calculo de losas

1

CÁLCULO DE LOSAS

En este ejemplo se procederá al dimensionado de las losas, en un sector de la planta tipo. A. Análisis de cargas 1.

Adopción de la dirección de armado

2.

Análisis de sustentación

3.

Predimensionado

4.

Análisis de cargas

B. Solicitaciones 1.

Determinación de los momentos flexores

2.

Compatibilización de los momentos de apoyo

C. Dimensionado de armaduras para flexión 1.

Dimensionado de tramos

2.

Dimensionado de apoyos

2

1- Adopción de la dirección de armado.(Ver Planta) 1.

Adopción del sistema de referencia:

2.

Adopción de la dirección de armado:

luz mayor / luz menor < o =1.66 ⇒ losa armada en 2 direcciones luz mayor / luz menor > 1.66 ⇒ losa armada en 2 direcciones

N° de losa

lx (m)

ly (m)

l menor / l mayor

armado

Losa 1

3.50

3.00

1.16

2 direcciones

Losa 2

3.00

6.00

2.00

1 dirección

Losa 3

3.50

4.00

1.14

2 direcciones

Losa 4

3.50

3.00

1.16

2 direcciones

Losa 5

3.50

1.00

voladizo

1 dirección

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3 2- Análisis de sustentación.(Ver Planta) Analizaremos como se hallan estáticamente sustentadas las losas. Definiremos para cada uno de los bordes si corresponde suponer continuidad con la losa adyacente u otro elemento estructural (esquema estático que representamos como empotramiento), articulación o borde libre.

BORDE A BORDE B BORDE C

articulado articulado continuo con losa 2

BORDE D

continuo con losa 4

BORDE A BORDE B BORDE C

continuo con losa 1 y 4 libre articulado

BORDE D

libre

BORDE A BORDE B BORDE C

articulado articulado articulado

BORDE D

articulado

BORDE A BORDE B BORDE C

articulado continuo con losa 1 continuo con losa 2

BORDE D

articulado

4 BORDE A BORDE B BORDE C

libre empotrado en losa 4 libre

BORDE D

libre

5

3 - Predimensionado.(Ver Planta) método CIRSOC 201

h mínimo = l menor * α / 35 d = h adoptado + r

coeficientes α : d = espesor total de losa h = altura útil de cálculo r = recubrimiento (para vivienda 1.5cm) α = coeficiente que depende de la sustentación

d mínimo: por reglamento 7 cm; recomendado 8 cm h mínimo: (d mínimo - r) = 5.5 cm

N° de losa

h mínimo

h adoptado

recubrimiento

d

1

300 cm * 0.8 / 35 = 6.8 cm

7.5 cm

1.5 cm

9 cm

2

300 cm * 0.8 / 35 = 6.8 cm

7.5 cm

1.5 cm

9 cm

3

350 cm * 1 / 35 = 10 cm

10.5 cm

1.5 cm

12 cm

4

300 cm * 0.8 / 35 = 6.8 cm

7.5 cm

1.5 cm

9 cm

5

100 cm * 2.4 / 35 = 6.85 cm

7.5 cm

1.5 cm

9 cm

Simplificaciones recomendadas para la adopción de las condiciones de borde que permiten el predimensionado, en los siguientes casos que no corresponden al ejemplo analizado (dirección x).

l = l1 + l2

Para losa 1

Para losa 2 Para losa 2

Si l1 < ó = 0.8 l ⇒ Si l1 >

0.8 l ⇒

Para losa 3 l = l1 + l2 Para losa 1 Para losa 2 Para losa 2 Volver | Anterior | Siguiente

3 - Predimensionado.(Ver Planta) método PRAHE

Si l2 < ó = 0.8 l ⇒ Si l2 >

0.8 l ⇒

6

d

h mínimo = l menor / m d = h adoptado + r

r (recibrimiento) = 1.5 a 2.0

7

4- Análisis de cargas.(Ver Planta)

De cálculo predimensionado

CIRSOC 101 Losas 1, 2 y 4 Material

γ (kg/m3)

Espesor (m)

losa H°A°

2400

0.09

216.00

contrapiso

1800

0.08

144.00

carpeta

2100

0.02

42.00

solado (viraró)

970

0.012

11.64

Carga (kg/m2)

cielorraso

57.00

De CIRSOC 101 Sobrecargas

g

470.60

p

200.00

q

670.60

Losa 3 Material

γ (kg/m3)

Espesor (m)

Carga (kg/m2)

losa H°A°

2400

0.12

288.00

contrapiso

1800

0.28

504.00

carpeta

2100

0.02

42.00

solado (cerámica)

20.00

cielorraso

57.00 g

911.00

p

200.00

q

1111.00

Losa 5 Material

γ (kg/m3)

