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ER-ZR-01: EJERCICIO RESUELTO DE ZAPATA RÍGIDA En este ejercicio vamos a dimensionar la zapata para unas cargas y un terreno dado. Partimos de un prediseño y de unos materiales y comprobamos si son adecuados. Solo se considerarán esfuerzos en una dirección.
Materiales Hormigón resistencia característica
N
f ck = 25⋅
2
mm
coeficiente de seguridad
γc =
la resistencia de cálculo es
f cd
1.5
f ck
=
f cd
γc
=
N
16.667
2
mm
Acero límite elástico característico
f yk
=
N
500 ⋅
2
mm
coeficiente de seguridad
γs =
la resistencia de cálculo es
f yd
1.15
f yk
=
f yd
γs
=
434.783
=
2500⋅
kg
terrenodensi
3
=
1800⋅
m
kg 3
m
como valor de la aceleración de la gravedad tomamos
graved
=
9.8⋅
m s
2
Dimensiones de la zapata Partimos de un pre-dimensionamiento de la zapata, de una pilastra y de un terreno dado. zapatalargo pila largo recub
=
= 2⋅ m
zapataancho
0.3⋅ m
pila ancho
= 5 ⋅ cm vuelo
vuel vuelo o
=
0.42 0.425 5 m
<
=
=
= 2⋅ m
zapataalto
0.3⋅ m
pila alto
zapatalargo
zapataalto
−
pila largo
4
=>
2
mm
Densidades hormidensi
N
RÍGIDA
=
=
0.5⋅ m
0.5⋅ m
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Consideramos que el terreno que cubre la zapata se mantendrá a lo largo de la vida de la zapata.
terrenoalto
=
0.5⋅ m
zapatavol
=
2m
Calculamos los volúmenes. =
zapatavol pila vol terrenovol
=
=
zapatalargo⋅ zapataancho⋅ zapataalto
pila largo ⋅ pila ancho⋅ pila alto
pila vol
(zapatalargo⋅ zapataancho − pilalargo⋅pilaancho)⋅ terrenoalto
3 3
=
0.045 m
terrenovol
=
3
1.955 m
Calculamos los pesos. zapatapeso pila peso
=
terrenopeso
=
hormidensi ⋅ zapatavol⋅ graved
hormidensi ⋅ pila vol ⋅ graved
=
=
zapatapeso pila peso
terrenodensi ⋅ terrenovol ⋅ graved
=
49kN
1.103 kN
=
terrenopeso
34.486 kN
Calculamos el peso del conjunto sin cargas exteriores aplicadas. pesoSinCarga
=
zapatapeso
+
pila peso
+
terrenopeso
pesoSinCarga
=
84.589 kN
Acciones externas Como ejemplo, solo se consideran dos acciones externas: una de peso propio de la estructura a cimentar, y otra de sobrecarga.
peso propio
PP verti
=
800⋅ kN
PP mom
= 0⋅ kN⋅ m
PP horiz
=
50.⋅ kN
sobre carga
SCverti
=
100.⋅ kN
SCmom
=
SChoriz
=
200⋅kN
100⋅ kN⋅ m
Hipótesis para el equilibrio Consideraremos dos hipótesis para los estados de equilibrio, una con sobrecarga y peso propio y otra solo con el peso propio. Para el equilibrio, no mayoramos ninguna carga.
hipóteis 1
hipóteis 2
cargahoriz1
=
PP horiz
+
vertiTotal1
=
pesoSinCarga + PPverti
cargahoriz2
=
PP horiz
vertiTotal2
=
pesoSinCarga + PPverti
SChoriz
cargamom1
+
SCverti
=
vertiTotal1
cargamom2
=
vertiTotal2
PP mom + SCmom
=
984.589 kN
PP mom
=
884.589 kN
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Coeficiente de seguridad al vuelco El momento de vuelco lo calculamos en la parte inferior externa de la zapata para todas las hipótesis.
