 > 0, f ( x) 2

⇒ f ′′ ⋅ f − ( f ′) 2 > 0 (puesto que el denominador siempre es positivo),

⇒ f ′′ >

( f ′)´2 > 0 (puesto que ( f ′) 2 > 0 y f > 0), f

⇒ f es cóncava hacia arriba.

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

243

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada b.

No necesariamente. Considere por ejemplo la función f ( x ) = x 2 definida en el intervalo (1, 2). f ( x) > 0, para todo x ∈ (1, 2).

Como F ( x ) = ln x 2 , entonces F ′( x) =

2 −2 y F ′′( x) = 2 < 0, lo que indica que x x

F es cóncava hacia abajo. c.

Como f es cóncava hacia arriba, entonces f ′′( x) > 0. Como g es cóncava hacia arriba, entonces g ′′( x) > 0. De otro lado, ( f + g )′′ = f ′′ + g ′′ > 0, lo que indica que (f + g) es cóncava hacia arriba.

d.

No necesariamente. Considere por ejemplo las funciones f ( x ) = x 2 y g (x) = (1 − x)2, definidas en el intervalo (0, 1), f ′( x) = 2 x, f ′′( x) = 2 > 0, lo que indica que f es cóncava hacia arriba en el intervalo (0, 1). También, g ′( x) = −2(1 − x), g ′′( x) = 2 > 0, lo que indica que g es cóncava hacia arriba en el intervalo (0 , 1). De otro lado, si H ( x ) = ( f ⋅ g )( x ) = x 2 (1 − x ) 2 = x 2 − 2 x 3 + x 4 , H ′( x ) = 2 x − 6 x 2 + 4 x 3 , H ′′( x) = 2 − 12 x + 12 x 2 ,

⎛1⎞ H ′′ ⎜ ⎟ = 2 − 6 + 3 = −1 < 0, ⎝2⎠ 1 lo que indica que es cóncava negativa en las cercanías de x = . 2

e.

Sea H ( x) = ln ( f ⋅ g )( x) = ln f ( x) + ln g ( x) = F ( x) + G ( x). Por tanto, H ′′( x) = F ′′( x) + G ′′( x), y como por hipótesis F ′′( x) > 0, G′′( x) > 0, se sigue que H ′′( x) > 0, lo que indica que H ( x) = F ( x) + G ( x) es cóncava hacia arriba.

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25 Análisis y trazado de curvas

Introducción El tratamiento que se ha dado a la graficación de funciones ha sido casi elemental. En la mayoría de los casos, las gráficas indicadas corresponden a funciones conocidas: polinómicas, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas, etc., cuyo trazo se ha hecho marcando un número suficiente de puntos que las caracterizan. Sin embargo, si la ecuación que se quiere graficar es complicada o se quiere de la misma una gráfica más precisa, esa técnica sería inadecuada. Por esta razón, los elementos del cálculo vistos hasta ahora (límite, continuidad y derivada) se convierten en una poderosa herramienta para trazar una curva con todos sus elementos. El objetivo básico de este módulo es incluir todas estas ideas en el proceso de graficación.

La reputación histórica de Maria Agnesi fue distorsionada por el hecho de que en sus Instituzioni analitiche trabajara con la «cúbica de Agnesi» o curva sinusoidal versa (versiera en italiano), que se tradujo al inglés, por un error del traductor, Colson, como la «bruja de Agnesi» (Colson tradujo el término versiera por witch, la palabra inglesa que significa «bruja»).

Objetivos del módulo 1. Incluir los temas vistos hasta ahora del cálculo en el proceso de graficación. 2. Trazar la gráfica de una curva con todos sus elementos: dominio, intersecciones, asíntotas, extremos relativos, monotonía, concavidad y puntos de inflexión.

Preguntas básicas 1. Sea f una función continua en todo el eje real. La figura adjunta es el gráfico de f´´(x) (gráfico de la función derivada, no de la función).

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

245

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Responda las siguientes preguntas acerca de f(x) (no de f’ ): a. b. c. d. e.

¿Dónde f es creciente y dónde es decreciente? ¿Dónde f es cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo? ¿Cuáles son sus valores críticos y dónde ocurren sus extremos relativos? ¿Dónde están los puntos de inflexión para f ? Suponiendo que f (0) = 1, dibuje una función que verifique las condiciones expuestas.

Contenidos del módulo 25.1 Análisis y trazado de curvas 25.2 Ejemplos resueltos sobre trazado de curvas

246 U de @ - Educación no presencial

Módulo 25: Análisis y trazado de curvas

25.1 Análisis y trazado de curvas El objetivo principal de los módulos anteriores era el de proporcionar los elementos teóricos necesarios para el análisis y el trazado de la curva asociada a una función. Esto se reduce generalmente a la determinación de los siguientes elementos: „

Dominio natural de definición de la función y = f ( x).

„

Posibles puntos de discontinuidad.

„

Interceptos de la curva con los ejes coordenados: a.

Interceptos con el eje x: se hace en la ecuación y = 0 y se resuelve la ecuación resultante para x. b. Interceptos con el eje y: se hace en la ecuación x = 0 y se resuelve la ecuación resultante para y. „

Asíntotas de la curva: verticales, horizontales y oblicuas.

„

Intervalos donde crece y decrece la curva, extremos relativos de f, analizando el signo de f ′( x).

„

Intervalos de concavidad y posibles puntos de inflexión analizando el signo de f ′′( x).

Este análisis permite construir la gráfica de la función (a veces resulta conveniente ir trazando los elementos de la gráfica simultáneamente con el análisis). Observaciones Si la curva que se desea analizar y trazar corresponde a una función par, es decir, f ( x) = f (− x), la curva es simétrica con respecto al eje y. En consecuencia, sólo es suficiente analizar la función y construir su gráfica únicamente para valores positivos de la variable x, pertenecientes al dominio de la función.

Si la curva corresponde a una función impar, es decir, f (− x) = − f ( x), será suficiente analizar la función para los valores positivos de la variable x. La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas. En los ejemplos 25.1, 25.2, 25.3 y 25.4 de la sección 25.2 se analiza y se traza la gráfica de algunas funciones con todos los elementos mencionados anteriormente.

25.2 Ejemplos resueltos sobre trazado de curvas Ejemplo 25.1 Trace la curva correspondiente a la función y = f ( x) =

x2 + 3 x2 + 3 = . x 2 − 4 ( x − 2)( x + 2)

(1)

Escuche el audio Traducttore tradictore en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

247

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Solución Determinemos los elementos fundamentales de la curva, como son: 1. Vea el módulo 25 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

Dominio natural de f (x) Los únicos valores de x para los cuales no existe la función son x = 2 y x = –2 (valores de x que anulan el denominador). De esta forma, D f = ℜ − {2, −2} .

2.

Interceptos

i.

ii.

x2 + 3 ⇔ x 2 + 3 = 0 . Esta últix2 − 4 ma ecuación no tiene solución real, lo que indica que la curva no corta al eje x. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): 0 =

Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): y =

02 + 3 3 = − . Por tanto, la curva 2 0 −4 4

corta al eje y en el punto P (0, − 3 4). 3.

Asíntotas i.

Verticales: como la función es racional, son aquellos valores de x que anulan el denominador de (1). En este caso las rectas verticales x = 2 y x = –2 son asíntotas verticales de la curva. Además, lim+ f ( x) = lim+

x2 + 3 = +∞, x2 − 4

lim− f ( x) = lim−

x2 + 3 = −∞, x2 − 4

x →2

x →2

x →2

lim+ f ( x) = lim+

x2 + 3 = −∞, x2 − 4

lim− f ( x) = lim−

x2 + 3 = +∞. x2 − 4

x →−2

x →−2

ii.

x →2

x →−2

x →−2

x2 + 3 = 1, se deduce que y = 1 x2 − 4 es una asíntota horizontal de la curva. De otro lado, como f ( x) = lim Horizontales: como lim x →∞ x →∞

f ( x) =

x2 + 3 7 =1 + 2 , x2 − 4 x −4

se deduce que los valores de la función para valores grandes de x en valor absoluto son mayores que 1, lo cual indica que la curva siempre está por encima de la asíntota.

248 U de @ - Educación no presencial

Módulo 25: Análisis y trazado de curvas En la figura 25.1 se indica el intercepto de la curva con el eje y, y el comportamiento de la curva cerca de las asíntotas.

Figura 25.1

iii. 4.

Oblicuas: no tiene (¿por qué?).

Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos Para ello, se hace el análisis de la primera derivada. f ′( x) =

2 x( x 2 − 4) − 2 x( x 2 + 3) −14 x . = 2 ( x 2 − 4) 2 ( x − 4) 2

Como (x2 – 4)2 > 0 (positivo), el signo de la derivada sólo depende del signo del factor (–14 x). Así: Signo de (–14 x) o signo de f ′( x ) +++++++++++++|– – – – – – – – – – – 0 El diagrama indica que f ( x) es creciente en ( −∞, 0] , y que f ( x) es decreciente en [0, +∞). En consecuencia, x = 0 corresponde a la abscisa de un punto máximo relativo. Pm (0, f (0)) ⇔ Pm (0, − 3 4).

5.

Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión Para ello, se utiliza la segunda derivada. Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

249

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Si f ′( x) =

−14 x 42 x 2 + 56 ′′ f ( x ) . ⇒ = ( x 2 − 4) 2 ( x − 2)3 ⋅ ( x + 2)3

Como 42x2 + 56 > 0 (positivo), el signo de la segunda derivada depende del signo de los factores del denominador. Signo de ( x − 2)3 – – – – – – – – – –| ++++++++++++++ 2 Signo de ( x + 2)3 – – – – – –|++++++++++++++++++++ –2 Signo de f ′′( x) +++++++++|– – – – |+++++++++++++++ –2 2 El signo de la segunda derivada indica que: f ( x) es cóncava hacia arriba (+) en (−∞, −2) ∪ (2, +∞), f ( x) es cóncava hacia abajo (–) en (−2,2).

En los puntos x = –2 y x = 2 la concavidad cambia de signo, lo cual indica que hay «inflexión», pero no existe punto de inflexión (¿por qué?). La figura 25.2 recoge toda la información obtenida y proporciona una aproximación muy buena a la gráfica de la función dada.

Figura 25.2

250 U de @ - Educación no presencial

Módulo 25: Análisis y trazado de curvas Ejemplo 25.2 Trace la curva correspondiente a la función y = f ( x) =

( x + 1)3 x3 + 3x 2 + 3x + 1 = . ( x − 1) 2 x2 − 2 x + 1

(1)

Solución 1.

Dominio natural de f (x) El único valor de x para el cual no existe f es x = 1 (valor de x que anula el denominador). Así que D f = ℜ − {1} = (−∞,1) ∪ (1, +∞). La función es continua para todo x ≠ 1, por ser el cociente de dos polinomios.

2.

Interceptos i.

Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): 0 =

( x + 1)3 ⇒ x = −1. Luego el ( x − 1) 2

punto P (−1, 0) es el intercepto de la curva con el eje x. ii.

Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): y =

(0 + 1)3 = 1. Luego el punto (0 − 1)2

Q(0,1) es el intercepto de la curva con el eje y.

3.

Asíntotas i.

Verticales: el único valor de x que anula el denominador es x = 1 y ésta es la única asíntota vertical de la curva. De otro lado: lim+ f ( x) = lim+

( x + 1)3 → tiende a 8(+) → +∞, ( x − 1)2 → tiende a 0(+)

lim− f ( x) = lim−

( x + 1)3 → tiende a 8(+) → +∞. ( x − 1) 2 → tiende a 0(+)

x →1

x →1

x →1

x →1

ii.

Horizontales: no tiene (¿por qué?).

iii.

Oblicuas: como el grado del numerador es 3, una unidad más que el grado del denominador que es 2, la curva tiene una asíntota oblicua de la forma y = mx + b. Para determinarla, se efectúa la división entre el numerador y el denominador y se obtiene

x3 + 3x 2 + 3x + 1 12 x − 4 = ( x + 5) + 2 . x2 − 2x + 1 x − 2x + 1 Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

251

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Por tanto, y A = x + 5 es la asíntota oblicua de la curva. Para estudiar el comportamiento de la curva «cerca» de la asíntota se estudia la diferencia yC − y A , para un mismo valor de x, en donde yC es la ordenada de la curva y yA es la ordenada de la asíntota. Esto es,

yC − y A =

x3 + 3x 2 + 3x + 1 12 x − 4 − ( x + 5) = 2 . 2 x − 2x + 1 x − 2x + 1

Si x > 0, entonces yC − y A > 0, lo que indica que para valores grandes de x (positivos), la curva está por encima de la asíntota. Si x < 0, entonces yC − y A < 0, lo cual indica que para valores grandes de x (negativos) la curva está por debajo de la asíntota. En la figura 25.3 se ilustran los interceptos de la curva con los ejes coordenados, así como también el comportamiento de la curva «cerca» de las asíntotas.

Figura 25.3

4.

Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos Para ello se hace el análisis del signo de la primera derivada. f ′( x) =

3( x + 1) 2 ( x − 1) 2 − 2( x − 1)( x + 1)3 ( x + 1)2 ⋅ ( x − 5) = . ( x − 1) 4 ( x − 1)3

El signo de f ′( x ) depende de los signos que poseen los factores ( x − 5) y (x – 1)3, puesto que ( x + 1) 2 es siempre positivo.

252 U de @ - Educación no presencial

Módulo 25: Análisis y trazado de curvas Signo de (x –5) – – – – – – – – – – – – – – | +++++++++++ 5 Signo de (x − 1)3– – – – – – |+++++++++++++++++++++++ 1 Signo de f ′( x) +++++++ |– – – – – – – – |++++++++++++ 1 5 El signo de f ′( x ) indica que: f crece en los intervalos (–∞ ,1) y [5, +∞) y f decrece en el intervalo (1, 5]. En x = 1, f ′( x) no existe, pero como el punto no pertenece al dominio de f, la curva en él solamente cambia de monotonía conservando su comportamiento asintótico. x = 5 corresponde a un mínimo relativo. Pm (5, f (5)) = Pm (5,13.5). 5.

Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión Para ello se analiza el signo de la segunda derivada f ′′( x) .

f ′′( x) =

24( x + 1) . ( x − 1)4

El signo de f ′′( x) sólo depende del signo del factor (x + 1), puesto que 24 y ( x − 1) 4 son siempre positivos.

Signo de (x + 1) – – – – –| ++++++++ +++++++++ –1 El signo de f ′′( x) indica que: f ( x) es cóncava hacia abajo (∩) en (–∞, –1], f ( x) es cóncava hacia arriba (∪) en [−1, +∞) .

El punto PI (–1, f (–1)) corresponde a un punto de inflexión, es decir, en PI(–1, 0) la curva cambia de concavidad. En la figura 25.4 se traza la curva con todos los elementos así obtenidos.

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

253

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Figura 25.4

Ejemplo 25.3 Trace la gráfica de la función y = f ( x) = 2sen x + cos 2 x, para x en [0,2π ].

(1)

Solución Como sólo interesa la parte de la gráfica correspondiente al intervalo [0, 2π ], únicamente se tienen en cuenta para su análisis los siguientes elementos: 1.

Continuidad La función es continua en el intervalo [0, 2π ] por ser suma de funciones continuas.

2.

Interceptos i.

Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): se resuelve para x. 2 sen x + cos 2 x = 0 ⇔ 2 sen x + 1 − 2 sen 2 x = 0, ⇔ 2 sen 2 x − 2 sen x − 1 = 0.

Al resolver la última ecuación reducible a cuadrática se obtiene por la fórmula general:

sen x =

254 U de @ - Educación no presencial

2 ± 4 + 8 1± 3 = . 4 2

Módulo 25: Análisis y trazado de curvas

La ecuación sen x = Si sen x =

1+ 3 carece de solución (¿por qué?). 2

1− 3 , entonces x ≈ π + 0.37 y x = 2π − 0.37. 2

Por tanto, los interceptos de la curva con el eje x son los puntos P1 (π + 0.37, 0) y P2 (2π − 0.37,0).

ii. 3.

Con el eje y (se hace x = 0 en (1)). Así, y = 2sen 0 + cos 0 = 1.

Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos Se obtienen analizando el signo de la primera derivada o f ′( x). f '( x) = 2 cos x − 2sen 2 x = 2 cos x − 4sen x ⋅ cos x, f '( x) = 2cos x ⋅ (1 − 2sen x).

El signo de la derivada depende del signo de los factores cos x y (1 – 2sen x) en el intervalo [0, 2π ]. Ahora, cos x es positivo si x pertenece al primero o al cuarto cuadrante, es decir, cos x > 0 si x ∈ (0, π 2) ∪ (3π 2, 2π ); cos x es negativo si x pertenece al se-

⎛ π 3π gundo o al tercer cuadrante, es decir, cos x < 0 si x ∈ ⎜ , ⎝2 2 sen x > 1 2 siempre que

⎛ π 5π x∈⎜ , ⎝6 6

π 6

1 si 6

⎛ π 5π ⎞ ⎞ x ∈ ⎜ , ⎟. ⎟ ⇔ 1 − 2sen x < 0 si ⎝6 6 ⎠ ⎠

También, sen x < 1 2 siempre que 0 < x <

π 6

o

5π < x < 2π ; por tanto, 6

1 − 2sen x > 0 si

⎛ π ⎞ ⎛ 5π ⎞ x ∈ ⎜ 0, ⎟ ∪ ⎜ , 2π ⎟ . ⎝ 6⎠ ⎝ 6 ⎠ Al llevar esta información al diagrama adjunto se puede escribir:

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

255

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Signo de 2 cos x en [0, 2π ] ++++++++++++++++|– – – – – – – – – – – – – – –| ++++++++++

π 2

0

3π 2

2π

Signo de (1 − 2sen x) en [0, 2π ] ++++++|– – – – – – – – – – – – – – – – – –| ++++++++++++++++

π 6

0

5π 6

2π

Signo de f ′( x ) en [0, 2π ] ++++++|– – – – – – –| +++++++++++++ |– – – –|++++++++++++ 0

π 6

π 2

5π 6

3π 2

⎡ π⎤ El signo de f '( x) indica que f (x) es creciente en los intervalos ⎢0, ⎥ , ⎣ 6⎦

2π

⎡ π 5π ⎤ ⎢2, 6 ⎥ ⎣ ⎦

⎡ 3π ⎤ y ⎢ , 2π ⎥ . 2 ⎣ ⎦

⎡π π ⎤ f ( x) es decreciente en los intervalos ⎢ , ⎥ y ⎣6 2⎦

⎡ 5π 3π ⎤ ⎢ 6 , 2 ⎥. ⎣ ⎦

Del diagrama anterior se puede concluir también que:

π

π 3 corresponde a un máximo relativo, es decir, P ⎛⎜ , ⎞⎟ es un ⎝ 6 2⎠ punto máximo de la curva. x=

6

5π ⎛ 5π 3 ⎞ corresponde a un máximo relativo, es decir, Q ⎜ , ⎟ es 6 ⎝ 6 2⎠ un punto máximo de la curva. x=

π

π corresponde a un mínimo relativo, es decir, R ⎛⎜ ,1⎞⎟ es un ⎝2 ⎠ punto mínimo de la curva. x=

2

Finalmente, 3π ⎛ 3π ⎞ corresponde a un mínimo relativo, es decir, T ⎜ , −3 ⎟ es 2 2 ⎝ ⎠ un punto mínimo de la curva. x=

256 U de @ - Educación no presencial

Módulo 25: Análisis y trazado de curvas 4.

