Cálculo Del Momento Resistente
February 27, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Cálculo del Momento Resistente
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- Tutorial Nº 15 -
N 17: Cálculo del Bulón de Giro en Volquete
Cálculo del Momento Resistente o Módulo Resiste Resistente nte
N 18: Diseño de los Ejes de un Vehículo
Índice de contenidos: 1- Conceptos previos 1.1- Ecuación de resistencia a flexión 1.2- Fórmula del momento resistente 1.3- Eje neutro de la secció sección n 1.4- Momento de inercia de la sección. Teorema de Steiner 2- Ejemplos de cálculo del Momento Resistente 2.1- Caso práctico 1: momento resistente de un perfil simple 2.2- Caso práctico 2: momento resistente de un perfil reforzado
DESARROLLO DEL CONTENIDO
1- Conceptos previos 1. 1.11- Ecuación de resistencia a flexión En este tutorial se va a aprender a calcular el momento resistente, resistente , también conocido como módulo como módulo resistente a flexión (W x) . El momento resistente o módulo resistente es una característica geométrica que se necesita saber su valor, por ejemplo, en el cálculo y comprobación de la resistencia mecánica de cualquier perfil estructural. Como magnitud puramente geométrica, el módulo resistente depende exclusivamente de la forma y dimensiones que tenga la sección transversal del perfil estructural que se esté calculando.
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Entre las numerosas situaciones que se pueda plantear la necesidad de tener que calcular el momento resistente de la sección de un perfil estructural está, por ejemplo, la aplicación al caso particular de las reformas de importancia en vehículos, y concretamente, el cálculo del valor del momento resistente de la sección transversal del perfil estructural que conforma el bastidor. En efecto, como se sabe de otros tutoriales, el bastidor es el elemento portante de todo vehículo y está formado principalmente por dos largueros de acero situados longitudinalmente a lo largo del vehículo, generalmente con perfil de sección transversal en forma de " [ ", que se encargan de recibir todo el peso de la carrocería y la carga del vehículo. Cuando se realiza la reforma de un vehículo, por ejemplo, la instalación de una caja de carga, la nueva carrocería instalada se apoya sobre el bastidor del vehículo, que se suele reforzar con otro perfil adicional (sobrebastidor auxiliar o falso bastidor) montado sobre el bastidor original de fábrica con la que viene equipado el vehículo. Por tanto, esta nueva superestructura de refuerzo (sobrebastidor auxiliar o falso bastidor) se montará sobre el bastidor original del vehículo, de manera que los largueros del falso bastidor se ajusten perfectamente sobre los perfiles del bastidor original en toda su longitud, conformando finalmente la estructura del bastidor del vehículo. El peso de la caja de carga instalada va a flexionar el perfil del bastidor del vehículo, al estar éste sometido a fuerzas perpendiculares a su eje longitudinal, debido al peso propio de la caja instalada, además del peso de la carga o mercancía que pueda transportar. Este peso va a originar a lo largo del bastidor una distribución de esfuerzos flectores, también llamado momento flector ( M ), que va a hacer que flexione el perfil que conforma la estructura portante del vehículo. Como se sabe de los cursos de resistencia de materiales, esta flexión va a generar unos niveles de tensiones internos en la sección del perfil, que van a ser tensiones de tracción en la parte superior y de compresión en la parte inferior de la sección, existiendo una zona de la sección del perfil donde las tensiones van a ser nulas, que se corresponde con el denominado eje neutro de la sección del perfil. El valor de esta tensión normal de trabajo o tensión de flexión ( σ f ) debida al momento flector ( M ), viene calculada por la siguiente ecuación de resistencia a flexión: M σ f = Wx donde, M es el valor del momento flector en el punto del bastidor que se esté considerando W x es el módulo o momento resistente a flexión de la sección transversal del perfil que conforma el bastidor. Así pues, el concepto de módulo o momento resistente ((W W x ), objeto de cálculo de este tutorial, aparece en la ecuación de resistencia a flexión, que se utiliza para calcular los niveles de tensiones que se alcanzan en un perfil estr estructural. uctural. Por tanto, para conocer el nivel de tensiones ( σ f ) que se está generando en la sección del perfil, se hace necesario calcular previamente el valor del momento resistente ( W x ) respecto al eje x-x neutro de la sección, sección, que es es el eje de flexión del perfil que conforma el bastidor del vehículo.
