Calculo de Elementos Finitos Estructura 3D

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CUARTO LABORATORIO ARMADURAS EN EL ESPACIO Semestre Académico: 2012 – I Profesor: Ing. Cueva Pacheco, Ronald Alumno: Ramírez Neyra David Código: 20081039d Sección: F Fecha de Presentación: 13/06/2012 1

INDICE

Enunciado del Problema...............................................................................2

Solución...................................................................................................... ……..4

Cuadro de Conectividad................................................................................6

Grados de Libertad Nodales……………………………………………………………………………..7

Vector Carga.................................................................................................7

Matriz de Rigidez........................................................................................ ……..8

Ecuación de Rigidez y Esfuerzos.....................................................................9

Resultados....................................................................................................9

Código en Matlab....................................................................................... ………10

Diagrama de Flujo....................................................................................…..13

Conclusiones................................................................................................14

2

CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA (ARMADURAS EN EL ESPACIO)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA Una armadura tridimensional, compuesta por barras tubulares de sección circular, se encuentra sometida a cargas concentradas tal como lo muestra la figura. Determinar: o El esfuerzo en cada barra de la armadura. o El desplazamiento de los nodos de la armadura.

Datos: E P

= 3.1x105 N/mm2 =40000 N

El diámetro y el espesor de todas las barras tubulares de la armadura son: D = 100 mm t =10 mm

3

Además,

4

SOLUCION: 1. MODELADO DEL CUERPO REAL Para este problema modelaremos a cada barra que compone la armadura como un elemento finito, puesto que estas son de sección uniforme a lo largo de su longitud y a que permiten cuantificar en forma directa el desplazamiento de cada nodo, el esfuerzo en cada barra y la deformación de estas. Entonces:

5



nodos 1

GDL 123

nodos 7

GDL 19 20 21

2 3 4

456 789 10 11 12

8 9 10

22 23 24 25 26 27 28 29 30

5 6

13 14 15 16 17 18

11

31 32 33

Calculo del Área de los elementos finitos:

Dado que todas las barras son de sección circular y poseen el mismo diámetro, entonces el área de cada elemento finito será:



Orientación de los elementos finitos en el plano x-y-z:

Para este propósito definimos 3 ángulos directores

:

6

2. CUADRO DE CONECTIVIDAD(x-y-z)

NODOS

le

GDL

β

Ө

ф

e

(1)

(2)

123

456

(m)

