Cálculo de Curvas de Remanso Utilizando

Cálculo de curvas de remanso utilizando pendiente crítica y calculadores en línea Rosa D. Aguilar 1 y Victor M. Ponce 2 Junio 2013

RESUMEN Las curvas de remanso se expresan en términos de la pendiente crítica Sc . De esta manera, se demuestra que la gradiente de profundidad dy/dx está físicamente limitada a valores fuera del rango comprendido entre Sc y la pendiente de fondo So. Este nueva formulación mejora y completa la definición de rangos de gradiente de profundidad en el análisis de curvas de remanso. Adicionalmente, se presentan calculadores en línea para las curvas de remanso.

1. INTRODUCCIÓN El cálculo del flujo gradualmente variado es parte de la práctica de la ingeniería hidráulica. La ecuación convencional del flujo gradualmente variado se expresa en función de la pendiente de fondo So, la pendiente de fricción Sf, y el número de Froude F (Chow 1959; Henderson 1966). En este trabajo, la ecuación de flujo gradualmente variado se expresa alternativamente en función de la pendiente de fondo So , la pendiente crítica Sc , y el número de Froude F. El examen de esta ecuación revela que el gradiente de profundidad dy/dx está limitado a valores fuera del rango comprendido entre So y Sc . Este análisis mejora y completa la definición de rangos de gradiente de profundidades en las curvas de remanso.

2. ECUACIÓN DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO La ecuación de flujo gradualmente variado es (Chow 1959, página 220; Henderson 1966, página 130):

dx ___

So - Sf ___________________

=

(1)

1 - [(Q 2 T ) / (g A 3)]

dy

en la cual y = profundidad, x = distancia a lo largo del canal, dy/dx = gradiente de profundidad, Q = caudal o descarga, T = ancho de la superficie libre, A = área de flujo, y g = aceleración de la gravedad. Esta ecuación es válida para pendientes pequeñas (So < 0.1), lo cual es el caso típico. La pendiente de fricción en términos del coeficiente de Chezy C es (Chow 1959):

Sf

=

Q2 __________

(2)

C2A2R

en la cual R = A/P = radio hidráulico, and P = perímetro mojado, El número de Froude en términos de descarga Q es (Chow 1959):

F2

=

Q2T _______ gA3

Combinando las ecuaciones 2 y 3 se obtiene:

(3)

Sf = (P / T ) (g / C 2) F 2

(4)

En el flujo normal crítico F = 1, y la pendiente de fricción para el flujo crítico, es decir, la pendiente crítica, es:

Sc = (Pc / Tc ) (g / C 2)

(5)

Combinando las ecuaciones 1, 4, y 5:

dy ___ dx

=

So - Sc F 2 ___________

(6)

1-F2

la cual es estrictamente válida para la siguiente condición: P /T = Pc /Tc . Esta última condición se satisface en un canal hidráulicamente ancho, para el cual T es asintóticamente igual a P. Para mayor facilidad de expresión, la gradiente de profundidad se redefine como Sy = dy/dx. Resolviendo la ecuación 6 para el número de Froude:

So - Sy F 2 = _________

(7)

Sc - Sy

Tomando en cuenta que F 2 > 0, la gradiente de profundidad debe satisfacer las siguientes desigualdades:

So ≥ Sy ≤ Sc

(8)

So ≤ Sy ≥ Sc

(9)

lo cual limita la gradiente de profundidad Sy a valores fuera del rango comprendido entre So y Sc . Además, la ecuación 6 puede ser alternativamente expresada como sigue:

Sy ___ Sc

=

( So / Sc ) - F 2 ______________

(10)

1-F2

La ecuación 10 es la ecuación de flujo permanente gradualmente variado expresada en términos de la pendiente de fondo So , la pendiente crítica Sc , y el número de Froude F. La pendiente de fondo podría ser positiva (supercrítica, crítica, o subcrítica), cero (horizontal), o negativa (adversa). La pendiente crítica (Ecuación 5) y el número de Froude (Ecuación 3) son siempre positivos.

