Calculo de Vigas Continuas

VIGAS CONTINUAS El cálculo cálculo de un pórtico pórtico de vigas vigas contin continuas uas consti constituy tuyee un problema problema común común en el calculi calculista sta de estructuras de edificios, a los fines de obtener el armado final de las mismas. La secuencia de cálculo a continuación parece difícil, pero no lo es, sólo hay que cuidar el orden y los signos. Cuando cargas y luces son similares o la menor no difiere del 80% de la mayor podemos emplear  el Método de los Coeficientes, bastante expeditivo, que nos proporciona los Momentos Definitivos de apoyo, es decir los momentos negativos, y los Momentos Máximos de Tramo, es decir los positivos. Una vez determinados los momentos se puede obtener la armadura de las vigas. Si las cargas y luces difieren bastante podemos emplear el Método de Cross, Cross, que nos  proporciona sólo los Momentos definitivos de apoyo. Es más laborioso pero de buena exactitud. Y después pasamos a calcular todos los demás valores. Ambos métodos son aplicables al cálculo de losas, tomando las mismas como vigas de 1m de ancho.

METODO DE LOS COEFICIENTES COEFICIENTES La figura muestra los valores de los denominadores de cada tramo y apoyo. Para el cálculo se  promedian las cargas y las luces concurrentes a cada apoyo.

MOMENTOS Y REACCIONES ISOSTÁTICAS Para la aplicación del método de Cross y para otros métodos es necesario conocer los momentos de empotramiento perfecto y reacciones isostáticas en las vigas, según e l tipo de carga y formas de apoyo. Las más usuales en la práctica del de l cálculo estructural de edificios está en la siguiente tabla:

donde las primeras 3 columnas corresponden a cargas uniformemente repartidas: en voladizo, doble empotrada y empotrada y apoyada. Las 2 últimas a cargas puntuales en  barra doble empotrada y empotrada y apo yada.

METODO DE CROSS La figura muestra un ejemplo con los casos de cargas más usuales en la práctica con todos los valores hasta la obtención de los Momentos Definitivos de Apoyos. Las filas de la figura muestran: 1) rigideces de las vigas. 2) los coeficientes de distribución 3) los momentos isostáticos de apoyo (ver figura anterior) 4) los procesos de aproximaciones sucesivas 5) los Momentos Definitivos de Apoyo

Metodología del Cálculo 1) Se calculan las rigideces suponiendo las secciones constantes de las vigas. r = 1/L, salvo las vigas extremas r= 0.75/L Tramo 1 r = 0 Tramo 2 r = 1/6 = 0.17 Tramo 3 r = 1/7 = 0.14 Tramo 4 r= 0.75/ 5 = 0.15

2) Se calculan los coeficientes de distribución para c ada viga según rigideces (%). Ejemplo:

Tramo 3 Tramo 4

C3 = 0.14/ (0.14 + 0.15) = 0.49 C4= 0.15/ (0.14 + 0.15) = 0.51

3) Se determinan los momentos de empotramiento perfecto de las vigas (se colocan con signo alternado): Tramo 1 : MB= q x L2/ 2 = 3 x 4 / 2 = 6.00 tm Tramo 2: MA=MB= q x L2/12 = 3 x (6)2 / 12 = 9.00 tm Tramo 3 carga repartida : MAq=MBq = q x L2 / 12 = 1.5 x (7)2 / 12 = 6.15 tm carga concentrada : MAp = P x b / L = 4 x 5/ 7 = 4.08 tm MBp = P x a /L = 4 x 2/ 7 = 1.63 tm MAq + MAp = 10.23 tm MBq+ MBp = 7.78 tm Tramo 4:

MA = q x L2 / 8 = 3 x (5)2/ 8 = 9.35 tm

4) Se equilibran los nudos con momentos de igual valor y signo contrario según los coeficientes de rigidez. Ejemplo: Tramo 2/3: +9.0 -10.23 = -1.23 ----> 0.54 x (+1.23) = +0.66 ------> 0.46 x (+1.23) = +0.57 Luego: -1.23 + 0.66 + 0.57 = 0 (equilibrado) Se repite para el resto de los apoyos.

