Calculo de Poligonales Cerradas y Abiertas

 

POLIGONACIÓN: POLIGONAL CERRADA Cálculo y ajuste de la poligonal Una vez que se han tomado las medidas de los ángulos y distancias de las líneas de una poligonal cerrada, cerrada, se deben determinar los errores errores que con seguridad seguridad se present presentan an en los datos datos para establece establecerr si son aceptables o no. Si son aceptables se distribuye el error total de cierre entre las observ observac acion iones, es, la distri distribuc bución ión del erro errorr no no debe debe causa causarr gra grande ndes s camb ca mbio ios s en los los dato datos, s, esto estos s debe deben n ser ser míni mínimo mos. s. Si el er errror es inaceptable, se deben volver a tomar los datos de algunas medidas donde se crea que se cometió algún error. Cuando se haya determinado los errores de cierre lineal y angular se realiza el cálculo de las coordenadas.

Correccin de cierre angular a suma de los ángulos de una poligonal debe ser igual a!

  !ngulos e"teriores:   ∑ angulos =( n + 2 )∗180 

!ngulos interiores:   ∑ angulos =( n− 2 )∗180

Don ond de:

ne es se ell n n# #$e $erro d de e% %&r &rttices ices de lla ap po olig igo onal

Error de cierre angular ! "l error de cierre angular es la di#erencia entre la suma de los ángulos medidos y el valor que resulta de aplicar la #órmula. Si el error error de cierre angular angular esta dentro dentro de los límites permisibles permisibles este se repart rep arte e en partes partes iguales iguales entre entre todos todos los ángulos ángulos dividiendo dividiendo el error error para el número número de v$rtices v$rtices,, este valor valor se re resta sta si el error error es por e%ceso o se suma si es por de#ecto. & continuación se calcula el azimut de cada línea partiendo desde des de el azimut azimut conoc conocido ido,, depend dependien iendo do del del se senti ntido do en el que se midieron los ángulos se aplican las siguientes #órmulas! #órmulas!  

o  Azanterior or −180 + el angu angulo loint interno erno 'orario:  Azimut = Azanteri

 

o  Azanterior or + 180 −el angu angulo loint interno erno Anti(orario:   Azimut = Azanteri

 

Cálculo de las proyecciones 'espu$s de haber haber realizado la correcció corrección n de cierre cierre angular angular y calculado los azimut se determinan las proyecciones.

Las proyecciones de una l)nea se e"presan de la siguiente *or$a: 

as proyecciones de una línea se e%presan de la siguiente #orma!



  ProyeccionEW = D∗Senα 



  Proyeccion ProyeccionNS NS = D∗Cosα 

Donde : 

  Proyeccion ProyeccionEW  EW = Proyeccion este− Proyeccion oeste



  ProyeccionNS = Pro  Proyeccion yeccionnorte norte− Proy  Proyeccion eccion sur



  D= Distanci a de cada lado de la poligonal poligona l

Si en lugar de azimut se tuviera el rumbo de la línea este debe ser trans#ormado para poder realizar los cálculos.

as proyecciones pueden tener signo positivo o negativo dependiendo del valor del azimut, siendo positivas las proyecciones proyecciones norte norte y este, y negativas las proyecciones sur y oeste.

 

Se deben siguientes debido a polígono

cumplir las igualdades, que es un cerrado!

 

 Proyeccione oyeccionesN  sN =∑  Pro  Proyec yec cionesS ciones S ∑ Pr

 

 ProyeccionesE yeccionesE =∑ Pr  ProyeccionesW  oyeccionesW  ∑ Pro

&l tomar las medidas de ángulos y distancias siempre se cometen errores, por esta razón las igualdades anteriores no se cumplen e%actamente por lo que es necesario corregir las proyecciones!  