hipótesis 1 momvuelco1
=
γ vuelco1 =
(zapataalto + pilaalto) ⋅cargahoriz1 + cargamom1 vertiTotal1 ⋅
momvuelco1
=
350 kN⋅ m
momvuelco2
=
50kN⋅ m
zapatalargo 2
momvuelco1
γ vuelco1 =
2.813
hipótesis 2 momvuelco2
=
γ vuelco2 =
(zapataalto + pilaalto) ⋅cargahoriz2 + cargamom2 vertiTotal2 ⋅
zapatalargo 2
momvuelco2
γ vuelco2 =
17.692
Como era de esperar, la condición con sobrecarga es mas restrictiva. El mínimo coeficiente es alto (mayor que 2.0). Se podrían bajar las dimensiones de la zapata pero antes vamos a ver las tensiones máximas sobre el terreno.
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Cálculo de las tensiones sobre el terreno Consideramos una distribución lineal y triangular de las tensiones sobre el terreno. Hay códigos que consideran una distribución rectangular de las tensiones, pero no es nuestro caso.
hipótesis 1 =
excen1
momvuelco1
excen1
vertiTotal1
=
zapatalargo
0.355 m
6
=
0.333 m
En este caso, la excentricidad de las cargas totales en la base de la zapata es mayor que 1/6 de la longitud de la zapata, por lo que hay "despegue". La fórmula a utilizar es:
2 ⋅vertiTotal1
σ 1d =
σ 1d =
⎛ zapatalargo ⎞ − excen1 3⋅ ⎝ 2 ⎠ 509.209
kN
⋅
σ 1i =
2
1 zapataancho
0.
m
x1
⎛ zapatalargo ⎞ = − excen1 ⋅ 3 ⎝ 2 ⎠
x1
=
1.934 m
El porcentaje de superficie en contacto con el terreno es =
porcen 1
x1 zapatalargo
⋅ 100
porcen 1
=
96.678
hipótesis 2 excen2
=
momvuelco2
excen2
vertiTotal2
=
zapatalargo
0.057 m
6
=
0.333 m
En este caso, la excentricidad de las cargas totales en la base de la zapata es menor que 1/6 de la longitud de la zapata, por lo que no hay "despegue". La fórmula a utilizar es: σ 2d =
⎛ vertiTotal2 zapatalargo
+ 6⋅
zapatalargo
⎝
σ 2i =
⎛ vertiTotal2 zapatalargo
⎝
momvuelco2 ⎞
− 6⋅
2
⎠
momvuelco2 ⎞ zapatalargo
⋅
2
⎠
⋅
1 zapataancho
1 zapataancho
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σ 2d =
258.647
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kN 2
σ 2i =
183.647
m
kN 2
m
La hipótesis 1 es claramente la que produce mayores tensiones en el terreno. En este caso, algo elevadas para lo que suele ser habitual, aunue vamos a suponer que disponemos de un buen terreno con una tensión máxima admisible mayor que la mayor obtenida. El despegue es muy pequeño, no llega al 4%, y lejos del 25% que consideramos máximo admisible.
Cálculo de la armadura a flexión Los coeficientes de mayoración de cargas son los correspondientes a nivel de control normal. La hipótesis considerada es la de peso propio mas sobrecarga. cargaD horiz1
=
1.5PPhoriz
+
cargaD mom1
=
1.5⋅ PP mom + 1.6SCmom
1.6SChoriz
Primero aplicamos todas las cargas y obtenemos la armadura inferior. Luego aplicamos solo las cargas uniformemente repartidas (peso propio de la zapata y del terreno) y obtenemos la armadura que se restará de la anterior. Para el cálculo de las reacciones, obtenemos primero las leyes de tensiones como en el apartado anterior (pero con las cargas mayoradas). vertiTotalD1
=
1.5pesoSinCarga + 1.5⋅ PPverti
momTotalD1
=
(zapataalto + pilaalto) ⋅ cargaDhoriz1 + cargaDmom1 momTotalD1 = 555 kN⋅ m
excenD1
=
momTotalD1 vertiTotalD 1
excenD1
=
+
1.6⋅ SCverti
0.373 m
vertiTotalD1
=
1.487
×
3
10 k
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2 ⋅vertiTotalD 1
σD1d =
⎛ zapatalargo ⎞ 3⋅ − excenD1 ⎝ 2 ⎠
⋅
1
σD1d =
zapataancho
=
⎛ zapatalargo ⎞ − excenD1 ⋅ 3 ⎝ 2 ⎠
ladoi
=
xD1
zapatalargo
−
ladoi
2
σD1d⋅ ladoi
σm =
xD1
σm =
xD1
=
kN 2
m
σD1i = xD1
790.808
=
0.