Intervalos de concavidad. Puntos de inflexión Para ello se analiza el signo de la segunda derivada f ''( x). f ′′( x) = −2sen x − 4cos 2 x, = −2sen x − 4(1 − 2 sen 2 x ), = 2(4sen 2 x − sen x − 2).

(2)

Para hallar los posibles puntos de inflexión, se resuelve la ecuación f ′′( x) = 0 . Es decir, 2(4sen 2 x − sen x − 2) = 0.

Resolviendo esta última ecuación reducible a cuadrática, se obtiene ⎧ 1 + 33 ≈ 0.84 ⎪ ⎪ 8 sen x = ⎨ ⎪1 − 33 ≈ −0.59 ⎪⎩ 8

(3)

Mediante una calculadora, o una tabla de funciones trigonométricas, se pueden obtener los siguientes valores aproximados de x:

x ≈ 1; x ≈ π − 1; x ≈ π + 0.63 y x ≈ 2π − 0.63. Para determinar si estos valores de x corresponden a posibles puntos de inflexión, se hace necesario analizar el signo de la segunda derivada f ′′( x) = 2(4sen 2 x − sen x − 2).

Los valores dados en (1) permiten escribir f'' ( x) así: ⎡ 1 + 33 ⎤ ⎡ 1 − 33 ⎤ f'' ( x) = 2(4sen 2 x − sen x − 2) = 2 ⎢sen x − ⎥ ⋅ ⎢sen x − ⎥. 8 ⎦ ⎣ 8 ⎦ ⎣

Mediante consideraciones similares a la hechas para f ′( x), se puede obtener la información que aparece en el diagrama siguiente:

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

257

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada ⎡ 1 + 33 ⎤ Signo de ⎢sen x − 8 ⎥ ⎣ ⎦

– – – – – – –|+++++| – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0

1

(π − 1)

2π

⎡ 1 − 33 ⎤ Signo de ⎢sen x − 8 ⎥ ⎣ ⎦

+++++++++++++++++++++|– – – – – – – – – – |+++++++ (π + 0.63)

0

(2π − 0.63)

2π

Signo de f ''( x) – – – – – – –|+++++|– – – – –|+++++++++++++| – – – – – 0

1

(π − 1) (π + 0.63)

(2π − 0.63)

2π

El signo de f ′′( x) indica que: f ( x) es cóncava negativa (∩) en [0,1] ∪ [π − 1, π + 0.63] ∪ [2π − 0.63, 2π ], f ( x) es cóncava positiva (∪) en [1, π − 1] ∪ [ π + 0.63, 2π − 0.63].

Además, se obtienen los siguientes puntos de inflexión: (1, 1.27); (π − 1, 1.49); (π + 0.63, − 0.7) y (2π − 0.63, − 0.87).

Con la información dada en los cuatro puntos anteriores se puede trazar una buena aproximación a la curva correspondiente, como aparece en la figura 25.5.

Figura 25.5

258 U de @ - Educación no presencial

Módulo 25: Análisis y trazado de curvas Ejemplo 25.4 Analice y grafique la función y = f ( x) = senh x =

e x − e− x . 2

(1)

Solución 1.

Dominio El conjunto ℜ de los números reales, dominio común de las funciones e x y e− x .

2.

Interceptos i.

Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): senh x = 0 ⇔

e2 x − 1 = 0, 2e x

⇔ e 2 x − 1 = 0,

⇔ e2 x = 1 ⇔ x = 0. De esta manera, la curva pasa por el origen. ii.

Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): y = senh 0 = 0.

3.

Continuidad La función y = senh x es continua en todo el eje real por ser combinación de funciones continuas.

4.

Intervalos de crecimiento y decrecimiento Puesto que Dx (senh x) = cosh x, del ejemplo 14.1i de la sección 14.3 se tiene que Dx (senh x) > 0 y esto indica que la función es creciente en el intervalo (−∞, +∞).

La función no posee valores críticos, ya que la derivada existe y es diferente de cero en todo el eje real. 5.

Análisis de la concavidad Puesto que Dx (Dx (senh x)) = Dx (cosh x) = senh x, del ejemplo 14.1ii de la sección 14.3 se deduce que Dx (Dx (senh x)) < 0, siempre que x < 0, y por tanto la curva es cóncava hacia abajo en el intervalo (−∞, 0).

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

259

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Igualmente, del mismo ejemplo, se deduce que Dx (Dx (senh x)) > 0, siempre que x > 0, lo cual indica que la curva es cóncava hacia arriba en el intervalo (0, +∞).

El punto P (0, 0) es un punto de inflexión de la curva, puesto que allí cambia la concavidad. 6.

Límites en el infinito e x = +∞, y lim e − x = 0, se deduce que Puesto que xlim →+∞ x →+∞

lim senh x = +∞.

x →+∞

e x = 0, y lim e − x = +∞, se deduce que Igualmente, puesto que xlim →−∞ x →−∞

lim senh x = −∞.

x →−∞

Con la información anterior podemos trazar la gráfica de la función y = f (x) = senh x, como se muestra en la figura 25.6.

Figura 25.6

Haciendo un análisis similar se pueden trazar las gráficas de las demás funciones hiperbólicas, como aparecen en la figura 25.7.

260 U de @ - Educación no presencial

Módulo 25: Análisis y trazado de curvas

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

261

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

262 U de @ - Educación no presencial

Módulo 25: Análisis y trazado de curvas

Figura 25.7

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

263

264 U de @ - Educación no presencial

26 Problemas de máximos y mínimos

Introducción La teoría de máximos y mínimos que se ha expuesto en los módulos anteriores no solamente es útil para el trazado de curvas, sino que hay múltiples e interesantes aplicaciones a los problemas de las ciencias, la ingeniería y la economía. En lo que sigue se considerarán algunos problemas cuya solución es un extremo absoluto de una función definida en un intervalo cerrado. Para ello se usa el teorema 2 del módulo 21 (teorema de los valores extremos), el cual garantiza la existencia de un valor máximo absoluto y de un valor mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado. También, en muchos problemas que surgen en la práctica, los intervalos no son cerrados, pero la teoría expuesta anteriormente da soluciones satisfactorias. Al final del capítulo se propondrán numerosos ejercicios, que al resolverlos el lector, afianzarán su razonamiento matemático.

La construcción de cajas y envases implica, entre otras cosas, minimizar la cantidad de material empleado. Por ejemplo, de todas las cajas cilíndricas con un mismo volumen, la que tiene una altura igual al diámetro de la base es la de menor área (ejemplo 26.3).

Objetivos del módulo 1. Ilustrar con ejemplos el uso de la derivada en problemas de máximos y mínimos (problemas de optimización) que son de relevancia en diferentes áreas de la ingeniería.

Preguntas básicas 1. Se necesita construir un recipiente cilíndrico con tapa y que ha de contener un volumen específico V. ¿Cuáles deben ser las dimensiones (altura y radio de las tapas) que minimizan el área total?

Contenidos del módulo 26.1 Algunas pautas para resolver problemas de máximos y mínimos 26.2 Problemas que incluyen un extremo absoluto 26.3 Problemas que incluyen un extremo relativo

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

265

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

26.1 Algunas pautas para resolver problemas de máximos y mínimos Se enumeran a continuación algunos pasos que son útiles al abordar un problema de esta naturaleza. Vea el módulo 26 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

1. Hacer hasta donde sea posible un dibujo en el que se indiquen las variables que intervienen en el problema. 2. Determinar la función que se debe maximizar o minimizar, así como el intervalo en el cual está definida. 3. Utilizar la información del problema para expresar la función obtenida en el paso 2, en términos de una sola variable. 4. Utilizar la regla práctica dada en la observación al teorema 2 de la sección 21.3 para encontrar extremos absolutos. 5. Determinar la naturaleza del valor crítico mediante el teorema 2 del módulo 24, conocido como el criterio de la segunda derivada, el cual permite, en algunos casos, determinar de una manera más fácil si un valor crítico dado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo. Se ilustra el procedimiento anterior con algunos ejemplos.