3. CLASIFICACIÓN DE LAS CURVAS DE REMANSO La ecuación 10 se utiliza para desarrollar una clasificación de curvas de remanso basada solamente en los tres parámetros adimensionales: Sy /Sc , So /Sc , y F. El flujo subcrítico se define como aquél para el cual la profundidad es mayor que la del flujo crítico (F 2 < 1) (Chow 1959; Henderson 1966). Haciendo eco de esta definición ampliamente reconocida, el flujo subnormal se define como aquél para el cual la profundidad es mayor que la del flujo normal (flujo

uniforme) [F 2 < So /Sc ]. El flujo supernormal se define como aquél para el cual la profundidad flow es menor que la del flujo normal [F 2 > So /Sc ] (USDA SCS 1971). El Cuadro 1 muestra los tipos posibles de curvas de remanso.

Cuadro 1. Tipos posibles de las curvas de remanso. TIPO 1: SUBCRÍTICA/SUBNORMAL Supercrítica: S1 Crítica: C1 Subcrítica: M1

TIPO 2A: SUPERCRÍTICA/SUBNORMAL Supercrítica: S2

TIPO 2B: SUBCRÍTICA/SUPERNORMAL Subcrítica: M2 Horizontal: H2 Adversa: A2

TIPO 3: SUPERCRÍTICA/SUPERNORMAL Supercrítica: S3 Crítica: C3 Subcrítica: M3 Horizontal: H3 Adversa: A3

El Cuadro 2 muestra un resumen de los tipos posibles de las curvas de remanso. La clasificación se obtiene directamente de la ecuación de flujo permanente gradualmente variado (Ecuación 10). Se observa que el tipo de

perfil (Tipo 1, 2, o 3) determina el signo de Sy /Sc (Columna 2) y, por lo tanto, la clasificación de ya sea remanso o caída (Columna 3). Asimismo, el tipo de perfil determina el rango factible de So /Sc (Columna 4) y, por lo tanto, la existencia o inexistencia de perfiles específicos (alto, crítico, bajo, horizontal, y adverso) dentro de cada tipo (1, 2, o 3). Nótese que no todas las combinaciones de Sy /Sc y So /Sc son factibles. Contrariamente a la información disponible en las referencias tradicionales (Chow 1959; Henderson 1966), los rangos de gradiente de profundidad (Cuadro 2, Columnas 7 y 8) están ahora completos para los doce (12) perfiles de curvas de remanso. En forma significativa, se nota que la gradiente de profundidad Sy está fuera del rango comprendido entre Sc y So . La Figura 1 muestra una representación gráfica de los rangos del gradiente de profundidad. La flecha indica la dirección del cálculo. Por ejemplo, el gradiente de profundidad para el perfil S3 (supercrítico/supernormal) decrece de Sc (un valor finito positivo) a 0 (asintótico al flujo normal). De igual manera, el gradiente de profundidad para los perfiles C1 (subcrítico/subnormal) y C3 (supercrítico/supernormal) es constante e igual a So = Sc . El Cuadro 2 contiene enlaces para accesar los respectivos calculadores en línea para las doce (12) curvas de remanso.

Cuadro 2. Clasificación de las curvas de remanso [onlinecalc.sdsu.edu]

No. (1)

Sy /Sc (2)

Perfil (3)

So /Sc (4)

Pendiente (5)

Relaciones de profundidad (6)

Sy varía De (7)

A (8)

Tipo de perfil (9)