5) Se transmiten los momentos al nudo opuesto con la mitad de su valor y el mismo signo. (fig.) 6) Se repiten los pasos 4) y 5) sucesivamente 7) Equilibrio final de los nudos cuando los valores son ya muy pequeños. 8) Obtención de los Momentos Definitivos de Apoyo: La suma de los valores de las columnas a izquierda y derecha de las verticales debes ser iguales en valor pero con signo co ntrario.

Obtención de Reacciones Definitivas Obtenidos los momentos definitivos de apoyo pasamos a ca lcular los momentos máximos de tramo, para obtener la armadura final de las vigas a la flexión. Las filas de la figura muestran los siguientes valores:

Ro q = Reacciones isostáticas de las cargas q (uniformes) Ro p = Reacciones isostáticas de las cargas P (puntuales) dM/L = Término de corrección, si el momento izquierdo (MA) es mayor que el derecho (MB) la reacción definitiva RA Def se incrementa (se suma a la reacción isostática) y la otra se decrementa. Y viceversa. R Def = Reacciones Definitivas, es la suma de los valores anteriores.  N Col = Cargas que llegan a las columnas (suma de las reacciones concurrentes al nudo ). Estas deben sumarse a las vigas en sentido perpendicular a las consideradas.

Momentos máximos de tramo Viga 2 (6m) : La posición del momento máximo (corte nulo) desde el apoyo A es: Xa= RA/ q ---> 8.31tn/ (3tn/m) = 2.77m Mmáx= 8.31tn x 2.77m - 3tn/m x 2.77m x 2.77m x 0.5 - 6tnm

Mmáx= 5.5 tnm

Viga 3 (7m) : Si la carga puntual está a la izquierda del centro de la luz de la viga, calculamos la posición de X desde el apoyo derecho (Xb) y viceversa. Xb= RB/ q ---> 6.17/ 1.5 = 4.11m Mmáx= 6.17tn x 4.11m - 1.5tn/m x 4.11m x 4.11m x 0.5 - 8.46tnm

Mmáx= 4.2 tnm Viga 4 (5m) : Xa= RA/ q ----> 9.19tn/ 3(tn/m) = 3.06m

Mmáx= 9.19tn x 3.06m - 3tn/m x 3.06m x 3.06m x 0.5 - 8.46tnm

Mmáx= 5.6 tnm En la unión viga 4-columna (apoyo derecho) en general el momento negativo vale:

M=q (L)2/ 20

M = (3tn/m x 5m x 5m )/ 20 = -3.75 tn-m

La figura muestra los diagramas de Corte y Momentos Flectores calculados

METODO DE LA ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enuncio p or primera vez la ecuación fundamental de los tres momentos. “La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos c ualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura”. Entonces, este método sirve para hallar los mo mentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o notables de la viga. Al aplicar la ecuación fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo co nsecutivos i,  j, k, los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuac ión que contiene, como únicas incógnitas, a los momentos en los apoyos. Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos en una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n”

ecuaciones independientes con “n” incógnitas que son los movimientos en los apo yos, los cuales se hallan resolviendo el sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoyo extremo empotrado, la forma de salvarlo lo veremos en los ejercicios de aplicación.

ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS - VIGAS CONTINUAS Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando e l Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ec uación puede ser expresada de la siguiente manera:

Los términos:

 pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos.

Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más co mplejos, sumándose o restándose. Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por  cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:

Tramos 1 – 2:

Tramos 2 – 3:

Tramos 3 – 4:

En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en los extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios: 1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0. 2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero: O sea:

3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas  por su brazo de palanca a este último apoyo.

Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apo yo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:

Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo: