Cálculo del F . Caída y F.choque.pdf

Algunas consideraciones sobre la elasticidad de las cuerdas de escalada y su influencia en las caídas.

A nadie se le escapa que la principal finalidad de una cuerda es impedir que el escalador dé con sus huesos en el suelo. Pero: La cuerda, incapaz de hacer milagros, no puede evitar que se produzcan caídas, salvo en algún caso, como cuando se va de segundo, y tal. Lo que ocurre, como también es bien sabido, es que un adecuado contubernio entre la cuerda y los seguros logra que la caída se vea reducida a unos pocos metros. Ahora bien: Si existe caída, la energía potencial (E p = mgh) del escalador, debida a la 1 altura a que se encuentra, se convierte en energía cinética (E c = mv 2 ) debida a la 2 velocidad que va adquiriendo. El principio de conservación de la energía garantiza que esta conversión de una forma (E p) a otra (Ec) es total. Como al final el escalador se detiene, esta cantidad de energía se habrá disipado de alguna manera. Una disipación instantánea y fulminante en forma de calor y deformaciones como ocurriría al dar un  barrigazo contra el suelo tiene consecuencias consecuencias nocivas, en cambio si se disipa de forma  progresiva, como en las camas elásticas, hasta puede dar gustirrinín. gustirrinín. Entonces, otra misión de la cuerda ha de ser el conseguir que la energía de la caída se transforme con relativa suavidad. En resumen, para el bien del escalador, la cuerda ha de existir y además ha de ser elástica. Cualquier perorata sobre elasticidad que se precie ha de empezar enunciando la Ley de Hooke, que dice así:

F = k·x k·x

(1)

Donde: F es la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo elástico (muelle, cuerda, goma “de  pollo”  pollo” ,...), k es una constante, y x es la longitud de la deformación deformación que la fuerza F ha  producido sobre sobre el cuerpo. cuerpo. Esto significa que si sobre un cuerpo elástico se ejerce una fuerza de 100 Nw 1  y se alarga 1 m., si se ejercieran 200 Nw se alargaría 2 m y así sucesivamente. Técnicamente se dice que la fuerza y la deformación son directamente proporcionales, y k es la constante de proporcionalidad. En el ejemplo anterior esta constante valdría k = 100. Cuanto más grande sea k menos elástico será el cuerpo. Hasta aquí todo es sencillo y  bastante conocido. conocido. Ocurre sin embargo que la dichosa constante es absolutamente característica del muelle concreto. Si ese muelle, hecho del mismo material, fuera más largo o más grueso, la constante sería distinta. Para poner remedio a esta situación se define otra constante  parecida, E, llamada módulo de elasticidad, elasticidad, o módulo de Young que sólo varía de un material a otro. La relación entre las dos constantes es:

 = k  =

E·S E·S l

 

(2)

Donde: S es la sección (grosor) del cuerpo elástico, y l la longitud. 1

 Nw (Newton): Unidad “ oficial” oficial” de fuerza en Física. 9’8 Nw equivalen a lo que se entiende normalmente  por pesar un Kg, que hablando hablando con propiedad tendría que decirse decirse pesar un Kp (Kilopondio, (Kilopondio, otra unidad de fuerza).

Con esto, a partir de la constante E de una cuerda, que anda por los 3·10 8  Nw/m2 y sabiendo su sección (en realidad se sabe el diámetro: 8 mm, 9 mm, 10’5 mm,...) se  puede calcular la k en cada caso determinado, que, claro, dependerá de la longitud de cuerda l. Combinando las fórmulas (1) y (2) y llamando  ∆ l (incremento de l) a la magnitud de la deformación o alargamiento que se produce en la cuerda, se obtiene esta maravillosa expresión: F=

E·S·∆l l

 

(3)

Esta fórmula nos proporciona el valor de la fuerza que durante la caída ejerce la cuerda sobre el escalador (y el escalador sobre la cuerda). Depende de las características E y S de la cuerda, y de la relación, o cociente entre la deformación y la longitud total de cuerda susceptible de ser deformada, es decir la que hay entre el asegurador y el escalador. Ahora ha llegado el momento de ilustrar todo esto, y lo que vendrá, con un hermoso dibujo: A: asegurador, reunión. S: último seguro. m: masa del escalador. l: longitud de la cuerda, o altura escalada. h: altura alcanzada desde el último seguro hasta el momento de la caída.  ∆ l:

alargamiento o deformaci ón de la cuerda.

