Calculo de Una Poligonal Cerrada

U N IV IV E R S ID ID A D P R IV IV A D A A N T E N O R O R R E G O   FA CUL TA D DE I NGENI ERIA ERIA ESCUEL A PROFESI ONA L DE I NGENIERI NGENI ERIA A C I VI VIL L

CURSO

: TOPOGRAFÍA I

“CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA” 

DOCENTE DIAZ

: Ing. Ms. Sc. ANAXIMANDRO VELÁSQUEZ TRUJILLO - PERÚ  2013-1

EJEMPLO DE CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA

Tipos de Precisión de la Poligonal 1º Orden

2º Orden

3º Orden

4º Orden

Espec.

15” n

Error angular

30”

n

n

1´

n

1´30”

Error relativo

No debe exceder No debe exceder de de 1/10,0001’ 30” 1/5,000

No debe exceder de 1/3,000

No debe 1/1,000

Área: Máxima

Mayores has.

100 Has.

100 Ha.

Al minuto

Al minuto

lectura aprox.

de

de

500 100-500 (Ha)

30”

Se desprecia las pendientes menores de

Se observa menores de 1%.

Usos

Plano población.

30”

exceder

m

Se observa m menores del 2%.

2%

3%

de

-Plano de población. -Líneas jurisdiccio nales

Trazo de carreteras. Vías férreas.

Ante proyectos.

de

EJEMPLO: En la medición de una poligonal cerrada, se ha obtenido los siguientes datos:  ANGULOS IINTERNOS: D Vértice

1ra Medición

4ta Medición

 A

85º 12’ 35”

340º 51’ 20”

B

119º 34’ 10”

118º 17’ 12”

C

75º 35’ 00”

302º 20’ 20”

D

79º 38’ 20”

318º 33’ 32”

Z = 126º 12’ 30”

 A

LONGITUD DE LOS LADOS, (m): Lado

1ra Medición

2da Medición

Norte

C

3ra Medición

 A B

238.11

238.16

238.15

B C

375.78

375.72

375.69

C D

401.23

401.30

401.25

D A

433.40

433.42

433.44

B

Fig. Nº 1

 Azimut  A B = 126º 12’ 30” Croquis Fig. Nº 1 Coordenadas A =(5,000.00 , 10,000.00) Se desea: calcular las coordenadas de los vértices restantes, debiendo realizar la compensación de proyecciones por la regla de la brújula.

SOLUCION: 1º.- Calculo de los ángulos promedios:  A = 340º 51’ 20” = 4 B = 360º+118º17’12” = 4 C = 302º 20’ 20” = 4 D = 318º 33’ 32” = 4 Suma

85º 12’ 50” 119º 34’ 18” 75º 35’ 05” 79º 38’ 23” _________  360º 00’ 36”

2º.- Compensación de ángulos:  A B C D

= = = =

85º 12’ 50” – 9” = 119º 34’ 18” – 9” = 75º 35’ 05” – 9” = 79º 38’ 23” – 9” =  ______________ = 360º 00’ 36” – 36”

85º 12’ 41” 119º 34’ 09” 75º 34’ 56” 79º 38’ 14” __________  360º 00’ 00”

3º.- Calculo de longitud promedio de los lados:  A B = 238.00 + _1_ (0.11+0.16+0.15) = 238.14 m 3 B C = 375.00 + _1_ (0.78+0.72+0.69) = 375.73 m 3 C D = 401.00 + _1_ (0.23+0.30+0.25) = 401.26 m 3 D A = 433.00 + _1_ (0.40+0.42+0.44) = 433.42 m 3 _______  1,448.55 m

4º.- Calculo del azimut y rumbo: Z A B = 126° 12’ 30” + 180° Z B A = 306° 12’ 30” + B = 119° 34’ 09” 425° 46’ 39” – 360° Z B C = 65° 46’ 39” + 180° Z C B = 245° 46’ 39” + C = 75° 34’ 56” Z C D = 321° 21’ 35” + 180° Z D C = 141° 21’ 35” + D = 79° 38’ 14” Z D A = 220° 59’ 49” + 180° Z A D = 40° 59’ 49” +  A = 85° 12’ 41” Z A B = 126° 12’ 30” (Comprobación)

R

A B = S 53°47’30” E

R

B C = N 65°46’39” E

R

C D = N 38°38’25” O

R

DA = S 40°59’49” O

5º.- Calculo de las proyecciones de los lados: Empleando las formulas que dan los valores de las proyecciones en cada eje y teniendo en cuenta el cuadrante que ocupa el rumbo, puede llegarse al siguiente cuadro: Lado  A B B C C D D A