 

 ProyeccionesN  yeccionesN −∑  Pro  Proyecciones yecciones S =δNS ∑ Pro  ProyeccionesE oyeccionesE −∑ Pr  ProyeccionesW  oyeccionesW =δEW  ∑ Pr

Correccin de cierre lineal Error de cierre lineal:

 

&l #ormar la poligonal los errores en las proyecciones provocan que no se llegue al mismo punto desde el que se inicio, sino que lleguen a otro punto que se encuentra a una distancia ( de la estación de partida! ε = ET = √ δ  δ   EW + δ   NS 2

 

2

( es el error total y se e%presa en #orma unitaria, es decir, como el número de metros en los cuales se cometería un error de ) metro. *aciendo una regla de tres se obtiene el número de metros +% en los cuales se cometerá un metro de error!  L  x =  ET 



  L : lon longitu gitud d total total del poligono poligono



  ET   ::  Err  Error or Total

"ste es el error de cierre lineal y se e%presa )! %, de acuerdo al tipo de levantamiento y a su e%actitud se han establecido los siguientes límites má%imos! "rror má%imo

+ : ,--

Clase de levantamiento levantamien to evantamiento de terrenos queb qu ebra rado dos s y de muy muy poco poco valo valor, r, levantam leva ntamient ientos os de reconoc reconocimie imiento, nto, colonizac colo nizaciones iones,, etc., etc., generalm generalmente ente hechos por taquimetría. evantamiento de terrenos de poco

+ : +--- a + : +.--

valor lor, de taqmiras. uimetría lecturas

+ : +.-- a + : /.--

evantamiento de terrenos evantamiento terrenos agrícolas de valor medio. evantamientos con estadia.

+ : /.-- a + : +0-+ : +0-- en adelante

con

evantamientos urbanos y terrenos rurales de cierto valor. eva vant nta amient iento os en ciuda iudade des s terrenos bastante valiosos. evantamientos geod$sicos.

+ : +---- y $ás

dobles les

y

 

Si el error de cierre obtenido esta dentro del error má%imo permisible este se distr distribu ibuye ye para para que que la polig poligon onal al pued pueda a cerr cerrar arse se,, de lo cont contra rari rio o el levantamiento debe repetirse.  "%isten varios v arios m$todos m$todo s para repartir reparti r el error de cierre, a continuación conti nuación se mencionan los más utilizados!

1&todo A: -ara corregir las proyecciones se utilizan las siguientes #órmulas! CNS =

δNS∗larespectia proyeccion

∑ N −∑ S

CEW =

δNS∗la laresp respectia ectia proyeccion proyeccion ∑  E−∑ W 

 Donde :

CNS : Corr Correcci eccion on parala proyec proyeccio cion n norte norte a sur δNS : Error de Proyecciones de norte a sur

CEW : Corr Correcci eccion on para para la proyec proyeccioneste cioneste a oeste oeste δ EW   : Error de proyecciones de este a oeste

1&todo 2: -or este m$todo la corrección es igual a la relación entre el error en la proyección proyecc ión y la longitud total de la poligonal por su respectivo respectivo lado! lado! CNS =

−δNS

CEW =

 L −δNS

 L

 Donde : CNS : Cor Corre recci ccion on pa ra las proye proyecci cciones ones norte norte a sur

δNS : Err  Error or en las proyeccione proyeccioness norte a sur

 

CEW : Corr Correccion ecciones es para las pr proyeccio oyecciones nes este a oeste

δEW   :: Err  Error or enlas proyeccion proyecciones es este a oest e  L : Longitud total del poligona l

-ara obtener las proyecciones corregidas se suma la corrección y la proyecc pro yección ión tomando tomando en cuenta cuenta sus signos, signos, en el m$todo m$todo & para corregir corr egir las proyecciones proyecciones sur y oeste se suman las correcciones correcciones y para las proyecciones norte y este se restan.  

Coordenada! =Coordenada A + Proyeccion A!

