Calculo de Losas Macizas

2.4 Ejemplo Resuelto Losa Maciza. 1. Diseñe la losa maciza mostrada, realizando todos los chequeos necesarios. Dimensione la altura de la losa utilizando los criterios de resistencia y de rigidez. El acabado de piso es de granito y la losa llevará friso liso en su cara inferior. Datos: 1.)Carga Viva: Qcv = 300 Kg/m2. 2.)Carga Muerta: Qtab=160Kg/m2., γconcreto=2.500 Kg/m3.,

γgranito=2.200 Kg/m3., γfriso=1.700 Kg/m3., γsobrepiso=2.150,00Kg/m3., Materiales: Concreto, f’c =250 kg/cm2., Acero, fy = 4.200 kg/cm2.

1

2

4,50

4,50

3 h

0,30 Tip. q (kg/ml)

Resolución: 1. Estimación de carga de servicio. Utilizando el criterio de rigidez, se obtiene un valor del espesor de la losa (altura h de la sección) de la tabla 9.5.1: Para un extremo continuo:

h min =

450 l = 18,75 cm. ≈19 cm . = 24 24

Con h = 19 cm, se calcula el peso propio de la sección de la losa: qpp = 2.500,00 x 0,19 x 1,00 = 475 kg/ml. Las demás cargas muertas son:

qsobrepiso = 2.150,00 x 0,05 x 1,00 = 107,50 kg/ml. qgranito = 2.200,00 x 0,02 x 1,00 = 44,00 kg/ml. qfriso = 1.700,00 x 0,02 x 1,00 = 34,00 kg/ml. qtabiquería = 160 x 1,00 = 160,00 kg/ml. Total: qCM = 820,50 kg/ml. Para la carga viva se calcula:

qCV = 300,00 x 1,00 = 300,00 kg/ml.

La carga total de servicio es: qserv. = 820,50 + 300,00 = 1.120,50 kg/ml. El Factor de Mayoración FM se calcula entonces: FM =

1,4 x820,50 + 1,7 x300 = 1,48 1.120,50

Como qCV < qCM , no se requiere hacer el movimiento de carga

viva. Se procede al cálculo de la losa: 1

2

4,50

3

4,50

h 0,30 Tip. q serv = 1.125,00 kg/ml

M-

0

2.848

0

(se obtiene por 3

Momentos)

Visos 2.531

2.531 2.531

Vhip

-633

+633 +633

Vtot

1.898

X

2.531 -633

3.164 3.164 1,69

M+ 1.602 R 1.898

1.898 2,81

6.328

1.602 1.898

Visos = (q x l)/2 Vhip = ΔM/l Vtot = Visos + Vhip x = Vizq / qserv. M+ = (Vizq x X)/2 - Mizq R = ∑V

Con el momento más desfavorable (en el apoyo 2, en este caso), se calcula la altura de la sección por el criterio de resistencia:

1,48 x 2.848,00 = 10,79cm. ≈ 11cm. , 250 x1,00 x0,1448

d=

y la altura h de la sección es: h = 11+3 = 14 cm.< 19 cm. Se puede tomar un valor intermedio, menor que 19 cm., con la única condición de que debe hacerse luego el chequeo de la deflexión máxima de la losa. Con esto se logra una mejor racionalización en el uso de los materiales y cierta economía en la sección. Adoptando el valor h = 17 cm., se recalcula el peso propio de la sección, obteniendo el nuevo valor de qpp = 425 kg/ml. (50 kg/ml. menos). Se obtienen los valores nuevos de:

qCM = 770,50 kg/ml.

qserv. = 1.070,50 kg/ml. ≈ 1.075 kg/ml. FM = 1,484 ≈ 1,49 Se procede al re-cálculo de la losa: 1

2

4,50

3

4,50

h 0,30 Tip. q serv = 1.075,00 kg/ml

M- 0

2.721

0

(se obtiene por 3

Momentos)

Visos 2.419

2.419 2.419

Vhip

-605

+605 +605

Vtot

1.814

X

2.419 -605

3.024 3.024 1,69

M+ 1.532 R 1.814 As - 3,06* As+ 4,45

1.814 1.532 1.814

8,13

Vhip = ΔM/l Vtot = Visos + Vhip x = Vizq / qserv.