1. 1.22- Fórmula d el momento resistente Para la determinación del momento o módulo resistente ((W W x), se emplea la siguiente fórmula que permite calcular el módulo resistente a flexión de la sección de cualquier perfil estructural: I xx W x = ymáx donde,
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I xx es el momento de inerci inercia a del perfil respecto al eje x-x o eje neutro de la sección. ymáx es la distancia del eje neutro de la sección a la fibra más alejada de la misma. Por tanto, para calcular el momento resistente ( W x ) de la sección, previamente habrá que conocer el valor de estas otras magnitudes geométricas:
• el momento de inercia ( I xx) de la sección total del perfil, y • la distancia ( ymáx) medida desde la posición del eje neutro de la sección a su fibra más alejada (que es la zona de la sección del perfil donde el nivel tensional es mayor). Por tanto, el cálculo del momento resistente ((W W x) de una sección exige también conocer previamente la posición del eje neutro en la sección del perfil.
1. 1.33- Eje neutro de la sección Como se ha dicho, previamente al cálculo del módulo resistente de la sección es necesario determinar la posición de su eje neutro, que es la zona de la sección donde se anula su nivel tensional, separando la parte inferior traccionada de la parte superior neutro, de la sección que estará comprimida. Efectivamente, de la resistencia de materiales se tiene que cuando a lo largo de un perfil estructural actúa un momento flector que genera una flexión del perfil, se origina entonces una tensión interna de dirección normal a la sección transversal del perfil. Así pues, derivado del esfuerzo flector sobre el perfil, esta flexión va a generar unos niveles de tensiones internos en la sección del perfil, que van a ser tensiones normales de tracción en la parte superior y de compresión en la parte inferior, existiendo por tanto una zona de transición en la sección del perfil donde las tensiones van a ser nulas, que se corresponde con el denominado eje neutro de la sección del perfil. La determinación de la posición del eje neutro (del cual obtendremos el valor de ymáx) y del momento de inercia (I ( Ixx) es fácil cuando los perfiles guardan cierta simetría en su forma respecto a sus ejes principales. Así, un bastidor donde los perfiles de sus largueros principales principales sean en forma de " [ ", su eje x-x sería su eje neutro, ya que el eje x-x divide la altura del perfil en dos partes iguales, y en este caso, ymáx sería igual a h/2 h/2 ( (y ymáx = h/2, h/2 , siendo h la altura total del perfil). Es decir, que para este caso donde existe simetría en el perfil, la fibra más alejada de la sección se encuentra a una altura de h/2 h/2 del del eje neutro del perfil, que coincide también con la posición de su centro de gravedad.
Pero en la mayoría de los tipos de bastidores empleados en los vehículos, éstos se refuerzan de manera que, aunque no se modifica el eje neutro y-y vertical, sí se modifica la posición del eje neutro x-x horizontal. Así, según se muestra en los ejemplos de las figuras siguientes correspondientes a distintas formas de reforzar los perfiles de un bastidor, se que observa que el eje vertical el eje pero no así el eje x-x, sino que ahora el eje neutro horizontal sería el g-g quedaría separado por y-y unasigue ciertasiendo distancia "d"neutro, del anterior.
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1.4- Momento Momento de inercia de la secci ón. Teorema de Steiner Steiner Para la determinación del eje neutro de una sección, es necesario conocer previamente la definición de momento estático estático de una figura plana, y como caso general, la teoría de momento de orden "n", ya que va a ser imprescindible también la determinación del momento de inercia de inercia de la sección. En este sentido, se define el momento de orden "n" de una figura plana, respecto de un punto, de un eje o de un plano, a la suma de los productos elementales de superficie por la distancia al punto, al eje o al plano, elevada a la potencia "n".
Mn = Σ dA dA · yn
• Cuando n=1, recibe el nombre de momento estático (ME (ME): ): ME = Σ dA dA · y
• Cuando n=2, recibe el nombre de momento de inercia (I (I ): I = Σ dA dA · y2 - Teorema de Steiner: Supongamos conocido el momento de inercia de una figura plana respecto de un eje que pasa por su centro de gravedad ( I xx), entonces se tiene que el momento de inercia respecto de otro eje cualquiera paralelo al primero ( Ix'x') es igual al momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de gravedad, más el producto del área de la figura por el cuadrado de la distancia entre dichos ejes.
I x'x' = Ixx + A·d2
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Y por tanto, se tiene que el momento estático del área total de una figura plana respecto de un eje distinto y paralelo al eje neutro, es igual a la suma de los momentos de cada una de las áreas elementales que componen a la figura considerada respecto al citado eje, es decir: a · A = Σ dA dA · y donde, a es la dist distancia ancia del ej eje e de referen referencia cia x'-x' al eje neutr neutro o A A es el área total de la fi figura gura plana dA dA es cada área elemental que que compone a la figura plana y es la distan distancia cia del c.d.g. de cada área eleme elemental ntal al eje x'-x' de referencia. referencia. Como se verá en los ejemplos más adelante, resulta muy conveniente para el cálculo del eje neutro del perfil de un bastidor, considerar como eje de referencia el que coincide con la cota más alta y paralelo al eje x-x del perfil, es decir, a su fibra más alejada de la sección del perfil.