Cálculo de las coordenada coordenadas s "l cálculo de las coordenadas es muy importante porque mediante ellas se puede conocer la posición de cualquier punto respecto respecto a un ee de re#erencia, además son muy útiles en una gran variedad de cálculos como! determinación determinación de longitudes l ongitudes y direcciones de líneas, cálculo de áreas de predios, cálculo de curvas. -ara obtener las coordenadas de los puntos de una poligonal, primero se supone las coordenadas del punto de inicio de la poligonal o de cualquier punto pun to desde desde el cual cual se desee desee empez empezar ar el cálcu cálculo, lo, por eemp eemplo lo /0111 /0111,, "01112 a estas coordenadas se suma las proyecciones correspondientes a ese punto, este procedimiento se sigue por toda la poligonal hasta llegar al punto pun to donde donde se inicio inicio,, lo cual cual sirve sirve de veri3c veri3caci ación ón,, si las coor coorden denada adas s calculadas coinciden con las coordenadas supuestas signi3ca que el cálculo está bien realizado o si por el contrario no son las mismas se pudo haber cometido algún error y se debe revisar para corregirlo. Siendo & el punto de inicio de la poligonal y 4 el punto siguiente, la #órmula para calcular las coordenadas de 4 es!

POLIGONAL A2IER3A

-or lo general las poligonales abiertas no son muy utilizadas porque no se pueden corregir, pero en ocasiones es muy conveniente su uso como es el caso de vías.

 

Si se va a utilizar este tipo de poligonal se debe tener mucho cuidado cuida do al re realiza alizarr la medición medición de ángulos ángulos y distancia distancias s ya que no se puede realizar ninguna clase de veri3cación. "n las poligonales los ángulos que se miden en sus v$rtices son los ángulos de de5e%ión de5e%ión,, al igual que en las poligona poligonales les cerrada cerradas s se mide el azimut o rumbo rum bo de de uno uno de sus lados lados par para a conoc conocer er su dir direcc ección ión pero pero no e%ist e%iste e corrección de cierre angular ni lineal, entonces una vez calculados los azimut de todos sus lados se determina sus proyecciones y coordenadas.

Cálculo del a4i$ut: -ara determinar los azimut de cada línea se suman los ángulos de de5e%ión de5e %ión a la derecha derecha y se restan restan los ángulos ángulos de de5e%ió de5e%ión n a la izquierda al azimut conocido si el cálculo se lo realiza hacia adelante, si se lo realiza hacia atrás los ángulos de de5e%ión a la izquierda se suman y los de la derecha se restan. 

Calculo del &zimut !



Si el ángulo de de5e%ión es a la derecha +'!  Az = AzA! + Angulo de de"lexion



Si el ángulo de de5e%ión es a la izquierda +6!  Az = AzA!− Angulo de de"lexion

Cálculo de proyecciones: "l cálculo de las proyecciones es igual que en una poligonal cerrada  

 

 Proyeccion  Pro yeccionEW  EW = D∗Senα 

 Proyeccion NS = D∗Cosα 

Cálculo de coordenadas: coordenadas: "l cálculo de las coordenadas tambi$n es igual que en una poligonal cerrada, a la coordenada conocida se suma la proyección correspondiente a la línea. Como la coordenada conocida no siempre está en el punto de inicio sino que puede estar en cualquier punto y debido a que es una poligonal abierta no se puede volver al punto donde se empezó, el cálculo se debe hace ha cerr hac hacia adela delant nte e y hac hacia atrá rás s par para pode poderr dete deterrmina inar la las s coordenadas de todos los puntos.

 

Siendo & el punto de inicio de la poligonal y 4 el punto siguiente, la #órmula para calcular las coordenadas de 4 es!  

Coordenada! =Coordenada A + proyeccion de A!

Si " es punto anterior a el punto &, la coordenada de " es la siguiente Coordena Coor denada da E=Coor denada denada A − pro  proyeccion yeccion de EA