Calculo de Deflexiones

Calculo de Deflexiones Deflexiones Instantaneas La ecuacion para determinar la deflexion depende de las condiciones de carga y de apoyo Estos son solo algunos pocos ejem plos:

Lo com plicado de determ inar en deflexiones resulta el valor de la Inercia efectiva, esto debido al hecho que la seccion resulta una mezcla heterogenea de m ateriales con propiedades bastante diferentes (acero y concreto), y ademas se verá reducida por los valores de agretam iento presentes en ella. La expresion propuesta para el calculo de la Inercia Efectiva por el CHOC es la siguiente:

Ie =

 Mag  M   max 

3

   Ig  1   

3

 M ag   M    Iag max  

Mag = fr

Ig

 h  2  

fr = 2  f'c 3

Ig =

b h

12

Iag : Mom ento de inercia de la seccion agrietada transformada. Esta se obtiene al considerar la inercia de la porcion del concreto que se encuentra a com presion (despreciando toda la porcion a tension), transform ando ademas el area de acero en concreto equivalente mediante la relacion "n" y luego calculando la inercia de esta seccion agrietada transformada. Una posible aproximacion conservadora de este valor se puede lograr mediante la siguiente expresion: Iag = 0.35Ig

Deflexiones a Largo Plazo Cuando som etemos un material a la aplicacion continua de carga, las particulas que componen el m aterial comienzan a sufrir un reordenam iento segun la m agnitud de la carga, y la propiedad ductil del m aterial. Este reordenamiento es debido al flujo plastico del material. El concreto sim ple por naturaleza es un material fragil y por tanto concede muy poco espacio para el reacom odo de particulas a partir de flujo plastico. Sin embargo, el concreto reforzado tiene un valor de ductilidad superior al del concreto sim ple y por tanto si sufre de deform aciones a partir de flujo plastico. Las deform aciones provocadas en esta manera son distintas a las deflexiones instantaneas comentadas en el apartado anterior. A diferencia de las deflexiones instantaneas, las deflexiones a largo plazo son aquellas que ocurriran bajo la accion sostenida de cargas. Esto, dado en un estado muy parecido al que provocara el agrietamiento, involucra las cargas de larga duracion. Sin em bargo se debe considerar tambien el caracter de ductilidad de la seccion de concreto. Es asi que el CHOC define la expresion para el calculo de las deflexiones de larga duracion a partir de la siguiente expresion: ld = i siendo: Δi : deflexion instantanea =

1  50 '

ρ` : cuantia de acero a compresion en el punto donde se estima la maxim a deflexion. ξ : factor de duracion de carga obtenido a partir de la siguiente figura

Es decir: 5 años o m as..... 2.0 12 meses.......... 1.4 6 meses............ 1.2 3 meses............ 1.0

La deflexion total resulta de la sum a entre la deflexion instantanea y la de larga duracion T=

i

ld

Deflexiones Permisibles Las deflexiones perm itidas en un elemento estructural dependerán de los elem entos estructurales o no estructurales que se encuentren bajo estos, asi como la susceptibilidad de los materiales que com ponen a estos elem entos a sufrir daños debido a estas deflexiones. El siguiente cuadro es el cuadro proveido por CHOC para la determinacion de deflexiones maxim as permisibles en elem entos de concreto reforzado. Tipo de miembro Techos planos que no soportan ni están unidos a miembros no estructurales que pueden ser dañados por grandes defecciones Pisos que no soportan ni están unidos a miembros no estructurales que pueden ser dañados por grandes deflexiones Construcciones de techo o piso que soportan o están unidas a miembros no estructurales que pueden ser dañados por grandes deflexiones Construcciones de techo o piso que soportan o están unidas a miembros no estructurales que probablemente no pueden ser dañados por grandes deflexiones

Deflexión a ser considerada Deflexión inmediata debida a la carga viva L Deflexión inmediata debida a la carga viva L La porción de la deflexión total que ocurre después de incorporar los elementos no estructurales (suma de todas las deflexiones de larga duración causadas por toda la carga sostenida y la deflexión inmediata debida a cualquier carga viva adicional) b