1

1

2

123

456

0.6

90

0

90

2

1

3

123

789

1.030776406

75.93756

90

14.036243

3

1

6

123

16 17 18 1.030776406 104.036243

90

14.036243

4

2

4

456

10 11 12 1.030776406

90

14.036243

5

2

5

456

13 14 15 1.030776406 104.036243

90

14.036243

6

3

4

789

10 11 12

0.6

90

0

90

7

4

5

10 11 12

13 14 15

0.5

0

90

90

8

5

6

13 14 15

16 17 18

0.6

90

0

90

9

6

3

16 17 18

789

0.5

0

90

90

10

3

7

789

19 20 21

4

90

90

0

11

4

8

10 11 12

22 23 24

4

90

90

0

12

5

9

13 14 15

25 26 27

4

90

90

0

13

6

10

16 17 18

28 29 30

4

90

90

0

14

7

8

19 20 21

22 23 24

0.6

90

0

90

15

8

9

22 23 24

25 26 27

0.5

0

90

90

16

9

10

25 26 27

28 29 30

0.6

90

0

90

17

10

7

28 29 30

19 20 21

0.5

0

90

90

18

7

11

19 20 21

31 32 33 1.073545528

103.46629

106.227254

21.33266

19

8

11

22 23 24

31 32 33 1.073545528

103.46629

73.772746

21.33266

20

9

11

25 26 27

31 32 33 1.073545528

76.53371

73.772746

21.33266

21

10

11

28 29 30

31 32 33 1.073545528

76.53371

106.227254

21.33266

22

8

10

22 23 24

28 29 30 0.781024968

129.80557

39.805571

90

23

3

8

789

22 23 24 4.044749683

90

97.12501

7.12501

24

5

8

13 14 15

22 23 24 4.031128874

82.875

90

7.12501

25

5

10

13 14 15

28 29 30 4.044749683

90

82.875

7.12501

26

3

10

789

28 29 30 4.031128874

97.12501

90

7.12501

75.93756

7

27

3

5

789

28

5

1

13 14 15

29

1

4

123

129.80557

140.19443

90

1.192686044

102.995

120.20306

33.02387

10 11 12 1.192686044

77.9004

120.20306

33.02387

13 14 15 0.781024968 123

3. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento) El empotramiento de la armadura en los nodos (1) y (2) imposibilita el movimiento de esta, por lo que nuestro vector de desplazamiento global seria el siguiente: [

]

La siguiente tabla resume los GDL de cada elemento finito y su orientación: nodos

GDL

x

y

z

1

123

Q1

Q2

Q3

2 3

456 789

Q4 Q7

Q5 Q8

Q6 Q9

4 5 6

10 11 12 13 14 15 16 17 18

Q10 Q13 Q16

Q11 Q14 Q17

Q12 Q15 Q18

7

19 20 21

Q19

Q20

Q21

8 9 10

22 23 24 25 26 27 28 29 30

Q22 Q25 Q28

Q23 Q26 Q29

Q24 Q27 Q30

11

31 32 33

Q31

Q32

Q33

4. CARGAS NODALES (Vector Carga) Partiendo de la premisa de que es posible reemplazar el peso de cada barra, que actúa en el centro de gravedad del cuerpo al que pertenece, por dos fuerzas de igual magnitud, que actúan en los extremos de dicha barra, sin que esta sustitución afecte el equilibrio del cuerpo, o sea, que la suma de fuerzas sea igual a cero, y además, que la suma de momentos tomados desde cualquier punto de referencia inercial de movimiento, también sea cero.

8

Reacciones y tensiones: nodos

GDL

x

y

z

1 2 9

123 456 25 26 27

F1 F4 F25

F2=0 F5=0 F26=0

F3 F6 F27

10

28 29 30

F28

F29=0

F30

Diagrama de cuerpo libre:

 Calculo de la tensión: Sumamos momentos respecto al origen de las 2 tensiones de los pesos de las barras y obtenemos: Entonces: ⁄[

]

5. MATRIZ DE RIGIDEZ (K) Con ayuda del cuadro de conectividad podemos sumar los términos que interactúan entre sí, en la armadura. Utilizando el Matlab se puede obtener en forma directa la siguiente matriz de rigidez. No mostramos la matriz de rigidez por ser demasiado grande para este formato.

9

6. ECUACION DE RIGIDEZ De la matriz de rigidez sacamos una matriz reducida (M): Entonces:

[

]

7. ESFUERZOS En cada elemento los esfuerzos se obtienen por medio de la siguiente relación:

( ) [

] [

]

8. RESULTADOS En la presente sección se resumen todos los resultados obtenidos en el informe. nodos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

GDL 123 456 789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

Qx(m) 0 0 0.0157 0.0272 -0.0084 -0.0038 -0.0103 -0.0004 0.0062 0.022 -0.0028

Qy(m) 0 0 -0.0131 0.0237 -0.0198 -0.0403 -0.0039 0.0302 0.0376 0.0292 0.0681

Qz(m) 0 0 -0.2017 -0.1318 -0.1675 -0.2168 -0.2095 -0.1433 -0.1359 -0.1707 -0.1429

Fx(kN) Fy(kN) -290.8248 262.3798 309.395 -262.3798 -4.2677 0 -4.3189 0 -3.786 0 -4.2024 0 -1.7298 0 -2.598 0 -0.0332 0 -0.7294 0 3.0953 0

Fz(kN) 64.5997 58.9981 -7.3919 -7.4806 -6.5576 -7.2788 -2.9962 -4.4999 -7.6468 -8.8527 -70.8933

