Calculo de Centroides

 

EST

TEMA

TIC

CENTROIDES Y MOMENTOS DE

INCERCIA DE FIGURAS FORMADAS POR FUNCIONES MEDIANTE EXCEL Y AUTOCAD

Nombre: Curso:   Curso:

Madero Villalta Geovanna Elizabeth  Elizabeth  Segundo

Paralelo:   Tercero  Paralelo: Tercero  Fecha: Fecha:  

2013/07/09 2013/07/09  

Revisa: Revisa:  

Ing. Fernando Rivas  Rivas 

 

1.  MARCO TEORICO CENTROIDE DE FIGURAS PLANAS  

El Centroide es una palabra que pertenece a la familia centro. En la mecánica racional es la coordenada de un punto que pertenece a una figura. Al igual que el centro, el centroide tiene coordenadas de acuerdo a la posición que ocupe en el espacio. Existen centroides de línea, de área y de volumen. En esta parte de la mecánica analizaremos los centroides de área y estudiaremos a las figuras planas. Las figuras son formas que reprentan la silueta de algo. Los cuerpos que estudiamos mediante la mecánica racional tendrán, en consecuencia, una forma definida para calcularle sus características geométricas. Por lo tanto, a toda figura se le podrá calcular su centroide. Ahora bien, existen dos maneras de hacerlo: A través de la Integración y mediante una Matriz Centroidal. En realidad, ambas técnicas son la misma cosa, sólo que se diferencian por el método que emplean para calcularlo. Son además centroides de áreas, debido a que la integral es e s el área bajo una curva y la otra técnica calcula el centroide de una forma específica basándose en el área de la figura. Existen diversos conceptos centroidales que son usados en la ingeniería: El centro de masa, el centro de presión y el centro de gravedad, son ejemplos de ellos. Todos se parecen porque tienen coordenadas y, además, son puntos; pero se diferencian por lo que representan. El centro de masa es solo para los cuerpos que tienen masa. El centro de presión es el punto donde actúa la resultante de un sistema de fuerzas y el centro de gravedad es donde actúa la fuerza gravitacional, la cual denominamos peso. Por lo tanto, no podemos llamar centro de masa a lo que es un centro de área; tampoco podemos llamar centro de área al centro de presión o al centro de gravedad. Cada término debe ser coherente con lo que representa. Sin embargo, el centroide es un término más neutro y el puede ser área, volumen, masa, presión o gravitacional. En ocasiones es usado como sinónimo para no repetir constantemente la misma palabra. FIGURAS PLANAS 

Geométricamente, las figuras son representaciones de una forma las cuales han sido definida en cuanto a su área y a su centroide. Este punto se denomina centro geométrico y se obtienen sus coordenadas mediante un método también geométrico. Estos métodos se realizan trazando líneas imaginarias a través de los vertices de las figuras las cuales terminan en los catetos opuestos de las mismas. Existen figuras geométricas que pudieramos considerar básicas, a partir de las cuales se pueden construir otras figuras más complejas. Consideraremos como figuras geométricas básicas a los triángulos, rectángulos y círculos. La geometría desde tiempos remotos se ha encargado de estudiarlas y ha definido sus áreas y sus centros geométricos. Estas características de las figuras básicas se muestran en la tabla 1, donde además, se detallan otras figuras que se derivan de esas básicas o fundamentales. Con estas figuras se pueden construir otras muchas mas complejas que pueden reprentar cualquier forma en el universo.

 

TABLA 1: CARACTERISTICAS CARACTERISTICAS DE LAS FIGURAS GEOMETRICAS BASICAS

FIGURA PLANA

COORDENADA X COORDENADA Y

A = (1/2) b.h

b/3

h/3

 b/2 

h/2 

A = PI.R^2 

R  

R  

A = (PI.R^2)/2 

R  

4R/3PI 

TRIANGULO RECTANGULO

RECTANGULO Y CUADRADO

CIRCULO

 

  SEMI CIRCULO

A = (PI.R^2)/4 

4R/3PI 

4R/3PI 

CUARTO DE CIRCULO

CENTROIDE POR INTEGRACION 

Para calcular el centroide de una figura empleando la técnica de integración, es necesario que la forma de la misma pueda ser representada mediante una función matemática. Es precisamente la mayor desventaja de esta técnica, debido a que no siempre es posible determinar una función para definir la forma de una figura de un cuerpo real. Matemáticamente, las funciones son arreglos de coordenadas que están relacionadas mediante una expresión, la cual es denominada función matemática. Para la mayoría de las figuras que de se funciones muestran tales en la como tabla las 1, estas funciones son Aún son cuando, pueden definirse otro tipo trigonométricas, sin polinomios. embargo, estas muy escasas encontrarlas en cuerpos naturales. Las funciones mas empleadas son aquellas que definen líneas rectas de pendiente cero, pendiente positiva, pendiente negativa, parábolas cuadráticas, cúbicas, etc. Generalmente, estas funciones son de tipo geométricas. esto facilita los cálculos, debido a que las integrales que resultan de su análisis son integrales sencillas y directas. Ahora bien, recordando los conocimientos relativos a las funciones matemáticas y la técnica empleada para obtener la integral de la misma, tenemos que a toda función es posible definirle un diferencial, que este caso será un diferencial de área.

 

  FIGURA 1: FUNCIÓN MATEMÁTICA

En la figura 1, se representa una función matemática cualquiera

con una relación de dependencia hacia la variable x, el área bajo la curva, delimitada por la función f(x) y las líneas verticales Aa y Bb definen la integral de la función. En este caso, se ha seleccionado un diferencial de área dA = ydx. Los límites de la integral quedan definidos por el diferencial, así como el éste es dx los límites de la integral son también en x. Por lo tanto, el límite inferior es "a" y el superior "b". Como el diferencial es un rectángulo, el centro geométrico estará en la mitad de la base y en la mitad de la altura. Las coordenadas del centro geométrico se denominan Xe y Ye. Dado que el diferencial dx es un valor que tiende a cero, la mitad de él es un número bien pequeño que podemos considerar sea el mismo valor dx. Así las ecuaciones que definen al centro geométrico del diferencial de área son:

Xe = x  Ye = y/2 

Las ecuaciones que permiten calcular el centroide de la figura representada por f(x) son:

Primera Integral 

 

Segunda Integral 

 

Tercera Integral 

Los límites de todas las integrales son a y b. Los valores Xc y Yc son las coordenadas x,y del punto que denominamos centroide de la figura. Por lo tanto, el centroide queda expresado de la siguiente manera: C(Xc,Yc) unidades  CENTROIDE POR MATRIZ CENTROIDAL 

Existen figurasmediante que serán estudiadas dentro de cualquier fenómeno naturaldeque su figuras forma no representada una función matemática. Para calcular el centroide estas se podrá empleaser la técnica de la matriz centroidal. Una matriz es una tabla donde se ordena la información básica que caracteriza una figura. Para ello, la figura, que por lo general no es geométrica, se dividirá en elementos simples que coincidan con las figuras geométricas básicas. De esta manera, cualquier forma se puede aproximar a un conjunto de elementos que la sumatoria de sus áreas individuales conincidan con el área de la figura estudiada. La matriz centroidal que se muestra, en la figura 2, está conformada por una primera columna para describir a los elementos o figuras básicas que conforman a la figura general. En otra se indican sus áreas. En una tercera columna se muestran las proyecciones de los centros geométricos sobre un sistema de referencia definido para la figura. En la siguiente se multiplican cada área por su respectiva coordenada geométrica proyectada sobre x. Finalmente, se multiplican cada área por su respectiva coordenada geométrica proyectada sobre y. En la matriz mostrada las celdas en azul representan las características de la figura estudiada. Las celdas en amarillo son las características ya procesadas y en las

 

celdas rojas con letra blancas se expresan los resultados del análisis que conlleva al cálculo del centroide.

ELEMENTOS

AREAS(Ai)

Xi

Yi

Ai.Xi

Ai.Yi

Figura 1 

A1

X1

Y1

A1.X1

A1.Y1

Figura 2  Figura n

A2 An

X2 X3

Y2 Y3

A2.X2 A3.X3

A2.Y2 A3.Y3

∑Ai.Xi 

∑Ai.Yi 

∑Ai  FIGURA 2: MATRIZ CENTROIDAL DE LA FIGURA

 

 EJEMPLO DE CALCULO DE CENTROIDE POR INTEGRACION Sea la figura de un cuerpo definida por la función f(x) = 2x - 3, la cual se encuentra delimitada por la curva f(x) y los límites en "x" 3 y 7 unidades. Determine las coordenas del centroide empleando la técnica de la integración. 

 

EJEMPLO DE CALCULO DE CENTROIDE POR MATRIZ CENTROIDAL

La figura de un cuerpo queda definida por la forma que se muestra en la figura 3, considerando que la figura se encuentra rotada con respecto a su línea base un ángulo de 35° en dirección horaria, determine: a) Coordenadas del centroide en su posición no inclinada b) Nuevas coordenadas centroidales producto de la rotación. Nota: Las dimensiones de la figura se definen por los acotamientos. Suponga que el origen del sistema de referencia se encuentra en el e l punto A.