Deflexión límite l /180 a

l /360 l /480 c

l /240 d

Para evitar problem as de deflexiones el principal aliado es el peralte de los elementos. Un peralte adecuado perm itirá al elemento tener mayor inercia, y por tanto recibirá de manera menor los efectos de la deflexion. El CHOC hace una serie de recom endaciones en forma del peralte recomendado a partir de la luz existente. Se debe tratar de respetar estos peraltes dentro de lo posible para evitar problem as de deflexiones excesivas. Las recomendaciones estan resum idas en el siguiente cuadro:

T ipo de miembro Losas sólidas en una dirección Vigas o losas nervadas en una dirección

Simp lemen te ap oyado

Un extrem o continuo

Ambos extremos continuos

l / 20

l / 24

l / 28

l / 10

l / 16

l / 18.5

l / 21

l/8

Vo ladizo

Estas y recom endaciones adicionales pueden encontrarse en la seccion 9 del CHOC

Ejemplo de Calculo de Deflexiones Instantaneas Calculo Aproximado de Iag Determ ine la deflexion instantanea al centro de la luz en la siguiente viga de entrepiso en la biblioteca de un centro educativo, considerando una luz de 8m , un intercolumnio de 5.5m y una losa de 25cm de espesor que descansa sobre la viga. Considere la viga simplem ente apoyada con una carga viva de 625kgf/m2.

Propiedades Geometricas h  76cm b  35cm rec  7.5cm d'  5cm d  h  rec  68.5 cm Area de acero 2

As  8 

( 1in)  4

A's  0cm

 40.5366  cm

2

2

Caracteristicas de los m ateriales kgf

f'c  210

cm fy  4200

2

kgf cm

2

Ec  15100  f'c

kgf cm

Es  200GPa

u  0.003

2

 218819.7889

kgf cm

2

Determinacion de las Solicitaciones Como estam os hablando de una deflexion instantanea, y el maxim o valor de esta ocurre bajo carga m axima; es necesario utilizar las cargas con sus valores m ayorados. luz  8m

Wviva  625

kgf m

2

 5.5 m  3437.5

Wmuerta  .76m .35 m 2400

kgf

kgf m

 0.25m 5.5 m 2400

3

m

kgf 3

 3938.4 

m

kgf m

kgf W  1.4Wmuerta  1.7Wviva  11357.51 m

Mviva 

Wviva luz 8

Mmuerta 

2

 27500  kgf  m

Wmuerta luz 8

2

 31507.2  kgf  m

Mmax  1.4M muerta  1.7  M viva  90860.08 kgf  m Obtencion del Momento de Agrietamiento (el mom ento que produce el esfuerzo maxim o a tension del concreto en las fibras tensionadas) Para esto es necesario calcular el m aximo esfuerzo a tension que resiste el concreto. fr  2  f'c

kgf cm

2

 28.9828 

kgf cm

2

La inercia de la seccion bruta (inercia de la seccion de concreto) 3

Ig 

bh

12

Ya con esto podemos determ inar el Momento de Agrietam iento, o dicho de otra manera, el valor de mom ento que causa que se produzcan las primeras grietas sobre la superficie. Mag  fr

Ig h 2

 9765.2557 kgf  m

La inercia agrietada transform ada (inercia de la seccion considerando nada mas el area de concreto a compresion y la transform ada del acero a tension), por ahora, la aproximamos con el siguiente calculo Iag  0.35 Ig Al tener todos esos valores podemos determinar la Inercia efectiva 3   M ag   Ie    Ig  1     M max  

 Mag  M   max 

3

 4   Iag  449154.5049 cm 

Al com parar podem os ver que la Inercia efectiva resulta bastante similar a la inercia agrietada.

Iag  448121.3333 cm

4

pero m uy distinto a la inercia bruta

Ig  1280346.6667 cm

4

Esto va a ser cierto siempre que el mom ento para el cual se este determinando la deflexion sea m ucho mayor que el mom ento de agrietam iento. El calculo de la deformacion maxim a sale del calculo de la deform acion al centro del claro en una viga simplemente apoyada. 