Y con esto se entra ya en lo que podríamos llamar el meollo del asunto. Dado que “el asunto” en el fondo es un problema de Física el lenguaje que se habrá de utilizar tendrá que ser matemático. Lo cual es necesario e irremediable, y al mismo tiempo conveniente, porque así el resultado será exacto, inequívoco e irrefutable. Se trata en definitiva de establecer la fuerza que la cuerda transmitirá al escalador en la caída, ya que ésta será la magnitud física que el escalador sentirá en sus carnes. En primer lugar, y a la vista de la fórmula (1) o (3), es evidente que el momento más delicado, cuando mayor es la fuerza, es cuando la deformación  ∆ l  es máxima, o sea en el instante en que se detiene el movimiento de caída. Es a ese momento y a esa fuerza a la que se irá refiriendo todo el desarrollo. La energía elástica almacenada entonces en la cuerda es igual al trabajo realizado por la fuerza de la expresión (1) a lo largo de toda la deformación  ∆ l . Y sintiéndolo mucho viene dada por la siguiente integral: Ee =

∫

∆l

0

F·dx =

∫

∆l

0

kx·dx =

1 2

∆l

kx

=

2 0

1 2

k·( ∆l) 2  

(4)

Por otro lado, y observando el dibujo, se ve que la altura total de caída es 2h +  ∆ l. Con lo que la energía potencial Ep, que a lo largo del viaje hacia abajo se convierte en energía cinética Ec, y en la parte final del trayecto en energía elástica Ee, viene dada por la fórmula: E p = mg·(2h +  ∆ l)

(5)

Donde g es la aceleración de la gravedad, que vale 9’8 m/sg 2 . Como la energía ni se crea ni se destruye, ni nada de eso, se pueden igualar los valores obtenidos en (4) y (5): 1 mg·(2h +  ∆ l) = k·(∆l) 2 , que teniendo en cuenta la Ley de Hooke (1) y pasando 2 el denominador al primer miembro se convierte en: 2mg·(2h+  ∆ l) = F·  ∆ l  

(6)

 A hora se trata de despejar  ∆ l y entonces sustituirlo en la f órmula (3). 2mg·2h + 2mg·

 ∆ l

= F·  ∆ l 

2mg·2h = (F –2mg)·  ∆ l 2mg·2h F - 2mg F =

= ∆l , y sustituyendo en F =

E·S·∆l l

queda:

E·S 2mg·2h · , y arreglándola un poco resulta finalmente: l F - 2mg

F 2 − 2mg·F -

E·S·2mg·2h

l de 2º grado cuya incógnita es F.

=0

(7) que es, ni más ni menos, una ecuación

Y esta es la hora de introducir un término emblemático dentro de la literatura y la mitología de la escalada: el factor de caída. Tal factor f se define como la relación entre la distancia que recorre el escalador durante la caída y la longitud útil de la cuerda. Con las letras del dibujo: f  =

2h l

El factor f es sencillamente un número, que como luego se verá, influye en la “dureza” de la caída. Como la h, mientras el escalador no se desate de la cuerda y se vaya pared arriba, no puede ser mayor que l, el máximo valor de f será 2. Esto correspondería a una caída al salir de la reunión y antes de poner el primer seguro. El factor 0 se daría si el escalador cae justo al poner un seguro. Ahí van unos cuantos dibujos para aclarar mejor la cuestión:

Es importante darse cuenta de que f depende del cociente entre h y l, y no únicamente del valor de h. Es decir: una caída entre la reunión y el primer seguro es de factor 2 tanto si se han ascendido 4 m como si se ha ascendido sólo 1 m, ya que en ambos casos h y l son iguales. Incorporando este nuevo invitado a la ecuación (7), ésta queda así: F 2 − 2mg·F - 2E·S·mg·f  = 0   (8) Ahora se resuelve respecto de F aplicando aquella entrañable fórmula de la ecuación de 2º grado:

x=

F=

- b ±  b 2 − 4ac 2a

 , y se obtiene un grandioso resultado:

2mg + 4m 2 g 2 + 8E·S·mg·f  2

= mg + mg· 1 +

2E·S·f  mg

(se ha despreciado el signo –

de delante de la raíz porque no parece tener significado físico). Tan jugosa es esta expresión, que conviene ponerla otra vez bien clara:

F = mg + mg· 1 +

2E·S·f  mg

(9)

De esta fórmula, legítimamente obtenida siguiendo sólo criterios físicos y matemáticos, se deduce sin admitir sombra de duda lo siguiente: La fuerza máxima que al amortiguar la caída la cuerda ejerce sobre el escalador, o para hablar ya con más propiedad, sobre el arnés depende de: -

El peso del escalador mg. El módulo de Young E de la cuerda, es decir, del material que está fabricada. La sección S, que depende, como está claro, del diámetro. El factor de caída f.

Y de nada más. O sea: -

Que si se cae sobre la reunión, como ya se ha dicho más arriba, habiendo ascendido 1 m. la fuerza es la misma que si se hubieran ascendido 4 ó 10 m,  porque el factor de caída es f = 2 en todos los casos. - Que para cuerdas hechas del mismo material, la caída será más dura, seca, o como se le quiera llamar, cuanto mayor sea el diámetro. En particular: si se escala con doble cuerda, y estas cuerdas están diseñadas para trabajar en simple, la fuerza, en caso de f = 2, puede alcanzar valores que resulten excesivos, porque es como si la cuerda que se utilizara tuviera el doble de sección. - Que si en algún momento se encomienda la misión de detener la caída a una cinta o algo similar, como su elasticidad es muy baja (E es muy gordo), la fuerza puede ser suficiente como para dañar tanto al escalador como al punto de anclaje (chapa, mosquetón,...). Es parecido, aunque no tanto, a lo que ocurriría si se escalara con un cable, en vez de una cuerda. - Que si se utilizara una cuerda muy elástica (E pequeño), la fuerza sería ciertamente menor, pero sustituyendo el valor de la fuerza en la fórmula (3) se ve que el precio es un valor de  ∆ l más alto, es decir, más recorrido de caída, con el riesgo de despellejarse vivo contra la pared o darse con un bolo

o una repisa. El material con el que están hechas las cuerdas intenta encontrar un término medio aceptable entre F y  ∆ l. Aunque cada uno, aplicando la fórmula (9) puede calcular el valor de la fuerza de choque para unas circunstancias concretas de masa, diámetro de la cuerda, factor de caída y tipo de cuerda (o sea, valor del módulo de elasticidad E), ahí van unos cuantos resultados, para ahorrar trabajo: -

Caída de factor 2 de un escalador de 75 Kg con una cuerda de 10’5 mm. F = 9505 Nw = 970 Kp

-

Caída, con los mismos datos de antes, después de haber escalado 10 m, y 2 m más arriba del último seguro (f = 0’4). F = 4712 Nw = 481 Kp

-

Caída de factor 2 de un escalador de 75 Kg con una cuerda de 9’5 mm. F = 8676 Nw = 885 Kp

-

Caída de factor 2 de un escalador de 75 Kg con dos cuerdas de 9’5 mm  pasadas por el mismo mosquetón. (Suponiendo E = 3·10 8 Nw/m2, que es un valor típico para las cuerdas pensadas para trabajar en simple) F = 11941 Nw = 1218 Kp este valor es muy próximo al aceptado como máximo tolerable de 12000 Nw = 1200 daNw 2