Espesor (m)

losa H°A°

2400

0.09

216.00

contrapiso

1800

0.05

90.00

carpeta

2100

0.02

42.00

Carga (kg/m2)

solado (cerámica)

20.00

cielorraso

57.00

Volver | Anterior | Siguiente 1-Determinación de los momentos flexores.(Ver Planta)

g

425.00

p

500.00

q

925.00

8

Para la determinación de los momentos flexores de losas armadas en dos direcciones haremos uso de las tablas del "Manual de cálculo de placas" de Ing. Marcus Loser. De acuerdo a la relación de luces (ε = l menor / l mayor) y la sustentación de cada borde, obtendremos coeficientes que nos permitirán calcular los momentos máximos de tramo y los de apoyo para cada una de las direcciones analizadas. Para el uso de las mencionadas tablas deberemos en primer lugar seleccionar la que corresponda, de acuerdo a la sustentación de cada borde de la losa que analizamos. Si la carga que reciben es uniformemente distribuida, tendremos que seleccionar dentro de los siguientes casos:

Luego, debemos considerar al plantear la relación de luces ε , si estamos evaluando lx / ly, en cuyo caso ingresaremos a la tabla seleccionada desde la zona superior un busca del coeficiente correspondiente, o si estamos en presencia de ly / lx en cuyo caso ingresaremos desde la zona inferior. A modo de ejemplo, ésta es una de las tablas mencionadas:

Los coeficientes permitirán calcular los momentos y reacciones (descargas) de las losas según la siguiente correspondencia: χ ⇒ Mxe = momento de empotramiento según la dirección x

ρ dirección x dirección y

⇒ Mye = momento de empotramiento según la dirección y α

⇒ Mx = momento máximo de tramo según la

β

⇒ My = momento máximo de tramo según la

Aplicando la siguiente expresión: Mx o My [kgm/m] = coeficiente * q losa [kg/m2] * (l menor)2 [m2] Mxe o Mye [kgm/m] = -(1/8 o 1/12)*coeficiente * q losa [kg/m2] * (l menor)2 [m2] Según sea el caso

Obtendremos los momentos máximos de tramo y los de apoyo para cada una de las direcciones analizadas. Las formulas a utilizar se encuentran detalladas en cada tabla según se ingrese por arriba de la misma o por debajo. Se anexan a continuación las mismas:

9

10

11

12

13

14

15

16

LOSA 1

ε

= 0.87 ⇒ ly/ lx (s/tabla)

M = coeficiente * q losa * (lx o ly)2 α = 0.01983 Coeficientes Tabla 92

β = 0.03462

χ = -0.3642 ρ

= -0.6358

Mx = 0.01983 * 671 kg/m2 * (3.5m)2 = 163 kgm/m My = 0.03462 * 671 kg/m2 * (3.0m)2 = 209 kgm/m Mxe = -1/8*0.3642 * 671 kg/m2 * (3.5m)2 = -374 kgm/m Mye = -1/8*0.6358 * 671 kg/m2 * (3m)2 = -479 kgm/m

Las losas unidireccionales transmiten la misma intensidad de carga a lo largo de todo el borde de apoyo (ancho de influencia constante). Por tal motivo, se las puede analizar considerando una faja representativa de 1 metro de ancho.

Para la determinación de los momentos flexores de losas armadas en una dirección haremos uso de los valores correspondientes a momentos máximos de tramo y apoyo de isostáticos o hiperestáticos con empotramiento perfecto para elementos unidireccionales:

LOSA 2

17

Mx = q * l2 / 14.22 = Mx = 671 kg/m2 * (3m)2 / 14.22 = 425 kgm/m

Mxe = -q * l2 / 8 = Mxe = -[671 kg/m2 * (3m)2 / 8] = -755 kgm/m

LOSA 3

ε

= 1.14 ⇒ Ly / lx (s/tabla)

M = coeficiente * q losa * (l x o l y)2 Coeficientes α = 0.04689 Tabla 89

β = 0.02776

Mx = 0.04689 * 1111 kg/m2 * (3.50 m)2 = 638 kgm/m My = 0.02776 * 1111 kg/m2 * (4.00 m)2 = 493 kgm/m

LOSA 4

ε

= 0.87 ⇒ Ly / lx (s/tabla)

M = coeficiente * q losa * (ly o lx)2 α = 0.01983 Coeficientes

β = 0.03462

Tabla 92 χ = -0.3642 ρ

= -0.6358

Mx = 0.01983 * 671 kg/m2 * (3.50m)2 = 163 kgm/m My = 0.03462 * 671 kg/m2 * (3.00m)2 = 209 kgm/m Mxe = -1/8*0.3642 * 671 kg/m2 * (3.50m)2 = -374 kgm/m Mye = -1/8*0.6358 * 671 kg/m2 * (3.00m)2 = -479 kgm/m