26.2 Problemas que incluyen un extremo absoluto Ejemplo 26.1 Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que: a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima. b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima. Solución Supóngase que el alambre se parte a una distancia x de uno de sus extremos. Si x es la longitud de la circunferencia, entonces 100 – x es el perímetro del cuadrado (figura 26.1).

Figura 26.1

266 U de @ - Educación no presencial

Módulo 26: Problemas de máximos y mínimos Por tanto, el radio de la circunferencia es

100 − x x . y el lado del cuadrado es 4 2π

Si A (x) es la función que representa la suma de ambas áreas, se tiene que: A ( x) =

1 2 1 x + (100 − x) 2 ; 0 ≤ x ≤ 100. 4π 16

(1)

Puesto que A (x) es una función continua en el intervalo [0, 100], entonces existe un valor máximo y un valor mínimo de A (x) en [0, 100]. Al derivar (1) e igualar a cero, se obtienen los valores críticos. En efecto: A′( x) =

1 1 . 2 x + . 2 (−1) (100 − x), 4π 16

=

x 100 − x 100π − =0⇒ x= , 2π 8 4+π

es el único valor crítico y pertenece al intervalo [0, 100] (¿por qué?). Además, por el criterio de la segunda derivada, dicho valor corresponde a un mínimo relativo. Ahora, los valores máximo y mínimo de A (x) está entre los valores A (0), A (100) y

⎡100π ⎤ A⎢ ⎥ . Pero, ⎣4 +π ⎦

A (0) =

1 1 1002 . 02 + (100 − 0) 2 = , 4π 16 16

A(100) =

1 1 1002 . 1002 + (100 − 100)2 = , 4π 16 4π

⎛ 100π A⎜ ⎝ 4+π

1 ⎞ 1 ⎛ 100π ⎞ ⎟= ⎜ ⎟ + ⎠ 4π ⎝ 4 + π ⎠ 16 2

Como 4π < 16 < 16 + 4π , entonces

100π ⎞ 100 2 ⎛ 100 − = . ⎜ ⎟ 4 + π ⎠ 16 + 4π ⎝ 2

1 1 1 < < , y de esta última desigual16 + 4π 16 4π

dad se deduce que 1002 1002 1002 ⎛ 100π < < ⇔ A⎜ 16 + 4π 16 4π ⎝ 4+π

⎞ ⎟ < A (0) < A (100). ⎠

De esta manera, la última desigualdad indica que el área máxima se obtiene para x = 100, o sea, no partiendo el alambre y formando con él una circunferencia, mientras que el área mínima se obtiene partiendo el alambre a una distancia

100π 4 +π

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

267

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada de uno de sus extremos, y formando con esta primera parte una circunferencia y con la parte restante

400 un cuadrado. 4 +π

Ejemplo 26.2 Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja? Solución Sea x la longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas (figura 26.2 a), donde 0 ≤ x ≤

a . 2

Figura 26.2

Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la figura 26.2b. Ahora, volumen de la caja = área de la base × altura. Esto es, a V ( x) = (a − 2 x) 2 · x = 4 x3 − 4ax 2 + a 2 x; 0 ≤ x ≤ . 2

(1)

Puesto que V (x) (función a maximizar) es una función continua en el intervalo

268 U de @ - Educación no presencial

Módulo 26: Problemas de máximos y mínimos

⎡ a⎤ ⎢0, 2 ⎥ , entonces V (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho intervalo. ⎣ ⎦ Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero se obtienen los valores críticos. En efecto: V ′( x) = 12 x 2 − 8ax + a 2 = (2 x − a ) (6 x − a ) = 0.

a 2 ⇒ a 6x − a = 0 ⇒ x = 6 2x − a = 0 ⇒ x =

valores críticos

Para analizar la naturaleza de los valores críticos, se utiliza el criterio de la segunda derivada, así: V ′′( x) = 24 x − 8a,

⎛a⎞ ⎛a⎞ V ′′ ⎜ ⎟ = 24 ⎜ ⎟ − 8a = 4a > 0, ⎝2⎠ ⎝2⎠ lo cual indica que x =

a corresponde a un mínimo relativo (interprete geométrica2

mente el resultado).

⎛a⎞ ⎛a⎞ V '' ⎜ ⎟ = 24 ⎜ ⎟ − 8a = −4a < 0, ⎝6⎠ ⎝6⎠

lo cual indica que x =

a corresponde a un máximo relativo. 6

En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la cartulina cuadrados de lado a 6 y de esta forma se obtiene una caja cuyo volumen viene dado por 2

a⎞ a 2 3 ⎛a⎞ ⎛ V ⎜ ⎟ = ⎜a −2 · ⎟ · = a. 6 ⎠ 6 27 ⎝6⎠ ⎝

26.3 Problemas que incluyen un extremo relativo Ejemplo 26.3 Se necesita construir un recipiente cilíndrico con tapa y que ha de contener un volumen específico V. ¿Cuáles deben ser las dimensiones (altura del cilindro y radio de las tapas) que minimizan el área total? Solución En la figura 26.3 aparece el cilindro y las dimensiones por determinar.

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

269

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Figura 26.3

Si se denota por V (constante) el volumen del cilindro, se tiene, de acuerdo a la fórmula conocida de la geometría, V = π x 2 y,

y de aquí, y =

V

π x2

( 1)

.

La función a minimizar es el área total, esto es, AT = 2π x 2 + 2π xy.

( 2)

Sustituyendo (1) en (2) se puede escribir la función a minimizar en términos de una sola variable, así: AT ( x) = 2π x 2 + 2Vx −1 , con x ∈ ( 0, +∞ ) .

De esta forma,

AT ′ ( x) = 4π x − 2Vx −2 =

4π x3 − 2V 4V , AT ′′ ( x) = 4π + 3 . 2 x x

3 El único valor crítico de AT ( x) se obtiene resolviendo la ecuación 4π x − 2V = 0, o

sea que el único valor crítico de AT ( x) corresponde a x =

3

V . 2π

Ahora, de acuerdo al criterio de la segunda derivada, ⎛ V ⎞ 4V AT ′′ ⎜⎜ 3 = 12π > 0, ⎟⎟ = 4π + 3 ⎛ V ⎞ ⎝ 2π ⎠ 3 ⎜⎜ 2π ⎟⎟ ⎝ ⎠

lo que indica que x =

270 U de @ - Educación no presencial

3

V corresponde a un mínimo relativo. 2π

Módulo 26: Problemas de máximos y mínimos V

De otro lado, sustituyendo en (1) este valor de x, se obtiene y =

⎛

V 2 ⎝ π

π ⎜⎜ 3

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

= 23

V . 2π

Por tanto, el recipiente más económico se consigue eligiendo la altura del cilindro igual al diámetro de la base. Ejemplo 26.4 Dos pasillos de 6 y 9 pies de ancho están unidos en ángulo recto (figura 26.4). Encuentre la longitud de la barra recta más larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por una esquina. Solución Supóngase que la barra puede pasar horizontalmente, cuando esté en la posición en que aparece en la figura 26.4.

Figura 26.4

Si θ (radianes) denota el ángulo que forma la barra con el pasillo menor, entonces

⎛π ⎞ ⎜ − θ ⎟ será el ángulo que forma con el pasillo mayor. 2 ⎝ ⎠ La longitud deseada es la longitud L mínima de la barra: L = AC = AB + BC.

(1)

En el triángulo APB se tiene que sec θ =

AB ∴ AB = 9sec θ . 9

(2)

En el triángulo BQC se tiene que csc θ =

BC ∴ BC = 6 csc θ . 6

(3)

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

271

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene la función a optimizar: L(θ ) = 9sec θ + 6cscθ ; 0 < θ < π 2.

(4)

Note que L → +∞ cuando θ → 0+ o θ → (π 2 ) (¿por qué?). −

Por tanto, L′(θ ) = 9sec θ ⋅ tan θ − 6 csc θ ⋅ cot θ (RD15 y RD16),

L′(θ ) =

9 sen θ 6 cos θ ⋅ − ⋅ , cos θ cos θ sen θ sen θ

=

9sen θ 6cos θ 9sen 3 θ − 6cos3 θ − = , cos 2 θ sen 2 θ sen 2 θ cos 2 θ

=

3cos3 θ (3tan3 θ − 2) , sen 2 θ cos2 θ

=

3cos θ (3tan 3 θ − 2) . sen 2 θ

Así que L′(θ ) = 0 ⇔ tan θ =

3

(5)

⎛ 2⎞ 2 ⇔ θ = tan −1 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ; θ ≈ 0.718 (rad). 3 ⎝ 3⎠

Ahora, el signo de L′(θ ) sólo depende del signo del factor (3tan 3 θ − 2). Para ello, considere la gráfica de la función tangente (figura 26.5a) y en la cual se ha señalado el valor de tan θ para θ ≈ 0.718.

272 U de @ - Educación no presencial

Módulo 26: Problemas de máximos y mínimos

Figura 26.5

A la izquierda de θ ≈ 0.718, tan θ < tan 3 θ <

2 ⇔ 3 tan 3 θ − 2 < 0 ⇔ L′(θ ) < 0. 3

A la derecha de θ ≈ 0.718, tan θ > tan 3 θ >

2 , con lo cual 3

3

3

2 , con lo cual 3

2 ⇔ 3 tan 3 θ − 2 > 0 ⇔ L′(θ ) > 0. 3

Del análisis anterior se deduce que θ ≈ 0.718 (rad) corresponde a un mínimo relativo de L (θ), cuya gráfica se parece a la de la figura 26.5b. Esto significa que el valor mínimo absoluto de L (y, por tanto, la longitud máxima de la varilla en cuestión) es: L (0.718) = 9 · sec (0.718) + 6 csc (0.718).