5  W luz

4

384 Ec Ie

 61.631  mm

Como vem os, se obtiene un valor bastante elevado y no cum ple con los requisitos establecidos en el CHOC. Esto en parte es debido al hecho que consideramos valores de carga considerablem ente altos y una luz bastante grande. Cabe recalcar ademas que este resultado se obtiene tras el uso de calculos a partir de valores aproximados, sin embargo es posible determ inar el valor de la deform acion de m anera m as acertada si hacem os uso de un procedimiento que aproveche los verdaderos aportes del acero estructural.

Ejemplo de Calculo de Deflexiones Instantaneas Calculo de Iag con mayor precision Para el caso del ejemplo anterior, se determino la deflexion instantanea en una viga haciendo uso de una aproxim acion bastante conservadora del valor de la inercia agrietada transformada. Esto nos devolvio una respuesta que da una deform acion que posiblem ente es m ucho mayor a la que realm ente ocurrira. Esto puede ser un problema especialm ente cuando revisam os las deform aciones debido a las cargas y las com param os con las m aximas permitidas. Por este motivo resulta beneficioso para algunos casos, hacer el calculo completo. Hagam os uso de lo que sabem os de la seccion para determ inar los valores de la inercia agrietada transformada. En primer lugar usaremos la m isma viga anterior. Lo primero que debem os determinar es la profundidad del bloque de com presiones "c", para esto harem os uso del diagrama de com patibilidad de deform aciones.

En este diagrama tenemos posicionadas todas las deformaciones segun ocurriran en la seccion transversal. De aqui sabemos que: s d c

=

u c

y

's c  d'

=

u c

y por tanto, al despejar s = u 

d  c

's = u 

  c 

c  d' 

  c 

com o se ha visto en ejemplos anteriores, la ley de Hooke tambien indica que y

f's = 's Es

fs = s Es

y al determ inar la sum atoria de m omentos en la seccion de concreto a M = A's f's ( d  d')  ( As fs  A's f's)   d   2  El calculo de "c" se podria llevar a cabo a partir de la sumatoria de fuerzas en la seccion, sin em bargo si lo realizam os de esta manera estariamos calculando la profundidad del eje neutro a partir de los esfuerzos resistentes y no de las actuantes. Esto podria resultar inexacto en vigas con caracteristicas sobrediseñadas, ya que el esfuerzo resistente será mayor que el actuante. Esto implica que, al necesitar m enor brazo el acero a tension, el valor de c será m enor (habiendo predom inio de la flexion) resultando en una inercia m enor a la que realm ente ocurriria. Para evitar este problema y considerando el hecho que en la m ayor parte de los diseños será necesario algun grado de sobrediseño (ej. el acero requerido es 12cm^2 y se utilizan 3#8 que son igual a 15.2cm^2), es m ejor calcular el valor de "c" a partir del mom ento actuante. Es im portante recordar que a la hora de determ inar deflexiones instantaneas necesitamos considerar las cargas m ayoradas, por esta razon M es el m omento maxim o al cual estará som etida la viga Si com enzam os a hacer las respectivas sustituciones

 

M = A's 's Es ( d  d')  ( As s  Es  A's 's Es)   d  Mmax = A's u 

c  d' 

  Es ( d  d')   c 

c 1  2

 

As u  d  c   Es  A's  u  c  d'   Es   d  c 1    c   c   2       

De aqui podem os despejar el valor de c, para este ejem plo el calculo se realizo por aparte, y resulta lo siguiente: 9086008kgf  cm = 40.5366cm  0.003  2



68.5cm  c  c

0.85 c  6 kgf    68.5cm    2.039 10  2 2   cm 

c  40.02cm con este valor revisam os los valores de f`s y de fs, si superan fy entonces los truncam os y recalculamos c, sin embargo en este ejemplo no hay acero a compresion, por tanto solo se revisa fs

fs  u 

d  c

kgf

  Es  4354.0506 2  c  cm

de aqui podemos observar que el acero a tension esta un poco pasado de la fluencia, lo que podemos hacer es truncar el valor a fy y recalcular el valor de c; al ser A`s=0 esto queda:

2

9086008kgf  cm = 40.5366cm  4200

kgf cm

2

  68.5cm 



0.85 c  2

 

c  35.61cm Con este dato ya sabemos que porcion de la seccion se encuentra a compresion.