2,81 6.048

Visos = (q x l)/2

M+ = (Vizq x X)/2 - Mizq R = ∑V

3,06* 4,45

Se procede al cálculo de los aceros de refuerzo en las secciones críticas: En las secciones de los apoyos extremos se utiliza el momento por norma:

M- = (q x ln 2)/24 ; ln = 4,50 – (2 x 0,15) = 4,20 m. M- = 790 kg.m., valor que se utiliza en los dos apoyos extremos, por simetría. Mu = 1.177 kg.m. Con este valor se procede al cálculo del refuerzo en 1 y 3: 1.177 2 = 0,024 , para el cual se obtienen los valores 250 x1,00 x14 correspondientes de ω = 0,0271 y ju = 0,9840. Con ju se calcula el área de acero As: k=

As =

1.177 = 2,26 cm2. 0,9 x 4.200 x0,9840 x0,14

As min = 0,0018 x100 x17 = 3,06cm2. por lo tanto se coloca el refuerzo para cumplir con el acero mínimo. Este se calcula tal como se explicó, de la siguiente forma: 3,06 100 = 4,31 barras por metro, s = = 23,20cm. ≈ 20 cm. (sep. entre 0,71 4,31 barras), por lo que se obtiene como refuerzo: 1Ø3/8”@ 20 cm. (As prop. = 3,55 cm2.). n=

Por ser M- el refuerzo debe colocarse en la parte superior de la sección, en la zona a tracción. tracción r d

EN compresión M-

M-

En el Apoyo 2: M-u = 4054 kg.m, para el cual se calcula As = 8,13 cm2. Para esta cantidad de refuerzo puede utilizarse 1Ø5/8”@ 20 cm. (9,90 cm2.) ó como alternativa se puede utilizar 1Ø1/2”@ 15 cm. (8,47 cm2.). La segunda alternativa es más económica en cuanto a la cantidad de refuerzo proporcionado y el diámetro mas cómodo para trabajar, mientras que la primera alternativa ofrece la única ventaja de que su separación es igual a la utilizada en los otros apoyos.

Para el momento en el tramo M+u = 1,49 x 1.532 = 2.283 kg.m. Se calcula el área de acero As+ = 4,45 cm2. Por ser M+ el refuerzo debe colocarse en la parte inferior de la sección que es la zona a tracción. M+

M+ compresión

EN

d r tracción

Puede utilizarse 1Ø1/2”@ 25 cm. (5,08 cm2.). Como alternativa para lograr la misma separación de barras que en el refuerzo en los apoyos, puede utilizarse 1Ø3/8”+ 1Ø1/2 @ 40 cm., alternados @ 20 cm., esto proporciona 4,95 cm2. de refuerzo por metro de ancho de losa. La colocación del refuerzo según la segunda alternativa se muestra en la Figura 2.5. Debe tenerse mucho cuidado en obra con este tipo de combinaciones de cabillas de diferentes diámetros, para asegurar que no se cometan errores que puedan comprometer la resistencia de la sección. En este caso, la responsabilidad recae sobre el Ingeniero Responsable de la Obra, y en el Ingeniero Inspector. (franja unitaria típica)

1,00 m.

s

3/8" @ 40 cm. 1/2" @ 40 cm.

s s = 20 cm.

3/8"+1/2" @ 40 cm.

(separación entre cabillas)

(alternar @ 20 cm.)

Fig. 2.5 Colocación de refuerzo utilizando combinación de diámetros.

Es importante destacar que en cada caso, la separación cumple con los valores máximos exigidos por la Norma: Smax. ≤ { 3h ó 35cm. Para el chequeo por corte se toma el valor máximo de corte: V = 3.024 kg. Se obtiene el valor de corte mayorado Vu = 1,49 x 3.024 = 4.506 kg. Luego se calcula el Corte Resistente de la Sección: Vc = 0,85 x 0,53 x √250 x 100 x 14 = 9.972 kg. 4.506 kg.< 9.972 kg. OK.

El refuerzo por retracción y ΔT es igual al acero mínimo: 3,06 cm2, por lo tanto se coloca el mismo refuerzo: 1Ø3/8”@ 20 cm. La separación cumple con la máxima permitida, Smax. ≤ { 5h ó 45cm. Esquemáticamente se muestra la colocación del refuerzo principal en la losa: 1

2

4,50

3/8" @ 20 cm.