Un procedimiento algebraico para obtener el valor exacto de L es el siguiente: como ⎛2⎞ sec θ = 1 + tan 2 θ = 1 + ⎜ ⎟ ⎝3⎠

⎛3⎞ csc θ = 1 + cot 2 θ = 1 + ⎜ ⎟ ⎝2⎠

2/3

=

2/3

=

32 / 3 + 2 2 / 3 ,y 31/ 3

22 / 3 + 32 / 3 , 21/ 3

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

273

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada se tiene que: L = 9 sec θ + 6 csc θ ,

=

9 3

1/ 3

(3

2/3

+ 22 / 3 )

1/ 2

+

6 2

1/ 3

(3

2/3

+ 22 / 3 )

1/ 2

= 3 ( 32 / 3 + 22 / 3 )

2 ⎤ ⎡ 3 ⎢ 31/ 3 + 21/ 3 ⎥ (factor común) ⎣ ⎦

= 3 ( 32 / 3 + 22 / 3 )

⎡⎣32 / 3 + 22 / 3 ⎤⎦

1/ 2

1/ 2

= 3 ( 32 / 3 + 22 / 3 )

3/ 2

,

es la longitud de la barra que cumple las condiciones del problema.

274 U de @ - Educación no presencial

27 La derivada como razón de cambio

Introducción George Pólya

Los conceptos de crecimiento y de decrecimiento de funciones se aplican también a funciones que varían con el tiempo; si la variable y depende del tiempo t, entonces dy dt se llama razón de cambio con respecto al tiempo. En particular, si y mide una distancia, se llama velocidad.

George Pólya nació el 13 de diciembre de 1887 en Budapest, Hungría, y murió el 7 de septiembre de 1985 en Palo Alto, Estados Unidos.

Nuestro interés está centrado en una amplia variedad de razones de cambio con respecto al tiempo: la razón con la que el agua fluye en un depósito, la razón con la cual crece o decrece su altura, la razón en la cual se separan dos móviles después de pasar por un punto específico P, etc. Cuando la variable y está dada en términos de t, basta con derivar y calcular luego el valor de la derivada en el tiempo requerido. Pero en la mayoría de los casos la variable y está ligada (relacionada) con otras variables de las cuales conocemos su razón de cambio.

Objetivos del módulo 1. Usar la derivada como razón de cambio en problemas de variables ligadas, las cuales presentan variación con respecto al tiempo.

Preguntas básicas 1. Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y a una altura de 5 m sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centro C del puente (figura 27.3) a una velocidad de 12 m/s. En ese mismo instante, una lancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 m/s dista 100 m del punto P situado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera continúa perpendicular al río, ¿cuál es la velocidad a la cual se están separando la lancha y el auto 8 s después de que aquélla pasó por el punto P?

Contenidos del módulo 27.1 Variables relacionadas, variables ligadas o razones afines 27.2 Problemas resueltos sobre variables relacionadas

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

275

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

27.1 Variables relacionadas, variables ligadas o razones afines Los problemas en que intervienen derivadas de variables relacionadas entre sí se llaman problemas de variables ligadas, o de variables relacionadas, o razones afines, y es típico en ellos que: Vea el módulo 27 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

i. Ciertas variables están relacionadas en una forma determinada para todos los valores de t que se consideran en el problema. ii. Se conozcan los valores de algunas o de todas las variables y de sus derivadas para un instante dado. iii. Se pida hallar la derivada de una o de varias de las variables en dicho instante. Las variables que intervienen en un problema dado pueden considerarse como funciones del tiempo, y si se derivan con respecto a t las ecuaciones que las ligan, las igualdades obtenidas expresan la forma en las cuales están relacionadas las derivadas de estas variables. De acuerdo con lo anterior, se pueden señalar en la solución de este tipo de problemas los siguientes pasos: 1. De ser posible, hacer una figura que ilustre la situación propuesta. La figura que se traza debe indicar la situación en cualquier instante t y no precisamente en el instante particular. 2. Determinar cuáles son las variables que intervienen en el problema y representarlas por medio de letras como x, y, z, h, etc. 3. Establecer las ecuaciones que relacionan entre sí la diferentes variables que intervienen en el problema. 4. Obtener las relaciones necesarias entre las variables y sus razones instantáneas de cambio, derivando adecuadamente las ecuaciones planteadas en el paso 3. 5. Sustituir los valores particulares de variables y derivadas dados en el problema y despejar las variables o derivadas que interesan. Todo lo anterior se ilustra con los siguientes ejemplos.

27.2 Problemas resueltos sobre variables relacionadas Ejemplo 27.1 A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 m de radio y 16 m de altura entra agua a una razón de 50 cm3/s. a. ¿A qué velocidad está subiendo el nivel del agua cuando éste se encuentra a 4 m de altura?

276 U de @ - Educación no presencial

Módulo 27: La derivada como razón de cambio b. ¿A qué velocidad está cambiando el radio en ese mismo instante? Solución En la figura 27.1 aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en cualquier instante t.

Figura 27.1

Desígnese por: V: volumen (en cm3) de agua en el tanque en el instante t (s). x: radio (en cm) de la sección del cono al nivel del líquido en el instante t. y: altura del agua (en cm) en el instante t . ⎛ cm3 ⎞ dV Datos: dt = 50 ⎜ s ⎟ . ⎝ ⎠

El volumen del agua en el instante t viene dado por 1 V = π x 2 ⋅ y. 3

(1)

De la semejanza de los triángulos ODE y OBC se deduce que ⎧ y = 4x 16 y ⎪ = ⇔⎨ y 4 x ⎪⎩ x = 4

a.

Puede formularse la pregunta así: dy = ?, cuando y = 4 m = 400 cm. dt

(2) (3)

George Pólya El primer trabajo de George Pólya fue como profesor particular. En un principio no se sintió especialmente atraído por las matemáticas, sino por la literatura y la filosofía. Su profesor de filosofía le sugirió que siguiera cursos de física y de matemáticas para mejorar su formación filosófica. Este consejo marcó para siempre su carrera. Las magníficas lecciones de física de Lorán Eötvös, y las no menos excelentes de matemáticas de Lipót Fejér, influyeron decisivamente en su vida y obra. En 1940, huyendo de Hitler, Pólya y su esposa suiza (Stella Weber) se trasladaron a Estados Unidos. Pólya hablaba (según él, bastante mal), además del húngaro, su idioma natal, alemán, francés e inglés y podía leer y entender algunos más. Fue uno de los hombres míticos en la historia de las matemáticas modernas y su enseñanza a través de problemas. Sus principales obras son: Cómo plantear y resolver problemas, Matemáticas y razonamiento plausible, La découverte des mathématiques y Análisis matemático. Cuando se le preguntaba cómo había llegado a ser matemático, solía decir, medio en broma, medio en serio: «No era lo suficientemente inteligente para ser físico, y demasiado para ser filósofo, así que elegí matemáticas que es una cosa intermedia». Fue un viajero impenitente (aunque nunca condujo automóviles) que curiosamente descubrió a los 75 años de edad las comodidades de los viajes en avión, cruzando el Atlántico y el continente varias veces.

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

277

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada dy consiste en expresar V en (1) en términos dt únicamente de la variable y (usando (3)) y derivando en ambos lados con respecto a t.

Una manera simple de calcular

Así, 1 1 ⎛ y⎞ π 3 V = π x2 y = π ⎜ ⎟ · y = y 3 3 ⎝4⎠ 48 2

dV π dy π y 2 dy = ⋅ 3y2 ⋅ = ⋅ dt 48 dt 16 dt dV 16 ⋅ dy dt . = π y2 dt

De donde, de acuerdo a las condiciones del problema, cm3 dy s = 1 = dt π (400 cm)2 200π 16 ⋅ 50

⎛ cm ⎞ ⎜ ⎟, ⎝ s ⎠

(5)

lo cual indica que la altura crece a esa velocidad. b.

Puede formularse la pregunta así: dx = ?, cuando y = 4 m = 400 cm ⇔ x = 100 cm. dt

Una manera sencilla de encontrar la solución consiste en derivar ambos miembros de (3) con respecto a t. Así,

dx 1 dy 1 ⎛ 1 ⎞ cm 1 ⎛ cm ⎞ = = ⎜ = ⎟ ⎜ ⎟, dt 4 dt 4 ⎝ 200π ⎠ s 800π ⎝ s ⎠

(6)

lo cual indica que el radio crece a esta velocidad. Otra manera de obtener la solución consiste en expresar V en (1) en términos únicamente de la variable x (usando (2)) y derivar en ambos lados con respecto a t. (¡Verifique!) Ejemplo 27.2 Un vigilante situado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura observa un bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 pies/s. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando éste se encuentra a 300 pies de la base del faro?