Los esfuerzos en cada barra son:

10

e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

S(MPa) 0 -300.0576 -65.8033 -169.0153 -38.0887 191.5168 -130.8755 -283.7915 306.9262 -23.4523

e 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

S(MPa) -151.1484 -57.5402 260.6295 16.7619 -33.6574 42.3006 -23.8325 5.3145 3.4493 26.2997

e 21 22 23 24 25 26 27 28 29

S(MPa) -3.3618 264.7541 329.7895 -253.5386 173.431 -342.8337 105.3133 170.2767 -207.067

9. CODIGO EN MATLAB %modulo de young: E=3.1*100000 ;%MPa %peso especifico: w=8000; w=w*9.81; %area: A=pi*(100^2-80^2)/4 ;A=A*10^-6 %m2 %vector longitud L en m L=[0.6 1.030776406 1.030776406 1.030776406 1.030776406 0.6 0.5 0.6 0.5 4 4 4 4 0.6 0.5 0.6 0.5 1.073545528 1.073545528 1.073545528 1.073545528 0.781024968 4.044749683 4.031128874 4.044749683 4.031128874 0.781024968 1.192686044 1.192686044];

11

%matriz angulos directores: ang=[90 0 90 75.93756 90 14.036243 104.036243 90 14.036243 75.93756 90 14.036243 104.036243 90 14.036243 90 0 90 0 90 90 90 0 90 0 90 90 90 90 0 90 90 0 90 90 0 90 90 0 90 0 90 0 90 90 90 0 90 0 90 90 103.46629 106.227254 21.33266 103.46629 73.772746 21.33266 76.53371 73.772746 21.33266 76.53371 106.227254 21.33266 129.80557 39.805571 90 90 97.12501 7.12501 82.875 90 7.12501 90 82.875 7.12501 97.12501 90 7.12501 129.80557 140.19443 90 102.995 120.20306 33.02387 77.9004 120.20306 33.02387]; n=29; a=[1 2 4 5 6 16 17 16 17 28 29 28 29 13 14 1 2 3

3 4 5 6; 1 2 3 7 8 9;1 2 3 16 17 18;4 5 6 10 11 12; 13 14 15;7 8 9 10 11 12;10 11 12 13 14 15;13 14 15 16 17 18 7 8 9;7 8 9 19 20 21;10 11 12 22 23 24;13 14 15 25 26 18 28 29 30;19 20 21 22 23 24;22 23 24 25 26 27;25 26 27 30 19 20 21;19 20 21 31 32 33;22 23 24 31 32 33;25 26 27 30 31 32 33;22 23 24 28 29 30;7 8 9 22 23 24;13 14 15 22 15 28 29 30;7 8 9 28 29 30;7 8 9 13 14 15;13 14 15 10 11 12];

%Calculo de la matriz de rigidez K: K=zeros(n+4); %donde n+4=GDL for i=1:n l=cos(ang(i,1)); m=cos(ang(i,2)); p=cos(ang(i,3)); c=[l^2 l*m l*p -l^2 -m*l l*m m^2 m*p -l*m -m^2 l*p m*p p^2 -l*p -m*p -l^2 -l*m -l*p l^2 l*m -l*m -m^2 -m*p l*m m^2 -l*p -m*p -p^2 l*p m*p k=E*A*L(i)^-1; c=k*c; z=zeros(n+4);

18; 27; 28 29 30; 31 32 33; 23 24; 1 2 3;

-l*p -m*p -p^2 l*p m*p p^2];