-

Caída de factor 2 de un escalador de 75 Kg con dos cuerdas de 9 mm  pensadas para trabajar en doble. (Suponiendo E = 1’6·108 Nw/m2, que es un valor típico para las cuerdas pensadas para trabajar en doble) F = 8506 Nw = 868 Kp

-

Caída de factor 2 de una escaladora de 54 Kg con una cuerda de 10’5 mm. F = 7963 Nw = 813 Kp

...y así sucesivamente. Ojo: Al hacer los cálculos hay que expresar la sección S de la cuerda en m 2  por cuestiones de coherencia entre unidades. Una pregunta razonable que puede surgir en este momento, o que ya puede haber surgido antes, es cómo demonios se llega a saber el módulo de Young, E, de la cuerda. Casi es sencillo:

2

 1 daNw (Decanewton) = 10 Nw

En los catálogos de las cuerdas aparecen unas cuantas características: Diámetro, peso  por m, deslizamiento de la funda, número de caídas de f = 2,..., y fuerza de choque. Esta es la fuerza correspondiente a una caída de f = 1’77 para m = 80 Kg. Habitualmente viene dada en daNw. Sólo queda sustituirla en la fórmula (9) y despejar E. También para ahorrar trabajo, aquí aparece la fórmula con la E despejada: 2 ⎤  ⎞ mg ⎡⎛  F E= ·⎢⎜⎜ − 1⎟⎟ − 1⎥ , que como m y f son fijos, acaba quedando así: 2S·f  ⎢⎝ mg  ⎠ ⎥⎦ ⎣

2 ⎤ 886 ⎡⎛  F  ⎞ E= · 1 1 − − ⎟ ⎢⎜ ⎥ π·D 2 ⎢⎣⎝ 784  ⎠ ⎥⎦

(10), donde D es el diámetro (en m, no en mm) de

la cuerda. Por otro lado: Es posible que cueste aceptar el que sea tan pernicioso caer sobre la reunión (f = 2) 1 m como 10 m. En ambos casos la fuerza de choque es la misma. Ahora bien, las cantidades de energía que intervienen son diferentes, en el primer caso: E p = mgh = 75·9’8·2 = 1470 J 3 y en el segundo exactamente 10 veces más, es decir, 14700 J. Esto repercute en que lo que se ha venido llamando  ∆ l ser á menor en el primer caso, y la fuerza que se ejerce, actuará, claro, durante menos tiempo. Sus efectos destructivos sobre el organismo serán menores entonces. Sin detallar el tratamiento físico-matemático de la cuestión (ver ANEXO), se obtiene el siguiente resultado: Para una caída de 10 m y f = 2 con cuerda de 10,5 mm, el tiempo durante el que la fuerza elástica actúa es de t = 0’281 sg, de los cuales durante 0’158 sg el valor de la fuerza es superior a 600 daNw (la mitad de lo tolerable). Para una caída de 1 m en las mismas condiciones que en el caso anterior la fuerza de choque sería la misma, pero la fuerza elástica actuaría durante t = 0’089 sg, y con un valor superior a 600 daNw durante 0’050 sg, es decir, durante un tiempo tres veces menor que en el otro caso. Como estos cálculos tienen bastante mas intríngulis, se ha confeccionado con todo el cariño la siguiente tabla: Se supone m = 75 Kg, D = 10’5 mm, f = 2 y la altura que aparece en metros es la altura ascendida. La distancia que se recorre en la caída será el doble y un poco más, por la deformación de la cuerda.

3

 J (Julio): Unidad de energía. 1 J = 0’24 calorías, por si sirve de algo.