278 U de @ - Educación no presencial

Módulo 27: La derivada como razón de cambio Solución En la figura 27.2a aparecen las variables que intervienen en el problema. x: distancia del bote al pie de la base P del faro en cualquier tiempo t. θ : ángulo formado por la visual y el bote B en cualquier tiempo t.

pies ⎞ ⎛ dx = −20 Nótese que cuando «B se acerca a P» ⎜ ⎟ , entonces es de esperar dt s ⎠ ⎝ que θ también decrece.

Figura 27.2

De la figura 27.2a se tiene tan θ =

x ⇒ x = 250 ⋅ tan θ . 250

(1)

Derivando ambos miembros de (1) con respecto a t, se tiene dx dθ = 250 ⋅ sec2 θ ⋅ , dt dt

de donde dx dθ dt = . dt 250 ⋅ sec2 θ

(2)

En el caso particular que interesa, x = 300. Así que tan θ =

300 6 = (figura 27.2b). 250 5

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

279

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Usando la identidad trigonométrica 1 + tan 2 θ ≡ sec 2 θ , se puede escribir en este caso: 25 + 36 61 ⎛6⎞ sec2 θ = 1 + ⎜ ⎟ = = . 25 25 ⎝5⎠ 2

Escuche el audio Los diez mandamientos del profesor según Pólya en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

De otro lado,

dx pies = −20 . dt s

(3)

(4)

Sustituyendo (3) y (4) en (2), se tiene finalmente que dθ = dt

2 ⎛ rad ⎞ −20 =− ⎜ ⎟, 61 61 ⎝ s ⎠ 250 ⋅ 25

lo cual indica que el ángulo θ decrece (como era de esperar) a una velocidad de aproximadamente 0.0327 rad/s. Ejemplo 27.3 Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y a una altura de 5 m sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centro C del puente (figura 27.3) a una velocidad de 12 m/s. En ese mismo instante una lancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 m/s dista 100 m del punto P situado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera continúa perpendicular al río, ¿cuál es la velocidad a la cual se están separando la lancha y el auto 8 s después de que aquélla pasó por el punto P? Solución El problema se plantea desde el momento en el cual la lancha pasa exactamente por el punto P debajo del puente. En ese instante han trascurrido 5 s y por tanto el auto se encuentra en el punto M de la figura. En primer lugar se definen las variables que varían con el tiempo. x: distancia que recorre la lancha después de pasar por el punto P. y: distancia que recorre el auto desde el momento en que la lancha pasa por el punto P. w: distancia de C a R. z: distancia de R a T (distancia que separa la lancha del auto). Como los triángulos CRT y CPR son rectángulos en C y P, respectivamente, se tiene, de acuerdo a la relación pitagórica,

También,

280 U de @ - Educación no presencial

z 2 = w2 + (60 + y ) 2 .

(1)

w2 = 52 + x2 .

(2)

Módulo 27: La derivada como razón de cambio

Vea la animación «Problema del puente» en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

Figura 27.3

De acuerdo con las condiciones del enunciado, cuando han transcurrido 8 s el auto está en el punto T y la lancha en el punto R. Así que, en ese instante, x = 160 m e y = 96 m. La pregunta del problema puede formularse de la siguiente forma: ⎧ x = 160 m y y = 96 m dz ⎪ = ?, cuando ⎨ dx m dy m dt = 12 ⎪⎩ dt = 20 s ; dt s

Para responderla, se sustituye (2) en (1) y luego se deriva en ambos lados con respecto al tiempo. Esto es: z 2 = 25 + x 2 + (60 + y ) 2 ,

2z

dz dx dy = 2 x + 2(60 + y ) . dt dt dt

De aquí, dz = dt

x

dx dy + (60 + y) dt dt . z

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

281

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Remplazando los valores particulares, se obtiene finalmente:

dz = dt

m m + (154 m) ⋅12 s s = 5.048 m ≈ 22.72 m , 2 2 2 s 49.341 s 5 + 160 + 154 m

(160 m) ⋅ 20

lo que indica que la lancha y el auto se están separando a una velocidad de aproximadamente 22.72 m/s. Ejemplo 27.4 Una piscina cuyas medidas son las indicadas en la figura 27.4, tiene agua hasta 4 pies de profundidad en el extremo más hondo. a. ¿Qué porcentaje de la piscina está llena? b. Si se echa agua en ella a razón de 10 pies3/min, ¿a qué ritmo sube el nivel del agua en el instante para el cual hay agua hasta 4 pies de profundidad?

Figura 27.4

Solución a.

Se debe calcular inicialmente el volumen total de la piscina. Éste corresponde al volumen de un sólido cuya base es un trapecio con las siguientes medidas: base mayor, 9 pies; base menor, 4 pies; espesor, 20 pies. Por tanto, Vp = (área de la base) · (espesor). Vp =

(9 + 4) 40 · 20 = 5.200 pies3 . 2

Ahora, el porcentaje de piscina llena corresponde al volumen Vll del sólido que aparece indicado en la figura 27.5. Vll = área de la base (espesor).

Vea la animación «Vaciado y llenado de tanques» en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

282 U de @ - Educación no presencial

Vll =

4·L · 20 = 40 L pies3 . 2

Módulo 27: La derivada como razón de cambio

Figura 27.5

Como los triángulos ADB y PDC son semejantes, se tiene la siguiente proporción: 5 40 = ⇒ L = 32 pies. 4 L

Así que Vll = 40 · 32 = 1.280 pies3 . Usando una regla de tres simple se establece: Si Vp = 5.200 pies3 corresponde al 100%. 1.280 · 100% ≈ 24.61% 5.200 Supóngase que en un instante t determinado el volumen de piscina llena corresponde al volumen del sólido que aparece en la figura 27.6, en el cual y (nivel vertical) y x (nivel horizontal) están creciendo con respecto al tiempo. Vll = 1.280 pies3 corresponde a x =

b.

Figura 27.6

Se tiene entonces que V = Pero

y x = ⇒ x = 8 y. 4 32

y·x · 20 = 10 x · y. 2

(1) (2)

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

283

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Sustituyendo (2) en (1) se puede escribir V = 80 y2.

(3)

Derivando en ambos lados de (3) con respecto a t se tiene dV dy = 160 y . . dt dt

dV dy De donde = dt . dt 160 y

Como

dV = 10 pies 3 min y y = 4 pies, se tiene finalmente dt dy 10 1 pies = = . dt 160 × 4 64 min

Ésta es la velocidad a la cual crece el nivel del agua en ese instante. Puede verificarse fácilmente (¡verifique!) que el nivel horizontal x también está creciendo en ese mismo instante a una razón de 1 8 pies/min.

284 U de @ - Educación no presencial

28 La diferencial

Introducción En el siguiente módulo se usa la derivada para estimar el cambio de una función y, por tanto, el valor resultante de la función. El razonamiento que se hará será geométrico, apoyado en la interpretación de la derivada como la pendiente de la recta tangente. Es decir, una pequeña porción del gráfico de una función derivable en torno a un punto P parece casi recto y se asemeja a un pequeño segmento de la recta tangente en P. Esto sugiere utilizar la tangente para estimar la variación del valor de la función causada por una pequeña variación en x.

A finales de 1830, el fisiólogo francés Jean Poiseuille descubrió la fórmula que se usa hoy en día para predecir cuánto hay que expandir el radio de una arteria parcialmente obstruida para restaurar el flujo normal.

Objetivos del módulo dy para la derivada, no como símbolo dx completo, sino como símbolos separados dy y dx. 2. Deducir las fórmulas diferenciales a partir de las reglas de derivación y usarlas en la solución de problemas de aproximaciones y en la estimación de errores en algunos problemas característicos en las ciencias.

1. Dar significado a la notación de Leibniz

Preguntas básicas 1. Usando diferenciales demuestre que

3

8+h ≈ 2 +

h para h pequeños. 12

2. ¿Cuál es el porcentaje de error cuando h = 1? ¿Y cuando h = −1 ?

Contenidos del módulo 28.1 La diferencial 28.2 Interpretación geométrica de la diferencial y fórmulas diferenciales 28.3 Aproximaciones y estimación de errores

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

285

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

28.1 La diferencial Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función y con respecto a x la Vea el módulo 28 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.

dy como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy dx (diferencial de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x).

notación de Leibniz

Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. La definición está motivada por el siguiente razonamiento geométrico: Sea P(x0 , y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (figura 28.1a).

Figura 28.1

286 U de @ - Educación no presencial

Módulo 28: La diferencial Tomando el punto P (x0 , y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes antiguos.

Fórmula de Jean Poiseuille

En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y, en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber, dy = mdx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ′( x), se tiene entonce que dy = f ′( x) dx.

La fórmula que descubrió Poiseuille para predecir cuánto hay que expandir el radio de una arteria parcialmente obstruida para restaurar el flujo normal es V = kr 4, donde V es el volumen del fluido que pasa a través de un pequeño tubo en la unidad de tiempo a una presión fija, k es una constante y r es el radio del tubo. ¿Cómo afectará a V un incremento del 10% en r?

Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferenciales. Se llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al incremento Δx, esto es, dx = Δx. Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y en el punto x, denotada por dy, se define como dy = f ′( x) Δx, o también, dy = f ′( x) dx.

28.2 Interpretación geométrica de la diferencial y fórmulas diferenciales Sea f una función derivable en x. En el triángulo P0RQ se tiene que RQ = m Δx, en donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P0 (figura 28.1b), y por tanto m = f ′( x0 ). Así que RQ = f ′( x0 ) Δx = dy.