Ahora lo que necesitam os es convertir el area de acero en un area equivalente de concreto. Para esto harem os uso de la relacion "n". Es

n 

Ec

 9.3201

Al m ultiplicar el area de acero por esta relacion nos brinda el area de concreto equivalente junto con el area de acero. Para obtener solo el valor del concreto equivalente lo calculamos usando la siguiente expresion As ( n  1 )

Al tener el valor de c, lo que debemos determinar es el valor del centroide de la seccion transformada. Con respecto a las fibras com prim idas (en este caso las superiores). b  c y 

c

 As ( n  1 )  d

2

 28.6017  cm

b c  As ( n  1 )

luego determ inam os las inercias para cada una de las figuras que restan, despreciando la inercia normal del acero la inercia de la seccion despreciando el concreto a tension: Icag 

bc

3

12

 b  c  y 



c

2

4   276991.4183 cm

2

la inercia del area transform ada: 2

Isag  As ( n  1 )  ( d  y)  536891.294  cm

4

la suma de las cuales nos brinda la inercia agrietada transformada: Iag1  Icag  Isag  813882.7123 cm

4

esto es m ucho mayor a la inercia que determinam os en el ejem plo a partir del calculo aproxim ado 3   M ag   Ie    Ig  1     M max  



5  W luz

 Mag  M   max 

3

 4   Iag1  814461.8071 cm 

4

384 Ec Ie

 33.9879  mm

Como se puede ver, el calcular la inercia agrietada transformada a partir de las verdaderas propiedades de la seccion brinda respuestas mas apegadas a la realidad y a la vez, beneficiosas para el diseño. Sin em bargo implica un volum en de calculos m ucho mayor. En este caso en particular la deflexion instantanea es demasiado grande para ciertos requisitos impuestos por el CHOC. Como se habia m encionado antes, esto es m uy probablemente producto de la m agnitud insual de las cargas consideradas (25cm de espesor de losa solida de concreto con una carga de 625kg/m ^2).

Recomendaciones Queda a criterio del ingeniero cual de los m etodos se em pleara, sin em bargo debe quedar claro que para aprovechar mejor los materiales es mejor buscar el m etodo de mayor precision. Entre las recom endaciones que se podrian dar para mejorar las deflexiones en el elem ento, podria encontrarse en el prim er punto de prioridad el increm ento del peralte. Esto directam ente aum enta la inercia total del elemento y usualmente incide en un valor de "c" m ayor. A m ayor "c" mayor inercia agrietada transform ada, y com o se puede observar de los ejemplos m ostrados, cuando el valor del mom ento actuante es m ucho mayor al momento de agrietam iento (la mayoria de los casos), es la inercia agrietada transformada la que tendrá la mayor influencia en el valor de la inercia efectiva. Otra recom endacion podria involucrar aumentar la cantidad de acero, sin em bargo aum entar el area de acero podria im plicar que este no logre la fluencia y caemos en el fallo sobrereforzado. Adem as involucra un aumento al costo que podria resultar mayor que el aum ento de costo producto de incrementar el peralte. Esta alternativa generalm ente es revisada cuando no es posible mejorar el peralte por restricciones arquitectonicas. En tercer lugar tenemos recom endaciones com o m ejoram iento de los m ateriales constructivos, principalm ente hablando de la resistencia del concreto utilizada. La principal desventaja de esta alternativa esta en el hecho que el mejoramiento de los materiales generalm ente implica un aum ento de costo que rara vez es justificado por el mejoramiento en el comportam iento. En ultim a instancia, si no se pueden hacer mejoras de alguna otra form a, la recomendacion final podria ser considerar modificaciones en el proyecto, sin embargo esto implica cambios de orden m ayor en la m ayoria de los casos y reestructuracion del modelo analitico original. Realizar cam bios de esta manera generalm ente m odificará no solo al elemento sino que elementos aledaños y por tanto no es muy recomendado.