LOSA 5

18

Mye = q * l2 / 2 925 kg/m2 * (1m)2 / 2 = -463 kgm/m

ESQUEMA SIMPLIFICADO DE MOMENTOS

2- Compatibilización de los momentos de apoyo.(Ver Planta) Criterio a utilizar para compatibilizar los momentos de apoyo entre las losas L1 y L2 ; L4 y L2

∆ m = diferencia entre los dos momentos de apoyo que actúan sobre un mismo borde de dos losas contiguas p = M promedio = promedio entre los dos momentos de apoyo que actúan sobre un mismo borde de dos losas contiguas M menor = el menor de los dos momentos de apoyo que actúan sobre un mismo borde de dos losas contiguas Apoyo: se dimensiona con M menor ∆ m / p > 0.4 ⇒

∆ m / p < 0.4 ⇒

Tramos: se modifica el momento de tramo de la losa que tiene mayor momento de apoyo, incrementándole ∆ m / 2 Apoyo: se dimensiona con M promedio Tramos: no se modifican

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Para nuestro ejemplo: ∆ m = 755 kgm - 374 kgm = 381 kgm p = (755 kgm + 374 kgm) / 2 = 564 kgm ∆ m / p = 381 kgm / 564 kgm = 0.67 ⇒ ∆ m / p > 0.4

Apoyo: se dimensiona con M menor = 374 kgm Tramo losa 2: se modifica el momento de tramo de la losa 2 que es la que tiene mayor momento de apoyo, incrementándole ∆ m / 2: 425 kgm + (381 kgm / 2) = 615 kgm

Resumiendo:

1- Dimensionado de tramos.(Ver Planta)

Características resistentes de los materiales: β cn = 170 kg/cm2 (Tensión caracteristica del hormigón) β r = 140 kg/cm2 (Tensión de cálculo del hormigón) Tipo 1:3:3 β s = 4200 kg/cm2 (tension caracteristica o de cálculo del acero) tipo III

20

LOSA 1 - dirección y Ms = My / (b * h2 * β r) = 20900 kgcm / [100cm * (7.5 cm)2 * 140 kg/cm2] = 0.0265 0.0265 < Ms* = 0.0972

ω m = 0.0478 ( de tabla pag. 26) As = ω

m

* b * h / ( β s / β r) = 0.0478 * 100 cm * 7.5 cm / (4200 kg/cm2 / 140 kg/cm2) As = 1.20 cm2 / m Separación máxima = 2 * h = 2 * 7.5 cm = 15 cm

As adoptado = φ 6 c/ 15 cm ⇒ 1.86 cm2 / m (tabla pag. 23)

LOSA 1 - dirección x Ms = Mx / (b * h2 * β r) = 16300 kgcm / [100cm * (7.5 cm)2 * 140 kg/cm2] = 0.0206 0.0206 < Ms* = 0.0972

ω m = 0.0380 ( de tabla pag. 26) As = ω

m

* b * h / ( β s / β r) = 0.038 * 100 cm * 7.5 cm / (4200 kg/cm2 / 140 kg/cm2) = As = 0.95 cm2 / m Separación máxima = 2 * h = 2 * 7.5 cm = 1 5 cm As adoptado = φ

6 c/ 15 cm ⇒ 1.86 cm2 / m (tabla pag. 23)

LOSA 2 - dirección x Ms = M / (b * h2 * β r) = 61500 kgcm / [100cm * (7.5 cm)2 * 140 kg/cm2] = 0.078 0.078 < Ms*

ω m = 0.1515 ( de tabla pag. 26) As = ω

m

* b * h / ( β s / β r) = 0.1515 * 100 cm * 7.5 cm / (4200 kg/cm2 / 140 kg/cm2) As = 3.78 cm2 / m Separación máxima = 2 * h = 2 * 7.5 = 15 cm

As adoptado = φ

8 c/ 13 cm ⇒ 3.84 cm2 / m (tabla pag. 23)

LOSA 2 - dirección y As repartición mínimo = 1/5 As principal o 3 φ 6 /m 1/5 * 3.78 cm2 / m = 0.756 cm2 / m As repartición adoptado = φ 6 c/ 25 cm ⇒ 1.12 cm2 / m (tabla pag. 23)

LOSA 3 - dirección x Ms = Mx / (b * h2 * β r) = 63800 kgcm / [100cm * (10.5 cm)2 * 140 kg/cm2] = 0.0413

21

0.0413< Ms*

ω m = 0.0781 ( de tabla pag. 26) As = ω

m

* b * h / ( β s / β r) = 0.0 781 * 100 cm * 10.5 cm / (4200 kg/cm2 / 140 kg/cm2) As = 2.73 cm2 / m Separación máxima = 2 * h = 2 * 10.5 =