(1)

Además, Δy = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ).

(2)

Se puede observar entonces que:

Δy es el incremento en y medido sobre la curva; dy es el incremento en y medido sobre la recta tangente. Observaciones a.

Si la ecuación y = f (x) corresponde a una línea recta, entonces dy = Δy para cualquier x del dominio.

b.

Puesto que dy = f ′( x) dx, si dx ≠ 0, entonces al dividir ambos miembros de dy = f ′( x) y se puede de esta forma interdx pretar la derivada de una función como el cociente de dos diferenciales.

la última igualdad por dx se tiene

c.

De acuerdo a la observación b todas las reglas de diferenciales se deducen de las reglas de derivación (RD1 - RD10, del módulo 19), multiplicando ambos miembros de estas últimas por dx. En la tabla 28.1 aparecen las principales reglas de diferenciales (Rd) deducidas de las correspondientes reglas de derivación (RD). Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

287

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Tabla 28.1. Principales reglas de diferenciales

Regla de la derivada RD1

Regla de la diferencial

d (c ) = 0 dx

Rd 1 dc = 0

d d (cu ) = c (u ) dx dx RD9

Rd9 dx n = nx n −1 dx

d ( x n ) = nx n −1 dx

RD3 y 4

RD5

d (cu ) = cdu

d du (u ± v ) = dx dx

±

dv dx

d dv du (u · v ) = u +v dx dx dx

v·

du dv − u· dx dx v2

RD7

d ⎛u ⎞ ⎜ ⎟= dx ⎝ v ⎠

RD10

d n du u ) = nu n −1 ( dx dx

Rd3 y 4 d (u ± v) = du ± dv

Rd 5 d (u · v ) = u · dv + v · du

⎛ u ⎞ vdu − u dv Rd7 d ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠ R.d.10 d ( u n ) = nu n −1du

Así por ejemplo, si y = 4 x5 + 2 x 4 − 5 = ( 4 x5 + 2 x 4 − 5 )

1/ 2

rivada

, entonces la de-

dy viene dada por dx −1/ 2 dy 1 = ( 20 x 4 + 8 x3 ) ( 4 x5 + 2 x 4 − 5 ) = dx 2

Es decir,

10 x 4 + 4 x3 4 x5 + 2 x 4 − 5

.

dy 2 x3 (5x + 2) = . dx 4 x5 + 2 x 4 − 5

Multiplicando ambos miembros de la última igualdad por dx(dx ≠ 0), se obtiene finalmente

dy =

d.

2 x3 (5 x + 2) 4 x5 + 2 x 4 − 5

Si y = f (x) y x = g (t), entonces la regla de la cadena en forma de diferencial se expresa así:

⎛ dy ⎞ ⎛ dx ⎞ dy = ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ dt. ⎝ dx ⎠ ⎝ dt ⎠

288 U de @ - Educación no presencial

dx.

Módulo 28: La diferencial

28.3 Aproximaciones y estimación de errores Las diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para ello, supóngase que la gráfica de y = f (x) corresponde a la de la figura 28.2.

Figura 28.2

Cuando se da a x un incremento Δx, la variable y recibe un incremento Δy, que puede considerarse como un valor aproximado de dy. Por tanto, el valor aproximado de f ( x + Δx) es f ( x + Δx) ≈ f ( x) + dy = f ( x) + f ′( x) Δx.

(1)

Así por ejemplo, supóngase que se quiere calcular (usando diferenciales) un valor aproximado de 3 122. En primer lugar, nótese que 3

125 − 3, y puesto que

3

3

122 puede escribirse como

125 = 5, se puede pensar en la función f ( x) = 3 x y

hallar dy con x = 125 y Δx = −3. 1 −2 / 3 1 = , Esto es, dy = f ′(125) (−3), pero f ′( x) = x 3 3 3 x2

f ′(125) =

1 3

3 125

2

=

1 , con lo cual dy = f '(125)Δx = 1 ⋅ (−3) = −1 . 75 75 25

En consecuencia, usando (1) se puede escribir:

f (125 + (−3) ) ≈ f (125) + dy, 1 , 25 1 124 3 122 ≈ 5 − = = 4.96. 25 25 f (122) ≈ 5 −

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

289

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Estimación de errores Un problema característico en ciencias es el siguiente. Un investigador mide cierta variable x para obtener un valor x0 con un posible error de magnitud ± x. El valor x0 se usa después para calcular un valor y0 de la variable y que depende de x. El valor de y0 queda supeditado al error de x, pero ¿con qué magnitud? El procedimiento regular consiste en estimar el error por medio de diferenciales. Por ejemplo, un tanque cilíndrico tiene un radio de 5 m y una altura de 10 m. Se desea pintar la superficie exterior con una capa de pintura de 0.001 m de espesor. Halle: a. La cantidad aproximada dV de pintura que se necesita. b. La cantidad exacta ΔV de pintura que se necesita. c. El error: ΔV − dV . Solución Sea x el radio del cilindro en cualquier instante (figura 28.3).

Figura 28.3

El volumen viene dado por la función V ( x) = 10π x 2 . La diferencial de V en x = 5 será el valor aproximado dV = V ′(5) Δx = 20 π (5) .

1 π 3 = m . 1000 10

ΔV será el valor exacto, es decir, ΔV = V ( x + Δx) − V ( x), ΔV = 10π ( x + Δx) 2 − 10π x 2 = 10π ( 2 x · Δx + (Δx) 2 ) ,

290 U de @ - Educación no presencial

Módulo 28: La diferencial ΔV = 10π ⎡⎣ 2 ⋅ 5·(0.001) + (0.001) 2 ⎤⎦ = 10π ( 0.01 + 0.000001) ,

ΔV = 0.10001 · π , ΔV − dV = (0.10001 − 0.1) π = 0.00001π = 10 −5 π .

Aproximaciones lineales Considere la gráfica de la función f (x) que aparece en la figura 28.4.

.

Figura 28.4

La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (a, f (a)) viene dada por y − f (a) = f ′(a) ( x − a) ⇔ y = f (a) + f ′(a) ( x − a).

La aproximación f ( x ) ≈ f (a ) + f ′( a )( x − a ) se llama aproximación lineal de f en a, y la función L( x) = f (a) + f ′(a) ( x − a) se llama linealización de f en a. La aproximación lineal f ( x) ≈ L( x) es una buena aproximación, cuando x está cerca de a. Así por ejemplo, si se quiere hallar la linealización de la función f ( x) = 3 x en a = 125 y usar dicho resultado para obtener una aproximación del número 3 122, se procede de la forma siguiente: 1 −2 1 f ′( x) = x 3 = . 3 2 3 3 x

Por tanto,

f (125) = 3 125 = 5, y también f ′(125) =

1 3

3 125

2

=

1 . 75

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

291

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Por consiguiente, L( x) = 5 +

1 10 x ( x − 125) = + . 75 3 75

De esta forma,

3

x≈

10 x + . 3 75

En particular,

3

122 ≈

10 122 372 + = = 4.96. 3 75 75

Nótese que dicho valor coincide con el obtenido usando diferenciales.

292 U de @ - Educación no presencial

Ejercicios del capítulo 4 (módulos 20 al 28) Ejercicios propuestos 1.

En los ejercicios siguientes encuentre la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva dada y en el punto de abscisa dado. a. y = 5 − x 2 ;

x = 1.

b. y = 7 − x − x 2 ;

x = 0.

d. y = x + x ;

x = 4.

e. x 3 y + y 3 x = 10;

x = 1.

c. y = x + 1;

x = 3.

2.

Encuentre la ecuación de la normal a la curva 8( x 2 + y 2 ) 2 = 100( x 2 − y 2 ) en el punto (3, 1).

3.

Demuestre que las hipérbolas xy = 1 y x 2 − y 2 = 1 se intersecan en ángulo recto.

4.

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2 x 2 + 3 que es paralela a la recta 4 x − y − 1 = 0.

5.

Encuentre una recta que pase por (2, –3) y sea tangente a la curva y = 2 x 2 − 1.

6.

En los ejercicios siguientes una partícula se mueve sobre un eje horizontal, según la ecuación de movimiento dada. Halle la velocidad instantánea para los valores particulares de t indicados. Determine además, si es posible, los instantes en los cuales la partícula se encuentra en reposo.

7.

1 ; t

a. s (t ) = 2t 2 + 1;

t = 2.

b. s (t ) =

c. s (t ) = t + 1;

t = 3.

d. s (t ) = 4 − t 2 ;

t = 1/ 5. t = 4.

Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 20 m/s en dirección vertical hacia arriba. Encuentre: a. La velocidad instantánea cuando t = 5 s. b. La altura máxima a la que llega el objeto. c. La rapidez en el instante t = 2 s. d. El tiempo que tarda en regresar al punto de partida. Nota: use la fórmula s = vo t −

8.

1 2 gt . 2

Un objeto arrojado directamente hacia arriba alcanza una altura s = − 16t2 + 48t + 256 pies después de t segundos. a. ¿Cuál es su velocidad inicial? b. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? c. ¿Cuál es su altura máxima? d. ¿Cuándo alcanza el piso? e. ¿Con qué velocidad llega al piso?

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

293

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 9.