1.88 m
0.88 m
370.212
kN 2
m
A partir de las leyes de tensiones obtenemos las fuerzas resultantes en cada mitad de la base de la zapata. Este cálculo es algo engorroso: partiremos de las áreas de las leyes y sus centros de gravedad para obtener las resultantes y sus puntos de aplicación. =
adt
1 2
⋅ ( σD1d − σ m)⋅
adc
= σ m⋅
Rd
=
bd
=
zapatalargo 2
zapatalargo
=
b dc
=
2
(adt + adc) ⋅zapataancho zapatalargo 2
−
⎛ adt⋅ bdt + adc⋅ bdc ⎞ adt
⎝
+
adc
1 zapatalargo
b dt
⎠
3
⋅
2
1 zapatalargo 2
⋅
2
Rd
=
1.161
×
bd
=
0.56 m
b dt
=
0.333 m
b dc
=
0.5 m
6
10 N
Para el cálculo de "d" suponemos un diámetro incial de armadura inferior de φ16: =
diam d
=
16⋅ mm
zapataalto
−
recub
−
diam
d
2
=
0.442 m
A partir de las fórmulas de la EHE para zapatas rígidas obtenemos el área de acero necesario. Td
=
Ast
=
Rd 0.85⋅ d
⋅ (bd −
0.25⋅pila largo
Td 400 ⋅
Ast
N 2
mm
=
)
Td
2
37.499 cm
=
3
1.5 × 10 kN
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Aunque en este caso los pesos de la zapata y el terreno a restar son pequeños respecto al total, los restamos igualmente a modo de ejemplo. El peso de la pilastra no se incluye ya que no se trata de una carga uniformemente distribuida sobre la zapata. Le aplicamos el mismo coeficiente de seguridad que en la hipótesis que combina todas las cargas. Rresta
=
1.5⋅
pesoSinCarga − pila peso 2
Rresta = 62.615 kN
b dr
=
Tdr
=
Asr
=
1 zapatalargo 2
⋅
2
Rresta 0.85⋅ d
⋅ ( b dr −
b dr
=
0.5 m
0.25⋅pila largo
)
Tdr N
400 ⋅
Tdr
=
70.831 kN
Asr
=
1.771 cm
Ast
−
Asr
2
2
mm
El área de acero final necesario es:
As
=
As
Cuantía geométrica mínima Tomando la indicada en la EHE para las vigas cgm
=
2.8 1000
⋅ zapataalto ⋅ zapataancho
cgm
=
2
28 c m
Cuantía menor que la obtenida anteriormente.
=
2
35.728 cm
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Armado final Tomando diámetros de
φ =
20⋅ mm
2
⎛ φ ⎞ ⋅ π areaΦ = ⎝ 2 ⎠
As areaΦ
con 12 barras es suficiente.
As1
La separación final es: separ
que cumple
=
=
=
11.373
12⋅area Φ
As1
zapataancho
=
− 2⋅recub −
12
−
1
2
37.699 cm 12⋅ φ
separ
=
15.091cm
es mayor que 2 cm es mayor que el diámetro Φ es mayor que 1.25*tamaño máximo del árido (suponemos un árido máx. de 20 mm) es menor que 30 cm
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