Calculo de Integrales de Funciones Expresadas Como Serie de Taylor

31/Mayo/2011 - 06:24

calculo de integrales de funciones expresadas como serie de taylor 

En cálculo cálculo,, el teorema de Taylor , recibe su nombre del del matemático británico Brook Taylor , quien lo enunció con mayor generalidad en e n1712 1712,, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671 1671.. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una f unción en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido error obtenido mediante dicha estimación Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio polinomioc cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si

≥ 0 es un entero y

derivable

,

veces en el intervalo cerrado [

,

]y

+ 1 v ec ec es es e n el intervalo abierto (

una función que es

), entonces se cumple que: que:

[1]

(1a 1a))

O en forma compacta

(1b 1b))

Donde

denota el factorial de

Existen dos expresiones para

,y

es el resto, término que depende de

y es pequeño si

está próximo al punto

.

que se mencionan a continuación:

(2a 2a))

donde

y

, pertenecen a los números reales,

a los enteros y

es un número real entre

y

[2]

:

(2b 2b))

Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral. integral.

Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto y son denominadas denominadasfunciones analíticas.. analíticas

El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función vectoriales.. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables. vectoriales

tienenúmeros tiene números complejos ovalores