Longitud(m) 238.14 375.73 401.26 433.42

Rumbo lado S 53º47’30” E N 65º46’39” E N 38º38’25” O S 40º59’49” O

proyecc. X + 192.15 m + 342.65 m - 250.56 m - 284.33 m  __________ Suma - 0.09 m

Proyección en X = Lado x Sen Rumbo Proyección en Y = Lado x Cos Rumbo

Proyecc. Y - 140.67 m + 154.15 m + 313.42 m - 327.12 m __________  - 0.22 m

6º.- Calculo de errores en los ejes, error de cierre y error relativo: Los errores en los ejes se obtienen por suma algebraica de las proyecciones, siendo para el caso, los siguientes : Ex = - 0.09 m Ey = - 0.22 m error de cierre o error absoluto, será

el error relativo, será Er =

0.25 1,448.55

=

1 5,794

, tomándose 1/5,500

7º.- Calculo de las correcciones de las proyecciones: Lado  A B B C C D D A

Corrección en eje X 0.09 x 238.14 = + 0.01m 1,448.55 0.09 x 375.73 = + 0.02 m 1,448.55 0.09 x 401.26 = + 0.03 m 1,448.55 0.09 x 433.42 = + 0.03 m 1,448.55  _______ + 0.09 m

Corrección en eje Y 0.22 x 238.14 = + 0.04 m 1,448.55 0.222x 375.73 = + 0.05 m 1,448.55 0.22 x 401.26 = + 0.06 m 1,448.55 0.22 x 433.42 = + 0.06 m 1,448.55 ________  + 0.22 m

8º.- Calculo de las proyecciones compensadas:

 A B C D

B: C: D: A:

Eje X + 192.15 + 0.01 = + 192.16 + 342.65 + 0.02 = + 342.67 - 250.56 + 0.03 = - 250.53 - 248.33 + 0.03 = - 284.30  _______ 0.00

Eje Y - 140.67 + 0.04 = - 140.63 + 154.15 + 0.06 = + 154.21 + 313.42 + 0.06 = + 313.46 - 327.12 + 0.06 = - 327.06 _______  0.00

9º.- Calculo de las coordenadas de las estaciones:

Estaciones  A B C D  A

x 5,000.00 192.16 5,192.16 342.67 5,534.83 250.83 5,284.30 284.30 5,000.00

+ + -

y 10,000.00 140.63 9,859.37 + 154.21 10,013.58 + 313.48 10,327.06 327.06 10,000.00

EJEMPLO DE CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA (libro: Feliz García)

1º CASO: FALTAN LA LONGITUD Y RUMBO DE UN LADO Ejemplo: Calcular los valores desconocidos para la siguiente poligonal cerrada. Lado

Longitud n Rumbo

A B

195.62

B C

290.15

N 45º 30’ 28” E

C D

252.47

S 32º 17’ 45” E

D A

No medido

N 75º 16’ 30”

Desconocido

O

SOLUCIÓN: Con los datos, puede calcularse: Lado

Proyección X

Proyección Y

 AB

- 189.20 m

+ 49.72 m

BC

+ 206.98 m

+ 203.34 m

CD

+ 134.89 m

- 213.41 m

Suma:

+ 152.67 m

+ 39.65 n

En consecuencia, si la propiedad es cerrada, necesariamente se tendrá que: (D A)x = - 152.67m

Entonces: DA=

(152.67)

y 2

(D A)y = -39.65 m 2

 (39.65)

= 157.73 m

Rumbo D A

= Arc Tg = Arc Tg

(D A)x (D A)y

=

-152.67

= Arc Tg 3.8504413

- 39.65

Rumbo D A = Sur 75º 26’ 29” Costo

Observación: Los signos de las propiedades, son los que dan el cuadrante donde se ubica el rumbo.

2º CASO: FALTA LA LONGITUD DE DOS LADOS (Consecutivos o no) Ejemplo: Calcular los valores de las longitudes de los lados: BC y DE, para la poligonal cerrada de la Fig. Nº 31, siendo los datos:

Lado

Longitud n

Rumbo

 A B

248.16

N 29º 30’ 15” O

BC

No medida

N 76º 54’ 13” O

CD

250.32

S 36º 13’ 24” O

DE

No medida

S 21º 18’ 30” E

EA

389.77

N 70º 04’ 43” E

Lado

Longitud n Rumbo

 A B

248.16

N 29º 30’ 15” O

BC

No medida

N 76º 54’ 13” O

C

B

D

CD

250.32

S 36º 13’ 24” O

DE

No medida

S 21º 18’ 30” E

EA

389.77

N 70º 04’ 43” E

 A

E

Gráfico: Fig. Nº 31

SOLUCIÓN: Con los datos, puede calcularse:

FIG. Nº 31

Lado

Proyección X

Proyección Y

A B

- 122.22 m

+ 215.98 m

C D

- 147.92 m

- 201.94 m

E A

+ 366.45 m

+ 132.81 m

+ 96.31 m

+ 146.85 m

Suma:

En consecuencia, es factible formular las siguientes ecuaciones: - B C Sen 76º 54’ 13” + D E Sen 21º 18’ 30” = - 96.31 m + B C Cos 76º 54’ 13” - D E Cos 21º 18’ 30” = - 146.85 m Tomando los valores de las funciones trigonométricas, se tendrá: - B C (0,9739902) + DE (0.3633867) = - 96.31 m + B C (0,2265899) + DE (0.9316384) = - 146.85 m Sistema de ecuaciones que al ser resuelto, da como valores: BC = 173.43 m

3º CASO: FALTA LA LONGITUD DE UN LADO Y EL RUMBO DEL LADO CONSECUTIVO Este caso es posible resolverlo cuando una línea auxiliar de cálculo tal como se observa en el ejemplo que a continuación se detalla.