Alt.asc. (l) t(>600) te tt  ∆ l  h +  ∆ l

1 0’050 0’089 0’728 0’37 2’37

2 0’070 0’126 1’029 0’73 4’73

3 0’086 0’154 1’261 1’10 7’10

4 0’100 0’178 1’456 1’46 9’46

5 0’111 0’199 1’627 1’83 11’83

10 0’157 0’281 2’301 3’66 13’66

Donde: t(>600) es el tiempo durante el que se está soportando una fuerza mayor de 600 daNw. te es el tiempo durante el que actúa la fuerza elástica. tt es el tiempo total de caída.  ∆ l es, como siempre, el alargamiento o deformación de la cuerda. h +  ∆ l es la distancia total de caída. Después de tamaña barahúnda numérica cabe preguntarse qué se puede hacer, en resumen, para minimizar el efecto de una caída. Las variables sobre las que se puede (o no) influir son: El peso (mg) del escalador. Cuanto menor, también menor la fuerza de choque. El módulo de Young (E) y la sección de la cuerda. Cuanto menores, también es menor la fuerza de choque. Sin embargo al disminuir estos valores aumenta la distancia recorrida durante la caída, y, normalmente, al disminuir el diámetro de la cuerda disminuye también el número de caídas que es capaz de soportar. El factor de caída (f). Al equipar una vía, cuanto antes se ponga el primer seguro, antes desaparecerá la posibilidad de caída con factor 2, y en general, cuanto más cerca estén unos de otros, en la medida en que la ética y el bolsillo lo  permitan, menor ha de mantenerse, en principio, el factor de caída. Lo de “ en  principio” viene porque como se verá más adelante, en la realidad las cosas se complican un poco. Mientras tanto, antes de llegar a eso, he aquí unas gráficas comparativas de la fuerza de choque en un largo de 20 m, con seguros cada 2 m, y con seguros cada 5 m. Sobre el eje X (horizontal) se lee la altura (en m) que se ha escalado por encima de la reunión. Sobre el eje Y se lee la fuerza de choque en KNw. La gráfica correspondiente a los seguros puestos a 2 m es la azul, la otra es la roja. En algunos tramos coinciden y solo se visualiza la gráfica azul. Fijándose un poco se ve que menos en algunos tramos aislados la gráfica roja está por encima de la azul. Por ej.: A los 9 m la gráfica roja indica 6600 Nw aprox. y la azul unos 3800 Nw. Por el contrario, entre 5 y 6 m, la fuerza de choque de la gráfica roja está por debajo de la azul.

Desde un punto de vista físico, aun existe otra posibilidad para disminuir el factor de caída, que consiste en dejar la cuerda con más o menos comba. Así por ejemplo: Si un escalador sale de la reunión y asciende tres metros, si se le da una longitud de cuerda de cinco metros (2 m de comba), al caer se obtendrán los siguientes valores: h=3+5=8m

l = 5 m, luego

f=

h l

8

= = 1’6, 5

en

vez

del

factor f = 2 típico de estas circunstancias. Lo que ocurre es que la gente muestra una marcada tendencia a querer caer de cuanta menos altura mejor, ya que durante la caída no puede pasar nada bueno. La decisión entre una caída más larga o más dura hay que tomarla siguiendo los dictados de la conciencia. Dicho de otra manera: si el estado de la reunión es dudoso, y la pared es lo suficientemente lisa y vertical sería razonable intentar disminuir de esta forma el factor de caída. A todo esto, no se ha dicho, pero se supone, que en la escalada deportiva, o al empezar el primer largo, no existe factor 2. Y si uno se cae antes del primer seguro, se cae con todo el equipo. En la realidad no todo es tan sencillo, o mejor dicho, aun es más complicado, porque intervienen otros factores, ponderables e imponderables, previstos e imprevistos. Como son:

Entre la cuerda y los mosquetones se producen rozamientos, cuyo efecto es que la parte de cuerda entre el asegurador y el último mosquetón no llegue a desplegar todo su  potencial elástico. Esto implica un aumento del factor real de caída. Entre la cuerda y la pared también se producen rozamientos, con las mismas consecuencias. Entre el escalador y la pared también se pueden producir rozamientos, con peores consecuencias. Los cachivaches que se utilizan para asegurar, unos más que otros, no son absolutamente estáticos, y absorben algo de la fuerza de choque. Lo mismo pasa con el arnés, y también con el propio cuerpo del escalador, que puede ser más enteco o más mullido y amortiguará menos o más la fuerza antes de que se transmita al hueso, último destinatario. Las cuerdas, con el uso y las caídas, van perdiendo elasticidad (va aumentando su módulo de Young, E) y lo que es peor, va disminuyendo la tensión de rotura, que inicialmente puede estar sobre los 2500 daNw. Si termina estando por debajo de la fuerza de choque está claro lo que pasa. Por eso dicen que hay que ir cambiando la cuerda de cuando en cuando, y tal. De todos ellos quizá el tema del rozamiento es el que está mejor cuantificado. Corren  por la red unas fórmulas obtenidas por el Dr. Bedogni que proporcionan el factor de caída real dependiendo de la cantidad de seguros intermedios. Tienen a primera vista un aspecto sobrecogedor:

f  =

2h

 

l 0 + 0'63·l1 + 0'49·l 2 + 0'37·l 3 + 0'29·l 4 + 0'22·l 5

(11)

y f  =

2h l 0 + 0'52·l1 + 0'33·l 2 + 0'19·l 3 + 0'11·l 4 + 0'06·l 5

 

(12)

La fórmula (11) considera solo el rozamiento entre la cuerda y los mosquetones, y la (12) considera además el rozamiento entre la cuerda y la pared. Como siempre, h, que aquí coincide con l 0,  representa la distancia ascendida desde el último seguro, l 1  la distancia entre éste y el inmediato inferior, y así sucesivamente. Estas formulas dan a entender que cuanto más se va bajando en la cadena de seguros menor es la eficacia del correspondiente tramo de cuerda desde el punto de vista elástico. El denominador podría considerarse entonces como la “longitud eficaz” de cuerda. Hay que pensar que los coeficientes de las l i  probablemente variarán según lo zigzagueante que sea la trayectoria de la cuerda. De esta manera se añade otra dosis de confusión y de incertidumbre. A continuación se procede a aplicar estas fórmulas al ejemplo de la gráfica anterior: largo de 20 m con seguros cada 5 m y 2 m. La caída se supondrá que se produce al

haber ascendido los 20 m, justo antes de poner el último seguro. Así se aprecian mejor las diferencias entre unos casos y otros. Se calculará para cada nivel de equipamiento el factor de caída y la fuerza de choque, sin rozamiento, con rozamiento en los mosquetones y con rozamiento en todas partes. a) Sin rozamientos. Seguros cada 5 m:

f=

Seguros cada 2 m:

f=

10 20 4 20

= 0’5

F = 5166 Nw aplicando (9)

= 0’2

F = 3595 Nw aplicando (9)

 b) Con rozamiento en los mosquetones. Seguros cada 5 m:

f=

Seguros cada 2 m:

f ≅

10 12'45 4 6'56

= 0’80 aplicando (11)

= 0’61 aplicando (11)

F = 6322 Nw

F = 5616 Nw

c) Con rozamiento en los mosquetones y en la pared. Seguros cada 5 m:

f=

Seguros cada 2 m:

f ≅

10 10'20 4 4'48

= 0’98 aplicando (12)

= 0’89 aplicando (12)

F = 6898 Nw

F = 6620 Nw

Así que, aunque en teoría (caso a)), parece mejor poner los seguros más seguidos, en la  práctica (casos b) o c)), la fuerza de choque acaba siendo parecida. Estos resultados, sin embargo, hay que tomarlos con precaución, dado el carácter empírico y aproximado de las fórmulas que se han usado. De todas formas parece bastante cierto que el rozamiento hace que la fuerza que recibe el último seguro, el que hace de polea, no sea el doble de la fuerza de choque, F, sino aproximadamente 1’66·F, lo que hace que al asegurador solo le lleguen las dos terceras  partes de la fuerza de choque. Por otra parte esto aclara que la fuerza que son capaces de soportar las chapas, mosquetones, cintas, etc., que anda entre los 20-22 KNw corresponde al valor máximo admitido de la fuerza de choque, que es 1200 daNw =12 KNw multiplicado por 1’66.

ANEXO. (Sólo para entusiastas) Adoptando el sentido hacia abajo como positivo para el eje x, y considerando al escalador como una partícula de masa m, se plantea la ecuación diferencial del movimiento: m

d2x dt 2

d2x dt 2

= −kx + mg ,

= −ω 2 x + g  

que rápidamente se convierte en:

con ω 2 =

k  m

Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea.. Ahora se resuelve tal como mandan los cánones. Es decir: Se obtiene una solución xh de la ecuación homogénea, que es la del movimiento oscilatorio de toda la vida. x h = Asen ωt + B cos ωt ,

 particular x p =

g

ω2

y a continuación se le suma una solución

, quedando entonces:

x = x h + x p = Asen ωt + B cos ωt +

g

ω2

Si se toma como origen de las x el punto donde la cuerda se tensa, que es cuando empieza a actuar la fuerza elástica, las condiciones iniciales que hay que aplicar son: x = 0, t = 0 y dx = 2gh = v 0 , t = 0 v= (Aquí h representa la distancia total de dt caída, lo que antes se ha ido llamando 2h). De esta manera se pueden determinar las dos constantes A y B, y la cosa queda así: x=

v0

ω

sen ωt −

g

ω2

cos ωt +

g

ω2

En el momento que la cuerda está tensada al máximo (máxima fuerza de dx choque), el escalador está detenido y v =   = 0. Así se obtiene el tiempo dt durante el que actúa la fuerza elástica. dx dt

= v 0 cos ωt +

g

ω

sen ωt

dx dt

=0⇒ t =

v ω ⎞ ⎜⎜ π + arctg 0 ⎟⎟ ω ⎝  g  ⎠ 1 ⎛ 

Hay que aclarar a continuación que en un determinado instante el valor m

d2x

dt 2 es la resultante de las fuerzas que actúan sobre el escalador. Ahora bien, él sólo “nota” la fuerza elástica de la cuerda, como se ve al considerar estas dos situaciones: Mientras está cayendo libremente, la fuerza que actúa sobre él es d2x únicamente su peso,  = g, y en esos momentos no nota ninguna fuerza. dt 2 Cuando queda detenido al final de la caída, colgando como un d2x  jamoncillo,  = 0, la resultante de las fuerzas es 0, pero él nota la tensión de dt 2 la cuerda, que equilibra su propio peso. Así pues la fuerza se calculará, sencillamente aplicando la ley de Hooke: F = - k·x Si se quiere averiguar en qué momento la fuerza toma un determinado valor se sustituye en la fórmula anterior la x por el resultado obtenido como solución de la ecuación diferencial, es decir: x=

v0

ω

sen ωt −

g

ω2

cos ωt +

g

ω2

y

se

despeja

t

como

 buenamente se pueda. (Existen calculadoras formidables, capaces de resolver ecuaciones, y en Excel, sin ir más lejos, con la Herramienta Solver   se puede conseguir también algo de esto). Finalmente, indicar, para tranquilidad de espíritu de los más concienzudos, que si se calcula el valor de F para x máxima, con t=

v ω ⎞ ⎜⎜ π + arctg 0 ⎟⎟ , y se manipula con grandísimo cuidado y teniendo ω ⎝  g  ⎠ 1 ⎛ 

en cuenta, entre otras cosas, que hay que escribir el seno y el coseno en función de la tangente, se obtiene la famosa y lejana fórmula (9). De conseguirlo, el gozo que se experimenta es comparable al de lograr hacerse una vía que está un poco  por encima de nuestro grado.