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z(a(i,1):a(i,3),a(i,1):a(i,3))=c(1:3,1:3); z(a(i,1):a(i,3),a(i,4):a(i,6))=c(1:3,4:6); z(a(i,4):a(i,6),a(i,1):a(i,3))=c(4:6,1:3); z(a(i,4):a(i,6),a(i,4):a(i,6))=c(4:6,4:6); K=K+z; end K %10^6 N/m %Resolucion del problema: %calculo de las pesos: W=-L*w*A; f=zeros(1,33);ff=zeros(1,33); for i=1:29 ff(a(i,3))=W(i)/2; ff(a(i,6))=W(i)/2; f=f+ff;% en x'-z' end g=zeros(1,33); % en N %conversion a x-z: for i=1:29 g(a(i,1))=f(a(i,3))*sin(pi/6); g(a(i,3))=f(a(i,3))*cos(pi/6); end %calculo de las tensiones(T): G=0; for i=1:29 G=G+W(i); end T=3*G*cos(pi/3)/(2*sin(pi/12)*(5+0.25*tan(pi/12)^-1)); %matriz reducida (sin apoyos fijos): M=zeros(27);M=K(7:33,7:33);M %en 10^6 N/m %vector carga reducido (sin reacciones): F=zeros(1,33);F(31)=3095.26953;F(33)=-70893.32763; F(25)=-T*sin(pi/12);F(27)=T*cos(pi/12); F(28)=-T*sin(pi/12);F(30)=T*cos(pi/12);F=F+g; f1=F(7:33); %en N %vector desplazamiento reducido(sin apoyos fijos): Q1=inv(M)*f1'; %Entonces, el vector Q es: Q=[0 0 0 0 0 0 Q1']';%10^-6 m %Encontrando las reacciones: F=K*Q; %N %Resultados: %Reacciones: R=F(1:6) %N %Esfuerzos: h=0;S=[]; for i=1:n l=cos(ang(i,1));m=cos(ang(i,2));p=cos(ang(i,3)); d=[-l -m -p l m p]; s= d*[Q(a(i,1)) Q(a(i,2)) Q(a(i,3)) Q(a(i,4)) Q(a(i,5)) Q(a(i,6))]'; s=s*E/L(i); s=s*10^-6;S=[S s]; end S=S' % MPa

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10. DIAGRAMA DE FLUJO Inicio

Lee datos de entrada: E, A (área) como constantes; L (Long.), ang como vectores; a (conectividad) como matriz 4xn

Para i=1 hasta n+3

Calcula: Matriz senos cosenos c; Matriz de Rigidez K;

F=KxQ

Para i=1 hasta n+3

Calcula: el vector esfuerzo S;

Imprime: Desplazamientos Q; Reacciones F; Esfuerzos S; FIN

14

11. CONCLUSIONES o Los resultados obtenidos, tanto esfuerzos como reacciones y desplazamientos, para la pluma (armadura en el espacio) muestran que esta, está sometida principalmente a un proceso de compresión. o Los desplazamientos encontrados para los nodos de la armadura en cuestión son, en algunas direcciones, demasiado grandes ya que están en el orden de los centímetros. La explicación lógica para este fenómeno es la existencia de un ángulo de rotación, respecto a su posición inicial, que presenta la pluma debido a la forma en como está cargada. Resulta evidente, dado que las dimensiones de la pluma son del orden de los metros, que cualquier ángulo de rotación, por pequeño que sea, generará un desplazamiento grande mientras más alejado este el nodo del centro de rotación. Esta explicación se demuestra de manera formal al plotear las posiciones de los nodos desplazados y compararlas con las posiciones iniciales. o También están los desplazamientos pequeños, del orden de los milímetros, que son efecto únicamente de las deformaciones por tensión o compresión de las barras que componen la pluma. o Los esfuerzos encontrados para las barras de pluma son bastante grandes, lo que obedece al elevado valor de las cargas, pero principalmente a la reducida área que presentan dichas barras. o El elemento 1 no presenta esfuerzo de tracción y este hecho es coherente con la forma en como esta sujetado este objeto. , y al hecho de que las reacciones encontradas se anulan en la dirección del eje de este elemento. o El mayor desplazamiento nodal en la armadura, está en el nodo (11) que es a su vez el punto más alejado de los apoyos fijos y el que a mayor carga se encuentra sometido.

15