FIGURA 3: Forma de un cuerpo representada por la suma de varias figuras básicas Primera Fase 

Consideramos la figura sin inclinar, tal como se muestra en la figura 3. Para ello, divideremos la figura en cuatro elementos básicos: Rectángulo mayor, rectángulo menor, semi-círculo y triángulo. Por el punto A trazamos los ejes de un sistema de referencia. A continuación, llenamos la matriz con las características de las figuras geométricas ya definidas. MATRIZ CENTROIDAL DE LA FIGURA  

ELEMENTOS

AREA (Ai)

Xi

Yi

Ai.Xi

Ai.Yi

Rectángulo Mayor 

+7.000

+30

0

+210.000

0

Rectángulo Menor 

-1.750

+25

-17,5

-43.750

+30.625

Semi-círculo 

+1.924,23

-34,85

0

-67.059,42

0

 

Triángulo 

-1.575

+65

+11,67

+5.599,23 cm2

-102.375

-18.380,25

-3.184,42

+12.244,75

  Coordenadas centroidales de la figura en la posición no inclinada: Xc = -3.184,42/+5.599,23 = -0,57 cm Yc = +12.244,75/+5.599,23 = +2,19 cm C(-0.57,+2.19) cm 

Segunda Fase: Las coordenadas calculadas se representan en un sistema cartesiano y se dibuja un triángulo rectángulo al cual se le calcula la hipotenusa resultante. Así tenemos:

FIGURA 4: Hipotenusa del Centroide No Inclinado FIGURA 5: La línea base es rotada 35° en sentido horario

Después de rotada la hipotenusa el ángulo que se indica en el enunciado, nos damos cuenta que la suma del ángulo 35° y 75,4111° es mayor a 90°, por lo tanto, la hipotenusa cambia de cuadrante, del segundo al primero. El ángulo que ahora forma la hipotenusa respecto a la horizontal positiva es: 180° - 35° 75,4111° resultando un ángulo de 69,5889° Coordenadas centroidales de la figura en la posición inclinada:

 

Xc = +2,2630 cm . coseno (69,5889°) = + 0,79 cm Yc = +2,2630 cm . seno (69,5889°) = + 2,12 2 ,12 cm C(+0.79,+2.12) cm  NOTA: Cuando el ángulo de rotación y el ángulo de la hipotenusa se encuentran uno dentro del otro, el

ángulo resultante se obtiene restando ambos ángulos. Cuando ellos se encuentre uno a continuación del otro, como el caso del ejemplo mostrado, entonces, el ángulo resultante se obtiene sumando ámbos ángulos. Es importante verificar si la hipotenusa cambia de cuadrante cuando la figura es rotada, ya que el signo de las coordenadas vendrá dado por el cuadrante donde ella se encuentre

2.  CENTROIDES EN AUTOCAD PASOS: 1.  1.  Al tener la función y sus límites en los cuales se va a calcular el centroide, utilizando el programa “Microsoft Excel” ingresamos ingresamos la función y establecemos un dominio con intervalos muy

pequeños, luego hallamos el recorrido de la función 2.  En una columna adyacente ponemos los valores para x, y en coordenadas de la siguiente manera : =A2&","&B2 3.  3.  Cuando ya tenemos las coordenadas de todos los puntos, SELECCIONAR y COPIAR toda la columna y = 0.5 X^2

x

Coordenadas

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0 0.005 0.02 0.045 0.08

0,0 0.1,0.005 0.2,0.02 0.3,0.045 0.4,0.08

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.125 0.18 0.245 0.32 0.405 0.5

0.5,0.125 0.6,0.18 0.7,0.245 0.8,0.32 0.9,0.405 1,0.5

4.  4.  Vamos al programa “AUTOCAD”  5.  5.  Con el comando “Polilinea” vamos a trazar la curva de nuestra función, una vez seleccionado seleccionado este comando en la Barra de Comandos procedemos a PEGAR los valores antes copiados 6.  6.  Podremos observar como nuestra curva se dibuja 7.  Trazamos las rectas que van a ser los límites de nuestra función

 

8.  8.  Con el comando “Region” creamos la región formada por la funcion, y las rectas que la limitan  9.  9.  Una vez creada la Region con el comando “MASS” en Ingles o “PROPFIS” en Español nos aparecerá todas las características de la Region, incluyendo: Centroides, Momentos de Inercia con respecto a los ejes coordenados, Producto de Momentos, etc