Para las funciones dadas a continuación, encuentre si existen los máximos y mínimos relativos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la curva. a. f ( x ) = x 2 − 4 x − 1.

d. f ( x) = x −

1 x

b. f ( x) = x 4 + 4 x.

c. f ( x) = x 9 − x 2 . f. f ( x) = x 2 − 2 x + 1.

2

.

e. f ( x) = 2 − 4( x − 4) 3 .

⎧⎪4 − ( x + 5 )2 si x < −4 h. f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩12 − ( x + 1) si x ≥ −4

⎧ 2 x + 1 si x ≤ 4 g. f ( x) ⎨ ⎩13 − x si x > 4

10.

Determine el valor de las constantes a y b para que la función definida por f (x) = x3 + ax2 + b tenga un extremo relativo en (2, 3).

11.

Para cada una de las funciones dadas a continuación determine los extremos absolutos de f en el intervalo dado. a. f ( x ) = x 4 − 8 x 2 + 16 en [ −3, 2] . c. f ( x ) =

d. f ( x ) =

si

− 3 ≤ x 2. d. f ′′( x) < 0 para x < 2. 23.

Dibuje la gráfica de una posible función g que cumple las siguientes propiedades: a. g es continua en todo el eje real. b. g (−1) = 6,

g (3) = − 2.

c. g ′( x) < 0 para x < − 1; g ′(−1) = g ′(3) = − 2; g ′(7) = 0.

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

295

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada d. g ′′( x) < 0 para x < − 1; g ′′( x) = 0 para −1 < x < 3; g ′′( x ) > 0 para x > 3. 24.

Sea f una función continua en todo el eje real y derivable en todo x ≠ 0. La figura 1 adjunta es el gráfico de la función derivada f ′( x) (no de f (x)).

Figura 1

Responda las siguientes preguntas acerca de f (x) (no de f ′( x) ): a. ¿Dónde es f (x) creciente? ¿Y decreciente? ¿Dónde es f (x) cóncava hacia arriba? ¿Y hacia abajo? ¿Cuáles son sus puntos críticos? ¿Dónde ocurren los extremos relativos? b. En el supuesto de que f (0) = 1, dibuje una función que verifique las condiciones expuestas. 25.

Se dispone de una cartulina cuadrada de 50 cm de lado y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo?

26.

Tres cuadrados grandes de metal, cada uno de 100 cm de lado, tienen recortados de sus esquinas cuatro pequeños cuadrados. Los doce pequeños cuadrados resultantes deben ser del mismo tamaño. Las tres piezas grandes en forma de cruz se doblan y se sueldan para formar cajas sin tapa, y los doce cuadrados pequeños se usan para formar dos cubos pequeños. ¿De qué lado deben cortarse los cuadrados pequeños para maximizar el volumen total de las cinco cajas?

27.

Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes. Una parte se dobla para formar un círculo y la otra para un triángulo equilátero. ¿Dónde debe hacerse el corte para maximizar la suma de las áreas del triángulo y del círculo? ¿Dónde debe hacerse el corte para minimizar la suma de las áreas?

28.

Un faro se encuentra en un punto A situado a una distancia de 4 km del punto B más cercano de la línea de la costa que es recta. En la costa y a 4 km de B se halla una tienda. Si el guardafaros puede remar a 4 km/h y caminar a 5 km/h, ¿qué camino debe seguir para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible?

29.

Determine las dimensiones del cilindro circular recto de 300 cm3 de volumen y que demande la menor cantidad posible de material.

296 U de @ - Educación no presencial

Ejercicios de los módulos 20 al 28 30.

Determine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio a.

31.

Determine las dimensiones del cono circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio a.

32.

Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la elipse de ecuación

33.

Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña que se encuentra a 10 km de distancia por el bosque y también a 2 km de la carretera (figura 2). Puede caminar a 8 km/h por la carretera y a 3 km/h por el bosque. Así, decide caminar primero por el bosque hacia la carretera, luego por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaña.

x2 y 2 + = 1. 25 16

a. ¿Qué ángulo θ minimizaría el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña? b. ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque?

Figura 2

34.

Un granjero quiere cercar un terreno rectangular con una área de 2.400 pies2. También quiere utilizar algo de cerca para construir una división interna paralela a dos de las secciones del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto.

35.

Otro granjero desea cercar un terreno rectangular con un área de 1.800 pies2. También desea utilizar algo de cerca para constuir dos cercas internas de división, ambas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que requiere para este proyecto? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto.

36.

Un tercer grajero desea cercar un terreno rectangular de A pies2 de área. También desea usar una cerca adicional para construir n (entero fijo positivo) cercas internas de división, todas ellas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto.

37.

Se necesita construir un recipiente cilíndrico, sin tapa, con un volumen de 1 pie3. La parte cilíndrica del recipiente se fabrica con aluminio y el fondo en cobre. El cobre es cinco veces más caro que el aluminio. ¿Qué dimensiones minimizan el costo total del recipiente?

38.

Una escalera de 2 m de longitud se apoya sobre una pared vertical. Si el pie de la escalera está resbalando a razón de 0.3 m/s, ¿a qué velocidad está resbalando el extremo que se apoya en la pared en el instante en el cual la distancia de la escalera a la pared es de 1.5 m?

39.

La base de un rectángulo aumenta a razón de 4 cm/s, mientras que su altura decrece a razón de 3 cm/s. a. ¿Con qué razón cambia su área cuando la base mide 20 cm? ¿Y la altura 12 cm? b. ¿Con qué razón cambia su diagonal en ese mismo instante? Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

297

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 40.

Un abrevadero que está lleno de agua tiene 2 m de largo y sus extremos tienen la forma de triángulos equiláteros invertidos de 60 cm de lado. Si el agua se escapa por un orificio del fondo del abrevadero a razón de 24 cm3/s, ¿con qué velocidad está bajando el nivel del agua en el momento en que dicho nivel tiene una altura de 12 cm?

41.

Un tanque tiene la forma de un cono circular recto invertido de 3 pies de radio y 5 pies de altura. El tanque está lleno de agua, pero en el instante t = 0 s se abre un pequeño orificio en el vértice y el agua comienza a salir. Cuando la altura del agua en el tanque ha descendido 3 pies, el agua fluye a 2 pies3/s. a. ¿Con qué velocidad decrece el nivel del agua en ese momento? b. ¿Con qué velocidad decrece el radio de la base en ese momento?

42.

Un automóvil que avanza por una carretera a razón de 1.000 m/min se acerca a un cruce con otra carretera. Cuando el automóvil está a 100 m del cruce, pasa por éste un camión que va a 600 m/min. Si las dos carreteras se cruzan en ángulo recto, ¿con qué velocidad se están separando el auto y el camión, medio minuto después de que el camión pasó por el cruce?

43.

Una persona camina hacia el norte a razón de 4 pies/s desde un punto P. Cinco minutos más tarde, una mujer comienza a caminar hacia el sur a 5 pies/s desde un punto a 500 pies al este de P. ¿Con qué razón se separan el hombre y la mujer 15 minutos después de que la mujer comienza a caminar?

44.

El ángulo en el vértice opuesto a la base de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 100 cm, aumenta a razón de 0.1 rad/min. ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo cuando el ángulo del vértice mide π 6 rad? (Ayuda: A =

45.

1 ab sen γ . ) 2

Una escalera de 18 pies de longitud descansa sobre una pared vertical de 12 pies de altura, de tal manera que su extremo superior rebasa la pared. El extremo inferior de la escalera se jala sobre el piso alejándolo de la pared a razón de 2 pies/s. a. Encuentre la velocidad vertical del extremo superior cuando la escalera hace un ángulo de 600 con el piso. b. Encuentre la aceleración vertical en el mismo instante.

46.

La altura de un cono circular recto es el doble del radio de la base. Al medirla se encontró que la altura es de 1 m con un error de 0.005 m. Encuentre el error aproximado en el volumen del cono.

47.

Si al medir la arista de un cubo se comete un posible error de 0.01 cm, encuentre el error aproximado en el volumen y en la superficie total del cubo si la arista medida es de 5 m.

48.

Encuentre el volumen aproximado de una concha esférica cuyo radio interior es de 50 cm y cuyo espesor es 1/10 cm.

49.

Usando diferenciales, calcule el valor aproximado de las siguientes cantidades:

1 a.

b.

37.5

4

82

c.

3

0.00098

50.

Si y = 3 x + 4 x − 5, x = 2 s + 5s + 8 y s = 3t − 7, halle dy en t0 = 1 y dt = − 0.2.

51.

Halle dy si y =

2

2

3

x + 2 ( x3 + 8) 5x2 + 7

298 U de @ - Educación no presencial

.

d.

3

120

Ejercicios de los módulos 20 al 28 52.

En los ejercicios siguientes halle dy y

dy . dt

a. y = 3 x 2 + 4 x − 5; x = t 2 − 2t + 1. c. y = 53.

b. y =

x 4 + 3x ; x = 3t + 5. x +5

z 2 + 5; z = 2t + 8.

Dibuje una figura semejante a la de la figura 28.1b tal que la gráfica sea cóncava hacia abajo. Indique los segmentos de recta cuyas longitudes sean Δx, Δy, dx, dy.

«El hombre más feliz del mundo es aquel que sepa reconocer los méritos de los demás y pueda alegrarse del bien ajeno como si fuera propio». Johann W. Goethe

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

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