Y llegados a este punto ya estamos preparado para comenzar a determinar la posición del eje neutro y el cálculo del momento de inercia de cualquier sección de un perfil, como paso previo al cálculo de su momento resistente ( W x), objetivo de este tutorial.
2- Ejemplos Ejemplos de cálculo d el Momento Resistente Resistente 2. 2.11- Caso Caso práctico 1: c álculo del mo mento resistente de un perfil simple En este ejemplo se va a proceder a calcular el momento resistente, así como la posición del eje neutro, de un perfil con sección transversal en forma de " [ ", de dimensiones según se muestra en la figura siguiente. Para facilitar el cálculo, se va a descomponer la sección transversal del perfil en tres áreas distintas, numeradas con 1, 2, y 3 según la figura. En primer lugar se va a determinar la posición del eje neutro de la sección. Para ello, se calculan por separado los momentos estáticos respecto al eje x'-x' de cada una de las áreas que componen la sección: Momento estático área 1: ME1 = 76 · 8 · (300- (8/2)) (8/2)) = 179968 mm3 Momento Moment o estático del área 2: ME2 = 8 · 284 · (300/2) = 34080 340800 0 mm3 Momento Moment o estático del área 3: ME3 = 76 · 8 · (8/2) = 2432 mm3 Por tanto, el momento estático total de la sección del perfil vale: MET = ME1 + ME2 + ME3 = 179968 179968 + 34080 340800 0 + 2432 = 523200 mm3 El área total de la sección del perfil es: es: A A = 2·76·8 + 284·8 = 3488 mm2 Por tanto, según lo visto en el apartado anterior, la distancia ( a) del eje neutro al eje de referenci referencia a x' -x' valdr valdrá: á: a = MET / A = 52320 523200 0 mm3 / 3488 mm2 = 150 mm. En segundo lugar se va a determinar el momento de inercia ( I xx) de la sección respecto al eje neutro. Para ello, se calculan por separado los momentos de inercia de cada una de las áreas que componen la sección total del perfil respecto al eje neutro g-g: Momento de inercia del área 1: I xx-1 = 1/12 · 76 · 8 3 + 76 · 8 · (150-(8/2))2 = 12963370 mm 4
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Momento de inercia del área 2: I xx-2 = 1/12 · 8 · 2843 + 8 · 284 · 0 2 = 15270869 mm 4 Momento de inercia del área 3: I xx-3 = 1/12 · 76 · 8 3 + 76 · 8 (150-(8/2))2 = 12963370 mm 4 Por tanto, el momento de inercia total de la sección del perfil vale: I xx = Ixx-1 + Ixx-2 + Ixx-3 = 12963370 + 15270869 + 12963370 = 41.197.609 mm4 Y según la fórmula incluida en el apartado 1.2 de este tutorial para la determinación del momento resistente (W ( W x ), se tiene que:
I xx
W = x
ymáx
donde, I xx es el momento de inerci inercia a respecto al eje xx-x x o eje neutro de la sección, e en n este ejemplo de valor: I xx = 41.197.609 mm4 ymáx es la distancia del eje neutro de la sección a la fibra más alejada de la misma. Para la sección del perfil de este ejemplo, dicho valor es: ymáx = 300 - a = 300 - 150 = 150 mm. mm. Por tanto, finalmente sustituyendo se obtiene el valor del momento o módulo resistente ( W x ) del perfil considerado para este ejemplo: 274.650 50 m m 3 W x = 41.197.609 mm4 / 150 mm = 274.6
2. 2.22- Caso Caso práctico 2: c álculo del mo mento resistente de un perfil reforzado reforzado En este segundo ejemplo se va a proceder a calcular el momento resistente de un perfil reforzado, compuesto por por la superposición de dos perfiles de sección en " [ ", con las dimensiones que se indican en la figura siguiente. De nuevo, y para facilitar el cálculo, se va a descomponer la sección transversal de ambos perfiles en distintas áreas, numeradas con 1, 2, 3, 4, 5, y 6, según se muestra en la figura. En primer lugar se va a determinar la posición del eje neutro de la sección con respecto al eje de referencia x'-x'. Para ello, se calculan por separado los momentos estáticos respecto al eje x'-x' de cada una de las áreas que componen a la sección