CALCULO DE CATENARIA
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Cálculo mecánico de conductores en lineas aereas por Ezequiel Manavela Chiapero
Resumen
En la presente monografía se desarrolló un método eficaz y sencillo para el cálculo del tendido de lineas lineas eléctricas eléctricas aereas. aereas. Se tuvo en cuenta cuenta el comportamie comportamiento nto elástico elástico de los conductores ductores y se hizo un breve comentario comentario acerca de como tener en cuenta cuenta la deformaci deformación ón plástica sufrida por los mismos.
Introducción
La curva descripta por un cable sujeto en sus extremos, bajo la acción del campo gravitatorio, se conoce como catenaria (fig. 1).
Figura 1.
La ecuación de la catenaria es:
a
Z = 2
X a
e +e
X
−
a
(1)
Siendo Z la ordenada, X la absisa y a un parámetro de la misma. Esta curva posee la propiedad de que el esfuerzo de tracción en el cable es proporcional a la ordenada ordenada Z (ver (ver apéndice A). Por esta razón se elige el parámetro parámetro a de manera que el esfuerzo en cualquier punto del cable sea igual al peso por unidad de longitud del mismo por su ordenada, esto es:
(2)
T = p Z
1
Cálculo del tendido
A la hora de realizar el cálculo mecánico de una linea eléctrica de alta tensión es necesario obtener el parámetro a. Para esto se cuenta con los valores de diseño del esfuerzo de tracción en que opera en zona segura el conductor, el peso por unidad de longitud del mismo, y la luz entre los apoyos. Con estos parámetros es posible calcular el cociente L/a de la siguiente manera:
T pL
=
1 2
L a
1L
e
2a
1L
+e
−
2a
(3)
Siendo el arco respecto a la luz (ver apéndice A):
arco lu z
2 S L
=
=
1 L a
1L 2 a
e +e
-
1L 2 a
(4)
Y la flecha respecto a la luz: flecha lu z
L
=
Y( 2 ) − a L
=
1 L a
1L
e
2 a
1L
+e 2
−
2a
−
1
(5)
Propiedades elásticas del conductor
Como bien sabemos, cuando se la aplica un esfuerzo de tracción a un cable, este se deforma de manera proporcional al esfuerzo aplicado (siempre y cuando este esfuerzo no supere el límite elástico y entre en la zona de comportamiento plástico). Por lo tanto, es de esperar, que el conductor sometido a tracción, una vez tendido, modifique su longitud inicial. Para solucionar este problema, simplemente se debe calcular la longitud inicial del cable, que una vez colgado, tenga el arco y flecha calculados anteriormente. Esto es, conociendo el esfuerzo y la longitud del mismo, calcular su longitud final una vez suprimida la solicitación. La variación de la longitud del conductor viene dada por la siguiente ecuación: (6)
σ = εE
Donde σ es el esfuerzo aplicado (fuerza por unidad de área), ε la deformación unitaria (variación de la longitud respecto a la inicial) y E el módulo de elasticidad. Para facilitar las cuentas se puede suponer la longitud incial (arco del cable colgado) igual a la luz. (ver apéndice B). ∆S
L
T
(7)
= EΩ
Ω = sección inicial Para el caso en que la carga por unidad de longitud varíe (por ej. acumulación de nieve en invierno), el cálculo de la nueva flecha es sencillo, ya que se conoce la longitud del mismo descargado. Otro factor que influye variando los valores de arco y flecha a lo largo del año es la tamperatura. El cambio en la longitud del cable debido a un cambio en la temperatura viene dado por la siguiente relación: ∆S
L
= α ∆T
α = coeficiente de dilatación lineal
Con esto obtenemos directamente la nueva relación arco luz, y luego la flecha. 2
Consideraciones respecto al comportamiento elastoplástico
En realidad, el comportamiento lineal elástico de los conductores es una idealización. En un acercamiento mas cercano a la realidad, se puede modelar el comportamiento del conductor como una especie de comportamiento elástico - perfectamente plástico (Fig 2).
Figura 2.
Como se observa en la figura 2, el comportamiento es lineal hasta el punto ¨1¨ donde comienza a deformar en forma definitiva sin aumento alguno en la carga (punto ¨2¨). Por otro lado, si se lo carga con una carga mayor se deformará linealmente hasta el punto ¨4¨ (proporcional a la carga) para luego deformarce plásticamente hasta el punto ¨5¨(también proporcional a la carga). Dado que tanto la deformación elástica como la plástica son proporcionales al esfuerzo alpicado (los puntos 2 y 5 se encuentran sobre una recta que pasa por el origen), se puede definir una especie de módulo de elasticidad aparente E f . Al descargar el conductor este variará su longitud con un nuevo módulo de elasticidad E d. El cálculo del tendido de la linea teniendo en cuenta la deformación plástica, se puede realizar también de manera gráfica. (ref. [1])
Referencias
[1] Cálculo mecánico de los conductores de líneas eléctricas aéreas (Revista de Obras Públicas). Disponible en http://ropdigital.ciccp.es/public/detalle_articulo.php?registro=16816
3
Apéndice A
Tomando el diagrama de cuerpo libre del cable desde X = 0 hasta X = x tenemos:
T s e n φ = S (x) p
dZ dX
1
=2
X
e
a
X
−
e
−
a
= tg φ 2X
−1
2
cosφ =
1 + tg φ
senφ =
=
1+
e
a
2X
−2+e
−
a
−1
=
4
2X
e
a
2X
+2+e
−
a
4
−1
a
=Z
1
1−
a2 z2
2
x
S ( x ) =
dZ dX
1+
0
1
T 1 −
2
a2 z2
a
=2
z
2
−
2
a
2
a 2
T = z
a
=2
(
x
x
e
1
T z
x
1
2
−
a
−
e
x
x
e
a
−
a
−
e
a
2
dX =
0
p
p
x
x
ea − e
−
a
p 1
a2 4
(
2 2x
2x
e
a
−
+2+e
a
−4
p
T = p z
4
X
e
a
X
+e 2
−
a
dX =
a
2
x
e
a
x
−
e
−
a
Apéndice B
La disminución elástica de la longitud de un diferencial de cable al ser descargado será: σ
pZ
εd S = E dS = Ω E dS
Tenemos también que: dX
Z
ds = c o s φ = d X a pZ 2 dX EΩa
εd S =
=
pa 2 E Ω4
X
X
a
e +e
−
a
2
1
a
dx
Integrando en ambos lados:
pa
2x
∆S (x) = E Ω4 a e
a
2x
−
e
−
a
+ 4x
Siendo el acortamiento eástico total:
2
L e
a
−e 2
pL E Ω2
∆S =
L
−
a
+1
L a L a
En (7) se supuso: ∆S
L
∆S
L
T
T
= E Ω = pL =
1 2
L a
pL EΩ
L
e
2a
L
+e
−
2a
pL EΩ
Para que sea válida la aproximación se deberá cumplir: L e
a
L
− −e 2
a
L
+1
a
L
e 2a + e
L
−
≈
1
2a
Esta aproximaión introduce errores de aproximadamente el 0,7% para flechas del 5% de la luz.
5
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