3

4,50

5/8" @ 20 cm.

3/8" @ 20 cm.

3/8" + 1/2" @ 40 cm. (alternar @ 20 cm.)

Distribución del Refuerzo:

1

2

4,50

3

4,50

h 0,30 Tip. q serv = 1.075,00 kg/ml

M- 0

2.721

0

(se obtiene por 3

Momentos)

Visos 2.419

2.419 2.419

Vhip

-605

+605 +605

Vtot

1.814

X

-605

3.024 3.024 1,69

M+ 1.532 R 1.814 As - 3,06*

2.419 1.814

Visos = (q x l)/2 Vhip = ΔM/l Vtot = Visos + Vhip x = Vizq / qserv.

2,81 6.048

1.532 1.814

8,13

3,06*

M+ = (Vizq x X)/2 - Mizq R = ∑V

As+ 4,45 4,45 Con los valores calculados, se construyen los diagramas correspondientes de corte y de momento flector, para visualizar más fácilmente la solución.

Comenzando por el diseño del refuerzo por M- en los apoyos extremos, iguales entre sí por simetría, se tiene (se utiliza el apoyo 1): Debido a que se utilizó un valor de momento normativo para el diseño del refuerzo del apoyo extremo, se desconoce el diagrama real de momento en la zona del mismo, por lo cual se utiliza el valor empírico L/4 para dimensionar la cabilla en ese apoyo. lhor = 450/4 = 112,50 ≈ 115 cm. Se dimensiona el segmento vertical del gancho estándar de 900 utilizando el valor 16Ø. Lvert = 16 x1,27 = 20,32 ≈ 25 cm.

La longitud de desarrollo horizontal, ldh, se calcula a partir de la expresión: 4200 x1,00 x1,00 x1,00 x1,27 = 25,30cm. ldh = 0,075 (Fyαβλ/√Fc)db = 0,075 x 250 Comparando el valor calculado (requerido) con la longitud de anclaje proporcionada: ldh proporcionada ≥ ldh calculada OK En el apoyo 2: Alternativa A: Se coloca todo el refuerzo igual, prolongándose más allá del Punto de Inflexión. La distancia de terminación de las barras será la mayor de d, 12Ø ó ln/16 más allá del PI, para garantizar su correcto anclaje:

d, 12D ó ln/16

PI

2 1,12

1,12

0,26

PI

d = 14 cm. 12Ø = 12 x 1,27 = 15,24 cm. ln/16 = 420/16 = 26,25 cm.

d, 12D ó ln/16 0,26

h = 17 cm.

2,80

Se toma el mayor de los 3 valores obtenidos. l anclaje = 0,26 m. longitud total de las barras: l = 2,76 m. ≈ 2,80 m.

1Ø1/2"@ 15 cm. x 2,80 m.

Alternativa B: Para racionalizar el uso del refuerzo con el objeto de producir alguna economía en el uso de los materiales, se corta parte del refuerzo donde no se requiera para resistir flexión, según el diagrama de momento flector. El resto del refuerzo se prolonga igual que en la alternativa anterior. Se decide cortar la mitad del refuerzo (50%) y prolongar el otro 50%. El refuerzo que se corta (compuesto por las llamadas barras A, para simplificar) se especifica como 1Ø1/2” @ 30 cm. y proporciona un área de 4,23 cm2. El refuerzo que se prolonga (barras B) es exactamente igual. Se calcula el Mu de la sección como queda solo con las barras B, una vez cortado el refuerzo compuesto por las barras A. Con Asbarras B = 4,23 cm2:

a=

AsxFy 4,23x 4.200 = = 0,836cm. 0,85 xf ' cxb 0,85 x 250 x100

0,836 1 )x = 2.171,68 kgm. 2 100 1.075( x 2 ) Con la ecuación de Momento para el tramo 1-2: M ( x) = 1.814( x ) − , 2 igualando la ecuación al valor de momento calculado, sin mayorar, con 2172 = − 1.458 kg.m , se despeja el valor de x, que nos su signo: M ( x) = 1,49 indica la ubicación del momento, medido desde el apoyo 1: 1.075( x 2 ) M ( x) = 1.814( x) − = − 1.458 kg.m ⇒ x = 4,04 m. 2 Mu = 0,9 x As x Fy x (d − a ) = 0,9 x 4,23 x 4.200 x(14 − 2