total: Momento Momen to estático del área 1: ME1 = 76 · 8 · (300+120-(8/2)) = 252928 mm3 Momento Momen to estático del área 2: ME2 = 8 · 284 · ((300/2)+120) = 613440 mm 3 Momento Momen to estático del área 3: ME3 = 76 · 8 · ((8/2)+120) ((8/2)+120) = 75392 mm3 Momento Momen to estático del área 4: ME4 = 76 · 8 · (120- (8/2)) (8/2)) = 70528 mm3 Momento Momen to estático del área 5: ME2 = 8 · (120- 8-8) · (120/2) = 49920 mm3 Momento Momen to estático del área 6: ME2 = 76 · 8 · (8/2) = 2432 mm3 Por tanto, el momento estático total de la sección del perfil vale: MET = ME1 + ME2 + ME3 + ME4 + ME5 + ME6 = 252928 252928 + 61344 613440 0 + 75392 + 70528 + 49920 + 2432 = 1.064.6 1.064.640 40 mm 3 Por otro lado, los valores de las distintas áreas en que se ha dividido el perfil completo son las siguientes: Superficie Super ficie del área 1: A 1: A1 = 76 · 8 = 608 mm 2 Superficie Super ficie del área 2: A 2: A2 = 8 · 284 = 2272 mm2 Superficie Super ficie del área 3: A 3: A3 = 76 · 8 = 608 mm 2 Superficie Super ficie del área 4: A 4: A4 = 76 · 8 = 608 mm 2 Superficie Super ficie del área 5: A 5: A5 = 8 · 104 = 832 mm2
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Superficie Super ficie del área 6: A 6: A6 = 76 · 8 = 608 mm 2 Y por tanto, el área total de la sección del perfil vale: A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 = 608 + 2272 + 608 + 608 + 832 + 608 = 5536 mm2 Una vez calculados los valores del momento estático y del área de la sección total del perfil completo, la distancia ( a) de su eje neutro al eje de referencia referencia x' -x' valdr valdrá: á: a = MET / A = 1.064.640 mm 3 / 5536 mm2 = 192,3 mm. Por tanto, la distancia del eje neutro a la fibra más alejada de la sección completa valdrá: ymáx = 420 - 192, 192,3 3 = 227,7 mm. Continuando con el procedimiento, ahora habría que determinar el momento de inercia ( I xx) de la sección completa respecto a su eje neutro. Para ello, se calculan por separado, para cada una de las secciones de las que se componen la sección completa del perfil, sus momentos de inercia respecto al eje que pasa por su respectivo c.d.g., para una vez calculado, y aplicando STEINER, obtener su momento de inercia respecto al eje neutro de la sección completa. El momento de inercia final de la sección completa sería la suma de todos estos momentos de inercia parciales. Así, por ejemplo, para la Sección 1 se tendría: - Distancia del c.d.g. de la sección 1 al eje neutro: 420 - (8/2) - 192,3 = 223,7 mm. mm. - Momento de inercia respecto al eje que pasa por su c.d.g.: 1/12 · 76 · 8 3 = 3.242 mm4 . - Momento de inercia respecto al eje neutro (Steiner): 3.24 3.242 2 + 76 · 8 · 223,72 = 30.428.589 mm4 . En la siguiente tabla resumen se incluyen los valores anteriores ya calculados para todas las áreas que componen a la sección total del perfil:
Momento de Inercia Momento de Inercia respecto respe cto al eje que respecto al Eje Neutro pasa por su c.d. c.d.g. g. (STEINER)
Sección
Distancia al Eje Neutro
1
223,7
3.242
30.428.589
2
77,7
15.270.869
28.987.591
3
68,3
3.242
2.839.495
4
76,3
3.242
3.542.829
5
132,3
749.909
15.312.646
6
188,3
3.242
21.561.031
TOTAL:
---
---
102.672.181 mm 4
Y finalmente, empleando la fórmula incluida en el apartado 1.2 de este tutorial para la determinación del momento resistente ( W x), se tiene que:
I xx
W x = ymáx donde, I xx es el momento de inerci inercia a del perfil respecto al eje neutro de la sección, en este ejemplo de valor: Ixx = 102.672.181 mm 4 ymáx es la distancia del eje neutro de la sección a la fibra más alejada de la misma, de valor: valor: ymáx = 227,7 mm. Que sustituyendo los valores, se obtiene el módulo resistente ( W x ) del perfil considerado: 450.909 09 m m 3 W x = 102.672.181 mm 4 / 227,7 mm = 450.9
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