1. FLUJO SUBCRÍTICO / SUBNORMAL 1: 1 > F 2 < So / Sc 1

Positivo

Remanso

>1

Supercrítica

y > yc > yn

So

∞

S1

2

Positivo

Remanso

=1

Crítica

y > yc = yn

So = Sc

So = Sc

C1

3

Positivo

Remanso

< 1; > 0

Subcrítica

y > yn = yc

So

0

M1

0

S2

2A. FLUJO SUPERCRÍTICO / SUBNORMAL2: 1 < F 2 < So / Sc 4

Negativo

Caída

>1

Supercrítica

yc > y > yn

-∞

2B. FLUJO SUBCRÍTICO / SUPERNORMAL3: 1 > F 2 > So / Sc 5

Negativo

Caída

< 1; > 0

Subcrítica

yn > y > yc

-∞

0

M2

6

Negativo

Caída

=0

Horizontal

y > yc ; yn → ∞

-∞

So = 0

H2

7

Negativo

Caída

yc ; yn → ∞

-∞

So < 0

A2

3. FLUJO SUPERCRÍTICO / SUPERNORMAL4: 1 < F 2 > So / Sc 8

Positivo

Remanso

>1

Supercrítica

yc > yn > y

Sc

0

S3

9

Positivo

Remanso

=1

Crítica

yc = yn > y

So = Sc

So = Sc

C3

10

Positivo

Remanso

< 1; > 0

Subcrítica

yn > yc > y

Sc

∞

M3

11

Positivo

Remanso

=0

Horizontal

yc > y ; yn → ∞

Sc

∞

H3

12

Positivo

Remanso

y ; yn → ∞

Sc

∞

A3

1

Dado que So /Sc > F 2 > 0, no existen perfiles horizontales o adversos en flujo subcrítico/subnormal. Dado que So /Sc > 1, no existen perfiles críticos, subcríticos, horizontales o adversos en flujo supercrítico/subnormal. 3 Dado que So /Sc < 1, no existen perfiles supercríticos o críticos en flujo subcrítico/supernormal. 4 Dado que So /Sc no está limitado, si existen los cinco tipos de perfiles en flujo supercrítico/supernormal. 2

Figura 1. Representación gráfica de los rangos de gradiente de profundidad en las curvas de remanso.

4. RESUMEN La ecuación de flujo permanente gradualmente variado se expresa en función de la pendiente crítica Sc . De esta manera, se demuestra que la gradiente de

profundidad dy/dx está limitada a valores fuera del rango comprendido entre So and Sc . Este analisis completa la definicion de rangos de gradiente de profundidad para todas las curvas de remanso. Por ejemplo, la gradiente de profundidad para el perfil S3 decrece de Sc (un valor finito positivo) a 0 (un valor asintótico a la profundidad normal). Asimismo, la gradiente de profundidad para los perfiles C1 y C3 es constante e igual a So = Sc. El Cuadro 3 muestra un resumen de las curvas de remanso. Adicionalmente se provéen calculadores en línea para completar la experiencia [onlinecalc.sdsu.edu].

Cuadro 3. Resumen de las curvas de remanso [onlinecalc.sdsu.edu]. [Haga click en la imagen para desplegar] Familia

Característica

Regla

1

Retardada (Remanso)

1>F2 < So / Sc

2A

2B

3

Acelerada (Caída)

Acelerada (Caída)

Retardada (Remanso)

1F2 > So / Sc

1 So / Sc

So > Sc

S1

So = Sc

So < Sc

So = 0

So < 0

-

-

C1

M1

-

-

-

-

M2

H2

A2

M3

H3

A3

S2

-

S3

-

C3

BIBLIOGRAFÍA Chow, V. T. (1959). Open-channel hydraulics. McGraw-Hill, New York. Henderson, F. M. (1966). Open channel flow. MacMillan, New York.

USDA Soil Conservation Service. (1971). Classification system for varied flow in prismatic channels. Technical Release No. 47 (TR-47), Washington, D.C.

1

Estudiante de postgrado en ingeniería civil, Universidad Estatal de San Diego, California, EE.UU. 2 Profesor de Ingeniería Civil y Ambiental, Universidad Estatal de San Diego, California, EE.UU.