Calculo de areas

CÁLCULO DE ÁREAS.- SEGUNDO DE BACHILLERATO

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 INTEGRAL DEFINIDA.-CALCULO DE AREAS  3

 x

dx 1.-Calcular la integral  ∫  2  x 2 −1

Solución:  x  x 2 − 1

=

 x

=

 A

+

 B

Para x = 1, A = 1  x 2

−1

A ( x + 1) + B ( x − 1)

( x − 1) ( x + 1)  x − 1  x + 1 ( x − 1) ( x + 1) x = A ( x + 1) + B ( x − 1) Para Para x = -1, -1,  B =

∫  x

=

dx

=∫

2 1 2

1

2  x

1

−1

dx

1 1 + ∫  2 dx =  L  x −1 +  L x +1 = 2 2  x +1

= L(

x − 1.

x + 1)

Por tanto,

∫   x

 x 2

−1

dx

= [ L(

 x

−1

 x

+ 1)] 32 =  L 8 − L 3

2.-Calcula el área del recinto limitado por la parábola y=x 2 y las rectas y=0, x=2, x=6

.

Solución: La recta y=0 es el eje x. El área del recinto limitado por una función f(x), el eje x y la rectas x=a, x=b, viene b

  f  ( x) dx dada por el valor absoluto de la integral  I  = ∫  a

siempre que la función f(x) no corte al eje x en ningún punto interior del intervalo [a,b]  I  =

6

∫  x 2

2

dx =

6

63 23  x 3  208 208 − = =  = 3  3 2 3 3

Area=

208

208

3

3

2

u

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3.- Calcula el área limitada por la curva y = x 3 – 6x 2 + 8x y el eje x  Solución: Calculamos los puntos de corte de la curva con el eje x : 3

− 6 x 2 + 8x = 0

 x = 0 ( x − 6 x + 8) x = 0 ⇒  2  x − 6 x + 8 = 0 ⇒  x = 2; x = 4 2

Los puntos de corte obtenidos son 0, 2 y 4 , por tanto el área pedida se halla resolviendo las integrales: 2

I1= ∫  ( x 3 −6 x 2 +8 x ) dx 0

4

I2= ∫  ( x 3 −6 x 2 +8 x ) dx 2

2

 4  I1=  x − 2 x 3 + 4 x 2  = 4 ; 4 0

4

 x 4  I2=  − 2 x 3 + 4 x 2  = −4 ; 4 2

Area= 4 + -4 =8 u2

4.-Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = 9 –x  2 y el eje de abscisas. Solución Determinamos los puntos de corte de la curva con el eje x: 9-x2=0 x=3; x=-3 3

 I 

3

= ∫  (9 − x ) dx −3

2

3  x  = 9 x −  = ( 27 − 9) − ( −27 + 9) = 36 3 −3 

Area= 36 u2 =36 u2

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5.-Calcula el área del recinto limitado por la parábola y=4x-x 2 y el eje de abscisas en el intervalo [0,6]  Solución: Comprobamos si hay puntos de corte dentro del intervalo [0,6]. 4x-x2=0⇒x(4-x)=0⇒x=0; x=4 Como hay un punto de corte dentro del intervalo [0,6] que es x = 4, las integrales a plantear son: 4

 I 1

 I 1 = 32 −

64 3

=

96 − 64 3

=

4

= ∫  ( 4 x − x ) dx 2

0

 2 x3  = 2 x −  3 0 

32 3 6

 2 x3  32 56 = (64 − 72 ) − =−  I 2 = ∫  ( 4 x − x ) dx ;  I 2 = 2 x −  4 3 4 3 3  32 56 88 88 +− = ; Area = u 2 Area= 3 3 3 3 6

2

6.- Halla el área comprendida entre las parábolas y = 8 – x 2 ; y = x 2 Solución: Buscamos los puntos de corte de las dos curvas: 8 − x2 = x2 ⇒ 2 x2 = 8 ⇒ x = ± 4 = ±2 Los límites de integración son -2 y 2 La función a integrar es la diferencia de las dos funciones. 8 − x2 − x2 = 8 − 2 x2 , por tanto, 2

 2 x3   I  = ∫  (8 − 2 x ) dx = 8 x −  −2 3 −2  16 32 64 −16  I  = (16 − ) − ( −16 − ) = 32 − = 3 3 3 3 64 2 64 2 = Area u= u 3 3 2