As adoptado = φ

21 cm

8 c/ 18 cm ⇒ 2.77 cm2 / m (tabla pag. 23)

LOSA 3 - dirección y Ms = My / (b * h2 * β r) = 49300 kgcm / [100cm * (10.5 cm)2 * 140 kg/cm2] = 0.0319 0.0319 < Ms*

ω m = 0.0583 ( de tabla pag. 26) As = ω

m

* b * h / ( β s / β r) = 0.0583 * 100 cm * 10.5 cm / (4200 kg/cm2 / 140 kg/cm2) As = 2.04 cm2 / m Separación máxima = 2 * h = 2 * 10.5 cm = 21 cm

As adoptado = φ

8 c/ 20 cm ⇒ 2.50 cm2 / m (tabla pag. 23)

Otra variante sería combinar barras (φ 6

y 8 c/ 19 cm ⇒ 2.05 cm2 / m)

LOSA 4 - dirección y Ms = My / (b * h2 * β r) = 20900 kgcm / [100cm * (7.5 cm)2 * 140 kg/cm2] = 0.0265 0.0265 < Ms*

ω m = 0.0478 ( de tabla pag. 26) As = ω

m

* b * h / ( β s / β r) = 0.0478 * 100 cm * 7.5 cm / (4200 kg/cm2 / 140 kg/cm2) As = 1.20 cm2 / m Separación máxima = 2 * h = 2 * 7.5 cm = 15 cm

As adoptado = φ 6 c/ 15 cm ⇒ 1.86 cm2 / m (tabla pag. 23)

LOSA 4 - dirección x Ms = Mx / (b * h2 * β r) = 16300 kgcm / [100cm * (7.5 cm)2 * 140 kg/cm2] = 0.0206 0.0206 < Ms*

ω m = 0.0380 ( de tabla pag. 26) As = ω

m

* b * h / ( β s / β r) = 0.038 * 100 cm * 7.5 cm / (4200 kg/cm2 / 140 kg/cm2) = As = 0.95 cm2 / m

22

Separación máxima = 2 * h = 2 * 7.5 cm = 1 5 cm As adoptado = φ

6 c/ 15 cm ⇒ 1.86 cm2 / m (tabla pag. 23)

LOSA 5 Ms = M / (b * h2 * β r) = 46300 kgcm / [100cm * (7.5 cm)2 * 140 kg/cm2] = 0.059 0.059 < Ms*

ω m = 0.109 ( de tabla pag. 26) As = ω

m

* b * h / ( β s / β r) = 0.109 * 100 cm * 7.5 cm / (4200 kg/cm2 / 140 kg/cm2) = As = 2.72 cm2 / m Separación máxima = 2 * h = 2 * 7.5 cm = 1 5 cm

As adoptado = φ 8

c

/ 18 cm ⇒ 2.77 cm2 / m (tabla pag. 23)

Si bien esta armadura cumple con la sección combiene adoptar la separación vertical de la losa 4 para poder atar mejor las barras ⇒ As adoptado = φ 8

/ 15 cm ⇒ 3.33 cm2 / m (tabla pag. 23)

c

As repartición mínimo = 1/5 As principal o 3 φ 6 / m 1/5 * 3.33 cm2 / m = 0.666 cm2 / m As repartición adoptado = φ 6 c/ 25 cm ⇒ 1.12 cm2 / m

23

2- Dimensionado de apoyos.(Ver Planta) Apoyo entre losa 1 y losa 2, idem entre losa 4 y losa 2:

Ms = M / (b * h2 * β r) = 37400 kgcm / [100cm * (7.5 cm)2 * 140 kg/cm2] = 0.0475 0.0475 < Ms*

ω m = 0.089 ( de tabla pag. 26) As = ω

m

* b * h / ( β s / β r) = 0.089 * 100 cm * 7.5 cm / (4200 kg/cm2 / 140 kg/cm2) = As = 2.22 cm2 / m (tabla pag. 23) Se levanta 1/2 de la armadura de las losas en los apoyos:

disponible Losa 1 disponible Losa 2

φ 6 /30 φ 8 c/26 c

As nec.

2.22 cm2

0.93 + 1.92 As disp.

2.85 cm2

2

(1.86/2) = 0.93 cm (3.84/2) = 1.92 cm2

No necesita armadura adicional

6

6

A continuación se anexan las siguientes tablas:

1) Secciones de aceros por unidad y hasta 10 barras.2) Secciones de acero por metro lineal.3) Método de coeficiente adimensional ms y wm, con sus respectivas formulas.-

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25

METODO DE COEFICIENTES ADIMENSIONALES Ms,

Wm

26

TABLAS 1

VALORES

Ms < Ms*

TABLA 2

VALORES

Ms > Ms*

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29

30