Ejemplo: Lado

Longitu d 

Rumbo

A B

91.82

S 34º 30’ 15” E

B C

103.54

S 82º 51’ 18” E

C D

133.68

N 30º 10’ 20” E

D A

No med.

N 62º 43’ 37” O

E A

146.55

Desconocido

E’

E

 A D

Lado auxiliar 

 Ángulo interno en E: mayor que 90º B

C

SOLUCIÓN: Como se observa en la Fig. Nº 32, este caso tiene dos posibilidades de solución, por lo cual debe tomarse una referencia adicional en el campo y que para nuestro caso es que el ángulo interno en el vértice es mayor que 90º, lo cual concretiza el caso. Con los datos, es posible calcular:

Lado

Proyección X

Proyección Y

A B

+ 52.01 m

- 75.67 m

B C

+ 102.74 m

- 12.88 m

C D

+ 67.19 m

Suma:

+ 221.94 m 

+ 115.57 m + 27.02 m 

Entonces: (D A) x n – 221.94 n y (D A) y n – 27.02 m Valores con los cuales puede calcularse: Rumbo  Azimut

DA DA DA

= = =

223.58 Sur 83” 03’ 31” Oeste 263º 03’ 31”

Tomando el triángulo: A D E, puede calcularse:  Ángulo D Son E =

= Z D E  – Z D A = 297º 16’ 23” – 263º 03’ 31” = 34º 12’ 52” 233.58 Sen 34º 12' 52" 146.55

= 0.8578451

 Ángulo E = 120º 55’ 28”  Ángulo A = 180º - (34º 12’ 52” + 120º 55’ 28”) = 24º 51’ 40”

Entonces:  Azimut B A = Z B D + Ángulo D = 117º 16’ 23” + 120º 55’ 28” = 238º 11’ 51” Rumbo E A = Sur 58º 11’ 51” Oeste  Asimismo: DE=

146.55 Sen 24º 51' 40" Sen 34º 12' 52"

= 109.57m

4º CASO: FALTA EL RUMBO DE DOS LADOS CONSECUTIVOS Este caso, con el anterior, se soluciona tomando una línea auxiliar de cálculo.  Asimismo, tiene la posibilidad de encontrarse dos soluciones, por lo cual debe tomarse alguna referencia adicional en el campo para que concretice el caso. Ejemplo: Calcular los valores desconocidos, para la poligonal de la Fig. Nº 33, si:

Lado

Longitud n

Rumbo

A B

89.15

S 49º 35’ 00” E

B C

91.92

N 78º 10’ 30” E

C D

89.98

N 18º 24’ 10” O

D A

75.57

Desconocido

E A

70.32

Desconocido

D B’

 A E

C

El ángulo interno de la poligonal en el vértice E es mayor que 180º B

SOLUCIÓN: Lado

Proyección X

Proyección Y

A B

+ 67.87 m

- 57.80 m

B C

+ 89.97 m

+ 18.84 m

C D

- 28.41 m

+ 85.38 m

Suma:

+ 129.43 m 

+ 46.42 m 

Entonces: (D A)x = – 129.43 (D A)y = – 46.42 Valores con los cuales se puede obtener: DA Rumbo D A

= =

137.50 m Sur 70º 16’ 11” Oeste

Se conocen las longitudes de sus tres (3) lados es posible calcular:

Cos E =

137.50

2



70.32

2



75.57

2

=

-(2 x 75.57 x 70.32)

- 0.7762886

E = 140º 55’ 19” Cos D =

70.32

2

 137.50 2  75.57 2

= + 0.946608

-(2 x 137.50 x 75.67)

D = 18º 48’ 26” Cos A =

75.57

2

-

137.50

2



70.32

-(2 x 137.50 x 70.32)

2

= + 0.9380663  A = 20º 16’ 15”

Con la cual es posible calcular las orientaciones de los lados: D E y E A  Azimut D E Rumbo D E

= Azimut D A – Ángulo D = 250º 16’ 11” – 18º 48’ 26” = 231º 27’ 45” = Sur 51º 27’ 45” Oeste

 Azimut E A

= Azimut E D + Ángulo E (poligonal) = 51º 27’ 45” + 219º 04’ 41” = 270º 32’ 26”

Rumbo E A

= Norte 89º 27’ 34” Oeste