calculo del numpero pi por el metodo de montecarlo

Calculo de el numero PI por el metodo de montecarlo Blas Ralde Jose Luis Mat-134,Analisis matematico III, inf-FCPN-UMSA Paralelo: “A”, horario: lunes,miercoles 8:00-10:00 8-05-2014 Resumen Con este experimento se pretende calcular el valor aproximado de pi utilizando el metodo de montecarlo utilizando simulacion por software Palabras clave: Numero, pi ,geogebra, calculo, montecarlo Abstract This experiment aims to calculate the approximate value of pi using the Monte-Carlo method using simulation software Keywords: Number, pi, geogebra, calculus, montecarlo 1.0 Introduccion El método de Monte Carlo es un método no determinista o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. Este metodo puede utilizarse para estimar probabilidades que serían muy difíciles de calcular de forma teórica, o para corroborar que ocurrirá lo que se espera de un determinado experimento. Este método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de lacomputadora. 1.0.1 Objetivo general Efectuar una serie de pruebas usando el metodo de

montecarlo para tratar de determinar el valor aproximado de PI 1.0.2 Objetivo especifico Determinar la efectividad de este metodo para el calculo de pi 2.0 Marco teorico pi se parece a 22/7. Pero esto es un número racional (si se observa en forma decimal, se convierte rápidamente en una pauta repetitiva de cifras). Pi es irracional. Su valor se parece a 22/7, pero como ocurre con todos los números irracionales, ninguna fracción puede describirlo perfectamente, y la expresión decimal continuará para siempre sin repeticiones. Luego, como Phi, y e, pi es una constante natural que es imposible conocer completamente. Se trata de calcular el valor aproximado de pi, lanzando dardos sobre un cuadrado con un circulo inscrito como se muestra en la figura.

De la ecuacion 5) el valor mas problable se obtiene de: n

∑ piI

⟨ pi ⟩ = i=1

n

6)

A su vez la desviacion estandart muestral sera: Figura 2.0.1 los dardos se arrojan a un cuadrado con un circulo inscrito El numero de dardos es proporcional a la superficie de un cuadrado:

A=a

2

1)

y el del circulo:

A c =π r

2

2)

S=±

√

n

2

∑ ( ⟨ pi ⟩ − pii ) i=1

n −1

7)

3.0 Marco Experimental Para el presente estudio se hace uso de un sistema operativo GNU/LINUX y un software matematico de nombre GEOGEBRA

Haciendo una simple regla de 3 con las formulas 1) y 2) se tiene:

A a2 = 2 AC π r

3)

Despejando pi de 3) se tiene: 2

π=

a Ac 2

r A

4)

a Como r= reemplazando en 4 se tiene: 2 π=4 Donde Y

Ac A

Figura 3.0.1 logo del software matematico geogebra Este sofware matematico nos permitira el calculo aproximado del valor de pi mediante escripts previamente escritos en lenguaje JAVA

5)

A c es el numero de dardos en el circulo

A es el numero de dardos en total

Si el número A es suficientemente grande, cabe esperar que la formula 5) sea una buena aproximación de Pi. Figura 3.0.2 uno de los escripts en ejecucion

metodo sea efectivo 3.0.1 Datos Experimentales 6.0 Bibliografia A partir de la figura 3.0.2 se arma la siguiente tabla con los datos experimentales simulando los dardos

-www.google.com -http://www.eveandersson.com/pi/monte-carlo-circle

N

1

2

3

4

5

dardos

50

100

150

200

250

pi

3.04

3.12

3.12

3.18

3.15

tabla 3.0.1.1 se muestran los resultados obtenidos del presente experimento calculando el valor de la formula 6)

⟨ pi⟩=

15.61 =3.122 5

Y la desviacion estandrat sera:

S=± 0.052215361 4.0 Resultados y Analisis De acuerdo a los datos experimentales obtenidos en la tabla 3.0.1.1 se encontro que el valor mas probable es muy proximo al numero pi

⟨ pi⟩=

15.61 =3.122 5

Esto nos dice que cuanto mayor sea el número de iteraciones más estables serán los valores obtenidos en la tabla 3.0.1.1 y por lo tanto el valor mas probable sera mas proximo a pi Un buen numero de iteraciones podria ser un millón.

Una característica importante a la hora de ejecutar este método es realizar una buena elección del generador de números aleatorios como la secuencia sobol 5.0 Conclusiones Con base en el apartado 4.0 se evidencio que la prueba de calculo de pi depende de el numero de pruebas realizadas y algoritmos de generacion de numeros aleatorios mas eficientes para que este

-http://www.excelavanzado.com/2007/05/mtodomonte-carlo-de-simulacin.html http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matem a/conocer/numpi_probabilidad.htm http://miblogmichoacano.wordpress.com/2011/03/0 1/calcula-pi-metodo-montecarlo/ http://elescribamatematico.wordpress.com/category /python/