2

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7.-Halla el área comprendida entre las curvas y=6x-x 2 ; y=x 2-2x  Solución: 6x − x2 = x 2 − 2 x ⇒ 2 x2 −8x = 0 2 x( x − 4 ) = 0 ⇒ x = 0;

x= 4

Función a integrar: ( x 2 − 2 x ) − (6 x − x 2 ) = 2 x 2 − 8 x

128 − 192 64  2 x 3  = − 4x2  = = =− 3 3  3 0 4

 I 

4

= ∫  ( 2 x −8 x) dx 2

0

Area=

64

64

3

3

2

u

8.-Area del recinto limitado por la parábola y=3x-x 2  y la recta y=x-3

Solución: 2 2 Límites de integración: 3 x − x = x − 3 ⇒ x − 2 x − 3 = 0 Resolviendo la ecuación se obtiene x=3; x=-1 3

Función a integrar:

 I 

3

= ∫ −1 ( x − 2 x − 3) dx 2

Area= −

32 3

=

32 3

 x 3  32 =  − x 2 − 3 x  = − 3 3 −1 u2

9.-Halla el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y=x 2  , la recta de ecuación y=x+2 y el eje OX.

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Límites de integración: Son los puntos de corte de la parábola y la recta: x2 = x + 2 ⇒ x2 − x − 2 = 0

 x

=

1± 9 1± 3 2

Función a integrar:  x + 2 − x 2

=

2

2 = −1

(Diferencia de las dos funciones)

Hemos de resolver la integral siguiente: 2

 I 

2

= ∫ 1 ( x + 2 − x ) dx 2

−

Area=

3  x 2 x  9 =  + 2 x −  = 3 −1 2 2

9 2

u=

2

9 2

2

u

10.-Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y=2(1-x 2 ) y la recta de ecuación y=0 Solución: Como la curva es simétrica respecto al eje de 3 ordenadas, podemos integrar entre 0 y 2 y multiplicar el resultado por 2.

Límites de integración:

2 (1 − x2 ) = −1 ⇒ 3 = 2 x2 ⇒ x= ±

2 2 Función a integrar: 2(1 − x ) − ( −1) = 3 − 2 x

 I  =

∫  0

3 2

3

3  2x  2 (3 − 2 x 2 )dx = 3 x −  = 2 3 0 

Area =4

3 2

2

u

3 2

3 2

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11.-Calcula el área del recinto limitado por la curva de ecuación  y = 2 x y la recta y=x. Solución: Límites de integración: 2 x = x ⇒ 4 x = x2 ⇒ x2 − 4x = 0 x( x− 4 ) = 0 ⇒ x = 0; x = 4

Función a integrar: 2 x − x

 I 

4

= ∫ 0 (2

 x

4

1 2

4

−  x)dx = ∫ 0 ( 2 x −  x) dx =

4  x 3  x 2  8 −  = ;  3 2    0 3

Area= 8 u 2 3

12.-Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y=Lx, y=1 y los ejes de coordenadas. Solución: Observando el dibujo, el área pedida será la diferencia entre las integrales e

∫ 

y

1.dx

0

e

 I 1

e

 I 2

∫  Lx .dx e

1

= ∫ 1.dx = [ x ]0 = e e

0

= ∫  Lxdx = [ xLx − x ]1e = (e − e) − (0 −1) = 1 (por partes) 1

Area=I1

I2

e

1 u2

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13.- Halla el área del recinto limitado por la parábola  y = x 2 , la recta de ecuación  y = − x + 2 y el eje OX

Solución: Punto de corte de la parábola y el eje OX:  x 2 = 0 ⇒ x = 0

Punto de corte de la recta y el eje =OX:

− x + 2 = 0 ⇒ x = 2 Punto de corte de la parábola y la recta:

2

= − x + 2 ⇒ x2 + x − 2 = 0

− 1± 1+ 8 − 1± 3  1 = =  x = 2 2 − 2 La solución x = -2 está fuera del eje OX, por tanto, sólo hemos de considerar el valor  x =1 Observando el dibujo, hemos de resolver las integrales siguientes:

 I 1

1

1 3

= ∫  x 2 dx = ; 0

 I 2

2

= ∫  (− x + 2)dx = 1

1 ; 2

1 1 5 Area = + = 3 2 6

2

u