La distancia desde el eje 2 hasta el punto teórico de corte de las barras, hacia cada lado es: 4,50 – 4,04 = 0,46 m. A partir de este punto, por Norma se extiende la barra una distancia adicional d ó 12Ø, la que sea mayor, como longitud de anclaje.

d, 12D ó ln/16 barras A

PI

2 1,12

1,12

PI

0,26

d, 12D ó ln/16 0,26

h = 17 cm. barras B

0,16

0,46

0,46

0,16

d = 14 cm. 2Ø = 15,24 cm. ≈16 cm. 2,80 1Ø1/2"@ 30 cm. x 2,80 m. 1,30 1Ø1/2"@ 30 cm. x 1,30 m.

La longitud de las barras B queda entonces: 2x(0,46+0,16)=1,24 m. y se redondea a 1,30m.

El conjunto de las barras A y B conforman el refuerzo total, 1Ø1/2”@ 15 cm. sobre el apoyo, que es donde se requiere, y se colocan de forma alternada. Las barras se colocan en una sola capa en la losa, pero se representan por separado en el despiece para efectos de su correcta especificación. El refuerzo por momento positivo en los tramos se coloca corrido sobre los dos tramos, por simetría. En los puntos de inflexión, así como en los apoyos extremos, si el refuerzo se termina recto en los extremos (sin ganchos), debe verificarse la expresión 12.2 de la Norma:

Mn + la (12.2) Vu Mn es el Momento Nominal o Momento Resistente Mu’. Se calcula a partir de la sección utilizando la expresión de Mu, sin el factor de minoración Ø = 0,90: d ≤

4,95 x 4.200 0,98 1 = 0,98 cm. ; Mn = 4,95 x 4.200 x (14 − )x ≈ 2.809 kg.m 0,85 x 250 x100 2 100 Vu es el corte último en la sección: Vu = 1,49 x 1.814 = 2.703 Kg. En este caso coincide el mismo valor en el apoyo y en el punto de inflexión PI. a=

la es de uso opcional en la expresión. Se utiliza si se requiere para hacer cumplir la condición. El valor de la depende del sitio del chequeo: la en el apoyo es la distancia recta horizontal más allá del eje, en este caso se prolonga la cabilla 10 cm. la en el PI es el mayor de d ó 12Ø. En este caso se toma 15,25 cm. ld es la longitud de desarrollo según el artículo 12.2 de la Norma. Se calcula para la barra de mayor diámetro en el refuerzo. ld = (0.165Fyαβλ/√Fc)db ld =

0,165 x 4.200 x 1,0 x 1,0 x 1,0 x 1,27 = 43,83 cm. 250

Se verifica el expresión 12.2:

43,83 ≤

2.809 x 100 = 103,92 OK. 2.703

La expresión 12.2 se cumple sin necesidad de agregar la. El chequeo es el mismo para el PI. Queda el diseño como se muestra en la figura. 1

2

3 Detalle

la = 10 cm.

9,20 m.

1Ø1/2"+1Ø3/8" @ 40 cm. x 9,20 m (alternar @ 20 cm.)

Detalle en el Apoyo

La verificación de la expresión 12.2 es un chequeo del diámetro de la cabilla. Se pretende asegurar que el diámetro de la barra utilizada como refuerzo sea limitado a un valor tal de que su longitud de desarrollo, calculada según el artículo 12.2 de la Norma, sea menor que la longitud disponible que tiene la barra para desarrollar sus esfuerzos, dada por la expresión Mn/Vu. Esta distancia teórica se mide, dependiendo de la sección a chequear, desde el eje del apoyo simple o desde la sección en el PI hacia el centro del tramo. Sin embargo, la verificación de la expresión 12.2 debe entenderse mas como un chequeo numérico de los valores. En la figura siguiente se ilustra el significado de los términos de la expresión. Es importante resaltar que cuando los extremos del refuerzo se terminan en ganchos estándar (según lo establecido en el Artículo 7.1), no se requiere verificar la expresión 12.2. El valor de “anclaje total” mostrado en la figura debe cumplir con la longitud de desarrollo calculado según el Artículo 12.2 de la Norma.

Fig. 4.13. Ilustración del significado de los términos de la expresión 12.2.